1 Моделирование: понятие модели и виды моделей 2 Слово «модель» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «образец», это понятие используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Его первоначальное значение было связано со строительным искусством и во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения прообраза, или объекта, сходного в каком-то отношении с другим объектом. Термин «модель» стал востребован в ХХ веке в связи с появлением компьютеров, хотя сами модели используются человечеством с незапамятных времен. Именно с помощью моделей развивались языки общения людей, их письменность, графика. Наскальные изображения древних людей, статуэтки, карты, картины, книги – все это модельные формы представления и передачи знаний об окружающем мире последующим поколениям людей Модель — это замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью). 3 Модель — модель представляет собой систему, исследование которой служит средством получения информации о другой системе. Модель Новый объект который отражает некоторые стороны изучаемого объекта или явления существенные с точки зрения цели моделирования Физический или информационный заменитель реального объекта, функционирование которого по определенным параметрам подобно функционированию реального объекта Необходимые и достаточные признаки модели 4 (по В.А. Штоффу) между моделью и оригиналом имеется отношение сходства, форма которого явно выражена и точно зафиксирована (условия отражения или уточненной аналогии); модель в процессе научного познания является заместителем изучаемого объекта (условие репрезентации); изучение модели позволяет получить информацию (сведения) об оригинале (условия экстраполяции). Моделирование как метод познания Моделирование как метод познания позволяет: 5 1. Понять как устроена система (объект), то есть, какова ее структура, ее свойства, ее законы развития. Например, построив модель Вселенной, ученые установили, что она разбегается. 2. Прогнозировать поведение системы во времени при различных внешних воздействиях. Например, исследуя модель Солнечной системы, ученые пришли к выводу, что Солнце через 4 миллиарда лет взорвется. 3. Научиться оптимально управлять системой согласно выбранному критерию. Например, построив модель такого процесса, как загруженность городского транспорта в течение дня, можно выяснить, какое количество автобусов, по каким маршрутам, в какие часы нужно выпускать на линии. В узком смысле (в технике, науке, быту) под моделированием понимается сам процесс построения и/или использования модели. Главная особенность моделирования как метода познания состоит в том, что это метод опосредованного познания действительности с помощью объектов-заместителей. Модель в нем выступает как инструмент познания, с помощью которого изучается выбранный объект. Составные элементы процесса моделирования 6 Процесс моделирования включает три элемента: 1. Субъект исследования (исследователь); 2. Объект исследования (оригинал); 3. Модель, опосредующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Субъект моделирования — это человек или группа лиц, которые строят, или изучают, или используют модель Объект моделирования – это система, процесс или явление для которого строится модель. Например, газетная статья о событии – это модель, само событие – объект моделирования, репортер, написавший статью и люди, ее читающие – это субъекты моделирования. Общая схема моделирования 7 СУБЪЕКТ моделирования цель взаимодействие ЗАДАЧА исследование ОБЪЕКТ моделирования МОДЕЛЬ Соответствие (подобие) ИНФОРМАЦИЯ Об объекте необходимая для решения задачи Модели и оригиналы 8 Модель – это самостоятельный объект – заместитель, аналог оригинала, при этом модель обладает некоторыми свойствами оригинала. Так как при создании модели отбрасываются свойства, не важные для решаемой задачи, то модель всегда беднее оригинала – это ее фундаментальное свойство. Из сказанного выше следует, что моделей без оригиналов не существует. Оригиналами моделей могут быть: Объекты (ракета, человек, атом, лицо, галактика, планета, животное, здание, космическое тело). Процессы (изменение климата, война, спад экономики, инфляция, эпидемия, переговоры, судебный процесс). Явления природы (землетрясение, цунами, северное сияние, снегопад, град, извержение вулкана, молния, гроза). Процесс моделирования 9 10 Формализация – процедура приведения информации, связанной с выделенными свойствами, к выбранной форме. Интерпретация – процедура придания смысла формальным конструкциям языка науки, в результате которой последние превращаются в содержательные термины или утверждения ФОРМАЛИЗАЦИЯ СЛОВЕСНОЕ ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦА РИСУНОК СХЕМА, ЧЕРТЕЖ ФОРМУЛА, АЛГОРИТМ Наглядные примеры моделей 11 Во всех приведенных случаях некоторый объект, система или процесс сопоставляются с другим объектом, его заменяющим: 12 Реальный мост – с макетом из картона; Система кровообращения – со схемой на плакате; Летящий самолет – с самолетом в аэродинамической трубе; Процесс движения тела – c уравнением. Причем, во всех случаях одно или несколько свойств сохраняются при переходе от реального объекта к его модели: Макет меньше моста, но сохраняет его форму и пропорции; Схема артерий и органов на первый взгляд имеет мало общего с системой кровообращения человека, но позволяет судить, откуда и куда течет венозная и артериальная кровь в человеческом теле; Самолет в аэродинамической трубе не летит, но испытывает такие же физические нагрузки, что и летящий самолет; Уравнение визуально не имеет ничего общего с процессом движения тела, но позволяет определить путь, пройденный телом в любой момент времени. Основные свойства моделей 13 14 Адекватность модели — совпадение свойств (функций/параметров/характеристик и т.п.) модели и соответствующих свойств моделируемого объекта. Адекватностью называется совпадение модели моделируемой системы в отношении цели моделирования. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей — сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться. Причина использования моделей 15 Пользуясь чертежами (это тоже модели), можно построить мост и без макета. Но, он может по каким-то параметрам не устраивать заказчика и его пришлось бы перестраивать. Поэтому, целесообразнее с точки зрения здравого смысла, сначала построить макет и изменять в случае необходимости именно его. Для демонстрации тока крови может использовать подробный анатомический атлас или вообще живого человека, но, обилие ненужных подробностей в атласе или на живом человеке будет отвлекать учеников от главного – направления движения тока венозной и артериальной крови. В данном случае, использование модели делает объяснение более наглядным, чем показ тока крови на живом человеке или атласе. Самолет новой конструкции можно сразу запустить в полет, но, если в нем есть недоделки, он может потерпеть аварию, а в аэродинамической трубе при первых признаках аварийной ситуации силовые установки, создающие реальные условия полета, можно просто выключить. Значит, модель нужна для проведения серии более безопасных и дешевых испытаний. Для того, чтобы узнать путь, пройденный телом за время t, можно всякий раз делать замеры времени, скорости и расстояния, но это довольно трудоемкий процесс, причем измерения не будут отличаться высокой точностью, поэтому быстрее и точнее использовать для таких расчетов модель – уравнение. Как видно, использование моделей для получения информации о самом оригинале позволяет экономить средства или время, или получить более точную и качественную информацию. Т.о., модели нужны, чтобы получить информацию о строении, свойствах, поведении или функционировании объекта-оригинала. 16 Ситуации, когда модель призвана заменить реальный объект Эксперимент опасен — при деятельности в агрессивной среде вместо человека лучше использовать его макет; примером может служить луноход. Эксперимент дорог — прежде чем использовать идею в реальной экономике страны, лучше опробовать её на математической или имитационной модели экономики, просчитав на ней все «за» и «против» и получив представление о возможных последствиях. Эксперимент долговременен — изучить коррозию — процесс, происходящий десятилетия, — выгоднее и быстрее на модели. Эксперимент кратковременен — изучать детали протекания процесса обработки металлов взрывом лучше на модели, поскольку такой процесс скоротечен во времени. Эксперимент протяжен в пространстве — для космогонических процессов удобны математические поскольку реальные полёты к звёздам пока невозможны. изучения модели, Эксперимент микроскопичен — для изучения взаимодействия атомов удобно воспользоваться их моделью. 17 Эксперимент невозможен — часто имеет место ситуация, когда объекта нет, он ещё только проектируется. При проектировании важно испытать его виртуальный аналог до того, как дефекты проектирования проявятся в оригинале. Процесс «проектированиемоделирование» цикличен. При этом цикл имеет вид спирали — с каждым повтором проект становится все лучше, так как модель становится все более детальной, а уровень описания точнее. Эксперимент невоспроизводим — это достаточно редкий случай, когда эксперимент повторить нельзя; в такой ситуации модель — единственный способ изучения таких явлений. Пример — исторические процессы, — ведь повернуть историю вспять невозможно. Эксперимент ненагляден — модель позволяет заглянуть в детали процесса, в его промежуточные стадии; при построении модели исследователь как бы вынужден описать причинноследственные связи, позволяющие понять все в единстве, системе. Классификация моделей по стадиям изучения объекта 18 Представление когнитивной модели на естественном языке называют содержательной моделью. Концептуальной моделью принято называть содержательную модель, при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знания, занимающихся изучением объекта моделирования. Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков. Классификация моделей по форме существования 19 К материальным (или натурным) относятся модели, воспроизводящие основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта или явления. Это модели реального мира, их можно услышать, увидеть, осязать. Они подчиняются физическим законам мира, в котором мы живем. Основными видами материальных моделей являются геометрические и физические, некоторые авторы добавляют к ним еще аналоговые модели. Модель называется геометрической, если она геометрически подобна своему оригиналу, то есть, сохраняет его форму и пропорции. 20 Как правило, геометрические модели обычно являются уменьшенной или увеличенной копией оригинала и используются для демонстрационных целей. Так как они часто выполняются в масштабе, отличном от масштаба самого оригинала, геометрические модели еще называют масштабными. Громоздкие объекты (корабли, ракеты, здания – представляются в таких моделях в уменьшенном виде, а мелкие объекты – в увеличенном виде. В ряде случаев геометрическая модель имеет тот же масштаб, что и объект – оригинал (копия картины, скульптуры, выкройка платья). Кроме того, встречаются геометрические модели, имеющие меньшую «мерность», чем оригинал. Например, географическая карта – двумерная модель трехмерного пространства. 21 Модель называется физической, если она подобна своему оригиналу не только с точки зрения геометрических соотношений, но и с точки зрения происходящих в ней физических процессов. При этом и модель, и оригинал всегда имеют одинаковую физическую структуру. Например, самолет в аэродинамической действующей трубе – физическая модель летящего самолета, аквариум с морскими водорослями и рыбками – физическая модель морской экологической системы. 22 К информационным (или идеальным, или абстрактным) относятся модели, имеющие абстрактную, то есть мыслимую аналогию с объектом – оригиналом, они не имеют материального воплощения, потому что строятся только на информации. К ним относятся вербальные и знаковые модели. Модель называется интуитивной (или вербальной), если она представима в мыслимой или разговорной форме, оригинал такой модели либо не нуждается в формализации, либо не поддается ей. Такая модель получается в результате раздумий и умозаключений человека. Например, жизненный опыт каждого человека – это его вербальная модель мира. Прежде чем написать сочинение, статью, эссе, автор в уме составляет вербальную модель этого труда. Каждый человек содержит в памяти мысленные образы знакомых людей, прочитанных книг, просмотренных кинофильмов – эти образы и есть вербальные модели людей, книг, кинофильмов, хотя сами книги и кинофильмы являются знаковыми моделями. 23 Модель называется знаковой, если выражает основные свойства и отношения реального объекта или процесса с помощью определенной системы знаков и символов, то есть, средствами любого формального языка (литературного, алгоритмического, математического, программирования). Все знаковые модели являются символическими, это искусственные логические объекты, которые замещают реальные. Это могут быть списки, схемы, чертежи, графики, математические формулы и т.д. Например, плакат со схемой кровообращения – это знаковая модель системы кровообращения человека, знаками являются кривые и символы органов, из которых составлена схема на плакате. А уравнение движения – это знаковая модель движения тела, она составлена из знаков – латинских букв и математических символов. Классификация моделей по фактору времени 24 Модель называется статической, если она отображает лишь структуру объекта–оригинала или описывает состояние объекта в фиксированный момент времени и не позволяет проследить его развитие во времени. Образно говоря, статическая модель представляет собой как бы «срез» существенных свойств объекта-оригинала в некоторый момент времени. Примеры статических моделей: макет моста, скелет в кабинете биологии, карта местности, схема персонального компьютера, перечень планет Солнечной системы, фотография, схема, рисунок извержения вулкана. 25 Модель называется динамической, если она позволяет увидеть или прогнозировать поведение, или функционирование оригинала во времени. Динамические модели содержат информацию, как о поведении самого объекта-оригинала, так и его составных частей. Модели представимы в виде формул, схем соотношений, позволяющих вычислить параметры объекта и его частей как функции времени. Примеры динамических моделей: набор формул небесной механики, описывающий движение планет Солнечной системы; график изменения температуры в течение суток; видеозапись извержения вулкана, развёртывание цепочки ДНК, процесс развития зародыша в фотографиях. Классификация моделей по характеру 26 моделируемых процессов Модель называется детерминированной, если она отображает процесс, в котором предполагается отсутствие случайных факторов. Модель называется стохастической, если она отображает процесс, в котором имеются случайные факторы с заданным вероятностным распределением. Пример: транспортная задача без учета (детерминированная модель) и с учетом (стохастическая модель) погодных факторов. Классификация моделей по отдельной 27 характеристике объекта Структура - (от лат. structura - строение - расположение, порядок), совокупность устойчивых связей объекта, обеспечивающих его целостность и тождественность самому себе, т. е. сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях. Функциональность — процессы на выходе системы представляют собой ее функции, определяющие результаты деятельности системы. В зависимости от целей системы функции могут быть упорядочены по степени их важности. Например: основные, второстепенные, нежелательные. Знаковые модели 28 Структурными называются модели, в которых информация об объекте оригинале представлена в виде схем, чертежей, графиков, таблиц, часто снабженных поясняющими записями. Текстовыми (словесными, вербальными) называются модели, использующие предложения естественного языка для описания объектов, событий, ситуаций, предметных областей с целью их осмысления, анализа и использования опыта (протокол собрания, список гостей, пьеса и т.д.). Математическая модель – это совокупность математических выражений, определяющих формальную зависимость между входными и выходными данными моделируемого объекта или явления. Эта совокупность может состоять из уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств, логических и числовых выражений. Обобщенная математическая модель 29 Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Элементами обобщенной математической модели являются: множество входных данных (переменные) X, Y; X — совокупность варьируемых переменных; Y — независимые переменные (константы); математический оператор L, определяющий операции над этими данными, под которым понимается полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных (переменные); ·множество выходных данных (переменных) G (X, Y); представляет собой совокупность критериальных функций, включающую (при необходимости) целевую функцию. Обобщенная математическая модель 30 Математическая модель проектируемого объекта. определяется постановкой проектирования. является математическим аналогом Степень адекватности ее объекту и корректностью решений задачи Множество варьируемых параметров (переменных) X образует пространство варьируемых параметров Rx (пространство поиска), которое является метрическим с размерностью n, равной числу варьируемых параметров. Множество независимых переменных Y образуют метрическое пространство входных данных Ry. В том случае, когда каждый компонент пространства Ry задается диапазоном возможных значений, множество независимых переменных отображается некоторым ограниченным подпространством пространства Ry. Множество независимых переменных Y определяет среду функционирования объекта, т. е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект. Классификация мат.моделей 31 по входным и выходным параметрам Этапы построения мат.модели 32 Анализ и синтез 33 Пусть нужно изучить некоторую сложную систему, т.е. перевести ее из сложной и малопонятной в простую и понятную. Это значит, что следует построить модель этой системы, содержащую нужную информацию. В зависимости от того, что требуется узнать, объяснить — как система устроена или как она взаимодействует со средой, различают два метода познания: аналитический; синтетический. Процедура анализа состоит следующих трех операций; в 1) сложное целое расчленить предположительно более простые; последовательном на более 2) дать понятное объяснение полученным фрагментам; 3) объединить объяснение частей в объяснение целого. выполнении мелкие части, 34 Синтетический метод состоит в выполнении трех операций: 1) выделение большей системы (метасистемы), в которую интересующая нас система входит как часть; 2) рассмотрение состава и структуры метасистемы (ее анализ); 3) объяснение роли, которую играет наша система в метасистеме, через ее связи с другими подсистемами метасистемы. 35 Способы работы с моделями I. Аналитический способ. Этот способ используют, как правило, при исследовании знаковых моделей. Например, если имеется математическая модель, выраженная уравнением, то ее исследование заключается в нахождении решения уравнения. Полученное решение и позволит ответить на вопрос, какие величины, от каких, каким образом зависят в объекте-оригинале или в процессе-оригинале. Если модель получена в виде химической формулы, то ее аналитическое исследование проводят путем составления для этой формулы химических уравнений и нахождения их решений. II. Экспериментальный способ. Эксперимент (проба, опыт) - метод исследования некоторого явления в управляемых условиях. Отличается от наблюдения активным взаимодействием с изучаемым объектом. Обычно эксперимент проводится в рамках научного исследования и служит для проверки гипотезы или установления причинных связей между явлениями. Эксперимент является краеугольным камнем эмпирического (опытного) подхода к знанию и позволяет отличить научную теорию от псевдонаучной. Эксперименты делятся на физические и компьютерные. 36 Компьютерный эксперимент — это эксперимент над математической моделью объекта-оригинала на компьютере, который состоит в том, что по одним параметрам модели вычисляются другие ее параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах объекта-оригинала. Поэтому его лишь условно можно отнести к эксперименту, т.к. он не отражает природные явления, а является лишь численной реализацией созданной человеком математической модели, то есть, это виртуальный эксперимент. Например, если, матмодель составлена некорректно, ее численное решение может расходиться с физическим экспериментом. Основой комп. эксперимента почти всегда является математическая модель. Теоретической базой комп. эксперимента является прикладная математика. Технической базой комп. эксперимента является парк мощных компьютеров. Компьютерный эксперимент имеет следующие достоинства: позволяет заменить дорогостоящий физический эксперимент расчетами на компьютере, причем, все математические вычисления в нем производятся со скоростью, во много раз превышающей скорость исследователя теоретика; позволяет в короткие сроки и без значительных материальных затрат исследовать большое число вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации, что значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство. Имитационное моделирование 37 Имитационное моделирование — это совокупность: 1) методов алгоритмизации функционирования объектов исследований; 2) программной реализации алгоритмических описаний; 3) выполнения на ЭВМ вычислительных экспериментов с математическими моделями, имитирующими функционирование систем в течение заданного периода времени. Имитационная модель — это модель, описывающая процесс так, как он проходил бы в действительности. Такую модель можно ≪проиграть≫ во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процесса. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику. Имитационную модель можно рассматривать как множество правил (дифференциальных уравнений, карт состояний, автоматов, сетей и т.п.), которые определяют в какое состояние система перейдёт в будущем из заданного текущего состояния. Имитация здесь – это процесс “выполнения” модели, проводящий её через (дискретные или непрерывные) изменения состояния во времени. В общем случае, для сложных проблем, где время и динамика важны, имитационное моделирование представляет собой более мощное средство анализа. 38 В аналитической модели выход функционально зависит от входа (набора параметров), и в этом смысле она – статическая; такую модель можно, например, реализовать в виде электронных таблиц. Однако, к сожалению, аналитические решения не всегда существуют, а существующие не всегда просто найти. И тогда аналитики применяют имитационное моделирование, которое можно назвать динамическим. 39 Имитационные модели построены на принципе первичности объекта, а не математического аппарата. Имитационное моделирование представляет собой попытки формализации с помощью современных компьютеров любых эмпирических знаний об объекте. Имитационная модель – формализованное описание изучаемого явления во всей его полноте на грани нашего понимания. Т.е. в процессе имитационного моделирования не обязательно прослеживать причинно-следственные связи «до последнего гвоздя». Например, в случае правила «если А, то В» не обязательно знать, как именно событие А вызвало событие В. Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или другими словами — разработке симулятора исследуемой предметной области (simulation modeling) для проведения различных экспериментов. 40 Достоинства ИМ: возможность описания поведения высоком уровне детализации; элементов систем на отсутствие ограничений между параметрами ИМ и состоянием внешней среды; возможность исследования динамики взаимодействия элементов во времени и пространстве параметров системы. Недостатки ИМ: Разработка хорошей ИМ часто обходится дороже создания аналитической модели и требует больших временных затрат. Может оказаться, что ИМ неточна, и отсутствует возможность измерить степень этой неточности. Зачастую исследователи обращаются к ИМ, не представляя тех трудностей, с которыми они встретятся и совершают при этом ряд ошибок методологического характера. Виды имитационного моделирования 41 Предпосылки ИМ: • дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; • невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные; • необходимо сымитировать поведение системы во времени. 42 Агентное моделирование — относительно новое (1990-2000 гг.) направление в ИМ, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами, а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей — получить представление об общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном поведении её отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент — некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться. 43 Дискретно-событийное моделирование (discrete-event simulation, DES) — подход к моделированию, созданный Джеффри Гордоном в 1960-х годах и предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, например: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Т.е. система представляется как хронологическая последовательность событий. Исторически данный вид моделирования связан с моделированием систем массового обслуживания (СМО): банк, автозаправка, телефонная станция и т.п. В основе данного вида моделирования лежит концепция заявок (транзактов, entities), ресурсов и потоковых диаграмм (flowcharts), определяющих потоки заявок и использование ресурсов. 44 Системная динамика — предложенная в 1950-х Дж. Форрестером парадигма моделирования сложных систем, исследующая их поведение во времени в зависимости от структуры и взаимодействия элементов. Данные модели учитывают в частности: причинно-следственные связи, наличие петель обратной связи, задержки реакции системы, влияния среды. Любая модель системной динамики состоит из четырех элементов: резервуаров или уровней; потоков, перемещающих содержимое резервуаров; функций решения, регулирующих интенсивности потоков между резервуарами; прямых и обратных связей, соединяющих функции решений с резервуарами. 45 Модель Bass Diffusion 46 В этой классической модели распространения нового продукта, илиинновации потенциальные клиенты (Potential Adopters)становятся клиентами (Adopters) со скоростью диффузии, распространения (Adoption Rate), которая зависит от рекламы и “устной рекламы”, т.е. общения клиентов с не-клиентами. Влияние рекламы моделируется следущим образом: некий постоянный процент потенциальных клиентов (AdvertisingEffectiveness = 0.011) всё время становятся клиентами. Их доля в Adoption Rate равна, соответственно, Potential Adopters * Advertising Effectiveness. Что касается устной рекламы, то будем считать, что в нашей группе людей все контактируют со всеми. Количество контактов человека в единицу времени обозначим как Contact Rate (100). В случае, если клиент общался с потенциальным клиентом, последний становится клиентом с вероятностью Adoption Fraction (0.015). Таким образом, в единицу времени все клиенты обратят Adopters * Contact Rate * Adoption Fraction * [Potential Adopters / (Potential Adopters + Adopters)] потенциальных клиентов в клиентов. Выражение в квадратных скобках – вероятность того, что тот, с кем был контакт у клиента, ещё не клиент.
