fgos2

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ» (МПГУ)
Институт математики и информатики
Кафедра теории и методики обучения математике и информатике
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №2
по дисциплине «Методика обучения математике в условиях реализации
ФГОС»
Выполнили:
Лобова Е.И.
Лысак М.А.
Макарова П.С.
Миловидова Н.В.
1
1. Задание 1: планируемые результаты и соответствующие им умения,которые продолжают формироваться для достижения указанных результатов
ТУЗ
Планируемые результаты
Умения
1) Составлять схему определения
понятия и контролировать ее
правильность
1) Подводить объект под понятие
1
2) Создавать знаковую модель
определения понятия
2) Формулировать
понятия
определение
3) Видоизменяет формулировку
определения понятия
4) Изображать,
распознавать
различные объекты
1) Подводить объект под понятие
2
2) Создавать знаковую модель
определения понятия
1) Исследовать наличие признаков понятия у различных объектов, выполняя их сравнение
2) Изображать,
распознавать
данные объекты на рисунке
1) Выбирать свойство (основание) для систематизации объектов
3
1) Устанавливать связи и отношения между понятиями
2) Распределять
группы
объекты
на
3) Создавать
классификационную схему взаимосвязи
понятий
2
ТУЗ
Планируемые результаты
Умения
1) Выполнять сравнение, анализ,
синтез учебной информации,
структурировать ее, достраивать в процессе решения типов
задач
4
2) Стргоить речевые высказывания
3) Устанавливать причинно следственные связи
4) Стргоить логическую
рассуждений
цепь
5) Создавать знаковую модель
решения задачи (предписание)
5
1) Выполнять анализ, синтез
учебной информации, структурировать ее, достраивать в
процессе чтения текстов
2) Осуществлять самоконтроль и
коррекцию действий
3
1) Анализировать решения различных стереометрических задач
2) Формулировать общие идеи
решения стереометрических
задач
3) Перечислять последовательность действий, приводящих
к решению различных стереометрических задач
4) Находить общий метод решения задач определённого типа
(вида)
5) Фиксировать общий метод решения типовых задач в знаковый (символьной) форме
1) Составлять план текста, вопросы к тексту, отвечать на вопросы к тексту
2) Составлять информационные
схемы текста из учебника геометрии
ТУЗ
Планируемые результаты
Умения
1) Выделять условие и заключение теоремы, интерпретировать их в знаках, символах
1) Выполнять анализ формулировки теоремы
2) Создавать знаковую модель
теоремы
6
3) Выполнять анализ, синтез
учебной информации, структурировать ее, достраивать в
процессе чтения
4) Устанавливать
причинноследственные связи, делать
умозаключения,
выдвигать
гипотезы и обосновывать их,
стргоить логическую цепь
рассуждений
5) Осуществлять самоконтроль и
коррекцию действий
2) Составлять план доказательство теоремы
3) Выполнять пошаговую запись
доказательства теоремы, реализуя план и используя нужные математические аргументы
4) Устанавливать
утверждений,
пропуски в них
истинность
заполнять
5) Формулировать для теоремы
все виды и утверждений и
устанавливать их истинность
6) «открывать» теорему, используя аналогию, осуществлять
поиск доказательства и выполнять его
7) Находить ошибки в доказательстве теорем
8) Осуществлять самоконтроль и
коррекцию действий
4
ТУЗ
Планируемые результаты
Умения
1) Выделять условие, требование
задачи, интерпретировать их в
знаках, символах
2) Выводить следствия из условия задачи при поиске ее решения
1) Выполнять анализ формулировки теоремы, текста задачи
2) Выполнять анализ, синтез
учебной информации, достраивать ее в процессе решения
задач
7
3) Устанавливать
причинноследственные
связи,делать
умозаключения,
выдвигать
гипотезы
и
обосновывать
их, строить логическую цепь
рассуждений
3) Выводить следствия из требования задачи при поиске ее решения
4) Составлять план решения задачи
5) Выполнять пошаговую запись
решения задачи, реализуя
план и используя нужные
математические утверждения
6) Осуществлять поиск решения
нестандартных задач, задач
повышенной сложности и записывать их решение
4) Создавать знаковую модель
решения задачи
7) Находить другие способы решения задач
5) Осуществлять самоконтроль и
коррекцию действий
8) Выполнять контроль решения
задачи, в том числе используя
предписания
9) Находить ошибки в решении
задач
10) Составлять задачи самостоятельно по указанной теме
11) Осуществлять самоконтроль и
коррекцию действий
5
ТУЗ
8
Планируемые результаты
1) Применять
теорию
для
решения
практикоориентированных задач
Умения
1) Использовать элементы метода математического моделирования для решения простых
задач с практическим содержанием
2) Использовать метод математического моделирования для решения практических задач
6
2. Задание 2: Следствия из аксиом
Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит
плоскость, и при том только одна.
Дано:
M, a
M 6∈ a
Доказать:
1. Существует α(M, a)
2. α – единственная
Следствия из условия:
1) Существуют P ∈ α, Q ∈ α (из планиметрии)
2) P ∈ α, Q ∈ α по A2 (так как a ∈ α).
3) Существует прямая b, M ∈ b, b ∩ α или b ⊂ α (по A2 )
4) Существует плоскость β, α ∩ β = a, тогда A 6∈ β (по A3 )
Следствия из требования:
α
↓
P , Q, M не лежат на одной плоскости
↓
P , Q могут лежать на одной прямой, на которой не лежит M
↓
P, Q ∈ α
↓
B, Q ∈ a
План доказательства:
1) P, Q ∈ α
2) P, Q, M не лежат на одной прямой
3) α(P, Q, M )
4) α единственная
5) a ∈ α
7
Доказательство:
1) Так как a ∈ α, то все точки a принадлежат α (A2 ), следовательно,
если существуют P, Q ∈ a, то P, Q ∈ α.
2) Пусть существует прямая k такая, что P, Q, M ∈ k. Тогда так как
P, Q ∈ k и P, Q ∈ a, то a ≡ k (по аксиомам планиметрии), но M 6∈ a
по условию. Получаем противоречие, следовательно, M, P, Q не
лежат на одной прямой.
3) Так как существуют P, Q, M , не лежащие на одной прямой, то
через них проходит плоскость α (по A1 ).
4) α – единственная (по A1 ).
5) Так как P, Q ∈ α, P, Q ∈ a, то a ⊂ α (по A2 ).
План доказательства по учебнику (Атанасян 10-11):
1) P, Q ∈ a
2) α(P, Q, M )
3) a ∈ α
4) α единственная
Доказательство по учебнику:
1) Отметим на a две точки P и Q.
2) Так как M, P, Q не лежат на одной прямой, то существует α,
которая проходит через точки M, P, Q (A1 ).
3) Так как P, Q ∈ a, P, Q ∈ α, то α проходит через a (A2 ).
4) Если существует плоскость, которая проходит через a и M , то она
проходит через M, P, Q, следовательно с α (A1 ).
Следствие 2. Через две пересекающиеся прнямые проходит плоскость, и притом только одна.
8
Дано:
a, b
a∩b
Доказать:
1. Существует α(a, b)
2. α – единственная
Следствия из условия:
1) Существует единственная M = a ∩ b (по аксиомам планиметрии).
2) Существует B, B ∈ b (из планиметрии)
3) Существует A, A ∈ a (из планиметрии)
4) Если a ⊂ α, то все точки a лежат в α (по A2 ).
5) Если b ⊂ α, то все точки b лежат в α (по A2 ).
6) Существует плоскость β, α ∩ β = a (по A3 ).
7) Существует плоскость γ, α ∩ γ = b (по A3 ).
Следствия из требования:
α
↓
M, A, C не лежат на одной плоскости
.
↓
&
M =a∩b
B∈b
A∈a
↓
↓
B 6∈ a
A 6∈ b
План доказательства:
1) M, A, B
2) M, A, B не лежат на одной прямой
3) α(M, B, C)
4) α – единственная
5) a, b ⊂ α
9
Доказательство:
1) Пусть M = a ∩ b, B 6≡ M ∈ b, A 6≡ M ∈ a (по аксиомам планиметрии).
2) Пусть существует прямая k такая, что A, B, M ∈ k. Тогда так как
M, B ∈ k, то k ≡ b и так как M, A ∈ k, то k ≡ a и a ≡ b (по
аксиомам планиметрии). Получаем противоречие, следовательно,
M, A, B не лежат на одной прямой.
3) Так как существуют A, B, M , не лежащие на одной прямой, то
через них проходит плоскость α (по A1 ).
4) α – единственная (по A1 ).
5) Так как M, B ∈ α, то b ⊂ α. Так как M, A ∈ α, то a ⊂ α (по A2 ).
План доказательства по учебнику (Атанасян 10-11):
1) a ∩ b = M
2) P ∈ b, P 6≡ M
3) α(P, a)
4) α проходит через b
5) α единственная
10
3. Задание 3. Определения и схемы определения понятий
Определение 1. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной пнрямой и не пересекаются.
Параллельные прямые
1) a ⊂ α, b ⊂ α
2) a ∩ b = ∅
akb
Утверждения:
1) Если прямые не пересекаются, то они параллельны (−).
2) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (−).
3) Если прямая параллельна другой прямой, то эти прямые лежат в
одной плоскости (+).
11
Определение 2. Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общий точек.
Прямая, параллельная плоскости
a – прямая, α – плоскость
a∩α=∅
akα
Утверждения:
1) Если прямая не лежит в плоскости, то она ей параллельна (−).
2) Если прямая и плоскость имеют хотя бы одну общую точку, то они
не параллельны (+).
3) Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна каждой
прямой в этой плоскости (−).
12
Определение 3. Две плоскости называются параллельными, если
они не пересекаются.
Параллельные плоскости
α, β – плоскости
α∩β =∅
αkβ
Утверждения:
1) Любая прямая, лежащая в одной из параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости (+).
2) Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она
пересекает и другую (+).
3) Если плоскости параллельны, то любая прямая, параллельная одной из плоскостей, лежит в другой плоскости. (−).
13
4. Задание 4. Теоремы о параллельности в пространстве
Теорема. Признак параллельности прямой и плоскости. Если
прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Дано:
a 6⊂ α
b⊂α
a||b
Доказать:
a||α
Следствие из заключения теоремы: a ∩ α = ∅.
Доказательство (от противного):
1) Пусть a ∩ α = M , тогда b ∩ α = K (по лемме - еслли одна из
двух параллельных прямых пересекает некоторую плоскость, то и
вторая прямая тоже пересекает эту плоскость).
2) b ∩ α = K, что противоречит условию, так как b ⊂ α и поэтому
b ∩ α = b.
3) Следовательно, a ∩ α = ∅, тогда по определению a||α.
14
Теорема (признак параллельности двух плоскостей). Если две
пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны
двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Дано:
a1 ⊂ α, a2 ⊂ α
b1 ⊂ β, b2 ⊂ β
a1 ∩ a2 = A
b1 ∩ b2 = B
a1 ||b1 , a2 ||b2
———————–
Доказать: α||β.
Следствие из заключения: α ∩ β = ∅
Доказательство (от противного):
1) Предположим, что α ∩ β = c.
2) Так как a1 ||b1 , то a1 ||β, аналогично a2 ||β (по признаку параллельности прямой и плоскости).
3) Тогда a1 ||c и a2 ||c по признаку параллельности двух прямых в пространстве.
4) Получается, что через точку A проходят две прямые, параллельные прямой c, чего быть не может. Следовательно, предположение
неверно, и α ∩ β = ∅ и тогда по определению α||β.
Утверждения:
1) Если две плоскости параллельны, то для каждой прямой, лежащей
в одной плоскости, найдется параллельная ей прямая, лежащая в
другой плоскости. (+)
2) Если две прямые одной плоскости соответственно параллельны двум
прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. (−)
3) Если две плоскости параллельны, то каждая пара пересекающихся
прямых одной плоскости параллельна любым двум прямым другой
плоскости. (−)
15
Прямая теорема: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны.
Обратная теорема: Если две плоскости параллельны, то две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.
Противоположная теорема: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости не параллельны каким-либо двум прямым другой плоскости, то
эти плоскости не параллельны.
Теорема, обратная противоположной: Если две плоскости не параллельны, то две пересекающиеся прямые одной плоскости не параллельны никаким двум прямым другой плоскости.
16
5. Приложение. Планируемые результаты по
стереометрии
Базовый уровень: выпускник научится
1) Оперировать на базовом уровне понятиями: плоскость в пространстве, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей;
2) распознавать основные виды многогранников (призма, пирамида,
прямоугольный параллелепипед, куб);
3) изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых
чертежных инструментов;
4) делать (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу;
5) извлекать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках;
6) применять теорему Пифагора при вычислении элементов стереометрических фигур;
7) находить объемы и площади поверхностей простейших многогранников с применением формул;
8) распознавать основные виды тел вращения (конус, цилиндр, сфера
и шар);
9) находить объемы и площади поверхностей простейших многогранников и тел вращения с применением формул.
Базовый уровень: выпускник получит возможность научиться
1) Оперировать понятиями, плоскость в пространстве, параллельность
и перпендикулярность прямых и плоскостей;
2) применять для решения задач геометрические факты, если условия
применения заданы в явной форме;
3) решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам
или алгоритмам;
17
4) делать (выносные) плоские чертежи из рисунков объемных фигур,
в том числе рисовать вид сверху, сбоку, строить сечения многогранников;
5) извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;
6) применять геометрические факты для решения задач, в том числе
предполагающих несколько шагов решения;
7) описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;
8) формулировать свойства и признаки фигур;
9) доказывать геометрические утверждения;
10) владеть стандартной классификацией пространственных фигур (пирамиды, призмы, параллелепипеды);
11) находить объемы и площади поверхностей геометрических тел с
применением формул;
12) вычислять расстояния и углы в пространстве.
Углубленный уровень: выпускник научится
1) Владеть геометрическими понятиями при решении задач и проведении математических рассуждений;
2) самостоятельно формулировать определения геометрических фигур, выдвигать гипотезы о новых свойствах и признаках геометрических фигур и обосновывать или опровергать их, обобщать или
конкретизировать результаты на новых классах фигур, проводить
в несложных случаях классификацию фигур по различным основаниям;
3) исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную
на чертежах;
4) решать задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из условия, выполнять
необходимые для решения задачи дополнительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для решения
задач;
18
5) уметь формулировать и доказывать геометрические утверждения;
6) владеть понятиями стереометрии: призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр;
7) иметь представления об аксиомах стереометрии и следствиях из
них и уметь применять их при решении задач;
8) уметь строить сечения многогранников с использованием различных методов, в том числе и метода следов;
9) иметь представление о скрещивающихся прямых в пространстве и
уметь находить угол и расстояние между ними;
10) применять теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;
11) уметь применять параллельное проектирование для изображения
фигур;
12) уметь применять перпендикулярности прямой и плоскости при решении задач;
13) владеть понятиями ортогональное проектирование, наклонные и их
проекции, уметь применять теорему о трех перпендикулярах при
решении задач;
14) владеть понятиями расстояние между фигурами в пространстве,
общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и уметь применять их при решении задач;
15) владеть понятием угол между прямой и плоскостью и уметь применять его при решении задач;
16) владеть понятиями двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярные плоскости и уметь применять их при решении задач;
17) владеть понятиями призма, параллелепипед и применять свойства
параллелепипеда при решении задач;
18) владеть понятием прямоугольный параллелепипед и применять его
при решении задач;
19) владеть понятиями пирамида, виды пирамид, элементы правильной пирамиды и уметь применять их при решении задач;
19
20) иметь представление о теореме Эйлера, правильных многогранниках;
21) владеть понятием площади поверхностей многогранников и уметь
применять его при решении задач;
22) владеть понятиями тела вращения (цилиндр, конус, шар и сфера),
их сечения и уметь применять их при решении задач;
23) владеть понятиями касательные прямые и плоскости и уметь применять из при решении задач;
24) иметь представления о вписанных и описанных сферах и уметь применять их при решении задач;
25) владеть понятиями объем, объемы многогранников, тел вращения
и применять их при решении задач;
26) иметь представление о развертке цилиндра и конуса, площади поверхности цилиндра и конуса, уметь применять их при решении
задач;
27) иметь представление о площади сферы и уметь применять его при
решении задач;
28) уметь решать задачи на комбинации многогранников и тел вращения;
29) иметь представление о подобии в пространстве и уметь решать задачи на отношение объемов и площадей поверхностей подобных
фигур.
20