Д.Т.ПИСЬМЕННЫЙ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ
ПО ВЬIСШЕИ
МАТЕМАТИКЕ
1
1
Высшее образование
10-е издание, исправленное
МОСКВА
4~ АЙРИС ПРЕСС
2011
УДК
ББК
51(075.8)
22. lя73-2
П35
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может переиздаваться
или распространяться в любой форме и любыми средствами,
электронными или механическими, включая фотокопирование,
звукозапись, любые запоминающие устройства
и системы поиска информации,
без письменного разрешения правообладателя.
Серийное оформление А. М. Драговой
Письменный, Д. Т.
П35
Конспект лекций по высшей математике: полный курс
Д. Т. Письменный.
2011. - 608 с.:
ил.
-
-
10-е изд., испр.
-
/
М.: Айрис-пресс,
(Высшее образование).
ISBN 978-5-8112-4351-8
Настоящий курс лекций предназначен для студентов, изучающих высшую
математику в различных учебных заведениях.
Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса высшей
математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы
математического анализа), которые обычно изучаются студентами на первом и
втором курсах вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении
специальных курсов (двойные, тройные, криволинейные и поверхностные
интегралы, дифференциальные уравнения, элементы теории поля и теории
функций комплексного переменного, основы операционного исчисления).
Доступный, но строгий с научной точки зрения язык изложения, а также
большое количество примеров и задач позволят студентам эффективно под­
готовиться к сдаче зачетов и экзаменов.
ББК
УДК
©
ISBN 978-5-8112-4351-8
22. lя73-2
51(075.8)
ООО «Издательство
«АЙРИС-пресс», 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
Пр~словие
..... .. ..... . ..... .. .. ... . .. .. .. . ...... .. .... .. . .....
15
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1.
Матрицы................................
1.1.
1.2.
§ 2.
§ 3.
... .... .. ..... .. .. .... . . ... ... ..... .. ... .. .. .....
Основные понятия.......................................
Свойства определителей
Невырожденные матрицы.
3.1.
3.2.
3.3.
§ 4.
Действия над матрицами................................
Определители
2.1.
2.2.
......................
Основные понятия.......................................
.. .... . ..... .. ..... .. .... .. .. ....
.. . ..... .. ... ... .. .. ... . ..... . ... ...
Основные понятия.......................................
Обратная матрица
.. .. .. ..... .. .. .... ... ..... . .... .. .. .. .
... .. ..... . . .. .. .. . .... .. .. ... .. . .. ... . .....
линейных уравнений.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ранг матрицы
Системы
4.1.
4.2.
Основные понятия.......................................
4.3.
Решение невырожденных линейных систем.
4.4.
4.5.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса..
16
16
17
20
20
22
24
24
25
27
29
29
Решение систем линейных уравнений.
.. .. .. .
30
... .. .. ... .. ...... .. ... .. . . .. .... .. ...
32
34
37
Теорема Кронекера-Капелли.....................
Формулы Крамера.
Системы линейных однородных уравнений.
.............
Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 5.
Векторы.
..... .. ... .. . ... .... . .. .. .. .. ..... .. ...... .... .. ... ...
Основные понятия.......................................
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
Разложение вектора по ортам координатных осей.
5.5.
Действия над векторами, заданными проекциями......
Линейные операции над векторами.....................
Проекция вектора на ось
.. .... . .. .. .. .. .... . . .. ... .. ... .
Модуль вектора. Направляющие косинусы.
§ 6.
Скалярное произведение векторов и его свойства
6.1.
6.2.
6.3.
.... ... .. ...
Определение скалярного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Свойства скалярного произведения.
. .... .... . .... .. .. .. .
.. .. .. . . ...... . .... .. .. ... .. . ..... .. .. ..
......
Некоторые приложения скалярного произведения
Векторное произведение векторов и его свойства............
7.1.
44
45
47
47
48
Выражение скалярного произведения
через координаты
6.4.
§ 7.
. .. ... . . .....
39
39
40
42
Определение векторного произведения..................
3
49
50
51
51
7.2.
7.3.
Свойства векторного произведения......................
7.4.
Некоторые приложения векторного произведения.......
через координаты
§ 8.
.. .... .. .... .. . ... ... . ..... . . ... ... . .. ..
Смешанное произведение векторов
8.1.
52
Выражение векторного произведения
.. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . .
53
54
55
Определение смешанного произведения,
его геометрический смысл
.. ... . .. .. .. .. ... .. .. .. ... . .. ..
... . .... .. .. .. .. . ....
8.2.
8.3.
Свойства смешанного произведения
8.4.
Некоторые приложения смешанного произведения......
55
55
Выражение смешанного произведения
через координаты
Глава
111.
.. .. .... ...... . . ... ... ..... .. . .... . . ....
56
57
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 9.
Система координат на плоскости...........
9.1.
9.2.
§ 10.
58
58
Основные приложения метода координат
на плоскости
9.3.
.... .. . ...... .. ...
Основные понятия.......................................
.... .. .. .. .... .... . .. .... .. .. .... .. ..... .. ...
..................
Преобразование системы координат...
Линии на плоскости..........................................
10.1.Основные понятия.......................................
10.2. Уравнения прямой на плоскости........................
10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи . . . . . . . . .
§ 11. Линии второго порядка на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.Основные понятия.......................................
11.2.Окружность..............................................
11.3.Эллипс...................................................
11.4. Гипербола.............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.Парабола.................................................
11.6. Общее
Глава
уравнение линий второго порядка
IV.
... .... .. .. .. ..
60
61
64
64
68
73
74
74
75
76
79
84
86
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 12.
Уравнения поверхности и линии в пространстве.............
12.1.Основные понятия.......................................
90
90
92
96
98
101
12.2. Уравнения плоскости в пространстве...................
12.3. Плоскость. Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4. Уравнения прямой в пространстве......................
12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи . . . . . . .
12.6. Прямая и плоскость в пространстве.
Основные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12. 7. Цилиндрические поверхности.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4
12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности . . . . . . .
12.9. Канонические уравнения поверхностей
106
второго порядка.........................................
109
Глава
§ 13.
V.
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Множества. Действительные числа..........................
13.1.Основные понятия.......................................
13.2. Числовые
множества.
Множество действительных чисел.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
119
Функция......................................................
120
14.1. Понятие функции........................................ 120
14.2. Числовые функции. График функции.
Способы задания функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14.3.Основные характеристики функции..................... 122
14.4.Обратная функция....................................... 123
14.5. Сложная функция... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
14.6. Основные элементарные функции и их графики . . . . . . . . 124
Последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
15.1. Числовая последовательность........................... 127
15.2. Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.3. Предельный переход в неравенствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности.
Число е. Натуральные логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16.1.Предел функции в точке................................
132
16.2.Односторонние пределы.................................
134
16.3. Предел функции при х -t оо. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
16.4.Бесконечно большая функция (6.б.ф.)................... 135
Бесконечно малые функции (б.м.ф.).........................
136
17.1.Определения и основные теоремы....................... 136
17.2. Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией........................... 140
17.3. Основные теоремы о пределах.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
17.4. Признаки существования пределов...................... 144
17.5. Первый замечательный предел.......................... 145
17.6. Второй замечательный предел..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Эквивалентные бесконечно малые функции.................. 148
18.1. Сравнение бесконечно малых функций.................. 148
18.2. Эквивалентные бесконечно малые
и основные теоремы о них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
13.3. Числовые
§ 14.
§ 15.
§ 16.
§ 17.
§ 18.
116
116
промежутки. Окрестность точки.............
5
18.3. Применение
эквивалентных бесконечно
малых функций ..........................................
§ 19.
151
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
функции в точке........................ 153
Непрерывность функций.
19.1. Непрерывность
19.2. Непрерывность функции в интервале
и на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3. Точки разрыва функции и их классификация..........
19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.. . . . . . . . . . .
§ 20. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1.Задачи, приводящие к понятию производной ............
20.2. Определение производной; ее механический
155
155
158
159
161
161
и геометрический смысл. Уравнение касательной
и нормали к кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
20.4. Производная суммы, разности, произведения
и частного функций...................................... 167
20.5. Производная сложной и обратной функций . . . . . . . . . . . . . 169
20.6. Производные основных элементарных функций. . . . . . . . . 171
20.7.Гиперболические функции и их производные...........
175
20.8. Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 21.
Дифференцирование неявных и параметрически заданных
функций
.. ... . .. ... ....... .. .... .. ..... .. .... .. . .... .. . ..... ..
21.1.Неявно заданная функция ...............................
21.2. Функция, заданная параметрически................... . .
§ 22. Логарифмическое дифференцирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 23. Производные высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
179
180
181
182
23.1.Производные высших порядков
явно заданной функции.
23.2. Механический смысл
23.3. Производные высших
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
производной второго порядка . . . . 183
порядков
неявно заданной функции
23.4. Производные
..... . ...... .. .. ... . .... .. .. ..... .. .... .. .
.. ... ... . .. .... .. .... . .. .. .. .. . ..... .
24.1. Понятие дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.2. Геометрический смысл дифференциала функции . . . . . . .
24.3. Основные теоремы о дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24.4. Таблица дифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
параметрически
§ 24.
. . .. .... .. .... .. .. ... .. . ..... . .
183
высших порядков от функций, заданных
Дифференциал функции
6
184
185
185
186
187
188
24.5. Применение
дифференциала
к приближенным вычислениям
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
190
§ 25. Исследование функций при помощи производных. . . . . . . . . . . . 192
25.1.Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях... 192
25.2. Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
25.3. Возрастание и убывание функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
25.4. Максимум и минимум функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
25.6.Выпуклость графика функции. Точки перегиба ......... 207
25.7.Асимптоты графика функции...........................
209
25.8. Общая схема исследования функции
и построения графика...................................
211
§ 26. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
26.1.Формула Тейлора для многочлена......................
214
26.2. Формула Тейлора для произвольной функции . . . . . . . . . . 215
24.6.Дифференциалы высших порядков......................
Глава
§ 27.
VI.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Понятие и представления комплексных чисел...............
218
218
27.2.Геометрическое изображение комплексных чисел....... 218
27.3.Формы записи комплексных чисел......................
219
§ 28. Действия над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
28.1.Сложение комплексных чисел ........................... 221
28.2. Вычитание комплексных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
28.3. Умножение комплексных чисел......................... 222
28.4. Деление комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
28.5. Извлечение корней из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . 224
27.1.Основные понятия.......................................
Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 29.
Неопределенный интеграл..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
. . . . . . . . . . . 226
29.2.Свойства неопределенного интеграла.................... 227
29.3. Таблица основных неопределенных интегралов......... 230
§ 30. Основные методы интегрирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
30.1.Метод непосредственного интегрирования............... 232
30.2. Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной).................................... 234
30.3. Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
§ 31. Интегрирование рациональных функций..................... 237
31.1.Понятия о рациональных функциях ..................... 237
29.1. Понятие
неопределенного интеграла.........
7
31.2. Интегрирование
31.3. Интегрирование
простейших рациональных дробей.....
244
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
§ 32. Интегрирование тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . 248
32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка....... 248
32.2.Интегралы типа sinm х · cosn xdx...................... 249
32.3. Использование тригонометрических преобразований. . . . 250
§ 33. Интегрирование иррациональных функций.................. 251
33.1.Квадратичные иррациональности.......................
251
33.2. Дробно-линейная подстановка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
33.3. Тригонометрическая подстановка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
33.4.Интегралы типа R(x; Jax 2 + Ьх +с) dx ................ 255
33.5. Интегрирование дифференциального бинома . . . . . . . . . . . 255
§ 34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
рациональных дробей
J
J
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 35.
§ 36.
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
... .. .... . .. .... . .. ..... .. ... .. . . .... .. .... .. . ... ... .
.. " ...... " ..... "" ...... ". .
Основные свойства определенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . .
Вычисления определенного интеграла ........................
39.1. Формула Ньютона-Лейбница." ............. " .. "".. . .
интеграла
§ 37.
§ 38.
§ 39.
. . . 259
Геометрический и физический смысл определенного
261
263
265
269
269
подстановкой (заменой переменной)... 269
по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Формула Ньютона-Лейбница"
39.2.Интегрирование
39.3. Интегрирование
39.4. Интегрирование
четных и нечетных функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
в симметричных пределах
§ 40.
Несобственные интегралы
40.1. Интеграл с бесконечным
промежутком интегрирования
(несобственный интеграл
40.2. Интеграл
1 рода)........................
от разрывной функции
(несобственный интеграл П рода)
§ 41.
273
. . .... .. .. ... .. .. .... . .
276
Геометрические и физические приложения определенного
278
278
41.2. Вычисление площадей плоских фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой................ 283
41.4.Вычисление объема тела................................
287
41.5. Вычисление площади поверхности вращения............ 289
41.6. Механические приложения определенного интеграла... 291
§ 42. Приближенное вычисление определенного интеграла....... . 298
42.1. Формула прямоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
интеграла.....................................................
41.1.Схемы применения определенного интеграла...........
8
42.2. Формула
42.3. Формула
Глава
§ 43.
IX.
трапеций.......................................
парабол (Симпсона)
. .. ..... .. ..... .. .. .. . .....
299
300
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции двух переменных.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
304
43.2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
43.3. Непрерывность функции двух переменных........ . . . . . . 306
43.4. Свойства функций, непрерывных
в ограниченной замкнутой области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
43.1.Основные понятия.......................................
§ 44.
Производные и дифференциалы функции нескольких
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.1. Частные производные первого порядка
и их геометрический смысл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.2. Частные производные высших порядков................
44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.4. Применение полного дифференциала к приближенным
вычислениям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44.5.Дифференциалы высших порядков......................
44.6. Производная сложной функции. Полная производная..
44. 7. Инвариантность формы полного дифференциала. . . . . . .
44.8.Дифференцирование неявной функции ..................
§ 45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.. . . . . . . . . . .
§ 46. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46.1.Основные понятия.......................................
308
308
310
311
312
313
314
316
317
318
320
320
321
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума. . . . . . .
46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Глава Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 47.
Общие сведения о дифференциальных уравнениях..........
47.1.Основные понятия.......................................
47.2. Задачи,
приводящие к дифференциальным
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
. . . . . . . . . . . . 327
48.1.Основные понятия.......................................
327
48.2. Уравнения с разделяющимися переменными............ 330
48.3. Однородные дифференциальные уравнения. . . . . . . . . . . . . 332
48.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли.......... 334
48.5. Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
уравнениям
§ 48.
325
325
Дифференциальные уравнения первого порядка.
9
48.6. Уравнения
§ 49.
§ 50.
Лагранжа и Клеро."
...... """".""" ... 342
. . . . . . . . . . 344
49.1.Основные понятия" ... "." .... " .... " .. "" ....... ".. 344
49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.......... 346
49.3. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
49 .4. Линейные однородные ДУ второго порядка. . . . . . . . . . . . . 350
49.5. Линейные однородные ДУ п-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Дифференциальные уравнения высших порядков..
Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
50.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
50.2. Интегрирование ЛОДУ п-го порядка
с постоянными коэффициентами........................ 357
§ 51.
Линейные
неоднородные
дифференциальные
уравнения
(ЛНДУ)
....................................................... 358
51.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка . . . . 358
51.2. Метод вариации произвольных постоянных............. 360
51.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
(n > 2)
51.4.Интегрирование ЛНДУ п-го порядка
с постоянными коэффициентами и правой частью
.... .. .... .. .. .... .. ..... . ..... . . .. .. ..
. ... .. .. .... .. . ......
52.1.Основные понятия ............................ ".........
52.2. Интегрирование нормальных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52.3. Системы линейных ДУ с постоянными
коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
специального вида
§ 52.
Системы дифференциальных уравнений
365
367
367
369
372
Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 53.
Двойной интеграл ................
" ...................... "... 378
378
53.1.Основные понятия и определения.......................
53.2. Геометрический
и физический смысл двойного
интеграла................................................
53.3. Основные свойства двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.4. Вычисление двойного интеграла
в декартовых координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.5. Вычисление двойного интеграла
в полярных координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.6. Приложения двойного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 54. Тройной интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
379
381
382
386
388
391
54.1.Основные понятия.......................................
54.2. Вычисление
в декартовых координатах
54.3. Замена
391
тройного интеграла
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
переменных в тройном интеграле. Вычисление
тройного интеграла в цилиндрических и сферических
координатах.
54.4. Некоторые
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
. . . . . . . . . . . . 398
приложения тройного интеграла
Глава ХП. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 55.
Криволинейный интеграл
1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
402
402
интеграла 1 рода. . . . . . . . . . 404
55.1.Основные понятия.......................................
55.2. Вычисление криволинейного
55.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла
1 рода.................................................... 405
§ 56. Криволинейный интеграл П рода ............................. 407
56.1.Основные понятия....................................... 407
56.2. Вычисление криволинейного интеграла П рода . . . . . . . . . 410
56.3. Формула Остроградского-Грина............... . . . . . . . . . . 412
56.4. Условия независимости криволинейного интеграла
П рода от пути интегрирования.........................
414
56.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла
11 рода................................................... 418
§ 57. Поверхностный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
57.1.Основные понятия....................................... 420
57.2.Вычисление поверхностного интеграла 1 рода........... 422
57.3.Некоторые приложения поверхностного интеграла
§ 58.
1 рода.................................................... 425
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
58.1.Основные понятия....................................... 427
58.2. Вычисление поверхностного интеграла П рода. . . . . . . . . . 429
58.3. Формула Остроградского-Гаусса...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
58.4. Формула Стокса................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
58.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла
11 рода................................................... 437
Поверхностный интеграл П рода
Глава
§ 59.
XIII.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Числовые ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
438
геометрической прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
59.1.Основные понятия.......................................
59.2. Ряд
59.3. Необходимый
признак сходимости числового ряда.
Гармонический ряд
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
11
§ 60.
Достаточные признаки сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
444
60.2. Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
60.3. Радикальный признак Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
60.4. Интегральный признак Коши.
Обобщенный гармонический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
§ 61. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды............... 451
61.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.......... 451
знакопостоянных рядов
60.1.Признаки сравнения рядов..............................
61.2.Общий достаточный признак сходимости
знакопеременных рядов.
61.3. Абсолютная
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
и условная сходимости числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Глава
§ 62.
XIV.
Функциональные ряды
.. .. .... .. .. .. .. .
СТЕПЕННЬШ РЯДЫ
.. . .. .... . .. .... .. .... .. . .... .. .. .. .. ..
62.1.Основные понятия.......................................
Сходимость степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63.1. Теорема Н. Абеля.......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда . . . . . . . .
63.3. Свойства степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 64. Разложение функций в степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 63.
64.1.Ряды Тейлора и Маклорена.............................
64.2. Разложение
454
457
457
458
458
459
462
463
463
некоторых элементарных функций
в ряд Тейлора (Маклорена).............................
§ 65.
465
471
значений функции .......... 471
определенных интегралов . . 473
Некоторые приложения степенных рядов....................
65.1.Приближенное вычисление
65.2. Приближенное
65.3. Приближенное
вычисление
решение дифференциальных
уравнений................................................
Глава
§ 66.
XV.
475
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Ряды Фурье...................................................
478
478
Фурье.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
§ 67. Разложение в ряд Фурье 2?Т-периодических функций . . . . . . . . 483
67.1. Теорема Дирихле........................................ 483
67.2.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.. 486
66.1. Периодические функции.
66.2. Тригонометрический ряд
Периодические процессы.....
67.3.Разложение в ряд Фурье функций произвольного
периода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
487
67.4. Представление непериодической функции
рядом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
12
67.5.Комплексная форма ряда Фурье........................
§ 68.
Интеграл Фурье.
Глава
§ 69.
§ 70.
491
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
XVI.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Основные понятия теории поля ...............................
499
Скалярное поле.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
70.1. Поверхности и линии уровня............................ 501
70.2. Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
70.3. Градиент скалярного поля и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . 504
§ 71. Векторное поле............................................... 506
71.1. Векторные линии поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
71.2. Поток поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
71.3.Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса...
510
71.4. Циркуляция поля.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
71.5. Ротор поля. Формула Стокса............................ 515
§ 72. Оператор Гамильтона......................................... 518
72 .1. Векторные дифференциальные операции
первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
518
72.2. Векторные дифференциальные операции
второго порядка.........................................
519
§ 73. Некоторые свойства основных классов векторных полей . . . . 520
73.1.Соленоидальное поле.................................... 520
73.2. Потенциальное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
73.3. Гармоническое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
Глава
XVII.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 74.
Функции комплексного переменного..........................
74.1.Основные понятия.......................................
74.2. Предел
525
525
и непрерывность функции комплексного
переменного
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
74.3.Основные элементарные функции комплексного
переменного..............................................
74.4. Дифференцирование
527
функции комплексного
переменного. Условия Эйлера-Даламбера...............
74.5.Аналитическая функция. Дифференциал...............
532
535
74.6.Геометрический смысл модуля и аргумента
производной. Понятие о конформном отображении
§ 75.
Интегрирование функции комплексного переменного.
. . . . . 538
. . . . . . . 540
75.1.Определение, свойства и правила вычисления
интеграла
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
13
75.2. Теорема
Коши. Первообразная и неопределенный
. . . . . . . . . . . . . . . . 544
......... 547
§ 76. Ряды в комплексной плоскости ............................... 551
76.1. Числовые ряды.......................................... 551
76.2. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
76.3. Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
76.4. Нули аналитической функции.................. . . . . . . . . . 558
76.5. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
76.6. Классификация особых точек. Связь между нулем
и полюсом функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
§ 77. Вычет функции............................................... 567
77.1.Понятие вычета и основная теорема о вычетах.........
567
77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов
в вычислении интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
75.3.Интеграл Коши. Интегральная формула Коши
Глава
XVIII.
ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 78.
Преобразование Лапласа.....................................
78.1.Оригиналы и их изображения...........................
572
572
576
588
590
590
593
78.2. Свойства преобразования Лапласа...... . . . . . . . . . . . . . . . .
78.3. Таблица оригиналов и изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 79. Обратное преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79.1. Теоремы разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79.2. Формула Римана-Меллина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 80. Операционный метод решения линейных
дифференциальных уравнений и их систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
Приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студен­
тов инженерно-технических специальностей; может быть полезным для
всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую
математику. Оно представляет собой конспект лекций и адресовано, в
основном, студентам первого и второго курсов. Набор освещаемых во­
просов хорошо виден из оглавления.
Данный конспект содержит необходимый материал по всем раз­
делам курса высшей математики и дополнительным главам, необхо­
димым при изучении специальных курсов. Изложение теоретическо­
го материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого
количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности
строгом языке.
Пособие может быть использовано студентами также для самосто­
ятельного изучения соответствующего материала, является базой для
подготовки к семестровым зачетам и экзаменам по высшей математике.
Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда
он что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропу­
щены, в чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учеб­
никам, когда некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах
или много фактического материала, который следует изучить за огра­
ниченное количество недель, дней.
Автор надеется, что данный курс лекций будет полезен и препода­
вателям, а использование данного пособия будет способствовать более
глубокому изучению студентами курса высшей математики и смежных
дисциплин.
Список обозначений:
Q 8 -
начало и конец решения примера или задачи;
U
начало и конец доказательства;
~
8 -
- важные определения;
liJ -
«обратите особое внимание!»
В рамку заключены формулы, которые важно помнить.
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Лекции 1-3
§ 1.
1.1.
1
МАТРИЦЫ
Основные понятия
Матрицеi"i называется прямоугольная таблица чисел, содержащая
т строк одинаковой длины (или
столбцов одинаковой длины). Ма­
n
трица записывается в виде
А = ( ~~~ ~~~
ат1
~-~·:· )
ат2
amn
или, сокращенно, А=
строки,
j = 1, n
(т. е.
(aij), где i = 1,т
j = 1, 2, 3, ... , n) -
(т. е.
i = 1,2,3, ... ,m)-номер
номер столбца.
Матрицу А называют матрицей размера т х
сла
aij,
n
и пишут Amxn· Чи­
составляющие матрицу, называются ее элементами. Элемен­
ты, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют
главную диагональ.
~
Матрицы равны ме-;нс.ду coбofi., если равны все соответствующие
элементы этих матриц, т. е.
А= В,
если
где
aij = bij,
i = 1,т, j = 1,n.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется
квадратноfi.. Квадратную матрицу размера
n х n называют матрицей
п-го nорядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов
главной диагонали, равны нулю, называется дu.агональноfi..
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диаго­
нали равен единице, называется еди.нu.-чноfi.. Обозначается буквой Е.
Пример
-
1.1.
Еи= о
единичная матрица 3-го порядка.
Enxn=
-
с
!
единичная матрица п-го порядка.
16
о
1
о
~
Квадратная матрица называется mреуго.п:ьноu, если все элемен­
ты, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны
нулю.
~
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ну.аевоu.
Обозначается буквой О. Имеет вид
0=
(~ ~
....
о
...
о
~)·
о
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел О и
1
в арифметике.
~
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответствен­
но). Их вид:
А ~~
= (
В Ь1 Ь2 Ьп).
) ,
...
= (
ат
Матрица размера 1х1, состоящая из одного числа, отождествля­
ется с этим числом, т. е. (5)1х1 есть
~
5.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столб­
цом с тем же номером, называется матрицей mранспонирован­
коu к данной. Обозначается Ат.
Так, если А= С ~),то Ат=(~
Транспонированная
матрица
:) ,
если А=(~), то Ат =(1 О).
обладает
следующим
свойством:
(Ат)т =А.
1.2.
Действия над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинако­
вых размеров.
=
= (bij) наЗЫJ><!Р.ТСЯ
= 1, т, j = 1, п).
Су.м.моi1, авух .матри'Ц Amxn
(aij) и Bmxn
матрица Cmxn
(cij) такая, что Cij
aij
bij (i
=
=
+
Записывают С= А+ В.
Пример
1.2.
( 2 -3
4
5
3
3
-2 -5
-~) = ( ~
Аналогично определяется разность матриц.
17
о
о
-1)
10
.
Умножение на число
Произведением .матри'Ц'Ы Amxn
= (Ьij)
трица Bmxn
вают В=
такая, что Ьij
на -ч.исло
= (aij)
= k · aij
(i
k называется ма­
= 1, m, j = 1, n).
Записы­
k·A.
Пример
1.3.
А= ( ~ -~ ~
Матрица -А=
(-1)
) , k = 2,
А· k =
(
~ -~ ~).
·А называется nротивоnолож;ноi1 .матрице А.
Разность матриц А
-
В можно определить так: А
-
В
=
А
+ (- В).
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обла­
дают следующими своi1ствами:
1.
А+В=В+А;
5. 1 ·А=
2.
А+ (В +С) = (А+ В) +С;
6. о: · (А+ В) = о:А + о:В;
3.
А+О =А;
7. (а+ ,В) ·А= аА + ,ВА;
4.
А-А=О;
8. а· (,ВА)
где А, В, С
-
матрицы, а и
f3 -
А;
= (а.В) ·А,
числа.
Элементарные преобразования матриц
Элементарн'Ы.ми преобразованиями .матриц являются:
•
перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
•
умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от
нуля;
•
прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих
элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же чи­
сло.
~
Две матрицы А и В называются эпвива,11,енmними, если одна из
них получается из другой с помощью элементарных преобразова­
ний. Записывается А
,....,
В.
При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно
привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят под­
ряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую
матрицу называют канони-ч.ескоii, например
(~
о
~ ~1 ~)
о
о
о
о
о
18
о
Пример
1.4.
Привести к каноническому виду матрицу
А=(~4 ~ !15 1~).
о
Q
Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем
-----
-2
~ ~) (~ ~ ;
2 3
1
( о 2 -1
4
о
,....,
5
------
-(~
о
2
-6 -9
:2
:5
о
-15
~),...., (~ ~ ~
о
5
-15
Е о
:3
-3
(1
о
'-=.!L.t
Произведение матриц
liJ
о
;)
-6
,....,
-9
J)-
-3
о1 о1 о)
1 ,....,
о
t
-3
1
4
t
о
о1 оо о)
о
.
о
о
о
о
•
Операция умножения двух матриц вводится только для случая,
когда 'Число столбцов nepвoii. матрицы равно 'Числу строк вmopotJ.
матрицы.
=
Произведением матрицы Amxn
(aiJ) на матрицу Bnxp
(cik) такая, что
называется матрица Cmxp
Cik =ан . ьlk
=
+ ai2 • ~k + ... + ainЬnk,
где
i = 1, т, k =
= (Ь;k)
1,р,
т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен
сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответству­
ющие элементы k-го столбца матрицы В.
Получение элемента Cik схематично изображается так:
~~-=~=-~;
::
k
J
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения
АВ и БА всегда существуют. Легко показать, что А· Е
А
-
квадратная матрица, Е
Пример
1.5.
(а11
а21
а11Ь11 + а12Ь21 + а1зЬз1
= ( а21
Ь11 + а22Ь21 + а2зЬз1
-
=
Е ·А
=
А, где
единичная матрица того же размера.
а12
а1з
а22
а2з
) С"
2х3
х
Ь
21
Ьз1
~')
Ь22
Ьз2 3х2
а11Ь12 + а12Ь22 + а1зЬз2)
а21Ь12 + а22Ь22 + а2зЬз2 2 х 2 ·
19
=
Пример
А= С ~ ~),В= С
1.6.
;) .Тогда произведение
А· В не определено, так как число столбцов матрицы А
ет с числом строк матрицы В
(2).
(3)
не совпада­
При этом определено произведение
В х А, которое считают следующим образом:
·
В ·А= с ~) (~
1
1) = (1+9 2+3 +о) =
о
1+6 2+2 1+0
2
1
(lo7
~).
5
4
Матрицы А и В называются перестаново·ч:н:ыми, если АВ
ВА.
=
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1.
А· (В· С) = (А· В) ·С;
3.
2.
А
4. а(АВ)
если,
· (В
+С)
конечно,
=
АВ +АС;
написанные
суммы
и
(А+ В) ·С = АС+ ВС;
= (аА)В,
произведения
матриц
имеют
смысл.
Для операции транспонирования верны свойства:
§ 2.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2.1.
Основные понятия
Квадратной матрице А порядка п можно сопоставить число
(или
IAI, или д),
1. п
det А
называемое ее оnреiJелителем, следующим образом:
= 1. А= (а 1 ); detA = ai.
а11
а12
а21
а22
) ; det А
2.
п
= 2. А=
(
3.
п
= 3, А =
("" "")
= 1 ан
а21
а12
а21
а22
а2з
аз1
аз2
а33
detA
;
=
а12
а22
/ = ан · а22 - а12 · а21 ·
ан
а12
а21
а22
а2з
аз~
аз2
азз
а1з
Определитель матрицы А также называют ее детерминантом.
Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка
N
являет­
ся довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны
методы, позволяющие реализовать вычисление определителей высоких
порядков на основе определителей низших порядков. Один из методов
20
основан на свойстве разложения определителя по элементам некото­
рого ряда (с.
23,
свойство
невысоких порядков
7). При этом заметим, что определители
(1, 2, 3) желательно уметь вычислять согласно
определению.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
Пример
2.1.
Найти определители матриц
(;
Q
-~)
cosa
-sina
(
и
sina).
cosa
Решение:
~3 1 = 2. 6 -
1;
1
cosa sinal
-sina cosa
5. (-3)
= 12 -
(-15)
= 27;
.z а = 1.
= cos2 а+ sш
•
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться
правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно
записать так:
1: : :1~
1~1
1~1
(основания
(основания
равнобедренных
треугольников
треугольников
параллельны
параллельны
побочной
главной
диагонали)
диагонали)
Пример
2.2.
Вычислить определитель матрицы
А=
Q
5
3
-2
1
6
о
1
-4
-3
Решение:
detA =
= 5· 1 · (-3) + (-2). (-4) ·6+3·0· 1-6· 1·1-3· (-2). (-3)-0· (-4) ·5 =
= -15 + 48 - 6 - 18 = 48 - 39 = 9.
•
21
2.2. Свойства определителей
Сформулируем основные свойства определителей, присущие опре­
делителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на опре­
делителях 3-го порядка.
Своiiство
(«Равноправность строк и столбцов»). Определитель
1
не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
Иными словами,
аз1
аз2
азз
а1з
а2з
азз
В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами опре­
делителя.
Своiiство
При перестановке двух параллельных рядов опреде­
2.
литель меняет знак.
Своiiство
3.
Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен
4.
Общий множитель элементов какого-либо ряда опре-
нулю.
Своiiство
делителя можно вынести за знак определителя.
Из свойств
3
и
4
следует, что если все элементы некоторого ряда
пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда,
то такоii определитель равен нулю.
Q
Действительно,
ан
а~з
k·ан
k · а1з
аз1
аз2
Своiiство
5.
=k ·
азз
ан
а12
а11
а12
а~з
а1з
аз1
аз2
азз
= k ·О =
О.
•
Если элементы какого-либо ряда определителя пред­
ставляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть
разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Например,
ан
ai2
а21
а22
аз1
аз2
Своiiство
+Ь
+с
азз + d
а1з
ан
а12
а~з
а23
а21
а22
а2з
аз~
аз2
азз
(«Элементарные
6
+
ан
а12
а21
а22
с
аз1
аз2
d
преобразования
Ь
определителя»).
Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить
соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на лю­
бое число.
Прuмер
2.3.
д=
Доказать, что
а11
а12
а1э
а21
а22
а2з
аз1
аз2
азз
=
ан
ai2
а21
а22
аз1
аз2
22
а13
а2з
азз
+ k · а12
+ k · а22
+ k · аз2
Q
Решение: Действительно, используя свойства
ан
а12
а21
а22
аз1
аз2
а13
а2з
азз
=
+ k · ai2
+ k · а22
+ k · аз2
5, 4 и 3, получим
=
ан
а12
а1з
а21
а22
а2з
аз1
аз2
азз
+k·
ан
а12
а12
а21
а22
а22
аз1
аз2
аз2
=
д+k·О
д.
=
•
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора
и алгебраического дополнения.
~
Минором некоторого элемента aij определителя п-го порядка на­
зывается определитель п
-
1-го порядка, полученный из исходного
путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых нахо­
дится выбранный элемент. Обозначается
mij.
Так, если
~
а12
а1з
а22
а2з
аз2
азз
то
,
m11
= 1 а22 а2з
аз2
азз
1•
Адгебраическим доnоднением элемента aij определителя на­
зывается его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма
i
+j
-
четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозна­
чается Aij: Aij =
(-l)i+j · mij·
Так, Ан= +mн, Аз2
Свойство
7
= -mз2·
(«Разложение определителя по элементам некоторого
ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого
ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство
определителя 3-его порядка. В этом случае свойство
д
7 на примере
7 означает, что
1
:-aii- -ёii2- -iiiЗ
= ·а.;1--а22___а2_з_ =ан· Ан+ а12 · Ai2 + а1з · А1з·
аз1
аз2
азз
В самом деле, имеем
Q
=
а11
· 1 :::
= а11(а22азз =
ан а22азз
-
а12 · ( -1 ::~
::: 1 +
::: \) + а1з · ::~
1
::: 1 =
а2заз2) - а12(а21азз - а2заз1) + а1з(а21аз2 - а22аз1)
ан а2заз2
-
а12а21 азз
+
+ а1за21аз2 - а1за22аз1 = д.
23
=
а12а2заз1 +
•
Свойство
7 содержит
в себе способ вычисления определителей вы­
соких порядков.
2.4.
Пример
Вычислите определитель матрицы
( -~
о
1
Q
~ ~ ~)
5 3 2 .
-1
7 4
Решение: Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд,
где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в раз­
ложении будут равны нулю .
.:---.
3:
:-1:
: о:
1
1
5
7
о
7 8
1
5
3
2
~-~J -1 7 4
7 01
=3· 5 3 2 +1·
-1 7 4
= 3. (7. 3. 4 + (-1).
5 78
5 78
578
5 3 2 +О· 7 О 1 -1· 7 О 1
-1 7 4
-1 7 4
5 3 2
о. 2 + 5. 7. 1 - (-1). 3. 1 - 7. 7. 2 - 5. о. 4)+
+ (5. 3. 4 + (-1). 7. 2 + 5. 7. 8 - (-1). 3. 8 - 5. 7. 4 - 5. 7. 2)- (5. о. 2 + 7. 1 . 5 + 7. 3. 8 - 5. о. 8 - 3. 1. 5 - 7. 7. 2) = 122.
•
Своi1ство
8.
Сумма произведений: элементов какого-либо ряда оп­
ределителя на алгебраические дополнения соответствующих элемен­
тов параллельного ряда равна нулю.
Так, например, а11А21
§ 3.
+ ai2A22 + а~зА23
=О.
НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ
3.1. Основные понятия
Пусть А
-
квадратная матрица п-го порядка
А= ( ~~~
а11
ап1
~
Квадратная матрица А называется невира.нсденноii, если опре­
делитель д
= det А
не равен нулю: д
= det А =1
случае (д =О) матрица А называется выра.нсденноii.
24
О. В противном
~
Матрицей, союзноii к матрице А, называется матрица
( А11
А21
А1п
А2п
Ап1)
А* = ~-1~ А22
где
~~~
,
Апп
алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы А
Aij -
(оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента
определителя).
~
-
Матрица л 1 называется oбpamнoii матрице А, если выполняется
условие
где Е
-
А·А- 1 =А- 1 ·А=Е,
(3.1)
единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Ма­
трица л- 1 имеет те же размеры, что и матрица А.
3.2.
Обратная матрица
Теорема
3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
О Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть
А= (:~~ :~~
аз1
причем
det А :j:.
О.
аз2
Составим союзную матрицу
А* = (~~~
А1з
т. е.
А· А*
Здесь мы использовали свойства
= det А· Е.
7и8
25
определителей (см. п.
(3.2)
2.2).
Аналогично убеждаемся, что
А*
Равенства
(3.2)
и
·А
= det А · Е.
(3.3)
перепишем в виде
(3.3)
А*
А·--=Е
detA
и
А*
--·А=Е.
detA
Сравнивая полученные результаты с определением
А -1
А*
1
= detA'
л-1 = detA.
т. е.
(3.1),
получаем
(Ан А21 Аз1)
АА112з А22 Аз2
А2з
Азз
•
.
Отметим своitства обратной матрицы:
1. det(A- 1 ) =
2.
(А. в)- 1
3.
(А-1 )т
de~ А;
= в- 1 . л- 1 ;
= (Ат)-1.
Пример 3.1. Найти А-1, если А= (-~ ~).
О Решение:
2)
1)
Находим det А: detA =1-~ ~ 1=2 + 3 =5 i= О.
Находим А*: Ан
поэтому А*= с -~).
З) Находим л- 1 : л- 1
=1,
А21
= g( 1l
=-3,
Пример
3.2.
-:)
=-(-1)
=
1, А22
=2,
-32) = (_5511 - -5~2) .
Проверка:
А л-' = ( ~l ~) · (;
А12
= и::
-::;)
= (~
~) = Е
8
Определить, при каких значениях А существует ма­
трица, обратная данной:
26
О Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем
определитель матрицы А:
дА=
1 -2 2
3 О
2 1 1
Л
=3 -
О+ 2Л
О+ 2Л
- 12 -
= 4Л -
9.
Если 4Л-9 =/;О, т. е. Л =/;~'то дА =/;О, т. е. матрица А невырожденная,
имеет обратную.
8
Пример З.З. Показать, что матрица А является обратной для В,
11)
если
2 3 '
3 6
О Решение: Найдем произведение матриц А и В:
Аналогично В
·А =
Е. Следовательно, матрица А является обратной
для В.
3.3.
8
Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу А размера т х п.
•-aii ___ ai'2:
~.~3·1·
1
1
а22 •
'а21
А=
~--------·
am1
Выделим в ней
k
а13
a1n)
a2n
а23
~·3·2· .. ~.3~ ... "·.·... ~.3~.
..
am2
строк и
k
am3
·.·
столбцов
(k
.
amn
~
min(m;n)).
Из элемен­
тов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим
определитель k-го порядка. Все такие определители называются ми­
норами эmofi. мampuц'!ll. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го
порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить С~ ·С~ штук,
где С~= k!(nn~ k)! - число сочетаний из п элементов по k.)
27
~
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от
нуля, называется рангом матрицы. Обозначается
r, r(A)
или
rangA.
Очевидно, что О ~
r
~
rnin(m; n),
где
min(m; n) -
меньшее из чисел
тип.
~
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется
базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Пример
3.4.
Найти ранг матрицы:
А=
Q
2
(3
о
О
4
6
1
о
-3
Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го
порядка, отличный от нуля ~ -~ = -15
1
1
Базисный минор стоит на пересечении
2
и
=f.
О. Значит,
строки с
3
1
и
3
Отметим своii.ства ранга матрицъt:
1.
2.
r(A)
=
2.
столбцами .
•
При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не
изменится.
3.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях
матрицы (см. с.
18).
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диа­
гонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.
Пример
3.5.
Найти ранг матрицы
А=(~ ~ ~1 о'
используя результаты примера
Q
1.4.
Решение: В примере 1.4 показано, что
то есть
А-(~ ~ ~ ю'
А~(~ ~ ~ ~).
Таким образом, ранг матрицы А равен
28
r(A)
= 2.
•
§ 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1. Основные понятия
Системоii линеiiных алгебраи'Ческих уравнениii, содержащей т
уравнений и п неизвестных, называется система вида
+ ai2X2 + · · · + ainXn = Ь1,
анх1
{
~~~~~-~- ~~~~-2. ~::: -~-~~~~~- ~ -?-'· ..
ат1Х1
где числа
числа Ьi
~
aij, i = 1, m, j
-
+ ат2Х2 + · · · + amnXn
- Ьт,
= 1, п называются коэффициента.ми системы,
свободны.ми 'Членами. Подлежат нахождению числа
Xn.
Такую систему удобно записывать в компактной маmри-ч,н,01'1.
форме
IA·X=B.I
Здесь А- матрица коэффициентов системы, называемая основноii
мampиv,eii:
А=
х --(x~:n~)
-
вектор-столбец из неизвестных х j,
В= (!)-вектор-столбец и' свободных членов Ь,.
Произведение матриц А· Х определено, так как в матрице А столб­
цов столько же, сколько строк в матрице Х (п штук).
Расширенноii матрицей системы называется матрица А системы,
дополненная столбцом свободных членов
г
А= ~~~
am1
...
ain
a2n
ь,)
Ь2
am2 ...
amn
Ьт
ai2 ...
а22
Решением системы называется п значений неизвестных Х1
... , Xn=cn,
=
с1 , Х2
=
С2,
при подстановке которых все уравнения системы обраща­
ются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в
29
виде матрицы-столбца
C=(i)
~
Система уравнений называется совмесmноii, если она имеет хотя
бы одно решение, и несовмесmноiJ, если она не имеет ни одного
решения.
Совместная система называется определенноii, если она имеет
единственное решение, и неопределенно11, если она имеет более одного
решения. В последнем случае каждое ее решение называется часmн'ЬIМ
решением системы. Совокупность всех частных решений называется
общим решением.
Решить систему
-
это значит выяснить, совместна она или не­
совместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если
они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы
эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением
другой, и наоборот.
liJ
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементар­
ных преобразованиях системы при условии, что преобразования
выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений называется однороihю11, если все сво­
бодные члены равны нулю:
~ -~1-~~~-~ -~'
{ ~~1-~~ -~-~~~~~-~-:::
+
+ · ·· +
ат1Х1
ат2Х2
amnXn
••
=О.
Однородная система всегда совместна, так как х 1
=
х2
= ··· =
Xn
=
О
является решением системы. Это решение называется нулевым или
тривиальн-ым.
4.2.
Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли
Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п не­
известными
+ а12Х2 + · · · + a1nXn = Ь1,
а21Х1 + а22Х2 + · · · + a2nXn = ~'
....................................
ат1Х1 + ат2Х2 + · · · + amnXn = bm.
а11х1
{
30
Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает
теорема Кронекера-Каnелли.
Теорема
4.1.
Система Линейных алгебраических уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен
рангу основной матрицы.
Примем ее без доказательства.
Правила практического разыскания всех решений совместной си­
стемы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.
Теорема
4.2.
Если ранг совместной системы равен числу неизвест­
ных, то система имеет единственное решение.
Теорема
4.3.
Если ранг совместной системы меньше числа неизвест­
ных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Правило решения произвольной системы
линейных уравнений
1.
т(А)
-::/-
Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если
т(А), то система несовместна.
2. Если т(А) = т(А) = т, система совместна. Найти какой-либо ба­
зисный минор порядка т (напоминание: минор, порядок которого опре­
деляет ранг матрицы, называется базисным). Взять т уравнений, из
коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные урав­
нения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в ба­
зисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные
п
-
т неизвестных называют свободны.ми и переносят в правые части
уравнений.
3.
Найти выражения главных неизвестных через свободные. Полу­
чено общее решение системы.
4.
Придавая свободным неизвестным произвольные значения, по­
лучим соответствующие значения главных неизвестных. Таким обра­
зом можно найти частные решения исходной системы уравнений.
При.мер
4.1.
Исследовать на совместность систему
{
х + у= 1,
Зх +Зу=
31
-2.
Q
Решение:
А= с ~),
-_
(1 1
А - 3 3
Таким образом, r(A)
Пример
4.2.
# r(A),
+ Х4 = 1 { Х3
Х3 - Х4 = -1 -
следовательно, система несовместна.
Х1 - 2Х2
Х1 -
+ Х3 + Х4
2Х2 + Х3 Х4
2х2 + хз + Зх4
= 1,
= -1,
= 3.
= r(A) = 2. Берем два первых уравнения:
Х1 + 2х2,
Х1
д1
+ 2х2.
-1
-
1-
Х1 + 2Х2
-1-х 1 +2х2
1-1 Следовательно, хз
например, х1
Х2
=
= -х1
О, х2
=
+ 2х2,
Х4
= 1-
Х1
Х1
+ 2х21+ 2х2 -
_2
.
общее решение. Положив,
О, получаем одно из частных решений: х1
= 0, Х3 = 0, Х4 = 1.
4.3.
8
Решить систему
х1 -
Решение: r(A)
= 1,
r(A) = 2
{
Q
r(A)
=
О,
8
Решение невырожденных линейных систем.
Формулы Крамера
Пусть дана система
n
линейных уравнений с
а11х1
+ ai2X2 + · · · + ainXn
an1X1
+ an2X2 + ... + annXn
n
неизвестными
{ ~~ ~~ .+_ ~::~~ + ••• ~ -~~~~~-~ ~:
или в матричной форме А
·Х =
= Ь1,
-
Ьn
В.
Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель
этой матрицы
д=
32
называется определителем систем'Ы. Если определитель системы от­
личен от нуля, то система называется невъ~рожден:ноii.
Найдем решение данной системы уравнений в случае д
"1 О.
Умножив обе части уравнения А· Х = В слева на матрицу л- 1 ,
получим л- 1 ·А· Х = л- 1 ·В. Поскольку л- 1 ·А= Е и Е · Х = Х, то
(4.1)
Отыскание решения системы по формуле
(4.1)
называют матри"t­
нъtм способом решения системы.
Матричное равенство
(4.1)
запишем в виде
то есть
Отсюда следует, что
А11Ь1
+ А21Ь2 + ... + Ап1Ьп
х _ A1vb1
+ А2пЬ2 + · · · + АппЬп
х 1 -
п-
Но А11 Ь1
д
д
+ А21 Ь2 + · · · + Ап1 Ьп
д1=
'
есть разложение определителя
Ь1
а12
а1п
Ь2
а22
а2п
Ьп
ап2
апп
по элементам первого столбца. Определитель д 1 получается из опре­
делителя д путем замены первого столбца коэффициентов столбцом
из свободных членов.
и так,
Х1
=~
д.
Аналогично: х2 = ~, где д 2 получен из д путем замены второго
столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; х 3 - ~, ...
-~
Д ·
··· ,Хп -
33
~
Формулы
1
Х;
=
дi
i =
°Д'
1,п
(4.2)
1
называются формулами Крамера.
Итак, невырожденная система п линейных уравнений с п неиз­
вестными имеет единственное решение, которое может быть найдено
матричным способом
Пример
Q
4.3.
(4.1) либо по формулам Крамера (4.2).
Решить систему
Х2 = 0,
{ 2Х1
х1+Зх2=7.
-
~ 1=14.
3 =7~0,
1 -11
Решение: Л= 2
1
•
Значит, х1=+=1, х2 = 174 =2.
4.4.
Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов реше­
ний линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоя­
щий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений
ai1x1
{
+ а12Х2 + · · · + ainXn = Ь1,
~'-~~ .+.~~~: +::: ~ ~-~~~.: ~:
(4.3)
ат1Х1 +ат2Х2+ · · · +amnXn- Ьт·
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пер­
вом этапе (прямой ход) система приводится к ступен:чатому (в част­
ности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
{
а11Х1
+ ai2X2 + · · · + alkxk + · · · + ainXn = Ь1,
а22Х2 + · · · + a2kXk + · · · + a2nXn = Ь2,
...............................
akkXk
где k ::::; п, а;; ~ О, i =
1,k.
+ · · · + aknXn = bk,
Коэффициенты aii называются главными
элементами системы.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определе­
ние неизвестных из этой ступенчатой системы.
34
Опишем метод Гаусса подробнее.
ПрямоiJ, ход.
Будем считать, что элемент а 11
-:f:
О (если а 11
=
О, то первым в
системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х 1 отличен
от нуля).
Преобразуем систему
(4.3),
исключив неизвестное х 1 во всех урав­
нениях, кроме первого (используя элементарные преобразования си­
стемы). Для этого умножим обе части первого уравнения на _Qll и
ан
сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе
части первого уравнения на - Oill.. и сложим с третьим уравнением си­
а11
стемы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
Здесь а~~), Ь~ 1 ) (i,j = 2, m) - новые значения коэффициентов и правых
частей, которые получаются после первого шага.
Аналогичным образом, считая главным элементом а~~) -:f: О, ис­
ключим неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и
второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.
Если в процессе приведения системы
(4.3)
к ступенчатому виду по­
явятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида О= О, их отбрасывают.
Если же появится уравнение вида О
= Ьi, а Ьi
"#
О, то это свидетель­
ствует о несовместности системы.
Второй этап
( обратныil,
ход) заключается в решении ступенча­
той системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет
бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой си­
Xk через остальные неизвестные
(xk+1, ... , Xn)· Затем подставляем значение Xk в предпоследнее урав­
нение системы и выражаем Xk-l через (xk+l • ... , Xn); затем находим
Xk-2, ... ,х1. Придавая свободным неизвестным (xk+i, ... ,xn) произ­
стемы выражаем первое неизвестное
вольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
За.ме-ч.ани.я:
ной, т. е.
k =
1.
Если ступенчатая система оказывается треуголь­
п, то исходная система имеет единственное решение. Из
последнего уравнения находим
Xn,
из предпоследнего уравнения
Xn-l,
далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные
(Xn-2, ... ,х1).
2.
На практике удобнее работать не с системой
(4.3),
а с расши­
ренной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над
35
ее строками. Удобно, чтобы коэффициент а 11 был равен
1
(уравнения
переставить местами, либо разделить обе части уравнения на а 11 =/:Пример
4.4.
Решить систему методом Гаусса:
{
2х1 -
х2
+ Зхз
Х1 -
х2
-
3х1
2х2
-
7х1 - 5х2
Q
1).
5х4 = 1,
-
= 2,
5хз
2хз
5х4
-
9хз
10х4
= 3,
= 8.
Решение: В результате элементарных преобразований над расши­
ренной матрицей системы
(! =~ ;~ ~: ~) (~ =~ -;5 ~5 ~)
"' (~ у :~ ;~ !3) (~ ~ ~: ~5 !з)
7
-5
-9
3
8
-10
3
7
-2
-5
-2
-9
-5
-10
3
8
,.....
1
о
2
-3
-6
-10
26
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
исходная система свелась к ступенчатой:
{ х1 -
х2 х2
5хз
+ 13хз -
Поэтому общее решение системы: х2
Если положить, например, х 3
решений этой системы Х1
Пример
4.5.
=
5х4
= 2,
= -3.
5х4 -13хз
= О, х 4 = О,
-3;
х1
=
5х4 -8хз
-1.
то найдем одно из частных
= -1, Х2 = -3, Хз =О, Х4 =О.
8
Решить систему методом Гаусса:
+ Х2 + Хз = 3,
{ 2х1 + Зх2 + 2хз = 7,
3х1 + х2 + хз = 5,
Х1
5х1
Q
-
Х2
-
Х3
= 3.
Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками
расширенной матрицы системы:
(Н Н) (~
5 -1 -1 3
о
1 1
1 о
31 )
-2 -2 -4
-6 -6 -12
36
(~1Н) (~U:).
0112
0000
Полученная матрица соответствует системе
{
х1 +х2 +хз = 3,
Х2
Хз
= 1,
= 1.
Осуществляя обратный ход, находим хз
= 1,
х2
= 1,
х1
•
= 1.
Системы линейных однородных уравнений
4.5.
Пусть дана система линейных однородных уравнений
а11х1 + а12Х2 + · · · + ainXn =О,
{ ~~1.~~ .~. ~~~~~. ~.::: ~ .~~~~~. ~ .~'
am1X1 +am2X2 +
· · · +amnXn =О.
Очевидно, что однородная система всегда совместна (r( А) = r(A)),
= Xn =О.
она имеет 'Нулевое (тривиалъное) решение х1 = Х2 = · · ·
При каких условиях однородная система имеет и ненулевые реше­
ния?
Теорема
4.4.
Для того, чтобы система однородных уравнений имела
ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг
ной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е.
r <
r
ее основ­
п.
О Необходимость.
Так ка;к ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевид­
но,
r ~ п. Пусть r = п. Тогда один из миноров размера п х п отличен
от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет
единственное решение: Xi
Л·
=Д
=
О, дi
=
О, д
=1 О. Значит, других, кро-
ме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение,
то
r < п.
Достаточность.
Пусть
r<
п. Тогда однородная система, будучи совместной, явля­
ется неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество реше­
ний, т. е. имеет и ненулевые решения.
•
Пусть дана однородная система п линейных уравнений с п неизвестными
{
~.'.·~~ ~ -~'.'.~: _+ ·•·•·• ~ ~~~-~~-~о:
ап1Х1
+
ап2Х2
+ ···+
37
аппХn - О.
Теорема
4.5.
Для того, чтобы однородная система п линейных урав­
нений с п неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и до­
статочно, чтобы ее определитель д был равен нулю, т. е. д
=
О.
О Если система имеет ненулевые решения, то д =О. Ибо при д =/:-О
система имеет только единственное, нулевое решение. Если же д =О,
то ранг
r <
r
основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.
п. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых)
решений.
•
Пример
Решить систему
4.6.
{
Q
Х1 - 2х2 + 4хз = О,
2х1
+ 5хз
=
О.
Решение:
- (1 -2
А- 2 -3
Так как
r <
r(A) = 2
{
=
1
n=3.
п, то система имеет бесчисленное множество решений.
Найдем их
Л1
3х2
-
=:~: =~
д
1
=
х1 - 2х2 = -4хз,
2х1
2хз, Л2
д
= Х = 2хз, х2 = ~ = 3хз -
-
Зх2
=
1
=
-5хз.
~ =:~:
1
=
3хз. Стало быть, х 1
общее решение.
Положив х 3 =О, получаем одно частное решение: х 1 =О, х 2 =О,
х3
=
Х2 =
О. Положив х 3
3,
Х3 =
1И
Т. Д.
= 1,
получаем второе частное решение: х 1
= 2,
8
Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ
АЛГЕБРЫ
Лекции 4-б 1
§5.
ВЕКТОРЫ
5.1.
Основные понятия
Величины, которые полностью определяются своим численным
значением, называются скал.ярными. Примерами скалярных величин
являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определя­
ются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие
величины называют векторными. Векторная величина геометрически
изображается с помощью вектора.
§
Вектор -
это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отре-
зок, имеющий определенную длину и определенное направление.
Если А
-
начало вектора, а В
-
его конец, то вектор обозначается
символом АВ или а. Вектор В А (у него начало в точке В, а конец в
точке А) называется nроmивоnо.1иr.нсн'ЬtМ вектору АВ. Вектор, про­
тивоположный вектору а, обозначается -а.
Длино11 или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обо­
IABI.
значается
Вектор, длина которого равна нулю, называется нуле­
вым вектором и обозначается О. Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице, называется едини"tным век­
тором и обозначается через ё. Единичный вектор, направление которо­
го совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а
и обозначается ifJ.
Векторы а и Ь называются ко.11..11.инеарни.м.и, если они лежа: на
одной прямой или на параллельных прямых; записывают а 11 Ь.
§
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или
противоположно.
Нулевой: вектор считается коллинеарным любому вектору.
§
Два вектора а и Ь называются равними (а= Ь), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов следует,
что вектор
можно переносить параллельно
самому себе, а начало вектора помещать в лю­
бую точку О пространства.
На рисунке 1 векторы образуют прямо­
угольник. Справедливо равенство Ь d, но а ::/=
f:. ё. Векторы ii и ё - противоположные, а = -ё.
=
39
d
Рис.
1
Равные векторы называют также свободными.
~
Три вектора в пространстве называются комn.1tанарнъ~ми, если
они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли­
неарны, то такие векторы компланарны.
5.2. Линейные операции над векторами
liJ
Под линейными операциями над векторами понимают операции
сложения и
вычитания векторов,
а также умножение вектора на
число.
Пусть а и Б
-
два произвольных вектора. Возьмем произволь­
ную точку О и построим вектор О А
= а. От точки А отложим вектор
АВ = Б. Вектор О В, соединяющий начало первого вектора с концом
второго, называется суммоi1 векторов а и Б: ОВ =а+ Б (см. рис. 2).
/~~
О
Рис.
а+Ь
В
2
Это правило сложения векторов называют правилом треугол:ьника.
Сумму двух векторов можно построить также по правu.лу паралле­
лограмма (см. рис.
3).
у~
о
,,
,
,,
,,
Рис.3
На рисунке 4 показано сложение трех векторов а, Б и ё.
Б
·~
о
Рис.
40
4
Под разностъю векторов а и Б понимается вектор ё = а - Б такой,
что Б + ё =а (см. рис. 5).
Б
о
Рис.
~
ь
5
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и
Б, одна направленная диагональ является суммой векторов а и Б, а
другая
-
разностью (см. рис.
6).
Б
Рис.
6
-
Можно вычитать векторы по правилу: а
Б =а+ (-Ь), т. е. вычи­
тание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противопо­
ложным вектору Б.
~
Произведением вектора а на скал.яр
(-ч.исJtо) ,\ называется
· lal, коллинеарен
вектор,\· а (или а· Л), который имеет длину IЛI
вектору а, имеет направление вектора а, если
направление, если ,\
< О.
,\
> О и противоположное
Например, если дан вектор _lЖ_, то векторы
За и -2а будут иметь вид
За
и
-2а
Из определения произведения вектора на число следуют свойства
этого произведения:
1) если Б = ,\ · а, то Б 11 а. Наоборот, если Б 11 а, (а -:/- О), то при
некотором ,\ верно равенство Б = Ла;
2) всегда а
lal · cfJ, т. е. каждый вектор равен произведению его
=
модуля на орт.
Линейные операции над векторами обладают следующими свой­
ствами:
4. (Л1 + Л2). а= Л1. а+ Л2.
5. л · (а+ Б) = л · а+ л · Б.
1. а + Б = Б + а,
2. (а+ Б) + ё = а+ (Б + ё),
3. Л1 . (Л2 . а) = Л1 . Л2 . а,
а,
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных
операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: ела-
41
гаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за
скобки как скалярные, так и векторные общие множители.
5.3.
Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве задана ось
Пpoeкv,ueiJ, то'ЧКU М на ось
l
l,
т. е. направленная прямая.
называется основание М1 перпенди­
куляра ММ 1 , опущенного из точки на ось.
Точка М1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей
через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).
111
Рис.
7
Рис.
8
Если точка М лежит на оси 'l, то проекция точки М на ось совпа­
дает с М.
Пусть АВ
- произвольный вектор (АВ ::/:О). Обозначим через А 1
l соответственно начала А и конца В вектора АВ
и В 1 проекции на ось
и рассмотрим вектор А1В1.
Пpoeкv,ueiJ, вектора АВ на ось l называется положительное число
IA1B1I, если вектор А 1 В1 и ось l одинаково направлены и отрицатель­
ное число -IA 1B 11, если вектор А 1 В 1 и ось l противоположно направле­
ны (см. рис. 8). Если точки А 1 и В 1 совпадают (А 1 В 1 =О), то проекция
вектора АВ равна О.
Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: пр 1 АВ. Если
АВ = О или АВ ..l l, то пр 1 АВ = О.
Угол r..p между вектором а и осью l (или угол между двумя векто­
рами) изображен на рисунке 9. Очевидно, О~ r..p ~ 7r.
~
·dj1
1
1
а
<р
,
1
1
1
Рис.
42
9
Рассмотрим некоторые основные своi1ства npoeкv,ui1.
Своi1ство
1. Проекция вектора ii на ось l равна произведению мо­
ii на косинус угла ер между вектором и осью, т. е. пр 1 ii =
дуля вектора
= liil . cos ер.
О Если ер = (ii, l) < ~' то пр 1 ii =
= +lii1I = liil. cosep.
Если ер
>
~ (ер ~ 1Г), то пр 1 ii =
= -lii1I = -liil · соs(7Г (см. рис. 10).
1.р)
= liil · cosep
.
l
Если 1..р= ~' то пр 1 ii=O=lal costp.
•
Следствие
Рис.
10
5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицатель­
на), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю,
если этот угол
Следствие
-
прямой.
5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны
между собой.
Своi1ство
2.
Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту
же ось равна сумме их проекций на эту ось.
О Пусть, например, d = ii+b+c. Имеем пр1 d = +ld1I = +lii1l+lb1l-lc1I,
т. е. ПP1(ii + Б +с) = ПР1 ii + ПР1 Б + ПР1 с (см. рис. 11).
•
Своftство
3.
При умножении вектора
ii на
число>. его проекция на
ось также умножается на это число, т. е.
ПР1 (,\
· ii) = ,\ · ПР1 ii.
О При>.> О имеем пр 1 (Л·ii) = IЛiil · cosep =
(свойство 1)
= ,\ · liil · COS ер = ,\ ·ПР~ ii.
При>.< О: пр 1 (>. · ii) = IЛiil · соs(7Г - ер) =
= ->. · liil. (- cosep) = ,\. ii. cosep = ,\. ПР1 ii.
Свойство справедливо, очевидно, и при
=0.
а1
1
1
1
1
•
-
• Ь1
----+--------
1 ... - - .... •
>. =
•
Рис.
11
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к со­
ответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
43
Разложение вектора по ортам координатных осеи.
5.4.
Модуль вектора. Направляющие косинусы
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат
Oxyz.
Выделим на координатных осях Ох, Оу и
торы (орты), обозначаемые
Oz
i, J, k соответственно (см.
единичные век­
рис. 12).
z
Мз
у
х
Рис.
12
Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его на­
чало с началом координат: а= ОМ.
Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через
конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоско­
стям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответ­
ственно через М1 , М2 и М3 • Получим прямоугольный: параллелепи­
пед, одной из диагоналей: которого является вектор
0Nf. Тогда прх а=
IOM2I, прz а= IOMзl· По определению суммы не­
скольких векторов находим а = ОМ 1 + M 1 N + N М.
А так как M1N = ОЛf2, NM = ОМз, то
=
IOM1I, пpyii
=
а= ОМ1
+ ОМ2 + ОМз.
(5.1)
Но
ОМ1
= IOM1I · z,
ОМ2
= IOM2I · J,
ОМз
= IOMзl · k.
Обозначим проекции вектора а= ОМ на оси Ох, Оу и
но через ах, ау и az, т. е. jOM1I =ах,
равенств (5.1) и (5.2) получаем
J
IOM2I
Oz
соответствен­
=ау, jOMзl =
а = ах · z+ ау ·] + az · k. j
(5.2)
az. Тогда из
(5.3)
Эта формула является основной: в векторном исчислении и называ­
ется разлансением вектора по ортам координаmнwх oceii..
44
Числа ах, ау,
az
называются координатами вектора а, т. е. коор­
динаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные
оси.
Векторное равенство
де: а=
(5.3)
часто записывают в символическом ви­
(ax;ayiZz).
Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для моду­
ля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного
параллелепипеда можно написать
т. е.
lal 2=а; +а~ +а;.
Отсюда
liil =
~
IOMl 2 = IOM11 2+ IOM21 2+ l0Mзl 2 ,
(5.4)
Vа2 + а2 + а2
Х
у
Z'
т. е. моду.ль вектора равен квадратному корню из сумми
квадратов его nроекциiL на оси координат.
Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и
Oz
соответственно равны
а, /З, 'У· По свойству проекции вектора на ось, имеем
ах=
lal · cosa,
ау=
lal · соs{З,
az =
lal · COS"f.
(5.5)
Или, что то же самое,
ах
cosa =
Числа
coso:, cosfJ,
lal,
az
ау
lal,
cosfJ =
COS"f=
lal·
COS"f называются наnрав.ляющими косtтусами век­
тора а.
Подставим выражения
Сократив на
(5.5)
в равенство
(5.4),
получаем
lal 2 = lal 2· cos 2а+ liil 2 • cos2 fJ + lal 2 • cos2'У·
liil 2=/:-О, получим соотношение
1
cos2
а+ cos2 fЗ + cos2 'У =
1, 1
~
т. е. сумма квадратов наnрав.ляющих косинусов нену.лево­
~
Легко заметить, что координатами единичного вектора е являются
го вектора равна единице.
числа
cos а, cos /З,
COS"f, т. е. е =
(cos а; соs/З; cos 'У)·
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его мо­
дуль и направление, т. е. сам вектор.
5.5.
Действия наА векторами, заданными проекциями
Пусть векторы а= (ax;ay;az) и Ь = (Ьх;Ьу;Ьz) заданы своими про­
екциями на оси координат Ох, Оу,
Oz
или, что то же самое
= ах · z+ ау ·] + az · k,
Ь
= Ьх · z+ Ьу · ] + Ьz · k.
а
45
Линейные операции над векторами
Так как линейные операции над векторами сводятся к соответству­
ющим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно
записать:
1. ii ± Ь
=
= (ах± Ьх)z +(ау± Ьу)} + (az
± Ьz)k, или кратко ii ± Ь
=
(ах±Ьх; ау±Ьу; az±Ьz). То есть при слож:ении (вы'Ч,итании) векторов
их одноименные координатъ~ складъtваются (въt'Ч,итаются}.
2. Лii
= Лах·z+Лау.]+Лаz·k или короче Лii = (Лах; Лау; Лаz). То есть
при умножении вектора на скал.яр координаты вектора умнож:аются
на этот скал.яр.
Равенство векторов
Из определения вектора как направленного отрезка, который мож­
но передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что
два вектора ii и Ь равнъt тогда и только тогда, когда выполняются ра­
венства: ах
= Ьх, ау= Ьу, az = Ьz, т. е.
Коллинеарность векторов
Выясним условия коллинеарности векторов ii и Ь, заданных своими
координатами.
Так как ii 11 Ь, то можно записать ii = Л·Ь, где Л -
некоторое число.
То есть
ах· z+ау· J + az · k
Отсюда
т. е.
liJ
= Л(Ьх · f + Ьу · J + Ьz · k) = ЛЬх · z+ ЛЬу · J + ЛЬz · k.
ах
ах
Ьх = >...,
=
ЛЬх,
ау
Ьу = л,
ау= ЛЬу,
az = ЛЬz,
az
ах _ ау
az
Ьz = ).. или Ьх - Ьу - Ьz .
Таким образом, проекции коллинеарнъtх векторов проnорционалъ­
ны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорцио-
нальные координаты, коллинеарны.
КооРдинаты точки
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система ко­
ординат
Oxyz.
Для любой точки М координаты вектора ОМ называют­
ся координатами то'Ч,ки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором
точки М, обозначается
точки
-
f,
=
т. е. ОМ
f.
Следовательно, координаты
это координаты ее радиус-вектора
f
= (х; у; z)
или
f
= х · i +у· J+ z · k.
z).
Координаты точки М записываются в виде М(х; у;
46
Координаты вектора
Найдем координаты вектора ii
точек
АВ
=
АВ, если известны координаты
A(x1;y1;z1)
и
= ОВ -
= (х2 · z+ У2 · J + z2 · k) -
ОА
B(x2;Y2;z2).
Имеем (см. рис.
13):
(х1 · z+ У1 · J + z1 · k)
= (х2 - x1)z + (У2 - Yi)J
+ (z2
=
- z1)k.
Следовательно, координаты вектора равны разностям соответству­
ющих координат его конца и на-чала: АВ
= (х2 -
х1; У2
-
У1;
z2 - z1).
А
в
.......
---- ...'
х
Рис.
§ б.
Рис.
13
ь
14
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
И ЕГО СВОЙСТВА
б.1. Определение скалярного произведения
~
Скалярным произведением двух ненулевых векторов ii и Б на­
зывается 'Чис.11.0, равное произведению длин этих векторов на ко­
синус угла между ними.
Обозначается iib, ii · Б (или (ii, Ь)). Итак, по определению,
(6.1)
где ер= (а, Б).
Формуле
(6.1)
можно придать иной вид. Так как
(см. рис. 14), а lbl cosc.p
\ аБ = lal · пра-Б = !БI
т. е.
скалярное
liil cosc.p =
пp;;-ii,
= праЬ, то получаем:
произведение
·пр;;- а, 1
двух векторов
равно
(6.2)
модулю
одного
из
них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с пер­
вым вектором.
47
б.2. Свойства скалярного произведения
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством:
аБ = Ба.
-
-
О аБ = liil · IБI ·cos(ii, Б), а Ба= iБI · liil ·соs(Б, а). И так как liil · lbl = iБI · liil,
как произведение чисел и cos(ii, Б) = соs(Б, ii), то
2.
•
Скалярное произведение обладает сочетательным свойством от­
= .\(iib).
носительно скалярного множителя: (.\ii) · Б
о (.\ii)Б
3.
iib = Ба.
= 1ь1 . ПРь .\ii = ,\. 1ь1 . прь ii = .\(аЬ).
•
Скалярное произведение обладает распределительным свойст­
вом: а(Б + ё) = аБ + iiё.
О а(Б + ё)
=~+~
= liil · пра-(Б + ё) = liil · (пр" Б + ПРа: ё) = liil пра; Б + ial · пра ё =
•
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: ii2 = lal 2 .
•
О а2
= а· а = lal · lal cos о = lal · lal = lal 2 .
-2
-2
-2
В частности: i = j = k = 1.
i
Если вектор
ii
возвести скалярно в квадрат и затем извлечь ко­
рень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль
liil,
т. е.
п = liil сп=/:- ii).
Пример 6.1. Найти длину вектора ё
(а, Б) =
Q
= 3а-4Б, если lal = 2, iБi =
3,
%·
Решение:
lёl = #
=
Jс3и- 4Б) 2 = Jgи2 - 24аБ + 16Б2 =
=
J
9 . 4 - 24 . 2 .
з . ~ + 16 . 9 = /108 = б-JЗ.
•
5. Если векторы ii и Б (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то
их скалярное произведение равно нулю, т. е. если ii ..l Б, то iib = О.
Справедливо и обратное утверждение: если аБ = О и ii =/:- О =/:- Б, то ii ..l Б.
О Так как ер
а· Б
=
(ii, Б)
= lal · IБI ·_о__= о.
Отсюда ер= (а, Ь)
=
I'
то cos ер
=
cos
I
=
О. Следовательно,
Если же а· Б = о и lal =/:- о, iБI =/:- о, то cos(a, Ь) = О.
= 90°, т. е. ii ..l Б. В частности:
z.J = J. k = k . z= о.
48
•
б.З.
Выражение скалярного произведения
через координаты
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как мно­
гочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произве­
дения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов
k:
i
j
k
ахЬхU
z
j
k
1
о
о
о
1
о
о
о
1
+ axbyl]
+ аvЬvП
+ azbykJ
+ aybxJl
+ azbxkl
l, ],
+ axbzlk +
+ aybz]k +
+ azbzkk
т. е.
1
а· Ь = ахЬх + ауЬу + azbz.1
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведениti их
одноименн'Ых координат.
Пример
ного
D(3; -2; 2),
Q
6.2.
Доказать, что диагонали четырехугольника, задан­
координатами
вершин
А(-4;
-4; 4),
В(-3;
2; 2),
С(2;
5; 1),
взаимно перпендикулярны.
Решение: Составим вектора АС и
BD,
ного четырехугольника. Имеем: АС=
лежащие на диагоналях д;=tн­
(6; 9; -3)
и
BD = (6; -4; О).
Най­
дем скалярное произведение этих векторов:
АС·
BD = 36 - 36 -
Отсюда следует, что АС ..l
BD.
О
=
О.
Диагонали четырехугольника
взаимно перпендикулярны.
49
ABCD
8
б.4. Некоторые приложения скалярного произведения
Угол межАУ векторами
Определение угла <р между ненулевыми векторами а= (а"; ау;
az)
и Б = (Ьх; Ьу; Ьz):
cos <р =
а· Б
lal . 1ь1'
т. е.
cos <р =
. fa2 + а2 + а2zyx
.. /ь2 + ь2 + ь2z
ух
у
у
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а
и Б:
Проекция вектора на заАанное направление
Нахождение проекции вектора а на направление, заданное векто­
ром Б, может осуществляться по формуле
прьа =
а· Б
(
lbl
-
праЬ =
а· Б)
lal '
т. е.
Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из поло­
жения А в положение В под действием постоянной силы
угол <р с перемещением АВ = S (см. рис. 15).
F, образующей
Из физики известно, что работа си­
лы
~
<р
F при перемещении S равна
А= F · S · cos<p т. е. А= F · S.
Таким образом, работа постоянной силы
:
при прямолинейном перемещении ее точ­
·в
ки приложения равна скалярному произ­
Рис.
15
ведению вектора силы на вектор перемещения.
Пример 6. 3. Вычислить работу, произведенную силой F= (3; 2; 4),
если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения
А(2;
4; 6)
сила
Q
в положение В(4;
2; 7).
Под каким углом к АВ направлена
F?
Решение: Находим
А=
Угол <р между
F·S =
_ _
F
и
S
S=
АВ = (2,-2, 1). Стало быть,
3 · 2 + 2 · (-2)
+4·1=
находим по формуле
6
6
6 (ед. работы).
cos <р =
IFl·ISI
2
cos<p= J9+4+16·J4+4+1 = -/29·3 = -/29'
50
F·S
<р
, т. е.
= arccos
2
-/29 .
•
§ 7.
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
И ЕГО СВОЙСТВА
7.1. Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора а, Б и с, взятые в указанном порядке,
образуют правую mpotiкy, если с конца третьего вектора с кратчайший
поворот от первого вектора а ко второму вектору Б виден совершаю­
щимся против часовой стрелки, и .левую, если по часовой (см. рис.
16).
правая тройка, ~ левая тройка
ii
Рис.
~
16
Векторным nрои.зведени.ем вектора а на вектор Б называется
вектор ё, который:
1) перпендикулярен векторам а и Б, т. е. ё .1 а и ё .1 Б;
2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма,
строенного на векторах а и Б как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
lёl
= lal · lbl siшp,
где
'Р
по­
= (а, Ь);
3) векторы ii, Б и ё образуют правую тройку.
z
ё
у
j
ii
Рис.
х
Рис.
17
18
Векторное произведение обозначается ii х Били [а, Б].
Из определения векторного произведения непосредственно вытека­
ют следующие соотношения между ортами
l х ] = k,
Докажем, например, что
l
]
х
х
J=
k = l,
51
k.
k
l,
х
Jи
k
l = ].
(см. рис. 18):
k J_ i, k J_ J;
о 1)
2) lkl = 1, но
3) векторы i,
\i х JI = \il · IJI · sin 90° = 1;
J и k образуют правую тройку
(см. рис. 16).
8
Свойства векторного произведения
7.2.
1.
При
перестановке
векторное произведение
сомножителей
меняет
знак,
ахЬ
т. е.
.. :~~ПJ:If т:тп;;J~~n:~:,"
:::[: ~ ~ j~; ~ j~i~i~ i~ ~ ~ ~ ~: ~; ~; ~~ ~i~i~ i~~ ~:::: /'
... :.:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::·i
ii х Б = -(Ь ха) (см. рис. 19).
О Векторы ii х Б и Б х ii коллинеарны, име­
·:·:·:-:-:-:-:-:-:·:·:·:-:-:-:-:-:-:-:-:·:·1
ют одинаковые модули (площадь паралле­
·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.·.r
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::~
лограмма остается неизменной), но проти­
воположно направлены (тройки а, Б, а х Б
и ii, Б, Б х ii противоположной ориентации).
Стало быть, ах Б = -(Б ха).
•
2.
Векторное произведение обладает
сочетательным
свойством
скалярного множителя,
(Ла) х Б =ах (ЛЬ).
=
относительно
Бха
т. е. Л(ii х Ь) =
Рис.
19
О Пусть Л > О. Вектор Л(iix Ь) перпендикулярен векторам ii и Б. Вектор
(Лii) х Б также перпендикулярен векторам ii и Б (векторы ii, Лii лежат
в одной плоскости). Значит, векторы Л(ii х Ь) и (Лii) х Б коллинеарны.
Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
JЛ(ii х Ь) 1= Л\а х
bl
= ЛJal
· JbJ · sin(a, Ь)
и
J(Лii) х bl = IЛiiJ · lbl · sin(Лii, Ь) = Лlal · lbl sin(ii, Ь).
Поэтому Л(ii х Ь) = Лii х Б. Аналогично доказывается при Л <О.
•
3. Два ненулевых вектора ii и Б коллинеарны тогда и только то­
гда,
а 11 Б
когда
{=:::>
их
векторное
произведение
равно
нулевому
вектору,
т. е.
а х Б = о.
11 Б,2..о угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда Jii х БJ =
= JiiJ · lbl · sin(ii, Ь) = О. Значит, ii х Б =О.
Если же ii х Б = О, то JiiJ · Jbl sin ер = О. Но тогда ср = 0° или ер = 180°,
О Если ii
т. е. а 11 Б.
!iJ
вом:
8
В частности, i х i = J х J = k х k = О.
4. Векторное произведение обладает
распределительным свойст-
(а + Б) х ё = а х ё + Б х ё.
Примем без доказательства.
52
Выражение векторного произведения
7 .3.
через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векто­
ров
l,
J и k:
k
i
j
о
j
k
-k
о
-j
i
k
j
-i
о
i
Чтобы не ошибиться со
знаком,
удобно пользо­
ваться схемой:
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму со­
впадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему век­
тору, если не совпадает
-
третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а = axl +ау]+ azk и Б = Ьхz + Ьу] + Ьzk.
Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как
многочлены (согласно свойств векторного произведения):
ах Б
=
= (axl +ау]+ azk)
х (Ьхl + Ьу] + Ь}i)
=
ахЬх(l х z)
+ axby(Z х J) + axbz(Z х k) + aybx(J х l) + ayby(J Х })+
+ aybz(J Х k) + azbx(k Х z) + azby(k Х J) + azbz(k Х k) =
=О+ axbyk - axЬzJ - aybxk +О+ aybzl + azЬxJ - azbyz +О=
= (aybz - azby)Z - (axbz - azbx)J + (ахЬу - aybx)k =
т. е.
ах ь- = laь:
(7.1)
Полученную формулу можно записать еще короче:
ахЬ=
так как правая часть равенства
i
j
ах
ау
k
az ,
Ьх
Ьу
Ьz
(7.2)
(7.1) соответствует разложению опреде­
(7.2)
лителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство
легко запоминается.
53
Некоторые приложения векторного произведения
7 .4.
Установление коллинеарности векторов
Если а
11
Б, то ах Б =О (и наоборот), т. е.
ахЬ=
i
j
k
ах
ау
az
Ьх
Ьу
Ьz
=0
<=:::}
ах
Ьх
-
ау
Ьу
=
az
<=:::}
Ьz
а
11
Б.
НахожАение площаАи параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и Б
/ах Б/ =
lal · lbl sinrp, т. е. Sпар = la х Б/. И, значит, Sл
=
~la х БI.
Определение момента силы относительно точки
Пусть в точке А приложена сила
точка пространства (см. рис.
F
= АВ и пусть О -
некоторая
20).
Из физики известно, что момен,том С'UЛ'Ы
F относительно точки О
называется вектор М, который проходит через точку О и:
1)
2)
перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
численно равен произведению силы на плечо
-----
IMI = IFI · ON = IFI · lrl · sin rp = IFI · /OAI sin(F, ОА);
3)
образует правую тройку с векторами ОА и АВ.
Стало быть, М = О А х
F.
---
Рис.
20
Рис.
21
НахожАение линейной скорости вращения
Скорость
v точки
М твердого тела, вращающегося с угловой ско­
ростью r;J вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера
iJ
= r;J х r,
(см. рис.
где
r=
ОМ, где О
-
некоторая неподвижная точка оси
21).
54
§ 8.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
8.1. Определение смешанного произведения,
его геометрический смысл
Рассмотрим произведение векторов ii, Б и ё, составленное следу­
ющим образом: (ах Ь) · ё. Здесь первые два вектора перемножаются
векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведе­
ние называется векторно-ска.л.ярн:ым, или
смешанным, произведением
трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое
число.
Выясним геометрический смысл вы-
ражения (ах Ь)·ё. Построим параллелепи­
пед, ребрами которого являются векторы
ii, Б, ё и вектор
ldl
d=
ii х Б (см. рис. 22).
Имеем: (ii х Ь) · ё = d · ё = ldl · ПРJ ё,
= la х bl = S, где S - площадь парал­
лелограмма, построенного на векторах
ii
и Б, ПРJ ё = Н для правой тройки век­
торов и ПРJ ё
высота
(а х Б) · ё
= ± V,
= - Н для левой,
параллелепипеда.
где
где Н
1
1
1
1
1
Н'1
-
Получаем:
=
S · (±Н), т. е. (а х Б) · ё =
V - объем параллелепипеда,
Рис.
22
образованного векторами а, Б и ё.
Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объ­
ему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со зна­
ком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком
«минус», если они образуют левую тройку.
8.2. Свойства смешанного произведения
1.
Смешанное произведение не меняется при циклической переста­
новке его сомножителей, т. е. (ii х Ь) · ё = (Ь х ё) ·а= (ё х ii) · Б.
Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллеле­
пипеда, ни ориентация его ребер.
2.
Смешанное произведение не меняется при перемене местами зна­
ков векторного и скалярного умножения, т. е. (ах Ь) · ё =а· (Ь х ё).
Действительно, (ах Б) · ё =
±V и а· (Ь х ё) = (Ь х ё) ·а= ±V. Знак
в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки
векторов ii, Б, ё и Б, ё, а
-
одной ориентации.
55
Следовательно, (ах Б) · ё = а(Б х ё). Это позволяет записывать сме­
шанное произведение векторов (ах Ь)ё в виде аЬё без знаков векторного,
скалярного умножения.
Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест
3.
любых двух векторов-сомножителей, т. е. аЬё
-ёБа.
=
Действительно,
такая
перестановка
= -аёБ, аБё = -Баё, аЬё =
равносильна
перестановке
сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения
знак.
4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, Ь и ё равно нулю
тогда и только тогда, когда они компланарны.
Q
Если аЬё = О, то а, Б, ё
-
компланарны.
Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллеле­
пипед с объемом V =Р О. Но так как аЬё = ±V, то получили бы, что
аЬё =Р о. Это противоречит условию: аЬё = о.
Обратно, пусть векторы а, Б, ё - компланарны. Тогда вектор d =
= а х Ь будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а,
Б, ё, и, следовательно, d ..l ё. Поэтому d · ё = О, т. е. аБё О.
8
=
8.3.
Выражение смешанноrо произведения
через координаты
Пусть заданы векторы а = axI +ау]+ azk, Ь
Ьхi + Ьу} + Ьzk,
ё = Cxt + су]+ Czk. Найдем их смешанное произведение, используя вы­
ражения в координатах для векторного и скалярного произведений:
(ах Ь)ё
=
=
i
j
ах
ау
k
az · (cxi +су]+ Czk)
Ьх
Ьу
Ьz
(j ~: az ji-j ~; ~; /1+1 ~=
~: k) · (cxi +су}+ Czk) =
Ьz
=
1
~:
az
Ьz
1·
1
_,ах
Ьх
Сх
=
az
Ьz 1 . Су+ 1 ах
Ьх
ау
Ьу
1 · Cz.
(8.1)
Полученную формулу можно записать короче:
Сх
так как правая часть равенства
Су
(8.1)
Cz
представляет собой разложение
определителя третьего порядка по элементам третьей строки.
Итак, смешанное произведение векторов равно определителю тре­
тьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.
56
Некоторые приложения смешанного произведения
8.4.
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве
Определение взаимной ориентации векторов а, Ь и ё основано на
следующих соображениях. Если аЬё > О, то а, Ь, ё - правая тройка;
если аЬё < О, то а, Ь, ё - левая тройка.
Установление компланарности векторов
Векторы а, Ь и ё компланарны тогда и только тогда, когда их сме­
шанное произведение равно нулю (а"# О, Ь "#О, ё "#О):
az
Ьz
аЬё=О ~
Сх
Су
= О ~ векторы а, Ь, ё компланарны.
Cz
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на
векторах а, Ь и ё вычисляется как V = labёl, а объем треугольной
пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V = ~ labёl.
Пример
В(О;
-1; 1),
8.1.
5; 2)
С(2;
Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3),
и
D(3; О; -2).
Найти объем пирамиды.
О Решение: Находим векторы а, Ь, ё:
а= АВ
= (-1; -3; -2),
Ь =АС= (1; 3; -1),
ё
= AD = (2; -2; -5).
Находим аЬё:
-1
аЬс=
-3
1
3
2 -2
-2
-1
-5
= -1·(-17)+3. (-3) -
Следовательно, V = ~ · 24 = 4.
2. (-8)
= 17 -
9 + 16 = 24.
•
Глава
111.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
Лекции 7-9 1
§ 9.
9.1.
~
СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
Основные понятия
Под системоit координат на плоскости понимают способ, по­
зволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной
из таких систем является nрямоуго.11:ьная (декартова) система ко­
ординат.
Прямоугольная система координат за­
дается двумя взаимно перпендикулярными
у
прямыми
у
-
осями, на каждой из которых
выбрано положительное направление и за­
дан
единичный
(масштабный)
отрезок.
Единицу масштаба обычно берут одинако­
х
х
вой для обеих осей. Эти оси называют ося­
ми координат, точку их пересечения О
-
на'Чалом координат. Одну из осей называ­
Рис.
23
ют осъю абсцисс (осью Ох), другую
орди-нат (осью Оу) (рис.
-
осью
23).
На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и на­
правленной слева направо, а ось ординат
-
вертикально и направлен­
ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области
-
'Четверти (или квадранты).
Единичные векторы осей обозначают
f и J (lfl = IJI = 1, f 1- ]).
Систему координат обозначают Оху (или
OfJ), а плоскость, в ко­
торой расположена система координат, называют координатноi1. плоскостъю.
Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор ОМ
называется радиусом-вектором точки М.
~
Координатами точки М в системе координат Оху (Oi]) на­
зываются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ= (х;у), то
координаты точки М записывают так: М(х;у), число х называется аб­
сциссоi& точки М, у
-
ординатоit точки М.
Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на
плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единствен­
ная точка М плоскости, и наоборот.
58
Способ определения положения точек с помощью чисел (коорди­
нат) называется методом координат. Сущность метода координат на
плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопо­
ставляется ее уравнение. Свойства этой линии изучаются путем иссле­
дования уравнения линии.
Другой практически важной системой координат является по.л.я.р­
ная система координат. Полярная система координат задается точкой
О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым по.л.я.рноii, осью, и еди­
ничным вектором ё того же направления, что и луч Ор.
Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение
точки М определяется двумя числами: ее расстоянием
r от полюса О
и углом ср, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов
ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки)
(см. рис.
24).
у
~М(с;~)
j
х
р
о
ё
р
Рис.
Числа
пишут
24
Рис.
25
r и ср называются по.п.ярн.ими координатами точки М,
M(r; ср), при этом r называют nо.п.ярним радиусом, ср -
по.л.я.рным углом.
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол
ср ограничить промежутком (-1Г; 1Г] (или О ~ ср
радиус
-
<
27Г), а полярный
[О; оо). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О)
соответствует единственная пара чисел
r
и ер, и обратно.
Установим связь между прямоугольными и полярными координа­
тами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху,
а полярную ось
с положительной полуосью Ох. Пусть х и у
-
моугольные координаты точки М, а
Из рисунка
25
r
и ср
-
-
пря­
ее полярные координаты.
видно, что прямоугольные и полярные координаты
точки М выражаются следующим образом:
{ х = rr ·· c~sep,
у=
{
sшер;
r =
Jx2 +у2,
tgep = 'JL.
х
Определяя величину ер, следует установить (по знакам х и у) че­
тверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -1Г <ер~ 1Г.
59
.
Пример 9.1. Дана точка М(-1; -JЗ). Найти полярные коорди­
наты точки М.
Q
Решение: Находим r и <р:
r
-VЗ
tg<p= =v'З.
= .J3+l = 2,
-1
= J + 7rn, п Е Z. Но так как точка М лежит в 3-й четверти,
то п = -1 и <р = J - 7r = - 2;f. Итак, полярные координаты точки М
есть r = 2, <р = - 2;f, т. е. М ( 2; -j7r).
8
Отсюда <р
9.2. Основные приложения метода координат
на плоскости
Расстояние межАУ Авумя точками
Требуется найти расстояние
d
между точками А(х 1 ; У1) и В(х2; У2)
плоскости Оху.
Q
Решение:
Искомое расстояние d
равно длине
вектора АВ =
= (х2 - х1; У2 -у1), т. е.
IABI =
d=
у'(х2 - х1) 2
+ (у2 -
•
У1) 2 .
Деление отрезка в Аанном отношении
Требуется разделить отрезок АВ, сое­
у
диняющий точки А(х1; У1) и В(х2; У2) в за­
данном отношении Л
А
~в
> О, т. е. найти коорди­
наты точки М(х;у) отрезка АВ такой, что
-ttJз
Q
=
Л (см. рис. 26).
Решение: Введем в рассмотрение векто­
ры АМ и МВ. Точка М делит отрезок АВ
о
в отношении Л, если
х
Рис.
АМ=Л·МВ.
26
(9.1)
Но АМ = (х - х1;У - У1), т. е. АМ = (х - x1)t +(у - Y1)J и МВ =
(х2 - х; У2 - у), т. е. МВ
(х2 - x)l + (У2 - у)]. Уравнение (9.1)
=
=
принимает вид
(х - x1)l +(у - У1)]
= Л(х2 -
x)l + Л(у2 - у)].
У читывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем
х
- х1
= Лх2 -
Лх,
т. е.
60
х
= х11++Лх2
Л
(9.2)
и
Формулы
(9.2)
у
- У1 = Лу2 - Лу,
и
(9.3)
т. е.
+ Лу2
1+Л .
(9.3)
называются формулами деления отрезка в дан­
ном отношении. В частности, при)..=
примут вид х = xi
У1
у =
1х2 , у = Yi ! У
2
1,
т. е. если АМ =МВ, то они
В этом случае точка М(х; у)
является серединоii, отрезка АВ.
Заме'Чание: Если
дают, если
)..
<
).. =
8
О, то это означает, что точки А и М совпа­
О, то точка М лежит вне отрезка АВ
#
точка М делит отрезок АВ внешним образом (Л
говорят, что
-
-1, т. к. в противном
случае 1JAJз = -1, т. е. АМ +МВ= О, т. е. АВ =О).
ПлощаАь треугольника
Требуется найти площадь треугольни-
ка АБС с вершинами А(х1;У1), В(х2;У2),
у~В
С(хз;уз).
Q
.
перпендикуляры АА 1 , ВВ 1 , СС 1 на ось Ох
(см. рис.
27).
1
=
У1
+ У2
2
1
х
+ Sв1ВСС1
- Sл1АСС1.
Рис.
Поэтому
Sлвс =
с
1
1
Очевидно, что
Sлвс = Sлл1в1в
.
..
Решение: Опустим из вершин А, В, С
· (х2 - х1 ) + У2
+ Уз · (хз 2
х2
) - У1
+ Уз
2
27
· (хз -
х1
=
!(х2У1 - Х1У1 + Х2У2 - Х1У2 + ХзУ2 - Х2У2 + ХзУз-
+ Х1У1 - ХзУз + Х1Уз)
Х2 (Уз - У1) + Х1 (Уз - У1)) =
- Х2Уз - ХзУ1
= ! (Хз (У2 - У1) - Х1 (У2 - У1) = l((y2 2
т. е.
)
У1)(хз - х1) - (уз - У1)(х2 - х1)) =
Sл = ~ хз
1
2
Уз
-
11 хз -2
Уз
xi
У1
Х2 - Х1
У2 -у1
х1
У1
=
1
,
•
Заме'Чание: Если при вычислении площади треугольника получим
S
=О, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой, если
же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.
9.3. Преобразование системы координат
Переход от одной системы координат в какую-либо другую назы­
вается преобразованием систем'Ы координат.
61
Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной си­
стемы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зави­
симость между координатами произвольной точки плоскости в разных
системах координат.
Параллельный перенос осей координат
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху.
Под параллел·ыtъtм переносом осей координат понимают переход от си­
стемы координат Оху к новой системе 0 1 х 1 у 1 , при котором меняется
положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются
неизменными.
у
м
1
''
''
'
У:
,..,
1
'l
--- --------- --- ---
о
х
х
Рис.
28
Пусть начало новой системы координат точка
01
имеет коорди­
наты (хо;Уо) в старой системе координат Оху, т. е. О1(хо;Уо). Обозна­
чим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через
(х;у), а в новой системе 0 1 х 1 у 1 через (х';у 1 ) (см. рис.
28).
Рассмотрим векторы
OOi = xoi + уо},
= x'l + y'J.
Так как ОМ= OOi + О1М, то xl +у}= xol + Уо] + x'l +у'}, т. е.
ОМ=
xi +у},
х · l +у ·] = (хо
О1М
+ х 1 ) .1, + (Уо +у') · ].
Следовательно,
х',
{ хУ==хо+
Уо +у'.
Полученные формулы позволяют находить старые координаты х
и у по известным новым х' и у' и наоборот.
Поворот осей координат
Под поворотом
oceii,
координат понимают такое преобразование
координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол,
а начало координат и масштаб остаются неизменными.
62
Пусть новая система О1х1у1 получена поворотом системы Оху на
угол о: (см. рис.
Пусть М
29).
произвольная точка плоскости, (х; у)
-
в старой системе и (х';у')
-
ее координаты
-
в новой системе.
Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и
полярными осями Ох и Ох 1 (масштаб одинаков). Полярный радиус
r
обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны о:
+l{J
и
l{J,
где
1fJ -
в
полярный угол в новой полярной системе.
По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным
имеем
cos(o: + lfJ),
{ ху== rr ·· sin(o:
+ lfJ),
Но
r cos 1fJ
= х'
и
т. е.
· c_osa - rs.inl{J · sina,
{ х == rrcosl{J
cos 1fJ •
+ r 1fJ • cos
у
= у'.
r sin 1fJ
sш а
sш
а.
Поэтому
cosa - у' sin о:,
{ ху== х'х' sina
+у' cosa.
~
Полученные формулы называются формуJtами поворота
oce1i..
Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной
точки М через новые координаты (х'; у') этой же точки М, и наоборот.
у
fj&
о
Рис.
29
х
Рис.
30
Если новая система координат 0 1 х 1 у 1 получена из старой Оху пу­
тем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом
осей на угол а (см. рис.
30),
то путем введения вспомогательной систе­
мы 0 1 ху легко получить формулы
{ х = х' · coso: у
= х' · sin а
у'· sino: + х 0 ,
+ у' · cos а + Уо,
выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее
новые координаты х' и у'.
63
§ 10.
10.1.
ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
Основные понятия
Линия на плоскости часто задается как .миожество mо'Чек, обла­
дающих некоторым только им присущим геометрическим свойством.
Например, окружность радиуса
сти, удаленных на расстояние
R
R
есть множество всех точек плоско­
от некоторой фиксированной точки О
(центра окружности).
Введение на плоскости системы координат позволяет определять
положение
точки
плоскости
заданием
двух
чисел
-
ее координат,
а
положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е.
равенства, связывающего координаты точек линии).
Уравнеиием лииии (или кривой) на плоскости Оху называется та­
кое уравнение
F(x; у)=
О с двумя переменными, которому удовлетво­
ряют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют коор­
динаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Переменные х и у в уравнении линии называются текущими ко­
ординатами точек линии.
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств ли­
нии заменить исследованием его уравнения.
Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(х 0 ; у 0 ) на данной
линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построе­
ниям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии
в выбранной системе координат.
Пример
2х +у+
Q
3
10.1.
Лежат ли точки К(-2;
1)
и
L(l; 1)
на линии
=О?
Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К,
получим
2·(-2)+1+3
линии. Точка
=О. Следовательно, точка К лежит на данной
L не лежит на данной линии, т. к. 2 · 1 + 1 + 3 =f. О.
8
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных
уравнениями
F 1 (х; у) =
О и
F 2 (x; у)
=О, сводится к отысканию точек,
координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сво­
дится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
{
F1(x;y) =О,
Fz(x; у) =О.
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пе­
ресекаются.
Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в поляр­
ной системе координат.
64
Уравнение
F(r;<p)
=О называется уравнением данноiJ, .линии в по­
.л.ярноiJ, системе координат, если координаты любой точки, лежащей
на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
x(t),
{ ху== y(t),
где х и у
{10.1)
координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на дан­
-
ной линии, а
переменная, называемая параметром; параметр
t -
t
определяет положение точки (х; у) на плоскости.
=
=
Например, если х
t + 1, у
t 2 , то значению параметра t
соответствует на плоскости точка {3; 4), т. к. х
2 + 1 3, у= 2 2
Если параметр
t
=
=
=2
= 4.
изменяется, то точка на плоскости перемещает­
ся, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется
параметри'Ческим, а уравнения
{10.1) -
параметри'Ческими уравнени-
я.ми .линии.
Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению
вида
F(x;y)
=О, надо каким-либо способом из двух уравнений исклю-
чить параметр
t.
Например, от уравнений
{ х = t,
у=
2
путем подстанов-
t'
ки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х 2 ; или
у - х 2 =О, т. е. вида F(x;y) =О. Однако, заметим, такой переход не
всегда целесообразен и не всегда возможен.
Линию на плоскости можно задать век­
торН'ЫМ уравнением f
= f(t),
где t -
лярный переменный параметр.
значению
вектор fo
to
ска­
Каждому
соответствует определенный
= r(t0 ) плоскости. При изменении
параметра t конец вектора f
некоторую линию {см. рис.
= r(t)
опишет
системе координат Оху
два скалярных уравнения
о
31).
Векторному уравнению линии f
в
у
= r(t)
х
Рис.
31
соответствуют
{10.1),
т. е. уравнения проекций на оси ко­
ординат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.
Векторное уравнение и параметрические уравнения линии име­
ют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то
указанные уравнения называются уравненu.ями движения, а линия
траекториеi1, точки, параметр
t
-
при этом есть время.
Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравне­
ние вида
F(x; у)=
О.
65
Всякому уравнению вида
F(x; у)=
О соответствует, вообще говоря,
некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением
(выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исклю­
чения. Так, уравнению (х - 2) 2 + (у
а точка (2; 3); уравнению х 2 + у 2 + 5
- 3) 2 =
О соответствует не линия,
= О на плоскости не соответствует
никакой геометрический образ).
В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные
задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее урав­
нение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.
32-40
На рисунках
приведены примеры некоторых кривых и ука­
заны их уравнения.
р
р
=R
т
r
= 2R· cosr.p
у
r
= 2R · sinr.p
у
Уо
-----
х
2
2
х+у=
R2
или
Рис.
''
,,
'
о
{х = Rcost,
у=
32.
х
Хо
(х - хо) 2 +(у - уо) 2
Rsint
Окру;нсносmь радиуса
= R2
R
,
~
,~
,,
,
''
' '"
Рис. 33. Лемнuската
Берну.л,,л,u
Рис.
34.
Трех.л.еnесткова.я
роза
Уравнение в прямоугольных коорди­
В по.'IЯрных координатах ее уравне­
натах: (х2
ние имеет вид
а
т
>
О;
+ у2)2
в
-
а2(х2
полярных
= а · y'cos 2r.p.
-
у2)
=
О,
координатах:
66
r=
а
· cos Зr.р,
где а
> О.
р
Рис.
35.
р
Улитка Ласкал.я
У равнение в полярных координатах имеет вид
r
= Ь + а cos r.p.
у
а
а
х
Рис.
36.
Полукубическая
парабола
Уравнение кривой у 2
Рис.
х
37. Астроида
У равнение в прямоугольных коорди-
2
= х 3 или
2
натах: х з +Уз
=
2
аз
; параметрические
уравнения:
{ ху== tЗ.
t2 ,
а· cos 3 t,
{ ху== а·
sin 3 t.
р
2а
Рис.
Уравнение
38. Кардиоида
в
имеет вид r
Кардиоида
р
-
полярных
Рис.
координатах
39. Спираль Архимеда
У равнение кривой в полярных коор­
= a(l + cos r.p ), где а > О.
динатах
частный случай улитки
ное.
Паскаля (а= Ь).
67
r
= ar.p, где а > О -
постоян­
х
Рис.
40. Циклоида
Параметрические уравнения циклоиды имеют вид
клоида
{ х -_= a(t( 1 -у
а
sin t),
)
соs
t,
где а
> О.
Ци-
это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катя­
-
щаяся без скольжения по неподвижной: прямой:.
10.2.
Уравнения прямой на плоскости
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания
прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные ви­
ды ее уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не парал­
лельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой Ь точки
N(O; Ь)
пересечения с осью Оу и углом а между осью Ох и прямой
(см. рис.
41).
< 7r)
Под углом а (О:::; а
наклона
прямой понимается наименьший угол,
у
на который нужно повернуть вокруг
точки пересечения прямой и оси Ох
против часовой стрелки ось Ох до ее
х'
совпадения с прямой.
Возьмем на прямой произвольную
х
Рис.
41
х
точку М(х; у) (см. рис.
41).
через точку
параллельную
N
ось
N х',
Проведем
оси Ох и одинаково с ней направлен­
ную. Угол между осью
Nx' и прямой равен а. В системе Nx'y точка
М имеет координаты х и у - Ь. Из определения тангенса угла следует
равенство tg а = У....:::.!!_, т. е. у = tg а· х + Ь. Введем обозначение tg а = k,
х
получаем уравнение
jy =
kx
+ Ь, j
(10.2)
которому удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) прямой.
Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х; у), лежащей вне
данной прямой, уравнению
~
(10.2) не удовлетворяют.
k = tg а называется уг.л.овым коэффициентом прямой,
а уравнение (10.2) - уравнением nрямоi& с уг.tt0вым коэффи­
Число
циентом.
Если прямая проходит через начало координат, то Ь
вательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у=
68
= О и, следо­
kx.
Если прямая параллельна оси Ох, то а = О,
= tg а = О и уравнение (10.2) примет вид у = Ь.
следовательно,
k
=
Если прямая параллельна оси Оу, то а= ~'уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент k
=
tg а
=
tg ~ не
существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид
(10.3)
х =а,
где а
-
абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что
уравнения
(10.2)
и
(10.3)
есть уравнения первой степени.
Общее уравнение прямой
Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем
виде
Ах+Ву+ С= О,
где А, В, С
-
(10.4)
произвольные числа, причем А и В не равны нулю
одновременно.
Покажем, что уравнение
(10.4)
есть уравнение прямой линии. Воз­
можны два случая.
Если В
=
О, то уравнение
(10.4)
имеет вид Ах
+С
=
О, причем
А "# О, т. е. х = - ~. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу
и проходящей через точку ( - ~ ; О) .
Если В -::/- О, то из уравнения (10.4) получаем у
есть уравнение прямой с угловым коэффициентом k
Итак, уравнение
(10.4)
= - ~х -
~. Это
= tg а = - ~ .
есть уравнение прямой линии, оно называ­
ется общим уравнением пр.я..моiJ,.
Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:
1) если А
= О, то уравнение приводится к
виду у
= - ~.
Это есть
уравнение прямой, параллельной: оси Ох;
2)
3)
если В= О, то прямая параллельна оси Оу;
если С= О, то получаем Ах+ Ву= О. Уравнению удовлетворяют
координаты точки
0(0; О),
прямая проходит через начало координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении
Пусть прямая проходит через точку М(х 0 ;у 0 ) и ее направление
характеризуется угловым коэффициентом
можно записать в виде у
= kx + Ь,
где Ь
-
k.
Уравнение этой прямой
пока неизвестная величина.
Так как прямая проходит через точку М(хо; у0 ), то координаты точки
удовлетворяют уравнению прямой: у0
69
= kxo + Ь. Отсюда Ь =
Уо
- kxo.
Подставляя значение Ь в уравнение у
нение прямой у
= kx
+ Уо 1
Уравнение
(10.5)
у - Уо
= kx
+ Ь,
получим искомое урав­
т. е.
kxo,
= k(x - xo).
j
(10.5)
с различными значениями
называют также
k
уравнениями nу'Чка пр.ям'Ых с центром в точке М(х 0 ; у 0 ). Из этого пуч­
ка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через точки М1 (х1; У1) и М2(х2; У2). Урав­
нение прямой, проходящей через точку М1 , имеет вид
Угде
k -
Yl = k(x - Х1),
(10.6)
пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит через точку М2 (х 2 ;у 2 ), то координаты
этой точки должны удовлетворять уравнению
Отсюда находим
пение
(10.6),
k = У2 -
(10.6): у 2 -у 1 = k(x 2 -x 1 ).
Yi . Подставляя найденное значение k в урав­
х2 -Х1
получим уравнение прямой, проходящей через точки М1
и М2 :
y-yi
(10.7)
У2 -у1
Предполагается, что в этом уравнении Х1
Если Х2
# х2,
У1
# У2·
= х1, то прямая, проходящая через точки М1(х1;у1) и
М2(х2;У2), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х
Если У2
= у1 ,
= х1.
то уравнение прямой может быть записано в виде
у= у1, прямая М1М2 параллельна оси абсцисс.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М1 (а; О), а ось Оу
точке М2 (0; Ь) (см. рис.
42).
у
В этом случае уравнение
у-0
х-а
Ь-0
О-а'
(10.7)
-
в
примет вид
Это уравнение называется уравнением
----:::::+-=====-~~""""'"'--~х
пр.ямоi1 в отрезках, так как числа а и Ь
указывают, какие отрезки отсекает пря­
Рис.
42
мая на осях координат.
70
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку
М0 (х 0 ; Уо) перпендикулярно данному ненулевому вектору
n =(А; В).
Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) и рассмотрим
вектор МоМ =
(х
хо;у
-
Уо) (см. рис.
-
43).
Поскольку векторы
n
и М0 М перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:
n · МоМ = О,
то есть
1А(х - хо) + В(у - Уо) = 0.1
Уравнение
(10.8)
(10.8)
называется уравнением npя.мoii., проходящеii. -через за­
данную mо'Ч.ку перпендuку.л.ярно заданному вектору.
Вектор
n
=
(А; В), перпендикулярный прямой, называется нор­
ма.лыt'ЫМ вектором эmoii. пря.моii..
Уравнение
(10.8)
можно переписать в виде
Ах+Ву+С
где А и В
бодный
(см.
-
(10.9)
=0,
координаты нормального вектора, С
член.
Уравнение
(10.9)
есть
общее
= -Ах 0 - Ву0
уравнение
-
сво­
прямой
(10.4)).
у
о
х
Рис.
43
Рис.
44
Полярное уравнение прямой
Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение
можно определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой
и угол а между полярной осью ОР и осью
l,
О перпендикулярно данной прямой (см. рис.
Для любой точки
M(r; <р)
проходящей через полюс
44).
на данной прямой имеем:
пр 1 0М=р.
71
С другой стороны,
= IOMI · cos(a -
пр 1 ОМ
Следовательно,
Полученное уравнение
'Р)
= r · cos(<p -
1r cos(<p - а) = p. j
(10.10) и есть уравне'Н:ие
а).
(10.10)
nр.ямо11. в nол.ярнъ~х ко­
ординатах.
Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием р и а (см. рис.
45).
Рассмо­
трим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систе­
му, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно
записать в виде
r · cos(<p-
а)
-
р =О,
т. е.
r · cos<pcosa + rsin<psina -
р =О.
Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные коорди­
наты, имеем:
rcos<p =
х,
rsinip
=у. Следовательно, уравнение
(10.10)
прямой в прямоугольной: системе координат примет вид
1х · cos а + у · sin а - р = 0.1
Уравнение
(10.11)
(10.11)
называется норма.п:ьнъ~м уравнением np.ямoii.
Покажем, как привести уравнение
(10.4)
прямой к виду
У множим
(10.4)
все
уравнения
на некоторый: множитель
+ ЛВу + ЛС
Получим ,\Ах
х
(10.11).
члены
нение
ЛВ
45
1- О.
уравнение должно обратиться в урав­
(10.11).
Следовательно, должны
=
выполняться равенства: ,\А
Рис.
,\
= О. Это
= sina,
ЛС
=
cos а,
-р. Из первых двух
равенств находим
,\ 2 А 2
+ ,\
2 В2
=
cos2
а+ sin 2 о:,
т. е.
1
,\ = ± ----;:::===
JA2 +в2
Множитель Л называется нормирующим множите.п.ем. Согласно тре­
тьему равенству ,\С
=
-р знак нормирующего множителя противопо­
ложен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.
Пример
10.2.
Привести уравнение -Зх
+ 4у + 15 =О к
нормаль­
ному виду.
Q Решение: Находим нормирующий множитель ,\ =
=
-g.
1
- .J(-3)2 + 42
Умножая данное уравнение на ,\, получим искомое нормальное
уравнение прямой:
ix - gy - 3 = О.
72
8
10.3.
Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Угол между двумя прямыми и условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых
Пусть прямые
циентами у=
L1
+ Ь1
klx
и
Требуется найти угол
надо
повернуть
влении прямую
в
заданы уравнениями с угловыми коэффи­
L2
и у=
k2x
+ Ь2
положительном
L1
Решение: Имеем 0:2 = 'Р
46).
напра-
вокруг точки их пере-
сечения до совпадения с прямой
Q
(см. рис.
tp, на который
у
L2•
+ 0:1
(теорема
о внешнем угле треугольника) или tp
=
= а2 - 0:1. Если tp-:/- ~'то
tgtp
Но
= tg(o:2 -
=
0:1)
о
tgo:2 - tga1
1
+ tgo:1 · tga2
tg 0:1 = kl, tg а2 = k2,
поэтому
Рис.
46
(10.12)
•
откуда легко получим величину искомого угла.
Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учиты­
вая, какая прямая является первой, какая
формулы (10.12) берется по модулю, т. е.
lij
Если прямые
лы
L1
и
L2
(10.12)
-
второй, то правая часть
tgtp = 11 ~
ki ~}.2 1·
и
L1
L 2 параллельны, то tp = О и tg tp = О. Из формуk2 -k1 =О, т. е. k2 = k1 . И обратно, если прямые
k1 = k 2 , то tg 'Р = О, т. е. прямые параллельны.
следует
таковы, что
Следовательно, условием параллельности двух прямы.х яв.л.яете.R ра­
венство их угловы.х коэффичиентов:
lij
k 1 = k2.
Если прямые L 1 и L 2 перпендикулярны, то tp =~-Следовательно,
ctgtp = 1 : ki
(или k2 =
-1
1
2 -
).
k1k
2
= О. Отсюда 1 + kl · k2 = О, т. е. kl · k2 = -1
Справедливо и обратное утверждение. Таким образом,
условием перпендикулярности прямы.х яв.л.яеmе.R равенство
kl ·k2 = -1.
Расстояние от точки до прямой
Пусть заданы прямая
Мо(хо; Уо) (см. рис.
прямой
47).
L
уравнением Ах
+ Ву + С
=
О и точка
Требуется найти расстояние от точки Мо до
L.
73
Q
Решение: Расстояние d от точки М0 до прямой L равно модулю про­
екции вектора М1Мо, где М1(х1;У1)
на
n=
у
-
произвольная точка прямой
направление
нормального
(А; В). Следовательно,
-
d = 1 прпМ1Моl =
l(xo о
'M1Mo·n1
ln!
=
+ (Уо -
х1)А
JA2
х
-
Ах1 - Ву11
JА2+в2
47
Так как точка М1(х1; у1) принадлежит
прямой
С= -Ах1
Y1)BI
+в2
IAxo + Вуо L
Рис.
L,
то Ах 1
+ Ву1 + С =
О, т. е.
Ву1. Поэтому
d = IAxo
+ Вуо + С!
Jл2+в2
(10.13)
'
•
что и требовалось получить.
Пример
Найти расстояние от точки М0 (2;
10.3.
3х
+ 4у - 22 =
Q
Решение: По формуле
-1)
до прямой
О.
(10.13) получаем
- 13. 2 + 4. (-1) -
d-
§ 11.
11.1.
L,
вектора
J9+ 16
•
221 - 20 - - -4.
5
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ
Основные понятия
Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени от­
носительно текущих координат
Ах 2
+ 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Еу + F
Коэффициенты уравнения
-
=О.
(11.1)
действительные числа, но по крайней ме­
ре одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называ­
ются линиями (кривыми) второго порядка. Ниже будет установлено,
что уравнение
(11.1)
определяет на плоскости окружность, эллипс, ги­
перболу или параболу. Прежде, чем переходить к этому утверждению,
изучим свойства перечисленных кривых.
74
Окружность
11.2.
~
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окру;нсн.остью радиуса
R
с центром в точке М0 назы­
вается множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию
= R.
М0 М
Пусть точка Мо в пря-
моугольной
Оху
имеет
М(х; у)
системе
координат
координаты
-
хо, Уо,
произвольная
окружности (см. рис.
у
а
точка
48).
Тогда из условия М0 М
= R
Мо(хо; уо) М(х; у)
по-
лучаем уравнение
J(x - хо) 2 +(у - Уо) 2 = R,
то есть
хо) 2 +(у -уо) 2
1(х -
о
х
= R 2 .1 (11.2)
Рис.
Уравнению
ют
(11.2)
координаты
48
удовлетворя­
любой
точки
М (х; у) данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой
точки, не лежащей на окружности.
Уравнение
называется канони'Чески.м уравнением окружно­
(11.2)
сти.
В частности, полагая х 0
=О
= О,
и у0
Уравнение окружности
примет вид х 2
+у2 -
(11.2)
получим уравнение окруж­
= R2•
+ у2
ности с центром в начале координат х 2
после несложных преобразований
2хох - 2уоу + хб + Уб - R 2 = О. При сравнении этого
уравнеIJИЯ с общим уравнением
(11.1)
кривой второго порядка легко
заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:
1) коэффициенты при х 2 и у 2 равны между собой;
2) отсутствует член, содержащий произведение ху
текущих коор­
динат.
Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении
ния В
= О и А = С -1 О,
Ах 2
+ Ау 2 + 2Dx + 2Еу + F
= О.
Преобразуем это уравнение:
х
2
(11.1)
значе­
получим
2
Е
D
F
+ у + 2 Ах + 2 А у + А = О,
т. е.
75
(11.3)
т. е.
(11.4)
Отсюда следует, что уравнение ( 11.З) определяет окружность при усло-
вии
kЕ2 + kD 2 -
F
А >
О. Ее центр находится в точке
0 1(- D
А ; - Е)
А , а
радиус
Если же
* *-
Е2
R=
D2
А2
+ А2
-
F
А.
~ = О, то уравнение (11.3) имеет вид
+
Ему удовлетворяют координаты единственной точки 0 1 ( - ~; - ~). В
этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой
радиус).
Если
kЕ2 + kD 2 -
F
А
<
и равносильное уравнение
О, то уравнение
(11.4),
а следовательно,
(11.3), не определяет никакой
(11.4) отрицательна, а левая
как правая часть уравнения
линии, так
часть
не
-
отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).
11.3.
Эллипс
Каноническое уравнение эллипса
~
Элл.unсом называется множество всех точек плоскости, сумма
расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плос­
кости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая,
чем расстояние между фокусами.
Обозначим фокусы через
~А1(х,у)
расстояние между ними
сумму
расстояний
от
F1 (-7;0)0F2{C;O) ;;
Рис.
49
49).
и
F2 ,
2с,
а
произвольной
точки эллипса до фокусов
(см. рис.
F1
через
-
через 2а
По определению 2а
> 2с,
т. е. а> с.
Для вывода уравнения эллипса
выберем систему координат Оху так,
чтобы фокусы
F1
и
F2
лежали на оси Ох, а начало координат совпа­
дало с серединой отрезка
координаты:
F1(-c;O)
и
F1 F 2 . Тогда
F 2 (c;O).
76
фокусы будут иметь следующие
Пусть М(х; у)
произвольная точка эллипса. Тогда, согласно
-
+ МF 2 = 2а, т. е.
J(x + с) 2 + у 2 + J(x - с) 2 + у 2 = 2а.
определению эллипса, М F 1
(11.5)
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
Преобразуем уравнение
к более простому виду следующим
(11.5)
образом:
J(x
х2
+ 2сх + с2 +
а2 х2
-
у2
+ с)2 + у2
= 2а - J(x - с)2 + у2,
= - 4а · J(x - с) 2 + у 2 + х 2 - 2сх + с2
aJ(x - с) 2 + у 2 = а2 - сх,
4а 2
2а2 сх
(а2
Так как а
> с,
то а 2
-
_
с2
+ а 2 с2 + а 2 у 2 = а4 с2)х2 + а2у2 = а2(а2
> О.
2а 2 сх
_
+ у2 ,
+ с2 х 2 ,
с2).
Положим
(11.6)
Тогда последнее уравнение примет вид Ь2 х 2
х2
~
+ а2 у 2
= а 2 Ь2 или
у2
+ Ь2=1.
~ .Можно доказать, что уравнение
(11.7)
(11.7)
равносильно исходному
уравнению. Оно называется канонu-ческuм
уравнением
эл­
липса.
Эллипс
-
кривая второго порядка.
Исследование формы эnnипса по его уравнению
Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравне­
нием.
1.
Уравнение
(11.7)
содержит х и у только в четных степенях, по­
этому если точка (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадле­
жат точки (х; -у), (-х; у), (-х; -у). Отсюда следует, что эллипс сим-
метричен относительно осей Ох
У Bi(O;b)
и Оу, а также относительно точ­
ки
0(0; О),
которую называют цен­
х
тром элл:иnса.
2.
Найдем точки пересечения
эллипса с осями координат. По­
ложив у
= О, находим две точки
А1(а; О) и Az(-a; О), в которых ось
Ох пересекает эллипс (см. рис. 50).
Рис. 50
Положив в уравнении
(11.7)
х =О,
находим точки пересечения эллипса с осью Оу: В 1 (О; Ь) и В2 (0; -Ь).
Точки А 1 , А2, В 1 , В2 называются вершинами эллипса. Отрезки А 1 А 2 и
В 1 В 2 , а также их длины 2а и 2Ь называются соответственно бо.л:ьшоiJ, и
.малоiJ, осями эллипса. Числа а и Ь называются соответственно большой
и малой полуосями эллипса.
3.
Из уравнения
(11. 7)
следует, что каждое слагаемое в левой части
2
2
не превосходит единицы, т. е. имеют место неравенства ~ ~ 1 и ~ ~ 1
или -а
:::;
х ~ а и -Ь
:::; у :::;
Ь. Следовательно, все точки эллипса лежат
внутри прямоугольника, образованного прямыми х
= ±а, у = ±Ь.
2
2
4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых~ и ~
равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого дру­
гое будет уменьшаться, т. е. если
lxl
возрастает, то
IYI
уменьшается и
наоборот.
Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на
рис.
50
(овальная замкнутая кривая).
Дополнительные сведения об эллипсе
Форма эллипса зависит от отношения 12.. При Ь = а эллипс превраа
щается в окружность, уравнение эллипса (11. 7) принимает вид х 2 +у 2 =
= а 2 • В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются от­
ношением f..
а
~
Отношение ~ половины расстояния между фокусами к большой
полуоси
эллипса называется
эксценmрuсиmеmом
э.n..n.unca
и
обозначается буквой е («эпсилон»):
е = ~' 1
(11.8)
1
причем О < е < 1, так как О < с < а. С учетом равенства
(11.8) можно переписать в виде
(11.6)
формулу
е = Ja2a_ ь2 =Ja2а~ ь2 =Jl _ (~)2,
т. е.
t=J1-(~) 2 и~=~.
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс бу­
дет менее сплющенным; если положить е
=
О, то эллипс превращается
в окружность.
Пусть М(х; у)
F2
(см. рис.
51).
-
произвольная точка эллипса с фокусами
Длины отрезков
F1 M =
r1 и
фокалънu.ми радиуса.ми точки М. Очевидно,
r1
+ r2
78
=
2а.
F2M = r2
F1
и
называются
Имеют место формулы
r1 =
а+ с:х
r2 =
и
а
-
с:х.
у
у
о
х
х=-°'
х= о.
Е
Е
Рис.
х
51
Рис.
52
Прямые х = ±Q называются директрисами эллипса. Значение
€
директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.
Теорема
11.1.
Если
r-
до какого-нибудь фокуса,
расстояние от произвольной точки эллипса
d-
расстояние от этой же точки до соответ­
ствующей этому фокусу директрисы, то отношение а есть постоянная
величина, равная эксцентриситету эллипса: а =
ИЗ равенства (11.6) следует, что а
ние
(11.7)
> Ь.
€.
Если же а
< Ь,
то уравне­
определяет эллипс, большая ось которого 2Ь лежит на оси
Оу, а малая ось 2а
-
на оси Ох (см. рис.
52).
Фокусы такого эллипса
находятся в точках F 1 (О; с) и F 2 (О; -с), где с= ../Ь2 - а 2 .
11.4.
Гипербола
Каноническое уравнение гиперболы
~
Гunepбo.ttoif. называется множество
дуль
всех
точек
разности
плоскости,
расстояний
от
мо­
ка­
d=J.M(x,y)
ждой из которых до двух данных то­
чек этой плоскости, называемых фо­
кусами,
есть величина постоянная,
меньшая, чем расстояние между фо­
кусами.
79
Fi(...:~o)~
Рис.
53
Обозначим фокусы через
F1
и
F2,
расстояние меж,цу ними через 2с,
а мо,цуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов
через 2а. По определению 2а
< 2с,
т. е. а
< с.
Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Оху
так, чтобы фокусы
F1
и
лежали на оси Ох, а начало координат
F2
совпало с серединой отрезка
F1 F 2 (см. рис. 53). Тогда фокусы бу,цут
F1 (-с; О) и F 2 (c; О).
~ Пусть М(х;у) - произвольная точка гиперболы. Тогда согласно
определению гиперболы IMF1 -MF2 1=2а или MF1 -MF2 = ±2а,
т. е. J(x + с) 2 + у 2 - J(x - с) 2 + у 2 = ±2а. После упрощений, как это
иметь координаты
было сделано при выводе уравнения эллипса, получим канони'Чес11:ое
уравнение гипербол:ы
х2
у2
= 1,
(11.9)
1ь2 = с2 - а2 .1
(11.10)
а2 - ь2
где
Гипербола есть линия второго порядка.
Исследование формы гиперболы по ее уравнению
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каконическим уравне­
нием.
~
1.
Уравнение
(11.9)
содержит х и у только в четных степенях. Сле­
довательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу,
а также относительно точки
0(0;0),
которую называют центром гu­
nербол.ы.
2.
Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Поло­
жив у= О в уравнении
(11.9), находим две точки пересечения гипербо­
лыс осью Ох: А 1 (а; О) и А 2 (-а;О). Положив х =О в
(11.9),
получаем
у 2 = -Ь2 , чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не
пересекает.
~
Точки А1(а;О) и А2(-а;О) называются вершинами гиперболы, а
отрезок А1А2 = 2а деitствител.ьноt'J осью, отрезок ОА1 =
= ОА2 =а ~
деiiствител.ьноii. nол.уосью гиперболы.
Отрезок В1В2 (В1В2 = 2Ь), соединяющий точки В1(О; Ь) и В2(О;-Ь)
называется мнимоit осью, число Ь
-
мни.моii. полуосью. Пря­
моугольник со сторонами 2а и 2Ь называется основным прямоугольником гиперболы.
2
3. Из уравнения (11.9) сле,цует, что уменьшаемое ~ не меньше
2
единицы, т. е. что ~ ;::=: 1 или
а
lxl
а
;::=: а. Это означает, что точки гипербо­
лы расположены справа от прямой х
= а (правая ветвъ гиперболы) и
слева от прямой х =-а (лева.я ветвъ гиперболы).
80
у
В1(О;Ь)
х
х=а
х=-а
Рис.
4.
то и
Из уравнения
54
гиперболы видно, что когда
(11.9)
lxl
2
IYI возрастает. Это следует из того, что разность~ -
возрастает,
2
~сохраняет
постоянное значение, равное единице.
Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную
на рисунке
(кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).
54
Асимптоты гиперболы
Прямая
называется acu.м.nmomoiJ, неограниченной кривой К, ес­
L
ли расстояние
d от точки М
кривой К до этой прямой стремится к нулю
при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала ко­
ординат. На рисунке
прямая
L
55
приведена иллюстрация понятия асимптоты:
является асимптотой для кривой К.
2
2
Покажем, что гипербола ~ - ~
= 1 имеет две асимптоты:
1у= ~Х И у= -~Х-1
Так как прямые
(11.11)
и гипербола
(11.11)
симметричны относительно
(11.9)
координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки ука­
занных линий, которые расположены в первой четверти.
Возьмем на прямой у
= Ох
а
точку N имеющей ту же абсциссу х,
что и точка М(х; у) на гиперболе у= О.,/х 2
а
-
а 2 (см. рис. 56), и найдем
разность М N между ординатами прямой и ветви гиперболы:
MN
=
Ь
а
ь
= -х а
-vx
ь
а
(х - ./х 2
х
2 -
а2
ь
= -(х а
а 2 )(х
+ ../х 2
+ ./х 2 -
а2
-
-
vx
~-2 - а2 )
а2 )
ь
а х
81
=
а2
+ ../х 2 -
аЬ
а2
х+./х 2 -а 2
М
'
Рис.
L
Рис.
55
56
Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается;
числитель
-
есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка
М N стремится к нулю. Так как М N больше расстояния
d от
точки М
до прямой, то d и подавно стремится к нулю. Итак, прямые у= ±Q.x
а
являются асимптотами гиперболы
(11.9).
х
х
Рис.
Ji
Рис.
57
При построении гиперболы
58
(11.9) целесообразно сначала построить
57), провести пря­
основной прямоугольник гиперболы (см. рис.
мые, проходящие через противоположные вершины этого прямоуголь­
ника,
-
асимптоты гиперболы и отметить вершины А 1 и А 2 гиперболы.
Уравнение равносторонней гиперболы,
асимптотами которой служат оси коорАинат
~
Гипербола
равны (а
(11.9)
называется равносmоронкеii, если ее полуоси
= Ь). Ее каноническое уравнение
х2
-
у2
=
а2.
(11.12)
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения у=х и у=-х
и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.
Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат
Ох'у' (см. рис.
58),
полученной из старой поворотом осей координат
82
=
на угол а
-1· Используем формулы поворота осей координат (их
вывод показан на с.
63):
х
= х' cosa -у' sina,
у = х'
+ у' cos а.
sin а
Подставляем значениях и у в уравнение
(
-47!") -
Х 1 COS (
• (
у 1 SШ
-47!")) 2 -
1
где
k =
1
-47!")
( Х 1 Slll
• (
1
2
1
,
2
2(х + у ) - 2(-х + у ) =
1
а
2
х
,
(11.12):
,
+у 1 COS (
,
·у =
а2
2,
-47!")) 2 =а 2 ,
или у
,
k
= х' ,
а2
2 .
Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу
являются асимптотами, будет иметь вид у = k.
х
Дополнительные сведения о гиперболе
~
Эксценmрисиmетом гиперболы
(11.9)
называется отношение
расстояния между фокусами к величине действительной оси ги­
перболы, обозначается с::
Так как для гиперболы с
ше единицы: с:
> 1.
> а,
Действительно, из равенства
~ =~ис:=
то эксцентриситет гиперболы боль­
Эксцентриситет характеризует форму гиперболы.
(11.10)
следует, что ~ = ~ а
J1+ (Ю2·
а
1,
т. е.
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем
меньше отношение О. ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основ­
а
ной прямоугольник.
Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен
тельно,
с: = ~
а
а
У--;;?
= J(x + с) 2 + у 2
точек правой ветви гиперболы имеют вид
для левой
-
ri = -(Е:х +а) и r2
Прямые х
= ±Q
для гиперболы с:
с:
Действи-
J а2 + а2 = ~ = J2.
=
Фокалънъ~е радиусъt r 1
,/2.
=
и r2
= J(x - с) 2 + у 2
+ а и r 2 = Е:Х -
r 1 = с:х
для
а, а
-(с:х - а).
называются директрисами гиперболы. Так как
> 1,
то Q
с:
<
а. Это значит, что правая директриса
расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая
между центром и левой вершиной.
83
-
ДиреКТрИСЫ ГИПербОЛЫ ИМеЮТ ТО Же СВОЙСТВО а= е, ЧТО И ДИрек­
ТрИСЫ эллипса.
2
2
Кривая, определяемая уравнением~ - ~
= 1, также есть гипер-
бола, действительная ось 2Ь которой расположена на оси Оу, а мнимая
ось 2а
-
на оси Ох. На рисунке
59
она изображена пунктиром.
х
__
,.,
...---------··
--
-Рис.
2
59
2
2
2
Очевидно, что гиперболы ~ - ~ = 1 и ~ - ~ = 1 имеют общие
асимптоты. Такие гиперболы называются соnряже1ти.ми.
11.5.
Парабола
Каноническое уравнение параболы
Парабо.лоtl. называется множество всех точек плоскости, каждая из
которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и
данной прямой, называемой директрисоii. Расстояние от фокуса
F
до
директрисы называется пара.метром параболы и обозначается через р
(р >О).
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху
так, чтобы ось Ох проходила через фокус
F
трисе в направлении от директрисы к
а начало координат О рас­
F,
перпендикулярно дирек­
положим посередине между фокусом и директрисой (см. рис.
60).
В
выбранной системе фокус F имеет координаты ( ~; О), а уравнение директрисы имеет вид х =-~,или х +~=О.
84
Пусть М(х; у)
М с
F.
произвольная точка параболы. Соединим точку
-
Проведем отрезок М N перпендикулярно директрисе. Согласно
определению параболы
MF = MN.
По формуле расстояния между
двумя точками находим:
МF
=
v(х
-
ю 2 + у2,
v(х
Следовательно,
ю 2 + у2 =
-
v(х
+ ю 2.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
2
х2 - рх + Т
2
+ у2 = х2 + рх + Т'
т. е.
(11.13)
Уравнение
(11.13)
называется канони'Ческим уравнением параболы. Па­
рабола есть линия второго порядка.
у
:е.
у
2
N
о
х
х
о
х--2.
2
F(~;O)
Рис.
Рис.
60
61
Исследование форм параболы по ее уравнению
1.
В уравнении
(11.13)
переменная у входит в четной степени, зна­
чит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью
симметрии параболы.
2.
Так как р
> О,
то из
(11.13)
следует, что х ~ О. Следовательно,
парабола расположена справа от оси Оу.
3.
При х
= О имеем у = О. Следовательно, парабола проходит через
начало координат.
4.
При неограниченном возрастании х модуль у также неограничен­
но возрастает. Парабола у 2 = 2рх имеет вид (форму), изображенный
на рисунке
FМ = r
61.
Точка
0(0; О)
называется вершино11 параболы, отрезок
называется фокальним радиусом точки М.
85
Уравнения у 2
= -2рх, х 2 = 2ру, х 2 = -2Р'У
ляют параболы, они изображены на рисунке
у
(р >О) также опреде­
62.
у
х
о
у2
х2
= -2рх
х
= 2ру
Рис.
х 2 = -2P'!J
62
Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена у = Ах 2
+
+Вх+С, где А =j:. О, В и С любые действительные числа, представляет
собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
11.б. Общее уравнение линий второго порядка
Уравнения кривых второго поряАка с осями симметрии,
параллельными координатным осям
Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке
01(XoiYo),
оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и
полуоси соответственно равны а и Ь. Поместим в центре эллипса
01
начало новой системы координат 0 1 х 1 у 1 , оси которой 0 1 х 1 и 0 1 у 1 па­
раллельны соответствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними напра­
вленны (см. рис.
63).
В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид
х
,2
у
,2
~+ Ь2=1.
Так как х'
с.
62),
= х-х 0 , у'= х -у0 (формулы параллельного переноса, см.
то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в
виде
(х
- хо) 2
а2
+
(у - Уо) 2 _ 1
ь2
- .
Аналогично рассуждая, получим уравнение гиперболы с центром
в точке О1(хо;Уо) и полуосями а и Ь (см. рис.
(х -
хо) 2 _
(у -
а2
Уо) 2
ь2
64):
=1
.
И, наконец, параболы, изображенные на рисунке
ствующие уравнения.
86
65,
имеют соответ­
у
у
у'
ь
уо
х'
х'
Уо
01
х
о
х
о
Хо
Рис.
у
Рис.
63
у'
у
64
у'
х'
х'
Уо
Уо
01
х
о
х
о
Хо
(у -уо) 2 = 2р(х-хо)
(у
Хо
- Уо) 2 = -2р(х - хо)
у
у
у'
х'
yot-----...---х
х'
х
0
(х
Хо
- хо) 2 = 2р(у - Уо)
(х
Рис.
Уравнение Ах2
- хо) 2 = -2р(у - Уо)
65
+ Су2 + 2Dx + 2Еу + F =О
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружно­
- х0 ) 2 +(у -у0 ) 2 = R 2 после преобразований (раскрыть скобки,
сти (х
перенести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные чле­
ны, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с
помощью единого уравнения вида
Ах 2
+ Су 2 + 2Dx + 2Еу + F = О,
(11.14)
где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида
(11.14)
определяет од­
ну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго по­
рядка? Ответ дает следующая теорема.
87
Теорема
11.2.
Уравнение
=
(11.14)
всегда определяет: либо окружность
(при А
С), либо эллипс (при А · С > О), либо гиперболу (при
А·С <О), либо параболу (при А·С =О). При этом возможны случаи
вырождения: для эллипса (окружности)
липс (окружность), для гиперболы
для параболы
в пару параллельных прямых.
-
Пример
11.1. Установить вид кривой
уравнением 4х 2 + 5у 2 + 20х - ЗОу + 10 =О.
Q
в точку или мнимый эл­
-
в пару пересекающихся прямых,
-
второго порядка, заданной
Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс (А ·С =
4·5
>
>О). Действительно, проделаем следующие преобразования:
4 ( х 2 + 5х + 2]) + 5(у 2
4(х+Ю
2
+5(у-3) 2
бу + 9) - 25 - 45 + 10 = О,
-
(х+~) 2 + (у-З)2
=60,
15
12
=1.
Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в 0 1 ( - ~;
полуосями а =
v115 и
Ь=
-/I2.
3) и
8
Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной
уравнением х 2 + 10х - 2у + 11 =О.
Q
Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С= О). Дей­
ствительно,
х 2 +10х + 25 - 2у + 11 - 25 =О,
(х + 5) 2 = 2у + 14,
(х + 5) 2 = 2(у
+ 7).
Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке
01(-5;-7)
и р
Пример
= 1.
11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной
уравнением 4х 2 -у 2
Q
•
+ 8х -
8у
- 12 =О (А· С= -4 <О).
Решение: Преобразуем уравнение:
4(х 2 + 2х + 1) - (у 2 + 8у + 16) - 4 + 16 - 12 =О,
4(х
(2(х
+ 1)
+ 1) 2
-
(у+ 4) 2 =О,
+(у+
(2х
4)) · (2(х + 1) +у+ 6)(2х - у - 2)
88
(у+
=О.
4))
=О,
Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые 2х
и 2х -у-
+у +6 =
2 =О.
О
8
Общее уравнение второго поряАка
Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:
Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2Dx + 2Еу + F = О.
Оно отличается от уравнения
координат (В
=f. О).
(11.14)
(11.15)
наличием члена с произведением
Можно, путем поворота координатных осей на угол
а, преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением
координат отсутствовал.
Используя формулы поворота осей (с.
х
=
х1
cosa
-у 1
у= х 1
sina,
63)
sina +у' cosa,
выразим старые координаты через новые:
А(х' cosa -у' sina) 2 + 2В(х' cosa - у 1 sina)(x' sina + у 1 cosa)+
+ С(х' sin а+ у 1 cosa) 2 + 2D(x 1 cosa - у' sin а)+
+ 2Е(х' sina +у' cosa) + F =О.
Выберем угол а так, чтобы коэффициент при х'
· у'
обратился в
нуль, т. е. чтобы выполнялось равенство
-2А cos а sin о:+ 2B(cos 2 о: - sin 2 о:) + 2С sin а cos о: = О,
т. е.
(С
т. е.
-
А)
sin 2о: +
2В cos 2о:
=
Отсюда
(А
2В cos2o: =О,
-
С)
(11.16)
sin 2о:.
2В
tg2o: =А- с·
(11.17)
Таким образом, при повороте осей на угол о:, удовлетворяющий
условию
(11.17),
уравнение
(11.15)
сводится к уравнению
Вывод: общее уравнение второго порядка
(11.15)
(11.14).
определяет на
плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следу­
ющие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
Заме'Ч.шние: Если А= С, то уравнение
случае
А
cos2o:
=О (см.
(11.16)),
(11.17) теряет смысл. В этом
= 90°, т. е. о:= 45°. Итак, при
повернуть на 45°.
тогда 2а
= С систему координат следует
Глава
IV.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
1
Лекции 10-121
§ 12.
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
12.1.
Основные понятия
Поверхность и ее уравнение
~
Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать
как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо
условию. Например, сфера радиуса
R
с центром в точке
01
есть гео­
метрическое место всех точек пространства, находящихся от точки
на расстоянии
01
R.
Прямоугольная система координат
в пространстве позволя­
Oxyz
ет установить взаимно однозначное соответствие между точками про­
странства и тройками чисел х, у и
z -
их координатами. Свойство,
общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, свя­
зывающего координаты всех точек поверхности.
~
Уравнением данноit поверхности в прямоугольной системе
координат
Oxyz
переменными х, у и
называется такое уравнение
z,
F(x, у, z)
=О с тремя
которому удовлетворяют координаты каждой
точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты то­
чек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и
z
в уравнении
поверхности называются текущими координатами точек поверх­
ности.
Уравнение
поверхности
позволяет
изучение
геометрических
свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для
того, чтобы узнать, лежит ли точка М1 ( х 1 ; у 1 ;
z1)
на данной поверхно­
сти, достаточно подставить координаты точки М1 в уравнение поверх­
ности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют урав­
нению,
то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют
-
не
лежит.
Уравнение сферы
Найдем уравнение сферы радиуса
R с центром в точке 01 (хо; Уо; zo).
z) от
центра О1(хо; Уо; zo) равно радиусу R, т. е. О1М = R. Но О1М = I01MI,
где О1М = (х - хо; у - уо; z - zo). Следовательно,
Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у;
J(x - хо) 2
+ (у -
Уо) 2
90
+ (z -
zo) 2
=R
или
/ (х -
хо) 2 + (у - Уо) 2 + (z - zo) 2
= R2 • ,
Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты
любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на
данной сфере.
Если центр сферы
совпадает с началом координат, то уравнение
01
сферы принимает вид х 2
+ у2 + z2 =
R2 •
F(x; у; z) =
Если же дано уравнение вида
О, то оно, вообще говоря,
определяет в пространстве некоторую поверхность.
Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях
уравнение
F(x; у; z)
=О может определять не поверхность, а точку, ли­
нию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят,
«поверхность вырождается».
Так, уравнению 2х 2
+ у2 + z 2 + 1 =
действительные значениях, у,
О не удовлетворяют никакие
Уравнению О· х 2
z.
+ у2 + z2
=О удовле­
творяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения
следует: у= О,
z
=О, ах
любое число).
-
Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и
аналитически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:
1.
Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти урав­
нение этой поверхности.
2.
Дано уравнение
= О. Исследовать форму поверхности,
F(x; у; z)
определяемой этим уравнением.
Уравнения линии в пространстве
Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересе­
чения двух поверхностей (см. рис.
66)
или как геометрическое место
точек, общих двум поверхностям.
Если
F 1 (x;y;z)
=О и
F 2 (x;y;z) =О - уравнения двух поверхно­
L, то координаты точек этой линии удо­
стей, определяющих линию
влетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:
{
~
Уравнения системы
Fi(x;y;z) =О,
F2(x; у; z)
(12.1)
(12.1)
=О.
называются уравнениями. ли.ни.и. в
пространстве. Например,
{ у-- о '
z=O
есть уравнения оси Ох.
Линию в пространстве можно рассматривать как траекторию дви­
жения точки (см. рис.
67).
В этом случае ее задают векторн:ы.м урав-
нение.м
r
= r(t)
91
(12.2)
z
Fi (х; у; z) =0
z
M(x;y;z)
у
у
х
Рис.
66
Рис.
67
или параметри-ческими уравнени.я.ми
{
проекций вектора
(12.2)
х = x(t),
у = y(t),
z = z(t)
на оси координат.
Например, параметрические уравнения винтовоi~ .линии имеют
вид
{
х = Rc~st,
у= Rsшt,
Z -
-
At •
27Г
Если точка М равномерно движется по образующей кругового ци­
линдра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М
описывает винтовую линию (см. рис.
12.2.
68).
Уравнения плоскости в пространстве
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в про­
странстве
Oxyz
можно задать разными способами. Каждому из них
соответствует определенный вид ее уравнения.
Уравнение плоскости, прохоАящей через Аанную точку
перпенАикулярно данному вектору
Пусть
в
пространстве
Oxyz
плоскость
n
Q
задана
точкой
М0 (х 0 ; у0 ; z0 ) и вектором
= (А; В; С), перпендикулярным этой плос­
кости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней
произвольную точку
M(x;y;z)
МоМ = (х
и составим вектор
-
хо; у - Уо;
92
z - zo).
z
h
у
х
Рис.
68
Рис.
При любом расположении точки М на плоскости
Q
69
векторы
nи
М0 М взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение
равно нулю:
n · М0 М =
О, т. е.
/ А(х - хо)
+ В(у - Уо) + C(z -
Координаты любой точки плоскости
(12.3),
Уравнение
(12.3)
n · М0 М
n
Q,
этому уравне­
"#О).
называется уравнением плоскости, прохо-
дящеii. через данную точку Мо(хо; уо;
вектору
(12.3)
удовлетворяют уравнению
координаты точек, не лежащих на плоскости
нию не удовлетворяют (для них
~
Q
zo) =О.,
zo)
перпендикулярно
= (А; В; С). Оно первой степени относительно текущих
координат х, у и
z.
Вектор
n=
(А; В; С) называется нормальным
вектором плоскости.
Придавая коэффициентам А, В и С уравнения
(12.3)
различные
значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей
через точку М0 . Совокупность плоскостей, проходящих через данную
точку, называется связкоt/, п.лоскостеti,, а уравнение
(12.3) -
уравнени­
ем связки п.лоскостеt/,.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными
х, у и
z:
Ах+ Ву+
Cz
93
+ D = О.
(12.4)
Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не
равен нулю, например В
f. О,
перепишем уравнение
(12.4)
в виде
А(х-О)+в(у+ ~) +C(z-0) =0.
(12.5)
Сравнивая уравнение
(12.5) с уравнением (12.3), видим, что урав­
(12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным
вектором n = (А; В; С), проходящей через точку М1 (О; ~;О).
нения
-
~
Итак, уравнение
(12.4)
определяет в системе координат
которую плоскость. Уравнение
(12.4)
Oxyz
не­
называется общим уравне­
нием n,11,ocкocmu.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1.
Если
D =
О, то оно принимает вид Ах+ Ву+
уравнению удовлетворяет точка
0(0; О; О).
Cz
=О. Этому
Следовательно, в этом слу­
чае nлоскостъ проходит 'Через на-чало координат.
2.
вектор
Если С
n=
= О, то имеем уравнение Ах+ Ву+ D = О.
(А; В; О) перпендикулярен оси
костъ параллелъна оси
Oz;
Oz.
Нормальный
Следовательно, nлос­
если В= О- параллельна оси Оу, А=
0-
параллельна оси Ох.
= D = О, то плоскость проходит через 0(0; О; О) парал­
Oz, т. е. плоскость Ах+ Ву = О проходит 'Через осъ Oz.
Аналогично, уравнениям Ву+ Cz =О и Ах+ Cz =О отвечают плоско­
3.
Если С
лельно оси
сти, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.
4. Если
т. е. z =
А= В= О, то уравнение
(12.4)
принимает вид
Cz + D
=О,
-g. Плоскость параллелъна плоскости Оху. Аналогично,
уравнениям Ах+
D = О отвечают плоскости, соответ­
Oyz и Oxz.
5. Если А =В = D =О, то уравнение (12.4) примет вид Cz = О, т. е.
z =О. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у= О - уравнение
плоскости Oxz; х =О - уравнение плоскости Oyz.
D =
О и Ву+
ственно параллельные плоскостям
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют
Q, проходящей
M1(x1;Y1;z1), M2(x2;y2;z2) и Мз(хз;уз;zз), не
единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости
через три данные точки
лежащие на одной прямой.
Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у;
=
z)
и составим
=
векторы М1М
(х-х1; у-у1; z - z1), М1М2
(х2 - X1iY2 -у1; z2 -z1),
М1Мз = (хз - Х1; Уз - У1; zз - z1). Эти векторы лежат на плоскости Q,
следовательно, они компланарны. Используем условие компланарно­
сти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем
94
Уравнение
(12.6)
Х-Х1
у -у1
Z - Z1
Х2 - Х1
У2 - У1
Z2 - Z1
Х3
Уз
-
Z3 - Z1
- Х1
У1
=
(12.6)
Q.
есть уравнение плоскости, проход.ящеi1 'Ч,ерез три дшн-
ные то-чки.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и
Oz
соответственно
отрезки а, Ь и с, т. е. проходит через три точки А(а; О; О), В(О; Ь; О) и
С(О; О; с) (см. рис.
70).
Подставляя координаты этих точек в уравнение
х-а
у
z
-а
Ь
О
-а
О
с
+ abz =
аЬс или
х
-
получаем
=О.
+ abz +асу
z
а+ ь +с = 1.
Раскрыв определитель, имеем Ьсх
(12.6),
аЬс
= О, т. е. Ьсх +асу +
у
(12.1)
z
с
в
у
х
Рис.
Уравнение
Рис.
70
(12.7)
71
называется уравнением n,11,ocкocmu в отрез­
ках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости
Q
вполне определяется заданием единично­
го вектора ё, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного
на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра
(см. рис.
71).
95
Пусть ОК
= р,
а а,
'У
(3,
тором ё с осями Ох, Оу и
углы, образованные единичным век­
-
Oz.
Тогда ё
= (cosa; соs(З; COS"f).
Возьмем
на плоскости произвольную точку М(х; у;
z) и соединим ее с началом
координат. Образуем вектор f= ОМ= (x;y;z).
При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиусвектора
f
на направление вектора ё всегда равно р: прё
r·ё=рили
r
= р,
lr·ё-p= о.1
Уравнение
(12.8)
т. е.
(12.8)
называется нормалънъtм уравненttем плоскостtt
в векторноii. форме. Зная координаты векторов
f и ё, уравнение (12.8)
перепишем в виде
1xcosa + усоs(З + zcos"( - р = 0.1
~
Уравнение
(12.9)
(12.9)
называется нормал:ьним уравнением плос­
кости в кoopiJuнamнou форме.
Отметим, что общее уравнение плоскости
нормальному уравнению
(12.9)
(12.4)
можно привести к
так, как это делалось для уравнения
прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения
на нормирующий множитель.>.= ±
(12.4)
J А2 1В 2 + 02 , где знак берется
противоположным знаку свободного члена
D
общего уравнения плос­
кости.
12.3.
Плоскость. Основные задачи
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности
и перпендикулярности двух плоскостей
Пусть заданы две плоскости
Q1
и
Q2:
+ В1у + C1z + D1 =О,
А2х + В2у + C2z + D2 = О.
А1х
~
Под углом ме-;нсiJу nлоскост.ями
Q1
и
Q2 понимается один из
двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Угол 'Р между нормальными векторами
(А 2 ; В 2 ; С2 ) плоскостей
рис.
72) . п оэтому cos <р =
COS!.p
=
Q1
и
n1 = (А1; В1; С1) и n2 =
Q2 равен одному из этих углов (см.
In1fi1I ·. fi2
f
f
n2
А1А2
или
+ В1В2 + С1С2
vAf + Bt + Ct . vА~ + в~ + с5 .
Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.
Если плоскости
Q1
и
Q2
перпендикулярны (см. рис.
ковы же их нормали, т. е. fi 1 J_
n2
73,
а), то та­
(и наоборот). Но тогда fi1 · n2
96
= О,
б
а
т. е. А 1 А 2
Рис.
72
Рис.
В1В2
+
+
73
С1С2 =О. Полученное равенство есть условие пер­
пендикулярности двух плоскостеiJ.
Если плоскости
Q1
и
Q2
n1 и n2
параллельны и их нормали
Q1
Q2 .
и
параллельны (см. рис.
73,
б), то будут
(и наоборот). Но тогда, как известно,
координаты векторов пропорциональны:
условие параллельности двух плоскостей
4; = ~ = ~. Это и есть
Q1
и
Q2 •
Расстояние от точки до плоскости
Пусть задана точка Мо(хо; Уо;
Ах+ Ву+
Cz
+D =
zo) и плоскость Q своим уравнением
d от точки Мо до плоскости Q
О. Расстояние
находится по формуле
DI .
d = IAxo + Вуо + Czo +
./А2 + в2 +с2
Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от
точки Мо(хо;Уо) до прямой Ах+ Ву+ С= О (см. с.
Расстояние
d
от точки Мо до плоскости
ции вектора М1 М0 , где
Q,
M 1(x 1;y1;z1)
Q
73).
равно модулю проек­
-произвольная точка плоскости
на направление нормального вектора
n=
(А; В; С) (см. рис.
74).
Следовательно,
d=I п _ММ I= 1f:ZJifo·n1= l(xo-x1)A+(yo-Y1)B+(zo-z1)CI =
Рп 1 о
lnl
-./ А2+В2+с2
IAxo+Byo+Czo-Ax1 -Ву1 -Cz1I
=----vr=A:;;;;2=+=в::=;2;;:=+=c~2----
A
так как точка М1(х1; у1;
Ах1
Ву1
+ Cz1 + D
принадлежит плоскости
=О,
т. е.
D=
-Ах1
-
Q,
Ву1
то
- Cz1.
IAxo + Вуо + Czo + DI
./
· . Отметим, что если плоскость Q
vA2 +в2 +с2
уравнением х cos а + у cos (3 + z cos 'У - р = О, то расстояние от
Поэтому
задана
+
z1)
d =
97
точки М0 (х 0 ; у0 ; z0 ) до плоскости
Q может
быть найдено по формуле
d = lxo cosa + Уо соs(З + zo cos1 -
PI·
L
z
а
х
х
Рис.
12.4.
Рис.
74
75
Уравнения прямой в пространстве
Векторное уравнение прямой
~
Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать
какую-либо точку М0 на прямой и вектор
прямой:. Вектор
S
S,
параллельный этой
называется направляющим вектором npямoii.
Пусть прямая
L задана ее точкой: Мо(хо; Yoi zo) и направляющим векто­
(т; п; р). Возьмем на прямой: L произвольную точку М (х; у; z).
Обозначим радиус-векторы точек М0 и М соответственно через fo и f.
ром
S=
Очевидно, что три вектора
r0 , f
и М0 М связаны соотношением
f= fo
(12.10)
+МоМ.
Вектор М0 М, лежащий: на прямой:
L,
параллелен направляюще­
му вектору S, поэтому М0 М = tS, где t -
скалярный множитель,
называемый параметром, может принимать различные значения в за­
висимости от положения точки М на прямой (см. рис.
Уравнение
(12.10)
75).
можно записать в виде
/r= ro +ts. /
~
Полученное
уравнение
называется
(12.11)
вепmорн'Ьl.М
уравнением
np.ямoii..
Параметрические уравнения прямой
Замечая, что f = (x;y;z), fo = (x 0 ;yo;zo), tS = (tm;tn;tp), уравне­
ние
(12.11)
можно записать в виде
xi + yJ + zk = (хо
+ tm)i + (Уо + tn)J + (zo + tp)k.
98
Отсюда следуют равенства:
{
х =хо+ mt,
у= Уо +nt,
Z = Zo + pt.
(12.12)
Они называются параметри'Ческими уравнениями прямоii, в простран­
стве.
Канонические уравнения прямой
Пусть § = (т; п; р)
и Мо(хо; уо;
- направляющий вектор прямой L
точка, лежащая на этой прямой. Вектор МоМ, соеди­
zo) -
няющий точку М0 с произвольной точкой М (х; у;
z)
прямой
L, паралле­
лен вектору§. Поэтому координаты вектора М0 М =(х-х 0 ; у-у0 ; z-z0)
и вектора§= (т; п;р) пропорциональны:
\7=~=7·\
~
Уравнения
(12.13)
(12.13)
называются канони'Ческими уравнени.ями
npямoit в пространстве.
Заме'Чания:
1)
Уравнения
(12.13)
можно было бы получить сразу
из параметрических уравнений прямой
Из уравнений
(12.12)
(12.12),
исключив параметр
t.
находим
х - хо
у - Уо
z - zo
- - = - - = - - = t.
т
2)
п
р
Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений
(12.13)
означает обращение в нуль соответствующего числителя.
Например, уравнения х 32 = У~ 4 =
ходящую через точку М0 (2;
z
0 1 задают прямую, про­
перпендикулярно оси
-4; 1)
Oz
(проекция
вектора§ на ось Oz равна нулю). Но это означает, что прямая лежит
в плоскости
z = 1,
и поэтому для всех точек прямой будет
z- 1
=О.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей
через две точки
Пусть прямая L проходит через точки М1(х1 ;у1;
z1)
и М2(х2; у2;
z2).
В качестве направляющего вектора § можно взять вектор М1 М 2 =
= (х2 -х1;У2 -у1; z2 - z1), т. е. S = М1М 2 (см. рис. 76). Следовательно,
= х2 - Х1 , п = У2 - У1, р = z2 - z1. Поскольку прямая проходит
через точку M 1 (x 1 ;y1 ;z1 ), то, согласно уравнениям (12.13), уравнения
прямой L имеют вид
т
Х
-
Х1
=
У
-
99
У1
Z - Z1
=---
(12.14)
Уравнения
называются уравненu.ямu npямoii., npoxoiJя­
(12.14)
щeii. через две данwые mо-чкu .
z
t;~L
.
о
А
х
Рис.
Рис.
76
77
Общие уравнения прямой
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух
непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений
{ А1х + В1у + C1z + Di =О,
А2х
+ В2у + C2z + D2 =
(12.15)
О.
Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плос­
=
=
кости не параллельны (координаты векторов n1
(А1; В 1 ; С1) и n2
= (А 2 ; В2 ; С2 ) не пропорциональны), то система (12.15) определяет пря­
мую
L
как геометрическое место точек пространства, координаты ко­
торых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис.
Уравнения
(12.15)
77).
называют общими уравнения.ми пр.я,.м,оii.
От общих уравнений
(12.15) можно перейти к каноническим урав­
(12.13). Координаты точки М0 на прямой L получаем из систе­
уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значе­
нениям
мы
ние (например,
z
=О).
Так как прямая
L
перпендикулярна векторам
n1
и
n2 , то за напра­
вляющий вектор § прямой L можно принять векторное произведение
§
= n1
х fi2
=
i
j
k
Ai
В1
С1
А2
В2
С2
Заме'Чание: Канонические уравнения прямой легко получить, взяв
две какие-либо точки на ней и применив уравнения
100
(12.14).
Пример
12.1.
Написать канонические уравнения прямой
L,
за­
данной уравнениями
- z + 1 = О,
{ х2х+у
- у - Зz + 5 = О.
Q
Решение: Положим
О и решим систему
z=
-1,
{ х2х+у=
-у= -5.
Находим
точку М1(-2; 1; О) Е L. Положим у= О и решим систему {x-z=-l,
2x-3z=-5.
Находим вторую точку М2 (2; О;
прямой
L,
3)
прямой
L.
Записываем уравнение
проходящей через точки М1 и М2 :
х+2
у-1
z
4
-1
3
•
12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Угол межАУ прямыми. Условия параллельности
и перпенАикулярности прямых
Пусть прямые
L1
и
L2
заданы уравнениями
Z - Z1
Р1
и
у-у2
n2
т2
Р2
Под углом между этими прямыми по­
нимают угол между направляющими
векторами S1
= (m1; n1; Р1) и S2 =
Рис. 78
= (m2;n2;P2) (см. рис. 78). Поэтому,
по известной формуле для косинуса угла между векторами, получаем
_ 81 · 82
coscp -
IB1l · IS2I
или
(12.16)
L 1 и L 2 числитель пра­
(12.16) следует взять по модулю.
Если прямые L 1 и L 2 перпендику.лярны, то в этом и только в этом
случае имеем coscp =О. Следовательно, числитель дроби (12.16) равен
нулю, т. е. m1m2 + n1n2 + Р1Р2 =О.
Для нахождения острого угла между прямыми
вой части формулы
101
Если пр.я.м:ые
ющие векторы
и
L1
пара.л.ле.лън:ы, то параллельны их направля­
L2
S1 и S2 • Следовательно, координаты этих векторов про­
порциональны, т. е. :!!ll. = !!.1. = Е1...
m2
n2
Р2
12.2.
Пример
Найти угол между прямыми
х
у-2
2
-1
z+2
3
+у - z - 1 =О,
{ 2х
2х - у + 3z + 5 = О.
и
0
Решение: Очевидно, S1 = (2; -1; 3), а S2 = n1 xn2, где n1=(2;1; -1),
= (2; -1; 3). Отсюда следует, что S2 = (2; -8; -4). Так как S1 · S2 =
= 4 + 8- 12 =о, то 'Р = 90°.
•
n2
Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости
Пусть прямые
L1
и
заданы каноническими уравнениями
L2
Z -
z
Z1
Р1
и
Z -
Их
направляющие векторы
у
(см. рис.
79).
Прямая
79
проходит
L1
обозначим через
z2),
через
радиус-вектор
M1(x1;y1;z1),
через точку М2(х2; у2;
соответст­
венно S1 = (m1;n1;P1) и S2 = (m2;n2;P2)
х
Рис.
Z2
r 1 ; прямая L 2
точку
которой
проходит
радиус-вектор которой обозначим через f2.
Тогда
f2 - f1
= М1М2 = (х2 -
х1;У2
-y1;z2 - z1).
Прямые L 1 и L 2 лежат в одной плоскости, если векторы
М1 М2
= r 2 -r1
S1 , S2
и
компланарны. Условием компланарности векторов явля­
ется равенство нулю их смешанного произведения:
(r2
-
r 1 )S1 S2 =
О,
т. е.
Х2
-
Х1
У2
- Yl
Z2 - Z1
=0.
Р1
Р2
При выполнении этого условия прямые
L1
кости, то есть либо пересекаются, если S2
если S1 11 S2.
102
и
f.
L2
лежат в одной плос­
ЛS 1 , либо параллельны,
12.б. Прямая и плоскость в пространстве.
Основные задачи
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности
и перпендикулярности прямой и плоскости
Пусть плоскость
Q
задана уравнением Ах
+ Ву + С z + D
=
О, а
прямая L уравнениями х - Хо = У...:::...11.о. = z - zo .
т
~
п
р
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух
смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плос­
кость. Обозначим через <р угол между плоскостью
через() -
рис.
80).
Q
и прямой
L,
а
n = (А;В;С) и S = (т;п;р) (см.
~I · Найдем синус угла <р, считая <р ~ ~:
угол между векторами
Тогда
cos()
=
,:i:
sinip = sin(~ - ()) = cos(). И так как sin<p ~О, получаем
sin<p
=
\Ат+ Вп + Ср\
J А2 + в2 + с2 . ..jm2 + п2 + р2
.
(12.17)
Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы
пендикулярны (см. рис. 81), а потому S · n =О, т. е.
n и S пер­
Am+Bn+Cp=O
~
является условием параллельности прямой и плоскости.
L
Q
Q
Рис.
Рис.
80
81
L
Рис.
82
Если пряма.я L перпендикулярна плоскости Q, то векторы
параллельны (см. рис.
~
82).
nи S
Поэтому равенства
А
В
С
т
n
р
являются условия.ми nерnендuку.аярносmи прямой и плоско­
сти.
103
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности
прямой плоскости
Пусть требуется найти точку пересечения прямой
с плоскостью
х-хо
у-уо
т
п
=
z-zo
(12.18)
р
(12.19)
Ax+By+Cz+D =0.
(12.18) и (12.19). Проще все­
записав уравнения прямой (12.18) в параметрическом
Для этого надо решить систему уравнений
го это сделать,
виде:
{
х =хо +тt,
у= Уо + nt,
Z = Zo + pt.
Подставляя эти выражения для х, у и
z в уравнение плоскости (12.19),
+ тt) + В(уо + nt) + C(zo + pt) + D =О или
t(Ат + Вп + Ср) + (Ахо + Вуо + Czo + D) =О.
(12.20)
Если прямая L не параллельна плоскости, т. е. если Ат+ Вп + Ср # О,
получаем уравнение А(хо
то из равенства
(12.20)
t
находим значение t:
+ Вуо + С zo + D .
= - АхоАт+Вn+Ср
Подставляя найденное значение
t
в параметрические уравнения пря­
мой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим теперь случай, когда Ат+ Вп
+
+
+
+ Ср =О (L 11 Q):
#
а) если F = Ах0
Ву0
Czo D
О, то прямая L параллель­
на плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (12.20) решения не
имеет, так как имеет вид О· t
б) если Ахо
t · О +О =
+F
+ Вуо + Czo + D
=О, где
=
F #О);
О, то уравнение
О; ему удовлетворяет любое значение
t,
(12.20)
имеет вид
любая точка прямой
является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: пря­
мая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение
равенств
{ Ат+Вn+Ср =О,
Ахо
~
12. 7.
~
+ Вуо + С zo + D = О
является условием nринадле-:нсности npямoii. плоскости.
Цилиндрические поверхности
Поверхность, образованная движением прямой
L,
которая переме­
щается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пере­
секая каждый раз некоторую кривую К, называется ци.л,индрическоiJ
104
поверхностью или цил,индром. При этом кривая К называется на­
nравJt.Яющеit цилиндра, а прямая
L - его
образующеit (см. рис.
83).
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляю­
щие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие
параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия К, уравнение ко­
торой
=О.
F(x;y)
(12.21)
Построим цилиндр с образующими параллельными оси О z и направля­
ющей К.
Теорема
12.1.
Oz,
лельны оси
Уравнение цилиндра, образующие которого парал­
имеет вид
т. е. не содержит координаты
(12.21),
z.
z
L
•М х;
к
;z)
-у
...J._.L.J_L._i...N;tr-к
Рис.
Рис.
83
О Возьмем на цилиндре любую точку М(х; у;
жит на какой-то образующей. Пусть
N -
z)
84
(см. рис.
84). Она ле­
точка пересечения этой обра­
зующей с плоскостью Оху. Следовательно, точка
К и ее координаты удовлетворяют уравнению
N лежит
(12.21).
на кривой
Но точка М имеет такие же абсциссу х и ординату у, что и точка
Следовательно, уравнению
М(х; у;
z),
(12.21)
так как оно не содержит
цилиндра, то уравнение
Теперь ясно, что
z.
И так как М
-
это любая точка
(12.21) и будет уравнением этого цилиндра.
F(x; z) =
N.
удовлетворяют и координаты точки
8
О есть уравнение цилиндра с образую­
щими, параллельными оси Оу, а
F(y; z)
=О
-
с образующими, парал­
лельными оси Ох. Название цилиндра определяется названием напра­
вляющей. Если направляющей служит эллипс.
х2
а2
У2
+
ь2 = 1
в плоскости Оху, то соответствующая цилиндрическая поверх­
ность называется эл,л,иnтическим цид,индром (см. рис.
105
85).
z
у
Рис.
§
у
Рис.
85
86
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговоi1.
цилиндр, его уравнение х 2
+ у2
= R2 • Уравнение х 2 = 2pz опреде­
ляет в пространстве nараболи-ч.ескиi1. цилиндр (см. рис.
ние
х2
Уравне-
86).
у2
а2 - ь2 = 1
определяет
рис.
в
пространстве
гиnерболи-ч.ескиi1.
цилиндр
(см.
87).
Все эти поверхности называются цилиндрами второго поряд­
ка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относи­
тельно текущих координат х, у и
z.
12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой
вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностъю вра­
щения. Пусть некоторая кривая
L
лежит в плоскости Оу z. Уравнения
этой кривой запишутся в виде
{
F(y;z) =О,
(12.22)
х=О.
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой
круг оси
Возьмем
рис.
Oz,
88).
L
во­
Oz.
на
поверхности
произвольную
точку
М(х; у;
z)
(см.
Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси
и обозначим точки пересечения ее с осью
ственно через
Oz
и кривой
L
соответ­
01 и N. Обозначим координаты точки N через (О; У1; z1).
Отрезки О1М и 0 1N являются радиусами одной и той же окружности.
2 + у 2 , 01N = IY1I· Следователь­
Поэтому О1М = 01N. Но О1М =
2 + у 2 или У1 =
2 + у 2 • Кроме того, очевидно, z1 = z.
но, IY1I =
Jx
±Jx
Jx
106
z
,,.-
--- -:-, - -{-•M(x;y;z)
...
1
у
х
......
1"
Рис.
88
у
----~'
х
Рис.
87
N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетво­
(12.22). Стало быть, F(y 1 ;z1 ) =О. Исключая вспомо­
координаты у 1 и z 1 точки N, приходим к уравнению
Так как точка
ряют уравнению
гательные
F(±Jx2 + у 2 ; z) =О.
Уравнение
(12.23) -
(12.23)
искомое уравнение поверхности вращения, ему
удовлетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удо­
влетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.
Как видно, уравнение
ной у на
±Jx2 + у 2 ,
(12.23)
получается из
(12.22)
простой заме­
координата z сохраняется.
Понятно, что если кривая
вращается вокруг оси Оу, то
(12.22)
уравнение поверхности вращения имеет вид
F(y; ±Jх 2
+ z2)
если кривая лежит в плоскости Оху
(z
= О;
=О) и ее уравнение
F(x;y)
=О,
то уравнение поверхности вращения, образованной вращением кривой
вокруг оси Ох, есть F(x;
~
±Jy2 + z2)
=О.
Так, например, вращая прямую у=
z
вокруг оси
получим поверхность вращения (ее уравнение ±
х2
~
+ у 2 = z 2 ).
Oz
J
х2
(см. рис.
+
у2 =
89),
z или
Она называется конусом второго порядка.
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию
L
(не проходящую через Р), называется конu-ч.ескоu nоверхносmъю
или конусом. При этом линия
точка Р
-
L
называется наnравл.яющеu конуса,
ее вершиноu, а прямая, описывающая поверхность, назы­
вается образующеu.
107
z
у
х
х
Рис.
89
Рис.
Пусть направляющая
L
{
а точка Р(хо; уо; zo) -
90
задана уравнениями
F1(x;y;z)
=О,
(12.24)
F2(x; у; z) =О,
вершина конуса. Найдем уравнение конуса.
Возьмем на поверхности конуса произвольную точку М (х; у;
рис.
90).
z)
(см.
Образующая, проходящая через точки Р и М, пересечет на­
правляющую
L в некоторой точке N (х 1 ; у 1 ; z1). Координаты точки N
удовлетворяют уравнениям
{
(12.24)
направляющей:
F1(x1;y1;z1) = 0,
(12.25)
F2(x1;y1;z1) =О.
Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и
имеют вид
Х -Хо
---=
Х1
Исключая х1, У1 и
z1
-
Хо
у-уо
-
У1
из уравнений
Z - Zo
(12.26)
=---
Уо
(12.25)
Z1 - Zo
и
(12.26),
получим уравнение
конической поверхности, связывающее текущие координаты х, у и
Пример
12.3.
N,
z.
Составить уравнение конуса с вершиной в точке
2
2
0(0;0;0),если направляющей служит эллипс?+~= 1, лежащий в
плоскости z = с.
О Решение: Пусть М ( х; у; z) уравнения образующих,
любая точка конуса. Канонические
проходящих через точки
(О; О; О)
и точку
(x1;Y1;z1) пересечения образующей ОМ с эллипсом будут~=
Х1
108
JL =
Yl
=~-Исключим х 1 , у 1 и z 1 из этих уравнений и уравнения
Z1
(12.27)
(точка (x 1 ;y 1 ;z1 ) лежит на эллипсе), z 1 =с. Имеем: ~ = ~, JL = ~
Х1
С
У1
С
Отсюда Х1 = с· g;_ и У1 = с· У... Подставляя значения Х1 и У1 в уравнение
z
эллипса
(12.27),
z
получим
с2. х2
с2. у2
--+-=
z2. а2
z2. ь2
х2
1
или
у2
z2
+ь2- -- а2
с2.
•
Это и есть искомое уравнение конуса.
12.9. Канонические уравнения поверхностей
второго порядка
По заданному уравнению поверхности второго порядка
(т.
е. по­
верхности, уравнение которой в прямоугольной системе координат яв­
ляется алгебраическим уравнением второй степени) будем определять
ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод
се'Чениft: исследование вида поверхности будем производить при помо­
щи изучения линий пересечения данной поверхности с координатными
плоскостями или плоскостями, им параллельными.
Эллипсоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
(12.28)
Рассмотрим сечения поверхности
(12.28)
с плоскостями, параллельны­
ми плоскости хОу. Уравнения таких плоскостей:
z = h,
где
h-
любое
число.
Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями
2
2
h2
~2+~=1- ~'
{
(12.29)
z = h.
Исследуем уравнения
а) Если
ности
(12.28)
(12.29):
lhl > с, с > О,
2
то ~
с плоскостями
2
+ ~ < О. Точек пересечения поверх-
z= h
не существует.
109
б) Если
lhl =
с, т. е. h
=
2
±с, то ~
2
+~ =
О. Линия пересече-
(12.29) вырождается в две точки (О; О; с) и (О; О; -с). Плоскости z = с
z = -с касаются данной поверхности.
в) Если lhl <с, то уравнения (12.29) можно переписать в виде:
ния
и
Как видно, линия пересечения есть
у
эллипс с полуосями (см. рис.
91)
[h2
х
Рис.
Ь1 = ьу
91
При этом чем меньше
J. -
--;?·
lhl, тем больше полуоси ai и Ь1. При h =О они до­
стигают своих наибольших значений: а 1
примут вид
2
{
= а,
Ь1
= Ь.
Уравнения
(12.29)
2
~+~=1,
h=O.
Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверх­
ности
~
(12.28)
плоскостями х
= h
и у
= h.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить по-
верхность
ность
(12.28)
(12.28)
как замкнутую овальную поверхность. Поверх­
называется эллипсоидом. Величины а, Ь и с называются
полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид назы­
вается mрехосним; если какие-либо две полуоси равны, трехосный
эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если а
то - в сферу х 2
у2
z 2 = а2 •
+
+
=
Ь
=
с,
Однополостный гиперболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
х2
2а
Пересекая поверхность
у2
+ ь2 -
(12.30)
z2
1·
2=
с
плоскостью
ресечения, уравнения которой имеют вид
2
{
2
h2
~+~ = 1+?",
z = h,
110
z = h,
(12.30)
получим линию пе­
Как видно, этой линией является эллипс с полуосями
и b1 =ЬJ1+J:;;.
ai=an
Полуоси а 1 и Ь 1 достигают своего наименьше­
h = О: а 1 = а, Ь 1 = Ь. При
полуоси эллипса будут увели­
го значения при
возрастании
lhl
чиваться.
Если пересекать поверхность
костями х
или у
= h
(12.30)
плос­
то в сечении полу­
= h,
у
чим гиперболы. Найдем, например, линию пере­
сечения поверхности
(12.30)
уравнение которой х
= О.
с плоскостью
Oyz,
Эта линия пересече­
ния описывается уравнениями
{~-
Рис.
~=
92
1,
х =о.
Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис.
~
92).
Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая
уравнением
(12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся
(12.30) называется одноnолостнъ~м гипербо­
трубки. Поверхность
лоидом.
Заме-чание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида
(12.30)
проходят две прямые, лежащие на нем.
Двухпоnостный гиперболоид
Пусть поверхность задана уравнением
х2
д
а
Если поверхность
(12.31)
у2
+ L2ь
z2
-:2
-
с
= -1.
(12.31)
пересечь плоскостями
z = h,
то линия пере­
сечения определяется уравнениями
2
{
h2
2
~+~
=
~-1,
(12.32)
z= h.
Огсюда следует, что:
= h не пересекают поверхности;
6)
lhl
lhl
в) если
lhl >с, то уравнения (12.32)
а) если
<с, то плоскости
z
если
=с, то плоскости z =±с касаются данной поверхности
соответственно в точках (О; О; с) и (О; О; -с).
{
а2 (
*х2
1)
могут быть переписаны так
у2
+ Ь2 ( ~ -
z = h.
111
1)
= 1'
Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ро­
стом
lh\.
Пересекая поверхность
(х =О) и
координатными плоскостями
(12.31)
Oyz
(у= О), получим в сечении гиперболы, уравнения кото­
Oxz
рых соответственно имеют вид
2
~
~
2
х2
-? = -1
и -:z а
z2
-:2
с
= -1.
У обеих гипербол действительной осью является ось
чения позволяет изобразить поверхность (см. рис.
мую уравнением
Oz. Метод се93), определяе­
(12.31), как поверхность, состоящую из двух полостей,
(12.31)
имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность
называется двухnо.ttосmным гunepбo.ttov.дoм.
у
у
Рис.
93
Рис.
94
Эллиптический параболоид
Исследуем поверхность, заданную уравнением
2
~
р
где р
>
О, q
>
2
+ 'IL.
q
= 2z
О. Рассечем поверхность
(12.33)
'
(12.33)
плоскостями
z
= h.
В
сечении получим.линию, уравнения которой есть
2
{
~
р
2
+ '/L.
q
= 2h
'
z = h.
Если
h
<О, то плоскости
то плоскость
z =
z = h поверхности не
пересекают; если
О касается поверхности в точке (О; О; О); если
112
h =О,
h > О,
то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид
2~h + L
2qh
2
{
= l,
z= h.
Его полуоси возрастают с ростом
~
При пересечении поверхности
h.
(12.33) координатными плоскостями
Oxz и Oyz получатся соответственно параболы z
2
~Р и z
=
Таким образом, поверхность, определяемая уравнением
. 2
= ~-
(12.33), имеет
94). Поверх­
вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис.
ность
(12.33)
называется эллuпmu-ческим параболоидом.
Гиперболический параболоид
Исследуем поверхность, определяемую уравнением
1~ -~ ~2z,I
где р
>
О,
q
>
О. Рассечем поверхность
Получим кривую
2~h - L
2qh
2
{
(12.34)
(12.34)
плоскостями
z = h.
= l,
z = h,
которая при всех значениях
1- О
h
является гиперболой. При
действительные оси параллельны оси Ох; при h
2
2
оси Оу; при h
=
О линия пересечения
пару пересекающихся прямых
;f_ р
jp - ~
=
<
~
q
О и
=
О
-
h
>
О распадается на
Jp + ~
=
О. При
пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости
(у
О ее
параллельны
Oxz
= h), будут получаться параболы
{ х 2 = 2p(z + ~; ),
у=
h,
ветви которых направлены вверх. При у
парабола
О в сечении получается
2 = 2pz,
{ ху=О
с вершиной в начале координат и осью симметрии
Пересекая поверхность
болы у 2
~
= - 2q ( z -
(12.34)
плоскостями х
Oz.
= h, получим пара-
~;) , ветви которых направлены вниз.
Анализ линии пересечения позволяет определить вид поверхности:
она имеет вид седла (см. рис.
95).
гuперболи-ческим параболоидом.
113
Поверхность
(12.34)
называется
у
х
х
Рис.
Рис.
95
96
Конус второго порядка
Исследуем уравнение поверхности
х2
~
Пересечем поверхность
2
~
а
2
+ JGЬ
h =/=О
=
h2
3,
с
у2
z2
+ ьz-
(12.35)
?"=о.
плоскостями
(12.35)
z = h.
Линия пересечения
z = h. При h =О она вырождается в точку (О;О;О). При
в сечении будем получать эллипсы
х2
{
+
a2h2
С2
z
= h.
у2
ь2h2 = 1,
С2
Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании
Рассечем поверхность
(12.35)
линия
{
плоскостью
2
Oyz
lhl.
(х =О). Получится
2
~-~=О,
х =о,
распадающаяся на две пересекающиеся прямые
~ - .: = о и ~ + .: = о.
ь
с
ь
При пересечении поверхности
(12.35)
{ ~-~=О,
а
с
у=О,
114
с
плоскостью у= О получим линию
также распадающуюся на две пересекающиеся прямые
- - -z = о
х
а
~
с
и
х
-
а
z
+ - = о.
с
Поверхность, определяемая уравнением
(12.35),
называется кону­
сом второго порядка, имеет вид, изображенный на рисунке
~
96.
Поверхности, составленные из прямых линий, называются лuнell­
-чamЪМtu. Такими поверхностями являются цилиндрические, ко­
нические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гипербо­
лический параболоид.
Глава
1
V.
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Лекции 13-221
§ 13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
13.1. Основные понятия
~
Понятие множества является одним из основных неопределяемых
понятий математики. Под мно-;нсеством понимают совокупность
(собрание, класс, семейство ... ) некоторых объектов, объединенных по
какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов ин­
ститута, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравне­
ния х 2
+ 2х + 2 =О,
о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его эдемен­
тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин­
ского алфавита А, В,
а,Ь,
... , Х, У, ... ,
а их элементы
-
малыми буквами
... ,х,у, . ..
Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают х Е Х;
запись х Е Х или х ~ Х означает, что элемент х не принадлежит мно­
жеству Х.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу­
стым, обозначается символом
121.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри ко­
торых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свой­
ство, которым обладают все элементы данного множества.
Например, запись А
из трех чисел
1,
З и
15;
= {1, З, 15} означает, что множество А состоит
запись А = {х : О :::; х :::; 2} означает, что
множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное)
чисел, удовлетворяющих неравенству О
~
:::;
х
::::; 2.
Множество А называется подмно-;нсесmвом множества В, если
каждый элемент множества А является элементом множества В.
Символически это обозначают так А С В («А включено в В») или
В :::> А («множество В включает в себя множество А»).
Говорят, что множества А и В равни или совпадают, и пишут
А
= В, если А С В и В С А. Другими словами, множества, состоящие
из одних и тех же элементов, называются равными.
~
Оббединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит
хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обо­
значают АUВ (или А+В). Кратко можно записать
или х ЕВ}.
116
AUB =
{х: х Е А
~
Пересе-чен:и.ем (или произведением) множеств А и В называется
множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад­
лежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) мно­
жеств обозначают АnВ (или А·В). Кратко можно записать
AnB
= {х:
х Е А их ЕВ}.
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать неко­
торuе простейшие логические символы:
а ===}
а ~
f3
и из
(3 (3 -
означает «из предложения а cлeiJyem предложение (З»;
«предложения а и
(3
равносильны», т. е. из а следует
следует а;
(3
V3-
означает «для любого», «для всякого»;
«существует», «найдется»;
:-
«имеет место», «такое что»;
f-t -
«соответствие».
Например: 1) запись
Vx
Е А: а означает: «для всякого элемента
х Е А имеет место предложение а»;
2) (х Е А U В) ~ (х Е А
или
х ЕВ); эта запись определяет
объединение множеств А и В.
13.2.
Числовые множества.
Множество действительных чисел
Множества, элементами которых являются числа, называются
'Числов'Ыми. Примерами числовых множеств являются:
N = {1; 2; 3; ... ; п; ... } - множество натуральных чисел;
Z 0 = {О; 1; 2; ... ; п; ... } - множество целых неотрицательных чисел;
Z ={О; ±1; ±2; ... ; ±п; ... } -
множество целых чисел;
Q = { 1:;: : т Е Z, п Е N} - множество рациональных чисел.
IR ---,
множество действительных чисел.
Между этими множествами существует соотношение
N с Zo с Z с
Множество
IR
Qс
Ж.
содержит рациональные и иррациональные числа. Вся­
кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью
или бесконечной периодической дробью. Так, ~ = 0,5 (= 0,500 ... ),
i = 0,333 ... -
рациональные числа.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ­
ются иррационалънwми.
117
Теорема
13.1.
равен числу
Не существует рационального числа, квадрат которого
2.
Q
Допустим, что существует рациональное число, представленное не­
сократимой дробью т, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:
п
2
(:)
Отсюда следует, что
=
т. е. m
= 2,
2
= 2n 2 .
m 2 (а значит, и m) -
=
=
гда дробь
1;: = ~7
= 2k.
= 2n 2 , т. е.
= 2l. Но то­
четное число, т. е. т
Подставив т
2k в равенство m 2
2n2 , получим 4k 2
2k 2
п 2 • Отсюда следует, что число п - четное, т. е. п
сократима. Это противоречит допущению, что
1;:
дробь несократима. Следовательно, не существует рационального чи­
сла, квадрат которого равен числу
8
2.
Иррациональное число выражается бесконечной непериодической
дробью. Так,
J2 = 1,4142356 ... , 1Г = 3,1415926 ...
-
иррациональные
числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множе­
ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать
IR = {х: х =а, а:10:2а:з
Множество
IR
где а Е
.•. },
Z,
O:i Е {О,
1, ... , 9}.
действительных чисел обладает следующими свой­
ствами.
1. Оно
упор.ядо-ченное: для любых двух различных чисел а и Ь имеет
место одно из двух соотношений а
< Ь либо Ь < а.
2. Множество IR плотное: между любыми двумя различными чи­
слами а и Ь содержится бесконечное множество действительных чисел
х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а< х
< Ь.
Так, если а < Ь, то одним из них является число а
( а< Ь ==:::}
3.
2а <а+ Ь
Множество
IR
и
а+ Ь
!Ь
)
< 2Ь ==:::} 2а <а+ Ь < 2Ь ==:::} а< -а+Ь
2- < Ь .
непрерьиное. Пусть множество
IR
разбито на два
непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содер­
жится только в одном классе и для каждой пары чисел а Е А и Ь Е В
выполнено неравенство а
<
Ь. Тогда (свойство непрерывности) суще­
ствует единственное число с, удовлетворяющее неравенству а ~ с ~ Ь
('Va
Е А, 'VЬ ЕВ). Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Чи­
сло с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В
нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда
в классе А нет наибольшего).
118
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однознач­
ное соответствие между множеством всех действительных чисел и мно­
жеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу х Е
JR
соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, на­
оборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное)
действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят
«точка».
13.3.
Числовые промежутки. Окрестность точки
Пусть а и Ь
-
действительные числа, причем а
< Ь.
Числовыми промежутками (интервалами) называют подмноже­
ства всех действительных чисел, имеющих следующий вид:
[а; Ь]
=
{х:
а~ х ~ Ь}
-
отрезок (сегмент, замкнутый промежу-
ток);
(а; Ь)
= {х :
а
< х < Ь} -
интервал (открытый промежуток);
[а;Ь)={х: а~х<Ь};
(а;Ь]
= {х: а< х ~ Ь} -
полуоткрытые интервалы (или полуот-
крытые отрезки);
(-оо;Ь]
(-оо;Ь)
=
{х: х ~ Ь};
(а,+оо)
= {х:
(-00,00) =
х < Ь};
{х: -оо < х
= {х: х ~а};
(а,+оо)
{х: х >а};
+оо} = JR - бесконечные интервалы
=
<
(промежутки).
Числа а и Ь называются соответственно левым и правым концами
этих промежутков. Символы -оо и +оо не числа, это символическое
обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от
начала О влево и вправо.
§
Пусть х 0 -
любое действительное число (точка на числовой пря-
мой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (а; Ь),
содержащий точку хо. В частности, интервал (хо -е,хо +е), где е >О,
называется е-окресmностью точки х 0 • Число х 0 называется цент­
ром, а число е
--
радиусом.
€
9
€
Хо~+с: Х
Рис.
97
Если х Е (х 0 -е;х 0 + е), то выполняется неравенство хо - е < х <
< хо+е, или, что тоже, jx-xol < е. Выполнение последнего неравенства
означает попадание точки х в е-окрестность точки хо (см. рис.
119
97).
§ 14.
14.1.
ФУНКЦИЯ
Понятие функции
Одним из основных математических понятий является понятие
функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (свя­
зи) между элементами двух множеств.
~
Пусть даны два непустых множества Х и У. Соответствие
f,
ко-
торое каждому элементу х Е Х сопоставляет один и только один
элемент у Е У, называется функциеil и записывается у
или
f : Х --+
У. Говорят еще, что функция
f
= f (х), х Е Х
отобра;;нсает множество
Х на множество У.
98
Рис.
Например, соответствия
f
и
g,
изображенные на рисунке
являются функциями, а на рисунке
98
в и г
-
98
нет. В случае в
а и б,
-
не
каждому элементу х Е Х соответствует элемент у Е У. В случае г не
соблюдается условие однозначности.
Множество Х называется областъю определения функции
значается
D(f).
'ЧениiJ, функции
14.2.
f
и обо­
Множество всех у Е У называется множеством зна­
f
и обозначается
E(f).
Числовые функции. График функции.
Способы задания функций
liJ
Пусть задана функция
f :Х
--+
У.
Если элементами множеств Х и У являются действительные числа
(т.
е. Х С
JR
и У С
JR),
то функцию
f
называют -ч.исловоil функ­
циеii. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции,
для краткости будем именовать их просто функциями и записывать
у=
f(x).
Переменная х называется при этом аргументом или независимой
переменной, а у
-
функv,иеii, или зависимоi1 переменноil, (от х). От-
120
носительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функ­
чиональноii, зависимости. Иногда функциональную зависимость у от
х пишут в виде у
= у(х),
не вводя новой буквы
для обозначения
(/)
зависимости.
Частное зна-чение функции
Например, если f(x) = 2х 2
Графиком функчии у
f(x) при х =а записывают так: f(a).
= -3, /(2) = 5.
3, то /(О)
= !( х) на-
зывается множество всех точек плос­
у
кости Оху, для каждой из которых
х
у
является
-
значением
аргумента,
соответствующим
1
а
значением
функции.
у =
Например, графиком функции
х 2 является верхняя полу­
Jl -
х
R = 1 с центром
99).
окружность радиуса
в
0(0; О)
(см. рис.
Чтобы задать функцию у
Рис.
= f(x),
99
необходимо указать правило,
позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: ана­
литический, табличный, графический.
Аналити'Ческиii, способ: функция задается в виде одной или не­
скольких формул или уравнений.
Например:
2)
у= {х2+1
х-4
при х
< 2,
при х ~
Если область определения функции у=
2;
3) у 2
-
4х =О.
f(x) не указана, то пред­
полагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента,
при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью
определения функции у=
х 2 является отрезок [-1; 1].
J1 -
Аналитический способ задания функции является наиболее совер­
шенным, так как к нему приложены методы математического анализа,
позволяющие полностью исследовать функцию у=
f(x).
Графu'Ческиii, способ: задается график функции.
Часто
графики
вычерчиваются
автоматически
самопишущими
приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции
у,
соответствующие тем
или иным значениям аргументах, непосред­
ственно находятся из этого графика.
Преимуществом графического задания является его наглядность,
недостатком
-
его неточность.
Таб.ли'Ч·н:ыil, способ: функция задается таблицей ряда значений ар­
гумента и соответствующих значений функции. Например, известные
121
таблицы
значений тригонометрических функций, логарифмические
таблицы.
На практике часто приходится пользоваться таблицами значений
функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.
14.3. Основные характеристики функции
~
Функция у
1.
= f(x), определенная на множестве D, называется
-ч,етноii., если
Vx Е D выполняются условия -х Е D
f(x); не-ч,етноii., если Vx Е D выполняются условия
f(-x) = - f(x).
=
и
f(-x)
=
-х Е D и
График четной функции симметричен относительно оси Оу, а не­
-
четной
относительно начала координат.
Например, у
у= sinx, у=
х3 -
= х 2 , у = Vl + х 2 , у = ln lxl -
четные функции; а
нечетные функции; у= х -1, у= у'х
-
функции
общего вида, т. е. не четные и не нечетные.
~
2. Пусть функция у = f(x)
D1 С D. Если для любых
неравенства Х1
< Х2
у
определена на множестве
D и пусть
D 1 аргументов из
f(x1) < f(x2), то функция
значений х 1 , х 2 Е
вытекает неравенство:
называется возрастающеii. на множе­
стве D1; f(x1) ~ f(x2), то функция на­
зывается неубъtвающеii. на множестве
D1; f(x1) > f(x2), то функция назы­
вается убъtвающеii. на множестве D 1 ;
f(x1) ;;:: f(x2),
то функция называется
невозрастающеiJ на множестве
-2
о
3
Рис.
х
фиком (см. рис.
100
вале
(1; 5),
~
Возрастающие,
D1•
Например, функция, заданная гра­
(-2; 1),
возрастает на интервале
невозрастающие,
функции на множестве
D1
100), убывает на интер­
не убывает на интервале
убывающие
и
(3; 5).
неубывающие
называются монотоннъt.Мu на этом
множестве, а возрастающие и убывающие
-
строго монотоннъtМи.
Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервад.а­
ми монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна
на
(-2; 1) и (З; 5); монотонна на (1; З).
~
3.
Функцию у
= f(x),
определенную на множестве
D, называют
ограни-ч,енноii. на этом множестве, если существует такое число
М
> О,
что для всех х Е
роткая запись: у=
3М
>
О
: Vx
Е
D
f(x),
D выполняется неравенство lf(x)I ~ М (ко­
х Е
D,
===> lf(x)I
называется ограниченной на
D,
если
~ М). Отсюда следует, что график
ограниченной функции лежит между прямыми у= -Ми у= М (см.
рис.
101).
122
Е§]
4.
Функция у
= f(x), определенная на множестве D, называется
nериодическоit на этом множестве, если существует такое число
Т >О, что при каждом х Е
D значение (х
+ Т)
Е
D и f(x
+ Т)
= f(x).
- период
функции, то ее периодами будут также числа т ·Т, где т = ±1; ±2, ...
Так, для у= sinx периодами будут числа ±27Г; ±47Г; ±67Г, ... Основной
период (наименьший положительный) - это период Т = 27Г. Вообще
При этом число Т называется периодом функции. Если Т
обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т,
удовлетворяющее равенству
f(x
+ Т) = f(x).
у
-+ /
Рис.
102
Обратная функция
14.4.
~
Рис.
101
Пусть задана функция у=
f(x)
с областью определения
D
и мно-
жеством значений Е. Если каждому значению у Е Е соответствует
единственное значение х Е
D,
то определена функция х
стью определения Е и множеством значений
D
функция ср(у) называется oбpamнoit к функции
следующем виде: х
= ср(у) = 1- 1 (у).
= ср(у) с обла­
(см. рис.
f(x)
102).
Такая
и записывается в
Про функции у=
f(x) их= ср(у)
говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию
х
= ср(у), обратную к функции у= J(x), достаточно
J(x) =у относительно х (если это возможно).
решить уравнение
Примеры:
1.
Для функции у
=
2х обратной функцией является функция
- ly·
х -2·
2. Для функции у = х 2 , х Е [О; 1], обратной функцией является
х
= у'у; заметим, что для функции у= х 2 , заданной на отрезке [-1; 1],
обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два зна-
чениях (так, если у=
;!, то Х1 = !• х2 = -!)·
123
ji
f (х)
Из определения обратной функции вытекает, что функция у
=
имеет обратную тогда и только тогда, когда функция
задает
взаимно однозначное соответствие между множествами
D
f(x)
и Е. Отсюда
следует, что любая строго монотонная функция имеет обрат­
ную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функ-
ция также возрастает (убывает).
Заметим, что функция у
и обратная ей х
= rp(y)
у
= f(x)
изображают­
ся одной и той же кривой, т. е. графи­
ки их совпадают. Если же условить­
ся, что, как обычно, независимую пе­
ременную
(т.
е. аргумент) обозначить
через х, а зависимую переменную че-
рез у, то функция обратная функции
у=
f(x)
запишется в виде у=
ji
Это означает, что точка М1 (хо; Уо)
кривой у
f(x) становится точ-
rp(x).
=
,/
х
,
,/
/
кой М2 (у0 ; хо) кривой у = rp(x). Но
Рис. 103
точки М1 и М2 симметричны относительно прямой у= х (см. рис.
Поэтому графики взаимно обратных функциii. у=
f(x)
и у=
103).
rp(x)
симметричны относите.аьно биссектрисы первого и третье­
го координатных уг.аов.
14.5. Сложная функция
= f (и) определена на множестве D, а функция
rp(x) на множестве D 1 , причем для Vx Е D 1 соответствующее
значение и = rp(x) Е D. Тогда на множестве D 1 определена функция
у = f(rp(x)), которая называется c.acr.нc.нoii. функциеii. от х (или су­
Е§]
Пусть функция у
и=
nерnозициеii. заданных функций, или функциеii. от функции).
Переменную и
=
rp(x)
называют про.межуто'ч:н:ым аргументом
сложной функции.
Например, функция у
у
= sin и
и и
=
= sin 2х есть суперпозиция двух функций
2х. Сложная функция может иметь несколько проме­
жуточных аргументов.
14.б. Основные элементарные функции и их графики
Основными
элементарными
функциями
называют
следующие
функции.
1)
Показательна.я функция у =ах, а
> О,
а-:/:-
1.
На рис.
104
пока­
заны графики показательных функций, соответствующие различным
основаниям степени.
124
у
у
х
Рис.
2)
Степенна.я функция у
104
= х"', а Е llt Примеры графиков сте­
пенных функций, соответствующих различным показателям степени,
предоставлены на рис.
105.
у
у
х
х
у
о~
у
х
о
х
у
у
х
Рис.
105
125
3)
Логарифми:ческая функция у
= loga х,
а
>
О, а
-::/: 1;
Графики
логарифмических функций, соответствующие различным основаниям,
показаны на рис.
106.
у
у
х
х
Рис.
106
4) Тригонометри-ческие функции у= sinx, у= cosx, у= tgx, у=
= ctg х; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный
на рис. 107.
y=sinx
х
Рис.
107
5) Обраmн'Ьtе тригонометри-ческие
arccosx, у = arctgx, у = arcctgx. На
функции
рис.
108
у
= arcsinx,
у
=
показаны графики
обратных тригонометрических функций.
~
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных
элементарных функций и постоянных с помощью конечного чи­
сла арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, де­
ления) и операций взятия функции от функции, называется элемен­
тар'НОii функцuеii. Примерами элементарных функций могут слу­
жить функции
у
=
. 1
tgx
- - 8 2 3;
х
х +
arcsш
126
у= lg(2
+ х 3 ).
у
у
y=arccosx
-1
1
х
у
______________i'
у __________ _
-----------~--------------
2
х
7r
.--- -----------= ']"_ --------.
о
Рис.
х
108
Примерами неэлементарных функций могут служить функции
у = sign х = {
1,
х >о,
О,
х
-1,
хз
х5
2
= О: у= {х +1,
х,
х<О,
х7
если х ~О,
если х >О;
х2п+1
у= l - З! · З + 5! · 5 - 7! · 7 + ... + (-l)n (2n + 1)! · (2п + 1) + · · ·
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§15.
15.1.
~
Числовая последовательность
Под 'Чис.аовоit nос.аедовате.аьносmью
IХп = f(n),.I
нимается функция
x 1 ,x2 ,x3 , ••• ,xn,···
(15.1)
.
заданная на множестве
N
по-
натуральных чисел. Кратко последователь­
ность обозначается в виде {xn} или Хп, п Е N. Число х 1 называет­
ся первым членом (элементом) последовательности, х 2 вторым, ... ,
Xn -
общим или n-м ч.аеиом nос.аедоваmе.аьности.
Чаще всего последовательность задается формулой его общего чле­
на. Формула
(15.1)
позволяет вычислить любой член последовательно­
сти по номеру п, по ней можно сразу вычислить любой член последо­
вательности. Так, равенства
Vn
= n 2 +1,
Zn
= (-l)n · n,
1
Уп
127
= -,
п
п-1
Un
= --,
п
nEN
задают соответственно последовательности
Vn
= {2,5, 10, .. . ,п 2 +1,
... };
Уп = {1, ~' ~' ~' ... , ~' ... };
§§]
Последовательность
{Хп}
= {-1,2,-3,4, ... , (-l)n ·n, ... };
Un
= {О,~'~'~'~'~' ... ,
n:
1 , ... }.
называется огран:и:ченноiL, если суще­
>
ствует такое число М
Zn
О, что для любого п Е
N
выполняется
неравенство
В противном случае последовательность называется неограниченной.
Легко видеть, что последовательности Уп и Un ограничены, а Vn и Zn неограничены.
~
Последовательность {xn} называется возрастающеii, (неубывающеit), если для любого п выполняется неравенство Xn+i > Хп
(xn+l ~ xn)· Аналогично определяется убывающая (невозрастающая)
последовательность.
~
Все эти последовательности называются монотонными после­
довательностями. Последовательности Vn, Уп и Un монотонные, а
не монотонная.
Zn -
Если все элементы последовательности
{Хп}
равны одному и тому
же числу с, то ее называют постоя:н:ноil.
Другой способ задания числовых последовательностей
рентнъttl способ.
В нем
задается начальный элемент х 1
-
рекур­
(первый
член последовательности) и правило определения п-го элемента по
(п
-
1)-му:
Хп = /(Хп-1).
Таким образом, Х2
f(x1),
Хз
= f (х2) и т. д. При таком способе за­
дания последовательности для определения 100-го члена надо сначала
посчитать все
15.2.
99
предыдущих.
Предел числовой последовательности
Можно заметить, что члены последовательности Un неограниченно
приближаются к числу
ность Un, п Е
§§]
N
1.
В этом случае говорят, что последователь­
стремится к пределу
1.
Число а называется пределом noc.11.eiJoвame.11.ънocmu
{xn}, если
для любого положительного числа с: найдется такое натуральное
число
N,
что при всех п
>N
выполняется неравенство
(15.2)
В этом случае пишут
lim
n---+oo
Хп
= lim Хп = а или
Хп
--+
а и говорят, что
последовательность {xn} (или переменная Хп, пробегающая последовательность х 1 , х 2 , х 3 , ... ) имеет предел, равный числу а (или Хп стре­
мится к а). Говорят также, что последовательность {xn} сходите.я к а.
128
Коротко определение предела можно записать так:
1('v'c: > О 3N:
'\fn > N ==>
lxn -
al <с:) ~ J~~ Xn = а.1
Пример 15.1. Доказать, что lim п - l
n-+oo
n
Q
=
1.
Решение: По определению, число 1 будет пределом последователь­
ности
Xn
=п-
п
l, п Е N, если '\fc: >О наiJ,дется натуральное число N,
такое, что для всех п >
т. е.
N
выполняется неравенство
ln ~ 1- 11 <с:,
1 <с:. Оно справедливо для всех п > 1, т. е. для всех п > N = (1],
п
с:
с:
где [ ~] - целая часть числа ~ (целая часть числа х, обозначаемая [х],
есть наибольшее целое число, не превосходящее х; так [З]
=
З,
[5,2] = 5).
Если с:> 1, то в качестве N можно взять [~] + 1.
Итак, Vc: >О указано
вает, что lim п - 1 = 1.
n-+oo
n
соответствующее значение
N.
Это и доказы-
8
Заметим, что число N зависит от с:. Так, если с:= 236 , то
N
если с:
= 0,01,
то
= [ 2~] = (236 ] = [s~J
= [ ~ ] = [100] =
100
Поэтому иногда записывают N = N(c:).
N
=в;
100.
Выясним геометрический смысл определения предела последова­
тельности.
Неравенство
а
-
с:
<
(15.2)
равносильно неравенствам -с:< Xn - а< с: или
Xn <а+ с:, которые показывают, что элемент Xn находится в
с:-окрестности точки а.
Xn
(
1 1111111"111 1
а-е
а
Рис.
)
а+е
х
109
Поэтому определение предела последовательности геометрически
можно сформулировать так: число а называется пределом последова­
тельности
{xn}, если для любой с:-окрестности точки а найдется нату­
N, что все значения Xn, для которых п > N, попадут в
с-окрестность точки а (см. рис. 109).
ральное число
129
Ясно, что чем меньше с:, тем больше число
N,
но в любом слу­
чае внутри €-окрестности точки а находится бесконечное число членов
последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.
liJ
Отсюда следует, что сходящаяся nос.л,едоваmе.л,ьносmь uмeem
mо.л,ько oiJuн npeiJe.л,. Последовательность, не имеющая предела,
называется расходящеii.ся. Таковой является, например, последова­
тельность Vn (см. с.
128).
Постоянная последовательность
ный числу с, т. е.
lim с =
Xn =
с, п Е
с. Действительно, для
ральных п выполняется неравенство
(15.2).
N имеет
Ve
Имеем
>
предел, рав­
О при всех нату­
[xn -
cl
=
lc - cl =
=о<€.
15.3.
Предельный переход в неравенствах
Рассмотрим последовательности
{xn}, {Yn}
и
{zn}·
Теорема
15.1. Если lim Xn = а, lim Уп = Ь и, начиная с некоторого
n-too
n-too
номера, выполняется неравенство Xn ~ Уп. то а~ Ь.
Q
Допустим, что а
> Ь.
Из равенств lim Xn = а и lim Yn = Ь следует,
n-too
n-too
что для любого с:> О найдется такое натуральное число
всех п
> N(c:)
т. е. а - с:
будут выполняться неравенства
< Xn
<а+ с: и Ь - с:
Xn >а - €=а - а2Ь
т. е. Уп
< Уп <
= ~' Т. е. Xn
lxn -al
N(c:),
что при
<с: и IYn-Ь[ <с:,
Ь +с:. Возьмем с:= а2Ь. Тогда:
> ~ И Уп < Ь + € = Ь + а2Ь
< ~. Отсюда следует, что Xn > Yn.
= ~'
Это противоречит условию
Xn ~ Yn· Следовательно, а~ Ь.
Теорема
Если
венство
~
15.2.
Xn ~ Zn
Yn
lim Xn =
n-too
8
а,
lim Yn =
n-too
а и справедливо нepa-
(начиная с некоторого номера), то
lim Zn =а.
n-too
(Примем без доказательства.)
15.4. Предел монотонной ограниченной
последовательности. Число е. Натуральные
логарифмы
Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без
доказательства признак существования предела последовательности.
130
Теорема 15.З (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная по­
следовательность имеет предел.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим по­
следовательность Xn = (1 + ~) n, п Е N.
По формуле бинома Ньютона
(а+ ь)п
п
п(п
-1)
. an-2 . ь2 + ...
1·2
... + п(п - l)(n - 2) ... (п - (п - 1)) . ьп.
1·2 · 3 · · · · ·n
= an + - . an-1 . ь +
1
Полагая а= 1, Ь = 1, получим
п
.!.)n = 1 + ~. _!. + п(п -
1) . __!__ + п(п - l)(n - 2) . _.!_ + ...
п2
1·2·3
пЗ
п(п - l)(n - 2) ... (п - (п - 1))
1
···+
·-=
1·2 · 3 · · · · · п
пn
= 1 + 1 + - 1 (1 - .!.) + - 1- ( 1 - .!.) (1 - ~) + ...
1·2
п
1·2·3
п
п
(l +
п
1
п
···+
1·2
1
1·2·3·····n
(1--1)(1--2) ··· (1 -п-1)
-п
п
п
или
( 1+.!.)n=1+1 + - 1 (1- .!.) + - 1- ( 1 - .!.) (1п
1·2
п
1·2·3
п
~)
п
+ ...
1 (1 -п-1) ··· (1 -п-1)
···+ 1·2·3·····n
-п
·
Из равенства
(15.3)
(15.3) следует, что с увеличением п число положительных
слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении
n число ~ убывает, поэтому величины ( 1- ~) , ( 1- ~) , ... возрастают.
Поэтому последовательность {Хп} = { ( 1 + ~) n} - возрастающа.я., при
этом
(15.4)
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части
равенства
(15.3)
на единицу; правая часть увеличится, получим нера­
венство
l)n
1
1
1
( 1+<1+1+-+--+···+
.
п
1·2 1·2·3
1·2·3·····n
131
Усилим полученное неравенство, заменив числа
знаменателях дробей, числом
3, 4, 5, ... ,
стоящие в
2:
1-).
.!.) n < 1 + (1 + ~2 + _!_22 + " . + -2n-l
(1 + n
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической про­
грессии:
1
1 + -2
1
1
+ -22 + ". + -=
2n-l
1 · (1 - ( !2 )n)
1- !
= 2(1 -
2
1)
-2n
< 2.
Поэтому
(15.5)
Итак, последовательность огранu'Чена, при этом для
ются неравенства
(15.4)
и
'r/n
Е
N
выполня­
(15.5):
2 < (1 +
*)
n
< 3.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последователь­
ность
Xn
= (1 +
*)
n,
п Е N, имеет предел, обозначаемый обычно бук-
вой е:
lim
n-too
(1 + .!.)n
= е.
n
(15.6)
Число е называют неперовим числом. Число е иррациональное, его
приближенное значение равно
2,72
(е
= 2,718281828459045 ... ).
Число
е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по осно­
ванию е называется натуральным логарифмом и обозначается
lnx = loge
lnx,
т. е.
х.
Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами.
По определению логарифма имеем х = e1n х. Прологарифмируем обе
части равенства по основанию
lgx
10:
= lg(elnx),
т. е. lgx
= lnx · lge.
Пользуясь десятичными логарифмами, находим
lg е ~ 0,4343. Значит,
lg х ~ 0,4343 · ln х. Из этой формулы следует, что ln х ~ О, 41 43 lg х, т. е.
lnx
~
2,3026lgx.
Полученные формулы дают связь между натураль­
ными и десятичными логарифмами.
§ 16.
16.1.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Предел функции в точке
Пустъ функция у
= f(x) определена в некоторо1i о-крестности
mо'Чкu х 0 , кроме, битъ может, само1i mо'Чки х 0 •
132
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения пре­
дела функции в точке.
~
Определение
1 (на «языке последовательностеii», или по
Геiiне). Число А называется пределом функции у=
f(x)
в mо'Ч­
ке х 0 (или при х-+ х 0 ), если для любой последовательности допусти­
мых значений аргумента Хп, п Е
Хп
lim
n-+оо
ции
N
(хп
=j:
хо), сходящейся к Хо (т. е.
= х 0 ), последовательность соответствующих значений функ-
f (хп),
п Е
сходится к числу А (т. е.
N,
В этом случае пишут
lim f(x) =
lim
n-+oo
=А).
f(x) -+
А или
х-+хо
Геометрический смысл предела функции:
f (хп)
А при х
-+
х0 .
=А означает, что
lim f(x)
Х-+Хо
для всех точек х, достаточно близких к точке х 0 , соответствующие
значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
~
Определение
(на «языке с:-8», или по Коши). Число А на-
2
зывается пределом функции в точке хо (или при х-+ хо), если
для любого положительного с: найдется такое положительное число
что для всех х
=j:
х 0 , удовлетворяющих неравенству
lf(x) - AI <с:.
lim f(x) =А. Это определение
lx -
х0 1
< 8,
8,
вы­
полняется неравенство
Записывают
коротко можно запи­
х-+хо
сать так:
( Vc:
>О 38 >О '</х:
lx - xol < 8,
или О<
х i хо
:=:::}
lf(x) -
lx - xol < 8
{==::}
AI <с:)
{==::}
lim f(x)
=А.
х-+хо
Геометрический смысл предела функции: А=
lim f(x),
если для
х-+хо
любой с:-окрестности точки А найдется такая 8-окрестность точки х 0 ,
что для всех х
функции
f(x)
=j:
х 0 из этой 8-окрестности соответствующие значения
лежат в с:-окрестности точки А. Иными словами, точки
графика функции у=
f(x)
ченной прямыми у
А+ с:, у
величина
8
лежат внутри полосы шириной 2с:, ограни­
=А-
с: (см. рис.
зависит от выбора с:, поэтому пишут
Пример
Q
=
16.1.
Доказать, что
110). Очевидно,
8 = 8(с:).
что
lim(2x - 1) = 5.
х-+3
Решение: Возьмем произвольное с: >О, найдем 8 = 8(с:) > О такое,
что для всех х, удовлетворяющих неравенству
lx -
ЗI
< 8,
выполняется
неравенство 1(2х-1)-51 < е, т. e. jx-31 < ~-Взяв 8 =~,видим, что для
всех х, удовлетворяющих неравенству lx - ЗI <
неравенство 1(2х
- 1) - 51 <
е. Следовательно,
133
8( =~),выполняется
lim (2х - 1) = 5.
х-+3
8
Пример
Доказать, что, если
16.2.
f(x)
=с, то
с= с.
lim
Х-+Хо
а Решение: Для Vc: >о можно ВЗЯТЬ Vб >о. Тогда при
х
i
хо имеем
lf(x) -
cl
=
lc - cl
у
=О< с:. Следовательно,
lx - xol < б,
lim с= с. 8
х-+хо
А2 ~----------~х)
y=f(x)
---r
1
1
1
1
1
А,
х
о
хо-о
хо
Рис.
х
о
хо+о
Хо
Рис.
110
111
16.2. Односторонние пределы
В определении предела функции
А считается, что х
lim f(x) =
х-+хо
стремится к хо любым способом: оставаясь меньшим, чем х 0 (слева
от хо), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки хо.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо суще­
ственно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия
односторонних пределов.
~
Число
Ai
называется пределом функции у=
х 0 , если для любого число с:
такое, что при х Е (хо
<
- J; хо),
>
О)
= Ai
слева в точке
выполняется неравенство
е. Предел слева записывают так:
f(xo -
f(x)
О существует число
lim
х-+хо-0
f(x) =
(обозначение Дирихле) (см. рис.
>
О
lf(x) - Ai 1
<
J =
б(е)
А 1 или коротко:
111).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с
помощью символов:
(ve >О 38 = б(с:) 'т/х Е (хо; хо+ б)
=?
lf(x) - А21 < е)
-{::::::::}
Коротко предел справа обозначают
f(xo
134
+О)= А2·
lim
х-+хо+О
-{: : : : }
f(x)
= А2.
~
Пределы функции слева и справа называются односторонними
пределами. Очевидно, если существует
lim f(x)
=А, то существу­
х-tхо
ют и оба односторонних предела, причем А= А 1
= А2 •
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба преде­
ла
и
f(x 0 -0)
f(xo+O)
и А= f(xo - О).
Если же Ai
# А2, то x-txo
lim f(x)
lim f(x)
x-txo
не существует.
Предел функции при х -t оо
16.3.
~
и они равны, то существует предел А=
Пусть функция у=
определена в промежутке (-оо; оо). Число
f(x)
А называется пределом функции
f(x) npu
х
оо, если для
---+
любого положительного числа е существует такое число М
что при всех х, удовлетворяющих неравенству
неравенство
lf(x) -
AI < е.
lxl >
= М (е) > О,
М выполняется
Коротко это определение можно записать
так:
.--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
( Ve> 03M>O'v'x:
Если х
=
'Ve
---+
+оо, то пишут А
lim f(x).
z--t-oo
>
lxl > М ==> lf(x)-AI <е)
О 3М
>
-<===:}
lim f(x) =А.
x-too
lim f(x), если х ---+ -оо, то - А =
x-t+oo
Геометрический смысл этого определения таков: для
=
О, что при х Е (-оо; -М) или х Е (М; +оо) соответ­
f(x) попадают в е-окрестность точки А,
ствующие значения функции
т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2е, ограниченной прямыми
у= А+ е и у= А
-
е (см. рис.
112).
у
Рис.
112
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
~
Функция у=
f(x)
называется бесконе'Чно бо,11,ьшоii
если для любого числа М >О существует число д
для всех х, удовлетворяющих неравенству О<
135
=
npu
х---+ хо,
д(М) >О, что
lx-xol < б, выполняется
неравенство
lf(x)I >
М. Записывают
lim f(x) =
X-tXo
оо или
f(x)-+
оо при
х-+ хо. Коротко:
(vм >о 38 >о 'v'x: lx - xol < 8, х =!=Хо ===> lf(x)I
~
> м) ~
lim f(x) = оо.
x-txo
Например, функция у = __.1_2 есть б.б.ф. при х -+ 2.
х-
Если
f(x)
стремится к бесконечности при х
лишь положительные значения, то пишут
f
отрицательные значения, то
~
Функция у=
f(x),
неравенству
lxl > N,
x-txo
-оо.
Хо и принимает
+оо; если лишь
lim (х)
x-txo
заданная на всей числовой прямой, называется
бесконечно большоit
найдется такое число
=
-+
lim f(x) =
npu х-+ оо, если для любого числа М >О
N = N(M)
>О, что при всех х, удовлетворяющих
выполняется неравенство
lf(x)I >
М. Коротко:
(vм >о 3N >о 'v'x: lxl > N ===> lf(x)I > м) ~ x-too
lim f(x)
Например, у
= 00.
= 2х есть б.б.ф. при х -+ оо.
Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принима­
ет лишь натуральные значения, т. е. х Е
N,
то соответствующая б.б.ф.
становится бесконечно большой последовательностью. Например, по­
следовательность
Vn
= п2
+ 1,
п Е N, является бесконечно большой
последовательностью. Очевидно, всяка.я 6.6.ф. в окрестности точки х 0
является неограни'Ченноii в этой окрестности. Обратное утверждение
неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например,
у=
xsinx.)
Однако, если
lim f(x) =А, где А ~ коне'Чное 'Число, то функv,и.я
x-txo
х) ограни'Чена в окрестности точки хо.
f(
Действительно, из определения предела функции следует, что при
х-+ Хо выполняется условие
< f(x) <А+ е при х
f (х) ограничена.
§ 17.
17.1.
~
Е (хо
-
lf(x) -
AI < Е:.
Следовательно, А
-
е
<
е; хо+ е), а это и означает, что функция
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.)
Определения и основные теоремы
Функция у
= f(x)
называется бесконечно малоfi. npu х
если
1
}~~о f (х) =О.,
136
-+
х0 ,
(17.1)
По определению предела функции равенство
>
бого числа е
>
О найдется число б
влетворяющих неравенству О< !х
-
хо!
(17.1)
означает: для лю­
О такое, что для всех х, удо­
<
б, выполняется неравенство
lf(x)I < е.
Аналогично определяется б.м.ф. при х
х-+ +оо, х-+ -оо: во всех этих случаях
-+
f(x)
х0
+ О,
х
-+
х0 -
О,
-+О.
Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми
величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими
буквами а:,
fJ
и т. д.
Примерами б.м.ф. служат функции у = х 2 при х -+ О; у = х - 2
при х-+
2;
у=
при х-+
sinx
Другой пример:
Xn
7rk, k Е Z.
= ~, п Е N, - бесконечно малая последова­
тельность.
Теорема
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно
17.1.
малых функций есть бесконечно малая функция.
Q
Пусть а(х) и
fJ(x) -
две б.м. функции при х
что lim а::(х) = О, т. е. для любого е
х-tхо
>
-+ х0 . Это значит,
О, а значит, и g_
2
>
О найдет-
ся число б 1 >О такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
О
lx - хо 1 б1, выполняется неравенство
<
<
ia::(x)I <
и
lim fJ(x)
x-txo
е
(11.2)
2
=О, т. е.
(17.3)
Пусть б
-
наименьшее из чисел б 1 и б2 • Тогда для всех х, удовле­
творяющих неравенству О
ства
(17.2)
и
(17.3).
la::(x)
!х
<
хо!
-
<
б, выполняются оба неравен­
Следовательно, имеет место соотношение
+ ,В(х)I
~
la::(x)I
е
е
+ lfJ(x)I < 2 + 2 =
е.
Таким образом,
Ve >О 3б >О Vx:
Это значит, что
lim
x-txo
(а::(х)
О<
lx + fJ(x))
ia::(x) + fJ(x)I < е.
а::(х) + fJ(x) - б.м.ф.
хо!< б ===?
=О, т. е.
при
Х-+ Хо.
•
Аналогично проводится доказательство для любого конечного чи­
сла б.м. функций.
Теорема
17.2.
Произведение ограниченной функции на бесконечно
малую функцию есть функция бесконечно малая.
137
О Пусть функция
f(x) ограниченаприх -t хо. Тогдасуществуеттакое
числом> о, что
l/(x)I ~ м
(17.4)
для всех х из 8 1 -окрестности точки х 0 . И пусть а(х)
-
б.м.ф. при
х -t хо. Тогда для любого е > О, а значит, и М > О найдется такое число
82 >
< jx - xol < 82,
О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству О
<
выполняется неравенство
f:
ia(x)I < м·
Обозначим через
(17.5)
81 и 82 • Тогда для всех
< jx - xol < 8, выполняются оба
неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, l/(x) ·a(x)I = l/(x)l· la(x)\ <
< М М = е. А это означает, что произведение f(x) · а(х) при х -t х0
8
наименьшее из чисел
х, удовлетворяющих неравенству О
·
есть бесконечно малая функция.
Следствие
(17.2)
17.1.
•
Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы
вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно
малая.
Следствие
17.2.
Произведение б.м.ф. на число есть функция беско­
нечно малая.
Теорема
17.3.
Частное от деления бесконечно малой функции на
функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция беско­
нечно малая.
О Пусть
lim
х-7хо
а(х) =О, а
lim f(x)
х-7хо
= а '1 О. Функция af((x~ может быть
Х
представлена в виде произведения 6.м.ф. а(х) на ограниченную функ-
цию J(x). Но тогда из теоремы
(17.2)
вытекает, что частное f~~~
J(x) есть функция бесконечно малая.
Покажем, что функция JCx) ограниченная. Возьмем е
=
= а(х) ·
гда, на основании определения предела, найдется
х, удовлетворяющих неравенству О<
венство 1/(х)
- aj <
е. А так как е
8
< ia\. То­
>О, что для всех
jx - х 0 1 < 8, выполняется нера­
> l/(x) - aj = ja - /(x)j ~ lal - j/(x)j,
138
то
lal - lf(x)I <с, т. е. lf(x)I > lal - с> О. Следовательно,
•
т. е. функция !Сх) - ограниченная.
17.4. Если функция а(х) - бесконечно малая (а f:. О), то
функция ~ есть бесконечно большая функция и наоборот: если
Теорема
а~х 1
функция f(x) - бесконечно большая, то f(lx) - бесконечно малая.
Q
Пусть а(х) есть б.м.ф. при х --t х 0 , т. е. lim а(х) =О. Тогда
Х-+Хо
(\fc >О
т. е.1alx)1
>
38
>О
\fx:
О< lx - xol <
8)
la(x)I
===}
<с,
~' т. e. Ia(lx) 1 > М, где М =~·А это означает, что функ­
ция alx) есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное
утверждение.
8
За.ме-чание: Доказательства теорем приводились для случая, когда
х
--t
хо, но они справедливы и для случая, когда х
При.мер
17.1.
Q
--t 1
оо.
Показать, что функция
f(x) =
при х
--t
(х -1) 2 · sin3 -х -1 -1
является бесконечно малой.
Решение: Так как
lim (х - 1) 2 =О, то функция ip(x) = (х - 1) 2 есть
х-+1
бесконечно малая при х --t 1. Функция g(x) = sin3 _L1 , х f:. 1, ограни­
х
чена
lsin 3
х !:_ 1 1~
-
1.
Функция f(x) = (х - 1) 2 • sin3 _Ll представляет собой произведе­
х ние ограниченной функции
f(x) -
(g(x))
на бесконечно малую
бесконечно малая при х --t
1.
139
(ip(x)).
Значит,
8
17.2. Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией
Теорема
17.5.
Если функция
f(x)
имеем предел, равный А, то ее
можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции
а(х), т. е. если lim
х-+хо
Q
Пусть lim
Х-+Хо
f(x)
=А, то
=А+ а(х).
f(x)
f(x) =А. Следовательно,
(lfe >О 38 >О lfx: О< lx - xol < 8) ==> lf(x) -А/< е,
т. е.
lf(x) -
А
- OI <
е. Это означает, что функция
f(x) -
А имеет
предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через
а(х):
f(x) -
А= а(х). Отсюда
f(x)
=А+ а(х).
Теорема 17.б (обратная). Если функцию
8
f(x)
можно представить
в виде суммы числа А и бесконечно малой функции а:(х), то число
А является пределом функции
lim f(x)
f(x),
т. е. если
f(x)
=
А+ а(х), то
=А.
х-+хо
Q
Пусть
f(x) = А+а(х), где а(х) -6.м.ф. при х--+ хо, т. е. lim а:(х) =
х-+хо
=О. Тогда
(lfe >О 38 >О lfx: О< lx - xol <
А так как по условию
f(x)
8)
=А+ а(х), то а(х)
==> la:(x)I < е.
= f(x)
-А. Получаем
(lfc->0 38>0 lfx: O<lx-xol<8) ==> l/(x)-Al<e .
А это и означает, что
lim f(x)
•
=А.
Ж--+Хо
Пример
Q
17.2. Доказать, что lim(5+x)
х-+2
5 + х можно представить в виде суммы числа 7
2), т. е. выполнено равенство 5 + х = 7 + (х - 2).
теореме 17.6 получаем lim (5 + х) = 7.
8
Решение: Функцию
и б.м.ф. х
- 2
(при х--+
Следовательно, по
= 7.
х-+2
140
17.3.
Основные теоремы о пределах
Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов
функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда
х ~ х 0 и х ~ оо, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать,
что пределы
Теорема
существуют.
lim f(x), lim ip(x)
x-txo
x-txo
17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме
(разности) их пределов:
lim (f(x) ± ip(x)) = lim f(x) ± lim ip(x).
х--+хо
О Пусть
х--+хо
х--+хо
lim f(x) =А, lim ip(x) =В. Тогда по теореме 17.5 о свя-
x-txo
зи функции, ее предела и 6.м.ф. можно записать
х-tхо
ip(x) =
В+ /З(х). Следовательно,
Здесь а(х)
+ fЗ(х)
-
f(x)
+ ip(x)
А
+ а(х) и
+ fЗ(х)).
б.м.ф. как сумма 6.м.ф. По теореме
функции, ее предела и б.м.ф. можно записать
т. е.
lim (f(x)
х--+хо
f (х) =
=А+ В+ (а(х)
+ ip(x))
= lim f(x)
х--+хо
17.6 о связи
lim (f(x)+ip(x)) = А+В,
x-txo
+
•
lim ip(x).
х--+хо
В случае разности функций доказательство аналогично.
Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечно­
го числа функций.
Следствие 17.З. Функция может иметь только один предел при
Х ~Хо.
О Пусть lim
x-txo
О=
f(x) =А и lim f(x) =В. По теореме 17.7 имеем:
x-txo
lim (f(x) - f(x)) = lim f(x) - lim f(x)
х---+хо
х--+хо
=А
х---+хо
-
В.
•
Отсюда А- В= О, т. е. А= В.
Теорема
17.8. Предел произведения двух функций равен произведе­
нию их пределов:
lim (f(x) · ip(x))
x-txo
= x-txo
lim f(x)
141
· lim ip(x).
x-txo
Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых
Q
пояснений. Так как
lim f(x)
=А,
х--+хо
=А+ а(х),
f(x)
где а(х) и /З(х)
ер(х) =В, то
ер(х) =В+ /З(х),
б.м.ф. Следовательно,
-
f(x) · ер(х)
т. е.
lim
х--+хо
f(x) · ер(х) =
=(А+ а(х)) ·(В+ /З(х)),
АВ +(А· /З(х) +В· а(х)
+ а(х)/З(х)).
Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому
lim f(x) · ер(х)
Х--+Хо
т. е.
lim (f(x)ep(x))
х--+хо
=
=А· В,
lim f(x) lim
х--+хо
•
ер(х).
х--+хо
Отметим, что теорема справедлива для произведения любого ко­
нечного числа функций.
Следствие
17.4.
Постоянный множитель можно выносить за знак
предела:
lim
х--+хо
Q lim
х--+хо
(с·
с·
f(x)
=с·
х--+хо
Следствие
17.5.
х--+хо
х--+хо
Предел степени с натуральным показателем равен
х--+хо
х8, п Е
х--+хо
Q
•
J(x)) = lim с· lim J(x) =с· lim f(x).
той же степени предела: lim (f(x))n
lim xn =
lim f(x).
х--+хо
х--+хо
В частности,
N.
= lim
lim (f(x))n
х--+хо
= ( lim f(x))n.
х--+хо
(f(x) · f(x) ·. "· f(x))
=
lim f(x) "" · lim f(x)
х--+хо
х--+хо
п сомножителей
•
= ( lim f(x)) n
х--+хо
Теорема
17.9.
Предел дроби равен пределу числителя, деленному на
предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
.
l lffi
/( )
lim
/(х)
Х
х--+хо
--=---...,...
lim ер(х) -::/:- о).
х--+хо ер( Х)
lim ер( Х) (
Х--+Хо
Х--+Хо
142
=
Q
Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств
lim /(х) =А
и
Ж-+Жо
следуют соотношения
f(x)
lim <р(х) =В=/; О
Ж-+Жо
=А+ о:(х) и <р(х) =В+ (З(х). Тогда
= А+ о:(х) = А + (А+ о:(х)
/(х)
<р(х)
в+ (З(х)
в
_ А) = А
в+ (З(х)
в
+ В· о:(х)
- А· (З(х).
В 2 +в. (З(х)
в
Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления 6.м.ф. на функ­
цию, имеющую отличный от нуля предел.
П
оэтому
1'
/(х) _ А
llli ( ) - В,
ж-+жо g Х
.
1lm
ж-+жо
т. е.
/tx)) -_
<р Х
lim f(x)
•
ж-+жо
....,l,.,..l'm~m--,-(x..,..) ·
т
ж-+жо
Рассмотрим пример.
Пример 17.3. Вычислить lim(3x 2
ж-+1
Q
2х
-
+ 7).
Решение:
lim (3х 2
ж-+1
-
2х
+ 7) =
lim 3х 2
ж-+1
-
lim 2х + lim 7 =
ж-+1
= 3(lim х)
ж-+1
2
ж-+1
-
2 lim
ж-+1
х + 7 = 3 · 1- 2 + 7 = 8.
•
Пример 17.4. Вычислить lim х 2 2+ 14х - 32
ж-+2
Q
х
-
6х
+8
Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к.
предел знаменателя, при х
--+ 2,
равен О. Кроме того, предел числи­
теля равен О. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность
вида
8. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби
на множители, затем сократим дробь на х
lim х 2
ж-+2
- 2 f=-
О (х--+
+ 14х - 32 = lim (х - 2)(х + 16) =
+8
ж-+2 (х - 2)(х - 4)
х + 16
lim (х + 16)
2
2,
но х f=-
2):
х 2 - 6х
- lim - - - - ж-+
- ж-+2 х - 4 lim (х - 4) -
2 + 16
-9 8
2- 4 ·
--- -
ж-+2
Пример 17.5. Вычислить lim 2х 22 + 3х + 1.
ж-+оо 4х
+ 2х + 5
00 . Для
00
нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель
Q
Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида
143
на х 2 :
lim
2х2 + Зх + 1
х--+оо 4х 2 + 2х + 5
=
2+ 1 +
lim
lim (2 + 1 +
= х--+оо
х
1
х
~
х
х
х--+оо 4 + ~ + ~
~)
х
lim (4 + ~х + ~)
х--+оо
х
1
= -.
2
Функция 2 +;!+~есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому
х
х
lim (2
Х--+00
+~ +
Х
1
Х
lim (4 +
= 2;
2)
х--+оо
~+
Х
•
52 ) = 4.
Х
17 .4. Признаки существования пределов
Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например,
функция у
= sin х
при х
оо предела не имеет. Во многих вопросах
-+
анализа бывает достаточно только убедиться в существовании преде­
ла функции. В таких случаях пользуются признаками существования
предела.
Теорема
17.10
ция
заключена между двумя функциями 'Р(х) и
f(x)
мися
(о пределе промежуточной функции). Если функ­
к одному и
тому же
пределу,
g(x),
стремящи­
то она также стремится
к этому
пределу, т. е. если
=А,
lim ip(x)
х--+хо
'Р(х):::;
то
lim g(x)
х--+хо
=А,
f(x):::; g(x),
(17.6)
(17.7)
=А.
lim f(x)
Х--+Хо
Q
Из равенств (17.6) вытекает, что для любого е >О существуют две
окрестности
и
венство
AI < е, т. е.
61
lrp(x) -
62
точки х 0 , в одной из которых выполняется нера­
< е,
(17.8)
-e<g(x)-A<e.
(17.9)
-е
а в другой
Пусть
6-
lg(x) -
< 'Р(х)
- А
AI < е, т. е.
меньшее из чисел
выполняются оба неравенства
Из неравенств
(17.7)
ip(x) -
01
и
Тогда в 6-окрестности точки Хо
62.
(17.8)
и
(17.9).
находим, что
А:::;
f(x) 144
А:::;
g(x) -
А.
(17.10)
С учетом неравенств
равенства -с:<
(17.8)
и
(17.9)
А< с: или
f(x) -
из неравенства
l/(x) -
AI
следуют не­
(17.10)
<с:.
Мы доказали, что
Vc:
то есть
>О
38
lim f(x)
>О
Vx:
О<
lx - xol < 8
AI
lf(x) -
===}
<с:,
•
=А.
х-+хо
Теорему
17.10
иногда шутливо называют «принципом двух мили­
ционеров». Роль «милиционеров» играют функции
ция
f(x)
Теорема
f(x)
и
rp(x)
g(x),
функ­
«следует за милиционерами».
17.11
(о пределе монотонной функции). Если функция
монотонна и ограничена при х
<
ствует соответственно ее левый предел
ее правый предел
lim
х-+хо+О
f(x)
х 0 или при х
lim
х-+хо-0
>
х 0 , то суще­
f(x) = f(x 0
-
О) или
=!(хо+ О).
Доказательство этой теоремы не приводим.
Следствие 17.б. Ограниченная монотонная последовательность Xn,
п Е
17.5.
N, имеет предел.
Первый замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометри­
ческие функции, часто используют предел
sinx
1i. m
- - =1,
х-+0
~
называемый
предел
первим
отношения
(17.11)
Х
замечаmел.ъним
синуса к
его
npeiJe.лoм.
аргументу
аргумент стремится к нулю. Докажем равенство
U
равен
Читается:
единице,
когда
(17.11).
Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОЕ че­
рез х (см. рис. 113). Пусть О
<х <
~· На рисунке
~МВ численно равна центральному углу х,
ем Sдмов
<
Sсектора мов
<
IBCI =
IAMI
tg х.
= sinx, дуга
Очевидно, име­
SдсОВ· На основании соответствующих
формул геометрии получаем ~ sin х < !х <
! tg х. Разделим неравен-
ства на -21 sin х > О, получим 1 < ~ < - 1- или cos х < sin х < 1.
SlПX
COSX
Х
145
Так как
у
lim cosx = 1
х-+0
и
lim 1 = 1,
х-+0
то
по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
.
sinx _
1lill
- - - 1.
х-+0
(х>О)
(17.12)
Х
Пусть теперь х < О. Имеем sin х
х
=
Рис.
Из равенств
sin(-x)
-х
.
sinx 1
1lill
-- = .
х-+0
113
(17.12)
, где -х > О. Поэтому
и
(17.13)
(17.13)
Х
(х<О)
вытекает равенство
•
(17.11).
Пример 17.6. Найти lim sin3x.
х-+О
2х
О Решение: Имеем неопределенность вида §. Теорема о пределе дроби
неприменима. Обозначим 3х = t; тогда при х --+ О и t --+ О, поэтому
lim sin Зх
х-+О
2х
= lim sin t = lim ~ . sin t = ~ lim sin t = ~ . 1 = ~.
t-+0
2· ~
t-+0
2
2 t-+0
t
2
t
2
8
Пример 17. 7. Найти lim tg х.
х-+0
О Решение: lim tgx
х-+0
Х
Х
·
= lim sшх · -1- = lim
х-+0
Х
COS Х
х-+0
liml
·
sшх. х-+0
Х
lim cos Х
х-+0
= 1·-1 = 1.
1
•
17.б. Второй замечательный предел
Как известно, предел числовой последовательности Xn
п Е
N,
имеет предел, равный е (см.
lim (1
n-+oo
= ( 1 + ~) n,
(15.6)):
+ ~)
n
n
=
е.
(17.14)
Докажем, что к числу е стремится и функция Xn = ( 1+ ~) х при х --+ оо
(х Е
JR):
lim (1
Х-+00
+ ~) х = е.
Х
146
(17.15)
1.
Пусть х
--+
+оо. Каждое значение х заключено между двумя
< п + 1, где п = [х] - это
< 1 ~ 1, 1+ +l 1 < 1+1 ::;; 1+1,
положительными целыми числами: п ~ х
целая часть х. Отсюда следует
поэтому
+l 1
п
х
п
1 )n
(
1) х
( 1+n+1
< 1+; ~
(
х
п
1) n+l
l+п
.
Если х--+ +оо, топ--+ оо. Поэтому, согласно
. (
1
11m 1 + - n-too
п + 1
п
(17.14),
)n = nl~~(l + n~l)n+l
lim (1 + __!_1)
n-+oo
n+
имеем:
е
= - =
1
е,
lim (1+.!)n+l = lim (1+.!)n· lim (1+.!) =e·l=e.
n-too
n
n-too
n
n-too
n
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования предело в
lim (1 +
x-t+oo
2.
.!)х
Х
=
е.
(17.16)
Пусть х--+ -оо. Сделаем подстановку -х
)-t
)t-1
Из равенств
тогда
(-t- ) t = lim (1+-1 ) t=
t- 1
t-++oo
t- 1
( -1- )1 = · 1 =
(17.17)
1
1 ) х = lim ( 1-lim ( 1+= lim
Х
t-++oo
t
t-++oo
1
= lim ( 1 + - · lim 1 +
t-t+oo
t - 1
t-t+oo
х-+-оо
= t,
t - 1
е
е.
(17.17) вытекает равенство (17.15).
Если в равенстве (17.15) положить 1 =а (а--+ О при х--+ оо), оно
(17.16)
и
х
запишется в виде
1
lim{l+o:)<>
a-tO
~
Равенства
(17.15)
и
(17.18)
=е.
(17.18)
называются вторым замечатель-
ным пределом. Они широко используются при вычислении пре­
делов. В приложениях анализа большую роль играет показательная
функция с основанием е. Функция у
= ех
называется эксnоненцu­
а.л.ьноii, употребляется также обозначение ех
Пример 17.8. Найти х-+оо
lim (1 +
Q
Решение: Обозначим х
= ехр(х).
i)x.
Х
= 2t, очевидно, t--+ оо при х--+ оо. Имеем
( 1)2t =
= lim (1 + -l)f · Jim (1 + -l)f = е · е = е.
t-too
t
t-+oo
t
lim 1 + -2)х = lim 1 + x-too
Х
t-+oo
t
(
2.
147
•
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ
§ 18.
ФУНКЦИИ
18.1.
Сравнение бесконечно малых функций
Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть
функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести се­
бя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно боль­
шой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к ка­
кому пределу.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.
/3
Пусть а= а(х) и
=О и
lim
х-+хо
= /З(х) есть б.м.ф. при х-+ х0 , т. е.
а(х)
lim
Х-+Хо
=
/З(х) =О.
1. Если lim
Х--1-Хо
= А =/; О (А Е Ж), то а и
Q/3
/3
называются бесконе·ч:н,о
малЪtми одного порядка.
2. Если lim
х--tхо
=О, то а называется бесконе'Чно малоi:i более высо­
Q/3
кого порядка, чем
3. Если lim
х-+хо
Q/3 =
оо, то а называется бесконе'Ч.но мало11, более низ­
кого пор.я.дка, чем
4. Если lim
х-+хо
Q/3
/3.
/3.
не существует, то а и
/3
называются несравнимыми
бесконе'ЧНО малъtми.
-+
±оо,
/3 =
14х 2
Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х
Х-+ Хо±
0.
Пример 18.1.
Сравнить порядок функций а = 3х 2 и
при х-+ оо.
Q
Решение: При х
-+
О это б.м.ф. одного порядка, так как
lim
х-+0
Говорят, что б.м.ф. а и
~ = lim Зх 22 = ~ =/; О.
/3
х-+0 14х
14
/3 одного порядка стремятся к
нулю с примерно
одинаковой скоростью.
Пример 18.2.
8
Являются ли функции а
одного порядка при х
-+
О?
148
= 3х 4
и
/3
= 7х
б.м.ф.
Q
Решение: При х
--+ О функция а есть б.м.ф. более высокого порядка,
1'im -3х4 = 1'im -Зхз = О . В этом случае б .м .ф. а
чем
так как
= х--+0
7Х
7
х--+0
х--+0
стремится к нулю быстрее, чем (3.
8
а
. -(3
1im
(3 ,
Пример
18.3. Сравнить порядок функций а= tgx и (3
= х2
при
х--+ о.
Решение: Так как
Q
а
.
11m -
х--+0
(3
. tg х
. sin х
1
1
= х--+0
11m - - = 11m - - · - - · - = оо,
х2
х--+0 Х
cos Х Х
то а есть б.м.ф. более низкого порядка, чем
•
(3.
Пример 18.4. Можно ли сравнить функции а= х · sin 1 и /3 = х
х
при х--+ О?
Q Решение: Функции а = х
· sin 1
х
и (3
=х
сравнимыми б.м.ф" так как предел lim ~/3
х--+0
при х --+ О являются не­
= lim
х · sin .!.
х--+0
Х
х
= lim sin 1 не
х--+0
Х
существует.
8
18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные
теоремы о них
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль
играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.
~
~
= 1, то а и (3 называются эквuвалентнимu
Если lim ~(3
х--+хо
беско-
нечно малимu (при х --+ х 0 ); это обозначается так: а,....., (3.
Например, sin х ,....., х при х --+ О, т. к. lim sin х = 1; tg х ,....., х при
х--+0
х
--+ о '
т. к.
Теорема
Х
. tgx
1lffi
= 1.
х--+0
Х
18.1.
Предел отношения двух бесконечно малых функций
не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной
ей бесконечно малой.
О Пусть а,....., а' и (3,.....,
.
.
/3'
при х--+ Хо. Тогда
.
а
. (3' . а'
. а'
l1m -а = l1m (а
- · -а' · -(3') = 11m - · l1m - · l1m - = 1 · 1 · l1m - ,
Х--+Хо
(3
Х--+Хо
(3
Q: 1
(3 1
Х--+Хо
Q 1
149
Х--+Хо
(3
Х--+Хо
(3 1
Х--+Хо
(3 1
·
а
т. е. 11m -(3
x-txo
· (У·
а'
= x-txo
11m
· -(3
а
Очевидно также, что 11m
x-txo
•
· -(3
а' = 11m
· (У.
а
= 11m
x-txo
x-txo
Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функ­
ций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из
них.
Q
Пусть а"" (3 при х -t хо. Тогда
lim
x-txo
аналогично
а-
(3
а
lim
x-txo
= x-txo
lim (1 - ~) = 1 -
lim
x-txo
а
~ =1а
1 = О,
•
а -(3 /3 =О.
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. а и
есть бесконечно малая высшего порядка, чем а или
(3
эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как
1lim
lim /}_ =
X-tXo
x-txo
а
а -(3 /3
=
О. Отсюда
lim o...:::...J}_ =
а
x-txo
lim /}_ = 1,
X-tXo
а
О, то
т. е. а "'
(3,
то а и
(3 -
lim
(1 - /}_) = О, т. е.
(3.
Аналогично, если
x-txo
а
О, то а "" (3.
Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций
разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Q
Докажем теорему для двух функций. Пусть а -t О, (3 -t О при
х -t х 0 , причем а - б.м.ф. высшего порядка, чем (3, т. е. lim _(За =О.
х-+хо
Тогда
lim
х-+хо
а +(3 (3 =
Следовательно, а
lim
х-+хо
(~(3 + 1) =
lim
х-+хо
_(За + 1 = О+ 1 = 1.
•
+ (3 "" (3 при х -t х 0 .
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется
главноii. 'Частью этоii. сумм'Ы.
Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрас'Ывани­
ем бесконе'Чно малых в'Ысшего порядка.
Пример 18.5. Найти предел
lim
x-tO
150
Зх.+ 7х 2 .
sш2х
Q Решение: lim Зх .+ 7х 2 = lim --%f_ = lim
х-+О
Зх
± 7х 2
,..., Зх и
sш 2х
х-+О sш 2х
sin 2х,..., 2х при х
3
Зх = 2'
поскольку
х-+О 2х
•
-t О.
Применение эквивалентных бесконечно малых
18.3.
функций
Вычисление пределов
Для раскрытия неопределённостей вида
8часто бывают полез­
ным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и
другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как из­
вестно,
sin х ,....,
х при х -t О,
tg х ,....,
х при х -t О. Приведем еще примеры
эквивалентных б.м.ф.
При.мер
Q
18. б.
.
Решение: 11m
Покажем, что
1-cosx
2
х-+0
2sin2
= lim
2
х-+0
L
2
2
1 - cos х ,...., х2
L
2
;Jt
2
при х -t О .
sin ;Jt sin ;Jt
2 ·-2 = 1·1=1.
lim -хх
=
х-+0
(~-+О)
2
2
•
Пример 18. 7. Найдем lim arcsinx.
х-+0
Q
Решение: Обозначим arcsin х
Поэтому
1.
lШ
X-t0
Х
= t.
arcsin х _ 1.
lШ
Следовательно,
t
Тогда х
_ 1.
-- t-+0 Sill t
Х
arcsin х ,...,
= sin t
и t -t О при х -t О.
1 _ 1 _ 1
- .
lffi - . - -
t-+0 SIП t
t
1
•
х при х -t О.
Пример 18. 8. Покажем, что /1+Х - 1 ,..., ~ при х -t О.
Q
Решение: Так как
lim
х-+0
v'I+X- 1 =
~
lim (/I+X- l)(/I+X + l) =
~ · ( y'l + Х ± 1)
:но
=lim
х-+0 ~( y'l
то
v1I+X -
1 ,..., ~ при х
х
± Х + 1)
=lim
х-+0
2
v'I+X ± 1
=~=1
2
'
•
-t О.
Ниже приведены ва;>fСнеii.шие эквивалентности, которые исполь­
зуются при вычислении пределов:
151
ех - 1 ,...., х (х -+ О);
7. ах - 1 ,...., х · ln а (х-+ О);
8. ln(l + х) ,...., х (х -+О);
9. loga(l + х),...., х · loga е (х-+
6.
1. sinx,...., х при х-+ О;
2. tgx,...., х (х-+ О);
3. arcsinx,...., х (х-+ О);
4. arctgx,...., х (х-+ О);
2
5.1-cosx,....,~ (х-+0);
10. (1
+ x)k
- 1 ,...., k · х, k
в частности, -/1
.
при.мер 18.9. н айти l im
(х -+О);
+ х -1,....,
~-
~
.
.
х-+0 SШ
Q
>О
О);
3Х
Решение: Так как tg2x,...., 2x,sin3x,...., Зх при х-+ О, то
•
lim tg2x = lim 2х = ~sin Зх
х-+О Зх
3
х-+О
При.мер 18.10. Найти lim х(е 1 /х -1).
Х-+00
Q Решение: Обозначим 1
х
lim
х-+=
х(е 1 1х
= t, из х -+ оо следует t -+ О. Поэтому
-1) = lim
t-+0
При.мер 18.11. Найти
Q
~(et t
lim
х-+1
1) = lim
t-+0
t
- 1)
при х-+ 1, то
(х
(х
8
lim 1=1.
t-+0
ar~sin~x - ~).
Х Х +
Решение: Так как arcsin(x - 1),...., (х
. arcsin(x - 1) _ 1.
llffi
lffi
х-+1 х 2 - 5х + 4
х-+1
~ ·t =
- 1)
_ 1.
1 _
lffi - - - l)(x - 4)
х-+1 х - 4
•
1
3
--.
Приближенные вычисления
,...., (З, то, отбрасывая в равенстве о: = (З +
(3) бесконечно малую более высокого порядка,
- (З, получим приближенное равенство о: ~ (З.
Если о:
+ (о: т. е. о:
Оно позволяет выражать одни бесконечно малые
через другие. Приведенные выше важнейшие эквива­
лентности служат источником ряда приближенных
формул.
х
Приведенные формулы справедливы при малых
х, и они тем точнее, чем меньше х.
Например, графики функций у
= tg х и у
=х
в
окрестности точки О практически не различимы (см.
рис.
114),
а кривая у
= sinx в окрестности точки О
152
Рис. 114.
tg х~х (х-+0)
сливается с прямой у
=
х (рис.
115).
На рисунках
116-118
проиллю­
стрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых го­
ворилось выше.
у
у
у=х
1
---------,,.
2
Рис.
115. sin х:::::
х (х-+ О)
Рис.
116. ln(l+x):::::x (х-+0)
у
1
у
y=cosx
2
у=1-х2
Рис.
2
117. cosx:::::: 1- х2
При.мер
Q
Решение:
у=1+~
18.12.
ln 1,032
Рис. 118.
(х-+ О)
v'1+X:::::: 1 + ~
Найти приближенное значение для
(х-+ О)
ln 1,032.
= ln(l + 0,032) ~ 0,032 Для сравнения результата
по таблице логарифмов находим, что
ln 1,032 = 0,031498...
8
§ 19. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
19.1. Непрерывность функции в точке
Пусть функция у
= f(x) определена в точке х 0 и в некоторой
окрестности этой точки. Функция у
= f(x)
называется непреръtвноii
в mо'Чке х 0 , если существует предел функции в этой точке и он равен
значению функции в этой точке, т. е.
lim f(x)
х-+хо
= !(хо).
153
(19.1)
Равенство
(19.1)
f(x)
функция f (х)
функция
1)
2)
3)
означает выполнение трех условий:
определена в точке Хо и в ее окрестности;
имеет предел при х ~ х 0 ;
предел функции в точке х 0 равен значению функции в этой
точке, т. е. выполняется равенство
Так как
(19.1).
(19.1)
х =хо, то равенство
lim
ж-tжо
lim f(x) = f( lim
ж-tжо
х)
можно записать в виде
= f (хо).
ж-+жо
(19.2)
Это означает, что при нахождении предела непрерывноii. функции
f (х)
f(x)
можно переii.ти к пределу под знаком функции, то есть в функцию
вместо аргументах подставить его преде.лыюе зна-чение х0 .
.
ein2
lim ~
Например,
11m
ж-tО
е-.-
=
е•-+о
•
и предел поменялись местами (см.
=
е. В первом равенстве функция
(19.2))
в силу непрерывности функ-
ции еж.
Прuмер 19.1. Вычислить А= lim ln(l + х).
ж-+0
Q
Х
Решение:
lim ln(l+x) = lim
ж-+0
Х
.! ·ln(l+x) = limln(l+x)~
ж-+0 Х
х)~)
= ln(lim (1 +
ж-+0
Отметим, что
ln(l +
=
ж-+0
х)
"'
= ln е = 1.
8
х при х ~ О.
Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опи­
раясь на понятия приращения аргумента и функции.
у
Пусть функция
делена
в
y=f(x)
некотором
опре-
интервале
(а; Ь). Возьмем произвольную точ­
;}лу
1
1
1
/(хо)
--------,
разность х
1
:
хо
называется прира­
1
: f(x)
и обозначается дх («дельта х»):
..__..
аргумента х
в
то-чке
х0
дх=х-хо. Отсюда х=хо+дх.
Разность
1Х
х
Лх
Рис.
-
щением
1
1
1
1
1
Хо1
о
ку х 0 Е(а; Ь). Для любого хЕ(а; Ь)
119
соответствующих
значений функций
зывается
f(x)- f(x 0 )
приращением
на­
функции
f(x) в то-чке х 0 и обозначается ду
(или д/ или д/(хо)): дy=f(x)-f(xo) или ду=f(хо+дх)-f(хо) (см.
рис.
119).
Очевидно, приращения дх и ду могут быть как положительными,
так и отрицательными числами.
154
Запишем равенство
--+
х
хо и х
lim (f(x) -
Хо
-
--+
(19.1)
в новых обозначениях. Так как условия
О одинаковы, то равенство
(19.1)
принимает вид
!(хо)) =О или
Х--+Хо
(19.3)
~
Полученное равенство
(19.3)
является еще одним определением не-
прерывности функции в точке: функция у=
f(x)
называется не­
nреръюн.оii в точке хо, если она определена в точке х 0 и ее окрестно­
сти и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому прираще­
нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое
(равенство
Пример
Q
либо второе (равенство
(19.1)),
19.2.
(19.3))
определение.
Исследовать на непрерывность функцию у
Решение: Функция у
= sin х.
= sin х определена при всех х Е IR.
Возьмем произвольную точку х и найдем приращение Лу:
Лу = sin( х + Лх) Тогда lim Лу
дх--+О
=
sin х
= 2 cos ( х + ~х)
lim 2 cos (х
дх--+0
+ Л2х)
· sin Л2х
· sin
~х .
= О, так как произ-
ведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.
Согласно определению
ке х.
(19.3),
функция у=
sinx
непрерывна в точ-
8
Аналогично доказывается, что функция у
= cos х
также непре­
рывна.
19.2.
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Функция у=
f(x)
называется непрерывноii, в интервале (а, Ь), если
она непрерывна в каждой точке этого интервала.
=
Функция у
f(x) называется непрерывноii, на отрезке [а, Ь], если
она непрерывна в интервале (а, Ь) и в точке х = а непреръина спра-
ва (т. е. lim f(x)
х--+а+о
= f(a)),
а в точке х
=
Ь непреривна слева (т. е.
lim f(x) = f(Ь)).
х--+Ь-0
19.3.
~
Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называют­
ся то-чками разрыва эmoii функции. Если х
разрыва функции у
= f(x),
=
хо
-
точка
то в ней не выполняется по крайней ме-
155
ре одно из условий первого определения непрерывности функции, а
именно:
1.
Функция определена в окрестности точки х 0 , но не определена
в самой точке Хо.
Например, функция у = _1__2 не определена в точке х 0 = 2 (см.
х-
рис.
120).
у
IL
о
:2
у
х
1
1
1
1
1
1
1
'
Рис.
2.
Рис.
120
121
Функция определена в точке Хо и ее окрестности, но не суще­
ствует предела
f (х)
при х --t Хо.
Например, функция
f(x)
= {х -
1,
если
2-
х,
если
- 1 ~ х < 2,
2 ~ х ~ 5,
определена в точке Хо
разрыв (см. рис.
= 2 (/(2) = О), однако в точке хо = 2 имеет
121), т. к. эта функция не имеет предела при х --t 2:
lim f(x) = 1, а lim f(x) =О.
х-+2-0
х-+2+0
Функция определена в точ-
3.
ке
хо
и
ее окрестности, существу­
f (х),
у
ет
2
вен значению функции в точке х 0 :
lim
х-+хо
lim f(x)
Х-+Хо
1
122
Здесь хо
x-tO
g(xo) = g(O) = 2.
156
(см.
sinx
если х
2,
если х =О.
=О -
точка разрыва:
.
( ) = 1i. m
sin-х- =1,
1imgx
x-tO
функция
122)
g(x) = {
27Г х
а
i- !(хо).
Например,
рис.
Рис.
но этот предел не ра-
Х
---Х'
f.
О;
~
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва перво­
го и второго рода. Точка разрыва хо называется mo'Чкoti разрива
первого рода функции у=
f(x),
если в этой точке существуют конеч­
ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.
lim
x--txo-0
f(x) = Ai
и
lim
x--txo+O
f(x) =
А2. При этом:
а) если
Ai = А2, то точка хо называется mо'Чко11, устранимого раз­
Ai /:- А2, то точка Хо называется mо'Чко11, коне'Чного раз­
рива. Величину IA1 - А21 называют ска'Чком функции в точке разрыва
рива; б) если
первого рода.
~
Точка разрыва х 0 называется mo'Чкofi. разрива второго рода
функции у
=
f (х),
если по крайней мере один из односторонних
пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
1.
у
Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис.
= х~ 2 , Хо = 2 2.
Для функции
f(x)
= {х -1,
2-х,
= 2 является точкой
11- 01=1.
3. Для функции
х0
если
если
- 1 ~ х < 2,
2 ~ х ~ 5,
разрыва первого рода, скачок функции равен
sinx
{
g(x) =
;
х0
120).
точка разрыва второго рода.
при х
f:.
О,
при х =О
О является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив
=
g(x) = 1
(вместо
g(x) = 2)
при х
=
О, разрыв устранится, функция
станет непрерывной.
При.мер
19.3.
Дана функция
f(x) =
lx-3f
. Найти точки разрых _
3
ва, выяснить их тип.
Q Решение:
Функция
f(x) определена и непрерывна на всей числовой
1 при х > 3,
оси, кроме точки х = 3. Очевидно, f(x) = {
Следова-1 при х < 3.
тельно, lim f(x) = 1, а lim f(x) = -1. Поэтому в точке х = 3
x--t3+0
х--tЗ-0
функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке
равен
1- (-1) = 2.
8
157
19.4.
Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций
Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из
соответствующих теорем о пределах.
Теорема
Сумма, произведение и частное двух непрерывных
19.1.
функций есть функция непрерывная (для частного за исключением
тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Q
Пусть функция
Х и х0 -
f(x)
и <р(х) непрерывны на некотором множес'l'ве
любое. значение из этого множества. Докажем, например,
непрерывность произведения
F(x) = f(x) · 1.р(х).
Применяя теорему о
пределе произведения, получим:
lim F(x)= lim (f(x)·1.p(x))= lim f(x)· lim 1.p(x)=f(xo)-<p(xo)=F(xo).
х--+хо
Итак,
х--+хо
х--+хо
lim F(x) = F(x 0 ),
х--+хо
что и доказывает непрерывность функ­
х--+хо
ции
f(x) · <р(х)
Теорема
в точке хо.
8
19.2. Пусть функции
= f(u) непрерывна
функция у
и
=
1.р(х) непрерывна в точке хо, а
в точке и 0
= <р(х0 ). Тогда сложная
функция /(1.р(х)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в
точке хо.
Q
В силу непрерывности функции и = <р(х), lim 1.р(х) = <р(х 0 ) = и 0 ,
т. е. при х
-+
х 0 имеем и
-+
x-txo
и 0 • Поэтому вследствие непрерывности
функции у= !(и) имеем:
lim f(<p(x))
х--+хо
=
lim f(u) = f(uo) = /(1.р(хо)).
и--+ио
Это и доказывает, что сложная функция у= !(1.р(х)) непрерывна
в точке хо.
Теорема
8
19.3.
Если функция у=
f(x)
непрерывна и строго монотон­
на на [а; Ь] оси Ох, то обратная функция у
= 1.р(х) также непрерывна и
монотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказатель­
ства).
158
Так, например, функция tgx = sinx, в силу теоремы 19.1, есть
cosx
функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых
cosx =О, т. е. кроме значений х = ~
+ 1Гn,
п Е Z.
arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx,
Функции
в силу теоремы
19.3, не­
прерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.
lil
Можно доказать, что все основные элементарные функции
непрерывны при всех значениях х, д.л,я которых они опре­
делены.
~
Как известно, элементарноiJ, называется такая функция, которую
можно задать одной формулой, содержащей конечное число ариф­
метических действий и суперпозиций (операции взятия функции от
функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных
выше теорем вытекает: всякая элементарна.я функция непрерыв­
на в ка:;нсдоfi. точке, в котороiJ она определена.
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить
пределы элементарных функций в точках, где они определены.
Пример
19.4.
Найти
lim 2ctgx.
x-+i"
О Решение: Функция 2ctg х непрерывна в точке х
lim
2ctgx
=
2ctg
t =
21
=
= ~, поэтому
2.
x-t~
19.5.
•
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.
Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема
19.4
(Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрез­
ке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наимень­
шего значений.
Изображенная на рисунке
123
функция у
= f(x) непрерывна на
отрезке (а; Ь], принимает свое наибольшее значение М в точке х 1 , а
наименьшее т венство т ~
Следствие
в точке х2. Для любого х Е [а; Ь] имеет место нера­
f(x) ~ М.
19.1.
Если функция непрерывна на отрезке, то она огра­
ничена на этом отрезке.
159
у
у
в
1
1
1
1
1
с
А
1
1
о
а
Х1
Х2
Рис.
Теорема
19.5
о
х
ь
а
с
Рис.
123
:1 /(Ь)
/(с)
1(а)
т'1
х
ь
124
(Больцано-Коши). Если функция у
= f(x) непре­
рывна на отрезке [а; Ь] и принимает на его концах неравные значения
f(a)
=А и
f (Ь)
= В, то на этом отрезке она принимает и все проме­
жуточные значения между А и В.
Геометрически теорема очевидна (см. рис.
124).
Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка
с внутри этого отрезка такая, что
f(c)
=С. Прямая у= С пересечет
график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие
19.2.
Если функция у=
f(x)
непрерывна на отрезке [а; Ь]
и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка
[а; Ь] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция
обращается в нуль:
f (с)
f(x)
=О.
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функ­
ции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось
Ох (см. рис.
125).
19.2 лежит
Следствие
в основе так называемого «метода половuн­
ного делен'UЯ», который используется для нахождения корня уравне­
ния
f(x)
=О.
Утверждения теорем
19.4
и
19.5,
вообще говоря, делаются невер­
ными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна
не на отрезке [а; Ь], а в интервале (а; Ь), либо функция на отрезке [а; Ь]
имеет разрыв.
Рисунок
126
показывает это для следствия теоремы
разрывной функции не пересекает ось Ох.
160
19.5:
график
у
у
f(b)>O
f(b) >0
у=/!
о
о
L/
!(а)
Рис.
<0
Рис.
125
ь х
126
Пример 19.5. Определить с точностью до с: = 0,00001 корень
e2 x+l х 2 - 5 =О, принадлежащий отрезку [О; 1), применив
+
уравнения
метод половинного деления.
Q
Решение: Обозначим левую часть уравнения через /(х).
Шаг
1. Вычисляем ер= J(a) и
Шаг 2. Вычисляем х = а Ь.
!
Шаг
3.
Вычисляем у=
Шаг
4.
При
f(x).
'Ф
= f(b), где а= О, Ь = 1.
Если
f(x)
=О, то х
-
корень уравне-
ния.
f(x)
-:/;О если у· ер< О, то полагаем Ь
=
х, 'Ф =у, иначе
полагаем а= х, ер= у.
- а - с: < О то задача решена. В качестве
корня (с заданной точностью с:) принимается величина х = а
Шаг
5.
Если Ь
искомого
! Ь. Ина-
че процесс деления отрезка [а; Ь] пополам продолжаем, возвращаясь к
шагу
2.
В результате произведенных действий получим: х
§ 20.
20.1.
= 0,29589.
8
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Задачи, приводящие к понятию производной
Понятие производной является одним из основных математических
понятий. Производная широко используется при решении целого ряда
задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении
скорости разных процессов.
Скорость прямолинейного движения
Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется нерав­
номерно по некоторой прямой. Каждому значению времени
t соответ­
= S до некоторой фиксированной
точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).
ствует определенное расстояние ОМ
161
Это равенство называют законом движения mо'Чки. Требуется най­
ти скорость движения точки.
Если в некоторый момент времени' t
точка занимает положение М, то в момент
времени t+дt (дt
о
1ЛS1
S(t)
S(t+Лt)
Рис.
=
(см. рис.
127).
Таким образом, перемеще­
ние точки М за время
127
отношение
приращение времени)
-
точка займет положение М1 , где ОМ1
= S + дS (дS - приращение расстояния)
дS
дt
= S(t + дt) -
дt будет дS
=
S(t).
выражает среднюю скорость движения точки за
время дt:
дS
дt.
Vcp. =
Средняя скорость зависит от значения дt: чем меньше дt, тем
точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный
момент времени
t.
Предел средней скорости движения при стремлении к нулю про­
межутка времени дt называется скоростью движения mо'Чки в данн'Ыti
момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость
через
V,
получим
V
l.
V = lim S(t + дt) - S(t).
дS
= д~~о дt ,
или
дt-->0
(20.1)
дt
Касательная к кривой
Дадим сначала общее определение касательной к кривой.
Возьмем на непрерывной кривой
L
две точки Ми М1 (см. рис.
128).
Прямую М М1, проходящую через эти точки, называют секущеti.
Пусть точка М1 , двигаясь вдоль кривой
L,
неограниченно прибли-
жается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стре­
мится к некоторому предельному положению МТ.
~
Касате.л:ьноii. к iJaннoii. кривоii. в iJaннoii. то-чке М называ­
ется предельное положение МТ секущей М М1 , проходящей через
точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно прибли­
жается по кривой к точке М1 .
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у
= f(x),
имею­
щий в точке М(х; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой
коэффициент
k = tga,
где а
-
угол касательной с осью Ох.
Для этого проведем через точку М и точку М1 графика с абсцис­
сой х
+ дх
секущую (см. рис.
129).
Обозначим через
rp -
угол между
секущей М М1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент
секущей равен
kсек -_ tg rp -_ -ду -_ f(x
дх
162
+ дх) дх
f(x)
·
х
о
Рис.
х+дх
Рис.
128
х
129
При дх ~ О в силу непрерывности функции приращение ду тоже
стремится к нулю; поэтому точка М1 неограниченно приближается по
кривой к точке М, а секущая ММ1 , поворачиваясь около точки М,
переходит в касательную. Угол <р ~а, т. е.
Следовательно,
lim tg <р
дх-tО
= tg а.
lim
дх-tО
ер= а.
Поэтому угловой коэффициент касательной равен
.
.
.
ду
f(x
k = tg а: = 1lffi
tg ер = 1lffi = 1lffi
дх-tО
дх-tО дх
К нахождению пределов вида
+ дх)
дх-tО
(20.1)
и
(20.2)
- f(x)
дх
.
(20.2)
приводят решения и
множества других задач. Можно показать, что:
-
если
Q = Q(t) -
количество электричества, проходящего через
поперечное сечение проводника за время
времени
t
I
-
если
=
t
то сила тока в момент
N = N
lim дQ
lim Q(t + дt) - Q(t) ·
=
(20.3)
дt-tO дt
дt-tO
дt
'
(t) - количество вещества, вступающего в химиче­
скую реакцию за время
времени
t,
равна
t,
то скорость хими'Ч.еско1i реакции в момент
равна
V = lim дN = lim N(t + дt) - N(t);
дt-tO Дt
дt-+0
дt
(20.4)
- если m = т(х) - масса неоднородного стержня между точками
0(0;0) и М(х;О), то лине1iна.я плотность стержня. в то'Ч.ке х есть
S = lim дm
дх-+0 дх
Пределы
(20.1)-(20.5)
=
lim т(х + дх) - т(х).
дх-tО
(20.5)
дх
имеют одинаковый вид; везде требуется най­
ти предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
Этот предел называют производноii. Эти пределы можно записать так:
(читается
V=S;; tga=y~;
«V равно S штрих
l=Щ;
по
t»,
и т. д.).
163
V=N:;
S=m~
«тангенс а равен у штрих по Х»
Определение производной; ее механический
20.2.
и геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормали к кривой
Пусть функция у=
f(x)
определена на некотором интервале (а; Ь).
Проделаем следующие операции:
-
аргументу х Е (а; Ь) дадим приращение Лх: х
+ Лх
-найдем соответствующее приращение функции: Лу
Е (а; Ь);
f(х+Лх)-
=
- f(x);
-
составим отношение приращения функции к приращению аргу-
мента:~;
-
найдем предел этого отношения при Лх --+ О: lim
01/...ЛЛх .
дх
*;
Если этот предел существует, то его называют производной функ-
ции f(x) и обозначают одним из символов f~, f'(x); у';
~
Производноfi. функции у=
f(x)
у~.
в точке х 0 называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
у
,
.
f(xo
= 1lffi
+ дх)
дх-+О
!(хо)
-
! '( ) =
ИЛИ
Лх
Хо
. /(х) - !(хо) .
1lill
Х-+Хо
Производная функции
f(x)
х
есть некоторая функция
-
Хо
f'(x),
произ­
веденная из данной функции.
~
Функция у
= !( х),
имеющая производную в каждой точке интерва­
ла (а; Ь), называется дифференv,ируемоfi. в этом интервале; опе­
рация нахождения производной функции называется дифференциро­
ванием.
Значение производной функции у=
f(x)
в точке х
= х0 обознача­
ется одним из символов: f'(xo), y'Jx=xo или у'(хо).
Пример
20.1.
Найти производную функции у= С, С=
const.
Q Решение:
-
Значению х даем приращение Лх;
находим приращение функции Лу: Лу
f(x
+ Лх)
- f(x)
=С-С=О;
-
значит, ~
-
следовательно, у 1 -
=
1х
=
-
О;
1"im ~
Л
дх-+0
Х
164
1"im о -- о ,
дх-+0
т. е.
( )' -- о .
с
•
20.2. Найти производную функции у= х 2 •
Прuмер
Q
Решение:
- Аргументу х даем приращение дх;
- находим ду: ду = (х + дх) 2 - х 2 = 2х · дх + (дх) 2 ;
Д11 Д11
2х · дх + (дх) 2
- составляем отношение =:
=
=
=
дх дх
дх
- находим предел этого отношения:
дду
lim
Лх-+0
Х
= lim
Лх-+0
(2х + дх)
=
2х
+ дх;
2х.
•
Таким образом, (х 2 )' = 2х.
В задаче про скорость прямолинейного движения было получено
V
1· дS
= л~~о дt ·
Это равенство перепишем в виде
V =
s;,
т. е. скорость прямоли­
неii:ного движени.я материалъноii то-ч.ки в момент времени
изводная от пути
t естъ про­
S по времени t. В этом заключается механи-ч.ескиii
смысл производноii.
!iJ
Обобщая, можно сказать, что если функция у
= f(x) описывает
какой-либо физический процесс, то производная у' есть ско­
рость протекания этого процесса. В этом состоит физическиii.
смысл, nроизводноii..
!iJ
В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффи-
циент касательной
в виде
f'(x)
=
tgo:
=
k
= tg о: =
k,
lim
Лх-+0
ОJJ...дд . Это равенство перепишем
Х
т. е. производная
f'(x)
в точке х рав­
на уг.л,овому коэффициенту касате.л,ьноii. к графику функции
у=
f(x)
в точке, абсцисса кomopoii. равна х. В этом заключается
геометрическиii. смис.л, nроизводноii..
~
у
Если точка касания М имеет координаты
(хо; Уо) (см. рис.
130),
циент касательной есть
то угловой коэффи­
k = f'(x 0 ). Пользуясь
уравнением прямой, проходящей через задан­
ную
точку
в
заданном
направлении
(у-уо =
k(x-xo)), можно записать уравнение
касате.л,ьноii.: у - Уо = f'(xo) · (х - хо).
~
Прямая, перпендикулярная касательной в
точке
касания,
называется
норма.л,ью
к
о
х
Рис.
130
кривоii..
Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой ко­
эффициент
kнорм. =
1
-k
кас.
165
1
- !'(хо)·
Поэтому уравнение нормали имеет вид у
(если
f'(xo)
Уо
-
= - !'(~о)
· (х - хо)
i- О).
20.З. Связь между непрерывностью
и дифференцируемостью функции
Теорема
20.1.
Если функция дифференцируема в некоторой точке,
то она непрерывна в ней.
Q Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой
Следовательно, существует предел lim ОJJ..дд = f'(x).
Лх-tО
Отсюда, по теореме
малой функции, имеем
ду
= f'(x) · дх
17.5
t
точке х.
Х
о связи функции, ее предела и бесконечно
= f'(x)
+а, где а-+ О при дх-+ О, то есть
+а· дх.
Переходя к пределу, при дх
означает, что функция у=
f(x)
О, получаем
-+
= О. А это и
непрерывна в точке х.
Обратная
у
ду
lim
Лх-+0
теорема неверна:
•
непрерывная
функция может не иметь производной. Приме­
ром такой функции является функция
у=
о
Рис.
х, если х ~О,
-х, если х < О.
1х 1 = {
х
Изображенная на рисунке
131
прерывна в точке х
=
131
функция не­
О, но не дифференцируема
в ней.
Действительно, в точке х
ду
=
О имеем
= f(O + дх) - /(О) = f(дх) = lдxl = {
дх
дх
дх
дх
1, если дх >О,
-1, если дх <О.
Отсюда следует, что lim 011_дд не существует, т. е. функция у = lxl
Лх-+0
не имеет производной в точке х
тельной в точке
liJ
За.ме"tания:
Х
= О, график функции не имеет каса-
0(0; О).
1. Существуют односторонние пределы функции у = lxl
в точке х =О:
lim
Лх-+0-0
011_дд =
Х
-1,
lim
Лх-+О+О
011..дд =
Х
1.
В таких случаях
говорят, что функция имеет односторонние nроизводние (или «про­
изводные слева и справа»), и обозначают соответственно /'_(х) и
166
f'+-(x).
Если f~(x)
=/. f'_(x),
то производная в точке не существует. Не
существует производной и в точках разрыва функции.
2.
Производная у'=
f'(x)
непрерывной функции у=
f(x)
сама не
обязательно является непрерывной.
iJ
Если функция у
=
f (х) имеет непрерывную производную у' = f' (х)
в некотором интервале (а; Ь), то функция называется гладкоfi..
20.4. Производная суммы, разности, произведения
и частного функций
Нахождение производной функции непосредственно по определе­
нию часто связано с определенными трудностями. На практике функ­
ции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.
Пустъ функции и
=
и(х) и
v = v(x) -
две дифференцируемие в
некотором интервале (а; Ь) функции.
Теорема
20.2.
Производная суммы (разности) двух функций равна
сумме (разности) производных этих функций: (и±
Q
Обозначим у
= и± v.
v)'
=и'±
v'.
По определению производной и основным
теоремам о пределах получаем:
у'= lim (и(х
+ дх) ± v(x + дх)) -
дх--+0
=
(и(х) ± v(x))
=
Лх
lim (и(х
дх--+0
+ дх)
- и(х) ± v(x
Лх
+ дх) -v(x))
Лх
.
Ли ± 1.
дv
= 1lffi-Д
lШ-Д
дх--+0
Х
дх--+0
Х
=и
,± ,
V,
•
т.е. (и±v)'=и'±v'.
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Теорема
20.3.
Производная произведения двух функций равна произ­
ведению производной первого сомножителя на второй плюс произве­
дение первого сомножителя на производную второго: (и·v)'=и'v+v'и.
167
О Пусть у
= иv. Тогда
у'= lim Лу = lim и(х + Лх) · v(x + Лх) - и(х). v(x)
дх--+0 Лх
дх--+О
Лх
= lim (и(х) +Ли)· (v(x) + Лv) - и(х) · v(x) =
дх--+О
Лх
= lim v(x) · и(х) + и(х) · Лv + v(x) ·Ли+ Ли· Лv - и(х) · v(x)
дх--+О
Лх
.
( v(х)·-+и(х)·-+Лv·Ли
Лv
Ли) =
= дх--+О
l1m
Лх
Лх
Лх
=
.
Ли
( ) • lIШ
-Л
V Х
дх--+0
Х
( )
+и Х
·
.
. Л
Лv
1IШ
-Л + 1IШ
V
дх--+0
Х
•
дх--+0
.
Ли
1lffi
-Л =
дх--+0
Х
= и' · v + и · v' + О · и' = и' · v + и · v',
•
т.е. (и·v)' =и'·v+и·v'.
При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи не­
прерывности и дифференцируемости: так как функции и
v
= v(x)
= и(х) и
дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому Лv ~ О
и Ли ~ О при Лх ~ О.
Можно показать, что:
а) (с· и)'= с· и', где с=
const;
6) (и · v · w )' = и' · v · w + и · v' · w + и · v · w'.
Теорема 20.4. Производная частного двух функций иtх1,
v x если v(x) =f
=/:-
О равна дроби, числитель которой есть разность произведений зна­
менателя дроби на производную числителя и числителя дроби на про­
изводную знаменателя,
нателя:
1
(;) =
а знаменатель есть квадрат прежнего знаме-
и'· v ~и· v', v =/:-О.
О Пусть у = :!! . Тогда
v
у'
=
и х+дх
v х+дх -
lim
дх--+О
=
~
VГxJ
Лх
lim и(х) · v(x)
дх--+О
=
их +ди
v х +дv -
lim
дх--+0
Лх
"'1
uf
v х
=
+ v(x) ·Ли - и(х) · v(x) Лх · (v(x) + Лv)v(x)
168
и(х)
· Лv
=
.
1
=1m
Лх-+О
V. Ли -и. Лv
v . ди - и. дv
Лх
Лх
1.
=1m
2
дх · (v + v · дv)
Лх-+0
v 2 + v · дv
Ли - и
v · lim
Лх-+0 Лх
v2
· lim
Лv
u'v - uv'
Лх-+0 Лх
+ v · Лх-+0
lim дv
v2
•
т. е. ( ;-) = и' v;; uv'.
Следствие 20.1. (~)'=~·и'.
1
Следствие 20.2.
20.5.
( ;;-с)' = -
с ~ 2v 1 , где с
= const.
Производная сложной и обратной функций
Пусть у= !(и) и и= ср(х), тогда у=
f(cp(x)) -
сложная функция
с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.
Теорема
20.5.
Если функция и= ср(х) имеет производную и~ в точке
х, а функция у=
f(u)
имеет производную у~ в соответствующей точке
и= ср(х), то сложная функция у= /(ср(х)) имеет производную у~ в
точке х, которая находится по формуле у~ =у~· и~.
Q По условию Ли-+0
lim ~дд =у~. Отсюда, по теореме о связи функции, ее
U
предела и бесконечно малой функции, имеем ~ = у~ + а или
ду =у~· ди +а· ди,
где а
-+
О при ди
-+
(20.6)
О.
Функция и = ср(х) имеет производную в точке х: lim дди =и~,
Лх-+0
поэтому
ди =и~· дх
+ /3 · дх,
где
/3 -t О при
Х
дх-+ О.
Подставив значение див равенство
ду = у~(и~ · дх
т. е.
+ /3
(20.6), получим
· дх) + а(и~ · дх +,В· дх),
ду =у~· и~· дх +у~· ,В· дх +и~· а· дх +а· ,В· дх.
Разделив полученное равенство на дх и перейдя к пределу при дх
получим у~ = у~ · и~.
-+
О,
8
169
!il
Итак, для нахождения производной сложной функции надо произ­
водную данноit функции по nроме;нсуточному аргументу
умно;нсиmь на производную проме;нсуточного аргумента по
независимому
аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов не­
сколько. Так, если у
= f(u),
Пусть у=
rp(y) -
Теорема
f(x)
их=
= rp(v), v = g(x),
и
Если функция у
20.6.
то у~
= у~· и~ ·
v~.
взаимно обратные функции.
= f(x) строго монотонна на интер­
вале (а; Ь) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольной
точке этого интервала, то обратная ей функция х = rp(y) также име­
ет производную
ством rp'(y)
rp'(y)
в соответствующей точке, определяемую равен-
!'Сх) или х~
=
:~.
=
О Рассмотрим обратную функцию х =
ращение ду
rp(y). Дадим аргументу у при­
=f. О. Ему соответствует приращение дх обратной функции,
причем дх =/:-О в силу строгой монотонности функции у=
му можно записать
дх
ду
f(x).
1
-
Поэта-
(20.7)
!;ш.
дх
Если ду
-+
О, то в силу непрерывности обратной функции прира-
щение дх -+ О. И так как lim ~дд = f'(x) =f. О, то из (20.7) следуют
Лх-+0
равенства ду-+О
lim ддх =
У
!il
Таким
образом,
1
Х
д = f'(lх) , т. е.
~
дх-+0 Лх
lim
производная
rp'(y)
= 1,(х ) .
oбpamнoit
функции
•
равна
обратноit величине производноit данноit функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
1
1
Ух=/
Ху
dy
ИЛИ
dx
1
= ([Х·
dy
Пример 20.3. Найти производную функции у= log~tgx 4 .
Q
Решение: Данная функция является сложной. Ее можно предста­
вить в виде цепочки «простых» функций: у
и 3 , где и
log 2 z, где
4
z
tg q, где q
х • По правилу дифференцирования сложной функ­
ции (у~ =у~· и~· z~ · q~) получаем:
=
=
=
1
у~= 3 · log~tgx 4 · -~-­
tgx4 · ln2
170
1
4х 3
cos 2 х 4
·
-~~·
=
•
Пример
Пользуясь правилом дифференцирования обрат­
20.4.
ной функции, найти производную у~ для функции у=
Q
Решение: Обратная функция х
Vx -
1.
= у 3 +1 имеет производную х~ = Зу 2 .
Следовательно,
1
1
1
•
1
Ух= х~ = Зу 2 = 3 · \,/(х - 1)2 ·
20.б. Производные основных элементарных функций
Степенная функция у
= xn, n Е N
Дадим аргументу х приращение дх. Функция у=
ращение ду
(х
=
+
дх)n
- xn.
xn
получит при­
По формуле бинома Ньютона имеем
ду = ( xn + п. xn-1 . дх + n(n2~ 1) xn-2 . дх2 +
... +
(дх)n)
п(п
-1)
хn-2дх2 + ... +
2!
= п. xn-1. дх +
- Xn
(дх)n
=
.
Тогда
ду
--
п. xn-1. дх
+ n(n~l)xn-2дx2 +. + (дх)n
2.
дх
-
дх
= п. xn-1 + п(п - 1) . xn-2. дх + ... + (дх)п-1.
2!
Находим предел составленного отношения при дх
lim
ду
Лх-+0 Лх
= lim
Лх-+0
О:
(n·xn- 1 +!n·(n-l)·xn- 2 дx+· · ·+(Лх)п- 1 )
2
Таким образом,
Например,
--+
(х 3 )'
(xn)' =
=
Зх 2 ,
п.
=
п·хп- 1 .
xn-1.
= 2х, х' = 1.
175) будет показано,
(х 2 )'
Ниже (см. замечание на с.
что формула произ­
водной степенной функции справедлива при любом п Е
IR
(а не только
натуральном).
Показательная функция у
= аж, а > О, а # 1
Найдем сначала производную функции у
=
ех. Придав аргументу
х приращение дх, находим приращение функции ду: ду = ех+дх -ех =
=
д
ех(е х -
1).
Д11
Стало быть, ДХ
l"
х едх
li. mду
- = ~те·
дх-+ОЛх
Лх-+0
-
дх
1
=
е 2 (ед 2
дх -
х l" едх
=e·im
Лх-+0
171
1)
и
-
1
Лх
х l" дх
х 1
х
=e·im-=e· =е.
Лх-+ОЛх
При
ех
- 1 ""
вычислении
предела
воспользовались
эквивалентностью
х при х ~ О.
Итак, у'
= ех, т. е.
(ех)'
= ех.
Теперь рассмотрим функцию у = ах, х Е Ж. Так как ах = ех ln а,
то по формуле производной сложной функции находим:
(ах)'= (exlna)'
= exlna. (х · lna)' = ex\na · lna =ах· 1na.
Таким образом, (ах)'= ах
lna.
Пример 20.5. Найти производную функции у= 7х 2 - 4 х.
Q
Решение: Используя формулу производной сложной функции и
формулу производной показательной функции, находим
у'= (7х 2 - 4 х)'
= 7х 2 - 4 х · ln 7 · (х 2 -
Логарифмическая функция у
4х)'
= lo&. х,
а
= 7х 2 - 4 х · ln 7 · (2х -
4).
8
> О, а =l 1
Найдем сначала производную функции у=
lnx.
Для нее
ду _ ln(x + дх) - lnx _ ln(~) _ ln(l + ~)
дх
дх
дх
дх
Переходя к пределу при дх ~ О и воспользовавшись эквивалент-
ностью ln ( 1 + ~) "" ~х при дх ~ О, получаем:
-=
Ду
lim
дх-+0
Лх
ln(l+ дх)
lim
дх-+0
х
дх
=
дх
lim ~= дх-+0
lim
дх-+0 Дх
-=-,
1
1
Х
Х
т. е. у'= 1 или (lnx)' = 1.
х
х
Теперь рассмотрим функцию у=
Так как log х
а
loga х.
= lnx
то
1na'
(logax)'
=с::)'= 1:а. (lnx)'
Таким образом, (loga х )'
=
l:a.
~-
= - · 11-na.
х
Пример 20. 6. Найти производную функции у = ln(x4
Q Решение: у'=
х4
-
1
2х 2
+6
. (х4 - 2х2
+ 6)'
=
Производную логарифмической функции у
4хз - 4х .
х4
2х 2
= loga х
-
иначе. Так как обратной для нее функцией является х
формуле производной обратной функции имеем:
(log х)' = _1_ =
а
(аУ)'
1
=
1
aY·lna
x·lna·
172
2х 2 + 6).
-
+6
8
можно найти
=
аУ, то по
Тригонометрические функции у=
Для функции у
= sin х
sinx,
cosx,
у=
у=
tgx,
у=
ctgx
имеем:
ду _ sin(x + дх) - sin х _ 2 sin ~ cos(x + ~) _ sin .:;х
( дх)
дх
дх
дх cos х+ 2
.
дх -
2
Переходя к пределу при дх -t О и воспользовавшись первым за­
мечательным пределом lim sinддx = 1, получаем
дх-+0
Х
ду
sin дх
(
дх)
lim -д = lim ---д--1- ·cos х + = 1 · cos х,
дх-+0
т. е. у'=
Х
или
cosx
дх-+0
2
--.}
(sinx)' = cosx.
Найдем производную функции
воспользовавшись форму­
y=cosx,
лой производной сложной функции:
(cosx)' =
т. е.
(sin(~ -х)) =cos(~ -х) ·(~ -х) =cos(~ -х) ·(-1)=- sinx,
1
1
(cosx)'=-sinx.
Для нахождения производных функций
y=tgx
и
y=ctgx
восполь­
зуемся формулой производной частного:
(t х)' = ( sin х) '= (sin х)' cosx-sin x(cos х)'
g
cos х
cos2 х
cos2 x+sin 2 х
cos 2 х
1
cos2 х '
т. е. (tgx)'=~.
cos
х
Проделав аналогичные операции, получим формулу
(ctgx)' =
-+.
sш
х
Этот результат можно получить иначе:
(ctgx)'=
Пример
Q
Решение:
(tg(~-x))' = cos2 (~-x) ·(-l)=--sin-\-x.
20. 7.
Найти производную функции у=
(cos2x)' = -sin2x · (2х)' = -2sin2x.
Обратные тригонометрические функции у=
у=
arctgx,
cos2x.
у=
Пусть у
arcsinx, у= arccosx,
•
arcctgx
= arcsinx.
Обратная ей функция имеет вид х
= siny,
у Е [-~;~].На интервале (-~; ~) верно равенство х' = cosy-:/:- О.
По правилу дифференцирования обратных функций
(
.
)'
1
1
1
1
arcsшx = (siny)' = cosy = J1 - sin2 у - J1 - х2'
173
rде перед корнем взят знак плюс, так как cos у > О при у Е (- ~; ~).
Итак, (arcsinx)' =
1
J1-x
.
2
Аналогично получаем, что (arccosx)' = -
1
J 1-х
то
(arccosx)' =
(к2
- arcsinx)' = -
Найдем производную функции у=
. Эту формулу
i, т. е. arccos х =
можно получить проще: так как arccos х + arcsin х =
= ZL
2 - arcsinx,
2
1
Vl-x2
arctgx.
Она является обратной к функции х = tg у, rде у Е (
.
-i; ~) .
Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что
1 2 = - 1- .
(arctgx)' = - 1- =---}.- = cos 2 у=
(tgy)'
::::::г.:
1
+
tg у
1 + х2
cos
у
Итак, (arctgx)' = ~l .
+х
Функции
arctg х
и
arcctg х
arctg х + arcctg х =
связаны отношением
1Г
"2,
т. е.
arcctg х =
1Г
2-
arctg х.
Дифференцируя это равенство, находим
(arcctgx)' = (i-arctgx)' = -(arctgx)' =
- 1 :х 2 '
т. е. (arcctgx)' = -~
1 1 .
+х
Пример 20.8. Найти производные функций: 1) y=arccosx 2 ; 2) у=
=x·arctgx; 3) у=(1+5х-3х 3 ) 4 ; 4) y=arccosy'X; 5) y=log~(З+2-x).
Q
Решение: 1) (arccosx 2 )' = -
1
J1 -
2
2х
· (х )' = - ~;
(х 2 ) 2
1 - х4
х
2) (х · arctgx)' = х' · arctgx + х · (arctgx)' = arctgx + - -2 ;
1+х
3) ((1+5х - Зх 3 ) 4 )' = 4(1+5х - 3х 3 ) 3 • (5 - 9х 2 );
1
1
4) (arccos у'Х)' =
(у'Х)2 . 2у'Х;
J1 -
1
5) (log~(З+ 2-х))' = З lоg~(З+2-х) · (З + 2 _х) ln 3 · 2-х · ln 2 · (-1). 8
174
Заме'Чание: Найдем производную степенной функции у
бым показателем а Е
Ilt
=
х°' с лю­
В этом случае функция рассматривается для
х >о.
Можно записать х°' =
ea·In
х. По правилу дифференцирования
сложной функции находим
(х°')'
= (ea:·lnx)' = eo"Inx.
т. е. (х°')'
(а·
lnx)'
1
-х°'
х
х
=а. ea·lnx. - =а.
=а. х°'-1,
= а· х°'- 1 .
Формула остается справедливой и для х <О, если функция у= х°'
существует:
при всех х
#
О.
Показать, что функция у= ~2 + 2 ~ 2 +С удовле­
творяет уравнению х 3 · у' + 1 = х 4 .
Пример
Q
20.9.
Решение: Находим у':
у
т. е. у'
' = 2"
1 · 2х
+ 2"1 · ( -2) х -3 +О,
= х - -:5r. Подставляем значение у' в данное уравнение:
х
х3 · ( х -
:3)
+ 1 = х4, т. е. х4 -
1+1 =
х 4 , О= О.
Функция удовлетворяет данному уравнению.
20.7.
•
Гиперболические функции и их производные
В математике, механике, электротехнике и некоторых других дис­
циплинах встречаются гиперболи'Ческие функции, определяемые следу­
ющими формулами:
~
х
sh х = е - 2 е
ch х = е
х
+е
2
-х
-х
- гиперболический синус;
-
гиперболический косинус («цепная линия»);
h
х +
-х
h = е - е -х и cth х = ~
th х = ~
= е
е
- гиперболичесh х
ех + е-х
shx
ех - е-х
ский тангенс и котангенс, где е неперово число.
На рисунках 132-135 показаны графики гиперболических функ­
х
ций.
Между гиперболическими функциями существуют следующие ос­
новные зависимости:
175
х
о
Рис.
Рис.
132
у
х
133
---------~-\:::_
1
о
Рис.
Рис.
134
х
135
ch 2 х - sh 2 х = 1;
sh(x ±у)= shx · chy ± chx · shy;
ch(x ±у)= chx · chy ± shx · shy;
(
) - th х ± th у .
th х ± у - 1 ± th х . th у '
sh2x = 2shx · chx;
Все
эти
ch2x = ch 2 х
формулы вытекают
из
+ sh2 х.
определения гиперболических
функций.
Например,
с
h 2 x-s h2 х= ( е х
-х
)2 =
1
= -(е2х
+ 2 + е-2х 4
е2х
+ е -х
2
)2 - ( х
е
-е
176
2
+2 -
е-2х)
= -41 . 4 = 1.
Геометрическая интерпретация
рис.
гиперболических функций
137) аналогична интерпретации тригонометрических функций
136).
рис.
(см.
(см.
у
у
1
вх
о
Рис.
Параметрические
136.
уравнения
о
х
=
cos t
и
у
Рис.
137. Параметрические уравнения
= ch t и у = sh t определяют гипер­
болу х 2 - у 2 = 1, причем ОА = ch t,
АМ = sht
х
=
= sin t определяют окружность
х 2 +у 2 = 1, причем ОА = cost,
АМ
х
= sint
Найдем производные гиперболических функций:
(shx)' = ( ех - 2 е-х )' = ех
i е-х = chx, т. е. (shx)' = chx;
(chx)' = (ех "1е-х)' = ех -2 е-х = shx, т. е. (chx)' = shx;
(shx)' chx - shx(chx)'
ch2 х - sh 2 х
ch2 х
ch х
1 , т. е. (th х)' = 1 ;
ch 2 х
ch2 х
(cthx)'=(chx)'=sh2x-ch2x=- 1 ,т.e.(cthx)'=- 1 .
sh х
sh х
sh2 х
sh 2 х
(thx)' =
( shx )' =
chx
=
20.8. Таблица производных
Выведенные правила дифференцирования, формулы производных
основных элементарных функций запишем в виде таблицы.
На практике чаще всего приходится находить производные от
сложных функций.
Поэтому в приведенной ниже таблице формул
дифференцирования аргумент «Х» заменен на промежуточный аргу­
мент
«U».
Правила дифференцирования
1.
2.
(и±
(и·
v)' =и'± v';
v)' = u'v + uv',
в частности, (си)'= с· и';
177
3.
(~)'
=
и'v; иv', в частности,(~)'=_,_;
4. у~ =у~· и~, если у= f(u), и= rp(x);
5. у~= J,., если у= f(x) их= rp(y).
Ху
Формулы дифференцирования
1. (с)' = О;
2. (и°')' = а · и°'- 1 ·и', в частности, (.jU)' =
3. (аи)' =аи· ln а·
4. (log и)' = - 1-
и', в частности, (еи)'
1;:: ·и';
2vи
еи ·и';
=
· и' в частности (ln и)' = 1 · и'·
а
и· lпа
'
'
и
'
5. (sinu)' = соsи·и';
6. (cosu)' = -sinu·u';
1 ·и';
7. (tgu)' =
8. (ctgu)' = - . 12 ·и';
cos2 и
sш и
1
1
9. (arcsinu)' =
·и'; 10. (arccosu)' = -
1 ·и';
11. (arctgu)' = ~l
·и';
~
12. (arcctgu)' = -~1 . и';
13. (sh и)'= ch и· и';
15. (th и)' = 12 · и';
ch и
14. (ch и)'= sh и· и';
16. (cth и)' = - 12 · и'.
sh и
J1-u 2
+и
+и
Для вычисления производных надо знать лишь правила диффе­
ренцирования и формулы производных основных элементарных функ­
ций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.
При.мер 20.10. Найти производную функции у= х4 -3х 3 +2х-1.
Q
Решение:
у'= (х 4
-
3х 3 + 2х - 1)' = (х 4 )'
= 4х 3
-
-
(3х 3 )' + (2х)' - (1)' =
3(х 3 )' + 2(х)' - О= 4х 3
-
9х2 + 2.
8
Надо стараться обходиться без лишних записей.
При.мер
Q
20.11.
Найти производную функции у=
2tx3 .
gx
Решение:
у' = ( 2х 3 )' = 2 . (х 3 )' · tg х - х 3 · (tg х)' = 2 . 3х 2 · tg х - х 3 · со;2 ж
tgx
(tgx) 2
(tgx) 2
•
Производная найдена. В процессе решения использованы правила
2, 3
и формулы
2, 7.
При.мер 20.12. Найти производную функции у= cos(ln 12 2х).
178
Q Решение: Коротко: у' = - sin(ln12 2х) · 12 ln 11 2х · 2~ · 2.
Решение с пояснениями: данную функцию можно представить сле­
=
дующим образом: у
cosu, и
=
t 12 , t
сложной функции найдем по правилу у~
= lnz, z = 2х.
= у~ · и~ · t~ · z~
Производную
(здесь проме­
жуточных аргументов три):
у1
х
= -
•
sш
и
. 12 . t 11 . -1 . 2 ,
z
т. е.
•
= - sш
t 12 · 12 · (1 n z )11
Ух1
· 21х · 2 ,
т. е.
у
т. е.
Окончательно
§ 21.
1
х
• (1
1
=-s1n
nz ) 12 · 12 · ln 11 z·-,
х
у~
= - sin(ln 12 2х) · 12 · ln 11 2х ·
у'х
= -12 · sin(ln 12 2х) · ln 11
.!:..
х
•
2х · .!:..
х
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ
И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ
21.1.
Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у=
f(x),
разрешенным относи­
тельно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
~
Под неявным заданием функции понимают задание функции в
виде уравнения
F(x;y)
=О, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у
неявно заданную уравнением
f(x) -
= f (х)
можно записать как
у= О, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение от­
носительно у (например, у+ 2х
li
+ cosy -
1
=О или 2У
Если неявная функция задана уравнением
F(x; у)
-
х +у= О).
=О, то для нахо-
ждения производной от у по х нет необходимости разрешать урав­
нение относительно у: досmаmично nродифферен:цироваmь это
уравнение
no
х, рассматривая nри этом у как функцию х,
и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и
функцию у.
Пример
нием х 3
+ у3 -
21.1.
Найти производную функции у, заданную уравне­
3ху = О.
179
•
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равен­
ство х3 + у 3 - Зху = О. Из полученного соотношения
Q
3х 2
+ 3 · у2
·у' - 3(1 ·у+ х ·у')= О
•
У - х2
следует, что у 2 у' - ху' = у - х 2 , т. е. у' = :-:т--=.
у
21.2.
-х
Функция, заданная параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений
х = x(t),
{ у=
y(t),
где
t -
(21.1)
вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную у~, считая, что функции
водные и что функциях= x(t) имеет обратную t
(21.1) имеют произ­
= <р(х). По правилу
дифференцирования обратной функции
t~ = __!,..
(21.2)
Xt
определяемую параметрическими уравнения­
ми
Функцию у = f(x),
можно рассматривать как сложную функцию у
(21.1),
= y(t),
где
t=<p(x).
По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у~
=
=у~. t~.
С учетом равенства
1
(21.2) получаем
Ух=
1
1
Yt · -,,
т. е.
Xt
1
у~
Ух=/·
Xt
Полученная формула позволяет находить производную у~
от
функции заданной параметрически, не находя непосредственной зави­
симости у от х.
t:,
Пример 21.2. Пусть {х = t. Найти у~.
у=
Q
3t 2 , у~
Решение: Имеем х~
2t.
Следовательно, у~
2t
W'
•
у / = -2..
х
т. е.
Зt"
В этом .можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у
от х.
действительно, t
=
vз;;;
х.
т
огда у
у- 2
-
зt·
180
, _ 2
-_ vзгz
х~. 0 тсюда Ух - 3
Vx,
т. е.
§ 22.
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно задан­
ную функцию С'Нд'Ч.ала прологарифмировать. А затем результат про­
дифференцировать. Такую операцию называют логарифми'Ч.еским диф­
ференцированием.
Пример
22.1.
Найти производную функции
у=
(х 2
V(x - 1) 3 • ех
+ 2) ·
(х
+ 5) 3
Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифферен­
Q
цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло­
гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:
+ 2) +
lny = ln(x 2
i ln(x -1) + х - Зln(x + 5).
Дифференцируем это равенство по х:
1
у
1
·у=
1
-х2 + 2
3
1
1
· --+1-3·--.
4 х- 1
х+5
·2х+-
Выражаем у':
,
2х
(
3
У =у х 2 + 2 + 4(х -
3 )
1)
+1- х+5
'
т. е.
у
iJ
(х 2
1
=
+ 2) · V(x (х + 5) 3
1)3 · ех
(
·
2х
3
х 2 + 2 + 4(х -
3
1)
+1- х+5
)
·
8
Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так на­
зываемая сmеnенно-nоказаmел:ьна.я функция у=
и
v = v(x) -
uv,
где и= и(х)
заданные дифференцируемые функции от х. Найдем про­
изводную этой функции:
lny = v · lnи,
1
-·у
===}
у
у1
т. е.
=у
(
1
=v
1
1
1
·lnи+v·-·и,
и
v 1 · ln и + v · ~1 · и ') ,
у' = и v ( v' · ln и + v · ~ · и') ,
или
/ (uv)' =
иv · ln и· v' + v · иv-l ·и'./
181
(22.1)
Сформулируем правило запоминания формулы
(22.1):
производ­
ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока­
зательной функции, при условии и
функции, при условии
= const, и производной степенной
v = const.
При.мер 22.2. Найти производную функции у= (sin2x)x 2 +1 .
Q
Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:
у' = (sin 2х)х 2 + 1 • ln sin 2х · 2х + (х 2
Отметим, что запоминать формулу
+ l)(sin 2х)х 2
(22.1)
•
cos 2х · 2.
8
необязательно, легче за­
помнить суть логарифмического дифференцирования.
§ 23.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
23.1.
Производные высших порядков явно заданной
функции
Производная у'
= f'(x) функции у= f(x) есть также функция от
х и называется производно'i~ первого порядка.
Если функция
f'(x)
дифференцируема, то ее производная называ-
ется производной второго порядка и обозначается у" (или
f"(x),
~:~,
d~ (*),~)-Итак, у"= (у')'.
Производная от производной второго порядка, если она существу­
ет, называется производной третъего порядка и обозначается ут (или
f"'(x),
~:~, ... ).Итак, у"'= (у")'.
Производной п-го порядка (или п-й производной) называется про­
изводная от производной
(n - 1)
1 y(n)
порядка:
= (y(n-1))'.
J
Производные порядка выше первого называются производнъtми
вьtсших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозна­
чают римскими цифрами или числами в скобках (yv или yC 5 J -
про­
изводная пятого порядка).
При.мер
23.1.
Найти производную 13-го порядка функции у
= sinx.
182
Q
Решение:
у' = (sin х )' = cos х = sin ( х + ~),
у"= (у')'= (cosx)' =
у 111 = (- sin х)' = - cos х = sin (
y 1v
2),
х + ~ · 3) ,
-sinx = sin(x + ~
= (- cos х )' = sin х = sin ( х + ~ ·
у< 13 ) =
sin ( х
+~·
·
4) ,
13).
•
23.2. Механический смысл производной второго
порядка
Пусть материальная точка М двюкется прямолинейно по закону
S = f(t). Как уже известно, производная
данный момент времени:
s; = v.
s: равна скорости точки в
Покажем, что вторая производна.я от пути по времени есть ве­
ли'Чшtа ускорения прямо.линеfiного движения mО'ЧКи, Т. е.
Пусть в момент времени
t
+ дt -
скорость равна
V
t
скорость точки равна
+ д V,
s:' =
V,
а.
а в момент
т. е. за промежуток времени дt ско­
рость изменилась на величину д V.
Отношение 1,.~ выражает среднее ускорение двюкения точки за
время дt. Предел этого отношения при дt -t О называется ускорением
точки м в данный момент
т. е.
V'
t
и обозначается буквой а: lim лдvt
дt-+0
=а.
Но V
= s;.
Поэтому а= (S;)', т. е. а=
s;
= а,
1•
23.3. Производные высших порядков неявно заданной
функции
Пусть
F(x;y)
функция у
=
f(x)
задана неявно
в
виде уравнения
=О.
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное
уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (пер­
вую производную). Продифференцировав по х первую производную,
получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и
183
у'. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй произ­
водной, выразим у" через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и
дальше) порядка.
Пример 23.2. Найти у 111 , если х 2
+ у2
= 1.
а Решение: Дифференцируем уравнение х2
х
+ 2у · у' = О.
у"= -
у - х . ( - ~)
У
у2
тельно, у 111
23.4.
=
= - - . Далее
Отсюда у'
=-
имеем: у"
у
у2
+ х2
1
= -уз
уз
+ у2
1 = о ПО х: 2х
-
=-
(так как х2
1 ·у - х. у'
у
2
, т. е.
+ у 2 = 1), следова-
-1·3у 2 ·у' =-3. (--х) =-3х
уб
у4
у
+
•
у5.
Производные высших порядков от функций,
заданных параметрически
Пусть функция у
f (х)
=
задана параметрическими уравнениями
x(t),
{ ху== y(t).
Как известно, первая производная у~ находится по формуле
1
у~ = у~.
(23.1)
Xt
Найдем вторую производную от функции заданной параметриче­
ски.
Из определения второй производной и равенства
(23.1)
следует, что
у"хх = (у')'
= (у')'
. t'х = (у~)~
х х
х t
х'
'
t
т. е.
у // = (у~)~
1
•
хх
(23.2)
Xt
Аналогично получаем
Ym
ххх
Пример
Q
23.3.
=
(
11 )'
Ухх t
х~
'
YIV
хххх
=
(
111
)'
Уххх t
х~
'
Найти вторую производную функции
Решение: По формуле (23.1)
,
Ух
(sint)~
cost
sin t
= (cos t)~ = -
184
=-
ctgt.
{ х = cost,
.
у= sшt.
Тогда по формуле
(23.2)
ctg t)~
si;2 t
1
(cost)~ = -sint = - sin3 t"
•
( -
11
Ухх =
Заметим, что найти У~х можно по преобразованной формуле
1
(у~)~
11
(~ )~
(23.2):
у~'· х~ - х~' ·у~
Ухх = ~ = ~ =
(х~)З
запоминать которую вряд ли стоит.
§ 24.
24.1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Понятие дифференциала функции
Пусть функция у
изводную
lim
дх--tО
~ддХ
= f(x) имеет в точке х отличную от нуля про­
= f'(x) f:. О. Тогда, по теореме о связи функции, ее
предела и бесконечно малой функции, можно записать ~
где о:-+ О при дх-+ О, или ду
!' (х) +о:,
=
= f'(x) · дх +о:· дх.
Таким образом, приращение функции ду представляет собой сум­
му двух слагаемых
f' (х) · дх
и о: · дх, являющихся бесконечно малыми
при дх-+ О. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ­
ция одного порядка с дх, так как
lim
/'(х) · дх
Д
дх--tО
Х
= f'(x)
f:.
О, а второе
слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка,
чем дх:
о: . дх
lim
дх--tО
-д
Х
Поэтому первое слагаемое
=
lim
дх--tО
f'(x) · дх
о:
= О.
называют главноii. -частью
nрuращени.я функции ду.
~
Дифференциалом функции у=
f(x)
в точке х называется глав­
ная часть ее приращения, равная произведению производной функ­
ции на приращение аргумента, и обозначается
dy
(или
df(x)):
dy = f'(x) · дх.
Дифференциал
dy
(24.1)
называют также дифференциалом первого
порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. диф­
ференциал функции у= х.
Так как у'= х'
= 1,
то, согласно формуле
(24.1),
имеем
dy = dx =
= дх, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению
этой переменной:
dx =
Поэтому формулу
дх.
(24.1)
1
можно записать так:
dy
= f'(x)dx,
185
1
(24.2)
!i
иными словами, дифференциа.л, функции равен произведению
nроизводноii. эmoii. функции на дифференциа.я независимоii.
nеременноii..
Из формулы (24.2) следует равенство fШ = f'(x). Теперь обозначение производной fШ можно рассматривать как отношение дифферен­
циалов
и
dy
dx.
При.мер
24.1.
Найти дифференциал функции
f(x) = 3х 2
Q
+ 2х).
= f'(x)dx находим
sin(l + 2х))' dx = (6х - 2 cos(l + 2х)) dx.
Решение: По формуле dy
dy
=
При.мер
Вычислить
Q
sin(l
-
(3х 2 -
24.2.
dy
при х
8
Найти дифференциал функции
у= ln(l + е 10 х)
= О, dx = 0,1.
+ Jx2+1.
Решение:
10
dy
х
х
)
= (ln(l + е 10 х) + J х 2 + 1)' dx = ( 110е
10 + JX2+1
+е х
х 2 +1
Подставив х =О и
dx = 0,1,
dy'
dx.
получим
°
•
х=О, = (12 +О )о,1 = 0,5.
dx=0,1
Геометрический смысл дифференциала функции
24.2.
Выясним
геометрический
смысл
дифференциала.
Для
этого
функции у
проведем
= f(x)
к
графику
у
в точке М(х; у) ка­
сательную МТ и рассмотрим ордина­
ту этой касательной для точки х
+ Лх
(см. рис.
138).
Лх,
у+Лу
JAM1 J =
Лу. Из прямоугольного тре­
Лу
На рисунке
JAMJ =
угольника М АВ имеем:
tga
= JABJ
Лх ,
Но,
т. е. JABJ
согласно
смыслу производной,
этому АВ
= tga · Лх.
геометрическому
tga = f'(x).
По­
= f'(x) · Лх.
186
х
Рис.
х+Лх
138
х
iJ
Сравнивая полученный результат с формулой
dy =
АВ, т. е. дuфференцuа.л, функции. у=
(24.1), получаем
f(x) в точке х ра­
вен при.ращению ордuнати касате.л,ьноii. к графи.ку функции.
в эmoii. mо'Чке, когда х no.л,y'Чum при.ращение дх.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3.
Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя
связь дифференциала и производной функции
(dy =
f' (х) dx)
и соот­
ветствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции у= с равна нулю, то диф­
ференциал постоянной величины равен нулю:
Теорема
24.1.
dy=c' dx=O· dx=O.
Дифференциал суммы, произведения и частного двух
дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
d(u + v) = du + dv,
d(uv) = v · du +и· dv,
d ( ~) = v du - и dv (v
v
v2
Q
1' 0).
Докажем, например, вторую формулу. По определению дифферен­
циала имеем:
d(uv)
= (uv)'dx = (u'v + uv')dx = v · u'dx +и· v'dx = vdu + udv. 8
Теорема
24.2.
Дифференциал сложной функции равен произведе­
нию производной этой функции по промежуточному аргументу на
дифференциал этого промежуточного аргумента.
О Пусть у=
J(u) и и= ср(х) две дифференцируемые функции, образу­
f(cp(x)). По теореме о производной слож-
ющие сложную функцию у=
ной функции можно написать
'
Умножив обе части этого равенства на
Но у~
dx = dy
и и~
переписать так:
dx = du.
dx,
получаем y~dx=y~u~dx.
Следовательно, последнее равенство можно
dy =у~· du.
187
•
Сравнивая формулы
dy
= у~ · dx
вый дифференциал функции у
и
dy
= у~ · du,
видим, что пер­
= f(x) определяется одной и той же
формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой
переменной или является функцией другого аргумента.
~
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (не­
изменностью) форми первого дифференциала.
Формула
dy =
у~
· du,
формуле х -
dy =
у~
· dx
по внешнему виду совпадает с формулой
но между ними есть принципиальное отличие: в первой
независимая переменная, следовательно,
dx =
дх, во
второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря,
f-
du
f-
ди.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о диф­
ференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу
дифференциалов.
Например,
24.4.
d( cos и) = ( cos и)~ · du = - sin и · du.
Таблица дифференциалов
1. d(u ± v) = du ± dv;
2. d(u · v) = vdu + udv,
в частности,
d(cu)
=с·
du;
3. d ( ~) = v du;; и dv , в частности, d (;) = - cv1v ;
dy =у~ dx, если у= f(x);
dy =у~· du, если у= !(и), и= rp(x);
dc =О;
d(u°') =а· и°'- 1 • du;
d(аи) =аи· lna · du, в частности, d(eu) = еи · du;
9. d(loga и) = - 11- · du, в частности, d(ln и) = 1 · du;
4.
5.
6.
7.
8.
и·nа
и
1 du;
16. d(arctgu) = ~l
10. d(sinu) = cosudu;
11. d(cosu) = - sin udu;
12. d(tgu) = ~du;
cos и
13. d(ctgu) = --:Jг- du;
sш
1-и 2
h
1 du;
= -~
1 +и
18. d(sh и)= ch udu;
19. d(chu) = shudu;
и
14. d(arcsin и) = у' 1
15. d(arccos и) = -
+и
17. d(arcctgu)
20. d(thu) = ~hl du;
с
и
.
du;
1-и 2
du;
188
21. d(cthu) = -~hl du.
s и
24.5.
Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
Как уже известно, приращение Лу функции у
можно представить в виде Лу =
Лх--+ О, или Лу
= dy +а· Лх.
f'(x) ·
=
f(x)
Лх +а· Лх, где а
в точке х
--+
О при
Отбрасывая бесконечно малую а· Лх
более высокого порядка, чем Лх, получаем приближенное равенство
Лу ~
(24.3)
dy,
причем это равенство тем точнее, чем меньше Лх.
lil
Это равенство позволяет с бо.л;ьшоii, точностью вы-чи­
слить nриб.л,и;нсенно приращение .л,юбоii, дифференцируе­
моii функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем прира­
щение функции, поэтому формула
(24.3)
широко применяется в вычи­
слительной практике.
Пример УЦ.3. Найти приближенное значение приращения функ­
ции у
= х3 -
2х + 1 при х
Q Решение:
= (3х 2 -
= 2 и Лх =
0,001.
Применяем формулу (24.3): Лу ~ dy
= (х 3 -2х+ 1)' ·Лх =
2) · Лх.
dyj
Итак, Лу ~
х=2
Лх=О,001
= (3 · 4 -
2) · 0,001 = 10 · 0,001
= 0,01.
0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен­
циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Лу:
Лу = ((х + Лх) 3
=
х3
+
3х 2 ·
2(х + Лх) + 1) - (х 3
-
Лх + 3х ·
(Лх) 2
+
(Лх) 3 -
-
2х + 1) =
2х - 2 · Лх + 1 - х 3 + 2х - 1 =
= Лх(3х 2 + 3х · Лх + (Лх) 2
Луj
х=2
Лх=О,001
= 0,001(3 · 4 + 3 · 2 · 0,001+0,001 2
-
- 2);
2) = 0,010006.
Абсолютная погрешность приближения равна
JЛу
Подставляя в
- dyj = J0,010006 - O,Olj = 0,000006.
равенство (24.3) значения Луи dy, получим
f(x + Лх) - f(x)
или
J
Формула
(24.4)
~ /1(х)
· Лх
f(x + Лх) ~ f(x) + f'(x) · Лх.
J
24.4.
(24.4)
испо.лъзуетс.я. д.л.я ви'Числениtt приб.лиженнъ~х зна­
'Чениtt функциtt.
Пример
•
Вычислить приближенно
189
arctg 1,05.
Q
Решение: Рассмотрим функцию
имеем:
f(x) = arctgx.
arctg(x + Лх) ~ arctgx
Так как х
+ Лх)
~
(24.4)
+ (arctgx)' · Лх,
т. е.
arctg( х
По формуле
Лх
arctg х + -1 - -2 •
+ Лх = 1,05, то при х = 1 и
+х
Лх
0,05
arctg 1,05 ~ arctg 1 + 1 + 1 =
= 0,05 получаем:
•
1Г
'4 + 0,025 ~ 0,810.
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы
превышает величины М · (Лх) 2 , где М
на сегменте [х; х
+ Лх]
(см. с.
(24.4) не
- наибольшее значение lf"(x)I
196).
24.5. Какой путь пройдет тело при свободном
10,04 с от начала падения. Уравнение свободного
При.мер
на Луне за
падении
падения
t2
тела Н =~·Ул= 1,6 м/с2 •
Q
Решение: Требуется найти
формулой (ЛН ~
H(l0,04). Воспользуемся приближенной
dH)
H(t + Лt)
При
t
~
H(t) + H'(t) · Лt.
= 10 с и Лt = dt = 0,04 с, H'(t) = gлt, находим
16·100
H(l0,04) ~ ' 2
+ 1,6 · 10 · 0,04 = 80 + 0,64 = 80,64 (м).
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой т
= 20 кг движется
со скоростью
v = 10,02
кинетическую энергию тела ( Ек
=
m2
2
;
8
=
м/с. Вычислить приближенно
Ек (10,02) ~ 1004 (Дж)).
24.б. Дифференциалы высших порядков
Пусть у
= f(x)
дифференцируемая функция, а ее аргумент х
независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал
-
dy = f'(x) dx
есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у=
f(x)
называется
ее втор'Ым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и
обозначается d2y или d2 f(x).
Итак, по определению d2y =
дифференциала функции у=
Так как
считаем
d2 y
dx
dx =
d(dy). Найдем выражение второго
f(x).
Лх не зависит от х, то при дифференцировании
постоянным:
= d(dy) = d(f'(x) dx) = (f'(x) dx)' · dx = J"(x) dx · dx = J"(x)(dx) 2 ,
190
т. е.
Здесь
d2 y = f"(x)dx 2 .
dx 2 обозначает (dx )2 .
(24.5)
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего по­
рядка:
И, вообще, дифференциал п-го порядка есть дифференциал от
= d(dn- 1 y) = j(n)(x)(dx)n.
Отсюда находим, что j(n) (х) = fx~. В частности, при п = 1, 2, З
дифференциала (n -1)-го порядка:
dny
соответственно получаем:
f'(x)
= ~~,
J"(x)
= ~;,
f"'(x)
= ~:~,
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее
дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени
дифференциала независимой переменной.
lil
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы толь-
ко, если х
где х
-
-
независимая переменная. Если же функцию у
=
f (х),
функцu.я от кaкoii.-mo другоii. независимоii. переменноii.,
то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством
инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем
это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(u · v) =
= vdu + udv), получаем:
d2 y = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + f'(x) · d(dx) = f"(x) dx · dx + J'(x) · d2 x,
т. е.
d2y
= !" (х) dx 2 + f' (х) · d2 x.
Сравнивая формулы
(24.5)
и
(24.6),
(24.6)
убеждаемся, что в случае
сложной функции формула дифференциала второго порядка изменя­
ется: появляется второе слагаемое
Ясно, что если х
d2 x
и формула
(24.6)
Пример
-
f'(x) · d2x.
независимая переменная, то
= d(dx) = d(1 · dx) = dx · d(l) = dx ·О= О
переходит в формулу
(24.5).
24.6. Найти d2y, если у= е 3 х их -
независимая пере­
менная.
о Решение: Так как у' = Зе 3 Х' у" = 9е 3 Х, то ПО формуле (24.5) имеем
d2y = 9е 3 "' dx 2 .
8
При.мер 24. 7. Найти
d2y,
если у= х 2 их= t 3
симая переменная.
191
+1 и
t -
незави­
Решение: Используем формулу (24.6): так как
Q
у'= 2х,
у"= 2,
d 2 x = 6t dt 2 ,
dx = 3t 2 dt,
то
d2 y
= 2dx 2 + 2х · 6t dt 2 = 2(3t2 dt) 2 + 2(t 3 + 1)6t dt 2 =
= 18t4 dt 2
Другое решение: у = х 2 , х
Тогда по формуле
+ 12t4 dt 2 + 12t dt 2 = (30t 4 + 12t) dt 2 .
= t 3 + 1. Следовательно, у = (t 3 + 1) 2 .
(24.5)
т. е.
d 2 y = (30t 4
•
+ 12t) dt 2 •
§ 25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ
ПРОИЗВОДНЫХ
25.1.
Некоторые теоремы о дифференцируемых
функциях
Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и при­
кладное значение.
Теорема
25.1
(Ролль). Если функция
f(x)
непрерывна на отрезке
[а; Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь) и на концах отрезка при­
нимает одинаковые значения
f(a)
= f(b),
точка с Е (а; Ь), в которой производная
f'(c)
то найдется хотя бы одна
f'(x)
обращается в нуль, т. е.
=О.
О Так как функция
f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], то она дости­
гает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений (по
теореме
19.4),
соответственно, Ми
m.
Если М
= т, то функция f(x)
постоянна на [а; Ь] и, следовательно, ее производная
f'(x)
=О в любой
точке отрезка [а; Ь].
Если М
=/= т, то функция достигает хотя бы одно из значений М
или т во внутреннеii, точке с интервала (а; Ь), так как
f(a) =
f(Ь).
Пусть, например, функция принимает значение М в точке х
=
= с Е (а; Ь), т. е. /(с) = М. Тогда для всех х Е (а; Ь) выполняется
соотношение
/(с)~
Найдем производную
f' (х)
f(x).
в точке х
= с:
/'(с)= lim /(с+дх)-/(с)_
Лх-+0
дх
192
(25.1)
у
у
у
м
m'1
О
а
ь х
с
Рис.
О
а
Рис.
139
В силу условия
(25.1)
Ь Х
с
Q
а
С1
Рис.
140
верно неравенство
f(c
+ Лх)
141
- f(c)
~ О. Если
Лх >О (т. е. Лх--+ О справа от точки х =с), то
f(c + Лх) - f(c) ~О и поэтому
Лх
J'(c) ~О.
Если Лх <О, то
f(c + л;~ - f(c) ~о и !'(с) ~о.
Таким образом,
f'(c)
В случае, когда
=О.
f(c) =
т, доказательство аналогичное.
8
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции
у=
f(x)
найдется точка, в которой касательная к графику параллель­
на оси Ох (см. рис.
Теорема
25.2
139
и
140).
На рисунке
(Коши). Если функции
141
f(x)
таких точек две.
и ср(х) непрерывны на
отрезке [а; Ь], дифференцируемы на интервале (а; Ь), причем ср'(х) =/:-О
для х Е (а; Ь), то найдется хотя бы одна точка с Е (а; Ь) такая, что
выполняется равенство f(b) - f(a) = !'(с).
1
ср(Ь) - ср(а)
Q
ср (с)
Отметим, что ср(Ь)-ср(а) =/:-О, так как в противном случае по теореме
Ролля нашлась бы точка с, такая, что ср'(с) =О, чего не может быть по
условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
f(b) - f(a)
F(x) = f(x) - f(a) - ср(Ь) _ <р(а) (ip(x) - <р(а)).
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на от­
резке (а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ь), так как является
193
линейной комбинацией функций
принимает одинаковые значения
f(x) и rp(x); на
F(a) = F(Ь) =О.
концах отрезка она
На основании теоремы Ролля найдется точках= с Е (а; Ь) такая,
что F'(c) =О. Но F'(x) = f'(x) - ~Ш=~~:)rр'(х), следовательно,
F'(c) =!'(с) - f(Ь) - f(a) rp'(c) =О.
rр(Ь) - rp(a)
Отсюда следует
!'(с)= f(b) - f(a) rp'(c) и
rр(Ь)
- rp(a)
•
f'(c)
f(b) - !(а)
rp'(c) = rр(Ь) - rp(a) ·
Теорема 25.З (Лагранж). Если функция
f(x)
непрерывна на отрезке
[а; Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь), то найдется хотя бы одна
точка с Е (а; Ь) такая, что выполняется равенство
f(Ь)
Q Решение:
- f(a) =
J'(с)(Ь
-
а).
(25.2)
Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный
случай теоремы Коши. Действительно, положив <р(х)
rр(Ь)
-
<р(а)
=
Ь- а,
rp'(x) = 1,
<р'(с)
Подставляя эти значения в формулу ~f ~j =~~~~
ем J(ЬЬ =~(а)
ij
= f'(c)
=
х, находим
= 1.
- J'(c)
-
<р 1 (с)
,
получа-
или f(Ь) - /(а)= f'(с)(Ь - а).
Полученную формулу называют
фор.мулоu
8
Лагран:;нса
или
фор.мулоu о коне-чно.м приращении: приращение дифференци­
руемой функции на отрезке [а; Ь] равно приращению аргумента, умно­
женному на значение производной функции в некоторой внутренней
точке этого отрезка.
Теорема Лагранжа имеет про­
стой геометрический смысл. Запи­
y=f(x)
у
шем формулу
(25.2)
в виде
f(Ь)- f(a) =/'(с),
1
1
1
Ь-а
:ль)-f(а)
где а<с<Ь. Отношение f(Ь)-f(a)
О
а
с
Рис.
Ь
142
Ь-а
есть угловой коэффициент секущей
х
АВ, а величина /'(с) -угловой ко­
эффициент касательной к кривой в
точке с абсциссой х =с.
194
Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков:
на графике функции у=
f(x)
найдется точка С(с; !(с)) (см. рис.
142),
в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
Следствие
25.1.
Если производная функции равна нулю на некото­
ром промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
О Пусть
f'(x) =О для \::/х Е (а; Ь). Возьмем произвольные х1 и Х2 из
(а; Ь) и пусть х1
что /(х2)
< Х2.
Тогда по теореме Лагранжа 3с Е (х 1 ; х2) такая,
- f(x1) = f'(c)(x2 -
f'(c) = О, где х1 <
f(x 2 ) = f(x 1 ). А так
(а; Ь), то \::/х Е (а; Ь) имеем
Следствие
25.2.
х1). Но по условию
f'(x)
=О, стало быть,
=
с < х2. Поэтому имеем /(х2) - f(x1)
О, т. е.
как х 1 и х 2 произвольные точки из интервала
f(x)
=с.
•
Если две функции имеют равные производные на
некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоян­
ное слагаемое.
О Пусть !{(х)
- f~(x)
- f2(x)
= Л(х)
при х Е (а;Ь). Тогда (/1(х)
- /2(х))'
Пример 25.1. Доказать, что arcsinx+arccosx =
Решение: Пусть
Q
f'(x) =
h
Поэтому arcsin х + arccos х =
= ±1
-
8
i' где х Е [-1; 1].
f (х) = arcsin х + arccos х. Тогда \::/х Е ( -1; 1) имеем
= О. Отсюда следует, что f(x) = С, т. е.
+ ~2
1 - х2
1- х
arcsinx+arccosx =С. Положив х =О, находим 0+
х
= !{(х) -
=О. Следовательно, согласно следствию 25.1, функция /1 (х)
есть постоянная, т. е. fi(x) - f2 (x) =С для \::/х Е (а;Ь).
i
=С, т. е. С=
i·
i. Это равенство выполняется и при
(проверьте!).
8
Аналогично доказывается, что arctg х + arcctg х = ~.
Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему
+ Лх] (дх >О), будем иметь
+ дх) - f(x) = f'(с)дх.
(25.3)
Каждое число с Е (х;х + дх) можно записать в виде с= х + Одх,
О < () < 1 (действительно, х < с < х + дх ===? О < с - х < дх ===?
Лагранжа к отрезку [х; х
f(x
где
===?О< сЛхх
< 1; положим сЛхх =()===?с= х+Одх). Формула (25.3)
примет вид
f(x
где О<()<
+ дх) - f(x)
= J'(x
1.
195
+ Одх)дх,
Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность прибли­
женного равенства Лу ::::i
dy.
Сделаем это, считая, что функция
имеет непрерывную вторую производную
Лу
= (f(x + Лх) -
- dy
где с 1 Е (х; с) (рис.
Итак, Лу - dy
как
lc-xl
J(x)) - f'(х)Лх = f'(с)Лх - J'(х)Лх =
= (f'(c) - f'(х))Лх = /"(с 1 )(с - х)Лх,
143).
= f"(c1)(c -
< Лх, а f"(c1)
с
х)Лх. Пусть М
25.2.
=
max
[х;z+дх]
Так
lf"(x)I.
~ М, то получаем оценку IЛy-dyl ~ MIЛxl 2 •
х+Лх
Лх
Рис.
J(x)
f"(x):
Хо С
143
Х
х
144
Рис.
Правила Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида
8и ~ , ко­
торый основан на применении производных.
Теорема
вида
8>·
25.4
(Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Пусть функции J(x) и ср(х) непрерывны и дифференци­
руемы в окрестности точки х 0 и обращаются в нуль в этой точке:
f(xa) =
ср(ха) = О. Пусть <р 1 (х)
существует предел
Q
lim f;(x) = l,
х---+хо ср (х)
Применим к функциям
f(x)
О в окрестности точки хо. Если
=J.
то
lim J(x)
z-txo ср(х)
=
lim f;(x)
х---+хо <р (х)
и ср(х) теорему КошидЛЯотрезка [х0 ; х],
лежащего в окрестности точки х 0 • Тогда f~xj-- ftxo~
<р Х
лежит между х 0 и х (рис.
получаем
= l.
144).
Учитывая, что
J(x)
f'(c)
ср(х) = <р'(с) ·
ер Хо
= f;((c)),
f(x 0 ) =
ср
С
ср(х 0 )
где с
=
О,
(25.4)
При х---+ ха, величина с также стремится к х 0 ; перейдем в равен­
стве
(25.4)
к пределу:
lim f(x)
x-tzo <р(х)
=
lim f'(c).
с---+хо <р 1 (с)
196
Так как
lim f;((x)) = l,
x-txo
<р
Х
то
!;((с))
lim
с-+хо <р
С
Поэтому
= l.
lim
f((x~
х-+хо <р Х
8
= l.
Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух
бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если по­
следний существует.
Заме"tания:
и
r.p(x)
1.
Теорема
Достаточно положить
2.
25.4
не определены при х
Теорема
25.4
верна и в случае, когда функции
f(x)
= х0 , но lim f(x) = О и lim r.p(x) = О.
x-txo
f(xo) = lim f(x)
x---txo
=О и
х-+хо
r.p(xo) = lim r.p(x)
х-+хо
справедлива и в том случае, когда х
--"*
=О.
оо. Дей­
ствительно, положив х = 1, получим
z
lim f(x) = lim !(~) = lim (!(~))' = lim f'(~)(--f.,)
x-too r.p(x)
z-tO r.p(~)
z-tO (r.p(~))'
z-tO r.p'(~)(-f,)
3.
f'(x)
.
1lffi
-x-too r.p1 ( Х) ·
Если производные
что и функции
f(x)
и
f'(x) и r.p'(x) удовлетворяют тем же условиям,
r.p(x), теорему 25.4 можно применить еще раз:
lim f(x)
x-txo
r.p( Х)
=
lim f'(x)
х-+хо
=
r.p 1 ( Х)
lim f"(x)
х-+хо
r.p 11 ( Х)
и т.д.
Пример 25.2. Найти lim х 1- 1 .
х-+1 х nx
Q Решение: lim х - 1 =
x-+lxlnx
= 1.
lim (х - l)' = lim
[~] = x-tl
(xlnx)'
x-tl lnx + 1
1
•
Пример 25.3. Найти lim 1 - cos6x
х-+0
2х 2
Q
Решение:
lim 1- cos6x = [О] = lim 6sinбx = [О] = ~ lim бсоsбх = 9.
x-tO
2х 2
О
x-tO
4х
О
2 x-tO
1
Теорема
8
25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида
о
0. Сформулируем
без доказательства теорему о раскрытии неопреде-
оо
ленности вида-.
00
197
Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
вида 00 ).
00
Пусть функции f(x) и r.p(x) непрерывны и дифференцируемы в окрест­
ности точки х 0 (кроме, может быть, точки х 0 ), в этой окрестности
lim f
(х)
оо,
lim r.p(x) =
=
х--+хо
х--+хо
r.p 1 (х) -::/-
О. Если существует предел
lim f:(x), то lim f(x) = lim f;(x).
Х--+Хо r.p( х)
Х--+Хо r.p (х)
Х--+Хо 'Р ( х)
. tg3x
пример 25.4. н айти 1im
t 5 .
g
х--+~
Q
Х
Решение:
lim tg Зх
х--+~ tg 5х
= [оо]
1.
оо = х~
3 · cos 2 5х
3 1. 1+cos10х
cos 2 Зх · 5 = 5 х~ 1 + cos6x
[~] =
= ~ lim -10 sin 10х = lim sin 10х = (О] = lim 10 cos 10х = ~
5 Х--+~
-
6 Sill 6Х
Х--+~ Sill 6Х
0
Х--+~
6 COS 6Х
3•
2-й способ:
tgЗx
lim
Х--+~
tg 5Х
=
[оооо]
[
х -t _!О= t
--т
]
= lim tg(~7r + Зt) = lim ctg Зt = lim tg 5t = ~но tg( ~7Г
+ 5t)
но ctg 5t
но tg Зt
•
3
Раскрытие неопределенностей различных видов
Правило Лопита.ля применяется для раскрытия неопределенно­
стей вида
§и
~ , которые называют основными. Неопр€деленности
вида О· оо, оо - оо, 100 ,
00°,
о 0 сводятся к двум основным видам путем
тождественных преобразований.
1.
Пусть
f(x)--+
О,
r.p(x)--+
оо при х--+ х 0 . Тогда очевидны следую­
щие преобразования:
lim (J(x)r.p(x))
х--+хо
=[О· оо] =
lim
1\х)
х--+хо 'Р( х)
=
[~] (или
lim r.p\x) = ( 00 ] ) .
х--+хо f(x)
00
Например,
lim tg
х--+2
1Г4х (2-х) = [оо ·О]= х--+2
lim 2 -71"~
ctg 4
198
[0
= 0] =
-1
li~ --1--71"-
х--+
- s.in 2 ~~ ·
4
4
7Г
2.
Пусть
f (х) -+ оо,
<р(х)
-+
оо при х-+ хо. Тогда можно поступить
так:
lim (f(x) - <р(х))
X--tXQ
= [оо -
оо]
= lim
(-+- --+-)
х--+хо
=
7ГжJ
1
1
[5]·
= lim 4'(Х) - 7Гж!
1
х--+ хо
<р(х)
1
4'(Х) 7ГжJ
На практике бывает проще, напри.мер,
!~ с:х - х ~ 1) = [оо - оо] = !~
1:: .\: ~n~
=
[5]
1- 1
[о]
= !~ ~ +inx = О = !~
х
=
1
Х2"
.Ь
х+
1
!. =
х
2·
3. Пусть или f(x) -+ 1 и <р(х) -+ оо, или f(x) -+ оо и <р(х) -+ О,
или f(x) -+ О и <р(х) -+ О при х -+ хо. Для нахождения предела вида
lim f(x)'l'(x) удобно сначала прологарифмировать выражение
X--tXQ
А=
Пример
Q
25.5.
Найти
f(x)'l'(x).
1
lim(cos2x);2".
х--+0
Решение: Имеем неопределенность вида
100 • Логарифмируем выра­
жение А= (cos2x)~, получим: lnA = ~lncos2x. Затем находим пре­
дел:
limlnA=lim lncos2x
х--+0
х--+0
х2
(OJ=lim oohz(-sin2x)2
О
х--+0
_ 2 lim tg2x=
2х
х--+0
2х
=-2,т. е. ln lim А=-2. Отсюда lim А=е- 2 , и lim(cos2x)~=e- 2 .
х--+0
х--+0
х--+0
8
Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой»
формулой
lim f(x)'I' (х ) =
lim <p(x)lnf(x)
е-+•о
=
х--+хо
ехр
(
lim
<р(х)
ln f(x)
)
х--+хо
(использовано основное логарифмическое тождество: j'I' = e1nf"').
Пример
25.6. Найти lim(!.)tgx.
х--+0 х
()Решение:
1 ) tg х
1
ln !.
lim ( = [оо 0 ] = exp(lim tgxln -) = exp(lim _х_) =
х--+0 х
х--+0
х
х--+0 ctg х
= exp(lim
x(-r))
х--+0 - sin2 х
= exp(lim x(sinx) 2 ) = eO·l =
х--+0
199
Х
ео =
1. 8
Пример
25. 7.
Пусть
f (х)
Найти
Q
при х-:/:- О,
при х =О.
f'(x). (Дополнительно: найти f(n)(O).)
Решение: При х
-:/:- О имеем
= е-х
J'(x)
При х
= {~-х-2
=
-2
·
(
-х-
2) / = 2е-х -2 · х- 3.
О по определению производной:
J'(O)
= lim
!(О+ Л) - f(O)
Л-tО
Делаем замену у =
fi
Л
1
е-~.
Л-tО
).
и применяем правило Лопиталя
e--&
lim - 1 = lim -JY
Л-tО l
= lim
Л
y-too еУ
1
= y-too
lim
2JY · еУ = О.
Таким образом,
при х-:/:- О,
при х =О.
•
Аналогично можно показать, что j(n) (О) = О.
25.3. Возрастание и убывание функций
Одним из приложений производной является ее применение к ис­
следованию функций и построению графика функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убы­
вания функции.
Теорема 25.б (необходимые условия). Если дифференцируемая
на интервале (а; Ь) функция
(J'(x)
О Пусть функция
возрастает (убывает), то
f'(x)
~ О
f(x) возрастает на интервале (а; Ь). Возьмем произ­
вольные точки х и х
ние ~
f(x)
~О) для Т/х Е (а;Ь).
+ дх
на интервале (а; Ь) и рассмотрим отноше-
f(x). Функция f(x) возрастает поэтому если
дх
'
дх >О, то х + дх > х и f(x + дх) > f(x); если дх <О, то х + дх < х
и J(x + дх) < f(x). В обоих случаях~ = f(x + л;J f(x) >О, так
= f(x
+ дх)
дх
-
200
как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По усло­
вию теоремы функция
f(x)
имеет производную в точке х и является
пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,
!'(х) = lim f(x
дх-rО
Аналогично
+ дх) дх
рассматривается
чай, когда функция
f(x)
•
f(x) ~О.
слу­
убывает на ин­
тервале (а; Ь).
Геометрически теорема
25.6
означа­
ет, что касательные к графику возраста­
ющей дифференцируемой функции об­
разуют острые углы
с
положительным
направлением оси Ох или в некоторых
точках (на рисунке
145
в точке с абсцис­
Рис.
сой х 0 ) параллельны оси Ох.
Теорема
25.7
(Аостаточные условия). Если функция
ренцируема на интервале (а; Ь) и
f'(x)
>О
(f'(x)
145
f(x)
Vx
<О) для
диффе­
Е (а; Ь),
то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; Ь).
О Пусть
f'(x) >О. Возьмем точки х 1 и х 2 из интервала (а; Ь), причем
f(x2)-f(x1) =
= f'(c)(x2 - х1), где с Е (х1; х2). По условию f'(c) > О, Х2 - х1 > О.
Следовательно, f(x2) - f(x1) >О или f(x2) > /(х1), т. е. функция f(x)
х1
< х2.
Применим к отрезку [х1;х2] теорему Лагранжа:
на интервале (а; Ь) возрастает.
Рассмотренные теоремы
•
25.6
и
25. 7 позволяют довольно просто ис­
следовать функцию на монотонность. Напо.м:ним, что функция возра­
стающая или убывающая называется монотон:ноii, (см. с.
Пример
25.8. Исследовать функцию f(x)
= х3 -
122).
Зх
- 4 на воз­
растание и убывание.
Q
Решение: Функция определена на JR= (-оо; оо). Ее производная
равна:
f'(x) =3х 2 -3=3(х-1)(х+1);
f'(x)>O при xE(-oo;-l)u(l;oo);
f'(x) <0 при хЕ (-1; 1).
Ответ:
и
(1;
данная
функция
возрастает
оо); убывает на интервале (-1;
1).
201
на
интервалах
(-оо;
-1)
8
25.4.
~
Максимум и минимум функций
Точка Хо называется moчкoii. максимума функции у =
f(x),
если существует такая с:5-окрестность точки хо, что для всех х
f.
хо
<
из этой окрестности выполняется неравенство /(х)
f(x 0 ).
Аналогично определяется точу
ка минимума функции: хо
то-ч.­
-
ка минимума функции, если 3с:5
Vx : О < lx - xol < с:5 ==::}
> f(xo). На рисунке 146 Х1
ка минимума,
а точка х2
максимума функции у=
>
О
f (х) >
точ­
-
-
точка
f(x).
Значение функции в точке мак­
Рис.
симума
146
(минимума)
называется
максимумом (минимумом) функ­
ции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.
Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью
точки из области определения функции.
Поэтому функция может
иметь экстремум лишь во внутренних то-ч.ках области определения.
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема
25.8
(необходимое условие экстремума). Если диффе­
ренцируемая функция у
= f(x)
имеет экстремум в точке х 0 , то ее
производная в этой точке равна нулю:
О Пусть, для определенности, х 0
f'(x 0 )
=О.
точка максимума. Значит, в
-
окрестности точки х 0 выполняется неравенство /(хо)
> f(xo
+ дх).
Но тогда~= f(xo + дх) - !(хо) <О если дх >О и~> О если
дх
дх
'
'
дх
'
дх <О. По условию теоремы производная
!'( )
1.
хо = д~~о
/(хо+ дх) - f(xo)
дх
существует. Переходя к пределу, при дх
дх
<
О, и
f'(x 0 )
~ О, если дх
>
доказывается утверждение теоремы
функции
-t О, получим f'(x 0 ) ~О, если
О. Поэтому
25.8,
f'(xo) =
если х 0 -
О. Аналогично
точка минимума
f (х).
•
Геометрически равенство
f'(x 0 )
=О означает, что в точке экстре­
мума дифференцируемой функции у=
параллельна оси Ох (см. рис.
f(x)
касательная к ее графику
147).
Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если
это не значит, что хо -
f'(x 0 ) =
О, то
точка экстремума. Например, )I..l""IЯ функции
202
у = х 3 ее производная у' = Зх 2 равна нулю при х
точка экстремума (см. рис.
О, но х =О не
148).
у
о
Хо
Рис.
х
о
Рис.
147
148
Рис.
х
149
Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют про­
изводной. Например, непрерывная функция у=
изводной не имеет, но точках= О
lxl
в точке х =О про­
точка минимума (см. рис.
-
149).
Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум
лишь в точках, где производная функции равна нулю или не суще­
ствует. Такие точки называются криmu-ческuми.
Теорема
25.9
ная функция у
(Аостаточное условие экстремума). Если непрерыв­
= f(x) дифференцируема в некоторой д-окрестности
критической точки х 0 и при переходе через нее (слева направо) про­
изводная
f'(x)
меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка мак­
симума; с минуса на плюс, то х 0
Q
точка минимума.
-
Рассмотрим д-окрестность точки х 0 • Пусть выполняются условия:
f'(x)
f(x)
>О
Vx
Е (хо
-
д; хо) и
<О
f'(x)
возрастает на интервале (хо
-
Vx
Е (хо; Хо+ д). Тогда функция
д; хо), а на интервале (хо; хо+ д)
она убывает. Отсюда следует, что значение
наибольшим на интервале (хо
х Е (хо
-
д; х 0 )
U (х 0 ; хо+ о).
-
д;хо
+ д),
Это и означает,
f(x) в точке х 0 является
f(x) < f(x 0) для всех
что х 0 - точка максимума
т. е.
функции.
Графическая интерпретация доказательства теоремы
влена на рисунке
Аналогично теорема
Vx
Е (хо
-
о; Хо) и
25.9 предста­
150.
f'(x)
25.9 доказывается для случая,
>о
Vx
Е (хо; Хо+ о).
203
когда
f'(x)
<О
•
у
у
f~O
1
1
1
о
Хо-8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Хо
хо+8
/'>О
о
х
Рис.
Хо-8
хо+8
Хо
х
150
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстре­
мумы. Из теорем
25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования
функции на экстремум:
1)
2)
найти критические точки функции у=
f(x);
выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точ­
ками области определения функции;
3)
исследовать знак производной
f'(x)
слева и справа от каждой
из выбранных критических точек;
4)
в соответствии с теоремой
25.9
(достаточное условие экстрему­
ма) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения
функции в них.
Пример 25.9. Найти экстремум функции у=
J- Vx2.
9 Решение: Очевидно, D(y) = JR. Находим у' = i - 3 . 2Vx, т. е. у' =
-- ~-3 vw-2
vx .
Производная не существует при х 1 =О и равна нулю при х 2
= 8.
Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три
интервала ( -оо; О), (О; 8),
(8; оо ).
Отметим на рисунке
151
знаки произ­
водной слева и справа от каждой из критических точек.
+
---
+
о
---Рис.
Следовательно, х1
=О
х 2 = 8 - точка минимума,
Ymin
8 ---
х
151
точка максимума,
=
у(8) =
-i.
Ymax
= у(О)
=
О, и
•
Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак
существования экстремума, основанный на определении знака второй
производной.
204
Теорема
25.10.
Если в точке х 0 первая производная функции /(х)
равна нулю (!'(хо)= О), а вторая производная в точке х 0 существует
и отлична от нуля (!"(хо)
-f:-
имеет максимум и минимум
Q
при /"(хо) >О.
Пусть для определенности /"(хо)> О. Так как
! "( Хо )
то
О), то при /"(х 0 ) <О в точке хо функция
-
!'(хо+ Лх) .
1llli
= дх--+О
Лх
!'(хо+ Лх)
Лх
Лх <О, то
f'(xo
>
!'(хо)
!'(хо+ Лх)
.
1llli
= дх--+0
> 0,
Лх
О в достаточно малой окрестности точки х 0 . Если
+ дх)
<О; если Лх >О, то
f'(xo
+ Лх)
>О.
Таким образом, при переходе через точку х 0 первая производная
меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме
25.9, х 0
есть
точка минимума.
Аналогично доказывается, что если
f"(x 0 )
<О, то в точке х 0 функ-
ция имеет максимум.
8
25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
Пусть функция у=
f(x)
непрерывна на отрезке [а; Ь]. Как извест­
но, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значе­
ний. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке
=
=
хо отрезка [а; Ь], либо на границе отрезка, т. е. при хо
а или хо
Ь.
Если х 0 Е (а; Ь), то точку х 0 следует искать среди критических точек
данной функции (см. рис. 152).
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наи-
меньшего значений функции на [а; Ь]:
1)
найти критические точки функции на интервале (а; Ь);
2)
3)
вычислить значения функции в найденных критических точках;
вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках
х =а их= Ь;
4)
среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее
и наименьшее.
Заме-чани.я:
1.
Если функция у=
f(x)
на отрезке [а; Ь] имеет лишь
oiJнy крити-ческую то-чку и она является точкой максимума (мини­
мума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее)
значение. На рисунке 152 f (хо) = /нб = /шах (нб - наибольшее, max максимальное).
2. Если функция у = f(x) на отрезке [а; Ь] не имеет критических
точек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает или
205
убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция при­
нимает на одном конце отрезка, а наименьшее
(т) -
на другом.
у
о
а
Хо
Рис.
Пример
25.10.
ции f(x) = 3х 4
Q
ь
х
Рис.
152
153
Найти наибольшее и наименьшее значения функ­
+ 4х 3 + 1 на отрезке
[-2; 1].
Решение: Находим критические точки данной функции:
f'(x) = 12х 3 + 12х 2 = 12х 2 (х + 1);
f'(x) =О при х 1 =О Е [-2; 1] и при х 2 = -1 Е [-2; 1]. Находим /(О)= 1,
/(-1) = 3-4+1 =О, /(-2) = 48-32+1=17, /(1) = 8. Итак, fнб = 17
в точке х = -2, /нм= О в точке х = -1.
8
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широ­
ко применяется при решении многих практических задач математики,
физики, химии, экономики и других дисциплин.
Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с
минимальными затратами, задача об организации производственного
процесса с целью получения максимальной прибыли и другие зада­
чи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию
и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших
значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математи­
ки
-
линейное программирование.
Рассмотрим более простую задшчу.
Пример
25.11.
Из шара радиуса
R
выточить цилиндр наиболь­
шего объема. Каковы его размеры?
Q Решение:
Обозначим через х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда,
как видно из рисунка 153, у
= J 4R2 -
х 2 , а потому объем цилиндра
4R 2 - х 2 )
V=V(x)=7r (
x=1rR2 x4
где х Е [О;
2R].
206
3
7rx
4 ,
Находим наибольшее значение функции
[О; 2R]. Так как V'(x) = 7ГR 2 - ~7Гх 2 , то V'(x)
того, V"(x)
=
= V (х) на промежутке
=О при х = 2 ~v'3, кроме
V
-~1ГХ <О. Поэтому х = 2 ~v'3 - точка максимума. Так
как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь
наибольший объем (равный Ушах) при х
цилиндра равен
V4R2 - (2RJ3/З) 2
=
=
2 ~v'3; диаметр основания
2 ~.,/6.
Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную 2 ~v'3, и
диаметр, равный 2 ~.,/6.
Выпуклость графика функции. Точки перегиба
25.6.
~
8
График дифференцируемой функции у=
f(x)
называется выnу-
к.11.ым вниз на интервале (а; Ь), если он расположен выше любой
ее касательной на этом интервале. Гра-
фик функции у
= f(x) называется вы-
у
nук.аым вверх на интервале (а; Ь), если
он расположен ниже любой ее касатель-
м
ной на этом интервале.
Точка графика непрерывной функ­
ции у
= f (х), отделяющая его части раз­
ной выпуклости, называется mо'Чко11. пе­
О
региба.
На рисунке
154 кривая
у=
вы­
f(x)
а
с
Рис.
х
154
пукла вверх в интервале (а; с), выпукла
вниз в интервале (с; Ь), точка М(с; /(с))
-
точка перегиба.
Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следую­
щей теоремы.
Теорема
Если функция у
25.11.
= f (х)
во всех точках интервала
(а; Ь) имеет отрицательную вторую производную, т. е.
f"(x) < О, то
f"(x) >О
график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же
\:/х Е (а; Ь)
график выпуклый вниз.
-
О Пусть f"(x)
<
О \:/х Е (а; Ь). Возьмем на графике функции произ­
вольную точку М с абсциссой х 0 Е (а; Ь) и проведем через М касатель­
ную (см. рис.
155).
Покажем, что график функции расположен ниже
207
этой касательной. Для этого сравним в точке х Е (а; Ь) ординату у кри­
вой у=
f(x)
с ординатой Укас ее касательной. Уравнение касательной,
как известно, есть
Укас - /(хо)= f'(xo)(x - хо),
Тогда у
-
Укас
f(x) - f(xo)
= f(x) -
= f'(c)(x -
т. е.
Укас =/(хо)+ J'(xo)(x - хо).
/(хо) - f'(xo)(x - хо). По теореме Лагранжа,
хо), где с лежит между хо их. Поэтому
У - Укас =
у
У к ас
, y=f(x)
f'(c)(x - хо) - J'(xo)(x - хо),
т. е.
у- Укас =(!'(с) -
у
Разность /'(с)
J'(xo))(x - хо).
!'(хо) снова преобразуем
-
по формуле Лагранжа:
!'(хо)=
f'(c) О
а
хо
х
ьх
f"(c1)(c -
хо),
где с 1 лежит между х 0 и с. Таким образом,
получаем
Рис.
155
=f
У - Укас
11
(c1)(c - хо)(х - хо).
Исследуем это равенство:
1)
у
если х >хо, то х-хо >О, с-х 0 >О и
- Укас < о, т. е. у < Укас: ----;fo
2) если х <хо, то х-хо <О,
с01
~
f"(c 1)
~
<О. Следовательно,
х
с-х 0 <О и /"(с 1 ) <О. Следовательно,
У-Укас <о, т. е. у< Укас: ~
Итак, доказано, что во всех точках интервала (а; Ь) ордината ка­
сательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый
вверх. Аналогично доказывается, что при
вниз.
f"(x)
>О график выпуклый
•
Для нахождения точек перегиба графика функции используется
следующая теорема.
Теорема
25.12
(достаточное условие существования точек пере­
гиба). Если вторая производная
f"(x)
при переходе через точку х 0 ,
в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка
графика с абсциссой хо есть точка перегиба.
U
Пусть
f"(x) <О при х <хо и f"(x) >О при х >хо. Это значит, что
= х 0 график выпуклый вверх, а справа - выпуклый вниз.
Следовательно, точка (х 0 ; f(x 0 )) графика функции является точкой
слева от х
перегиба.
Аналогично доказывается, что если
< О при х > хо, то точка (хо; f (хо)) -
y=JW.
f"(x)
>О при х
< х0 и f''(x) <
точка перегиба графика функции
•
208
Пример
25.12.
Исследовать на выпуклость и точки перегиба
график функции у = х 5 - х
Q
+ 5.
Решение: Находим, что у'= 5х 4 -1, у"= 20х 3 • Вторая производная
существует на всей числовой оси; у"
= О при х = О.
Отмечаем, что у 11 >О при х >О; у" <О при х <О.
Следовательно, график функции у
(-оо; О)
ка (О;
=
х5 -
выпуклый вверх, в интервале (О; оо)
-
-
х
+
5 в интервале
выпуклый вниз. Точ­
есть точка перегиба.
5)
8
25.7. Асимптоты графика функции
Построение графика функции значительно облегчается, если знать
его асимптоты.
Понятие асимптоты рассматривалось при изучении
формы гиперболы (см. с.
81).
Напомним, что аси.мптото11, кривой на­
зывается прямая, расстояние до которой от
у
y=f(x)
точки, лежащей на кривой, стремится к нулю
при
неограниченном
удалении
от
координат этой точки по кривой (рис.
начала
156).
Асимптоты могут быть вертикальными,
м
наклонными и горизонтальными.
Говорят, что прямая х
тикалъ1ю11,
у=
f(x),
аси.мптото11,
если
= оо, или
lim f(x)
х---+а
lim f(x) =
х---+а+О
=
d
а является вер­
графика
= оо, или
функции
lim f(x)
х---+а-0
о
а
=
Рис.
х
156
оо.
Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка
156 вид­
d =
но, что расстояние точки М(х;у) кривой от прямой х =а равно
= lx - al.
прямая х
Если х -t а, то
d
-t О. Согласно определению асимптоты,
= а является асимптотой кривой у = f(x).
Для отыскания
вертикальных асимптот нужно найти те значениях, вблизи которых
функция
f(x)
неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки
разрыва второго рода.
Напри.мер, кривая у= х ~ 1 имеет вертикальную асимптоту (см.
рис. 157) х
= -1, так как
lim
х---+-1+0 Х
+2 1
= +оо,
lim
х---+-1-0 Х
+2 1
= -оо.
Уравнение наклон:ноi1 асимптоты будем искать в виде
у=
Найдем
k
kx
и Ь.
209
+ Ь.
(25.5)
у
у
y=f(x)
-1
-~у
х
х
157
Рис.
158
Рис.
Пусть М(х; у) -произвольная точка кривой у=
По формуле расстояния от точки до прямой ( d
=
находим расстояние от точки М до прямой (25.5):
Условие
d -+
f(x)
d
(см. рис.
158).
1AxJ:2в+~~ С 1)
= lk~bl·
2
k +1
О будет выполняться лишь тогда, когда числитель
дроби стремится к нулю, т. е.
lim (kx - у+ Ь) =О.
(25.6)
х~оо
Отсюда следует, что
а
-+
О при х
-+
у+ Ь
kx -
=
а, где а
=
а(х) бесконечно малая:
оо. Разделив обе части равенства у
=
Ь
+ kx -
а на х и
перейдя к пределу при х-+ оо, получаем:
lim '#.. = lim
х~оо Х
Так как О.-+ О и
х
Q
х
х~оо
(~ + k - ~) .
Х
Х
-+О, то
(25.7)
Из условия
(25.6)
находим Ь:
1
ь =}~~(у -
kx).
Итак, если существует наклонная асимптота у=
находятся по формулам
(25.7)
и
(25.8)
I
kx
+ Ь,
то
k
и Ь
(25.8).
Верно и обратное утверждение: если существуют конечные преде­
лы
(25.7)
и
(25.8),
то прямая
(25.5)
является наклонной асимптотой.
Если хотя бы один из пределов
(25.7) или (25.8) не существует
f(x) наклонной асимптоты не
или равен бесконечности, то кривая у=
имеет.
210
В частности, если
k
=О, то Ь
= lim f(x).
пение горизонта.л:ьноii, асимптоты.
Поэтому у= Ь
Заме'Чание: Асимптоты графика функции у=
их -t
(25.7)
урав-
f(x)
при х -t
+оо
-оо могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов
и
(25.8)
и когда х
-t
Пример
Q
-
х-tоо
следует отдельно рассматривать случай, когда х -t +оо
-оо.
Найти асимптоты графика функции у= хех.
25.13.
Решение: Так как
lim хе
х
= x-tlim
Х
x-t+oo
+оо
ех
= +оо, то график функции
при х -t +оо наклонной асимптоты не имеет.
При х -t
-оо справедливы соотношения
k
.
хех
.
х
= x-t-oo
l1m = x-t-oo
l1m е = О,
Х
Ь = X-t-00
lim (хех - Ох)= lim хех
X-t-00
= lim
X-t-OO е
~
Х
= [ 00 ] = lim _l_
00
X-t-OO -е-Х
=О.
Следовательно, при х -t -оо график имеет горизонтальную асимптоту
у=О.
8
25.8.
Общая схема исследования функции и построения
графика
Исследование функции у=
f(x)
целесообразно вести в определен­
ной последовательности.
1.
2.
Найти область определения функции.
Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями
координат.
3.
Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на
которых
4.
f(x)
>О или
f(x)
<О).
Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего
вида.
5.
6.
7.
8.
Найти асимптоты графика функции.
Найти интервалы монотонности функции.
Найти экстремумы функции.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функ-
ции.
На основании проведенного исследования построить график функ­
ции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обя­
зательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь не­
сколько операций, например
1, 2, 7.
Если же график функции не совсем
211
понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно допол­
нительно исследовать функцию на периодичность, построить дополни­
тельно несколько точек графика, выявить другие особенности функ­
ции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопро­
вождать постепенным построением графика функции.
При.мер 25.Ц. Исследовать функцию у= 1----:-2"
х
и построить ее
1 -х
график.
Q
Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схе­
мы исследования.
1.
= 1 и х = -1. Область ее
-1), (-1; 1), (1; +оо), а
опреде­
Если х =О, то у= О. График пересекает ось Оу в точке
0(0; О);
Функция не определена при х
ления состоит из трех интервалов (-оо;
график
из трех ветвей.
2.
если у= О, то х =О. График пересекает ось Ох в точке
(О;
0(0; О).
3. Функция знакоположительна (у> О) в интервалах
1); знакоотрицательна - в (-1; О) и (1; +оо).
4. Функция у = 1----:-2"
является нечетной, т. к.
1 х
(-оо;-1) и
-х
у(-х)
= 1-
-х
(
-х
х
)2
= --1- 2 = -у(х).
-х
Следовательно, график ее симметричен относительно начала коорди­
нат. Для построения графика достаточно исследовать ее при х ~ О.
5.
Прямые х
= 1 их= -1
являются ее вертикальными асимптота-
ми. Выясним наличие наклонной асимптоты:
1~х2
i·lffi
. k = llffi
- =
Х-НХ>
(k
Х
х-+оо
1
--1 - Х2
= О
=О при х---+ +оо и при х---+ -оо),
Ь= lim (~2 -Ох)= lim -1 х 2 =0.
х-+оо 1 - Х
х-+оо
- Х
Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у
Прямая у
6.
=
О является асимптотой и при х
+оо, и при х
---+
= О.
-оо.
Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как
у'= (-х-)'
1 -х2
то у'
---+
= 1(1-х 2 )-х(-2х)
> О в области определения,
(1
-х2)2
=
х 2 +1 ,
(1
-х2)2
и функция является возрастающей на
каждом интервале области определения.
7.
Исследуем функцию на экстремум. Так как у'
критическими точками являются точки х 1
=
(f~ ~21) 2 , то
= 1 и х 2 = -1 (у' не суще­
ствует), но они не принадлежат области определения функции. Функ­
ция экстремумов не имеет.
212
8.
Исследуем функцию на выпуклость. Находим у":
у"= ( х 2 +1)'=2x(l-x 2 ) 2 -(x 2 +1)2(1-x 2 )(-2x) = 2х(х 2 +3).
(1 -
(1 -
х2)2
(1 -
х2)4
х2)З
у
х
у= 1-х 2
х
у'~.°
-1
1
о
Рис.
х
Рис.
159
160
Вторая производная равна нулю или не существует в точках х 1
=О, х2
= -1,
хз
= 1.
На рисунке
159
=
представлена схема изменения
знаков второй производной исследуемой функции.
Точка
0(0,0) -
точка перегиба графика функции.
График выпуклый вверх на интервалах
вниз на интервалах (-оо;
-1)
и (О;
(-1; О)
и
(1; оо);
выпуклый
1).
График функции изображен на рисунке
8
160.
§ 26. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
В определении функции у=
f(x)
не говорится о том, при помощи
каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях,
3
когда функция является формулой вида у = ~ - 5х
+ 7,
значения
функции найти легко с помощью четырех арифметических действий.
Но как найти значения, например, функций у=
sinx,
у=
ln(l +х)
при
любых (допустимых) значениях аргумента?
Для того, чтобы вычислить значения данной функции у
ее заменяют многочленом
Pn(x)
= f(x),
степени п, значения которого всегда и
легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию
многочленом дает формула Тейлора.
213
26.1.
Формула Тейлора AflЯ многочлена
Пусть функция
f(x)
f(x)
есть многочлен
степени
Pn(x)
n:
= Pn(x) = ао + aix + а2х 2 + ... + anxn.
Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени п относитель­
но разности х-х 0 , где Хо
произвольное число, т. е. представим
-
Pn(x)
в виде
(26.1)
Для нахождения коэффициентов А 0 , А 1 , .•. ,
раз равенство
An
продифференцируем
n
(26.1):
Р~(х) = Ai
+ 2А2(х -
Р;:(х) = 2А2
хо)+ 3Аз(х - хо) 2
+ 2 · ЗАз(х -
Р;:'(х) = 2 · 3Аз
+ ... + nAn(x -
xo)n- 1 ,
хо)+ ... + n(n - 1)An(x - xo)n- 2,
+ 2 · 3 · 4А4(х -
хо)+
. . . + n(n - 1)(n - 2)An(X -
...
х 0 )n-з,
PAn)(x) = n(n - l)(n - 2) .. . 2·1An.
Подставляя х
= х 0 в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:
Pn(xo) =
Ао,
т. е. Ао
т. е.
т. е.
= Pn(xo),
А _ Р~(хо)
1!
1 -
'
А _ Р;:(хо)
2!
2 -
т. е. Аз=
'
Р;:'(хо)
З!
,
Подставляя найденные значения А0 , А 1 , ••• ,
лучим разложение многочлена n-й степени
Р~(хо) (
Pn (х ) = Pn (Хо ) + - 1-,-
х
...., Хо
)
An в равенство (26.1), по­
Pn(x) по степеням (х -хо):
(
+ Р;:(хо)
х 2!
... +
214
Хо
)2
+ ...
PAn)(xo) (
J
Х n.
Хо)
n
. (26.2)
~
Формула
(26.2)
на
степени п.
Pn(x)
Пример
по степеням х
называется формуд.011. TeiJ.д,opa д.п.я многочд,е­
Решение: Здесь хо= -1, Р'(х) = -12х 2
Q
+ 3х 2
26.1. Разложить многочлен Р(х) = -4х 3
+ 1.
Р"'(х)
= -24.
Р"' (-1) = - 24.
Поэтому Р(-1)
= 10,
-
2х
+1
+ 6х -
2, Р"(х) = -24х + 6,
= -20, Р"(-1) = 30,
Р'(-1)
Следовательно,
-20
Р(х) = 10 + -1-(х
+ 1) +
30
2 ! (х
-24
+ 1) 2 + З!(х + 1) 3 ,
т. е.
-4х 3
26.2.
+ 3х 2 -
2х
20(х
+ 1=10 -
+ 1) + 15(х + 1) 2 -
4(х
+ 1) 3 .
8
Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию у=
f(x).
Формула Тейлора позволяет, при
определенных условиях, приближенно представить функцию
f(x)
в ви­
де многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема
Если функция
26.1.
f (х)
определена в некоторой окрест­
ности точки х 0 и имеет в ней производные до (п
+
1)-го порядка
включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка
с Е (х 0 ; х) такая, что справедлива формула
f(x) = f(xo)
f1(xo)
+1 !-(х -
... +
f(n)(xo)
1
п.
!"(хо)
2
хо)+ - 2-!-(х - хо)
(х - хо)
n
(с= хо
~
Формула
f(x).
(26.3)
f(n+l)(c)
+ (п+ l)'.
+ В(х -
называется форму.ttо11.
+ ...
(х - хо)
хо), О
n+l
< 8 < 1).
(26.3)
TeiJ..ttopa д.л.я функции
f(x) = Pn(x) + Rn(x),
Эту формулу можно записать в виде
где
f'(xo)
!"(хо)
J(n)(xo)
n
2
Pn(x)=f(xo)+-1-!-(x-xo)+-2-!-(x-xo) + ... +
n!
(х-хо)
~
называется многочд,еном
Te11..ttopa,
а
j(n+l) (с)
Rn(x) = (n
+ l)! (х 215
xa)n+l
~
называется осmаmо'Чним 'Ч.1tеном формулы Тейлора, записан-
ным в форме Лагранжа. Rп(х) есть погрешность приближенного
равенства
f(x)
~ Рп(х). Таким образом, формула Тейлора дает воз­
можность заменить функцию у=
f(x)
многочленом у= Рп(х) с соот­
ветствующей степенью точности, равной значению остаточного члена
Rп(х).
~
При хо
= О получаем частный случай формулы Тейлора -
фор­
муд,у Мак.1tорена:
f(x) = f(O) + f'(O) х+ f"(O) 2 +
+ J(n)(O) хп + f(n+l)(c) xn+I (26 4)
1!
2! х
"·
п!
(п + 1)!
'
·
где с находится между О их (с= Ох, О<(}< 1).
При п = О формула Тейлора (26.3) имеет вид f (х) = f (хо) +
+ f'(c)(x-xo) или f(x)- f(xo) = f'(c)(x-xo), т. е. совпадает с формулой
Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для
приближенных вычислений
f(x)
~
f(xo)
+ f'(xo)(x -
хо) (см. «диффе­
ренциал функции») является частным случаем более точной формулы
f'(xo)
f(n)(xo)
п
f(x) ~!(хо)+ п!
(х - хо) .
1 !-(х - хо)+ ... +
Пример
26.2.
Найти число е с точностью до
0,001.
Решение: Запишем формулу Маклорена для функции f (х) =е"'. На­
ходим производные этой функции: f'(x)=ex, f"(x)=e"', ... , f(n+l)(x)=
=ех. Так как /(О)=е 0 =1, f'(O)=e 0 =1, ... , f(n)(O)=l, f(n+l)(c)=ee, то
Q
по формуле
(26.4)
имеем:
х
х2
хз
xn eexn+l
e"'=l+-1,+-2,
.
. +-31. + ... +----,+-(
п.
n+ 1)''
.
Положим х
= 1:
1
1
1
1
ее
е = 1 + -1,. + -2,. + 31. +" · + 1
+
(
п.
n+ 1) .1'
Для нахождения е с точностью 0,001 определим п из условия, что
остаточный член (п ~ l)! меньше 0,001. Так как О< с< 1, то ее < 3.
Поэтому при п = 6 имеем
ее
3
7! < 5040 = 0,0006 < 0,001.
с
Итак, получаем приближенное равенство
1
1
1
1
1
е ~ 1 + 1 + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! ~
~
т. е. е ~
2 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181
2,718.
216
~
2,718,
8
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других
элементарных функций:
sin х = х -
хз
х2
cosx = 1 - 2!
ln(l
+ х)
= х-
(1 + х )µ -_ l
+
x2n+l
х5
х2п+з
3f + 5f - ... + (-1) n ( 2п + 1) ! + (-1) n+l ( 2 п + 3) ! · cos с,
x2n
х4
x2n+2
+ 4! - ... + (-l)n ( 2 п)! + (-l)n+l ( 2 п + 2)! · cosc,
х2
xn
хз
xn+l
2 + 3 + ... + (-l)n-1-;- + (-l)n (п + 1)(1 + c)n+l'
+ µх +
µ(µ - 1)
21
.
µ(µ - 1) ... (µ - n)(l
(п + 1)!
х
2
+ ... +
+ c)µ-n-l
µ(µ - 1) ... (µ - n
1
п.
х
n+l
·
+ 1)
х
n '
+
Глава
1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
VI.
Лекции 23-241
§ 27.
ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
27.1. Основные понятия
~
Комnлексним числом
где х и у
-
z
называется выражение вида
действительные числа, а
i -
z = x+iy,
так называемая мнима.я
единица, i 2 = -1.
~
Если х
если у
= О,
то число О
+ iy = iy
называется чисто мним'Ым;
= О, то число х + iO = х отождествляется с действительным
числом х, а это означает, что множество
JR
всех действительных чисел
является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е.
с с.
JR
~
Число х называется деitсmвиmельноii. частью комплексного
у=
Imz.
~
Два комплексных числа z1 = х 1 + iy 1 и z2 = х2 + iy2 называются
равними (z 1 = z2 ) тогда и только тогда, когда равны их действи­
числа
z
и обозначается х
= Rez, а у -
тельные части и равны их мнимые части: х1
комплексное число
х
= у = О.
z =
х
+ iy
мн.имоii. частью
z,
= х2, У1 = У2. В частности,
равно нулю тогда и только тогда, когда
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не
вводятся.
~
Два комплексных числа
z = х
+ iy
и
z
=х-
iy,
отличающиеся
лишь знаком мнимой части, называются соnря:нсенними.
27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число
z
= х + iy
у
можно изобразить точкой М(х; у) плоскости
Оху такой, что х
= Re z,
у
= Im z.
И, на­
м
у
оборот, каждую точку М(х; у) координатной
плоскости можно рассматривать как образ
комплексного числа z
~
Плоскость,
на
комплексные
=
х
+ iy
которой
числа,
(см. рис.
161).
изображаются
называется
о
комn­
х
Рис.
х
161
лексноiJ nлоскосmъю. Ось абсцисс называется деitсmвителъноit
осъю, так как на ней лежат действительные числа
z =
х
+ Oi
=
х.
Ось ординат называется мнимоiJ осью, на ней лежат чисто мнимые
комплексные числа
z
=О+
iy.
218
~
Комплексное число
вектора
r =
плексное число
ОМ
z,
+ iy
z= х
=
можно задавать с помощью радиус-
(х; у). Длина вектора f, изображающего ком­
называется модулем этого числа и обозначается
lzl или r. Величина угла между положительным направлением дей­
ствительной оси и вектором f, изображающим комплексное число, на­
зывается аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z
или ер.
~
Аргумент комплексного числа
плексного числа
z
"# О -
z =
О не определен. Аргумент ком-
величина многозначная и определяется с
точностью до слагаемого 27rk
(k =О, -1, 1, -2, 2 ... ): Arg z = argz+27rk,
arg z - главное значение аргумента, заключенное в проме­
жутке (-7r; 7r], т. е. -71" < arg z ~ 7r (иногда в качестве главного значения
аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [О; 271")).
где
27 .3.
~
Формы записи комплексных чисел
Запись числа
z
в виде
z
= х + iy называют алгебраическоit
фор­
моit комплексного числа.
~
Модуль
r и аргумент ер комплексного числа можно рассматривать
как полярные координаты вектора
плексное число
z =
х
+ iy
(см. рис.
r =ОМ,
161).
изображающего ком­
Тогда получаем х
= rcosep,
= r sin ср. Следовательно, комплексное число z = х + iy можно запи­
сать в виде z = r cos ер + ir sin ср или
у
z = r( cos ер + i sin ер).
Такая запись комплексного числа называется тригонометрическоit
формоit.
Модуль
r
= lzl
однозначно определяется по формуле
r = lzl = Jx2 +у2.
Например, lil
= \1'0 2 + 12 = 1.
х
cosep = -,
r
Так как
ср
Аргумент ср определяется из формул
.
у
sшср
= -,
r
у
tgep = -.
х
= Argz = argz + 2k7r,
то
cosep = cos(argz + 2k7r) = cos(argz),
sincp = sin(argz).
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного чи­
сла к тригонометрической достаточно определить лишь главное значе­
ние аргумента комплексного числа
z,
219
т. е. считать ср
= arg z.
liJ
Так как -1Г
< arg z :::;
1Г, то из формулы tg ер = ~ получаем, что
у
z2=-3
для внутренних точек
arctg 'lL
х
zз = i
1, IV
z1=2
х
arctg у_+ 1Г
argz =
х
для внутренних точек
11
arctg 'lL - 1Г
х
четверти,
для внутренних точек
четверти.
III
z
Если точка
четвертей,
лежит на действительной или мни­
arg z можно найти непосредственно
162). Например, argz1 = О для z1 = 2;
argz2 = 1Г для z2 = -3; argzз
~для zз = i; и
мой оси, то
(см. рис.
Рис.
162
argz4 =-~для
z4
= -8i.
Используя формулу Э1iлера
j ei'P
~
комплексное число
= cos ер + i sin ер,
1
+ i sin ср)
z = r( cos ср
можно записать в так
называемой nоказате.л:ьноil (или эксnоненцuал.ьноii) форме
z=
rei'P, где r = lzl - модуль комплексного числа, а угол <р = Arg z =
+ 2k1Г (k =О, -1, 1, -2, 2, ... ).
В силу формулы Эйлера, фу'н:ки,-и.я. ei'P периодическая с основн'Ым
периодом 27Г. Для записи комплексного числа z в показательной форме,
= argz
достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е.
считать <р
= arg z.
Пример
27.1.
Записать комплексные числа
z 1 = -1 + i
и
z2 = -1
в тригонометрической и показательной формах.
Q
Решение: Для z 1 имеем
izl = r =
J(-1) 2 +1 2 =
../2,
argz =
arctg(~ 1 ) + 1Г = -~ + 1Г = з;,
т. е. ср = з;. Поэтому
- 1 +z• =
Гп2 ( cos 31Г
v~
4
. . 31Г) =
4
+zsш
Гп2 i 3"
v~e т.
Для Z2 имеем
r = J(-1)2+02=1,
argz = arg(-1)
т. е. <р = 1Г. Поэтому -1 = cos 1Г + i sin 1Г
220
= ei'll".
= 1Г,
•
§ 28. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
28.1. Сложение комплексных чисел
~
Суммоil, двух комплексных чисел z1
= х1 + iy1
и z2
= х2 + iy2
называется комплексное число, определяемое равенством
1 Z1
~
+ Z2
=
(х1 + Х2) + i(y1 + Yz).
(28.1)
j
Сложение комплексных чисел обладает перемесmиmел:ьнъ~м
(коммутативным) и сочеmаmел:ьнъ~м (ассоциативным) свойствами:
(z1
Из определения
(28.1)
Z1 + Z2
+ z2) + zз
= Z2
= z1
+ Z1,
+ (z2 + zз).
следует, что геометрически комплексные числа
складываются как векторы (см. рис.
163).
Непосредственно из рисунка видно, что
lz1
+ z2I
~
lz1I
+ lz2I·
Это
соотношение называется неравенством треугольника.
у
у
о
х
Рис.
28.2.
~
о
х
Рис.
163
164
Вычитание комплексных чисел
Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Раз­
ностью двух комплексных чисел
z1
и
z2
называется такое ком­
плексное число
z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1, т. е.
z = z1 -z2, если z+z2 = z1.
Если z1 = х 1 + iy 1, z 2 = х2 + iy2, то из этого определения легко
получить
z:
(28.2)
Из равенства
(28.2
следует, что геометрически комплексные числа вы­
читаются как векторы (см. рис.
164).
Непосредственно из рисунка видно, что 1z1 - z2 I ;?; 1z1 1тим, что
liJ
lz1 - z2I
= J(x1
- х2) 2
+ (У1 -
У2) 2
J
z2 I-
Отме-
= d,
т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию
d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство
ной плоскости множество точек
точки
z 0 = 2i,
т. е. окружность с
lz - 2il = 1 определяет на комплекс­
z, находящихся на расстоянии 1 от
центром в z 0 = 2i и радиусом 1.
221
28.З. Умножение комплексных чисел
~
Произведением комплексных чисел
х1
z1 =
+ iy1 и
z 2 = xz
+ iy2
называется комплексное число, определяемое равенством
1z = z1zz = (x1xz - Y1Yz)
+ i(X1Yz + У1Х2).1
(28.3)
Отсюда, в частности, следует важнейшее соотношение
(28.4)
Действительно, i 2
= ii =
Благодаря соотношению
(О+ li)(O + li)
(28.4)
формула
путем перемножения двучленов х 1
+ iy1
=
(О - 1) + i(O +О)
и х2
=
-1.
получается формально
(28.3)
+ iyz:
+ iy2) = Х1Х2 + x1iY2 + iy1X2 + iy1iY2 =
= х1х2 + i 2Y1Y2 + i(x1Y2 + У1Х2) = Х1Х2 - Y1Yz + i(X1Y2 + У1Х2).
(х1 + iy1)(x2
Например,
(2 - 3i)(-5 + 4i)
Заметим, что zz
= -10 + 8i +
= (х + iy)(x -
15i - 12i 2 = -10 + 23i + 12
iy)
=
х2
+
у2
=2+
23i.
действительное число.
-
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, соче­
тательным и распределительным (дистрибутивным) свойствами:
Z1Zz = Z2Z1,
(z1z2)zз = z1 (z2zз),
Z1 (z2 + zз) = Z1Z2 + Z1Z3.
В этом легко убедиться, используя определение
и
(28.3).
z1 = r 1(cos <р 1
+ i sin ер 1 )
+ i sin ер2 ), заданных в тригонометрической форме:
z1z2 = r1 (cos epi + i sin epi)r2 (cos ер2 + i sin epz) =
= r1 r2 (cos epi cos <pz + i sin epi cos ер2 + i cos epi sin <pz - sin <р1 sin epz) =
= r1 rz ( (cos epi cos epz - sin epi sin <pz) + i(sin <р1 cos epz + cos <р1 sin epz)) =
= r1 rz( cos( epi + ер2) + i sin( epi + <pz) ),
Найдем произведение комплексных чисел
z2 = r 2 ( cos ер 2
т. е.
iJ
1z1z2 = r1r2(cos(ep1
+ epz) + i sin(<p1 + epz)).1
Мы показали, что при умнсr.нсении комплексных -ч.исел их
моду.ли перемнсr.нсаюmся, а аргументы ск.ладываюmс.я.
Это правило распространяется на любое конечное число множите­
лей. В частности, если есть п множителей и все они одинаковые, то
1zn = (r( cos ер+ i sin ер) )n = rn( cos пер+ i sin пер).\
~
Формула
(28.5) называется форму.11.оii. Муавра.
Пример 28.1. Найти (1
+ vГзi) 9 .
222
(28.5)
Решение: Запишем сначала число z = 1 + v'зi в тригонометрической
Q
форме:
r
=
J1 +
(V3) 2
==> argz
= 2;
1r
= З'
arg z
z=
= arctg lvГз
2(cos 3 +
1r
.•
i sш
==>
7r)
3
.
По формуле Муавра имеем
z 9 = (1+V3i) 9 =2 9 (cos9i + isin9i) =
= 29 (cos37r+isin37r) = 29 (-1) = -512. 8
28.4.
~
Деление комплексных чисел
Деление определяется как действие, обратное умножению. Част­
ным двух комплексных -чисел
плексное число
т. е. ~ =
Z2
z,
z1
и
z2
#
О называется ком­
которое, будучи умноженным на
z2 ,
дает число
z1 ,
z, если z2z = z1.
Если положить
равенства (х2
z1 = х1 + iy1, z2 = х2 + iy2
+ iy2)(x + iy) = х 1 + iy1 следует
#
О, z
=
х
+ iy,
то из
{ ХХ2 -уу2 = Х1,
ХУ2
+ УХ2 = У1·
Решая систему, найдем значения х и у:
Таким образом,
На практике частное двух комплексных чисел находят путем
умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знамена­
телю («избавляются от мнимости в знаменателе»).
При.мер 28.2. Выполнить деление 12~ ~i.
Q Решение:
1 +Зi
2+i
=
(1 + Зi)(2 - i)
2 - i + бi + 3
5 + 5i
=----= -5--l+i.
4+1
(2+i)(2-i)
•
223
Для тригонометрической формы комплексного числа формула де­
ления имеет вид
r1 (cos <р1 + i sin <р1)
r1 ( (
. .
) = - cos ip1 r2 (cos <р2 + i sш <р2
r2
ip2
)
. . (
+ i sш ip} -
ip2
))
.
При деJ1,ениu. комп,/1,ексных -чисе,/1, их модуJ1,и, соответст­
венно, де.л,,ятся, а аргументы, соответственно, ви-чита­
юmся.
28.5.
Извлечение корней из комплексных чисел
Извлечение корня п-й степени определяется как действие, обрат­
ное возведению в натуральную степень.
~
Корнем
n-ii.
степени из комп,/1,ексного -чисда
комплексное число
Vz =
w,
если wn
z
называется
wn = z,
удовлетворяющее равенству
w,
т. е.
= z.
Если положить
z
= r( cos <р + i sin <р),
а
w
= р( cos (} +
i sin О), то, по
определению корня и формуле Муавра, получаем
= wn = pn (cos п(} + i sin пО) = r( cos <р + i sin <р).
Отсюда имеем pn = r, п(} = <р + 27Гk, k = О, -1, 1, -2, 2, ...
(} = 'Р + 21Гk и р = Vr (арифметический корень).
Поэтому равенство Vz = w принимает вид
z
То есть
п
~ •
'Vr(cosip+isшip) =
k
Vr ( cos <р +п21Гk
=о,
. . <р + 21Гk)
+isш
п
,
1, ... 'п - 1.
Получим п различных значений корня. При других значениях
k,
в силу
периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпада­
ющие с уже найденными. Так, при
Итак, для любого
z =f.
k =
п имеем
О корень п-й степени из числа
z
имеет ровно
п различных значений.
Пример 28.3. Найти значения а) И= w; 6) А= w.
224
Q Решение:
ской форме:
3 г.
vi=
а) Запишем подкоренное выражение в тригонометриче­
i = 1 ( cos
~ + i sin ~). Стало быть,
1Г
3
1Г
зг.(
cos '2 + i sin '2 = v 1 cos
=о,
k
При
1Г
6
k
+ i sin
:!!.+21Гk)
2
3
,
1,2.
1Г
..
+iюn-
6
vз
= -
2
.1
+i-·
2'
= 1 имеем
w1 = cos
при
3
О имеем
k=
wo = cosпри
:!!.+21Гk
2
k = 2
:!!.
2
+ 21Г
3
+ i sin
:!!.
2
+ 21Г
3
51Г
51Г
= cos б + i sin 6 = -
vз
2
1
+ i 2;
имеем
W2
=
97Г
2
COS -
3
"
+ i SШ
91Г
2
-
3
37Г
=
COS -
2
+
"
37Г
i SШ -
2
.
= -i
.
б) Снова запишем подкоренное выражение в тригонометрической
форме:
-1 =
СОS7Г
+ i sin 7Г.
Поэтому
11
v-
1
=
v1cos 7Г + i
. .
sш 1Г
= cos
7Г
+ 21Гk + i sin 7Г + 21Гk ,
2
2
k
=о,
1.
При k = О получаем w0 = cos ~ + i sin ~ = i, а при k = 1 получаем
W1
= cos з; + i sin з; = -i. Таким образом, А = i и А = -i.
•
Глава
J
..,
НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ
Vll.
Лекции 25-281
§ 29. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Понятие неопределенного интеграла
29.1.
В дифференциальном исчислении решается задача:
функции
f(x)
ное исчисление решает обратную задачу: на11тt1 функцию
ее производную
F'(x)
= f(x)
Функция
дmmoii
F(x)
F(x),
зная
(или дифференциал). Искомую функцию
называют первообразной функции
F(x)
~
no
на11ти ее производную (или дифференциал). Интеграль­
f(x).
называется nервообразноii. функции
f(x)
на ин­
тервале (а; Ь), если для любого х Е (а; Ь) выполняется равенство
(или
F'(x) = f(x)
dF(x) = f(x) dx).
JR, является функция
Например, первообразной функции у = х 2 , х Е
хз
F(x) = 3 , так
как
= (х;
F'(x)
)' = х 2 =
f(x).
Очевидно, что первообразными будут также любые функции
хз
F(x) =
где С
-
3
+с,
постоянная, поскольку
F'(x)
Теорема
29.1.
= (~3 +с)'= х 2 = f(x) (х Е JR).
Если функция
является первообразной функции
F(x)
на (а; Ь), то множество всех первообразных для
f(x)
формулой
F(x)
+С, где С
f(x)
задается
постоянное число.
-
О Функция
F(x) +С является первообразной f(x). Действительно,
F'(x) = f(x).
Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная
функции f(x), т. е. Ф'(х) = f(x). Тогда для любого х Е (а; Ь) имеем
(Ф(х) - F(x))' = Ф'(х) - F'(x) = f(x) - f(x) =О.
(F(x)
+С)'=
А это означает (см. следствие
25.1),
Ф(х)
где С
-
что
- F(x)
=С,
постоянное число. Следовательно, Ф(х)
226
= F(x)
+С.
8
~
Множество всех первообразных функций
F(x)
+С для
f(x) на­
f(x) и
зывается неопределенным интегралом от функции
обозначается символом
j f (х) dx.
Таким образом, по определению
1/ f (х) dx =
~
Здесь
f(x)
F(x)
+ С.1
называется nодынmегральноu функциеu,
подынтегральным выра:нсением, х
рования,
j-
-
f(x) dx -
nеременноu интегри-
знаком неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции на­
зывается интегрированием этой функции.
~
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой се-
мейство «параллельных» кривых у
= F(x)
+С (каждому число­
вому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см.
рис.
165).
График каждой первообразной (кривой) называется инmе­
гралъноu кpuвoil.
у
~y=F(x)+C1
~y=F(x)
х
О ~y=F(x)+C2
~у=F(х)+Сз
~
Рис.
!il
165
Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?
Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная
на (а; Ь) функция имеет на этом промежутке первообразную», а
следовательно, и неопределенный интеграл.
29.2. Свойства неопределенного интеграла
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из
его определения.
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте­
гральному выражению, а производная неопределенного интеграла рав­
на подынтегральной функции:
d(J f(x) dx) = f(x) dx,
227
(/ f(x) dx) 1 = f(x).
О Действительно,
d(j f(x) dx) = d(F(x) +С)= dF(x) + d(C) = F'(x) dx = f(x) dx
(J f(x) dx)
и
1
= (F(x)
•
+С)'= F'(x) +О= f(x).
Благодаря этому свойству правилъностъ интегрирования проверя­
ется дифферен:цировшнием. Например, равенство
J(Зх
верно, так как (х 3
2.
2
+ 4) dx = х 3 + 4х +С
+ 4х + С) 1
=3х 2 +4.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ­
ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
JdF(x) = F(x) +С.
О Действительно, JdF(x) = JF (x) dx = Jf(x) dx = F(x) +С.
1
3.
8
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Jaf(x) dx =а· Jf(x) dx,
а ::f. О - постоянная.
О Действительно,
Jа!(х) dx = j aF'(x) dx = j (aF(x)) dx j d(aF(x))
1
=а· F(x) + С1 =а· (F(x) + ~1 )
(положили
4.
=
= a(F(x)
=
+С)= а
Jf(x) dx
•
%- = с).
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов
от слагаемых функций:
J(f(x) ± g(x)) dx = Jf(x) dx ± Jg(x) dx.
Q
Пусть
F 1 (x) = f(x)
и
G1 (x) = g(x).
Тогда
jU(x) ±g(x))dx = j(F'(x) ±G1(x))dx =
= j(F(x)
± G(x))1 dx =
= (F(x)
где С1
±
С2
Jd(F(x) ± G(x)) = F(x) ± G(x) +С=
J
+ С1) ± (G(x) + С2) = f(x) dx ±
= С.
j g(x) dx,
8
228
Jf(x) dx
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если
= F(x) +С,
то и
J
f(u) du = F(u) +С, где и= <р(х) -
=
произвольная
функция, имеющая непрерывную производную.
Q
Пусть х -
независимая переменная, f(x) -
и F(x) - ее первообразная. Тогда
перь и
= <р(х), где <р(х) -
J
непрерывная функция
f(x) dx = F(x) +С. Положим те­
непрерывно-дифференцируемая функция.
Рассмотрим сложную функцию F(u) = F(<p(x)). В силу инвариантно­
сти формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем
dF(u) = F'(u) du = f(u) du.
Отсюда
J!(и) du = Jd(F(u)) = F(u) +С.
8
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается
справедливой независимо от того, является ли переменная интегриро­
вания независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей
непрерывную производную.
Так, из формулы
получаем
Jх 2 dx = х; +С путем замены хна и (и= <р(х))
Jи2 du =~+С. В частности,
Jsin xd(sinx) sш3 х +С,
. 3
=
2
Jln xd(lnx) = -ln3- +С,
! tg xd(tgx) = -tg3-x
Найти интеграл J(2х
3х + х - 5)
3
2
х
3
+С.
2
При.мер 29.1.
Q
-
2
dx.
Решение:
J(2х
4
-
3х 2 + х -
~
= 2+ С1 5
~
3
Решение:
5) dx = 2
~
2
3- + С2 + -
При.мер
Q
4
29.2.
Jх
4 dx - 3
+ Сз -
Jх
5х + С4
Найти интеграл
2 dx
J
+ х dx -
2 5
= -х
5
J
dx =
1
х 3 + -х 2 - 5х +С
2
'
•
х+1
dx.
! -х-
Jх; 1 dx = J(1 + ~) dx = х + ln lxl +С.
229
5
•
29.3. Таблица основных неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное диф­
ференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем
обращения соответствующих формул дифференциального исчисления
(таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного
интеграла.
Например, так как
d(sin и)= cosu · du,
Jcos и du = Jd( sin и)
то
= sin и + С.
Вывод ряда формул таблицы будет дан при рассмотрении основных
методов интегрирования.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются таб.ли'Чнымu.
Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых
и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных
функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения
первообразных (т. е. интегрирования функции) сводятся к указанию
приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному. Сле­
довательно, необходимо знать табличные интегра.,-~ы и уметь их узна­
вать.
Отметим, что в таблице основных интегралов переменная инте­
грирования и может обозначать как независимую переменную, так и
функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантно­
сти формулы интегрирования).
В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться,
взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтеграль­
ному выражению в левой части формулы.
Докажем, например, справедливость формулы 2. Функция l опре­
и
делена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля.
Если и > О, то ln lиl = ln и, тогда dln lиl = dln и= du. Поэтому
Jd:
и
= ln и+
С = ln lиl +С при и > О.
Если и< О, то
lnjuj
= ln(-u).
Но
dln(-u)
J~и= ln(-u) +С= ln lиl +С при и< О.
Итак, формула
2
-и
du. Значит,
и
верна.
Аналогично, проверим формулу
d(-a1 arctg~a+c)
1
а
15:
1
1 + (~ )2
230
.!du- 2 du 2
а
- а +и ·
Таблица основных интегралов
1.
2.
1 du = + 1
J~ = lиl +С;
и°'
~
а+1
+С (а -f; -1)
ln
з.Jаиdи= аи +С·
lna
'
4. / еи du = еи +С;
5. / sinudu = -cosu
6.
Jcos и du
= sin и +
+С
(/ shudu
= chu +с);
С
(/ chudu
= shu +с);
7. / tgudu = - ln 1cosul
+С;
8. / ctg и du = ln 1sin иl +
С;
du
9. /
10.
cos 2 и
= th и + с);
(/ сhdи
2и
= tg и + С
J~ = -ctgu+C
sш
(/ shdu2 u
и
J ~и = ln jtg Y.j +С·
12. J cosu = ln ltg(Y.
2 + zr.)
4
11.
2
sши
1
+С·,
13. /
du
= arcsin У.+ С;
Ja2 _ u2
а
14. /
du
= ln !и+ ../и 2 + а2 1 +С;
Ju2 + а2
16.
а2
J
cth и + с);
,
__dy,_
15. /
=-
+ и2 = 1а arctg У.а + С;
du
du
а2 - u 2
17. / ../а 2
-
18. J Ju 2 ±
= ...1.
. ln аа +
и + С;
2а
- и
u2 du =
1
~ · J а2 -
1
u2 +
а2 du = ~ · Ju2 ± а2 ±
231
~ arcsin ~ + С;
2 ln jи + Ju2 ± a2j +С.
2
§ 30.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Метод непосредственного интегрирования
30.1.
~
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то-
ждественных преобразований подынтегральной функции (или вы­
ражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводит­
ся к одному или нескольким табличным интегралам, называется не­
посредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используют­
ся следующие преобразования дифференциала (операция «подведения
под знак дифференциала»):
du = d(u
1
dи
+а),
= -d(аи),
а
а
а
число,
-
=i-
О
-
число,
1
и· dи = "2d(и 2 ),
соsиdи
= d(sinи),
sin и du =
-d(cosи),
1
- du = d(ln и),
и
1
cos
-2-dи
Вообще,
f1(u) du =
и
= d(tgu).
d(f(и)), эта формула очень часто используется при
вычислении интегралов.
Пример'Ы:
1) / х
dx
+3 =
Jd(x++33) = ln
х
!х
+ 3/ +С
(формула 2 таблицы инте-
гралов);
2)
J(3х - 1)
(формула
3)
-Jdx
/
ctg 2 х dx
dx
=
1) 24 d(3x - 1)
J1 - .
2
sin
х dx =
2
SШ
Х
J(
12 -.SШ
Х
-
1
3
1) dx
(3х
- 1) 25
25
J
12 = -.SШ
+с
dx -
Х
-х +С (формулы 10 и 1);
v14- 3х 2
(формула
J
~ (Зх -
dx =
1);
= -ctgx
4) /
24
_J_J
-
vГз
. v'з·х
d(v'з·x)
= - 1 · arcsш-vГз
2
J(2)2 _ (vГз. х)2
13);
232
+С
5) J sin2 6х dx
1
= 2х
11
- 2
6) J
= ~ J (1 -
1
cos 12х d(12x) · 12
dx
(х
х-1
=-!J
~J
dx -
= 2 х - 24 sш12х +С
~J
cos 12х dx
(формулы
=
1 и 6);
_ _ !J(x-1)-(x+2)dx _
+ 2)
- l)(x
cos 12х) dx =
1
1 .
-
- l)(x + 2)
(х
3
х+2
dx+!j
-
dx=
3 (x-l)(x+2)
3 (x-l)(x+2)
1 J d(x + 2)
1 J d(x - 1)
1
1
= -3
х+ 2 + 3
х _ 1 = -3 ln lx + 21 + З ln lx - 11 +С;
7)
udu
= - J d(cosu)
= -lnlcosul
! tgudu = ! sincosu
cosu
формулы
8)
du
j -=
sin и
J
cos 2 1!. + sin2 1!.
2
2 du =
2 sin ~ cos ~
j
cos 2 1!.
2
du +
2 sin ~ cos ~
j ctg 2и d (и)
2 + Jtg 2и d (и)
2 -_ ln sш 2и
и21 +С2 = ln 1sin1!.1
и +С (вывод
ln cos "2
cos; +С = ln tg 2"
sin1!.2cos
~ 1!. du -_
+ / 2 sin
-
+С (вывод
7);
J ·
J
1
формулы
9)
J
+ 2) 9 dx = J (х + 2 - 2)(х + 2) 9 dx =
= j (х + 2) 10 d(x + 2) - 2 j (х +
(х + 2) 10
2
+С (формула 1);
- 2 J (х + 2) 9 dx
11
10) /
1
= 4
4
ctg
ll)
х
j
-
ctg
J(х
+ 2) 10 dx -
2) 9 d(x + 2)
=
10
dx
5
.
Х • SШ
2
Х
J3 - 2х + x 2
-
5cos 2 2х
-
- / 3 1 -х d(l - х) = х 4
9, 3);
-
5
d(ctgx)
4
x
= - ctg4
-
+с=
1);
j
dx
_
J3-2x+x 2 -
j (4х3
j (ctgx)-
=-
+С (формула
= lnjx -1 +
12)
-
11);
Jх(х
= (х +112)
1
dx
_ J
J2+(x-1) 2 J
+С (формула 14);
+ 3 1 -х) dx
5
d(x - 1)
=
j(-/2)2+(x-1)2
"2 tg2x -
= 4/ х 3 dx 31-х
~J
2
d( 2x) -
cos 2 2х
lnЗ +С (формулы 1,
233
Jх
13)
3
• \11+x 2 dx= j(1+x 2 )!·x·(x2 +1-1)dx=
~ J(1 + x2 )i d(1 + х 2 )
3
27
= 14 (1+х )з-
3
8 (1+х
~ j(l + х 2 )! d(1 + х 2 )
-
24
)з+с.
Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изо­
бретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой по­
дынтегральной функции».
Соответствующие навыки приобретаются в результате значитель­
ного числа упражнений.
30.2.
Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении но­
вой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом задан­
ный интеграл приводится к новому интегралу, который является та­
бличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).
Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно
определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл
новку х
= ip(t), где r.p(t) -
J
J(x) dx. Сделаем подста­
функция, имеющая непрерывную производ­
ную.
Тогда
dx = ip'(t) dt
и на основании свойства инвариантности фор­
мулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу
интегрирования nодстановкоii
I/ f(x) dx = Jf(ip(t)) · r.p'(t) dt.,
Формула
(30.1)
(30.1)
также называется формулой замены переменных в не­
определенном интеграле. После нахождения интеграла правой части
этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования
t
назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t
гда
Jf(r.p(x)) · rp'(x) dx = Jf(t) dt, где t
формулу
(30.1)
то-
Другими словами,
можно применять справа налево.
Пример 30.1. Найти
Q
= r.p(x).
= ip(x),
J
eci dx.
= 4t, тогда dx = 4 dt. Следовательно,
е { dx = 4 et dt = 4et + С = 4е { + С.
Решение: Положим х
J
J
234
8
j х · ./х -
Пример 30.2. Найти
Q
= t, тогда х =
Решение: Пусть ./х - 3
j х · vх =2
3 dx
3dx.
t 2 + 3, dx
4
t5
3) 5 12
+ 2(х -
3) 312
+С.
8
Получить формулу
30.3.
! ./u2du+
О Обозначим t = ./и 2
+
а2
Отсюда
а2
= Iniu +
+ а 2 +и
2и
2уи2
t3
= 2 · 5 + 6 · 3 +С=
4
= ~(х -
dt=
Поэтому
= j (t2 + 3) · t · 2t dt =
! (t + 3t2) dt = 2 ! t dt + 6 ! t2dt
Пример
= 2t dt.
J u2 + а21 +С.
(подстановка Эйлера). Тогда
du+du,
т.е.
du
dt=
./и 2
dt
+ а 2 +и du.
yu2 +
а2
dt
Стало быть,
! ./u2du+
а2
j
=
dt = ln ltl +
t
Пример 30.4. Найти
Q
Решение: Пусть х
+2 =
tlo2
Пример
30. 5.
J и2 + a2I + С.
•
t. Тогда х = t - 2, dx = dt. Имеем:
2) · t 100 dt
tlOl
- 2 . 101
Найти
ln \и +
j х · (х + 2) 100 dx.
j х · (х + 2) 100 dx = j (t = 102
С=
+с =
=j
(х
t 101 dt - 2
+ 2)102
102
-
jt
2(х
100
dt
=
+ 2)101
101
+ с. •
! -dx+- .
еХ
1
Q Решение: Обозначим ех = t. Тогда х = ln t, dx = ~t. Следовательно,
dx
dt
!!l.
dt
Jех + = J ~ = Jt( + = J + =
-!
1 ln 1~+t+~1
1dt
1 -- - ! 1 d(t + ~) 1 -- ---1
1
1 + с(t+2)2-4
(2)2-(t+2)2
2·2
2-t-2
1
t
1
t
t2
1)
235
t
t+11 = ln 1-t-1 1= ln -ех- +С.
=Здесь используется формула
16
ln 1- -t
f
+
еХ
+1
таблицы основных интегралов.
8
30.3. Метод интегрирования по частям
Пусть и
= и(х) и v = v(x) -
производные. Тогда
=и·
d(uv)
dv
функции, имеющие непрерьшные
+ v · du.
Интегрируя это равенство,
получим
,.....j_d_(_u_v_)_=_j_u_d_v_+_j_v_d_u__и_л_и__j_u_d_v_=_u_v___j_v_d_u---,.,
~
Полученная формула называется фор.му.л.оfi. интегрирования
по част.ям. Она дает возможность свести вычисление интегра-
ла j и dv к вычислению интеграла j v du, который может оказаться
существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное вы­
ражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в
виде произведения двух сомножителей и и
(это, как правило, мож­
dv
но осуществить несколькими способами); затем, после нахождения
du,
и
v
используется формула интегрирования по частям. Иногда эту фор­
мулу приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять
методом интегрирования по частям.
1. Интегралы вида
где Р(х)
-
многочлен,
J
P(x)ekx dx,
k-
JР(х)
·sinkx dx, j Р(х) coskxdx,
число. Удобно положить и= Р(х), а за
dv
обозначить все остальные сомножители.
2.
Интегралы
вида
jP(x)arcsinxdx,
jP(x)arccosxdx,
j P(x)lnxdx, j P(x)arctgxdx, j P(x)arcctgxdx. Удобно положить
Р(х)
dx = dv, а за и обозначить остальные сомножители.
3. Интегралы вида j еах · sin Ьх dx, j еах · cos Ьх dx, где а и Ь -
числа. За и можно принять функцию и
=
еах.
Пример 30.6. Найти j(2x + 1)е 3 х dx.
Q
Решение: Пусть
[ ud 2
v- е
=_ xз~dl
х
::
~
dи_=j2 d~ d
v-
е
х
_ 1
- 3е
зх
]
(можно
положить С= О). Следовательно, по формуле интегрирования по ча­
стям:
3
/ (2x+l)e x dx
= (2х+1)·..!.езх_j ..!.e3x2dx = ..!_(2x+l)e 3 x-~e 3 x+c.
3
3
236
3
9
8
При.мер 30.7. Найти jinxdx.
Q
Решение: Пусть
[
j ln х dx =
и = ln х
===}
dv = dx
===}
х · ln х -
и= х 2
Решение: Пусть [ d
х · ~ dx = х · ln х - х + С.
8
j х2 ех dx.
Пример 30.8. Найти
Q
j
du = 1 dx ]
х
. Поэтому
v= х
v=e
хd
du = 2xdx ] •
v=e х
===}
х
===}
Поэтому
j х 2 ех dx = х 2 ех - 2 j ех · xdx.
Для вычисления интеграла
вания по частям: и
= х,
dv
j ех х dx снова применим метод интегриро­
= ех dx
j х2 ех dx = х 2 ех -
Пример 30.9. Найти
Q
Решение: Пусть
! arctg
х dx
===}
[
du = dx, v
j ех dx = х · ех -
j ех · х dx = х · ех -
Поэтому (см. (30.2))
31.1.
= ех. Значит,
ех + С.
(30.3)
2(х · ех - ех +С).
8
j arctgxdx.
и = arctg х
===}
dv = dx
===}
du = ~ dx ]
1+х
. Поэтому
v= х
х 2 dx
= х · arctg х - 21 j
= х · arctg х -
! 1+
х
= xarctgx -
§ 31.
(30.2)
d(1 + х 2 )
1 + х2 =
1
2 in(l + х2 ) +С. 8
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
Понятия о рациональных функциях
Многочлен (некоторые св~ения справочного характера)
Функция вида
Pn(x)
~
где п
-
= aoxn + a1xn-l + · · · + an-lX + an,
натуральное число,
ai (i =О, 1, ... , п) -
(31.1)
постоянные коэф­
фициенты, называется многоч.л.еном (или целоit рацuонал.ьноi&
функциеi&). Число
n
называется степенью многочлена.
237
~
Корнем много-чд,ен.а
называется такое значение х 0 (во­
(31.1)
обще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен
обращается в нуль, т. е. Рп(хо) =О.
Теорема
31.1.
Если х 1 есть корень многочлена Рп(х), то многочлен
делится без остатка на х
-
х 1 , т. е.
Рп(х) = (х
где
Pn-1 (х) -
- х1) · Pn-1(x),
многочлен степени (п
(31.2)
- 1).
Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень? Положи­
тельный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.
Теорема
31.2
(основная теорема алгебры). Всякий многочлен п-й
степени (п >О) имеет по крайней мере один корень, действительный
или комплексный.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разло­
жении многочлена на линейные множители.
Теорема
31.3.
Всякий многочлен Рп(х) можно представить в виде
Рп(х)
где х1, х2,
на при
Q
=
ао(х
-
х1)(х
-
х2)
... (х - Xn),
корни многочлена, а 0 -
... , Xn -
(31.3)
коэффициент многочле­
xn.
Рассмотрим многочлен (31.1). По теореме 31.2 он имеет корень. Обо­
значим его через х 1 • Тогда имеет место соотношение
Pn-1(x) х2. Тогда
(31.2).
А так как
также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через
Pn-1 (х) =
(х-х2)
степени. Следовательно,
·Pn-2(x), где Pn-2(x) - многочлен
Pn(x) = (х - х 1 )(х - x 2)Pn- 2 (x).
(n-2)-й
Продолжая этот процесс, получим в итоге:
Pn(x)
~
Множители (х
= ао(х -
- Xi)
х1)(х
-
в равенстве
х2)
•
... (х - Xn)·
(31.3)
называются д,uн.еi&н.ЪtМu
мн.о;нсиmел..ями.
Пример
31.1. Разложить многочлен Р3 (х) = х 3
множители.
238
-
2х 2 - х
+ 2 на
х
= -1,
х
= 1,
х
Следовательно,
= 2.
х3
2х 2
-
2х 2 - х + 2 обращается в нуль при
= х3 -
Решение: Многочлен Р3 ( х)
Q
Пример 31.2.
-
х
+2 =
(х
+ 1)(х -
•
l)(x - 2).
Представить выражение х 3
-
х2
+ 4х -
4 в виде
произведения линейных множителей.
Решение: Легко проверить, что
Q
х3
-
х2
+ 4х -
4
= (х -
Если в разложении многочлена
ся
k
1)(х - 2i)(x
(31.3)
•
+ 2i).
какой-либо корень встретил­
раз, то он называется корнем кратности
k.
В случае
k= 1
(т. е.
корень встретился один раз) корень называется просm'Ьtм.
Разложение многочлена
(31.3)
можно записать в виде
(31.4)
если корень х1 имеет кратность
далее. При этом
k 1 + k2
+ · · · + kт
ki,
корень Х2
= п, а r -
кратность
-
k2
и так
число различных корней.
Например, разложение
Рв(х)
=
(х
+ l)(x -
- 3)(х
4)(х
- 3)(х - 3)х(х - 4)(х - 3)
можно записать так:
Рв(х) = (х - 3) 4 ·(х+1) · (х - 4) 2 • х.
Пользуясь теоремой
31.3,
можно доказать следующие утвержде-
ния.
Теорема
31.4.
Если многочлен Рп(х) =
aoxn
+ a1xn-l + · · · + an
тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.
Теорема
31.5.
Если два многочлена тождественно равны друг другу,
то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэф­
фициентам другого.
Например, если ах 3
d = 1.
+ Ьх 2 + сх + d
с= о,
239
=
х 3 - 3х 2
+ 1, то а = 1, Ь = -3,
Теорема 31.б. Если многочлен Рп(х) с действительными коэффици­
ентами имеет комплексный корень а+
корень а -
то он имеет и сопряженный
ib,
ib.
В разложении многочлена
(31.3)
комплексные корни входят сопря­
женными парами. Перемножив линейные множители
(х
-
(а+
ib)) · (х -
(а
- ib)),
получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами
+ рх + q.
х2
(х
(а+
-
В самом деле,
ib))(x -
(а
- ib))
= (х где р
= ((х -
а) 2
+
Ь2
а)
=
а)+
- ib)((x -
х2 -
2ах
+
а2
+
ib)
Ь2
=
= х 2 + рх + q,
= - 2а, q = а 2 + Ь2 •
Таким образом, произведение линейных множителей, соответству­
ющих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом
с действительными коэффициентами.
С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.
Теорема
31.7.
Всякий многочлен с действительными коэффициента­
ми разлагается на линейные и квадратные множители с действитель­
ными коэффициентами, т. е. многочлен Рп(х) можно представить в
виде
= ао(х -
Рп(х)
x1)k 1 (x - X2)k 2
Х
•••
(х 2
(х - Хт)kр х
+ Р1Х + q1)
(х 2 + PmX + qm) m. (31.5)
При этом ki + k2 + · · · + kт + 2(s1 + s2 + · · · + sm) = n, все квадратные
8
81 •••
трехчлены не имеют вещественных корней.
Примеры разложений
(31.5):
1 = (х - 1)(х + 1)(х2 + 1);
- 16х = х(х 2 - 16) = х(х - 4)(х + 4);
- 6х 4 + 9х 3 - х 2 + бх - 9 = х 3 (х 2 - бх + 9) - (х 2
бх + 9)(х 3 - 1) = (х - 3) 2 • (х - 1)(х 2 + х + 1).
1) х 4
2) х 3
3) х 5
= (х 2
-
-
- бх
+ 9)
=
Дробно-рациональная функция
~
Дробно-рацuональноit
функцuеit
(или
рацuональноit
дробью) называется функция, равная отношению двух многочле-
нов, т. е.
f(x) =
~:(~~,где Pm(x)
-
многочлен степени п.
240
многочлен степени m, а Qп(х)
-
~
Рациональная дробь называется правильноiL, если степень числи­
теля меньше степени знаменателя, т. е. т
< п;
в противном случае
(если т ~ п) рациональная дробь называется неnравильноiL.
liJ
Всякую неправильную рациональную дробь ~~~~ мООtС.но,
путем деления -числител,я на знаменатель, представить
в виде суммы много-члена
L(x)
и правильноiL рациональноiL
дроби ~' т. е.
Р(х)
R(x)
Q(x) = L(x)
Например, Р(х)
=
Q(x)
х4
-
х
+ Q(x).
5 х + 9 - неправильная рациональная дробь.
- 2
Разделим числитель на знаменатель в столбик:
-
х4
-
х 4 - 2х 3
5х
+ 911-х~
х- 2
3_+_2_х~
2 -+-4х_+_З
-5х
+9
4х 2 -5х
+9
2х 3
-2х 3 -4х 2
-
4х 2 -8х
Зх
Зх
+9
-6
15.
Получим частное L(x) = х 3 + 2х 2 + 4х + 3 и остаток R(x) = 15. Следо­
вательно, х 4 - 5 х + 9 = х 3 + 2х 2 + 4х + 3 + _lQ_.
х-2
х-2
Правильные рациональные дроби вида
(I). _А_.
х-а'
(II). ( А )k (k ~ 2, k Е N);
х-а
(III). ~x+N (корни знаменателя комплексные, т. е. p 2 -4q<O);
х +px+q
(IV). ( 2Мх + N )k (k ~ 2, корни знаменателя комплексные),
х +px+q
~
где А, а, М,
N,
р,
q -
действительные числа, называются
cmeiiшимu рациональными дробями
241
1, 11, 111
и
lV
npo-
типов.
Теорема
Всякую прави.л:ьную рациональную дробь ~f ~~, зна­
31.8.
менатель которой разложен на множители
Q(x)
= (х -
X1)k 1
•
(х - x2)k 2
(х 2
•••
+ Р1Х + Q1)
81 •••
(х2 +PmX + Qm) 8 m,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следую­
щей суммы простейших дробей:
Р(х)
А1
А2
Q(x) = х - х1
Ak,
+ (х - х1) 2 + · ·· + (х -
В1
В2
+- + (Х Х - Х2
Х2
x 1)k 1
)2 + ... + (Х
+
Bk 2
-
Х2
)k2
+ ...
Cix + D1
С2х + D2
Cs,x + Ds 1
... + Х 2 + Р1Х + Q1 + (х2 + Р1Х + q1) 2 + ... + (х 2 + Р1Х + Q1) 81 + ...
М1х
... + х 2 +
М2х
+ N1
PmX
+ N2
Ms,.,.x + N 8 ,,,_
+ Qm + (х 2 + РтХ + Qт) 2 + ... + (х 2 + PmX + Qт) 8 m'
(31.6)
где А1, А2 •...
, В1, В2, ... , С1, D1, ... , М1, N1, ... -
некоторые
действительные коэффициенты.
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
l) _ _х_2 _+_4___ _ А_+ _в_ +
с
+
D .
(х - 2)(х - 3) 3 - х - 2
х - 3
(х - 3)2
(х - 3)3'
х3 +1
2)
3)
А
В
Cx+D
х2(х2 + 1) = х + х 2 + х 2 + 1 ;
7х 2 + 8х + 9
(х
- l)(x Mx+N
2)(х2
+
=
х
+ 1)2
~ + _!!_ + Сх + D +
х
- 1
х
- 2
х2
+
х
+ 1
+ (х 2 +х+1) 2 "
Для нахождения неопределенных коэффициентов А 1 , А 2 , ••. , В 1 ,
В2,
...
в равенстве
(31.6)
можно применить мemoiJ сравнивания коэф­
фициентов. Суть метода такова:
1.
В правой части равенства
(31.6)
приведем к общему знаменате-
лю Q(x); в результате получим тождество
iJffi = ~t~~, где
S(x) -
многочлен с неопределенными коэффициентами.
2.
Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тожде­
ственно равны и числители, т. е.
Р(х)
=S(x).
242
(31.7)
3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по те­
ореме
31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31.7),
получим систему линейных уравнений, из которой и определим иско­
мые коэффициенты А1, А2,
... ,
В1,
...
при.мер 31 . 3 . п редставитьдро б ь
(х
2х 2
3х - 3
_ 2 х + 5)
-
_ l)(x 2
в виде сум-
мы простейших дробей.
Q
Решение: Согласно теореме 31.8 имеем:
2х 2 - 3х - 3
(x-l)(x 2 -2x+5)
~~~~~~~~
=
А
~~
х-1
+
Вх
+С '
х 2 -2х+5
т. е.
2х 2 - 3х
(х
- l)(x
2 -
А(х 2
- 3
2х + 5)
2х
-
(х
+ 5) + (х - 1)(Вх +С)
- l)(x 2 - 2х + 5)
Отсюда следует
2х 2
-
3х - 3
= Ах2 -
2Ах + 5А + Вх 2
-
Вх + Сх - С,
т. е.
2х 2
-
3х - 3 =: (А+ В)х 2 + (-2А - В+ С)х + (5А - С).
Приравнивая коэффициенты при х 2 , х 1 , х 0 , получаем
{ -3 =
2=А+В,
-3 =
-2А
Решая систему, находим, что А=
2х 2
-
3х -
-
-1,
3
+ 5) -
~~~~~~~~
(х
- l)(x 2
2х
-
В+ С,
5А-С.
В=
3,
-1
- 1
~~+
х
С=
-2.
3х х 2 - 2х
Следовательно,
2
+ 5·
•
Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют так­
же метод отделы-t'ЫХ з1ш-ч,ениii аргумента: после получения тожде­
ства
(31.7)
аргументу х придают конкретные значения столько раз,
сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х
значения действительных корней многочлена
Пример
31.4. п редставить
дро б ь х(х
Q(x)).
3х-4
_ 2 )(х
+ l)
в виде суммы
простейших дробей.
r..
'-.6
3х
Решение: Имеем: х(х _
дует
3х
- 4
=
А(х
-
- 4
_ А
В
С
о
2 )(х + l) - х + х _ 2 + х + 1 . тсюда сле-
2)(х
+ 1) + Вх(х + 1) + Сх(х 243
2).
Положим х =О, тогда
2 = 6В, т. е. В=
-2А, т. е. А
-4 =
положим х
= 2;
= 2,
тогда
!; положим х = -1, тогда -7 = ЗС, т. е. С=-~.
Следовательно,
_ _Зх
_-_4_ _ = _2
х(х
31.2.
2)(х
-
+ 1)
+
х
!.
+
_з_
х
х
- 2
•
_1__
_з
+1
Интегрирование простейших рациональных
дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.
f __л__ dx = лJ d(x - а) = A-ln lx-al+C (формула (2) таблицы
А
_
J - -k d(x - -_ (х _- ka)-k+l
2. !
_ a)k dx ·
+1
1.
х-а
х-а
интегралов);
(х
(формула
А
(х
а)
(1));
а)
А·
+С
J tix+px+q
+ N dx.
3. Рассмотрим интеграл J =
х
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:
J
причем q -
2
lf
-f
-
Mx+N
(х+ ю2
+q-
2
lf
dх,
> О. Сделаем подстановку х + ~
= t. Тогда х = t - ~,
2
dx
и
= dt. Положим q - lf = а 2 • Следовательно, используя формулы (2)
(15)
таблицы интегралов, получаем
J =
!
М х + N dx =
х2
+ рх + q
!М
(t t2
~) + N dt =
+ а2
-- М f __!!!__
+ (N - Мр)
f __!!!___
-t2 +
2
t2 +
а2
а2
= -М · ln (t 2 + а 2 ) + ( N - -Мр) · -1 arctg -t +
2
2
а
а
С,
т. е., возвращаясь к переменной х,
J
=
f
Mx+N
х
2
+px+q dx
М
= -2
In(x 2 +px+q)+
При.мер 31.5. Найти
Jх2 ~х2~ ~
244
R.·arctg
N-!!:!.E.
"2
q-4
10 dx.
х+Е
n +"2C .
q-4
+ 2х + 10 = (х + 1) 2 + 9. Сделаем подстановку х + 1 = t.
= t -1, dx = dt и
О Решение: х2
Тогда х
!
J
=
J
J
3х + 1 dx = 3( t - 1) + 1 dt = 3 _!_!!:!___ _ 2 ___!!!__ =
+ 2х + 10
t2 + 9
t2 + 9
t2 + 9
3
2
t
3
2
x+l
2
2
- ln(t + 9) - - arctg - +С= - ln(x + 2х + 10) - - arctg - - +С
2
3
3
2
3
3
.
х2
4.
J( 2Мх +
Вычисление интеграла вида
х
Данный интеграл подстановкой х
+
•
4
N )k dx, k ~ 2, q- ~ >О.
+px+q
~ = t сводится к сумме двух
2
интегралов:
t dt
М ! (t2 +
a2)k
(
+
N -
Мр)
2
! (t2 +dt
р2
a2)k'
а2 = q- - .
4
Первый интеграл легко вычисляется:
! (t2 t+dt
a2)k =
1
2
!(t2 +а2
-k
)
2
2
1
d(t +а ) = 2(1 - k)(t2
+ a2)k-1 +С.
Вычислим второй интеграл:
Jk - / (t2
dt
+ a2)k
1
(t 2 +a2)-t2
-- а2 / (t2 + a2)k dt-
= __!__
(/
dt
а2
(t2 + a2)k-1
! (t2 t+dt
2
-
a2)k
= __!__
(Jk- 1 а2
)
! (t2 t+dt
2
).
a2)k
(31.8)
К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Поло­
жим
и= t,
v =
21
dv = (t 2
! (t 2 +а2
)
-k
tdt
+ a2)k,
du = dt,
2
2
1
d(t +а ) = 2(1- k)(t2 + a2)k-1'
тогда
! (t2 +dt
t2
t
a2)k = 2(1- k)(t2
+ a2)k-1
1
- 2(1- k)
! (t2 +dt
a2)k-1 =
1
2(1- k) · Jk-l·
t
2(1- k)(t 2 + a 2)k- 1
Подставляя найденный интеграл в равенство
1
Jk =
t
(31.8),
1
получаем
а2 (Jk-l - 2(1 - k)(t 2 + a 2 )k-l + 2(1 - k) Jk-l),
245
т. е.
Jk
1 (2k- 3
2k - 2 Jk-l
= а2
t
+ 2(k - l)(t 2 + a2 )k-1
)
·
Полученная формула дает возможность найти интеграл Jk для любого
натурального числа
k
> 1.
Прuмер 31.6. Найти интеграл Jз
Q
Решение: Здесь а= 1, k
Ji =
=
j
(t2 ~ l)з ·
= 3. Так как
!
dt
t 2 + 1 = arctgt +С,
то
J2
=
! (t2 + 1)2
2·2-3
2·2 - 2
dt
t
+ - - - - -2- -
---J1
2·(2-l)(t +1)
1
Jз =
3
t
4J2 +4(t2 +1) 2 =
t
4(t2 + 1)2 +
3
= 2 arctgt +
(1
4 2 arctgt +
t
2(t2 + 1) +С,
t
2(t2 + 1)
)
+С.
8
31.3. Интегрирование рациональных дробей
Рассмотренный в пунктах
31.1-31.2
материал позволяет сформу­
лировать общее nрави.ло интегрировшн:и.я рационалъных i)робе11.
liJ
1.
Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы мно­
гочлена и правильной дроби;
2.
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на мно­
жители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дро­
бей;
3.
Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших
дробей.
Прuмер 31. 7. Найти интеграл
Q
Jх ++2х ++4х +
5
х4
3
2х 3
2х 2
4 dx.
Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выде.,-~им ее
целую часть путем деления числителя на знаменатель:
х5
- х5
+
2х 4
+ 2х 3
+ 2х 3
+ 4х + 4 х 4 + 2х 3 + 2х 2
х - 2
+4х +4
-2х 4
- - 2х 4
- 4х 3 - 4х 2
4х 3
+ 4х 2 + 4х + 4 (остаток).
246
Получаем:
х 5 + 2х 3 + 4х + 4
-...,..-----,---------,.-- =
х4
+
2х 3
+
2х 2
х
4х 3 + 4х 2 + 4х + 4
- 2 + ------х 4 + 2х 3 + 2х 2 ·
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:
4х 3 + 4х 2 + 4х + 4
4х3 + 4х 2 + 4х + 4
х 4 + 2х 3 + 2х 2
4х 3 + 4х 2 + 4х + 4
т. е.
4х 3 + 4х 2 + 4х + 4
х 2 (х 2 + 2х + 2)
=
А
В
Сх + D
= ; + х 2 + х 2 + 2х + 2'
= Ах(х 2 + 2х + 2) + В(х 2 + 2х + 2) + (Сх + D)x 2 ,
=(А+ С)х
Отсюда следует, что
3
+ (2А +В+ D)x 2 + (2А + 2В)х + 2В.
А+С =4,
{ 2A+B+D= 4,=4,
2А+2В
2В=4.
Находим: В
= 2,
А
=
О, С
= 4, D = 2.
Стало быть,
4х 3 + 4х 2 + 4х + 4
2
4х + 2
-------=-+---3
2
2
2
х4 + 2х + 2х
х
х + 2х + 2
х 5 + 2х 3 + 4х + 4
2
4х + 2
-..,...----,-------,.-- - х - 2 + - + - - - 3
2
2
2
х4 + 2х + 2х
х
х + 2х + 2 ·
и
Интегрируем полученное равенство:
+4x+4d
j( х - 2 + х22 + х 2 4х+2
)d
f x х4+2x
+ 2х 3 + 2х 2 х =
+ 2х + 2 х =
5
3
=
Обозначим х
!
+ 1 = t,
4х + 2
(х+1) 2 +1
тогда х
= t -1
J
х2
2 и
2
2х - ;; +
dx = dt.
J
J(х +4х1)2+ 2+ 1
Таким образом,
4t - 4 + 2 dt = 4 __!!!!___ _ 2
t 2 +1
t2+1
1
= 4· 2 In(t 2 +1) - 2arctgt+C =
dx =
dx.
J__!}!__
=
t2+1
= 2 · ln(x 2 + 2х + 2) - 2arctg(x + 1) +С.
Следовательно,
!
х5
+ 2х 3 + 4х + 4
х2
2
dx = -2 -2x--+2ln(x2 +2x+2)-2arctg(x+l)+C.
3
2
2
2
х + х + х
х
4
•
Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в эле­
ментарных функциях.
247
§ 32.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
32.1.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригоно­
метрических функций. Функцию с переменными
sin х
и
cos х,
над ко­
торыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание,
умножение и деление) принято обозначать
R(sinx;cosx),
рациональной функции.
~ Вычисление неопределенных интегралов типа
где
R- знак
JR(siпx;cosx)dx
сводится к вычислению интегралов от рациональной функции под­
i = t, которая называется универса.аьноii..
становкой tg
Действительно,
sin х =
2
x=2arctgt, dx=--2 dt.
l+t
1 .
R(sшx;cosx)dx=
где
R 1 (t) -
2 tg ~
2t
2
= -2
1 + tg ~ 1 + t 2 '
cos х =
1- tg2 !. 1 - t 2
2 = -1 + tg2 ~ 1 + t2 '
Поэтому
/ (l+t2t
R
2;
1- t 2 )
l+t
2
рациональная функция от
t.
•
2 dt= / R1(t)dt,
l+t
2
Обычно этот способ весьма
громоздкий, зато он всегда приводит к результату.
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в
зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частно­
сти, удобны следующие правила:
1) если функция R(sinx; cosx) 'lte'Чem'lta om'ltocumeлъ'lto sinx, т. е.
R(-sinx;cosx) = -R(sinx;cosx), то подстановка cosx = t рационали­
зирует интеграл;
2) если функция R(sin х; cos х) 'lte'Чem'lta om'ltocumeлъ'lto cos х, т. е.
R(sinx; - cosx) = -R(sinx; cosx), то делается подстановка sinx = t;
3) если функция R(sin х; cos х) 'Чem'lta om'ltocume.fi.ъ'lto sin х и cos х
R(-sinx;-cosx) = R(sinx;cosx), то интеграл рационализируется под­
становкой tg х = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл
имеет вид
J
R(tgx) dx.
Пример
Q
32.1.
Найти интеграл / 3 + Slll
. dx
+ COSX .
Х
Решение: Сделаем универсальную подстановку t
248
= tg i. Тогда dx =
=
2 dt sin х
1 + t2 '
/
dx
3 + sin х + cos х -
2t
l+t2"'
J(d(+ 21+)22+ 47
t
=
=
= 1-
t2.
1 + t2
-
1 ~~ 2 + ~::;$)
2
t + !
С = г.;
2 +
у 7 /2
у7
j
2
г.; arctg г.;
=
у7
Пример 32.2. Найти интеграл I
Q
Следовательно
J(1 + t2)(3 +2dt
!)
t
cos х
·
arctg
'
dt
t2 + t + 2 1 + 2 tg "./7 2 +
7
С. 8
= J1 +d~
2 .
sш х
Решение: Так как
1
R(-sinx;-cosx) = - - - - 1+ (-sinx)2
то полагаем
х
tg х
1
--.~
21 SШ Х
+
.
= R(sшx;cosx),
= t. Отсюда
= arctgt,
dt
dx = 1 + t2
tg 2 х
t2
sin2 х = --'----~
1 + tg 2 х = 1 + t 2 .
и
Поэтому
I _
-
!
dt
- / ____!!!__ _ ~
(1+t 2)(1+1ft2) 2t 2 + 1 - J2
1
/
d(J2t)
(J2t)2 + 1
1
= J2 arctg ./2t + С = J2 arctg( ./2 tg х) +
С. 8
32.2. Интегралы типа / sinm х · cos" xdx
Для нахождения таких интегралов используются следующие при­
емы:
1)
подстановка
sinx = t,
если п
-
целое положительное нечетное
подстановка
cos х = t,
если т
-
целое положительное нечетное
число;
2)
число;
3) формулы понижения порядка: cos 2 х = !(1 + cos2x), sin 2 х =
=
! (1 - cos 2х), sin х · cos х = ! sin 2х, если т и п -
целые неотриv,а­
телъные четные числа;
4)
подстановка
tgx
= t,
если т
+
п
-
есть четное отрицательное
це.,-юе число.
Пример 32.3. Найти интеграл I =
249
Jsin4 xcos5 xdx.
Q
=
Решение: Применим подстановку
1
y1-t2
I = j t4
dt,
•(
COSX
yl-t2) 5 •
5
dt
= j t 4 (1 - t 2 ) 2 dt = j(t 4
..;г=t2
7
5t - 2t7
=
sin х = t. Тогда х = arcsin t, dx =
= vr=t2 И
с
9
9t
+
+
=
j sin
4
х cos2 х dx.
Решение:
I = j(sinxcosx) 2 sin 2 xdx = j
~j
=
~j
sin 2 2xdx -
~ sin2 2х · ~(1- cos2x) dx =
sin 2 2xcos2xdx =
~ /sin2 2xd(sin2x)
16
Пример
=
~ j ~(1- cos4x) dx-
~х - ~ sin4x - ~ sin 3 2х +С. 8
16
64
48
Найти интеграл
32.5.
I = j
dx.
3
COSX • SШ Х
Q
2t6 + t 8 ) dt =
. 5
2 . 7
1 . 9
с •
51 sш
х - 7 sш х + 9 sш х + .
Пример 32.4. Найти интеграл I =
Q
-
= /cos- 1 х · sin- 3 xdx.
Решение: Здесь т + п = -4. Обозначим tg х =
dx=
dt
1 + t2 ,
I =
j
sinx=
1
t
,cosx=
J1+t2
J1 + t2
dt
1
~
и
t.
1
f ____±_!__
dt = f Г 3 dt + j _!_ =
d
2
~
з
.
t
=
Тогда х = arctg t,
t
t3
(v'i+t2)3
1
1
= - 2t 2 +lnltl +С= - 2 ·ctg2 x+lnjtgxl +С.
32.3.
8
Использование тригонометрических
преобразований
Интегра.л:ы типа
j sin ах · cos Ьх dx, j cos ах · cos Ьх dx,
j sin ах· sin Ьх dx вычисляются с помощью известных формул тригоно­
метрии:
sina:cos,8 =
~(sin(a: 250
,8) + sin(a: + ,8)),
cosacos/1 =
sinasin/1
1
2(cos(a -
= 21 (cos(a -
/1)
+ cos(a + /1)),
/1) - cos(a + /1)).
Пример 32.6. Найти интеграл I =
Jsin8xcos2xdx.
О Решение:
1
=
Jsin8xcos2xdx = ~ j(sin 10х + sinбx) dx =
= !2 (-__!:__
cos 10х - ! cos 6х) +С.
10
6
8
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
§ 33.
ФУНКЦИЙ
33.1.
Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррацио­
нальные функции.
Интегралы типа
! Jax
называют
dx
2
+Ьх +с'
d
JJ ах 2 + Ьх + с dx, JJaxmx+n
+ Ьх +с х
2
неопределенными
интегралами
от
квадратичных
иррацио­
нальностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом вы­
делить полный квадрат
ах 2 +Ьх +с=
= а (xz + ~х+ ~)
а
а
=
а ( (х+ ..!!.._) 2 + ~ - _ь_z )
2а
а
4а 2
=
а ( (х+ ..!!.._) 2 +-4а_с__,,-,_ь_z)
4а 2
2а
и сделать подстановку х + ;а = t. При этом первые два интеграла при­
водятся к табличным, а третий
-
к сумме двух табличных интегралов.
Пример 33.1. Найти интегралы I
251
J
= J
dx
4х 2 +2х+1
.
Сделаем подстановку х +
:! = t, х = t - :! ,dx = dt. Тогда
Пример 33.2. Найти интеграл I =
j J 6 -х +2х4-
х2
dx.
=
О Решение: Так как 6 - 2х - х 2 = -(х 2 + 2х - 6)
-((х + 1) 2 - 7) =
= 7 - (х + 1) 2 , то подстановка имеет вид х + 1 = t, х = t - 1, dx = dt.
Тогда
I
=
1t-1+4d
t2 t =
v7 -
= - -1
!
! J1 -
tdt
t2 +
dt
31
J1 +3
(7 - t 2 ) _1.2 d(7 - t 2 )
2
= -
~ + 3 · arcsin :П + С =
Интегралы типа
j
J
3 arcsin
Pn(x)
ах2
dx,
+ Ьх +с
!
t2 =
J(
dt
./7)2 - t2
=
х~1 - J 6 - 2х - х 2 + С.
где
Pn(x) -
8
многочлен сте-
пени п, можно вычислять, пользуясь формулой
!J
где
Pn(x)
ах 2 + Ьх
Qn-l ( х) -
ентами, .Л
dx=Qn-1(x)·Vax 2 +bx+c+лfv
+с
многочлен степени п
- 1с
ах 2
dx
,
+ Ьх + с
(33.1)
неопределенными коэффици­
также неопределенный коэффициент.
-
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, по­
лучаемого дифференцированием обеих частей равенства
Pn(x)
J ах 2 + Ьх + с
=(Qn-1(x) · Jax
+Ьх+с)' +
2
(33.1):
.Л
,
J ах2 + Ьх + с
после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых сте­
пенях неизвестной х.
Пример
33.3.
Найти интеграл I
=
j J 1-х2х2 -
х2
dx.
О Решение: По формуле (33.1) имеем:
I =
! Vl - х
2
2х - х 2
dx = (Ах+ B)Vl - 2х - х 2
252
+Л·j
dx
J1 -
2х - х 2
.
Дифференцируя это равенство, получаем:
х2
-2-2х
J1-2x-x 2
2v'l-2x-x 2
--;====;;:-А·../1-2х-х2+(Ах+В)·
+
>.
v'l-2x-x 2
,
т. е.
+ >.,
- Вх + >..
х 2 := A(l - 2х - х 2 ) +(Ах+ В)(-1- х)
х2
=А
2Ах -
Ах 2
- Ах - В -
Ах 2
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
1 = -А - А
{ О = -2А - А - В
О= А- В
+ >.
при х 2 ,
при х 1 ,
при х 0 •
Отсюда А=-!, В=~'>.= 2. Следовательно,
I =
(-!х + ~) Vl - 2х - х 2 + 2
2
2
=
33.2.
(х
=
2
(-!х + ~) J1 - 2х - х 2 + 2 arcsin х + 1 +С. 8
2
.j2
2
Дробно-линейная подстановка
Интегралы типа
с,
JJ2 - dx + 1)
!R(
х,
Ь)а/{3 , ... , (ах+
Ь) 0 /'У) dx,
( ах+
сх + d
сх + d
действительные числа, а,/3,
d -
... , 8,
'У
-
где а, Ь,
натуральные числа,
сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки
: t~
а
~'
= tk,
где k - наименьшее общее кратное знаменателей дробей
8
... ' ;::;·
Действительно, из подстановки
и
dx =
ax++db = tk
сх
-dktk- 1 (ctk - а) - (Ь - dtk)cktk-I
( k
)2
dt,
ct -а
через рациональные функции от
t.
следует, что х = ~
ct -а
т. е. х и
dx
выражаются
При этом и каждая степень дроби
: t ~ выражается через рациональную функцию от
Пример ЗЗ.4. Найти интеграл I =
f \/
(х
t.
dx
+ 2) 2 -
JX+2.
х+2
i !
Q Решение: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и
есть 6. Поэтому полагаем х + 2 = t 6 , х = t 6 - 2, dx = 6t 5 dt, t = Vx + 2.
253
Следовательно,
l =
! t46t- dt = 6 ! tt - dt1 = 6 ! (t t -1)1+ 1 dt =
5
2
2
-
t3
t~l)dt=3t 2 +6t+6lnlt-ll+C=
= 3 · Vх + 2 + 6 · Vх + 2 + 6 ln 1Vх + 2 - 11 + С.
=6 j(t+1+
Пример
33.5.
=
11
Указать подстановку для нахождения интегралов:
! 2JX-1
JX _ dx,
12 - / vx+l.
dx
х - 1 (1 - х) 2 •
х
Q Решение: Для 11 подстановках =
33.3.
8
t 2 , для 12 подстановка х
+ 11 = t 3 •
х-
•
Тригонометрическая подстановка
Интегралы типа
JR(x; J а2
x 2 )dx,
-
j R(x;
J а2 + x 2 )dx,
JR(x; J х 2
a 2 )dx
-
приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от три­
гонометрических функций, с помощью следующих тригонометри'Че­
ских подстановок: х
=
а
· sin t
для первого интеграла; х
=
а
для
· tg t
второго интеграла; х = -f!-t для третьего интеграла.
Slll
Пример
Q
33. б.
Найти интеграл
l =
! ~ dx.
~
Решение: Положим х = 2 sin t, dx = 2 cos t dt, t = arcsin ~. Тогда
l =
- 4 sin
! J 44sin
t
1
=!
. sin
2
2
t
2
2
sшt
=
с-
d
· 2 cost t=
t
dt =
. х2
arcsш
j
j -.dt-
4 cos 2 t d
4sin t
- -2- t=
2- sшt
j dt = - ctg t -
. х) С
ctg ( arcsш
2 = -
2
2
( ctgt = Vl-sin t = Jl-(~)
2
=
sint
~
J4-x2) .
254
х
t+С =
. х
arcsш
2-
v'4 х-
х2
•
33.4. Интегралы типа
JR(x; Jax
2
+ Ьх +с) dx
Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция от­
J ах 2 + Ьх + с.
носительно х и
драт и сделав подстановку х
Выделив под радикалом полный ква­
+ ;а = t, интегралы указанного типа
приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т. е. к интегралам
типа
J
R(t; Ja 2
-
t 2 ) dt,
J
R(t; Ja 2
+ t 2 ) dt,
J
R(t; Jt 2
-
а 2 ) dt. Эти ин­
тегралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометри­
ческих подстановок.
Пример 33. 7. Найти интеграл I
=
f vx
2
(х
+2x-4
+ l)3 dx.
= (х+ 1) 2 -5, то х+ 1 = t, х = t-1, dx =
= dt. Поэтому I = ~
dt. Положим t = Д dt = -'\/'5 ·2cos z dz
t
sшz'
sin z
'
Q
Решение: Так как х 2 +2х-4
J
z = arcsin ~.
t
J =
Тогда
JJsг!тz - 5 . (-'\/'5)
cos z dz = - -1- Jcos z dz =
sin z
= _ 2._ · ~ J(1 + cos 2z) dz = - J5 (z + ~ sin 2z) +С =
J5 2
10
2
2
~
у'5"
2
s1n z
. J5
= -J5
- (arcsш10
=
t
1 . (2 arcsш. ./5)) + с =
+ -sш
2
J5 (arcsш
. хJ5
. (2 arcsшX+i
. J5 ) ) + с =
-10
+ 1 + 21sш
__ v'5" ( . J5 v'5 · ./х 2 + 2х - 4) С
-
10 arcsш х + 1 +
Заме'Ч,ание: Интеграл типа
JJ
дить с помощью подстановки х =
33.5.
t
х
t.
целесообразно нахо-
f хт ·(а+ Ьхп)Р dx (называемые интегралами от
аифферен.циалъиого бшюма), где а, ь
-
dx
ах2 +Ьх+с
8
+ ·
Интегрирование АИфференциального бинома
Интегралы типа
р
(х + 1) 2
-
действительные числа;
m,
п,
рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в
255
случае, когда хотя бы одно из чисел р, m
+ 1 или
п
m
+ 1 + р является
п
целым.
Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следу­
ющими подстановками:
1) если р -
целое число, то подстановка х = tk, где k шее общее кратное знаменателей дробей m и п;
2) если m
наимень­
+ 1 - целое число, то подстановка а+ Ьхп = t где s 8 ,
п
знаменатель дроби р;
3) если m
где
+ 1 + р - целое число, то подстановка а + ьхn =
п
знаменатель дроби р.
s-
Во всех остальных случаях интегралы типа
xn . t 8 ,
Jxm(a + Ьхп)р dx
не выражаются через известные элементарные функции, т. е. «не бе­
рутся».
Пример 33.8. Найти интеграл I
Q
=
J Vvx+1
- vГх dx.
Решение: Так как
то m = _ l п = 1 р = 1 m + 1 = 2 Поэтому делаем подстановку
2'
4'
3'
п
.
4
3
3
3
VX + 1 = t , х = (t - 1) , dx = 4(t - 1) 3 · 3t2 dt, t = tГх + 1. Таким
V
образом,
I =
J
(tЗ
t
- 1)2
t7
= 12 · 7
§ 34.
· 12t2 (t 3 -1) 3 dt=12j(t 6 -t 3 )dt =
-
t4
12 · 4 +С=
12
7
7( Vx + l)З
- 3 · ( Vx
4
+ 1)3
+С.
8
«БЕРУЩИЕСЯ» И «НЕБЕРУЩИЕСЯ»
ИНТЕГРАЛЫ
Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций зна­
чительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда
выбранный путь интегрирования является наилучшим, более корот­
ким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не един­
ственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих
искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тре­
нированности. Например,
J~ можно найти, не используя рекосоs
х
256
мендуемую подстановку
=j (cos
!~
cos х
6
=
1
J(-cos
2-
х
tg х
= t, а применив искусственный прием:
x+sin 2 x) 2 dx=
cos6 х
tg 2 х
tg 4 х )
+ 2-dx
2- + -cos х cos2 х
2
= tgx + -32 tg3 х + -51 tg5 х +С.
Вряд ли стоит вычислять интеграл
d
Jх(х3х 2 +4х+1
+ 2х + 1) х,
2
разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби:
Зх 2 + 4х + 1
С
- - - - - -А + -В- + - х(х + 1) 2 - х
х+1
(х + 1) 2 •
+2х+1)
Заметив, что числитель Зх 2 + 4х + 1 является производной знаменателя
Зх 2 +4х+1
х(х 2
х(х 2
+ 2х + 1) = х 3 + 2х2 + х, легко получить:
J Зх ++ 4х ++
2
х(х 2
2х
1 dх= j d(x 3 + 2х 2 + х) =nx+x+x+.
I С
1 I з 2 2
1)
х 3 + 2х 2 + х
На практике при вычислении неопределенных интегралов исполь­
зуют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто
встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных
интегралов» М. Л. Смолянского.
Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях
вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функ­
цию для подынтегральной функции.
Как известно, всяка.я неnреривна.я функv,ия имеет первообразную.
В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции
f(x) является также элементарной функцией, говорят, что j f(x) dx
«берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции
(или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через
элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берется» (или
«его найти нельзя»).
Так, например, нельзя взять интеграл j ,/Х · cosxdx, так как не
существует элементарной функции, производная от которой была бы
равна
,/Xcosx.
Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, ко­
торые имеют большое значение в приложениях:
Jе-х dx - интеграл Пуассона (теория вероятностей),
J iC:x - интегральный логарифм (теория чисел),
2
257
Jcosx dx, Jsinx dx - интегралы Френеля (физика),
Jsi~ х dx, Jсо; х dx - интегральные синус и косинус,
Jе; dx - интегральная показательная функция.
2
2
Первообразные от функции е-ж 2 , cosx2 , -11 и других хорошо из­
nх
учены, для них составлены подробные таблицы значений для различ­
ных значений аргументах.
Глава
1
Vlll.
....
ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ
Лекции 29-331
§ 35. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ
ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ
Пусть функция у
= f(x)
определена на отрезке [а; Ь], а
<
Ь. Вы­
полним следующие действия.
1.
С помощью точек Хо= а, Х1, Х2,
... ,
Хп
= Ь (хо< Х1 < ... < Хп)
разобьем отрезок [а, Ь] на п 'Части·ч:них отрезков [х 0 ; х 1 ], [х 1 ; х 2 ], .••
... ,[Xn-1,xn] (см. рис. 166).
х
Cn
О
а=хо
х1
х2
Xi-1
Рис.
Xi
166
=
2. В каждом частичном отрезке [xi-liXi], i
1,2, ... ,п выберем
произвольную точку Ci Е [xi-1; Xi] и вычислим значение функции в
ней, т. е. величину f(ci)·
3. Умножим найденное значение функции f(ci) на длину дхi =
= Xi - Xi-1 соответствующего частичного отрезка: f(ci) · дхi.
4.
Составим сумму
Sn = f(с1)дх1
~
Сумма вида
у
= f(x)
всех таких произведений:
n
+ f(с2)дх2 + ... + f(сп)дхп =
(35.1)
>.
2: f(ci)дxi.
(35.1)
i=l
называется ин.mеграл:ьн.оii. суммоii. функции
на отрезке [а; Ь]. Обозначим через
частичного отрезка:
5.
Sn
,\
длину наибольшего
= max дхi (i = 1, 2, ... , п).
Найдем предел интегральной суммы
(35.1),
когда п
-+
оо так,
что,\-+ о.
~
Если при этом интегральная сумма
Sn
имеет предел
1,
который не
зависит ни от способа разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрез­
ки, ни от выбора точек в них, то число
интегралом от функции у
= f(x)
1
называется определен.ним
на отрезке [а; Ь] и обозначается
ь
Jf(x)dx. Таким образом,
а
ь
!
а
п
f(x) dx =
lim ~ f(ci)дxi.
n--+oo .l...J
(Л--+0)
259
i=l
(35.2)
~
Числа а и Ь называются соответственно ни:нсним и верхним
пределами
функциеii.,
интегрирования,
f(x)
nодынmегра.л.ьноlt
-
nодынтегральним выр(};)fСением, х
f(x) dx -
менноii. интегрирования, отрезок [а; Ь]
-
nере­
областью (отрезком)
-
интегрирован'ШI.
~
Функция у=
f(x),
для которой на отрезке [а; Ь] существует опреде­
ь
Jf(x) dx, называется интегрuруемоii. на этом
ленный интеграл
а
отрезке.
Сформулируем теперь теорему существования определенного ин­
теграла.
Теорема
35.1
(Коши). Если функция у=
f(x)
непрерывна на отрез­
ь
ке [а; Ь], то определенный интеграл
Jf(x) dx существует.
а
Отметим, что непрерывность функции является достаточным ус­
ловием ее интегрируемости. Однако определенный интеграл может су­
ществовать и для некоторых разрывных функций, в частности для вся­
кой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число
точек разрыва.
У кажем некоторые свойства определенного интеграла, непосред­
ственно вытекающие из его определения
1.
(35.2).
Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной
интегрирования:
j
ь
ь
f(x) dx
=
а
ь
Jf(t) dt = j f(z) dz.
а
а
Это следует из того, что интегральная сумма
но, и ее предел
(35.2)
(35.1), а следователь­
не зависят от того, какой буквой обозначается
аргумент данной функции.
2.
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегриро-
вания равен нулю:
а
jf(x)dx=O.
а
3. Для любого действительного числа с:
j
а
260
ь
cdx =с· (Ь - а).
§ 36. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Площадь криволинейной трапеции
~
зу
Пусть на отрезке [а; Ь] задана непрерывная функция у= f(x) ~О.
Фигура, ограниченная сверху графиком функции у
f( х), сни­
=
-
осью Ох, сбоку
-
прямыми х =а их= Ь, называется криво.11,и­
н.еti.н.011. mpaneцueti.. Найдем площадь этой трапеции.
у
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
•С2
О а=хо
1
1
1
1
•Cn
х1 х2
Х;
Xi-1
Xn-1
Х
b=Xn
167
Рис.
Для этого отрезок [а;Ь] точками а= х 0 ,х 1 , ••• ,Ь
= Хп (хо<
разобьем на п частичных отрезков [хо; х1], [х1; х2], ...
... ,[Xn-1;xn]· (см. рис. 167). В каждом частичном отрезке [xi-1;xi]
< Х1 < ... < Хп)
(i = 1, 2, ... , п)
возьмем произвольную точку Ci и вычислим значение
функции в ней, т. е.
f(ci)·
Умножим значением функции f (ci) на длину дхi
ветствующего частичного отрезка. Произведение f(ci)
щади прямоугольника с основанием дхi и высотой
= Xi -
Xi-1 соот­
· дхi равно пло­
f(ci)· Сумма всех
таких произведений
n
f (с1)дх1 + /(с2)дх2 + ... + f(сп)дхп
=
L f(ci)дxi = Sn
i=l
равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади
S
криволинейной трапеции:
n
S ~ Sn =
L f (ci) · дхi.
i=l
С уменьшением всех величин дхi точность приближения криволиней­
ной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы
увеличиваются. Поэтому за точное значение площади
ной трапеции принимается предел
ступенчатой фигуры
>. =
Sn,
S,
S криволиней­
к которому стремится площадь
когда п неограниченно возрастает так, что
шах дхi -t О:
n
S = n---roo
lim Sn
= n-+oo
lim
(Л-+0)
'°' f(ci)дxi,
~
i=l
ь
то есть S
J
= f (х) dx.
а
261
Итак, определенн'ЫiL интеграл от неотрицателъноii, функции -ч.и­
сленно равен площади криволинеiLноii, трапеции.
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается под действием си­
лы
F,
направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину
F = F(x), где х -
абсцисса движущейся точки М.
Найдем работу А силы
из точки х
=
=
а в точку х
F по перемещению
точки М вдоль оси Ох
< Ь). Для этого отрезок [а; Ь] точ­
< х1 < ... < Хп) разобьем на п
= Ь (а
=
ками а
Хо, Х1, ... , Ь
Хп (хо
частичных отрезков [хо; х1], [х1; х2], ... , [Хп-1; Хп]· Сила, действующая
на отрезке [xi-1;xi], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка
дхi =
Xi -
Xi-l достаточно мала, то сила
F
на этом отрезке изме­
няется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и
равной значению функции
х = Ci Е
F = F(x) в произвольно выбранной точке
Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке
равна произведению F (Ci) · дхi. (Как работа постоянной силы
[xi-1;xi]·
[xi-l; Xi],
F(ci) на участке [xi-1; xi].)
Приближенное значение работы А силы
F
на всем отрезке [а; Ь]
=
L F(q)дx;.
есть
п
А
::::J
F(с1)дх1
+ F(с2)дх2 + ... + F(cn)дxn
(36.1)
i=l
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина дхi. По­
этому за точное значение работы А принимается предел суммы
при условии, что наибольшая длина
к нулю:
>.
n
А
= lim L F(ci)дxi =
Л-tО
i=l
Итак, работа переменноii, сил'Ы
(36.1)
частичных отрезков стремится
Ь
J
F(x) dx.
а
вели-ч.ина котороii, естъ непреръtвна.я
F,
функция,
F = F(x), деiLствующеii, на отрез-х:е [а; Ь], равна опреаеленно­
му интегралу от вели-ч.ин'Ы F(x) силы, взятому по отрезку [а; Ь].
В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Аналогично можно показать, что путь
промежуток времени от
от скорости
t =
а до
v(t):
S,
пройденный точкой за
Ь, равен определенному интегралу
t =
ь
В=
f
v(t)dt;
а
масса т неоднородного стержня на отрезке [а; Ь] равна определенному
ь
интегралу от плотности 1(х): т =
J1(х)
а
262
dx.
§ 37. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Пусть функция у=
Теорема
37.1.
f(x)
интегрируема на отрезке [а; Ь].
Если функция у=
непрерывна на отрезке [а; Ь] и
f(x)
какая-либо ее первообразная на [а;Ь]
F(x) -
место формула
j
(F'(x)
= f(x)), то имеет
ь
= F(Ь) -
f(x) dx
F(a).
(37.1)
а
Q
= хо, Х1, ... , Ь =
Разобьем отрезок [а; Ь] точками а
... <
Хп) на п частичных отрезков [хо; х1], [х1; х2],
это показано на рис.
Хп (хо
< Х1 < ...
... , [Xn-li Хп],
как
168.
х
Рис.
168
Рассмотрим тождество
F(b) - F(a) = F(хп) - F(xo) = (F(хп) - F(Хп-1))+
+ (F(хп-1) -
F(хп-2))
+ · · · + (F(x2) - F(x1)) + (F(x1) - F(xo)).
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа
f(Ь)
=/'(с)· (Ь
- f(a)
-
а).
Получим
F(b) - F(a) = F'(cn) · (хп - Хп-1)
· · · + F (c2) · (х2 1
х1)
+ F'(сп-1) · (Хп-1 -
+ F (c1)(x1 1
т. е.
хо)=
Хп-2)
+ ...
п
п
i=l
i=l
L F'(ci)дxi = L f(ci)дxi,
п
F(Ь) - F(a) =
L f (ci)дxi,
(37.2)
i=l
где Ci есть некоторая точка интервала (xi-liXi)· Так как функция
у = f(x) непрерывна на [а; Ь], то она интегрируема на [а; Ь]. Поэтому
существует предел интегральной суммы, равный определенному инте­
гралу от f(x) на [а; Ь].
Переходя в равенстве
(37.2)
чаем
к пределу при
п
F(b) - F(a)
>. = max дхi -+ О,
= lim L f(ci)дx;,
Л-70
263
i=l
полу-
т. е.
ь
F(Ь) - F(a) =
Jf(x) dx.
•
а
~
Равенство
называется форму.л,оii, Ньюmона-Леii.бнии,а.
(37.1)
Если ввести обозначение F(Ь) - F(a)
тона-Лейбница
(37.1)
= F(x) 1:, то формулу
Нью­
можно переписать так:
ь
J
f(x)dx
= F(x)I:.
а
Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления опре­
деленного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от не­
прерывной функции
функцию
F(x)
f(x)
на отрезке [а; Ь], надо найти ее первообразную
и взять разность F(Ь)
- F(a)
значений этой первообраз­
ной на концах отрезка [а; Ь].
Например,
3
Jх2 dx = х; 1~ = 9 - О = 9,
о
а
2
!
dx - larctg!f.1 2
4 + х2 - 2
2 -2
l(к
_(-к))
2 4
4
-
-- 1L4 ·
-2
Пример
Вычислить интеграл
37.1.
JJ1 + ~os 2х dx.
1r
о
Q
Решение:
'lr
/
J+
1
cos 2х
2
dx =
о
J'lr vcos
г-;:;J'lr 1cosxl dx =
2 xdx =
о
2"
=
о
Jcosxdx + J(-cosx) dx = sinxl! + (-sinx)I; = 1+1 = 2.
1r
о
8
~
е2
Пример 37.2. Вычислить интеграл
е2
Q
Решение:
!
dx
- 1х nx
= ln lln xl
е2
1
е
= ln 2 -
е
264
J х1: х.
ln 1 = ln 2.
•
§ 38. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая
подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [а; Ь]. При вы­
воде свойств будем использовать определение интеграла и формулу
Ньютона-Лейбница.
1. Если с -
постоянное "Ч.uсло и функция
[а;Ь], то
ь
интегрируема на
f(x)
ь
Jc·f(x)dx=c· Jf(x)dx,
а
(38.1)
а
т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного
интеграла.
Q
Составим интегральную сумму для функции с·
п
п
i=l
i=l
f(x). Имеем:
L с· f(ci)дxi =с· L f(ci)дxi.
п
Тогда
вытекает, что функция с·
формула
(38.1).
Если функции
2.
ь
J
п
lim Е с · f(x)дxi
n-+oo i=l
fi (х)
· lim Е f(ci) = с·
f(x) dx. Отсюда
n-+oo i=l
f(x) интегрируема на [а;Ь] и справедлива
•
с
а
и
интегрируемы на [а; Ь], тогда инте­
f2(x)
грируема на [а; Ь] их сумма и
ь
ь
ь
J(/1 (х) + f2(x)) dx Jfi (х) dx + J!2(х) dx,
=
а
а
(38.2)
а
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
ь
п
lim °"'U1(ci)
+ /2(ci))дxi =
! (!1(х) + f2(x)) dx = n-+oo
L....,,
i=l
а
п
п
°"'
= n-;oo
lim L....,, fi(ci)дxi
i=l
Свойство
2
°"'
i=l
+ n-+oo
lim L....,, f2(ci)дxi
а
Jf(x) dx Jf (х) dx.
= -
а
=
ь
Jfi(x) dx + Jf2(x) dx.
а
•
а
распространяется на сумму любого конечного числа
слагаемых.
Ь
3.
ь
Ь
265
Это свойство можно принять по определению. Это свойство также
подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.
Ь
а
Jf(x) dx = F(b) - F(a) = -(F(a) - F(b)) = - Jf(x) dx.
а
Ь
4. Если функция. f(x) интегрируема на [а; Ь] и а< с< Ь, то
ь
с
ь
Jf(x) dx Jf(x) dx + Jf(x) dx,
(38.3)
=
а
а
~
с
т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям
этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью опреде­
ленного интеграла (или свойством адцитивности).
Q
При разбиении отрезка [а; Ь] на части включим точку с в число точек
деления (это можно сделать ввиду независимости предела интеграль­
ной суммы от способа разбиения отрезка [а; Ь] на части). Если с= Xm,
то интегральную сумму можно разбить на две суммы:
n
m
n
i=l
i=l
i=m
L f(ci)дxi = L f(ci)дxi + L f(ci)дxi.
Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно
для отрезков [а; Ь], [а; с] и [с; Ь]. Переходя к пределу в последнем равен­
стве при п-+ оо (Л-+ О), получим равенство
Свойство
8
(38.3).
4 справедливо при любом расположении точек а, Ь, с (счи­
f(x) интегрируема на большем из получающихся
таем, что функция
отрезков).
Так, например, если а
< Ь < с,
с
то
ь
с
Jf(x) dx = Jf(x) dx + Jf(x) dx.
а
а
Ь
Отсюда
ь
с
с
с
ь
Jf(x) dx = Jf(x) dx - Jf(x) dx = Jf(x) dx + Jf(x) dx
а
а
Ь
(использованы свойства
5.
4
и
а
с
3).
«Теорема о среднем». Если функv,м
[а; Ь], то существует mо'Чка с Е [а;
bJ
ь
f (х)
Jf(x) dx"- = f(c) · (Ь - а).
а
266
непрерывна на отрезке
такая, 'Что
О По формуле Ньютона-Лейбница имеем
ь
Jf(x) dx = F(x) 1~ = F(Ь) - F(a),
а
где
F'(x)
= f(x).
Применяя к разности
F(b) - F(a)
теорему Лагранжа
(теорему о конечном приращении функции), получим
F(b) - F(a) = F'(c) · (Ь- а)= f(c) · (Ь - а).
Свойство
при
f(x)
(«теорема о среднем»)
5
•
У
~ О имеет простой геометриче­
ский смысл: значение определенного ин­
теграла равно, при некотором с Е (а; Ь),
площади прямоугольника с высотой
и основанием Ь
f (с)
а (см. рис.
-
1
Ь _а
=
169).
f(c)
Число
ь
Jf (х) dx
о
а
с
Рис.
а
~
называется средним зна-чением функции
6.
Если фуикцw~
f(x)
f(x)
ь
х
169
на отрезке [а; Ь].
сохрамет знак иа отрезке [а; Ь], где а
< Ь,
ь
Jf(x) dx имеет тот же зиак, 'Что и фупкцw~. Так, если
f (х) ~О на отрезке [а; Ь], то Jf (х) dx ~ О.
то интеграл
а
ь
а
О По «теореме о среднем» (свойство
5)
ь
Jf(x) dx = f(c) · (Ь - а),
а
где с Е [а; Ь]. А так как
f(x)
~ О для всех х Е [а; Ь], то и
f(c)
~ О,
Ь
-
а
> О.
ь
Поэтому !(с)· (Ь - а) ~ О, т. е.
Jf(x) dx ~ О.
•
а
7.
(а
то
<
j
а
Неравенство между пеnрер'Ывnыми фуикцw~ми па отрезке [а; Ь],
Ь) можно иитегрироватъ. Так, если
ь
fi(x) dx ~
j
ь
f2(x) dx.
а
267
fi (х)
~
f 2 (x)
при х Е [а; Ь],
О Так как
f2(x) - fi(x);:: О, то при а< Ь, согласно свойству б, имеем
ь
J(f2(x) - fi(x)) dx;:: О.
а
Или, согласно свойству
ь
2,
ь
ь
Jf2(x) dx - Jfi(x) dx;:: О,
а
ь
Jfi(x)dx ~ Jf2(x)dx .
т. е.
а
а
•
а
Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.
8.
Оценка интеграла. Если т и М
и наибольшее эна'Чения функv,ии у=
- соответственно наименьшее
f(x) на отрезке [а;Ь], (а< Ь), то
ь
т(Ь - а)~
Jf(x) dx ~ М(Ь - а).
(38.4)
а
О Так как для любого х Е [а; Ь] имеем т ~
свойству
7,
имеем
f(x) ~ М, то, согласно
ь
ь
ь
Jmdx ~ Jf(x) dx ~ JМ dx.
а
а
а
Применяя к крайним интегралам
свойство
5,
получаем
ь
т(Ь-а) ~
Рис.
Jf(x) dx ~ М(Ь-а). •
Если f~x)
170
;:: О, то свойство 8
иллюстрируется
геометрически:
площадь криволинейной трапеции заключена между площадями пря­
моугольников, основание которых есть [а; Ь], а высоты равны т и М
(см. рис.
9.
170).
Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от
модуля подинтегральноft функv,ии:
1! /(х) d+> j 11(х)1
а < Ь.
dx;
О Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам
~
lf(x)I,
-1/(x)I
~ f(x) ~
получаем
ь
ь
ь
-Jlf(x)I dx ~ Jf(x) dx ~ Jlf(x)I dx.
а
а
а
Отсюда следует, что
1! /(х) dxl " j11(х)1 dx.
268
•
10.
Производная определенного интеграла по переменному верхне­
му пределу равна под'Ынтегралъноii, функ'Ции, в котороii, переменна.я.
интегрирования заменена этим пределом, т. е.
(!
Q
f (t)
dt) ~ ~ f (х).
По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Jf(t) dt = F(t)I: = F(x) - F(a).
х
а
Следовательно,
(!
/(t)
dt) ~ ~ (F(x) - F(a))~ ~ F'(x) - О~ f(x).
8
Это означает, что определенныii, интеграл с переменн'Ым верхним
пределом естъ одна из первообразн'Ых под'Ынтегралъноii, функ'Ции.
§ 39.
39.1.
ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Формула Ньютона-Лейбница
Простым и удобным методом вычисления определенного интегра­
ь
ла
j f(x) dx
от непрерывной функции является формула Ньютона-
а
Лейбница:
ь
j f(x) dx = F(x)I: = F(b) -
F(a).
а
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найде-
на первообразная функции
F(x)
для подынтегральной функции
f(x).
71"
Например,
j sinxdx = -
cosxj~ = -(cosn - cosO) = 2.
о
При вычислении определенных интегралов широко используется
метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
39.2.
Интегрирование подстановкой
(заменой переменной)
Пусть для вычисления интеграла
j
а
ции сделана подстановках=
cp(t).
269
ь
f(x) dx от непрерывной функ­
Теорема
39.1.
функция х
1)
Если:
= cp(t)
и ее производная х'
= 1.p'(t)
непрерывны при
t Е [а; ;J);
множеством значений функции х
2)
= cp(t) при t Е [а, ;JJ является
отрезок [а; Ь];
ср(а) =а и
3)
Ь,
cp(;J) =
то
j
ь
/3
f(x) dx
=j
f(cp(t)) · cp'(t) dt.
(39.1)
а
О Пусть
F(x)
есть первообразная для
формуле Ньютона-Лейбница
j
f(x)
на отрезке [а; Ь]. Тогда по
ь
f(x) dx
=
F(Ь) - F(a). Так как
а
(F(cp(t))' = f (cp(t)) ·ер' (t), то F(cp(t)) является первообразной для функции f(cp(t)) · cp'(t), t Е [a;;J]. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница
имеем
/3
j
f(1.p(t)) · 1.p'(t) dt = F(cp(t))i~ = F(cp(;J)) - F(cp(a)) =
а
= F(Ь) - F(a) =
j
Ь
f(x) dx.
•
а
Формула
(39.1)
называется формулоii, заменъt nеременноii, в опре­
деленном интеграле.
Отметим, что:
1)
при вычислении определенного интеграла методом подстановки
возвращаться к старой переменной не требуется;
2)
часто вместо подстановки х
= cp(t)
применяют подстановку t
=
= g(x);
3)
не следует забывать менять пределы интегрирования при замене
переменных!
J
2
При.мер 39.1. Вычислить
x 2 J4 - х 2 dx.
о
Решение: Положим х = 2 sin t, тогда
t =О; если х = 2, то t =~-Поэтому
Q
1Г/2
2
j J
х2
о
dx = 2 cos t dt.
4 - х 2 dx =
j
4 sin2 tV4 - 4 sin 2 t · 2 cos t dt =
о
270
Если х
= О, то
1Г /2
= 16
1Г /2
1
2
2
2
о
о
о
= 2(t1; 12 39.3.
7r /2
J sin tcos tdt = 16 J 4 sin 2tdt = 4 J ~(1- cos4t) dt =
~ sin4tl;12 )
=
2(~ - О)= 1Г.
8
Интегрирование по частям
Теорема
Если функции и= и(х) и
39.2.
v = v(x)
имеют непрерыв­
ные производные на отрезке [а; Ь], то имеет место формула
ь
J
udv
ь
= иvl~ -
а
Q
Jvdu.
(39.2)
а
На отрезке [а;Ь] имеет место равенство (uv)' = и'v
вательно, функция
u'v + uv'.
uv
+ uv'.
Следо­
есть первообразная для непрерывной функции
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
ь
J(u'v + uv') dx
=
иvl:.
а
Следовательно,
ь
ь
Jv · u dx + Juv' dx = иvl: ===*'
1
а
а
ь
===*'
ь
ь
Jvdu + Judv = иvl~ ===*' Judv = иvl: - Jvdu.
а
а
Формула
ь
(39.2)
а
называется формуло11. интегрирования по 'Частям
для определенного интеграла.
Jxlnxdx.
е
Пример З9.2. Вычислить
1
Q
8
а
Решение: Положим
и= lnx
du =
[
~dx]
2
dv = xdx
V -
-
271
iL
2
.
Применяя формулу
е
l
(39.2),
получаем
е
2
xlnxdx
1
1
2
=~
· lnxle1 - / ~
· -dx =
2
2 х
1
е2
1 x2
= 2 - О - 2 ·2
le
1
е2
е2
1
1
= 2 - 4 + 4 = 4(е 2 + l).
8
Jxsinxdx.
1Г
Пример 39.3. Вычислить интеграл
о
Q
Решение: Интегрируем по частям. Положим
[ и= х
dv
du = dx
]
= - cosx ·
==}
= sinxdx
v
==}
Поэтому
Jcosxdx = -'IТ
1Г
J = -xcosxl~
+
·
(-1) +О+ sinxl; = 'IТ.
8
о
39.4.
Интегрирование четных и нечетных функций
в симметричных пределах
Пусть функция
f(x)
непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном
относительно точки х =О. Докажем, что
!а
!(х)
dx =
-а
Q
{2 ·
J
если !(х) - четная функция,
f(x) dx,
0
О,
если
(39.3)
нечетная функция.
f(x) -
Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; О] и [О; а]. То­
гда по свойству аддитивности
а
О
а
J f(x) dx = J f(x) dx + Jf(x) dx.
-а
-а
В первом интеграле сделаем подстановку х
О
(39.4)
О
О
= -t.
Тогда
а
а
J f (х) dx = - Jf(-t) dt = JJ(-t) dt = Jf (-х) dx
-а
а
О
О
(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения
переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству
(39.4),
полу-
чим
J f(x) dx = J!(-х) dx + Jf(x) dx = J(f(-x) + f(x)) dx.
а
-а
а
О
а
а
О
О
272
(39.5)
Если функция
если функция
f(x) четная (f(-x) = f(x)), то f(-x) + f(x) = 2/(х);
f(x) нечетная (f(-x) = - f(x)), то f(-x) + f(x) =О.
Следовательно, равенство
(39.5)
принимает вид
(39.3).
•
Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не произ­
водя вычислений, сказать, что
J
3
J е-х
7Г
cos 2
х·
sin3
xdx =О,
•
sinxdx =О.
-3
-7Г
§ 40.
2
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ь
Определенный интеграл
Jf(x) dx, где промежуток интегрироваа
ния [а; Ь] конечный, а подынтегральная функция
f(x)
непрерывна на
отрезке [а; Ь], называют еще собствен:ным интегралом.
~
Рассмотрим так называемые несобсmвен:ные интегралы, т. е.
определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконеч­
ным промежутком интегрирования или определенный интеграл с ко­
нечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем
бесконечный разрыв.
40.1.
Интеграл с бесконечным промежутком
интегрирования (несобственный интеграл
Пусть функция
f (х)
1 рода)
непрерывна на промежутке [а; +оо). Если
ь
Jf(x) dx, то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают J f(x) dx.
существует конечный предел lim
Ь-++оо
+оо
а
а
Таким образом, по определению
+оо
!
Ь
f(x) dx = lim
Ь-++оо
а
Jf(x) dx.
а
В этом случае говорят, что несобственный интеграл
+оо
J f(x) dx схо-
а
дитс.я. Если же указанный предел не существует или он бесконечен,
то говорят, что интеграл
+оо
J f(x) dx расходится.
а
273
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке
(-оо; Ь]:
ь
ь
а_!}~00 j J(x) dx.
f (х) dx =
j
-оо
а
Несобственный интеграл с двумя бесконеч­
у
ными пределами определяется формулой
+оо
j
с
f(x) dx =
а
f(x) dx
+
-оо
-оо
О
j
+оо
J f(x) dx,
с
х
Рис.
где с
171
произвольное число. В этом случае
-
интеграл слева сходится лишь тогда, когда
сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функ­
+оо
ция f(x) ~ О на промежутке [а; +оо) и интеграл j
f(x) dx сходит-
а
ся, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной тра-
пеции (см. рис.
Пример
171).
Вычислить несобственные интегралы или устано-
40.1.
+оо
вить их расходимость: 1) j
О
~; 2) j
1
Q Решение:
+оо
1)
j
Ь-++оо
1
о
j
Ь
Jx- dx
2
= -
lim
11
Ь-++оо Х
1
интеграл сходится;
2)
J ~ж
cosxdx; 3)
-оо
~ = lim
Х
оо
Ь
1
=-(О- 1) = 1,
о
cosxdx =
lim jcosxdx =
a---t-oo
-оо
lim sinxl 0 =О -
a---t-oo
а
lim sina,
a--t-oo
а
интеграл расходится, так как при а-+ -оо предел
lim sina
не суще­
а-+-оо
ствует.
ь
00
3)
j
1
dx
Х
=
lim
Ь-+оо
Jdx =
Х
lim lnb
Ь-+оо
= оо, интеграл расходится.
8
1
В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; до­
статочно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.
274
Теорема
40.1
(признак сравнения). Если на промежутке [а; +оо)
непрерывные функции
f(x)
и <р(х) удовлетворяют условию О~
f(x)
~
+оо
J <р(х) dx следует сходимость
интеграла J f(x) dx, а из расходимости интеграла J f(x) dx еледует расходимость интеграла J <р(х) dx.
~ <р(х), то из сходимости интеграла
а
+оо
+оо
а
а
+оо
а
J
00
Пример 40.2. Сходится ли интеграл
~х
+ зх).?
х 2 (1
1
J rl..xx = 1
00
Решение·. При х .~. ._ 1 имеем
f'I.
'-J
х 2 (1
1
+ зх)
< _,,.xl
. Но интеграл
-~
-~
1
!
00
сходится.
с ледовательно, интеграл
х2
(ldx
+ зх)
также сходится
(и его
•
1
значение меньше
1).
Теорема 40.2. Если существует предел lim
(J(x) >О и <р(х) >О), то интегралы
О < k < оо
= k,
f((x))
х-+оо 'Р х
Jf(x) dx и J<р(х) dx одновре00
а
00
а
менно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в
смысле сходимости).
Пример 40.З. Исследовать сходимость интеграла
+оо
J
1
+оо
Q
Решение: Интеграл
+оо
!
!
2
ln х
х2
2
ln х 2 + 2 dx.
х +1
+ 2 dx сходится, так как интеграл
+1
~ сходится и
1
1n х~+2
х +1
.
11m
=
х-++оо
~
1n ( 1 + х2+1
1 )
.
=
1
х-++оо
~
l1m
275
.
1lffi
х-++оо
1
х2+1
-1~
= 1.
•
40.2. Интеграл от разрывной функции
(несобственный интеграл 11 рода)
Пусть функция
f(x)
непрерывна на промежутке [а; Ь) и имеет бес­
конечный разрыв при х
=
Ь.
Если существует конечный предел
Ь-с:
J f(x) dx, то его называют несобствен:н:ы.м интегралом второго
рода и обозначают Jf(x) dx.
lim
c:--tO
.
а
Ь
а
Таким образом, по определению,
Ь
Ь-е
lim
/ f(x) dx = е-+0
J
а
а
f(x) dx.
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл
ь
Jf(x) dx сходите.я. Если же указан:ый предел не существует или бес~онечен, то говорят, что интеграл Jf(x) dx расходится.
а
Аналогично, если функция /(х)
у
терпит бесконечный разрыв в точке
х
=
а, то полагают
ь
ь
lim
/ f(x) dx = е-+0
а
. . ..............
' ...... . . . . . . . . . .. . .
................................ .. .. .. .- ...
...
. ........................
......... ... .. .................. ......
.
.
......
. . .. . . ... . . . ... .. ... .
о
а
Ь-с:
Рис.
J f(x) dx.
а+е
Если функция
J(x)
терпит разрыв во
внутренней точке с отрезка [а; Ь], то не­
собственный
х
интеграл
второго
рода
определяется формулой
172
ь
J
f(x) dx =
а
с
ь
j f(x) dx + Jf(x) dx.
а
с
В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несоб­
ственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
В случае, когда
j
f(x)
>
О, несобственный интеграл второго рода
ь
f(x) dx (разрыв в точке х = Ь) можно истолковать геометрически как
а
площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис.
Пример 40.4. Вычислить
1
J;-.
о
276
172).
Q Решение: При х = О функция у = .Ь терпит бесконечный разрыв;
х
1
!
1
J x- dx=-lim!l
dx2 =lim
х
О
=-(1-lim~)
=оо,
е--+0 с
1
е--+0 Х О+е
2
е--+0
О+е
•
интеграл расходится.
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегра­
лов второго рода.
Теорема
40.3.
Пусть на промежутке [а;Ь) функции
прерывны, при х
=Ь
f(x)
и
ip(x)
не­
терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют
ь
Jip(x) dx вы-
условию О ~ f(x) ~ ip(x). Изь сходимости интеграла
Jf (х) dx, а из расходимости интеграла
Jf(x) dx вытекает расходим;сть интеграла Jip(x) dx.
текает сходимость интеграла
ь
ь
а
а
Теорема
40.4.
Пусть функции
жутке [а; Ь) и в точке х
lim
х--+Ь
ftx~
Х
rp
= k,
О<
k<
f(x)
= Ь терпят
и
ip(x)
непрерывны на проме­
разрыв. Если существует предел
оо, то интегралы
ь
ь
Jf(x) dx и Jip(x) dx одно­
а
а
временно сходятся или одновременно расходятся.
1
J ~х
Пример 40.5. Сходится ли интеграл
sшх
?
о
Q Решение: Функция f(x)
1 - имеет на [О; 1] единственный разрыв
= -.SШХ
в точке х =О. Рассмотрим функцию ip(x) = 1. Интеграл
х
/1dx = lim /1
Х
е--+0
О
dx = lim lnxl 1
Х
е--+0
е
=О -
lim lnc
е--+0
О+е
расходится. И так как
1
то интеграл
J ~х
SШХ
. f (х) _ 1.
х
_ 1
1lШ--lШ--,
rp(x)
х--+О sinx
х--+О
также расходится.
о
277
•
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
§ 41.
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Схемы применения определенного интеграла
41.1.
Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или
физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жид­
кости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [а; Ь]
изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта вели­
чина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; Ь] точкой
с Е (а; Ь) на части [а; с] и [с; Ь] значение величины А, соответствующее
всему отрезку [а; Ь], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с]
и [с; Ь].
Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной
из двух схем:
I
схема (или метод интеграл:ьн:ых сумм) и П схема (или
метод дифференv,иала).
Первая
схема
базируется на определении определенного инте­
грала.
1. Точками х 0
= а, х 1 , . .• , Хп = Ь разбить отрезок [а; Ь]
на
n
частей.
В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на п
«элементарных слагаемых» дАi
...
(i = 1, ... , п):
А= ЛА 1
+
дА 2
+ ...
+ЛАп.
Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произ­
2.
ведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычи­
сленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:
ЛАi ~ f(ci)Лxi.
При нахождении приближенного значения ЛАi допустимы некото­
рые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стя­
гивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно
приближенно считать постоянной и т. д.
Получим приближенное значение величины А в виде интегральной
суммы:
п
А~ f(с1)дх1
3.
+ ... + f(сп)Лхп =
L f(ci)Лxi.
i=l
Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.
п
А=
JhIIJo
ь
L f(ci)дxi = Jf(x) dx.
а
(>.--tO) i=l
Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении инте­
грала как о сумме бескон,е-ч,ио большого числа бесконечно мал'ьtХ слага­
емых.
Схема
I
была применена для выяснения геометрического и физи­
ческого смысла определенного интеграла.
278
Втора.я схема представляет собой несколько видоизмененную схе­
му
и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания
I
бесконечно малых высших порядков»:
на отрезке [а; Ь] выбираем произвольное значение х и рассматри­
1)
ваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становит­
ся функцией х: А= А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины
А есть неизвестная функция А(х), где х Е [а; Ь]
-
один из параметров
величины А;
находим главную часть приращения ЛА при изменении х на
2)
малую величину дх
А
= dx, т. е. находим дифференциал dA функции
dA = f(x) dx, где f(x), определяемая из условия задачи,
А(х):
=
функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);
3)
считая, что
dA ~ ЛА при дх --+ О, находим искомую величину
dA в пределах от а до Ь:
путем интегрирования
А(Ь) =А=
j
ь
f(x) dx.
а
41.2. Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Как уже было установлено (см. «геометрический смысл опреде­
ленного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположен­
ной «выше» оси абсцисс
(! (х)
~ О), рав-
на соответствующему определенному ин-
У
тегралу:
S=
j
ь
f(x)dx
или S =
а
j
ь
ydx. (41.1)
AS.
S(x)
а
Формула
(41.1) получена путем приI - метода сумм. Обосну(41.1), используя схему П.
менения схемы
ем формулу
0
а
х
x+dx
ь х
Рис.
173
= f(x)
площади S
Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у
~ О,
х =а, х
этой
=
Ь, у =О (см. рис.
173).
Для нахождения
трапеции проделаем следующие операции:
1. Возьмем произвольное х Е [а; Ь] и будем считать, что S = S(x).
2. Дадим аргументу х приращение дх = dx (х + дх Е [а; Ь]). Функ­
ция S = S(x) получит приращение ЛS, представляющее собой площадь
«элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).
Дифференциал площади
при дх
нием
dx
--+
dS
есть главная часть приращения ЛS
О, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основа­
и высотой у:
dS
=у·
dx.
279
3.
Интегрируя полученное равенство в пределах от х
=
а до х
=
Ь,
ь
получаем S =
Jу dx.
а
Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже»
оси Ох
(f(x)
<О), то ее площадь может быть найдена по формуле
ь
S= -
у
f ydx.
(41.2)
а
Формулы
.........................
. ..........
. . . . . . . . . . .' ...........
. . . . . . . . . . . ..
y=f1(x)
О
а
ь
Рис.
(41.1)
и
можно
(41.2)
объединить в одну:
х
S=
174
1/
ydxl.
Площадь фигуры, ограниченной
кривыми у
мыми х =а их
=Ь
(при условии
f 2 (x)
~
= fi(x) и у = f2(x), пря­
/ 1 (х)) (см. рис. 174), можно
найти по формуле
ь
S
=
ь
ь
Jf2(x) dx - Jfi (х) dx = J(f2(x) - fi (х)) dx.
а
а
а
у
у
d •<•·.........
О
а
с
d
Рис.
х = <р(у)
о
ь х
175
х
Рис.
176
Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис.
175),
то
прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так,
чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
= с и у = d,
= ср(у) ~ О (см. рис. 176), то ее
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у
осью Оу и непрерывной кривой х
J
d
площадь находится по формуле S =
xdy.
с
280
И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривоiJ,, заданноiJ, параметри-чески
x(t),
{ ху == y(t),
t Е [а; ,8],
прямыми х =а их= Ь и осью Ох, то площадь ее находится по формуле
S~ 1! y(t)- х' (t) d+
где а и
определяются из равенств х(а) =а и х(,8)
,8
=
Ь.
у
у
ь
о
Рис.
При.мер
177
41.1.
Рис.
178
Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и
графиком функции у= х 2
Q
х
а
2х при х Е [О; 3].
-
Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Нахо­
дим ее площадь
S:
2
S= -
J(х
3
2
-
2х) dx +
о
2
-
2х) dx =
2
хз12
212 хзlз
о+ х о+ 3 2
= -з
Пример
псом х
J(х
41.2.
-
х
213
2
8
27
8
= -3 + 4 + 3- 3 -
9+4
8
2
= 3 = 2 3· •
Вычислить площадь фигуры, ограниченной элли­
= acost, у= bsint.
Q Решение: Найдем сначала
:! площади S. Здесь х изменяется от О
до а, следовательно, t изменяется от~ до О (см. рис. 178). Находим:
о
~S=
/
7Г
о
bsint· (-asint)dt= -аЬ
/2
J sin tdt=
2
1Г/2
281
= -аЬ
2
Таким образом,
J (1-cos2t)dt
~12
о
ь
1 .
= -а ( tj ~ - -sш2t
2
о
2
J
~
ь
2)
7ra.
= 4
о
!s = 1Г~Ь. Значит, S = 7rab.
•
Полярные кооминаты
Найдем площадь
S
криволинеi1ного сектора, т. е. плоской фигуры,
ограниченной непрерывной линией
ср
=
/3
(а<
/3),
где
r
и ср
r = r( ср) и двумя лучами ср = а и
полярные координаты (см. рис.
-
решения задачи используем схему П
-
179).
Для
.метод диффере'Н.v,иала.
1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла ср,
S = S(cp), где а~ ер ~ /3 (если ер= а, то S(a) =О, еслиер = /3, то
S(/3) = S).
2. Если текущий полярный угол ср получит приращение дср = dep,
т. е.
то приращение площади ЛS равно площади «элементарного криволи­
нейного сектора» О АВ.
Дифференциал
ЛS при
dep
dS
представляет собой главную часть приращения
~ О и равен площади кругового сектора ОАС (на рисун­
ке она заштрихована) радиуса
dS
с центральным углом
r
dep.
Поэтому
= ~r 2 · dep.
3.
Интегрируя полученное равенство в пределах от ср =а до ср
= /3,
получим искомую площадь
Jr (cp) dcp.
1 /3
S=
'2
2
а
р
о
р
Рис.
Пример 41.з.
пестковой розой» r
Рис.
179
180
Найти площадь фигуры, ограниченной «трехле­
= асоsЗср (см. рис. 180).
282
Q
Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «ро­
зы», т. е. ~ часть всей площади фигуры:
1Г/6
J
(acos3<p) 2 d<p
1Г/6
J ~(1 + соsб<р)
= ~а 2
о
2
= ~( 11Г/6
1
. 6 11Г/6) =
+ -6 sш
<р о
4 <р о
1
т. е. б S
d<p
=
о
2
~(~
4 6
+ О)=
1Га
2
24 '
•
2
7Га 2
= 7Га
24 . Следовательно, S = Т.
Если плоская фигура имеет «сложную»
форму, то лучами, выходящими из полюса, ее
следует разбить на криволинейные секторы, к
которым применить полученную формулу для
нахождения площади. Так, для фигуры, изо­
браженной на рисунке
l'°Y
S
181,
имеем:
1 13
J
l'°Y
J
J
= 2 r~ d<p - 2 ri d<p - 2 r~ d<p.
а
о
р
Рис.
J3
а
181
41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ,
уравнение которой у=
~
f(x),
где а::::; х::::; Ь.
Под дJ1,uнoii дуги АВ понимается предел, к которому стремится
длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев
ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стре­
мится к нулю.
Покажем, что если функция у=
и ее производная у'
f(x)
= f'(x)
непрерывны на отрезке [а; Ь], то кривая АВ имеет длину, равную
ь
l=
JJ1 + (f'(x))
2
(41.3)
dx.
а
Применим схему
I
(метод сумм).
Точками Хо = а, Х1, ... , Xn
отрезок [а; Ь] на п частей (см. рис.
1.
=Ь
(хо < х1 < ... < Хп) разобьем
Пусть этим точкам соответ­
182).
ствуют точки М0 =А, М1 , ... , Мп =В на кривой АВ. Проведем хорды
МоМ1, М1М2,
... ,
но через дL1, дL2,
Мп-1Мп, длины которых обозначим соответствен­
... ,
длина которой равна
дLn. Получим ломаную МоМ1М2
Ln
n
... Мп-1Мп,
= дL 1 + дL 2 + ... + дLп = I: дL;.
i=l
283
у
y=f(x)
Мп-1
в
Мп
Ао
1
182
Рис.
2.
Длину хорды (или звена ломаной) дLi можно найти по теореме
Пифагора из треугольника с катетами дхi и дуi:
дLi = J(дxi) 2 + (дуi) 2 ,
где дхi = Xi - Xi-1, дуi = f(xi) - f(xi-1). По теореме
конечном приращении функции дуi = f'(ci) · дхi, где ci
Лагранжа о
Е (Xi-l; Xi)·
Поэтому
ЛLi = J(дxi) 2 + (f'(ci) · дхi) 2 = J1 + (f'(ci)) 2 • дхi,
а длина всей ломаной М0 М1 ..• Мп равна
Длина
l
n
i=l
i=l
L ЛLi = L
Ln =
3.
n
Jl + (f'(ci)) 2 • дхi.
(41.4)
кривой АВ, по определению, равна
n
l=
lim
max дL;--+0
Ln =
"ЛL;.
lim
max дL;--+0 ~
i=l
Заметим, что при ЛLi~O также и дхi~О (ЛLi=J(дxi) 2 +(дyi) 2 и,
следовательно, jдxil<дLi)· Функция J1+(f 1 (x)) 2 непрерывна на от­
резке [а; Ь], так как, по условию, непрерывна функция f'(x). Следова­
тельно,
существует
предел
интегральной
суммы
(41.4),
когда
maxдxi~O:
n
l=
lim
L
max дl;--+0 .
i=l
(n--+oo)
Ь
J1 + (f'(ci)) 2 дxi =
JJ1 + (f'(x))
2
dx.
а
ь
Таким образом, l =
Ь
=
JJ1 + (у~) 2 dx.
JJ1 + (f'(x))
2
dx, или в сокращенной записи l =
а
а
284
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме
x(t),
{ ху== y(t),
где
x(t)
и
а~ t ~ (З,
непрерывные функции с непрерывными производными
y(t) -
= Ь, то длина l кривой АВ находится по формуле
и х(а) =а, х((З)
(3
l
Формула
х=
(41.5)
=
JJ(x'(t))
2
+ (y'(t)) 2 dt.
может быть получена из формулы
(41.5)
(41.3)
подстановкой
~:ш.
x(t), dx = x'(t)dt, f'(x) =
41.4. Найти длину окружности радиуса R.
Q Решение: Найдем
часть ее длины от точки
Пример
(О;
=
!
у
R) до точки (R; О) (см. рис. 183). Так как у =
./R2 -
х 2 , то
1
R
-t=J
4
J
1+
R2
о
Значит,
l =
х
х2
Х
-х 2
R
7r
=R·-.
2
dx=R·arcsin-1
R о
Рис.
2п R. Если уравнение окружности запи­
сать в параметрическом виде х
= R cos t,
183
= R sin t
у
(О~ t ~ 2п), то
271'
l =
J J(-Rsin t)
2
+ (Rcost) 2 dt = Rtl~1r
= 2пR.
8
о
Вычисление длины дуги может быть основано на применении ме­
тода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу
(41.3),
применив схему П (метод дифференциала).
1.
Возьмем произвольное значение х Е [а; Ь] и рассмотрим перемен­
ный отрезок [а; х]. На нем величина
l
становится функцией от х, т. е.
l = l(x) (l(a) =О и l(Ь) = l).
2. Находим дифференциал dl функции l = l(x) при изменении хна
малую величину дх = dx: dl = l'(x) dx. Найдем l'(x), заменяя бесконечно малую дугу М N хордой дl, стягивающей эту дугу (см. рис. 184):
l'(x) = lim
~
Лх-+0 дх
= lim
Лх-+0
J(дх) 2 + (ду)2
дх
=
2=
/1 + (ду)
дх
= lim
Лх-+0 У
Стало быть, dl
= J1 + (у~)2 dx.
285
г-----
J1
+(у'"' )2.
3.
Интегрируя dl в пределах от а до Ь, получаем l =
ь
JJ1+у~ 2 dx.
а
~ Равенство dl
J1+у~ 2 dx называется формулой дuфферен.циа­
=
л.а дуги в прямоугольных координатах.
т ак
/
как Ух=
!l:JJ..
dx'
то
dl
= J(dx) 2 + (dy)2.
Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для беско­
нечно малого треугольника мет (см. рис.
у
_N_ _ _
185).
у
в
м
А
О
а
х+
х
Рис.
х
о
х
а
184
x+dx
х
Рис.
х
185
Полярные координаты
Пусть кривая АВ задана уравнением в поляр-
ных координатах r = r(r.p), а ~
непрерывны на отрезке [а; (З].
Если в равенствах х
r.p
= r cos r.p,
~
у
(3. Предположим, что r(r.p) и r'(r.p)
= r sin r.p,
связывающих полярные
и декартовы координаты, параметром считать угол
можно задать параметрически
{
х~ =
у~=
cos ер,
{ ух == r(r(r.p)
) .
r.p SШ r.p.
r.p,
то кривую АВ
Тогда
r' (ер) cos ер -
r( rp) sin rp,
r'(rp) sinr.p + r(r.p) cosrp.
Поэтому
J(x~)2 + (у~)2
=
= у'~(r-(-rp-)-co_s_rp---r(_cp_)_si_n_r.p_)2_+_(r1
cp-)-s-in_cp_+_r_(cp-)-c-os_r.p_)_2 =
1-(
= J(r'(rp))2 +
(r(r.p))2.
Применяя формулу
(41.5),
получаем
(3
l=
JVr
2
+ r' 2 d'[J.
"'
Пример
Q
41.5.
Найти длину кардиоиды
r = a(l + cos<p).
r = a(l + cos<p) имеет вид, изображенный на
186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем по­
Решение: Кардиоида
рисунке
ловину длины кардиоиды:
1
2z= JJ(a(1+cos'{J))2+(a(-sin'{J))2d'{J=a JJ2+2cos<pd<p=
~
~
о
о
Таким образом,
Рис.
41.4.
!t = 4а. Значит, l = 8а.
•
Рис.
186
187
Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных
сечений
Пусть требуется найти объем
V
тела, причем известны площади
S
сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси,
например оси Ох:
S = S(x),
Применим схему
11
а~ х ~ Ь.
(метод дифференциала).
1. Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер­
пендикулярную оси Ох (см. рис.
187).
Обозначим через
S(x)
площадь
сечения тела этой плоскостью;
считаем известной и непрерывно
S(x)
изменяющейся при изменении х. Через
обозначим объем части те­
v(x)
ла, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х]
величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) =О, v(b) = V).
2.
Находим дифференциал
функции
dV
v = v(x).
Он представляет
собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными
плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+Лх, который при­
ближенно может быть принят за цилиндр с основанием
dx.
Поэтому дифференциал объема
3.
Находим искомую величину
S(x) и высотой
dV = S (х) dx.
V путем интегрирования dA в пре­
делах от а до Ь:
ь
(41.6)
V=jS(x)dx.
а
Полученная формула называется фор.му.л,оu обt'>е.ма те.л,а по
п.л,ощадu. nара.л,.л,е.л,ьных ceчeнu.ii.
2
2
2
Прu..мер 41.6. Найти объем эллипсоида~+ J{;b + ~ = 1.
а
Q
с
Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости
Oyz
и на расстоянии х от нее (-а
рис.
188):
х
:::;;
:::;;
а), получим эллипс (см.
у2
z2
сьR)2 + ccJ1- ~)2 =
Площадь этого эллипса равна
=
1ГЬс( 1
188
S(x)
=
~). Поэтому, по формуле
имеем
(41.6),
Рис.
-
1.
V =
а
j (1 -
1ГЬс
2
: 2 ) dx
4
= 3 1ГаЬс. 8
-а
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, огра­
= f(x)
ниченная непрерывной линией у
прямыми х =а их= Ь (см. рис.
189).
~ О, отрезком а
:::;;
х ~ Ь и
Полученная от вращения фигура
называется телом вращенм. Сечение этого тела плоскостью, перпен­
дикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох
(х Е [а; Ь]), есть круг с радиусом у= f(x). Следовательно, S(x)
Применяя формулу
(41.6)
= 1Гу 2 .
объема тела по площади пара.,тшельных
сечений, получаем
Vx = 1Г
j
ь
а
288
y 2 dx.
(41.7)
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной
функции х
=
'Р(У)
;:::
О и прямыми х
=
О, у
=
с, у
=
d
(с
<
d),
то
объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по
аналогии с формулой
(41.7),
равен
d
Vy =
1Г
fх
2 dy.
(41.8}
с
у
у=/(х)
о
х
о
Рис.
х
Рис.
189
190
Пример 41. 7. Найти объем тела, образованного вращением фи­
гуры, ограниченной линиями у= х;, х =О, у= 2v'2 вокруг оси Оу (см.
рис. 190).
Q
Решение: По формуле (41.8) находим:
Vy =
1Г
2V2
/
•
2у dy = 1ГY 2 l~V2 = 81Г.
о
41.5.
Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции у
х Е [а;Ь], а функция у=
f(x)
и ее производная у 1
=
!(х)
;:::
О, где
= f'(x) непрерывны
на этом отрезке.
Найдем площадь
S
поверхности, образованной вращением кривой
АВ вокруг оси Ох.
Применим схему П (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер­
пендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность враще­
ния по окружности с радиусом у
=
!(х) (см. рис.
191).
Величина
S
поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, явля­
ется функцией от х, т. е.
s = s(x) (s(a)
289
=О и s(Ь)
= S).
2.
Дадим аргументу х приращение дх
= dx.
Через точку х
+ dx
Е
Е (а; Ь] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция
получит приращение дs, изображенного на рисунке в виде
s = s(x)
«пояска».
Найдем дифференциал площади
у
1
.i:I: 1\
рого равна
·•:
1
и у+
11
·:·· 1
,, у;:(
' 1'
о
·:(·
,,
::r.: "..,
' ' ___ _'
:":
---+~-
а•
1 1
x+dx
1 1
:х:
1
·.t.·
1
::r.: ' '
Ь
х
= 1Г(y+y+dy)·dl
= 27Гydl+7Гdydl.
dy dl
как беско­
нечно малую высшего порядка, чем
ds, по­
ds = 21Гу dl, или, так как dl =
= J1 + (у~)2 dx, то ds = 21ГуJ1 + (у~)2 dx.
3. Интегрируя полученное равенство в
лучаем
,,
·н·. ''
пределах от х
Рис.
а радиусы оснований равны у
Отбрасывая произведение
::
:;~~
dl,
Площадь его боковой поверхности
dy.
равнаds
'
1
1
1'
за­
гуру усеченным конусом, образующая кото­
'
'
1
.· 1\
ds,
меняя образованную между сечениями фи­
в
191
= а до х = Ь, получаем
ь
S,,,
= 27Г /у· J1 + (у~) 2 dx.
(41.9)
а
= x(t), у=
t ~ t2, то формула (41.9) для площади поверхности враще­
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х
= y(t), t 1
~
ния принимает вид
S,,, = 27Г
t2
f y(t). J(x'(t))
2
+ (y'(t))2 dt.
ti
Пример
41.8.
Найти площадь поверхности шара радиуса
R.
Q Решение:
Можно считать, что поверхность шара образована враще­
нием полуокружности у= JR 2 - х 2 , -R ~ х ~ R, вокруг оси Ох. По
формуле
S=
(41.9)
находим
27Г !R J R2 - х2 v~ + ( ,,/R2-Х- х2 ) dx =
2
·
-R
R
=211"
J JR2-x2+x2dx=27rR·xl~н=47rR •
2
-R
Пример
41.9.
Дана циклоида
a(t - sint),
{ ху== a(l
- cost),
290
о~ t ~ 27Г.
8
Найти
площадь
поверхности,
образованной
вращением
ее
вокруг
оси Ох.
Q Решение:
При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох
площадь поверхности вращения равна
1
Jа(1 - cos t) · y'(a(l - cos t)) 2 + (asin t)2 dt =
= 27r Jа 2 2 sin ~ Vl - 2 cos + cos t + sin t dt =
1r
2sx =
27r
о
1r
2
•
о
= 47ra2
/7r sin2 !2 ·
t
•
J
2 · 2 sin2 ! dt = 87ra2
2
о
= -87ra 2 . 2 /7r( 1 - cos 2
2
2t) d (cos 2t)
2
/7r sin2 !2 ·sin !2 dt =
о
(
tl7r0
= -167ra 2 cos 2
3
-
il7r)
0 =
cos
Т
о
2
2) = -327ra
= -167ra2 ( 0-1-0+ З1 ) = -167ra 2 ( -3
3- ,
•
т. е. !sx = 3f 7ra2 . Следовательно, Sx = 634 7ra 2 •
41.б. Механические приложения определенноrо
интеrрала
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под дей­
ствием переменной силы
F
= F(x),
направленной параллельно этой
оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из поло­
жения х =а в положение х
= Ь (а< Ь), находится по формуле
ь
А=
(см. п.
Пример
Q
(41.10)
а
36).
пружину на
JF(x)dx
41.10.
0,05
Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть
м, если сила
100
Н растягивает пружину на
0,01
м?
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину,
= kx, где k -
коэффи­
циент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила
F = 100 Н
пропорциональна этому растяжению х, т. е.
= 0,01 м; следовательно, 100 = k·0,01, откуда
= 10000; следовательно, F = 10000х.
растягивает пружину на х
k
F
291
Искомая работа на основании формулы
(41.10)
равна
0,05
А=
j
•
10000xdx = 5000х 2 1~' 05 = 12,5 (дж).
о
При.мер
Найти работу, которую необходимо затратить,
41.11.
чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндриче­
ского резервуара высоты Н м и радиусом основания
R
м.
Q
Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высо­
ту
h,
равна р
· h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся
на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) раз­
личных слоев не одинакова.
Для
х
решения
поставленной задачи
применим схему П (метод дифференциа­
ла). Введем систему координат так, как
указано на рисунке
х
1.
вание из
Н
резервуара слоя жидкости тол­
щиной х (О~ х ~ Н), есть функция от х,
= А(х),
= Ао).
т. е. А
А(Н)
1
1
1
. .______
----- --:--.R----,
() _____ _
192.
Работа, затрачиваемая на выкачи­
2.
где О ~ х ~ Н (А(О)
= О,
Находим главную часть прираще­
ния дА при изменении х на величину
Рис.
дх
192
= dx, т. е. находим дифференциал dA
функции А(х).
Ввиду малости
с-читаем, -что «элементарны:i1» сло11. жидко­
dx
сти находите.я. на одноi1 глубине х (от края резервуара) (см. рис.
Тогда
dA = dp · х,
где
dp -
рение свободного падения,
вес этого слоя; он равен
"f -
g · "{ dv,
плотность жидкости, dv -
где
ментарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е.
g-
192).
уско­
объем «эле­
dp =
g"{
dv.
Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен 7r R 2 dx, где dx - вы­
сота цилиндра (слоя), ?ГR2 - площадь его основания, т. е. dv = ?ГR 2 dx.
Таким образом, dp = g"{ · 1ГR 2 dx и dA = g"{1ГR2 dx · х.
3)
Интегрируя полученное равенство в пределах от х =О дох= Н,
находим
Ао =
н
j
1
9"f1ГR2 xdx = 2 9"f1ГR 2 H 2 (Дж).
о
•
Путь, прОЙАенный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной
скоростью
времени от
v = v(t).
ti
до
Найдем путь
S,
t2.
292
пройденный ею за промежуток
Q
Решение: Из физического смысла производной известно, что при
движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного дви-
жения равна производной от пути по времени», т. е. v(t)
следует, что
dS
= ~f. Отсюда
= v(t) dt. Интегрируя полученное равенство в пределах
от t1 до t2, получаем S
t2
=
Jv(t) dt.
8
t1
Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой
I
или П применения определенного интеграла.
Пример
41.12.
Найти путь, пройденный телом за
начала движения, если скорость тела
Q
Решение: Если
начала движения
v(t)
4
= lOt + 2 (м/с).
секунды от
v(t) = lOt + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от
(t =О) до конца 4-й секунды, равен
4
s = ! (10t + 2) dt = ы 2 1~ + 2tl~ = 80 + 8 = 88
(м).
•
о
Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пласти­
ну равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку,
а высотой
глубину ее погружения от свободной поверхности жид­
-
кости, т. е. Р
'У
-
= g · 'У • S
· h,
плотность жидкости,
где
S -
g -
ускорение свободного падения,
площадь пластинки,
h -
глубина ее
погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикаль­
но погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных
глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная
линиями х
=
а, х = Ь, У1
=
fi(x)
выбрана так, как указано на рисунке
= f2(x); система координат
193. Для нахождения давления Р
и У2
жидкости на эту пластину применим схему П (метод дифференциала).
1.
т. е. р
Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р
= р(х) -
=
р(х),
давление на часть пластины, соответствующее отрезку
[а; х] значений переменной х, где х Е [а; Ь] (р(а) =О, р(Ь)
=
Р).
= dx. Функция р(х) полу­
чит приращение др (на рисунке - полоска-слой толщины dx). Найдем
дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближен­
2.
Дадим аргументу х приращение дх
но считать полоску прямоугольником, все то'ЧКU которого находятся
?ta одноif. глубине х, т. е. пластинка эта - горизонтальна.я.
Тогда по закону Паскаля dp = g ·'У (у2 - У1) · dx · х .
____... ..__.,
s
293
h
3.
Интегрируя полученное равенство в пределах от х
=
=
а до х
Ь,
получим
ь
Р =9 · 1
ь
У1)х dx или Р = 91 j (!2(х) - fi(x)) · xdx.
j (у2 а
а
о
у
о
xo--------x+dx 1-----.,......,...................,..
у
R
х
х
Рис.
Пример
41.13.
Рис.
193
194
Определить величину давления воды на полу­
круг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус
О находится на свободной поверхности воды (см. рис.
Q
R,
а центр
194).
Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения да­
вления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пла­
2 - х2 , х
стинка ограничена линиями У1
-./R 2 - х 2 , У2
О,
х
=
= R. Поэтому
= ./R
=
R
Р
= 91
j (J R2 -
х2 -
(
-JR 2 -
х 2 )) х dx =
о
JJю - x 2xdx = 291 · (- 2l ) J(R 2 - х 2 ) 1 12 d(R2 - х2 ) =
R
= 291
R
о
о
= -91.
2J(R2 3
x2)3
IRо = -391(0
2
-
3
2
3
8
R ) = 391R .
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести
плоской кривой
Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек
М1(х1;У1),
М2(х2;У2),
.. . ,
Mn(XniYn)
rn1,rn2, ... ,rnn.
294
соответственно
с
массами
Стати-ческим моментом
системы материальных точек отно­
Sx
сительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на
их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):
n
Sx = Е
mi · Yi·
i=l
этой системы
Аналогично определяется стати-чески11 момент Sy
n
относительно оси Оу: Sy = Е mi · Xi·
i=l
Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой
кривой, то для выражения статического момента понадобится интегри­
рование.
Пусть у=
f(x)
(а~ х ~ Ь)
это уравнение материальной кривой
-
АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью
'У ('У=
const).
Для произвольного х Е
у
y=f(x)
[а; Ь] на
кривой АВ найдется точка с коорди­
в
натами (х;у). Выделим на кривой эле­
ментарный участок длины
у
dl,
содер­
жащий точку (х; у). Тогда масса этого
участка равна
сток
А
dl
"fdl.
Примем этот уча­
приближенно за то-чку, отстоя­
щую от оси Ох на расстоянии у. Тогда
о
а
х
x+dx
Рис.
дифференциал статического момента
х
dSx («элементарный момент») будет
= "fdl ·у (см.
195
равен "{dl ·у, т. е. dSx
рис. 195).
Отсюда следует, что статический момент
тельно оси Ох равен
ь
Sx="f
кривой АВ относи­
ь
j ydl="f j
Аналогично находим Sy ~
ь
Sy ='У
Статические моменты
Sx
Sx
f
а
и
y·Jl+(y~)2dx.
а
х · ..j,....1_+_(.,..-y-~)"""72 dx.
Sy
кривой позволяют легко установить
положение ее центра тяжести (центра масс).
Центром т.я.жести материальной плоской кривой у
Е
= f(x),
х Е
[а; Ь] называется точка плоскости, обладающая следующим свой­
ством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой,
то статический момент этой точки относительно любой координатной
оси будет равен статическому моменту всей кривой у
=
f(x)
относи­
тельно той жеоси. Обозначим через С(хс;Ус) центр тяжести кривой АВ.
Из определения центра тяжести следуют равенства т
т ·Ус= Sx ИЛИ ')'l ·Хе = Sy И "{l ·Ус= Sx. Отсюда Хе =
295
· Хе
= Sy
и
s
s
~' Ус = ~ ИЛИ
Хе
ь
ь
ь
J xdl
= -l- =
а
а
ь
f ydl
J х · yf 1 + (у~) 2 dx
_ _ _ _ _ __
_Ь
Ус
= -l- =
а
J у · yfl + (у~) 2 dx
_______
а
_ь
J J1 + (у~) 2 dx
J J1 + (у~) 2 dx
а
а
Пример ,р.14. Найти центр тяжести однородной дуги окружно­
у 2 = R 2, расположенной в первой координатной четверти (см.
сти х 2
рис.
+
196).
у
у
y=)R2-x2
R
у
о
R
Рис.
х
О
;;~::: ё
- -----а
х
Рис.
196
x+dx
ьх
197
Q Решение: Очевидно, длина указанной дуги окружности равна 1Гf,
т. е. l = 1Г.]!'. Найдем статический момент ее относительно оси Ох. Так
как уравнение дуги есть у =
J R2 -
х 2 и у~ =
J R2-х
-х2
, то ('У
= const)
Bx="fjRJR2-x2 ·/1+( JR2-х-х2 )2 dx=
о
='У
JJю - х2 · JR2R
R
-х2
о
Стало быть,
R
dx = 1R
j
dx = 1RxjR = "(R 2 .
о
о
Sx
1R2
2R
Ус = "(l = 'У. 1Гf = ---;-·
Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы перво­
го координатного угла, то Хе = Ус = 2R. Итак, центр тяжести имеет
1Г
•
координаты ( 2//'; 2//').
Вычисление статических моментов и коорАинат центра тяжести
плоской фигуры
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограничен­
ная кривой у=
f(x) ;::
О и прямыми у= О, х =а, х
296
= Ь (см.
рис.
197).
Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна
ь
J
('У = const). Тогда масса всей пластинки равна 'У· S, т. е. т = 'У f (х) dx.
а
Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой
вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоуголь­
ником.
Тогда масса его равна 'У· ydx. Центр тяжести С прямоугольника
лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка С от­
стоит от оси Ох на !у, а от оси Оу на х (приближенно; точнее на
!
расстоянии х + дх). Тогда для элементарных статических моментов
относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения
1
1
2
dSx = 'У· у dx · 2у = 21' ·у dx
и
dSy = 'У· у dx · х = 1ху dx.
ь
ь
Jу2 dx, Sy ='У Jxydx.
Следовательно, Sx =!'У
а
а
По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты
центра тяжести плоской фигуры (пластинки)
т ·Хе=
Sy, т ·Ус= Sx. Отсюда
8
х _...J!.. _ _Jf_
s
с
-
- "}'8
т
или
и
ь
х2
Пример
~ R2 ,
+ у2
41.15.
т
Sx
="}'8
ь
! Jy 2 dx
Jxydx
Хе=
8х
-
Ус=
через С(хс; Ус), что
а
а
Ус=
ь
ь
f ydx
f
а
а
ydx
Найдем координаты центра тяжести полукруга
у~ О ('У= const) (см. рис. 198).
у
Q
Решение: Очевидно
(ввиду симметрии
R
фигуры относительно оси Оу), что Хе =О.
Площадь полукруга равна
7r
~ 2 • Нахо­
дим 8х:
8х
-R
1
=
21'
J (VR
R
2 -
х 2 ) 2 dx
y=~R2-x2
о
Рис.
=
R
198
-R
=
1
х3
21 (R 2 х - 3)
IR-R = 2'Y(R
1
R 3 R3
2
3
+ R3 - 3 - 3) ='У. 3R3 .
297
х
Стало быть,
21R3
Sx
4 R
= ,s = з,1Г~2 = 3. ;·
Ус
•
И так, центр тяжести имеет координаты С (О; i~) .
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
§ 42.
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть требуется найти определенный интеграл
j
ь
f(x) dx от непре-
а
рывной функции !(х). Если можно найти первообразную
f(x),
F(x)
функции
то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
j
ь
f(x) dx = F(Ь) - F(a).
а
Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кро­
ме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее перво­
образная выражается через элементарные функции. В этих и других
случаях (например, функция у= !(х) задана графически или таблич­
но) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых опре­
деленный интеграл находится с любой степенью точности.
Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближен­
ного вычисления определенного интеграла
формулу прямоугольни­
-
ков, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на
геометрическом смысле определенного интеграла.
42.1.
Формула прямоугольников
<
Ь, задана непрерывная функция !(х).
Требуется вычислить интеграл
Jf(x) dx, численно равный площади
Пусть на отрезке [а; Ь], а
ь
а
соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой
трапеции, т. е. отрезок [а; Ь], на п равных частей (отрезков) длины
= Ь - а = Xi
х1,х2, ... ,хп = Ь.
h
п
(см. рис.
Yi
Можно записать, что
Xi
=Хо+
h · i,
где
i
= а,
= 1, 2, ... ,п
199).
В середине Ci
нату
- Xi-l (шаг разбиения) с помощью точек хо
= f(ci)
=
х·
i-
i +х·
2
•
каждого такого отрезка построим орди-
графика функции у
=
f(x).
Приняв эту ординату за
высоту, построим прямоугольник с площадью
298
h · Yi·
у
1
1
1
1
1
1
1
1
1
':Yn
1
1
1
1
о Сп
О а=хох1
х2
Xi-1
Рис.
Х
Xi
199
Тогда сумма площадей всех п прямоугольников дает площадь сту­
пенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение ис­
комого определенного интеграла
Ь
_
_)
!!( х )dх r:::i h( У1
+ У2
+ · · · + Уп
n
b-a°""f(Xi-1 +xi)
= -п- ~
(42.1)
·
•=1
а
~
2
Формула
(42.1)
называется формулоfi средних прямоугольни­
ков.
Абсолютнал погрешность приближенного равенства
(42.1)
оцени­
вается с помощью следующей формулы:
IR
I~
n """"
где М2
-
наибольшее значение
(Ь - а) 3 · М2
24n 2
lf"(x)I
Отметим, что для линейной функции
'
на отрезке [а; Ь],
(f(x)
= kx + Ь)
дает точный ответ, поскольку в этом случае
42.2.
f"(x)
формула
(42.1)
=О.
Формула трапеций
Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольни­
ков: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяет­
ся обычной.
Разобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей длины h = Ь- а. Аб­
п
сциссы точек деления а
у 1 , ••. , Yn
-
=
хо, х1, х2,
... , Ь =
Xn (рис.
200).
Пусть Уо,
соответствующие им ординаты графика функции. Тогда
299
у
Yn-1 Yn
О
а=хо х1
х2
Рис.
Ь=хn Х
Xn-1
h
200
расчетные формулы для этих значений примут вид Xi =а+
h · i, Yi =
= f(xi), i =О, 1, 2, ... ,п; h = Ь - а.
п
Заменим кривую у=
няют концы ординат
f(x) ломаной линией, звенья которой соеди­
Yi и Yi+1 (i = О, 1, 2, ... , п). Тогда площадь кри­
волинейной трапеции приблюкенно равна сумме площадей обычных
трапеций с основаниями Yi, Yi+1 и высотой h = Ь- а:
п
ь
! f(x) dx ~ Уо + У1
. h + У1
2
+ У2
. h + ... + Yn-1
2
+ Yn
.h
2
а
или
ь
! f(x) dx
Ь- а (Уо
~ ---;:--
+ Yn + У1 + У2 + ... + Yn-1 ) ·
2
(42.2)
а
~
Формула
(42.2)
называется фopмy.1tofi. mpaneцut't.
Абсолютная погрешность
14.
приблюкения, полученного по фор­
муле трапеций, оценивается с помощью формулы
где М2 =
мула
max Jf"(x)J.
а~х~ь
(42.2) -
IRnl
~
(Ь
Снова для линейной функции у=
а) 3
1 ;п2
kx + Ъ
·М2,
фор­
точная.
42.З. Формула парабол (Симпсона)
Если заменить график функции у
[xi-li xi]
f (х)
=
на каждом отрезке
разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и
прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную форму­
ь
лу приближенного вычисления интеграла
Jf(x) dx.
а
300
Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, огра­
ниченной сверху графиком параболы у ах 2 +Ьх+с, сбоку - прямыми
=
х
= -h,
х
= h
и снизу
отрезком
-
[-h; h].
Пусть парабола проходит через три точ­
ки
M1(-h; Уо), М2(О; У1), Мз(h; У2), где Уо =
= ah2 - bh +с - ордината параболы в точке
х
-h; у 1 с - ордината Параболы в точке
х = О; У2 = ah 2 + bh + с - ордината парабо­
лы в точке х = h (см. рис. 201). Площадь S
=
. <<: :::мз
=
..
.:-:·:-:.
·.·.·.-
:: .• :.::у2
·.·.·.- ..
·.·.·.·:·:-:-:-.
:-:·:·:·:·:·:-:.
равна
о
-h
h
S =
J (ах
2
+ Ьх +с) dx
·:·:·:·:·:-:-:-•
h
Рис.
=
х
201
-h
хз
х2
= ( а3 + ь2 + сх
Выразим эту площадь через
h,
)
\h
-h
2
= 3ah3 + 2ch.
(42.3)
уо, у 1 , У2· Из равенств для ординат
Yi
находим, что с= у1, а= ~(Уо - 2у 1 +у2). Подставляя эти значения с
и а в равенство
(42.3),
получаем
ь
Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла/f{х) dx.
а
Для этого отрезок [а; Ь] разобьем на
2n равных частей (отрезков)
длиной h = Ь 2п а точками Xi = хо+ ih (i = О, 1, 2, ... , 2n). В точках
деления а
= хо, Х1, х2, ... , X2n-2, X2n-1, X2n = Ь вычисляем значения
f(x): Уо, У1, У2, ... , Y2n-2, Y2n-1, Y2n, где
подынтегральной функции
Yi = f(xi) (см. рис. 202).
Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных
трапеций с основаниями, равными
h,
одной элементарной параболиче­
ской трапецией с основанием, равным
2h.
На отрезке [х 0 ; х 2 ] парабола
проходит через три точки (хо; Уо), (х1; У1), (х2; У2). Используя форму­
лу
(42.4),
находим
h
ж2
81 =
J f (х) dx
=
3(Уо + 4у1 + У2).
Хо
301
у
.........
. . .. . . . .
. ... .... ...... ..
. ...
................ .....' ....
. . . . . . . .. ..
......... ....... .
........
.. .. .. ...
. ........ ... .......
О
а=хо
х1
х2
хз
X2n-2 X2n-1
Рис.
X2n =Ь
х
202
Аналогично находим
... '
Ж2n
/
h
f(x) dx = 3(Y2n-2 + 4Y2n-1
+ Y2n)·
X2n-2
Сложив полученные равенства, имеем
ь
h
Jf(x) dx ~ 3(Уо + 4у1 + 2у2 + · · · +
2y2n-2
+ 4y2n-1 + Y2n)
а
или
ь
/
Ь-а(
f(x) dx ~ ~ (Уо + Y2n) + 4(у1 +Уз+···+ У2п-1)+
а.
~
+ 2(у2 + У4 + ... + Y2n-2) ). (42.5)
Формула
(42.5)
называется форму.лоi1 nарабол, (или Симпсона).
Абсо.лютная погрешность вычисления по формуле
(42.5)
оценива­
ется соотношением
,,,,
IRnl ":::
(Ь - а) 5
180 . ( 2 п) 4 · М4,
где М4
= а.~~ь lf
IV
(x)I.
ь
Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла
Jf(x) dx
а.
во всех случаях, когда
равна трем (тогда
f(x) -
pv =О).
многочлен, степень которого меньше или
302
2
Пример 42.1. Вычислить
Jхз
dx, раз­
о
бив отрезок интегрирования [О;
на
2]
4 части.
у
Q Решение:
Имеем:
f(x)
= хз,
8
__ Ь - а __ ~ __ ~.
а = хо = О; Ь = Х4 = 2, h
п
4
2
1
1
хо =О, Уо = О; х1 = 2, У1 = 8; х2 = 1, У2 = 1;
3
= 2,
хз
(см. рис.
Уз
=
27
8;
Х4
= 2,
У4 = 8;
203)
а) по формуле прямоугольников:
1
Ci
сз =
2
/
з
х dx ::::::
1
21 ( 64
-
4'
=
5
4'
1
Yl = 64 j
-
Уз =
125
64;
С2
3
= 4'
С4 =
27 + 125 + 64
343)
+ 64
64
7
4'
-
у2
27
= 64 j
-
У4 =
= 3,875,
0
343
6'
т. е.
о
l 1
;!
2
2
2 Х
Рис. 203
/ 2 х з dx :::::: 3,875;
о
б) по формуле трапеции:
2
з
1(о+8
х dx ::::::
- -
2
/
2
2
1
21)
+ В + 1+ В
= 4,25,
Jхз
т. е.
о
dx :::::: 4,25;
о
в) по формуле парабол:
j хз
~ (О+ 8 + 4(~
dx:::::: 6 2
2
+ 2; ) + 2. 1) = 4,
т. е.
о
Jхзdх::::::
4.
о
Точное значение интеграла
J2хз
dx
= ~4120 = 4.
о
Абсолютные
а)
0,125; 6) 0,25;
погрешности
в) О.
соответствующих
формул
таковы:
8
Глава
IX.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
1
Лекции 34-36 1
Функции одной независимой переменной не охватывают все зави­
симости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить из­
вестное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функ­
ции нескольких переменных.
Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важ­
нейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются
уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай
большего числа переменных. Кроме того, для функций двух перемен­
ных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.
§ 43.
43.1.
§
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Основные понятия
Пусть задано множество
ответствие
f,
D
упорядоченных пар чисел (х; у). Со-
которое каждой паре чисел (х; у) Е
одно и только одно число z Е
JR,
менных, определенной на множестве
вается в виде
z = f(x;
у) или
D
сопоставляет
называется фуккцuеii. двух пере­
f :D
--t
D со значениями в JR, и записы­
JR.
При этом х и у называются
независимыми переменными (аргумента.ми), а
z -
зависимо11. пере­
менно11. (функv,иеii,).
Множество
D = D(f)
называется областью определения функции.
z
Множество значений, принимаемых
в области определения, называ­
ется областью изменения этой функции, обозначается
E(f)
или Е.
Примером функции двух переменных может служить площадь
прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у:
S =
S
ху.
Областью определения этой функции является множество {(х; у) 1 х
>
>О, у> О}.
§
Функцию z
=
f (х; у),
где
(х; у)
Е
D
можно понимать (рассматри-
вать) как функцию точки М(х;у) координатной плоскости Оху.
В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее
часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую
область, называют гранuцеii oб.ttacmu. Точки области, не лежащие
на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних
внутренних точек, называется omкp'blmoii. Область с присоединенной
к ней границей называется замкнуmоii., обозначается
замкнутой области является круг с окружностью.
304
75.
Примером
z = f(x;y) в точке Мо(хо;Уо) обозначают zo =
zo = f(Mo) и называют "tастн·ым зна'Чением функчии.
Значение функции
=!(хо; Уо) или
Функция двух независимых переменных допускает геометрическое
истолкование. Каждой точке Мо(хо; Уо) области
Oxyz соответствует точка М(хо; Уо; zo),
где
zo
D
в системе координат
= f (хо; уо) -
аппликата
точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некото­
рую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную
функцию
z = f(x;y).
Например, функция z =
круг х 2
+ у2
0(0; О; О)
и
J1 - х 2 -у 2 имеет областью определения
1 и изображается верхней полусферой с центром в точке
радиусом R = 1 (см. рис. 204).
:::;
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, мо­
жет быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графи­
ком. Будем пользоваться, как правило аналитическим способом: когда
функция задается с помощью формулы.
у
о
Рис.
43.2.
х
Рис.
204
205
Предел функции
Для функции двух (и большего числа) переменных вводится по­
нятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции
одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех
точек М(х;у) плоскости, координаты которых удовлетворяют нера­
венству J(x - х0 ) 2 +(у - у0 ) 2
б, называется б-окрестностью mо'Чки
<
Мо(х 0 ; Уо). Другими словами, б-окрестность точки М0 -
это все вну­
тренние точки круга с центром Мои радиусом б (см. рис.
205).
~
Пусть функция
z = f(x;
у) определена в некоторой окрестности
точки М0 (х 0 ; у0 ), кроме, быть может, самой этой точки. Число А
называется пределом функции
что то же самое, при М(х; у)
существует б
>
-+
z
= f(x; у)
при х-+ хо и у-+ Уо (или,
Мо(х 0 ; Уо)), если для любого
О такое, что для всех х
305
-:/= х0
и у
-:/= у0
s >
О
и удовлетворяю-
J(x - х 0 ) 2 +(у - у0 ) 2 < б выполняется неравенство
щих неравенству
lf(x; у)
-AI < е.
Записывают:
А=
у) или А=
lim f(x;
~~~g
lim
М-+Мо
!(М).
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит
от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений
бесконечно; для функции одной переменной х
-+
хо по двум направле­
ниям: справа и слева!)
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит
> О,
в следующем. Каково бы ни было число е
найдется б-окрестность
точки Мо(хо;Уо), что во всех ее точках М(х;у), отличных от Мо, ап­
пликаты соответствующих точек поверхности z = f(x; у) отличаются
от числа А по модулю меньше, чем на е.
Пример 4з.1.
Найти предел
lim
х2 -у2
х-+0 Х
у-+0
а Решение: Будем приближаться к
22 .
+у
0(0; О) ПО прямой у
= kx, где k -
некоторое число. Тогда
х2
-
у2
х-+О
у-+0
х2
+
у2
z=
х2
У2
22 в точке
lim
Функция
значениях
k
х
х2
- k2x2
1 - k2
1 - k2
= lim -2 - -2 -2 = lim - - -2 = ---.
х-+О х + k x
х-+О 1 + k
1 + k2
+у
0(0; О) предела не имеет, т. к. при разных
предел функции не одинаков (функция имеет различные
предельные значения).
8
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогич­
ными свойствам предела функции одной переменной (см. п.
означает, что справедливы утверждения: если функции
определены на множестве
D
и имеют в точке Мо этого множества пре­
делы А и В соответственно, то и функции
~~~я
(g(M)
17.3). Это
f(M) и g(M)
f(M) ± g(M), f(M) · g(M),
# О) имеют в точке М0 пределы, которые соответственно
равны А± В, А· В, ~ (В# О).
43.3. Непрерывность функции двух переменных
Функция
z = f(x;
у) (или
f(M))
называется неnрерывио-h в точ­
ке Мо(хо; Уо), если она:
а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
б) имеет предел
lim f(M),
М-+Мо
306
в) этот предел равен значению функции
lim
M-tMo
f(M) = f(Mo)
z
в точке М0 , т. е.
lim f(x; у) =!(хо; Уо).
или
x-txo
y-tyo
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, назы­
вается непрер'Ывно11 в это11 области. Точки, в которых непрерывность
нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности
функции в точке), называются то-чками разрьtва этой функции. Точ­
ки разрыва
z = f(x;y) могут образовывать целые
функция z = - 2- имеет линию разрыва у= х.
линии разрыва. Так,
у-х
Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определе­
ние непрерывности функции
ду =у -уо, дz
z = f(x; у) в точке. Обозначим дх = х-х 0 ,
= f(x;y) - f(xo;Yo). Величины дх иду называются
приращениями аргументов х и у, а дz
ции
iJ
- полн'Ым приращением функ­
f(x;y) в то-чке Мо(хо;Уо).
Функция z = f(x; у) называется непрерывной в точке Мо(хо; Уо) Е
Е D, если выполняется равенство lim дz = О, т. е. полное прира­
дх-tО
ду-tО
щение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее
аргументов х и у стремятся к нулю.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах,
можно доказать, что арифметические операции над непрерывными
функциями и построение сложной функции из непрерывных функций
приводит к непрерывным функциям
-
для функций одной переменной (см. п.
подобные теоремы имели место
19.4).
43.4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной
замкнутой области
Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкну­
той области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функ­
ций одной переменной
-
см. п.
19.5).
Предварительно уточним понятие
области.
~
Об.ласmъю называется множество точек плоскости, обладающих
свойствами открытости и связности.
Сво11ство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с
некоторой окрестностью этой точки.
Сво11ство связности: любые две точки области можно соединить
непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.
~
Точка
N0
называется гран:и:ч:ноu mо-чкоu области
принадлежит
сти (см. рис.
206).
D,
D,
если она не
но в любой окрестности ее лежат точки этой обла­
Совокупность граничных точек области
307
D
называет-
ся гран:ицеfj
D.
Область
D
с присоединенной к ней границей называет­
ся замкнуто/j областью, обозначается 75. Область называется огра­
ни.'Ченно/j, если все ее точки принадлежат некоторо­
му кругу радиуса
R.
В противном случае область на­
зывается неограни.'Ченноii.. Примером неограничен­
ной области может служить множество точек перво­
Рис.
го координатного угла, а примером ограниченной
206
Теорема
-
д-окрестность точки Мо(хо; Уо).
43.1.
Если функция
z = f(N)
непрерывна в ограниченной
замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. суще­
ствует такое число
няется неравенство
> О, что для всех точек N в этой области выпол­
lf(N)I < R; б) имеет точки, в которых принимает
R
наименьшее т и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в од­
ной точке области любое численное значение, заключенное между т
иМ.
Теорема дается без доказательства.
§ 44.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
44.1.
Частные производные первого порядка и их
геометрический смысл
Пусть задана функция
z
= f(x; у).
Так как х и у
-
независимые
переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое
значение. Дадим независимой переменной х приращение дх, сохраняя
значение у неизменным. Тогда
вается ""астн:ым приращением
дхz
z получит приращение, которое назы­
z по х и обозначается дхz. Итак,
= f (х + дх; у) -
f(x; у).
Аналогично получаем частное приращение
дуz
=
!(х;у
Полное приращение дz функции
дz =
f(x
+ ду)
z
z
по у:
-f(x;y).
определяется равенством
+ дх;у + ду) - f(x;y).
Если существует предел
.
li. mЛхz
- - = 1im
Лх-+0 Лх
f(x+Лx;y)-f(x;y)
Лх-+0
Лх
308
,
то он называется 'Частноii. производноii. функции
z = f(x;
у) в точке
М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:
1
дz
1
дf
ZХ'дх'!Х'дх"
Частные производные по х в точке Мо(х 0 ; Уо) обычно обозначают сим­
волами f~(xo;yo), !~J
Мо
.
Аналогично определяется и обозначается частная производная от
z = f(x;y)
по переменной у:
z'
lim Луz
=
у
lim f(x; у+ ду) - f(x; у).
=
ду-+0 ду
ду-+0
ду
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех
и больше) переменных определяется как производная функции одной
из этих переменных при условии постоянства значений остальных неза­
висимых переменных. Поэтому частные производные функции
f(x;y)
находят по формулам и правилам вычисления производных функции
одной переменной (при этом соответственно х или у считается посто­
янной величиной).
Пример
44.1.
Найти частные производные функции
z
Q
= 2у + ех
2
-у
+ 1.
Решение:
z~ = (2у + ех 2 -У + 1)~ = (2у)~ + (ех 2 -У)~ + (1)~ =
2
=О+ ех -у· (х
z~
2
-
2
у)' +О= ех -у· (2х
х
2
-
О)
=
2х
= 2+ех -у· (-1).
Геометрический смысл частных
Графиком функции z =
п.
f (х; у) яв­
некоторая поверхность
(см.
12.1). График функции z = f (х; Уо)
есть линия пересечения этой поверх­
ности
из
с
плоскостью
геометрического
у= у 0 •
смысла
Исходя
произ­
водной для функции одной перемен­
ной
(см.
п.
20.2),
f~(xo;Yo)=tga,
заключаем,
где а
-
что
угол ме­
жду осью Ох и касательной, прове­
z=f(x;yo) в точке
Mo(xo;yo;f(xo;Yo)) (см. рис. 207).
Аналогично, J;(xo;Yo) = tg/3.
денной к кривой
309
2
-у;
8
произвОАНЫХ функции АВУХ переменных
ляется
· ех
Рис.
207
44.2.
Частные проиэвоАные высших порядков
Частные производные аf (х; У) и а f(x; У) называют -часmн'Ымu про-
ах
ау
изводнъtми первого порядка. Их можно рассматривать как функции от
(х; у) Е
D.
Эти функции могут иметь частные производные, которые
называются 'Частнъtми производн'Ьlмu второго порядка. Они определя­
ются и обозначаются следующим образом:
z)
z
а (аах = ах2
а 2 = Zxx
11
= fx211 с х;у);
ах
а
= ауa2zах = Zxy = !"ху (х; у );
(az)
ах
11
ау
а (az)
a2 z
//
fll (
)
ах = ах ау = Zyx = ух х; у ;
ау
а
ау
(az)
ау
= аауz2 = Zyy =
2
11
111 (
у2 х; у
)
.
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. поряд-
КОВ.
а ( ах2
а 2 z) ' ах
а
т ак, Zxxy - ау
111
-
(
аз z ) --
ах ау ах
а4 z
ах ау ах2
(ИЛИ (Zxyx
111 )/
х
-
-
= z~4 )x2) и т. д.
~ tiастная производная второго или более высокого порядка, взя­
тая по различным переменным, называется смешан:ноit чacmнoii.
nроuзво
.., т
iJноu.
аковыми
//
44.2. Найти частные
z = х 4 - 2х 2 у 3 + у 5 + 1.
Пример
функции
аз z
///
являются, например, Zxy' ахау2, Zxyx·
О Решение: Так как z~ = 4х 3
-
производные второго порядка
4ху 3 и z~ = -6х 2 у 2
+ 5у 4 , то
= (4х 3 - 4ху 3 )~ = -12ху 2 ,
Z~x = (-6х 2 у 2 + 5у 4 )~ = -12ху 2 .
//
Zxy - Zyx.
z~Y
о казалось, что
11
•
Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приве­
дем без доказательства.
Теорема
ка
44.1
(Шварц). Если частные производные высшего поряд­
непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отлича­
ющиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
в частности ' для z = f(x·y)
имеем: дхду
a 2 z = д2 z .
аудх
'
310
44.3.
Дифференцируемость и полный дифференциал
функции
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
z = f(x;y)
точки М (х; у). Составим полное приращение функции в точке М:
дz =
~
Функция
z = f(x;
+ дх; у+ ду) -
f(x
f(x;
у).
у) называется дифферен:цируе.моii. в точке
М(х;у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
где о:
дz = А
= о:(дх, ду) -+
· дх + В · ду + о: · дх + (З · ду,
О и (З
= (З(дх, ду) -+
Сумма первых двух слагаемых в равенстве
(44.1)
О при дх
(44.1)
-+
О, ду
-+
О.
представляет собой
главную 'Частъ приращени.н функ'Ции.
Главная часть приращение функции
z
= f(x; у), линейная относи­
тельно дх и ду, называется пол.н'Ьlм дифферен'Циал.ом этой функции и
обозначается символом
dz:
dz
= А· дх +В· ду.
(44.2)
Выражения А· дх и В· ду называют 'Часmн'Ыми дифферен'Циал.ами.
Для независимых переменных х и у полагают дх
Поэтому равенство
(44.2)
dz =
Теорема
44.2
=
dx
и ду
= dy.
можно переписать в виде
А
· dx + В · dy.
(необходимое
функции). Если функция
z
=
условие
f(x;
(44.3)
дифференцируемости
у) дифференцируема в точке
М(х; у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные произ­
водные дz и дz причем дz =А дz = В.
дх
ду'
дх
' ду
О Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место
равенство
(44.1).
Отсюда вытекает, что
lim
дх---tО
ду---tО
дz
= О. Это означает,
что функция непрерывна в точке М. Положив ду
равенстве
(44.1),
получим: Лхz
= А· дх
= О, дх =j:. О в
+о:· дх. Отсюда находим
дд"'z
=
т. е.
g; = А. Таким образом, в точке М существует частная производ-
Х
А+о:. Переходя к пределу при дх-+ О, получим lim дд"z =А,
дх---tО
Х
ная f~(x;y) =А. Аналогично доказывается, что в точке М существует
частная производная f~(x;y) = g~ =В.
311
8
Равенство
(44.1)
можно записать в виде
дz
где 'У
=
а
· дх + (З · ду -+
az
az
= дхдх+ дуду+-у,
-+
О при дх
О, ду
-+
(44.4)
О.
Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывно­
сти функции или существования частных производных не следует диф­
ференцируемость функции. Так, непрерывная функция z
= J х2 + у2
не дифференцируема в точке (О; О).
Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления пол­
ного дифференциала. Формула (44.З) принимает вид:
az
дz
dz = -dx+ -dy
дх
(44.5)
ду
или
/ dz = dxz
где dxz
=
+ dyz, \
g~ dx, dyz = g~ dy - частные дифференциалы функции
z=f(x;y).
Теорема
44.3
(Аостаточное
функции). Если функция
z
=
условие
f(x;y)
Аифференцируемости
имеет непрерывные частные
производные z~ и z~ в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой
точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).
Примем теорему без доказательства.
ji
Отметим, что для функции у= f(x) одной переменной существо­
вание производной f'(x) в точке является необходимым и доста­
точным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Чтобы функция
z =
f (х; у)
была дифференцируема в точке, не­
обходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно,
чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов
функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функ­
ции двух (и большего числа) переменных.
44.4.
Применение полного дифференциала
к приближенным вычислениям
Из определения дифференциала функции
z = f(x;
у) следует, что
при достаточно малых jдxj и lдyj имеет место приближенное равенство
дz ~
312
dz.
(44.6)
Так как полное приращение дz
ство
(44.6)
= f( х +
дх; у
+
ду)
f (х; у),
-
/ f(x + дх; у+ ду) ~ f(x; у)+ f~(x; у)дх + f~(x; у)ду.1
Формулой
равен­
можно переписать в следующем виде:
(44. 7)
(44.7)
пользуются в приближенных расчетах.
Пример 44.з. Вычислить приближенно 1,02 3 •01 .
О Решение: Рассмотрим функцию z=xY. Тогда 1,023 •01 = (х+дх)У+лv,
где х= 1, дх=О,02, у=З, ду=О,01. Воспользуемся формулой
(44.7),
предварительно найдя z~ и z~: z~=(xY)~=y·xv- 1 , z~=(xY)~=xY·lnx.
Следовательно, 1,02 3 • 01 ~1 3 + 3 .1 3 - 1 · 0,02+1 3 · ln 1·0,01, т. е. 1,02 3 •01 ~
~1,06.
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:
1,02 3 • 01 ~1,061418168.
8
Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти:
границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных
вычислениях; приближенное значение полного приращения функции
и т.д.
44.5.
Дифференциалы высших порядков
Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный диф­
ференциал функции (формула
(44.5))
называют также дифференциа­
лом первого порядка.
Пусть функция
z = f(x; у)
имеет непрерывные частные производ­
ные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по
формуле
d2 z
d2 z = d(dz).
Найдем его:
= d ( ~; dx + ~: dy) =
=
(дz dx+ дzdy) 1
дх
= (
ду
х
·dx+
(дz dx+ дzdy) 1
дх
ду
у
·dy=
~:~ dx + 8~2;х dy) · dx + (::;у dx + ~:~ dy) · dy.
2 z dy 2 . Символически это
Отсюда: d2 z = дх2
д2 z dx 2 + 2 · дхду
д 2 z dx · dy + дду2
записывается так:
313
Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего
порядка:
д
д
d3 z=d(d2z)= ( дхdх+ дуdу
)3 ·z,
где
д
а
ах
ау
( -dx + -dy
)3
аз
а2
а
а
а2
аз
ахз
ах2
ау
ах
ду2
ауз
= -dx3 +3-dx2· - dy+3-dx·-dy 2+-dy3 •
Методом математической индукции можно показать, что
dn z =
( -а
ах
dx
а
)п
+ -dy
· z, n
ау
Е
N.
Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае,
когда переменные х и у функции
Пример
z=
44.4.
z = f(x;y)
являются независимыми.
(Для самосто.ятелъного решения.) Найти
d2z, если
хзу2.
Ответ:
d2 z
= 6ху 2 dx 2 + 12х2 у dx dy + 2х 3 dy 2 •
44.б. Производная сложной функции. Полная
производная
Пусть
z = f(x;
у) -функция двух переменных х и у, каждая из ко­
торых является функцией независимой переменной t: х
В этом случае функция
z = f(x(t); y(t))
одной независимой переменной
t;
= x(t), у= y(t).
является сложной функцией
переменные х и у
-
проме;ж;уто'Ч,'Н.'Ьtе
перемен:ные.
Теорема
М(х; у) Е
44.4. Если z = f(x; у) - дифференцируемая в точке
D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые
функции независимой переменной t, то производная сложной функ­
ции
z(t)
= f(x(t); y(t))
вычисляется по формуле
dz
dt
az
dx
дz
dy
(44.8)
= дх . dt + ау . dt .
О Дадим независимой переменной t приращение дt. Тогда функции
х
= x(t)
и у=
y(t)
получат приращения дх и ду соответственно. Они,
в свою очередь, вызовут прирашение дz функции
Так как по условию функция
z
z.
= f(x; у) дифференцируема в точке
М(х;у), то ее полное приращение можно представить в виде
az
дz
дz= ах ·Лх+ ду ·Лу+адх+/Зду,
314
где о: ---+ О,
/3
---+ О при дх ---+ О, ду ---+ О (см. п. 44.3). Разделим выра­
---+ О. Тогда дх ---+ О и
жение дz на дt и перейдем к пределу при дt
ду---+ О в силу непрерывности функций х
теоремы
.
-
дz
= x(t)
и у=
y(t)
(по условию
они дифференцируемые). Получаем:
дz 1·
дх дz 1·lШ -+
ду 1·lffi О:· 1·lШ -+
дх 1·lill /3 · 1·lill ду,
-+-·
ду дt-tO Дt
дt-tO
дt-tO Дt
дt-tO дt-tO Дt
1lill - = - · lill
дt-tO Дt
дх дt-tO Дt
т. е.
dz _ дz . dx
dt - дх dt
или
дz
+ дх
. dy
dt
дz dx
dz
dt = дх . dt
Частн:ыft с.лу'Чаft:
z
=
f(x;
+
0 . dx
dt
дz
+ ду
у), где у
+
0 . dy
dt ,
•
dy
. dt .
= у(х),
т. е.
z
=
f(x;
у(х))
-
сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сво­
дится к предыдущему, причем роль переменной
формуле
(44.8)
dz
dx
дz
дх
Формула
(44.9)
t играет х. Согласно
имеем:
dx
dx
дz
dy
dx
-=-·-+-·ду
или
dz
dx
дz
дz
дх
ду
dy
dx
-=-+-·-.
(44.9)
носит название формулы по.лноft производноft.
z = !(х;у), где х = x(u;v), у = y(u;v). Тогда
z = f(x(u;v);y(u;v)) - сложная функция независимых переменных
Общиft с.лу'Ч,а11:
и и v. Ее частные производные g~ и g~ можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней ~:,
dx
dt , О:11._
dt
дz
дх
Q}j_.
соответствующими частными производными ди, ди, ди.
дz
дz
дх
дz
ду
ди
дх
ди
ду
ди
-=-·-+-·-.
(44.10)
Аналогично получаем: дz = дz . дх + дz . f!Jl.
[i
дv
дх дv
ду дv
Таким образом, производная сложной функции
зависимой переменной (и и
производных этой функции
(z)
v)
(z)
по каждой не-
равна сумме произведений частных
по ее промежуточным переменным (х
и у) на их производные по соответствующей независимой переменной
(и и
v).
Пример "Ц.5. Найти g~ и g~, если z
у=:!!.
v
315
= ln(x 2
+ у 2 ), х
=
и· v,
-
Q Решение: Найдем g~ (g~
(44.10):
дz
ди
-
1
х2
самостоятельно), используя формулу
· 2х · v
+ у2
1
1
+ х2 + у2 · 2у · -v .
У простим правую часть полученного равенства:
дz
2
ди
-
х2 +у2
(х .v +
J!.) =
2
(uv)2
v
+ ( ~) 2
. ( uv. v
и
44.7.
=
v. v
2v 2
= u 2 (v4 + 1)
т. е. ддz
+ ~)
и · (v 4 + 1)
v2
2
и'
•
= l.
и
Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правило дифференцирования сложной функции, можно
показать, что полный дифференциал обладает свойством и-нвариант­
ности: полный дифференциал функции
z = f(x; у)
сохраняет один и
тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми
переменными или функциями независимых переменных.
Q
Пусть z =
f (х; у),
где х и у -
независимые переменные. Тогда пол­
ный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид
dz
(формула
(44.5)).
дz
= -дх
· dx + -дz
· dy
ду
z = f(x; у), где х = х(и; v), у
= f(x(u;v);y(u;v)) = F(u;v), где и и v -
Рассмотрим сложную функцию
= y(u;v), т. е. функцию z
независимые переменные. Тогда имеем:
dz
дF
дF
дz
дz
= -ди · du + -дv · dv = -ди · du + -8v · dv =
=
(дz . дх + дz. ду) du + (дz . дх + дz . ду) dv
дх
ди
=
ду
ди
·( ·
~= ~:
du +
дх
дv
ду
дv
=
~: · dv) + ~; ( ~~ · du + ~~ · dv) .
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы
и
dy
функций х
dx
= х(и; v) и у= у(и; v). Следовательно, и в этом случае,
dz
дz
дz
= -дх · dx + -ду · dy.
316
8
44.8.
Дифференцирование неявной функции
Функция
z = j(x; у)
называется неявноii, если она задается урав-
нением
F(x;y;z)=O,
неразрешенным относительно z. Найдем частные производные
(44.11)
g; и g~
неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив
в уравнение вместо z функцию f(x;y), получим тождество
F(x; у; f(x;
у))= О.
Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю,
также равны нулю:
д
дF
д
дF
дх F(x; у; f(x; у))= дх
дyF(x;y;f(x;y)) = ду
откуда
+
+
дF
дz
дF
дz
дz · дх =О (у -
дz · ду =О (х -
дz
считаем постоянным),
считаем постоянным),
(44.12)
и
дх
Зам.е'Чани.я.
а) Уравнение вида
(44.11)
не всегда определяет одну переменную
как неявную функцию двух других. Так, уравнение х 2 + у 2 + z 2 - 4 = О
определяет функции z 1 =
4 - х 2 - у 2 и z2 =
4 - х 2 - у 2 , опреде­
J
ленные в круге
круге х 2
+ у2
::;
J
-J
+
4, z3 = 4 4 при у~ О и т. д., а уравнение cos(x
х2
у 2 ::;
х 2 - у 2 , определенную в полу­
+ 2у + Зz) -
4 =О
не определяет никакой функции.
liJ
Имеет место теорема существования не.явноit функ'Ц'U'U двух
переменных: если функция F(x;y;z) и ее производные F~(x;y;z),
F~(x; у;
z),
F~(x; у;
z)
сти точки Мо(хо; Уо;
определены и непрерывны в некоторой окрестно­
zo),
причем
F(xo; Уо; zo)
=О, а F~(xo; Yoi
существует окрестность точки М0 , в которой уравнение
ляет единственную функцию
z = f(x;
zo) i=-
(44.11)
О, то
опреде­
у), непрерывную и дифференци­
руемую в окрестности точки (хо; Уо) и такую, что f(xo; Уо) = zo.
б) Неявная функция у= j(x) одной переменной задается уравне­
нием F(x;y) =О. Можно показать, что в случае, если удовлетворены
условия существования неявной функции одной переменной (имеется
теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функ­
ции находится по формуле
Пример 44.в. Найти частные производные функции
уравнением
ez
+z -
х2 у
+1=
О.
317
z,
заданной
О Решение: Здесь F(x; у; z) =
F~
=
ez + z -
х2 у
+ 1,
ez + 1. По формулам (44.12) имеем: g~
F~ = -2ху, F; = -х 2 ,
= +
e'fx_J! 1 , g~
ezx: 1 .
=
•
При.мер "ц. 7. Найти~' если неявная функция у= f(x) задана
уравнением уз
+ 2у =
2х.
+ 2.
О Решение: Здесь F(x;y) =уз+ 2у - 2х, F~ = -2, F~ = Зу 2
1 -
довательно, Ух
§ 45.
-
-
-2
Зу 2 + 2 , т.
е.
OJJ..
dx -
Сле-
2
Зу 2 + 2 .
•
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим одно из геометрических приложений частных произ­
водных функции двух переменных. Пусть функция
f (х; у)
z =
диф­
ференцируема в точке (хо; Уо) некоторой области D Е ~2 • Рассечем
поверхность
цию
z,
S,
изображающую функ-
плоскостями х
(см. рис.
208).
ресекает поверхность
линии
z 0 (у),
=
хо и у
Плоскость х
S
=
= хо
Уо
пе­
по некоторой
уравнение которой полу­
чается подстановкой в выражение ис­
ходной функции
z = f(x;
у) вместо
х числа хо. Точка Мо(хо; Уо; f(xo; Уо))
принадлежит кривой
z0 (у).
дифференцируемости
функции
точке М0 функция
z0 (y)
В силу
z
в
также явля­
ется дифференцируемой в точке у
Рис.
=
= Уо· Следовательно, в этой точке в
плоскости х = Хо к кривой zo (у) мо­
жет быть проведена касательная l1.
208
Проводя аналогичные рассуждения для сечения у= у 0 , построим
касательную
l 2 к кривой z0 (x) в точке х = х 0 • Прямые l 1 и 12 опре­
деляют плоскость а, которая называется касател:ьноi/, плоскостью к
поверхности
S в точке Мо.
Составим ее уравнение. Так как плоскость а проходит через точку
Мо(хо; уо;
zo),
то ее уравнение может быть записано в виде
А(х
-
хо)
+ В(у -
Уо)
+ C(z -
zo)
=О,
которое можно переписать так:
z - zo = Ai(x -
хо)+ В1(У
318
- Уо)
(45.1)
(разделив уравнение на -С и обозначив _АС= А1, !с= В1).
Найдем А1 и В1.
Уравнения касательных 11 и
12
имеют вид
z - zo = J;(xo; Уо) · (у - Уо),
х =хо;
z - zo = f~(xo;Yo) · (х - хо),
у= Уо
соответственно.
Касательная
лежит в плоскости а, следовательно, координаты
11
всех точек 11 удовлетворяют уравнению
(45.1).
Этот факт можно запи­
сать в виде системы
z - zo =!~(хо; Уо)(у - Уо),
{
х =хо,
z - zo =
А1(х
Разрешая эту систему
хо)+ В1(У-Уо).
-
относительно
В1 ,
получим,
что В 1
=
=!~(хо; Уо).
Проводя аналогичные рассуждения для касательной 12 , легко уста-
новить, что А1 =!~(хо; Уо).
Подставив значения А 1 и В 1 в уравнение (45.1), получаем искомое
уравнение касательной плоскости:
1
~
=!~(хо; Уо) · (х - хо)+ J;(xo; Уо) ·(у - Yo).
z - zo
j
(45.2)
Прямая, проходящая через точку Мо и перпендикулярная каса­
тельной плоскости, построенной в этой точке поверхности, назы­
вается ее норма.яью.
Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (см.
с.
103),
легко получить канонические уравнения нормали:
•
х - хо
у - Уо
z - zo
1
= 1
=
fx(xo; Уо)
fy(xo; Уо)
- 1
Если поверхность
(45.2)
и
(45.3),
S
задана уравнением
F(x; у; z)
(45.3)
=О, то уравнения
с учетом того, что частные производные могут быть
найдены как производные неявной функции:
F~(xo; Уо) !' ( . ) _ F;(xo; Уо)
1"'XoiYo = -F'(
. )'
у хо,Уо - -F'( . )
z Хо, Уо
z хо, Уо
1 (
(см. формулы
)
(44.12)),
F; (хо; Уо) · (х и
хо)
х
-
примут соответственно вид
+ F;(xo; Уо) ·(у хо
у
-
Уо
Уо)
+ F~(xo; Уо) · (z z - zo
F~(xo;Yo) - F~(xo;yo) - F~(xo;yo).
319
zo) =О
За.ме'Чание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверх­
ности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности.
Точка М0 поверхности называется ocoбoii,, если в этой точке все част­
ные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует.
Такие точки мы не рассматриваем.
Пример
45.1.
Написать уравнения касательной плоскости и нор­
мали к параболоиду вращения z = х 2
Q
+ у2
в точке l\rf0 (1; -1; 2).
Решение: Здесь z~ = f~(x;y) = 2х, J;(x;y) = 2у, f~(l;-1) = 2,
J;(l; -1) = -2.
Пользуясь формулами
нение касательной плоскости:
2х - 2у -
z -
2=
О и уравнение
(45.2) и (45.3) получаем урав­
z - 2 = 2 · (х - 1) - 2 · (у + 1) или
нормали: х 1 = У~ 21 = z ~ 12 .
8
2
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 46.
46.1.
Основные понятия
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух пере­
менных аналогичны соответствующим понятиям функции одной неза­
висимой переменной (см. п.
Пусть функция
точка
~
N(xo; Уо)
Е
25.4).
z = f(x; у)
определена в некоторой области
D,
D.
Точка (хо; Уо) называется точкоii. максимума функции
z =
= f(x; у), если существует такая д-окрестность точки (хо; у0 ), что
для каждой точки (х; у), отличной от (х 0 ; у0 ), из этой окрестности вы­
полняется неравенство
~
f(x; у)
<!(хо; Уо).
Аналогично определяется mо-ч.ка
z
минимума функции: для
всех точек (х; у), отличных от (хо; Уо),
вg
из д-окрестности точки (хо; Уо) вы­
полняется
неравенство:
!(х; у)
>
itxo· уо\ ,
~. :f(x;y)
J" '
> f(xo; Уо).
На рисунке
209: N 1 симума, а N2 точка
функции z = f(x; у).
~
Значение функции в точке мак-
:
1
:
1
о r----'--r-------'--+
---
точка мак­
минимума
..
1
х
~
Рис.
~у
209
симума (минимума) называется
максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функ­
ции называют ее экстремумами.
ji
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции
лежит внутри области определения функции; максимум и мини­
мум имеют локал:ьнъ~'ii, (местный) характер: значение функции в точке
320
(хо; Уо) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к
(х 0 ; у 0 ). В области
D
функция может иметь несколько экстремумов или
не иметь ни одного.
46.2.
Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема
46.1
N(x 0 ;y0 )
дифференцируемая функция
(необхоАимые условия экстремума). Если в точке
z = f(x;y)
имеет экстремум,
то ее частные производные в этой точке равны нулю: f~(x 0 ;y 0 ) =О,
!~(хо; Уо) =О.
О Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у= у0 • То­
гда получим функцию
f (х; Уо) = ip(x) одной переменной, которая имеет
экстремум при х
Следовательно, согласно необходимому условию
= х0 .
экстремума функции одной переменной (см. п.
25.4),
<р 1 (х 0 )
= О, т. е.
f~(xo;Yo) =0.
Аналогично можно показать, что !~(хо; Уо) =О.
Геометрически равенства f~ (хо; Уо) = О и
!~(хо; Уо)
О означают, что в точке экстрему­
ма функции z = f(x; у) касательная плоскость
к поверхности, изображающей функцию f(x;y),
=
параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение ка­
сательной плоскости есть
лу
•
z
1
(см. форму-
z = z0
(45.2)).
Заме-ч,ание. Функция может иметь экстремум
в точках, где хотя бы одна из частных производ­
z = 1имеет максимум в точке 0(0; О) (см.
ных не существует. Например, функция
-
./х 2
рис.
+ у2
210),
Рис.
210
но не имеет в этой точке частных про-
изводных.
~
Точка, в которой частные производные первого порядка функции
z = f(x;
у) равны нулю, т. е. f~ =О, f~
=
О, называется сmацио­
нарно11, mo'Ч.кoii. функции z.
~
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная про­
изводная не существует, называются криmи'Ч.ескими mо'Ч.ками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может
и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рас­
смотрим, например, функцию
z =
ся критической (в ней z~
и z~
=у
ху. Для нее точка
=
321
0(0; О)
являет­
х обращаются в ноль). Однако
экстремума в ней функция
окрестности точки
и
III
четвертей) и
z
0(0;0)
<О
=
z
ху не имеет, т. к. в достаточно малой
найдутся точки для которых
(точки П и
IV
z
>О (точки
I
четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной
области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть
дополнительному исследованию.
Теорема
46.2
(достаточное условие экстремума). Пусть в стаци­
онарной точке (хо; Уо) и некоторой ее окрестности функция
имеет
непрерывные частные производные до
второго порядка
чительно. Вычислим в точке (хо; Уо) значения А
f(x;
у)
вклю­
= f::x(xo; Уо). В
=
= J:,:y(xo; Уо). С= f~y(xo; Уо). Обозначим
д = 1 ~ ~ 1 = АС - В2 .
Тогда:
1) если д >О, то функция
f(x;y)
в точке (хо;уо) имеет экстремум:
максимум, если А <О; минимум, если А> О;
2) если д
< О, то функция f (х; у)
в точке (хо; у 0 ) экстремума не имеет.
В случае д =О экстремум в точке (хо; у0 ) может быть, может не быть.
Необходимы дополнительные исследования.
Примем без доказательства.
Пример
Q
46.1. Найти экстремум функции z = Зх 2 у- х 3 -у 4 •
Решение: Здесь z~
= 6ху -
3х 2 , z~
= 3х 2
-
4у 3 • Точки, в которых
частные производные не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
- 3х 2 =О,
{ 6ху
3х 2 -4у 3 =О.
Отсюда получаем точки М1 (6;
3)
и М2 (0; О).
Находим частные производные второго порядка данной функции:
z"хх = 6у - 6х ' z"ху = 6х ' z"уу = -12у 2 .
В точке М1 (6;3) имеем: А= -18,
В=
36,
С=
-108,
отсюда
АС - В 2 = -18 · (-108) - 36 2 = 648,
т. е. д >О.
Так как А
Zmax
< О, то в точке М1
= z(6; 3) = 3 · 36 · 3 - 63
-
функция имеет локальный максимум:
34 = 324 - 216 - 81 = 27.
322
В точке М2 (0; О): А
=
О, В
=
О, С
=
О и, значит, Л
дополнительное исследование. Значение функции
z
О. Проведем
=
в точке М2 равно
нулю: z(O; О) = О, Можно заметить, что z = -у 4 < О при х = О, у i=- О;
z = -х 3 > О при х < О, у =О. Значит, в окрестности точки М2 (0;0)
функция
z
принимает как отрицательные, так и положительные зна­
чения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет.
8
46.З. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области
Пусть функция
z = f(x;y)
определена и непрерывна в ограничен­
ной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках
D своего наибольшего Ми наименьшего т значений (т. н. глобалъны,i1
экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, располо­
женных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений диф­
ференцируемой в области D функции
z
= f(x; у) состоит в следующем:
1. Найти все критические точки функции, принадлежащие
D,
и
вычислить значения функции в них;
2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = f(x;y)
на границах области;
3.
Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них
наибольшее М и наименьшее
Пример
46.2.
m.
Найти наибольшее и наи­
меньшее значения функции
z=
х 2 у + ху 2
+ ху
у
в замкнутой области, ограниченной линиями:
у= 1, х = 1, х = 2, у= -1,5 (см. рис. 211).
х
- - -
Q
Решение: Здесь z~ = 2ху+у 2 +у, z~ = х 2
+ 2ху +х.
1.
Находим все критические точки:
+у+ 1) =О,
{ у(2х
х(х + 2у + 1) =О.
+
'7·~:~
о
х
А
Е
Рис.
Решением системы являются точки (О;О), (-1;0), (О;-1),
Исследуем функцию
z
ков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис.
211
(-i;-i)·
Ни одна из найденных точек не принадлежит области
2.
с у=~
D.
на границе области, состоящей из участ­
211).
323
На участке АВ: х = 1,
у 2 + 2у, где у Е [-~;1], z~ = 2у + 2,
z =
2у + 2 = О, у = -1. Значения функции z(-1) =
-1,
z(-IO
= -~,
z(l) = 3.
На участке ВС: у = 1,
х
х+1
+
х
z =
1 - ..Ь = О, Х1 = 1, х2 = -1
х
tf.
z(2) = 3,5.
На участке СЕ: х = 2,
z =
1,
где х Е
[1; 2],
z~ =
1-
~'
х
[1; 2]. Значения функции z(l) = 3,
2у 2 + 6у, у Е [-~; !] , z~ = 4у + 6,
= -4,5, z(!) = 3,5.
!х, х Е [1;2], z~ = -3х + ~'
4у + 6 =О, у=-~. Значения функции z(-~)
На участке АЕ: у=-~,
-3х +!=О, х =
3.
2+
z = - 3
2
:i ~ [1; 2]. Значения функции z(l) = -~, z(2) = -4,5.
Сравнивая полученные результаты, имеем:
М=
ат= -4,5 =
+3,5 = z(2;
z( 2; -ю = z(E).
~) = z(C);
•
Глава Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
1
Лекции 37-431
§ 47.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
47.1.
~
Основные понятия
При решении различных задач математики, физики, химии и других
наук
часто
пользуются
математическими
моделями
в
виде
уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию
и ее производные. Такие уравнения называются дифференциа.п:ьны­
ми (термин принадлежит Г. Лейбницу,
1676 г.).
Решением дифферен­
циального уравнения называется функция, которая при подстановке в
уравнение обращает его в тождество.
Так, решением уравнения у'=
первообразная для функции
f(x)
является функция у=
F(x) -
f(x).
Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных урав­
нениях (ДУ).
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной перемен­
ной, то ДУ называют обыкиовен:н:ым; в противном случае
-
ДУ в
'Часmи'Ых производиих. Далее будем рассматривать только обыкновен­
ные ДУ.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется по-
рядком этого уравнения.
.
Например, уравнение у"'
-
3у 11
+ 2у =
О
-
обыкновенное ДУ тре­
=
тьего порядка, а уравнение х 2 у' + 5ху
у 2 - первого порядка; у· z~
= х · z~ - ДУ в частных производных первого порядка.
=
Процесс отыскания решения ДУ называется его иитегрироваиие.м,
а график решения ДУ
-
иитегра.л:ьиоit кривоit.
Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диф­
ференциальным уравнениям.
47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
ЗаАача
1
Материальная точка массы т замедляет свое движение под дей­
ствием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скоро-
325
сти
V. Найти зависимость скорости от времени. Найти
3 с после начала замедления, если V(O) = 100 м/с,
через
скорость точки
V(l) = 50 м/с.
а
О Решение: Примем за независимую переменную время
t,
отсчитыва­
емое от начала замедления движения материальной точки. Тогда ско­
рость точки
будет функцией
V
t,
т. е.
V = V(t).
Для нахождения
V(t)
воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механи­
ки): т ·а=
F, где а= V'(t) -
есть ускорение движущегося тела,
F -
результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.
В данном случае F = - k V 2 , k
>О-
коэффициент пропорциональ­
ности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается).
Следовательно, функция
V = V(t)
является решением дифференци-
ального уравнения т · V' = -k · V 2 или V' = _ .k_ V 2 . Здесь т - масса
т
re~
Как будет показано ниже (пример
const.
1
=
k
, где с т ·t+c
Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость
точки через
3
48.5), V
с после начала замедления.
Найдем сначала параметры .k. и с. Согласно условию задачи, име­
m
ем:
V(O) =
~
= 100
и
V(l) = .li. ~с = 50.
Отсюда с=
5
1 0,
m
Следовательно, скорость точки изменяется по закону V
этому V(З) =
Задача
25
=
~
i
= 1 0.
t 1~01 .
м/с.
По8
2
Найти кривую, проходяшую через точку
(4; 1),
зная, что отрезок
любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
О Решение: Пусть М(х;у)
у
произвольная точка
-
кривой, уравнение которой у
А
ленности предположим,
что
первой четверти (см. рис.
= f(x).
кривая
Для опреде­
расположена в
212).
Для составления дифференциального уравне­
ния воспользуемся геометрическим смыслом первой
о
хе
Рис.
в
212
х
производной:
tg а
есть угловой коэффициент каса­
тельной; в точке М(х;у) он равен у', т. е. у'=
Из рисунка видно, что tg(LM ВС)
tg(LM ВС) = tg(180° -
о:)
tgo:.
= ~g. Но
= - tg а,
МС= у. По условию задачи АМ =МВ, следовательно, ОС= СВ= х.
326
Таким образом, получаем - tg о:
= '1l
х
или у 1
= - 'll.
х
Решением па-
лученного дифференциального уравнения является функция у = .1.
х
(гипербола). Решение будет приведено в п.
48.2
(пример
8
48.4).
Другие задачи
Можно показать, что:
закон изменения массы радия в зависимости от времени («радио­
•
активный распад») описывается дифференциальным уравнением
~7 = -k · т, где k > О m(t) •
коэффициент пропорциональности,
масса радия в момент t;
«закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела
в зависимости от времени, описывается уравнением ~I =k(T-t0 ),
где
T(t) -
температура тела в момент времени
ент пропорциональности, t 0 ждения);
•
t, k -
коэффици­
температура воздуха (среды охла­
зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реак­
цию, от времени
t
во многих случаях описывается уравнением
~~ = k · х, где k - коэффициент пропорциональности;
«закон размножения бактерий» (зависимость массы
•
от времени
•
t)
описывается уравнением m~
= k · т,
*
m
бактерий
где k >О;
закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над
уровнем моря описывается уравнением
атмосферное давление воздуха на высоте
= -k · р,
h, k
где
p(h) -
> О.
Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную
роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообраз­
ных задач.
§48.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
48.1.
Основные понятия
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае
можно записать в виде
F(x; у; у 1 ) =
327
О.
(48.1)
Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию
у и ее производную у'. Если уравнение
(48.1)
можно разрешить отно­
сительно у', то его записывают в виде
у'= f(x; у)
(48.2)
и называют ДУ первого пор.ядка, разрешенным относител.ъно произ­
водноii. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.
iJ
Уравнение
(48.2)
устанавливает связь (зависимость) между коор-
динатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной
к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно,
ДУ у'=
f(x; у) дает совокупность направлений (поле направл.ениii) на
плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по­
рядка.
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, на­
зывается изокл.иноii. Изоклинами можно пользоваться для приближен­
ного построенмя интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по­
лучить, если положить у'= с, т. е. f(x; у)= с.
Пример
48.1.
С помощью изоклин начертить вид интегральных
кривых уравнения у'= 2х.
Q
Решение: Уравнение изоклин этого ДУ
у
будет 2х =с, т. е. изоклинами здесь будут
прямые, параллельные оси Оу (х
=
~).
В точках прямых проведем отрезки, обра­
зующие с осью Ох один и тот же угол а,
тангенс которого равен с.
Так, при с= О имеем х =О,
поэтому а
=
tga
О;
при с = 1 уравнение изоклины х
поэтому
tga = 1 и
при с= -1: х
а=
=О,
= !,
х
45°;
= -!, tga = -1,
а
Рис.
= -45°;
при с=
2:
х
= 1, tg а = 2, а =
arctg 2
~
63°
213
и т. д.
Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стре­
лочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис.
213),
по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют со­
бой семейство парабол.
8
Дифференциальное уравнение первого порядКа, разрешенное от­
носительно производной, можно записать в дифференv,иал.ъ?tо1i, форме:
Р(х; у)
dx + Q(x; у) dy
328
=О,
(48.3)
где Р(х;у) и Q(x;y) -
известные функции. Уравнение (48.З) удобно
тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них мож­
но рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида
записи ДУ можно перейти к другому.
Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному мно­
жеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величи­
нами). Легко догадаться, что решением уравнения у'
функция у = х 2 , а также у
где с const.
= х2 +
1, у
= 2х
является
= х 2 - -J2 и вообще у = х 2 +с,
Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчи­
нить некоторым дополнительным условиям.
Условие, что при х
му числу Уо, т. е. у
= хо
функция у должна быть равна заданно­
= Уо называется ншчалъ·н:ым условием. Начальное
условие записывается в виде
у(хо) = Уо или Ylx=xo = Уо·
(48.4)
Общим решением ДУ первого порядка называется функция у
=
= <,о(х; с), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
1.
Функция <,о( х; с) является решением ДУ при каждом фиксиро­
ванном значении с.
2.
Каково бы ни было начальное условие
значение постоянной с
(48.4),
можно найти такое
= ео, что функция у = <,о(х; ео) удовлетворяет
данному начальному условию.
~
Частным решением ДУ первого порядка называется любая
функция у
=
<,о(х; ео), полученная из общего решения у
при конкретном значении постоянной с
= ео.
=
<,о(х; с)
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде урав­
нения Ф(х; у; с)
= О, то такое решение называется общим интегралом
ДУ. Уравнение Ф(х; у; ео)
=
О в этом случае называется -частным ин­
тегралом уравнения.
С геометрической точки зрения у
= <,о(х; с) есть семейство инте­
= <,о(х; ео) -
гральных кривых на плоскости Оху; частное решение у
одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (хо; у0 ).
~
Задача отыскания решения ДУ первого порядка
(48.3),
ряющего заданному начальному условию
называется зада­
(48.4),
удовлетво­
'Чеu Коши.
Теорема
48.1
(существования и единственности решения задачи
Коши). Если в уравнении (48.2) функция f(x;y) и ее частная про­
изводная f~(x; у) непрерывны в некоторой области D, содержащей
точку (хо; Уо), то существует единственное решение у = <,о(х) этого
уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).
329
(Без доказательства).
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении
ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, прохо­
дящая через точку (Хо; Уо).
Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка
определенного типа.
48.2.
Уравнения с разделяющимися переменными
Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида
Р(х)
· dx + Q(y) · dy
=О.
(48.5)
В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое
от у. Иногда
-
такие ДУ называют уравнениями с разделенными nеременнuми. Про­
интегрировав почленно это уравнение, получаем:
j Р(х) · dx + j Q(y) · dy =с
-
его общий интеграл.
Пример
Q
48. 2.
Найти общий интеграл уравнения х · dx -у
· dy = О.
Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными.
Jу
-
-и;- = с1 • Обозначим ~ = с 1 •
- общий интеграл ДУ.
8
Поэтому j х · dx Тогда х 2 - у 2 = с
· dy
= с 1 или
2
2
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися пе­
ре.менн'Ыми, которые имеют вид
(48.6)
Особенность уравнения (48.6) в том, что коэффициенты при dx и
dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из
- только от у.
(48.6) легко сводится к уравнению (48.5)
его на Q1(y) · Р2(х) =j:. О. Получаем:
которых зависит только от х, другая
Уравнение
ного деления
Р1(х) ·dx+ Qz(y) ·dy=O,
Р2(х)
~
путем почлен­
JP1(x) ·dx+j Q2(Y) ·dy=c
Р2(х)
Qi(Y)
Qi(Y)
общий интеграл.
За.ме'Чания.
1.
При проведении почленного деления ДУ на
Q1 (y)x
хР2 (х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует
отдельно решить уравнение
Q 1 (y) · Р2 (х) =О и установить те решения
ДУ, которые не могут быть получены из общего решения,
решения.
330
-
особые
2.
Уравнение у'=
fi(x) · f2(Y)
также сводится к уравнению с раз­
деленными переменными. Для этого достаточно положить у'
~ и
=
разделить переменные.
3.
ны ах
Уравнение у'=
+ Ьу + с
=
f(ax +
Ьу +с), где а, Ь, с
-
числа, путем заме­
и сводится к ДУ с разделяющимися переменными.
Дифференцируя по х, получаем:
du
dx
dy
dx
-=а+Ь·-,
du
dx=a+b·f(u),
т.е.
откуда следует
du
а+ Ь
· f(u)
= dx.
+ Ьу + с,
Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах
получим общий
интеграл исходного уравнения.
Пример
Q
48.3.
Решить уравнение (у+ ху)
· dx
+ (х -
ху)
=О.
· dy
Решение: Преобразуем левую часть уравнения:
у·
Оно имеет вид
(48.6).
(1
+ х) · dx + х · (1 -
у)·
+ 1 - у dy
х
О.
=
у
Решением его является общий интеграл х
+х -
у = с.
Здесь уравнение
=О.
Делим обе части уравнения на ху =/:-О:
1 + х dx
ln \ху\
dy
Qi(y) · Р2(х)
+ ln lxl + ln IYI -
у
с, т. е.
=
=О имеет вид ху =О. Его решения
= О, у = О являются решениями данного ДУ, но не входят в
интеграл. Значит, решения х = О, у = О являются особыми.
х
общий
8
Пример 48.4. Решить уравнение у' = _ 'l/.., удовлетворяющее усло­
х
вию у(4)
Q
= 1.
Решение: Этот
из п.
47.2.
Имеем:
пример
представляет собой
011.
= _у_х или 011.
=dx
у
ln \у\
т. е. у = !::.. х
решение
задачи
2
dx. Проинтегрировав получим:
х
'
= ln \с! -
ln \х\,
общее решение ДУ.
Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторон­
них гипербол. Вьщелим среди них одну, проходящую через точку
(4; 1).
Подставим х = 4 и у = 1 в общее решение уравнения: 1 = ~, с = 4.
Получаем: у= 1 - частное решение уравнения у'= _у__
х
х
331
е
Пример 48.5. Найти общее решение ДУ
m · V 1 = -k · V 2 •
а Решение: Этот пример демонстрирует решение задачи
Приведем данное уравнение к виду
dV
2
m · - = -kV ,
dt
Интегрируем:
V =
1
-k-- -
m,t+c
j
~+~
dV
- 2
V
+ kV 2 dt =О,
m · dV
1 ИЗ п. 47.2.
(48.5):
J
dt = -с, т. е. -
k
dt
m
+-
=О.
i + ~ t +с = О. Отсюда
общее решение уравнения.
8
48.3. Однородные дифференциальные уравнения
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся одно­
родные ДУ первого порядка.
~
Функция
f (х; у) называется однородноii функцие1i п-го порядка
(из­
.мерен'UЯ), если при умножении каждого ее аргумента на произ­
вольный множитель
).
вся функция умножится на
J(Л · х; Л ·у)= лп
Например, функция
f(x; у) = х 2
-
). n,
т. е.
· f(x; у).
2ху есть однородная функция
второго порядка, поскольку
f(Л · х;). ·у) = (Лх) 2
2(Лх)(Лу) = ).2
-
•
(х 2
-
2ху) = ). 2
·
f(x; у).
Дифференциальное уравнение
у1
~
= f(x;y)
(48.7)
называется одн.ородн.ЪtМ, если функция
f( х; у)
есть однородная
функция нулевого порядка.
Покажем, что однородное ДУ
(48. 7)
можно записать в виде
(48.8)
О Если
f(x; у) - однородная функция нулевого порядка,
делению, f(x; у)= f(Лх; Лу). Положив).= l, получаем:
то, по опре­
х
f(x;y) =
!(;; ;) = !( 1; ;) =ер(~)·
Однородное уравнение
(48.8)
•
преобразуется в уравнение с разделя­
ющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)
1; =и 1 или, что то же самое, 1у= и. х.1
332
(48.9)
Действительно, подставив у
=
их и у'
=
и' х
+ и в уравнение
(48.8),
получаем и'х+и = rр(и) или х· ~~ = rр(и)-и, т. е. уравнение с разделяю­
щимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл),
следует заменить в нем и на 'lL. Получим общее решение (интеграл) исх
ходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
1
ДУ
(48.10)
Р(х; у)· dx + Q(x; у)· dy
=
будет однородным, если Р(х;у) и
o. j
(48.10)
Q(x;y) -
однородные
функции одинакового порядка.
Переписав уравнение
(48.10)
в виде~= -~t~;~~ и применив в
правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение
у'= <р(~)·
liJ
При интегрировании уравнений вида
(48.10)
нет необходимости
предварительно приводить их (но можно) к виду
новка
сразу преобразует уравнение
(48.9)
(48.10)
(48.8):
подста­
в уравнение с разде­
ляющимися переменными.
Пример
48.6.
Найти общий интеграл уравнения
(х2
у 2 ) • dx
-
+ 2ху · dy = О.
Q
Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х;у) =
= х 2 -у 2 и Q(x; у)= 2ху - однородные функции второго порядка.
Положим у= и·х. Тогда dy = х·dи+и·dх. Подставляем в исходное
уравнение:
(х 2
-
и2 х 2 ) • dx
+ 2х ·их · х · dи + 2х ·их ·и· dx,
+ 2и 2 ) • dx + 2их 3 • dи =О,
(1 + и 2 ) • dx + 2их · dи = О,
х 2 (1 - и 2
последнее
-
уравнение с разделяющимися переменными. Делим пере-
менные
dx
2и
-+--·dи=О
1 +и2
х
и интегрируем
ln Jxl
+ ln(l + и 2 )
Обозначим с
=
ес 1 , с
= с1,
> О.
ln (lxl · (1
+ и 2 ))
= с1,
lxl (1 + и 2 ) =
ес 1 •
Тогда
lxl · (1 + и 2 ) = с.
Заменяя и на 'll, получаем: х 2
х
+ у2
= сх -
уравнения.
333
общий интеграл исходного
Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к
виду
(48.8):
х 2 - у 2 + 2ху · :~ = О,
Ь1 , с1 -
вида у
х2
2ху
Затем положить у = и · х, тогда у' = и' х
заме'Чание. у равнение
_
у2
dy
dx
,=
!(
'
+и
у'
х
и т. д.
8
ах+
+ ЬЬу +с
+ ),
а1х
1У
с1
где а,
Ь,
с, а 1 ,
числа, приводится к однородному или с разделяющимися пере-
менными. Для этого вводят новые переменные и и
у
(ll") 2 -1
= -'-"'-'----2. 1L
= v + (3,
где а и
(3 -
v,
положив х
= и+а,
числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало
однородным.
Пример
48. 7.
(х
1 -
т. е. У -
Найти общий интеграл уравнения
+ 2у + 1) · dx -
(2х +у
- 1) · dy
=О,
+ 2у + 1
х
2х
+у -
1·
О Решение: Положив х =и+ а, у= v
+ /3,
получаем:
dx = du, dy = dv;
dy
dv
и + а + 2v + 2/3 + 1
и + 2v + (а + 2/3 + 1)
1
у = dx = du = 2u + 2а + v + (3- 1 = 2u + v + (2а + /3 - 1) ·
Подберем а и (3 так, чтобы
2/3+1 =О,
{ а+
2а + (3-1 =О.
Находим, что а=
1, (3 = -1.
dv
du
Заданное уравнение примет вид
и+
2v
v
2и+
и будет являться однородным. Его решение получается, как это было
показано выше, при помощи подстановки
его, следует заменить и и
v
v = tu.
соответственно на х
Заметим, что, решив
- 1
и у
+ 1.
В итоге
получим (у-х+2) 3 = с(х+у)-общийинтегралданногоуравнения.
48.4.
8
Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли
Дифференциальное уравнение первого порядка называется лu­
неiiн'Ьl,М, если его можно записать в виде
у'+ р(х) ·у =
g(x),
(48.11)
где р(х) и g(x) - заданные функции, в частности - постоянные.
Особенность ДУ (48.11): искомая функция у и ее производная у'
входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Рассмотрим два метода интегрирования ДУ
И. Бернулли и метод Лагранжа.
334
(48.11) -
метод
Метод И. Бернулли
Решение уравнения (48.11) ищется в виде произведения двух дру­
гих функций, т. е. с помощью подстановки у = и· v, где и = и(х) и
v = v(x) - неизвестные функции от х, причем одна из них произволь­
на (но не равна нулю
записать как
действительно любую функцию у(х) можно
-
у(х) = ~~:~
и(х) · v(x),
· v(x) =
где v(x) "#О). Тогда у'= и'· v +и· v'. Подставляя выражения у и у' в
уравнение (48.11), получаем: и'· v +и· v'
р(х) ·и· v = g(x) или
+
+ р(х) · v)
и'· v +и· (v'
Подберем функцию
= v(x)
v
равно нулю, т. е. решим ДУ v' + р(х) · v
dv
v
= -р(х) · dx.
= g(x).
(48.12)
так, чтобы выражение в скобках было
=
О. Итак, ~~ + р(х) · v
=
О, т. е.
Интегрируя, получаем:
ln lvl = -
Jр(х)
Ввиду свободы выбора функции
· dx
v(x),
+ ln lсl-
можно принять с= 1. Отсюда
v = e-fp(x)·dx.
Подставляя найденную функцию
v
в уравнение
(48.12),
получаем
и'. e-f р(х) dx = g(x).
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
du . е- f p(x)·dx = g(x),
dx
и=
du
= g(x) . е+ f p(x)·dxdx,
j g(x) · ef p(x)·dxdx +с.
Возвращаясь к переменной у, получаем решение
у=и·v=
исходного ДУ
Пример
(J
g(x)·efp(x)·dxdx+c) ·e-fp(x)·dx
(48.11).
48.8.
Проинтегрировать уравнение у'+ 2ху
О Решение: Полагаем у
и'·
v
+и·
(v'
+ 2xv) =
= и· v. Тогда и' · v +и · v'
dv
v
ln lvl
Теперь решаем уравнение и'· е-х
-du =
dx
2х
= 2х.
+ 2х · uv = 2х, т. е.
v' + 2х · v =О:
2х. Сначала решаем уравнение
- = -2х · dx,
· ех 2 ,
du =
2
J
= -х 2 , v = е-х
2
+и· О= 2х, т. е.
2х
· ех 2 · dx,
и= ех
Итак, общее решение данного уравнения есть у= и·
т. е. у
(48.13)
v
2
+с.
= (ех 2 +с)· е-х 2 ,
8
= 1 + с · е -х2 .
335
МетоА Лагранжа (меТОА вариации произвольной постоянной)
Уравнение
(48.11)
интегрируется следующим образом.
Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е.
уравнение у'+ р(х) ·у= О. Оно называется .линеil-н-ым од-нороднъtм ДУ
первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:
dy
у=
-р(х) · dx
Таким образом,
1!;1 = е-
у = ±с1е- f p(x)·dx
и
ln IYI
f p(x)·dx,
или
=-
/ р(х) · dx
+ ln lcil·
т. е.
у =с· е- f p(x)·dx,
где
с= ±с1.
Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что по­
стоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. пола­
гаем с= с(х). Решение уравнения
ищем в виде
(48.11)
у= с(х) ·e-fp(x)dx.
(48.14)
Находим производную 1 :
J
у'= с'(х) ехр(- р(х) dx) + с(х) ехр (- j р(х) dx) · (-р(х)).
Подставляем значения у и у' в уравнение
(48.11):
J
с'(х) ехр(- j р(х) dx) - с(х)р(х) ехр(- р(х) dx )+
J
+ с(х)р(х) ехр(- р(х) dx) = g(x).
Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет
вид
с'(х)ехр(-
Jp(x)dx) =g(x).
Следовательно,
dc(x) = g(x) ехр (/ р(х) dx) · dx.
Интегрируя, находим:
с(х) =
Jg(x) · ехр(/ р(х) dx) · dx +с.
Подставляя выражение с(х) в равенство
ние ДУ
(48.14),
получим общее реше­
(48.11):
у=
[/ g( х) · ехр (/ р( х) dx) · dx
+ с] · ехр ( -
Jр( х) dx) .
Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ер.
с
(48.13)).
Пример
48.9.
Решить пример
48.8
методом Лагранжа.
1 Для удобства записи пользуемся обозначением eF(x)
336
= exp(F(x)).
Q Решение: Решаем уравнение у'+ 2ху =О. Имеем 111_
=
-2х · dx, или
у= с· е-х 2 • Заменяем с на с(х), т. е. решение ДУ у'+ 2ху
виде у = с( х) · е-х 2 • Имеем
= 2х ищем в
у
у'= с'(х) · е-х 2
+ с(х) · е-х 2
•
(-2х).
Тогда
с'(х) · е-х 2
или с(х) =
или у
2хс(х) · е-х 2
-
+ 2хс(х) · е-х 2 = 2х,
т. е.
с' (х) · е-х 2
= 2х,
j 2х·ех 2 ·dx, или с(х) = ех 2 +с. Поэтому у= (ех 2 +с) ·е-х 2 ,
= 1 +с· е-х
2
-
общее решение данного уравнения.
Заме-ч,а'Н,ие. Уравнение вида (х · Р(у)
Q(y), R(y)-::/:-
О
-
+ Q(y))
8
·у'= R(y), где Р(у),
заданные функции, можно свести к линейному, если
х считать функцией, а у
- аргументом: х = х(у). Тогда, пользуясь ра1
венством у' =
получаем х · Р(у) + Q(y) = R(y) т. е. х' - Р(у) · х =
х
~'
х'
'
R(y)
=
~~~~
линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в
-
виде х =и·
v,
где и= и(у),
две неизвестные функции.
v = v(y) -
Пример 48.10. Найти общее решение уравнения (х +у)· у'=
Q Решение: У читывая, что у'
к линейному уравнению х'
и'·
=
= 1т, от исходного уравнения переходим
х
х
+ у.
Применим подстановку х = и · v. Тогда х' = и' · v +и · v'. Получаем:
v +и· v' =и· v +у, или и'· v + u(v' - v) =у.
Находим функцию v: v' - v =О, dv = dy, v = еУ.
v
Находим функцию и: и'
и=
1.
·
еУ +и· О
=
у, т. е. и'
=
у· е-У, или
j у· е-У · dy. Интегрируя по частям, находим: и = -у· е-У - е-У +с.
Значит, общее решение данного уравнения:
х =и·
или х
v
=(-у· е-У
-
е-У +с)· еУ,
•
= -у - 1 + с · еУ.
Уравнение Я. Бернулли
Уравнение вида
y'+p(x)·y=g(x)·yn, nEIR, n-::j:.O, n-::j:.1
~
называется уравнением
(48.15)
Берну.али. Покажем, что его можно
привести к линейному.
Если
n
=О, то ДУ
(48.15) -
линейное, а при
щимися переменными.
337
n = 1-
с разделяю­
В общем случае, разделив уравнение
(48.15)
у-п. у'+ р(х). у-n-т-1
Обозначим y-n+l
= z. Тогда z' =
ddz
х
1
на уп
f:.
О, получим:
= g(x).
(48.16)
= (1- n) · у-п ·у'. Отсюда находим
y-n ·у'= -1 z . Уравнение (48.16) принимает вид
-n
-1 1 ·z'
-n
+р(х) ·z =
g(x).
Последнее уравнение является линейным относительно
z. Решение
его известно. Таким образом, подстановка
(48.15)
к линейному. На практике ДУ
И. Бернулли в виде у= и·
48.5.
v
z = y-n+l сводит уравнение
(48.15) удобнее искать методом
(не сводя его к линейному).
Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
Уравнение
Р(х; у) dx
~
+ Q(x; у) dy
=О
(48.17)
называется уравнением в nолн'Ьtх дифференциалах, если его
левая
часть
есть
полный
и(х; у), т. е.
Р(х; у) dx
В этом случае ДУ
дифференциал
+ Q(x; у) dy =
(48.17)
некоторой
функции
du(x; у).
можно записать в виде
du(x;y) =О, а его
общий интеграл будет:
и(х; у) =с.
(48.18)
Приведем условие, по которому можно судить, что выражение
Л = Р(х;у) dx
+ Q(x;y) dy
есть полный дифференциал.
Теорема
48.2.
Для того чтобы выражение Л
где функции Р(х; у) и
Q(x; у)
= Р(х; у) dx+Q(x; у) dy,
и их частные производные i~ и ~
непрерывны в некоторой области
D
плоскости Оху, было полным
дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия
дР
ду
дQ
-
338
дх"
(48.19)
Необходимость
Q
Пусть д есть полный дифференциал, т. е.
Р(х; у)
dx
+ Q(x; у) dy =
du(x; у).
Учитывая, что du(x; у)= g~ dx + ~~ dy (см. п. 44.3), имеем:
ди
ди
Р(х;у) = дх;
Q(x;y) = ду·
Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаем
дР
д2 и
-=--ду
дх. ду
дQ
и
дх
д2 и
д2 и
А так как смешанные частные производные дх . ду и ду . дх равны
между собой (см. п.
44.2),
получаем
(48.19).
Достаточность
Пусть в области
D
выполняется условие
ществует функция и(х;у) в области
du(x; у) =
Р(х; у)
(48.19).
D
такая, что
dx
+ Q(x; у) dy.
Покажем, что су­
Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требаваниям:
ди
ди
дх = Р(х;у) и ду = Q(x;y).
Если в первом уравнении
(48.20)
зафиксировать у и проинтегриро­
(48.20)
вать его по х, то получим:
и(х; у) =
j Р(х; у) dx + ip(y).
Здесь произвольная постоянная с=
числом). В решении
(48.21)
(48.21)
=
(J P(x;y)dx)~ +ip'(y).
ip'(y) = Q(x;y) (48.22)
Для ее нахождения
можно записать:
(48.20),
Отсюда
В равенстве
ip(y).
по у:
(J P(x;y)dx)~ +ip'(y).
Используя второе равенство
Q(x;y)
зависит от у (либо является
не известна лишь
продифференцируем функцию
~~ =
ip(y)
(48.21)
(j Р(х;у) dx )>
(48.22)
левая часть зависит от у. Покажем, что и правая
часть равенства зависит только от у.
339
Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что
производная равна нулю. Действительно,
~(Q(x;y)- ~(jP(x;y)dx)) = ~~ -:x(~(J P(x;y)dx))
=
дQ
дх
~(~(/ P(x;y)dx))
-
ду
в силу условия
дх
(48.19).
(48.22)
Из равенства
'Р(У) =
дQ
=
~(Р)
-
дх
ду
дх
функцию и(х; у) такую, что
du(x; у)=
Р(х; у)
Таким образом, при решении ДУ вида
выполнение условия
(48.19).
dx
ду
(48.21),
находим
+ Q(x; у) dy.
(48.17)
8
сначала проверяем
Затем, используя равенства
находим функцию и(х;у). Решение записываем в виде
Q
дР =О
:у (J Р(х;у) dx)) dy +с, с - coпst.
J ( Q(x;y) -
Пример
-
находим <р(у):
Подставляя найденное значение для 'Р(У) в равенство
liJ
дQ
=
=
(48.20),
(48.18).
48.11. Решить уравнение у'= 35-2х~
2
.
у +х
Решение: Запишем уравнение в дифференциальной форме:
+ (Зу 2 + х 2 ) dy = О.
Q(x;y) = 3у 2 + х 2 • Проверяем
(2ху - 5) dx
Здесь Р(х;у) = 2ху - 5,
условия
выполнение
(48.19):
дР
-=2х·
ду
'
дQ
-=2х;
дх
дР
дQ
ду
ах·
-
Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифферен­
циалах. Условия
(48.20)
будут здесь выглядеть как
ди
ди
2
= Зу + х
дх = 2ху - 5, ду
2
.
Отсюда имеем
и(х; у) = J (2ху - 5) dx
= х 2 у - 5х + ip(y);
ди
ду = (х 2 у - 5х + 'fJ(y))~ = х 2
+ <р'(у).
Далее
Зу2
+ х2
= х2
'Р(У) =уз+ с1,
+ 'Р'(у),
'Р'(у) = 3у2'
и(х; у)= х2 у - 5х +уз+ с1.
Общим интегралом является х 2 у-5х+уз+с1
где с = с2 - С1.
340
= с2 , или х 2 у-5х+уз =с,
8
Если условие
не выполняется, то ДУ
(48.19)
(48.17)
не является
уравнением в полных дифференциалах.
Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в пол­
ных дифференциалах умножением его на некоторую функцию
t(x; у),
называемую интегрирующим мнrоtеителем.
Чтобы уравнение
t(x; у) ·
Р(х; у)
dx
+ t(x; у)
· Q(x; у) dy =
О было
уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие
д
д
ду (t(x; у)· Р(х; у))= дх (t(x; у)· Q(x; у)).
gi ·Р + i~ · = g~ ·Q+ ~ · и приведя
Выполнив дифференцирование
t
t
подобные слагаемые, получим
дt ·Р- дt ·Q=t(дQ _ дР).
ду
Для нахождения
дх
t(x; у)
дх
(48.23)
ду
надо проинтегрировать полученное ДУ в
частных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение
интегрирующего множителя может быть упрощено, если допустить су­
ществование
t
как функции только одного аргумента х либо только у.
Пусть, например,
_ dt . Q
dx
t = t(x).
= t . ( дQ
дх
Отсюда
п ри
Тогда уравнение
_ дР)'
t(x) = ехр
дР ду
этом выражение
Q
(
ду
!51._
дх ·
dx.
Q
t
J арду Q !51..дх dx) .
_
(48.24)
!51._
дх
должно зависеть только от х.
Аналогично получаем, что если
t = t(y) (t
!51._ -
t(y) =
принимает вид
дР -
dt
или
ду
(48.23)
не зависит от х), то
дР
ехр(/ дх р ду
dy),
а подынтегральное выражение должно зависеть только от у.
Пример 48.12. Решить уравнение (x 2 -y)·dx+(x 2 y 2 +x)·dy =О.
Q Решение: Здесь дР = -1·
ду
дР
ду
'
-
Q
!51._
дх
qo_
= 2ху 2 + 1' т. е.
дх
2
= -1 - 2ху
х2у2
зависит только от х.
341
-
+х
1
дР -:j:.
ду
-2
х
qo_
Однако
дх
Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, за­
висящий только от х, выражение которого может быть получено при
помощи формулы
В нашем случае получим, что
(48.24).
t(x) =
J
ехр(- ~ dx)
= exp(-2ln lxl) = :
2•
Умножая исходное уравнение на t =~'получаем:
х
(1- :
2)
dx + ( у 2 +
~) dy = О,
т.е. уравнение в полных дифференциалах! Решив его, найдем, что об­
щий интеграл заданного уравнения имеет вид
у
уз
х
3
х+-+- =с.
8
48.б. Уравнения Лагранжа и Клеро
Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные отно­
сительно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Ла­
гранжа и Клеро.
Уравнение Лагранжа
У равнение вида
~ где 'Р и ф
+ ф(у'),
известные функции от у' =
-
у= х.
ip(y')
нием Лагран:;нса.
*,
(48.25)
называется уравне­
Введем вспомогательный параметр, положив у'
ние
(48.25)
=
р. Тогда уравне­
примет вид
у
=
х.
ip(p)
+ '!j;(p).
(48.26)
Дифференцируя по х, получим:
dy
(р)
'(р) dp
'(р) dp
dx='P
+х·<р
·dх+'Ф
dx'
0
т. е. р - ip(p)
=
(х · <р'(р) + ф'(р)) ·*'или
(р - <р(р)). ~; - х. <р'(р) = 'Ф'(р).
Уравнение
функции х
(48.27)
(48.27)
есть линейное уравнение относительно неизвестной
= х(р). Решив его, найдем:
х
= Л(р; с).
342
(48.28)
Исключая параметр риз уравнений
интеграл уравнения
(48.25)
(48.26)
и
(48.28),
получаем общий
в виде у= 1(х;с).
Отметим, что, переходя к уравнению (48.27), мы делили на 01!.dd .
d
При этом могли быть потеряны решения, для которых а?
р
= р0 = const.
(48.27)).
Это значение р 0 является корнем уравнения
=
х
О, т. е.
p-ip(p)
=О
(см.
Решение у= х·~р(р0 )+ф(р0 ) является особимдля уравнения
(см. понятие особого решения в п.
(48.25)
48.2).
Уравнение Клеро
Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при
Уравнение
(48.25)
1
~
ip(y')
= у'.
принимает вид
у = х . у' + ф(у') 1
(48.29)
и называется уравнением Клеро.
Положив у'
=
р, получаем:
у=хр+ф(р).
(48.30)
Дифференцируя по х, имеем:
dp
'
dp
р=р+х·-+ф(р)·-,
dx
Если ~
=
О, тор
или
dx
dp
(х+ф'(р))·dх=О.
с. Поэтому, с учетом (48.30), ДУ (48.29) имеет
=
общее решение
у= хе+ ф(с).
Если х
+ ф'(р)
(48.31)
О, то получаем частное решение уравнения в
параметрической форме:
х
Это решение
-
= -'Ф'(р),
у= хр
+ ф(р).
(48.32)
особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в
формуле общего решения уравнения.
При.мер 48.13. Решить уравнение Клеро у= ху'
+ у' 2 •
Q Решение: Общее решение, согласно формуле (48.31), имеет вид у=
= сх + с2 • Особое решение уравнения получаем согласно 2формулам
2
(48.32) в виде х = -2р, у = хр + р2 • Отсюда следует: у = - ~ + 4 , т. е.
-
х2
У--4·
•
343
§49.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
49.1.
Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются
ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде
F(x;y;y';y 11 )
=О
(49.1)
или, если это возможно, в виде, разрешеппом относительно cmapшeti
производноu:
yn = f(x;y;yr).
(49.2)
Будем в основном рассматривать уравнение вида
(49.2):
от него
всегда можно перейти к
~
Решением ДУ
(49.1).
(49.2) называется
всякая функция у= ч::~(х), кото­
рая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
~
Общим решениемДУ
где с 1 и с 2
(49.2)
называется функция у= ч::~(х; с 1 ; с2),
не зависящие от х произвольные постоянные, удовле­
-
творяющая условиям:
1.
ч::~(х; с 1 ; с2 ) является решением ДУ для каждого фиксированного
значения с1 и С2.
2.
Каковы бы ни были начальные условия
YI
х=хо
y'I
=уо,
х=хо
=у~,
(49.3)
существуют единственные значения постоянных с 1 = с~ и с2 = cg такие,
что функция у= ч::i(x;c?;cg) является решением уравнения (49.2) и
удовлетворяет начальным условиям
~
Всякое решение у= ср(х; с?;
общего решения у
(49.3).
4) уравнения (49.2), получающееся из
= ср(х; с1; с2)
при конкретных значениях посто­
янных с 1 = с?, с2 =
Решения ДУ
cg, называется частным решением.
(49.2), записанные в виде
Ф(х; у; с1; с2) =О,
Ф(х; у; с~;
4) =О,
называются общим и 'Частным интегра.п.ом соответственно.
График всякого решения ДУ второго порядка называется инте­
гра.лъноu кривоu. Общее решение ДУ
жество интегральных кривых;
(49.2)
представляет собой мно­
частное решение
-
одна интегра.пьная
кривая этого множества, проходящая через точку (хо; у 0 ) и имеющая в
ней касательную с заданным угловым коэффициентом у'(хо)
Переписав ДУ
(49.1)
в виде
yfl
)
2
F ( х· у· у 1 •
• (1 + у' ) 3 1 2
=О
' ' ' (1 + у/2)3/2
'
344
=
УЬ·
видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координа­
тами точки (х; у) интегральной кривой, угловым коэффициентом
касательной к ней и кривизной К=
(1
k =у'
у"
- ,2 312 в точке (х; у). В этом
+у )
состоит геометрическое истолкование ДУ второго порядка.
Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения
решения ДУ
ям
(49.3),
(49.2),
удовлетворяющего заданным начальным услови­
называется зада-ч,е11. Коши.
Теорема
(существования и единственности задачи Коши).
49.1
Если в уравнении {49.2) функция
f(x;y;y')
и ее частные производные
f~ и /~, непрерывны в некоторой области D изменения переменных
х, у и у', то для всякой точки (х 0 ; у 0 ; уЬ) Е D существует единствен­
ное решение у= <р(х) уравнения {49.2), удовлетворяющее начальным
условиям {49.3).
Примем теорему без доказательства.
Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го
порядка, которое в общем виде записывается ка
F(x·y·y'·y"·
' ' ' , ... ,·y(n))
или
Y(n)
-- О '
f(x·'у·' у'·' у"·, ... ,. y(n-1)) -- О '
-
(49.4)
если его можно разрешить относительно старшей производной.
Начальные условия для ДУ
У
1 = Уо, У 'I
х=хо
= Уо, У "1
1
х=жо
х=жо
(49.4)
имеют вид
"
= Уо,
· · ·,
У (n-1)
1 = Уо(n-1) ·
(49.5)
ж=хо
Общее решение ДУ п-го порядка является функцией вида
содержащей п произвольных, не зависящих от х постоянных.
Решение ДУ
(49.4),
получающееся из общего решения при конкрет­
ных значениях постоянных с 1
= с?,
с2
= с~,
... , Сп
= с~,
называется
-ч,астн.ым решением.
Зада"iа Коши для ДУ п-го порядка: найти решение ДУ
влетворяющее начальным условиям
(49.4),
удо­
(49.5).
Проинтегрировать (решить) ДУ п-го порядка означает следующее:
найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того,
заданы начальные условия или нет.
Задача нахождения решения ДУ п-го порядка сложнее, чем перво­
го. Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.
345
49.2.
Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является
.метод пони:ж:ения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью
замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению,
порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение по­
рядка.
1.
Пусть дано уравнение
1
у" = f (x).
(49.6)
j
Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у 1
= р(х).
=
Тогда у"
р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р 1
Решив его, т. е. найдя функцию р
р(х), решим уравнение у 1
=
Получим общее решение заданного уравнения
=
= j(x).
= р(х).
(49.6).
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредствен­
но путем последовательного интегрирования уравнения.
d 1
Так как у 11 = (у')1 = ~· уравнение (49.6) можно записать в виде
dy'
у'=
=
f(x) dx. Тогда, интегрируя уравнение у 11 = f(x), получаем:
f(x) dx, или у' = r.p1 (х) +с 1 . Далее, интегрируя полученное урав-
J
нение по х, находим: у=
J(r.p1(x) + с1)
dx, т. е. у= r.p2(x)
+ с1х + с2
-
общее решение данного уравнения.
Если дано уравнение
y(n)
= f(x),
то, проинтегрировав его последовательно п раз, найдем общее решение
уравнения: у= 'f!n(x)
При.мер
Q
n-1
+ С1 • ( : -
n-2
+ С2 • ( : _
l)!
49.1. Решить уравнение y 1 v
2)!
+ · · · + Cn.
= sin2x.
Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравне­
ние, получим
у 111 = j
у 11
=
! - 2 cos
1
у' =
у=
1
sin 2х dx
2х dx
+
!
= - ~ cos 2х + с1,
С1
dx =
. 2х + С1 х + С2'
-41 SШ
х2
1
8 cos 2х + С1 2 + С2Х + Сз'
х3
16 sin 2х + с1 6
х2
+ с2 2 + сзх + с4 .
346
•
П. Пусть дано уравнение
1
У 11
f (х; у'), 1
=
(49.7)
не содержащее .явно иско.моii, функции у.
Обозначим у'
Тогда у 11
р
= ср(х; с 1 )
=
р, где р
р' и уравнение
=
-
=
р(х)
-
новая неизвестная функция.
принимает вид р'
(49.7)
=
f(x;p). Пусть
общее решение полученного ДУ первого порядка. Заме­
няя функцию р на у', получаем ДУ: у'= ср(х;с 1 ). Оно имеет вид
(49.6).
Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение.
Общее решение уравнения (49. 7) будет иметь вид у =
Частным случаем уравнения
1
У 11
(49.7)
=
Jср(х; с1 )
является уравнение
f (у'), 1
*.
dx + с2 .
(49.8)
не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется
тем же способом: у' = р( х), у 11 = р' =
с разделяющимися переменными.
Получаем уравнение р' = f (р)
Если задано уравнение вида
1 F(x;
=О, 1
y(k); y(k+l); ... ; y(n))
(49.9)
которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок мож­
но понизить на k единиц, положив y(k) = р(х). Тогда y(k+l} = р'; ... ;
y(n} = p(n-k) и уравнение (49.9) примет вид F(x;p;p'; ... ;p(n-k}) =О.
Частным случаем уравнения
(49.9)
является уравнение
F(x; y(n-1); y(n)) =О,
или
1 y(n)
С помощью замены y(n-l)
= f(x; y(n-1)).
J
= р(х), y(n) = р' это уравнение сводится к
ДУ первого порядка.
Пример 49.2. Решить уравнение у 11
Q
1
-
'lL =О.
х
Решение: Полагаем у'= р, где р = р(х), у"= р'.
Тогда р' - 1.!. = О. Это уравнение с разделяющимися переменны­
х
ми:
OE_dd
х
ln IPI =
= Р., ~ = dx. Интегрируя, получим ln IPI = ln lxl + ln lc1!,
ln lc1xl, р = с1х. Возвращаясь к исходной переменной, получим
х
р
х
2
у'= с 1 х, у= с 1 ~
+ с2
-
общее решение уравнения.
347
8
III.
Рассмотрим уравнение
1
у" = f (у; у'), 1
(49.10)
которое не содержит явно независи.моii nеременноit х.
Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р
=
= р(у), зависящую от переменной у, полагая у'= р. Дифференцируем
это равенство по х, учитывая, что р = р(у(х)):
11
у
d(y')
dx
dp(y)
dx
dp(y)
dy
dy
dx
dp(y)
dy
=--=--=--·-=--·р,
т. е. у"=р·~· Теперь уравнение (49.10) запишется в видер·~=f(у;р).
Пусть р
= ip(y; с 1 ) является общим решением этого ДУ первого поряд­
ка. Заменяя функцию р(у) на у', получаем у'
= ср(у; с 1 )
-
ДУ с раз­
деляющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл
уравнения
(49.10):
!
dy
(
<р у; С1
Частным случаем уравнения
1
у"
) = Х + Cz.
(49.10)
=
является ДУ
!(у)./
Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у'
=
=
р(у), у"= р. ~Так же поступаем при решении уравнения F(y; у'; у";
... ; y(n)) =О.
Его порядок можно понизить на единицу, положив у' = р, где р = р(у).
По правилу дифференцирования сложной функции находим у"
1
Затем найдем у 111 = .sl..(p
dx · рУ )
За.ме'Чание. Уравнение
становку у'
=
2
.!L
· !!:JJ..
dy (р · р')
У
dx = р((р'У ) + р · р"УУ ) и т. д.
(49.8)
49.3.
также можно решать, применяя под­
Найти частное решение уравнения
у" - (у') 2
+ у'(у - 1) =о,
удовлетворяющее начальным условиям: у(О)
=
р~.
= р, где р = р(у).
Пример
Q
=
= 2, у'(О) =
2.
Решение: Уравнение имеет вид (49.10). Положив у' = р(у), у"
р · ~, получаем:
р
. -dp dy
2
р
+ р( у 348
1) =
о.
f О (иначе у' = О, что противоречит начальному условИю
у'= 2), то~ -р+у-1 =О- получили линейное ДУ первого порядка.
Так как р
Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли
(п.
и'v
48.4). Полагаем
+ u(v' - v) = 1 -
р
у.
= и · v.
Имеем:
u'v
+ uv'
- uv
+у
- 1
= О,
или
Подберем функцию v так, чтобы v' -v =О. Тогда dv = dy, v = еУ.
v
Получаем:
и'· еУ +и· О= 1 - у,
т. е.
у)
· е-У dy.
-(1 -
у)· е-У
du = (1 -
Интегрируя это равенство, находим, что и=
+ е-У + с 1 .
Следовательно,
р=иv=((-1+у)е-У+е-У+с 1 )·е+У,
Заменяя р на у', получаем: у'= с 1
· еУ
или
р=с1еУ+у.
+у. Подставляя у'=
2и
у=
2в
это равенство, находим с1:
2 = С1 е 2
Имеем у'
+ 2,
С1 = 0.
= у. Отсюда у = с2 ех. Находим с2 из начальных условий:
= 2. Таким образом, у = 2ех - частное решение данно­
2 = с2е0 , с2
rо
W
8
49.З. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков
Основные понятия
Многие задачи математики, механики, электротехники и других
технических наук приводят к линейным дифференциальным уравне­
ниям.
Уравнение вида
bo(x)y(n)
~
где Ьо(х)
f
+ b1(x)y(n-l) + ... + Ьп(х)у =
О, Ь 1 (х),
... , Ьп(х),g(х) -
g(x),
(49.11)
заданные функции (от х),
называется д.uнеftн'ЫМ ДУ п-го порядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в
первой степени. Функции Ь0 (х), Ь 1 (х),
... , Ьп(х) называются коэффии,и­
g(x) - его свободным 'Членом.
Если свободный член g(x)
О, то уравнение (49.11) называется
д.uнеftн'ЫМ однородним уравнением; если g(x) f О, то уравне­
(49.11) называется неоднородним.
Разделив уравнение (49.11) на Ьо(х) f О и обозначив
ентами уравнения
~
ние
(49.11),
Ь1(х)
Ьо(х) =
а функция
=
Ьп(х)
ai
g(x)
(х), · · ·' Ьо(х) = ап(х), Ьо(х) = f(x),
349
запишем уравнение
1 y(n)
(49.11)
в виде приведетюго:
+ ai(x)y<n-l) + a2(x)y(n- 2) + ... + ап(х)у =
/(x). j
(49.12)
Далее будем рассматривать линейные ДУ вида
что коэффициенты и свободный член уравнения
(49.12) и считать,
(49.12) являются не­
прерывными функциями (на некотором интервале (а; Ъ)). При этих ус­
ловиях справедлива теорема существования и единственности решения
ДУ
(49.12)
(см. теорему
49.1).
49.4. Линейные однородные ДУ второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
( ЛОДУ)
второго порядка:
lv" +а1(х)у 1 +а2(х)у = ol
(49.13)
и установим некоторые свойства его решений.
=
Теорема 49.2. Если функции У1 = У1(х) и У2
Yz(x) являются
частными решениями уравнения (49.13), то решением этого уравне­
ния является также функция
(49.14)
где с 1
U
и с2
-
произвольные постоянные.
Подставим функцию у = с1 У1
ЛОДУ
(49.13).
+ С2У2
и ее производные в левую часть
Получаем:
+ с2у2)" + ai (х) · (с1У1 + С2У2У + а2(х) · (с1У1 + с2у2) =
= c1vr + с2у~ + а1(х) · (с1у~ + с2у~) + а2(х) · (с1У1 + с2у2) =
= с1(у~' + ai(x) ·у~+ az(x) · У1) + с2(У~ + ai (х)у~ + az(x)y2) =
= С1 · 0 + С2 · 0 = 0,
как функции у 1 и у 2 решения уравнения (49.13) и, значит, вы­
(с1У1
так
ражения в скобках тождественно равны нулю.
Таким образом, функция у= с 1 у 1
уравнения
+ С2У2
также является решением
8
(49.13).
Из теоремы
49.2, как следствие, вытекает, что если У1 и У2 (49.13), то решениями его будут также функции
У = У1 + У2 и У = с · У1.
Функция (49.14) содержит две произвольные постоянные и явля­
ется решением уравнения (49.13). Может ли она являться общим ре­
шением уравнения (49.13)?
решения уравнения
350
Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и ли­
нейной независимости функций.
~
Функции У1
= У1(х)
и У2
= У2(х)
называются .ttuнeitнo независи­
мыми на интервале (а; Ь), если равенство
О::1У1
+ О::2У2
=о,
(49.15)
где 0::1, 0::2 Е ~ выполняется тогда и только тогда, когда а:: 1
~
=
а:: 2
= О.
Если хотя бы одно из чисел а:: 1 или а 2 отлично от нуля и выполня­
ется равенство
то функции у 1 и у 2 называются .ttuнeii.нo
(49.15),
зависимыми на {а; Ь).
Очевидно, что функции у 1 и у 2 линейно зависимы тогда и только
тогда, когда они пропорциональны, т. е. для всех х Е (а; Ь) выполняется
равенство '!1.1..
У2
= Л, или У1 = Лу2, ,\ = const.
Например, функции У1 = Зех и У2 = ех линейно зависимы: '!1.1.. =
= 3 = const; функции У1 и Уз= е 2 х
-
линейно независимы:
У2
'!1.1.. =
У2
~=
е х
= зе-х -:/:- const; функции у4 = sinx и у5 = cosx являются линейно
независимыми: равенство а 1 sin х + а:: 2 cos х = О выполняется для всех
х Е JR. лишь при 0::1 = а2 = О (или '!!.± = tg х -:/:- const).
У5
Средством изучения линейной зависимости системы функций является
так
называемый
(Ю. Вронский
-
опреде.лител:ь
Вронского
или
вронскиан
польский математик).
Для двух дифференцируемых функций У1 = У1(х) и У2 = У2(х)
вронскиан имеет вид
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 49.3. Если дифференцируемые функции У1(х) и У2(х) ли­
нейно зависимы на (а; Ь), то определитель Вронского на этом интер­
вале тождественно равен нулю.
О Так как функции У1 и У2 линейно зависимы, то в равенстве (49.15)
значение
0::1
или
0::2
отлично от нуля. Пусть
поэтому для любого х Е (а; Ь)
W(x) =
Теорема
49.4.
_01_ ,
1 -02..у2
а 1 У2
У21
,
У2
Если функции у 1 (х) и у 2 (х)
решения уравнения
(49.13)
0::1
-:/:-О, тогда у 1 = -О2.у2;
°'
1
=О.
-
линейно независимые
на (а; Ь), то определитель Вронского на
этом интервале нигде не обращается в нуль.
351
•
Доказательство теоремы опустим.
Из теорем
49.3
и
49.4
следует, что вронскиан не равеи нулю ни в
одноii, то'Чке интервала (а; Ь) тогда и только тогда, когда 'Частные
решени.я линеiiно независимы.
~
Совокупность любых двух линейно независимых на интервале
(а; Ь) частных решений У1 (х) и У2 (х) ЛОДУ второго порядка опре­
деляет фундаментальную систему решениu этого уравнения:
любое произвольное решение может быть получено как комбинация
+ 0:2у2(х).
У= 0:1у1(х)
Пример
=
и у4
49,4,
образуют фундаментальную систему
У6
= cos х -
= sinxиy2 = соsх,уз = 2sinx
=О
решений; решения же у 5 = О и
Частныерешенияу1
(их бесчисленное множество!) уравнения у 11 +у
5cosx
не образуют.
Теперь можно сказать, при каких условиях функция
общим решением уравнения
Теорема
49.5
(49.14)
будет
(49.13).
(структура общего решения ЛОДУ второго поряА­
ка). Если два частных решения У1 = У1(х) и У2 = У2(х) ЛОДУ (49.13)
образуют на интервале (а; Ь) фундаментальную систему, то общим ре­
шением этого уравнения является функция
(49.16)
где с 1
и с2
-
произвольные постоянные.
О Согласно теореме 49.2, функция (49.16) является решением урав­
нения
(49.13).
Остается доказать, что это решение общее, т. е. что из
него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям
У/
х=хо
=
Уо,
,,
1
У
х=хо
= Уо,
(49.17)
где хо Е (а; Ь).
Подставив начальные условия
(49.17)
в решение
систему уравнений
(хо) + С2У2 (хо),
{ УоУЬ == С1У1
ClY~ (хо)+ с2у~(хо),
где Уо
= у(хо), УЬ = у (хо), с неизвестными с1
1
и с2.
Определитель этой системы
1
у}(хо) У7(хо)
У1 (хо)
равен значению вронскиана
У2(хо)
1'V(x)
1
= W(xo)
при х
352
= х0 •
(49.14),
получим
Так как решения У1 ( х) и У2 (х) образуют фундаментальную систему
решений на (а; Ь) и х 0 Е (а; Ь), то, согласно теореме
49.4, W(xo) -:/:-
О.
Поэтому система уравнений имеет единственное решение:
С1
1
= С1о = W (Хо)
1
Уо
о
1
1
У1(хо)
с2 = с2 = W(xo) · У~ (хо)
. у~
Решение у= с~у 1 (х) +cgy2 (x) является частным решением (единствен­
ным, в силу теоремы единственности) уравнения
ющим начальным условиям
Пример
49.5.
49.4)
(49.13),
удовлетворя­
Теорема доказана.
На основании теоремы
нения у" +у=О (см. пример
49.5.
(49.17).
49.5
8
общим решением урав­
является функция у=с 1
sinx+c2 cosx.
Линейные ОАНОРОАНЫе ДУ n-ro поряАка
Полученные результаты можно распространить на линейные од­
нородные дифференциальные уравнения п-го порядка, имеющие вид
y(n) + al(x) · y(n-l) + а2(х) · y(n- 2) + ... + an(x) ·у= О.
(49.18)
1. Если функции У1 = У1(х),у2 = У2(х), ". ,yn = Уп(х) являются
(49.18), то его решением является и
функция У = С1У1 + С2У2 + · · · + CnYn·
2. Функции У1, У2, ... , Yn называются .линеii:но независим'Ьtми на
(а; Ь), если равенство а1у1 + а2у2 + ... + O:nYn =О выполняется лишь
в случае, когда все числа ai = О (i = 1, 2, "., п); в противном случае
(если хотя бы одно из чисел ai не равно нулю) функции У1, У2, ... , Yn частными решениями уравнения
.линеilно зависим'Ьt.
3.
Определитель Вронского имеет вид
W(x) =
У1
У2
Уп
у~
у~'
у~
у~
у~
у~
(n-1)
У1
4.
(n-1)
У2
Частные решения У1,У2, ...
,yn
(n-1)
Yn
уравнения
(49.18)
образуют фун­
даментальную систему решениil на (а; Ь), если ни в одной точке этого
интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е.
W(x) -:/:-
О для всех
х Е (а; Ь).
5. Общее решение ЛОДУ (49.18) имеет виду= С1У1 +с2у2+ .. .+CnYn,
(i = 1, ... , п) - произвольные постоянные, Yi - частные решения
уравнения (49.18), образующие фундаментальную систему.
где Ci
353
При.мер
49. 6.
Показать, что функции У1 =е"', У2 =х·е"', Уз =х 2 ·е"'
образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ тре­
тьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).
Q
Решение: Найдем
W(x):
х2ех
хе"'
(х
(х
+ l)e"'
+ 2)е"'
1
(х 2
+ 2х)е"'
(х 2 + 4х + 2)е"'
х2
х
= ез"' 1
x+l
1
х+2
=
х2
+2х
х 2 +4х +2
= езх
1
х
х2
о
1
2
4х+2
о
2х
= е 3 "' · ( 4х + 2 Ясно, что
4х)
= 2е 3 "'.
W(x) :f; О для всех х Е IR. Следовательно, данные функции
образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего поряд­
ка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:
у 111 + ai(x)y" + а2(х)у' + аз(х)у =О.
Подставив функции У1, У2, Уз в это уравнение, получим систему из трех
уравнений относительно функций а 1 (х), а2(х), а 3 (х). Решая ее, полу­
чим ЛОДУ у 111
-
Зу"
+ Зу' -
у
= О; его общее решение:
•
§ 50.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
50.1.
Интегрирование ЛОДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных
однородных
дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоян-ными коэф­
фициентами.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
1
где р и
q
у" + р . у' + q . у = о, 1
(50.1)
постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения
(50.1) достаточно най­
ти два его частных решения, образующих фундаментальную систему
(см. теорему
49.5).
Будем искать частные решения уравнения
у= ekx,
354
(50.1)
в виде
где
некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя
k -
эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в урав­
нение
+ р · k · ekx + q · ekx =О, т. е.
или k 2 + pk + q =О (ekx #О).
(50.1), получим: k 2 · ekx
ekx · (k 2 + pk + q) =О,
~
(50.2)
Уравнение (50.2) называется харакmерuсmи'Ческим уравнени­
ем ДУ (50.1) (для его составления достаточно в уравнении (50.1)
заменить у", у' и у соответственно на
k2 , k и 1).
При решении характеристического уравнения
(50.2)
возможны сле­
дующие три случая.
Случаi1
личные:
k1
1.
Корни
# k2
(D
k1
=
и
k2
уравнения
1f - q > О) .
(50.2)
действительные и раз-
В этом случае частными решениями уравнения
(50.1)
являются
функции У1 = ekix и У2 = ek 2 x. Они образуют фундаментальную систе­
му решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан
Следовательно, общее решение уравнения
(49.16),
(50.1),
согласно формуле
имеет вид
(50.3)
Пример
Q
50.1.
Решить уравнение у"
-
5у'
+ 6у =О.
Решение: Составим характеристическое уравнение:
Решаем его:
нения: у
мула
k1 = 2, k2 = 3.
k2
5k + 6 = О.
-
Записываем общее решение данного урав­
= с 1 е 2 х + с2 е 3 х, где с 1
и с2 -
произвольные постоянные (фор­
(50.3)).
СлучаiJ.
2.
8
Корни
k1
ствительные и равные:
и
k2
характеристического уравнения
ki = k2 (D =
1f- q =О, ki = k2 = -~)·
В этом случае имеем лишь одно частное решение у 1 =
Покажем, что наряду с у 1 решением уравнения
= xek1x.
(50.1)
Действительно, подставим функцию у 2 в уравнение
ekix.
будет и у 2
(50.1).
(xek1x)"
355
=
Имеем:
+ p(xek1x)' + q(xek 1x) =
= (2k1ek1x + xkiek1x) + p(ek1x + xk1ek1x) + q(xek1x) =
= ek 1"'(2k1 + kix + р + pxk1 + qx) = ek 1x(x(ki + pk1 + q) + (р + 2k1)).
у~
+ ру; + qy2 =
(50.2) дей­
Но kr+pk1 +q =О, т. к. ki есть корень уравнения (50.2); p+2k1 =О,
Т. К. ПО УСЛОВИЮ ki = k2 = -~.
+ qy2 = О, т. е. функция у2 = xek 1 x является
(50.1).
Частные решения у 1 = ekix и у 2 = xekix образуют фундаменталь­
ную систему решений: W(x) = e 2 k 1 z-:/= О. Следовательно, в этом случае
общее решение ЛОДУ (50.1) имеет вид
Поэтому у~+ ру~
решением уравнения
(50.4)
Слу-ч,аtl,
k2
=а -
3.
Корни
/3i (D =
k1
и
k2
уравнения
(50.2)
~ - q <О, а=-~, /3 =
комплексные:
Jq-
k1 = a+/3i,
~>О).
В этом случае частными решениями уравнения
(50.1)
являются
функции У1 = e(a+i/3)x и У2 = e(a:-i/3)x. По формулам Эйлера (см. п. 27.3)
=
ei'P
cosip
+ isinrp,
e-i<p
=
isinrp
cosip -
имеем
У1
У2
= еах · ei/3x = еах cos (3х + ieax sin (3х,
= еах · e-i/3x = еах cos {3х - ieax sin {3х.
Найдем два действительных частных решения уравнения
(50.1).
Для этого составим две линейные комбинации решений у 1 и у 2 :
У1
+ У2
2
= е ах cos /3 х = У1
и
У1 - У2
2i
· /3
= е ах sш
х = У2.
Функции у1 и у2 являются решениями уравнения
(50.1),
что следует
из свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 49.2).Эти ре­
шения у1 и :У2 образуют фундаментальную систему решений, так как
W(x) -:/= О (убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение урав­
нения (50.1) запишется в виде у= с 1 еа:х cos (3х + с2еа:х sin (3х, или
1у
Пример
Q
(50.5)
-
6k
+ 25 =
О, k 1 = 3
+ 25у
=О.
+ 4i,
k2 = 3 - 4i. По
+ С2 sin4x).
8
Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
корней характеристического уравнения
мул
(50.5)
j
получаем общее решение уравнения:
у= е 3 х(с1 cos4x
i
+ с2 sin f3x).
50.2. Решить уравнение у" - 6у 1
Решение: Имеем: k2
формуле
= еа:х( с 1 cos f3x
(50.3)-(50.5)
(50.1) сводится к нахождению
(50.2) и использованию фор­
общего решения уравнения (не прибегая к вычисле­
нию интегралов).
356
Интегрирование ЛОДУ
50.2.
порядка
n-ro
с постоянными коэффициентами
Задача нахождения общего решения ЛОДУ п-го порядка (п
> 2)
с
посто.яннъtми коэффициентами
+ P1Y(n-l) + P2Y(n- 2) + · · · + РпУ =О,
У(п)
где
Pi, i
= 1,п, -
(50.6)
числа, решается аналогично случаю уравнения вто­
рого порядка с постоянными коэффициентами.
Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.
Частные решения уравнения (50.6) также ищем в виде у= ekx, где
k-
постоянное число.
Характеристическим для уравнения
(50.6)
является алгебраиче­
ское уравнение п-го порядка вида
kn
Уравнение
+ P1kn-I + P2kn- 2 + · · · + Рп-1k + Рп
(50.7)
и комплексные). Обозначим их через
!il
=О.
(50.7)
имеет, как известно, п корней (в их числе могут быть
k1, k2 ,
••• , kп.
Заме'Чание. Не все из корней уравнения
(50.7)
обязаны быть раз-
личными. Так, в частности, уравнение (k - 3) 2 = О имеет два
k 1 = k2 = 3. В этом случае говорят, что корень один
(k = 3) и имеет кратность mk = 2. Если кратность корня равна еди­
нице: mk = 1, его называют простъtм.
С.лу'Ча11 1. Все корни уравнения (50.7) действительны и просты
(различны). Тогда функции У1 = ekix, У2 = ek 2x, ... , Уп = eknx являют­
ся частными решениями уравнения (50.6) и образуют фундаменталь­
равных корня:
ную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение
уравнения
(50.6)
записывается в виде
1
Пример
у= C1ek1x + c2ek2x + ... + Cneknx .1
50.3.
Найти общее решение уравнения
у 111
Q
-
2у" - у'
+ 2у =
о.
- k + 2 = О имеет
2. Следовательно, у = с 1 е-х + с2 ех + с3 е 2 х -
Решение: Характеристическое уравнение k 3
корни
k1 = -1, k2 = 1,
kз =
-
2k 2
общее решение данного уравнения.
С.лу'Ча11
2.
8
Все корни характеристического уравнения действитель­
ные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность т
каждому простому корню
k
> 1). Тогда
соответствует одно частное решение вида
ekx, а каждому корню
k кратности т
решений: ekx' xekx' x2ekx ... ' xm-1ekx.
>
1 соответствует т частных
Пример 50.4. Решить уравнение y 1 v
357
-
у"' - Зу"+ 5у' - 2у =О.
О Решение: Характеристическое уравнение
k4
имеет корни
-
k3
-
3k 2
+ 5k -
ki = -2, k2 = 1,
у= с1е- 2 х
-
kз
2 = (k
+ 2)(k -
= 1, k4 = 1.
1) 3 =О
Следовательно,
+ с2ех + сзхех + с4х 2 е"'
•
общее решение уравнения.
Слу'ч,аiJ, 3. Среди корней уравнения
женные корни. Тогда каждой паре а:
(50.7)
±
есть комплексно-сопря­
/Зi простых комплексно-со­
пряженных корней соответствует два частных решения е"'"'
еа:х sin,Вx, а каждой паре а:±,Вi корней кратности т
2m
cos /]х
и
> 1 соответствуют
частных решений вида
еа:х
cos ,Вх, х · еа:х cos /Зх, ... , xm-I · еа:х cos /Зх;
е°'"' sin ,Вх, х · е°'х sin ,Вх,
. .. , xm-l · е°'х sin ,Вх.
Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систе­
му решений.
Пример 50.5. Решить уравнение
yv +y1v +2у 111 +2у" +у' +у= О.
О Решение: Характеристическое уравнение
k5
+ k 4 + 2k 3 + 2k2 + k + 1=(k+1)(k4 + 2k2 + 1) =о
имеет корни
ki = -1, k2 = i,
у= с1е-х
-
kз
= -i, k4 = i, k5 = -i. Следовательно,
+ с2 · cosx + сз · sinx + С4Х · cosx + С5Х • sinx
•
общее решение уравнения.
§ 51. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛНДУ)
51.1.
Структура общего решения ЛНДУ второго
порядка
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
1
где а1(х), а2(х),
нение
~
f(x)
у"+ а1(х)у' + а2(х)у = f(x), 1
(51.1)
-заданные, непрерывные на (а; Ь) функции. Урав-
у"+ а1(х)у 1
+ а2(х)у
=О,
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ
(51.2)
(51.1), на­
зывается сооmвеmсmвующuм ему оiJнороiJн:ым уравнением.
358
Теорема
51.1
(структура общего решения ЛНДУ). Общим реше­
нием у уравнения
(51.1)
является сумма его произвольного частного
решения у* и общего решения у= С1У1
нородного уравнения
у
О Убедимся, что функция
у* есть решение уравнения
(у*) 11
+
С2У2 соответствующего од­
т. е.
(51.2),
= у* +у.
(51.3)
(51.3) - решение уравнения (51.1). Так как
(51.1), а fj- решение уравнения (51.2), то
+ ai(x)(y*)' + а2(х)у* = f(x)
и
(fj) 11 + ai(x)(fj) 1 + а2(х)у =О.
В таком случае имеем:
(у*+
fj) 11 + ai (х)(у* + fj) 1 + а2(х)(у* + fj) =
= ((у*)1' + ai(x)(y*) 1 + а2(х)у*) + ((у)1' + ai(x)(fj)' + а2(х)у) =
= f(x) +О= f(x).
Это означает, что функция
(y*+fj)
является решением уравнения
(51.1).
Покажем теперь, что функция
(51.4)
является общим решением уравнения
что из решения
(51.4)
(51.1).
Для этого надо доказать,
можно выделить единственное частное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям
у(хо)
= Уо,
у'(хо)
Продифференцировав функцию
ловия
(51.5)
пений::
где Уо
в функцию
(51.4)
(51.4)
= УЬ·
(51.5)
и подставив начальные ус­
и ее производную, получим систему урав-
+ С2У2(хо) = Уо -у*(хо),
{ с1у1(хо)
с1у~ (хо)+ с2у~(хо) = УЬ - (у*)'(хо),
=
у(хо), УЬ = у'(хо), с неизвестными с1 и с2. Определителем
этой: системы является определитель Вронского
W(x 0 ) для функции
У1 (х) и У2 (х) в точке х = Хо. Функции У1 (х) и У2 (х) линейно незави­
симы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. W(xo) =f:. О.
Следовательно, система имеет единственное решение: с 1 =с~ и с2 = cg.
Решение у = у* + с~у 1 (х) + cgy 2 (x) является частным решени­
ем уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным услови­
ям (51.5). Теорема доказана.
•
359
51.2. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим ЛНДУ
ция
(51.3),
(51.1).
т. е.
Его общим решением является функ­
у= у* +у.
Частное решение у* уравнения
(51.1)
можно найти, если известно об­
щее решение у соответствующего однородного уравнения
(51.2),
мето­
дом вариации произволън'Ых посто.я:нн:ых (метод Лагранжа), состоя­
щим в следующем. Пусть у= С1У1(х)+с2У2(х) -общее решение уравне­
ния (51.2). Заменим в общем решении постоянные с 1 и с2 неизвестными
функциями с1(х) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция
у*= с1(х) · У1(х)
была решением уравнения
(у*)'
(51.1).
+ с2(х) · У2(х)
(51.6)
Найдем производную
= с~ (х )У1 (х) + с1 (х )у~ (х) + с;(х)у2(х) + с2(х)у; (х).
Подберем функции с1(х) и с2(х) так, чтобы
с~ (х) · У1(х)
+ с;(х) · У2(х)
=О.
(51.7)
Тогда
· у~(х) + с2(х) · у;(х),
+ с1(х) · у~'(х) + ~(х) · у~(х) + с2(х) · у~(х).
(у*)'= с1(х)
(у*)"= с~ (х) ·у~ (х)
Подставляя выражение для у*, (у*)1 и (у*)" в уравнение
(51.1),
полу­
чим:
с~ (х) · у~ (х)
+ с1 (х) · у~' (х) + с; (х) · у~ (х) + с2 ( х) · у~ (х) +
+а1 (х) [с1 (х )у~ (х) +с2(х)у;(х)] +а2(х)[ с1 (х)у1 (х) +с2 (x)yz (х)] = f(x),
или
с1(х) · [у~'(х)
+ ai(x) ·у~ (х) + а2(х) · У1(х)] +
+с2(х) [у~(х) +а1 (х)у~(х) +а2(х)у2(х)] +с~ (х)у~ (х)+с;(х)у~(х) =
Поскольку У1(х) и У2(х)
-
решения уравнения
(51.2),
f (х).
то выражения в
квадратных скобках равны нулю, а потому
с~ (х) ·у~ (х)
+ ~(х) · у;(х)
= f(x).
Таким образом, функция
уравне­
ния
уравне­
ний
(51.6) будет частным решением у*
(51.1), если функции с1 (х) и с2 (х) удовлетворяют системе
(51.7) и (51.8):
(51.8)
· У1(х) + с~(х) · У2(х) =О,
{ с~(х)
с~ (х) ·у~ (х) + с~(х) · у~(х) = f (х).
360
(51.9)
Определитель системы ~~ ~~~ ~~~~~
1
1
i=
О, так как это определитель
Вронского для фундаментальной системы частных решений У1(х) и
yz(x)
уравнения
Поэтому система
(51.2).
имеет единственное ре­
(51.9)
шение: с~(х) = <р1(х) и с~(х) = r.p2(x), где r.p1(x) и r.pz(x)
функции от х. Интегрируя эти функции, находим с 1 (х) и
по формуле
(51.6)
составляем частное решение
- некоторые
cz(x), а затем
уравнения (51.1).
Пример 51.1. Найти общее решение уравнения у"
+у =
- 1- .
cosx
Решение: Найдем общее решение fj соответствующего однородного
уравнения у 11 +у = О. Имеем: k2 +1 = О, k 1 = i, k2 = -i. Следовательно,
Q
fj =
с1
· cos х
+ cz · sin х.
Найдем теперь частное решение у* исходного
(51.6): у*= с 1 (х) ·cosx+c2 (x) ·sinx. Для
уравнения. Оно ищется в виде
нахождения с 1 (х) и с 2 (х) составляем систему уравнений вида
· cosx + с~(х) · sinx =О,
{ с~(х)
с~ (х) · (- sin х) + с~ (х) · cos х =
(51.9):
_1_.
cosx
Решаем ее:
Д
д1= 1
=
О1
cos. х
sшх
sin х 1 =
cosx
sinx 1 =-tgx,
ёОs"Х
с~(х) = ~1
-
1
1 (
с2 Х
)
-
О1
cosx
.
SШ Х
ёОs"Х
=
1
=1;
1
1·
Запишем частное решение данного уравнения: у*
+
1,
J(-tgx) dx = ln cosxl;
cz(x) = J dx = х.
с1(х)
д2 = 1,
=Д
. 2Х =
+ SШ
д2= 1
COS Х
= -tgx,
2
COS Х
= ln 1 cos xl · cos х +
х · sin х. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
у=
(fj +у*)=
с1
· cosx + с2 · sinx + cosx · ln 1cosxl + х · sinx.
8
При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной
следующая теорема.
Теорема
51.2
(о наложении решений). Если правая часть уравне­
f(x) = fi(x) +
+ fz(x), а Yi и У2 - частные решения уравнений у"+ ai(x) · у 1 +
+ az(x) ·у= fi(x) и у 11 + ai(x) · у 1 + az(x)y = f2(x) соответственно,
то функция у* = Yi + у2 является решением данного уравнения.
ния (51.1) представляет собой сумму двух функций:
361
Q
Действительно,
(у; +у2)" +а1(х) ·(у; +у2)' +а2(х) ·(у; +у2)
=
= ((у;)"+ а1(х) ·(у;)'+ а2(х) ·у;)+ ((у2)1' + а1(х) · (у2) 1 + а2(х) · Yz) =
= fi(x) + fz(x) = f(x).
•
51.3.
Интегрирование ЛНДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянн'Ьtми коэффициен­
тами, т. е. уравнение
1
где р и
q-
у" + р . у' + q . у = f (х)' 1
(51.10)
некоторые числа.
Согласно теореме
51.1,
общее решение уравнения
(51.10)
предста­
вляет собой сумму общего решения у соответствующего однородного
уравнения и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное
решение уравнения
(51.10)
может быть найдено методом вариации про­
извольных постоянных (п. 51.2).
Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существу­
ет более простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) урав­
нения
(51.10) имеет так называемый
I. f(x) = Рп(х) · eaz
«специальный вид»:
или
П.
f(x) = eaz ·
(Рп(х)
· cosfix + Qт(х) · sin fix).
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициен­
тов, состоит в следующем: по виду правой части
f(x)
уравнения
(51.10)
записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными
коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение
(51.10)
и из полу­
ченного тождества находят значения коэффициентов.
Слу'ЧаЬ
а Е
JR,
1. Правая часть (51.10) имеет вид f(x)
Рп(х)
-
многочлен степени п. Уравнение
виде
1
= Рп(х) · eaz,
(51.10)
у"+ Р. у'+ q. у= Рп(х). eaz · 1
где
запишется в
(51.11)
В этом случае частное решение у* ищем в виде:
(51.12)
где
r -
число,
равное
кратности а
как
корня
характеристического
уравнения k 2 + pk + q = О (т. е. r - число, показывающее, сколько
раз а является корнем уравнения k 2 + pk + q =О), а Qп(х) = A 0 xn +
+ A 1 xn-l + ... + An - многочлен степени п, записанный с неопреде­
ленными коэффициентами
Ai (i = 1, 2, ... , n).
362
Q
а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения
+ pk + q =о,
k2
f. k1 ,2 • Следовательно,
т. е. а
r =О,
у*
(у*)' = Q~(x) · еах + Qп(х) · еах
+ 2Q~(x). еах. а+ Qп(х). еах. а2.
= Qп(х) · еах,
(у*)"= Q~(x). еах
После подстановки функции у* и ее производных в уравнение
·а,
(51.11),
сокращения на еах, получим:
Q~(x)
Слева
+ (2а + p)Q~(x) + (а 2 + ра + q) · Qп(х) = Рп(х).
(51.13)
-
многочлен степени п с неопределенными коэффициентами,
справа -
многочлен степени п, но с известными коэффициентами. При­
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систе­
+ 1) алгебраических уравнений
Ai, ... , Ап.
му (п
Ао,
для определения коэффициентов
б) Пусть а является однократным (простым) корнем характери­
стического уравнения k2 + pk
+ q =О,
т. е. а= ki
В этом случае искать решение в форме у*
а2
+ ра + q = О,
и уравнение (51.13) принимает вид
Q~(x)
В левой части
-
f. k2.
= Qп(х)еах нельзя, т. к.
+ (2а + р) · Q~(x)
многочлен степени (п
= Рп(х).
- 1),
в правой части
-
много­
член степени п. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*,
нужно иметь многочлен степени (п
следует искать в виде у*
+ 1).
Поэтому частное решение у*
= х · Qп(х)еах (в равенстве (51.12) положить
r = 1).
в) Пусть а является двукратным корнем характеристического
уравнения k 2 +pk+q =О, т. е. а= k 1 = k2 • В этом случае a 2 +pa+q =О
и 2а+р =О, а поэтому уравнение
(51.13) принимает вид Q~(x) = Рп(х).
- 2. Понятно, чтобы иметь слева
Слева стоит многочлен степени п
многочлен степени п, частное решение у* следует искать в виде
у*
(в равенстве
(51.12)
положить
Слу'Чаi1 2. Правая часть
f(x) =
где Рп(х) и Qт(х)
f3 -
= х2Qп(х)еах
-
еах
(51.10)
имеет вид
+ qy =
+ Qт(х) sin/Зx),
· (Рп(х) · соs(Зх
многочлены степени пит соответственно, а и
действительные числа. Уравнение
у"+ ру'
•
r = 2).
(51.10)
еах · (Рп(х) · соs(Зх
363
запишется в виде
+ Qт(х) · sin/Зx).
(51.14)
Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения
(51.14)
следует искать в виде
/у*= xr · еах · (М1 (х) · соs(Зх + N1(x) · sinf3x), 1
где
r-
число, равное кратности а+
f3i как корня характеристического
N1(x) - многочлены степени l с не­
уравнения k 2 + pk + q =О, М1(х) и
определенными коэффициентами,
Pn(x)
(51.15)
и Qт(х), т. е.
l-
наивысшая степень многочленов
l = max(n, m).
Заме'Чани.я.
1.
После подстановки функции
(51.15)
в
(51.14)
приравнивают мно­
гочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функци­
ями в левой и правой частях уравнения.
2.
Форма
(51.15)
сохраняется и в случаях, когда
Pn(x)
Qт(х) =О.
3.
I
Если правая часть уравнения
=
О или
есть сумма функций вида
(51.10)
или П, то для нахождения у* следует использовать теорему
51.2
о
наложении решений.
Пример
51.2.
Найтиобщеерешениеуравненияу"-2у'+у
=
х-4.
Решение: Найдем общее решение fj ЛОДУ у" - 2у' +у = О. Характе­
ристическое уравнение k 2 - 2k + 1 = О имеет корень k 1 = 1 кратности 2.
Значит, fj = с 1 · е"' + с2 · х · ех. Находим частное решение исходного
уравнения. В нем правая часть х - 4 = (х - 4) · е 0 ·х есть формула ви­
да Р1 ( х) · е 0 ·х, причем а = О, не является корнем характеристического
Q
уравнения: а=/:-
k1 .
Поэтому, согласно формуле
ние у* ищем в виде у* =
Q1 (x) · е0 ·х,
(51.12),
частное реше­
т. е. у* =Ах+ В, где А и В
-
неопределенные коэффициенты. Тогда (у*)'= А, (у*)" =О. Подставив
у*, (у*)', (у*)" в исходное уравнение, получим -2А+Ах+В
Ах+ (-2А +В)
=
х
- 4.
=
х-4, или
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х, получаем систему уравнений:
{~2:~В=-4.
Отсюда А=
1,
В=
-2.
Поэтому частное решение данного уравнения
имеет вид у*= х-2. Следовательно, у=
искомое общее решение уравнения.
Пример
Q
51.3.
Cfi+y*) = с 1 е"'+с2хех +х-28
Решить уравнение у"
-
4у 1
+
13у
Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид у =
= 40 · соsЗх.
fj + у*. Находим
= О. Характеристиче­
4k + 13 =О имеет корни k 1 = 2 + Зi, k2 = 2 - Зi.
решение однородного уравнения
fj:
ское уравнение k 2 Следовательно, fj = е 2 х · ( с1 · cos Зх
у"
-
4у'
+
13у
+ с2 · sin Зх).
364
Находим частное решение у*. Правая часть ЛНДУ в нашем слу­
f(x) = е 0 ·х · (40cos3x +О· sin3x). Так как а= О, (З = 3,
чае имеет вид
а
+
то r
(Зi
=
Зi не совпадает с корнем характеристического уравнения,
=
О. Согласно формуле
(51.15), частное решение ищем в виде
+ Bsin3x. Подставляем у* в исходное уравнение. Имеем:
-3Asin3x+3Bcos3x, (у*)"= -9Acos3x-9Bsin3x. Получаем:
у*= АсоsЗх
(у*)'=
-
9А cos Зх
9В sin Зх
-
- 4( -ЗА sin Зх + ЗВ cos Зх )+
+ lЗ(АсоsЗх + BsinЗx)
= 40cos3x,
или
(-9А-12В+1ЗА)
cos3x+(-9B+ 12А+1ЗВ) sinЗx = 40cos3x+O·sin3x.
Отсюда имеем:
{ 4А -
12В
= 40,
12А+4В =О.
Следовательно, А=
нец, у
-3. Поэтому у*= соsЗх = е 2 х ( с 1 · cos Зх + с2 · sin Зх) + cos Зх - З sin Зх 1,
В=
ЗsinЗx. И нако­
общее решение
уравнения.
8
Пример
51.4.
(Дл.я самосто.ятелъного решения.) Для предложен-
ных дифференциальных уравнений получить вид частного решения:
а) у"
у"
-
Зу'
+ 2у = 5 + ех;
+ у = 2;
= sin2x + cos 7х;
г) у" + у = 5 cos 2х - х sin 2х;
д) у" - Зу' = х 2 - 1 + cos х.
6)
2у'
в) у"+ 4у
Ответы: а) А+ х ·В· ех; 6) А; в) x(Acos 2х +В sin 2х) +С cos 7х +
+ Dsin 7х; г) (Ах+ В) cos2x + (Сх + D) sin2x; д) х(Ах 2 + Вх +С)+
+ D cosx + Esinx.
51.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (n
> 2)
с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида
Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го
(n > 2)
порядка
у(п) + а1(х) · y(n-l) + az(x) · y(n-Z) + ... + ап(х) ·у= f(x),
где а1 ( х), az (х),
... , ап (х),
f (х) -
заданные непрерывные функции
на (а; Ь).
Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид
у(п) + а1(х) · y(n-l) + ... + ап(х) ·У= О.
365
Теорема 51.3 (о структуре общего решения ЛНДУ n-ro порядка).
Общее решение у ЛНДУ п-го порядка равно сумме частного решения
у* неоднородного уравнения и общего решения у соответствующего
ему однородного уравнения, т. е. у
=
у* +у.
Частное решение у* ЛНДУ п-го порядка может быть найдено, если
известно общее решение
fj
однородного уравнения, методом вариации
произвольных постоянных. Оно ищется в виде
у*= с1(х)
где
Yi(x), i = 1, п, -
· У1(х)
+ с2(х) · У2(х) + ... + сп(х) · Уп(х),
частные решения, образующие фундаментальную
систему, однородного уравнения.
Система уравнений для нахождения неизвестных
ci(x)
имеет вид
ciy1 + С~У2 + с;уз + ... + C~Yn = О,
ciy~ + с~у~ + с;у~ + ... + с~у~ = О,
ciyr + с~у~ + c~yg + ... + с~у~ =о,
c'ly~n-1)
+ c~y~n-1) + с~у~п-1) + ... + c~y~n-1)
= f(x).
Однако для ЛНДУ п-го порядка с nосто.я~-тыми коэффициентами,
правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* мо­
жет быть найдено методом неопределенных коэффициентов.
Метод подбора частного решения у* уравнения
Y(n)
+ P1Y(n-l) + · · · + РпУ = f(x),
- числа, а правая часть f (х) имеет специальный вид, описанный
51.3 для случая п = 2, переносится без всякого изменения и на
случай уравнения, имеющего порядок п > 2.
где Pi
в п.
Пример 51.5. Решить уравнение y 1 v -у 1
= 2х.
О Решение: Находим у:
k4
-
k =о,
k(k - 1). (k 2
k2
у= с 1
+ k + 1) = о,
/Зi
= 1, kз4=-!±
,
2
2 '
v13 + с4 sin 2х
vз ) .
2 сз cos 2х
+ с2е"' + е _!"(
Находим у*: f(x) = 2х ( = е 0 ·"'·Р1 (х)), 1" = 1, у*= х(Ах+В) = Ах 2 +Вх,
отсюда
(у*)'= 2Ах +В,
(у*) 11
= 2А,
366
(у*)"'= 0,
(y*) 1 v
= 0.
Тогда -(2Ах +В)= 2х. Отсюда А=
-1,
В= О и получаем у*= -х 2 •
Следовательно, функция
•
является общим решением уравнения.
§ 52.
СИСТЕМЫ fJ.ИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ
52.1.
Основные понятия
Для решения многих задач математики, физики, техники (задач
динамики криволинейного движения; задач электротехники для не­
скольких электрических цепей; определения состава системы, в ко­
торой протекают несколько последовательных химических реакций
I
порядка; отыскания векторных линий поля и других) нередко требу­
ется несколько функций. Нахождение этих функций может привести к
нескольким ДУ, образующим систему.
Cucmeмoii ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых
содержит независимую переменную, искомые функции и их производ­
ные.
Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых
функций У1, У2,
... , Yn,
следующий:
{ ~~ ~~~ ~~ ~ ~-2·; -~~;-~~ ~ ~~~::: ~ ~~-). ~ -~'
.· .· .· .;
D
Гn
1 " у1 "
(х·' У 1,"У 2," ... ,"У n>"у 1>
2, ... ,"Уn1 ) -
о·
Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно произ­
водной, т. е. система вида
~
dx -- f 1 (х·, у 1,·у2,· · · ·,·уn ) ,
О:Jп
dx -- f 2 (х·у
, 1,·у2,· · · ·,·уn ) ,
dyn
dx -~
(52.1)
f n (х·, у1,. у 2,. · · ·,. у n ) ,
называется нормальноii. cucmeмoii. ДУ. При этом предполага­
ется, что число уравнений равно числу искомых функций.
Заме"tание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения
высших порядков можно привести к нормальной системе вида
367
(52.1).
Так, система трех ДУ второго порядка
2
dd
x t- 2
F (х·1
у· z·, t·, х'·
, ,у'·, z')
,'
d2~
dt = F2(x;y;z;t;x';y';z'),
d2z - F (x·y·z·t·x'·y'·z')
"d,f;'I-3,,,,,,'
описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых
переменных: ~~ =и,
1t = v, ~: =
w,
приводится к нормальной систе-
меДУ:
dx -и
dt - '
О11_
dt = v,
dz -w
dt - '
~~ = F1 (х; у; z; t; и; v; w),
~~
= F2(x;y;z;t;u;v;w),
~~ = Fз(х; у; z; t; и; v; w).
Уравнение третьего порядка у"'=
f(x;
у; у'; у") путем замены у'=
= р, у" = р' = q сводится к нормальной системе ДУ
{
у' =р,
р' = q,
q' = f(x;y;p;q).
Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормаль­
ных систем.
~
Решением сuстем'Ьt
ций у1,У2,
... ,yn,
(52.1)
называется совокупность из п функ­
удовлетворяющих каждому из уравнений этой
системы.
На'Ча.л:ьн'Ьtе ус.л,ови.я для системы
(52.1)
имеют вид
(52.2)
ЗаiJа'Ча Коши для системы
найти решение системы
ям
(52.1),
(52.1)
ставится следующим образом:
удовлетворяющее начальным услови­
(52.2).
Условия существования и единственности решения задачи Коши
описывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.
368
Теорема
52.1
(Коши). Если в системе
все функции
{52.1)
f;(x; У1; · · ·, Уп)
своими частными производными по Yi
D ((п + 1)-мерного пространства), то в каждой
точке Мо(хо; у~; у~; ... ; у~) этой области существует, и притом един­
ственное, решение У1 = <р1(х), У2 = <р2(х), ... , Уп = 'Рп(х) системы,
удовлетворяющее начальным условиям {52.2).
непрерывны
вместе со всеми
в некоторой области
Меняя в области
D
точку М0 (т. е. начальные условия), получим
бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде ре­
шения, зависящего от п произвольных постоянных:
У1 = <р1(х; с1; с2; ... ; Сп),
... , Уп = 'Рп(х; с1;с2; ... ; Сп)·
Это решение является общим, если по заданным начальным усло­
виям
(52.2)
можно однозначно определить постоянные с 1 , с 2 , ... , Сп из
системы уравнений
{ ~_1_<~;-~1·;-~2·;·······;·~~~ -~-~~~
'Рп(х; с1; с2; ... ; Сп) =у~.
Решение, получающееся из общего при конкретных значениях по­
стоянных с1, с2, ... , Сп, называется 'Частн·ым решением системы
52.2.
(52.1).
Интегрирование нормальных систем
Одним из основных методов интегрирования нормальной системы
ДУ является .метод сведен.и.я системы к одному ДУ въtсшего порядка.
(Обратная задача
переход от ДУ к системе
-
-
рассмотрена выше на
примере.) Техника этого метода основана на следующих соображениях.
Пусть задана нормальная система
(52.1).
Продифференцируем по
х любое, например первое, уравнение:
d2y1
дfi
-- = дх
dx 2
дfi
+-
ду1
dy1
dx
.-
дfi
+-
ду2
dy2
dx
.-
дfi
+ ... + -
дуп
dуп
dx
. -.
Подставив в это равенство значения производных ~, ~, ... , ~и; из
системы
(52.1),
d 2 y1
получим
дfi
-d
2 = -д
Х
Х
дfi
дfi
дfi
+ -f)
· fi + -д · f2 + · · · + -8
· fп,
Yl
У2
Уп
369
или, коротко,
d 2y1
-2
dx
= F2(x;y1;Y2; ... ;yn)·
Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значе-
ния производных~' ... , ~11;' из системы
d3y1
-
dx
-3
(52.1),
получим
=F3(х;у1;у2; ... ;уп)·
Продолжая этот процесс (дифференцируем
-
подставляем
-
получа­
ем), находим:
(52.3)
dn
dxl(t =Fn(x;y1;y2; ... ;yn)·
Из первых (п-1) уравнений системы
... , Уп
через х,
ф ункцию
чим:
-
У1
и ее
выразим функции у2, уз, ...
' /1
(n-1) . П олупроизводные у , у , ••• , у
(52.3)
1
.1, (х· у . у'.
. y(n-1))
у _ ф (х·у ·у'·
·у(п-1))
{у2 .
о/2
'
1,
1 >".,
1
1
1
'
~ -~- ..3.. .' .. ~ '.. ~::::: . ~ ...•. :
уn --
.1, (х·
o/n
'
у . у'.
1,
. y(n-1))
1' · · · '
1
(52.4)
·
Найденные значения yz, уз, ... , Уп подставим в последнее уравнение си-
стемы
(52.3).
функции У1=
есть
Получим одно ДУ п-го порядка относительно искомой
a;,'fP = Ф(х;у1 ;у~;.";у~п-l)). Пусть
У1 = ср1(х;с1;сz;".;сп)·
его общее решение
Продифференцировав его (п
- 1) раз и подставив значения производных у~, у~', ... , Yin-l) в уравнения системы (52.4), найдем функции
У2, Уз,···,
Yn=
У2 = 1Р2(х; с1; с2; ... ; Cn),
При.мер
52.1.
... , Yn = 1Рп(х; С1; с2; ... ; Сп)·
Решить систему уравнений
{ ~ =4y-3z,
~~ = 2у- Зz.
370
Q
Решение: Продифференцируем первое уравнение: у" = 4у'
Подставляем
у"
-
4у 1
z'
+ 6у =
= 2у- 3z в полученное равенство: у" = 4у' 9z.
- Зz'.
3(2у- Зz),
Составляем систему уравнений:
4y-3z,
{ у'=
у" - 4у' + 6у = 9z.
Из первого уравнения системы выражаем
z
через у и у':
4у-у'
(52.5)
z= --3-.
Подставляем значение
z
у
т. е. у"
во второе уравнение последней системы:
11
-
4
у
1
+6
- 9( 4у - у')
3
'
У-
- у' - 6у = О. Получили одно ЛОДУ второго порядка. Решаем
его: k 2 - k- 6 = О, ki = -2, k2 = 3 и у = с 1 е- 2 х + с2е 3 х - общее решение
уравнения. Находим функцию z. Значения у и у'
(с 1 е- 2 х + с2 е 3 х)'
2
3
= -2с1 е- х + Зс2 е х подставляем в выражение z через у и у' (форму­
=
ла
(52.5)).
=
Получим:
Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет
вид у = С1 е- 2 х
+ с2е 3 х,
z = 2с1 е- 2 х
+ ic2e3x.
Заме-чание. Систему уравнений
(52.1)
8
можно решать методом ин­
тегрируемъtх комбинациft. Суть метода состоит в том, что посредством
арифметических операций из уравнений данной системы образуют так
называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые
уравнения относительно новой неизвестной функции.
Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.
Пример
52.2.
Решить систему уравнений:
{ ~~~=у+ 1,
dt = х + 1.
Q
Решение: Сложим почленно данные уравнения: х' +у' = х+у+2, или
(х+у)'
=
(х+у)+2. Обозначим х+у
полученное уравнение:
z + 2 = с1 et,
или х
Z
= z. Тогда имеем z' = z+2. Решаем
d+z 2 = dt, ln(z + 2) - lnc 1 = t, z + 2 = et
+ у = с1 et -
С1
'
2.
Получили так называемый nepвuft интеграл системы. Из него
можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым
371
уменьшить на единицу число искомых функций. Например, у
- 2-
= с 1 et -
х. Тогда первое уравнение системы примет вид
х' = c1et - 2 - х + 1,
т. е.
х'
+х =
c1et - 1.
Найдя из него х (например, с помощью подстановки х
= uv), найдем
и у.
Заме'Чание. Данная система «позволяет» образовать еще одну ин­
тегрируемую комбинацию: х'
-
у' = у
-
х, т. е. (х
-
у)'
=
-(х
-
у).
Положив х - у = р, имеем: р' = -р, или 1:Е = -dt, lnp - ln с2 = -t,
р
р=
c2 e-t, или х - у = c2 e-t. Имея два первых интеграо-~а системы, т. е.
х +у = с 1 et - 2 и х - у = c2 e-t, легко найти (складывая и вычитая пер1 t - 2с2е
1 -t - 1. •
1 t 1 -t - 1, у -- 2с1е
вые интегралы ) , что х = 2 с1е + 2 с2е
52.3.
Системы линейных ДУ с постоянными
коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы
уравнений
(52.1)
в случае, когда она представляет собой систему ли­
неtiн'Ых однороднЪtх ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему
d
вида
{
:
~ ~·:.": _+ ~:'~ ~ +_ ~~~~~·
dx = ап1У1
+ ап2У2 + · · · + annYn·
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравне-
ний с тремя неизвестными функциями У1, У2 и у3:
~
1
=
анУ1 + а12У2 + а1зУз,
11п_
dx = az1Y1
+ а22У2 + аzзУз,
~
dx =
+ аз2У2 + аззУз,
аз1У1
(52.6)
где все коэффициенты aij ( i, j = 1, 2, 3) - постоянные.
Будем искать частное решение системы (52.6) в виде
У1 =а· ekx, У2 = f3 • ekx, Уз= [ · ekx,
где а,
(52.7)
(3, /, k-постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы
(52.7) удовлетворяли системе (52.6).
Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель
ekx =j:. О, получим:
функции
ak = ана + ai2f3 + а~з/,
{ fЗk = а21а + а22/З + а2з/,
f'k = аз1а + аз2/3 + азз/,
372
или
+ a12f3 + а13')' =О,
а21а: + (а22 - k)(З + а2з')' =О,
аз1а: + аз2f3 + (азз - k)f' =О.
{ (а11 - k)a
Систему
(52.8)
можно рассматривать как однородную систему трех ал­
(52.8)
гебраических уравнений с тремя неизвестными а,
(3, 1'·
Чтобы эта си­
стема имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы опре­
делитель системы был равен нулю:
а1з
а2з
азз
~
Уравнение
=О.
(52.9)
- k
(52.9) называется харакmерисmическим уравнени­
(52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение тре­
ем системы
тьей степени относительно
Слу'Ча11
различны:
му
(52.8)
k.
Рассмотрим возможные случаи.
Корни характеристического уравнения действительны и
1.
ki, k2, k3 .
Для каждого корня
и определим коэффициенты
a:i,
ki (i = 1, 2, З)
напишем систе­
fЗi, Т'i (один из коэффициентов
можно считать равным единице). Таким образом, получаем:
для корня ki частное решение системы (52.6): ур) = a 1ek 1x, у~ 1 ) =
_ (3 ek1x у(1) _ "' ek1x.
-
1
'
3
-
11
для корня k2 для корня kз -
'
Yi2) = a2ek2x' у~2) = f32ek2x' у~2) = ')'2ek2x;
ур) = а:зеkзх' у~з) = fЗзеkзх' у~з) = ')'зеkзх.
Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систе­
му, общее решение системы
(52.6)
У1 = c1a1ek 1x
У2 = c1f31ek 1x
Уз
С1 ')'1 ekix
=
При.мер
52.3.
записывается в виде
+ c2a:2ek 2x + с3а3еkзх,
+ c2f32ek 2x + сзfЗзеkзх,
+ C2')'2ek2x + С3')'3еkзх.
Решить систему уравнений:
=у1 -у2,
{~
1:1п.
dx -+
-4у1
Q
(52.10)
У2·
Решение: Характеристическое уравнение
(52.9) данной системы
имеет вид
1
1- k
-4
-1
1- k
или
1
=
о,
1-2k+k2 -4 =О, k2 -2k-3 =О, k1 = -1, k2 = 3. Частные решения
данной системы ищем в виде ур) = а 1 ekix, у~ 1 ) = (31 ek 1x и у?) = a 2ek 2 x,
у~ 2 ) = (32 ek2 x. Найдем a:i и f31 (i = 1, 2).
373
При
{
k1 = -1
система
(52.8)
имеет вид
(1- (-l))a1 - /31 =О,
-4а1 + (1 - (-l))/31 =О,
т. е.
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим а 1
тогда
(1)
=
У1
При
= 1,
Получаем частные решения
(31 = 2.
k2 = 3
система
-х
е
имеет вид
(52.8)
{ -2а2
-4а2 Положим а 2
/32 =О,
2(32 =
О.
= 1, тогда (32 = -2. Значит, корню k2 = 3 соответствуют
частные решения:
у~2) = езх
и
у;2) = _ 2 езх.
Общее решение исходной системы, согласно формуле
шется в виде: У1 = С1 е-х
Cлy"taii,
+ с2е 3 х,
У2 = 2с1 е-х
(52.10),
- 2с2е 3 х.
запи-
8
2. Корни характеристического уравнения различные, но
k1 = а + ib, k2 = а - ib, k3 • Вид частных
среди них есть комплексные:
решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае
1.
За.ме"lание. Вместо полученных частных решений можно взять их
линейные комбинации (п.
50.1,
случай
3),
применяя формулы Эйле­
ра; в результате получим два действительных решения, содержащих
функции вида еах
· cos Ьх,
еах
· sin Ьх.
Или, вьщеляя действительные и
мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим
два действительных частных решения (можно показать, что они тоже
являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно­
сопряженный корень
k2
=а-
ib
не даст новых линейно независимых
действительных решений.
Пример
52.4.
Найти частное решение системы
\
~=У1+У2,
~ = -у1 + У2 -у3,
0:1&
dx
= 3У2 +Уз,
удовлетворяющее начальным условиям: У1(О)
374
= 7,
У2(О)
= 2, Уз(О) = 1.
О Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:
1-k
-1
1
1-k
3
о
о
-1
=0,
1- k
(1 - k) · 11; k 1-=.\ \- 1·\~1 1-=.\ 1=о,
(1 - k)(k 2k + 4) - (k - 1)
(1 - k)(k 2k + 5)
k1 = 1, k2 = 1+ 2i,
= 1- 2i.
=о,
2 -
2 -
=о,
kз
Для
k1 = 1
получаем:
{
о. а1 + /31 +о. 'Yl =о,
-а1
+ О · /31
О · а1
- 'У1 = О,
+ 3/31 + О · "(1 = О
(см. (52.8)). Отсюда находим: /31 = О, а 1 = 1 (положили),
Частное решение системы: 1) = ех, у~ 1 ) = О, у~1 ) = -ех.
Для k2 = 1+2i получаем (см. (52.8)):
yi
'У1
-1.
-2ia2 + /32 =О,
{ -а2 - ~i/32 - 'У2 = О,
3/32 - 2i"(2 = о.
Отсюда находим: а 2
= 1
(положили),
/32 = 2i, 'У2 = 3.
Частное комп­
лексное решение системы:
Yi2) = e(l+2i)x,
у~2)
= 2ie(1+2i)x,
у~2)
= 3e(I+2i)x.
В найденных решениях выделим действительную
(Im)
(Re)
и мнимую
части:
yi2) = e(1+2i)x = ex(cos2x + isin2x),
Re yi = ех cos 2х, Im yi = ех sin 2х;
2)
2)
у~2 ) = 2ie(l+2i)x = ex(2icos2x - 2sin2x),
Rey~2 ) = -2exsin2x,
Imy~2 ) = 2excos2x;
у~2 ) = 3e(l+ 2i)x = ex(3cos2x + i3sin2x),
Rey~2 ) = 3ех cos2x,
Как уже отмечено, корень
k3 = 1 - 2i
ниям.
375
Imy~2 ) = 3ех sin2x.
приведет к этим же самым реше­
Таким образом, общее решение системы имеет вид
У1
=
с1ех
+
с2ех
сзех
cos2x +
sin2x,
= с1 ·О - 2с2ех sin 2х + 2сзех cos 2х,
Уз = -С1 ех + 3с2ех cos 2х + 3сзех sin 2х.
У2
Выделим частное решение системы. Пр~ заданных начальных услови~
ях получаем систему уравнений для определения постоянных с 1 , с2, сз:
7 = С1+С2+0,
{ 2 =О - О+ 2сз,
1=
-с1
==>
С1
= 5,
С2
= 2,
С3
= 1.
+ 3с2 + О,
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
У1
=
5ех
Случаii,
сти т (т
+
3.
2ех
cos 2х + ех sin 2х, У2 = -4ех sin 2х +
Уз = -5ех + 6ех cos 2х + 3ех sin 2х.
2ех
cos 2х,
Характеристическое уравнение имеет корень
•
k
кратно­
= 2, 3). Решение системы, соответствующее кратному корню,
следует искать в виде:
а) если т = 2, то У1 = (А+ Bx)ekx, У2 = (С+ Dx)ekx, Уз =
= (Е + Fx)ekx;
б) если т = 3, то у 1 = (А+ Вх + Cx 2)ekx, у 2 = (D + Ех + Fx 2)ekx,
у3 = (G + Нх + Nx 2 )ekx.
Это решение зависит от т произвольных постоянных. Постоянные
А, В, С,
... , N
определяются методом неопределенных коэффициентов.
Выразив все коэффициенты через т из них, полагаем поочередно один
из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т ли­
нейно независимых частных решений системы
При.мер
52.5.
Решить систему уравнений:
! 01& -Q
(52.6).
~dx -
У1
-
rJш.
dx -
У1
+ У2
dx -
-у2
У2 +Уз,
- Уз,
+ 2УЗ·
Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение
1-k
-1
1
1-k
1
-1
о
-1
2-k
376
=0,
(1- k)(2 - 2k - k + k 2 -1) - 1(-2+k+1) =О, kl = 2, k2 = kз = 1. Корню
kl = 2 соответствует система (см. (52.8)):
{ -а:1- -/31/31- +'Yl'Yl= =о,
а:1
{/31 =о,
о,
:==}
а:1 - 'Yl =о.
-/31 =о,
Полагая 'Yl = 1, находим а: 1 = 1. Получаем одно частное решение ис­
ходной системы: ур) = е 2 х, у~ 1 ) =О, у~ 1 ) = е2х.
Двукратному корню k = k 2 = k3 = 1 (т = 2) соответствует реше­
ние вида у~ 2 ' 3 ) = (А + Вх )ех, у~2 ' 3 ) = (С + Dx )ех, у~2 ' 3 ) = (Е + Fx )ех.
Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:
+ (Е + Fx)ex,
+(С+ Dx)ex - (Е + Fx)ex,
В· ех +(А+ Вх)ех =(А+ Вх)ех - (С+ Dx)ex
{D ·
ех +(С+
F · ех +
(Е
Dx)ex =(А+ Вх)ех
+ Fx)ex =-(С+ Dx)ex +
или, после сокращения на ех
2(Е
+ Fx)ex,
"1 О и группировки,
(D - F)x +В+ С - Е = О,
(В - F)x +А - D - Е =О,
(D - F)x +С+ F - Е = О.
{
Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда
D-F=O,
B-F =О,
В+С-Е=О,
A-D-E=O,
C+F-E=O.
Выразим все коэффициенты через два из них
рез А и В. Из второго уравнения имеем
Е =А
- D, т.
= А- В - В,
е. Е =А
С
или С
Полагая А
= 1,
-
= В.
D
вого уравнения, получаем
F
(m
= В.
= 2),
Из четвертого уравнения находим
В. Из третьего уравнения: С= Е
= А- 2В. Коэффициенты А и В -
В
=
Полагая А= О, В=
например че­
Тогда, с учетом пер­
О, находим: С =
1, находим: С=
-
В, т. е.
произвольные.
1, D = О, Е = 1, F = О.
-2, D = 1, Е = -1, F = 1.
Получаем два линейно независимых частных решения, соответ-
ствующих двукратному корню
(2) _ ех
у1
-,
ур) =хех,
у~з)
k = 1:
у(2) _ ех
2-,
= (-2+х)ех,
у(2) _ ех
3-
у~з)
и
= (-1+х)ех.
Записываем общее решение исходной системы:
У1
= с1е 2 х + с2ех + сзхех,
Уз=
с1е 2 х
У2
= с2ех + сз(х -
+ с2ех + сз(х -
1)ех.
2)ех,
8
Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
1
Лекции 44-46 1
§ 53. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
53.1.
Основные понятия и определения
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух пе­
ременных является так называемый двойной интеграл.
Пусть в замкнутой области
у
D
плос­
кости Оху задана непрерывная функция
z = f(x;y). Разобьем область D на п
«элементарных областей»
Di (i = 1, п),
площади которых обозначим через лsi,
а диаметры (наибольшее расстояние ме­
жду точками области)
--i---------x-
рис.
-0
Рис.
через
-
di
(см.
214).
В каждой области
выберем про­
Di
извольную точку Mi(x,; Yi), умножим
значение f(xi; Yi) функции в этой точке
214
на дS; и составим сумму всех таких произведений:
n
f(x1;Y1)ЛS1
+ f(x2; У2)ЛS2 + · · · + f(хп; Yn)ЛSn = L f(xi;Yi)дSi.
i=l
Эта сумма называется интегра.л:ьноi1 сум.моii, функции
сти
(53.1)
f(x; у) в обла­
D.
Рассмотрим предел интегральной суммы
ся к бесконечности таким образом, что
maxdi
(53.1),
когда п стремит­
-+О. Если этот предел
существует и не зависит ни от способа разбиения области
D
на ча­
сти, ни от выбора точек в них, то он называется iJвoii,нuм интегралом
от функции
f(x;y)
по области D и обозначается// f(x;y)dxdy (или
/ / f(x;y)ds).
D
~
D
Таким образом, iJвohнoii, интегра.л. определяется равенством
n
/ / f(x;y)dxdy =
D
~
Lf(xi;y;).
лsi.
(53.2)
(max ci;--+0) i=l
В этом случае функция
об,11,асти
JL"Jo
D; D -
f(x;y)
называется интегрируемоit в
область интегрирования; х и у
менные интегрuровани..я;
dx dy
(или
378
dS) -
-
пере­
эл.емент n.лoщaiJu.
Для всякой ли функции
f (х; у)
существует двойной интеграл? На
этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь
без доказательства.
Теорема
53.1 (достаточное условие интегрируемости функции).
z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она
Если функция
интегрируема в этой области.
Заме'Чаnи.я.
Далее будем рассматривать толь­
1.
у
ко функции, непрерывные в области инте­
грирования, хотя двойной интеграл может
существовать не только для непрерывных
функций.
Лу;
Из определения двойного интегра­
2.
ла следует, что для интегрируемой в обла­
сти
функции
D
сумм
существует
предел
и
не
интегральных
зависит
от
спосо­
ба разбиения области. Таким образом, мы
можем разбивать область
D
на площадки
Лх;
о
Рис.
прямыми, параллельными координатным осям (см. рис.
ЛSi
х
215
215).
При этом
= Лхi · Луi, равенство (53.2) можно записать в виде
j j f (х; у) dx dy =
n
·Ji..IIJo
L, f (xi; у;) · Лх; · Луi.
(max d;--+0) i=l
D
53.2. Геометрический и физический смысл двойного
интеграла
Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.
Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью
~О, снизу
-
замкнутой областью
D
z = f(x; у)
плоскости Оху, с боков
-
дрической поверхностью, образующая которой параллельна оси
направляющей служит граница области
называется цилиндрu'Ческим. Найдем его
область
Oz,
а
D (см. рис. 216). Такое тело
объем V. Для этого разобьем
z = f(x;y) на плоскость Оху) произ­
D;, площади которых равны ЛSi (i =
= 1,п). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, огра­
ниченные сверху кусками поверхности z = f(x; у) (на рис. 216 один из
D
(проекция поверхности
~
цилин­
вольным образом на п областей
379
них выделен). В своей совокупности они составляют тело
объем столбика с основанием
Di
V.
Обозначив
через дVj, получим
n
V= LдVi.
z
z=f(x;y)
i=l
Возьмем на каждой площадке
вольную точку
Mi(xi; Yi)
Di
произ­
и заменим ка­
ждый столбик прямым цилиндром с тем
же основанием
1
!
:...:-:----
Di
и высотой z;
= f(xi; Yi).
Объем этого цилиндра приближенно ра­
1
f(x;; у;)
вен объему д Vi цилиндрического столби­
ка, т. е. дVj ~
'
1
f(XiiYi) · дS;.
Тогда полу­
1
1
1
чаем:
у
D
n
п
i=l
i=l
L дVi ~ L f (xi; y;)дSi.
V =
(53.3)
Это равенство тем точнее, чем больше чиРис.
ело п и чем меньше размеры «элементар­
216
ных областей» D;. Естественно принять
(53.3) при условии, что число площадок D; неограничен­
но увеличивается (п -+ оо), а каждая площадка стягивается в точку
(maxdi-+ О), за объем V цилиндрического тела, т. е.
предел суммы
п
V =
lim
n---too
~
f (х;; y;)дSi,
~
(maxd;-+0) i=l
или, согласно равенству
(53.2),
V
= jj f(x;y)dxdy.
(53.4)
D
Итак,
вели'Ч.uна двоtJ,ного интеграла от неотрицательноtl, фующии
равна обr,ему цил1тдри'Ч.еского тел.а. В этом состоит геометрический
смысл двойного интеграла.
Масса плоской пластинки
Требуется найти массу т плоской пластинки
D,
зная, что ее по­
верхностная плотность 'У= 'У(х; у) есть непрерывная функция коорди­
нат точки (х;у). Разобьем пластинку
D на п элементарных частей Di
(i = 1, п), площади которых обозначим через дSi. В каждой области
Di возьмем произвольную точку М;(х;; у;) и вычислим плотность в ней:
"((Xii У;).
Если области D; достаточно малы, то плотность в каждой точке
(х; у) Е D; мало отличается от значения 'Y(Xii у;). Считая приближен­
но плотность в каждой точке области Di постоянной, равной 'Y(Xii Yi),
380
можно найти ее массу
mi: mi
n
стинки D равна т =
L;mi,
равенство
i=l
~ "f(Xii Yi)·дSi. Так как массаm всей пла­
то для ее вычисления имеем приближенное
п
т~
L /(Xij Yi) . дSi.
(53.5)
i=l
Точное значение массы получим как предел суммы
п ~ оо и
max di
(53.5)
при условии
~ О:
'°' 1(xi; Yi)дSi,
п
т=
lim
n-+oo
L
(maxd;-+0) i=l
или, согласно равенству
(53.2),
т = jj ')'(x;y)dxdy.
(53.6)
D
Итак, двойной интеграл от функции 1(х; у) численно равен мас­
се пластинки, если подынтегральную функцию ')'(х; у) считать плотно­
стью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл
двойного интеграла.
53.3. Основные свойства двойного интеграла
Можно заметить, что процесс построения интеграла в области
дословно повторяет уже знакомую нам
D
процедуру определения инте­
грала функции одной переменной на отрезке (см.
§ 35). Аналогичны
§ 38). Поэтому
и свойства этих интегралов и их доказательства (см.
перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынте­
гральные функции интегрируемыми.
1. j j с· f(x;y) dxdy =с· jj f(x; у) dxdy, с D
const.
D
2. jjU1(x;y) ±f2(x;y))dxdy = jj fi(x;y)dxdy± j j f2(x;y)dxdy.
D
D
D
3.
Если область D разбить линией на две обла­
D1 и D2 такие, что D1 U D2 = D, а пересече­
ние D 1 и D 2 состоит лишь из линии, их разделяющей
(см. рис. 217), то
сти
JJ
D
f(x;y)dxdy = jj f(x;y)dxdy+ jj f(x;y)dxdy.
~
~
381
Рис.
217
4.
Если в области
JJ f(x;y)dxdy
D
имеет место неравенство
J(x; у)
~ О, то и
~О. Если в области D функции f(x;y) и r.p(x;y) удо­
D
влетворяют неравенству
f(x;
у) ~
r.p(x; у),
то и
JJ f(x;y)dxdy ~ j Jr.p(x;y)dxdy.
D
5.
D
JJdS = S, так как f:, дS; = S.
D
6.
i=1
Если функция
f(x;
щадь которой S, то mS:::;;
у) непрерывна в замкнутой области
JJ f(x;y) dxdy:::;; MS, где т и М -
D,
пло­
соответ­
D
ственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции
в области
D.
f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, пло­
S, то в этой области существует такая точка (х 0 ; у0 ), что
f(x;y) dxdy = f(xo;Yo) · S. Величину
7.
Если функция
щадь которой
JJ
f(x 0 ;y0 )
D
=~ ·
JJ f(x;y)dxdy
D
называют средним зншчением фун-х;цuи
53.4.
f(x;
у) в области
D.
Вычисление двойного интеграла в декартовых
координатах
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последо­
вательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл
функция
f (х; у)
показано в п.
JJ f(x; у) dxdy, где
D
~ О непрерывна в области
53.2,
D.
Тогда, как это было
двойной интеграл выражает объем цилиндрическо­
го тела, ограниченного сверху поверхностью
z = f(x;y).
объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см.
Найдем этот
(41.6))
было
показано, что
ь
V
=
JS(x)dx,
а
где
S(x) -
х
а, х
=
=
площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а
Ь
-
уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
382
Положим сначала, что область
D
представляет собой криволиней­
=а
ную трапецию, ограниченную прямыми х
=
<р1(х) и у
= Ь и кривыми у =
и х
<р2(х), причем функции <р1(х) и <р2(х) непрерывны и
=
таковы, что <р1(х) ~ <р2(х) для всех х Е [а;Ь] (см. рис.
218).
Такая
область называется прави.л:ьноi1 в направлении оси Оу: любая прямая,
параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух
точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендику­
лярной оси Ох: х
= const, где х Е (а; Ь].
z
у
О
а
ьх
х
Рис.
Рис.
218
219
В сечении получим криволинейную трапецию АБС D, ограничен­
ную линиями
(см. рис. 219).
Площадь
z
=
S(x)
f(x; у),
где х
= const, z = О,
у
= <р1 (х)
и у
= <р2(х)
этой трапеции находим с помощью определенного
интеграла
'Р2 ( х)
S(x) =
J
f(x; у) dy.
'Pl ( х)
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем
цилиндрического тела может быть найден так:
V =
Jь S(x)dx = Jь( <р2(х)
J f(x;y)dy
а
С другой стороны, в п.
а
)
dx.
<р1(х)
53.2 было доказано,
что объем цилиндриче­
ского тела определяется как двойной интеграл от функции
383
f(x;y)
~О
по области
D.
Следовательно,
i( rpfx)
jj f(x;y)dxdy =
V =
а
D
f(x;y)dy) dx.
<р1(х)
Это равенство обычно записывается в виде
jj f(x;y)dxdy= j
'Р2(х)
dx·
а
D
Формула
Ь
j
f(x;y)dy.
(53.7)
<р1(х)
представляет собой способ вычисления двойного инте­
(53.7)
грала в декартовых координатах. Правую часть формулы
(53.7) назы­
f(x; у) по
вают двукратним (или nовторнъ~м) интегралом от функции
<р2 (х)
j
области D. При этом
f(x; у) dy называется внутренним интегра­
'Р1 ( х)
лом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутрен­
ний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл,
т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от
адо Ь.
D ограничена прямыми у = с и у = d (с < d),
= 'Ф1 (у) их= 'Ф2(у), причем 'Ф1(У) ~ 'Ф2(У) для всех у Е [с; d],
т. е. область D - nравилъна.я в направлении оси Ох, то, рассекая тело
плоскостью у= const, аналогично получим:
Если же область
кривыми х
d
Ф2(У)
jj f(x;y)dxdy= j dy· j
с
D
f(x;y)dx.
(53.8)
.Р1(У)
Здесь, при вычислении внутреннего интегра.,т1а, считаем у постоянным.
Заме'Ч,ани.я.
1.
Формулы
<О, (х;у) Е
2.
(53.7)
и
(53.8)
справедливы и в случае, когда
Если область
D
(53.8).
3. Если
<
правильная в обоих направлениях, то двойной
интеграл можно вычислять как по формуле
ле
f(x;y)
D.
область
D
(53.7),
так и по форму­
не является правильной ни «по х», ни «по у»,
то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить
на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
4.
Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле
всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
384
Пример 53.1. Вычислить JJ<x + 2y)dxdy, где область D огра­
ничена линиями у
Q
Решение: На
D
= х2 , у =
рисунке
область интегрирования
+у -
О, х
2 = О.
220 изображена
Она правильная
D.
в направлении оси Ох. Для вычисления дан­
ного двойного интеграла воспользуемся фор­
мулой
(53.8):
2-у
1
J J (х
+ 2у) dx dy = J
=
!
1
dy
J (х + 2у)
dy
о
D
dx =
~
(х2 + 2ух )l 2~-y =
2
Р~.~
/1(( 2 ~ у)2 + 4у -
о
2у 2
3)
'у2 -
-
2у 2 dy =
о
= ((у -
2)3
+ 7 . у2
- 2.
2·2
6
уз -
5
2.2.
у 2 ) 11
3
1
= - -
6
8
7
5
2
6
4
3
=
о
4
29
= - = 1 45.
5
20
'
+- +- - - - -
Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла мож­
но воспользоваться формулой
разбить на две области:
J J (х
D1
и
Но для этого область
(53.7).
D2•
+ 2у) dx dy = J J (х + 2у) dx dy +
D
~
следует
J х + 2у)
J (
dx dy
=
~
х2
1
D
Получаем:
2-х
2
J (х + 2у) +
(х + 2у)
j -(ху + у2)1х2 + j (ху + у2)12-х =
= J(х + х ) + J(2х х +
х) ) =
=
dx J
о
dy
о
=
dy =
J dx J
о
1
dx
dx.
о
о
1
о
1
2
3
4 dx
о
-
2
2 dx
(2 -
1
х5)11 + (2
х3 (х-2)3)12--(х4
-+х --+
4
5 о
3
3
1
= (~4 + ~)
+ (4 5
1-
~+~+о+~)
3 3
3
Ответ, разумеется, один и тот же.
=
~
+ 3 - 2 = 1'45.
20
8
385
53.5.
Вычисление АВОЙноrо интеграла в полярных
КООРАИНатах
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют
метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного
интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного инте­
грала.
Определим преобразование независимых переменных х и у (замену
переменных) как
Если функции
х =<р(и;v)
(53.9)
и
y='lj;(u;v).
имеют в некоторой области
(53.9)
D*
плоскости
Ouv
не-
прерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля
определитель
I(u;v) =
1:
:
ди
а функция
f (х; у)
(53.10)
,,
дv
непрерывна в области
D,
то справедлива форму.л,а
замени переменных в двоitном и-нтегра.л,е:
JJf(x;y)dxdy = JJ f(ip(u;v);'lj;(u;v)) · /I(u;v)/dudv.
D
(53.11)
D•
Функциональный
определитель
Якоби или якобиа-ном (Г. Якоби
ство формулы
(53.11)
называется
(53.10)
оnреде.л,ителем
немецкий математик). Доказатель­
-
не приводим.
Рассмотрим частный слуЧай замены переменных, часто используе­
мый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых
координат х и у полярными координатами
В качестве и и
v
r
с декартовыми координатами формулами х
п.
и <р.
возьмем полярные координаты
rи
= r cos ер,
<р. Они связаны
у
= r sin ер
(см.
9.1).
Правые части в этих равенствах
-
непрерывно дифференцируе­
мые функции. Якобиан преобразования определяется из
I(r;ip) =
1: g:
!!.JL
дr
д'{)
Формула замены переменных
l=lcoscp
sin 1t0
.,.,
(53.11)
D
D* области D
как
-r sin <р 1 = r.
rcos ер
принимает вид:
JJ f(x; у) dx dy = jj f(rcos <р; r sin;p) · r · drdcp,
где
(53.10)
(53.12)
D•
область в полярной системе координат, соответствующая
в декартовой системе координат.
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах при­
меняют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если
386
область
D*
имеет вид, изображенный на рисунке
= /3,
=
221
(ограничена лу­
=
где а< /3, и кривыми r
r 1(v;) и r r 2(v;), где
r1(v;) ~ r2(v;), т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса,
пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть
формулы (53.12) можно записать в виде
чами
v;
=а и
v;
т2(1Р)
(3
JJ r·f(rcosv;;rsinv;)drdЧ? = Jdv; J r·f(rcosv;;rsinv;)dr. (53.13)
т 1 (<р)
а
D•
Внутренний интеграл берется при постоянном
v;.
х
Рис.
Рис.
221
222
Заме""ани.я..
1.
Переход к полярным координатам полезен, когда подынтеграль­
ная функция имеет вид
f(x 2
+ у 2 );
область D есть круг, кольцо или
часть таковых.
2.
На практике переход к полярным координатам осуществляет­
ся путем замены х
= r cos v;,
= r sin v;,
у
D,
линий, ограничивающих область
dx dy
= r dr dv;;
уравнения
также преобразуются к полярным
координатам. Преобразование области
D
в область
D*
не выполняют,
а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нуж­
ные пределы интегрирования по
v;
точки
(r; v;)
Пример 53.2. Вычислить
круг х 2 +у 2 ~ 9.
Q
r
и
v;
(исследуя закон изменения
при ее отождествлении с точкой (х; у) области
JJJ9 -
r
и
D).
х2 - у2 dx dy, где область D -
D
Решение: Применив формулу
(53.12), перейдем к полярным коорди­
натам:
JJ Jg - х2 -у2 dxdy = JJ Jg - (rcosv;) 2 - (rsinЧ?)2 · rdrdЧ? =
= JJ r · Jg - drdЧ?.
D
D
r2
Область
D
D
в полярной системе координат определяется неравен­
ствами (см. рис.
222)
О ~
v;
~ 2?Г, О ~
387
r
~
3.
Заметим: область
D -
круг
D* -
преобразуется в область
-
гласно формуле
(53.13),
3
211"
jj r·
Jg - r 2 dr dip =
j dip j r ·
D
О
1
211"
прямоугольник. Поэтому, со­
имеем:
3
Jg - r 2 dr =
О
1
1
(9
211"
=-2Jaipj(9-r2)2·d(9-r2)=-2/dip(
о
о
3
2 2 3
-r3 . )\о=
2)
о
1
2л
3 f (О - 27) d;p = 9<р1 0
= -
211"
= l87r.
8
о
53.б. Приложения двойного интеграла
Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.
Объем тела
Как уже показано (п.
53.2), объем цилиндрического тела находится
по формуле
V = jj f(x;y)dxdy,
D
где z
=
f (х; у) -
уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
ПлощаАь плоской фигуры
Если положить в формуле
(53.4) f(x;
у)
= 1, то цилиндрическое
= 1. Объем тако­
тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н
го цилиндра, как известно, численно равен площади
Получаем формулу для вычисления площади
S
S
области
основания
D.
D:
S = jj dxdy,
D
или, в полярных координатах,
Масса плоской фигуры
Как уже показано (п.
53.2),
масса плоской пластинки
ной плотностью 'У= 1(х; у) находится по формуле
т
= jj
1(x;y)dxdy.
D
388
D
с перемен­
Статические моменты и кооминаты центра тяжести плоской
фигуры
Статические моменты фигуры
11.
D
относительно осей Ох и Оу (см.
могут быть вычислены по формулам
41.6)
Sx
=
JJ y·1(x;y)dxdy
и Sy =
D
JJ X·"'f(x;y)dxdy;
D
а координаты центра масс фигуры
Sy
-
Хе=
-
И
по формулам
Sx
Ус=-.
т
т
Моменты инерции плоской фигуры
Моментом 1терции материа.л:ьноii, то-чки массы т относительно
оси
называется произведение массы т на квадрат расстояния
l
до оси, т. е. М1
d
точки
= т · d2. Моменты инерции плоской фигуры относитель­
но осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:
Мх
=
JJ у
Му
2 ·'Y(x;y)dxdy,
=
D
JJ х
2 ·"'f(x;y)dxdy.
D
Момент инерции фигуры относительно начала координат
ле Лfо
-
по форму­
= Мх +Му.
Заме-чание. Приведенными примерами не исчерпывается примене­
ние двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного ин­
теграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п.
Пример
Найти объем тела, огра­
поверхностями х 2
у2 - z
1= О и
53.3.
+
ниченного
х 2 + у 2 + 3z - 7 = О.
Q
223).
{ х22 + у22 = z х
находим
+
+у
уравнение
+ у2 =
Решая систему
1,
= -3z + 7,
линии
их
у
пересечения:
1, z = 2.
Искомый объем равен разности объемов
двух цилиндрических тел с одним основанием
(круг х2
ми
z
Решение: Данное тело ограничено двумя
параболоидами (см. рис.
х2
57.3).
z
+ у2
= !(7 -
Рис.
223
~ 1) и ограниченных сверху соответственно поверхностя­
х2
-
у2 ) и
z
= 1 + х2 + у2 •
Используя формулу (53.4),
имеем
V = V1 - V2 =
JJ ~(7 - х2 -у2 ) dxdy - jj(I + х2 + у 2 ) dxdy.
D
D
389
Переходя к полярным координатам, находим:
V
JJ (7 - r )r · drdr.p - JJ (1 + r )r · drdr.p =
= 3 J dr.p J(7r - dr - J dr.p J(r +
=~
2
2
D
D
1
1
211"
1
211"
r 3)
о
о
о
При.мер
Sx
и
Sy
53.4.
=
о
!3 (~2 - !)
.r.p,211" - (!2 + !)
.r.pl21r =
4
4
=
менты
о
r 3 ) dr
о
13 • 271" - ~.
12
4
27Г = ~71".
•
3
Найти массу, статические мо­
у
и координаты центра тяжести фигу­
1
ры, лежащей в первой четверти, ограниченной эл2
липсом
у 2 = 1 и координатными осями (см.
4+
рис.
224).
2
о
Поверхностная плотность в каждой точке
фигуры пропорциональна произведению координат
Рис.
х
224
точки.
Q Решение:
'У= "((х;у)
т=
Jj
По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию,
= k · ху, где k -
коэффициент пропорциональности.
р;
kxy dx dy
= k j х · dx
2
О
D
у dy = 2 j х dx · у2
х( 4
4
- х 2 ) dx = -k ( 2х 2 - 8
4
k
О
= -2k · -41 /
2
lp; =
J
2
4
О
О
х ) 2 = -k
о
2·
1
о
Находим статические моменты пластинки:
г:-7
v·-4
2
Sx
=
JJу · kxy dx dy = k Jх dx !
D
О
j j х · kxy dx dy = k j х 2 dx
D
2
dy
= ... =
4
15k,
о
2
Sy =
у
О
~
v·-4
!
у dy =
... = 185 k.
о
Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы
16 у -- 15.
8
х -- Si. и у -- Si... х -- 15,
с
т
с
т
с
с
390
•
§ 54. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
54.1. Основные понятия
Обобщением определенного интеграла на случай функции трех пе­
ременных является так называемый «тройной интеграл».
Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интегра­
ла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.
Пусть в замкнутой области
рывная функция и=
на п частей
ку
Vi (i
Mi(xi; Yii zi),
функции
сти
f(x;
у;
z).
V
пространства
Разбив область
V
Oxyz
задана 11епре­
сеткой поверхностей
= 1, п) и выбрав в каждой из них произвольную точ­
составим интегральную сумму
f (х; у; z) по области V
(здесь д
n
2:: f (xi; Yii Zi)д Vi
для
i=l
Vi -объем элементарной обла-
Vi).
Если предел интегральной суммы существует при неограничен­
ном увеличении числа п таким образом, что каждая «элементарная
область»
Vi стягивается в точку (т. е. диаметр области di стремится к
di-+ О), то его называют троi1'Н:ым интегралом от функции
f(x; у; z) по области V и обозначают
нулю, т.е.
и=
jjj f(x;y;z) ·dxdydz (или jjj f(x;y;z)dv).
v
v
Таким образом, по определению, имеем:
jjj f(x;y;z) ·dxdydz = JhIIJo
v
(maxd;-+0) i=l
=
Здесь
n
Lf(xi;Yi;zi)дVi =
dv = dx dy dz -
Теорема
54.1
JJJ
f(x;y;z)dv.
v
элемент объема.
(существования). Если функция и=
рывна в ограниченной замкнутой области
суммы
(54.1)
при п
-+
оо и
maxdi -+
V на
ни от способа разбиения области
Mi(xi; Yi; zi)
(54.1)
V,
f(x;
у; z) непре­
то предел интегральной
О существует и не зависит
части, ни от выбора точек
в них.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной
интеграл:
1.
jjj c·f(x;y;z)dv=c· jjj f(x;y;z)dv, c-const.
v
v
391
2. JJJU1(x;y;z) ± f2(x;y;z))dv =
v
= JJJ fi(x;y;z)dv± JJJ f2(x;y;z))dv.
v
v
3. JJJ f(x;y;z)dv = JJJ f(x;y;z)dv
= V1 U V2 ,
+ JJJ J(x;y;z)dv, если V =
V1
V
а пересечение
Vi
Vz
и
V2
состоит из границы, их разделяющей.
4. J J J j(x; у; z) dv ~ О, если в области V функция f(x; у; z) ~ О.
v
Если в области интегрирования
f(x;
у;
z)
~
1i0(x; у; z),
то и
JJJ f(x;y;z)dv ~ J JJ 1i0(x;y;z)dv.
v
v
j
5. JJ dv = V, так как в случае f(x;y;z) = 1 любая интегральная
V
n
сумма имеет вид Ед Vi
= V
и численно равна объему тела.
i=l
6.
Оценка тройного интеграла:
т · V::::; JJJ f(x;y;z)dv::::; М · V,
v
где т и М
ции
-
f(x;y;z)
7.
соответственно наименьшее и наибольшее значения функ­
в области
V.
Теорема о среднем значении: если функция
на в замкнутой области
Мо(хо; Уо;
zo),
V,
f(x;y; z)
непрерыв­
то в этой области существует такая точка
что
j
J J f(x; у; z) dv = f(xo; Уо; zo) · V,
v
где
V -
объем тела.
54.2. Вычисление тройного интеграла в Аекартовых
координатах
В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводит­
ся к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
V является тело, ограниченное
z = z1 ( х; у), сверху - поверхностью z = z2 ( х; у),
и z2(x; у) (z1 (х; у) ::::; z2(x; у)) - непрерывные функции в
Пусть областью интегрирования
снизу поверхностью
причем
z1 (x; у)
замкнутой области
D,
являющейся проекцией тела на плоскость Оху
392
(см. рис.
нии оси
225). Будем считать область V - прави.11ьно1J. в направле­
Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу
области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в
области
V
функции
f (х; у; z)
имеет место формула
z2(x;y)
JJJ f(x;y;z)dv= JJ( J
V
D
(54.2)
f(x;y;z)dz)ds,
z1(x;y)
сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного ин­
теграла от однократного (доказательство формулы
(54.2) не приводим).
z
При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной
при постоянных х и у в пределах изменения
грала является аппликата точки А
ной оси О z в область
точки В
-
V,
т. е.
-
z.
Нижней границей инте­
точки входа прямой, параллель­
z = z1 ( х; у); верхней границей - аппликата
V, т. е. z = z2 (x; у). Ре­
точки выхода прямой из области
зультат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных:
х и у.
у
...... ' . .. ...
....................
.................
. .. ... .... .. ... . '
:::::::::::::::::n:::::::::::::::::
.. .. ..... .. . . ..
'
О
Рис.
ьх
а
Рис.
225
226
=
Если область D ограничена линиями х =а, х = Ь (а< Ь), у
ip 1 (х)
и у= ip2(x), где ip1(x) и ip2(x) - непрерывные на отрезке [а, Ь] функции,
причем ip 1 (х) ~
по области
D
ip2(x)
(см. рис.
226), то,
переходя от двойного интеграла
к повторному, получаем формулу
Ь
<р2(х)
z2(x;y)
JJJ f(x;y;z)dxdydz= j dx J dy J
V
а
<р 1 (х)
f(x;y;z)dz,
(54.3)
z1(x;y)
по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.
393
Заме'Чания.
1. Если область V
более сложная, чем рассмотренная, то ее следует
разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым
можно применить формулу
(54.3).
2.
Порядок интегрирования в формуле
(54.3),
при определенных условиях, может
быть иным.
Пример
Вычислить
54.1.
JJJ (х + z) dxdydz,
v
V
z = 1,
где
Q
ограничена плоскостями х
х +у+
z= 2
(рис.
у
О, у
=
О,
=
227).
Решение: Область
в направлении оси
V является правильной
Oz (как, заметим, и в на-
Рис. 227
правлении осей Ох и Оу). Ее проекция на плоскость Оху является пра­
вильной в направлении оси Оу (и оси Ох). Согласно формуле
(54.3),
имеем:
Jjj(x+z)dxdydz=
v
J
Jx dy
о
о
dx
1
z2
1-х
1
о
Jdx J (2х - х - ху - х +
1-х
о
=
=
1
о
1
2-х-у
Jdx J dy · (xz + 2 ) /
=
=
2
J-y(x+z)dz=
2
(2
- х2 - у
1
)2
-
2) dy =
о
1dx
1
(
ху
-
2
х у
-
у2
х2
-
(2 - х - у)з
6
1 ) ,1-х
- "2у
0
=
о
=
](х-х2-х2+хз_х(l;х)2 -~+ (2~х)з -~+~x)dx=
о
=а.х; _ 2 _х; +х44 -~(~2 _ 2 .х; +х:)-~·х-(2;4х) 4 )\:=
3
2
1
= 4- 3+ 4394
1
24 -
2
3-
1
24
16
1
+ 24 = 4.
•
54.З. Замена переменных в тройном интеграле.
Вычисление тройного интеграла
в цилиндрических и сферических координатах
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто приме­
няется метод подстановки, т. е. совершается преобразование перемен­
ных.
Пусть совершена подстановках = ip(и;v;w), у= ф(и;v;w),
=
х(и; v;
w).
Если эти функции имеют в некоторой области
Ouvw
странства
z =
про­
V*
непрерывные частные производные и отличный от ну-
ля определитель
I(u ·, v·, w) =
дх
ди
дх
дv
дх
дw
!!.JL
ди
l!JJ.
дv
!!.JL
дw
дz
ди
дz
дv
дz
дw
то справедлива формула замени переменних в тройном интеграле:
jjj f(x;y;z) dxdydz =
v
=
jjj f(ip(и;v;w);ф(и;v;w);x(и;v;w)) · II(и;v;w)ldиdvdw.
(54.4)
v·
Здесь
определитель Якоби, или якобиан преобразования
I(u;v;w) -
(примем без доказательства).
Для
часто
вычисления тройного
используют
так
интеграла
называемые
цилин­
z
дрические координаты.
Положение точки М(х; у;
стве
Oxyz
чисел
r,
<р,
z)
в простран­
M(x;y;z)
можно определить заданием трех
z, где r -
M(r;
z
длина радиуса-вектора
проекции точки М на плоскость Оху, <р -
рис.
z)
у
угол, образованный: этим радиусом-векто­
ром с осью Ох,
ер;
аппликата точки М (см.
z-
228).
Эти три числа
(r,
<р,
z)
называются ци­
Рис.
линдри"tескими координатами точки М.
228
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми ко­
ординатами следующими соотношениями:
J
х = r · cos <р,
(r
у = r · sin <р,
~ О, 'РЕ [О; 2п],
395
z
Е
z= z
IR).
J
Возьмем в качестве и;
v, w
r, rp, z
цилиндрические координаты
и
вычислим якобиан преобразования:
I(r·, m·,
r z) =
дх
дr
&rp
дх
дх
дz
S!.1L
дr
!!JL
д<р
S!.1L
дz
дz
дr
дz
д<р
дz
дz
Формула замены переменных
cos rp
sin rp
-r sin ер
о
rcosrp
О
о
о
1
=r;;:::
О.
принимает вид
(54.4)
JJJ f(x;y;z)dxdydz = JJJ f(rcoscp;rsincp;z)rdrdcpdz.
v
(54.5)
v·
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к инте­
грированию
r,
по
по
rp
и
z
по
аналогично
тому,
как
это делается
в
декартовых координатах.
Заме-ч,ание. К цилиндрическим координатам бывает удобно перей­
ти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической
поверхностью.
При.мер 54. 2. Вычислить
JJJz · dx dy dz, где V v
ниченная верхней частью конуса х2
Q Решение:
+ у2 =
область, огра­
z 2 и плоскостью z = 1.
На рис. 229 изображена область интегрирования V. Вы­
числим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: х
=
= r · coscp, у= r · sincp, z = z. Здесь dxdydz = r · drdcpdz. Уравнение
конуса примет вид r 2 cos 2 cp+r 2 sin2 ср = z 2 , т. е. z
r. Уравнение окруж­
ности х 2
+ у2 = 1
=
(границы области
D) запишется так: r
переменные изменяются в следующих пределах:
= 1.
от О до
Новые
- от
z - от r до 1 (прямая, параллельная оси Oz, пересекающая
область D, входит в конус z = r и выходит из него на высоте z = 1).
Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем:
r -
1,
ер
О до 2к, а
27Т
1
1
JJJz dx dy dz = JJJz · r · dr drp dz = J dcp Jr d1· Jz dz =
V
V
27Т
=
О
1
2 1
J dcp Jr dr · z2
о
2ir
1
2
J dcp Jr · ( 2 - r2 ) dr =
1r =
о
о
271"
r
О
1
о
r4
r2
1
1
27r
1
о
7Г
2ir
J dcp · ( 4 - 8) lo = 8 J drp = 8 · 'Pjo
=
4·
о
Заметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, получим:
~
1
JJJz · dx dy dz = J dx J
V
-1
-~
396
1
dy
J
Jx2+y2
z · dz.
•
z
z
М(х· у· z)
, M(pi <р; 8)
z=l
1
1
1
1
у
1
Рис.
у
Рис.
229
Сфери'Ческими координата.ми точки М(х; у;
называется тройка чисел р, ip, (},где р
М, ifJ -
Oz
z)
пространства
Oxyz
длина радиуса-вектора точки
угол, образованный проекцией радиуса-вектора ОМ на плос­
кость Оху и осью Ох,
оси
-
230
(см. рис.
угол отклонения радиуса-вектора ОМ от
(} -
230).
Сферические координаты р, ip, (} связаны с декартовыми коорди­
натами х, у,
1
z
соотношениями:
х = pcosip · sinO,
у= psinip · sinO,
z = pcos(}
(р ~ о,
1
о ~ ip ~
27r,
о~
(} ~ 1Г).
В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно про­
изводить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно вос­
пользоваться формулой замены переменных
(54.4).
в тройном интеграле
Так как якобиан преобразования
I(r; <р; z)
=
COS ipSill (}
- р sin ер sin (}
р cos ер cos (}
sin <р sin (}
cos (}
р cos ер sin (}
р sin ер cos (}
о
-psinO
.
. (} 1 sin ер sin (}
= р sm
ер sш ·
cos (}
р sin ер cos (}
. (}
-psm
1
+
.
+ р cos ер sш
(} . 1 cos ер sin
(} (}
cos
= р sin ер sin О( -р sin ер sin2 (} - р sin epcos 2 О)+
+ р cos ер sin О( -р cos ер sin2 (}
= - р2 sin2 ifJ sin (} · 1 -
-
pcOSipCOS01-psin(}
-
р cos ер cos 2 О) =
р2 cos 2 ер sin (} · 1 = - р 2 sin (} · 1 = - р2 sin (},
то
JJJ f(x;y;z)dxdydz =
v
397
=
JJJ f(pcosrpsinO; psinrpsinO; pcosO) · р 2 sinO · dpdrpdO.
(54.6)
v•
Замечание. Переходить к сферическим координатам удобно, когда
область интегрирования V есть шар (уравнение его границы х 2 + у 2 +
+ z 2 R 2 в сферических координатах имеет вид р R) или его часть,
а также если подынтегральная функция имеет вид f(x 2 + у 2 + z 2 ).
=
=
Прuмер
Вычислить
54.3.
JJJ
1 + (х2
v
шар х 2
где V -
Q
+ у2 + z2
dx · dy · dz
:::;
l ,
+ у2 + z2)2 -
1.
Решение: Вычислим интеграл путем перехода к сферическим коор­
динатам: х
= pcosrpsinO, у= psinrpsinO, z = pcosO. Тогда
dV = dx dy dz
Граница области
= р 2 sin О dp drp dO.
сфера и ее уравнение имеет вид р
V -
= 1,
гральная функция после замены переменных примет вид
подынте­
( 12
1+ р )
3; 2 ,
1 . Новые переменные изменяются в следующих пределах: р т. е. ~l
+р
от О до
муле
I
=
1, rp (54.6),
JvJJ
от О до 27Г, О
-
от О до 7Г. Таким образом, согласно фор-
1
7Г
27Г
2
1
JsinOdO J drp J1 : рз dp =
1
1
= Jsin О dO J drp ( З ln 11 + p I) = Jsin О dO J 3ln 2 drp =
1
,.2
,.= З ln 2 Jsin () dO · rp = ; ln 2 Jsin О dO =
2
1 + рз · р sinOdpdrpd() =
о
7Г
27Г
3
о
о
о
о
7Г
1
2,.-
j0
о
о
127Г
0
о
о
27Г
=3
54.4.
1n2(-cos0)
!,.0
=
47Г
3
Некоторые приложения тройного интеграла
Объем тела
Объем области V выражается формулой V
V =
JJJdx dy dz -
= JJJdv или
v
в декартовых координатах,
v
398
1n2.
•
JJJr dr di.p dz - в цилиндрических координатах,
v
V = JJJр2 sin (} dp d'fJ d(} - в сферических координатах.
V =
v
Масса тела
Масса тела т при заданной объемной плотности 'У вычисляется с
помощью тройного интеграла как
т=
JJJ 1(x;y;z)dxdydz,
v
где 1(х; у;
объемная плотность распределения массы в точке
z) -
M(x;y;z).
Статические моменты
Моменты
стей Оху,
Sxy, Bxz, Syz
Oxz, Oyz
Sxy =
тела относительно координатных плоско­
вычисляются по формулам
Jj Jz · 1(х; у; z) dv,
Syz =
v
Jj Jх · 1(х; у; z) dv,
v
Bxz=
jjj y·1(x;y;z)dv.
v
Центр тяжести тела
Координаты центра тяжести тела
Syz
V
Bxz
Хе=-,
т
Ус=-,
т
находятся по формулам
Sxy
Zc = --.
т
Моменты инерции тела
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей
вычисляются по формулам
Ixy =
JJJ z
2
·1(x;y;z)dv,
lyz
v
= JJj х2 ·1(x;y;z) dv,
v
lxz=
JJJ y
2
·1(x;y;z)dv,
v
а моменты инерции относительно координатных осей:
lx =
JjJ(у 2 +z2 )·1(х; у; z) dv, ly = JJJ(х 2 +z2 )·1(х; у; z) dv,
v
v
2
2
lz = JJJ(х +у ) ·1(x;y;z)dv_.
v
54.4.
Пример
у2 и z
z = х2
+
Найти объем тела, ограниченного поверхностями
= 1.
399
=
Решение: Данное тело ограничено сверху плоскостью z
1, снизу параболоидом z = х 2 +у 2 (см. рис. 231). Объем тела находим, используя
Q
цилиндрические координаты:
21Г
V
= 111 r · dr dcp dz = /
V
1
О
21Г
1
dcp 1 r · dr 1 dz =
О
r2
21Г
1
= 1dcp1r(l-r2)dr=1
о
о
Пример
1
1
21Г
7Г
=
2·
8
о
1
Рис.
1
(2 - 4)dcp = 4'Pjo
у
у
Рис.
231
54.5. Найти массу шара х 2
232
+ у2 + z2
~
2Rz, если плот­
ность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от
нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центра
тяжести).
Q Решение:
х 2 + у 2 + (z
(см. рис.
Уравнение сферы х 2 + у 2 + z2
2Rz можно записать так:
2
2
- R) = R • Центр шара расположен в точке 01 (О; О; R)
232).
=
Пусть
M(x;y;z) -
произвольная точка шара. Тогда, по
условию, плотность 'У определяется формулой
"'(х·
у·
1
'
где k -
'
k
z) -- ---;::====
- /
2
2
2'
ух +у +z
коэффициент пропорциональности,
J х2 + у2 + z
2 -
расстоя­
ние от точки М до начала координат.
Итак, т =
111 'Y(x;y;z) dv =
v
JJv J Jx
2
+ky 2
+ z 2 dv.
Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнение
у2
z 2 = 2Rz примет вид р 2 = 2Rp · cosB, т. е. р = 2RcosB.
сферы х 2
+
+
400
Поэтому сферические координаты будут изменяться в следующих пре­
делах: р -
от О до 2Rcos8; () -
гральная функция примет вид
от О до ~; 'Р -
т
~ = k. Поэтому
VP 2
21Г
= JJJ-·р2 sin () dp d'P d() = k
р
2
2Rcosll
2
о
2 ()
= -2R 2 k
о
27Г
3 ()
со~
11[
:
1
= -2R2 k· (- 3 )
о
2
J d'P Jcos
о
/ d'fJ·
р dp =
71"
27Г
1
J d'P Jsin () d() · 2 · 4R cos
= -2R2 k
2
J d'P оJsin () d() оJ
о
7Г
27Г
=k
р
1[
k
v
от О до 211". Подынте-
27Г
2 ()
d(cos 8)
=
о
2
2 'Plo
f d'P = ;зkR
271"
4
= 37rkR2 •
о
Из соображений симметрии следует, что Хе
интеграл ..l.
т
j"J.fj z J х2 +kу2 +
v
ты центра тяжести (О; О; gR).
z2
= О, Ус = О; вычислив
dv, найдем zc = 15 л. Итак, координа8
Глава Xll. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
J
Лекции 47-50 1
Обобщением определенного интеграла на С-J"'Iучай, когда область ин­
тегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криво­
линейный интеграл.
§ 55. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА
55.1. Основные понятия
Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или
длины
Рассмотрим непрерывную функцию
L)
f(x;y),
определенную в
точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками М0
= А,М1 ,М2 , •••
l.
. . . , Мп = В на п произвольных дуг Mi-lMi с длинами дli (i = 1,
2, ... , п)(см. рис. 233). Выберем на каждой дуге Mi-iMi произвольную
точку (xi; Yi) и составим сумму
n
2::: f(xi; fii)дzi.
(55.1)
i=l
у
fi;
х
о
Рис.
233
Ее называют интегра.лъноi~ суммоi~ для функ-ции
f (х; у)
по кри­
воi1 АВ.
Пусть Л
=
max
1~i~n
дli
-
наибольшая из длин дуг деления. Если
при Л -t О (тогда п -t оо) существует конечный предел интегральных
402
сумм
то его называют криволинеii:н:ым интегралом от функции
(55.1),
J
f(x; у) по длине кривоii АВ (или 1 рода) и обозначают
Jf(x;y)dl).
j(x; у) dl (или
АВ
L
Таким образом, по определению,
п
!
f (х; у) dl = п~оо
lim ""'f(xi;
Yi)дli·
L....,,
АВ
(Л~О)
(55.2)
i=l
Условие существования криволинейного интеграла
ствования предела интегральной суммы
(55.1)
1
--+
при п
рода (суще­
оо (Л -t О))
представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без до­
казательства.
Теорема
55.1.
Если функция
f(x;y)
непрерывна в каждой точке
гладкой кривой (в каждой точке (х; у) Е
L
существует касательная
к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемеще­
нии точки по кривой), то криволинейный интеграл 1 рода существует
и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части,
ни от выбора точек в них.
Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интегра­
ла от функции
f(x;
у;
z)
по пространственной кривой
L.
Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине
дуги
рода).
(I
J f(x; у) dl =
1.
АВ
f(x; у) dl, т. е. криволинейный интеграл I ро-
j
БА
да не зависит от направления пути интегрирования.
2. j c·f(x;y)dl=c· j f(x;y)dl,c=const.
L
L
З. jU1(x;y)±f2(x;y))dl= j fi(x;y)dl± j f2(x;y)dl.
L
4.
J
L
ния
L
f(x;y)dl = j
f(x;y)dl
Li
L
+
j
f(x;y)dl, если путь интегрирова-
L2
L разбит на части L1 и Lz такие, что L = L1
единственную общую точку.
403
ULz
и
L1
и
Lz имеют
Если для точек кривой
5.
L
J dl = lim f
~
n--+oo . 1
дli = l, где l - длина кривой АВ.
(Л--+0) i=
Если функция
f(x;
у) непрерывна на кривой АВ, то на этой кри­
вой найдется точка (хе; Ус) такая, что
рема о среднем).
55.2.
fi(x;y)
L
АВ
7.
выполнено неравенство
Jf1(x;y)dl ~ Jf2(x;y)dl.
~ !2(х;у), то
6.
L
J f(x;y)dl = f(XciYc) ·l (тео-
Ав
Вычисление криволинейного интеграла
Вычисление криволинейного интеграла
I
1 рода
рода может быть сведено
к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства
правила вычисления криволинейного интеграла
кривая
L
I
рода в случаях, если
задана параметрическим, полярным и явным образом.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х
у
= y(t), t
Е [а;
/1],
где
функции параметра
значение t
=
/3,
t,
x(t)
и
y(t) -
= x(t),
непрерывно дифференцируемые
причем точке А соответствует t
= а, точке В -
то
/3
! f(x; у) dl = ! ! (x(t); y(t)) . Jх;' + YF dt.
1
АВ
(55.3)
а
Аналогичная формула имеет место для криволинейного интегра­
ла от функции
уравнениями х
f(x;y;z) по пространственной кривой
= x(t), у= y(t), z = z(t), а~ t ~ (З:
АВ, задаваемой
/3
J f(x; у; z) dl Jf (x(t); y(t); z(t)) · J х;' + yl' + zl' dt.
=
АВ
(55.4)
а
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана уравнением у=
rp(x),
х Е [а; Ь], где
tp(x) -
непрерывно дифференцируемая функция, то
ь
J f(x;y)dl= Jf(x;rp(x))·Jl+y'{dx.
АВ
Подынтегральное выражение в правой части формулы
ется заменой в левой части у= tp(x) и dl =
дуги кривой
-
см. п.
(55.5)
а
41.3).
404
Ji +у';'
dx
(55.5)
получа­
(дифференциал
Пример 55.1. Вычислить
Jху dl, где L 2
отрезок прямой ме­
L
жду точками
0(0; О)
и А(4;
3).
Q Решение: Уравнение прямой ОА есть у= ~х, О~ х ~ 4. Согласно
формуле
(55.5),
2RJ2
имеем:
Jху2 dl = J4х · (:,31 х) ·
1+
( 4)
J
О
L
•
454
dx = 64 х 3 dx ='45.
О
Поля!Jное П!Jедставление КIJИВОЙ интегlJИIJОвания
Если плоская кривая
L
полярных координатах, то dl
задана уравнением
=
Jr 2
r = r(cp),
а ~ ер ~ (З в
+ (r~) 2 dcp и
/3
J f(x;y)dl = Jf(rcoscp;rsincp) · Jr
2
+r~ 2 dcp.
(55.6)
°'
L
Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в фор­
мулах
должен быть меньше верхнего.
(55.3)-(55.6)
Пример 55.2. Вычислить
J(х + y)dl, где L L
лепесток лемнискаты r
1 координатном
Q
= y'sin 2ср,
расположенной в
углу.
Решение: Кривая интегрирования изображена на
рисунке
Воспользуемся формулой
234.
2
как
dl =
.
SШ 2ср
+
(55.6).
Так
/
о
Рис.
cos 2ср
dcp
. 2 dcp =
sш ер
y'sin 2ср
р
234
dcp
r
то, заметив, что О~ ер~ ~'получаем:
к
к
2
2
j(x+y)dl= j(rcoscp+rsincp)d: = j(coscp+sincp)dcp=2.
L
О
8
О
55.З. Некоторые приложения криволинейноrо
интеrрала
1 рода
Криволинейный интеграл
1 рода имеет
в математике и механике.
405
разнообразные приложения
Длина кривой
Длина
l
кривой АВ плоской или пространственной линии вычи­
J dl.
сляется по формуле l =
АВ
Площадь цилиндрической поверхности
Если направляющей цилиндри­
ческой
поверхности служит
кривая
АВ, лежащая в плоскости Оху,
образующая
(см. рис.
ности,
235),
оси
а
Оz
то площадь поверх-
задаваемой
= f(x;y),
=
параллельна
z
функцией
z
находится по формуле
J f(x;y)dl.
Q=
АВ
Рис.
Масса кривой
Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос,
ется формулой m =
235
... ) определя-
J 'У(М) dl, где 'У= 'У(М) = 'У(х; у) -
плотность
АВ
кривой в точке М.
Q
Разобьем кривую АВ на п элементарных дуг M;-1Mi
Пусть
(xi; Yi) -
произвольная точка дуги
Mi-tMi.
(i = 1,п).
Считая прибли­
женно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой
точке дуги такая же, как и в точке (х;; Yi), найдем приближенное значение массы
m;
дуги Mi-tMi:
mi ~ "f(XiiYi)дli.
Суммируя, находим приближенное значение массы
n
m~
L
f'(Xii Yi)дli.
i=l
За массу кривой АВ примем предел суммы
m:
(55.7)
(55.7)
при условии, что
maxдli-+ О (п-+ оо), т. е.
n
т=
lim
n-+oo
~ 1(xi; Yi)дli,
L
(max дl;-+0) i=l
или, согласно формуле
(55.2),
m=
J 1(x;y)dl.
АВ
(Заметим, что предел существует, если кривая АВ гладкая, а плотность
задана непрерывной в каждой точке АВ функцией.)
8
406
Статические моменты, центр тяжести
Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты
центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам
=
Sx
j
j
Sy =
y·"((x;y)dl,
АВ
Sy
m
X·"f(x;y)dl,
Хе=-,
АВ
Sx
m
Ус=-.
Моменты инерции
Для материальной кривой АВ моменты
инерции относи­
Ix, Iy, Io
тельно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:
j
lx=
y 2 ·"((x;y)dl,
j
Iy =
АВ
x 2 ·"((x;y)dl,
j
Io =
АВ
(x 2 +y 2 )·"f(x;y)dl.
АВ
При.мер 55. 3. Найти центр тяжести полуокружности х 2 + у 2 = R 2 ,
лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице
в каждой точке кривой
Q
("( = 1).
Решение: Из соображений симметрии ясно,
у
что центр тяжести находится на оси Оу (см.
рис.
236).
Поэтому Хе= О. Ордината центра тя-
Ус=
R
J у. dl
J dl .
жести
АВ
Поэтому
j
длина полуокружности.
-
о
А
АВ
Знаменатель дроби
Рис.
dl = 7Г R.
в
х
236
АВ
Для
вычисления
числителя
уравнениями окружности х
1r
j
у · dl =
АВ
j
воспользуемся
= Rcost,
у=
Rsint,
параметрическими
О~
~ 7Г. Имеем:
t
1r
R sin t ·
J R2 sin 2 t + R 2 cos2 t · dt = R 2 j
О
sin t dt = 2R2 .
О
Следовательно, Ус = 2RR2 = 2R. Итак, Хе = О, Ус =
7Г
7Г
2R.
7Г
•
§ 56. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 11 РОДА
56.1.
Основные понятия
Решение задачи о вычислении работы переменной силы при пере­
мещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) при­
водит к понятию криволинейного интеграла П рода.
Криволинейный интеграл П рода определяется почти так же, как
и интеграл
1 рода.
407
Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или
L)
и
функция Р(х;у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кри­
вую АВ точками М0
точке В на п дуг
= А, М1 , ... , Мп = В в направлении от точки А к
Mi-iMi
с длинами Лli
(i = 1, 2, ... , п).
На каждой «элементарной
в
у
дуге»
Mi-1Mi возьмем точку (XiiYi) и соста­
вим сумму вида
Yi
'°' Р(х" у~·) · Лх·
:мi
Лу;
Yi-1
п
'
''
'
~
1М;-1:
А
Мо
''
:' Лх·:
1
где л Xi
'
-0
----------х
1
'
'
Xi-1 Xi
Рис.
i,
i
(56.1)
i,
i=l
237
=
Xi -
Xi-1 -
проекция дуги
Mi-1Mi на ось Ох (см. рис. 237).
Сумму
(56.1)
называют интеграль-
ноii, су.ммоii. для фу11:1сции Р(х; у) по пе­
реме11:н.оtt х. Таких сумм можно соста­
вить бесчисленное множество. (Отличие сумм
Если при .А
(55.1)
и
(56.1)
очевидно.)
= max Лl; -+ О интегральная сумма (56.1) имеет кol~i~n
нечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни
от выбора точек (xi; Yi), то его называют криволине11ны.м интегралом
по координате х (или П рода) от функv,ии Р(х; у) по кривоii. АВ и
обозначают
j
P(x;y)dx или
j
P(x;y)dx.
L
АВ
Итак,
!
АВ
n
'°'
P(x;y)dx = n-+=~
lim
P(x;;Yt)Лxi.
(.\-+О) i=l
Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции
Q (х; у)
по координате у:
!
АВ
где Луi
-
n
Q(x;y)dy = n-+oo
lim
'°'Q(x;;Yt)Лyi,
~
(.\-+О) i=l
проекция дуги
M;-iMi
на ось Оу.
Криволине11н'Ьtii интеграл П рода общего вида
J Р(х; у)
dx
+ Q(x; у) dy
АВ
определяется равенством
j
АВ
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=
j
АВ
408
P(x;y)dx+
J
АВ
Q(x;y)dx.
JQ(x; у; z) dx+Q(x; у; z) dy+R(x; у; z) dz
Криволинейный интеграл
L
по пространственной кривой
Теорема
56.1.
L
определяется аналогично.
Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х; у) и
непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл
11
Q(x; у)
рода су­
ществует.
Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла
П рода.
1.
При изменении направления пути интегрирования криволиней­
ный интеграл П рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.
!
!
=-
АВ
ВА
(проекция дуги Mi-1Mi на оси Ох и Оу меняют знаки с изменением
направления).
2.
Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то
интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.
!=/+/
АВ
3.
АС
СВ
Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох,
то
j
Р(х; y)dx =О (все дхi = О);
L
аналогично для
кривой,
оси Оу:
j
лежащей
Q(x; y)dy =О
в
плоскости,
перпендикулярной
(все дуi = О).
L
4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается
f)
не зависит от выбора начальной точки (зависит только ~т направ­
ления обхода кривой).
Q
Действительно,
о
f
=/+/А
AmCnA
(см. рис.
238).
AmC
С другой стороны,
CnA
С
m
Рис.
409
238
f
Таким образом,
!+!
=
CnAmC
CnA
f
AmC
•
f
AmCnA
CnAmC
56.2. Вычисление криволинейного интеграла 11 рода
Вычисление криволинейного интеграла П рода, как и
I рода, может
быть сведено к вычислению определенного интеграла.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х
и у
= y(t),
изводными
где функции
x'(t)
и
y'(t)
и
x(t)
y(t)
на отрезке [а;,8], причем начальной точке А
кривой соответствует значение параметра
значение t
= ,8.
= x(t)
непрерывны вместе со своими про­
t =а, а конечной точке В
-
И пусть функция Р(х; у) непрерывна на кривой АВ.
Тогда, по определению,
!
n
= n-+oo
lim L.....
"""'P(xi;Yi)дxi.
P(x;y)dx
АВ
(Л-+0) i=l
Преобразуем интегральную сумму к переменной
дхi =
Xi -
(ti-1;ti), Лti
= ti -ti-l·
Выберем точку
(xi; Vi)
Так как
Xi-I
то по формуле Лагранжа (см.
Е
= x(ti) - x(ti-1),
(25.2)) имеем: дхi =
t.
так, чтобы
x'(ci)дti, где
Xi = x(ci), Yi = y(ci).
Ci
Е
Тогда пре-
п
образованная интегральная сумма
2::: P(x(ci); у(е;)) · x'(ci) · дti
будет
i=l
интегральной суммой для функции одной переменной Р(х( t); у( t)) · х' (t)
на промежутке [а:;µ']. Поэтому
j
/3
P(x;y)dx =
j
P(x(t);y(t))x'(t)dt.
(56.2)
J Q(x;y)dy= j Q(x(t);y(t))y'(t)dt.
(56.3)
АВ
а
Аналогично получаем:
/3
АВ
а
Складывая почленно полученные равенства
(56.2)
и
(56.3),
полу-
чаем:
j
АВ
{3
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy
=
J(P(x(t); y(t) )x'(t) + Q(x(t); y(t))y'(t)) dt.
а
(56.4)
410
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана уравнением у= <р(х), х Е [а; Ь], где функ­
ция ср(х) и ее производная ср 1 (х) непрерывны на отрезке [а; Ь], то из
формулы
(56.4),
приняв х за параметр, имеем параметрические урав­
нения кривой АВ: х
= х, у= ср(х), х Е
[а;Ь], откуда получим:
ь
J Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = J[Р(х; <р(х)) + Q(x; ср(х) )1t1' (х)] dx. (56.5)
АВ
а
В частности,
j
Р(х; у) dx
=
АВ
Если АВ
j
ь
Р(х; ср(х)) dx.
а
гладкая пространственная кривая, которая описыва­
-
ется непрерывными на отрезке [а;,В] функциями х
z = z(t),
(56.6)
= x(t),
у=
y(t)
и
то криволинейный интеграл
j
Р(х; у; z) dx + Q(x; у; z)dy + R(x; у; z) dz
АВ
вычисляется по формуле
j
/3
Pdx + Q dy
+ Rdz =
АВ
j
[P(x(t); y(t); z(t))x'(t)+
а
+Q(x(t); y(t); z(t))y'(t)
+ R(x(t); y(t); z(t))z'(t)]dt.
За.ме-ч,ание. Криволинейные интегралы
шением
j
Pdx
j
+ Qdy =
АВ
(Pcosa
I
(56.7)
и П рода связаны соотно­
+ Qcos,В) dl, где а и ,В - углы,
АВ
образованные касательной к кривой АВ в точке М(х; у) с осями Ох и
Оу соответственно.
При.мер 56.1. Вычислить I =
j (х -
у) 2 dx + (х + у) 2 dy, L -
L
ломаная ОАВ, где
Q
0(0; О),
Решение: Так как
рис. 239), ТО I
=
А(2; О), В(4;
у
2).
L = ОАВ = ОА + АВ (см.
! ! +!.
=
L
ОА
АВ
Уравнение отрезка ОА есть у= О, О~ х ~
уравнение отрезка АВ: у
=х -
2,
х Е
411
[2; 4].
О
2;
Со-
у=О
2
Рис.
4
239
х
гласно формуле
(56.5),
имеем:
2
4
l= j[(x-0) 2 +0]dx+ j[22 +(2x-2) 2 ·1)dx=
2
о
=
х; 1: + 4х1: + ~ · ( 2 х 32)3 1: = i + (16 -
8) +
~ (216 -
8) =
1~6.
8
Пример 56.2. Вычислить/= j y 2 dx+(x 2 +z)dy+(x+y+z 2 )dz,
L
отрезок прямой в пространстве от точки
L В(З;
A(l; О; 2)
до точки
1;4).
Q Решение: Составим уравнение прямой:, проходящей через точки А и
В: х 2 1 = = z 2 2 или в параметрической форме: х = 2t + 1, у = t,
l
z = 2t + 2.
При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется
от О до
По формуле
1.
(56.7)
находим, что
1
I =
j [t
2 •
2 + ( (2t + 1) 2
+ 2t + 2)
о
· 1 + (2t + 1 + t
=
!
+ (2t + 2) 2 )
•
2] dt =
95
1
(14t 2
+ 28t + 13) dt = 3.
•
о
56.З. Формула Остроградского-Грина
Связь между двойным интегралом по области
ным интегралом по границе
L
D
и криволиней­
этой области устанавливает формула
Остроградского-Грина, которая широко применяется в математиче­
ском анализе.
Пусть на плоскости Оху задана область
D,
ограниченная кривой,
пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не
более чем в двух точках, т. е. область
Теорема
56.2.
D -
Если функции Р(х; у) и
со своими частными производными ~~
111
правильная.
Q(x; у)
непрерывны вместе
~ в области
D.
то имеет
место формула
JJ(~~ - ~:)dxdy= f Pdx+Qdy,
где L -
(56.8)
грани~В области D и интегрирЬвание вдоль кривой L произ­
водится в положительном направлении (при движении вдоль кривой,
область
D
остается слева).
412
Формула
(56.8)
называется формулой Остроградского-Грина.
О Пусть у= <р1(х) -
уравнение дуги АпВ, а у= <р2(х)
уравнение
-
дуги АтВ (см. рис. 240). Найдем сначала jj~~ dxdy. По правилу
вычисления двойного интеграла, имеем:
jj
дР
ду
=j
dx dy
!
Ь
D
=
ь
ь
D
tp2(x)
ду dy =
j
dx
а
у=
у
rp2(x) дР
<р1(х)
в
dx · Р(х;у) lrp2(x)
<р1(х)
а
= j Р(х;<р2(х)) dx а
j
=
у=
ь
Р(х;<р1(х)) dx.
о
ьх
Рис.
а
Или, согласно формуле
tp1(x)
а
240
(56.6),
jj ~р dxdy = j Р(х; у) dx - j Р(х; у) dx =
у
D
АтВ
j
=-
АпВ
j
Р(х; у) dx -
Вт А
Р(х; у) dx
j
=-
АпВ
Р(х; у) dx.
(56.9)
L
Аналогично доказывается, что
jj ~~ dxdy = j
D
Если из равенства
формулу
Q(x;
у) dx.
(56.10)
L
(56.10)
вычесть равенство
(56.9),
то получим
(56.8).
•
Заме"iание. Формула
(56.8)
справедлива и для произвольной обла­
сти, которую можно разбить на конечное число правильных областей.
Пример
56.3.
С помощью формулы Остроградского-Грина вы­
числить
l=
j
Jx 2 +y 2 dx+y·(xy+ln(x+Jx 2 +y 2))dy,
L
где
L -
D(З;
Q
контур прямоугольника с вершинами А(З;
Решение: На рисунке
скольку дQ = у· (У·
дх
ле
2),
В(6;
2),
С(6;
4),
4).
(56.8)
241 изображен контур интегрирования. ПоJx 2 +у 2 + 1 ); дР =
У , по форму-
J х2 + у2
имеем:
413
ду
J х2 + у2
I = JJ(y(yJxz + у2 + 1) D
х2 + у2
J
у
J х2 + у2
=
)dxdy =
6
4
JJ
j dx Jу 2 dy = 56.
D
3
у 2 dx dy =
8
2
у
у
4
2
~~~~~~0
о
л:
:в
''
''
3
Рис.
56.4.
о
х
6
х
Рис.
241
242
Условия независимости криволинейноrо
интеграла
~
с
D
11
рода от пути интегрирования
Пусть А(х1;У1) и В(х2;У2) - две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (область D называется односв.яз­
ноiJ, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области,
ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит
D
(область
без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на
рис.
242
это
L1, L2
и
По каждой из этих кривых интеграл
L 3 ).
j
I =
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy
АВ
имеет, вообще говоря, свое значение.
Если же его значения по всевозможным кривым АВ одинаковы,
то говорят, что интеграл
I
этом случае для интеграла
не зависит от вида пути интегрирования. В
I
достаточно отметить лишь его начальную
точку А(х1; У1) и его конечную точку В(х2; У2) пути. Записывают:
(х2;у2)
I
=
j
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy.
(56.11)
(х1;у1)
Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл П рода
не зависел от вида пути интегрирования?
414
Теорема
56.3.
Для того чтобы криволинейный интеграл
f Pdx+Qdy
I =
L
не зависел от пути интегрирования в односвязной области
рой функции Р(х; у),
Q(x; у)
D,
в кото­
непрерывны вместе со своими частными
производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой
области выполнялось условие
дР
ду
Q
дQ
-
(56.12)
ах·
Докажем достаточность условия (56.12). Рассмотрим произвольный
замкнутый контур АтВпА (или
L)
в области
D
него имеет место формула Остроградского-Грина
вия
(56.12)
(см. рис. 243). Для
(56.8). В силу усло­
имеем:
f Р dx + Q dy
=
О,
или
f
Р dx + Q dy
=
О.
AmBnA
L
Учитывая свойства криволинейного ин­
теграла, имеем:
f Pdx+Qdy=
= J Р dx + Q dy + J Р dx + Q dy =
J Pdx+Qdy- J Pdx+Qdy =О,
AmBnA
AmB
BnA
AmB
Рис.
243
AnB
т. е.
J Р dx + Q dy J Р dx + Q dy.
=
AmB
AnB
Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не
зависит от пути интегрирования.
liJ
лю:
•
В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется
условие ~f;
=
~, то интеграл по замкнутому контуру равен ну­
f Pdx + Qdy = О.
L
Верно и обратное утверждение.
415
Следствие
56.1.
Если выполнено условие (56.12), то подынтеграль­
ное выражение Р(х;
+ Q(x; y)dy
y)dx
является полным дифференци­
алом некоторой функции и= и(х;у) (см. (44.5)), т. е.
Р(х; у)
dx + Q(x; у) dy = dU(x;y).
(56.13)
Тогда (см. (56.11)):
(х2;у2)
I=
J
(х2;у2)
(х1;у1)
dU(x; у)
=
(х1;у1)
= И(х;у)
т. е.
J
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy =
l
(x2;y2)
(х1;у1)
= И(х2;У2)
- U(x1;y1),
(х2;у2)
J
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy
= U(x2;y2) -
И(х1; У1)­
(56.14)
(х1;у1)
Формула
(56.14)
называется
обобщенной формулой
Ньютона­
Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.
Следствие
56.2.
Если подынтегральное выражение
полный дифференциал и путь интегрирования
L
Pdx
+ Qdy
есть
замкнутый, то
f Р dx + Q dy = О.
L
Заме-ч,аии.я.
1.
Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пре­
делом х, переменную интегрирования обозначают другой буквой (на­
пример, t, ~'и т.д.).
2. Функцию И=
U(x; у),
удовлетворяющую условию
(56.12), можно
найти, используя формулу
х
И(х; у)
= J Р(х; Уа) dx +
хо
у
j
Q(x; ~) d~ +С.
Уо
В качестве начальной точки (хо; Уо) обычно берут точку (О; О)
координат (см. пример
3.
(56.15)
-
начало
56.5).
Аналогичные результаты справедливы для криволинейного ин­
теграла
j Р dx + Q dy + R dz
L
416
по пространственной кривой. Условие
мулы
и
(56.14)
дР
-
ду
(56.12),
равенство
(56.13),
фор­
имеют соответственно вид:
(56.15)
дQ
дх
'
дQ
дR
дz
ду
дR
дР
' -дх
=;
дz
Pdx+Qdy+Rdz =dU(x;y;z),
(ж2;у2;z2)
J
Р dx + Q dy + Rdz
ж
z
у
Уо
жо
(см. пример
И(х1; у1; z1),
J P(x;yo;zo)dx+ JQ(x;{;zo)~+ JR(x;y;()d(+C
=
U(x;y;z)
= И(х2; У2; z2) -
ZQ
73.1).
(1;1)
Пример 56.4. Найти 1 =
J ydx + xdy.
(О;О)
Q Решение: Здесь Р =у, Q = х, ~; = ~ = 1. Согласно вышепри­
веденной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В ка­
честве пути интегрирования можно взять отрезок прямой у
=
х, дугу
параболы у= х 2 и т. д. или воспользоваться формулой (56.14). Так как
ydx
+ xdy =
d(xy),
то
J
(1;1)
1=
(1;1)
d(x·y)=xyl
(О;О)
Пример
56.5.
(О;О)
=1-0=1.
Убедиться, что выражение е-У
dx -
8
(2у +хе-У)
dy
представляет собой полный дифференциал некоторой функции И(х; у)
и найти ее.
Q Решение:
Для того чтобы указанное выражение являлось полным
дифференциалом, необходимо выполнение условий
д
-(е-У)
ду
-
д
-(-(2у+хе-У))
дх
= -е-У;
условия выполнены, следовательно, е-У dx - (2у
(56.12):
= -е-У
+ xe-Y)dy = dU (х; у).
А так как полный дифференциал имеет вид
д
д
dU(x;y) = дхИ(х;у)dх+ дуИ(х;у)dу
(см. п.
44.3),
д
то верны соотношения
дх И(х; у)= е-У;
д
ду И(х; у) = -(2у +хе-У).
417
(56.16)
Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом
вместо постоянной интегрирования следует поставить
tp(y) -
неизвест­
ную функцию, зависящую только от у:
U(x; у) = J е-У dx =хе-У+ rp(y).
Подставляя полученное выражение во второе из уравнений
дем
(56.16), най­
tp(y):
д
-(хе-у+ ср(у)) =-хе-У+ ср 1 (у)
ду
= -(2у +хе-У);
rp(y) = -у 2 +с.
tp 1(y) = -2у,
•
Таким образом, U(x; у) =хе-У - у 2 +с.
Отметим, что функцию И проще найти, используя формулу
х
(56.15):
у
U(x;y) = J e- 0 dx+ J<-Ц+xe-f.)df.+C=
о
о
= х -у 2 +хе-у - х +С= хе-у -у 2 +С.
56.5.
Некоторые приложения криволинейного
интеграла
11
рода
Площадь плоской фигуры
Площадь
S
плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и
ограниченной замкнутой линией
S =
~
L,
можно найти по формуле
f х dy - у dx,
(56.17)
L
при этом кривая
L
обходится против часовой стрелки.
О Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина
Р(х;у) =О,
Q(x;y) =
(56.8)
х, получим:
jj(I - O)dxdy = f О· dx +xdy,
D
L
f xdy.
или
S=
Аналогично, полагая Р
=
L
-у,
Q
= О,
(56.18)
найдем еще одну формулу
для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного инте­
грала:
S= -
f ydx.
L
418
(56.19)
Сложив почленно равенства
получим:
S =
~
(56.18)
и
(56.19)
и разделив на два,
f xdy-ydx.
•
L
Формула
(56.17)
используется чаще, чем формулы
(56.18)
и
(56.19).
Работа переменной силы
Переменная сила F(P(x; у); Q(x; у)) на криволинейном участке АВ
производит работу, которая находится по формуле
А=
f
Р dx + Q dy.
(56.20)
АВ
Q
Действительно, пусть материальная точка (х; у) под действием пе­
ременной силы F перемещается в плоскости Оху по некоторой кривой
АВ (от точки А до точки В).
Разобьем
Мо
кривую
АВ
точками
= А,М1,М2, ... ,Мп =В на п «эле­
ментарных» дуг
Mi-1Mi
у
длины дli и
в каждой из них возьмем произвольную
точку
рис.
Ci(xi;Yi), i
244). Заменим
1;2;".;п
каждую
(см.
дугу
Mi-1Mi вектором Mi-1Mi=(дxi; дуi),
а силу
F
будем считать постоянной на
векторе перемещения
х;
х
Mi-1Mi и равной
О
хн х;
заданной силе в точке Ci дуги Mi-1Mi:
Рис. 244
Fi = (P(xi;Yi);Q(xi;Yi)).
Тогда скалярное произведение Fi · Mi-tMi можно рассматривать
как приближенное значение работы Fi вдоль дуги Mi-1Mi:
Ai ~ Fi · мi-1Mi = P(xi; fii) · дхi + Q(xi; Yi) · дуi.
Приближенное значение работы А силы
величину
А
на всей кривой составит
F
п
п
п
i=l
i=l
i=l
= L Ai ~ L P(xi; Yi) · дхi + L Q(xi; Yi) · дуi.
За точное значение работы А примем предел полученной суммы при
Л
= max дli ---+ О (тогда, очевидно, дхi ---+О и дуi ---+ О):
1::;;i::;;n
п
А= л~о
lim ""'P(xi;Yi)·дxi+Q(xi;Yi)·дyi=
L..J
(п~оо)
i=l
J P(x;y)dx+Q(x;y)dy.8
АВ
За.ме.,,ание. В случае пространственной кривой АВ имеем:
А=
J Р(х; у; z) dx + Q(x; у; z) dy + R(x; у; z) dz.
АВ
419
Пример
х = а · cos 3
Q
56.6.
Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой
t, у = а · sin3 t.
Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении
параметр t изменяется от О до 27Г (см. рис.
Применяя формулы
1
S=
(56.17)
и
(56.4),
245).
получим:
21Г
2j
=
(acos3 t · 3asin2 tcost + asin3 t · 3acos2 tsin t) dt
о
=
! . За 2
2
21Г
j
• 2
21Г
j
2
sш 2t dt = ~
4
о
8
о
2
1 - cos 4t dt = За 7Г •
2
8
8
z
у
а
а
х
х
Рис.
245
Рис.
Пример 56. 7. Найти работу силы
246
F = 4x6l + xyJ
вдоль кривой
у = х 3 от точки 0(0; О) до точки B(l; 1).
Q
Решение: По формуле (56.20) находим:
А=
j
1
4x 6
dx+xydy=
L
1
j(4x 6
+x·x 3
·3x 2 )dx=
О
j1x6 dx=1.
8
О
§ 57. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА
57.1. Основные понятия
Обобщением двойного интеграла является так называемый поверх­
ностный интеграл.
Пусть в точках некоторой поверхности
ства
Oxyz
верхность
(см. рис.
S,
с площадью
определена непрерывная функция
S
на п частей
246),
Si,
а диаметры
-
f(x;
у;
z).
S,
простран­
Разобьем по­
площади которых обозначим через дSi
через
420
di, i
= 1; п.
в каждой части
si
возьмем произвольную точку
Mi(Xii Yii Zi)
и составим сумму
n
f (xi; Yii zi)ЛSi.
L
(57.1)
i=l
Она называется интеграл:ьноii, для функции
сти
~
s.
Если при Л =
m;uc di -t
1.::;i::;n
f(x; у; z)
О интегральная сумма
по поверхно­
(57.1) имеет пpe-
дел, то он называется nоверхностним интегралом
I
рода от
функции f(x;y;z) по поверхности S и обозначается// f(x;y;z)ds.
s
Таким образом, по определению,
n
JJ f(x;y;z)ds =
1~ Lf(XiiYiiZi)ЛSi.
S
il
(57.2)
(n--+oo) i=l
Отметим, что «если поверхность
S гладкая (в каждой ее точке су-
ществует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с
перемещением точки по поверхности), а функция
f (х; у; z)
непрерывна
на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема
существования).
Поверхностный интеграл
I
рода обладает следующими свойствами:
JJс· f(x; у; z) ds =с· JJ f(x; у; z) ds, где с - число.
s
s
2. jjU1(x;y;z)±f2(x;y;z))ds= JJ fi(x;y;z)ds± JJ f2(x;y;z)ds.
1.
s
s
З. Если поверхность
= 8 1 U82 ,
а пересечение
S
51
s
разбить на части
и
82
51
и
82
такие, что
S =
состоит лишь из границы, их разделя­
ющей, то
JJ f(x;y;z)ds = JJ f(x;y;z)ds + JJ f(x;y;z)ds.
s
4.
~
Если на поверхности
~ f2(x;y;z), то
8
выполнено неравенство
JJ fi(x;y;z)ds ~ JJ f2(x;y;z)ds.
s
5.
~
s
JJds = 8, где 8 -
площадь поверхности 8.
s
6.
jJJ f(x;y;z)dsl ~ jjlf(x;y;z)lds.
s
s
421
fi (х; у; z)
~
7.
Если
f(x;
у;
непрерывна на поверхности
z)
ности существует точка (хе; Ус;
zc)
S,
то на этой поверх­
такая, что
jj f(x;y;z)ds = f(XciYciZc) ·S
s
(теорема о среднем значении).
57.2.
Вычисление поверхностного интеграла
Вычисление поверхностного интеграла
нию двойного интеграла по области
1 рода
1 рода сводится
к вычисле­
проекции поверхности
D -
на
S
плоскость Оху.
Разобьем поверхность
проекцию
на п
Si на плоскость
частей ai, а2, ... , an.
Si, i = 1; п. Обозначим через ai
D окажется разбитой
Возьмем в ai произвольную точку Pi(xi; Yi) и
S
на части
Оху. При этом область
восстановим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверх­
ностью
s. Получим точку Mi(Xii Yii Zi) на поверхности si. Проведем в
Mi касательную плоскость и рассмотри:м ту ее часть Ti, которая
на плоскость Оху проектируется в область ai (см. рис. 247). Площади
элементарных частей Si, Ti и а 1 обозначим как дSi, дТi и даi соот­
точке
ветственно. Будем приближенно считать, что
(57.3)
Обозначив через
О z и нормалью
ni
"(;
острый угол между осью
к поверхности в точке
лучаем:
лтi
. cos l'i = даi
(область O'i есть проекция
Если поверхность
S
Ti
по-
Mi,
(57.4)
на плоскость Оху).
задана уравнением
z
=
= z(x; у), то, как известно (см. (45.2)), уравнение
касательной плоскости в точке
z~(xi; Yi) · (х - Xi)
Mi
есть
+ z;(xi; Yi) · (y-yi) -
где z~(xi;y;), z~(x;;yi), -1 -
(z- Zi) =О,
координаты нор­
мального вектора к плоскости. Острый угол
есть угол между векторами
Рис.
247
k = (О; О; 1)
ni = (-z~(xi; Yi); -z;(xi; Yi); 1).
Следовательно,
1
422
и
l'i
Равенство
(57.4)
принимает вид
дТi = J1+z~ 2 (xi; Yi) + z~ 2 (xi; Yi)дai.
В правой части формулы
(57.2)
заменим дSi (учитывая (57.З)) на по­
лученное выражение для лтi, а
Zi
заменим на
z(xi; Yi)·
Поэтому, пе­
si
реходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра
следовательно, и
ai),
jj f(x;y;z)ds= jj f(x;y;z(x;y))·J1+z~ 2 +z~ 2 dxdy,
S
проекции
S
z)
через двойной интеграл по
S
на плоскость Оху.
Отметим, что если поверхность
у(х;
(57.5)
D
выражающую интеграл по поверхности
=
(а
получаем формулу
или х
S
задана уравнением вида у
= х(у; z), то аналогично получим:
jj f(x;y;z)ds= jj f(x;y(x;z);z)·V1+y~ 2 +y~ 2 dxdz
S
D1
и
jj f(x;y;z)ds= jj f(x(y;z);y;z)·J1+x~ 2 +x~ 2 dydz,
S
где
Oxz
(57.6)
D2
D 1 и D2 - проекции поверхности S
и Oyz соответственно.
Пример 57.1. Вычислить I
плоскости 4х +Зу+ 2z -
4=
на координатные плоскости
= j j (х - Зу+ 2z) ds, где S
s
О, расположенной в
I
-
часть
октанте (см. рис.
248).
О Решение: Запишем уравнение плоскости в виде z = 2 - 2х - ~У·
Находим
1
zx'
= -2,
Zy 1
=-~.По формуле (57.5) имеем:
~ !j(x-3y+4-4x-3y) · J1 +4+ ~dxdy ~
./29
= - 2-
j j (4 -
./29
Зх - 6у) dx dy = - 2-
1(1-х)
j
1
3
О
D
./29.
1
= - 2- / dx(4y- Зху- Зу 2 )
о
423
j (4 -
dx
О
li(l-x)
о
=
Зх - 6у) dy =
/
= -v'29
2-
1(3(116
х) -
4х(1- х)
16 (1 - 3
х)
2) dx =
о
= v'29(_16.(1-x)
2
3
2
2
_ 2 х 2 + 4 .х 3 +16_(1-х) 3 )11= v'29. 8
3
3
о
9
z
z
Рис.
При.мер
3
57. 2.
248
Рис.
249
Вычислить
I =
JJ х(у + z) ds,
s
где S -
часть цилиндрической поверхности х =
плоскостями
z
=О,
z= 2
(см. рис.
Q Решение: Воспользуемся
У
х'-Ото
-- - .J[=Y2'
z '
I
= jj .J[=Y2 ·(у+ z) ·
1
~
2
=
J dyj(y+z)dz=
-1
где
D1
-
о
формулой
Ji
.Jl=Y2, отсеченной
249).
+ 1
(57.6).
Поскольку
х'
у
~2у 2 dydz = jj (у+ z) dydz =
~
1
2
2
1
j (yz+~)J 0 dy= j (2y+2)dy=4,
-l
-1
прямоугольник АА1В 1 В.
424
•
57 .3. Некоторые приложения поверхностного интеграла
1 рода
Приведем некоторые примеры применения поверхностного инте­
грала
1 рода.
Площадь поверхности
Если поверхность В задана уравнением
плоскость Оху есть область
D,
в которой
непрерывные функции, то ее площадь
S =
S
z = z(x;y), аее проекция на
z(x;y), zx'(x;y) и zy'(x;y) -
вычисляется по формуле
jj ds,
s
или
S jj J1 + Zx'
=
2
+ Zy 12 dxdy.
D
Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления
массы,
координат центра
масс,
моментов
инерции
материальных по­
верхностей с известной поверхностной плотностью распределения мас­
сы 'У= 1(х; у;
z).
Все эти величины определяются одним и тем же спо­
собом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей,
делая для каждой области деления упрощающие задачу предположе­
ния; находят приближенное значение искомой величины; переходят к
пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллю­
стрируем описанный способ на примере определения массы материаль­
ной поверхности.
Масса поверхности
Пусть плотность распределения массы материальной поверхности
есть 'У
1.
= 1(х; у; z).
Для нахождения массы поверхности:
Разбиваем поверхность
S
на п частей
Si, i
= 1, 2, ... , п, площадь
которой обозначим лsi.
2.
Берем произвольную точку
Mi(Xii Yii Zi) в каждой области si.
Si плотность постоянна и равна
Предполагаем, что в пределах области
значению ее в точке
3.
Масса
mi
Mi.
области
Si
мало отличается от массы
1(xi; Yii Zi)ЛSi
фиктивной однородной области с постоянной плотностью
4. Суммируя mi по всей области, получаем: т ~
5.
n
2: 1(xi; Yii zi)ЛSi.
i=l
За точное значение массы материальной поверхности
S принима-
ется предел, к которому стремится полученное приближенное значение
si,
при стремлении к нулю диаметров областей
т. е.
n
т=
lim
maxd;-+0
т. е.
т=
2: 1(xi; Yi; Zi)дSi,
i=l
11 i(x;y;z) ds.
(57.7)
s
Моменты, центр тяжести поверхности
Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты
инерции материальной поверхности
S
находятся по соответствующим
формулам:
11 z·1(x;y;z)ds,
М:с = jj(y 2 +z 2 ) ·1(x;y;z)ds,
= IJ x·1(x;y;z)ds,
Му= Jl(x 2 +z2 )·1(x;y;z)ds,
=
Sxy
s
Byz
s
s
s
Mz = JJ (х 2 +у 2 ) ·1(x;y;z)ds,
= JJ y·1(x;y;z)ds,
Bxz
s
s
Syz
Bxz
т
т
Zc
Хе=-, Ус=-,
Вху
Мо = jj(x2 +у 2 +z 2 ) ·1(x;y;z)ds.
= -,
т
s
Прuмер 57.З. Найти массу полусферы радиуса Я, если в каждой
точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от
радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.
О Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее
J R2 -
уравнение z
х2
-
у2 ;
r
J х2 + у 2
=
-
поверхностная плот­
ность полусферы.
По формуле
т=
(57.7)
находим:
JJJ х2 + у2 ds = JJJ х2 + у 2 х
S
D
х Уfi+ R2 -хх: -у 2+ R 2 -хУ: -у 2dxdy=
Рис.
=
яfrr
2:ir
R
250
Jx2
+у2
j JR2 _ (х2 +у2)
dxdy.
Переходим к полярным координатам:
m=Rj"Г
r
1 у-/я2 _
D
r2
·rdrdt.p=Rjdt.p·J
О
426
О
2
r
2 RЗ
dr=:::__
2 .
- / я2 _ r2
у
1~11утренний
интеграл вычислен с помощью подстановки
п
R
2
! . rR2r _ r2
о
dr=
у
J RRcost
sш t · R cost
2
2·2
r = R sin t:
п
dt= R 2
о
J 1 - cos 2t
2
о
. 2t 1~ ) = R 2 ( 1Г = R 2 ( 21 t 10~ - 21 sш
4
0
2
О)
d t=
1Г R2
= --Т.
8
§ 58. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 11 РОДА
58.1. Основные понятия
Поверхностный интеграл
ного интеграла
11 рода,
11
рода строится по образцу криволиней­
где направленную кривую разлагали на элемен­
ты и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости
от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.
~
Пусть задана двусторонн.я..я поверхность (таковой является
плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнени­
ем
z = f(x; у), где f(x; у), fx' и fy 1
торой области
D
функции, непрерывные в неко­
-
плоскости Оху и т. д.). После обхода такой поверх­
ности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меня­
ется. Примером одностороннеiJ, поверхности является так называемый
лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и
моугольника
с
D
(см. рис.
ABCD
251).
CD
пря­
так, что точка А совмещается с точкой С, а В
-
:. . ______________.: r;: ;:=з
Рис.
251
Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности
S
в пространстве
Oxyz определена непрерывная функция f(x;
у;
z).
Вы­
бранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность
ориентирована) разбиваем на части
si,
где
i = 1, 2, ... 'n,
и проекти­
руем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции Л11i
берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности,
или, что то же самое, если нормаль
nк
выбранной стороне поверхно­
сти составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 252, а), т. е. COS/"i >О;
со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или
COS/"i <О) (см. рис.
вид
252, б). В этом случае интегральная сумма имеет
n
L
f(xi; Yii Zi)Л11i,
i=l
427
(58.1)
где даi
площадь проекции
= (Si)Oxy -
чие от интегральной суммы
(57.1)
si
на плоскость Оху. Ее отли­
очевидно.
z
z
1
1
1
1
1
1
1
1
1
о
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
iL±!?a;
х
о
у
1
1
1
• 1
1
Ь7
х
у
б
а
Рис.
Предел интегральной суммы
252
(58.1)
при Л
= maxdi -t О, если он
S на части
существует и не зависит от способа разбиения поверхности
Si и от
II рода
выбора точек
Mi
Е
Si,
называется поверхностним интегралом
(по координатам) от функции
f(x;y;z)
по переменным х и у по
выбранной стороне поверхности и обозначается
jj f(x;y;z)dxdy.
s
Итак,
j j f(x; у; z) dx dy =
n
L f (xi; Yi; Zi)дai.
l~
(n-+oo) i=l
S
Аналогично определяются поверхностные интегралы П рода по пе­
ременным у и
z
и
z
и х:
jj f(x;y;z)dydz =
n
l~ Lf(xi;Yi;zi) · (Si)Oyz,
(п-+оо)
S
jj f(x;y;z)dxdz =
S
i=l
n
l~ LЛxi;Yi;zi)
· (Si)Oxz·
(n-+oo) i=l
Общим видом поверхностного интеграла П рода служит интеграл
jj Р(х; у; z)dydz + Q(x; у; z) dzdx + R(x;y; z) dx dy
s
(=
jj Pdydz+ jj Qdzdx+ JJ Rdxdy),
s
где Р,
Q, R -
s
s
непрерывные функции, определенные в точках двусто­
ронней поверхности
S.
428
Отметим, что если
8-
замкнутая поверхность, то поверхностный
11нтеграл по внешней стороне ее обозначается
JJ, по внутренней //.
8
Из определения поверхностного интеграла
-8
11
рода вытекают сле-
дующие его свойства:
1.
Поверхностный интеграл
11
рода изменяет знак при перемене
стороны поверхности.
2.
Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного
интеграла.
3.
Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соот­
ветствующих интегралов от слагаемых.
4.
Поверхностный интеграл
11 рода по
81
равен сумме интегралов по ее частям
всей поверхности
и
82
8 = 8 1 +82
(аддитивное свойство),
если
8 1 и 8 2 пересекаются лишь по границе, их разделяющей.
5. Если 81, 82, 8з - цилиндрические поверхности с образующими,
параллельными соответственно осям
Oz,
Ох, Оу, то
JJ R(x;y;z)dxdy = JJ P(x;y;z)dydz = JJ Q(x;y;z)dxdz =О.
8з
82
81
58.2. Вычисление поверхностного интеграла 11 рода
Вычисление поверхностного интеграла
11 рода сводится к
вычисле­
нию двойного интеграла.
Пусть функция
8,
R(x; у; z) непрерывна во всех точках поверхности
z = z(x;y), где z(x;y) - непрерывная функ­
области D (или Dxy) - проекции поверхности 8 на·
заданной уравнением
ция в замкнутой
плоскость Оху.
8, где нормаль к ней образует с
(i = 1, 2, ... , n).
интегральная сумма (58.1) может быть
Выберем ту сторону поверхности
осью
Oz
острый угол. Тогда даi >О
Так как
Zi = z(xi; Yi),
то
записана в виде
п
п
i=l
i=l
L R(xi; Yii Zi)дo-i = L R(xi; Yii z(xi; Yi))дo-i.
(58.2)
Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции
R(x;y;z(x;y)),
стве
(58.2)
непрерывной в области
D.
Переходя к пределу в равен­
при .А---? О, получаем формулу
jjR(x;y;z)dxdy=
JJ R(x;y;z(x;y))dxdy,
8
D
выражающую поверхностный интеграл
11 рода по
(58.3)
переменным х и у че­
рез двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю,
429
поверхности
то полученный двойной интеграл берут со знаком «ми­
S,
нус». Поэтому
jj R(x;y;z)dxdy = ± j j R(x;y;z(x;y)) dxdy.
S
(58.4)
D
Аналогично
jj Q(x;y;z)dxdz = ± j j Q(x;y(x;z);z)dxdz,
S
jj P(x;y;z)dydz
=±
s
где
Dxz
и
(58.5)
D".
(58.6)
j j P(x(y;z);y;z)dydz,
v ••
Dyz -
проекции поверхности
S
на плоскости
Oxz
и
Oyz
соответственно (замкнутые области).
В формуле
(58.5) поверхность S задана уравнением у = у(х; z), а
(58.6) - уравнением х = х(у; z). Знаки перед интегралами
выбираются в зависимости от ориентации поверхности S (так, в фор­
муле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует
с осью Оу острый угол, а знак «минус» - если тупой угол).
в формуле
Для вычисления общего поверхностного интеграла П рода исполь­
зуют формулы
(58.4)-(58.6),
проектируя поверхность
S
на все три ко­
ординатные плоскости:
j j Р(х; у; z) dydz
+ Q(x; у; z) dxdz + R(x;y;z) dxdy =
s
=