Производная

7. Производная и ее применение
7.1. Задачи, приводящие к производной
Задача 1. ( О мгновенной скорости) Прямолинейное движение
материальной точки М совершается по закону S=S(t), где S – путь, пройденный
точкой за время t от начала движения (рис. 3.1.) Найти скорость точки в момент
t= t 0 .
S=S (t)
0
М0
M
t
S=S ( t 0 )
Рис. 7.1. Прямолинейное движение точки.
Решение. Каждому моменту времени соответствует определенный путь S,
пройденный точкой М от точки 0 за время t. Путь есть функция времени: S =
S(t). Для характеристики неравномерного движения используется понятие
средней скорости. Если S0  f (t 0 ) - путь
пройденный к моменту t 0 ,
- путь пройденный к моменту t1 ,то
и S0  f(t 0 )
промежуток времени от t0 до t 1 называется число
средней
скоростью
за
S S
S (t )  S (t )
0 
1
0 .
V  1
ср
t t
t t
1 0
1 0
Средняя скорость тем полнее характеризует движение, чем меньше длина
промежутка t 0 ;t1 .
Предел средней скорости за промежуток времени от t 0 до t 1 при t,
стремящемся к t 0 , называется мгновенной скоростью V( t 0 ) в момент t 0 :
V (t 0 )  lim V  lim
ср
t t0
t t0
S (t1 )  S (t0 )
,
t1  t0
(7.1)
если этот предел существует и конечен.
Пример:
Лифт после включения движется по закону S(t) = 1,5 t 2 +2t+12, где S – путь
( в метрах), t – время ( в секундах). Найти мгновенную скорость в момент
времени t 0 .
Решение. По определению (3.1.) мгновенной скорости получаем:
V (t 0 )  lim
t t 0
S (t1 )  S (t 0 )
=
t1  t 0
1,5(t 2  t 2 0 )  2(t  t 0 )
(1,5t 2  2t  12)  (1,5t 2 0  2t 0  12)
 lim

t

t
t

t
1
0
1
0
t t 0
t t 0
 lim (1,5(t  t 0 )  2)  3t 0  2.
t t 0
= lim
Следовательно, лифт после включения движется со скоростью V(t)=3t+2;
через 15 секунд, мгновенная скорость будет составлять V(15)=315+2=47(м/с).
Задача 2. ( О производительности труда) Количество произведенной
продукции U за время t можно выразить функцией U=U(t). Найдем
производительность труда в момент t 0 .
Решение. Если U 0  U (t 0 ) - количество продукции, произведенной к
моменту t 0 , U1  U (t1 ) - к моменту t 1 , то средней производительностью труда за
промежуток времени от t 0 до t 1 называется число:
Z ср 
U 1  U 0 U (t1 )  U (t 0 )
.

t1  t 0
t1  t 0
Предел средней производительности труда за время t 0 ;t1  при t,
стремящемся к t 0 , называется производительностью труда в момент времени
t0 :
Z (t 0 )  lim Z  lim
ср
t t 0
t t 0
U (t1 )  U (t 0 )
(7.2)
t1  t 0
если этот предел существует и конечен.
7.2 Производная функции
Пусть функция y = f(x) задана на интервале ( а ;b).
Зафиксируем некоторую точку х0  (a; b) и вычислим значение функции в
ней, получим f( х 0 ). Дадим х 0 приращение  х  0, получим другую точку
х 0 +  х  ( a; b) , вычислим значение функции в этой точке: f( х 0 +  х). Вообще
говоря, f( х 0 +  х)  f( х 0 ). Разность f( х 0 +  х) - f( х 0 ) называется приращением
функции и обозначается  f=  y.
О п р е д е л е н и е . Производной f (x) функции f(x) в точке х 0
называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его
приращению аргумента, если последнее стремится к нулю, а предел
существует и конечен:
f ( x0 ) = lim
х  0
f ( x0  x)  f ( x0 )
y
= lim
.
x
х 0 x
Производная обозначается f (x) ; y  ;
df
( читается: «эф штрих от х»; «у
dx
штрих»; « де эф по де икс»).
Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой
в этой точке.
Операция нахождения производной от данной функции называется
дифференцированием.
Функция f(x), х  (a; b) , имеющая производную в каждой точке этого
интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.
Можно доказать: если функция дифференцируема в некоторой точке, то
она непрерывна в этой точке.
Обратное неверно: существуют функции, непрерывные в точке, но не
имеющие производную в ней.
В задачах имеем:
1)
Мгновенная скорость V(t) в момент t 0 есть производная пути по
времени:
V (t 0 ) 
dS (t 0 )
 S (t 0 ) .
dt
2)
Мгновенная производительность труда z(t) в момент t 0 есть
производная от количества произведенной продукции по времени:
z (t 0 ) 
dU (t 0 )
 U (t 0 ) .
dt
7.3 Вычисление производной по определению
Чтобы вычислить производную функции y=f(x) в точке х 0 , необходимо:
1)
вычислить значение функции в фиксированной точке х 0 :
х 0  f( х 0 ).
2)
задать приращение аргумента  х; получить точку х 0 +  х,
вычислить значение
функции в ней:
х 0 +  хf( х 0 +  х);
3)
найти приращение функции:
 f=f( х 0 +  х)-f( х 0 );
4)
вычислить отношение :
f f( x 0 +  х) - f( x 0 )
;

x
x
5)
найти предел полученного отношения при
f
f
= lim
= f ( x0 ) .
lim

x

x
х  0
х  0
Пример:
7.1 Производная постоянной.

х0:
Пусть f(x)=C, c=const. Найти f (x) .
Решение.
1)
Фиксируем x 0 ; вычисляем значение функции в этой точке:
f ( x0 ) = С; x 0 С;
2)
задаем приращение аргумента  х, получаем точку х 0 +  х,
вычисляем значение функции в ней:
х 0 +  х f( х 0 +  х)=С;
3)
находим приращение функции:
 f = f( х 0 +  х)- f( х 0 )=С-С=0;
4)
вычисляем отношение:
f С  С

 0;
x
x
5)
находим предел:
Итак , С  =0.
f
= lim 0  0.
lim

x
х 0
х  0
7.2 Производная линейной функции.
Пусть f(x)=kx+b; к, b – постоянные. Найдем f (x) .
Решение.
Без комментариев проведем дифференцирование по шагам 1-5:
1)
х 0  f( х 0 )=k х 0 +b;
2)
х 0 +  хf( х 0 +  х)=k( х 0 +  х)+b;
3)
 f=f( х 0 +  х)-f( х 0 )=k( х 0 +  х)+b-( k х 0 +b)= k х 0 +k  х-k х 0 =k  х;
f kx

 k;
x
x
f
5)
= lim k  k.
lim

x
х 0
х  0
Итак, f ( x0 ) =k; т. к. x 0 - фиксированная, но произвольная точка, то
4)
получим для любого х:
(kx  b) k .
Упражнение:
7.3 Найти производные функций по определению.
а) f(x)= х 2 ;
б) h(x)= х 2  2 ;
в)
2
г)p(x)= х  3 х  2 .
7.4 Правила вычисления производной
I.
Производная суммы функций.
 (x)= х 2  3 х ;
Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме
производных этих функций:
(U ( x)  V ( x))  U ( x)  V ( x) .
Доказательство. Рассмотрим две дифференцируемые в точке x 0 функции
U ( x) и V ( x) . Найдем производную функции f(x)= U ( x)  V ( x) в точке x 0 по шагам
1-5:
1)
х 0  f( х 0 )= U ( x0 )  V ( x0 ) ;
2)
х 0 +  хf( х 0 +  х)=U( х 0 +  х)+V( х 0 +  х);
3)
 f=f( х 0 +  х)-f( х 0 )=U( х 0 +  х)+V( х 0 + х )-(U( x 0 )+V( x 0 ))=(U( х 0 +  х)U( x 0 ))+(V( х 0 +  х)-V( x 0 ))=  U+  V;
4)
5)
f
U  V
U


x
x
x
f
 U V

= lim 
lim

x
x

x

х  0
х  0

V
;
x
U
V

+ lim
= U ( x0 )  V ( x0 ) .
 = lim
 х 0 x х 0 x
Итак, f ( x0 ) = U ( x0 )  V ( x0 ) .
Аналогично для произвольной точки х из области дифференцируемости
функций U ( x) и V ( x) имеем:
f (x ) = U ( x)  V ( x) (7.3)
Задания: 1) Дайте словесный комментарий каждого шага 1-5; 2) почему
возможны равенства в п. 5?
II.
Производная
вычисляется по формуле.
произведения
дифференцируемых
функций
(U ( x)  V ( x))  U ( x)  V ( x)  U ( x)  V ( x) (7.4)
Следствие:
Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
(СU ( x))  CU ( x); С  const .
III.
Производная
вычисляется по формуле:
частного
двух
дифференцируемых
функций

 U ( x)  U ( x)V ( x)  U ( x)V ( x)

 
;V ( x)  0 (7.5)
V 2 ( x)
 V ( x) 
Формулы (7.4.), (7.5.) доказываются аналогично (7.3.)
Упражнение:
7.4 Используя правила
вычисления производной, найдите производные
следующих функций:
а) f(x)= х 2 ;
х 2  3х  2 .
б) h(x)= х 2  2 ;
в)  (x)= х 2  3х ; г)
p(x)=
Сравните метод решения с использованным в упражнении 3.1.
7.5 Найти производные функций:
а) 2х;
г) (х+1)( х 2  2) ;
х
в) (х+1)( х 2  3х) ;
б) ;
2
2х  1
;
в)
5
д)
3х  4
.
х  3х  2
2
х2  2
г)
;
х 1
7.5 Производная сложной функции
Пусть функция y = g(x), x є (а;b), имеет производную в точке х0 є (а;b), а
функция z= γ(y) определена на интервале, содержащем множество значений
функции g, и имеет производную в точке y0= g(x0). Тогда сложная функция
ƒ(х)=γ(g(x)) имеет производную в точке х0, которая вычисляется по формуле:
ƒ´(х0) = γ´(y0) g´(x0), (3.6)
или, опуская значения аргументов:
dz dz dy


dx dy dx
7.6 Производная обратной функции
Если функция ƒ(х), х є (а;b), и её обратная функция ƒ-1(y); y0= ƒ(x0), имеют
производные, то
(ƒ-1(y0))´=
1
. (3.7)
f ' ( x0 )
Опуская значения аргументов, получаем:
dx
1
1

или x '  .
dy dy
y'
dx
7.7 Таблица производных
C’=0; C=const
e   e
( x n )'  nx n1
log a x  
( x )' 
1
2 x

1
1
   2
x
 x
x
tgx  
x
1
x  ln a
ln x   1
x
sin x   cos x
1
cos 2 x
ctgx    12
sin x
arcsin x   1 2
1 x
arccos x    1 2
1 x
a   a
x
x
cos x    sin x
 ln a
arctgx  
1
1  x2
Правила дифференцирования:
(u  v )  u   v 

 u  u  v  u  v
  
v2
v
(u  v )  u   v  u  v 
Найти производные следующих функций, применяя таблицу производных
и правила дифференцирования.
Пример:
7.6 Используем формулу
а) (х²)´=2х;
г)

 x
3
(хn)´=nxn-1
б) (х3)´=3х²;
в) (5х²+5х+7)´= 5·2х+5=10х+5;

 13  1 13 1 1  32 1 1
1 при вычислении
x   x  x   2 
3
3 3 3 3 x2
  3
x
применяли формулы элементарной математики:
m
n
a n 
am  a n ;


1
1
д)    x 1   1  x 11   x 2   2 ;
x
 x
1
;
an
е) найдем производную произведения по формуле (7.4)
((sinx)·ex)´=(sinx)´· ex +sin(ex)´= cosx ex +sinx ex= ex (cosx+sinx);
ж) найдем производную частного по формуле (7.5)
1


 2 x ln 2tgx  1  2 x 
x
2
 2x 

2 x   tgx  1  2 x tgx  1
cos 2 x  2 tgx  1  cos x ln 2  1

 

2
tgx  12
tgx  12
cos 2 x tgx  1
 tgx  1 
.
Упражнения:
7.7 а) y= 3х3- 4х²+5х=7;
б) y= 2х²-6х+7;
в) y  3 x 2 ;
г) y  4 x ;
д) y  4 x 3 ;
з) y 
1
;
x4
и) y= х²∙lnx;
к) y= (x3+1)arcsinx;
л) y= 2x·cosx;
м) y= ex·arccosx;
1
;
x2
1
ж) y  3 ;
x
x2  3
;
log 2 x
log x
o) y  x 3 .
3  sin x
е) y 
н) y 
7
Найти производные сложных функций по формуле (7.6)
Пример:
7.8
а)(sin2x)´=(cos2x)·(2x)´=(cos2x)·2=2co
s2x;

x 1
1
2
1



в)  log 3   
;
2  2 x  ln 3 2 x ln 3 x ln 3

2
Упражнения:
7.9 а) y= cos2x; y= cos3x;
y=cos½x;
Пример:
7.10 Используем формулу:


5
1  5x 
2
y= cos(2x+3).
u=u(x).
1
cos x

.
 sin x  
2 sin x
2 sin x
Упражнения:
7.11 а) y  cos x ;
б) y  ln x ;
Пример:
7.12 Используем формулу:
arcsin 5x  
 u   2 1u  u ;

sin x 
б) (sin3x)´=3cos3x;
г)
в) y  e x ;
г) y  arctgx .

1
 1
u=u(x)
    2  u ;
u
u

1
cos x
 1 


   2  sin x    2 .
sin x
sin x
 sin x 
Упражнения:
1
;
cos x
1
б) y  x ;
e
1
;
2x
1
г) y 
.
arctgx
7.13 а) y 
в) y 
Примеры:
7.14 Используем формулу:
lnu  1  u ; u=u(x)
u
ln cos x   1  cos x    sin x .
cos x
cos x
Упражнения:
7.15 а) y= ln tgx;
б) y= ln arcsinx;
8

5
1  25x 2
.
в) y= ln(x²+3x+4);
г) y= ln2x .
Пример:
7.15 Используем формулу
logau 
1
 u ; u=u(x)
ulga
log 2 cos x   1  cos x    sin x .
cos x ln 2
cos x  ln 2
Упражнения:
7.16 а) y= log3sinx;
б) y= log2ctgx;
Пример:
7.17 Используем формулу
в) y= log5(x²+1);
г) y= lg tgx.
(аu )  au  lna  u; u=U(x)
(3х²)´= 3х²·(ln3)·2x.
Упражнения:
7.18 а) y= 3х²+4х ;
б) y= 3sinx;
в) y= 3arcsinx;
г) y= 10arccosx.
Пример:
7.19 Использовать формулы
(sin u)´= u´·cos u; u=U(x)
tgu 
1
 u
cos2u
(cos u)´= u´·sin u
ctgu  
а) sin ln x    cos ln x

ex
в) tge   2 x
cos e

2 x ln 2
г) ctg 2 x    2 x
sin 2
1
x
б) cos tgx  
1
 u
sin2u
x
1
 sin tgx
cos 2 x
Упражнения:
7.20 а) y = sin cosx;
б) y = cos log2x;
в) y = tg arcsinx;
г) y  ctge .
x
Упражнения:
9
7.21 а)
б)
в)
г)
y  cos 5
x;
y  cos 5 2 x ;
y  cos5 2tgx ;
y  cos5 2tg ln x ;
д) y  cos5 2tg ln 2 3x ;
е) y  cos5 2tg ln 2 arcsin 3x ;
ж) y  ln cos 2tgx ;
з) y  arcsin ln x ;
7.8 Производные высших порядков
Рассмотрим функцию y=ƒ(x). Пусть существует производная y´=ƒ´(x)
(производная первого порядка); ƒ´(x) также является функцией от х, пусть её
можно дифференцировать. Получим производную, которая называется
производной второго порядка:
y´´= (y´)´=(ƒ´(x))´=ƒ´´(x)
Аналогично находится производная третьего порядка:
y´´´= (y´´)´=ƒ´´´(x),
Производная n-го порядка:
y(n)= (y(n-1))´=ƒ(n)(x)
Пример:
7.22 Найти y´´´, если y= sinx
Решение: Находим последовательно
y´= cosx;
y´´= -sinx; y´´´= -cosx.
Упражнения:
7.23 Найти yIV, если:
а) y= cosx;
б) y= 3x5+2x4-x²+1;
в) y= ex;
1
x
г) y  .
7.9 Касательная к графику функции
Пусть М, М0 – две различные точки кривой (рис. 7.2)
10
М´
T
М0
М
L
Рис. 7.2. Касательная к кривой
Прямая (ММ0) называется секущей кривой L.
Пусть точка М, перемещаясь по кривой L, приближается к точке М0 . Если
секущая стремится занять предельное положение (М0Т), то прямая (ТМ0)
называется касательной к кривой L в точке М0.
Допустим, кривая L является графиком непрерывной функции y=ƒ(x) (рис.
3.3).
y
M(x;y)
y=ƒ(x)
L
y0
M0(x0;y0)
β
α
0 Рис. 7.3 Геометрический
х0
x производной
смысл
x
На рис. 7.3: если (М0М) – секущая, k  tg - угловой коэффициент секущей,
тогда
tg 
f  x   f  x0 
; y 0  f  x0  .
x  x0
Пусть х стремится к х0, тогда точка М стремится по кривой L к М0. Если
функция ƒ(х) имеет производную в точке х0, то
lim tg  lim
x  x0
x  x0
f ( x )  f ( x0 )
 f  x0 
x  x0
Таким образом, производная функции ƒ(х) в точке х0 равна угловому
коэффициенту касательной к графику функции в точке x0 ; y0   x0 ; f ( x0 )
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k  f ( x0 ) имеет вид:
y = kx+b или y=ƒ’(х0)∙x+b.
11
Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку
М0. Подставляем координаты точки М0 (х0 ;ƒ(х0)) в уравнение касательной :
ƒ(х0) = ƒ′(х0)∙х0+b,
откуда
b = ƒ(х0)- ƒ′(х0)∙ х0
Уравнение касательной принимает вид:
y =ƒ′(х0)∙(x- х0)+ƒ(х0) (3.8)
Пример:
7.24 Написать уравнение касательной к параболе y=x² в точке с абсциссой
х0=1.
Решение: Имеем ƒ(х0)=х²0; ƒ(х0)=1 при х0=1; ƒ′(х0)=2∙ х0; ƒ′(х0)=2 при х0=1.
Уравнение касательной: y=2∙(x-1)+1 или y=2∙x-1.
Упражнения: Написать уравнения касательных к графику функции y=ƒ(x)
в точке с абсциссой х0:
7.25 а) y=x3;
х0=1;
3
x
б) y  ;
в) y  x ;
г) y=x²-2x+5;
х0=1;
х0=4
х0 =0,5
12
7.10 Применение производной к приближенным вычислениям
По определению производной функции y =ƒ(x) в точке х0 имеем:
f  x0   lim
x  0
f  x 0 
x
При достаточно малых ∆x получаем:
f  x 0 
 f  x0  ,
x
Тогда
f x0   f x0 x (7.9)
Представляем приращение функции в виде
f x0   f x0  x   f x0 
С учетом формулы (7.9) f x0  x   f x0   f x0 x или
f x0  x   f x0   f x0 x
(7.10)
Пример:
7.26 Вычислить приближенно 3 27,08 .
Решение: Воспользуемся формулой (3.10 )
Рассмотрим функцию f x   3 x точку х0 =27 и приращение аргумента
∆x=0,03
Значение функции в точке х0 :
f x0   f 27  3 27  3 .
Производная:
f x  

 13  1 13 1 1 1
1
.
x   x   x   2 
3
3 3 3 x2
  3
x
 
3

Значение производной в точке х0=27:
f x0   f 27  
1
3
3 27
2

1
3
6

3 3
1
1

2
3 3
27
Подставляем полученные значения в (3.10), получаем приближенное
значение функции
3
27,03  3 
1
 0,03  3,0011 .
27
Упражнения:
7.26 Вычислить приближенные значения функций:
а) 9,02 ;
б) 3 30 ;
в) sin30˚30′;
г) lg10,01;
д) 2 3,1 ;
е) log 2 8,3 .
13
7.12 Применение производной к исследованию функций
Функция называется возрастающей на (a;b) , если большему значению
аргумента соответствует большее значение функции:
x1 x2    f x1   f x2  (7.11)
Функция называется убывающей на (а;b) , если большему значению
аргумента соответствует меньшее значение функции:
x1  x2    f x1   f x2  (7.12)
Возрастающие или убывающие функции называются монотонными
(сравните с п. 1.1)
Теорема
(необходимое
условие
возрастания
функции)
Если
дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) возрастает на интервале (а;b), то ƒ′(х)
≥0 для любого хє(а;b).
Доказательство. Пусть x> х0, тогда ƒ(х)>ƒ(х0). Поэтому x- х0>0 и
f  x   f  x0 
 0.
x  x0
Так как ƒ(х) дифференцируема на (а;b), то, переходя к пределу в
неравенстве при x > х0, получим
f  x   lim
x  x0
f  x   f  x0 
0
x  x0
Теорема доказана.
y
y
y=ƒ(x)
y = x²
ƒ′(x)<0
ƒ′(x)>0
y′=ƒ′(x)
ƒ′(x)<0
0
y=2x
ƒ′(x)>0
x
x
Рис. 7.4 Связь монотонности со знаком производной
Теорема
(Необходимое
условие
убывания
функции).
Если
дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) убывает на интервале (а;b), то ƒ′(х)≤ 0
для любого хє(а;b).
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если функция ƒ(х)
имеет положительную производную в каждой точке интервала (а;b), то
функция ƒ возрастает на (а;b).
14
Теорема (Достаточное условие убывания функции). Если функция ƒ(х)
имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция
ƒ убывает на интервале (а;b).
Пример:
7.27 Найти интервалы монотонности функции f x   x  x 3 .
Решение. Функция определена на множестве всех действительных чисел.
Найдем её производную:
f x   1  3x 2
Находим знак ƒ′(х) методом интервалов:
-
+
-
3
3
х
3
3

3
ƒ′(х) >0 при хє   ;  , следовательно ƒ(х) возрастающая  f  на этом
 3 3 
3

3
 3

интервале; f x   0 при x    ;  или x   ;  , следовательно ƒ(х)
3 

 3

убывающая  f  на этих интервалах. Границы интервалов могут быть
включены в интервалы монотонности, т. к. функция непрерывна в этих точках.
Можно записать:



3 3
3  3
f  íà  
;
; 
 ; f  íà   ;
; 
3   3
 3 3 


Точка х0 называется точкой минимума функции ƒ, если найдется
такая окрестность точки х0 , что для всех х из этой окрестности
справедливо неравенство f x0   f x 
y
y
ƒ(x)
ƒ(х0)
0
ƒ(х0)
( х0 )
х0-ε х0+ε
x
0
( x х0 )
х0-ε
х0+ε
x
Рис. 7.5 Точки минимума функции
Точка х0 называется точкой максимума функции ƒ, если найдется
такая окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности
справедливо неравенство f  x0   f  x  .
15
y
ƒ(х0)
y
ƒ(х)
ƒ(х0)
0
(
))
х0-ε х0 х0+ε
0
x
(
)
х0-ε х0 х0+ε
x
Рис. 7.6 Точки максимума функции
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а
значения функции в этих точках называются экстремумами функций.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются
критическими точками первого рода.
Теорема Ферма (Необходимое условие экстремума). Если точка х0
является точкой экстремума функции ƒ и в этой же точке существует
производная, то она равна нулю: ƒ′(х0)=0
Теорема (Достаточное условие максимума) Если функция ƒ непрерывна в
точке х0, а ƒ′(х)>0 на интервале x0   ; x0  и ƒ′(x)<0 на интервале õ0 ; õ0    , то
точка х0 является точкой максимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х0 и при переходе
через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-», то х0 –
точка максимума функции ƒ.
Теорема (Достаточное условие минимума). Если функция ƒ непрерывна в
точке х0, ƒ′(x) на интервале x0   ; x0  и ƒ′(x)>0 на интервале õ0 ; õ0    , то точка
х0 является точкой минимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 и при переходе
через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+», то х0 точка минимума функции ƒ.
Пример:
7.27 Найти точки экстремума функции f x   3x  x 3 .
Решение. Найдем производную: f x   3  3x 2 .
Критические точки первого рода: ƒ′(х)=0 => (3-3х²=0) => (х1=-1;х2=+1).
Знак производной:
+
х
-1
1
х=-1 – точка минимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо
производная меняет знак с «-» на «+».
16
х=1 – точка максимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо
производная меняет знак с «+»на «-».
Упражнения:
7.28 Найти интервалы монотонности функции:
3
а) ƒ(x)=5x-2;
д) f  x    x  1 ;
1
б) f  x   ;
е) f  x   3x 4  6 x 2  4 .
3x
в) ƒ(x)=x²+x-1;
г) ƒ(x)=7x²+14x+1;
7.29.Найти экстремумы функций:
а) ƒ(x)=1+4x-x²;
б) ƒ(x)=3+x²-6x;
1
в) f  x   x 4  x 2  5 ;
4
1
г) f  x   x3  x 4  5 ;
3
x 4
д) f  x    ;
4 x
е) f  x   x 2  e  x ;
ж) f  x   e x  e x ;
з) ƒ(x)=xlnx;
ln x
и) f  x  
;
x
1
к) f  x    ln x .
x
7.13 Применение производной второго порядка к исследованию
функции
График функции называется выпуклым на интервале, если он
расположен ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке этого
интервала (рис. 3.7)
y
y=ƒ(x)
M
ƒ∩ на (a;b)
ƒ``(x)<0
0 a
b
x
Рис. 7.7 График функции, выпуклой на (a;b)
График функции называется вогнутым на интервале, если он
расположен выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого
интервала (рис. 7.8).
17
y=ƒ(
y
M
ƒ  на (a;b)
ƒ′′(x)>0
0
a
b
x
Рис. 7.8 График функции вогнутой на (a;b)
Теорема (Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика
функции). Пусть функция дважды дифференцируема на интервале. Если ƒ′′(х)
<0 на (a;b), то график функции выпуклый на (a;b); если ƒ′′(х)>0 на (a;b), то
график функции вогнутый на (a;b).
Точкой перегиба называется точка графика функции, отделяющая его
выпуклую часть от вогнутой, и наоборот. (рис. 3.9)
y
y=ƒ(x)
ƒ′′( x0)=0
0
x0
x
Рис. 7.9 Точка перегиба графика функции
Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если х0 – точка перегиба
графика функции y=ƒ(x) и существует вторая производная в ней, то ƒ′′( х0)=0.
Точки, в которых вторая производная функции равна нулю, называются
критическими точками второго рода.
Критические точки могут и не быть точками перегиба.
Теорема (Достаточное условие точки перегиба). Если вторая производная
дважды дифференцируемой функции при переходе через критическую точку
второго рода х0 меняет знак, то х0 есть абсцисса точки перегиба графика этой
функции.
Пример:
7.30 Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика
функции
ƒ(х)=3х3+2х²-7х+2
Решение:
1)
Находим вторую производную:
ƒ′(х)=9х²+4х-7;
ƒ′′(х)=18х+4.
2)
Критические точки второго рода:
18
ƒ′′(х)=0 => 18х+4 = 0  
3)
Знак ƒ′′(х):
-
2
9
+
x
 -2
9

2
ƒ′′(х)>0 на интервале   ;  , следовательно график функции вогнут
 9

2

( f ) на этом интервале; ƒ′′(х)<0 на интервале   ;  , следовательно, график
9

функции выпукл ( f ) на этом интервале. При переходе через критическую
2
точку второго рода ƒ′′(х) меняет знак, следовательно, x0   - абсцисса точки
9
перегиба.
4)
Значение функции в точке перегиба:
3
2
80
 2  2
 2
 2
f     3    2     7     2  2
81
 9  9
 9
 9
 2 80 
Таким образом    ;2  – точка перегиба.
 9 81 
Упражнения: Найти интервалы выпуклости. вогнутости, точки перегиба.
3
в) f x   x  12 x  2 ;
7.31 а) f  x   x  x  1 ;
г) f  x   x 4  8 x3  24 x 2 .
б) f  x   x 5  5 x  6 ;
3.14. Асимптоты графика функции
О п р е д е л е н и е . Асимптотой графика функции называется прямая,
расстояние от которой до точек графика стремится к нулю при удалении
их от начала координат.
Классификация асимптот:
1)
Наклонная асимптота
f  x
y=kx+b,
; b  lim  f  x   kx  .
x
x
2)
Горизонтальная асимптота
y=b,
получается из (3.12) при k=0.
где
k  lim
(7.13)
x
19
(7.14)
Вертикальная асимптота
3)
если
lim
f  x      
x  a   0 
x=a,
(7.15)
y
y=ƒ(x)
y=kx+b
0
x=a
x
Рис. 7.10 Асимптоты графика функции.
Примеры:
7.32 Найти асимптоты графиков функций.
а) f x  
1
.
x 5
Решение: Вертикальная асимптота x = 5, т.к. xlim
5 0
б) f x  
1
1
 ; lim
  .
x

5

0
x5
x5
x 2  20
.
x4
Решение:
1)
Вертикальная асимптота
x = 4, т.к. lim
x 4  0
x 2  20
x 2  20
  ; lim
  ;
x 4  0 x  4
x4
2)
Наклонная асимптота y=kx+b
k  lim
 x 2  20

4 x  20
x 2  20
 1  x   lim
4
 1 ; b  lim 
x 
x x  4
 x4
 x x  4
x 
Итак, y = x+4 - наклонная асимптота.
Упражнение: Найти асимптоты графиков функций.
7.33 а) f x  
2
;
x3
3  2x
б) f x  
;
x 1
г) f x  
x3
в) f x   2 ;
x 1
20
1  x2
.
1  x2
7.15 Общая схема исследования функции и построения её графика
1)
Элементарные исследования (область определения, четностьнечетность, периодичность, точки пересечения с осями координат).
2)
Непрерывность.
3)
Асимптоты.
4)
Интервалы монотонности, экстремум.
5)
Выпуклость, вынутость, точки перегиба.
6)
График.
Пример:
7.34 f x  
1 3

x  9 x 2  15 x  9  .
4
Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение:
1)
Элементарные исследования. Область определения функции:
D f    ; ; f  x  


1
 x 3  9 x 2  15x  9 ; ƒ(-x) ≠ƒ(x); ƒ(-x)≠-ƒ(x).
4
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция
общего положения), непериодическая, точка пересечения с осью (oy): x=0,
9
9
y   ; A1 (0; ) .
4
4
Точка пересечения с осью (ox): x3+9x²+15x-9=0 , кубическое уравнение не
всегда может быть решено.
Точки пересечения с осью (ox) могут быть построены приближенно.
2)
Непрерывность:
Функция непрерывна в каждой точке области определения.
3)
Асимптоты:
Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y=kx+b,
1 3

x  9 x 2  15 x  9 
k  lim 4
 ,
x 
x
следовательно, ни наклонных, ни горизонтальных асимптот нет.
4) Интервалы монотонности, экстремум.
Находим производную:
f  x  
1

3x 2  18 x  15.
4
Критические точки первого рода
ƒ′(x) = 0 => x²+6x+5=0 => x1=-5; x2=-1.
Знак ƒ′(х):
+
-
+
x
-5
-1
21
Итак, функция ƒ-возрастающая на интервалах  ;5;  1; , т.к. ƒ′(х)>0
на этих интервалах; функция убывающая на  5;1 , т.к. ƒ′(х)<0, граничные
точки включены в интервалы, т.к. функция в них непрерывна;
х = -5 – точка максимума, т.к при переходе через эту точку слева направо
производная меняет знак с «+» на «-»; ƒ(-5) = 4, точка графика A2(-5;4);
x = -1 – точка минимума, т.к при переходе через эту точку слева направо
производная меняет знак с «-» на «+»; ƒ(-1) = -4; точка графика A3(-1;-4).
5)
Выпуклость, вынутость, точки перегиба.
Находим вторую производную:
f  x  
1
6 x  18 .
4
Критические точки второго рода:
ƒ′′(x)=0 => x+3=0; x=-3.
Знак ƒ′′(х):
+
x


-3
График функции выпуклый на  ;3 , т.к. ƒ′′(х)<0; вогнутый на  3; ,
т.к. ƒ′′(х)>0;
х=-3 – абсцисса точки перегиба; ƒ(-3)=0; А4(-3;0) – точка перегиба.
6)
С учетом результатов исследования построим график функции
(рис. 7.11)
у
А2
-5
4
А1 -9
4
4
А
х
3
Рис. 7.11 График функции f x  
1 3

x  9 x 2  15 x  9 
4
Пример:
7.35 y 
x2  2x  2
x 1
Исследовать функцию, построить ее график.
1) Элементарные исследования.
Область определения D f   
x

 0   ;1  1;  .
 x 1

Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего
положения), непериодическая; точки пересечения с осями:
(oy): x=0 => y=-2, M1(0;-2);
22
(ox): y=o => x²-2x+2=0 – нет корней, точек пересечения с осью (ох) нет.
2) Непрерывность.
Функция непрерывна на  ;1  1;  J ; f  CJ .
3) Асимптоты:
x2  2x  2
  ;
x 1
x2  2x  2
lim f x   lim
  ;
x 10
x 10
x 1
а) вертикальная х=1, т.к lim f x   lim
x 10
x 10
б) наклонная y = kx+b
k  lim
x 
f x 
x2  2x  2
 lim
 1;
x 
x
x( x  1)
 x2  2x  2

x2  2x  2  x2  x
b  lim  f x   kx  lim 
 x   lim
 1 .
x 
x 
x 1
x 1

 x
Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение y=x-1
4) Интервалы монотонности, экстремум.
Находим производную:
x
y 
2


 2 x  2 x  1  x 2  2 x  2x  1
x2  2x
.

x  12
x  12
Критические точки первого рода:
y′ = 0 => x²-2x = 0 =>x1 = 0, x2 = 2.
Знак производной:
+
+
x
0
1
2
Функция возрастающая на каждом из интервалов  ;0; 2; , т.к ƒ′(х)>0;
функция убывающая на 0;1; 1;2 , т.к. ƒ′(х)<0;
x = 0 – точка максимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо
производная меняет знак с «+» на «-»; ƒ(0)=-2, точка графика М1(0;-2);
х = 2 – точка минимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо
производная меняет знак с «-» на «+»; ƒ(2)=2, точка графика М2(2;2).
5) Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Вторая производная:

 x 2  2 x  2 x  2  x  12  x 2  2 x   2 x  1
2
 
y   

.
2 
4
x  1
x  13
  x  1 
Критических точек второго рода нет.
Знак второй производной ƒ′′:
+
x
1
23


График функции выпуклый на  ;1 , т.к. ƒ′′(х)<0; вогнутый на 1; , т.к.
ƒ′′(х)>0 на этом интервале.
6) Строим график функции.
Сначала проводим асимптоты и отмечаем точки М1 и М2 (рис. 3.12)
y
x=1
М2
y=x-1
2
x
0
-1
1
2
M1
Рис. 7.12 График функции y 
x2  2x  2
x 1
24