Методика расчета сопла Лаваля

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное
бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
РАСЧЕТ СОПЛА ЛАВАЛЯ
Методические указания
к выполнению расчетного задания
по дисциплине «Гидрогазодинамика»
Казань 2015
УДК 532.5
ББК 22.253.3
Р24
Р24
Расчет сопла Лаваля: методические указания к выполнению
расчетного задания / сост.: Н.Д. Черепенин, Н.Д. Якимов. – Казань:
Казан. гос. энерг. ун-т, 2015. – 24 с.
Приведены методические указания и рекомендации по работе над
выполнением расчетного задания. Представлен необходимый теоретический
и вспомогательный материал, включая пример расчета и таблицу газодинамических
функций.
Указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению
подготовки «Теплоэнергетика и теплотехника».
УДК 532.5
ББК 22.253.3
Учебное издание
РАСЧЕТ СОПЛА ЛАВАЛЯ
Методические указания к выполнению расчетного задания
по дисциплине «Гидрогазодинамика»
Составители: Черепенин Николай Дмитриевич,
Якимов Николай Дмитриевич
Кафедра теоретических основ теплотехники
Редактор редакционно-издательского отдела Н.И. Оморова
Компьютерная верстка Ю.Ф. Мухаметшина
Подписано в печать 01.06.15.
Формат 60×84/16. Бумага ВХИ. Гарнитура «Times». Вид печати РОМ.
Усл. печ. л. 1,39. Уч.-изд. л. 1,54. Тираж 500 экз. Заказ № 17/эл.
Редакционно-издательский отдел КГЭУ
420066, Казань, Красносельская, 51
© Казанский государственный энергетический университет, 2015
3
ВВЕДЕНИЕ
Описываемое ниже расчетное задание выполняется в соответствии
с программой дисциплины «Гидрогазодинамика» согласно требованиям
ФГОС к уровню подготовки студентов по направлению «Теплоэнергетика
и теплотехника».
Теоретические основы данного задания обычно излагаются
на аудиторных занятиях; собственно выполнение расчетов и оформление
их результатов занимает примерно 5–7 часов самостоятельной работы
студента.
Целью работы является:
– закрепление и углубление знаний, полученных при изучении
теоретического лекционного материала;
– совершенствование навыков проведения практических инженерных
расчетов;
– развитие навыков самостоятельной работы студентов с учебной
и справочной литературой.
В данном пособии изложены теоретические основы расчета
одномерных стационарных течений идеального газа в канале, даны
рекомендации по методике и последовательности проведения вычислений,
изложены основные требования по выполнению задания и оформлению его
результатов, приведен пример. Прилагается необходимая для расчета
таблица газодинамических функций с указаниями правил работы с такими
таблицами.
Материал данного пособия представляется полезным при решении
задач на практических занятиях по соответствующему разделу дисциплины.
Приведем некоторые общие сведения о техническом устройстве,
являющемся объектом данного расчетного задания.
Сопло Лаваля – техническое приспособление, которое служит для
ускорения проходящего по нему газовой потока до скоростей, превышающих
скорость звука. Оно широко используется на некоторых типах паровых
турбин и является важной составной частью современных ракетных
двигателей, сверхзвуковых реактивных авиационных двигателей, а также
газодинамических лазеров.
Сверхзвуковое сопло представляет собой канал, суженный в своей
средней части – так называемой горловине или шейке сопла. В простейшем
случае такое сопло может состоять из пары усеченных конусов (обечаек),
сопряженных узкими концами. Именно такую форму имеет сопло,
рассматриваемое в данном расчетном задании (см. приложения 2 и 3).
4
Эффективные сопла современных ракетных двигателей профилируются на
основании специальных газодинамических расчетов.
Сопло было предложено в 1890 г. шведским инженером и
изобретателем Карлом Густавом де Лавалем и применено для паровых
турбин. В ракетном двигателе сопло Лаваля впервые было использовано
русским генералом и аэрологом М.М. Поморцевым в 1915 г.
Содержание задания и указания к выполнению
Общее содержание работы
Расчет сопла Лаваля выполняется на основе методов и формул для
одномерных стационарных течений идеального газа в каналах (см.,
например, [1] – [3] и приложение 1 данного пособия).
Схема сопла и перечень исходных параметров содержатся в бланке
задания, выдаваемом каждому студенту преподавателем (см. приложение 2).
В ходе работы должны быть найдены размеры элементов сопла,
обеспечивающие заданные параметры потока, и определены основные
характеристики течения во входном, выходном и критическом поперечных
сечениях сопла, а также в двух промежуточных сечениях. Эти сечения
расположены: одно посередине между входным и критическим сечениями,
другое – посередине между критическим и выходным.
Основные предположения, принимаемые при расчете
При расчете предполагается, что поток – одномерный, газ – идеальный
и совершенный, течение изоэнтропическое [1] – [3]. В расчетном режиме
течение в сужающейся части сопла – дозвуковое, в расширяющейся –
сверхзвуковое, так что переход от одного к другому происходит в
наименьшем по размеру сечении сопла (горловине). Статическое давление в
выходном сечении равно наружному, то есть противодавлению [1].
Оформление
Сначала сформулируйте задачу расчета и укажите все исходные
данные – название и обозначение каждого параметра, его численное значение
(в соответствии со своим вариантом) с соответствующей единицей
измерения. Начертите схему сопла с обозначением рассматриваемых
сечений. Далее изложите материал основных этапов расчетов с
необходимыми пояснениями. В частности, если данные получены из
таблицы, то это надо указать и привести интерполяционные выкладки.
Материал проиллюстрируйте необходимыми схемами.
5
Единицы измерения параметров при выполнении расчетов и
оформлении результатов должны соответствовать системе СИ.
Изложение расчетов завершите таблицей результатов, содержащей для
каждого из пяти указанных выше сечений сопла столбец из следующих
параметров сечения и потока газа:
x – продольная осевая координата (расстояние от входного сечения);
d – диаметр;
S – площадь;
λ – приведенная скорость;
p – статическое давление;
V – скорость потока;
a – скорость звука;
T – абсолютная температура;
ρ – плотность;
M – число Маха;
q – приведенный удельный расход.
Пример выполнения и оформления данного задания представлен в
приложении 3.
Методика расчета
Расчет сопла проводится с помощью уравнений, описывающих
одномерные стационарные течения идеального газа в канале. Эти уравнения
рассматриваются в курсе «Гидрогазодинамика» и излагаются в учебных
пособиях, например, [1] – [3]. Основные уравнения и формулы для таких
расчетов приведены в приложении 1; на номера этих формул и делаются
ссылки далее в этом разделе.
Последовательность
вычислений
при
выполнении
задания
представлена ниже.
Во избежание типичных ошибок полезно внимательно отнестись к
следующим замечаниям.
1. Для обеспечения требуемой точности при вычислениях нужно
сохранять 4 (5) значащих цифр. Под значащими цифрами числа понимаются
цифры в его записи, начиная с первой слева, отличной от нуля, независимо от
положения десятичной запятой. Например, по четыре значащих цифры
имеют числа 7863; 7,863; 0,007863. При записи результата с калькулятора
последнюю сохраняемую цифру следует определять по правилам
округления. Например, результат 41,4252… записывают как 41,43.
Если последние сохраняемые цифры оказываются нулями, то их все
равно записывают, чтобы указать точность расчета. Так, расчетный результат
6
3,79976… следует записать как 3,800. Исключения составляют заведомо
целые числа, например, допустимо писать M* = 1,0 или λ* = 1.
Число π следует использовать встроенное в калькулятор, а если такой
возможности нет, то принимать π = 3,1416, а не π = 3,14.
2. Перед вычислением на калькуляторе тригонометрических и
обратных тригонометрических функций необходимо убедится, что
переключатель единиц измерения углов установлен на «градусы» (а не
«радианы» или «грады»). Для этого можно провести проверочное
вычисление, например: sin 90 = 1,0 или т.п.
3. При расчетах приходится использовать таблицы газодинамических
функций, приведенные, например, в приложении 5. Для обеспечения
требуемой точности необходимо проводить линейную интерполяцию
табличных значений, как указано в приложении 4.
4. На определенных этапах вычислений необходимо находить значения
приведенной скорости λ по величине приведенного удельного расхода q. При
этом следует помнить, что одному и тому же значению q соответствуют два
значения λ, одно λ < 1 (в первой половине таблицы), а другое λ > 1 (во
второй). Для правильного выбора нужно учитывать, какой режим
рассчитывается – дозвуковой или сверхзвуковой (см. приложение 1).
5. Для вычислений целесообразно использовать инженерный
калькулятор, имеющий встроенные тригонометрические функции, степени и
обратные к ним функции. Впрочем, возможно использование и обычного
«арифметического» калькулятора. В таком случае, как указано ниже,
потребуется шире использовать таблицы газодинамических функций,
приведенные в приложении 5, а также любые (не менее чем четырехзначные)
таблицы элементарных функций. Разумеется, при этом необходимо
использование интерполяции, как отмечено выше в пункте 3. Кроме того,
вычисление, например,  3,5 также легко проводить на простом калькуляторе
по формуле  3,5         .
Расчет критического сечения
В наименьшем по размеру сечении канала (между сужающейся и
расширяющейся частями) по условию происходит переход от дозвукового
режима течения к сверхзвуковому. При этом параметры потока, а также само
сечение называются критическими. Далее в тексте их обозначения
помечаются нижним индексом звездочка – «*».
Используя свойство критических параметров, их значения можно
определить непосредственно по исходным данным. В частности,
7
соотношение (19) позволяет найти площадь S* этого сечения и,
следовательно, его диаметр d* , что далее используется в качестве основы для
расчета остальных геометрических размеров сопла.
По формулам (9) определяются термодинамические параметры T* , p* ,
по (8) – a* , по (1) – ρ*.
Вместо (9) для определения T* , p* и ρ* можно использовать таблицы
газодинамических функций при   1 (приложение 5).
Расчет дозвуковой части сопла
Исходный параметр r  l1 / d* позволяет далее найти длину l1, что
вместе с углом  полностью определяет геометрию этой части (см. рис. 2
приложения 3). В частности, можно вычислить диаметр d1 входного сечения

1–1 сопла по формуле d1  d*  2  l1  tg и определить его площадь S1.
2
Теперь по формуле (17) находим q1 . Затем по таблице
газодинамических функций определяется λ , соответствующее значению q1 .
1
Таким образом находится приближенное решение уравнения неразрывности
(17) относительно λ . При этом следует выбирать λ < 1, так как здесь течение
1
1
дозвуковое. Затем по таблице газодинамических функций или прямо по
формулам (12), (14) находим T1 / T0 , p1 / p0 и, соответственно, сами искомые
значения T1 , p1 , и согласно (1) – ρ1; в соответствии с (10) определяется V1, а
по формуле (7) – a1 .
Использование таблиц облегчается тем, что все определяемые
параметры располагаются в одной строке таблицы. Там же, кстати, находится
и значение M1 . Если же вычисления ведутся по формулам, то M1 можно
определить согласно (11).
Остается найти параметры потока в промежуточном сечении 3 –3. Так
как оно расположено посередине между входным и критическим сечениями,
то его диаметр равен d 3  d1  d*  2 . Далее все характеристики, начиная с
S 3 , отыскиваются точно так же, как и для входного сечения.
Расчет сверхзвуковой части сопла
Данный этап следует начинать с определения параметров выходного
сечения 2–2, используя условие, что при расчетном режиме течения
статическое давление газа p 2 в выходном сечении равно давлению в
окружающей среде p н . Таким образом, давление p 2 известно и это
позволяет с помощью газодинамической функции (14) (по формуле или по
8
таблице) найти  2 .
Далее из (17) с использованием значения q  2  , найденного по
формуле (16) или по таблице, вычисляется S2, а затем и d 2 . По найденному


d2 легко найти l 2  d 2  d*  / 2  tg  .
2

Затем по известному значению λ 2 так же, как и для дозвуковой части
(например, для входного сечения) находятся все остальные характеристики.
Расчет промежуточного сечения 4 – 4 проводится аналогично сечению
3 –3, только при определении λ4 важно помнить, что в сверхзвуковом потоке
  1.
Следует отметить, что во многих случаях существует несколько
примерно равноценных путей и формул расчета тех или иных характеристик
течения. Поэтому использование при расчете иных, чем в данном описании и
далее в примере, вариантов формул не может считаться недостатком, если
они правильны и не создают излишних трудностей.
Пример выполнения расчетов и оформления работы приведен в
приложении 3. В этом примере при подстановке числовых значений в
формулы величина   3,1416 не подставляется, так как в современных
калькуляторах имеется встроенное значение π.
9
Приложение 1
Теоретические основы расчета одномерных
стационарных течений газа
Газ, движущийся по каналу переменного сечения, меняет свое
состояние из-за воздействия со стороны стенок канала и окружающих
объемов газа. Для простых приближенных расчетов течений в каналах с
достаточно плавно изменяющимся поперечным сечением можно применять
формулы, предполагающие, что газ идеальный и совершенный, а течение
одномерное стационарное и изоэнтропическое [1] – [3].
Совершенный газ характеризуется двумя параметрами: теплоемкостью
при постоянном давлении cp и при постоянном объеме cv; в дальнейшем
будем считать их удельными, то есть отнесенными к единице массы газа.
При расчете течений вместо них чаще используется пара других параметров:
κ – показатель изоэнтропы и R – удельная газовая постоянная, которые
выражаются через cp и cv по формулам:
κ = cp/cv , R = cp – cv .
Для воздуха принимают: κ = 1,4 ; R = 287,1 Дж/(кгК) .
Состояние газа описывается тремя термодинамическими параметрами:
p – давление, Т – температура и  – плотность. Для термически совершенного
газа они связаны уравнением Клапейрона – Менделеева:
p
 RT.

(1)
Если состояние газа меняется изоэнтропически, то имеет место также
соотношение (адиабата Пуассона или изоэнтропа):
p

 const .
(2)
При описании движения газа к параметрам состояния добавляется
скорость потока V.
В одномерном движении газа в канале значения параметров считаются
относящимися ко всему поперечному сечению потока. Геометрической
характеристикой сечения является его площадь S.
10
Массовый расход газа в канале определяется как:
m   VS .
(3)
Для стационарных течений расход m одинаков во всех сечениях
канала (уравнение неразрывности):
VS  const .
(4)
Уравнение энергии для идеального газа при указанных условиях имеет
вид:
V2
 cp T  const .
2
(5)
Отметим, что постоянные в правых частях уравнений (2), (4) и (5)
имеют свои значения для каждого конкретного течения газа.
Таким образом, пять параметров p, T ,  , V, S в каждом сечении
определенного потока связаны четырьмя соотношениями (1), (2), (4) и (5).
Следовательно, по значению одного параметра в каком-то сечении этого
потока в принципе можно найти остальные четыре. (Впрочем, одному
значению S может соответствовать два набора остальных параметров – один
для дозвукового режима, другой – для сверхзвукового; вид режима
определяется по общей картине течения).
Поток можно считать определенным, если известны три константы в
правых частях уравнений (2), (4), (5) или соответствующие значения других
трех характерных параметров.
В качестве таких параметров, задающих поток в целом, часто бывает
удобно указать значения соответствующих характеристик, которые имел бы
этот поток при V = 0, то есть в бесконечно широком сечении (например, в
большой емкости – баке, резервуаре, котле и т.п.). Эти параметры
называются параметрами торможения и далее в тексте помечаются нижним
индексом 0 – «0». Физически параметры торможения могут соответствовать
состоянию газа в емкости, из которой он поступает в канал. Таким образом,
фактически рассматривается задача об истечении газа через сопло из бака
большого объема, в котором газ первоначально покоится при давлении p 0 и
температуре T0 . Третьим характерным параметром при этом может быть
массовый расход газа в сопле m (3).
С этими переменными уравнение (5) принимает вид
V2
 c p T  c p T0 .
2
(6)
11
или с учетом (1)
V2
κ p
κ p0


.
2
κ 1  κ 1  0
(6′)
Для практического расчета течений формулы полезно преобразовать к
удобному виду так, чтобы каждая формула связывала небольшое число
переменных, по возможности непосредственно выражая искомые параметры
через известные величины. При этом целесообразно ввести некоторые
дополнительные переменные.
К таким переменным относятся местная скорость звука в газе a и
скорость звука в покоящемся газе a 0 :
a  κRT ,
a0  κRT0 .
(7)
Для воздуха принимают a  20,05 T .
Уравнение энергии (6), выраженное через скорость звука, примет вид
a02
V2
a2
.


2
 1  1
(6′′)
Критические значения (когда V = a = a ) параметров V, T,  и p равны,
*
соответственно:
a*  a0
T* 
2
2κ
R

T0 ,
κ 1
κ 1
1
 2  κ1
2
T0 , *  

κ 1
 κ 1 
0 ,
κ
 2  κ1
p*  

 κ 1 
(8)
p0 .
(9)
Для воздуха a*  18,30 T0 , T*  0,8333 T0 , *  0,6339  0 , p*  0,5283 p0 .
Важнейшее значение имеют безразмерные скорости:  (приведенная
скорость) и М (число Маха):
V
κ 1
(10)
λ
, 0  λ
,
a*
κ 1
M
V
, 0 M  .
a
(11)
12
Между величинами λ и М имеет место связь:
Μ2 
2
κ 1/2  κ 1
, 2 
κ 1
2/Μ2  κ 1
.
Теперь из (1), (2) и (6) при учете (8) и (10) можно получить следующие
формулы, которые представляют собой широко применяемые при расчетах
газодинамические функции:
T
κ 1 2

 1
 ,
(12)
T0
κ 1
1

κ 1 2  κ 1

,
 1 
 
0
κ 1 

(13)
κ
p
κ 1 2  κ 1

.
 1 
 
p0 
κ 1 
T
2   2 
1
,
 1
Для воздуха  
T0
6  0 
6 
2,5
(14)
р  2 
,
 1
р 0 
6 
3,5
.
Значения этих функций сведены в таблицы, которые имеются в
учебных пособиях по газовой динамике 1 – 3 и других. Одна из таких
таблиц для κ = 1,4 дана ниже в приложении 5.
Введем величину приведенного удельного расхода
q
V
,
* a*
(15)
которую с учетом равенств (9), (10) и (13) легко представить в виде:
1
1
 κ 1  κ1  κ 1 2  κ1
q    
 1 
 

 2 
 κ 1 
2,5
(16)
 2 
(для воздуха принимают q    1,577  1   ). Укажем, что q   (16) –

6 

тоже стандартная газодинамическая функция, приводимая в тех же таблицах.
13
Легко убедится в том, что max q    q1  1 .
Уравнение неразрывности (4) для рассматриваемого расчетного
трансзвукового режима течения газа в сопле Лаваля может быть записано
как:
(4′)
VS  *a* S* .
При учете (15) и (16) этому уравнению придадим вид:
q  
S*
.
S
(17)
S
Можно показать, что при условии 0 < * < 1 уравнение (17) имеет два
S
κ 1
корня: а) 0 < λ1<1 и б) 1< λ2 < λmax (λmax =
). Физически первый корень
κ 1
соответствует дозвуковому течению газа в сужающейся части сопла, а второй –
сверхзвуковому течению в расширяющейся его части.
Отметим, что уравнение (17) при реальных значениях показателя
изоэнтропы κ не может быть разрешено относительно  в явном виде,
поэтому на практике оно решается численными методами. В данной работе
предлагается решать его приближенно с помощью таблицы газодинамических функций (см. приложения 4 и 5).
Массовый расход газа в сопле (3) при учете (15), (9), (8) и (1) может
быть представлен в виде:
p
  VS  * a* S q    B 0 S q   ,
(18)
m
T0
κ1
 2  2κ1
κ
где B  
.

R
 κ 1 
Для воздуха принимают B = 0,04041 с  K 0,5 /м.
λ  1 получается значение массового расхода,
Из (18) при
соответствующего рассматриваемому расчетному сверхзвуковому режиму
течения газа в сопле Лаваля
m  B
p0
T0
S*
(19)
– это так называемый критический расход m [2] . Добавим, что при всех
*
прочих возможных режимах течения газа в том же сопле и заданных
параметрах p 0 и T0 значения m не могут превышать величины критического
расхода m * (19).
14
Приложение 2
Пример бланка задания на расчет
Казанский государственный энергетический университет
КГЭУ
Кафедра теоретических основ теплотехники
РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ
по курсу «Гидрогазодинамика»
Группа ТТ-1-14
Студент _________________
Номер по списку – 21
Преподаватель – Черепенин Н.Д.
Рассчитать сопло Лаваля по следующим данным

Массовый расход газа
12,5 кг/с
m
p0
Полное давление
23,0·105 Па
T0
Температура торможения
1120 К
Относительная длина насадка
2,0
r = l1/ d*
Угол сужающейся обечайки
Угол расширяющейся обечайки
Давление окружающей среды
Показатель изоэнтропы
Удельная газовая постоянная


pн
κ
R
26
11
0,8·105 Па
1,4
287,1 Дж/(кг·К)
Схема сопла
Дата выдачи задания – 15 ноября 2015 г.
Приложение 3
15
Пример выполнения задания
Рассчитать сопло Лаваля по следующим данным
Массовый расход газа
Полное давление
Температура торможения
Относительная длина насадка

m
p0
T0
r = l1/ d*
Угол сужающейся обечайки
Угол расширяющейся обечайки
Давление окружающей среды
Показатель изоэнтропы
Удельная газовая постоянная

12,5 кг/с
23,0·105 Па
1120 К
2,0
26

pн
κ
R
11
0,8·105 Па
1,4
287,1 Дж/(кг·К)
Рис. 1. Схема сопла
Расчет критического сечения
S* 
m T0
Bp0
d*  2

12,5 1120
0,04041 2310 5
2
 0,004501 м ;
S*
0,004501
2
 0,07570 м ;


p*  0,5283 p0  0,5283  23  105  12,15  105 Па ;
a*  18,30 T0  18,30 1120  612,4 м/с ;
T*  0,8333T0  0,8333  1120  933,3 К ;
16
5
p*
12,15  10
3
ρ* 

 4,534 кг/м .
RT* 287,1  933,3
Расчет сужающейся обечайки
Рис. 2
l1  r  d*  2,0  0,07570  0,1514 м;
26
d1  d *  2  l1  tg  0,07570  2  0,1514  tg
 0,1456 м.
2
2

Расчет входного сечения
π d12 π 0,1456 2
2
S1 

 0,01665 м ;
4
4
S
0,004501
q1  * 
 0,2703 .
S1 0,01665
По таблице для q1  0,2703 находим:
0,27030,24971
λ
1  0,16  0,18  0,16 0,280120,24971  0,1735 ;
2
λ2
1  1  0,1735  0,9950 ;
τ

1

1
6
6
T1  τ
1  T0  0,9950  1120  1114 К ;
3,5
3,5
p1  τ
 23  10 5  22,60  10 5 Па ;
1  p0  0,9950
V1  1  a*  0,1735  612,4  106,3 м/с ,
a1  20,05 T1  20,05 1114  669,2 м/с ;
ρ
1
p1
3
22,60105

 7,066 кг/м ;
RT1 287,11114
17
V
106,3
M1  1 
 0,1588 .
a1 669,2
Расчет промежуточного сечения 3–3
l
0,1514
x3  1 
 0,07570 м ;
2
2
d  d* 0,14560,0757
d3  1

 0,1107 м ;
2
2
π d 32 π 0,1107 2
2
S3 

 0,009617 м ;
4
4
S* 0,004501
q3 

 0,4680 .
S 3 0,009617
По таблице для q3  0,4680 находим:
0,46800,45569
λ3  0,30  0,32  0,30
 0,3088 ;
0,483520,45569
λ2
0,3088 2
3
τ
 0,9841 ;
3  1 6  1
6
T3  τ
3  T0  0,9841  1120  1102 К ;
3,5
3,5
p3  τ
 23  10 5  21,75  10 5 Па ;
3  p0  0,9841
V3  λ
3  a*  0,3088  612,4  189,1м/с ;
а3  20,05 Т 3  20,05 1102  665,6 м/с ;
p3
3
21,75105
ρ3 

 6,875 кг/м ;
RT3 287,11102
V
189,1
M3  3 
 0,2841 .
a3 665,6
Расчет выходного сечения
p 2  pн  0,8  105 Па ;
3,5
τ
2 
p 2 3,5 0,8105

 0,3830 ;
p0
23105
λ2  61τ
2   610,3830  1,924 ;
2,5
2,5
q 2  1,577  λ2  τ
 0,2754 ;
2  1,577  1,924  0,3830
S
0,004501
S2  * 
 0,01630 м 2 ;
0
,
2754
q2
18
S2
0,01630
2
 0,1441 м ;
π
π
d  d * 0,14410,07570
l2  2

 0,3552 м ;

β
11
2tg
2tg
2
2
x2  l1  l 2  0,1514  0,3552  0,5066 м ;
T2  τ
2  T0  0,3830  1120  429,0 К ;
V2  λ2  a*  1,924  612,4  1178 м/с ;
d2  2
a 2  20,05 T2  20,05 429,0  415,3 м/с ;
ρ2 
p2
3
0,8105

 0,6495 кг/м ;
RT2 287,1429,0
V
1178
M2  2 
 2,837.
a 2 415,3
Расчет промежуточного сечения 4–4
l
0,3552
x 4  l1  2  0,1514 
 0,3290 м ;
2
2
d  d* 0,14410,07570
d4  2

 0,1099 м ;
2
2
π d 42 π 0,1099 2
2
S4 

 0,009486 м ;
4
4
S
0,004501
q4  * 
 0,4745.
S 4 0,009486
По таблице для q4  0,4745 находим:
0,4745  0,49643
λ4  1,72  1,74  1,72
 1,740 ;
0,47412  0,49643
λ24
1,7402
τ

1


1

 0,4954 ;
4
6
6
T4  τ
4  T0  0,4954  1120  554,8 К ;
3,5
3,5
p4  τ
 23  10 5  1,968  105 Па ;
4  p0  0,4954
V4  λ4  a*  1,740  612,4  1066 м/с ;
a 4  20,05 T4  20,05 554,8  472,3 м/с ;
5
p4
1,968  10
3
ρ4 

 1,236 кг/м ;
RT4 287,1  554,8
V
1066
M4  4 
 2,257.
a 4 472,3
19
Таблица результатов
Параметры
x, м
d, м
2
S, м
λ
5
p, 10 Па
V, м/c
a, м/c
T, К
3
ρ, кг/м
М
q
1–1
3–3
0
0,07570
0,1456
0,1107
0,01665 0,009617
0,1735 1,00,3088
22,60
21,75
106,3
189,1
669,2
665,6
1114
1102
7,066
6,875
0,1588
0,2841
0,2703
0,4680
Сечения
критическое
0,1514
0,07570
0,004501
12,15
612,4
612,4
933,3
4,534
1,0
1,0
4–4
2–2
0,3290
0,5066
0,1099
0,1441
0,009486 0,01630
1,740
1,924
1,968
0,8
1066
1178
472,3
415,3
554,8
429,0
1,236
0,6495
2,257
2,837
0,4745
0,2754
Отметим, что проведенный расчет следует дополнить построением графиков, иллюстрирующих изменение основных параметров потока: V, a, p, T,
ρ, М, q – в зависимости от x, то есть вдоль сопла Лаваля.
Приложение 4
Правила работы с таблицами
В приложении 5 приведена таблица значений ряда газодинамических
функций, используемых при расчетах. Все значения в одной строке таблицы
соответствуют друг другу. Так, при λ= 0,36 значение τ равно 0,97840,
значение q равно 0,53771, значение М равно 0,33224 и т.д. Таким образом,
по значению λ можно, например, найти значения τ, q, М и т.д. или,
наоборот, по значению q найти λ, τ, М и т.д. Однако любая таблица
составлена из дискретных узловых значений и, как правило, известное
значение входного параметра не совпадает точно с заданным табличным
значением, поэтому и значение искомого параметра нельзя определить
непосредственно и точно.
Чтобы изложить правила достаточно точного определения требуемых
*
значений по таблице, условно обозначим известное значение-аргумент как x
(входной параметр), а соответствующее ему искомое значение-функцию как
*
f * . Пусть табличные значения в столбце x не совпадают с x и ближайшими
*
к нему являются x a и xb , между которыми по величине и оказывается x .
20
В столбце искомых значений f значениям
xa и
xb в тех же строках
соответствуют значения f a и f b . Тогда искомое значение f * определяется по
формуле:
x*  xa
*
.
(20)
f  f a   fb  f a 
xb  x a
Эта формула выводится на основе предположения, что функцию f (x)
между точками x a , f a  и xb , f b  можно считать линейной (то есть ее
график является отрезком прямой, проходящей через указанные точки);
поэтому она называется формулой линейной интерполяции.
Например, пусть требуется найти значение λ1 для дозвукового потока,
соответствующее значению q1 = 0,3245. Находим по таблице узловые
значения q, ближайшие к требуемому: q a = 0,31026, q b = 0,34008, и
соответствующие им значения λ: λa = 0,20 и λb = 0,22 . Теперь согласно
формуле линейной интерполяции (20) получаем:
q1  q a
0,3245  0,31026
λ
 0,20  0,22  0,20
 0,2096 .
1 λ
a  λ
b λ
a
qb  q a
0,34008  0,31026
Следует подчеркнуть, что значения x a и f a в формуле (20) берутся
обязательно из одной строки таблицы, а xb и f b – из другой. Их нельзя
переставлять, даже если некоторые разности в формуле окажутся
отрицательными. Например, пусть требуется найти значение  4 для
сверхзвукового потока, соответствующее значению q 4 = 0,6574. Находим по
таблице узловые значения q, ближайшие к требуемому: q a = 0,67031,
qb = 0,64941, и соответствующие им значения λa = 1.56 и λb = 1,58. Тогда по
формуле линейной интерполяции (20) найдем:
λ4  1,56  1,58  1,56
0,6574  0,67031
 1,572.
0,64941  0,67031
21
Приложение 5
Таблица газодинамических функций
 = 1, 4

0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
  T / T0
  p / p0
0,99993
0,99973
0,99940
0,99893
0,99833
0,99760
0,99673
0,99573
0,99460
0,99333
0,99193
0,99040
0,98873
0,98693
0,98500
0,98293
0,98073
0,97840
0,97593
0,97333
0,97060
0,96773
0,96473
0,96160
0,95833
0,95493
0,95140
0,94773
0,94393
0,94000
0,93593
0,93173
0,92740
0,92293
0,91833
0,91360
0,99977
0,99907
0,99790
0,99627
0,99418
0,99163
0,98861
0,98515
0,98123
0,97686
0,97205
0,96680
0,96112
0,95501
0,94848
0,94153
0,93418
0,92642
0,91827
0,90974
0,90083
0,89155
0,88191
0,87193
0,86160
0,85095
0,83998
0,82871
0,81714
0,80528
0,79315
0,78077
0,76813
0,75526
0,74217
0,72886
   / 0
0,99983
0,99933
0,99850
0,99734
0,99584
0,99401
0,99185
0,98937
0,98655
0,98342
0,97996
0,97617
0,97207
0,96765
0,96292
0,95788
0,95253
0,94687
0,94091
0,93466
0,92811
0,92127
0,91415
0,90675
0,89907
0,89111
0,88289
0,87441
0,86567
0,85668
0,84745
0,83797
0,82826
0,81833
0,80817
0,79779
q
0,03154
0,06306
0,09450
0,12586
0,15709
0,18816
0,21904
0,24971
0,28012
0,31026
0,34008
0,36957
0,39868
0,42740
0,45569
0,48352
0,51087
0,53771
0,56401
0,58975
0,61490
0,63943
0,66333
0,68656
0,70911
0,73095
0,75206
0,77243
0,79202
0,81082
0,82881
0,84598
0,86231
0,87778
0,89238
0,90610

–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–

–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
M
0,018258
0,03652
0,054789
0,073069
0,091363
0,10968
0,12801
0,14637
0,16476
0,18319
0,20165
0,22015
0,23869
0,25729
0,27594
0,29464
0,31341
0,33224
0,35114
0,37012
0,38917
0,4083
0,42753
0,44684
0,46625
0,48576
0,50538
0,52511
0,54496
0,56493
0,58503
0,60526
0,62563
0,64615
0,66682
0,68764
22
 = 1, 4

0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
  T /T0
0,90873
0,90373
0,89860
0,89333
0,88793
0,88240
0,87673
0,87093
0,86500
0,85893
0,85273
0,84640
0,83993
0,83333
0,82660
0,81973
0,81273
0,80560
0,79833
0,79093
0,78340
0,77573
0,76793
0,76000
0,75193
0,74373
0,73540
0,72693
0,71833
0,70960
0,70073
0,69173
0,68260
0,67333
0,66393
0,65440
0,64473
0,63493
  p / p0
0,71536
0,70168
0,68783
0,67383
0,65968
0,64540
0,63101
0,61652
0,60194
0,58730
0,57259
0,55785
0,54307
0,52828
0,51349
0,49872
0,48397
0,46926
0,45462
0,44004
0,42554
0,41114
0,39686
0,38269
0,36866
0,35478
0,34106
0,32751
0,31415
0,30099
0,28803
0,27529
0,26277
0,25050
0,23847
0,22670
0,21519
0,20396
   / 0
0,78721
0,77643
0,76545
0,75428
0,74294
0,73141
0,71973
0,70788
0,69589
0,68375
0,67148
0,65908
0,64656
0,63394
0,62121
0,60839
0,59548
0,58250
0,56946
0,55635
0,54320
0,53001
0,51678
0,50354
0,49028
0,47703
0,46378
0,45054
0,43734
0,42416
0,41104
0,39797
0,38496
0,37203
0,35918
0,34642
0,33377
0,32123
q
0,91892
0,93082
0,94181
0,95187
0,96099
0,96916
0,97638
0,98265
0,98795
0,99229
0,99567
0,99808
0,99952
1
0,99952
0,99809
0,99570
0,99237
0,98811
0,98293
0,97683
0,96982
0,96193
0,95317
0,94354
0,93308
0,92179
0,90970
0,89683
0,88320
0,86884
0,85377
0,83801
0,82159
0,80455
0,78691
0,76870
0,74995
Продолжение таблицы

–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
0°
0,1663°
0,4674°
0,8534°
1,306°
1,815°
2,373°
2,974°
3,615°
4,292°
5,002°
5,744°
6,516°
7,315°
8,141°
8,993°
9,869°
10,77°
11,69°
12,64°
13,60°
14,59°
15,60°
16,63°
17,68°

–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
90°
77,53°
72,49°
68,70°
65,56°
62,85°
60,44°
58,27°
56,28°
54,44°
52,73°
51,13°
49,63°
48,21°
46,86°
45,58°
44,35°
43,18°
42,06°
40,98°
39,95°
38,95°
37,98°
37,05°
36,14°
M
0,70864
0,7298
0,75114
0,77267
0,79439
0,81631
0,83844
0,86079
0,88337
0,90619
0,92925
0,95256
0,97614
1
1,0241
1,0486
1,0733
1,0984
1,1239
1,1496
1,1758
1,2023
1,2292
1,2566
1,2843
1,3126
1,3413
1,3705
1,4002
1,4305
1,4613
1,4927
1,5248
1,5575
1,5909
1,625
1,6599
1,6955
23
 = 1, 4

1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
1,76
1,78
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
1,90
1,92
1,94
1,96
1,98
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
  T /T0
0,62500
0,61493
0,60473
0,59440
0,58393
0,57333
0,56260
0,55173
0,54073
0,52960
0,51833
0,50693
0,49540
0,48373
0,47193
0,46000
0,44793
0,43573
0,42340
0,41093
0,39833
0,38560
0,37273
0,35973
0,34660
0,33333
0,31993
0,30640
0,29273
0,27893
0,26500
0,25093
0,23673
0,22240
0,20793
0,19333
0,17860
0,16373
  p / p0
0,19301
0,18235
0,17198
0,16191
0,15215
0,14270
0,13357
0,12475
0,11626
0,10810
0,10026
0,09275
0,08557
0,07873
0,07221
0,06602
0,06015
0,05461
0,04939
0,04448
0,03989
0,03560
0,03162
0,02792
0,02451
0,02138
0,01852
0,01592
0,01357
0,01146
0,00958
0,00792
0,00646
0,00519
0,00410
0,00318
0,00241
0,00178
   / 0
0,30882
0,29653
0,28439
0,27239
0,26056
0,24890
0,23741
0,22611
0,21501
0,20411
0,19343
0,18297
0,17274
0,16275
0,15300
0,14351
0,13429
0,12533
0,11665
0,10825
0,10014
0,09233
0,08482
0,07762
0,07072
0,06415
0,05790
0,05197
0,04636
0,04109
0,03615
0,03154
0,02727
0,02333
0,01972
0,01643
0,01348
0,01085
q
0,73071
0,71100
0,69085
0,67031
0,64941
0,62819
0,60669
0,58495
0,56301
0,54092
0,51871
0,49643
0,47412
0,45184
0,42961
0,40749
0,38553
0,36377
0,34225
0,32103
0,30014
0,27964
0,25957
0,23997
0,22090
0,20239
0,18448
0,16723
0,15066
0,13482
0,11975
0,10548
0,09205
0,07948
0,06780
0,05704
0,04721
0,03833
Продолжение таблицы

18,75°
19,84°
20,95°
22,08°
23,23°
24,40°
25,59°
26,81°
28,04°
29,29°
30,57°
31,87°
33,19°
34,53°
35,90°
37,29°
38,71°
40,16°
41,63°
43,13°
44,65°
46,21°
47,81°
49,43°
51,09°
52,79°
54,53°
56,31°
58,14°
60,02°
61,95°
63,93°
65,98°
68,10°
70,29°
72,57°
74,94°
77,42°

35,26°
34,41°
33,58°
32,78°
31,99°
31,23°
30,48°
29,75°
29,03°
28,33°
27,64°
26,97°
26,30°
25,65°
25,01°
24,38°
23,76°
23,14°
22,53°
21,93°
21,34°
20,75°
20,17°
19,59°
19,01°
18,43°
17,86°
17,29°
16,72°
16,15°
15,58°
15,00°
14,42°
13,84°
13,25°
12,65°
12,04°
11,41°
M
1,7321
1,7695
1,8078
1,8471
1,8875
1,929
1,9716
2,0155
2,0608
2,1074
2,1555
2,2053
2,2567
2,31
2,3653
2,4227
2,4824
2,5446
2,6094
2,6772
2,7481
2,8226
2,9008
2,9832
3,0702
3,1623
3,2601
3,3643
3,4757
3,5952
3,7240
3,8634
4,0151
4,1811
4,3642
4,5675
4,7954
5,0535
24
Окончание таблицы
 = 1, 4

  T /T0
2,26
0,14873
2,28
0,13360
2,30
0,11833
2,32
0,10293
2,34
0,08740
2,36
0,07173
2,38
0,05593
2,40
0,04000
2,42
0,02393
2,44
0,00773
2,4495
0
  p / p0
0,00127
0,00087
0,00057
0,00035
0,00020
0,00010
0,00004
0,00001
0,00000
0,00000
0
   / 0
0,00853
0,00652
0,00482
0,00340
0,00226
0,00138
0,00074
0,00032
0,00009
0,00001
0
q
0,03041
0,02346
0,01748
0,01244
0,00834
0,00513
0,00278
0,00121
0,00034
0,00002
0

80,01°
82,75°
85,66°
88,77°
92,12°
95,80°
99,92°
104,69°
110,57°
119,18°
130,45°

10,77°
10,11°
9,43°
8,71°
7,96°
7,14°
6,25°
5,24°
4,02°
2,26°
0°
M
5,3495
5,6943
6,1036
6,6011
7,2255
8,0438
9,1865
10,954
14,28
25,329

Библиографический список
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Дрофа, 2003. – 840 с.
2. Касилов В.Ф. Справочное пособие по гидрогазодинамике для теплоэнергетиков. – М.: МЭИ, 2000. – 272 с.
3. Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу
«Гидрогазодинамика» / Н.Д. Якимов, Н.Д. Черепенин. – Казань: Казан. гос.
энерг. ун-т, 2001. – 37 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Содержание задания и указания к выполнению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Теоретические основы расчета одномерных стационарных течений
газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Пример бланка задания на расчет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Пример выполнения задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Правила работы с таблицами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Таблица газодинамических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
9
9
14
15
19
21
24