§16. Изолированные особые точки п.1. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Точка z 0 называется изолированной особой точкой однозначной функции f (z ) , если существует окрестность этой точки, в которой эта функция аналитична всюду, кроме самой точки z0 . Пусть z 0 является изолированной особой точкой функции f (z ). R 0 такое, что в кольце 0 | z z0 | R функция f (z ) будет аналитической. Тогда существует По теореме Лорана функция f (z ) в этом кольце может быть разложена в ряд cn ( z z0 ) , 0 | z z0 | R. (1) n n Возможны три случая 1) Разложение (1) не содержит членов с отрицательными степенями ( z z0 ). Тогда точка z 0 называется устранимой особой точкой функции f (z ). 2) Разложение (1) содержит конечное число членов с отрицательными степенями ( z z0 ). Тогда точка z 0 называется полюсом функции f (z ). 3) Разложение (1) содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями ( z z0 ). Тогда точка z 0 называется существенно особой точкой функции f (z ). п.2. Устранимая особая точка. Теорема 1. Если точка z 0 является устранимой особой точкой аналитической функции f (z ) , то существует конечный предел lim f ( z ). z z0 Доказательство. По условию теоремы разложение функции f (z ) в ряд Лорана в некоторой окрестности точки z 0 имеет вид f ( z) cn ( z z 0 ) , n n 0 0 | z z0 | R. Тогда степенной ряд cn ( z z 0 ) n n 0 сходится в кольце | z z0 | R. Сумма этого ряда является аналитической функцией в этом круге (см. п.2 §12), а значит и непрерывной. В частности, эта функция непрерывна в точке z0 . Тогда функцию f (z ) можно доопределить в точке z 0 так, чтобы она была непрерывной в этой точке. Положим f ( z0 ) c0 . Значит, по определению непрерывной функции существует конечный предел lim f ( z ) c0 . z z0 Замечание 1. Из существования конечного предела lim f ( z ) z z0 следует, что в некоторой окрестности устранимой особой точки z 0 функция ограничена по модулю. f (z ) Теорема 2. Если функция f (z ) , аналитическая в круговом кольце 0 | z z0 | R, ограничена по модулю, то точка z 0 является устранимой особой точкой функции f (z ). Доказательство. По условию теоремы существует такое число M 0, что выполняется неравенство | f ( z ) | M , 0 | z z0 | R. Выберем число 0 так, чтобы окружность C : | z z0 | принадлежала кольцу 0 | z z0 | R. Тогда из формул для коэффициентов ряда Лорана (см. формулы (6) §15) 1 cn 2i f ( ) ( z0 ) d , n 0 , 1 , 2 ,..., n1 C получаем следующие оценки 1 | cn | 2 C | f ( ) | 1 2 M | d | M n1 n , n 0,1,2,... n1 2 | z0 | Рассмотрим последние равенства при n 1,2,... Перепишем их в виде | cn | M , n 1,2,... n Так как cn не зависят от , то переходя к пределу при 0 , получим | cn | lim M 0, n 1,2,... n 0 Поэтому, разложение Лорана не содержит главной части. Значит, точка z 0 является устранимой особой точкой функции f (z ). п.3. Полюс. Теорема 3. Если точка z 0 является полюсом аналитической функции f (z ) , то lim f ( z ) . z z0 Доказательство. По условию теоремы разложение функции f (z ) в ряд Лорана в некоторой окрестности точки z 0 имеет вид f ( z) cn ( z z 0 ) n n 0 cm c1 c2 ... , 0 | z z0 | R, (2) 2 m z z 0 ( z z0 ) ( z z0 ) cm 0. Замечание 2. Если m 1, то полюс z 0 называется простым. Если m 2, то полюс z 0 называется кратным. Число m называется порядком полюса. Вынесем в правой части равенства (2) m множитель ( z z0 ) за скобки: 1 nm f ( z) c ( z z0 ) m n ( z z0 ) n 0 c1 ( z z0 ) m 1 c2 ( z z0 ) m2 ... c m . Обозначим сумму ряда через ( z ). Это будет аналитическая в круге | z z0 | R функция и ( z0 ) c m 0. Тогда ( z) f ( z) , 0 | z z0 | R. m ( z z0 ) Отсюда следует, что lim f ( z ) . z z0 (3) Правая часть (3) представляет собой степенной ряд, свободный член которогоcm 0. Значит, точка z 0 является устранимой особой точкой функции ( z z0 ) m f ( z ). При этом lim ( z z0 ) f ( z ) cm 0. m z z0 Следовательно, lim | z z0 | | f ( z ) || cm | 0. m z z0 (4) Пусть q — положительное число такое, что q | cm | . Тогда из (4) следует, что в некотором достаточно малом круге с центром в точке z 0 выполняется неравенство | z z0 | | f ( z ) | q 0. m или | f ( z ) | q | z z0 | Отсюда следует, что m 0. п.4. Связь между нулем и полюсом. Теорема 4. Если точка z 0 является нулем порядка m (полюсом порядка m) функции f (z ), то эта точка будет полюсом порядка m (нулем порядка m, если считать 1 / f ( z0 ) 0 ) функции 1 . f ( z) Доказательство. 1) Пусть z 0 — нуль порядка m функции Воспользуемся представлением (3): f (z ). ( z) f ( z) , ( z0 ) 0, 0 | z z0 | R. m ( z z0 ) Отсюда имеем, что 1 1 m ( z z0 ) , ( z0 ) 0. f ( z) ( z) Это означает, что z0 — нуль порядка m функции 1/ f ( z ). п.5. Случай бесконечно удаленной точки. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции f ( z ) , если функция f ( z ) аналитична во внешности некоторого круга, т.е. в области | z | R, R 0. Так как функция f ( z ) аналитична в кольце R | z | , то ее можно разложить в ряд Лорана f ( z) c z , n n n R | z | . (5) Как и в случае конечной изолированной особой точки выделим три случая. 1) Ряд Лорана (5) не содержит членов с положительными степенями z, т.е. имеет вид: c n f ( z ) c0 n . n 1 z В этом случае точка z называется устранимой особой точкой. 2) Точка z называется полюсом m-го порядка, если разложение (5) содержит не более, чем m членов с положительными степенями и m cm 0 , т.е. n f ( z) c z n n , R | z | . 3) Если разложение (5) содержит бесконечное число членов с положительными степенями z, то бесконечно удаленна точка называется существенно особой точкой функции f (z ). Главной частью ряда Лорана в окрестности точки z называется совокупность членов с положительными степенями z. Правильной частью ряда Лорана в окрестности точки z называется совокупность членов с неположительными степенями z. Пример. Исследовать характер бесконечно удаленной точки следующих функций. 1) 1 f ( z) . z 1 Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности точки z : 1 1 1 1 . z 1 z 1 1 n1 z n z По определению, бесконечно удаленная точка является устранимой особой точкой. 2) f ( z) z 2 z . 7 2 По определению, бесконечно удаленная точка является полюсом (7-го порядка). 3) f ( z) e , f ( z) sin z, f ( z) cos z. z Бесконечно удаленная точка является существенно особой точкой (самостоятельно). Замечание 3. Так как поведение функции f (z ) в окрестности точки z аналогично поведению функции ( ) в окрестности точки 0 , то все доказанные утверждения для устранимой особой точки, полюса и существенно особой точки остаются в силе и в случае бесконечно удаленной точки.