Лр1 Лапшаков

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
Кафедра АПУ
ОТЧЕТ по лабораторной
работе №1
по дисциплине «Основы автоматического управления»
ТЕМА: Исследование математических моделей типовых звеньев систем
управления. Передаточные функции замкнутой и разомкнутой системы.
Студент гр. 9582
Лапшаков Н.
Преподаватель
Шнайдер В.В.
Санкт-Петербург
2021
Рассматриваемые темы:
- модели во временной области, ДУ, переходная и весовая функции;
- модели в области комплексной переменной, передаточные функции
разомкнутой и замкнутой системы, характеристические полиномы;
- модели в частотной области, АФХ, ЛЧХ.
1.Исследование характеристик типовых звеньев с передаточными
функциями.
Используя интерфейс программы Classic 3.2, создадим экранную форму и
исследуем характеристики типовых звеньев с различными передаточными
функциями.
1.1.
Апериодическое звено первого порядка
Передаточная функция имеет вид: 𝑊1 (𝑠) =
𝑘
𝑇𝑠+1
Рисунок 1
𝑊1 (𝑠) =
𝑘
1
=
𝑇𝑠 + 1 5𝑠 + 1
𝐻(𝑠) = 𝑊1 (𝑠) =
1
5𝑠 + 1
−𝑡
𝐻(𝑠)
÷ ℎ(𝑡) = 5 − 5𝑒 10
𝑠
1
1 − 5𝑗𝑤
𝑊1 (𝑗𝜔) =
=
5𝑗𝜔 + 1 1 + 25𝑤 2
𝑅(𝜔) = √(
2
2
1
25
1
) +(
) =
2
2
25𝜔 + 1
25𝜔 + 1
√(25𝜔 2 + 1)
𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−5𝑤⁄1) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−5𝜔)
1
5
𝑅 ( ) = 𝑅(0.1) =
≈ 3.53
𝑇
√2
1
𝜋
𝜑 ( ) = 𝜑(0.1) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1) = −
𝑇
4
𝑊(𝑗𝜔) = 𝑅(𝜔)𝑒 𝑗𝜑(𝜔)
𝜋
1
− 𝑗
𝑊 ( 𝑗) = 𝑊(0.2𝑗) = 3.53𝑒 4
𝑇
1
𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 11 Дб
𝑇
1.2 Идеально интегрирующие звено
Передаточная функция имеет вид: 𝑊(𝑠)=
𝑘
𝑠
Рисунок 2
𝑊2 (𝑠) =
𝑘 5
=
𝑠 𝑠
𝐻(𝑠) = 𝑊2 (𝑠) =
5
𝑠
𝐻(𝑠)
÷ ℎ(𝑡) = 5𝑡
𝑠
5
5𝑗
𝑊2 (𝑗𝜔) =
=
𝑗𝜔 −𝜔
𝑅(𝜔) = √
25 5
=
𝜔2 𝜔
1
5
𝑅 ( ) = 𝑅(0.2) =
≈ 25
𝑇
0.2
1
𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 28 Дб
𝑇
1.3) Колебательное звено 2-ого порядка
Передаточная функция имеет вид: 𝑊3 (𝑠) =
𝑘
𝑇 2 𝑠 2 +2𝜉𝑇𝑠+1
Рисунок 3
𝑊3 (𝑠) =
𝑘
10
=
𝑇 2 𝑠 2 + 2𝜉𝑇𝑠 + 1 25𝑠 2 + 5𝑠 + 1
𝐻(𝑠) = 𝑊2 (𝑠) =
10
25𝑠 2 + 5𝑠 + 1
𝐻(𝑠)
10 −0.1𝑡
√3
√3
÷ ℎ(𝑡) = −
𝑒
sin ( 𝑡) − 10𝑒 −0.1𝑡 cos ( 𝑡) + 10
𝑠
10
10
√3
10
10√25𝜔 2 − 1 + 50𝜔𝑗
𝑊3 (𝑗𝜔) =
=
−25𝜔 2 + 5𝜔𝑗 + 1
50𝜔 2 − 1
2
2
10√25𝜔 2 − 1
50𝜔
10√25. 5𝜔 2 − 1
√
𝑅(𝜔) = (
) +(
) =
50𝜔 2 − 1
50𝜔 2 − 1
50𝜔 2 − 1
1
𝑅 ( ) = 𝑅(0.2) ≈ 1.41
𝑇
1
𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 3 Дб
𝑇
1.4) Неустойчивое апериодическое звено
Передаточная функция имеет вид: 𝑊4 (𝑠) =
𝑘
𝑇𝑠−1
Рисунок 4
𝑘
5
=
𝑇𝑠 − 1 10𝑠 − 1
5
𝐻(𝑠) = 𝑊4 (𝑠) =
10𝑠 − 1
𝑡
𝐻(𝑠)
÷ ℎ(𝑡) = 5𝑒 5 − 5
𝑠
10
−50𝑗𝜔 − 5
𝑊4 (𝑗𝜔) =
=
5𝑗𝜔 − 1 100𝜔 2 + 1
𝑊4 (𝑠) =
𝑅(𝜔) = √(
2
2
−50𝜔
−5
5
) +(
) =
2
2
100𝜔 + 1
100𝜔 + 1
√(100𝜔 2 + 1)
1
5
𝑅 ( ) = 𝑅(0.2) =
≈ 3.53
𝑇
√2
1
𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 11 Дб
𝑇
1.5. Передаточная функция пятого звена
Передаточная функция имеет вид: 𝑊5 (𝑠) =
𝑇𝑠+1
𝑠
Рисунок 5
𝑇𝑠 + 1 4𝑠 + 1
=
𝑠
𝑠
10𝑗𝜔 + 1 4𝜔 − 𝑗
𝑊5 (𝑗𝜔) =
=
𝑗𝜔
𝜔
𝑊5 (𝑠) =
𝑅(𝜔) = √(
10𝜔 2
−1 2 √(16𝜔 2 + 1)
) +( ) =
𝜔
𝜔
𝜔
1
𝑅 ( ) = 𝑅(0.2) ≈ 5.6
𝑇
1
𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 15 Дб
𝑇
Асимптотические ЛЧХ
2) Исследование влияния ОС на динамические характеристики
типовых звеньев
Была введена система замкнутого вида
Рисунок 6 – Замкнутая система с ОС
2.1) Были введены передаточные функции разомкнутой системы
kр 2
Wр (s) =
=
Wос (s) = kос (s) = 3
s
s
Тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид,
соответствующий апериодическому звену первого порядка:
2
Wр (s)
Y(s)
2
Ф(s) =
=
= s =
X1 (s) 1+Wр (s)Wос (s) 1+ 2 ∙3 6+s
s
Подтвердим правильность расчётов с помощью программы.
Рисунок 7 - экспериментальное подтверждение расчёта
Теперь введём передаточную функцию разомкнутой системы вида
Wр (s) =
k
Ts-1
=
2
3s-1
и рассчитаем значения Wос (s) = kос1,2 , позволяющие
получить передаточные функции замкнутых систем видов:
Ф(s) =
kэ
1
=
Tэ s+1 5s+1
2) Ф(s) =
2
1
3s-1
=
5s+1 1+ 2 ∙k
3s-1 ос
1
2
=
5s+1 3s -1+2kос
3s-1+2kос = 10𝑠 + 2
2kос = 7𝑠 + 3
7
3
kос = 𝑠 +
2
2
Wос(s) = 3.5𝑠 + 1.5
kэ 6
=
s
s
Введём данную передаточную функцию в программу:
Рисунок 8 - экспериментальное подтверждение расчёта
Ф(s) =
kэ
2
1
=
=
Tэs + 1 10s+2 5s+1
Передаточная функция обратной связи была найдена правильно.
2
1
3s -1
=
s 1+ 2 ∙k
3s-1 ос
1
2
=
s 3s – 1 + 2kос
2kос = 1 − 𝑠
kос =
1 𝑠
−
2 2
Wос(s) = 0.5 − 0.5𝑠
Введём данную передаточную функцию в программу:
Рисунок 9 - экспериментальное подтверждение расчёта
Ф(s) =
kэ 2 1
= =
s 2s s
Передаточная функция обратной связи была найдена правильно.
Вывод: были исследованы характеристики типовых звеньев (апериодическое
звено 1-ого порядка, интегратор, колебательное звено 2-ого порядка,
неустойчивое апериодическое звено, изодромное звено), проведён анализ
полученных экспериментальных результатов в ПО Classic на соответствие
выбранным параметрам для них, рассчитаны переходные характеристики с
построением соответствующего графика, определено значение 𝐿(𝑤) и
построены асимптотические ЛЧХ.
Также было исследовано влияние обратной связи на динамические
характеристики типовых звеньев. В роли ОС выступал дифференциатор.
Подбирая
значение
его
передаточной
функции,
мы
преобразуем
передаточную функцию разомкнутой системы в желаемую замкнутой
системы.