Лекции

Определение турбулентности
1883 г Осборн Рейнольдс опубликовал свои исследования о ламинарном течение и турбулентном. Он проводил эксперименты в
стеклянной трубке и водил в поток воды краску и наблюдал, как она течет. Было сделано несколько замечаний, если скорость воды
была не большая, то краска не деформировалась в потоке. При увеличении скорости возникали с периодичностью некоторые
возмущение в потоке, и при достижении еще больших скоростей краска полностью перемешивалось в потоке. Рейнольдс в этих
статей турбулентностью назвал, сложное извилистое движение жидкости. Такое определение не прижилось, так как даже в
ламинарной течении может быть сложное извилистое течение жидкости. Также он определил, от каких параметров происходит
такая смена режима.
(𝑅𝑒 =
𝑢𝑑
) − Число Рейнолдса
𝑣
Действительно было сделано большое количество попыток дать определение турбулентному течению. Турбулентное течение –
это такие течения, которые имеют сложную вихревую структуру. Как и в раннее такое определение не удачное, так как в
ламинарном это происходит, пример этого можно показать “Дорожку Кармана”. Еще более неудачное определение, турбулентное
течение – это вихревое течение – это, когда роутер скорости не равен 0. Данное определение все также разрушается в ламинарном
течении, рассмотрим течение в круглой трубе в стабилизированном потоке. Очевидно, по курсу МЖГ профиль скорости будет
параболическим по трубе, если взять роутер скорости, то окажется, он равен не нулю.
(𝑟𝑜𝑡(𝑢) = 𝜀𝑖𝑗𝑘
𝜕𝑢𝑘
≠ 0)
𝜕𝑥𝑗
Для понимания особенностей турбулентности проведем простой мысленный эксперимент. Пускай в экспериментах, возможно,
идеально повторять все параметры, такие как температура, расход и скорость. В случаи в ламинарном течении каждый
проведённый эксперимент будет давать неизменные значение. В случаи турбулентного течение каждый проведенный эксперимент
будет давать свои значение. Отсюда делаем следующие выводы, в ходе экспериментах всегда существуют случайные возмущение
течение, в ламинарном течении такие возмущение поглощаются вязкостью, в случаи турбулентного течения эти возмущение
развиваются. Если провести большое количество экспериментах и усреднить получаемые значение, то можно получить гладкую
прямую, отсюда делается следующий вывод о том, что физический параметр состоит из некоторого среднего и некоторой
пульсации, а это становиться похоже на статистическую явление, поэтому было сделано следующая определение. Турбулентное
течение – это движение жидкости, предполагающее неупорядоченность течения, в котором все величины претерпевают
хаотические изменение по времени и пространственным координатам, но при этом могут быть выделены статистически точные их
осредненные значения.
Случайное турбулентное поле и его свойства
Пусть А(r,t) – это 4 мерное поле некоторого свойства. Для изучение параметра А использует несколько возможных случаях.
Зафиксировать (r) – случайный процесс. Зафиксировать (t) – мгновенная картина. Зафиксировать (r,t) – случайную величину.
Для любой случайной величины можно определить его плотность вероятности. Функция плотности вероятности имеют следующие
свойства: неотрицательная, интеграл по всем возможным случаям (от – бесконечной до бесконечности) равен 1, если брать
интеграл определённый интеграл можно получить вероятность этого события, если взять интеграл с добавкой свойства можно
определить математическое ожидание этого свойства (вероятное значение этого свойства). В случаи турбулентности необходимо
брать 4 мерную плотность вероятности, а это означает, что нужно брать 4 интеграла и даже намного больше.
Стационарность – случайное поле, которое не меняется от времени или на некоторый промежуток времени. В лаборатории
приходиться поддерживать неизменные параметры, что является проблематично.
Однородное – случайное поле, в котором не меняется плотность вероятности от координат или в некоторой области. Такой режим
сложно реализовать, пример такого поля течение жидкости в аэродинамической трубе в доли от стенок.
Изотропные – случайное поле, в котором все статистические величины не меняются по сферическим поверхностям.
Осреднение по ансамблю реализации. По сути дела это обыкновенное усреднение в некоторый момент времени в определенной
области физической величины. В качестве физической является скорость, которое может получиться стационарной или нет. Для
получение этой величины требуется провести много экспериментов.
Осреднение по времени. В таком усреднение требуется провести хотя бы 1 эксперимент и усреднить по времени. Данное
усреднение не всегда возможно как оказывается, не все случайные процессы стремиться к определенному значению спустя
бесконечное время, те величины, которые так делают, являются эргодическими. Например, имеется, поля скорости, которая
осреднение по времени дает определенные поля скорости, если первоначальное поле скорости зависит какое то другое физическое
величина, то тоже самое усреднение может быть уже не эргодическим. В данном курсе данное свойства практически всегда
работает, поэтому дальше будет использоваться именно усреднение по времени.
̅̅̅̅̅̅̅
(𝑓
+ 𝑔 = 𝑓 ̅ + 𝑔̅ ) (𝑐̅̅̅̅̅
∙ 𝑓 = 𝑐 ∙ 𝑓)̅
̅̅̅̅̅̅
(𝑓
∙ 𝑔̅ = 𝑓 ̅ ∙ 𝑔̅ )
(𝑓̅′ = 0)
̅𝜕𝑓
̅̅̅ 𝜕𝑓 ̅
( = ) − Усреднение по Рейнольдса
𝜕𝑥 𝜕𝑥
Моменты случайного скалярного поля
Статистический момент – это неслучайная функция, представляющая собой осреднение произведение случайных величин в
целых степенях, взятых в одной или разных точках пространства временен.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑘
𝑘
𝑘
𝑘
𝑘
𝑘
𝐵 = 𝑢1 1 ∙ 𝑢2 2 ∙ 𝑢3 3 ∙ … = ∭ … ∭ 𝑢1 1 ∙ 𝑢2 2 ∙ 𝑢3 3 ∙ … ∙ 𝜌(… )𝑑𝑢1 𝑑𝑢2 …
Математическое ожидание – это одноточечный момент первого порядка. Это средний уровень, вокруг которого пульсирует
случайная величина. Любую можно центрировать, если использовать усреднение по Рейнольдса
∞
[𝑢̅ = ∫ 𝜌𝑢𝑑𝑢]
−∞
Средний квадрат – это одноточечный момент второго порядка или это математическое ожидание квадрата величины.
Дисперсия – это одноточечный центральный момента второго порядка.
∞
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
−∞
(𝑢 − 𝑢̅)2 = ∫ (𝑢 − 𝑢̅)2 𝜌𝑑𝑢 = ∫ 𝑢2 𝜌𝑑𝑢 − 2𝑢̅ ∫ 𝜌𝑢𝑑𝑢 + 𝑢̅2 ∫ 𝜌𝑑𝑢 = ̅̅̅
[𝜎 2 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑢2 − 𝑢̅2 ]
𝜎 − Интенсивность
Центрированный случайный процесс – это случайный процесс, у которых средние пульсации равны 0. Для усреднения
Рейнольдса для центрирования нужно только вычесть среднее значение случайной величины.
Коэффициент асимметрии (А) – безразмерный одноточечный центральный момент третьего порядка.
Коэффициент эксцесса (Е) - безразмерный одноточечный центральный момент четвертого порядка.
[𝐴 =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑢 − 𝑢̅)3
]
𝜎3
[𝐸 =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑢 − 𝑢̅)4
]
𝜎4
Коэффициенты (А) и (Е) показывают меру отклонения плотности вероятности исследуемого процесса от нормального
распределение. Для нормального распределение А=0; E=3. При А>0 максимум плотности вероятности смещается влево. При E>3
максимум плотности вероятности растет, посредством поджиманием краев.
Корреляционная функция
Корреляционная функция – это двухточечная центральный момент второго порядка, показывает связь между пульсациями в
точках.
∞
(𝑢 − 𝑢̅)(𝑣 − 𝑣̅ ) = ∬(𝑢 − 𝑢̅)(𝑣 − 𝑣̅ )𝜌𝑑𝑢𝑑𝑣 ]
[𝐵 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
−∞
Если в качестве величин являются случайными различными физическими величинами, то взаимно корреляционной функция.
Если времена этих точек одна и тоже, то пространственная корреляционная функция. Если одинаковые координаты точки, то
временная корреляционная функция. Если выполнено сразу несколько условий, то название просто нарастает, пример, взаимнопространственная-временная корреляционной функция, когда различные физ. величины в разный момент времени и координат
точек.
Автокорреляционная функция – это временная корреляционная функция для одной и тоже физической величины.
Автокорреляционная функция имеет свойства: четной (симметричная относительно 0), в 0 является дисперсией, данная функция
является убывающей и максимальное значение принимается в 0, на бесконечности стремиться к 0.
∞
𝐵 = ∬(𝑢(𝑡) − 𝑢̅)(𝑢(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑢̅)𝜌𝑑𝑢𝑑𝑢 = [𝐵(𝜏) =
−∞
1 𝑇
∫ (𝑢(𝑡) − 𝑢̅)(𝑢(𝑡 + 𝜏) − 𝑢̅)𝑑𝑡 ]
𝑇 0
(𝐵(𝜏) = 𝐵(−𝜏))
(𝐵(0) = 𝜎 2 )
(𝐵(∞) = 0)
𝜕𝐵(𝜏)
((
)
= 0)
𝜕𝜏 𝜏=0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑢(𝑡 + 𝜏) − 𝑢̅)2 + (𝑢(𝑡)
((𝑢(𝑡 + 𝜏) − 𝑢̅) − (𝑢(𝑡) − 𝑢̅)) ≥ 0 => ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
− 𝑢̅)2 − 2(𝑢(𝑡
+ 𝜏) − 𝑢̅)(𝑢(𝑡) − 𝑢̅) = 2(𝜎 2 − 𝐵(𝜏)) ≥ 0 => [𝐵(0) ≥ 𝐵(𝜏)]
Коэффициент автокорреляции – безразмерная автокорреляционная функция.
[𝑅 =
𝐵(𝜏) 𝐵(𝜏)
𝜏 2 𝜕 2 𝑅(𝜏)
𝜏 4 𝜕 4 𝑅(𝜏)
𝜏2
1
1 𝜕 2 𝑅(𝜏)
Тейлоровский временной
= 2 =1+ (
)
+ (
)
+ ⋯ ≈ 1 − 2 + 0] ( 2 = − (
)−
2
4
2 )
микромаштаб турбулентности
𝐵(0)
𝜎
2!
𝜕𝜏
4!
𝜕𝜏
2
𝜕𝜏
𝜆
𝜆
𝑡
𝑡
𝜏=0
𝜏=0
𝜏=0
∞
[𝛬𝑡 = ∫ 𝑅(𝜏)𝑑𝜏 ] − Временной макромаштаб времени, показывает период низкочастотных компонент
0
Автокорреляционная функция позволят выявить посторонние шумовые сигналы, такие как синусоиды.
Пространственная корреляционная функция обладает тоже самыми свойствами, что и автокорреляционная функция, по
сравнению что эти свойства справедливы для стационарного случая. Справедлив, то что в нуле равна дисперсии, существует коэф.
пространственной кор., микро- и макро- масштабы, которые показывают не однородности поля.
Моменты случайного векторного поля
Перейдем непосредственно к полю скоростей как случайное явление. Данное поле является неизотопным, каждое компонента
скорости связанна уравнением неразрывности. Далее будет рассматриваться несжимаемая жидкость, что приводит постоянству
плотности, а уравнение неразрывности выглядит как div(u)=0.
Математическое ожидание скорости – усреднение скорости в некоторой точке. Для стационарного пристеночной турбулентности
функция скорости описывается универсальным «законом стенки».
(𝑈 + =
𝑢̅
)
𝑢∗
(𝑦 + =
𝑦𝑢∗
𝜏𝑐
𝑦 +,
𝑦 + ≤ 12
) (𝑢∗ = √ ) (𝑈 + = {
)
2.5 ln(𝑦 + ) + 5.5, 𝑦 + > 15
𝑣
𝜌
Интенсивность пульсаций скорости – это корень из дисперсии. Далее снова обсуждение рисунка. Пульсации на стенки равны 0,
самые сильные пульсации вызваны по оси (x), самые слабые по (y), обычно пульсации по (z) осреднение по (x) (y). Для пульсаций
по (х) имеется максимум при безразмерных (y) около 5-30. На бесконечности все пульсации соизмеримы друг другу.
Автокорреляционная функция скорости не приобретает, каких то новых свойств.
Пространственная корреляционная функция скорости приобретает новые свойства, которые ранее не рассматривалось. Так как
в пространстве имеется 3 независимых координаты, то существует 9 пространственных корреляционных функций скорости.
Пространственная функции для 1 одной и тоже координаты имеет такие же самые свойства, что и были. В случаи когда
используется разные координаты, то даже самое основное правило при смещении равном 0 является не дисперсией и тем более не
максимальным значением.
(𝜏𝑖𝑗 = 𝜌𝑢
̅̅̅̅̅
𝑖 𝑢𝑗 = 𝜌𝐵𝑖𝑗 ) − Тензор турбулентных напряжений
Если поля скорости является однородным и изотропным, то справедливы следующие утверждение. Осредненная скорость для
каждой компоненты пространства будет одна и тоже, так еще и равная 0. Интенсивности пульсаций компонент тоже будет
одинаковой. Приводит к симметричности виду пространственной корреляционной функции для компонент, что позволяет привести
матрицу к главным компонентом и находить с помощью их все остальное.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐵𝐿𝐿 = 𝑢
1 (𝑥)𝑢1 (𝑥 + 𝑟) 𝐵𝑁𝑁 = 𝑢2 (𝑥)𝑢2 (𝑥 + 𝑟) = 𝑢3 (𝑥)𝑢3 (𝑥 + 𝑟) [𝐵𝑖𝑗 (𝑟) = (𝐵𝐿𝐿 (𝑟) − 𝐵𝑁𝑁 (𝑟))
𝑟𝑖 𝑟𝑗
+ 𝐵𝑁𝑁 (𝑟)𝛿𝑖𝑗 ]
𝑟2
Где r-радиус вектор от 2 точек. LL- в направлении радиуса вектора, NN- в перпендикулярном радиусу вектора. ri это компонента
радиуса вектора (r).
(𝛬𝐿 = 0.5𝛬𝑁 ) (𝜆𝐿 = √2𝜆𝑁 )
Нормальный закон распределение
Для полного описание, какого то процесса не обходимо знать все моменты различных типов и порядков. Но это невозможно
определить из-за многих сложностей. Но существует возможность, если данный случайный процесс соответствует Гауссово
распределения. Если это так, то можно найти бесконечно мерную плотность вероятности.
[𝜌 =
1
√2𝜋𝜎
exp (−
(𝑢 − 𝑢̅)2
)] − Одномерная плотность вероятности
2𝜎 2
Как видно для нахождения плотности вероятности, достаточно знание 1 точечных 2 порядка моментов. Как было уже сказано, что
для нормального коэффициенты асимметрии (А=0) и эксцесса (E=3) определённые. Если рассматривать турбулентное течение в
центре, то принцип получается что она похоже на нормальное распределение, но когда идет приближение к стенки, то плотность
вероятности меняется и уже не соответствует нормальному распределению.
Коэффициент пространственно-временной корреляции. Гипотеза Тейлора о «замороженной» турбулентности.
Грубо говоря идет речь, о возможности связи автокорреляционной функции и пространственной, можно ли использовать тоже
самые параметры перенося их. Да, такое возможно, только если существует прямая связь событий времени и пространства.
Далее предлагают рассмотреть турбулентность при условиях, что поле скорости однородно средние значение равны 0 кроме одной
оси, стационарно, пульсации скорости малы по сравнению средней скорости, тогда если записать уравнение Навье-Стокса.
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
1 𝜕𝑝
𝜕 2 𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖 [𝐵(𝜏) = 𝐵(𝑟)]
+ 𝑈𝑥
+0=−
+𝑣
=> [
= −𝑈𝑥
]
(𝑟 = 𝑈𝑥 𝜏)
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜌 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥𝑘2
Поэтому выражение, можно сказать, что изменение пространственных величин не успевают измениться достаточно сильно при
прохождении расстоянии равное средней скорости, данный посыл называется гипотеза Тейлора о «замороженной»
турбулентности. Как можно заметить данное условия выполняется, достаточно ограниченно и при этом не точно. О точности
можно только судить по экспериментальным значением. Для этого рассмотрим коэффициент пространственно-временной
корреляции.
[𝑅(𝑟, 𝜏) =
𝑇
1
∫
𝑢(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥 − 𝑟, 𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡 ]
𝜎 2𝑇 0
Рассмотрим идеализированный случай, когда выполняется строго гипотеза о замороженной. Если построить график данного
коэффициента от времени, то вначале он будет равен 1, потом он будет падать, при приближении к расстоянию, пройденному
средней скорости коэффициент начнет возрастать до единицы и снова станет падать и так далее. В этом случаи максимумы всегда
равны 1, а это означает, что корреляция сохраняется.
Рассмотрим реальный случай. В начале будет также равное 1, потому что получается обыкновенная автокорреляционная функция,
но со временем начнется возрастание этой функции, только теперь максимумы не равняются 1, как и значение нахождение
максимума. Каждый такой максимум получается меньше предыдущего, что означает, что корреляция потихоньку размывается. Не
смотря на это в случаи с турбулентности, такое малое изменение вполне устраивают для нахождения пространственной
корреляции.
Спектральная плотность
Предположим, имеется некоторый случайная величина, которая зависит от времени некоторого физической величии и интервала
этой физической величины. Если определить дисперсию этой случайной величины, по времени и взять отношение этой дисперсии
и интервала физической величины и устремить этот интервала к 0, то получается спектральная плотность вероятности.
Далее делается пример, на звуковой кассете. Физическая величина является частотой, а спектральная плотность вероятности
является распределение энергии по частотам.
Спектры стационарных случайных процессов
Представление случайного процесса к виду разложение в ряд Фурье. Для этого начнем про сам ряд Фурье.
∞
[𝑢(𝑡) = ∑ 𝑍𝑘 exp(𝑖𝜔𝑘 𝑡)] − Ряд Фурье
−∞
𝑍𝑘 − Амплетуда 𝑘 гормоники
𝜔𝑘 − угловая частота 𝑘 элемента
(𝜔𝑘 =
2𝜋
𝑘 = 2𝜋𝑣)
𝑇
Амплитуду гармоник, можно представить следующим, образом.
𝑍𝑘 =
1 𝑇
∫ 𝑢(𝑡) exp(−𝑖𝜔𝑘 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎𝑘 − 𝑖𝑏𝑘
𝑇 0
(𝐸𝑘 = 𝑍𝑘 𝑍𝑘∗ = 𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘2 ) − Энергия 𝑘 гормоники
Переведем теперь к анализу турбулентности. Пускай имеется стационарный центрированный случайный процесс, выделим в нем
некоторый ограниченный кусок по времени и разложим его в ряд Фурье. По верхней формуле достаточно просто находим угловые
частоты гармоник. В случаи амплитуды, то тут не все однозначно: коль процесс случайный, то и амплитуды будут постоянно
меняться из случая в случай; коль процесс центрированный, то и средняя амплитуда гармоник равна 0; существует для каждой
гармоники его комплексно сопряжённое число; коль процесс стационарный, то получаемые амплитуд при разных гармоник не
должны коррелировать между собой. Из последнего получается следующее, если построить автокорреляционную функцию
∞
𝐵(𝑡1 , 𝑡2 ) = ∑ ∑ 𝑍𝑘 𝑍𝑙∗ exp(𝑖(𝜔𝑘 𝑡1 − 𝜔𝑙 𝑡2 )) = ∑ 𝐸𝑘 exp(𝑖𝜔𝑘 𝜏)
𝑘
𝑙
−∞
Самая большая проблема в этом подходе, что получаемые величины в ряде Фурье представляют собой дискретный набор точек,
когда же сам физический процесс является непрерывным. Данную проблему можно разрешить путем увеличение промежутка
рассматриваемого времени и в итоге можно уменьшить до такого расстояние между точками, что можно принять уже как
непрерывную зависимость.
Попробуем разложить ряд Фурье при бесконечным большим интервале времени. В этом случаи вместо суммы будет интеграл и тут
сразу натыкаемся на другую проблему данный интеграл будет расходиться. Чтобы этого избежать, было замечено, что при таком
большом времени сами амплитуды стремится к нулю, поэтом вместо интеграла по угловым частотам берется интеграл по
амплитудам в некотором области угловых частот, при таком подходе ряд не расходиться и он имеет название интеграла ФурьеСтилтьеса.
∞
(𝜔; 𝜔 + 𝑑𝜔)
[𝑢(𝑡) = ∫ exp(𝑖𝜔𝑡) 𝑑𝑍(𝜔)] − Интеграл Фурье − Стилтьеса
−∞
(𝑑𝑍(𝜔) = ∑ 𝑍𝑘 )
𝑘
Свойства dZ обладает тоже самыми, что и сама Z. А именно, центрированный, имеет комплексно сопряжённую число, не
коррелирует между различными частотами, если взять среднею между амплитудами одинаковой частоты получиться частотная
спектральная плотность распределение энергии процесса u(t).
Частотная спектральная плотность имеет следующие свойства. Данная функция является не отрицательной для любой частоты.
Является четной функцией. Автокорреляционная функция связана с частотной спектральной плотности через обратное
преобразование Фурье и имеет название теорема Винера-Хинчина.
(𝐵(𝜏) = ∫ 𝐸(𝜔) exp(𝑖𝜔𝜏) 𝑑𝜔)
(𝐸(𝜔) =
1
∫ 𝐵(𝜏) exp(−𝑖𝜔𝜏) 𝑑𝜏)
2𝜋
Далее для удобства предлагается немного переписать данные выражение, на основе того что спектральная плотность является
семеричным относительно нуля, тогда получаемые выражение можно представить виде
∞
(𝐵(𝜏) = ∫ 𝐸(𝜔) cos(𝜔𝜏) 𝑑𝜔) (𝐸(𝜔) =
0
2 ∞
∫ 𝐵(𝜏) cos(𝜔𝜏) 𝑑𝜏 )
𝜋 0
Определим микро и макро масштабы.
𝜕 2 (cos(𝜔𝜏))
∞
1
1 𝜕 2 𝐵(𝜏)
= −𝜔2 cos(𝜔𝜏)| = 1 ∫ 𝐸(𝜔)𝜔2 𝑑𝜔 − микромаштаб
2
=
−
(
)
=
|
𝜕𝜏
2
2
2
2
2𝜎
𝜕𝜏
2𝜎 0
𝜆𝑡
𝜏=0
cos(𝜔𝜏)𝜏=0 = 1
∞
𝛬𝑡 = ∫
0
𝐵(𝜏)
1
𝑑𝜏 = 2 ∬ 𝐸(𝜔) cos(𝜔𝜏) 𝑑𝜔𝑑𝜏 − Макромаштаб
2
𝜎
𝜎
Спектры однородных случайных полей
По сути дела это продолжение старого пункта, но на сей раз время постоянное, а меняется координата. В итоге получится, что все
свойства скалярного поля такие же, что у спектрального поля. Такие как центрированность, комплексно сопряженность и
некоорелируемость. В случаи одномерного скалярного поля запись полностью идентичная.
∞
(𝐵(𝑥) = ∫ 𝐸(𝑘) cos(𝑘𝑥) 𝑑𝑘 )
∞
[𝑢(𝑡) = ∫ exp(𝑖𝑘𝑥) 𝑑𝑍(𝑘)] − Интеграл Фурье − Стилтьеса
−∞
0
2 ∞
(𝐸(𝑘) = ∫ 𝐵(𝑥) cos(𝑘𝑥) 𝑑𝑟 )
𝜋 0
Рассмотрим теперь трехмерное однородное скалярное поле. В действительности особой разницы не наблюдается, кроме того что
теперь нужно брать 3 мерный интеграл вместо одномерного.
∞
(𝐵(𝑟) = ∭ 𝐸(𝑘) exp(𝑖𝑘𝑥) 𝑑𝑘 )
∞
[𝑢(𝑡) = ∭ exp(𝑖𝑘𝑥) 𝑑𝑍(𝑘)]
−∞
−∞
∞
1
(𝐸(𝑘) = 3 ∫ 𝐵(𝑟) exp(−𝑖𝑘𝑥) 𝑑𝑟 )
8𝜋 0
Как упоминалась ранее пространственная корреляционная функция имеет взаимосвязь с другими проекциями координат следствии
чего она разбивается на тензор 2 порядка. При этом значение на главной диагонали однородного скалярного поля имеют смысл, как
распределение энергии по волновому пространству. А сумма этих значение характеризует распределению суммарной энергии
турбулентности.
Осредненные уравнения турбулентного движения
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢
̅̅̅𝑘
=0
=0
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
1 𝜕𝑃
𝜕 2 𝑢𝑖
𝜕𝑢̅𝑖
𝜕𝑢̅𝑖
1 𝜕𝑃̅
𝜕
𝜕𝑢̅𝑖 ̅̅̅̅̅̅
+ 𝑢𝑘
=−
+𝑣
+ ̅̅̅
𝑢𝑘
=−
+
(𝑣
− 𝑢𝑖′ 𝑢𝑘′ )
=>
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘2
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑇̅
𝜕𝑇̅
𝜕
𝜕𝑇̅ ̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕2𝑇
+ ̅̅̅
𝑢𝑘
=
(𝑎
− 𝑇 ′ 𝑢𝑘′ )
+ 𝑢𝑘
=𝑎 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
{
{
𝑘
𝑘
𝑘
Двойные усредненные пульсации называют турбулентными напряжениями. Новая система получается не замкнутой. Если
попытаться сделать уравнение для двойных пульсаций, возникают пульсации 3 порядка и так далее, что получается решить строга
не получается.
Уравнение баланса энергии
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
1 𝜕𝑃 1 𝜕𝜎𝑖𝑘
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑘
(
+ 𝑢𝑘
=−
+
) (𝜎𝑖𝑘 = 𝜇 (
+
)) − Вязкие напряжение
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌 𝜕𝑥𝑖 𝜌 𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
1 𝜕𝑃 1 𝜕𝜎𝑖𝑘
𝑢𝑗 (
+ 𝑢𝑘
) = 𝑢𝑗 (−
+
)
𝜕(𝑢𝑖 𝑢𝑗 )
𝜕(𝑢𝑖 𝑢𝑗 )
𝜕𝜎𝑗𝑘
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌 𝜕𝑥𝑖 𝜌 𝜕𝑥𝑘
1
𝜕𝑃
𝜕𝑃
1
𝜕𝜎𝑖𝑘
+
=> [
+ 𝑢𝑘
= − (𝑢𝑗
+ 𝑢𝑖
) + (𝑢𝑗
+ 𝑢𝑖
)]
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑢𝑗
1 𝜕𝑃 1 𝜕𝜎𝑗𝑘
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑗
𝜌
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝑢𝑖 (
+ 𝑢𝑘
) = 𝑢𝑖 (−
+
)
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌 𝜕𝑥𝑗 𝜌 𝜕𝑥𝑘
{
Если сделать усреднение и принять, что i=j дополнительно умножив левую и правую часть плотность пополам.
[
̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕 ̅̅̅̅̅𝜌
𝑢𝑖 𝑢𝑖
𝜕 𝑢
̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝜌
𝜕𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝜎𝑖𝑘
𝜕𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢𝑖 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝜎𝑖𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢𝑖
𝑖 𝑢𝑖 𝑢𝑘
(
)+
(
) = −𝑢𝑖
+ 𝑢𝑖
= −𝑢𝑖
−𝑃
+ 𝑢𝑖
± 𝜎𝑖𝑘
]
𝜕𝑡
2
𝜕𝑥𝑘
2
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝐸=
′ ′
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅𝜌
𝑢
𝜌𝑢̅𝑖 𝑢̅𝑖 𝜌𝑢
𝑖 𝑢𝑖
𝑖 𝑢𝑖
+
=
2
2
2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅𝑖 𝜕𝜎
𝜕𝐸
𝜕 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝜌
𝑢𝑖 𝑢𝑖 𝑢𝑘
𝜕𝑃𝑢
̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝐸
𝜕 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝜌
𝑢𝑖 𝑢𝑖 𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑖
𝑖𝑘 𝑢𝑖
+
(
)=−
+
− 𝜎𝑖𝑘
=> [ +
(
+ ̅̅̅̅̅
𝑃𝑢𝑖 − ̅̅̅̅̅̅̅)
𝜎𝑖𝑘 𝑢𝑖 = −𝜎𝑖𝑘
]
𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑘
2
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑘
2
𝜕𝑥𝑘
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝜎
̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝜎𝑖𝑘
работа сил вязкости на изменение
𝑖𝑘 𝑢𝑖
(
) − Полная работа сил вязкости (𝑢𝑖
) − кинетической энергии жидкой частицы
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝑢𝑖 𝑢𝑖 𝑢𝑘
̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝜌
конвективный перенос
(
)−
осредненной скорости
2
̅̅̅̅̅𝑖 ) − работа сил давления (𝜎
(𝑃𝑢
̅̅̅̅̅̅̅)
𝑖𝑘 𝑢𝑖 − молекулярная диффузия
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑖
работа сил вязкости
(𝜎𝑖𝑘
)−
= 𝜌𝜀 = 𝜇 (
+
)
>0
на преврашение в тепло
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘
Для того что бы доказать, что (𝜌𝜀)>0 рассмотрим следующее выражение
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑘 2
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑖 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑘
𝑘 𝜕𝑢𝑘
(
+
) > 0 =>
+2
+
= 2(
+
)=2
(
+
)>0
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖
(𝜌𝜀 =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜇
𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑘 2
𝜕𝐸
𝜕 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝜌
𝑢𝑖 𝑢𝑖 𝑢𝑘
∑(
+
) ) => [ +
(
+ ̅̅̅̅̅
𝑃𝑢𝑖 − ̅̅̅̅̅̅̅)
𝜎𝑖𝑘 𝑢𝑖 = −𝜌𝜀]
2
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑘
2
Если данное выражение проинтегрировать по объёму ограниченной твердой стенкой, то получиться что второй интеграл будет
равен 0 из-за условия прилипания. А полученное выражение будет, имеет следующий физический смысл, то что изменение
кинетической энергии в объеме связанно переходом энергии в тепло из-за вязкой диссипации.
Баланс энергии осредненного движения
Если сделать похожие выкладки, но в качестве исходного уравнение взять
𝜕𝑢̅𝑖
𝜕𝑢̅𝑖
1 𝜕𝑃̅
𝜕
𝜕𝑢̅𝑖 ̅̅̅̅̅̅
+ ̅̅̅
𝑢𝑘
=−
+
(𝑣
− 𝑢𝑖′ 𝑢𝑘′ )
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
′ ′
′ ′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑢̅𝑖 𝑢̅𝑗 ) 𝜕(𝑢̅𝑖 𝑢̅𝑗 ̅̅̅)
𝑢𝑘
𝜕𝜎
̅̅̅̅
𝜕(𝑢
1
𝜕𝑃̅
𝜕𝑃̅
1
𝜕𝜎
̅̅̅̅
𝜕(𝑢
𝑗𝑘
𝑗 𝑢𝑘 )
𝑖𝑘
𝑖 𝑢𝑘 )
+
= − (𝑢̅𝑗
+ 𝑢̅𝑖
) + (𝑢̅𝑗
+ 𝑢̅𝑖
) − (𝑢̅𝑗
+ 𝑢̅𝑖
)
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑗
𝜌
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
Так же принимаем что i=j и умножив левую и правую часть на плотность пополам.
′ ′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝐸̅ 𝜕(𝐸̅ ̅̅̅)
𝑢𝑘
𝜕𝑃̅
𝜕𝜎
̅̅̅̅
𝜕(𝑢
𝜕𝐸̅
𝜕
𝜕𝑢̅𝑖
𝜕𝑢̅𝑖
𝑖𝑘
𝑖 𝑢𝑘 )
′ ′
̅̅̅̅̅̅
+
= −𝑢̅𝑖
+ 𝑢̅𝑖
− 𝜌𝑢̅𝑖
=> [ +
(𝐸̅ ̅̅̅
𝑢𝑘 + 𝑢̅𝑖 𝑃̅ − 𝑢̅𝑖 𝜎
̅̅̅̅
̅𝑖 ̅̅̅̅̅̅
𝑢𝑖′ 𝑢𝑘′ ) = −𝜎
̅̅̅̅
+ 𝜌𝑢
]
𝑖𝑘 + 𝜌𝑢
𝑖𝑘
𝑖 𝑢𝑘
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝐸̅
Скорость изменение энергии
( )−
осредненного движения
𝜕𝑡
(
𝜕
Перенос энергии
(… )) −
по пространству
𝜕𝑥𝑘
(−𝜎
̅̅̅̅
𝑖𝑘
𝜕𝑢̅𝑖
вязкая дисипация
) − осредненного движения
𝜕𝑥𝑘
Баланс энергии пульсационного движения
𝜕(𝑢
̅̅̅̅̅)
𝜕(𝑢
̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
𝜕𝜎𝑗𝑘
1 ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑃
1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝜎𝑖𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑖 𝑢𝑗
𝑖 𝑢𝑗 𝑢𝑘
+
= − (𝑢𝑗
+ 𝑢𝑖
) + (𝑢𝑗
+ 𝑢𝑖
)
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑗
𝜌
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
−
=>
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
′ ′
′ ′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑢̅𝑖 𝑢̅𝑗 ) 𝜕(𝑢̅𝑖 𝑢̅𝑗 ̅̅̅)
𝑢𝑘
𝜕𝜎
̅̅̅̅
𝜕(𝑢
1
𝜕𝑃̅
𝜕𝑃̅
1
𝜕𝜎
̅̅̅̅
𝜕(𝑢
𝑗𝑘
𝑗 𝑢𝑘 )
𝑖𝑘
𝑖 𝑢𝑘 )
+
= − (𝑢̅𝑗
+ 𝑢̅𝑖
) + (𝑢̅𝑗
+ 𝑢̅𝑖
) − (𝑢̅𝑗
+ 𝑢̅𝑖
)
𝜕𝑥𝑘
𝜌
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑗
𝜌
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
{ 𝜕𝑡
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
′ 𝒖′ )
′ ′
′ 𝒖′ )
̅̅̅̅̅̅
𝝏(𝒖
𝜕(𝑢
𝜕𝜎𝑗𝑘
𝝏(𝒖
𝜕
1 ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑃
1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝜎𝑖𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝒋 𝒌
𝑖 𝑢𝑗 )
𝒊 𝒌
′ ′
′ 𝒖′ + 𝒖
′ ′
′ ′ ′
′
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅𝒖
̅̅̅𝒋
+
(𝑢
̅̅̅𝑢
𝒖𝒋 ̅̅̅̅̅̅
+ 𝑢𝑖′
) + (𝑢𝑗′
+ 𝑢𝑖′
) + (𝒖
+ ̅̅̅
𝒖𝒊
) =>
𝑘 𝑖 𝑢𝑗 + ̅̅̅𝒖
𝒊 𝒌
𝒊 𝒋 𝒖𝒌 + 𝑢𝑖 𝑢𝑗 𝑢𝑘 ) = − (𝑢𝑗
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑗
𝜌
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝝏𝒙𝒌
𝝏𝒙𝒌
′ ′
̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑢
𝜕𝜎𝑗𝑘
𝜕𝑢̅𝑗
𝜕
1 ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑃
1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝜎𝑖𝑘 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢̅𝑖
𝑖 𝑢𝑗 )
′ ′
′ ′ ′
′
′ ′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
+
(𝑢
̅̅̅𝑢
+ 𝑢𝑖′
) + (𝑢𝑗′
+ 𝑢𝑖′
) − (𝑢
+ ̅̅̅̅̅̅
𝑢𝑗′ 𝑢𝑘′
) =>
𝑘 𝑖 𝑢𝑗 + 𝑢𝑖 𝑢𝑗 𝑢𝑘 ) = − (𝑢𝑗
𝑖 𝑢𝑘
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑗
𝜌
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
Последнее уравнение описывает динамику компонент тензора турбулентных напряжений. Их конечно можно использовать в
основное систему уравнений, вот только она станет еще сильней незамкнутой. Выполним снова i=j и сделаем заменены.
(𝐸т =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜌 ′ ′
𝜕𝐸т
𝜕
𝜌 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢𝑖′ ̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢𝑖′
𝜕𝑢̅𝑖
′
′
′ ′ ′
′ ′
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
𝑢𝑖 𝑢𝑗 )
+
(𝐸т ̅̅̅
𝑢𝑘 + 𝑢
+𝑃
− 𝜌𝑢
𝑖 𝑢𝑘
𝑘 𝑃 − 𝑢𝑖 𝜎𝑖𝑘 + 𝑢𝑖 𝑢𝑖 𝑢𝑘 ) = −𝜎𝑖𝑘
2
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
2
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝐸т
𝜕
𝜕𝑢𝑖′
Скорость изменение
Скорость вязкой
Перенос энергии ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(… )) −
(
)−
(
(𝜎𝑖𝑘
)−
по пространству
турбулентной энергии
турбулентной дисипации
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
[
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢𝑖′
Вязкая
(−𝜎𝑖𝑘
)−
дисипация
𝜕𝑥𝑘
′
′ ′ ′
′
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑢
𝜕𝐸т 𝜕(𝐸т ̅̅̅)
𝑢𝑘
𝜕(𝑢
𝜌 𝜕(𝑢
𝜕𝑢𝑖′
𝜕𝑢̅𝑖
𝑖 𝑢𝑖 𝑢𝑘 )
𝑖 𝜎𝑖𝑘 )
𝑘 𝑃)
′ ′
̅̅̅̅̅̅
+
+
−
+
= −𝜌𝜀т + 𝑃
− 𝜌𝑢
]
𝑖 𝑢𝑘
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
2
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘
′ ′ ′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜌 𝜕(𝑢
Турбулентное
𝑖 𝑢𝑖 𝑢𝑘 )
(
)−
диффузия
2
𝜕𝑥𝑘
′
̅̅̅̅̅
𝜕(𝑢
Диффузия за счет
𝑘 𝑃)
−
пульсаций давления
𝜕𝑥𝑘
′
̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑢
Вязкая
𝑖 𝜎𝑖𝑘 )
−
диффузия
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑢̅𝑖 Генирация энергии
′ ′
̅̅̅̅̅̅
−𝜌𝑢
−
𝑖 𝑢𝑘
турбулентности
𝜕𝑥𝑘
Генерация турбулентной энергии в пристеночной области больше нуля. Это объясняется тем, что скорость от стенки должна
возрастать, а усреднение пульсации по модели Прандтля сугубо отрицательно.
̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑢′
Слагаемое (𝑃 𝑖 ) не может вносить какой то вклад в изменение турбулентной энергии, даже если каждый компонент чему и равен,
𝜕𝑥𝑖
то суммарный вклад равен 0.
Уравнение баланса энергии температурных пульсаций
𝜕𝑇̅ 𝜕𝑇 ′
𝜕𝑇̅
𝜕𝑇 ′
𝜕𝑇̅
𝜕𝑇 ′
𝜕 2 𝑇̅
𝜕2𝑇 ′
+
+ ̅̅̅
𝑢𝑘
+ ̅̅̅
𝑢𝑘
+ 𝑢𝑘′
+ 𝑢𝑘′
=𝑎 2+𝑎
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑇 ′
𝜕𝑇 ′
𝜕𝑇̅
𝜕𝑇 ′ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇 ′
𝜕2𝑇 ′
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘2
−
=> (
+ ̅̅̅
𝑢𝑘
+ 𝑢𝑘′
+ 𝑢𝑘′
− 𝑢𝑘′
=𝑎
)
2
′
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘2
𝜕𝑇̅
𝜕𝑇̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇
𝜕 𝑇̅
+ ̅̅̅
𝑢𝑘
+ 𝑢𝑘′
=𝑎 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
{
Теперь умножим все это выражение на пульсацию температуры и сделаем усреднение.
0,5
′𝑇 ′
′𝑇 ′
′ 𝑇 ′ 𝑢′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑇̅
𝜕𝑇
𝜕𝑇 ′
𝜕2𝑇 ′
𝜕 2 𝑇 ′ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇 ′ 𝜕𝑇 ′
𝜕 ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇 ′
𝜕 2 ̅̅̅̅̅̅
𝑇′𝑇′
𝑘
′ 𝑢′
̅̅̅̅̅̅
+ 0,5𝑢
̅̅̅𝑘
+𝑇
+ 0,5
− ̅̅̅
𝑇 ′ 𝑢𝑘′
= 𝑎𝑇 ′
(𝑇 ′
+
=
(𝑇 ′
) = 0,5
)
𝑘
2
2
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘2
′𝑇 ′
′𝑇 ′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇
𝜕
𝜕𝑇
𝜕𝑇̅
𝜕𝑇 ′ 𝜕𝑇 ′
′ ′
′ ′ ′
′ 𝑢′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
+
(𝑢
̅̅̅𝑇
) = −2𝑇
− 2𝑎
𝑘 𝑇 + 𝑇 𝑇 𝑢𝑘 − 𝑎
𝑘
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘
скорость изменение
′𝑇 ′
̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇
− плотности температурных
𝜕𝑡
пульсаций в точке
′ ′
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅𝑇
𝑢
𝑘 𝑇 −
конвекия ср.
скорости
′𝑇 ′
̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇
турбулентное
диффузия молек.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑇 ′ 𝑇 ′ 𝑢𝑘′ −
𝑎
−
теплопроводности
диффузия
𝜕𝑥𝑘
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕𝑇̅
𝜕𝑇 ′ 𝜕𝑇 ′
′ 𝑢′
̅̅̅̅̅̅
𝑇
− генерация температурных пульсаций 𝜀𝑇 = 𝑎
− температурная диссипация
𝑘
𝜕𝑥𝑘
𝜕𝑥𝑘 𝜕𝑥𝑘
Если проинтегрировать по некоторому объему тела, то для 2 слагаемого интеграл переходит интегралу по поверхности, там где
имеется скорость эти элементы равны 0. Полученное выражение может не равняться 0 и объясняется этом, что это единственный
механизм передачи тепла к стенки.
Представление о когерентных структурах
Рассмотрим область пограничного слоя обтекания твердой поверхности. Можно выделить следующие области: внешний поток;
перемежающая (время от времени возникают вихри из следующей области); турбулентное течение (скорость описывается
логарифмом); переходная (максимальная генерация турбулентности); вязкий подслой (скорость меняется линейна). В этой схеме
вызывает вопросы о вязком подслое. Как известно при обтекании пластины вязкий подслой растет при увеличение продольной
координаты, но в схеме предполагается, что он постоянный. Это связанно с тем, что рост вязкого подслоя не может быть
постоянным и происходит следующее он достигает некоторого значение и отрывается из-за сильной неустойчивости данный
вихорь уносится внешним потоком из-за которого вызывается турбулентность потока. Так как данный процесс периодический и
происходит примерно на одинаковых расстояний, то в модели разложение Рейнольдса сделали поправку.
𝑢 = 𝑢̅ + 𝑢̃ + 𝑢′
𝑢̃ − когерентное состовляющая скорости
Динамические уравнения корреляционной функции скорости
Рассмотрим пространственную корреляционную уравнение скорости.
(𝐵𝑢𝑢 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑢(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥 + 𝑟, 𝑡)) − Пространственная кореляционная функция скорости
Что бы получить уравнение, выражающее пространственную корреляционную функцию скорости, сделаем похожие ритуальные
танцы с бубном, как прошлых параграфов. Для этого напишем 2 уравнение Стокса для точки А и В.
(
+
𝜕 (𝑢𝑖 𝐴 𝑢𝑗 )
𝐵
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑖 𝐵
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖
1 𝜕𝑃
𝜕 2 𝑢𝑖
+ 𝑢𝑘
=−
+𝑣
) − Уравнение Стокса
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘
𝜌 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑘2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖 𝐴
𝜕 2 𝑢𝑖 𝐴
1 𝜕𝑃𝐴
𝑢𝑖 𝐵 ( 𝐴 + 𝑢𝑘 𝐴
) = 𝑢𝑖 𝐵 (−
+𝑣
)
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘 𝐴
𝜌 𝜕𝑥𝑖 𝐴
𝜕𝑥𝑘2𝐴
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑢𝑖 𝐵
𝜕 2 𝑢𝑖 𝐵
1 𝜕𝑃𝐵
𝑢𝑖 𝐴 ( 𝐵 + 𝑢𝑘 𝐵
) = 𝑢𝑖 𝐴 (−
+𝑣
)
𝜕𝑡
𝜕𝑥𝑘 𝐵
𝜌 𝜕𝑥𝑖 𝐵
𝜕𝑥𝑘2 𝐵
{
=>
𝜕(𝑢𝑖 𝐴 𝑢𝑘 𝐴 )
𝜕(𝑢𝑖 𝐵 𝑢𝑘 𝐵 )
𝜕 2 (𝑢𝑖 𝐴 𝑢𝑖 𝐵 )
1 𝜕(𝑃𝐴 𝑢𝑖 𝐵 ) 𝜕(𝑃𝐵 𝑢𝑖 𝐴 )
+ 𝑢𝑖 𝐴
=− (
+
)+𝑣
𝜕𝑥𝑘 𝐴
𝜕𝑥𝑘 𝐵
𝜌
𝜕𝑥𝑖 𝐴
𝜕𝑥𝑖 𝐵
𝜕𝑥𝑘2
𝜕 (𝑢𝑖 𝐴 𝑢𝑗 )
𝜕(𝑢𝑖 𝐴 𝑢𝑘 𝐴 )
𝜕(𝑢𝑖 𝐵 𝑢𝑘 𝐵 )
𝜕 2 (𝑢𝑖 𝐴 𝑢𝑖 𝐵 )
𝜕
𝜕
𝜕
1 𝜕(𝑃𝐴 𝑢𝑖 𝐵 ) 𝜕(𝑃𝐵 𝑢𝑖 𝐴 )
𝐵
(
=−
= )
+ 𝑢𝑖 𝐵
− 𝑢𝑖 𝐴
=− (
−
)+𝑣
𝜕𝑥𝐴
𝜕𝑥𝐵 𝜕𝑟
𝜕𝑡
𝜕𝑟𝑘
𝜕𝑟𝑘
𝜌
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑟𝑘2
Если теперь эту уравнение усреднить, то получиться
[
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑢𝑖𝐴 𝑢𝑘 𝐴 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜕(𝑢𝑖 𝐵 𝑢𝑘 𝐵 )
𝜕𝐵𝑢𝑢
1 𝜕𝐵𝑃𝑢 𝜕𝐵𝑢𝑃
𝜕 2 𝐵𝑢𝑢
= − (𝑢𝑖 𝐵
− 𝑢𝑖 𝐴
)− (
−
)+𝑣
] − уравнение корредяционной скорости
𝜕𝑡
𝜕𝑟𝑘
𝜕𝑟𝑘
𝜌 𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑟𝑘2
Динамическое уравнение спектральной функции
Как известно, если взять интеграл от спектральной корреляционной функции по преобразование Фурье можно получить
спектральную функцию.
𝐸(𝑘) =
∞
1
∫ 𝐵(𝑟) exp(−𝑖𝑘𝑟) 𝑑𝑟
3
8𝜋 0
Далее, автор решил положить на логику и вывод большой болт, потому что происходит в книжке не подаётся никакому
обесценению так еще и гигантского количества ошибок. Так как этот курс больше рассчитан на понимание происходящие видимо,
авторы книжки позволили себя тонны ошибок при выводах элементов, которых принципе и нету.
𝜕𝐸𝑖𝑗
𝑖
= −𝑖𝑘(𝐸𝑖𝑘,𝑗 − 𝐸𝑖,𝑘𝑗 ) − (𝑘𝑖 𝐸𝑝𝑗 − 𝑘𝑗 𝐸𝑖𝑝 ) − 2𝑣𝑘 2 𝐸𝑖𝑗
𝜕𝑡
𝜌
Если i=j, тогда первое слагаемое показывает обмен энергии по пространству, если проинтегрировать то он будет 0; второе
показывает обмен энергии между проекциями скорости из-за пульсаций давления, сумма их равна 0; третие же слагаемое
представляет собой вязкую диссипацию. Если же расписать, для главной проекций и просуммировать их получится следующая
выражение.
𝜕𝐸𝑖𝑖
= −𝑖𝑘(𝐸𝑖𝑘,𝑖 − 𝐸𝑖,𝑘𝑖 ) − 2𝑣𝑘 2 𝐸𝑖𝑖
𝜕𝑡
Если теперь принять допущение изотропности, то тензор спектральной функции становиться симметричным и не меняется сумма
главной диагонали по поверхности сферы, поэтому проинтегрируем по поверхности сферы данное выражение.
∞
∞
∞
∞
𝜕𝐹
𝜕𝐸𝑡
𝜕𝐹
= 𝑇 − 2𝑣𝑘 2 𝐹 =>
=∫
𝑑𝑘 = ∫ 𝑇𝑑𝑘 − 2𝑣 ∫ 𝑘 2 𝐹𝑑𝑘 = −2𝑣 ∫ 𝑘 2 𝐹𝑑𝑘 = 𝜌𝜀𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑥
0 𝜕𝑡
0
0
0
То что турбулентная энергия со времени уменьшается из-за переноса энергии к вязкой диссипации.
Каскадная модель Ричардсона
𝜕𝐹
( = 𝑇 − 2𝑣𝑘 2 𝐹)
𝜕𝑡
Данная выражение является незамкнутой, как любое другое связанное с турбулентностью. Каскадная модель Ричардсона
основывается на том, что большие вихри разрушаются порождая более мелкие вихри и продолжается это пока они не
диссипируются или силы вязкости становиться одним порядком с инерционными силами (Re=1). Данный процесс описывает
перенос энергии от малых волновых чисел к большим.
Если вернуться к этому уравнению, то F должен иметь некоторый максимум энергии при малых (k) у вязкой диссипации тоже
будет максимум смещенный в сторону больших (k), потому диссонируют мелкие вихри. T же имеют минимум там где F
максимальное и максимума T достигается у максимума диссипации.
1 Гипотеза Колмогорова. При больших (Re) существует область высоких волновых чисел, в которых турбелентность однородна,
изотропна и стационарна, в этой области турбулентность находиться в равновесии и однозначно определяется ε Т и v, это область
называется универсального равновесия.
2 Гипотеза Колмогорова. При больших (Re) существует внутри области универсального равновесия интревал волновых чисел, в
котором влияние вязкости мало, а равновесия определяется лишь параметром ε Т, этот интервал называется инерционным.
Гипотезы Колмогорова, говорят о том что в процессе дробление вихрей более мелкие вихре забывают начальные и граничные
условия, что приводит к некоторому универсальному поведению всех турбулентностей с большими Re. Это связанно с тем, что от
каждого одного вихря образуется несколько маленьких, после многократного таких дроблений, все что будет окружать эти вихри
сами же этиже вихри, а большие вихри уже не вносят изменений в поведение малых вихрей.
Из 2 гипотеза Колмогорова вытекает следующее, что в области инерционной можно определить динамическое уравнение из
соображение размерности. Чтобы образовался такой участок требуются Re>106
𝜕𝐹
= 0 => (𝐹~𝜀 2/3 𝑘 −5/3 )
𝜕𝑡
Общий подход к измерению статистических характеристик.
Статистические характеристики можно измерить с помощью специальных: датчиков, электрических приборов, математического
аппарата, технические и программные средства.
Общий подход определение: с помощью датчика (термоанемометр, термопара) определяется физическая величина (температура,
скорость) виде электрического сигнала, который усиливают, редактируют и преобразуют в цифровом варианте. Накопленный
спектр со временем можно определить статистические характеристики: математическое ожидание, дисперсия,
автокорреляционную функцию. Используют восстановление спастической характеристики от другой.
Дальше задается вопросом сколько нужно выдерживать времени, для определения статистических характеристик. Пускай было
померено дохуя раз физическая величина и определяли ее мат. ожидание. Если мат. ожидание от мат. ожидание равняется
истинной мат. ожиданию, то данная оценка называют несмещенной, если они отличаются то смещенной.
Оценка физическая величина называется состоятельным, если при увеличение времени мат. ожидание стремиться к истинной.
Оценка физическая величина называется эффективной, если средней квадрат отклонений оценки является минимальным.
Рассмотрим простой пример, пускай мы определяем физическую величину стационарного процесса. Очевидно, что у такого
процесса будут оценки несмещенной и состоятельным, если масштаб времени много больше будет, чем макромаштаб времени.
Вырождение однородной МГД-турбулентности.