УДК 681.5(06) Автоматика С.В. ВЛАСОВА Научный руководитель – В.А. ВЛАСОВ, д.т.н., профессор Московский инженерно-физический институт (государственный университет) СОКРАЩЕНИЕ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПРИ ПОЛУЧЕНИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ Рассматривается возможность и необходимость сокращения нулей и полюсов при определении передаточной функции замкнутой системы. При появлении в передаточной функции динамической системы одинаковых полиномов в числителе и знаменателе возникает вопрос о возможности сокращения таких полиномов и упрощении аналитического вида передаточной функции. Простейшие примеры показывают, что при необоснованном сокращении полиномов могут быть потеряны важные свойства рассматриваемой динамической системы. Пусть передаточная функция имеет вид w( s ) x( s ) Ts 1 , u ( s ) Ts 1 s – аргумент передаточной функции, x – выходная величина, u - управляющее воздействие, T – постоянная, характеризующая динамические свойства объекта. Сокращение числителя и знаменателя приведет к результату x( s ) y ( s ) , и, казалось бы, можно сделать вывод, что выходной сигнал совпадает с управляющим воздействием. Однако потеряно главное свойство, заключающееся в том, что объект является динамическим. В данном примере, кроме того, объект является неустойчивым. Известно, что передаточная функция wЗ (s ) замкнутой системы нахо- w( s ) , где w(s ) – передаточная 1 w( s ) функция разомкнутой системы. Если w(s ) является отношением двух P( s) P( s) / Q( s) полиномов w( s ) , то wЗ ( s ) и возникает воQ( s) 1 P( s) / Q( s) прос о возможности сокращения числителя и знаменателя на Q (s ) , причем Q (s ) может содержать не минимально фазовые звенья. Ответ на этот дится согласно правилу wЗ ( s ) ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 17 18 УДК 681.5(06) Автоматика вопрос следует искать с помощью анализа дифференциальных уравнений динамических объектов. Пусть объект описывается дифференциальным уравнением d nx dx d mu an n ... a1 a0 x bm m ... .b0u , и его передаточная dt dt dt n a s ... a0 P( s) функция имеет вид w( s ) n m . Введение единичной bm s ... b0 Q( s) обратной связи (замыкание объекта) означает, что справедливы соотно- d nx dx d m ... a a x b ... .b0 , 1 0 m dt n dt dt m (t ) u (t ) x(t ) . Исключая (t ) из последних соотношений, получим шения x (t ) an дифференциальное n m 1 уравнение, описывающее замкнутый m объект m d x d x d x d u ... am 1 m 1 (am bm ) m ... (a0 b0 ) x bm m ... .b0u , dt n dt dt dt которому соответствует передаточная функция an bm s m ... b0 . an s n ...am 1s m 1 (am bm ) s m ... (a0 b0) Эта передаточная P( s) / Q( s) , где 1 P( s) / Q( s) необходимо произвести сокращение числителя и знаменателя на Q (s ) . В K K /(Ts 1) K w( s ) w( s ) частности, если , то Ts 1 1 K /(Ts 1) Ts K 1 /(Ts 1) K (произведено сокращение на Ts-1). K /(Ts 1) Ts K 1 функция так же получается по формуле wЗ ( s ) Все вопросы, связанные с возможностью сокращения нулей и полюсов в передаточных функциях следует решать с помощью анализа дифференциальных уравнений. ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 17 19