УДК 517.55 О НЕЗАВИСИМОСТИ АБСОЛЮТНЫХ ЦИКЛОВ В ДОПОЛНЕНИЯХ КОМПЛЕКСНЫХ

УДК 517.55
О НЕЗАВИСИМОСТИ АБСОЛЮТНЫХ ЦИКЛОВ
В ДОПОЛНЕНИЯХ КОМПЛЕКСНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
Лушин А. К.,
научный руководитель д-р физ.-мат. наук Цих А. К.
Сибирский федеральный университет
Одной из самых актуальных проблем алгебраической геометрии и теории
вычетов функций многих комплексных переменных является описание групп
гомологий и когомологий для дополнений алгебраических гиперповерхностей в
комплексном алгебраическом торе 𝕋𝑛 = (ℂ\{0})𝑛 , евклидовом пространстве ℂ𝑛 или
проективном ℂℙ𝑛 .
Определённую информацию об этих группах можно получить, рассматривая
понятие амёбы алгебраической гиперповерхности, т. е. изображение гиперповерхности
в логарифмической шкале. Пусть гиперповерхность 𝑉 = {𝑧 ∈ 𝕋𝑛 : 𝑄(𝑧) = 0} задаётся
полиномом 𝑄(𝑧) = 𝑄(𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ). Амёба 𝒜𝑉 гиперповерхности 𝑉 — это образ 𝑉 при
логарифмическом преобразовании 𝐿𝑜𝑔: 𝕋𝑛 → ℝ𝑛 :
𝐿𝑜𝑔: (𝑧1 , 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 ) ⟼ (ln|𝑧1 | , ln|𝑧2 | , … ln|𝑧𝑛 |).
Дополнение ℝ𝑛 \𝒜𝑉 состоит из конечного числа связных компонент {𝐸}, каждая
из которых открыта и выпукла. Каждый прообраз 𝐿𝑜𝑔−1 (𝐸) есть область сходимости
соответствующего ряда Лорана для рациональной функции 1⁄𝑄 (см. [1]).
Многогранником Ньютона 𝒩𝑄 многочлена 𝑄 называется выпуклая оболочка
показателей мономов, входящих в многочлен с ненулевыми коэффициентами. Число
компонент дополнения ℝ𝑛 \𝒜𝑉 не менее числа вершин многогранника 𝒩𝑄 и не более
числа целочисленных точек 𝒩𝑄 (см. [2]):
#𝑣𝑒𝑟𝑡 𝒩𝑄 ≤ #{𝐸} ≤ #{ℤ𝑛 ∩ 𝒩𝑄 }.
Для произвольной точки 𝑥 из компоненты 𝐸 дополнения амёбы определим
абсолютный n-мерный цикл (или коротко абсолютный n-цикл):
𝛾 = 𝐿𝑜𝑔−1 (𝑥) = {𝑧 ∈ 𝕋𝑛 : |𝑧1 | = 𝑒 𝑥1 , |𝑧2 | = 𝑒 𝑥2 , … , |𝑧𝑛 | = 𝑒 𝑥𝑛 }.
Порядком точки 𝑥 ∈ ℝ𝑛 \𝒜𝑉 называется вектор 𝜈 ∈ ℤ𝑛 , чьи компоненты равны
𝜈𝑗 =
1
(2𝜋𝑖)𝑛
∫
𝐿𝑜𝑔−1 (𝑥)
𝑧𝑗 𝜕𝑗 𝑄(𝑧) 𝑑𝑧1 ⋀ ⋅⋅⋅∧ 𝑑𝑧𝑛
,
𝑄(𝑧)
𝑧1 ⋅⋅⋅ 𝑧𝑛
𝑗 = 1, … , 𝑛.
Поскольку класс гомологий цикла 𝛾 = 𝐿𝑜𝑔−1 (𝑥) не зависит от выбора 𝑥 ∈ 𝐸, то
вектор 𝜈 присваивается компоненте 𝐸 дополнения амёбы в качестве порядка
компоненты. Это позволяет компоненту 𝐸 кодировать вектором 𝜈 и писать 𝐸𝜈 (см.
Рис.1). Абсолютный цикл 𝐿𝑜𝑔−1 (𝑥), где 𝑥 ∈ 𝐸𝜈 будем обозначать 𝛾𝜈 . Ряд Лорана для
рациональной функции 1⁄𝑄 , сходящийся в 𝐿𝑜𝑔−1 (𝐸𝜈 ) будем обозначать 𝑆𝜈 .
Рис. 1. Амёба комплексной прямой 1 + 𝑧1 + 𝑧2 = 0, связные
компоненты 𝐸𝜈 и 𝐿𝑜𝑔-образы абсолютных циклов 𝛾𝜈 .
.
Целью работы является исследование вопроса о гомологической независимости
абсолютных 𝑛-циклов {𝛾𝜈 } в дополнении в 𝕋𝑛 алгебраической гиперповерхности 𝑉.
Вначале исследуется связь линейной независимости рядов Лорана {𝑆𝜈 } с
гомологической независимостью абсолютных циклов {𝛾𝜈 }.
Ряд Лорана функции 1⁄𝑄(𝑧), сходящийся на множестве 𝐿𝑜𝑔−1 (𝐸𝜈 ),
𝑆𝜈 = ∑ 𝑎𝛼𝜈 𝑧 𝛼 ,
𝛼∈ℤ𝑛
где 𝑧 𝛼 = 𝑧1 𝛼1 ⋅⋅⋅ 𝑧𝑛 𝛼𝑛 , рассматривается как бесконечномерный вектор 𝑎𝜈 = (𝑎𝛼𝜈 )𝛼∈ℤ𝑛 ,
состоящий из коэффициентов этого ряда. Тогда, говоря про линейную независимость
рядов {𝑆𝜈 }, имеем в виду линейную независимость векторов {𝑎𝜈 }.
В работе доказывается
Теорема 1. Ряды {𝑆𝜈 } линейно независимы тогда и только тогда, когда циклы
{𝛾𝜈 } гомологически независимы в 𝕋𝑛 \𝑉.
Полученный результат переводит вопрос о гомологической независимости
абсолютных циклов в задачу о линейной независимости рядов Лорана рациональной
функции.
Далее в работе рассматривается случай алгебраических гиперповерхностей двух
переменных, т.е. комплексных кривых 𝑉 = {𝑧 ∈ 𝕋𝑛 : 𝑄(𝑧1 , 𝑧2 ) = 0}, где 𝑄(𝑧1 , 𝑧2 ) —
многочлен двух комплексных переменных.
Алгебраическую кривую 𝑉 будем называть гарнаковской, если амёба 𝒜𝑉 имеет
максимальное число компонент дополнения, т. е. #{𝐸𝜈 } = #{ℤ2 ∩ 𝒩𝑄 }, и граница 𝜕𝒜𝑉
— гладкая. Стоит заметить, что данное определение отличается от общепринятого
определения кривой Гарнака и является более общим. Эти понятия совпадают, если
коэффициенты многочлена 𝑄(𝑧1 , 𝑧2 ) вещественные (см. [3]). Для гарнаковских кривых
решение поставленной задачи даёт
Теорема 2. Если 𝑉 — гарнаковская кривая, то ряды Лорана {𝑆𝜈 } функции 1⁄𝑄
линейно независимы.
Список литературы
1. Gelfand I. M., Kapranov M. M., Zelevinsky A. V., Discriminants, resultants, and
multidimensional determinants, Math. Theory Appl., Birkhauser, Boston, MA, 1994
2. Forsberg M., Passare M., Tsikh A., Laurent determinants and arrangements of
hyperplane amoebas // Adv. Math., 151:1 (2000), 45-70
3. Mikhalkin G., Rullgard H., Amoebas of maximal area // Internat. Math. Res. Notices,
2001, № 9, 441-451
4. Кратное интегрирование. Гомологии [Электронный ресурс] : конспект лекций /
И. А. Антипова, Н. А. Бушуева, А. К. Цих; Сиб. федерал. ун-т. - Версия 1.0. Электрон. дан. (PDF; 1, 23 Мб). - Красноярск : ИПК СФУ, 2007, URL:
http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/18/u_lectures.pdf
5. Кратное интегрирование. Когомологии [Электронный ресурс] : лекции по курсу
/ И. А. Антипова, О. В. Знаменская, А. К. Цих ; Сиб. федерал. ун-т. - Версия 1.0.
- Электрон. дан. (PDF; 14846 кб). - Красноярск : [б. и.], 2007, URL:
http://files.lib.sfu-kras.ru/ebibl/umkd/17/u_lectures.pdf