1. Кількісне оцінювання ступеня ризику в межах теорії нечітких множин на основі підходу (методу) Недосєкіна-Воронова 2. Вимірювання ризику в межах теорії нечітких множин на основі репрезентативних чисел (1) За теперішнього часу окрім теорії імовірностей існує низка інших математичних теорій, що дозволяють формалізувати невизначеність інформації і вимірювати ризик, серед яких своє місце займає теорія нечітких множин. Теорія нечітких множин була сформульована в 1965 році професором Каліфорнійського університету в м. Берклі Лотфі А. Заде, коли в журналі “Інформація та управління” ним була опублікована новаторська робота “Нечіткі множини”. В цій статті Л. Заде розширив класичне поняття множини, припустивши що характеристична функція, яка в його теорії отримала назву функції належності, може набувати будь-які значення на відрізку [0, 1], а не лише 0 та 1. Такі множини були названі ним нечіткими. У своєму змістовному спрямуванні нечіткі множини були визначені Л. Заде як ті множини, межа яких не фіксована, на кшталт “множина молодих людей”, “множина великих чисел”, “множина малих міст” тощо. Формально нечітка множина (або, якщо дотримуватися максимальної математичної коректності – підмножина) являє собою сукупність впорядкованих ~ пар, тобто, якщо A - нечітка множина (підмножина), то ~ A x, ~ x x , ~ x 0,1 , де x – елемент множини дійсних чисел; ~ x – ступінь належності елемента x нечіткій підмножині A , ступінь належності задається в інтервалі 0,1 , функція ~ ~ x : 0,1, що її визначає, називається функцією належності. У 1970 році, тобто через п’ять років після заснування теорії нечітких множин, Лотфі Заде разом з Річардом Белманом розробив теорію прийняття рішень в нечітких умовах, а ще через три роки ним було введено поняття лінгвістичної змінної. Припустивши, що як значення лінгвістичної змінної виступають нечіткі множини, Л. Заде створив апарат для опису процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість і невизначеність виразів. Структурно побудова формалізму лінгвістичної змінної здійснюється за схемою: “нечітка множинанечітка змінналінгвістична змінна”. Строгі означення 1 нечіткої і лінгвістичної змінних мають вигляд. Нечіткою змінною називається впорядкована трійка ~ ( , X , A) , де – назва нечіткої змінної; X – множина її визначення (базова множина); ~ A ( x, A~ ( x)) | x X , A~ ( x) [0,1] – нечітка множина з базовою множиною X , що описує можливі значення нечіткої змінної . Лінгвістична змінна визначається як набір ( , T ( ), X , G, M ) , де – назва лінгвістичної змінної; T ( ) – терм-множина лінгвістичної змінної, тобто множина її значень (термів), кожне з яких є нечіткою змінною з множиною визначення X ; G – синтаксичне правило, за допомогою якого відбувається утворення найменувань T ( ) значень лінгвістичної змінної ; M – семантичне правило, яке ставить у відповідність кожній нечіткій змінній T ( ) нечітку множину M ( ) – її значення. В період з кінця 70-х років методи теорії нечітких множин проникають в економіку. З погляду теорії та практики бізнес-планування досягненням теорії нечітких множин стало введення так званих нечітких чисел, що надали можливість оперувати прогнозними оцінками параметрів, значення яких очікувано змінюються в установленому розрахунковому діапазоні. Особливого поширення в нечіткомножинному бізнес-плануванні отримали нечіткі числа трапецієподібного, трикутного й прямокутного (інтервального) типів, в яких фіксуються різні варіанти нечіткої невизначеності. Наприклад, якщо робиться прогноз, що обсяг продажів може скласти від 1 080 до 5 100 одиниць продукції, але швидше за все – від 2 500 до 4 200 одиниць, то такі відомості припускають подання у вигляді трапецієподібного числа. Якщо ж у прогнозі стверджується, що обсяг продажів складе приблизно 3 800 одиниць продукції, але однозначно буде знаходитися в діапазоні від 3 500 до 4 000 одиниць, то цю інформацію можна змоделювати за допомогою трикутного числа. З очевидністю простежується зв’язок між поширеним у бізнес-плануванні та проектному менеджменті сценарним підходом і концепцією нечітких чисел. Але на відміну від схем дискретної сукупності сценаріїв при залученні нечітких чисел у 2 розрахунок попадають всі можливі сценарії в межах побудованого розрахункового діапазону. Розглянемо далі інструментарій вимірювання ризику за умов нечіткості вихідних даних в межах аспекту (компонента) його міри як ступеня можливості того, що значення показника або критерію привабливості аналізованої господарської діяльності (операційний прибуток, чиста теперішня вартість, термін окупності тощо) не відповідатиме деякому заданому рівню. У формальному сенсі таке трактування кількісної оцінки ступеня ризику потребує побудови відповідної математичної конструкції можливісної міри. В контексті нечітко-множинного моделювання зазначений формалізм було розроблено у наступних основних варіантах: на основі теоретико-ймовірнісної аналогії або підходу, а також на основі інтервальної методології “без” та “зі” зважуванням. Відразу оговоримо, що без зниження рівня загальності розгляд методів вимірювання ризику в подальшому викладенні обмежується випадком критеріальних показників господарської діяльності, які оптимізуються в напрямі їх максимуму, тобто мають позитивний інгредієнт. Нехай прогнозна оцінка критерію привабливості деякої господарської діяльності підприємства характеризується трикутною нечіткістю, тобто ~ K ( Kmin , Kmod , Kmax ) , де K min , K max – відповідно мінімальне і максимальне значення K ; K mod – найочікуване (модальне) значення критерію K (для нього значення функції належності дорівнює 1). В межах методу на основі теоретико-ймовірнісного підходу формула ступеня ризику в цьому разі матиме вигляд: 0, G K min R, K G K min mod 1 P Risk K~ R, G K mod , 1 (1 R ), K G K 1 mod max 1, G K max при цьому R G K min , K max K min K min G K min K K , K min G K mod min G K max , 1 mod , K max G , K G K mod max K max K mod де RiskKP~ – ступінь ризику за нечіткою оцінкою критерію K на основі 3 теоретико-ймовірнісної методології; G – нормативний рівень (норматив) критерію K. Для методу на основі інтервальної методології без зважування (метод Недосєкіна-Воронова) в межах аналізованої ситуації кількісну оцінку ступеня ризику репрезентує вираз: 0, G K min R 1 1 1 ln(1 ) , K 1 min G K mod 1 , Risk KI~ R, G K mod 1 (1 R )1 1 1 ln(1 1 ) , K mod G K max 1 1, G K max де RiskKI~ – ступінь ризику за нечіткою оцінкою критерію K згідно з інтервальним підходом без зважуванн. Якщо ж в зробленому припущенні щодо форми нечіткості критеріального показника звернутися до методу на основі інтервальної методології зі зважуванням (модифікований метод Недосєкіна-Воронова), то формула ступеня ризику набуде вигляду: ~ Risk KIw 0, G K min R 1 (1 ) 2(1 1 ) ln(1 ) , K G K 1 1 min mod 1 R, G K mod , 1 (1 R )1 (1 1 ) 2(1 1 ) ln(1 1 ) , K mod G K max 1 1, G K max де RiskKI~w – ступінь ризику за нечіткою оцінкою критерію K згідно з інтервальним методом зі зважуванням. Покажемо застосування одного з наведених вище методів вимірювання ризику на умовному числовому прикладі. Нехай показник привабливості деякої діяльності або заходу підприємства (поточне виробництво, інвестиційний проект, фінансові інвестиції) характеризується ~ трикутною нечіткістю, млн. грн.: K ( 5, 10, 20) , тобто Kmin 5 , K mod 10 , K max 20 . Необхідно визначити ступінь ризику збитковості (тобто норматив G в цьому разі слід прийняти на нульовому рівні – G 0 ) аналізованого виду діяльності або 4 заходу підприємства за допомогою методу Недосєкіна-Воронова. Згідно з умовою має місце ситуація K min G K mod , оскільки 5 0 10 , звідки шуканий показник ступеня ризику дорівнює: R G K min G K min 0 ( 5) 0 ( 5) 0,2 , 1 0, (3) , K max K min 20 ( 5) K mod K min 10 ( 5) 1 1 1 0, (3) Risk KI~ R 1 ln(1 1 ) 0,2 (1 ln(1 0, (3)) 0,038. 1 0, (3) Доцільно доповнити уявлення стосовно розглядуваних методів, порівнявши результати їх одночасного застосування для різних значень нормативу G . Після виконання необхідних обчислювальних процедур можна отримати оцінки, відображені у табл. 1. Таблиця 1 Результати оцінювання ступеня ризику за допомогою альтернативних методів для різних значень нормативу G Значення ступеня господарського ризику в межах альтернативних методів: Норматив для методу на основі для модифікованого для методу G теоретико-ймовірнісної методу НедосєкінаНедосєкіна-Воронова методології Воронова -5 0 0 0 0 0,067 0,038 0,009 5 0,267 0,180 0,094 10 0,600 0,600 0,600 15 0,900 0,939 0,977 20 1 1 1 (2) Поряд з викладеними вище методами інструментарій нечітко-множинного моделювання містить у своєму складі ще один методологічний підхід, який також дозволяє кількісно оцінювати ступінь ризику в межах його трактування як ступеня можливості недотримання (невідповідності) нормативу. Йдеться про метод вимірювання ризику на основі так званих репрезентативних значень (чисел). Його загальна схема описується формулою (без зниження рівня загальності викладення цього методу обмежується випадком критеріальних показників, що оптимізуються в напрямі їх максимуму, тобто мають позитивний інгредієнт): 0, G K min (G R ) q RiskKD~ , K min G K max (G R ) q ( R G ) q 1, K max G , 5 при цьому q 0 , q 0 і q q 1, де RiskKD~ – ступінь ризику за нечіткою оцінкою критерію K на основі репрезентативних значень (чисел); G – норматив критерію K , який відображає граничний рівень критеріального показника, тобто значення критерію K нижче нормативу слід розцінювати як небажане відхилення; K min , K max – відповідно мінімальне і максимальне значення в межах нечіткої оцінки критерію K ; R – репрезентативне значення для нечіткої оцінки критерію K в межах негативного розвитку економічної ситуації, тобто коли останній набуває значення менше за норматив G ; R – репрезентативне значення для нечіткої оцінки критерію K в межах позитивного розвитку економічної ситуації, тобто коли останній набуває значення більше за норматив G ; q , q – вагові коефіцієнти для репрезентативних чисел в межах негативного і позитивного розвитку економічної ситуації відповідно. Зазначені коефіцієнти відображають порівняльну очікуваність відповідних сценаріїв (негативного і позитивного) перебігу подій. Змістовно показник ступеня ризику згідно з представленою формулою припускає інтерпретацію як ступінь можливості того, що критеріальний показник аналізованої господарської діяльності (виробництво, реальне та фінансове інвестування) набуде значення нижче нормативу. Нечітко-множинний підхід припускає низку методів розрахунку репрезентативних значень. Для розглядуваної проблеми доцільно використовувати метод „центру ваги”, а також методи на основі інтервальної методології. Конкретні аналітичні співвідношення для розрахунку показників R , R , q , q на ґрунті названих методів в разі трикутної нечіткості критеріального показника мають вигляд. Для методу “центру ваги”. 1 3 ( K min 2G ), K min G K mod , R 2 2 2 1 K max (G K mod ) 2G ( K max G ) K min ( K max K mod )( K min K mod ) , K mod G K max 3 ( K max K mod )(G K min ) (G K mod )( K max G ) 6 2 1 K min (G 2 K mod ) 2G 2 (G K min ) K max ( K mod K min )( K mod K max ) , K min G K mod 3 ( K mod K min )( K max G ) ( K mod G )(G K min ) , R 1 (2G K ), K G K max mod max 3 q , q , G K min 1 2 K K , K min G K mod mod min , 1 ( G K )( K G ) mod max 1 , K mod G K max 2 ( K max K mod )(G K min ) 1 ( K mod G )(G K min ) 1 , K min G K mod 2 ( K mod K min )( K max G ) . 1 K G max , K mod G K max 2 K max K mod Для методу на основі інтервальної методології без зважування: 1 4 ( K min 3G ), K min G K mod , R 2 1 ( K min 2 K mod K max ) 1 ( K max G ) , K mod G K max 4 4 K max K mod 1 1 (G K min ) 2 ( K 2 K K ) , K min G K mod min mod max 4 4 K mod K min , R 1 (3G K ), K G K max mod max 4 q , q , G K min , K min G K mod K mod K min , 1, K G K mod max 1, K min G K mod K max G K K , K mod G K max mod max . Для методу на основі інтервальної методології зі зважуванням: 1 6 ( K min 5G ), K min G K mod , R 3 1 1 ( K G ) max ( K min 4 K mod K max ) , K mod G K max 6 6 ( K max K mod ) 2 7 1 1 (G K min ) 3 ( K 4 K K ) , K min G K mod min mod max 6 6 ( K mod K min ) 2 , R 1 (5G K ), K G K max mod max 6 q , q , G K min 1 , K min G K mod 2 K mod K min , 1 , K G K mod max 2 1 2 , K min G K mod 1 K max G , K mod G K max 2 K max K mod . Виходячи з співвідношень для розрахунку q , q є зрозумілим, що порівняльна очікуваність негативного і позитивного сценаріїв розвитку ситуації в межах наведеної вище розрахункової схеми може бути врахована дещо інакше, безпосередньо через параметри , : 0, G K min (G R ) RiskKD~ , K min G K max ( G R ) ( R G ) 1, K max G . Останнє співвідношення має виключно розрахункове значення, тобто базовою в сенсі відображення суті методу слід вважати вихідну формулу, для всіх параметрів якої визначене змістовне навантаження. Розглянемо використання представленого методу кількісної оцінки ступеня ризику на прикладі. Нехай на підприємстві впроваджено механізм бюджетного управління, в межах чого щороку розробляється бюджет витрат та фінансових результатів операційної діяльності. Внаслідок нестабільного зовнішнього середовища фахівці підприємства опрацьовують такий бюджет для трьох сценаріїв (песимістичного, найбільш очікуваного, оптимістичного) розвитку економічної ситуації. У табл. 2 наведено трисценарний бюджет витрат та фінансових результатів операційної діяльності підприємства на I-й квартал планового року. Таблиця 2 Трисценарний бюджет витрат та фінансових результатів операційної 8 діяльності підприємства на I-й квартал планового року, грн. Стаття Обсяг продажів, од. Виручка від реалізації Змінні витрати, у т. ч. виробничі збутові Маржинальний прибуток Постійні витрати, у т. ч. виробничі адміністративні збутові Операційний прибуток Для всього обсягу продажів в межах сценаріїв На одиницю найбільш обсягу продажів песимістичного оптимістичного очікуваного − 7 000 8 000 9 000 62,00 434 000 496 000 558 000 43,60 305 200 348 800 392 400 42,00 1,60 18,40 294 000 11 200 128 800 336 000 12 800 147 200 378 000 14 400 165 600 − 138 000 140 000 144 000 − − − − 74 000 30 000 34 000 - 9 200 74 000 30 000 36 000 7 200 74 000 30 000 40 000 21 600 Як видно з табл. 2, поряд із бажаними для підприємства сценаріями розвитку економічної ситуації (наявність прибутку) може актуалізуватися негативний перебіг подій (збитки). Отже, виникає потреба визначити ризикованість операційної діяльності підприємства в сенсі можливості отримання збитків (тобто норматив G в цьому разі слід брати на нульовому рівні). Якщо звернутися до методу кількісного оцінювання ризику на основі репрезентативних чисел, то можна отримати значення, відображені в табл. 3. Таблиця 3 Показники ступеня ризику, розраховані на основі репрезентативних значень Метод знаходження репрезентативних значень “Центру ваги” Елементи формули розрахунку ступеня ризику за допомогою репрезентативних значень R R -3 066,7 8 465,8 На основі інтервальної -2 300,0 7 990,2 методології без зважування На основі інтервальної -1 533,3 7 349,2 методології із зважуванням Ступінь ризику q q 0,280 0,593 0,321 0,679 0,146 0,561 1,000 0,359 0,641 0,139 0,280 0,500 0,359 0,641 0,105 Як видно з табл. 3, різні методи знаходження репрезентативних чисел в межах розглядуваного підходу до вимірювання ризику приводять до дещо відмінних, хоча в цілому досить близьких, результатів. Мінімальний ступінь ризику дорівнює 10,5 %, максимальний – 14,6 %, близьким до максимального є ступінь ризику, отриманий при розрахунку репрезентативних чисел на основі інтервальної 9 методології без зважування – 13,9 %. В більшості випадків такі значення ступеня ризику визнаються прийнятними. Водночас, значення ступеня ризику на рівні 13,9 % і 14,6 % залежно від конкретних обставин можуть розглядатися як такі, що потребують спеціальних заходів з метою його зменшення. Література 1. Недосекин А.О. Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами [Электронный ресурс] / А.О. Недосекин // Аудит и финансовый анализ. – 2000. – № 2. – Режим доступа: http://www.auditfin.com/fin/2000/2/upr_fin/uprfin1.asp. 2. Недосекин А.О. Оценка риска инвестиций для произвольно-размытых факторов инвестиционного проекта [Электронный ресурс] / А.О. Недосекин, А.М. Кокош. – Режим доступа: http://sedok.narod.ru/s_files/2003/Art_170603_2.doc. 10
