Константинов Александр Алексеевич. Группа: ОЭМИб-М10-20-1. 27.02.2022. Практическое задание №1. 1. Построить полигон частот по заданному распределению выборки. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и СКО. 𝑥𝑖 𝑚𝑖 1 20 4 10 5 14 7 6 Расчетная таблица x 1 4 5 7 Итого Частота 𝑚𝑖 20 10 14 6 50 (𝑥 − 𝑥̅ )2 ∙ 𝑚𝑖 119,07 3,14 34,07 76,04 232,32 𝑥𝑚𝑖 20 40 70 42 172 В дискретном ряду выборочная средняя рассчитывается по формуле: ∑ 𝑥𝑖 𝑚𝑖 𝑥̅ = ∑ 𝑚𝑖 где 𝑥𝑖 – варианты значений признака; 𝑚𝑖 – частоты каждого из вариантов. Для нашего задания: ∑ 𝑥𝑖 𝑚𝑖 172 𝑥̅ = = = 3,44 ∑ 𝑚𝑖 50 Выборочная дисперсия для сгруппированных данных рассчитывается по формуле: 𝑆2 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑚𝑖 ∑ 𝑚𝑖 В нашем случае: 𝑆2 = ∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2 𝑚𝑖 ∑ 𝑚𝑖 = 232.32 50 ≈ 4,65 Cреднеквадратическое отклонение S рассчитывается по формуле: 𝑆 = √𝑆 2 = √4,65 ≈ 2,16. 2. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и СКО 𝑥𝑖 𝑚𝑖 𝑛 2 0,15 4 0,2 5 0,1 7 0,1 10 0,45 Расчетная таблица x 2 4 5 7 10 Итого 𝑚𝑖 𝑛 0,15 0,20 0,10 0,10 0,45 1,00 𝑥 𝑚𝑖 𝑚𝑖 (𝑥 − 𝑥̅ )2 ∙ 𝑛 𝑛 0,30 3,46 0,80 1,57 0,50 0,32 0,70 0,00 4,50 4,61 6,80 9,96 Выборочная средняя: 𝑥̅ = Выборочная дисперсия 𝑆 2 = ∑ 𝑥𝑖 𝑚𝑖 6,8 = = 6,8 ∑ 𝑚𝑖 1,0 ∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2 𝑚𝑖 ∑ 𝑚𝑖 = 9,96 1 = 9,96 Cреднеквадратическое отклонение S рассчитывается по формуле: 𝑆 = √𝑆 2 = √9,96 ≈ 3,16. 3. Из таблицы случайных чисел взяты 150 двузначных чисел (00 принимать за 100). Эти числа были разбиты по десяткам на интервалы: Δ𝑥𝑖 1-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 𝑚𝑖 16 15 19 13 14 19 14 11 13 90100 16 Построить гистограмму относительных частот и эмпирическую функцию распределения. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и СКО. Расчетная таблица 𝑥𝑖 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Итого 𝑥𝑖+1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Середин а интерва ла 𝑥𝑖∗ 5,50 15,00 25,00 35,00 45,00 55,00 65,00 75,00 85,00 95,00 Частот а 𝑚𝑖∗ 16 15 19 13 14 19 14 11 13 16 150 Накопле Относительн нная ая частота частота 𝑆𝑓 𝜔𝑖∗ 0,11 16 0,10 31 0,13 50 0,09 63 0,09 77 0,13 96 0,09 110 0,07 121 0,09 134 0,11 150 1,00 Накопленна я относительн ая частота 𝜔𝑖нак 0,11 0,21 0,33 0,42 0,51 0,64 0,73 0,81 0,89 1,00 Плотность относител ь ной частоты 𝜔𝑖 ℎ𝑖 0,012 0,010 0,013 0,009 0,009 0,013 0,009 0,007 0,009 0,011 Относительная частота и плотность относительной частоты вычисляется по формулам соответственно: 𝜔𝑖∗ = 𝜔𝑖нак ∑𝑖𝑖=1 𝜔𝑖∗ . 𝑛𝑖∗ 𝑛 и 𝜔𝑖∗ ℎ . Накопленные относительные частоты вычисляются по формуле: = Эмпирическая функция распределения находится по формуле: 𝑛𝑥 𝐹𝑛 (𝑥) = 𝑛 где n – объем выборки, 𝑛𝑥 – количество наблюдений (вариантов) меньше x. Когда результаты наблюдений представлены в виде интервального вариационного ряда, то в качестве х принимают концы частичных интервалов, пользуясь данным выше определением вычисляют значения эмпирической функции. Причем, при 𝑥 < 𝑥нач 𝐹(𝑥) = 0, а при 𝑥 > 𝑥кон 𝐹(𝑥) = 1 Для задания получим таблицу: x F(x) 10 0,11 20 0,21 30 0,33 40 0,42 50 0,51 60 0,64 Эмпирическая функция распределения имеет вид: 70 0,73 80 0,81 90 0,89 100 1,00 0 при 𝑥 ≤ 1 0,11 при x = 10; 0,21 при x = 20; 0,33 при x = 30; 0,42 при x = 40; ∗ (x) 𝐹 = 0,51 при x = 50; 0,64 при x = 60; 0,73 при x = 70; 0,81 при x = 80; 0,89 при x = 90; { 1 при 𝑥 ≥ 100 Так как таблица определяет функцию распределения непрерывной случайной величины не полностью, то при построении графика доопределяем функцию, соединяя точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками. Таблица для расчета числовых характеристик Частота 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 1 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 Итого 𝑚𝑖 16 15 19 13 14 19 14 11 13 16 150 Средина интервала 𝑥′ 5,5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 𝑥 ′ 𝑚𝑖 Выборочная средняя определяется по формуле 88 225 475 455 630 1045 910 825 1105 1520 7278,0 (𝑥 − 𝑥̅ )2 𝑚𝑖 29611,53 16853,86 10510,62 2376,28 173,47 797,82 3802,27 7713,09 17300,28 34566,25 123705,44 ∑ 𝑥𝑖′ 𝑚𝑖 𝑥̅ = ∑ 𝑚𝑖 где 𝑥𝑖′ – середины интервалов; 𝑚𝑖 – частоты интервалов. Выборочная средняя: 𝑥̅ = ∑(𝑥𝑖′ −𝑥̅ )2 ∙𝑚𝑖 Выборочная дисперсия: 𝑆 2 = В нашем случае: 𝑆 2 = 123705,44 150 ∑ 𝑥𝑖′ 𝑚𝑖 7278 = = 48,52 ∑ 𝑚𝑖 100 𝑛 ≈ 824,7 4. В условии заданий не были найдены переменные m и n. Просьба в коментарии к этому заданию ответить что делать в данной ситуации. 5. Измерение роста (в см) случайно отобранных 100 курсантов дали следующие результаты: Рост Число курсантов 158-162 2 162-166 2 166-170 36 170-174 25 174-178 15 178-182 12 182-186 8 Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных курсантов Таблица для расчета числовых характеристик Рост, Частота Средина см. интервала 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 𝑚𝑖 𝑥′ 158 162 2 160 162 166 2 164 166 170 36 168 170 174 25 172 174 178 15 176 178 182 12 180 182 186 8 184 Итого 100 𝑥 ′ 𝑚𝑖 320 328 6048 4300 2640 2160 1472 17268,0 Выборочная средняя: 𝑥̅ = Выборочная дисперсия: 𝑆 2 = ∑ 𝑥𝑖′ 𝑚𝑖 ∑ 𝑚𝑖 3105б76 100 = 17268 100 ≈ 31,06 = 172,68 см (𝑥 − 𝑥̅ )2 𝑚𝑖 321,56 150,68 788,49 11,56 165,34 642,99 1025,14 3105,76