курс общей физики оптика Алешкевич ВА.dvi - 2011

2011
УДК 535(075.8)
ББК 22.34я73
А 45
А л е ш к е в и ч В. А. Курс общей физики. Оптика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. —
320 с. — ISBN 978-5-9221-1245-1.
Главная особенность учебника — многоуровневая концепция изложения важнейших экспериментальных фактов и основ теории физических явлений с учетом современных научных
достижений.
Книга включает следующие основные разделы: электромагнитная теория света, излучение
света, интерференция, дифракция, дисперсия, оптические явления на границе раздела сред,
геометрическая оптика, волны в анизотропных средах, рассеяние света, нелинейно-оптические
явления, приемники света.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Физика».
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки
и специальности «Физика».
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра общей физики Костромского государственного университета им. Н. А. Некрасова
(зав. кафедрой проф. П. Н. Белкин);
д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Мансуров (Московский государственный педагогический
университет)
c ФИЗМАТЛИТ, 2010, 2011
ISBN 978-5-9221-1245-1
c В. А. Алешкевич, 2010, 2011
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
Ó÷åáíèê ÿâëÿåòñÿ âòîðîé êíèãîé ñåðèè «Óíèâåðñèòåòñêèé êóðñ îáùåé ôèçèêè» è ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ. Îí ñîîòâåòñòâóåò íîâûì ïðîãðàììàì, ðàçðàáîòàííûì íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ
èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, è îòðàæàåò ñîâðåìåííûå òåíäåíöèè è òåõíîëîãèè ôèçè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ.
Ó÷åáíèê ñîñòîèò èç 25 òåìàòè÷åñêèõ ëåêöèé. Êàæäàÿ ëåêöèÿ ñîäåðæèò ìàòåðèàë êàê ïåðâîãî (áàçîâîãî) óðîâíÿ, òàê è âòîðîãî (ïðîäâèíóòîãî) óðîâíÿ,
îòðàæàþùèé äîñòèæåíèÿ ñîâðåìåííîé îïòèêè.
Èçëîæåíèå ìàòåðèàëà ïåðâîãî óðîâíÿ íà÷èíàåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ñ îçíàêîìëåíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè ôàêòàìè, êîòîðûå çàòåì îáîáùàþòñÿ â âèäå
ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è ñîîòíîøåíèé. Äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ âîçìîæíîñòåé îïòè÷åñêèõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ è èõ ìíîãî÷èñëåííûõ ïðàêòè÷åñêèõ
ïðèëîæåíèé ïðèâîäèòñÿ áîëüøîå ÷èñëî êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê õàðàêòåðèñòèê
(ñïåêòðàëüíûõ, ýíåðãåòè÷åñêèõ, ñòàòèñòè÷åñêèõ è äð.) èçëó÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ
ñâåòîâûõ èñòî÷íèêîâ è îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ (ëèíç, ïðèçì, ðåøåòîê,
ìíîãîñëîéíûõ äèýëåêòðè÷åñêèõ çåðêàë, àáñîðáöèîííûõ ñâåòîôèëüòðîâ è ïð.),
îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ è ïðèåìíèêîâ ñâåòà.
Ïðè îïèñàíèè îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñðåä òàêæå ïðèâåäåíû ìíîãî÷èñëåííûå
êîëè÷åñòâåííûå ïàðàìåòðû è õàðàêòåðèñòèêè: ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ è ïîãëîùåíèÿ, ÷àñòîòíûå çàâèñèìîñòè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ è ñèëû îñöèëëÿòîðîâ,
äèñïåðñèÿ ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòè, êîýôôèöèåíòû ïîãëîùåíèÿ è ðàññåÿíèÿ, ïëàçìåííûå äëèíû âîëí, êîíñòàíòû äëÿ îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè, ýëåêòðîîïòè÷åñêîãî è êåðð-ýôôåêòà, âðåìåíà ðåëàêñàöèè, ëèíåéíûå è íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèå âîñïðèèì÷èâîñòè è ïð.
Ìàòåðèàë âòîðîãî óðîâíÿ îòðàæàåò ñîâðåìåííûå íàó÷íûå äîñòèæåíèÿ
è çíàêîìèò ÷èòàòåëÿ ñ âûñîêîòåõíîëîãè÷íûìè îïòè÷åñêèìè ìåòîäàìè èññëåäîâàíèé.  ÷àñòíîñòè, èçëîæåíî ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå ïðîáëåì ïî îñóùåñòâëåíèþ ëàçåðíîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà, îáíàðóæåíèþ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí
ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåðôåðîìåòðè÷åñêèõ ìåòîäîâ, äîñòèæåíèÿ ñâåðõíèçêèõ
òåìïåðàòóð íà îñíîâå ëàçåðíîãî îõëàæäåíèÿ, ñîçäàíèþ ñðåä ñ îòðèöàòåëüíûì
ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, îáñóæäàþòñÿ ïðåäåëüíûå âîçìîæíîñòè ïîëó÷åíèÿ
ñâåðõñèëüíûõ ñâåòîâûõ ïîëåé è ïðèíöèïèàëüíî íîâûå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ,
ïðîòåêàþùèå â òàêèõ ïîëÿõ.
 ñâÿçè ñ íîâåéøèìè äîñòèæåíèÿìè â îáëàñòè ãåíåðàöèè ñâåðõêîðîòêèõ
ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ è øèðîêîãî èõ ïðèìåíåíèÿ íà ïðàêòèêå â êíèãå óäåëÿåòñÿ
âíèìàíèå ìåòîäàì ãåíåðàöèè ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ, êîìïðåññèè è èçìåðåíèþ
äëèòåëüíîñòåé ñâåðõêîðîòêèõ èìïóëüñîâ.
Êðîìå òîãî, ïóòåì îáîáùåíèÿ äèôðàêöèîííîãî èíòåãðàëà Ôðåíåëÿ — Êèðõãîôà äëÿ èìïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿ ïîëó÷åí áîëåå ïðîñòîé (÷åì èñõîäíûé) äèôðàêöèîííûé èíòåãðàë, îïèñûâàþùèé äèôðàêöèþ ñâåòà ñ ïðîèçâîëüíûì ÷àñ3
òîòíûì ñïåêòðîì. Ïðîèëëþñòðèðîâàíû ïðèíöèïèàëüíûå îòëè÷èÿ íåñòàöèîíàðíîé èíòåðôåðåíöèè è äèôðàêöèè êîðîòêèõ ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ îò àíàëîãè÷íûõ ÿâëåíèé â ñëó÷àå ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ.
Øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå âîëîêîííî-îïòè÷åñêèõ ëèíèé ñâÿçè ñòèìóëèðîâàëî îáñóæäåíèå âîïðîñîâ äèñïåðñèîííîãî ðàñïëûâàíèÿ èìïóëüñîâ, ìåõàíèçìîâ ôîðìèðîâàíèÿ ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûõ (÷èðïèðîâàííûõ) èìïóëüñîâ
è âîçìîæíîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ îïòè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ â îäíîìîäîâûõ âîëîêîííûõ ñâåòîâîäàõ.
Äëèòåëüíûé îïûò ïðåïîäàâàíèÿ îáùåãî êóðñà ôèçèêè ïîêàçûâàåò, ÷òî ñòóäåíòû ïðåäïî÷èòàþò èìåòü ó÷åáíèê, â êîòîðîì â ïîëíîé ìåðå îñâåùåíû âñå
îáñóæäàåìûå ïðîáëåìû. Ññûëêè íà ìîíîãðàôèè è îðèãèíàëüíûå íàó÷íûå ñòàòüè ìàëîýôôåêòèâíû: ñòóäåíòû èõ, êàê ïðàâèëî, íå ÷èòàþò. Ïîýòîìó ó÷åáíèê
ñîäåðæèò äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëà, çàèìñòâîâàííîãî èç ïîñëåäíèõ íàó÷íûõ ïóáëèêàöèé, ïåðåðàáîòàííîãî è àäàïòèðîâàííîãî ê ïîòðåáíîñòÿì èçëàãàåìîãî êóðñà.
Ëåêöèè ñãðóïïèðîâàíû â 10 ðàçäåëîâ: ýëåêòðîìàãíèòíàÿ òåîðèÿ ñâåòà (ëåêöèè 1, 2); èçëó÷åíèå ñâåòà (ëåêöèè 3 — 7); èíòåðôåðåíöèÿ (ëåêöèè 8 — 10);
äèôðàêöèÿ (ëåêöèè 11 — 14); äèñïåðñèÿ (ëåêöèè 15, 16); îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ
íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä, ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà (ëåêöèè 17, 18); âîëíû â àíèçîòðîïíûõ ñðåäàõ (ëåêöèè 19, 20); ðàññåÿíèå ñâåòà (ëåêöèè 21, 22); íåëèíåéíîîïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ (ëåêöèè 23, 24); ïðèåìíèêè ñâåòà (ëåêöèÿ 25).
Êíèãà èëëþñòðèðîâàíà, íàðÿäó ñ ÷åðíî-áåëûìè, öâåòíûìè ôîòîãðàôèÿìè
è ðèñóíêàìè, ñïîñîáñòâóþùèìè áîëåå íàãëÿäíîìó âîñïðèÿòèþ îïòè÷åñêèõ
ÿâëåíèé â ñëó÷àå êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèõ è ïîëèõðîìàòè÷åñêèõ èñòî÷íèêîâ
ñâåòà. Ïðèâåäåíû òàêæå ðåçóëüòàòû âûïîëíåííîãî íà êàôåäðå îáùåé ôèçèêè
ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èíòåðôåðåíöèè ñâåòà ñ ðàçëè÷íûìè ñïåêòðàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè,
ïðîñòðàíñòâåííîé ôèëüòðàöèè ïðè íàáëþäåíèè ôàçîâûõ îáúåêòîâ è äð.
Ñ ãëóáîêîé ïðèçíàòåëüíîñòüþ àâòîð îòìå÷àåò ïîääåðæêó ìíîãèõ êîëëåã ïðè
ðàáîòå íàä ðóêîïèñüþ ó÷åáíèêà, ïðåäîñòàâèâøèõ ðÿä èíòåðåñíûõ èëëþñòðàòèâíûõ ìàòåðèàëîâ è îêàçàâøèõ ïîìîùü ïðè ïîäãîòîâêå ðóêîïèñè. Ôîòîãðàôèè ëàçåðíûõ ñèñòåì, èñïîëüçóåìûõ â ó÷åáíîì ïðîöåññå íà êàôåäðå îáùåé
ôèçèêè è âîëíîâûõ ïðîöåññîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, âûïîëíåíû çàâåäóþùèì ïðàêòèêóìîì êàôåäðû äîöåíòîì È. Â. Ãîëîâíèíûì è ïðåäñòàâëåíû
ñ ðàçðåøåíèÿ çàâåäóþùåãî êàôåäðîé ïðîôåññîðà Â. À. Ìàêàðîâà; ôîòîãðàôèÿ
ýêñïåðèìåíòà ïî ãåíåðàöèè ñóïåðêîíòèíóóìà â ìèêðîñòðóêòóðèðîâàííîì âîëîêîííîì ñâåòîâîäå, îñóùåñòâëåííîãî íà òîé æå êàôåäðå â ëàáîðàòîðèè ôîòîíèêè è íåëèíåéíîé ñïåêòðîñêîïèè, ïðåäîñòàâëåíà ïðîôåññîðîì À. Ì. Æåëòèêîâûì; ýêñïåðèìåíòû ïî äèôðàêöèè ñâåòîâîãî ïó÷êà He-Ne-ëàçåðà íà àêóñòè÷åñêîé âîëíå â ïàðàòåëëóðèòå âûïîëíåíû â ëàáîðàòîðèè àêóñòîîïòèêè êàôåäðû ôèçèêè êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ; äåáàåãðàììà ïðè äèôðàêöèè ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ â ïîðîøêå òèòàíà ïîëó÷åíà íà êàôåäðå ôèçèêè òâåðäîãî òåëà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ ñòàðøèì ïðåïîäàâàòåëåì
È. Â. Òåëåãèíîé; ôóíêöèÿ àâòîêîððåëÿöèè èíòåíñèâíîñòè ðàññåÿííîãî ñâåòà
â âîäå ñ ïîëèñòèðîëîâûìè øàðèêàìè çàïèñàíà è èññëåäîâàíà â ëàáîðàòîðèè
ñïåêòðîñêîïèè ìîëåêóëÿðíîãî ðàññåÿíèÿ ñâåòà êàôåäðû ôèçèêè ïîëèìåðîâ
è êðèñòàëëîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ; ôîòîííûé êðèñòàëë, ôîòîãðàôèÿ
êîòîðîãî ïðèâåäåíà â ðàçäåëå «Ðàññåÿíèå ñâåòà», áûë èçãîòîâëåí â ëàáîðàòî4
ðèè ôàêóëüòåòà íàóê î ìàòåðèàëàõ ÌÃÓ àñïèðàíòîì À. Ñ. Ñèíèöêèì; ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è ðÿä öâåòíûõ ôîòîãðàôèé èíòåðôåðîãðàìì, äèôðàêöèîííûõ êàðòèí, äâóëó÷åïðåëîìëåíèÿ è äðóãèõ ÿâëåíèé,
äåìîíñòðèðóåìûõ â ëåêöèîííîì ýêñïåðèìåíòå, ïîäãîòîâëåíû ñòàðøèì ïðåïîäàâàòåëåì êàôåäðû îáùåé ôèçèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ
À. Â. Ñåëèâåðñòîâûì, â ýòîé ðàáîòå ïðèíÿëè ó÷àñòèå ñòóäåíòû È. À. Ãàæóð,
Ñ. Ñ. Ïîëåâè÷ è À. Ä. Øàëàãèí; ôîòîãðàôèè çàõîäÿùåãî Ñîëíöà ñäåëàíû ñòàðøèì ïðåïîäàâàòåëåì êàôåäðû îáùåé ôèçèêè Þ. À. Êîêøàðîâûì; ôîòîãðàôèè
òåïëîâèçîðà è òåðìîêàðòà ïðåäîñòàâëåíû ÎÀÎ «ÏÅÐÃÀÌ-èíæèíèðèíã».
Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ñîòðóäíèêàì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ
ñòàðøåìó íàó÷íîìó ñîòðóäíèêó À. È. Àêèìîâó, ïðîôåññîðó Â. È. Áàëàêøèþ,
ïðîôåññîðó Â. Ì. Ãîðäèåíêî, ïðîôåññîðó Â. Ñ. Äíåïðîâñêîìó, ïðîôåññîðó
À. Â. Êîçàðþ, äîöåíòó Ò. Â. Ëàïòèíñêîé, äîêòîðó ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Â. Â. Ëåáåäåâîé, ïðîôåññîðó À. Í. Ïåíèíó, ïðîôåññîðó À. Ï. Ñóõîðóêîâó, ïðîôåññîðó Ô. ß. Õàëèëè çà ïëîäîòâîðíûå êîíñóëüòàöèè ïî âîïðîñàì, âõîäÿùèì
â îáëàñòü èõ ïðîôåññèîíàëüíûõ èíòåðåñîâ, à òàêæå êîëëåãàì À. Â. Ãðèãîðüåâó,
È. Â. Åôèìîâó, Í. Ã. Óâàðîâó è Ï. Â. ßêóíèíó çà áîëüøóþ ïîìîùü â ïîäãîòîâêå
ðóêîïèñè ê èçäàíèþ.
Èñêðåííþþ ïðèçíàòåëüíîñòü àâòîð âûðàæàåò êîëëåãå, äîöåíòó À. Ñ. Æóêàðåâó
çà âíèìàòåëüíîå ïðî÷òåíèå ðóêîïèñè è ïîëåçíûå çàìå÷àíèÿ. Òàêæå àâòîð áëàãîäàðèò êîëëåêòèâ êàôåäðû îáùåé ôèçèêè Êîñòðîìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èì. Í. À.Íåêðàñîâà è åå çàâåäóþùåãî ïðîôåññîðà Ï. Í. Áåëêèíà, ïðîôåññîðà Ìîñêîâñêîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà À. Í. Ìàíñóðîâà, âçÿâøèõ íà ñåáÿ òðóä ðåöåíçèðîâàíèÿ ðóêîïèñè è äàâøèõ ïîëåçíûå
ñîâåòû ïî ñîäåðæàíèþ êíèãè è ìåòîäèêå èçëîæåíèÿ îòäåëüíûõ âîïðîñîâ.
ÐÀÇÄÅË
1
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÀß ÒÅÎÐÈß ÑÂÅÒÀ
ËÅÊÖÈß 1
Ñâåò — ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Îïòèêà (îò ãðå÷. optikh — ó÷åíèå î çðèòåëüíûõ âîñïðèÿòèÿõ) — íàóêà, èçó÷àþùàÿ ïðèðîäó îïòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ
(ñâåòà), åãî ðàñïðîñòðàíåíèå è âçàèìîäåéñòâèå ñ âåùåñòâîì. Âîïðîñ î ïðèðîäå
ñâåòà âîçíèê åùå â äðåâíèå âåêà, êîãäà àíòè÷íûå ìûñëèòåëè ïûòàëèñü ïîíÿòü
ñóùíîñòü îïòè÷åñêèõ ÿâëåíèé. ×åëîâå÷åñòâó ïîíàäîáèëîñü áîëåå äâóõ òûñÿ÷åëåòèé, ÷òîáû óñòàíîâèòü ýëåêòðîìàãíèòíóþ ïðèðîäó ñâåòîâûõ âîëí.
Ñåé÷àñ íåîñïîðèìî óòâåðæäåíèå, ÷òî îïòè÷åñêîå èçëó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Ïîýòîìó îïòèêà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ îáùåãî ó÷åíèÿ îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.
Îïòè÷åñêèé äèàïàçîí äëèí âîëí. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû èçëó÷àþòñÿ àòîìàìè, ìîëåêóëàìè, ýëåìåíòàðíûìè ÷àñòèöàìè è êîíäåíñèðîâàííûì âåùåñòâîì è îõâàòûâàþò îãðîìíûé äèàïàçîí äëèí âîëí (èëè ÷àñòîò): îò ðàäèîâîëí
äî ãàììà-ëó÷åé (ðèñ. 1.1 öâ. âêë.).
Ê îïòè÷åñêèì âîëíàì ñ áîëüøîé ñòåïåíüþ óñëîâíîñòè îòíîñÿò áîëåå óçêèé
äèàïàçîí: îò ìèêðîâîëíîâîãî ðàäèîèçëó÷åíèÿ äî ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ. Òàêîå
îãðàíè÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ îáùíîñòüþ ìåòîäîâ è ñðåäñòâ, èñïîëüçóåìûõ â îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå. Ýòà îáùíîñòü ïðåæäå âñåãî áàçèðóåòñÿ íà âîçìîæíîñòè
ñîçäàíèÿ íàïðàâëåííûõ ïó÷êîâ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ
ìîæíî ôîðìèðîâàòü èçîáðàæåíèå.
Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïó÷îê ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí âñëåäñòâèå äèôðàêöèè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñ óãëîâîé ðàñõîäèìîñòüþ J ~ l/d = 1 (l — äëèíà âîëíû;
d — ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ïó÷êà). Ñîâðåìåííûå òåõíîëîãèè ïîçâîëÿþò ôîðìèðîâàòü îñòðîíàïðàâëåííûå ïó÷êè âîëí â äèàïàçîíå äëèí âîëí 0,1 D < l < 1 ìì,
ïîýòîìó ýòîò äèàïàçîí è îòíîñÿò ê îïòè÷åñêîìó.
Âèäèìàÿ ãëàçîì îáëàñòü ñïåêòðà ÷ðåçâû÷àéíî óçêà (400 íì < l < 700 íì).
Ïðè÷èíû ýòîé óçîñòè ìîãóò áûòü îáúÿñíåíû ëèøü ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàíòîâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå ñâåòà. Âîëíû äëèíàìè 700 íì < l < 1 ìì îòíîñÿò
ê èíôðàêðàñíîìó (ÈÊ) äèàïàçîíó, à âîëíû äëèíàìè 10 íì < l < 400 íì —
ê óëüòðàôèîëåòîâîìó (ÓÔ) äèàïàçîíó. Áîëåå êîðîòêèå âîëíû ïðèíàäëåæàò ðåíòãåíîâñêîìó äèàïàçîíó.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî áîëüøîå ÷èñëî îïòè÷åñêèõ çàäà÷ ìîæåò áûòü ðåøåíî
êàê ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî (êëàññè÷åñêîãî), òàê è êâàíòîâîãî
ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå ñâåòà. Êâàíòîâîå ïðåäñòàâëåíèå «ìèðíî óæèâàåòñÿ»
ñ êëàññè÷åñêèì, è ýòî òðàêòóåòñÿ êàê êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé äóàëèçì.
Âìåñòå ñ òåì â ðÿäå çàäà÷, îòíîñÿùèõñÿ ïðåæäå âñåãî ê èçëó÷åíèþ ñâåòà
è åãî âçàèìîäåéñòâèþ ñ âåùåñòâîì, åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ÿâëÿåòñÿ ëèøü
êâàíòîâîå ïðåäñòàâëåíèå, ïîçâîëÿþùåå ñâÿçàòü ìàêðîñêîïè÷åñêèå
6
õàðàêòåðèñòèêè îïòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñî ñòðîåíèåì âåùåñòâà è äàòü àäåêâàòíîå
îïèñàíèå ýòèõ ïðîöåññîâ.
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ òåîðèÿ ñâåòà áàçèðóåòñÿ íà óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà:
rot H =
¶D
+ j;
¶t
rot E = -
(1.1)
¶B
;
¶t
(1.2)
(1.3)
div D = r;
(1.4)
div B = 0,
ãäå E è D — íàïðÿæåííîñòü è èíäóêöèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ; H è B — íàïðÿæåííîñòü è èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ; r — îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà; j —
ïëîòíîñòü òîêà. Â ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà r è j ñâÿçàíû óðàâíåíèåì
íåïðåðûâíîñòè:
¶r
(1.5)
+ div j = 0,
¶t
êîòîðîå èìååò òàêîé æå âèä, ÷òî è óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ ñæèìàåìîé
æèäêîñòè, îïèñûâàþùåå çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû.
Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: «Ïîçâîëÿþò ëè óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà îäíîçíà÷íî ðàññ÷èòàòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå?» Ôîðìàëüíî íàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ïÿòü
âåêòîðíûõ âåëè÷èí: E, D, H, B, j, è îäíó ñêàëÿðíóþ âåëè÷èíó r. Ïîä÷åðêíåì,
÷òî ðå÷ü èäåò î òîêàõ è çàðÿäàõ â ñðåäå, êîòîðûå äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíû
ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Èõ íå ñëåäóåò ïóòàòü ñ çàäàííûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè
r è ( x, y, z , t ) è j è ( x , y, z , t ), îïèñûâàþùèìè èñòî÷íèêè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.
Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî èìåòü ïÿòü âåêòîðíûõ óðàâíåíèé è îäíî ñêàëÿðíîå, à
óðàâíåíèÿ (1.1)— (1.5) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèøü äâà âåêòîðíûõ è òðè ñêàëÿðíûõ
óðàâíåíèÿ. Áîëåå òîãî, óðàâíåíèÿ (1.3) è (1.1) ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé, ïîñêîëüêó
èìåþò îäèíàêîâûå äèôôåðåíöèàëüíûå ñëåäñòâèÿ. Â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ,
ïðèìåíèâ îïåðàöèþ div ê îáåèì ÷àñòÿì (1.1), è çàòåì èñïîëüçîâàòü (1.5). Òîãäà
¶
ïîëó÷èì óðàâíåíèå (äèôôåðåíöèàëüíîå ñëåäñòâèå)
(div D - r) = 0, êîòîðîå
¶t
òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè óðàâíåíèÿ (1.3).
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (1.4) ñâÿçàíî ñ (1.2). Ïðèìåíèâ îïåðàöèþ
div ê óðàâíåíèþ (1.2), ìîæíî âûâåñòè âòîðîå äèôôåðåíöèàëüíîå ñëåäñòâèå,
êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ è äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè óðàâíåíèÿ (1.4).
Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñðåäû. Òðè íåäîñòàþùèå âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ
óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ìåæäó âåêòîðàìè è íàçûâàþòñÿ ìàòåðèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñðåäû. Â îáùåì âèäå îíè çàïèñûâàþòñÿ â âèäå èçâåñòíûõ ôóíêöèé:
D = D(E);
B = B(H);
j = j(E).
(1.6)
Âèä ýòèõ ôóíêöèé çàâèñèò îò ñâîéñòâ ìàòåðèàëüíîé ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà, è ìîæåò áûòü âåñüìà ðàçíîîáðàçåí, à èíîãäà è äîñòàòî÷íî ñëîæåí. Íàïðèìåð, â îäíîé ñèòóàöèè çíà÷åíèÿ âåêòîðîâ D, B è j â êàêîéëèáî òî÷êå r ïðîñòðàíñòâà è ìîìåíò âðåìåíè t ìîãóò çàâèñåòü îò çíà÷åíèé
âåêòîðîâ E è H â ýòîò æå ìîìåíò âðåìåíè, íî â äðóãèõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà.
7
Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ðåàëèçóåòñÿ â ñðåäå ñ ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðîé è õàðàêòåðèçóåòñÿ êàê ïðîÿâëåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè ñðåäû. Ñóùåñòâóåò è
âðåìåííàÿ (÷àñòîòíàÿ) äèñïåðñèÿ, êîãäà D, B è j îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè E
è H â òîé æå òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, íî â ïðåäøåñòâóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè.
 ýòîì ñëó÷àå ñðåäà îáëàäàåò «ïàìÿòüþ» íà âîçäåéñòâèÿ. ßâëåíèå ÷àñòîòíîé
äèñïåðñèè èçó÷àþò â ñðåäíåé øêîëå è îïèñûâàþò ôåíîìåíîëîãè÷åñêè â âèäå
çàâèñèìîñòè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû îò ÷àñòîòû (èëè äëèíû âîëíû).
Êðîìå òîãî, â îáùåì ñëó÷àå ñâÿçü ìåæäó âåêòîðàìè â ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé. Ïîýòîìó ýòè óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì E (èëè H ) è àíàëèçèðóþò âëèÿíèå êàæäîãî èç ÷ëåíîâ
ðàçëîæåíèÿ íà õàðàêòåð ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå.  çàêëþ÷èòåëüíîé ÷àñòè
êóðñà áóäóò ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå íåëèíåéíûå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ (ñì. ðàçä. 9).
 äàííîé ëåêöèè ïðîàíàëèçèðóåì ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí
â âàêóóìå è ðàññìîòðèì îñíîâíûå ìîäåëè âîëí, èçëó÷àåìûõ ðåàëüíûìè èñòî÷íèêàìè ñâåòà. Äëÿ âàêóóìà ( j = 0, r = 0) ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþò
ïðîñòåéøèé âèä:
, = e 0 -;
-12
* = m 0 0,
(1.7)
-7
ãäå e0 = 8,85 × 10 Ô/ì, m0 = 4p × 10 Ãí/ì — ýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííûå â ÑÈ.
Âîëíîâîå óðàâíåíèå. Âîçìîæíîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â âàêóóìå ëåãêî
äîêàçûâàåòñÿ âûâîäîì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ êàê äëÿ âåêòîðà E, òàê è äëÿ âåêòîðà H. Ïðèìåíèì îïåðàöèþ rot ê îáåèì ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ (1.2) è ó÷òåì òîæäåñòâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà A : rot rot A = grad div A - DA . Òîãäà ìîæåì çàïèñàòü
rot rot - = grad div - - D- = -m 0 rot
¶0
.
¶t
(1.8)
Èçìåíèì â ïðàâîé ÷àñòè (1.8) ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè
¶E
, à óðàâíåíèå
è êîîðäèíàòàì. Íàêîíåö, ó÷òåì, ÷òî ñîãëàñíî (1.1) rot H = e 0
¶t
(1.3) ìîæíî çàïèñàòü êàê e 0 div E = 0. Â èòîãå óðàâíåíèå (1.8) ñâåäåòñÿ ê âèäó
¶ 2E
1
=
D E.
2
¶t
e 0m 0
(1.9)
Ýòî èçâåñòíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå, ïîäîáíîå óðàâíåíèþ, îïèñûâàþùåìó
â ìåõàíèêå ðàñïðîñòðàíåíèå àêóñòè÷åñêèõ âîëí. Ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ ïîñòîÿííûìè e0 è m0 è ðàâíà, ì/ñ,
c =
1
e 0m 0
» 3 × 10 8.
(1.10)
Àíàëîãè÷íîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü è äëÿ âåêòîðà H ïðè èñïîëüçîâàíèè äðóãîé ïàðû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.
Åñëè çàïèñàòü îáà âåêòîðíûõ âîëíîâûõ óðàâíåíèÿ â ñêàëÿðíîì âèäå,
òî ïîëó÷èì øåñòü îäèíàêîâûõ âîëíîâûõ óðàâíåíèé âèäà
¶2 f
= c 2 Df ,
¶t 2
8
(1.11)
ãäå ïîä f ïîäðàçóìåâàåòñÿ ëþáàÿ èç øåñòè êîìïîíåíò Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïîýòîìó äàëåå ðàññìîòðèì âàæíåéøèå ìîäåëè ñêàëÿðíûõ âîëí, îïèñûâàåìûõ ôóíêöèåé f, íàçûâàåìîé óðàâíåíèåì âîëíû.
Ñôåðè÷åñêèå âîëíû. Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàâèñèò ëèøü îò ñôåðè÷åñêîé êîîðäèíàòû r = x 2 + y 2 + z 2 , òîãäà f ( x, y, z ) = f (r , t ). Ïîäñòàâèì ýòó ôóíêöèþ
â (1.11). Ïðè âû÷èñëåíèè ëàïëàñèàíà â ïðàâîé ÷àñòè (1.11) ó÷òåì, ÷òî
¶
¶ ¶r
x ¶
=
=
;
¶x ¶r ¶x r ¶r
¶2
¶ æx ¶ ö 1 ¶
x æ x ¶2
x ¶ö
=
=
+ ç
.
ç
÷
2
¶x
¶x è r ¶r ø r ¶r r è r ¶r 2 r 2 ¶r ÷ø
Ïîýòîìó óðàâíåíèå (1.11) ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
2
¶2 f
2 1 ¶
=
c
(r f ).
(1.12)
¶t 2
r ¶r 2
Åñëè ââåñòè íîâóþ ôóíêöèþ y = rf, òî äëÿ íåå âîëíîâîå óðàâíåíèå áóäåò
èìåòü âèä
¶2y
¶2y
= c2
.
(1.13)
2
¶t
¶r 2
Ðåøåíèå ýòîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ âîëíîâûõ âîçìóùåíèé, äâèæóùèõñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó,
rö
rö
æ
æ
y (r , t ) = y 1 ç t - ÷ + y 2 ç t + ÷ ,
è
è
cø
cø
(1.14)
ãäå y1 è y2 — ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè.
Îêîí÷àòåëüíî óðàâíåíèå ñôåðè÷åñêîé âîëíû ïðèìåò âèä
rö
rö
æ
æ
y1 ç t - ÷ y 2 ç t + ÷
è
è
cø
cø
f (r , t ) =
+
.
r
r
(1.15)
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (1.15) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñôåðè÷åñêóþ
âîëíó, ðàñõîäÿùóþñÿ îò íà÷àëà êîîðäèíàò, à âòîðîå — ñõîäÿùóþñÿ ê íà÷àëó
êîîðäèíàò.
Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ó ðàñõîäÿùåéñÿ âîëíû âîçìóùåíèå îñëàáåâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîéäåííîìó âîëíîé ðàññòîÿíèþ, à ó ñõîäÿùåéñÿ, íàîáîðîò, íàðàñòàåò. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïðîñòðàíñòâà, ãäå âîçìóùåíèå f
îäèíàêîâî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñôåðó ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Ïëîñêèå âîëíû. Íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò íà÷àëà êîîðäèíàò ôðàãìåíò
ñôåðè÷åñêîé âîëíû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ïëîñêîé âîëíû (ðèñ. 1.1)
(÷àñòü ñôåðû àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïëîñêîñòüþ ñ çàäàííûì â ïðîñòðàíñòâå íàïðàâëåíèåì íîðìàëè ê íåé).
Åñëè ââåñòè åäèíè÷íûé íîðìàëüíûé âåêòîð e,
òî ôóíêöèÿ f ïîñòîÿííà íà ïëîñêîñòè r × e = const
è çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàòû x = r × e, îòñ÷èòûâàåìîé âäîëü íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè ê ïëîñêîñòè.
Ïîýòîìó óðàâíåíèå òàêîé âîëíû äîëæíî çàâèñåòü
îò êîîðäèíàòû è âðåìåíè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
f (r, t ) = f [(r × e), t ].
(1.16)
Ðèñ. 1.1
9
Ïîäñòàâëÿÿ (1.16) â (1.11) è ïåðåõîäÿ ê îäíîé êîîðäèíàòå x = r × e, ïðèâîäèì âîëíîâîå óðàâíåíèå ê ïðîñòåéøåìó âèäó
¶2 f
¶2 f
= c2
.
2
¶t
¶x 2
(1.17)
Åãî ðåøåíèå åñòü ñóïåðïîçèöèÿ äâóõ ïëîñêèõ âîëí, äâèæóùèõñÿ íàâñòðå÷ó
äðóã äðóãó:
xö
xö
æ
æ
f (x, t ) = f 1 ç t - ÷ + f 2 ç t + ÷ ,
è
è
cø
cø
(1.18)
ãäå f1 è f2 — ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè.
Âîçâðàùàÿñü îò x ê ðàäèóñó-âåêòîðó, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
r × eö
r × eö
æ
æ
f (r, t ) = f1 ç t + f2 çt +
.
÷
è
ø
è
c
c ÷ø
(1.19)
 îòëè÷èå îò ñôåðè÷åñêîé âîëíû âîçìóùåíèå â ïëîñêîé âîëíå íå èçìåíÿåòñÿ ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì.
Îòìåòèì, ÷òî ñôåðè÷åñêàÿ è ïëîñêàÿ âîëíû ÿâëÿþòñÿ àáñòðàêöèÿìè, ïîñêîëüêó íå ñóùåñòâóþò â ïðèðîäå. Âìåñòå ñ òåì ýòè ìîäåëè âîëí èãðàþò î÷åíü
âàæíóþ ðîëü. Äåëî â òîì, ÷òî âîëíû ðåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñóïåðïîçèöèè ëèáî ñôåðè÷åñêèõ, ëèáî ïëîñêèõ âîëí. Ïîýòîìó
èçó÷èì ñâîéñòâà ýòèõ âîëí.
Ñâîéñòâà ïëîñêèõ âîëí. Â ïëîñêîé âîëíå âåêòîðû E è H çàâèñÿò îò êîîðäèíàò è âðåìåíè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
r × eö
æ
;
E(r, t ) = E ç t m
è
c ÷ø
r × eö
æ
.
H(r, t ) = H ç t m
è
c ÷ø
(1.20)
Óñòàíîâèì ñâÿçü è îðèåíòàöèþ âåêòîðîâ E è H. Âûáèðàÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè â (1.20) çíàê «-», áóäåì òåì ñàìûì ðàññìàòðèâàòü ïëîñêóþ ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âäîëü âåêòîðà e. Ïîäñòàâèì (1.20) â ïåðâûå
äâà óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Äëÿ óäîáñòâà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ââåäåì íîâóþ ïår×e
ðåìåííóþ t ¢ = t . Òîãäà
c
¶E
¶H
1
= -m 0
rot E = - e ´
;
¶t ¢
¶t ¢
c
(1.21)
¶H
¶E
1
= e0
rot H = - e ´
.
¶t ¢
¶t ¢
c
(1.22)
Ïðè çàïèñè óðàâíåíèé (1.21) è (1.22) èñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùèå âûêëàäêè:
¶
¶
=
;
¶t ¶t ¢
(rot E) x =
è ò. ä.
10
¶E z ¶E y ¶E z
=
¶y
¶z
¶t ¢
æ e y ö ¶E y
èç c ø÷ ¶t ¢
¶E y ù
¶E ö
1 é ¶E z
1æ
æ ez ö
çè - c ø÷ = - c ê ¶t ¢ e y - ¶t ¢ e z ú = - c èç e ´ ¶t ¢ ø÷
ë
û
x
Èíòåãðèðóÿ (ïåðåõîäÿ îò ïðîèçâîäíûõ ê ñàìèì ôóíêöèÿì) óðàâíåíèÿ (1.21)
è (1.22) è îòáðàñûâàÿ êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ, îïèñûâàþùèå âîçìîæíî
ïðèñóòñòâóþùèå ñòàòè÷åñêèå ïîëÿ, ïîëó÷àåì
1
e ´ E = m 0 H;
c
(1.23)
1
(1.24)
- e ´ H = e 0 E.
c
Ïîäñòàâèâ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè ñâåòà (1.10), ïîëó÷èì î÷åíü óäîáíûå äëÿ çàïîìèíàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ
e 0 e ´ E = m 0 H;
(1.25)
m0 e ´ H =
(1.26)
e 0 E.
Èç íèõ ñëåäóþò íåñêîëüêî âàæíåéøèõ âûâîäîâ. Â ïëîñêîé áåãóùåé âîëíå:
• âåêòîðû E, H è å âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, ïîýòîìó âîëíà ÿâëÿåòñÿ
ïîïåðå÷íîé;
• ýòè âåêòîðû îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ (ðèñ. 1.2);
• âåëè÷èíû íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè ñèíõðîííî, äîñòèãàÿ îäíîâðåìåííî ìàêñèìàëüíûõ è ìèíèìàëüíûõ çíà÷åíèé.
Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (1.25) èëè (1.26) âåëè÷èíû E è H ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
e0 E =
(1.27)
m0 H ,
êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ ñôåðè÷åñêîé âîëíû. Âåêòîðû E è H ëåæàò â êàñàòåëüíîé ê ñôåðå ïëîñêîñòè, ïîýòîìó ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîïåðå÷íîé.
Ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû. Ðàíåå îáñóæäàëàñü ïðîñòðàíñòâåííàÿ ãåîìåòðèÿ
âîëí. Ñåé÷àñ îáðàòèìñÿ ê âðåìåííîé çàâèñèìîñòè ôóíêöèè f (r, t ).
Ôóíäàìåíòàëüíîé ìîäåëüþ âîëíû ÿâëÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, ó êîòîðîé íàïðÿæåííîñòè ïîëåé èçìåíÿþòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ íåêîòîðîé êðóãîâîé ÷àñòîòîé w. Òîãäà âûðàæåíèå (1.19) äëÿ ïëîñêîé âîëíû ìîæåò
áûòü çàïèñàíî â âèäå
é æ
ù
r × eö
f (r, t ) = a cos ê w ç t m
÷ø + j 0 ú ,
è
c
ë
û
(1.28)
ãäå a è j0 — àìïëèòóäà è íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèé ñîîòâåòñòâåííî.
Ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìåõàíèêè, õàðàêòåðèçóåòñÿ ïåðèîäîì T = 2p/w, ÷àñòîòîé n = 1/T = w/(2p), äëèíîé âîëíû l = cT
w
è âîëíîâûì ÷èñëîì k = 2p/l = w/c. Åñëè ââåñòè âîëíîâîé âåêòîð k = k e = e ,
òî
c
(1.28) çàïèøåòñÿ â ÷àñòî óïîòðåáëÿåìîì âèäå
f (r, t ) = a cos[wt m k × r + j 0 ].
(1.29)
Ïîäîáíûì îáðàçîì çàïèñûâàåòñÿ è óðàâíåíèå ñôåðè÷åñêîé
ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû:
f (r , t ) =
a
cos [wt m kr + j 0 ] .
r
(1.30)
Ðèñ. 1.2
11
Àìïëèòóäà ñôåðè÷åñêîé âîëíû åñòü âåëè÷èíà A = a/r. Ôàçà j ó îáåèõ âîëí
îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ (1.29) è (1.30):
j = wt m k × r + j 0 — äëÿ ïëîñêîé âîëíû;
j = wt m kr + j 0 — äëÿ ñôåðè÷åñêîé âîëíû.
Ïîâåðõíîñòü ðàâíîé ôàçû íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé ïîâåðõíîñòüþ, èëè âîëíîâûì
ôðîíòîì. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ó âîëíû çà âðåìÿ dt ýòà ïîâåðõíîñòü ñìåùàåòñÿ
íà âåëè÷èíó ±dr, îïðåäåëÿåìóþ èç óñëîâèÿ d j = wdt m kdr = 0 . Ïîýòîìó ôàçîâàÿ
ñêîðîñòü (ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà) ðàâíà
L=
dr
w
=
= c.
dt
k
(1.31)
 ñðåäå âîëíîâîå ÷èñëî k çàâèñèò òàêæå îò ñâîéñòâ ñðåäû, è ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ìîæåò áûòü êàê ìåíüøå, òàê è áîëüøå ñêîðîñòè ñâåòà.
Êîìïëåêñíàÿ çàïèñü óðàâíåíèÿ âîëíû. Âûðàæåíèÿ (1.29) è (1.30) ìîæíî
îáúåäèíèòü, åñëè èõ çàïèñàòü â âèäå
f ( x, y, z , t ) = A( x, y, z ) cos[wt - j( x, y, z )],
(1.32)
ãäå
A( x , y, z ) = a,
j( x, y, z ) = ± k × r - j 0 èëè
A ( x , y, z ) = a / r ,
j( x, y, z ) = ±kr - j 0 .
(1.33)
 îïòèêå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ âîëíû (1.32):
1
[ Ae i (wt -j) + Ae -i (wt -j) ].
2
Åñëè ââåñòè êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó
f =
µ = Ae -i j ,
A
òî (1.34) çàïèøåòñÿ â êîìïëåêñíîì âèäå:
(1.34)
(1.35)
1 µ i wt µ - i wt
(1.36)
[ Ae + A * e
],
2
ãäå çíàê «*» îçíà÷àåò êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííóþ âåëè÷èíó.
Ñâåòîâûå ïó÷êè. Êàê îòìå÷àëîñü â íà÷àëå ëåêöèè, â îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå
ìîãóò ôîðìèðîâàòüñÿ íàïðàâëåííûå ïó÷êè ñâåòà, êîòîðûå ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ
ïðåèìóùåñòâåííî âäîëü îäíîé êîîðäèíàòíîé îñè.  ïîïåðå÷íîì æå íàïðàâëåíèè
àìïëèòóäà áûñòðî ñïàäàåò îò ñåðåäèíû ïó÷êà ê åãî ïåðèôåðèè. Òàêèå ïó÷êè
ñîçäàþòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî ñ èñïîëüçîâàíèåì ëàçåðîâ, ãåíåðèðóþùèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêîå è íàïðàâëåííîå èçëó÷åíèå. Íàïðèìåð, åñëè ïó÷îê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè Oz, òî óðàâíåíèå âîëíû ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
f =
f ( x, y, z, t ) = A( x, y, z ) cos[wt - kz + j 0 ( x, y, z )].
(1.37)
 ýòîì âûðàæåíèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî àìïëèòóäà A(x, y, z) áûñòðî óáûâàåò â ïëîñêîñòè Oxy ïðè óäàëåíèè îò îñè Oz. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî j0(x, y, z) íåçíà÷èòåëüíî (ïî ñðàâíåíèþ ñ 2p) èçìåíÿåòñÿ â ïëîñêîñòè
Oxy, ïîýòîìó ôàçîâàÿ ïîâåðõíîñòü íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïëîñêîñòè
z = const. Âîëíà â âèäå íàïðàâëåííîãî ïó÷êà ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì íåîäíîðîä12
Ðèñ. 1.3
íîé âîëíû, ó êîòîðîé ïîâåðõíîñòè ðàâíîé ôàçû è ðàâíîé àìïëèòóäû íå
ñîâïàäàþò.
Âàæíåéøèìè ìîäåëÿìè ðåàëüíûõ ñâåòîâûõ ïó÷êîâ ÿâëÿþòñÿ ïó÷êè ñ ïðÿìîóãîëüíûì è ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì àìïëèòóäû (ðèñ. 1.3, à, á ).
Íà ðèñ. 1.3, à àìïëèòóäà A ïó÷êà ðàâíà A0 â ïðåäåëàõ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ðàäèóñà
r0, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ïó÷êà. Âíå ýòîãî ñå÷åíèÿ âîëíà îòñóòñòâóåò.
Íà ðèñ. 1.3, á àìïëèòóäà ñïàäàåò ê ïåðèôåðèè ïî çàêîíó A = A0 exp( -r 2 /r02 )
è ïðè r = r0 óìåíüøàåòñÿ ëèøü â e = 2,7 ðàçà. Ðàäèóñ r0 íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðíûì
ðàäèóñîì ãàóññîâà ïó÷êà ïî óðîâíþ e -1 äëÿ àìïëèòóäû.
Ñâåòîâûå èìïóëüñû. Ìíîãèå èñòî÷íèêè ñâåòà (â òîì ÷èñëå è áîëüøîå ÷èñëî
ëàçåðîâ) èçëó÷àþò ñâåòîâûå âñïûøêè. Ýòè âñïûøêè äëÿòñÿ îãðàíè÷åííîå âðåìÿ t0 è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëåêòðîìàãíèòíûå èìïóëüñû. Àìïëèòóäà âîëíû A
è ôàçà j0 â òàêèõ èìïóëüñàõ çàâèñÿò íå òîëüêî îò êîîðäèíàò, íî è îò âðåìåíè.
Óðàâíåíèå âîëíû äëÿ èìïóëüñíîãî, íî ïî-ïðåæíåìó íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè
Oz èçëó÷åíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
é
zö
z öù
æ
æ
f ( x, y, z , t ) = A ç x, y, z , t - ÷ cos ê wt - kz + j 0 ç x, y, z , t - ÷ ú .
è
è
øû
cø
c
ë
(1.38)
Ýòî âûðàæåíèå îòëè÷àåòñÿ îò (1.37) òåì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, â A è j0 âõîäèò
ÿâíàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè è, âî-âòîðûõ, èçìåíåíèå àìïëèòóäû è ôàçû âî
âðåìåíè â ðàçíûõ ñå÷åíèÿõ z = const ïðîèñõîäèò ñ âðåìåííîé çàäåðæêîé Dt = z/c,
íåîáõîäèìîé äëÿ ïðîõîæäåíèÿ èìïóëüñîì ðàññòîÿíèÿ Oz ñî ñêîðîñòüþ c.
Íàèáîëåå âàæíûìè ìîäåëÿìè, êàê è äëÿ ïó÷êîâ, ÿâëÿþòñÿ ìîäåëè ïðÿìîóãîëüíîãî è ãàóññîâà èìïóëüñîâ, èçîáðàæåííûõ, íàïðèìåð, äëÿ òî÷êè x = y = z = 0
íà ðèñ. 1.4, à, á. Íà ðèñ. 1.4, à àìïëèòóäà âîëíû ïîñòîÿííà â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà
âðåìåíè t0, ðàâíîãî äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà, à íà ðèñ. 1.4, á àìïëèòóäà
èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó A = A0 exp( -t 2 /t 20 ) . Ïîýòîìó t0 ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíîé
äëèòåëüíîñòüþ ãàóññîâà èìïóëüñà.
Ðèñ. 1.4
13
Îòìåòèì, ÷òî õîòÿ â âûðàæåíèå (1.38) è
âõîäèò ôèêñèðîâàííàÿ ÷àñòîòà w, èìïóëüñíîå èçëó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèì, ò. å. ñîñòîÿùèì èç ñóììû áîëüøîãî
÷èñëà ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí, ÷àñòîòû
êîòîðûõ ñãðóïïèðîâàíû âáëèçè îñíîâíîé
÷àñòîòû, à øèðèíà ýòîãî äèàïàçîíà ÷àñòîò
îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèòåëüíîñòè
èìïóëüñà è çàâèñèò îò ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ
Ðèñ. 1.5
âî âðåìåíè ôàçû j0. Áîëåå ïîäðîáíî ðå÷ü
îá ýòîì ïîéäåò â ïîñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
Ãðàôè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïëîñêîé âîëíû. Äëÿ õîðîøåãî óñâîåíèÿ èçëîæåííîãî ìàòåðèàëà óäîáíî ïðåäñòàâèòü ôðàãìåíò ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Oz (ðèñ. 1.5).
Çäåñü èçîáðàæåíî ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â
òî÷êàõ îñè Oz â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïîñêîëüêó âîëíà ïëîñêàÿ, òî
òàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå áóäåò è íà ëþáîé ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Oz. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýòà êàðòèíà äîëæíà ïåðåìåùàòüñÿ âäîëü îñè Oz ñî ñêîðîñòüþ c.
Òàêæå ïîêàçàíî íàïðàâëåíèå âåêòîðà rot E, êîòîðûé äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, êîãäà íàïðÿæåííîñòü E = 0, è íàîáîðîò, rot E = 0 ïðè ìàêñè¶H
ìàëüíîé íàïðÿæåííîñòè. Âåêòîð
ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó rot E âñåãäà íà¶t
ïðàâëåí â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Îáà ýòè âåêòîðà èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè
¶E
ñèíõðîííî. Âåêòîðû rot H è
âñåãäà ñîíàïðàâëåíû.
¶t
Ïîëÿðèçàöèÿ âîëíû. Íà ðèñ. 1.5 èçîáðàæåíà ñèòóàöèÿ, êîãäà âåêòîð E êîëåáëåòñÿ âäîëü îñè Ox, à âåêòîð H — âäîëü îñè Oy.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî
âîëíà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîé, èëè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé, à ïëîñêîñòü
ïîëÿðèçàöèè åñòü ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ëåæèò âåêòîð E (â äàííîì ñëó÷àå ïëîñêîñòü Oxz). Âîçìîæíà è äðóãàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà âåêòîð E êîëåáëåòñÿ âäîëü îñè
Oy, à âåêòîð H — âäîëü îñè Ox, ïðè ýòîì E, H è e äîëæíû ïî-ïðåæíåìó
îáðàçîâûâàòü ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ. Ñóïåðïîçèöèÿ îáåèõ ñèòóàöèé ïðèâîäèò
ê ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå, ó êîòîðîé âåêòîðû E è H, îñòàâàÿñü âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûìè, ìîãóò ìåíÿòü íàïðàâëåíèå â ïëîñêîñòè Oxy.  ýòîì ñëó÷àå
âîëíà áóäåò ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîé.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè z = const ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ ãàðìîíè÷åñêèõ ïîëåé, êîëåáëþùèõñÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé âäîëü îñåé Ox è Oy:
E(t ) = E x (t ) + E y (t ) = e x A x cos(wt + j1 ) + e y A y cos(wt + j 2 ),
(1.39)
ãäå ex è ey — åäèíè÷íûå âåêòîðû.
Êîíåö âåêòîðà E áóäåò, â îáùåì ñëó÷àå, äâèãàòüñÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé òðàåêòîðèè.
Óðàâíåíèå äëÿ ýòîé òðàåêòîðèè áûëî ïîëó÷åíî â êóðñå «Ìåõàíèêà», êîãäà ðàññìàòðèâàëîñü ñëîæåíèå äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé ñ îäèíàêîâîé
÷àñòîòîé. Ïðèìåíèòåëüíî ê ýëåêòðè÷åñêîìó ïîëþ (1.39) îíî çàïèøåòñÿ â âèäå
2
2
æ Ey ö
æ Ex ö
Ex Ey
2
çè A ø÷ + ç A ÷ - 2 A A cos(j 2 - j1 ) = sin (j 2 - j1 ).
è yø
x
x
y
14
(1.40)
Íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ êîíöà âåêòîðà E âäîëü òðàåêòîðèè è îðèåíòàöèÿ
ýëëèïñà îòíîñèòåëüíî îñåé Ox è Oy çàâèñÿò îò ðàçíîñòè ôàç Dj = (j2 - j1).
Íà ðèñ. 1.6 èçîáðàæåíû òðàåêòîðèè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ Dj. Âñå òðàåêòîðèè â ïðîñòðàíñòâå Ex, Ey çàêëþ÷åíû â ïðÿìîóãîëüíèêå 2Ax ´ 2Ay.
Ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ êîíöà âåêòîðà E ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, êîòîðûé ñìîòðèò íàâñòðå÷ó âîëíå, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà
ðèñóíêå. Ïðè ðàçíîñòè ôàç 0 < Dj < p êîíåö âåêòîðà äâèæåòñÿ ïî ÷àñîâîé
ñòðåëêå, è ïîëÿðèçàöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé. Ïðè p < Dj < 2p îíà ñòàíîâèòñÿ
ëåâîé. Ïðè Dj = 0, p, 2p ýëëèïòè÷åñêàÿ ïîëÿðèçàöèÿ ïðåâðàùàåòñÿ â ëèíåéíóþ.
Ïðè Dj = p/2, 3p/2 è Ax = Ay ïîëÿðèçàöèÿ âîëíû ñòàíîâèòñÿ êðóãîâîé. Âîëíà
â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííîé.
Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè ñâåòîâûõ âîëí. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå îöåíêè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ïàðàìåòðîâ ñâåòîâûõ âîëí.
Ðèñ. 1.6
15
 âèäèìîì äèàïàçîíå äëèíà âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ öåíòðàëüíîé æåëòî-çåëåíîé
÷àñòè ñïåêòðà, ðàâíà l = 500 íì = 0,5 ìêì.
×àñòîòà ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé n = c/l = 0,6 × 1015 Ãö, à ïåðèîä T =
= 1/n = 1,6 × 10-15 ñ = 1,6 ôñ (1 ôñ = 1 ôåìòîñåêóíäà = 10-15 c). Ïîñêîëüêó ÷àñòîòà
îïòè÷åñêèõ êîëåáàíèé ãðîìàäíà, áîëåå óäîáíî âû÷èñëÿòü ÷àñòîòó â ñì-1 â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé:
n 1
(ñì),
=
(1.41)
c l
ò. å. ÷àñòîòà n% îáðàòíà äëèíå âîëíû, âçÿòîé â ñàíòèìåòðàõ. Íàïðèìåð, äëÿ äëèíû âîëíû l = 500 íì = 0,5 × 10-4 ñì ÷àñòîòà n% = 2 × 104 ñì-1.
Øèðèíà ïó÷êà r0 ñâåðõó îãðàíè÷åíà àïåðòóðîé (ïîïåðå÷íûì ðàçìåðîì) èçëó÷àòåëåé, äîñòèãàþùåé ïîðÿäêà 10 ì. Ïðè ôîêóñèðîâêå ïó÷êà åãî øèðèíà â
ôîêóñå ëèíçû ñòàíîâèòñÿ ìèíèìàëüíîé, îäíàêî äèôðàêöèÿ íå ïîçâîëÿåò ñæàòü
ïó÷îê äî ðàçìåðîâ, ìåíüøå äëèíû âîëíû.
Äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà t0, â ïðèíöèïå íå èìåþùàÿ îãðàíè÷åíèé ñâåðõó,
ìîæåò áûòü óìåíüøåíà äî âåëè÷èíû ïîðÿäêà ïåðèîäà îïòè÷åñêèõ êîëåáàíèé T.
Èìïóëüñ äëèòåëüíîñòüþ ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ôåìòîñåêóíä ñîäåðæèò îäèí-äâà
ïåðèîäà îïòè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà t0 < T ïðèíöèïèàëüíî
íåäîñòèæèìà, ïîñêîëüêó èìïóëüñ ñ îòñóòñòâèåì îñöèëëÿöèé ïîëÿ (âèäåîèìïóëüñ) ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ íå ìîæåò.
n% (ñì -1 ) =
ËÅÊÖÈß 2
Ïîòîê ýíåðãèè âîëíû. Èç ïîâñåäíåâíîãî îïûòà èçâåñòíî, ÷òî ñâåòîâàÿ âîëíà ïåðåíîñèò ýíåðãèþ. Êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêîé ïåðåíîñà ýíåðãèè
ÿâëÿåòñÿ ïîòîê ýíåðãèè, õàðàêòåðèçóåìûé âåêòîðîì Ïîéíòèíãà.
Ïîäñ÷èòàåì ïîòîê ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé ïëîñêîé âîëíîé ÷åðåç ñå÷åíèå,
îðèåíòèðîâàííîå ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû (îñè
Oz). Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà
1
(2.1)
(e 0 E 2 + m 0 H 2 ).
2
Åñëè äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïðèíÿòü, ÷òî âîëíà ïëîñêîïîëÿðèçîâàíà (E = exEx,
H = eyHy), êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 2.1, òî ÷åðåç çàøòðèõîâàííóþ ïîâåðõíîñòü ïëîùàäè s çà âðåìÿ Dt áóäåò ïåðåíåñåíà ýíåðãèÿ, çàêëþ÷åííàÿ â ïàðàëëåëåïèïåäå äëèíîé cDt:
u=
DW = u sc Dt =
1
1
sDt .
(e 0 E x2 + m 0 H y2 )
2
e 0m 0
Ïîñêîëüêó â ïëîñêîé âîëíå
ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó
e0 E x =
DW = e 0 E x2
(2.2)
m 0 H y , ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ëåãêî
1
sDt = E x H y sDt .
e 0m 0
(2.3)
Êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé âîëíîé çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ïëîùàäêó
åäèíè÷íîãî ñå÷åíèÿ, îðèåíòèðîâàííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âîëíå,
îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì Ïîéíòèíãà.  ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå ýòîò âåêòîð
èìååò ëèøü îäíó êîìïîíåíòó âäîëü îñè Oz, êîòîðàÿ ðàâíà
DW
= ExH y .
(2.4)
sDt
Îáîáùàÿ èçëîæåííîå, â îáùåì ñëó÷àå âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà Ïîéíòèíãà
ìîæåì çàïèñàòü â âèäå
Sz =
(2.5)
S = E ´ H.
Åñëè âîëíà ãàðìîíè÷åñêàÿ, òî
E x = A cos[wt - kz ], H y =
e0
E x = ce 0E x .
m0
Òîãäà
S z = c e 0 A 2 cos 2 (wt - kz ).
(2.6)
Ðèñ. 2.1
17
Èíòåíñèâíîñòü âîëíû. Ïîòîê ýíåðãèè «ïóëüñèðóåò» ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.
Ïîýòîìó íà ïðàêòèêå ïîëüçóþòñÿ óñðåäíåííîé çà ïåðèîä âåëè÷èíîé ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ âîëíû è ðàâíà
I = Sz =
T
1
1
S z dt = c e 0 A 2 .
2
T ò0
(2.7)
Èíòåíñèâíîñòü èçìåðÿåòñÿ â âàòòàõ íà êâàäðàòíûé ìåòð (Âò/ì2), à íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (àìïëèòóäà) â âîëüòàõ íà ìåòð (Â/ì).  íàó÷íîé
ëèòåðàòóðå èíòåíñèâíîñòü èçìåðÿþò òàêæå â (Âò/ñì2), à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ
â (Â/ñì). Åñëè â (2.7) ïîäñòàâèòü çíà÷åíèÿ e0 è ñ, òî ñâÿçü ìåæäó I è A ïðèìåò
âèä:
I (Âò/ì2) = 1,32 × 10-3 (A (Â/ì))2.
(2.8)
Íàïðèìåð, èíòåíñèâíîñòü ñâåòà Ñîëíöà âáëèçè Çåìëè (ñîëíå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ) IC = 1 350 Âò/ì2, à àìïëèòóäà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû A » 103 Â/ì.
Ïîñêîëüêó ñîãëàñíî (2.7) I%A 2, òî â îïòèêå ÷àñòî èíòåíñèâíîñòü îïðåäåëÿþò
êàê
I = A 2.
(2.9)
1
ce 0 è îïåðèðî2
âàòü ñ áîëåå óäîáíûìè âûðàæåíèÿìè, â êîòîðûõ èíòåíñèâíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ
â «íåñòàíäàðòíûõ» åäèíèöàõ.
Ìîùíîñòü ñâåòîâîãî ïó÷êà.  ñâåòîâîì ïó÷êå èíòåíñèâíîñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, èçìåíÿåòñÿ (âìåñòå ñ àìïëèòóäîé) â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè. ×åðåç âñå ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïó÷îê ïåðåíîñèò â åäèíèöó âðåìåíè êîíå÷íóþ ýíåðãèþ. Ïîýòîìó ââîäÿò ïîíÿòèå ìîùíîñòè ñâåòîâîãî ïó÷êà, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ èíòåíñèâíîñòüþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Òàêàÿ çàïèñü ïîçâîëÿåò îïóñòèòü ðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò
P =
òò I ( x, y )dxdy,
(2.10)
ãäå èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåìó ïîïåðå÷íîìó ñå÷åíèþ z = const.
Åñòåñòâåííî, ÷òî ìîùíîñòü èçìåðÿåòñÿ â âàòòàõ (Âò), à èíòåíñèâíîñòü ìîæíî
òðàêòîâàòü êàê ïëîòíîñòü ìîùíîñòè.
Äëÿ ïó÷êà ñ ïðÿìîóãîëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì àìïëèòóäû (A = A0 ïðè r £ r0)
èíòåíñèâíîñòü âíóòðè êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ðàäèóñà r0 ïîñòîÿííà (I = I0), ïîýòîìó,
ñîãëàñíî (2.10), ìîùíîñòü òàêîãî ïó÷êà ðàâíà:
(2.11)
P = I 0 pr02 .
Äëÿ ãàóññîâà ïó÷êà ( A = A0e - r
2
r02
) èíòåíñèâíîñòü ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó
I = I 0 e -2 r
ãäå I 0 =
ðàâíà
r02
(2.12)
,
1
c e 0 A02 — èíòåíñèâíîñòü íà îñè ïó÷êà. Ìîùíîñòü òàêîãî ïó÷êà áóäåò
2
¥
P = ò I (r )e -2r
0
18
2
2
r02
2prdr =
1
I 0 pr02 .
2
(2.13)
Çäåñü ýëåìåíò ïëîùàäè dxdy = d s = 2prdr âûáðàí â âèäå êîëüöåâîãî ñëîÿ
ðàäèóñîì r è øèðèíîé dr.
Ñðàâíèâàÿ (2.11) è (2.13), ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà, çàâèñÿùåãî îò êîíêðåòíîãî âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè, ñïðàâåäëèâà îöåíêà
P : I 0 pr02 ,
(2.14)
êîòîðóþ áóäåì èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì.
Ýíåðãèÿ ñâåòîâîãî èìïóëüñà. Åñëè èçëó÷åíèå ïåðåíîñèòñÿ ñâåòîâûì èìïóëüñîì, òî èíòåíñèâíîñòü, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìîùíîñòü èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè.
Èìïóëüñ ïåðåíîñèò ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå êîíå÷íóþ ýíåðãèþ
W = ò P (t )dt =
òòò I ( x, y, t )dxdydt .
(2.15)
Ýíåðãèÿ, åñòåñòâåííî, èçìåðÿåòñÿ â Äæîóëÿõ (Äæ). Äëÿ èìïóëüñà ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïðîôèëåì è äëèòåëüíîñòüþ t0 ìîùíîñòü P(t) = P0, ïîýòîìó
(2.16)
W = P0 t 0 ,
ãäå P0 — ïîñòîÿííàÿ âî âðåìåíè ìîùíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ èíòåãðàëîì (2.10).
Äëÿ ãàóññîâà èìïóëüñà ìîùíîñòü èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè:
P (t ) = P0e -2t
2 /t 2
0
,
(2.17)
ãäå P0 — ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü ïðè t = 0. Ýíåðãèÿ òàêîãî èìïóëüñà
W =
¥
ò P0e
-2t 2 /t 02
dt =
-¥
p
P0 t 0 .
2
(2.18)
Ñðàâíèâàÿ (2.16) è (2.17), âèäèì, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà, çàâèñÿùåãî îò ôîðìû èìïóëüñà,
W : P0 t 0 .
(2.19)
Íàêîíåö, îáúåäèíÿÿ (2.14) è (2.19), äëÿ îöåíîê ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
W : I 0 pr02 t 0 .
(2.20)
n Ïðèìåð 1. Èçëó÷åíèå ãåëèé-íåîíîâîãî ëàçåðà (He-Ne-ëàçåðà), øèðîêî èñïîëüçóåìîãî â ó÷åáíûõ îïòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ, èìååò ìîùíîñòü P ~ 10-2
Âò. Åñëè õàðàêòåðíûé ðàäèóñ ïó÷êà ïðèíÿòü ðàâíûì r0 = 1 ìì = 10-3 ì,
òî ñîãëàñíî îöåíêå (2.14), èíòåíñèâíîñòü I0 ~ 3 × 103 Âò/ì2, ÷òî áîëåå ÷åì â äâà
ðàçà ïðåâûøàåò èíòåíñèâíîñòü ñîëíå÷íîãî ñâåòà.
n Ïðèìåð 2. Âåñüìà ýôôåêòåí îïûò ïî ïðîáîþ âîçäóõà ñ âîçíèêíîâåíèåì
èñêðû ñôîêóñèðîâàííûì ÈÊ-èçëó÷åíèåì èìïóëüñíîãî íåîäèìîâîãî ëàçåðà
(l = 1,06 ìêì). Ýòîò ëàçåð ãåíåðèðóåò èìïóëüñ ñ ýíåðãèåé W ~ 1 Äæ è äëèòåëüíîñòüþ t0 ~ 10 íñ = 10-8 ñ. Åñëè ðàäèóñ ïó÷êà r0 ~ 1 ìì = 10-3 ì, òî ñîãëàñíî
îöåíêå (2.20),
I :
W
= 3 × 1013 Âò/ì 2 ,
pr0 2 t 0
à àìïëèòóäà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ A ~ 108 Â/ì. Ôîêóñèðóÿ èçëó÷åíèå è óìåíüøàÿ ðàäèóñ ïó÷êà â äåñÿòü ðàç, ìû óâåëè÷èâàåì àìïëèòóäó íà ïîðÿäîê, à èíòåíñèâíîñòü — íà äâà ïîðÿäêà. Òàêîãî ïîëÿ ñ ëèõâîé õâàòàåò äëÿ ýëåêòðè÷åñêî19
ãî ïðîáîÿ âîçäóõà (â ñòàòè÷åñêîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå âîçäóõ ïðîáèâàåòñÿ ïðè
íàïðÿæåííîñòè E » 3 × 106 Â/ì).
n Ïðèìåð 3. Åñëè â ôîêàëüíóþ ïëîñêîñòü ëèíçû ïîìåñòèòü ëåçâèå áðèòâû,
òî èìïóëüñ ñ ýíåðãèåé W ~ 1 Äæ ïðîæèãàåò ìàëîå îòâåðñòèå â ëåçâèè. Çäåñü
ôîêóñèðîâêà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû óìåíüøèòü îáúåì (à çíà÷èò, è ìàññó) ðàçîãðåâàåìîãî ôðàãìåíòà ëåçâèÿ. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ðàäèóñ ïó÷êà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû ñæàò äî âåëè÷èíû rF = 0,1r0 = 10-4 ì, òî ïðè òîëùèíå
ëåçâèÿ d = 0,1 ìì = 10-4 ì ýíåðãèÿ èìïóëüñà ïîãëîùàåòñÿ î÷åíü ìàëåíüêèì
öèëèíäðè÷åñêèì ôðàãìåíòîì ëåçâèÿ. Çà êîðîòêîå âðåìÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà
òåïëî íå óñïåâàåò ðàñïðîñòðàíèòüñÿ ïî ëåçâèþ. Åñëè ïëîòíîñòü ñòàëè r = 7,8 × 103
êã/ì3, à òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè Cp ~ 103 Äæ × êã-1 × K-1, òî
â ðåçóëüòàòå ïîëíîãî ïîãëîùåíèÿ ñâåòîâîé ýíåðãèè òåìïåðàòóðà ýòîãî ôðàãìåíòà âûðîñëà áû íà âåëè÷èíó
DT =
W
: 10 4 Ê.
C p rprF2d
(2.21)
Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà DT íàìíîãî ïðåâûñèò òåìïåðàòóðó ïëàâëåíèÿ ñòàëè.
Ïîòîê ýíåðãèè â êâàíòîâîì ïðåäñòàâëåíèè. Â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëàãàþò,
÷òî ñâåòîâàÿ ýíåðãèÿ ïåðåíîñèòñÿ ôîòîíàìè, èëè êâàíòàìè ñâåòà.  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé Ïëàíêà ñâÿçü ìåæäó ýíåðãèåé õ ôîòîíà è ÷àñòîòîé êîëåáàíèé n
ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì õ = hn, ãäå h = 6,62 × 10-34 Äæ × ñ —
ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà.
Åñëè îñíîâûâàòüñÿ íà ïðèíöèïå ñîîòâåòñòâèÿ êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé
òåîðèé ñâåòà, òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî çàêîíû êâàíòîâîé òåîðèè äîëæíû
ïåðåõîäèòü â êëàññè÷åñêèå, êîãäà ýíåðãèÿ ñèñòåìû çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò
ýíåðãèþ îòäåëüíûõ êâàíòîâ ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðîöåññàõ â ñèñòåìå.
 êâàíòîâîì ïðåäñòàâëåíèè èíòåíñèâíîñòü âîëíû ìîæåò áûòü âûðàæåíà
â âèäå
I = ncõ = nchn,
(2.22)
ãäå n — ñðåäíåå ÷èñëî ôîòîíîâ â åäèíèöå îáúåìà.
Ñðàâíèâàÿ (2.7) è (2.22), çàïèøåì
nchn =
1
ce 0 A 2,
2
(2.23)
2nhn
.
e0
(2.24)
îòêóäà àìïëèòóäà âîëíû
A=
Ýòî âûðàæåíèå óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü àìïëèòóäû è ÷àñòîòû êîëåáàíèé ñ ÷èñëîì ôîòîíîâ â åäèíèöå îáúåìà. Ïî ñóùåñòâó, àìïëèòóäà ìîæåò ïðèíèìàòü äëÿ
ôèêñèðîâàííîé ÷àñòîòû äèñêðåòíûå (êâàíòîâûå) çíà÷åíèÿ. Åñëè ÷èñëî ôîòîíîâ âåëèêî, òî àìïëèòóäà ïðàêòè÷åñêè ìîæåò èìåòü ëþáîå çíà÷åíèå, è ïðèìåíèìî êëàññè÷åñêîå îïèñàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Åñëè æå èíòåíñèâíîñòü
âîëíû ìàëà, òî åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ñòàíîâèòñÿ ëèøü êâàíòîâîå ïðåäñòàâëåíèå.
Ñâåòîâîå äàâëåíèå. Âìåñòå ñ ýíåðãèåé âîëíà ïåðåíîñèò èìïóëüñ. Ïðè ïàäåíèè ñâåòà íà ìàòåðèàëüíîå òåëî ýòîò èìïóëüñ (öåëèêîì èëè ÷àñòè÷íî) ïåðå20
äàåòñÿ òåëó. Â ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðûì çàêîíîì
Íüþòîíà ñâåò äåéñòâóåò íà òåëî ñ íåêîòîðîé
ñèëîé, îêàçûâàÿ òåì ñàìûì ñâåòîâîå äàâëåíèå.
Ãèïîòåçà î ñóùåñòâîâàíèè ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ âïåðâûå áûëà âûñêàçàíà È. Êåïëåðîì äëÿ
îáúÿñíåíèÿ îòêëîíåíèÿ õâîñòîâ êîìåò â ñòîðîíó îò Ñîëíöà. Ýòî îòêëîíåíèå âîçíèêàåò â
ðåçóëüòàòå âîçäåéñòâèÿ ñîëíå÷íîãî ñâåòà íà ÷àñòèöû, ñîñòàâëÿþùèå õâîñò êîìåòû. Íà ðèñ. 2.1
Ðèñ. 2.2
öâ. âêë. ïîêàçàíà îäíà èç òàêèõ êîìåò.
Òåîðèÿ ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ áûëà ïîñòðîåíà Äæ. Ìàêñâåëëîì (1873). Ïî ýòîé
òåîðèè ñâåòîâîå äàâëåíèå ýòî ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ ïîíäåðîìîòîðíûõ ñèë
ñî ñòîðîíû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà äâèæóùèåñÿ çàðÿäû â ìàòåðèàëüíîì
òåëå.
Äëÿ ðàñ÷åòà ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ ðàññìîòðèì íîðìàëüíîå ïàäåíèå ëèíåéíî
ïîëÿðèçîâàííîé ïëîñêîé âîëíû íà ïîâåðõíîñòü òâåðäîãî òåëà (ðèñ. 2.2).
Ïðè âîçäåéñòâèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà ÷àñòèöó ñ çàðÿäîì q, âõîäÿùóþ
â ñîñòàâ àòîìà, îíà ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü Lxex. Ìàãíèòíîå ïîëå, âîçäåéñòâóÿ íà
äâèæóùóþñÿ ÷àñòèöó, íà÷íåò åå «çàòàëêèâàòü» âíóòðü òåëà. Ó ÷àñòèöû ïîÿâèòñÿ
è âòîðàÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè Lzez. ×åðåç ïîëïåðèîäà èçìåíÿòñÿ íàïðàâëåíèÿ
âåêòîðîâ E, H è Lxex íà ïðîòèâîïîëîæíûå, íî ìàãíèòíîå ïîëå ïî-ïðåæíåìó
áóäåò «çàòàëêèâàòü» ÷àñòèöó âäîëü îñè Oz âíóòðü òåëà. Ýòî è ÿâëÿåòñÿ ïðè÷èíîé
ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ.
Ïîäñ÷èòàåì ñðåäíþþ çà ïåðèîä ñèëó, ñèëó Ëîðåíöà, äåéñòâóþùóþ íà ýòîò
çàðÿä. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ñèëû ðàâíî
f = qE + q v ´ B = qE x e x + q (L x e x + L y e y + L z e z ) ´ B y e y .
(2.25)
Âû÷èñëÿÿ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå è óñðåäíÿÿ çíà÷åíèå ñèëû ïî âðåìåíè,
ïîëó÷àåì
áf ñ =
t
1
f (t ) dt = qáE x ñe x - qáL z B y ñe x + qáL x B y ñe z .
t ò0
(2.26)
Î÷åâèäíî, ÷òî áE x ñ = 0. Ìîæíî òàêæå ïîëîæèòü áL z B y ñ » L z áB y ñ = 0, ïîñêîëüêó çà ïåðèîä êîëåáàíèé ñêîðîñòü Lz, íàïðàâëåííàÿ âñåãäà âäîëü ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ îñè Oz, èçìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî, â òî âðåìÿ êàê By ÿâëÿåòñÿ
áûñòðî îñöèëëèðóþùåé ôóíêöèåé.
Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ñðåäíåé ñèëû íàïðàâëåí âäîëü îñè Oz è ðàâåí
á f ñ = q áL x B y ñe z .
(2.27)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñîâåðøàåò ðàáîòó íàä çàðÿäîì. Ìîùíîñòü ñèëû f ðàâíà ýíåðãèè W, ïåðåäàâàåìîé îò âîëíû ê çàðÿäó â åäèíèöó
âðåìåíè. Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü
dW
= f × v = qE x L x = cqL x B y .
dt
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî E x =
(2.28)
m0
H y = cB y .
e0
21
Óñðåäíÿÿ (2.28) ïî âðåìåíè è ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ (2.27), ìîæíî
çàïèñàòü
1 dW
(2.29)
á
ñe z .
ñ dt
Ïðè ïåðåõîäå ê åäèíèöå ïëîùàäè ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèëû ìîæíî çàìåíèòü
äàâëåíèåì, à ñðåäíåå çíà÷åíèå ýíåðãèè â åäèíèöó âðåìåíè — èíòåíñèâíîñòüþ.
Ïîýòîìó
I
(2.30)
ð= .
c
Íî äàâëåíèå ÷èñëåííî ðàâíî ñðåäíåìó èìïóëüñó, ïåðåäàâàåìîìó âîëíîé
åäèíèöå ïëîùàäè çà åäèíèöó âðåìåíè:
áf ñ =
d
K,
dt
ïîýòîìó èìïóëüñ K , ïåðåíîñèìûé âîëíîé çà êîíå÷íîå âðåìÿ, ðàâåí
ð=
(2.31)
1
(2.32)
I (t )dt .
ñò
Îòìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (2.30) ïîëó÷åíà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èìïóëüñ âîëíû
ïîëíîñòüþ ïåðåäàåòñÿ ìàòåðèàëüíîìó òåëó. Ïðè ïàäåíèè íà ÷àñòè÷íî
îòðàæàþùóþ ïîâåðõíîñòü äàâëåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîñêîëüêó ÷àñòü èìïóëüñà
âîëíû óíîñèòñÿ â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ïîýòîìó äàâëåíèå ñâåòà áóäåò çàâèñåòü
îò êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ R äëÿ èíòåíñèâíîñòè:
K
=
I
(2.33)
(1 + R ).
ñ
Ïðè ïàäåíèè íà èäåàëüíóþ çåðêàëüíóþ ïîâåðõíîñòü (R = 1) äàâëåíèå óâåëè÷èòñÿ âäâîå ïî ñðàâíåíèþ ñ (2.30).
Èìïóëüñ ôîòîíà. Åñëè â (2.32) ïîäñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ èíòåíñèâíîñòè
(2.22) â êâàíòîâîì ïðåäñòàâëåíèè, òî ïðè I = const
p=
1
(2.34)
nchnt .
ñ
Ðàçóìíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ýòîò èìïóëüñ ðàâåí ñóììå èìïóëüñîâ îòäåëüíûõ ôîòîíîâ, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî nct. Òîãäà íà äîëþ êàæäîãî ôîòîíà ïðèõîäèòñÿ èìïóëüñ
K
=
hn
(2.35)
.
ñ
Èìïóëüñ ôîòîíà ðàâåí åãî ýíåðãèè, äåëåííîé íà ñêîðîñòü ñâåòà, è ñîíàïðàâëåí
ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè ôîòîíà.
Ìîìåíò èìïóëüñà âîëíû. Ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà îáëàäàåò
ìîìåíòîì èìïóëüñà. Åãî ìîæíî îïðåäåëèòü, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèå ðàññóæäåíèÿ.
Ó ÷àñòèöû ìàññîé m, âðàùàþùåéñÿ âîêðóã îñè Oz ñî ñêîðîñòüþ L ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r0, ìîìåíò èìïóëüñà ðàâåí
pô =
L = mL r0 A z =
22
mL 2
Az ,
w
(2.36)
ãäå w = L/r0 — óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ÷àñòèöû.  îïòèêå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
w — ÷àñòîòà âîëíû, èëè óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âåêòîðîâ E è H.
Ìîìåíò èìïóëüñà âîëíû â åäèíèöå îáúåìà ïîëó÷àåòñÿ èç (2.36), åñëè mL 2
çàìåíèòü îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ u. Òîãäà ìîìåíò èìïóëüñà, ïåðåíîñèìûé âîëíîé ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó â åäèíèöó
âðåìåíè, ðàâåí
L =
ñu
Az .
w
(2.37)
Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî L ðàâåí ñóììå ìîìåíòîâ èìïóëüñîâ ôîòîíîâ, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî nc, u = nhn, òî ìîìåíò èìïóëüñà îäíîãî ôîòîíà âû÷èñëÿþò ïî ôîðìóëå
lf =
L
cnhv
h
ez
=
=
2p
nc
nc w
(2.38)
Ìîìåíò èìïóëüñà ôîòîíà íàçûâàþò ñïèíîì. Ñïèí ôîòîíà íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû ñâåòà è ÿâëÿåòñÿ åãî ôóíäàìåíòàëüíîé êâàíòîâîé õàðàêòåðèñòèêîé. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ó âîëíû
ñ êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé áûëî ïîëó÷åíî ïðè ïðîõîæäåíèè òàêîé âîëíû ÷åðåç
ïîëóâîëíîâóþ ïëàñòèíêó, ïðèíöèï ðàáîòû êîòîðîé îïèñàí â ðàçäåëå 7 «Âîëíû â àíèçîòðîïíûõ ñðåäàõ».
Ñåé÷àñ ëèøü îòìåòèì, ÷òî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ òàêîé ïëàñòèíêè íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ âåêòîðîâ E è H èçìåíèòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Ñîîòâåòñòâåííî
èçìåíèò ñâîå íàïðàâëåíèå è ìîìåíò èìïóëüñà âîëíû. Ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû «âîëíà — ïëàñòèíêà», ïîñëåäíÿÿ äîëæíà
ïðèéòè âî âðàùåíèå âîêðóã îñè, ñîâïàäàþùåé ñ íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû.
Åñëè ïðîäîëæèòü ñîïîñòàâëåíèå êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâûõ õàðàêòåðèñòèê
ñâåòà, òî ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû. Ó âîëíû ñ ëåâîé ýëëèïòè÷åñêîé
ïîëÿðèçàöèåé ñïèíû ôîòîíîâ îðèåíòèðîâàíû ïðåèìóùåñòâåííî âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ó âîëíû ñ ïðàâîé ýëëèïòè÷åñêîé ïîëÿðèçàöèåé ïðåèìóùåñòâåííàÿ îðèåíòàöèÿ ñïèíîâ ñòàíîâèòñÿ ïðîòèâîïîëîæíîé. Ó âîëíû
ñ ëåâîé êðóãîâîé ïîëÿðèçàöèåé âñå ñïèíû íàïðàâëåíû âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ, à ñ ïðàâîé — â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Åñëè ñïèíû
ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ îðèåíòèðóþòñÿ â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ, òî âîëíà ïëîñêîïîëÿðèçîâàíà.
Òàêèì îáðàçîì, ôîòîí îáëàäàåò ýíåðãèåé, èìïóëüñîì è ìîìåíòîì èìïóëüñà.
Îí íå èìååò ìàññû, ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëüíîãî è ìàãíèòíîãî ìîìåíòîâ. Åãî âðåìÿ æèçíè â âàêóóìå íå îãðàíè÷åíî, ïîýòîìó ôîòîí óñòîé÷èâ è ñàìîïðîèçâîëüíî íå ðàñïàäàåòñÿ.
Äàâëåíèå ðàâíîâåñíîãî òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ. Ïîëüçóÿñü êâàíòîâûì ïðåäñòàâëåíèåì îá èìïóëüñå ôîòîíà, ðàññìîòðèì çàäà÷ó î äàâëåíèè ñâåòà íà ñòåíêè ÷åðíîãî íàãðåòîãî ÿùèêà, âíóòðè êîòîðîãî èìååòñÿ èçëó÷àåìîå ýòèìè ñòåíêàìè
ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Åñëè ïîëå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ñî ñòåíêàìè,
òî ÷èñëî ôîòîíîâ, èçëó÷àåìûõ ôðàãìåíòàìè ñòåíêè â ëþáîì íàïðàâëåíèè,
áóäåò â òî÷íîñòè ðàâíî ÷èñëó ôîòîíîâ, ëåòÿùèõ ê ñòåíêå ñî âñòðå÷íîãî
íàïðàâëåíèÿ è ïîãëîùàåìûõ ýòèì ôðàãìåíòîì. Òåðìèí «÷åðíûé ÿùèê»
èñïîëüçóåòñÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî âñå ïîäëåòàþùèå ê åãî ñòåíêàì ôîòîíû
ïîëíîñòüþ èìè ïîãëîùàþòñÿ.
23
Åñëè ôîòîí, èìåþùèé ÷àñòîòó n, ïàäàåò
(è èçëó÷àåòñÿ) ïîä óãëîì J ê íîðìàëè ê ñòåíêå, òî íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïîëó÷àåìîãî
ñòåíêîé èìïóëüñà ïðè êàæäîì àêòå «ïîãëîùåhn
íèå — èçëó÷åíèå» ðàâíà 2
cos J (ðèñ. 2.3).
c
Îäíàêî ôîòîíû ëåòÿò ïîä ðàçíûìè óãëàìè
è èìåþò ðàçëè÷íûå ÷àñòîòû (ñì. ðàçäåë 2 «Èçëó÷åíèå ñâåòà»). Åñëè ÷èñëî ôîòîíîâ â åäèíèöå îáúåìà ðàâíî n, òî òîëüêî èõ ÷àñòü dn îáëàäàåò ÷àñòîòàìè, çàêëþ÷åííûìè â èíòåðâàëå
n ¸ n + d n:
Ðèñ. 2.3
dn = nf (n)d n,
(2.39)
ãäå f (n) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ôîòîíîâ ïî ÷àñòîòàì. Ýòè dn ôîòîíîâ (ñì.
ðèñ. 2.3) ëåòÿò èçîòðîïíî ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âíóòðè òåëåñíîãî óãëà 4p,
ïîýòîìó ê åäèíè÷íîé ïëîùàäêå ïîëåòèò ëèøü ÷àñòü èç íèõ
dW
1
(2.40)
= dn
d j sin Jd J,
4p
4p
ãäå d W = d j sin Jd J — ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà, ïîä êîòîðûì ôîòîíû «âèäÿò»
ïëîùàäêó. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ëèøü äâà åäèíè÷íûõ îáúåìà ñ êîîðäèíàòàìè (J, j = 0) è (J, j = p), èç êîòîðûõ ôîòîíû ëåòÿò ê ïëîùàäêå. Íàêîíåö,
çà åäèíèöó âðåìåíè ñ ïëîùàäêîé «âñòðåòÿòñÿ» ôîòîíû, çàêëþ÷åííûå â îáúåìå
c cos J, ÷èñëî êîòîðûõ áóäåò ðàâíî
dn ¢ = dn
(2.41)
dn ¢¢ = dn ¢c cos J.
Ïåðåäàâàåìûé èìè èìïóëüñ áóäåò ðàâåí ýëåìåíòàðíîìó äàâëåíèþ
dp = 2
hn
dn ¢¢ cos J.
c
(2.42)
Ñ ó÷åòîì (2.40) è (2.41) çàìåíèì â (2.42) dn² âåëè÷èíîé dn è ïðîâåäåì
èíòåãðèðîâàíèå (2.42) ïî óãëàì j è J, à òàêæå ïî ÷àñòîòàì n:
p = ò dp =
¥
1
2p
2p
p/2
0
0
ò dj ò
¥
cos 2 J sin J d J ò hndn =
0
1
u.
3
(2.43)
Çäåñü u = ò h ndn = náh nñ — îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî
0
ïîëÿ, âåëè÷èíà êîòîðîé (à, ñëåäîâàòåëüíî, è ôóíêöèÿ f (n)) çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû ñòåíîê. Îíà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ êîíöåíòðàöèè ôîòîíîâ íà âåëè÷èíó
ñðåäíåé ýíåðãèè ôîòîíîâ áhnñ. Ôîðìóëà (2.43) áóäåò èñïîëüçîâàíà â ñëåäóþùåì ðàçäåëå ïðè èçó÷åíèè çàêîíîâ òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ.
Îïòè÷åñêàÿ ëåâèòàöèÿ. Äàâëåíèå ñâåòà Ñîëíöà, ñîãëàñíî (2.30), ðàâíî p =
= IC /c » 0,45 × 10-5 Ïà (IC — ñîëíå÷íàÿ ïîñòîÿííàÿ), îíî íà äåñÿòü ïîðÿäêîâ
ìåíüøå àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ.
 1899 ã. Ï. Í. Ëåáåäåâûì áûëè âûïîëíåíû ïðåöèçèîííûå ýêñïåðèìåíòû
ïî îáíàðóæåíèþ è èññëåäîâàíèþ äàâëåíèÿ ñâåòà ýëåêòðè÷åñêîé äóãè.  åãî îïûòàõ
íà òîíêîé ñåðåáðÿíîé íèòè ïîäâåøèâàëîñü êîðîìûñëî, íà êîíöàõ êîòîðîãî áûëè
24
óñòàíîâëåíû òîíêèå äèñêè-êðûëûøêè.
Ôîòîãðàôèè èñïîëüçóåìûõ â îïûòàõ êîðîìûñåë ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.4.
Òàêèì îáðàçîì, èçìåðèòåëüíîå óñòðîéñòâî ïðåäñòàâëÿëî ñîáîé êðóòèëüíûå
âåñû, ïî óãëó çàêðó÷èâàíèÿ êîòîðûõ
èçìåðÿëîñü ñâåòîâîå äàâëåíèå. Âåñû íàõîäèëèñü â âàêóóìå ( p » 10-4 ìì ðò. ñò.).
Âîçäóõ îòêà÷èâàëñÿ äëÿ óìåíüøåíèÿ òàê
íàçûâàåìûõ ðàäèîìåòðè÷åñêèõ ñèë, ìàñêèðóþùèõ ñâåòîâîå äàâëåíèå. Ðàäèîìåòðè÷åñêèå ñèëû îáóñëîâëåíû áîìáàðäèðîâêîé êðûëûøåê ìîëåêóëàìè âîçäóõà,
èìåþùåãî ðàçíûå òåìïåðàòóðû âáëèçè
îñâåùåííîé è òåíåâîé ïîâåðõíîñòåé
Ðèñ. 2.4
êðûëûøåê. Ïðîèçâåäåííûå èçìåðåíèÿ
ïîêàçàëè, ÷òî â çåìíûõ óñëîâèÿõ ñâåòîâîå äàâëåíèå íå èãðàåò íèêàêîé ðîëè.
Âî Âñåëåííîé ñèòóàöèÿ èíàÿ. Íàïðèìåð, â íåäðàõ ðàñêàëåííûõ çâåçä îãðîìíà ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òîãäà, ñîãëàñíî (2.43), âîçíèêàþò ãðîìàäíûå ñèëû äàâëåíèÿ, êîòîðûå óðàâíîâåøèâàþò îãðîìíûå ñèëû ãðàâèòàöèè, ïðåäîòâðàùàÿ òåì ñàìûì êîëëàïñ çâåçä.
 çåìíûõ óñëîâèÿõ òîëüêî ïîñëå èçîáðåòåíèÿ ëàçåðîâ (1961) ñâåòîâîå äàâëåíèå ñòàëè èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé. Îäíèì èç òàêèõ åãî ïðèìåíåíèé ÿâëÿåòñÿ âîçäåéñòâèå íà ìàëûå ÷àñòèöû ëó÷à ëàçåðà. Åñëè, íàïðèìåð, èçëó÷åíèå ëàçåðà ñôîêóñèðîâàòü íà ÷àñòèöó ðàäèóñîì r0, òî ñîãëàñíî (2.30) ñèëà
ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ áóäåò ðàâíà
F = p pr02 =
I
P
pr02 : ,
c
c
(2.44)
ãäå P — ìîùíîñòü ñâåòîâîãî ïó÷êà.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ëàçåðà ìîùíîñòüþ P = 1 Âò ñèëà F = 3 × 10-9 Í. Åñëè
ðàäèóñ ÷àñòèöû r0 = 10 ìêì = 10-5 ì, òî åå îáúåì V ~ 4 × 10-15 ì3. Ïðè ïëîòíîñòè
r ~ 103 êã/ì3 ìàññà ÷àñòèöû m = rV ~ 4 × 10-12 êã. Î÷åâèäíî, ÷òî ñèëà F ~ 102mg.
Òàêàÿ ñèëà ïðèäàñò ÷àñòèöå ãðîìàäíîå óñêîðåíèå a ~ 102g, à áîëåå ìåëêèì
÷àñòèöàì ñ r0 ~ 1 ìêì — a ~ 105g. Ñëåäîâàòåëüíî, âîçäåéñòâóÿ èçëó÷åíèåì ëàçåðà
íà ÷àñòèöû ðàçëè÷íîé ìàññû (âèðóñû, ìàêðîìîëåêóëû è ò. ä.), ìîæíî
ïðîèçâåñòè èõ ïðîñòðàíñòâåííîå ðàçäåëåíèå.
Åñëè ïîäñâåòèòü ÷àñòèöó ëó÷îì ëàçåðà ñíèçó ââåðõ, òî ìîæíî ïðè îïðåäåëåííîé ìîùíîñòè èçëó÷åíèÿ ñêîìïåíñèðîâàòü ñèëó òÿæåñòè è òåì ñàìûì óäåðæàòü ÷àñòèöó â «ïîäâåøåííîì» ñîñòîÿíèè. Òàêàÿ «íåâåñîìîñòü» íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêîé ëåâèòàöèåé. Îíà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ìàíèïóëÿöèé íàä ìèêðî÷àñòèöàìè.
Ìîæíî âîîáùå âîçäåéñòâîâàòü íà îòäåëüíûé àòîì.  ýòîì ñëó÷àå ïîíäåðîìîòîðíûå ñèëû äåéñòâóþò íà îñöèëëèðóþùèé ýëåêòðîí â àòîìå (ñì. ðàçä. 2).
Ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû ïîëÿ ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé êîëåáàíèé ýëåêòðîíà
â àòîìå âîçíèêàåò ðåçîíàíñ ñêîðîñòè êîëåáàíèé. Ýòî ïðèâîäèò ê ðåçêîìó âîçðàñòàíèþ ïîíäåðîìîòîðíûõ ñèë (ñì. ôîðìóëó (2.25)). Òàêîå ðåçîíàíñíîå âîçäåéñòâèå íà àòîì èñïîëüçóåòñÿ äëÿ èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè òåïëîâîãî äâèæåíèÿ
àòîìîâ ãàçà.
25
Ëàçåðíîå îõëàæäåíèå. Â êîíöå 70-õ ãîäîâ XX â. â ÑÑÑÐ Â. Ñ. Ëåòîõîâûì,
Â. Ã. Ìèíîãèíûì è Á. Ä. Ïàâëèêîì áûëà âûñêàçàíà èäåÿ è ïðåäëîæåí ìåòîä
îõëàæäåíèÿ è ïëåíåíèÿ àòîìîâ è ìîëåêóë ðåçîíàíñíûì ñâåòîâûì ïîëåì. Â
òàêîì ïîëå íà ÷àñòèöû äåéñòâóþò ñèëû äâóõ òèïîâ: ñèëà ñïîíòàííîãî ñâåòîâîãî
äàâëåíèÿ è ñèëà èíäóöèðîâàííîãî ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ (î ñïîíòàííîì è âûíóæäåííîì èçëó÷åíèè ðå÷ü ïîéäåò â ëåêöèè 5).
Ïåðâàÿ ñèëà îáóñëîâëåíà îòäà÷åé ïðè ìíîãîêðàòíîì ñïîíòàííîì èçëó÷åíèè âîçáóæäåííûì àòîìîì â ñëó÷àéíûõ íàïðàâëåíèÿõ ñâåòîâûõ êâàíòîâ ÷àñòîòû n0 (÷àñòîòû, ñîîòâåòñòâóþùåé ñåðåäèíå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ïðè àòîìíîì
ïåðåõîäå).  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ïðè èçëó÷åíèè ôîòîíà ñ èìïóëüñîì, ðàâíûì hn0/c, àòîì â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ïðèîáðåòàåò òàêîé æå èìïóëüñ îòäà÷è.
Âîçáóæäåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîãëîùåíèè êâàíòîâ ñâåòà ÷àñòîòû n < n0.
Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ èçëó÷åííîãî ôîòîíà ïðåâîñõîäèò ýíåðãèþ ïîãëîùåííîãî,
÷àñòü ýíåðãèè äîëæíà çàèìñòâîâàòüñÿ èç ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ àòîìà.
 ïðàêòè÷åñêîì ïëàíå áûëî ïðåäëîæåíî íàïðàâèòü àòîìíûé ïó÷îê â ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì ñîçäàåòñÿ ñòîÿ÷àÿ ñâåòîâàÿ âîëíà ÷àñòîòû n. Òå èç àòîìîâ, ïðîåêöèÿ
ñêîðîñòè L êîòîðûõ íà íàïðàâëåíèå ñòîÿ÷åé âîëíû óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Äîïëåðà
Lö
æ
n 0 = n ç1 + ÷ ,
(2.45)
è
cø
áóäóò íàèáîëåå ýôôåêòèâíî âîçáóæäàòüñÿ è, ñîîòâåòñòâåííî, çàìåäëÿòüñÿ âäîëü
ýòîãî íàïðàâëåíèÿ. Åñëè ñîçäàòü ñòîÿ÷èå âîëíû âäîëü òðåõ êîîðäèíàò, òî ìîæíî óìåíüøèòü ïîëíóþ ñêîðîñòü àòîìà.
Ñèëà èíäóöèðîâàííîãî ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ, äåéñòâóÿ òîëüêî â íàïðàâëåíèè
ñòîÿ÷åé âîëíû (ôîòîíû ïðè âûíóæäåííîì èçëó÷åíèè äâèæóòñÿ â íàïðàâëåíèè
ïàäàþùèõ), ìîæåò ïðèâåñòè ê ýôôåêòó ïëåíåíèÿ çàìåäëåííûõ àòîìî⠗
èõ ëîêàëèçàöèè âáëèçè ïó÷íîñòåé ñòîÿ÷åé âîëíû.
Èçìåíÿÿ ïëàâíî ÷àñòîòó n ñòîÿ÷åé âîëíû, ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî çàìåäëÿòü ÷àñòèöû, èìåþùèå ðàçëè÷íûå ñêîðîñòè. Àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ñêàíèðîâàíèè ÷àñòîòû ñòîÿ÷åé âîëíû îò íà÷àëüíîé âåëè÷èíû n0 - DnD/2 äî êîíå÷íîé âåëè÷èíû n0 - Dn/2 (DnD è Dn — äîïëåðîâñêàÿ è åñòåñòâåííàÿ øèðèíû
ëèíèè, ïðè ýòîì DnD > Dn (ñì. ëåêöèþ 4)), íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ
êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäåò ñóæàòüñÿ. Äàëüíåéøåå ïðèáëèæåíèå ÷àñòîòû n âîëíû ê ÷àñòîòå n0 íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê ýôôåêòèâíîñòü
òîðìîæåíèÿ çíà÷èòåëüíî óìåíüøàåòñÿ.
Ê îêîí÷àíèþ ñêàíèðîâàíèÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà êîìïîíåíòû ñêîðîñòè áóäåò óìåíüøåíî äî âåëè÷èíû
hDn
(2.46)
.
2M
Çäåñü M — ìàññà àòîìà, h = h/2p. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå M áL 2 ñ/2 = kT/2 , äëÿ
êîíå÷íîé òåìïåðàòóðû T ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
hDn
T =
,
(2.47)
2k
áL 2 ñ =
ãäå k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà. Åñëè ïðèíÿòü Dn/2 = 108 Ãö, òî òåìïåðàòóðà ïðè
ëàçåðíîì îõëàæäåíèè äîñòèãàåò âåëè÷èíû T » 0,7 × 10-3 K. Âðåìÿ îõëàæäåíèÿ
ñîñòàâëÿåò äîëè ìèëëèñåêóíäû.
26
Ðèñ. 2.5
Ðàññìîòðåííûé ìåõàíèçì îõëàæäåíèÿ íàçûâàåòñÿ äîïëåðîâñêèì îõëàæäåíèåì. Ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèå (2.47) îïðåäåëÿåò òàê íàçûâàåìûé äîïëåðîâñêèé ïðåäåë.
Íà ðèñ. 2.5 ïîêàçàíà äèíàìèêà äîñòèæåíèé ïî ëàçåðíîìó îõëàæäåíèþ, îñóùåñòâëåííîìó â âåäóùèõ ëàáîðàòîðèÿõ ìèðà.
Ïåðâûå ýêñïåðèìåíòû ïî äîïëåðîâñêîìó îõëàæäåíèþ äî òåìïåðàòóðû T =
= 1,5 K áûëè ïðîâåäåíû â ÑÑÑÐ â íà÷àëå 80-õ ãîäîâ XX â. Îõëàæäåíèå îñóùåñòâëÿëîñü â îäíîìåðíîé ñòîÿ÷åé âîëíå.
 ïîñëåäóþùèõ ýêñïåðèìåíòàõ (â ÑÑÑÐ è çà ðóáåæîì) èñïîëüçîâàëèñü äâóõìåðíûå è òðåõìåðíûå ñòîÿ÷èå âîëíû, ÷òî ïîçâîëèëî çà íåñêîëüêî ëåò äîñòè÷ü
äîïëåðîâñêîãî ïðåäåëà.
Íà ðèñ. 2.2 öâ. âêë. ïîêàçàíà ñõåìà óñòàíîâêè, â êîòîðîé îñóùåñòâëåíî ìàãíèòîîïòè÷åñêîå ïëåíåíèå àòîìîâ. Îáëàêî àòîìîâ (æåëòîå ïÿòíî â öåíòðå) óäåðæèâàåòñÿ â îáëàñòè ïåðåñå÷åíèÿ òðåõ ñòîÿ÷èõ âîëí, îáðàçóåìûõ øåñòüþ ëàçåðíûìè ïó÷êàìè. Äëÿ áîëåå ýôôåêòèâíîãî óäåðæàíèÿ îáëàêà â ýòîé îáëàñòè êàòóøêàìè ñ òîêîì ñîçäàåòñÿ òàêæå íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå.
 êîíöå 80-õ è â ïåðâîé ïîëîâèíå 90-õ ãîäîâ, ïðèìåíÿÿ äðóãèå ïîäõîäû,
óäàëîñü ïðåâçîéòè äîïëåðîâñêèé ïðåäåë è ïîñòåïåííî äîâåñòè òåìïåðàòóðó
àòîìîâ äî T = 2 × 10-8 K!
Ëàçåðíûé òåðìîÿäåðíûé ñèíòåç. Â ðåàêöèÿõ ñèíòåçà ÿäåð ëåãêèõ ýëåìåíòîâ,
ðàñïîëîæåííûõ â òàáëèöå Ìåíäåëååâà äî íàèáîëåå ïëîòíî óïàêîâàííûõ ÿäåð
(æåëåçî, íèêåëü è äð.), ýíåðãèÿ ïîêîÿ ïåðåõîäèò â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ
ïðîäóêòîâ ðåàêöèè. Ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ïðîòîí-ïðîòîííûé öèêë íà Ñîëíöå,
â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî âûñâîáîæäàåòñÿ ãðîìàäíàÿ ýíåðãèÿ.
 çåìíûõ óñëîâèÿõ ëåã÷å âñåãî îñóùåñòâèòü ñëèÿíèå èçîòîïîâ âîäîðîäà —
äåéòåðèÿ Ä è òðèòèÿ Ò. Äåéòåðèé ñîäåðæèòñÿ â âîäå â ñîîòíîøåíèè 1/6 500,
à òðèòèé, èìåþùèé ïåðèîä ïîëóðàñïàäà 12,4 ãîäà, ìîæíî ïîëó÷èòü â ÿäåðíûõ
ðåàêöèÿõ. Â ðåçóëüòàòå ðåàêöèè
Ä + Ò = 4He + n + Q
âûñâîáîæäàåòñÿ ýíåðãèÿ Q = 17,6 ýÂ. Äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ òàêîé ðåàêöèè íåîáõîäèìî ñáëèçèòü ÿäðà, ïðåîäîëåâàÿ êóëîíîâñêèå ñèëû îòòàëêèâàíèÿ ìåæäó
ïðîòîíàìè. Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, íàãðåâ âåùåñòâî äî âûñîêîé òåìïåðàòóðû
27
Ò ~ 108 Ê. Äëÿ òîãî ÷òîáû âûäåëèâøàÿñÿ ýíåðãèÿ ñðàâíÿëàñü ñ ýíåðãåòè÷åñêèìè çàòðàòàìè íà íàãðåâ ïëàçìû, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå êðèòåðèÿ Ëîóñîíà:
nt ³ 1014 ñ/ñì3,
ãäå n — êîëè÷åñòâî ÷àñòèö â 1 ñì3; t — âðåìÿ ýôôåêòèâíîãî ïðîòåêàíèÿ ðåàêöèè ñèíòåçà.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóþò äâà ïîäõîäà ê îñóùåÐèñ. 2.6
ñòâëåíèþ óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà. Ïðè ïåðâîì ïîäõîäå ìàãíèòíûì ïîëåì ñïåöèàëüíîé êîíôèãóðàöèè â òå÷åíèå âðåìåíè t » 1 — 10 ñ óäåðæèâàåòñÿ âûñîêîòåìïåðàòóðíàÿ ïëàçìà
ñ êîíöåíòðàöèåé n » 1014 — 1015 cì-3.  óñòàíîâêàõ «Òîêàìàê» (ÑÑÑÐ) âîäîðîäíàÿ ïëàçìà èçîëèðóåòñÿ îò ñòåíîê óñòàíîâêè ìàãíèòíûì ïîëåì è íàãðåâàåòñÿ
ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì äî î÷åíü âûñîêèõ òåìïåðàòóð, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíû
ðåàêöèè ñèíòåçà.
Ïðè âòîðîì ïîäõîäå, ïðåäëîæåííîì òàêæå â ÑÑÑÐ Í.Ã.Áàñîâûì è Î. Í.Êðîõèíûì â íà÷àëå 60-õ ãîäîâ XX â., ìèêðîñôåðà (ìèøåíü) ñ ÿäåðíûì òîïëèâîì
îáëó÷àåòñÿ ìíîãîêàíàëüíûì ëàçåðîì. Åãî èçëó÷åíèå ïî íåñêîëüêèì êàíàëàì
(íàïðàâëåíèÿì) ñ ðàçíûõ ñòîðîí ïàäàåò íà ìèøåíü (ðèñ. 2.6). Òàêîé ìåòîä ïîëó÷èë íàçâàíèå ëàçåðíûé òåðìîÿäåðíûé ñèíòåç (ËÒÑ).
Îöåíêè ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ñæàòèÿ âåùåñòâà äî ïëîòíîñòåé r » 102 —103 ã/ì3
è íàãðåâàíèÿ äî òåìïåðàòóð T » 108 K íåîáõîäèìî ñîçäàòü äàâëåíèå p » 5 × 109 àòì.
Äëÿ ýòîãî èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïàäàþùåãî íà ïîâåðõíîñòü ìèøåíè (ïëîòíîñòü
ìîùíîñòè), äîëæíà áûòü ðàâíà I » 1015 Âò/cì2. Ïîýòîìó äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ
ËÒÑ íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ìîùíûå ëàçåðíûå ñèñòåìû.
Âíåøíèé âèä óñòàíîâêè «Øèâà» â Ëèâåðìîðñêîé ëàáîðàòîðèè (ÑØÀ)
ïîêàçàí íà ðèñ. 2.3 öâ. âêë. Èìïóëüñ çàäàþùåãî ëàçåðà íà íåîäèìîâîì ñòåêëå
(l = 1,064 ìêì) ñ ýíåðãèåé 10 Äæ ïîñëå óòðîåíèÿ ÷àñòîòû ïî ñâåòîâîäàì ïîñòóïàåò â 20 óñèëèòåëåé ñâåòà. Íà âûõîäå êàæäîãî óñèëèòåëÿ ýíåðãèÿ èìïóëüñà
âîçðàñòàåò äî 20 êÄæ. Ñâåòîâûå ïó÷êè, èìåþùèå ïîñëå óñèëèòåëÿ äèàìåòð
40 ñì, ñ ðàçíûõ ñòîðîí ôîêóñèðóþòñÿ íà ìèøåíü.
Ïðè âçàèìîäåéñòâèè èçëó÷åíèÿ ñ ìèøåíüþ ðàäèóñîì íåñêîëüêî ìèëëèìåòðîâ åå âíåøíÿÿ ÷àñòü ïðåâðàùàåòñÿ â ðàçëåòàþùóþñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû ñî
ñêîðîñòüþ L ~ 107 — 108 ñì/ñ ïëàçìåííóþ êîðîíó. Âíóòðåííèå (íåèñïàðåííûå) ÷àñòè ìèøåíè, êóäà èçëó÷åíèå
íå ïðîíèêàåò, ïðèîáðåòàþò ãèäðîäèíàìè÷åñêèå ñêîðîñòè, íàïðàâëåííûå ê öåíòðó ìèøåíè. Ïîñëåäíèå âîçíèêàþò ãëàâíûì îáðàçîì èç-çà ñâåòîðåàêòèâíîãî äàâëåíèÿ,
îáóñëîâëåííîãî èìïóëüñîì îòäà÷è ïðè âûëåòå ÷àñòèö
ñ ïîâåðõíîñòè âíóòðåííåé ïëîòíîé ÷àñòè ìèøåíè.  ðåçóëüòàòå ÷àñòü âåùåñòâà ìèøåíè ñæèìàåòñÿ è íàãðåâàåòñÿ.
Íà ðèñ. 2.7 ïîêàçàíî ðàäèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè r è òåìïåðàòóðû T íà ñòàäèè ñæàòèÿ. Ôàêòè÷åñêè
ê öåíòðó ìèøåíè ñî ñêîðîñòüþ u äâèæåòñÿ óäàðíàÿ âîëíà.
Ïðè ïðÿìîì ïàäåíèè ñâåòà íà ïîâåðõíîñòü ìèøåíè
âåñüìà ñëîæíî îáåñïå÷èòü ñôåðè÷åñêóþ ñèììåòðèþ ïðîöåññà ñæàòèÿ. Îòêëîíåíèÿ äâèæåíèÿ âíóòðåííèõ ÷àñòåé
Ðèñ. 2.7
îò ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîãî îãðàíè÷èâàåò ñèëüíîå
28
полость
ñæàòèå. Ïî ýòîé ïðè÷èíå èñïîëüçóåòñÿ è íåïðÿìîå ñæàòèå.  ýòîì ñëó÷àå èçëó÷åíèå ëàçåðà
(ðèñ.2.8) ñ ðàçíûõ íàïðàâëåíèé ïîïàäàåò íà
Мишень
âíóòðåííèå ñòåíêè ïîëîñòè, âûïîëíåííûå èç
âåùåñòâà ñ áîëüøèì àòîìíûì íîìåðîì, íàïðèìåð çîëîòà. Ýòà ïîëîñòü íàçûâàåòñÿ õîëüðàóì.
Ðèñ. 2.8
Îêîëî 80 % ñâåòîâîé ýíåðãèè ïðåîáðàçóåòñÿ â ìÿãêîå ðåíòãåíîâñêîå èçëó÷åíèå, êîòîðîå ñ ðàçíûõ ñòîðîí ïàäàåò íà ìèøåíü, íàõîäÿùóþñÿ â ñåðåäèíå ïîëîñòè.
Íà ðèñ. 2.4 öâ. âêë. ïîêàçàíà ôîòîãðàôèÿ õîëüðàóìà, èñïîëüçóåìîãî â ñõåìå
íåïðÿìîãî ñæàòèÿ. Êðàñíûå ïÿòíà íà åãî ñòåíêàõ ñâèäåòåëüñòâóþò î âîçíèêíîâåíèè ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ â ðÿäå ñòðàí ïðîâîäÿòñÿ ýêñïåðèìåíòû ïî ñæàòèþ
è íàãðåâó âåùåñòâà ìèøåíåé. Äîñòèãíóòû äàâëåíèÿ p ~ 108 àòì è ñêîðîñòè
ñæàòèÿ ìèêðîñôåð u ³ 200 êì/ñ, ïîëó÷åíû ïëîòíîñòè r ~ 102 ã/ñì3. Äëÿ ðåàêòîðà
íà îñíîâå ËÒÑ íåîáõîäèìû ëàçåðû ñ ýíåðãèåé èìïóëüñà W ~ 106 Äæ è ÷àñòîòîé ïîâòîðåíèÿ íåñêîëüêî ãåðö. Íàä ñîçäàíèåì òàêèõ ñèñòåì è ðàáîòàþò ó÷åíûå â âåäóùèõ ëàáîðàòîðèÿõ ìèðà.
ÐÀÇÄÅË
2
ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ ÑÂÅÒÀ
ËÅÊÖÈß 3
Èçëó÷åíèå ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ. Êàê èçâåñòíî, èñòî÷íèêàìè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ óñêîðåííî äâèæóùèåñÿ çàðÿäû è ïåðåìåííûå òîêè.
Íà ðèñ. 3.1 ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåí ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû àíòåííîé, íàçûâàåìîé ýëåêòðè÷åñêèì äèïîëåì. Ýòà àíòåííà ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé äâà îòðåçêà ïðÿìîãî ïðîâîäà, ïîäêëþ÷åííûõ ê èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî
òîêà ÷àñòîòû w. Ïî îòðåçêàì â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè òåêóò íåêâàçèñòàöèîíàðíûå òîêè (äëèíà âîëíû òîêà ñðàâíèìà ñ äëèíîé àíòåííû).
 ìîìåíòû âðåìåíè t = 0, T/2, T òîê â àíòåííå ìàêñèìàëåí, à çàðÿäû
íà êîíöàõ ïðîâîäíèêà îòñóòñòâóþò. Ïðè t = T/4, 3T/4 òîê ðàâåí íóëþ, à ðàçíîèìåííûå çàðÿäû, íàêàïëèâàþùèåñÿ íà êîíöàõ ïðîâîäíèêîâ, äîñòèãàþò ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé.
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ïîçâîëÿþò çàïèñàòü âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî
è ìàãíèòíîãî ïîëåé, èçëó÷àåìûõ äèïîëåì, â âèäå:
Ðèñ. 3.1
30
rö
1
æ
H(t , r ) = A ´ &&
p çt - ÷ ,
è
cø
4 pcr
H
(3.1à)
P
l
m
1
E(t , r) = - 0 e ´ H = e ´ H. (3.1á)
ce0
e0
+
r
e
S
E
P
Ðèñ. 3.2
Çäåñü p = q l — âåêòîð äèïîëüíîãî ìîìåíòà, íàïðàâëåííûé îò îòðèöàòåëüíîãî
d 2p
çàðÿäà ê ïîëîæèòåëüíîìó; l — ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿäàìè; &p& = 2 ; e — åäèdt
íè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé â òî÷êó, óäàëåííóþ îò äèïîëÿ íà ðàññòîÿíèå r
(ðèñ. 3.2).
Ôîðìóëû (3.1) ñïðàâåäëèâû äëÿ ðàññòîÿíèé r ? l (l-äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ).
p = -w 2 p , ÷òî è èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå.
Åñëè p = p0 cos wt, òî &&
Ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.3.
Çäåñü èçîáðàæåíû ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, à òî÷êàìè è êðåñòèêàìè îòìå÷åíû «ñëåäû» ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Âåëè÷èíà âåêòîðà Ïîéíòèíãà S ñ ó÷åòîì (3.1) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
S (r, t ) = EH =
1
2
16p e 0c 3r 2
2
é æ
ù
rö
ê p&& çè t - c ÷ø sin J ú .
ë
û
(3.2)
Ñðàçó ñäåëàåì âàæíûé âûâîä î òîì, ÷òî S % w4, ïîñêîëüêó p&& 2 = w 4 p 2 . Íàèáîëåå ñèëüíî äèïîëü èçëó÷àåò â íàïðàâëåíèè e ^ p è íå èçëó÷àåò, åñëè e P p.
Çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè îò óãëà J ïîëó÷àåòñÿ èç (3.2) â âèäå
I = áS ñ = I 0 sin 2 J,
(3.3)
ãäå I0 — èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ ïî íàïðàâëåíèþ e ^ p.
Ðèñ. 3.3
31
Ýòó çàâèñèìîñòü ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü
ñ ïîìîùüþ äèàãðàììû (ðèñ.
r
J
3.4), êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôèãóðó âðàùåíèÿ è íàçûâàåòñÿ äèàãðàììîé
p
íàïðàâëåííîñòè èçëó÷åíèÿ äèïîëÿ p.
Ðàññ÷èòàåì ìîùíîñòü, èçëó÷àåìóþ
äèïîëåì. Îíà ðàâíà ïîòîêó ýíåðãèè ÷åÐèñ. 3.4
ðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü
ñ ïðîèçâîëüíûì ðàäèóñîì r ? l.  ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ ýëåìåíò åå ïëîùàäè d s = r 2 sin J d J d j . Ïðîâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.4 øòðèõîâîé ëèíèåé, ïîëó÷èì
I
ds
P = ò áS ñd s =
á p&& 2 ñ
.
6pe 0c 3
(3.4)
Çäåñü ñêîáêè îçíà÷àþò óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè. Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà
ó÷òåíî, ÷òî
p
4
ò sin 3 J d J = 3 .
0
Èçëó÷åíèå êëàññè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà (àòîìà). Èç øêîëüíîãî êóðñà èçâåñòíî, ÷òî õîòÿ ýëåêòðîí è äâèæåòñÿ ïî îðáèòå ñ öåíòðîñòðåìèòåëüíûì óñêîðåíèåì, àòîì â íåâîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè íå èçëó÷àåò ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ èçëó÷åíèÿ, ïîñòðîåííàÿ íà óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà, íå ïðèìåíèìà ê àòîìó.
Îäíàêî ìîæíî âñå æå èñïîëüçîâàòü êëàññè÷åñêîå îïèñàíèå è äëÿ àòîìà,
åñëè èíòåðïðåòèðîâàòü àêò èçëó÷åíèÿ ôîòîíà ÷àñòîòû w0 êàê êðàòêîâðåìåííûé ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ àòîìîì, îáëàäàþùèì îñöèëëèðóþùèì äèïîëüíûì
ìîìåíòîì
p(t ) = ex (t ) = ex 0 cos w 0t .
(3.5)
 ýòîé ìîäåëè àòîìà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âíåøíèé (îïòè÷åñêèé) ýëåêòðîí
ñ çàðÿäîì e êîëåáëåòñÿ âáëèçè ÿäðà ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó, è ðàññòîÿíèå
ìåæäó ÿäðîì è ýëåêòðîíîì ìåíÿåòñÿ ñ àìïëèòóäîé x0 è ÷àñòîòîé w0. Òàêàÿ
ìîäåëü àòîìà êàê ýëåìåíòàðíîãî îñöèëëÿòîðà ÷ðåçâû÷àéíî øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â îïòèêå.
Ïðè èçëó÷åíèè àòîì áóäåò òåðÿòü ýíåðãèþ, è â êîíöå êîíöîâ èçëó÷åíèå
óåäèíåííîãî àòîìà ïðåêðàòèòñÿ. Ïðîèñõîäèò ýòî âñëåäñòâèå òîðìîæåíèÿ ýëåêòðîíà èçëó÷àåìûì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Ïîýòîìó ãîâîðÿò î ðàäèàöèîííîì
çàòóõàíèè îñöèëëÿöèé. Òîãäà ìîäåëü îñöèëëÿòîðà ñëåäóåò íåñêîëüêî óñëîæíèòü, âêëþ÷èâ â (3.5) çàòóõàíèå.
Ðàññ÷èòàåì õàðàêòåðíîå âðåìÿ çàòóõàíèÿ t, çàïèñàâ çàêîí äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â âèäå
x (t ) = x 0e - t/t cos w 0t .
(3.6)
Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ W îñöèëëÿòîðà ìàññîé m (m — ìàññà ýëåêòðîíà), ðàâíàÿ ñóììå êèíåòè÷åñêîé Wê è ïîòåíöèàëüíîé Wï ýíåðãèé, áóäåò
óáûâàòü ïî çàêîíó
32
mw 02 x 02 -2t/t
.
e
(3.7)
2
Ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ýòîé ýíåðãèè âî âðåìåíè ñâÿçàíà ñ èçëó÷àåìîé ìîùíîñòüþ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè:
W (t ) = W ê (t ) + W ï (t ) =
dW
(3.8)
= -P .
dt
Âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíóþ (3.7) è ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ ìîùíîñòè
(3.4) ñ ó÷åòîì çàòóõàíèÿ (3.6), ïîëó÷èì
-
2 mw 02 x 02 -2t/t
e 2 w 04 x 02 -2t/t
e
e
.
=2
6pe 0c 3
t
(3.9)
Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ èìååì
t=
6 pm e 0 c 3
.
e 2 w 02
(3.10)
Åñëè â (3.10) ïîäñòàâèòü çíà÷åíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ êîíñòàíò è ïðèíÿòü
÷àñòîòó â âèäèìîì äèàïàçîíå ðàâíîé w0 = 2pn0 ~ 1016 ñ-1, òî
t ~ 10-8 ñ.
(3.11)
Ìû ïîëó÷èëè ôóíäàìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî ëþáîé
óåäèíåííûé àòîì ïîñëå âîçáóæäåíèÿ èçëó÷àåò ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó â òå÷åíèå
âðåìåíè ïîðÿäêà 10-8 ñ.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (3.1) àòîì èçëó÷àåò ñâåòîâîé öóã, â êîòîðîì
àìïëèòóäà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé óáûâàåò ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó
(3.12)
E = ae - t/t cos(w 0t + j),
ãäå àìïëèòóäà a è íà÷àëüíàÿ ôàçà j ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.
Íà ðèñ. 3.5 èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû E îò âðåìåíè. Î÷åâèäíî,
÷òî èçëó÷åíèå àòîìà íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèì, õîòÿ â öóãå ñîäåðæèòñÿ
t/T ~ 107 îñöèëëÿöèé (T ~ 10-15 ñ — ïåðèîä êîëåáàíèé).
 êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå àíàëîãîì âðåìåíè ðàäèàöèîííîãî çàòóõàíèÿ
ÿâëÿåòñÿ âðåìÿ æèçíè àòîìà â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè, ñîîòâåòñòâóþùåì ïðåáûâàíèþ îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà íà
íåêîòîðîì ýíåðãåòè÷åñêîì óðîâíå.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì íåîïðåäåëåííîñòè, åñëè âðåìÿ æèçíè â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè îãðàíè÷åíî,
òî ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà íà ýòîì óðîâíå
îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ DW:
DWt≈h.
(3.13)
Ñîãëàñíî îäíîìó èç ïîñòóëàòîâ
Áîðà, ÷àñòîòà èçëó÷àåìîãî ôîòîíà
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ hn = W2 - W1.
Åñëè, íàïðèìåð, óðîâåíü W2 «ðàçìûò»
Ðèñ. 3.5
33
(åãî øèðèíà ðàâíà DW ), òî ÷àñòîòû èñïóñêàåìûõ ôîòîíîâ ïðè ïåðåõîäå ñ
ýòîãî óðîâíÿ áóäóò çàíèìàòü èíòåðâàë ÷àñòîò Dn:
DWt = hDnt . h.
(3.14)
Îòñþäà
1
.
(3.15)
t
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà óñòàíàâëèâàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñâÿçü ìåæäó âðåìåíåì
æèçíè âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ è øèðèíîé ñïåêòðàëüíîãî èíòåðâàëà èçëó÷åíèÿ
ïðè êâàíòîâûõ ïåðåõîäàõ èç ýòîãî ñîñòîÿíèÿ.  ñëåäóþùåé ëåêöèè áóäåò ïîëó÷åíà ýòà ñâÿçü ïðè àíàëèçå ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà ýëåêòðîìàãíèòíîãî öóãà,
èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.5.
Èçëó÷åíèå àíñàìáëÿ àòîìîâ. Ðåàëüíûé ñâåòîâîé èñòî÷íèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àíñàìáëü èçëó÷àþùèõ àòîìîâ. Íàïðèìåð, äëÿ ãàçîðàçðÿäíîé ëàìïû â îáúåìå
V = l3 (l ~ 10-4 ñì — äëèíà âîëíû) ñîäåðæèòñÿ N = VnL ~ 107 àòîìîâ (nL =
=2,7 × 1019 ñì-3 — ÷èñëî Ëîøìèäòà). Ïîýòîìó ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âîëíû, èçëó÷àåìîé ýòèì ìàëûì îáúåìîì, áóäåò ðàâíî ñóììå ïîëåé îòäåëüíûõ öóãîâ:
Dn »
E(t ) =
N
N
i =1
i =1
å E i (t ) = å a i cos(w 0t + j i ) = E 0 cos(w 0t + j).
(3.16)
Ïîñêîëüêó ai è ji — ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, àìïëèòóäà (îãèáàþùàÿ) E0
è ôàçà j òàêæå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
Îïðåäåëèì ñòàòèñòè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè îãèáàþùåé E0 è ôàçû j. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè Oz. Òîãäà â ñèëó åå ïîïåðå÷íîñòè ïîëå (3.16) ïðåäñòàâèì â âèäå
E(t ) = e x E x (t ) + e y E y (t ).
(3.17)
Ïóñòü a i = ai cos a i e x + ai sin a i e y , ãäå ai — ñëó÷àéíûé óãîë ìåæäó ai è îñüþ
Ox. Òîãäà
æN
ö
æN
ö
E x = ç å ai cos a i cos j i ÷ cos w 0t - ç å ai cos a i sin j i ÷ sin w 0t ;
è i =1
ø
è i =1
ø
(3.18à)
æN
ö
æN
ö
E y = ç å ai sin a i cos j i ÷ cos w 0t - ç å ai sin a i sin j i ÷ sin w 0t .
è i =1
ø
è i =1
ø
(3.18á)
Èññëåäóåì ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà êîìïîíåíòû Ex, äëÿ ÷åãî ïðåäñòàâèì
åå â âèäå
E x = A1 cos w 0t - A2 sin w 0t .
(3.19)
Çäåñü
A1 =
N
å ai cos a i cos j i ;
i =1
A2 =
N
å ai cos a i sin j i
i =1
(3.20)
— ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü êâàäðàòóðíûìè êîìïîíåíòàìè ïîëÿ Ex.
Åñëè àòîìû èçëó÷àþò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, ÷òî òèïè÷íî äëÿ íåëàçåðíûõ èñòî÷íèêîâ, òî êâàäðàòóðû ÿâëÿþòñÿ ñóììîé áîëüøîãî ÷èñëà ñòàòèñòè÷å34
Ðèñ. 3.6
Ðèñ. 3.7
ñêè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.  ñîîòâåòñòâèè ñ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé ïðè N ® ∞ ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ïðîèçâîëüíóþ ñòàòèñòèêó, ñòðåìèòñÿ
ê íîðìàëüíîìó (ãàóññîâó) ðàñïðåäåëåíèþ.
Ïîñêîëüêó N ~ 107, ïðèìåíèòåëüíî ê êâàäðàòóðàì ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí A1 è A2 ñ äèñïåðñèåé σ2
â âèäå
M ( A1 ) =
æ A2 ö
exp ç - 1 2 ÷ ;
è 2s ø
2ps
1
M ( A2 ) =
æ A2 ö
exp ç - 22 ÷ .
è 2s ø
2ps
1
(3.21)
Òåïåðü ëåãêî îïðåäåëèòü ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà îãèáàþùåé A = A12 + A22
æA ö
è ôàçû j = arctg ç 2 ÷ êîìïîíåíòû Ex. Äëÿ ýòîãî íà ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ A1 è A2
è A1 ø
âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îãèáàþùàÿ áóäåò çàêëþ÷åíà â èíòåðâàëå
( A ¸ A + dA ). Ñ îäíîé ñòîðîíû, âåðîÿòíîñòü ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
dp A = M ( A )dA,
(3.22)
ãäå M (A) — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îãèáàþùåé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îáðàùàÿñü
ê ðèñ. 3.6, âèäèì, ÷òî ýòî åñòü âåðîÿòíîñòü «ïîïàäàíèÿ» êâàäðàòóð â êîëüöî
ðàäèóñîì A è øèðèíîé dA.
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî êâàäðàòóðû A1 è A2 ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû, òî
dp A = M ( A1 )M( A2 )2pAdA .
(3.23)
Çäåñü M ( A1 )M( A2 ) = M( A1 A2 ) — äâóõìåðíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè; 2pAdA — ïëîùàäü êîëüöà. Ïðèðàâíèâàÿ (3.22) è (3.23), ïîëó÷àåì
M( A) =
æ A2 ö
A
exp ç .
2
s
è 2s 2 ÷ø
(3.24)
Ýòî ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàþò ðàñïðåäåëåíèåì Ðýëåÿ â ÷åñòü àíãëèéñêîãî ôèçèêà Äæ. Ðýëåÿ, âïåðâûå ðåøèâøåãî ñòàòèñòè÷åñêóþ çàäà÷ó îá èçëó÷åíèè àíñàìáëÿ îñöèëëÿòîðîâ (ðèñ. 3.7).
Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò íîðìàëüíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ êâàäðàòóð,
ãäå á A1 ñ = á A2 ñ = 0, ñðåäíåå çíà÷åíèå îãèáàþùåé îòëè÷íî îò íóëÿ:
¥
á Añ = ò M( A ) AdA =
ps.
(3.25)
0
35
Åñëè ôîðìóëó (3.24) ïîäñòàâèòü â (3.22), òî ëåãêî ïîëó÷èòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êâàäðàòà îãèáàþùåé A 2, èëè èíòåíñèâíîñòè I ~ A 2. Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî
âûðàæåíèå (3.22) ïðèìåò âèä
dp A =
æ A2 ö
æ A2 ö
A
1
2
=
exp
dA
exp
çè 2s 2 ÷ø
çè - 2s 2 ÷ø dA .
s2
2s 2
(3.26)
Òàêèì îáðàçîì,
M( A 2 ) =
æ A2 ö
dpA
1
=
exp ç .
2
2
è 2s 2 ÷ø
dA
2s
(3.27)
Ýòî ðàñïðåäåëåíèå èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.8.
Ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà îãèáàþùåé ðàâíî:
áA 2 ñ =
¥
ò A 2M( A 2 )dA 2
= 2s 2 .
(3.28)
0
Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå (3.27) ìîæíî ïåðåïèñàòü â èíîì âèäå:
æ A2 ö
1
exp ç - 2 ÷ .
2
áA ñ
è á A ñø
M( A 2 ) =
(3.29)
Àíàëîãè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëó÷àåòñÿ è äëÿ èíòåíñèâíîñòè I :
M (I ) =
1
æ I ö
exp ç .
áI ñ
è áI ñ ÷ø
(3.30)
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå áîëåå óäîáíî äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ôàçû j. Èíòóèòèâíî ïîíÿòíî, ÷òî
âåðîÿòíîñòü «ïîïàäàíèÿ» êâàäðàòóð â ëþáîé ôðàãìåíò êîëüöà îäèíàêîâà (äëÿ
ëþáîãî óãëà j íà ðèñ. 3.6). Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè M (j) = const
íà èíòåðâàëå -p £ j £ p. Ñ ó÷åòîì íîðìèðîâêè îíà ðàâíà
M (j ) =
1
.
2p
(3.31)
Î÷åâèäíî, ÷òî ájñ = 0.
Óñòàíîâèì òåïåðü ñâÿçü ìåæäó á A 2 ñ è ïàðàìåòðàìè îñöèëëÿòîðîâ. Åñëè ïðèíÿòü, ñëåäóÿ Ðýëåþ, ÷òî ai = a = const, à ñëó÷àéíû ëèøü ôàçû ji è óãëû ai, òî
èç (3.20) ïîëó÷àåì
á A12 ñ = á A22 ñ = N
w (A2) s2
0,5
(3.32)
Ñëåäîâàòåëüíî,
á A 2 ñ = á A12 ñ + á A22 ñ = Na 2 .
0,3
0,1
0
1
2
Ðèñ. 3.8
36
a2
.
2
3 A 2/2s2
(3.33)
Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, èíòåíñèâíîñòü
èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûõ àòîìîâ ðàâíà ñóììå èíòåíñèâíîñòåé
èçëó÷åíèÿ îòäåëüíûõ àòîìîâ.
Äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè òàêîãî èçëó÷åíèÿ íå èìååò âûäåëåííîãî íàïðàâëåíèÿ èç-
Ðèñ. 3.9
Ex
A(t )
t
A(t + Dt )
0
t
j(t )
Ðèñ. 3.10
j(t + Dt )
çà õàîòè÷åñêîãî ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ äèïîëåé è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ñôåðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü. Ïîëÿðèçàöèÿ èçëó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôàçîâûìè
ñîîòíîøåíèÿìè ìåæäó Ex è Ey â (3.17). Åñëè ó÷åñòü, ÷òî êàæäûé àòîì â ñðåäíåì
èçëó÷àåò â òå÷åíèå âðåìåíè t ~ 10-8 c, òî âåêòîð E0 áóäåò õàîòè÷åñêè ìåíÿòü
ñâîå çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå çàìåòíûì îáðàçîì ëèøü íà ýòîì æå ìàñøòàáå
âðåìåíè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ âîëíû îñòàåòñÿ íåèçìåííîé ëèøü
â òå÷åíèå ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè Dt = t.
Âðåìÿ êîððåëÿöèè.  çàêëþ÷åíèå ýòîé ëåêöèè îáðàòèìñÿ ê âðåìåííîé çàâèñèìîñòè îãèáàþùåé A îò ôàçû j. Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì âûðàæåíèå (3.16) â
âèäå
E(t ) =
N
å E i = å a ie
-
t -t i
t
cos [w 0 (t - t i ) + j i ] = E 0 (t ) cos [w 0t + j(t )] .
(3.34)
Çäåñü ó÷òåíî ðàäèàöèîííîå çàòóõàíèå èçëó÷åíèÿ, êîòîðîå äëÿ êàæäîãî àòîìà íà÷èíàåòñÿ â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè ti.
Íà ðèñ. 3.9 èçîáðàæåíà ñòðóêòóðà x-êîìïîíåíòû èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé õàîòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öóãîâ ñ ðàçëè÷íûìè íàïðÿæåííîñòÿìè Eix (ðàçëè÷íûìè àìïëèòóäàìè aix è ôàçàìè ji). Öóãè ìîãóò «íàëåçàòü» äðóã íà äðóãà.  ñðåäíåì èõ äëèòåëüíîñòü ðàâíà âðåìåíè ðàäèàöèîííîãî
çàòóõàíèÿ t.
Êîìïîíåíòà ñóììàðíîãî ïîëÿ (3.34) èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè òàê, êàê ýòî
èçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.10. Îãèáàþùàÿ A è ôàçà j ôëóêòóèðóþò âî âðåìåíè îêîëî
ñâîèõ ñðåäíèõ çíà÷åíèé.
Åñëè ïîïûòàòüñÿ óñòàíîâèòü ïóòåì ìíîãîêðàòíûõ èçìåðåíèé ñòàòèñòè÷åñêóþ ñâÿçü ñëó÷àéíûõ çíà÷åíèé A(t) è A(t + Dt) [ëèáî j(t) è j(t + Dt)] (â ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêå óæå èñïîëüçîâàëîñü ïîíÿòèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè), òî ìîæíî
ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä. Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ Dt îò íóëÿ ýòà ñòàòèñòè÷åñêàÿ
ñâÿçü ïîñòåïåííî óáûâàåò, è ïðè Dt ~ t îíà ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííî îñëàáëåííîé. Ýòî è ïîíÿòíî, ïîñêîëüêó â ìîìåíòû âðåìåíè, ðàçäåëåííûå ïðîìåæóòêîì
Dt = t, ìû èìååì äåëî óæå ñ ïðàêòè÷åñêè ðàçíûìè öóãàìè. Ïðè Dt ? t ýòà ñâÿçü
(êîððåëÿöèÿ) ïîëíîñòüþ èñ÷åçàåò. Ïîýòîìó âðåìÿ t èãðàåò ðîëü âðåìåíè
êîððåëÿöèè èçëó÷åíèÿ. Áîëåå ñòðîãîå åãî îïðåäåëåíèå áóäåò ïðèâåäåíî â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
i =1
ËÅÊÖÈß 4
Åùå â XVII â. È. Íüþòîíîì áûëè âûïîëíåíû çíàìåíèòûå îïûòû ïî ðàçëîæåíèþ áåëîãî ñâåòà â öâåòíîé ñïåêòð. Â ðåçóëüòàòå áûëî äîêàçàíî, ÷òî áåëûé
ñâåò ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé áîëüøîãî ÷èñëà âîëí, êîòîðûå â òå âðåìåíà ïðåäñòàâëÿëè â âèäå ïîòîêà ÷àñòèö, ñêîðîñòè êîòîðûõ è îïðåäåëÿþò öâåò êàæäîé
ñïåêòðàëüíîé êîìïîíåíòû. Ïîñëå ïðèçíàíèÿ âîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà óòâåðäèëàñü òî÷êà çðåíèÿ, ÷òî öâåò ñïåêòðàëüíîé êîìïîíåíòû îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî åå ÷àñòîòîé.
Âûïîëíåííûå âïîñëåäñòâèè ìíîãî÷èñëåííûå îïûòû ïî èçó÷åíèþ ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà ðàçíîîáðàçíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà ïîêàçàëè, ÷òî ëþáîé èñòî÷íèê èñïóñêàåò ñâåòîâûå âîëíû, ÷àñòîòû êîòîðûõ çàíèìàþò êîíå÷íûé èíòåðâàë ÷àñòîò, èëè ñïåêòðàëüíûé èíòåðâàë.
Îáðàòèìñÿ ê ñïåêòðàëüíîìó ñîñòàâó èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ àòîìîâ. Ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ ñâåòà ñâÿçàí ñ ïîâåäåíèåì âî âðåìåíè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, è ýòà ñâÿçü çàäàåòñÿ èíòåãðàëîì Ôóðüå.
Èíòåãðàë Ôóðüå. Èç êóðñà ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî ëþáóþ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìóþ íà èíòåðâàëå -∞ < t < ∞ ôóíêöèþ f (t) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
èíòåãðàëà Ôóðüå:
f (t ) =
1
p
¥
1
¥
ò [à(w) cos wt + b(w) sin wt ] d w = p ò f 0 (w) cos [wt - j(w)] d w.
0
(4.1)
0
Ôóíêöèè a(w) è b(w) íàõîäÿòñÿ èç îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:
a(w) =
¥
ò
f (t ) cos wt dt ;
-¥
b(w) =
¥
ò
f (t ) sin wt dt .
(4.2)
-¥
Åñëè f (t) — ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òî b = 0, à åñëè íå÷åòíàÿ, òî a = 0. Ôóíêöèè
a(w), b(w) è f 0 = a 2 + b 2 íàçûâàþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè àìïëèòóäàìè, èëè ôóðüå-àìïëèòóäàìè. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî f0 ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû: f0(w) = f0(-w). Ôàçà j ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû: j(w) = -j(-w).
Ïîñëåäíåå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî a(w) = a(-w), b(w) = -b(-w).
Áîëåå óäîáíûì äëÿ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå èíòåãðàëà (4.1). Ñâîéñòâà ÷åòíîñòè f0(w) è j(w) ïîçâîëÿþò ðàñøèðèòü ôîðìàëüíî
îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò (ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà
îíè íå èìåþò):
f (t ) =
¥
1
ò f 0 (w) cos [wt - j(w)] d w.
2p -¥
(4.3)
Ââåäåì êîìïëåêñíóþ ñïåêòðàëüíóþ àìïëèòóäó (êîìïëåêñíóþ ôóðüå-àìïëèòóäó) µf 0 (w) = f 0 (w )e -i j(w ). Òîãäà èíòåãðàë (4.3) çàïèøåòñÿ â âèäå
38
f (t ) =
¥
1
ò µf 0 (w)e i wt d w ,
2p -¥
(4.4)
ãäå
µf (w) =
0
¥
ò
f (t )e -i wt dt .
(4.5)
-¥
Ôîðìóëû (4.4) è (4.5) ïðåäñòàâëÿþò ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå â êîìïëåêñíîì âèäå, êîòîðûå áóäåì èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî êîìïëåêñíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ àìïëèòóäà µf 0 (w) = a(w) - ib(w),
ïîýòîìó µf 0*(w) = µf 0 (-w) (çâåçäî÷êà îçíà÷àåò çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ).
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé âû÷èñëÿþò ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü | µf 0 (w)| 2, ïîñêîëüêó èìåííî ýòó âåëè÷èíó ìîæíî ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðèòü. Ðàññìîòðèì
íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
n Ïðèìåð 1. Ïóñòü f (t ) = a0 cos w 0t . Âîñïîëüçóåìñÿ äåéñòâèòåëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì (4.2). Ïîñêîëüêó f (t) — ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òî b = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
¥
f 0 (w) = a(w) =
ò a0 cos w 0t cos wt d w = pa0d(w - w 0 ).
(4.6)
-¥
Çäåñü d(w - w0) — äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà: åñëè w ¹ w0, òî d = 0, à åñëè
w = w0, òî d ® ∞, ïðè ýòîì
¥
ò dd w = 1 . Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå (4.1) ïîçâîëÿåò
-¥
âîññòàíîâèòü èñõîäíóþ ôóíêöèþ
f (t ) =
¥
¥
1
à(w) cos wt d w = a0 ò d(w - w 0 ) cos wt d w = a0 cos w 0t .
p ò0
0
(4.7)
 (4.7) èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî äåëüòà-ôóíêöèè, ñîãëàñíî êîòîðîìó èíòåãðàë îò ïðîèçâåäåíèÿ ëþáîé ôóíêöèè íà äåëüòà-ôóíêöèþ ðàâåí çíà÷åíèþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ïðè òîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà, ïðè êîòîðîì äåëüòàôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (â íàøåì ñëó÷àå àðãóìåíò w = w0).
Ôóíêöèþ f (t) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå åå âðåìåííîé çàâèñèìîñòè ëèáî
óêàçàòü çíà÷åíèå åå ñïåêòðàëüíîé àìïëèòóäû f0(w), ïîçâîëÿþùåé, ñîãëàñíî
(4.3), âîññòàíîâèòü ôóíêöèþ.  ïåðâîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ åå âðåìåííîå
ïðåäñòàâëåíèå, âî âòîðîì — ñïåêòðàëüíîå (ðèñ. 4.1).
Îòìåòèì, ÷òî â ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïî îñè îðäèíàò îòëîæåíà âåëè÷èíà f 02(w), ïîñêîëüêó ñ íåé ñâÿçàíà èçìåðÿåìàÿ â ýêñïåðèìåíòå èíòåíñèâíîñòü ñèãíàëà, îïèñûâàåìîãî ôóíêöèåé f (t). Êðîìå òîãî, ïðè w = w0 f 02 ® ∞,
Ðèñ. 4.1
39
ïîýòîìó âûñîòà «ïàëî÷êè» äîëæíà áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøîé.  äåéñòâèòåëüíîñòè âñå ñïåêòðàëüíûå àìïëèòóäû êîíå÷íû, ïîñêîëüêó â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò ñèãíàëîâ, äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íîå âðåìÿ.
n Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ f (t ) = ae -t/t cos w 0t . Òàêàÿ ôóíêöèÿ
îïèñûâàåò íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (E = f ) â îòäåëüíîì öóãå èçëó÷åíèÿ. Îïðåäåëèì | µf 0 (w)| 2, ïîëüçóÿñü êîìïëåêñíûì ïðåäñòàâëåíèåì (4.5):
µf (w) =
0
¥
ò
-¥
¥
f (t )e -i wt dt = a ò e -t /t
-¥
e i w0t + e -i w0t -i wt
e
dt .
2
(4.8)
Îïóñêàÿ ïðîìåæóòî÷íûå âûêëàäêè, ïîëó÷èì ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü
| µf 0 (w)| 2 = µf 0 (w) µf 0*(w) = a 2
w2 + 1 t2
(w 02
w2
-w ) +4 2
t
.
(4.9)
2 2
Äëÿ ñëàáîãî çàòóõàíèÿ (w0 ? 1/t) è ïðè w » w0 âûðàæåíèå (4.9) ìîæíî
çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü, ïîëàãàÿ (w 02 - w 2 ) 2 » 4 w 02 (w 0 - w) 2. Òîãäà
| µf 0 (w)| 2 »
a2
4
w 02
w 02 (w 0 - w) 2 +
w 02
2
=
a2 2
t L(w),
4
(4.10)
t
ãäå
L (w ) =
1
t (w 0 - w)2 + 1
2
(4.11)
— ëîðåíöåâà ôóíêöèÿ.
Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè, íàçûâàåìûé ëîðåíöåâûì êîíòóðîì, ïðåäñòàâëåí
íà ðèñ. 4.2.
Øèðèíó Dw ýòîãî êîíòóðà íàõîäÿò èç óñëîâèÿ óáûâàíèÿ ôóíêöèè L âäâîå:
1
1
=
.
2 æ Dw ö 2
çè t
÷ +1
2 ø
Ðèñ. 4.2
40
(4.12)
Îòñþäà Dw = 2/t. ×åì áîëüøå âðåìÿ çàòóõàíèÿ, òåì óæå êîíòóð.  ïðåäåëå, ïðè t ® ∞
Dw ® 0, êàê ýòî èìåëî ìåñòî â ïðåäûäóùåì
ïðèìåðå.
Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè. Ïðèìåíèì èíòåãðàë Ôóðüå ê îïèñàíèþ ñïåêòðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ñâåòà. Ïîä ôóíêöèåé f (t)
áóäåì ïîäðàçóìåâàòü îäíó èç êîìïîíåíò E(t)
íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû. Íî òîãäà
f (t) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé. Ñëó÷àéíûìè áóäóò è ôóðüå-àìïëèòóäû a, b, f0 è ôàçà j.
Êðîìå òîãî, â ðåàëüíîì ýêñïåðèìåíòå âðåìÿ
íàáëþäåíèÿ îãðàíè÷åíî, ïîýòîìó íà ïðàêòèêå
ìîæíî àíàëèçèðîâàòü ñèãíàë ft(t), òàêîé, ÷òî
ft(t) = f (t) ïðè 0 < t < tí;
ft(t) = 0 ïðè tí < t < ∞, t < 0,
(4.13)
ãäå tí — âðåìÿ íàáëþäåíèÿ.
Âîçíèêàåò âîïðîñ î âûáîðå ýòîãî âðåìåíè. Âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (4.4) è (4.5):
¥
ò
f 2 (t )dt =
-¥
¥
1
ò | µf 0 (w)| 2d w .
2p -¥
(4.14)
 ýòîì ðàâåíñòâå, â ëåâîé ÷àñòè âî âðåìåííîœì, â ïðàâîé — â ñïåêòðàëüíîì
ïðåäñòàâëåíèè, ñòîèò âåëè÷èíà, ñâÿçàííàÿ ñ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè âîëíû.
Åñëè ïðèìåíèòü ýòî ðàâåíñòâî ê ñëó÷àéíîé è óñå÷åííîé âî âðåìåíè ôóíêöèè ft(t), òî ìîæíî ñîêðàòèòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè è çàïèñàòü
1
tí
tí
ò
0
f t2 (t )dt =
| µf 0 t (w)| 2
1
dw .
ò
tí
2p -¥
¥
(4.15)
Çàìåòèì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òàêæå çàâèñèò îò âðåìåíè íàáëþäåíèÿ è ÿâëÿåòñÿ, êðîìå òîãî, ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.
Åñëè óñòðåìèòü âðåìÿ íàáëþäåíèÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, òî èíòåãðàë ñëåâà áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê ïðåäåëó, ðàâíîìó á f 2 ñ, ïîýòîìó
t
¥
| µf 0 t (w)| 2
1 í 2
(4.16)
á f 2 ñ = lim
f
t
dt
=
(
)
lim
ò t
ò t í ®¥ pt í d w.
t í ®¥ t
í 0
0
Ñëåäîâàòåëüíî, äîëæåí ñóùåñòâîâàòü ïðåäåë ó ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè (4.15):
| µf (w)| 2
S (w) = lim 0 t
.
(4.17)
t í ®¥
pt í
Ôóíêöèÿ S(w) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èíòåíñèâíîñòè, åñëè
ðå÷ü èäåò î ñâåòîâîé âîëíå.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíèòåëüíî ê îïòèêå ïåðåïèøåì (4.16) â âèäå
¥
I = áE 2 ñ = ò S (w)d w.
(4.18)
0
 óçêîì ñïåêòðàëüíîì äèàïàçîíå dw âîëíà èìååò èíòåíñèâíîñòü
dI = S (w)d w,
(4.19)
ïîýòîìó S(w) è íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èíòåíñèâíîñòè.
Îáñóäèì âîïðîñ î âûáîðå âðåìåíè íàáëþäåíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòü
ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ á f 2 ñ, íåîáõîäèìî ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ òàê äîëãî, ÷òîáû
íàáðàòü ñòàòèñòèêó ñëó÷àéíûõ èçìåíåíèé îãèáàþùåé è ôàçû. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, A è j õàîòè÷åñêè ìåíÿþòñÿ íà ìàñøòàáå âðåìåíè t.  òå÷åíèå âðåìåíè tí
÷èñëî òàêèõ ñëó÷àéíûõ çíà÷åíèé áóäåò ïîðÿäêà tí/t. Åñëè tí ~ (103 — 104)t, òî
òàêîãî âðåìåíè âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé.
Îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà (4.16)
ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè tí ® ∞ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü | µf 0 t | 2 % tí, ïðè ýòîì åå
ôëóêòóàöèè ìîíîòîííî óìåíüøàþòñÿ.
41
Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü, åå êîíòóð è øèðèíà. Ïóñòü èìååòñÿ èçëó÷åíèå â
âèäå ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäèíàêîâûõ öóãîâ f (t - tl), ãäå tl — ñëó÷àéíîå âðåìÿ ïîÿâëåíèÿ öóãà. Ðàññ÷èòàåì ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãî
ñèãíàëà
F (t ) =
N
å
l =1
f (t - t l ),
ãäå ÷èñëî N ÷ëåíîâ ñóììû çàâèñèò îò âðåìåíè íàáëþäåíèÿ. Ñîãëàñíî (4.5)
ñïåêòðàëüíàÿ àìïëèòóäà
Fµ0 (w) =
¥
N
¥
ò F (t )e -i wt dt = å
ò
l =1
-¥
f (t - t l )e -i wt dt =
-¥
N
å
l =1
µ
f 0 (w)e -i wtl .
(4.20)
Òîãäà
N
| Fµ0 (w)| 2 = Fµ0 (w) Fµ0*(w) = | µf 0 (w )| 2 å
N
å e i w (t - t
l
l =1 m =1
m)
.
(4.21)
Åñëè äëèòåëüíîñòü öóãà ðàâíà t, òî èõ ÷èñëî çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ tí
â ñðåäíåì ðàâíî N = tí/t. Åñëè N âåëèêî, òî äâîéíàÿ ñóììà áóäåò ðàâíà ñóììå
÷ëåíîâ ïðè l = m. Îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ñêîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Ïîýòîìó ïðè
N ® ∞ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü
| Fµ0 (w)| 2 = | µf 0 (w)| 2 N = | µf 0 (w)| 2
tí
.
t
(4.22)
Òîãäà ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè ñèãíàëà F (t) áóäåò ðàâíà
S (w) =
| Fµ0 (w)| 2 | µf 0 (w)| 2
=
.
pt í
pt
(4.23)
Îíà ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èíòåíñèâíîñòè äëÿ îäíîãî
öóãà.
Åñëè îáðàòèòüñÿ ê ïðèìåðó 2 è âûðàæåíèÿì (4.10) è (4.11), òî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èçëó÷åíèÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ
àòîìîâ îïèñûâàåòñÿ ëîðåíöåâîé ôóíêöèåé, à ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ èõ èçëó÷åíèÿ
èìååò ëîðåíöåâûé êîíòóð, øèðèíà êîòîðîãî îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíè
ðàäèàöèîííîãî çàòóõàíèÿ: Dw = 2/t.
Åñëè t ~ 10-8 c, òî Dw = 2 × 108 c-1, Dn = Dw/2p ~ 3 × 107 Ãö. Øèðèíà ëèíèè,
ñâÿçàííàÿ ñ ðàäèàöèîííûì çàòóõàíèåì, íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé øèðèíîé.
Äî ïîÿâëåíèÿ ëàçåðîâ áûëî ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå óçêóþ
ëèíèþ (øèðèíîé, ìåíüøå åñòåñòâåííîé).
Óäàðíîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè. Ñàìîé óçêîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèåé
îáëàäàåò ïó÷îê ëåòÿùèõ è ñëàáîâçàèìîäåéñòâóþùèõ âîçáóæäåííûõ àòîìîâ. Ñ òàêèìè ïó÷êàìè â êîíöå XIX — íà÷àëå XX â. áûëè ïðîâåäåíû ïðåöèçèîííûå
ýêñïåðèìåíòû äëÿ ñîçäàíèÿ ýòàëîíà âðåìåíè, äëèíû è äðóãèõ öåëåé.
Åñëè æå àòîìû íàõîäÿòñÿ â çàìêíóòîì îáúåìå, òî îíè ñòàëêèâàþòñÿ ñ íåéòðàëüíûìè àòîìàìè, èîíàìè è ýëåêòðîíàìè, ñî ñòåíêàìè ñîñóäà, à â òâåðäîì
òåëå — ñ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé. Ïðè òàêèõ ñòîëêíîâåíèÿõ â ñàìîì öóãå
ïî÷òè ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿåòñÿ ôàçà èñïóñêàåìîãî èçëó÷åíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, êàæäûé öóã ïðèîáðåòàåò ñëó÷àéíóþ ôàçîâóþ ìîäóëÿöèþ.
42
 êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñòîëêíîâåíèå àòîìîâ
ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ âðåìåíè æèçíè âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Óìåíüøåíèå
âðåìåíè æèçíè âëå÷åò óâåëè÷åíèå øèðèíû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ
êàê îòäåëüíîãî àòîìà, òàê è âñåãî àíñàìáëÿ.
Òàêîå óøèðåíèå íàçûâàåòñÿ ñòîëêíîâèòåëüíûì, èëè óäàðíûì. Îíî îòíîñèòñÿ ê îäíîðîäíîìó óøèðåíèþ, ïîñêîëüêó â îäèíàêîâîé ñòåïåíè óøèðÿþòñÿ
êîíòóðû ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé èçëó÷åíèÿ êàæäîãî àòîìà.
Îïðåäåëèì øèðèíó è ôîðìó ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ ïðè
ó÷åòå ñòîëêíîâåíèé.  ãàçå ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ èçëó÷åíèå àòîìà «ïîëó÷àåò» ñëó÷àéíûé ñêà÷îê ôàçû â ñðåäíåì ÷åðåç âðåìÿ tc ~ 10-10 ñ. Òîãäà îòäåëüíûé
öóã äëèòåëüíîñòüþ t ~ 10-8 ñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàê áû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
t/tc ~ 102 öóãîâ. Äëèòåëüíîñòü êàæäîãî èç ýòèõ ìàëåíüêèõ öóãîâ ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî øèðèíà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè óâåëè÷èâàåòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî íà äâà ïîðÿäêà.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èçëó÷åíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
F (t ) =
N
å f l (t - t l ),
l =1
(4.24)
ãäå
ìa cos w 0t , åñëè t l < t < t l + t l ;
f l (t - t l ) = í
î0, åñëè t < t l è t > t l + t l ,
(4.25)
— «îáðûâîê» ãàðìîíè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, âîçíèêàþùèé ñëó÷àéíî â ìîìåíò âðåìåíè tl è ïðåêðàùàþùèéñÿ òàêæå ñëó÷àéíî ñïóñòÿ âðåìÿ tl (tl — ñëó÷àéíàÿ äëèòåëüíîñòü «îáðûâêà»). Ðàäèàöèîííîå çàòóõàíèå â ñèëó óñëîâèÿ tl < t íå ó÷èòûâàåòñÿ.
Ïðèìåíÿÿ ê (4.24) ïðåîáðàçîâàíèÿ (4.21), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
| Fµ0 (w)| 2 =
å N l | µf 0l (w)| 2 .
l
(4.26)
Çäåñü, â îòëè÷èå îò (4.23), Nl — ÷èñëî öóãîâ äëèòåëüíîñòüþ tl, çàðåãèñòðèðîâàííûõ çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ; µf 0l (w) — ôóðüå-àìïëèòóäà äëÿ òàêèõ öóãîâ,
ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì äëèòåëüíîñòÿì tl.
Åñëè âðåìÿ íàáëþäåíèÿ âåëèêî, òî (4.26) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
| Fµ0 (w)| 2 =
å N l á| f 0 (w)| 2 ñ,
l
(4.27)
ãäå
2
á| f 0 (w)| ñ =
å N l | µf 0l (w)| 2
l
åNl
(4.28)
l
— ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà ìîäóëÿ ñïåêòðàëüíîé àìïëèòóäû.
Èç êóðñà ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè èçâåñòíî: âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè ïðîéäåò âðåìÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå èíòåðâàëó (tl, tl + dtl),
ðàâíà
dp t =
1
æ t ö
exp ç - l ÷ d t l = M (t l )d t l .
è tc ø
tñ
(4.29)
43
Çäåñü tc — ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè. Òîãäà
¥
á| µ
f 0 (w)| 2 ñ = ò | µf 0l (w)| 2M (t l )d t l .
(4.30)
0
Âíà÷àëå âû÷èñëèì ôóðüå-àìïëèòóäó «îáðûâêà» (4.25) äëèòåëüíîñòüþ tl:
t l +tl
µ
f 0l (w) =
= ae i F1
ò
tl
1 i w 0t
+ e -i w 0t )e -i wt dt =
(e
2
sin(w 0 - w)t l /2
sin(w 0 + w)t l /2
+ ae i F 2
.
w0 - w
w0 + w
(4.31)
Çäåñü F1 = (w 0 - w)(t l + t l /2); F 2 = (w 0 + w)(t l + t l /2) .
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èñïîëüçóåì ëèøü ïîëîæèòåëüíûå
÷àñòîòû. Òîãäà âòîðûì ñëàãàåìûì â (4.31) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è çàïèñàòü
| µf 0l (w)| 2 =
2
1 2 2 é sin(w 0 - w)t l /2 ù
1
= a 2 t l2 sinc 2 ((w 0 - w)t l /2) ,
a tl ê
ú
4
4
ë (w 0 - w)t l /2 û
(4.32)
sin x
— ôóíêöèÿ, øèðîêî èñïîëüçóåìàÿ â ôèçèêå. Êâàäðàò ýòîé
x
ôóíêöèè îïèñûâàåò êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãî
ñîáîé ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ àìïëèòóäîé a, ÷àñòîòîé w0 è äëèòåëüíîñòüþ tl,
è èçîáðàæåí íà ðèñ. 4.3.
Ýòîò êîíòóð íå ÿâëÿåòñÿ ëîðåíöåâûì. Åãî øèðèíà Dxl = p, à ñïåêòðàëüíàÿ
øèðèíà
ãäå sinc(x) =
Dw l =
4p
,
tl
(4.33)
ò. å. îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèòåëüíîñòè tl ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà. Ïðîâîäÿ óñðåäíåíèÿ ïî äëèòåëüíîñòÿì tl â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.29) è (4.30), íàõîäèì
sinc2(x)
1
-3p
-2p
-p
0
p
Dxl
Ðèñ. 4.3
44
2p
3p
x=
(w - w 0)tl
2
á| µf 0 (w)| 2 ñ =
=
1¥ 2 2
1
æ t ö
a t c sinc 2 ((w 0 - w)t l /2) exp ç - l ÷ d t l =
ò
40
tc
è tc ø
1 2 2
1
1
a tc 2
= a 2 t 2c L(w),
2
2
t c (w 0 - w) + 1 2
(4.34)
ãäå
L (w ) =
t 2c (w 0
1
- w) 2 + 1
(4.35)
— ëîðåíöåâà ôóíêöèÿ.
Äëÿ àíñàìáëÿ àòîìîâ, ñîãëàñíî (4.27), èìååì
1 2 2
a t c L(w)å N l .
2
l
| Fµ0 (w)| 2 =
Çà áîëüøîå âðåìÿ íàáëþäåíèÿ tí ? tc ñóììà
å Nl
l
(4.36)
=
ìîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èíòåíñèâíîñòè ïîëó÷àåì
S (w) =
| Fµ0l (w)| 2 1 2
= a t ñ L(w).
pt í
2
tí
, ïîýòîìó äëÿ èñêîtñ
(4.37)
Òàêèì îáðàçîì, êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ ñòàëêèâàþùèõñÿ àòîìîâ ÿâëÿåòñÿ ëîðåíöåâûì. Îäíàêî ýòîò êîíòóð çíà÷èòåëüíî óøèðåí.
Åãî øèðèíà, îöåíåííàÿ ïî óðîâíþ 0,5 (íà ïîëîâèíå ýòîé øèðèíû ôóíêöèÿ L
óáûâàåò âäâîå), èç (4.35) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
Dw c =
2
.
tc
(4.38)
Âûðàæåíèÿ äëÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èíòåíñèâíîñòè (4.37) ìîæíî
ñ ó÷åòîì (4.38) è ðàâåíñòâà I0 = a2/2 (I0 — èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ âñåé
ñïåêòðàëüíîé ëèíèè) çàïèñàòü â âèäå
S (w ) = I 0
2L(w)
= I 0 g L (w),
pDw c
(4.39)
ãäå
g L (w ) =
Dw c
2
p 4(w 0 - w)2 + (Dw c )2
(4.40)
— íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ ( ò g L (w )d w = 1), êîòîðàÿ îïèñûâàåò â îïòèêå ëîðåíöåâûé êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè.
Îöåíèì õàðàêòåðíûå âðåìåíà ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ. Àòîìû äâèæóòñÿ õàîòè÷åñêè ñî ñðåäíåé òåïëîâîé ñêîðîñòüþ
Lò =
8kT
,
pm
(4.41)
ãäå m — ìàññà àòîìà èëè ìîëåêóëû.
45
Ñàì ïðîöåññ ñòîëêíîâåíèÿ ïðîèñõîäèò íå ìãíîâåííî, êàê ýòî ïðåäïîëàãàëîñü ðàíåå äëÿ ïðîñòîòû, à â òå÷åíèå èíòåðâàëà Dtc. Àòîìû, ñáëèæàÿñü, íà÷èíàþò îêàçûâàòü âëèÿíèå äðóã íà äðóãà ïðè ðàññòîÿíèÿõ d ìåæäó íèìè, êîòîðîå
ïî ïîðÿäêó ðàâíî äèàìåòðó àòîìà èëè ìîëåêóëû (d ~ 1 D = 10-10 ì). Òîãäà âðåìÿ
ñòîëêíîâåíèÿ
Dt c :
d
uT
(4.42)
Íàïðèìåð, äëÿ àòîìà íåîíà ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå Dtc ~ 10-13 c. Â ïðîöåññå ñòîëêíîâåíèÿ àòîì, êàê ýëåìåíòàðíûé äèïîëü, óñïåâàåò ñîâåðøèòü íåñêîëüêî îñöèëëÿöèé.
Ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè ðàâíî îòíîøåíèþ ñðåäíåé
äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà L ê ñêîðîñòè Lò
tc :
L 1 mkT
= ×
,
uT 4 pd 2 p
(4.43)
ãäå p — äàâëåíèå ãàçà.
Íàïðèìåð, äàâëåíèå â ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêå He-Ne-ëàçåðà p = 0,5 ìì ðò. ñò.
Ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè èçëó÷àþùèõ
ñâåò àòîìîâ íåîíà
tc = 0,5 × 10-6 ñ.
(4.44)
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ øèðèíà ëîðåíöåâîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ
Dn c =
Dw c
1
=
= 0,64 ÌÃö.
pt ñ
2p
(4.45)
Ñ óâåëè÷åíèåì äàâëåíèÿ øèðèíà ëèíèè âîçðàñòàåò.
Äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè. Ïîñêîëüêó àòîìû íàõîäÿòñÿ
â òåïëîâîì äâèæåíèè, òî íàáëþäàòåëü âñëåäñòâèå ýôôåêòà Äîïëåðà áóäåò ðåãèñòðèðîâàòü öóãè âîëí ñ ðàçíûìè ÷àñòîòàìè w. Ðàçóìååòñÿ, â ñèñòåìå êîîðäèíàò,
æåñòêî ñâÿçàííîé ñ àòîìîì, ÷àñòîòà åãî èçëó÷åíèÿ íåèçìåííà è ðàâíà w0 (ðàäèàöèîííîå óøèðåíèå ëèíèè íå ó÷èòûâàåì). Åñëè àòîì ïðèáëèæàåòñÿ ê íàáëþäàòåëþ
ñî ñêîðîñòüþ Lz (ðèñ. 4.4), òî íàáëþäàòåëü âîñïðèíèìàåò èçëó÷åíèå ñ ÷àñòîòîé
L ö
æ
w = w 0 ç1 + z ÷ .
è
cø
(4.46)
Êîìïîíåíòà ñêîðîñòè Lz èìååò íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîýòîìó
dn = n
Ðèñ. 4.4
46
æ mL z2 ö
m
exp ç dL ,
è 2kT ÷ø z (4.47)
2pkT
ãäå n — ÷èñëî èçëó÷àþùèõ àòîìîâ â åäèíèöå îáúåìà; dn — ÷àñòü àòîìîâ ñ êîìïîíåíòîé ñêîðîñòè Lz â èíòåðâàëå (Lz,
Lz + dLz).
Åñëè èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ âñåõ
n àòîìîâ ðàâíà I0, òî èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ dI ÷àñòè dn àòîìîâ óäîâëåòâîðÿåò ïðîïîðöèè
dI
dn
=
.
I0
n
(4.48)
Èñêëþ÷èì â (4.47) Lz2 è dLz, âûðàçèâ èõ ñ ïîìîùüþ (4.46) ÷åðåç w è dw.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî dI = S(w)dw, èç (4.48) ïîëó÷àåì
æ mc 2 (w - w 0 ) 2 ö
m
c
d w.
exp ç è
ø÷
2pkT w 0
2kT w 02
S (w)d w
=
I0
(4.49)
Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå
Dw = w 0
2kT
,
mc 2
(4.50)
òî (4.49) ìîæíî çàïèñàòü â êîìïàêòíîì âèäå:
S (w) =
æ (w - w 0 ) 2 ö
exp ç ÷ = I 0 g D (w).
è
Dw 2 ø
pDw
(4.51)
æ (w - w 0 ) 2 ö
exp ç ÷
è
Dw 2 ø
pDw
(4.52)
I0
Çäåñü
g D (w ) =
1
— íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ ( ò g D (w)d w = 1), êîòîðàÿ îïèñûâàåò â îïòèêå ãàóññîâ êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè.
Äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå îòíîñèòñÿ ê íåîäíîðîäíîìó óøèðåíèþ, ïîñêîëüêó ðàçíûå àòîìû âíîñÿò âêëàä â ñóììàðíîå èçëó÷åíèå ñ ðàçíûìè ÷àñòîòàìè. Øèðèíó
äîïëåðîâñêîé ëèíèè òàêæå îïðåäåëÿþò íà óðîâíå 0,5 (íà ïîëîâèíå ýòîé øèðèíû
ôóíêöèÿ gD óáûâàåò âäâîå) ïî ôîðìóëå
2kT
.
(4.53)
mc 2
Ýòà øèðèíà çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû. Äëÿ èçëó÷åíèÿ íåîíà ïðè Ò = 300 K
Dw D = 2 ln 2Dw = 2 ln 2
Dw D
(4.54)
= 1,7 × 10 9 Ãö = 1,7 ÃÃö.
2p
Ñðàâíåíèå îáîèõ ìåõàíèçìîâ óøèðåíèÿ äëÿ ëèíèè èçëó÷åíèÿ íåîíà (l =
= 6 328 D) ïîêàçûâàåò, ÷òî äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò
óäàðíîå. Îäíàêî ïðè âûñîêèõ äàâëåíèÿõ óäàðíîå óøèðåíèå ìîæåò ïðåîáëàäàòü íàä äîïëåðîâñêèì. Ýòî èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, äëÿ ñâåòÿùåãîñÿ óãëåêèñëîãî ãàçà (l = 10,6 ìêì), íàõîäÿùåãîñÿ ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè
â ãàçîðàçðÿäíîé òðóáêå CO2-ëàçåðà.
Äëÿ íàãëÿäíîñòè íà ðèñ. 4.5 ïðèâåäåíî
ñðàâíåíèå ëîðåíöåâà è ãàóññîâà êîíòóðîâ ïðè îäèíàêîâîé èõ øèðèíå: Dw =
= Dwñ = DwD. Âèäíî, ÷òî â ñðåäíåé ÷àñòè
äîìèíèðóåò ãàóññîâà ôóíêöèÿ gD, à íà
ïåðèôåðèè — ëîðåíöåâà ôóíêöèÿ gL.
Ðèñ. 4.5
Dn D =
47
Ïîëíîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè.
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ðåàëèçóþòñÿ îáà ñëó÷àÿ îäíîâðåìåííî. Ïîýòîìó óøèðåíèå
íå áûâàåò ïîëíîñòüþ îäíîðîäíûì èëè íåîäíîðîäíûì.
Íà ðèñ. 4.6 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî íåñêîëüêî ëîðåíöåâûõ ëèíèé ñî ñäâèãîì ÷àñòîòû w0¢ âñëåäñòâèå ýôôåêòà Äîïëåðà. Ýòè
Ðèñ. 4.6
ëèíèè âçàèìíî ïåðåêðûâàþòñÿ. Èíòåíñèâíîñòü ëèíèé ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó, ïîñêîëüêó íà ðèñóíêå èçîáðàæåíà ñèòóàöèÿ, êîãäà DwD > Dwñ.
Èíòåíñèâíîñòü ïîëíîãî èçëó÷åíèÿ âñåõ àòîìîâ â óçêîì ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå w ¸ w + d w ðàâíà ñóììå èíòåíñèâíîñòåé âñåõ ëîðåíöåâûõ ëèíèé ñî ñìåùåííûìè öåíòðàëüíûìè ÷àñòîòàìè w 0¢:
¥
dI (w, w + d w) = I 0d w ò g L (w - w ¢0 ) g D (w ¢0 )d w ¢0 = I 0 g (w)d w,
(4.55)
-¥
ãäå ôóíêöèÿ
g (w ) =
¥
ò
g L (w - w ¢0 ) g D (w ¢0 )d w ¢0
(4.56)
-¥
îïèñûâàåò êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè, óøèðåííîé çà ñ÷åò îäíîâðåìåííîãî
äåéñòâèÿ îáîèõ ìåõàíèçìîâ. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîé ñâåðòêîé ôóíêöèé gL è gD.
Åñëè, íàïðèìåð, îäíîðîäíîå óøèðåíèå î÷åíü ìàëî (DwL = DwD), òî â (4.56)
ìîæíî ïîëîæèòü gL(w - w 0¢) = d(w - w 0¢) (d — äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà). Òîãäà
èíòåãðàë (4.56) â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâàìè d-ôóíêöèè áóäåò ðàâåí
g (w) =
¥
ò d(w - w ¢0 )g D (w ¢0 )d w ¢0
= g D (w),
(4.57)
-¥
è âêëàä îäíîðîäíîãî óøèðåíèÿ ïðåíåáðåæèìî ìàë.
Ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ è óøèðåíèå ñïåêòðà. Ðàññìîòðèì âîïðîñ î øèðèíå ñïåêòðà, ïîëüçóÿñü âðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèåì. Åñëè èìååòñÿ èìïóëüñ ñ äëèòåëüíîñòüþ t, â êîòîðîì ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ îòñóòñòâóåò (íàïðèìåð, ñâåòîâîé öóã
(3.12), èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 3.5), òî øèðèíà åãî ñïåêòðà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ýòîé äëèòåëüíîñòè, êàê ýòî è âûðàæàåòñÿ îöåíêîé (3.15) Dn ~ 1/t.
Èìïóëüñ áåç ôàçîâîé ìîäóëÿöèè íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííûì. Åñëè
èìååòñÿ ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ ñ õàðàêòåðíûì âðåìåíåì tj < t, òî ñïåêòð òàêîãî
èìïóëüñà ðàñøèðÿåòñÿ. Íà ðèñ. 4.7 èçîáðàæåí öóã, ó êîòîðîãî ôàçà â ðåçóëüòàòå
ñòîëêíîâåíèé õàîòè÷íî ìåíÿåòñÿ â ñðåäíåì ÷åðåç âðåìÿ tj = tñ.
Øèðèíà ñïåêòðà â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.38) ðàâíà
Dn j =
Dw ñ
1
1
.
=
=
2p
pt ñ pt j
(4.58)
Èìïóëüñ ñ èçìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè ôàçîé íàçûâàåòñÿ ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûì. Øèðèíà åãî ñïåêòðà áîëüøå, ÷åì ó ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííîãî èìïóëüñà òîé æå äëèòåëüíîñòè.
48
Ðèñ. 4.7
Íà ñîîòíîøåíèÿõ (3.15) è (4.58) ïîñòðîåíà èäåÿ ñæàòèÿ âî âðåìåíè (êîìïðåññèè) ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ. Òàê, åñëè äëèòåëüíîñòü ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííîãî
èìïóëüñà ðàâíà t1, òî øèðèíà åãî ñïåêòðà Dn ~ 1/t1. Ïðè ñîçäàíèè ôàçîâîé ìîäóëÿöèè ñî âðåìåíåì tj < t1 ñïåêòð èìïóëüñà ðàñøèðèòñÿ äî âåëè÷èíû Dnj ~ 1/tj.
Òàêóþ áûñòðóþ ìîäóëÿöèþ ìîæíî ñîçäàòü ëèøü ìåòîäàìè íåëèíåéíîé îïòèêè.
Åñëè çàòåì ýòó ìîäóëÿöèþ ñíÿòü â ëèíåéíîé äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå, òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü íå èçìåíèòñÿ, à äëèòåëüíîñòü t2 íîâîãî ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííîãî èìïóëüñà óìåíüøèòñÿ:
t2 :
1
: t j < t1.
Dn j
(4.59)
Áîëåå ïîäðîáíî îá ýòîì ïîéäåò ðå÷ü â ðàçäåëå «Íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèå
ÿâëåíèÿ».
ËÅÊÖÈß 5
Êâàíòîâàÿ ïðèðîäà èçëó÷åíèÿ. Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ èçëó÷åíèÿ, îñíîâàííàÿ
íà óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà, íå äàåò àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ èçëó÷åíèÿ
ñâåòà àòîìàìè è ìîëåêóëàìè. Ýòî ñëåäóåò õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî ïî êëàññè÷åñêîé
òåîðèè ýëåêòðîí â àòîìå, äâèãàÿñü ïî îðáèòå ñ öåíòðîñòðåìèòåëüíûì óñêîðåíèåì, äîëæåí ïîñòîÿííî èçëó÷àòü ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó. Íî òîãäà, òåðÿÿ
ýíåðãèþ íà èçëó÷åíèå, îí äîëæåí óïàñòü íà ÿäðî.
Åùå â XIX â. áûëè èçìåðåíû äëèíû âîëí èçëó÷åíèÿ ïðîñòåéøåãî àòîìà —
âîäîðîäà, èìåþùåãî îäèí ýëåêòðîí. Ïî êëàññè÷åñêîé òåîðèè îäèí îñöèëëÿòîð
(ýëåêòðîí) äîëæåí èçëó÷àòü îäíó ñïåêòðàëüíóþ ëèíèþ. Íà ñàìîì äåëå, êàê
ïîêàçàëè èçìåðåíèÿ, ñïåêòð èçëó÷åíèÿ àòîìà âîäîðîäà ñîñòîèò èç áîëüøîãî
÷èñëà ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, äëèíû âîëí êîòîðûõ (÷àñòîòû) îïðåäåëÿþòñÿ êîìáèíàöèîííûì ïðèíöèïîì, ñôîðìóëèðîâàííûì Ðèòöåì:
1 n
1ö
æ 1
= = Rç 2 - 2÷,
èm
n ø
l ñ
(5.1)
ãäå R = 109 667,6 ñì-1 — ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà; m è n — öåëûå ÷èñëà. Âåëè÷èíà
R/n 2 íàçûâàåòñÿ òåðìîì àòîìà âîäîðîäà.
Ïîñêîëüêó ñïåêòð èçëó÷åíèÿ ïðîñòèðàåòñÿ îò èíôðàêðàñíîé äî óëüòðàôèîëåòîâîé îáëàñòè, ëèíèè áûëè ñãðóïïèðîâàíû â ÷åòûðå ñåðèè:
• cåðèÿ Ëàéìàíà íàõîäèòñÿ â äàëüíåé (íàèáîëåå óäàëåííîé îò âèäèìîé) óëüòðàôèîëåòîâîé ÷àñòè ñïåêòðà. Äëèíû âîëí ýòîé ñåðèè îïðåäåëÿþòñÿ èç (5.1)
ïðè m = 1, n = 2, 3, 4, ¾;
• ñåðèÿ Áàëüìåðà îõâàòûâàåò âèäèìóþ è ïðèìûêàþùóþ ê íåé (áëèæíþþ)
óëüòðàôèîëåòîâóþ îáëàñòè. Äëÿ ýòîé ñåðèè m = 2, n = 3, 4, 5, ¾ Ýòó ñåðèþ
ìîæíî íàáëþäàòü ïðè ãàçîâîì ðàçðÿäå â âîäîðîäå. Îíà ñîäåðæèò áîëåå 40 ëèíèé. ×àñòü ëèíèé ýòîé ñåðèè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 5.1 öâ. âêë.;
• ñåðèÿ Ïàøåíà çàíèìàåò ïðèìûêàþùóþ ê âèäèìîé (áëèæíþþ) èíôðàêðàñíóþ îáëàñòü. Äëÿ íåå m = 3, n = 4, 5, 6, ¾;
• ñåðèÿ Áðýêêåòà ðàñïîëîæåíà â äàëüíåé èíôðàêðàñíîé îáëàñòè. Äëÿ íåå
m = 4, n = 5, 6, 7, ¾
Êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ àòîìîâ. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ ñïåêòðîâ èçëó÷åíèÿ àòîìîâ
äàòñêèé ôèçèê Í. Áîð âûäâèíóë ãèïîòåçó î ñóùåñòâîâàíèè ó ëþáîãî àòîìà
ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé. Êàæäîå òàêîå ñîñòîÿíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ îïðåäåëåííîé ýíåðãèåé. Çíà÷åíèÿ ýòèõ ýíåðãèé (óðîâíè ýíåðãèè) îòëè÷àþòñÿ íà êîíå÷íûå âåëè÷èíû (óðîâíè ðàçäåëåíû êîíå÷íûìè èíòåðâàëàìè). Èñïóñêàíèå ñâåòà àòîìîì ñîïðîâîæäàåòñÿ åãî ïåðåõîäîì èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé W2
â ñîñòîÿíèå ñ ýíåðãèåé W1, ïðè ýòîì èçëó÷àåòñÿ ôîòîí ÷àñòîòîé n21, óäîâëåòâîðÿþùåé êîìáèíàöèîííîìó ïðèíöèïó Áîðà:
hn 21 = W 2 - W1 .
50
(5.2)
Ñðàâíèâàÿ (5.2) è (5.1), ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ:
Wn = -
Rhc
,
n2
(5.3)
â êîòîðîì öåëîå ÷èñëî n íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì.
Í. Áîð òàêæå ñäåëàë äîïóùåíèå, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî îðáèòàëüíûé ìîìåíò
êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà äîëæåí ïðèíèìàòü äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ:
h
.
(5.4)
2p
Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà, âðàùàþùåãîñÿ ïî îðáèòå ðàäèóñà a, ðàâíà
Ln = n
W =
mL 2
e2
.
2
4pe 0a
(5.5)
Ïîñêîëüêó ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, ñîãëàñíî (5.4), ñîñòàâèò âåëè÷èíó
h
,
2p
òî, ïîäñòàâëÿÿ (5.6) â (5.5), ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Íüþòîíà
maL = n
mL
=
=
e2
,
4 pe 0a 2
(5.6)
(5.7)
ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà âîäîðîäà.
 íåì ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
R =
me 4
.
8e 0 2 h 2
(5.8)
Ïðè ïîäñòàíîâêå â (5.8) çíà÷åíèé êîíñòàíò ïîëó÷àåòñÿ çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé Ðèäáåðãà, ñîâïàäàþùåå ñ åå ýêñïåðèìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ
äîêàçàòåëüñòâîì ñïðàâåäëèâîñòè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé.
Èäåÿ êâàíòîâàíèÿ ýíåðãèè àòîìîâ ïîëó÷èëà ñâîå äàëüíåéøåå ðàçâèòèå â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ñ ïîìîùüþ êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèõ ïîäõîäîâ óäàåòñÿ ðàññ÷èòàòü óðîâíè ýíåðãèè àòîìîâ è ìíîãèõ ìîëåêóë, ñîäåðæàùèõ áîëüøîå êîëè÷åñòâî
ýëåêòðîíîâ. Òàêèå çàäà÷è ðàññìàòðèâàþòñÿ â êóðñå êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ìû æå
áóäåì ñ÷èòàòü ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè èçâåñòíûìè è îáðàòèìñÿ ê îñíîâíûì çàêîíîìåðíîñòÿì îïòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðè êâàíòîâûõ ïåðåõîäàõ â àòîìàõ âåùåñòâà.
Ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå.  ñâåòÿùåìñÿ ýëåêòðè÷åñêîì ðàçðÿäå àòîìû ïîñòîÿííî
ñòàëêèâàþòñÿ ñ äâèæóùèìèñÿ ýëåêòðîíàìè. Ïîëó÷àÿ ýíåðãèþ ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ, îíè ïåðåõîäÿò íà áîëåå âûñîêèå
ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè. Îäíàêî çàòåì
ñàìîïðîèçâîëüíî (ñïîíòàííî) íà÷èíàåòñÿ ïåðåõîä íà áîëåå íèçêèå óðîâíè, ñîïðîâîæäàþùèéñÿ èçëó÷åíèåì êâàíòîâ
ñâåòà. Êàæäûé ïåðåõîä íîñèò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Íà ðèñ. 5.1 ñõåìàòè÷íî
Ðèñ. 5.1
èçîáðàæåíû ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè.
51
Íà ðèñ. 5.1, à ïîêàçàí ïðîöåññ âîçáóæäåíèÿ àòîìà, à íà ðèñ. 5.1, á — îäèí
èç ñïîíòàííûõ ïåðåõîäîâ, ñîïðîâîæäàþùèéñÿ èçëó÷åíèåì ôîòîíà. Òàêîå èçëó÷åíèå íàçûâàåòñÿ ñïîíòàííûì èçëó÷åíèåì.
Ïîñêîëüêó ìîìåíò èñïóñêàíèÿ ôîòîíà óêàçàòü òî÷íî íåâîçìîæíî, òî ìîæíî ãîâîðèòü ëèøü î âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ñ óðîâíÿ W2 íà óðîâåíü W1. Äëÿ ýòîãî
ââîäÿò âðåìÿ æèçíè t âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ W2. Òîãäà çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt = t èç îáùåãî ÷èñëà N2 àòîìîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà óðîâíå W2,
ìàëàÿ ÷àñòü, ðàâíàÿ -dN2, åãî ïîêèíåò:
-
dN 2 dt
=
= dpN ,
t
N2
(5.9)
dt
— âåðîÿòíîñòü àêòà ñïîíòàííîãî èñïóñêàíèÿ; çíàê «-» ó÷èòûâàåò,
t
÷òî dN2 < 0.
Åñëè â ðåçóëüòàòå êðàòêîâðåìåííîãî âîçáóæäåíèÿ N2o àòîìîâ îêàçàëèñü íà
óðîâíå W2, òî ñî âðåìåíåì èõ ÷èñëî íà÷íåò, êàê ñëåäóåò èç (5.9), óáûâàòü ïî
ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó:
ãäå dpN =
æ -t ö
N 2 (t ) = N 20 exp ç ÷ .
è t ø
(5.10)
Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â åäèíèöó âðåìåíè, êàê ñëåäóåò èç (5.9), ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:
dp N
1
= = A21.
t
dt
(5.11)
Ýòà âåðîÿòíîñòü (à òî÷íåå, ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè) ðàâíà ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå A21, ïîëó÷èâøåé íàçâàíèå êîýôôèöèåíòà Ýéíøòåéíà äëÿ ñïîíòàííîãî
èçëó÷åíèÿ (â ÷åñòü àâòîðà èçëàãàåìîé òåîðèè).
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íåîïðåäåëåííîñòè îãðàíè÷åííîñòü âðåìåíè æèçíè «òðåáóåò» íåîïðåäåëåííîñòè DW2 çíà÷åíèÿ ýíåðãèè W2:
tDW 2 » h.
(5.12)
Íî òîãäà è ÷àñòîòà èñïóñêàåìîãî ôîòîíà áóäåò, ñîãëàñíî (5.2), íàõîäèòüñÿ
â ïðåäåëàõ èíòåðâàëà
DW 2 1
(5.13)
» = A21 .
t
h
Òàêèì îáðàçîì, àòîìîì èçëó÷àåòñÿ ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ, øèðèíà êîòîðîé ïðîïîðöèîíàëüíà êîýôôèöèåíòó A21, èëè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíè æèçíè t.
Åñëè óìíîæèòü îáå ÷àñòè (5.10) íà ýíåðãèþ ôîòîíà hn, òî ïîëó÷èì ýêñïîíåíöèàëüíûé çàêîí óáûâàíèÿ ýíåðãèè, à ñëåäîâàòåëüíî, è èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ:
Dn 21 =
I (t ) = I 0 exp(- A21t ).
(5.14)
Ïî òàêîìó æå çàêîíó óáûâàåò èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ êëàññè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñ ðàäèàöèîííûì çàòóõàíèåì. Ïîýòîìó êîíòóð ëèíèè èçëó÷åíèÿ áóäåò ëîðåíöåâûì ñ øèðèíîé Dn21 ~ A21. Ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé (4.40) ìîæíî
çàïèñàòü
52
g ( n) =
A21
2
.
p 4(n - n 21 )2 + A21 2
(5.15)
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî çäåñü íå ó÷èòûâàåòñÿ âçàèìîäåéñòâèå âîçáóæäåííîãî
àòîìà ñ äðóãèìè àòîìàìè.
Êîýôôèöèåíò A21 ìîæíî âû÷èñëèòü, åñëè èñïîëüçîâàòü êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå àòîìà, à ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïðè ýòîì ñ÷èòàòü êëàññè÷åñêèì.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðè ïåðåõîäàõ ìåíÿåòñÿ êîíôèãóðàöèÿ ýëåêòðîííîãî îáëàêà âîêðóã ÿäðà àòîìà. Çàðÿä ýòîãî îáëàêà ïîñòîÿíåí
è ðàâåí çàðÿäó ýëåêòðîíà. Äàëåå ââîäèòñÿ êâàíòîâûé îñöèëëÿòîð, îáëàäàþùèé
ýëåêòðè÷åñêèì äèïîëüíûì ìîìåíòîì ïåðåõîäà
æ W - W1 ö
p 21 (t ) = er21 cos ç 2p 2
t ÷ = p 21 cos 2pn 21t .
è
ø
h
(5.16)
Çäåñü p21 = er21 — àìïëèòóäà äèïîëüíîãî ìîìåíòà, ðàâíàÿ ïðîèçâåäåíèþ çàðÿäà
ýëåêòðîíà íà ðàññòîÿíèå r21 ìåæäó «öåíòðàìè çàðÿäîâ» äâóõ îáëàêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãèÿì W2 è W1 àòîìà. Âåëè÷èíà p21 ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ
âîëíîâûõ ôóíêöèé, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.
Èñïîëüçóÿ çàòåì êëàññè÷åñêóþ ôîðìóëó (3.4) äëÿ ìîùíîñòè èçëó÷åíèÿ êâàíòîâîãî îñöèëëÿòîðà, ïîëó÷àåì
P =
2 4
8p 3e 2r21
n 21
.
3
3e 0 c
(5.17)
Åñëè ýòó ìîùíîñòü ðàçäåëèòü íà ýíåðãèþ ôîòîíà hn21, òî îòíîøåíèå áóäåò
ðàâíî ÷èñëó ñïîíòàííûõ êâàíòîâûõ ïåðåõîäîâ â åäèíèöó âðåìåíè, à ýòî ÷èñëî
îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè æèçíè. Ïîýòîìó
A21 =
P
1
8p 3e 2r212 n 321
=
=
.
t hn 21
3e 0 c 3 h
(5.18)
Êîýôôèöèåíò A21 çàâèñèò îò ÷àñòîòû n21 è àìïëèòóäû äèïîëüíîãî ìîìåíòà
ïåðåõîäà. Åñëè äëÿ âèäèìîãî äèàïàçîíà (l = 0,5 × 10-4 ñì) ïîëîæèòü n21 = 0,6 × 1015 Ãö,
r21 ~ 10-8 ñì, òî A21 ~ 108 ñ-1.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì êîýôôèöèåíòû Amn äëÿ íåêîòîðûõ ëèíèé àòîìàðíîãî âîäîðîäà (ñåðèÿ Ëàéìàíà L è Áàëüìåðà H ):
Ñèìâîë ëèíèè ........ La
l, íì ........................ 121,6
Amn, 108 ñ-1 ............... 4,68
Lb
102,6
0,55
Lg
97,3
0,13
Ha
653,6
0,44
Hb
486,1
0,084
Hg
434,0
0,025
Hd
410,2
0,0097
Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ g(n), îïèñûâàþùàÿ êîíòóð ëèíèè, ïîëó÷àåò íîâóþ
ñòàòèñòè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ: g(n)dn — ýòî âåðîÿòíîñòü èñïóñêàíèÿ ôîòîíà
ñ ÷àñòîòîé â èíòåðâàëå n ¸ n + d n çà åäèíèöó âðåìåíè. Ýòà âåðîÿòíîñòü ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
g (n)d n =
And n
,
A21
(5.19)
ãäå An — ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü êîýôôèöèåíòà Ýéíøòåéíà A21. Îíà ñâÿçàíà ñ
êîíòóðîì ëèíèè ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
An = A21g(n).
(5.20)
53
Ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ìåõàíèçìîì èçëó÷åíèÿ ìíîãèõ
èñòî÷íèêîâ ñâåòà: ãàçîðàçðÿäíûõ ëàìï, ýëåêòðè÷åñêèõ äóã, ïëàìåíè è äð.
Ñïîíòàííîìó èçëó÷åíèþ îáÿçàíî ñóùåñòâîâàíèå îäíîãî èç êðàñèâåéøèõ
ïðèðîäíûõ ÿâëåíèé — ïîëÿðíîãî ñèÿíèÿ. Âî âðåìÿ ïîëÿðíîãî ñèÿíèÿ íà øèðîòàõ 60 — 70° íî÷íîå íåáî ñâåòèòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðîíèêíîâåíèÿ óñêîðåííûõ
÷àñòèö âûñîêèõ ýíåðãèé èç õâîñòà ìàãíèòîñôåðû â âåðõíèå ñëîè (100 — 400 êì)
àòìîñôåðû. Ýòè ÷àñòèöû âîçáóæäàþò àòîìû êèñëîðîäà è àçîòà, êîòîðûå íà÷èíàþò èçëó÷àòü ñâåò.  âèäèìîé îáëàñòè ïîëÿðíîå ñèÿíèå îáóñëîâëåíî ñâå÷åíèåì
àòîìàðíîãî êèñëîðîäà íà äëèíàõ âîëí 557,7; 630 è 636,4 íì è èîíèçèðîâàííîãî
ìîëåêóëÿðíîãî àçîòà íà äëèíàõ âîëí 391,4; 427,8 è 522,8 íì. Íà ðèñ. 5.2 öâ. âêë.
ïîêàçàíî ñâå÷åíèå íî÷íîãî íåáà â ñåâåðíûõ øèðîòàõ, èëëþñòðèðóþùåå îïèñàííîå ÿâëåíèå.
 ðåäêèõ ñëó÷àÿõ ñèÿíèå âîçíèêàåò è íà íèçêèõ øèðîòàõ. Îäíî èç íèõ íàáëþäàëîñü 24 îêòÿáðÿ 1870 ã. â Ïàðèæå è ïîêàçàíî íà ðèñ. 5.3 öâ. âêë. (èç êíèãè
Ê. Ôëàììàðèîíà «Àòìîñôåðà», èçäàííîé â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå â 1900 ã.)
Âûíóæäåííîå ïîãëîùåíèå. Àòîìû âåùåñòâà, ïåðåõîäÿ â âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå, ïîãëîùàþò ýíåðãèþ, ïîñòàâëÿåìóþ âåùåñòâó ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè.
 ÷àñòíîñòè, ïðè ïàäåíèè ñâåòà íà âåùåñòâî àòîì ìîæåò ïîãëîùàòü ñâåòîâûå
êâàíòû. Ñêîðîñòü èõ ïîãëîùåíèÿ òåì áîëüøå, ÷åì âûøå èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà. Ïîýòîìó ïîãëîùåíèå íàçûâàåòñÿ âûíóæäåííûì.
Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ñ óðîâíÿ W1 íà êàêîé-ëèáî âåðõíèé óðîâåíü W2 çàïèøåì â âèäå
dpN = B12undt = -
dN1
,
N1
(5.21)
ãäå un — ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü îáúåìíîé ýíåðãèè u ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
(ñì. ôîðìóëó (2.1)). Êîýôôèöèåíò B12 íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì Ýéíøòåéíà
äëÿ âûíóæäåííîãî ïîãëîùåíèÿ. Êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, B12 ñâÿçàí ñ A21. Âûíóæäåííîå ïîãëîùåíèå â êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå ñâÿçàíî ñ ïîòåðåé ýíåðãèè
ñâåòîâîé âîëíû ïðè ñîâåðøåíèè åþ ðàáîòû íàä îñöèëëÿòîðîì — ýëåêòðîíîì.
Âûíóæäåííîå èçëó÷åíèå. Ïðè âûíóæäåííîì èçëó÷åíèè àòîì ïåðåõîäèò (êàê è
ïðè ñïîíòàííîì èçëó÷åíèè) ñ óðîâíÿ W2 íà óðîâåíü W1 ñ âåðîÿòíîñòüþ
dpN = B 21u ndt = -
dN 2
,
N2
(5.22)
ãäå B21 — êîýôôèöèåíò Ýéíøòåéíà äëÿ âûíóæäåííîãî èçëó÷åíèÿ. Îí òàêæå ñâÿçàí
ñ êîýôôèöèåíòîì A21.
Ïðè âûíóæäåííîì èçëó÷åíèè ðîæäàþòñÿ ôîòîíû, íåîòëè÷èìûå îò òåõ, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â ïàäàþùåì èçëó÷åíèè. Ñ êëàññè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî ìîæíî
èíòåðïðåòèðîâàòü òàê, ÷òî ôàçà, ÷àñòîòà, ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè è íàïðàâëåíèå
ðàñïðîñòðàíåíèÿ èçëó÷àåìîé âîëíû òàêèå æå, êàê è ó ïàäàþùåé.
Èçëó÷åíèå ìîëåêóë. Ó îäíîàòîìíûõ ãàçîâ (íàïðèìåð, áëàãîðîäíûõ ãàçîâ,
ïàðîâ ìåòàëëîâ) ñïåêòðû èçëó÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé (êàê è ó àòîìàðíîãî
âîäîðîäà) ðÿä ëèíèé. Òàêîé ñïåêòð íàçûâàåòñÿ ëèíåé÷àòûì. Åñëè æå ãàç ñîñòîèò
èç ìîëåêóë, ñîäåðæàùèõ äâà è áîëåå àòîìà, òî ñïåêòðàëüíûå ëèíèè ãðóïïèðóþòñÿ â ïîëîñû, è ñïåêòð íàçûâàþò ëèíåé÷àòî-ïîëîñàòûì. Âîçáóäèòü ìîëåêóëÿðíûå ñïåêòðû ìîæíî â ïëàìåíè ãîðåëêè, ýëåêòðè÷åñêîé äóãå, èçáåãàÿ ïðè
ýòîì ðàñïàäà (äèññîöèàöèè) ìîëåêóë.
54
Ìîëåêóëÿðíûå ñïåêòðû çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå àòîìíûõ. Èõ ìîæíî èñòîëêîâàòü, åñëè êîððåêòíî ðàññ÷èòàòü ýíåðãèþ ìîëåêóëû. Ýòà ýíåðãèÿ â áîëüøåé
ñòåïåíè ñâÿçàíà ñ ýëåêòðîííîé êîíôèãóðàöèåé. Îäíàêî ïðè çàäàííîé êîíôèãóðàöèè ìîëåêóëû ìîãóò èìåòü ðàçíûå ýíåðãåòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ, îáóñëîâëåííûå îòíîñèòåëüíûìè êîëåáàíèÿìè àòîìîâ è èõ âðàùåíèåì îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ.
Ýíåðãèþ ìîëåêóëû ìîæíî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïðåäñòàâèòü â âèäå
W = We + WL + Wr ,
(5.23)
ãäå We — ýíåðãèÿ, îáóñëîâëåííàÿ ýíåðãèåé ýëåêòðîíîâ (ýëåêòðîííàÿ ýíåðãèÿ);
WL — ýíåðãèÿ, îáóñëîâëåííàÿ êîëåáàíèÿìè ÿäåð (âèáðàöèîííàÿ ýíåðãèÿ);
Wr — ýíåðãèÿ, îáóñëîâëåííàÿ âðàùåíèåì ÿäåð (ðîòàöèîííàÿ ýíåðãèÿ). Âñå ýòè
âåëè÷èíû ìîãóò ïðèíèìàòü òîüêî äèñêðåòíûå (êâàíòîâàííûå) çíà÷åíèÿ.
Ó äâóõàòîìíîé ìîëåêóëû èìååòñÿ îäíà êîëåáàòåëüíàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû. Êîëåáàòåëüíàÿ ýíåðãèÿ — ýòî ýíåðãèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî êâàíòîâîãî îñöèëëÿòîðà
1ö
æ
W L = h nL ç L + ÷ ,
è
2ø
(5.24)
ãäå L = 0, 1, 2, ¾ — êîëåáàòåëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî.
Ïðè âðàùåíèè ìîëåêóëû åå ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ðàâåí L =
h
=
r (r + 1) , ãäå r = 0, 1, 2, ¾ — âðàùàòåëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî. Ýíåðãèÿ ïðè
2p
ýòîì âðàùåíèè
Wr =
L2
h2
=
r (r + 1),
2J 0 8p 2J 0
(5.25)
ãäå J0 — ìîìåíò èíåðöèè ìîëåêóëû.
Èñïóñêàíèå ñâåòà ïðîèñõîäèò ñ ÷àñòîòîé, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ
hn 21 = W 2 - W1 = W e 2 - W e1 + W L 2 - W L1 + W r 2 - W r 1 = hn e + hn L + hn r . (5.26)
×àñòîòû ýëåêòðîííûõ ïåðåõîäîâ ne ñîîòâåòñòâóþò áëèçêîé ÈÊ-, âèäèìîé
è ÓÔ-îáëàñòÿì ñïåêòðà, äëèíû âîëí le ~ 0,1 — 1,0 ìêì. ×àñòîòû nL ñîîòâåòñòâóþò áëèçêîé ÈÊ-îáëàñòè è lL ~ 1,0 — 50 ìêì.
v=2
×àñòîòû nr ïðèíàäëåæàò ìèëëèìåòðîâîìó è äàæå
ñàíòèìåòðîâîìó äèàïàçîíó: lr ~ 50 — 1 000 ìêì.
W2
v=1
 ñèëó ýòîãî ñòðóêòóðà ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìû óðîâíåé (ðèñ. 5.2).
v=0
We2
Ñèòóàöèÿ âûãëÿäèò òàê, êàê åñëè áû êàæäûé
èç ýëåêòðîííûõ óðîâíåé «ðàñùåïèëñÿ» íà êîëåáàòåëüíûå óðîâíè ñ êâàíòîâûì ÷èñëîì L, à îíè â
ñâîþ î÷åðåäü «ðàñùåïëÿþòñÿ» íà åùå áîëåå òåñíî
ðàñïîëîæåííûå âðàùàòåëüíûå óðîâíè.
v=2
Ïðè ïàäåíèè ñâåòà íà âåùåñòâî ìîæåò áûòü
ïîãëîùåí êâàíò ñâåòà. Ýòîò ïðîöåññ èçîáðàæåí W1
v=1
ñòðåëêàìè, íàïðàâëåííûìè ââåðõ, à äëèíà ñòðåv=0
ëîê îòîáðàæàåò ýíåðãèþ êâàíòà. Ðàçðåøåííûìè
We1
áóäóò ëèøü òå ïåðåõîäû, äëÿ êîòîðûõ Dr = ±1. Ýòè
Ðèñ. 5.2
îãðàíè÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðàâèëàìè îòáîðà.
55
Ïîñëå ïîãëîùåíèÿ ìîæåò âîçíèêíóòü ðÿä ñïîíòàííûõ ïåðåõîäîâ (èçîáðàæåíû
ñòðåëêàìè, íàïðàâëåíûìè âíèç), ïðè êîòîðûõ è áóäåò âîçíèêàòü èçëó÷åíèå
ñ ïîëîñàòûì ñïåêòðîì. Åñòåñòâåííî, ÷òî âîçáóæäàòü ìîëåêóëÿðíûå ñïåêòðû,
êàê è àòîìíûå, ìîæíî è äðóãèìè ñïîñîáàìè: ýëåêòðè÷åñêèì ðàçðÿäîì,
â ïëàìåíè ãîðåëêè, â ýëåêòðè÷åñêîé äóãå è ò. ä.
Íà ðèñ. 5.4 öâ. âêë. ïîêàçàíû íåêîòîðûå ñïåêòðàëüíûå ëèíèè àòîìàðíîãî
íàòðèÿ, ïàðîâ ìåäè, ïîëîñàòûå ñïåêòðû ìîëåêóë CN è C2 â óãîëüíîé äóãå
è ïàðîâ ìîëåêóëû éîäà.
Ëþìèíåñöåíöèÿ. Ïðè âîçáóæäåíèè ñâåòîì ãàçû, æèäêîñòè è òâåðäûå òåëà
ìîãóò èñïóñêàòü èçëó÷åíèå (â âèäå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, ïîëîñ è ñïëîøíîãî
ñïåêòðà). Êàê ïðàâèëî, äëèíû âîëí èçëó÷àåìîãî ñâåòà ïðåâûøàþò äëèíó âîëíû
âîçáóæäàþùåãî ñâåòà. Ýòî ÿâëåíèå íîñèò íàçâàíèå ëþìèíåñöåíöèÿ.
Íà ðèñ. 5.5 öâ. âêë. êðàñíûì öâåòîì ñâåòèòñÿ êðèñòàëë ðóáèíà, êîòîðûé âîçáóæäàåòñÿ çåëåíûì ñâåòîì Ar-ëàçåðà, ïàäàþùèì ñëåâà. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî
ïðè ïðåêðàùåíèè îáëó÷åíèÿ ëþìèíåñöåíöèÿ áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ íåêîòîðîå
âðåìÿ (âðåìÿ ïîñëåñâå÷åíèÿ), êîòîðîå íàìíîãî ïðåâûøàåò ïåðèîä îïòè÷åñêèõ
êîëåáàíèé. Äëèòåëüíîñòü ïîñëåñâå÷åíèÿ të çàíèìàåò áîëüøîé âðåìåííîé äèàïàçîí: 10-9 ñ < të < 106 ñ.
Åñëè ëþìèíåñöåíöèÿ èñ÷åçàåò áûñòðî (të ~ 10-9 — 10-8 ñ), òî îíà íàçûâàåòñÿ
ôëþîðåñöåíöèåé. Åñëè æå ïðîöåññ ïîñëåñâå÷åíèÿ äëèòåëåí, òî èìååò ìåñòî ôîñôîðåñöåíöèÿ. Òàêîå äåëåíèå ëþìèíåñöåíöèè âåñüìà óñëîâíî, è âðåìåííàÿ ãðàíèöà äëÿ të îòñóòñòâóåò. Îäíàêî ìåõàíèçìû ôëþîðåñöåíöèè è ôîñôîðåñöåíöèè ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûå.
Èçìåíåíèå ÷àñòîòû èñïóñêàåìîãî ñâåòà ïî îòíîøåíèþ ê ÷àñòîòå âîçáóæäàåìîãî ñâåòà áûëî îáíàðóæåíî Äæ. Ñòîêñîì è íîñèò íàçâàíèå ïðàâèëà Ñòîêñà.
Ñîãëàñíî ýòîìó ïðàâèëó ñïåêòð ôëþîðåñöåíöèè ñäâèíóò â ñòîðîíó äëèííûõ
âîëí ïî ñðàâíåíèþ ñî ñïåêòðîì ïîãëîùåíèÿ. Êîìïîíåíòû ñïåêòðà ëþìèíåñöåíöèè ïîëó÷èëè íàçâàíèå ñòîêñîâûõ êîìïîíåíò. Îäíàêî áûëè îáíàðóæåíû
è àíòèñòîêñîâûå êîìïîíåíòû, ñäâèíóòûå â ïðîòèâîïîëîæíóþ, êîðîòêîâîëíîâóþ, îáëàñòü.
Ñ ýíåðãåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îáà ÿâëåíèÿ îïèñûâàþòñÿ ñîîòíîøåíèåì
hn = hn 0 - W ,
(5.27)
ãäå hn0 — ýíåðãèÿ ôîòîíà, âîçáóæäàþùåãî àòîì; hn — ýíåðãèÿ èçëó÷åííîãî
ïðè ëþìèíåñöåíöèè ôîòîíà.
Äëÿ ñòîêñîâûõ êîìïîíåíò ÷àñòü W ýíåðãèè âîçáóæäàþùåãî ôîòîíà ðàñõîäóåòñÿ íà âíóòðèìîëåêóëÿðíûå ïðîöåññû. Äëÿ àíòèñòîêñîâûõ êîìïîíåíò W < 0.
 ýòîì ñëó÷àå èçëó÷àåìûé ôîòîí çàèìñòâóåò ýíåðãèþ òåïëîâûõ êîëåáàíèé àòîìîâ èëè ìîëåêóë. Ýòîò âûâîä ïîäòâåðæäàåòñÿ ïîâûøåíèåì èíòåíñèâíîñòè àíòèñòîêñîâûõ êîìïîíåíò ïðè íàãðåâàíèè âåùåñòâà.
Ïîÿâëåíèå ñòîêñîâûõ è àíòèñòîêñîâûõ êîìïîíåíò èëëþñòðèðóåòñÿ íà
ðèñ. 5.2. Çäåñü ÷àñòîòà ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé ìåíüøå ÷àñòîòû âûíóæäàþùåãî êâàíòà, êîãäà ïðîöåññ âîçáóæäåíèÿ ïîêàçàí ñòðåëêîé ââåðõ ñëåâà. Îäíàêî åñëè
ïðåäâàðèòåëüíî âîçáóäèòü àòîì êàêèì-ëèáî ñïîñîáîì, òî ýòè ëèíèè ëþìèíåñöåíöèè âîçíèêíóò ïðè îáëó÷åíèè êâàíòîì ìåíüøåé ýíåðãèè (ñòðåëêà ñïðàâà).
Ñïåêòðû èçëó÷åíèÿ äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàñøèôðîâûâàþòñÿ. Èõ àíàëèç ïîçâîëÿåò îöåíèòü ìîìåíò èíåðöèè ìîëåêóëû, ÷àñòîòû
ìîëåêóëÿðíûõ êîëåáàíèé è ò. ä. Ãîðàçäî ñëîæíåå ñâÿçàòü ñïåêòðû èçëó÷åíèÿ
56
ñî ñòðóêòóðîé ìíîãîàòîìíûõ ìîëåêóë. Ðàñ÷åò ýíåðãèé èõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé
çà÷àñòóþ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåñüìà òðóäíóþ çàäà÷ó. Êðîìå òîãî, èíòåíñèâíîñòü ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé íåâåëèêà, à ðàçëè÷èå â ÷àñòîòàõ áûâàåò âåñüìà íåçíà÷èòåëüíûì. Âñå ýòî çàòðóäíÿåò èçó÷åíèå ìíîãîàòîìíûõ ìîëåêóë.
Ëèíåé÷àòî-ïîëîñàòûå ñïåêòðû èçëó÷àþò ñðàâíèòåëüíî ðàçðåæåííûå ìîëåêóëÿðíûå ãàçû è ïàðû âåùåñòâ. Ñ ïîâûøåíèåì èõ ïëîòíîñòè âîçíèêàåò âçàèìîäåéñòâèå ìîëåêóë, ïðèâîäÿùåå ê èçìåíåíèþ ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé.  ïëîòíûõ ãàçàõ, æèäêîñòÿõ è òâåðäûõ òåëàõ óðîâíè ðàñøèðÿþòñÿ è ñëèâàþòñÿ â ýíåðãåòè÷åñêèå çîíû. Ïðè ïåðåõîäàõ àòîìîâ è ìîëåêóë îäíîé çîíû â äðóãóþ èçëó÷àåòñÿ ñïëîøíîé ñïåêòð â ïðåäåëàõ îãðàíè÷åííîé ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè.
Ëþìèíåñöèðóþùèå âåùåñòâà íàçûâàþòñÿ ëþìèíîôîðàìè. ×òîáû âåùåñòâî
áûëî ñïîñîáíî ëþìèíåñöèðîâàòü, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ýíåðãåòè÷åñêèå çîíû
íå ïåðåêðûâàëèñü, ò. å. îíè äîëæíû áûòü ðàçäåëåíû çàïðåùåííûìè çîíàìè.
Ìåòàëëû, íàõîäÿñü â òâåðäîé è æèäêîé ôàçàõ, íå ëþìèíåñöèðóþò, ïîñêîëüêó
íå èìåþò çàïðåùåííûõ çîí. Ýíåðãèÿ âîçáóæäàþùåãî ñâåòà â íèõ ïîëíîñòüþ
ïåðåõîäèò â òåïëîâóþ ýíåðãèþ.
Ïîìèìî ýòîãî, â âåùåñòâå âîçáóæäåííûé àòîì ìîæåò ñîâåðøàòü è áåçûçëó÷àòåëüíûé ïåðåõîä â áîëåå íèçêèå ýíåðãåòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ, îòäàâàÿ ýíåðãèþ äðóãèì ìîëåêóëàì èëè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå. Ýòî ïðèâîäèò ê òàê íàçûâàåìîìó òóøåíèþ ëþìèíåñöåíöèè.
Âåðîÿòíîñòü áåçûçëó÷àòåëüíûõ ïåðåõîäîâ âîçðàñòàåò ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû (òåìïåðàòóðíîå òóøåíèå), êîíöåíòðàöèè (êîíöåíòðàöèîííîå òóøåíèå)
è ïðèìåñåé (ïðèìåñíîå òóøåíèå). Ïîýòîìó åùå îäíèì íåîáõîäèìûì óñëîâèåì
âîçíèêíîâåíèÿ ëþìèíåñöåíöèè ÿâëÿåòñÿ ïðåâûøåíèå âåðîÿòíîñòè èçëó÷àòåëüíûõ ïåðåõîäîâ íàä âåðîÿòíîñòüþ áåçûçëó÷àòåëüíûõ.
ËÅÊÖÈß 6
Òåïëîâîå èçëó÷åíèå. Òåëà, íàãðåòûå äî òåìïåðàòóðû âûøå 500 °Ñ, íà÷èíàþò
ñâåòèòüñÿ ò.å. èçëó÷àòü âèäèìûé ñâåò. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïî ìåðå ïîâûøåíèÿ
òåìïåðàòóðû óãîëü â êîñòðå èëè ðàñêàëåííûå ìåòàëëû êðàñíóþ îêðàñêó ñìåíÿþò
íà áåëóþ. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ñïåêòð èõ èçëó÷åíèÿ îáîãàùàåòñÿ
áîëåå êîðîòêèìè âîëíàìè.
Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè â íåêîòîðîì îáúåìå, îêðóæåííîì îáîëî÷êîé,
íàõîäÿòñÿ íàãðåòûå òåëà, òî òàì ñóùåñòâóåò è ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå.
Íàïðèìåð, ïðè îòêðûòèè äâåðöû òîïêè äðîâÿíîé ïå÷è îùóùàåòñÿ æàð, îáóñëîâëåííûé âûõîäÿùèì èç òîïêè ýëåêòðîìàãíèòíûì èçëó÷åíèåì. Åñëè îáîëî÷êà áóäåò àäèàáàòè÷åñêîé (òåïëîíåïðîíèöàåìîé), òî ïî èñòå÷åíèè íåêîòîðîãî
âðåìåíè óñòàíîâèòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå: òåëà áóäóò èìåòü îäèíàêîâóþ òåìïåðàòóðó, à èçëó÷åíèå — îáúåìíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé ïî äëèíàì âîëí íå çàâèñèò îò ïðèðîäû òåë è ñòåíîê, à îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü
èõ òåìïåðàòóðîé.
Òàêîå èçëó÷åíèå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ñ íàãðåòûìè òåëàìè è íàçûâàåòñÿ
ðàâíîâåñíûì òåïëîâûì èçëó÷åíèåì. Ôóíäàìåíòàëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé ýòîãî
èçëó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü unT îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè
uT ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:
uT =
¥
1
(e 0 E 2 + m 0 H 2 ) = ò u nT d n ,
2
0
(6.1)
ãäå unT — óíèâåðñàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÷àñòîòû n, çàâèñÿùàÿ îò òåìïåðàòóðû T êàê
îò ïàðàìåòðà.
Ïðàâèëî Ïðåâî. Ïóñòü âíóòðè àäèàáàòè÷åñêîé îáîëî÷êè íàõîäÿòñÿ äâà òåëà,
îáëàäàþùèå ðàçëè÷íîé ñïîñîáíîñòüþ ïîãëîùàòü ñâåò (íàïðèìåð, õîðîøî ïîãëîùàþùèé óãîëü è ìàëî ïîãëîùàþùèé, íî ñèëüíî îòðàæàþùèé ñâåò ìåë, ðèñ. 6.1).
Èç ôàêòà ñóùåñòâîâàíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ñëåäóåò óòâåðæäåíèå: åñëè äâà òåëà ïîãëîùàþò ðàçíûå êîëè÷åñòâà ýíåðãèè, òî è èõ èñïóñêàíèå
ðàçëè÷íî. Ýòî óòâåðæäåíèå áûëî ñôîðìóëèðîâàíî â 1809 ã. øâåéöàðñêèì ôèçèêîì Ï. Ïðåâî è ïîëó÷èëî íàçâàíèå ïðàâèëà Ïðåâî. Ñëåäóÿ ýòîìó ïðàâèëó, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî óãîëü ëó÷øå èçëó÷àåò, ÷åì ìåë. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè óãîëü
è ìåë íàãðåòü â ïå÷è äî îäèíàêîâîé
òåìïåðàòóðû ïîðÿäêà 1000 ° è çàòåì
èõ èçâëå÷ü èç ïå÷è, òî â çàòåìíåííîé
àóäèòîðèè óãîëü áóäåò áåëûì, à ìåë —
òåìíûì.
Çàêîí Êèðõãîôà. Êîëè÷åñòâåííóþ
èíòåðïðåòàöèþ ïðàâèëà Ïðåâî ìîæíî
Ðèñ. 6.1
ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
58
ñïîñîáíîñòü òåëà ê èçëó÷åíèþ îïðåäåëÿåòñÿ ïîòîêîì ýíåðãèè, èñïóñêàåìîé åäèíèöåé ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè â åäèíèöó âðåìåíè â òåëåñíîì óãëå 2p. Íà ðèñ. 6.2 ñõåìàòè÷íî
èçîáðàæåí ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ åäèíè÷íîé ïëîùàäêîé ïîâåðõíîñòè òåëà, èñïóñêàþùåé ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû,
èçîáðàæåííûå âîëíèñòûìè ñòðåëêàìè. Òàêèìè ñòðåëêàìè
ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü êâàíòû ñâåòà (ôîòîíû).
Ýòîò ïîòîê ET íàçûâàåòñÿ èçëó÷àòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ
òåëà. Èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ðàñïðåäåëåíà ïî ÷àñòîòàì èëè äëèíàì âîëí:
¥
¥
0
0
E T = ò E n T d n = ò E lT d l .
Ðèñ. 6.2
(6.2)
Îíà çàâèñèò îò ïðèðîäû íàãðåòîãî òåëà è åãî òåìïåðàòóðû. Ñïåêòðàëüíûå
ïëîòíîñòè EnT è ElT îïèñûâàþò ñïåêòð òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ. Îíè ñâÿçàíû î÷åâèäíûì óñëîâèåì:
EnT dn = ElT d l.
Ïîñêîëüêó n =
c
-c
, òî d n = 2 d l, ïîýòîìó
l
l
l2
E nT =
E lT .
c
(6.3)
(6.4)
Ïðè òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè ïàäàåò ïîòîê
eT, èìåþùèé ðàñïðåäåëåíèå ïî ÷àñòîòàì enT. Ñïîñîáíîñòü òåëà ê ïîãëîùåíèþ
õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîãëîùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ
AnT =
E nT
,
e nT
(6.5)
ðàâíîé îòíîøåíèþ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ïîãëîùåííîé ýíåðãèè (ïðè ðàâíîâåñèè îíà ðàâíà ïëîòíîñòè èçëó÷åííîé ýíåðãèè EnT) ê ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè
óïàâøåãî ïîòîêà. Ïîãëîùàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü çàâèñèò îò ÷àñòîòû è òåìïåðàòóðû.
Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü enT ïàäàþùåãî ïîòîêà ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû n è òåìïåðàòóðû T è íå çàâèñèò îò ïðèðîäû íàãðåòûõ òåë.
Ôîðìóëà (6.5), çàïèñàííàÿ â âèäå
E nT
= e nT ,
AnT
(6.6)
ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ òåëà ëþáîé ïðèðîäû îòíîøåíèå èçëó÷àòåëüíîé
è ïîãëîùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòåé ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû è òåìïåðàòóðû. Ýòî óòâåðæäåíèå è ÿâëÿåòñÿ çàêîíîì Êèðõãîôà.
Òàêèì îáðàçîì, âî ãëàâó óãëà ñòàâèòñÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
ðàâíîâåñíîãî òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ enT. Îíà ñâÿçàíà ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ unT ñîîòíîøåíèåì
e nT =
c
u nT .
4
(6.7)
59
EnT = enT
б
а
enT
а
Уголь
б
EnT = AnT enT
Мел
Ðèñ. 6.3
Ïîäîáíîå ñîîòíîøåíèå ñâÿçûâàåò (â ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêå) ïîòîê ÷àñòèö
íà åäèíèöó ïëîùàäè ñ èõ êîíöåíòðàöèåé, êîãäà ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ÷àñòèö ðàâíà c.
Ïîãëîùàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ìîæåò ñèëüíî ðàçëè÷àòüñÿ (ëó÷øå âñåãî ïîãëîùàþò ñâåò îêñèäû ìåòàëëîâ, ñàæà, óãîëü). Åñëè AnT = 1, òî òàêîå òåëî íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ÷åðíûì. Åñòåñòâåííî, ÷òî ýòî ôèçè÷åñêàÿ àáñòðàêöèÿ, êàê
è àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî â ìåõàíèêå.
Õîðîøåé èëëþñòðàöèåé çàêîíà Êèðõãîôà ÿâëÿåòñÿ îïûò, ñóòü êîòîðîãî èçîáðàæåíà íà ðèñ. 6.3.
Åñëè â ïå÷ü ïîìåñòèòü óãîëü è ìåë è ïðè äîñòèæåíèè òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ
íàáëþäàòü èõ ÷åðåç ìàëîå îòâåðñòèå â ïå÷è, òî îíè áóäóò ïðàêòè÷åñêè íåðàçëè÷èìûìè. Óãîëü ïîãëîùàåò âåñü ïîòîê enT è ýòîò æå ïîòîê èçëó÷àåò. Ìåë ïîãëîùàåò òîëüêî ÷àñòü ýòîãî ïîòîêà AnT enT, à ÷àñòü, ðàâíóþ (1 - AnT)enT, îòðàæàåò. Ìåë èçëó÷àåò EnT = AnT enT, ÷òî âìåñòå ñ îòðàæåííîé ýíåðãèåé ñîñòàâèò âåëè÷èíó enT. Íà ðèñóíêå ïàäàþùèå, ïîãëîùåííûå, îòðàæåííûå ôîòîíû âáëèçè
åäèíè÷íûõ ïëîùàäîê (à) èçîáðàæåíû âîëíèñòûìè ñòðåëêàìè. ×òîáû íå ïåðåãðóæàòü ðèñóíîê, èçëó÷åííûå ôîòîíû èçîáðàæåíû ó äðóãèõ ïëîùàäîê (á ).
Åñëè îáà òåëà èçâëå÷ü èç ïå÷è, òî, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, â òåìíîòå óãîëü
áóäåò áåëûì, à ìåë — ÷åðíûì. Èçëó÷åíèå ïîñëåäíåãî ìàëî, à îòðàæàòü ïðàêòè÷åñêè íå÷åãî: ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â îòêðûòîì ïðîñòðàíñòâå çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàâíîâåñíîé.
Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ó÷åíèÿ î òåïëîâîì èçëó÷åíèè áûëî ñâÿçàíî ñ óâëåêàòåëüíûì ïîèñêîì óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèè enT, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ èçëó÷àòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ ÷åðíîãî òåëà (äàëåå òåðìèí «àáñîëþòíîå» óïîòðåáëÿòü
íå áóäåì).
Çàêîí Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà. Ïåðâûé øàã â ýòîì íàïðàâëåíèè áûë ñäåëàí
àâñòðèéñêèì ôèçèêîì Í. Ñòåôàíîì, êîòîðûé îøèáî÷íî ïîëàãàë (1879), ÷òî
èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ëþáîãî òåëà ET ~ T 4. Ïîçäíåå åãî ñîîòå÷åñòâåííèê
Ë. Áîëüöìàí, èñïîëüçóÿ òåðìîäèíàìèêó, äîêàçàë (1884), ÷òî ëèøü èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ÷åðíîãî òåëà ïðîïîðöèîíàëüíà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè åãî òåìïåðàòóðû:
eT =
¥
ò e nT d n = sT 4 ,
(6.8)
0
ãäå s = 5,67 × 10-18 Âò × ì-2K-4.
Óòâåðæäåíèå (6.8) ñîñòàâëÿåò ñóòü çàêîíà Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà. Åãî ìîæíî
äîêàçàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
60
Ïóñòü ðàâíîâåñíîå òåïëîâîå èçëó÷åíèå íàõîäèòñÿ âíóòðè öèëèíäðà, ñòåíêè
êîòîðîãî èìåþò òåìïåðàòóðó T. Öèëèíäð çàêðûò ÷åðíûì ïîðøíåì, ïîëíîñòüþ
ïîãëîùàþùèì èçëó÷åíèå. Ñâåòîâîå äàâëåíèå íà ïîðøåíü p = uT /3. Âíóòðåííÿÿ
ýíåðãèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû — èçëó÷åíèÿ U = uTV (V — îáúåì öèëèíäðà
æ ¶U ö
æ ¶p ö
ïîä ïîðøíåì). Âîñïîëüçóåìñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèì òîæäåñòâîì ç
=T ç
- p.
è ¶V ø÷ T
è ¶T ø÷ V
Ïîäñòàâëÿÿ â äàííîå òîæäåñòâî çíà÷åíèÿ p è U, çàïèøåì
1 du
1
uT = T T - uT .
3 dT
3
(6.9)
Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ èìååì
4
dT
du
= T.
T
uT
(6.10)
Èíòåãðèðóÿ (6.10), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
uT = [const]T 4.
(6.11)
Ðàññ÷èòàòü êîíñòàíòó ìîæíî ëèøü èñïîëüçóÿ êâàíòîâîå ïðåäñòàâëåíèå èçëó÷åíèÿ. Ïåðåõîäÿ îò uT ê eT, ïîëó÷àåì çàêîí Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà.
Çàêîí ñìåùåíèÿ Âèíà. Ïðåäûäóùèé çàêîí óñòàíàâëèâàåò âåñüìà ñèëüíóþ
çàâèñèìîñòü îáúåìíîé ïëîòíîñòè uT îò òåìïåðàòóðû T, ÷òî èìååò áîëüøîå
ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Îäíàêî îí íå äàåò îòâåòà íà âîïðîñ î ñïåêòðàëüíîé
ïëîòíîñòè unT. Ñëåäóþùàÿ ïîïûòêà åå íàõîæäåíèÿ áûëà ïðåäïðèíÿòà íåìåöêèì èññëåäîâàòåëåì Ì. Âèíîì (1893). Ðàññìàòðèâàÿ àäèàáàòè÷åñêîå ñæàòèå èçëó÷åíèÿ â çåðêàëüíîì öèëèíäðå ñ ó÷åòîì äîïëåðîâñêîãî ñìåùåíèÿ ÷àñòîòû
ïðè îòðàæåíèè îò äâèæóùåãîñÿ ïîðøíÿ, îí ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òî
æ nö
e nT = c n 3 f ç ÷ ,
èT ø
(6.12)
ãäå f — ôóíêöèÿ, âèä êîòîðîé îïðåäåëèòü íå óäàëîñü. Îäíàêî âàæíàÿ èíôîðìàn
öèÿ çàêëþ÷åíà â çàâèñèìîñòè ýòîé ôóíêöèè îò îòíîøåíèÿ . Åñëè, ñîãëàñíî
T
(6.4), çàïèñàòü (6.12) â âèäå
e lT =
c5 æ c ö
f
l 5 èç lT ø÷
è íàéòè ïîëîæåíèå ìàêñèìóìà ýòîé ôóíêöèè l = lmax èç óñëîâèÿ
òî ïîëó÷èòñÿ ñîîòíîøåíèå
T l max = b,
(6.13)
d e lT
= 0,
dl
(6.14)
ãäå b = 2,898 × 107 D K — ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò òåìïåðàòóðû. Îíà ðàññ÷èòûâàåòñÿ ìåòîäàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Ôîðìóëà (6.14) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì çàêîíà ñìåùåíèÿ Âèíà:
ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ïîëîæåíèå ìàêñèìóìà ôóíêöèè elT ñìåùàåòñÿ â îáëàñòü áîëåå êîðîòêèõ äëèí âîëí. Ýòî ëåãêî íàáëþäàòü ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû íàãðåòûõ òåë, êîòîðûå âíà÷àëå èñïóñêàþò ÈÊ-èçëó÷åíèå è ïîýòîìó
íå ñâåòÿòñÿ, çàòåì ñòàíîâÿòñÿ êðàñíûìè, à ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ — ïðàêòè÷åñêè áåëûìè.
61
Ôîðìóëà Ïëàíêà. Íåóäà÷íûå ïîïûòêè ðàññ÷èòàòü ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü unT èëè enT áûëè ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî çàêîíû êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè íå ïîçâîëÿþò àäåêâàòíî îïèñàòü ïðîöåññ
èçëó÷åíèÿ òåë.
Ðàíåå áûëî îòìå÷åíî, ÷òî êâàíòîâûé îñöèëëÿòîð èìååò äèñêðåòíûé íàáîð çíà÷åíèé ýíåðãèè. Ïîäîáíûì îáðàçîì âåäåò ñåáÿ è ýëåêòðîìàãíèòíîå
ïîëå. Îíî îáëàäàåò äèñêðåòíûì íàáîðîì ñîñòîÿíèé ñ îïðåäåëåííîé ýíåðãèåé (ýëåêòðîìàãíèòíîå
ïîëå êâàíòóåòñÿ).
Ðèñ. 6.4
Åñëè ðàâíîâåñíîå òåïëîâîå èçëó÷åíèå íàõîäèòñÿ â îáúåìå â âèäå êóáà L ´ L ´ L, òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå íàáîðà ñòîÿ÷èõ âîëí, èëè ìîä (ðèñ. 6.4).
Âîëíîâûå ÷èñëà òàêèõ âîëí äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
k x L = m x p;
k y L = m y p;
k z L = mz p,
(6.15)
ãäå mx, my, mz = 1, 2, 3, ... . ¾
×èñëî âîëí, ó êîòîðûõ âîëíîâûå ÷èñëà çàêëþ÷åíû â «îáúåì» dkx dky dkz,
ñîãëàñíî (6.15) ðàâíî
L3
dk x dk y dk z .
(6.16)
p3
Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ó êàæäîé âîëíû âîçìîæíû äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå
ïîëÿðèçàöèè, òî ÷èñëî âîëí (ìîä) â åäèíèöå îáúåìà êóáà, ó êîòîðûõ âîëíîâûå
÷èñëà k = 2pn/c çàêëþ÷åíû â èíòåðâàëå k, k + dk, î÷åâèäíî, ðàâíî
dN = dm x dm y dmz =
dn =
2dN 4pk 2dk
.
L3
8
(6.17)
Ïðè ïîäñ÷åòå (6.17) «îáúåì» â ïðîñòðàíñòâå âîëíîâûõ ÷èñåë âûáðàí â âèäå
1/8 ñôåðè÷åñêîãî ñëîÿ ðàäèóñà k è òîëùèíîé dk, ïîñêîëüêó kx, ky, kz > 0 (ðèñ. 6.5).
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîäû, êàê è ó êëàññè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, ïðè òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè áeñ = kT , òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü áóäåò ðàâíà
u nT =
dn
8pn 2
áeñ = nn áeñ = 3 kT .
dn
c
(6.18)
Ýòó ôîðìóëó ïîëó÷èë Äæ. Ðýëåé (1900), à çàòåì
îáîñíîâàë Ä.Äæèíñ. Îíà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ðýëåÿ —
Äæèíñà.
Òîãäà èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ÷åðíîãî òåëà
áûëà áû ðàâíà
e nT =
Ðèñ. 6.5
62
c
2pn 2
u nT =
kT .
4
c2
(6.19)
Ýòà ôîðìóëà äàåò ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòîì ëèøü
ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ. Ïðè n ® ∞ ôóíêöèÿ enT íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, ÷òî, åñòåñòâåííî, ïðîòèâîðå-
÷èò äåéñòâèòåëüíîñòè. Íåîãðàíè÷åííîå âîçðàñòàíèå èçëó÷àòåëüíîé ñïîñîáíîñòè
ïîëó÷èëî íàçâàíèå óëüòðàôèîëåòîâîé êàòàñòðîôû.
×òîáû óñòðàíèòü ýòîò ïðèíöèïèàëüíûé íåäîñòàòîê, Âèí ïðåäïîëîæèë, ÷òî
ìîäû ñ ðàçíûìè ÷àñòîòàìè âîçáóæäåíû ïî-ðàçíîìó, à ýíåðãèÿ êàæäîé ìîäû
en = hn. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Áîëüöìàíà, òî â (6.18) nn ñëåäóåò
æ hn ö
çàìåíèòü âåëè÷èíîé nn exp ç , à ñðåäíþþ ýíåðãèþ ïîëîæèòü ðàâíîé
è kT ø÷
áe nT ñ = hn . Òîãäà âìåñòî (6.19) ïîëó÷èòñÿ
e nT =
c
2ph n 3
æ hn ö
æ hn ö
nn exp ç hn =
exp ç .
÷
è kT ø
è kT ÷ø
4
c2
(6.20)
Îäíàêî ýòà ôîðìóëà äàåò ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòîì ëèøü â îáëàñòè áîëüøèõ ÷àñòîò, êîãäà hn ? kT.
 1900 ã. Ì. Ïëàíê ýìïèðè÷åñêè çàïèñàë ñâîþ çíàìåíèòóþ ôîðìóëó
e nT =
2ph n 3
c2
1
,
æ hn ö
exp ç
1
è kT ø÷
(6.21)
ïîëó÷èâøóþ íàçâàíèå ôîðìóëû Ïëàíêà. Ýòà ôîðìóëà óäèâèòåëüíî õîðîøî îïèñûâàåò èçëó÷åíèå ÷åðíîãî òåëà. Ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ hn = kT îíà ñîâïàäàåò
ñ (6.18), à ïðè hn ? kT — ñ (6.20).
Ìåòîäàìè êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ýòó ôîðìóëó ïîëó÷èòü íå óäàëîñü. Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî èçëó÷åíèå âåùåñòâà ïîä÷èíåíî çàêîíàì êâàíòîâîé ôèçèêè.
Ôîðìóëó Ïëàíêà ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè äîïóñòèòü, ÷òî ìîäà ñ ÷àñòîòîé n
ìîæåò èìåòü äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè en = nhn (n = 1, 2, 3, ¾). Âñå ìîäû
âîçáóæäåíû â ðàâíîé ìåðå (êàê è ïðè âûâîäå ôîðìóëû Ðýëåÿ — Äæèíñà). Ñðåäíþþ ýíåðãèþ ìîäû ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ïî ôîðìóëå
¥
áe n ñ =
æ nhn ö
å nhn exp çè - kT ÷ø
n =0
¥
æ nhn ö
å exp çè - kT ÷ø
n =0
=
hn
= nôh n.
æ hn ö
exp ç
-1
è kT ÷ø
(6.22)
Çäåñü èñïîëüçîâàíî ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà äëÿ êàæäîé ìîäû. Âåëè÷èíà
-1
é
ù
æ hn ö
nô = ê exp ç
- 1ú ðàâíà ñðåäíåìó ÷èñëó ôîòîíîâ â ìîäå. Ïîäñòàâèâ (6.22)
è kT ø÷
ë
û
â (6.18) è ïåðåõîäÿ ê (6.19), ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ïëàíêà.
Òåïëîâîå èçëó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñïîíòàííîãî è âûíóæäåííîãî èçëó÷åíèé ïðè êâàíòîâûõ ïåðåõîäàõ àòîìîâ âåùåñòâà â íàãðåòîì ñîñòîÿíèè. Ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè àòîìîâ ÷åðíîãî òåëà äîëæíû ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñïëîøíóþ
ýíåðãåòè÷åñêóþ çîíó. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ÷åðíîå òåëî äîëæíî ïîãëîùàòü
êâàíòû ëþáîé ýíåðãèè. Åñëè ðàññìîòðåòü ëþáóþ ïàðó ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé
àòîìîâ íàãðåòîãî âåùåñòâà, òî ïðè ïåðåõîäàõ àòîìîâ áóäåò èçëó÷àòüñÿ èëè
ïîãëîùàòüñÿ êâàíò ñâåòà ñ ýíåðãèåé hn = W2 - W1. Åñëè ÷èñëî àòîìîâ ñ ýíåðãèåé
W1 ðàâíî N1, à ñ ýíåðãèåé W2 — N2, òî â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ýòè ÷èñëà
ñî âðåìåíåì íå äîëæíû èçìåíÿòüñÿ ïðè ñïîíòàííûõ è âûíóæäåííûõ ïåðåõîäàõ,
ïîýòîìó
63
dN 2
= -N 2 A21 - B 21u nT N 1 = 0.
dt
 ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ
N2
g
æ W - W1 ö g 2
æ hn ö
= 2 exp ç - 2
exp ç .
÷ =
è
è kT ÷ø
N1
g1
kT ø g 1
(6.23)
(6.24)
Çäåñü g1, g2 — êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ, ðàâíàÿ ÷èñëó óðîâíåé ñ îäíîé è òîé æå ýíåðãèåé (ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì), íî ñ îòëè÷àþùèìèñÿ äðóãèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè.
Âûðàçèâ èç (6.23) è (6.24) âåëè÷èíó unT è ïåðåéäÿ ê enT, ïîëó÷èì
e nT =
c
A21 / B 21
.
4 B12 g1
æ hn ö
exp ç
1
è kT ÷ø
B 21 g 2
(6.25)
Ñðàâíèâàÿ (6.25) ñ (6.21), íàõîäèì
8ph n 3
; B12 g 1 = B 21 g 2 .
(6.26)
c3
Òàêèì îáðàçîì, âñå êîýôôèöèåíòû Ýéíøòåéíà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Ýòà
ñâÿçü íîñèò óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð, è îíà ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîãî âåùåñòâà
âíå çàâèñèìîñòè îò åãî àãðåãàòíîãî ñîñòîÿíèÿ. Ýòîò âàæíûé âûâîä áóäåò íåîäíîêðàòíî ïðèìåíåí â äàëüíåéøåì.
Ïðèìåíåíèå çàêîíîâ òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé èñïîëüçóþò èçëó÷àòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü êàê ôóíêöèþ äëèíû âîëíû. Äëÿ ÷åðíîãî òåëà,
ñîãëàñíî (6.4), îíà ðàâíà
A21 = B 21
e lT =
c
2phc 2
e
=
T
n
l2
l5
1
.
æ hc ö
exp ç
1
è lkT ÷ø
(6.27)
Çàâèñèìîñòè elT (â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ) îò äëèíû âîëíû ïðè ðàçíûõ
òåìïåðàòóðàõ ïîêàçàíû íà ðèñ. 6.6.
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ òåìïåðàòóðû âîçðàñòàåò ïëîùàäü ïîä êðèâîé (~T 4),
è ìàêñèìóì ñìåùàåòñÿ â îáëàñòü êîðîòêèõ äëèí âîëí. Òåëî íà÷èíàåò ñâåòèòüñÿ,
êîãäà êðèâàÿ «íàêðûâàåò» âèäèìûé äèàïàçîí äëèí âîëí.
Íà ðèñ. 6.1 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
ñâå÷åíèÿ ÷åðíîãî òåëà ïðè òðåõ ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ. Ïðè êàæäîé òåìïåðàòóðå ïîêàçàí ôðàãìåíò êðèâîé (6.27)
è ïîä íåé âèäèìàÿ ÷àñòü ñïåêòðà, âîñïðèíèìàåìàÿ íàøèì ãëàçîì. Ðÿäîì â êâàäðàòå èçîáðàæåíà ñâåòÿùàÿñÿ ïîâåðõíîñòü
÷åðíîãî òåëà. Âèäíî, ÷òî ñ ïîâûøåíèåì
òåìïåðàòóðû ÷åðíîå òåëî «ðàñêàëÿåòñÿ
äîáåëà».
Ðèñ. 6.6
64
Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, àáñîëþòíî ÷åðíîå òåëî ÿâëÿåòñÿ àáñòðàêöèåé. Íàèáîëåå áëèçêî ê íåìó èçëó÷åíèå íàãðåòîé ñôåðè÷åñêîé ïîëîñòè ñ ìàëûì îòâåðñòèåì â íåé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïîïàäàíèè ëó÷à ñâåòà ëþáîé ÷àñòîòû ÷åðåç
îòâåðñòèå âíóòðü ñôåðû îí áóäåò èñïûòûâàòü ìíîãîêðàòíîå îòðàæåíèå, òåðÿÿ
ïðè êàæäîì èç íèõ ÷àñòü ýíåðãèè (ðèñ. 6.7). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîãëîùàþùàÿ
ñïîñîáíîñòü äëÿ âñåõ ÷àñòîò ðàâíà An = 1.
Ïðè íàãðåâàíèè ïîëîñòè â íåé áóäåò íàõîäèòüñÿ ðàâíîâåñíîå èçëó÷åíèå,
êîòîðîå áóäåò âûõîäèòü ÷åðåç îòâåðñòèå. Ñîãëàñíî çàêîíó Êèðõãîôà, ñïåêòð
èçëó÷åíèÿ áóäåò îäèíàêîâ ñî ñïåêòðîì ÷åðíîãî òåëà. Îñîáî ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ñïåêòð èçëó÷åíèÿ íå çàâèñèò îò ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåíà
ñôåðà: åãî ïîãëîùåíèå, îòðàæåíèå è èçëó÷åíèå íå èìåþò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ.
Íåñêîëüêî â ìåíüøåé ñòåïåíè ïîõîæè íà ÷åðíîå òåëî ñàæà, óãîëü, îêñèäû
ìåòàëëîâ. Åùå áîëüøå îòëè÷àþòñÿ îò ÷åðíîãî òåëà ìåòàëëû. Íà ðèñ. 6.8 ïðèâåäåíû ðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ ÷åðíîãî òåëà è «ñåðîãî» âîëüôðàìà.
Âèäíî, ÷òî ñâåòîîòäà÷à ó âîëüôðàìà ñóùåñòâåííî ìåíüøå. Äëÿ åå îöåíêè èñïîëüçóþò îòíîøåíèå qT = ET /eT . Ó ìåòàëëîâ qT ëåæèò â äèàïàçîíå 0,1 — 0,3,
à ó áîëåå ÷åðíûõ òåë äîõîäèò äî 0,9. ×òîáû óñèëèòü ñâåòîîòäà÷ó ëàìïû íàêàëèâàíèÿ, óâåëè÷èâàþò òåìïåðàòóðó åå íèòè. Äëÿ òîãî ÷òîáû íèòü íå ðàçðóøàëàñü,
êîëáó ëàìïû çàïîëíÿþò èíåðòíûì ãàçîì (ãàëîãåííûå ëàìïû). Ïîâûøåíèå òåìïåðàòóðû íèòè íà 10 %, ñîãëàñíî çàêîíó Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà, ïðèâîäèò
ê óâåëè÷åíèþ ET = qT sT 4 ïî÷òè íà 50 %.
Çàêîíû òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ ïðèìåíÿþò äëÿ äèñòàíöèîííîãî èçìåðåíèÿ
òåìïåðàòóðû ðàñêàëåííûõ òåë. Ïîñêîëüêó ñâåòÿùèåñÿ îáúåêòû îòëè÷àþòñÿ
îò ÷åðíîãî òåëà, òî îïðåäåëÿþò íå èñòèííóþ, à òàê íàçûâàåìûå ðàäèàöèîííóþ
è öâåòîâóþ òåìïåðàòóðû.
Ðàäèàöèîííàÿ òåìïåðàòóðà Tr ââîäèòñÿ äëÿ òåëà ñ ïîìîùüþ çàêîíà Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà
(6.28)
ET = qT sT 4 = sTr4 .
Èñòèííàÿ òåìïåðàòóðà
T =
Tr
qT
(6.29)
4
âñåãäà áîëüøå ðàäèàöèîííîé, ïîñêîëüêó qT < 1.
Äëÿ èçìåðåíèÿ ðàäèàöèîííîé òåìïåðàòóðû èñïîëüçóþòñÿ ðàäèàöèîííûå
ïèðîìåòðû, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, íàïðàâëÿþùóþ ñîáèðàåìûé åþ ñâåòîâîé ïîòîê îò èññëåäóåìîãî îáúåêòà íà òåïëîâîé ïðèåìíèê
Ðèñ. 6.7
Ðèñ. 6.8
65
(ñì. ëåêöèþ 25). Ïèðîìåòðîì èçìåðÿåòñÿ
ïîïàäàþùèé â íåãî ñâåòîâîé ïîòîê. Îí
ïðåäâàðèòåëüíî ãðàäóèðóåòñÿ ïî ÷åðíîìó òåëó ñ èçâåñòíîé òåìïåðà-òóðîé.
Черное
0,8
тело
Öâåòîâàÿ òåìïåðàòóðà TÑ èñïîëüçó0,6
åòñÿ äëÿ òåë, áëèçêèõ ê ÷åðíîìó òåëó.
0,4
Îíà îïðåäåëÿåòñÿ êàê òåìïåðàòóðà ÷åðíîãî òåëà, èìåþùåãî òàêîé æå öâåò, êàê
0,2
Солнце
è èññëåäóåìîå òåëî. Ïîñêîëüêó öâåò
0
0,5
1,0
1,5 l, мкм îïðåäåëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ýíåðãèè
Ðèñ. 6.9
â ñïåêòðå, òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ öâåòîâîé
òåìïåðàòóðû èçìåðÿþò ElT è çàòåì ïîäáèðàþò ôóíêöèþ elT, íàèáîëåå áëèçêî ñîâïàäàþùóþ ñ èçìåðÿåìîé.
Íà ðèñ. 6.9 ïðèâåäåíî ñðàâíåíèå ñïåêòðîâ èçëó÷åíèÿ Ñîëíöà è ÷åðíîãî òåëà
ïðè TÑ = 6 500 K. Ïîñêîëüêó Ñîëíöå ïîõîæå íà ÷åðíîå òåëî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü
çàêîí ñìåùåíèÿ Âèíà äëÿ îïðåäåëåíèÿ åãî òåìïåðàòóðû. Ñ ó÷åòîì ïîïðàâîê íà
ïîãëîùåíèå â àòìîñôåðå lmax = 470 íì, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò T = 6 150 K. Ýòà âåëè÷èíà
ìåíüøå öâåòîâîé òåìïåðàòóðû, òàê êàê Ñîëíöå íå ÿâëÿåòñÿ ÷åðíûì òåëîì.
Øèðèíà âèäèìîãî äèàïàçîíà. Âèäèìàÿ îáëàñòü ñïåêòðà ÷ðåçâû÷àéíî óçêà —
îò 0,4 äî 0,7 ìêì. Ïðè÷èí òîìó íåñêîëüêî. Ïðåæäå âñåãî, ñåðåäèíà äèàïàçîíà
ïðèõîäèòñÿ íà äëèíó âîëíû l ~ 0,5 ìêì, ÷òî áëèçêî ê ìàêñèìóìó ElT èçëó÷åíèÿ
Ñîëíöà. Ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà ÷åðåç àòìîñôåðó Çåìëè âîëíû ñ l < 0,3 ìêì
ïîãëîùàþòñÿ îçîíîì O3 â âåðõíèõ åå ñëîÿõ. Ïîýòîìó äîëÿ ýíåðãèè ÓÔ-÷àñòè
ñïåêòðà ñèëüíî îñëàáëåíà.  ïðîøåäøåì ñêâîçü àòìîñôåðó ñâåòå îêîëî ïîëîâèíû ýíåðãèè ïðèõîäèòñÿ íà ìèêðîâîëíîâóþ ÷àñòü ñïåêòðà, îäíàêî ìèêðîâîëíîâàÿ ÷àñòü íåïðèãîäíà äëÿ çðåíèÿ. Ýòî ñâÿçàíî ñ êîðïóñêóëÿðíûìè ñâîéñòâàìè ñâåòà. Âèäåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ çà ñ÷åò îòðàæåííîãî îò ïðåäìåòîâ ñîëíå÷íîãî ñâåòà. Ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñóùåñòâóþò ôîòîíû «äâóõ âèäîâ»: âñëåäñòâèå
òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ Ñîëíöà ñ òåìïåðàòóðîé TC » 6 000 K è èçëó÷åíèÿ Çåìëè
ïðè TÇ » 300 K. «Ñîëíå÷íûå» ôîòîíû ïðè îòðàæåíèè îò ïðåäìåòîâ íåñóò î íèõ
çðèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ, à «çåìíûå» ôîòîíû ñîçäàþò îïòè÷åñêèé øóì, ìåøàþùèé çðåíèþ.
Äëÿ ðàâíîâåñíîãî èçëó÷åíèÿ ÷èñëî ôîòîíîâ ìîäå (6.22):
ElT,
отн. ед.
1,0
TC = 6 500 К
nF =
1
.
æ hn ö
exp ç
-1
è kT ø÷
(6.30)
×èñëî «ñîëíå÷íûõ» ôîòîíîâ ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè ðàâíî
2
nF¢ C =
1
æ RC ö
çè
÷ .
R ø
æ hv ö
exp ç
-1
è kTC ÷ø
(6.31)
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî ôîòîíû ñ ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà (RC — ðàäèóñ Ñîëíöà) ëåòÿò
âî âñå ñòîðîíû, ïîýòîìó ó Çåìëè (R — ðàäèóñ çåìíîé îðáèòû) èõ
2
æR ö
êîíöåíòðàöèÿóìåíüøàåòñÿ â ç Ñ ÷ ðàç. Ïðè îòðàæåíèè îò ïðåäìåòà «ñîëíå÷íûå»
è R ø
66
ôîòîíû ðàçëåòàþòñÿ â òåëåñíîì óãëå 2p, à â ãëàç ïîïàäàþò òå èç íèõ, êîòîðûå
ëåòÿò â òåëåñíîì óãëå DW = S/l 2 (S — ïëîùàäü çðà÷êà; l — ðàññòîÿíèå äî ðàññìàòðèâàåìîãî ïðåäìåòà). Ïîýòîìó çðèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ ïåðåíîñèò ëèøü
íåáîëüøàÿ äîëÿ:
nF r C =
DW
nF¢ C .
2p
(6.32)
×èñëî øóìîâûõ ôîòîíîâ ðàâíî
nFÇ =
1
.
h
æ n ö
exp ç
1
è k T Ç ÷ø
(6.33)
Åñëè ïîñ÷èòàòü îòíîøåíèå nFÇ /nFC, òî îíî ðàäèêàëüíî çàâèñèò îò ÷àñòîòû
(äëèíû âîëíû). Â âèäèìîì äèàïàçîíå (l ~ 0,5 ìêì) ïðè S = 5 ìì2, l = 1 ì
îòíîøåíèå nFÇ /nFC ~ 10-29, è øóìû íè÷òîæíî ìàëû. Îäíàêî â ÈÊ-äèàïàçîíå
ïðè l ~ 2 ìêì nFÇ /nFC ~ 1, è çðèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ ïîäàâëåíà øóìàìè.
Íî÷íîå âèäåíèå.  íî÷íîå âðåìÿ, â îòñóòñòâèå ñîëíå÷íîãî ñâåòà, äîìèíèðóþùèì ÿâëÿåòñÿ èíôðàêðàñíîå èçëó÷åíèå âáëèçè äëèíû âîëíû l ~ 10 ìêì,
âîçíèêàþùåå îò Çåìëè è òåë íà åå ïîâåðõíîñòè, èçëó÷àþùèõ ïðè òåìïåðàòóðå
TÇ ~ 300 K. Ãëàç ÷åëîâåêà èìååò òàêóþ æå òåìïåðàòóðó è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì øóìîâîãî ÈÊ-èçëó÷åíèÿ. ×òîáû îñëàáèòü ýòîò øóì, íóæíî
îõëàæäàòü ãëàç, à ýòî ñäåëàòü íåâîçìîæíî.
Äëÿ óìåíüøåíèÿ ñîáñòâåííûõ øóìîâ ïðèåìíèêè èíôðàêðàñíîãî èçëó÷åíèÿ
îõëàæäàþò äî äåñÿòêîâ Êåëüâèíà.  ýòèõ ïðèåìíèêàõ èíôðàêðàñíîå èçîáðàæåíèå ïðåîáðàçóþò â âèäèìîå, êîòîðîå è íàáëþäàþò ïðè îáû÷íûõ òåìïåðàòóðàõ.
 àñòðîíîìèè ïðèåìíûå óñòðîéñòâà òåëåñêîïîâ îõëàæäàþò äî íèçêèõ (ãåëèåâûõ) òåìïåðàòóð ñ öåëüþ çàôèêñèðîâàòü î÷åíü ñëàáûé ïîòîê ôîòîíîâ îò çâåçä,
óäàëåííûõ íà ãðîìàäíûå ðàññòîÿíèÿ. Íàáëþäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â íî÷íîå âðåìÿ,
÷òîáû ñîëíå÷íûé ñâåò íå «çàáèâàë» ñëàáûå èçëó÷åíèÿ çâåçä è ãàëàêòèê.
ËÅÊÖÈß 7
Ïîãëîùåíèå è óñèëåíèå ñâåòà. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè
ñâåòà â ïðîçðà÷íûõ ñðåäàõ åãî èíòåíñèâíîñòü óìåíüøàåòñÿ âìåñòå ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì. Íàãëÿäíûì ïîäòâåðæäåíèåì ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ óáûâàíèå îñâåùåííîñòè ïîä âîäîé ñ óâåëè÷åíèåì ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ.
Èíòåíñèâíîñòü ñîëíå÷íîãî ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç òîëùó âîäû, óìåíüøàåòñÿ âñëåäñòâèå ïîãëîùåíèÿ è ðàññåÿíèÿ ñâåòà.
 âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû ïîãëîùåíèå îçîíîì óëüòðàôèîëåòîâîãî ñîëíå÷íîãî èçëó÷åíèÿ ïðåäîõðàíÿåò íàøó ïëàíåòó îò íåãàòèâíîãî âîçäåéñòâèÿ ýòîãî
èçëó÷åíèÿ.
 ýòèõ è ìíîãèõ äðóãèõ ïðèìåðàõ ïðè ïîãëîùåíèè ÷àñòü ýíåðãèè ñâåòîâîé
âîëíû ïåðåäàåòñÿ ñðåäå, â êîòîðîé âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ. Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: «À íåëüçÿ ëè ñîçäàòü òàêèå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîëíà áóäåò çàèìñòâîâàòü ýíåðãèþ ó ñðåäû?»  ýòîì ñëó÷àå èíòåíñèâíîñòü âîëíû ïðè
ðàñïðîñòðàíåíèè óâåëè÷èâàëàñü áû, ò. å. ïðîèñõîäèëî áû óñèëåíèå ñâåòîâîé
âîëíû.
×òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòîâîé âîëíû ÷àñòîòû n ÷åðåç ñðåäó. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ýòîé ñðåäå ñðåäè ìíîæåñòâà
ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé åå àòîìîâ ñóùåñòâóåò ïàðà óðîâíåé, ðàçíîñòü ýíåðãèé
êîòîðûõ W2 - W1 = hn. Ïóñòü â åäèíèöå îáúåìà âåùåñòâà èìååòñÿ n àòîìîâ, ïðè
ýòîì n1 àòîìîâ ñ ýíåðãèåé W1, à n2 àòîìîâ ñ ýíåðãèåé W2. Âåëè÷èíû n1 è n2
íàçûâàþòñÿ çàñåëåííîñòÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé.
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû â ñðåäå áóäóò ïðîèñõîäèòü îäíîâðåìåííî òðè
ïðîöåññà: ñïîíòàííîå è âûíóæäåííîå èçëó÷åíèÿ, à òàêæå âûíóæäåííîå ïîãëîùåíèå. Ýòè ïðîöåññû ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû íà ðèñ. 7.1, à — â.
Ïðè ñïîíòàííîì èçëó÷åíèè (ñì. ðèñ. 7.1, à) (èçëó÷àòåëüíîé ðåëàêñàöèè)
ïîÿâëÿþòñÿ ôîòîíû, ÷àñòîòû êîòîðûõ çàíèìàþò èíòåðâàë ÷àñòîò, îïðåäåëÿþùèé øèðèíó ëèíèè ëþìèíåñöåíöèè Dn ~ 1/t (t — âðåìÿ æèçíè àòîìà â
âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè). Ïðè âçàèìîäåéñòâèè âîçáóæäåííîãî àòîìà ñ äðóãèìè àòîìàìè ýíåðãèÿ âîçáóæäåíèÿ W2 ìîæåò ïåðåäàâàòüñÿ ýòèì àòîìàì áåç
èçëó÷åíèÿ ôîòîíà.  ýòîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò áåçûçëó÷àòåëüíàÿ ðåëàêñàöèÿ.
Ðèñ. 7.1
68
Ïðè îäíîâðåìåííîì äåéñòâèè îáîèõ ìåõàíèçìîâ ðåëàêñàöèè âðåìÿ æèçíè îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì:
1
1
1
=
+
,
t tÑÏ tÁÈ
(7.1)
Ðèñ. 7.2
ãäå tÑÏ — âðåìÿ èçëó÷àòåëüíîé ðåëàêñàöèè àòîìà
ïðè ñïîíòàííûõ ïåðåõîäàõ; tÁÈ — õàðàêòåðíîå
âðåìÿ áåçûçëó÷àòåëüíîé ðåëàêñàöèè.
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ôîòîíà â âåùåñòâå âñëåäñòâèå âûíóæäåííîãî èçëó÷åíèÿ ðîæäàåòñÿ òî÷íî òàêîé æå ôîòîí (ñì. ðèñ. 7.1, á ), è ñâåò óñèëèâàåòñÿ.
Îäíîâðåìåííî áóäåò ïðîèñõîäèòü è âûíóæäåííîå ïîãëîùåíèå ôîòîíà (ñì.
ðèñ. 7.1, â). Îáà ïîñëåäíèõ ïðîöåññà êîíêóðèðóþò ìåæäó ñîáîé, è ðåçóëüòàò
êîíêóðåíöèè çàâèñèò îò ðàçíîñòè n2 - n1.
Ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêîé âîëíû â âåùåñòâå, âûòÿíóòîì âäîëü
îñè Oz (ðèñ. 7.2). Çàñåëåííîñòè ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé ðàâíû n1 è n2. Ïóñòü
â ñå÷åíèè z = const èíòåíñèâíîñòü âîëíû ðàâíà I(z), à â ñå÷åíèè z + dz
èíòåíñèâíîñòü I(z + dz) = = I + dI.
I
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ u = ,
c
òî èç åäèíèöû îáúåìà çà åäèíèöó âðåìåíè ïðè âûíóæäåííîì èçëó÷åíèè âûñâîI
áîæäàåòñÿ ýíåðãèÿ B 21 g 2n2 hn. Îäíîâðåìåííî ïîãëîùåííàÿ çà ýòî âðåìÿ ýíåðc
I
ãèÿ áóäåò ðàâíà B12 g1n1hn. Ýíåðãåòè÷åñêèé áàëàíñ äëÿ ñëîÿ òîëùèíîé dz ïîc
çâîëÿåò çàïèñàòü ñîîòíîøåíèå
dI =
I
hn(n2 g 2B 21 - n1 g 1B12 )dz .
c
(7.2)
Ïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî êðàòíîñòè âûðîæäåíèÿ ýòèõ óðîâíåé g1 = g2 = 1.
Òîãäà â ñèëó (6.26) B21 = B12. Óðàâíåíèå (7.2) ïåðåïèøåì â âèäå
dI
= GI ,
dz
(7.3)
ãäå
G=
hn
B21(n2 - n1 ).
c
(7.4)
Èíòåãðèðóÿ (7.3), ïîëó÷àåì
I (z ) = I (0) exp(Gz ).
(7.5)
Çíàê âåëè÷èíû G, íàçûâàåìîé êîýôôèöèåíòîì
óñèëåíèÿ, çàâèñèò îò ðàçíîñòè n2 - n1. Ïðè G < 0
èíòåíñèâíîñòü ñâåòà áóäåò óáûâàòü, à ïðè G > 0 —
âîçðàñòàòü (ðèñ. 7.3).
 îáû÷íûõ (ðàâíîâåñíûõ) óñëîâèÿõ n2 è n1 ñâÿçàíû ðàñïðåäåëåíèåì Áîëüöìàíà:
Ðèñ. 7.3
69
n2
é (W 2 - W1 ) ù
(7.6)
= exp ê ú < 1.
n1
kT
ë
û
 ýòîì ñëó÷àå G < 0, è ïðîèñõîäèò ýêñïîíåíöèàëüíîå óìåíüøåíèå èíòåíñèâíîñòè, ïîä÷èíÿþùååñÿ çàêîíó Áóãåðà — Ëàìáåðòà — Áåðà: I (z ) = I 0e -az , ãäå
a = -G — êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ.
Åñëè âûâåñòè ñðåäó èç òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ïóòåì âíåøíåãî
âîçäåéñòâèÿ, òî ìîæíî ëèáî óñòðàíèòü ïîãëîùåíèå (G = 0 ïðè n2 = n1), ëèáî
óñèëèâàòü ñâåò ïðè n2 > n1. Ñèòóàöèÿ, ïðè êîòîðîé n2 > n1, íàçûâàåòñÿ èíâåðñèåé
çàñåëåííîñòè ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé àòîìîâ, à ñðåäà — àêòèâíîé (óñèëèâàþùåé) ñðåäîé.
Îöåíèì äèàïàçîí ïîãëîùàåìûõ èëè óñèëèâàåìûõ ÷àñòîò (ïîëîñó ïîãëîùåíèÿ
èëè óñèëåíèÿ). Ñîãëàñíî (6.26), ñ ó÷åòîì (5.17)
B 21 =
c3
p 2e 2r21 2
=
A
21
8ph n 3
3e 0 h
(7.7)
è, â îòëè÷èå îò A21, íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû n. Îäíàêî â ïðåäåëàõ øèðèíû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ìîæíî ââåñòè, ïîäîáíî (5.19), ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü Bn
êîýôôèöèåíòà Ýéíøòåéíà B21. Îíà ñâÿçàíà ñ êîíòóðîì ëèíèè ëþìèíåñöåíöèè ñîîòíîøåíèåì
B n = B 21 g (n).
(7.8)
Ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíòû ïîãëîùåíèÿ an è óñèëåíèÿ Gn èìåþò êîíòóð, ïîâòîðÿþùèé êîíòóð ëèíèè ëþìèíåñöåíöèè:
hn
(7.9)
(n2 - n1 )B 21 g (n).
c
Íà ðèñ. 7.4 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû ÷àñòîòíûå çàâèñèìîñòè Gn è an.
Èíâåðñèÿ çàñåëåííîñòè ñîçäàåòñÿ íàêà÷êîé. ×àùå âñåãî íàêà÷êà áûâàåò îïòè÷åñêîé èëè ýëåêòðè÷åñêîé. Ïðè îïòè÷åñêîé íàêà÷êå èçëó÷åíèå ìîùíîãî ñâåòîâîãî èñòî÷íèêà ïîãëîùàåòñÿ àêòèâíîé ñðåäîé. Ýòîò ñïîñîá õîðîø äëÿ òâåðäûõ è æèäêèõ ñðåä. Ñâåòîì âîçáóæäàþòñÿ íå îòäåëüíûå óðîâíè, à ýíåðãåòè÷åñêèå ïîëîñû èëè ýíåðãåòè÷åñêèå çîíû, ïîýòîìó áîëüøàÿ äîëÿ ñâåòà èäåò íà
âîçáóæäåíèå àêòèâíîé ñðåäû. Ýëåêòðè÷åñêàÿ íàêà÷êà îñóùåñòâëÿåòñÿ â ãàçàõ
ïóòåì ñîçäàíèÿ â íèõ ýëåêòðè÷åñêîãî ðàçðÿäà. Îïòè÷åñêàÿ íàêà÷êà çäåñü
íå ýôôåêòèâíà èç-çà óçîñòè ýíåðãåòè÷åñêèõ
óðîâíåé.
Èíîãäà íàêà÷êó îñóùåñòâëÿþò ñ ïîìîùüþ ïó÷êîâ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé èëè ïðè èñïîëüçîâàíèè
ñâåðõçâóêîâîãî ðàñøèðåíèÿ ãàçà (ãàçîäèíàìè÷åñêàÿ íàêà÷êà).
Ãåíåðàöèÿ ñâåòà. Åñëè àêòèâíóþ ñðåäó ïîìåñòèòü ìåæäó äâóìÿ çåðêàëàìè (ðèñ. 7.5),
òî ïîëó÷èòñÿ àâòîêîëåáàòåëüíàÿ ñèñòåìà,
â êîòîðîé îáðàòíóþ ñâÿçü áóäåò âûïîëíÿòü
îïòè÷åñêèé ðåçîíàòîð, ñîñòîÿùèé èç ýòèõ
çåðêàë. Òàêàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïÐèñ. 7.4
òè÷åñêèé êâàíòîâûé ãåíåðàòîð (ëàçåð).
-a n = G n =
70
 ëàçåðå ãåíåðàöèÿ ñâåòà âîçíèêàåò â ðåçóëüòàòå óñèëåíèÿ èçëó÷åíèÿ ëþìèíåñöåíöèè, êîòîðîå âíà÷àëå ÿâëÿåòñÿ ñïîíòàííûì èçëó÷åíèåì. Ñâåò óñèëèâàåòñÿ,
ïðîõîäÿ ìíîãîêðàòíî ÷åðåç àêòèâíóþ ñðåäó
ïðè îòðàæåíèè îò çåðêàë. Â íåêîòîðûõ ëàçåðàõ
Ðèñ. 7.5
ãåíåðàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì óñèëåíèÿ
ñâåòà çà îäèí ïðîõîä àêòèâíîé ñðåäû.
Îáû÷íî ëàçåðíûé ðåçîíàòîð èìååò äëèíó, íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ïðåâûøàþùóþ äëèíó âîëíû l. Åñëè ðåçîíàòîð ñîñòîèò èç äâóõ ïëîñêèõ ïàðàëëåëüíûõ
çåðêàë, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè L, òî â íåì ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ñòîÿ÷èå
âîëíû (ìîäû), ÷àñòîòû êîòîðûõ ðàâíû
nq = q
c
,
2L
(7.10)
ãäå q = 1, 2, 3, ¾
Òå èç ìîä, êîòîðûå ïîïàäóò â ïîëîñó óñèëåíèÿ (îêàæóòñÿ âíóòðè êîíòóðà
g(n) ëèíèè), áóäóò óñèëèâàòüñÿ. Íà ðèñ. 7.4 ýòè ìîäû èçîáðàæåíû âåðòèêàëüíûìè ëèíèÿìè. Èõ ÷èñëî áóäåò çàâèñåòü îò ñîîòíîøåíèÿ øèðèíû Dnóñ ïîëîñû
êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ Gn è ìåæìîäîâîé ÷àñòîòû ðåçîíàòîðà:
dn = n q +1 - n q =
c
.
2L
(7.11)
Îáû÷íî ìåæìîäîâàÿ ÷àñòîòà dn ìåíüøå Dnóñ. Ïîýòîìó îäíîâðåìåííî ìîãóò
ãåíåðèðîâàòüñÿ ìîäû, ÷èñëî êîòîðûõ
N ìîä =
Dn óñ
.
dn
(7.12)
Òàêîé ðåæèì ãåíåðàöèè íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷àñòîòíûì. Øèðèíà ïîëîñû óñèëåíèÿ Dnóñ (ñì. ðèñ. 7.4) ìåíüøå øèðèíû ëèíèè ëþìèíåñöåíöèè. Ïðè÷èíà ýòîãî êðîåòñÿ â ïîòåðÿõ ýíåðãèè ñâåòîâîé âîëíû ïðè îòðàæåíèè îò çåðêàë,
â äèôðàêöèè ñâåòîâîé âîëíû, ÷àñòè÷íî ïîêèäàþùåé ðåçîíàòîð ÷åðåç åãî îòêðûòóþ áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü, â ðàññåÿíèè ñâåòà àêòèâíîé ñðåäîé è ò. ä. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ïîðîãîâîå çíà÷åíèå Gnï, îòìå÷åííîå íà ðèñ. 7.4 ãîðèçîíòàëüíîé
øòðèõîâîé ëèíèåé. Óñèëåíèå âîçìîæíî ëèøü ïðè Gn > Gnï.
Âåëè÷èíà Gnï îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ áàëàíñà àìïëèòóä. Áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ
ïðîñòîòû, ÷òî ïîòåðè ñâÿçàíû òîëüêî ñ îòðàæåíèåì îò çåðêàë, êîýôôèöèåíòû
îòðàæåíèÿ êîòîðûõ (ïî èíòåíñèâíîñòè) ðàâíû R1 è R2.
Ðàññìîòðèì èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè âîëíû çà îäèí ïðîõîä ðåçîíàòîðà (òóäà
è îáðàòíî). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî àêòèâíàÿ ñðåäà òàêæå èìååò äëèíó L (ðèñ. 7.6).
Ïóñòü èíòåíñèâíîñòü âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âïðàâî, ó ëåâîãî òîðöà àêòèâíîé ñðåäû ðàâíà I1. Åå çíà÷åíèå îòìå÷åíî
òî÷êîé 1. Ïðè ïàäåíèè íà ïðàâîå çåðêàëî
èíòåíñèâíîñòü âîçðîñëà è ñòàëà ðàâíîé
I 2 = I 1 exp(GL) — òî÷êà 2. Ïðè îòðàæåíèè
îò çåðêàëà ñ êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ
Ðèñ. 7.6
R2 < 1 èíòåíñèâíîñòü óïàëà äî âåëè÷èíû
71
I 3 = R 2I 1 exp(GL) — òî÷êà 3. Ïåðåä ïàäåíèåì íà ëåâîå çåðêàëî îíà îïÿòü âîçðîñëà äî âåëè÷èíû I 4 = R2 I 1 exp(2GL) — òî÷êà 4, à ïîñëå îòðàæåíèÿ îò íåãî
ñòàëà ðàâíîé I 5 = R1R 2 I 1 exp(2GL) — òî÷êà 5.
Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ãåíåðàöèè ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà I5 ³ I1.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìàëüíîå (ïîðîãîâîå) çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ
äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ, íàçûâàåìîìó áàëàíñîì àìïëèòóä:
R1R 2 exp(2G ï L ) = 1.
(7.13)
Åñëè êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ áëèçêè ê åäèíèöå, òî 2GïL = 1. Òîãäà (7.13)
ìîæíî çàïèñàòü â ïðèáëèæåííîì âèäå
R1R 2 = exp(-2G ï L ) » 1 - 2G ï L.
(7.14)
Åñëè, íàïðèìåð, îäíî çåðêàëî ïîëíîñòüþ îòðàæàåò ñâåò (R1 = 1), à âòîðîå
çåðêàëî èìååò êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R2 = 0,95, òî
2G ï L » 1 - R1R2 = 0,05.
Òàêèì îáðàçîì, çà îäèí ïðîõîä ðåçîíàòîðà óñèëåíèå ñîñòàâëÿåò îêîëî 5 %.
Ïîðîã ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ ïðèáëèæåííî ìîæíî
îöåíèòü èç î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà Gnï » Gï/Dn, ãäå Dn — øèðèíà ñïåêòðàëüíîé
ëèíèè.
Ç à ì å ÷ à í è å. Åñëè äëèíà ðåçîíàòîðà L ³ l (êàê, íàïðèìåð, â ïîëóïðîâîäíèêîâîì ëàçåðå), òî ìîæåò ãåíåðèðîâàòüñÿ ëèøü îäíà ìîäà.
Íàñûùåíèå óñèëåíèÿ. Åñëè ñîçäàòü òàêóþ èíâåðñèþ çàñåëåííîñòè, ÷òî G > Gï,
òî èíòåíñèâíîñòü â ðåçîíàòîðå áóäåò âîçðàñòàòü ïðè êàæäîì åãî ïðîõîäå. Ñ
ðîñòîì èíòåíñèâíîñòè èíâåðñíàÿ çàñåëåííîñòü, à ñ íåé è êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ, áóäåò óìåíüøàòüñÿ, ïîêà íå äîñòèãíåò âåëè÷èíû Gï, ïðè êîòîðîé óñèëåíèå êîìïåíñèðóåò ïîòåðè. Ýòî ÿâëåíèå íîñèò íàçâàíèå íàñûùåíèÿ óñèëåíèÿ.
Äàëüíåéøèé ðîñò èíòåíñèâíîñòè ïðåêðàòèòñÿ, è ñèñòåìà âûéäåò íà ñòàöèîíàðíûé ðåæèì ãåíåðàöèè.
Ðàññìîòðèì ýòîò âîïðîñ ïîäðîáíåå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàêà÷êà ïîñòîÿííî
îñóùåñòâëÿåò âîçáóæäåíèå îáîèõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé, óâåëè÷èâàÿ çàñåëåííîñòü êàæäîãî èç óðîâíåé â åäèíèöó âðåìåíè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ a1 è a2
ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðè îäíîâðåìåííîì äåéñòâèè íàêà÷êè è òðåõ êâàíòîâûõ ïðîöåññîâ (ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ, âûíóæäåííîãî èçëó÷åíèÿ è âûíóæäåííîãî ïîãëîùåíèÿ)
ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ çàñåëåííîñòè êàæäîãî èç óðîâíåé îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè:
dn2
I
n
= B 21 (n1 - n2 ) - 2 + a 2 ;
dt
c
t2
(7.15 à)
dn1
I
n
= B 21 (n2 - n1 ) - 1 + a1 .
dt
c
t1
(7.15 á)
Çäåñü t1 è t2 — âðåìåíà æèçíè óðîâíåé. Íàçîâåì ðàçíîñòü çàñåëåííîñòåé Dn = n2 n1 èíâåðñíîé çàñåëåííîñòüþ.
dn
dn
 ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå 1 = 2 = 0. Âû÷èòàÿ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ïåðdt
dt
âîå, ïîëó÷àåì ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå äëÿ èíâåðñíîé çàñåëåííîñòè
72
DnB 21
I
(t1 + t 2 ) + Dn = a 2 t 2 - a1t1 .
c
(7.16)
Âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè, î÷åâèäíî, ðàâíà èíâåðñíîé çàñåëåííîñòè Dn0 = a2t2 - a1t1, êîòîðóþ ïîñòîÿííî ïîääåðæèâàåò íàêà÷êà, êîìïåíñèðóÿ
ðåëàêñàöèîííûå ïðîöåññû (èçëó÷àòåëüíûå è áåçûçëó÷àòåëüíûå). Åñëè ââåñòè
õàðàêòåðíóþ èíòåíñèâíîñòü íàñûùåíèÿ
I íàñ =
c
B 21 (t1 + t 2 )
,
(7.17)
òî (7.16) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå
Dn =
Dn0
.
I
1+
I íàñ
(7.18)
Ïðè I = Iíàñ èíâåðñèÿ çàñåëåííîñòè óìåíüøàåòñÿ âäâîå.
Ñîãëàñíî (7.4) ñ ðîñòîì èíòåíñèâíîñòè áóäåò òàêæå óìåíüøàòüñÿ è êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ
G =
h n B 21
×
c
Dn0
G0
=
,
I
I
1+
1+
I íàñ
I íàñ
(7.19)
ãäå G0 — íåíàñûùåííûé êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ.
Íà ðèñ. 7.7 ïîêàçàíû êîíòóðû êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ Gn â ðåæèìå íàñûùåííîãî óñèëåíèÿ.
Åñëè êîíòóð ëèíèè îïðåäåëÿåòñÿ äîïëåðîâñêèì ìåõàíèçìîì óøèðåíèÿ, ïðè
ýòîì dnD ? dnL (ðèñ. 7.7, à), òî êîíòóð G0n, ñîîòâåòñòâóþùèé íåíàñûùåííîìó
óñèëåíèþ, ïðèîáðåòàåò èçðåçàííûé âèä (êîíòóð Gn). Øèðèíà «âûðåçîâ» â êîíòóðå îïðåäåëÿåòñÿ øèðèíîé dnð ðåçîíàíñíîé êðèâîé îïòè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà.
Ýòî ðåæèì íåîäíîðîäíîãî íàñûùåíèÿ óñèëåíèÿ. Ñèòóàöèÿ íà ðèñ. 7.7, á ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ dnD = dnL. Êîíòóð ëèíèè óñèëåíèÿ ïðè íàñûùåíèè, îñòàâàÿñü ëîðåíöåâûì, «êàñàåòñÿ» øòðèõîâîé ëèíèè, ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíå Gnï.
Ýòî ðåæèì îäíîðîäíîãî íàñûùåíèÿ óñèëåíèÿ.
Øèðèíó îáëàñòè óñèëåíèÿ Dnóñ ìîæíî èçìåíÿòü ëèáî óñèëèâàÿ èëè îñëàáëÿÿ íàêà÷êó (ìåíÿÿ G0), ëèáî âàðüèðóÿ ïîòåðè â ðåçîíàòîðå (ìåíÿÿ Gï).  ðåæè-
Ðèñ. 7.7
73
ìå îäíîðîäíîãî íàñûùåíèÿ ìîæíî ñäåëàòü îáëàñòü óñèëåíèÿ òàêîé, ÷òî áóäåò
óñèëèâàòüñÿ ëèøü îäíà ìîäà. Îäíàêî óñèëåíèå áóäåò íåçíà÷èòåëüíûì.
×òîáû ýôôåêòèâíî óñèëèòü îäíó ìîäó, ðåçîíàòîð äåëàþò ñåëåêòèâíûì: óâåëè÷èâàþò ïîòåðè äëÿ âñåõ ìîä, êðîìå âûäåëåííîé. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, äîñòèãàåòñÿ çàìåíîé îäíîãî çåðêàëà ðåçîíàòîðîì ñ íåáîëüøèì ðàññòîÿíèåì ìåæäó
çåðêàëàìè. Îò òàêîãî äâîéíîãî çåðêàëà áóäóò îòðàæàòüñÿ âîëíû òåõ ÷àñòîò, êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ ìîäàìè êîðîòêîãî ðåçîíàòîðà. À òàê êàê ìåæìîäîâàÿ ÷àñòîòà êîðîòêîãî ðåçîíàòîðà áîëüøàÿ, òî ìîæíî ðåàëèçîâàòü óñëîâèÿ, êîãäà îò
äâîéíîãî çåðêàëà áóäåò îòðàæàòüñÿ ëèøü îäíà óñèëèâàåìàÿ ìîäà ëàçåðà.
Ìîíîõðîìàòè÷íîñòü ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ. Ïðè âûäåëåíèè îäíîé ìîäû èçëó÷åíèå ëàçåðà áóäåò íàèáîëåå áëèçêî ê ìîíîõðîìàòè÷åñêîìó. Îäíàêî øèðèíà
ãåíåðèðóåìîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèè âñå-òàêè áóäåò êîíå÷íà. Îíà îáóñëîâëåíà,
âî-ïåðâûõ, êîíå÷íîé øèðèíîé dnð ðåçîíàíñíîé êðèâîé îïòè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà («÷àñòîòíîé øèðèíîé» ìîäû), êîòîðàÿ, êàê è ó ìåõàíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, íàðàñòàåò ñ ïîòåðÿìè. Âî-âòîðûõ, îíà ñâÿçàíà ñ íåóñòðàíèìûìè òåïëîâûìè øóìàìè ëàçåðà è ñïîíòàííûì èçëó÷åíèåì â åãî àêòèâíîé ñðåäå.
Äëÿ îöåíêè âåëè÷èíû dnð çàïèøåì èçâåñòíîå èç ìåõàíèêè âûðàæåíèå äëÿ
äîáðîòíîñòè íà ÷àñòîòå îäíîé ìîäû:
Q =
n
W
,
= 2p
dn P
DWÒ
(7.20)
ãäå n — ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà (÷àñòîòà ìîäû); W — ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â ðåçîíàòîðå (ìîäå); DWT — ïîòåðè ýíåðãèè çà ïåðèîä êîëåáàíèé.
Åñëè ïëîùàäü êàæäîãî çåðêàëà ðàâíà S, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè L, òî W =
= uLS (u —îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìîäû).
Ýíåðãèÿ, òåðÿåìàÿ çà ïåðèîä, ðàâíà DWT = bucS/n (P = ucS — ìîùíîñòü
âîëíû, ïàäàþùåé íà çåðêàëî; b — êîýôôèöèåíò, îïèñûâàþùèé ïîòåðè ìîùíîñòè).Òîãäà äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà áóäåò ðàâíà
Q = 2pn
SLu
L
.
= 2p
bSuc
bl
(7.21)
Ïîòåðè ðåçîíàòîðà â He-Ne-ëàçåðå b = 0,02. Åñëè L = 1 ì, à l = 6 328 D,
òî Q = 5 × 108. Òîãäà dnð = n/Q = 106 Ãö = 1 ÌÃö. Ýòà âåëè÷èíà íà äâà ïîðÿäêà
ìåíüøå ìåæìîäîâîé ÷àñòîòû dn = c/2L = 1,5 × 108 Ãö = 150 ÌÃö.
Àíàëèç ðàáîòû ëàçåðà ïîêàçàë, ÷òî âáëèçè ïîðîãà ãåíåðàöèè øèðèíà ëèíèè
èçëó÷åíèÿ îäíî÷àñòîòíîãî ëàçåðà, èëè åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè ëàçåðíîãî
èçëó÷åíèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
dn e =
p(dn ð )2 hn é
1
ù
nô +
ê
ú,
g
n
P
1- 2 1 ú
ê
g 1n2 ûú
êë
(7.22)
1
— ñðåäíåå ÷èñëî òåïëîâûõ ôîòîíîâ â ìîäå ÷àñòîòû n;
æ hn ö
-1
exp ç
è kT ÷ø
n1 è n2 — çàñåëåííîñòè ðàáî÷èõ óðîâíåé; g1 è g2 — ñîîòâåòñòâóþùèå êðàòíîñòè
èõ âûðîæäåíèÿ; P — ìîùíîñòü, âêëþ÷àþùàÿ ìîùíîñòü ãåíåðèðóåìîé âîëíû
è ïîòåðè ìîùíîñòè â ëàçåðå.
ãäå nô =
74
Ôîðìóëà (7.22) âïåðâûå áûëà ïîëó÷åíà àìåðèêàíñêèìè ó÷åíûìè À. Øàâëîâûì è ×. Òàóíñîì è íîñèò èõ èìÿ.  íåé ìîæíî âûäåëèòü âûðàæåíèå
1
é
ù
h n ê nô +
ú,
g
n
g
n
1
/(
)
2 1
1 2 û
ë
(7.23)
ñîäåðæàùåå äâà ñëàãàåìûõ. Ïåðâîå ñëàãàåìîå, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (6.22),
îïðåäåëÿåò ñðåäíþþ ýíåðãèþ ìîäû áe n ñ = nô hn ïðè ðàâíîâåñíîì òåïëîâîì èç1
é
ù
ëó÷åíèè, à âòîðîå ñëàãàåìîå hn ê
ú — ýíåðãèþ, îáóñëîâëåííóþ
g
n
g
n
1
/(
)
2 1
1 2 û
ë
ñïîíòàííûì èçëó÷åíèåì.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7.22), îöåíèì åñòåñòâåííóþ øèðèíó èçëó÷åíèÿ He-Ne1
é
ù
-19
ëàçåðà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî nô = 1, ê
ú = 1,5. Ïîëàãàÿ hn = 3,2 × 10 Äæ,
ë 1 - g 2 n1 /( g 1n2 ) û
dnð = 106 Ãö, P = 1 ìÂò, ïîëó÷àåì dnå » 1,5 × 10-4 Ãö. Ýòà âåëè÷èíà íà ìíîãî
ïîðÿäêîâ ìåíüøå åñòåñòâåííîé øèðèíû ëèíèè èçëó÷åíèÿ àòîìîâ íåîíà.
Îòìåòèì, ÷òî ñ ðîñòîì ìîùíîñòè åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ
ëàçåðà âíà÷àëå óìåíüøàåòñÿ, îäíàêî çàòåì ñòðåìèòñÿ ê ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå.
Ýòî ñâÿçàíî ñ íàðàñòàíèåì øóìîâ ïðè óâåëè÷åíèè ìîùíîñòè P, ÷òî, áåçóñëîâíî, ôîðìóëà (7.22) íå îïèñûâàåò.
Ôîðìóëà Øàâëîâà — Òàóíñà îïðåäåëÿåò ïðåäåëüíî äîñòèæèìóþ ìîíîõðîìàòè÷íîñòü èçëó÷åíèÿ. Îíà íå ó÷èòûâàåò ìåõàíè÷åñêèå âèáðàöèè çåðêàë ðåçîíàòîðà, íåñòàáèëüíîñòü íàêà÷êè ëàçåðà è ò. ä. Âñëåäñòâèå ýòèõ ïðè÷èí ÷àñòîòà
ìîäû «ïëàâàåò» â íåêîòîðîì äèàïàçîíå.
Åñëè äëèíà ðåçîíàòîðà ñëó÷àéíî èçìåíèòñÿ íà l/2, òî ÷àñòîòà ìîäû ñìåñòèòñÿ íà âåëè÷èíó, ðàâíóþ ìåæìîäîâîé ÷àñòîòå dn = c/2L. Ïðè äëèíå ðåçîíàòîðà L = 1 ì ÷àñòîòà ìîäû áóäåò «ïëàâàòü» â äèàïàçîíå dn = 150 ÌÃö. Ýòà
âåëè÷èíà óæå ñðàâíèìà ñ åñòåñòâåííîé øèðèíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ àòîìà íåîíà, îäíàêî îíà çíà÷èòåëüíî ìåíüøå øèðèíû ëèíèè ëþìèíåñöåíöèè.
Äëÿ óñòðàíåíèÿ «ïëàâàíèÿ» ÷àñòîòû ðåçîíàòîð àâòîìàòè÷åñêè ïîäñòðàèâàþò ê êàêîé-ëèáî ôèêñèðîâàííîé ÷àñòîòå. Óñòðàíåíèå ìíîãèõ òåõíè÷åñêèõ ôàêòîðîâ ïîçâîëèëè ñóçèòü øèðèíó ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ ëàçåðà äî ðåêîðäíîé âåëè÷èíû dnëàç ~ 1 Ãö.
Ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ.  íà÷àëå ãåíåðàöèè èíòåíñèâíîñòü I âîëíû â ðåçîíàòîðå áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, à êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ, ñîãëàñíî (7.19), ïàäàòü.
Êîãäà îí óìåíüøèòñÿ äî âåëè÷èíû Gï, ãåíåðàöèÿ âûéäåò íà ñòàöèîíàðíûé
ðåæèì. Íà ðèñ. 7.8 êà÷åñòâåííî èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè âîëíû
îò âðåìåíè.
 ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå èíòåíñèâíîñòü I ìîæíî
îïðåäåëèòü èç ðàâåíñòâà
G0
= Gï.
I
1+
I íàñ
(7.24)
Îòñþäà
æG
ö
I = ç 0 - 1÷ I íàñ .
èG ï
ø
(7.25)
Ðèñ. 7.8
75
1
, ïîäñòàâëÿÿ ýòîò ðåçóëüòàò â (7.25)
R1R2
è ïåðåõîäÿ ê ìîùíîñòè P = IS (S — ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå àêòèâíîé ñðåäû),
ïîëó÷àåì äëÿ ìîùíîñòè âîëíû â ðåçîíàòîðå âûðàæåíèå
Ïîñêîëüêó ñîãëàñíî (7.13) 2G ï L = ln
é 2G 0 L
ù
- 1ú ,
P = Píàñ ê
1
ê ln
ú
êë R1R2
úû
(7.26)
ãäå Píàñ = IíàñS — ìîùíîñòü íàñûùåíèÿ.
Îäíàêî òîëüêî ÷àñòü ýòîé ìîùíîñòè â âèäå èçëó÷åíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç çåðêàëà ðåçîíàòîðà. Åñëè äëÿ ïðîñòîòû ñ÷èòàòü îäíî çåðêàëî ïîëíîñòüþ îòðàæàþùèì (R1 = 1), à ó âòîðîãî çåðêàëà 0 < R2 £ 1, òî ìîùíîñòü ãåíåðèðóåìîãî
ëàçåðíîãî ïó÷êà
é 2G L
ù
Pëàç = (1 - R 2 )P = Píàñ ê 0 - 1ú (1 - R 2 ).
1
ê ln
ú
úû
ëê R2
(7.27)
Ýòà ìîùíîñòü çàâèñèò îò ýôôåêòèâíîñòè íàêà÷êè è îáúåìà àêòèâíîé ñðåäû.
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî âåëè÷èíà G0 ïðîïîðöèîíàëüíà êîíöåíòðàöèè âîçáóæäàåìûõ
àòîìîâ, òî ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ïîëíîìó ÷èñëó «íàêà÷èâàåìûõ» àòîìîâ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìîùíîñòü ëàçåðîâ, ðàáîòàþùèõ ïðè äàâëåíèÿõ
~ 1 ìì ðò. ñò., çíà÷èòåëüíî ìåíüøå, ÷åì ó ëàçåðîâ, ðàáîòàþùèõ ïðè àòìîñôåðíîì è áîëåå âûñîêèõ äàâëåíèÿõ.
Ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ çàâèñèò îò êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ R2. Ïðè R2 » 1
ìîùíîñòü óìåíüøàåòñÿ èç-çà ìàëîé ïðîçðà÷íîñòè çåðêàëà. Ïðè R2 < Rï =
= exp(-2G0L) âåëèêè ïîòåðè â ðåçîíàòîðå è ãåíåðàöèÿ íåâîçìîæíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå Rîïò äëÿ ïîëó÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîé
ìîùíîñòè èçëó÷åíèÿ.
Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñòðóêòóðà ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ. Ðåçîíàòîð âûïîëíÿåò åùå
îäíó (íàèáîëåå âàæíóþ) ôóíêöèþ — ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü íàïðàâëåííîå èçëó÷åíèå, ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ óçêèì ñâåòîâûì ïó÷êîì. Îñü ýòîãî ïó÷êà ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè çåðêàë. Åñëè áû çåðêàëà áûëè íåîãðàíè÷åííî áîëüøèìè,
òî ãåíåðèðîâàëàñü áû ïëîñêàÿ âîëíà. Ïîñêîëüêó îíà ïîïåðå÷íàÿ, åå êëàññèôèöèðóþò êàê TEM-âîëíó (Transversal ElectroMagnetic wave).
Åñëè æå çåðêàëà èìåþò êîíå÷íûå ðàçìåðû, òî ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü, ÷òî âîëíà îñòàåòñÿ ïîïåðå÷íîé, îäíàêî àìïëèòóäà ïîëÿ áóäåò èçìåíÿòüñÿ
â îãðàíè÷åííîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ðåçîíàòîðà.  ýòîì ñå÷åíèè ó ñòîÿ÷åé
âîëíû áóäóò íàõîäèòüñÿ óçëû è ïó÷íîñòè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî
è ìàãíèòíîãî ïîëåé. Èç-çà îòêðûòîñòè ðåçîíàòîðà ïðîèñõîäèò äèôðàêöèÿ ñâåòà,
è àìïëèòóäà âîëíû ê êðàÿì ìîíîòîííî óáûâàåò.
Êàæäóþ ñòîÿ÷óþ âîëíó, èëè ìîäó ðåçîíàòîðà, îáîçíà÷àþò TEMmnq. Ñìûñë
èíäåêñà q òîò æå, ÷òî è â (7.10). Èíäåêñû m = 1, 2, ¾; n = 0, 1, 2, ¾ ðàâíû ÷èñëó
óçëîâ âäîëü îñåé Ox è Oy, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè ïó÷êà (îñè Oz).
Ìîäû êîëåáàíèé, îòëè÷àþùèåñÿ èíäåêñàìè m è n, ñîñòàâëÿþò ñåìåéñòâî
ïîïåðå÷íûõ ìîä. Íàîáîðîò, ìîäû, îòëè÷àþùèåñÿ ëèøü èíäåêñîì q, ñîñòàâëÿþò
ñåìåéñòâî ïðîäîëüíûõ ìîä. Èíîãäà ïîïåðå÷íûå ìîäû îáîçíà÷àþò ëèøü äâóìÿ
èíäåêñàìè m è n.
76
Íà ðèñ. 7.9 èçîáðàæåíû òðè ïîïåðå÷íûå ìîäû ðåçîíàòîðà ñ ïðÿìîóãîëüíûìè ïëîñêèìè çåðêàëàìè.
Ñâåðõó ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ E ó ðàçíûõ ìîä â òîò ìîìåíò, êîãäà E
äîñòèãàåò àìïëèòóäíûõ çíà÷åíèé. Âíèçó êîíòóðû ñîîòâåòñòâóþò ëèíèÿì ðàâíîé àìïëèòóäû ïî óðîâíþ Amax /e (Amax — àìïëèòóäà â ïó÷íîñòè ñòîÿ÷åé âîëíû).
Ñòðåëêàìè ïîêàçàíî íàïðàâëåíèå âåêòîðà E â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè. Ïîñêîëüêó
q ? 1, òî ýòîò èíäåêñ îáû÷íî íå óêàçûâàåòñÿ.
Ó íèçøåé ìîäû îòñóòñòâóåò ðàññëîåíèå ïîëÿ, ïîýòîìó îíà ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé. ×òîáû îòñåÿòü äðóãèå ìîäû, â ðåçîíàòîð
óñòàíàâëèâàþò äèàôðàãìó, ïðîïóñêàþùóþ èçëó÷åíèå, ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ
âáëèçè îñè ðåçîíàòîðà. Îñòàëüíûå ìîäû èñïûòûâàþò áîëüøèå ïîòåðè
è íå óñèëèâàþòñÿ. Òàêîé ðåæèì ãåíåðàöèè íàçûâàåòñÿ îäíîìîäîâûì. Åñòåñòâåííî,
÷òî óñòàíîâêà äèàôðàãìû ñíèæàåò ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ. Îäíîìîäîâûé ïó÷îê
TEM00 îáëàäàåò ìèíèìàëüíîé (äèôðàêöèîííîé) ðàñõîäèìîñòüþ.
Åñëè îäíîâðåìåííî ãåíåðèðóåòñÿ íåñêîëüêî ïîïåðå÷íûõ ìîä, òî ìîùíîñòü
ïó÷êà âîçðàñòàåò ïî ñðàâíåíèþ ñ îäíîìîäîâûì ðåæèìîì ãåíåðàöèè. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â ñå÷åíèè ïó÷êà ïðèîáðåòàåò ïÿòíèñòóþ ñòðóêòóðó, êîòîðóþ íàçûâàþò ñïåêë-ñòðóêòóðîé. Êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, óãëîâàÿ ðàñõîäèìîñòü ìíîãîìîäîâîãî ïó÷êà áîëüøå, ÷åì ó îäíîìîäîâîãî.
Íà ðèñ. 7.1 öâ. âêë. ïîêàçàíû ðàçëè÷íûå ñòðóêòóðû ñâåòîâîãî ïó÷êà (ïîïåðå÷íûå ìîäû) ãåëèé-íåîíîâîãî ëàçåðà (He-Ne-ëàçåðà), ðàáîòàþùåãî â ìíîãîìîäîâîì ðåæèìå.
 ñîâðåìåííûõ ëàçåðàõ, â öåëÿõ óìåíüøåíèÿ äèôðàêöèîííûõ ïîòåðü, èñïîëüçóþòñÿ ðåçîíàòîðû ñ âîãíóòûìè êðóãëûìè çåðêàëàìè. Åñëè ðàññòîÿíèå
ìåæäó çåðêàëàìè ðàâíî ðàäèóñó êðèâèçíû çåðêàë, òî ðåçîíàòîð íàçûâàåòñÿ
êîíôîêàëüíûì. Åñëè îíî âäâîå ìåíüøå, òî ðåçîíàòîð íàçûâàåòñÿ ñôåðè÷åñêèì.
Âîçìîæíà êîìáèíàöèÿ ïëîñêîãî è ñôåðè÷åñêîãî çåðêàë.
Íèçøàÿ ìîäà ðåçîíàòîðà ñ âîãíóòûìè çåðêàëàìè ñîîòâåòñòâóåò ãàóññîâîìó
ïó÷êó, ñâîéñòâà êîòîðîãî îïèñàíû â íà÷àëå êóðñà. Ïîýòîìó ãàóññîâû ïó÷êè
ãåíåðèðóþòñÿ îäíîìîäîâûìè ëàçåðàìè.
Ðèñ. 7.9
77
Ãåíåðàöèÿ ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ. Ñòàöèîíàðíàÿ
ãåíåðàöèÿ âîçìîæíà, åñëè íàêà÷êîé ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ G = Gï.
Äëÿ ýòîãî íàêà÷êà äîëæíà îñóùåñòâëÿòüñÿ íåïðåðûâíî. Åñëè íàêà÷êà äåéñòâóåò êðàòêîâðåìåííî,
òî èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ âåäåò ñåáÿ âî âðåìåíè òàê, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 7.10.
Ðèñ. 7.10
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëàçåð ãåíåðèðóåò èìïóëüñ
äëèòåëüíîñòüþ t0. Äëÿ èìïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿ øèðèíà dnëàç ~ 1/t0. Ñðàâíèì ýòó
âåëè÷èíó ñ ìåæìîäîâîé ÷àñòîòîé dn = c/(2L) = 1/tð (tð = 2L/c — âðåìÿ ïðîáåãà
ðåçîíàòîðà â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ). Äëÿ ðåçîíàòîðîâ äëèíîé L = 0,5 ì âðåìÿ
ïðîáåãà tð = 2L/c = 3 íñ.
Äëÿ èìïóëüñîâ äëèòåëüíîñòüþ t0 ~ 10 íñ øèðèíà ñïåêòðà ìåíüøå ìåæìîäîâîé ÷àñòîòû. Çà âðåìÿ ãåíåðàöèè ïðîèñõîäèò ëèøü íåñêîëüêî ïðîõîäîâ â ðåçîíàòîðå óñèëèâàåìîé (ïðàêòè÷åñêè îäíîé) ìîäû.
Øèðèíà ñïåêòðà èìïóëüñîâ ïèêîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè óæå ïðåâûøàåò
ìåæìîäîâóþ ÷àñòîòó íà äâà-òðè ïîðÿäêà. Çäåñü èìååò ìåñòî óñèëåíèå áîëüøîãî
÷èñëà ñèíõðîíèçîâàííûõ ìîä ðåçîíàòîðà.
Åùå áîëåå øèðîêèé ñïåêòð ó ïðåäåëüíî êîðîòêèõ èìïóëüñîâ äëèòåëüíîñòüþ íåñêîëüêî ôåìòîñåêóíä.
Ãàçîâûå ëàçåðû.  ýòèõ ëàçåðàõ àêòèâíîé ñðåäîé ÿâëÿþòñÿ ãàçû, âîçáóæäàåìûå ïðîõîäÿùèì ïî íèì ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì (ãàçîâûì ðàçðÿäîì). Îäíèì èç
íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ãàçîâûõ ëàçåðîâ ÿâëÿåòñÿ ãåëèé-íåîíîâûé ëàçåð.
Ñõåìàòè÷åñêè åãî óñòðîéñòâî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 7.11.
 ãàçîðàçðÿäíîé ñòåêëÿííîé òðóáêå 1 íàõîäÿòñÿ ãåëèé ïðè ïàðöèàëüíîì äàâëåíèè ~1 ìì ðò. ñò. è íåîí ïðè äàâëåíèè ~0,1 ìì ðò. ñò. Òîðöû òðóáêè çàêàí÷èâàþòñÿ ïëîñêîïàðàëëåëüíûìè ñòåêëÿííûìè ïëàñòèíêàìè, íàêëîíåííûìè
ê îñè òðóáêè ïîä óãëîì Áðþñòåðà (ñì. ëåêöèþ 17). Ñâåò, ïîëÿðèçîâàííûé
â ïëîñêîñòè ðèñóíêà, íå îòðàæàåòñÿ îò ýòèõ ïëàñòèí. Ìåæäó êàòîäîì 2 è àíîäîì 3 ïðèêëàäûâàåòñÿ âûñîêîå íàïðÿæåíèå 1— 2 êÂ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî âîçíèêàåò
ðàçðÿäíûé òîê ~10 ìÀ. Òðóáêà íàõîäèòñÿ ìåæäó ñôåðè÷åñêèìè çåðêàëàìè ñ
âûñîêèìè êîýôôèöèåíòàìè îòðàæåíèÿ (R2 ~ 0,98, R1 > 0,99). Ïîýòîìó óñèëåíèå
ñâåòà çà îäèí ïðîõîä ñîñòàâëÿåò ëèøü íåñêîëüêî ïðîöåíòîâ (2GïL ~ 0,01). Íàïðàâëåííûé ëó÷ ñâåòà âûõîäèò ïðåèìóùåñòâåííî ÷åðåç çåðêàëî R2.
Ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ èçëó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êâàíòîâûìè ïåðåõîäàìè àòîìîâ íåîíà. Íà ðèñ. 7.12 ïîêàçàíû íåêîòîðûå ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè àòîìîâ He
è Ne, ïåðåõîäû ñ êîòîðûõ è îïðåäåëÿþò ïðîöåññ ãåíåðàöèè èçëó÷åíèÿ ëàçåðà.
Ïðè ïðîòåêàíèè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà àòîìû íåîíà âîçáóæäàþòñÿ. Ïðîöåññ
âîçáóæäåíèÿ ïîêàçàí âåðòèêàëüíûìè øòðèõîâûìè ñòðåëêàìè.  ðåçóëüòàòå âîçíèêàåò ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå, äëèíû âîëí êîòîðîãî l = 1 150, 632,8 è 3 390 íì.
Ïðè ýëåêòðîííîì âîçáóæäåíèè âîçìîæíî ñîçäàòü ëèøü èíâåðñèþ çàñåëåííîñ3
R1
2
1
Ðèñ. 7.11
78
R2
òè ìåæäó óðîâíÿìè W2 è W1 è îñóùåñòâèòü ãåíåðàöèþ íà äëèíå âîëíû l =
= 1 150 íì.
Èíâåðñíóþ çàñåëåííîñòü ìåæäó äðóãèìè ïàðàìè óðîâíåé ìîæíî ñîçäàòü â
ïðèñóòñòâèè ãåëèÿ. Ãåëèé îáëàäàåò äâóìÿ äîëãîæèâóùèìè óðîâíÿìè W2¢ è W3¢
(ìåòàñòàáèëüíûìè óðîâíÿìè). Ïðè âîçáóæäåíèè ãåëèÿ ýëåêòðîííûì óäàðîì
(ïðîöåññ âîçáóæäåíèÿ ïîêàçàí âåðòèêàëüíûìè øòðèõîâûìè ñòðåëêàìè)
Ðèñ. 7.12
äîñòèãàåòñÿ âûñîêàÿ çàñåëåííîñòü ýòèõ
óðîâíåé. Òàê êàê ýíåðãèè W2¢ è W3¢
î÷åíü áëèçêè ê ýíåðãèÿì W2 è W3, òî ïðè ñòîëêíîâåíèè àòîìîâ He è Ne
ýíåðãèÿ ïåðâûõ ýôôåêòèâíî ïåðåõîäèò êî âòîðûì (ïðîöåññ ïîêàçàí ãîðèçîíòàëüíûìè øòðèõîâûìè ñòðåëêàìè).
Óðîâåíü W1 îáëàäàåò íåáîëüøèì âðåìåíåì æèçíè. Ïðè ñïîíòàííîì ïåðåõîäå ñ W1 íà W * âîçíèêàåò ÿðêî-îðàíæåâîå ñâå÷åíèå. Ñ óðîâíÿ W * àòîì íåîíà
ïåðåõîäèò â îñíîâíîå ñîñòîÿíèå W0 áåçûçëó÷àòåëüíî, ñòàëêèâàÿñü ñî ñòåíêàìè
òðóáêè.
Ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíò Ýéíøòåéíà A21 ~ n3, âåðîÿòíîñòü ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ ñ äëèíîé âîëíû 632,8 íì ïî÷òè â 150 ðàç âûøå, ÷åì èçëó÷åíèÿ ñ äëèíîé
âîëíû 3 390 íì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èíâåðñèÿ çàñåëåííîñòè ïàðû óðîâíåé W3, W4
áîëüøå, ÷åì ïàðû W3, W1. Ïîýòîìó ãåíåðàöèÿ ÈÊ-èçëó÷åíèÿ ñ l = 3 390 íì
âîçìîæíà è ïðè ìàëîîòðàæàþùèõ çåðêàëàõ, è äàæå áåç íèõ.
Äëÿ ýôôåêòèâíîé ãåíåðàöèè êðàñíîé ëèíèè (l = 6 328 D) èñïîëüçóþò âûñîêîîòðàæàþùèå çåðêàëà, à â ðåçîíàòîð ïîìåùàþò êþâåòó ñ âåùåñòâîì, ïîãëîùàþùèì ÈÊ-èçëó÷åíèå. Òåìïåðàòóðà àòîìîâ â ðàçðÿäå T » 400 K. Ïîñêîëüêó
äàâëåíèå íåâåëèêî, îñíîâíûì ÿâëÿåòñÿ äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé
ëèíèè: DnD » 1,5 × 109 Ãö. Ïðè äëèíå ðåçîíàòîðà L = 1 ì ìåæìîäîâàÿ ÷àñòîòà dn =
c/(2L) = 1,5 × 108 Ãö. Ïîýòîìó He-Ne-ëàçåð ìîæåò ãåíåðèðîâàòü íåñêîëüêî
ïðîäîëüíûõ ìîä, ÷èñëî êîòîðûõ çàâèñèò îò ðåæèìà åãî ðàáîòû. Ìîùíîñòü ãåíåðàöèè íà ýòîé äëèíå âîëíû ïðè äëèíå òðóáêè ~1,0 ì äîñòèãàåò 30 — 50 ìÂò.
Íà ðèñ. 7.2 öâ. âêë. ïîêàçàíà ôîòîãðàôèÿ ðàáîòàþùåãî äåìîíñòðàöèîííîãî
ãåëèé-íåîíîâîãî ëàçåðà, íà êîòîðîé õîðîøî âèäíû âñå îñíîâíûå ýëåìåíòû
åãî êîíñòðóêöèè.
Áîëåå ìîùíûì ÿâëÿåòñÿ àðãîíîâûé èîííûé ëàçåð (ðèñ. 7.13).
Ðèñ. 7.13
79
Èíâåðñèÿ â àðãîíå, çàêëþ÷åííîì â ãàçîðàçðÿäíóþ òðóáêó 1, ñîçäàåòñÿ ïðè
áîëüøèõ ïëîòíîñòÿõ ðàçðÿäíîãî òîêà ~ 150 — 400 À/ñì2. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ïëîòíîñòè òîêà íà òðóáêó îäåâàþò êàòóøêó-ñîëåíîèä (íà ðèñóíêå íå ïîêàçàíà),
ñîçäàþùóþ îñåâîå ìàãíèòíîå ïîëå, ñòÿãèâàþùåå äâèæóùèåñÿ ýëåêòðîíû
ê îñè òðóáêè. Ïîñêîëüêó âûäåëÿåòñÿ ìíîãî òåïëà, òðóáêó èçãîòîâëÿþò èç òåðìîñòîéêèõ ìàòåðèàëîâ (êâàðöà, êåðàìèêè è äð.) è îõëàæäàþò ïðîòåêàþùåé
âîäîé.
Èç-çà áîëüøîé êîíöåíòðàöèè èîíîâ Ar3+, äâèæóùèõñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå
ðàçðÿäà, ñîçäàåòñÿ ïåðåïàä äàâëåíèÿ ìåæäó êàòîäîì 2 è àíîäîì 3. Äëÿ âûðàâíèâàíèÿ äàâëåíèÿ êàòîäíóþ è àíîäíóþ îáëàñòè ñîåäèíÿþò òðóáêîé 4.
Ïðè ýíåðãåòè÷åñêèõ ïåðåõîäàõ èîíîâ Ar3+ ïðîèñõîäèò ãåíåðàöèÿ íåïðåðûâíîãî èçëó÷åíèÿ ñ íåñêîëüêèìè äëèíàìè âîëí îò 454,5 äî 514,5 íì. Íàèáîëåå
èíòåíñèâíûìè ÿâëÿþòñÿ ñïåêòðàëüíûå ëèíèè ñ l1 = 488 íì (ñèíÿÿ) è l2 =
= 514,5 íì (çåëåíàÿ). Ìîùíîñòü ãåíåðàöèè ìîæåò ïðåâûøàòü 100 Âò.
Òàêàÿ ìîùíîñòü äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò áîëüøîé íà÷àëüíîé (íåíàñûùåííîé)
èíâåðñèè Dn0 = a2t2 - a1t1 è, ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ G0.
 àðãîíå âåðõíèå óðîâíè èìåþò ñóùåñòâåííî áîëüøåå âðåìÿ æèçíè
(t2 ~ 10-8 ñ), ÷åì íèæíèå (t1 » 3 × 10-10 ñ).
Êàæäàÿ èç ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé èìååò äîïëåðîâñêèé êîíòóð, øèðèíà êîòîðîãî DnD » 6 × 109 Ãö. Ýòî â íåñêîëüêî ðàç áîëüøå, ÷åì ó He-Ne-ëàçåðà. Ïîýòîìó
àðãîíîâûé ëàçåð ìîæåò ãåíåðèðîâàòü ñïåêòðàëüíóþ ëèíèþ ñ áîëüøèì ÷èñëîì
ïðîäîëüíûõ ìîä.
Ôîòîãðàôèÿ ðàáîòàþùåãî àðãîíîâîãî ëàçåðà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 7.3 öâ. âêë.
Åùå áîëüøóþ ìîùíîñòü óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ó CO2-ëàçåðà. Óãëåêèñëûé ãàç èìååò
ðÿä ëèíèé ëþìèíåñöåíöèè ñ äëèíàìè âîëí âáëèçè l » 10,6 ìêì. Ýòî èíôðàêðàñíîå èçëó÷åíèå, êîòîðîå âîçíèêàåò ïðè ïåðåõîäàõ ìåæäó êîëåáàòåëüíî-âðàùàòåëüíûìè óðîâíÿìè ìîëåêóëû CO2. Ãàçîðàçðÿäíàÿ òðóáêà çàïîëíÿåòñÿ ñìåñüþ àçîòà, óãëåêèñëîãî ãàçà è ãåëèÿ ïðè äàâëåíèè ~ 1 ìì ðò. ñò.
Âîçáóæäåíèå ìîëåêóë CO2 ïðîèñõîäèò êàê ýëåêòðîííûì óäàðîì, òàê è ïðè
ñòîëêíîâåíèè ñ âîçáóæäåííûìè òîêîì àòîìàìè àçîòà. Íèæíèå óðîâíè CO2
îïóñòîøàþòñÿ ïðè ñòîëêíîâåíèè ñ àòîìàìè ãåëèÿ è ñòåíêàìè òðóáêè.
CO2-ëàçåð îáëàäàåò âûñîêèì êîýôôèöèåíòîì ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ, ïðåâûøàþùèì 10 %. Âûõîäíàÿ ìîùíîñòü â íåïðåðûâíîì ðåæèìå ìîæåò äîñòèãàòü 10 êÂò.
Èçëó÷åíèå ýòîãî ëàçåðà (l » 10,6 ìêì) î÷åíü ñëàáî ïîãëîùàåòñÿ àòìîñôåðîé, ïîýòîìó òàêèå ìîùíûå ëàçåðû íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå âî ìíîãèõ
çàäà÷àõ àòìîñôåðíîé îïòèêè. Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè òåõíîëîãè÷åñêèå ÑÎ2-ëàçåðû, ðàáîòàþùèå ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè è ãåíåðèðóþùèå
ìîùíûå ñâåòîâûå ïó÷êè.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â êîíñòðóêöèè ëàçåðà èñïîëüçóþòñÿ ìàòåðèàëû, êîòîðûå äîëæíû áûòü ïðîçðà÷íû â ýòîì äèàïàçîíå è îáëàäàòü áîëüøîé ïðî÷íîñòüþ. Âåäü äàæå íåáîëüøîå ïîãëîùåíèå ïðè òàêèõ ìîùíîñòÿõ ìîæåò ïðèâåñòè
ê ëîêàëüíîìó íàãðåâó îïòè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, è îíè ìîãóò ðàçðóøèòüñÿ.
Ñàìûìè ìîùíûìè ÿâëÿþòñÿ ãàçîäèíàìè÷åñêèå ëàçåðû, â êîòîðûõ ðàáî÷èì
âåùåñòâîì ñëóæèò ãàç ïðè àòìîñôåðíîì è áîëåå âûñîêîì äàâëåíèè. Ïîñêîëüêó
ïëîòíîñòü ãàçà âåëèêà, òî è ìîùíîñòü ãåíåðàöèè ìîæåò áûòü î÷åíü âûñîêîé.
Èíâåðñèÿ çàñåëåííîñòè ñîçäàåòñÿ ïðè áûñòðîì âûòåêàíèè ãàçà èç ñîïëà.
Ðàñøèðÿÿñü, ãàç îõëàæäàåòñÿ, ïðè ýòîì áåçûçëó÷àòåëüíàÿ ðåëàêñàöèÿ âåðõíèõ
óðîâíåé íå òàê èíòåíñèâíà, êàê íèæíèõ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îõëàæäåíèè
80
Ðèñ. 7.14
ñîçäàåòñÿ èíâåðñíàÿ çàñåëåííîñòü. Åñëè òàêîé ïîòîê íàïðàâèòü ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ðåçîíàòîðà, òî âîçíèêàåò ãåíåðàöèÿ. Ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ
ãàçîäèíàìè÷åñêîãî CO2-ëàçåðà ïðåâûøàåò 50 êÂò.
 çàêëþ÷åíèå ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íåêîòîðûå ãàçîâûå ëàçåðû ìîãóò ðàáîòàòü òîëüêî â èìïóëüñíîì ðåæèìå. Ê íèì îòíîñÿòñÿ âîäîðîäíûé ëàçåð (l =
= 1 800 D), ëàçåð íà ïàðàõ ìåäè (l1 = 5 106 D , l2 = 5 782 D) è äð. Ó àêòèâíûõ ñðåä
ýòèõ ëàçåðîâ t2 < t1, ïîýòîìó ëèøü â òå÷åíèå èíòåðâàëà âðåìåíè Dt < t2 óäàåòñÿ
ïîääåðæèâàòü èíâåðñíóþ çàñåëåííîñòü. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñêîðîñòü
çàñåëåíèÿ a2 âåðõíåãî óðîâíÿ ïðåâûøàëà ñêîðîñòü çàñåëåíèÿ a1 íèæíåãî óðîâíÿ. Âåðõíèé óðîâåíü õîðîøî âîçáóæäàåòñÿ ýëåêòðîííûì óäàðîì (áîëüøîå çíà÷åíèå a2). Ýòî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ èíâåðñèè è óñèëåíèþ G0L ~ 106. Äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà èçëó÷åíèÿ ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó ~ 10 íñ, à ïèêîâàÿ ìîùíîñòü P ~ 10 — 100 ÌÂò.
Òâåðäîòåëüíûå ëàçåðû. Â ýòèõ ëàçåðàõ àêòèâíîé ñðåäîé ÿâëÿåòñÿ òâåðäîå òåëî,
íàêà÷èâàåìîå ìîùíûì ïîòîêîì ñâåòà îò ëàìïû íàêà÷êè. Óñòðîéñòâî òàêîãî
ëàçåðà ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 7.14. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ýôôåêòèâíîñòè
íàêà÷êè àêòèâíûé ýëåìåíò è ëàìïó ïîìåùàþò â öèëèíäðè÷åñêóþ ïîëîñòü
ñ õîðîøåé îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòüþ.
Àêòèâíûé ýëåìåíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðèñòàëëè÷åñêèé èëè ñòåêëÿííûé
ñòåðæåíü, â êîòîðîì íàõîäÿòñÿ èîíû ïðèìåñè. Íà êâàíòîâûõ ïåðåõîäàõ ýòèõ
èîíîâ ìåæäó óðîâíÿìè W2 è W1 è îñóùåñòâëÿåòñÿ ãåíåðàöèÿ, à ñòåðæåíü
âûïîëíÿåò ôóíêöèþ ìàòðèöû, óäåðæèâàþùåé èîíû.
Ïðè ñâåòîâîé íàêà÷êå èîíû ïðèìåñè ïîãëîùàþò êâàíòû ðàçëè÷íûõ ÷àñòîò,
ïîñêîëüêó â òâåðäîì òåëå óðîâíè î÷åíü øèðîêèå. Äëÿ íàãëÿäíîñòè íà ðèñ. 7.15
ïîêàçàíû êâàíòîâûå ïåðåõîäû ïðè íàëè÷èè ÷åòûðåõ
óðîâíåé, èç êîòîðûõ îäèí óðîâåíü øèðîêèé.
Ïîñêîëüêó óðîâåíü 3 øèðîêèé, åãî âðåìÿ æèçíè
íåâåëèêî. Ïðè áåçûçëó÷àòåëüíîé ðåëàêñàöèè (ïîêàçàííîé âîëíèñòîé ñòðåëêîé âíèç) èîí ïåðåõîäèò íà
äîëãîæèâóùèé (t2 ~ 10-3 ñ) ìåòàñòàáèëüíûé óðîâåíü
2. Çàñåëåííîñòü íèæíåãî óðîâíÿ 1 áóäåò, ñîãëàñíî
ðàñïðåäåëåíèþ Áîëüöìàíà, ìåíüøå îñíîâíîãî óðîân
é (W - W 0 ) ù
íÿ W0: 1 = exp ê - 1
úû . Äëÿ ñîçäàíèÿ áîëüøåé
n0
kT
ë
èíâåðñíîé çàñåëåííîñòè ìåæäó óðîâíÿìè 2 è 1 æåëàòåëüíî, ÷òîáû óðîâåíü 1 áûë âûñîêî ðàñïîëîæåí íàä
Ðèñ. 7.15
îñíîâíûì. Ïðè áåçûçëó÷àòåëüíîé ðåëàêñàöèè ÷àñòü
81
ýíåðãèè íàêà÷êè ïðåâðàùàåòñÿ â òåïëîâóþ, ïîýòîìó àêòèâíûé ýëåìåíò íåîáõîäèìî èíòåíñèâíî îõëàæäàòü.
Ñóùåñòâóåò áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìàòðèö, è ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè èîíîâ çàâèñÿò îò ñâîéñòâ ýòèõ
ìàòðèö. Ñîîòâåòñòâåííî ïðè ñîçäàíèè ëàçåðîâ ïðèìåíÿåòñÿ áîëüøîå ÷èñëî àêòèâíûõ ñðåä.
Ñàìûì ïåðâûì â ìèðå áûë ñîçäàí ðóáèíîâûé
ëàçåð (1961), àêòèâíûé ýëåìåíò êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿë êðèñòàëë ñàïôèðà Al2O3, ñîäåðæàùèé 0,05 %
èîíîâ Cr+. Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ïðè îñâåùåíèè
Ðèñ. 7.16
ðóáèí ëþìèíåñöèðóåò ðîçîâûì ñâåòîì. Íà ðèñ. 7.16
ïîêàçàíà ñõåìà òðåõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé èîíà Cr+.
Ïðè ñâåòîâîé íàêà÷êå (óðîâåíü 3) âîçáóæäàþòñÿ øèðîêèå, íî êîðîòêîæèâóùèå óðîâíè ñ ýíåðãèÿìè W3¢ è W3². Çà âðåìÿ t3 ~ 10-8 ñ ïðîèñõîäèò áåçûçëó÷àòåëüíàÿ ðåëàêñàöèÿ íà óðîâåíü 2, âðåìÿ æèçíè êîòîðîãî âåñüìà âåëèêî: t2 ~ 10-3 ñ.
Ïðè ïåðåõîäå ñ óðîâíÿ 2 íà óðîâåíü 1 èçëó÷àþòñÿ ñâåòîâûå êâàíòû ñ äëèíîé
âîëíû 694,3 íì.
Äëÿ íàêà÷êè ïðèìåíÿþòñÿ èìïóëüñíûå ãàçîðàçðÿäíûå ëàìïû, äàþùèå
âñïûøêó áåëîãî ñâåòà äëèòåëüíîñòüþ tâ ~ 10-3 ñ. Çà ýòî âðåìÿ ÷åðåç ëàìïó
ðàçðÿæàåòñÿ áàòàðåÿ êîíäåíñàòîðîâ åìêîñòüþ C ~ 10-3 Ô, çàðÿæåííàÿ äî íàïðÿæåíèÿ U ~ 1 êÂ. Ïðè ðàçðÿäå áàòàðåè ýëåêòðè÷åñêàÿ ìîùíîñòü ñîñòàâëÿåò
âåëè÷èíó Pýë ~ CU 2/tâ ~ 106 Âò. ×àñòü ýòîé ìîùíîñòè (îêîëî 15 %) èäåò
íà âîçáóæäåíèå ðóáèíà: äëÿ 1 ñì3 ñâåòîâàÿ ìîùíîñòü äîëæíà áûòü ~ 2 êÂò.
Óñèëåíèå çà îäèí ïðîõîä çíà÷èòåëüíî áîëüøå, ÷åì ó ãàçîâûõ ëàçåðîâ (G0L ? 1).
Ïîýòîìó âûõîäíîå çåðêàëî ðåçîíàòîðà äîñòàòî÷íî ïðîçðà÷íîå (R2 » 0,3 — 0,4).
×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå íà÷àëà âñïûøêè, êîãäà íàêîïèòñÿ äîñòàòî÷íàÿ èíâåðñèÿ çàñåëåííîñòè, íà÷íåò ãåíåðèðîâàòüñÿ èìïóëüñ äëèòåëüíîñòüþ
t0 ~ 10-6 ñ. Åãî ýíåðãèÿ W ~ 1 Äæ, ïîýòîìó ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü èìïóëüñà
P ~ W/t0 ~ 106 Âò.
 äåéñòâèòåëüíîñòè ýòîò èìïóëüñ ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ äðóã çà äðóãîì èìïóëüñîâ (ïè÷êîâ) äëèòåëüíîñòüþ êàæäîãî ~ 10-8 — 10-9 ñ. Êàæäûé ïè÷îê — ðåçóëüòàò êðàòêîâðåìåííîãî îïóñòîøåíèÿ âåðõíåãî óðîâíÿ ïðè íàðàñòàíèè èíòåíñèâíîñòè â ðåçîíàòîðå. Òàêîé ðåæèì ðàáîòû ëàçåðà íàçûâàþò ðåæèìîì ñâîáîäíîé ãåíåðàöèè, èëè ïè÷êîâûì ðåæèìîì.
Ïîñêîëüêó ïðè áåçûçëó÷àòåëüíîé ðåëàêñàöèè àêòèâíûé ýëåìåíò íàãðåâàåòñÿ, âðåìÿ æèçíè t2 óìåíüøàåòñÿ, è óñëîâèÿ ãåíåðàöèè óõóäøàþòñÿ. Ïîýòîìó
àêòèâíûé ýëåìåíò íåîáõîäèìî îõëàæäàòü. Ïðè âîçäóøíîì îõëàæäåíèè èíòåðâàë ìåæäó èìïóëüñàìè äîëæåí áûòü íå ìåíåå íåñêîëüêèõ ìèíóò. Ïðè áîëåå
ñèëüíîì òåïëîîòâîäå (íàïðèìåð, âîäÿíîì îõëàæäåíèè) ÷àñòîòà ïîâòîðåíèÿ
èìïóëüñîâ ìîæåò áûòü óâåëè÷åíà äî íåñêîëüêèõ èìïóëüñîâ â ñåêóíäó.
Ìîùíîñòü èìïóëüñà ìîæíî óâåëè÷èòü, åñëè óäëèíèòü êðèñòàëë (äî îïðåäåëåííîãî ïðåäåëà, îáóñëîâëåííîãî íàñûùåíèåì óñèëåíèÿ), ïîâûñèòü åãî êà÷åñòâî, óñèëèòü íàêà÷êó. Ýòèì ìåòîäîì óäàåòñÿ ïîâûñèòü ýíåðãèþ W (à ñëåäîâàòåëüíî, è ìîùíîñòü P ) íà ïîðÿäîê.
Îäíàêî ìîùíîñòü ìîæíî óâåëè÷èòü íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ, åñëè ðàäèêàëüíî ñîêðàòèòü äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþò ìåòîä ìîäóëÿöèè
äîáðîòíîñòè ðåçîíàòîðà ëàçåðà. Èäåÿ ìåòîäà ñîñòîèò â çàäåðæêå íà÷àëà ãåíåðà82
öèè, ÷òîáû íàêîïèòü çíà÷èòåëüíóþ èíâåðñíóþ çàñåëåííîñòü.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíà ðàñòðà÷èâàåòñÿ íà ãåíåðàöèþ ïè÷êîâ.
Äëÿ ýòîãî â íà÷àëå âñïûøêè ëàìïû íàêà÷êè äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà èñêóññòâåííî ñíèæàþò, à çàòåì áûñòðî ïîâûøàþò. Òàêîé ðåæèì ðàáîòû ëàçåðà íàçûâàþò ðåæèìîì ñ ìîäóëèðîâàííîé äîáðîòíîñòüþ. Ýòî ìîæíî îñóùåñòâèòü
ðàçíûìè ñïîñîáàìè.
Íà çàðå ñîçäàíèÿ èìïóëüñíûõ ëàçåðîâ îäíî çåðêàëî ðåçîíàòîðà âðàùàëè
ñ áîëüøîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ (~ 500 îá/ñ) âîêðóã îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè
ðåçîíàòîðà.  òîò ìîìåíò êîãäà çåðêàëî ñòàíîâèëîñü ïåðïåíäèêóëÿðíî îïòè÷åñêîé îñè ðåçîíàòîðà, äîáðîòíîñòü äîñòèãàëà ñâîåãî ìàêñèìóìà. Ïðàêòè÷åñêè â
ýòîò ìîìåíò íà÷èíàëàñü ãåíåðàöèÿ, êîòîðàÿ ïðîäîëæàëàñü â òå÷åíèå t0 ~ 10-8 ñ.
Çà ýòî âðåìÿ çàñåëåííîñòü âåðõíåãî óðîâíÿ, íàêîïëåííàÿ îò íàêà÷êè, èñòîùàëàñü, è ãåíåðàöèÿ ïðåêðàùàëàñü.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ äëÿ ìîäóëÿöèè äîáðîòíîñòè èñïîëüçóþòñÿ ýëåêòðîîïòè÷åñêèå è àêóñòîîïòè÷åñêèå ìîäóëÿòîðû ñâåòà, ïðèíöèïû ðàáîòû êîòîðûõ áóäóò
ðàññìîòðåíû â ïîñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
Ïðè ìîäóëÿöèè äîáðîòíîñòè ýíåðãèÿ èìïóëüñà íåñêîëüêî ñíèæàåòñÿ (ïî
ñðàâíåíèþ ñ ðåæèìîì ñâîáîäíîé ãåíåðàöèè), íî ñèëüíî ñîêðàùàåòñÿ äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà (äî äåñÿòêà íàíîñåêóíä). À ýòî ïîçâîëÿåò äîñòè÷ü ìàêñèìàëüíîé (ïèêîâîé) ìîùíîñòè P ~ 100 ÌÂò.
Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè íåîäèìîâûå ëàçåðû.  òàêîì ëàçåðå èîíû
íåîäèìà Nd3+ èìïëàíòèðîâàíû â ñòåêëî. Êâàíòîâûå ïåðåõîäû èîíîâ îñóùåñòâëÿþòñÿ ïî ÷åòûðåõóðîâíåâîé ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 7.15. Äëèíà âîëíû
èçëó÷åíèÿ (l = 1,06 ìêì) íàõîäèòñÿ â ÈÊ-äèàïàçîíå, ïîýòîìó ëó÷ ëàçåðà ãëàçîì íå âèäåí.
Ýòîò ëàçåð òàêæå ìîæåò ðàáîòàòü êàê â ïè÷êîâîì ðåæèìå, òàê è â ðåæèìå ñ
ìîäóëèðîâàííîé äîáðîòíîñòüþ. Èñïîëüçóÿ äëèííûå àêòèâíûå ñòåêëÿííûå ýëåìåíòû (L ~ 1 ì), â ïîñëåäíåì ñëó÷àå óäàåòñÿ äîñòè÷ü ýíåðãèè èìïóëüñà W ~ 50 Äæ
ïðè äëèòåëüíîñòè t0 ~ 30 íñ. Ïèêîâàÿ ìîùíîñòü èìïóëüñà P ~ W/t0 ~ 109 Âò.
Áîëüøåé ýíåðãèåé èìïóëüñà îáëàäàåò ëàçåð, àêòèâíûé ýëåìåíò êîòîðîãî
ïðåäñòàâëÿåò ñòåðæåíü èç èòòðèé-àëþìèíèåâîãî ãðàíàòà (YAG) ñ èìïëàíòèðîâàííûìè èîíàìè Nd3+. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî âðåìÿ æèçíè â âîçáóæäåííîì
ñîñòîÿíèè ó èîíîâ â ýòîé ìàòðèöå óâåëè÷èâàåòñÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò äîñòè÷ü áîëüøåé
èíâåðñíîé çàñåëåííîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ.
YAG Nd3+-ëàçåð ìîæåò ðàáîòàòü êàê â èìïóëüñíîì, òàê è êâàçèíåïðåðûâíîì ðåæèìàõ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ íåïðåðûâíàÿ íàêà÷êà. Ëàçåð
ãåíåðèðóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìïóëüñîâ ñ ÷àñòîòîé ñëåäîâàíèÿ, äîñòèãàþùåé âåëè÷èíû ~ 10 êÃö. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòîòîé ìîäóëÿöèè äîáðîòíîñòè
ðåçîíàòîðà, êîòîðàÿ ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîîïòè÷åñêèõ
è àêóñòîîïòè÷åñêèõ ìîäóëÿòîðîâ ñâåòà.
Âíåøíèé âèä YAG Nd3+-ëàçåðà (ÈËÒÈ-205), èñïîëüçóåìîãî â ó÷åáíîì
ïðîöåññå íà êàôåäðå îáùåé ôèçèêè è âîëíîâûõ ïðîöåññîâ, ïðåäñòàâëåí
íà ðèñ. 7.4 öâ. âêë.  ðåçîíàòîðå ýòîãî ëàçåðà ó ïðàâîãî çåðêàëà íàõîäèòñÿ àêóñòîîïòè÷åñêèé ìîäóëÿòîð. Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðèñòàëë êâàðöà ñî ñêîøåííîé
íèæíåé ãðàíüþ.  ýòîì êðèñòàëëå ïîïåðåê ïó÷êà ñâåðõó âíèç ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ áåãóùàÿ àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà ñ ÷àñòîòîé 50 ÌÃö. Îíà âîçáóæäàåòñÿ
ïüåçîýëåìåíòîì, ïðèêðåïëåííûì ê âåðõíåé ãðàíè êðèñòàëëà è ïèòàåìûì
îò ãåíåðàòîðà âûñîêîé ÷àñòîòû.
83
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ýòîé âîëíû â êðèñòàëëå âîçíèêàþò êîëåáàíèÿ ïëîòíîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ. Ñêîøåííîñòü ãðàíè ïîçâîëÿåò ïðåäîòâðàòèòü îáðàçîâàíèå ñòîÿ÷åé àêóñòè÷åñêîé âîëíû. Èç-çà äèôðàêöèè
íà áåãóùèõ âíèç íåîäíîðîäíîñòÿõ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñâåò óñèëèâàòüñÿ
íå áóäåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà íåâåëèêà. Åñëè âíåçàïíî
îòêëþ÷èòü ïüåçîýëåìåíò îò ãåíåðàòîðà, òî äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà ðåçêî âîçðàñòåò.
 îïèñûâàåìîì ëàçåðå îñóùåñòâëÿåòñÿ èìïóëüñíàÿ íàêà÷êà îò ëàìïû. Ìîäóëÿöèÿ äîáðîòíîñòè îñóùåñòâëÿåòñÿ ñèíõðîííî ñ íàêà÷êîé ÷àñòîòîé 2,5 Ãö. Ðîâíî
ñ òàêîé æå ÷àñòîòîé ëàçåð ãåíåðèðóåò èìïóëüñû, äëèòåëüíîñòü êàæäîãî èç êîòîðûõ ðàâíà 10 íñ, à ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü îêîëî 10 êÂò.
Ïîëóïðîâîäíèêîâûå ëàçåðû.  ýòèõ ëàçåðàõ â êà÷åñòâå àêòèâíîé ñðåäû èñïîëüçóþòñÿ ïîëóïðîâîäíèêîâûå êðèñòàëëû. Êâàíòîâûå ïåðåõîäû ïðîèñõîäÿò
ìåæäó ðàçðåøåííûìè ýíåðãåòè÷åñêèìè çîíàìè êðèñòàëëà.
Ïðè ðåêîìáèíàöèè ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè è äûðîê â ïîëóïðîâîäíèêàõ
âûñâîáîæäàåòñÿ ýíåðãèÿ, êîòîðàÿ ìîæåò èñïóñêàòüñÿ â âèäå êâàíòîâ èçëó÷åíèÿ (ëþìèíåñöåíöèè) èëè ïåðåäàâàòüñÿ êîëåáàíèÿì êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè (ïåðåõîäèòü â òåïëî). Äëèíà âîëíû l èçëó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ øèðèíîé DW3
çàïðåùåííîé çîíû ïîëóïðîâîäíèêà: l » hc/DW3.
Äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ëþìèíåñöåíöèè íåîáõîäèìî âîçáóæäàòü (íàêà÷èâàòü)
êðèñòàëë, ÷òîáû îáðàçîâûâàëèñü èçáûòî÷íûå ýëåêòðîííî-äûðî÷íûå ïàðû. Ïðè
ìàëîé ñêîðîñòè îáðàçîâàíèÿ èçáûòî÷íûõ ïàð èçëó÷àòåëüíàÿ ðåêîìáèíàöèÿ
íîñèò ñïîíòàííûé õàðàêòåð, ÷òî èìååò ìåñòî â ñâåòîèçëó÷àþùèõ äèîäàõ,
ïîëó÷èâøèõ øèðîêîå ïðèìåíåíèå â êà÷åñòâå êîìïàêòíûõ è ýêîíîìè÷íûõ
èñòî÷íèêîâ ñâåòà.
Äëÿ óñèëåíèÿ ñâåòà â ïîëóïðîâîäíèêå íåîáõîäèìî ñîçäàòü èíâåðñíóþ çàñåëåííîñòü: çîíà ïðîâîäèìîñòè âáëèçè åå äíà äîëæíà áûòü çàïîëíåíà ýëåêòðîíàìè â áîëüøåé ñòåïåíè, ÷åì âàëåíòíàÿ çîíà âáëèçè åå ïîòîëêà.
 ïîëóïðîâîäíèêîâîì ëàçåðå ïðèìåíÿþò ðàçëè÷íûå ñïîñîáû íàêà÷êè: èíæåêöèÿ íîñèòåëåé òîêà ÷åðåç p—n-ïåðåõîä èëè ãåòåðîïåðåõîä, íàêà÷êà ïó÷êîì
áûñòðûõ ýëåêòðîíîâ, îïòè÷åñêàÿ íàêà÷êà, íàêà÷êà ïðè ïðîáîå â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå.
Íàèáîëåå øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èë ïåðâûé ñïîñîá íàêà÷êè. Ëàçåðû ñ òàêîé íàêà÷êîé íàçûâàþòñÿ èíæåêöèîííûìè ëàçåðàìè.
Íà ðèñ. 7.17 ïîêàçàíî óñòðîéñòâî èíæåêöèîííîãî ëàçåðà íà p—n-ïåðåõîäå.
Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëóïðîâîäíèêîâûé
i
äèîä, ÷åðåç êîòîðûé â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè
+
Поверхность
(îò p ê n) òå÷åò ýëåêòðè÷å ñêèé òîê i.
скола
Çàøòðèõîâàíî ñå÷åíèå îáëàñòè âáëèçè p—n- p
ïåðåõîäà, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò ãåíåðàöèÿ
n
ñâåòà. Ó êðèñòàëëà èìåþòñÿ äâå ïëîñêîïàðàëëåëüíûå ïîâåðõíîñòè (îáðàçîâàííûå ñêîëîì
êðèñòàëëà), âûïîëíÿþùèå ðîëü çåðêàë ðåçîíàòîðà. Ïîýòîìó îí åùå íàçûâàåòñÿ ëàçåðíûì
äèîäîì.
Èç-çà áîëüøîãî çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåÐèñ. 7.17
ëîìëåíèÿ êðèñòàëëà êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ
84
ïîâåðõíîñòåé ìîæåò äîñòèãàòü âåëè÷èí ~ 20 — 40 %. Èíâåðñèÿ çàñåëåííîñòè
âîçíèêàåò ïðè ïëîòíîñòè òîêà ~ 1 êÀ/ñì2.
Èíæåêöèîííûå ëàçåðû ðàáîòàþò â èìïóëüñíîì ðåæèìå ñ âûõîäíîé ìîùíîñòüþ äî 100 Âò è â íåïðåðûâíîì ðåæèìå ñ ìîùíîñòüþ áîëåå 10 Âò (GaAs)
â áëèæíåé ÈÊ-îáëàñòè (l = 850 íì) è îêîëî 10 ìÂò (PbxSn1-xTe) â ñðåäíåé
ÈÊ-îáëàñòè (l = 10 ìêì).
Ê äîñòîèíñòâàì ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ëàçåðîâ ñëåäóåò îòíåñòè âûñîêóþ ýôôåêòèâíîñòü (äî 50 %) ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â ñâåòîâóþ,
ïðîñòîòó êîíñòðóêöèè, âîçìîæíîñòü áûñòðîé (äî ÷àñòîò 10 ÃÃö) ìîäóëÿöèè
èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ, íàëè÷èå áîëüøîãî ÷èñëà ïîëóïðîâîäíèêîâ
(àêòèâíûõ ñðåä), íåïðåðûâíî ïåðåêðûâàþùèõ äèàïàçîí äëèí âîëí îò 0,32
äî 32 ìêì.
Íåäîñòàòîê ñîñòîèò â áîëüøîé øèðèíå ëèíèè èçëó÷åíèÿ, ïîñêîëüêó âåëèêà
÷àñòîòíàÿ øèðèíà dnð ìîäû òàêîãî ñâåðõêîðîòêîãî, à ïîòîìó íèçêîäîáðîòíîãî
ðåçîíàòîðà (ñì. ôîðìóëû (7.20) è (7.21)). Øèðèíà ëèíèè èçëó÷åíèÿ ñîñòàâëÿåò
äåñÿòêè íàíîìåòðîâ. Êðîìå òîãî, âåëèêà óãëîâàÿ ðàñõîäèìîñòü ãåíåðèðóåìîãî
ñâåòîâîãî ïó÷êà (äåñÿòêè ìèëëèðàäèàí), èìåþùåãî ìàëûå ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì p—n-ïåðåõîäó. Íà ðèñ. 7.17 ïîêàçàíà
äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè èçëó÷åíèÿ ïîëóïðîâîäíèêîâîãî ëàçåðà, èìåþùàÿ
ðàçíûå óãëîâûå ðàçìåðû â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ.
Ëàçåðíûå äèîäû íàõîäÿò øèðîêîå ïðèìåíåíèå êàê èñòî÷íèêè ñâåòà äëÿ
íàêà÷êè âîëîêîííûõ ëàçåðîâ è â âîëîêîííî-îïòè÷åñêèõ ëèíèÿõ ñâÿçè, èçìåðèòåëüíûõ óñòðîéñòâàõ (íàïðèìåð, â äàëüíîìåðàõ), â ëàçåðíûõ óêàçêàõ, èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ñ÷èòûâàíèÿ øòðèõ-êîäîâ. Êðàñíûå è çåëåíûå ëàçåðíûå äèîäû
ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ñâåòîôîðîâ, ñâåòîâûõ òàáëî è óêàçàòåëåé, èíôðàêðàñíûå
è êðàñíûå — â ïðîèãðûâàòåëÿõ CD- è DVD-äèñêîâ, ñèíèå — â óñòðîéñòâàõ
HD-DVD è Blu-Ray.
Íà ðèñ. 7.5 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíà ôîòîãðàôèÿ ðàáîòàþùåãî ñèíåãî ëàçåðíîãî
äèîäà. Ïðè ñâîèõ ìèíèàòþðíûõ ðàçìåðàõ îí ãåíåðèðóåò ñâåòîâîé ïó÷îê ìîùíîñòüþ ~ 5 ìÂò.
Âîëîêîííûå ëàçåðû. Ïîÿâëåíèå ñîâðåìåííûõ âûñîêîýôôåêòèâíûõ è êîìïàêòíûõ âîëîêîííûõ ëàçåðîâ ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ ñîçäàíèþ ñâåòîâîäîâ
ñ íèçêèìè îïòè÷åñêèìè ïîòåðÿìè è áûëî ñòèìóëèðîâàíî ïðåæäå âñåãî ïîñëåäóþùèì áóðíûì ðàçâèòèåì âîëîêîííî-îïòè÷åñêîé ñâÿçè. Àêòèâíîé ñðåäîé òàêîãî ëàçåðà ÿâëÿåòñÿ îïòè÷åñêîå âîëîêíî ñ äîáàâêàìè ðåäêîçåìåëüíûõ ýëåìåíòîâ, òàêèõ êàê íåîäèì (Nd), èòòåðáèé (Yb), ýðáèé (Er), ãîëüìèé (Ho),
òóëèé (Tm). Ïðèíöèïèàëüíîå ïðåèìóùåñòâî îïòè÷åñêîãî âîëîêíà êàê àêòèâíîé ñðåäû ïî ñðàâíåíèþ ñ îïèñàííûìè ðàíåå îáúåìíûìè àêòèâíûìè ñðåäàìè, íàðÿäó ñ ìàëûìè ïîòåðÿìè, ñîñòîèò òàêæå â áîëüøîé äëèíå óñèëåíèÿ
è ìàëîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè. Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü äëÿ ýôôåêòèâíîé
íàêà÷êè êîìïàêòíûå ëàçåðíûå äèîäû.
Áîëüøîå îòíîøåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ñâåòîâîäà (äèàìåòðîì ~ 100 ìêì)
ê åãî îáúåìó äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü áîëüøèå âûõîäíûå ìîùíîñòè ~ 1 êÂò
ïðè âîçäóøíîì îõëàæäåíèè, ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ âûñîêîå êà÷åñòâî îäíîìîäîâîãî âûõîäíîãî ïó÷êà.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçðàáîòàíû ìîùíûå íåïðåðûâíûå è èìïóëüñíûå ïèêîè ôåìòîñåêóíäíûå ëàçåðû.
Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà âîëîêîííîãî ëàçåðà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 7.18, à.
85
Ðèñ. 7.18
Èñòî÷íèêîì íàêà÷êè ÿâëÿåòñÿ äèîäíûé ëàçåð 1. Èçëó÷åíèå íàêà÷êè ÷åðåç
âûõîäíîé âîëîêîííûé ñâåòîâîä 2 äèàìåòðîì ñåðäöåâèíû ~ 200 ìêì ïîñòóïàåò
â àêòèâíûé ñâåòîâîä 3. Æèðíîé òî÷êîé îòìå÷åíî ìåñòî ñïàÿ äâóõ âîëíîâîäîâ.
Ñå÷åíèå âîëíîâîäà èçîáðàæåíî íà ðèñ. 7.18, á. Îí ñîñòîèò èç òîíêîé ñåðäöåâèíû 5 äèàìåòðîì 6 — 8 ìêì, ñîäåðæàùåé èîíû ðåäêîçåìåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ñåðäöåâèíà îêðóæåíà ïåðâîé îáîëî÷êîé 6 èç ÷èñòîãî êâàðöåâîãî ñòåêëà ñ äèàìåòðîì â íåñêîëüêî ñîòåí ìèêðîí.  ñâîþ î÷åðåäü ýòà îáîëî÷êà îêðóæåíà âòîðîé
îáîëî÷êîé 7 èç ïîëèìåðíîãî ìàòåðèàëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ çíà÷èòåëüíî áîëåå íèçêèì, ÷åì ó êâàðöåâîãî ñòåêëà. Ñíàðóæè íàõîäèòñÿ çàùèòíàÿ
îáîëî÷êà 8.
Èçëó÷åíèå ëàçåðíîãî äèîäà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî êâàðöåâîé îáîëî÷êå àêòèâíîãî âîëîêíà, èìåþùåãî äëèíó íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ìåòðîâ. Ýòî èçëó÷åíèå
ïî âñåé äëèíå ïðîíèêàåò ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà îáîëî÷êè è ñåðäöåâèíû,
â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñîçäàåòñÿ èíâåðñíàÿ çàñåëåííîñòü èîíîâ ðåäêîçåìåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Áîëåå ïîäðîáíî ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà âäîëü îïòè÷åñêîãî âîëîêíà áóäåò îáñóæäåíî â ëåêöèè 17.
Íà êîíöàõ àêòèâíîãî âîëîêíà ñîçäàþòñÿ áðýããîâñêèå ðåøåòêè ïîêàçàòåëÿ
ïðåëîìëåíèÿ 4, âûïîëíÿþùèå ôóíêöèè çåðêàë ðåçîíàòîðà. Êàæäàÿ èç íèõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîçäàííóþ èñêóññòâåííî íåáîëüøóþ îáëàñòü, â êîòîðîé âäîëü
îñè âîëíîâîäà ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñåðäöåâèíû.
Ìåòîä åå ñîçäàíèÿ ïîêàçàí íà ðèñ. 7.18, â.
Íà âîëíîâîä ïîä óãëîì J äðóã ê äðóãó íàïðàâëÿþòñÿ äâà îäèíàêîâûõ ëàçåðíûõ óëüòðàôèîëåòîâûõ ïó÷êà ñ äëèíîé âîëíû lóô.  îáëàñòè èõ ïåðåñå÷åíèÿ
áóäóò ôîðìèðîâàòüñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè Dx = lóô/nJ (n — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ íåîáëó÷åííîé ñåðäöåâèíû; ñì.
ôîðìóëó (9.1) â ëåêöèè 9). Èç-çà ôîòî÷óâñòâèòåëüíîñòè âîëîêíà â ìåñòàõ íàõîæäåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííûõ ìàêñèìóìîâ ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ íåîáðàòèìî óâåëè÷èâàåòñÿ.
Áðýããîâñêàÿ ðåøåòêà, êàê è ìíîãîñëîéíîå äèýëåêòðè÷åñêîå çåðêàëî (ñì. ëåêöèþ 17), õîðîøî îòðàæàåò èçëó÷åíèå ñ äëèíîé âîëíû (â âîëíîâîäå) l = l0/n =
= 2Dx (l0 —äëèíà âîëíû â âàêóóìå). Ïîñëåäíåå óñëîâèå ñåëåêòèâíîãî îòðàæåíèÿ
íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì Áðýããà. Ýòî óñëîâèå áóäåò íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâàíî
â ïîñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.
86
 íàñòîÿùåå âðåìÿ äëÿ ñîçäàíèÿ ìîùíûõ ëàçåðîâ íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè âîëîêîííûå ñâåòîâîäû c Yb, ïîçâîëÿþùèå ãåíåðèðîâàòü èçëó÷åíèå ñ äëèíîé âîëíû l0 » 1,1 ìêì. Ïðè ñîâìåñòíîì èñïîëüçîâàíèè Er èYb
äëèíà âîëíû ìîæåò çàíèìàòü äèàïàçîí 1,5 — 1,6 ìêì, à â ñëó÷àå Tm è Ho
l0 ~ 2 ìêì.
Äîñòèãíóòûå ìîùíîñòè ~ 1 êÂÒ â ñïåêòðàëüíîì äèàïàçîíå 1,06—1,1 ìêì ÿâëÿþòñÿ äàëåêî íå ïðåäåëüíûìè. Ñîâðåìåííûå òåõíîëîãèè äàþò âîçìîæíîñòü ñîçäàòü
íîâûå ñòðóêòóðû ñâåòîâîäîâ, ïîçâîëÿþùèå óâåëè÷èòü ìîùíîñòü äî 10 êÂò!
Âûñîêàÿ ñòàáèëüíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü â ñî÷åòàíèè ñ êîìïàêòíîñòüþ, áîëüøîé ìîùíîñòüþ è õîðîøèì êà÷åñòâîì îäíîìîäîâîãî ñâåòîâîãî ïó÷êà äåëàþò
âîëîêîííûå ëàçåðû áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ ìíîãèìè äðóãèìè ëàçåðàìè, â òîì ÷èñëå è ñ ìîùíûìè òåõíîëîãè÷åñêèìè ëàçåðàìè, íàïðèìåð CO2-ëàçåðîì. Âåäü â òåõíîëîãè÷åñêîì ïðîöåññå âàæíà ãèáêîñòü ïðè
äîñòàâêå ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ ê îáðàáàòûâàåìîìó îáúåêòó. Íàêîíåö, âîëîêîííûå ëàçåðû ìîãóò èìåòü è áîëåå íèçêóþ ñòîèìîñòü.
Æèäêîñòíûå ëàçåðû íà êðàñèòåëÿõ. Â ýòèõ ëàçåðàõ àêòèâíîé ñðåäîé ÿâëÿþòñÿ
ñëîæíûå îðãàíè÷åñêèå ñîåäèíåíèÿ, ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñõåìà óðîâíåé ìîëåêóë
êîòîðûõ êà÷åñòâåííî èçîáðàæåíà íà ðèñ. 7.19. Íàêà÷êà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñâåòîì.
Èç-çà áîëüøîé øèðèíû óðîâíÿ 2 (ïðåäñòàâëÿþùåãî ñèñòåìó êîëåáàòåëüíîâðàùàòåëüíûõ óðîâíåé) ïîëîñà ïîãëîùåíèÿ èìååò øèðèíó 100 — 200 íì è íàõîäèòñÿ â âèäèìîé îáëàñòè.
Çà âðåìÿ . 10-11 ñ. ìîëåêóëû áåçûçëó÷àòåëüíî ïåðåõîäÿò íà ñàìûé íèæíèé
ïîäóðîâåíü ñîñòîÿíèÿ 2, âðåìÿ æèçíè êîòîðîãî t2 ~ 10-9 ñ. Äàëåå âåùåñòâî
ëþìèíåñöèðóåò, ïåðåõîäÿ â ñîñòîÿíèå 1. Ïîëîñà ëþìèíåñöåíöèè ñäâèíóòà â
îáëàñòü áîëåå äëèííûõ âîëí ïî îòíîøåíèþ ê ïîëîñå ïîãëîùåíèÿ. Îäíîâðåìåííî ñ ëþìèíåñöåíöèåé ìîëåêóëà ìîæåò ïåðåéòè â ìåòàñòàáèëüíîå ñîñòîÿíèå
3, à çàòåì ïîãëîòèòü êâàíò ñâåòà ëþìèíåñöåíöèè è ïåðåéòè â ñîñòîÿíèå 4.
×òîáû ýòî ïðåäîòâðàòèòü, íåîáõîäèìî çà âðåìÿ 10-7 ñ íàêà÷àòü óðîâåíü 2.
Ëàçåðû íà êðàñèòåëÿõ ìîãóò íàêà÷èâàòüñÿ íàíîñåêóíäíûìè èìïóëüñàìè äðóãèõ ëàçåðîâ (ðóáèíîâîãî, íåîäèìîâîãî) è èõ ãàðìîíèêàìè. Äëèòåëüíîñòü ãåíåðàöèè ñîñòàâëÿåò 10 íñ, à ìîùíîñòü 104 — 106 Âò. Ìîæíî íàêà÷èâàòü è èìïóëüñíûìè ëàìïàìè, îáåñïå÷èâ íàðàñòàíèå âñïûøêè çà âðåìÿ < 10-7 ñ.
Ïðè ïîãëîùåíèè øèðîêîãî ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ ëàìïû êðàñèòåëü íàãðåâàåòñÿ,
è ìîëåêóëû ìîãóò äèññîöèèðîâàòü. ×òîáû ýòîãî íå ïðîèçîøëî, êðàñèòåëü
ïðîêà÷èâàþò ÷åðåç êþâåòó, íàõîäÿùóþñÿ â ðåçîíàòîðå. Ïðè áûñòðîé ïðîêà÷êå
ìîæíî äîáèòüñÿ íåïðåðûâíîé ãåíåðàöèè. Ðàçóìååòñÿ, íàêà÷êà òàêæå äîëæíà áûòü íåïðåðûâ- W
4
íîé.
2
Íà ðèñ. 7.20 èçîáðàæåíà ñõåìà íåïðåðûâíîãî
ëàçåðà, íàêà÷èâàåìîãî èçëó÷åíèåì àðãîíîâîãî
ëàçåðà.
Ïðîéäÿ ÷åðåç ëèíçó Ë2, åãî èçëó÷åíèå ôîêóñè3
ðóåòñÿ â êþâåòó Ê, ÷åðåç êîòîðóþ ñî ñêîðîñòüþ
L ïðîòåêàåò êðàñèòåëü. Ïðè ðàçìåðå ïó÷êà àðãîíîâîãî ëàçåðà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè d ~ 10 ìêì
è ñêîðîñòè L ~ 10 ì/ñ ìîëåêóëà íàêà÷èâàåòñÿ
1
â òå÷åíèå t ~ d/L ~ 10-6 ñ, çàòåì èçëó÷àåò è óõîäèò
Ðèñ. 7.19
èç ðåçîíàòîðà.
87
Ðèñ. 7.20
Ðåçîíàòîð ñîñòîèò èç ñôåðè÷åñêîãî Ç2 è ïëîñêîãî Ç1 çåðêàë. Åñëè çåðêàëà
îòðàæàþò âñå êîìïîíåíòû øèðîêîé ëèíèè ëþìè-íåñöåíöèè êðàñèòåëÿ,
òî ïîëîñà ãåíåðàöèè äîñ-òèãàåò 30 — 50 íì.
Åñëè âíóòðü ðåçîíàòîðà ïîìåñòèòü ïðèçìó Ï èëè äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó
(íà ðèñóíêå íå ïîêàçàíà), íà êîòîðóþ ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê óñèëèâàåìîãî ñâåòà (ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ëèíçû Ë1), òî ïîëîñà ãåíåðàöèè ñóçèòñÿ
äî 0,1 — 0,2 íì. Óñèëèâàòüñÿ áóäóò òå âîëíû, êîòîðûå ïàäàþò ïåðïåíäèêóëÿðíî
íà çåðêàëî Ç1. Ïîâîðà÷èâàÿ ïðèçìó (èëè ðåøåòêó), ìîæíî ïëàâíî ïåðåñòðàèâàòü
äëèíó âîëíû èçëó÷åíèÿ ëàçåðà.
Íà ðèñ. 7.6 öâ. âêë. ïîêàçàí ôðàãìåíò òàêîãî ëàçåðà. Êðàñèòåëü îðàíæåâîãî
öâåòà ïðîêà÷èâàåòñÿ ÷åðåç êþâåòó, êîòîðàÿ îñâåùàåòñÿ ñâåòîâûì ïó÷êîì àðãîíîâîãî ëàçåðà.
Øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûì êðàñèòåëåì ÿâëÿåòñÿ ðîäàìèí 6G. Åãî ëèíèÿ
ëþìèíåñöåíöèè çàíèìàåò äèàïàçîí 520 íì < l < 620 íì.  êà÷åñòâå àêòèâíîé
ñðåäû èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå åãî ðàñòâîðû. Âûñîêàÿ ýôôåêòèâíîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè âîëíû íàêà÷êè â ýíåðãèþ ãåíåðèðóåìîé âîëíû ïîëó÷àåòñÿ
ïðè èñïîëüçîâàíèè â êà÷åñòâå ðàñòâîðèòåëÿ ýòàíîëà. Ïðè ïîâîðîòå ïðèçìû
öâåò ñâåòîâîãî ïó÷êà ëàçåðà ñ òàêîé àêòèâíîé ñðåäîé èçìåíÿåòñÿ îò çåëåíîãî
äî êðàñíîãî.
Åñëè èñïîëüçîâàòü êðàñèòåëü îêñàçèí, òî ìîæíî ïåðåñòðàèâàòü äëèíó âîëíû
èçëó÷åíèÿ â äèàïàçîíå 660 — 760 íì. Ïîìåùàÿ â ðåçîíàòîð ðàçëè÷íûå ðàñòâîðû
êðàñèòåëåé, ìîæíî îñóùåñòâèòü ãåíåðàöèþ íà ëþáîé äëèíå âîëíû âèäèìîãî
è áëèæíåãî ÈÊ-äèàïàçîíà.
ÐÀÇÄÅË 3
ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈß ÑÂÅÒÀ
ËÅÊÖÈß 8
Îäíèì èç íàèáîëåå âàæíûõ ÿâëåíèé, ïîäòâåðæäàþùèõ âîëíîâóþ ïðèðîäó
ñâåòà, ÿâëÿåòñÿ èíòåðôåðåíöèÿ. Ïîä èíòåðôåðåíöèåé ïîíèìàþò ÿâëåíèå íàëîæåíèÿ âîëí, ïðèâîäÿùåãî ê ïåðåðàñïðåäåëåíèþ â ïðîñòðàíñòâå ïëîòíîñòè
ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
 ñîëíå÷íóþ ïîãîäó íåðåäêî ìîæíî âèäåòü ïðè÷óäëèâóþ îêðàñêó òîíêèõ
ìàñëÿíûõ ïÿòåí íà ìîêðîì àñôàëüòå èëè íà ïîâåðõíîñòè ëóæ. Ðàçëè÷íûìè
öâåòàìè ðàäóãè ïåðåëèâàþòñÿ ïóçûðè íà âîäíîé ïîâåðõíîñòè. Ìíîãèì õîðîøî
èçâåñòåí êëàññè÷åñêèé îïûò Íüþòîíà, â êîòîðîì íàáëþäàëèñü êîíöåíòðè÷åñêèå êîëüöà ïðè îñâåùåíèè âûïóêëîé ëèíçû ÷åðåç ïðèæàòóþ ê íåé ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó.
 äîìàøíèõ óñëîâèÿõ ìîæíî íàáëþäàòü èíòåðôåðåíöèþ ñâåòà, åñëè, íàïðèìåð, ëó÷ îò ëàçåðíîé óêàçêè íàïðàâèòü íà ëèñò ïëîòíîé áóìàãè, â êîòîðîì
ïðîêîëîòû äâà áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ îòâåðñòèÿ. Òîãäà ïîçàäè ëèñòà íà ñâåòëîé ñòåíå èëè ýêðàíå ìîæíî íàáëþäàòü ñåìåéñòâî ÷åðåäóþùèõñÿ ñâåòëûõ
è òåìíûõ ïîëîñ.
Âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àÿõ èìååò ìåñòî íàëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå ñâåòîâûõ âîëí.
Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè èíòåðôåðåíöèè,
îáðàòèâøèñü ñíà÷àëà ê ðàññìîòðåíèþ èíòåðôåðåíöèè äâóõ âîëí. Íà ðèñ. 8.1
ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû äâà âîëíîâûõ öóãà, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå P.
Åñëè âåêòîðû E1 è E2 îðèåíòèðîâàíû ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ðèñóíêà,
òî íàïðÿæåííîñòü ñóììàðíîãî ïîëÿ â ýòîé òî÷êå
(8.1)
E 1+ 2 (t ) = E 1 (t ) + E 2 (t ).
Ëþáîé ïðèåìíèê èçëó÷åíèÿ, íàõîäÿùèéñÿ â òî÷êå P, áóäåò ðåàãèðîâàòü
íà ñðåäíþþ âåëè÷èíó
E2 =
1
t ïð
t ïð
ò
E 2 (t )dt ,
(8.2)
0
ãäå tïð — âðåìÿ áûñòðîäåéñòâèÿ ïðèåìíèêà. Äëÿ âñåõ ïðèåìíèêîâ ñâåòà âðåìÿ
tïð ³ 10-12 ñ è, ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ïåðèîä îïòè÷åñêèõ
êîëåáàíèé.
Ïîäñòàâèâ (8.1) â (8.2), ïîëó÷èì
E12+ 2 = E12 + E 22 + 2E1E 2 .
(8.3)
Ðèñ. 8.1
89
Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (8.3) íàçûâàåòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûì ÷ëåíîì. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìûì óñëîâèåì èíòåðôåðåíöèè ÿâëÿåòñÿ îòëè÷èå îò íóëÿ èíòåðôåðåíöèîííîãî ÷ëåíà.
Èíòåðôåðåíöèÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí.
Ðàññìîòðèì îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè èíòåðôåðåíöèè, èñïîëüçóÿ êëàññè÷åñêèé îïûò, âûïîëíåííûé àíãëèéñêèì ôèçèêîì Ò. Þíãîì (1801).
Ñâåò îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà s ïîïàäàåò íà ýêðàí Ý1 ñ äâóìÿ ìàëûìè áëèçêîðàñïîëîæåííûìè
îòâåðñòèÿìè, à íà âòîðîì ýêðàíå Ý2 ôîðìèðóåòÐèñ. 8.2
ñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà (ðèñ. 8.2).
Âîëíîâûå âîçìóùåíèÿ â ïëîñêîñòè îòâåðñòèé ýêâèâàëåíòíû òî÷å÷íûì èñòî÷íèêàì s1 è s2, ïîñûëàþùèì â òî÷êó P âîëíû
E1 (t ) = a1 (t ) sin[w 0t - k 0r1 + j1 (t )];
E 2 (t ) = a2 (t ) sin[w 0t - k 0r2 + j 2 (t )].
(8.4)
Âûðàæåíèÿ (8.4) îïèñûâàþò êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû, ó êîòîðûõ
àìïëèòóäû a1, a2 è ôàçû j1, j2 ÿâëÿþòñÿ ìåäëåííî ìåíÿþùèìèñÿ ôóíêöèÿìè
âðåìåíè. Âðåìåííîé ìàñøòàá èõ èçìåíåíèÿ tê ~ 1/Dn (Dn — øèðèíà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà s). Èç ïðåäûäóùåãî ðàññìîòðåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñâåòà ñëåäóåò, ÷òî âðåìÿ tê èçëó÷åíèÿ ðàçëè÷íûõ íåêîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà (äóãè, ãàçîðàçðÿäíîé ëàìïû è äð.) ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñîâïàäàåò ëèáî ñ äëèòåëüíîñòüþ öóãà t (ñî âðåìåíåì ðàäèàöèîííîãî çàòóõàíèÿ), ëèáî ñî ñðåäíèì âðåìåíåì tñ < t ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè.
Ïîëå â òî÷êå P áóäåò ðàâíî
E1+ 2 (t ) = A sin(w 0t + Ô),
(8.5)
A 2 = a12 + a22 + 2a1a2 cos[(j 1 - j 2 ) + k 0 (r2 - r1 )];
(8.6)
ãäå
tgF=
a1 sin(j 1 - k 0 r1 ) + a 2 sin(j 2 - k 0 r2 )
.
a1 cos(j 1 - k 0 r1 ) + a 2 cos(j 2 - k 0 r2 )
(8.7)
Èíòåíñèâíîñòü âîëíû, â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.6), ðàâíà
I =
A2
= I 1 + I 2 + 2 I 1I 2 cos[(j1 - j 2 ) + k 0 (r2 - r1 )],
2
(8.8)
ãäå I1 = a12/2; I2 = a22/2. Âåëè÷èíà r2 - r1 íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ õîäà.
Ýòî ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â ïðîñòðàíñòâå è îïèñûâàåò èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó, èëè èíòåðôåðîãðàììó, íàáëþäàåìóþ íà ýêðàíå Ý2.
Åñëè áû ðàçíîñòü ôàç j1 - j2 íå ìåíÿëàñü ñî âðåìåíåì, òî êàðòèíà áûëà
áû íåïîäâèæíîé. Íà ñàìîì äåëå ýòà ðàçíîñòü ìåíÿåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì,
ïîýòîìó èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà áóäåò õàîòè÷åñêè äâèãàòüñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû ïî ýêðàíó Ý2. Ïðèåìíèê ìîæåò çàôèêñèðîâàòü òàêóþ äèíàìè÷åñêóþ èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó, åñëè tê > tïð.
Åñëè èñòî÷íèê ñâåòà òåïëîâîé, ãàçîðàçðÿäíûé è ïð., òî øèðèíà ëèíèè åãî
èçëó÷åíèÿ Dn ³ 1010 —1011 Ãö, à âðåìÿ tê £ 10-11 — 10-10 ñ. Åñëè tê £ tïð, òî ïðèåìíèê çàðåãèñòðèðóåò óñðåäíåííóþ çà âðåìÿ tïð «ðàçìàçàííóþ» êàðòèíó.
90
Êà÷åñòâî êàðòèíû áóäåò òåì âûøå, ÷åì ëó÷øå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|j1 - j2 | < 2p. Åñëè, íàïðèìåð, ðàçíîñòü ôàç èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó ±p,
òî êàðòèíà ñäâèíåòñÿ íà ïîëîâèíó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó èíòåðôåðåíöèîííûìè
ïîëîñàìè, à óñðåäíåííàÿ êàðòèíà áóäåò ñèëüíî ñìàçàíà. ×òîáû óñòðàíèòü ýòî
ñìàçûâàíèå, â èíòåðôåðåíöèîííûõ îïûòàõ ñ òåïëîâûìè, ãàçîðàçðÿäíûìè
è äðóãèìè èñòî÷íèêàìè èñïîëüçóåòñÿ èíòåðôåðåíöèÿ äâóõ âîëí îò îäíîãî
èñòî÷íèêà.
Øèðèíà ëèíèè ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ ñóùåñòâåííî ìåíüøå, è óñëîâèå tê > tïð
ìîæåò áûòü âûïîëíåíî. Âñêîðå ïîñëå ïîÿâëåíèÿ ëàçåðîâ áûëè ïðîâåäåíû îïûòû ïî èíòåðôåðåíöèè ñâåòà îò äâóõ íåçàâèñèìûõ He-Ne-ëàçåðîâ.
Èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû Þíãà. Ïðîàíàëèçèðóåì ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíå. Âíà÷àëå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî a1 = a2 =
= a = const, j1 = j2 = j = const. Ýòè äâà óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâóþò èíòåðôåðåíöèè
ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí. Òîãäà (8.8) çàïèøåòñÿ â âèäå
(8.9)
I = 2I 0 [1 + cos(k 0 (r2 - r1 ))].
2
Çäåñü I0 = a /2. Â èíòåðôåðåíöèîííûõ ìàêñèìóìàõ èíòåíñèâíîñòü I = 4I0. Èõ ïîëîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì k0(r2 - r1) = 2pm, èëè r2 - r1 = ml0, ãäå m = 0, ±1,
±2, ¾ Öåëîå ÷èñëî m îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèîííîãî ìàêñèìóìà, èëè
ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè. Åñëè æå k0(r2 - r1) = 2pm + p, èëè r2 - r1 = ml0 + l0/2, òî
áóäóò èíòåðôåðåíöèîííûå ìèíèìóìû, â êîòîðûõ I = 0.
Èíòåðôåðåíöèîííûå ìàêñèìóìû m-ãî ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíû íà ïàðàáîëîèäå âðàùåíèÿ r2 - r1 = ml ñ îñüþ s1s2. Íà ýêðàíå Ý2 áóäóò âèäíû ïðàêòè÷åñêè
ïàðàëëåëüíûå ïîëîñû, íàçûâàåìûå ïîëîñàìè Þíãà. Îíè ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè ðèñóíêà. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè I(x) âäîëü îñè Ox ïîêàçàíî íà
ðèñ. 8.3.
Êîîðäèíàòû xm ýòèõ ïîëîñ ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü, åñëè ýêðàí Ý2 ðàñïîëîæèòü â äàëüíåé çîíå. Ïîíÿòèå äàëüíåé çîíû ÿâëÿåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûì
â òåîðèè âîëí.
Ñîâìåñòèì íà÷àëî îòñ÷åòà êîîðäèíàòû x ñ èíòåðôåðåíöèîííûì ìàêñèìóìîì íóëåâîãî ïîðÿäêà. Òóäà æå ïîìåñòèì òî÷êó P (ðèñ. 8.4).
Åñëè óâåëè÷èâàòü ðàññòîÿíèå L, òî îòðåçêè s1P è s2P áóäóò ñòàíîâèòüñÿ âñå
áîëåå ïîõîæèìè íà ïàðàëëåëüíûå, à èõ äëèíà r ïðèáëèæàòüñÿ ê ðàññòîÿíèþ L.
Îïðåäåëèì îáëàñòü ðàññòîÿíèé L, ïðè êîòîðûõ r - L = l0. Ïðè ðàññòîÿíèè d
ìåæäó îòâåðñòèÿìè ìîæåì çàïèñàòü
d2
= r 2 - L2 = (r - L)(r + L) » 2L(r - L),
4
(8.10)
ãäå r + L » 2L.
x
s1
d
s2
r1
P
r2
I(x)
m=1
Om = 0
m = -1
Э2
Э1
L
Ðèñ 8.3
Ðèñ. 8.4
91
Òîãäà èñêîìîå ðàññòîÿíèå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
r -L =
d2
= l 0.
8L
(8.11)
Îòñþäà íàõîäèì
L ? L0 =
d2
.
8l 0
(8.12)
Âåëè÷èíà L0 èìååò ðàçìåðíîñòü äëèíû. Ñ åå ïîìîùüþ âûäåëÿþò òàê íàçûâàåìûå áëèæíþþ (L = L0) è äàëüíþþ (L ? L0) çîíû. Åñëè d ~ 2 ìì, l0 = 500 íì,
òî L0 = 1 ì. Êîãäà òî÷êà P íàõîäèòñÿ â äàëüíåé çîíå, ìîæíî ïðèáëèæåííî
ñ÷èòàòü, ÷òî âñå îòðåçêè, èäóùèå èç îáëàñòè ðàçìåðîì d ê òî÷êå P, èìåþò
îäèíàêîâóþ äëèíó, ðàâíóþ L. Ýòî ïðèáëèæåíèå ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ðåøåíèå ìíîãèõ èíòåðôåðåíöèîííûõ (è äèôðàêöèîííûõ) çàäà÷. Åñëè
â ðàññìàòðèâàåìîé èíòåðôåðåíöèîííîé ñõåìå ýêðàí Ý2 ïîìåñòèòü â äàëüíþþ
çîíó (ðèñ. 8.5), òî äëÿ òî÷êè P ñ êîîðäèíàòîé x, â ñèëó ïàðàëëåëüíîñòè s1P
è s2P, ìîæíî ïðèáëèæåííî çàïèñàòü
x r2 - r1
=
.
L
d
Òîãäà (8.9) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
(8.13)
é
æ 2p d ö ù
I ( x ) = 2I 0 ê1 + cos ç
x .
è l 0 L ÷ø úû
ë
(8.14)
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè (8.14) ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 8.6.
Êîîðäèíàòà m-ãî ìàêñèìóìà ðàâíà
m lL
,
(8.15)
d
à øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû, èëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ìàêñèìóìàìè,
xm =
lL
.
(8.16)
d
Øèðèíà ïîëîñ óâåëè÷èâàåòñÿ ñ óìåíüøåíèåì ðàññòîÿíèÿ d ìåæäó îòâåðñòèÿìè è óäàëåíèåì ýêðàíà Ý2. Ïîäîáíîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè áóäåò
è ïðè èñïîëüçîâàíèè ýêðàíà Ý1 ñ äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ùåëÿìè.
Ðàçìûâàíèå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Ïîëîñû Þíãà, èçîáðàæåííûå
íà
ðèñ. 8.6, ñîîòâåòñòâóþò èäåàëüíîé ñèòóàöèè, êîãäà èçëó÷åíèå èñòî÷íèêà ïðîDx = x m +1 - x m =
Ðèñ. 8.5
92
Ðèñ. 8.6
g
èñõîäèò íà îäíîé äëèíå âîëíû l0 (èëè ÷àñòîòå w0).
Dl
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ðåàëüíûå èñòî÷íèêè â ëó÷1/Dl
øåì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèìè,
ïîýòîìó èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ðàçìûâàåòñÿ. Ðàçìûâàíèå ìîæíî îïèñàòü, ïîëüçóÿñü âðåìåííûì è ñïåêòðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèÿìè êâàçèìî0
l1 l0 l2
l
íîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ. Ñïåêòðàëüíîå îïèÐèñ. 8.7
ñàíèå ñâîäèòñÿ ê ñóïåðïîçèöèè èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ Þíãà äëÿ ðàçíûõ äëèí âîëí.  ìåòîäè÷åñêîì ïëàíå îíî áîëåå íàãëÿäíî, ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ñ íåãî è íà÷àòü.
Ñïåêòðàëüíîå îïèñàíèå. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ëèíèÿ èçëó÷åíèÿ
èìååò ïðÿìîóãîëüíûé êîíòóð ñ öåíòðàëüíîé äëèíîé âîëíû l0 è øèðèíîé Dl =
= l2 - l1 (ðèñ. 8.7).
Íàïîìíèì, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè ñâÿçàíà ñ êîíòóðîì
ëèíèè çàâèñèìîñòüþ
S (l) = I 0 g (l).
(8.17)
Åñëè âûäåëèòü óçêèé ñïåêòðàëüíûé èíòåðâàë d l, òî èíòåíñèâíîñòü äëÿ ýòîãî èíòåðâàëà dI0 = S(l)d l. Êàæäûé ìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê ñâåòà ñ òàêîé
èíòåíñèâíîñòüþ è äëèíîé âîëíû l ñôîðìèðóåò ñâîþ ýëåìåíòàðíóþ èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó, ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëíàÿ
êàðòèíà áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñóïåðïîçèöèåé ýëåìåíòàðíûõ êàðòèí. Îäíàêî ýòè êàðòèíû, ñîãëàñíî (8.16), áóäóò èìåòü ðàçíûå ðàññòîÿíèÿ Dx ìåæäó ïîëîñàìè. Ïîýòîìó ïðè óäàëåíèè îò íà÷àëà êîîðäèíàò èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû ñóììàðíîé êàðòèíû áóäóò ðàñøèðÿòüñÿ è â íåêîòîðîì èíòåðôåðåíöèîííîì ïîðÿäêå
mmax ñîëüþòñÿ. Ïðè m > mmax êàðòèíà áóäåò ïîëíîñòüþ ñìàçàíà.
Îöåíèì mmax. Äëÿ ýòîãî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â òî÷êå P ðåàëèçóåòñÿ m-é ìàêñèìóì äëÿ äëèíû âîëíû l2 è (m+1)-é — äëÿ äëèíû âîëíû l1:
(r2 - r1 ) max = mmax l 2 = (mmax + 1)l 1.
(8.18)
Âíà÷àëå îöåíèì ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè:
mmax =
l1
l
» 0.
l 2 - l 1 Dl
(8.19)
Ýòîìó ïîðÿäêó ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìàëüíàÿ ðàçíîñòü õîäà
l 02
.
(8.20)
Dl
Ôîðìóëû (8.19) è (8.20) èìåþò ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå — îíè ñâÿçûâàþò ìàêñèìàëüíûå ïîðÿäêè èíòåðôåðåíöèè è ïðåäåëüíûå ðàçíîñòè õîäà ëó÷åé
ñ øèðèíîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èñòî÷íèêà ñâåòà.
Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ïðè çàäàííîé
ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè. Çäåñü óäîáíåå âîñïîëüçîâàòüñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ S(w). Âíà÷àëå ïåðåïèøåì (8.9) äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ â âèäå
(r2 - r1 ) max = mmax l 2 »
I (t) = 2I 0 [1 + cos(w 0 t)],
(8.21)
ãäå t = (r2 - r1)/c — âðåìÿ çàäåðæêè, ïðîïîðöèîíàëüíîå ðàçíîñòè õîäà.
93
Äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ çàìåíèì I0 íà dI0(t) = S(w)dw. Òîãäà
dI (t) = 2S (w )d w [1 + cos(wt)].
(8.22)
Èíòåãðèðóÿ (8.22) ïî âñåì ÷àñòîòàì, ïîëó÷àåì
¥
I ( t) = ò dI (t) = 2I 0 + 2 ò S (w) cos(wt)d w.
(8.23)
0
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññ÷èòàåì I(t) äëÿ èçëó÷åíèÿ ñ ïðÿìîóãîëüíûì êîíòóðîì ëèíèè, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 8.7. Ïîëàãàÿ, ÷òî ïðè w1 < w < w2 S(w) = I0/Dw
(Dw = w2 - w1), ïîñëå ïîäñòàíîâêè â (8.23) è èíòåãðèðîâàíèÿ èìååì:
w
I ( t) = 2I 0 +
2
I0
æ Dwt ö
2 ò cos(wt) d w = 2 I 0 + 2 I 0sinc ç
cos(w 0 t).
è 2 ø÷
Dw w1
(8.24)
Íà ðèñ. 8.8 ïðåäñòàâëåíî ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè (8.24).
Ïðè óâåëè÷åíèè t êà÷åñòâî êàðòèíû (êîíòðàñò) ñíèæàåòñÿ, è ïðè çàäåðæêå
tê = 2p/Dw = 1/Dn êàðòèíà ñìàçûâàåòñÿ. Îòìåòèì, ÷òî ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè
t êà÷åñòâî íåñêîëüêî ïîâûñèòñÿ, íî íåçíà÷èòåëüíî. Íàçîâåì âðåìÿ tê âðåìåíåì
êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ. Îíî ñâÿçàíî ñ øèðèíîé ïðÿìîóãîëüíîãî ñïåêòðà
ñîîòíîøåíèåì
1
.
(8.25)
Dn
Âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè îïðåäåëÿåò ìàñøòàá âðåìåíè, íà êîòîðîì ñóùåñòâåííî èçìåíÿþòñÿ àìïëèòóäà è ôàçà êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ. Ýòîìó
âðåìåíè ñîîòâåòñòâóåò ðàçíîñòü õîäà, íàçûâàåìàÿ äëèíîé êîãåðåíòíîñòè
tê =
lê = c tê =
c
.
Dn
(8.26)
Dl
Dn
c
Î÷åâèäíî, ÷òî lê = (r2 - r1)max. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó l 0 =
.
=
, òî
n
l
n0
0
0
2
c
c l0
l
Ïîýòîìó l ê =
=
= 0.
Dn n 0 Dl Dl
Îöåíèì âîçìîæíîñòè ïîëó÷åíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ñ ïðèìåíåíèåì ðàçëè÷íûõ èñòî÷íèêîâ:
• áåëûé ñâåò: l0 = 550 íì, Dl = 700 - 400 = 300 íì, mmax » 2, äëèíà êîãåðåíòíîñòè lê = mmax l » 2l » 1 ìêì. Òàêèì îáðàçîì, â îïûòàõ ñ áåëûì ñâåòîì ìîæíî
ïîëó÷èòü íåñêîëüêî ïîëîñ ñàìûõ íèçøèõ ïîðÿäêîâ;
Ðèñ. 8.8
94
• áåëûé ñâåò + ñâåòîôèëüòð. Îáû÷íûé ôèëüòð (öâåòíîå ñòåêëî) ïðîïóñêàåò
èíòåðâàë äëèí âîëí Dl . 50 íì. Ïîýòîìó mmax . 10, lê . 10l. ×èñëî ïîëîñ
ñ ïðèìåíåíèåì ôèëüòðà óâåëè÷èâàåòñÿ â íåñêîëüêî ðàç;
• ãàçîðàçðÿäíàÿ ëàìïà. Øèðèíà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû
è äàâëåíèÿ ãàçà. Ïîëàãàÿ Dn . 1011 Ãö, ïîëó÷àåì tê = 1/Dn . 10-11 ñ, äëèíà êîãåðåíòíîñòè lê . 3 ìì, à mmax = lê /l . 6 × 103;
• ïó÷îê ñâåòÿùèõñÿ àòîìîâ (àòîìíûé ïó÷îê). Åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè
èõ èçëó÷åíèÿ Dn . 109 Ãö, âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè tê . 10-9 ñ, äëèíà êîãåðåíòíîñòè
lê . 30 ñì, mmax . 105;
• He-Ne-ëàçåð. Øèðèíó ëèíèè îáû÷íîãî (áåç àâòîïîäñòðîéêè ðåçîíàòîðà)
ëàçåðà ïðèìåì ðàâíîé Dn . 107 Ãö, tê = 1/Dn . 10-7 ñ, lê = c tê . 30 ì, mmax . 107.
Åñëè ëàçåð ñ àâòîïîäñòðîéêîé è ñòàáèëèçàöèåé, òî Dn . 1 Ãö, tê . 1 ñ,
lê . 3 × 108 ì.
Äëÿ îïèñàíèÿ êà÷åñòâà êàðòèíû À. Ìàéêåëüñîí ââåë ôóíêöèþ âèäíîñòè, îïðåäåëÿåìóþ êàê
V (t) =
I max (t) - I min (t)
,
I max (t) + I min (t)
(8.27)
ãäå Imax è Imin — èíòåíñèâíîñòè â èíòåðôåðåíöèîííîì ìàêñèìóìå è áëèæàéøåì ê íåìó ìèíèìóìå. Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè (8.24) ôóíêöèÿ âèäíîñòè ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
æ Dwt ö
V (t) = sinc ç
.
è 2 ø÷
(8.28)
Ãðàôèê ôóíêöèè èçîáðàæåí íà ðèñ. 8.9.
Íà ðèñ. 8.1 öâ. âêë. ïîêàçàíû ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè I(t) è èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû
äëÿ ñïåêòðà, ñîñòîÿùåãî èç äâóõ ëèíèé (ðèñ. 8.1, à), à òàêæå ïðÿìîóãîëüíîãî
(ðèñ. 8.1, á ) è ãàóññîâà (ðèñ. 8.1, â) ñïåêòðîâ. Ïðè ýòîì âî âñåõ òðåõ ñèòóàöèÿõ
ñåðåäèíå ñïåêòðà ñîîòâåòñòâóåò äëèíà âîëíû l0 = 525 íì, à øèðèíà ñïåêòðà
Dl = 50 íì.
 ïåðâîì ñëó÷àå ñ óâåëè÷åíèåì âðåìåíè çàäåðæêè ôóíêöèÿ âèäíîñòè ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ îò åäèíèöû äî íóëÿ. Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî è ãàóññîâîãî
ñïåêòðîâ âèäíîñòü êàðòèíû óõóäøàåòñÿ. Îòìåòèì, ÷òî â ïîñëåäíåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ âèäíîñòè ÿâëÿåòñÿ òàêæå ãàóññîâîé.
Âðåìåííîå îïèñàíèå.  îïûòå Þíãà èçëó÷åíèå êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èñòî÷íèêà ïîñòóïàåò íà äâà îòâåðñòèÿ, ïîñëå ÷åãî ñîáèðàåòñÿ â òî÷êå P. Åñëè
íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ èñòî÷íèêà ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó E(t), òî E1
è E2 ñ ðàçíîé âðåìåííîé çàäåðæêîé
ïîâòîðÿþò ýòî ïîëå: E1(t) = E(t - Dt);
E2(t) = E(t - Dt + t), ãäå Dt — âðåìÿ
ïðîõîæäåíèÿ âîëíû îò s ÷åðåç s1 ê òî÷êå P; t = (r2 - r1)/c — âðåìÿ çàäåðæêè,
îïðåäåëÿåìîå ðàçíîñòüþ õîäà. Ïîäñòàâëÿÿ E1 è E2 â (8.3) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ðåçóëüòàò óñðåäíåíèÿ îò Dt íå çàâèñèò,
Ðèñ. 8.9
ïîëó÷àåì
95
I (t) = E12+ 2 = I 0 + I 0 + 2E (t )E (t + t).
(8.29)
B (t) = E (t )E (t + t)
(8.30)
Ôóíêöèÿ
íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé àâòîêîððåëÿöèè ïîëÿ E(t). Î÷åâèäíû åå ñâîéñòâà: B(0) = I0;
B(-t) = B(t); B ® 0 ïðè t ® ∞.
Ñðàâíèâàÿ (8.29) è (8.23), íàõîäèì
¥
B (t) = ò S (w) cos(wt)d w.
(8.31)
0
Äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ S(w) = I0 d(w - w0), ïîýòîìó
¥
B (t) = I 0 ò d(w - w 0 ) cos(wt)d w = I 0 cos(w 0 t).
(8.32)
0
Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ñïåêòðà, êàê ýòî ñðàçó ñëåäóåò èç (8.24),
æ Dwt ö
B (t) = I 0 sinc ç
cos(w 0 t).
è 2 ø÷
(8.33)
Îáîáùàÿ (8.33), îòìåòèì, ÷òî äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ
ñ öåíòðàëüíîé ÷àñòîòîé w0 è øèðèíîé Dw = w0 ôóíêöèÿ àâòîêîððåëÿöèè èìååò
ñëåäóþùèé âèä:
B (t) = I 0 g (t) cos[w 0 t + Y(t)]
(8.34)
(âûâîä ýòîãî âûðàæåíèÿ ïðèâåäåí â ïðèëîæåíèè â êîíöå ýòîé ëåêöèè). Ìåäëåííî èçìåíÿþùàÿñÿ ôóíêöèÿ g(t) íà ìàñøòàáå tê ~ 1/Dn íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ
êîððåëÿöèè. Ñòåïåíü êîððåëÿöèè èçìåíÿåòñÿ â äèàïàçîíå 0 < | g | < 1. Â îïûòå
Þíãà | g | = V.
Ñ ïîìîùüþ g ìîæíî âûðàáîòàòü êðèòåðèé êîãåðåíòíîñòè èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí. Â ïðèðîäå íåò àáñîëþòíî êîãåðåíòíûõ âîëí, à ñóùåñòâóþò ëèøü
÷àñòè÷íî êîãåðåíòíûå âîëíû. Ñòåïåíü èõ êîãåðåíòíîñòè õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé | g |: ÷åì áëèæå | g | ê åäèíèöå, òåì áîëåå êîãåðåíòíû âîëíû.
Åñëè çàäåðæêà t < tê, òî ïîëÿ E1 è E2 â òî÷êå P ñîäåðæàò áîëüøîå ÷èñëî
îäíèõ è òåõ æå öóãîâ.  ýòîì ñëó÷àå èìååòñÿ áîëüøàÿ êîððåëÿöèÿ (ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñâÿçü) ýòèõ ïîëåé, è E1E 2 ¹ 0.
Íàîáîðîò, ïðè t > tê ÷èñëî èíòåðôåðèðóþùèõ îäèíàêîâûõ öóãîâ â òî÷êå P
íåçíà÷èòåëüíî, à ïðåâàëèðóþò ðàçíûå öóãè, ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûå.  ýòîì
ñëó÷àå êîððåëÿöèÿ ïîëåé E1 è E2 îòñóòñòâóåò è E
. 1 E 2 = E 2 E1 =0.
Ôóðüå-ñïåêòðîñêîïèÿ. Èíòåãðàë (8.31) ìîæåò áûòü èñòîëêîâàí êàê ðàçëîæåíèå ÷åòíîé ôóíêöèè B(t) ïî ÷àñòîòàì, â êîòîðîì ôóðüå-àìïëèòóäîé ÿâëÿåòñÿ
S(w). Ñëåäîâàòåëüíî, îíà îïðåäåëÿåòñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå:
S (w ) =
¥
1
B (t) cos(wt)d t.
p ò0
(8.35)
Íà ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè îñíîâàíà ôóðüå-ñïåêòðîñêîïèÿ. Äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èíòåíñèâíîñòè S(w) êàêîãî-ëèáî
96
èñòî÷íèêà ñâåòà èñïîëüçóþò èíòåðôåðåíöèîííóþ
ñõåìó. Èçìåðÿþò èíòåðôåðîãðàììó I(t), îïðåäåëÿþò ôóíêöèþ àâòîêîððåëÿöèè ïî ôîðìóëå (8.29)
I (t)
- I0
2
è çàòåì ðàññ÷èòûâàþò S(w).
Îñíîâíûì ýëåìåíòîì ôóðüå-ñïåêòðîìåòðà
ÿâëÿåòñÿ èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà, ñûãðàâÐèñ. 8.10
øèé áîëüøóþ ðîëü â îïûòàõ ïî îïðåäåëåíèþ
ýôèðíîãî âåòðà (ðèñ. 8.10).
Ñâåò îò èññëåäóåìîãî èñòî÷íèêà s íàïðàâëÿåòñÿ â èíòåðôåðîìåòð, â îäíîì
èç ïëå÷ êîòîðîãî íàõîäèòñÿ äâèæóùååñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ çåðêàëî Ç2.
Øòðèõîâîé ëèíèåé ïîêàçàíî åãî íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå, ïðè êîòîðîì îïòè÷åñêèå ïóòè îáîèõ ëó÷åé îäèíàêîâû. Ñìåùåíèþ çåðêàëà íà ðàññòîÿíèå L ñîîòâåòñòâóåò âðåìåííàÿ çàäåðæêà t = 2L/c. Ïðèåìíèê, íàõîäÿñü â òî÷êå P, áóäåò èçìåðÿòü èíòåðôåðîãðàììó I(t), ïîñêîëüêó ïðè äâèæåíèè çåðêàëà ïîëîñû áóäóò òàêæå
ïåðåìåùàòüñÿ. Ñèãíàë îáðàáàòûâàåòñÿ êîìïüþòåðîì, êîòîðûé âû÷èñëÿåò S(w).
Îäíàêî ðàññ÷èòàííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò èñòèííîé. Äåëî â òîì,
÷òî ñïåêòðîìåòð íåèçáåæíî âíîñèò àïïàðàòíûå èñêàæåíèÿ. Ãëàâíîå èç íèõ ñâÿçàíî ñ îãðàíè÷åííîñòüþ ïåðåìåùåíèÿ ïîäâèæíîãî çåðêàëà.
×òîáû ïðîàíàëèçèðîâàòü èñêàæåíèÿ, ðàññ÷èòàåì àïïàðàòíóþ ôóíêöèþ ñïåêòðîìåòðà. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòêëèê ïðèáîðà íà ìîíîõðîìàòè÷åñêîå èçëó÷åíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èñòî÷íèê èçëó÷àåò ñâåò íà îäíîé ÷àñòîòå w0. Òîãäà
ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ýòîãî èçëó÷åíèÿ S(w) = I0 d(w - w0). Êîððåëÿöèîííàÿ
ôóíêöèÿ â ýòîì ñëó÷àå, ñîãëàñíî (8.32), ðàâíà B(t) = I0 cos(w0t). Îäíàêî ñïåêòðîìåòð çàïèøåò ëèøü «óñå÷åííóþ» ôóíêöèþ
B (t) =
2LA
ì
;
ïB (t), ïðè | t | £ t A =
B A (t) = í
c
ïî0, ïðè | t | > t A ,
(8.36)
ãäå LA — ìàêñèìàëüíîå ñìåùåíèå ïîäâèæíîãî çåðêàëà.
Ïîäñòàâëÿÿ (8.36) â (8.35), íàõîäèì
S A (w ) = I 0
tA
{sinc[t A (w 0 - w)] + sinc[t A (w 0 + w)]} .
p
(8.37)
Ïðè w ~ w0 ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âòîðûì ñëàãàåìûì:
S A (w) = I 0 g A (w 0 - w) » I 0
tA
sinc[t A (w 0 - w)] ,
p
(8.38)
tA
sinc[t A (w 0 - w)] — èñêîìàÿ àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ.
p
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ò g A (w - w 0 )d w = 1. Ãðàôèê ôóíêöèè ïîêàçàí íà ðèñ. 8.11.
ãäå g A (w - w 0 ) =
Øèðèíà àïïàðàòíîé ôóíêöèè ïîëó÷àåòñÿ èç (8.38) ðàâíîé
Dw A =
2p
.
tA
(8.39)
97
Ýòà øèðèíà îïðåäåëÿåò ðàçðåøàþùóþ
ñïîñîáíîñòü ôóðüå-ñïåêòðîìåòðà, èëè ðàçðåøàþùóþ ñèëó.
 ñïåêòðîñêîïèè ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü
ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ÷àñòîòû w0 (èëè äëèíû âîëíû l0)
ê ìèíèìàëüíîé ðàçíîñòè ÷àñòîò Dwmin (èëè
ðàçíîñòè äëèí âîëí Dlmin) äâóõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, êîòîðûå ïðèáîð ìîæåò ðàçðåøèòü
(ðàçëè÷èòü):
Ðèñ. 8.11
R
=
w0
l0
=
.
Dw min
Dl min
(8.40)
Èç-çà êîíå÷íîé øèðèíû àïïàðàòíîé ôóíêöèè Dwmin = DwA, ïîýòîìó
R
=
w0
w t
2L
= 0 A =
.
Dw A
l0
2p
(8.41)
Åñëè LA = 0,5 ì, l0 = 1 ìêì, òî R = 106. Òàêèì îáðàçîì, ýòîò ïðèáîð îáëàäàåò
âûñîêîé ðàçðåøàþùåé ñèëîé.
Åñëè êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê èçëó÷àåò ñïåêòðàëüíóþ ëèíèþ,
êîíòóð êîòîðîé g(w), òî íà âûõîäå ôóðüå-ñïåêòðîìåòðà ñ ó÷åòîì àïïàðàòíûõ
èñêàæåíèé, çàäàâàåìûõ àïïàðàòíîé ôóíêöèåé gA(w - w0), áóäåò ïîëó÷àòüñÿ
èñêàæåííûé êîíòóð
g ¢(w) =
¥
ò g A (w - w 0 ) g (w 0 ) d w 0 .
(8.42)
0
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè èçâåñòíà àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ, òî ìîæíî âîññòàíîâèòü
èñòèííûé êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè.
Ôóðüå-ñïåêòðîìåòð ÿâëÿåòñÿ ìíîãîêàíàëüíûì ïðèáîðîì. Åñëè øèðèíó Dn
ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè S(n) èçëó÷åíèÿ èñòî÷íèêà ðàçáèòü íà îòäåëüíûå áåñêîíå÷íî ìàëûå èíòåðâàëû dn = Dn, òî ñïåêòðîìåòð îäíîâðåìåííî îáðàáàòûâàåò N = Dn/dn ? 1 òàêèõ èíòåðâàëîâ. Ïî ñðàâíåíèþ ñ îäíîêàíàëüíûìè ïðèáîðàìè, êîòîðûå ïîñëåäîâàòåëüíî àíàëèçèðóþò èíòåðâàëû dn (ñì. äàëåå, íàïðèìåð, ñêàíèðóåìûé èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè — Ïåðî), ôóðüå-ñïåêòðîìåòð èìååò
áîëüøóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî âðåìÿ èçìåðåíèÿ íà îáîèõ ïðèáîðàõ îäèíàêîâî è ðàâíî Dt, òî â ñêàíèðóåìîì îäíîêàíàëüíîì ïðèáîðå
íà èçìåðåíèå èíòåðâàëà dn òðàòèòñÿ ìåíüøåå âðåìÿ Dt/N. Ïðè íàëè÷èè øóìîâ
ýòî ñíèæàåò ÷óâñòâèòåëüíîñòü îäíîêàíàëüíûõ ïðèáîðîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññìàòðèâàåìûì ìíîãîêàíàëüíûì ñïåêòðîìåòðîì.
Îñîáåííî óñïåøíî èñïîëüçóþòñÿ ôóðüå-ñïåêòðîìåòðû â ÈÊ-îáëàñòè, ãäå
ôîòîííûå øóìû íåâåëèêè. Â ñîâðåìåííûõ êîíñòðóêöèÿõ ïðè L = 1 ì ïðèåìíèê
ìîæåò ðåãèñòðèðîâàòü äî 106 òî÷åê èíòåðôåðîãðàììû. Òàêîé áîëüøîé îáúåì
èíôîðìàöèè ïðåâîñõîäèò èíôîðìàöèþ, ïîëó÷åííóþ ñ ïðèìåíåíèåì äðóãèõ
ñïåêòðîñêîïè÷åñêèõ ìåòîäîâ.
Ïðèëîæåíèå. Âûâîä âûðàæåíèÿ B(t) äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ.
Ïóñòü E (t ) = a(t ) cos[w 0t + j(t )]. Òîãäà
98
E1+ 2 = E1 (t ) + E 2 (t + t) =
= a1 (t ) cos[w 0t + j1 (t )] + a2 (t + t) cos[w 0 (t + t) + j 2 (t + t)] =
= A(t ) cos[w 0t + Ô(t )].
(8.1ï)
Ïåðåõîäÿ ê èíòåíñèâíîñòè, ïî àíàëîãèè ñ (8.8) ïîëó÷àåì
I = E12+ 2 =
A 2 a12 a22
=
+
+ a1 (t )a2 (t + t) cos[w 0 t + Dj(t , t)],
2
2
2
(8.2ï)
ãäå Dj = j2 - j1.
Èíòåðôåðåíöèîííûé ÷ëåí ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
a1a2 cos[w 0 t + Dj] = a1a2 cos Dj cos w 0 t - a1a2 sin Dj sin w 0 t =
= a12 a22 [C (t) cos w 0 t - S (t) sin w 0 t] = a12 a22 g (t) cos[w 0 t + y(t)].
(8.3ï)
Çäåñü
C (t) =
a1 (t )a2 (t + t) cos Dj(t , t)
a12 a22
; S (t) =
a1 (t )a2 (t + t) sin Dj(t , t)
a12 a22
S (t)
.
g (t) = C 2 (t) + S 2 (t); tg y =
C (t)
;
(8.4ï)
Èíòåðôåðîãðàììà (8.2ï) çàïèøåòñÿ â âèäå
I (t) = I 1 + I 2 + 2 I 1I 2 g (t) cos[w 0 t + y(t)].
(8.5ï)
Âèäíîñòü êàðòèíû
V (t) = 2
I 1I 2
g (t).
I1 + I 2
(8.6ï)
Ôóíêöèÿ êîððåëÿöèè
B (t) = I 1I 2 g (t) cos[w 0 t + y(t)].
Ïðè I1 = I2 = I0 îíà ñîâïàäàåò ñ (8.34).
(8.7ï)
ËÅÊÖÈß 9
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé ïðèìåíÿþò èíòåðôåðåíöèîííûå ñõåìû, â êîòîðûõ
ïðîèñõîäèò ëèáî äåëåíèå âîëíîâîãî ôðîíòà, ëèáî äåëåíèå àìïëèòóäû.
Ñõåìû ñ äåëåíèåì âîëíîâîãî ôðîíòà. Â ðàññìîòðåííîé ðàíåå ñõåìå Þíãà
ñ äâóìÿ îòâåðñòèÿìè âûäåëÿþòñÿ ôðàãìåíòû âîëíîâîãî ôðîíòà ñôåðè÷åñêîé
âîëíû îò èñòî÷íèêà s. Òàêàÿ æå èäåÿ çàëîæåíà â èíòåðôåðåíöèîííûõ ñõåìàõ,
â êîòîðûõ äåëèòåëÿìè âîëíîâîãî ôðîíòà ÿâëÿþòñÿ áèïðèçìà, áèëèíçà è áèçåðêàëî. Õîä ëó÷åé â èíòåðôåðåíöèîííîé ñõåìå ñ áèïðèçìîé ïîêàçàí íà ðèñ. 9.1.
Áèïðèçìà — ýòî äâîéíàÿ ïðèçìà, ôîðìèðóþùàÿ äâå âîëíû, èñõîäÿùèå
èç ìíèìûõ èçîáðàæåíèé s1 è s2 èñòî÷íèêà s. Êîîðäèíàòû èíòåðôåðåíöèîííûõ
ìàêñèìóìîâ xm, ñîãëàñíî (8.15), âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàññòîÿíèå d ìåæäó s1 è s2 è
ðàññòîÿíèå L äî ýêðàíà. Ïðåäîñòàâëÿÿ ÷èòàòåëþ âîçìîæíîñòü ñàìîñòîÿòåëüíî
âû÷èñëèòü ýòè äâå âåëè÷èíû, óêàæåì òîëüêî, ÷òî ïðè ìàëîì ïðåëîìëÿþùåì óãëå
a (a ~ 1') óãîë J = 2a(n - 1), ãäå n — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ïðèçìû.
Ïîäîáíûì îáðàçîì ôîðìèðóþòñÿ èíòåðôåðèðóþùèå âîëíû ñ ïîìîùüþ
áèëèíçû è áèçåðêàëà.
Èíòåðôåðåíöèÿ ïëîñêèõ âîëí. Åñëè â îïûòå Þíãà óâåëè÷èâàòü ðàññòîÿíèå
L, ñîõðàíÿÿ íåèçìåííûì d, òî èíòåðôåðèðîâàòü, ïî ñóùåñòâó, áóäóò äâå ïëîñêèå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ïîä óãëîì J = d/L (ðèñ. 9.2).
Øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ, ñîãëàñíî (8.16), ðàâíà
l
.
(9.1)
J
Ñ óâåëè÷åíèåì óãëà J èíòåðôåðîãðàììà ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå ìåëêîé.
Èíòåðôåðîìåòð Ðýëåÿ. Ýòîò èíòåðôåðîìåòð ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èçìåðåíèÿ
ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ãàçîâ, ïîýòîìó åãî íàçûâàþò ðåôðàêòîìåòðîì. Ñõåìà
èíòåðôåðîìåòðà Ðýëåÿ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 9.3.
Dx =
Ðèñ. 9.1
100
Ðèñ. 9.2
Ðèñ. 9.3
Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà îò èñòî÷íèêà s, ôîðìèðóåìûé ëèíçîé Ë1, ïðîõîäèò ýêðàí ñ äâóìÿ ùåëÿìè s1 è s2, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ïëîñêîñòè ðèñóíêà.
Çàòåì äâà ñâåòîâûõ ïó÷êà ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âäîëü âûòÿíóòûõ êþâåò Ê1 è Ê2,
èìåþùèõ îäèíàêîâóþ äëèíó l. Äàëåå îáå âîëíû ïðîõîäÿò ÷åðåç ïëîñêîïàðàëëåëüíûå ñòåêëÿííûå ïëàñòèíêè Ï1 è Ï2, è â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ÔÏ ëèíçû
Ë2 îáðàçóþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû, ïàðàëëåëüíûå ùåëÿì.
Èç-çà íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàíèÿ êþâåò ðàññòîÿíèå d ìåæäó ùåëÿìè
âåëèêî, ïîýòîìó èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ìåëêàÿ. Äëÿ åå óâåëè÷åíèÿ óñòàíàâëèâàþò öèëèíäðè÷åñêóþ ëèíçó Ë3 (ïîõîæóþ íà êðóãëóþ ñòåêëÿííóþ ïàëî÷êó) è ïîëó÷àþò óâåëè÷åííóþ èíòåðôåðîãðàììó.
Åñëè îäíó èç êþâåò (íàïðèìåð, Ê1) íàïîëíèòü ãàçîì ñ íåèçâåñòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n, òî âîçíèêíåò äîïîëíèòåëüíàÿ îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà è
êàðòèíà ñìåñòèòñÿ. Åñëè èñõîäíàÿ ðàçíîñòü õîäà â òî÷êå P, ñîâïàäàþùåé ñ èíòåðôåðåíöèîííûì ìàêñèìóìîì m-ãî ïîðÿäêà, áûëà ðàâíà ml0 (l0 — äëèíà âîëíû â âàêóóìå), òî ïîñëå çàïîëíåíèÿ êþâåòû ãàçîì îíà èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó
l (n - 1) = dm l 0 .
(9.2)
Ïðè dm = 1 êàðòèíà ñäâèãàåòñÿ íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå øèðèíå ïîëîñû.
Åñëè çàôèêñèðîâàòü ìàëîå ñìåùåíèå, ïðè êîòîðîì dm = 1/40, òî ïðè l = 1 ì
è l0 = 500 íì ïîëó÷àåì
dm l 0
(9.3)
= 10 -8.
l
Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ãàçîâ ìîæåò áûòü èçìåðåí ñ òî÷íîñòüþ äî âîñüìîãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé.
Äëÿ óäîáñòâà èçìåðåíèé ñòîëü ìàëûõ ñìåùåíèé ïëàñòèíà Ï2 ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã îñè, ïàðàëëåëüíîé ùåëÿì, êîìïåíñèðóÿ ñìåùåíèå èíòåðôåðîãðàììû. Ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé ãðàäóèðîâêå âåëè÷èíà dm îïðåäåëÿåòñÿ
ïî óãëó ïîâîðîòà ïëàñòèíû.
Çâåçäíûé èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà.
Åñëè îáúåêòèâ òåëåñêîïà çàêðûòü äèàôðàãìîé ñ äâóìÿ îòâåðñòèÿìè, íàõîäÿùèìèñÿ
íà ðàññòîÿíèè l, òî èçîáðàæåíèå äàëåêîé
çâåçäû â åãî ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè áóäåò
ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ïÿòíî êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, èçðåçàííîå èíòåðôåðåíöèîííûìè ïîëîñàìè (ðèñ. 9.4). Íà ðèñóíêå ðàçìåðû ïÿòÐèñ. 9.4
íà è ïîëîñ ñèëüíî ïðåóâåëè÷åíû.
n -1 =
101
Øèðèíà ïîëîñû, ñîãëàñíî (8.16), ðàâíà
Dx =
lf
,
l
(9.4)
ãäå f — ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå îáúåêòèâà.
Óãëîâîé ðàçìåð ïîëîñû (óãîë, ïîä êîòîðûì îíà âèäíà ñ ìåñòà íàõîæäåíèÿ
îáúåêòèâà)
J0 =
Dx l
= .
f
l
(9.5)
Åñëè íà îáúåêòèâ ïàäàåò ñâåò îò âòîðîé çâåçäû (ëó÷è ïîìå÷åíû øòðèõîâîé
ëèíèåé), òî èç-çà íåêîãåðåíòíîñòè ñâåòà íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ (çâåçä)
â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè áóäåò ïðîèñõîäèòü íàëîæåíèå äâóõ èíòåðôåðîãðàìì.
Ïðè óãëàõ J < J0 ñóììàðíàÿ èíòåðôåðîãðàììà íå áóäåò ðàçìûòà. Ïðè óâåëè÷åíèè óãëà J èíòåðôåðîãðàììà ñìàæåòñÿ, êîãäà èíòåðôåðåíöèîííûå ìàêñèìóìû èíòåðôåðîãðàììû îò îäíîé çâåçäû ñîâïàäóò ñ èíòåðôåðåíöèîííûìè
ìèíèìóìàìè èíòåðôåðîãðàììû îò äðóãîé. Ýòî ïðîèçîéäåò ïðè
J=
J0
l
= .
2
2l
(9.6)
Ýòà ôîðìóëà è ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâîé ïðè èñïîëüçîâàíèè çâåçäíîãî èíòåðôåðîìåòðà äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëîâûõ ðàçìåðîâ äâîéíûõ è ìàëûõ çâåçä.
Ïóñòü J — óãëîâîé ðàçìåð äâîéíîé çâåçäû. Äëÿ åãî èçìåðåíèÿ ïîñòåïåííî
óâåëè÷èâàåòñÿ ðàññòîÿíèå l è ôèêñèðóåòñÿ êà÷åñòâî èíòåðôåðîãðàììû. Ïåðâîå
ñìàçûâàíèå èíòåðôåðîãðàììû ïðîèçîéäåò ïðè ðàññòîÿíèè l = lê, îïðåäåëÿåìîì èç óñëîâèÿ
J=
l
.
2l ê
(9.7)
Îòñþäà è ðàññ÷èòûâàåòñÿ óãëîâîé ðàçìåð çâåçäû J.
×òîáû èçìåðÿòü ìàëûå óãëîâûå ðàçìåðû, íåîáõîäèìî óâåëè÷èâàòü l äî äåñÿòêà ìåòðîâ. Ïîýòîìó âìåñòî ýêðàíà ñ äâóìÿ îòâåðñòèÿìè ïåðåä îáúåêòèâîì
òåëåñêîïà óñòàíàâëèâàþò ñèñòåìó çåðêàë (ðèñ. 9.5). Â 1920 ã. À. Ìàéêåëüñîí èçìåðèë óãëîâîé ðàçìåð çâåçäû Äâîéíîé Êàïåëëû: J = 0,042'.
Åñëè òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü óãëîâîé ðàçìåð îäíîé çâåçäû, òî ýòó çâåçäó ìîæíî
ìûñëåííî ðàçáèòü íà ïàðû äâîéíûõ çâåçä, ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî öåíòðà çâåçäû. Îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ðàññìîòðåíèÿ
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè l áóäåò îäíîêðàòíîå ñìàçûâàíèå èíòåðôåðîãðàììû. Åñòåñòâåííî,
÷òî óãëîâîé ðàçìåð çâåçäû ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî-ïðåæíåìó ïî ôîðìóëå (9.7). Äîâåäÿ c ïîìîùüþ çåðêàë
ðàññòîÿíèå l äî 6 ì, Ìàéêåëüñîí îïðåäåëèë óãëîâîé
ðàçìåð çâåçäû Áåòåëüãåéçå: J = 0,047¢.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ áàçà èíòåðôåðîìåòðîâ äîñòèãàåò âåëè÷èíû l ~ 20 ì. Ýòî ïîçâîëÿåò èçìåðÿòü óãëîâûå ðàçìåðû J ~ 10-3 ¢¢.
Ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîãåðåíòíîñòü. Ïîñìîòðèì íà
ðåçóëüòàòû îïûòîâ Ìàéêåëüñîíà èíûì îáðàçîì. Ñâåò
Ðèñ. 9.5
102
çâåçäû èëè ïàðû çâåçä ïàäàåò íà äèàôðàãìó ñ îòâåðñòèÿìè, ðàçíåñåííûìè íà ðàññòîÿíèå l. Ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ l èíòåðôåðîãðàììà óõóäøàåòñÿ è èñ÷åçàåò ïðè
l
lê =
.
(9.8)
Ðèñ. 9.6
2J
Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ñ ðîñòîì l óõóäøàåòñÿ âçàèìíàÿ êîãåðåíòíîñòü
êîëåáàíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ çâåçä â îáëàñòÿõ, ãäå ðàñïîëîæåíû îòâåðñòèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè, õàðàêòåðèçóåìîé âåëè÷èíîé lê. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè. ×åì ìåíüøå óãëîâîé ðàçìåð J ñâåòÿùåéñÿ çâåçäû, òåì áîëüøå ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè åå èçëó÷åíèÿ ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè.
Ýòîò âûâîä ñïðàâåäëèâ äëÿ ëþáîãî òåïëîâîãî èëè ãàçîðàçðÿäíîãî èñòî÷íèêà. Íà ðèñ. 9.6 èçîáðàæåí ñâåòÿùèéñÿ äèñê äèàìåòðà d, óäàëåííûé íà ðàññòîÿíèå L îò íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè lê, ñîãëàñíî (9.8), ðàâåí
lL
lê =
.
(9.9)
2d
×åì ìåíüøå ðàçìåð èñòî÷íèêà, òåì áîëüøå ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè. Ïðè óäàëåíèè îò èñòî÷íèêà îí âîçðàñòàåò, à èñòî÷íèê ïðèáëèæàåòñÿ ïî ñâîèì ñâîéñòâàì ê òî÷å÷íîìó èñòî÷íèêó. Ïðè ïðèáëèæåíèè ê èñòî÷íèêó
íà ðàññòîÿíèå L £ d ôîðìóëà (9.9) ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâîé. Îòìåòèì, ÷òî
ðàäèóñ lê ñ óìåíüøåíèåì L ñîêðàùàåòñÿ è äîñòèãàåò ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ
lê ~ l ó ïîâåðõíîñòè èñòî÷íèêà.
Îöåíèì ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè ñîëíå÷íîãî ñâåòà ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Ïîëàãàÿ d = 1,5 × 106 êì, L = 150 × 106 êì, l = 500 íì, ïîëó÷àåì
lê = 25 ìêì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïûò Þíãà ñ ñîëíå÷íûì ñâåòîì ìîæíî îñóùåñòâèòü, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ùåëÿìè íå ïðåâûøàåò 25 ìêì. Èíòåðôåðîãðàììà áóäåò ñîñòîÿòü ëèøü èç íåñêîëüêèõ öâåòíûõ ïîëîñ. Ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ùåëÿìè êà÷åñòâî âñåõ ïîëîñ áóäåò óõóäøàòüñÿ.
Ñîâñåì èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ ëàçåðíûìè èñòî÷íèêàìè. Åñëè ëàçåð ãåíåðèðóåò ãàóññîâ ïó÷îê (ãåíåðèðóåòñÿ íèçøàÿ ÒÅÌ00 — ìîäà), òî íà âûõîäå
èç ðåçîíàòîðà ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè lê ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò
ñ ðàäèóñîì ïó÷êà r0. Åñëè ëàçåð ðàáîòàåò â ìíîãîìîäîâîì ðåæèìå, òî ìîæíî
ïîëîæèòü pl ê2 N » pr02 (ñóììàðíàÿ ïëîùàäü N ïÿòåí
ðàçìåðîì ~lê ðàâíà ïëîùàäè ñå÷åíèÿ ïó÷êà), èëè
l ê » r0 N , ãäå N — ÷èñëî ïîïåðå÷íûõ ìîä.
Áîëåå ñòðîãî ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîãåðåíòíîñòü
è ñïîñîá åå îïèñàíèÿ áóäóò îáñóæäàòüñÿ äàëåå.
Ñõåìû ñ äåëåíèåì àìïëèòóäû. Â òàêèõ ñõåìàõ äâå
èíòåðôåðèðóþùèå âîëíû ñîçäàþòñÿ ïðè îòðàæåíèè
ïàäàþùåé âîëíû îò äâóõ ïîâåðõíîñòåé. Àìïëèòóäà
êàæäîé èç èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí ìåíüøå àìïëèòóäû èñõîäíîé âîëíû.
Íà ðèñ. 9.7 ñâåò îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà s îòðàæàåòñÿ îò äâóõ ïîâåðõíîñòåé ïðîçðà÷íîé ïëàñòèíêè.
Ðèñ. 9.7
 òî÷êå P îòðàæåííûå âîëíû ñêëàäûâàþòñÿ.
103
Ðèñ. 9.8
Ðèñ. 9.9
Ïîñêîëüêó ðàçíîñòü õîäà èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí ïîðÿäêà òîëùèíû ïëàñòèíêè l, äëèíà êîãåðåíòíîñòè ñâåòà lê äîëæíà áûòü áîëüøå ýòîé òîëùèíû.
Ïðè ïðîèçâîëüíîì ïîëîæåíèè èñòî÷íèêà s è òî÷êè P ðàñ÷åò ðàçíîñòè õîäà
(è èíòåðôåðîãðàììû) ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ãðîìîçäêîé ïðîöåäóðîé.  ïðàêòè÷åñêîì îòíîøåíèè íàèáîëåå âàæíû äâà ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ.
Ëèíèè ðàâíîãî íàêëîíà. Ïðè óäàëåíèè òî÷êè P îò ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû
èíòåðôåðèðóþùèå ëó÷è ñòàíîâÿòñÿ âñå áîëåå ïàðàëëåëüíûìè. Íà ðèñ. 9.8 ïîêàçàíà îäíà èç ìíîãî÷èñëåííûõ ïàð èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí â âèäå ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé 1 è 2.
Îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó íèìè ðàâíà
D = ( AB + BC )n - AD ±
l0
,
2
(9.10)
l
ãäå n — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ïëàñòèíêè, ñëàãàåìîå ± 0 ó÷èòû2
âàåò íàáåã ôàçû ±p ïðè îòðàæåíèè(ñì. Ëåêöèþ 17).
Åñëè òîëùèíà ïëàñòèíêè â ìåñòå ïàäåíèÿ ðàâíà l, à óãîë ïàäåíèÿ j, òî
D=
l
l
2l
n - 2l tg y sin j ± 0 = 2ln cos y ± 0 .
cos y
2
2
(9.11)
 (9.11) èñïîëüçîâàí çàêîí ïðåëîìëåíèÿ sin j = n sin y . Òàêèì îáðàçîì, ðàçíîñòü õîäà çàâèñèò îò òîëùèíû ïëàñòèíêè l, ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ n è íàêëîíà èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé, çàäàâàåìîãî óãëîì ïðåëîìëåíèÿ y.
Åñëè ïëàñòèíêà ïëîñêîïàðàëëåëüíàÿ, òî íà óäàëåííîì ýêðàíå áóäåò èíòåðôåðîãðàììà, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ñåìåéñòâî ëèíèé, äëÿ êîòîðûõ cos y =
const. Ïîýòîìó ýòè ëèíèè íàçûâàþòñÿ ëèíèÿìè ðàâíîãî íàêëîíà.
Äëÿ èõ íàáëþäåíèÿ ýêðàí îòîäâèãàþò êàê ìîæíî äàëüøå îò ïëàñòèíêè. Ïîýòîìó èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ëèíèè ðàâíîãî íàêëîíà ëîêàëèçîâàíû â áåñêîíå÷íîñòè.
 ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 9.9, ëèíèè ðàâíîãî íàêëîíà èìåþò âèä êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé.
Çäåñü ðàñõîäÿùèéñÿ ïó÷îê ñâåòà îò èñòî÷íèêà s ïðîõîäèò ñêâîçü ýêðàí Ý
ñ îòâåðñòèåì. Ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè Ï íà ýêðàíå
íàáëþäàþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå êîëüöà. Èõ ïîëîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì
D = 2ln cos y ±
104
l0
= ml 0 .
2
(9.12)
Ñàìîå ìåíüøåå êîëüöî èìååò ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè,
à ñ óâåëè÷åíèåì ðàäèóñà êîëüöà ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè óáûâàåò.
Åñëè èñòî÷íèê ñâåòà èçëó÷àåò íåñêîëüêî ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, òî äëÿ êàæäîé èç íèõ ôîðìèðóåòñÿ ñèñòåìà êîëåö. Ïðàêòè÷åñêè ýòà ïðîñòåéøàÿ îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïåêòðàëüíûé ïðèáîð, êîòîðûé ðàçëàãàåò
ñïåêòð â ïðîñòðàíñòâå. Îäíàêî ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ïðèáîðà, â êîòîðîì
èíòåðôåðèðóþò ëèøü äâà ëó÷à, î÷åíü íåâûñîêà.
Îòìåòèì, ÷òî ïîïåðå÷íûå ðàçìåðû èñòî÷íèêà s ïðàêòè÷åñêè íå âëèÿþò
íà êà÷åñòâî èíòåðôåðîãðàììû, ïîñêîëüêó ýêðàí íàõîäèòñÿ äàëåêî îò ïëàñòèíêè.
Ëèíèè ðàâíîãî íàêëîíà ìîæíî ïîëó÷èòü è âáëèçè ïëàñòèíêè, åñëè íà ïóòè
ïàðàëëåëüíûõ èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé ïîñòàâèòü ñîáèðàþùóþ ëèíçó. Òîãäà
ýòè ëèíèè áóäóò íàáëþäàòüñÿ â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè.
Ëèíèè ðàâíîé òîëùèíû. Åñëè òî÷êà P íàõîäèòñÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè, òî èíòåðôåðîãðàììà áóäåò ñîñòîÿòü èç ëèíèé ðàâíîé òîëùèíû.  ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 9.10, äâà ëó÷à îò èñòî÷íèêà s ïîñëå îòðàæåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè â òî÷êå P.
Åñëè èñòî÷íèê ïðîòÿæåííûé (îò s äî s¢), òî äðóãèå ïàðû ëó÷åé îòñåêàþòñÿ
äèàôðàãìîé Ä, ôèêñèðóÿ òeì ñàìûì óãîë ïàäåíèÿ èñõîäíîé âîëíû.
Ðàçíîñòü õîäà ïðèáëèæåííî îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì (9.11). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îáðàçîâàíèÿ èíòåðôåðåíöèîííûõ ìàêñèìóìîâ íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ
D = 2ln cos y ±
l0
= ml 0 .
2
(9.13)
 îòëè÷èå îò (9.12) çäåñü óãîë y = const, à òîëùèíà l ìîæåò èçìåíÿòüñÿ.
Ïîýòîìó èíòåðôåðåíöèîííûå ìàêñèìóìû áóäóò èìåòü âèä ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ
÷åðåç òå ó÷àñòêè ïîâåðõíîñòè, ãäå òîëùèíà ïëàñòèíû îäèíàêîâà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (9.13). Ïîýòîìó ýòè ëèíèè íàçûâàþò ëèíèÿìè ðàâíîé òîëùèíû,
îíè ëîêàëèçîâàíû íà ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè.
Îáû÷íî äëÿ íàáëþäåíèÿ èñïîëüçóþò ëèíçó Ë, ïîçâîëÿþùóþ ïîëó÷èòü óâåëè÷åííîå èçîáðàæåíèå èíòåðôåðîãðàììû â òî÷êå P1.
 åñòåñòâåííûõ óñëîâèÿõ ïðè ïàäåíèè ñîëíå÷íîãî ñâåòà íà òîíêèå ìàñëÿíûå
ïëåíêè (l < lê ~ 1 ìêì) íà ïîâåðõíîñòè ïîñëåäíèõ íàáëþäàþòñÿ ïðè÷óäëèâûå
ðàçíîöâåòíûå ëèíèè ðàâíîé òîëùèíû, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 9.1 öâ. âêë.
Ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû ìîæíî íàáëþäàòü íà ïîâåðõíîñòè ñòåêëÿííîãî
êëèíà ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñâåòà (ðèñ. 9.11). Îáû÷íî ïðåëîìëÿþùèé óãîë
a î÷åíü ìàë. Òîëùèíà êëèíà l = ax (x — êîîðäèíàòà, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò âåðøèíû
êëèíà). Ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè óãîë y = 0.
Ïîýòîìó ïîëîæåíèå ìàêñèìóìîâ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
2ax m n -
l0
= ml 0 , m = 1, 2, 3, K . (9.14)
2
æ l0 ö
Ñëàãàåìîå çè - ÷ø ó÷èòûâàåò ñêà÷îê ôàçû
2
íà p ïðè îòðàæåíèè îò âåðõíåé ïîâåðõíîñòè êëèíà. Êîîðäèíàòû ïîëîñ èç (9.14) ïîëó÷àþòñÿ ðàâíûìè
Ðèñ. 9.10
105
Ðèñ. 9.11
Ðèñ. 9.12
1ö l
æ
xm = ç m + ÷ 0 .
è
2 ø 2an
Ðèñ. 9.13
(9.15)
Ïðè îñâåùåíèè êëèíà êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì ñ óâåëè÷åíèåì ïîðÿäêà m ïîëîñû ðàñøèðÿþòñÿ è ïðè mmax = l0/Dl ïåðåêðûâàþòñÿ.  ýòîì ìåñòå
òîëùèíà êëèíà l = axm » lê/2n.
Èñêðèâëåíèå èíòåðôåðåíöèîííûõ ïîëîñ ñâèäåòåëüñòâóåò î íåðîâíîñòÿõ ïîâåðõíîñòè êëèíà. Íà ýòîì îñíîâàí ìåòîä îïòè÷åñêîãî êîíòðîëÿ êà÷åñòâà ïîâåðõíîñòè, ñóòü êîòîðîãî â ñëåäóþùåì: ê ïîâåðõíîñòè ïîä íåáîëüøèì óãëîì ñâåðõó
ïðèêëàäûâàþò ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó âûñîêîãî êà÷åñòâà.
Ìåæäó ïëàñòèíêîé è ïîâåðõíîñòüþ îáðàçóåòñÿ âîçäóøíûé êëèí. Ïðè ïàäåíèè ñâåòà íà ïëàñòèíêó íà åå íèæíåé ñòîðîíå íàáëþäàþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû, ôîðìà êîòîðûõ ñâèäåòåëüñòâóåò î êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè. Òàêèì ìåòîäîì ìîæíî êîíòðîëèðîâàòü íåðîâíîñòè ïîðÿäêà äåñÿòûõ äîëåé äëèíû âîëíû.
Ïîêàçàòåëåí â ýòîì ñìûñëå îïûò, âûïîëíåííûé È. Íüþòîíîì. Ê ïëîñêîé
ïîâåðõíîñòè îí ïðèëîæèë ïëîñêî-âûïóêëóþ ëèíçó ñ ðàäèóñîì êðèâèçíû R
(ðèñ. 9.12).
 òî÷êå P âîëíû, îòðàæåííûå îò îáåèõ ïîâåðõíîñòåé, ñêëàäûâàþòñÿ.  ðåçóëüòàòå ïîÿâëÿþòñÿ êîëüöà ðàâíîé òîëùèíû, ïîëó÷èâøèå íàçâàíèå êîëåö
Íüþòîíà.
Íà ðèñ. 9.2 öâ. âêë. ïîêàçàíû ôîòîãðàôèè êîëåö Íüþòîíà ïðè îñâåùåíèè
ñèñòåìû «ëèíçà — ïëàñòèíêà» áåëûì ñâåòîì (ðèñ. 9.2, à). Âèäíî, ÷òî ÷èñëî êîëåö íåâåëèêî. Êîãäà ñâåò ïðîõîäèò ïðåäâàðèòåëüíî ÷åðåç çåëåíûé (ðèñ. 9.2, á )
èëè æåëòûé (ðèñ. 9.2, â) ñâåòîôèëüòðû, ÷èñëî êîëåö óâåëè÷èâàåòñÿ, ïîñêîëüêó âîçðàñòàåò ìîíîõðîìàòè÷íîñòü ñâåòà.  ñëó÷àå îñâåùåíèÿ ñâåòîì ðòóòíîé
ëàìïû (ðèñ. 9.2, ã) âîçíèêàåò áîëüøîå ÷èñëî «íåñìàçàííûõ» êîëåö Íüþòîíà.
Åñëè ðàäèàëüíóþ êîîðäèíàòó îòñ÷èòûâàòü îò òî÷êè ñîïðèêîñíîâåíèÿ ëèíçû ñ ïîâåðõíîñòüþ, òî âîçäóøíûé çàçîð l ïðè óñëîâèè r = R (ðèñ. 9.13) ðàâåí
æ
r2
1 r2 ö
=
l = R - R 2 - r 2 » R - R ç1 .
2÷
2 R ø 2R
è
(9.16)
Òîãäà ñ ó÷åòîì ñêà÷êà ôàçû íà p ïðè îòðàæåíèè îò ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè
ðàçíîñòü õîäà
D = 2l +
106
l0 r 2 l0
=
+
.
R
2
2
(9.17)
Âûðàæåíèå (9.17) óäîáíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ òåìíûõ
êîëåö (èíòåðôåðåíöèîííûõ ìèíèìóìîâ).  ýòîì ñëó÷àå ðàäèóñ rm òåìíûõ êîëåö
îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
rm 2 l 0 æ
1ö
+
= ç m + ÷ l 0 , m = 0, 1, 2, K .
è
R
2
2ø
(9.18)
rm = mlR .
(9.19)
Ñëåäîâàòåëüíî,
Èç-çà ñêà÷êà ôàçû â öåíòðå èíòåðôåðîãðàììû áóäåò òåìíîå ïÿòíî. Êîíöåíòðè÷íîñòü êîëåö ñâèäåòåëüñòâóåò î âûñîêîì êà÷åñòâå âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû.
Íà ðèñ. 9.14 ïðèâåäåíà ôîòîãðàôèÿ êîëåö Íüþòîíà, ïîëó÷åííûõ ïðè êîíòàêòå òåñòèðóåìîé âûïóêëîé ëèíçû ñ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ.
Èñêðèâëåíèå êîëåö íà èíòåðôåðîãðàììå ñâèäåòåëüñòâóåò îá îòëè÷èè ïîâåðõíîñòè ëèíçû îò ñôåðè÷åñêîé.
Èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî ôîðìèðîâàòü ëèíèè
ðàâíîé òîëùèíû èëè êîëüöà ðàâíîãî íàêëîíà. Ýòî çàâèñèò îò þñòèðîâêè èíòåðôåðîìåòðà è íàñòðîéêè çðèòåëüíîé òðóáû Ò, ÷åðåç êîòîðóþ íàáëþäàþò èíòåðôåðîãðàììó (ðèñ. 9.15).
Íà ðèñóíêå øòðèõîâîé ëèíèåé èçîáðàæåíà ïëîñêîñòü Ç, ñîïðÿæåííàÿ çåðêàëó Ç2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ìûñëåííîì ïîâîðîòå èíòåðôåðîìåòðà îòíîñèòåëüíî
îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O, çåðêàëî Ç2 ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ Ç. Äëÿ êîìïåíñàöèè ðàçíîñòè õîäà, âíîñèìîé ðàçäåëèòåëüíîé ïëàñòèíêîé Ï, â îäíî
èç ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà óñòàíàâëèâàåòñÿ êîìïåíñàöèîííàÿ ïëàñòèíêà ÊÏ.
Åñëè Ç1 è Ç ïàðàëëåëüíû, à òðóáà íàñòðîåíà íà íàáëþäåíèå äàëåêèõ ïðåäìåòîâ, òî â ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèÿ åå îêóëÿðà áóäóò èíòåðôåðåíöèîííûå êîëüöà.
Åñëè Ç1 è Ç îáðàçóþò êëèí, à òðóáà íàñòðîåíà íà íàáëþäåíèå ïðåäìåòîâ,
íàõîäÿùèõñÿ âáëèçè ïëîñêîñòè Ç, òî áóäóò íàáëþäàòüñÿ ïîëîñû.  ýòîì ñëó÷àå
èçîáðàæåíèå ìíèìîå, ïîñêîëüêó âáëèçè ïëîñêîñòè Ç ïîëîñû îòñóòñòâóþò.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü ïðè îïèñàíèè ôóðüå-ñïåêòðîìåòðà, îäíî èç ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà ìîæåò óäëèíÿòüñÿ íà âåëè÷èíó ~1 ì. Ýòî ïîçâîëèëî ñîçäàòü îïòè÷åñêèé ýòàëîí, êîòîðûé áîëåå óäîáåí è òî÷íåå âîñïðîèçâîäèì, ÷åì âåùåñòâåííûé ýòàëîí äëèíû 1 ì. Ïåðåìåùàÿ çåðêàëî îò íà÷àëà äî êîíöà âåùåñòâåííîãî ýòàëîíà, áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî 1 ì = 1 650 763,73lýò, ãäå lýò = 6 056 D
— ýòàëîííàÿ äëèíà âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ èçëó÷åíèþ àòîìà êðèïòîíà 86
Ðèñ. 9.14
Ðèñ. 9.15
107
ïðè åãî ïåðåõîäå ìåæäó óðîâíÿìè 2p10 è 5d5. Îòíîñèòåëüíàÿ òî÷íîñòü âîñïðîèçâåäåíèÿ ìåòðà ñ ïîìîùüþ êðèïòîíîâîãî ýòàëîíà ñîñòàâëÿåò 3 × 10-8 (1960 ã.).
Âïîñëåäñòâèè òî÷íîñòü áûëà ïîâûøåíà äî 10-10, ïîñëå òîãî êàê ñêîðîñòü ñâåòà
â âàêóóìå áûëà ïîñòóëèðîâàíà ðàâíîé c = 299 792 458 ì/ñ, à 1 ì = ct, ãäå t =
= 1/299 792 458 ñ (1983 ã.).
Íà áàçå èíòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà âî ìíîãèõ ñòðàíàõ ìèðà ïîñòðîåíû
ãðàâèòàöèîííûå àíòåííû. Ýòè àíòåííû ñëóæàò äëÿ ðåãèñòðàöèè ãðàâèòàöèîííûõ èìïóëüñîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè âçàèìîäåéñòâèè ÷åðíûõ äûð ñ íåéòðîííûìè çâåçäàìè. Ñîãëàñíî òåîðåòè÷åñêèì ðàñ÷åòàì, äëèòåëüíîñòü ãðàâèòàöèîííîãî èìïóëüñà äîñòèãàåò äåñÿòêà ñåêóíä, ÷àñòîòà êîëåáàíèé ãðàâèòàöèîííîãî
ïîëÿ ëåæèò â äèàïàçîíå 50 — 150 Ãö.
Èç îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ñëåäóåò, ÷òî â òîò ìîìåíò, êîãäà èìïóëüñû äîñòèãàþò ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ðàññòîÿíèå L ìåæäó ëþáûìè îáúåêòàìè èçìåíèòñÿ íà âåëè÷èíó DL/L ~ 10-21. Ýòî èçìåíåíèå è äîëæíû çàôèêñèðîâàòü ãðàâèòàöèîííûå àíòåííû.
Ñõåìà àíòåííû LIGO (Laser Interferometer Gravitational Wave Observer),
ðàñïîëîæåííîé â ÑØÀ, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 9.16. Ëó÷ YAG-Nd-ëàçåðà (ìîùíîñòü
P = 10 Âò, äëèíà âîëíû l = 1,064 ìêì), ðàáîòàþùåãî â íåïðåðûâíîì ðåæèìå,
íàïðàâëÿåòñÿ â èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà è ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàë Ç1
è Ç2 ïîïàäàåò â ôîòîäåòåêòîð ÔÄ, ðåãèñòðèðóþùèé èíòåðôåðîãðàììó. Äëèíà
êàæäîãî ïëå÷à L = 4 êì. Äëÿ åå óâåëè÷åíèÿ äîïîëíèòåëüíî ðàçìåùàþò çåðêàëà
Ç¢1 è Ç¢2, êîòîðûå ñ çåðêàëàìè Ç1 è Ç2 ñîîòâåòñòâåííî îáðàçóþò äâà èíòåðôåðîìåòðà (ðåçîíàòîðà) Ôàáðè — Ïåðî. ×èñëî ïðîõîäîâ ñâåòîì êàæäîãî èç ðåçîíàòîðîâ ìîæåò äîñòèãàòü íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ, ïîýòîìó ýôôåêòèâíàÿ äëèíà ïëå÷à Lýô ~ 102 êì.
Äëÿ ïîâûøåíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ìàññèâíûå çåðêàëà è äåëèòåëüíàÿ ïëàñòèíêà Ï (ìàññà êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ îêîëî 20 êã) ïîäâåøèâàþòñÿ íà êâàðöåâûõ íèòÿõ, îáåñïå÷èâàþùèõ âûñîêóþ äîáðîòíîñòü ìàÿòíèêîâ êà÷àíèÿ (çåðêàë
íà íèòÿõ). Êðîìå òîãî, îáà ëó÷à ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âíóòðè äëèííûõ òðóá,
â êîòîðûõ ïîääåðæèâàåòñÿ âûñîêèé âàêóóì (äàâëåíèå ~ 10-7 ìì ðò. ñò.).
Âèä íà èíòåðôåðîìåòð VIRGO, ðàñïîëîæåííûé â Èòàëèè (äëèíà êàæäîé
òðóáû îêîëî 3 êì), ñ âûñîòû ïòè÷üåãî ïîëåòà ïîêàçàí íà ðèñ. 9.3 öâ. âêë. Ïðè
ïîïàäàíèè â èíòåðôåðîìåòð ãðàâèòàöèîííîãî èìïóëüñà çåðêàëà áóäóò ðàñêà÷èâàòüñÿ ñ àìïëèòóäîé DL ~ 10-21Lýô ~ 10-14 ñì. Òàê êàê l ~ 10-4 ñì, òî
DL/l ~ 10-10. Ñîâðåìåííûå ìåòîäû ïîçâîëÿþò çàôèêñèðîâàòü ñòîëü íè÷òîæíî
ìàëîå ñìåùåíèå èíòåðôåðîãðàììû. Îòìåòèì, ÷òî ñìåùåíèå çåðêàë íà øåñòü
ïîðÿäêîâ ìåíüøå ðàçìåðîâ àòîìà!
Ïîêà ãðàâèòàöèîííûå âîëíû íå îáíàðóæåíû, ïîñêîëüêó ÷óâñòâèòåëüíîñòü àíòåíí
òàêîâà, ÷òî âîçìîæíà ëèøü ðåãèñòðàöèÿ îòíîñèòåëüíî ìîùíûõ èìïóëüñîâ, êîòîðûå
êðàéíå ðåäêî äîñòèãàþò ïîâåðõíîñòè Çåìëè.
 áëèæàéøåì áóäóùåì ÷óâñòâèòåëüíîñòü àíòåíí áóäåò óâåëè÷åíà íà ïîðÿäîê, è âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ãðàâèòàöèîííûõ âîëí ðåçêî âîçðàñòåò.
Èíòåðôåðîìåòð Ìàõà — Öåíäåðà. Åãî ñõåÐèñ. 9.16
ìà ïîêàçàíà íà ðèñ. 9.17.
108
s
Ñâåò îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà s ïðîõîäèò
÷åðåç êîëëèìèðóþùóþ ëèíçó Ë è ïàäàåò
íà ïîëóïðîçðà÷íóþ äåëèòåëüíóþ ïëàñòèíêó
Л
Ï1. Îáðàçóþùèåñÿ äâà ïó÷êà ñ ïëîñêèìè ôàЗ2
çîâûìè ôðîíòàìè (îòìå÷åíû øòðèõîâûìè ëè- П
1
íèÿìè) ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàë Ç1 è Ç2
ïîïàäàþò íà âòîðóþ ïîëóïðîçðà÷íóþ ïëàñòèíêó Ï2. Åñëè ìåæäó çåðêàëàìè Ç1 è Ç2 èìååòñÿ íåáîëüøîé óãîë J, òî òàêîé æå óãîë áóäåò
ìåæäó âîëíîâûìè ôðîíòàìè äâóõ ïó÷êîâ, ïîïàäàþùèõ íà ýêðàí Ý. Ñîãëàñíî (9.1), èíòåðП2
З1
ôåðîãðàììà áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïîëîñ øèðèíîé Dx = l/J.
J
Åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû íà ïóòè
îäíîãî èç ëó÷åé èçìåíèòñÿ, òî ýòî ïðèâåäåò
Э
ê ñîîòâåòñòâóþùåìó èçìåíåíèþ êàðòèíû.
Ðèñ. 9.17
Ïîñêîëüêó ðàññòîÿíèå ìåæäó èíòåðôåðèðóþùèìè ïó÷êàìè âåëèêî, ìîæíî èçìåðÿòü ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè â ïîòîêå ñæèìàåìîãî ãàçà.  òåõíè÷åñêîì âàðèàíòå â îäíîì èç ïëå÷ èíòåðôåðîìåòðà
ìîæåò ïîìåùàòüñÿ ðàáî÷àÿ ñåêöèÿ àýðîäèíàìè÷åñêîé òðóáû, èëè òðóáû,
â êîòîðîé âîçáóæäàþò óäàðíûå âîëíû. Íà ðèñ. 9.18 ïîêàçàíà èíòåðôåðîãðàììà,
âîçíèêàþùàÿ ïðè ñâåðõçâóêîâîì îáòåêàíèè øàðà ïîòîêîì âîçäóõà, ÷èñëî Ìàõà
ðàâíî 5,7 (èç êíèãè Ì. Âàí-Äàéêà «Àëüáîì òå÷åíèé æèäêîñòè è ãàçà»). Îò÷åòëèâî âèäíà ñòðóêòóðà ïîòîêà, â òîì ÷èñëå è ôðîíò óäàðíîé âîëíû.
Ëàçåðíûé ãèðîñêîï. Íà ïëàòôîðìå, ñïîñîáíîé ïîâîðà÷èâàòüñÿ ñ íåêîòîðîé
óãëîâîé ñêîðîñòüþ, ðàñïîëîæåí ëàçåð, ðåçîíàòîð êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
÷åòûðå çåðêàëà è óñòðîéñòâî Ï (íàïðèìåð, ïðèçìà) äëÿ âûâîäà èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí (ðèñ. 9.19).
Òàêîé ðåçîíàòîð íàçûâàåòñÿ êîëüöåâûì. Îí, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü
îáðàçîâàí òðåìÿ èëè áîëåå îòðàæàþùèìè ýëåìåíòàìè. Ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ
óñëîâèÿõ â ïðåäåëàõ øèðèíû ëèíèè óñèëåíèÿ Dnóñ ëàçåð áóäåò ãåíåðèðîâàòü
îäíó ïðîäîëüíóþ ìîäó ñ ÷àñòîòîé n0 = c/(4l ), òàê êàê äëèíà êîëüöåâîãî ðåçîíà-
Ðèñ. 9.18
Ðèñ. 9.19
109
òîðà L = 4l, ïðè÷åì ãåíåðèðóåìûå âîëíû ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.
Îäíàêî åñëè ó ïëàòôîðìû ïîÿâèòñÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü W, òî àêòèâíàÿ ñðåäà
l
ïðèîáðåòåò ëèíåéíóþ ñêîðîñòü L = W . Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýôôåêòîì Äîïëåðà äëÿ
2
íàáëþäàòåëÿ, äâèæóùåãîñÿ âìåñòå ñî ñðåäîé, ÷àñòîòû âîëí ñòàíóò ðàçëè÷íûìè:
Lö
æ
n 1 = n 0 ç1 - ÷ ;
è
cø
Lö
æ
n 2 = n 0 ç1 + ÷ .
è
cø
(9.20)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî áóäóò ãåíåðèðîâàòüñÿ äâå ïðîäîëüíûå ìîäû ñî ñìåùåíL
íûìè ÷àñòîòàìè, òàê êàê Dn óñ > 2n 0 . Òîãäà ôîòîäåòåêòîð áóäåò ôèêñèðîâàòü
c
èíòåíñèâíîñòü ñóììàðíîãî ïîëÿ, êîòîðàÿ èçìåíÿåòñÿ ñ ÷àñòîòîé áèåíèé
L
Dn = n 2 - n1 = 2n 0 .
(9.21)
c
r
Åñëè âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè W ñîñòàâëÿåò óãîë J ñ íîðìàëüþ ê ïëàòôîðl
ìå, òî ñêîðîñòü L çàìåíÿåòñÿ â (9.21) íà L cos J. Ñ ó÷åòîì åå âåëè÷èíû L = W
2
(9.21) çàïèøåòñÿ â âèäå
Wl
S
(9.22)
cos J = 4 n 0 W cos J,
L
2c
ãäå S = l 2 — ïëîùàäü êîíòóðà, îõâàòûâàåìîãî ëó÷àìè; L = 4l — åãî ïåðèìåòð.
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà (9.22) ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîãî êîëüöåâîãî
ðåçîíàòîðà. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé åå çàïèñûâàþò â âèäå
Dn = 2n 0
Dn =
W
8pS W
cos J = G
cos J,
l 0 L 2p
2p
(9.23)
8pS
.
l 0L
Ïðè èñïîëüçîâàíèè He-Ne-ëàçåðà (l0 » 0,6 × 10-4 ñì) ïðè äëèíå L = 0,25 ì
ïîëó÷àåì G = 2,6 × 106. Åñëè ñóòî÷íîå âðàùåíèå Çåìëè ïðîèñõîäèò ñ óãëîâîé
ñêîðîñòüþ WÇ = 15 ãðàä/÷, òî íà øèðîòå J = 60° ÷àñòîòà Dn = 15 Ãö. Ïîýòîìó åñëè
îñü ãèðîñêîïà íàïðàâèòü íà Ñîëíöå, òî, èçìåðÿÿ Dn, ìîæíî ñ òî÷íîñòüþ
äî äîëåé ãðàäóñà îïðåäåëèòü øèðîòó J ìåñòà, ãäå ðàñïîëîæåí ãèðîñêîï. Ìîæíî
ðàññ÷èòàòü òàêæå óãîë j = ò W(t )dt ïîâîðîòà ãèðîñêîïà çà êîíå÷íîå âðåìÿ, ïðîâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî âðåìåíè ñèãíàëà ôîòîäåòåêòîðà.
Ïðåäåë ÷óâñòâèòåëüíîñòè ãèðîñêîïîâ îïðåäåëÿåòñÿ øèðèíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ.
Ïðàêòè÷åñêè øèðèíó ëèíèè ìîæíî äîâåñòè äî âåëè÷èíû ïîðÿäêà 1 Ãö. Ñëåäîâàòåëüíî, è ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòîòà áèåíèé, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü èçìåðåíà,
Dnmin ~ 1 Ãö. Ýòîé ÷àñòîòå ñîîòâåòñòâóåò W min ~ 1 ãðàä/÷. Ñïåöèàëüíûìè ìåòîäàìè îáðàáîòêè ñèãíàëà ìîæíî ïîâûñèòü òî÷íîñòü äî 10-3 ãðàä/÷.
Òî÷íîñòü îïòè÷åñêèõ ãèðîñêîïîâ óñòóïàåò ëó÷øèì îáðàçöàì ìåõàíè÷åñêèõ
ãèðîñêîïîâ, íî ó íèõ èìååòñÿ ðÿä ïðåèìóùåñòâ: îòñóòñòâèå äâèæóùèõñÿ ÷àñòåé, áåçûíåðöèîííîñòü, áûñòðîòà çàïóñêà, íàäåæíîñòü è ñòàáèëüíîñòü ïðè
âûñîêèõ óñêîðåíèÿõ è êîëåáàíèÿõ òåìïåðàòóðû.
Îïòè÷åñêèå ãèðîñêîïû ïðèìåíÿþòñÿ íå òîëüêî êàê èíäèêàòîðû ïîâîðîòà,
íî è êàê ãèðîêîìïàñû è ñåêñòàíòû.
ãäå G =
Ë Å Ê Ö È ß 10
Ðàññìàòðèâàÿ ôèçè÷åñêèå ïðèíöèïû èíòåðôåðåíöèè è óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ èíòåðôåðîãðàìì, ìû ââåëè ïîíÿòèÿ ñíà÷àëà âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè tê,
à çàòåì è ðàäèóñà ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè lê. Îáå ýòè âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ âàæíåéøèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé êîãåðåíòíîñòè ñâåòîâîãî ïîëÿ.
Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ ôóíêöèÿ êîãåðåíòíîñòè ïîëÿ. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå èìååòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, íàïðÿæåííîñòü êîòîðîãî E(r, t) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò è âðåìåíè. Êàêîâà êîãåðåíòíîñòü ýòîãî ïîëÿ
â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà r1 è r2 è â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè t1 è t2?
Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü, âîñïîëüçîâàâøèñü èíòåðôåðåíöèîííîé ñõåìîé Þíãà (ðèñ. 10.1).
Îòâåðñòèÿ â ýêðàíå Ý1 ñîâìåùàþò ñ òî÷êàìè r1 è r2, à ìîìåíòû âðåìåíè
îïðåäåëÿþòñÿ ïîëîæåíèåì òî÷êè P è ìîìåíòîì âðåìåíè t ðåãèñòðàöèè â íåé
èíòåðôåðîãðàììû. Îáîçíà÷èì E1 = E(r1,t 1) è E 2 = E(r 2,t 2) è ðàññ÷èòàåì
èíòåðôåðîãðàììó.
µ èÅ
µ . Òîãäà
Äëÿ óäîáñòâà ðàñ÷åòà ïåðåéäåì ê êîìïëåêñíûì âåëè÷èíàì Å
1
2
Å1 =
1 µ
µ* );
(Å 1 + Å
1
2
1 µ
µ* ),
(Å 2 + Å
2
2
Å2 =
(10.1)
ãäå çíà÷îê * îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå
ñîïðÿæåíèå.
µˆ = a e i ( w 0 t 2 + j 2 ), ãäå a è j — ìåäëåííî ìåíÿþùèåñÿ
µ 1 = a e i ( w 0t1 + j1 ) , E
Åñëè E
2
1
2
ôóíêöèè âðåìåíè, òî
I1 =
à12 1 µ 2
= |Å 1 | ;
2
2
I2 =
à22 1 µ 2
= |Å 2 | .
2
2
(10.2)
Ïîñêîëüêó ñóììàðíîå ïîëå
µ=Å
µ +Å
µ ,
Å
1
2
(10.3)
èíòåíñèâíîñòü
I =
1 µ2 1 µ
1 µ* µ
µ )(Å
µ* + Å
µ * ) = I + I + 1 (Å
µ Å
µ*
| Å | = (Å 1 + Å
(Å 1 Å 2 ). (10.4)
2
1
2
1
2
1 2) +
2
2
2
2
Ââåäåì êîìïëåêñíóþ ôóíêöèþ âçàèìíîé êîãåðåíòíîñòè ïîëÿ
à 12 =
1 µ µ*
(Å 1 Å 2 ).
2
(10.5)
Òîãäà âûðàæåíèå (10.4) ïðèìåò âèä
I = I 1 + I 2 + 2 Re à 12 .
(10.6)
111
Ðèñ. 10.1
Ðèñ. 10.2
Äëÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ îáùèé âèä ôóíêöèè Ã12 ìîæíî
ïîëó÷èòü, âûïîëíÿÿ ïðîöåäóðó óñðåäíåíèÿ (ñì. ïðèë. ê ëåêöèè 8). Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ t = (L2 - L1)/c, Dj = j1 - j2, ïîëó÷àåì
à 12 =
a a e -i Dj i w 0t
1
1
a1a2e -i Dje i w 0t =
a12 a22 1 2
e
=
2
2
a12a22
= I 1I 2 [c12 (t) - is12 (t)] e i w 0t = I 1I 2 g 12 (t)e i w 0t .
(10.7)
Çäåñü g12(t) — êîìïëåêñíàÿ ñòåïåíü êîãåðåíòíîñòè. Îíà çàâèñèò êàê îò âðåìåíè çàäåðæêè t, òàê è îò ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê r1 è r2. Ìîäóëü | g12 | èçìåíÿåòñÿ
â äèàïàçîíå 0 < | g12 | < 1. Åãî âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ
êîãåðåíòíîñòü ïîëåé E1 è E2.
Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè (10.6) ïðèìåò âèä
I = I 1 + I 2 + 2 g 12 cos [w 0 t + y(t)] .
(10.8)
Âèäíîñòü èíòåðôåðîãðàììû
V12 (t) = 2
I 1I 2
g 12 (t) .
I1 + I 2
(10.9)
Òàêèì îáðàçîì, ìîäóëü ñòåïåíè êîãåðåíòíîñòè ìîæíî ðàññ÷èòàòü, èçìåðÿÿ
âèäíîñòü èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðîàíàëèçèðóåì êîãåðåíòíîñòü ïîëÿ íà ýêðàíå Ý1, èçëó÷àåìîãî îäíîìåðíûì òåïëîâûì èñòî÷íèêîì, èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü êîòîðîãî EnT çàâèñèò îò êîîðäèíàòû x (ðèñ. 10.2).
 ýêðàíå ïðîäåëàíû äâà íåáîëüøèõ îòâåðñòèÿ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè
ðàâíî l. Ïóñòü ñâåòÿùàÿñÿ ïîëîñêà d x èçëó÷àåò ïîòîê ~EnT (x)d x, à èíòåíñèâíîñòü
ýòîé âîëíû âáëèçè êàæäîãî èç îòâåðñòèé dI0 = I0 g(x)d x. Çäåñü g(x) = const × EnT /I0 —
íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå èçëó÷àòåëüíîé ñïîñîáíîñòè ( ò g (x )d x = 1), êîíñòàíòà îïðåäåëÿåòñÿ óäàëåíèåì ýêðàíà
îò èñòî÷íèêà. Åå âåëè÷èíà â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ íå èìååò çíà÷åíèÿ.
Ýëåìåíòàðíàÿ èíòåðôåðîãðàììà îò ñâåòÿùåéñÿ ïîëîñêè â ñîîòâåòñòâèè
ñ (8.14) îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì
é
æ x - ax ö ù
dI ( x ) = 2I 0 g (x)d x ê1 + cos 2p ç
,
è Dx ÷ø úû
ë
(10.10)
ãäå Dx = l0L/l — øèðèíà èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû; a = L/L¢; ax — ñìåùåíèå
ïîëîñ âäîëü êîîðäèíàòû x.
112
Èíòåãðèðóÿ ïî x, ïîëó÷àåì
é
æ x - ax ö ù
I ( õ ) = ò dI ( õ ) = 2I 0 + 2I 0 ò g (x) ê1 + cos 2p ç
d x.
è Dx ø÷ úû
ë
(10.11)
Åñëè èñòî÷íèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíî ñâåòÿùóþñÿ ïîëîñêó øèðèíîé d, òî g(x) = 1/d. Ïîýòîìó
I ( õ ) = 2I 0 + 2I 0
d 2
ò
-d
1
d
2
é
x
æ x - ax ö ù
æ pad ö
ê1 + cos 2p èç Dx ø÷ ú d x = 2I 0 + 2I 0 sinc èç Dx ø÷ cos 2p Dx . (10.12)
ë
û
Ïîäñòàâëÿÿ â (10.12) âûðàæåíèÿ äëÿ a è Dx è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 2px/Dx = w0t,
ïîëó÷èì
æ pl ö
I (l , t) = 2I 0 + 2I 0 sinc ç ÷ cos w 0 t.
è lê ø
(10.13)
Çäåñü
lê =
l 0 L¢
d
— ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè ïîëÿ íà ýêðàíå Ý1.
Ñðàâíèâàÿ (10.13) è (10.8), ïîëó÷àåì
æ pl ö
g 12 (l ) = sinc ç ÷ = V12 (l ).
è lê ø
(10.14)
Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåíü êîãåðåíòíîñòè g12 íå çàâèñèò îò t, ïîñêîëüêó èñòî÷íèê ìîíîõðîìàòè÷åñêèé. Ñ óâåëè÷åíèåì l ìîäóëü ñòåïåíè êîãåðåíòíîñòè | g12(l )|
óáûâàåò è ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ ïðè l = lê.
Åñëè òåïåðü ó÷åñòü, ÷òî èñòî÷íèê èìååò êîíå÷íóþ øèðèíó ñïåêòðà, òî âèäíîñòü êàðòèíû ïðè ôèêñèðîâàííîì ðàññòîÿíèè l áóäåò óõóäøàòüñÿ ñ óâåëè÷åíèåì âðåìåíè çàäåðæêè.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ | g12(l, t)| áóäåò óáûâàòü êàê ïðè
óâåëè÷åíèè l, òàê è ïðè óâåëè÷åíèè t. Ìàñøòàáàìè åå èçìåíåíèÿ, î÷åâèäíî,
áóäóò ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè lê è âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè tê.
Íà ðèñ. 10.3 èçîáðàæåíû êà÷åñòâåííî ôóíêöèè âèäíîñòè äëÿ èñòî÷íèêà ñ
ãàóñcîâûì ñïåêòðîì èçëó÷åíèÿ ïðè äâóõ ðàçëè÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ l.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïðîèçâîëüíûõ l è t ôóíêöèè V12(l, t) è | g12(l, t)|, ñâÿçàííûå ñîîòíîøåíèåì (10.9), õàðàêòåðèçóþò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ êîãåðåíòíîñòü. ×ðåçâû÷àéíî âàæíûìè ÿâëÿþòñÿ äâà ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ.
Åñëè l = lê, êàê, íàïðèìåð, â ñõåìàõ ñ äåëåíèåì àìïëèòóäû, òî ìîæíî
ïîëîæèòü l = 0. Òîãäà V12(0,t) è | g12(0,t)| õàðàêòåðèçóþò âðåìåííóþ êîãåðåíòíîñòü.
Ýòè âåëè÷èíû ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòàòü ñïåêòðàëüíóþ
ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè S(w) (èëè êîíòóð g(w) ñïåêV (l, t)
òðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ).
1
Åñëè t = tê, êàê â ðàññìîòðåííîì âûøå ñëó÷àå, òî
l = lк
ìîæíî ïîëîæèòü t = 0. Òîãäà V12(l, 0) è |g12(l, 0)| õàðàêòåðèçóþò ïðîñòðàíñòâåííóþ êîãåðåíòíîñòü. Ýòè âåëè÷èl ~ lк
íû ïîçâîëÿþò, ñîãëàñíî (10.11), ðàññ÷èòàòü ôóíêöèþ
tк
t
O
g(x), õàðàêòåðèçóþùóþ ðàñïðåäåëåíèå èçëó÷àòåëüíîé
Ðèñ. 10.3
ñïîñîáíîñòè âäîëü ïîâåðõíîñòè òåïëîâîãî èñòî÷íèêà.
12
113
Ðèñ. 10.4
Ðèñ. 10.5
Ìíîãîëó÷åâàÿ èíòåðôåðåíöèÿ.  ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ñõåìàõ èíòåðôåðèðîâàëè äâå âîëíû (èëè äâà ëó÷à). Øèðèíà ìàêñèìóìîâ â èíòåðôåðîãðàììàõ áûëà
ïðàêòè÷åñêè òàêîé æå, êàê è ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè.
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé ÷àñòî íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü óçêèå è ÿðêèå èíòåðôåðåíöèîííûå ìàêñèìóìû, îòñòîÿùèå äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèÿ, çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþùèå øèðèíó ñàìèõ ìàêñèìóìîâ. Ýòî äîñòèãàåòñÿ ïðè èíòåðôåðåíöèè áîëüøîãî ÷èñëà âîëí.
Îäíà èç âîçìîæíûõ ñõåì îñíîâàíà íà ìíîãîêðàòíîì îòðàæåíèè è ïðåëîìëåíèè ïàäàþùåé íàêëîííî âîëíû íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïðîçðà÷íóþ ïëàñòèíó (ðèñ. 10.4).
Ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ïîäáîðå êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ îò åå ïîâåðõíîñòåé ìîæíî ïîëó÷èòü áîëüøîå ÷èñëî (~102) èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé. Èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû èëè êîëüöà îáû÷íî íàáëþäàþòñÿ â äàëüíåì ïîëå, ïîýòîìó îíè ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè ðàâíîãî íàêëîíà. Ýòè ëèíèè ìîæíî íàáëþäàòü
êàê â îòðàæåííîì, òàê è ïðîõîäÿùåì ñâåòå.
Äðóãîé âîçìîæíîé ñõåìîé ÿâëÿåòñÿ ñõåìà, â êîòîðîé ïëîñêàÿ âîëíà ïàäàåò
íà ñòîïó ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ ñòåêëÿííûõ ïëàñòèí (ðèñ. 10.5).
×èñëî ïëàñòèí â ñòîïå ~20 — 30, ïîýòîìó ÷èñëî èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé
íåñêîëüêî ìåíüøå, ÷åì â ñõåìå ñ ìíîãîêðàòíûì îòðàæåíèåì.
Èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè— Ïåðî.  ýòîì èíòåðôåðîìåòðå ðåàëèçîâàí ïðèíöèï
ìíîãîêðàòíîãî îòðàæåíèÿ. Êîíñòðóêòèâíî îí âûïîëíåí â âèäå äâóõ ïëàñòèí Ï1
è Ï2, âíóòðåííèå ïîâåðõíîñòè êîòîðûõ óñòàíîâëåíû ïàðàëëåëüíî (ðèñ. 10.6).
Íà ïîâåðõíîñòè íàíîñÿò îòðàæàþùèå ïîêðûòèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå âûñîêèé
êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ñâåòà. Ôàêòè÷åñêè èíòåðôåðîìåòð ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì
îïòè÷åñêèì ðåçîíàòîðîì.
Ïëàñòèíêè äåëàþò ñëåãêà êëèíîâèäíûìè, ÷òîáû íå îáðàçîâûâàëñÿ âòîðîé
ðåçîíàòîð ïðè îòðàæåíèè ñâåòà îò âíåøíèõ ïîâåðõíîñòåé. Ìåæäó ïëàñòèíàìè
óñòàíàâëèâàþò ñìåííûå êîëüöà ðàçëè÷íîé
òîëùèíû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ôèêñèðóþò ïàðàëëåëüíîñòü ïîâåðõíîñòåé è ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè.
Ïðè ïàäåíèè íà èíòåðôåðîìåòð ðàñõîäÿùåãîñÿ ïó÷êà ëó÷åé â ïðîøåäøåì è îòðàæåííîì ñâåòå íàáëþäàþò êîëüöà ðàâíîãî íàêëîíà. Èõ ïîëîæåíèå çàâèñèò îò äëèíû âîëíû l, ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ n
Ðèñ. 10.6
ñðåäû âíóòðè èíòåðôåðîìåòðà è ðàññòîÿ114
íèÿ L ìåæäó ïëàñòèíàìè, à ÿðêîñòü è øèðèíà — îò êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ ïîâåðõíîñòåé.
Ðàññ÷èòàåì èíòåðôåðîãðàììó äëÿ ïðîøåäøåãî ñâåòà. Ïóñòü ïîä óãëîì y ê îñè
ðåçîíàòîðà ïàäàåò ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ
ïëîñêàÿ âîëíà ñ äëèíîé âîëíû l0 (èëè ÷àñòîòîé w0 = 2pc/l0). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàïðÿæåííîñòü åå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïðè
Ðèñ. 10.7
ïàäåíèè íà ëåâîå çåðêàëî èíòåðôåðîìåòðà
ðàâíà Å 0 = à0å i w 0t . Åñëè çàäàíû êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ r è ïðîïóñêàíèÿ t,
òî íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ âîëíû ïðè îäíîêðàòíîì îòðàæåíèè îò çåðêàëà è ïðîõîæäåíèè ÷åðåç íåãî áóäóò ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
Eîòð = rEïàä; Eïðîø = tEïàä,
(10.15)
ãäå Eïàä — íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ïàäàþùåé íà çåðêàëî âîëíû.
Òîãäà ïîëå ïåðâîé âîëíû, äâàæäû ïðîøåäøåé ÷åðåç çåðêàëà, ðàâíî E1 = t 2E0.
Âòîðàÿ âîëíà, êîòîðàÿ èñïûòûâàåò åùå è îòðàæåíèå îò îáîèõ çåðêàë, íà âûõîäå ïðèîáðåòåò äîïîëíèòåëüíûé íàáåã ôàçû
Ô=
2p
2Ln cos y,
l0
(10.16)
ïîýòîìó íàïðÿæåííîñòü åå ïîëÿ E2 = t 2r 2e iÔE0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ p-é âîëíû
E p = t 2r 2 p - 2e i ( ð -1)ÔE 0 .
(10.17)
Òîãäà ñóììàðíîå ïîëå
Å = Å1 + Å 2 + Å 3 + K = Å 0t 2 (1 + r 2e i Ô + r 4e 2i Ô + K) =
t2
i w 0t . (10.18)
à0å i w 0t = àå
1 - r 2e i Ô
Ïåðåõîäÿ ê èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷àåì
I =
t4
1 2 à02
|à | =
.
2 2
2
2 (1 - r ) + 4r 2 sin 2 (Ô/2)
(10.19)
Ôîðìóëà Ýéðè. Ââîäÿ R = r 2, T = t 2 — êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ ïî èíòåíñèâíîñòè, èëè ýíåðãåòè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû, äëÿ êîòîðûõ
T + R = 1, è èíòåíñèâíîñòü I0 = a02/2, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
I (Ô) =
I0
,
4R
2
1+
sin
(Ô/2)
(1 - R ) 2
(10.20)
íàçûâàåìîå ôîðìóëîé Ýéðè.
Íà ðèñ. 10.7 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü (10.20).
Âíèçó óêàçàíà ðàäèàëüíàÿ êîîðäèíàòà r, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò öåíòðà êîëåö,
è óêàçàíû ðàäèóñû r1 è r2 äâóõ êîëåö.
Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Ââåäåì ôàêòîð ðåçêîñòè, èëè ðåçêîñòü,
F =
4R
.
(1 - R ) 2
(10.21)
115
Îí îïðåäåëÿåò øèðèíó èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû DÔA â åäèíèöàõ Ô (ñì.
ðèñ. 10.7). Ïî óðîâíþ 0,5 îíà îïðåäåëÿåòñÿ èç (10.19):
1
1
= .
1 + F sin 2 (DÔ A /4) 2
(10.22)
Ïðè DÔA =1 sin2(DÔA/4) » (DÔA/4)2, ïîýòîìó DÔA = 4/ F . Åñëè ïðèíÿòü
R = 0,98, òî F » 104. Øèðèíà êîëüöà DÔA = 4 × 10-2 è íà äâà ïîðÿäêà ìåíüøå
ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîëüöàìè. Ìàêñèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü â êîëüöå Imax = I0,
à ìåæäó êîëüöàìè Imin = I0 /F ~ 10-4I0. Òàêèì îáðàçîì, èíòåðôåðîãðàììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî ÿðêèõ è î÷åíü óçêèõ êîëåö.
Òàêîé èíòåðôåðîìåòð øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà. Åñëè
â ñïåêòðå ïàäàþùåãî ñâåòà ïðèñóòñòâóþò äâå äëèíû âîëíû l1 è l2, òî âîçíèêíóò
äâå ñèñòåìû êîëåö. Èç-çà êîíå÷íîé øèðèíû DÔA = 4/ F èíòåðôåðîìåòð ðàçðåøèò (ðàçäåëèò) ýòè äâå âîëíû, åñëè l2 - l1 ³ Dlmin. Âåëè÷èíà èíòåðâàëà Dlmin
îïðåäåëÿåòñÿ øèðèíîé êîëüöà DÔA. Ïî ñóùåñòâó DÔA — øèðèíà àïïàðàòíîé
ôóíêöèè èíòåðôåðîìåòðà, à ñàìà ôóíêöèÿ
g A (Ô) :
1
.
1 + F sin 2 (Ô/2)
Îïðåäåëèì âåëè÷èíó Dlmin. Èç (10.16) ïîëó÷àåì DÔ = ïèøåì óñëîâèå ðàçðåøåíèÿ (ðàçäåëåíèÿ) â âèäå
| DÔ| =
(10.23)
2p
Dl × 2Ln cos y . Çàl 02
2p
4
Dl min × 2Ln cos y = DÔ A =
.
l 02
F
(10.24)
Ïåðåõîäÿ ê ðàçðåøàþùåé ñèëå, ïîëó÷àåì
R
=
l0
2Ln cos y
2Lnp R
=
p F =
.
Dl min
l0
l0 1 - R
(10.25)
Çäåñü ðàçðåøàþùàÿ ñèëà âû÷èñëåíà â ñàìîì áîëüøîì ïîðÿäêå èíòåðôåðåíöèè âáëèçè îñè êîëåö, ãäå y » 0. Ïðè L = 1 ñì, l0 = 500 íì, F » 104, n » 1
R ~ 5 × 106. Ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ìîæíî óâåëè÷èòü, ðàçäâèãàÿ ïëàñòèíû
èíòåðôåðîìåòðà.
Ç à ì å ÷ à í è å 1.  ôîðìóëå (10.25) îòíîøåíèå 2Ln/l0 = m — ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè, 1 - R = T — äîëÿ ýíåðãèè, óõîäÿùåé ñ êàæäîé èíòåðôåðèðóþùåé
âîëíîé. ×èñëî N òàêèõ âîëí ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî
N »
1
1
=
.
T 1-R
(10.26)
Ñëåäîâàòåëüíî,
R
» mN.
(10.27)
Òàêèì îáðàçîì, ðàçðåøàþùàÿ ñèëà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîðÿäêà èíòåðôåðåíöèè è ÷èñëà èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé. Ïðè R = 0,98 ïîëó÷èì N » 50. Åñëè L = 1 ñì,
l0 = 0,5 × 10-4 ñì, òî m » 4 × 104 è R » 2 × 106.
Ç à ì å ÷ à í è å 2. Åñëè îáðàòèòüñÿ ê äîáðîòíîñòè ðåçîíàòîðà (ñì. ëåêöèþ 7),
â êîòîðîì ïîòåðè îáóñëîâëåíû òîëüêî îòðàæåíèåì, òî â (7.21) êîýôôèöèåíò
ïîòåðü b = 1 - R. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî l = l0/n, ïîëó÷àåì äëÿ äîáðîòíîñòè âûðàæåíèå
116
Q =
n
2pLn
=
.
l 0 (1 - R ) dn p
(10.28)
Ñðàâíèâàÿ (10.28) è (10.25), ìîæåì ñäåëàòü âûâîä, ÷òî R » Q. Øèðèíà dnð
ðåçîíàíñíîé êðèâîé áëèçêà ê øèðèíå àïïàðàòíîé ôóíêöèè (dnð » dnA).
Ïîñêîëüêó èíòåðôåðîìåòð îáëàäàåò áîëüøîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ,
îí ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ èçó÷åíèÿ òîíêîé ñòðóêòóðû ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. Ñàìà
øèðèíà ëèíèè Dl äîëæíà áûòü òàêîé, ÷òîáû êîëüöà ðàçíûõ ïîðÿäêîâ íå ïåðåêðûâàëèñü. Ñîãëàñíî (8.20), ïåðåêðûòèå êîëåö íàñòóïàåò ïðè m > mmax, ãäå
mmax =
l0
.
Dl
(10.29)
Ïîýòîìó
Dl < Dl max =
l0
.
mmax
(10.30)
Âåëè÷èíà Dlmax íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñâîáîäíîé äèñïåðñèè. Ïîñêîëüêó mmax =
= 2Ln/l0 ~ 104, îáëàñòü ñâîáîäíîé äèñïåðñèè ìàëà: Dlmax ~ 10-4 l0 ~ 1 D.
Íà ðèñ. 10.8 èçîáðàæåíà òîíêàÿ ñòðóêòóðà èçëó÷åíèÿ He-Ne-ëàçåðà.
Êàæäîå èíòåðôåðåíöèîííîå êîëüöî ñîñòîèò èç äâóõ òåñíî ïðèìûêàþùèõ
êîëåö. Èõ ïîÿâëåíèå ñâÿçàíî ñ ãåíåðàöèåé ëàçåðîì íåñêîëüêèõ ïðîäîëüíûõ
ìîä. Ïðè äëèíå L ~ 0,5 ì ìåæìîäîâàÿ ÷àñòîòà, ñîãëàñíî (7.11), dn = 3 × 108 Ãö.
Äëÿ äëèíû âîëíû l0 = 6328 D ÷àñòîòà n0 = 5 × 1014 Ãö, ïîýòîìó äëÿ íàáëþäåíèÿ
ýòèõ ïðèìûêàþùèõ êîëåö ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü èíòåðôåðîìåòðà äîëæíà
áûòü R > n0/(dn) ~ 2 × 106.
Äëÿ óäîáñòâà ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà ïðèìåíÿþò ñêàíèðóåìûå èíòåðôåðîìåòðû, â êîòîðûõ ìîíîòîííî èçìåíÿåòñÿ îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà 2Ln. Òîãäà
ðàäèóñ èíòåðôåðåíöèîííûõ êîëåö ëèáî óâåëè÷èâàåòñÿ, ëèáî óìåíüøàåòñÿ,
è ñ ïîìîùüþ íåïîäâèæíîãî ôîòîäåòåêòîðà ìîæíî çàïèñàòü ÷àñòü èíòåðôåðîãðàììû, ñîîòâåòñòâóþùóþ êàêîìó-ëèáî ïîðÿäêó èíòåðôåðåíöèè.
Åñëè äëèíà L > 1 ñì, òî ñêàíèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ n.
 ýòîì ñëó÷àå âîçäóõ ìåæäó çåðêàëàìè ïîìåùàåòñÿ â êþâåòó è èçìåíÿåòñÿ åãî äàâëåíèå â ïðåäåëàõ 1 ìì ðò. ñò. < p < 100 ìì ðò. ñò.
Åñëè L < 1 ñì, òî èçìåíåíèå n íå ïðèâîäèò ê çàìåòíîìó ñäâèãó èíòåðôåðîãðàììû.
Ïîýòîìó îäíî èç çåðêàë ïðèêðåïëÿþò ê ïüåçîýëåêòðè÷åñêîé ïëàñòèíêå, èçìåíÿÿ ñ
åå ïîìîùüþ ðàññòîÿíèå L â ïðåäåëàõ íåñêîëüêèõ äëèí âîëí.
 íåêîòîðûõ èíòåðôåðîìåòðàõ âåëè÷èíà
L ôèêñèðîâàíà è èçìåíÿòüñÿ íå ìîæåò. Òàêèå èíòåðôåðîìåòðû íàçûâàþòñÿ ýòàëîíàìè Ôàáðè — Ïåðî.
Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòîâîãî èìïóëüñà. Ïðè
ïàäåíèè íà èíòåðôåðîìåòð ñâåòîâîãî èìïóëüñà èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ìîæåò
îòëè÷àòüñÿ îò ðàññìîòðåííîé âûøå. Ðåæèì
Ðèñ. 10.8
èíòåðôåðåíöèè çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ
117
äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà t0 è âðåìåíè Dt = 2Ln/c, íåîáõîäèìîãî äëÿ ïðîáåãà
ðåçîíàòîðà ñâåòîâûì èìïóëüñîì. Âûäåëèì òðè ðåæèìà:
• ñòàöèîíàðíûé (t0 ? Dt). Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòåé â òå÷åíèå âðåìåíè
t0 áóäåò îïèñûâàòüñÿ ôîðìóëîé Ýéðè, â êîòîðîé I0(t) — ôóíêöèÿ âðåìåíè,
îïèñûâàþùàÿ îãèáàþùóþ èìïóëüñà;
• êâàçèñòàöèîíàðíûé (t0 > Dt).  ýòîì ðåæèìå â òå÷åíèå âðåìåíè t0 â ðåçîíàñt 0
t
òîðå ñôîðìèðóåòñÿ ìåíüøå èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí. Èõ ÷èñëî N t » 0 =
.
Dt 2Ln
Ñîãëàñíî (10.26), ñèòóàöèÿ ýêâèâàëåíòíà ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ ñ óìåíüøåííûì êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ R. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåçêîñòü èíòåðôåðîãðàììû
óìåíüøèòñÿ;
• èìïóëüñíûé (t0 < Dt).  ýòîì ðåæèìå èíòåðôåðåíöèÿ íåâîçìîæíà. Èç èíòåð1
ôåðîìåòðà áóäóò «âûëåòàòü» N :
èìïóëüñîâ, ñëåäóþùèõ äðóã çà äðóãîì
1-R
ñ èíòåðâàëîì âðåìåíè Dt.
ÐÀÇÄÅË 4
ÄÈÔÐÀÊÖÈß ÑÂÅÒÀ
Ë Å Ê Ö È ß 11
Äëÿ îïèñàíèÿ èíòåðôåðåíöèè áûëè èñïîëüçîâàíû äâå âàæíåéøèå ìîäåëè
âîëí — ïëîñêèå è ñôåðè÷åñêèå.  íåêîòîðûõ èíòåðôåðåíöèîííûõ ñõåìàõ (èíòåðôåðîìåòðû Ðýëåÿ è Ìàõà — Öåíäåðà) èç ñôåðè÷åñêîé âîëíû ôîðìèðîâàëñÿ
íàïðàâëåííûé êîëëèìèðîâàííûé ñâåòîâîé ïó÷îê, ïîïåðå÷íûé ðàçìåð êîòîðîãî d çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèë äëèíó âîëíû l. Ýòîò ïó÷îê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêóþ íåîäíîðîäíóþ âîëíó, ïîñêîëüêó àìïëèòóäà âîëíû îòëè÷íà
îò íóëÿ ëèøü â ïðåäåëàõ åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, íî çàòåì áûñòðî óáûâàåò
âíå ýòîãî ñå÷åíèÿ.
Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïëîñêàÿ âîëíà ñ îãðàíè÷åííûì ðàçìåðîì d åå âîëíîâîãî ôðîíòà (íàïðèìåð, ïðîøåäøàÿ ÷åðåç êðóãëîå îòâåðñòèå äèàìåòðîì d )
ïî ìåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ áóäåò ïîñòåïåííî òðàíñôîðìèðîâàòüñÿ â ñôåðè÷åñêóþ. Ïðè ïðîõîæäåíèè ïëîñêîé âîëíû ÷åðåç ùåëü åå ôàçîâûé ôðîíò
èç ïëîñêîãî ïîñòåïåííî òðàíñôîðìèðóåòñÿ â öèëèíäðè÷åñêèé.  ýòîì ëåãêî
óáåäèòüñÿ, íàïðàâèâ êîëëèìèðîâàííûé ëó÷ ëàçåðà (ëàçåðíîé óêàçêè), èìåþùèé ïëîñêèé ôàçîâûé ôðîíò, íà íåïðîçðà÷íûé ýêðàí ñ ðàçäâèæíîé ùåëüþ.
Åñëè øèðèíà d ùåëè áóäåò ìîíîòîííî óìåíüøàòüñÿ îò íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ,
ðàâíîãî ïðèáëèçèòåëüíî øèðèíå ëàçåðíîãî ëó÷à, òî íà ñâåòëîì ýêðàíå ïîçàäè
ùåëè îñâåùåííàÿ îáëàñòü áóäåò ðàñøèðÿòüñÿ â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ùåëè.
Òåïåðü âèäîèçìåíèì ýòîò îïûò. Çàôèêñèðóåì øèðèíó d ùåëè, ñäåëàâ
åå â íåñêîëüêî ðàç ìåíüøå øèðèíû ñâåòîâîãî ïó÷êà. Áóäåì óâåëè÷èâàòü
ðàññòîÿíèå L ìåæäó ùåëüþ è ñâåòëûì ýêðàíîì. Ïðè ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ L ðàçìåð
îñâåùåííîé îáëàñòè â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ùåëè, áóäåò
ïðèáëèçèòåëüíî ðàâåí øèðèíå ùåëè è ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ L ïðàêòè÷åñêè
íå èçìåíÿåòñÿ. Çàìåòíîå ðàñøèðåíèå îñâåùåííîé îáëàñòè â óêàçàííîì
íàïðàâëåíèè ðàçâèâàåòñÿ ëèøü íà ðàññòîÿíèè
L > L0 »
d2
,
l
(11.1)
ãäå L0 — õàðàêòåðíàÿ äëèíà. Ýòà äëèíà óæå áûëà èñïîëüçîâàíà â ëåêöèè 8
(ñì. ôîðìóëó (8.12)), ïîýòîìó íåðàâåíñòâî (11.1) îòíîñèòñÿ ê äàëüíåé çîíå.
Îïèñàííûé îïûò ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî íà íåáîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ L < L0
ôðîíò âîëíû îñòàåòñÿ ïëîñêèì, à íà ðàññòîÿíèÿõ L > L0 ôðîíò çíà÷èòåëüíî
èñêðèâëÿåòñÿ è âîëíà ñòàíîâèòñÿ ðàñõîäÿùåéñÿ.
Ðàññìîòðèì åùå îäèí îïûò. Ïðè îñâåùåíèè êîëëèìèðîâàííûì ïó÷êîì ìàëåíüêîãî øàðèêà äèàìåòðîì d, ìåíüøèì â íåñêîëüêî ðàç øèðèíû ïó÷êà, ñâåò
íåïîñðåäñòâåííî çà øàðèê íå ïðîíèêàåò. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ôàçîâûé
119
ôðîíò ïðîøåäøåé ìèìî øàðèêà ÷àñòè ñâåòîâîãî ïó÷êà âíà÷àëå îñòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïëîñêèì è ñâåò íå çàõîäèò â îáëàñòü ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè, ñîçäàâàåìîé øàðèêîì. Îäíàêî íà ðàññòîÿíèè L ~ d 2/l ôàçîâûé ôðîíò çàìåòíî èñêðèâëÿåòñÿ è ñâåò ïðîíèêàåò â îáëàñòü òåíè.  ÷àñòíîñòè, íà îñè ïó÷êà ïîÿâëÿåòñÿ
ñâåòëîå ïÿòíî, ïîëó÷èâøåå, ïî èðîíèè ñóäüáû, íàçâàíèå ïÿòíà Ïóàññîíà. Äåëî
â òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïîäîáíîãî îïûòà îäíîìó èç îñíîâàòåëåé êîíöåïöèè
âîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà ôðàíöóçñêîìó ôèçèêó Æ. Î. Ôðåíåëþ óäàëîñü äîêàçàòü ñâîåìó íå ìåíåå èìåíèòîìó ñîîòå÷åñòâåííèêó Ñ. Ä. Ïóàññîíó ñïðàâåäëèâîñòü âîëíîâîé òåîðèè ñâåòà. Ïðîäåìîíñòðèðîâàííîå Ôðåíåëåì îãèáàíèå âîëíîé ïðåïÿòñòâèÿ íåâîçìîæíî îáúÿñíèòü â ðàìêàõ êîðïóñêóëÿðíîé òåîðèè, êîòîðîé âíà÷àëå ïðèäåðæèâàëñÿ Ïóàññîí.
Ðàçìåðû âîëíîâûõ ôðîíòîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïîïåðå÷íûìè ðàçìåðàìè ëèíç,
çåðêàë, äèàôðàãì, àêòèâíûõ ñðåä ëàçåðîâ, ùåëåé, îòâåðñòèé è ò. ä. Îíè ìîãóò
èçìåíÿòüñÿ îò äåñÿòêà ìèêðîìåòðîâ äî äåñÿòêà ìåòðîâ. Ñîîòâåòñòâåííî äëèíà
L0 èçìåíÿåòñÿ îò ñîòåí ìèêðîìåòðîâ äî 108 ì.
Îáîáùàÿ ðåçóëüòàòû îïèñàííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé
âûâîä. Åñëè ïó÷îê ïðîõîäèò ðàññòîÿíèå L = L0, òî ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü, ÷òî âîëíîâîé ôðîíò îñòàåòñÿ ïëîñêèì, à ïó÷îê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî âäîëü ñâîåé îñè.  ýòîì ñëó÷àå ïó÷îê ìîæíî çàìåíèòü åãî ãåîìåòðè÷åñêèì îáðàçîì — ëó÷îì, ñîâïàäàþùèì ñ åãî îñüþ. Äàëåå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
çàêîíû åãî îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ è ïîñòðîèòü òåì ñàìûì ãåîìåòðè÷åñêóþ
îïòèêó. Íà ðàññòîÿíèÿõ L ³ L0 ãåîìåòðè÷åñêîå îïèñàíèå ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâûì è íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü âîëíîâóþ òåîðèþ äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà.
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà ÿâëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ïëîäîòâîðíûì èíñòðóìåíòîì, èñïîëüçóåìûì äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, çà èñêëþ÷åíèåì îáëàñòåé âáëèçè ôîêàëüíûõ òî÷åê, ãäå ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ïó÷êà ìîæåò áûòü ñîèçìåðèì ñ äëèíîé âîëíû.
Èñòîðè÷åñêè âñå ïðîèçîøëî ñ òî÷íîñòüþ äî íàîáîðîò. Çàêîíû îòðàæåíèÿ
ñâåòà áûëè èçâåñòíû åùå ãðåêàì â àíòè÷íûå âðåìåíà, à çàêîí ïðåëîìëåíèÿ
ñâåòà áûë ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåí â 1621 ã. ãîëëàíäñêèì ó÷åíûì Â. Ñíåëèóñîì. Îòñòóïëåíèå îò ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ áûëî îòêðûòî ïîçäíåå èòàëüÿíñêèì ôèëîñîôîì è ôèçèêîì Ô. Ãðèìàëüäè. Ðåçóëüòàòû åãî èññëåäîâàíèé áûëè îïóáëèêîâàíû ïîñëå åãî ñìåðòè â 1665 ã.
Ýòî îòñòóïëåíèå è áûëî íàçâàíî äèôðàêöèåé (îò ëàò. diffractus — ðàçëîìàííûé). Íà ñàìîì äåëå, äèôðàêöèÿ — íåîòúåìëåìîå ñâîéñòâî âîëí ëþáîé ïðèðîäû ñòðåìèòüñÿ ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ, çàõîäÿ â îáëàñòü ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè, îãèáàÿ ïðåïÿòñòâèÿ è ò. ä.
Åùå áîëåå ÿðêî äèôðàêöèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïëîñêîé âîëíû
(êîëëèìèðîâàííîãî ïó÷êà) ÷åðåç ïðîçðà÷íûå îáúåêòû, ìîäóëèðóþùèå
àìïëèòóäó èëè ôàçó âîëíû â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè òàêèõ ïðîñòðàíñòâåííî ìîäóëèðîâàííûõ
âîëí ïðîèñõîäèò ïåðåðàñïðåäåëåíèå îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî ïðîèñõîäèëî ïðè èíòåðôåðåíöèè.
Èäåÿ ñâåñòè çàäà÷ó î ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû ê èíòåðôåðåíöèè âîëí ôèêòèâíûõ âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ, ðàñïðåäåëåííûõ íà ïîâåðõíîñòè âîëíîâîãî
ôðîíòà, ïðèíàäëåæèò Ôðåíåëþ (1815). Îí íàïîëíèë èçâåñòíûé êèíåìàòè÷å120
ñêèé ïðèíöèï ãîëëàíäñêîãî ôèçèêà Õ. Ãþéãåíñà íîâûì ñîäåðæàíèåì. Ýòî ïîçâîëèëî êîëè÷åñòâåííî îáúÿñíèòü ðÿä äèôðàêöèîííûõ ÿâëåíèé, ÷òî â ñâîþ
î÷åðåäü ñûãðàëî âûäàþùóþñÿ ðîëü â îêîí÷àòåëüíîì ñòàíîâëåíèè êîíöåïöèè
âîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà.
Ïðèíöèï Ãþéãåíñà — Ôðåíåëÿ. Ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ñôåðè÷åñêîé
âîëíû îò òî÷å÷íîãî ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èñòî÷íèêà â òî÷êå P0 (ðèñ. 11.1).
 òî÷êå P íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ áóäåò ðàâíà
E (P ) =
C i (wt -kr )
e
= Ae i wt ,
r
(11.2)
C -ikr
e
— ñêàëÿðíàÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà; C — êîíñòàíòà, çàâèñÿr
ùàÿ îò ìîùíîñòè èñòî÷íèêà.
Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â òî÷êó P ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â äâà
ýòàïà.
Íà ïåðâîì ýòàïå ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà äîñòèãàåò íåêîòîðîé ïðîèçâîëüíîé
ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè S, îõâàòûâàþùåé èñòî÷íèê. Íà ýòîé ïîâåðõíîñòè
êàê áû ïîÿâëÿþòñÿ âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè.
Íà âòîðîì ýòàïå âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè èñïóñêàþò ñâîè ñôåðè÷åñêèå âîëíû, êîòîðûå èíòåðôåðèðóþò â òî÷êå P. Îäíàêî, êðîìå ÷àñòîòû ñâåòà, ïàðàìåòðû ýòèõ èñòî÷íèêîâ íåèçâåñòíû. Ôðåíåëü ïðåäïîëîæèë, ÷òî âîçìóùåíèå, ïîñûëàåìîå ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêîé, ïðîïîðöèîíàëüíî åå ïëîùàäè ds è çàâèñèò îò óãëà íàêëîíà j ìåæäó íîðìàëüþ ê ïëîùàäêå è íàïðàâëåíèåì â òî÷êó
íàáëþäåíèÿ.
1
Ïîñêîëüêó â òî÷êå P ðåãèñòðèðóåòñÿ èíòåíñèâíîñòü I = | A | 2, â äàëüíåé2
øåì ìíîæèòåëü e iwt îïóñêàåì. Â ñîîòâåòñòâèè ñ äâóõýòàïíûì ðàññìîòðåíèåì
ãäå A =
A(P ) =
C
òò r1 e -ik r
S
1
e -ik r
C
K (j)d s = e -ikr ,
r
r
(11.3)
ãäå K(j) — íåèçâåñòíûé êîýôôèöèåíò, çàâèñÿùèé îò óãëà íàêëîíà j . Åãî èíîãäà
íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì íàêëîíà. Äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (11.3) íåîáõîäèìî, ÷òîáû K(j) áûë óáûâàþùåé ôóíêöèåé j. Ôðåíåëü ïðåäïîëîæèë, ÷òî
ïðè j = p/2 K(p/2) = 0. Êðîìå òîãî, ýòîò êîýôôèöèåíò äîëæåí áûòü ðàçìåðíûì:
[K ] = ì-1. Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ïàðàìåòðîì ñ ðàçìåðíîñòüþ äëèíû ÿâëÿåòñÿ äëèíà âîëíû l, òî K ~ 1/l.
Ðàññìîòðèì òåïåðü äèôðàêöèþ ñôåðè÷åñêîé âîëíû íà ýêðàíå Ý ñ îòâåðñòèåì ïëîùàäüþ S (ðèñ. 11.2).
Ðèñ. 11.1
Ðèñ. 11.2
121
Äëÿ ýòîãî îêðóæèì èñòî÷íèê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ ïëîùàäüþ S¢ òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû îíà ïðîõîäèëà ÷åðåç ýêðàí. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìàòåðèàë
ýêðàíà ïîëíîñòüþ ïîãëîùàåò ñâåò è ñàì íå èçëó÷àåò, òî âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè
íà îòâåðñòèè òàêèå æå, êàê è â îòñóòñòâèå ýêðàíà. Ïîýòîìó
A(P ) =
C
òò r1r e -ik (r +r)K (j)d s.
(11.4)
1
S
Èíòåãðàë (11.4) íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííûì èíòåãðàëîì. Äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ
âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì âåêòîðíûõ äèàãðàìì.
Çîíû Ôðåíåëÿ. Âíà÷àëå ðàññ÷èòàåì çîíû Ôðåíåëÿ. Äëÿ ýòîãî îêðóæèì òî÷êó
P0 ñôåðîé ðàäèóñîì r1 = a (ðèñ. 11.3).
Ïóñòü òî÷êà P ðàñïîëîæåíà íà ðàññòîÿíèè b îò ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Ìûñëåííî öèðêóëåì, îäíà íîæêà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â òî÷êå P, ïðîâåäåì ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû îêðóæíîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íîæêàìè
l
l
l
öèðêóëÿ ðàâíû b + , b + 2 , ¾, b + m . Òîãäà ñôåðà áóäåò ðàçäåëåíà íà êîëüöå2
2
2
âûå îáëàñòè, íàçûâàåìûå çîíàìè Ôðåíåëÿ.
Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî ïîâåðõíîñòè kr1 = ka = const, ïðîèçâåäåíèå kr áóäåò èçìåíÿòüñÿ íà âåëè÷èíó p ïðè ïåðåõîäå îò öåíòðà ïåðâîé çîíû (òî÷êè O)
ê åå êðàþ (òî÷êå 1 ), çàòåì ïðè ïåðåõîäå îò òî÷êè 1 ê òî÷êå 2 è ò. ä.
Ðàññ÷èòàåì ðàäèóñ rm è ïëîùàäü sm m-é çîíû. Ðàäèóñ r1 ïåðâîé çîíû îïðåäåëÿåòñÿ, êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 11.3, èç óðàâíåíèé
2
lö
æ
a 2 - (a - d)2 = r12 = ç b + ÷ - (b + d)2 .
è
2ø
(11.5)
Ïîñêîëüêó b ? l, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âåëè÷èíîé l2/4 = lb â ïðàâîé ÷àñòè
(11.5).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
r1 =
ab
l.
a +b
(11.6)
Ïëîùàäü ïåðâîé çîíû
pab
(11.7)
l.
a +b
Çàìåíèâ â (11.6) l íà ml, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ âíåøíåãî ðàäèóñà m-é çîíû
s 1 = pr12 =
rm =
ab
ml .
a +b
(11.8)
Ïëîùàäü m-é çîíû ðàâíà ïëîùàäè êîëüöà
s m = p(rm2 - rm2-1 ) = pr12 = s 1 .
Ðèñ. 11.3
122
(11.9)
Òàêèì îáðàçîì, ðàäèóñû çîí óâåëè÷èâàþòÿ
~ m , à ïëîùàäè âñåõ çîí îäèíàêîâû. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ðàçëè÷èå âêëàäîâ çîí â äèôðàêöèîííûé èíòåãðàë (11.4) îáóñëîâëåíî
l
òîëüêî ðàçíûìè ðàññòîÿíèÿìè rm = b + m
2
è óãëàìè íàêëîíà jm.
Ïðè èíòåãðèðîâàíèè â êà÷åñòâå ýëåìåíòà ïîâåðõíîñòè âûáåðåì áåñêîíå÷íî
óçêèå êîëüöà ïëîùàäüþ ds, êîíöåíòðè÷íûå ñ çîíàìè Ôðåíåëÿ. Åñëè êîìïëåêñíîé àìïëèòóäå A ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð A, òî èíòåãðèðîâàíèå ñâåäåòñÿ ê âåêòîðíîìó ñóììèðîâàíèþ:
A = ò dA,
(11.10)
S
ãäå âåêòîð dA ïîä èíòåãðàëîì îïðåäåëåí ñâîåé àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé
C
dA =
K (j)d s è óãëîì y = k(a + r), çàäàþùèì åãî íàïðàâëåíèå íà äèàãðàììå
ar
(ðèñ. 11.4).
Äëÿ ïðîñòîòû àíàëèçà ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèé ïðèìåì çà íà÷àëî îòñ÷åòà âåëè÷èíó y0 = ka, ïîëîæèâ åå ðàâíîé íóëþ. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññòîÿíèå b ðàâíî öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí, ïîýòîìó êîëåáàíèÿ ïîëÿ íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè è â òî÷êå íàáëþäåíèÿ P ïðîèñõîäÿò â ôàçå. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå èñïîëüçóåòñÿ ëèøü äëÿ óäîáñòâà îïðåäåëåíèÿ ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèé
è íå íàêëàäûâàåò êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé íà ïîëó÷åííûå äàëåå ðåçóëüòàòû.
Âêëàä ïåðâîé çîíû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì
A1 =
ò dA .
(11.11)
s1
Ýòîò âåêòîð èçîáðàæåí íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 11.5).
Âêëàä ïåðâûõ äâóõ çîí îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì
A 1+ 2 = A 1 + A 2 =
ò dA + ò dA.
s1
(11.12)
s2
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà èçîáðàæåíà íà ðèñ. 11.6.
Âêëàä âòîðîé çîíû ìåíüøå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå: A2 < A1 (óâåëè÷èëèñü
óãîë j è ðàññòîÿíèå r) è ñäâèíóò ïî ôàçå íà p. Åñëè ïðîâåñòè èíòåãðèðîâàíèå
ïî âñåì çîíàì Ôðåíåëÿ, òî âåêòîð A îïðåäåëèòñÿ èç äèàãðàììû, íàçûâàåìîé
ñïèðàëüþ Ôðåíåëÿ (ðèñ. 11.7).
Çàìåòèì, ÷òî îòíîøåíèå sm/rm íå çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ b. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî âåëè÷èíû A1, A2 è ò. ä. òàêæå íå çàâèñÿò îò b.
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà ïîçâîëÿåò ëèøü â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ îïðåäåëèòü àìïëèòóäó âîçìóùåíèÿ â òî÷êå P. Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà A îïðåäåëÿåòñÿ
èç (11.3) è ðàâíà
Ðèñ. 11.4
Ðèñ. 11.5
Ðèñ. 11.6
Ðèñ. 11.7
123
C
(11.13)
.
a +b
Äèàãðàììà, êðîìå òîãî, íåâåðíî îïðåäåëÿåò ôàçó âîçìóùåíèÿ â òî÷êå P. Ýòà ôàçà,
êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, äîëæíà ñîâïàäàòü
ñ ôàçîé êîëåáàíèé íà ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ ðàâíà íóëþ (ïðè âûáðàííîì
íà÷àëå îòñ÷åòà j0 = ka = 0).
Ðèñ. 11.8
×òîáû óñòðàíèòü îòñòàâàíèå âåêòîðà A
ïî ôàçå íà p/2, âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè íàäåëÿþòñÿ ôàçîâûì ñäâèãîì «âïåðåä »
íà (+p/2) ââåäåíèåì â äèôðàêöèîííûé èíòåãðàë ìíîæèòåëÿ e i(p/2) = i. Ýòîò ìíîæèòåëü ïðèñîåäèíÿþò ê êîýôôèöèåíòó íàêëîíà, è ïîñëåäíèé ñòàíîâèòñÿ êîìïëåêñíûì:
A=
K (j) =
i
f (j).
l
(11.14)
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îñòàëîñü ëèøü îïðåäåëèòü âèä ôóíêöèè f. Îäíàêî ýòî
âîçìîæíî ñäåëàòü ëèøü â òåîðèè äèôðàêöèè, îñíîâàííîé íà ðåøåíèè óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.
 ñëåäóþùåé ëåêöèè áóäóò ðàññìîòðåíû îñíîâû ñêàëÿðíîé òåîðèè äèôðàêöèè. Çäåñü îãðàíè÷èìñÿ àíàëèçîì ïðîñòåéøèõ äèôðàêöèîííûõ çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì çîííîé òåîðèè Ôðåíåëÿ è ãðàôè÷åñêîãî ðàñ÷åòà àìïëèòóäû äèôðàãèðîâàâøåé âîëíû.
Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì îòâåðñòèè. Åñëè ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà ïàäàåò íà ýêðàí
ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì r0, òî àìïëèòóäà âîëíû â òî÷êå P íà îñè îòâåðñòèÿ
çàâèñèò îò ÷èñëà îòêðûòûõ çîí Ôðåíåëÿ (ðèñ. 11.8).
Ïðè ôèêñèðîâàííîì ïîëîæåíèè èñòî÷íèêà ÷èñëî îòêðûòûõ çîí èçìåíÿåòñÿ
ñ ðàññòîÿíèåì b. Îíî îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
rm =
ab
m l = r0 .
a +b
(11.15)
r02 æ 1 1 ö
ç + ÷.
l èa bø
(11.16)
Ñëåäîâàòåëüíî,
m=
Ïðè ïåðåìåùåíèè òî÷êè P âäîëü îñè àìïëèòóäà âîçìóùåíèÿ áóäåò ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿòüñÿ, äîñòèãàÿ ìàêñèìóìà ïðè íå÷åòíîì m è ìèíèìóìà — ïðè
÷åòíîì m. Àáñîëþòíûé ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ðàññòîÿíèè b, êîãäà m = 1.
 ýòîì ñëó÷àå (ñì. ðèñ. 11.7)
Amax = A1 = 2 A = 2
C
.
a +b
(11.17)
Ñîîòâåòñòâåííî èíòåíñèâíîñòü âîëíû ïîâûøàåòñÿ â ÷åòûðå ðàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ èíòåíñèâíîñòüþ âîëíû â îòñóòñòâèå ýêðàíà.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýêðàí ñ îòâåðñòèåì ïîäîáåí ëèíçå. Îí ôîðìèðóåò èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà â òî÷êå P, äëÿ êîòîðîé m = 1. Åñëè ôîðìóëó (11.16) ïåðåïèñàòü â âèäå
124
l
1 1
+ = 2,
a b r0
(11.18)
òî ýòî âûðàæåíèå àíàëîãè÷íî ôîðìóëå ëèíçû, ó êîòîðîé ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå
f = r02/l. Ïðè r0 = 0,5 ìì è l = 500 íì f = 50 ñì.
Ýêðàí ñ îòâåðñòèåì âìåñòî îáúåêòèâà èñïîëüçîâàëñÿ â ôîòîêàìåðå îáñêóðà
(îò ëàò. obscurans — çàòåìíÿþùèé). Íà ôîòîïëàñòèíêå èëè ìàòîâîé ïëàñòèíêå
ïîëó÷àëîñü èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà, îäíàêî êà÷åñòâî ýòîãî èçîáðàæåíèÿ áûëî
õóæå, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè îáúåêòèâà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî èçîáðàæåíèå
êàæäîé òî÷êè ôîòîãðàôèðóåìîãî ïðåäìåòà íà îáðàáîòàííîé ôîòîïëàñòèíêå
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî êîíöåíòðè÷åñêèõ êîëåö ñî ñâåòëûì ïÿòíîì
â öåíòðå ïðè ÷åòíîì m (ðèñ. 11.9, à) è òåìíûì ïÿòíîì ïðè íå÷åòíîì m
(ðèñ. 11.9, á ).
Çîííàÿ ïëàñòèíêà. Åñëè íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó íàíåñòè êîíöåíòðè÷åñêèå òåìíûå êîëüöà, çàêðûâàþùèå ëèáî òîëüêî ÷åòíûå, ëèáî òîëüêî íå÷åòíûå
çîíû Ôðåíåëÿ, òî ïîëó÷èòñÿ çîííàÿ ïëàñòèíêà (ðèñ. 11.10, à, á ).
Àìïëèòóäà âîçìóùåíèÿ, íàïðèìåð, äëÿ çîííîé ïëàñòèíêè (ñì. ðèñ. 11.10, à),
êàê âèäíî èç âåêòîðíîé äèàãðàììû íà ðèñ. 11.11, áóäåò çíà÷èòåëüíî áîëüøå
C
âåëè÷èíû A =
. Ñ ïîìîùüþ òàêèõ ïëàñòèíîê ìîæíî òàêæå ôîðìèðîâàòü
a +b
èçîáðàæåíèå, êà÷åñòâî êîòîðîãî áóäåò çíà÷èòåëüíî âûøå, ÷åì ó êàìåðû îáñêóðà. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ôîðìèðîâàòü èçîáðàæåíèå è ñ ïîìîùüþ çîííîé ïëàñòèíêè (ñì. ðèñ. 11.10, á ).
Çàìåòèì, ÷òî ïîìèìî ñàìîãî ÿðêîãî èçîáðàæåíèÿ èñòî÷íèêà áóäóò áîëåå
ñëàáûå èçîáðàæåíèÿ íà òåõ ðàññòîÿíèÿõ b, äëÿ êîòîðûõ íà êàæäîì ïðîçðà÷íîì
êîëüöå çîííîé ïëàñòèíêè áóäåò óêëàäûâàòüñÿ 3, 5 è áîëåå çîí Ôðåíåëÿ.
Ëèíçà. Ïóñòü ïëîñêàÿ âîëíà (a ® ∞) ïàäàåò íà òîíêóþ ñîáèðàþùóþ ëèíçó,
èìåþùóþ ïîïåðå÷íûé ðàäèóñ r0 è ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f (ðèñ. 11.12). ÀìïëèòóC
äà ïëîñêîé âîëíû A0 = , äëèíà âîëíû l. Åñëè òî÷êà P íàõîäèòñÿ â ôîêóñå F
a
ëèíçû, òî ÷èñëî îòêðûòûõ çîí, ñîãëàñíî (11.16), ðàâíî
m=
r02
.
lf
(11.19)
Îäíàêî ïî ñðàâíåíèþ ñ çîííîé ïëàñòèíêîé ëèíçà âíîñèò ñóùåñòâåííóþ
êîððåêöèþ â ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ. Èç-çà ðàçíîñòè îïòè÷åñêèõ ïóòåé ìåæäó
ïëîñêîñòÿìè Ï1 è Ï2, íàáåã ôàçû ó ïåðèôåðèéíîé ÷àñòè âîëíû áóäåò ìåíüøå,
÷åì ó ïðèîñåâîé, ïðè÷åì ýòî îòñòàâàíèå ïî ôàçå áóäåò íàðàñòàòü ïðè óäàëåíèè
îò îñè ïó÷êà. Åñëè âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü ëèíçû ïàðàáîëè÷åñêàÿ, òî âñå âåêòî-
Ðèñ. 11.9
Ðèñ. 11.10
125
Ðèñ. 11.11
Ðèñ. 11.12
ðû dA â (11.11) áóäóò èìåòü îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå. Ïîýòîìó âåêòîðíàÿ äèàãðàììà ïîëó÷àåòñÿ âûòÿãèâàíèåì m ïîëóêîëåö ñïèðàëè, è àìïëèòóäà ïîëÿ
â
ôîêóñå ëèíçû ïîëó÷èòñÿ ðàâíîé
AF =
p
( A1 + A2 + K + Am ).
2
(11.20)
p
êàê ðàç è ðàâåí îòíîøåíèþ äëèíû ïîëîâèíû âèòêà ê åãî
2
äèàìåòðó. Ïîëàãàÿ, ÷òî ïðè íåáîëüøîì ÷èñëå âèòêîâ A1 + A2 + ¾ + Am = mA1,
è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî A1 = 2A0, ñ ó÷åòîì (11.19) ïîëó÷àåì
Ìíîæèòåëü
AF = A0
pr02
.
lf
(11.21)
Åñëè r0 = 2 ñì, f = 20 ñì, l = 0,5 × 10-4 ñì = 500 íì, òî AF /A0 = 1,2 × 104. Òàêèì
îáðàçîì, ïîëå â ôîêóñå óâåëè÷èâàåòñÿ íà ÷åòûðå ïîðÿäêà.
Îöåíèì ðàäèóñ rF ôîêàëüíîãî ïÿòíà. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì ñîõðàíåíèÿ ìîùíîñòè ïó÷êà:
A02 pr02 = AF2 prF2 ,
(11.22)
îòêóäà ïîëó÷àåì
rF =
lf
.
pr0
(11.23)
Ïîäñòàâèâ â (11.23) çíà÷åíèÿ l, f è r0, íàõîäèì rF » 1,6 ìêì, ÷òî òîëüêî
â òðè ðàçà áîëüøå äëèíû âîëíû.
Äèôðàêöèÿ îãðàíè÷èâàåò ñæàòèå ïó÷êà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Óìåíüøåíèå rF äîñòèãàåòñÿ èñïîëüçîâàíèåì ëèáî êîðîòêîôîêóñíûõ ëèíç, ëèáî ëèíç
ñ áîëüøèì ïîïåðå÷íûì ðàçìåðîì. Îäíàêî â ëþáîì ñëó÷àå rF ìîæíî óìåíüøèòü
ëèøü äî âåëè÷èíû ïîðÿäêà äëèíû ñâåòîâîé âîëíû.
Äèôðàêöèÿ ñâåòîâîãî ïó÷êà ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïðîôèëåì èíòåíñèâíîñòè. Òàêîé
ïó÷îê îáðàçóåòñÿ ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ïëîñêîé âîëíû íà ýêðàí ñ êðóãëûì
îòâåðñòèåì ðàäèóñà r0 (ðèñ. 11.13).
Äëÿ òî÷êè P, íàõîäÿùåéñÿ íà îñè ïó÷êà íà ðàññòîÿíèè z îò ýêðàíà, àìïëèòóäà
âîëíû A îïðåäåëÿåòñÿ èç âåêòîðíîé äèàÐèñ. 11.13
ãðàììû íà ðèñ. 11.7. Âáëèçè ýêðàíà ÷èñëî
126
Ðèñ. 11.14
r02
? 1. Ïîýòîìó A = A0 (A0 — àìïëèòóäà ïàäàþùåé ïëîñêîé
lz
âîëíû). Ñ óâåëè÷åíèåì z ðàäèóñû çîí âîçðàñòàþò, è íà îòâåðñòèè îñòàåòñÿ âñå
ìåíüøå çîí. Ïðè ðàññòîÿíèè z = L0 = r02/l íà îòâåðñòèè îñòàåòñÿ ëèøü ïåðâàÿ
çîíà è A = 2A0. Ïðè z > L0 àìïëèòóäà â òî÷êå P îïðåäåëÿåòñÿ âêëàäîì öåíòðàëüíîé ÷àñòè ïåðâîé çîíû, ïîýòîìó A < A0.
Íà ðèñ. 11.14 ïðåäñòàâëåíî ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íà îñè ïó÷êà, íîð1
ìèðîâàííîå íà èíòåíñèâíîñòü I 0 = A02 ïàäàþùåé ïëîñêîé âîëíû.
2
Ðàññòîÿíèå L0 = r02/l íàçûâàþò äèôðàêöèîííîé äëèíîé ïó÷êà. Êàê è ïðè èíòåðôåðåíöèè, îíî äàåò âîçìîæíîñòü âûäåëèòü áëèæíþþ z < L0 è äàëüíþþ
z > L0 çîíû. Ïîâåäåíèå èíòåíñèâíîñòè íà îñè ïó÷êà ñ ó÷åòîì ñîõðàíåíèÿ åãî
ìîùíîñòè âäîëü îñè Oz ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîäû î õàðàêòåðå äèôðàêöèè ïó÷êà.
Ïðè z = L0 (m ? 1) ïðîôèëü ïó÷êà îñòàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, ôàçîâûé
ôðîíò ïëîñêèì, à åãî øèðèíà ðàâíà r0.  ýòîé îáëàñòè äèôðàêöèÿ íåçíà÷èòåëüíà. Çäåñü ñïðàâåäëèâî ïðèáëèæåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Îáëàñòü ðàññòîÿíèé z = L0 íàçûâàåòñÿ ïðîæåêòîðíîé çîíîé.
 áëèæíåé çîíå z < L0 (m > 1) íàáëþäàåòñÿ êîëüöåîáðàçíàÿ äèôðàêöèîííàÿ
êàðòèíà ñ òåìíûì èëè ñâåòëûì ïÿòíîì â ñåðåäèíå (ñì. ðèñ. 11.9). Ðàçìåðû
íàðóæíûõ êîëåö èìåþò òîò æå ïîðÿäîê âåëè÷èíû, ÷òî è èñõîäíûé ðàäèóñ
ïó÷êà r0.
 äàëüíåé çîíå z > L0 (m < 1) èíòåíñèâíîñòü íà îñè ñ ðîñòîì z ìîíîòîííî
óìåíüøàåòñÿ. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ðàäèóñ ïó÷êà ñòàë óâåëè÷èâàòüñÿ
ïî ìåðå åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïó÷îê ïðèîáðåòàåò
äèôðàêöèîííóþ ðàñõîäèìîñòü, çàäàâàåìóþ óãëîì q ~ l/r0.
îòêðûòûõ çîí m =
Ðèñ. 11.15
Ðèñ. 11.16
127
Äèôðàêöèÿ íà íåïðîçðà÷íîì äèñêå. Åñëè íà ïóòè ïëîñêîé âîëíû ïîñòàâèòü
íåïðîçðà÷íûé äèñê ðàäèóñà r0, òî ïðè z = L0 = r02/l ýòîò äèñê çàêðîåò ïðàêòè÷åñêè âñå çîíû è èíòåíñèâíîñòü I » 0. Íàîáîðîò, â äàëüíåé çîíå ïðè z > L0 äèñê
çàêðûâàåò ëèøü íåáîëüøóþ öåíòðàëüíóþ ÷àñòü ïåðâîé çîíû, ïîýòîìó I » I0.
Ãðàôèê ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè íà îñè Oz, ñîâïàäàþùåé ñ îñüþ äèñêà, èçîáðàæåí íà ðèñ. 11.15.
Ïðîíèêíîâåíèå ñâåòà çà äèñê â äàëüíåé çîíå èíîãäà òðàêòóåòñÿ êàê îãèáàíèå ñâåòîì äèñêà. Äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà çà äèñêîì èçîáðàæåíà íà ðèñ. 11.16.
 öåíòðå òåìíîãî ïîëÿ èìååòñÿ ñâåòëîå ïÿòíî, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî ïðåäñêàçàë Ïóàññîí íà îñíîâå òåîðèè Ôðåíåëÿ.
Äèôðàêöèÿ íà êðàå ýêðàíà. Ïóñòü ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà ïàäàåò íà íåïðîçðà÷íûé ýêðàí Ý ñ ïðÿìîëèíåéíûì êðàåì, çàêðûâàþùèì ÷àñòü âîëíîâîãî ôðîíòà
(ðèñ. 11.17). Êðàé ýêðàíà ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè ÷åðòåæà.
Ðàçîáüåì ñôåðè÷åñêèé ôðîíò ðàäèóñà a íà çîíû. Äëÿ ýòîãî èç òî÷êè P ïðîl
âåäåì â ïëîñêîñòè ÷åðòåæà îòðåçêè äëèíîé b + äî ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñôåðè÷å2
l
ñêèì ôðîíòîì â òî÷êàõ 1 è 1¢, çàòåì îòðåçêè äëèíîé b + 2 äî ïåðåñå÷åíèÿ
2
â òî÷êàõ 2 è 2 ¢ è ò. ä. ×åðåç òî÷êó P0 è òî÷êè 1 è 1¢, 2 è 2 ¢ è ò. ä. ïðîâîäèì
ìåðèäèîíàëüíûå ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíûå êðàþ ýêðàíà. Ýòè ïëîñêîñòè ðàçáèâàþò ôðîíò íà çîíû-äîëüêè íåðàâíîé ïëîùàäè: ÷åì áîëüøå íîìåð çîíû,
òåì ìåíüøå åå ïëîùàäü. Ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî îòíîøåíèå s1 : s2 : s3 : ... =
= 1 : 0,41 : 0,32 : 0,27 : 0,23 : 0,22 : 0,20 : 0,18 : 0,17. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ñóììèðîâàíèè â ïðåäåëàõ êàêîé-ëèáî çîíû âåëè÷èíà dA â (11.10) áóäåò óìåíüøàòüñÿ
â òàêîé æå ïðîïîðöèè, ïîñêîëüêó ïðèðàùåíèå óãëà y äëÿ âñåõ dA âûáèðàåòñÿ
îäèíàêîâûì.
Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ ïåðâîé çîíû èçîáðàæåíà íà ðèñ. 11.18.
Ïîäîáíûì îáðàçîì ðàññ÷èòûâàåòñÿ âêëàä ëþáîé çîíû.
Äëÿ ðàñ÷åòà àìïëèòóäû â òî÷êå P ñòðîèòñÿ âåêòîðíàÿ äèàãðàììà, íàçûâàåìàÿ ñïèðàëüþ Êîðíþ (ðèñ. 11.19).
Îíà ñîñòîèò èç äâóõ âåòâåé, ïîçâîëÿþùèõ ó÷èòûâàòü âêëàä êàê çîí s1, s2, ... ,
òàê è çîí s¢1, s¢2, ¾ . Äëèíà âåêòîðà A, ñîåäèíÿþùåãî ïîëþñû ñïèðàëè, ðàâíà
A1
Ðèñ. 11.17
128
Ðèñ. 11.18
dА
Ðèñ. 11.19
Ðèñ. 11.20
Ðèñ. 11.21
C
, à äëèíà âåêòîðà A(x), ñîåäèíÿþùåãî
a+b
ïðàâûé ïîëþñ ñ òåêóùåé òî÷êîé ñïèðàëè, ðàâíà àìïëèòóäå äèôðàãèðîâàííîé
âîëíû.
Ïðîàíàëèçèðóåì ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû A(x) âäîëü îñè Ox, ïåðïåíäèêóëÿðíîé êðàþ ýêðàíà. Ïðè x = 0 A(0) = A/2, ïîñêîëüêó îòêðûòà ëèøü ïîëîâèíà ôðîíòà (îòêðûòû çîíû s1, s2, ¾). Ïî ìåðå ñìåùåíèÿ P âëåâî (x < 0) ýòè
çîíû áóäóò ïîñëåäîâàòåëüíî çàêðûâàòüñÿ, è ïðè x ® -∞ A(x) ® 0 (òî÷êà P ¢
íàõîäèòñÿ íà ïðàâîé âåòâè ñïèðàëè). Ïðè äâèæåíèè âïðàâî ïîñëåäîâàòåëüíî
îòêðûâàþòñÿ çîíû s¢1, s¢2, ¾ . Àìïëèòóäà A(x) îñöèëëèðóåò, îäíàêî ýòè îñöèëëÿöèè çàòåì óìåíüøàþòñÿ, è ïðè x ® ∞ A(x) ® A (òî÷êà P ¢¢ íàõîäèòñÿ íà ëåâîé
âåòâè ñïèðàëè).
Íà ðèñ. 11.20 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè íîðìèðîâàííîé èíòåíñèâíîñòè I% = A 2 (x )/A 2 îò êîîðäèíàòû x, à íà ðèñ. 11.21 èçîáðàæåíà ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìàÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà.
Àíàëèòè÷åñêè ýòà çàäà÷à áûëà ðåøåíà Ôðåíåëåì. Ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òàáëè÷íûõ èíòåãðàëîâ Ôðåíåëÿ. Çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ
â ãðàôè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè è ÿâëÿþò ñîáîé ñïèðàëü Êîðíþ.
àìïëèòóäå ïàäàþùåé âîëíû A =
Ë Å Ê Ö È ß 12
 ýòîé ëåêöèè ðàññìîòðèì îñíîâû ñêàëÿðíîé òåîðèè äèôðàêöèè, ñîçäàííîé íåìåöêèì ôèçèêîì Ã. Êèðõãîôîì. Ïî ñóùåñòâó ïîäõîä Êèðõãîôà ÿâëÿåòñÿ
îáîáùåíèåì ïðèíöèïà Ãþéãåíñà — Ôðåíåëÿ.
Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êèðõãîôà. Ïóñòü ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ñêàëÿðíàÿ âîëíà
U ( x, y, z, t ) = U ( x, y, z )e i wt ,
(12.1)
ãäå U — êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà âîëíû. Îòìåòèì, ÷òî U ìîæåò áûòü ëþáîé
èç êîìïîíåíò ïîëÿ E èëè H, âîëíîé äàâëåíèé, ïëîòíîñòè â àêóñòèêå è äð.
Åñëè (12.1) ïîäñòàâèòü â âîëíîâîå óðàâíåíèå
òî ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà e iwt
¶ 2U
= ñ 2 DU ,
¶t 2
ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà
DU + k 2U = 0,
2
2
(12.2)
(12.3)
2
ãäå k = w /c .
Èç êóðñà ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî åãî ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî
ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà G â âèäå
U (r ) =
¶U ö
1
æ ¶G
U
d s.
-G
ç
òò
è
4p å
¶n
¶n ø÷
(12.4)
Ñìûñë ðåøåíèÿ (12.4) ïîÿñíÿåòñÿ íà ðèñ. 12.1.
Âîçìóùåíèå U â òî÷êå P, çàäàâàåìîé ðàäèóñîì-âåêòîðîì r, âûðàæàåòñÿ
÷åðåç ýòî âîçìóùåíèå è ôóíêöèþ Ãðèíà íà ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè S, îõâàòûâàþùåé ýòó òî÷êó. Êðîìå òîãî, â (12.4) âõîäÿò ïðîèçâîäíûå ïî âíóòðåííåé
íîðìàëè n (îáðàùåííîé ê òî÷êå P ).
Ôóíêöèÿ Ãðèíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà ñ ïðàâîé ÷àñòüþ:
DG + k 2G = -4 pd(r - r ¢).
(12.5)
Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò âîëíîâîå âîçìóùåíèå G(r), èñïóñêàåìîå èç òî÷êè, çàäàâàåìîé ðàäèóñîì-âåêòîðîì r¢. Îäíèì èç åãî ðåøåíèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ
G =
Ðèñ. 12.1
130
1 -ik r
e ,
r
(12.6)
îïèñûâàþùàÿ ðàñõîäÿùóþñÿ èç òî÷êè r¢ ñôåðè÷åñêóþ âîëíó. Çäåñü r = |r - r¢|.
Ïîäñòàâèâ ôóíêöèþ Ãðèíà â (12.4), ïîëó÷èì
U (P ) =
é ¶ æ e -ik r ö æ e -ik r ö ¶U ù
1
êU
ú d s.
4p òò
¶n èç r ø÷ èç r ø÷ ¶n û
å ë
(12.7)
Ðåøåíèå (12.7) ïî ñâîåé ñòðóêòóðå âåñüìà ñõîäíî ñ äèôðàêöèîííûì èíòåãðàëîì Ôðåíåëÿ (11.4). Íàëè÷èå ïðîèçâîäíûõ ïî íîðìàëè îòðàæàåò çàâèñèìîñòü
îò óãëà íàêëîíà àìïëèòóäû âòîðè÷íîé âîëíû, èñïóñêàåìîé ýëåìåíòîì ds ïîâåðõíîñòè S.
Äèôðàêöèîííàÿ ôîðìóëà Ôðåíåëÿ— Êèðõãîôà. Ïðèìåíèì (12.7) äëÿ ðåøåíèÿ
äèôðàêöèîííîé çàäà÷è. Ïóñòü ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà îò èñòî÷íèêà â òî÷êå P0 ïàäàåò
íà ïëîñêèé ýêðàí Ý ñ îòâåðñòèåì ïëîùàäüþ S. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âîçìóùåíèÿ
çà ýêðàíîì â òî÷êå P îêðóæèì ïîñëåäíþþ çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîñòîÿùåé
èç ïëîñêîãî (ïëîùàäü S + S¢) è ñôåðè÷åñêîãî (ïëîùàäü S²) ó÷àñòêîâ (ðèñ. 12.2).
Åñëè ðàäèóñ R ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè óñòðåìèòü ê áåñêîíå÷íîñòè, òî
èíòåãðàë ïî ýòîé ïîâåðõíîñòè äîëæåí äàâàòü ìàëûé âêëàä. Âû÷èñëèì ýòîò âêëàä.
Íà ïîâåðõíîñòè S² âåëè÷èíà r = R, ïîýòîìó
1 ö e -ikR
e -ikR
¶ æ e -ik r ö
¶ æ e -ik r ö
æ
,
== ç ik + ÷
» ik
ç
÷
ç
÷
è
ø
R
R
R
¶n è r ø r= R
¶r è r ø r= R
(12.8)
ïîñêîëüêó k = 2p/l ? R. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ds = R 2dW (dW — ýëåìåíò òåëåñíîãî
¶U
¶U
óãëà) è
, è ïîäñòàâëÿÿ (12.8) â (12.7), ïîëó÷èì
=¶n
¶R
é ¶ æ e -ik r ö æ e -ik r ö ¶U ù
1
1
æ ¶U
ö e -ikR 2
U
d
ikU
R d W . (12.9)
s
=
+
ç
ê
ú
è ¶R
ø÷ R
4p åòò¢¢ ë ¶n èç r ø÷ èç r ø÷ ¶n û
4p òò
4p
×òîáû ïðè R ® ∞ èíòåãðàë ñòðåìèëñÿ ê íóëþ, íåîáõîäèìî âûïîëèòü óñëîâèå
æ ¶U
ö
lim R ç
+ ikU ÷ = 0,
è ¶R
ø
R ®¥
(12.10)
íàçûâàåìîå óñëîâèåì èçëó÷åíèÿ Çîììåðôåëüäà. Åìó óäîâëåòâîðÿåò ñôåðè÷åñêàÿ
e -ikR
, èäóùàÿ â òî÷êó P ñ ëþáîãî ýëåìåíòà çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè,
âîëíà U =
R
â òîì ÷èñëå è îò îòâåðñòèÿ ïëîùàäüþ S.
¶U
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé U è
íà ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè Êèðõãîôîì
¶n
áûëè ñôîðìóëèðîâàíû ïðèáëèæåííûå ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ:
¶U
• íà íåïðîçðà÷íîé ÷àñòè ýêðàíà U = 0 è
= 0;
¶n
¶U
•U è
âíóòðè äèôðàêöèîííîãî îòâåðñòèÿ
¶n
òàêèå æå, êàê è â îòñóòñòâèå ýêðàíà. Ïîñëåäíåå
óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, åñëè ðàçìåð îòâåðñòèÿ çàìåòíî ïðåâîñõîäèò äëèíó âîëíû.
×òîáû èçáåæàòü îäíîâðåìåííîãî çàäàíèÿ íà
¶U
, À. Çîììåðôåëüä
îòâåðñòèè âåëè÷èí U è
Ðèñ. 12.2
¶n
131
ïðåäëîæèë âûáðàòü èíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà, ÷åì (12.6). Åå ìîæíî âûáðàòü òàêîé, ÷òîáû íà îòâåðñòèè G1
å
= 0. Òîãäà â (12.4) èñ÷åçàåò ñëàãàåìîå, ñîäåðæà-
¶U
¶G 2
. Åñëè æå G = G2, äëÿ êîòîðîé
= 0, òî â (12.4) îñòàíåòñÿ ñëàãà¶n
¶n S
¶U
åìîå, ñîäåðæàùåå
. Ôóíêöèÿ G1 áóäåò èñïîëüçîâàíà â äàëüíåéøåì ïðè àíàëè¶n
çå äèôðàêöèè ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ.
Âîçìóùåíèå íà ýêðàíå îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà, ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êå
Ce -ik r1
P0, ðàâíî U =
. Âû÷èñëèì â (12.4) ïðîèçâîäíûå ïî íîðìàëè:
r1
ùåå
¶G
¶ æ e -ik r ö
¶ æ e -ik r ö
1 ö e -ik r
æ
ik
=
=
j
=
+
cos
cos j;
çè
¶n ¶n çè r ÷ø
¶r çè r ÷ø
r ÷ø r
¶U
¶ æ e -ik r1 ö
¶
C
=
=
¶n ¶n çè
r1 ÷ø ¶r1
æ e -ik r1 ö
1 ö e -ik r
æ
çèC r ÷ø cos j1 = -C çè ik + r ÷ø r cos j 1,
1
1
1
(12.11)
ãäå j, j1 — óãëû ìåæäó âåêòîðàìè H è n è H1 è n ñîîòâåòñòâåííî.
Êàê è â (12.8), k ? 1/r, 1/r1, ïîýòîìó âåëè÷èíàìè 1/r è 1/r1 â ïðàâûõ
÷àñòÿõ (12.11) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.  ðåçóëüòàòå (12.7) ïðèîáðåòàåò âèä
U (P ) =
òò
å
Ce -ik (r1 +r) i
[cos j1 + cos j] d s.
r1r
2l
(12.12)
Ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèîííîé ôîðìóëîé Ôðåíåëÿ — Êèðõãîôà. Îíà
ñîâïàäàåò ñ äèôðàêöèîííûì èíòåãðàëîì Ôðåíåëÿ (11.3), åñëè â íåì êîýôôèöèåíò íàêëîíà ïîëîæèòü ðàâíûì
i
[1 + cos j],
(12.13)
2l
ïîñêîëüêó äëÿ ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè óãîë j1 = 0.
Ç à ì å ÷ à í è å 1. Ôîðìóëà (12.12) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî òî÷åê P0 è P :
åñëè èñòî÷íèê è ïðèåìíèê ïîìåíÿòü ìåñòàìè, òî âåëè÷èíà U îñòàíåòñÿ ïðåæíåé.
Ç à ì å ÷ à í è å 2. Åñëè ñäåëàòü ýêðàí ïîëíîñòüþ ïðîçðà÷íûì, òî
K (j) =
U 0 (P ) =
ò
å
+
ò
= U (P ) + U 1 (P ),
(12.14)
å¢
ãäå U0(P ) — âîçìóùåíèå â îòñóòñòâèå ýêðàíà; U1(P ) — âîçìóùåíèå â ïðèñóòñòâèè íåïðîçðà÷íîãî ïðåïÿòñòâèÿ, çàìåíÿþùåãî îòâåðñòèå. Òàêîå ïðåïÿòñòâèå
ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ýêðàíîì ïî îòíîøåíèþ ê ýêðàíó ñ îòâåðñòèåì,
ôîðìèðóþùåìó âîçìóùåíèå U(P ). Ôîðìóëà (12.14) — ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå ïðèíöèïà Áàáèíå, êîòîðûé áóäåò èñïîëüçîâàí â äàëüíåéøåì.
Ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ è Ôðàóíãîôåðà. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è äèôðàêöèè
íà îñíîâå äèôðàêöèîííîé ôîðìóëû Ôðåíåëÿ — Êèðõãîôà ìîæíî âûäåëèòü äâà
ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äèôðàêöèþ âîëíû òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà íà ýêðàíå ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì ðàäèóñà r0. Òî÷êè P0 è P ëåæàò íà îñè
îòâåðñòèÿ íà ðàññòîÿíèÿõ a > r0 è b > r0 (ðèñ. 12.3). Ïðè èíòåãðèðîâàíèè r1 è r
â (12.12) èçìåíÿþòñÿ â ñëåäóþùèõ ïðåäåëàõ:
132
a £ r1 £ r10 = a +
b £ r £ r0 = b +
r02
;
2a
r02
,
2b
r
(12.15)
r10
M
r0
r1
r
r2
r2
ãäå 0 è 0 — ìàëûå çàçîðû ìåæäó ñôåðàìè P0
P
a
b
2a
2b
ðàäèóñàìè a è b è ïëîñêîñòüþ ýêðàíà (ñì.
(9.16)), êîãäà òî÷êà èíòåãðèðîâàíèÿ M íàõîäèòñÿ íà êðàþ îòâåðñòèÿ (ñì. ðèñ. 12.3).
Çíàìåíàòåëü ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ
â (12.12) èçìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî, ïîýòîìó
Ðèñ. 12.3
â íåì ìîæíî ïîëîæèòü r1 = a, r = b. Îäíàêî â
÷èñëèòåëå (èç-çà áîëüøîãî çíà÷åíèÿ k) ýêñïîíåíöèàëüíûå ôóíêöèè
e - ik r1 è e - ik r ìîãóò èçìåíÿòüñÿ âåñüìà çíà÷èòåëüíî. Åñëè
r02
r02
? l;
? l,
(12.16)
2a
2b
òî ïðè èíòåãðèðîâàíèè ýêñïîíåíöèàëüíûå ôóíêöèè áóäóò ìíîãîêðàòíî îñöèëëèðîâàòü. Óñëîâèÿ (12.16) ðåàëèçóþòñÿ, åñëè
r02
r2
= L0 ; b = 0 = L0 ,
(12.17)
l
l
ãäå L0 — äèôðàêöèîííàÿ äëèíà, ââåäåííàÿ ðàíåå ïðè ðàññìîòðåíèè äèôðàêöèè ïëîñêîé âîëíû íà êðóãëîì îòâåðñòèè.
Ñîãëàñíî (11.15), íà îòâåðñòèè â ýòîì ñëó÷àå ïîìåùàåòñÿ áîëüøîå ÷èñëî
çîí Ôðåíåëÿ. Òàêîå ïðèáëèæåíèå íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåíèåì Ôðåíåëÿ, èëè äèôðàêöèåé Ôðåíåëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ýòî ïðèáëèæåíèå ðåàëèçóåòñÿ, åñëè P0 è P
íàõîäÿòñÿ â áëèæíåé çîíå.
Ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèé a è b çàçîðû óìåíüøàþòñÿ. Ïðè
a=
a ? L 0;
b ? L0
(12.18)
ñôåðû äîñòàòî÷íî õîðîøî ìîãóò àïïðîêñèìèðîâàòüñÿ ïëîñêîñòÿìè, ïîñêîëüêó çàçîðû ñòàíîâÿòñÿ ìíîãî ìåíüøå äëèíû âîëíû. Ðàäèóñ ïåðâîé çîíû çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ðàäèóñ îòâåðñòèÿ.
Ýòî ïðèáëèæåíèå íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåíèåì Ôðàóíãîôåðà, èëè äèôðàêöèåé
Ôðàóíãîôåðà. Èíîãäà îíî íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèåé â ïàðàëëåëüíûõ ëó÷àõ, ÷òî îòðàæàåò îäèíàêîâóþ óäàëåííîñòü ýëåìåíòîâ ds îòâåðñòèÿ îò òî÷åê P0 è P, ðàñïîëîæåííûõ íà åãî îñè. Òàêèì îáðàçîì, ýòî ïðèáëèæåíèå èñïîëüçóåòñÿ, åñëè P0 è P
íàõîäÿòñÿ â äàëüíåé çîíå. Îòìåòèì, ÷òî âî ìíîãèõ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðàõ è óñòðîéñòâàõ ðåàëèçóåòñÿ ñèòóàöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðèáëèæåíèþ Ôðàóíãîôåðà.
Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì îòâåðñòèè. Èñïîëüçóÿ äèôðàêöèîííóþ ôîðìóëó Ôðåíåëÿ — Êèðõãîôà, ðàññ÷èòàåì èíòåíñèâíîñòü â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå ïðè
ïàäåíèè ñôåðè÷åñêîé è ïëîñêîé âîëí íà ýêðàí ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì.
Ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà. Ïðåäïîëîæèì âíà÷àëå, ÷òî òî÷êè P0 è P íàõîäÿòñÿ íà îñè
îòâåðñòèÿ, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 12.3, ïðè ýòîì a è b ìîãóò èìåòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ. Äëÿ óäîáñòâà èíòåãðèðîâàíèÿ (12.12) ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ
y = k [(r1 + r) - (a + b)] ,
(12.19)
133
ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ðàçíîñòü ôàç ìåæäó ëó÷àìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç öåíòð
îòâåðñòèÿ O è òî÷êó èíòåãðèðîâàíèÿ M. Òîãäà
æ 1 1ö
d y = k (d r1 + d r) = k ç + ÷ rdr ,
è r1 r ø
(12.20)
ïîñêîëüêó r1dr1 = rdr = rdr. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòå r
ýëåìåíò ïëîùàäè ds = 2prdr, ïîýòîìó
U (P ) = i
C
e -ik (a +b )
a +b
y0
ò
0
a + b é cos j1 + cos j ù -i y
e d y,
2
r1 + r ëê
ûú
(12.21)
ãäå
y 0 = k [(r10 + r0 ) - (a + b)]
(12.22)
— ìàêñèìàëüíàÿ ðàçíîñòü ôàç, êîãäà òî÷êà M íàõîäèòñÿ íà êðàþ îòâåðñòèÿ.
Ìíîæèòåëü ïîä çíàêîì èíòåãðàëà
F (y ) =
a + b cos j1 + cos j
r1 + r
2
(12.23)
ÿâëÿåòñÿ ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ, ïî ñðàâíåíèþ ñ e-iy, íåÿâíîé ôóíêöèåé y.
Åå êà÷åñòâåííûé âèä ïîêàçàí íà ðèñ. 12.4.
Ïðè y = 0 F = 1, à ïðè y ® ∞ F ® Fmin < 1.
Èíòåãðàë â (12.21) âû÷èñëèì ïî ÷àñòÿì:
i
y0
ò
F (y )e -i yd y = -F (y )e -i y
0
y0
0
+
y0
ò
0
dF (y ) -i y
e d y.
dy
 ñèëó ìàëîñòè dF/dy âòîðûì ñëàãàåìûì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà
c
e -ik (a +b ) éë1 - F (y 0 )e -i y 0 ùû .
a +b
Ïåðåõîäÿ ê èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷àåì
I (P ) =
U (P ) =
(12.24)
y ù
1
2
2
é
U (P ) = I 0 ê(1 - F (y 0 )) + 4F (y 0 ) sin 2 0 ú ,
ë
2
2 û
(12.25)
C2
— èíòåíñèâíîñòü â îòñóòñòâèå ýêðàíà.
2(a + b ) 2
Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Ïóñòü ïîëîæåíèå èñòî÷íèêà ôèêñèðîâàíî, à èçìåíÿåòñÿ ëèøü ðàññòîÿíèå b. Åñëè b < r0, òî y0 ? 1. Òîãäà F » 0 è
I » I0. Ýêðàí ñ îòâåðñòèåì íå îêàçûâàåò íèêàêîãî âëèÿíèÿ — íà îòâåðñòèè íàõîäèòñÿ áîëüøîå ÷èñëî îòêðûòûõ çîí Ôðåíåëÿ (m ? 1). Åñëè r0 < b < L0 = r02/l, òî
ãäå I 0 =
y0 =
Ðèñ. 12.4
134
2p æ r02 r02 ö
æ 1 1ö
+ ÷ = pL0 ç + ÷ . (12.26)
ç
èa bø
l è 2a 2b ø
Íà òåõ ðàññòîÿíèÿõ b, ãäå y0 = pm (m = 2,
pm
4, 6, ¾), sin 2
= 0. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî F » 1,
2
ïîëó÷àåì I = 0. Íà äðóãèõ ðàññòîÿíèÿõ b, ãäå
pm
y0 = pm (m = 1, 3, 5, ¾), sin 2
= 1, I »
2
» 4F (y0)I0 = 4I0.  ïåðâîì ñëó÷àå íà îòâåðñòèè ïîìåùàåòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî çîí
Ôðåíåëÿ, à âî âòîðîì — íå÷åòíîå.
Åñëè b > L0, òî, ñîãëàñíî (12.26), y0 = ya + e, ãäå ya = pL0 /a, e = pL0 /b < 1.
y +e e
» sin y a . Ñëåäîâàòåëüíî,
Òîãäà sin 2 a
2
2
pL
2
é
ù
(12.27)
I (P ) = I 0 ê (1 - F (y a )) + 4F (y a ) 0 sin 2 y a ú .
ë
û
2b
Ïðè óäàëåíèè îò ýêðàíà èíòåíñèâíîñòü ìîíîòîííî óìåíüøàåòñÿ: I ® 0.
Ïëîñêàÿ âîëíà.  ñëó÷àå ïëîñêîé âîëíû â ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèÿõ ìîæíî
ñäåëàòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè a ® ∞. Òîãäà I0 = c 2/2a2 è íå çàâèñèò îò b,
y0 = pL0/b. Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íà îñè îòâåðñòèÿ ïîëó÷àåòñÿ èç (12.24)
ðàâíûì
2
éæ
æ pL0 ö ö
æ pL ö
æ pL ö ù
+ 4F ç 0 ÷ sin 2 ç 0 ÷ ú .
I (P ) = I 0 ê ç 1 - F ç
÷
÷
è b øø
è b ø
è b øû
ëè
(12.28)
Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè óæå áûë ïîñòðîåí íà îñíîâå çîííîé òåîðèè Ôðåíåëÿ
(ñì. ðèñ. 11.14). Â äàëüíåì ïîëå ïðè b ® ∞ F ® 1, à I(P ) ~ 1/b 2 ® 0. Äëÿ ïàäàþùåé
ïëîñêîé âîëíû ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîïåðå÷íûé ðàçìåð äèôðàêöèîííîé êàðòèíû
âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî ðàññòîÿíèþ b.
Äëÿ òî÷êè P, íå ëåæàùåé íà îñè îòâåðñòèÿ, èíòåãðàë ìîæåò áûòü âû÷èñëåí
íà ÝÂÌ. Íà ðèñ. 12.5 ïîêàçàíû ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè â ïëîñêîñòè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè îòâåðñòèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ b. Çäåñü m = L0/b.
Ôàêòè÷åñêè ðå÷ü èäåò î äèôðàêöèîííîì ðàñïðîñòðàíåíèè êðóãëîãî ïó÷êà
ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïðîôèëåì èíòåíñèâíîñòè.
 ïðîæåêòîðíîé çîíå (m ? 1) ïðîôèëü èíòåíñèâíîñòè ïó÷êà îñòàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì, à ôàçîâûé ôðîíò (íà ðèñóíêå íå ïîêàçàí) — ïëîñêèì.  áëèæíåé
I/I0
I/I0
2
4
m = 10
m®?
1
2
0
1
I/I0
1 r/r0
I/I0
4
m=4
2
0
1
1
r/r0
0
I/I0
I/I0
4
4
m=3
2
m=5
1
2
r/r0
m=2
2
m=1
0
1
2
r/r0
0
1
2 r/r0
0
1
2
r/r0
Ðèñ. 12.5
135
çîíå (m > 1) ïðîôèëü íà÷èíàåò «èçðåçàòüñÿ», ïðè ÷åòíîì m íà îñè ïó÷êà I » 0.
Ïîÿâëÿþòñÿ äèôðàêöèîííûå êîëüöà, êîòîðûå ïëîòíî «óïàêîâàíû» ïðàêòè÷åñêè â ïðåäåëàõ êðóãà ðàäèóñà r0. Ïðè m £ 1 ïðîôèëü ïó÷êà íà÷èíàåò çàìåòíî
ðàñïîëçàòüñÿ. Âìåñòå ñ íèì ðàñïîëçàþòñÿ è äèôðàêöèîííûå êîëüöà. Èíòåíñèâíîñòü íà îñè ïó÷êà ïî ìåðå åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ óìåíüøàåòñÿ.  äàëüíåé çîíå
(m = 1) ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íåñëîæíî ðàññ÷èòàòü è àíàëèòè÷åñêè.
Ýòî è áóäåò ñäåëàíî äàëåå.
Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì äèñêå. Åñëè âîëíà ïàäàåò íà êðóãëûé äèñê ðàäèóñà
r0, òî ìîæíî, íå ïðîâîäÿ èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðåäåëàõ y0 £ y < ∞, âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïîì Áàáèíå. Òîãäà èç (12.24) ïîëó÷àåì
C
C
e -ik (a +b ) - U (P ) =
e -ik (a +b )F (y 0 )e -i y 0 .
a +b
a +b
Èíòåíñèâíîñòü íà îñè äèñêà
U 1 (P ) =
I 1 (P ) = I 0 F 2 (y 0 ).
(12.29)
(12.30)
Ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò äèñêà èíòåíñèâíîñòü I1 ìîíîòîííî óâåëè÷èâàåòñÿ (ñì.
ðèñ. 11.15).  ñëó÷àå ïëîñêîé âîëíû y0 = pL0/b. Ïðè b = L0 ôóíêöèÿ F (p) » 1
è I » I0. Íà ýòîì ðàññòîÿíèè ïëîñêàÿ âîëíà îãèáàåò íåïðîçðà÷íûé äèñê. Ýòî
îáúÿñíÿåò ïîÿâëåíèå ïÿòíà Ïóàññîíà (ñì. ðèñ. 11.16).
Äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà Ôðàóíãîôåðà êàê ôóðüå-îáðàç ñâåòîâîãî ïîëÿ íà
äèôðàêöèîííîì ýêðàíå. Äèôðàêöèîííàÿ ôîðìóëà Ôðåíåëÿ — Êèðõãîôà ìîæåò
áûòü çíà÷èòåëüíî óïðîùåíà, åñëè P0 è P íàõîäÿòñÿ â äàëüíåì ïîëå, ïðè÷åì
íåîáÿçàòåëüíî íà îñè îòâåðñòèÿ (ðèñ. 12.6).
 ýòîì ñëó÷àå äâå ñôåðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè õîðîøî àïïðîêñèìèðóþòñÿ
ïëîñêîñòÿìè Ï0 è Ï.
Ñîâìåñòèì ïëîñêîñòü Oxy äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxyz ñ ïëîñêîñòüþ ýêðàíà Ý, íà÷àëî êîîðäèíàò ïîìåñòèì â íåêîòîðóþ òî÷êó îòâåðñòèÿ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, èìåþùåãî ïëîùàäü S. Äëÿ çàäàíèÿ íàïðàâëåíèé P0O è OP
ââåäåì åäèíè÷íûå âåêòîðû e0 è e ñîîòâåòñòâåííî. Ýòè âåêòîðû, âîîáùå ãîâîðÿ,
íå ëåæàò â ïëîñêîñòè ðèñóíêà.
Çàäàäèì èõ íàïðàâëåíèÿ ñ ïîìîùüþ íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ:
e 0 = {å 0 õ , å 0 ó , å 0 z } = {cos a 0 , cos b 0 , cos g 0 };
e = {å õ , å ó , å z } = {cos a, cos b, cos g }.
Áóäåì ñ÷èòàòü óãëû g0 è g ìàëûìè. Êàê
óæå îòìå÷àëîñü, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî P0M P
P0O, à MP P OP (M —òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ ýëåìåíòó ïëîùàäè dxdy).
Òîãäà
r1 ( x , y ) = a + e 0 x x + å 0 y y ;
r( x , y ) = b - å õ x - å y y .
(12.31)
Äàëåå ó÷òåì, ÷òî
Ðèñ. 12.6
136
Cå -ik r1 C -ik (a +å 0 õ x +å 0 y y )
= e
= U å ( x , y ) (12.32)
a
r1
ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäîé ïëîñêîé âîëíû, ïàäàþùåé íàêëîííî
íà ýêðàí. Ïîäñòàâèâ (12.31) â (12.12), ñ ó÷åòîì (12.32) ïîëó÷èì
U (P ) =
i e -ikb
l b
òò U å (x, y )e
ik x x + ik y y
dxdy,
(12.33)
å
ãäå kx = kex, ky = key, â çíàìåíàòåëå (12.12) ïîëàãàåì r = b, (cos j1 + cos j)/2 = 1.
Ââåäåì ôóðüå-àìïëèòóäó ôóíêöèè U S(x, y):
U å (k x , k y ) =
òò U å ( x, y)e
ik x x + ik y y
dxdy.
(12.34)
å
Ñëåäîâàòåëüíî,
U (P ) =
i e -ikb
U å (k x , k y ).
l b
(12.35)
Ñàìà ôóíêöèÿ U å ( x , y ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå äâóõìåðíîãî èíòåãðàëà Ôóðüå:
U å ( x, y ) =
1
(2p)2
òò U å (k x , k y )e
-ik x x -ik y y
dk x dk y .
(12.36)
Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (12.35) ñïðàâåäëèâî è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âîçìóùåíèÿ U S(x, y), âîçíèêàþùåãî ïðè ïàäåíèè íàáîðà ïëîñêèõ âîëí ïîä íåáîëüøèìè óãëàìè ê îñè Oz.
Èíòåíñèâíîñòü â äèôðàêöèîííîé êàðòèíå â äàëüíåì ïîëå ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
2
1
1 U å (k x , k y )
2
I (P ) = U (P ) = 2 2
.
(12.37)
2
2
l b
Âûðàæåíèå (12.37) ïîêàçûâàåò, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîñòðàíñòâåííîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè âîçìóùåíèÿ â ïëîñêîñòè äèôðàêöèîííîãî îòâåðñòèÿ. Âåëè÷èíû kx = kcos a è ky = kcos b íàçûâàþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííûìè ÷àñòîòàìè, à ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü |U S(kx, ky)|2 îïèñûâàåò óãëîâîé ñïåêòð.
Òàêèì îáðàçîì, äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà ÿâëÿåòñÿ âîëíîâûì ïðîöåññîì, ïðèâîäÿùèì ê ôîðìèðîâàíèþ óãëîâîãî ñïåêòðà íà ýêðàíå, íà êîòîðîì íàáëþäàåòñÿ
äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà.
×ðåçâû÷àéíî âàæíî îòìåòèòü, ÷òî âî ìíîãèõ îïòè÷åñêèõ ñõåìàõ äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó Ôðàóíãîôåðà ïîëó÷àþò â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ñîáèðàþùåé
ëèíçû, ïîìåùàåìîé ïîçàäè äèôðàêöèîííîãî ýêðàíà. Ëèíçà ñîáèðàåò ïàðàëëåëüíûå ëó÷è, èäóùèå îò âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ, â ñâîåé ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè.  ýòîì ñëó÷àå â (12.37) ðàññòîÿíèå b ðàâíî ôîêóñíîìó ðàññòîÿíèþ ëèíçû.
Ñëåäîâàòåëüíî, îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü äàëåêî îòîäâèãàòü ýêðàí äëÿ íàáëþäåíèÿ êàðòèíû Ôðàóíãîôåðà, òåì áîëåå ÷òî â ðÿäå çàäà÷ L0 ìîæåò äîñòèãàòü
äåñÿòêîâ è áîëåå ìåòðîâ.
Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ïðÿìîóãîëüíîì îòâåðñòèè. Ïóñòü ïëîñêàÿ âîëíà
ïàäàåò íîðìàëüíî íà ýêðàí ñ ïðÿìîóãîëüíûì îòâåðñòèåì ðàçìåðîì d1 ´ d2. Òîãäà
ìïU 0 , | x | £ d1 2, | y | £ d 2 2;
U å ( x, y ) = í
ïî0, | x | > d1 2 èëè | y | > d 2 2 .
(12.38)
137
Ïîäñòàâëÿÿ (12.38) â (12.34), ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå è ïåðåõîäÿ ê èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷àåì
I (P ) = I (k x , k y ) =
æ k yd2 ö
I 0 (d1d 2 )2
æk d ö
sinc 2 ç x 1 ÷ sinc 2 ç
÷.
2 2
è
ø
è
l b
2
2 ø
(12.39)
Äâóõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè (12.39) õîðîøî îïèñûâàåò ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìóþ äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó (ðèñ. 12.7).
Ñäåëàåì àêöåíò íà òðåõ âàæíûõ ìîìåíòàõ.
1. Îòìåòèì ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ àíàëîãèþ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè
|U S(kx, ky)|2 è ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè |U(w)|2 èìïóëüñà U(t) äëèòåëüíîñòüþ t
ìïU 0 , | t | £ t 2;
U (t ) = í
ïî0, | t | > t 2,
(12.40)
2
æ wt ö
U (w) = U 02 t 2 sinc 2 ç ÷ .
è 2ø
(12.41)
äëÿ êîòîðîãî
 (12.39) ïðîñòðàíñòâåííûå ÷àñòîòû kx è ky àíàëîãè÷íû ÷àñòîòå w â (12.41),
âåëè÷èíû d1 è d2 àíàëîãè÷íû t.
2. Ïîëîæåíèÿ ìèíèìóìîâ èíòåíñèâíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿìè, äëÿ
êîòîðûõ kxmd1/2 = lm1, kymd2/2 = lm2, èëè
cos a m =
k xm m1l
=
;
k
d1
cos bm =
k ym
k
=
m2 l
,
d2
m1, m2 = ±1, ± 2, ± 3,K . (12.42)
Îñíîâíàÿ ìîùíîñòü âîëíû ñêîíöåíòðèðîâàíà â ïðåäåëàõ öåíòðàëüíîãî äèôðàêöèîííîãî ïÿòíà-ïðÿìîóãîëüíèêà, óãëîâûå ðàçìåðû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ èç (12.42) ïðè m1 = ±1, m2 = ±1. ×åì ìåíüøå ðàçìåðû îòâåðñòèÿ, òåì áîëüøå
óãëîâûå ðàçìåðû ýòîãî ïÿòíà (è âñåé äèôðàêöèîííîé êàðòèíû). Óñëîâèÿ (12.42)
îçíà÷àþò, ÷òî â ñïåêòðå âîçìóùåíèÿ (12.38) ïðîñòðàíñòâåííûå ÷àñòîòû, êðàòíûå íèçøèì ÷àñòîòàì 2p/d1 è 2p/d2, îòñóòñòâóþò.
3. Èíòåíñèâíîñòü I (0, 0) â öåíòðå êàðòèíû ìåíüøå I0. Âåëè÷èíó I (0, 0) ìîæíî îöåíèòü, èñõîäÿ èç ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìîùíîñòè I0d1d2 âîëíû, ïðîøåäøåé ÷åðåç ïðÿìîóãîëüíîå îòâåðñòèå. Ëèíåéíûå ðàçìåðû öåíòðàëüíîãî ïÿòíà
íà ðàññòîÿíèè b ðàâíû d1¢ = 2b cos am = 2bl/d1; d 2¢ = 2b cos bm = 2bl/d2. Åñëè
ïðèíÿòü, ÷òî ìîùíîñòü ñêîíöåíòðèðîâàíà â ïðåäåëàõ ïðÿìîóãîëüíèêà d1¢/2 ´ d2¢/
2, òî
I 0d1d 2 = I (0, 0)
d1¢ d 2¢
.
2 2
(12.43)
Ïîýòîìó
I (0,0) =
Ðèñ. 12.7
138
I 0 (d1d 2 ) 2
l 2b 2
(12.44)
è ñîâïàäàåò ñ àíàëîãè÷íîé âåëè÷èíîé â (12.39).
Åñëè ïðÿìîóãîëüíîå îòâåðñòèå ñèëüíî âûòÿíóòî (d2 ? d1), òî ãîâîðÿò î ùåëè øèðèíîé d1.
Ìàêñèìóìû âäîëü íàïðàâëåíèÿ, ïàðàëëåëüíî-
Ðèñ. 12.8
ãî îñè Oy, ðàñïîëàãàþòñÿ íàñòîëüêî áëèçêî, ÷òî äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà
ñòàíîâèòñÿ îäíîìåðíîé (ðèñ. 12.8).
Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà êðóãëîì îòâåðñòèè. Ïóñòü â ýêðàíå èìååòñÿ êðóãëîå îòâåðñòèå ðàäèóñà r0. Ïðîâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëÿðíûõ
êîîðäèíàò, ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â âèäå
2
I (Ð ) = I (k ^ ) =
I 0 (pr02 ) 2 é 2J 1 (k ^ r0 ) ù
.
l 2b 2 êë k ^ r0 úû
(12.45)
Çäåñü k ^ = k x2 + k y2 = k sin J, J — óãîë ìåæäó îñüþ Oz è íàïðàâëåíèåì â òî÷êó
P. Ïî ñâîåé ñòðóêòóðå âûðàæåíèå (12.45) î÷åíü ïîõîæå íà (12.39). Ôóíêöèÿ
J1(x) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Áåññåëÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Íà ðèñ. 12.9 ïðåäñòàâëåí
2
é 2J (x) ù
ãðàôèê çàâèñèìîñòè ê 1 ú îò âåëè÷èíû x.
ë x û
Äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà â äàëüíåì ïîëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôðàêöèîííûå êîëüöà, îêðóæàþùèå ÿðêîå êðóãëîå ïÿòíî.
Íà ðèñ. 12.10 ïîêàçàíà ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìàÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà.
Äèôðàêöèîííûå êîëüöà íàçûâàþòñÿ êîëüöàìè Ýéðè. Óãëîâîé ðàçìåð öåíòðàëüíîãî ïÿòíà îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
(12.46)
x = k ^ r0 = kr0 sin J 0 = 1,22p.
Îòñþäà
sin J 0 =
Ðèñ. 12.9
0,61l
.
r0
(12.47)
Ðèñ. 12.10
139
Ðèñ. 12.11
Îáû÷íî r0 > l, ïîýòîìó
sin J 0 » J 0 =
0,61l
.
r0
(12.48)
Ðàäèóñ öåíòðàëüíîãî ïÿòíà r0b (è äðóãèõ êîëåö) ëèíåéíî íàðàñòàåò ñ ðàññòîÿíèåì b: r0b = J0b. Çà ýêðàíîì ñ îòâåðñòèåì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ðàñõîäÿùèéñÿ
ñâåòîâîé ïó÷îê, îñíîâíàÿ ìîùíîñòü êîòîðîãî çàêëþ÷åíà âíóòðè êîíóñà ñ óãëîì 2J0 ïðè åãî âåðøèíå. Ýòó óãëîâóþ ðàñõîäèìîñòü íàçûâàþò äèôðàêöèîííîé;
îíà õàðàêòåðèçóåòñÿ óãëîì J0, èëè óãëîì äèôðàêöèîííîé ðàñõîäèìîñòè.
Íà ðèñ. 12.11 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî ðàñïðîñòðàíåíèå âäîëü îñè Oz ïó÷êà
ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïðîôèëåì èíòåíñèâíîñòè. Äëÿ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè øòðèõîâîé ëèíèåé âûäåëåíà öèëèíäðè÷åñêàÿ îáëàñòü ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì íà÷àëüíîìó ðàäèóñó r0 ñâåòîâîãî ïó÷êà, è îòòåíåíà îáëàñòü íà ãðàôèêàõ I(r), â êîòîðîé
çàêëþ÷åíà îñíîâíàÿ ìîùíîñòü ïó÷êà.
Âèäíî, ÷òî îñíîâíàÿ ìîùíîñòü çàêëþ÷åíà âíóòðè ïðîñòðàíñòâà, õàðàêòåðíûå ãðàíèöû êîòîðîãî èçîáðàæåíû äâóìÿ èçãèáàþùèìèñÿ ëèíèÿìè, ñòðåìÿùèìèñÿ â äàëüíåì ïîëå (z > L0 = r02/l) ê àñèìïòîòàì ñ óãëîì 2J0 ìåæäó íèìè.
Ïîëå â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû. Ïðè ïàäåíèè ïëîñêîé âîëíû íà ñîáèðàþùóþ ëèíçó ñ ðàäèóñîì r0 è ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ôîðìèðóåòñÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà Ôðàóíãîôåðà.
Äåéñòâèòåëüíî, ëèíçà, ñ îäíîé ñòîðîíû, âûïîëíÿåò ðîëü êðóãëîãî îòâåðñòèÿ ðàäèóñà r0, à ñ äðóãîé — ñîáèðàåò â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíûå
ëó÷è îò âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ. Ïîýòîìó â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè áóäåò ðàñïîëîæåíî öåíòðàëüíîå ïÿòíî, îêðóæåííîå êîëüöàìè Ýéðè. Ðàäèóñ ýòîãî ïÿòíà
ïîëó÷àåòñÿ ïðè b = f ðàâíûì:
rF = J 0 f =
0,61l
f.
r0
(12.49)
Íà ðèñ. 12.12 ïîêàçàíà ñõåìà ôîêóñèðîâêè êîëëèìèðîâàííîãî ïó÷êà ñîáèðàþùåé ëèíçîé.
Êðèâûìè ëèíèÿìè îòìå÷åíà ãðàíèöà îáëàñòè, â êîòîðîé ñîñðåäîòî÷åíà îñíîâíàÿ ìîùíîñòü âîëíû. Ïîñëå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ïó÷îê ïðèîáðåòàåò áîëüøóþ ðàñõîäèìîñòü
JF »
140
l
.
rF
(12.50)
Åñëè áû ëèíçû íå áûëî, òî ïó÷îê â äàëüíåì ïîëå ïðèîáðåë áû ìåíüøóþ ðàñõîäèìîñòü
J0 ~ l/r0 < JF, ïîñêîëüêó rF < r0.
Îöåíèì ðàäèóñ ïÿòíà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî îáðàòèìîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, çàëîæåííîå â
Ðèñ. 12.12
óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
ïó÷îê, èñïóùåííûé èç ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè
â íàïðàâëåíèè ëèíçû (ñïðàâà íàëåâî), ìîæåò ïðåâðàòèòüñÿ ïîñëå ëèíçû
â èñõîäíûé ïó÷îê ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïðîôèëåì èíòåíñèâíîñòè è ïëîñêèì
ôðîíòîì. Äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåííîñòè ñâåòîâîãî ïîëÿ (àìïëèòóäû
è ôàçû) â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè äîëæíî áûòü òàêèì æå, êàê è â äèôðàêöèîííîé
êàðòèíå Ôðàóíãîôåðà, îáðàçóþùåéñÿ ïîçàäè êðóãëîãî îòâåðñòèÿ.
Âáëèçè ëèíçû äèôðàêöèîííàÿ ðàñõîäèìîñòü ïó÷êà, ñ îäíîé ñòîðîíû, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (12.50), à ñ äðóãîé, êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 12.12, ðàâíà
JF »
r0
.
f
(12.51)
Ïðèðàâíÿâ (12.50) è (12.51), ïîëó÷èì
rF »
lf
.
r0
(12.52)
Ýòà îöåíêà ñîâïàäàåò ñ ïðîâåäåííûìè ðàíåå îöåíêàìè ñ èñïîëüçîâàíèåì
çîííîé òåîðèè è äèôðàêöèîííîãî èíòåãðàëà Ôðåíåëÿ — Êèðõãîôà.
Äèôðàêöèÿ ãàóññîâà ïó÷êà. Ïóñòü â ïëîñêîñòè Oxy âîçìóùåíèå
æ x2 + y2 ö
U å ( x, y ) = U 0 exp ç .
r02 ÷ø
è
(12.53)
Ýòî âîçìóùåíèå ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïîëÿ â ãàóññîâîì
ïó÷êå. Åãî ôóðüå-àìïëèòóäà
2
U å (k x , k y )
= U 0 pr02
2
æ -k y r02 ö
æ -k r 2 ö
exp ç x 0 ÷ exp ç
.
è 2 ø
è 2 ø÷
(12.54)
Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ôóðüå-àìïëèòóäà îò ãàóññîâîé ôóíêöèè òàêæå
ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâîé ôóíêöèåé. Ñîãëàñíî (12.37) èíòåíñèâíîñòü â äàëüíåì ïîëå
I 0 (pr02 ) 2
exp éë -r02 (k x2 + k y2 )ùû .
(12.55)
l 2b 2
2p x
2p y
Äëÿ òî÷êè P ñ êîîðäèíàòàìè x, y, z èìååì b » z , k x =
. Ïî; ky =
l z
l z
ýòîìó
I (Ð ) = I (k x , k y ) =
I (Ð ) = I ( x, y, z ) =
æ x2 + y2 ö
I0
exp ç - 2 2 2 ÷ ,
2
è r0 z z 0 ø
z z0
2
(12.56)
ãäå z0 = pr02/l — äèôðàêöèîííàÿ äëèíà ãàóññîâà ïó÷êà. Åñòåñòâåííî, ÷òî (12.56)
ñïðàâåäëèâî ïðè z ? z0.
Òàêèì îáðàçîì, â äàëüíåì ïîëå ãàóññîâ ïó÷îê îñòàåòñÿ ãàóññîâûì. Åãî øèðèíà r0z = r0z /z0 (ñì. ðèñ.) âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîéäåííîìó âîëíîé
141
ðàññòîÿíèþ, à èíòåíñèâíîñòü íà îñè óáûâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó
ýòîãî ðàññòîÿíèÿ.
Êâàçèîïòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íàïðàâëåííûõ ïó÷êîâ ñâåòà ïðèìåíÿåòñÿ êâàçèîïòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. Âñëåäñòâèå ìàëîé äèôðàêöèîííîé ðàñõîäèìîñòè òàêèå ïó÷êè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êâàçèïëîñêèå (ïî÷òè ïëîñêèå) íåîäíîðîäíûå âîëíû.
Ïóñòü âäîëü îñè Oz ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ïó÷îê ñâåòà:
U ( x, y, z , t ) = A( x , y, z , t ) exp [i (wt - kz )] .
(12.57)
Àìïëèòóäà âîëíû â ïëîñêîñòè Oxy èçìåíÿåòñÿ íà ìàñøòàáå øèðèíû ïó÷êà
r0, à âäîëü îñè Oz — íà ìàñøòàáå äèôðàêöèîííîé äëèíû L0 ~ r02/l ? r0. Ýòî
ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü èç âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
æ ¶ 2U ¶ 2U ¶ 2U ö
¶ 2U
= c2 ç 2 +
+
2
¶t
¶y 2
¶z 2 ÷ø
è ¶x
(12.58)
áîëåå ïðîñòîå ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû A.
Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå:
¶ 2U
¶ 2U
¶2 A
¶ 2U
¶2A
= (i w)U ;
=
=
exp [i (wt - kz )] ;
exp [i (wt - kz )] ;
2
2
2
2
¶t
¶x
¶x
¶y
¶y 2
æ ¶2 A
ö
¶ 2U
¶A
=
- k 2 A ÷ exp [i (wt - kz )] .
ç 2 - 2ik
2
è
ø
¶z
¶z
¶z
(12.59)
Îöåíèì çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ:
¶2A
¶2A
A
:
: 2;
2
¶x
¶y 2
r0
¶A
A
¶2A
A
:
: 2.
;
¶z
L0
¶z 2
L0
¶2 A
. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (12.59)
¶z 2
â (12.58) è ñîêðàùåíèÿ íà ýêñïîíåíöèàëüíûé ìíîæèòåëü ïîëó÷àåì èñêîìîå
óðàâíåíèå
Ïîýòîìó â (12.59) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíîì
¶A
1 æ ¶2 A ¶2 A ö
=
+
.
¶z
¶ y 2 ÷ø
2ik èç ¶ x 2
(12.60)
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû.
Ïðîöåññ äèôðàêöèè, îïèñûâàåìûé ýòèì óðàâíåíèåì, èìååò íàãëÿäíóþ
àíàëîãèþ ñ ðàñïðîñòðàíåíèåì òåïëà íà ïëîñêîñòè Oxy ñ òå÷åíèåì âðåìåíè t.
Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä
æ ¶ 2T ¶ 2T ö
¶T
= cç 2 + 2 ÷,
è ¶x
¶t
¶y ø
(12.61)
ãäå T — òåìïåðàòóðà; c — êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè (äèôôóçèè
òåìïåðàòóðû). Åñëè â ìîìåíò t = 0 âáëèçè íà÷àëà êîîðäèíàò îñóùåñòâèòü ëîêàëüíûé íàãðåâ, ñîçäàâ ïðîôèëü òåìïåðàòóðû T (x, y, 0), òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýòîò ïðîôèëü T (x, y, t ) áóäåò ðàñïëûâàòüñÿ.
142
Àíàëîãè÷íî, íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå A(x, y, 0) ïðè z = 0 ïî ìåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ áóäåò ðàñïëûâàòüñÿ âñëåäñòâèå äèôðàêöèè. Àíàëîãîì c çäåñü ÿâëÿåòñÿ ìíèìûé êîýôôèöèåíò 1/(2ik) äèôôóçèè àìïëèòóäû. Ðàññìîòðèì äâà âàæíûõ ïðèìåðà.
Äèôðàêöèÿ ãàóññîâà ïó÷êà. Äëÿ ãàóññîâà êîëëèìèðîâàííîãî ïó÷êà ñ íà÷àëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì àìïëèòóäû
æ r2ö
A(r , 0) = A0 exp ç - 2 ÷
è r0 ø
(12.62)
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12.60) èìååò âèä
A(r , z ) =
Çäåñü r =
æ r2
ö
A0
1
= À exp(-i Ô).
exp ç - 2
è r0 1 - iz z 0 ø÷
1 - iz z 0
(12.63)
x 2 + y 2 , z0 = pr02/l. Ïðîôèëü èíòåíñèâíîñòè
I (r , z ) =
æ
ö
I0
r2
1 2
À =
exp
,
ç
2
2
2
2
2 ÷
è r0 (1 + z z 0 ) ø
2
1 + z z0
(12.64)
à ôàçà
Ô=
r 2 z z0
- arctg(z z 0 ).
r02 1 + z 2 z 02
(12.65)
Èç (12.64) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïó÷îê ñîõðàíÿåò ñâîé ãàóññîâ
ïðîôèëü ïðè ëþáîì z. Èç-çà äèôðàêöèè åãî øèðèíà r0z óâåëè÷èâàåòñÿ:
r0 z = r0 1 + z 2 z 02 ,
(12.66)
à èíòåíñèâíîñòü ïàäàåò. Â äàëüíåì ïîëå (z ? z0) (12.64) ñîâïàäàåò ñ (12.56).
Äèôðàêöèîííàÿ ðàñõîäèìîñòü èç (12.66) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
tg J 0 » J 0
dr0 z
dz
z ? L0
=
l
.
pr0
(12.67)
Ñîãëàñíî (12.49) ïðè ôîêóñèðîâêå ïó÷êà ëèíçîé â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè
øèðèíà ãàóññîâà ïó÷êà ðàâíà
rF = J 0 f =
lf
.
pr0
(12.68)
Ýòà âåëè÷èíà ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà ñîâïàäàåò ñ ïðèáëèæåííîé
îöåíêîé (12.52) è îáíàðóæèâàåò ïîëíîå ñîâïàäåíèå ñ (11.23). Èíîãäà íàèáîëåå
óçêóþ ÷àñòü ïó÷êà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû íàçûâàþò ïåðåòÿæêîé, à âåëè÷èíó rF — ðàäèóñîì ïåðåòÿæêè.
Ôàçîâûé ôðîíò, êàê ñëåäóåò èç (12.65), èç ïëîñêîãî ïîñòåïåííî ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðàáîëè÷åñêèé, õîòÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðèåé äèôðàêöèè îí äîëæåí
áûòü ñôåðè÷åñêèì.  ïðèîñåâîé îáëàñòè ïó÷êà, ãäå ñêîíöåíòðèðîâàíà åãî îñíîâíàÿ ìîùíîñòü, ïàðàáîëè÷åñêèé è ñôåðè÷åñêèé ôàçîâûå ôðîíòû ñîâïàäàþò, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ñïðàâåäëèâîñòè êâàçèîïòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ.  äàëüíåì ïîëå
Ô=
r 2 z0 1 r 2
=
k.
r02 z
2 z
(12.69)
143
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèóñ êðèâèçíû ôðîíòà R = z è óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì.
Äèôðàêöèÿ ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî ïó÷êà. Åñëè ëàçåð ðàáîòàåò â ðåæèìå ãåíåðàöèè áîëüøîãî ÷èñëà ïîïåðå÷íûõ ìîä (ìíîãîìîäîâîì ðåæèìå), òî ïîïåðå÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ â ïó÷êå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âûõîäå ëàçåðà ïðè z = 0
A(r,0) = A0e - r
2
r02
h(r),
(12.70)
ãäå h(r) — ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò. Åå ñðåäíåå çíà÷åíèå h = 0, à äèñïåðñèÿ s2 = 1.
Ïóñòü ñòåïåíü ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè (ñì. ëåêöèþ 10) èìååò âèä
2
g 12 (l ,0) = h(r1 )h(r1 + l) = exp(- l 2 rê0
),
(12.71)
ãäå rê0 — íà÷àëüíûé ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè.
Ðåøàÿ óðàâíåíèå (12.66) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (12.70), ïîëó÷àåì ðåøåíèå
A(r, z), ÿâëÿþùååñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò. Ñ ó÷åòîì (12.71) äëÿ ïðîñòðàíñòâåííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè àìïëèòóäû A(r, z) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
à 12 =
é r 2 + r 2 (r - r ) 2 ù
À( r1, z ) A*(r2 , z )
= I 0 exp ê - 1 2 2 - 2 2 1 ú .
2
r0 z
rêz
ë
û
(12.72)
Øèðèíà ïó÷êà r0z è ðàäèóñ åãî ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè rêz âîçðàñòàþò ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì ïî îäèíàêîâîìó çàêîíó
r0 z = r0 1 + z 2 z12 ;
rêz = rê0 1 + z 2 z12 .
(12.73)
Çäåñü
z1 =
1 pr0rýô
2 l
(12.74)
— äèôðàêöèîííàÿ äëèíà ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî ïó÷êà; ýôôåêòèâíàÿ øèðèíà rýô
îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
1
2
rýô
=
1
1
+ 2.
2
rê0 2r0
(12.75)
Ó ïðîñòðàíñòâåííî êîãåðåíòíîãî (îäíîìîäîâîãî) ãàóññîâà ïó÷êà rê0 ? r0.
Òîãäà rýô = 2r0 è z1 = z0, êàê ýòî áûëî ïîëó÷åíî ðàíåå. Äëÿ ìíîãîìîäîâîãî
1 pr0 rê0
< z 0.
ïó÷êà (N — ÷èñëî ïîïåðå÷íûõ ìîä) rê0 = r0 / N < r0, rýô » rê0 è z1 =
2 l
Ðàñõîäèìîñòü ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî (ìíîãîìîäîâîãî) ïó÷êà â äàëüíåì ïîëå
(z ? z0) ïðåâûøàåò ðàñõîäèìîñòü J0 êîãåðåíòíîãî ïó÷êà òîãî æå ðàäèóñà:
dr
l
l
r
(12.76)
J1 = 0z = 0 =
> J0 =
.
pr0
dz
z1
2prê0
Òàêèì îáðàçîì, äèôðàêöèîííàÿ ðàñõîäèìîñòü J0 îäíîìîäîâîãî ïó÷êà ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé ðàñõîäèìîñòüþ. Ðåàëüíûå ïó÷êè îáëàäàþò îãðàíè÷åííîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòüþ (rê0 < r0), ïîýòîìó èõ ðàñõîäèìîñòü ïðåâûøàåò
äèôðàêöèîííóþ.
144
Ë Å Ê Ö È ß 13
Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ. Ñðåäè ìíîãî÷èñëåííûõ äèôðàêöèîííûõ ÿâëåíèé îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò äèôðàêöèÿ íà ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè (îòðàæåíèè) ïëîñêîé âîëíû ÷åðåç
îäíî- èëè äâóõìåðíûå ñòðóêòóðû âîçìóùåíèå â (12.33) ïðèîáðåòàåò ïåðèîäè÷åñêóþ ìîäóëÿöèþ àìïëèòóäû è ôàçû â ïëîñêîñòè Oxy.  ðåçóëüòàòå â óãëîâîì
ñïåêòðå |U S(kx, ky)|2 ïîÿâëÿþòñÿ ÿðêî âûðàæåííûå ïðîñòðàíñòâåííûå ÷àñòîòû.
Äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ÷àñòîòàì, áóäóò óçêèìè
è èíòåíñèâíûìè.
 ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, íàïðàâèâ ëó÷ ëàçåðíîé óêàçêè íàêëîííî íà ïîâåðõíîñòü CD-äèñêà. Îò åãî ïîâåðõíîñòè áóäóò îòðàæàòüñÿ â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ
íåñêîëüêî ñâåòîâûõ ëó÷åé. Ýòè íàïðàâëåíèÿ áóäóò ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëåíèÿìè
íà äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû.
Ïîñêîëüêó ïîëîæåíèå äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ çàâèñèò îò äëèíû âîëíû, äèôðàêöèÿ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà ñâåòà. Êðîìå
òîãî, ïðè èçâåñòíîé äëèíå âîëíû ïî ïîëîæåíèþ ìàêñèìóìîâ ìîæíî ñäåëàòü
çàêëþ÷åíèå î ïåðèîäàõ ïðîñòðàíñòâåííîé ìîäóëÿöèè è òåì ñàìûì èññëåäîâàòü
ñàìó ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó.
Äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè. Äèôðàêöèîííîé ðåøåòêîé ÿâëÿåòñÿ ëþáîå óñòðîéñòâî, îáåñïå÷èâàþùåå ïåðèîäè÷åñêóþ ìîäóëÿöèþ âäîëü îäíîãî íàïðàâëåíèÿ
àìïëèòóäû è ôàçû ïàäàþùåé âîëíû. Íà ðèñ. 13.1 ðåøåòêà ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíà â âèäå ïðîçðà÷íîé ïëàñòèíêè ñ ïåðèîäè÷åñêè ìåíÿþùåéñÿ òîëùèíîé
âäîëü îñè Ox.
Ïðè ïàäåíèè íà ðåøåòêó ïëîñêîé âîëíû âîçìóùåíèå íà åå ïîâåðõíîñòè
U (x, y ) = U 0e -ikeox x -ikeoy y .
(13.1)
Ìîäóëÿöèîííûå ñâîéñòâà ðåøåòêè çàäàþòñÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé
t (x ) =
U S ( x, y )
= t ( x ) e -i Ô( x ),
U ( x, y )
(13.2)
ãäå U S(x, y) — âîçìóùåíèå, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç
ðåøåòêó.
Ôóíêöèÿ (13.2) ïåðèîäè÷åñêàÿ:
t (x) = t (x + d ).
(13.3)
Âåëè÷èíà d íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ðåøåòêè.
×èñëî N òàêèõ ïåðèîäîâ (øòðèõîâ) îáû÷íî
âåëèêî: 102 < N < 104. Ìíîãèå ðåøåòêè îòðàæàþò ñâåò.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ t (x) áóäåò îïèñûâàòü ìîäóëÿöèþ âîëíû ïðè îòðàæåíèè.
Ðèñ. 13.1
145
Ïî õàðàêòåðó ìîäóëÿöèè ðåøåòêè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà àìïëèòóäíûå è ôàçîâûå. Äëÿ àìïëèòóäíûõ ðåøåòîê Ô(x) = 0, äëÿ ôàçîâûõ |t (x)| = 1.
 ðåçóëüòàòå äèôðàêöèè âîçìóùåíèå â äàëüíåì ïîëå, ñîãëàñíî (12.33), ðàâíî
L
U (P ) =
L
2
1
i e ikb
U 0 ò e ik (e y -e oy )dy ò t (x )e ik (e x -eox )x dx ,
l b
0
0
(13.4)
ãäå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ L1 è L2 îïðåäåëÿþòñÿ ðàçìåðàìè ðåøåòêè, âûïîëíåííîé â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíèêà. Åñëè äëÿ ïðîñòîòû ïîëîæèòü, ÷òî âåêòîðû e0 è e ëåæàò â ïëîñêîñòè ðèñóíêà, òî ey = e0y = 0 è
L2
ò dy = L2 .
0
Äðóãîé èíòåãðàë ïðåäñòàâèì â âèäå
L1
d
2d
Nd
0
0
d
(N -1)d
ò = ò t (x )e ikpx dx + ò + K + ò
d
d
0
0
=
= ò t ( x )e ikpx dx [1 + e ikpd + K + e ikpd (N -1) ] = ò t (x )e ikpx dx
1 - e ikpdN
.
1 - e ikpd
(13.5)
Çäåñü p = e x - e 0 x = sin j - sin j 0; j è j0 — óãëû, îáðàçóåìûå âåêòîðàìè e è e0
ñ îñüþ Oz ñîîòâåòñòâåííî, L1 = Nd. Åñëè áû ðåøåòêà ñîñòîÿëà èç îäíîãî ïåðèîäà, òî âîçìóùåíèå áûëî áû ðàâíî
U 1 (P ) =
d
i
e -ikb
U 0 L2
t ( x )e ikpx dx .
b ò0
l
(13.6)
Ïðè íàëè÷èè N øòðèõîâ
1 - e ikpdN
.
(13.7)
1 - e ikpd
Âîçìóùåíèå U îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì U1(P ) íà êîìïëåêñíóþ ôóíêöèþ, îïèñûâàþùóþ èíòåðôåðåíöèþ âîëí îò öåïî÷êè N âòîðè÷íûõ òî÷å÷íûõ
èñòî÷íèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè d äðóã îò äðóãà.
Ïåðåõîäÿ â (13.7) ê èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷èì
U (P ) = U 1 (P )
kpdN
æ
sin
1
ç
2
2
I (P ) = U (P ) = I 1 (P ) ç
kpd
2
ç sin
è
2
2
ö
kpd ö
÷
æ
÷ = I 1 (P )H çè N , 2 ÷ø .
÷
ø
(13.8)
Çäåñü
I L2
I 1 (P ) = 02 22
l b
d
ò t (x )e
2
ikpx
dx
(13.9)
0
— èíòåíñèâíîñòü ïðè äèôðàêöèè íà îäíîì øòðèõå ðåøåòêè,
kpdN
æ
sin
kpd
ç
2
H (N ,
)=ç
kpd
2
ç sin
è
2
146
ö
÷
÷
÷
ø
2
(13.10)
Ðèñ. 13.2
Ðèñ. 13.3
— ôóíêöèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ, îïèñûâàþùàÿ èíòåðôåðåíöèþ N âîëí, äèôðàãèðîâàâøèõ íà âñåõ øòðèõàõ ðåøåòêè. Åå ãðàôèê ïðè N = 10 ïðåäñòàâëåí
íà ðèñ. 13.2.
Ãëàâíûå ìàêñèìóìû ýòîé ôóíêöèè (Hmax = N 2) ðåàëèçóþòñÿ ïðè
kpd
(13.11)
= mp, èëè d (sin j - sin j 0 ) = ml,
2
ãäå m = 0, ±1, ±2, ¾ — ïîðÿäîê äèôðàêöèè.
Óñëîâèå (13.11) îçíà÷àåò, ÷òî ðàçíîñòü õîäà A1B1 - A2B2 ìåæäó ïàðîé ëó÷åé,
ðàçíåñåííûõ íà ðàññòîÿíèå d â ïëîñêîñòè ðåøåòêè, ðàâíà öåëîìó ÷èñëó äëèí
âîëí (ðèñ. 13.3).
 ýòîì ñëó÷àå âîëíû, äèôðàãèðîâàâøèå îò ðàçíûõ øòðèõîâ, ñêëàäûâàþòñÿ
â ôàçå, è ñóììàðíîå âîçìóùåíèå âîçðàñòàåò â N ðàç, à èíòåíñèâíîñòü — â N 2
ðàç.
Ìèíèìóìû îáðàçóþòñÿ ïðè
kpdN
= np, èëè Nd (sin j - sin j 0 ) = nl,
(13.12)
2
ãäå n = ±1, ±2, ¾ ±(N - 1), ±(N + 1), ±(N + 2), ¾
Ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè íàõîäÿòñÿ (N - 1) ìèíèìóìîâ. ×åì
áîëüøå ÷èñëî ïåðèîäîâ, òåì áîëüøå ìèíèìóìîâ, è òåì óæå è âûøå ãëàâíûå
ìàêñèìóìû.
Óñëîâèå (13.12) îçíà÷àåò, ÷òî ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè, ðàçíåñåííûìè
íà ðàññòîÿíèå Nd, ðàâíà öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí, çà èñêëþ÷åíèåì n = ±N,
±2N, ¾, êîãäà ïîÿâëÿþòñÿ ãëàâíûå ìàêñèìóìû. Èíòåðôåðèðóþùèå âîëíû îò
öåïî÷êè èñòî÷íèêîâ â íàïðàâëåíèÿõ, îïðåäåëÿåìûõ èç (13.12), ãàñÿò äðóã äðóãà.
Ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ðåøåòîê. Ïîñêîëüêó ãëàâíûå ìàêñèìóìû óçêèå, ïðè íåáîëüøîì èçìåíåíèè äëèíû âîëíû ìîæíî çàôèêñèðîâàòü èõ ñìåùåíèå. Ïîýòîìó ðåøåòêè øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà. Ðàññìîòðèì âàæíåéøèå ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ðåøåòîê.
Àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ õàðàêòåðèçóåò îòêëèê ïðèáîðà íà ìîíîõðîìàòè÷åñêîå âîçìóùåíèå. Ïðè ñïåêòðàëüíîì
àíàëèçå êàæäîé äëèíå âîëíû, â ñîîòâåòñòâèè ñ (13.11), ïðèïèñûâàåòñÿ óãëîâàÿ
(èëè ëèíåéíàÿ) êîîðäèíàòà.
Ïóñòü äëÿ ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà èñïîëüçóåòñÿ m-é ïîðÿäîê äèôðàêöèè. Ïðè
îñâåùåíèè ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì ñ äëèíîé âîëíû l0 íà ýêðàíå, ãäå ôèêñèðóåòñÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà, áóäåò «ðàçìàçàííàÿ» ïîëîñà, øèðèíà êîòî-
147
ðîé ïðîïîðöèîíàëüíà óãëîâîé øèðèíå m-ãî ìàêñèìóìà ôóíêöèè H. Ïîëîæåíèå ñåðåäèíû ýòîé ïîëîñû îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì
(13.13)
pm d = d (sin j m - sin j 0 ) = m l 0 .
Âáëèçè êîîðäèíàòû kpmd/2 ôóíêöèþ H ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
2
Hm
Nk 0 ( p - pm )d k 0 ( p - pm )d ù
é
sin
ê
ú
2
2
2
2 é Nk 0 ( p - pm )d ù
=N2ê
ú » N sinc ê
úû , (13.14)
Nk
(
p
p
)
d
k
(
p
p
)
d
ë
2
m
m
0
ê
ú
sin 0
êë
úû
2
2
é k ( p - pm )d ù
ãäå k0 = 2p/l0; sinc ê 0
úû » 1 .
ë
2
Èñïîëüçóÿ (13.11) è (13.13), ìîæíî çàïèñàòü
l - l0 ù
é
H m = N 2 sinc 2 ê pmN
.
l 0 úû
ë
(13.15)
Ââåäåì äèôðàêöèîííóþ àïïàðàòíóþ ôóíêöèþ
g A (l - l 0 ) =
1
æ l - l0 ö
sinc 2 ç p
.
Dl A
è Dl A ø÷
(13.16)
Çäåñü
Dl A =
l0
mN
(13.17)
— øèðèíà àïïàðàòíîé ôóíêöèè. Òîãäà
(13.18)
H m = N 2 Dl A g A (l - l 0 ).
Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü. Åñëè ñïåêòð àíàëèçèðóåìîãî ñâåòà ñîñòîèò
èç äâóõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòè, íî ñ ðàçíûìè äëèíàìè
âîëí l01 è l02, òî
H m = N 2 Dl A [ g A (l - l 01 ) + g A (l - l 02 )] .
(13.19)
Ïðè l02 - l01 = DlA ìàêñèìóì ôóíêöèè gA(l - l02) ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì
ìèíèìóìîì ôóíêöèè gA(l - l01), êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 13.4.
 ýòîì ñëó÷àå «ïðîñåäàíèå» ôóíêöèè Hm â ñåðåäèíå äîñòèãàåò 20 %. Íàëè÷èå
äâóõ ìàêñèìóìîâ ïðè òàêîì êîíòðàñòå âïîëíå óâåðåííî ôèêñèðóåòñÿ êàê âèçóàëüíî, òàê è ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîòîäåòåêòîðîâ. Íà ýòîì îñíîâàí êðèòåðèé Ðýëåÿ, ñîãëàñ2
Hm /N
DlA
íî êîòîðîìó ìèíèìàëüíàÿ ðàçíîñòü äëèí âîëí,
1,0
êîòîðóþ ìîæíî èçìåðèòü ñ ïîìîùüþ ðåøåòêè, ðàâíà
0,5
Dl min = Dl A =
0
l01 l02
Ðèñ. 13.4
148
l
l0
.
mN
(13.20)
Åñëè l02 - l01 ³ Dlmin, òî ðåøåòêà ðàçäåëÿåò
ëèíèè. Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü (ñì. òàêæå (8.40))
R
=
l0
= mN .
Dl min
(13.21)
Êàê è ó èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè — Ïåðî (ñì. (10.26)), ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïîðÿäêà m íà ÷èñëî èíòåðôåðèðóþùèõ ëó÷åé (÷èñëî ïåðèîäîâ).
Íóæíî îòìåòèòü óñëîâíîñòü êðèòåðèÿ Ðýëåÿ, ïîñêîëüêó â ñîâðåìåííîì ýêñïåðèìåíòå âîçìîæíî ðàçðåøåíèå çíà÷èòåëüíî áîëåå áëèçêèõ ñïåêòðàëüíûõ
ëèíèé, êîãäà ïðîâàë ôóíêöèè Hm ìåíåå 5 %.
Ýòîò êðèòåðèé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â îáùåì âèäå, óäîáíîì äëÿ îöåíêè
ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ðàçëè÷íûõ ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðîâ. Ïóñòü â íàïðàâëåíèè, çàäàâàåìîì óãëîì j, äëÿ äëèíû âîëíû l1 ôîðìèðóåòñÿ äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì m-ãî ïîðÿäêà:
Nd (sin j - sin j 0 ) = Nm l1,
(13.22)
à äëÿ äëèíû âîëíû l2 áëèæàéøèé ìèíèìóì:
Nd (sin j - sin j 0 ) = Nm l 2 + l 2 .
(13.23)
Ïîëàãàÿ Dl min = l 2 - l1, l 2 » l 0, ïîëó÷àåì äëÿ ðàçðåøàþùåé ñèëû âûðàæåíèå (13.21).
Òàêèì îáðàçîì, êðèòåðèé Ðýëåÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: èçìåíåíèå ðàçíîñòè õîäà ìåæäó êðàéíèìè ëó÷àìè äèôðàãèðîâàâøåé âîëíû
ïðè èçìåíåíèè äëèíû âîëíû íà âåëè÷èíó Dlmin äîëæíî áûòü ðàâíî öåëîé äëèíå
âîëíû l0.
Åñëè ïàäàþùèé ñâåò õàðàêòåðèçóåòñÿ íåêîòîðîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ
S(l) = I0g(l) (g(l) — êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè), òî âìåñòî (13.19) èìååì
H m = N 2 Dl A ò g A (l - l 0 ) g (l 0 )d l 0 = N 2 Dl A g ¢(l),
(13.24)
ãäå
g ¢(l) =
ò g A (l - l 0 )g (l 0 )d l 0
(13.25)
— èñêàæåííûé êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè (ñì. òàêæå (8.42)). Èçìåðÿÿ g ¢(l),
ìîæíî âîññòàíîâèòü èñòèííûé êîíòóð g(l).
Óãëîâàÿ è ëèíåéíàÿ äèñïåðñèÿ. Óãëîâàÿ äèñïåðñèÿ Dj õàðàêòåðèçóåòñÿ èçìåíåíèåì óãëîâîãî ïîëîæåíèÿ äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà ïðè èçìåíåíèè äëèíû
âîëíû. Îíà ïîëó÷àåòñÿ èç (13.11):
Dj =
m
dj
.
=
dl d cos j
(13.26)
 ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðàõ ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ðàçëîæåíèåì ñïåêòðà äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà ðåãèñòðèðóåòñÿ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ñîáèðàþùåé ëèíçû (êàìåðíîãî îáúåêòèâà), óñòàíàâëèâàåìîé ïîçàäè ðåøåòêè. Êàæäîé äëèíå âîëíû
l ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ëèíåéíàÿ êîîðäèíàòà l. Èçìåíåíèå ýòîé êîîðäèíàòû
ïðè èçìåíåíèè äëèíû âîëíû õàðàêòåðèçóåòñÿ ëèíåéíîé äèñïåðñèåé
dl
(13.27)
= Dj f 2 ,
dl
ãäå f2 — ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå êàìåðíîãî îáúåêòèâà. Ïîñêîëüêó Dj è Dl çàâèñÿò îò
j, çàâèñèìîñòü êîîðäèíàòû îò äëèíû âîëíû l(l) ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé ôóíêöèåé.
Dl =
149
Îáëàñòü ñâîáîäíîé äèñïåðñèè. Äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû, ïðèíàäëåæàùèå
ê ðàçíûì äëèíàì âîëí, ìîãóò ïåðåêðûâàòüñÿ â íåêîòîðîì m-ì ïîðÿäêå. Åñëè
ñïåêòð èçëó÷åíèÿ çàíèìàåò äèàïàçîí äëèí âîëí l1 £ l £ l2, òî óñëîâèå ïåðåêðûòèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå
d (sin j - sin j 0 ) = (m + 1)l 1 = ml 2 .
(13.28)
Çäåñü (m+ 1)-é ìàêñèìóì äëÿ l1 «íàåçæàåò» íà m-é ìàêñèìóì äëÿ l2. Âåëè÷èíà
l
l
(13.29)
Dl max = (l 2 - l1 ) max = 1 » 0
m
m
íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñâîáîäíîé äèñïåðñèè. Çäåñü l0 — ñðåäíÿÿ äëèíà âîëíû. Ñ ýòîé
âåëè÷èíîé ìû óæå âñòðå÷àëèñü ïðè èçó÷åíèè èíòåðôåðîìåòðà Ôàáðè — Ïåðî.
Íà ïðàêòèêå ìàêñèìóìû ìåøàþùèõ ïîðÿäêîâ óñòðàíÿþòñÿ ëèáî ïðåäâàðèòåëüíûì ñóæåíèåì øèðèíû ñïåêòðà (íàïðèìåð, ñâåòîôèëüòðîì), ëèáî ïðèìåíèåì ôîòîäåòåêòîðîâ, íå÷óâñòâèòåëüíûõ ê íåíóæíîé îáëàñòè ñïåêòðà.
Àìïëèòóäíûå äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè. Ïåðâûå ðåøåòêè, èçãîòîâëåííûå
íåìåöêèì ôèçèêîì É. Ôðàóíãîôåðîì âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX â., áûëè âûïîëíåíû èç î÷åíü òîíêîé ïðîâîëîêè, íàâèòîé íà äâà ïàðàëëåëüíûõ âèíòà. Ïîçäíåå ó÷åíûé ñ ïîìîùüþ äåëèòåëüíîé ìàøèíû ïðî÷åð÷èâàë øòðèõè íà çîëîòîé ïëåíêå, íàíåñåííîé íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó. Ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà
ýòè ðåøåòêè ìîäóëèðîâàëè àìïëèòóäó âîëíû. Åñëè d1 — øèðèíà ïðîçðà÷íîãî
øòðèõà (ùåëè), òî â ïðåäåëàõ øòðèõà t(x) = 1 è
d
ikpd1
i
e -ikb 1
i
e -ikb
æ kpd1 ö
ikpx
2 sinc
1
U 1(P ) = U 0L2
e
dx
U
L
d
e
×
=
çè
÷ . (13.30)
0 2
1
ò
2 ø
b 0
b
l
l
Òîãäà
I 1 (P ) =
I 0 (L2d1 )2
æ kpd1 ö
æ kpd1 ö
= I (0) sinc 2 ç
sinc 2 ç
.
è 2 ø÷
è 2 ø÷
l 2b 2
(13.31)
Ñ ó÷åòîì (13.31) íà ðèñ. 13.5 ïîêàçàíî ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè (13.8)
äëÿ ðåøåòêè ñ øèðèíîé øòðèõà d1 = d/5 è ÷èñëîì øòðèõîâ N = 10.
 äèôðàêöèîííîé êàðòèíå ïîÿâèëèñü ãëàâíûå ìèíèìóìû, îïðåäåëÿåìûå
èç óñëîâèÿ
kpd1
= q p, èëè d1 (sin j - sin j 0 ) = q l,
(13.32)
2
ãäå q = ±1, ±2, ±3, ...
 ýòèõ íàïðàâëåíèÿõ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó êðàéíèìè ëó÷àìè â ïðåäåëàõ îäíîé ùåëè ðàâíà öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí, ïîýòîìó âñå âîëíû, èäóùèå îò îäíîé
ùåëè, ãàñÿò äðóã äðóãà.
Íàèáîëåå ÿðêèå äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû ñîîòâåòñòâóþò íèçøèì ïîðÿäêàì. Ýòî ïîçâîëÿåò íàáëþäàòü äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó äàæå îò èñòî÷íèêà áåëîãî ñâåòà. Íà ðèñ. 13.1 öâ. âêë. ïîêàçàíà äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà îò èñòî÷íèêà
áåëîãî ñâåòà.  öåíòðå ðàñïîëîæåíà áåëàÿ (àõðîìàòè÷åñêàÿ) ïîëîñà, ïîñêîëüêó
ïîëîæåíèå íóëåâîãî ìàêñèìóìà äëÿ âñåõ äëèí âîëí îäèíàêîâîå.
Ôàçîâûå ðåøåòêè. Ïîëüçóÿñü àëìàçíûì ðåçöîì, Ôðàóíãîôåð íàíîñèë ïàðàëëåëüíûå øòðèõè è íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà. Ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà òàêàÿ
ðåøåòêà óæå ìîäóëèðîâàëà ïðåèìóùåñòâåííî ôàçó âîëíû.
Çíà÷èòåëüíûõ óñïåõîâ â èçãîòîâëåíèè ðåøåòîê äîñòèã àìåðèêàíñêèé ôèçèê
Ã. Ðîóëàíä. Ñ ïîìîùüþ ãðàâèðîâàëüíîé ìàøèíû îí èçãîòîâèë ðåøåòêó øèðè150
Ðèñ. 13.5
íîé L2 = 15 ñì, íà êîòîðîé ïðîðåçàë øòðèõè äëèíîé L1 = 10 ñì ñ ïåðèîäè÷íîñòüþ 1/d = 800 øòðèõ/ìì.  1882 ã. îí èçîáðåë âîãíóòóþ äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó, ÷òî ïîçâîëèëî îòêàçàòüñÿ îò äâóõ ëèíç â ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðàõ (ñì. äàëåå).
Åñëè ïåðâûå ðåøåòêè ãðàâèðîâàëèñü íà ñòåêëå èëè îòïîëèðîâàííîì ìåòàëëå, òî ïîçäíåå ïîÿâèëèñü ðåøåòêè ñî øòðèõàìè, íàíåñåííûìè íà ñëîé íàïûëåííîãî àëþìèíèÿ. Ñîâðåìåííûå îòðàæàòåëüíûå ðåøåòêè èìåþò øòðèõè îïðåäåëåííîãî ïðîôèëÿ, ïîçâîëÿþùåãî íàïðàâèòü áœëüøóþ ÷àñòü ñâåòà â îäèí
èëè äâà ïîðÿäêà. Íà ðèñ. 13.6 ïîêàçàí ïðîôèëü ðåøåòêè, ïðè îòðàæåíèè îò
êîòîðîé ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå I1(P ) ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ çåðêàëüíîãî îòðàæåíèÿ j = j0 + 2a, äëÿ êîòîðîãî ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè m > 1.
Íà ðèñ. 13.2 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíà ôîòîãðàôèÿ äèôðàêöèè ëó÷à àðãîíîâîãî
ëàçåðà. Ëó÷ ïàäàåò ñëåâà íàïðàâî íà ïîâåðõíîñòü íàêëîíåííîãî CD-äèñêà, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé ïî ñóòè îòðàæàòåëüíóþ ôàçîâóþ äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó
ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó äîðîæêàìè â íåñêîëüêî äëèí ñâåòîâîé âîëíû. Ïðè äèôðàêöèè ôîðìèðóåòñÿ ðÿä ñâåòîâûõ ïó÷êîâ, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â íàïðàâëåíèÿõ ãëàâíûõ äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ. Ïðè óâåëè÷åíèè ïîðÿäêà äèôðàêöèè
(ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) âîçðàñòàåò óãîë ìåæäó ñïåêòðàëüíûìè êîìïîíåíòàìè (ñîîòâåòñòâóþùèìè ðàçíûì ïðîäîëüíûì ìîäàì) ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ.
Äëÿ âèäèìîé ÷àñòè ñïåêòðà íàðåçàþò àëþìèíèåâûå ïîêðûòèÿ íà ïîëèðîâàííîé ñòåêëÿííîé ïîâåðõíîñòè ñ ïåðèîäè÷íîñòüþ 600 èëè 1 200 øòðèõ/ìì.
Äëÿ ÓÔ-äèàïàçîíà èñïîëüçóþò äþðàëþìèíèé, ìåäü, íåðæàâåþùóþ ñòàëü è äð.
Äëÿ ÈÊ-äèàïàçîíà, ãäå äëèíà âîëíû áîëüøàÿ, 1/d = 1 — 10 øòðèõ/ìì. Ðåøåòêè, ðàáîòàþùèå â îäèí-äâà ïîðÿäêà, íàçûâàþòñÿ ýøåëåòòàìè.
Ðàçðåøàþùàÿ ñèëà ðåøåòêè äîñòèãàåò
âåëè÷èíû R ~ 105. Åùå áîëüøóþ ñèëó èìåþò
a
ýøåëè. Ýøåëè ïîäîáíû èçîáðàæåííîé íà ðèñ.
j0
j
13.6 ðåøåòêå, îäíàêî ñâåò ïàäàåò ïîä
áîëüøèìè óãëàìè j0 íîðìàëüíî ê óçêîé ñòóa
ïåíüêå. Ýòèì äîñòèãàþòñÿ âûñîêèå ïîðÿäêè
3
äèôðàêöèè (m ~ 10 ). Ýøåëü ñ äëèíîé L2 =
=25 ñì è d = 0,25 ìì èìååò N = 103 øòðèõîâ
Ðèñ. 13.6
è R = 106. Ýøåëè èñïîëüçóþòñÿ â ðàçëè÷íûõ
151
äèàïàçîíàõ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâåðõòîíêîé ñòðóêòóðû ñïåêòðîâ, ãäå òðåáóåòñÿ
âûñîêàÿ ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü.
Ëþáîïûòíî îòìåòèòü, ÷òî ïðîöåññ èçãîòîâëåíèÿ ðåøåòîê çàíèìàåò ìíîãî
âðåìåíè. Íàïðèìåð, äëÿ òèïè÷íîé ðåøåòêè ñ L1 = 10 ñì, L2 = 15 ñì ïðè 1/d =
= 103 øòðèõ/ìì, ðåçåö äîëæåí íàðåçàòü N = 1,5 × 105 øòðèõîâ, ïðîõîäÿ ïðè ýòîì
ïóòü L1N = 15 êì! Åñëè âðåìÿ íàðåçàíèÿ îäíîãî øòðèõà ïðèíÿòü ðàâíûì 5 ñ,
òî ïðîöåäóðà çàéìåò 9 ñóò!
Îáû÷íî ïðè íàðåçêå øòðèõè ñëåãêà ðàçëè÷àþòñÿ ïî ïðîôèëþ è íå ñòðîãî
ïàðàëëåëüíû. Ýòî ïðèâîäèò ê çàòóìàíèâàíèþ (ñíèæåíèþ êîíòðàñòà) êàðòèíû.
Åñëè æå èìååòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêàÿ îøèáêà â ïåðèîäå ñëåäîâàíèÿ øòðèõîâ, òî
â êàðòèíå ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ëèíèè, íàçûâàåìûå äóõàìè. Ýòè ëèíèè
èíîãäà òðóäíî îòëè÷èòü îò íàñòîÿùèõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé.
Äèôðàêöèÿ íà óëüòðàçâóêîâîé âîëíå. Ïóñòü ïëîñêàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
â ïðîçðà÷íîé óïðóãîé ñðåäå, ãäå â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè âîçáóæäåíà ïðåäâàðèòåëüíî ñòîÿ÷àÿ óëüòðàçâóêîâàÿ âîëíà ñ âîçìóùåíèåì ïëîòíîñòè dr â âèäå
2p
(13.33)
x sin Wt .
L
Çäåñü äëèíà âîëíû L è ÷àñòîòà W àêóñòè÷åñêîé âîëíû ñâÿçàíû ÷åðåç ñêîðîñòü çâóêà Lçâ: L = 2pLçâ /W = Lçâ /fçâ, fç⠗ ÷àñòîòà óëüòðàçâóêà.
Íà ðèñ. 13.7 ñâåòîâàÿ âîëíà ïàäàåò íà óïðóãóþ ñðåäó òîëùèíîé l. Ê îäíîìó
èç åå òîðöîâ ïðèêðåïëåíà ïüåçîýëåêòðè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà, ñîåäèíåííàÿ ñ ãåíåðàòîðîì óëüòðàçâóêîâûõ ÷àñòîò fçâ. Äëÿ íàãëÿäíîñòè îòòåíåíû îáëàñòè â ïëàñòèíêå âáëèçè ïó÷íîñòåé âîçìóùåíèÿ ïëîòíîñòè, êîòîðîå èçîáðàæåíî ñïðàâà
îò ïëàñòèíêè.
Âîçìóùåíèå ïëîòíîñòè ïðèâîäèò ê ïåðèîäè÷åñêîìó èçìåíåíèþ ïîêàçàòåëÿ
ïðåëîìëåíèÿ n = n0 + dn, ãäå
dr( x, t ) = (dr)0 sin
dn =
dn
dr;
dr
(13.34)
n0 — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ óïðóãîé ñðåäû.
Êàæäûé ôðàãìåíò ïàäàþùåé âîëíû, ïðîõîäÿ ìåæäó ïëîñêîñòÿìè, ñòðåìèòñÿ äèôðàãèðîâàòü, ïðè ýòîì äèôðàêöèîííàÿ äëèíà áóäåò ~ L2/l. Åñëè òîëùèíà ñðåäû l < L2/l, òî äèôðàêöèÿ íåçíà÷èòåëüíà. Ó ïðîøåäøåé âîëíû ïîÿâëÿåòñÿ ëèøü ìîäóëÿöèÿ ôàçû Ô = Ô 0 + dÔ = k 0l (n0 + dn), ïðè ýòîì
2p
x sin Wt . (13.35)
L
Òàêèì îáðàçîì, óïðóãàÿ ñðåäà âûïîëíÿåò ðîëü
òîíêîé ôàçîâîé ðåøåòêè ñ ïåðèîäîì d = L. Ïðè
íîðìàëüíîì ïàäåíèè ïëîñêîé âîëíû U(x, y) = U 0 =
= const âîëíîâîå âîçìóùåíèå ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ
ñðåäû áóäåò ðàâíî
dÔ = k 0l dn = (dÔ)0 sin
U S ( x , y ) = U 0e - i ( d Ô + Ô 0 ) .
(13.36)
Åñëè (dÔ)0 < 1, òî
Ðèñ. 13.7
152
U S ( x, y ) = U 0e -i Ô0 [1 - i dÔ].
(13.37)
Ïîäñòàâëÿÿ (13.37) ñ ó÷åòîì (13.35) â (12.34), ïîëó÷àåì
(dÔ) 0
ì
2p ö
2p ö ù ü
é
sin 2 pf 3B t ê d æ k x U S (k x ) = U 0e - i Ô íd(k x ) +
- d æ kx +
ý , (13.38)
è
ø
è
2
L
L ø úû þ
ë
î
ãäå d — äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.
Òàêèì îáðàçîì, óãëîâîé ñïåêòð ñîäåðæèò òðè ïðîñòðàíñòâåííûå ÷àñòîòû:
2p
2p
,k x = 0,
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âîëíà áóäåò äèôðàãèðîâàòü ïî òðåì íàïðàâL
L
ëåíèÿì. Â äàëüíåì ïîëå ïîìèìî öåíòðàëüíîãî ïÿòíà áóäåò ëèøü äâà äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìà ïðè
kx =
l
2p
2p
sin j = ±
, èëè sin j = ± .
l
L
L
(13.39)
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â îòëè÷èå îò ñòàòè÷åñêîé ðåøåòêè, íàâåäåííàÿ
àêóñòè÷åñêîé âîëíîé ðåøåòêà ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêîé.
Îíà «äûøèò» âî âðåìåíè ñ ÷àñòîòîé 2 fçâ. Ïîýòîìó è èíòåíñèâíîñòü â äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìàõ, îïðåäåëÿåìûõ óñëîâèåì (13.39), òàêæå áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñ ÷àñòîòîé 2 fçâ.
Åñëè ñðåäîé ÿâëÿåòñÿ êâàðö, òî Lçâ = 5 × 103 ì/ñ. Ïðè ÷àñòîòå óëüòðàçâóêà fçâ =
= 100 ÌÃö L = 50 ìêì. Òîãäà ïðè l = 0,5 ìêì óãëû äèôðàêöèè sin j » j = ±10-2 »
» ±0,5°. Äîïóñòèìàÿ òîëùèíà ñðåäû l < L2/l = 5 ìì.
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòè àêóñòè÷åñêîé âîëíû ïîÿâëÿþòñÿ ìàêñèìóìû áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ (õîòÿ è ìåíåå ÿðêèå), íàïðàâëåíèå íà êîòîðûå îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì
sin j = m
l
,
L
(13.40)
ãäå m = 0, ±1, ±2, ±3, ¾ Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, â ïîðÿäêàõ ñ m = ±2 èíòåíñèâíîñòü
áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñ ÷àñòîòîé 4 fçâ, â ïîðÿäêàõ ñ m = ±3 — ñ ÷àñòîòîé 6 fçâ è ò. ä.
Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû ñ m = ±2 îáðàçóþòñÿ ïðè ïîâòîðíîé äèôðàêöèè âîëíû, èíòåíñèâíîñòü êîòîðîé óæå âíóòðè
ñðåäû âñëåäñòâèå «ïåðâè÷íîé» äèôðàêöèè èçìåíÿåòñÿ ñ ÷àñòîòîé 2 fçâ, è ò. ä.
Ïî ñóùåñòâó, ïðîèñõîäèò êàñêàäíûé ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ äèôðàãèðîâàííûõ
âîëí ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ. Ïîýòîìó ÷åì âûøå èíòåíñèâíîñòü çâóêîâîé âîëíû,
òåì áîëüøå ïîÿâëÿåòñÿ äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ.
Íà ðèñ. 13.3 öâ. âêë. ïîêàçàíà äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà Øåôôåðà -Áåðãìàíà,
âîçíèêàþùàÿ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïó÷êà ãåëèé-íåîíîâîãî ëàçåðà ÷åðåç êðèñòàëë ïàðàòåëëóðèòà (ÒeÎ2), â êîòîðîì âîçáóæäåíà ñòîÿ÷àÿ àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà.
 öåíòðå — íóëåâîé ïîðÿäîê äèôðàêöèè. ßðêèå òî÷êè ñïðàâà è ñëåâà — ìàêñèìóìû +1-ãî è -1-ãî ïîðÿäêîâ. Ðîçåòêà â âèäå ÷åòûðåõëîïàñòíîãî ïðîïåëëåðà
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî ïàð âòîðè÷íûõ äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ,
âîçíèêàþùèõ èç-çà ìíîãîêðàòíûõ îòðàæåíèé àêóñòè÷åñêèõ âîëí îò ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà â ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ.
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî äëèíà îòðåçêà, ñâÿçûâàþùåãî äèôðàêöèîííûé
ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà è âòîðè÷íûé ìàêñèìóì, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèíå çâóêîâîé âîëíû è, ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòè çâóêà âäîëü íàïðàâëåíèÿ
îòðåçêà (ñì. ôîðìóëó (13.39)). Âèäíî, ÷òî â ïàðàòåëëóðèòå èìåþòñÿ äâà âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿ (âäîëü ëåïåñòêîâ ðîçåòêè), â êîòîðûõ ñêîðîñòü
çâóêà ìèíèìàëüíà è ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó ïîðÿäêà 600 ì/ñ.
153
Ïðè óâåëè÷åíèè ìîùíîñòè àêóñòè÷åñêîé âîëíû, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü,
ïîÿâëÿþòñÿ ìàêñèìóìû áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ.
Òàêèì îáðàçîì, ñèíóñîèäàëüíàÿ ôàçîâàÿ ðåøåòêà ôîðìèðóåò äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó, ñîñòîÿùóþ èç öåïî÷êè äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ â íàïðàâëå2p
íèÿõ (13.40). Ñèíóñîèäàëüíàÿ ðåøåòêà, ó êîòîðîé t ( x ) = sin
x , êàê ýòî âèäíî
L
èç (13.38), ôîðìèðóåò ëèøü äâà äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìà.
Ðàññìîòðåííîå ïðèáëèæåíèå ïðè l < L2/ l ñîîòâåòñòâóåò äèôðàêöèè Ðàìàíà Íàòà. Åñëè l > L2/ l, òî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü èñêðèâëåíèå ôàçîâîãî ôðîíòà
âíóòðè ñðåäû è ïîÿâëåíèå àìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò
î äèôðàêöèè Áðýããà.
Ïåðåõîä îò äèôðàêöèè Ðàìàíà -Íàòà ê äèôðàêöèè Áðýããà ìîæíî îñóùåñòâèòü, ïëàâíî óâåëè÷èâàÿ ÷àñòîòó fçâ çâóêà (óìåíüøàÿ L). Ïî ìåðå ðîñòà çâóêîâîé ÷àñòîòû äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû ðàçúåçæàþòñÿ, ïðè ýòîì ïîñòåïåííî
îñëàáëÿþòñÿ âíà÷àëå ìàêñèìóìû âûñîêèõ, à çàòåì è áîëåå íèçêèõ ïîðÿäêîâ.
Ïðè l ? L2/ l îñòàíåòñÿ ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà, èíòåíñèâíîñòü êîòîðîãî
íå ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ïðè L = l ñðåäà ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè îïòè÷åñêè îäíîðîäíîé.
Ðàññìîòðèì òåïåðü äèôðàêöèþ ñâåòà íà áåãóùåé àêóñòè÷åñêîé âîëíå. Òàêîé
ðåæèì ìîæíî îñóùåñòâèòü, åñëè, íàïðèìåð, òîðåö êðèñòàëëà, óäàëåííûé
îò ïüåçîïëàñòèíêè, ñäåëàòü ñêîøåííûì. Ýòî ïîçâîëÿåò íàïðàâèòü â ñòîðîíó
îòðàæåííóþ îò òîðöà âîëíó (ðèñ. 13.8).
Ïðè äèôðàêöèè Ðàìàíà -Íàòà òàêæå âîçíèêíåò ñåìåéñòâî äèôðàêöèîííûõ
ìàêñèìóìîâ, ïîëîæåíèå êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì (13.40). Èç-çà ýôôåêòà Äîïëåðà, âîçíèêàþùåãî ïðè äèôðàêöèè ñâåòà íà äâèæóùåéñÿ çâóêîâîé âîëíå,
è êàñêàäíîãî ìåõàíèçìà îáðàçîâàíèÿ äèôðàêöèîííûõ ïîðÿäêîâ, ÷àñòîòà
ñâåòîâîé âîëíû â ìàêñèìóìàõ áóäåò ðàâíà nm = n + mfçâ. Â ìàêñèìóìàõ, äëÿ
êîòîðûõ m > 0, ÷àñòîòà nm áîëüøå ÷àñòîòû ïàäàþùåé âîëíû, à â ìàêñèìóìàõ
(m < 0) — ìåíüøå.
Ýòî ëåãêî ïîíÿòü ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè. Ïîëå ñâåòîâîé âîëíû ïðè äèôðàêöèè íà ñòîÿ÷åé âîëíå ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ïîëåé äâóõ äèôðàãèðîâàâøèõ ñâåòîâûõ âîëí íà áåãóùèõ âî âñòðå÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ çâóêîâûõ
âîëíàõ. Ïðè íàëîæåíèè äâóõ äèôðàãèðîâàâøèõ âîëí ñî ñìåùåííûìè ÷àñòîòàìè äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû ñîâïàäóò, à èíòåíñèâíîñòü â êàæäîì ìàêñèìóìå áóäåò ïðîìîäóëèðîâàíà ñ ÷àñòîòîé áèåíèé, ðàâíîé 2mfçâ.
Ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû çâóêà áóäóò ïîñëåäîâàòåëüíî îñëàáëÿòüñÿ ìàêñèìóìû, íà÷èíàÿ ñ âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Ïðè äèôðàêöèè Áðýããà ïðàêòè÷åñêè îñòàíóòñÿ
ëèøü äâà ìàêñèìóìà ±1 ïîðÿäêîâ è îñëàáëåííûé ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà.
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî èñïîëüçóåòñÿ â áðýããîâñêèõ
àêóñòîîïòè÷åñêèõ ìîäóëÿòîðàõ ñâåòà. Åñëè, íàïðèìåð, êðèñòàëë, â êîòîðîì âîçáóæäåíà áåãóùàÿ çâóêîâàÿ âîëíà, ïîìåñòèòü âíóòðü ðåçîíàòîðà ëàçåðà,
òî äîáðîòíîñòü ðåçîíàòîðà áóäåò íèçêîé è ãåíåðàöèÿ íåâîçìîæíà. Ïðè áûñòðîì âûêëþ÷åíèè ãåíåðàòîðà çâóêîâûõ âîëí êðèñòàëë ñòàíîâèòñÿ îïòè÷åñêè îäíîðîäíûì è äîáðîòíîñòü ðåçêî âîçðàñòàåò.
Òàêèå ìîäóëÿòîðû íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå â
Ðèñ. 13.8
èìïóëüñíûõ ëàçåðàõ ñ ìîäóëèðóåìîé äîáðîòíîñòüþ.
154
Ïðè íàêëîííîì ïàäåíèè ñâåòà íà êðèñòàëë ñ áåãóùåé â íåì àêóñòè÷åñêîé
âîëíîé íàðóøàåòñÿ ñèììåòðèÿ çàäà÷è. Ïðè äèôðàêöèè Áðýããà èíòåíñèâíîñòü â
ìàêñèìóìàõ ±1 ïîðÿäêîâ áóäåò ñóùåñòâåííî ðàçíîé. Ïðàêòè÷åñêè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îñòàíåòñÿ îäèí äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì, íàïðàâëåíèå íà êîòîðûé
çàäàåòñÿ óñëîâèåì Áðýããà. Áîëåå ïîäðîáíî ðå÷ü îá ýòîì ïîéäåò äàëåå ïðè èçó÷åíèè ðàññåÿíèÿ ñâåòà íà áåãóùèõ àêóñòè÷åñêèõ âîëíàõ.
Äèôðàêöèÿ ðåíòãåíîâñêèõ âîëí. Â 1912 ã. íåìåöêèé ôèçèê Ì. Ëàóý ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü êðèñòàëëû êàê òðåõìåðíûå äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè äëÿ
ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé, äëèíà âîëí êîòîðûõ ìåíüøå ïåðèîäà êðèñòàëëè÷åñêîé
ðåøåòêè. Âñêîðå åãî òåîðèÿ ïîëó÷èëà ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå â îïûòàõ ñîîòå÷åñòâåííèêîâ Â. Ôðèäðèõà è Ï. Êíèïïèãà. Ýòî îòêðûòèå ïðèâåëî
ê ñîçäàíèþ ìåòîäà èññëåäîâàíèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ñòðóêòóðû êðèñòàëëî⠗
ðåíòãåíîñòðóêòóðíîãî àíàëèçà. Êðîìå òîãî, ïðè èçâåñòíîé ñòðóêòóðå
êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ìîæíî îïðåäåëÿòü äëèíó âîëíû ðåíòãåíîâñêîãî
èçëó÷åíèÿ. Çà ýòî îòêðûòèå Ì. Ëàóý â 1914 ã. óäîñòîåí Íîáåëåâñêîé ïðåìèè.
Íà ðèñ. 13.4 öâ. âêë. ñõåìàòè÷íî ïîêàçàíà äèôðàêöèÿ ðåíòãåíîâñêîãî ïó÷êà,
èçëó÷àåìîãî ðåíòãåíîâñêîé òðóáêîé, â êðèñòàëëå. Äëÿ ñîçäàíèÿ íàïðàâëåííîãî
ïó÷êà ïðèìåíÿåòñÿ ñâèíöîâûé ýêðàí ñ íåáîëüøèì îòâåðñòèåì. Äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà, ôîðìèðóåìàÿ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè â êðèñòàëëå ïàðàëëåëüíîãî
ðåíòãåíîâñêîãî ïó÷êà, èçîáðàæåíà ðèñ. 13.9.
Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî òî÷å÷íûõ äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ è
íàçûâàåòñÿ ëàóýãðàììà. Ïðîèñõîæäåíèå ëàóýãðàììû ìîæíî îáúÿñíèòü, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå èíòåðôåðåíöèþ âîëí, ïåðåèçëó÷àåìûõ àòîìàìè ðåøåòêè. Àòîìû
â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ ðåàëüíûìè âòîðè÷íûìè èñòî÷íèêàìè ðåíòãåíîâñêèõ âîëí.
Ïóñòü ðåíòãåíîâñêèé ëó÷ ïàäàåò íà êðèñòàëëè÷åñêóþ ñòðóêòóðó (ðèñ. 13.10).
Åå àòîìû ïîãëîùàþò ýíåðãèþ ïàäàþùåé âîëíû, à çàòåì ïåðåèçëó÷àþò ñôåðè÷åñêèå âîëíû.  êðèñòàëëå ìîæíî îïðåäåëèòü êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèå ïëîñêîñòè Ï1
è Ï2 òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âîëíû, èñïóùåííûå äâóìÿ àòîìàìè, íàõîäÿùèìèñÿ
íà ðàçíûõ ïëîñêîñòÿõ, èìåëè ðàçíîñòü õîäà, ðàâíóþ öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí.
Êàê ñëåäóåò èç (9.11), ðàçíîñòü õîäà ðàâíà
(13.41)
D = 2d cos j = m l,
ïîñêîëüêó n = 1, y = j, à íàáåã ôàç îòñóòñòâóåò. Óñëîâèå (13.41) íàçûâàþò
óñëîâèåì Áðýããà.
Ðèñ. 13.9
Ðèñ. 13.10
155
Ðèñ. 13.11
Äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì m-ãî ïîðÿäêà ôîðìèðóåòñÿ èíòåðôåðèðóþùèìè âîëíàìè, èçëó÷àåìûìè ìíîãèìè àòîìàìè, ïðèíàäëåæàùèìè ñåìåéñòâó
ïëîñêîñòåé, ïàðàëëåëüíûõ äâóì âûäåëåííûì. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû
ðàññòîÿíèå d ìåæäó ñîñåäíèìè ïëîñêîñòÿìè è íàêëîí ïëîñêîñòåé óäîâëåòâîðÿëè óñëîâèþ Áðýããà.  ìîíîêðèñòàëëå òàêèõ ñåìåéñòâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (13.41), ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî ìíîãî, ïîýòîìó ëàóýãðàììà ñîäåðæèò ìíîãî
äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ.
Ïðè äèôðàêöèè ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé â ïîëèêðèñòàëëå äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà íàçûâàåòñÿ äåáàåãðàììîé â ÷åñòü íåìåöêîãî ôèçèêà è õèìèêà Ï. Äåáàÿ,
ðàçðàáîòàâøåãî ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ïîëèêðèñòàëëè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ ñ ïîìîùüþ ðåíòãåíîâñêèõ ëó÷åé. Äåáàåãðàììà ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå äèôðàêöèè
íà ìàëåíüêèõ ìîíîêðèñòàëëàõ, ïîâåðíóòûõ íà ðàçíûå óãëû îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ ïàäàþùåãî ëó÷à.
Íà ðèñ. 13.11 ïðåäñòàâëåíà äåáàåãðàììà, ïîëó÷åííàÿ ïðè äèôðàêöèè â ïîðîøêå òèòàíà, íàíåñåííîãî òîíêèì ñëîåì íà ïîäëîæêó.
Âñëåäñòâèå õàîòè÷íîé îðèåíòàöèè ìåëü÷àéøèõ ìîíîêðèñòàëëîâ òèòàíà äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî äóã, ÿâëÿþùèõñÿ ÷àñòÿìè
êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé.
Íåñòàöèîíàðíàÿ äèôðàêöèÿ. Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè äèôðàêöèþ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí. Ìåæäó òåì, â ñîâðåìåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ èñïîëüçóåòñÿ èìïóëüñíîå èçëó÷åíèå, ñïåêòð êîòîðîãî òåì øèðå, ÷åì ìåíüøå äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà. Ïðè äèôðàêöèè òàêîãî èìïóëüñà äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà áóäåò ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè, ïîýòîìó äèôðàêöèÿ íàçûâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíîé.
Äëÿ îïèñàíèÿ íåñòàöèîíàðíîé äèôðàêöèè ôóíêöèþ Ãðèíà â (12.4) âûáåðåì òàêîé, ÷òîáû G1 S = 0. Òîãäà ïîä èíòåãðàëîì èñ÷åçàåò ñëàãàåìîå, ñîäåðæà¶U
ùåå
. Âìåñòî (12.6) çàïèøåì ôóíêöèþ G1 â âèäå
¶n
e -ik r e -ik r*
G1 =
.
(13.42)
r
r*
Çäåñü r = r - r ¢ , r* = r* - r ¢ ; ðàäèóñ-âåêòîð r* ïðîâåäåì â òî÷êó P *, ÿâëÿþùóþñÿ çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì òî÷êè P â ïëîñêîñòè Oxy: r* = {x, y, -z}. Ñëåäîâàòåëüíî,
d æ e -ik r ö ¶r
¶G1
=
d r èç r ø÷ ¶z ¢
¶n
z ¢ =0
-
d æ e -ik r* ö ¶r *
=
d r* èç r* ø÷ ¶z ¢ z ¢ = 0
1 ö e -ik r 2(z - z ¢)
1 ö e -ik r* 2(z - z ¢)
e -ik r z
æ
æ
.
= ç ik + ÷
- ç ik + ÷
= 2ik r
2r
2r* z ¢ =0
rø r
r* ø r*
r r
è
è
z ¢ =0
156
(13.43)
Çäåñü ïðè z ¢ = 0 r* = r. Ó÷òåíî òàêæå, ÷òî k ? 1/r, 1/r*. Ôîðìóëà (12.4)
ïðèìåò âèä:
ik
z e -ik r
(
,
)
U
x
y
d s.
2p òò
r r
S
U (P ) =
(13.44)
Ôóíêöèÿ U(x, y), ïî ñóùåñòâó, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ôóðüå-àìïëèòóäà âîëíû ÷àñòîòû w = kc:
U ( x, y, t ) = U ( x, y, w)e i wt ,
(13.45)
ãäå U(x, y, w) = U(x, y).
Óìíîæèì èíòåãðàë (13.44) íà e iwt è ïðîèíòåãðèðóåì ïî âñåì ÷àñòîòàì, ïðèñóòñòâóþùèì â ñïåêòðå èìïóëüñà. Òîãäà ïîëå äèôðàãèðîâàííîé âîëíû
U (P , t ) =
iw
òò ò 2pc U (x , y, w)
S w
¶
¶t
=
e i w(t -r/c ) z
d sd w =
r
r
1
e i w (t -r/c ) z
(
,
,
)
U
x
y
d sd w.
w
òò ò 2pc
r
r
S w
(13.46)
Ïðîâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòîòå, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
U (P , t ) =
¶
z
òò ¶t U (x, y, t - r/c ) r2 d s.
(13.47)
S
Ýòîò èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì èíòåãðàëîì Ôðåíåëÿ — Êèðõãîôà (12.12)
è ïðèìåíèì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî âîçìóùåíèÿ, ïðåòåðïåâàþùåãî äèôðàêöèþ íà ïëîñêîì ýêðàíå.
Äèôðàêöèÿ èìïóëüñà íà êðóãëîì îòâåðñòèè. Ïóñòü ñâåòîâîé èìïóëüñ äëèòåëüíîñòüþ t0 ïàäàåò íîðìàëüíî íà ýêðàí ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì ðàäèóñà r0.
Åñëè ïîëå â èìïóëüñå íå çàâèñèò îò ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò x è y, òî U(x, y, t )
= = U 0 (t ), è äëÿ òî÷êè P, íàõîäÿùåéñÿ íà îñè Oz, èíòåãðàë (13.47) ëåãêî
âû÷èñëÿåòñÿ. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî ds = 2prdr = 2prdr, òî
1
U (z , t ) =
2pc
Ïîëàãàÿ
z 2 + r02
ò
z
z
¶
U 0 (t - r/c ) 2 2prd r.
¶t
r
(13.48)
z
¶
¶
, ïîëó÷àåì
= -c
» 1 è çàìå÷àÿ, ÷òî
¶t
¶r
r
U (z , t ) = -
z 2 +r02
ò
z
¶
U 0 (t - r/c )d r = U 0 (t - z/c ) - U 0 (t - z 2 + r02 /c ).
¶r
(13.49)
Òàêèì îáðàçîì, íà îñè ïîÿâëÿþòñÿ äâà ðàçíîïîëÿðíûõ èìïóëüñà, òîæäåñòâåííûõ ïàäàþùåìó, îäíàêî ðàçäåëåííûõ ïðîìåæóòêîì âðåìåíè, âåëè÷èíà
êîòîðîãî ïðè z ? r0
Dt =
z 2 + r02 z
r2
- » 0
c
c 2zc
(13.50)
óìåíüøàåòñÿ ñ ïðîéäåííûì èìïóëüñîì ðàññòîÿíèåì.
157
Ðèñ. 13.12
Ðèñ. 13.13
r02
.
2c t 0
Âåëè÷èíà z0 ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì äèôðàêöèîííîé äëèíû, â êîòîðîé ct0 = l0 —
äëèíà èìïóëüñà â ïðîñòðàíñòâå. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé âáëèçè îñè
Oz, âäâîå ïðåâûøàåò ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïàäàþùåãî èìïóëüñà.
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ z èìïóëüñû íà÷èíàþò ïåðåêðûâàòüñÿ, è ïðè z ® ∞
èìïóëüñû «íàåçæàþò» äðóã íà äðóãà, à U(z, t) ® 0.
Åñëè ïàäàþùèé èìïóëüñ ñîñòîèò èç îäíîãî ïåðèîäà êîëåáàíèé
Åñëè Dt > t0, òî èìïóëüñû íå ïåðåêðûâàþòñÿ â áëèæíåì ïîëå, ãäå z < z 0 =
2 pt
ì
, 0 £ t £ t0;
ïU 0 sin
t0
U 0 (t ) = í
ï0,
t < 0 è t > t0,
î
(13.51)
òî íîðìèðîâàííàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè
2
W (z ) ò U (z, t )dt
=
W0
ò U 02 (t )dt
(13.52)
èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 13.12.
Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ýíåðãèè îò ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû r = x 2 + y 2
èçîáðàæåíà íà ðèñ. 13.13.
Åñëè â áëèæíåé çîíå ôîðìèðóåòñÿ êîëüöî, òî ïðè z ® z0 îíî èñ÷åçàåò. Ïðè
z ? z0 W(r) èìååò ôîðìó, áëèçêóþ ê ãàóññîâîé, ïðè÷åì øèðèíà ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ïî óðîâíþ e-1) óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïðîéäåííûì ðàññòîÿíèåì ïî çàêîíó
2
æ z ö
.
roz = r0 1 + ç
è 5z 0 ÷ø
(13.53)
Ýôôåêòèâíàÿ äëèíà äèôðàêöèîííîãî ðàñïëûâàíèÿ (ïî àíàëîãèè ñ (12.66))
áóäåò ðàâíà 5z0. Ñ óìåíüøåíèåì äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà ýòà äëèíà óâåëè÷èâàåòñÿ.
Ë Å Ê Ö È ß 14
Ñïåêòðàëüíûå ïðèáîðû ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ðàçëîæåíèåì ñïåêòðà. Ñïåêòðàëüíûå ïðèáîðû ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ âûäåëåíèÿ óçêîé ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè
èçëó÷åíèÿ. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåíû ñïåêòðàëüíûå ïðèáîðû ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ðàçäåëåíèåì âîëí ñ ðàçíîé äëèíîé âîëíû. Îñíîâíîé äåòàëüþ â íèõ
ÿâëÿåòñÿ äèñïåðãèðóþùèé ýëåìåíò (ðåøåòêà, ïðèçìà è äðóãèå óñòðîéñòâà, îáëàäàþùèå óãëîâîé äèñïåðñèåé).
Íà ðèñ. 14.1 ïîêàçàíà ñõåìà òàêîãî ïðèáîðà.
Ïàðàëëåëüíûé ñâåòîâîé ïó÷îê, ïàäàþùèé íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó ÄÐ
èëè äðóãîé äèñïåðãèðóþùèé ýëåìåíò, ôîðìèðóåòñÿ êîëëèìàòîðîì. Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îñâåùàåìóþ âíåøíèì èñòî÷íèêîì ùåëü S è êîëëèìàòîðíûé
îáúåêòèâ Î1 c ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f1. Ùåëü ðàñïîëîæåíà â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè îáúåêòèâà.
Âîëíû ñ ðàçëè÷íûìè äëèíàìè l, äèôðàãèðóÿ ïîä ðàçíûìè óãëàìè j, ïðîõîäÿò ÷åðåç êàìåðíûé îáúåêòèâ Î2 è ôîêóñèðóþòñÿ â ïëîñêîñòè Ï, íàêëîíåííîé ïîä íåáîëüøèì óãëîì e ê ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îïòè÷åñêîé îñè
îáúåêòèâà Î2. Íàêëîí ñâÿçàí ñ çàâèñèìîñòüþ ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ f2 êàìåðíîãî îáúåêòèâà îò äëèíû âîëíû.
Êîíñòðóêöèÿ ïðèáîðà òàêîâà, ÷òî â ïëîñêîñòè Ï ôîðìèðóåòñÿ êàðòèíà,
ñîîòâåòñòâóþùàÿ êàêîìó-ëèáî äèôðàêöèîííîìó ïîðÿäêó m. Êàæäîé äëèíå âîëíû
l ïðèïèñûâàåòñÿ êîîðäèíàòà l, îòñ÷èòûâàåìàÿ â ýòîé ïëîñêîñòè. Ôóíêöèÿ l(l)
îïðåäåëÿåòñÿ êîíñòðóêöèåé ïðèáîðà.
Åñëè áû ùåëü áûëà áåñêîíå÷íî óçêîé, òî äëÿ âñåõ l óãîë ïàäåíèÿ áûë
áû ðàâåí j0, à â ïëîñêîñòè Ï íàáëþäàëèñü áû äèôðàêöèîííûå ïîëîñû m-ãî
l
ïîðÿäêà, ñïåêòðàëüíàÿ øèðèíà êîòîðûõ, ñîãëàñíî (13.7), ðàâíÿëàñü Dl A = 0 .
mN
Îäíàêî èíòåíñèâíîñòü â ýòèõ ïîëîñàõ áóäåò èñ÷åçàþùåå ìàëîé, ÷òî, áåçóñëîâíî, ÿâëÿåòñÿ êðàéíå íåãàòèâíûì ôàêòîðîì.
Ðèñ. 14.1
159
Ïðè óâåëè÷åíèè øèðèíû S ùåëè èíòåíñèâíîñòü áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, à ïîëîñû — ðàñøèðÿòüñÿ. Óøèðåíèå ïîëîñ çàâèñèò îò ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè ïîëÿ íà ùåëè.
Íåêîãåðåíòíîå îñâåùåíèå. Ïðè òàêîì îñâåùåíèè ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé
êîãåðåíòíîñòè ïîëÿ íà ùåëè çíà÷èòåëüíî ìåíüøå åå øèðèíû S. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî íà ðåøåòêó ïàäàþò íåêîãåðåíòíûå ïëîñêèå âîëíû ïîä ðàçíûìè óãëàìè,
ïîðîæäàåìûå êàæäûì ôðàãìåíòîì ùåëè. Äèàïàçîí óãëîâ ïàäåíèÿ îãðàíè÷åí
èíòåðâàëîì Dj0 = S/f1.
Äëÿ ôèêñèðîâàííîé äëèíû âîëíû l0 ýòî ïðèâåäåò ê óøèðåíèþ àïïàðàòíîé
ôóíêöèè (13.16). Ðàññ÷èòàåì óøèðåííóþ àïïàðàòíóþ ôóíêöèþ. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà â (13.16) çàìåíèì l êîîðäèíàòîé l, èñïîëüçóÿ (13.27):
Dl dl = dl è Dl (l - l 0 ) = (l - l 0 ).
(14.1)
g A (l - l 0 )dl = g A (l - l 0 )dl
(14.2)
Èç ðàâåíñòâà
ñ ó÷åòîì (14.1) ïîëó÷àåì
g A (l - l 0 ) = D l-1 g A (l - l 0 ) =
1
æ l - l0 ö
sinc 2 ç p
,
Dl A
è Dl A ÷ø
(14.3)
ãäå
(14.4)
Dl A = Dl Dl A .
Ïîñêîëüêó Dl = D j f 2 =
mf 2
l
, Dl A = 0 , òî
d cos j
mN
l0 f2
l f
Dl A =
» 0 2.
Nd cos j
Nd
(14.5)
Çäåñü cos j » 1, òàê êàê óãîë j ìàë.
Äèôðàêöèîííàÿ àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ (14.3) ñîîòâåòñòâóåò ôèêñèðîâàííîìó
óãëó ïàäåíèÿ j0. Ïðè èçìåíåíèè ýòîãî óãëà íà âåëè÷èíó Dj0 = S/f1 íàñòîëüêî
æå èçìåíèòñÿ è óãîë j â íàïðàâëåíèè äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà (Dj0 = Dj).
Ñëåäîâàòåëüíî, êîîðäèíàòà l0 ñìåñòèòñÿ âäîëü l íà âåëè÷èíó
S ¢ =Dj f 2 =Dj 0 f 2 = S
f2
.
f1
(14.6)
Âåëè÷èíà S ¢ åñòü øèðèíà èçîáðàæåíèÿ ùåëè â ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ.
Ââåäåì íîðìàëüíóþ øèðèíó Sí ùåëè. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ S ¢ = DlA:
Sí
f2
f l
f l
= 2 0 , èëè S í = 1 0 .
f1
Nd
Nd
(14.7)
Ïðè ïðîèçâîëüíîé øèðèíå S àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ gS (l - l0) áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñóììîé ôóíêöèé (14.3), ïîñêîëüêó ïðè íåêîãåðåíòíîì ñëîæåíèè âîëí
ñóììèðóþòñÿ èõ èíòåíñèâíîñòè. Â ýòîé ñóììå (èíòåãðàëå) èçìåíÿåòñÿ êîîðäèíàòà l0 â ïðåäåëàõ
l0 -
160
S¢
S¢
£ l0 £ l0 +
.
2
2
Ðèñ. 14.2
Ðèñ. 14.3
Íà ðèñ. 14.2 èçîáðàæåíû íîðìèðîâàííûå àïïàðàòíûå ôóíêöèè ïðè ðàçíûõ
çíà÷åíèÿõ øèðèíû ùåëè.
Ïðè 0 < S < Sí øèðèíà èçîáðàæåíèÿ ùåëè 0 < S ¢ < DlA, ïîýòîìó ïðè
èçìåíåíèè S øèðèíà àïïàðàòíîé ôóíêöèè èçìåíÿåòñÿ íåçíà÷èòåëüíî. Åñëè
ââåñòè øèðèíó Dl1/2 íà óðîâíå 1/2, òî ïðè S = 0 Dl1/2 = 0,86DlA, à ïðè S = Sí
Dl1/2 = 1,12DlA.
Çàìåòíîå ðàñøèðåíèå ïðîèñõîäèò ïðè S > Sí, êîãäà S ¢ > DlA. Íàïðèìåð, ïðè
S = 4Sí øèðèíà Dl1/2 = S ¢ = 4DlA. Óâåëè÷åíèå S ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà. Îäíàêî ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ
èíòåíñèâíîñòü (èëè îñâåùåííîñòü) êàðòèíû. Åñëè ïðèíÿòü çà åäèíèöó èíòåíñèâíîñòü ïðè S ® ∞, òî ïðè S = Sí îíà ðàâíà 0,77, à ïðè S = 4Sí ðàâíà 0,96.
Ïîýòîìó â ýêñïåðèìåíòå èñõîäÿò èç êîìïðîìèññà ìåæäó âûñîêîé ðàçðåøàþùåé
ñïîñîáíîñòüþ è äîñòàòî÷íîé îñâåùåííîñòüþ. Íà ïðàêòèêå S = (1,5 — 2,0)Sí.
Ç à ì å ÷ à í è å. Ïðè íîðìàëüíîé øèðèíå ùåëè ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè ïîëÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè îáúåêòèâà Î1, ñîãëàñíî (9.9), ðàâåí
xê =
Nd
l 0 f1 l 0 f1
Nd =
=
.
2S í
2F1
2
(14.8)
Ñëåäîâàòåëüíî, äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà îñâåùàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïðîñòðàíñòâåííî êîãåðåíòíîé ñâåòîâîé âîëíîé.
Êîãåðåíòíîå îñâåùåíèå.  ýòîì ñëó÷àå âíà÷àëå ïðîèñõîäèò äèôðàêöèÿ
íà ùåëè, è ó îáúåêòèâà Î1 áóäåò ôîðìèðîâàòüñÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà Ôðàóíãîôåðà (ðèñ. 14.3).
Ïîëóøèðèíà x0 öåíòðàëüíîé ñâåòëîé ïîëîñû, êàê ýòî ñëåäóåò èç (13.32),
ïðè q = 1, d1 = S, j0 = 0, j = x0 /f1, ðàâíà
l0
(14.9)
f1.
S
Ñ óâåëè÷åíèåì S êàðòèíà ñæèìàåòñÿ è âîçðàñòàåò ñâåòîâîé ïîòîê, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç ëèíçó Î1. Ïðè S = Sí x0 = Nd/2, à ïðè S > Sí ñâåòîâîé ïîòîê áëèçîê
ê ìàêñèìàëüíîìó.
×òîáû ðàññ÷èòàòü àïïàðàòíóþ ôóíêöèþ gS, íàäî âíà÷àëå ñëîæèòü âîëíîâûå
âîçìóùåíèÿ îò ðàçíûõ êîãåðåíòíûõ ïëîñêèõ âîëí, ïàäàþùèõ íà ðåøåòêó ïîä
ðàçíûìè óãëàìè, à çàòåì âû÷èñëèòü êâàäðàò ìîäóëÿ ýòîé ñóììû. Êàæäîå âîçìóùåíèå îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé (13.7).
Àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 14.4.
x0 =
161
Ðèñ. 14.5
Ðèñ. 14.4
Ïðè S = Sí Dl1/2 = 0,87DlA, à ïðè S = 4Sí Dl1/2 = 3,38DlA. Èíòåíñèâíîñòü áóäåò
ðàâíà 0,75 è 0,87 ñîîòâåòñòâåííî.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè S = Sí ìîæíî äîáèòüñÿ ïðàêòè÷åñêè ïðåäåëüíîé ðàçðåøàþùåé ñèëû R = mN, èìåÿ ïðè ýòîì 75 % îò ìàêñèìàëüíîé âîçìîæíîé
îñâåùåííîñòè.
Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ïðèçìû. Èç îïûòà èçâåñòíî, ÷òî ïðèçìà ðàçëàãàåò áåëûé ñâåò íà åãî ñîñòàâëÿþùèå. Íà ðèñ. 14.1 öâ. âêë. ïîêàçàíî ïðîõîæäåíèå
ïó÷êà áåëîãî ñâåòà ÷åðåç ïðèçìó. Âûõîäÿùèå ïó÷êè ñ áîëåå êîðîòêèìè äëèíàìè l îòêëîíÿþòñÿ ê îñíîâàíèþ ïðèçìû ñèëüíåå. Ïîýòîìó ïðèçìà òàêæå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðàõ â êà÷åñòâå äèñïåðãèðóþùåãî ýëåìåíòà.
Ðàññ÷èòàåì åå ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü. Ïóñòü ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, ïðîéäÿ ÷åðåç ùåëü, ïàäàåò íîðìàëüíî íà îäíó èç ãðàíåé ïðèçìû
(ðèñ. 14.5).
 äàëüíåì ïîëå, èëè ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè êàìåðíîãî îáúåêòèâà, áóäåò ñôîðìèðîâàíà äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà îò ùåëè øèðèíîé d1, ðàâíîé øèðèíå îñâåùåííîé îáëàñòè íà âûõîäíîé ãðàíè ïðèçìû.
Ïîëîæåíèå öåíòðàëüíîãî ìàêñèìóìà îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ
îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè õîäà ìåæäó êðàéíèìè ëó÷àìè, ïðîøåäøèìè ÷åðåç ïðèçìó:
d1 sin jmax - n(l)(L2 - L1) = 0.
(14.10)
Ïîëîæåíèå áëèæàéøåãî ìèíèìóìà, ñîãëàñíî (13.32), ïðè q = 1 îïðåäåëèòñÿ
èç óñëîâèÿ
d1 sin jmin - n(l)(L2 - L1) = l.
(14.11)
Åñëè íà ïðèçìó ïàäàþò äâå âîëíû ñ äëèíàìè l1 è l2 (l2 > l1), òî îíè áóäóò
ðàçðåøåíû ïðèçìîé, åñëè jmax äëÿ l1 áóäåò ðàâåí jmin äëÿ l2. Òîãäà èç (14.10)
è (14.11) ïîëó÷àåì
[n(l1 ) - n(l 2 )](L2 - L1 ) = l 2 .
(14.12)
Ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
n( l 1 ) - n( l 2 ) =
162
dn
(l 2 - l1 ).
dl
(14.13)
Òîãäà ðàçðåøàþùàÿ ñèëà ïðèçìû
R
=
dn
l2
= (L2 - L1 )
.
dl
l 2 - l1
(14.14)
×òîáû ïîëó÷èòü ìàêñèìàëüíóþ ðàçðåøàþùóþ ñèëó, íàäî ïðèçìó ïîëíîñòüþ çàïîëíèòü ñâåòîì. Òîãäà L2 - L1 = L, ãäå L — äëèíà îñíîâàíèÿ ïðèçìû.
Çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ n îò äëèíû âîëíû l äëÿ íåêîòîðûõ
ïðîçðà÷íûõ ìàòåðèàëîâ â âèäèìîé îáëàñòè ïîêàçàíà íà ðèñ. 14.1 öâ. âêë. Åñëè
dn
~ 103 ñì-1, à L = 5 ñì, òî R ~ 5 × 103. Òàêèì îáðàçîì, ðàçðåøàþdl
ùàÿ ñèëà ïðèçìû íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ìåíüøå ðàçðåøàþùåé ñèëû
äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè.
Ç à ì å ÷ à í è å. Ïðè çàïîëíåíèè ïðèçìû ñâåòîì âåëè÷èíà d1 äîñòèãàåò íåñêîëüêèõ ñàíòèìåòðîâ, ïîýòîìó äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà íàñòîëüêî ñæàòà, ÷òî
ñòàíîâèòñÿ íåðàçëè÷èìîé. Íàáëþäàåòñÿ ëèøü öåíòðàëüíûé ìàêñèìóì íóëåâîãî
ïîðÿäêà.
Îáû÷íî â ýêñïåðèìåíòå ïðèçìà îñâåùàåòñÿ ïó÷êîì ñâåòà, ôîðìèðóåìûì
êîëëèìàòîðîì. Èç-çà êîíå÷íîé øèðèíû åãî ùåëè íà ïðèçìó ïàäàþò ïëîñêèå
âîëíû ïîä ðàçíûìè óãëàìè. Ïîýòîìó øèðèíà äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà ìîæåò áûòü íàìíîãî áîëüøå åãî äèôðàêöèîííîé øèðèíû. Ïðè îñâåùåíèè ïó÷êîì áåëîãî ñâåòà äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ïðèìûêàþùèõ äðóã ê äðóãó öâåòíûõ ïîëîñ (öâåòíîé ñïåêòð).
Òèïû ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðîâ. Ñïåêòðàëüíûå ïðèáîðû ìîæíî ðàçäåëèòü
íà íåñêîëüêî òèïîâ:
• ñïåêòðîñêîïû, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ âèçóàëüíîãî íàáëþäåíèÿ ñïåêòðà ñ ïîìîùüþ îêóëÿðà, óñòàíàâëèâàåìîãî çà ôîêàëüíîé ïëîñêîñòüþ êàìåðíîãî îáúåêòèâà. Ïðèìåðîì òàêîãî ïðèáîðà ÿâëÿåòñÿ ñòèëîñêîï, ïðåäíàçíà÷åííûé äëÿ áûñòðîãî àíàëèçà ìàðêè ñòàëè è äðóãèõ ñïëàâîâ. Àíàëèçèðóÿ âèçóàëüíî
ïîëîæåíèå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé è ñðàâíèâàÿ èõ ÿðêîñòü, ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå î íàëè÷èè ïðèñàäîê (Mn, Ni, C è äð.) è èõ îòíîñèòåëüíîì êîëè÷åñòâå
è òåì ñàìûì îïðåäåëèòü ìàðêó ñòàëè èëè ñïëàâîâ;
• ñïåêòðîãðàôû, â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè êîòîðûõ ïîìåùàåòñÿ ôîòîïëàñòèíêà. Ñïåêòð ôîòîãðàôèðóåòñÿ è çàòåì îáðàáàòûâàåòñÿ. Ïîëîæåíèå ïîëîñ è èõ
ïî÷åðíåíèå íà ïëàñòèíêå äàþò âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòàòü äëèíó âîëíû è èíòåíñèâíîñòü ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. Ñïåêòðîãðàôû ïîçâîëÿþò äàòü çàêëþ÷åíèå î êîëè÷åñòâåííîì ñîñòàâå èññëåäóåìîãî âåùåñòâà;
• ìîíîõðîìàòîðû è ñïåêòðîìåòðû. Ýòè ïðèáîðû ïîëó÷èëè øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå, ïîýòîìó íåñêîëüêî ïîäðîáíåå îñòàíîâèìñÿ íà èõ óñòðîéñòâå.
Ìîíîõðîìàòîðû ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ âûäåëåíèÿ óçêîãî ñïåêòðàëüíîãî äèàïàçîíà. Äëÿ ýòîãî â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè êàìåðíîãî îáúåêòèâà óñòàíàâëèâàåòñÿ íåïîäâèæíàÿ ùåëü. Îáúåêòèâ è ùåëü ôîðìèðóþò âûõîäíîé êîëëèìàòîð.
Äèñïåðãèðóþùèé ýëåìåíò ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ. Ïðè ïîâîðîòå èçìåíÿåòñÿ
óãîë ïàäåíèÿ j0 è ñïåêòð ïåðåìåùàåòñÿ ÷åðåç ùåëü âûõîäíîãî êîëëèìàòîðà.
Åñëè ïîâîðà÷èâàåòñÿ, íàïðèìåð, ðåøåòêà, òî èç óñëîâèÿ (13.13) ìîæíî ðàññ÷èòàòü l(j0) è ïî óãëó ïîâîðîòà îïðåäåëèòü äëèíó âîëíû èçëó÷åíèÿ íà âûõîäíîé ùåëè. Òàêóþ çàâèñèìîñòü ìîæíî ðàññ÷èòàòü è ïðè èñïîëüçîâàíèè äðóãèõ
äèñïåðãèðóþùèõ ýëåìåíòîâ.
ïîëîæèòü
163
Âûõîäíîé êîëëèìàòîð ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî ùåëåé. Òîãäà ïðèáîð íàçûâàåòñÿ ïîëèõðîìàòîðîì. Åñëè ó âûõîäíîé ùåëè óñòàíîâëåí ôîòîäåòåêòîð, òî ìîíîõðîìàòîð ñòàíîâèòñÿ ñïåêòðîìåòðîì.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî èçìåðÿòü êàê äëèíû âîëí, òàê è èíòåíñèâíîñòü ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé.
Íåêîòîðûå ñïåêòðîìåòðû èìåþò âñòðîåííûé èñòî÷íèê ñâåòà ñ èçâåñòíûì
ñïåêòðîì. Ïîìåùàÿ ïîñëå äèñïåðãèðóþùåãî ýëåìåíòà ðàçëè÷íûå âåùåñòâà,
ìîæíî èññëåäîâàòü ñïåêòðû èõ ïîãëîùåíèÿ. Òàêîé ïðèáîð íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîôîòîìåòðîì.
Îïòè÷åñêèå ïðèáîðû, ôîðìèðóþùèå èçîáðàæåíèå. Îñíîâíûìè ýëåìåíòàìè
â òàêèõ ïðèáîðàõ ÿâëÿþòñÿ ëèíçû (ñîáèðàþùèå è ðàññåèâàþùèå) è çåðêàëà
(âîãíóòûå è âûïóêëûå).
Ïðè ïàäåíèè ïëîñêîé âîëíû íà ëèíçó â åå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ôîðìèðóåòñÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà Ýéðè. Óãëîâîé ðàçìåð öåíòðàëüíîãî ïÿòíà (äèñêà
Ýéðè) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (12.48)
J0 =
0,61l
.
r0
Àíàëîãè÷íàÿ êàðòèíà áóäåò è â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ñôåðè÷åñêîãî âîãíóòîãî çåðêàëà ðàäèóñà r0. Íàïîìíèì, ÷òî åãî ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f = R/2 (R —
ðàäèóñ êðèâèçíû çåðêàëà).
Äèôðàêöèÿ ïîçâîëÿåò ñôîêóñèðîâàòü ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëèøü â ïÿòíî
êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, ïðè ýòîì ìèíèìàëüíûé ðàçìåð ïÿòíà ïðàêòè÷åñêè ðàâåí
äëèíå âîëíû. Ýòî îáñòîÿòåëüíî íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèå íà ïðåäåëüíûå âîçìîæíîñòè îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ. Ïîä ýòèì óãëîì çðåíèÿ ðàññìîòðèì äâà âàæíåéøèõ ïðèáîðà: òåëåñêîï è ìèêðîñêîï.
Òåëåñêîï. Ïåðâûå òåëåñêîïû ñîñòîÿëè èç äâóõ ëèíç: îáúåêòèâà è îêóëÿðà.
Õîä ëó÷åé îò äâóõ óäàëåííûõ îáúåêòîâ 1 è 2 ÷åðåç îáúåêòèâ ïîêàçàí íà ðèñ. 14.6.
 åãî ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ôîðìèðóþòñÿ äâå êàðòèíû Ýéðè, êîòîðûå ïåðåêðûâàþòñÿ.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàçäåëèòü (ðàçðåøèòü) äâà îáúåêòà (íàïðèìåð, äâå óäàëåííûå çâåçäû), íåîáõîäèìî, ÷òîáû óãîë J óäîâëåòâîðÿë óñëîâèþ
J ³ J0 =
0,61l
.
r0
(14.15)
Îêóëÿð òåëåñêîïà íå âíîñèò ñóùåñòâåííûõ äèôðàêöèîííûõ èñêàæåíèé. Ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ òåëåñêîïà íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
R
Ðèñ. 14.6
164
=
r0
1
=
.
J 0 0,61l
(14.16)
×åì áîëüøå ðàäèóñ îáúåêòèâà, òåì
âûøå ðàçðåøàþùàÿ ñèëà. Íà ðèñ. 14.7, à —
â ïîêàçàíû èçîáðàæåíèÿ òðåõ óäàëåííûõ
ñâåòÿùèõñÿ îáúåêòîâ ïðè ðàçíûõ ðàäèóñàõ
êðóãëûõ äèàôðàãì, ðàñïîëîæåííûõ ïåðåä
îáúåêòèâîì.
Õîðîøî âèäíî, êàê ïðè óâåëè÷åíèè ðàäèóñà äèàôðàãìû ïîñòåïåííî óëó÷øàåòñÿ
ðàçðåøàþùàÿ ñèëà îáúåêòèâà.
Ðèñ. 14.7
 íàñòîÿùåå âðåìÿ äëÿ íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå
ïîëó÷èëè òåëåñêîïû-ðåôëåêòîðû. Òàêîé òåëåñêîï èìååò ïåðâè÷íîå Ç1 è âòîðè÷íîå Ç2 çåðêàëà. Åãî ñõåìà ïîêàçàíà íà ðèñ. 14.2 öâ. âêë. Ïó÷îê ñâåòà, ïîñëåäîâàòåëüíî îòðàæàÿñü îò ýòèõ çåðêàë, ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíîãî çåðêàëà Ç3
ïîïàäàåò íà ôîòîäåòåêòîð ÔÄ.
Äëÿ óâåëè÷åíèÿ äèàìåòðà ïåðâè÷íîå çåðêàëî ìîæåò ñîñòîÿòü èç ìíîæåñòâà
ñåãìåíòîâ. Ýòè ñåãìåíòû ìîãóò ñëåãêà ïåðåìåùàòüñÿ, ÷òîáû êîìïåíñèðîâàòü
èñêàæåíèÿ ôàçîâîãî ôðîíòà ïó÷êà ñâåòà ïðè åãî ðàñïðîñòðàíåíèè ÷åðåç òóðáóëåíòíóþ àòìîñôåðó. Òàêîå çåðêàëî íàçûâàåòñÿ àäàïòèâíûì.
Òóðáóëåíòíûå èñêàæåíèÿ îòñóòñòâóþò äëÿ òåëåñêîïîâ, óñòàíîâëåííûõ íà
êîñìè÷åñêèõ ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòàõ, íàïðèìåð äëÿ òåëåñêîïà «Õàááë», èìåþùåãî äèàìåòð ïåðâè÷íîãî çåðêàëà 2,4 ì.
 1973 ã. â ÑÑÑÐ áûë ïîñòðîåí ñàìûé êðóïíûé â ìèðå òåëåñêîï ñ äèàìåòðîì
âîãíóòîãî çåðêàëà 6 ì, êîòîðûé áûë óñòàíîâëåí íà Ñåâåðíîì Êàâêàçå. Íåäàâíî
ââåäåíû â äåéñòâèå äâà òåëåñêîïà ñ äèàìåòðîì çåðêàëà 10 ì (Ãàâàéñêèå îñòðîâà) è íåñêîëüêî 8-ìåòðîâûõ òåëåñêîïîâ.
Íà ðèñ. 14.3 öâ. âêë. ïðèâåäåíà ôîòîãðàôèÿ Åâðîïåéñêîé þæíîé îáñåðâàòîðèè, ðàñïîëîæåííîé íà âåðøèíå ãîðû Ïàðàíàëü (×èëè).  îáñåðâàòîðèè èìåþòñÿ ÷åòûðå 8-ìåòðîâûõ òåëåñêîïà è íåñêîëüêî ìåíüøèõ âñïîìîãàòåëüíûõ òåëåñêîïîâ. Ïðè ñîâìåñòíîé ôîêóñèðîâêå òåëåñêîïîâ óãëîâîå ðàçðåøåíèå ñèñòåìû òåëåñêîïîâ ñòàíîâèòñÿ òàêèì æå, êàê è ó ãðîìàäíîãî (âèðòóàëüíîãî) òåëåñêîïà ñ äèàìåòðîì çåðêàëà îêîëî 200 ì.
Ïîñêîëüêó èç êîñìîñà ïîñòîÿííî ïðèõîäèò ðàäèîèçëó÷åíèå, òî äëÿ åãî ïðèåìà è àíàëèçà èñïîëüçóþòñÿ ðàäèîòåëåñêîïû. Ïåðâûé ðàäèîòåëåñêîï-ðåôëåêòîð ñ äèàìåòðîì çåðêàëà 9,5 ì áûë ïîñòðîåí â ÑØÀ (1937). Ïîñëå ýòîãî
â ðàçíûõ ñòðàíàõ ìèðà áûëè ïîñòðîåíû ðàçíîîáðàçíûå òåëåñêîïû.  ÷àñòíîñòè,
â ÑÑÑÐ íà òåððèòîðèè Àðìåíèè áûë óñòàíîâëåí ðåôëåêòîðíûé
ðàäèîòåëåñêîï ÐÀÒÀÍ-600 ñ îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòüþ â âèäå êîëüöà
äèàìåòðîì 600 ì è øèðèíîé 7,5 ì äëÿ ïðèåìà ðàäèîèçëó÷åíèÿ ñ äëèíàìè âîëí
0,8 — 30 ñì.
Íà ðèñ. 14.4 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíà ôîòîãðàôèÿ ðàäèîòåëåñêîïà (äèàìåòð çåðêàëà — 300 ì) ñ íåïîäâèæíîé ÷àøåé, ñîîðóæåííîãî â êðàòåðå âóëêàíà â Àðåñèáî íà îñòðîâå â Ïóýðòî-Ðèêî. Íà âûñîòå 150 ì íàä ÷àøåé íà ñòàëüíûõ òðîñàõ
óêðåïëåíà ïëàòôîðìà ìàññîé 600 ò, ïî ðåëüñàì êîòîðîé ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ
óïðàâëÿåìàÿ êîìïüþòåðîì êàáèíà ñ èçëó÷àòåëÿìè è ïðèåìíèêîì. Ýòèì îñóùåñòâëÿåòñÿ íàâåäåíèå òåëåñêîïà íà èññëåäóåìûé îáúåêò. Äëèíà âîëíû
èçëó÷åíèÿ 10 ñì.
165
 ðåæèìå ïðèåìà òåëåñêîï èñïîëüçóåòñÿ êàê ëîêàòîð ïðè êàðòîãðàôèðîâàíèè ïëàíåò. Èç-çà íåïîäâèæíîñòè àíòåííû íàáëþäåíèÿ âûäåëåííîãî îáúåêòà
íå ìîãóò ïðîäîëæàòüñÿ áîëåå 2 ÷.  ðåæèìå ðàäèîèçëó÷åíèÿ ñ åãî ïîìîùüþ
âûïîëíåíû óíèêàëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïî ðàäèîëîêàöèè Ñîëíöà, Ëóíû è ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû.
Ìèêðîñêîï. Ýòîò îïòè÷åñêèé ïðèáîð ñëóæèò äëÿ íàáëþäåíèÿ âåñüìà ìàëûõ
îáúåêòîâ. Ìèêðîñêîï ñîñòîèò èç îáúåêòèâà è îêóëÿðà, îäíàêî îñíîâíîå óâåëè÷åíèå äîñòèãàåòñÿ çà ñ÷åò îáúåêòèâà. Èç-çà äèôðàêöèè ñâåòà íà îáúåêòèâå ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åíèå ñíèçó íà ìèíèìàëüíûé ðàçìåð îáúåêòîâ, êîòîðûå ìîæíî íàáëþäàòü â ìèêðîñêîï. Ýòîò ðàçìåð çàâèñèò îò óñëîâèé îñâåùåíèÿ îáúåêòà.
Íåêîãåðåíòíîå îñâåùåíèå. Õîä ëó÷åé îò äâóõ òî÷å÷íûõ ôðàãìåíòîâ 1 è 2 îáúåêòà
÷åðåç îáúåêòèâ ìèêðîñêîïà ïîêàçàí íà ðèñ. 14.8.
Îáúåêò íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè a âáëèçè ôîêàëüíîé òî÷êè F, à åãî óâåëè÷åííîå è ïåðåâåðíóòîå èçîáðàæåíèå — íà ðàññòîÿíèè b ? f. Åñëè îáúåêò îñâåùàåòñÿ ñâåòîì, ïàäàþùèì ñ ðàçíûõ íàïðàâëåíèé, òî ôðàãìåíòû 1 è 2 èñïóñêàþò (îòðàæàþò) ñâåòîâûå íåêîãåðåíòíûå âîëíû. Òîãäà èçîáðàæåíèå ýòèõ ôðàãìåíòîâ áóäåò ïðåäñòàâëÿòü íàëîæåíèå äèôðàêöèîííûõ êàðòèí Ýéðè, ñîîòâåòñòâóþùèõ äèôðàêöèè ñâåòà íà êðóãëîì îòâåðñòèè ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì ðàäèóñó
îáúåêòèâà. Ïðè ìàëîì ðàññòîÿíèè d ìåæäó ôðàãìåíòàìè äèñêè Ýéðè ïåðåêðîþòñÿ è ôðàãìåíòû áóäóò íåðàçëè÷èìû.
Ðàññ÷èòàåì ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå d, âîñïîëüçîâàâøèñü êðèòåðèåì Ðýëåÿ.
Äâà èçîáðàæåíèÿ áóäóò ðàçëè÷èìû, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè
d ¢ = J 0b =
0,61l 0
b,
n ¢r0
(14.17)
ãäå J0 — óãëîâîé ðàçìåð äèñêà Ýéðè; n¢ — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû ñïðàâà îò îáúåêòèâà; r0 — ðàäèóñ îáúåêòèâà.
Ðàçìåðû îáúåêòà d è åãî èçîáðàæåíèÿ d ¢ ñâÿçàíû óñëîâèåì ñèíóñîâ
dn sin J = d ¢n ¢ sin J ¢.
(14.18)
Ïîëàãàÿ â (14.17) r0/b » sin J¢, ñ ó÷åòîì (14.18) ïîëó÷àåì
0,61l 0
.
(14.19)
n sin J
Âåëè÷èíà n sin J íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâîé àïåðòóðîé. Ïîñêîëüêó åå âåëè÷èíà ïîðÿäêà åäèíèöû, òî d ~ l. Òàêèì îáðàçîì, ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ðàçëè÷íûìè ôðàãìåíòàìè ðàâíî äîëÿì äëèíû ñâåòîâîé âîëíû.  âèäèìîì äèàïàçîíå d ~ 1 ìêì.
d =
Ðèñ. 14.8
166
Êîãåðåíòíîå îñâåùåíèå. Òàêîå îñâåùåíèå ìîæíî îñóùåñòâèòü, íàïðèìåð,
ïðîñòðàíñòâåííî êîãåðåíòíîé âîëíîé. Èíîãäà îáúåêòû áûâàþò ñàìîñâåòÿùèìèñÿ, ïðè ýòîì ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè âîëíû ìîæåò áûòü
áîëüøå ìèêðîííûõ ðàçìåðîâ îáúåêòà.  ýòîì ñëó÷àå â ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèÿ
ñêëàäûâàþòñÿ ïîëÿ äèôðàãèðîâàâøèõ âîëí. Êðèòåðèé Ðýëåÿ ïðèâîäèò ê ìèíèìàëüíîìó ðàçìåðó d, îïðåäåëÿåìîìó êàê
0,77l 0
.
(14.20)
n sin J
Òàêèì îáðàçîì, êîãåðåíòíîå îñâåùåíèå íå ïîâûøàåò ïðîñòðàíñòâåííîå
ðàçðåøåíèå ìèêðîñêîïà.
Óìåíüøåíèÿ d â íåñêîëüêî ðàç ìîæíî äîñòè÷ü óâåëè÷åíèåì ÷èñëîâîé àïåðòóðû, çàïîëíÿÿ ïðîñòðàíñòâî ñëåâà îò îáúåêòèâà èììåðñèîííîé æèäêîñòüþ
ñ áîëüøèì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ.
Òåîðèÿ Àááå. Ïðè êîãåðåíòíîì îñâåùåíèè çàäà÷ó ôîðìèðîâàíèÿ èçîáðàæåíèÿ â ìèêðîñêîïå îðèãèíàëüíî ðåøèë íåìåöêèé îïòèê Ý. Àááå. Ñóòü ïðåäëîæåííîé èì òåîðèè ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó.
Ïóñòü íàáëþäàåìûì îáúåêòîì áóäåò äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà, îñâåùàåìàÿ
ïëîñêîé âîëíîé òàê, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 14.9.
Åñëè àìïëèòóäà ïàäàþùåé âîëíû U0 = const, à ôóíêöèÿ ïðîïóñêàíèÿ ðåøåòêè t(x), òî ñðàçó ïîñëå ðåøåòêè àìïëèòóäà U S(x) = U 0 t(x).  ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèé Ï ñôîðìèðóåòñÿ âîçìóùåíèå U 0¢t ¢(x ¢), ïðè ýòîì x ¢ = xb/a. Ïðè îòñóòñòâèè èñêàæåíèé ôóíêöèÿ t ¢(x ¢) â óâåëè÷åííîì ìàñøòàáå ïîâòîðÿåò ôóíêöèþ t(x).
Ý. Àááå íàçâàë èçîáðàæåíèå, îïèñûâàåìîå âîçìóùåíèåì U 0¢t ¢(x ¢), âòîðè÷íûì, à öåïî÷êó äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ÔÏ —
ïåðâè÷íûì èçîáðàæåíèåì.
Ýëåìåíò ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè, ãäå ðàñïîëîæåí ìàêñèìóì, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê òî÷å÷íûé èñòî÷íèê. Àìïëèòóäà ïîëÿ â ýòèõ ìàêñèìóìàõ, êàê ñëåäóåò èç (13.4), ïðîïîðöèîíàëüíà ôóðüå-àìïëèòóäå ôóíêöèè t(x):
d =
æ 2p ö
t m = t (k xm ) = t ç
m , m = 0, ± 1, ± 2, K ,
è d ø÷
(14.21)
ãäå d — ïåðèîä ðåøåòêè.
Èíòåðôåðåíöèÿ âîëí «èñòî÷íèêîâ» tm ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ óâåëè÷åííîãî èçîáðàæåíèÿ ðåøåòêè â ïëîñêîñòè Ï. ×òîáû t ¢(x ¢) áûëà ïîäîáíà t(x), íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü èíòåðôåðåíöèþ âîëí îò âñåõ èñòî÷íèêîâ. Îäíàêî èç-çà ïðåäåëüíîãî óãëà J ìàêñèìóìû âûñøèõ ïîðÿäêîâ áóäóò «îòðåçàòüñÿ». ×åì ìåíüøå
Ðèñ. 14.9
167
ïåðèîä ðåøåòêè, òåì áîëüøå óãëû äèôðàêöèè è òåì áîëüøå ÷èñëî «îòðåçàåìûõ» ìàêñèìóìîâ.
Åñëè d íàñòîëüêî ìàëî, ÷òî îñòàíåòñÿ òîëüêî îäèí ìàêñèìóì t0, òî U 0¢t ¢(x ¢) =
= const. Ñëåäîâàòåëüíî, èíôîðìàöèÿ î ïåðèîäè÷íîñòè t(x) áóäåò óòåðÿíà. Ïðè
ñîõðàíåíèè âìåñòå ñ t0 åùå è t1 è t-1, â ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèÿ ïîëó÷èòñÿ
èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà â âèäå ïîëîñ Þíãà ñ ïåðèîäîì d ¢ = db/a. Îíà
áóäåò ñìàçàííûì èçîáðàæåíèåì ðåøåòêè, â êîòîðîì îòñóòñòâóþò ìåëêèå äåòàëè. ×òîáû îíè ïîÿâèëèñü, íàäî «çàõâàòûâàòü» ìàêñèìóìû áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ, óâåëè÷èâàÿ ðàäèóñ îáúåêòèâà.
Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïåðèîäà d ðåøåòêè, ïðè êîòîðîì ôîðìèðóåòñÿ èçîáðàæåíèå â âèäå ïîëîñ Þíãà, ïîëó÷àåòñÿ èç óñëîâèÿ «çàõâàòà» îáúåêòèâîì ìàêñèìóìîâ t1 è t-1:
l0
l0
, èëè d =
.
(14.22)
n
n sin J
Ýòà îöåíêà äëÿ d ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ (14.20).
Íà ðèñ. 14.10 ïîêàçàíû ôîòîãðàôèè, èëëþñòðèðóþùèå èçëîæåííîå.
 ýêñïåðèìåíòå â êà÷åñòâå îáúåêòà èñïîëüçîâàëàñü ïðîâîëî÷íàÿ ñåòêà ñ êâàäðàòíûìè ÿ÷åéêàìè (ðèñ. 14.10, à), îñâåùàåìàÿ ïó÷êîì He-Ne-ëàçåðà. Ïåðâè÷íîå èçîáðàæåíèå Àááå (ðèñ. 14.10, á ) ôèëüòðóþò ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ
ìàñîê. Åñëè ìàñêà ïðîïóñêàåò ëèøü âåðòèêàëüíóþ öåïî÷êó ìàêñèìóìîâ tm (ðèñ.
14.10, â), òî âòîðè÷íîå èçîáðàæåíèå èìååò îäíîìåðíóþ ñòðóêòóðó â âèäå ñåìåéñòâà ãîðèçîíòàëüíûõ ëèíèé (ðèñ. 14.10, ã). Ïðè èñïîëüçîâàíèè áîëåå ñëîæíîé ìàñêè (ðèñ. 14.10, ä) ïîëó÷àåòñÿ èçîáðàæåíèå (ðèñ. 14.10, å), êîòîðîå íåñåò
èíôîðìàöèþ î ñòðóêòóðå ñåòêè.
Òåîðèÿ Àááå èìååò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ. Ìîæíî èñêóññòâåííî ìàíèïóëèðîâàòü äèôðàêöèîííûìè ìàêñèìóìàìè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè (îñóùåñòâëÿòü ïðîñòðàíñòâåííóþ ôèëüòðàöèþ óãëîâîãî ñïåêòðà) ñ öåëüþ èçìåíèòü
èçîáðàæåíèå. Ýòî àêòóàëüíî, êîãäà íàáëþäàåìûé îáúåêò ÿâëÿåòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî ôàçîâûì, ò.å. ñëàáî ìîäóëèðóþùèì àìïëèòóäó ïàäàþùåé âîëíû
è ñèëüíî ìîäóëèðóþùèì ôàçó. Òàêîé îáúåêò ïðàêòè÷åñêè íåðàçëè÷èì ïðè
íàáëþäåíèè â ìèêðîñêîï. Ïîýòîìó äëÿ ôàçîâûõ îáúåêòîâ ïðèìåíÿþò
ñïåöèàëüíûå ìåòîäû íàáëþäåíèÿ.
Ìåòîä ôàçîâîãî êîíòðàñòà. Ïóñòü ôóíêöèÿ ïðîïóñêàíèÿ
d sin J =
t ( x ) = 1 - i Ô(x ) = 1 + Ô 2 (x ) e -iÔ ( x ) ,
(14.23)
ãäå Ô( x ) = Ô( x + d ) — âåùåñòâåííàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Åñëè |Ô| = 1, òî
àìïëèòóäíàÿ ìîäóëÿöèÿ íåâåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ ôàçîâîé è | t | = 1 + Ô 2 » 1.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèÿ áóäåò ëèøü îäíîðîäíûé ñâåòëûé
ôîí, ïîñêîëüêó èíòåíñèâíîñòü I ¢ µ |t ¢| 2 µ | t | 2 » 1.
Ðèñ. 14.10
168
Ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ t ( x ) ðàçëîæèì ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ÷àñòîòàì
2ƒ
kxm = m , êðàòíûì îñíîâíîé ÷àñòîòå, â ðÿä Ôóðüå:
d
¥
æ 2 pm ö
(14.24)
t ( x ) = å t m exp ç i
x ÷.
è d
ø
m =-¥
Î÷åâèäíî, ÷òî t0 = 1, t-m = tm*, ïîñêîëüêó Ô — âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ. Çâåçäî÷êà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.
Åñëè â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ïîìåñòèòü òîíêóþ ïðîçðà÷íóþ ïëàñòèíêó,
âûçûâàþùóþ ó èñòî÷íèêà t0 îòñòàâàíèå èëè îïåðåæåíèå ôàçû íà ±p/2, òî ïåðâè÷íîå èçîáðàæåíèå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ìîäèôèöèðîâàííîé (èçìåíåííîé)
ôóíêöèè ïðîïóñêàíèÿ
t ìîä ( x ) = 1 × e ± i p/2 - i Ô( x ) = ±i - i Ô( x ).
(14.25)
Òàêàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåò îáúåêò óæå ñ àìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèåé, ïîñêîëüêó
|t ìîä ( x )| 2 = (1 ± Ô( x )) 2 » 1 ± 2Ô( x ).
(14.26)
 ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèÿ èíòåíñèâíîñòü
¢ ( x ¢)| 2 : |t ìîä ( x )| 2 = 1 ± 2Ô( x ).
I ¢( x ¢) : |t ìîä
(14.27)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èçìåíåíèå ôàçû â ïëîñêîñòè íàáëþäàåìîãî îáúåêòà ïðåâðàùàåòñÿ â èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè â ïëîñêîñòè èçîáðàæåíèÿ. Ïðè îòñòàâàíèè
ôàçû â íóëåâîì ïîðÿäêå (çíàê «+» â (14.27)) îáëàñòè ñ áîëüøåé îïòè÷åñêîé
òîëùèíîé êàæóòñÿ ÿð÷å íà ôîíå ñðåäíåé îñâåùåííîñòè, à ïðè îïåðåæåíèè —
òåìíåå. Ïîýòîìó ýòîò ìåòîä ïîëó÷èë íàçâàíèå ìåòîäà ôàçîâîãî êîíòðàñòà.
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî â îòñóòñòâèå ôàçîâîé êîððåêöèè, êàê ýòî ñëåäóåò èç (14.23), âñå æå åñòü íåáîëüøèå èçìåíåíèÿ èíòåíñèâíîñòè
I ( x ¢) : |t ( x )| 2 = 1 + Ô 2 ( x ).
(14.28)
Îäíàêî â ñèëó ìàëîñòè Ô èçìåíåíèÿ I â (14.28) çíà÷èòåëüíî ìåíüøå, ÷åì
â (14.27).
Ìåòîä òåìíîãî ïîëÿ. Åñëè ïîìåñòèòü â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè íåïðîçðà÷íóþ
ìàëåíüêóþ ïëàñòèíêó, çàêðûâàþùóþ ìàêñèìóì t0, òî
t ìîä ( x ) = -i Ô( x ).
(14.29)
Ïîýòîìó
I ¢( x ¢) : |t ìîä ( x )| 2 = Ô 2 ( x ).
Èçìåíåíèÿ èíòåíñèâíîñòè áóäóò òàêèìè æå ìàëûìè, êàê è â (14.28), îäíàêî áîëåå çàìåòíûìè, ïîñêîëüêó ñðåäíÿÿ îñâåùåííîñòü îòñóòñòâóåò. Ïîýòîìó
òàêîé ìåòîä ôèëüòðàöèè ïîëó÷èë íàçâàíèå ìåòîäà òåìíîãî ïîëÿ.
Íà ðèñ. 14.11 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, èëëþñòðèðóþùèå îáà îïèñàííûõ ìåòîäà.
 êà÷åñòâå îñâåùàåìîãî îáúåêòà èñïîëüçîâàëàñü ïðîçðà÷íàÿ êâàäðàòíàÿ
ïëàñòèíêà (ðèñ. 14.11, à) ïåðåìåííîé îïòè÷åñêîé òîëùèíû. Ïðè ïðîõîæäåíèè
÷åðåç ïëàñòèíêó ïëîñêîé âîëíû åå ôðîíò èñêðèâëÿëñÿ âñëåäñòâèå ïîÿâëÿþùåéñÿ ôàçîâîé ìîäóëÿöèè (ðèñ. 14.11, á ). Îäíàêî ýòà ìîäóëÿöèÿ íå ìîæåò áûòü
îáíàðóæåíà âî âòîðè÷íîì èçîáðàæåíèè ïëàñòèí.
169
Ðèñ. 14.11
Åñëè æå óñòðàíèòü ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà t0, òî èçîáðàæåíèå ïðèìåò
âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 14.11, â. Ïðè ñäâèãå ôàçû â ýòîì ìàêñèìóìå íà ±p/2
ïîëó÷àþòñÿ èçîáðàæåíèÿ ïëàñòèíêè, ïîêàçàííûå íà ðèñ. 14.11, ã, ä.  ïåðâîì
ñëó÷àå ãîâîðÿò î òåìíîì ôàçîâîì êîíòðàñòå, à âî âòîðîì — î ñâåòëîì.
Ãîëîãðàôèÿ (îò ãðå÷. holos — âåñü, ïîëíûé) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåòîä ïîëó÷åíèÿ îáúåìíîãî èçîáðàæåíèÿ îáúåêòà. Èäåÿ ýòîãî ìåòîäà áûëà âûñêàçàíà â
1948 ã. àíãëèéñêèì ôèçèêîì Ä. Ãàáîðîì. Îäíàêî ìåòîä ïîëó÷èë ïðàêòè÷åñêîå
ïðèìåíåíèå ëèøü ïîñëå èçîáðåòåíèÿ ëàçåðîâ, èçëó÷åíèå êîòîðûõ îáëàäàåò õîðîøåé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé êîãåðåíòíîñòüþ. Çà ñâîå èçîáðåòåíèå Ãàáîð â 1971 ã. áûë óäîñòîåí Íîáåëåâñêîé ïðåìèè.
Äî èçîáðåòåíèÿ ãîëîãðàôèè åäèíñòâåííóþ âîçìîæíîñòü çàïå÷àòëåòü èçîáðàæåíèå ïðåäìåòà ïðåäîñòàâëÿë ôîòîãðàôè÷åñêèé ìåòîä. Çäåñü êàæäàÿ òî÷êà îáúåêòà ïîñûëàåò îòðàæåííóþ ñôåðè÷åñêóþ âîëíó, êîòîðàÿ ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó ïîïàäàåò íà ôîòîïëàñòèíêó. Ïî÷åðíåíèå ïëàñòèíêè ïðîïîðöèîíàëüíî ëîãàðèôìó èíòåíñèâíîñòè ñâåòà, ïîýòîìó
ïî÷åðíåíèå èçîáðàæåíèé ðàçíîóäàëåííûõ òî÷åê áóäåò ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâûì.
Èíôîðìàöèÿ î ðàññòîÿíèè äî ëþáîé òî÷êè îáúåêòà çàëîæåíà â êðèâèçíå
è íàêëîíå âîëíîâîãî ôðîíòà îòðàæåííîé âîëíû. Ýòà èíôîðìàöèÿ ïîëíîñòüþ
óòåðÿíà â ôîòîãðàôè÷åñêîì ìåòîäå. Òàêèì îáðàçîì, òðåõìåðíûå îáúåêòû
íà ôîòî áóäóò ðåãèñòðèðîâàòüñÿ êàê äâóõìåðíûå.
Èíôîðìàöèþ î ôàçå âîëíû ìîæíî çàïèñàòü ëèøü ñ ïðèìåíåíèåì èíòåðôåðåíöèè. Ïîýòîìó â îñíîâå ãîëîãðàôèè ëåæàò çàïèñü èíòåðôåðîãðàìì è ïîñëåäóþùåå âîññòàíîâëåíèå ñ èõ ïîìîùüþ äåéñòâèòåëüíîãî èëè ìíèìîãî èçîáðàæåíèÿ òðåõìåðíîãî îáúåêòà. Òàêàÿ ïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ ãîëîãðàôèðîâàíèåì.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ãîëîãðàôèðîâàíèå ïëîñêîé è ñôåðè÷åñêîé âîëí.
Ãîëîãðàôèðîâàíèå ïëîñêîé âîëíû. Ïóñòü ïëîñêàÿ âîëíà, íåñóùàÿ èíôîðìàöèþ îá îáúåêòå (íàçîâåì åå ñèãíàëüíîé âîëíîé), ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïîä óãëîì
J ê îñè Oz (ðèñ. 14.12, à).
×òîáû çàïèñàòü èíôîðìàöèþ î íåé íà ôîòîïëàñòèíêå, èñïîëüçóåì âòîðóþ
(îïîðíóþ) âîëíó ñ òîé æå äëèíîé âîëíû, êîòîðóþ íàïðàâèì ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëàñòèíêå. Òîãäà íà ïëàñòèíêå áóäóò èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè (èëè øèðèíà), ñîãëàñíî (9.1), ðàâíî Dx = l/J.
Ïîñëå ïðîÿâëåíèÿ è çàêðåïëåíèÿ ôîòîïëàñòèíêà áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé
äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó, ôóíêöèÿ ïðîïóñêàíèÿ êîòîðîé, êàê ñëåäóåò
-g /2
èç ñâîéñòâ ôîòîïëàñòèíêè, t (x ) µ I (x )
, ãäå I(x) — èíòåíñèâíîñòü ñóììàðíîé
âîëíû; g — êîýôôèöèåíò êîíòðàñòíîñòè ôîòîïëàñòèíêè. Îáðàáîòàííàÿ ôîòîïëàñòèíêà íàçûâàåòñÿ ãîëîãðàììîé.
170
Ðèñ. 14.12
Åñëè íà ãîëîãðàììó ïàäàåò íîðìàëüíî ïëîñêàÿ âîëíà, òî îíà áóäåò äèôðàãèðîâàòü ïî òðåì íàïðàâëåíèÿì (ðèñ. 14.12, á ):
d sin j » D x j = m l, m = 0, + 1, - 1.
(14.30)
Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ãîëîãðàììà ÿâëÿåòñÿ àìïëèòóäíîé «ãàðìîíè÷åñêîé»
ðåøåòêîé, ïîäîáíî òîé, êîòîðàÿ ôîðìèðîâàëàñü â ñðåäå ñî ñòîÿ÷åé óëüòðàçâóêîâîé âîëíîé ïðè |Ô| < 1. Îäíà èç âîëí, äëÿ êîòîðîé m = -1, j = -J, è áóäåò
âîññòàíîâëåííîé ñèãíàëüíîé âîëíîé.
Ãîëîãðàôèðîâàíèå ñôåðè÷åñêîé âîëíû. Ïðè èíòåðôåðåíöèè ñôåðè÷åñêîé ñèãíàëüíîé âîëíû è ïëîñêîé îïîðíîé (ðèñ. 14.13, à) îáðàçóåòñÿ èíòåðôåðîãðàììà
â âèäå êîíöåíòðè÷åñêèõ êîëåö, èíòåíñèâíîñòü êîòîðûõ âäîëü ðàäèóñà áóäåò
èçìåíÿòüñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó.
Åñëè â öåíòðå êàðòèíû âîëíû ãàñÿò äðóã äðóãà (I = 0), òî ðàäèóñû òåìíûõ
êîëåö, ñîãëàñíî (9.16), äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó:
l
rm2
= (2m - 1) , m = 1, 2, 3, K
2R
2
(14.31)
Ïîñëå ïðîÿâêè íà ìåñòå òåìíûõ êîëåö ïî÷åðíåíèå áóäåò ìèíèìàëüíûì,
à ïðîçðà÷íîñòü — ìàêñèìàëüíîé. Ãîëîãðàììà áóäåò ïðåäñòàâëÿòü çîííóþ ãàðìîíè÷åñêóþ ðåøåòêó (ðèñ. 14.13, á ). Ïðè åå îñâåùåíèè ïëîñêîé âîëíîé èç òðåõ
äèôðàãèðîâàâøèõ âîëí (ðèñ. 14.13, â) ðàñõîäÿùàÿñÿ è áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü
ñèãíàëüíîé âîëíå.
Восстановленная
R
P0
P0?
а
б
P0??
в
Ðèñ. 14.13
171
Ðèñ. 14.14
Ãîëîãðàììû Ôðåíåëÿ.  ýêñïåðèìåíòå øèðîêèé ïàðàëëåëüíûé ëàçåðíûé ïó÷îê
ðàçäåëÿåòñÿ íà îïîðíûé è îñâåùàþùèé îáúåêòû ìåòîäîì äåëåíèÿ âîëíîâîãî
ôðîíòà (ðèñ. 14.14, à).
Îò êàæäîé òî÷êè P0 îáúåêòà íà ôîòîïëàñòèíêó ïàäàåò ñèãíàëüíàÿ ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà. Ãîëîãðàììà áóäåò ïðåäñòàâëÿòü íàëîæåíèå çîííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ
ðåøåòîê. Êðîìå òîãî, íà ãîëîãðàììå áóäåò ñëàáûé ôîí, îáóñëîâëåííûé èíòåðôåðåíöèåé ñôåðè÷åñêèõ âîëí ìåæäó ñîáîé.
Ïðè îñâåùåíèè ãîëîãðàììû îïîðíîé âîëíîé (ðèñ. 14.14, á ) ôîðìèðóþòñÿ
äâà èçîáðàæåíèÿ. Ìíèìîå èçîáðàæåíèå ìîæíî íàáëþäàòü ñêâîçü ãîëîãðàììó,
à äåéñòâèòåëüíîå — íà ýêðàíå. Ïðè ïåðåìåùåíèè ãëàçà ðàêóðñ ìíèìîãî èçîáðàæåíèÿ èçìåíÿåòñÿ, êàê è äîëæíî áûòü â ñëó÷àå òðåõìåðíîãî îáúåêòà.
Ãîëîãðàììû Ôóðüå. Íà ðèñ. 14.15, à ïîêàçàíà ñõåìà çàïèñè ãîëîãðàììû ïëîñêîãî ïðîçðà÷íîãî îáúåêòà, â êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ îïîðíàÿ ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà, ôîðìèðóåìàÿ ñîáèðàþùåé ëèíçîé.
Åñëè ðàäèóñû êðèâèçíû âîëíîâûõ ôðîíòîâ îïîðíîé è ñèãíàëüíîé âîëí
îäèíàêîâû, òî êàæäîé òî÷êå P0 îáúåêòà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü èíòåðôåðîãðàììà
â âèäå ïîëîñ Þíãà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè íà
ôîòîïëàñòèíêå ïðîïîðöèîíàëüíî U S(kx) íà îáúåêòå. Ïîýòîìó ãîëîãðàììà íàçûâàåòñÿ ãîëîãðàììîé Ôóðüå.
Åñëè áû íà ãîëîãðàììå áûëî çàïèñàíî èçîáðàæåíèå îäíîé òî÷êè P0, òî ïðè
åå îñâåùåíèè íîðìàëüíî ïàäàþùåé âîëíîé áûëè áû òðè äèôðàãèðîâàâøèå
P
P0
Объект
Фотопластинка
x
а
P0?
P0?
P
P0??
б
в
Ðèñ. 14.15
172
P0??
ïëîñêèå âîëíû ñ m = 0, +1, -1. ×òîáû ïîëó÷èòü äâà äåéñòâèòåëüíûõ èçîáðàæåíèÿ òî÷êè P0, ïîñëå ãîëîãðàììû óñòàíàâëèâàþò ñîáèðàþùóþ ëèíçó.
 îáùåì ñëó÷àå âîññòàíîâëåíèå èçîáðàæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïëîñêîãî îáúåêòà
îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñõåìû, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 14.15, á. Çäåñü ïðåäñòàâëåíû èçîáðàæåíèÿ öèôðû 7, ïîëó÷àåìûå â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ñîáèðàþùåé
ëèíçû. Îíè ðàñïîëîæåíû çåðêàëüíî-ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè P, â êîòîðóþ ôîêóñèðóåòñÿ âîëíà ñ m = 0.
Ãîëîãðàììà Äåíèñþêà. Åñëè ãîëîãðàììó çàïèñûâàòü íà òîëñòîñëîéíóþ ýìóëüñèþ, òî ïîñëå åå îáðàáîòêè áóäåò ñôîðìèðîâàíà òðåõìåðíàÿ ðåøåòêà. Âîññòàíîâèòü ñèãíàëüíóþ âîëíó ìîæíî, îñâåùàÿ ðåøåòêó âîëíîé, ïîäîáíîé îïîðíîé (òîé æå äëèíû è ïàäàþùåé ïîä òåì æå óãëîì). Ýòî ïîçâîëÿåò äëÿ îñâåùåíèÿ èñïîëüçîâàòü ñîëíå÷íûé ñâåò: ðåøåòêà «ñàìà âûáèðàåò» èç íåãî íóæíóþ
ìîíîõðîìàòè÷åñêóþ êîìïîíåíòó. Îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ñîëíå÷íîãî ñïåêòðà
â ôîðìèðîâàíèè èçîáðàæåíèÿ ó÷àñòâîâàòü íå ìîãóò. Ýòà èäåÿ áûëà âïåðâûå
ñôîðìóëèðîâàíà â ÑÑÑÐ Þ. Í. Äåíèñþêîì (1962). Ïîýòîìó òðåõìåðíàÿ ãîëîãðàììà íàçâàíà åãî èìåíåì.
Ãîëîãðàììà Äåíèñþêà, ñôîòîãðàôèðîâàííàÿ ïðè ðàçëè÷íûõ ðàêóðñàõ, ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 14.5 öâ. âêë. Îò÷åòëèâî âèäíî èçìåíåíèå âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ äåòàëåé îáúåêòà ïðè èçìåíåíèè ðàêóðñà.
Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ãîëîãðàôèè. Îöåíèì ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå d
ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2 îáúåêòà, êîòîðûå ìîæíî ðàçðåøèòü â âîññòàíîâëåííîì
èçîáðàæåíèè. Äëÿ ýòîãî èíòåðôåðåíöèîííûå êàðòèíû â ïëîñêîñòè ôîòîïëàñòèíêè äîëæíû áûòü ñäâèíóòû íå ìåíüøå ÷åì íà ïîëîâèíó øèðèíû ïîëîñû.
Äëÿ òî÷êè M íà êðàþ ãîëîãðàììû (ðèñ. 14.16) ýòîò ñäâèã ñàìûé áîëüøîé.
Çäåñü Ô1 è Ô2 — ñôåðè÷åñêèå ôàçîâûå ôðîíòû ñèãíàëüíûõ âîëí îò òî÷åê 1
è 2 — íàèáîëåå óäàëåíû äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå D = d sin J, ðàâíîå ðàçíîñòè õîäà âîëí â òî÷êå M. Ñäâèã íà ïîëîâèíó ïîëîñû ýêâèâàëåíòåí óñëîâèþ
D = d sin J =
l
.
2
(14.32)
Îòñþäà ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå
d =
l
.
2 sin J
(14.33)
Âåëè÷èíà d ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû òà æå, ÷òî è äëÿ ìèêðîñêîïà. Åñòåñòâåííî, ÷òî ÷àñòü ãîëîãðàììû òàêæå áóäåò âîññòàíàâëèâàòü èçîáðàæåíèå, îäíàêî
åãî êà÷åñòâî áóäåò õóæå, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè öåëîé
ãîëîãðàììû.
Åùå îäíèì ôàêòîðîì, îãðàíè÷èâàþùèì ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ãîëîãðàôèè, ÿâëÿåòñÿ êà÷åñòâî ôîòîìàòåðèàëîâ, õàðàêòåðèçóåìûõ ÷èñëîì N ðàçðåøàåìûõ
ëèíèé íà 1 ìì. Äëÿ ãîëîãðàôèè ïðèìåíÿþò ôîòîýìóëüñèè ñ N = 103 — 5 × 103 ìì-1. Ñëåäîâàòåëüíî, ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíèÿìè e = N -1 ~ 2 — 10 ìêì.
Êàê ñëåäóåò èç (14.31), ðàññòîÿíèå dr = rm+1 - rm ìåæäó
êîëüöàìè çîííîé ðåøåòêè îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà
rm2 +1 - rm2 » 2rm dr = 2lR .
(14.34)
Ðèñ. 14.16
173
Ïðè óâåëè÷åíèè rm âåëè÷èíà dr ® 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè dr = e êîëüöà
ðàäèóñàìè
lR
(14.35)
e
íà ãîëîãðàììå ñîëüþòñÿ. Óãëîâîé ðàçìåð Jm êîëüöà ðàäèóñîì rm îïðåäåëÿåòñÿ
ðàâåíñòâîì
r > rm =
l
rm
= .
(14.36)
e
R
Åñëè Jm < J, òî â ôîðìèðîâàíèè èçîáðàæåíèÿ áóäåò ó÷àñòâîâàòü ëèøü
öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü ãîëîãðàììû. Òîãäà êà÷åñòâî ðàçðåøåíèÿ ñíèæàåòñÿ (ñì. ôîðìóëó (14.33)):
sin J m =
d =
1
l
e
.
= =
2 sin J m 2 2N
(14.37)
Ïðè N = 103 ìì-1 d = 5 ìêì. Ýòî íà ïîðÿäîê âûøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå d â (14.33), ãäå d ~ l = 0,5 ìêì.
ÐÀÇÄÅË 5
ÄÈÑÏÅÐÑÈß
Ë Å Ê Ö È ß 15
Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â ìàòåðèàëüíîé ñðåäå îáóñëîâëåí âîçäåéñòâèåì ïîëÿ âîëíû íà àòîìû è ìîëåêóëû âåùåñòâà. Ïîãëîùàÿ ñâåòîâóþ ýíåðãèþ, îíè ïîòîì åå ïåðåèçëó÷àþò, ñòàíîâÿñü èñòî÷íèêàìè âòîðè÷íûõ âîëí. Òàêèì îáðàçîì, â âåùåñòâå ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé
ïðåòåðïåâàþùåé ÷àñòè÷íîå ïîãëîùåíèå ïàäàþùåé âîëíû è ìíîæåñòâà âòîðè÷íûõ êîãåðåíòíûõ âîëí. Ïîýòîìó ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà â ñðåäå îòëè÷àåòñÿ
îò åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ â âàêóóìå.
Ýòî îòëè÷èå ïðîÿâëÿåòñÿ â òàêèõ ÿâëåíèÿõ, êàê çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû îò åå ÷àñòîòû (äèñïåðñèÿ âîëíû), ïîãëîùåíèå è ðàññåÿíèå, âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè, ïîÿâëåíèå äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ è äð.
Ìíîãèå èç ýòèõ ÿâëåíèé ìîæíî íàáëþäàòü â ïîâñåäíåâíîé æèçíè. Íàïðèìåð, êðàñíûé öâåò Ñîëíöà íà âîñõîäå è çàêàòå ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî ìîëåêóëû
âîçäóõà (ïîä äåéñòâèåì ñâåòà) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îñöèëëèðóþùèå äèïîëè.
Ýòè äèïîëè ïåðåèçëó÷àþò ñâåò â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ, ïðè÷åì, ñîãëàñíî (3.2),
âåëè÷èíà âåêòîðà Ïîéíòèíãà S % w4. Ýòî è åñòü ðàññåÿíèå ñâåòà, ïðè÷åì ðàññåèâàþòñÿ ñèëüíåå áîëåå âûñîêî÷àñòîòíûå êîìïîíåíòû ñîëíå÷íîãî ñïåêòðà. Êîãäà
Ñîëíöå íàõîäèòñÿ íèçêî íàä ãîðèçîíòîì, åãî ëó÷è ïðîõîäÿò â àòìîñôåðå áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ, ïðè ðàññåÿíèè «òåðÿþò» êîðîòêîâîëíîâûå êîìïîíåíòû,
è Ñîëíöå êàæåòñÿ êðàñíûì. Íà ðèñ. 15.1 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíû ïîñëåäîâàòåëüíûå
ñòàäèè çàõîäà Ñîëíöà. ×åì îíî íèæå íàä ãîðèçîíòîì, òåì áîëüøèé ïóòü ïðîõîäèò ñîëíå÷íûé ëó÷ â àòìîñôåðå è òåì Ñîëíöå êðàñíåå.
Êîãäà Ñîëíöå âûñîêî, ðàññåÿíèå âîëí, ïàäàþùèõ íà ïîâåðõíîñòü Çåìëè,
ïðîèñõîäèò ëèøü â ñëîå àòìîñôåðû òîëùèíîé 10 êì. Ïîñêîëüêó «ïîòåðÿ» êîðîòêîâîëíîâûõ êîìïîíåíò ìåíüøå, Ñîëíöå âûãëÿäèò áåëûì.
Ïðè ðàññåÿíèè æå âîëí, ñêîëüçÿùèõ âäîëü çåìíîé ïîâåðõíîñòè, ãëaçà ÷åëîâåêà äîñòèãàþò ïðåèìóùåñòâåííî ðàññåÿííûå êîðîòêîâîëíîâûå êîìïîíåíòû,
è íåáî êàæåòñÿ ãîëóáûì (ðèñ. 15.2 öâ. âêë.).
Íå ìåíåå êðàñî÷íî è äðóãîå ÿâëåíèå: ðàäóãà íà íåáå â ñîëíå÷íóþ ïîãîäó
ïîñëå äîæäÿ. Ïðîèñõîæäåíèå ðàäóãè, êàê áóäåò áîëåå ïîäðîáíî ïîêàçàíî äàëåå, ñâÿçàíî ñ ïðåëîìëåíèåì è îòðàæåíèåì ñâåòà â äîæäåâûõ êàïëÿõ, ïðè÷åì
ðàçëè÷íûå ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû ñîëíå÷íîãî ñâåòà ïðåëîìëÿþòñÿ ïîä ðàçíûìè óãëàìè. Ýòî ñâÿçàíî ñ çàâèñèìîñòüþ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà
â âîäå îò åãî ÷àñòîòû.
 êà÷åñòâå åùå îäíîãî ïðèìåðà ìîæíî ïðèâåñòè óïîìèíàâøååñÿ ðàíåå óìåíüøåíèå îñâåùåííîñòè ïîä âîäîé ïðè óâåëè÷åíèè ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ.  âîäîåìàõ, ãäå ïåðåìåøèâàíèå âîäû íåâåëèêî, íåòðóäíî îáíàðóæèòü, ÷òî â æàðêóþ
175
ïîãîäó òåìïåðàòóðà âåðõíèõ ñëîåâ âîäû âûøå, ÷åì íèæíèõ. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî áîëüøàÿ ÷àñòü ñâåòîâîé ýíåðãèè ïîãëîùàåòñÿ âåðõíèìè ñëîÿìè
âîäû.
Ïîñëå èçîáðåòåíèÿ ëàçåðîâ áûëè îáíàðóæåíû íîâûå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ,
âîçíèêàþùèå ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè èíòåíñèâíûõ âîëí â ñðåäå. Èç-çà âîçäåéñòâèÿ ïîëÿ èíòåíñèâíîé âîëíû íà àòîìû è ìîëåêóëû ðàñïðîñòðàíåíèå ëàçåðíûõ ïó÷êîâ è èìïóëüñîâ ìîæåò êàðäèíàëüíî îòëè÷àòüñÿ îò ðàñïðîñòðàíåíèÿ
ñëàáîèíòåíñèâíîãî ñâåòà. Íàïðèìåð, â àêòèâíûõ ñðåäàõ ìîæíî óñèëèâàòü ñâåò,
â òî âðåìÿ êàê â îáû÷íîé ñðåäå èíòåíñèâíîñòü ñâåòà âñåãäà óìåíüøàåòñÿ (ñì.
ëåêöèþ 7).
Ïîñëåäóþùèå ëåêöèè ïîñâÿùåíû èçëîæåíèþ îñíîâíûõ çàêîíîìåðíîñòåé
ðàñïðîñòðàíåíèÿ è âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì, îïèñàíèþ ìíîãî÷èñëåííûõ îïòè÷åñêèõ ÿâëåíèé è èõ ïðàêòè÷åñêîìó ïðèìåíåíèþ.
Êàê îòìå÷àëîñü â ëåêöèè 1, ìíîãèå èç îáñóæäàåìûõ äàëåå ïðîáëåì ìîãóò
áûòü èññëåäîâàíû â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ðåøàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ñîâìåñòíî ñ ìàòåðèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè (1.6).
Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñðåäû.  îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû m = 1. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî õàðàêòåðíûé ðàçìåð d ñòðóêòóðû
âåùåñòâà (ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè èëè ìîëåêóëàìè) íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ìåíüøå äëèíû âîëíû l. Ïîýòîìó îáû÷íî ìàòåðèàëüíîå óðàâíåíèe äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
B = m0H.
(15.1)
Åñëè íàïðÿæåííîñòü E ñâåòîâîé âîëíû çíà÷èòåëüíî ìåíüøå íàïðÿæåííîñòè
e
Ea õàðàêòåðíîãî âíóòðèàòîìíîãî ïîëÿ ( E a =
~ 1011 Â/ì — íàïðÿæåí4pe 0a 2
íîñòü ïîëÿ, ñîçäàâàåìàÿ ÿäðîì àòîìà âîäîðîäà íà ðàññòîÿíèè a ~ 10-10 ì, ðàâíîì ðàäèóñó ïåðâîé áîðîâñêîé îðáèòû ýëåêòðîíà), òî äâà äðóãèõ ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå:
3 ¥
¥
j =1 0
-¥
Di (t , r) = e 0 å ò dt ¢ ò e ij (t ¢, r ¢)E j (t - t ¢, r - r ¢)dr ¢;
J i (t , r ) =
3 ¥
¥
j =1 0
-¥
å ò dt ¢ ò s ij (t ¢, r ¢)E j (t - t ¢, r - r ¢)dr ¢,
(15.2)
(15.3)
ãäå eij è sij — êîìïëåêñíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè è ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòè ñðåäû, ñîîòâåòñòâåííî; e0 — ýëåêòðè÷åñêàÿ
ïîñòîÿííàÿ. Âûðàæåíèÿ (15.2) è (15.3) îòðàæàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñðåäû:
• â îáùåì ñëó÷àå ñðåäà àíèçîòðîïíà. Ïîýòîìó âåêòîðû D è J, íå ñîâïàäàþùèå ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì E, ñâÿçàíû ñ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ÷åðåç
êîìïîíåíòû ñîîòâåòñòâóþùèõ òåíçîðîâ;
• èíäóêöèÿ D è ïëîòíîñòü òîêà J â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿþòñÿ ñóììîé
âîçäåéñòâèé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E â ïðåäøåñòâóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè t - t ¢.
Èíà÷å, ñðåäà «îáëàäàåò ïàìÿòüþ» â òå÷åíèå âðåìåíè ~t (t — õàðàêòåðíîå âðåìÿ
çàòóõàíèÿ èëè óñòàíîâëåíèÿ êîëåáàíèé îïòè÷åñêîãî ýëåêòðîíà â àòîìå). Ïðè
t ¢ ® ∞ |eij | ® 0 è |sij | ® 0;
176
• D è J â òî÷êå r îïðåäåëÿþòñÿ ñóììàðíûì âîçäåéñòâèåì íà ñðåäó ïîëÿ E â
äðóãèõ òî÷êàõ r - r¢.
×àñòîòíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ ñðåäû. Ñìûñë ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèé (15.2) è (15.3) ñòàíåò áîëåå ïîíÿòíûì, åñëè ðàññìîòðåòü ðàñïðîñòðàíåíèå â ñðåäå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû íàïðÿæåííîñòüþ
E(t , r) = E 0 exp [i (wt - k × r)] .
(15.4)
Ïîäñòàâèâ (15.4) â (15.2) è (15.3), ïîëó÷èì
3
Di (r, t ) = e 0 å e ij (w, k )E 0 j exp [i (wt - k × r)] ;
j =1
J i (r, t ) =
3
å s ij (w, k)E 0 j exp [i (wt - k × r)].
j =1
(15.5)
(15.6)
 ýòèõ âûðàæåíèÿõ
¥
¥
0
-¥
¥
¥
0
-¥
e ij (w, k ) = ò dt ¢ ò e ij (t ¢, r ¢) exp [ -i (wt ¢ - k × r ¢)] dr ¢;
s ij (w, k ) = ò dt ¢ ò s ij (t ¢, r ¢) exp [ -i (wt ¢ - k × r ¢)] dr ¢
(15.7)
(15.8)
— ôóðüå-àìïëèòóäû êîìïîíåíò òåíçîðîâ eij è sij, çàâèñÿùèå êàê îò ÷àñòîòû w,
òàê è îò âîëíîâîãî âåêòîðà k. Ýòè çàâèñèìîñòè îòðàæàþò íàëè÷èå âðåìåííîé
(÷àñòîòíîé) è ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèé ñðåäû ñîîòâåòñòâåííî.
×àñòîòíàÿ äèñïåðñèÿ ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííîé, êîãäà ÷àñòîòà âîëíû áëèçêà
ê ñîáñòâåííûì ÷àñòîòàì êîëåáàíèé àòîìíûõ îñöèëëÿòîðîâ (ýëåêòðîíîâ â àòîìå).
Ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ, êîãäà âîëíîâîå ÷èñëî k = = 2p/l (l
— äëèíà âîëíû â ñðåäå) áëèçêî ê âåëè÷èíå 2p/d (d — ðàçìåð ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðû, íàïðèìåð ðàçìåð ìîëåêóëû). Îáû÷íî l ? d, è ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ ìàëà.
Ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ áóäåò ó÷òåíà â ëåêöèè 20 ïðè îáúÿñíåíèè îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè ñðåäû, â êîòîðîé ïîâîðà÷èâàåòñÿ ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè
ñâåòîâîé âîëíû. Äàëåå ðàññìîòðèì ëèøü ÷àñòîòíóþ äèñïåðñèþ.
Ðàñïðîñòðàíåíèå ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â èçîòðîïíîé ñðåäå ñ ÷àñòîòíîé
äèñïåðñèåé. Ïîëó÷èì âîëíîâîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ðàñïðîñòðàíåíèå
ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â èçîòðîïíîé îäíîðîäíîé ñðåäå. Åñëè ÷àñòîòà âîëíû
ðàâíà w, òî äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü e = e(w) è ïðîâîäèìîñòü s = s(w)
ÿâëÿþòñÿ èçâåñòíûìè ïîñòîÿííûìè (äëÿ ýòîé ÷àñòîòû) âåëè÷èíàìè.
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà (1.1) — (1.4) çàïèøóòñÿ â âèäå
rot H = e 0 e
¶E
+ sE;
¶t
(15.9)
¶H
;
¶t
(15.10)
rot E = -m 0
div(e 0 eE) = r;
(15.11)
div(m 0H) = 0.
(15.12)
177
Ïîñêîëüêó â îäíîðîäíîé ñðåäå e è s íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàò, ïëîòíîñòü
ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ r = 0, à óðàâíåíèå (15.11) ïðèìåò âèä div E = 0. Ïðèìåíèâ
îïåðàöèþ rot ê îáåèì ÷àñòÿì (15.10), ïîëó÷èì
¶H
.
(15.13)
¶t
Ïîäñòàâèâ â ïðàâóþ ÷àñòü (15.13) óðàâíåíèå (15.9), ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà div E
= 0 ïîëó÷èì
rot rot E = grad div E - DE = -m 0 rot
DE -
e ¶ 2E
s ¶E
= 0,
c 2 ¶t 2 e 0 c 2 ¶t
(15.14)
ãäå c 2 = (e0m0)-1.
Ýòî óðàâíåíèå îòëè÷àåòñÿ îò âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (1.9) íàëè÷èåì e âî âòîðîì ñëàãàåìîì è ïîÿâëåíèåì òðåòüåãî ñëàãàåìîãî, îáóñëîâëåííîãî ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ. Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, áóäåò âûðàæåíèå
E(z , t ) = E 0 exp [i (wt - kz )] ,
(15.15)
îïèñûâàþùåå ïëîñêóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Oz.
Ïîäñòàâèâ (15.15) â (15.14), íàõîäèì ñâÿçü ìåæäó âîëíîâûì ÷èñëîì k
è ÷àñòîòîé w, íàçûâàåìóþ äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèåì:
k2 =
w2
c2
s ö
æ
çè e - i e w ø÷ .
0
(15.16)
Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, âåëè÷èíû e è s êîìïëåêñíûå: e = e¢ + ie², s = s¢ + is².
Âåëè÷èíû e¢ è s¢ íàçûâàþò àêòèâíûìè ñîñòàâëÿþùèìè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè è ïðîâîäèìîñòè, à e² è s² — ðåàêòèâíûìè. Èç-çà íàëè÷èÿ ïîñëåäíèõ êîëåáàíèÿ èíäóêöèè D è ïëîòíîñòè òîêà J ñäâèíóòû ïî ôàçå îòíîñèòåëüíî
êîëåáàíèé E. Òîãäà
k2 =
w2
c2
éæ
s ¢¢ ö
æ s¢
ö ù w2
e
¢
+
e
¢¢
i
ê çè
çè e w
÷ø ú = c 2
e 0 w ÷ø
0
ë
û
s% ù w 2
é%
e
=
e% k ,
i
ê
e 0 w úû c 2
ë
(15.17)
s%
e 0w
(15.18)
ãäå
e% = e ¢ +
s ¢¢
;
e 0w
s% = s ¢ - e ¢¢e 0 w;
e% k = e% - i
— êîìïëåêñíàÿ ýôôåêòèâíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü, îáúåäèíÿþùàÿ
ñîáñòâåííóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü è ïðîâîäèìîñòü. Èç (15.16) âîëíîâîå ÷èñëî ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì
k =
w
w
w
e% k = nk = (n - i c).
c
c
c
(15.19)
Çäåñü nk = e% k — êîìïëåêñíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ. Åãî äåéñòâèòåëüíàÿ
è ìíèìàÿ ÷àñòè îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè:
n2 =
178
ö
s% 2
1æ 2
+ e% ÷ ;
ç e% +
2
e 0w
2è
ø
c2 =
ö
s% 2
1æ 2
- e% ÷ .
ç e% +
2
e 0w
2è
ø
(15.20)
Ïîäñòàâèâ (15.19) â (15.15), ïîëó÷èì
é æ
zn ö ù
æ cw ö
E (z , t ) = E 0 exp ç z exp êi w ç t - ÷ ú .
è c ø÷
è
c øû
ë
(15.21)
Âåëè÷èíà n íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ. Îíà îïðåäåëÿåò ôàçîâóþ
ñêîðîñòü âîëíû:
c
(15.22)
.
n
Âåëè÷èíà c îïèñûâàåò óìåíüøåíèå àìïëèòóäû âîëíû âäîëü îñè Oz è íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëåì ïîãëîùåíèÿ. Èç (15.21) ñëåäóåò, ÷òî èíòåíñèâíîñòü âîëíû
óáûâàåò ïî çàêîíó
L=
I (z ) = I 0e -az ,
(15.23)
w
ïîëó÷èâøåìó íàçâàíèå çàêîíà Áóãåðà -Ëàìáåðòà -Áåðà. Çäåñü a = 2 c — êîýôc
ôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ.
Ïîëÿðèçóåìîñòü è äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû.  äèýëåêòðèêàõ ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü ìàëà, ïîýòîìó ìîæíî ïîëîæèòü s = 0. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü e(w) îïèñûâàåò ôåíîìåíîëîãè÷åñêè ïîëÿðèçóåìîñòü ñðåäû â ïîëå ñâåòîâîé âîëíû. Âûðàçèì âíà÷àëå e ÷åðåç ìèêðîñêîïè÷åñêèå ïàðàìåòðû ñðåäû.
Ïîëÿðèçóåìîñòü ìîëåêóëû.  óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ìîëåêóëà ïîä äåéñòâèåì ñâåòîâîãî ïîëÿ ÷àñòîòû w ïðèîáðåòàåò îñöèëëèðóþùèé äèïîëüíûé ìîìåíò
3
pi = e 0 å aij E ýô j ,
j =1
(15.24)
ãäå aij (w) — êîìïîíåíòà òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòè, èëè ïîëÿðèçóåìîñòè ìîëåêóëû, ÿâëÿþùåéñÿ â îáùåì ñëó÷àå àíèçîòðîïíîé. Ýòà êîìïîíåíòà çàâèñèò îò ÷àñòîòû w ñâåòîâîé âîëíû; Eýô — ýôôåêòèâíîå (äåéñòâóþùåå
íà ìîëåêóëó) ïîëå, âîîáùå ãîâîðÿ, îòëè÷àþùååñÿ îò ñðåäíåãî ìàêðîñêîïè÷åñêîãî ïîëÿ E â ñðåäå (ñì. äàëåå).
Ïîñêîëüêó ÷àñòîòà âîëíû w ~ 1015 c-1, òî ïîëÿðèçàöèÿ ìîëåêóë îñóùåñòâëÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå ñìåùåíèÿ ýëåêòðîíîâ â àòîìå (ïîëÿðèçàöèÿ ýëåêòðîííîãî
ñìåùåíèÿ). Åñëè ìîëåêóëà îáëàäàåò ñîáñòâåííûì äèïîëüíûì ìîìåíòîì p0,
òî èç-çà áîëüøîé ÷àñòîòû ñâåòà îíà íå óñïåâàåò îðèåíòèðîâàòüñÿ (õàðàêòåðíîå
âðåìÿ îðèåíòàöèè ~10-12 c).
Òåíçîð aij ìîæåò áûòü êîìïëåêñíûì. Ýòî îçíà÷àåò íàëè÷èå çàòóõàíèÿ (ñìåùåíèå ýëåêòðîíà ïî ôàçå íå ñîâïàäàåò ñ êîëåáàíèÿìè ïîëÿ Eýô). Âåëè÷èíó |aij |
ìîæíî îöåíèòü, âîñïîëüçîâàâøèñü ìîäåëüþ ìîëåêóëû â âèäå ïðîâîäÿùåãî
øàðà ðàäèóñà r0 = 10-10 ì. Òàêîé øàð â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ E
ïðèîáðåòàåò äèïîëüíûé ìîìåíò
p = e 0 4 pr03 E .
(15.25)
Òîãäà |aij | » 4pr03 ~ 10-29 ì3.
Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû. Ïîëÿðèçóåìîñòü äèýëåêòðèêà îïðåäåëÿåòñÿ äèïîëüíûì ìîìåíòîì P åäèíèöû åãî îáúåìà (âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèè). Åñëè N — ÷èñëî ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà, òî
179
Pi =
N
å pil
= N á pi ñ,
l =1
(15.26)
ãäå á pi ñ — ñðåäíåå çíà÷åíèå ïðîåêöèè äèïîëüíîãî ìîìåíòà ìîëåêóëû (óñðåäíåíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì îðèåíòàöèÿì ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà). Ðåçóëüòàò
óñðåäíåíèÿ çàâèñèò îò àãðåãàòíîãî ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà.
 ãàçå âñå îðèåíòàöèè ìîëåêóë ðàâíîâåðîÿòíû. Ïîýòîìó
3
á pi ñ = e 0 å áaij ñE ýô j = e 0
j =1
a11 + a22 + a33
E ýô i .
3
(15.27)
Äëÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè (15.26) ïîëó÷àåì
Pi = e 0 NaE ýô i ,
(15.28)
a11 + a22 + a33
— ñðåäíÿÿ ïîëÿðèçóåìîñòü ìîëåêóëû. Òàêèì îáðàçîì, ãàç,
3
ñîñòîÿùèé èç àíèçîòðîïíûõ ìîëåêóë, ÿâëÿåòñÿ èçîòðîïíûì âåùåñòâîì.
 æèäêîñòÿõ ñóùåñòâóåò áëèæíèé ïîðÿäîê, ïîýòîìó çàäà÷à óñðåäíåíèÿ ñëîæíåå, ÷åì â ãàçàõ. Îäíàêî æèäêîñòü òàêæå ÿâëÿåòñÿ èçîòðîïíîé ñðåäîé è äëÿ íåå
ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå (15.28), â êîòîðîì a — ñðåäíåå çíà÷åíèå ïîëÿðèçóåìîñòè ìîëåêóëû æèäêîñòè.
 êðèñòàëëàõ àòîìû îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî, ïîýòîìó
ãäå a =
3
Pi = e 0 N å aij E ýô j .
j =1
(15.29)
Îïðåäåëèì òåïåðü ìàêðîñêîïè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñðåäû: ïîëÿðèçóåìîñòü
æ è äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü e. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûìè
ñîîòíîøåíèÿìè
P = e0æE; D = e0E + P = e0(1 + æ)E = e0eE.
(15.30)
 ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ E — íàïðÿæåííîñòü ñðåäíåãî ìàêðîñêîïè÷åñêîãî ïîëÿ
â äèýëåêòðèêå, êîòîðàÿ, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ìîæåò íå ñîâïàäàòü ñ âåëè÷èíîé Eýô.
Äëÿ ðàçðåæåííûõ ãàçîâ Eýô = E. Òîãäà èç ñðàâíåíèÿ (15.28) è (15.30) ïîëó÷àåì
æ = Na; e - 1 = Na.
(15.31)
Ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ N ~ 1025 ì-3. Ïîñêîëüêó a ~ 10-29 ì3, òî æ = e - 1~
~ 10-4. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ãàçîâ îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû ëèøü â ÷åòâåðòîì çíàêå ïîñëå çàïÿòîé.
Äëÿ ïëîòíûõ ãàçîâ, æèäêîñòåé, íåêîòîðûõ êðèñòàëëîâ (êóáè÷åñêîé ñèììåòðèè)
E ýô = E +
P
,
3e 0
(15.32)
P
, îïðåäå3e 0
ëÿþùóþ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ñîñåäíèõ ïîëÿðèçîâàííûõ ìîëåêóë. Ýòî ïîëå íà-
ò. å. ïîëå, äåéñòâóþùåå íà ìîëåêóëó, áîëüøå ïîëÿ E íà âåëè÷èíó
180
çûâàåòñÿ ïîëåì Ëîðåíöà (â ÷åñòü íèäåðëàíäñêîãî ôèçèêà-òåîðåòèêà Õ. Ëîðåíöà,
ñîçäàòåëÿ êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîííîé òåîðèè ñâîéñòâ âåùåñòâà).
Ïîäñòàâëÿÿ (15.32) â (15.28) è îïóñêàÿ èíäåêñ i, ïîëó÷àåì äëÿ èçîòðîïíîé
ñðåäû
P ö
æ
P = e 0 Na ç E +
.
è
3e 0 ø÷
(15.33)
Îòñþäà
P = e0
Na
E = e0æE = e0(e - 1)E.
Na
13
(15.34)
Ñëåäîâàòåëüíî,
e -1 =
Na
.
Na
13
(15.35)
Ýòó ôîðìóëó ÷àùå èñïîëüçóþò â âèäå
e - 1 Na
=
.
e+2
3
(15.36)
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ëîðåíö — Ëîðåíöà. Îíà áûëà ïðåäëîæåíà â 1869 ã. äàòñêèì ôèçèêîì Ë. Ëîðåíöîì. Íàïîìíèì, ÷òî e ÿâëÿåòñÿ
ôóíêöèåé ÷àñòîòû, òàê êàê a = a(w).
 ñòàòè÷åñêîì ïîëå (w = 0) (15.36) ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé Êëàóçèóñà—Ìîññîòè,
íàçâàííîé â ÷åñòü èòàëüÿíñêîãî ó÷åíîãî Î. Ìîññîòè, êîòîðûé ñîâìåñòíî
ñ íåìåöêèì ôèçèêîì Ð. Êëàóçèóñîì â 1864 ã. ðàçðàáîòàë òåîðèþ ïîëÿðèçàöèè
äèýëåêòðèêîâ.
Ç à ì å ÷ à í è å. Åñëè ìîëåêóëà îáëàäàåò ñîáñòâåííûì äèïîëüíûì ìîìåíòîì
p0, òî â ÈÊ-îáëàñòè, ãäå ÷àñòîòû w ~ 1012 — 1013 c-1, ìîëåêóëà ìîæåò ñîâåðøàòü
âðàùàòåëüíûå êà÷àíèÿ. Òîãäà ïîëÿðèçóåìîñòü a ìîëåêóëû îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ
ìåõàíèçìàìè — ýëåêòðîííûì ñìåùåíèåì è ïîâîðîòîì ìîëåêóëû. Íàïðèìåð,
â ãàçå, íàõîäÿùåìñÿ â ðàâíîâåñèè ïðè òåìïåðàòóðå T, ïîëíàÿ ïîëÿðèçóåìîñòü
aS = a +
p02
,
3kT
(15.37)
ãäå ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ðàññ÷èòûâàåòñÿ èç ðàñïðåäåëåíèÿ Áîëüöìàíà.
Ìîëåêóëÿðíàÿ ðåôðàêöèÿ. Âåëè÷èíà N â (15.33) çàâèñèò îò ïëîòíîñòè âåùåñòâà r:
N =
N Ar
,
m
(15.38)
ãäå NA — ÷èñëî Àâîãàäðî; m — ìîëåêóëÿðíàÿ ìàññà.
Åñëè ÷àñòîòà âîëíû íàõîäèòñÿ âäàëè îò ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò wl àòîìíûõ îñöèëëÿòîðîâ (ñì. äàëåå), òî ïîãëîùåíèå ìàëî. Òîãäà a è e — äåéñòâèòåëüíûå
âåëè÷èíû. Êàê ñëåäóåò èç (15.20), ïðè s = 0
n = e.
(15.39)
Ñ ó÷åòîì (15.38) è (15.39), ôîðìóëà Ëîðåíö — Ëîðåíöà ìîæåò áûòü çàïèñàíà
â âèäå
n 2 - 1 m N Aa
=
= R ìîë ,
n2 + 2 r
3
(15.40)
ãäå âåëè÷èíà Rìîë íå çàâèñèò îò äàâëåíèÿ. Îíà íàçûâàåòñÿ ìîëåêóëÿðíîé ðåôðàêöèåé. Åñëè, ñîãëàñíî (15.25), ïîëîæèòü a = 4pr03, òî ìîëåêóëÿðíàÿ ðåôðàêöèÿ
ðàâíà îáúåìó âñåõ ìîëåêóë, ñîäåðæàùèõñÿ â îäíîì ìîëå âåùåñòâà.
Ïîðÿäîê âåëè÷èíû Rìîë ñîâïàäàåò ñ ïîïðàâêîé b íà îáúåì â óðàâíåíèè
Âàí-äåð-Âààëüñà:
Âåùåñòâî .................
Rìîë, ñì3/ìîëü .........
b/4, ñì3/ìîëü ..........
H2
2,0
6,5
CS2
21,7
19,5
H2O
2,37
7,70
NH3
5,6
9,5
Åñëè âåùåñòâî ñîñòîèò èç ñìåñè íåñêîëüêèõ êîìïîíåíò, òî
N = N ¢ + N ¢¢ + K = N (a ¢ + a ¢¢ + K),
ãäå a ¢ =
(15.41)
N¢
N ¢¢
è ò. ä. — êîíöåíòðàöèè êîìïîíåíò. Ïëîòíîñòü ýòîé ñìåñè
, a ¢¢ =
N
N
r=
N ¢m ¢ + N ¢¢m ¢¢ + K N m
=
.
NA
NA
(15.42)
m = m ¢a ¢ + m ¢¢a ¢¢ + K
(15.43)
Çäåñü
— ìîëåêóëÿðíàÿ ìàññà ñìåñè. Òîãäà óðàâíåíèå (15.40) ìîæåò áûòü çàïèñàíî
â âèäå
n2 - 1 m N A
=
¢ a ¢ + Rìîë
¢¢ a ¢¢ + K
(a ¢a ¢ + a ¢¢a ¢¢ + K) = Rìîë
n2 + 2 r
3
(15.44)
Òàêèì îáðàçîì, ìîëåêóëÿðíàÿ ðåôðàêöèÿ ñìåñè àääèòèâíà:
¢ a ¢ + R ìîë
¢¢ a ¢¢ + K
R ìîë = R ìîë
(15.45)
 ñëó÷àå ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç äâóõ âåùåñòâ (áèíàðíûõ ñèñòåì), èçìåðÿÿ n,
ìîæíî îïðåäåëÿòü ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ êîíöåíòðàöèè a¢ è a² (Da/a ~ 10-3).
Îñíîâû ýëåêòðîííîé òåîðèè äèñïåðñèè. Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ äèñïåðñèè áàçèðóåòñÿ íà ðàññìîòðåíèè âîçäåéñòâèÿ ñâåòîâîãî ïîëÿ íà îïòè÷åñêèé ýëåêòðîí â àòîìå (àòîìíûé îñöèëëÿòîð), îáëàäàþùèé îñöèëëèðóþùèì äèïîëüíûì
ìîìåíòîì p(t) = ex(t) (ñì. (13.5)). Â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå Eýô(t) = E0e iwt
îí ñîâåðøàåò âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì
mx&& + Ãx& + kx = eE 0e i wt ,
(15.46)
ãäå m è e — ìàññà è çàðÿä ýëåêòðîíà; k — êîýôôèöèåíò «óïðóãîé» ñèëû; à —
êîýôôèöèåíò, îïèñûâàþùèé ñèëó «ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ».
Ïåðåõîäÿ ê äèïîëüíîìó ìîìåíòó, ïåðåïèøåì (15.46) â âèäå
p&& + 2dp& + w 02 p =
182
e2
E 0e i wt .
m
(15.47)
Çäåñü d = Ã/2m — ïîêàçàòåëü çàòóõàíèÿ; w 0 = k /m — ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà
êîëåáàíèé ýëåêòðîíà.
Ðåøåíèå (15.47) èìååò âèä
p(t ) =
e2
1
E 0e i wt .
2
m w 0 - w 2 + 2i dw
(15.48)
Òîãäà ñðåäíÿÿ ïîëÿðèçóåìîñòü, ñîãëàñíî (15.27), ðàâíà
a (w ) =
e2
1
.
2
me 0 w 0 - w 2 + 2i dw
(15.49)
Íàêîíåö, ôîðìóëà Ëîðåíö — Ëîðåíöà ïðèîáðåòàåò âèä
Ne 2
1
e -1
=
.
e + 2 3m e 0 w 02 - w 2 + 2i dw
(15.50)
Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü êîìïëåêñíà, ÷òî îáóñëîâëåíî ïîãëîùåíèåì. Îíà ñèëüíî èçìåíÿåòñÿ ñ ÷àñòîòîé, êîãäà w ïðèáëèæàåòñÿ ê ñîáñòâåííîé
÷àñòîòå w0. Åñëè ââåñòè êîìïëåêñíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ nk = e , òî ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà çàïèøåòñÿ â âèäå
nk2 - 1
Ne 2
1
=
.
2
2
nk + 2 3m e 0 w 0 - w 2 + 2i dw
(15.51)
Äèñïåðñèÿ ãàçîâ. Â ðàçðåæåííûõ ãàçàõ íàïðÿæåííîñòü Eýô = E, à |e| ~ 1. Ïîýòîìó
â (15.51) ìîæíî ïîëîæèòü nk2 + 2 » 3, (nk2 - 1) = (nk - 1)(nk + 1) » 2(nk - 1). Â ðåçóëüòàòå (15.51) óïðîñòèòñÿ:
nk - 1 =
Ne 2
1
.
2me 0 w 02 - w 2 + 2i dw
(15.52)
Ïðåäñòàâèâ êîìïëåêñíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ â âèäå nk = n - ic (ñì.
(15.19)), äëÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ è ïîêàçàòåëÿ ïîãëîùåíèÿ íàõîäèì
n =1+
Ne 2
Ne 2
2dw
w 02 - w 2
; c=
.
2
2 2
2 2
2me 0 (w 0 - w ) + 4d w
2me 0 (w 20 - w 2 )2 + 4d 2 w 2
(15.53)
Âåëè÷èíû n è c èçìåíÿþòñÿ íàèáîëåå ñèëüíî, êîãäà w ïðèáëèæàåòñÿ ê w0.
 ýòîé îáëàñòè ÷àñòîò âûðàæåíèÿ (15.53) ìîæíî ñèëüíî óïðîñòèòü, ïîëîæèâ
w 20 - w 2 = (w 0 - w)(w 0 + w) » 2w 0 (w 0 - w);
2dw » 2dw 0 ;
(w 20 - w 2 )2 + 4d 2 w 2 = (w 0 - w)2 (w 0 + w) 2 + 4d 2 w 2 »
(15.54)
» 4w 0 2 ëé(w 0 - w) 2 + d 2 ûù.
Ne 2
Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà
èìååò ðàçìåðíîñòü [c-2], ââåäåì òàê íàçûâàåìóþ
me 0
ïëàçìåííóþ ÷àñòîòó wp:
w 2p =
Ne 2
.
me 0
(15.55)
183
Âûðàæåíèÿ (15.53) ñ ó÷åòîì óïðîùåíèé (15.54) è (15.55) ïðèìóò âèä
(w 0 - w)
d
n =1+
;
4 w 0 d (w 0 - w ) 2
+1
d2
w 2p
c=
w 2p
1
.
4 w 0 d (w 0 - w ) 2
+1
d2
(15.56)
Ïîñòðîèì çàâèñèìîñòè n(w) è c(w), èñïîëüçóÿ òèïè÷íûå (ðåàëèñòè÷åñêèå)
ïàðàìåòðû ãàçîîáðàçíîé ñðåäû. Ïîëîæèì w0 = 1016 ñ-1 (ýòî ñîîòâåòñòâóåò ÓÔäèàïàçîíó). Ïðè âðåìåíè çàòóõàíèÿ t = 10-11 ñ âåëè÷èíà d = 1/t = 1011 ñ-1. Åñëè
ïðèíÿòü N = 1023 ì-3 (ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ N = 2,7 × 1025 ì-3), òî wð2 =
w 2p
= 0,08. Äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ
= (2,93 × 1013)2 ñ-2. Ñëåäîâàòåëüíî,
4w 0 d
ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé (15.56) ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 15.1.
Îáëàñòü ÷àñòîò, ãäå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé w,
íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ íîðìàëüíîé äèñïåðñèè.  ýòîé îáëàñòè ïîêàçàòåëü ïîãëîùåíèÿ c (è êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ a) ìàë. Îáëàñòü ÷àñòîò, ãäå n óìåíüøàåòñÿ
ñ ÷àñòîòîé w, íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ àíîìàëüíîé äèñïåðñèè. Çäåñü ïîêàçàòåëü ïîãëîùåíèÿ ñèëüíî âîçðàñòàåò; âåùåñòâî îáëàäàåò ëèíèåé ïîãëîùåíèÿ, êîíòóð
2wc(w)
êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ c(w) (èëè a(w) =
).
c
Çàâèñèìîñòü n(w) ýôôåêòíî äåìîíñòðèðóåòñÿ â îïûòå, ñõåìà êîòîðîãî èçîáðàæåíà íà ðèñ. 15.3 öâ. âêë. Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ñêðåùåííûõ ïðèçì, ïðåäëîæåííûé Íüþòîíîì. Ïó÷îê áåëîãî ñâåòà âíà÷àëå ðàçëàãàåòñÿ ïåðâîé ïðèçìîé
Ï1 â ñåìåéñòâî ïó÷êîâ ñ ðàçíîé äëèíîé âîëíû. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ýòèõ ïó÷êîâ ÷åðåç âòîðóþ ïðèçìó Ï2 íà ýêðàíå ôîðìèðóåòñÿ èñêðèâëåííàÿ ðàçíîöâåòíàÿ ïîëîñà, íåñóùàÿ èíôîðìàöèþ î çàâèñèìîñòè n(w) ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî
èçãîòîâëåíû ïðèçìû.
Äèñïåðñèÿ âáëèçè ëèíèè ïîãëîùåíèÿ äåìîíñòðèðóåòñÿ â âèäîèçìåíåííîì
îïûòå, ñõåìà êîòîðîãî ïîêàçàíà íà ðèñ. 15.4 öâ. âêë. Çäåñü ðîëü ïðèçìû Ï1
âûïîëíÿåò ïëàìÿ íàòðèåâîé ãîðåëêè, â êîòîðîé êîíöåíòðàöèÿ ïàðîâ íàòðèÿ
óâåëè÷èâàåòñÿ ñâåðõó âíèç. Ïðè ýòîì ïàðû íàòðèÿ èìåþò èíòåíñèâíûå ëèíèè
ïîãëîùåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå æåëòîé ÷àñòè ñïåêòðà. Ïîýòîìó íà ýêðàíå ïîÿâëÿþòñÿ äâå çàãíóòûå â ðàçíûå ñòîðîíû ïîëîñêè, ñîîòâåòñòâóþùèå íîðìàëüíîé
äèñïåðñèè. Â îáëàñòè àíîìàëüíîé äèñïåðñèè ïðîèñõîäèò ñèëüíîå ïîãëîùåíèå
ñâåòà.
Èçëîæåííàÿ âûøå êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ äèñïåðñèè ïðàâèëüíî îïèñûâàåò
ïîâåäåíèå n è c âáëèçè îäíîé ëèíèè ïîãëîùåíèÿ. Îäíàêî ðåàëüíûå âåùåñòâà
îáëàäàþò íåñêîëüêèìè ëèíèÿìè ïîãëîùåíèÿ, îáóñëîâëåííûìè ðàçíîîáðàçíûìè
êâàíòîâûìè ïåðåõîäàìè â àòîìàõ è ìîëåêóëàõ. Ïîýòîìó àäåêâàòíóþ òåîðèþ äèñïåðñèè ìîæíî ïîñòðîèòü ëèøü íà îñíîâå
êâàíòîâûõ ïðåäñòàâëåíèé î ñòðîåíèè âåùåñòâà.
Îäíàêî ìîæíî ïîïûòàòüñÿ «èñïðàâèòü»
êëàññè÷åñêóþ òåîðèþ, åñëè äîïóñòèòü, ÷òî
èç N ìîëåêóë ñðåäû â åäèíèöå îáúåìà
÷àñòü èç íèõ f 1 N ( f 1 < 1) èìåþò
Ðèñ. 15.1
184
ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó w01 è êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ d1, äðóãàÿ ÷àñòü f2N — ÷àñòîòó w02 è d2 è ò. ä. Òîãäà ôîðìóëó (15.50) ìîæíî îáîáùèòü, çàïèñàâ åå â âèäå
Ne 2
e -1
=
e + 2 3m e 0
å w2
l
0l
fl
2
- w + 2i d l w
.
(15.57)
Âåëè÷èíà fl íàçûâàåòñÿ ñèëîé îñöèëëÿòîðà. Îíà èçìåíÿåòñÿ â äèàïàçîíå 0 < fl < 1.
Åå ðàñ÷åò ìîæåò áûòü âûïîëíåí ìåòîäàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Åñëè ÷àñòîòå
w0l ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ÷àñòîòó w21 êâàíòîâîãî ïåðåõîäà, òî ñèëà îñöèëëÿòîðà f21 ïðè òàêîì ïåðåõîäå ñâÿçàíà ñ äèïîëüíûì ìîìåíòîì p21 = er21 ïåðåõîäà
(ñì. (5.16)):
f 21 =
2m
w p2 .
he 2 21 21
(15.58)
Ñèëà îñöèëëÿòîðà, òàê æå êàê êîýôôèöèåíòû Ýéíøòåéíà A21, B21, B12,
2
ïðîïîðöèîíàëüíà p 21
. Ïîýòîìó êîýôôèöèåíòû Ýéíøòåéíà ïðîïîðöèîíàëüíû
ñèëå îñöèëëÿòîðà. Êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî å f l = Z (Z
l
— çàðÿä ÿäðà àòîìà).
Íà ðèñ. 15.2 êà÷åñòâåííî èçîáðàæåí ôðàãìåíò çàâèñèìîñòè n(w) â îáëàñòè,
îõâàòûâàþùåé äâå ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû w01 è w02.
Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ çàâèñèìîñòè n(w) è c(w) âáëèçè îäíîé èç
ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò çàïèñûâàþò â âèäå
(w 0 l - w )
dl
n = n0 +
;
4 w 0 l d l (w 0 l - w ) 2
+1
d l2
w 2p f l
c=
w 2p
fl
.
4 w 0 l d l (w 0 l - w ) 2
+1
d l2
(15.59)
Çäåñü n0 — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû, îáóñëîâëåííûé âêëàäîì îñòàëüíûõ îñöèëëÿòîðîâ.  ïîêàçàòåëü ïîãëîùåíèÿ c èõ âêëàä íè÷òîæíî ìàë.
 çàêëþ÷åíèå ñäåëàåì äâà âàæíûõ êîììåíòàðèÿ ê îïèñàííîé òåîðèè.
1. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåàëèñòè÷åñêèõ çíà÷åíèé n â ãàçàõ íà îñíîâå (15.56)
ìû ïîëàãàëè N = 1023 ì-3. Åñëè áû ìû èñïîëüçîâàëè âåëè÷èíó N = 2,7 × 1025 ì-3,
÷òî ñîîòâåòñòâóåò íîðìàëüíûì óñëîâèÿì, òî áåç èñïîëüçîâàíèÿ ñèëû îñöèëëÿòîðà f < 1 ïîëó÷èëè áû ñóùåñòâåííî çàâûøåííóþ îöåíêó âåëè÷èíû n. Íàëè÷èå
fl â ôîðìóëàõ (15.57) è (15.59) óñòðàíÿåò ýòó òðóäíîñòü.
2. Ìàêñèìàëüíîå ïîãëîùåíèå äîñòèãàåòñÿ â ñåðåäèíå ëèíèè ïðè w = w0l
è ðàâíî
a max = a(w 0l ) =
Òàêîå ïîãëîùåíèå íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíûì.
Åñëè ïîëîæèòü wð2 f l = 1027 ñ-2, dl ~1011 c-1,
òî amax ~ 105 ñì-1. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ãëóáèíà
ïðîíèêíîâåíèÿ âîëíû â ñðåäó z =a-1
max ~
~10-5 ñì, ÷òî èìååò ïîðÿäîê äëèíû ñâåòîâîé âîëíû.
Ñâÿçü êîýôôèöèåíòîâ Ýéíøòåéíà ñ
ñèëîé ñîîòâåòñòâóþùåãî îñöèëëÿòîðà ïî-
w 2p
fl .
2d l c
(15.60)
Ðèñ. 15.2
185
çâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä: ÷åì âûøå èíòåíñèâíîñòü ëèíèè â ñïåêòðàõ èñïóñêàíèÿ,
òåì ñèëüíåå ýòè ëèíèè èçëó÷åíèÿ âåùåñòâî ïîãëîùàåò.  ýêñïåðèìåíòå ñèëû îñöèëëÿòîðîâ îïðåäåëÿþò ïóòåì èçìåðåíèÿ èíòåãðàëüíîãî êîýôôèöèåíòà ïîãëîùåíèÿ âñåé ëèíèè:
¥
a èíò = ò a(w)d w =
0
pw 2p
fl .
2c
(15.61)
Ýòîò êîýôôèöèåíò íå çàâèñèò îò øèðèíû ëèíèè ïîãëîùåíèÿ. Åñëè ëèíèÿ
óøèðåíà âñëåäñòâèå ýôôåêòà Äîïëåðà, òî fl î÷åíü ñëàáî çàâèñèò îò äàâëåíèÿ.
Ïðè óøèðåíèè âñëåäñòâèå ñòîëêíîâåíèé âåëè÷èíà fl çàâèñèò îò äàâëåíèÿ. Ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñòèííîãî çíà÷åíèÿ fl èçìåðÿþò aèíò ïðè âñå óìåíüøàþùèõñÿ äàâëåíèÿõ p è çàòåì ýêñòðàïîëèðóþò çàâèñèìîñòü fl ( p) ïðè p ® 0.
Ñïåêòðû ïîãëîùåíèÿ ãàçîâ.  1802 ã. àíãëèéñêèé ôèçèê Ó.Âîëëàñòîí, àíàëèçèðóÿ ñïåêòð èçëó÷åíèÿ Ñîëíöà, îáíàðóæèë íà ýòîì ñïåêòðå òåìíûå ëèíèè.
Îíè ÿâèëèñü ðåçóëüòàòîì ñåëåêòèâíîãî ïîãëîùåíèÿ ñâåòà ãàçàìè, âõîäÿùèìè
â ñîñòàâ çåìíîé àòìîñôåðû. Ïîçäíåå, â 1814 ã. ýòè ëèíèè áûëè èññëåäîâàíû è
îïèñàíû íåìåöêèì ó÷åíûì É. Ôðàóíãîôåðîì è âïîñëåäñòâèè íàçâàíû åãî èìåíåì. ×èñëî òàêèõ ëèíèé ïðåâûøàåò 20 000.
Íàèáîëåå èíòåíñèâíûå ôðàóíãîôåðîâû ëèíèè â âèäèìîé ÷àñòè ñïåêòðà ïîêàçàíû íà ðèñ. 15.5 öâ. âêë. Ëèíèÿ ñ l = 687 íì ñîîòâåòñòâóåò ïîãëîùåíèþ àòîìàðíûì
êèñëîðîäîì, ëèíèÿ ñ l = 653,6 íì — ýòî ëèíèÿ Ha ñåðèè Áàëüìåðà àòîìà
âîäîðîäà, äóáëåò ëèíèé â æåëòîé ÷àñòè ñïåêòðà (l¢ = 589 íì, l² = 589,6 íì)
ñâÿçàí ñ ïîãëîùåíèåì íàòðèåì, à ëèíèÿ ñ l = 486 íì — ëèíèÿ âîäîðîäà Hb
è ò. ä.
Ïî ñïåêòðàì ïîãëîùåíèÿ ìîæíî ñóäèòü î õèìè÷åñêîì ñîñòàâå âåùåñòâà.
Òàêîé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîñêîïèåé ïîãëîùåíèÿ. Íà ïðàêòèêå
èçìåðÿþò ïðîïóñêàíèå T, ðàâíîå îòíîøåíèþ èíòåíñèâíîñòè âîëíû, ïðîøåäøåé
÷åðåç ñðåäó ê èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî ñâåòà.  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Áóãåðà Ëàìáåðòà -Áåðà (15.23)
T = e-al,
(15.62)
ãäå l — òîëùèíà ñðåäû. Âåëè÷èíà D = al íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêîé ïëîòíîñòüþ
ñðåäû.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî óïîìÿíóòü, ÷òî äëÿ ïîèñêîâ ñëåäîâ æèçíè íà
ïëàíåòàõ, âðàùàþùèõñÿ âîêðóã çâåçä, íåîáõîäèìî çàðåãèñòðèðîâàòü ëèíèè
ïîãëîùåíèÿ âîäû, êèñëîðîäà, óãëåêèñëîãî ãàçà è îçîíà, ïðèñóòñòâèå êîòîðûõ
ìîæåò ñâèäåòåëüñòâîâàòü î íàëè÷èè óñëîâèé äëÿ ïîÿâëåíèÿ æèçíè.
×òîáû îòñå÷ü ñâåò çâåçä, ìåøàþùèõ íàáëþäåíèþ, èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäÿò â
ÈÊ-äèàïàçîíå (l = 7 — 20 ìêì).  ýòîé îáëàñòè íàõîäÿòñÿ ïîëîñà ïîãëîùåíèÿ
H2O âáëèçè l = 8 ìêì, ëèíèÿ ïîãëîùåíèÿ O3 ñ l = 9,6 ìêì è CO2 ñ l = 15 ìêì.
Íàïðèìåð, ñïåêòðîìåòð, óñòàíîâëåííûé íà áîðòó ëåòàòåëüíîãî êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà, ðåãèñòðèðóåò â ñïåêòðå ïîãëîùåíèÿ àòìîñôåðû Çåìëè ñèëüíóþ ïîëîñó ïîãëîùåíèÿ ïàðîâ âîäû, ëèíèþ îçîíà (ñâèäåòåëüñòâî áîëüøîãî
êîëè÷åñòâà êèñëîðîäà) è óãëåêèñëîãî ãàçà.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå àòìîñôåðà, ïîìèìî Çåìëè,
ñîõðàíèëàñü ó Ìàðñà è Âåíåðû. Â ñïåêòðàõ ïîãëîùåíèÿ àòìîñôåð ýòèõ ïëàíåò
ïåðâûå äâå ëèíèè ïîãëîùåíèÿ îòñóòñòâóþò.
186
Ñðåäû ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ. Â 1968 ã. â ÑÑÑÐ Â. Ã. Âåñåëàãî áûëà âûäâèíóòà èäåÿ î âîçìîæíîñòè ñîçäàíèÿ ñðåä ñ îòðèöàòåëüíûì
ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ. Îíà ñâîäèëàñü ê ñëåäóþùåìó. Åñëè ìàòåðèàëüíîå
óðàâíåíèå (15.1) çàïèñàòü â âèäå B = mm0H (m ¹ 1), òî äëÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ âìåñòî (15.39) ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå
n=
me .
(15.63)
Åñëè ôîðìàëüíî ïîëîæèòü m < 0 è e < 0, òî
n = ± me .
(15.64)
Òàêèì îáðàçîì, ñðåäà ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ äîëæíà
èìåòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí äèýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòåé.
Îñòàíîâèìñÿ íåñêîëüêî ïîäðîáíåå íà òåõ óñëîâèÿõ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíà
ðåàëèçàöèÿ ïîäîáíûõ ñðåä.
 åñòåñòâåííûõ äèñïåðãèðóþùèõ ñðåäàõ ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå d â òûñÿ÷è
ðàç ìåíüøå äëèíû ñâåòîâîé âîëíû l. Ïîýòîìó ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü m = 1.
 äèñïåðãèðóþùèõ èñêóññòâåííî ñòðóêòóðèðîâàííûõ ñðåäàõ, ó êîòîðûõ îòíîøåíèå d/l ³ 10-1 (d — ïåðèîä ñòðóêòóðû), íå òîëüêî e, íî è m çàâèñèò
îò ÷àñòîòû. Çàâèñèìîñòü m(w) âûòåêàåò èç ìàòåðèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ B è H, êîòîðîå â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä, àíàëîãè÷íûé (15.2):
3 ¥
¥
j =1 0
-¥
Bi (t, r) = m 0 å ò dt ¢ ò m ij (t ¢, r ¢)H j (t - t ¢, r - r ¢)dr ¢.
(15.65)
Íåîáõîäèìî îñîáî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî èíäóêöèÿ B îáóñëîâëåíà íå ìàãíèòíûìè
ñâîéñòâàìè àòîìîâ èëè ìîëåêóë, à ýëåìåíòàðíûìè ìèêðîñêîïè÷åñêèìè ýëåêòðè÷åñêèìè òîêàìè, âîçíèêàþùèìè â îòäåëüíûõ ýëåìåíòàõ ñòðóêòóðèðîâàííîé
ñðåäû. Àíàëîãè÷íî â ìàòåðèàëüíîì óðàâíåíèè (15.2) èíäóêöèÿ D îáóñëîâëåíà
ïîëÿðèçàöèåé ýëåìåíòîâ ñðåäû.
Ýòè ýëåìåíòû âûïîëíåíû èç ïðîâîäíèêîâ ñïåöèàëüíîé ôîðìû (íàïðèìåð,
ðàçðåçàííûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ èëè êîëåö). Ïî ñâîèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ñâîéñòâàì îíè ýêâèâàëåíòíû ýëåìåíòàðíûì êîëåáàòåëüíûì êîíòóðàì. Ñðåäà â öåëîì ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñèñòåìà ñâÿçàííûõ êîíòóðîâ. Îíà áóäåò îáëàäàòü íàáîðîì ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò w0l, âáëèçè êîòîðûõ è âåëèêà äèñïåðñèÿ. Òàêàÿ ñðåäà ïîëó÷èëà íàçâàíèå ìåòàìàòåðèàëà.
Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä)
â èçîòðîïíîé äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå (êàê ìîæíî ïîêàçàòü èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà è ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèé) ðàâíà:
u(t ) =
d (wm) 2 ù
1 é d (we) 2
e0
E 0 (t ) + m 0
H 0 (t )ú .
ê
dw
dw
2ë
û
(15.66)
Çäåñü E0(t) è H0(t) — àìïëèòóäû êîëåáàíèé íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, êîòîðûå ó ðåàëüíûõ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí
ÿâëÿþòñÿ ìåäëåííî ìåíÿþùèìèñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè.
Åñëè äèñïåðñèÿ e è m ìàëà, òî
u(t ) =
1
éë(e 0 eE 02 (t ) + m 0 mH 02 (t )ùû.
2
(15.67)
187
Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå õîðîøî èçâåñòíî èç êóðñà ýëåêòðîìàãíåòèçìà.
Ïîñêîëüêó u > 0, òî â ñðåäàõ ñ äèñïåðñèåé e è m äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ:
d (we)
de
d (wm)
dm
(15.68)
=w
+ e > 0;
=w
+ m > 0.
dw
dw
dw
dw
Ñëåäîâàòåëüíî, îòðèöàòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ (e < 0, m < 0) ìîæíî
ðåàëèçîâàòü â îãðàíè÷åííîì ÷àñòîòíîì èíòåðâàëå, â êîòîðîì
de
dm
(15.69)
> -e > 0; w
> -m > 0.
dw
dw
×àñòîòû â ýòîì èíòåðâàëå äîëæíû íåñêîëüêî ïðåâûøàòü îäíó èç ñîáñòâåíde
dm
>0 è
> 0.
íûõ ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò w0l ìåòàìàòåðèàëà, âáëèçè êîòîðîé
dw
dw
Íåãàòèâíûì ôàêòîðîì â ýòîì ÷àñòîòíîì èíòåðâàëå ÿâëÿåòñÿ áîëüøîå ïîãëîùåíèå ñâåòîâîé âîëíû, îêàçûâàþùåé ðåçîíàíñíîå âîçäåéñòâèå íà ñðåäó.
 2000 ã. âûñêàçàííàÿ ðàíåå èäåÿ áûëà ðåàëèçîâàíà â ìèëëèìåòðîâîì äèàïàçîíå äëèí âîëí. Ìåòîäàìè ìèêðîýëåêòðîíèêè áûëè èçãîòîâëåíû ïåðèîäè÷åñêèå ñòðóêòóðû, â êîòîðûõ îòíîøåíèå d/l ~ 10-1.  ïîñëåäóþùåì ìåòàìàòåðèàëû áûëè ñîçäàíû è äëÿ äëèí âîëí l ~ 1 ìêì.
Íà ðèñ. 15.6 öâ. âêë. ïîêàçàíà ôîòîãðàôèÿ ìåòàìàòåðèàëà, èçãîòîâëåííîãî
â óíèâåðñèòåòå â Ñàí-Äèåãî (ÑØÀ). Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåìåéñòâî ïëàò.
Íà îäíó ñòîðîíó êàæäîé èç ïëàò íàíåñåíà òîíêàÿ ìåäíàÿ ïîëîñêà, à íà äðóãóþ — íåñêîëüêî ìåäíûõ êâàäðàòíûõ êîíòóðîâ ñ ðàçðåçàìè.
Åñëè èç ýòîãî ìàòåðèàëà èçãîòîâèòü ïðèçìó, òî ïàäàþùàÿ íà íåå ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà áóäåò îòêëîíÿòüñÿ íå ê îñíîâàíèþ ïðèçìû, à ê åå âåðøèíå.
Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìåòàìàòåðèàëà îòðèöàòåëåí.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ôóíäàìåíòàëüíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ñîçäàíèå ìàòåðèàëîâ
ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ â âèäèìîì è óëüòðàôèîëåòîâîì
äèàïàçîíàõ. Èõ ïîÿâëåíèå îòêðîåò íîâûå âîçìîæíîñòè ñîçäàíèÿ óíèêàëüíûõ
îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ è óñòðîéñòâ. Äîñòàòî÷íî, íàïðèìåð, îòìåòèòü, ÷òî,
ñîãëàñíî (15.22), ïðè n < 0 ôàçîâàÿ ñêîðîñòü L < 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôàçîâàÿ
ñêîðîñòü íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ýíåðãèè ñâåòîâîé
âîëíû.
w
Ë Å Ê Ö È ß 16
Ïðàêòè÷åñêèå ôîðìóëû äèñïåðñèè. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé âìåñòî (15.57)
èñïîëüçóþò áîëåå óäîáíûå ôîðìóëû äëÿ äèñïåðñèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ.
Îäíà èç òàêèõ ôîðìóë áûëà ïîëó÷åíà Çåëìåéåðîì è íîñèò åãî èìÿ. Îíà âûâîäèòñÿ èç ôîðìóëû (15.35), êîòîðóþ ïðè ïîäñòàíîâêå â íåå ïîëÿðèçóåìîñòè
(15.49) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
w 2p
e -1 =
w 02 -
w 2p
.
(16.1)
- w 2 + 2i dw
3
Ïîñëå ââåäåíèÿ ñèëû îñöèëëÿòîðîâ fl è ñóììèðîâàíèÿ ïî ðàçëè÷íûì îñöèëëÿòîðàì äëÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ nk = e ïîëó÷èì
nk2 - 1 = w 2p å
l
w ¢02l
fl
2
- w + 2i d l w
,
(16.2)
ãäå
w ¢02l = w 02l -
w 2p f l
.
(16.3)
3
¢ 2 - w 2 > d l w , ïîãëîùåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü (dl = 0). Ïå îáëàñòè, ãäå w 0l
ðåõîäÿ îò ÷àñòîò w¢0l è w ê ñîîòâåòñòâóþùèì äëèíàì âîëí l¢l è l, ïîëó÷àåì
èñêîìóþ ôîðìóëó Çåëìåéåðà:
n2 = 1 + å
l
gl
.
l - l¢l 2
2
(16.4)
Çäåñü n — äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü nk,
w 2p l¢l 2 f l
.
(16.5)
4 pc 2
 ðÿäå ñëó÷àåâ äèñïåðñèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ îïèñûâàåòñÿ ýìïèðè÷åñêîé ôîðìóëîé âèäà
gl =
n=A+
B
C
+
+ D l 2 + E l 4,
l 2 - l 02 (l 2 - l 02 ) 2
(16.6)
ãäå A, B, C, D, E è l0 — êîíñòàíòû âåùåñòâà.
Ôîðìóëà (16.6) àäåêâàòíî îïèñûâàåò äèñïåðñèþ â äèàïàçîíå äëèí âîëí,
íå î÷åíü áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ê äëèíå l0, ãäå ïîãëîùåíèå ñðåäû çíà÷èòåëüíî
âîçðàñòàåò.
 êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè íà ðèñ. 16.1 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ êðåìíèÿ îò äëèíû âîëíû. Ýòà çàâèñèìîñòü ìîæåò áûòü îïèñàíà ôîð189
Ðèñ. 16.1
Ðèñ. 16.2
ìóëîé (16.6), â êîòîðîé A = 3,41696; B = 0,138497; C = 0,13924; D = -0,0000209;
E = 0,000000148; l0 = 0,167 ìêì.
Ïðè ïðèáëèæåíèè l ê âèäèìîìó äèàïàçîíó ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ. Îäíîâðåìåííî áóäåò âîçðàñòàòü è ïîãëîùåíèå êðåìíèÿ.
Íà ðèñ. 16.2 ïîêàçàíî ñïåêòðàëüíîå ïðîïóñêàíèå T (l) äëÿ êðåìíèåâîé ïëàñòèíêè òîëùèíîé l = 0,5 ìì (ñì. ôîðìóëó (15.62)). Õîðîøî âèäíî, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì l â îáëàñòè l < 1 ìêì ïðîïóñêàíèå ðåçêî óìåíüøàåòñÿ. Äëÿ âèäèìîãî
ñâåòà êðåìíèé íåïðîçðà÷åí.
Àáñîðáöèîííûå ñâåòîôèëüòðû.  æèäêîñòÿõ è òâåðäûõ òåëàõ, êàê îòìå÷àëîñü
ðàíåå, ëèíèè èçëó÷åíèÿ ìîãóò ñëèâàòüñÿ â ïîëîñû. Ñëåäîâàòåëüíî, è ëèíèè
ïîãëîùåíèÿ (àáñîðáöèè) áóäóò òàêæå ñëèâàòüñÿ â ïîëîñû. Ìåæäó ïîëîñàìè ïîãëîùåíèÿ áóäóò ðàñïîëîæåíû ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ, äëÿ êîòîðûõ T(l) äîñòàòî÷íî âåëèêî.
Íà ýòîì ïðèíöèïå ðàáîòàþò àáñîðáöèîííûå ñâåòîôèëüòðû, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ïðîïóñêàíèÿ ÷àñòè ñâåòà â óçêîì ñïåêòðàëüíîì äèàïàçîíå. Òàêèå ñâåòîôèëüòðû èçãîòîâëÿþò èç ñòåêîë, ñîäåðæàùèõ ïðèñàäêè (êàê ïðàâèëî, îêñèäû ìåòàëëîâ). Îáû÷íî îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öâåòíûå ïëîñêîïàðàëëåëüíûå
îòïîëèðîâàííûå ïëàñòèíêè.  êà÷åñòâå ñâåòîôèëüòðîâ èñïîëüçóþòñÿ òàêæå êþâåòû ñ ïîãëîùàþùèì ðàñòâîðîì.
Óçêîïîëîñíûå ôèëüòðû õàðàêòåðèçóþòñÿ äëèíîé âîëíû lmax, ïðè êîòîðîé
T(lmax) = Tmax (ïðîïóñêàíèå ìàêñèìàëüíî), è ïîëóøèðèíîé ïðîïóñêàíèÿ Dl1/2.
Îíà îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî ïðè l = lmax ± Dl1/2 ïðîïóñêàíèå T = Tmax /2.
Äëÿ õàðàêòåðèñòèê ôèëüòðîâ, îòðåçàþùèõ äëèííîâîëíîâóþ èëè êîðîòêîâîëíîâóþ ÷àñòè ñïåêòðà, èñïîëüçóþò äëèíó lïð, ïðè êîòîðîé T = Tmax /2.
Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåíû ñòåêëÿííûå ñâåòîôèëüòðû, âûïîëíåííûå èç
öâåòíûõ ñòåêîë ðàçìåðîì 80 ´ 80 ìì2 èëè
40 ´ 40 ìì2, âõîäÿùèå â ñîñòàâ 117 ïàñïîðòèçîâàííûõ îáðàçöîâ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 16.3 ïðåäñòàâëåíû ñïåêòðàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïðîïóñêàíèÿ
T(l) äëÿ ñèíå-çåëåíîãî ÑÇÑ21 (lmax =
= 440 íì, Dl1/2 = 30 íì), æåëòî-çåëåíîãî
ÆÇÑ9 (lmax = 540 íì, Dl1/2 = 50 íì)
è êðàñíîãî ÊÑ11 (lïð = 608 íì) ôèëüòÐèñ. 16.3
ðîâ, èìåþùèõ òîëùèíó l = 3 ìì.
190
Öâåòíûå ôîòîãðàôèè ýòèõ ñâåòîôèëüòðîâ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 16.1 öâ. âêë. Îòìåòèì, ÷òî ÷åðåç îáëàñòü èõ ïåðåêðûòèÿ ñâåò
ïðàêòè÷åñêè íå ïðîõîäèò, è ýòà îáëàñòü
âûãëÿäèò òåìíîé.
 áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âåëè÷èíà Dl1/2
ñîñòàâëÿåò äåñÿòêè íàíîìåòðîâ, ïîýòîìó
ñâåòîôèëüòðû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ãðóáîé ìîíîõðîìàòèçàöèè èçëó÷åíèÿ.  òåõ ñëó÷àÿõ,
êîãäà íàäî óìåíüøèòü â îäèíàêîâîé ìåðå
Ðèñ. 16.4
èíòåíñèâíîñòü êàæäîé ñïåêòðàëüíîé êîìïîíåíòû, ïðèìåíÿþò íåéòðàëüíûå ñòåêëÿííûå ñâåòîôèëüòðû. Ñïåêòðàëüíûé
êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ äëÿ íåéòðàëüíîãî ôèëüòðà ÍÑ1 ïîêàçàí íà ðèñ. 16.4.
Ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà â èçîòðîïíûõ äèýëåêòðèêàõ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîâîäèìîñòü s = 0. Êîìïëåêñíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü e = e¢ + ie² ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû: e = e(w). Êàê ñëåäóåò èç äèñïåðñèîííîãî
ñîîòíîøåíèÿ (15.16) è âûðàæåíèÿ (15.19), òàêàÿ ñðåäà õàðàêòåðèçóåòñÿ êîìïëåêñíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ
nk =
e = n - i c,
(16.7)
ïðè ýòîì åãî äåéñòâèòåëüíàÿ n è ìíèìàÿ c ÷àñòè îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè
(15.20). Ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè îíè çàïèøóòñÿ â âèäå
n2 =
ö
1æ
e ¢¢ 2
2
ç e ¢ + 2 2 + e ¢÷ ;
e 0w
2è
ø
c2 =
ö
1æ
e ¢¢ 2
2
ç e ¢ + 2 2 - e ¢÷ ,
e 0w
2è
ø
(16.8)
ïîñêîëüêó e% = e ¢, s% = e ¢¢.
Ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè. Åñëè âäîëü îñè Oz â òàêîé ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, òî íàïðÿæåííîñòü åå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì (15.21):
é æ
zn ö ù
æ cw ö
E (z , t ) = E 0 exp ç z exp êi w ç t - ÷ ú .
è c ø÷
è
c øû
ë
Ïîñêîëüêó n = n(w), ôàçîâàÿ ñêîðîñòü L(w) = c/n(w) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ÷àñòîòû. Åå ÷àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé ôàçîâîé ñêîðîñòè.
dn
> 0 , ôàçî îáëàñòè íîðìàëüíîé äèñïåðñèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ, ãäå
dw
dL
< 0 . Â îáëàñòè àíîìàëüíîé
âàÿ ñêîðîñòü óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì ÷àñòîòû:
dw
dn
dL
< 0,
> 0. Â ýòîé îáëàñòè ñèëüíî âîçðàñòàåò êîýôôèöèäèñïåðñèè, ãäå
dw
dw
w
åíò ïîãëîùåíèÿ a = 2 c(w), ÿâëÿþùèéñÿ òàêæå ôóíêöèåé ÷àñòîòû âîëíû.
ñ
Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü. Ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé àáñòðàêöèåé (ìîäåëüþ), êîòîðàÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñûâàåò âîëíó ñ î÷åíü óçêèì ÷àñòîòíûì ñïåêòðîì. Ðåàëüíûå êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè (ãðóïïû) âîëí, ÷àñòîòû êîòîðûõ çàíèìàþò
êîíå÷íûé èíòåðâàë Dw âáëèçè îñíîâíîé ÷àñòîòû w0. Øèðèíà èíòåðâàëà Dw
îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè èçëó÷åíèÿ tê.  ñëó÷àå èì191
Ðèñ. 16.5
ïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿ ýòîò èíòåðâàë ìîæåò áûòü åùå øèðå, åñëè äëèòåëüíîñòü
èìïóëüñà t0 < tê.
 äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå êàæäàÿ èç âîëí ãðóïïû èìååò ñâîþ ôàçîâóþ ñêîðîñòü, ïîýòîìó êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà èëè èìïóëüñ äâèæóòñÿ ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ, ïîëó÷èâøåé íàçâàíèå ãðóïïîâîé.
×òîáû åå âû÷èñëèòü, ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ ñèòóàöèþ, êîãäà ãðóïïà ñîñòîèò èç äâóõ ïëîñêèõ âîëí ñ áëèçêèìè ÷àñòîòàìè w1 è w2, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ïîïóòíîì íàïðàâëåíèè (âäîëü îñè Oz).  îáëàñòè íîðìàëüíîé äèñïåðñèè
ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ïðåíåáðåæåì ïîãëîùåíèåì âîëí (c = 0). Áóäåì äëÿ
ïðîñòîòû ñ÷èòàòü èõ àìïëèòóäû îäèíàêîâûìè. Ñîãëàñíî (5.19), âîëíîâûå ÷èñëà
ýòèõ âîëí ðàâíû
w1
w
n(w1 ); k 2 = 2 n(w 2 ).
c
c
Òîãäà ïîëå ðàññìàòðèâàåìîé ãðóïïû âîëí ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
k1 =
(16.9)
E (z , t ) = E 0 sin(w1t - k1 z ) + E 0 sin(w 2t - k 2 z ) =
Dk
æ Dw
= 2E 0 cos ç
tè 2
2
ö
(16.10)
z ÷ sin(w 0t - k 0 z ) = A (z , t ) sin(w 0t - k 0 z ).
ø
w + w2
k + k2
; k0 = 1
Çäåñü Dw = w2 - w1; Dk = k2 - k1; w 0 = 1
. Ôóíêöèÿ A(z, t)
2
2
íàçûâàåòñÿ îãèáàþùåé ãðóïïû âîëí. Íà ðèñ. 16.5 èçîáðàæåíà ýòà ãðóïïà â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè.
Òî÷êà M ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ôàçû jM = w0t - k0zM = const, ïðè êîòîðîé
sin jM = 1. Ñêîðîñòü ýòîé òî÷êè, èëè ôàçîâàÿ ñêîðîñòü, îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
djM = w0dt - k0dzM = 0 è ðàâíà
L=
w
dz M
= 0.
dt
k0
(16.11)
Òàêèì îáðàçîì, ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ãðóïïû ðàâíà îòíîøåíèþ ñðåäíåé ÷àñòîw
òû w0 ê ñîîòâåòñòâóþùåìó åé âîëíîâîìó ÷èñëó k0 » 0 n(w 0 ).
ñ
Òî÷êà R íàõîäèòñÿ íà âåðøèíå îãèáàþùåé, ïîêàçàííîé øòðèõîâûìè ëèíèÿìè. Äëÿ íåå ïîñòîÿííûì ÿâëÿåòñÿ àðãóìåíò ôóíêöèè A:
Dw
Dk
(16.12)
tz R = const .
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü âåðøèíû îãèáàþùåé ìîæíî ïîëó÷èòü, äèôôåðåíöèðóÿ (16.12):
192
Dw
Dk
(16.13)
dt dz R = 0.
2
2
Ñêîðîñòü âåðøèíû îãèáàþùåé ðàâíà
Dw
dz R
=
.
(16.14)
Dk
dt
Ýòà ñêîðîñòü è íàçûâàåòñÿ ãðóïïîâîé. Ñ
Ðèñ. 16.6
ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ ïåðåíîñÿòñÿ ýíåðãèÿ
è èíôîðìàöèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíîé.
Íà ðèñ. 16.6 ïðåäñòàâëåí ôðàãìåíò ãðàôèêà çàâèñèìîñòè âîëíîâîãî ÷èñëà îò
÷àñòîòû.
Ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ÷èñëåííî ðàâíà óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó êàñàòåëüíîé â
òî÷êå P, õàðàêòåðèçóþùåìó íàêëîí êàñàòåëüíîé ê îñè Ok. Ôàçîâàÿ ñêîðîñòü
÷èñëåííî ðàâíà óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó îòðåçêà OP, íàêëîíåííîãî ê îñè Ok.
Î÷åâèäíî, ÷òî â îáëàñòè íîðìàëüíîé äèñïåðñèè u < L.
 îáëàñòè àíîìàëüíîé äèñïåðñèè u > L. Îäíàêî çäåñü íåêîððåêòíî ãîâîðèòü
î êàêîé-ëèáî ñêîðîñòè ãðóïïû âîëí. Âî-ïåðâûõ, âñëåäñòâèå ñèëüíîé çàâèñèìîñòè n(w) îãèáàþùàÿ â ïðîöåññå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèëüíî èçìåíÿåòñÿ. Âî-âòîðûõ, ïîãëîùåíèå ñòîëü âåëèêî, ÷òî î ðàñïðîñòðàíåíèè ãðóïïû ãîâîðèòü
íå ïðèõîäèòñÿ.
Îáîáùèì ïðîâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé ãðóïïû âîëí, õàðàêòåðèçóþùåéñÿ öåíòðàëüíîé ÷àñòîòîé w0 è èíòåðâàëîì ÷àñòîò Dw = w0. Âìåñòî ñóììû (16.10) ïðåäñòàâèì ïîëå ãðóïïû â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå:
u=
E (z , t ) =
=
¥
1
ò E 0 (w) exp [i (wt - kz )] d w =
2p -¥
¥
1
ò E 0 (w) exp [i (w - w 0 )t - (k - k0 )z ] d w exp [i (w 0t - k 0 z )] =
2p -¥
= A(z , t ) exp [i (w 0t - k 0 z )] .
(16.15)
Âîëíîâîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ÷àñòîòû:
w
n(w ).
(16.16)
c
Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå (16.16) ïðåäñòàâèì â âèäå ðÿäà Òåéëîðà:
k (w) =
1 æ d 2k ö
æ dk ö
2
k (w) = k 0 + ç
(w - w 0 ) + ç
÷
÷ (w - w 0 ) + K =
è dwø w
2 è d w 2 ø w0
0
= k0 +
k
1
(w - w 0 ) + 2 (w - w 0 ) 2 + K
u
2
(16.17)
Çäåñü
-1
æ dk ö
æ dwö
u=ç
=ç
è d w ÷ø w
è dk ÷ø k
0
0
(16.18)
— ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü;
193
æ d 2k ö
k2 = ç
è d w 2 ÷ø w
(16.19)
0
— êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé äèñïåðñèþ ãðóïïîâîé ñêîðîñòè (åå çàâèñèìîñòü îò ÷àñòîòû). Äåéñòâèòåëüíî,
k2 =
d
1
(u -1 )w 0 = - 2
dw
u0
æ du ö
,
èç d w ø÷ w
(16.20)
0
ãäå u0 = u(w0).
Åñëè âíà÷àëå ïðåíåáðå÷ü äèñïåðñèåé ãðóïïîâîé ñêîðîñòè (k2 = 0), òî ïðè
ïîäñòàíîâêå (16.17) â (16.15) äëÿ îãèáàþùåé A(z, t) ïîëó÷àåì
A (z , t ) =
¥
é
z öù
zö
1
æ
æ
E 0 (w) exp êi (w - w 0 ) ç t - ÷ ú d w = A0 ç t - ÷ ,
ò
è
ø
è
u û
uø
2p -¥
ë
(16. 21)
ãäå A0(t) — îãèáàþùàÿ íà âõîäå â ñðåäó (ïðè z = 0). Ñëåäîâàòåëüíî, â îòñóòñòâèå äèñïåðñèè ãðóïïîâîé ñêîðîñòè îãèáàþùàÿ ïðîèçâîëüíîé ãðóïïû äâèæåòñÿ ñ
ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ, ïðè ýòîì åå ôîðìà ñîõðàíÿåòñÿ. ×åì ìåíüøå îòíîøåíèå
Dw/w0, òåì áîëåå ñïðàâåäëèâûì ÿâëÿåòñÿ ñäåëàííîå äîïóùåíèå.
Äèñïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå èìïóëüñîâ. Äèñïåðñèÿ ãðóïïîâîé ñêîðîñòè ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííîé ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè èìïóëüñîâ ïèêîñåêóíäíîé è ôåìòîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè. Äëÿ òàêèõ èìïóëüñîâ øèðèíà ÷àñòîòíîãî èíòåðâàëà
Dw ñòîëü âåëèêà, ÷òî íåîáõîäèì ó÷åò áîëåå âûñîêèõ ÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè (16.17).
Çäåñü æå îãðàíè÷èìñÿ ñëàãàåìûì ñ k2, ïîçâîëÿþùèì ó÷åñòü äèñïåðñèþ ãðóïïîâîé ñêîðîñòè â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè.
×òîáû èçáåæàòü ñëîæíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ âûêëàäîê, âîçíèêàþùèõ ïðè ïîäñòàíîâêå (16.17) â (16.15), âîñïîëüçóåìñÿ ïðîñòûìè ðàññóæäåíèÿìè. Ïóñòü
â ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ êîðîòêèé ñâåòîâîé èìïóëüñ ñ íåñóùåé ÷àñòîòîé w0
è äëèòåëüíîñòüþ t0. Øèðèíà åãî ÷àñòîòíîãî ñïåêòðà
Dw = w 2 - w1 :
1
.
t0
(16.22)
Íà ýòîì èíòåðâàëå ÷àñòîò w1 < w < w2 ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ
æ dwö
æ dwö
îò âåëè÷èíû u 2 = ç
äî âåëè÷èíû u1 = ç
(ñì. ðèñ. 16.6).
è dk ÷ø k
è dk ÷ø k
2
1
Åñëè ýòîò èìïóëüñ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ èìïóëüñîâ ñ ðàçëè÷íûìè
íåñóùèìè ÷àñòîòàìè w1 è w2, òî ýòè èìïóëüñû áóäóò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòÿìè
u1 è u2, ïðè÷åì u1 > u2. Ýòè èìïóëüñû äîñòèãíóò ñå÷åíèÿ z = const íå îäíîâðåìåííî, à ñ âðåìåííûì çàïàçäûâàíèåì
Dt =
z
z
- .
u2 u1
(16.23)
×åì áîëüøå êîîðäèíàòà z, òåì áîëüøå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ Dt. Íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè L0, ïîëó÷èâøåì íàçâàíèå äèñïåðñèîííîé äëèíû, âðåìÿ Dt äîñòèãíåò íà÷àëüíîé äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà t0:
Dt =
194
L0 L0
= t0.
u2 u1
(16.24)
Ñëåäîâàòåëüíî, íà ýòîì ðàññòîÿíèè äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà ñòàíåò ïðèáëèçèòåëüíî âäâîå áîëüøå íà÷àëüíîé. Óâåëè÷åíèå äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà ñ ïðîéäåííûì ðàññòîÿíèåì íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèîííûì ðàñïëûâàíèåì èìïóëüñà. Ïîìèìî
ýòîãî èìïóëüñ èç ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííîãî ïðåâðàùàåòñÿ â ÷àñòîòíî-ìîäóëèðîâàííûé (ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûé).  ñàìîì äåëå, ÷àñòîòà ãîëîâíîé ÷àñòè
áóäåò áëèçêà ê w1, à õâîñòîâîé — ê w2.
Îöåíèì èç (16.24) äèñïåðñèîííóþ äëèíó. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì î÷åâèäíîå
ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî
æ d 2k ö
k
1
1 æ dk ö
æ dk ö
=ç
-ç
=ç
Dw : 2 .
÷
÷
2÷
è
ø
è
ø
è
ø
u 2 u1
d w w2
d w w1
d w w0
t0
(16.25)
Ïîäñòàâèâ (16.25) â (16.24), ïîëó÷èì
L0 :
t 20
.
k2
(16.26)
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â îáëàñòè íîðìàëüíîé äèñïåðñèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ, â êîòîðîé è ïðîèñõîäèò äèñïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå, âåëè÷èíà k2
ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé. Â ñîâðåìåííîé ëèòåðàòóðå ïðèíÿòà ñëåäóþùàÿ òåðìèíîëîãèÿ: åñëè k2 > 0 (ñì. ðèñ. 16.6), òî, ñîãëàñíî
du
< 0 .  ýòîì ñëó÷àå äèñïåðñèÿ ãðóïïîâîé ñêîðîñòè íàçûâàåòñÿ íîðìàëü(16.20),
dw
du
> 0 , è äèñïåðñèÿ ãðóïïîâîé ñêîðîñòè àíîìàëüíàÿ.
íîé. Åñëè k2 < 0, òî
dw
 îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðîèñõîäèò äèñïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå íà õàðàêòåðíîé
äëèíå
L0 :
t 02
.
|k 2 |
(16.27)
Ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ ðàçëè÷íà: ïðè k2 > 0 ÷àñòîòà âîçðàñòàåò îò íà÷àëà
ê êîíöó èìïóëüñà, à ïðè k2 < 0 îíà, íàîáîðîò, óìåíüøàåòñÿ.
Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ àíàëîãèÿ. Äèñïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå èìïóëüñîâ ïîäîáíî äèôðàêöèîííîìó ðàñïëûâàíèþ âîëíîâûõ ïó÷êîâ, ãäå õàðàêòåðíûì ðàññòîÿíèåì ÿâëÿåòñÿ äèôðàêöèîííàÿ äëèíà L0 ~ r02/l. Äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà t0 àíàëîãè÷íà øèðèíå ïó÷êà r0, à |k2 | — äëèíå âîëíû l.
Àíàëîã óðàâíåíèÿ (12.60), îïèñûâàþùåãî äèôðàêöèþ ïó÷êîâ, — óðàâíåíèå
äëÿ îãèáàþùåé èìïóëüñà, êîòîðîå ïðèâîäèì áåç âûâîäà:
k ¶2 A
¶A
=- 2
,
¶z
2i ¶t ¢ 2
(16.28)
ãäå t ¢ = t - z/u — âðåìÿ, àíàëîãè÷íîå ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòå â óðàâíåíèè
(12.60). Óðàâíåíèå (16.28) ïî âèäó ñîâïàäàåò ñ (12.60), åñëè â ïîñëåäíåì A
çàâèñèò ëèøü îò îäíîé ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû (x èëè y).
Òåïåðü íåñëîæíî îïèñàòü äèñïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå èìïóëüñà, ïðîôèëü
êîòîðîãî íà âõîäå â ñðåäó ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâûì:
A(z , t ) = A0 exp( -t 2 /t 02 ).
(16.29)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (16.28) áóäåò èìåòü âèä, àíàëîãè÷íûé (12.63), îòëè÷àÿñü ëèøü çíàêîì ïåðåä ìíèìîé åäèíèöåé:
195
A ( z , t ¢) =
æ t ¢2
ö
A0
1
= À exp(i Ô),
exp ç - 2
÷
è t 0 1 + iz z 0 ø
1 + iz z 0
(16.30)
ãäå
z0 =
t 02
.
k2
(16.31)
Ïðîôèëü èíòåíñèâíîñòè
I (z , t ¢) =
æ
ö
I0
t ¢2
1 2
À =
exp ç - 2
2
2
2
1 + z z0
è t 0 (1 + z 2 z 02 ) ÷ø
(16.32)
îñòàåòñÿ ãàóññîâûì, îäíàêî äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïðîéäåííûì ðàññòîÿíèåì:
t 0 z = t 0 1 + z 2 z 02 ,
(16.33)
è, êàê ñëåäñòâèå, óìåíüøàåòñÿ èíòåíñèâíîñòü.
Ôàçà çàâèñèò îò âðåìåíè ïî çàêîíó, àíàëîãè÷íîìó (12.65):
Ô(z , t ¢) =
t ¢ 2 z z0
- arctg(z z 0 ).
t 02 1 + z 2 z 02
(16.34)
Îäíàêî ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîé çàâèñèìîñòè èíîé, ÷åì ïðè äèôðàêöèè,
ãäå çàâèñèìîñòü ôàçû îò ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû îçíà÷àåò èñêðèâëåíèå ôàçîâîãî ôðîíòà.
Çàâèñèìîñòü ôàçû îò âðåìåíè îçíà÷àåò, ÷òî îãèáàþùàÿ A = |A|e iÔ èçìåíÿåòñÿ ñ ìãíîâåííîé ÷àñòîòîé
W(t ¢) =
¶Ô 2t ¢ z z 0
= 2
= bt ¢,
¶t ¢
t 0 1 + z 2 z 02
(16.35)
2z
— ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé ëèíåéíîå èçìåíåíèå ÷à+ z 2 z 02 )
ñòîòû â òå÷åíèå äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà.
ãäå b =
t 02 z 0 (1
Ðèñ. 16.7
196
Åñëè k2 > 0, òî b > 0, è ÷àñòîòà W íàðàñòàåò ñî âðåìåíåì t ¢ (îò íà÷àëà ê êîíöó
èìïóëüñà). Ïðè k2 < 0, b < 0, è W óáûâàåò.
Ïîëå ñâåòîâîãî èìïóëüñà áóäåò îñöèëëèðîâàòü ñ ÷àñòîòîé
w(t ¢) = w 0 + bt ¢.
(16.36)
Ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûé èìïóëüñ ñ ëèíåéíûì çàêîíîì èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû íàçûâàåòñÿ ÷èðïèðîâàííûì (îò àíãë. chirp — ÷èðèêàòü). Ïîäîáíûå àêóñòè÷åñêèå
÷àñòîòíî-ìîäóëèðîâàííûå èìïóëüñû ôîðìèðóþò ïòèöû ïðè ÷èðèêàíèè. Åñëè
b > 0, òî ÷èðï ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, à ïðè b < 0, ñîîòâåòñòâåííî, îòðèöàòåëüíûì.
Íà ðèñ. 16.7 ïîêàçàí íà÷àëüíûé ãàóññîâ èìïóëüñ ïðè z = 0 è ÷èðïèðîâàííûå
èìïóëüñû â ñðåäå (z > 0) ïðè ðàçëè÷íûõ çíàêàõ äèñïåðñèè ãðóïïîâîé ñêîðîñòè.
Îöåíêè õàðàêòåðíûõ âåëè÷èí. Äëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ îöåíèì âîçìîæíîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ èìïóëüñîâ â ïëàâëåíîì êâàðöå, ÿâëÿþùèìñÿ îñíîâíûì
ìàòåðèàëîì äëÿ âîëîêîííûõ ñâåòîâîäîâ. Ýòè ñâåòîâîäû èñïîëüçóþòñÿ â âîëîêîííî-îïòè÷åñêèõ ëèíèÿõ ñâÿçè, ñïîñîáíûõ ïåðåäàâàòü èìïóëüñû íà îãðîìíûå
ðàññòîÿíèÿ.
Äèñïåðñèÿ ôàçîâîé è ãðóïïîâîé ñêîðîñòåé â ïëàâëåíîì êâàðöå ïîêàçàíà
íà ðèñ. 16.8.
Íà äëèíå âîëíû l = 1,5 ìêì k2 = -0,03 ïñ2/ì. Ïîýòîìó ïðè äëèòåëüíîñòè
èìïóëüñà t0 = 10-12 ñ = 1 ïñ äèñïåðñèîííàÿ äëèíà L0 = t 02 /|k2 | » 30 ì. Íà äëèíå
âîëíû l = 1,06 ìêì k2 = +0,06 ïñ2/ì è L0 » 15 ì.
Ïðè äëèíå âîëíû ld = 1,27 ìêì k2 = 0 è íåîáõîäèì ó÷åò ñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿ äèñïåðñèè ãðóïïîâîé ñêîðîñòè. Äëÿ ýòîãî â ðàçëîæåíèè (16.25) íàäî
æ d 3k ö
èñïîëüçîâàòü ÷ëåí, ñîäåðæàùèé ç
. Àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî õîòÿ äèñïåðè d w 3 ÷ø w
0
ñèîííîå ðàñïëûâàíèå çíà÷èòåëüíî óìåíüøàåòñÿ, îäíàêî ôîðìà èìïóëüñà èçìåíÿåòñÿ, ó îãèáàþùåé ïîÿâëÿþòñÿ îñöèëëÿöèè è ò. ä.
Ðàñïðîñòðàíåíèþ èìïóëüñà ïðåïÿòñòâóþò ïîòåðè, ñâÿçàííûå ñ ïîãëîùåíèåì è ðàññåÿíèåì ñâåòà â âîëîêíå. Ðàññåÿíèå áóäåò îáñóæäàòüñÿ â ðàçäåëå
«Ðàññåÿíèå ñâåòà». Ñåé÷àñ æå îãðàíè÷èìñÿ çàìå÷àíèåì, ÷òî ìèíèìàëüíîå îñëàáëåíèå ñâåòà äîñòèãàåòñÿ íà äëèíå âîëíû 1,55 ìêì.
Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â îïòè÷åñêîì âîëíîâîäå, ñîñòîÿùåì èç ñåðäöåâèíû
è îáîëî÷êè, äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå w(k) îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì, îòëè÷íûì îò (16.16). Îíî îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî ìàòåðèàëüíîé äèñïåðñèåé ñðåäû (çàâèñèìîñòüþ n(w)), íî è òàê íàçûâàåìîé âîëíîâîäíîé äèñïåðñèåé, ñâÿçàííîé ñ ïàðàìåòðàìè âîëíîâîäà. Ýòî ïîçâîëÿåò èçìåíÿòü çíà÷åíèå äëèíû âîëíû
ld (ïðè êîòîðîé k2 = 0) ïóòåì ñîîòâåòñòâóþùåãî èçìåíåíèÿ êîíñòðóêöèè âîëíîâîäà. Ïîýòîìó
n
îïòè÷åñêèå âîëîêíà èçãîòîâëÿþò òàêèì îáðà- 1,49
çîì, ÷òîáû çíà÷åíèå ld ñòàëî òàêæå ðàâíûì 1,48
c/u
1,55 ìêì. Òîãäà è ïîòåðè, è äèñïåðñèîííîå ðàñ- 1,47
ïëûâàíèå áóäóò ìèíèìàëüíû. Áîëåå òîãî, äèñ- 1,46
c/v
ïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå ìîæíî ïîäàâèòü çà 1,45
ñ÷åò íåëèíåéíûõ îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïëàâëå- 1,44
0,6 0,8 1,0 1,2 1,27 1,4 l, мкм
íîãî êâàðöà. Îïèñàíèå ýòèõ ýôôåêòîâ áóäåò äàíî
Ðèñ. 16.8
â ðàçäåëå 9 «Íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ».
197
Âîëîêîííî-îïòè÷åñêèå ñèñòåìû ñâÿçè.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ìåæäó âñåìè êîíòèíåíòàìè ïðîëîæåíû ïîäâîäíûå âîëîêîííî-îïòè÷åñêèå êàáåëè, ïî êîòîðûì
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåäà÷à èíôîðìàöèè ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ.
Ïåðâûé ïîäâîäíûé êàáåëü ÷åðåç ïðîëèâ Ëà-Ìàíø, ïîçâîëèâøèé îñóùåñòâèòü òåëåãðàôíóþ ñâÿçü Àíãëèè ñ Åâðîïîé, áûë ïðîëîæåí â 1851 ã. ×åðåç
ñåìü ëåò òåëåãðàôíûé êàáåëü ïî äíó Àòëàíòè÷åñêîãî îêåàíà ñâÿçàë Åâðîïó
ñ Ñåâåðíîé Àìåðèêîé. Ñ 1866 ã. ìåæäó êîíòèíåíòàìè áûëà íàëàæåíà óñòîé÷èâàÿ
òåëåãðàôíàÿ ñâÿçü ñ ïîìîùüþ àçáóêè Ìîðçå. Ñêîðîñòü ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè,
îñóùåñòâëÿåìîé ïîñðåäñòâîì ýëåêòðè÷åñêèõ èìïóëüñîâ, ñîñòàâëÿëà âñåãî 17
ñëîâ â ìèíóòó.
 1956 ã. ïðîâåäåí ïåðâûé òåëåôîííûé êàáåëü. Çàòåì âñëåäñòâèå ðàñòóùèõ
ïîòðåáíîñòåé îáìåíà èíôîðìàöèåé ìåæäó ýòèìè êîíòèíåíòàìè áûëî ïðîëîæåíî åùå íåñêîëüêî òåëåôîííûõ êàáåëåé.
Ïîìèìî øèðî÷àéøåãî ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ òåëåãðàôíûõ è òåëåôîííûõ
ëèíèé ñâÿçè èõ ïðîêëàäêà ïî äíó îêåàíà ïðîäåìîíñòðèðîâàëà òåõíè÷åñêóþ
âîçìîæíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ãëîáàëüíîé ñâÿçè ìåæäó ðàçëè÷íûìè êîíòèíåíòàìè.  1988— 1989 ãã. ââåäåíû â ñòðîé ïåðâûå òðàíñàòëàíòè÷åñêàÿ è òðàíñòèõîîêåàíñêàÿ âîëîêîííî-îïòè÷åñêèå ñèñòåìû ñâÿçè. Ñêîðîñòü ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ïîñðåäñòâîì ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ â êàæäîé ëèíèè ïðåâûøàëà 100 Ìáèò/ñ.
 90-ãîäû XX â. áûëî ïðîëîæåíî áîëåå 350 òûñ. êì âîëîêîííî-îïòè÷åñêîãî
êàáåëÿ, ñîåäèíèâøåãî áîëåå 70 ñòðàí. Âñå ìàòåðèêè ñâÿçàíû ïîäâîäíûìè âîëîêîííî-îïòè÷åñêèìè êàáåëÿìè, îáùàÿ ïðîòÿæåííîñòü êîòîðûõ â íåñêîëüêî
ðàç ïðåâîñõîäèò äëèíó ýêâàòîðà.
Ïðàêòè÷åñêè âñå ñîâðåìåííûå ñèñòåìû ñâÿçè ðàáîòàþò íà äëèíàõ âîëí 1,3
è 1,55 ìêì. Â íèõ îñóùåñòâëåíî ñïåêòðàëüíîå óïëîòíåíèå êàíàëîâ. Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà ëèíèè ñâÿçè ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.9.
Èçëó÷åíèå ðàçíûõ äëèí âîëí (êàê ïðàâèëî, îò ðàçëè÷íûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà) ñ ïîìîùüþ óñòðîéñòâà, íàçûâàåìîãî ìóëüòèïëåêñîðîì, ââîäèòñÿ ÷åðåç
óñèëèòåëü â âîëîêîííûé ñâåòîâîä. Êàæäîé äëèíå âîëíû ñîîòâåòñòâóåò ñâîé
êàíàë ñâÿçè. Ðàçíîñòü äëèí âîëí ñîñåäíèõ êàíàëîâ ñîñòàâëÿåò îêîëî 0,2 íì.
 êîíöå ëèíèè èçëó÷åíèå âíîâü óñèëèâàåòñÿ, çàòåì ñ ïîìîùüþ äåìóëüòèïëåêñîðà ðàçäåëÿåòñÿ ïî äëèíàì âîëí, è äàëåå èíôîðìàöèÿ îáðàáàòûâàåòñÿ.
Ïî îäíîìó êàíàëó ñ ïîìîùüþ ñâåðõêîðîòêèõ èìïóëüñîâ ñâåòà â íàñòîÿùåå
âðåìÿ óäàëîñü äîñòè÷ü ñêîðîñòè ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ïîðÿäêà 200 Ãáèò/ñ.
Êîëè÷åñòâî êàíàëîâ îãðàíè÷åíî ãëàâíûì îáðàçîì ïîëîñîé óñèëåíèÿ óñèëèòåëÿ è â ñîâðåìåííûõ ñèñòåìàõ äîñòèãàåò íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ.
Ôðàíöóçñêèå èññëåäîâàòåëè (Ñ. Áèãî è äð., Alcatel Corporate Research Center)
îáúåäèíèëè â îäíîì ñâåòîâîäå 150 êàíàëîâ, ïðîïóñêàÿ ïî ñâåòîâîäó èçëó÷åíèå
îò 150 ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ëàçåðîâ. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçîâàëñÿ ýðáèåâûé îïòè-
Ðèñ. 16.9
198
÷åñêèé óñèëèòåëü (ñì. ëåêöèþ 24), èìåþùèé ïîëîñó óñèëåíèÿ 80 íì. Ñêîðîñòü
ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ïî îäíîìó êàíàëó äîñòèãàëà 10 Ãáèò/ñ, à ïî âñåì êàíàëàì — 1,5 Òáèò/ñ.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ëàçåðîâ, çàâèñÿùàÿ îò òåìïåðàòóðû ïîëóïðîâîäíèêà, íå äîëæíà â ïðîöåññå ðàáîòû
èçìåíÿòüñÿ áîëåå ÷åì íà 0,05 íì. Ñ ýòîé öåëüþ ïðèõîäèòñÿ èõ òåðìîñòàáèëèçèðîâàòü, ÷òî, áåçóñëîâíî, ïðèâîäèò ê ïîâûøåíèþ ñòîèìîñòè ñèñòåìû. Ýòîãî
íåäîñòàòêà ëèøåíû êîìïàêòíûå âîëîêîííûå ëàçåðû, êîòîðûå íàêà÷èâàþòñÿ
ëàçåðíûìè äèîäàìè (ñì. ëåêöèþ 24).
Áûñòðûé ïðîãðåññ â ðàçâèòèè âîëîêîííî-îïòè÷åñêîé ñâÿçè ïîçâîëÿåò ñâåñòè ê ìèíèìóìó ïîòåðè â êâàðöåâîì âîëîêíå â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè 1 200 —
1 700 íì (ñì. ëåêöèþ 22). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî ñïåêòðàëüíûõ êàíàëîâ ìîæåò
äîñòèãàòü 2 500! Ïðè ñêîðîñòè ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè ïî êàæäîìó êàíàëó îêîëî
200 Ãáèò/ñ ñóììàðíàÿ ñêîðîñòü äîñòèãíåò îãðîìíîé âåëè÷èíû ~0,5 × 1015 áèò/ñ =
= 0,5 Ïáèò/ñ.
Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â ìåòàëëàõ è ïëàçìå. Â òàêèõ ñðåäàõ èìååòñÿ áîëüøîå
÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ õîðîøóþ ýëåêòðè÷åñêóþ ïðîâîäèìîñòü.  äèñïåðñèîííîì ñîîòíîøåíèè (15.17) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü e² ïî ñðàâíåíèþ ñ s¢/(e0w), à òàêæå ðåàêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòè s². Òîãäà (15.18) ïðèìåò âèä
e% k = e ¢ - i
s¢
,
e0w
(16.37)
ãäå ìíèìàÿ ÷àñòü e% k îáóñëîâëåíà ýëåêòðè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ. Äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ, ñîãëàñíî (15.20), ðàâíû
n2 =
ö
s¢2
1æ
2
ç e ¢ + 2 2 + e ¢÷ ;
e0 w
2è
ø
c2 =
ö
s¢2
1æ
2
ç e ¢ + 2 2 - e ¢÷ .
e0 w
2è
ø
(16.38)
Âåëè÷èíû e¢ è s¢ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ìèêðîñêîïè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè
ñðåäû, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé Ëîðåíö — Ëîðåíöà (15.50), ïîëîæèâ â íåé
w0 = 0 (ïîñêîëüêó ýëåêòðîíû ñâîáîäíû) è e + 2 » 3, ïîñêîëüêó e ~ 1. Â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷èì
e =1+
w 2p
,
-w 2 + 2i dw
(16.39)
Ne 2
— ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà (ñì. (15.55)). Âûäåëèâ â (16.39) äåéñòâème 0
òåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè è ñðàâíèâ ñ (16.37), èìååì:
ãäå w ð =
e¢ = 1 -
w 2p w 2
;
w 4 + 4d 2 w 2
2dww 2p
s¢
= 4
.
e 0 w w + 4d 2 w 2
(16.40)
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî w ? d, òî îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
w 2p
w 2p
(16.41)
s
¢
=
e
d
;
2
.
0
w2
w2
Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò. Åñëè ÷àñòîòà âîëíû w0 < wp, òî e¢ < 0.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëå, ñîçäàâàåìîå ìàëîïîäâèæíûìè èîíàìè è êîëåáëþùèìèñÿ ýëåêòðîíàìè, íàïðàâëåíî ïðîòèâîïîëîæíî ïîëþ ïàäàþùåé âîëíû.
e¢ = 1 -
199
Ýòî ëåãêî ïîíÿòü, åñëè ðàññìîòðåòü ïðîñòåéøóþ ñèòóàöèþ, êîãäà ê îãðàíè÷åííîìó îáúåìó ñðåäû â âèäå
ïàðàëëåëåïèïåäà â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïðèëîæåíî ñòàòè÷åñêîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ E0. Ïîä
äåéñòâèåì ýòîãî ïîëÿ ýëåêòðîíû, äâèãàÿñü óñêîðåííî,
ñìåñòÿòñÿ íà ðàññòîÿíèå
at 2 eE 0 2
=
t .
(16.42)
2
2m
Íà ðèñ. 16.10 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû íåïîäâèæíûå èîíû è ñìåùåííûå ýëåêòðîíû.
Ñèñòåìà çàðÿäîâ ñîçäàåò ñâîå ïîëå E, êîòîðîå ïîäîáíî ïîëþ êîíäåíñàòîðà,
çàðÿä ïëàñòèí êîòîðîãî ðàâåí
l =
Ðèñ. 16.10
Q = eNlS,
(16.43)
ãäå N — êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ; S — ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ñðåäû, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî âíåøíåìó ïîëþ.
Íàïðÿæåííîñòü E ñîçäàííîãî ïîëÿ, íàïðàâëåííîãî ïðîòèâîïîëîæíî âíåøíåìó ïîëþ, ðàâíà
E =
Q
eNl 1 2 2
=
= w pt E 0.
e0
S e0
2
(16.44)
 íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t0 ýòî ïîëå ñêîìïåíñèðóåò âíåøíåå: E = E0,
÷òî ïðîèçîéäåò â ìîìåíò âðåìåíè
t0 =
2
.
wð
(16.45)
Ñîîòíîøåíèå (16.45) ïîçâîëÿåò ãðóáî îöåíèòü âðåìÿ t0, ïîñêîëüêó íå ó÷èòûâàëîñü, ÷òî â ïðîöåññå ñìåùåíèÿ íà ýëåêòðîíû áóäåò äåéñòâîâàòü óìåíüøàþùååñÿ ñî âðåìåíåì ñóììàðíîå ïîëå E0 - E, è èõ äâèæåíèå íå áóäåò ðàâíîóñêîðåííûì.
Åñëè òåïåðü âíåøíåå ïîëå áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñ ïåðèîäîì T = 2p/w, òî ïðè
÷àñòîòå w < wp ïåðèîä T > t0, è ïëàçìà «óñïåâàåò» êîìïåíñèðîâàòü âíåøíåå
ïîëå. Ïîýòîìó âîëíà â ñðåäå íå ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ. Äëÿ åå ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû e¢ > 0.  ýòîì ñëó÷àå w > wp è çàðÿäû «íå óñïåâàþò»
ñêîìïåíñèðîâàòü âíåøíåå ïîëå.
Íåêîòîðûå îöåíêè. Äëÿ áîëüøèíñòâà ìåòàëëîâ ïðîâîäèìîñòü s¢ èçìåíÿåòñÿ
îò s¢ ~ 105 Îì-1 × ì-1 (â âèäèìîì äèàïàçîíå) äî s¢ ~ 107 Îì-1 × ì-1 (â ÈÊ-äèàïàçîíå è áîëåå íèçêèõ ÷àñòîòàõ âïëîòü äî ñòàòè÷åñêèõ ïîëåé). Íàïðèìåð, äëÿ äëèíû
âîëíû l = 10 ìêì (ÈÊ-äèàïàçîí) ïðîâîäèìîñòü ñåðåáðà s¢ ~ 6,8 × 107 Îì-1 × ì-1.
Ïîýòîìó, ïîëàãàÿ â (16.38) s¢/(e0w) ? e¢, ïîëó÷àåì
n»c»
s¢
=
2e 0 w
s ¢l
» 1,4 × 10 2.
4pe 0ñ
Êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ
a=2
200
4p
w
c=
c » 175 ìêì -1 .
ñ
l
Ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ D âîëíû â ñåðåáðî îöåíèâàåòñÿ êàê ðàññòîÿíèå,
ïðè êîòîðîì åå èíòåíñèâíîñòü óáûâàåò â e ðàç. Èñïîëüçóÿ çàêîí Áóãåðà —
Ëàìáåðòà -Áåðà, ïîëó÷àåì e-aD = e-1. Òîãäà D = a-1 = 5,7 × 10-3 ìêì = 57 D. Ýòà
âåëè÷èíà íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ìåíüøå äëèíû âîëíû.
Äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü e¢ ìåòàëëîâ íåïîñðåäñòâåííî èçìåðèòü
íåâîçìîæíî, íî ìîæíî ðàññ÷èòàòü, åñëè ó÷åñòü, ÷òî èç (16.38) îíà ðàâíà
e¢ = n2 - c2.
(16.46)
Íåìåöêèé ôèçèê-ýêñïåðèìåíòàòîð À. Êóíäò âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX â. âûïîëíèë îïòè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû c ìåòàëëè÷åñêèìè ïðèçìàìè è ïî óãëó ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà èçìåðèë n è c è çàòåì ðàññ÷èòàë e¢. Äðóãàÿ âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ e¢ — èçìåðèòü êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ñâåòà îò ìåòàëëà, êîòîðûé,
êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, ñâÿçàí ñ n è c.
 êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè â òàáëèöå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ n, c è e¢ äëÿ äëèíû
âîëíû ñâåòà l = 5 893 D, ñîîòâåòñòâóþùåé D-ëèíèè èçëó÷åíèÿ íàòðèÿ. Âèäíî,
÷òî âî âñåõ ñëó÷àÿõ c > n, ïîýòîìó e¢ < 0.
Âåùåñòâî ...........................
n .........................................
c .........................................
e¢ ........................................
Na
0,044
2,42
-2,4
Al
1,44
5,23
-5,0
Au
0,47
2,83
-2,8
Âìåñòî ïëàçìåííîé ÷àñòîòû âîñïîëüçóåìñÿ ïëàçìåííîé äëèíîé âîëíû:
lp =
2 pc
.
wp
(16.47)
Åñëè ïîëîæèòü äëÿ ìåòàëëîâ N » 1031 ì-3, òî wp » 1,8 × 1017 ñ-1, à lp » 100 D.
Òàêèì îáðàçîì, ìåòàëëû ïðîçðà÷íû ëèøü äëÿ î÷åíü êîðîòêèõ âîëí. Ñàìûìè
áîëüøèìè ïëàçìåííûìè äëèíàìè âîëí îáëàäàþò ùåëî÷íûå ìåòàëëû, ó êîòîðûõ íèçêà êîíöåíòðàöèÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Òàê, lp = 2 050 D (Li); 2 100 D
(Na); 3 150 D (K); 3 600 D (Rb); 4 400 D (Cs).
Ïîäâîäÿ èòîã, îòìåòèì, ÷òî ïðè l > lp âîëíà ïðîíèêàåò íà íåçíà÷èòåëüíóþ
ãëóáèíó, ïîðÿäêà òîëùèíû ñêèí-ñëîÿ. Ïîãëîùåíèå ýíåðãèè â ýòîì ñëîå íåâåëèêî, è ïðàêòè÷åñêè âñÿ ïàäàþùàÿ ýíåðãèÿ âîëíû îòðàæàåòñÿ íàçàä. Ïîýòîìó
èç ìåòàëëè÷åñêèõ ïëàñòèíîê èçãîòîâëÿþò çåðêàëà, îáëàäàþùèå âûñîêèìè îòðàæàòåëüíûìè ñâîéñòâàìè.
 çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà, èëëþñòðèðóþùèõ èçëîæåííîå, îáðàòèâøèñü ê ðàñïðîñòðàíåíèþ ðàäèîâîëí â ïðîâîäÿùèõ ñðåäàõ. Âûâîäû, ñäåëàííûå ðàíåå, ïðèìåíèìû è ê ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè.
n Ïðèìåð 1. Ïðè l < lp ðàäèîâîëíà ïðàêòè÷åñêè íå îòðàæàåòñÿ, à âñÿ
åå ýíåðãèÿ ïîãëîùàåòñÿ â ïðîâîäÿùåé ñðåäå. Ýòî èñïîëüçóåòñÿ â ñîâðåìåííûõ
òåõíîëîãèÿõ, ïîçâîëÿþùèõ ñäåëàòü íåâèäèìûìè äëÿ ðàäèîëîêàöèîííûõ ñòàíöèé
(ÐËÑ) ëåòàòåëüíûå àïïàðàòû è êîðàáëè.
Åùå âî âðåìÿ Âòîðîé ìèðîâîé âîéíû íåìöû ïîêðûâàëè ðóáêè ïîäâîäíûõ
ëîäîê è äðóãèå ÷àñòè, âûñòóïàþùèå íàä âîäîé, ñïåöèàëüíûìè ìàòåðèàëàìè
íà îñíîâå ïðîâîäÿùåãî ãðàôèòà, ïîãëîùàþùèìè èçëó÷åíèå ÐËÑ.
 1966 ã. cîâåòñêèé ìàòåìàòèê Ï. Óôèìöåâ îïóáëèêîâàë ðàáîòó, â êîòîðîé
ïîêàçàë, ÷òî àïïàðàòû, èçãîòîâëåííûå èç ïëîñêèõ ïàíåëåé, íàêëîíåííûõ ïîä
îïðåäåëåííûìè óãëàìè, íå áóäóò îòðàæàòü èçëó÷åíèå â íàïðàâëåíèè íà ÐËÑ.
201
Ýòà ðàáîòà ëåãëà â îñíîâó àìåðèêàíñêîé òåõíîëîãèè ñòåëñ (îò àíãë. stealth — ñêðûòíîñòü),
è â 1977 ã. áûëè ñîçäàíû ñàìîëåòû-íåâèäèìêè
F-117. Îäíàêî ýòè ñàìîëåòû èç-çà ñâîåé ôîðìû
îáëàäàþò ìàëîé ñêîðîñòüþ è ìàíåâðåííîñòüþ
Ðèñ. 16.11
è óïðàâëÿþòñÿ ëèøü ñ ïîìîùüþ ìîùíûõ
áîðòîâûõ êîìïüþòåðîâ, ïðîñ÷èòûâàþùèõ ïîâåäåíèå ìàøèíû â âîçäóõå.
 Ðîññèè ðàçðàáîòàíû òåõíîëîãèè, îñíîâàííûå íà ïðèíöèïèàëüíî èíûõ
èäåÿõ. Âáëèçè ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà ñîçäàåòñÿ ýêðàí èç ïëàçìû, õîðîøî
ïîãëîùàþùåé èçëó÷åíèå ÐËÑ. Ïëàçìà îáðàçóåòñÿ â ðåçóëüòàòå èîíèçàöèè âîçäóõà
ìîùíûì ïó÷êîì ýëåêòðîíîâ, ñîçäàâàåìûì áîðòîâûì ãåíåðàòîðîì. Êîíñòðóêöèÿ
ïîëó÷èëàñü íåáîëüøîé è ëåãêîé.  íà÷àëå ðàáîò ïëàçìåííîå îáëàêî ïðåïÿòñòâîâàëî êà÷åñòâåííîé ðàäèîñâÿçè ñ Çåìëåé, íî ïîçäíåå ýòà ïðîáëåìà áûëà
óñïåøíî ðåøåíà.
n Ïðèìåð 2. Îòðàæåíèå îò èîíîñôåðû ïîçâîëÿåò îñóùåñòâèòü äàëüíþþ ðàäèîñâÿçü íà îãðîìíûõ ðàññòîÿíèÿõ â òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî
íà âûñîòàõ 50 êì < H < 6 000 êì ïðîèñõîäèò èíòåíñèâíàÿ èîíèçàöèÿ àòìîñôåðíîãî àçîòà ñîëíå÷íûì èçëó÷åíèåì.  ðåçóëüòàòå îáðàçóåòñÿ èîíîñôåðà (ïëàçìà), èìåþùàÿ ñëîèñòóþ ñòðóêòóðó.  ñàìîì íèæíåì D-ñëîå (50 êì < H < 90
êì) êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ N ~ 108 — 109 ì-3, â E-ñëîå (90 êì < H < 140 êì)
N ~ 1011 ì-3, â F-ñëîå (H > 140 êì) N ~ 2 × 1011 — 1012 ì-3.  íî÷íîå âðåìÿ ýòè
êîíöåíòðàöèè óìåíüøàþòñÿ. Ïëàçìåííàÿ äëèíà âîëíû, íàïðèìåð äëÿ E-ñëîÿ,
lp ~ 102 ì. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàäèîâîëíû ñ l > 100 ì áóäóò îòðàæàòüñÿ îò ýòîãî
ñëîÿ. Áîëåå êîðîòêèå âîëíû áóäóò îòðàæàòüñÿ îò íèæíåãî D-ñëîÿ.
Åñëè ðàäèîëó÷ îò ðàäèîñòàíöèè ÐÑ, óñòàíîâëåííîé íà ïîâåðõíîñòè çåìëè,
íàïðàâèòü ïîä óãëîì ê âåðòèêàëè, òî îí áóäåò ìíîãîêðàòíî îòðàæàòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî îò èîíîñôåðû è îò ïîâåðõíîñòè çåìëè (ðèñ. 16.11). Â ðåçóëüòàòå îí
ìîæåò äîñòè÷ü ïðèåìíèêà Ïð âîëíû, íàõîäÿùåãîñÿ äàëåêî çà ëèíèåé ãîðèçîíòà.
Äëèííûå ðàäèîâîëíû (l ~ 1 êì), âñëåäñòâèå çíà÷èòåëüíîé äèôðàêöèè, ïðîñòî
îãèáàþò ïîâåðõíîñòü Çåìëè è ìîãóò òàêæå ïåðåäàâàòüñÿ íà òûñÿ÷è êèëîìåòðîâ.
ÐÀÇÄÅË 6
ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÅ ßÂËÅÍÈß ÍÀ ÃÐÀÍÈÖÅ ÐÀÇÄÅËÀ ÑÐÅÄ.
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÎÏÒÈÊÀ
Ë Å Ê Ö È ß 17
Èç ìíîãî÷èñëåííûõ îïûòîâ èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïàäåíèè ñâåòîâîé âîëíû íà
ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä âîçíèêàþò, â îáùåì ñëó÷àå, äâå âîëíû — îòðàæåííàÿ è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ýòó ãðàíèöó. Íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýòèõ äâóõ
âîëí è èõ èíòåíñèâíîñòè çàâèñÿò êàê îò íàïðàâëåíèÿ ïàäàþùåé âîëíû è
åå èíòåíñèâíîñòè, òàê è îò îïòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê äâóõ ñðåä.
Íàèáîëåå ïðîñòî ýòî ìîæíî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, íàïðàâèâ ëó÷ ëàçåðíîé
óêàçêè íà ïîâåðõíîñòü âîäû â ñòàêàíå. Íà ïîòîëêå ìîæíî çàðåãèñòðèðîâàòü
îòðàæåííûé ëó÷, à íà äíå ñòàêàíà — ïðåëîìëåííûé. Èçìåíÿÿ óãîë ïàäåíèÿ
ëó÷à íà ïîâåðõíîñòü âîäû, ìîæíî îáíàðóæèòü íå òîëüêî ñìåùåíèå ïÿòåí íà
ïîòîëêå è äíå ñòàêàíà, íî òàêæå è èçìåíåíèå èõ ÿðêîñòè.  ÷àñòíîñòè, ïðè
íàêëîííîì ïàäåíèè ëó÷à ÿðêîñòü îòðàæåííîãî ëó÷à áóäåò íàìíîãî áîëüøå,
÷åì ïðè âåðòèêàëüíîì ïàäåíèè. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî êîýôôèöèåíò
îòðàæåíèÿ ïðè íàêëîííîì ïàäåíèè áîëüøå, ÷åì ïðè ïàäåíèè, íîðìàëüíîì
ê ïîâåðõíîñòè. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ïàññàæèð â âàãîíå ìåòðî, íàõîäÿñü âáëèçè îêíà, âèäèò â íåì áîëåå ÿðêèå èçîáðàæåíèÿ óäàëåííûõ îò íåãî
äðóãèõ ïàññàæèðîâ ïî ñðàâíåíèþ ñî ñâîèì ñîáñòâåííûì.
Ðåøåíèå çàäà÷è î ïðîõîæäåíèè âîëíû ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà ìîæíî îñóùåñòâèòü, èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ ýëåêòðè÷åñêîãî E è ìàãíèòíîãî H ïîëåé, âûòåêàþùèå èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ïóñòü êîëëèìèðîâàííûé ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåòîâîé
ïó÷îê ïàäàåò íàêëîííî íà ïëîñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ ñðåä. Äèôðàêöèåé,
â ñèëó ìàëîñòè ðàññòîÿíèé îò ãðàíèöû ðàçäåëà, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Åñëè àìïëèòóäà âîëíû â ñå÷åíèè ïó÷êà ïîñòîÿííà, òî òàêîìó ïó÷êó ìîæíî ïîñòàâèòü
â ñîîòâåòñòâèå ëó÷ ñâåòà — îòðåçîê ïðÿìîé, íàïðàâëåííûé âäîëü îñè ïó÷êà
â ñòîðîíó åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Òàêèìè ëó÷àìè áóäåì îïèñûâàòü è íàïðàâëåíèÿ
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïðîõîäÿùåé è îòðàæåííîé âîëí.
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà îáå ñðåäû
ÿâëÿþòñÿ ïðîçðà÷íûìè äèýëåêòðèêàìè ñ èçâåñòíûìè
çíà÷åíèÿìè äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè ïîêàçàòåëÿ
ïðåëîìëåíèÿ n1 è n2 . Ïîãëîùåíèå ìîæíî íå ó÷èòûâàòü,
ïîñêîëüêó áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîëÿ òðåõ âîëí íåïîñðåäñòâåííî âáëèçè ãðàíèöû ðàçäåëà.
Ïóñòü ãðàíèöà ðàçäåëà ñðåä 1 è 2 íàõîäèòñÿ â ïëîñêîñòè z = 0 (ðèñ. 17.1).
Ïàäàþùèé ëó÷, ëåæàùèé â ïëîñêîñòè Oxz (ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ), ñîñòàâëÿåò óãîë Ji ñ íîðìàëüþ ê ãðàíèÐèñ. 17.1
öå ðàçäåëà. Åãî íàïðàâëåíèå çàäàåòñÿ åäèíè÷íûì âåê203
òîðîì ei. Îòðàæåííûé ëó÷ îðèåíòèðîâàí â íàïðàâëåíèè åäèíè÷íîãî âåêòîðà er,
ñîñòàâëÿþùåãî óãîë Jr ñ íîðìàëüþ, à ïðåëîìëåííûé — â íàïðàâëåíèè et ïîä
óãëîì Jt ê íîðìàëè.
Áóäåì ñ÷èòàòü ïàäàþùóþ âîëíó ïëîñêî ïîëÿðèçîâàííîé. Íàïðÿæåííîñòü
åå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èìååò âèä
é æ
r × ei ö ù
E i = A i exp êi w ç t .
L1 ÷ø úû
ë è
(17.1)
Âåêòîð Ai ñîñòàâëÿåò íåêîòîðûé óãîë ai ñ ïëîñêîñòüþ ïàäåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ îòðàæåííîé è ïðåëîìëåííîé âîëí ìîæåì çàïèñàòü
é æ
r × er ö ù
E r = A r exp êi w ç t ,
L1 ÷ø úû
ë è
é æ
r × et ö ù
E t = A t exp êi w ç t .
L 2 ÷ø úû
ë è
(17.2)
 âûðàæåíèÿõ (17.1) è (17.2) L1 = c/n1, L2 = c/n2 — ôàçîâûå ñêîðîñòè âîëíû
â ïåðâîé è âòîðîé ñðåäàõ. Ïîëå â ïåðâîé ñðåäå åñòü ñóììà ïîëåé ïàäàþùåé
è îòðàæåííîé âîëí, à âî âòîðîé ñðåäå îïðåäåëÿåòñÿ ïîëåì ëèøü îäíîé ïðåëîìëåííîé âîëíû:
E1 = E i + E r ;
E 2 = Et ;
(17.3)
H1 = Hi + H r ; H 2 = Ht .
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ òðåáóþò íåïðåðûâíîñòè òàíãåíöèàëüíûõ (ëåæàùèõ
â ïëîñêîñòè Oxy) êîìïîíåíò:
E1t = E 2 t ;
H 1t = H 2 t .
(17.4)
Çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó óãëàìè Jr , Jt è çàäàííûì óãëîì ïàäåíèÿ Ji. Ñîîòíîøåíèÿ (17.4) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè àðãóìåíòû ôóíêöèé (17.1) è (17.2) îäèíàêîâû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè:
t-
r × ei
L1
=t-
r × er
L1
=t-
r × et
L2
,
(17.5)
ãäå r ëåæèò â ïëîñêîñòè Oxy. Òîãäà e × r = et è (17.5) çàïèøåòñÿ â âèäå
ei t
L1
=
er t
L1
=
et t
L2
.
(17.6)
Î÷åâèäíî, ÷òî âñå òðè åäèíè÷íûõ âåêòîðà ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ
Oxz. Ïîñêîëüêó e i t = sin J i ; e r t = sin J r ; e t t = sin J t , ìîæíî çàïèñàòü äâà ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó óãëàìè, îïðåäåëÿþùèå ñîäåðæàíèå äâóõ çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè: çàêîíà îòðàæåíèÿ
Ji = Jr
(17.7)
L
sin J i
n
= 1 = 2,
sin J t L 2
n1
(17.8)
è çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ
ïîëó÷èâøåãî íàçâàíèå çàêîíà Ñíåëëèóñà â ÷åñòü ãîëëàíäñêîãî ó÷åíîãî Â. Ñíåëëèóñà, îòêðûâøåãî ýòîò çàêîí ýêñïåðèìåíòàëüíî â 1621 ã. Çàêîí îòðàæåíèÿ ñâåòà
áûë èçâåñòåí åùå äðåâíèì ãðåêàì, êîòîðûå óñïåøíî åãî ïðèìåíÿëè íà ïðàêòèêå.
204
ßðêèì ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîäòâåðæäåíèåì çàêîíà Ñíåëëèóñà ÿâëÿåòñÿ
âûïîëíåííûé È. Íüþòîíîì ýêñïåðèìåíò ïî ðàçëîæåíèþ áåëîãî ñâåòà íà öâåòà
ñ ïîìîùüþ ñòåêëÿííîé ïðèçìû. Ðàçëîæåíèå áåëîãî ñâåòà â ñïåêòð ïîêàçàíî
íà ðèñ. 17.1 öâ. âêë.
Åñëè ñâåò ïàäàåò èç îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû â ìåíåå ïëîòíóþ (n1 > n2),
òî óãîë Ji < Jt. Ïðè Jt = p/2 ïðåëîìëåííûé ëó÷ ñêîëüçèò âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà.
Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè óãëå ïàäåíèÿ Ji = Jîòð, ïðè ýòîì
sin J îòð =
n2
< 1.
n1
(17.9)
Óãîë Jîòð íàçûâàåòñÿ óãëîì ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ. Ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ Ji ³ Jîòð, êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, èíòåíñèâíîñòü îòðàæåííîé âîëíû
ðàâíà èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåé. Ïðåëîìëåííàÿ âîëíà ïðîíèêàåò â ìåíåå
ïëîòíóþ ñðåäó íà íåáîëüøóþ ãëóáèíó ïîðÿäêà äëèíû ñâåòîâîé âîëíû.
Ñ ïðåëîìëåíèåì è ïîëíûì âíóòðåííèì îòðàæåíèåì ñâÿçàíî ïîÿâëåíèå
íà íåáîñêëîíå öâåòíîé ðàäóãè ïîñëå äîæäÿ. Ëó÷ áåëîãî ñîëíå÷íîãî ñâåòà, ïîïàäàÿ
âíóòðü äîæäåâîé êàïëè, âåäåò ñåáÿ äâîÿêî, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 17.2 öâ.
âêë. Åñëè îí èñïûòûâàåò äâà ïðåëîìëåíèÿ è îäíî îòðàæåíèå âíóòðè êàïëè,
òî ÷åëîâåê, íàõîäÿñü ñïèíîé ê ñîëíöó, óâèäèò ðàäóãó, êðàñíóþ ñâåðõó è ñèíþþ ñíèçó. Ýòà ðàäóãà íàçûâàåòñÿ ïåðâè÷íîé. Åñëè ñâåò îòðàæàåòñÿ âíóòðè
êàïëè äâà ðàçà, òî íàä ïåðâè÷íîé ïîÿâèòñÿ ìåíåå ÿðêàÿ âòîðè÷íàÿ ðàäóãà. Îíà
íåñêîëüêî áîëüøå ïåðâè÷íîé è îòëè÷àåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ïîðÿäêîì ñëåäîâàíèÿ öâåòîâ.
Ïðè ïàäåíèè ñâåòà â ñðåäó ñ n2 < 0 óãîë Jt < 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåëîìëåííûé ëó÷ áóäåò íàõîäèòüñÿ ïî îäíó ñòîðîíó îò íîðìàëè ñ ïàäàþùèì. Íà ðèñ.17.3
öâ. âêë. ñõåìàòè÷íî ïîêàçàí õîä ëó÷åé îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ÷åðåç ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïëàñòèíêó (ðèñ. 17.3, à öâ. âêë.) è ñëîé ìåòàìàòåðèàëà (ðèñ.17.3,á öâ.
âêë.) ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñëîé
ôîðìèðóåò èçîáðàæåíèå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà. Ïðîñòåéøèé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû n = -1. Ðàññòîÿíèå ìåæäó èñòî÷íèêîì è
åãî èçîáðàæåíèåì ðàâíî óäâîåííîé òîëùèíå ñëîÿ. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî
â ýòîì ñëó÷àå âñå ïðîøåäøèå ëó÷è, êàêîé áû óãîë íå îáðàçîâûâàëè ïàäàþùèå
ëó÷è ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè ìåòàìàòåðèàëà, ïåðåñåêóòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Ïîýòîìó òàêîé ñëîé íàçûâàþò ñóïåðëèíçîé. Îäíàêî â îòëè÷èå îò îáû÷íîé
ëèíçû îí íå ôîêóñèðóåò êîëëèìèðîâàííûé ïó÷îê ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.
Ôîðìóëû Ôðåíåëÿ. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó àìïëèòóäàìè Ai, Ar è At ïîëó÷àþòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (17.4). Êàæäîå èç ïîëåé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
âåêòîðíîé ñóììû ïàðàëëåëüíîé (ëåæàùåé â ïëîñêîñòè
ïàäåíèÿ Oxz) è ïåðïåíäèêóëÿðíîé êîìïîíåíò:
E = EP + E^; H = HP + H^.
Âíà÷àëå ïîëîæèì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå E = EP
(ðèñ. 17.2).
Î÷åâèäíî H = H^, ïîñêîëüêó âåêòîðû E, H è e îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ (ñì. (1.25) è (1.26)). Êðîìå òîãî, îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (1.27), êîòîðîå
â äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
e 0 eE =
m 0 H èëè H = c e 0 nE .
(17.10)
Ðèñ. 17.2
205
Òîãäà óñëîâèå E1t = E2t ïðèìåò âèä
E iP cos J i + E rP cos J r = E tP cos J t .
(17.11)
Âòîðîå óñëîâèå H1t = H2t îçíà÷àåò, ÷òî H i ^ + H r^ = H t ^ . Ñ ó÷åòîì (17.10) îíî
ïåðåïèøåòñÿ â âèäå
n1E iP - n1E rP = n2 E tP .
(17.12)
Ñîâìåñòíîå ðåøåíèå (17.11) è (17.12) ïðè ó÷åòå çàêîíà Ñíåëëèóñà (17.8)
ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå äâå ôîðìóëû:
rP =
tP =
E tP
E iP
=
E rP
E iP
AtP
AiP
=
=
ArP
AiP
=-
tg(J i - J t )
;
tg(J i + J t )
2 sin J t cos J i
.
sin(J i + J t ) cos(J i - J t )
(17.13)
(17.14)
Çäåñü rP è tP — àìïëèòóäíûå êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ äëÿ
ïàðàëëåëüíîé êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Åñëè òåïåðü ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå èìååò äðóãóþ ïîëÿðèçàöèþ (E = E^; H = HP),
òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ áóäóò îòëè÷àòüñÿ îò (17.11) è (17.12):
E i ^ + E r^ = E t ^ ,
(17.15)
- n1E i ^ cos J i + n1E r^ cos J r = - n2 E t ^ cos J t .
(17.16)
Èç ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àþòñÿ äâå ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ r^ è t^:
r^ =
t^ =
E r^
E i^
E t^
E i^
=
=
Ar^
Ai^
At ^
Ai^
sin(J i - J t )
;
sin(J i + J t )
(17.17)
2 sin J t cos J i
.
sin(J i + J t )
(17.18)
=-
=
Ôîðìóëû (17.13)— (17.14) è (17.17)— (17.18) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Ôðåíåëÿ.
Ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ. Îáðàòèì âíèìàíèå íà âîçìîæíîñòü ñìåíû çíàêà
ó êîýôôèöèåíòà rP ïðè èçìåíåíèè óãëà ïàäåíèÿ. Åñëè rP > 0, òî îòðàæåííàÿ
âîëíà íàõîäèòñÿ â ôàçå ñ ïàäàþùåé (ñì. ðèñ. 17.2). Åñëè rP < 0, òî âåêòîð E rP
äîëæåí áûòü íàïðàâëåí â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ñëåäîâàòåëüíî, îòðàæåííàÿ
âîëíà ïðèîáðåòàåò ïî îòíîøåíèþ ê ïàäàþùåé âîëíå ñêà÷îê ôàçû, ðàâíûé p.
Ïðîàíàëèçèðóåì ïîäðîáíåå ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ. Ïóñòü âíà÷àëå ñâåò ïàäàåò èç îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé ñðåäû â îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíóþ: n1 < n2.
Òîãäà Ji > Jt. Ïðè ìàëûõ óãëàõ ïàäåíèÿ, êîãäà Ji + Jt £ p/2, rP < 0 è r^ < 0.
Ïîýòîìó îáå îòðàæåííûå âîëíû íàõîäÿòñÿ â ïðîòèâîôàçå ñ ïàäàþùåé. Ýòîò
ñêà÷îê ôàçû ó÷èòûâàëñÿ ðàíåå ïðè âû÷èñëåíèè îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè õîäà
â èíòåðôåðåíöèîííîé ñõåìå ñ êîëüöàìè Íüþòîíà, êîãäà ïðîèñõîäèëî îòðàæåíèå îò ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè.
Ïðè Ji + Jt = p/2 rP = 0, è îäíà èç êîìïîíåíò íå îòðàæàåòñÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèé óãîë ïàäåíèÿ Ji = JÁ íàçûâàåòñÿ óãëîì Áðþñòåðà â ÷åñòü øîòëàíäñêîãî
ôèçèêà Ä. Áðþñòåðà, îòêðûâøåãî (1915) ñâÿçü ìåæäó ýòèì óãëîì è ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è n2. Îíà ïîëó÷àåòñÿ èç çàêîíà Ñíåëëèóñà:
206
sin J Á
sin J Á
n
=
= tg J Á = 2 < 1.
n1
sin J t
sin(p/2 - J Á )
(17.19)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïàäåíèè ïîä óãëîì Áðþñòåðà ñâåòà, ïîëÿðèçîâàííîãî
â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, åãî îòðàæåíèÿ íå ïðîèñõîäèò. Íà ýòî ðàíåå óæå îáðàùàëîñü
âíèìàíèå ïðè îïèñàíèè óñòðîéñòâà ãàçîâûõ ëàçåðîâ. Âûõîäíûå òîðöû ãàçîðàçðÿäíûõ òðóáîê äëÿ óìåíüøåíèÿ ïîòåðü ïðè îòðàæåíèè áûëè íàêëîíåíû ïîä
óãëîì Áðþñòåðà. Ãåíåðèðóåìàÿ ëàçåðîì âîëíà ïîëó÷àëàñü ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîé.
Ïðè Ji > JÁ óæå rP > 0, à r^ < 0.
Åñëè ñâåò ïàäàåò èç îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé â ìåíåå ïëîòíóþ ñðåäó (n1 > n2),
òî êàæäàÿ èç êîìïîíåíò îòðàæåííîé âîëíû âñåãäà áóäåò â ôàçå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòîé ïàäàþùåé âîëíû. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êîýôôèöèåíòû
rP è r^ ïîëîæèòåëüíû ïðè âñåõ óãëàõ ïàäåíèÿ.
Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó r è t ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè âåëè÷èíàìè,
òî ïðè ïàäåíèè ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîé âîëíû îòðàæåííàÿ è ïðåëîìëåííàÿ
âîëíû áóäóò òàêæå ïëîñêîïîëÿðèçîâàíû. Ðàçóìååòñÿ, ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî, åñëè íå ïðîèñõîäèò ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ.
Àìïëèòóäíûå ñîîòíîøåíèÿ. Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü àìïëèòóäíûå ñîîòíîøåíèÿ. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé èñïîëüçóþòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû
îòðàæåíèÿ R è ïðîïóñêàíèÿ T, êîòîðûå áûëè èñïîëüçîâàíû â ôîðìóëå Ýéðè
ïðè àíàëèçå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû â èíòåðôåðîìåòðå Ôàáðè — Ïåðî.
 ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n èíòåíñèâíîñòü âîëíû ñ ó÷åòîì (2.5),
(2.7), (17.10):
1
(17.20)
c e 0 nA 2 .
2
Êîýôôèöèåíò R îïðåäåëèì êàê îòíîøåíèå ïëîòíîñòåé ïîòîêîâ ýíåðãèè
÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó íà ãðàíèöå ðàçäåëà:
I = áEH ñ =
R =
I r cos J r
A2
= r2 = r 2 .
I i cos J i
Ai
(17.21)
Êîýôôèöèåíò T îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñìûñëó àíàëîãè÷íî:
T =
I t cos J t
A 2 n cos J t
n cos J t
= t2 2
= t2 2
.
I i cos J i
Ai n1 cos J i
n1 cos J i
(17.22)
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Ôðåíåëÿ íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî
R + T = 1.
(17.23)
Ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè (Ji = 0) rP = r^ = r, tP = t^ = t è
n - n1
é sin(J i - J t ) ù
r = lim ê ;
=- 2
ú
J i ®0
n2 + n1
ë sin(J i + J t ) û
(17.24à)
2n1
é 2 sin J t cos J i ù
t = lim ê
.
=
ú
J i ®0
ë sin(J i + J t ) û n2 + n1
(17.24á)
Ïîýòîìó
2
æ n - n1 ö
R =ç 2
;
è n2 + n1 ø÷
T =
n2 2
4n1n2
t =
.
n1
(n1 + n2 ) 2
(17.25)
207
Ðèñ. 17.3
Ðèñ. 17.4
Íà ðèñ. 17.3 ïðåäñòàâëåíû çàâèñèìîñòè RP = rP2 è R^ = r^2 îò óãëà ïàäåíèÿ ïðè
ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû èç âîçäóõà (n1 = 1) â ñòåêëî (n2 = 1,5).
Ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè, êàê ñëåäóåò èç (17.25), R = 0,04 (ñîîòâåòñòâåííî
T = 0,96). Ïðè óâåëè÷åíèè óãëà J êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R^ ìîíîòîííî óâåëè÷èâàåòñÿ äî åäèíèöû, â òî âðåìÿ êàê RP âíà÷àëå óáûâàåò äî íóëÿ. Óãîë Áðþñòåðà JÁ = arctg(1,5/1) » 62°. Çàòåì ïðè Ji > JÁ RP âîçðàñòàåò òàêæå äî åäèíèöû.
Óãîë Áðþñòåðà è åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Îòñóòñòâèå ïàðàëëåëüíîé êîìïîíåíòû â îòðàæåííîì ñâåòå ïðè ïàäåíèè ïîä óãëîì Áðþñòåðà íåòðóäíî îáúÿñíèòü, åñëè ó÷åñòü, ÷òî îòðàæåííàÿ âîëíà (êàê è ïðîõîäÿùàÿ) âîçíèêàåò
â ðåçóëüòàòå ïåðåèçëó÷åíèÿ ñâåòà ýëåìåíòàðíûìè îñöèëëèðóþùèìè äèïîëÿìè
d, èìåþùèìè äèàãðàììó íàïðàâëåííîñòè ñâîåãî èçëó÷åíèÿ (ñì. äèàãðàììó íà
ðèñ. 3.4). Åñëè â ïàäàþùåé âîëíå ïðèñóòñòâóåò ëèøü êîìïîíåíòà E iP , òî è â
ïðîõîäÿùåé âîëíå áóäåò îäíà êîìïîíåíòà E tP , êîòîðàÿ âûçîâåò âûíóæäåííûå
êîëåáàíèÿ äèïîëüíîãî ìîìåíòà â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ (ðèñ. 17.4).
Ïðè Ji = JÁ óãîë ìåæäó et è er áóäåò ïðÿìûì. Ïîýòîìó äèïîëü â íàïðàâëåíèè
er èçëó÷àòü íå áóäåò.
Ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå. Ðàññìîòðèì ïàäåíèå ñâåòà èç îïòè÷åñêè áîæn ö
ëåå ïëîòíîé â ìåíåå ïëîòíóþ ñðåäó (n1 > n2). Óãîë Áðþñòåðà J Á = arctg ç 2 ÷ ,
è n1 ø
æ n2 ö
J
=
>
J
arcsin
à óãîë ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ îòð
Á. Íàïðèìåð, ïðè
èç n1 ø÷
ïàäåíèè èç ñòåêëà (n1 = 1,5) â âîçäóõ (n2 = 1) JÁ » 33°, à Jîòð » 42°. Êîýôôèöèåíòû RP è R^ èçìåíÿþòñÿ ïî-ðàçíîìó â çàâèñèìîñòè îò óãëà Ji: R^ ìîíîòîííî
âîçðàñòàåò, à RP âíà÷àëå óáûâàåò, äîñòèãàÿ íóëÿ ïðè Ji = JÁ, à çàòåì âîçðàñòàåò.
Îáà êîýôôèöèåíòà, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë Ôðåíåëÿ, ïðè Ji = Jîòð äîñòèãàþò
ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé, ðàâíûõ åäèíèöå.
Ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ Ji > Jîòð çàêîí Ñíåëëèóñà íåïðèìåíèì, ïîñêîëüêó óãîë Jt
â (17.8) òåðÿåò ñìûñë. Ìîæíî ïîñòóïèòü ôîðìàëüíî, çàïèñàâ (17.8) â âèäå
cos J t = 1 - sin 2 J t = 1 -
n12
n12
2
J
=
i
sin
sin 2 J i - 1 .
i
n22
n22
(17.26)
Âåëè÷èíà cos Jt ñòàíîâèòñÿ ìíèìîé. Åñëè òåïåðü ïðåîáðàçîâàòü (17.13) è
(17.17) ñ ó÷åòîì (17.26), òî âåëè÷èíû rP è r^ ñòàíîâÿòñÿ êîìïëåêñíûìè. Ìîäóëè ýòèõ âåëè÷èí |rP | = |r^ | = 1. Åñëè ïàäàþùàÿ âîëíà ïëîñêîïîëÿðèçîâàíà, òî
îòðàæåííàÿ âîëíà, â îáùåì ñëó÷àå, ñòàíîâèòñÿ ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîé.
Ýòî îáóñëîâëåíî ïîÿâëåíèåì ñäâèãà ôàç ó êîëåáëþùèõñÿ êîìïîíåíò E rP è E r^ .
208
Ïðîäîëæàÿ ôîðìàëüíûé ïîäõîä, ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (17.2) äëÿ ïîëÿ Et.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî r × e t = x sin J t + z cos J t , ãäå cosJt îïðåäåëÿåòñÿ èç (17.26), ïîëó÷àåì:
ì é æ
x sin J t + z cos J t ö ù ü
E t = A t exp íi ê w ç t ÷ø ú ý =
è
L2
ûþ
î ë
2
æ 2p
ö
n
é
2p
= A t exp ç sin J t x
z 12 sin 2 J i - 1÷ exp êi wt l
l
n2
ë
è
ø
(
)ùúû ,
(17.27)
w
2p
= ; l — äëèíà âîëíû âî âòîðîé ñðåäå.
L2
l
Òàêèì îáðàçîì, ïðåëîìëåííàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè Ox ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ L2 /sin Jt, è åå àìïëèòóäà ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò âäîëü îñè
Oz íà ìàñøòàáå ðàññòîÿíèé ïîðÿäêà äëèíû âîëíû. Ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîòîê ýíåðãèè ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà, îïðåäåëÿåìûé z-êîìïîíåíòîé âåêòîðà Ïîéíòèíãà S z = (E t ´ H t ), îñöèëëèðóåò âî âðåìåíè ñ èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ è ñðåäíåå åãî çíà÷åíèå çà ïåðèîä ðàâíî íóëþ.
Îòðàæåíèå åñòåñòâåííîãî ñâåòà. Åñëè â ïàäàþùåé ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîé
âîëíå âåêòîð Ai ñîñòàâëÿåò óãîë ai ñ ïëîñêîñòüþ ïàäåíèÿ, òî AiP = Ai cos a i ,
Ai ^ = Ai sin a i . Äëÿ îòðàæåííîé âîëíû ArP = rP Ai cos a i , Ar^ = r^ Ai sin a i . Èíòåíñèâíîñòü âîëíû
ãäå
Ir =
1
1
c e 0 n1 |Ar | 2 = c e 0 n1 Ai2 (rP2 cos 2 a i + r^2 sin 2 a i ) = I i R a ,
2
2
(17.28)
ãäå
Ra = rP cos 2 a i + r^ sin 2 a i .
(17.29)
Ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ çàâèñèò îò óãëà ïîëÿðèçàöèè ai.
Äëÿ åñòåñòâåííîãî ñâåòà óãîë ai õàîòè÷åñêè ìåíÿåòñÿ íà ìàñøòàáå âðåìåíè
êîãåðåíòíîñòè tê. Êîýôôèöèåíò åãî îòðàæåíèÿ Råñò ïîëó÷àåòñÿ óñðåäíåíèåì
(17.29) çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt ? tê:
1
(RP + R ^ ).
2
èçîáðàæåíî øòðèõîâîé
(17.30)
Råñò = áR a ñ =
Íà ðèñ. 17.3 ïîâåäåíèå Råñò
ëèíèåé.
Âîëîêîííûå ñâåòîâîäû. ßâëåíèå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ ðåàëèçóåòñÿ â âîëîêîííûõ ñâåòîâîäàõ,
ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ êàíàëèçàöèè è ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè è ñâåòîâîé ýíåðãèè íà áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ. Îíè
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òîíêèå äëèííûå êâàðöåâûå íèòè.
Èõ èçãîòîâëÿþò èç ãàçîîáðàçíîé ôàçû SiO2. Âíà÷àëå
ïîëó÷àþò öèëèíäðè÷åñêóþ çàãîòîâêó èç ïëàâëåíîãî
êâàðöà äèàìåòðîì ~1cì è äëèíîé ~1 ì. Â åå ñåðäöåâèíó
(ïðèîñåâóþ ÷àñòü) äîáàâëÿþò ïðèìåñè (GeO 2, PO 5
è äð.) ñ öåëüþ óâåëè÷èòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ.  îñòàëüíóþ ÷àñòü (îáîëî÷êó) äîáàâëÿþò ôòîðèäû. Çàòåì
çàãîòîâêó âûòÿãèâàþò â òîíêóþ íèòü.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå íèòü, ñå÷åíèå êîòîðîé èçîáðàæåíî íà ðèñ. 17.5,
èìååò ñòóïåí÷àòûé ïðîôèëü ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ.
Ðèñ. 17.5
209
Îòíîñèòåëüíàÿ ðàçíîñòü ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ íåâåëèêà:
D=
n1 - n2
: 3 × 10 -2.
n1
Îäíàêî ýòîãî îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ëó÷ ñâåòà, ñîñòàâëÿþùèé ñ
îñüþ âîëíîâîäà íåáîëüøîé óãîë, èñïûòûâàë ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå.
Âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì â ñåðäöåâèíå, ïðîíèêàÿ íåçíà÷èòåëüíî â îáîëî÷êó.
Ðàäèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèé
Ìàêñâåëëà ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Êàê è â ðåçîíàòîðå
ëàçåðà, ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñâÿçàíû ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìîäàìè. Äëÿ ñàìîé
íèçøåé ìîäû ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ â ñåðäöåâèíå áóäåò áëèçêî ê ãàóññîâó, äëÿ
áîëåå âûñîêèõ ìîä ïîëÿ àìïëèòóäà áîëåå ñëîæíî çàâèñèò îò ïîëÿðíîãî ðàäèóñà
r è ïîëÿðíîãî óãëà j (íà ðèñ. 17.5 íå ïîêàçàí).
×åì áîëüøå äëèíà âîëíû, òåì ìåíüøå ìîä ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â âîëíîâîäå. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò äëèíà âîëíû lc, ïðè êîòîðîé â âîëíîâîäå áóäåò
ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ëèøü íèçøàÿ (îñíîâíàÿ) ìîäà. Âåëè÷èíà lc íàçûâàåòñÿ äëèíîé âîëíû îòñå÷êè, ïîñêîëüêó âîëíû ñ l > lc ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ íå ìîãóò.
Âåëè÷èíó lc ìîæíî îïðåäåëèòü èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé. Äëÿ íèçøåé ìîäû,
ïîõîæåé íà ãàóññîâ ïó÷îê, ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóäû A(r)%J0(k^r), ãäå J0 —
ôóíêöèÿ Áåññåëÿ íóëåâîãî ïîðÿäêà; k^ — ïîïåðå÷íàÿ ïðîåêöèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà.
Íà ðèñ. 17.6 ïîêàçàí âîëíîâîé âåêòîð k è åãî êîìïîíåíòà k^ ïðè ïàäåíèè âîëíû
èç ñåðäöåâèíû â îáîëî÷êó ïîä óãëîì ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ Jîòð.
×òîáû ïîëå áûëî ëîêàëèçîâàíî â ñåðäöåâèíå, íåîáõîäèìî, ÷òîáû íà ãðàíèöå (r = a)
A(r) % J0(k^ca) = 0.
Çäåñü k ^ c = k c cos J îòð =
n2
2p
n1 1 - 22 .
n1
lc
Íàèìåíüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ J0(Vc) = 0 èçâåñòåí: Vc = 2,44. Ïîýòîìó äëèíà
âîëíû îòñå÷êè îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì
Vc =
2p
n12 - n22 a = 2,44.
lc
(17.31)
Äëÿ îáû÷íûõ âîëíîâîäîâ n1 - n2 = 0,005, a = 4 ìêì. Ïîýòîìó lc = 1,2 ìêì.
 òàêîì âîëîêíå áóäåò áåç äèôðàêöèè ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ãàóññîâ ïó÷îê, åñëè
åãî äëèíà âîëíû l » lc = 1,2 ìêì. Äëÿ òàêèõ èëè áëèçêèõ äëèí
âîëí âîëíîâîä áóäåò îäíîìîäîâûì. Îäíîìîäîâûå âîëîêíà â
âèäèìîì äèàïàçîíå èìåþò ìåíüøèé ðàäèóñ ñåðäöåâèíû: a »
» 2 ìêì. Ðàäèóñ îáîëî÷êè îáû÷íî ñîñòàâëÿåò ãîðàçäî áîëüøóþ
âåëè÷èíó: b = 50 — 60 ìêì.
Èç-çà ïîãëîùåíèÿ è ðàññåÿíèÿ ñâåòà èíòåíñèâíîñòü âîëíû
ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè óáûâàåò ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó:
I (z ) = I 0e -az .
Ðèñ. 17.6
210
Êîýôôèöèåíò îñëàáëåíèÿ, èëè êîýôôèöèåíò ýêñòèíêöèè, a
ñèëüíî çàâèñèò îò äëèíû âîëíû.
Ïåðâûå ñâåòîâîäû èìåëè î÷åíü áîëüøèå ïîòåðè: a ~
~103 äÁ/êì. Íàïîìíèì, ÷òî
a (äÁ/êì) =
10 æ I 0 ö
lg ç ÷ = 4,34a (êì -1 ).
èI ø
z
Ñîâðåìåííûå êâàðöåâûå ñâåòîâîäû èìåþò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå a ~ 0,2 äÁ/êì íà äëèíå âîëíû l = 1,55 ìêì. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî èíòåíñèâíîñòü óáûâàåò â e ðàç íà ðàññòîÿíèè z = a-1 =
Ðèñ. 17.7
=4,34/0,2 êì » 22 êì. Åñëè âäîëü âîëîêîííîé ëèíèè ïîñòàâèòü
óñèëèòåëè ñâåòà, òî ïî âîëîêíó ìîæíî ïåðåäàâàòü ñâåòîâûå èìïóëüñû íà îãðîìíûå ðàññòîÿíèÿ, ïðåâûøàþùèå çåìíûå ìàñøòàáû. Îäíàêî äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïîäàâèòü äèñïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå èìïóëüñîâ, ÷òî äîñòèãàåòñÿ íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèìè ìåòîäàìè, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû â ðàçä. 9.
Ìèêðîñòðóêòóðèðîâàííûå âîëîêíà. Íàðÿäó ñ îáû÷íûìè âîëíîâîäàìè â ïîñëåäíèå ãîäû ñòàëè èñïîëüçîâàòüñÿ âîëíîâîäû ñ êâàðöåâîé èëè ñòåêëÿííîé
ìèêðîñòðóêòóðîé, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ïåðèîäè÷åñêè èëè àïåðèîäè÷åñêè ðàñïîëîæåííûå âîçäóøíûå îòâåðñòèÿ. Ïîäîáíàÿ
ñòðóêòóðà èçãîòîâëÿåòñÿ âûòÿãèâàíèåì ïîëûõ âîëîêîí.
Òàêèå ñâåòîâîäû îáëàäàþò õîðîøåé îòðàæàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ. Ïîòåðè ó
ýòèõ âîëíîâîäîâ ñóùåñòâåííî íèæå, ÷åì ó îáû÷íûõ. Èçìåíÿÿ ñòðóêòóðó îáîëî÷êè,
ìîæíî èçìåíèòü çàâèñèìîñòü w(k) äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîä, ÷òî îòêðûâàåò íîâûå
âîçìîæíîñòè â îáëàñòè òåëåêîììóíèêàöèé, ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óâåëè÷èòü
ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïîëÿ âîëíû â ñåðäöåâèíå è òåì ñàìûì çíà÷èòåëüíî óñèëèòü
íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèå âçàèìîäåéñòâèÿ (áîëåå ïîäðîáíî ñì. ëåêöèè 22 è 24).
Ïðîñâåòëÿþùèå ïîêðûòèÿ. Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ýíåðãåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ îò ñòåêëÿííîé ïîâåðõíîñòè ñîñòàâëÿåò âñåãî 4 %, îòðàæàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü ìîæíî çàìåòíî óìåíüøèòü, åñëè íà ïîâåðõíîñòü íàíåñòè òîíêèé ñëîé äèýëåêòðèêà, ïîäîáðàâ åãî ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ è òîëùèíó. Òàêîå
ïîêðûòèå íàçûâàåòñÿ ïðîñâåòëÿþùèì.
Ïóñòü âîëíà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ãðàíèöó ðàçäåëà, íà êîòîðóþ íàíåñåí
òîíêèé ñëîé òîëùèíîé L ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n3 (ðèñ. 17.7).
Ïàäàþùàÿ âîëíà áóäåò èñïûòûâàòü îòðàæåíèå îò îáåèõ ãðàíèö ñëîÿ. Íà ëåâîé ãðàíèöå ñëîÿ, ñîãëàñíî (17.24à), êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ
r13 = -
n3 - n1
,
n3 + n1
(17.32)
r32 = -
n2 - n3
.
n2 + n3
(17.33)
à íà ïðàâîé ãðàíèöå
Åñëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñëîÿ
n3 = n1n2 ,
(17.34)
òî
r13 = r32 = -
n2 - n1
n2 + n1
.
(17.35)
Ïðè n1 = 1,0, n2 = 1,5, n3 = 1,22 êîýôôèöèåíòû r13 = r32 » -0,1.
211
 ñèëó ìàëîñòè êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ ìîæíî ó÷åñòü ëèøü îäíîêðàòíûå
îòðàæåíèÿ ïàäàþùåé âîëíû îò ãðàíèö ñëîÿ. Òîãäà äâå îòðàæåííûå âîëíû áóäóò
èìåòü ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíûå àìïëèòóäû, à èõ ðàçíîñòü ôàç áóäåò çàâèñåòü
îò îïòè÷åñêîé òîëùèíû n3L ñëîÿ. Åñëè
l0
, m = 1, 2, 3, K ,
(17.36)
4
òî îòðàæåííûå âîëíû ïðè èíòåðôåðåíöèè âçàèìíî êîìïåíñèðóþòñÿ. Ñëîé,
óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ (17.36), íàçûâàþò ÷åòâåðòüâîëíîâûì. Ñëåäîâàòåëüíî, îòðàæåííàÿ âîëíà ïðàêòè÷åñêè áóäåò îòñóòñòâîâàòü, è âñÿ ñâåòîâàÿ ýíåðãèÿ ïðîíèêíåò ÷åðåç ÷åòâåðòüâîëíîâîé ñëîé âî âòîðóþ ñðåäó.
Ïðîñâåòëÿþùèå ïîêðûòèÿ íàíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòü îïòè÷åñêèõ ëèíç ôîòîàïïàðàòîâ, òåëå- è âèäåîêàìåð è äð. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ è
òîëùèíó ïîäáèðàþò ñ òåì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû îáåñïå÷èòü íàèëó÷øåå ïðîíèêíîâåíèå äëÿ äëèíû âîëíû l, ïðèíàäëåæàùåé ê íàèáîëåå èíòåíñèâíîé æåëòîçåëåíîé ÷àñòè ñïåêòðà ñîëíå÷íîãî ñâåòà. Ïîñêîëüêó â îòðàæåííîì ñâåòå ýòà
÷àñòü ñïåêòðà îòñóòñòâóåò, òî ïîâåðõíîñòü ëèíçû ñòàíîâèòñÿ îêðàøåííîé
â ñèíèé èëè ôèîëåòîâûé öâåòà.
Çåðêàëüíûå ïîêðûòèÿ. Ïóñòü ÷åòâåðòüâîëíîâîé ñëîé èìååò ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n3 > n1, n2. Òîãäà r13 < 0, à r32 > 0, ïðè ýòîì ñ óâåëè÷åíèåì n3 îòðàæåíèå îò ãðàíèö ñëîÿ óâåëè÷èâàåòñÿ. Îòðàæåííûå âîëíû áóäóò íàõîäèòüñÿ â ôàçå.
Ïîýòîìó òàêîé ñëîé ñïîñîáñòâóåò óâåëè÷åíèþ îòðàæåíèÿ è âûïîëíÿåò ðîëü
çåðêàëüíîãî ïîêðûòèÿ äëÿ ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû l, óäîâëåòâîðÿþùåé (17.36).
Ó÷åò ìíîãîêðàòíûõ îòðàæåíèé îò ñëîÿ. Ðàññ÷èòàåì êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ñ ó÷åòîì ìíîãîêðàòíûõ ïðîõîäîâ è îòðàæåíèé îò ãðàíèö ñëîÿ ñ ïðîèçâîëüíîé îïòè÷åñêîé òîëùèíîé n3L. Åñëè àìïëèòóäà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íîðìàëüíî ïàäàþùåé íà ñëîé âîëíû ðàâíà Ai, òî àìïëèòóäà îòðàæåííîé âîëíû Ar
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ðÿäà:
n3L = (2m - 1)
æ
t 2r t t e i Ô ö
Ar = Ai (r13 + t13t 32r32t 31e i Ô + t13t 34r322 r31t 31e i 2Ô + K) = Ai ç r13 + 3 322 13 31 i Ô ÷ = Ai r , (17.37)
è
1 - t 3 r32r31e ø
2p
2n3L ; t3 — êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ ñëîÿ; t13 è t31 — êîýôôèöèåíãäå Ô =
l0
òû ïðîïóñêàíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ïî àíàëîãèè ñ (17.24á ). Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ r ñëîÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì â ñêîáêàõ.
Íà ðèñ. 17.8 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü
R
ýíåðãåòè÷åñêîãî êîýôôèöèåíòà îòðà0,5
æåíèÿ R = |r |2 îò îïòè÷åñêîé òîëùèíû
ïëåíêè, íàíåñåííîé íà ïîâåðõíîñòü
0,4
n3 = 3,0
ñòåêëà ñ n2 = 1,5.
Ïðè n3 = 1 è n3 = 1,5 R = 0,04, êàê
0,3
è
äîëæíî
áûòü â îòñóòñòâèå ïîêðûòèÿ.
n3 = 2,0
0,2
Åñëè n3 = n1n2 = 1,22, òî ÷åòâåðòüâîëíîâàÿ ïëåíêà áóäåò ïðîñâåòëÿþùåé,
0,1
n3 =1 ;1,5
åñëè n3 = 2,0; 3,0, òî — îòðàæàþùåé.
n3 = 1,22
Ïîëóâîëíîâàÿ ïëåíêà ðàáîòàåò êàê ñâål0/4
l0/2
3l0/4
l0 n3L
0
òîôèëüòð, ïðîïóñêàþùèé ñâåò â îãðàÐèñ. 17.8
íè÷åííîé ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè.
212
Äëÿ ïîêðûòèé ïðèìåíÿþò íåáîëüøîé íàáîð ïðîçðà÷íûõ äèýëåêòðèêîâ,
ñòîéêèõ ê àòìîñôåðíûì âîçäåéñòâèÿì. Â âèäèìîé îáëàñòè äëÿ ïðîñâåòëåíèÿ èñïîëüçóþò ôòîðèñòûé ìàãíèé
MgF 2 (n 3 = 1,38) èëè êðèîëèò
3NaF × AlF3 (n3 = 1,35). Åñòåñòâåííî, ÷òî
óñëîâèå (17.34) òî÷íî íå âûïîëíÿåòñÿ.
Ðèñ. 17.9
Ìíîãîñëîéíûå äèýëåêòðè÷åñêèå çåðêàëà. Èç ðèñ. 17.8 âèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ îò îäíîãî ñëîÿ íå î÷åíü áîëüøîé (R ~ 0,5), ïðè ýòîì îòðàæàþòñÿ âîëíû, äëÿ êîòîðûõ ñëîé ÿâëÿåòñÿ ÷åòâåðòüâîëíîâûì. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ õîðîøî îòðàæàþùèõ ïîâåðõíîñòåé (çåðêàë) â øèðîêîì ñïåêòðàëüíîì äèàïàçîíå
íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè íàíîñÿò íàïûëåíèåì ìíîãî ÷åðåäóþùèõñÿ
÷åòâåðòüâîëíîâûõ ñëîåâ äèýëåêòðèêîâ ñ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n3¢ è n3² < n3¢.
Ïðè ýòîì ïåðâûì íàíîñèòñÿ ñëîé ñ áîëüøèì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ.  ðåçóëüòàòå îáðàçóåòñÿ ìíîãîñëîéíîå äèýëåêòðè÷åñêîå çåðêàëî ñ âûñîêèì êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ.
Íàïðèìåð, ïðè íàïûëåíèè íà ñòåêëî 14 ÷åòâåðòüâîëíîâûõ ñëîåâ ZnS (n3¢ =
= 2,30) è êðèîëèòà (n3² = 1,35) ïîëó÷àåòñÿ çåðêàëî, ñïåêòðàëüíàÿ çàâèñèìîñòü
êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ R êîòîðîãî ïîêàçàíà íà ðèñ. 17.9.
Çäåñü l0 — äëèíà âîëíû, äëÿ êîòîðîé ñëîè ÿâëÿþòñÿ ÷åòâåðòüâîëíîâûìè.
 ìàêñèìóìå R = 0,98. Åñëè l0 = 550 íì, òî Dl » 0,3l0 = 165 íì. Èñïîëüçóÿ
ðàçíîîáðàçíûå ïîêðûòèÿ è óâåëè÷èâàÿ ÷èñëî ñëîåâ, ìîæíî èçãîòàâëèâàòü çåðêàëà, õîðîøî îòðàæàþùèå ñâåò â ðàçíûõ ñïåêòðàëüíûõ äèàïàçîíàõ.
Ðàñ÷åò, êîòîðûé íåñëîæíî ïðîâåñòè, ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ÷åòíîì ÷èñëå
ñëîåâ 2N â îòñóòñòâèå ïîòåðü â ñëîÿõ êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ
r =
æ n ¢¢ö
n1 ç 3 ÷
è n3¢ ø
æ n ¢¢ö
n1 ç 3 ÷
è n3¢ ø
N
N
æ n¢ ö
- n2 ç 3 ÷
è n3¢¢ø
æ n¢ ö
+ n2 ç 3 ÷
è n3¢¢ø
N
N
.
(17.38)
Ïðè N ® ∞ r ® -1. Îäíàêî ïðè ïðåâûøåíèè íåêîòîðîãî ÷èñëà ñëîåâ îòðàæåíèå íà÷íåò óõóäøàòüñÿ èç-çà âîçðàñòàíèÿ ïîãëîùåíèÿ è ðàññåÿíèÿ.
Ïî-âèäèìîìó, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðåäåëüíî âûñîêèì êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ îáëàäàþò äèýëåêòðè÷åñêèå çåðêàëà, èñïîëüçóåìûå â îïèñàííîé ðàíåå
ãðàâèòàöèîííîé àíòåííå LIGO. Ïðè íàíåñåíèè 2N = 40 ñëîåâ äèýëåêòðèêîâ
SiO2 (n3² = 1,41) è Ta2O5 (n3¢ = 2,10) íà äëèíå âîëíû l0 » 1 ìêì êîýôôèöèåíò
îòðàæåíèÿ R ~ 1 - 10-6 = 0,999999¾
Ìåòàëëè÷åñêèå çåðêàëà. Äðóãîé ðàçíîâèäíîñòüþ çåðêàë ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèå
ìåòàëëè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ îò òàêîé ïîâåðõíîñòè
ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû (17.24à), â êîòîðóþ íàäî ïîäñòàâèòü êîìïëåêñíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n2k = n2 - ic2:
r12 = -
n2 - n1 - i c 2
.
n2 + n1 - i c 2
(17.39)
213
Ïåðåõîäÿ ê êîýôôèöèåíòó îòðàæåíèÿ ïî èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷àåì
R = |r12 | 2 =
(n2 - n1 ) 2 + c 2
.
(n2 + n1 ) 2 + c 2
(17.40)
 ÈÊ-äèàïàçîíå äëÿ ñåðåáðà ïðè l = 10 ìêì (ñì. ëåêöèþ 16) n2 » c2 » 140,
ïîýòîìó R » 1. Ñ óìåíüøåíèåì äëèíû âîëíû êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ìåòàëëîâ
óìåíüøàåòñÿ.
Äëÿ äëèí âîëí l < lp (lp — ïëàçìåííàÿ äëèíà âîëíû) äåéñòâèòåëüíàÿ
÷àñòü ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ìåòàëëîâ n2 < 1. Ïîýòîìó ïðè íàêëîííîì ïàäåíèè âîëíû èç âîçäóõà (n1 = 1) íà ìåòàëëè÷åñêîå çåðêàëî ïðîèñõîäèò ïîëíîå
âíóòðåííåå îòðàæåíèå, è â êîðîòêîâîëíîâîé ÷àñòè ñïåêòðà êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ.
Èíòåðôåðåíöèîííûå ñâåòîôèëüòðû. Ïðîñòåéøèé èíòåðôåðåíöèîííûé ôèëüòð
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýòàëîí Ôàáðè — Ïåðî ñ ïðîìåæóòêîì ìåæäó çåðêàëàìè
ïîðÿäêà äëèíû âîëíû. Èíòåðôåðåíöèîííûå êîëüöà ñòàíîâÿòñÿ øèðîêèìè, ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè óâåëè÷èâàåòñÿ, îäíàêî îòíîøåíèå øèðèíû ïîëîñ ê ðàññòîÿíèþ ìåæäó íèìè îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü êîýôôèöèåíòîì îòðàæåíèÿ çåðêàë
è íå çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè. Ñàìè çåðêàëà ìîãóò áûòü êàê ìíîãîñëîéíûìè äèýëåêòðè÷åñêèìè, òàê è ìåòàëëè÷åñêèìè.
2p
2Ln . Äëÿ
Ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ðàçíîñòü ôàç, ñîãëàñíî (10.16), Ô =
l0
òåõ äëèí âîëí lm, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Ô = 2pm, èëè
2Ln
, m = 1, 2, 3, K ,
(17.41)
m
èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû Ýéðè (10.20), áóäåò
ìàêñèìàëüíîé è ðàâíîé èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåé âîëíû. Èç (17.41) ñëåäóåò,
÷òî ôèëüòð ïîäîáåí ïîëóâîëíîâîìó ñëîþ, ïîìåùåííîìó ìåæäó çåðêàëàìè.
Ïðè m = 1 ôèëüòð íàçûâàåòñÿ ôèëüòðîì 1-ãî ïîðÿäêà, ïðè m = 2, 3, ¾ —
ôèëüòðîì 2-ãî, 3-ãî, ¾ ïîðÿäêîâ. Ñòåêëÿííûé ôèëüòð ïåðâîãî ïîðÿäêà, ðàññ÷èòàííûé íà äëèíó âîëíû l1 = 6 000 D, íå áóäåò ïðîïóñêàòü âîëíû ñ äëèíîé lm =
l1/m, ïîñêîëüêó îíè áóäóò ïîãëîùàòüñÿ ñòåêëîì.
Íèçêèå ïîðÿäêè èíòåðôåðåíöèè îáåñïå÷èâàþò ñðàâíèòåëüíî øèðîêóþ ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿ. Øèðèíà ñïåêòðàëüíîãî èíòåðâàëà, íà ãðàíèöàõ êîòîðîãî
ïðîïóñêàíèå ôèëüòðà óìåíüøàåòñÿ íà ïîðÿäîê, â ñëó÷àå ñåðåáðÿíûõ çåðêàë
Dl » 100 — 300 D. Ó õîðîøèõ ôèëüòðîâ ñ äèýëåêòðè÷åñêèìè çåðêàëàìè îíà çíà÷èòåëüíî óæå: Dl » 10 — 20 D.
Ïðè íàêëîííîì ïàäåíèè ñâåòà íà ôèëüòð âåëè÷èíà Ô óìåíüøàåòñÿ, ÷òî
èñïîëüçóåòñÿ äëÿ íåáîëüøîãî ñìåùåíèÿ ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ â êîðîòêîâîëíîâóþ ÷àñòü ñïåêòðà.
Íà ðèñ. 17.4, à — ã öâ. âêë. ïðåäñòàâëåí îäèí è òîò æå èíòåðôåðåíöèîííûé
ñâåòîôèëüòð ïðè ðàçëè÷íûõ îðèåíòàöèÿõ ïî îòíîøåíèþ ê ïàäàþùåìó áåëîìó
ñâåòó. Îò÷åòëèâî âèäíî ñóùåñòâåííîå ñìåùåíèå ïîëîñû åãî ïðîïóñêàíèÿ.
lm =
Ë Å Ê Ö È ß 18
Ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà ÷åðåç ñôåðè÷åñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà ñðåä. Åñëè ïëîñêàÿ âîëíà ïåðåñåêàåò òàêóþ ãðàíèöó, òî åå âîëíîâîé ôðîíò ïðèîáðåòàåò êðèâèçíó. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû ôîðìèðóþòñÿ ñõîäÿùèåñÿ
èëè ðàñõîäÿùèåñÿ ïó÷êè ñâåòà. Ýòîò âûâîä ëåãêî ïîäòâåðæäàåòñÿ â ëþáîì îïûòå,
â êîòîðîì êîëëèìèðîâàííûé ïó÷îê ñâåòà ïðîõîäèò ÷åðåç ñîáèðàþùóþ èëè
ðàññåèâàþùóþ ëèíçó. Åñëè â êà÷åñòâå ãðàíèöû ðàçäåëà èñïîëüçîâàòü ñôåðè÷åñêîå (âîãíóòîå èëè âûïóêëîå) çåðêàëî, òî ïðè îòðàæåíèè ïåðâîíà÷àëüíî
êîëëèìèðîâàííîãî ïó÷êà ñâåòà ñôîðìèðóþòñÿ ñõîäÿùèåñÿ èëè ðàñõîäÿùèåñÿ
ñôåðè÷åñêèå âîëíû.
Ïîñêîëüêó ïðîòÿæåííîñòü ãðàíèöû ðàçäåëà îãðàíè÷åíà (îáóñëîâëåíà êîíå÷íûìè ðàçìåðàìè ëèíç, çåðêàë è ïð.), ðàäèóñ êðèâèçíû âîëíû, ñôîðìèðîâàííîé ïðè ïåðåñå÷åíèè ýòîé ãðàíèöû, â äàëüíåéøåì èç-çà äèôðàêöèè áóäåò
èçìåíÿòüñÿ.
Íà ðèñ. 18.1 ïîêàçàíà ýâîëþöèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà ñõîäÿùåéñÿ ñôåðè÷åñêîé
âîëíû, îòìå÷åííîãî ñïëîøíûìè ëèíèÿìè. Øòðèõîâûå ëèíèè îïðåäåëÿþò õàðàêòåðíûå îáëàñòè, çàíèìàåìûå âîëíîé (ñâåòîâûì ïó÷êîì).
 òî÷êå P íàõîäèòñÿ öåíòð êðèâèçíû íà÷àëüíîãî âîëíîâîãî ôðîíòà, èìåþùåãî ðàäèóñ êðèâèçíû R0. Çàòåì ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ñõîäÿùåéñÿ âîëíû ðàäèóñ êðèâèçíû âíà÷àëå óìåíüøàåòñÿ, îäíàêî ïðè ïðèáëèæåíèè ôðîíòà ê òî÷êå P èç-çà óñèëèâàþùåéñÿ äèôðàêöèè íà÷èíàåò íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàòü.  òî÷êå P ôðîíò âîëíû ñòàíîâèòñÿ ïëîñêèì; ìèíèìàëüíûé ðàçìåð ïó÷êà è ñîîòâåòñòâåííî ìàêñèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü îãðàíè÷åíû äèôðàêöèåé. Çàòåì âîëíà
ñòàíîâèòñÿ ðàñõîäÿùåéñÿ. Ðàäèóñ êðèâèçíû åå ôðîíòà âíà÷àëå óìåíüøàåòñÿ,
à çàòåì óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì.
Òàêèì îáðàçîì, ñõîäÿùàÿñÿ âîëíà ôîêóñèðóåòñÿ â ïÿòíî êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, ñ
öåíòðîì â òî÷êå P. Ýòà òî÷êà íàõîäèòñÿ íà ïåðåñå÷åíèè ëó÷åé — îòðåçêîâ ïðÿìûõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íà÷àëüíîìó âîëíîâîìó ôðîíòó. Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, îïåðèðóþùåé ñî ñâåòîâûìè ëó÷àìè, äëÿ
íàõîæäåíèÿ öåíòðîâ êðèâèçíû ñõîäÿùåéñÿ è ðàñõîäÿùåéñÿ ñôåðè÷åñêèõ âîëí.
Ïðèìåíèì âîëíîâîé è ãåîìåòðîîïòè÷åñêèé ïîäõîäû äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷êè
ôîêóñèðîâêè ïëîñêîé âîëíû, ïðîøåäøåé ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ ñ ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ n1 è n2 > n1 (ðèñ. 18.2). Ïîâåðõíîñòü èìååò
ðàäèóñ êðèâèçíû R = OC è öåíòð êðèâèçíû â òî÷êå C. Îïðåäåëèì ïîëîæåíèå
òî÷êè P, â êîòîðîé èíòåíñèâíîñòü ìàêñèìàëüíà.
Îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ìåæäó ëó÷àìè 2 è 1 â ïëîñêîñòè Ï
D ¢ = (n1 - n2 )
r2
< 0.
2R
(18.1)
Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî r = R.  òî÷êå P, óäàëåííîé íà ðàññòîÿíèå f
îò ïîâåðõíîñòè, ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ðàçíîñòü õîäà
215
Ðèñ. 18.2
Ðèñ. 18.1
D ¢¢ =
r2
n2 .
2f
(18.2)
Èíòåíñèâíîñòü â íåé áóäåò ìàêñèìàëüíà, åñëè
D ¢ + D ¢¢ = 0.
(18.3)
Ïîäñòàâèâ â (18.3) ôîðìóëû (18.1) è (18.2), ïîëó÷èì
1 n2 - n1 1
=
.
f
n2 R
(18.4)
Òàêèì îáðàçîì, ãðàíèöà ðàçäåëà îáëàäàåò ôîêóñèðóþùèì ñâîéñòâîì. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû r ëèøü äëÿ ïðèîñåâûõ ëó÷åé, ó êîòîðûõ
r = R. Åñëè æå ïîâåðõíîñòü èìååò ôîðìó ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ ñ ðàäèóñîì
êðèâèçíû R, òî (18.4) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé.
Îïðåäåëèì ïîëîæåíèå òî÷êè P òåïåðü ñ ïîìîùüþ çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé
îïòèêè, âîñïîëüçîâàâøèñü õîäîì ëó÷åé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 18.3.
 ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêå ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü ïðàâèëî çíàêîâ. Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå âäîëü îñè îïòè÷åñêîé ñèñòåìû (ïàðàëëåëüíîé OC ) ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïàäàþùåãî ëó÷à (ñëåâà íàïðàâî). Ðàäèóñ êðèâèçíû
ïîâåðõíîñòè ðàññ÷èòûâàåòñÿ îò åå âåðøèíû O ê öåíòðó êðèâèçíû C. Ïîýòîìó
äëÿ âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè (èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå) R > 0, à äëÿ âîãíóòîé
R < 0. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f îòñ÷èòûâàåòñÿ îò âåðøèíû ïîâåðõíîñòè O
äî ôîêàëüíîé òî÷êè P, â êîòîðîé ïåðåñåêàþòñÿ ëèáî ñàìè ëó÷è ( f > 0), ëèáî
èõ ïðîäîëæåíèå ( f < 0).  ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå
îòñ÷èòûâàåòñÿ ââåðõ. Ýòî àíàëîãè÷íî îòñ÷åòó â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
Oxy íà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà.
Äëÿ ïðèîñåâûõ ëó÷åé óãëû Ji è Jt ìàëû. Ýòî ïîçâîëÿåò çàïèñàòü î÷åâèäíûå
ñîîòíîøåíèÿ
Ji
n
r
r
= 2 ; J i = ; J t = J i - a; a = .
Jt
n1
R
f
Ðèñ. 18.3
216
(18.5)
Èç íèõ è ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà (18.4).
Âåëè÷èíà
n2 - n1
(18.6)
R
íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêîé ñèëîé ïîâåðõíîñòè. Êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, ïðè íàëè÷èè íåñêîëüêèõ ïîâåðõíîñòåé èõ îïòè÷åñêèå ñèëû ñêëàäûâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêè ñ íåêîòîðûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Åñëè ñâåò ïàäàåò èç îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû â îïòè÷åñêè ìåíåå
ïëîòíóþ (ðèñ. 18.4), òî
D=
Ji
n
r
r
= 2 ; J i = ; J t = J i + a; a =
.
Jt
-f
n1
R
(18.7)
1 n2 - n1 1
=
< 0.
f
n2 R
(18.8)
Ïîýòîìó
Îïòè÷åñêàÿ ñèëà ïîâåðõíîñòè
D=
n2
f
(18.9)
òàêæå ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé.
Îïòè÷åñêàÿ ñèëà ñèñòåìû ïîâåðõíîñòåé. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ïîâåðõíîñòåé,
öåíòðû êîòîðûõ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ýòà ïðÿìàÿ ÿâëÿåòñÿ îïòè÷åñêîé îñüþ
ñèñòåìû, à ñàìà ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ êîàêñèàëüíîé.
Ïóñòü ëó÷, ñîñòàâëÿþùèé ìàëûé óãîë ñ îïòè÷åñêîé îñüþ êîàêñèàëüíîé
ñèñòåìû, ïàäàåò íà ñôåðè÷åñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà ñ ðàäèóñîì êðèâèçíû R
(ðèñ. 18.5) â íàïðàâëåíèè òî÷êè P , à ïðåëîìëåííûé — òî÷êè P ¢.
Åñëè ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ñðåä ïî îáå ñòîðîíû îò ïîâåðõíîñòè ðàâíû n
è n¢, òî ìîæíî çàïèñàòü ñîîòíîøåíèÿ
Ji
n¢
r
= ; J i = J - a; J t = J - a ¢; J = ,
Jt
n
R
(18.10)
îòêóäà ïîëó÷àåì
n¢ - n
r = Dr ,
R
ãäå D — îïòè÷åñêàÿ ñèëà ïîâåðõíîñòè.
(18.11)
n ¢a ¢ - n a =
Ðèñ. 18.4
Ðèñ. 18.5
217
Ñîîòíîøåíèå (18.11) ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â âèäå
n¢ n
- = D,
(18.12)
l¢ l
â êîòîðîì l è l ¢ — ðàññòîÿíèÿ îò âåðøèíû O äî òî÷åê P è P ¢, ñîîòâåòñòâåííî.
Ïóñòü òåïåðü èìååòñÿ N ïðåëîìëÿþùèõ ïîâåðõíîñòåé ñ îïòè÷åñêèìè ñèëàìè
Di, êîòîðûå ëó÷ ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåñåêàåò íà ðàññòîÿíèÿõ ri (i = 1, 2, ... ¾, N ).
Ïðèìåíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî óðàâíåíèå (18.11) ê êàæäîé ïîâåðõíîñòè, ïîëó÷àåì
n ¢a ¢ - na =
N
å Di ri ,
(18.13)
i =1
ãäå n è a ñîîòâåòñòâóþò ëó÷ó íà âõîäå â ñèñòåìó, à n¢ è a¢ — íà âûõîäå èç ñèñòåìû.  ÷àñòíîñòè, åñëè ïàäàþùèé ëó÷ ïàðàëëåëåí îñè ñèñòåìû, òî a = 0 è
a¢ =
1 N
1
å Di ri = n ¢ Dr1,
n ¢ i =1
(18.14)
ãäå r1 — ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàäàþùèì íà ñèñòåìó ëó÷îì è îïòè÷åñêîé îñüþ,
D=
1 N
å Di ri
r1 i =1
(18.15)
— îïòè÷åñêàÿ ñèëà ñèñòåìû.
Òîíêàÿ ëèíçà. Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîçðà÷íîå òåëî, îãðàíè÷åííîå äâóìÿ
êîàêñèàëüíûìè ñôåðè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè, ïðè ýòîì òîëùèíà ëèíçû ìíîãî ìåíüøå àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé îáîèõ ðàäèóñîâ êðèâèçíû. Íà ðèñ. 18.6, à — â ïîêàçàíû
ðàçëè÷íûå âèäû òîíêèõ ëèíç è óêàçàíû çíàêè ðàäèóñîâ êðèâèçíû îãðàíè÷èâàþùèõ ïîâåðõíîñòåé â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì çíàêîâ.
 òî÷êå O, ñîâïàäàþùåé ñ ïîëþñàìè îáåèõ ïîâåðõíîñòåé, íàõîäèòñÿ îïòè÷åñêèé öåíòð. Ïîñêîëüêó â òîíêîé ëèíçå r1 = r2 = r, åå îïòè÷åñêàÿ ñèëà, ñîãëàñíî (18.6) è (18.15), ðàâíà
D = D1 + D 2 =
n ë - n0 n0 - n ë
1 ö
æ 1
= (n ë - n 0 ) ç
.
R1
R2
è R1 R 2 ÷ø
(18.16)
Çäåñü në è n0 — ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ëèíçû è îêðóæàþùåé ñðåäû. Îáû÷íî n1 > n0, ïîýòîìó â ñèòóàöèè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 18.6, à, D > 0
è ëèíçà ñîáèðàþùàÿ, à íà ðèñ. 18.6, á è â D < 0 è ëèíçà ðàññåèâàþùàÿ.
Íà îïòè÷åñêîé îñè íà ðàâíîì óäàëåíèè îò îïòè÷åñêîãî öåíòðà íàõîäÿòñÿ
äâå ôîêàëüíûå òî÷êè. Èõ ïîëîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì f,
êîòîðîå ñ ó÷åòîì (18.14) è (18.16) ïîëó÷àåì èç ñîîòíîøåíèÿ
Ðèñ. 18.6
218
1 a ¢ D n1 - n0 æ 1
1ö
=
=
=
,
ç
f
r
ï1
ï1 è R1 R2 ÷ø
(18.17)
íàçûâàåìîãî ôîðìóëîé òîíêîé ëèíçû. Ýòà ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà ëèøü äëÿ èäåàëüíîé ëèíçû, â êîòîðîé îòñóòñòâóþò àáåððàöèè, èëè èñêàæåíèÿ.
Àáåððàöèè îáóñëîâëåíû ðÿäîì ïðè÷èí. Âî-ïåðâûõ, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n1 çàâèñèò îò äëèíû âîëíû ñâåòà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàçëè÷íûå ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû áóäóò ôîêóñèðîâàòüñÿ íà ðàçíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò ëèíçû. Òàêèå
àáåððàöèè íàçûâàþòñÿ õðîìàòè÷åñêèìè.
Âî-âòîðûõ, ïîâåðõíîñòè ëèíç ïî òåõíîëîãè÷åñêèì ñîîáðàæåíèÿì âûïîëíÿþò ñôåðè÷åñêèìè. Òîãäà ïðè ïàäåíèè íà ëèíçó ïàðàëëåëüíîãî ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ïó÷êà ñâåòà ïåðèôåðèéíûå ëó÷è áóäóò ôîêóñèðîâàòüñÿ íà ìåíüøåì
ðàññòîÿíèè, ÷åì ïðèîñåâûå (ðèñ. 18.7).
Ïîâåðõíîñòü, îãèáàþùàÿ ïîâåðõíîñòü êîíóñîâ, èçîáðàæåííàÿ øòðèõîâîé
ëèíèåé, íàçûâàåòñÿ êàóñòèêîé. Òàêèå àáåððàöèè íàçûâàþòñÿ ñôåðè÷åñêèìè.
Åñëè æå èìåþòñÿ íåêîòîðûå îòñòóïëåíèÿ ôîðìû ïîâåðõíîñòåé îò ñôåðè÷åñêîé, òî ñâåòîâîå ïÿòíî â ôîêóñå ìîæåò ïðèíèìàòü ïðè÷óäëèâóþ ôîðìó,
íàçûâàåìóþ êîìîé (íàïîäîáèå êîìåòû ñ õâîñòîì èëè çàïÿòîé).
Íàêîíåö, åñëè ëó÷è ïàäàþò ïîä áîëüøèìè óãëàìè íàêëîíà ê îïòè÷åñêîé
îñè, òî ôîêóñèðîâêà â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ (ìåðèäèîíàëüíîé ïëîñêîñòè) îòëè÷àåòñÿ îò ôîêóñèðîâêè â ïåðïåíäèêóëÿðíîé (ñàãèòòàëüíîé) ïëîñêîñòè. Ïîíÿòèå ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè (ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îïòè÷åñêîé îñè
è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ôîêóñ) òåðÿåò ñìûñë: ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðûõ ëåæàò
ôîêóñû, ïðè ìåðèäèîíàëüíîé è ñàãèòòàëüíîé ôîêóñèðîâêå áóäóò êðèâîëèíåéíûìè è íå ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé. Ýòîò âèä àáåððàöèè íàçûâàåòñÿ èñêðèâëåíèåì ïîâåðõíîñòè èçîáðàæåíèÿ. Ïîýòîìó ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà îïåðèðóåò ñ ïàðàêñèàëüíûìè ëó÷àìè — ïðèîñåâûìè ëó÷àìè, ñîñòàâëÿþùèìè ìàëûå óãëû
ñ îïòè÷åñêîé îñüþ ñèñòåìû.
Óñëîâèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ êîàêñèàëüíûõ ñèñòåì. Ïóñòü íåêîòîðàÿ îïòè÷åñêàÿ
ñèñòåìà ôîðìèðóåò â òî÷êå P èçîáðàæåíèå òî÷êè P0, íàõîäÿùåéñÿ íà îïòè÷åñêîé îñè (ðèñ. 18.8).
Äæ. Ìàêñâåëë ñôîðìóëèðîâàë òðè óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
èäåàëüíàÿ (áåçàáåððàöèîííàÿ) îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà:
• âñå ëó÷è, èñõîäÿùèå èç òî÷êè P0, äîëæíû ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó P, ãäå
ôîðìèðóåòñÿ èçîáðàæåíèå òî÷êè P0. Äëÿ ðàñôîêóñèðóþùåé ñèñòåìû â òî÷êå P
äîëæíû ïåðåñåêàòüñÿ ïðîäîëæåíèÿ âñåõ ëó÷åé;
• åñëè ïëîñêèé îáúåêò ðàñïîëîæåí â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îïòè÷åñêîé îñè, òî åãî èçîáðàæåíèå äîëæíî íàõîäèòüñÿ â ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè.
Òàêèå ïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè ïëîñêîñòÿìè;
Ðèñ. 18.7
Ðèñ. 18.8
219
Ðèñ. 18.9
• èçîáðàæåíèå äîëæíî áûòü ïîäîáíî îáúåêòó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé
ïàðû ñîïðÿæåííûõ ïëîñêîñòåé óâåëè÷åíèå îáúåêòà íå çàâèñèò îò ðàçìåðîâ
ïîñëåäíåãî.
 êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ ðàññìîòðèì îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, ôîðìèðóþùóþ èçîáðàæåíèå ïëîñêîãî ïðåäìåòà A1B1, ïîêàçàííîãî ñòðåëêîé äëèíîé d1 (ðèñ. 18.9).
Ñâÿæåì ðàçìåð d2 èçîáðàæåíèÿ A2B2 ñ ðàçìåðîì d1 ïðåäìåòà. Äëÿ ïàðàêñèàëüíûõ ëó÷åé ìîæíî çàïèñàòü
Ji
-d 2
n
d
= 2 ; Ji = 1 ; Jt =
;
Jt
-l1
n1
l2
- l1 =
r
r
; l2 =
.
J1
J2
(18.18)
Çäåñü âñå óãëû ìåæäó ëó÷àìè è îïòè÷åñêîé îñüþ ñ÷èòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè. Èç (18.18) ïîëó÷àåì
d1n1J1 = -d 2 n2 J 2 .
(18.19)
Ýòî óñëîâèå ñîâïàäàåò ñ óñëîâèåì ñèíóñîâ (14.18) äëÿ ìàëûõ óãëîâ. Îíî
îçíà÷àåò, ÷òî óâåëè÷åíèå
Ì =
d2
nJ
=- 1 1
d1
n2 J 2
(18.20)
è íå çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ d1 ìåæäó òî÷êàìè A1 è B1.
Êàðäèíàëüíûå ýëåìåíòû îïòè÷åñêîé ñèñòåìû. Êîàêñèàëüíûå ñèñòåìû ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü ÷åòûðüìÿ ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòàòü
êàê ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ (ñîïðÿæåííîé ïëîñêîñòè), òàê è óâåëè÷åíèå.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ äîñòàòî÷íî çíàòü ïîëîæåíèå äâóõ ôîêàëüíûõ è äâóõ ãëàâíûõ
òî÷åê.
Îïòè÷åñêèå ñèñòåìû ïîäðàçäåëÿþò íà òðè êëàññà:
1) äèîïòðè÷åñêèå ñèñòåìû — ïðîïóñêàþùèå ñâåò ñèñòåìû. Ïàäàþùèé ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà ïðåâðàùàåòñÿ â ñõîäÿùèéñÿ èëè ðàñõîäÿùèéñÿ;
2) êàòîäèîïòðè÷åñêèå ñèñòåìû — îòðàæàþùèå ñâåò ñèñòåìû. Íàèáîëåå ïðîñòîé ñèñòåìîé ýòîãî âèäà ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêîå çåðêàëî;
3) òåëåñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû. Ïðè ïàäåíèè ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà ñâåòà
íà âûõîäå ïîëó÷àåòñÿ ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñ äðóãèì ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì.
Ðàññìîòðèì êàðäèíàëüíûå ýëåìåíòû ñèñòåì âñåõ êëàññîâ.
Äèîïòðè÷åñêèå ñèñòåìû. Óñòàíîâèì ñâîéñòâà ñîïðÿæåííûõ ïëîñêîñòåé, â
êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ ïðåäìåò (îáúåêò) è åãî èçîáðàæåíèå. Ïåðâîé ôîêàëüíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòü, ñîïðÿæåííàÿ ñ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé â ïîëî220
Ðèñ. 18.11
Ðèñ. 18.10
æèòåëüíîì íàïðàâëåíèè ïëîñêîñòüþ. Ñîîòâåòñòâåííî âòîðàÿ ôîêàëüíàÿ ïëîñêîñòü ñîïðÿæåíà ñ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè ïëîñêîñòüþ. Ñâåò, èäóùèé îò áåñêîíå÷íî óäàëåííîãî ïðåäìåòà (ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê), ôîêóñèðóåòñÿ â îäíîé èç ôîêàëüíûõ ïëîñêîñòåé (ðèñ. 18.10). Åñëè íà
âûõîäå ïîëó÷àåòñÿ ðàñõîäÿùèéñÿ ïó÷îê, òî ïðîäîëæåíèÿ ëó÷åé ïåðåñåêàþòñÿ
â îäíîé èç ýòèõ ïëîñêîñòåé.
Ñðåäè áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïàð ñîïðÿæåííûõ ïëîñêîñòåé îñîáîå ìåñòî çàíèìàþò äâå ãëàâíûå ïëîñêîñòè, äëÿ íàõîæäåíèÿ êîòîðûõ ðàññìîòðèì õîä ëó÷åé
÷åðåç ñèñòåìó, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 18.11.
Ëó÷ 1, èäóùèé èç ïåðâîãî ôîêóñà F1, âûõîäèò ïàðàëëåëüíî ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Ëó÷ 2, èäóùèé ïàðàëëåëüíî ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè íà òîì æå óäàëåíèè îò íåå, ÷òî è âûõîäÿùèé ëó÷ 1, ïðîõîäèò ÷åðåç âòîðîé ôîêóñ F2. Åñëè
÷åðåç òî÷êè P1 è P2, íàõîäÿùèåñÿ íà ïåðåñå÷åíèÿõ ïðîäîëæåíèÿ ëó÷åé, ïðîâåñòè äâå ïëîñêîñòè H1 è H2, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îïòè÷åñêîé îñè, òî îíè è áóäóò
ãëàâíûìè ïëîñêîñòÿìè. Òî÷êè O1 è O2 íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè òî÷êàìè.
Äâà ëó÷à (1 è 2), ïðîõîäÿùèå ÷åðåç P1, çàòåì ïåðåñåêàþòñÿ â P2. Ñëåäîâàòåëüíî, H1 è H2 — ñîïðÿæåííûå ïëîñêîñòè. Åñëè ïðåäìåò ðàñïîëîæåí â ïëîñêîñòè H1, òî åãî èçîáðàæåíèå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ïëîñêîñòè H2, ïðè ýòîì
êîýôôèöèåíò óâåëè÷åíèÿ M = 1. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç ðàâåíñòâà
äëèí îòðåçêîâ O1P1 è O2P2.
Ïåðâûì ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà f1 = -O1F1, à âòîðûì ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì âåëè÷èíà f2 = O2F2.  ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà
ðèñ. 18.11, f1 < 0, f2 > 0.
Åñëè çàäàíû ïîëîæåíèÿ ôîêàëüíûõ è ãëàâíûõ òî÷åê, òî ìîæíî ïîñòðîèòü
õîä ëó÷åé â ñèñòåìå â îòñóòñòâèå èíôîðìàöèè î äðóãèõ ïàðàìåòðàõ ñèñòåìû
(ðàäèóñàõ êðèâèçíû ýëåìåíòîâ, èõ êîëè÷åñòâå, âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè, ïîêàçàòåëÿõ ïðåëîìëåíèÿ ñðåä ìåæäó íèìè è äð.). Íà ðèñ. 18.12 âûïîëíåíî òàêîå
ïîñòðîåíèå.
Ðèñ. 18.12
221
Ïàðàëëåëüíûé ëó÷ 1 îò ïðåäìåòà A1B1 ïðîõîäèò ñíà÷àëà ÷åðåç òî÷êó P1,
à çàòåì ÷åðåç ôîêàëüíóþ òî÷êó F2 òàê, ÷òîáû ïàäàþùèé è ïðåëîìëåííûé ëó÷è
ïåðåñåêàëèñü â òî÷êå P2 ïëîñêîñòè H2. Ëó÷ 2, ñëåäóþùèé ÷åðåç F1 è P1¢, âûõîäèò èç ñèñòåìû ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè.
Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðåàëüíûå ëó÷è ìîãóò íå ïðîõîäèòü ÷åðåç âñïîìîãàòåëüíûå òî÷êè íà ãëàâíûõ ïëîñêîñòÿõ H1 è H2. Åñëè òî÷å÷íûé èñòî÷íèê íàõîäèòñÿ â P1, òî åãî èçîáðàæåíèå ïîëó÷èòñÿ â P2 ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè âñå
ýëåìåíòû ñèñòåìû íàõîäÿòñÿ ïðàâåå ïëîñêîñòè H1.
Ðàññ÷èòàåì ïîëîæåíèå èçîáðàæåíèÿ è óâåëè÷åíèå. Èç ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ O1P1¢F1 è P1P1¢B1 èìååì
- f1
-d 2
=
.
-l1
-d 2 + d1
(18.21)
Àíàëîãè÷íî, èç òðåóãîëüíèêîâ O2P2F2 è P2¢P2B2 ïîëó÷àåì
f2
d1
=
.
l2
d1 - d 2
(18.22)
f1 f 2
+
= 1.
l1
l2
(18.23)
Èç (18.21) è (18.22) íàõîäèì
Êîýôôèöèåíò óâåëè÷åíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì
Ì =
d2
fl
=- 12.
d1
f 2l1
(18.24)
 ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 18.12, f2 > 0, l2 > 0, f1 < 0, l1 < 0, ïîýòîìó
M < 0. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî èçîáðàæåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïåðåâåðíóòûì.
Ôîðìóëà (18.23) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â ôîðìóëó Íüþòîíà. Äëÿ ýòîãî
ââåäåì âåëè÷èíû x1 è x2, ìîäóëè êîòîðûõ ðàâíû ðàññòîÿíèÿì îò ïðåäìåòà è
èçîáðàæåíèÿ äî áëèæàéøèõ ôîêàëüíûõ òî÷åê. Ïîëàãàÿ -l1 = -x1 - f1, l2 = x2 + f2
è ïîäñòàâëÿÿ â (18.23), ïðèõîäèì ê ôîðìóëå Íüþòîíà
x1x2 = f1 f2.
(18.25)
Ó äèîïòðè÷åñêîé ñèñòåìû íà îïòè÷åñêîé îñè ñóùåñòâóþò äâå óçëîâûå òî÷êè.
Åñëè ïàäàþùèé íàêëîííî ê îñè ëó÷ íàïðàâëåí íà îäíó óçëîâóþ òî÷êó, òî
âûõîäÿùèé ëó÷ áóäåò ïàðàëëåëåí ïàäàþùåìó è íàïðàâëåí íà âòîðóþ óçëîâóþ
òî÷êó. Íà ðèñ. 18.13 ëó÷ 1 ïðîõîäèò ÷åðåç óçëîâûå òî÷êè N1 è N2.
Óçëîâûå òî÷êè íàõîäÿòñÿ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè lN îò ñîîòâåòñòâóþùèõ
ãëàâíûõ ïëîñêîñòåé, òàê êàê O1P1 = O2P2,
à âûõîäÿùèé ëó÷ ïàðàëëåëåí ïàäàþùåìó.
Ïîëàãàÿ â (18.23) l1 = l2 = lN, ïîëó÷àåì
lN = f1 + f2.
(18.26)
Ðàññòîÿíèÿ îò óçëîâûõ òî÷åê äî ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîêàëüíûõ òî÷åê ðàâíû
Ðèñ. 18.13
222
õ N 1 = lN - f1 = f2, õ N 2 = lN - f2 = f1. (18.27)
Ðèñ. 18.14
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì äâå îïòè÷åñêèå ñèñòåìû: òîëñòóþ ëèíçó è
ñèñòåìó èç äâóõ òîíêèõ ëèíç.
Òîëñòàÿ ëèíçà. Ëó÷, ïàðàëëåëüíûé îïòè÷åñêîé îñè, èñïûòûâàåò äâóõêðàòíîå ïðåëîìëåíèå íà êàæäîé èç ïîâåðõíîñòåé ëèíçû (ðèñ. 18.14), èçãîòîâëåííîé èç ìàòåðèàëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ në (ëèíçà íàõîäèòñÿ â âîçäóõå).
Îïòè÷åñêèå ñèëû ïåðâîé è âòîðîé ïîâåðõíîñòåé ïðè n0 = 1, ñîãëàñíî (18.9),
ðàâíû
D1 =
në - 1
;
R1
D2 =
1 - në
.
R2
(18.28)
Çäåñü R1 > 0, R2 < 0. Ïðèìåíèâ ñîîòíîøåíèå (18.11) ê ïåðâîé ïîâåðõíîñòè,
ïîëó÷èì
nëa = D1r1.
(18.29)
Åñëè L — ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè, òî
D ö
æ
r2 = r1 - La = r1 ç1 - 1 L ÷ .
në ø
è
(18.30)
Èç (18.15) ñëåäóåò, ÷òî îïòè÷åñêàÿ ñèëà òîëñòîé ëèíçû ñ ó÷åòîì (18.30)
1
DD
D = (D1r1 + D 2r2 ) = D1 + D 2 - 1 2 L.
(18.31)
r1
në
 ÷àñòíîñòè, äëÿ òîíêîé ëèíçû L = 0 è D = D1 + D2.
Ðàññòîÿíèå l ¢ ìåæäó âòîðîé ïîâåðõíîñòüþ è ôîêàëüíîé òî÷êîé F, ñ ó÷åòîì
(18.14) ïðè n¢ = 1 è (18.30), ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì
r
r
l¢ = 2 = 2 =
a¢ Dr1
1-
D1
L
në
.
D
(18.32)
Èç òðåóãîëüíèêà OPF ñëåäóåò, ÷òî ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå f = OF ñâÿçàíî
ñ îïòè÷åñêîé ñèëîé
r
1
f = 1 = .
(18.33)
a¢ D
Íàêîíåö, ðàññòîÿíèå a ìåæäó ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ H è âòîðîé ïîâåðõíîñòüþ
1
a = f -l¢ =
D
1-
D1L
DL
në
= 1 .
D
Dn ë
(18.34)
223
Ðèñ. 18.15
Äâå òîíêèå ëèíçû. Õîä ëó÷à, ïàðàëëåëüíîãî îïòè÷åñêîé îñè, ÷åðåç ñèñòåìó
èç äâóõ ñîáèðàþùèõ ëèíç ïîêàçàí íà ðèñ. 18.15.
Îïòè÷åñêàÿ ñèëà òîíêîé ëèíçû â âîçäóõå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (18.16):
1 ö
æ 1
D = (n ë - 1) ç
.
è R1 R2 ÷ø
(18.35)
Åñëè D1 è D2 — îïòè÷åñêèå ñèëû êàæäîé èç ëèíç, òî îïòè÷åñêàÿ ñèëà
ñèñòåìû äâóõ ëèíç
D=
1
(D1r1 + D 2r2 ) = D1 + D 2 - D1D 2 L,
r1
(18.36)
ïîñêîëüêó r2 = r1 - aL, a = D1/r1 (ñì.(18.14)). Ôîêàëüíàÿ òî÷êà óäàëåíà îò âòîðîé ëèíçû íà ðàññòîÿíèå
l¢ =
r2
r
1 - D1L
= 2 =
.
a¢ Dr1
D
(18.37)
Ðàññòîÿíèå ìåæäó ôîêàëüíîé òî÷êîé è ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ H (ôîêóñíîå
ðàññòîÿíèå)
r1
1
= .
a¢ D
Ñ ó÷åòîì (18.36) ìîæíî çàïèñàòü ôîðìóëó:
f =
(18.38)
L
1
1
1
=
+
,
f
f1 f 2 f1 f 2
(18.39)
ãäå f1 = 1/D1 , f 2 = 1/D 2 — ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ òîíêèõ ëèíç.
Ðàññòîÿíèå ìåæäó ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ è âòîðîé ëèíçîé
a = f - l¢ =
Ðèñ. 18.16
224
D1L
.
D
(18.40)
Îòðàæàòåëüíûå (êàòîäèîïòðè÷åñêèå) ñèñòåìû. Ïðîñòåéøåé ñèñòåìîé
òàêîãî òèïà ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîå ñôåðè÷åñêîå çåðêàëî. Õîä ëó÷åé îò îáúåêòà A1B1
ïîêàçàí íà ðèñ. 18.16. Çåðêàëî îáëàäàåò
îäíèì ôîêóñîì F. Îáå ãëàâíûå òî÷êè
O1 è O2 è, ñëåäîâàòåëüíî, ãëàâíûå
ïëîñêîñòè H1 è H2 ñîâïàäàþò.
Ðèñ. 18.17
Ðèñ. 18.18
×òîáû âû÷èñëèòü îïòè÷åñêóþ ñèëó çåðêàëà, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (18.6),
â êîòîðîé ïîëîæèì n2 = -n1 = -n. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðèìåíèòåëüíî
ê îòðàæåíèþ ìîæíî ôîðìàëüíî â çàêîíå ïðåëîìëåíèÿ Jt /Ji = n2/n1 â (18.5)
óãîë ïðåëîìëåíèÿ ïîëîæèòü ðàâíûì Jt = -Ji, ÷òî àâòîìàòè÷åñêè âëå÷åò çà ñîáîé
ñìåíó çíàêà ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,
-n - n -2n
=
,
(18.41)
R
R
ãäå n — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû, R < 0. Åñëè â (18.12)
çàìåíèòü n¢ âåëè÷èíîé (-n), òî ïîëó÷èì
D=
1 1 2
(18.42)
+ = .
l¢ l R
Çäåñü l = OA1, l ¢ = OA2 — óäàëåíèå ïðåäìåòà è åãî èçîáðàæåíèÿ îò çåðêàëà
ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè l ® ∞, òî l ¢ ® f = R/2 < 0.
Ñ ïîìîùüþ âûïóêëîãî çåðêàëà ïîëó÷àþò äåéñòâèòåëüíîå ïåðåâåðíóòîå
èçîáðàæåíèå, óâåëè÷åíèå êîòîðîãî M = d2/d1 < 0 è çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ OA1.
Óçëîâûå òî÷êè N1 è N2 ñîâïàäàþò ñ öåíòðîì êðèâèçíû C çåðêàëà. Ïðè ïîâîðîòå çåðêàëà âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó C, èçîáðàæåíèå îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì.
Òåëåñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû. Åñëè ôîêàëüíûå òî÷êè F1 è F2 äâóõ ñîáèðàþùèõ
ëèíç ñîâïàäàþò, òî è ïàðàëëåëüíûé îñè ëó÷, ïðîéäÿ ÷åðåç òàêóþ ñèñòåìó,
îñòàíåòñÿ ïàðàëëåëüíûì. Èçìåíèòñÿ ëèøü ðàññòîÿíèå åãî îò îïòè÷åñêîé îñè
(ðèñ. 18.17). Òàêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ òåëåñêîïè÷åñêîé.
Ïîñêîëüêó L0 = f1 + f2, èç (18.39) ñëåäóåò, ÷òî f ® ∞. Îïòè÷åñêàÿ ñèëà òàêîé
ñèñòåìû D = 1/f = 0.
Åñëè íà òåëåñêîïè÷åñêóþ ñèñòåìó ïàäàåò ïîä óãëîì Ji ê îñè ïàðàëëåëüíûé
ïó÷îê ñâåòà, òî âûõîäÿùèé èç íåå ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê áóäåò ñîñòàâëÿòü
óãîë Jt ¹ Ji (ðèñ. 18.18).
F1, F2
L0
Èç ðèñóíêà ñëåäóåò, ÷òî óãëîâîå
óâåëè÷åíèå
f2
J
f
M = t = 1.
Ji
f2
f1
(18.43)
Ðèñ. 18.19
225
Ðèñ. 18.20
Ðèñ. 18.21
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëüøîãî óâåëè÷åíèÿ ïåðâóþ ëèíçó (îáúåêòèâ) äåëàþò
äëèííîôîêóñíîé, à âòîðóþ (îêóëÿð) — êîðîòêîôîêóñíîé. Òåëåñêîïè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìîæåò ñîñòîÿòü èç ñîáèðàþùåãî îáúåêòèâà è ðàññåèâàþùåãî îêóëÿðà (ðèñ.
18.19), ïðè ýòîì L0 = f1 - f2.
 ñîâðåìåííûõ òåëåñêîïàõ-ðåôðàêòîðàõ, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, èñïîëüçóþòñÿ äâà ñôåðè÷åñêèõ çåðêàëà ñ áîëüøèì è ìàëûì ðàäèóñàìè êðèâèçíû,
ó êîòîðûõ ñîâìåùåíû ôîêàëüíûå òî÷êè (ðèñ. 18.20).
Åñëè ðàññòîÿíèå L ìåæäó ëèíçàìè íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò âåëè÷èíû L0,
òî îïòè÷åñêàÿ ñèëà ñèñòåìû ñòàíîâèòñÿ îòëè÷íîé îò íóëÿ. Ñèñòåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 18.17, ïðè L £ L0 áóäåò ôîêóñèðóþùåé ñ áîëüøèì ôîêóñíûì
ðàññòîÿíèåì f ? L0 (ñì. ôîðìóëó (18.38)). Àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì áóäåò îáëàäàòü
ïðè L ³ L0 è ñèñòåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 18.19. Ýòè ñèñòåìû áóäóò ýêâèâàëåíòíû äëèííîôîêóñíîé ñîáèðàþùåé ëèíçå.
Íà ýòîì ïðèíöèïå îñíîâàíî óñòðîéñòâî òåëåîáúåêòèâîâ, ïðèìåíÿåìûõ äëÿ
ôîòî- è êèíîñúåìêè óäàëåííûõ ïðåäìåòîâ, êîãäà òðåáóåòñÿ õîðîøåå óâåëè÷åíèå. Òåëåîáúåêòèâ ñîñòîèò èç äâóõ (èíîãäà è áîëåå) ëèíç. Êàê ñëåäóåò èç (18.31)
è (18.32), ó ñèñòåìû ëèíç l ¢ < f. Ïîñêîëüêó èçîáðàæåíèå óäàëåííûõ ïðåäìåòîâ
íàõîäèòñÿ âáëèçè ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè, òî è ðàññòîÿíèå ìåæäó âòîðîé ëèíçîé è ïëîñêîñòüþ èçîáðàæåíèÿ ìîæåò áûòü ñóùåñòâåííî ìåíüøå ôîêóñíîãî
ðàññòîÿíèÿ ñèñòåìû. Â ýòîì ñîñòîèò ïðåèìóùåñòâî òåëåîáúåêòèâà ïåðåä äëèííîôîêóñíîé ëèíçîé. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíçàìè â òåëåîáúåêòèâå ìîæíî èçìåíÿòü, âàðüèðóÿ òåì ñàìûì è åãî ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå.
Îáúåêòèâû ñîâðåìåííûõ ôîòîàïïàðàòîâ è âèäåîêàìåð ñîñòîÿò èç ñèñòåìû
ëèíç, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ìîæåò èçìåíÿòüñÿ (âðó÷íóþ èëè ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîïðèâîäà). Òàêèå îáúåêòèâû íàçûâàþòñÿ òðàíñôîêàòîðàìè. Èçìåíÿÿ ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå îáúåêòèâà ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè «zoom» (îò àíãë.
zoom — íàåçä, ïðèáëèæåíèå êàìåðû ê îáúåêòó), ìîæíî âèäîèçìåíÿòü ïàíîðàìó ïðè ñúåìêå.
Íà ðèñ. 18.21 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåí ðàçðåç âèäåîêàìåðû. Èçîáðàæåíèå ôîðìèðóåòñÿ ñèñòåìîé ëèíç. Ñ ïîìîùüþ äâîéíîé ïðèçìû ïîëó÷àþòñÿ äâà èçîáðàæåíèÿ: îäíî íà ýêðàíå äëÿ âèçóàëüíîãî íàáëþäåíèÿ, à âòîðîå íà CCD-ìàòðèöå äëÿ åãî öèôðîâîé çàïèñè. Îïèñàíèå ðàáîòû òàêîé ìàòðèöû áóäåò ïðåäñòàâëåíî â ëåêöèè 25.
ÐÀÇÄÅË 7
ÂÎËÍÛ Â ÀÍÈÇÎÒÐÎÏÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ
Ë Å Ê Ö È ß 19
Ðàññìîòðèì òåïåðü ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà â àíèçîòðîïíûõ ñðåäàõ. Òàêèìè
ñðåäàìè ÿâëÿþòñÿ ïðåæäå âñåãî îïòè÷åñêèå êðèñòàëëû.  íèõ õàðàêòåð ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ýòîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ è ïîëÿðèçàöèè âîëíû.
Âåñüìà ïîêàçàòåëåí â ýòîì ñìûñëå ñëåäóþùèé îïûò. Åñëè ïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ èç êðèñòàëëà êàëüöèòà, îïðåäåëåííûì îáðàçîì ïîëîæèòü íà ïîâåðõíîñòü ðèñóíêà, òî âîçíèêíóò äâà èçîáðàæåíèÿ ýòîãî ðèñóíêà (ðèñ. 19.1 öâ. âêë.).
Ýòî ÿâëåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ. Ïîâîðà÷èâàÿ ïëàñòèíêó â ïëîñêîñòè ðèñóíêà, ñ óäèâëåíèåì îòìå÷àåì, ÷òî îäíî èçîáðàæåíèå
îñòàíåòñÿ íåïîäâèæíûì, à âòîðîå áóäåò äâèãàòüñÿ ïîñòóïàòåëüíî âîêðóã íåïîäâèæíîãî.
Âî âòîðîì îïûòå âîçüìåì äâå îäèíàêîâûå ïðîçðà÷íûå ïëàñòèíêè, âûðåçàííûå îïðåäåëåííûì îáðàçîì èç ïîëóäðàãîöåííîãî ìèíåðàëà òóðìàëèíà. Åñëè
òåïåðü íàïðàâèòü ëó÷ ñîëíå÷íîãî ñâåòà íà ïàðàëëåëüíûå ïëàñòèíêè, óñòàíîâëåííûå îäíà çà äðóãîé, òî èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà ìîæíî ñèëüíî
èçìåíÿòü, ïîâîðà÷èâàÿ îäíó ïëàñòèíêó â åå ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî äðóãîé.
Ïðè íåêîòîðîé âçàèìíîé îðèåíòàöèè ïëàñòèíîê ñîëíå÷íûé ñâåò ïðîõîäèòü
íå áóäåò âîâñå.
Ýòîò îïûò îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïîãëîùåíèå ñâåòà â êðèñòàëëå òóðìàëèíà
çàâèñèò îò îðèåíòàöèè âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû
îòíîñèòåëüíî êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé, ò. å. îò ïîëÿðèçàöèè ñâåòà. Íåïîëÿðèçîâàííûé ñîëíå÷íûé ñâåò ìîæíî ïðåäñòàâèòü, ñîãëàñíî (1.39) è (1.40), â âèäå
äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí, ó êîòîðûõ ðàçíîñòü ôàç
j2 - j1 õàîòè÷åñêè ìåíÿåòñÿ íà ìàñøòàáå âðåìåíè êîððåëÿöèè, ñðàâíèìîì
ñ ïåðèîäîì ñâåòîâîé âîëíû.
Ïåðâàÿ ïëàñòèíêà îäíó èç ýòèõ âîëí «ñ íóæíîé ïîëÿðèçàöèåé» ïðîïóñêàåò,
à äðóãóþ ïîãëîùàåò. Òîãäà íà åå âûõîäå ñôîðìèðóåòñÿ ïëîñêîïîëÿðèçîâàííàÿ
âîëíà. Ïîïàäàÿ íà âòîðóþ ïëàñòèíêó, ýòà âîëíà, òàêæå â çàâèñèìîñòè îò âçàèìíîé îðèåíòàöèè âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé,
ïðåòåðïåâàåò ðàçíîå ïîãëîùåíèå. Ïðè îïðåäåëåííîé îðèåíòàöèè îíà áóäåò
ïîëíîñòüþ ïîãëîùåíà. Çàâèñèìîñòü ïîãëîùåíèÿ îò ïîëÿðèçàöèè ñâåòà ïîëó÷èëî íàçâàíèå ÿâëåíèÿ äèõðîèçìà.
Îïûòíûì ïóòåì â XIX â. áûëî îáíàðóæåíî ïîÿâëåíèå àíèçîòðîïèè ó ðÿäà
èçîòðîïíûõ æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë ïðè ìåõàíè÷åñêèõ íàïðÿæåíèÿõ, âîçäåéñòâèÿõ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé. Ïðè ýòîì ïîÿâèëàñü óíèêàëüíàÿ
âîçìîæíîñòü «óïðàâëÿòü» ýòîé àíèçîòðîïèåé. Êàê ñëåäóåò èç îïèñàííûõ îïûòîâ, ýòî îòêðûâàåò âîçìîæíîñòü óïðàâëÿòü íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîë227
íû è åå èíòåíñèâíîñòüþ ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç îïòè÷åñêèå ñèñòåìû, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ ñðåäû ñ èñêóññòâåííîé àíèçîòðîïèåé.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû
â ñëàáî ïîãëîùàþùåé àíèçîòðîïíîé ñðåäå. Äëÿ âîëíû îïðåäåëåííîé ÷àñòîòû
áóäåì ñ÷èòàòü èçâåñòíîé ôóðüå-àìïëèòóäó
¥
¥
0
-¥
e ij (w, k ) = ò dt ¢ ò e ij (t ¢, r ¢) exp [ -i (wt ¢ - k × r ¢)] dr ¢
êîìïîíåíòû òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè, ââåäåííîãî ôåíîìåíîëîãè÷åñêè â ëåêöèè 15. Ïðîñòðàíñòâåííóþ äèñïåðñèþ (çàâèñèìîñòü eij îò âîëíîâîãî âåêòîðà k) ó÷èòûâàòü ïîêà íå áóäåì. Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå eij(w, k) = eij è çàïèñàòü ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ â íàèáîëåå ïðîñòîì âèäå.
Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Â àíèçîòðîïíîé ñðåäå àòîìû îðèåíòèðîâàíû îïðåäåëåííûì îáðàçîì, ïîýòîìó, ñëåäóÿ (15.24), êîìïîíåíòó äèïîëüíîãî ìîìåíòà åäèíèöû îáúåìà ìîæíî ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèåì (15.29)
3
Pi = e o N å aij E ýô j ,
j =1
â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîãî ôèãóðèðóþò äâå õàðàêòåðèñòèêè âåùåñòâà: êîìïîíåíòà òåíçîðà ïîëÿðèçóåìîñòè ìîëåêóëû è ÷èñëî ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà.
Âìåñòî ñîîòíîøåíèé (15.30) ñâÿçü âåêòîðîâ ïîëÿðèçàöèè Ð è èíäóêöèè D
ñ ïîðîæäàþùèì èõ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì âîëíû â êðèñòàëëå ïðèîáðåòàåò âèä:
3
Pi = e o å ¿ ij E j ;
j =1
3
Di = e o E i + Pi = e o å e ij E j .
(19.1)
j =1
Çäåñü æij è eij = dij + æij — ôóðüå-êîìïîíåíòû (äàëåå — ïðîñòî êîìïîíåíòû)
òåíçîðîâ âîñïðèèì÷èâîñòè è äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.
Åñëè íå ó÷èòûâàòü ýíåðãåòè÷åñêèå ïîòåðè âîëíû â ñðåäå, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êîìïîíåíòû eij äåéñòâèòåëüíû: eij = e¢ij. (Äàëåå øòðèõ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ
äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè èñïîëüçîâàòü íå áóäåì.) Òîãäà eij = eji. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèì âûáîðîì êîîðäèíàòíûõ îñåé òåíçîð eij ìîæíî ïðèâåñòè ê äèàãîíàëüíîìó âèäó:
æ e11 0
e ij = ç 0 e 22
ç
0
è 0
0ö
0 ÷.
÷
e 33 ø
(19.2)
Äàëåå ïðèìåì îáîçíà÷åíèÿ: ex = e11; ey = e22; ez = e33.
Ãëàâíûå ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ è ãëàâíûå ñêîðîñòè âîëíû. Ïðîâåäåì ïðåäâàðèòåëüíî êà÷åñòâåííûé àíàëèç ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëîñêîé âîëíû â àíèçîòðîïíîé ñðåäå. Ïóñòü âîëíîâîé âåêòîð k ñíà÷àëà íàïðàâëåí âäîëü ãëàâíîé îñè
Oz (ðèñ. 19.1).
Åñëè âîëíà ïîëÿðèçîâàíà â ïëîñêîñòè Oxz (ðèñ. 19.1, à), òî ìàòåðèàëüíîå
óðàâíåíèå (19.1) èìååò âèä Dx = eo ex Ex. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ýòîé âîëíû ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ nx = e x , à ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ðàâíà Lx = c/nx = c/ e x . Åñëè
æå âîëíà ïîëÿðèçîâàíà â ïëîñêîñòè Oyz (ðèñ. 19.1, á ), òî Dy = eo ey Ey. Ïîýòîìó
äëÿ íåå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ny = e y , à ñêîðîñòü Ly = c/ny = c/ e y . Òàêèì
228
îáðàçîì, âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ
âäîëü îñè Oz, ìîæåò, â çàâèñèìîñòè
îò ïîëÿðèçàöèè, èìåòü äâå ðàçëè÷íûå
ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ.
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû âäîëü
îñè Ox (ðèñ. 19.1, â) nz = e z , Lz = c/nz =
= c/ e z ; ny = e y , Ly = c/ny = c/ e y
(ðèñ. 19.1, ã). Íàêîíåö, åñëè âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè Oy, òî nz = e z ,
Lz = c/nz = c/ e z (ðèñ. 19.1, ä); ny = e y ,
Ly = c/ny = c/ e y (ðèñ. 19.1, å).
Âåëè÷èíû n x, n y , n z íàçûâàþòñÿ
ãëàâíûìè ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ,
à ñêîðîñòè Lx, Ly, Lz — ãëàâíûìè ñêîðîÐèñ. 19.1
ñòÿìè âîëíû.
Îòìåòèì äâà âàæíûõ îáñòîÿòåëüñòâà:
• èíäåêñû x, y, z ó ãëàâíûõ ñêîðîñòåé íèêàê íå ñâÿçàíû ñ íàïðàâëåíèåì
ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Îíè îïèñûâàþò ëèøü íàïðàâëåíèå âåêòîðîâ E è D
âäîëü ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàâíîé îñè;
• â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà âîëíîâîé âåêòîð k èìååò ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå
â êðèñòàëëå, âåêòîðû D è E íå ñîâïàäàþò ìåæäó ñîáîé: âåêòîð D ïåðïåíäèêóëÿðåí k, à ìåæäó âåêòîðàìè D è E áóäåò íåêîòîðûé óãîë J, íàçûâàåìûé óãëîì
àíèçîòðîïèè (ñì. äàëåå).
Ïðîäîëæàÿ êà÷åñòâåííûé àíàëèç, ðàññìîòðèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ:
1) ex = ey = ez = e (èçîòðîïíàÿ ñðåäà). Òîãäà n = e , L = c/n = c/ e . Ó òàêîé
ñðåäû îäèí ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ è îäíà ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ïðè âñåõ íàïðàâëåíèÿõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû è ëþáîé åå ïîëÿðèçàöèè;
2) ex = ey ¹ ez. Òîãäà Lx = Ly ¹ Lz. Ñëåäîâàòåëüíî, îáå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ âäîëü îñè Oz (ñì. ðèñ. 19.1, à, á ), èìåþò îäèíàêîâóþ ñêîðîñòü Lo = Lx = Ly.
Ñóììà ýòèõ âîëí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â îáùåì ñëó÷àå âîëíó ñ ýëëèïòè÷åñêîé
ïîëÿðèçàöèåé, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ Lo. Ó ýòîé âîëíû âåêòîðû D è E
ñîâïàäàþò ïî íàïðàâëåíèþ, ïîñêîëüêó â ïëîñêîñòè Oxz ñðåäà èçîòðîïíà.
Íåçàâèñèìîñòü ñêîðîñòè Lo âîëíû îò åå ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè ÿâëÿåòñÿ
îñíîâàíèåì ãîâîðèòü î âûäåëåííîì íàïðàâëåíèè Oz êàê îá îïòè÷åñêîé îñè
êðèñòàëëà. Òàêîå íàïðàâëåíèå åäèíñòâåííîå, ïîýòîìó êðèñòàëë íàçûâàåòñÿ îäíîîñíûì. Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ex ¹ ey ¹ ez, òàêèõ
íàïðàâëåíèé áóäåò äâà, è êðèñòàëë íàçûâàåòñÿ äâóîñíûì.
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòà ïåðïåíäèêóëÿðíî îïòè÷åñêîé îñè âîëíû (ñì.
ðèñ. 19.1, ã, å) ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî-ïðåæíåìó ñî ñêîðîñòüþ Lo, à âîëíû íà
ðèñ. 19.1, â, ä — ñî ñêîðîñòüþ Le = Lz. Âîëíà, ñêîðîñòü êîòîðîé ðàâíà Lo, íàçûâàåòñÿ îáûêíîâåííîé, ïîñêîëüêó åå ñêîðîñòü òàêàÿ æå, êàê è âäîëü îïòè÷åñêîé
îñè. Ó âòîðîé âîëíû ñêîðîñòü Le ¹ Lo, ïîýòîìó âîëíà íàçûâàåòñÿ íåîáûêíîâåííîé.
Ñ ýòèìè íàçâàíèÿìè è ñâÿçàíû èíäåêñû o (ordinary) è e (åxtraordinary) ó ñêîðîñòåé âîëí.
Îáûêíîâåííàÿ è íåîáûêíîâåííàÿ âîëíû îòëè÷àþòñÿ ïîëÿðèçàöèåé. Äëÿ
óäîáñòâà ââåäåì ãëàâíóþ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç âîëíîâîé âåêòîð k è îïòè÷åñêóþ îñü. Òîãäà ó îáûêíîâåííîé âîëíû (ñì. ðèñ. 19.1, ã è å) âåêòîð Å ïåðïåíäèêóëÿðåí ãëàâíîé ïëîñêîñòè, à ó íåîáûêíîâåííîé — ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè.
229
Ñêîðîñòü ïî íîðìàëè è ïîâåðõíîñòü
íîðìàëåé. Çàâåðøàÿ êà÷åñòâåííûé àíàëèç, èçîáðàçèì äèàãðàììó çàâèñèìîñòè
ñêîðîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïî íîðìàëè (â íàïðàâëåíèè âåêòîðà k, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî âîëíîâîìó ôðîíòó) îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí
îò íàïðàâëåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà â îäíîîñíîì êðèñòàëëå.
Ðèñ. 19.2
Ïðè ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè âîëíîâîãî âåêòîðà âñåãäà D ^ k. Ó îäíîé
âîëíû âåêòîðû D¢ è E¢ ïàðàëëåëüíû äðóã äðóãó. Îíè ïåðïåíäèêóëÿðíû ê ãëàâíîé ïëîñêîñòè è ëåæàò â ïëîñêîñòè Oxy, â êîòîðîé ñðåäà èçîòðîïíà. Ó ýòîé
âîëíû D ¢ = eo ex E ¢ = eo eyE ¢, ïîýòîìó åå ñêîðîñòü L ¢ = L o = c/ e x = c/ e y
íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà k. Ó äðóãîé âîëíû âåêòîðû D² è Ų ñîñòàâëÿþò ìåæäó ñîáîé íåêîòîðûé óãîë. Îíè ëåæàò â ãëàâíîé ïëîñêîñòè. Ñêîðîñòü
ýòîé âîëíû L ² ïðè óâåëè÷åíèè óãëà ìåæäó îñüþ Oz è âåêòîðîì k ìîíîòîííî
èçìåíÿåòñÿ îò Lo äî Le. Êðèñòàëë, ó êîòîðîãî Lo > Le, íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, à êðèñòàëë ñ Lo < Le — îòðèöàòåëüíûì.
Íà ðèñ. 19.2 ïîêàçàíû äèàãðàììû çàâèñèìîñòåé ñêîðîñòåé L ¢ è L ² îò íàïðàâëåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî (ðèñ. 19.2, à) è îòðèöàòåëüíîãî
(ðèñ. 19.2, á ) êðèñòàëëîâ.
Ýòèì äèàãðàììàì ñîîòâåòñòâóþò ïîâåðõíîñòè, íàçûâàåìûå ïîâåðõíîñòÿìè
íîðìàëåé (íîðìàëüíûõ ñêîðîñòåé) Ôðåíåëÿ. Îäíà èç ïîâåðõíîñòåé (äëÿ îáûêíîâåííîé âîëíû) ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé, à âòîðàÿ (äëÿ íåîáûêíîâåííîé) — ôèãóðîé
âðàùåíèÿ, íàçûâàåìîé îâàëîèäîì. Äàëåå îíè áóäóò ðàññ÷èòàíû ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.
Ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû. Ïóñòü â àíèçîòðîïíîé
ñðåäå â íàïðàâëåíèè, çàäàâàåìîì åäèíè÷íûì âåêòîðîì e (íîðìàëüþ), ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà ñ íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
é æ
r ×e öù
n÷ .
E(t , r) = A exp êi w ç t è
c ø úû
ë
(19.3)
 íàïðàâëåíèè íîðìàëè ñêîðîñòü âîëíû L = c/n, n — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïî íîðìàëè, çàâèñÿùèé êàê îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà e, òàê è îò ïîëÿðèçàöèè âîëíû. Ñîîòâåòñòâåííî âîëíîâîé âåêòîð k = wne/c.
Êàê è â ñëó÷àå âàêóóìà, âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà è äëÿ óäîáñòâà ââåäåì ïåðåìåííóþ t ¢ = t - r × en/c. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (1.21) ïîëó÷àåì
ñîîòíîøåíèå
n
e ´ E = m 0 H,
(19.4)
c
êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò (1.23) íàëè÷èåì n â ëåâîé ÷àñòè. Âî âòîðîì óðàâíåíèè
¶D
Ìàêñâåëëà (1.22) â ïðàâîé ÷àñòè äîëæíà ñòîÿòü ïðîèçâîäíàÿ
, ïîýòîìó
¶t ¢
âìåñòî (1.24) ïîëó÷àåì
-
230
n
e ´ H = D.
c
(19.5)
Ïîäñòàâèì Í èç (19.4) â (19.5). Òîãäà
D=-
n2
(e ´ (e ´ E)) = n 2 e 0 (E - e(E × e)) .
c 2m 0
(19.6)
Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû
D, E è e ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, çàøòðèõîâàííîé
íà ðèñ. 19.3.
Âåêòîð Í ïåðïåíäèêóëÿðåí ýòîé ïëîñêîñòè. ÂåêÐèñ. 19.3
òîðû D, H è e, ñîãëàñíî (19.5), îáðàçóþò ïðàâóþ
òðîéêó âåêòîðîâ. Âåêòîð Å, â îáùåì ñëó÷àå, îáðàçóåò
ñ âåêòîðîì D óãîë àíèçîòðîïèè J.
Ïåðåíîñ ýíåðãèè îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì Ïîéíòèíãà S = E ´ H = EHs, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî çàäàåòñÿ åäèíè÷íûì âåêòîðîì s. Íàïðàâëåííûé âäîëü s
îòðåçîê ïðÿìîé íàçûâàåòñÿ ëó÷îì. Âäîëü ëó÷à è ïåðåíîñèòñÿ ñâåòîâàÿ ýíåðãèÿ.
Ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü è ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü. Íåñîâïàäåíèå íîðìàëè e è ëó÷à s
òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî ïîÿñíåíèÿ. Ðåàëüíàÿ ïëîñêàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ ñâåòîâûì ïó÷êîì ñ ïëîñêèì ôàçîâûì ôðîíòîì.  àíèçîòðîïíîé ñðåäå ïó÷îê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òàê, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 19.4.
Âîëíîâûå ïîâåðõíîñòè ïëîñêîé âîëíû (ïîâåðõíîñòè ðàâíîé ôàçû) èçîáðàæåíû øòðèõîâûìè ëèíèÿìè. Ýòè ïîâåðõíîñòè ïåðåìåùàþòñÿ â íàïðàâëåíèè
âåêòîðà e (íîðìàëè) ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ L . Âäîëü ëó÷à ñêîðîñòü u ïåðåíîñà
ôàçû íàçûâàåòñÿ ëó÷åâîé ñêîðîñòüþ. Çà âðåìÿ Dt ôàçîâûé ôðîíò ïåðåìåñòèòñÿ
íà ðàññòîÿíèå ab = L Dt, à ïî ëó÷ó — íà ðàññòîÿíèå ad = uDt. Ïîñêîëüêó ab =
= ad cos J, òî
L = u cos J.
(19.7)
Òàêèì îáðàçîì, u ³ L.
Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ñêîðîñòü ïî íîðìàëè L = L (e) çàâèñèò êàê îò íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè e, òàê è ïîëÿðèçàöèè âîëíû. Àíàëîãè÷íî, ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü u = u(s)
çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ ëó÷à s è ïîëÿðèçàöèè âîëíû. Ýòó çàâèñèìîñòü ìîæíî
èçîáðàçèòü â âèäå ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ëó÷åâîé ïîâåðõíîñòüþ. Åñëè
â íåêîòîðîé òî÷êå O âíóòðè àíèçîòðîïíîé ñðåäû â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íà÷àë
èçëó÷àòü (ïðîèçîøëà âñïûøêà) òî÷å÷íûé ìîíîõðîìàòè÷åñêèé èñòî÷íèê, òî ÷åðåç âðåìÿ t = 1/c âîëíîâîé ôðîíò ñîâìåñòèòñÿ ñ ëó÷åâîé ïîâåðõíîñòüþ.
Âñïûøêà òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ñâåòà ýêâèâàëåíòíà ïðîõîæäåíèþ â ìîìåíò
âðåìåíè t = 0 ÷åðåç òî÷êó O ìíîæåñòâà îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âî âñåâîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. ×åðåç âðåìÿ t = 1 c ïëîñêèå ôðîíòû
âîëí ñìåñòÿòñÿ íà ðàññòîÿíèÿ, ðàâíûå L.
Íà ðèñ. 19.5 ïîêàçàíî ïîëîæåíèå ôðîíòîâ ïëîñêèõ âîëí â îäíîîñíîì îòðèöàòåëüíîì êðèñòàëëå: äëÿ îáûêíîâåííîé (ðèñ.
19.5, à) è íåîáûêíîâåííîé (ðèñ. 19.5, á ) âîëí.
 ñëó÷àå òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ëó÷åâîé, èëè âîëíîâîé, ïîâåðõíîñòüþ áóäåò ïîâåðõíîñòü, êàñàòåëüíàÿ ê ïëîñêèì ôðîíòàì. Äëÿ îáûêíîâåííîé âîëíû îíà ñîâïàäàåò ñ ïîâåðõíîñòüþ íîðìàëåé,
à äëÿ íåîáûêíîâåííîé (åå ÷àñòü èçîáðàæåíà
øòðèõîâîé ëèíèåé) íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò ïîÐèñ. 19.4
âåðõíîñòè íîðìàëåé.
231
Ó ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â íàïðàâëåíèè e, ëó÷ äîëæåí
ïðîõîäèòü ÷åðåç òàêóþ òî÷êó âîëíîâîé
ïîâåðõíîñòè, ôàçà êîëåáàíèé ïîëÿ â
êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ôàçîé êîëåáàíèé
íà ïëîñêîì ôðîíòå. Î÷åâèäíî, ýòî áóäåò òî÷êà P, â êîòîðîé ïëîñêèé ôðîíò
êàñàåòñÿ âîëíîâîé (ëó÷åâîé) ïîâåðõíîñòè. Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîÐèñ. 19.5
ëÿåò èñïîëüçîâàòü âîëíîâóþ ïîâåðõíîñòü â ïðèíöèïå Ãþéãåíñà äëÿ àíèçîòðîïíûõ ñðåä (ñì. äàëåå).
 ñëó÷àå äâóîñíîãî êðèñòàëëà áóäóò ñóùåñòâîâàòü êàê èçìåíÿþùèåñÿ ñ íàïðàâëåíèåì e äâå ñêîðîñòè L ¢ è L ², òàê è èçìåíÿþùèåñÿ ñ íàïðàâëåíèåì s äâå
ñêîðîñòè u¢ è u². Îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
L ¢ = u¢ cos J¢; L ² = u² cos J²,
(19.8)
ãäå J¢ è J² — óãëû àíèçîòðîïèè: ìåæäó D¢ è E¢ ó îäíîé âîëíû è D² è E² ó äðóãîé.
Óðàâíåíèå íîðìàëåé Ôðåíåëÿ. Ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå,
ïîçâîëÿþùåå óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü L(e) = ñ/n(e). Äëÿ ýòîãî çàïèøåì (19.6)
ïî êîìïîíåíòàì:
D x , y,z = n 2 e o (E x , y,z - e x , y ,z (E × e)) .
(19.9)
Ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ D è E îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (19.1)
D x , y ,z = e o e x , y ,z E x , y ,z .
(19.10)
Ïîäñòàâëÿÿ E x , y,z èç (19.10) â (19.9), ïîëó÷àåì
D x , y ,z =
n 2 e o e x , y,z (E × e)
.
1
1
n 2 e x , y ,z
(19.11)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî D ^ e è, ñëåäîâàòåëüíî,
D × e = Dxex + Dyey + Dzez = 0,
(19.12)
èç ïîñëåäíèõ äâóõ ðàâåíñòâ ïîëó÷àåì
e y2
e z2
e x2
+
+
= 0.
L 2 - L x2 L 2 - L y2 L 2 - L z2
(19.13)
Çäåñü L = c/n; Lx, Ly, Lz — ãëàâíûå ñêîðîñòè âîëíû.
Óðàâíåíèå (19.13) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì íîðìàëåé Ôðåíåëÿ. Ïîëó÷èì åãî
ðåøåíèå, äëÿ ÷åãî ïðåîáðàçóåì ê âèäó
e x2 (L 2 - L y2 )(L 2 - L z2 ) + e y2 (L 2 - L x2 )(L 2 - L z2 ) + e z2 (L 2 - L y2 )(L 2 - L x2 ) = 0.
(19.14)
Ðàññìîòðèì òðè ñèòóàöèè:
• èçîòðîïíàÿ ñðåäà (Lx = Ly = Lz = Lo). Òîãäà (19.14) óïðîñòèòñÿ:
(L 2 - L o2 )(L 2 - L o2 )(e x2 + e y2 + e z2 ) = (L 2 - L o2 ) 2 = 0.
232
(19.15)
Åãî ðåøåíèå î÷åâèäíî: L = Lo;
• îäíîîñíûé êðèñòàëë (Lx = Ly = Lo; Lz = Le). Òîãäà
(L 2 - L o2 ) éë(L 2 - L e2 )(e x2 + e y2 ) + (L 2 - L o2 )e z2 ùû = 0.
(19.16)
Ýòî óðàâíåíèå èìååò äâà ðåøåíèÿ. Åñëè ñíà÷àëà ïîëîæèòü L 2 - Lo2 = 0,
òî ïåðâîå ðåøåíèå L ¢ = Lo. Åñëè òåïåðü âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ïðèðàâíÿòü ê íóëþ, òî
L ¢¢ 2 = L e2 (e x2 + e y2 ) + L o2e z2 .
(19.17)
Óäîáíî ââåñòè óãîë j ìåæäó e è Oz. Òîãäà
L ¢¢ 2 = L e2 sin 2 j + L o2 cos 2 j.
(19.18)
Åñëè j = 0, òî L ² = Lo, à ïðè j = p/2 ñêîðîñòü L ² = Le.
Ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé (19.18) ÿâëÿåòñÿ îâàëîèäîì. Îí ïîõîæ íà ýëëèïñîèä
è èçîáðàæåí íà ðèñ. 19.2;
• äâóîñíûé êðèñòàëë (Lx ¹ Ly ¹ Lz). Àíàëèç óðàâíåíèÿ (19.14) ìîæíî ïðîâåñòè,
åñëè ïîëàãàòü ïîñëåäîâàòåëüíî ñíà÷àëà ex = 0, çàòåì ey = 0 è äàëåå ez = 0. Òîãäà
ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé L ¢ è L ² â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñíà÷àëà îñè Ox, çàòåì Oy è äàëåå Oz. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïîëó÷èòü
ïðåäñòàâëåíèå î òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè íîðìàëåé. Òàêîé àíàëèç ïîêàçûâàåò,
÷òî â êðèñòàëëå ñóùåñòâóþò äâà íàïðàâëåíèÿ e1 è e2, âäîëü êîòîðûõ L ¢ = L ². Ýòè
íàïðàâëåíèÿ íàçûâàþòñÿ áèíîðìàëÿìè, èëè îïòè÷åñêèìè îñÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ýëëèïñîèä íîðìàëåé. Äâå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè L ¢ è L ², óäîáíî àíàëèçèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ýëëèïñîèäà íîðìàëåé (èíäèêàòðèñû), îïèñûâàåìîãî óðàâíåíèåì
x2 y2 z2
+
+
= 1.
ex ey ez
(19.19)
Äëèíû ïîëóîñåé ýòîãî ýëëèïñîèäà e x = c/Lx, e y = c/Ly, e z = c/Lz îáðàòíî
ïðîïîðöèîíàëüíû ãëàâíûì ñêîðîñòÿì. Ïðîâåäåì ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ íîðìàëè e (ðèñ. 19.6).
Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ (øòðèõîâàÿ) ïëîñêîñòè è ýëëèïñîèäà áóäåò ýëëèïñîì
ñ äëèíàìè ïîëóîñåé OM ¢ è OM ². Ìîæíî äîêàçàòü (à ýòî èíòóèòèâíî è òàê
óãàäûâàåòñÿ), ÷òî OM ¢ = c/L ¢, OM ² = c/L ². Êðîìå òîãî, âäîëü ïîëóîñåé áóäóò
íàïðàâëåíû âåêòîðû D¢ è D² ó îáåèõ âîëí.
Ó îäíîîñíîãî êðèñòàëëà ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé áóäåò ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ âîêðóã îïòè÷åñêîé îñè (îñè Oz).
Äëÿ îäíîé âîëíû (îáûêíîâåííîé) äëèíà
ïîëóîñè OM ¢ íå áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè: OM ¢ = c/Lo. Ó òàêîé
âîëíû âåêòîð E¢ P D¢ (J¢ = 0), ïîñêîëüêó â ïëîñêîñòè Oxy ñðåäà èçîòðîïíà. Ëó÷ s¢ è íîðìàëü e
ñîâïàäàþò, ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü u¢ = Lo.
Äëÿ äðóãîé âîëíû (íåîáûêíîâåííîé) äëèíà ïîëóîñè OM ² èçìåíÿåòñÿ ìåæäó âåëè÷èíàÐèñ. 19.6
ìè c/Lo è c/Le. Âåêòîð D² ëåæèò â ïëîñêîñòè
233
Ðèñ. 19.7
Ðèñ. 19.8
ïàäåíèÿ. Âåêòîð E² ñîñòàâëÿåò ñ íèì óãîë J². ×òîáû íàéòè íàïðàâëåíèå ýòîãî
âåêòîðà, äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó M ² êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü è èç íà÷àëà êîîðäèíàò îïóñòèòü íà ýòó ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿð. Âäîëü ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà è áóäåò íàïðàâëåí âåêòîð E². Ëó÷ s² îáðàçóåò ñ íîðìàëüþ óãîë J².
Ñêîðîñòü ïî ëó÷ó u² = L ²/cos J².
Íà ðèñ. 19.7 èçîáðàæåíî ïîëîæåíèå âñåõ âåêòîðîâ äëÿ îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí â îäíîîñíîì êðèñòàëëå.
Íàëè÷èå äâóõ ëó÷åé íîñèò íàçâàíèå äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ. Îíî ýôôåêòíî íàáëþäàåòñÿ â ñëåäóþùåì îïûòå. Êîëëèìèðîâàííûé óçêèé ïó÷îê íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïðîçðà÷íóþ
ïëàñòèíêó, âûðåçàííóþ èç îäíîîñíîãî êðèñòàëëà. Åãî îïòè÷åñêàÿ îñü íàêëîíåíà
ê ïîâåðõíîñòè. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñâåòîì ïëàñòèíêè ïîÿâëÿþòñÿ äâà ïàðàëëåëüíûõ ñâåòîâûõ ïó÷êà, ïîëÿðèçîâàííûõ âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ. Ïðè âðàùåíèè êðèñòàëëà âîêðóã îñè, ñîâïàäàþùåé ñ îñüþ ïàäàþùåãî
ïó÷êà, îäèí èç âûõîäÿùèõ ïó÷êîâ íåïîäâèæåí, à âòîðîé âðàùàåòñÿ âìåñòå
ñ êðèñòàëëîì.
Íà ðèñ. 19.8 ïîêàçàí õîä îáîèõ ïó÷êîâ, ðàññ÷èòàííûé ñ ïîìîùüþ ýëëèïñîèäà íîðìàëåé è ïîÿñíÿþùèé îïèñàííûé îïûò.
Òåïåðü ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì èçëîæåííîå â íà÷àëå ëåêöèè ïîÿâëåíèå äâóõ
èçîáðàæåíèé ðèñóíêà, íàõîäÿùåãîñÿ ïîä äâóëó÷åïðåëîìëÿþùèì êðèñòàëëîì
êàëüöèòà. Ïëàñòèíêà âûðåçàíà òàê, ÷òî åå îïòè÷åñêàÿ îñü íàêëîíåíà ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó ïðè âðàùåíèè ïëàñòèíêè â ïëîñêîñòè
ðèñóíêà îäíî èçîáðàæåíèå áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ïîñòóïàòåëüíî âîêðóã äðóãîãî,
íåïîäâèæíîãî.
Óðàâíåíèå ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé. Ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé
÷àñòî èñïîëüçóþò ëó÷åâóþ (âîëíîâóþ) ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ çàâèñèìîñòüþ u(s). Ýòà çàâèñèìîñòü ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé.
Äëÿ åãî âûâîäà ïðåîáðàçóåì (19.6) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âåêòîðû E è D
ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè, à âìåñòî e ôèãóðèðîâàë áû âåêòîð s. Äëÿ ýòîãî âíà÷àëå
óìíîæèì (19.6) ñêàëÿðíî íà s:
s × D = n2eo(E × s - (e × s)(E × e)) = -n2eo cos J(E × e),
(19.20)
ãäå E × s = 0; e × s = cos J.
Òàê êàê âåêòîðû D, E, s ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, ìîæíî çàïèñàòü
s = aE + bD,
ãäå a è b — íåêîòîðûå ðàçìåðíûå ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû.
234
(19.21)
Óìíîæèâ ýòî ðàâåíñòâî ñêàëÿðíî ñíà÷àëà íà s, à çàòåì íà e, ïîëó÷àåì
s × s = 1 = bs × D; e × s = cos J = ae × E.
(19.22)
Ïîäñòàâèì èç (19.22) âåëè÷èíû a è b â (19.21) è ïåðåïèøåì åãî â âèäå
E=
1
e×E æ
D ö
(s - bD) =
çs ÷.
s × Dø
a
cos J è
(19.23)
Ïîäñòàâëÿÿ â (19.23) ïðîèçâåäåíèå s × D èç (19.20), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
ïðåîáðàçîâàííîå ñîîòíîøåíèå
E=
1
(D - s(D × s)) .
e o n 2 cos 2 J
(19.24)
Ïîñêîëüêó ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü
u=
L
=
cos J
c
c
=
,
n cos J në
(19.25)
âåëè÷èíó në = n cos J èíîãäà íàçûâàþò ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ëó÷à.
Ïîëüçóÿñü (19.24), ïðîâåäåì ïðîñòûå âûêëàäêè, àíàëîãè÷íûå òåì, êîòîðûå
áûëè ñäåëàíû ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ íîðìàëåé (19.13). Çàïèñàâ (19.24) ïî êîìïîíåíòàì è èñïîëüçóÿ ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (19.10), ïîëó÷àåì
E x , y,z = -
s x , y,z (D × s)
e o (në2 - e x , y,z )
.
(19.26)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
E × s = E x s x + E y s y + E z s z = 0,
(19.27)
ïîëó÷àåì
s x2
1
1
- 2
2
Lx
u
+
s x2
1
1
- 2
2
Ly
u
+
s x2
1
1
- 2
2
Lz
u
= 0.
(19.28)
Ýòî è åñòü óðàâíåíèå ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé. Åãî ðåøåíèå u(s), èçîáðàæåííîå â âèäå
äèàãðàììû, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëó÷åâóþ ïîâåðõíîñòü. Çàïèøåì (19.28) â âèäå
1 öæ 1
1ö
1 öæ 1
1ö
1 öæ 1
1ö
æ 1
æ 1
æ 1
s x2 ç 2 - 2 ÷ ç 2 - 2 ÷ + s y2 ç 2 - 2 ÷ ç 2 - 2 ÷ + s z2 ç 2 - 2 ÷ ç 2 - 2 ÷ = 0; (19.29)
L
L
L
L
L
L
è
ø
è
ø
u
u
èu
y ø èu
z ø
x èu
z ø
x èu
yø
Äëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû Lx = Ly = Lz = Lo. Ïîýòîìó u = Lo. Ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü
ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé.
Äëÿ îäíîîñíîãî êðèñòàëëà Lx = Ly = Lo; Lz = Le. Òîãäà (19.29) ñâîäèòñÿ ê âèäó
1 öé 2
1ö
1 öù
æ 1
2 æ 1
2æ 1
çè u 2 - L 2 ÷ø ê(s x + s y ) çè u 2 - L 2 ÷ø + s z çè u 2 - L 2 ÷ø ú = 0.
o ë
e
o û
(19.30)
Ðåøåíèÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäóò
u¢ = Lo;
1
sin 2 j cos 2 j
=
+
.
2
L e2
L o2
u ¢¢
(19.31)
235
Ðèñ. 19.9
Ðèñ. 19.10
Çäåñü j — óãîë ìåæäó âåêòîðîì s è îïòè÷åñêîé îñüþ Oz.
Ïåðâîìó ðåøåíèþ (19.31) ñîîòâåòñòâóåò ñôåðè÷åñêàÿ ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü,
à âòîðîìó — ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü â âèäå ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ âîêðóã îïòè÷åL - Lo
ñêîé îñè. Èç-çà íåáîëüøîé âåëè÷èíû å
= 1 ýëëèïñîèä â (19.31) íåçíà÷è-
Lo
òåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò îâàëîèäà (19.18).
Íàêîíåö, äëÿ äâóîñíîãî êðèñòàëëà, íå ïðèâîäÿ ãðîìîçäêèå âûêëàäêè, îáñóäèì ôîðìó ëó÷åâîé ïîâåðõíîñòè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 19.9 â âèäå òðåõìåðíîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 19.9, à) è åå ðàçðåçîâ (ðèñ. 19.9, á ) â òðåõ âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòÿõ. Ðèñóíîê ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ ez > ey > ex.
Âíåøíÿÿ ïîâåðõíîñòü íàïîìèíàåò ýëëèïñîèä, íî èìååò ÷åòûðå óãëóáëåíèÿ,
â êîòîðûõ êàñàåòñÿ âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè. Òî÷êè êàñàíèÿ M îïðåäåëÿþò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ s1 è s2, ïîýòîìó ÷åðåç òî÷êè êàñàíèÿ ïðîõîäÿò îïòè÷åñêèå
îñè êðèñòàëëà, âäîëü êîòîðûõ u¢ = u². Ó ðàçíûõ êðèñòàëëîâ óãîë ìåæäó îñÿìè
ìîæåò çíà÷èòåëüíî ðàçëè÷àòüñÿ. Íàïðèìåð, äëÿ íèòðàòà êàëèÿ KNO3 îí ðàâåí
7°12', à äëÿ ñóëüôàòà æåëåçà FeSO4 — 85°27'.
Ýëëèïñîèä Ôðåíåëÿ. Îí çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì
ex x 2 + e y y2 + ez z 2 = 1
(19.32)
è ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ëó÷åâûå ñêîðîñòè u¢, u² è íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ E¢,
D¢, E², D², åñëè çàäàíî íàïðàâëåíèå ëó÷à s. Äëèíû ïîëóîñåé ýëëèïñîèäà
1/ e x = Lx /c, 1/ e y = Ly /c, 1/ e z = Lz /c ïðîïîðöèîíàëüíû ãëàâíûì ñêîðîñòÿì.
Åñëè ïðîâåñòè ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ïåðïåíäèêóëÿðíîå âåêòîðó s ñå÷åíèå, òî äëèíû ïîëóîñåé ýëëèïñà ñå÷åíèÿ OM ¢ = u¢/c, OM ² = u²/c (ðèñ. 19.10).
Ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ïîëóîñÿì âåêòîðû E¢ è E²
íàïðàâëåíû âäîëü ýòèõ ïîëóîñåé. Âåêòîðû D¢ è D² îïðåäåëÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿìè ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç íà÷àëà êîîðäèíàò íà ñîîòâåòñòâóþùèå êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè, ïðîâåäåííûå ÷åðåç òî÷êè M ¢ è M ². Ó îäíîé âîëíû âåêòîðû D², E² è e² ëåæàò â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ, à âåêòîðû D¢, E¢, e¢ — â ïåðïåíäèêóëÿðíîé
ïëîñêîñòè (íà ðèñóíêå âåêòîðû e¢ è e² íå ïîêàçàíû).
Äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå. Ïðèíöèï Ãþéãåíñà. Ïóñòü
Ðèñ. 19.11
ïëîñêàÿ âîëíà ïàäàåò ïîä óãëîì Ji èç âàêóóìà â àíè236
Ðèñ. 19.12
çîòðîïíóþ ñðåäó (ðèñ. 19.11). Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñëåäóåò, ÷òî âîëíîâûå íîðìàëè òðåõ âîëí ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ) è
sin J i
?
= ;
sin J t¢ L ¢
sin J i
?
.
=
sin J t¢¢ L ¢¢
(19.33)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî L ¢ = L ¢(e t¢ ), L ¢¢ = L ¢¢(e ¢¢t ) , ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ óãëîâ
Jt¢ è Jt² íåîáõîäèì àíàëèç (19.33) ñîâìåñòíî ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ íîðìàëåé
(19.13).
Äëÿ ëó÷åé ñî ñêîðîñòÿìè u¢ è u² ñîîòíîøåíèÿ (19.33) íå âûïîëíÿþòñÿ.
Ðàñ÷åò íàïðàâëåíèé èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîæíî ïðîâåñòè, ðåøàÿ ñîâìåñòíî
(19.10), (19.11) è (19.24). Èç íèõ ìîæíî íàéòè óãëû àíèçîòðîïèè J¢ è J², êîòîðûå îáðàçóþò ëó÷è ñ íîðìàëÿìè.
Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé ïðèìåíÿþò ïðèíöèï Ãþéãåíñà äëÿ àíèçîòðîïíûõ
ñðåä, êîòîðûé áàçèðóåòñÿ íà òðåõ ïîëîæåíèÿõ:
• êàæäàÿ òî÷êà ïîâåðõíîñòè àíèçîòðîïíîé ñðåäû, äî êîòîðîé äîõîäèò ïàäàþùàÿ ïëîñêàÿ âîëíà, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê òî÷å÷íûé èñòî÷íèê,
îò êîòîðîãî ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ñðåäå äâå âîëíû, èìåþùèå ðàçíûå âîëíîâûå
ïîâåðõíîñòè;
• ïëîñêèé ôðîíò êàæäîé èç ïðåëîìëåííûõ âîëí ñîâïàäàåò ñ îãèáàþùåé
ñîîòâåòñòâóþùèõ âòîðè÷íûõ âîëí;
• ëó÷è íàïðàâëåíû îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà â äâå òî÷êè êàñàíèÿ P ¢ è P ² åãî
âîëíîâûõ ïîâåðõíîñòåé è ñîîòâåòñòâóþùèõ îãèáàþùèõ.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðèìåíåíèå ýòîãî ïðèíöèïà â ñëó÷àå íàêëîííîãî ïàäåíèÿ ïëîñêîé âîëíû íà ïîâåðõíîñòü îòðèöàòåëüíîãî îäíîîñíîãî êðèñòàëëà,
îïòè÷åñêàÿ îñü êîòîðîãî ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ. Îíà ñîñòàâëÿåò
íåêîòîðûé óãîë ñ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ êðèñòàëëà (ðèñ. 19.12).
 òî÷êàõ a, b, d è äðóãèõ íàõîäÿòñÿ òî÷å÷íûå èñòî÷íèêè. Âîëíîâûå ïîâåðõíîñòè èçëó÷àåìûõ èìè âîëí áóäóò ñôåðàìè è ýëëèïñîèäàìè. Ôàçîâûå ôðîíòû
F ¢ è F ² ÿâëÿþòñÿ îãèáàþùèìè ê âîëíîâûì ïîâåðõíîñòÿì. Íîðìàëè ê íèì e¢
è e² óäîâëåòâîðÿþò çàêîíó (19.33). Îäèí èç ëó÷åé s¢ ñîâïàäàåò ñ íîðìàëüþ e¢
(ýòî îáûêíîâåííàÿ âîëíà), à äðóãîé s² ñîñòàâëÿåò ñ e² óãîë J² (íåîáûêíîâåííàÿ âîëíà).
237
Ë Å Ê Ö È ß 20
Äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå ñâåòà â àíèçîòðîïíûõ ñðåäàõ øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ êàê ñðåäû, îáëàäàþùèå åñòåñòâåííîé àíèçîòðîïèåé, òàê è ðÿä äðóãèõ ñðåä (òâåðäûõ òåë, æèäêîñòåé), êîòîðûå ïðèîáðåòàþò èñêóññòâåííóþ àíèçîòðîïèþ ïðè âíåøíèõ âîçäåéñòâèÿõ.
Ïîëÿðèçàòîðû. Íàëè÷èå äâóõ âîëí â àíèçîòðîïíîì êðèñòàëëå ñî âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûìè íàïðàâëåíèÿìè èõ ïëîñêîñòåé ïîëÿðèçàöèè, èìåþùèõ
ðàçëè÷íîå ïîãëîùåíèå è ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ, â îáùåì ñëó÷àå, ïî ðàçíûì
íàïðàâëåíèÿì, îòêðûâàåò âîçìîæíîñòü äëÿ ñîçäàíèÿ ïîëÿðèçàöèîííûõ ïðèñïîñîáëåíèé. Åñëè îäíó èç âîëí óñòðàíèòü, òî ñâåò ñòàíîâèòñÿ ïëîñêîïîëÿðèçîâàííûì. Óñòðîéñòâî, ðàáîòàþùåå ïî ýòîìó ïðèíöèïó, íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçàòîðîì ñâåòà. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåíû äâà èõ òèïà: äâîÿêîïðåëîìëÿþùèå ïðèçìû è ïîëÿðîèäíûå ïëåíêè.
Ïåðâûé ïîëÿðèçàòîð èçîáðåë øîòëàíäñêèé ó÷åíûé Ó. Íèêîëü â 1828 ãîäó.
Ïîëÿðèçàòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèçìó, ðàçðåçàííóþ íà äâå ÷àñòè ïî ïëîñêîñòè
a — b (ðèñ. 20.1).
Ïðèçìà èçãîòîâëåíà èç èñëàíäñêîãî øïàòà — îäíîîñíîãî îòðèöàòåëüíîãî
êðèñòàëëà, ó êîòîðîãî no = 1,658; ne = 1,486. Çàçîð ìåæäó ÷àñòÿìè ïðèçìû çàïîëíÿåòñÿ èçîòðîïíûì êàíàäñêèì áàëüçàìîì ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,550.
Îïòè÷åñêàÿ îñü ðàñïîëîæåíà â ïëîñêîñòè ÷åðòåæà è íàêëîíåíà ê âõîäíîé ãðàíè ïðèçìû ïîä óãëîì 48°15'.
Ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ íà ýòîé ãðàíè íèæíèé (îáûêíîâåííûé) ëó÷ so èñïûòûâàåò ïîëíîå îòðàæåíèå îò ãðàíèöû a — b è çàòåì âûâîäèòñÿ èç ïðèçìû ëèáî
ïîãëîùàåòñÿ åå íèæíåé çà÷åðíåííîé ãðàíüþ. Íåîáûêíîâåííûé ëó÷ se, ïðîõîäÿ
áåç ïðåëîìëåíèÿ ÷åðåç ãðàíèöó a — b, çàòåì âûõîäèò ïàðàëëåëüíî ïàäàþùåìó
ëó÷ó. Íåîáûêíîâåííàÿ âîëíà ïîëÿðèçîâàíà â ãëàâíîé ïëîñêîñòè ïðèçìû Íèêîëÿ. Óãëîâàÿ àïåðòóðà (äèàïàçîí óãëîâ ïàäåíèÿ âîëíû íà ïåðåäíþþ ãðàíü),
ïðè êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ õîðîøàÿ ïîëÿðèçàöèÿ, ñîñòàâëÿåò îêîëî 29°. Ïîñêîëüêó
êàíàäñêèé áàëüçàì íå ïðîçðà÷åí â ÓÔ-äèàïàçîíå, òî ïðèçìà â ýòîì äèàïàçîíå
íå èñïîëüçóåòñÿ.
Ðèñ. 20.1
238
Ðèñ. 20.2
Áîëåå øèðîêîå ïðèìåíåíèå ïîëó÷èëà ïîëÿðèçàöèîííàÿ ïðèçìà Ãëàíà
(ðèñ. 20.2).
Çäåñü ïàðàëëåëåïèïåä èç èñëàíäñêîãî øïàòà ðàçðåçàí ïî äèàãîíàëüíîé ïëîñêîñòè íà äâå ðàâíûå ÷àñòè, ðàçäåëåííûå âîçäóøíûì çàçîðîì. Óãîë a = 50°.
Îïòè÷åñêàÿ îñü êðèñòàëëà ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà. Îáûêíîâåííûé ëó÷ ïðåòåðïåâàåò ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå íà äèàãîíàëüíîé ïëîñêîñòè, ïîýòîìó ÷åðåç ïðèçìó ïðîõîäèò ëèøü íåîáûêíîâåííûé ëó÷.
Ïðåèìóùåñòâî ïðèçìû Ãëàíà ñîñòîèò â ìàëîé äëèíå è óäîáñòâå èñïîëüçîâàíèÿ, â òîì ÷èñëå è â ÓÔ-äèàïàçîíå. Îäíàêî óãëîâàÿ àïåðòóðà ñîñòàâëÿåò
âåëè÷èíó 8°6' è çàìåòíî ìåíüøå, ÷åì ó ïðèçìû Íèêîëÿ. Ïðè çàïîëíåíèè çàçîðà
ãëèöåðèíîì (n = 1,474) óãëîâàÿ àïåðòóðà óâåëè÷èâàåòñÿ äî 32°6', ïðè ýòîì óãîë
a = 17°20'.
Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî äðóãèõ ïîëÿðèçàöèîííûõ ïðèçì, ïðîïóñêàþùèõ ëèøü
îäèí ëó÷ ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà.
Î÷åíü óäîáíû â èñïîëüçîâàíèè ïîëÿðèçàöèîííûå ïëåíêè, ïðèíöèï ðàáîòû
êîòîðûõ îñíîâàí íà ÿâëåíèè äèõðîèçìà — çàâèñèìîñòè ïîãëîùåíèÿ ñâåòà âåùåñòâîì îò åãî ïîëÿðèçàöèè. Ýòî ÿâëåíèå áûëî îòêðûòî â íà÷àëå XIX â. íà ìîíîêðèñòàëëàõ ïîëóäðàãîöåííîãî ìèíåðàëà òóðìàëèíà. Îäíîîñíûé òóðìàëèí ñèëüíî
ïîãëîùàåò îáûêíîâåííûé ëó÷.
Äèõðîèçì êðèñòàëëîâ ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ èíäèêàòðèñû ïîãëîùåíèÿ
(19.19), åñëè â íåé èñïîëüçîâàòü ìíèìûå ÷àñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ex², ey² è ez². Òîãäà ïîëóîñè ýëëèïñà ñå÷åíèÿ áóäóò ïðîïîðöèîíàëüíû êîýôôèöèåíòàì ïîãëîùåíèÿ a¢ è a². ßñíî, ÷òî â îòíîøåíèè äèõðîèçìà êðèñòàëëû
ìîãóò áûòü îäíîîñíûìè è äâóîñíûìè.
Äèõðîè÷íûå ïëàñòèíêè èç òóðìàëèíà íå íàøëè øèðîêîãî ïðèìåíåíèÿ
â êà÷åñòâå ïîëÿðèçàòîðîâ. Ýòî ñâÿçàíî êàê ñ èõ âûñîêîé ñòîèìîñòüþ, òàê
è óçêîé ñïåêòðàëüíîé îáëàñòüþ ïðîïóñêàíèÿ.
Áîëåå øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè ïëåíî÷íûå ïîëÿðîèäû — ïëåíêè,
«ïðîïèòàííûå» àíèçîòðîïíûìè ìîëåêóëàìè. Åñëè ïîëèìåðíóþ ïëåíêó, ñîñòîÿùóþ
èç äëèííûõ ìàêðîìîëåêóë, â íàãðåòîì ñîñòîÿíèè ïîäâåðãíóòü ñèëüíîìó ðàñòÿæåíèþ â îïðåäåëåííîì íàïðàâëåíèè, òî ìàêðîìîëåêóëû ñâîèìè äëèííûìè
îñÿìè âûñòðîÿòñÿ âäîëü ýòîãî íàïðàâëåíèÿ. Çàòåì â ðàçìÿã÷åííîé íàãðåòîé
ïëåíêå ðàñòâîðÿþò âåùåñòâî-àêòèâàòîð, ìîëåêóëû êîòîðîãî, îáëàäàþùèå äèõðîèçìîì, òàêæå áóäóò îðèåíòèðîâàíû. Â èòîãå îñòûâøàÿ ïëåíêà ñòàíåò ïîëÿðèçàòîðîì ñâåòà.
Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ïîëÿðîèäîâ ÷àùå âñåãî ïðèìåíÿþò ïîëèâèíèëîâûé ñïèðò.
Åñëè â íåãî äîáàâèòü íàñûùåííûé âîäíûé ðàñòâîð éîäà, òî â ïëåíêå îáðàçóþòñÿ
äëèííûå öåïî÷êè äèõðîè÷íûõ ìîëåêóë ñîåäèíåíèÿ «ïîëèâèíèëîâûé ñïèðò —
éîä». Òàêîé ïîëÿðîèä îáëàäàåò õîðîøèì ïîëÿðèçóþùèì äåéñòâèåì â îáëàñòè
ñïåêòðà 5 000 — 7 000 D. Äëÿ äðóãîé îáëàñòè ñïåêòðà ïîäáèðàþò èíûå àêòèâàòîðû. Èíîãäà â êà÷åñòâå àêòèâàòîðîâ ïðèìåíÿþò äèõðîè÷íûå ìîíîêðèñòàëëû,
êîòîðûå òàêæå îðèåíòèðóþòñÿ ïðè ðàñòÿæåíèè ïëåíêè.
Óïðàâëåíèå ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè ñâåòà. Àíàëèç ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè.
Ðàññìîòðèì îïòè÷åñêóþ ñõåìó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 20.3.
Ëó÷ åñòåñòâåííîãî (íåïîëÿðèçîâàííîãî) áåëîãî ñâåòà ïàäàåò íîðìàëüíî íà
ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïðîçðà÷íóþ ïëàñòèíêó òîëùèíîé l. Ïëàñòèíêà èçãîòîâëåíà èç îäíîîñíîãî êðèñòàëëà, îïòè÷åñêàÿ îñü êîòîðîãî íàïðàâëåíà âäîëü îñè Oz.
Ïëàñòèíêà ïîìåùåíà ìåæäó äâóìÿ ïîëÿðèçàòîðàìè Ï1 è Ï2, ñõåìàòè÷åñêè
239
èçîáðàæåííûìè íà ðèñóíêå â âèäå
êðóãëûõ ïîëèìåðíûõ ïëåíîê. Ïåðâàÿ
ïëåíêà Ï1 íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçàòîðîì,
à âòîðàÿ Ï2 — àíàëèçàòîðîì. Åñòåñòâåííî, ÷òî â êà÷åñòâå ïîëÿðèçàòîðà è àíàëèçàòîðà ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ è ïîëÿðèçàöèîííûå ïðèçìû. Ãëàâíûå ïëîñêîñòè ïëåíîê (ïëîñêîñòè, â êîòîðûõ
ñòàíîâèòñÿ ïîëÿðèçîâàííîé âîëíà,
ïðîøåäøàÿ ÷åðåç ïëåíêè) ñîñòàâëÿþò
óãëû a1 è a2 ñ îïòè÷åñêîé îñüþ êðèñÐèñ. 20.3
òàëëà. Åñëè ãëàâíûå ïëîñêîñòè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ïîëÿðèçàòîð è àíàëèçàòîð íàçûâàþò ñêðåùåííûìè.
Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïîëÿðèçàòîðà Ï1 ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà ïàäàåò
íà îäíîîñíûé êðèñòàëë. Â ïîñëåäíåì âîçíèêàþò îáûêíîâåííàÿ è íåîáûêíîâåííàÿ âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ âäîëü Oy ñî ñêîðîñòÿìè Lo = c/no è Le = c/ne
ñîîòâåòñòâåííî.
Íà âûõîäå èç êðèñòàëëà îáå âîëíû ïðèîáðåòàþò ðàçíîñòü ôàç
2p
(20.1)
(ne - no )l .
l
Ðàçíîñòü ôàç çàâèñèò îò äëèíû âîëíû, ïîýòîìó íà àíàëèçàòîð áóäóò ïàäàòü
âîëíû ñ ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè ïîëÿðèçàöèè (ëèíåéíîé, êðóãîâîé, ýëëèïòè÷åñêîé). Ýòè âîëíû ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèåé îáûêíîâåííîé è íåîáûêíîâåííîé âîëí, âûøåäøèõ èç êðèñòàëëà.
Äîëÿ ýíåðãèè äëÿ êàæäîé èç ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò ñâåòà, ïðîøåäøåãî
÷åðåç àíàëèçàòîð, áóäåò çàâèñåòü îò âçàèìíîé îðèåíòàöèè ãëàâíîé ïëîñêîñòè
àíàëèçàòîðà Ï2 è ïîëóîñåé ýëëèïñà, îïèñûâàåìîãî êîíöîì âåêòîðà E ïàäàþùåé íà àíàëèçàòîð âîëíû. Ïîýòîìó íà ýêðàíå çà àíàëèçàòîðîì áóäåò îêðàøåííîå ñâåòîâîå ïÿòíî.
Ðàññ÷èòàåì èíòåíñèâíîñòü ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò ñâåòà, äîñòèãàþùåãî
ýêðàíà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âõîäíîé ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà íàïðÿæåííîñòü
ïîëÿ âîëíû E0 = A0 cos wt. Ýòî ïîëå ðàçëîæèì íà äâå êîìïîíåíòû Ez = E cos a1
è Ex = E0 sin a1. Íà âûõîäå èç êðèñòàëëà ýòè êîìïîíåíòû îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè
Dj = j z - j x =
w
æ
Å z = À0 cos a1 cos ç wt è
Lå
ö
l÷ ;
ø
w
æ
Å x = À0 sin a1 cos ç wt è
Lo
ö
l÷ .
ø
(20.2)
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âîëíû, ïðîøåäøåé ÷åðåç àíàëèçàòîð, ñîñòàâèò âåëè÷èíó
E = E z cos a 2 + E x sin a 2 =
w
æ
= A0 cos a1 cos a 2 cos ç wt è
Lo
w
ö
æ
l ÷ + A0 sin a1 sin a 2 cos ç wt ø
è
Le
ö
l÷ .
ø
(20.3)
Ïî ñóòè àíàëèçàòîð ïîçâîëÿåò îñóùåñòâèòü èíòåðôåðåíöèþ ïîëÿðèçîâàííûõ â äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ âîëí. Ïåðåõîäÿ ê èíòåíñèâíîñòè, ïîëó÷àåì
240
Dj ù
é
I = E 2 = I 0 ê cos 2 (a 2 - a1 ) - sin 2a1 sin 2a 2 sin 2
,
(20.4)
ë
2 úû
ãäå Dj îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (20.1); I0 = A02/2 — èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà.
Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå. Ïóñòü ãëàâíûå ïëîñêîñòè Ï1 è Ï2
ïàðàëëåëüíû: a1 = a2 = a. Òîãäà
Dj ö
æ
I = I 0 ç1 - sin 2 2a sin 2
÷.
è
2 ø
(20.5)
Åñëè a = 0, p/2, p è ò. ä., òî I = I0. Åñëè a = p/4, 3p/4, òî èíòåíñèâíîñòü I =
= 0 äëÿ òåõ ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò, äëÿ êîòîðûõ Dj = (2m - 1)p, èëè
l
(20.6)
(ne - no )l = (2m - 1) , m = 1, 2, 3, K .
2
Àíèçîòðîïíàÿ ïëàñòèíêà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (20.6), íàçûâàåòñÿ ïîëóâîëíîâîé ïëàñòèíêîé, èëè ïëàñòèíêîé «l/2». Ïðè ïàäåíèè ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîé âîëíû íà òàêóþ ïëàñòèíêó ïðè óãëå a = ±45° ïðîøåäøàÿ âîëíà áóäåò
ïëîñêî ïîëÿðèçîâàíà, îäíàêî åå ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè áóäåò ïîâåðíóòà íà
90° îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ïàäàþùåé âîëíû. Ïîýòîìó îíà è íå
ïðîõîäèò ÷åðåç àíàëèçàòîð.
p
Ïðè Dj = (2m - 1) , èëè
2
l
(ne - no )l = (2m - 1) ,
(20.7)
4
èíòåíñèâíîñòü I = I0. Ïëàñòèíêà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (20.7), íàçûâàåòñÿ
÷åòâåðòüâîëíîâîé ïëàñòèíêîé, èëè ïëàñòèíêîé «l/4». Îíà ïðè óãëå a = ±45°
ïðåâðàùàåò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûé â öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò.
Åñëè òåïåðü àíàëèçàòîð è ïîëÿðèçàòîð ñäåëàòü ñêðåùåííûìè (a2 = a1 + p/2), òî
Dj
(20.8)
.
2
Ñðàâíåíèå ñ (20.5) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñèòóàöèÿ ñòàëà äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíîé: òå ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû, êîòîðûå ðàíüøå ïðîõîäèëè, áóäóò
çàäåðæèâàòüñÿ îïòè÷åñêîé ñèñòåìîé, è íàîáîðîò.
Èçëîæåííîå èëëþñòðèðóåòñÿ â îïûòå ñî ñëþäÿíûìè ïëàñòèíêàìè. Êîëëèìèðîâàííûé ïó÷îê áåëîãî ñâåòà ïîïàäàåò íà îïòè÷åñêóþ ñèñòåìó, èçîáðàæåííóþ
íà ðèñ. 20.3, â êîòîðîé â êà÷åñòâå àíèçîòðîïíîé ñðåäû èñïîëüçóåòñÿ ñëþäÿíàÿ
ïëàñòèíêà. Åñëè ïîäîáðàòü åå òîëùèíó òàêîé, ÷òî îíà áóäåò ïîëóâîëíîâîé ïðè
l = 7 000 D, òî ïðè óãëå a1 = ±45° è ïàðàëëåëüíûõ ãëàâíûõ ïëîñêîñòÿõ ïÿòíî íà
ýêðàíå áóäåò ñèíèì. Ïðè ïîâîðîòå àíàëèçàòîðà íà 90° ïÿòíî îêàæåòñÿ êðàñíûì.
Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî êðàñíûé ñâåò ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ê ñèíåìó, ïîñêîëüêó ñîîòâåòñòâóþùèå èì äëèíû âîëí ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò äëèíû
âîëíû l0 = 5 500 D, äëÿ êîòîðîé â ñïåêòðå äíåâíîãî ñâåòà äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì.
Íà ðèñ. 20.1 öâ. âêë. ïîêàçàíî èçîáðàæåíèå íà ýêðàíå áàáî÷êè, âûïîëíåííîé
èç ìåëü÷àéøèõ ïëàñòèíîê ðàçëè÷íîé òîëùèíû, îïòè÷åñêèå îñè êîòîðûõ îðèåíòèðîâàíû ïî-ðàçíîìó. Åñëè îñâåùàòü áàáî÷êó áåëûì ñâåòîì, òî åå ìàëîêîíòðàñòíîå èçîáðàæåíèå áóäåò ÷åðíî-áåëûì. Ïðè ïîìåùåíèè åå ìåæäó ïîëÿðîèäàìè îíà ñòàíîâèòñÿ îêðàøåííîé. Ïðè ïîâîðîòå àíàëèçàòîðà íà 90° åå öâåòà
ìåíÿþòñÿ íà äîïîëíèòåëüíûå.
I = I 0 sin 2 a1 sin 2
241
Èç ïðèâåäåííîãî ðàññìîòðåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíî, ÷òî îïòè÷åñêàÿ ñõåìà,
èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 20.3, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà êàê äëÿ ñîçäàíèÿ ïó÷êîâ
ñâåòà ñ çàäàííûì ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè, òàê è äëÿ ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è — èññëåäîâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè.
Äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé çàäà÷è äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü ïîëÿðèçàòîð è àíèçîòðîïíóþ ïëàñòèíêó. Ïðè ïàäåíèè ñâåòà íà òàêóþ ñèñòåìó íà âûõîäå ïëàñòèíêè
ìîæíî ïîëó÷èòü ñâåò ñ íóæíûì ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïîäîáðàòü âåëè÷èíû a1 è (ne - no)l.
Äëÿ ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è ìîæíî èñïîëüçîâàòü àíèçîòðîïíóþ ïëàñòèíêó
è àíàëèçàòîð. Åñëè èññëåäóåìûé ñâåò ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàí, òî äîñòàòî÷íî îäíîãî àíàëèçàòîðà. Èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà, ñîãëàñíî (20.4), ïðè Dj = 0
(20.9)
I = I 0 cos 2 a,
ãäå a = a2 - a1 — óãîë ìåæäó ïëîñêîñòüþ Ï2 àíàëèçàòîðà è ïëîñêîñòüþ Ï1
ïîëÿðèçàöèè âîëíû. Ñîîòíîøåíèå (20.9) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì çàêîíà Ìàëþñà. Çàâèñèìîñòü I(a) óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå äèàãðàììû,
èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 20.4.
Îäíàêî ñ ïîìîùüþ ëèøü îäíîãî àíàëèçàòîðà íåâîçìîæíî îòëè÷èòü ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííûé îò ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà, íåïîëÿðèçîâàííûé — îò öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííîãî. Ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììû èçîáðàæåíû íà ðèñ. 20.5.
Íà ðèñ. 20.5, à ïîêàçàíà äèàãðàììà äëÿ ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîãî
è ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà, íà ðèñ. 20.5, á — äëÿ öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííîãî è íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà.
Ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî â îòëè÷èå îò õàîòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîé, ó âîëíû ñ ðåãóëÿðíîé ïîëÿðèçàöèåé ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ ðàçíîñòü ôàç Dj0 êîëåáàíèé ìåæäó åå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè êîìïîíåíòàìè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïîýòîìó åñëè ïåðåä àíàëèçàòîðîì ïîñòàâèòü àíèçîòðîïíóþ ïëàñòèíêó, âíîñÿùóþ äîïîëíèòåëüíóþ ðàçíîñòü ôàç Dj, òàêóþ, ÷òî
2p
(ne - no )l = mp, m = ±1, ± 2, ± 3, K,
(20.10)
l
òî ñâåò ñòàíåò ïëîñêîïîëÿðèçîâàííûì è ìîæåò çàòåì èññëåäîâàòüñÿ àíàëèçàòîðîì. Îïðåäåëèâ íàïðàâëåíèå åãî ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè (âåëè÷èíó m) ïðè
èçâåñòíîì Dj, ìîæíî ðàññ÷èòàòü Dj0 è òåì ñàìûì îïðåäåëèòü èñõîäíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿðèçàöèè âîëíû.
Óñòðîéñòâà, èçìåíÿþùèå ðàçíîñòü ôàç âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé ïîëÿ âîëíû, íàçûâàþòñÿ êîìïåíñàòîðàìè. Ïåðâûé êîìïåíñàòîð ïðåäëîæèë (1839) ôðàíöóçñêèé ôèçèê è àñòðîíîì Æ. Áàáèíå. Åãî êîìïåíñàòîð ïðåäñòàâëÿë ñîáîé ñêîëüçÿùèå îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà äâà êâàðöåâûõ êëèíà, îáðàçóþùèõ ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïëàñòèíêó ïåðåìåííîé òîëùèíû l (ðèñ. 20.6).
Dj 0 + Dj = Dj 0 +
Ðèñ. 20.4
242
Ðèñ. 20.5
Ðèñ. 20.6
Êâàðö ÿâëÿåòñÿ îäíîîñíûì ïîëîæèòåëüíûì êðèñòàëëîì: no = 1,544, ne =
= 1,553. Åñëè îïòè÷åñêèå îñè êëèíüåâ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòîâîãî ïó÷êà åãî ôðàãìåíò ïðèîáðåòåò ðàçíîñòü ôàç
2p
2p
Dj = j z - j x =
(ne l1 + no l 2 ) - (no l1 + ne l 2 )] =
[
[(no - ne )(l 2 - l1 )] . (20.11)
l
l
Íà ýêðàíå Ý áóäóò ÷åðåäîâàòüñÿ ïîëîñû, ïðè÷åì âèäíîñòü ýòîé êàðòèíû
áóäåò òåì âûøå, ÷åì áîëüøå ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ïàäàþùåãî íà êîìïåíñàòîð.
Èñêóññòâåííàÿ àíèçîòðîïèÿ ïðè âíåøíèõ âîçäåéñòâèÿõ. Âïåðâûå ïîÿâëåíèå
èñêóññòâåííîé àíèçîòðîïèè áûëî îáíàðóæåíî íåìåöêèìè ôèçèêàìè Ò. Çååáåêîì (1813) è Áðþñòåðîì (1815). Îíè îòêðûëè äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå â êðèñòàëëàõ ïðè èõ îäíîñòîðîííåì ñæàòèè è ðàñòÿæåíèè. Òàêîå ñâîéñòâî êðèñòàëëîâ íàçûâàåòñÿ ôîòîóïðóãîñòüþ. Ñõåìà ýòèõ îïûòîâ ïîêàçàíà íà ðèñ. 20.7.
Ïðîçðà÷íûé èçîòðîïíûé êðèñòàëë ïîìåùåí ìåæäó ñêðåùåííûìè ïîëÿðèçàòîðàìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòîé ïðàêòèêîé ïîëÿðîèäû èçîáðàæàþò ñõåìàòè÷íî â âèäå ïëàñòèíîê, íàïîìèíàþùèõ ïðèçìû Íèêîëÿ. Åñëè èõ ãëàâíûå
ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíû, òî è äèàãîíàëüíûå ëèíèè ðèñóþò ïàðàëëåëüíûìè,
åñëè ïëîñêîñòè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî äèàãîíàëüíûå ëèíèè îðèåíòèðîâàíû â ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ (ñì. ðèñ. 20.7).
Ñâåò ÷åðåç òàêóþ ñèñòåìó ïðîõîäèòü íå áóäåò. Îäíàêî åñëè, íàïðèìåð,
ê âåðõíåé ãðàíè êðèñòàëëà ïðèëîæèòü ñæèìàþùóþ ñèëó F, ñîðèåíòèðîâàâ êðèñòàëë òàê, ÷òîáû íîðìàëü ê âåðõíåé ãðàíè ñîñòàâëÿëà óãëû a = 45° ñ ãëàâíûìè
ïëîñêîñòÿìè, òî ñâåò íà÷íåò ïðîõîäèòü ñêâîçü ñèñòåìó. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñâèäåòåëüñòâîì ïîÿâëåíèÿ äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ. Êðèñòàëë ñòàíîâèòñÿ îäíîîñíûì, à åãî îïòè÷åñêàÿ îñü íàïðàâëåíà âäîëü äåéñòâóþùåé ñèëû.
Àíàëèç ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè ïðîøåäøåãî ñâåòà ïîêàçûâàåò, ÷òî
F
= g s,
S
ãäå g — êîíñòàíòà âåùåñòâà; s = F/S — ìåõàíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå, ïðèëîæåííîå ê âåðõíåé ãðàíè ïëîùàäüþ S. Âåëè÷èíà g çàâèñèò
îò äëèíû âîëíû ñâåòà è â ðàçíûõ âåùåñòâàõ
ìîæåò ðàçëè÷àòüñÿ êàê çíà÷åíèåì, òàê è çíàêîì.
Åñëè â îáúåìå êðèñòàëëà âíóòðåííèå íàïðÿæåíèÿ (à ïî çàêîíó Ãóêà è äåôîðìàöèè)
Dn = ne - no = g
(20.12)
Ðèñ. 20.7
243
èçìåíÿþòñÿ îò îäíîé òî÷êè ê äðóãîé, òî ýòî ñêàæåòñÿ íà ïîïåðå÷íîì ðàñïðåäåëåíèè èíòåíñèâíîñòè âîëíû, ïðîøåäøåé êðèñòàëë è ïîëÿðîèäû. Ýòî ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ðàñïðåäåëåíèå äåôîðìàöèè â ðàçíîîáðàçíûõ êîíñòðóêöèÿõ, ïðîçðà÷íûå ìàëûå ìîäåëè êîòîðûõ ïîìåùàþò ìåæäó ñêðåùåííûìè ïîëÿðèçàòîðàìè è çàòåì ê ýòèì ìîäåëÿì ïðèêëàäûâàåòñÿ íàãðóçêà.
Øîòëàíäñêèé ôèçèê Ä. Êåðð îáíàðóæèë (1875) äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå
ó ðÿäà èçîòðîïíûõ æèäêîñòåé è ñòåêîë, ïîìåùàÿ èõ â ñèëüíîå ïîñòîÿííîå
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ E (âìåñòî ìåõàíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ).
Èì áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî âåùåñòâî ïðèîáðåòàåò ñâîéñòâà îäíîîñíîãî
êðèñòàëëà, îïòè÷åñêàÿ îñü êîòîðîãî íàïðàâëåíà âäîëü âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Èç ýêñïåðèìåíòîâ ñëåäîâàëî, ÷òî
Dn = ne - no = gE 2 .
(20.13)
Ýòîò ýôôåêò ïîëó÷èë íàçâàíèå êâàäðàòè÷íîãî ýôôåêòà Êåððà, ïîñêîëüêó
Dn êâàäðàòè÷íî ïî ïîëþ. Ïðè ñìåíå íàïðàâëåíèÿ ïîëÿ çíàê âåëè÷èíû Dn
íå èçìåíÿåòñÿ. Êîíñòàíòà âåùåñòâà g ìîæåò èìåòü ðàçíûé çíàê ó ðàçëè÷íûõ
âåùåñòâ è, êðîìå òîãî, çàâèñèò îò äëèíû âîëíû. Ïðèîáðåòåííàÿ âîëíàìè îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà, îòíåñåííàÿ ê äëèíå âîëíû l, áóäåò ðàâíà
Dnl
g
= lE 2 = KlE 2 ,
l
l
(20.14)
ãäå K = g/l — ïîñòîÿííàÿ Êåððà. Äëÿ áîëüøèíñòâà æèäêîñòåé K > 0.
Ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì K = 2,2 × 10-12 ì/Â2 â âèäèìîì äèàïàçîíå îáëàäàåò òîêñè÷íàÿ æèäêîñòü íèòðîáåíçîë. Åñëè â êþâåòó äëèíîé l = 5 ñì ñ íèòðîáåíçîëîì îïóñòèòü îáêëàäêè êîíäåíñàòîðà ñ ðàññòîÿíèåì d = 1 ìì ìåæäó íèìè è
ïðèëîæèòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U = 1 500 Â, òî ñëîé íèòðîáåíçîëà ìåæäó
îáêëàäêàìè áóäåò ïîäîáåí ïëàñòèíêå «l/4», ïîñêîëüêó KLE 2 = KLU 2/d 2 = 1/4.
Ó äðóãèõ æèäêîñòåé ïîñòîÿííàÿ Êåððà ìåíüøå íà äâà ïîðÿäêà, à ó ãàçî⠗
íà ÷åòûðå ïîðÿäêà.
Ýôôåêò Êåððà ñâÿçàí ñ îðèåíòàöèåé âíåøíèì ïîëåì õàîòè÷åñêè ðàñïîëîæåííûõ ìîëåêóë èçîòðîïíîé ñðåäû. Åñëè ìîëåêóëà íå îáëàäàåò ñîáñòâåííûì
äèïîëüíûì ìîìåíòîì, òî ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ îíà åãî ïðèîáðåòàåò. Ñîãëàñíî
(15.24)
3
pi = e 0 å aij E ýô j ,
j =1
(20.15)
ãäå aij — êîìïîíåíòû òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòè ìîëåêóëû.
×òîáû ïîíÿòü, êàê ïðîèñõîäèò îðèåíòàöèÿ ìîëåêóëû, íàðèñóåì èíäèêàòðèñó òåíçîðà åå äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåx2 y2 z2
íèåì 2 + 2 + 2 = 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî az > ax, ay. Ïîëîæåíèå èíäèêàòðèñû
a x a y az
ìîëåêóëû îòíîñèòåëüíî âíåøíåãî ïîëÿ ïîêàçàíî íà ðèñ. 20.8.
Çäåñü ãëàâíûå êîîðäèíàòíûå îñè ñâÿçàíû ñ ìîëåêóëîé. Ïîñêîëüêó p
íå ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ E, òî íà ìîëåêóëó áóäåò äåéñòâîâàòü âðàùàþùèé
ìîìåíò ñèë. Ìîëåêóëà áóäåò ñòðåìèòüñÿ ïîâåðíóòüñÿ òàê, ÷òîáû íàïðàâëåíèå
åå íàèáîëüøåé âîñïðèèì÷èâîñòè (îñü Oz) ñîâïàëî ñ íàïðàâëåíèåì E. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà ez > ex, ey. Ñëåäîâàòåëüíî, Dn > 0 è K > 0.
244
Ðèñ. 20.8
Ðèñ. 20.9
Îðèåíòàöèÿì ìîëåêóë ìåøàþò èõ òåïëîâûå äâèæåíèÿ, ïîýòîìó èõ ïîëÿðèçàöèþ íåîáõîäèìî îïèñûâàòü ñòàòèñòè÷åñêè. Òàêîé ïîäõîä áûë âûïîëíåí ôðàíöóçñêèì ôèçèêîì Ï. Ëàíæåâåíîì, êîòîðûé ñîçäàë (1905) òåîðèþ êåðð-ýôôåêòà äëÿ âåùåñòâ ñ áåçäèïîëüíûìè ìîëåêóëàìè.
Åñëè ìîëåêóëà îáëàäàåò ñîáñòâåííûì äèïîëüíûì ìîìåíòîì p0, òî íà íåå
âîçäåéñòâóåò ìîìåíò ñèë M0 = p0 ´ E, ñòðåìÿùèéñÿ ïîâåðíóòü ìîëåêóëó òàê,
÷òîáû óñòàíîâèòü âåêòîð p0 ïàðàëëåëüíî E. Ó òàêèõ ìîëåêóë âåêòîð p0 ìîæåò
îáðàçîâûâàòü íåêîòîðûé óãîë ñ íàïðàâëåíèåì íàèáîëüøåé âîñïðèèì÷èâîñòè
(îñüþ Oz). Åñëè ýòîò óãîë îñòðûé, òî K > 0, òóïîé — K < 0, ïðÿìîé — K = 0.
Ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ ïîëÿ E íà ïðîòèâîïîëîæíîå, áåçäèïîëüíûå
ìîëåêóëû áûñòðî ïåðåïîëÿðèçóþòñÿ (èçìåíÿò íàïðàâëåíèå äèïîëüíîãî ìîìåíòà íà ïðîòèâîïîëîæíîå), íå ìåíÿÿ ñâîåé îðèåíòàöèè. Äèïîëüíûå ìîëåêóëû
íà÷íóò ðàçâîðà÷èâàòüñÿ. Ýòîò âûâîä ïîäòâåðæäàåòñÿ óáûâàíèåì ïîñòîÿííîé
Êåððà ó ñðåäû ñ äèïîëüíûìè ìîëåêóëàìè ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû âíåøíåãî
ïîëÿ è íåèçìåííîñòüþ ïîñòîÿííîé Êåððà äëÿ ñðåäû ñ áåçäèïîëüíûìè
ìîëåêóëàìè.
Ýôôåêò Êåððà èíåðöèîíåí: ïðè ìãíîâåííîì âêëþ÷åíèè âíåøíåãî ïîëÿ E
àíèçîòðîïèÿ áóäåò óñòàíàâëèâàòüñÿ çà êîðîòêîå, íî êîíå÷íîå âðåìÿ tK ~ 10-12 ñ.
Ïðè âûêëþ÷åíèè ïîëÿ îíà çà òàêîå æå âðåìÿ èñ÷åçàåò. Òàêîå ìàëîå âðåìÿ
ìîæíî èçìåðèòü ëèøü ñ ïîìîùüþ êîðîòêèõ ëàçåðíûõ èìïóëüñîâ ïèêîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè. Îïòè÷åñêàÿ ñõåìà äëÿ òàêèõ èçìåðåíèé ïîêàçàíà
íà ðèñ. 20.9.
Êîðîòêèé ïèêîñåêóíäíûé ëàçåðíûé èìïóëüñ ñ äëèíîé âîëíû l = 1,06 ìêì
(ÈÊ-äèàïàçîí) ïîïàäàåò â êðèñòàëë KDP (ÊÍ2ÐÎ4), îáëàäàþùèé íåëèíåéíûìè îïòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Ýòè ñâîéñòâà áóäóò îáñóæäàòüñÿ äàëåå â ðàçäåëå 9. Èç-çà íåëèíåéíûõ ñâîéñòâ â êðèñòàëëå, ïîìèìî îñíîâíîãî, âîçíèêàåò
ìåíåå ìîùíûé èìïóëüñ ñ óäâîåííîé ÷àñòîòîé, èëè ñ äëèíîé âîëíû l/2 = 0,53
ìêì (çåëåíàÿ îáëàñòü ñïåêòðà).
Âñëåäñòâèå ðàçëè÷íûõ ñïåêòðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê çåðêàë ìîùíûé ÈÊèìïóëüñ îòðàæàåòñÿ îò çåðêàë Ç1 è Ç2 è ïîïàäàåò ÷åðåç ïîëÿðèçàòîð â êþâåòó ñ
èññëåäóåìîé æèäêîñòüþ, ïîìåùåííóþ ìåæäó ñêðåùåííûìè ïîëÿðèçàòîðàìè
Ï1 è Ï2. Íàïðÿæåííîñòü E åãî ñâåòîâîãî ïîëÿ äîñòàòî÷íà, ÷òîáû âûçâàòü çíà÷èòåëüíûé ýôôåêò Êåððà. Òàêèì îîáðàçîì âíåøíèì ïîëåì ÿâëÿåòñÿ ñâåòîâîå ïîëå.
Áîëåå ñëàáûé èìïóëüñ çåëåíîãî ñâåòà ïðîõîäèò çåðêàëî Ç1, çàòåì ÷åðåç ïëàñòèíêó Ïë ïåðåìåííîé òîëùèíû, âíîñÿùóþ âðåìåííóþ çàäåðæêó, è äàëåå,
îòðàæàÿñü îò çåðêàë Ç3 è Ç4, ïîïàäàåò â êþâåòó ñ íåêîòîðîé âðåìåííîé çàäåðæêîé îòíîñèòåëüíî èíôðàêðàñíîãî. Åñëè âðåìÿ çàäåðæêè Dt < tK, òî ýòîò èì245
ïóëüñ «óñïååò» ïðîéòè ñêâîçü ïîëÿðîèäû è êþâåòó è ïîïàñòü â íàñòðîåííûé íà
åãî äëèíó âîëíû ïðèåìíèê. Èçìåíÿÿ Dt, ìîæíî èçìåðèòü âåëè÷èíó tK. Èçìåðåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî, íàïðèìåð, äëÿ íèòðîáåíçîëà tK ~ 5 × 10-11 ñ, äëÿ ñåðîóãëåðîäà CS2 tK ~ 2 × 10-12 ñ.
 îïèñàííîì ýêñïåðèìåíòå êþâåòà ñ æèäêîñòüþ è ñêðåùåííûå ïîëÿðîèäû
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îïòè÷åñêèé çàòâîð, îòêðûâàåìûé èìïóëüñîì ÈÊ-èçëó÷åíèÿ. Åãî âðåìÿ ñðàáàòûâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé tK, ïîýòîìó çàòâîð ÿâëÿåòñÿ áûñòðîäåéñòâóþùèì. Îí íàõîäèò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ â îïòèêå,
â òîì ÷èñëå äëÿ îáñóæäàâøåéñÿ ðàíåå ìîäóëÿöèè äîáðîòíîñòè ðåçîíàòîðîâ
ëàçåðîâ, ãåíåðèðóþùèõ èìïóëüñû íàíîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè.
Íåìåöêèé ôèçèê Ê. Ïîêêåëüñ îáíàðóæèë (1894) äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå
â êðèñòàëëàõ ïðè âîçäåéñòâèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ïðè ýòîì
(20.16)
Dn = ne - no = gE .
Ýòîò ýôôåêò íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîîïòè÷åñêèì, èëè ýôôåêòîì Ïîêêåëüñà. Îí
îáíàðóæèâàåòñÿ ó êðèñòàëëîâ, íå îáëàäàþùèõ öåíòðîì ñèììåòðèè, íàïðèìåð
â LiNbO3 è â óïîìèíàâøåìñÿ êðèñòàëëå KDP. Ýòè êðèñòàëëû îáëàäàþò òàêæå
ïüåçîýëåêòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Ýôôåêò Ïîêêåëüñà ëèíååí ïî ïîëþ, è ïðè
èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ ïîëÿ E âåëè÷èíà Dn èçìåíÿåò çíàê.
Âîçíèêíîâåíèå àíèçîòðîïèè, ëèíåéíîé ïî ïîëþ E, ìîæíî îáúÿñíèòü, ðàññìîòðåâ äåéñòâèå ïîëÿ íà îïòè÷åñêèé ýëåêòðîí â àòîìå.  ëåêöèè 3 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè êëàññè÷åñêîì îïèñàíèè ðàññòîÿíèå ìåæäó ÿäðîì è ýëåêòðîíîì
èçìåíÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé w0. Ýëåêòðîí êîëåáëåòñÿ îêîëî
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ O, â êîòîðîì åãî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U ìèíèìàëüíà (ðèñ. 20.10).
Åñëè çàâèñèìîñòü U(x) ïðåäñòàâèòü â âèäå
1
1
1
Fx 2 + Fx 3 + Yx 4 + K ,
2
3
4
ãäå x — ñìåùåíèå ýëåêòðîíà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî óðàâíåíèå êîëåáàíèé ýëåêòðîíà èìååò âèä:
U (x ) =
¶U
= -Fx - Fx 2 - Yx 3 - K .
¶x
Ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ êîëåáàíèé
mx&& = -
F
.
m
Åñëè íàïðàâèòü âíåøíåå ïîëå â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Ox, òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñìåñòèòñÿ
íà ðèñóíêå âëåâî, ¶U óìåíüøèòñÿ, à çíà÷èò óìåíü¶x
øèòñÿ è ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà w0. Åñëè ïîëå E èçìåíèò
íàïðàâëåíèå, òî w0 âîçðàñòåò. Íî ïðè èçìåíåíèè w0 áóäåò èçìåíÿòüñÿ è ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âåùåñòâà. Åãî
èçìåíåíèå áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíî ïîëþ, à çíàê Dn îïðåäåëÿåòñÿ åãî íàïðàâëåíèåì.
Íà îñíîâå ýôôåêòà Ïîêêåëüñà ðàáîòàþò ðàçíîîáðàçíûå ìîäóëÿòîðû ñâåòà. Äëÿ ýòîãî ïüåçîêðèñòàëë âûðåçàmx&& » - Fx ,
Ðèñ. 20.10
246
w 02 =
þò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åãî âõîäíàÿ
è âûõîäíàÿ ãðàíè áûëè ïåðïåíäèêóëÿðíû îïòè÷åñêîé îñè. Íà ãðàíè, ïàðàëëåëüíûå îñè, íàïûëåíèåì íàíîñÿò
ïðîâîäÿùèå ñëîè, êîòîðûå îáðàçóþò
ïëîñêèé êîíäåíñàòîð. Åñëè êðèñòàëë
ïîìåñòèòü ìåæäó ñêðåùåííûìè ïîëÿðèçàòîðàìè, òî èíòåíñèâíîñòü ñâåòà,
ïðîøåäøåãî ÷åðåç òàêóþ îïòè÷åñêóþ
ñèñòåìó, áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, ïðèêëàäûâàåìîé
Ðèñ. 20.11
ê ïðîâîäÿùèì ñëîÿì. Òàêèì îáðàçîì,
èçìåíÿÿ ýëåêòðè÷åñêîå íàïðÿæåíèå, ìîæíî èçìåíÿòü (ìîäóëèðîâàòü) èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà. Äëÿ ýòîãî òðåáóåìûå íàïðÿæåíèÿ ñîñòàâëÿþò ëèøü
äåñÿòêè âîëüò. Ýôôåêò Ïîêêåëüñà ìàëîèíåðöèîíåí (tÏ ~ 10-13 ñ), ïîýòîìó ÷àñòîòû ìîäóëÿöèè n £ tÏ-1 ~ 1012 Ãö.
Îïòè÷åñêàÿ àêòèâíîñòü. Ðÿä ñðåä îáëàäàåò äâîéíûì ëó÷åïðåëîìëåíèåì äëÿ
öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííûõ âîëí. Â òàêèõ ñðåäàõ ïðàâîöèðêóëÿðíî è ëåâîöèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííûå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè Lï
è Lë ñîîòâåòñòâåííî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè â ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïëîñêîïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà, òî ïëîñêîñòü åå ïîëÿðèçàöèè áóäåò ïîñòåïåííî ïîâîðà÷èâàòüñÿ.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè «ñìîòðåòü» íàâñòðå÷ó âîëíå, òî êîëåáàíèÿ åå ïîëÿ E â
ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ýêâèâàëåíòíû âðàùåíèþ â ðàçíûå ñòîðîíû âåêòîðîâ
Eï è Eë, ñîîòâåòñòâóþùèì öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííûì âîëíàì (ðèñ. 20.11, à).
Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ â ñðåäå ðàññòîÿíèÿ l èç-çà ðàçëè÷èÿ ñêîðîñòåé Lï èLë
âåêòîðû Eï è Eë ïîâåðíóòñÿ íà ðàçíûå óãëû jï è jë (ðèñ. 20.11, á ). Ñëåäîâàòåëüíî,
âåêòîð E ïîâåðíåòñÿ íà óãîë
j=
wæ 1
w
1
1ö
l =
(j ï - j ë ) = ç
(nï - në )l ,
2
2 è L ï L ë ø÷
2c
(20.17)
ãäå nï è në — ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ïðàâîöèðêóëÿðíîé è ëåâîöèðêóëÿðíîé
âîëí.
Ñðåäû, îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì ïîâîðà÷èâàòü ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ñâåòîâîé âîëíû, íàçûâàþò îïòè÷åñêè àêòèâíûìè, èëè ãèðîòðîïíûìè. Ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò íå òîëüêî êðèñòàëëû, íî è íåêîòîðûå æèäêîñòè. Ôèçè÷åñêèå
ïðè÷èíû îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè ïîñëåäíèõ ëåæàò â îñîáåííîñòÿõ ñòðîåíèÿ èõ
ìîëåêóë.
Òèïè÷íûìè ïðåäñòàâèòåëÿìè àêòèâíûõ ñðåä ÿâëÿþòñÿ êðèñòàëëè÷åñêèé
êâàðö, æèäêèé ñêèïèäàð, âîäíûé ðàñòâîð ñàõàðà è äð. Îñîáåííî ìíîãî àêòèâíûõ âåùåñòâ ñðåäè îðãàíè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé. Âåùåñòâà, âðàùàþùèå ïëîñêîñòü
ïîëÿðèçàöèè â ðàñòâîðàõ è àìîðôíûõ ñðåäàõ, âñåãäà ñîõðàíÿþò ýòó ñïîñîáíîñòü è â êðèñòàëëè÷åñêîì ñîñòîÿíèè. Îáðàòíîå âåðíî íå âñåãäà, ïîñêîëüêó
â ðÿäå ñëó÷àåâ àêòèâíîñòü êðèñòàëëà îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî åãî êîëëåêòèâíûì ñâîéñòâîì.
Âåëè÷èíà óãëà ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ïðè ïðîõîæäåíèè âäîëü
îïòè÷åñêîé îñè êâàðöà ïðè òîëùèíå ïëàñòèíû l = 1 ìì äëÿ êðàñíîãî ñâåòà
j = 15°, çåëåíîãî — j = 27°, ôèîëåòîâîãî — j = 51°.
247
Îïûòû ñ êâàðöåì ïîêàçàëè, ÷òî ñóùåñòâóåò äâå åãî
ðàçíîâèäíîñòè: ïðàâîâðàùàþùèé è ëåâîâðàùàþùèé
êâàðö. Çàòåì áûëî óñòàíîâëåíî ñóùåñòâîâàíèå äâóõ ðàçíîâèäíîñòåé äëÿ âñåõ àêòèâíûõ ñðåä. Ïðè÷èíîé àêòèâíîñòè ÿâëÿåòñÿ äèñèììåòðèÿ êðèñòàëëîâ è ìîëåêóë. Åñëè
ñîñòàâèòü ñðåäó, ñîäåðæàùóþ ñìåñü ìîëåêóë â ðàâíûõ
êîëè÷åñòâàõ, òî ñìåñü íå áóäåò îïòè÷åñêè àêòèâíîé.
Ñòðîãîå ðàññìîòðåíèå ÿâëåíèÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî ìîÐèñ. 20.12
ëåêóëà ìîæåò âðàùàòü ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè â òîì ñëó÷àå, åñëè îíà íå èìååò íè öåíòðà, íè ïëîñêîñòè ñèììåòðèè. Òàêàÿ ìîëåêóëà ìîæåò «óëàâëèâàòü» ðàçëè÷èå ôàç êîëåáàíèé ñâåòîâûõ
ïîëåé â ðàçíûõ òî÷êàõ ìîëåêóëû.  ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå îïòè÷åñêèõ
ÿâëåíèé ðàçìåðàìè d ìîëåêóëû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîñêîëüêó d/l ~ 10-3. Îäíàêî
â ñëó÷àå îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè ýòèì ïðåíåáðåãàòü íåëüçÿ.
Î÷åíü íàãëÿäíîé ìîäåëüþ îïòè÷åñêè àêòèâíîé ìîëåêóëû ÿâëÿåòñÿ åå äâóõîñöèëëÿòîðíàÿ ìîäåëü, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 20.12.
Ó òàêîé ìîëåêóëû äâà àòîìà íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè d âäîëü îñè Oz, à îïòè÷åñêèå ýëåêòðîíû ìîãóò êîëåáàòüñÿ âäîëü äðóãèõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ
íàïðàâëåíèé. Åñëè, íàïðèìåð, ïðàâîöèðêóëÿðíàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿÿñü âäîëü
Oz, áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíî âîçäåéñòâîâàòü íà îïòè÷åñêèå ýëåêòðîíû âäîëü îòðèöàòåëüíûõ íàïðàâëåíèé îñåé Oy è Ox, òî ëåâîöèðêóëÿðíàÿ — íà îäèí ýëåêòðîí â îòðèöàòåëüíîì, à íà äðóãîé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. Èç-çà íàëè÷èÿ ñâÿçè ìåæäó ýëåêòðîíàìè (íå ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå) îòêëèê ìîëåêóëû
íà âîçäåéñòâèå âîëí áóäåò ðàçëè÷íûì.
Ïðîèñõîæäåíèå îïòè÷åñêîé àêòèâíîñòè ó êðèñòàëëîâ ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü îïûòîì, â êîòîðîì ñâåò ïðîõîäèò ÷åðåç ñòîïó ïëàñòèíîê ñëþäû, ÿâëÿþùåéñÿ äâóõîñíûì êðèñòàëëîì. Ïëàñòèíêè óëîæåíû â ñòîïó òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû ãëàâíàÿ ïëîñêîñòü ïîñëåäóþùåé áûëà ïîâåðíóòà íà íåáîëüøîé óãîë
îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé ïëîñêîñòè ïðåäûäóùåé ïëàñòèíêè. Ñòîïà ìîæåò áûòü
èçãîòîâëåíà äâóõ òèïîâ: ëåâîâðàùàþùàÿ è ïðàâîâðàùàþùàÿ.
Îïòè÷åñêàÿ àêòèâíîñòü è ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ. Êàê îòìå÷àëîñü â ëåêöèè 15, îïòè÷åñêàÿ àêòèâíîñòü — ýòî ïðîÿâëåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè ñðåäû, âûðàæàþùåéñÿ â çàâèñèìîñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè îò
âîëíîâîãî ÷èñëà. Åñëè â ôîðìóëå (15.7) âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàçëîæåíèåì exp(i k × r¢)
â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êå r¢ = 0, òî
3
exp(i k × r ¢) » 1 + i å k l x l¢.
(20.18)
l =1
Ïîäñòàâèâ ýòî ðàçëîæåíèå â (15.7), ïîëó÷èì
3
e ij (w, k ) = e ij (w, 0) + i å g ijl (w, 0)k l .
(20.19)
l =1
Çäåñü
g ijl (w, 0) =
+¥
ò
0
dt ¢e - i wt ¢
+¥
ò
-¥
e ij (t , r ¢)x l¢dr ¢
(20.20)
— òåíçîð òðåòüåãî ðàíãà, îïèñûâàþùèé ïðîñòðàíñòâåííóþ äèñïåðñèþ.
248
Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî â (15.7) eij (t ¢, r¢) óáûâàåò îò ìàêñèìàëüíîãî
çíà÷åíèÿ emax íà ìàñøòàáàõ âðåìåíè çàòóõàíèÿ îñöèëëÿòîðà, èëè âðåìåíè êîãåðåíòíîñòè tê, è íà ïðîñòðàíñòâåííûõ ìàñøòàáàõ ~d, òî
e ij ( w , 0) : e m ax t ê d 3 ;
| g ijl k l | : e m ax t ê d 3
d
.
l
(20.21)
Ñëåäîâàòåëüíî,
g ijl kl
e ij
:
d
: 10 -3.
l
(20.22)
Ïîýòîìó ñëàãàåìûå, ñòîÿùèå ïîä çíàêîì ñóììû â (20.19), îòâåòñòâåííûå
çà ïðîñòðàíñòâåííóþ àíèçîòðîïèþ, íà òðè ïîðÿäêà ìåíüøå ïåðâîãî.
Èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå (20.19) äëÿ ñëó÷àÿ ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü ãëàâíîé îñè Oz (l = 3). Ñîâïàäàþùèå ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðû E
è D ëåæàò â ïëîñêîñòè Oxy (i, j = 1, 2). Òîãäà êîìïîíåíòû òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè çàïèøóòñÿ â âèäå
e12 = e12 (w, 0) + i g 123k;
e 21 = e 21 (w, 0) + i g 213k .
(20.23)
Ïðè ñîâìåñòíîì ðåøåíèè (19.9), (19.10) è (20.23) ïðèõîäèì ê ñèñòåìå
óðàâíåíèé
ì 2
ïëén - e(w)ûùE x - i g (w)nE y = 0;
í
ïîéën 2 - e(w)ùûE y - i g (w)nE x = 0.
(20.24)
w
w
w
g 123 (w) = - g 213 (w); k = n , n — ïîêàçàc
c
c
òåëü ïðåëîìëåíèÿ, îïðåäåëÿþùèé ôàçîâóþ ñêîðîñòü âîëíû âäîëü Oz.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (20.24) èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ:
Çäåñü e(w) = e12 (w) = e 21 (w); g (w) =
2
ëén - e(w )ûù
2
- g 2 (w )n 2 = 0.
(20.25)
2
Ïîñêîëüêó g = e, ïîëó÷èì
2
= e(w) ± g (w) e(w).
n1,2
(20.26)
Ïîäñòàâèâ (20.26) â (20.24), íàõîäèì
æ Ey ö
= mi .
èç E x ø÷ 1,2
(20.27)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âîëíû, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ L1 = c/n1, (Ey/Ex) = -i,
÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïðàâîöèðêóëÿðíîé âîëíå. Ó ëåâîöèðêóëÿðíîé âîëíû (Ey/Ex) =
= +i, à ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ L2 = c/n2.
Ýôôåêò Ôàðàäåÿ. Â 1846 ã. àíãëèéñêèé ôèçèê Ì. Ôàðàäåé îáíàðóæèë âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â íåàêòèâíûõ ñðåäàõ â ìàãíèòíîì ïîëå. Åñëè âå249
Ðèñ. 20.13
ùåñòâî ïîìåñòèòü â ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå ýëåêòðîìàãíèòà (ïèòàåìîãî îò
èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîãî òîêà), â ïîëþñàõ êîòîðîãî âûñâåðëåíû îòâåðñòèÿ (ðèñ.
20.13), òî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà âäîëü ïîëÿ H ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà óãîë
j = rlH,
(20.28)
ãäå l — äëèíà ïóòè ñâåòà â âåùåñòâå; r — ïîñòîÿííàÿ Âåðäå, õàðàêòåðèçóþùàÿ
âåùåñòâî.
Ìàãíèòíîå âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè â òîé èëè èíîé ñòåïåíè ïðèñóòñòâóåò ó ðàçíûõ âåùåñòâ. Íàèáîëåå çíà÷èòåëåí ýôôåêò Ôàðàäåÿ â òîíêèõ
(ïðîçðà÷íûõ) ñëîÿõ ôåððîìàãíåòèêîâ (Fe, Ni, Co). Ïðè òîëùèíå ñëîÿ l = 0,1
ìêì â ïîëå H = 104 Ý (1 Ý » 80 À/ì) j » 2°. Áîëüøèíñòâî âåùåñòâ âðàùàþò
ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè âïðàâî (åñëè ñìîòðåòü íàâñòðå÷ó ìàãíèòíîìó ïîëþ).
Òàêèå âåùåñòâà íàçûâàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè. Åñëè ïîñëå ýëåêòðîìàãíèòà
íà ïóòè ëó÷à ïîñòàâèòü çåðêàëî, òî ïðè ïîâòîðíîì ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòà ÷åðåç
âåùåñòâî óãîë ïîâîðîòà j óäâîèòñÿ.
ßâëåíèå Ôàðàäåÿ îáóñëîâëåíî ïîÿâëåíèåì, íàðÿäó ñ îñíîâíîé ÷àñòîòîé
w0, äâóõ íîâûõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò îïòè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, íàõîäÿùåãîñÿ
â ìàãíèòíîì ïîëå. Íà ðèñ. 20.14 ïîêàçàíî äâèæåíèå ýëåêòðîíà ïî êðóãîâîé
îðáèòå âîêðóã ÿäðà.
 îòñóòñòâèå ïîëÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü åãî äâèæåíèÿ (îíà æå ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà îñöèëëÿòîðà) îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
(20.29)
mw 02 r = eE .
Ïðè íàëè÷èè ïîëÿ H íà ýëåêòðîí äîïîëíèòåëüíî áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà
Ëîðåíöà, íàïðàâëåííàÿ îò öåíòðà (ðèñ. 20.14, à) è ê öåíòðó (ðèñ. 20.14, á ).
Ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðèìóò âèä
mw 201r = eE - e m 0 H w 01r ;
(20.30)
mw 202r = eE + e m 0 H w 02r .
Èç óðàâíåíèé (20.29), (20.30) ïîëó÷àåì
2
w 01 = -
1 e
æ1 e
ö
m 0 H ± w 20 + ç
m H ;
è 2 m 0 ø÷
2m
2
w 02 =
250
1 e
æ1 e
ö
m 0 H ± w 20 + ç
m H .
è 2 m 0 ø÷
2m
(20.31)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
em 0H
= w 0 , íàõîäèì
m
w 01 = w 0 w 02
1 e
m 0H ;
2m
1 e
= w0 +
m 0H .
2m
(20.32)
Ðèñ. 20.14
Çàìåòèì, ÷òî âðàùåíèå ýëåêòðîíà ïî îêðóæíîñòè ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ åãî äâóõ âçàèìíî-ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé
â ïëîñêîñòè âðàùåíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äëÿ
êîëåáàíèé âäîëü ïîëÿ ÷àñòîòà íå èçìåíÿåòñÿ è îñòàåòñÿ ðàâíîé w0.
Ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû îñöèëëÿòîðà ñìåùàåòñÿ äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ n(w),
èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 15.1. Äëÿ ïðàâîöèðêóëÿðíîé âîëíû, âçàèìîäåéñòâóþùåé
ñ ýëåêòðîíîì, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ nï óâåëè÷èòñÿ, à äëÿ ëåâîöèðêóëÿðíîé
em0
H , ïîýòîìó
në óìåíüøèòñÿ. Â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè nï - në = : (w 02 - w 01 ) =
m
è óãîë ïîâîðîòà, ñîãëàñíî (20.17), j%H.
Íà îñíîâå ýôôåêòà Ôàðàäåÿ ðàçðàáîòàíû ìàãíèòîîïòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ òîíêèõ ìàãíèòíûõ ïëåíîê, ïðîïóñêàþùèõ ñâåò. Òàêèå ïëåíêè ñîñòîÿò èç ìíîæåñòâà ìàãíèòíûõ äîìåíîâ ìèêðîííûõ ðàçìåðîâ. Äîìåíû ÿâëÿþòñÿ ñàìè èñòî÷íèêàìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîýòîìó ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç äîìåí ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà ïîâîðà÷èâàåòñÿ. Óãîë ïîâîðîòà áóäåò çàâèñåòü îò îðèåíòàöèè äîìåíà. Ïîýòîìó àìïëèòóäà âîëíû, ïðîøåäøåé çàòåì ÷åðåç
àíàëèçàòîð, áóäåò ïðîìîäóëèðîâàíà â ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé ïëåíêå. Èçó÷àÿ ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà, ìîæíî äåëàòü âûâîäû î ìàãíèòíîé
ñòðóêòóðå ïëåíîê.
Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè îïòè÷åñêèå èçîëÿòîðû, ïðîïóñêàþùèå
ñâåò ëèøü â îäíîì íàïðàâëåíèè. Îñíîâó èõ êîíñòðóêöèè ñîñòàâëÿåò ìàãíèòîîïòè÷åñêàÿ ÿ÷åéêà Ôàðàäåÿ, ïîìåùåííàÿ ìåæäó äâóìÿ ïîëÿðîèäàìè.
ß÷åéêà, âûïîëíåííàÿ â âèäå ìîäóëÿ, ñîäåðæèò ïðîçðà÷íîå âåùåñòâî è èñòî÷íèê ïðîäîëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïóñòü ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ýòó ÿ÷åéêó ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà
óãîë j. Åñëè òåïåðü ýòó ÿ÷åéêó ïîìåñòèòü ìåæäó äâóìÿ ïîëÿðîèäàìè, ãëàâíûå
ïëîñêîñòè êîòîðûõ áóäóò ïîâåðíóòû íà òîò æå óãîë j, òî ýòà ñèñòåìà áóäåò
ïðîïóñêàòü ïëîñêîïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ïðåèìóùåñòâåííî ëèøü â îäíîì íàïðàâëåíèè.
Òàêîé èçîëÿòîð, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçóåòñÿ â âîëîêîííûõ êîëüöåâûõ ëàçåðàõ, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû â ëåêöèè 24.
ÐÀÇÄÅË 8
ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÑÂÅÒÀ
Ë Å Ê Ö È ß 21
 íà÷àëå ëåêöèè 15 áûëè çàòðîíóòû ïðè÷èíû, ïðèâîäÿùèå ê ïîêðàñíåíèþ
Ñîëíöà, êîãäà îíî íàõîäèòñÿ íèçêî íàä ãîðèçîíòîì, è îáúÿñíåíî ïðîèñõîæäåíèå ãîëóáîãî öâåòà íåáà. Ýòè îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ âîçíèêàþò ïðè ðàññåÿíèè
ñâåòà äàæå â î÷åíü ÷èñòîé àòìîñôåðå, íàïðèìåð âûñîêî â ãîðàõ.  êîñìîñå, ãäå
íåò àòìîñôåðû, ðàññåÿííûé ñâåò îòñóòñòâóåò, è íåáî êàæåòñÿ ÷åðíûì.
 ðÿäå ïðåäûäóùèõ ëåêöèé áûëè îïèñàíû îïûòû ñ íàïðàâëåííûìè ïó÷êàìè
ñâåòà, êîòîðûå ìîæíî ñáîêó ïðåêðàñíî íàáëþäàòü. Îäíàêî ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè â âàêóóìå ëàçåðíûé ëó÷, íàïðèìåð, áóäåò ñáîêó íå âèäåí. Âñå ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè ðàññåÿíèÿ ñâåòà â âîçäóõå.
 ëåêöèîííûõ ýêñïåðèìåíòàõ äëÿ ëó÷øåãî íàáëþäåíèÿ ñáîêó ñâåòîâîãî ëó÷à
ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì îí ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ, çàïîëíÿþò äûìîì èëè âïðûñêèâàþò ìåëü÷àéøèå êàïåëüêè âëàãè. Ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàññåÿíèå â çàìóòíåííîé àòìîñôåðå ñòàíîâèòñÿ ñèëüíåå ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññåÿíèåì â ÷èñòîì
âîçäóõå.
 íåêîòîðûõ ñðåäàõ ðàññåÿíèå áûâàåò ñòîëü çíà÷èòåëüíûì, ÷òî ñâåò âîîáùå
÷åðåç ýòè ñðåäû íå ïðîõîäèò. Òèïè÷íûì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ðàññåÿíèå âñåõ
ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò äíåâíîãî ñâåòà â ìîëîêå, âñëåäñòâèå ÷åãî ìîëîêî
íåïðîçðà÷íî è èìååò áåëûé öâåò.
Âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ ïðèìåðàõ ðàññåÿíèå âîçíèêàåò ïðè íàðóøåíèè îïòè÷åñêîé îäíîðîäíîñòè ñðåäû. Íåîäíîðîäíîñòü íåèçáåæíî ïðèñóòñòâóåò â ëþáîé ñðåäå, ïîýòîìó ðàññåÿíèå ñâåòà ïðèíöèïèàëüíî íåóñòðàíèìî.
Ïðåäñòàâèì âíà÷àëå èäåàëèçèðîâàííóþ ñèòóàöèþ: îïòè÷åñêè îäíîðîäíóþ
ñðåäó.  òàêîé ñðåäå, êàê è â âàêóóìå, ñâåòîâîé ïó÷îê â áëèæíåé çîíå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî, à â äàëüíåé ïðåòåðïåâàåò äèôðàêöèîííîå ðàñïëûâàíèå. Òàêîå ïîâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì èíòåðôåðåíöèè âòîðè÷íûõ
êîãåðåíòíûõ âîëí, êîòîðûå ãàñÿò äðóã äðóãà â íàïðàâëåíèÿõ, îòëè÷íûõ
îò íàïðàâëåíèÿ ïàäàþùåãî ïó÷êà. Ýòè âîëíû, èçëó÷àåìûå ðàâíûìè ýëåìåíòàðíûìè îáúåìàìè ñðåäû, êîãåðåíòíû, èìåþò îäèíàêîâûå àìïëèòóäû è ïîëÿðèçàöèþ.
Åñëè æå â ñðåäå ïðèñóòñòâóþò îïòè÷åñêèå íåîäíîðîäíîñòè, òî ïîñëåäíåå
óòâåðæäåíèå ñòàíîâèòñÿ íåâåðíûì: âòîðè÷íûå âîëíû èìåþò ðàçíûå àìïëèòóäû, èçìåíÿþòñÿ ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè. Ïîýòîìó ïðè èõ èíòåðôåðåíöèè â íàïðàâëåíèÿõ, ñîñòàâëÿþùèõ áîëüøèå óãëû ñ íàïðàâëåíèåì ïàäàþùåé âîëíû, âçàèìíîãî ãàøåíèÿ âîëí ïðîèñõîäèòü íå áóäåò. Áîëåå òîãî, îïòè÷åñêèå íåîäíîðîäíîñòè ìîãóò èìåòü ñëó÷àéíûé õàðàêòåð, ïîýòîìó èíòåðôåðèðóþùèå âòîðè÷íûå âîëíû áóäóò ëèøü ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíûìè. Ïîðÿäîê áîëüøèõ óãëîâ ðàâåí îòíîøåíèþ äëèíû âîëíû ê ðàçìåðó íåîäíîðîäíîñòè, ò. å. ýòè
252
óãëû ÿâëÿþòñÿ, ïî ñóùåñòâó, äèôðàêöèîííûìè óãëàìè. Äèôðàêöèþ âîëíû
íà ìàëûõ îïòè÷åñêèõ íåîäíîðîäíîñòÿõ íàçûâàþò ðàññåÿíèåì ñâåòà.
 ÷èñòîì âîçäóõå, âîäå è äðóãèõ ãàçîîáðàçíûõ è æèäêèõ ñðåäàõ îïòè÷åñêèå
íåîäíîðîäíîñòè îáóñëîâëåíû íåèçáåæíî ïðèñóòñòâóþùèìè ôëóêòóàöèÿìè
ïëîòíîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, ôëóêòóàöèÿìè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ. Ïðîèñõîäÿùåå â íèõ ðàññåÿíèå ñâåòà ïîëó÷èëî íàçâàíèå ìîëåêóëÿðíîãî ðàññåÿíèÿ ñâåòà.
Äðóãèì ïðèìåðîì ðàññåèâàþùåé ñðåäû ÿâëÿþòñÿ ìåëêîäèñïåðñíûå ñèñòåìû,
ñîäåðæàùèå ÷àñòèöû ðàçìåðàìè d ~ l. Âî âðåìÿ òóìàíà â âîçäóõå íàõîäÿòñÿ
ìåëü÷àéøèå êàïåëüêè âîäû ñóáìèêðîííûõ è ìèêðîííûõ ðàçìåðîâ, ïîýòîìó
ñâåò ïîäâåðæåí ñèëüíîìó ðàññåÿíèþ â òóìàíå.
Íà ðèñ. 21.1 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíà ôîòîãðàôèÿ ëóííîé êîðîíû, ñîñòîÿùåé èç
ÿðêîãî áåëîãî îðåîëà, îêðóæåííîãî öâåòíûìè êîëüöàìè. Òàêóþ êàðòèíó ìîæíî íàáëþäàòü ïðè íàëè÷èè òîíêîé ïåëåíû îáëàêîâ, ñëåãêà çàêðûâàþùèõ Ëóíó.
Åå ñâåò ðàññåèâàåòñÿ íà ìàëåíüêèõ êàïåëüêàõ âîäû è êðèñòàëëèêàõ ëüäà. Ïðè
ýòîì ðàçëè÷íûå ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû ñâåòà ðàññåèâàþòñÿ ïîä ðàçíûìè
óãëàìè. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ íàëè÷èå öâåòíûõ êîëåö âîêðóã îðåîëà.
Åñëè ñðåäà ñîäåðæèò ÷àñòèöû ðàçìåðàìè d < l ñ îòëè÷íûì îò ñðåäû ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, òî îíà íàçûâàåòñÿ ìóòíîé. Ìóòíûå ñðåäû, òèïè÷íûì
ïðåäñòàâèòåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ìîëîêî, íàèáîëåå ñèëüíî ðàññåèâàþò ñâåò.
Íà ðèñ. 21.2 öâ. âêë. ïîêàçàíà ôîòîãðàôèÿ ÿâëåíèÿ ðàññåÿíèÿ ïó÷êà áåëîãî
ñâåòà ïðè åãî ðàñïðîñòðàíåíèè ÷åðåç êþâåòó ñ âîäíûì ðàñòâîðîì ñàõàðà. Îò÷åòëèâî âèäíî, ÷òî ïî ìåðå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñïåêòð îáåäíÿåòñÿ êîðîòêîâîëíîâûìè êîìïîíåíòàìè, ðàññåèâàåìûìè ïîä áîëüøèìè óãëàìè, è íà âûõîäå
èç êþâåòû ïó÷îê ñâåòà ñòàíîâèòñÿ êðàñíûì.
Ðàññåÿíèå ñâåòà â òâåðäûõ òåëàõ ñâÿçàíî òàêæå ñ íàðóøåíèåì èõ îäíîðîäíîñòè. Íàïðèìåð, âñëåäñòâèå ðàññåÿíèÿ ìîæíî âèäåòü ñâåò, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ïî îïòè÷åñêîìó âîëîêíó.
Èñïîëüçóÿ íåñëîæíûå ôèçè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ, îñíîâàííûå íà êîíöåïöèè èçëó÷åíèÿ ýëåìåíòàðíûì äèïîëåì (àòîìîì èëè ìîëåêóëîé), óñòàíîâèì
îñíîâíûå çàêîíîìåðíîñòè ðàññåÿíèÿ ñâåòà.
Ìîëåêóëÿðíîå ðàññåÿíèå. Ïåðâûå ôóíäàìåíòàëüíûå ðàáîòû ïî ðàññåÿíèþ
ñâåòà ïðèíàäëåæàò Ðýëåþ.  åãî ìîäåëè ðàññåèâàþùåé ñðåäû õàîòè÷åñêè äâèæóùèåñÿ ÷àñòèöû èçëó÷àþò íåêîãåðåíòíûå âîëíû, êîòîðûå íå ìîãóò èíòåðôåðèðîâàòü è, ñëåäîâàòåëüíî, ãàñèòü äðóã äðóãà.
Îäíàêî, êàê ïîçäíåå ïîêàçàë ñîâåòñêèé ôèçèê Ñ. Ìàíäåëüøòàì, ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ ìàëîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Ïîëüñêèé èññëåäîâàòåëü Ì. Ñìîëóõîâñêèé
óñòàíîâèë çàêîíû ôëóêòóàöèé ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåì è
ïîêàçàë, ÷òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà — íàèáîëåå âåðîÿòíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû,
ïîäâåðæåííîé ôëóêòóàöèÿì.
Èñõîäÿ èç ýòîé èäåè À. Ýéíøòåéí óñòàíîâèë (1910) ñòàòèñòèêó ôëóêòóàöèé
è ïîëó÷èë ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ èíòåíñèâíîñòü ðàññåÿííîãî ñâåòà ñ êîíñòàíòàìè âåùåñòâà.
Ôëóêòóàöèè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.  îáùåì ñëó÷àå àíèçîòðîïíîé
ñðåäû êîìïîíåíòû òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû
e ij = e ij + De ij ,
(21.1)
ãäå eij — ñðåäíåå çíà÷åíèå; Deij — ìàëûå ôëóêòóàöèè.
253
Âûÿñíèì ïðè÷èíû ýòèõ ôëóêòóàöèé.
Äèïîëüíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà ñ ó÷åòîì (15.24) ðàâåí
Pi =
N
å Pi (l )
l =1
3
N
3
j =1
l =1
j =1
= e 0 å E j å aij(l ) = e 0 å æ ij E j .
(21.2)
Çäåñü êîìïîíåíòà òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòè
N
¿ ij = å aij(l )
(21.3)
l =1
çàâèñèò êàê îò ÷èñëà N ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà, òàê è îò îðèåíòàöèè ìîëåêóë, ñ êîòîðîé ñâÿçàíû âåëè÷èíû aij(l ), îïðåäåëÿåìûå îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (èíäåêñ l îïðåäåëÿåò íîìåð ìîëåêóëû).
Îòìåòèì, ÷òî â (21.2) Ej = Eýô, ÷òî õîðîøî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ãàçîâ.
Ïîñêîëüêó äëÿ âåêòîðà èíäóêöèè ìîæíî çàïèñàòü
3
Di = e 0 E i + Pi = e 0 å (d ij + ¿ ij )E j ,
j =1
(21.4)
òî
N
e ij = d ij + å aij(l ) .
(21.5)
l =1
Çäåñü dij — ñèìâîë Êðîíåêåðà.
Êàê âèäíî èç (21.5), ôëóêòóàöèè Deij ìîãóò âîçíèêàòü êàê âñëåäñòâèå ôëóêòóàöèé ïëîòíîñòè ñðåäû (÷èñëà N ), òàê è ôëóêòóàöèé aij, îáóñëîâëåííûõ ñëó÷àéíûìè âðàùåíèÿìè ìîëåêóë. Ïîñëåäíèå íàçûâàþòñÿ ôëóêòóàöèÿìè àíèçîòðîïèè.
Ðàññåÿíèå íà ôëóêòóàöèÿõ ïëîòíîñòè. Ðàññìîòðèì èçîòðîïíóþ ñðåäó è ó÷òåì åå ôëóêòóàöèè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè De, îáóñëîâëåííûå ëèøü
ôëóêòóàöèÿìè ïëîòíîñòè. Òîãäà
æ ¶e ö
e = e + De = e + ç ÷ Dr.
è ¶r ø
(21.6)
¶e
Çäåñü æç ö÷ — ìàòåðèàëüíàÿ êîíñòàíòà ñðåäû.
è ¶r ø
Ïóñòü ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ñ ÷àñòîòîé w ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè
Oz, ïðîõîäÿ ÷åðåç îáúåì V ðàññåèâàþùåé ñðåäû (ðèñ. 21.1). Åñëè âîëíà ïîëÿðèçîâàíà â ïëîñêîñòè Oxz, òî äèïîëüíûé ìîìåíò ñðåäû îñöèëëèðóåò ñ ÷àñòîòîé
âîëíû w âäîëü îñè Ox.
Âûäåëèì ìàëûé ðàññåèâàþùèé îáúåì L < l3. íåì âñå îñöèëëÿòîðû êîëåáëþòñÿ â ôàçå. Äèïîëüíûé ìîìåíò ýòîãî îáúåìà
Ðèñ. 21.1
254
PL = P L ,
(21.7)
à èçëó÷àåìîå èì ïîëå, ñîãëàñíî (3.1), èìååò íàïðÿæåííîñòü
EL =
1
P&&L sin J.
4 pc 2 e 0 r
(21.8)
Âåêòîð EL èçîáðàæåí íà ðèñ. 21.1, àíàëîãè÷íî ðèñ. 3.2. Èç-çà ôëóêòóàöèé De
äèïîëüíûé ìîìåíò òàêæå ôëóêòóèðóåò, ïîýòîìó
PL = (P + DP )L = e 0 ( e - 1 + De)L E ,
ãäå E — íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ïàäàþùåé âîëíû.
Ñëåäîâàòåëüíî,
1
EL =
L ( e - 1 + De)E&& sin J = E L + DE L .
4 pc 2r
(21.9)
(21.10)
Òàêèì îáðàçîì, ïîëå EL òàêæå ôëóêòóèðóåò îêîëî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ E L.
Åãî ôëóêòóàöèè ðàâíû
DE L = -
w 2 æ ¶e ö
DrL E sin J,
4 pc 2r çè ¶r ÷ø
(21.11)
ïîñêîëüêó E&& = -w 2 E .
Ðàññ÷èòàåì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ðàññåÿííîé âîëíû âñåì îáúåìîì, ïðîñóììèðîâàâ (21.11). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóììà ñðåäíèõ âåëè÷èí E L äîëæíà
ðàâíÿòüñÿ íóëþ, ïîñêîëüêó â îòñóòñòâèå ôëóêòóàöèé ðàññåÿííûé ñâåò îòñóòñòâóåò. Òîãäà äëÿ ïîëÿ ðàññåÿííîé âîëíû ìîæíî çàïèñàòü
Es =
å DE L
=-
w 2 æ ¶e ö
E å DrmL sin J.
4 pc 2r èç ¶r ø÷ m
(21.12)
Çäåñü ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ìàëåíüêèì îáúåìàì. Ïåðåõîäÿ
ê èíòåíñèâíîñòè I s = E s2 , ïîëó÷àåì
I s = I 0 (å DrmL )2
m
w4
(4pc 2r ) 2
2
æ ¶e ö
sin 2 J,
èç ¶r ø÷
(21.13)
ãäå I0 — èíòåíñèâíîñòü ïàäàþùåãî ñâåòà.
Èç (21.13) ñëåäóåò, ÷òî Is ~ w4, ò. å. êîðîòêèå âîëíû ðàññåèâàþòñÿ ñèëüíåå, ÷åì
äëèííûå.
Äëÿ ðàñ÷åòà âåëè÷èíû Is â (21.13) íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå
êâàäðàòà ñóììû, ÿâëÿþùåéñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ýòî çíà÷åíèå ïî-ðàçíîìó
âû÷èñëÿåòñÿ äëÿ ãàçîâ è æèäêîñòåé.
Ðàññåÿíèå â ãàçàõ. Ôîðìóëà Ðýëåÿ. Â ãàçàõ ôëóêòóàöèè ïëîòíîñòè â ñîñåäíèõ
îáúåìàõ ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû, ïîýòîìó
(å Dr mL ) 2 =
m
å L 2 Drm2 .
m
(21.14)
Êðîìå òîãî,
Dr m2
D N m2
,
=
r2
N m2
(21.15)
ãäå DNm — ôëóêòóàöèè ÷èñëà ÷àñòèö Nm â îáúåìå L.
255
Ïðèìåíÿÿ áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, çàïèøåì
D N m2
1
Npq
V
.
=
»
=
( Np ) 2
N0p
N 0L
N m2
(21.16)
Çäåñü N0 — ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö; âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â îáúåì L ðàâíà
p = L/V = 1, ïîýòîìó q = 1 - p » 1. Ñ ó÷åòîì (21.14) — (21.16) âûðàæåíèå (21.13)
çàïèøåòñÿ â âèäå
Is = I0
w4
(4pc 2r ) 2
2
æ ¶e ö V
r
sin 2 J,
èç ¶r ø÷ N
(21.17)
ãäå N = N0/V — ÷èñëî ÷àñòèö â åäèíèöå îáúåìà.
Âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì (15.31) äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè
ãàçà, çàïèñàâ åãî â âèäå
e - 1 = Na = a
NA
r.
m
(21.18)
Òîãäà
r
¶e
= (e - 1) = (n 2 - 1) » 2(n - 1).
¶r
(21.19)
Ïîäñòàâèâ ôîðìóëó (21.19) â (21.17) è ïåðåõîäÿ îò ÷àñòîòû w ê äëèíå âîëíû l, ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ðýëåÿ :
Is = I0
4p 2
V
(n - 1) 2
sin 2 J.
l 4r 2
N
(21.20)
Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò íåñêîëüêî âàæíûõ ñëåäñòâèé:
• èíòåíñèâíîñòü ðàññåÿíèÿ ñâåòà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè äëèíû âîëíû;
• ðàññåÿííûé ñâåò èìååò äèàãðàììó íàïðàâëåííîñòè, èçîáðàæåííóþ
íà ðèñ. 21.2. Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôèãóðó âðàùåíèÿ âîêðóã îñè Ox. Ñâåò
ðàññåèâàåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, çà èñêëþ÷åíèåì íàïðàâëåíèÿ,
ñîâïàäàþùåãî ñ îñüþ Ox;
• ïîñêîëüêó ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n âîçðàñòàåò ïðè ïðèáëèæåíèè ê ëèíèè ïîãëîùåíèÿ, òî áóäåò óñèëèâàòüñÿ è ðàññåÿíèå ñâåòà;
• ðàññåÿííûé ñâåò ïëîñêî ïîëÿðèçîâàí: âåêòîð Es ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñü Ox è íàïðàâëåíèå â òî÷êó íàáëþäåíèÿ.
Åñëè ñâåò èíòåíñèâíîñòüþ I0 íå ïîëÿðèçîâàí, òî äèàãðàììà èçìåíèòñÿ.  ôîðìóëå (21.20) âåëè÷èíó I 0 sin 2 J íåîáõîäèìî çàìåíèòü âåëè÷èíîé
1 + cos 2 J z
I0
I
sin 2 J x + 0 sin 2 J y = I 0
.
2
2
2
Çäåñü Jx, Jy, Jz — óãëû ìåæäó íàïðàâëåíèåì
â òî÷êó íàáëþäåíèÿ è îñÿìè êîîðäèíàò. Ñëåäîâàòåëüíî,
Ðèñ. 21.2
256
Is =
2
4p 2
2 V 1 + cos J z
n
I 0.
(
1)
l 4r 2
N
2
(21.21)
Äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè äàíà íà ðèñ. 21.3.
Ðàññåÿííûé ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì. Îí íå ïîëÿðèçîâàí, çà èñêëþ÷åíèåì íàïðàâëåíèé Jz = p/2.
Åñëè ïðîèíòåãðèðîâàòü Is ïî ïîâåðõíîñòè
ïðîèçâîëüíîé ñôåðû ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå O, òî ïîëó÷èì ìîùíîñòü ðàññåÿííîé âîëíû
Ps = ò I s d s.
(21.22)
Ðèñ. 21.3
 ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ
Ps =
2p
ò
0
p
d j ò I s r 2 sin J d J =
0
4p V
(n - 1)2 I 0 = V a s I 0 .
3l 4 N
(21.23)
Âåëè÷èíà
as =
4p (n - 1) 2
3l 4
N
(21.24)
íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì îñëàáëåíèÿ ïðè ðàññåÿíèè, èëè êîýôôèöèåíòîì ìóòíîñòè. Åñëè â ðàññåèâàþùåé ñðåäå âûäåëèòü ñëîé òîëùèíîé dz, ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî ðàâíà S, òî óñëîâèå ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
I (z )S = dz a s I (z )S + I (z + dz )S.
(21.25)
Çäåñü ñëåâà ñòîèò ìîùíîñòü ïàäàþùåé âîëíû, êîòîðàÿ ðàâíà ñóììå ðàññåÿííîé ìîùíîñòè è ìîùíîñòè, âûøåäøåé èç ñëîÿ. Òîãäà óìåíüøåíèå èíòåíñèâíîñòè
dI = I (z + dz ) - I (z ) = -a s I (z )dz .
(21.26)
Èíòåãðèðóÿ (21.26), ïîëó÷àåì ýêñïîíåíöèàëüíûé çàêîí óáûâàíèÿ èíòåíñèâíîñòè
I (z ) = I 0 exp(-a s z ).
(21.27)
 ÷èñòîì âîçäóõå, ïðè l = 5 000 D, as » 2,6 × 10-7 ñì-1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
èíòåíñèâíîñòü ñâåòà óìåíüøàåòñÿ â e ðàç íà ðàññòîÿíèè z = as-1 » 40 êì.
Ðàññåÿíèå â æèäêîñòÿõ. Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà. Â æèäêîñòè ôëóêòóàöèè ïëîò1 æ ¶V ö
íîñòè ñâÿçàíû ñ èçîòåðìè÷åñêîé ñæèìàåìîñòüþ bT = - ç
ñîîòíîøåíèåì
V è ¶p ÷ø T
Drm2
b kT
(21.28)
= T
.
r2
L
Ïîäñòàâèâ ôîðìóëó (21.28) â (21.14) è çàòåì â (21.13), äëÿ íåïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà ïîëó÷èì ôîðìóëó Ýéíøòåéíà
Is =
4p 2
l 4r 2
2
1 + cos 2 J z
æ ¶e ö
I 0.
çè r ¶r ÷ø V bT kT
2
(21.29)
Ìîùíîñòü ðàññåÿííîé âîëíû âû÷èñëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî (21.23):
Ps =
1 p2
3 l4
2
æ ¶e ö
çè r ¶r ÷ø V bT kTI 0 = V a s I 0 .
(21.30)
257
Ïîýòîìó êîýôôèöèåíò ìóòíîñòè â æèäêîñòÿõ
2
as =
1 p 2 æ ¶e ö
r
bT kT .
3 l 4 çè ¶r ÷ø
(21.31)
Äëÿ ÷èñòîé âîäû ïðè l = 5 000 D è íîðìàëüíîé òåìïåðàòóðå âåëè÷èíà as â 185 ðàç áîëüøå,
÷åì äëÿ âîçäóõà. Ïðè óâåëè÷åíèè òåìïåðàòóðû è
ïðèáëèæåíèè åå ê êðèòè÷åñêîé óâåëè÷èâàåòñÿ
Ðèñ. 21.4
ñæèìàåìîñòü bT, óñèëèâàþòñÿ ôëóêòóàöèè ïëîòíîñòè è ðàñòåò ðàññåÿíèå. Ýòî ÿâëåíèå, íàçûâàåìîå êðèòè÷åñêîé îïàëåñöåíöèåé, èëëþñòðèðóåò îïûò ñ çàïàÿííîé ïðîáèðêîé,
ñîäåðæàùåé âîäó è íàñûùåííûé ïàð. Ïðè ïðèáëèæåíèè òåìïåðàòóðû ñîäåðæèìîãî ê êðèòè÷åñêîé òåíåâîå èçîáðàæåíèå ïðîáèðêè âíåçàïíî ñòàíîâèòñÿ
òåìíûì èç-çà ñèëüíîãî ðàññåÿíèÿ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå íåâîçìîæíî íàáëþäàòü
ìîìåíò èñ÷åçíîâåíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà âîäû è ïàðà.
Ðàññåÿíèå íà ôëóêòóàöèÿõ àíèçîòðîïèè. Ïóñòü ïëîñêîïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà
ïàäàåò íà ðàññåèâàþùèé îáúåì, à ðàññåÿííûé ñâåò ðåãèñòðèðóåòñÿ â íàïðàâëåíèè îñè Oy (ðèñ. 21.4).
Àíàëèç ñîñòîÿíèÿ åãî ïîëÿðèçàöèè ïîêàçûâàåò, ÷òî â ðàññåÿííîì ñâåòå ïðèñóòñòâóþò äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå êîìïîíåíòû Esx è Esz. Ñòåïåíü äåïîëÿðèçàöèè îïðåäåëÿåòñÿ êàê
D=
E sz2
E sx2
(21.32)
< 1.
 ãàçàõ D ~ 10-2, â æèäêîñòÿõ D ~ 0,1 — 1,0. Íàïðèìåð, äëÿ âîäîðîäà D » 0,01,
áåíçîëà D » 0,44 è ñåðîóãëåðîäà CS2 D » 0,68. Ïðè÷èíîé äåïîëÿðèçàöèè ðàññåÿííîãî ñâåòà ÿâëÿþòñÿ õàîòè÷åñêèå âðàùåíèÿ ìîëåêóë âîêðóã èõ öåíòðà ìàññ.
Ýòè âðàùåíèÿ ïðèâîäÿò ê ôëóêòóàöèè àíèçîòðîïèè.
Äëÿ l-é ìîëåêóëû êîìïîíåíòû aij òåíçîðà åå ïîëÿðèçóåìîñòè îòíîñèòåëüíî
ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
aij(l ) = aij + Daij(l ) ,
(21.33)
Daij(l )
ãäå aij — ñðåäíåå çíà÷åíèå;
— ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.
Òîãäà äèýëåêòðè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü ñðåäû â ñîîòâåòñòâèè ñ (21.3)
ðàâíà
N
¿ ij = N aij + å Daij(l ) .
l =1
(21.34)
Äëÿ èçîòðîïíîé ñðåäû, êàê áûëî ïîêàçàíî ðàíåå,
aij =
a11 + a22 + a33
= a.
3
(21.35)
Âåëè÷èíà N òàêæå ôëóêòóèðóåò, ïîýòîìó N = N + DN , ãäå DN îáóñëîâëåíà
ðàññìîòðåííûìè ôëóêòóàöèÿìè ïëîòíîñòè. Ïîýòîìó
N
¿ ij = Na d ij + DNa d ij + å Daij(l ) .
l =1
258
(21.36)
Ðèñ. 21.5
Âåðõíèé ïðåäåë ñóììû â (21.36) çàìåíåí ñðåäíåé âåëè÷èíîé. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ òåíçîðîì
N
e ij = d ij (1 + Na ) + d ij DNa + å Daij(l ) = d ij e + d ij De + De ij ,
l =1
(21.37)
ãäå äîáàâêà De ñâÿçàíà ñ ôëóêòóàöèÿìè ïëîòíîñòè, à Deij — ñ ôëóêòóàöèÿìè
àíèçîòðîïèè. Åñëè îáå äîáàâêè ïîäñòàâèòü â âûðàæåíèå (21.10), çàïèñàâ åãî
ïî êîìïîíåíòàì, òî ìîæíî ðàññ÷èòàòü Esx, Esz è äåïîëÿðèçàöèþ ñâåòà.
Îïóñêàÿ âûêëàäêè, îòìåòèì, ÷òî ñòåïåíü äåïîëÿðèçàöèè äàåò èíôîðìàöèþ
î ñîîòíîøåíèè âåëè÷èí a11, a22 è a33, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ — î ñðåäíåé
1
âåëè÷èíå a = (a11 + a22 + a33 ), à ïîñòîÿííàÿ Êåððà — î ðàçíîñòÿõ ïîëÿðèçó3
åìîñòåé ìîëåêóë.
Ïîýòîìó èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ òðåõ ðàçëè÷íûõ ýêñïåðèìåíòîâ ìîæíî
ðàññ÷èòàòü òðè êîìïîíåíòû òåíçîðà ïîëÿðèçóåìîñòè ìîëåêóëû. Êàê îòìå÷àëîñü
â ëåêöèè 15, ïîëÿðèçóåìîñòü ìîëåêóëû a ~ 4pr03, è ïðè åå ðàçìåðå r0 ~ 10-10 ì
a ~ 10-29 ì3 = 10-23 ñì3. Íàïðèìåð, äëÿ âîäîðîäà H2 a11 = a22 = 6,39 × 10-25 ñì3,
a33 = 19,62 × 10-25 ñì3; êèñëîðîäà O2 a11 = a22 = 12,1 × 10-25 ñì3, a33 = 23,5 × 10-25 ñì3;
äèîêñèäà óãëåðîäà CO2 a11 = a22 = 19,3 × 10-25 ñì3, a33 = 41,0 × 10-25 ñì3.
Ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ ðàññåÿííîãî ñâåòà. Ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè
ïàäàþùèé ñâåò ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñ ÷àñòîòîé n0, òî ðàññåÿííûé ñâåò èìååò
ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü S(n), ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 21.5.
Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ ðàññåÿííîãî ñâåòà èìååò òîíêóþ ñòðóêòóðó. Â íåå âõîäÿò öåíòðàëüíàÿ êîìïîíåíòà è êðûëüÿ, íà êîòîðûõ ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ áîëåå ñëàáûå ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ëèøü
äâå òàêèå êîìïîíåíòû.
Öåíòðàëüíàÿ êîìïîíåíòà îáóñëîâëåíà ôëóêòóàöèÿìè ïëîòíîñòè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè. Õàðàêòåðíîå âðåìÿ âûðàâíèâàíèÿ ïëîòíîñòè â ìàëîì ðàññåèâàþùåì îáúåìå L ~ l3 îïðåäåëÿåòñÿ âðåìåíåì âûðàâíèâàíèÿ òåìïåðàòóðû
tT :
l2
,
cT
(21.38)
ãäå cT — êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè.
Äëÿ âîçäóõà cT = 0,56 ñì2/ñ, ïîýòîìó ïðè l = 1 ìêì tT ~ 10-8 ñ. Â æèäêîñòÿõ
tT ~ 10-7 ñ. Àìïëèòóäà è ôàçà ðàññåÿííîé âîëíû áóäóò ñëó÷àéíûì îáðàçîì èçìåíÿòüñÿ íà ýòîì ìàñøòàáå âðåìåíè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïåêòðàëüíàÿ øèðèíà
öåíòðàëüíîé êîìïîíåíòû
Dn 0 : tT-1 : (10 7 —10 8 ) Ãö.
259
Ôëóêòóàöèè àíèçîòðîïèè ïðîèñõîäÿò íà ìàñøòàáå âðåìåíè, ñîâïàäàþùåì
ñî âðåìåíåì ðåëàêñàöèè ýôôåêòà Êåððà tK ~ 10-12 ñ. Ýòîò ìàñøòàá áóäåò ïðèñóòñòâîâàòü â áûñòðûõ ñëó÷àéíûõ èçìåíåíèÿõ àìïëèòóäû è ôàçû ðàññåÿííîé âîëíû.
Ïîýòîìó â ñïåêòðå ïîÿâÿòñÿ ìåíåå èíòåíñèâíûå êðûëüÿ. Èõ ñïåêòðàëüíàÿ øèðèíà
Dn ê : t Ê-1 : 1012 Ãö.
Ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû (ñàòåëëèòû) ñìåùåíû íà âåëè÷èíó DnÌÁ ~ (109 —
10 ) Ãö. Ýòî ñìåùåíèå ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ ÷àñòîòîé ãèïåðçâóêîâûõ âîëí, íåèçìåííî ïðèñóòñòâóþùèõ â ñðåäå.  ìàëîì ðàññåèâàþùåì îáúåìå ïðîèñõîäèò àäèàáàòè÷åñêîå èçìåíåíèå ïëîòíîñòè
10
(21.39)
Dr = ( Dr)0 cos Wt ,
ãäå W — ÷àñòîòà ãèïåðçâóêîâîé âîëíû. Ïîëå ðàññåÿííîé âîëíû îäíèì ýëåìåíòàðíûì îáúåìîì L, ñîãëàñíî (21.12), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
E s (t ) : E 0 cos wt cos Wt =
E0
E
cos(w 0 - W)t + 0 cos(w 0 + W)t ,
2
2
(21.40)
ãäå w0 — ÷àñòîòà ïàäàþùåé âîëíû.
Ïîýòîìó â ñïåêòðå ðàññåÿííîãî ñâåòà ïîÿâÿòñÿ äâå êîìïîíåíòû: íèçêî÷àñòîòíàÿ (ñòîêñîâà) è âûñîêî÷àñòîòíàÿ (àíòèñòîêñîâà) êîìïîíåíòû, ñìåùåííûå íà âåëè÷èíó DnÌÁ = ± fçâ = ±W/2p îò öåíòðàëüíîé êîìïîíåíòû. Ðàññåÿíèå
íà àäèàáàòè÷åñêèõ ôëóêòóàöèÿõ ïëîòíîñòè ïîëó÷èëî íàçâàíèå ðàññåÿíèÿ Ìàíäåëüøòàìà — Áðèëëþýíà.
Ñïåêòðàëüíàÿ øèðèíà dnÌÁ êàæäîé èç êîìïîíåíò îïðåäåëÿåòñÿ âðåìåíåì
çàòóõàíèÿ ãèïåðçâóêà tçâ
-1
: 10 -1 Dn ÌÁ .
dn ÌÁ : t çâ
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñìåùåíèå DnÌÁ çàâèñèò îò óãëà ðàññåÿíèÿ J. Ýòî íåòðóäíî îáúÿñíèòü, åñëè ó÷åñòü, ÷òî ðàññåÿííàÿ ïîä óãëîì J âîëíà ôîðìèðóåòñÿ â ðåçóëüòàòå èíòåðôåðåíöèè âòîðè÷íûõ âîëí, îòðàæåííûõ îò âîëíîâûõ ïîâåðõíîñòåé áåãóùåé âîëíû ïëîòíîñòè (ðèñ. 21.6, à):
Dr = ( Dr)0 cos(Wt - q × r),
(21.41)
ãäå q — âîëíîâîé âåêòîð àêóñòè÷åñêîé âîëíû, èëè âåêòîð ðàññåÿíèÿ; q = W/Lçâ,
Lç⠗ ñêîðîñòü çâóêà.
Äëèíà âîëíû L, íà êîòîðîé è ïðîèñõîäèò ðàññåÿíèå â äàííîì íàïðàâëåíèè, äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ äëÿ èíòåðôåðåíöèîííîãî ìàêñèìóìà ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ äâóõ ëó÷åé 1 è 2, ïîêàçàííûõ íà ðèñóíêå:
J
= l0.
(21.42)
2
Òàê æå êàê è (13.40), ýòî óñëîâèå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì Áðýããà.  ëåêöèè 13 îòìå÷àëîñü, ÷òî
ïðè íàêëîííîì ïàäåíèè ñâåòà íà
êðèñòàëë ñ áåãóùåé â íåì àêóñòè÷åñêîé âîëíîé íàðóøàåòñÿ
ñèììåòðèÿ çàäà÷è. Ïðè äèôðàê2 L sin
Ðèñ. 21.6
260
öèè Áðýããà èíòåíñèâíîñòü â ìàêñèìóìàõ ±1 ïîðÿäêîâ áóäåò ñóùåñòâåííî ðàçíîé: ïðàêòè÷åñêè îñòàíåòñÿ îäèí äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì, íàïðàâëåíèå
íà êîòîðûé çàäàåòñÿ óñëîâèåì Áðýããà.
Óñëîâèå Áðýããà (21.42), èñïîëüçóÿ âîëíîâûå ÷èñëà k0 = 2p/l0 è q = 2p/L,
ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
q = 2k 0 sin
J
.
2
(21.43)
Ðàâåíñòâî (21.43) óäîáíî îòîáðàçèòü ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîé äèàãðàììû (ðèñ.
21.6, á ) è çàïèñàòü åãî â âåêòîðíîì âèäå
k = k0 + q.
(21.44)
w0 ± W
w
» k0 = 0 .
c
c
Ðàâåíñòâî (21.44) íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì âåêòîðíîãî ñèíõðîíèçìà òðåõ âîëí.
Ïðè óâåëè÷åíèè óãëà J ÷àñòîòà ãèïåðçâóêîâîé âîëíû, ó÷àñòâóþùåé â ðàññåÿíèè,
äîëæíà âîçðàñòàòü. Ïîýòîìó íàèáîëüøåå ñìåùåíèå DnÌÁ äîñòèãàåòñÿ ïðè ðàññåÿíèè íàçàä.
Èç ïðîâåäåííîãî ðàññìîòðåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíî, ÷òî ñïåêòðàëüíûé àíàëèç ðàññåÿííîãî ñâåòà äàåò îáøèðíóþ èíôîðìàöèþ î òåïëîïðîâîäíîñòè è òåïëîåìêîñòè ñðåäû, ìîìåíòàõ èíåðöèè ìîëåêóë, ñîâåðøàþùèõ âðàùàòåëüíûå
äâèæåíèÿ, ñêîðîñòè çâóêà è âðåìåíè åãî çàòóõàíèÿ è ò. ä.
Äëÿ öåíòðàëüíîé êîìïîíåíòû n0/Dn0 ~ 107 — 108. Äëÿ åå èññëåäîâàíèÿ äàæå
èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè — Ïåðî, îáëàäàþùèé âûñîêîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ R ~ 106, íå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðèìåíÿþò ìåòîäû
êîððåëÿöèîííîé ñïåêòðîñêîïèè. Â íèõ ñ ïîìîùüþ äåòåêòîðà çàïèñûâàþò ôëóêòóàöèè èíòåíñèâíîñòè ðàññåÿííîãî ñâåòà Is(t) êàê ôóíêöèþ âðåìåíè. Òàêàÿ
çàïèñü ìîæåò äëèòüñÿ äåñÿòêè ìèíóò: ÷åì ñëàáåå ðàññåÿííûé ñâåò, òåì äîëüøå
îñóùåñòâëÿåòñÿ çàïèñü. Äàëåå ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ, ïîçâîëÿþùèõ èçìåíÿòü âðåìÿ çàäåðæêè t è ïåðåìíîæàòü çíà÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòåé,
ðàññ÷èòûâàåòñÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èíòåíñèâíîñòè
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî k =
BI (t) = I s (t )I s (t + t).
(21.45)
Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíîå ïîëå Es(t), ôîðìèðóåìîå áîëüøèì ÷èñëîì ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòàðíûõ äèïîëåé pL, èìååò íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, òî BI(t) ñâÿçàíà ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé ïîëÿ ñîîòíîøåíèåì
B I (t) = 1 + B 2 (t) = 1 + E s (t )E s (t + t).
(21.46)
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ðàâåíñòâà ìîæíî íàéòè â ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.34) ðàâíà
S (w ) =
¥
1
B I (t) - 1 cos wt d t .
p ò0
(21.47)
Àíàëèç êðûëà ëèíèè Ðýëåÿ è ñòîêñîâûõ è àíòèñòîêñîâûõ êîìïîíåíò ìîæåò
áûòü âûïîëíåí ñ èñïîëüçîâàíèåì ìíîãîëó÷åâûõ èíòåðôåðîìåòðîâ èëè ðàçëè÷íûõ ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðîâ.
Ë Å Ê Ö È ß 22
Ðàññåÿíèå â ìóòíûõ ñðåäàõ.  ñðåäàõ, ñîäåðæàùèõ ÷àñòèöû ñ îòëè÷àþùèìñÿ
(îò ñðåäû) ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, âîçíèêàåò ñèëüíîå ðàññåÿíèå, ïðåâîñõîäÿùåå ïî èíòåíñèâíîñòè ìîëåêóëÿðíîå ðàññåÿíèå. Èíà÷å, ñâåòîâàÿ âîëíà
ïðåòåðïåâàåò äèôðàêöèþ íà òàêèõ ÷àñòèöàõ ïîä áîëüøèìè óãëàìè.
Åñëè ðàçìåðû ÷àñòèöû ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âîëíû, òî äèôðàãèðîâàâøèå âîëíû áóäóò àíàëîãè÷íû âîëíàì, èñïóñêàåìûì îñöèëëèðóþùèì äèïîëåì, íàõîäÿùèìñÿ íà ìåñòå ÷àñòèöû. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì èìåííî ýòîò ñëó÷àé.
Ïóñòü ÷àñòèöà â ôîðìå øàðèêà ðàäèóñîì r0 èìååò äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ep. Òàêàÿ ÷àñòèöà ïðè ïîìåùåíèè â îäíîðîäíîå âíåøíåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ E, êàê ñëåäóåò èç ýëåêòðîñòàòèêè, ïðèîáðåòàåò äèïîëüíûé ìîìåíò
pL = 3e 0 e
ep - e
LE,
( e p + 2 e)
(22.1)
4 3
pr0 .
3
Èíòåíñèâíîñòü âîëíû, ðàññåÿííîé N òàêèìè øàðèêàìè, èç-çà èõ õàîòè÷åñêîãî ïîëîæåíèÿ áóäåò ðàâíà ñóììå èíòåíñèâíîñòåé âîëí, ðàññåÿííûõ îäíèì
øàðèêîì.
Ñîãëàñíî (21.8) è ñ ó÷åòîì (22.1) îíà ðàâíà
ãäå e — äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü îêðóæàþùåé ñðåäû; L =
Is =
9p 2 e 2
l 4r 2
2
æ ep - e ö
2 1 + cos 2J z
I 0.
çè e + 2e ø÷ N L
2
(22.2)
p
Åñëè æå ìàëåíüêèå øàðèêè íàõîäÿòñÿ â æèäêîé èëè ãàçîîáðàçíîé ñðåäå, òî
îíè ñîâåðøàþò õàîòè÷åñêîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå. Èíòåíñèâíîñòü Is(t) ñòàíîâèòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé âðåìåíè. Õàðàêòåðíûé ìàñøòàá åå èçìåíåíèÿ çàâèñèò
îò óãëà ðàññåÿíèÿ J. Ýòî ìîæíî ïîíÿòü, âîñïîëüçîâàâøèñü àíàëîãèåé ñ ðàññåÿíèåì íà áåãóùèõ àêóñòè÷åñêèõ âîëíàõ — ðàññåÿíèåì Ìàíäåëüøòàìà—Áðèëëþýíà.
 ôîðìèðîâàíèè ðàññåÿííîé âîëíû ïîä óãëîì J ïðèìóò
ó÷àñòèå ÷àñòèöû, äâèæóùèåñÿ ñî ñëó÷àéíîé ñêîðîñòüþ u
â íàïðàâëåíèè, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 22.1.
Âäîëü ýòîãî íàïðàâëåíèÿ áðîóíîâñêàÿ ÷àñòèöà ñìåùàåòñÿ
ñî âðåìåíåì íà ðàññòîÿíèå l, óäîâëåòâîðÿþùåå ðàâåíñòâó
2kT
t = Dt ,
(22.3)
b
ãäå b = 6phr0 — êîíñòàíòà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìåæäó ñèëîé
âÿçêîãî òðåíèÿ, ïðèëîæåííîé ê ÷àñòèöå ðàäèóñîì r0, è åå ñêîðîñòüþ; h — âÿçêîñòü ñðåäû; D = 2kT/b — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè.
l2 =
Ðèñ. 22.1
262
Äëÿ äâèæóùèõñÿ ÷àñòèö ââåäåì âåëè÷èíó
q =
1
l2
=
1
,
Dt p
(22.4)
ãäå tp — õàðàêòåðíîå âðåìÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû.
Âåëè÷èíà q íàçûâàåòñÿ êâàçèâîëíîâûì ÷èñëîì. Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèé êâàçèâîëíîâîé âåêòîð, èëè âåêòîð ðàññåÿíèÿ, q äîëæåí óäîâëåòâîðèòü óñëîâèþ âåêòîðíîãî ñèíõðîíèçìà
k = k0 + q,
(22.5)
èëè
q = 2k 0 sin
J
.
2
(22.6)
Òîãäà èç (22.4) è (22.6) ïîëó÷àåì
J
.
(22.7)
2
Âåëè÷èíà tp è áóäåò ÿâëÿòüñÿ òåì ìàñøòàáîì âðåìåíè, íà êîòîðîì õàîòè÷åñêè èçìåíÿþòñÿ ïîëå Es(t) è èíòåíñèâíîñòü Is(t).  ðàñòâîðàõ tp ~ 10-3 — 10-5 c.
Ñëåäîâàòåëüíî, øèðèíà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ðàññåÿííîãî ñâåòà Dn = tp-1 ~ 103 —
105 Ãö. Åå ìîæíî èññëåäîâàòü ìåòîäîì êîððåëÿöèîííîé ñïåêòðîñêîïèè.
Ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî ñòåïåíü êîððåëÿöèè g(t) (ñì. ôîðìóëó (8.34)) äëÿ
ðàññåÿííîãî ïîëÿ íà êðóãëûõ ÷àñòèöàõ îäèíàêîâîãî ðàäèóñà äîëæíà áûòü ðàâíà
t -p1 = q 2D = 4k 02D sin 2
g (t) = e - Dq
2t
= e -t t p .
(22.8)
Ñëåäîâàòåëüíî, ñòåïåíü êîððåëÿöèè äëÿ èíòåíñèâíîñòè
g I (t ) = 1 + g 2 ( t ) = 1 + e - 2 t t p .
(22.9)
Èçìåðÿÿ âðåìÿ tp, ìîæíî îöåíèòü êîýôôèöèåíò äèôôóçèè D, ðàäèóñ r0,
íàçûâàåìûé ãèäðîäèíàìè÷åñêèì, èññëåäîâàòü äèíàìèêó äâèæåíèÿ ÷àñòèö è ò. ä.
Íà ðèñ. 22.2, à ïîêàçàíà ñòåïåíü êîððåëÿöèè gI (t), èçìåðåííàÿ â ðåàëüíîì
ýêñïåðèìåíòå, âûïîëíåííîì â ëàáîðàòîðèè ñïåêòðîñêîïèè ìîëåêóëÿðíîãî
ðàññåÿíèÿ ñâåòà êàôåäðû ôèçèêè ïîëèìåðîâ è êðèñòàëëîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà. Çäåñü èñòî÷íèêîì ñâåòà ÿâëÿëñÿ He-Ne-
Ðèñ. 22.2
263
ëàçåð, à ðàññåèâàþùèìè ÷àñòèöàìè — ìàëåíüêèå ïîëèñòèðîëüíûå øàðèêè,
ñîâåðøàþùèå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå â âîäå.
Äëÿ óäîáñòâà ïî îñè îðäèíàò îòëîæåíà âåëè÷èíà gI (t) - 1. Íàáëþäàþùååñÿ
îòêëîíåíèå îò ýêñïîíåíöèàëüíîé çàâèñèìîñòè (22.9) îáóñëîâëåíî ðàçëè÷èåì
ðàäèóñîâ ïîëèñòèðîëüíûõ øàðèêîâ. Íà ðèñ. 22.2, á ïîêàçàíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f (r0) øàðèêîâ ïî ðàäèóñàì r0, ïîëó÷åííàÿ ïóòåì ñïåöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îáðàáîòêè ñòåïåíè êîððåëÿöèè ðàññåÿííîãî ïîëÿ. Îíà äîñòèãàåò
ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðè r0 = 460 íì. Âèäíî, ÷òî èìååòñÿ ðàçáðîñ çíà÷åíèé
ðàäèóñîâ ÷àñòèö.
Ðàññåÿíèå â ìåëêîäèñïåðñíûõ ñðåäàõ. Åñëè ðàçìåðû ÷àñòèö ñîèçìåðèìû
ñ äëèíîé âîëíû (íàïðèìåð, ðàññìàòðèâàåìûå â ýêñïåðèìåíòå ïîëèñòèðîëüíûå
øàðèêè), òî ïðåäñòàâëåíèå ÷àñòèöû â âèäå îäíîãî äèïîëÿ îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íûì. Ïîýòîìó ôîðìóëû (22.1) è (22.2) ñòàíîâÿòñÿ íåñïðàâåäëèâûìè. Ïðåæäå
âñåãî êàðäèíàëüíî èçìåíÿåòñÿ äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè ðàññåÿííîãî ïîëÿ.
Èç-çà ðàçëè÷èÿ ôàç êîëåáàíèé âîëíû â ðàçíûõ òî÷êàõ ÷àñòèöû ïîñëåäíþþ
íóæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñîâîêóïíîñòü îñöèëëÿòîðîâ, èìåþùèõ ðàçíûå ôàçû
êîëåáàíèé. Ýòî äîñòèãàåòñÿ äîáàâëåíèåì ê äèïîëüíîìó ìîìåíòó òàê íàçûâàåìîãî êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòà, ó÷èòûâàþùåãî ðàçíîñòü ôàç êîëåáàíèé ïîëÿ.
Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû îòíîøåíèå êâàäðóïîëüíîãî è äèïîëüíîãî ìîìåíòîâ ñîâïàäàåò ñ îòíîøåíèåì r0 /l.
Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ ñâåòà íà äèýëåêòðè÷åñêèõ è ïðîâîäÿùèõ ñôåðàõ áûëà ðàçðàáîòàíà (1908) íåìåöêèì ôèçèêîì Ã. Ìè. Îñíîâíîå îòëè÷èå ðàññåÿíèÿ Ìè
îò ðàññåÿíèÿ â ìóòíûõ ñðåäàõ ñîñòîèò â ñóùåñòâåííîì èçìåíåíèè äèàãðàììû
íàïðàâëåííîñòè ðàññåÿííîãî ñâåòà. Íà ðèñ. 22.3 ïîêàçàíà òèïè÷íàÿ äèàãðàììà
íàïðàâëåííîñòè ïðè ðàññåÿíèè íà ñôåðè÷åñêèõ ÷àñòèöàõ ðàäèóñîì r0 ~ 10-1l.
Ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðà ÷àñòèö äèàãðàììà áóäåò èçìåíÿòüñÿ.  óãëîâîì ðàñïðåäåëåíèè Is(Jz) ïîÿâëÿþòñÿ äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû.
Íà ðèñ. 22.4 èçîáðàæåíà äèàãðàììà ïðè ðàññåÿíèè ñâåòà íà äèýëåêòðè÷åñêèõ
øàðèêàõ ñ n = 1,3 è r0 = l.
Ïðè r0 > l äîëæíà ïîëó÷èòüñÿ äèàãðàììà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèôðàêöèè ñâåòà íà êðóãëûõ íåïðîçðà÷íûõ äèñêàõ ðàäèóñîì r0. Òàêèì îáðàçîì, ñâåò â ìåëêîäèñïåðñíûõ ñðåäàõ ðàññåèâàåòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî â íàïðàâëåíèè ñâîåãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ.
Ïîëÿðèçàöèÿ ðàññåÿííîãî ñâåòà íà êðóïíûõ ÷àñòèöàõ çàâèñèò îò äëèíû âîëíû. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ âåñüìà ðàçíîîáðàçíàÿ îêðàñêà ïîâåðõíîñòè ìîðÿ.
Ðèñ. 22.3
264
Ðèñ. 22.4
Òåîðèÿ Ìè íàøëà øèðîêîå ïðèìåíåíèå ïðè àíàëèçå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà ÷åðåç íèæíèå ñëîè àòìîñôåðû, ñîäåðæàùèå ïûëü, àíòðîïîãåííûå çàãðÿçíåíèÿ è ìåëü÷àéøèå âîäÿíûå êàïëè âî âðåìÿ òóìàíà.
Ðàññåÿíèå ñâåòà â òâåðäûõ òåëàõ. Â òâåðäûõ òåëàõ ïðîÿâëÿþòñÿ òå æå çàêîíîìåðíîñòè ìîëåêóëÿðíîãî ðàññåÿíèÿ, ÷òî è â ãàçàõ è æèäêîñòÿõ. Ôëóêòóàöèè
ïëîòíîñòè è àíèçîòðîïèè îáóñëîâëåíû ñëó÷àéíûìè êîëåáàíèÿìè àòîìîâ
è ìîëåêóë îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè âî âðåìåíè
èìåþò äâà âðåìåííûõ ìàñøòàáà. Ïåðâûé èç íèõ îáóñëîâëåí èçîáàðè÷åñêèìè
òåïëîâûìè ôëóêòóàöèÿìè ïëîòíîñòè è îïðåäåëÿåòñÿ âðåìåíåì òåïëîâîé ðåëàêñàöèè tT ~ l2/cT, cT — êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè. Øèðèíà öåíòðàëüíîé ñïåêòðàëüíîé êîìïîíåíòû â ñïåêòðå ðàññåÿíèÿ ñâåòà Dn0 ~ tT-1.
Âòîðîé ìàñøòàá îïðåäåëÿåòñÿ ïåðèîäîì T = 2p/W àêóñòè÷åñêèõ âîëí (21.38),
â êîòîðûõ êîëåáàíèÿ ïëîòíîñòè ïðîèñõîäÿò èçîýíòðîïè÷åñêè (áåç òåïëîîáìåíà ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà L = l3 ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé, ïîñêîëüêó T = l2/cT).
Ýòè âîëíû íàçûâàþòñÿ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè.  êóðñå ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ôîíîíû ÿâëÿþòñÿ íîñèòåëÿìè âíóòðåííåé ýíåðãèè òâåðäîãî òåëà. Ðàññåÿíèå íà ôîíîíàõ è åñòü ðàññåÿíèå Ìàíäåëüøòàìà — Áðèëëþýíà.
Êðîìå òîãî, â òâåðäûõ òåëàõ èìåþòñÿ ìèêðîíåîäíîðîäíîñòè è ïðèìåñè. Ðàññåÿíèå íà ýòèõ íåîäíîðîäíîñòÿõ, êàê ïðàâèëî, ìàñêèðóåò ìîëåêóëÿðíîå ðàññåÿíèå íà ôëóêòóàöèÿõ ïëîòíîñòè è àíèçîòðîïèè.
Êîýôôèöèåíò ìóòíîñòè as (ñì. (21.26)) çàâèñèò îò äëèíû âîëíû: as = C/l4,
à êîíñòàíòà C — îò îïòè÷åñêîé ÷èñòîòû ìàòåðèàëà. Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå
è êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ a, òî â òâåðäîì òåëå èíòåíñèâíîñòü óáûâàåò ïî
çàêîíó
I (z ) = I (0) exp[-(a s + a)z ] = I (0) exp(-a% z ),
(22.10)
ãäå a% = a + a s — êîýôôèöèåíò ýêñòèíêöèè (îò ëàò. exstinctio — ãàøåíèå).
 êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè íà ðèñ. 22.5 ïîêàçàíà ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåííàÿ
çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ýêñòèíêöèè îäíîìîäîâîãî êâàðöåâîãî îïòè÷åñêîãî âîëîêíà îò äëèíû âîëíû.
Øòðèõîâàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò îïòè÷åñêè ÷èñòîìó êâàðöó. ×èñòûé êâàðö
îáëàäàåò ïîãëîùåíèåì â ÓÔ-îáëàñòè è äàëåêîé ÈÊ-îáëàñòè (l > 2 ìêì). Ïðè
óâåëè÷åíèè äëèíû âîëíû îò l = 1,0 ìêì ìóòíîñòü as óáûâàåò (as ~ 1/l4),
à ïîãëîùåíèå a íåâåëèêî. Ïðè l ® 2,0 ìêì as ìàëî, à ïîãëîùåíèå a óâåëè÷èâàåòñÿ. Ïîýòîìó íà äëèíå âîëíû l = 1,55 ìêì ïîòåðè â êâàðöå ìèíèìàëüíû.
Ðåàëüíûé êâàðö îáëàäàåò íà äëèíå
âîëíû l = 1,37 ìêì ìàêñèìóìîì (ïèêîì) ïîòåðü, îáóñëîâëåííûì ëèíèåé
ïîãëîùåíèÿ ãèäðîêñèëüíûõ ãðóïï OH,
ÿâëÿþùèõñÿ âðåäíûìè ïðèìåñÿìè. Îñíîâíàÿ ëèíèÿ ïîãëîùåíèÿ OH ñîîòâåòñòâóåò l0 = 2,73 ìêì. Íàïîìíèì, ÷òî
1 äÁ/êì = 4,34 êì-1 (ñì. ëåêöèþ 17).
Íà ðèñ. 22.1 öâ. âêë. ïîêàçàíà ôîòîãðàôèÿ âîëîêîííîãî ñâåòîâîäà, ïî êîòîðîìó ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñâåò. Åñëè áû
íå áûëî ðàññåÿíèÿ ñâåòà, òî ñâåòîâîä
Ðèñ. 22.5
íå êàçàëñÿ áû îñâåùåííûì.
265
Ôîòîííûå êðèñòàëëû. Êîíöåïöèÿ ôîòîííîãî êðèñòàëëà âîçíèêëà èç àíàëîãèè ñâîéñòâ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â ñðåäàõ ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ
ïî òðåì íàïðàâëåíèÿì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ è ýëåêòðîíîâ â êðèñòàëëàõ,
îáëàäàþùèõ ïåðèîäè÷íîñòüþ ñòðóêòóðû.
Ïîâåäåíèå ýëåêòðîíîâ çàâèñèò îò îòíîøåíèÿ äëèíû âîëíû äå Áðîéëÿ l = h/p
(h — ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà; p — èìïóëüñ ýëåêòðîíà) è ïåðèîäà d êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè.  ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðîí, äâèãàÿñü ñî ñêîðîñòüþ u,
èìååò èìïóëüñ p = mu è êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ
W =
p 2 h 2k 2
=
,
2m
2m
(22.11)
ãäå k = 2p/l — âîëíîâîå ÷èñëî; h = h/2p; m — ìàññà ýëåêòðîíà.
Çàâèñèìîñòü W(k) íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèîííîé êðèâîé. Ó ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà
ýòà êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîé.
 êðèñòàëëå ýëåêòðîí äâèæåòñÿ â ïåðèîäè÷åñêîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå,
ñîçäàâàåìîì çàðÿæåííûìè èîíàìè, íàõîäÿùèìèñÿ â óçëàõ ðåøåòêè. Ïîâåäåíèå ýëåêòðîíîâ ìîæåò áûòü îïèñàíî ñ ïîìîùüþ çàêîíîâ êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Îäèí èç ãëàâíûõ ðåçóëüòàòîâ ïðè òàêîì îïèñàíèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ ïðåòåðïåâàåò ðàçðûâû ïðè k = ±np/d (n = 1, 2, 3, ¾) (ðèñ. 22.6).
Ýòè ðàçðûâû îïðåäåëÿþò çàïðåùåííûå çîíû — îáëàñòè çíà÷åíèé ýíåðãèè,
êîòîðûå ýëåêòðîí èìåòü íå ìîæåò.
Èíòåðâàë DW, ñîîòâåòñòâóþùèé îäíîé îáëàñòè, íàçûâàåòñÿ øèðèíîé çàïðåùåííîé çîíû. Íà ðèñóíêå ïîêàçàíû ëèøü äâå çîíû. Øòðèõîâîé ëèíèåé èçîáðàæåíà äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà.
Ïåðåíîñÿ àíàëîãèþ íà ñâåòîâóþ âîëíó, íàðèñóåì äèñïåðñèîííóþ êðèâóþ
äëÿ ýíåðãèè ôîòîíà W = hw êàê ôóíêöèè âîëíîâîãî ÷èñëà k.  ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå k = w/c, W = hck è äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ëèíèåé.
 îäíîðîäíîé äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå k = n(w)w/c è äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ
ïîñòåïåííî îòêëîíÿåòñÿ îò ïðÿìîé â îáëàñòè ÷àñòîò, â êîòîðîé íà÷èíàåò âîçðàñòàòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ. Åñëè ôîòîíû ëåòÿò ïåðïåíäèêóëÿðíî ñëîèñòîé ñðåäå ñ ÷åðåäóþùèìñÿ çíà÷åíèåì ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ, à òîëùèíà
êàæäîãî ñëîÿ ðàâíà d, òî äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ áóäåò ïðåòåðïåâàòü ðàçðûâû.
Íà ðèñ. 22.7 ïîêàçàí ëèøü îäèí ðàçðûâ. Øòðèõîâîé ëèíèåé îòìå÷åíà äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ äëÿ ñâîáîäíîãî ôîòîíà.
Ðèñ. 22.6
266
Ðèñ. 22.7
Íàëè÷èå çàïðåùåííîé çîíû îçíà÷àåò, ÷òî âîëíû ñ ÷àñòîòîé w1 < w < w2 â
òàêîé ñëîèñòîé ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ íå ìîãóò. Ýòîò ðåçóëüòàò íå ÿâëÿåòñÿ
íåîæèäàííûì. Â ëåêöèè 17 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìíîãîñëîéíîå ïîêðûòèå õîðîøî îòðàæàåò ñâåò, íå ïðîïóñêàÿ åãî âíóòðü ñðåäû.
Èíòåðâàë ÷àñòîò Dw = w2 - w1 íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îòðàæåíèÿ. Ìåæäó ñîñåäíèìè îáëàñòÿìè îòðàæåíèÿ íàõîäÿòñÿ îáëàñòè ïðîïóñêàíèÿ, èëè ïîëîñû
ïðîïóñêàíèÿ.  ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ ýíåðãåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ T(w) çàâèñèò îò ÷àñòîòû: îí èìååò ðÿä ìàêñèìóìîâ, ÷èñëî êîòîðûõ ðàâíî
÷èñëó ïåðèîäîâ (ñëîåâ) ñðåäû. Ýòè ìàêñèìóìû ñîîòâåòñòâóþò ìèíèìóìàì äëÿ
êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ R = 1 - T è ïîêàçàíû íà ðèñ. 17.9.
Åñëè òåïåðü èìååòñÿ òðåõìåðíàÿ ñòðóêòóðà ñ ïåðèîäè÷åñêèì èçìåíåíèåì
ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ïî òðåì íàïðàâëåíèÿì, òî îíà íàçûâàåòñÿ ôîòîííûì
êðèñòàëëîì. Îí òàêæå èìååò çàïðåùåííûå çîíû è ñîîòâåòñòâåííî ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ.
Íàïðèìåð, ðàññ÷èòàíû ïîëîñû îòðàæåíèÿ è ïðîïóñêàíèÿ ñòðóêòóð, ñîñòîÿùèõ èç óïàêîâàííûõ äèýëåêòðè÷åñêèõ ñôåð. Ïðè îäèíàêîâîé ãåîìåòðèè â îòíîñèòåëüíîì ðàñïîëîæåíèè øàðèêîâ íàèáîëüøàÿ øèðèíà ïîëîñû îòðàæåíèÿ
äîñòèãàåòñÿ, åñëè îòíîøåíèå îáúåìà øàðèêîâ ê îáúåìó âñåé ñòðóêòóðû èìååò
îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå f = 0,2 — 0,3.  ýòîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò ñèëüíîå êîãåðåíòíîå ðàññåÿíèå îò íåïîäâèæíûõ äèýëåêòðè÷åñêèõ ñôåð. Îòíîñèòåëüíàÿ øèðèíà
Dw/w ïîëîñû îòðàæåíèÿ çàâèñèò êàê îò îòíîøåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ
øàðîâ n1 ê ïîêàçàòåëþ ïðåëîìëåíèÿ n2 ñðåäû ìåæäó íèìè, òàê è îò êîýôôèöèåíòà f, õàðàêòåðèçóþùåãî îáúåìíóþ äîëþ çàïîëíåíèÿ. Ïðè n1 = 3,6, n2 = 1,0
ïîëîñà îòðàæåíèÿ (çàïðåùåííàÿ çîíà) âîçíèêàåò ïðè f = 0,2. Ïðè óâåëè÷åíèè f
ñíà÷àëà Dw/w óâåëè÷èâàåòñÿ è äîñòèãàåò ìàêñèìóìà Dw/w = 0,15 ïðè f = 0,35.
Çàòåì Dw/w ® 0, è çàïðåùåííàÿ çîíà èñ÷åçàåò ïðè f = 0,7.
Ïåðèîäè÷åñêèå ñòðóêòóðû íåðåäêî âñòðå÷àþòñÿ â æèâîé è íåæèâîé ïðèðîäå. Ñëîèñòûìè (îäíîìåðíûìè) ÿâëÿþòñÿ ïîêðûòèÿ êðûëüåâ áàáî÷åê, ïåðüåâ
ïàâëèíà è ò.ï. Äâóõìåðíàÿ ñòðóêòóðà ïðèñóòñòâóåò ó íàòóðàëüíûõ æåì÷óæèí.
Ïîëóäðàãîöåííûé ìèíåðàë îïàë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåõìåðíûé êîëëîèäíûé
êðèñòàëë, ïåðèîäè÷íîñòü êîòîðîãî îáóñëîâëåíà âõîäÿùèìè â åãî ñîñòàâ ñôåðè÷åñêèìè ãëîáóëàìè îêñèäà êðåìíèÿ.
 îòðàæåííîì ñâåòå ïåðèîäè÷åñêèå ñòðóêòóðû ÿðêî îêðàøåíû, ïðè ýòîì èõ
öâåò çàâèñèò êàê îò óãëîâ ïàäåíèÿ ñâåòà, òàê è óãëà íàáëþäåíèÿ. Íà ðèñ. 22.2
öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíà ôîòîãðàôèÿ áàáî÷êè, èìåþùåé ïîä îïðåäåëåííûì óãëîì
çðåíèÿ ñèíþþ îêðàñêó.
 ïîñëåäíåå âðåìÿ ïðîèçâîäñòâî òàêèõ ñòðóêòóð îñóùåñòâëÿþò â èñêóññòâåííûõ óñëîâèÿõ. Íàðÿäó ñ íàïûëåíèåì ìíîãîñëîéíûõ ïëåíîê, ïðèìåíÿþùèìñÿ
ïðè èçãîòîâëåíèè çåðêàë, èñïîëüçóþò ìîëåêóëÿðíî-ëó÷åâóþ ýïèòàêñèþ — îñàæäåíèå âåùåñòâà èç ãàçîâîé ôàçû íà ïîâåðõíîñòü ïîäëîæêè. Ïðèìåíÿþò òàêæå
è õèìè÷åñêîå òðàâëåíèå ïîâåðõíîñòè âåùåñòâà, ñîçäàâàÿ òàêèì îáðàçîì îäíîìåðíûå è äâóõìåðíûå ïåðèîäè÷åñêèå ñòðóêòóðû. Òåõíîëîãèè òðàâëåíèÿ õîðîøî îòðàáîòàíû äëÿ àëþìèíèÿ è êðåìíèÿ â ñâÿçè ñ èõ øèðîêèì ïðèìåíåíèåì
â ìèêðîýëåêòðîíèêå. Ïåðèîä ñòðóêòóð äîñòèãàåò ìàëûõ âåëè÷èí d » 300 íì.
Íàèáîëåå ñëîæíû â èçãîòîâëåíèè òðåõìåðíûå ñòðóêòóðû. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ
ïðèìåíÿþòñÿ äâà ìåòîäà èõ ïðîèçâîäñòâà. Ïåðâûé ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: âçâåñü äèýëåêòðè÷åñêèõ ÷àñòèö îñàæäàåòñÿ â ðàñòâîðå íà äíî êþâåòû.
 ðåçóëüòàòå îáðàçóåòñÿ ìíîãîñëîéíûé êîëëîèäíûé êðèñòàëë, êîòîðûé ìîæíî
267
èññëåäîâàòü íåïîñðåäñòâåííî â ðàñòâîðå.
Ñëîæíóþ ñòðóêòóðó ìîæíî ïîäâåðãíóòü òåðìîîáðàáîòêå, ïðè êîòîðîé ñïåêøèåñÿ ÷àñòèöû îáðàçóþò ôîòîííûé êðèñòàëë, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ èñêóññòâåííûì îïàëîì. Äëÿ
óâåëè÷åíèÿ Dw/w ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ÷àñòèöàìè ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n1 çàïîëíÿþò âåùåñòâîì ñ áœëüøèì ïîêàçàòåëåì
ïðåëîìëåíèÿ n2. Ôîòîãðàôèÿ óâåëè÷åííîãî
èçîáðàæåíèÿ èñêóñcòâåííîãî îïàëà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 22.8.
Âî âòîðîì ìåòîäå íàíîñÿò äâóõìåðíûå
äèýëåêòðè÷åñêèå ñëîè, ïî-ðàçíîìó îðèåíÐèñ. 22.8
òèðîâàííûå, ïîäîáíî òîìó êàê «êðåñò-íàêðåñò» óêëàäûâàåòñÿ ñòîïêà ïîëåíüåâ.
Îïèñàííûå âûøå ñòðóêòóðû íàçûâàþò íàíîñòðóêòóðàìè. Êâàíòîâûå îïòè÷åñêèå ïðîöåññû â íàíîñòðóêòóðàõ èìåþò ðÿä îñîáåííîñòåé, ïîçâîëÿþùèõ ðàçäåëèòü ïðîöåññû íà äâå ãðóïïû.
Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíîñÿò ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ ïðîñòðàíñòâåííûì îãðàíè÷åíèåì äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ. Äëÿ ýòîãî ïåðèîä íàíîñòðóêòóð äîëæåí áûòü
ñîèçìåðèì ñ äëèíîé âîëíû äå Áðîéëÿ: d ~ 1 — 10 íì.  ýòîì ñëó÷àå ïîÿâëÿþòñÿ
êâàíòîâûå ðàçìåðíûå ýôôåêòû. Îíè õàðàêòåðèçóþòñÿ èçìåíåíèåì äèïîëüíîãî
ìîìåíòà d21 êâàíòîâîãî ïåðåõîäà ýëåêòðîíà ìåæäó äâóìÿ ýíåðãåòè÷åñêèìè óðîâíÿìè.  ðåçóëüòàòå èçìåíÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ýëåêòðîíîâ.
Äðóãàÿ ãðóïïà îáúåäèíÿåò ïðîöåññû, ñâÿçàííûå ñ èçìåíåíèåì ïëîòíîñòè
ôîòîííûõ ñîñòîÿíèé (ñì. (6.18))
dn 8pn 2
= 3 .
(22.12)
dn
c
Ýòà ïëîòíîñòü âõîäèò â ôîðìóëó Ïëàíêà (6.21) è îïðåäåëÿåò ñïåêòð èçëó÷åíèÿ ÷åðíîãî òåëà. Îò ïëîòíîñòè ôîòîííûõ ñîñòîÿíèé çàâèñèò è êîýôôèöèåíò
Ýéíøòåéíà A21 (ñì. (6.26)).
 ôîòîííûõ êðèñòàëëàõ dn ìîæíî âàðüèðîâàòü çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû
dn
è èñïîëüçîâàòü ýòî äëÿ èçìåíåíèÿ òåïëîîòäà÷è íàãðåòûõ ôîòîííûõ êðèñòàëëîâ, êàíàëèðîâàíèÿ òåïëîâûõ ïîòîêîâ â ìèêðîýëåêòðîíèêå è ò. ä.
Ïðè ðýëååâñêîì ðàññåÿíèè ñâåòà â íèõ áóäåò íàðóøàòüñÿ çàâèñèìîñòü Is ~ w4,
ïîñêîëüêó äëÿ ÷àñòîò â çàïðåùåííîé çîíå ðàññåÿíèå áóäåò ïîäàâëåíî. Íàêîíåö,
ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå âåùåñòâà â îáëàñòè çàïðåùåííîé çîíû òîæå ìîæåò áûòü
ïîäàâëåíî â ñòðóêòóðàõ ñ âñåíàïðàâëåííîé çàïðåùåííîé çîíîé (ïðè ëþáûõ íàïðàâëåíèÿõ k ñóùåñòâóåò ïîëîñà îòðàæåíèÿ Dw). Ââåäåíèå â êðèñòàëë òî÷å÷íîé
àêòèâíîé ñðåäû ïîçâîëèò ñîçäàòü ìèêðîëàçåðû ñ âûñîêîé êîãåðåíòíîñòüþ ñâåòà.
Ìèêðîñòðóêòóðèðîâàííûå îïòè÷åñêèå âîëíîâîäû, î êîòîðûõ øëà ðå÷ü
â ëåêöèè 17, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äëèííûé äâóõìåðíûé ôîòîííûé êðèñòàëë.
Íà ðèñ. 22.9 ïîêàçàíî ñå÷åíèå «äûð÷àòîãî» âîëîêíà.
Ñåðäöåâèíà âîëîêíà âûïîëíåíà èç êâàðöåâîãî ñòåêëà, à êâàðöåâàÿ îáîëî÷êà èìååò ìíîæåñòâî âîçäóøíûõ ïîëîñòåé. Èõ íàëè÷èå ïîçâîëÿåò áîëåå ÷åì
íà ïîðÿäîê óâåëè÷èòü îòíîøåíèå ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ ñåðäöåâèíû è îáîëî÷êè ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûìè âîëîêíàìè.
268
Èç-çà âîçíèêíîâåíèÿ çàïðåùåííûõ çîí â òàêîì
âîëîêíå èçëó÷åíèå ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â îïðåäåëåííûõ ñïåêòðàëüíûõ äèàïàçîíàõ, øèðèíà êîòîðûõ çàâèñèò îò ðàçìåðîâ ïîëîñòåé è èõ êîëè÷åñòâà.
Ýòî ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü âîëîêíà ñ íåîáû÷íûìè äèñïåðñèîííûìè ñâîéñòâàìè â øèðîêîì ñïåêòðàëüíîì
äèàïàçîíå.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî ðàñøèðèòü îáëàñòü
àíîìàëüíîé äèñïåðñèè ãðóïïîâîé ñêîðîñòè â êîðîòêîâîëíîâóþ ÷àñòü ñïåêòðà.
Ìèêðîñòðóêòóðèðîâàííûå âîëîêíà íàõîäÿò ïðèìåíåíèå â âîëîêîííî-îïòè÷åñêèõ ëèíèÿõ ñâÿçè, èñÐèñ. 22.9
ïîëüçóþòñÿ â âîëíîâåäóùèõ ñèñòåìàõ äëÿ ïåðåäà÷è
âûñîêîèíòåíñèâíûõ ñâåòîâûõ ïîòîêîâ. Íàëè÷èå øèðîêîé ôîòîííîé çàïðåùåííîé çîíû ïîçâîëÿåò óäåðæèâàòü ñâåò â âîëîêíå ïðè áîëüøèõ óãëàõ åãî èçãèáà.
 òàêèõ âîëîêíàõ èç-çà ëîêàëüíîé êîíöåíòðàöèè ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû ñíèæàþòñÿ ïîðîãè íåëèíåéíûõ ýôôåêòîâ (ñì. ëåêöèè 23 è 24). Ýòî ïîçâîëÿåò èõ
ïðèìåíÿòü äëÿ ñîçäàíèÿ ðàìàíîâñêèõ ëàçåðîâ è óñèëèòåëåé, îïòè÷åñêèõ ïåðåêëþ÷àòåëåé, äëÿ ãåíåðàöèè ñïëîøíîãî ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ (ñóïåðêîíòèíóóìà):
îò óëüòðàôèîëåòîâîãî äî èíôðàêðàñíîãî (l = 1,8 ìêì).
Êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå ñâåòà. Â 1928 ã. Ã. Ëàíäñáåðãîì è Ë. Ìàíäåëüøòàìîì (ÑÑÑÐ) è íåçàâèñèìî ×. Ðàìàíîì è Ê. Êðèøíàíîì (Èíäèÿ) â ñïåêòðå
ðàññåÿííîãî ñâåòà â æèäêîñòÿõ áûëè îáíàðóæåíû ñïåêòðàëüíûå ëèíèè-ñïóòíèêè, ñîïðîâîæäàþùèå ëèíèþ ðàññåèâàåìîãî ñâåòà. Ïðè ÷àñòîòå w0 ïàäàþùåãî ñâåòà ÷àñòîòû êàæäîé ïàðû ñïóòíèêîâ wi = w0 ± Wi.
Èçìåðåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ÷àñòîòû Wi ñîâïàäàþò ñ ÷àñòîòàìè ìîëåêóëÿðíûõ
êîëåáàíèé (êîëåáàíèé àòîìîâ â ìîëåêóëå). Ðàññåÿííûå âîëíû ñ ÷àñòîòàìè
wi = w0 - Wi ïîëó÷èëè íàçâàíèå ñòîêñîâûõ êîìïîíåíò, à âîëíû ñ ÷àñòîòàìè
wi = w0 + Wi — àíòèñòîêñîâûõ. Ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ñðåäû èíòåíñèâíîñòü
àíòèñòîêñîâûõ êîìïîíåíò áûñòðî âîçðàñòàåò. Ýòî ðàññåÿíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå êîìáèíàöèîííîãî ðàññåÿíèÿ (ÊÐ). Ïóáëèêàöèÿ ñ ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû èíäèéñêèõ ó÷åíûõ âûøëà íà íåñêîëüêî ìåñÿöåâ ðàíüøå.  1930 ã. ×. Ðàìàí áûë
óäîñòîåí Íîáåëåâñêîé ïðåìèè, à â çàðóáåæíîé ëèòåðàòóðå ðàññåÿíèå íàçûâàåòñÿ ðàìàíîâñêèì.
Ñ êëàññè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ìîëåêóëû â ðåçóëüòàòå ñëó÷àéíûõ âîçäåéñòâèé
ñîâåðøàþò íîðìàëüíûå êîëåáàíèÿ íà ÷àñòîòàõ, ÷èñëî êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ
÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé íîðìàëüíîé êîîðäèíàòû x (íàïðèìåð, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè â äâóõàòîìíîé ìîëåêóëå) ìîæíî íàïèñàòü
êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå
d 2x
dx
f (t )
+ 2d
+ W 0 2x =
,
2
dt
dt
M
(22.13)
ãäå M — ïðèâåäåííàÿ ìàññà ìîëåêóëû; d — êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ; f (t) —
ñëó÷àéíàÿ ñèëà.
Ïðè êðàòêîâðåìåííîì âîçäåéñòâèè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íîðìàëüíàÿ
êîîðäèíàòà áóäåò èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó
x = x 0e -dt cos(Wt + j 0 ),
ãäå W =
(22.14)
W 0 2 - d 2 ; x0 è j0 — ñëó÷àéíûå àìïëèòóäà è íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèé.
269
Ðèñ. 22.10
Ïîëÿðèçóåìîñòü ìîëåêóëû aij (ñì. (21.3))
îïðåäåëÿåòñÿ åå êîíôèãóðàöèåé è, ñëåäîâàòåëüíî, aij = aij(x). Äëÿ èçîòðîïíîé æèäêîñòè æ(x) = Na(x). Òîãäà ïîëÿðèçàöèÿ ñðåäû
â ïîëå E = E 0 cos w 0t ñâåòîâîé âîëíû áóäåò
ðàâíà
da
P = e 0 æE = e 0 N
xE =
dx
da
= e0N
x 0 E 0 e -dt cos w 0 t cos(Wt + j). (22.15)
dx
Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ P áóäåò èçìåíÿòüñÿ íà ÷àñòîòàõ w0 - W è w0 + W. Ñîîòâåòñòâåííî áóäóò
âîçíèêàòü ñòîêñîâà è àíòèñòîêñîâà êîìïîíåíòû.
×àñòîòû ìîëåêóëÿðíûõ êîëåáàíèé W ~ 1013 — 1014 ñ-1, à îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ÷àñòîòû W/w0 ~ 10-2 — 10-1, ïîýòîìó äëÿ ðåãèñòðàöèè êîìïîíåíò íå òðåáóþòñÿ ïðèáîðû ñ âûñîêîé ðàçðåøàþùåé ñèëîé. Ïîñêîëüêó àìïëèòóäû x0 êîëåáàíèÿ ìàëû è âîëíû, èçëó÷åííûå ýëåìåíòàðíûìè îáúåìàìè, èç-çà ñëó÷àéíîãî õàðàêòåðà âîçáóæäåíèÿ ìîëåêóë íåêîãåðåíòíû, èíòåíñèâíîñòü ðàññåÿííûõ êîìïîíåíò íåâåëèêà. Òàêîå ðàññåÿíèå íàçûâàåòñÿ ñïîíòàííûì êîìáèíàöèîííûì ðàññåÿíèåì.
Ñ êâàíòîâîé òî÷êè çðåíèÿ ýíåðãèÿ hw0 ïàäàþùåãî íà ñðåäó ôîòîíà è ýíåðãèÿ hw ôîòîíà ðàññåÿííîãî ñâåòà ñâÿçàíû óñëîâèåì ýíåðãåòè÷åñêîãî áàëàíñà
hw 0 = hw ± hW.
(22.16)
Äëÿ ñòîêñîâîé êîìïîíåíòû ýíåðãèÿ hW ïîãëîùàåòñÿ ñðåäîé, à äëÿ àíòèñòîêñîâîé — çàèìñòâóåòñÿ ó ñðåäû. Êîëåáàíèÿì ñðåäû ñ ÷àñòîòîé W ñòàâèòñÿ
â ñîîòâåòñòâèå êâàçè÷àñòèöà ñ ýíåðãèåé hW, íàçûâàåìàÿ îïòè÷åñêèì ôîíîíîì.
Ïîýòîìó êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå ïðîèñõîäèò íà îïòè÷åñêèõ ôîíîíàõ.
Èññëåäîâàíèÿ ðàññåÿííûõ êîìïîíåíò (êîìáèíàöèîííûõ ëèíèé) ïîêàçàëè,
÷òî íåò ñòðîãîé êîððåëÿöèè èíòåíñèâíîñòè ðàññåÿííîãî ñâåòà ñ âåëè÷èíîé
êîýôôèöèåíòà ïîãëîùåíèÿ íà ýòèõ ÷àñòîòàõ (èíòåíñèâíîñòüþ ëèíèé àáñîðáda
öèè). Èíòåíñèâíîñòü êîìáèíàöèîííûõ ëèíèé çàâèñèò îò âåëè÷èíû
, à èídx
òåíñèâíîñòü ëèíèé ïîãëîùåíèÿ — îò àìïëèòóäû îñöèëëÿöèé äèïîëüíîãî ìîìåíòà ìîëåêóëû ïðè íîðìàëüíûõ êîëåáàíèÿõ. Ïîãëîùåíèå âîëíû ñâÿçàíî
ñ ðàáîòîé ïîíäåðîìîòîðíûõ ñèë, âîçíèêàþùèõ ïðè âçàèìîäåéñòâèè ïîëÿ E
ñ äèïîëüíûì ìîìåíòîì.
Íà ðèñ. 22.10 èçîáðàæåíû êîëåáàíèÿ ìîëåêóëû CO2, ÷àñòîòû êîòîðûõ W1 =
= 1,26 × 1014 ñ-1, W2 = 2,52 × 1014 ñ-1, W3 = 4,43 × 1014 ñ-1.
Äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìîäû ñ ÷àñòîòîé W2 äèïîëüíûé ìîìåíò ìîëåêóëû
íå èçìåíÿåòñÿ è ïîãëîùåíèÿ íà ýòîé ÷àñòîòå íå ïðîèñõîäèò. Îäíàêî â ñïåêòðå
êîìáèíàöèîííîãî ðàññåÿíèÿ ýòîé ÷àñòîòå ñîîòâåòñòâóþò äâà ñïóòíèêà, ïîñêîëüêó ïîëÿðèçóåìîñòü ìîëåêóëû èçìåíÿåòñÿ ñ ÷àñòîòîé W2.
Êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå ïîçâîëÿåò íå òîëüêî èçìåðÿòü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû êîëåáàíèé ìîëåêóë, íî è èññëåäîâàòü èõ ñèììåòðèþ, ïîëó÷àòü èíôîðìàöèþ î ìîëåêóëÿðíîé äèíàìèêå, ïðîâîäèòü àíàëèç ñîñòàâà ìîëåêóëÿðíûõ
ñìåñåé (íàïðèìåð, áåíçèíà) è äð.
ÐÀÇÄÅË 9
ÍÅËÈÍÅÉÍÎ-ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÅ ßÂËÅÍÈß
Ë Å Ê Ö È ß 23
Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âûñîêîèíòåíñèâíûõ âîëí, ãåíåðèðóåìûõ ëàçåðàìè, ìîãóò âîçíèêàòü íîâûå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, êîòîðûå
íåâîçìîæíî áûëî íàáëþäàòü äî èçîáðåòåíèÿ ëàçåðîâ.
Èñòîðè÷åñêè ïåðâûì èç òàêèõ âïå÷àòëÿþùèõ ÿâëåíèé áûëî óäâîåíèå ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ ðóáèíîâîãî ëàçåðà.  ïåðâûõ îïûòàõ êðàñíûé ëó÷ ðóáèíîâîãî ëàçåðà (l = 694,3 íì) íàïðàâëÿëñÿ â êðèñòàëë êâàðöà. Íà âûõîäå èç
êðèñòàëëà áûëî çàðåãèñòðèðîâàíî óëüòðàôèîëåòîâîå èçëó÷åíèå ñ äëèíîé
âîëíû, ðîâíî âäâîå ìåíüøå äëèíû âîëíû èçëó÷åíèÿ ëàçåðà. Íàáëþäåíèå
ýòîãî ÿâëåíèÿ ïîñëóæèëî íà÷àëîì èíòåíñèâíûõ èññëåäîâàíèé øèðî÷àéøåãî
êðóãà çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ðàñïðîñòðàíåíèåì ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ è åãî
âçàèìîäåéñòâèåì ñ âåùåñòâîì. Ýòî ÿâëåíèå òåïåðü ëåãêî äåìîíñòðèðóåòñÿ
íà ëåêöèÿõ, è îá ýòîì ïîéäåò ðå÷ü íåñêîëüêî ïîçäíåå.
Íå ìåíåå âïå÷àòëÿþùèì ÿâëÿåòñÿ ëåêöèîííûé îïûò, â êîòîðîì ëó÷ àðãîíîâîãî ëàçåðà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ÷åðåç êþâåòó ñ æèäêîñòüþ. Ïðè ìàëîé ìîùíîñòè ëó÷à ïîñëåäíèé ïîñëå êþâåòû èìååò ðàñõîäèìîñòü, îïðåäåëÿåìóþ äèôðàêöèåé. Îäíàêî åñëè ìîùíîñòü óâåëè÷èòü â íåñêîëüêî ðàç, òî ñâåòîâîé ïó÷îê
ïîñëå êþâåòû ïðèîáðåòàåò áîëüøóþ óãëîâóþ ðàñõîäèìîñòü, íàìíîãî ïðåâûøàþùóþ äèôðàêöèîííóþ.
Ýòè è äðóãèå îïûòû ïîêàçûâàþò, ÷òî â ðàìêàõ ðàíåå èñïîëüçóåìûõ ëèíåéíûõ
ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîäîáíûå ÿâëåíèÿ îáúÿñíèòü íåâîçìîæíî. Çäåñü óìåñòíî âñïîìíèòü, ÷òî ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (15.2) è (15.3) çàïèñàíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íàïðÿæåííîñòü E ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû ìíîãî ìåíüøå íàïðÿæåííîñòè Ea õàðàêòåðíîãî âíóòðèàòîìíîãî ïîëÿ. Äëÿ âûñîêîèíòåíñèâíûõ âîëí
äàííîå ïðåäïîëîæåíèå ìîæåò ñòàòü íåîïðàâäàííûì.
 ïîëå òàêèõ âîëí ñâÿçü ìåæäó âåêòîðàìè D è E ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíîé. Ïîñêîëüêó D = e0E + P, ïîëÿðèçóåìîñòü ñðåäû P íåëèíåéíûì îáðàçîì çàâèñèò
îò íàïðÿæåííîñòè E. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêè ýòó çàâèñèìîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ðÿäà
P(E ) = e0æE + e0c2E 2 + e0c3E 3 + ¾ ,
(23.1)
ãäå æ — ëèíåéíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü; c2 è c3 — êâàäðàòè÷íàÿ è êóáè÷íàÿ íåëèíåéíûå âîñïðèèì÷èâîñòè ñîîòâåòñòâåííî.
 ëåêöèè 15 áûëà èçëîæåíà êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ äèñïåðñèè, íà îñíîâå êîòîðîé ðàññ÷èòàíà âåëè÷èíà æ è ñâÿçàííàÿ ñ íåé äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü e = 1 + æ. Ïîäîáíûì îáðàçîì ìîæíî ðàññ÷èòàòü è íåëèíåéíóþ ïîëÿðèçóåìîñòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ íåëèíåéíîé òåîðèåé äèñïåðñèè.
271
Îñíîâû íåëèíåéíîé òåîðèè äèñïåðñèè. Ïðè îïèñàíèè ýëåêòðîîïòè÷åñêîãî
ýôôåêòà Ïîêêåëüñà â ëåêöèè 20 îòìå÷àëîñü, ÷òî êîëåáàíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå
áóäóò ãàðìîíè÷åñêèìè ëèøü ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà U(x) ñîäåðæèò ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå x 3, x 4 è ò. ä. (ñì. ôîðìóëó (20.17)), êîòîðûìè ìû ðàíåå ïðåíåáðåãàëè.
 ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå E = E0e iwt âûñîêîèíòåíñèâíîé ñâåòîâîé âîëíû ðîëü ýòèõ
ñëàãàåìûõ ìîæåò áûòü ñóùåñòâåííîé. Îñöèëëÿòîð ñòàíîâèòñÿ àíãàðìîíè÷åñêèì,
à óðàâíåíèå åãî âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé áóäåò èìåòü âèä
¶U
+ qE = -Fx - Ôx 2 - Yx 3 + qE .
¶x
Ïåðåõîäÿ ê äèïîëüíîìó ìîìåíòó p = ex, ïîëó÷àåì
mx&& = -
p&& + w 02 p + b 2 p 2 + b 3 p 3 =
e2
E.
m
(23.2)
(23.3)
F
Y
F
. Â óðàâíåíèè (23.3), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåëè, b2 =
, b3 =
m
me
me
íåéíûì, ìû äëÿ ïðîñòîòû ïðåíåáðåãëè çàòóõàíèåì.
Ýòî óðàâíåíèå íå èìååò òî÷íûõ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé, íî ìîæíî ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå, ïðèíÿâ âî âíèìàíèå, ÷òî |w 02 p| ? |b 2 p 2 | ? |b 3 p 3 |.
Ýòî ïîçâîëÿåò èñêàòü ðåøåíèå (23.3) â âèäå
Çäåñü w 20 =
p(t ) = p ë (t ) + p íë (t ),
(23.4)
ãäå pë — ðåøåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (15.47) èëè óðàâíåíèÿ (23.3) ïðè b2 =
= b3 = 0; píë — ìàëàÿ íåëèíåéíàÿ ïîïðàâêà: | p íë | = | p ë | .
Ðàññ÷èòàåì âíà÷àëå c2. Äëÿ ýòîãî íå áóäåì ó÷èòûâàòü ñëàãàåìîå b3 p 3 â óðàâíåíèè (23.3). Ïîäñòàâèâ ôîðìóëó (23.4) â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
e2
E.
(23.5)
m
Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, èëè ìåòîäîì âîçìóùåíèé.
Ïåðâîå ïðèáëèæåíèå. Âíà÷àëå ïîëàãàåì b2 = 0. Óðàâíåíèå (23.3), èëè (23.5),
ïåðåõîäèò â (15.47). Îíî îïèñûâàåò ëèíåéíóþ ïîëÿðèçàöèþ:
( p&&ë + p&&íë ) + w 20 ( p ë + p íë ) + b 2 ( p ë + p íë ) 2 =
e2
E.
m
Åãî ðåøåíèå ñîâïàäàåò ñ (15.48) ïðè d = 0:
p&&ë + w 02 p ë =
pë =
e2
1
E.
m w 02 - w 2
(23.6)
(23.7)
Âòîðîå ïðèáëèæåíèå. Ïóñòü òåïåðü b2 0. Â óðàâíåíèè (23.5) ìîæíî ïðåíåá2
ðå÷ü ìàëûìè ñëàãàåìûìè 2b2 pë píë è b2 píë
. Òîãäà
p&&íë + w 02 p íë = -b 2 p ë2 .
(23.8)
Ýòî óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé, â êîòîðîì ðîëü âûíóæäàþùåé
2
ñèëû èãðàåò âåëè÷èíà -b2 p íë
. Åãî ðåøåíèå, ïî àíàëîãèè ñ (23.7), çàïèøåòñÿ
â âèäå
272
p íë = -
e4
b 22
E 2.
m 2 (w 02 - w 2 )(w 02 - 4w 2 )
(23.9)
Äèïîëüíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà ñðåäû, ñîäåðæàùåé N îñöèëëÿòîðîâ,
ðàâåí
P = ( p ë + p íë )N = Pë + Píë .
(23.10)
Ñðàâíèâ (23.10) ñ (23.1), íàõîäèì
æ=
c2 = -
Îöåíèì îòíîøåíèå
Ne 2
1
;
2
me 0 w 0 - w 2
Ne 4
b2
.
2
2
2
m e 0 (w 0 - w )(w 02 - 4w 2 )
(23.11)
(23.12)
Píë
:
Pë
Píë
e2
c E
b2
E0.
= 2 0 =
2
2
Pë
m (w 0 - w )(w 20 - 4w 2 )
æ
(23.13)
Âäàëè îò ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû ïðè w = w0
Píë
e 2b 2E 0 e FE 0
»
= 2 4.
Pë
mw 04
m w0
(23.14)
×àñòîòó w0 ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ýëåêòðîíà ïî êðóãîâîé áîðîâñêîé îðáèòå ðàäèóñà a âîêðóã ÿäðà àòîìà. Ïîýòîìó
mw 20a =
1 ee
= eE àò ,
4pe 0 a 2
(23.15)
ãäå
E àò =
e
4pr0a 2
(23.16)
— òàê íàçûâàåìîå âíóòðèàòîìíîå ïîëå, óäåðæèâàþùåå ýëåêòðîí íà îðáèòå.
Ñëåäîâàòåëüíî,
Píë
Ôa 2E 0
»
.
2
Pë
eE àò
(23.17)
Âåëè÷èíà Ôa2/e ~ Eàò, ïîñêîëüêó ïðè ñìåùåíèè ýëåêòðîíà íà âåëè÷èíó x ~ a
â óðàâíåíèè (23.2) Ôa2 ~ Fa ~ eEàò. Òîãäà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
Píë
E
c E
= 2 0 : 0 .
Pë
E àò
æ
(23.18)
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ðàññ÷èòàòü è c3, åñëè â óðàâíåíèè (23.3) ïîëîæèòü b2 = 0 è ó÷åñòü ñëàãàåìîå b3 p3. Òîãäà
E
c 3E 03
cE
= 3 0 : 0 .
E àò
c 2 E 02
c2
(23.19)
273
Ïðè a ~ 10-10 ì Eàò ~ 1011 Â/ì. Èç (23.18) ïîëó÷àåì îöåíêó: |c2| ~ | æ |/Eàò ~
~ 10-11 ì/Â, òàê êàê | æ | ~ 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäñòàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè â âèäå
(23.1) åñòü ðàçëîæåíèå ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó E0/Eàò = 1.
Äëÿ íåëàçåðíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà E0 /Eàò = 1, è ñðåäó ìîæíî ñ÷èòàòü ëèíåéíîé. Äëÿ ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ E0 /Eàò < 1, è íåëèíåéíûé îòêëèê ñðåäû ìîæåò
êàðäèíàëüíî èçìåíèòü õàðàêòåð âçàèìîäåéñòâèÿ è ðàñïðîñòðàíåíèÿ â íåé âîëíû.  ýòîì ñëó÷àå ìîæåò âîçíèêàòü ðÿä ñîâåðøåííî íîâûõ îïòè÷åñêèõ ÿâëåíèé.
Áîëåå òîãî, ïðè ïðèáëèæåíèè ÷àñòîòû w èçëó÷åíèÿ ëàçåðà ê ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå w0 ñðåäû ìîãóò âîçíèêàòü ñèëüíûå ðåçîíàíñíûå íåëèíåéíûå ýôôåêòû.
Øèðîêîå ðàçíîîáðàçèå íåëèíåéíûõ âîëíîâûõ ýôôåêòîâ ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ íîâîé îáëàñòè çíàíèÿ — íåëèíåéíîé îïòèêè. Çäåñü îãðàíè÷èìñÿ îïèñàíèåì íåêîòîðûõ âàæíûõ ýôôåêòîâ â ñðåäàõ ñ êâàäðàòè÷íîé è êóáè÷íîé íåëèíåéíîñòÿìè.
Íåëèíåéíûå ýôôåêòû â ñðåäå ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ. Êâàäðàòè÷íîé
íåëèíåéíîñòüþ îáëàäàþò êðèñòàëëû, ó êîòîðûõ îòñóòñòâóåò öåíòð ñèììåòðèè
(KDP, LiNbO3 è äð.). Ýòè êðèñòàëëû, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, îáëàäàþò ýëåêòðîîïòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè è ÿâëÿþòñÿ ïüåçîýëåêòðèêàìè. Ïðîÿâëåíèå íåëèíåéíîñòè êðèñòàëëà KDP äåìîíñòðèðóåòñÿ â ñëåäóþùåì ëåêöèîííîì ýêñïåðèìåíòå.
Íà êðèñòàëë KDP íàïðàâëÿåòñÿ íàíîñåêóíäíûé èìïóëüñ èçëó÷åíèÿ íåîäèìîâîãî ëàçåðà (l = 1,06 ìêì). Ïðè îïðåäåëåííîé îðèåíòàöèè êðèñòàëëà íà
åãî âûõîäå ïîÿâëÿåòñÿ èìïóëüñ ñ äëèíîé âîëíû l = 0,53 ìêì, êîòîðûé íà
ýêðàíå äàåò âñïûøêó çåëåíîãî ñâåòà. Òàêèì îáðàçîì, â êðèñòàëëå âîçíèêàåò
(ãåíåðèðóåòñÿ) âîëíà óäâîåííîé ÷àñòîòû, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âòîðîé ãàðìîíèêîé
èçëó÷åíèÿ ëàçåðà. Íàïîìíèì, ÷òî ãåíåðàöèÿ âòîðîé ãàðìîíèêè (ÃÂÃ) â ýòîì
êðèñòàëëå èñïîëüçîâàëàñü â îïòè÷åñêîé ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 20.9,
ñ ïîìîùüþ êîòîðîé èçìåðÿëîñü âðåìÿ ðåëàêñàöèè tK êåðð-ýôôåêòà.
Íà ðèñ. 23.1 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíî ÿâëåíèå ãåíåðàöèè âòîðîé ãàðìîíèêè,
õàðàêòåðèçóåìîå ïîÿâëåíèåì èçëó÷åíèÿ çåëåíîãî ñâåòà. Ãåíåðàöèÿ ïðîèñõîäèò
â êðèñòàëëå LiNbO3, êîòîðûé ðàñïîëîæåí â ïðàâîì íèæíåì óãëó ôîòîãðàôèè.
Ïîìèìî ÿâëåíèÿ ÃÂÃ, â ñðåäàõ ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ (êâàäðàòè÷íûõ ñðåäàõ) âîçìîæíî âçàèìîäåéñòâèå âîëí ñ ÷àñòîòàìè w1 è w2.  ðåçóëüòàòå
ìîãóò ãåíåðèðîâàòüñÿ ãàðìîíèêè ñ ÷àñòîòàìè 2w1 è 2w2, âîëíû ðàçíîñòíîé
w1 - w2 è ñóììàðíîé w1 + w2 ÷àñòîò.
Ñëîæåíèå ÷àñòîò 2w è w ïðîèñõîäèò â êðèñòàëëå KDP, ðàñïîëîæåííîì ïîçàäè êðèñòàëëà LiNbO3 (â ñåðåäèíå ôîòîãðàôèè, ñì. ðèñ. 23.1 öâ. âêë.).  ðåçóëüòàòå ïîÿâëÿåòñÿ èçëó÷åíèå ÷àñòîòû 3w = 2w + w (òðåòüåé ãàðìîíèêè). Åãî ïîÿâëåíèå
ôèêñèðóåòñÿ íà ëþìèíåñöåíòíîì ýêðàíå, íà êîòîðîì âèäíî ãîëóáîå ïÿòíî.
Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ýòè ÿâëåíèÿ. Ïóñòü â êðèñòàëëå âäîëü îñè Oz
ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ äâå âîëíû ñ ÷àñòîòàìè w1 è w2. Òîãäà ñóììàðíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îáåèõ âîëí
E (z , t ) = A1 cos(w1t - kz ) + A2 cos(w 2t - k 2 z ),
(23.20)
ãäå k1 = n(w1)w1/c; k2 = n(w2)w2/c. Âìåñòå ñ ýòèì ïîëåì â ñðåäå áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âîëíà ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè
Pë (z, t ) = e 0æ [ A1 cos(w1t - k1z ) + A2 cos(w 2t - k2 z )] ,
(23.21)
êîòîðàÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññè÷åñêîé òåîðèåé èçëó÷åíèÿ, áóäåò ïîðîæäàòü
âîëíû ñ ÷àñòîòàìè w1 è w2, êàê ýòî è ïðîèñõîäèò â ëèíåéíîé ñðåäå.
274
Îäíàêî âîëíà íåëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè
Píë (z , t ) = e 0 c 2 [ A1 cos(w 1t - k1 z ) + A2 cos(w 2t - k 2z )]2
(23.22)
áóäåò ïîðîæäàòü âîëíû ñ ÷àñòîòàìè 2w1, 2w2, w1 - w2 è w1 + w2.
 ïîëå ëèøü îäíîé âîëíû (âîëíû íàêà÷êè) E = A cos(wt - kz )
A2
[1 + cos(2 w t - 2 kz )].
(23.23)
2
Ïåðâîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò ïîñòîÿííóþ ïîëÿðèçàöèþ ñðåäû, ïðîïîðöèîíàëüíóþ èíòåíñèâíîñòè âîëíû, I % A 2/2. Ïîÿâëåíèå ïîëÿðèçàöèè íàçûâàåòñÿ
îïòè÷åñêèì äåòåêòèðîâàíèåì. Åãî ìîæíî çàðåãèñòðèðîâàòü, ïîìåñòèâ êðèñòàëë
ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà, ïàðàëëåëüíûìè íàïðàâëåíèþ
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòîâîé âîëíû. Â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ èìïóëüñà ìåæäó
îáêëàäêàìè âîçíèêàåò ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ ìîæíî èçìåðèòü.
Âòîðîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò âîëíó ïîëÿðèçàöèè ÷àñòîòîé 2w, äâèæóùóþñÿ
â ñðåäå ñî ñêîðîñòüþ
P íë = e 0 c 0
Lp =
2w
c
=
= L,
2k n(w)
(23.24)
ðàâíîé ñêîðîñòè âîëíû íàêà÷êè L. Âîëíà íåëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè áóäåò ãåíåðèðîâàòü âîëíó âòîðîé ãàðìîíèêè
E 2 (z , t ) = A2 cos(w 2t - k 2 z ),
(23.25)
ãäå w2 = 2w; k2 = 2wn(2w)/c.
Ñêîðîñòü ýòîé âîëíû
L2 =
c
w 2 2w
=
=
.
k2
k2
n(2w)
(23.26)
Åñëè L2 ¹ Lp, òî ýôôåêòèâíîé ãåíåðàöèè âòîðîé ãàðìîíèêè íå ïðîèñõîäèò,
ïîñêîëüêó ïðè ðàçíûõ ñêîðîñòÿõ äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà (âîëíû ïîëÿðèçàöèè)
è èçëó÷àåìîé èì âîëíû íàðóøàþòñÿ îïòèìàëüíûå ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ. Ïîýòîìó àìïëèòóäà A2 áóäåò íåáîëüøîé, à èíòåíñèâíîñòü I2 % A 22/2, êàê ïîêàçûâàåò
àíàëèç, ïåðèîäè÷åñêè áóäåò íàðàñòàòü è óáûâàòü âäîëü îñè Oz.
Äëÿ ýôôåêòèâíîé ãåíåðàöèè âòîðîé ãàðìîíèêè (ìîíîòîííîãî íàðàñòàíèÿ
èíòåíñèâíîñòè âäîëü Oz) íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ âîëíîâîãî ñèíõðîíèçìà
L2 = L, èëè w2 = 2w, k2 = 2k.
(23.27)
Äëÿ åãî âûïîëíåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû n(2w) = n(w).
Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, èñïîëüçóÿ ÿâëåíèå äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ â êðèñòàëëå. Íàïðèìåð, êðèñòàëë KDP ÿâëÿåòñÿ îäíîîñíûì îòðèöàòåëüíûì êðèñòàëëîì (n e < n o). Åñëè
èçîáðàçèòü ïîâåðõíîñòè íîðìàëåé äëÿ ÷àñòîò w è 2w,
òî ïî íàïðàâëåíèþ O1O2, ñîñòàâëÿþùåìó óãîë Jc ñ
îïòè÷åñêîé îñüþ, ñêîðîñòè L ¢(w) = L ²(2w) (ðèñ. 23.1).
Ýòî íàïðàâëåíèå íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåíèåì ñèíõðîíèçìà. Åñëè âûðåçàòü êðèñòàëë òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
âõîäíàÿ è âûõîäíàÿ åãî ãðàíè áûëè ïåðïåíäèêóëÿðÐèñ. 23.1
íû ýòîìó íàïðàâëåíèþ, òî ìîæíî äîáèòüñÿ âûñîêîé
275
èíòåíñèâíîñòè âòîðîé ãàðìîíèêè. Äëÿ
ýòîãî âîëíà íàêà÷êè äîëæíà áûòü
îáûêíîâåííîé (ïîëÿðèçîâàííîé â
Ðèñ. 23.2
ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ãëàâíîé
ïëîñêîñòè), à íåîáûêíîâåííàÿ âîëíà
âòîðîé ãàðìîíèêè áóäåò ïîëÿðèçîâàíà â ãëàâíîé ïëîñêîñòè. Òàêîå
âçàèìîäåéñòâèå îñóùåñòâëÿåòñÿ çà ñ÷åò ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòû c2ijk òåíçîðà
ïîëÿðèçóåìîñòè êðèñòàëëà, ÿâëÿþùåãîñÿ òåíçîðîì òðåòüåãî ðàíãà.
 êðèñòàëëå KDP äëÿ äëèíû âîëíû íàêà÷êè l = 1,06 ìêì, Jc = 40°30'. Ïðè
èíòåíñèâíîñòè íàêà÷êè I ~ 108 Âò/ñì2 è äëèíå êðèñòàëëà ~1 ñì ýôôåêòèâíîñòü
ïðåîáðàçîâàíèÿ A 22/A 2 ~ 10-1. Äëÿ ïîâûøåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ëàçåðíîå èçëó÷åíèå ôîêóñèðóåòñÿ âíóòðü êðèñòàëëà ôîêóñèðóþùåé ëèíçîé.
Åñëè êâàäðàòè÷íî-íåëèíåéíûé êðèñòàëë ïîìåñòèòü â ðåçîíàòîð, êàê ýòî
èçîáðàæåíî íà ðèñ. 23.2, è îñâåùàòü åãî ìîùíîé âîëíîé íàêà÷êè ÷àñòîòîé w3,
òî ìîæíî ñîçäàòü óñëîâèÿ äëÿ ãåíåðàöèè âîëíû ÷àñòîòîé w1 = w3 ± w2.
Âîëíà ÷àñòîòîé w1 íàçûâàåòñÿ ñèãíàëüíîé, à âñïîìîãàòåëüíàÿ âîëíà ÷àñòîòîé w2 — õîëîñòîé. Äëÿ ýôôåêòèâíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âîëí íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ôàçîâîãî ñèíõðîíèçìà: k3 = k1 + k2, w3 = w1 + w2.
Îáû÷íî õîëîñòàÿ âîëíà ÷àñòîòîé w2 âîçíèêàåò èç îïòè÷åñêîãî øóìà. Ïðè
åå âçàèìîäåéñòâèè ñ íàêà÷êîé ðîæäàåòñÿ è çàòåì óñèëèâàåòñÿ ñèãíàëüíàÿ âîëíà ÷àñòîòîé w1 = w3 ± w2, ìíîãîêðàòíî îòðàæàÿñü îò çåðêàë ðåçîíàòîðà. Ïîâîðà÷èâàÿ èëè íàãðåâàÿ êðèñòàëë, èçìåíÿþò óñëîâèÿ ñèíõðîíèçìà. Ïîýòîìó äîëæíà
èçìåíÿòüñÿ ÷àñòîòà ãåíåðèðóåìîé ñèãíàëüíîé (è õîëîñòîé) âîëíû.
Òàêîé ãåíåðàòîð ïîëó÷èë íàçâàíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ãåíåðàòîðà ñâåòà. Îí
ïîçâîëÿåò ïëàâíî ïåðåñòðàèâàòü ÷àñòîòó ãåíåðàöèè. Ãåíåðàòîðû ñóììàðíûõ ÷àñòîò w1 = w3 + w2 èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïåðåñòðàèâàåìîãî èçëó÷åíèÿ
â ÓÔ-äèàïàçîíå, ãåíåðàòîðû ðàçíîñòíûõ ÷àñòîò w1 = w3 - w2 — â ÈÊ-äèàïàçîíå.
Íà ðèñ. 23.2 öâ. âêë. ïîêàçàí ïàðàìåòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð ñâåòà ðàçíîñòíîé
÷àñòîòû, èñïîëüçóåìûé â ó÷åáíîì ïîöåññå íà êàôåäðå îáùåé ôèçèêè è âîëíîâûõ
ïðîöåññîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà. Ìåæäó çåðêàëàìè ðåçîíàòîðà ïîìåùåí êðèñòàëë LiNbO3, êîòîðûé ìîæåò ïîâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã
âåðòèêàëüíîé îñè. Íàêà÷êà îñóùåñòâëÿåòñÿ âòîðîé ãàðìîíèêîé (l = 530 íì)
èçëó÷åíèÿ YAG Nd3+-ëàçåðà. Ïðè ïîâîðîòå êðèñòàëëà äëèíà ãåíåðèðóåìîé
(ñèãíàëüíîé) âîëíû èçìåíÿåòñÿ â ÈÊ-äèàïàçîíå îò 800 äî 1 200 íì.
Íåëèíåéíûå ýôôåêòû â ñðåäàõ ñ êóáè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ. Åñëè â ñðåäå, äëÿ
êîòîðîé c2 = 0, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìîùíàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà, òî ïîëÿðèçàöèÿ
ñðåäû
P = e0æE + e0c3E 3.
(23.28)
Äëÿ óäîáñòâà âîçâåäåíèÿ â òðåòüþ ñòåïåíü è äàëüíåéøåãî àíàëèçà ïðåäñòàâèì ïîëå E â âèäå
1 µ i wt 1 µ -i wt
,
A e + A *e
(23.29)
2
2
— êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà, çâåçäî÷êà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîE (z , t ) = A cos(wt - kz ) =
ãäå A = Ae -ikz
ïðÿæåíèå.
Ïîäñòàâèì (23.29) â (23.28) è ñðåäè ìíîæåñòâà ñëàãàåìûõ ó÷òåì òå, êîòîðûå èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè ñ ÷àñòîòîé w ïàäàþùåé âîëíû. Òàêèõ ñëàãàåìûõ
276
áóäåò òðè. Òîãäà ïîëÿðèçàöèÿ ñðåäû íà ÷àñòîòå w áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèåì
P = e 0 æE + e 0
3
c 3 A 2E ,
8
(23.30)
µ× A
µ* = A 2 .
ïîñêîëüêó A
Èç ðàâåíñòâà D = e0E + P = e0eE ñëåäóåò, ÷òî äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ðàâíà
e =1+æ +
3
c3A 2
8
(23.31)
è çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè âîëíû.
Âû÷èñëèì ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû:
n=
e =
n0 +
3
3 c3 2
c 3 A 2 » n0 +
A ,
8
16 n0
(23.32)
ãäå n0 = 1 + æ.
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî â ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè âòîðîå ñëàãàåìîå íàìíîãî ìåíü1
øå ïåðâîãî. Åñëè ïåðåéòè ê èíòåíñèâíîñòè I = c e 0 A 2 , òî (23.32) ïðèìåò âèä,
2
èñïîëüçóåìûé â íàó÷íîé ëèòåðàòóðå:
n = n0 + Dníë = n0 + n2I.
(23.33)
Çäåñü Dníë = n2I — íåëèíåéíàÿ äîáàâêà ê ïîêàçàòåëþ ïðåëîìëåíèÿ. Êóáè÷íàÿ
íåëèíåéíîñòü õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçìåðíûì êîýôôèöèåíòîì
n2 =
3 c3
.
8 ñ e 0 n0
(23.34)
2
~ 10-18 ì2/Â2. Òîãäà n2 ~ 10-20 ì2/Âò. ÍàïðèÈç (23.19) ñëåäóåò, ÷òî c3 ~ æ/E àò
-20
2
ìåð, äëÿ êâàðöà n2 ~ 3 × 10 ì /Âò, äëÿ ñåðîóãëåðîäà n2 ~ 3 × 10-18 ì2/Âò.
Êóáè÷åñêàÿ íåëèíåéíîñòü ÷àùå âñåãî îáóñëîâëåíà ýôôåêòîì Êåððà, äëÿ
êîòîðîãî, ñîãëàñíî (20.13), Dn = gE 2. Äîêàçàòåëüñòâîì ýòîìó ñëóæèò ñîâïàäå3 c3
íèå ïîðÿäêîâ âåëè÷èí g â (20.13) è
â (23.32) äëÿ ìíîãèõ âåùåñòâ. Äëÿ
16 n0
íèòðîáåíçîëà, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ïîñòîÿííàÿ Êåððà K = g/l = 2,2 × 10-12 ì/Â2.
Ïðè l = 1,0 ìêì g = 2,2 × 10-18 ì2/Â2 è ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ âåëè÷è3 c3
íîé
. Ýôôåêò Êåððà â ýòîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò ïîä âîçäåéñòâèåì ïîëÿ
16 n0
âûñîêîé ÷àñòîòû è íàçûâàåòñÿ âûñîêî÷àñòîòíûì. Êóáè÷åñêóþ íåëèíåéíîñòü
íàçûâàþò íåëèíåéíîñòüþ êåððîâñêîãî òèïà.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äðóãèì ìåõàíèçìîì, ïðèâîäÿùèì ê ïîäîáíîé íåëèíåéíîñòè, ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîñòðèêöèÿ, ïðè êîòîðîé ñæàòèå âåùåñòâà, à ñëåäîâàòåëüíî, è èçìåíåíèå n ïðîïîðöèîíàëüíî èíòåíñèâíîñòè ñâåòà.
Ñðåäè ìíîæåñòâà íåëèíåéíî-îïòè÷åñêèõ ÿâëåíèé â êóáè÷íûõ ñðåäàõ âûäåëèì íåñêîëüêî íàèáîëåå âàæíûõ.
Ñàìîôîêóñèðîâêà è ñàìîäåôîêóñèðîâêà ñâåòîâîãî ïó÷êà. Ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòîâîãî ïó÷êà ðàäèóñîì r0 ñ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòüþ I0
â åãî ñå÷åíèè. Èç-çà çàâèñèìîñòè (23.33) â ñðåäå ïîÿâèòñÿ îáëàñòü, çàïîëíåííàÿ
277
Ðèñ. 23.3
Ðèñ. 23.4
ïó÷êîì, â êîòîðîé n = n0 + n2I0. Åñëè n2 > 0, òî n > n0. Òàêàÿ ñðåäà íàçûâàåòñÿ
ôîêóñèðóþùåé. Ïðè n2 < 0 n < n0, è ñðåäà äåôîêóñèðóþùàÿ.
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì ñëó÷àé n2 > 0. Âñëåäñòâèå äèôðàêöèè ïó÷îê ñòðåìèòñÿ
ðàñøèðèòüñÿ. Îäíàêî, íàõîäÿñü â îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäå, îí ìîæåò
ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â èíäóöèðóåìîì èì âîëíîâîäå.
Îöåíèì âåëè÷èíó èíòåíñèâíîñòè Iêð (êðèòè÷åñêîé èíòåíñèâíîñòè), êîòîðàÿ íåîáõîäèìà äëÿ ñàìîóäåðæàíèÿ ïó÷êà â ïðåäåëàõ íà÷àëüíîãî ñå÷åíèÿ r0
(ðèñ. 23.3).
Êàê èçâåñòíî, óãîë äèôðàêöèè ïó÷êà JÄ = 0,61l/r0p. Ýòîìó óãëó ñîîòâåòñòâóåò ëó÷, ïàäàþùèé íà èñêóññòâåííî ñîçäàííóþ ãðàíèöó ðàçäåëà ïîä óãëîì
j = p/2 - JÄ. Óãîë ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ jîòð óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
sin j îòð =
n0
.
n0 + n2 I êð
(23.35)
Äëÿ óäåðæàíèÿ ïó÷êà íåîáõîäèìî, ÷òîáû j = jîòð, èëè
sin j = sin(p / 2 - J Ä ) =
n0
.
n0 + n2 I êð
(23.36)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî JÄ = 1, n2Iêð = n0, ïîëó÷àåì
1-
J 2Ä
2
»1-
n2
I êð .
n0
(23.37)
Îòñþäà êðèòè÷åñêàÿ èíòåíñèâíîñòü
2
I êð =
1 n0 2
1 n0 æ 0, 61l ö
JÄ =
.
2 n2
2 n2 çè pr0 ÷ø
(23.38)
Ïåðåõîäÿ ê êðèòè÷åñêîé ìîùíîñòè, íàõîäèì
Pêð = I êð pr 2 =
1 n0 (0, 61l )2
.
pn2
2
(23.39)
Åñëè ìîùíîñòü ïó÷êà P < Pêð, òî îí áóäåò äèôðàãèðîâàòü, à ïðè P > Pêð
íà÷íåò ñæèìàòüñÿ, èëè ñàìîôîêóñèðîâàòüñÿ.
Ïîñëåäíåå ëåã÷å ïîíÿòü, åñëè ïó÷îê èìååò ïðîôèëü, àíàëîãè÷íûé ãàóññîâó
(ðèñ. 23.4).
Ïîñêîëüêó ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n = n0 + n2I áóäåò óìåíüøàòüñÿ îò îñè
ïó÷êà ê ïåðèôåðèè, ïåðèôåðèéíàÿ îáëàñòü ïó÷êà áóäåò äâèãàòüñÿ ñ áîëüøèìè
ñêîðîñòÿìè, ÷åì ïðèîñåâàÿ. Ïåðâîíà÷àëüíî ïëîñêèé ôàçîâûé ôðîíò, ïîêàçàííûé øòðèõîâîé ëèíèåé, íà÷íåò èñêðèâëÿòüñÿ, à ïó÷îê — ñàìîôîêóñèðîâàòüñÿ.
Ñðåäà ñòàíîâèòñÿ ïîäîáíîé ïðîòÿæåííîé ñîáèðàþùåé ëèíçå, íàâåäåííîé ñâåòîâûì ïó÷êîì.
278
Âåëè÷èíà Pêð íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé, èëè ïîðîãîâîé, ìîùíîñòüþ ñàìîôîêóñèðîâêè. Äëÿ êâàðöà n2 = 3 × 10-20 ì2/Âò, n0 = 1,5 è ïðè l = 1,06 ìêì Pêð » 3 × 106 Âò.
Òàêàÿ ìîùíîñòü ëåãêî äîñòèãàåòñÿ óæå â èìïóëüñàõ íàíîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè t0 ~ 10-8 ñ ïðè ýíåðãèè W ~ 1 Äæ.
Ïðè ñàìîôîêóñèðîâêå ïó÷îê ñæèìàåòñÿ äî ïîïåðå÷íûõ ðàçìåðîâ ïîðÿäêà
äëèíû âîëíû. Ïîëå â íåëèíåéíîì ôîêóñå ìîæåò ïðåâûñèòü êðèòè÷åñêîå ïîëå,
ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò ýëåêòðè÷åñêèé ïðîáîé ñðåäû.  ìîùíûõ ëàçåðíûõ ñèñòåìàõ ñàìîôîêóñèðîâêà ìîæåò ïðèâîäèòü ê ðàçðóøåíèþ îïòè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ.
Êàê ïîêàçûâàåò àíàëèç, è ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî, â ðÿäå
ñëó÷àåâ ìîæåò ïðîèñõîäèòü ìåëêîìàñøòàáíàÿ ñàìîôîêóñèðîâêà. Ïó÷îê ôîêóñèðóåòñÿ â ìàëûå îáëàñòè, âûòÿíóòûå âäîëü åãî îñè. Ýòè îáëàñòè íàçûâàþòñÿ
íèòÿìè.  íèòÿõ îáû÷íî è ïðîèñõîäèò ðàçðóøåíèå âåùåñòâà.
Îáðàçîâàíèå íèòåé îáóñëîâëåíî íåóñòîé÷èâîñòüþ ñàìîôîêóñèðîâêè ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì èíòåíñèâíîñòè â ñå÷åíèè ïó÷êà, êîòîðûå íåèçáåæíî ïðèñóòñòâóþò ó ðåàëüíûõ ïó÷êîâ. Åñëè â ïó÷êå ðàäèóñîì r0 âîçíèêàåò íåîäíîðîäíîñòü ñ ëèíåéíûì ðàçìåðîì l < r0, òî ïðè ìîùíîñòè ïó÷êà P > Pêð ìîæåò
ñëîæèòüñÿ òàêàÿ ñèòóàöèÿ, ÷òî ìîùíîñòü, çàêëþ÷åííàÿ â ýòîé íåîäíîðîäíîñòè, ïðåâûñèò âåëè÷èíó Pêð.  ðåçóëüòàòå îòäåëüíûé ôðàãìåíò ïó÷êà íà÷íåò ñàìîñòîÿòåëüíî ñàìîôîêóñèðîâàòüñÿ â íèòü. Ïðè õàðàêòåðíîé âåëè÷èíå ñðåäíåé
èíòåíñèâíîñòè I ýòî ïðîèçîéäåò äëÿ òåõ íåîäíîðîäíîñòåé, äëÿ êîòîðûõ áóäåò
âûïîëíåíî óñëîâèå Il 2 ³ Pêð. ×åì áîëüøå èíòåíñèâíîñòü ïó÷êà, òåì áîëåå ìåëêèå âîçìóùåíèÿ áóäóò ôîêóñèðîâàòüñÿ â íèòè.
Ñóùåñòâóþò ñðåäû ñ n2 < 0. Òîãäà ïðîèñõîäèò îáðàçîâàíèå â ñðåäå äåôîêóñèðóþùåé ëèíçû, è ïó÷îê ïðèîáðåòàåò óãëîâóþ ðàñõîäèìîñòü, èíîãäà âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàþùóþ äèôðàêöèîííóþ. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ñàìîäåôîêóñèðîâêîé. Êàê ïîêàçûâàåò ðàñ÷åò, íåëèíåéíàÿ ðàñõîäèìîñòü â äàëüíåì ïîëå
J íë = J Ä
P
+ 1.
Pêð
(23.40)
Ñàìîìîäóëÿöèÿ è ñæàòèå èìïóëüñà. Åñëè ñâåòîâîé èìïóëüñ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ñðåäå ñ êåððîâñêîé íåëèíåéíîñòüþ, òî ïðè n2 > 0 åãî âåðøèíà äâèæåòñÿ
ìåäëåííåå, ÷åì ãîëîâíàÿ è õâîñòîâàÿ ÷àñòè (ðèñ. 23.5, à). Äëÿ íàãëÿäíîñòè íà
ðèñóíêå ñòðåëêàìè èçîáðàæåíû âåêòîðû ãðóïïîâûõ ñêîðîñòåé ïåðèôåðèéíûõ
è öåíòðàëüíîé ÷àñòåé èìïóëüñà. Ýòî àíàëîãè÷íî äâèæåíèþ ñ áîëüøåé ñêîðîñ-
Ðèñ. 23.5
279
òüþ ïåðèôåðèéíûõ îáëàñòåé ïó÷êà ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðèîñåâîé ÷àñòüþ â ôîêóñèðóþùåé ñðåäå.
Íà íåáîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ z ìîæíî ïðåíåáðå÷ü äèôðàêöèåé è äèñïåðñèåé.
Ïîýòîìó ôîðìà èìïóëüñà (îãèáàþùàÿ) ìàëî èçìåíèòñÿ, îäíàêî èç-çà ðàçëè÷èÿ ñêîðîñòåé îí ñòàíåò ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 23.5, á.
Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé ñàìîìîäóëÿöèåé. Èç-çà ñàìîìîäóëÿöèè ñïåêòð
èìïóëüñà ñòàíîâèòñÿ øèðå.
Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ìîäóëÿöèþ ôàçû èìïóëüñ ïðèîáðåòàåò è â ëèíåéíîé
äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå. Ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåòñÿ äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà, îäíàêî åãî ñïåêòð îñòàåòñÿ íåèçìåííûì.  äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå ñ íîðìàëüíîé
äèñïåðñèåé ãðóïïîâûõ ñêîðîñòåé (ñì. ðèñ. 16.7, k2 > 0) õàðàêòåð ìîäóëÿöèè
áóäåò òàêèì æå, êàê è â íåëèíåéíîé ñðåäå ñ n2 > 0.
Åñëè ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûé èìïóëüñ, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 23.5, á, íàïðàâèòü â äèñïåðãèðóþùóþ ñðåäó ñ k2 > 0, òî ìîäóëÿöèÿ òîëüêî óñèëèòñÿ è
èìïóëüñ áóäåò ïðåòåðïåâàòü äèñïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå.
Îäíàêî åñëè ïîñëå íåëèíåéíîé ñðåäû èìïóëüñ ïîïàäåò â ñðåäó ñ àíîìàëüíîé äèñïåðñèåé ãðóïïîâûõ ñêîðîñòåé (k2 < 0), òî ñèòóàöèÿ áóäåò êàðäèíàëüíî
èíîé.  ýòîé ñðåäå âûñîêî÷àñòîòíàÿ (õâîñòîâàÿ) ÷àñòü èìïóëüñà íà÷íåò äîãîíÿòü íèçêî÷àñòîòíóþ (ãîëîâíóþ) ÷àñòü, è èìïóëüñ íà÷íåò ñæèìàòüñÿ. Ýòà èäåÿ
ðåàëèçîâàíà â îïòè÷åñêèõ êîìïðåññîðàõ — óñòðîéñòâàõ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ
ñæàòèÿ èìïóëüñà.
 âèäèìîé è áëèæíåé ÈÊ-îáëàñòÿõ îáû÷íî èñïîëüçóþò âîëîêîííî-ðåøåòî÷íûé êîìïðåññîð, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 23.6.
Èñõîäíûé èìïóëüñ ôîêóñèðóåòñÿ ëèíçîé Ë1 íà ìèêðîîáúåêòèâ è ââîäèòñÿ
â âîëîêîííûé ñâåòîâîä ÂÑ. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñïåêòðàëüíî-îãðàíè÷åííîãî
èìïóëüñà äëèòåëüíîñòüþ t0 ÷åðåç âîëîêîííûé ñâåòîâîä îí ïðåâðàùàåòñÿ â ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûé ïðàêòè÷åñêè òîé æå äëèòåëüíîñòè (ñì. ðèñ. 23.5, á ). Îäíàêî èç-çà íåëèíåéíîãî îòêëèêà âîëîêíà øèðèíà åãî ñïåêòðà óâåëè÷èâàåòñÿ:
Dnj > Dn0 ~ 1/t0.
 êà÷åñòâå ñðåäû ñ àíîìàëüíîé äèñïåðñèåé ãðóïïîâûõ ñêîðîñòåé èñïîëüçóåòñÿ ïàðà äèôðàêöèîííûõ ïàðàëëåëüíûõ ðåøåòîê Ð1 è Ð2, íà êîòîðûå èìïóëüñ
ïîïàäàåò èç ñâåòîâîäà, ïðîéäÿ ÷åðåç äðóãóþ ëèíçó Ë2 è ïîëóïðîçðà÷íîå çåðêàëî Ç1. Ðàçíûå ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû èìïóëüñà äèôðàãèðóþò ïîä ðàçíûìè
óãëàìè.  ðåçóëüòàòå ïóòü, ïðîõîäèìûé êîðîòêîâîëíîâûìè êîìïîíåíòàìè, ìåíüøå, ÷åì äëèííîâîëíîâûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, äëèííîâîëíîâûå êîìïîíåíòû çà-
Ðèñ. 23.6
280
ïàçäûâàþò, êàê â ñðåäå ñ k2 < 0. Ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàëà Ç2 èìïóëüñ ïîâòîðíî ïðîõîäèò ìåæäó ðåøåòêàìè è âûâîäèòñÿ ÷åðåç ïîëóïðîçðà÷íîå çåðêàëî
Ç1 èç êîìïðåññîðà. Ïðè ïîâòîðíîì ïðîõîäå êîìïåíñèðóåòñÿ óãëîâàÿ ðàñõîäèìîñòü ðàçëè÷íûõ ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò.
Ïàðà ðåøåòîê (èëè ñèñòåìà ïðèçì), ÿâëÿÿñü äèñïåðãèðóþùåé ñèñòåìîé,
ïðåâðàùàåò èìïóëüñ âíîâü â ñïåêòðàëüíî-îãðàíè÷åííûé, íå èçìåíÿÿ ïðè ýòîì
øèðèíû åãî ñïåêòðà. Ïîýòîìó äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà äîëæíà óìåíüøèòüñÿ:
t ~ 1/Dnj < t0.
Êîìïðåññîðû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ñæàòèÿ ïèêîñåêóíäíûõ èìïóëüñîâ äî äëèòåëüíîñòåé t ~ 10 ôñ. Íåîáõîäèìàÿ äëèíà âîëîêíà çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè
ñæèìàåìîãî èìïóëüñà: ÷åì áîëüøå èíòåíñèâíîñòü, òåì êîðî÷å âîëîêíî.  ðàçëè÷íûõ ñõåìàõ êîìïðåññèè äëèíà âîëîêíà èçìåíÿåòñÿ îò äåñÿòêîâ ñàíòèìåòðîâ
äî ñîòåí ìåòðîâ.
Îïòè÷åñêèå ñîëèòîíû. Åñëè ëàçåðíûé èìïóëüñ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â âîëîêíå,
òî âîçíèêàþùàÿ ñàìîìîäóëÿöèÿ ìîæåò êîìïåíñèðîâàòü ôàçîâóþ ìîäóëÿöèþ,
ñâÿçàííóþ ñ äèñïåðñèîííûì ðàñïëûâàíèåì èìïóëüñà, åñëè k2 < 0. Äëÿ êâàðöåâîãî âîëîêíà äëèíà âîëíû, êàê âèäíî èç ðèñ. 16.8, äîëæíà áûòü l > lD = 1,27 ìêì.
Ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ èìïóëüñ ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïî âîëîêíó áåç
èçìåíåíèÿ ôîðìû îãèáàþùåé. Òàêîé èìïóëüñ íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêèì ñîëèòîíîì.
Îöåíèì ïàðàìåòðû ñîëèòîíà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà âõîäå â âîëíîâîä (z =
0) èìïóëüñ èìååò ãàóññîâó îãèáàþùóþ (ñì. (16.29))
æ t2 ö
A(0, t ) = A0 exp ç - 2 ÷ .
è t0 ø
(23.41)
 ñðåäíåé ÷àñòè èìïóëüñà (|t | < t0) åãî èíòåíñèâíîñòü
æ 2t 2 ö
æ
2t 2 ö
I (0, t ) = I 0 exp ç - 2 ÷ » I 0 ç1 - 2 ÷ .
è t0 ø
è
t0 ø
(23.42)
Èç-çà íåëèíåéíîñòè èìïóëüñ, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 23.5, á, ïðèîáðåòàåò
íàáåã ôàçû Ôíë:
æ t ¢2 ö
A(z , t ¢) = A0 exp ç exp(i Ô íë ),
è t 0 ÷ø
(23.43)
ãäå
Ô íë (z , t ¢) = -
æ 2t ¢ 2
ö
2p
2p
n2 Iz =
n2I 0 ç 2 - 1÷ z ,
l
l
è t0
ø
t ¢ = t - z /u.
(23.44)
Ôàçîâûé íàáåã âñëåäñòâèå äèñïåðñèè, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (16.34), íà
ðàññòîÿíèè z < |z0 | ðàâåí
Ô(z , t ¢) =
t ¢2 z
,
t 02 z 0
(23.45)
ãäå z 0 = t 02 /k2 (ñì. (16.34)).
Òàêèì îáðàçîì, ïðè îäíîâðåìåííîì äåéñòâèè íåëèíåéíîñòè è äèñïåðñèè
æ t ¢2 ö
A(z , t ¢) = A0 exp ç - 2 ÷ exp[i (Ô íë + Ô)].
è t0 ø
(23.46)
281
Íàëè÷èå ôàçû â (23.46), çàâèñÿùåé îò âðåìåíè, îçíà÷àåò, ÷òî îãèáàþùàÿ
èìïóëüñà èçìåíÿåòñÿ ñ ìãíîâåííîé ÷àñòîòîé
¶Ô íë ¶Ô
(23.47)
+
.
¶t ¢
¶t ¢
Ó ñîëèòîíà W(t ¢) = 0. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå êîìïåíñàöèè ñîñòîèò â òîì,
÷òîáû
W(t ¢) =
¶Ô íë
¶Ô
=.
¶t ¢
¶t ¢
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà (23.44) è (23.45), ïîëó÷àåì
4p
1
n2I 0 = - .
z0
l
(23.48)
(23.49)
Êîìïåíñàöèÿ âîçìîæíà, åñëè z0 < 0 (k2 < 0). Ïåðåõîäÿ ê äèñïåðñèîííîé
äëèíå L0 = t 02 /|k2 |, îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì
4p
4p t 02
n2L0 I 0 =
n2I 0 = 1.
l
l |k 2 |
(23.50)
Ïðè äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà t0 = 10-12 ñ = 1 ïñ è äëèíå âîëíû l = 1,5 ìêì
â êâàðöå L0 = 30 ì. Ïîñêîëüêó n2 = 3 × 10-20 ì2/Âò, òî I0 ~ 1011 Âò/ì2. Äëÿ îäíîìîäîâîãî âîëîêíà ñå÷åíèå ñåðäöåâèíû ~50 ìêì2 = 5 × 10-11 ì2. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ â âîëîêíå P ~ 5 Âò è ýíåðãèÿ èìïóëüñà W ~ Pt0 = 5 × 10-12 Äæ.
Ïîýòîìó óñëîâèå êîìïåíñàöèè (23.50) ìîæíî ëåãêî îáåñïå÷èòü äëÿ êîðîòêèõ èìïóëüñîâ ñ ìàëîé ìîùíîñòüþ.
Òî÷íûé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî îãèáàþùàÿ ñîëèòîíà èìååò âèä
æ t¢ ö
A ( z , t ¢) = A0 sech ç ÷
è t0 ø
(23.51)
è îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé ãèïåðáîëè÷åñêèé ñåêàíñ. Îãèáàþùàÿ ñîëèòîíà íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò îãèáàþùåé ãàóññîâà èìïóëüñà. Âåëè÷èíà A0, îïðåäåëÿþùàÿ ìàêñèìàëüíóþ (ïèêîâóþ) èíòåíñèâíîñòü I0 ~ A 02 , è äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà t0 ñâÿçàíû: ýòà ñâÿçü âûòåêàåò èç ñîîòíîøåíèÿ (23.50). ×åì áîëüøå ïèêîâàÿ
èíòåíñèâíîñòü, òåì ìåíüøå äëèòåëüíîñòü ñîëèòîíà.
Åñëè â âîëîêíî ââåäåí èìïóëüñ ñ ïðîèçâîëüíîé ôîðìîé îãèáàþùåé,
òî ïðè äîñòàòî÷íîé íà÷àëüíîé èíòåíñèâíîñòè îí ïîñòåïåííî òðàíñôîðìèðóåòñÿ
â ñîëèòîí (23.51). Ñîëèòîí óæå ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì îáðàçîâàíèåì, íå ÷óâñòâèòåëüíûì ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì.
Åñëè äëèíà âîëíû l = 1,55 ìêì, òî îñëàáëåíèå èìïóëüñà âñëåäñòâèå ðàññåÿíèÿ â âîëîêíå ìèíèìàëüíî è îí ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïî âîëîêíó
íà íåñêîëüêî äåñÿòêîâ êèëîìåòðîâ.
 âîëîêîííî-îïòè÷åñêèõ ëèíèÿõ ñâÿçè óñòàíàâëèâàþòñÿ îïòè÷åñêèå óñèëèòåëè. Òîãäà èìïóëüñû ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ íà îãðîìíûå ðàññòîÿíèÿ. Ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü êàíàëîâ ñâÿçè (îáúåì ïåðåäàâàåìîé èíôîðìàöèè â åäèíèöó âðåìåíè) îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà. Áîëåå ïîäðîáíî îá ýòîì ðå÷ü ïîéäåò â ëåêöèè 24.
Ë Å Ê Ö È ß 24
Òåïëîâîå ñàìîâîçäåéñòâèå èçëó÷åíèÿ. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòîâîãî ïó÷êà
â ñðåäå ÷àñòü åãî ýíåðãèè ïîãëîùàåòñÿ, è òåìïåðàòóðà ñðåäû â êàíàëå ïó÷êà
è â ïðèëåãàþùåé îáëàñòè ïîâûøàåòñÿ. Èç-çà íàãðåâà èçìåíÿåòñÿ è ïîêàçàòåëü
ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü âëèÿåò íà ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòîâîãî
ïó÷êà. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ òåïëîâûì ñàìîâîçäåéñòâèåì.
Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ çàâèñèò îò ïëîòíîñòè r è òåìïåðàòóðû T ñðåäû.
Ïîñëåäíÿÿ çàâèñèìîñòü ñâÿçàíà ñ èçìåíåíèåì ïîëÿðèçóåìîñòè ìîëåêóëû âñëåäñòâèå ñìåùåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò îïòè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ ñðåäû. Ìàëûå
èçìåíåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
æ ¶n ö
æ ¶n ö
æ ¶n ö
Dn = ç ÷ Dr + ç
÷ø DT = ç ÷
è
¶T r
è ¶r ø T
è ¶r ø T
æ ¶r ö
æ ¶n ö
çè
÷ø DT + çè
÷ DT = nT DT , (24.1)
¶T P
¶T ø r
ãäå
æ ¶n ö
nT = ç ÷
è ¶r ø T
æ ¶r ö
æ ¶n ö
+
èç ¶T ø÷ P èç ¶T ø÷ r
(24.2)
— ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ïî òåìïåðàòóðå, ÿâëÿþùàÿñÿ
êîíñòàíòîé âåùåñòâà. Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (24.2) âñåãäà îòðèöàòåëüíî, ïîýòîìó
ýòà êîíñòàíòà ìîæåò èìåòü ðàçëè÷íûé çíàê ó ðàçíûõ âåùåñòâ. Ñðåäû, ó êîòîðûõ
nT > 0, íàçûâàþòñÿ ôîêóñèðóþùèìè, à ñðåäû ñ nT < 0 — äåôîêóñèðóþùèìè.
Åñëè ñâåòîâîé ïó÷îê èìååò íàèáîëüøóþ èíòåíñèâíîñòü íà îñè, òî ïðîôèëü
òåìïåðàòóðû â åãî ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè èìååò êîëîêîëîîáðàçíóþ ôîðìó: òåìïåðàòóðà óáûâàåò îò îñè ïó÷êà ê åãî ïåðèôåðèè.
 ôîêóñèðóþùèõ ñðåäàõ òàêîé æå ïðîôèëü èìååò è ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ.
Ïîýòîìó â ñðåäå ñîçäàåòñÿ ïðîòÿæåííàÿ òåïëîâàÿ ñîáèðàþùàÿ ëèíçà, èíäóöèðóåìàÿ ñâåòîâûì ïó÷êîì. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ïó÷îê áóäåò ñæèìàòüñÿ. Ýòî
ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ òåïëîâîé ñàìîôîêóñèðîâêîé.
 äåôîêóñèðóþùèõ ñðåäàõ ðàñïðåäåëåííàÿ òåïëîâàÿ ëèíçà áóäåò îòðèöàòåëüíîé, è ïó÷îê ïðåòåðïåâàåò òåïëîâóþ äåôîêóñèðîâêó.
Òåïëîâóþ äåôîêóñèðîâêó äîñòàòî÷íî ïðîñòî íàáëþäàòü â âîäå, ñïèðòå
è äðóãèõ âåùåñòâàõ. Â ëåêöèîííîì îïûòå ëó÷ àðãîíîâîãî ëàçåðà ìîùíîñòüþ
P0 ~ 1 Âò íàïðàâëÿåòñÿ íà êþâåòó ñî ñïèðòîì, ïîäêðàøåííûì îðãàíè÷åñêèì
êðàñèòåëåì. Ýòî äåëàåòñÿ äëÿ óâåëè÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà ïîãëîùåíèÿ ðàñòâîðà.
Íà ðèñ. 24.1, à, á öâ. âêë. ïîêàçàí äåôîêóñèðîâàííûé ïó÷îê àðãîíîâîãî ëàçåðà ïðè ìîùíîñòè P0 = 0,5 Âò (ñì. ðèñ. 24.1, à) è ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòè 1Âò
(ñì. ðèñ. 24.1, á ), íàáëþäàåìûé â çîíå Ôðàóíãîôåðà.
 äàëüíåì ïîëå ïó÷îê ïðèîáðåòàåò íåëèíåéíóþ ðàñõîäèìîñòü Jíë, â íåñêîëüêî
ðàç ïðåâûøàþùóþ äèôðàêöèîííóþ JD. Îöåíèòü ýòó ðàñõîäèìîñòü ìîæíî, âîñïîëüçîâàâøèñü ïðîñòûìè ðàññóæäåíèÿìè.
283
Ïóñòü ãàóññîâ ïó÷îê ñ ïðîôèëåì èíòåíñèâíîñòè I(r ) = I0 exp(-2r 2/r02) íàïðàâëÿåòñÿ â êþâåòó, çàïîëíåííóþ æèäêîñòüþ ñ êîýôôèöèåíòîì ïîãëîùåíèÿ a (ðèñ. 24.1).
 ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ðàäèàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû T(r) ïîëó÷àåòÐèñ. 24.1
ñÿ èç óðàâíåíèÿ òåïëîâîãî áàëàíñà äëÿ
íåêîòîðîãî ìûñëåííî âûäåëåííîãî
öèëèíäðè÷åñêîãî îáúåìà ñðåäû ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà r è äëèíîé l > r :
-2prl ¿ ò
r
æ 2r ¢ 2 ö
dÒ
= al ò I 0 exp ç - 2 ÷ 2pr ¢dr ¢.
dr
è r0 ø
0
(24.3)
Âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè îòðàæàåò ïîòîê òåïëà ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü
öèëèíäðà ïëîùàäüþ 2prl, æò — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè. Ýòîò ïîòîê
ðàâåí ïîãëîùåííîé öèëèíäðè÷åñêèì îáúåìîì ÷àñòè ìîùíîñòè ïó÷êà (ïîòîêîì òåïëà ÷åðåç îñíîâàíèÿ óçêîãî öèëèíäðà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü).  ïðèîñåâîé
æ 2r ¢ 2 ö
2r ¢ 2
îáëàñòè exp ç - 2 ÷ » 1 - 2 . Äâàæäû èíòåãðèðóÿ (24.3), ïîëó÷àåì
r0
è r0 ø
aI 0 2
T (r ) = T (0) r .
(24.4)
4¿ ò
Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èìååò ïàðàáîëè÷åñêèé ïðîôèëü
aI 0 n ò 2
r .
(24.5)
4¿ ò
Äâà ïàðàëëåëüíûõ ñâåòîâûõ ïó÷êà, óäàëåííûõ îò îñè íà ðàññòîÿíèÿ r0
è r0 + dr, ïîêàçàííûå íà ðèñ. 24.1, ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ êþâåòû ïðèîáðåòóò ðàçíîñòü
õîäà
n(r ) = n0 -
D=-
alI 0 nò
alI 0 nò
éë(r0 + dr ) 2 - r0 2 ùû » r0 dr .
4¿ ò
4¿ ò
(24.6)
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî dr = r0.
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ëó÷åé ïîä óãëîì Jíë ýòà ðàçíîñòü õîäà äîëæíà áûòü
ñêîìïåíñèðîâàíà:
-
alI 0 nò
r0 dr - J íë dr = 0.
4¿ ò
(24.7)
Îòñþäà
J íë =
alI 0 |nò |r0
.
2¿ ò
(24.8)
Íåëèíåéíàÿ ðàñõîäèìîñòü óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè âîçðàñòàíèè èíòåíñèâíîñòè
ïó÷êà.  òî÷êå Fíë áóäåò íàõîäèòüñÿ ôîêóñ îòðèöàòåëüíîé íåëèíåéíîé òåïëîâîé ëèíçû, êîòîðûé ïðèáëèæàåòñÿ ê ëèíçå ñ ðîñòîì èíòåíñèâíîñòè ñâåòà.
Íåëèíåéíàÿ ðàñõîäèìîñòü ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé äèôðàêöèîííîé JD = l(pr0),
åñëè èíòåíñèâíîñòü óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
alI êð |nò |r0
l
=
.
pr0
2¿ ò
284
(24.9)
Ïðè ýòîì ìîùíîñòü ïó÷êà ðàâíà
Ð êð =
I êð pr02
l¿ ò
=
.
2
|nò |al
(24.10)
Âåëè÷èíà Pêð íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé ìîùíîñòüþ òåïëîâîé äåôîêóñèðîâêè.
Òàêèì îáðàçîì, íåëèíåéíàÿ ðàñõîäèìîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ïðåâûøåíèåì ìîùíîñòè ïó÷êà íàä êðèòè÷åñêîé:
J íë = J D
Ð0
.
Ð êð
(24.11)
Åñëè ñðåäà ôîêóñèðóþùàÿ, òî ôîêóñèðîâêà ïó÷êà ïðîèñõîäèò ïðè P0 > Pêð.
Êðèòè÷åñêàÿ ìîùíîñòü ó îïèñàííûõ òåïëîâûõ ÿâëåíèé çíà÷èòåëüíî ìåíüøå, ÷åì â ñðåäàõ ñ íåëèíåéíîñòÿìè êåððîâñêîãî òèïà.  ðÿäå ñëó÷àåâ åå âåëè÷èíà ìîæåò ñîñòàâëÿòü äåñÿòêè ìèëëèâàòò. Ïîýòîìó òåïëîâûå íåëèíåéíûå ýôôåêòû ñîïðîâîæäàþò áîëüøîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ îïòè÷åñêèõ ÿâëåíèé äàæå ïðè
íåáîëüøèõ ìîùíîñòÿõ.
Òåïëîâàÿ íåëèíåéíîñòü îáëàäàåò ñðàâíèòåëüíî áîëüøèì âðåìåíåì ðåëàêñàöèè tò ~ r02/cò (cò = æò/rcð — êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè ñðåäû). Ýòî
âðåìÿ íåîáõîäèìî äëÿ óñòàíîâëåíèÿ òåìïåðàòóðíîãî ïðîôèëÿ â êàíàëå ïó÷êà.
 îïèñàííîì îïûòå ñ äåôîêóñèðîâêîé àðãîíîâîãî ëàçåðà êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè ñïèðòà cò = 7,2 × 10-4 cì2 × ñ-1 è ïðè r0 = 0,1 ñì âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ tò = r02/(4cò) » 3,5 ñ.
Îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå âîçíèêíîâåíèå ñ íåêîòîðûì çàïàçäûâàíèåì
(ïîñëå ðàçâèâøåéñÿ çà âðåìÿ ïîðÿäêà 1 ñ äåôîêóñèðîâêè) îòêëîíåíèÿ âíèç
è èñêàæåíèÿ ãîðèçîíòàëüíîãî ñâåòîâîãî ïó÷êà (ñì. ðèñ. 24.1, â öâ. âêë.). Ïðè
ýòîì åãî ïðîôèëü ñòàíîâèòñÿ íà ýêðàíå ñåðïîâèäíûì: ïðèîñåâàÿ ÷àñòü ïó÷êà
îòêëîíèëàñü âíèç áîëüøå, ÷åì ïåðèôåðèéíûå îáëàñòè. Ýòî ïðîèñõîäèò èç-çà
ïîÿâëåíèÿ âîñõîäÿùèõ êîíâåêòèâíûõ ïîòîêîâ æèäêîñòè, èñêàæàþùèõ òåìïåðàòóðíûé ïðîôèëü, à çíà÷èò, è òåïëîâóþ ëèíçó. Ïîäîáíûì îáðàçîì áîêîâûå
âåòðû ìîãóò îòêëîíÿòü ïó÷îê â àòìîñôåðå â íàïðàâëåíèè «íà âåòåð».
 ïðîòÿæåííîé ñðåäå äåôîêóñèðîâêà ïðîèñõîäèò íà ôîíå äèôðàêöèè è ïîëíàÿ ðàñõîäèìîñòü J â äàëüíåì ïîëå îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé
J = JD
Ð0
+ 1.
Ð êð
(24.12)
Ïðè ýòîì êðèòè÷åñêàÿ ìîùíîñòü
Ð êð =
l¿ ò
,
nò (1 - å -aL0 )
(24.13)
ãäå L0 = pr02/l — äèôðàêöèîííàÿ äëèíà ãàóññîâà ïó÷êà.
Íàïðèìåð, â àòìîñôåðå, ó êîòîðîé n ò < 0 (~ -10 -4 K-1), P êð ~ 1 êÂò,
äåôîêóñèðîâêà âîçìîæíà ëèøü äëÿ ìîùíûõ ïó÷êîâ. Ïðè íàëè÷èè áîêîâîãî
âåòðà òðàåêòîðèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïó÷êà èñêðèâëÿåòñÿ â íàâåòðåííóþ ñòîðîíó, à åãî ïðîôèëü ïðèíèìàåò õàðàêòåðíóþ ñåðïîâèäíóþ ôîðìó.
Äëÿ èìïóëüñíîãî èçëó÷åíèÿ äëèòåëüíîñòüþ t0 < tò òåìïåðàòóðà íå óñïåâàåò
äîñòè÷ü ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è òåïëîâîå ñàìîâîçäåéñòâèå ñòàíîâèòñÿ íåñòàöèîíàðíûì. Êðèòè÷åñêîé âåëè÷èíîé áóäåò ýíåðãèÿ èìïóëüñà: Wêð = Pêðtò.
285
Îíà íå çàâèñèò îò òåïëîïðîâîäíîñòè ñðåäû, ïîñêîëüêó â òå÷åíèå äåéñòâèÿ
èìïóëüñà ðîëü òåïëîïðîâîäíîñòè ïðåíåáðåæèìî ìàëà.
Âûíóæäåííîå ðàññåÿíèå Ìàíäåëüøòàìà — Áðèëëþýíà. Ïðè ðàññåÿíèè ìîùíîé ñâåòîâîé âîëíû íà ãèïåðçâóêîâûõ âîëíàõ âîçìîæíî ïîÿâëåíèå îáðàòíîãî
âîçäåéñòâèÿ ñâåòà íà áåãóùóþ âîëíó ïëîòíîñòè (21.41), ñîïðîâîæäàþùååñÿ
óâåëè÷åíèåì åå àìïëèòóäû (Dr)0. Ýòî âîçäåéñòâèå ïðîèñõîäèò èç-çà ýëåêòðîñòðèêöèîííîé äåôîðìàöèè äèýëåêòðèêîâ, ïðîïîðöèîíàëüíîé E 2.  èçîòðîïíûõ ãàçàõ è æèäêîñòÿõ îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå ïëîòíîñòè
Dr b ò æ ¶e ö 2
=
r
Å = gÅ 2 .
r
2p èç ¶r ø÷
(24.14)
Çäåñü bò — èçîòåðìè÷åñêàÿ ñæèìàåìîñòü. Äëÿ îðãàíè÷åñêèõ æèäêîñòåé (íèòðîáåíçîë, òîëóîë, êñèëîë) g ~ 10-12 ñì2/Â2.
Ïîñêîëüêó â ðåçóëüòàòå ñïîíòàííîãî ðàññåÿíèÿ Ìàíäåëüøòàìà — Áðèëëþýíà ïîÿâëÿþòñÿ ñòîêñîâà íà ÷àñòîòå w0 - W è àíòèñòîêñîâà íà ÷àñòîòå w0 + W
êîìïîíåíòû (ñì. (21.40)), òî E 2 â ïðàâîé ÷àñòè (24.14) áóäåò èìåòü ãàðìîíè÷åñêóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñ ÷àñòîòîé W. Ýòà ñîñòàâëÿþùàÿ è áóäåò óñèëèâàòü êîëåáàíèÿ ïëîòíîñòè ó áóäóùåé âîëíû, ó÷àñòâóþùåé â ðàññåÿíèè.  ðåçóëüòàòå óñèëÿòñÿ ðàññåÿííûå êîìïîíåíòû è ò. ä.
Òàêîå ðàññåÿíèå íàçûâàåòñÿ âûíóæäåííûì ðàññåÿíèåì Ìàíäåëüøòàìà —Áðèëëþýíà (ÂÐÌÁ). Ïðè âûíóæäåííîì ðàññåÿíèè ïîÿâëÿþòñÿ èíòåíñèâíûå êîìïîíåíòû ðàññåÿííîãî ñâåòà è ãåíåðèðóþòñÿ ãèïåðçâóêîâûå âîëíû â ðàññåèâàþùåé ñðåäå. Åñòåñòâåííî, ÷òî óñèëåíèå ïðîèñõîäèò ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
âåêòîðíîãî ñèíõðîíèçìà (21.44). Ñ ïîìîùüþ ëàçåðà óäàåòñÿ âîçáóæäàòü çâóêîâûå âîëíû ñ ìîùíîñòüþ äî 10 êÂò â æèäêîñòÿõ è òâåðäûõ òåëàõ.
Âûíóæäåííîå êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå ñâåòà. Íà ðèñ. 24.2 öâ. âêë. ïîêàçàí
ýêñïåðèìåíò, â êîòîðîì çåëåíûé ëó÷ ëàçåðà íàïðàâëÿåòñÿ íà êþâåòó ñ æèäêîñòüþ. Íà âûõîäå èç êþâåòû ïîÿâëÿåòñÿ ëó÷ êðàñíîãî öâåòà, êîòîðûé ìîæåò
ëåãêî ôèêñèðîâàòüñÿ âèçóàëüíî.
Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ âûíóæäåííûì êîìáèíàöèîííûì ðàññåÿíèåì ñâåòà
(ÂÊÐ).  îòëè÷èå îò ñïîíòàííîãî êîìáèíàöèîííîãî ðàññåÿíèÿ ñâåòà îíî õàðàêòåðèçóåòñÿ äîñòàòî÷íî âûñîêîé èíòåíñèâíîñòüþ ðàññåÿííûõ êîìïîíåíò.
Ïðè ïåðâîíà÷àëüíî ñïîíòàííîì êîìáèíàöèîííîì ðàññåÿíèè âûñîêîèíòåíñèâíîé âîëíû ìîæåò ïðîèñõîäèòü óñèëåíèå ìîëåêóëÿðíûõ êîëåáàíèé. Îáîáùåííóþ ñèëó f (t) â óðàâíåíèè (22.13) ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Äèïîëüíûé ìîìåíò ìîëåêóëû p = e0a(x)E âçàèìîäåéñòâóåò ñ ïîëåì E, è ýíåð1
ãèÿ ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ W = - ðÅ . Ñëåäîâàòåëüíî,
2
f (t ) = -
¶W
1 dà 2
Å (t ).
= e0
¶x
2 dx
(24.15)
Ïîëå E â ñðåäå ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé òðåõ âîëí: ïàäàþùåé E0, ñòîêñîâîé
Ec è àíòèñòîêñîâîé Eac:
E = E 0 cos(w 0t - k 0 × r) + E c cos(w c t - k c × r + j c ) + E ac cos(w ac t - k ac × r + j ac ). (24.16)
Ïîäñòàâèì (24.16) â (24.15) è ñîõðàíèì ëèøü ôóðüå-ñîñòàâëÿþùèå ñèëû
f (t) ñ ÷àñòîòàìè wac - w0 è w0 - wc. Åñëè ýòè ÷àñòîòû ñîâïàäàþò ñ ðåçîíàíñíîé
286
÷àñòîòîé ìîëåêóëû W0, òî ðàñêà÷èâàíèå ìîëåêóëû áóäåò ðåçîíàíñíûì, à íîðìàëüíàÿ êîîðäèíàòà áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïî çàêîíó
x=
da/d x
{Å 0Å c sin [W 0t - (k 0 - k c )r + jc ] + Å 0 Å ac sin [W 0t + (k 0 - k ac )r + jac ]} . (24.17)
4d M W 0
Ïî ñóòè, ýòî âûðàæåíèå îïèñûâàåò äâå âîëíû ìîëåêóëÿðíûõ êîëåáàíèé,
âîçáóæäåííûõ â ñðåäå.
Äèïîëüíûé ìîìåíò ìîëåêóëû áóäåò ðàâåí
ð = e 0à(x)Å 0 cos(w 0t - k 0 × r ) = e 0
dà
xÅ 0 cos(w 0t - k × r ).
dx
(24.18)
Åñëè ïîäñòàâèòü ñþäà âûðàæåíèå äëÿ x èç (24.17), òî ìîæíî âèäåòü, ÷òî
äèïîëüíûé ìîìåíò îñöèëëèðóåò íà ÷àñòîòàõ w0 + W0 è w0 - W0, èçëó÷àÿ ñîîòâåòñòâóþùèå âîëíû.
Âîñïîëüçîâàâøèñü êëàññè÷åñêîé òåîðèåé èçëó÷åíèÿ ñèñòåìû îñöèëëèðóþùèõ äèïîëåé â ñðåäå, ìîæíî ðàññ÷èòàòü íàïðàâëåíèÿ, ïî êîòîðûì ðàññåÿííûå
âîëíû áóäóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñ óñèëåíèåì. Ýòè íàïðàâëåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèþ âåêòîðíîãî ñèíõðîíèçìà
2k0 = kc + kac.
(24.19)
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äèàãðàììà èçîáðàæåíà íà ðèñ. 24.2.
Ñòîêñîâû êîìïîíåíòû ðàññåèâàþòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì â íàïðàâëåíèè ïàäàþùåé âîëíû. Ýòî ìîæíî íàáëþäàòü â ëåêöèîííîì ýêñïåðèìåíòå.  íåì èçëó÷åíèå
âòîðîé ãàðìîíèêè íåîäèìîâîãî ëàçåðà ãåíåðèðóåòñÿ â êðèñòàëëå KDP è íàïðàâëÿåòñÿ íà ïðîçðà÷íûé ñîñóä Äüþàðà ñ æèäêèì àçîòîì. Ðàññåÿíèå ïðîèñõîäèò
íà ïîëíîñèììåòðè÷íîì êîëåáàíèè ìîëåêóëû N2 ñ ÷àñòîòîé W0/2p = 7 × 1013 Ãö.
Ïðè äëèíå âîëíû íàêà÷êè l0 = 0,53 ìêì åå ÷àñòîòà n0 = c/l = 5,6 × 1014 Ãö.
×àñòîòà ñòîêñîâîé êîìïîíåíòû nc = n0 - W0/2p = 4,9 × 1014 Ãö, äëèíà âîëíû
lc = 0,61 ìêì ñîîòâåòñòâóåò îðàíæåâîé îáëàñòè ñïåêòðà. Ïîýòîìó íà ýêðàíå,
óñòàíîâëåííîì ïîçàäè ñîñóäà, íàáëþäàåòñÿ ÿðêîå îðàíæåâîå ïÿòíî â ìîìåíò
ëàçåðíîé âñïûøêè. Èíòåíñèâíîñòü ñòîêñîâîé êîìïîíåíòû ñîèçìåðèìà ñ èíòåíñèâíîñòüþ âîëíû âòîðîé ãàðìîíèêè.
Ðàññ÷èòàåì óãîë J, ïîä êîòîðûì ðàññåèâàåòñÿ àíòèñòîêñîâà êîìïîíåíòà.
Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì âîëíîâûå ÷èñëà â âèäå
w 0 n0
w - W0
w + W0
; kc = 0
(n0 - Dnc ); kac = 0
(n0 + Dnac )
c
ñ
c
è çàïèøåì ðàâåíñòâî
k0 =
2
- 4k 0 kac cos J.
kc2 = 4k 02 + kac
(24.20)
(24.21)
Ïîäñòàâëÿÿ (24.20) â (24.21) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè J = 1
cos 2 J » 1 -
J2
;
2
W0
= 1;
w0
Dnc
Dnac
=1 è
= 1,
n0
n0
íàõîäèì
J2 »
1 w 0 - W0
(Dnac - Dnc ).
n0 w 0 + W 0
(24.22)
kac
kc
J
k0
2k0
Ðèñ. 24.2
287
Òàêèì îáðàçîì, àíòèñòîêñîâà êîìïîíåíòà ðàññåèâàåòñÿ âäîëü êîíóñà ñ óãëîì J ïðè âåðøèíå. ×åì âûøå ÷àñòîòà ðàññåÿííîãî ñâåòà, òåì áîëüøå ðàçíîñòü
(Dnac - Dnc) è óãîë J.
Íà ðèñ. 24.3 öâ. âêë. ñõåìàòè÷íî ïîêàçàíî âûíóæäåííîå êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå â æèäêîñòè èçëó÷åíèÿ ðóáèíîâîãî ëàçåðà (l0 = 6 943 D). Äëÿ óâåëè÷åíèÿ
èíòåíñèâíîñòè ñâåòîâîé ïó÷îê ñ ïîìîùüþ ñîáèðàþùåé ëèíçû ôîêóñèðóåòñÿ
â ñåðåäèíó êþâåòû ñ ðàññåèâàþùåé æèäêîñòüþ. Ñòîêñîâû êîìïîíåíòû ëåæàò
â ÈÊ-îáëàñòè ñïåêòðà è ãëàçîì íå âèäíû. Â ìîìåíò âñïûøêè ðóáèíîâîãî ëàçåðà
íà ýêðàíå áóäåò íàáëþäàòüñÿ îêðàøåííîå ñâåòîâîå ïÿòíî, ðàñïðåäåëåíèå îêðàñêè êîòîðîãî âäîëü ðàäèóñà ïîäòâåðæäàåò ñïðàâåäëèâîñòü (24.22).
Âûñîêàÿ èíòåíñèâíîñòü ðàññåÿííûõ êîìïîíåíò ïðè ÂÊÐ ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü ðàçíîîáðàçíûå ïðåîáðàçîâàòåëè ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ. Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëà ñïåêòðîñêîïèÿ êîãåðåíòíîãî àíòèñòîêñîâà ðàññåÿíèÿ ñâåòà
(ÊÀÐÑ). Åå öåëü — èññëåäîâàíèå ñïåêòðîâ ìîëåêóëÿðíûõ êîëåáàíèé. Ìîëåêóëÿðíûå êîëåáàíèÿ íà ÷àñòîòå W0 âîçáóæäàþò äâóìÿ âîëíàìè ñ ÷àñòîòàìè w1
è w2 = w1 + W0, à òðåòüÿ (ïðîáíàÿ) âîëíà ïðåòåðïåâàåò êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå ñâåòà íà íàâåäåííîé âîëíå ìîëåêóëÿðíûõ êîëåáàíèé. Èçìåíÿÿ âðåìÿ çàäåðæêè ìåæäó èìïóëüñàìè, âîçáóæäàþùèìè êîëåáàíèÿ, è ïðîáíûì èìïóëüñîì, ìîæíî èññëåäîâàòü äèíàìèêó çàòóõàíèÿ ìîëåêóëÿðíûõ êîëåáàíèé.
Ãåíåðàöèÿ ñóïåðêîíòèíóóìà. Êàê îòìå÷àëîñü â ëåêöèè 22, â ìèêðîñòðóêòóðèðîâàííûõ âîëîêíàõ ìîæíî ïîëó÷èòü ãåíåðàöèþ ñïëîøíîãî ñïåêòðà, èëè ñóïåðêîíòèíóóìà.
 ýêñïåðèìåíòå, âûïîëíåííîì â ëàáîðàòîðèè ôîòîíèêè è íåëèíåéíîé ñïåêòðîñêîïèè êàôåäðû îáùåé ôèçèêè è âîëíîâûõ ïðîöåññîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà, èìïóëüñ èçëó÷åíèÿ òèòàí-ñàïôèðîâîãî
ëàçåðà ñ äëèíîé âîëíû 800 íì (ñì. äàëåå) íàïðàâëÿëñÿ â îòðåçîê ìèêðîñòðóêòóðèðîâàííîãî êâàðöåâîãî âîëîêîííîãî ñâåòîâîäà, íà âûõîäå êîòîðîãî íàáëþäàëñÿ ñïëîøíîé ñïåêòð (ðèñ. 24.4 öâ. âêë.).
Äëÿ îáúÿñíåíèÿ ýòîãî ÿâëåíèÿ ïðèìåì âî âíèìàíèå, ÷òî êâàðöåâîå ñòåêëî
îáëàäàåò êóáè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ. Òîãäà áóäåò âîçíèêàòü ñàìîìîäóëÿöèÿ èìïóëüñà, ïðèâîäÿùàÿ ê ðàñøèðåíèþ åãî ñïåêòðà. Êðîìå òîãî, áóäåò ïðîèñõîäèòü âûíóæäåííîå êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå ñâåòà, ïðè êîòîðîì ïîÿâëÿþòñÿ
ñòîêñîâû êîìïîíåíòû ìåíüøèõ ÷àñòîò. Èç-çà ëîêàëüíîé êîíöåíòðàöèè ýíåðãèè ïàäàþùåé âîëíû, îáóñëîâëåííîé êàê ìèêðîñòðóêòóðîé âîëîêíà, òàê
è êîìïåíñàöèåé äèñïåðñèîííîãî ðàñïëûâàíèÿ èìïóëüñà, èíòåíñèâíîñòü ðàññåÿííûõ êîìïîíåíò ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî âûñîêîé. Ïîýòîìó ìîæåò ïðîèñõîäèòü è ïîâòîðíîå ðàññåÿíèå ñòîêñîâûõ êîìïîíåíò, ïðè êîòîðîì ïîÿâëÿþòñÿ
âîëíû ñ åùå áîëåå íèçêèìè ÷àñòîòàìè è ò. ä.
Ïî ñóùåñòâó îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 24.4 öâ. âêë., ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èìïóëüñíûé «ëàçåð áåëîãî ñâåòà». Íà âûõîäå òàêîãî ëàçåðà ïîÿâëÿåòñÿ ÿðêàÿ âñïûøêà áåëîãî ñâåòà, èíòåíñèâíîñòü êîòîðîãî íà ìíîãî ïîðÿäêîâ
ïðåâîñõîäèò èíòåíñèâíîñòü äðóãèõ èñòî÷íèêîâ áåëîãî ñâåòà. Èñïîëüçîâàíèå êàâû÷åê â íàçâàíèè ëàçåðà ïîä÷åðêèâàåò íåêîòîðóþ åãî óñëîâíîñòü: èíòåíñèâíîñòü èìïóëüñà âåëèêà, à î ìîíîõðîìàòè÷íîñòè ñâåòà ãîâîðèòü íå ïðèõîäèòñÿ.
Ãåíåðàöèÿ èìïóëüñîâ ïèêîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè. Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ãåíåðàöèè ñâåòîâîãî èìïóëüñà ëàçåðîì, â ðåçîíàòîð êîòîðîãî ïîìåùåíà êþâåòà
ñ æèäêîñòüþ, êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ a êîòîðîé çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè.
Îí çàäàåòñÿ òåì æå âûðàæåíèåì, ÷òî è êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ (7.19)
288
a=
a0
.
1 + I I íàñ
(24.23)
Ñ óâåëè÷åíèåì èíòåíñèâíîñòè êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ óìåíüøàåòñÿ, ïîñêîëüêó ðàçíîñòü çàñåëåííîñòåé n2 - n1 ® 0. Êþâåòà ñ íåëèíåéíûì ïîãëîòèòåëåì íàçûâàåòñÿ ïðîñâåòëÿþùèìcÿ ôèëüòðîì. Îáû÷íî â êà÷åñòâå òàêèõ ïîãëîòèòåëåé èñïîëüçóþò ðàñòâîðû ðàçíîîáðàçíûõ êðàñèòåëåé.
Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ðåçîíàòîðå ëàçåðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ N ïðîäîëüíûõ ìîä, ÷àñòîòû êîòîðûõ ïîïàäàþò â ïîëîñó óñèëåíèÿ øèðèíîé
Dnóñ.
Ýòè ìîäû, âîçíèêàþùèå ïðè ñïîíòàííîì èçëó÷åíèè, èìåþò ñëó÷àéíûå àìïëèòóäû è íà÷àëüíûå ôàçû. Ïîëå â ëþáîé òî÷êå ðåçîíàòîðà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Å (t ) =
N
å Am cos[2pnt + (m - 1)dnt + j m ],
m =1
(24.24)
ãäå n — ÷àñòîòà íèçøåé ìîäû; dn = c/2L — ìåæìîäîâàÿ ÷àñòîòà (ñì. (7.11)); N =
= Dnóñ /dn — ÷èñëî óñèëèâàåìûõ ìîä.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 âíóòðè êþâåòû ïðîèçîøåë ñëó÷àéíûé âñïëåñê èíòåíñèâíîñòè I = E 2. Ýòîò ñëó÷àéíûé èìïóëüñ ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ÷åðåç íåëèíåéíûé ôèëüòð èñïûòûâàåò ìåíüøåå ïîãëîùåíèå, ÷åì
îñòàëüíûå ôðàãìåíòû âîëíû â ðåçîíàòîðå (ðèñ. 24.3, à).
Ïðè êàæäîì ïðîõîäå ðåçîíàòîðà (ðèñ. 24.3, á, â) ýòîò èìïóëüñ áóäåò óñèëèâàòüñÿ, è çàòåì ÷àñòü åãî ýíåðãèè ñ èíòåðâàëîì t = 2L/c áóäåò âûõîäèòü
èç ðåçîíàòîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ëàçåð áóäåò ãåíåðèðîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìïóëüñîâ, äëèòåëüíîñòü êàæäîãî èç êîòîðûõ t0 ~ 1/Dnóñ.
Íà ñïåêòðàëüíîì ÿçûêå ôîðìèðîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ îáóñëîâëåíî ñèíõðîíèçàöèåé ìîä ëàçåðà. Åñëè ïîëîæèòü â (24.24) Am = A0, jm = j0, òî
sin N pdnt
cos 2pnt .
sin pdnt
Çäåñü äëÿ ïðîñòîòû ïðèíÿòî j0 = 0. Òîãäà èíòåíñèâíîñòü
Å (t ) = A0
(24.25)
2
é sin N pdnt ù
I (t ) = I 0 ê
.
ë sin pdnt úû
(24.26)
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè I(t) ïîêàçàí íà ðèñ. 24.4.
Ðèñ. 24.3
Ðèñ. 24.4
289
Ïåðèîä ñëåäîâàíèÿ èìïóëüñîâ t = 2L/c, à äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà t0 îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ Npdnt0 = p. Îòñþäà
t0 =
1
1
=
.
N dn Dn óñ
(24.27)
Äëÿ òâåðäîòåëüíûõ ëàçåðîâ øèðèíà ïîëîñû óñèëåíèÿ Dnóñ /c ~ 102 ñì-1. Ïîýòîìó äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà t0 ~ 0,3 × 10-12 ñ = 0,3 ïñ. Ðåàëüíûå äëèòåëüíîñòè
áîëüøå, ïîñêîëüêó íå óäàåòñÿ äîñòè÷ü ïîëíîé ñèíõðîíèçàöèè âñåõ ìîä, ïîïàäàþùèõ â ïîëîñó óñèëåíèÿ.
Ðàññìîòðåííàÿ ñèíõðîíèçàöèÿ ìîä íàçûâàåòñÿ ïàññèâíîé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà óìåñòíî ïðèâåñòè òèïè÷íûå òåõíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðîñòðàíåííîãî YAG:ND3+-ëàçåðà ñ ïàññèâíîé ñèíõðîíèçàöèåé ìîä.
Ïðè íåïðåðûâíîé íàêà÷êå îí ãåíåðèðóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïèêîñåêóíäíûõ èìïóëüñîâ. Ýíåðãèÿ åäèíè÷íîãî èìïóëüñà W £ 1 ìÄæ, äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà t0 ~ 10 ïñ. Ïèêîâàÿ ìîùíîñòü èìïóëüñà P » W/t0 ~ 108 Âò.
Äëÿ ïàññèâíîé ñèíõðîíèçàöèè ìîä â òâåðäîòåëüíûõ ëàçåðàõ ïðèìåíÿåòñÿ
òàêæå êåððîâñêàÿ ëèíçà. Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåëèíåéíóþ ñàìîôîêóñèðóþùóþ ñðåäó (n2 > 0), â êîòîðîé ïðîèñõîäèò êåððîâñêàÿ ñàìîôîêóñèðîâêà. Â âîëîêîííûõ ëàçåðàõ (ñì. äàëåå) èñïîëüçóåòñÿ òàêæå íåëèíåéíîå (çàâèñÿùåå
îò èíòåíñèâíîñòè) âðàùåíèå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè.
Ïðè èìïóëüñíîé íàêà÷êå ãåíåðèðóþòñÿ èìïóëüñû íàíîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïèêîñåêóíäíûõ èìïóëüñîâ (öóãà), ñëåäóþùèõ ñ èíòåðâàëîì t = 2L/c.
Áîëüøåé ñòàáèëüíîñòè è óâåëè÷åíèÿ ÷àñòîòû ïîâòîðåíèÿ öóãîâ äîáèâàþòñÿ
ñ èñïîëüçîâàíèåì àêòèâíîé ñèíõðîíèçàöèè ìîä. Äëÿ ýòîãî âíóòðü ðåçîíàòîðà
ëàçåðà âáëèçè îäíîãî èç åãî çåðêàë ïîìåùàþò àìïëèòóäíûé èëè ôàçîâûé ìîäóëÿòîð (ðèñ. 24.5). ×àñòîòà ìîäóëÿöèè äîëæíà áûòü ðàâíà ìåæìîäîâîé ÷àñòîòå
dn = c/2L.
Àìïëèòóäíàÿ ìîäóëÿöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ ýëåêòðîîïòè÷åñêèì èëè àêóñòîîïòè÷åñêèì çàòâîðîì. Ýëåêòðîîïòè÷åñêèé çàòâîð ñîñòîèò èç ÿ÷åéêè Êåððà èëè
Ïîêêåëüñà, ïîìåùåííîé ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè ïîëÿðèçàòîðàìè. Àêóñòîîïòè÷åñêèé ìîäóëÿòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êðèñòàëë, â êîòîðîì âîçáóæäàåòñÿ
ñòîÿ÷àÿ àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà ÷àñòîòîé fçâ = dn = c/2L.
Óñòàíîâëåíèå ñèíõðîíèçàöèè ïðè ïðèìåíåíèè ìîäóëÿòîðîâ ïðîèñõîäèò
ïîñëåäîâàòåëüíî. Ñíà÷àëà ãåíåðèðóåòñÿ ìîäà â ñåðåäèíå ëèíèè óñèëåíèÿ (ñì.
ðèñ. 7.4). Åñëè ÷àñòîòà ýòîé ìîäû ðàâíà n0, òî ïðè ìîäóëÿöèè èíòåíñèâíîñòè ñ
÷àñòîòîé dn âîçíèêàþò äâå ñîñòàâëÿþùèå ñ ÷àñòîòàìè n = n0 ± dn (ñì. ëåêöèþ 13).
Ýòè ñîñòàâëÿþùèå, ÿâëÿÿñü ïðîäîëüíûìè ìîäàìè ðåçîíàòîðà, ëåæàò âíóòðè
ïîëîñû óñèëåíèÿ øèðèíîé Dnóñ è, ñëåäîâàòåëüíî, áóäóò óñèëèâàòüñÿ. Ôàçû
ýòèõ ìîä áóäóò ñâÿçàíû ñ ôàçîé ìîäû ÷àñòîòû n0. Çàòåì èç-çà ìîäóëÿöèè èíòåíñèâíîñòè âîçíèêøåé ïàðû ìîä ïîÿâÿòñÿ
åùå äâå ìîäû ñ ÷àñòîòàìè n = n0 ± 2dn,
êîòîðûå òàêæå áóäóò óñèëèâàòüñÿ è ò. ä.
Ïîäîáíûì îáðàçîì ïðîèñõîäèò
ñèíõðîíèçàöèÿ ìîä è ïðè ôàçîâîé ìîäóëÿöèè. Òàêóþ ìîäóëÿöèþ îñóùåñòâëÿþò
ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîîïòè÷åñêîé ÿ÷åéêè
áåç ïîëÿðèçàòîðîâ.
Ðèñ. 24.5
290
Íàïðèìåð, YAG:Nd3+-ëàçåð ñ àêóñòîîïòè÷åñêèì ìîäóëÿòîðîì ïðè èìïóëüñíîé íàêà÷êå ãåíåðèðóåò öóã ïèêîñåêóíäíûõ èìïóëüñîâ ñ ÷àñòîòîé ïîâòîðåíèÿ
äî ~10 êÃö.  êàæäîì öóãå íàõîäèòñÿ ïîðÿäêà äâóõ-òðåõ äåñÿòêîâ èìïóëüñîâ
ñ äëèòåëüíîñòüþ êàæäîãî íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ïèêîñåêóíä è ïèêîâîé ìîùíîñòüþ íåñêîëüêî ìåãàâàòò.
Íà ðèñ. 24.5 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíà ôîòîãðàôèÿ ïèêîñåêóíäíîãî èìïóëüñà ïðè
åãî ðàñïðîñòðàíåíèè â âîäå, ñäåëàííàÿ â 1971 ã. Ì. Äþãå â ëàáîðàòîðèè «Áåëë
òåëåôîí» (ÑØÀ). Îïûò áûë âûïîëíåí ñ èñïîëüçîâàíèåì íåîäèìîâîãî ëàçåðà,
ãåíåðèðóþùåãî èíôðàêðàñíûé èìïóëüñ (l = 1,06 ìêì) äëèòåëüíîñòüþ îêîëî
10 ïñ, êîòîðûé äåëèòåëüíîé ïëàñòèíêîé ðàçäåëÿëñÿ íà äâà èìïóëüñà.
Ïåðâûé íàïðàâëÿëñÿ íà âûñîêîñêîðîñòíîé çàòâîð ôîòîàïïàðàòà, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ÿ÷åéêó Êåððà, ïîìåùåííóþ ìåæäó äâóìÿ ñêðåùåííûìè ïîëÿðîèäàìè (ñì. ëåêöèþ 20). Ýòîò çàòâîð îòêðûâàëñÿ â òå÷åíèå äåéñòâèÿ èìïóëüñà,
ò. å. â òå÷åíèå 10 ïñ.
Âòîðîé èìïóëüñ íàïðàâëÿëñÿ â íåëèíåéíûé êðèñòàëë, íà âûõîäå êîòîðîãî
ïîëó÷àëîñü èçëó÷åíèå âòîðîé ãàðìîíèêè ñ l = 0,53 ìêì. Çàòåì ýòîò óæå «çåëåíûé» èìïóëüñ ðàñïðîñòðàíÿëñÿ ñïðàâà íàëåâî â êþâåòå ñ âîäîé ñî ñêîðîñòüþ
îêîëî 0,22 ìì/ïñ. Íà êþâåòå íàíåñåí ìàñøòàá â ìèëëèìåòðàõ. Äëÿ ôèêñàöèè
èìïóëüñà (êàìåðîé ñáîêó) â âîäó äîáàâëÿëàñü êàïëÿ ìîëîêà ñ öåëüþ óñèëèòü
ðàññåÿíèå ñâåòà.
Ïðîòÿæåííîñòü èìïóëüñà â âîäå, åñëè áû îí íå äâèãàëñÿ, ñîñòàâëÿåò îêîëî
2,2 ìì. Çà âðåìÿ ýêñïîçèöèè îí ïðîõîäèò åùå ðàññòîÿíèå 2,2 ìì. Ïîýòîìó åãî
èçîáðàæåíèå ðàçìûòî è òîíêàÿ ñòðóêòóðà íå âèäíà.
Êðàñíîå ïÿòíî íà ôîòîãðàôèè — ýòî èçîáðàæåíèå, îñòàâëåííîå èíôðàêðàñíûì èìïóëüñîì íà ôîòîïëåíêå. Ýòîò èìïóëüñ èñïîëüçîâàëñÿ äëÿ îòêðûâàíèÿ çàòâîðà, ïîýòîìó îáà èìïóëüñà ñôîòîãðàôèðîâàíû îäíîâðåìåííî.
Ãåíåðàöèÿ ôåìòîñåêóíäíûõ èìïóëüñîâ. Ïîëó÷åíèå òàêèõ ñâåðõêîðîòêèõ èìïóëüñîâ ïîòðåáîâàëî êàê ïðèâëå÷åíèÿ íîâûõ ôèçè÷åñêèõ èäåé, òàê è ðåøåíèÿ
ðÿäà èíæåíåðíî-òåõíè÷åñêèõ ïðîáëåì. Ïðè äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà t = 30 ôñ
øèðèíà ëèíèè óñèëåíèÿ Dnóñ/c » 103 ñì-1.  òàêîì äèàïàçîíå ÷àñòîò íåîáõîäèìî
îáåñïå÷èòü ôàçèðîâêó îãðîìíîãî ÷èñëà ïðîäîëüíûõ ìîä: N ~ Dnóñ/dn ~ 105.
Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè â âîçäóõå, âñëåäñòâèå äèñïåðñèè, äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà óâåëè÷èâàåòñÿ â ïîëòîðà ðàçà íà ðàññòîÿíèè îêîëî 15 ì.  îïòè÷åñêè
ïðîçðà÷íûõ êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåäàõ ýòî ðàññòîÿíèå ñîêðàùàåòñÿ äî íåñêîëüêèõ
ñàíòèìåòðîâ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü îïòè÷åñêèå ýëåìåíòû
ñ êîíòðîëèðóåìûìè äèñïåðñèîííûìè ñâîéñòâàìè.
Îäèí èç âîçìîæíûõ ïóòåé ïîëó÷åíèÿ ñâåðõêîðîòêèõ èìïóëüñî⠗ ãåíåðàöèÿ èìïóëüñîâ ëàçåðàìè íà êðàñèòåëÿõ, íàêà÷èâàåìûìè ñèíõðîííî èìïóëüñíûìè ëàçåðàìè ïèêîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè. Ïåðèîä ñëåäîâàíèÿ èìïóëüñîâ
íàêà÷êè ðàâåí èëè êðàòåí âðåìåíè ïðîõîæäåíèÿ ãåíåðèðóåìûì èìïóëüñîì
ðåçîíàòîðà ëàçåðà íà êðàñèòåëå. Âûõîäíîå èçëó÷åíèå ýòîãî ëàçåðà ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìïóëüñîâ, ñëåäóþùèõ ñèíõðîííî ñ èìïóëüñàìè
íàêà÷êè.
 òèïè÷íûõ ñõåìàõ äëÿ íàêà÷êè èñïîëüçóåòñÿ âòîðàÿ ãàðìîíèêà (l = 530 íì)
èçëó÷åíèÿ YAG:ND3+-ëàçåðà ñ àêòèâíîé ñèíõðîíèçàöèåé ìîä. Ïåðèîä ñëåäîâàíèÿ èìïóëüñîâ íàêà÷êè äîëæåí ïðåâûøàòü âðåìÿ æèçíè âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ êðàñèòåëÿ t2 ~ 10-9 ñ (ñì. ëåêöèþ 7). Äèíàìèêà ôîðìèðîâàíèÿ ñâåðõêîðîòêîãî èìïóëüñà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 24.6.
291
I
Iн
G
G
tн
Gпор
0
G
Iн
I
t
а
G
Gпор
0
Iн
I
G
G
Gпор
t0
0
t
б
в
Ðèñ. 24.6
t
Ñïëîøíîé ëèíèåé ñëåâà ïîêàçàí èìïóëüñ
íàêà÷êè (ðèñ. 24.6), à ðÿäîì ñ íèì ïðàâåå —
óñèëèâàåìûé èìïóëüñ. Øòðèõîâîé ëèíèåé
èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ G. Ãîðèçîíòàëüíàÿ øòðèõîâàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ïîðîãîâîìó óñèëåíèþ Gïîð.
Ïðè ïåðâûõ ïðîõîäàõ ïî ðåçîíàòîðó
(ðèñ. 24.6, à), êîãäà óñèëåíèå ïðåâûøàåò
ïîòåðè â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, óñèëèâàåìûé èìïóëüñ äîñòàòî÷íî øèðîêèé. Ïðè óâåëè÷åíèè åãî èíòåíñèâíîñòè
(ðèñ. 24.6, á ) èç-çà ïîÿâëÿþùåãîñÿ íàñûùåíèÿ óñèëåíèÿ ýòîò ïðîìåæóòîê ñîê-ðàùàåòñÿ.
Äëèòåëüíîñòü ãåíåðèðóåìîãî èì-ïóëüñà çà ñ÷åò
ïðåèìóùåñòâåííî óñèëèâàþùåéñÿ ñåðåäèíû
èìïóëüñà óìåíüøàåòñÿ. Ýòî ñîêðàùåíèå
çàêàí÷èâàåòñÿ, è óñòàíàâëèâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûé ðåæèì (ðèñ. 24.6, â).
Êàê ïîêàçûâàþò ðàñ÷åòû, äëèòåëüíîñòü t0
èìïóëüñà ñâÿçàíà ñ äëèòåëüíîñòüþ tí èìïóëüñà íàêà÷êè ñîîòíîøåíèåì
t0 »
t ít 2 ,
(24.28)
ãäå t2 — âðåìÿ çàòóõàíèÿ ñâîáîäíîé ïîëÿðèçàöèè; äëÿ êðàñèòåëÿ t2 ~ 10 ôñ.
Äëÿ óñèëåíèÿ èìïóëüñà äëèòåëüíîñòü íàêà÷êè tí äîëæíà ïðåâûøàòü âðåìÿ
tð êîëåáàòåëüíîé ðåëàêñàöèè, çà êîòîðîå ìîëåêóëà êðàñèòåëÿ ïåðåõîäèò
íà íèæíèé ïîäóðîâåíü ñîñòîÿíèÿ 2 (ñì. ðèñ. 7.19).
 ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ óäàåòñÿ ñôîðìèðîâàòü èìïóëüñû äëèòåëüíîñòüþ
t ³ 200 ôñ. Òåîðåòè÷åñêèé ïðåäåë, îãðàíè÷èâàþùèé ñíèçó äëèòåëüíîñòü èìïóëüñîâ, ãåíåðèðóåìûõ ëàçåðîì íà êðàñèòåëå ïðè ñèíõðîííîé íàêà÷êå, ïîëó÷àåòñÿ èç (24.28), åñëè tí = tð. Ïîëàãàÿ tð » 10-2 ñ, ïîëó÷àåì
t 0 min »
t ðt 2 » 100 ôñ.
(24.29)
Äàëüíåéøåå ñæàòèå èìïóëüñà äî äëèòåëüíîñòåé t0 ~ 5 — 10 ôñ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ îïòè÷åñêèõ êîìïðåññîðîâ.
 ñåðåäèíå 90-õ ãîäîâ XX â. áûëè ñîçäàíû íîâûå êðèñòàëëû, îáëàäàþùèå
ðåêîðäíî øèðîêîé ïîëîñîé óñèëåíèÿ. Â êðèñòàëëå Ti3+Al2O3 (òèòàíàò ñàïôèðà)
ïîëîñà óñèëåíèÿ Dnóñ /c = 3 500 ñì-1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ôàçèðîâêå âñåõ ìîä
ëàçåðà ìîæíî äîñòè÷ü äëèòåëüíîñòè t0 = 1/Dnóñ » 10 ôñ.
Òèòàí-ñàïôèðîâûé ëàçåð íàêà÷èâàåòñÿ âòîðîé ãàðìîíèêîé ëàçåðà íà ãðàíàòå
ñ íåîäèìîì ëèáî èçëó÷åíèåì àðãîíîâîãî ëàçåðà.  íàêà÷èâàåìîì ëàçåðå óäàëîñü îñóùåñòâèòü âíóòðèðåçîíàòîðíóþ êîìïðåññèþ. Íåëèíåéíàÿ ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ âîçíèêàåò â êðèñòàëëå Ti3+Al2O3, îáëàäàþùåì êóáè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ, à åå êîìïåíñàöèÿ, ïðèâîäÿùàÿ ê ñæàòèþ, îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ
ïàðû ñòåêëÿííûõ ïðèçì, ïîìåùåííûõ â ðåçîíàòîð. Ëàçåð ãåíåðèðóåò èìïóëüñû
íà äëèíå âîëíû l = 800 íì, äëèòåëüíîñòü èìïóëüñîâ ñîñòàâëÿåò t0 ~ 10 ôñ,
à ýíåðãèÿ W ~ 10-9 Äæ.
292
Ôåìòîñåêóíäíûé âîëîêîííûé ëàçåð.
Êàê îòìå÷àëîñü â ëåêöèè 16, øèðîêîå
ðàñïðîñòðàíåíèå â êà÷åñòâå èñòî÷íèêîâ ñâåòà â âîëîêîííî-îïòè÷åñêèõ ëèíèÿõ ñâÿçè ïîëó÷èëè âîëîêîííûå ëàçåðû, ãåíåðèðóþùèå èìïóëüñû ôåìòîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè.
Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà èìïóëüñíîãî ýðáèåâîãî âîëîêîííîãî ëàçåðà, ñîÐèñ. 24.7
çäàííîãî â Èíñòèòóòå îáùåé ôèçèêè
èì. À. Ì. Ïðîõîðîâà ÐÀÍ, ïîêàçàíà íà ðèñ. 24.7.
Èçëó÷åíèå íàêà÷êè îò ëàçåðíîãî äèîäà ËÄ ïî ïàññèâíîìó îïòè÷åñêîìó âîëîêíó ââîäèòñÿ â îïòè÷åñêèé ñïåêòðàëüíî-ñåëåêòèâíûé îòâåòâèòåëü Î1. Íàêà÷êà îñóùåñòâëÿåòñÿ íà äëèíå âîëíû 1 480 íì, à óñèëåíèå è ãåíåðàöèÿ — íà
äëèíå âîëíû 1 550 íì, äëÿ êîòîðîé ìèíèìàëüíû ïîòåðè è äèñïåðñèÿ ãðóïïîâîé ñêîðîñòè â âîëîêîííî-îïòè÷åñêîé ëèíèè ñâÿçè. Ïðè ýòîì ýðáèåâûé ñâåòîâîä èìååò ïîëîæèòåëüíóþ äèñïåðñèþ ãðóïïîâîé ñêîðîñòè (k2 = 0,0195 ïñ2/ì),
ïîýòîìó èìïóëüñ â àêòèâíîì âîëîêíå âñëåäñòâèå äèñïåðñèè áóäåò ðàñïëûâàòüñÿ è ïðèîáðåòàòü ïîëîæèòåëüíûé ÷èðï ÷àñòîòû. Äîïîëíèòåëüíûé ÷èðï òîãî
æå çíàêà èìïóëüñ ïðèîáðåòåò è âñëåäñòâèå îïèñàííîé âûøå íåëèíåéíîé
ôàçîâîé ñàìîìîäóëÿöèè. ×òîáû óìåíüøèòü ýòîò ñóììàðíûé ÷èðï, êîíöû àêòèâíîãî ñâåòîâîäà ïðèïàèâàþò ê êîíöàì ïàññèâíîãî ñâåòîâîäà, îáëàäàþùåãî
îòðèöàòåëüíîé äèñïåðñèåé ãðóïïîâîé ñêîðîñòè (k2 = -0,022 ïñ2/ì). Îáùàÿ äëèíà L îáðàçîâàâøåãîñÿ êîëüöåâîãî ðåçîíàòîðà ñîñòàâëÿåò 8 ì.
 ðåçîíàòîð âìîíòèðîâàí èçîëÿòîð, ñîñòîÿùèé èç ÿ÷åéêè Ôàðàäåÿ Ô è äâóõ
êîíòðîëëåðîâ ïîëÿðèçàöèè (ïîëÿðèçàòîðîâ) Ï1 è Ï2. Èçîëÿòîð îáåñïå÷èâàåò
ðàñïðîñòðàíåíèå èìïóëüñîâ â îäíîì íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì ñòðåëêîé
(ñì. ëåêöèþ 20).
 ëàçåðå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïàññèâíàÿ ñèíõðîíèçàöèÿ ìîä çà ñ÷åò íåëèíåéíîãî
(ïðîïîðöèîíàëüíîãî èíòåíñèâíîñòè) ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè ñâåòà
â îòðåçêå âîëíîâîäà ìåæäó äâóìÿ êîíòðîëëåðàìè. Åñëè âñïëåñê èíòåíñèâíîñòè
(èìïóëüñ) â íåêîòîðîé îáëàñòè êîëüöåâîãî ðåçîíàòîðà áóäåò èìåòü çíà÷åíèå,
äîñòàòî÷íîå äëÿ ïîâîðîòà ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè íà óãîë, ðàâíûé óãëó ìåæäó
ãëàâíûìè ïëîñêîñòÿìè êîíòðîëëåðîâ, òî ýòîò èìïóëüñ ïðîéäåò ÷åðåç èçîëÿòîð è áóäåò óñèëåí.
Åñëè ìîùíîñòü íàêà÷êè ïðåâûøàåò 150 ìÂò, òî íà÷èíàåòñÿ ñàìîïðîèçâîëüíàÿ ãåíåðàöèÿ èìïóëüñîâ, ñëåäóþùèõ ñ ÷àñòîòîé 25 ÌÃö, îáðàòíîé âðåìåíè
t = 2L/u (u — ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü â âîëîêíå) ïðîáåãà èìïóëüñîì êîëüöåâîãî
ðåçîíàòîðà. Ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü ãåíåðàöèè P = W/t = 24 ìÂò.
Èç ðåçîíàòîðà ñâåòîâîé èìïóëüñ âûâîäèòñÿ ÷åðåç äðóãîé îòâåòâèòåëü Î2.
Äëÿ òî÷íîé êîìïåíñàöèè ÷èðïà ÷àñòîòû è ïîëó÷åíèÿ êîðîòêîãî ñïåêòðàëüíîîãðàíè÷åííîãî èìïóëüñà èç îòâåòâèòåëÿ èìïóëüñ ïîñòóïàåò â îòðåçîê âîëíîâîäà äëèíîé 85 ñì, îáëàäàþùåãî îòðèöàòåëüíîé äèñïåðñèåé ãðóïïîâîé ñêîðîñòè.  ýòîì ñëó÷àå äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà â êîíöå îòðåçêà ðàâíà 80 ôñ. Ïîñêîëüêó t = 4 × 10-8 ñ, ýíåðãèÿ îäíîãî èìïóëüñà W = Pt » 10-9 Äæ.
Èçìåðåíèå äëèòåëüíîñòè ñâåðõêîðîòêèõ èìïóëüñîâ. Äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà
t0 îïðåäåëÿþò èç êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè èíòåíñèâíîñòè BI(t) = I(t)I(t + t),
ãäå I(t) — ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè â èìïóëüñå. Ýòó ôóíêöèþ èçìåðÿþò
293
ñ ïîìîùüþ êîððåëÿòîðà, îäíà èç âîçìîæíûõ îïòè÷åñêèõ ñõåì êîòîðîãî ïîêàçàíà íà ðèñ. 24.8.
Ñâåòîâîé ïó÷îê ñ ïîìîùüþ ïîëóïðîçðà÷íîãî çåðêàëà Ç1 ðàçäåëÿåòñÿ íà
äâà ïó÷êà. Ïðè îòðàæåíèè îò ïðèçì Ï1
è Ï2 èìïóëüñû ïðèîáðåòàþò âðåìåííóþ
çàäåðæêó t. Ýòà çàäåðæêà ìîæåò
èçìåíÿòüñÿ ïåðåìåùåíèåì ïðèçìû Ï1.
Îáà èìïóëüñà ñ ïîìîùüþ ëèíçû Ë
Ðèñ. 24.8
ïîïàäàþò â êðèñòàëë, â êîòîðîì ãåíåðèðóåòñÿ âòîðàÿ ãàðìîíèêà. Äèàôðàãìà Ä îòñåêàåò èìïóëüñû íàêà÷êè. Ýíåðãèÿ W2(t) èìïóëüñà âòîðîé ãàðìîíèêè
çàâèñèò îò âðåìåíè çàäåðæêè t:
¥
W 2 (t) = [const] ò I (t )I (t + t)dt = [const]B I (t).
(24.30)
-¥
Çäåñü êîíñòàíòà îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè êîððåëÿòîðà K.
Ïðè ïîñòåïåííîì óâåëè÷åíèè âðåìåíè çàäåðæêè áóäåò ìîíîòîííî óìåíüøàòüñÿ ýíåðãèÿ èìïóëüñà âòîðîé ãàðìîíèêè. Åñëè t > t0, òî ïåðåêðûòèÿ èìïóëüñîâ íå ïðîèñõîäèò è ãåíåðàöèÿ âòîðîé ãàðìîíèêè â óêàçàííîì íà ðèñóíêå
íàïðàâëåíèè íåâîçìîæíà. Ýòî è ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü äëèòåëüíîñòü t0.
Ïî ýòîé æå ìåòîäèêå ìîæíî èññëåäîâàòü âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü I(t) èíòåíñèâíîñòè ïèêîñåêóíäíîãî èìïóëüñà. Ýòîò èìïóëüñ íàïðàâëÿþò â êîððåëÿòîð âìåñòå ñ ïðîáíûì ôåìòîñåêóíäíûì èìïóëüñîì ñ îãèáàþùåé Iïð(t). Äàëåå
èçìåðÿåòñÿ ýíåðãèÿ èìïóëüñà âòîðîé ãàðìîíèêè W2(t), ïðîïîðöèîíàëüíàÿ êðîññêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè
B ê (t) =
¥
ò I ïð (t )I (t + t)dt .
(24.31)
-¥
Ïîñêîëüêó äëèòåëüíîñòü ïðîáíîãî èìïóëüñà íàìíîãî ìåíüøå äëèòåëüíîñòè
èññëåäóåìîãî, ìîæíî ïîëîæèòü Iïð(t) = I0d(t) (d(t) — äåëüòà-ôóíêöèÿ). Òîãäà
¥
W 2 (t) = [const]B ê (t) = [const] ò I 0 d(t )I (t + t)dt = [const]I 0 I (t).
(24.32)
-¥
Òàêèì îáðàçîì, èçìåðÿÿ ïðè ðàçíûõ çàäåðæêàõ t ýíåðãèþ W2(t) èìïóëüñà
âòîðîé ãàðìîíèêè, ìîæíî îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè I(t).
Ñâåðõñèëüíûå ñâåòîâûå ïîëÿ. Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, õàðàêòåðíàÿ íàïðÿæåííîñòü âíóòðèàòîìíîãî ïîëÿ, óäåðæèâàþùåãî ýëåêòðîí â àòîìå, ðàâíà Eàò =
1
2
»
= 1011 Â/ì. Òàêèì ïîëåì áóäåò îáëàäàòü âîëíà èíòåíñèâíîñòüþ I àò = c e 0 Aàò
2
» 1,3 × 1019 Âò/ì2 = 1,3 × 1015 Âò/ñì2, êîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü àòîìíîé èíòåíñèâíîñòüþ.
Åñëè èíòåíñèâíîñòü ñâåòîâîé âîëíû, ïàäàþùåé íà òâåðäîå âåùåñòâî (ìèøåíü), ïðåâîñõîäèò àòîìíóþ èíòåíñèâíîñòü, òî â ïîâåðõíîñòíîì ñëîå ýëåêòðîí ìîæåò ïîòåðÿòü ñâÿçü ñî ñâîèì àòîìîì. Â ðåçóëüòàòå îáðàçóåòñÿ ïëàçìà,
ñîñòîÿùàÿ èç ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ è èîíîâ.
294
Áîëåå òîãî, â òå÷åíèå äåéñòâèÿ êîðîòêèõ ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ ýëåêòðîíû íå
óñïåâàþò ðàçëåòåòüñÿ, è ïëîòíîñòü ïëàçìû, à ñëåäîâàòåëüíî, è êðèòè÷åñêàÿ
÷àñòîòà áóäóò òàêèìè æå, êàê è ó êîíäåíñèðîâàííîé ñðåäû. Òàêóþ ïëàçìó ïðèíÿòî íàçûâàòü ìåòàëëèçèðîâàííîé. Ïîýòîìó èìïóëüñ â ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ
íå ìîæåò, à áóäåò ëèøü ïðîíèêàòü íà íåáîëüøóþ ãëóáèíó ïîðÿäêà òîëùèíû
ñêèí-ñëîÿ.
Äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëÿ ñ âåùåñòâîì ìîäåëü àòîìíîãî îñöèëëÿòîðà ñòàíîâèòñÿ íåïðèåìëåìîé. Íåîáõîäèìî îïèñûâàòü ïîâåäåíèå îãðîìíîãî
÷èñëà çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå âîëíû, îêàçûâàþùèõ ïðè
ñâîåì äâèæåíèè âçàèìíîå âëèÿíèå äðóã íà äðóãà. Ýòî óäàåòñÿ ñäåëàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîâðåìåííûõ ñóïåðêîìïüþòåðîâ.
Ïëàçìåííàÿ ñðåäà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ìîäåëè, ñîñòîÿùåé èç íåñêîëüêèõ
ìèëëèîíîâ êðóïíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö (particles in cells). Êàæäàÿ òàêàÿ ÷àñòèöà
äâèæåòñÿ òàê, êàê è îãðîìíîå êîëè÷åñòâî ðåàëüíûõ ýëåêòðîíîâ èëè èîíîâ
â ýòîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà (ÿ÷åéêå).
Åñëè èíòåíñèâíîñòü âîëíû I ? Iàò, òî ýëåêòðîíû ïðèîáðåòóò â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå áîëüøèå ñêîðîñòè, è èõ äâèæåíèå ñòàíåò ðåëÿòèâèñòñêèì. Îöåíèì íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ è èíòåíñèâíîñòü âîëíû, ïðè êîòîðîé ýòî ïðîèñõîäèò.
Åñëè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âîëíû ðàâíà E = A cos wt , òî ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà çàïèøåòñÿ â âèäå
dp
= eA cos wt ,
dt
(24.33)
ãäå p — ðåëÿòèâèñòñêèé èìïóëüñ ýëåêòðîíà, âåëè÷èíà êîòîðîãî ðàâíà
p=
eA
sin wt .
w
(24.34)
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà, êàê ñëåäóåò èç ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè,
W ýë = m 2c 4 + p 2c 2 - mc 2 .
(24.35)
2
Çäåñü mc — ýíåðãèÿ ïîêîÿ. Ïðîÿâëåíèå ðåëÿòèâèñòñêèõ ýôôåêòîâ áóäåò ñóùåñòâåííûì, åñëè Wýë ~ mc 2. Äëÿ óäîáñòâà îöåíêè ïîëîæèì Wýë = 0,4mc 2
è îïðåäåëèì àìïëèòóäó âîëíû Añ , ïðè êîòîðîé ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ.
Èç (24.35) ïîëó÷àåì
pc = mc 2.
(24.36)
Ïîëàãàÿ â (24.34) sin wt = 1 è ïîäñòàâëÿÿ â (24.36), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó
eAñ l = mc 2,
(24.37)
êîòîðîå îçíà÷àåò, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïîëåì íà ðàññòîÿíèè, ñîâïàäàþùåì
ñ äëèíîé âîëíû, ðàâíà ýíåðãèè ïîêîÿ ýëåêòðîíà. Äëÿ äëèíû âîëíû l = 1 ìêì òàêîå
ïîëå äîñòèãàåòñÿ â âîëíå, èíòåíñèâíîñòü êîòîðîé Ic ~ 1018 Âò/ñì2.
Ïîëÿ íàïðÿæåííîñòüþ
E ³ Ac =
mc 2
el
(24.38)
èëè èíòåíñèâíîñòüþ I ³ Iñ íàçûâàþòñÿ ñâåðõñèëüíûìè ñâåòîâûìè ïîëÿìè.
295
Ïðè âçàèìîäåéñòâèè ýòèõ ïîëåé ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ïëàçìîé ïîÿâëÿþòñÿ òàêèå íîâûå ÿâëåíèÿ, êàê ãåíåðàöèÿ ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ, âîçíèêíîâåíèå
g-èçëó÷åíèÿ, ðåëÿòèâèñòñêàÿ ñàìîôîêóñèðîâêà, ãåíåðàöèÿ âûñîêèõ ãàðìîíèê.
Îòêðûâàåòñÿ âîçìîæíîñòü óñêîðÿòü ýëåêòðîíû è ïðîòîíû äî î÷åíü âûñîêèõ
ñêîðîñòåé, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìîãóò âîçíèêíóòü ñèëüíûå ìàãíèòíûå ïîëÿ è äð.
Ñîâðåìåííûå äîñòèæåíèÿ è ïðåäåëüíûå âîçìîæíîñòè ãåíåðàöèè ñâåðõñèëüíûõ ñâåòîâûõ ïîëåé. Êàê îòìå÷àëîñü â ëåêöèè 2 (ñì. ôîðìóëó (2.20)), èíòåíñèâíîñòü ñâåòîâîãî èìïóëüñà
I =
W
.
pr02 t 0
(24.39)
Äëÿ ïîâûøåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ìîæíî åãî óñèëèâàòü, óâåëè÷èâàÿ òåì ñàìûì åãî ýíåðãèþ W, è ñîêðàùàòü äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà t0. Êðîìå òîãî, ñâåòîâîé ïó÷îê íåîáõîäèìî ñôîêóñèðîâàòü äëÿ òîãî, ÷òîáû óìåíüøèòü åãî ðàäèóñ r0.
Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïó÷êà îãðàíè÷åíî
äèôðàêöèåé è ñîñòàâëÿåò (pr02)min » l2. Ïîýòîìó â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ñîáèðàþùåé êîðîòêîôîêóñíîé ëèíçû ìîæíî äîñòè÷ü èíòåíñèâíîñòè
I =
W
.
l 2t 0
(24.40)
Íà ðèñ. 24.9 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê, ïîêàçûâàþùèé âàæíåéøèå ýòàïû ïîâûøåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ïðè ôîêóñèðîâêå ïó÷êîâ ëàçåðíûõ ñèñòåì, íà÷èíàÿ
ñ ìîìåíòà ñîçäàíèÿ ðóáèíîâîãî ëàçåðà.
 60-å ãîäû XX â. áûñòðîå óâåëè÷åíèå èíòåíñèâíîñòè äî çíà÷åíèé ïîðÿäêà
1014 Âò/ñì2 áûëî äîñòèãíóòî áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ âíà÷àëå ìîäóëÿöèè äîáðîòíîñòè, à çàòåì è ñèíõðîíèçàöèè ìîä ëàçåðà, ïîçâîëèâøèì óìåíüøèòü äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà äî âåëè÷èí t0 ~ 10-12 ñ. Ñïðàâà íà ãðàôèêå äàíà îñü çíà÷åíèé
õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ýíåðãèè ñâÿçàííîãî ñ ÿäðîì ýëåêòðîíà (â ýëåêòðîí-âîëüòàõ).
 70-å ãîäû è â ïåðâîé ïîëîâèíå 80-õ ãîäîâ XX â. ýòîò ðîñò ñóùåñòâåííî
çàìåäëèëñÿ, ïîñêîëüêó áûë ñâÿçàí ñ ïðîáëåìîé óñèëåíèÿ ïèêîñåêóíäíûõ èìïóëüñîâ. Äåëî â òîì, ÷òî àêòèâíàÿ ñðåäà óñèëèòåëÿ ïîçâîëÿåò èçâëå÷ü ñ åäèíèöû ïëîùàäè åå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ îãðàíè÷åííóþ ýíåðãèþ.
Ëþáàÿ àêòèâíàÿ ñðåäà óñèëèòåëÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ íàñûùåííîé (ïðåäåëüíîé)
ïëîòíîñòüþ ïîòîêà ýíåðãèè, êîòîðóþ ìîæíî èçâëå÷ü èç ñðåäû:
J íàñ =
Ðèñ. 24.9
296
hn
,
sà
(24.41)
ãäå hn — ýíåðãèÿ ôîòîíà; sà — ïëîùàäü
ñå÷åíèÿ (èëè ñå÷åíèå), õàðàêòåðèçóþùåãî
âçàèìîäåéñòâèå ôîòîíîâ ñ àêòèâíîé ñðåäîé. Ïîäîáíàÿ ïî ñìûñëó õàðàêòåðèñòèêà,
ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ, èñïîëüçóåòñÿ â êóðñå
ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïîòîêà ÷àñòèö ñ ðàññåèâàþùåé
ñðåäîé.
Íàïðèìåð, äëÿ íåîäèìîâîãî ñòåêëà
(sà = 10-21 ñì2) Jíàñ = 4 Äæ/ñì2, äëÿ òèòàíàòà ñàïôèðà, ñå÷åíèå êîòîðîãî íåñêîëüêî
Ðèñ. 24.10
áîëüøå, Jíàñ = 0,9 Äæ/ñì2, äëÿ êðàñèòåëåé, ñå÷åíèå êîòîðûõ âûøå íà òðè ïîðÿäêà, ïëîòíîñòü ýíåðãèè íàñûùåíèÿ áóäåò íàìíîãî ìåíüøå — ïîðÿäêà 1 ìÄæ/ñì2.
Åñëè îñóùåñòâëÿòü óñèëåíèå èìïóëüñîâ ïèêîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè â íåîäèìîâîì ñòåêëå, òî ïðè t0 = 10-12 ñ ïëîòíîñòü ìîùíîñòè (èíòåíñèâíîñòü)
ñîñòàâèò I = Jíàñ /tð = 4 × 1012 Âò/ñì2. Åñëè ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå íåîäèìîâîãî ñòåðæíÿ s ïîëîæèòü ðàâíûì 2 ñì2, òî íà âûõîäå óñèëèòåëÿ áóäåò äîñòèãíóòà ìîùíîñòü P » Is ~ 1013 Âò. Îäíàêî ïðè òàêîé ìîùíîñòè, âî-ïåðâûõ, ìîæåò ïðîèçîéòè ðàçðóøåíèå (ýëåêòðè÷åñêèé ïðîáîé) íåîäèìîâîãî ñòåêëà è, âî-âòîðûõ, ðàçâèòüñÿ ìåëêîìàñøòàáíàÿ ñàìîôîêóñèðîâêà, ñïîñîáñòâóþùàÿ ýòîìó
ðàçðóøåíèþ.
×òîáû îáîéòè ýòè òðóäíîñòè, âî âòîðîé ïîëîâèíå 80-õ ãîäîâ áûëà ïðåäëîæåíà îðèãèíàëüíàÿ ìåòîäèêà óñèëåíèÿ èìïóëüñîâ.
Ïåðåä òåì êàê ïîïàñòü â óñèëèòåëü, èìïóëüñ ïðåäâàðèòåëüíî ðàñòÿãèâàåòñÿ
âî âðåìåíè îò òûñÿ÷è äî ñîòíè òûñÿ÷ ðàç. Óñòðîéñòâî, â êîòîðîì ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ, íàçûâàåòñÿ ñòðåò÷åðîì (îò àíãë. stretch — ðàñòÿãèâàòü). Âåëè÷èíà Jíàñ
ïðè ýòîì íå èçìåíèòñÿ, îäíàêî íà ìíîãî ïîðÿäêîâ áóäåò óìåíüøåíà ìîùíîñòü
(è èíòåíñèâíîñòü) óñèëèâàåìîé âîëíû. Ýòî ïîçâîëèò èçáåæàòü îïèñàííûõ âûøå
òðóäíîñòåé.
Ïîñëå óñèëåíèÿ èìïóëüñ íàïðàâëÿåòñÿ â êîìïðåññîð, â êîòîðîì ñæèìàåòñÿ
äî èñõîäíîé äëèòåëüíîñòè. Íà ðèñ. 24.10 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðîõîæäåíèå èìïóëüñà ÷åðåç ñòðåò÷åð, óñèëèòåëü è êîìïðåññîð.
 ïåðâûõ ýêñïåðèìåíòàõ ñòðåò÷åðîì ÿâëÿëñÿ îïòè÷åñêèé âîëíîâîä ñ ïîëîæèòåëüíîé äèñïåðñèåé ãðóïïîâîé ñêîðîñòè. Ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííûé èìïóëüñ óäëèíÿëñÿ âî âðåìåíè è ñòàíîâèëñÿ ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûì, èëè ÷èðïèðîâàííûì.
Ïîñëå óñèëåíèÿ îí íàïðàâëÿëñÿ íà ïàðó ïàðàëëåëüíûõ äèôðàêöèîííûõ ðåøåòîê, âûïîëíÿâøèõ ðîëü êîìïðåññîðà. Íà ðèñ. 24.11 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî
ñæàòèå èìïóëüñà òàêèì êîìïðåññîðîì. Ïàðà ïàðàëëåëüíûõ ðåøåòîê ýêâèâàëåíòíà
äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå ñ îòðèöàòåëüíîé äèñïåðñèåé ãðóïïîâîé ñêîðîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå êîìïðåññîðà ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ èñ÷åçàåò è èìïóëüñ âíîâü
ñòàíîâèòñÿ ñïåêòðàëüíî-îãðàíè÷åííûì.
Ðèñ. 24.11
Ðèñ. 24.12
297
Ïîñêîëüêó ñèñòåìà, ïîêàçàííàÿ íà ðèñ. 24.10, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èçëó÷åíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ. Ïîýòîìó äëèòåëüíîñòè óñèëåííîãî è óñèëèâàåìîãî èìïóëüñîâ áóäóò ðàâíû.
Åñëè ðåøåòêè ðàñïîëîæèòü òàê, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 24.12, òî ýòà
ñèñòåìà áóäåò ðàáîòàòü êàê ñòðåò÷åð, ðàñòÿãèâàÿ èìïóëüñ è ïðåâðàùàÿ åãî
â ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûé. Ïàðà ðåøåòîê â ýòîé ñèòóàöèè áóäåò ýêâèâàëåíòíà
äèñïåðãèðóþùåé ñðåäå ñ ïîëîæèòåëüíîé äèñïåðñèåé ãðóïïîâîé ñêîðîñòè.
 ñîâðåìåííûõ îïòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñëàáûå èìïóëüñû ñ ýíåðãèåé ïîðÿäêà
1 íÄæ ìîãóò óñèëèâàòüñÿ â 106 — 1012 ðàç, ïîýòîìó èõ ýíåðãèÿ ìîæåò äîñòèãàòü
âåëè÷èí 10-3 — 103 Äæ.
Ñ ïîìîùüþ òàêîé ñõåìû óñèëåíèÿ â 1987 ã. áûëè ïîëó÷åíû èìïóëüñû
ñ ïèêîâîé ìîùíîñòüþ P ~ 1012 Âò = 1 ÒÂò (òåðàâàòò).  1999 ã. áûëè ïîëó÷åíû
èìïóëüñû ìîùíîñòüþ P ~ 1015 Âò = 1 ÏÂò (ïåòàâàòò).
 íàñòîÿùåå âðåìÿ â ìèðå ïîñòðîåíû ëàçåðíûå ñèñòåìû, ãåíåðèðóþùèå
èìïóëüñû ìîùíîñòüþ â äåñÿòêè è ñîòíè òåðàâàòò. Óæå ôóíêöèîíèðóþò èëè
íàõîäÿòñÿ â ñòàäèè ñîçäàíèÿ îêîëî 20 ïåòàâàòòíûõ ñèñòåì.
Ïðè ôîêóñèðîâêå òàêèõ ñâåðõìîùíûõ èìïóëüñîâ â ïÿòíî ïëîùàäüþ ~l2
â íàñòîÿùåå âðåìÿ óäàëîñü äîñòè÷ü èíòåíñèâíîñòè ~1021 Âò/ñì2.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òåîðåòè÷åñêèé ïðåäåë äîñòèæåíèÿ
ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé ìîùíîñòè è èíòåíñèâíîñòè, îáóñëîâëåííûé íàëè÷èåì íàñûùåííîé ïëîòíîñòè ïîòîêà. Ïðè øèðèíå Dnóñ ëèíèè óñèëåíèÿ àêòèâíîé
ñðåäû äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà ïîñëå êîìïðåññîðà áóäåò íå ìåíüøå âåëè÷èíû
tmin = 1/Dnóñ, ïîýòîìó ìàêñèìàëüíàÿ (ïðåäåëüíàÿ) ìîùíîñòü áóäåò ðàâíà
Pmax = JíàñsDnóñ,
(24.42)
à ìàêñèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü ïðè ôîêóñèðîâêå ìîæåò äîñòè÷ü ïðåäåëüíîé
âåëè÷èíû
J íàñ sDn óñ
Pmax
=
,
(24.43)
l2
l2
ãäå s — ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ àêòèâíîé ñðåäû.
Íàïðèìåð, äëÿ òèòàíàòà ñàïôèðà, îáëàäàþùåãî øèðîêîé ïîëîñîé óñèëåíèÿ,
ïðè s = 1 ñì2 ìîùíîñòü Pmax = 200 ÒÂò, à èíòåíñèâíîñòü Imax = 0,3 × 1023 Âò/ñì2.
Äëÿ èòòåðáèåâîãî ñòåêëà (Yb-èòòåðáèé, ïðèíàäëåæàùèé ê ëàíòàíîèäàì) ýòè
âåëè÷èíû áóäóò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 3 000 ÒÂò è 3 × 1023 Âò/ñì2.
Èñïîëüçîâàíèå òàêèõ ãðîìàäíûõ èíòåíñèâíîñòåé ðàñøèðÿåò ãîðèçîíòû ñîâðåìåííîé îïòèêè, ïîçâîëÿÿ ïðîâîäèòü èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé, êîñìîëîãèè, îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè è ìíîãèõ äðóãèõ
îáëàñòÿõ çíàíèÿ.
I max =
Ð À Ç Ä Å Ë 10
ÏÐÈÅÌÍÈÊÈ ÑÂÅÒÀ
Ë Å Ê Ö È ß 25
 çàêëþ÷èòåëüíîé ëåêöèè ðàññìîòðèì íàèáîëåå âàæíûå ïðèåìíèêè ñâåòà
è ïðèíöèïû èõ ðàáîòû.
Ãëàç ÷åëîâåêà. ×åëîâå÷åñêèé ãëàç — óíèêàëüíûé âûñîêî÷óâñòâèòåëüíûé
ïðèåìíèê ñâåòà. Îí ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåí íà ðèñ. 25.1 öâ. âêë. Ãëàç èìååò ôîðìó, áëèçêóþ ê ñôåðè÷åñêîé ñ äèàìåòðîì îêîëî 2,5 ñì. Ïåðåäíÿÿ ÷àñòü çàùèùåíà ïðîçðà÷íûì ïîêðûòèåì, íàçûâàåìûì ðîãîâèöåé. Ïîä íåé íàõîäèòñÿ ýëàñòè÷íàÿ êàïñóëà, ñîäåðæàùàÿ íåîäíîðîäíóþ æåëåîáðàçíóþ ìàññó. Êàïñóëà èìååò
ôîðìó äâîÿêîâûïóêëîé ëèíçû è íàçûâàåòñÿ õðóñòàëèêîì. Ñðåäíèé ïîêàçàòåëü
ïðåëîìëåíèÿ õðóñòàëèêà ðàâåí 1,437. Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ðîãîâèöåé è õðóñòàëèêîì çàïîëíåíî êàìåðíîé âëàãîé ãëàçà, èìåþùåé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ 1,336,
áëèçêèé ê ïîêàçàòåëþ ïðåëîìëåíèÿ âîäû. Ïîçàäè õðóñòàëèêà ðàñïîëîæåíî ñòåêëîâèäíîå òåëî ñ òàêèì æå ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ, êàê ó âëàãè.
Íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä õðóñòàëèêîì èìååòñÿ äèàôðàãìà, äèàìåòð îòâåðñòèÿ êîòîðîé (çðà÷îê) ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî ñâåòà. Îïòè÷åñêàÿ ñèëà ýëàñòè÷íîãî õðóñòàëèêà òàêæå âàðüèðóåòñÿ çà
ñ÷åò âîçäåéñòâèÿ ãëàçíîé ìûøöû, ñ êîòîðîé õðóñòàëèê ñâÿçàí.
Ëó÷è ñâåòà, ïðåëîìëÿÿñü íà ðîãîâèöå è õðóñòàëèêå, äîñòèãàþò çàäíåé ïîâåðõíîñòè ãëàçà, íà êîòîðîé ðàñïîëîæåíà ñâåòî÷óâñòâèòåëüíàÿ ñåòêà. Åå ñâåòî÷óâñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ ïàëî÷êè è êîëáî÷êè, êîòîðûå âûðàáàòûâàþò
èìïóëüñû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ïî íåðâíîé ñèñòåìå ê ãîëîâíîìó ìîçãó.
Ïàëî÷êè, ðàñïîëàãàÿñü â ïåðèôåðè÷åñêîé ÷àñòè ñåò÷àòêè ãëàçà, îáëàäàþò
áîëüøîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ, íî íå ðåàãèðóþò íà ðàçëè÷èÿ â öâåòå. Êîëáî÷êè,
íàõîäÿùèåñÿ â öåíòðàëüíîé ÷àñòè ñåò÷àòêè, ìåíåå ÷óâñòâèòåëüíû, çàòî ïîçâîëÿþò ðàçëè÷àòü öâåòà è ìåëêèå äåòàëè ðàññìàòðèâàåìîãî ïðåäìåòà. Áëàãîäàðÿ
âñåìó ýòîìó ÷åëîâåê îáëàäàåò äâóìÿ çðåíèÿìè: äíåâíûì (ñâÿçàííûì ñ ðàçäðàæåíèåì êîëáî÷åê) è ñóìåðå÷íûì (ñâÿçàííûì ñ ðàçäðàæåíèåì ïàëî÷åê).
 îáû÷íûõ óñëîâèÿõ çàäåéñòâîâàíû îáà çðåíèÿ. Îäíàêî ïðè ìàëûõ îñâåùåííîñòÿõ ñâåòîâîå îùóùåíèå ôîðìèðóåòñÿ çà ñ÷åò ñóìåðå÷íîãî çðåíèÿ. Ïðè ïîïàäàíèè â òåìíîòó â ïåðâîå âðåìÿ ÷åëîâåê íè÷åãî íå âèäèò, íî ÷åðåç 30 — 40
ìèí íà÷èíàåò ðàçëè÷àòü ïðåäìåòû — âêëþ÷àåòñÿ ñóìåðå÷íîå çðåíèå. Ýòîò
ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ àäàïòàöèåé.
 20-å ãîäû XX â. âûäàþùèéñÿ ñîâåòñêèé ôèçèê Ñ. È. Âàâèëîâ ñ êîëëåãàìè
ïðîâîäèë âèçóàëüíûå èññëåäîâàíèÿ êâàíòîâûõ ôëóêòóàöèé ñëàáîèíòåíñèâíûõ
ñâåòîâûõ ïîòîêîâ, âîñïîëüçîâàâøèñü âûñîêîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ àäàïòèðîâàííîãî ÷åëîâå÷åñêîãî ãëàçà.  ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèé áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî
ñâåòîâîå îùóùåíèå ó ÷åëîâåêà âîçíèêàåò ïðè ïîïàäàíèè â ãëàç çà âðåìÿ 0,1 ñ
íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ ñâåòîâûõ êâàíòîâ.
299
Èññëåäîâàíèÿ êâàíòîâûõ ôëóêòóàöèé ñâåòà ïðèâåëè ó÷åíîãî ê âàæíûì âûâîäàì â îáëàñòè ôèçèîëîãè÷åñêîé îïòèêè.  ÷àñòíîñòè, â çåëåíîé îáëàñòè ñïåêòðà
ïîðîãîâîå çíà÷åíèå çðèòåëüíîãî îùóùåíèÿ ó ðàçíûõ ëþäåé êîëåáëåòñÿ îò 8
äî 47 ñâåòîâûõ êâàíòîâ, äîñòèãàþùèõ ñåò÷àòêè ãëàçà. Ïðè ýòîì ÷èñëî ïàäàþùèõ ôîòîíîâ âàðüèðóåòñÿ îò 108 äî 335, îäíàêî áîëüøàÿ èõ ÷àñòü ïîãëîùàåòñÿ õðóñòàëèêîì ãëàçà.
Ïîìèìî ýòîãî Ñ. È. Âàâèëîâ óñòàíîâèë íîâîå ñâîéñòâî ãëàçà. Îí ïîêàçàë,
÷òî ïîìèìî èçâåñòíîãî ìàêñèìóìà ÷óâñòâèòåëüíîñòè âáëèçè l = 500 íì åñòü
è âòîðîé ìàêñèìóì âáëèçè l = 380 íì. Îäíàêî â ýòîé îáëàñòè ìàëàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ãëàçà ñâÿçàíà ñ îñëàáëåíèåì ñâåòà â õðóñòàëèêå, ïðåäîõðàíÿþùèì
ñåò÷àòêó ãëàçà îò óëüòðàôèîëåòîâîãî èçëó÷åíèÿ.
Çðèòåëüíîå îùóùåíèå b (êàê è çâóêîâîå) óñèëèâàåòñÿ ñ âîçðàñòàíèåì èíòåíñèâíîñòè ñâåòà ïî ïñèõîôèçè÷åñêîìó çàêîíó Âåáåðà — Ôåõíåðà: b = lg I/Iïîð,
ãäå Iïîð — ïîðîãîâîå çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñòè.
Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî â çåëåíîé îáëàñòè ñïåêòðà (l = 500 íì), â êîòîðîé ýíåðãèÿ
êâàíòà W = hc/l = 4 × 10-19 Äæ, çðèòåëüíîå îùóùåíèå ïîÿâëÿåòñÿ ó ÷åëîâåêà ïðè
ïàäåíèè â åäèíèöó âðåìåíè Nô = 103 ôîòîíîâ, òî ïðè ðàäèóñå çðà÷êà r0 = 2 ìì
ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè, èëè ïîðîãîâàÿ èíòåíñèâíîñòü, Iïîð = WNô/(pr02) =
= 3 × 10-9 Âò/ì2.
Ðàçãëÿäûâàÿ Ñîëíöå ÷åðåç çàòåìíåííîå ñòåêëî, îñëàáëÿþùåå ñâåòîâîé ïîòîê â 100 ðàç, ÷åëîâåê áåçáîëåçíåííî âîñïðèíèìàåò ñâåòîâîé ïîòîê èíòåíñèâíîñòüþ I ~ 10 Âò/ì2. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãëàç âîñïðèíèìàåò ãðîìàäíûé äèàïàçîí
èíòåíñèâíîñòåé ñâåòà — èíòåíñèâíîñòü èçìåíÿåòñÿ íà 10 ïîðÿäêîâ! Òàêèì
óíèêàëüíûì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò íèêàêîé äðóãîé ïðèåìíèê ñâåòà.
Äëÿ ðåãèñòðàöèè ñâåòà è èçìåðåíèÿ åãî õàðàêòåðèñòèê ïðèìåíÿþò ôîòîýëåêòðè÷åñêèå ïðèåìíèêè, ïðåîáðàçóþùèå ñâåòîâîé ñèãíàë â ýëåêòðè÷åñêèé. Ïðèíöèï
äåéñòâèÿ áîëüøèíñòâà èç íèõ îñíîâàí íà ôîòîýôôåêòå: âíåøíåì è âíóòðåííåì.
Ïîýòîìó âíà÷àëå ïîçíàêîìèìñÿ ñ îñíîâíûìè çàêîíîìåðíîñòÿìè ôîòîýôôåêòà.
Âíåøíèé ôîòîýôôåêò.  1887 ã. íåìåöêèé ôèçèê Ã. Ãåðö îáíàðóæèë, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèé ðàçðÿä ìåæäó äâóìÿ ýëåêòðîäàìè ïðîèñõîäèò ïðè ìåíüøåì íàïðÿæåíèè, åñëè èñêðîâîé ïðîìåæóòîê (ýëåêòðîäû) îñâåùàåòñÿ óëüòðàôèîëåòîâûì ñâåòîì. Äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ, ïðîâåäåííûå íåìåöêèì ó÷åíûì Â. Ãàëüâàêñîì è ðóññêèì ôèçèêîì À. Ã. Ñòîëåòîâûì, ïîêàçàëè, ÷òî ïîä äåéñòâèåì
ñâåòà îñâîáîæäàþòñÿ çàðÿäû èç ýëåêòðîäîâ, êîòîðûå, óñêîðÿÿñü â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, ñïîñîáñòâóþò èîíèçàöèè ãàçà ìåæäó ýëåêòðîäàìè. ßâëåíèå, îáíàðóæåííîå Ãåðöåì, ïîëó÷èëî íàçâàíèå âíåøíåãî ôîòîýôôåêòà.
 ïåðèîä ñ 1888 ïî 1890 ã. À. Ã. Ñòîëåòîâ âûïîëíèë öèêë ðàáîò, â êîòîðûõ
îñóùåñòâèë êîëè÷åñòâåííûå èññëåäîâàíèÿ
ôîòîýôôåêòà, óñòàíîâèë åãî çàêîíîìåðíîñòè è ïðåäëîæèë ìåòîä ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî êîíòðîëÿ èíòåíñèâíîñòè ñâåòà. Ñõåìà åãî
îïûòîâ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 25.1.
Ñâåò îò ýëåêòðè÷åñêîé äóãè ïðîõîäèò
÷åðåç ïëàñòèíó êîíäåíñàòîðà, âûïîëíåííóþ â âèäå ïðîâîëî÷íîé ñåòêè, è ïîïàäàåò
íà äðóãóþ ïëàñòèíó. Ìåæäó ïëàñòèíàìè ïîääåðæèâàåòñÿ íåáîëüøàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèÐèñ. 25.1
àëîâ ñ ïîìîùüþ áàòàðåè, ïðè ýòîì îñâå300
Ðèñ. 25.3
Ðèñ. 25.2
ùàåìàÿ ïëàñòèíà çàðÿæåíà îòðèöàòåëüíî. Âîçíèêàþùèé ôîòîòîê I ðåãèñòðèðóåòñÿ ãàëüâàíîìåòðîì G. Â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé áûëè ñäåëàíû
ñëåäóþùèå âûâîäû:
• íàèáîëåå ýôôåêòèâíî äåéñòâóþò óëüòðàôèîëåòîâûå ëó÷è ñâåòà;
• ñèëà ôîòîòîêà ïðîïîðöèîíàëüíà îñâåùåííîñòè ïëàñòèíû;
• ïîä äåéñòâèåì ñâåòà âûñâîáîæäàþòñÿ îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû.
Ïîñëåäíèé âûâîä ýôôåêòíî äåìîíñòðèðóåòñÿ â îïûòå ñ ýëåêòðîñêîïîì,
ñ êîòîðûì ñîåäèíåíà öèíêîâàÿ ïëàñòèíà. Åñëè ïëàñòèíó çàðÿäèòü îòðèöàòåëüíûì çàðÿäîì è çàòåì îñâåòèòü óëüòðàôèîëåòîâûì ñâåòîì, òî ýëåêòðîñêîï
ñ ïëàñòèíîé áûñòðî ðàçðÿäèòñÿ. Åñëè æå ïëàñòèíà çàðÿæåíà ïîëîæèòåëüíûì
çàðÿäîì, òî ïðè îñâåùåíèè îíà çàðÿä ïðàêòè÷åñêè íå òåðÿåò.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ çàêîíîìåðíîñòåé ôîòîýôôåêòà èñïîëüçóþòñÿ òùàòåëüíî î÷èùåííûå ïëàñòèíû, êîòîðûå ïîìåùàþò â âàêóóì (ðèñ. 25.2).
Íà ðèñ. 25.3 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü ñèëû ôîòîòîêà I îò ïðèëîæåííîé ê ïëàñòèíàì ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U. Ïðè U > 0 âûáèòûå ñâåòîì ýëåêòðîíû èç ïëàñòèíû Ê (êàòîäà) óñêîðÿþòñÿ ïîëåì è äâèæóòñÿ ê ïëàñòèíå À (àíîäó), à ïðè
U < 0 òîðìîçÿòñÿ ýòèì ïîëåì.
Ïðè óâåëè÷åíèè U ôîòîòîê I âîçðàñòàåò è äîñòèãàåò âåëè÷èíû I0, õàðàêòåðèçóþùåé ôîòîòîê íàñûùåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ýëåêòðîíû, âûáèòûå
èç êàòîäà, äîñòèãàþò àíîäà. Ïîýòîìó ôîòîòîê íàñûùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé
õàðàêòåðèñòèêîé ôîòîýôôåêòà. Èçìåðåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ñèëà ôîòîòîêà íàñûùåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ïàäàþùåìó ñâåòîâîìó ïîòîêó.
Íàîáîðîò, ïðè óâåëè÷åíèè çàäåðæèâàþùåãî ïîëÿ ôîòîòîê îñëàáåâàåò,
è ïðè U = -Uç îí ïðåêðàùàåòñÿ. Èñ÷åçíîâåíèå ôîòîòîêà ïðè U = -Uç îçíà÷àåò,
÷òî ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü Lmax âûáèòûõ èç êàòîäà ýëåêòðîíîâ îïðåäåëÿåòñÿ
ñîîòíîøåíèåì
2
mL max
= eU ç ,
(25.1)
2
îòðàæàþùèì ðàâåíñòâî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà è ðàáîòû ñèë òîðìîçÿùåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü êàòîäà ýëåêòðîíû ïðåîäîëåâàþò ñîïðîòèâëåíèå âûõîäà, òåðÿÿ ÷àñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Ýòà ïîòåðÿ ðàâíà òàê
íàçûâàåìîé ðàáîòå âûõîäà W0. Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ âíóòðè êàòîäà áóäåò ðàâíà
W =
2
mL max
+ W 0 = eU ç + W 0 .
2
(25.2)
301
Ýòó ýíåðãèþ ýëåêòðîí çàèìñòâóåò ó ïàäàþùåãî ñâåòà.
 1905 ã. À. Ýéíøòåéí òåîðåòè÷åñêè îáîñíîâàë êîëè÷åñòâåííóþ ñâÿçü ìåæäó
ýíåðãèåé W è ÷àñòîòîé ñâåòà n. Ñîãëàñíî òåîðèè Ýéíøòåéíà ýíåðãèÿ W, ïîëó÷åííàÿ ýëåêòðîíîì, ðàâíà ýíåðãèè ôîòîíà hn. Ýëåêòðîí íå çàèìñòâóåò ýíåðãèþ ó àòîìîâ âåùåñòâà êàòîäà. Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü ðàâåíñòâî
2
mL max
+ W 0 = eU ç + W 0 .
(25.3)
2
Ýòî ñîîòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ýéíøòåéíà äëÿ ôîòîýôôåêòà. Ñ åãî
ïîìîùüþ ìîæíî ëåãêî îáúÿñíèòü ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ôîòîòîêà íàñûùåíèÿ
I0 ïàäàþùåìó ñâåòîâîìó ïîòîêó. Ïîñëåäíèé ïðîïîðöèîíàëåí ÷èñëó êâàíòîâ,
ïàäàþùèõ íà ïîâåðõíîñòü êàòîäà çà åäèíèöó âðåìåíè.
Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, ëèøü ìàëàÿ ÷àñòü ôîòîíîâ ïåðåäàåò ýíåðãèþ ýëåêòðîíàì. Ýíåðãèÿ áîëüøåé ÷àñòè ôîòîíîâ ðàñõîäóåòñÿ íà íàãðåâàíèå êàòîäà.
Èç óðàâíåíèÿ (25.3) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòîòà ñâåòà n0,
ïðè êîòîðîé ôîòîýôôåêò èñ÷åçàåò. Ïîëàãàÿ Lmax = 0, èìååì
hn =
hn0 = W0.
(25.4)
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äëèíà âîëíû
l0 =
c
hc
=
n0 W0
(25.5)
íàçûâàåòñÿ êðàñíîé ãðàíèöåé ôîòîýôôåêòà. Äëÿ ùåëî÷íûõ ìåòàëëîâ, ó êîòîðûõ
ðàáîòà âûõîäà îòíîñèòåëüíî íåâåëèêà, îíà íàõîäèòñÿ â âèäèìîé îáëàñòè ñïåêòðà, äëÿ áîëüøèíñòâà äðóãèõ ìåòàëëîâ (Zn, Fe, Cu è ò. ä.) — â óëüòðàôèîëåòîâîé îáëàñòè.
Âíóòðåííèé ôîòîýôôåêò. Åùå ðàíüøå (äî îòêðûòèÿ Ã. Ãåðöà) áûë èçâåñòåí
âíóòðåííèé ôîòîýôôåêò, êîãäà îïòè÷åñêè âîçáóæäåííûå ýëåêòðîíû îñòàþòñÿ
âíóòðè òâåðäîãî òåëà.  ïîëóïðîâîäíèêàõ è äèýëåêòðèêàõ èçìåíÿåòñÿ êîíöåíòðàöèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà èëè èõ ïîäâèæíîñòü. Âîçíèêàåò çàâèñèìîñòü èõ ïðîâîäèìîñòè îò ñâåòîâîãî ïîòîêà, ïîëó÷èâøàÿ íàçâàíèå ôîòîïðîâîäèìîñòè.
Íà îñíîâå ýòîãî ÿâëåíèÿ ñîçäàíà áîëüøàÿ ãðóïïà ôîòîðåçèñòîðîâ, èñïîëüçóåìûõ
â êà÷åñòâå ïðèåìíèêîâ ñâåòà.
 íåîäíîðîäíûõ ïîëóïðîâîäíèêàõ ïðè èõ îñâåùåíèè ìîæåò âîçíèêàòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ (ôîòîÝÄÑ). Îïòè÷åñêè âîçáóæäåííûå ýëåêòðîíû è èõ âàêàíñèè (äûðêè) êîíöåíòðèðóþòñÿ â ðàçíûõ ÷àñòÿõ ïîëóïðîâîäíèêà, âñëåäñòâèå ÷åãî è âîçíèêàåò ôîòîÝÄÑ.
Ïðåîáðàçîâûâàÿ ñâåòîâóþ ýíåðãèþ â ýëåêòðè÷åñêóþ, òàêèå ôîòîãàëüâàíè÷åñêèå ýëåìåíòû îáëàäàþò äîñòàòî÷íî âûñîêèì ÊÏÄ (~20 %) è ïîýòîìó íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå êàê èñòî÷íèêè ýëåêòðîïèòàíèÿ (ñîëíå÷íûå ýëåìåíòû) êîñìè÷åñêèõ àïïàðàòîâ è äðóãèõ óñòðîéñòâ.
Ôîòîýëåêòðè÷åñêèå ïðèåìíèêè. Íà îñíîâå âíåøíåãî è âíóòðåííåãî ôîòîýôôåêòà ñîçäàíû ìíîãî÷èñëåííûå ïðèåìíèêè ñâåòà, ïðåîáðàçóþùèå ñâåòîâîé
ñèãíàë â ýëåêòðè÷åñêèé. Ýòè ïðèåìíèêè íàçûâàþòñÿ ôîòîýëåêòðè÷åñêèìè, èëè
ôîòîýëåìåíòàìè.
Ïåðâûé ôîòîýëåìåíò, îñíîâàííûé íà âíóòðåííåì ôîòîýôôåêòå è èñïîëüçóþùèé ÿâëåíèå ôîòîïðîâîäèìîñòè, áûë ñîçäàí â 1875 ã., à ôîòîýëåìåíò,
èñïîëüçóþùèé âíåøíèé ôîòîýôôåêò, — â 1889 ã.
302
Âàêóóìíûé ôîòîýëåìåíò. Îí ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ïðèåìíèêîì ñâåòà. Ôîòîýëåìåíò ñîñòîèò èç ñòåêëÿííîé âàêóóìèðîâàííîé êîëáû, íà âíóòðåííþþ
ïîâåðõíîñòü êîòîðîé íàíåñåí ôîòî÷óâñòâèòåëüíûé ñëîé (ôîòîêàòîä). Â öåíòðå
êîëáû ðàñïîëîæåí àíîä. Êðàñíàÿ ãðàíèöà ôîòîêàòîäà çàâèñèò îò ÷èñòîòû åãî
ïîâåðõíîñòè. ×òîáû ñìåñòèòü l0 â äëèííîâîëíîâóþ îáëàñòü ñïåêòðà, èçãîòîâëÿþò ñëîæíûå ôîòîêàòîäû, ïîâåðõíîñòü êîòîðûõ ïîêðûâàþò òîíêèì ñëîåì
èíòåðìåòàëëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé, îêñèäîâ è äð. Ýòî ïîçâîëÿåò âàðüèðîâàòü l0
îò êîðîòêîâîëíîâîãî óëüòðàôèîëåòà (l0 » 2 000 D) äî áëèçêîé ÈÊ-îáëàñòè (l0»
» 15 000 D).
Åñëè Nô — ÷èñëî ïàäàþùèõ ôîòîíîâ â åäèíèöó âðåìåíè, òî ÷èñëî âûáèòûõ
ôîòîýëåêòðîíîâ
Ne = hNô,
(25.6)
ãäå h — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, íàçûâàåìûé êâàíòîâûì âûõîäîì.
Îí õàðàêòåðèçóåò ÷óâñòâèòåëüíîñòü ôîòîêàòîäà è íå çàâèñèò îò åãî
îñâåùåííîñòè.
Ïîñêîëüêó ôîòîòîê I = eNe, à ñâåòîâîé ïîòîê Ô = hnNô, òî âûðàæåíèå
(25.6) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
I =
h e lÔ
.
hc
(25.7)
Êâàíòîâûé âûõîä çàâèñèò îò äëèíû âîëíû ñâåòà. Áîëüøèì êâàíòîâûì âûõîäîì (h ³ 0,3) îáëàäàþò ñëîæíûå ôîòîêàòîäû, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ â ôîòîýëåìåíòàõ.
Âàæíåéøåé õàðàêòåðèñòèêîé ôîòîýëåìåíòà ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü
Sl =
I
he l
.
=
Ô
hc
(25.8)
Ôîòîòîê â öåïè ôîòîýëåìåíòà îáû÷íî íå ïðåâûøàåò 0,1 ìÀ, ïîýòîìó ñïåêòðàëüíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü èçìåðÿåòñÿ â ìÀ/Âò. Íà ðèñ. 25.4 ïîêàçàíà íîðìèðîâàííàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü Na-K-êàòîäà ïðè ðàçëè÷íîé ïîëÿðèçàöèè (EP è E^) íàêëîííî ïàäàþùåãî íà êàòîä ñâåòà. Ïðè l > l0 » 5 250 D ôîòîòîê
îòñóòñòâóåò è Sl = 0.
Èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ èíòåãðàëüíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü ôîòîêàòîäà ê áåëîìó
ñâåòó îò ëàìïû íàêàëèâàíèÿ ñ âîëüôðàìîâîé íèòüþ ïðè òåìïåðàòóðå 2 850 K. Îíà èçìåðÿåòñÿ â ìèêðîàìïåðàõ íà ëþìåí — ìêÀ/
ëì (ëþìåí — åäèíèöà îñâåùåííîñòè).
Ãàçîíàïîëíåííûå ôîòîýëåìåíòû è ñ÷åò÷èêè ôîòîíîâ. Ïðè ìàëûõ ñâåòîâûõ ïîòîêàõ
÷èñëî ôîòîýëåêòðîíîâ íåâåëèêî.  ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîÿâëÿþòñÿ ñëàáûå èìïóëüñû
òîêà, êîòîðûå òðóäíî ðåãèñòðèðîâàòü. Åñëè
â êîëáå ôîòîýëåìåíòà íàõîäèòñÿ ãàç,
òî ôîòîýëåêòðîíû áóäóò âûçûâàòü åãî èîíèçàöèþ. Â ðåçóëüòàòå èìïóëüñû òîêà áóäóò
Ðèñ. 25.4
óñèëåíû.
303
Ðèñ. 25.5
Íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ ãàçîíàïîëíåííûå ñ÷åò÷èêè ôîòîíîâ, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñ÷åò÷èê Ãåéãåðà ñ ôîòî÷óâñòâèòåëüíûì êàòîäîì. Çà ôèêñèðîâàííîå âðåìÿ èçìåðÿåòñÿ êîëè÷åñòâî èìïóëüñîâ, à çàòåì ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñâåòîâîé ïîòîê. Ñ÷åò÷èêè ïîçâîëÿþò èçìåðÿòü î÷åíü ñëàáûå ñâå÷åíèÿ, êîãäà
Ne £ 102 ñ-1.
Ôîòîýëåêòðîííûå óìíîæèòåëè (ÔÝÓ ). Â ÔÝÓ íàðÿäó ñ êàòîäîì è àíîäîì
èìååòñÿ ðÿä âòîðè÷íûõ ýìèòòåðîâ ýëåêòðîíîâ Ä, íàçûâàåìûõ äèíîäàìè (ðèñ.
25.5, à).
Ôîòîýëåêòðîíû êàòîäà ïðè ïîïàäàíèè íà ïåðâûé äèíîä Ä1 âûáèâàþò âòîðè÷íûå ôîòîýëåêòðîíû, ÷èñëî êîòîðûõ ïðåâûøàåò ÷èñëî ïàäàþùèõ. Îòíîøåíèå ÷èñëà âûáèòûõ ê ÷èñëó ïàäàþùèõ ýëåêòðîíîâ íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì
âòîðè÷íîé ýìèññèè s. Çíà÷åíèå s ìîæåò ïðåâûøàòü 10 è çàâèñèò îò ýíåðãèè
ïåðâè÷íûõ ýëåêòðîíîâ, óãëà èõ ïàäåíèÿ, ìàòåðèàëà äèíîäà è äð.  ÔÝÓ ýìèòòåðû èçãîòîâëÿþò èç ìàòåðèàëîâ ñ áîëüøèì êîýôôèöèåíòîì s.
Âûñîêîå íàïðÿæåíèå U ~ 103  ñ ïîìîùüþ äåëèòåëÿ ïðèêëàäûâàþò ê êàæäîìó äèíîäó òàê, ÷òîáû ïîòåíöèàë ïîñëåäóþùåãî äèíîäà áûë áîëüøå ïîòåíöèàëà ïðåäûäóùåãî. Ýòî ïîçâîëÿåò óñêîðÿòü âòîðè÷íûå ýëåêòðîíû è ïîñëåäîâàòåëüíî óâåëè÷èâàòü èõ ÷èñëî (ðèñ. 25.5, á ).
Êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ îäíîãî êàñêàäà ÔÝÓ k1 = as, ãäå a — äîëÿ ýëåêòðîíîâ, äîñòèãàþùèõ ñëåäóþùåãî äèíîäà.  ñîâðåìåííûõ óìíîæèòåëÿõ a = 0,7— 0,9.
Åñëè ÔÝÓ ñîäåðæèò n îäèíàêîâûõ êàñêàäîâ (äèíîäîâ), òî åãî êîýôôèöèåíò
óñèëåíèÿ
k = k1n = (as ) n .
(25.9)
Ïîëàãàÿ n = 10, a = 0,8, ïîëó÷àåì k = 109. Ðåàëüíûé êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ
íå ïðåâîñõîäèò 107 — 108.
ÔÝÓ õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ, èëè àíîäíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ,
îïðåäåëÿåìîé êàê îòíîøåíèå ôîòîòîêà ê ñâåòîâîìó ïîòîêó, ïàäàþùåìó
íà ôîòîêàòîä. Îíà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ èíòåãðàëüíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ôîòîêàòîäà è êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ è èçìåðÿåòñÿ â àìïåðàõ íà ëþìåí (À/ëì).
Åùå îäíà âàæíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÔÝÓ — ïîðîãîâàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ êàê íàèìåíüøèé ðåãèñòðèðóåìûé ñâåòîâîé ïîòîê. Åñëè ñâåòîâîé
ïîòîê ìåíüøå ïîðîãîâîãî, òî âåëè÷èíà ôîòîòîêà ìåíüøå ñëó÷àéíûõ ôëóêòóàöèé (øóìîâ) òîêà â öåïè ôîòîóìíîæèòåëÿ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â îòñóòñòâèå ñâåòà â öåïè ÔÝÓ áóäåò ñóùåñòâîâàòü ñëó÷àéíûé òåìíîâîé òîê, âîçíèêàþùèé êàê âñëåäñòâèå òåðìîýëåêòðè÷åñêîé ýìèññèè ýëåêòðîíîâ ñ êàòîäà,
òàê è èç-çà óòå÷êè çàðÿäîâ ìåæäó ýëåêòðîäàìè.
304
Òåðìîýëåêòðîííóþ ýìèññèþ ìîæíî ïîíèçèòü óìåíüøåíèåì ïëîùàäè ôîòîêàòîäà, à òàêæå ïîíèæåíèåì åãî òåìïåðàòóðû. Íàïðèìåð, ïðè îõëàæäåíèè ñóðüìÿíî-öåçèåâîãî êàòîäà äî òåìïåðàòóðû æèäêîãî àçîòà òåðìîýìèññèÿ óìåíüøàåòñÿ â 104 ðàç. Îõëàæäåíèå ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àå ñëàáîãî ñâåòîâîãî ïîòîêà,
êîãäà òåìíîâîé òîê ïðåâûøàåò ôîòîòîê. Ïðè ìàëûõ èíòåíñèâíîñòÿõ ñâåòà óìåíüøàåòñÿ ñðåäíåå ÷èñëî Ne ôîòîýëåêòðîíîâ, ïîêèäàþùèõ êàòîä, è óâåëè÷èâàþòñÿ îòíîñèòåëüíûå ôëóêòóàöèè dNe /Ne = 1/ N e .
Ïîëíûé òîê ñ ïîâåðõíîñòè êàòîäà I0 = I + Iò, ÿâëÿþùèéñÿ ñóììîé ôîòîòîêà
I è òåìíîâîãî òîêà Iò, áóäåò ôëóêòóèðóþùèì. Ôëóêòóàöèè, ñâÿçàííûå ñ äèñêðåòíîé ïðèðîäîé ñâåòà è ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ïîëó÷èëè íàçâàíèå äðîáîâîãî
ýôôåêòà. Åñëè íàãðóçêîé ôîòîýëåìåíòà ÿâëÿåòñÿ îìè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå R,
òî èçìåðÿåìîå íà íåì íàïðÿæåíèå U = I0R áóäåò òàêæå ôëóêòóèðîâàòü. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Øîòòêè, íàçâàííîé â ÷åñòü øîòëàíäñêîãî ôèçèêà Â. Øîòòêè, òåîðåòè÷åñêè ïðåäñêàçàâøåãî ýôôåêò, ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà òîêà, ïðîòåêàþùåãî ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå, áóäåò ðàâíî
2
= 2eI 0 Df ,
I äð
(25.10)
ãäå Df — øèðèíà ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ óñèëèòåëÿ òîêà, ïîäêëþ÷åííîãî ê âûõîäó ôîòîýëåìåíòà; I 0 — ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèëû òîêà ñ êàòîäà.
Ïîñêîëüêó ñîãëàñíî (25.8) âåëè÷èíà ôîòîòîêà I = SlÔ, èç ðàâåíñòâà Iïîð =
2
= I äð
ìîæíî îïðåäåëèòü ïîðîãîâîå çíà÷åíèå ñâåòîâîãî ïîòîêà, ðåãèñòðèðóåìîãî ÔÝÓ íà ôîíå øóìîâ. Ïîëàãàÿ â (25.10) I 0 » Iò ? I, íàõîäèì
Ô ïîð =
2eI ò Df
.
Sl
(25.11)
Ïîâûøàÿ êâàíòîâûé âûõîä h (óâåëè÷èâàÿ Sl) è óìåíüøàÿ òåìíîâîé òîê,
ìîæíî ïîíèçèòü ïîðîãîâóþ âåëè÷èíó ñâåòîâîãî ïîòîêà. Ìèíèìàëüíî äîñòèæèìûì çíà÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ Ôïîð » 10-13 ëì, ÷òî â îáëàñòè ìàêñèìóìà Sl ñîîòâåòñòâóåò ïîòîêó ôîòîíîâ ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñîòåí â ñåêóíäó.
Áîëåå ñëàáûå ñâåòîâûå ïîòîêè ìîãóò èçìåðÿòüñÿ ñ ïîìîùüþ ÔÝÓ, ðàáîòàþùèõ â ðåæèìå ñ÷åòà ôîòîíîâ. Åñëè óðîâåíü øóìîâ ÔÝÓ ìàë, òî êàæäûé
ôîòîýëåêòðîí, èñïóùåííûé êàòîäîì, ïîñëå ðàçìíîæåíèÿ ñîçäàñò èìïóëüñ òîêà,
çíà÷åíèå êîòîðîãî ïîäâåðæåíî ñòàòèñòè÷åñêîìó ðàçáðîñó. Ýòè èìïóëüñû ðåãèñòðèðóþòñÿ õîðîøî ðàçðàáîòàííûìè â ÿäåðíîé ôèçèêå ìåòîäàìè.
 ìàëîøóìíûõ ôîòîýëåêòðîííûõ óìíîæèòåëÿõ ñ 1 ñì2 ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ôîòîêàòîäà çà 1 ñ èñïóñêàåòñÿ â ñðåäíåì ïÿòü-øåñòü òåðìîýëåêòðîíîâ.
Ïîñêîëüêó ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ôîòîêàòîäà íå ïðåâîñõîäèò íåñêîëüêèõ êâàäðàòíûõ ìèëëèìåòðîâ, ñðåäíåå ÷èñëî èñïóùåííûõ êàòîäîì ýëåêòðîíîâ çà 1 ñ
çíà÷èòåëüíî ìåíüøå åäèíèöû. Ýòî ïîçâîëÿåò ðåãèñòðèðîâàòü äàæå åäèíè÷íûå
ôîòîíû.
Âðåìåííîå ðàçðåøåíèå. Âåñüìà âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé ôîòîïðèåìíèêîâ ÿâëÿåòñÿ âðåìåííûå ðàçðåøåíèå, îïðåäåëÿåìîå ïîñòîÿííîé âðåìåíè tïð. Ýòà
âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò èíåðöèîííîñòü ïðîòåêàþùèõ â íèõ ïðîöåññîâ. Îïèñàííûå âûøå ïðèåìíèêè, ðàáîòàþùèå íà îñíîâå âíåøíåãî ôîòîýôôåêòà, ÿâëÿþòñÿ áûñòðîäåéñòâóþùèìè. Èõ âðåìåííîå ðàçðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïðåæäå
âñåãî ðàçáðîñîì âðåìåíè âûõîäà ýëåêòðîíîâ èç êàòîäà è ðàçáðîñîì âðåìåíè
ïðîëåòà îò êàòîäà ê àíîäó âñëåäñòâèå ðàçíûõ íà÷àëüíûõ ñêîðîñòåé ýëåêòðîíîâ.
305
Íàèëó÷øåå ðàçðåøåíèå ñîâðåìåííûõ
ôîòîýëåêòðè÷åñêèõ ïðèåìíèА
P
U(t)
êîâ
ñîñòàâëÿåò
âåëè÷èíó tïð » 50 ïñ.
x
Ó
ôîòîóìíîæèòåëåé
èç-çà áîëüøîé
П1
l
äëèíû
ïðîáåãà
ýëåêòðîíîâ
U0
d
Э
âðåìåííîå
ðàçðåøåíèå
tïð ³ 100 ïñ.
y
П
Ýëåêòðîííî-îïòè÷åñêàÿ
êàìåðà.
2
L
Ýòîò
ïðèåìíèê
ÿâëÿåòñÿ
âûñîêîO
x
÷óâñòâèòåëüíûì ôîòîðåãèñòðàòîðîì
Полоска
ñ ïðåäåëüíî íèçêèì âðåìåííûì
ðàçðåøåíèåì tïð ~ 1 ïñ. Óñòðîéñòâî
êàìåðû
ïîêàçàíî íà ðèñ. 25.6.
Ðèñ. 25.6
Îíà íàïîìèíàåò ýëåêòðîííî-ëó÷åâóþ òðóáêó è ñîñòîèò èç ôîòîêàòîäà Ê, àíîäà À, ôîêóñèðóþùåé ñèñòåìû (íà
ðèñóíêå íå ïîêàçàíà), îòêëîíÿþùèõ ïëàñòèí Ï1 è Ï2 è ëþìèíåñöèðóþùåãî
ýêðàíà. Íà ïëàñòèíû ïîäàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîå âðåìåíè îòêëîíÿþùåå íàïðÿæåíèå U(t). Ïîýòîìó ïðè îñâåùåíèè ñâåòîì ôîòîêàòîäà èçîáðàæåíèå òî÷êè
P åãî ïîâåðõíîñòè íà ýêðàíå áóäåò âûãëÿäåòü êàê òîíêàÿ ïîëîñêà. Ïîýòîìó ýòî
óñòðîéñòâî íàçûâàþò ñòðèê-êàìåðîé (îò àíãë. streak — ïîëîñêà). Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñìåùåíèå âî âðåìåíè âäîëü îñè Oy èçîáðàæåíèÿ òî÷êè P ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó
Свет
К
y (t ) =
lL
U (t ),
2U 0d
(25.12)
ãäå U0 — óñêîðÿþùåå íàïðÿæåíèå ìåæäó àíîäîì è êàòîäîì; l — äëèíà ïëàñòèí
â íàïðàâëåíèè ïîëåòà ýëåêòðîíîâ; d — ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè; L —
ðàññòîÿíèå îò ïëàñòèí äî ýêðàíà (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî L ? l ).
Åñëè çà âðåìÿ Dt = 10-9 ñ íàïðÿæåíèå U âîçðàñòàåò äî 1 êÂ, òî èçîáðàæåíèå
òî÷êè P íà ýêðàíå áóäåò ñìåùàòüñÿ çà âðåìÿ dt = 10-12 ñ íà dy = 0,1 ìì, â ïðåäåëàõ êîòîðîãî ìîæíî àíàëèçèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè. ßðêîñòü
ïîëó÷åííîãî èçîáðàæåíèÿ â âèäå ïîëîñêè çàòåì óñèëèâàåòñÿ è äàëåå ëèáî
ôîòîãðàôèðóåòñÿ, ëèáî çàïèñûâàåòñÿ îïòè÷åñêèì ìíîãîêàíàëüíûì àíàëèçàòîðîì. Èç ðàñïðåäåëåíèÿ îñâåùåííîñòè âäîëü ïîëîñêè ìîæíî ïîëó÷èòü
èíôîðìàöèþ îá îãèáàþùåé è äëèòåëüíîñòè äàæå ïèêîñåêóíäíûõ èìïóëüñîâ,
ïîñêîëüêó âðåìåííîå ðàçðåøåíèå tïð = 10-12 ñ ïîçâîëÿåò ýòî ñäåëàòü.
 òàêèõ ýêñïåðèìåíòàõ ïàäàþùèé ïèêîñåêóíäíûé èìïóëüñ âíà÷àëå ðàçäåëÿåòñÿ íà äâà èìïóëüñà, îäèí èç êîòîðûõ çàïóñêàåò ãåíåðàòîð îòêëîíÿþùåãî
íàïðÿæåíèÿ, à äðóãîé ïîñëå âðåìåííîé çàäåðæêè ïîðÿäêà 60 ïñ ïîïàäàåò íà
ôîòîêàòîä ÷åðåç ùåëü, âûòÿíóòóþ âäîëü îñè Ox. Åå èçîáðàæåíèå ðàçâîðà÷èâàåòñÿ â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè è çàòåì àíàëèçèðóåòñÿ.
Ôîòîðåçèñòîðû. Ýòî ïðèåìíèêè ñâåòà, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò âíóòðåííèé
ôîòîýôôåêò. Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïëàñòèíêè èç ïîëóïðîâîäíèêîâîãî ìàòåðèàëà ëèáî òîíêèå ïëåíêè, êîòîðûå ïîñëåäîâàòåëüíî ñ ñîïðîòèâëåíèåì íàãðóçêè âêëþ÷àþò â öåïü ïîñòîÿííîãî èëè ïåðåìåííîãî òîêà. Íàïðÿæåíèå ïèòàíèÿ íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ îò åäèíèö äî ñîòíè âîëüò. Áåç ñâåòà â ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè òå÷åò ñëàáûé òåìíîâîé òîê.
Ïðè îñâåùåíèè èç-çà âíóòðåííåãî ôîòîýôôåêòà ïîÿâëÿþòñÿ ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû. Ïîñëåäíèå ïóòåì óäàðíîé èîíèçàöèè ïðèâîäÿò ê îáðàçîâàíèþ íîâûõ
306
íîñèòåëåé çàðÿäà, è êâàíòîâûé âûõîä ôîòîðåçèñòîðîâ ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî áîëüøå åäèíèöû. Äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ â ïîëóïðîâîäíèêå íåîáõîäèìî, ÷òîáû ýíåðãèÿ ôîòîíà W = hc/l áûëà áîëüøå øèðèíû çàïðåùåííîé çîíû DW. Òîãäà äëÿ äëèíû âîëíû, îïðåäåëÿþùåé êðàñíóþ ãðàíèöó
âíóòðåííåãî ôîòîýôôåêòà, ïîëó÷àåì, ìêì,
l 0 (ìêì) =
1,24
.
DW (ýÂ)
(25.13)
Äëÿ ïîëóïðîâîäíèêà CdS øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû ðàâíà 2,4 ýÂ, ïîýòîìó
l0 » 0,5 ìêì; äëÿ PbS DW = 0,37 ýÂ è l0 = 3 ìêì.
Áîëüøîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè ôîòîðåçèñòîðû èç óêàçàííûõ âûøå ñóëüôèäîâ êàäìèÿ è ñâèíöà, ñåëåíèäîâ êàäìèÿ (CdSe) è ñâèíöà (PbSe) è äð. Äîáàâëÿÿ â ïîëóïðîâîäíèêè ðàçëè÷íûå ïðèìåñè (ëåãèðóÿ ïîëóïðîâîäíèêè), ìîæíî
ñîçäàòü ôîòîðåçèñòîðû, ïðèìåíÿåìûå â äàëüíåé ÈÊ-îáëàñòè ñïåêòðà.
Âðåìåííîå ðàçðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòÿìè ïðîöåññîâ ãåíåðàöèè
è ðåêîìáèíàöèè íîñèòåëåé çàðÿäîâ è äðóãèìè ôàêòîðàìè è ó ðÿäà ëåãèðîâàííûõ
ïîëóïðîâîäíèêîâ ìîæåò äîñòèãàòü tïð = 10-9 ñ. Ïðè î÷åíü ñëàáûõ ñâåòîâûõ ïîòîêàõ Ô ñèëà òîêà I µ Ô. Ïðè óâåëè÷åíèè îñâåùåííîñòè ñâÿçü ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì è ñâåòîâûì ïîòîêîì ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíîé.
Ôîòîäèîäû. Ôîòîäèîä ñîñòîèò èç äâóõ ñëîåâ îäíîãî è òîãî æå âåùåñòâà.
Îáû÷íî òàêèì âåùåñòâîì ÿâëÿåòñÿ êðåìíèé (Si) èëè ãåðìàíèé (Ge). Ñëîè
èìïëàíòèðîâàíû ðàçíûìè ïðèìåñÿìè, îáëàäàþùèìè ýëåêòðîííîé (n) è äûðî÷íîé (p) ïðîâîäèìîñòÿìè. Óñòðîéñòâî êðåìíèåâîãî ôîòîäèîäà ïîêàçàíî íà
ðèñ. 25.7.
Íà ïîäëîæêó (ïëàñòèíêó) íàïûëÿþò äâà ñëîÿ êðåìíèÿ, çàòåì íàíîñÿò ïëåíêó
SiO2, êîòîðàÿ èãðàåò ðîëü ïðîñâåòëÿþùåãî ñëîÿ. Ñâåò ïàäàåò ïåðïåíäèêóëÿðíî
ê ïîâåðõíîñòè ïëåíêè. Ïðè ïîïàäàíèè íà p—n-ïåðåõîä ôîòîíîâ, ýíåðãèÿ êîòîðûõ äîñòàòî÷íà äëÿ âíóòðåííåãî ôîòîýôôåêòà, ïðîèñõîäèò ïîãëîùåíèå ñâåòà
ñ îáðàçîâàíèåì ïàðû ýëåêòðîí — äûðêà. Ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
(êîíòàêòíîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ), ñóùåñòâóþùåãî â p—n-ïåðåõîäå, ýëåêòðîí ïåðåìåùàåòñÿ â ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííóþ p-îáëàñòü, à äûðêà — â îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííóþ n-îáëàñòü.  ðåçóëüòàòå íà êîíòàêòàõ, ñîïðèêàñàþùèõñÿ
ñ ýòèìè îáëàñòÿìè, âîçíèêàåò ôîòîÝÄÑ.  ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü ôîòîäèîäû âêëþ÷àþòñÿ äâóìÿ ñïîñîáàìè.
Íà ðèñ. 25.8, à ïîêàçàíà ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà, êîãäà ôîòîïðèåìíèê ðàáîòàåò
â ôîòîäèîäíîì ðåæèìå.
Çäåñü îò èñòî÷íèêà ñ ïîñòîÿííîé ÝÄÑ ê ôîòîäèîäó ïðèëîæåíî çàïèðàþùåå
íàïðÿæåíèå.  îòñóòñòâèå ñâåòà ÷åðåç äèîä ïðîòåêàåò ñëó÷àéíûé òåìíîâîé òîê Iò.
Ïðè îñâåùåíèè êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ (ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð)
óìåíüøàåòñÿ è òîê I â öåïè âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî ñâåòîâîìó ïîòîêó (èíòåíñèâíîñòè ñâåòà) è íå çàâèñèò îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ.
Êàê ïîêàçûâàåò àíàëèç, I ò2 µ T (T — òåìïåðàòóðà äèîäà). Ïîýòîìó, îõëàæäàÿ äèîä, ìîæíî
óìåíüøàòü òåìíîâîé òîê. Ïðè îõëàæäåíèè ôîòîäèîäà äî òåìïåðàòóðû æèäêîãî àçîòà åãî ìîæÐèñ. 25.7
íî èñïîëüçîâàòü â ðåæèìå ñ÷åòà ôîòîíîâ.
307
Ðèñ. 25.8
Íà ðèñ. 25.8, á ïîêàçàíà äðóãàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà, â êîòîðîé èñòî÷íèê ñ
ïîñòîÿííîé ÝÄÑ îòñóòñòâóåò.  ýòîì ñëó÷àå ôîòîäèîä ðàáîòàåò â òàê íàçûâàåìîì ôîòîâåíòèëüíîì ðåæèìå. Çäåñü èçìåðèòåëüíûìè ïðèáîðàìè èçìåðÿåòñÿ ëèáî
ôîòîÝÄÑ, ëèáî ôîòîòîê, êîòîðûå òàêæå ïðîïîðöèîíàëüíû ñâåòîâîìó ïîòîêó.
 ýòîì ðåæèìå ðàáîòàþò òàêæå êðåìíèåâûå ôîòîýëåìåíòû, èñïîëüçóåìûå â
«ñîëíå÷íûõ» áàòàðåÿõ.
Êðåìíèåâûå ôîòîäèîäû îáëàäàþò øèðîêîé îáëàñòüþ ñïåêòðàëüíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè: 0,4 ìêì < l < 1,1 ìêì. Ïðè l < 0,4 ìêì óñèëèâàåòñÿ ïîãëîùåíèå êðåìíèÿ, ïîýòîìó äëÿ ýòîé îáëàñòè äèîä ñî÷åòàþò ñ ôëóîðåñöèðóþùèìè
ïîêðûòèÿìè ñ áîëüøèì êâàíòîâûì âûõîäîì. Ó ãåðìàíèåâîãî äèîäà îáëàñòü
ñïåêòðàëüíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè íåñêîëüêî ñäâèíóòà â îáëàñòü áîëåå äëèííûõ
âîëí.
Ïî ñðàâíåíèþ ñ ÔÝÓ ôîòîäèîäû îáëàäàþò çíà÷èòåëüíî ìåíüøåé ìàññîé
è ãàáàðèòíûìè ðàçìåðàìè, ïðîòèâîóäàðíîé óñòîé÷èâîñòüþ è äð. Êðîìå òîãî,
â ôîòîäèîäíîì ðåæèìå îíè ðàáîòàþò ïðè íåâûñîêèõ íàïðÿæåíèÿõ ~10 — 15 Â.
Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè çàâèñèò îò äëèíû âîëíû ñâåòà, êîíñòðóêöèè ôîòîäèîäà
è ìîæåò äîñòèãàòü âåëè÷èíû tïð ~ 10-9 ñ.
CCD-ìàòðèöû. Â ñîâðåìåííûõ öèôðîâûõ ôîòî-, âèäåîêàìåðàõ, ñêàíåðàõ
è äðóãèõ óñòðîéñòâàõ â êà÷åñòâå ïðèåìíèêîâ ñâåòà èñïîëüçóþòñÿ CCD-ìàòðèöû
(Charged Coupled Device). Ñâåòî÷óâñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè òàêîé ìàòðèöû
ÿâëÿþòñÿ ôîòîäèîäû, ïðåîáðàçóþùèå ñâåò â ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. Ïîýòîìó
åùå óïîòðåáëÿåòñÿ è äðóãîå íàçâàíèå: ÏÇÑ-ìàòðèöà (ïðåîáðàçîâàòåëü ñâåò —
ñèãíàë).
Ñ÷èòûâàåìûé ñ ìàòðèöû àíàëîãîâûé ýëåêòðè÷åñêèé ñèãíàë çàòåì ïðåîáðàçóåòñÿ â öèôðîâîé ñ ïîìîùüþ àíàëîãî-öèôðîâîãî ïðåîáðàçîâàòåëÿ. Äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ èçîáðàæåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðîöåññîð, ïðåîáðàçóþùèé öèôðîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ â âèäåîñèãíàë.
Íà ðèñ. 25.2 öâ. âêë. ïîêàçàí ôðàãìåíò ìàòðèöû, ñîäåðæàùèé òðè ýëåìåíòà
(ïèêñåëÿ). Íà êàæäûé ñâåòîäèîä, èçîáðàæåííûé æåëòûì öâåòîì, ïàäàþùèé
ñâåò ïîïàäàåò ïîñëå ïðåäâàðèòåëüíîé ôîêóñèðîâêè ìèêðîëèíçîé è ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç àáñîðáöèîííûé ñâåòîôèëüòð. Ìåæäó ôîòîäèîäîì è ïîäëîæêîé
â ìèêðîÿ÷åéêàõ íàêàïëèâàþòñÿ ýëåêòðîíû.
Îäíîé èç âàæíåéøèõ õàðàêòåðèñòèê êà÷åñòâà ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ, êîòîðîå ìîæåò àêêóìóëèðîâàòü êàæäûé ïèêñåë. ×åì
áîëüøå ýòî ÷èñëî, òåì ìåíüøå âëèÿíèå øóìîâ, ñâÿçàííûõ êàê ñ ðàçáðîñîì
÷èñëà ýëåêòðîíîâ, òàê è ðàçáðîñîì öèôðîâûõ êîäîâ îäèíàêîâûõ çàðÿäîâ ïðè
àíàëîãî-öèôðîâîì ïðåîáðàçîâàíèè.
308
Ðàçðåøåíèå ìàòðèö, ïðèìåíÿåìûõ â ñîâðåìåííûõ ïðèåìíûõ óñòðîéñòâàõ,
ñîñòàâëÿåò îò 11 ìëí äî 22 ìëí ïèêñåëåé.
Òåïëîâûå ïðèåìíèêè. Ïðèíöèï äåéñòâèÿ òàêèõ ïðèåìíèêîâ îñíîâàí íà èçìåíåíèè ñâîéñòâ âåùåñòâà, èç êîòîðîãî ñäåëàí ïðèåìíèê, ïðè åãî íàãðåâàíèè
çà ñ÷åò ïîãëîùàåìîé ñâåòîâîé ýíåðãèè. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå ïðèåìíèêè ýòîãî òèïà.
Áîëîìåòðû. Èõ äåéñòâèå îñíîâàíî íà çàâèñèìîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ îò òåìïåðàòóðû. Ïîýòîìó áîëîìåòð âêëþ÷àþò â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü
âìåñòå ñ èñòî÷íèêîì òîêà. Îñâåùàåìûé ñâåòîì ýëåìåíò áîëîìåòðà (ðàáî÷èé
ýëåìåíò) äîëæåí îáëàäàòü õîðîøåé ïîãëîùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ è ñóùåñòâåííî èçìåíÿòü ñâîå ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïðè íàãðåâå. Ïîñêîëüêó
â îäíîì âåùåñòâå ýòè îáà óñëîâèÿ ðåàëèçîâàòü êðàéíå ñëîæíî, ðàáî÷èé ýëåìåíò
ñîñòîèò èç ïîãëîùàþùåãî è ñâåòî÷óâñòâèòåëüíîãî ñëîåâ, ðàçäåëåííûõ òîíêîé
èçîëèðóþùåé ïëåíêîé. Ñâåòî÷óâñòâèòåëüíûé ñëîé ìîæåò áûòü ìåòàëëè÷åñêèì,
ïîëóïðîâîäíèêîâûì è ñâåðõïðîâîäÿùèì è îïðåäåëÿåò ñîîòâåòñòâóþùèé òèï
áîëîìåòðà.
 ìåòàëëè÷åñêèõ áîëîìåòðàõ íà òîíêóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïëåíêó íàïûëÿþò
ñ îäíîé ñòîðîíû ìåòàëëè÷åñêèé ïðîâîäÿùèé ñëîé òîëùèíîé â äîëè ìèêðîìåòðà, à ñ äðóãîé — ñëîé çîëîòîé ÷åðíè òîëùèíîé äåñÿòêè ìèêðîìåòðîâ,
ñîñòîÿùèé èç îñàæäåííûõ êðóïíûõ ÷àñòèö ñëèïøèõñÿ àòîìîâ çîëîòà. Âèçóàëüíî
ýòîò ñëîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðûõëóþ ÷åðíóþ ïîâåðõíîñòü. Ðàçìåðû ðàáî÷åãî
ýëåìåíòà â ôîðìå ïîëîñêè íåìíîãî ïðåâûøàþò ðàçìåðû èçîáðàæåíèÿ
ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, ôîðìèðóåìûõ ñïåêòðàëüíûìè ïðèáîðàìè. Ïîýòîìó
øèðèíà ïîëîñêè â âèäèìîé è áëèæíåé ÈÊ-îáëàñòè ñîñòàâëÿåò äîëè ìèëëèìåòðà, à â äàëüíåé ÈÊ-îáëàñòè äîñòèãàåò âåëè÷èíû 1 — 2 ìì.
Ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïîëîñêè, èçãîòîâëåííîé, íàïðèìåð, èç âèñìóòà, êîëåáëåòñÿ â ïðåäåëàõ 200— 300 Îì.  ðàáî÷åì ðåæèìå (â îòñóòñòâèå ñâåòà)
÷åðåç íåå ïðîòåêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê 2 — 5 ìÀ è âûäåëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ
ìîùíîñòü â äèàïàçîíå 0,4 — 1,5 Âò.  ðåçóëüòàòå ïîëîñêà íàãðåâàåòñÿ íà 40 —
50 °Ñ. Åñëè ïîãëîùàåìàÿ ñâåòîâàÿ ìîùíîñòü áóäåò ïîðÿäêà 1 Âò, òî ïîëîñêà
íàãðååòñÿ åùå íà òàêóþ æå âåëè÷èíó.  ýòîì äèàïàçîíå òåìïåðàòóð ñîïðîòèâëåíèå âèñìóòà âîçðàñòàåò ïðîïîðöèîíàëüíî òåìïåðàòóðå. Îíî ìîæåò áûòü èçìåðåíî
ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ ñ ïîìîùüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ìîñòà, â îäíî èç ïëå÷ êîòîðîãî ïîìåùàþò áîëîìåòð. Çàòåì ïî ãðàäóèðîâî÷íîé êðèâîé ìîæíî îïðåäåëèòü
è ìîùíîñòü ñâåòîâîãî ïîòîêà.
Áûñòðîäåéñòâèå áîëîìåòðà õàðàêòåðèçóåòñÿ âðåìåíåì óñòàíîâëåíèÿ òåìïåðàòóðû â ðàáî÷åì ýëåìåíòå, êîòîðîå çàâèñèò îò åãî ðàçìåðîâ è êîýôôèöèåíòà
òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëîâ ýëåìåíòà.
Äëÿ ïîâûøåíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè áîëîìåòðà ðàáî÷èé ýëåìåíò ïîìåùàþò
â êîëáó, äàâëåíèå âîçäóõà â êîòîðîé 10-2 — 1 ìì ðò. ñò. Ýòî ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óìåíüøèòü òåïëîîòâîä îò ðàáî÷åãî ýëåìåíòà â îêðóæàþùóþ ñðåäó, íî
ïðè ýòîì âîçðàñòàåò âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ òåìïåðàòóðû â ðàáî÷åì ýëåìåíòå è
áûñòðîäåéñòâèå áîëîìåòðà ñíèæàåòñÿ. Õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé
âðåìåíè tïð ~ 0,1 — 1 ñ.
Ïîëóïðîâîäíèêîâûå áîëîìåòðû, èëè òåðìèñòîðû, èìåþò ïîëóïðîâîäíèêîâûé ñâåòî÷óâñòâèòåëüíûé ñëîé òîëùèíîé 20 — 30 ìêì, êîòîðûé íàíîñÿò íà
ìàññèâíóþ äèýëåêòðè÷åñêóþ ïîäëîæêó ñ õîðîøåé òåïëîïðîâîäíîñòüþ. ×óâñòâèòåëüíîñòü òåðìèñòîðîâ ïðèìåðíî íà ïîðÿäîê âûøå ÷óâñòâèòåëüíîñòè ìå309
òàëëè÷åñêèõ áîëîìåòðîâ. Ïîñêîëüêó ïîëóïðîâîäíèêè îáëàäàþò îòðèöàòåëüíûì
òåìïåðàòóðíûì êîýôôèöèåíòîì ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðè èçëèøíåì íàãðåâå òîê
ìîæåò íà÷àòü ëàâèíîîáðàçíî âîçðàñòàòü. Ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê ðàçðóøåíèþ
áîëîìåòðà. Ïîýòîìó îïòèìàëüíàÿ ðàáî÷àÿ òåìïåðàòóðà òåðìèñòîðà îêîëî 300 K.
Èç-çà ìàññèâíîñòè ðàáî÷åãî ýëåìåíòà òåðìèñòîðà âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ òåìïåðàòóðû çíà÷èòåëüíî áîëüøå, ÷åì ó ìåòàëëè÷åñêîãî áîëîìåòðà. Ïîýòîìó òåðìèñòîðû âûãîäíî ïðèìåíÿòü äëÿ èçìåðåíèÿ ìîäóëèðîâàííîãî âî âðåìåíè ñâåòîâîãî ïîòîêà, êîãäà ïðîèñõîäèò íåñòàöèîíàðíûé íàãðåâ ðàáî÷åãî ýëåìåíòà.
Îäíàêî ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà ýëåìåíòà áóäåò çàâèñåòü îò ÷àñòîòû ìîäóëÿöèè
(÷åì âûøå ÷àñòîòà, òåì ìåíüøå òåìïåðàòóðà), è íàãðåâ ýëåìåíòà áóäåò ìåíüøå, ÷åì ïðè ïàäåíèè íåìîäóëèðîâàííîãî ñâåòà òîé æå ìîùíîñòè. Ýòî, áåçóñëîâíî, ñíèæàåò ÷óâñòâèòåëüíîñòü òåðìèñòîðà.
Ñâåðõïðîâîäÿùèå áîëîìåòðû îáëàäàþò î÷åíü âûñîêîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ,
ïîñêîëüêó â ñâåðõïðîâîäÿùåì ñîñòîÿíèè ìàòåðèàëû èìåþò òåìïåðàòóðíûé
êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ 1 — 10 K-1. Êðîìå òîãî, ïðè ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðû óìåíüøàþòñÿ øóìû. Âðåìåííîå ðàçðåøåíèå ìîæåò áûòü óìåíüøåíî
äî
tïð ~ 0,5 ìñ.
Òåðìîýëåìåíòû.  îñíîâå êîíñòðóêöèè òåðìîýëåìåíòà íàõîäèòñÿ òåðìîïàðà, îäèí èç ñïàåâ êîòîðîé îñâåùàåòñÿ ñâåòîì. Ïðè íàãðåâàíèè ýòîãî ñïàÿ ñâåòîì âîçíèêàåò òåðìîÝÄÑ. Äëÿ åå óâåëè÷åíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîâûøåíèÿ
÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðèåìíèêà òåðìîïàðû ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíÿþò â òåðìîñòîëáèê (ðèñ. 25.9).
 êà÷åñòâå ìàòåðèàëîâ äëÿ òåðìîïàð èñïîëüçóþòñÿ, íàïðèìåð, âèñìóò
è ñóðüìà, âèñìóò è òåëëóð è äðóãèå ñ öåëüþ äîñòè÷ü êàê ìîæíî áîëüøåé
òåðìîÝÄÑ ïðè ìèíèìàëüíîì ýëåêòðè÷åñêîì ñîïðîòèâëåíèè è íèçêîé òåïëîïðîâîäíîñòè.
Êîíñòðóêòèâíî òåðìîýëåìåíò ñîñòîèò èç ïîãëîùàþùåãî ñëîÿ 1, ìåòàëëè÷åñêîãî ñëîÿ 2, ñîïðèêàñàþùåãîñÿ ñî ñòåðæíÿìè 3, èçãîòîâëåííûìè èç ìàòåðèàëîâ òåðìîïàðû (ðèñ. 25.10).
Îáà ñëîÿ è ñîïðèêàñàþùèåñÿ ñ íèìè â äâóõ òî÷êàõ ñòåðæíè ïðåäñòàâëÿþò
ñîáîé îäèí èç ñïàåâ òåðìîïàðû. Ñòåðæíè îïèðàþòñÿ íà îñíîâàíèå 4, îáåñïå÷èâàþùåå æåñòêîñòü êîíñòðóêöèè. Îò ñòåðæíåé îòõîäÿò êîíòàêòû, ñ ïîìîùüþ
êîòîðûõ ïðèåìíèê âêëþ÷àåòñÿ â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü. Òåðìîýëåìåíò ïîìåùàåòñÿ â áàëëîí ñ âûñîêèì âàêóóìîì. Ýòî ïîçâîëÿåò óìåíüøèòü îòòîê òåïëà
îò íàãðåòîãî ñïàÿ ê õîëîäíîìó. Îäíàêî èç-çà ìàññèâíîñòè êîíñòðóêöèè
âðåìåííîå ðàçðåøåíèå äîñòàòî÷íî âåëèêî: tïð ~ 10 — 50 ìñ.
Ðèñ. 25.9
310
Ðèñ. 25.10
Ïèðîýëåêòðè÷åñêèå ïðèåìíèêè. Íåêîòîðûå êðèñòàëëû, íå îáëàäàþùèå öåíòðîì
ñèììåòðèè, îáëàäàþò ïîñòîÿííûì
äèïîëüíûì ìîìåíòîì â íàïðàâëåíèè ïîëÿðíîé îñè. Ïîýòîìó ïðè ñðåçå êðèñòàëëà
ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé îñè ïîâåðõíîñòü
ñðåçà áóäåò ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåíà
ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ, ðàâíîé íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé äèïîëüíîãî
Ðèñ. 25.11
ìîìåíòà êðèñòàëëà. Îäíàêî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (âðåìåíè ðåëàêñàöèè) ýòîò çàðÿä ïîñòåïåííî íåéòðàëèçóåòñÿ çà ñ÷åò èîíîâ è ýëåêòðîíîâ, îñàæäàþùèõñÿ èç âîçäóõà,
à òàêæå çà ñ÷åò ìèêðîòîêîâ, ñóùåñòâóþùèõ â êðèñòàëëå.
Ïðè áûñòðîì íàãðåâàíèè ìîæíî íàðóøèòü îðèåíòàöèþ äèïîëåé â êðèñòàëëå è òåì ñàìûì èçìåíèòü ïîâåðõíîñòíûé çàðÿä. Çà âðåìÿ, ìåíüøåå âðåìåíè
ðåëàêñàöèè, ýòîò çàðÿä ìîæíî îáíàðóæèòü è èçìåðèòü åãî çíà÷åíèå. Ýôôåêò,
ñâÿçàííûé ñ ïîÿâëåíèåì ïîâåðõíîñòíîãî çàðÿäà ïðè áûñòðîì íàãðåâàíèè êðèñòàëëà, íàçûâàåòñÿ ïèðîýëåêòðè÷åñêèì ýôôåêòîì.
Äëÿ ïèðîïðèåìíèêîâ âûáèðàþò ìàòåðèàëû ñ íàèáîëüøèì ïèðîýëåêòðè÷åñêèì ýôôåêòîì, õîðîøåé ïîãëîùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ, áîëüøèì ýëåêòðè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì è ìàëîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ. Øèðîêîå ïðèìåíåíèå
ïîëó÷èëè òàíòàëàò ëèòèÿ (LiTaO3) è òðèãëèöèíñóëüôàò (NH2CH2OOH)3 × H2SO4.
Óñòðîéñòâî ïèðîïðèåìíèêà ïîêàçàíî íà ðèñ. 25.11.
Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà Ê ïèðîýëåêòðèêà íàêëåèâàåòñÿ íà ïîäëîæêó Ï
è ïîìåùàåòñÿ ìåæäó äâóìÿ ïëîñêèìè ýëåêòðîäàìè, êîòîðûå ñ ïîìîùüþ êîíòàêòîâ ïîäêëþ÷àþò ê ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè â
ðàçíûõ ïðèåìíèêàõ ëåæèò â ïðåäåëàõ îò äîëåé äî ñîòíè êâàäðàòíûõ ìèëëèìåòðîâ. Ïàäàþùèé íà ïëàñòèíêó ñâåò ëèáî ïîãëîùàåòñÿ ñàìèì êðèñòàëëîì (ðèñ.
25.11, à), ëèáî ïîãëîùåíèå ïðîèñõîäèò â ÷åðíîì ñëîå ×, íàíåñåííîì íà îäèí
èç ýëåêòðîäîâ (ðèñ. 25.11, á ). Ïðè íàãðåâàíèè ïëàñòèíêè ñâåòîì íà ýëåêòðîäàõ
âîçíèêàåò ïèðîÝÄÑ, êîòîðàÿ ðåãèñòðèðóåòñÿ èçìåðèòåëüíûìè ïðèáîðàìè. Åå âåëè÷èíà ïðîïîðöèîíàëüíà ïðèðàùåíèþ òåìïåðàòóðû DT.
Ïèðîýëåêòðèêè ïðèìåíÿþò êàê äëÿ èçìåðåíèÿ ïàðàìåòðîâ èìïóëüñîâ, äëèòåëüíîñòü êîòîðûõ t0 < tT (tT — âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ òåìïåðàòóðû â ïèðîýëåêòðè÷åñêîé ïëàñòèíêå), òàê è êâàçèíåïðåðûâíîãî èçëó÷åíèÿ.
Åñëè t0 < tT, òî ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì (2.21) ïðèðàùåíèå òåìïåðàòóðû
DT ~ W (W — ýíåðãèÿ èìïóëüñà). Äëÿ òàêèõ èçìåðåíèé èñïîëüçóåòñÿ ïîäëîæêà
ñ ïëîõîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ è âðåìÿ ðåëàêñàöèè tT » 0,01 — 1 ñ.
Ïðè t0 ? tT ïðèðàùåíèå DT ~ P (P — ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ). Äëÿ óìåíüøåíèÿ âðåìåíè ðåëàêñàöèè äî 10-8 ñ ñâåòî÷óâñòâèòåëüíûé ïèðîýëåêòðèê èçãîòîâëÿþò â âèäå òîíêîé ïëåíêè, íàêëåèâàåìîé íåïîñðåäñòâåííî íà ìåòàëëè÷åñêèé ýëåêòðîä, îáëàäàþùèé âûñîêîé òåïëîïðîâîäíîñòüþ.
Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè ìíîãîýëåìåíòíûå ïèðîïðèåìíèêè,
ïðîèçâîäèìûå â âèäå ëèíååê è ìàòðèö. Îíè âûïîëíåíû èç îäíîé ïëàñòèíû
ïèðîýëåêòðèêà, íà êîòîðîé âûäåëåíû îòäåëüíûå ïðèåìíûå ýëåìåíòû ðàçìåðîì 30 ´ 30 ìêì2. Ñ÷èòûâàíèå ñèãíàëà (ïîâåðõíîñòíîãî çàðÿäà) ïðîèçâîäèòñÿ
ñêàíèðóþùèì ýëåêòðîííûì ëó÷îì èëè ñðåäñòâàìè ìèêðîýëåêòðîíèêè. Ëèíåé311
êè è ìàòðèöû èñïîëüçóþòñÿ â ðàçíîîáðàçíûõ ìíîãîêàíàëüíûõ ïðèåìíèêàõ,
â òîì ÷èñëå â ñèñòåìàõ ïðèåìà è îáðàáîòêè èçîáðàæåíèé.
Ïèðîìåòðû è òåïëîâèçîðû.  ëåêöèè 6 îòìå÷àëîñü, ÷òî òåìïåðàòóðó óäàëåííîãî òåëà ìîæíî èçìåðèòü ðàäèàöèîííûì ïèðîìåòðîì. Âíåøíèé âèä ïèðîìåòðà
«Ñàëþò» Ñ-210 ïîêàçàí íà ðèñ. 25.3 öâ. âêë. Îí ïîõîæ íà ïîðòàòèâíóþ âèäåîêàìåðó. Îáúåêòèâ ïèðîìåòðà íàïðàâëÿåò ñâåòîâîé ïîòîê íà êðèñòàëë ïèðîýëåêòðèêà. Ïîñëå îáðàáîòêè ñèãíàëà íà òàáëî âûñâå÷èâàåòñÿ öèôðà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåìïåðàòóðå îáúåêòà, íà êîòîðûé íàïðàâëåí ïèðîìåòð. Äèàïàçîí èçìåðÿåìûõ òåìïåðàòóð: -20 — 600 °Ñ.
 ñîâðåìåííûõ ïèðîìåòðàõ ïðèìåíÿþò ïèðîýëåêòðèêè InSb, HgCdTe è äð.
Äèàïàçîí ïðèíèìàåìûõ äëèí âîëí ~3 — 15 ìêì, à äèàïàçîí òåìïåðàòóð ñîîòâåòñòâåííî -20 — 1 500 °Ñ. Òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû äîñòèãàåò ~0,1 °Ñ.
 ðÿäå ïðèáîðîâ äëÿ äîñòèæåíèÿ âûñîêîé òî÷íîñòè òåïëîïðèåìíèê îõëàæäàþò ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòîâ Ïåëüòüå.
Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè òåïëîâèçîðû, êîòîðûå ìîãóò «âèäåòü»
òåïëî. Çäåñü ñ ïîìîùüþ îáúåêòèâà ôîðìèðóåòñÿ èíôðàêðàñíîå èçîáðàæåíèå
ïðåäìåòà. Ýòî èçîáðàæåíèå ñ÷èòûâàåòñÿ ìàòðèöåé, ÿâëÿþùåéñÿ ìíîãîýëåìåíòíûì ïèðîïðèåìíèêîì. Íà æèäêîêðèñòàëëè÷åñêîì ýêðàíå ïðèáîðà ôîðìèðóåòñÿ òåðìîãðàììà, êîòîðàÿ â íåêîòîðîé ïàëèòðå öâåòîâ ïîêàçûâàåò ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ðàçíûõ îáëàñòÿõ èññëåäóåìîãî îáúåêòà. Äëÿ óäîáñòâà àíàëèçà èññëåäóåìîãî òåïëîâîãî ïîëÿ íà ýêðàíå èìååòñÿ öâåòîâàÿ øêàëà ñ îáîçíà÷åííûìè íà íåé çíà÷åíèÿìè òåìïåðàòóð.
Íà ðèñ. 25.4 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíî ôîòî òåïëîâèçîðà ThermaCAM P 640 êîìïàíèè FLIR Systems.
Òåðìîãðàììà, ïîêàçûâàþùàÿ ðàçëè÷íûé íàãðåâ âðàùàþùèõñÿ äåòàëåé äâèãàòåëÿ, ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 25.5 öâ. âêë. Ñïðàâà ðàñïîëîæåíà öâåòîâàÿ øêàëà
òåìïåðàòóð.
Òåïëîâèçîðû ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòü ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóð îáúåêòà ñ òî÷íîñòüþ ~0,1 °Ñ íà ðàññòîÿíèÿõ íà÷èíàÿ ñ 50 ñì. Îíè ïîëó÷èëè øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå â ìåäèöèíå, æèëèùíîì ñòðîèòåëüñòâå (íàõîæäåíèå äåôåêòîâ), â ýíåðãåòèêå (ìîíèòîðèíã ýëåêòðîêîììóíèêàöèé), ïðîìûøëåííîñòè (êîíòðîëü òåïëîâûõ ðåæèìîâ ìåõàíèçìîâ) è äð.
ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ
Àáåððàöèè 219
— êîìà 219
— ñôåðè÷åñêèå 219
— õðîìàòè÷åñêèå 219
Àáñîëþòíî ÷åðíîå òåëî 60
Àêòèâíîñòü îïòè÷åñêàÿ 247
Àêóñòîîïòè÷åñêèé çàòâîð 290
— ìîäóëÿòîð 291
— ôîíîí 290
Àìïëèòóäà 11, 12
Àìïëèòóäíàÿ ìîäóëÿöèÿ 13
Àíèçîòðîïèÿ 229, 254
Àíèçîòðîïíàÿ ñðåäà 229
Àíñàìáëü àòîìîâ 34
Àïåðòóðà ÷èñëîâàÿ 166
Áàëàíñ àìïëèòóä 72
Áèíîðìàëü 233
Áèïðèçìà 100
Áîëîìåòð 309
Áðîóíîâñêàÿ ÷àñòèöà 262
Áðþñòåðà óãîë 206
Âåêòîð âîëíîâîé 31
— Ïîéíòèíãà 17
— ðàññåÿíèÿ 260
Âîëíà êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ 11
— ëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè 274
— ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ 11
— íåëèíåéíîé ïîëÿðèçàöèè
275
— íåîáûêíîâåííàÿ 229
— îáûêíîâåííàÿ 229
— ïëîñêàÿ 9, 135
— ñôåðè÷åñêàÿ 133
— ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíàÿ 96
Âîëíîâîé âåêòîð 263
— ñèíõðîíèçì 275
— ôðîíò 12
Âîëîêîííûé ñâåòîâîä 198, 209
Âîñïðèèì÷èâîñòü ëèíåéíàÿ
271
— êâàäðàòè÷íàÿ 271
— êóáè÷íàÿ 271
Âðåìåííœå ïðåäñòàâëåíèå 39
Âðåìåííœå ðàçðåøåíèå 305
Âðåìÿ æèçíè 33
— êîãåðåíòíîñòè 94
— êîððåëÿöèè 37
Ãàóññîâ èìïóëüñ 13
— êîíòóð 47
— ïó÷îê 13
Ãèðîñêîï ëàçåðíûé 109
Ãîëîãðàììà Äåíèñþêà 173
— Ôðåíåëÿ 172
— Ôóðüå 172
Ãîëîãðàôèÿ 170
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ 131, 203
Äàâëåíèå ñâåòîâîå 21
Äàëüíÿÿ çîíà 91
Äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå 227
Äâóîñíûé êðèñòàëë 229
Äåáàåãðàììà 156
Äåëüòà-ôóíêöèÿ 153
Äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè 32
Äèïîëü 30
Äèñê Ýéðè 164
Äèñïåðãèðóþùèé ýëåìåíò 159
Äèñïåðñèîííàÿ äëèíà 194
— êðèâàÿ 266
Äèñïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå
194
— ñîîòíîøåíèå 178
Äèñïåðñèÿ âðåìåííÿ 8, 177
— ãðóïïîâîé ñêîðîñòè 191
— ëèíåéíàÿ 149
— ïðîñòðàíñòâåííàÿ 8, 177
— óãëîâàÿ 149
— ôàçîâîé ñêîðîñòè 191
Äèôðàêöèîííàÿ äëèíà 127
— ðàñõîäèìîñòü 127
— ðåøåòêà 145
— —, àìïëèòóäíàÿ 146
— —, ôàçîâàÿ 146
Äèôðàêöèÿ 120
— Áðýããà 154
— íåñòàöèîíàðíàÿ 156
— Ðàìàíà — Íàòà 154
Äèõðîèçì 227, 239
Äèýëåêòðè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü 179
— ïðîíèöàåìîñòü 176, 178
Äëèíà âîëíû 11
— —, ïëàçìåííàÿ 201
Äîáðîòíîñòè ìîäóëÿöèÿ 82
Äîáðîòíîñòü 74
Åñòåñòâåííàÿ øèðèíà ëèíèè
èçëó÷åíèÿ àòîìà 75
Çàêîí Áóãåðà — Ëàìáåðòà —
Áåðà 70, 179
— Êèðõãîôà 58
— îòðàæåíèÿ 204
— ïðåëîìëåíèÿ 204
— ñìåùåíèÿ Âèíà 61
— Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà 60
Çàñåëåííîñòü ýíåðãåòè÷åñêèõ
óðîâíåé 68
— èíâåðñíàÿ 72
Çåðêàëî ìíîãîñëîéíîå 213
— ñôåðè÷åñêîå 224
Çåðêàëüíîå ïîêðûòèå 212
Çîíà áëèæíÿÿ 127
— äàëüíÿÿ 127
— çàïðåùåííàÿ 266
— ïðîæåêòîðíàÿ 127
— Ôðåíåëÿ 122
Çîííàÿ ïëàñòèíêà 125
Èçîáðàæåíèå Àááå 167
— âòîðè÷íîå 167
— ïåðâè÷íîå 167
Èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü 59
Èçëó÷åíèå âûíóæäåííîå 54
— ñïîíòàííîå 52
— òåïëîâîå 58
Èìïóëüñ âîëíû ïèêîñåêóíäíûé 291
— ñïåêòðàëüíî îãðàíè÷åííûé
48
— ôàçîâî-ìîäóëèðîâàííûé 48
— ôåìòîñåêóíäíûé 291
Èíâåðñèÿ çàñåëåííîñòè 70
Èíäèêàòðèñà 233
Èíòåãðàë äèôðàêöèîííûé 122
Èíòåíñèâíîñòü êðèòè÷åñêàÿ
278
— íàñûùåíèÿ 73
Èíòåðôåðåíöèîííàÿ ïîëîñà
91, 92
Èíòåðôåðåíöèîííûé ïîðÿäîê
91
Èíòåðôåðåíöèÿ 89
— ìíîãîëó÷åâàÿ 114
Èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà
107
— Ìàõà — Öåíäåðà 108
— Ðýëåÿ 100
— Ôàáðè — Ïåðî 114
Èîíîñôåðà 202
313
Èñòî÷íèê âòîðè÷íûé 121
Êàóñòèêà 219
Êâàäðàòóðíàÿ êîìïîíåíòà 34
Êâàíòîâûé âûõîä 303
Êèðõãîôà òåîðåìà 130
Êîãåðåíòíîñòü âðåìåííÿ 113
— ïðîñòðàíñòâåííàÿ 102
ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííÿ
111
Êîëëèìàòîð 159
Êîëëèìèðîâàííûé ïó÷îê 120
Êîëüöà Íüþòîíà 107
— Ýéðè 139
Êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå
269
Êîìáèíàöèîííûé ïðèíöèï 50
Êîìïåíñàòîð Áàáèíå 242
Êîìïðåññîð îïòè÷åñêèé 280
Êîýôôèöèåíò âòîðè÷íîé
ýìèññèè 304
— ìóòíîñòè 257
— îòðàæåíèÿ 115, 207
— ïîãëîùåíèÿ 70, 179
— ïðîïóñêàíèÿ 115, 207
— óñèëåíèÿ 69
— Ýéíøòåéíà 52
— ýêñòèíêöèè 265
Êðàñíàÿ ãðàíèöà 302
Êðèòåðèé Ëîóñîíà 28
— Ðýëåÿ 148, 149
Êóáè÷íàÿ íåëèíåéíîñòü 271,
276
Ëàçåð àðãîíîâûé 79
— âîëîêîííûé 85
—, âòîðàÿ ãàðìîíèêà 274
— ãåëèé-íåîíîâûé 77
—, åñòåñòâåííàÿ øèðèíà 42,
74
— íà êðàñèòåëå 87
— íåîäèìîâûé 83
— ïîëóïðîâîäíèêîâûé 84
— ðóáèíîâûé 82
— CO2 80
— òèòàí-ñàïôèðîâûé 288, 292
— YAG Nd3+ 83
Ëàçåðíûé òåðìîÿäåðíûé ñèíòåç 27, 28
Ëàóýãðàììà 155
Ëåâèòàöèÿ 25
Ëèíçà 125, 218, 223
Ëèíèè ðàâíîãî íàêëîíà 104
— ðàâíîé òîëùèíû 105
— ôðàóíãîôåðîâû 186
Ëîðåíöåâà ôóíêöèÿ 42
Ëîðåíöåâûé êîíòóð 42
Ëó÷ ñâåòà 203
Ëþìèíåñöåíöèÿ 56
Ëþìèíîôîðû 57
314
Ìèêðîñêîï 166
Ìíîãîìîäîâûé ïó÷îê 77
— ðåæèì 77
Ìíîãî÷àñòîòíûé ðåæèì 71
Ìîäà ïîïåðå÷íàÿ 76
— ïðîäîëüíàÿ 76
— ðåçîíàòîðà 76
Ìîëåêóëÿðíàÿ ðåôðàêöèÿ 182
Ìîìåíò èìïóëüñà 22
— äèïîëüíûé 31
Ìîíîõðîìàòîð 163
Ìîùíîñòü êðèòè÷åñêàÿ 278
— ëàçåðà 76
— ñâåòîâîãî ïó÷êà 18
Íàêà÷êà 70
Íàíîñòðóêòóðû 268
Íàñûùåíèå óñèëåíèÿ 72
Íåëèíåéíàÿ îïòèêà 274
Îáëàñòü äèñïåðñèè àíîìàëüíîé 184
— íîðìàëüíîé 184
— ñâîáîäíîé 150
Îáúåêòèâ êàìåðíûé 149
Îäíîîñíûé êðèñòàëë 229
Îïòè÷åñêàÿ îñü 229
— ïëîòíîñòü 186
— ñèëà 217
— ñèñòåìà 220
Îïòè÷åñêèé äèàïàçîí 6
— ôîíîí 270
Îïûò Ëåáåäåâà 24
— Þíãà 95
Îñöèëëÿòîð êâàíòîâûé 53
— êëàññè÷åñêèé 32
Îõëàæäåíèå ëàçåðíîå 26
Ïàðàìåòðè÷åñêèé ãåíåðàòîð
ñâåòà 276
Ïàðñåâàëÿ ðàâåíñòâî 41
Ïåðåòÿæêà 143
Ïåðèîä 11
— ðåøåòêè 145
Ïèðîìåòð 311
Ïëîñêîñòü ãëàâíàÿ 221, 229
— ïàäåíèÿ 203
— ñîïðÿæåííàÿ 219
— ôîêàëüíàÿ 220
Ïëîòíîñòü ôîòîííûõ ñîñòîÿíèé 268
Ïîâåðõíîñòü ëó÷åâàÿ 234
— íîðìàëåé 230
Ïîãëîùàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü 59
Ïîãëîùåíèå âûíóæäåííîå 54
Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ 178
— — ãëàâíûé 179
— — ëó÷à 235
Ïîëå âíóòðèàòîìíîå 176
— ñâåðõñèëüíîå ñâåòîâîå 295
Ïîëîñà óñèëåíèÿ 70
— Þíãà 91
Ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå
208
Ïîëîæèòåëüíûé êðèñòàëë 230
Ïîëóâîëíîâàÿ ïëàñòèíêà 241
Ïîëÿðèçàòîð 238
Ïîëÿðèçàöèÿ 14
Ïîëÿðîèä ïëåíî÷íûé 239
Ïîñòóëàò Áîðà 33
Ïðàâèëà îòáîðà 55
Ïðàâèëî Ïðåâî 58
— Ñòîêñà 56
Ïðèáëèæåíèå êâàçèîïòè÷åñêîå
142
— Ôðàóíãîôåðà 133
— Ôðåíåëÿ 133
Ïðèçìà
— Ãëàíà 239
— Íèêîëÿ 238
Ïðèíöèï Áàáèíå 132
— Áîðà 33
— Ãþéãåíñà 120, 232, 237
— Ãþéãåíñà — Ôðåíåëÿ 121
— íåîïðåäåëåííîñòè 33
Ïðîñâåòëÿþùåå ïîêðûòèå 211
Ïÿòíî Ïóàññîíà 120
Ðàáîòà âûõîäà 301
Ðàäèàöèîííîå çàòóõàíèå 32
Ðàäèóñ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè 103, 144
— ïó÷êà 13
Ðàäóãà 175
Ðàçíîñòü õîäà 93
Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü 98,
148, 173
Ðàñïðåäåëåíèå íîðìàëüíîå 35
— Ðýëåÿ 36
— ôàçû 36
Ðàññåÿíèå ñâåòà 253
— êîìáèíàöèîííîå 269
Ìàíäåëüøòàìà — Áðèëëþýíà
260, 286
— Ìè 264
— ìîëåêóëÿðíîå 253
Ðåçêîñòü 115
Ðåçîíàòîð îïòè÷åñêèé 70
Ðèäáåðãà ïîñòîÿííàÿ 50
Ñàìîäåôîêóñèðîâêà 279
Ñàìîôîêóñèðîâêà ìåëêîìàñøòàáíàÿ 279
Ñâåðòêà ôóíêöèé 48
Ñâåòîâîé èìïóëüñ 13, 279
— ïó÷îê 12
— öóã 43
Ñåðèÿ Áàëüìåðà 50
— Áðýêêåòà 50
— Ëàéìàíà 50
— Ïàøåíà 50
Ñèëà îñöèëëÿòîðà 185
— ðàäèîìåòðè÷åñêàÿ 25
— ðàçðåøàþùàÿ 116
Ñèíõðîíèçàöèÿ ìîä 290
Ñêîðîñòü ãëàâíàÿ 229
— ãðóïïîâàÿ 193
— ëó÷åâàÿ 231
— ïî íîðìàëè 230
— ôàçîâàÿ 191
Ñîëèòîí 281
Ñïåêòð ëèíåé÷àòûé 54
— ëèíåé÷àòî-ïîëîñàòûé 54
— óãëîâîé 137
Ñïåêòðàëüíàÿ àìïëèòóäà 38
— êîìïîíåíòà 39
— ïëîòíîñòü 38, 70
— — èíòåíñèâíîñòè 41
Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå 39
— ïðîïóñêàíèå 190
Ñïåêòðàëüíûé èíòåðâàë 38
Ñïåêòðîãðàô 163
Ñïåêòðîìåòð 163
Ñïåêòðîñêîï 163
Ñïåêòðîñêîïèÿ êîððåëÿöèîííàÿ 263
— Ôóðüå 96
Ñïèðàëü Êîðíþ 128
Ñðåäà àêòèâíàÿ ìåëêîäèñïåðñíàÿ 253, 264
— ìóòíàÿ 252, 262
— ôîêóñèðóþùàÿ 278
Ñòåïåíü äåïîëÿðèçàöèè 258
— êîãåðåíòíîñòè 112
— êîððåëÿöèè 96
Ñòðåò÷åð 297
Òåëåîáúåêòèâ 226
Òåëåñêîï 164
Òåëåñêîïè÷åñêàÿ ñèñòåìà 225
Òåìíîâîé òîê 304
Òåìïåðàòóðà ðàäèàöèîííàÿ 65
— öâåòîâàÿ 65
Òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè 176
Òåïëîâàÿ äåôîêóñèðîâêà 293
— ñàìîôîêóñèðîâêà 283
Òåïëîâèçîð 312
Òåïëîâîå ñàìîâîçäåéñòâèå 283
Òåðì àòîìà 50
Òåðìîýëåìåíò 310
Òðàíñôîêàòîð 226
Óçëîâàÿ òî÷êà 222
Óðàâíåíèå âîëíîâîå 8
— âîëíû 9
— Ãåëüìãîëüöà 130
— ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé 234
— íåïðåðûâíîñòè 7
— íîðìàëåé 232
— ïàðàáîëè÷åñêîå 142
— Ýéíøòåéíà 302
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 77
— ìàòåðèàëüíûå 228
Óñëîâèå Áðýããà 86, 155, 260
— Ìàêñâåëëà 219
Óøèðåíèå äîïëåðîâñêîå 47
— íåîäíîðîäíîå 47
— ñòîëêíîâèòåëüíîå 43
Ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ 42, 290
Ôèëüòð èíòåðôåðåíöèîííûé
214
— ïðîñâåòëÿþùèé 289
Ôèëüòðàöèÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ
168
Ôîðìóëà Çåëìåéåðà 189
— Ëîðåíö— Ëîðåíöà 181
— Ïëàíêà 20, 63
— Ðýëåÿ 256
— Ðýëåÿ— Äæèíñà 62
— Ôðåíåëÿ — Êèðõãîôà 131,
157
— Øàâëîâà — Òàóíñà 75
— Øîòòêè 305
— Ýéíøòåéíà 257
— Ýéðè 115
Ôîòîäèîä 307
Ôîòîí 20
Ôîòîíà èìïóëüñ 22
— ñïèí 23
— ýíåðãèÿ 21
Ôîòîííûé êðèñòàëë 266, 267
Ôîòîðåçèñòîð 307
Ôîòîóìíîæèòåëü 304
Ôîòîýëåìåíò 302
Ôîòîýôôåêò âíåøíèé 300
— âíóòðåííèé 302
Ôóíêöèÿ àïïàðàòíàÿ 97, 147
— àâòîêîððåëÿöèè 96
— âçàèìíîé êîãåðåíòíîñòè 111
— âçàèìîäåéñòâèÿ 147
— âèäíîñòè 95
— Ãðèíà 130
— êîððåëÿöèîííàÿ 144, 261
— êðîññ-êîððåëÿöèîíííàÿ 294
Ôóðüå-àìïëèòóäà 96
Ôóðüå-ñïåêòðîìåòð 97
Ôóðüå-ñïåêòðîñêîïèÿ 96
×àñòè÷íî êîãåðåíòíûé ïó÷îê
144
×àñòîòà âîëíû 11
— ìåæìîäîâàÿ 71
— ïëàçìåííàÿ 183
— ïðîñòðàíñòâåííàÿ 137
×åòâåðòüâîëíîâàÿ ïëàñòèíêà
241
×åòâåðòüâîëíîâîé ñëîé 212
×èñëî âîëíîâîå 11
— âðàùàòåëüíîå 55
— êâàçèâîëíîâîå 263
— êâàíòîâîå ãëàâíîå 51
— — âðàùàòåëüíîå 55
— — êîëåáàòåëüíîå 55
×óâñòâèòåëüíîñòü ïîðîãîâàÿ
304
— ñïåêòðàëüíàÿ 303
Øèðèíà äîïëåðîâñêîé ëèíèè
47
— åñòåñòâåííàÿ 74
— ìîäû 74
— íîðìàëüíàÿ ùåëè 160
Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü
176
Ýëåêòðîííî-îïòè÷åñêàÿ êàìåðà 306
Ýëåêòðîîïòè÷åñêèé ìîäóëÿòîð
ñâåòà 83
Ýëëèïñîèä íîðìàëåé 233
— Ôðåíåëÿ 236
Ýíåðãåòè÷åñêèé óðîâåíü 50
Ýíåðãèè ïëîòíîñòü 17
— ïîòîê 17
Ýíåðãèÿ âèáðàöèîííàÿ 55
— èìïóëüñà 19
— ìîäû 63
— ðîòàöèîííàÿ 55
— ýëåêòðîííàÿ 55
Ýòàëîí Ôàáðè — Ïåðî 117
Ýôôåêò êâàíòîâûé ðàçìåðíûé
268
— Êåððà 245
— íåëèíåéíûé 274
— ïèðîýëåêòðè÷åñêèé 311
— Ïîêêåëüñà 246
— Ôàðàäåÿ 249
Ýøåëåòò 151
Ýøåëü 151
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
Ïðåäèñëîâèå ........................................................................................................................ 3
Ð À Ç Ä Å Ë 1. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÀß ÒÅÎÐÈß ÑÂÅÒÀ
ËÅÊÖÈß 1 ............................................................................................................................ 6
Ñâåò — ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû (6). Îïòè÷åñêèé äèàïàçîí äëèí âîëí (6). Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà (7). Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñðåäû (7). Âîëíîâîå óðàâíåíèå (8).
Ñôåðè÷åñêèå âîëíû (9). Ïëîñêèå âîëíû (9). Ñâîéñòâà ïëîñêèõ âîëí (10). Ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû (11). Êîìïëåêñíàÿ çàïèñü óðàâíåíèÿ âîëíû (12). Ñâåòîâûå ïó÷êè (12). Ñâåòîâûå èìïóëüñû (13). Ãðàôè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïëîñêîé âîëíû (14).
Ïîëÿðèçàöèÿ âîëíû (15). Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåíížå õàðàêòåðèñòèêè ñâåòîâûõ
âîëí (15).
ËÅÊÖÈß 2 ........................................................................................................................... 17
Ïîòîê ýíåðãèè âîëíû (17). Èíòåíñèâíîñòü âîëíû (18). Ìîùíîñòü ñâåòîâîãî ïó÷êà (18). Ýíåðãèÿ ñâåòîâîãî èìïóëüñà (19). Ïîòîê ýíåðãèè â êâàíòîâîì ïðåäñòàâëåíèè (20). Ñâåòîâîå äàâëåíèå (20). Èìïóëüñ ôîòîíà (22). Ìîìåíò èìïóëüñà âîëíû (22). Äàâëåíèå ðàâíîâåñíîãî òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ (23). Îïòè÷åñêàÿ ëåâèòàöèÿ
(24). Ëàçåðíîå îõëàæäåíèå (26). Ëàçåðíûé òåðìîÿäåðíûé ñèíòåç (27).
Ð À Ç Ä Å Ë 2. ÈÇËÓ×ÅÍÈÅ ÑÂÅÒÀ
ËÅÊÖÈß 3 ........................................................................................................................... 30
Èçëó÷åíèå ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ (30). Èçëó÷åíèå êëàññè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà (àòîìà). (32). Èçëó÷åíèå àíñàìáëÿ àòîìîâ (34). Âðåìÿ êîððåëÿöèè (37).
ËÅÊÖÈß 4 ........................................................................................................................... 38
Èíòåãðàë Ôóðüå (38). Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè (40). Ñïåêòðàëüíàÿ
ïëîòíîñòü, åå êîíòóð è øèðèíà (42). Óäàðíîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè (42).
Äîïëåðîâñêîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè (46). Ïîëíîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè. (48). Ôàçîâàÿ ìîäóëÿöèÿ è óøèðåíèå ñïåêòðà (48).
ËÅÊÖÈß 5 ........................................................................................................................... 50
Êâàíòîâàÿ ïðèðîäà èçëó÷åíèÿ (50). Êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ àòîìîâ (50). Ñïîíòàííîå
èçëó÷åíèå (51). Âûíóæäåííîå ïîãëîùåíèå (54). Âûíóæäåííîå èçëó÷åíèå (54). Èçëó÷åíèå ìîëåêóë (54). Ëþìèíåñöåíöèÿ (56).
ËÅÊÖÈß 6 .......................................................................................................................... 58
Òåïëîâîå èçëó÷åíèå (58). Ïðàâèëî Ïðåâî (58). Çàêîí Êèðõãîôà (58). Çàêîí Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà (60). Çàêîí ñìåùåíèÿ Âèíà (61). Ôîðìóëà Ïëàíêà (62). Ïðèìåíåíèå çàêîíîâ òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ (64). Øèðèíà âèäèìîãî äèàïàçîíà (66). Íî÷íîå
âèäåíèå (67).
316
ËÅÊÖÈß 7 ........................................................................................................................... 68
Ïîãëîùåíèå è óñèëåíèå ñâåòà (68). Ãåíåðàöèÿ ñâåòà (70). Íàñûùåíèå óñèëåíèÿ (72).
Ìîíîõðîìàòè÷íîñòü ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ (74). Ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ (75). Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ñòðóêòóðà ëàçåðíîãî èçëó÷åíèÿ (76). Ãåíåðàöèÿ ñâåòîâûõ èìïóëüñîâ (78).
Ãàçîâûå ëàçåðû (78). Òâåðäîòåëüíûå ëàçåðû (81). Ïîëóïðîâîäíèêîâûå ëàçåðû (84).
Âîëîêîííûå ëàçåðû (85). Æèäêîñòíûå ëàçåðû íà êðàñèòåëÿõ (87).
Ð À Ç Ä Å Ë 3. ÈÍÒÅÐÔÅÐÅÍÖÈß ÑÂÅÒÀ
ËÅÊÖÈß 8 ........................................................................................................................... 89
Èíòåðôåðåíöèÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí (90). Èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû
Þíãà (91). Ðàçìûâàíèå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû (92). Ôóðüå-ñïåêòðîñêîïèÿ (96).
ËÅÊÖÈß 9 ......................................................................................................................... 100
Ñõåìû ñ äåëåíèåì âîëíîâîãî ôðîíòà (100). Èíòåðôåðåíöèÿ ïëîñêèõ âîëí (100).
Èíòåðôåðîìåòð Ðýëåÿ (100). Çâåçäíûé èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà (101). Ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîãåðåíòíîñòü (102). Ñõåìû ñ äåëåíèåì àìïëèòóäû (103). Èíòåðôåðîìåòð Ìàéêåëüñîíà (107). Èíòåðôåðîìåòð Ìàõà — Öåíäåðà (108). Ëàçåðíûé ãèðîñêîï (109).
ËÅÊÖÈß 10 ....................................................................................................................... 111
Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííÿ ôóíêöèÿ êîãåðåíòíîñòè ïîëÿ (111). Ìíîãîëó÷åâàÿ
èíòåðôåðåíöèÿ (114). Èíòåðôåðîìåòð Ôàáðè — Ïåðî (114). Ôîðìóëà Ýéðè (115).
Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòîâîãî èìïóëüñà (117).
Ð À Ç Ä Å Ë 4. ÄÈÔÐÀÊÖÈß
ËÅÊÖÈß 11 ....................................................................................................................... 119
Ïðèíöèï Ãþéãåíñà — Ôðåíåëÿ (121). Çîíû Ôðåíåëÿ (122). Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì
îòâåðñòèè (124). Çîííàÿ ïëàñòèíêà (125). Ëèíçà (125). Äèôðàêöèÿ ñâåòîâîãî ïó÷êà
ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïðîôèëåì èíòåíñèâíîñòè (126). Äèôðàêöèÿ íà íåïðîçðà÷íîì
äèñêå (127). Äèôðàêöèÿ íà êðàå ýêðàíà (128).
ËÅÊÖÈß 12 ....................................................................................................................... 130
Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êèðõãîôà (130). Äèôðàêöèîííàÿ ôîðìóëà Ôðåíåëÿ — Êèðõãîôà (131). Ïðèáëèæåíèÿ Ôðåíåëÿ è Ôðàóíãîôåðà (132). Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì
îòâåðñòèè (133). Äèôðàêöèÿ íà êðóãëîì äèñêå (136). Äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà Ôðàóíãîôåðà êàê ôóðüå-îáðàç ñâåòîâîãî ïîëÿ íà äèôðàêöèîííîì ýêðàíå (136). Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ïðÿìîóãîëüíîì îòâåðñòèè (137). Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà
íà êðóãëîì îòâåðñòèè (139). Ïîëå â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû (140). Äèôðàêöèÿ
ãàóññîâà ïó÷êà (141). Äèôðàêöèÿ ÷àñòè÷íî êîãåðåíòíîãî ïó÷êà (144).
ËÅÊÖÈß 13 ....................................................................................................................... 145
Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ (145). Äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè (145). Ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ðåøåòîê (147). Àìïëèòóäíûå äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè (150). Ôàçîâûå ðåøåòêè (151). Äèôðàêöèÿ íà óëüòðàçâóêîâîé
âîëíå (152). Äèôðàêöèÿ ðåíòãåíîâñêèõ âîëí (155). Íåñòàöèîíàðíàÿ äèôðàêöèÿ (156).
Äèôðàêöèÿ èìïóëüñà íà êðóãëîì îòâåðñòèè (157).
ËÅÊÖÈß 14 ....................................................................................................................... 159
Ñïåêòðàëüíûå ïðèáîðû ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ðàçëîæåíèåì ñïåêòðà (159). Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ïðèçìû (162). Òèïû ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðîâ (163). Îïòè÷åñ-
317
êèå ïðèáîðû, ôîðìèðóþùèå èçîáðàæåíèå (164). Òåîðèÿ Àááå (167). Ìåòîä ôàçîâîãî êîíòðàñòà (168). Ìåòîä òåìíîãî ïîëÿ (169).
Ð À Ç Ä Å Ë 5. ÄÈÑÏÅÐÑÈß
ËÅÊÖÈß 15 ....................................................................................................................... 175
Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñðåäû (176). ×àñòîòíàÿ è ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ
ñðåäû (177). Ðàñïðîñòðàíåíèå ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû â èçîòðîïíîé ñðåäå ñ
÷àñòîòíîé äèñïåðñèåé (177). Ïîëÿðèçóåìîñòü è äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü
ñðåäû (179). Ìîëåêóëÿðíàÿ ðåôðàêöèÿ (181). Îñíîâû ýëåêòðîííîé òåîðèè äèñïåðñèè (182). Äèñïåðñèÿ ãàçîâ (183). Ñïåêòðû ïîãëîùåíèÿ ãàçîâ (186). Ñðåäû ñ îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ (187).
ËÅÊÖÈß 16 ....................................................................................................................... 189
Ïðàêòè÷åñêèå ôîðìóëû äèñïåðñèè (189). Àáñîðáöèîííûå ñâåòîôèëüòðû (190). Ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà â èçîòðîïíûõ äèýëåêòðèêàõ (191). Ôàçîâàÿ è ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòè (191). Äèñïåðñèîííîå ðàñïëûâàíèå èìïóëüñîâ (194). Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííÿ àíàëîãèÿ (195). Îöåíêè õàðàêòåðíûõ âåëè÷èí (197). Âîëîêîííî-îïòè÷åñêèå
ñèñòåìû ñâÿçè (198). Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â ìåòàëëàõ è ïëàçìå (199).
Ð À Ç Ä Å Ë 6. ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÅ ßÂËÅÍÈß ÍÀ ÃÐÀÍÈÖÅ ÐÀÇÄÅËÀ ÑÐÅÄ.
ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÎÏÒÈÊÀ
ËÅÊÖÈß 17 ....................................................................................................................... 203
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (203). Çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè (204). Ôîðìóëû Ôðåíåëÿ (205). Ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ (206). Àìïëèòóäíûå ñîîòíîøåíèÿ (207). Óãîë
Áðþñòåðà è åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë (208). Ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå (208).
Îòðàæåíèå åñòåñòâåííîãî ñâåòà (209). Âîëîêîííûå ñâåòîâîäû (209). Ïðîñâåòëÿþùèå ïîêðûòèÿ (211). Çåðêàëüíûå ïîêðûòèÿ (212). Èíòåðôåðåíöèîííûå ñâåòîôèëüòðû (214).
ËÅÊÖÈß 18 ....................................................................................................................... 215
Ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà ÷åðåç ñôåðè÷åñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà ñðåä (215). Îïòè÷åñêàÿ
ñèëà ñèñòåìû ïîâåðõíîñòåé (217). Òîíêàÿ ëèíçà (218). Óñëîâèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ êîàêñèàëüíûõ ñèñòåì (219). Êàðäèíàëüíûå ýëåìåíòû îïòè÷åñêîé ñèñòåìû (220).
Ð À Ç Ä Å Ë 7. ÂÎËÍÛ Â ÀÍÈÇÎÒÐÎÏÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ
ËÅÊÖÈß 19 ....................................................................................................................... 227
Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (228). Ãëàâíûå ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ è ãëàâíûå
ñêîðîñòè âîëíû (228). Ñêîðîñòü ïî íîðìàëè è ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé (230). Ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû (230). Ëó÷åâàÿ ñêîðîñòü è
ëó÷åâàÿ ïîâåðõíîñòü (231). Óðàâíåíèå íîðìàëåé Ôðåíåëÿ. Ïîâåðõíîñòü íîðìàëåé (232). Ýëëèïñîèä íîðìàëåé (233). Óðàâíåíèå ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé. Ëó÷åâàÿ
ïîâåðõíîñòü (234). Ýëëèïñîèä Ôðåíåëÿ (236). Äâîéíîå ëó÷åïðåëîìëåíèå. Ïðèíöèï Ãþéãåíñà (236).
ËÅÊÖÈß 20 ....................................................................................................................... 238
Ïîëÿðèçàòîðû (238). Óïðàâëåíèå ñîñòîÿíèåì ïîëÿðèçàöèè ñâåòà. Àíàëèç ñîñòîÿíèÿ ïîëÿðèçàöèè (239). Èñêóññòâåííàÿ àíèçîòðîïèÿ ïðè âíåøíèõ âîçäåéñòâèÿõ
(243). Îïòè÷åñêàÿ àêòèâíîñòü (247). Îïòè÷åñêàÿ àêòèâíîñòü è ïðîñòðàíñòâåííàÿ
äèñïåðñèÿ (248). Ýôôåêò Ôàðàäåÿ (249).
318
Ð À Ç Ä Å Ë 8. ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÑÂÅÒÀ
ËÅÊÖÈß 21 ....................................................................................................................... 252
Ìîëåêóëÿðíîå ðàññåÿíèå (253). Ôëóêòóàöèè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè (253).
Ðàññåÿíèå íà ôëóêòóàöèÿõ ïëîòíîñòè (254). Ðàññåÿíèå â ãàçàõ. Ôîðìóëà Ðýëåÿ (255).
Ðàññåÿíèå â æèäêîñòÿõ. Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà (257). Ðàññåÿíèå íà ôëóêòóàöèÿõ àíèçîòðîïèè (258). Ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ ðàññåÿííîãî ñâåòà (259).
ËÅÊÖÈß 22 ....................................................................................................................... 262
Ðàññåÿíèå â ìóòíûõ ñðåäàõ (262). Ðàññåÿíèå â ìåëêîäèñïåðñíûõ ñðåäàõ (264). Ðàññåÿíèå ñâåòà â òâåðäûõ òåëàõ (265). Ôîòîííûå êðèñòàëëû (266). Êîìáèíàöèîííîå
ðàññåÿíèå ñâåòà (269).
Ð À Ç Ä Å Ë 9. ÍÅËÈÍÅÉÍÎ-ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÅ ßÂËÅÍÈß
ËÅÊÖÈß 23 ....................................................................................................................... 271
Îñíîâû íåëèíåéíîé òåîðèè äèñïåðñèè (272). Íåëèíåéíûå ýôôåêòû â ñðåäå ñ êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ (274). Íåëèíåéíûå ýôôåêòû â ñðåäàõ ñ êóáè÷íîé íåëèíåéíîñòüþ (276). Ñàìîôîêóñèðîâêà è ñàìîäåôîêóñèðîâêà ñâåòîâîãî ïó÷êà (277).
Ñàìîìîäóëÿöèÿ è ñæàòèå èìïóëüñà (279). Îïòè÷åñêèå ñîëèòîíû (281).
ËÅÊÖÈß 24 ....................................................................................................................... 283
Òåïëîâîå ñàìîâîçäåéñòâèå èçëó÷åíèÿ (283). Âûíóæäåííîå ðàññåÿíèå Ìàíäåëüøòàìà — Áðèëëþýíà (286). Âûíóæäåííîå êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå ñâåòà (286). Ãåíåðàöèÿ ñóïåðêîíòèíóóìà (288). Ãåíåðàöèÿ èìïóëüñîâ ïèêîñåêóíäíîé äëèòåëüíîñòè
(288). Ãåíåðàöèÿ ôåìòîñåêóíäíûõ èìïóëüñîâ (291). Èçìåðåíèå äëèòåëüíîñòè ñâåðõêîðîòêèõ èìïóëüñîâ (293). Ñâåðõñèëüíûå ñâåòîâûå ïîëÿ (294). Ñîâðåìåííûå äîñòèæåíèÿ è ïðåäåëüíûå âîçìîæíîñòè ãåíåðàöèè ñâåðõñèëüíûõ ñâåòîâûõ ïîëåé (296).
Ð À Ç Ä Å Ë 10. ÏÐÈÅÌÍÈÊÈ ÑÂÅÒÀ
ËÅÊÖÈß 25 ....................................................................................................................... 299
Ãëàç ÷åëîâåêà (299). Âíåøíèé ôîòîýôôåêò (300). Âíóòðåííèé ôîòîýôôåêò (302).
Ôîòîýëåêòðè÷åñêèå ïðèåìíèêè (302). Òåïëîâûå ïðèåìíèêè (308).
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ..................................................................................................... 313
C
Учебное издание
АЛЕШКЕВИЧ Виктор Александрович
КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. ОПТИКА
Редактор Е.С. Артоболевская
Оригинал-макет: Е.В. Осипов
Оформление переплета: А.В. Андросов
Подписано в печать 1.10.2010. Формат 70 100/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 26. Уч.-изд. л. 27,3. Тираж 700 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: [email protected], [email protected];
http://www.fml.ru
Отпечатано в ООО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 978-5-9221-1245-1