

Лекция №3. Истечение газа из бака
1.1 Определение скорости истечения
Внутри бака все параметры имеют значения параметров
заторможенного газа. Через p ,  , T, M обозначим
соответствующие параметры в выходном сечении, площадь
которого S, и через p – давление в камере, куда переходит
истечение (это давление p в теории истечения называют
противодавлением). Для определения скорости истечения V
0
воспользуемся уравнением
2
2
V1
k p1 V2
k p2



2
k  1 1
2
k  1 2
,
V0=0
p0
В котором отбросим индекс «1», а индекс «2»
заменим на «0».
Полагая Vo = 0 получим:
p0
V2
k
p
k


2
k 1 
k 1 0
откуда скорость истечения
0
p
T0
a0

T
a
V
0
V 
2k  p0 p 

 
k  1  0  
Определение скорости истечения
1/ k
Вынося за скобки p0 /  0 и полагая  0 /   ( p0 / p )
получим
формулу Сен – Венана и Вантцеля.
V 
2k p 0
k  1 0
k 1


k


p
1  
 a

0
 p 


0 



 a*
 p 
2

1  

k 1
p
 0 
 p 
k 1

1  

k 1
p
 0 
k 1
k

k 1
k
.
Из формулы видно, что скорость при заданных параметрах заторможенного
газа будет расти с уменьшением давления p.
1.2. Максимальная и критическая скорости
Скорость истечения через сопло будет максимальной Vmax при
истечении в абсолютный вакуум (р = 0; Т = 0), и определяется по
формуле
Vmax 
2k p0

k  1 0
2a02 (10)
k 1
Это максимальная сверхзвуковая теоретическая скорость, которую
можно получить лишь при истечении через насадок, поперечное сечение
которого вначале уменьшается, а затем возрастает (сопло Лаваля).
Рассмотрим истечение газа через сужающийся насадок. Используем
формулу
k 1 2
a02
V2
a2
2
2
; a  a0 
V


2
k 1 k 1
2
Максимальная и критическая скорости
Максимальная скорость истечения через сужающийся насадок будет
равна критической скорости, определяемой из следующих соотношений:
a
*2
k  1 *2
a 
a
2
2
0
Откуда,
Отношение
a*

a0

k 1 

2
a 1 
  a0
2 

*2

a *2
2

k 1
a02
2
k 1
Vm ax

a*
2 a02
k 1 
2 a02
k 1
k 1
k 1
показывает, что действительная (наибольшая) скорость истечения через
сужающийся насадок будет в
скорости.
k 1
k  1 раз меньше максимальной
Максимальная и критическая скорости
Определим расход газа через сужающееся сопло. При докритическом
режиме масса газа, вытекающего из бака за одну секунду равна G  VS
Критическое значение этой массы G*   *V * S   * a* S
Отношение этих масс даст безразмерный расход, т.е. отношение
произвольного расхода к его критическому значению
V
G


*
* *
G
 a
2  k 1


k 1  2 
k 1
k 1
 p 


p 
 0
2
k
k 1


k


p
1  
  A  f ( )

 p 

0 



(11)
Максимальная и критическая скорости
На рисунке представлен график зависимости G G * от отношения
противодавления p к давлению в баке p0 . До тех пор, пока давление
на выходе из сопла p не станет равным критическому p *,
противодавление p / будет совпадать с p, и кривая определится
соотношением (правая сплошная ветвь кривой).При дальнейшем
уменьшении противодавления при p'  p* , наступит «запирание»
выходного сечения, и истечение будет происходить с постоянной
критической скоростью a * , несмотря на снижение p .
G/G*
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
p' /p 0
*
Часть графика, соответствующая интервалу p' / p0  p / p0
(для воздуха p * / p0  0,529), представится сплошной
горизонтальной прямой, а не пунктирной спадающей кривой.
Максимальная и критическая скорости
Максимально возможный при заданных параметрах в баке расход газа
через сужающееся сопло равен критическому расходу.
 2 
Gm ax  G *  0 

k

1


1
k 1
a0
2
 2 
S 

k 1
k

1


k 1
2 ( k 1)
kp0 0 S
Массовый докритический расход определится формулой
 p 

G  VS   0 S 

p
 0
1
k
k 1


k
2k p 0   p  

1 
k  1  0   p0  


Секундный расход (для воздуха) можно рассчитать по формулам:
 p  если p > 0,528P0;
p0
G  0,0404
S  q 
T0
 p0 
G  0,0404
p0
T0
S
если p < 0,528P0,
Где S – площадь выходного сечения сопла.
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
Применяя уравнение Эйлера в виде
V
dV
1 dp

dx
 dx
(12)
и уравнение неразрывности VS  const
(13),
установим дифференциальное соотношение между S и V.
VdV  
d

dр



dp d
d
 a 2
d 

dV dS

V
S
Подстановка полученного равенства в предыдущее уравнение позволяет
получить уравнение Гюгонио:
2
2 dV
2 dS
V
или, после деления на
a
2
M
2
a
V
dS
 dV

V
S
1
a
S
(14)
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
Из уравнения Гюгонио следует:
1.Если М  1 знак dV противоположен знаку dS, то есть при дозвуковом
движении, так же как и в случае несжимаемой жидкости, с возрастанием
площади скорость убывает.
2.При М  1 знак dV одинаков со знаком dS, то есть при сверхзвуковом
движении газа в расширяющейся трубе движение ускоряется.
3.При М = 1dS  0 . Соответствующее сечение трубы будет критическим.
Условие совпадает с необходимым условием экстремума площади
сечения. Критическое сечение будет минимальным (максимальным оно
быть не может, так как при подходе к максимальному сечению
дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что не
позволит получить звуковую скорость в нем).
4.Если и сечение экстремально (минимально или максимально), то либо М = 1 и
это сечение критическое, либо М  1 и скорость не меняется. В последнем случае,
каково бы ни было движение – дозвуковое или сверхзвуковое, скорость в
экстремальном сечении принимает экстремальное значение. При дозвуковом
течении значение скорости минимальное в максимальном сечении и
максимальное в минимальном сечении. При сверхзвуковом течении, наоборот, в
максимальном сечении скорость максимальная, а в минимальном сечении -минимальная.
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
Пользуясь уравнениеми (13) и изэтропическими формулами, найдем связь
между параметрами одномерного потока и площадью сечения, заданно
в виде функции от х.
k 1

1
M2

S
V
2
 1 1 
S1
V
 1 k 1 M 2

1
2

k 1

M2
1
2

 1  k 1 M 2

1
2







1
k 1






1
k 1
M 1 a1
 или
M a
k 1

1
M2

M1
2

M  1 k 1 M 2

1
2







k 1 2 

M 
1
S
2


k

1

S1 
M 12 
1
2


k 1
2 ( k 1)
M1
M
1
2
Это соотношение в совокупности с изэнтропическими формулами
k 1

M 12
1
p
2

k
1

p1
M2
1
2

k 1
M 12
T
2

;
k 1
T1
2
1
M
2
1
k
 k 1


;



k 1

M 12
1

2

k
1

1
M2
1
2

1
 k 1


;



k 1

M 12
1
V
M 
2

k 1
V1
M1 
M2
1
2

1
2


 .



(16)
(15)
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
дает параметрическое решение задачи об одномерном газовом потоке в трубе
переменного сечения, причем роль параметра играет число М.
S
 2 



*
S
 k 1
k 1
2 ( k 1)
1 
k 1 2 
M 
1 
M
2

k 1
2 ( k 1)
 q 1 ( M )
(17)
На рис. 1 приведен график этой зависимости для воздуха
(k = 1,4).
График подтверждает ранее отмеченный факт: в дозвуковом потоке (M < 1) для
увеличения числа М сечение S следует уменьшить, а в сверхзвуковом потоке
(M > 1), наоборот увеличивать
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение газа
через сопло Лаваля.
S/S *
а)
x
0
M
б)
M>1
M'1
1
M<1
M<1
M " 1
x
0
*
p0/p *=1,897
p/p
доз ву
к ов ое
в)

*
 p" p

p"  p '  p '
ое
доз вук ов
1
све рхз ву
к ов ое
0
p' p *
x
Рис 2. Одномерное изэнтропическое течение газа через сопло Лаваля
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
Если в минимальном сечении число М = 1, то дальнейшее развитие потока может
идти как по кривой М  1, так и по кривой М < 1. Эта альтернатива разрешается
заданием противодавления на выходе из сопла.
p'  2 
k  1 2 

1

M 


*
2
p

k 1

k
k 1
/
определим расчетное значение отношения давления на выходе p к
критическому давлению . Если противодавление в камере подобрать равным
этому расчетному давлению p , то сопло Лаваля будет работать на расчетном
сверхзвуковом режиме, скорость на выходе будет превышать скорость звука и
*
равна V  M   a . При этом же значении S S , но пользуясь левой нисходящей
ветвью кривой определим значение M   1 и соответствующее ему p  p *
Дозвуковых режимов истечения из сопла Лаваля заданной формы существует
бесчисленное множество, в то время как сверхзвуковое истечение единственно и
может осуществляться только при одном значении противодавления, равном p.
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
Если противодавление окажется лежащим между расчетными значениями p и ,
p  то в сопле или вне его возникнут сложные явления, при наличии которых
движение газа в сопле уже не будет непрерывным, одномерным и
изэнтропическим. Если противодавление меньше p  , то газ на выходе из сопла
будет продолжать непрерывно и изэнтропически расширяться, пока не достигнет
давления в камере, но движение его вне сопла уже нельзя будет рассматривать
как одномерное.
Массовый расход газа через сопло Лаваля, так же как и при движении через
конфузорное сопло, не может быть больше критического. Но в отличие от
конфузорного сопла, скорость на выходе из сопла Лаваля при сверхзвуковом
режиме превосходит скорость звука и может быть путем подбора формы и длины
сопла сделана тем больше, чем меньше противодавление и при p   0 (  и Т
обращаются в нуль) скорость будет равна Vмакс. Если скорость на входе
сверхзвуковая, то, учитывая что в сужающейся трубе она достигает наименьшего
значения в наиболее узком сечении, и если в этом наименьшем сечении ее
значение остается больше скорости звука, то в расширяющейся части трубы
скорость газа растет и на выходе будет так же, как и на входе, сверхзвуковой.
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
Когда сверхзвуковой поток достигает в наименьшем сечении скорости звука, то
так же возможны два случая. Если давление на выходе меньше критического, то
в диффузоре скорость будет расти и на выходе она станет сверхзвуковой. Если
давление больше критического скорость в диффузоре убывает и на выходе она
достигает дозвукового значения.
Такая труба используется для торможения газовых потоков, так как для
сверхзвукового потока роль тормоза выполняет сужающаяся труба. Опыт
показывает, что в последнем случае поток газа неустойчив и в нем возникает
система косых и прямых скачков уплотнения, в которых и происходит
торможение. При этом происходит потеря энергии.
Элементарный расчет сопла Лаваля заключается в определении его основных
размеров по заданному расходу, параметрам торможения и значению скорости
на срезе сопла.
Площадь горла можно найти из условия, что в нем устанавливается критический
режим.
*
S горла  S * 
G
 2 
k

k

1


k 1
k 1
p0  0
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
1V1S1   *a* S *
Выходное сечение сопла
можно определить из уравнения неразрывности
Выражая отношение плотностей по соответствующей
формуле, получим
1
 2  k 1
S 

k

1


*
 *a*
S1  S

1V1
*


1 1 
k 1 2 
 1 
k 1

1
k 1
Промежуточные значения площадей поперечных сечений сопла можно
найти,если задаться законом изменения по длине сопла  х  или  х  . Но если
необходимо с помощью сопла Лаваля обеспечить только заданное значение
средней скорости, а равномерность распределения скоростей вS сечении
несущественна, то иногда выполняют расширяющуюся часть конической с углом
раствора, не превышающим 12 0. Для получения равномерного поля скоростей на
выходе из сопла его очертания должны быть рассчитаны методами теории
двумерных течений.
*
Одномерное стационарное движение газа по трубе
переменного сечения. Уравнение Гюгонио
Получение сверхзвуковых скоростей в сопле Лаваля является только одним из
возможных способов ускорения газового потока. Имеются методы получения
сверхзвуковых скоростей в цилиндрических каналах путем изменения расхода
вдоль течения и путем подвода или отвода тепла.
Задача торможения газовых потоков встречается во многих случаях инженерной
практики. Торможение дозвукового потока происходит в диффузоре (в
расширяющемся канале). Основным вопросом проектирования дозвукового
диффузора является определение величины потерь. Эти потери определяются
вихревой структурой вязкого газа в диффузоре и, в частности, наличием отрывов
пограничного слоя от боковых стенок. Поэтому расчет таких потерь
основывается на теории пограничного слоя с учетом сжимаемости газа.
Сверхзвуковые потоки в сужающихся каналах (сверхзвуковых диффузорах)
тормозятся. Действительно, в сужающемся канале скорость сверхзвукового
потока уменьшается, и если горло рассчитано правильно, в нем устанавливается
критическая скорость. Тогда в расширяющейся части происходит дальнейшее
торможение дозвукового потока. Такой диффузор является идеальным, но
реализовать его не удастся, так как в сужающемся канале происходят скачки
уплотнения, и появляется волновое сопротивление
Максимально возможный при заданных параметрах в баке расход газа
через сужающееся сопло равен критическому расходу.