Систе́ма счисле́ния (англ. numeral system или system of numeration) — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Система счисления: даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных); даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление); отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел. Системы счисления подразделяются на: позиционные (англ. positional system, place-value notation); непозиционные; смешанные. Содержание 1 Позиционные системы счисления 2 Смешанные системы счисления 2.1 Факториальная система счисления 2.2 Фибоначчиева система счисления 3 Непозиционные системы счисления 3.1 Биномиальная система счисления 3.2 Система остаточных классов (СОК) 3.3 Система счисления Штерна-Броко 4 См. также 5 Примечания 6 Ссылки Позиционные системы счисления Основная статья: Позиционная система счисления В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов. Под позиционной системой счисления обычно понимается {\displaystyle b}b-ичная система счисления, которая определяется целым числом {\displaystyle b>1}b>1, называемым основанием системы счисления. Целое число без знака {\displaystyle x}x в {\displaystyle b}b-ичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа {\displaystyle b}b: {\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}, где {\displaystyle a_{k}}a_{k} — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству {\displaystyle 0\leq a_{k}\leq (b-1)}0\leq a_{k}\leq (b-1). Каждая степень {\displaystyle b^{k}}b^{k} в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя {\displaystyle k}k (номером разряда). Обычно в записи ненулевых чисел начальные нули опускаются. Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число {\displaystyle x}x записывают в виде последовательности его {\displaystyle b}b-ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо: {\displaystyle x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.}x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}. Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде: {\displaystyle 103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.}103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}. Наиболее часто употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются: 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании); 3 — троичная; 8 — восьмеричная; 10 — десятичная (используется повсеместно);