Понятие множества
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; представляющее собой
набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого
множества. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности
одинаковые элементы.
Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы
математики и математической логики. Примеры: множество жителей заданного города,
множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения.
Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств —
совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством.
Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда
Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности.
Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций,
множество решений заданного уравнения. Множество может
быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным,
бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и
в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие
множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую
идеологию и терминологию.
История понятия
Гео́рг Ка́нтор (нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6
января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Наиболее
известен как создатель теории множеств. Основатель и первый президент Германского
математического общества, инициатор создания Международного конгресса математиков.
С 1872 года по 1897 год (главным образом в 1872—1884 годы) Георг Кантор опубликовал ряд
работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств,
включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и
порядковых)[6]. В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и
обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства
теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому
общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности, он определил
множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным
свойством», и назвал эти объекты элементами множества. Множество всех объектов,
обладающих свойством
(то есть утверждением, истинность которого зависит от
значения переменной x), он обозначил
свойство
а само
назвал характеристическим свойством множества
Несмотря на доброкачественность этого определения, концепция Кантора привела
к парадоксам — в частности, к парадоксу Рассела.
Парадокс Рассела — парадокс, который опирается на понятие множества всех
множеств, которое содержит в себе (в качестве подмножеств) все без исключения
множества и, в то же время, само является множеством. Это означает, что наряду со
всеми другими множествами, оно содержит само себя в качестве подмножества.
Именно этот факт и обыгрывается в парадоксе Рассела. Придуман Бертраном
Расселом.
Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных
математических теорий, в 1908 году теория
множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В
дальнейшем обе системы пересматривались и изменялись, но в основном сохранили их
характер. Они известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии
теорию множеств Кантора стала называться наивной теорией множеств, а теорию (в
частности, Рассела и Цермело), перепостроенную после Кантора, — аксиоматической
теорией множеств.
Теория типов Рассела
Первым, кто предложил теорию, свободную от парадокса Рассела, был сам Рассел. Он
разработал теорию типов, первая версия которой появилась в книге Рассела «Принципы
математики[en]» в 1903 году[24].
В основе этой теории лежит следующая идея: простые объекты в этой теории имеют тип 0,
множества простых объектов имеют тип 1, множества множеств простых объектов имеют тип
2 и так далее.
Таким образом, ни одно множество не может иметь себя в качестве элемента.
Ни множество всех множеств, ни расселовское множество не могут быть определены в этой
теории. Аналогичная иерархия вводится для высказываний и свойств. Высказывания о
простых объектах принадлежат типу 1, высказывания о свойствах высказываний типа 1
принадлежат типу 2 и так далее. В общем, функция по определению принадлежит типу более
высокому, чем переменные, от которых она зависит.
Система Цермело — Френкеля
Систе́ма аксио́м Це́рмело — Фре́нкеля (ZF) — наиболее широко используемый
вариант аксиоматической теории множеств, являющийся фактическим стандартом
для оснований математики. Сформулирована Эрнстом Цермело в 1908 году как средство
преодоления парадоксов теории множеств, и уточнена Абрахамом Френкелем в 1921 году.
Обозначения некоторых числовых множеств
Элемент множества
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или
точками множества. Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского
алфавита, его элементы — маленькими. Если а — элемент множества А, то
записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если
пишут
(«
не принадлежит
Если всякий элемент множества
не является элементом множества
»).
содержится в
, то пишут
является его подмножеством»). Согласно теории множеств, если
элемента
определено либо
, то
, либо
(«
лежит в
,
, то для всякого
.
Таким образом, порядок записи элементов множества не влияет на само множество, то
есть
. Помимо этого из вышесказанного следует, что для множества не определено
число вхождений одинаковых элементов, то есть запись
смысла, если
вообще говоря не имеет
— множество. Однако корректной будет запись множества
.
Способы задания множеств.
Первый способ – это простое перечисление элементов множества.
Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств.
Например, с помощью данного способа множество первых трёх
натуральных чисел будет записано так:
{1,2,3}{1,2,3}
Часто в литературе можно встретить обозначения такого
характера: T={0,2,4,6,8,10,…}T={0,2,4,6,8,10,…}. Здесь множество
задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд.
Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют
множество TT, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись
вида T={0,2,4,6,8,10,…}T={0,2,4,6,8,10,…} допускается только тогда,
когда не вызывает разночтений.
Второй способ – задать множество с помощью так называемого
характеристического условия (характеристического предиката) P(x)P(x).
В этом случае множество записывается в таком виде:
{x|P(x)}{x|P(x)}
Запись {x|P(x)}{x|P(x)} читается так: "множество всех элементов xx,
для которых высказывание P(x)P(x) истинно". Что именно значит
словосочетание "характеристическое условие" проще пояснить на
примере. Рассмотрим такое высказывание:
P(x)="x–
натуральноечисло,последняяцифракоторогоравна7"P(x)="x–
натуральноечисло,последняяцифракоторогоравна7"
Подставим в это высказывание вместо xx число 27. Мы получим:
P(27)="27–
натуральноечисло,последняяцифракоторогоравна7"P(27)="27–
натуральноечисло,последняяцифракоторогоравна7"
Это истинное высказывание, так как 27 действительно является
натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в
это высказывание число 2525:
P(25)="25–
натуральноечисло,последняяцифракоторогоравна7"P(25)="25–
натуральноечисло,последняяцифракоторогоравна7"
Это высказывание ложно, так как 2525 не является натуральным
числом. Итак, для некоторых объектов xx высказывание P(x)P(x) может
быть ложно, для некоторых – истинно (а для некоторых вообще не
определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых
высказывание P(x)P(x) будет истинно. Именно эти объекты и образуют
множество,
заданное
с
помощью
характеристического
условия P(x)P(x) (см. пример №3).
Третий способ – задать множество с помощью так называемой
порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как
получить элементы множества из уже известных элементов или неких
иных объектов (см. пример №4).
Пример №3
Записать
множество A={x|x∈Z∧x2<10}A={x|x∈Z∧x2<10} перечислением
элементов.
Решение
Множество AA задано с помощью характеристического условия.
Характеристическое условие в данном случае выражено записью
"x∈Z∧x2<10x∈Z∧x2<10" (знак "∧∧" означает "и"). Расшифровывается эта
запись так: "xx – целое число, и x2<10x2<10". Иными словами, в
множество AA должны входить лишь целые числа, квадрат которых
меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е.
A={0,−1,1,−2,2,−3,3}A={0,−1,1,−2,2,−3,3}
Множество AA теперь задано с помощью перечисления элементов.
Ответ: A={0,−1,1,−2,2,−3,3}A={0,−1,1,−2,2,−3,3}.
Пример №4
Описать элементы множества MM, которое задано такой
порождающей процедурой:
1. 3∈M3∈M;
2. Если элемент x∈Mx∈M, то 3x∈M3x∈M.
3. Множество MM – является подмножеством любого множества AA,
удовлетворяющего условиям №1 и №2.
Решение
Давайте пока оставим в покое условие №3 и посмотрим, какие
элементы входят в множество MM. Число 3 туда входит согласно
первому пункту. Так как 3∈M3∈M, то согласно пункту №2
имеем: 3⋅3∈M3⋅3∈M, т.е. 9∈M9∈M. Так как 9∈M9∈M, то согласно
пункту №2 получим: 3⋅9∈M3⋅9∈M, т.е. 27∈M27∈M. Так как 27∈M27∈M,
то по тому же пункту №2 имеем: 81∈M81∈M. Короче говоря,
построенное множество 3, 9, 27, 81 и так далее – это натуральные степени
числа 3.
31=1;32=9;33=27;34=81;…31=1;32=9;33=27;34=81;…
Итак, кажется, что искомое множество задано. И выглядит оно
так: {3,9,27,81,…}{3,9,27,81,…}. Однако действительно ли условия №1 и
№2 определяют только это множество?
Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т.е. NN. Число 3 –
натуральное, посему 3∈N3∈N. Вывод: множество NN удовлетворяет
пункту
№1.
Далее,
для
любого
натурального
числа xx множество NN содержит также и число 3x3x. Например, 5 и 15,
7 и 21, 13 и 39 и так далее. Значит, множество NN удовлетворяет условию
№2. И, кстати сказать, не только множество NN удовлетворяет условиям
№1 и №2. Например, множество всех нечётных натуральных
чисел N1={1,3,5,7,9,11,…}N1={1,3,5,7,9,11,…} тоже
подходит
под
условия пунктов №1 и №2. Как же указать, что нам нужно именно
множество {3,9,27,81,…}{3,9,27,81,…}?
Вот тут на помощь приходит пункт №3. Говоря огрублённо, он
означает, что множество MM – наименьшее из всех возможных
множеств.
Так
как
множества NN и {3,9,27,81,…}{3,9,27,81,…} удовлетворяют
пунктам
№1 и №2, но N⊈{3,9,27,81,…}N⊈{3,9,27,81,…}, то множество NN не
удовлетворяет
третьему
пункту.
Аналогично,
так
как N1⊈{3,9,27,81,…}N1⊈{3,9,27,81,…}, то множество N1N1 также не
удовлетворяет пункту №3. Можно показать (если это необходимо,
отпишите мне на почту, я распишу подробнее), что всем трём пунктам
удовлетворяет лишь множество {3,9,27,81,…}{3,9,27,81,…}, т.е.
M={3,9,27,81,…}.M={3,9,27,81,…}.
Обычно при задании множества с помощью таких правил (которые
часто называют рекурсивными или индуктивными) третий пункт
подразумевается, но не оговаривается явно. Но нужно иметь его в виду.
Ответ: M={3,9,27,81,…}M={3,9,27,81,…}.
Операции над множествами
Числовые множества
