Особые точки вычеты

Математический анализ
Раздел: Теория функций комплексного переменного
Тема: Особые точки.
Вычеты
Лектор Янущик О.В.
2017 г.
§ 10. Особые точки
1. Изолированные особые точки
Точка z0 , в которой функция f(z) не является аналитической,
называется особой точкой функции f(z) .
Точку, не являющуюся особой для f(z) , называют правильной
точкой функции f(z) .
Точка z0 называется изолированной особой точкой функции
f(z) , если в некоторой ее окрестности нет других особых
точек функции f(z) .
Изолированная особая точка z0 называется
а) устранимой особой точкой, если lim f ( z )  c , где cℂ ;
б) полюсом, если lim f ( z )   ;
z  z0
z  z0
в) существенно особой точкой, если lim f ( z )  
z  z0
Замечание. Устранимую особую точку можно «устранить»,
доопределив (переопределив) функцию f(z) равенством
f ( z 0 )  lim f ( z )  c
z  z0
Новая функция в точке z0 будет аналитической.
ВЗАИМОСВЯЗЬ ХАРАКТЕРА ОСОБОЙ ТОЧКИ С ВИДОМ
РЯДА ЛОРАНА ФУНКЦИИ В ЕЕ ОКРЕСТНОСТИ
1) Устранимые особые точки
ТЕОРЕМА 1 (вид ряда Лорана функции в окрестности ее
устранимой особой точки).
Изолированная особая точка z0 функции f(z) является
устранимой  ряд Лорана функции f(z) в окрестности
точки z0 не содержит главной части, т.е. имеет вид

n
2
n
a
(
z

z
)

a

a
(
z

z
)

a
(
z

z
)



a
(
z

z
)

0
0
1
0
2
0
n
0
 n
n0
2) Полюсы
Точка z0 называется нулем функции (z) если (z0) = 0 .
Точка z0 называется нулем кратности m если
(z) = (z – z0)m  g(z), где g(z0)  0 .
Нуль кратности 1 называется простым.
ТЕОРЕМА 2 (связь полюсов и нулей функций).
Точка z0 является нулем аналитической функции (z)  z0 –
1
полюс функции
f ( z) 
 ( z)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кратность нуля z0 аналитической функции
(z) называют кратностью (порядком) полюса z0 функции
1
f ( z) 
 ( z)
Полюс кратности 1 называют простым.
ТЕОРЕМА 3 (вид ряда Тейлора функции в окрестности нуля).
Точка z0 является нулем кратности m аналитической
функции (z)  ряд Тейлора функции (z) в окрестности
точки z0 не содержит первых m членов, т.е. имеет вид

n
m
m 1
a
(
z

z
)

a
(
z

z
)

a
(
z

z
)

0
m
0
m 1
0
 n
nm
СЛЕДСТВИЕ 4 (связь кратности нуля с производными
функции).
Точка z0 является нулем кратности m аналитической
функции (z) 
 ( z0 )   ( z0 )   ( z0 )     ( m1) ( z0 )  0 ,
 ( m ) ( z0 )  0 .
ТЕОРЕМА 5 (вид ряда Лорана функции в окрестности ее
полюса)
Изолированная особая точка z0 функции f(z) является
полюсом кратности m  главная часть ряда Лорана
функции f(z) в окрестности точки z0 содержит только m
членов, т.е. имеет вид
a( m 1)
am
a1
2





a

a
(
z

z
)

a
(
z

z
)
0
1
0
2
0 
m
m 1
z  z0
( z  z0 )
( z  z0 )
СЛЕДСТВИЕ 6 (вид функции, имеющей полюс в точке z0)
Точка z0 является полюсом кратности m функции f(z) 
g ( z)
f ( z) 
( z  z0 ) m
где g(z) – аналитическая в точке z0 и g(z0)  0 .
3) Существенно особые точки
ТЕОРЕМА 7 (вид ряда Лорана функции в окрестности ее
существенно особой точки)
Изолированная особая точка z0 функции f(z) является
существенно особой  главная часть ряда Лорана функции
f(z) в окрестности точки z0 содержит бесконечное число
членов.
2. Характер точки ∞
Говорят, что функция f(z) аналитична в окрестности точки
∞ , если она аналитична в области | z | > R (где R –
некоторое число).
Точка ∞ называется изолированной особой точкой функции
f(z) если f(z) не имеет особых точек в области | z | > R (где
R – некоторое число).
Изолированная особая точка ∞ называется
а) устранимой особой точкой, если lim f ( z )  c , где cℂ ;
z 
б) полюсом, если lim f ( z )   ;
z 
в) существенно особой точкой, если lim f ( z )   .
z 
Говорят, что функция f(z) разложима в ряд Лорана в
окрестности точки ∞ , если она разложима в ряд Лорана
по степеням z в кольце R < | z | < +∞ , т.е.

a  n 
n
f ( z) 

a
z
,
R  z  
n
n
n 1 z
n0


При этом

a n
ряд  n
n0 z
называют правильной частью ряда Лорана
функции в окрестности ∞ ,

ряд
n
a
z
 n называют главной частью
n 1
функции в окрестности ∞ .
ряда
Лорана
Для точки ∞ справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8 (вид ряда Лорана функции в окрестности ее
изолированной особой точки ∞)
Изолированная особая точка ∞ функции f(z) является
а) устранимой  ряд Лорана функции f(z) в окрестности
точки ∞ не содержит главной части, т.е. имеет вид

a n
 zn
n0
б) полюсом кратности m  главная часть ряда Лорана
функции f(z) в окрестности точки ∞ содержит только
m членов, т.е. имеет вид

an
2
m

a

a
z

a
z



a
z
0
1
2
m
n
n 1 z
в) существенно особой  главная часть ряда Лорана
функции f(z) в окрестности точки ∞ содержит
бесконечное число членов.

§ 11. Вычеты. Основная теорема о вычетах
1. Вычет относительно конечной точки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вычетом функции f(z) относительно
конечной точки z0 называется число, равное
1
f ( z )dz
2 i C
где C – любой контур, удовлетворяющий условиям:
а) z0 лежит в области D, внутренней по отношению к C
(т.е. в области, которая остается слева при обходе контура
C против часовой стрелки);
б) в области D и на ее границе C нет особых точек
функции f(z) , за исключением может быть точки z0 .

Обозначают:
res f ( z )
z  z0
Из определения  если z0 – правильная, то
res f ( z )  0
z  z0
ТЕОРЕМА 1 (связь вычета функции относительно z0ℂ с
коэффициентами ее ряда Лорана в окрестности z0 ).
Вычет функции f(z) относительно z0ℂ равен коэффициенту a –1 разложения функции f(z) в ряд Лорана по степеням z – z0 в области 0 < | z – z0 | < R (где R – такое число,
что в области 0 < |z – z0 | < R функция f(z) – аналитическая).
СЛЕДСТВИЕ 2 (о вычете относительно устранимой особой
точки z0ℂ ).
Если z0 – устранимая особая точка, то res f ( z )  0
z  z0
ТЕОРЕМА 3 (вычисление вычета относительно полюса z0ℂ ).
Если z0ℂ – полюс кратности m функции f(z) , то
1
d m 1
res f ( z ) 
 lim m 1 ( z  z 0 ) m  f ( z )
z  z0
(m  1) ! z  z0 dz


СЛЕДСТВИЕ 4 (1-я формула для вычисление
относительно простого полюса z0ℂ ).
Если z0ℂ – простой полюс функции f(z) , то
вычета
res f ( z )  lim ( z  z 0 )  f ( z )
z  z0
z  z0
СЛЕДСТВИЕ 5 (2-я формула для вычисление вычета
относительно простого полюса z0ℂ ).
 ( z)
f
(
z
)

Пусть z0ℂ – простой полюс функции f(z) и
,
 ( z)
где (z0)  0 . Тогда
 ( z)  ( z0 )
res f ( z )  res

z  z0
z  z0  ( z )  ( z 0 )
СЛЕДСТВИЕ 4 (1-я формула для вычисление
относительно простого полюса z0ℂ ).
Если z0ℂ – простой полюс функции f(z) , то
вычета
res f ( z )  lim ( z  z 0 )  f ( z )
z  z0
z  z0
СЛЕДСТВИЕ 5 (2-я формула для вычисление вычета
относительно простого полюса z0ℂ ).
 ( z)
f
(
z
)

Пусть z0ℂ – простой полюс функции f(z) и
,
 ( z)
где (z0)  0 . Тогда
 ( z)  ( z0 )
res f ( z )  res

z  z0
z  z0  ( z )  ( z 0 )
ТЕОРЕМА 7 (вычисление вычета относительно устранимой
особой точки ∞ )
Если ∞ – устранимая особая точка функции f(z), то
res f ( z )  lim [ z 2  f ( z )]
z 
z 
ТЕОРЕМА 8 (вычисление вычета относительно полюса ∞ )
Если ∞ – полюс кратности m функции f(z) , то
(1) m
res f ( z ) 
lim [ z m  2  f ( m 1) ( z )]
z 
(m  1) ! z  
Замечание. Вычисление вычета относительно ∞ можно свести
к вычислению вычета относительно z0 = 0 если сделать
замену
1
z
t