8 Расчет выборочных характеристик

8. Расчет выборочных характеристик
В результате наблюдений над случайной величиной
выборка X объема n 30 :
x1
1,37
x2
0,11
получена
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
1,56 –0,11 0,23 –0,76 –0,13 –0,64 –0,46 –0,88
x11
x12
x13
x14
x15
x16
x17
x18
x19
x20
–0,56 1,28 1,16 –0,3 –0,31 1,13 –0,17 0,6 –1,16 2,65
x21
x22
x23
x24
x25
x26
x27
x28
x29
x30
1,55 0,29 –2,16 –0,77 0,93 0,01 –1,56 1,59 –1,13 –1,74
Для заданной выборки X построить вариационный ряд, вычислить
следующие выборочные характеристики:
1) среднее;
2) дисперсию (смещенную и несмещенную);
3) среднее квадратическое отклонение;
4) медиану.
Построить гистограмму частот.
Решение
Вариационный ряд выборки X имеет следующий вид:
x(1)
x(2)
x(3)
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
x(8)
x(9)
x(10)
–2,16 –1,74 –1,56 –1,16 –1,13 –0,88 –0,77 –0,76 –0,64 –0,56
x(11) x(12) x(13) x(14) x(15) x(16) x(17)
–0,46 –0,31 –0,3 –0,17 –0,13 –0,11 0,01
x(21)
0,6
x(22)
0,93
x(23)
1,13
x(24)
1,16
x(25)
1,28
x(26)
1,37
x(27)
1,55
x(18)
0,11
x(19)
0,23
x(20)
0,29
x(28)
1,56
x(29)
1,59
x(30)
2,65
Вычислим выборочные характеристики.
1) выборочное среднее
x
x
1 30
xi
30 i 1
1
n
n
xi ,
i 1
1
1,37 0,11 1,56 ... ( 1,74)
30
2) выборочная смещенная дисперсия
~
S2
1 n
( xi
ni1
x)2
1
n
n
xi2
i 1
(x)2 ,
0,05 ;
1 30 2
xi
30 i 1
~
S2
1
1,37 2
30
(x)2
0,112 1,56 2
... ( 1,74) 2
0,052 1,26 .
Выборочная несмещенная дисперсия
30 ~ 2
S
30 1
S2
30
1,26 1,3 ;
29
3) выборочное среднее квадратическое отклонение
~
S
~
S2
1,26 1,12 ;
4) выборочная медиана
x(l 1) , n 2l 1;
ˆ
Me
x(l )
x(l
2
1)
, n 2l.
Объем выборки n 30 – четное число, поэтому выборочная медиана
x(15)
ˆ
Me
x(15 1)
0,13 ( 0,11)
2
2
0,12 .
Построим интервальный вариационный ряд выборки. Разобьем
отрезок x(1) , x(30)
2,16; 2,65 на 6 равных промежутков. Длина
интервала h
x( 30)
x(1)
k
2,65 ( 2,16)
6
0,8 . Найдем концы интервалов по
формуле
z1
x(1)
2,16 , z2
z5
x(1)
x(1)
(i 1)h , i 1,7 .
zi
x(1)
h
1,36 , z3
4h 1,04 , z6
x(1)
x(1)
2h
5h 1,84 , z7
0,56 , z4
x(1)
x(1)
3h 0,24 ,
6h 2,65 .
Найдем i – количество элементов выборки, попавших в i -й
интервал [ zi ; zi 1 ) :
3 , 2 6 , 3 10 , 4 3 , 5 7 , 6 1 .
1
Таким образом, интервальный вариационный ряд выборки
Интерв [ 2,16; 1,36) [ 1,36; 0,56)[ 0,56; 0,24)[0, 24;1,04)[1,04;1,84) [1,84; 2,65]
ал
Частота
3
6
10
3
7
1
Гистограмма частот изображена на рисунке 1.
12
10
8
6
4
2
0
-3
-2
-1
0
Рисунок 1
1
2
3