f ( z )

§ 9. Вычеты и их применение
Нули функций
ОПР 25. Точка z = a, [a ∊ D − области определения f( z )], называется нулем
функции f( z ), если f( a )=0 .
ОПР 26. Точка z = a, называется нулем порядка m если в разложении f( z )
в ряд Тейлора в окрестности z = a коэффициенты с0=с1= …= сm-1=0, сm≠0,
т.е. ряд Тейлора имеет вид
f ( z ) = сm( z − a )m + сm+1 ( z − a )m+1 + …
ИЛИ если
f( z ) можно представить как f ( z ) = ( z – a )m j ( z )
удобное правило: Точка z = a является нулем порядка m <=>
f( a ) = f ’( a ) = f ’’( a ) = … = f (m−1)( a ) = 0,
f (m)( a ) ≠ 0.
или lim
z a
f z 
 const
m
( z  a)
Особые точки
ОПР 27. Точка z = a называется особой точкой для функции f( z ), если в
ней нарушается аналитичность f( z ) .
ОПР 28. Точка z = a называется изолированной особой точкой (и.о.т.) для
функции f( z ), если существует некоторая окрестность точки z = a в которой
нет других особых точек.
Таблица типов особых точек
Тип особой
точки
z=aс
Признак
Определение
У.о.т.
(устранимая
особая
точка)
Лорановское разложение не содержит главной части
Полюс
порядка т
Главная часть лорановского разложения содержит
конечное число членов
f z   c0  c1 z  a   cn z  a n  ,
f z  
cm
( z  a )m

cm1
( z  a )m1

c1
za

0 z a  R
lim f  z  
z a
 const
lim f z  
z a

 c z  a  ,
n
n
r  za  R
n 0
cm  0
С.о.т.
Главная часть лорановского разложения содержит
(существенн бесконечное число членов


о
особая
n
f  z    c n  z  a    cn  z  a n
точка)
n 1
n 0
lim f z  не
z a
существуе
т
удобное правило для вычисления порядка полюса:
Чтобы точка z = a была полюсом порядка m функции f( x ) <=> чтобы
1
эта точка являлась нулём кратности m аналитической в z = a функции
f  z
вычеты
1
ОПР 29. Значение интеграла
2 i
 f z dz
вдоль контура , обходящего в

положительном направлении единственную особую точку z = a функции f( z )
называется вычетом функции f( z ) относительно точки a.
Обозначают:
res f z  
z a
1
2 i
 f z dz
9.1

Теорема 9.1. Вычет равен коэффициенту при первой отрицательной
степени разложения Лорана функции f ( z ) в окрестности z = a
res f z   c1
z a
9.2
Способы вычисления вычетов относительно конечных особых точек
f z   C1  0
1) Если z = a – устранимая особая точка, С–1=0 => res
z a
2) Если z = a – полюс порядка m. Тогда
res f z  
z a
m1
d
1
lim
 m  1! z a dz m1
 f z z  a 
m
9.3
res f z   lim z  a  f z 
в частности если z = a – простой полюс, то
z a
z a
3) Если z = a – существенно особая точка функции f( z ), надо воспользоваться
формулой res f z   C 1 и разложить функцию f( z ) в ряд Лорана.
z a
У.о.т.
(устранимая
особая
точка)
Лорановское разложение не содержит главной части
Полюс
порядка т

Главная часть
разложенияc содержит
конечное
число членов
c лорановского
c
n
m
 m 1
1


c
z

a
,
0 za  R
f z 

 za  n
m
m

1
( z  a)
( z  a)
С.о.т.
(существенн
о
особая
точка)
f z   c0  c1 z  a   cn z  a   ,
n


n 0
Главная часть лорановского разложения содержит бесконечное число


членов
f  z    c n  z  a  n   cn  z  a n
n 1
n 0
lim f  z  
z a
 const
lim f z  
z a
lim f z 
z a
не
существует
Бесконечно удаленная особая точка
ОПР 30. Значение интеграла
1
2 i
 f z dz вдоль контура , обходящего в

отрицательном направлении особую точку z = ∞ функции f( z ) называется
вычетом функции f( z ) относительно бесконечно удаленной точки .
Обозначают:
res f z   b1
9.4
z 
Теорема 9.2. (Основная теорема о вычетах ).
Если f( z ) – функция, аналитическая в замкнутой области G  G  , за
исключением конечного числа изолированных особых точек, лежащих в
области G (но не на Г ), то интеграл равен
n
 f z   2i res f z 
k 1

z  ak
9.5
Теорема 9.3.
Если f( z ) – функция, аналитическая в расширенной комплексной плоскости,
исключая конечное число изолированных особых точек z0=∞, z1, z2, …, zn
то сумма всех ее вычетов относительно особых точек, включая z = ∞, равна
n
нулю
res f z   0
9.6

k 0
z  zk