МИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) Кафедра АПУ ОТЧЕТ по лабораторной работе №1 по дисциплине «Основы автоматического управления» ТЕМА: Исследование математических моделей типовых звеньев систем управления. Передаточные функции замкнутой и разомкнутой системы. Студент гр. 9582 Лапшаков Н. Преподаватель Шнайдер В.В. Санкт-Петербург 2021 Рассматриваемые темы: - модели во временной области, ДУ, переходная и весовая функции; - модели в области комплексной переменной, передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы, характеристические полиномы; - модели в частотной области, АФХ, ЛЧХ. 1.Исследование характеристик типовых звеньев с передаточными функциями. Используя интерфейс программы Classic 3.2, создадим экранную форму и исследуем характеристики типовых звеньев с различными передаточными функциями. 1.1. Апериодическое звено первого порядка Передаточная функция имеет вид: 𝑊1 (𝑠) = 𝑘 𝑇𝑠+1 Рисунок 1 𝑊1 (𝑠) = 𝑘 1 = 𝑇𝑠 + 1 5𝑠 + 1 𝐻(𝑠) = 𝑊1 (𝑠) = 1 5𝑠 + 1 −𝑡 𝐻(𝑠) ÷ ℎ(𝑡) = 5 − 5𝑒 10 𝑠 1 1 − 5𝑗𝑤 𝑊1 (𝑗𝜔) = = 5𝑗𝜔 + 1 1 + 25𝑤 2 𝑅(𝜔) = √( 2 2 1 25 1 ) +( ) = 2 2 25𝜔 + 1 25𝜔 + 1 √(25𝜔 2 + 1) 𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−5𝑤⁄1) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−5𝜔) 1 5 𝑅 ( ) = 𝑅(0.1) = ≈ 3.53 𝑇 √2 1 𝜋 𝜑 ( ) = 𝜑(0.1) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1) = − 𝑇 4 𝑊(𝑗𝜔) = 𝑅(𝜔)𝑒 𝑗𝜑(𝜔) 𝜋 1 − 𝑗 𝑊 ( 𝑗) = 𝑊(0.2𝑗) = 3.53𝑒 4 𝑇 1 𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 11 Дб 𝑇 1.2 Идеально интегрирующие звено Передаточная функция имеет вид: 𝑊(𝑠)= 𝑘 𝑠 Рисунок 2 𝑊2 (𝑠) = 𝑘 5 = 𝑠 𝑠 𝐻(𝑠) = 𝑊2 (𝑠) = 5 𝑠 𝐻(𝑠) ÷ ℎ(𝑡) = 5𝑡 𝑠 5 5𝑗 𝑊2 (𝑗𝜔) = = 𝑗𝜔 −𝜔 𝑅(𝜔) = √ 25 5 = 𝜔2 𝜔 1 5 𝑅 ( ) = 𝑅(0.2) = ≈ 25 𝑇 0.2 1 𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 28 Дб 𝑇 1.3) Колебательное звено 2-ого порядка Передаточная функция имеет вид: 𝑊3 (𝑠) = 𝑘 𝑇 2 𝑠 2 +2𝜉𝑇𝑠+1 Рисунок 3 𝑊3 (𝑠) = 𝑘 10 = 𝑇 2 𝑠 2 + 2𝜉𝑇𝑠 + 1 25𝑠 2 + 5𝑠 + 1 𝐻(𝑠) = 𝑊2 (𝑠) = 10 25𝑠 2 + 5𝑠 + 1 𝐻(𝑠) 10 −0.1𝑡 √3 √3 ÷ ℎ(𝑡) = − 𝑒 sin ( 𝑡) − 10𝑒 −0.1𝑡 cos ( 𝑡) + 10 𝑠 10 10 √3 10 10√25𝜔 2 − 1 + 50𝜔𝑗 𝑊3 (𝑗𝜔) = = −25𝜔 2 + 5𝜔𝑗 + 1 50𝜔 2 − 1 2 2 10√25𝜔 2 − 1 50𝜔 10√25. 5𝜔 2 − 1 √ 𝑅(𝜔) = ( ) +( ) = 50𝜔 2 − 1 50𝜔 2 − 1 50𝜔 2 − 1 1 𝑅 ( ) = 𝑅(0.2) ≈ 1.41 𝑇 1 𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 3 Дб 𝑇 1.4) Неустойчивое апериодическое звено Передаточная функция имеет вид: 𝑊4 (𝑠) = 𝑘 𝑇𝑠−1 Рисунок 4 𝑘 5 = 𝑇𝑠 − 1 10𝑠 − 1 5 𝐻(𝑠) = 𝑊4 (𝑠) = 10𝑠 − 1 𝑡 𝐻(𝑠) ÷ ℎ(𝑡) = 5𝑒 5 − 5 𝑠 10 −50𝑗𝜔 − 5 𝑊4 (𝑗𝜔) = = 5𝑗𝜔 − 1 100𝜔 2 + 1 𝑊4 (𝑠) = 𝑅(𝜔) = √( 2 2 −50𝜔 −5 5 ) +( ) = 2 2 100𝜔 + 1 100𝜔 + 1 √(100𝜔 2 + 1) 1 5 𝑅 ( ) = 𝑅(0.2) = ≈ 3.53 𝑇 √2 1 𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 11 Дб 𝑇 1.5. Передаточная функция пятого звена Передаточная функция имеет вид: 𝑊5 (𝑠) = 𝑇𝑠+1 𝑠 Рисунок 5 𝑇𝑠 + 1 4𝑠 + 1 = 𝑠 𝑠 10𝑗𝜔 + 1 4𝜔 − 𝑗 𝑊5 (𝑗𝜔) = = 𝑗𝜔 𝜔 𝑊5 (𝑠) = 𝑅(𝜔) = √( 10𝜔 2 −1 2 √(16𝜔 2 + 1) ) +( ) = 𝜔 𝜔 𝜔 1 𝑅 ( ) = 𝑅(0.2) ≈ 5.6 𝑇 1 𝐿 ( ) = 𝐿(0.2) = 20 lg(𝑅(0.2)) = 15 Дб 𝑇 Асимптотические ЛЧХ 2) Исследование влияния ОС на динамические характеристики типовых звеньев Была введена система замкнутого вида Рисунок 6 – Замкнутая система с ОС 2.1) Были введены передаточные функции разомкнутой системы kр 2 Wр (s) = = Wос (s) = kос (s) = 3 s s Тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид, соответствующий апериодическому звену первого порядка: 2 Wр (s) Y(s) 2 Ф(s) = = = s = X1 (s) 1+Wр (s)Wос (s) 1+ 2 ∙3 6+s s Подтвердим правильность расчётов с помощью программы. Рисунок 7 - экспериментальное подтверждение расчёта Теперь введём передаточную функцию разомкнутой системы вида Wр (s) = k Ts-1 = 2 3s-1 и рассчитаем значения Wос (s) = kос1,2 , позволяющие получить передаточные функции замкнутых систем видов: Ф(s) = kэ 1 = Tэ s+1 5s+1 2) Ф(s) = 2 1 3s-1 = 5s+1 1+ 2 ∙k 3s-1 ос 1 2 = 5s+1 3s -1+2kос 3s-1+2kос = 10𝑠 + 2 2kос = 7𝑠 + 3 7 3 kос = 𝑠 + 2 2 Wос(s) = 3.5𝑠 + 1.5 kэ 6 = s s Введём данную передаточную функцию в программу: Рисунок 8 - экспериментальное подтверждение расчёта Ф(s) = kэ 2 1 = = Tэs + 1 10s+2 5s+1 Передаточная функция обратной связи была найдена правильно. 2 1 3s -1 = s 1+ 2 ∙k 3s-1 ос 1 2 = s 3s – 1 + 2kос 2kос = 1 − 𝑠 kос = 1 𝑠 − 2 2 Wос(s) = 0.5 − 0.5𝑠 Введём данную передаточную функцию в программу: Рисунок 9 - экспериментальное подтверждение расчёта Ф(s) = kэ 2 1 = = s 2s s Передаточная функция обратной связи была найдена правильно. Вывод: были исследованы характеристики типовых звеньев (апериодическое звено 1-ого порядка, интегратор, колебательное звено 2-ого порядка, неустойчивое апериодическое звено, изодромное звено), проведён анализ полученных экспериментальных результатов в ПО Classic на соответствие выбранным параметрам для них, рассчитаны переходные характеристики с построением соответствующего графика, определено значение 𝐿(𝑤) и построены асимптотические ЛЧХ. Также было исследовано влияние обратной связи на динамические характеристики типовых звеньев. В роли ОС выступал дифференциатор. Подбирая значение его передаточной функции, мы преобразуем передаточную функцию разомкнутой системы в желаемую замкнутой системы.
