geo

Билеты к экзамену по элементарной
геометрии
1. Билет 1
1.1. Вопрос 1. Основные понятия стереометрии, аксиомы стереометрии.
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Основные фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
Точка – маленький объект, размерами которого можно пренебречь.
Прямая – идеализация натянутой нити.
Плоскость – идеализация гладкой поверхности.
Аксиомы стереометрии:
1) Через любые две точки пространства проходит прямая, причем
только одна. (А1)
2) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
плоскость, притом только одна. (A2)
3) Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
(A3)
4) Существуют по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости. (А4)
5) В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. (А5)
1.2. Вопрос 2. Через точку, не принадлежащую данной плоскости проведите прямую, параллельную
этой плоскости.
1
Дано:
α, M
M∈
/α
——————
b : M ∈ B, b||α
1) Выберем произвольную прямую a ⊂ α. 3
2) Строим плоскость β(M, a)
( 1 , С1).
3) Так как точка M ∈
/ a, то в
плоскости β можно провести
прямую b через точку M так,
что b||a.
4) b - искомая. (Теорема I).
2
2. Билет 2
2.1. Вопрос 1. Следствия из аксиом стереометрии.
Следствие 1. Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то
она лежит в этой плоскости.
Доказательство. Пусть прямая a
имеет с плоскостью две общие точки A1 и A2 . Так как в плоскости α
выполняются аксиомы планиметрии, то в этой плоскости через эти
две точки проходит единственная
прямая. Если бы она не совпадала
с прямой a, то получилось бы, что
имеется две прямые, проходящие
через точки A1 и A2 , что противоречит А1. Следовательно, эти две
прямые совпадают и прямая a лежит в плоскости α.
Следствие 2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, притом только одна.
Доказательство. Рассмотрим прямую a и не лежащую на ней точку M . Отметим на прямой a две
различные точки P и Q. По А2 через M , P , Q можно провести плоскость α. Так как любая плоскость,
проходящая через прямую a и точку M , проходит и через точки P и
Q, то по А2 она будет совпадать с
α.
Следствие 3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, притом только одна.
Доказательство. Рассмотрим прямые a и b, пересекающиеся в точке M . Отметим на прямой b точку P , отличную от M . Тогда мож3
но провести плоскость α, проходящую через точку P и прямую a.
По А2 b ∈ α, так как две точки
этой прямой лежат в этой плоскости. Единственность такой плоскости следует из С1.
2.2. Вопрос 2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную этой
прямой.
Дано:
A, a
A∈
/a
——————
b : A ∈ b, b||a
1) Построим плоскость α(A, a).
( 1 , C2)
2) В плоскости α проведем
прямую b||a, проходящую через точку A. 3
3) b – искомое.
4
3. Билет 3
3.1. Вопрос 1. Задачи на построение в пространстве,
решаемые в воображении.
1 Плоскость построена, если даны элементы, ее определяющие (три
точки, не лежащие на одной прямой, прямая и не лежащая на ней
точка, две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые).
2 Если пересекаются плоскости, то построена линия их пересечения.
3 На любой плоскости в пространстве выполнимы все построения,
которые выполнимы в планиметрии.
3.2. Вопрос 2. Какое наибольшее число острых углов
может иметь выпуклый n-угольник?
Cпособ 1. Обозначим углы n-угольника как α1 , α2 , ...,
αn . Рассмотрим внешние углы nугольника: β1 ,...,βn . Тогда:
βi = 180◦ − αi
Рассмотрим сумму внешних углов:
n
X
◦
βi = 180 · n −
i=1
n
X
αi
i=1
Сумма углов выпуклого n-угольника:
n
X
αi = 180◦ (n − 2)
i=1
Тогда:
n
X
βi = 180◦ · n − 180◦ (n − 2) = 360◦
i=1
Количество острых углов многоугольника будет равно количеству тупых внешних углов. А так как их сумма будет равна 360◦ для любых n,
то тупых внешних углов будет не больше 3. Следовательно, может быть
максимум 3 острых угла.
5
Cпособ 2. Пусть в многоугольнике имеется k острых углов, тогда
тупых углов соответственно n − k. Так как каждый острый угол меньше
90◦ , то сумма всех острых углов будет строго меньше 90◦ k. Аналогично,
сумма тупых углов будет строго меньше 180◦ (n − k). Так как сумма всех
углов выпуклого n-угольника равна 180◦ (n−2), то получаем неравенство:
180◦ (n − 2) < 90◦ + 180◦ (n − k)
Решая это неравенство относительно k, получаем, что k < 4. Так как
k ∈ Z, то k = 3.
6
4. Билет 4
4.1. Вопрос 1. Параллельность двух прямых в просранстве. Взаимное расположение двух прямых
в пространстве.
Опр. Две прямые в пространстве называются параллельными, если
они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Опр. Две прямые в пространстве не параллельны, если они не лежат
в одной плоскости или имеют общие точки.
Опр. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат
в одной плоскости.
7
4.2. Вопрос 2. Может ли в многограннике быть 21
плоский угол?
Пусть Πα – число плоских углов в многограннике, Πi – число плоских
углов в i-й грани. i = 1..n, где n – количество граней, Ci – число сторон
в i-й грани, P – число ребер многранника. Для любой грани Πi = Ci .
Тогда:
n
n
X
X
Πα =
Πi =
Ci
i=1
i=1
К каждой стороне примыкает по две грани, следовательно количество
ребер многогранника будет вдвое меньше, чем сумма числа сторон для
всех граней. Тогда:
Πα =
n
X
Πi =
i=1
n
X
Ci = 2P
i=1
Следовательно, количество плоских углов многогранника – всегда четное
число. Поэтому не может быть 21 плоский угол.
8
5. Билет 5
5.1. Вопрос 1. Признаки параллельности двух прямых
в пространстве.
Теорема (признак параллельности двух прямых в пространстве). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и
пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна
данной прямой.
Дано:
a, α, β
a⊂β
a||α
α∩β =b
———————–
Доказать: a||b
Доказательство. По определению: a ⊂ β,
b ⊂ β, a и b не пересекаются (иначе точка
пересечения лежала бы в обеих плоскостях,
что невозможно, так как плоскости параллельны).
Теорема (признак параллельности двух прямых в пространстве). Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то
линии пересечения плоскостей параллельны.
Дано:
α, β, γ
αkβ
α∩γ =a
β∩γ =b
———————–
Доказать: a||b
Доказательство. По определению: a ⊂ γ, b ⊂ γ, a и b не пересекаются (иначе точка пересечения
лежала бы и в α, и в β, что невозможно, так как плоскости параллельны).
9
5.2. Вопрос 2. Докажите, что в любом многограннике
найдутся грани с одинаковым числом сторон.
Граней конечное число. Берем грань, являющуюся n-угольником, где
n – наибольшее число сторон. Если такая грань не единственная, то существуют грани с одинаковым числом сторон и утверждение выполнено.
Если n - аюсолютный максимум числа сторон, то к этой грани примыкает
n граней. Среди этих граней могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники, ... , (n − 1)-угольники – всего n − 3 разных типов.
Значит, будут повторяться.
10
6. Билет 6
6.1. Вопрос 1. Транзитивность отношения параллельности прямых в пространстве.
Теорема: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Дано:
a||c, b||c
—————
Доказать: a||b.
Доказательство:
Выберем точку M на прямой b.
Через точку M и прямую a , которая не содержит эту точку, можно
провести только одну плоскость α ( 1 , C1).
Возможны два случая:
1) прямая b пересекает плоскость α;
2) прямая b находится в плоскости α.
Пусть прямая b пересекает плоскость α. Значит, прямая c, которая
параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a||c, то
получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α.
Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b
пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится
в плоскости α.
Теперь нужно доказать, что прямые a и b не пересекаются. Пусть у
прямых a и b есть общая точка L. Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b , которые параллельны прямой c. Но так как через
любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной, это невозможно. Поэтому предположение неверное, и
прямые a и b не имеют общих точек. Так как прямые a и b находятся в
одной плоскости α, и у них нет общих точек, то они параллельны.
11
6.2. Вопрос 2. Докажите, что в многограннике, все
грани которого являются треугольниками, найдется ребро, к которому примыкают только острые углы.
Если многогранник правильный – доказано (в тетраэдре ко всем ребрам примыкают только острые углы).
Рассмотрим наибольшее ребро и
две прилежащих к нему грани.
Так как AB – наибольшее ребро, то AB является наибольшей
стороной треугольника 4ABC. В
треугольнике против наибольшей
стороны лежит наибольший угол,
следовательно ∠ACB > ∠CAB,
∠ACB > ∠ABC, и тогда если
∠ACB острый, то и все остальные углы треугольника будут острыми. Если этот угол прямой или тупой, то тогда все остальные будут острыми (так как в треугольнике только один угол может быть больше или равен 90◦ ). Следовательно, углы
∠ABC и ∠BAC острые. Аналогично доказывается, что углы ∠ABD и
∠BAD острые.
12
7. Билет 7
7.1. Вопрос 1. Скрещивающиеся прямые. Существование скрещивающихся прямых. Признак скрещивающихся прямых.
Опр. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат
в одной плоскости.
Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в некоторой точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые
скрещиваются.
Доказательство – по определению.
Существование скрещивающихся прямых.
А4 Существуют по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.
Из аксиом планиметрии: на любой плоскости имеются по крайней мере
3 точки, не лежащие на одной прямой.
А5. На любой прямой и плоскости выполняются все аксиомы планиметрии.
A ∈ α, B ∈ α, D ∈ α, C ∈
/α
a ⊂ α: A ∈ a, B ∈ a, D ∈
/a
b 6⊂ α: C ∈ b, D ∈ b, C ∈
/α
=⇒ a−̇b
7.2. Вопрос 2. Докажите, что
в любом многограннике число граней с нечетным числом
сторон всегда четно.
Пусть Γ – общее число граней, Γнеч – число граней с четным числом
сторон, Γч – число граней с нечетным числом сторон. Тогда:
Γ = Γнеч + Γч
Пусть C – общее число сторон всех граней многогранника, Cнеч – общее
число сторон в гранях с нечетным числом сторон , Cч – общее число
13
сторон в гранях с четным числом сторон. В Билете 4 доказано, что C =
2P , где P – число ребер,то есть общее число сторон - четное число.
C = Cнеч + Cч = |{z}
2P
|{z}
четное
четное
Следовательно, Cнеч – четное, и тогда Γнеч – четное, что и требовалось
доказать.
14
8. Билет 8
8.1. Вопрос 1. Параллельность прямой и плоскости.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Опр. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не
имеют ни одной общей точки.
8.2. Вопрос 2. Докажите, что в любом многограннике
число вершин нечетного индекса всегда четно.
Пусть B – общее число вершин, Bнеч – число вершин нечетного индекса, Bч – число вершин четного индекса. Тогда:
B = Bнеч + Bч
Пусть C – общее число сторон всех граней многогранника, Cнеч – общее
число сторон, «входящих» в вершины нечетного индекса, Cч – общее
число сторон, «входящих» в вершины четного индекса. В Билете 4 доказано, что C = 2P , где P – число ребер,то есть общее число сторон -
15
четное число.
C = Cнеч + Cч = |{z}
2P
|{z}
четное
четное
Следовательно, Cнеч – четное, и тогда Bнеч – четное, что и требовалось
доказать.
16
9. Билет 9
9.1. Вопрос 1. Признак параллельности прямой и плоскости.
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в данной плоскости, тол она параллельна данной плоскости.
Дано:
a, b, α
b⊂α
a 6⊂ α
a||b
———————–
Доказать: a||α.
Доказательство.
1) Проведем плоскость γ(a, b) ( 1 )
2) α ∩ γ = b ( 2 )
3) Предположим, что a ∩ α = M . Тогда M ∈ b, следовательно, a 6k b.
Противоречие.
9.2. Вопрос 2. Как построить усеченный тетраэдр и
усеченный октаэдр из правильных многогранников – соответственно тетраэдра и октаэдра? Найдите число вершин, ребер и граней этих усеченных многогранников.
Усеченный тетраэдр получается при последственном «срезании» каждой из вершин тетраэдра.
Количесво сторон у граней удваивается, на месте вершин создаются
17
новые грани.
На месте каждого «среза» образуется новая грань, поэтому:
Γу.т. = Γт. + Bт. = 4 + 4 = 8
Также на месте одной вершины «образуются» три новые вершины, так
как в вершине сходятся три ребра:
Bу.т. = 3Bт. = 3 · 4 = 12
Также образуются по три ребра на каждом срезе, так как в каждой
вершине сходится по три грани:
Pу.т. = Pт. + 3Bт. = 6 + 3 · 4 = 18
Усеченный октаэдр получается при последственном «срезании» каждой из вершин октаэдра.
Количесво сторон у граней удваивается, на месте вершин создаются
новые грани.
18
На месте каждого «среза» образуется новая грань, поэтому:
Γу.о. = Γо. + Bо. = 8 + 6 = 14
Также на месте одной вершины «образуются» 4 новые вершины, так как
в вершине сходятся 4 ребра:
Bу.о. = 4Bо. = 4 · 6 = 24
Также образуются по 4 ребра на каждом срезе, так как в каждой вершине
сходится по 4 грани:
Pу.о. = Pо. + 4Bо. = 12 + 4 · 6 = 36
19
10. Билет 10
10.1. Вопрос 1. Параллельность двух плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак
параллельности двух плоскостей.
Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если
они не имеют общих точек (не пересекаются).
Теорема (признак параллельности двух плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум
пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Дано:
a1 ⊂ α, a2 ⊂ α
b1 ⊂ β, b2 ⊂ β
a1 ∩ a2 = A
b1 ∩ b2 = B
a1 ||b1 , a2 ||b2
———————–
Доказать: α||β.
Доказательство. Предположим, что α ∩ β = c. Так как a1 ||b1 , то a1 ||β,
аналогично a2 ||β. Тогда a1 ||c и a2 ||c по признаку параллельности двух
прямых в пространстве. Получается, что через точку A проходят две
прямые, параллельные прямой c, чего быть не может. Следовательно,
предположение неверно, и α||β
20
10.2. Вопрос 2. Как построить усеченный гексаэдр из
правильного многогранника – гексаэдра? Найдите число вершин, ребер и граней этого усеченного многогранника.
Усеченный гексаэдр получается при последственном «срезании» каждой из вершин гексаэдра (куба).
Количесво сторон у граней удваивается, на месте вершин создаются
новые грани.
На месте каждого «среза» образуется новая грань, поэтому:
Γу.г. = Γг. + Bг. = 6 + 8 = 14
Также на месте одной вершины «образуются» 3 новые вершины, так как
в вершине сходятся 3 ребра:
Bу.г. = 3Bг. = 3 · 8 = 24
Также образуются по 3 ребра на каждом срезе, так как в каждой вершине
сходится по 3 грани:
Pу.г. = Pг. + 3Bг. = 12 + 3 · 8 = 36
21
11. Билет 11
11.1. Вопрос 1. Параллельность трех плоскостей в пространстве.
Опр. Три плоскости называются параллельными, если они не имеют
общих точек.
Взаимное расположение трех плоскостей
I. α||β
1) γ||α, γ||β
2) γ ∩ α = a, γ ∩ β = b
II α, β, γ попарно пересекаются. γ ∩ α = a, γ ∩ β = b, α ∩ β = c
1) a ≡ b =⇒ a ≡ b ≡ c
22
2) a ∩ b = M . M ∈ α, M ∈ β, M ∈ γ
3) a||b =⇒ a||b||c
11.2. Вопрос 2. Как построить усеченный икосаэдр из
правильного многогранника – икосаэдра? Найдите число вершин, ребер и граней этого усеченного многогранника.
Усеченный икосаэдр получается при последовательном «срезании»
каждой из вершин икосаэдра .
Количесво сторон у граней удваивается, на месте вершин создаются
новые грани.
На месте каждого «среза» образуется новая грань, поэтому:
Γу.и. = Γи. + Bи. = 20 + 12 = 32
23
Также на месте одной вершины «образуются» 5 новых вершин, так как
в вершине сходятся 5 ребер:
Bу.и. = 5Bи. = 5 · 12 = 60
Также образуются по 5 ребер на каждом срезе, так как в каждой вершине
сходится по 5 граней:
Pу.и. = Pи. + 5Bи. = 30 + 5 · 12 = 90
24
12. Билет 12
12.1. Вопрос 1. Параллельное проектирование. Основные определения.
Опр. Параллельным проектированием на данную плоскость в заданном направлении называется соответствие, при котором каждой точке
пространства сопоставляют ее параллельную проекцию на данную плоскость в заданном направлении.
Параллельное проектирование задается плоскостью изображения и
прямой, пересекающей эту плоскость.
l ∩ π = L.
l
1) A ∈
/ π, A ∈
/ l =⇒ A → A0
π
A0 = a ∩ π, a||l, A ∈ a
l
2) B ∈ π =⇒ B → B 0
π
B0 ≡ B
l
3) C ∈ l =⇒ C → C 0
C0 ≡ L
π
Опр. Параллельной проекцией данной фигурой (Φ) на данную плоскость в заданном направлении называется фигура (Φ0 ), образованная параллельнвми проекциями всех точек данной фигуры на заданную плоскость в заданном направлении.
25
12.2. Вопрос 2. Даны два неравных квадрата. Как разрезать больший из них и из получившихся 5 частей сложить квадрат?
Пусть a – сторона большего квадрата, b – сторона меньшего квадрата.
Поделим стороны большого квадрата в отношении x : y (см. рисунок).
Теперь выразим x и y через стороны квадратов:

(

x = a + b
a=x+y
2
⇐⇒
a−b

x=b+y
y =
2
26
13. Билет 13
13.1. Вопрос 1. Понятие соответствия между множествами. Виды соответствий.
Берем два множества: X, Y . Пусть G ⊂ X ×Y – произвольное подмножество их декартова произведения, то есть (x, y) ∈ G =⇒ x ∈ X, y ∈ Y .
(G, X, Y ) называется соответствием между множествами X и Y .
Виды соответствий:
1) Функциональное
(x, y1 ) ∈ G, (x, y2 ) ∈ G =⇒ y1 ≡ y2
2) Инъективное
(x1 , y) ∈ G, (x2 , y) ∈ G =⇒ x1 ≡ x2
3) Всюду определенное
∀x ∈ X ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ G
4) Сюръективное
∀y ∈ Y ∃x ∈ X : (x, y) ∈ G
Отображение в: 1)+3)
Отображение на: 1)+3)+4)
Параллельное проектирование – отображение НА плоскость (поэтому
1)+3)+4)).
13.2. Вопрос 2. Через одну из двух скрещивающихся прямых проведите плоскость, параллельную
другой прямой.
Дано:
a, b
a−̇b
————————
β : b ∈ β, a||β
Решение:
27
1) B ∈ b 3
2) B ∈
/ a =⇒ γ(a, B) 1
3) Построим в γ прямую a0 ||a, B ∈ a0
3
4) β(a0 , b) 1
5) β – искомая (по признаку параллельности прямой и плоскости)
28
14. Билет 14
14.1. Вопрос 1. Основные свойства параллельного проектирования (свойство 1 и свойство 2)
Свойство 1. Параллельной проекцией прямой является точка или
прямая.
Дано:
Φ≡k
l
Φ → Φ0
π
————————
Φ0 – точка или прямая
Доказательство:
I. k||l или k ≡ l =⇒ Φ0 = K, K =
k ∩ P (K ≡ L).
II. k 6k l, k 6≡ l.
l
1) A ∈ k, A ∈
/ π. A → A0 , AA0 ⊂ a.
π
2) α(a, k) 1
3) α ∩ π = k 0 2 .
4) k 0 = Φ0
Докажем, что k 0 = Φ0 .
1) Докажем, что все точки k имеют проекцию на k 0 . Выберем произl
вольную точку B ∈ k, B 6= A. B → B 0 (b : B ∈ b, b||l, b ∩ π = B 0 ).
π
B 0 = b ∩ Π, b ∈ α (b||l||a), k 0 = α ∩ Π =⇒ B 0 ∈ k 0 .
2) Докажем, что все точки k 0 имееют прообраз в k. Выберем произвольную точку C 0 ∈ k 0 . Проведем прямую c||l, C 0 ∈ C. Тогда C ∈ α.
l
Тогда c ∩ k = C и C 0 ← C.
π
Свойство 2. При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой.
29
Дано:
(π, l), L = l ∩ π k :
l
AB ⊂ k, BC ⊂ k
l
k → k0
k 6≡ l, k 6k
π
l
AB → A0 B 0
π
l
BC → B 0 C 0
π
————————
A0 B 0
AB
= 0 0
BC
BC
Доказательство:
1) α(k, k 0 )
2) AA0 ||BB 0 ||CC 0 , так как они все параллельны l. Тогда AA0 ⊂ α,
BB 0 ⊂ α, CC 0 ⊂ α.
3) в плоскости α выполнимы все аксиомы и построения планиметрии,
A0 B 0
AB
= 0 0 по теореме о
значит выполнимы и все теоремы. Тогда
BC
BC
пропорциональных отрезках.
14.2. Вопрос 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых построить плоскость, параллельную другой прямой.
Дано:
a, b
a−̇b
————————
β : b ∈ β, a||β
α : a ∈ α, b||
alpha
Решение:
Первая плоскость:
1) B ∈ b 3
2) B ∈
/ a =⇒ γ(a, B) 1
30
3) Построим в γ прямую a0 ||a, B ∈ a0
3
4) β(a0 , b) 1
5) β – искомая (по признаку параллельности прямой и плоскости)
Вторая плоскость:
1) A ∈ a 3
2) A ∈
/ b =⇒ δ(A, b) 1
3) Построим в δ прямую b0 ||b, A ∈ b0 3
4) α(b0 , a) 1
5) α – искомая (по признаку параллельности прямой и плоскости)
31
15. Билет 15
15.1. Вопрос 1. Основные свойства параллельного проектирования (свойство 3)
Свойство 3. Параллельной проекцией двух параллельных прямых
является либо две точки, либо две параллельные прямые, либо одна прямая.
Дано:
(π, l), L = l ∩ π Φ = k1 ||k2
l
Φ → Φ0
π
l
AB → A0 B 0
π
l
BC → B 0 C 0
π
————————
Φ0 – две точки, две параллельные прямые или одна прямая.
Доказательство:
I. Одна из прямых параллельна l или совпадает с ней.
k1 ||l =⇒ k2 ||l или k2 ≡ l. Следовательно, Φ0 = K10 ∪ K20 , K10 = k1 ∩ π,
K20 = k2 ∩ π.
II. Ни одна из прямых не параллельна l и не совпадает с ней.
l
1) k1 → k10 (по свойству 1)
π
l
2) k2 → k20 (по свойству 1)
π
3) k1 ||k2 по признаку параллельности двух прямых в пространстве.
III. γ(k1 , k2 )||l =⇒ α1 ≡ α2 ≡ γ ⇐⇒ k10 ≡ k20 .
15.2. Вопрос 2. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, построить плоскость, параллельную данной.
32
Дано:
A, α
a∈
/α
————————
β : A ∈ β, β||α
Решение:
1) В плоскости α построим прямые b и b0 , b ∩ b0 = B. 3
2) Рассмотрим плоскость γ1 (A, b) 1 . Проведем в этой плоскости через
точку A прямую a||b. 3
3) Рассмотрим плоскость γ2 (A, b0 ) 1 . Проведем в этой плоскости через
точку A прямую a0 ||b0 . 3
4) a0 ∩ a = A
5) β(a0 , a) 1
6) β – искомая (по признаку параллельности двух плоскостей).
33
16. Билет 16
16.1. Вопрос 1. Теорема о фигуре, лежащей в плоскости, параллельной плоскости параллельного проектирования
Теорема (о фигуре, лежащей в плоскости, параллельной плоскости
параллельного проектирования). Если фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости параллельного проектирования, то ее параллельная
проекция на эту плоскость равна данной фигуре.
Опр. Две фигуры в пространстве называются равными, если существует движение, переводящее одну фигуру в другую.
Дано:
(π, l), L = l ∩ π F ⊂ α, α||π
l
F → F0
π
l
AB → A0 B 0
π
l
BC → B 0 C 0
π
————————
F0 = F.
Доказательство:
l
1) A ∈ F , A → A0 ∈ F 0
π
l
2) B ∈ F , B 6= A, B → B 0 ∈ F 0
π
3) ABB 0 A0 – параллелограмм (по опр.),
поэтому AA0 = BB 0 .
4) Определяем параллельный пере~ 0
нос, заданный вектором AA
5) Так как B выбрана произвольно,
то данное движение переводит F
в F 0 . Следовательно, F = F 0 .
34
16.2. Вопрос 2. Даны две скрещивающиеся прямые и
точка, не принадлежащая ни одной из них. Проведите через данную точку прямую, пересекающую обе данные прямые.
Дано:
a, b
a−̇b
A∈
/a
A∈
/b
————————
c :
A ∈
c
C,
a ∩ c,
b ∩
Решение:
1) α(a, A). 1
2) β(b, A). 1
3) A ∈ α, A ∈ β =⇒ ∃c = α ∩ β, A ∈
c.
4) Если c||a или c||b, задача не имеет
решений.
5) Если c 6k a, a ∩ c. Аналогично если
c 6k b, b ∩ c. Тогда c – искомая.
35