Вариант 1 1 Задача 1. «Моделирование социально-экономических показателей» Построить эконометрическую модель социально-экономического показателя для всех субъектов Российской Федерации (исключив города федерального значения). Требуется исследовать зависимость результирующего признака Y, соответствующего варианту задания, от факторных переменных Х1, Х2 и Х3: Y1 Х1 Х2 Х3 Потребительские расходы в среднем на душу населения (в месяц), руб. Среднедушевые денежные доходы (в месяц), руб. Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников организаций, руб. Индекс потребительских цен (декабрь к декабрю предыдущего года), % Исходные данные к задаче 1 [1] За 2018 год Белгородская область Брянская область Владимирская область Воронежская область Ивановская область Калужская область Костромская область Курская область Липецкая область Московская область Орловская область Рязанская область Смоленская область Тамбовская область Тверская область Тульская область Ярославская область Республика Карелия Республика Коми Архангельская область Ненецкий автономный округ Архангельская область Вологодская область Калининградская область Ленинградская область Мурманская область Новгородская область Псковская область Республика Адыгея Республика Калмыкия Y1 X1 X2 X3 24596 30778 31852 104,4 22871 26585 27251 104,9 19761 23539 30460 105,2 26530 30289 31207 104,6 19407 24503 25729 105,1 23354 29129 38197 104,6 19569 23716 27724 104,6 21566 27275 29937 105,7 24919 30010 31622 105,3 35199 44707 51938 105,3 20217 24895 27476 104 19709 25441 31916 106 20633 25888 29397 104,9 21764 26828 26660 105 19992 25125 31049 104,4 22394 27208 34662 104,7 21314 27055 33474 105,1 23733 29150 39402 104,3 23220 33961 50413 105,1 27662 33830 48307 103,8 30516 78549 82786 101,8 27549 32054 45427 104 19929 26982 35497 103,9 22834 27461 33385 104,8 24285 31341 43631 104 30699 41564 58045 104,4 22013 25292 31462 104,9 20033 23880 26871 104,9 22569 27553 27469 104,2 10611 17082 26049 104,3 2 Республика Крым Краснодарский край Астраханская область Волгоградская область Ростовская область Республика Дагестан Республика Ингушетия Кабардино-Балкарская Республика Карачаево-Черкесская Республика Республика Северная Осетия – Алания Чеченская Республика Ставропольский край Республика Башкортостан Республика Марий Эл Республика Мордовия Республика Татарстан Удмуртская Республика Чувашская Республика Пермский край Кировская область Нижегородская область Оренбургская область Пензенская область Самарская область Саратовская область Ульяновская область Курганская область Свердловская область Тюменская область Ханты-Мансийский автономный округ – Югра Ямало-Ненецкий автономный округ Тюменская область Челябинская область Республика Алтай Республика Тыва Республика Хакасия Алтайский край Красноярский край Иркутская область Кемеровская область Новосибирская область Омская область Томская область Республика Бурятия Республика Саха (Якутия) Забайкальский край Камчатский край Приморский край Хабаровский край 3 16602 31248 20273 19567 25161 22409 9360 16668 11121 18586 16041 21746 25043 15233 14176 28792 18699 15345 24060 18334 25998 18779 18237 23863 17375 18052 16133 31757 32422 33916 35341 29733 18237 13484 9878 18855 17258 23115 17855 17749 22895 20844 20314 20681 32080 18352 33201 27638 32997 21524 34372 23670 22813 29095 25755 16163 20782 18051 23270 23197 23408 28967 19802 18651 33725 23827 18462 28708 22247 31408 23385 21804 28180 21423 22797 20334 36735 46124 50717 79398 29162 24386 19503 15603 21571 22829 30015 24434 23166 28852 25431 27296 24081 42669 23992 48758 34619 39084 29640 33846 33630 30894 31448 25155 25367 25776 25430 26958 26177 29065 33753 28143 26712 35172 31808 27036 35802 27932 32949 30371 28968 33754 26823 28353 28159 38052 68664 70896 97204 44913 35219 30953 35779 37874 25519 45635 42647 38023 35686 32613 41901 36047 68871 40740 73896 42199 47153 105,5 104,3 104 104,3 104,5 102,8 101,9 103,5 103,7 103,4 103,5 104,5 104,3 105,4 103,4 103,7 103,8 104,7 103,8 104,3 104,7 104,3 104,2 104,5 104,2 104,5 104,4 103,9 102,4 102 102,9 102,9 103,5 102,9 103,8 105,2 104,1 104,3 105 104,6 103,5 103,9 104,5 105 102,7 104 103,4 104,2 104 Амурская область Магаданская область Сахалинская область Еврейская автономная область Чукотский автономный округ 24938 35242 43147 19064 29505 30937 59774 53783 24696 78812 42315 85631 77499 39242 98864 104,6 104,7 102,8 104,6 104,9 Порядок выполнения работы 1. На основе корреляционного анализа: а) проанализировать тесноту связи результирующего признака Y с каждым из факторов Х; б) выбрать наиболее информативный фактор; в) проанализировать связи между факторами на наличие мультиколлинеарности. 2. Построить модель парной регрессии с наиболее информативным фактором. Для нее: а) оценить влияние факторной переменной на Y по коэффициенту регрессии; б) исследовать качество модели (принять уровень значимости α=5%) и сделать выводы; в) с доверительной вероятностью γ=80% осуществить прогнозирование среднего значения показателя y (приняв прогнозное значение фактора равным 90% от его максимального значения); г) представить на графике исходные данные, результаты моделирования и прогнозирования. 3. Построить двухфакторную модель, включив в нее наиболее подходящие факторы на основе корреляционного анализа (объяснить выбор переменных): 4. а) дать экономическую интерпретацию ее коэффициентов; б) оценить качество построенной модели. Оценить параметры линейной модели с полным перечнем факторов. Для нее: 4 а) Оценить влияние факторных переменных на Y по коэффициентам регрессии. б) Оценить качество трехфакторной модели. 5. Провести сравнительный анализ всех построенных моделей для выявления лучшей модели среди трех построенных. Улучшилось ли качество множественных модели по сравнению с парной? 6. Для лучшей многофакторной модели: вычислить коэффициенты эластичности, бета- и дельта- коэффициенты, сделать выводы, выполнить точечный прогноз Y для заданных прогнозных значений Х*. Замечание. В качестве прогнозных значений факторных переменных задать следующие величины: 𝑋1∗ - 80% от ее максимального значения; 𝑋2∗ - минимальное значение, увеличено в 2 раза; 𝑋3∗ - 170% от среднего значения. Решение: 1. На основе корреляционного анализа: а) проанализировать тесноту связи результирующего признака Y с каждым из факторов Х; б) выбрать наиболее информативный фактор; в) проанализировать связи между факторами на мультиколлинеарности. Используем Excel (Данные / Анализ данных / КОРРЕЛЯЦИЯ): 5 наличие Получим матрицу коэффициентов парной корреляции между всеми имеющимися переменными: Y1 X1 X2 X3 Y1 1 X1 0,797128 1 X2 0,735093 0,930443 1 X3 -0,20482 -0,30173 -0,34123 1 Проанализируем коэффициенты корреляции между результирующим признаком Y и каждым из факторов Xj: r Y , X 1 0.8 > 0, следовательно, между переменными Y и Х1 наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем выше среднедушевые денежные доходы, тем больше потребительские расходы в среднем на душу населения. 0.7 | r Y , X 1 | 0,8 0,9 r Y , X 2 0,74 > – эта зависимость является сильной. 0, значит, между переменными Y и Х2 наблюдается прямая корреляционная зависимость: чем выше среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников организаций, тем больше потребительские расходы в среднем на душу населения. 0.7 | r Y , X 2 | 0,74 0,9 r Y , X 3 0,2 < – эта зависимость является сильной. 0, значит, между переменными Y и Х3 наблюдается обратная корреляционная зависимость: чем выше индекс потребительских цен, тем меньше потребительские расходы в среднем на душу населения. 0.1 | r Y , X 3 | 0,2 0,3 – эта зависимость является слабой. 6 Для проверки значимости найденных коэффициентов корреляции используем критерий Стьюдента. Для каждого коэффициента корреляции r Y , Х j вычислим t-статистику по формуле t r 2 n 2 1 r 2 и занесем результаты расчетов в дополнительный столбец корреляционной таблицы: Y1 Y1 X1 X2 X3 X1 X2 1 0,797128 1 0,735093 0,930443 1 -0,20482 -0,30173 -0,34123 X3 t-статистики 1 11,95457 9,818402 1,894879 По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости 5% 0,05 и числе степеней свободы k n 2 84 2 82 определим критическое значение t кр 1.99 (или функция СТЬЮДРАСПОБР). Сопоставим фактические значения t с критическим tkp, и сделаем выводы в соответствии со схемой: t rY , X1 11.95 > t кр 1.99 , следовательно, коэффициент r Y , X 1 значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и Х1, зависимость потребительских расходов в среднем на душу населения Y от среднедушевых денежных доходов Х1 является достоверной. t rY , X 2 9.82 > t кр 1.99 , следовательно, коэффициент r Y , X 2 значимо отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод о наличии линейной корреляционной связи между признаками Y и Х2, зависимость потребительских расходов в среднем на 7 душу населения Y от среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций Х2 является достоверной. t r Y , X 3 1.89 < t кр 1.99 , следовательно, коэффициент r Y , X 3 значимо не отличается от нуля. На уровне значимости 5% выборочные данные позволяют сделать вывод об отсутствии линейной корреляционной связи между признаками Y и Х3, зависимость потребительских расходов в среднем на душу населения Y от индекса потребительских цен Х3 не является достоверной. Таким образом, наиболее тесная и значимая зависимость наблюдается между потребительскими расходами в среднем на душу населения Y и среднедушевыми денежными доходами Х1; фактор Х1 является наиболее информативным. 2. Построить модель парной регрессии с наиболее информативным фактором. Для нее: а) оценить влияние факторной переменной на Y по коэффициенту регрессии; б) исследовать качество модели (принять уровень значимости α=5%) и сделать выводы; в) с доверительной вероятностью γ=80% осуществить прогнозирование среднего значения показателя y (приняв прогнозное значение фактора равным 90% от его максимального значения); г) представить на графике исходные данные, результаты моделирования и прогнозирования. Для построения парной линейной модели YТ a b X 1 используем программу РЕГРЕССИЯ (Данные / Анализ данных). В качестве «входного интервала Х» покажем значения фактора Х1. 8 Результаты вычислений представлены в таблицах: 9 Коэффициенты модели содержатся в третьей таблице итогов РЕГРЕССИИ (столбец Коэффициенты). Таким образом, модель парной регрессии (модель 1) построена, ее уравнение имеет вид YT 10440.29 0.406 X 1 . Коэффициент регрессии b 0,406 , следовательно, при увеличении среднедушевых денежных доходов (Х1) на 1 руб. потребительские расходы в среднем на душу населения (Y) увеличиваются в среднем на 0,406 руб. Свободный член а 10440.29 в данном уравнении не имеет реального смысла. Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассмотрим остатки модели Ei yi yTi , содержащиеся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица «Вывод остатка»). Дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по E формуле Eотн i i 100 с помощью функции ABS. yi ВЫВОД ОСТАТКА Наблюдение Предсказанное Y 1 22926,51468 2 21225,47015 3 19989,74832 82 83 84 32259,33828 20459,12788 42413,27186 Остатки 1669,485324 1645,529853 -228,7483165 Отн. погр-ти 6,7876 7,1948 1,1576 10887,66172 -1395,127882 -12908,27186 25,2339 7,3181 43,7494 По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение Е отн 13.18% (функция СРЗНАЧ). Оценим точность построенной модели в соответствии со схемой: 10 Е отн 13.18% 5 %, 15% – точность модели является (1) удовлетворительной. Коэффициент РЕГРЕССИЯ детерминации (таблица R-квадрат «Регрессионная определен статистика») программой и составляет R 2 0,6354 Таким образом, вариация (изменение) потребительских расходов в среднем на душу населения Y на 63,54% объясняется по уравнению модели вариацией среднедушевых денежных доходов Х1. Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера. F – статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляет F = 142,9. Критическое значение Fкр= 3,96 найдено для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k1=1, k2=84-2=82 (функция FРАСПОБР). Схема проверки: Сравнение показывает: F = 142,9 > Fкр = 3,96; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х1. t – статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4. Для свободного коэффициента a 10440.29 определена статистика t a 9.49 . Для коэффициента регрессии b 0,406 определена статистика t b 11.95 Критическое значение t kp 1.99 найдено для уровня значимости =5% и числа степеней свободы k 84 1 1 82 (функция СТЬЮДРАСПОБР). Схема критерия: 11 Сравнение показывает: t a 9.49 > t kp 1.99 , следовательно, свободный коэффициент а является значимым, его нельзя исключить из модели. t b 11.95 > t kp 1.99 , значит, коэффициент регрессии b является значимым, его и фактор среднедушевых денежных доходов нужно сохранить в модели. Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х1 составляет 90% от его максимального значения: х* 79398 * 0,9 71458.2 . Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя Y: yT* 10440.29 0.406 х* 71458.2 . Таким образом, если среднедушевые денежные доходы составят 71458,2 руб., то ожидаемые потребительские расходы в среднем на душу населения будут около 39429,9 руб. Зададим доверительную вероятность 1 и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y. Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования для среднего значения результирующего признака 1 n S yT* S E x* x2 xi x 2 . Предварительно подготовим: - стандартную ошибку модели S E 3886.27 (таблица «Регрессионная статистика» итогов РЕГРЕССИИ); - по столбцу исходных данных Х1 найдем среднее значение x 29927.58 (функция СРЗНАЧ) и определим (функция КВАДРОТКЛ); 12 x i 2 x 13114509948 - t кр 20 %, 82 1,29 (функция СТЬЮДРАСПОБР). Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет 1 71458.2 29927.58 1471.8 . 84 13114509948 2 S yT* 3886.27 Размах доверительного интервала для среднего значения U yТ* t kp S yT* 1,29 1471.8 1901.5 . Границами прогнозного интервала будут U нижн yT* U yT* 39429.9 1901.5 37528.4 ; U верх yT* U yT* 39429.9 1901.5 41331.4 . Таким образом, с надежностью 80% можно утверждать, что если среднедушевые денежные доходы составят 71458,2 руб., то ожидаемые потребительские расходы в среднем на душу населения будут от 37528,46 до 41331,41 руб. Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции). Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели: тип → линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме. Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды: Имя → прогноз; значения Х → х*; значения Y → у*; Имя → нижняя граница; значения Х → х*; значения Y → Uнижн; Имя → верхняя граница; значения Х → х*; значения Y → Uверх. 13 Потребительские расходы в среднем на душу населения, Y Результаты моделирования и прогнозирования 50000 y = 0,4057x + 10440 45000 40000 Исходные данные 35000 прогноз 30000 25000 нижняя граница 20000 15000 верхняя граница 10000 Линейная (Исходные данные) 5000 0 0 20000 40000 60000 80000 100000 Среднедушевые денежные доходы, X1 3. Построить двухфакторную модель, включив в нее наиболее подходящие факторы на основе корреляционного анализа (объяснить выбор переменных): а) дать экономическую интерпретацию ее коэффициентов; б) оценить качество построенной модели. Построим двухфакторную модель, сохраняя в ней наиболее информативный фактор – среднедушевые денежные доходы (Х1), а также фактор – среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников организаций (Х2), т.к. t-статистика данного фактора больше, чем фактора Х3. Используем в качестве «входного интервала Х» значения факторов Х1 и Х2, с помощью программы РЕГРЕССИЯ найдем: Коэффициенты Y-пересечение 10486,94 Х1 0,428923 Х2 -0,01911 14 Таким образом, модель (2) зависимости потребительских расходов в среднем на душу населения Y от среднедушевых денежных доходов Х1 и среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций Х2 построена, ее уравнение имеет вид YT 10486.94 0.43 Х 1 0.02 X 2 . Коэффициент регрессии среднедушевых денежных b1 0.43 , доходов следовательно, при увеличении (Х1) на 1 руб. и неизменной среднемесячной номинальной начисленной заработной плате работников организаций потребительские расходы в среднем на душу населения (Y) увеличиваются в среднем на 0,43 руб. Коэффициент регрессии b2 0.02 , следовательно, при увеличении среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций (Х2) на 1% и неизменных среднедушевых денежных доходах потребительские расходы в среднем на душу населения (Y) уменьшаются в среднем на 0,02 руб. Свободный коэффициент не имеет экономического смысла. Средняя относительная ошибка аппроксимации Е отн 13.08% Е отн 13.08% 15% – модель (2) является точной. Коэффициент детерминации составляет R 2 0,6357 Таким образом, вариация (изменение) потребительских расходов в среднем на душу населения Y на 63,57% объясняется по уравнению модели вариацией факторов X1 и X2. Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера: F = 70,68. Критическое значение Fкр= 3,11 найдено для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k1=2, k2=84-2-1=81 (функция FРАСПОБР). Сравнение показывает: F = 70,68 > Fкр = 3,11; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая 15 переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель факторными переменными Х1, Х2. t – статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4. Критическое значение t kp 1.99 найдено для уровня значимости =5% и числа степеней свободы k 84 2 1 81 (функция СТЬЮДРАСПОБР). Сравнение показывает: t a 9.36 > t kp 1.99 , следовательно, свободный коэффициент а является значимым, его нельзя исключить из модели. t b1 4.61 > t kp 1.99 , значит, коэффициент регрессии b1 является значимым, его нельзя исключить из модели. t b2 0.27 < t kp 1.99 , значит, коэффициент регрессии b2 не является значимым, его можно исключить из модели. 4. Оценить параметры линейной модели с полным перечнем факторов. Для нее: а) Оценить влияние факторных переменных на Y по коэффициентам регрессии. б) Оценить качество трехфакторной модели. Построим множественную модель регрессии, учитывая все факторы (Х1, Х2 и Х3): Коэффициенты Y-пересечение -19108,05109 Х1 0,426704285 Х2 -0,012594708 Х3 282,2377069 Таким образом, трехфакторная модель (3) зависимости потребительских расходов в среднем на душу населения Y от среднедушевого денежного дохода Х1, среднемесячной номинальной начисленной заработной платы 16 работников организаций Х2 и индекса потребительских цен Х3 построена, ее уравнение имеет вид YT 19108.051 0.4267 Х 1 0,0126 X 2 282.2377 Х 3 Коэффициент регрессии среднедушевого денежного b1 0.4267 , дохода следовательно, при увеличении (Х1) на 1 руб. и неизменных среднемесячной номинальной начисленной заработной плате и индексе потребительских цен работников организаций потребительские расходы в среднем на душу населения (Y) увеличиваются в среднем на 0,4267 руб. Коэффициент регрессии b2 0,0126 , следовательно, при увеличении среднемесячной номинальной начисленной заработной платы (Х2) на 1 руб. и неизменных среднедушевом денежном доходе и индексе потребительских цен работников организаций потребительские расходы в среднем на душу населения (Y) уменьшается в среднем на 0,0126 руб. Коэффициент регрессии b3 282.2377 , следовательно, при увеличении индекса потребительских цен работников организаций (Х3) на 1% и неизменных среднедушевом денежном доходе и среднемесячной номинальной начисленной заработной плате потребительские расходы в среднем на душу населения (Y) увеличиваются в среднем на 282,2377 руб. Свободный коэффициент не имеет экономического смысла. Средняя относительная ошибка аппроксимации Е отн 13.027% Е отн 13.027% 15% – модель (3) является точной. Коэффициент детерминации составляет R 2 0,637 Таким образом, вариация (изменение) потребительских расходов в среднем на душу населения Y на 63,7% объясняется по уравнению модели вариацией всех факторов. Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера: F = 46,79. Критическое значение Fкр= 2,72 найдено для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k1=3, k2=84-3-1=80 (функция FРАСПОБР). 17 Сравнение показывает: F = 46,79 > Fкр = 2,72; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель факторными переменными Х1, Х2, Х3. t – статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 4. Критическое значение t kp 1.99 найдено для уровня значимости =5% и числа степеней свободы k 84 3 1 80 (функция СТЬЮДРАСПОБР). t a 0,33 < t kp 1.99 , следовательно, свободный коэффициент а является не значимым, его можно исключить из модели. t b1 4.56 > t kp 1.99 , значит, коэффициент регрессии b1 является значимым, его нельзя исключить из модели. t b2 0,17 < t kp 1.99 , значит, коэффициент регрессии b2 не является значимым, его можно исключить из модели. t b3 0,52 < t kp 1.99 , значит, коэффициент регрессии b3 не значимым, его можно исключить из модели. 5. Провести сравнительный анализ для выявления лучшей модели среди трех построенных. Улучшилось ли качество множественной модели по сравнению с парной? При добавлении в модель новых факторных переменных автоматически увеличивается коэффициент детерминации R2 и уменьшается средняя ошибка аппроксимации, хотя при этом не всегда улучшается качество модели. Поэтому для сравнения моделей с различным количеством учтенных в них факторов рассмотрим коэффициенты детерминации и средние ошибки аппроксимации. Модель тем лучше, чем больше величина коэффициента детерминации и меньше величина ее ошибки. 18 RСредняя ошибка квадрат аппроксимации 0,6354 13,18 0,6357 13,08 Модель YT 10440.29 0.406 X 1 (1) YT 10486.94 0.43 Х 1 0.02 X 2 (2) YT 19108.051 0.4267 Х 1 0,0126 X 2 282.2377 Х 3 (3) Таким образом, лучшей потребительских расходов в среднедушевого денежного является среднем дохода Х1, на 0,637 13,027 модель душу (3) зависимости населения среднемесячной Y от номинальной начисленной заработной платы работников организаций Х2 и индекса потребительских цен Х3: YT 19108.051 0.4267 Х 1 0,0126 X 2 282.2377 Х 3 . 6. Для лучшей многофакторной модели вычислить коэффициенты эластичности, бета- и дельта- коэффициенты, сделать выводы, выполнить точечный прогноз Y для заданных прогнозных значений Х*. Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются формулами Эj bj Xj , j = 1, 2, … , Y где Х j , Y – выборочные средние признаков Xj и Y; b j – коэффициенты регрессии. Подготовим X 1 29927.58; X 2 38838.7; X 3 104.2; Y 22581.51 (функция СРЗНАЧ) и найдем Э3 282.24 Э1 0.4267 29927.58 0.57 , 22581.51 Э2 0.0126 38838.7 0.02 22581.51 , 104.2 1.3 . 22581.51 Следовательно, при увеличении среднедушевого денежного дохода Х1 на 1% и неизменных среднемесячной номинальной начисленной заработной плате и индексе потребительских 19 цен работников организаций потребительские расходы в среднем на душу населения (Y) увеличивается в среднем на 0,57%. Увеличение среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций Х2 на 1% приводит к уменьшению потребительских расходов в среднем на душу населения Y в среднем на 0,02% (при неизменных среднедушевом денежном доходе и индексе потребительских цен). Увеличение индекса потребительских цен Х3 на 1% приводит к увеличению потребительских расходов в среднем на душу населения Y в среднем на 1,3% (при неизменных среднедушевом денежном доходе и среднемесячной номинальной начисленной заработной плате работников организаций). Бета-коэффициенты определяются формулами j bj где S xj , S y S xj Sy , j 1, 2, ... , - выборочные средние квадратичные (стандартные) отклонения признаков Xj и Y; b j - коэффициенты регрессии. Подготовим S X 1 12570.05; SX2 16430.13; SX3 0.84; SY 6397.35 (функция СТАНДОТКЛОН) и рассчитаем 1 0.4267 3 282.2377 12570.05 0.84 , 6397.35 2 0.0126 16430.13 0.03 6397.35 , 0.84 0,04 6397.35 Таким образом, при увеличении только фактора Х1 на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,84 своего стандартного отклонения Sy, при увеличении только фактора Х2 на одно свое стандартное отклонение результат Y уменьшается в среднем на 0,03 своего стандартного отклонения Sy, а при увеличении только фактора Х3 на одно его стандартное отклонение – увеличивается на 0,04 Sy. 20 Дельта-коэффициенты определяются формулами j j r Y, X j где r Y , X j R 2 – , j 1, 2, ... , соответствующие выборочные коэффициенты парной корреляции. Коэффициенты r Y , X 3 0,2 задачи), парной корреляции r Y , X 1 0.8 , r Y , X 2 0.74 и найдены с помощью программы КОРРЕЛЯЦИЯ (п.1 данной коэффициент детерминации R 2 0,64 определен для рассматриваемой многофакторной модели программой РЕГРЕССИЯ. Вычислим дельта-коэффициенты 1 0.84 0.8 0,74 0,2 1.05; 2 0.03 0,04; 3 0.04 0.01 0,64 0,64 0,64 Значит, по уравнению полученной линейной многофакторной модели (3) изменение результирующего фактора Y (потребительские расходы в среднем на душу населения) на 105% объясняется воздействием фактора Х1 (среднедушевой денежный доход), на -4% объясняется воздействием фактора Х2 (среднемесячная номинальная начисленная заработная плата) и на -1% влиянием фактора Х3 (индекс потребительских цен). Согласно условию задачи прогнозное значение факторных переменных составляет: 𝑋1∗ - 80% от ее максимального значения: х1 79398 * 0,8 63518.4 * 𝑋2∗ - минимальное значение, увеличено в 2 раза: х2 25155 * 2 50310 * 𝑋3∗ - 170% от среднего значения: х3 104.2 *1,7 177.1 * Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение показателя Y: yT* 19108.05 0.4267 63518.4 0,0126 50310 282.2377 177.1 57356.3 . Таким образом, если ожидаемые потребительские расходы в среднем на душу населения будет около 57356,3 руб. 21 Задача 2. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда Приведены временные ряды Y(t) социально-экономических показателей по Алтайскому краю за период с 2006 г. по 2017 г. Y1 год 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 Потребительские расходы в среднем на душу населения (в месяц), руб. Y1 5685 7385 7065 8165 9766 11236 13535 14492 15334 15717 16286 17258 Порядок выполнения работы 1. Проверить наличие аномальных наблюдений, используя метод Ирвина (α=5%) или метод Стьюдента. 2. Построить линейную модель временного ряда yt=a+b∙t, параметры которой оценить МНК. Пояснить смысл коэффициента регрессии. 3. Оценить адекватность посторенной модели на основе предпосылок теоремы Гаусса-Маркова. 4. Оценить качество модели, используя среднюю относительную погрешность аппроксимации, критерий Фишер и коэффициент детерминации. 5. Осуществить прогнозирование рассматриваемого показателя на год вперед (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности 70%). 6. Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования. 22 7. Составить уравнения нелинейной регрессии (гиперболической; степенной; показательной). По каждой модели необходимо: привести графики построенных уравнений регрессии; найти средние относительные ошибки аппроксимации, коэффициенты детерминации и коэффициенты эластичности. По этим характеристикам сравнить нелинейные модели между собой и сделать вывод. 8. Лучшую нелинейную модель сравнить с линейной моделью. 9. С помощью лучшей нелинейной модели осуществить точечное прогнозирование рассматриваемого показателя на год вперед. Сопоставить полученный результат с доверительным прогнозным интервалом, построенным при использовании линейной модели. Решение: 1. Проверить наличие аномальных наблюдений, используя метод Ирвина (α=5%) или метод Стьюдента. Используем метод Ирвина 𝜆𝑡 = |𝑌𝑡 −𝑌𝑡−1 | 𝜎𝑦 , где 𝜎𝑦 – вычислим с помощью функции СТАНДОТКЛ Выполним все вычисления, используя MS Excel: В результате получим: 23 𝑡 𝑌̅ 𝜎𝑦 𝑌𝑡 5685 7385 7065 8165 9766 11236 13535 14492 15334 15717 16286 17258 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11827 3926,072 |𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1 | 𝜆𝑡 1700 320 1100 1601 1470 2299 957 842 383 569 972 0,43 0,08 0,28 0,41 0,37 0,59 0,24 0,21 0,10 0,14 0,25 Так как по всем уровням t значение не превосходит табличное 1,6, значит, аномальных наблюдений нет. Вывод: аномальных наблюдений нет. 2. Построить линейную модель временного ряда yˆ t a b t , параметры которой оценить МНК. Пояснить смысл коэффициента регрессии. С помощью программы «РЕГРЕССИЯ» найдем Коэффициенты Y-пересечение t 4547,5 1119,92 Таким образом, a 4547.5 ; b 1119.92 . Модель построена, ее уравнение имеет вид yˆ t 4547.5 1119.92 t . Коэффициент регрессии b 1119.92 показывает, что ежегодно потребительские расходы в среднем на душу населения Y увеличиваются в среднем на 1119,92 руб. 24 3. Оценить адекватность построенной модели на основе предпосылок теоремы Гаусса-Маркова. Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова. 1) В уравнении линейной модели Y a b X слагаемое ε – случайная величина, которая выражает случайный характер результирующей переменной Y. 2) Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна. 3) Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы). 4) Распределение случайного члена является нормальным. Проверка перечисленных свойств состоит в исследовании Ряда остатков et , который содержится в таблице «Вывод остатка» итогов РЕГРЕССИИ. Наблюдение 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Для проверки Предсказанное Y 5667,423 6787,346 7907,269 9027,192 10147,12 11267,04 12386,96 13506,88 14626,81 15746,73 16866,65 17986,58 свойства случайности Остатки 17,57692308 597,6538462 -842,2692308 -862,1923077 -381,1153846 -31,03846154 1148,038462 985,1153846 707,1923077 -29,73076923 -580,6538462 -728,5769231 остаточной компоненты используем критерий поворотных точек (пиков), основой которого является определение количества поворотных точек для ряда остатков. С помощью Мастера диаграмм построим график остатков et . 25 Остатки 1500 1000 500 Остатки 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -500 -1000 Поворотными считаются точки максимумов и минимумов на этом графике (в данном случае – вторая, четвертая и седьмая). Их количество p 3. По формуле 2 16n 29 p кр (n 2) 1,96 при n 12 вычислим 90 3 критическое значение ркр 4.03 4 . Сравним значения p и pкр и сделаем вывод согласно схеме: p 3 < p кр 4 , следовательно, свойство случайности для ряда остатков не выполняется. Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели, коэффициенты которой определены по МНК, выполняется автоматически. С помощью функции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: E 0 . Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критерию Гольдфельда–Квандта. В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных ( n 12 ) выделим первые 5 и последние 5 уровней, средние 2 уровня не рассматриваем. 26 С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым пяти наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов SS1 1013648 . Дисперсионный анализ df Регрессия 1 Остаток 3 Итого 4 SS MS 7995936 337882,8 7995936 1013648 9009585 F 23,66482 Значимость F 0,016592 С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним пяти наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов SS2 91129.6 . Дисперсионный анализ df Регрессия 1 Остаток 3 Итого 4 SS 4204225,6 91129,6 4295355,2 MS F 4204225,6 138,4037 30376,53333 Значимость F 0,00132 Рассчитаем статистику критерия: F SS max 1013648 11.1 . SS min 91129.6 Критическое значение при уровне значимости 5% и числах степеней свободы k1 k2 5 1 1 3 составляет Fкр 9.28 . Схема критерия: Сравним F 11.1 Fкр 9.28 , следовательно, свойство постоянства дисперсии остатков не выполняется, модель гетероскедастичная. Для проверки свойства независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона. Согласно этому критерию вычислим по формуле статистику 27 n et et 1 2 d t 2 . n et2 t 1 Подготовим для вычислений: 12 e t 1 t 2 5613937.15 (функция СУММКВ), 2 12 e 2 t t et 1 5126714.14 (функция СУММКВРАЗН). Таким образом, d 5126714.14 0.91 . 5613937.15 По таблице d – статистик Дарбина–Уотсона определим критические уровни: нижний d1 = 0,97 и верхний d2 = 1,33. Сравним полученную фактическую величину d с критическими уровнями d1 и d2 и сделаем вывод согласно схеме: d 0.91 0; d1 0,97 , следовательно, свойство независимости остатков для построенной модели не выполняется. Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения используется R/S критерий. В соответствии с этим критерием вычислим по формуле статистику e emin R / S max . S e Подготовим для вычислений: emax 1148.04 - максимальный уровень ряда остатков (функция МАКС); emin 862.19 - минимальный уровень ряда остатков (функция МИН); S e 749.26 - стандартная ошибка модели (таблица «Регрессионная статистика» вывода итогов РЕГРЕССИИ). Получим R/S 1148.04 862.19 2.68 . 749.26 28 По таблице критических границ отношения R/S критический интервал. При n 12 можно использовать 2,80; определим 3,91 . Сопоставим фактическую величину R/S с критическим интервалом и сделаем вывод согласно схеме: 2.68 2,80; 3,91 , значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты не выполняется. Проведенная проверка показывает, что для построенной модели не выполняются все свойства. Таким образом, данная трендовая модель не является адекватной реальному ряду наблюдений, её нельзя использовать для построения прогнозных оценок. 4. Оценить качество модели, используя среднюю относительную погрешность аппроксимации, критерий Фишер и коэффициент детерминации. Используем исходные РЕГРЕССИЯ остатки E отн t et 100 yt данные yt и найденные программой et (таблица «Вывод остатка»). По формуле рассчитаем столбец относительных погрешностей и найдем среднее значение E отн 5.24 % . Сравнение показывает, что 5.24% 15% . Следовательно, точность модели удовлетворительная. Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Регрессионная статистика») и составляет R 2 0,97 Таким образом, вариация (изменение) потребительских расходов в среднем на душу населения Y на 97% объясняется по уравнению модели вариацией года. Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера. 29 F – статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляет F = 319,48. Критическое значение Fкр= 4,96 найдено для уровня значимости =5% и чисел степеней свободы k1=1, k2=10 (функция FРАСПОБР). Схема проверки: Сравнение показывает: F = 319,48 > Fкр = 4,96; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной t. 5. Осуществить прогнозирование рассматриваемого показателя на год вперед (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности 70%). «Следующий год» соответствуют периоду упреждения k1 1 , при этом t1* n k1 13 . Согласно уравнению модели получим точечные прогнозные оценки * yˆ13 4547.5 1119.92 13 19106.5 . Таким образом, ожидаемые потребительские расходы в среднем на душу населения в следующем году будут составлять около 19106,5 руб. Для оценки точности прогнозирования рассчитаем границы прогнозных интервалов для индивидуальных значений результирующего признака (доверительная вероятность р 70% ). Подготовим: t kp 1,09 (функция СТЬЮДРАСПОБР при 30%, k 12 - 2 10 ); S e 749.26 t 6.5 (строка «стандартная ошибка» итогов РЕГРЕССИИ); (функция СРЗНАЧ); t t 12 2 143 (функция КВАДРОТКЛ). t 1 Вычислим размах прогнозного значений, используя формулу 30 интервала для индивидуальных 2 1 t* t . u t kp S e 1 n n 2 t t t 1 * При t1 13 получим u13 961.67 и определим границы доверительного интервала: Таким * uниж13 yˆ13 u13 18144.83 ; * uверх13 yˆ13 u13 20068.2 . образом, 70% с надежностью можно утверждать, что потребительские расходы в среднем на душу населения в следующем (13-ом) году будут составлять от 18144,83 до 20068,2 руб. 6. Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования. Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные. Затем с помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели: тип → линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме. Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды: * * * Имя → прогноз; значения Х → t1 и t 2 ; значения Y → y12 и y13* ; * * Имя → нижние границы; значения Х → t1 и t 2 ; значения Y → uниж12 и uниж13 ; * * Имя → верхние границы; значения Х → t1 и t 2 ; значения Y → u верх12 и u верх13 . 31 Потребительские расходы в среднем на душу населения, руб. Результаты моделирования и прогнозирования 25000 20000 фактические значения y = 1119,9x + 4547,5 прогноз 15000 нижняя граница 10000 верхняя граница 5000 Линейная (фактические значения) 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Годы 8. Составить уравнения нелинейной регрессии (гиперболической; степенной; показательной) По каждой модели: привести графики построенных уравнений регрессии; найти средние относительные ошибки аппроксимации, коэффициенты детерминации и коэффициенты эластичности. По этим характеристикам сравнить нелинейные модели между собой и сделать вывод. Гиперболическая модель Модель гиперболической регрессии имеет вид: yт a b t. Для ее построения выполним линеаризацию: обозначим ~ 1 t и t ~ получим вспомогательную модель yт a b t . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений уi (остается без изменений) и столбец преобразованных значений ~ 1 ti (таблица 7). ti 32 Y 5685 7385 7065 8165 9766 11236 13535 14492 15334 15717 16286 17258 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1/t 1,00 0,50 0,33 0,25 0,20 0,17 0,14 0,13 0,11 0,10 0,09 0,08 С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим Коэффициенты Таким образом, Y-пересечение 14934,62 1/t -12017,04 a 14934.62; b 12017.04 , гиперболической модели yТ 14934.62 С помощью полученного следовательно, уравнение 12017.04 . t уравнения рассчитаем теоретические значения yTi для каждого уровня исходных данных t i . Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных ti , yi ряд теоретических значений ti , yTi . Гиперболическая модель 20000,00 18000,00 16000,00 14000,00 12000,00 10000,00 8000,00 6000,00 4000,00 2000,00 0,00 Гиперболический (Y) Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 33 Степенная модель Модель степенной регрессии имеет вид: yT at b Осуществим линеализацию модели. Прологарифмируем уравнение, получим lg yT lg a b lg t . Представим, что Y lg yT ; A lg a; X lg t . Тогда получим линейную модель Y A bX t Y lg yT Y X lg t 1 5685 2 7385 3,8684 0,3010 3 7065 3,8491 0,4771 4 8165 3,9120 0,6021 5 9766 3,9897 0,6990 6 11236 4,0506 0,7782 7 13535 4,1315 0,8451 8 14492 4,1611 0,9031 9 15334 4,1857 0,9542 10 15717 4,1964 1 11 16286 4,2118 1,0414 12 17258 4,2370 1,0792 3,7547 0 С помощью функции MS Excel составим дополнительные таблицы для расчета и используем функцию РЕГРЕССИЯ для нахождения параметров a и b. Получим a=3,69, b=0,487 Перейдем к исходным переменным t и y, выполнив потенцирование данного уравнения. yT 103.69 t 0.487 Получим уравнение степенной модели регрессии: yT 4932.67 t 0.487 34 Степенная модель 20000,0000 18000,0000 16000,0000 14000,0000 12000,0000 10000,0000 8000,0000 6000,0000 4000,0000 2000,0000 0,0000 Степенная модель Поле корреляции 0 5 10 15 Показательная модель Уравнение показательной кривой yT a bt Линеализируем переменные: ln yT ln a ln t b Введем обозначения: Y ln yT ; B ln b; A ln a , получим Y A Bt 35 Y ln yT Х Y 1 5685 2 7385 3,8684 3 7065 3,8491 4 8165 3,9120 5 9766 3,9897 6 11236 4,0506 7 13535 4,1315 8 14492 4,1611 9 15334 4,1857 10 15717 4,1964 11 16286 4,2118 12 17258 4,2370 3,7547 Найдем значение Y=ln y, с помощью функции РЕГРЕССИЯ найдем параметры А=8,65, В=0,103. Тогда a=5688,09, b=1,1085. Тогда модель показательной регрессии примет вид yT 5688.09 *1,1085t Показательная модель 25000,0000 20000,0000 15000,0000 Показательная модель 10000,0000 Поле корреляции 5000,0000 0,0000 0 5 10 15 Заполним для каждой модели расчетную таблицу, в которую занесем теоретические значения yTi f xi , найденные по соответствующему уравнению для каждого уровня исходных данных xi ; ошибки модели Ei yi yTi и относительные погрешности Eотн i 36 Ei 100 . yi Среднюю относительную погрешность E отн найдем по столбцу Eотн i с помощью функции СРЗНАЧ. Индекс детерминации вычислим по формуле R 2 1 E y y 2 i 2 , для чего i подготовим числитель дроби и знаменатель Y 5685 7385 7065 8165 9766 11236 13535 14492 15334 15717 16286 17258 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y i y 2 E 2 i - функция СУММКВ для столбца ошибок - функция КВАДРОТКЛ для столбца У. гиперболическая модель Yт Е Е отн 2917,58 8926,10 10928,94 11930,36 12531,21 12931,78 13217,90 13432,49 13599,39 13732,91 13842,16 13933,20 2767,4216 -1541,0976 -3863,9374 -3765,3572 -2765,2091 -1695,7771 317,1029 1059,5130 1734,6097 1984,0870 2443,8412 3324,8030 степенная модель Y t Yт 5685 1 4932,6655 7385 2 6915,2483 7065 3 8426,3027 8165 4 9694,6894 9766 5 10808,5929 11236 6 11813,0808 13535 7 12734,8535 14492 8 13591,2693 15334 9 14394,3631 15717 10 15152,8832 16286 11 15873,4247 17258 12 16561,1044 48,6794 20,8679 54,6913 46,1158 28,3147 15,0924 2,3428 7,3110 11,3122 12,6238 15,0058 19,2653 Е Е отн 752,3345 469,7517 -1361,3027 -1529,6894 -1042,5929 -577,0808 800,1465 900,7307 939,6369 564,1168 412,5753 696,8956 13,2337 6,3609 19,2683 18,7347 10,6757 5,1360 5,9117 6,2154 6,1278 3,5892 2,5333 4,0381 37 квадроткл(Y)= суммкв(Е)= R-квадрат= Е ср.отн.= суммкв(Е)= R-квадрат= Е ср.отн.= 184968498 74858841,69 0,5953 23,47 9708368,27 0,9475 8,49 показательная модель Y t Yт 5685 1 6305,0471 7385 2 6988,9200 7065 3 7746,9687 8165 4 8587,2387 9766 5 9518,6480 11236 6 10551,0820 13535 7 11695,4983 14492 8 12964,0430 15334 9 14370,1796 15717 10 15928,8318 16286 11 17656,5423 17258 12 19571,6478 Е Е отн -620,0471 396,0800 -681,9687 -422,2387 247,3520 684,9180 1839,5017 1527,9570 963,8204 -211,8318 -1370,5423 -2313,6478 10,9067 5,3633 9,6528 5,1713 2,5328 6,0957 13,5907 10,5435 6,2855 1,3478 8,4155 13,4062 суммкв(Е)= R-квадрат= 15638594,28 0,9155 Е ср.отн.= 7,78 Составим сводную таблицу характеристик качества построенных моделей: сводная таблица характеристик качества модель R-квадрат Е ср.отн. гиперболическая 0,5953 23,47 степенная 8,49 0,9475 показательная 0,9155 7,78 Столбец средних относительных погрешностей показывает, что наиболее точной является показательная модель, ее погрешность – наименьшая. По величине индекса детерминации лучшая модель степенная (индекс детерминации наибольший). R 2 94.75% , Таким образом, вариация (изменение) потребительских расходов в среднем на душу населения на 94,75% объясняется по уравнению степенной модели вариацией года. Для нелинейных моделей yТ f t определяются соотношением Эt f t t f t коэффициенты эластичности , согласно которому: для степенной модели yт a t b коэффициент эластичности Э b и представляет собой постоянную величину; для показательной модели yт a b t Эt t ln b и зависит от значения фактора t; 38 коэффициент эластичности для гиперболической модели y т a b коэффициент эластичности t Э t b at b и также зависит от значения фактора t. Для построенной степенной модели yT 4932.67 t 0.487 получим Э 0.487 . Следовательно, согласно этой модели ежегодно происходит увеличение потребительских расходов в среднем на душу населения на 0,487%. Для показательной и гиперболической моделей результаты расчета коэффициентов эластичности приведены в таблице t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Коэффициенты эластичности Показательная модель Гиперболическая модель 0,10 4,12 0,21 0,67 0,31 0,37 0,41 0,25 0,51 0,19 0,62 0,15 0,72 0,13 0,82 0,11 0,93 0,10 1,03 0,09 1,13 0,08 1,24 0,07 Таким образом, согласно показательной модели ежегодно происходит увеличение потребительских расходов в среднем на душу населения на величину от 0,1% до 1,24%. Согласно гиперболической модели ежегодно происходит увеличение потребительских расходов в среднем на душу населения на величину от 0,07% до 4,12%. Логично предположить, что наиболее подходящей является степенная модель, т.к. наблюдаемое увеличение коэффициента эластичности соответствует реальной ситуации: ежегодно увеличиваются потребительские расходы в среднем на душу населения. 39 8. Лучшую нелинейную модель сравнить с лучшей линейной моделью. Сравним степенную модель с линейной регрессией модель yˆ t 4547.5 1119.92 t yT 4932.67 t R-квадрат Е ср.отн. 0,97 0,9475 5,24 8,49 0.487 Столбец средних относительных погрешностей показывает, что наиболее точной является линейная модель, ее погрешность – наименьшая. По величине индекса детерминации лучшая модель также линейная (индекс детерминации наибольший). R 2 97% . 9. С помощью лучшей нелинейной модели осуществить точечное прогнозирование рассматриваемого показателя на год вперед. Сопоставить полученные результаты с доверительным прогнозным интервалом, построенным при использовании линейной модели. Рассчитаем по уравнению степенной модели прогнозные значения показателя Y: в следующем году t * 13; y *Т 4932.67 *130.487 17212 . Полученные прогнозные оценки не попадают в доверительные прогнозные интервалы, построенные в п. 4. Это может служить подтверждением ошибочности прогноза, разработанного на основании линейной модели. 40 Список использованных источников 1. Данные Федеральной службы государственной статистики. – Регионы России. Cоциально-экономические показатели. – 2018г. 2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб. – справоч. пособие/ Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин; под ред. Н.Ш. Кремера. – 4-е изд., пер. и доп. – М.: Юрайт, 2016. – 724 с. (ЭБС Юрайт). 3. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учеб. пособие/ И. В. Орлова, В. А. Половников. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Вузовский учебник: Инфра-М, 2014. – 389 с. (ЭБС Znanium.com). 4. Экономико-математические методы в примерах и задачах: учеб. пособие / под ред. А.Н. Гармаша. – М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2014. – 416 с. (ЭБС Znanium.com). 41
