Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ О.В. НОС, Л.В. СТАРОСТИНА ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОДНОКАНАЛЬНЫМИ НЕПРЕРЫВНЫМИ СИСТЕМАМИ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия НОВОСИБИРСК 2018 1 УДК 681.511.26(075.8) Н 84 Рецензенты: д-р техн. наук, доцент Г.А. Французова канд. техн. наук, доцент Д.А. Котин Работа подготовлена на кафедре проектирования технологических машин для студентов II–III курсов всех форм обучения по направлениям подготовки 15.03.02, 15.03.04, 15.03.05, 15.03.06 Н 84 Нос О.В. Теория автоматического управления. Теория управления линейными одноканальными непрерывными системами: учебное пособие / О.В. Нос, Л.В. Старостина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 202 с. ISBN 978-5-7782-3536-6 В пособии приведены базовые определения теории автоматического управления, описаны способы управления техническими объектами, изложены основы математического описания и структурных преобразований систем управления. Большое внимание уделено методам анализа линейных непрерывных систем и частотного метода синтеза. Ключевые вопросы теории автоматического управления по каждой из глав иллюстрируются примерами решения задач с тестовыми заданиями для самоконтроля. Предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения по направлениям подготовки 15.03.02 – «Технологические машины и оборудование», 15.03.04 – «Автоматизация технологических процессов и производств», 15.03.05 – «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 15.03.06 – «Мехатроника и робототехника». УДК 681.511.26(075.8) ISBN 978-5-7782-3536-6 © Нос О.В., Старостина Л.В., 2018 © Новосибирский государственный технический университет, 2018 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Знание базовых разделов теории автоматического управления является необходимым условием качественной подготовки специалистов, занятых в процессе проектирования и эксплуатации различного рода промышленных установок и технологических комплексов. В этой связи в настоящем учебном пособии рассмотрены ставшие уже классическими вопросы анализа и синтеза линейных одноканальных непрерывных систем применительно к решению прикладных задач в области автоматизированного машиностроения. Основное содержание работы представляет собой электронную версию лекционного курса по дисциплине «Теория автоматического управления», который в течение длительного времени читается студентам механико-технологического факультета НГТУ. Структура пособия выдержана в строгом логическом порядке, в соответствии с которым изучение каждого нового раздела желательно начинать после прочного усвоения сведений из предыдущего. При этом важно осуществлять регулярный самоконтроль, решая тестовые задачи и заучивая специальные термины и определения. В главе 1 приведены краткие сведения об историческом развитии теории автоматического управления и способах управления объектами, а также описаны классификационные признаки внешних воздействий, переменных и систем автоматического управления (САУ). По результатам работы с материалом второй главы важно научиться применять на практике различные формы записи дифференциальных уравнений, методы линеаризации и построения моделей, понимать физический смысл коэффициента передачи и постоянной времени. После изучения главы 3 необходимо сформировать четкое представление о математическом аппарате передаточных функций, частотных характеристик и структурных схем, их взаимосвязи, уметь выбирать различные виды типовых входных воздействий для оценки динамических свойств системы. Учитывая особую значимость прямых показателей качества переходных процессов в задачах анализа, также 3 важно самостоятельно находить их численные значения по временной зависимости выхода. Содержание этой главы является базовым для успешного усвоения всего учебного пособия. Четвертая глава посвящена изучению типовых линейных динамических звеньев, которые достаточно просто запоминаются, если их сгруппировать по схожим признакам, например, по порядку старшей производной, наклону асимптотической прямой в высокочастотной или низкочастотной областях ЛАЧХ, предельному значению фазового сдвига и т. д. Основные и дополнительные правила структурных преобразований, приведенные в главе 5, позволяют значительно упростить исходное математическое описание линейной непрерывной системы, а практические навыки построения асимптотической ЛАЧХ САУ в разомкнутом состоянии и выполнение обратной операции, связанной с восстановлением по ее виду передаточной функции, будут полезными при решении практических задач синтеза (глава 8). В шестой главе рассмотрены общие вопросы устойчивости по корням характеристического уравнения с подробным описанием алгебраических и частотных критериев. По окончании изучения седьмой главы необходимо уметь определять ошибку регулирования в установившемся процессе при различных видах задающих и возмущающих воздействий, порядка астатизма и места включения интегрирующего звена. Кроме того, в этой главе рассмотрены косвенные показатели качества переходных процессов, позволяющие качественно оценить динамическую реакцию выхода без использования временных характеристик. В заключительной главе пособия описаны общие принципы построения САУ с последовательными и параллельными корректирующими устройствами, обеспечивающими желаемое качество процессов в динамике и требуемую ошибку регулирования в статике, а также частотный метод синтеза (желаемой ЛАЧХ), понимание базовых основ которого при условии качественного изучения материала из предыдущих глав не составит особого труда. Теоретическая часть учебного пособия написана доктором технических наук, доцентом О.В. Носом, а список вопросов и задачи в конце каждой главы подготовлены старшим преподавателем Л.В. Старостиной. Замечания, пожелания и предложения по содержанию издания следует направлять по адресу: 630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, Новосибирский государственный технический университет, издательство НГТУ. 4 ВВЕДЕНИЕ Теория автоматического управления (ТАУ), будучи составной частью более общей науки о теории управления системами различной физической природы – кибернетики, сформировалась в начале XX века в самостоятельную прикладную дисциплину, предметом изучения которой является автоматическое управление объектами в любой из областей техники. Базовыми элементами САУ служат регуляторы, предназначенные для обеспечения ее работоспособности с желаемым качеством процессов в статическом и динамическом режимах работы. Так, например, сохранились сведения о поплавковом устройстве данного типа для водяных часов александрийского ученого Ктезибия, об автоматическом механизме открытия дверей храма в Древнем Египте (II век до н. э.), в начале XVII века К. Дреббель (Cornelius Drebbel, 1572–1633) оснастил инкубатор для цыплят автономной системой стабилизации температуры, в 1675 г. Х. Гюйгенс (Christiaan Huygens, 1629–1695) разработал часы с маятниковым регулятором хода и т. д. Другие важнейшие автоматы, оказавшие ключевое влияние на развитие современной теории автоматического управления, описаны в главе 1 настоящего учебного пособия. На начальном этапе формирования ТАУ, как отдельной прикладной науки, развивалась теория линейных одноканальных непрерывных систем, большой вклад в становление которой внесли Д.К. Максвелл, И.А. Вышнеградский, Е.Н. Жуковский, И.Н. Вознесенский, а также Г. Найквист, А.В. Михайлов, Г. Боде, Л. Маккол, В.В. Солодовников и многие другие. Основная задача настоящего учебного пособия – в краткой и доступной форме изложить базовые сведения о математическом описании и структурных преобразованиях САУ, устойчивости и качестве процессов, принципах последовательной и параллельной коррекции, а также на конкретных примерах проиллюстрировать рассматриваемые методы и подходы. 5 Пособие написано в соответствии с содержанием рабочих программ дисциплины «Теория автоматического управления» механикотехнологического факультета НГТУ для направлений подготовки 15.03.02 – «Технологические машины и оборудование», 15.03.04 – «Автоматизация технологических процессов и производств», 15.03.05 – «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 15.03.06 – «Мехатроника и робототехника». 6 СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ ОУ – объект управления САУ – система автоматического управления ТАУ – теория автоматического управления УУ – управляющее устройство КУ – корректирующее устройство x1, x2 , , xn – совокупность переменных состояния y1, y2 , , yk – управляемые переменные u1, u2 , , um – управляющие воздействия f1, f2 , , fr – возмущающие воздействия v – задающее воздействие d – оператор дифференцирования p dt D( p) – собственный линейный дифференциальный оператор G( p) – входной линейный дифференциальный оператор W ( p) – передаточная функция T – постоянная времени, с k – коэффициент передачи 1(t ) – единичное ступенчатое воздействие (t ) – импульсное воздействие h(t ) – переходная функция или переходная характеристика w(t ) – весовая функция s – оператор Лапласа W ( s) – передаточная функция в форме изображений Лапласа u (s) – изображение Лапласа входной переменной y ( s ) – изображение Лапласа выходной переменной 7 W ( j) – частотная передаточная функция (амплитуднофазочастотная характеристика) A() – амплитудно-частотная характеристика () – фазочастотная характеристика P() – вещественная частотная характеристика Q() – мнимая частотная характеристика L() – логарифмическая амплитудно-частотная характеристика c – частота среза p – резонансная частота y – ошибка регулирования tр – время регулирования % – перерегулирование – декремент затухания сопр – частота сопряжения – коэффициент демпфирования M ( j) – годограф Михайлова () – запас устойчивости по фазе L() – запас устойчивости по модулю M – показатель колебательности – степень устойчивости – колебательность переходного процесса – среднегеометрический корень J – интегральная оценка качества переходного процесса 8 ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С точки зрения управления все технические средства, участвующие в реализации технологического процесса, подразделяются на две подсистемы, а именно управляющую, называемую устройством управления (УУ), и управляемую – объект управления (ОУ), которые образуют между собой взаимосвязанную систему. В зависимости от участия человека в процессе управления различают автоматизированные и автоматические системы управления. Автоматизированной системой управления называется человекомашинная система, обеспечивающая автоматизированный сбор и переработку информации, необходимой для управления в различных сферах человеческой деятельности. Системой автоматического управления (САУ) называется совокупность всех устройств, обеспечивающих управление каким-либо ОУ без непосредственного участия человека. Теорией автоматического управления (ТАУ) называется прикладная наука, которая изучает процессы управления, методы их исследования и основы проектирования автоматических систем в любой области техники. В рамках ТАУ, как правило, решаются две задачи – анализа и синтеза. В первом случае требуется определить состояние (поведение) системы при известных параметрах, а во втором – наоборот, разработать САУ, удовлетворяющую заданным требованиям. 9 УУ вырабатывает на ОУ управляющее воздействие, в результате чего происходит целенаправленное изменение состояния объекта для придания последнему некоторых желаемых свойств, которые однозначно определяются переменными состояния, или иначе, координатами объекта. Характер возникающего при этом движения зависит не только от интенсивности управления, но и от наличия имеющихся возмущающих воздействий (возмущений), которые пытаются отклонить текущее состояние ОУ от желаемого. Различают сигнальные возмущения, к которым относится нагрузка, и параметрические, вызванные изменением внутренних свойств (параметров) объекта вследствие действия внешней среды (температуры, давления, влажности, состава окружающего воздуха) или каких-либо внутренних условий (изменение структуры из-за старения). Таким образом, среди всех переменных, характеризующих ОУ или всю систему в целом, можно выделить четыре обширные группы (рис. 1.1): – переменные состояния x1, x2 , , xn , полностью описывающие поведение (состояние) объекта в любой момент времени и часто недоступные для прямого измерения; – управляемые (выходные) переменные y1, y2 , , yk – часть переменных состояния, которыми необходимо управлять в ходе технологического процесса; – управляющие воздействия u1, u2 , , um , с помощью которых происходит приведение ОУ к желаемому состоянию; f1 f 2 fr u u12 um ОУ x x12 xn y1 y 2 y k Рис. 1.1. Функциональная схема объекта управления 10 – возмущающие воздействия f1, f2 , , fr , отклоняющие выходные переменные от заданных значений. При выработке управлений требуется иметь информацию о ходе процесса, т. е. сведения о предполагаемом и предшествующем состояниях САУ. Различают начальную (априорную) и текущую (рабочую) информацию. Априорная включает в себя все имеющиеся данные о системе до начала ее функционирования, а рабочая – в ходе ее эксплуатации. Целенаправленное формирование воздействий на объект для достижения желаемого состояния подразумевает необходимость разработки специальной последовательности действий, носящей название алгоритм управления, под которым понимают предписание, определяющее содержание и порядок операций, обеспечивающих выполнение ОУ поставленной цели на основе поступающей априорной и текущей информации. В зависимости от режима работы САУ в ней может наблюдаться переходный процесс, сопровождаемый изменением какой-либо переменной (динамический режим), а также установившийся процесс (статический режим), когда все координаты состояния и внешние воздействия постоянны. 1.2. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Первое широкое применение управляющих устройств, осуществляющих автоматическое управление техническими объектами без участия человека, относится к периоду появления паровых машин и турбин, для стабильной и качественной работы которых требовалось регулировать частоту вращения выходного вала, парораспределение и т. д. Первыми промышленными УУ принято считать регулятор питания котла паровой машины, предложенный в г. Барнауле в 1765 г. русским механиком Иваном Ивановичем Ползуновым (1728–1766), который осуществлял автоматическое поддержание заданного уровня воды в котле независимо от интенсивности отбора пара, а также центробежный регулятор угловой скорости вала паровой машины, разработанный британским механиком Джеймсом Уаттом (James Watt, 1736–1819) в 1784 г. В качестве иллюстрации принципа действия поплавкового УУ И.И. Ползунова на рис. 1.2 изображена упрощенная функциональная 11 схема системы стабилизации уровня жидкости, на которой используются следующие обозначения: 1 – резервуар; 2 – выходная задвижка, регулирующая отбор жидкости; 3 – поплавок; 4 – игольчатый клапан. В свою очередь, на рис. 1.3 изображена упрощенная функциональная схема центробежного регулятора, разработанного Дж. Уаттом, на которой используются следующие обозначения: 1 – колесная пара; 2 – механическая передача; 3 – шары; 4 – регулируемая заслонка. При движении паровоза с большой скоростью шары 3 начинают вращаться быстрее и под действием центробежной силы расходятся в стороны, в результате чего заслонка 4 начинает закрываться, уменьшая, таким образом, подачу пара. 4 1 3 3 4 2 жидкость 1 2 Рис. 1.2. Регулятор питания котла И.И. Ползунова пар 3 1 Рис. 1.3. Центробежный регулятор Дж. Уатта Проектирование первых автоматических устройств осуществлялось на интуитивных и полуэмпирических подходах. Впервые строго обоснованные научные методы к проектированию устройств управления были заложены в фундаментальных работах профессора Петербургского технологического университета И.А. Вышнеградского «Об общей теории регуляторов», опубликованной в 1876 г. в трудах Парижской академии, а также «О регуляторах прямого действия» (1877 г.). Понимание того обстоятельства, что работа любых автоматических устройств независимо от их физической природы подчиняется общим принципам и законам, привело к тому, что в начале 40-х гг. XX века ТАУ сформировалась в отдельную самостоятельную прикладную науку, большой вклад в развитие которой внесли отечественные ученые А.М. Ляпунов, А.А. Фельдбаум, Л.С. Гольдфарб, Л.С. Понтря12 гин, А.М. Летов, Е.П. Попов и т. д. Признанием данного факта является выбор в 1960 г. Москвы в качестве места проведения Первого конгресса международной федерации по автоматическому управлению (ИФАК). 1.3. КЛАССИФИКАЦИЯ СПОСОБОВ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ Основными видами автоматического управления являются: 1) управление с разомкнутой цепью воздействий (разомкнутое управление); 2) управление по возмущению (принцип Ж. Понселе, или принцип компенсации); 3) управление по отклонению (замкнутое управление, автоматическое регулирование, или принцип Ползунова–Уатта); 4) комбинированное управление; 5) адаптивное управление. При разомкнутом управлении (рис. 1.4) управляющее воздействие на объект формируется без учета реального хода процесса, т. е. используется только априорная информация. Разомкнутый алгоритм применяется для достижения определенного конечного состояния ОУ или «жесткой» смены его режимов в соответствии с программой (программное управление). f v УУ u ОУ y Рис. 1.4. САУ с разомкнутым управлением Примером управления с разомкнутой цепью воздействий являются УУ, реализующие простейшие технологические операции, например, пуск, торможение или реверс электрического двигателя. Наличие возмущений приводит к отличию текущего состояния выхода от желаемого, для частичной компенсации негативного действия которого применяется принцип управления по возмущению (рис. 1.5). В рамках данного подхода к построению УУ, впервые предложенного в 1830 г. французским инженером Жаном Виктором Понселе (JeanVictor Poncelet, 1788–1867), сигнальное возмущение преобразуется в 13 добавку к управляющему воздействию, за счет чего происходит исключение его влияния на объект, или иначе, САУ становится инвариантной к этому возмущению. f v УУ u ОУ y Рис. 1.5. Разомкнутая САУ, реализующая принцип управления по возмущению Основным недостатком принципа Ж. Понселе является возможность учета только части сигнальных возмущений, доступных прямому измерению или косвенной оценке, и полной невозможности компенсации влияния параметрического дрейфа на качество процессов. В замкнутых системах для достижения конечной цели управления используется канал отрицательной обратной связи, через который поступает рабочая информация о ходе процесса так же, как и в регуляторах И.И. Ползунова и Дж. Уатта. В рамках данного подхода к построению УУ формирование управляющего воздействия осуществляется в функции сигнала рассогласования (отклонения) между желаемым состоянием системы и ее текущим значением, в результате чего удается снизить влияние на качество процессов как сигнальных, так и параметрических возмущений. f v УУ u y ОУ Рис. 1.6. Замкнутая САУ По оказываемому на систему действию все обратные связи подразделяются на положительные, в которых с увеличением управляемой переменной происходит одновременный рост управляющего воздействия u , и отрицательные, когда имеет место обратная ситуация, т. е. при возрастании y амплитуда управления снижается. Обратная связь 14 по выходной координате получила название главной, а все остальные, имеющие место в САУ, называются местными. Помимо этого все обратные cвязи подразделяются на жесткие, которые действуют как в статическом, так и динамическом режиме работы, и гибкие, влияющие на закон формирования u только во время переходного процесса. При комбинированном способе (рис. 1.7) одновременно применяются принципы управления как по отклонению, так и по возмущению, и, таким образом, совмещаются их основные достоинства, а именно быстрота реакции на изменение сигнального возмущения и качество процессов вне зависимости от того, по какой причине произошло рассогласование. f v УУ u y ОУ Рис. 1.7. САУ с комбинированным управлением В условиях неполной априорной и/или текущей информации об ОУ применяется адаптивное управление (лат. adaptio – приспособление), в рамках которого происходит автоматическая подстройка управляющих воздействий к изменяющимся параметрам объекта и ходу технологического процесса. Адаптивные системы подразделяются на самонастраивающиеся (САУ, автоматически изменяющие параметры закона управления), самоорганизующиеся (САУ, автоматически изменяющие структуру УУ) и экстремальные (САУ, осуществляющие автоматический поиск экстремума некоторого функционала качества). На рис. 1.8 изображена укрупненная функциональная схема адаптивной САУ, где буквой А обозначено устройство адаптации, в функции которого входит поддержание на заданном уровне какого-либо критерия качества путем воздействия с помощью сигнала коррекции u на УУ. Пример 1.1. Рассмотрим вышеописанные способы управления применительно к системе автоматического управления частотой вращения двигателя постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ), приняв допущение о безынерционности процессов в силовом регулируемом преобразователе элек15 трической энергии СП, динамика которого описывается коэффициентом передачи kсп (рис. 1.9). f А u v u УУ y ОУ Рис. 1.8. Адаптивная САУ PC v ОГР u y CП () ui u iя ki k uя Mc BA M iя Me LM BR Рис. 1.9. Функциональная схема САУ частотой вращения двигателя постоянного тока На рис. 1.9. приняты следующие обозначения: М – обмотка якоря ДПТ НВ; LM – обмотка возбуждения ДПТ НВ; BA – датчик тока; BR – датчик частоты вращения; РС – регулятор скорости; ОГР – блок ограничения задания на напряжение якоря uy ; v – задающее воздействие на угловую скорость; – угловая скорость вала ДПТ НВ; uя – напряжение обмотки якоря; iя – ток, протекающий по цепи якоря; M c – приведенный к валу момент сопротивления нагрузки; k – коэффициент передачи канала отрицательной обратной связи по скорости; ki – коэффициент передачи канала положительной 16 обратной связи по току якоря; u k , ui ki iя – сигналы отрицательных обратных связей соответственно по скорости и току. На основании рис. 1.9 можно записать следующую систему алгебраических уравнений, описывающую установившиеся процессы в САУ: uя cя Rя iя , M c M e ciя , uя kсп uy kсп f (v u ui ) kсп f (v k ki iя ), (1.1) где f () – динамический оператор, зависящий от конкретного типа и структуры регулятора скорости РС; M e – электромагнитный момент, равный в статическом режиме работы величине M c ; cя – коэффициент передачи двигателя, зависящий от его конструктивных параметров и величины магнитного потока, создаваемого обмоткой возбуждения LM; Rя – суммарное активное сопротивление якорной цепи. Аналитическая зависимость между угловой скоростью якоря и моментом сопротивления на валу получается из первого и второго уравнений системы (1.1): uя Rя u R iя я 2я М c ХХ , cя cя cя cя (1.2) где ХХ – угловая скорость идеального холостого хода; – просадка скорости под действием M c . Как видно из рис. 1.10, графическое представление функции f ( M e ) в установившемся процессе имеет вид прямой линии, причем с ростом нагрузки величина увеличивается и соответственно текущая скорость уменьшается. Если выполнять коррекцию текущего значения напряжения uя в функции момента сопротивления, то получается набор характеристик, параллельных друг другу, благодаря чему обеспечивается стабилизация скорости на желаемом значении * . Закон изменения напряжения на выходе силового преобразователя определяется выбранным принципом управления частотой вращения двигателя. 1. При разомкнутом управлении все обратные связи в САУ отсутствуют и задающее воздействие v непосредственно преобразуется СП в uя : uя kспuy kсп f (v) . 17 XX1 * Me 0 M c1 M c2 Рис. 1.10. Механические характеристики ДПТ НВ 2. В САУ с управлением по возмущению присутствует только положительная обратная связь по току якоря, компенсирующая таким образом действие сигнального возмущения (момента сопротивления): uя kспuy kсп f (v ui ) kсп f (v ki iя ) . Как видно из уравнения (1.2), чтобы САУ была инвариантной к M c , необходимо к управляющему воздействию uя сделать приращение с соответствующим знаком, равное величине Rяiя , благодаря чему просадка скорости будет полностью скомпенсирована. 3. В замкнутой САУ реализуется главная отрицательная обратная связь, при этом напряжение обмотки якоря подчиняется выражению uя kспuy kсп f (v u ) kсп f (v k) , в результате чего установившееся значение частоты вращения будет стабилизироваться на желаемом уровне во всем допустимом диапазоне изменения момента сопротивления. 4. При комбинированном управлении в системе присутствуют обратные связи как по скорости, так и по току: uя kспuy kсп f (v u ui ) kсп f (v k ki iя ) . 5. При адаптивном управлении в САУ происходит автоматическая подстройка регулятора РС, например, к дрейфу активного сопротивления обмотки якоря Rя , которое определяется тепловым режимом работы электрической машины. 18 1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ По цели управления САУ подразделяются на системы автоматической стабилизации, осуществляющие поддержание на заданном уровне состояния объекта и системы воспроизведения, которые, в свою очередь, делятся на следящие САУ (закон изменения задающего воздействия в общем случае носит произвольный характер) и программные (состояние объекта во времени задано «жесткой» программой). По количеству входных и выходных переменных, а также управляющих воздействий различают одномерные (один вход – один выход) и многомерные САУ. В последнем случае изменение одной из координат может приводить к вариациям других, что объясняется наличием перекрестных связей между каналами ОУ, по причине чего такие САУ называются взаимосвязанными. В противном случае, когда выход зависит только от одного управления, система называется несвязанной. При описании многомерных САУ используют векторное представление переменных, характеризующих систему. По принципу формирования управления различают непрерывные и дискретные САУ. В первом случае управляющее воздействие представляет собой непрерывную функцию времени, а системы второго типа характеризуются наличием в мгновенной форме сигналов разрывов, прерывностей и скачков (релейные, импульсные, цифровые). По характеру зависимостей выходных переменных от входных воздействий САУ подразделяются на линейные, в которых все переменные состояния и управления связаны между собой на основании линейных комбинаций и для них справедлив принцип суперпозиции, согласно которому реакция системы на несколько внешних воздействий находится как сумма реакций на каждый сигнал в отдельности, и нелинейные, когда данное условие не выполняется. САУ, в которой отсутствуют случайные воздействия и функции, т. е. ее поведение во времени подчиняется заранее известному закону, называется детерминированной, а если в САУ протекают вероятностные процессы, то она называется стохастической. Помимо этого, если при функционировании системы ее параметры постоянны во времени, то она называется стационарной, в противном случае, при изменяющихся параметрах, она будет нестационарной. Показателем работоспособности системы является точность, отвечающая за степень приближения выходной переменной y (t ) к ее жела19 емому значению v , а в качестве количественной меры выступает ошибка регулирования y(t ) , которая в установившемся процессе называется статической, а в переходном – динамической. В зависимости от наличия рассогласования между текущим и желаемым состояниями выхода в установившемся процессе можно выделить статические и астатические системы. Статические системы характеризуются остаточным отклонением, зависящим от влияния сигнальных и параметрических возмущений, а в астатических САУ y(t ) с течением времени стремится к нулю. 1.5. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ 1.5.1. Дополните Определение состояния (поведения) системы при известных параметрах называется ______________. 1.5.2. Дополните Разработка управляющего устройства в составе системы автоматического управления, удовлетворяющая заданным требованиям, является решением задачи _____________. 1.5.3. Отметьте правильный ответ Воздействия, отклоняющие выходные переменные от желаемого состояния: а) управляемые; в) возмущающие; б) управляющие; г) задающие. 1.5.4. Дополните ________________ – возмущения, вызванные изменением внутренних свойств (параметров) объекта под воздействием внешней среды. 1.5.5. Отметьте правильный ответ Замкнутые САУ реализуются в соответствии с принципом управления: а) по отклонению; б) по возмущению; в) с разомкнутой цепью воздействий; г) по отклонению и возмущению. 20 1.5.6. Отметьте правильный ответ Замкнутая система автоматического управления изображена на рисунке: f v УУ u f y ОУ v u УУ а б f f v УУ u y ОУ ОУ А y u v u УУ в ОУ y г 1.5.7. Отметьте правильный ответ На рисунке изображена система автоматического управления: а) разомкнутая; f б) замкнутая; в) адаптивная; u г) разомкнутая с управлением по v УУ ОУ возмущению. y 1.5.8. Отметьте правильный ответ Обратная связь по выходной переменной САУ называется: а) местной; в) главной; б) управляемой; г) сигнальной. 1.5.9. Дополните Вид автоматического управления, при котором совмещаются принципы управления по отклонению и возмущению, – ______________. 1.5.10. Дополните Адаптивная система автоматического управления, способная автоматически изменять параметры закона управления, – ________________. 1.5.11. Дополните Обратная связь, под действием которой с увеличением управляемой переменной происходит уменьшение управляющего воздействия, называется __________________. 21 1.5.12. Дополните Обратная связь, действующая только в динамическом режиме, называется __________________. 1.5.13. Дополните Адаптивная система автоматического управления, способная автоматически изменять структуру управляющего устройства, – _____________. 1.5.14. Отметьте правильный ответ Система автоматического управления, в которой с течением времени отклонение между желаемым состоянием выходной переменной и ее текущим значением стремится к нулю, называется: а) статической; в) нестационарной; б) стационарной; г) астатической. 1.5.15. Дополните Система автоматического управления, имеющая один вход и один выход, называется __________________. 1.5.16. Отметьте правильный ответ Количественной мерой отклонения выходной координаты и ее заданного значения в установившемся процессе является: а) сигнальное возмущение; б) статическая ошибка регулирования; в) управляющее воздействие; г) динамическая ошибка регулирования. Ответы: 1.5.1. Анализом; 1.5.2. Синтеза; 1.5.3. в); 1.5.4. Параметрические; 1.5.5. а); 1.5.6. а); 1.5.7. г); 1.5.8. в); 1.5.9. Комбинированное; 1.5.10. Самонастраивающаяся; 1.5.11. Отрицательной; 1.5.12. Гибкой; 1.5.13. Самоорганизующаяся; 1.5.14. г); 1.5.15. Одномерной; 1.5.16. б). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Дайте определение понятию системы автоматического управления, объясните назначение устройства управления, поясните режимы работы САУ. 2. Перечислите виды автоматического управления объектами. 3. В чем отличие отрицательной обратной связи от положительной? 4. Поясните работу обратной связи в центробежном регуляторе Дж. Уатта. 5. По каким классификационным признакам разделяются САУ? 22 ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ САУ В ВИДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Функционирование любого материального объекта характеризуется последовательной сменой его состояний во времени, каждое из которых определяет конкретные значения соответствующих физических величин. Математическое описание динамических и статических режимов работы непрерывных систем представляет собой различные виды количественных соотношений между переменными и задается совокупностью дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных и алгебраических уравнений. Дифференциальные уравнения характеризуются максимальным порядком дифференцирования (порядок уравнения n ) и числом неизвестных функций Fi () . Если число аргументов превышает единицу, то такие дифференциальные уравнения называются дифференциальными уравнениями с частными производными (системы с распределенными параметрами), в противном случае обыкновенными дифференциальными уравнениями (системы с сосредоточенными параметрами). Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка одномерной стационарной системы в общем виде записывается следующим образом: 23 a0 dny b0 dt n a1 d mu dt m d n 1 y dt b1 n 1 an 1 d m 1u dt m 1 dy an y dt bm 1 du bm u , dt где y , u – выходная и входная переменные, причем в реальных технических объектах m n , и в случае неизменности во времени всех коэффициентов соответствует стационарной САУ. Последнее дифференциальное уравнение можно преобразовать в алгебраическое путем использования оператора дифференцирования d / dt p : ( a0 p n a1 p n 1 an 1 p an ) y (b0 p m b1 p m 1 bm 1 p bm )u , (2.1) или D ( p ) y G ( p )u , где D ( p ), G ( p ) – соответственно собственный и входной линейные дифференциальные операторы. При этом необходимо отметить, что сомножители, включающие в себя оператор p , не обладают свойством коммутативности. В дальнейшем все дифференциальные уравнения в символической форме записи будут рассматриваться в стандартном виде, в котором выходная переменная и все ее производные с единичным свободным членом находятся в левой части, а остальные слагаемые записываются в правой части со свободным членом, также равным единице, т. е. a0 n a1 n1 a p n1 p 1 y p an an an b b b b m 0 p m 1 p m1 m1 p 1 u . an bm bm bm 24 Коэффициент перед p в левой и правой части уравнения получил название постоянной времени T (размерность секунда), а bm an1 является коэффициентом передачи k , все другие отношения включают в себя постоянные времени в степени, равной порядку производной соответствующей переменной, перед которой они находятся. Алгебраическое соотношение, описывающее установившийся процесс, в котором все координаты состояния и внешние воздействия САУ постоянны и неизменны во времени, получается путем обнуления оператора p в исходном дифференциальном уравнении. Пример 2.1. Допустим, объект управления описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами: a0 a0 b p 1 y 0 u , a a1 1 dy a1 y b0 u , dt или с учетом принятых обозначений (Tp 1) y ku . (2.2) Его решением при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии u 1(t ) является следующая аналитическая зависимость: t y (t ) k 1 e T . (2.3) Из равенства (2.3) хорошо виден физический смысл коэффициента передачи и постоянной времени. Первый параметр отвечает за установившееся значение выходной переменной: yy y() ku , а величина T определяет длительность протекания переходного процесса. Так, например, при t (3 4)T величина экспоненты et /T будет находиться в диапазоне от 0,05 до 0,018, что иллюстрирует рис. 2.1. При анализе процессов во временной области широко используется нормальная каноническая форма записи обыкновенных дифференциальных уравнений, или иначе форма Коши (Огюстен Луи Коши, Augustin Louis Cauchy, 1789–1857): 25 dx1 dt F1 x1 , x2 , , xn ; u1 , u2 , , um ; t , dxn F x , x , , x ; u , u , , u ; t , n 1 2 n 1 2 m dt где xi – переменная состояния системы (порядок n ); u j – входное воздействие (порядок m ), причем n m . y (t ) 0,05 yy t 0 3T Рис. 2.1. Переходной процесс в объекте первого порядка вида (2.2) Переход от уравнения (2.1) к системе дифференциальных уравнений относительно первых производных для случая одномерных линейных непрерывных САУ осуществляется на основании свойства коммутативности собственного и входного операторов: x G 1 ( p ) y D 1 ( p )u , где x – промежуточная переменная. Далее в анализ вводятся координаты состояния: x x1 , x (1) x2 , , x ( n 1) xn , или xi(1) xi 1 , i 1, n , 26 (2.4) в результате чего, учитывая, что u D( p) x , (2.5) можно записать следующую систему из n дифференциальных уравнений первого порядка: x x , 1 2 x2 x3 , xn1 xn , xn a01 u a1xn a2 xn1 an1x2 an x1 , а выходная переменная y связана с координатами xi как y G ( p) x b0 p m b1 p m1 bm1 p bm x1 , y b0 xm1 b1xm b2 xm1 bm1x2 bm x1 . Пример 2.2. Рассмотрим преобразование обыкновенного дифференциального уравнения с максимальным порядком входа m 2 и выхода n 3 в нормальную каноническую форму: a0 d3y dt 3 a1 d2y dt 2 a2 dy d 2u du a3 y b0 2 b1 b2u , dt dt dt или в операторной форме записи: (a0 p3 a1 p2 a2 p a3 ) y (b0 p2 b1 p b2 )u . В соответствии с (2.4) координаты состояния описываются равенствами x x1 , x1 x2 , x2 x3 , откуда на основании уравнения (2.5): (a0 p3 a1 p2 a2 p a3 ) x u , 27 или иначе x3 1 u a1 x3 a2 x2 a3 x1 . a0 В итоге получаем следующую систему дифференциальных уравнений в форме Коши: x1 x2 , x2 x3 , x3 a01 u a1 x3 a2 x2 a3 x1 , а выходная переменная определяется как y G ( p) x , y (b0 p2 b1 p b2 ) x b0 x3 b1 x2 b2 x1 . 2.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Если исходный объект управления является нелинейным, то простейшим подходом к его исследованию будет линеаризация, суть которой заключается в замене нелинейной системы уравнений эквивалентной ей линейной. К нелинейным элементам относятся устройства, имеющие, например, только два разрешенных состояния (реле, триггер, выключатель и т. д.), рис. 2.2, а, зону нечувствительности, которой описываются пневматические и гидравлические усилители в области малых рассогласований (рис. 2.2, б), момент сопротивления типа «сухое» трение (рис. 2.2, в) и т. д. Замена нелинейной зависимости (характеристики) линейной моделью может быть выполнена, если функция y f ( x) непрерывна и дифференцируема в малой окрестности относительно некоторой рабочей точки x0 . Если данные требования выполняются, то нелинейность называется несущественно нелинейной, в противном случае существенно нелинейной. К основным признакам первого класса зависимостей относится однозначность характеристики, т. е. одному значению входа соответствует строго определенное одно значение выхода, а также отсутствие резких изгибов и разрывов. 28 y y y f (x) с y f (x) a x arctgk x a с а б y y f (x) a x a в Рис. 2.2. Типовые нелинейные характеристики Если y f ( x) разложить в бесконечный ряд Б. Тейлора (Brook Taylor, 1685–1731) в малой окрестности x0 на основании формулы y f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 1! f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 )3 2! 3! (2.6) и при этом ограничиться первыми двумя членами ввиду незначительности всех остальных составляющих более высоких порядков, то можно считать, что y f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x 0 ) f ( x0 ) f ( x ) . x 29 В качестве примера ниже представлены приближенные равенства для линеаризации типовых нелинейностей, которые получены с помощью ряда К. Маклорена (Colin Maclaurin, 1698–1746), получаемого из формулы (2.6) при x0 0 : (1 x ) 1 (1 x0 ) 1 (1 x0 ) 2 ( x x0 ) 1 x , e ax e ax0 e ax0 ( x x0 ) 1 ax , sin x sin x0 cos x0 ( x x0 ) x , cos x cos x0 sin x0 ( x x0 ) 1 . Как нетрудно заметить, данный метод линеаризации будет давать наименьшую погрешность, если отклонения переменных относительно x0 незначительны. Довольно часто нелинейные зависимости не могут быть выражены в аналитической форме и по этой причине задаются только с помощью графических характеристик «вход-выход». В этом случае линеаризация осуществляется благодаря касательной, проведенной к рабочей точке (рис. 2.3), в результате чего применительно к малой окрестности можно считать, что f ( x) y y0 y y0 x . x0 Переходя к отношению конечных разностей, взятых на отрезке с серединой в абсциссе x0 , y y0 K x , где K tg – коэффициент передачи, равный тангенсу угла наклона касательной относительно продольной оси. Пример 2.3. Рассмотрим стационарную математическую модель катушки индуктивности, обладающей конечным значением активного сопротивления R , относительно тока i (выход) при подключении к источнику с напряжением u (вход). На основании второго закона Кирхгофа можно записать следующее дифференциальное уравнение электрического равновесия: u iR L 30 di , dt (2.7) в котором индуктивность L является нелинейной функцией, зависящей от конкретного вида кривой намагничивания (рис. 2.4). При этом также будем полагать, что отклонения i относительно выбранной точки равновесия малы. y x y0 . Ф y f (x) i 0 x 0 Ф f (i) Ф0 f ( x) i0 x0 Рис. 2.3. Линеаризация статической нелинейности в функции одной переменной, представленной в графическом виде Рис. 2.4. Кривая намагничивания Воспользовавшись линеаризацией с помощью графического представления, параметр L определяется как Ф dФ L W 0 , i0 di 0 dФ где – тангенс угла наклона касательной относительно анализируемой di 0 точки установившегося процесса, на что указывает нижний индекс 0; W – количество витков катушки; – коэффициент рассеяния, откуда исходное дифференциальное уравнение (2.7) в операторной форме относительно малых приращений примет следующий вид: ( LR1 p 1)i R1u , или (Tp 1)i k u , где k R 1 – коэффициент передачи, A B1 ; T LR 1 – постоянная времени, с. Таким образом, переходный процесс по току в катушке индуктивности при скачкообразном приложении напряжения и малых отклонениях подчиняется временно́му закону (2.3) и имеет монотонный характер. 31 2.3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ При решении практических задач, связанных с автоматизацией технологических процессов и управлением техническими системами, широко используются математические модели объекта, представляющие собой символьные или иконографические абстракции, определяющие его поведение во времени под действием внешних воздействий. В рамках данного подхода используется свойство, называемое в теории подобия изоморфизмом, т. е. одной и той же системой уравнений можно описать различные по своему содержанию и физической природе явления, например, процессы поступательного (вращательного) движения, нагревания (охлаждения) тела и т. д. Математические модели по способам получения информации подразделяются: 1) на формальные модели (экспериментальный метод), получаемые при обработке результатов наблюдений за входами и выходами объекта; 2) неформальные модели (аналитический метод), построенные на основе фундаментальных законов; 3) смешанные модели (комбинированный метод), являющиеся комбинацией первых двух. Данные о структуре и параметрах формальной модели можно получить с помощью активного или пассивного экспериментов. В первом случае на вход объекта подается специальное тестовое воздействие и на основании отклика составляется математическое описание. При пассивном эксперименте получение сведений об объекте управления производится в процессе его нормальной эксплуатации как результат наблюдения за входными и выходными сигналами. Поскольку технологический процесс подвержен различного рода флуктуациям, то каждую вариацию координаты состояния можно принять в качестве отдельного опыта, произошедшего случайным образом, вследствие чего при обработке полученных результатов широко применяется статистический анализ с привлечением методов из теорий вероятностей и случайных процессов. К недостаткам данного типа математических моделей относится отсутствие наглядной связи найденных коэффициентов с реальными параметрами объекта, а также большие временные и материальные затраты. 32 Неформальные модели строятся на основании законов сохранения энергии, уравнений гидродинамики, тепло- и массопередачи, химической кинетики и т. д. Полученные коэффициенты имеют наглядную физическую интерпретацию, что позволяет в зависимости от круга решаемых задач упрощать или усложнять исходное математическое описание, и являются справедливыми для целого класса однотипных объектов. Однако такой подход требует большого объема предварительных знаний, последующей верификации и высокой квалификации разработчика, по причине чего на практике наиболее часто строят смешанные модели, в которых отсутствие недостающих сведений компенсируется экспериментом. 2.4. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ 2.4.1. Отметьте правильный ответ Связь собственного и входного операторов описывается выражением: в) D ( p ) y G ( p )u ; а) D( p ) G ( p )u ; б) D ( p ) y G ( p )k ; г) D ( p )u G ( p ) y . 2.4.2. Отметьте правильный ответ Линейному обыкновенному дифференциальному уравнению с поdu стоянными коэффициентами a1 y b0 b1u соответствует приведенdt ное к стандартному виду уравнение в операторной форме записи: b b а) y 1 0 p 1 u ; a1 b1 b a б) 1 y 0 p 1 u ; b1 b1 1 в) y a1 b0 p b1 u ; b b du u . г) y 1 0 a1 b1 dt 33 2.4.3. Отметьте правильный ответ b b du b b u отношения 1 и 0 представляют В уравнении y 1 0 a1 b1 dt a1 b1 собой: b b а) 1 – собственный оператор, 0 – входной оператор; b1 a1 b b б) 1 – коэффициент передачи, 0 – постоянную времени; b1 a1 b b в) 0 – коэффициент передачи, 1 – постоянную времени; b1 a1 b b г) 1 – коэффициент передачи, 0 – коэффициент демпфирования. b1 a1 2.4.4. Отметьте правильный ответ За установившееся значение выхода линейной САУ отвечает: а) коэффициент демпфирования; б) постоянная времени; в) коэффициент передачи; г) время переходного процесса. 2.4.5. Отметьте правильный ответ Объект, описываемый линейным дифференциальным уравнением du u , в установившемся режиме будет характеризовида y k T dt ваться зависимостью: а) y u ; в) y k ; б) y kTu ; г) y ku . 2.4.6. Отметьте правильный ответ Нормальная форма Коши дифференциального уравнения (a0 p 2 a1 p a2 ) y (b0 p b1 )u , описывающего объект управления, имеет вид: 34 x a01 (u a1 x1 ), в) 1 y b1 x1; x1 x2 , а) x2 a01 (u a1 x1 ), x1 x2 , г) x2 a01 (u a1 x2 a2 x1 ), y b0 x2 b1 x1; x1 x2 , б) x2 a01 ( a1 x2 a2 x1 u ), y b0 x2 b1 x1. y b0 x2 b1 x1; 2.4.7. Отметьте правильный ответ Линеаризация нелинейного уравнения относительно малых отклонений от выбранной точки равновесия выполняется с помощью: а) ряда Лорана; в) ряда Фурье; б) ряда Тейлора; г) формы Коши. 2.4.8. Дополните Замена нелинейных уравнений, описывающих объект управления, эквивалентной линейной системой, называется _________________. 2.4.9. Отметьте правильный ответ На рисунке изображена статическая характеристика: а) нелинейности типа «зона нечувствительности»; б) нелинейности типа «идеальное двухпозиционное реле»; в) нелинейности типа «сухое» трение; г) линейного вида. y y f (x) с x с 2.4.10. Дополните Математическая модель, информация о которой получена на основе обработки экспериментальных данных о состоянии входов и выходов объекта, называется __________________. 35 2.4.11. Отметьте правильный ответ Вид эксперимента, при котором на вход САУ подается единичное ступенчатое воздействие для снятия переходной характеристики на выходе: а) активный; в) формальный; б) пассивный; г) комбинированный. Ответы: 2.4.1. в); 2.4.2. а); 2.4.3. б); 2.4.4. в); 2.4.5. г); 2.4.6. г); 2.4.7. б); 2.4.8. Линеаризацией; 2.4.9. б); 2.4.10. Формальной; 2.4.11. а). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Каким уравнением в общем виде описывается одномерная САУ? 2. В чем заключается физический смысл постоянной времени T и коэффициента передачи k ? 3. При каком значении времени t заканчивается переходный процесс и почему? 4. Каким образом осуществляется линеаризация нелинейной функции, заданной аналитической зависимостью, и функции, изображенной в виде графика? 5. Как классифицируются математические модели по способам получения информации о них? 36 ГЛАВА 3 СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 3.1. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ Оценка качества функционирования любой системы или объекта базируется на исследовании статических и динамических характеристик. Под статическими понимаются такие аналитические или графические зависимости, которые отображают y связь между входными и выходными const переменными в установившемся процессе, представленные в общем виде на основании следующего алгебраиy0 ческого выражения: f u y y0 u , u где – коэффициент передачи, являющийся постоянной величиной в случае линейных систем и f (u ) – для нелинейных САУ (рис. 3.1). 37 0 Рис. 3.1. Статические характеристики линейной и нелинейной САУ 3.2. ТИПОВЫЕ ВХОДНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК Динамическими называются характеристики, описывающие переходный процесс при различных видах входных воздействий, в качестве которых можно выделить следующие. 1. Единичное ступенчатое воздействие, которое мгновенно (скачком) возрастает от нуля до единицы и в дальнейшем остается неизменным во времени (рис. 3.2): 1 при t 0, (3.1) 1(t ) 0 при t 0. В общем случае начальная велиh(t ) чина данного типа входного сигнала в момент его возникновения может отличаться от нулевого значения. Ре1 акция выхода системы или объекта во времени на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальt ных условиях получила название переходной характеристики. 0 2. Импульсное воздействие, представляющее собой сигнал прямоРис. 3.2. Единичное ступенчатое угольной мгновенной формы, ампливходное воздействие туда которого в пределе стремится к бесконечности, а длительность к нулю (рис. 3.3). Если площадь одиночного импульса равна единице, то он носит название дельтафункции Дирака и описывается следующими соотношениями: (t ) 1 , (3.2) 0 при t 0, (t ) при t 0. Реакция выхода системы или объекта во времени на импульсное воздействие при нулевых начальных условиях называется импульсной характеристикой. 38 3. Гармоническое воздействие в виде сигнала синусоидальной (косинусоидальной) формы используется при исследовании свойств системы в частотной области (рис. 3.4) и описывается выражением v(t ) A sin (t ) . (t ) v(t ) t 0 t (3.3) A 2 T ωt t 0 T 0 Рис. 3.3. Импульсное входное воздействие Рис. 3.4. Гармоническое входное воздействие Используя параметры переменной на выходе объекта или САУ в установившемся режиме после приложения на вход гармонического сигнала, получают частотные характеристики. 4. Линейно-возрастающее входное воздействие (рис. 3.5), в котором присутствует первая производная входа, преимущественно применяется для анализа динамических свойств следящих САУ: v(t ) a0 a1t , (3.4) где a0 – начальное значение (скачок) v(t ) ; a1 const – первая производная входного воздействия. К данному типу воздействий также относятся входные сигналы, являющиеся функцией нескольких производных v(t ) различного порядка, представленные в общем виде как v (t ) a0 a1t a2 t 2 al t l , где a0 – начальное значение v(t ) ; ak k ! const – значение старшей производной входа k -го порядка; a1, a2 2!, , ak 1(k 1)! – началь39 ные значение первой и (k 1) производных соответственно или в общем виде: d iu dt i t 0 ai i ! i 1, k . v (t ) v(t ) a1 arctg ( a1 ) a0 t t 0 0 а б Рис. 3.5. Линейно-возрастающее входное воздействие вида (3.4) (а) и его первая производная (б) Аналитическая зависимость, которая описывает поведение во времени выходной переменной при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях, называется переходной функцией h(t ) , а в случае приложения импульсного воздействия (t ) носит название весовой функции w(t ) . Так как дельтафункция Дирака, как это видно из (3.2), равна производной от 1(t ) , то t) , (t ) 1( т. е. между h(t ) и w(t ) устанавливается следующее соответствие: w(t ) h(t ) . Динамические модели одномерных линейных непрерывных систем помимо использования дифференциальных уравнений могут также быть представлены в других формах математического описания, из которых наиболее распространенными являются: – передаточные функции; 40 – структурные схемы; – частотные характеристики в обычном или логарифмическом масштабах. 3.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ САУ Под передаточной функцией понимают отношение входного линейного дифференциального оператора G( p) к собственному линейному дифференциальному оператору D( p) при нулевых начальных условиях: W ( p) G( p) b0 p m b1 p m1 bm1 p bm , D( p) a0 p n a1 p n1 an1 p an или в стандартном виде: 1 m m 1 bm 1 p 1 G ( p ) bm bm b0 p b1 p . W ( p) D ( p ) an a 1 a p n a p n 1 a p 1 0 1 n n 1 Как видно из данного определения, передаточная функция связывает между собой выходную переменную со входом при нулевых начальных условиях в соответствии с равенством y W ( p)u и позволяет представить дифференциальное уравнение в более компактном виде. Если собственный и входной линейные дифференциальные операторы получаются на основании интегрального преобразования Лапласа в функции комплексной переменной s a jb , впервые предложенного французским математиком Пьером Симоном де Лапласом (PierreSimon de Laplace, 1749–1827), то в этом случае используется другое определение передаточной функции. Передаточной функцией в форме изображений Лапласа называется имеющее наименьший порядок отношение изображения Лапласа выходной переменной к изображению Лапласа входной переменной при нулевых начальных условиях: 41 W (s) y ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm . u ( s) a0 s n a1s n1 an1s an В соответствии с данной формулировкой корни числителя и знаменателя правой части последнего отношения не могут быть равны друг другу, так как в противном случае происходит понижение порядка W ( s) . Преобразование Лапласа применимо к произвольной функции x(t ) , если она удовлетворяет следующим двум условиям: x(t ) 0 при t 0, и можно подобрать такое положительное число c , при котором становится справедливым неравенство x (t ) e ct dt 0 . 0 Изображения u (s) и y ( s ) получаются на основании следующего интегрального преобразования: xi ( s ) L xi (t ) xi (t )e st dt , 0 – оператор Лапласа, а обратный переход к оригиналу осуздесь L ществляется как xi (t ) L1 xi ( s ) j 1 0 st xi ( s )e ds . 2j j 0 Для преобразования Лапласа при ненулевых начальных условиях характерны следующие основные свойства и теоремы: – линейности: L k1x1 (t ) k2 x2 (t ) k1L x1 (t ) k2 L x2 (t ) , где k1 const, k2 const – некоторые постоянные коэффициенты; 42 – дифференцирования оригинала: L x ( n ) (t ) s n x( s ) x ( n 1) (0) sx ( n 2) (0) s n 2 x (1) (0) s n 1 x(0) ; – интегрирования оригинала: t x( s ) L x()d ; s 0 – теорема о свертке: t L x1 (t ) L x2 (t ) x1 ( ) x2 (t ) d ; 0 – теорема о предельном значении: x(0) lim sL x(t ) , s или при существовании предела x() lim x(t ) : t x() lim sL x(t ) . s0 Применительно к линейным стационарным системам и нулевым начальным условиям переход из одной формы записи передаточной функции к другой осуществляется путем замены оператора p на s или наоборот, причем сходство между ними является только внешним. Помимо этого знаменатель передаточной функции является характеристическим уравнением, корни которого описывают свободное движение выходной переменной y (t ) . Значения p или s , при которых передаточная функция обращается в бесконечность, называются полюсами, а корни полинома числителя, при которых передаточная функция равна нулю, называются нулями. Передаточная функция линейной непрерывной системы не зависит от вида входного сигнала и определяется только собственными динамическими свойствами объекта или системы. Если САУ имеет несколько каналов приложения управлений и возмущений, то в соответ43 ствии с принципом суперпозиции передаточная функция по каждому их них определяется путем обнуления всех остальных внешних воздействий. 3.4. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ САУ Для условно-графического представления математических моделей широко используется структурная схема, под которой понимают графическое изображение системы или объекта в виде совокупности звеньев с указанием связей между ними. Из определения следует, что структурная схема содержит в себе элементарные звенья (один вход – один выход), представленные в виде прямоугольников, внутри которых записываются передаточные функции. Помимо этого на схеме обязательно присутствуют связи в виде стрелок между блоками, а также суммирующие элементы (рис. 3.6). vi ui Wi ( p ) ( ) yi xi Рис. 3.6. Элементы структурной схемы Детализированная структурная схема – это математическая модель, состоящая только из связанных друг с другом элементарных звеньев, реализующих сложение с соответствующими знаками, умножение на постоянный коэффициент, интегрирование и дифференцирование. Пример 3.1. Для получения детализированной структурной схемы катушки индуктивности преобразуем исходное линеаризованное дифференциальное уравнение (2.7) к нормальной канонической форме с использованием оператора дифференцирования: pi 1 (u Ri ) . L После реализации с помощью элементарных звеньев правой части последнего равенства получается первая производная тока pi , которая в дальнейшем интегрируется, и в итоге детализированная структурная схема принимает вид, представленный на рис. 3.7. 44 u 1 L ( ) Ri pi 1 p i R Рис. 3.7. Детализированная структурная схема катушки индуктивности Как видно из изложенного выше, использование аппарата передаточных функций совместно со структурной схемой позволяет легко осуществлять переход от данного вида математического описания обратно к дифференциальному уравнению отдельного элемента или всей системы в целом. 3.5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ САУ При анализе процессов в линейных непрерывных системах широкое распространение получили частотные характеристики. В соответствии с принципом суперпозиции реакция САУ на несколько внешних воздействий будет представлять собой сумму отдельных реакций по каждому из входов, что позволяет ограничиться рассмотрением только одномерного случая. Если на входе присутствует гармонический сигнал вида (3.3), то в установившемся процессе на выходе будет также присутствовать гармонический сигнал (рис. 3.8) с той же частотой, но в общем случае отличающейся по амплитуде и сдвинутый относительно входа на некоторый угол (фазу): u(t ) Aвх sin (t вх ) , y(t ) Aвых sin (t вых ) , или в символической форме записи синусоидальных колебаний с использованием функции комплексного переменного: u (t ) Aвх e j ( t вх ) Aвх e jвх e jt , y (t ) Aвых e j (t вых ) Aвых e jвых e jt . 45 u (t ) Aвх sin(t вх ) Линейная стационарная одномерная САУ y(t ) Aвых sin(t вых ) Рис. 3.8. Укрупненная структурная схема, иллюстрирующая частотные характеристики По аналогии с передаточной функцией в изображениях Лапласа введем в анализ частотную передаточную функцию, или иначе комплексный коэффициент передачи A ()e jвых () Aвых () j вых ()вх () W ( j) вых e . Aвх () Aвх ()e jвх () Отношение амплитуд выходного и входного гармонических сигналов в функции частоты при установившемся процессе получило название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ): A () A() вых , Aвх () а разность фазовых сдвигов называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ): () вых () вх (), в результате чего становится справедливым равенство W ( j ) A()e j ( ) . Аналитическое выражение для комплексного коэффициента передачи (частотных характеристик) получается на основании формальной замены в передаточной функции оператора дифференцирования p (оператора Лапласа s ) на оператор Фурье j , получивший свое название в честь французского математика Жана Батиста Жозефа Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830) W ( j) W ( p) p j y ( j) u ( j) 1 m m 1 bm 1 ( j ) bm 1 bm b0 ( j) b1 ( j) . an 1 n n 1 1 an a0 ( j) a1 ( j) an 1 ( j) 46 Если на комплексной плоскости отложить вектор W ( j) , длина которого равна модулю W ( j) A() , а пространственное положение определяется аргументом arg W ( j) () (угол между вектором и положительной вещественной полуосью), то при изменении частоты от 0 до конец W ( j) будет описывать в двумерном пространстве кривую (рис. 3.9), которая называется амплитудно-фазочастотной характеристикой (АФЧХ). При использовании алгебраической формы записи функции комплексной переменной W ( j ) A() e j ( ) P () jQ () можно также выделить вещественную частотную характеристику (ВЧХ) P() ReW ( j) A() cos () и мнимую частотную характеристику (МЧХ) Q() ImW ( j) A()sin () , которые связаны с АЧХ и ФЧХ на основании следующих зависимостей: A() W ( j) P 2 () Q 2 () , () arg W ( j) arctg Q () . P () Im W ( j) P(i ) 0 Re 0 Q(i ) A(i ) (i ) i Рис. 3.9. Амплитудно-фазочастотная характеристика 47 . В практических расчетах АЧХ и ФЧХ часто строят в логарифмическом масштабе, которые называются соответственно логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ) и логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ). Использование десятичного логарифма частоты позволяет заменить операции деления (умножения) на вычитание (сложение) и значительно упростить процедуру построения характеристик САУ в частотной области. Масштабирование оси частот можно осуществлять либо путем непосредственного откладывания lg , в результате чего достигается равномерность между двумя соседними делениями, либо применения логарифмического масштаба для (рис. 3.10). декада 1 0 lg 1 2 3 4 Рис. 3.10. Ось абсцисс частотных характеристик в логарифмическом масштабе В свою очередь, ордината ЛАЧХ определяется по формуле L() 20lg A() 20lg W ( j) и выражается в децибелах (дБ). Бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, а децибел равен одной десятой части бела. Учитывая, что изменение частоты в десять раз называется декадой, то наклон ЛАЧХ измеряется в децибелах на декаду (дБ/дек), причем по оси ординат ЛФЧХ откладывается фаза в градусах (радианах) с использованием линейного масштаба. В таблице приведены основные соотношения между численными значениями увеличения (уменьшения) АЧХ в обычном масштабе и логарифмическом. 48 Таблица значений АЧХ и ЛАЧХ АЧХ Значения A() , ед. 0,001 0,01 0,1 0,316 0,89 L () , дБ – 60 – 40 –20 –10 –1 1,0 0 1,12 3,16 10,0 100,0 1000 1 10 20 40 60 При использовании в качестве масштаба по оси абсцисс lg поперечная ось в зависимости от диапазона рабочих частот может проводиться через произвольную точку, которую на практике принимают равной единице, т. е. lg1 0 . В верхней полуплоскости ЛАЧХ ( A() 1 ) происходит усиление амплитуды входного гармонического сигнала, а в нижней при A() 1 – ослабление. АЧХ в обычном и логарифмическом масштабах характеризуются следующими параметрами (рис. 3.11): – частота среза c – это такая частота, при которой величина A() равна единице или иначе L() 20lg1 0 ; A() W ( j) Amax () A( 0 ) A(0) 2 A() 1 0 p пп ω c Рис. 3.11. Частотные параметры АЧХ – полоса пропускания – это интервал частот от нуля до п , при которой A(п ) составляет 1/ 2 0,707 от уровня A(0) при 0 ; – резонансная частота p , при которой АЧХ имеет максимальное значение Amax () (гармонические колебания имеют наибольшее усиление); 49 – показатель колебательности M Amax (p ) A(0) , характеризующий склонность системы к колебаниям и находящийся в реальных САУ в диапазоне 1,1 M 1,5 . При математическом описании процессов в линейных САУ также широко применяются модальные характеристики, отвечающие за свободное движение системы, которое определяется конкретным видом и величиной корней характеристического уравнения D( p) : Im n n i 1 i 1 * yc (t ) yci (t ) Ci e pi t , где yc (t ) – свободная составляющая, являющаяся общим решением одно0 родного дифференциального уравнения; Ci – постоянная интегрирования, зависящая от начальных услоРис. 3.12. Корневой портрет вий; pi* – корень характеристическолинейной системы го уравнения; yci (t ) – мода. Как видно из последней формулы, мгновенная форма переходного процесса однозначно зависит от корней D( p) , которые при их графическом изображении в виде точек на комплексной плоскости образуют корневой портрет (рис. 3.12). pi* Re 3.6. ТОЧНОСТЬ РЕГУЛИРОВАНИЯ И ПРЯМЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Процесс функционирования любой системы характеризуется точностью, под которой понимается степень приближения выходной переменной к ее желаемому состоянию, а в качестве количественной меры выступает ошибка регулирования y (t ) v(t ) y (t ) , где v(t ) – задающее воздействие произвольного вида; y (t ) – выходная управляемая переменная. 50 В установившемся процессе ошибка называется статической, а в переходном процессе динамической. При астатическом управлении y(t ) с течением времени стремится к нулю, т. е. выполняется предельное требование lim v(t ) y (t ) 0 . t Для оценки динамических режимов работы линейной непрерывной системы во временной области используются параметры, которые получили название показателей качества. Впервые в 1945 г. они были введены в практику теории автоматического управления Владимиром Викторовичем Солодовниковым (1910–1991), ставшим впоследствии академиком АН СССР. Под этими понятиями первоначально понимались два неформализованных свойства переходного процесса при ступенчатом входном воздействии в случае нулевых начальных условий, а именно время регулирования и перерегулирование, которые в дальнейшем были дополнены другими количественными характеристиками. Для оценки переходного процесса, стремящегося к некоторому установившемуся значению, используются следующие прямые показатели качества (рис. 3.13). Рис. 3.13. Прямые показатели качества переходного процесса 1. Временем регулирования tр , которое характеризует степень быстродействия системы, называется минимальное время, в течение 51 которого переходной процесс входит в -окрестность от установившегося значения и больше из нее не выходит, т. е. соблюдается неравенство y (t ) y ( ) 100 % , y ( ) где y (t ), y () – соответственно текущее и установившееся значения выходной переменной. Величина в большинстве случаев принимается равной 5 %, а в особо ответственных ситуациях может составлять (1…2) %. Быстродействие можно также оценить в частотной области на основании интервального соотношения tр 2(1 2) . c 2. Перерегулированием % называется максимальное мгновенное отклонение выходной переменной от установившегося значения, выраженное в относительных единицах: % ymax (t ) y ( ) 100 % . y ( ) Величина перерегулирования в зависимости от класса решаемых задач может находиться в пределах единиц-десятков процентов. Если в САУ % 0 , причем скорость изменения выхода не меняет свой знак, то переходной процесс называется монотонным. 3. Декрементом затухания называется отношение модулей двух соседних перерегулирований % 1 % ymax (t ) y() ymax1 (t ) y() и служит косвенным показателем степени демпфирования (затухания) переходного процесса. 4. Временем нарастания переходного процесса, или иначе первого согласования tc , называется абсцисса первой точки пересечения кривой процесса с установившимся значением выходной переменной y () . 52 Помимо этого к прямым показателям качества относятся количество колебаний n , под которым понимается число экстремумов за время регулирования tр , время достижения первого максимума tmax , частота колебаний и т. д. 3.7. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ 3.7.1. Дополните Характеристики, связывающие входные и выходные переменные объекта в установившемся процессе, называются __________________. 3.7.2. Отметьте правильный ответ Реакция системы автоматического управh(t ) ления на внешнее воздействие при нулевых начальных условиях, график которого изобра1 жен на рисунке, называется: а) переходной характеристикой; б) единичным ступенчатым воздействием; в) импульсной характеристикой; 0 г) линейно-возрастающим воздействием. t 3.7.3. Отметьте правильный ответ Связь дельта-функции Дирака с единичной ступенчатой функцией определяется выражением: а) h(t ) w (t ) ; б) w(t ) h(t ) ; в) 1(t ) (t ) ; t) . г) (t ) 1( 3.7.4. Отметьте правильный ответ Какое типовое входное воздействие используется для исследования динамических свойств системы автоматического управления в частотной области: а) линейно-возрастающее; б) импульсное; в) единичное ступенчатое; г) гармоническое? 53 3.7.5. Отметьте правильный ответ Весовой функцией называется аналитическая зависимость, которая описывает при нулевых начальных условиях поведение во времени выходной переменной в случае подачи на вход: а) единичного ступенчатого воздействия; б) импульсного воздействия; в) линейно-возрастающего воздействия; г) гармонического входного воздействия. 3.7.6. Дополните Функция в операторной форме, определяемая отношением линейного входного оператора G( p) к линейному собственному оператору D( p) при нулевых начальных условиях, называется ______________. 3.7.7. Отметьте правильный ответ Полюсом системы называется численное значение оператора p, при котором передаточная функция обращается: а) в бесконечность; б) в неопределенность; в) в нуль; г) в единицу. 3.7.8. Отметьте правильный ответ В случае приложения к входу линейной САУ гармонического воздействия (см. рисунок) сигнал на выходе будет описываться выражением: а) y(t ) Aвых sin(t ) ; б) y(t ) Aвх sin(t вых ) ; в) y(t ) Aвых sin(t вых ) ; г) y(t ) u(t ) Aвх sin(t вх ) . u (t ) Aвх sin(t вх ) Линейная стационарная одномерная САУ 54 y(t ) ? 3.7.9. Отметьте правильный ответ На комплексной плоскости изображается: а) вещественная частотная характеристика; б) амплитудно-частотная характеристика; в) амплитудно-фазочастотная характеристика; г) логарифмическая амплитудно-частотная характеристика. 3.7.10. Отметьте правильный ответ Амплитудно-фазочастотная характеристика описывается выражением: A () j вых ()вх () e а) W ( j) вых ; Aвх () A () ; б) A() вых Aвх () в) () вых () вх () ; г) P() A()cos () . 3.7.11. Дополните Интервал частот между какой-либо величиной частоты и ее десятикратным значением называется ______________________. 3.7.12. Отметьте правильный ответ Амплитудно-частотная характеристика описывается выражением: A () j вых ()вх () e а) W ( j) вых ; Aвх () A () б) A() вых ; Aвх () в) () вых () вх () ; г) P() A()cos () . 3.7.13. Отметьте правильный ответ Ордината логарифмической амплитудно-частотной характеристики описывается выражением: а) L() 20lg () ; в) L() 20lg A() ; б) L() lg A() ; г) L() 10lg A() . 55 3.7.14. Отметьте правильный ответ Наклон ЛАЧХ, изображенной на рисунке, составляет: а) –20 дБ/дек б) –40 дБ/дек в) +20 дБ/дек г) +40 дБ/дек 3.7.15. Отметьте правильный ответ ЛАЧХ объекта управления изображена на рисунке. На частоте 200 рад/с амплитуда сигнала: а) усиливается; б) ослабляется; в) остается неизменной; г) объект управления не пропускает сигнал на данной частоте. 56 3.7.16. Отметьте правильный ответ Частота, при которой САУ пропускает сигнал в натуральную величину (не усиливая и не ослабляя его): а) резонансная; в) среза; б) сопряжения; г) пропускания. 3.7.17. Отметьте правильный ответ Наибольшее усиление амплитуды входного гармонического сигнала, пропускаемого линейной непрерывной САУ, происходит: а) на частоте среза; б) на частоте сопряжения; в) в полосе пропускания; г) на резонансной частоте. 3.7.18. Отметьте правильный ответ Конечной точке частотного диапазона полосы пропускания п соответствует значение амплитуды (см. рисунок): а) Amax () ; б) A(0) ; в) A(0) / 2 ; г) A() 1 . A() W ( j) Amax () A( 0 ) A(0) 2 A() 1 0 3.7.19. Дополните Максимальное мгновенное отклонение выходной переменной от установившегося значения, выраженное в относительных единицах, называется ______________________. 57 3.7.20. Отметьте правильный ответ Минимальное время, в течение которого переходной процесс входит в -окрестность от установившегося значения и больше из нее не выходит: а) время регулирования; б) время нарастания до первого максимума; в) постоянная времени; г) период. Ответы: 3.7.1. Статическими; 3.7.2. а); 3.7.3. г); 3.7.4. г); 3.7.5. б); 3.7.6. Передаточной; 3.7.7. а); 3.7.8. в); 3.7.9. в); 3.7.10. а); 3.7.11. Декадой; 3.7.12. б); 3.7.13. в); 3.7.14. б); 3.7.15. б); 3.7.16. в); 3.7.17. г); 3.7.18. в); 3.7.19. Перерегулированием; 3.7.20. а). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Какие воздействия необходимо приложить на вход САУ при нулевых начальных условиях, чтобы получить переходную, импульсную и частотные характеристики? 2. Дайте определение передаточной функции в операторной форме записи и изображениях Лапласа. 3. Поясните, как из выражения для АФЧХ получить остальные частотные характеристики? 4. Для чего при исследовании частотных характеристик САУ используется логарифмический масштаб? 5. Что понимают под перерегулированием и временем регулирования? 58 ГЛАВА 4 ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ САУ Любой полином, входящий в числитель или знаменатель передаточной функции, можно разложить на произведение более простых множителей первого и второго порядков. Такое представление позволяет разбить сложный объект на несколько составляющих частей (элементов) и значительно упростить последующий анализ. Типовым линейным звеном называется такое динамическое звено, которое описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка включительно и подчиняется определенным законам. 4.1. БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО Безынерционное звено имеет следующую передаточную функцию: W ( p) k , из которой следует, что в каждый момент времени существует пропорциональная зависимость между входной и выходной переменными, определяемая коэффициентом передачи k : y ku . (4.1) Частотные характеристики получаются на основании следующего равенства: W ( j ) ke j 0 , 59 откуда ( ) 0 . A() k , Ввиду того что единственный параметр k не зависит от , АЧХ и ФЧХ в различных масштабах будут представлять собой прямые линии, параллельные оси абсцисс (рис. 4.1). Переходная и весовая функции, в свою очередь, находятся как h(t ) k1(t ) k , w(t ) h(t ) k (t ) . Переходная характеристика представлена на рис. 4.2. Данным типовым звеном можно описать процесс изменения тока в электрической цепи с активным сопротивлением в случае его подключения к источнику напряжения, который в соответствии с законом Ома изменится мгновенно, т. е. безынерционно. Помимо этого данным типовым звеном можно представить механические передаточные устройства, такие как, например, редуктор или рейка-колесо (рис. 4.3). 2 h(t ) L() k 20 lg k () 1 lgω lg 0 Рис. 4.1. АЧХ и ФЧХ безынерционного звена в логарифмическом масштабе t 0 Рис. 4.2. Переходная Рис. 4.3. Функциональная характеристика схема редуктора безынерционного звена Как видно из рис. 4.3, если в качестве входной переменной принять угловую скорость u 1 , а выходной координатой считать y 2 , то процесс механического преобразования энергии при отсутствии потерь в передаточном устройстве будет описываться алгебраическим уравнением вида (4.1), в котором k 2 11 – безразмерный коэффициент передачи, численно равный обратной величине передаточного числа редуктора. 60 4.2. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО Апериодическое звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка T dy y ku , dt (4.2) или в форме Коши y 1 ku y , T в результате чего детализированная структурная схема примет вид, изображенный на рис. 4.4. В свою очередь, с учетом входного и собственного линейных операторов передаточная функция находится как W ( p) k , Tp 1 где T – постоянная времени, с; k – коэффициент передачи. u k () 1 T py 1 p y Рис. 4.4. Детализированная структурная схема апериодического звена Рассмотрим решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.2) при нулевых начальных условиях, которое является суммой общего решения однородного уравнения yс (t ) и частного решения неоднородного yв (t ) : y(t ) yс (t ) yв (t ) . Первая составляющая представляет собой свободное движение выходной переменной и зависит от единственного корня характеристиче61 ского уравнения, а вторая часть определяется видом правой части и описывает установившийся процесс, в котором производная равна нулю, откуда yв (t ) y() ku . Свободная составляющая отыскивается в виде * yс (t ) Сe p t , где C – постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий; p* – корень характеристического уравнения D( p) Tp 1 0 , определяемый как p* 1 . T В соответствии с нулевыми начальными условиями yнач 0 для случая t 0 можно записать следующее равенство: * 0 yв (0) yс (0) y() Сe0 p , откуда постоянная интегрирования С y ( ) . Таким образом, окончательное решение дифференциального уравнения принимает следующий вид: t T y (t ) y () 1 e , или применительно к переходной функции t h(t ) k 1 e T 62 , а весовая функция находится как t k w(t ) h(t ) e T , T что иллюстрируют рис. 4.5, а и б соответственно. h(t ) w(t ) k T k 0,632k t t 0 0 T а б Рис. 4.5. Переходная (а) и импульсная (б) характеристики апериодического звена Из решения обыкновенного дифференциального уравнения (4.2) наглядно виден физический смысл постоянной времени, которая отвечает за темп изменения выходной переменной. Так, например, по окончании промежутка времени, равного T , текущее значение y (t ) будет составлять 0,632 y () , через время t 3T процесс входит в пятипроцентную зону от установившегося значения, а по окончании t 4T – в двухпроцентную. Помимо этого из переходной характеристики видно, что коэффициент передачи определяет величину y в статическом режиме работы САУ y() k . Аналитическое выражение для АФЧХ (рис. 4.6) получается из передаточной функции путем замены оператора дифференцирования p на оператор Фурье j : W ( j) k k 1 jT k (1 jT ) k kT , j jT 1 jT 11 jT (T ) 2 1 (T ) 2 1 (T ) 2 1 63 откуда определяются выражения для ВЧХ, МЧХ, АЧХ (рис. 4.7) и ФЧХ: k P () 2 (T ) 1 A() Q () , k (T ) 2 1 kT (T ) 2 1 , () arctgT , , или в логарифмическом масштабе (рис. 4.8): L() 20lg A() 20lg k 20lg (T )2 1 L1 () L2 () . Im k () 0 A() k / 2 k /2 0 Re A() 45 k /2 сопр 1 T Рис. 4.6. АФЧХ апериодического звена A() k A(c ) 1 0 c k 2 1 T Рис. 4.7. АЧХ апериодического звена 64 L(), () 3,01дБ c 20 lg k 0 /4 сопр T 1 k 2 1 T lg 20 / 2 Рис. 4.8. Точные и асимптотические ЛАЧХ, а также ФЧХ в логарифмическом масштабе апериодического звена В целях упрощения построения ЛАЧХ на основании приближенной зависимости далее проанализируем влияние второй составляющей L2 () на вид ЛАЧХ в различных областях частотного диапазона. При гармонических входных воздействиях и выполнении неравенства T 22 1 с достаточной степенью точности можно считать, что L2 () 0 , а в случае T 22 1 представляется возможным пренебречь единицей в подкоренном выражении, в результате чего L2 () 20lg T . На основании данного подхода можно заключить, что ЛАЧХ апериодического звена будет состоять из двух асимптотических прямых, которые соединяются на частоте сопряжения сопр T 1 : 20lg k при T 1 , L() 20lg k 20lg T при T 1 , 65 причем максимальное отклонение асимптотической ЛАЧХ от точной будет иметь в месте излома сопр T 1 и составлять L2 () 20lg 2 3,01 дБ. Определим наклон второй асимптотической прямой при изменении произвольной частоты * в десять раз, т. е. за декаду: (20lg10*T 20lg T * ) 20lg 10*T 20lg10 20дБ . *T Таким образом, в частотном диапазоне T 1 наклон ЛАЧХ составляет –20 дБ/дек., а частота среза, которая по определению удовлетворяет условию A() k (T c ) 2 1 1, находится как c k 2 1 . T Пример 4.1. Апериодическим звеном можно описать процесс изменения температуры для случая однородной тепловой модели при принятии следующих допущений. 1. Тело имеет бесконечно большую теплопроводность, из чего следует постоянство температуры по всему объему. 2. При обмене тепловой энергией между объектом и внешней средой ее количество пропорционально разности температур. 3. Рассматривается стационарная модель, т. е. параметры объекта неизменны во времени. Выделяемая тепловая энергия за элементарный промежуток времени dt зависит от подводимой мощности: dQ1 Pdt , часть из которой приводит к увеличению температуры тела dQ2 Cd , 66 где C – теплоемкость, Дж С1 , т. е. количество теплоты, необходимое для повышения температуры на 1 С ; – превышение температуры объекта над температурой окружающей среды, С , а другая составляющая Q1 отдается в окружающую среду: dQ3 Adt , где A – теплоотдача, Дж С1 с1 , соответствующая количеству теплоты, отдаваемой телом в окружающую среду за 1 с при разности температур в 1 С . В итоге на основании уравнения теплового баланса можно записать: dQ1 dQ2 dQ3 , или с учетом вышеприведенных формул Pdt C d A dt . Перейдя от последнего равенства к дифференциальному уравнению первого порядка относительно величины , окончательно получается: C d A P . dt В установившемся процессе вся тепловая энергия отдается в окружающую среду, т. е. const , откуда уст P . A В итоге переходный процесс изменения во времени превышения температуры объекта над окружающей средой подчиняется апериодическому закону в соответствии с уравнением T d уст , dt (T p 1) уст , 1 где T C A – постоянная времени, с, которой соответствует передаточная функция W ( p ) 1/ A . T p 1 67 4.3. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО Интегрирующее звено подчиняется дифференциальному уравнению первого порядка: dy ku , dt или y k udt , откуда передаточная функция принимает следующий вид: W ( p) k . p В свою очередь, переходная функция находится как h(t ) kt , h( t ), w(t ) h(t ) k w(t ) а весовая функция w(t ) h(t ) k . Как видно из предпоследнего равенства, h(t ) представляет собой неограниченно возрастающую прямую, 0 наклон которой относительно продольной оси времени зависит от чисРис. 4.9. Переходная ленного значения коэффициента пеи импульсная характеристики редачи k , а w(t ) является постоянинтегрирующего звена ной величиной (рис. 4.9). При выводе аналитических выражений для построения частотных характеристик осуществляется замена p j в передаточной функции arctg(k ) t W ( j) k k 0 j , j на основании чего ВЧХ и МЧХ соответственно находятся как P() 0 , Q () 68 k . Представив в последнем равенстве мнимую единицу в показательной форме записи j 0 j 1 1cos90 j 1sin 90 1e j 90 , что означает поворот вектора на угол 90 против хода часовой стрелки, комплексный коэффициент передачи преобразуется к виду W ( j) A()e j() k e j 90 k j 90 e , откуда A ( ) k , () 90 . Таким образом, АФЧХ интегрирующего звена располагается на отрицательной мнимой полуоси и с ростом стремится в начало координат (рис. 4.10), АЧХ обратно пропорциональна частоте (рис. 4.11), а фазовый сдвиг во всей области частот равен 90 . Im 0 A(i ) () A() Re const 2 0 Q(i ) Рис. 4.10. АФЧХ интегрирующего звена лой Рис. 4.11. АЧХ интегрирующего звена АЧХ в логарифмическом масштабе (рис. 4.12) описывается формуL () 20 lg A() 20 lg 69 k 20 lg k 20 lg , в результате чего ее наклон составляет 20lg A(10* ) 20lg A(* ) (20lg10* 20lg * ) 20lg 10* 20lg10 20дБ . * При этом в случае 1 справедливо равенство L(1) 20lg k 20lg1 20lg k , т. е. ЛАЧХ пересекает поперечную ось в данной ординате, а частота среза при L(c ) 0 находится как c k . На практике вместо коэффициента передачи интегрирующего звена может использоваться постоянная времени W ( p) 1 , Tp где T k 1 – постоянная времени, с. Пример 4.2. Рассмотрим процесс изменения уровня жидкости h с заданной плотностью в цилиндрическом аппарате (рис. 4.13), для которого известны объем V , площадь поперечного сечения S , а также коэффициенты местных сопротивлений 1 , 2 и диаметры d1 , d 2 сужающих устройств. L(), () 20 lg k 20 c k Pатм lg P1 0 /2 Рис. 4.12. ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена P2 Pатм Рис. 4.13. Функциональная схема цилиндрического аппарата 70 Текущее состояние объекта управления описывается следующим дифференциальным уравнением: dV Q1 Q2 , dt где Q1 , Q2 – объемные расходы через сужающие устройства, м 3 c 1 , которые, в свою очередь, определяются разностью приложенных давлений: Q1 k1 P1 P2 , Q2 k2 P2 Pатм k2 gh , где Pатм , P1 , P2 Pатм gh – атмосферное давление, а также давления на входе и выходе соответственно; k1 , k2 – коэффициенты пропускной способности, зависящие от геометрических размеров входного и выходного сужающих устройств (клапанов) и плотности жидкости: ki 22 di4 . 16i Учитывая, что объем цилиндра определяется зависимостью V Sh , оконdh Q1 Q2 Q чательно получаем , что соответствует интегрирующему dt S S 1 k звену, имеющему передаточную функцию W ( p) . Sp p Пример 4.3. Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее процессы механического движения типа вращение, которое имеет следующий вид: J где – угловая скорость; n Mi d n Mi , dt i 1 – сумма приложенных вдоль одной и той же i 1 оси моментов; J const – момент инерции, откуда, приняв за выходную переменную , а за входное воздействие M i , окончательно получаем: W ( p) 71 1 . Jp 4.4. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО Колебательное звено описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка: T2 d2y dt 2 2 T dy y ku , dt (4.3) где – коэффициент демпфирования (затухания), влияющий на степень колебательности переходного процесса, откуда передаточная функция в операторной форме записи находится как W ( p) k T 2 p 2 2Tp 1 . Корни характеристического уравнения D( p) , определяющие мгновенную форму h(t ) , зависят от постоянной времени T и коэффициента демпфирования: * p12 2T (2T ) 2 4T 2 2T 2 2 1 . T T (4.4) Так, например, при 1 , что соответствует паре различных (кратных при 1 ) отрицательных вещественных корней характеристического уравнения, в системе будет наблюдаться переходной процесс без явно выраженного максимума, а в случае соблюдения неравенства 1 (комплексно-сопряженные корни с отрицательной вещественной частью) динамический режим работы САУ будет сопровождаться затухающими колебаниями. Далее получим аналитическое выражение для переходной характеристики h(t ) для случая 1 , что соответствует различным отрицательным вещественным корням p1* 1 ; p2* 2 квадратного характеристического уравнения D ( p ) T 2 p 2 2Tp 1 0 . 72 Решением уравнения (4.3), как и в случае апериодического звена, является сумма решений частного неоднородного yв (t ) yв (t ) y() k и общего однородного уравнения * * yс (t ) С1e p1 t С2e p2t С1e1t С2e2t , где C1, C2 – постоянные интегрирования, т. е. выходная переменная и ее первая производная находятся как y (t ) k С1e 1t С 2 e 2t , y (t ) 1С1e 1t 2 С 2 e 2t . Формулы для вычисления C1, C2 определяются из нулевых начальных условий для момента времени t 0 0 k С1e 1 0 С 2 e 2 0 , откуда k (С1 С2 ) , или по аналогии 0 1С1e 1 0 2 С 2 e 2 0 , 1С1 2С2 , в результате чего, совместно решая полученную систему алгебраических уравнений, окончательно получаем C1 2 k; 1 2 C2 1 k. 1 2 В итоге переходная функция, в соответствии с которой протекает процесс изменения во времени y (t ) при нулевых начальных условиях, имеет вид 2 1 h(t ) k 1 e1t e2t , 1 2 1 2 73 а соответствующая ей весовая функция w(t ) h(t ) k 1 2 e 2t e1t . 1 2 В случае кратных отрицательных вещественных корней p1* p2* T 1 , которые имеют место при 1 , вынужденная и свободная составляющие находятся как yв (t ) y() k , * yс (t ) (С1 C2t )e p t , откуда y (t ) k (С1 C2t )e t k (С1 C2t )e t T , С С t y (t ) С1e t С2 te t С2 e t 1 e t 2 e t С2 e t . T T С учетом нулевых начальных условий для моментов времени t 0 постоянные интегрирования определяются из равенств C1 k , C2 C1 k k , T которые после их подстановки в общее решение приводят к следующим формулам: h(t ) k (k k t )e t t t kt T t T T e k k e k 1 T T , t kt w(t ) h(t ) e T . T Как видно из рис. 4.14, при коэффициенте демпфирования 1 наблюдается переходный процесс без перерегулирования, причем с увеличением длительность достижения установившегося значения возрастает. 74 Рис. 4.14. Переходные характеристики колебательного звена при 1 * Если корни характеристического уравнения p12 , вычисляемые по формуле (4.4), являются комплексно-сопряженными, (1) 1 2 * p12 j , T T где T 1 , T 1 1 2 – соответственно вещественная и мнимая части, то свободная составляющая принимает следующий вид: yс (t ) C1e t cos t C 2 e t sin t , или с учетом вынужденной компоненты y (t ) yв (t ) yс (t ) k C1e t cos t C 2 e t sin t , y (t ) C1 e t cos t С1e t sin t С 2 e t sin t С 2 e t cos t , где C1, C2 – постоянные интегрирования, определяемые как C1 k , C 2 1C1 1k . 75 В итоге процессы изменения во времени y (t ) при единичном ступенчатом и импульсном воздействиях описываются следующими законами: h(t ) k ket cos t et k t ( cos t sin t ) , e sin t k 1 k w(t ) h(t ) et ( )cos t (2 2 )sin t k ( 2 2 ) t e sin t . Переходную функцию можно также преобразовать к зависимости только от одной тригонометрической функции, воспользовавшись методом дополнительных углов: 2 2 t cos t sin t . h(t ) k 1 e 2 2 Как нетрудно заметить из последнего равенства, коэффициенты перед cos t и sin t связаны между собой на основании равенства 2 2 1, 2 2 2 2 в результате чего их можно считать соответственно синусом и косинусом некоторого дополнительного угла , который находится как arcsin 2 2 arccos 2 2 arctg . Таким образом, при использовании формулы синуса с аргументом в виде суммы двух углов окончательно получаем: 2 2 t h (t ) k 1 e sin( t ) , 76 или применительно к весовой функции: k ( 2 2 ) t d et w(t ) h(t ) k k ( cos t sin t ) e sin t , dt т. е. переходная характеристика колебательного звена при 1 представляет собой затухающие гармонические колебания, период которых зависит от мнимой составляющей , а степень демпфирования амплитуды от величины вещественной части (рис. 4.15). h(t ) hmax A1 A2 h() Tk 0 t tmax Рис. 4.15. Переходная характеристика колебательного звена при комплексно-сопряженных корнях В соответствии с рис. 4.15 можно записать следующие равенства: Tk 2 , A1 A21 e Tk , откуда 1 2 2 , T Tk A 1 1 ln 1 ln . T Tk A2 Tk Если коэффициент демпфирования колебательного звена равен 0, то в этом случае передаточная функция примет вид W ( p) k 2 2 T p 1 77 и будет соответствовать консервативному звену второго порядка, корнями D( p) которого является пара чисто мнимых чисел: * p12 j j 1 . T По аналогии с вышеизложенным решение дифференциального уравнения второго порядка записывается в следующем виде: y(t ) yв (t ) yс (t ) k C1 cos t C2 sin t , y (t ) С1 sin t С2 cos t , откуда постоянные интегрирования при нулевых начальных условиях C1 k , C2 0 . В итоге переходная функция подчиняется формуле t t t h(t ) k 1 cos t k 1 cos 2k sin 2 2k sin 2 , T 2 2T а весовая функция находится как t t w(t ) h(t ) 4 k sin cos 2 2 2 k 2sin t t k t cos k sin t sin . 2 2 T T Как видно из графической зависимости h(t ) (рис. 4.16), на выходе консервативного звена при единичном ступенчатом входном воздействии возникают незатухающие гармонические колебания со следующими параметрами: – амплитуда колебаний со смещением относительно продольной оси времени на величину коэффициента k : Ak k ; – период колебаний: Tk 2 2T . 78 Рис. 4.16. Переходная характеристика консервативного звена Построение частотных характеристик колебательного звена базируется на следующем комплексном коэффициенте передачи: W ( j) W ( j) W ( j) k 2 2 T j2T 1 , 1 T 22 j2T k T 22 j2T 1 1 T 22 j2T k (1 T 22 ) (1 T 22 )2 (2T )2 j , 2k T (1 T 22 )2 (2T )2 , откуда P() k (1 T 22 ) 2 2 2 (1 T ) (2T ) A() 2 , Q () 2k T 2 2 2 (1 T ) (2T ) 2 k 2 2 2 (1 T ) (2T ) 2 , 2T при T 1 , () arctg 2 2 1 T () arctg 2T при T 1. 1 T 2 2 79 , Графики АФЧХ при различных значениях изображены на рис. 4.17. Im k 0 Re () 0 A() 1 2 1 2 Рис. 4.17. АФЧХ колебательного звена При переходе к логарифмическому масштабу аналитическое выражение для ЛАЧХ будет иметь следующий вид: L() 20lg A() 20lg k 20lg (1 T 22 )2 (2T )2 L1 () L2 () . По аналогии с апериодическим звеном получим выражение для построения асимптотической ЛАЧХ, предварительно проанализировав вторую составляющую: L2 () 20lg (1 T 22 )2 (2T )2 10lg (1 T 22 ) 2 (2T )2 . (4.5) В области малых частот с достаточной степенью точности можно считать, что 1 T 22 , вследствие чего L2 () 20lg1 0, и первая асимптотическая прямая имеет наклон 0 дБ/дек, проходя параллельно продольной оси lg с амплитудой L() L1() 20lg k . При существенных частотах, для которых справедливы неравенства вида T 22 1 и T 2 2 2 , второе слагаемое определяется как 80 L2 () 10lg T 44 (2T )2 10lg T 2 2 (T 2 2 2) , L2 () 10 lg T 4 4 40 lg T , откуда наклон L2 () за декаду будет равен 40lg T10* 40lg T * 40lg 10T * 40lg10 40дБ . T * Таким образом, ЛАЧХ колебательного звена в диапазоне 0,5 1 , как это видно из рис. 4.18, можно заменить двумя асимптотическими прямыми с наклонами 0 дБ/дек и –40 дБ/дек соответственно, которые подчиняются выражениям 20lg k при T 1, L() 20lg k 40lg T при T 1. Рис. 4.18. АЧХ и ФЧХ колебательного звена в логарифмическом масштабе 81 Оценим максимальное отклонение точной ЛАЧХ от асимптотической для случая 1 , исследовав на экстремум L2 () вида (4.5): L2 () (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2 , L2 () 1 2T 2 2 T 4 4 4T 2 2 2 0 , 4T 2 4T 4 3 8T 2 2 4T 2 T 2 2 22 1 0 , откуда при положительном значении резонансной частоты 1 22 1 p сопр . T T Как видно из последней формулы, явно выраженный максимум АЧХ в обычном или логарифмическом масштабах будет иметь место, если выполняется неравенство 0,5 1 2 0,707 . Подставляя найденное значение резонансной частоты p в L2 (), 2 L2 () 10 lg 1 2 4 2 1 2 2 4 2 1 2 2 , L2 () 10lg 44 42 (1 22 ) 10 lg 4 2 (1 2 2 2 ) 20 lg 2 1 2 , окончательно получаем наибольшее отклонение ЛАЧХ от первой асимптотической прямой L1() 20lg k : H max (p ) 20 lg 2 1 2 20 lg 82 1 2 1 2 , которое в первом приближении можно также оценить на частоте сопряжения сопр T 1 , на которой L2 () 20lg 42 20lg 1 , 2 откуда H (сопр ) 20lg 1 . 2 При коэффициентах демпфирования 1 , что соответствует различным или кратным отрицательным вещественным корням характеристического уравнения, колебательное звено, носящее название апериодического звена второго порядка, можно разложить на два апериодических в соответствии со следующими формулами: W ( p) где T1 p1* 1 k 2 2 T p 2Tp 1 11 , T2 p2* 1 k , (T1 p 1)(T2 p 1) 21 – постоянные времени, при- чем в случае T1 T2 ЛАЧХ будет иметь три асимптотические прямые с наклонами 0, – 20, –40 дБ/дек, которые сопрягаются на частотах сопр1 T11 и сопр2 T21 (рис. 4.19). L() 20 20 lg k 40 lg 0 1 сопр 2 T21 сопр1 T1 Рис. 4.19. ЛАЧХ колебательного звена при 1 83 Детализированная структурная схема колебательного звена (рис. 4.20) получается из исходного дифференциального уравнения (4.3), которое в операторной форме записи преобразуется к виду p2 y u () k () 1 T2 1 T2 (ku 2Tpy y) . p2 y 1 p py 1 p y 2T Рис. 4.20. Детализированная структурная схема колебательного звена Параметры переходной характеристики при 1 однозначно определяются численными значениями коэффициента демпфирования и постоянной времени. Так, например, учитывая, что затухание h(t ) зависит от показателя степени экспоненты t 2 2 t 1 e e T , 1 2 то по аналогии с апериодическим процессом время вхождения в пяти процентную зону от установившегося значения h() (время регулирования) можно определить следующим образом: 0,05 1 , t ln 2 T 0,05 1 1 1 2 t e T , T tp ln 0,05 1 2 , 84 или окончательно для диапазона изменения коэффициента демпфирования 0,05 0,9 tp (34)T . Время достижения первого максимума hmax определяется из экстремума переходной функции по времени: k ( 2 2 ) t h (t ) w(t ) e sin t 0 , откуда с учетом того, что при tmax данное равенство будет иметь место только в случае sin t 0 , или иначе t , окончательно получаем tmax T . 2 1 В силу того что период затухающих колебаний составляет Tk 2 , величина tmax равна его половине T tmax k , 2 в результате чего после подстановки tmax в переходную функцию et ( cos t sin t ) , h(t ) k 1 85 (4.6) окончательно получаем 2 hmax h(tmax ) k 1 e k 1 e 1 . Пример 4.4. Рассмотрим линеаризованную математическую модель двигателя постоянного тока независимого возбуждения при общепринятых допущениях (см. пример 1.1). Анализ электромеханических процессов будет производиться при постоянстве магнитного потока Ф const , что позволяет исключить из дальнейшего рассмотрения канал намагничивания. На основании второго закона Кирхгофа уравнение электрического равновесия напряжений обмотки якоря имеет вид uя Rя iя Lя diя di eв Rя iя Lя я cФ , dt dt где u я , iя – напряжение и ток обмотки якоря; eв – ЭДС, наведенная в обмотке в результате вращения якоря; Rя , Lя – активное сопротивление и индуктивность обмотки; – угловая скорость вала двигателя (якоря); Ф – магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения; c – конструктивный коэффициент, зависящий от числа активных проводников и пар полюсов, а также параллельных ветвей обмотки якоря. Математическое описание механического движения основывается на уравнении Лагранжа второго рода. Учитывая то, что вращение вала осуществляется относительно неподвижной оси, все приложенные векторные моменты будут направлены вдоль нее и поэтому при дальнейшем анализе можно перейти к скалярным величинам. При постоянстве суммарного момента инерции J const уравнение движения имеет следующий вид: J d M e M c cФiя M c , dt где M e – электромагнитный момент двигателя; M c – приведенный к валу двигателя момент сопротивления нагрузки, в результате чего после его приведения к виду iя J d 1 Mc cФ dt cФ 86 и последующей подстановки тока якоря в уравнение электрического равновесия становится справедливым u я сФ JRя d Rя L d 2 dМ с М с я J 2 сФ dt сФ сФ dt dt . После преобразований последнего равенства путем объединения в левой части всех слагаемых, содержащих угловую скорость и ее производные, а также приведение коэффициента перед к единице окончательно получаем JLя d 2 2 (сФ) dt 2 JRя d u Lя dM c Rя я Mc . 2 2 dt с Ф dt (сФ) (сФ) (сФ) 2 Использование понятия постоянной времени и коэффициента передачи приведет к тому, что последнее дифференциальное уравнение в операторной форме примет следующий вид: (Т яТ м p 2 Т м p 1) kдв uя kм (Tя p 1) М с , 2 – электромеханическая постоянная времени, с; Т я где Тм JRя (сФ) Lя Rя1 – электромагнитная постоянная времени, с; kдв (сФ)1 – коэффи1 2 циент передачи по управляющему воздействию, (B c) ; kм Rя (сФ) – ко2 1 эффициент передачи по возмущающему воздействию, (A B c ) , или иначе D( p) Gu ( p)uя G f ( p)M c , 2 где D( p) Т яТм p Тм p 1 – собственный линейный дифференциальный оператор; Gu ( p) kдв , G f ( p) kм (Tя p 1) – входные линейные дифференциальные операторы соответственно по управляющему и возмущающему воздействиям. Воспользовавшись определением передаточной функции, можно заключить, что математическая модель двигателя постоянного тока независимого возбуждения по управляющему и возмущающему воздействию имеет следующий вид: kдв 2 Т яТ м p Т м p 1 uя 87 kм (Т я p 1) Т яТ м p 2 Т м p 1 Mc , т. е. динамические свойства канала образования момента, в котором управляющим воздействием является uя , соответствуют типовому колебательному звену со следующими параметрами: k kдв (сФ) 1 , 0,5 Т мТ я1 0,5 , T Т яТ м . 4.5. ИДЕАЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО Идеальное дифференцирующее звено описывается следующим дифференциальным уравнением первого порядка: yk du , dt или в операторной форме записи: y kpu , откуда передаточная функция находится как W ( p ) kp . После замены в W ( p) оператора дифференцирования p на j W ( j ) 0 jk jk k e j 90 , (4.7) АФЧХ примет вид, изображенный на рис. 4.21. На основании формулы (4.7) АЧХ (рис. 4.22) представляет собой неограниченно возрастающую прямую A() k , а ФЧХ ( ) 90 , т. е. во всей области частот выходной гармонический сигнал идеального дифференцирующего звена имеет фазовый сдвиг / 2 . ВЧХ и МЧХ (рис. 4.22), в свою очередь, вычисляются по формулам P() 0 , Q () k , 88 A(), Q () Im Q (i ) k const 2 arctgk Re 0 0 Рис. 4.21. АФЧХ идеального дифференцирующего звена Рис. 4.22. АЧХ и МЧХ идеального дифференцирующего звена а частота среза c 1 . k АЧХ в логарифмическом масштабе имеет две составляющие: L() 20lg A() 20lg k 20lg , вследствие чего ЛАЧХ во всем диапазоне частот имеет наклон +20 дБ/дек, что иллюстрирует рис. 4.23. L(), () 20 () 20 lg k 2 lg 0 c k 1 Рис. 4.23. АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе Учитывая тот факт, что производной от единичного ступенчатого воздействия 1(t ) является дельта-функция Дирака, переходная функция идеального дифференцирующего звена определяется как 89 h (t ) d 1(t ) (t ) , dt а весовая функция w(t ) d (t ) . dt Примером данного типового звена может служить электромеханическое устройство постоянного тока – тахогенератор, в котором выходное напряжение связано с угловым положением на основании дифференциального уравнения d v , uвых k dt F m Рис. 4.24 Упрощенная функциональная схема поршневого гидромотора или поршневой гидравлический двигатель, изображенный на рис. 4.24, в котором усилие F на штоке поршня описывается как dv , F m dt где m – масса груза; v – скорость перемещения штока. 4.6. ФОРСИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ Форсирующее (дифференцирующее) звено первого порядка описывается следующим дифференциальным уравнением: du y k T u, dt которому соответствует передаточная функция вида W ( p) k (Tp 1) . Переходная и весовая функции находятся как h(t ) k T (t ) 1 , w(t ) k T (t ) (t ) , 90 а частотные характеристики на основании оператора Фурье j определяются по формулам W ( j) k ( jT 1) k jkT , P () k , Q() kT , A() k (T )2 1 , () arctgT , L() 20lg A() 20lg k 20lg (T )2 1 L1 () L2 () . График АФЧХ изображен на рис. 4.25. По аналогии с рассмотренными выше звеньями проанализируем вторую составляющую L2 () формулы (4.8), которую в диапазонах частот, удовлетворяющих неравенствам T 22 1 и T 22 1 , можно представить как 0 при 2T 2 1, L2 () 20lg T при 2T 2 1, (4.8) Im A() () 0 0 Re k Рис. 4.25. АФЧХ форсирующего звена первого порядка в результате чего окончательно получаем следующее приближенное выражение для построения ЛАЧХ: 20lg k при T 1 , L() 20lg k 20 lg T при T 1. Наклон второй асимптотической прямой при изменении произвольной частоты * за одну декаду: 20lg10*T 20lg T * 20lg 91 10*T 20lg10 20дБ , *T причем максимальное отклонение между точной и приближенной зависимостями, как и в случае апериодического звена, будет составлять 3,01 дБ на частоте сопряжения сопр T 1 (рис. 4.26). L() 20 3,01 дБ 20 lg k lg 0 () 2 4 сопр 1 T lg 0 Рис. 4.26. ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена первого порядка Примером форсирующего звена первого порядка может служить числитель передаточной функции по угловой скорости вала двигателя постоянного тока независимого возбуждения в случае приложения приведенного момента сопротивления M c (см. пример 4.4). Форсирующее (дифференцирующее) звено второго порядка описывается дифференциальным уравнением вида d 2u du y k T 2 2T u 2 dt dt с передаточной функцией W ( p ) k (T 2 p 2 2Tp 1) , 92 а также переходной и весовой функциями h(t ) k T 2 (t ) 2T (t ) 1 , w(t ) k T 2 (t ) 2T (t ) (t ) . После выполнения соответствующих математических преобразований аналитические выражения для построения частотных характеристик в различных масштабах находятся следующим образом: – АФЧХ (рис. 4.27): W ( j) k 1 T 2 ( j) 2 j 2T k 1 T 22 j 2k T ; – ВЧХ, МЧХ: P ( ) k kT 2 2 , Q() 2k T ; – АЧХ, ФЧХ: A() k 1 T 22 2 4T 222 k T 44 2T 22 (22 1) 1 , 2T при T 1 , arctg 2 2 1 T () 2T при T 1; arctg 2 2 1 T Im сопр T 1 Q(сопр ) 2k 0 0 Re k Рис. 4.27. АФЧХ форсирующего звена второго порядка 93 – ЛАЧХ: L() 20lg A() 20lg k 20lg (1 T 22 )2 (2T )2 , или в случае аппроксимации асимптотическими прямыми по аналогии с колебательным звеном: 20lg k при T 1, . L() 20lg k 40lg T при T 1. L() 40 20 lg k lg 0 () сопр T 1 2 lg 0 Рис. 4.28. ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена второго порядка При этом необходимо помнить, что если коэффициент демпфирования находится вне диапазона 0,5 1 , то при построении ЛАЧХ по последним формулам вблизи частоты сопряжения необходимо корректировать частотную характеристику путем использования специальных номограмм, что иллюстрирует рис. 4.28. 94 4.7. ЗВЕНО ЧИСТОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ Динамическое звено чистого запаздывания описывается уравнением y ku (t ) , где – постоянная времени запаздывания, с, характеризующая задержку в реакции выхода после приложения внешнего воздействия u (t ) , что иллюстрирует рис. 4.29, на котором изображена переходная характеристика, изменяющаяся во времени в соответствии с законом h(t ) k1(t ) , откуда весовая функция находится как w(t ) k (t ) . Передаточная функция данного динамического звена имеет вид W ( p ) ke p , откуда АФЧХ (рис. 4.30): W ( j ) ke j k (cos j sin ) , Im h(t ) k k 0 Re t 0 () τ A() Рис. 4.29. Переходная характеристика звена чистого запаздывания Рис. 4.30. АФЧХ звена чистого запаздывания 95 ВЧХ: P () k cos , МЧХ: Q() k sin . На основании аналитического выражения W ( j) можно записать следующие соотношения для построения АЧХ и ФЧХ (рис. 4.31): A() P2 () Q2 () k 2 cos2 k 2 sin 2 k , sin () arctg arctg( tg) , cos или применительно к ЛАЧХ (рис. 4.32): L() 20lg A() 20lg k . L(), () A(), () k 0 20 lg k arctg lg 0 Рис. 4.31. АЧХ и ФЧХ в обычном масштабе Рис. 4.32. АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе Из последних формул видно, что АЧХ звена чистого запаздывания в обычном или логарифмическом масштабах аналогична АЧХ безынерционного звена, а ФЧХ представляет собой графическую зависимость с неограниченным возрастанием угла при изменении частоты от 0 до . 96 Звеном чистого запаздывания можно описать перемещение груза по транспортерной ленте или, например, процессы наполнения длинного трубопровода. 4.8. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ 4.8.1. Отметьте правильный ответ Консервативное звено описывается: а) алгебраическим уравнением 2-го порядка; б) дифференциальным уравнением 1-го прядка; в) дифференциальным уравнением 2-го прядка; г) алгебраическим уравнением 1-го порядка. 4.8.2. Отметьте правильный ответ График АФЧХ безынерционного звена представляет собой: а) точку на положительной полуоси действительных чисел; б) вектор в первом квадранте комплексной плоскости; в) годограф, начинающийся в начале координат; г) точку на положительной полуоси мнимых чисел. 4.8.3. Отметьте правильный ответ ФЧХ апериодического звена на частоте сопряжения равна: а) / 4 ; в) / 2 ; б) ; г) / 4 . 4.8.4. Отметьте правильный ответ Переходная функция апериодического звена имеет вид: t t k T t T T а) e ; e в) k 1 T T t г) k T (t ) 1 . б) k 1 e T ; 97 ; 4.8.5. Отметьте правильный ответ Выражением k 2 1 применительно к апериодическому звену T описывается: а) частота сопряжения; б) АЧХ; в) частота среза; г) полоса пропускания. 4.8.6. Отметьте правильный ответ Апериодическое звено усиливает входной сигнал на частоте: в) большей частоты среза; а) среза; б) произвольной; г) меньшей частоты среза. 4.8.7. Отметьте правильный ответ Реакция интегрирующего звена на импульсное воздействие изображается в виде графика: а в б г 4.8.8. Отметьте правильный ответ Фазовый сдвиг между входным и выходным гармоническими сигналами интегрирующего звена: а) отсутствует; б) равен / 2 ; в) равен / 2 ; г) изменяется в функции частоты. 98 4.8.9. Отметьте правильный ответ Частоту сопряжения типового динамического звена второго порядка определяет: а) коэффициент демпфирования; б) коэффициент передачи; в) постоянная времени; г) величина 20 lg k . 4.8.10. Отметьте правильный ответ Декремент затухания отвечает: а) за степень демпфирования переходной характеристики; б) за быстродействие переходной характеристики; в) за максимальное значение переходной характеристики; г) за длительность переходного процесса. 4.8.11. Отметьте правильный ответ Наименьшее отклонение точной ЛАЧХ колебательного звена от асимптотической наблюдается на частоте сопряжения, когда коэффициент демпфирования: в) 0,5 ; а) 2 ; б) 1 ; г) 1 . 4.8.12. Отметьте правильный ответ Переходная характеристика колебательного звена, изображенная на рисунке, имеет место при корнях характеристического уравнения: а) чисто мнимых; с б) комплексно-сопряженных отрицательной вещественной частью; в) отрицательных вещественных; г) положительных вещественных. 99 4.8.13. Дополните Колебательное звено, коэффициент демпфирования которого равен нулю, называется __________________. 4.8.14. Отметьте правильный ответ Колебательное звено можно представить в виде двух последовательно соединенных апериодических звеньев, если его коэффициент демпфирования: в) 1 ; а) 1 ; б) 0 ; г) 0 . 4.8.15. Отметьте правильный ответ Переходная характеристика колебательного звена представляет собой незатухающие гармонические колебания при коэффициенте демпфирования: в) 1 ; а) 1 ; б) 0 ; г) 0 . 4.8.16. Отметьте правильный ответ Im k 0 Re () A() АФЧХ, изображенная на рисунке, принадлежит звену: а) интегрирующему; (дифференцируюб) форсирующему щему) первого порядка; в) форсирующему второго порядка; г) чистого запаздывания. 4.8.17. Отметьте правильный ответ Идеальное дифференцирующее звено во всей области частот имеет фазовый сдвиг: г) / 2 . а) / 4 ; б) 0; в) / 2 ; 100 4.8.18. Отметьте правильный ответ На рисунке изображены: а) ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального дифференцирующего звена; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена первого порядка; в) АЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего звена; г) ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена. Ответы: 4.8.1. в); 4.8.2. а); 4.8.3. а); 4.8.4. б); 4.8.5. в); 4.8.6. г); 4.8.7. а); 4.8.8. б); 4.8.9. в); 4.8.10. а); 4.8.11. б); 4.8.12. в); 4.8.13. Консервативным; 4.8.14. а); 4.8.15 б); 4.8.16. г); 4.8.17 г); 4.8.18 а). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Каким типовым динамическим звеном описывается редуктор? Что в этом случае определяет коэффициент передачи? 2. Докажите, что при подаче на вход интегрирующего звена единичного ступенчатого воздействия коэффициент передачи k равен скорости изменения выходной величины. 3. Докажите, что угол наклона ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена равен +20 дБ/дек. 4. Какими передаточными функциями описываются звенья второго порядка? 5. Как можно классифицировать звенья второго порядка в зависимости от величины коэффициента демпфирования? 6. Опишите аналитически частотные характеристики колебательного звена, изобразите их графики. 7. Для каждого изученного типового линейного звена заполните следующую таблицу: 101 Название типового динамического звена Пример реализации звена Дифференциальное уравнение Передаточная функция Выражение для АФЧХ Выражение для ВЧХ Выражение для МЧХ Выражение для АЧХ Выражение для ФЧХ Выражение для ЛАЧХ Переходная функция Весовая функция 102 ГЛАВА 5 СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ САУ В практических расчетах целесообразно рассматривать динамические свойства системы не как влияние на выход ее отдельных узлов, а как совокупность их действия в целом. Для этих целей в ТАУ разработаны аналитические процедуры преобразования структурных схем, позволяющих представить САУ одним эквивалентным звеном соответствующего порядка. 5.1. ОБЩАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ Существует три основных способа соединения звеньев в составе структурной схемы САУ: последовательное, параллельное и соединение с обратной связью. 1. При последовательном соединении звеньев (рис. 5.1) общая передаточная функция определяется в соответствии с нижеследующим дифференциальным уравнением в операторной форме записи y W2 ( p) x W2 ( p)W1( p)u и находится как произведение передаточных функций всех последовательно включенных элементов: Wпос ( p) W1( p)W2 ( p) , или, обобщая на n -мерный случай, n Wпос ( p) Wi ( p) . i 1 103 2. При параллельном соединении звеньев (рис. 5.2) выходная переменная y связана с входным воздействием u на основании промежуточного равенства y x1 x2 W1 ( p)u W2 ( p)u W1 ( p ) W2 ( p ) u , где знак « » применим к положительной связи, а «–» к отрицательной. u u W1 ( p ) x W2 ( p ) W1( p) y W2 ( p) Рис. 5.1. Структурная схема при последовательном соединении звеньев u () x W1 ( p) x1 y () x2 Рис. 5.2. Структурная схема при параллельном соединении звеньев В итоге окончательно получаем y Wпар ( p) W1 ( p) W2 ( p) , или применительно к n звеньям W2 ( p) n Рис. 5.3. Структурная схема при соединении звеньев с отрицательной или положительной обратной связью Wпар ( p) Wi ( p) . i 1 3. При охвате звена обратной связью (рис. 5.3), которая может быть как положительной, так и отрицательной, справедливы выражения y W1 ( p ) u x W1 ( p ) u W2 ( p ) y , 1 W1 ( p)W2 ( p) y W1 ( p)u . С учетом последнего соотношения передаточная функция в замкнутом состоянии вычисляется как Wзам ( p) W1 ( p) , 1 W1 ( p)W2 ( p) 104 или в общем случае Wзам ( p ) Wпр ( p ) 1 Wпр ( p )Wос ( p ) , где Wпр ( p) – общая передаточная функция звеньев в прямом канале; Wос ( p) – общая передаточная функция звеньев в канале обратной связи, причем знак « » относится к отрицательной обратной связи, а «–» к положительной. Помимо Wзам ( p) при данном способе соединения также используется передаточная функция в разомкнутом состоянии: Wраз ( p) W1 ( p )W2 ( p ) Wпр ( p)Wос ( p ) , которая получается при выборе в качестве выхода системы места обрыва обратной связи возле узла суммирования (на рис. 5.3 две волнистые линии). Так, например, при обратной связи с Wос ( p) 1 становится справедливым Wзам ( p) Wпр ( p) 1 Wраз ( p) , а при единичной обратной связи Wос ( p) 1 Wзам ( p) Wраз ( p) 1 Wраз ( p) . Пример 5.1. Воспользовавшись математической моделью двигателя постоянного тока независимого возбуждения из примера 4.4, рассмотрим приведенные выше правила структурного преобразования для данного объекта, структурная схема которого изображена на рис. 5.4. Общая передаточная функция по управляющему воздействию uя представляет собой последовательное соединение звеньев в прямом канале с последующим их охватом безынерционной отрицательной обратной связью с коэффициентом передачи сФ , в результате чего получаем: 105 cФ cФ Mc uя ( ) 1 / Rя Tя p 1 iя Me () 1 Jp cФ Рис. 5.4. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения u Wзам ( p) u Wзам ( p) Wпр ( p ) 1 Wраз ( p ) cФ JpRя (Tя p 1) (cФ) 2 cФ JpRя (Tя p 1) (cФ) 2 1 JpRя (Tя p 1) , cФ 1 JRяTя (cФ) 2 p2 JRя (cФ) 2 , p 1 или с учетом принятых в примере 4.4 обозначений u ( p) Wзам kдв 2 Т яТ м p Т м p 1 . По аналогии далее получим передаточную функцию объекта в замкнутом состоянии по возмущающему воздействию M c , полагая при этом uя 0 : 1 Rя (Tя p 1) Jp f Wзам ( p) , 1 Wраз ( p ) JpRя (Tя p 1) (cФ) 2 (cФ) 2 1 JpRя (Tя p 1) Wпр ( p) f Wзам ( p) Rя (Tя p 1)(cФ)2 kм (Т я p 1) , JRяTя 2 JRя Т яТ м p 2 Т м p 1 p p 1 (cФ)2 (cФ)2 106 в результате угловая скорость якоря при одновременном приложении двух внешних воздействий будет описываться следующим дифференциальным уравнением в операторной форме записи: u f Wзам ( p )uя Wзам ( p)М с , или в развернутом виде kдв 2 Т яТ м p Т м p 1 uя kм (Т я p 1) Т яТ м p 2 Т м p 1 Mc . Таким образом, при использовании правил структурного преобразования получаются такие же передаточные функции двигателя постоянного тока независимого возбуждения, что и ранее в примере 4.4. 5.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРАВИЛА СТРУКТУРНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ САУ В некоторых случаях не всегда удается преобразовать исходную систему к эквивалентной на основании рассмотренных выше правил из-за наличия перекрестных связей между входами и выходами динамических звеньев. По этой причине используют дополнительные правила переноса узлов или сумматоров, основанные на неизменности передаточной функции между входным и выходным сигналами. Рассмотрим в качестве примера перенос узла «а» (рис. 5.5) влево и вправо от исходного расположения. u W1 ( p ) y a W2 ( p ) x Рис. 5.5. Исходная структурная схема Как видно из рис. 5.6, а и б, общая передаточная функция между выходом y и входом u остается неизменной после структурного преобразования исходной схемы. По аналогии можно также изменять расположение сумматора в составе САУ, что иллюстрируют рис. 5.7 и 5.8. 107 u x W1 ( p ) y W2 ( p ) u W1 ( p ) y x W2 ( p ) W1 ( p ) W21 ( p ) x x а б Рис. 5.6. Структурные схемы с переносом переменной x f y u W1 ( p ) W2 ( p ) Рис. 5.7. Исходная структурная схема с сумматором f f W11 ( p ) u W2 ( p ) y W1 ( p ) W2 ( p ) u y W1 ( p ) а W2 ( p ) б Рис. 5.8. Преобразованные структурные схемы с переносом сумматора Как показано на рис. 5.7 и 5.8, данные структурные схемы являются эквивалентными, так как для них справедливы следующие равенства: y W2 ( p)(W1 ( p)u f ) , y W1 ( p )W2 ( p )(u W11 ( p ) f ) W2 ( p )(W1 ( p )u f ) , y W1( p)W2 ( p)u W2 ( p) f W2 ( p)(W1( p)u f ) . 108 Пример 5.2. На рис. 5.9 изображена структурная схема объекта управления, которая из-за наличия перекрестных связей не поддается прямому преобразованию, по причине чего воспользуемся дополнительными правилами. Первоначально осуществляется перенос узла «а» на вход звена с передаточной функцией W1 ( p ) , в результате чего структурная схема примет вид, представленный на рис. 5.10. W4 ( p ) u W1 ( p) а ( ) W2 ( p ) y W3 ( p ) W5 ( p ) Рис. 5.9. Структурная схема с перекрестными связями W1 ( p ) u W4 ( p ) () W2 ( p ) W1 ( p ) y W3 ( p ) W5 ( p ) Рис. 5.10. Структурная схема с переносом точки разветвления Далее, воспользовавшись основными правилами структурного преобразования, эквивалентная передаточная функция находится как (рис. 5.11 и 5.12) W14 ( p) W1( p)W4 ( p) , W125 ( p) W1( p)W2 ( p) W5 ( p) , W12345 ( p) W125 ( p)W3 ( p) W14 ( p) . W14 ( p ) u u () W125 ( p ) y W3 ( p) Рис. 5.11. Промежуточная структурная схема 109 W12345 ( p ) y Рис. 5.12. Преобразованная структурная схема 5.3. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛАЧХ СИСТЕМЫ В РАЗОМКНУТОМ СОСТОЯНИИ Довольно часто при решении практических задач анализа и синтеза САУ необходимо использовать частотные характеристики системы в разомкнутом состоянии. Так как любую передаточную функцию можно разложить на более простые сомножители первого или второго порядка, т. е. представить ее в виде последовательно соединенных типовых динамических звеньев, то частотные характеристики полученной цепи наиболее просто строятся в логарифмическом масштабе: n n i 1 i 1 Lраз () 20lg Ai () Li () , где Li () – ордината ЛАЧХ динамического звена, находящегося в прямом канале САУ или канале обратной связи. Если в исходной САУ присутствуют только типовые звенья, то с приемлемой инженерной точностью при построении ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии можно перейти от точных аналитических формул к приближенным зависимостям. В этом случае наклон низкочастотной зоны будет определяться как разность порядков интегрирующих и идеальных дифференцирующих звеньев, а если таковые отсутствуют, то она будет представлять собой прямую, параллельную оси lg с амплитудой Lнч () 20lg kраз , n где kраз ki – коэффициент передачи САУ в разомкнутом состоянии. i 1 В дальнейшем в зависимости от конкретных значений постоянных времени, отвечающих за соответствующие частоты сопряжения, асимптотические прямые ЛАЧХ изменяют свой наклон. При этом необходимо помнить, что для типовых звеньев второго порядка с коэффициентами демпфирования 0,5 и 1 требуется скорректировать частотную характеристику вблизи точки излома. Пример 5.3. Построить асимптотическую ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии, структурная схема которой изображена на рис. 5.13, для случая, когда T2 T3 и 1 . 110 u k1 p () k 2 (T22 p 2 2T2 p 1) y k4 p k3 T3 p 1 Рис. 5.13. Исходная САУ в замкнутом состоянии L() 40 4 20 lg ki 20 i 1 lg сопр 2 T21 0 сопр3 T31 Рис. 5.14. Асимптотическая ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии с lg по оси абсцисс Рис. 5.15. Асимптотическая ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии с использованием логарифмического масштаба 111 Как видно из рис. 5.14 и 5.15, начальный наклон низкочастотного участка ЛАЧХ определяется двумя интегрирующими звеньями с общим коэффициентом передачи kраз k1k2 k3 k4 . На частоте сопряжения сопр2 T21 у форсирующего звена второго порядка происходит излом в ЛАЧХ на +40 дБ/дек, вследствие чего частотная характеристика системы в разомкнутом состоянии становится параллельной оси абсцисс. При дальнейшем увеличении и достижении значения сопр3 T31 , происходит деформация ЛАЧХ апериодического звена и Lраз () ослабляется на –20 дБ/дек. L() 40 4 20 lg ki i 1 сопр3 T31 lg 0 T 1 60 сопр2 2 20 Рис. 5.16. Асимптотическая ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии при выполнении неравенства T3 T2 Если в рассматриваемой линейной САУ постоянная времени форсирующего звена меньше, чем аналогичный параметр у апериодического, т. е. T3 T2 , то асимптотическая ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии примет вид, изображенный на рис. 5.16. 112 5.4. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ 5.4.1. Дополните Соединение звеньев, при котором их эквивалентная передаточная функция находится как сумма передаточных функций отдельных звеньев с соответствующим знаком, называется __________________. 5.4.2. Отметьте правильный ответ Эквивалентная передаточная функция для структурной схемы, изображенной на рисунке, определяется выражением: а) W1( p) W2 ( p) ; б) W1 ( p) ; 1 W1 ( p)W2 ( p) в) W1 ( p) ; 1 W1 ( p)W2 ( p ) u () x W1 ( p ) y W2 ( p) г) W1( p) W2 ( p). 5.4.3. Отметьте правильный ответ Структурная схема САУ, изображенная на рисунке, после переноса узла «а» на выход звена с передаточной функцией W2 ( p) примет вид: а 113 б в г 5.4.4. Отметьте правильный ответ Передаточная функция САУ, структурная схема которой изображена на рисунке, после переноса узла «а» на выход звена с W2 ( p) примет вид: а) W2 ( p) ; 1 W1 ( p)W2 ( p) б) W2 ( p ) ; 1 W1 ( p )W2 ( p) 114 в) W2 ( p ) ; 1 W1 ( p ) W2 ( p ) г) W2 ( p ) . W2 ( p ) W1 ( p )W2 ( p ) 2 5.4.5. Отметьте правильный ответ САУ, структурная схема которой изображена на рисунке, описывается передаточной функцией вида: а) W1 ( p)W2 ( p)W3 ( p) ; 1 W1 ( p)W2 ( p)W4 ( p) W2 ( p)W3 ( p) б) W1 ( p)W2 ( p)W3 ( p) ; 1 W1 ( p)W2 ( p)W4 ( p) W2 ( p)W3 ( p) в) W1 ( p)W2 ( p)W3 ( p) ; 1 W1 ( p)W2 ( p)W3 ( p)[1 W4 ( p)] г) W1 ( p)W2 ( p)W3 ( p) . 1 W1 ( p)W2 ( p)[W3 ( p) W4 ( p)] 5.4.6. Отметьте правильный ответ Передаточная функция САУ, структурная схема которой показана на рисунке, имеет вид: 115 W1 ( p)W2 ( p) W3 ( p) ; 1 W1 ( p)W2 ( p) W3 ( p) W1 ( p)W2 ( p) W3 ( p) б) ; 1 W1 ( p)W2 ( p) W3 ( p) [W1 ( p) W2 ( p)]W3 ( p) в) ; 1 [W1 ( p) W2 ( p)]W3 ( p) г) W1( p)W2 ( p) W3 ( p) 1 . а) 5.4.7. Отметьте правильный ответ Наклон низкочастотной асимптотической прямой ЛАЧХ системы, структурная схема которой изображена на рисунке, составляет, дБ/дек: а) +20; б) –20; в) 0; г) –40. 5.4.8. Отметьте правильный ответ Частота сопряжения ЛАЧХ САУ, структурная схема которой изоб- 1 ражена на рисунке, составляет, с : а) 0,01; б) 40; в) 2; г) 100. 5.4.9. Отметьте правильный ответ ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии, структурная схема которой изображена на рисунке, имеет вид: 116 а б в г 5.4.10. Отметьте правильный ответ ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии, структурная схема которой изображена на рисунке, имеет вид: а б 117 в г Ответы: 5.4.1. Параллельным; 5.4.2. в); 5.4.3. г); 5.4.4. в); 5.4.5. б); 5.4.6. а); 5.4.7. б); 5.4.8. г); 5.4.9. а); 5.4.10. в). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Как определяется эквивалентная передаточная функция системы при последовательном и параллельном соединениях динамических звеньев? 2. Изобразите структурные схемы параллельного соединения двух звеньев и соединения с отрицательной обратной связью. 3. Как записывается передаточная функция системы при единичной обратной положительной связи? 4. Как изменится исходная структурная схема при переносе сумматора через звено по направлению действия сигнала? 5. От чего зависит наклон низкочастотной асимптотической прямой ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии? 6. Как определяется частота сопряжения? 7. Как оценить наклон ЛАЧХ разомкнутой САУ в области высоких частот? 118 ГЛАВА 6 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ Одним из центральных вопросов при анализе систем в теории автоматического управления является задача определения устойчивости. Под устойчивостью понимается способность системы самостоятельно приходить к последующему установившемуся состоянию после приложения внешнего воздействия, которое вывело ее из исходного положения равновесия. Как следует из решения обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего динамику линейной непрерывной САУ, переходный процесс будет затухать, если с течением времени свободная составляющая будет стремиться к нулю: lim yc (t ) 0 , t (6.1) или, в противном случае, при расходящемся процессе: lim yc (t ) . t (6.2) Предельное равенство (6.1) соответствует устойчивой системе (рис. 6.1, а), равенство (6.2) – неустойчивой (рис. 6.1, б), а если выходная переменная изменяется во времени по гармоническому закону, то система находится на границе устойчивости. Последние два режима являются неработоспособными, так как не отвечают целям управления объектом, заключающимся в придании ему некоторого желаемого конечного состояния. 119 а б Рис. 6.1. Переходная характеристика устойчивой и неустойчивой линейных систем Применительно к переходным характеристикам устойчивость выражается предельным требованием: lim h(t ) k . t Большой вклад в решение данной задачи внес русский ученый Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918), который в 1892 г. в своей работе «Общая задача об устойчивости движения» впервые сформулировал строгое определение устойчивости, используемое как основное и в настоящее время. 6.2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ПО КОРНЯМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Проанализируем влияние корней характеристического уравнения обыкновенного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, представленного в операторной форме записи D ( p ) a0 p n a1 p n 1 an 1 p an 0, (6.3) на свободную составляющую выходной переменной, которая в общем виде вычисляется как 120 n n i 1 i 1 * yc (t ) yci (t ) Ci e pi t , где Ci – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий; pi* – корень характеристического уравнения. В зависимости от численных значений коэффициентов ai корни могут быть вещественными, комплексно-сопряженными, чисто мнимыми или нулевыми. Рассмотрим более подробно перечисленные ситуации. 1. Корни отрицательные вещественные: yci (t ) Ci e i t . pi* i , В этом случае с течением времени экспонента будет затухать с интенсивностью, определяемой величиной i , а свободная составляющая будет асимптотически стремиться к нулю (рис. 6.2): yc (t ) 0 , t т. е. линейная непрерывная САУ является устойчивой. 2. Корни положительные вещественные: pi* i , откуда yci (t ) Ci e i t . Как нетрудно заметить из последнего равенства, при t свободная составляющая увеличивается (рис. 6.3) и амплитуда выходной переменной y (t ) возрастает, т. е. линейная система является неустойчивой. 3. Комплексно-сопряженные корни с отрицательной вещественной частью: pi*,i 1 j , yci ,i 1 (t ) Ci e ( j)t Ci 1e ( j)t e t Ci e j t Ci 1e j t . 121 yci yci Ci Ci t 0 t 0 Рис. 6.2. Свободная составляющая при отрицательном вещественном корне Рис. 6.3. Свободная составляющая при положительном вещественном корне Для преобразования последнего равенства в более удобную для анализа форму запишем функцию комплексной переменной в тригонометрическом виде: yci,i 1 (t ) et Ci cos t jCi sin t Ci 1 cos(t ) jCi 1 sin( t ) . В результате с учетом того, что вещественная и мнимая части одновременно удовлетворяют решению однородного дифференциального уравнения, окончательно получаем: yci ,i 1 (t ) e t Ci Ci 1 cos t j Ci Ci 1 sin t , или на основании метода дополнительных углов: yci,i 1 (t ) 2 Ci2 Ci21 e cos t sin t , 2 Ci2 Ci21 2 Ci2 Ci21 t Ci Ci 1 Ci Ci 1 yc i ,i 1 (t ) 2 Ci2 Ci21 et (sin cos t cos sin t ) Ae t sin( t ) , 122 где A, – некоторый коэффициент и фазовый сдвиг, зависящие от постоянных интегрирования Ci и Ci1 : A 2 Ci2 Ci21 Ci Ci 1 arcsin 2 Ci2 Ci21 , Ci Ci 1 arccos 2 Ci2 Ci21 C Ci 1 arctg i , Ci Ci 1 причем при t 0 yci ,i 1 (t ) Ae0 sin( 0 ) Ci Ci 1 2 sin arcsin Ci Ci 1 . 2 Ci2 Ci21 Как видно из рис. 6.4, временная зависимость моды представляет собой затухающие гармонические колебания, амплитуда которых определяется вещественной частью , а частота (период) – мнимой . Ci2 Ci21 Рис. 6.4. Свободная составляющая выходной переменной при комплексно-сопряженных корнях с отрицательной вещественной частью 123 4. Комплексно-сопряженные корни с положительной вещественной частью: pi*,i 1 j , yci ,i 1 (t ) Ci e( j)t Ci 1e( j)t Aet sin(t ) . Как и в предыдущем случае, свободная составляющая будет представлять собой гармонический сигнал, который при t будет возрастать по амплитуде в соответствии с экспоненциальным законом, в результате чего линейная непрерывная САУ становится неустойчивой (рис. 6.5). Рис. 6.5. Свободная составляющая выходной переменной при комплексно-сопряженных корнях с положительной вещественной частью 5. Пара чисто мнимых корней: pi*,i 1 j , yci,i 1 (t ) Ci e jt Ci 1e jt A sin(t ) , где A, – амплитуда и фазовый сдвиг соответственно, зависящие от численных значений Ci и Ci1 . В данном случае мода представляет собой незатухающие автоколебания (рис. 6.6), период которых определяется по формуле (4.6), что соответствует границе устойчивости. 124 yci ,i 1 Ci Ci 1 t 0 Tk 2 Рис. 6.6. Свободная составляющая решения дифференциального уравнения при паре чисто мнимых корней 6. Нулевой корень, который равен pi* 0 , yci (t ) Ci e 0t Ci . Как видно из рис. 6.7, свободная составляющая не изменяется в переходном процессе и определяется постоянной интегрирования Ci . yci Ci t 0 Рис. 6.7. Свободная составляющая при нулевом корне Наличие одного нулевого корня свидетельствует об отсутствии свободного члена an в характеристическом уравнении (6.3), которое в данном случае будет иметь следующий вид: ( a0 p n 1 a1 p n 2 an 1 ) py 0 . 125 Из последнего равенства следует, что система анализируется на устойчивость применительно к первой производной выхода py и является независимой (нейтральной) относительно выходной переменной y , по причине чего САУ является нейтрально устойчивой. Вышеизложенное иллюстрирует основное условие устойчивости в линейной области, которое формулируется следующим образом: для устойчивости линейной непрерывной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. В том случае, когда данное требование не выполняется, возможны следующие ситуации: – если в характеристическом уравнении имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то линейная непрерывная САУ является неустойчивой; – если среди всех корней D( p) с отрицательной вещественной частью присутствует пара чисто мнимых, то САУ находится на границе устойчивости; – если характеристическое уравнение имеет один или несколько нулевых корней при остальных с отрицательной вещественной частью, то САУ является нейтрально устойчивой. Im p3* p7* p5* p1* p9* * * p10 p11 * p12 Re 0 p6* p2* p8* p4* Рис. 6.8. Пространственное расположение корней на комплексной плоскости 126 Параметры линейной системы, такие как коэффициенты передачи или постоянные времени, при которых САУ находится на границе устойчивости, называются граничными (критическими). Как видно из рис. 6.8, на котором изображен корневой портрет, для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни pi* располагались слева от мнимой оси, или иначе, были «левыми». * Если корни D( p) находятся справа от поперечной оси p7* , p8* , p12 , то САУ неустойчива. При наличии пары чисто мнимых корней p5* , p6* с остальными «левыми» система находится на границе устойчивости, а * САУ является нейтрально устойчивой, причем при нулевом корне p11 более удаленным корням от начала координат соответствуют более быстрые моды yci (t ) . 6.3. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Проанализируем, какому требованию должна удовлетворять линейная непрерывная САУ, чтобы протекающий в ней переходный процесс был сходящимся к некоторому установившемуся значению. Если характеристическое уравнение задано в виде (6.3), то его можно разложить на произведение множителей первого порядка: D ( p ) a0 p p1* p p2* p pn*1 p pn* 0 . Допустим, что все корни являются отрицательными и вещественными: pi* i , тогда D( p) a0 ( p 1)( p 2 )( p n1)( p n ) 0 . После раскрытия скобок в последнем равенстве все коэффициенты будут положительными, в противном случае, если есть один или несколько «правых» вещественных корней ( p 1 )( p 2 ) p 2 ( 2 1 ) p 1 2 , 127 или ( p 1 )( p 2 ) p 2 ( 1 2 ) p 1 2 , то появится хотя бы один отрицательный коэффициент в D( p) . При комплексно-сопряженных корнях с отрицательной вещественной частью pi*,i 1 j элементарные скобки преобразуются к виду ( p j)( p j) p 2 2 p 2 2 ( j j)( p ) ( p ) 2 2 , что опять приводит к выполнению условия ai 0 , а при положительной вещественной части pi*,i 1 ( p j)( p j) p 2 2 p 2 2 будет один отрицательный коэффициент. Таким образом, необходимым условием устойчивости линейных непрерывных систем (условие словацкого профессора Ауреля Болеслава Стодолы (Aurel Stodola, 1859–1942)) является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: ai 0 , причем все вещественные корни, если они есть, будут отрицательны. Если данное требование не соблюдается, то линейная непрерывная САУ является неустойчивой. В противном случае сделать однозначный вывод об устойчивости нельзя, так как в случае пары чисто мнимых корней ( p j)( p j) p 2 2 также имеет место ai 0 . 128 6.4. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Непосредственное нахождение корней характеристического уравнения, имеющего порядок больше четырех, сопряжено со значительными вычислительными трудностями. По этой причине были разработаны методы анализа устойчивости линейных непрерывных САУ, которые позволяют сделать вывод о качественном характере переходных процессов путем косвенной оценки знака вещественной части pi* . Критериями устойчивости называются теоремы, позволяющие исследовать устойчивость без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения, которые подразделяются на алгебраические и частотные. Как следует из названий критериев, первые оперируют с коэффициентами D( p) , а вторые, имеющие простую геометрическую интерпретацию и наглядность, позволяют судить об устойчивости по виду частотных характеристик в различных масштабах. На практике наибольшее распространение получили алгебраические критерии, предложенные в 1866 г. английским механиком Эдвардом Раусом (Edward John Routh, 1831–1907) и в 1895 г. швейцарским математиком немецкого происхождения Адольфом Гурвицем (Adolf Hurwitz, 1859–1919), и частотные критерии, разработанные в 1932 г. американским ученым шведского происхождения Гарри Найквистом (Harry Nyqvist, 1889–1976) и в 1938 г. отечественным ученым А.В. Михайловым. 6.5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ А. ГУРВИЦА Для того чтобы линейная непрерывная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры главного определителя матрицы А. Гурвица были положительными: i 0 . Квадратная матрица А. Гурвица составляется следующим образом. По главной диагонали выписываются коэффициенты характеристического уравнения (6.3): D ( p ) a0 p n a1 p n 1 an 1 p an 0 , 129 начиная с a1 и далее до an . Вверх от главной диагонали записываются коэффициенты D( p) с возрастающими индексами, вниз с убывающими, а свободные места заполняются нулями, т. е. a1 a0 0 0 0 a3 a2 a1 0 0 a5 a4 a3 0 0 0 0 0 an 1 an 2 0 0 0 . 0 an Как видно из структуры определителя , в последнем столбце присутствует только свободный член an , в результате чего n -й диагональный минор (определитель матрицы А. Гурвица) находится как n an n1 , откуда при an 0 (необходимое условие устойчивости) и n1 0 он автоматически становится положительным. По этой причине аналитическая процедура анализа устойчивости на основе данного подхода сводится к вычислению диагональных миноров до ( n 1 ) порядка включительно. Рассмотрим применение алгебраического критерия А. Гурвица для различных линейных систем. 1. n 3 : D ( p ) a0 p 3 a1 p 2 a2 p a3 , откуда a1 a0 0 a3 a2 a1 0 0 , a3 и соответственно должны соблюдаться неравенства a1 0 , 2 a1a2 a0a3 0 , 130 или окончательно a1a2 a0a3 . 2. n 4 : D ( p ) a0 p 4 a1 p 3 a2 p 2 a3 p a4 , a1 a 0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 0 , 0 a4 0 a4 a3 a2 откуда a1 0 , a1 3 a0 0 a3 a2 a1 2 a1a2 a0a3 0 , 0 a4 a1 (a2 a3 a1a4 ) a0 a32 0, a3 или 3 a3 2 a12 a4 0 . Учитывая, что диагональный минор третьего порядка будет положительным только при 2 0 , общее условие устойчивости для САУ с n 4 будет иметь место при проверке лишь одного последнего неравенства, а именно a3 ( a1a2 a0 a3 ) a12 a4 0 . 3. n 5 : D ( p ) a0 p 5 a1 p 4 a2 p 3 a3 p 2 a4 p a5 , a1 a0 0 0 0 a3 a5 0 a2 a4 0 a1 a0 a3 a2 a5 a4 0 a1 a3 131 0 0 0 . 0 a5 Система, описываемая обыкновенным линейным дифференциальным уравнением пятого порядка, будет устойчива, если 2 a1a2 a0a3 0, 3 a1 (a2 a3 a1a4 ) a0 a32 a5 a1 0 , 4 ( a3a4 a2 a5 )( a1a2 a0 a3 ) ( a1a4 a0 a5 ) 2 0 . Учитывая тот факт, что определители исходной и транспонированной матриц равны друг другу, матрица А. Гурвица может быть построена по другому правилу, в соответствии с которым коэффициенты с возрастающими индексами записываются слева от главной диагонали, а с убывающими справа, т. е. a1 a3 a 5 0 0 0 0 0 0 0 0 . an 1 an 2 an 0 Из алгебраического критерия А. Гурвица видно, что для линейных непрерывных систем не выше второго порядка необходимое условие устойчивости является также и достаточным, так как a0 a2 a4 0 0 a 1 a0 0 a1 a3 0 0 0 a a 0, a2 1 2 а число «правых» корней можно определить по количеству перемен знака в любой из двух приведенных ниже последовательностей: a0 ; 1 ; n 2 2 an , ; ; ; n1 1 1 (6.4) или a0 ; 1 ; 12 ; 23 ; ; n2n1 ; an , 132 (6.5) причем при этом также должно соблюдаться неравенство i 0 . В заключение необходимо отметить, что граница устойчивости (пара чисто мнимых корней или нулевой корень) имеет место при равенстве нулю определителя матрицы А. Гурвица ann1 0 , которое достигается либо в случае n1 0 , что соответствует незатухающим гармоническим автоколебаниям на выходе при положительности всех до n 2 диагональных миноров включительно, либо при нейтральной устойчивости ( pi* 0 ) с an 0 : ann1 0 . Пример 6.1. Рассмотрим области состояния САУ с линейным объектом третьего порядка, описываемым передаточной функцией Wоу ( p) ko , p (T1 p 1)(T2 p 1) где ko – коэффициент передачи объекта управления, которая реализована в соответствии с принципом управления по отклонению, что иллюстрирует рис. 6.9. v () Регулятор Объект k Woy ( p) y Рис. 6.9. Структурная схема САУ с пропорциональным регулятором Характеристическое уравнение САУ при пропорциональном регуляторе с k в данном случае находится как D ( p ) p (T1 p 1)(T2 p 1) ko k T1T2 p 3 (T1 T2 ) p 2 p kраз 0 , 133 k раз ko k – коэффициент САУ в разомкнутом состоянии, или в общем виде: D ( p ) a0 p 3 a1 p 2 a2 p a3 . На основании алгебраического критерия устойчивости А. Гурвица в D( p ) будут присутствовать корни с отрицательной вещественной частью при выполнении следующего неравенства: a1a2 a0 a3 , T1 T2 kразT1T2 , или kраз 1 1 . T1 T2 В свою очередь, случай an kраз 0 соответствует границе нейтральной устойчивости, а при паре чисто мнимых корней справедливо n 1 2 a1a2 a0 a3 0 , kгр 1 1 , T1 T2 где kгр – граничное значение коэффициента передачи системы в разомкнутом состоянии. В соответствии с вышеизложенным можно графически изобразить области состояний САУ в функции kраз , что иллюстрирует рис. 6.10. Нейтральная устойчивость Неустойчивость 0 Граница устойчивости Устойчивость T11 T21 Неустойчивость kраз kгр Рис. 6.10. Области устойчивости и неустойчивости исходной САУ в функции коэффициента передачи kраз В 1914 г. А.М. Льенар и M.H. Шипар (Alfred-Marie Lienard 1869– 1958, M.H. Chipart) предложили одну из модификаций алгебраического 134 критерия А. Гурвица для случая n 5 , когда вычисление диагональных миноров вызывает значительные затруднения. Было доказано, что при выполнении необходимого условия устойчивости ai 0 , выход линейной непрерывной системы будет стремиться к установившемуся значению, если диагональные миноры с четными (нечетными) индексами положительны, т. е. 1 0 , 3 0 , 5 0, , или 2 0 , 4 0 , 6 0, . 6.6. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА В основе всех частотных критериев устойчивости линейных непрерывных систем положен принцип аргумента, на основании которого каждый корень характеристического уравнения pi* можно изобразить на комплексной плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат, амплитуда и угловое положение которого, отсчитываемое от положительной вещественной полуоси, равны модулю и аргументу комплексного числа соответственно. На основании правила Э. Безу (Étienne Bézout, 1730–1783) характеристический полином произвольного порядка можно разложить на произведение элементарных скобок: D( p ) a0 p p1* p p2* p pn*1 p pn* . каждая из которых геометрически представляет собой вектор, проведенный из pi* к произвольной точке p , что иллюстрирует рис. 6.11. В целях дальнейшего упрощения анализа произвольную точку располагают на мнимой положительной полуоси p j : D ( j) a0 j p1* j p2* j pn*1 j pn* , объединяя, таким образом, концы всех элементарных векторов (рис. 6.12). 135 В последнем выражении D( j) представляет собой вектор, модуль которого находится как n D( j) a0 j p1* j p2* j pn*1 j pn* a0 j pi* , i 1 Im p pi* p pi* Re 0 Рис. 6.11. Пространственное расположение вектора p pi* на комплексной плоскости Im p3* j j j p4* p3* p4* j p6* p2* p6* 0 j p1* p2* p1* Re j p5* p5* Рис. 6.12. Пространственное положение элементарных векторов при выборе точки p на мнимой положительной полуоси 136 а фаза вычисляется как результат суммы соответствующих аргументов: arg D ( j) arg j p1* arg j p2* n arg j pn* arg j pi* . i 1 Рассмотрим, на какой угол поворачивается j pi* при изменении частоты от 0 до . Допустим, корень является вещественным, причем как положительным, так и отрицательным: pi* i , тогда для каждой скобки становится справедливым ( j i ) , откуда arg( j i ) arctg . i При нулевой частоте фазовый сдвиг отсутствует: arg( j i ) arctg 0 0, i а при он равен arg( j i ) arctg . i 2 В итоге при изменении частоты от 0 до элементарный вектор повернется при отрицательном вещественном корне pi* i на угол / 2 , а при положительном pi* i на / 2 . Допустим, что в характеристическом уравнении присутствует пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной вещественной частью: pi*,i 1 j , 137 откуда ( j j)( j j) j ( ) j ( ) , в результате чего при 0 получаем arg j ( ) arctg , где – некоторый начальный угол, зависящий от соотношения мнимой и вещественной частей pi*,i 1 , а при arg j ( ) arctg , 2 т. е. суммарный угол поворота от действия двух комплексносопряженных корней с отрицательной вещественной частью составляет arg j ( ) arg j ( ) 2 , 2 2 2 или по аналогии применительно к паре комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частью arg j ( ) arg j ( ) . Обобщая изложенное можно заключить, что аргумент вектора D( j) при изменении частоты от 0 до в случае n корней с отрицательной вещественной частью равен arg D ( j ) 0 n , 2 а при наличии k «правых» корней: arg D ( j ) 0 ( n k ) 138 k (n 2k ) . 2 2 2 6.7. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ А.В. МИХАЙЛОВА Критерий предложен в 1938 г. отечественным ученым А.В. Михайловым. Для устойчивости линейной непрерывной системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф А.В. Михайлова, начинающийся на положительной вещественной полуоси, последовательно обходил против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения, в котором он устремлялся в бесконечность и при этом нигде не обращался в нуль. Годограф А.В. Михайлова получается путем замены в характеристическом полиноме (6.3) оператора дифференцирования на оператор Фурье j : M ( j ) a0 ( j ) n a1 ( j ) n 1 an 1 ( j ) an M ()e j M ( ) , который также можно представить в виде M ( j ) a0 ( j p1* )( j p2* ) ( j pi* ) ( j pn* 1 )( j pn* ) . Im Re 0 M ( j) n3 0 M ( j) n4 Рис. 6.13. Годографы А.В. Михайлова для устойчивой линейной системы с различными порядками D( p ) Рассмотрим, как влияет конкретный вид pi* на форму годографа А.В. Михайлова. Как видно из последнего уравнения, если все корни 139 содержат в себе отрицательную вещественную часть, то кривая при 0 начинается на положительной вещественной оси в точке an и при изменении частоты от 0 до делает суммарный поворот: arg M ( j ) 0 n . 2 Действительно, если все корни отрицательные вещественные, при которых выполняется необходимое условие устойчивости ai 0 , то M (0) 0 . Если корни комплексно-сопряженные или чисто мнимые, то ( j j)( j j) 2 2 2 j 2 , j 2 ( )( ) 2 2 , т. е. при нулевой частоте M (0) будет также положительным, что иллюстрирует рис. 6.13. Для определения числа «правых» корней по кривой годографа А.В. Михайлова необходимо воспользоваться принципом аргумента, на основании которого arg M ( j ) 0 ( n k ) k ( n 2 k ) , 2 2 2 откуда q (n 2k ) , 2 2 здесь q – количество квадрантов, которые последовательно обошел годограф А.В. Михайлова при изменении частоты 0 и нигде не обратился в нуль, в результате чего 1 k (n q ) . 2 В соответствии с рис. 6.14, при n 5 и q 3 , число «правых» корней составляет k 1 . При наличии одного или нескольких нулевых корней становится справедливым следующее выражение для годографа А.В. Михайлова: M ( j) a0 ( j) n r a1 ( j)n r 1 an r ( j)r , 140 Im n5 M ( j) M ( j) Re 0 0 0 M ( j) Рис. 6.14. Годографы А.В. Михайлова неустойчивых САУ где r – количество нулевых корней, в результате чего при 0 последнее равенство обращается в нуль, т. е. M ( j 0) 0, и годограф А.В. Михайлова выходит из начала координат (рис. 6.15). Im n5 M ( j) Re 0 0 Рис. 6.15. Годограф А. В. Михайлова нейтрально устойчивой САУ при r 1 и n 5 141 Если САУ находится на границе устойчивости, которой соответствует произведение ( j j ) ( j j)( j j) 2 2 , то на частоте, равной величине , годограф M ( j) M ( j) пройдет через начало координат (рис. 6.16). M ( j) Im 0 Re 0 Рис. 6.16. Годограф А.В. Михайлова в случае пары чисто мнимых корней В итоге при наличии во всех n корнях отрицательных вещественных частей кривая А.В. Михайлова при изменении частоты 0 до последовательно против часовой стрелки обойдет n квадрантов: n n . 2 i 1 2 arg M ( j) В практических приложениях нет необходимости строить полную зависимость M ( j) , а достаточно ограничиться лишь нахождением частот в точках пересечения годографа с координатными осями комплексной плоскости, для чего предварительно функцию комплексной переменной представляют в алгебраической форме записи: M ( j) PM () jQM () . Если в результате расчетов численные значения получаются мнимыми, то это соответствует случаю, когда кривая не имеет общих точек с соответствующей осью. 142 Пример 6.2. Определить устойчивость линейной непрерывной САУ третьего порядка на основании частотного критерия А.В. Михайлова, характеристическое уравнение которой задано в следующем виде: Dзам ( p ) a0 p 3 a1 p 2 a2 p a3 . Для получения аналитического выражения M ( j) выполним замену оператора дифференцирования p на оператор Фурье j в Dзам ( p ) с последующим выделением вещественной и мнимой частей: M ( j) a0 ( j)3 a1 ( j)2 a2 ( j) a3 a3 a12 j a2 a0 2 . Для вычисления частот, на которых происходит пересечение кривой А.В. Михайлова с вещественной осью, приравняем мнимую часть M ( j) к нулю: QM () a2 a0 2 0 , откуда, исключив отрицательное значение, которое не входит в диапазон 0 , окончательно получаем 1 0 , 3 a2 . a0 По аналогии в точке пересечения годографа с мнимой осью соответствующая частота находится из равенства PM () a3 a12 0 , в результате чего 2 a3 . a1 Подставив найденные величины 1 и 3 в PM () , а 2 в QM () , можно построить годограф А.В. Михайлова, причем если выполняется неравенство вида 1 2 3 , то исследуемая линейная САУ будет устойчивой. 143 6.8. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ Г. НАЙКВИСТА Данный частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости САУ в замкнутом состоянии по частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии, был предложен в 1932 г. американским ученым шведского происхождения Г. Найквистом (Harry Nyquist, 1889–1976). v y Wраз ( p) () Рис. 6.17. Структурная схема САУ в замкнутом состоянии На рис. 6.17 изображена упрощенная структурная схема линейной непрерывной системы в замкнутом состоянии, построенная в рамках принципа управления по отклонению, на которой используются следующие обозначения: v – задающее воздействие; y – выходная переменная; Wраз ( p) – передаточная функция САУ в разомкнутом состоянии: Wраз ( p) G ( p) , D( p) где G( p) – входной линейный дифференциальный оператор порядка m ; D( p) – собственный линейный дифференциальный оператор порядка n , являющийся характеристическим полиномом САУ в разомкнутом состоянии, причем m n . На основании правила преобразования звеньев с отрицательной обратной связью передаточная функция САУ в замкнутом состоянии находится как Wзам ( p) Wраз ( p) G ( p) D 1 ( p) D 1 ( p) D( p) G ( p ) G ( p) G ( p) , D( p) G( p) Dзам ( p) 1 Wраз ( p) 144 где Dзам ( p) D( p) G( p) – характеристический полином САУ в замкнутом состоянии порядка n . Для дальнейшего анализа введем вспомогательную функцию вида 1 Wраз ( p) D( p) G( p) Dзам ( p) , D( p ) D( p ) (6.6) числитель и знаменатель которой характеризуют устойчивость системы в замкнутом и разомкнутом состояниях соответственно. Для перехода к частотным характеристикам осуществим в (6.6) замену оператора дифференцирования p на оператор Фурье j : D ( j) 1 Wраз ( j) зам , D( j) в результате чего на основании принципа аргумента линейная САУ в разомкнутом состоянии будет устойчивой, если при варьировании частоты в диапазоне 0 изменение аргумента D( j) будет равно arg D ( j ) n , 2 а при наличии в характеристическом полиноме k «правых» корней arg D ( j ) 0 ( n k ) k (n 2k ) n k . 2 2 2 2 Таким образом, для устойчивости САУ в замкнутом состоянии, которое соответствует равенству arg Dзам ( j ) n , 2 суммарный угол поворота вектора 1 Wраз ( j) , определяемый как разность 1Wраз ( j) () 0 arg Dзам ( j) arg D( j) , 145 при устойчивости САУ в разомкнутом состоянии соответствует выполнению требования 1Wраз ( j) () 0 0, а при ее неустойчивости 1Wраз ( j) () 0 k . На основании изложенного выше частотный критерий устойчивости Г. Найквиста формулируется следующим образом: – если линейная непрерывная САУ в разомкнутом состоянии устойчива, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до суммарный поворот вектора 1 Wраз ( j) был равен нулю; – если линейная непрерывная САУ в разомкнутом состоянии неустойчива, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до суммарный поворот вектора 1 Wраз ( j) был равен k . В практических расчетах используется другое определение критерия Г. Найквиста. Рассмотрим комплексную плоскость, изображенную на рис. 6.18, из которой видно, что вектор BA, определяемый как BA CA CB Wраз ( j ) ( 1) 1 Wраз ( j ) , при будет иметь нулевой фазовый сдвиг только тогда, когда АФЧХ линейной непрерывной системы в разомкнутом состоянии проходит правее точки –1. Таким образом, для устойчивости линейной непрерывной САУ в замкнутом состоянии при ее устойчивости в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до АФЧХ системы в разомкнутом состоянии Wраз ( j) не охватывала критическую точку 1 j 0 . На рис. 6.19 изображены различные Wраз ( j) , соответствующие устойчивости (кривые 1 и 2), неустойчивости (кривая 4) и границе устойчивости (кривая 3) САУ в замкнутом состоянии. 146 Im Wраз ( j) 1 Wраз ( j) A 1 0 0 Re C B Рис. 6.18. Комплексная плоскость, иллюстрирующая частотный критерий Г. Найквиста Im 2 4 3 1 1 0 Re 0 Wраз ( j) Рис. 6.19. АФЧХ линейной системы в разомкнутом состоянии, соответствующие устойчивой (1 и 2), неустойчивой (4) и на границе устойчивости (3) САУ в замкнутом состоянии Если линейная непрерывная САУ неустойчива в разомкнутом состоянии, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до АФЧХ системы в разомкнутом состоянии охватывала критическую точку 1 j 0 в положительном направлении k / 2 раз, где k – число «правых» корней. 147 Под охватом понимается полный оборот Wраз ( j) на угол 360 , что иллюстрирует рис. 6.20. Количество «правых» корней можно определить, например, по числу смены знаков в последовательностях диагональных миноров определителя матрицы А. Гурвица вида (6.4) и (6.5) либо с помощью частотного критерия устойчивости А.В. Михайлова. При достаточно сложной форме АФЧХ можно воспользоваться правилом «переходов», предложенным Яковом Залмовичем Цыпкиным (1919–1997). Если при возрастании частоты Wраз ( j) проходит через отрицательную вещественную полуось снизу вверх левее точки 1 j 0 , то такой переход называется положительным, в противном случае отрицательным. Если характеристика Wраз ( j) начинается ( 0 ) или оканчивается ( ) на участке (, 1) , то считается, что АФЧХ системы в разомкнутом состоянии совершает полперехода. Im k 2 1 0 Re 0 Wраз ( j) Рис. 6.20. АФЧХ системы в разомкнутом состоянии с k 2 «правыми» корнями, соответствующая случаю устойчивости САУ в замкнутом состоянии На основании приведенных выше определений частотный критерий Г. Найквиста формулируется следующим образом: для устойчивости линейной непрерывной САУ в замкнутом состоянии при ее неустойчивости в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами Wраз ( j) при изменении частоты от 0 до составляла k / 2 раз, где k – число «правых» корней. 148 Если линейная система в разомкнутом состоянии является нейтрально устойчивой, т. е. ее передаточная функция имеет вид Wраз ( p ) G ( p) G ( p) , D ( p ) p r D1 ( p ) где r – порядок астатизма (количество нулевых корней), то АФЧХ претерпевает разрыв при 0 и является неопределенной, т. е. неясно, охватывает ли Wраз ( j) критическую точку –1. В соответствии с принципом аргумента, элементарный вектор ( j pi* ) для случая pi* 0 будет двигаться по мнимой оси из начала координат в . Для того чтобы все корни оставались в левой полуплоскости двумерного комплексного пространства, необходимо обойти начало координат по окружности малого радиуса , т. е. принять допущение, что p e j 0 , где 0 / 2 – фаза вектора p в малой окрестности начала координат. Как видно из рис. 6.21, при Im данном подходе элементарный вектор при изменении частоты от 0 до поворачивается на угол / 2 , что соответствует «левому» корню. pi* 0 Применительно к АФЧХ в Re разомкнутом состоянии при 0 0 можно записать Рис. 6.21. Пространственное k Wраз ( j) Re jr , расположение вектора p pi* 0 e jr при нулевом корне где k – коэффициент передачи, равный отношению свободных членов полиномов числителя и знамеk нателя Wраз ( p) ; R – бесконечно большая величина. 149 Таким образом, при движении нулевого корня в случае изменения частоты от 0 до , вектор Wраз ( j) поворачивается по часовой стрелке на угол r / 2 и проходит по дуге бесконечно большого радиуса R . На рис. 6.22 изображены частотные характеристики линейных непрерывных САУ с первым (кривая 1), вторым (кривая 2) и третьим (кривая 3) порядком астатизма соответственно в случае устойчивости системы в замкнутом состоянии. Im 3 2 0 Re 1 0 1 Рис. 6.22. АФЧХ нейтрально устойчивой системы в разомкнутом состоянии с различным порядком астатизма Аналогичный подход к анализу устойчивости на основании критерия Г. Найквиста можно применить для системы, находящейся на границе устойчивости (пара чисто мнимых корней j при остальных «левых»), представив передаточную функцию САУ в разомкнутом состоянии как Wраз ( p ) W ( p) G ( p) . 0 ( p j)( p j) D0 ( p ) p 2 2 В этом случае на частоте аргумент arg Wраз ( j) будет претерпевать приращение 180 , а модуль вектора Wраз ( j) будет стремиться к , т. е. имеет место неопределенность, для исключения которой, по аналогии с вышеизложенным, дугой бесконечно большого ра150 диуса АФЧХ перемещается по часовой стрелке на угол , что иллюстрирует рис. 6.23. Im 1 Re argW0 ( j) Рис. 6.23. АФЧХ системы с разомкнутом состоянии в случае границы устойчивости Таким образом, если линейная непрерывная САУ в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости или нейтрально устойчива, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до АФЧХ системы в разомкнутом состоянии не охватывала критическую точку 1 j 0 . 6.9. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ Г. НАЙКВИСТА В ЛОГАРИФМИЧЕСКОМ МАСШТАБЕ ПРИ УСТОЙЧИВОСТИ САУ В РАЗОМКНУТОМ СОСТОЯНИИ В практических расчетах более широкое распространение получил критерий Г. Найквиста в логарифмическом масштабе по продольной оси частот. Как было установлено выше, для устойчивости САУ в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы Wраз ( j) не охватывала критическую точку 1 j 0 , т. е. при фазовом сдвиге раз () должны соблюдаться неравенства Aраз () 1 , Lраз () 20lg Aраз () 0 . 151 Lраз () 3 lg c 0 раз () 1 2 Lраз () c lg ω lg 0 раз () 1 3 2 Рис. 6.24. Графическая иллюстрация частотного критерия Г. Найквиста в логарифмическом масштабе На основании вышеизложенного можно заключить, что для устойчивости линейной непрерывной САУ в замкнутом состоянии при отсутствии «правых» корней в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы на частоте среза c , при которой Aраз (c ) 1 , выполнялось условие раз (c ) , 152 или иначе, при фазовом сдвиге раз () соблюдалось неравенство Lраз () 0 , либо Aраз () 1 . На рис. 6.24 изображены ЛАЧХ и ЛФЧХ с разомкнутой цепью воздействий устойчивой (кривая 1), неустойчивой (кривая 3) и находящейся на границе устойчивости (кривая 2) САУ в замкнутом состоянии. 6.10. ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ САУ На практике определение одного только условия устойчивости линейной системы является недостаточным. Так, например, если «правые» корни располагаются близко к мнимой оси комплексной плоскости, то вследствие нестационарности или неточных априорных знаний о параметрах объекта, реальный переходный процесс может быть расходящимся. По этой причине в ТАУ были введены понятия запасов устойчивости по модулю и фазе САУ в разомкнутом состоянии. A() Im Aраз () 1 1 0 Re 0 Wраз ( j) () раз (c ) Рис. 6.25. Запасы устойчивости по модулю и фазе линейной непрерывной системы в разомкнутом состоянии на комплексной плоскости 153 Lраз () 20 lg kраз c 0 сопр T 1 lg ω lg L() раз () () Рис. 6.26. Запасы устойчивости по модулю и фазе в логарифмическом масштабе Запас устойчивости по фазе определяется величиной () , на которую должна уменьшиться ФЧХ системы в разомкнутом состоянии на частоте среза c , чтобы САУ в замкнутом состоянии оказалась на границе устойчивости. В свою очередь, запас устойчивости по модулю определяется величиной L() допустимого подъема ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии при раз () , при котором САУ в замкнутом состоянии окажется на границе устойчивости. На практике данные величины в обычном масштабе вычисляются по формулам (рис. 6.25) A() 1 Aраз () раз ( ) () раз (c ) , Aраз (c )1 и выбираются из требований (рис. 6.26): Lmin () 6 дБ , min () 30 . На основании данных количественных показателей можно сделать вывод о влиянии коэффициента передачи САУ в разомкнутом состоя154 нии kраз и звена чистого запаздывания на устойчивость. Если в системе возрастает величина kраз , то это приведет к «поднятию» ЛАЧХ относительно оси абсцисс, которая сохранит свой прежний вид вследствие постоянства частот сопряжения сопрi Ti1 , т. е. произойдет уменьшение запаса устойчивости по модулю L() , а также по фазе () , так как частота среза сместится вправо в сторону бесконечности. При дополнении структурной схемы САУ звеном чистого запаздывания, ФЧХ которого определяется по формуле () , фазовый сдвиг выходного гармонического сигнала на частоте среза c уменьшится, что приведет к снижению () и, как следствие, L() . На основании изложенного можно заключить, что присутствие звена чистого запаздывания, а также увеличение коэффициента передачи системы в разомкнутом состоянии сопровождается снижениями запасов устойчивости по фазе и модулю. 6.11. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ 6.11.1. Дополните Способность САУ самостоятельно приходить к установившемуся состоянию после приложения внешнего воздействия, которое вывело ее из исходного положения равновесия, называется ________________. 6.11.2. Отметьте правильный ответ График свободной составляющей выходной переменной, изображенный на рисунке, имеет место при корнях характеристического уравнения: а) вещественных отрицательных; б) вещественных положительных; в) комплексно-сопряженных с положи- C i тельной вещественной частью; г) чисто мнимых. 0 155 yci t 6.11.3. Отметьте правильный ответ При комплексно-сопряженных корнях с отрицательной вещественной частью свободная составляющая выходной координаты САУ имеет вид: yci yci ,i 1 t 0 t 0 а б в г 6.11.4. Отметьте правильный ответ САУ находится на границе устойчивости, если свободная составляющая ее выходной координаты имеет вид: yci yci ,i 1 t 0 t 0 а б 156 в г 6.11.5. Отметьте правильный ответ Корневому портрету, изображенному на рисунке, соответствует состояние линейной САУ: а) устойчивое; б) неустойчивое; в) граница устойчивости; г) нейтрально устойчивое. 6.11.6. Отметьте правильный ответ Необходимое условие устойчивости линейных непрерывных САУ описывается неравенством: а) an 0 ; в) ai 0 , i 0, n ; б) ai 0 , i 0, n ; г) ai 1 , i 0, n . 157 6.11.7. Отметьте правильный ответ 11 1 0 Матрице А. Гурвица 9 5 0 соответствует характеристи 0 11 1 ческое уравнение САУ: а) D ( p ) 11 p 3 5 p 2 p 9 ; в) D ( p ) 9 p 3 5 p 2 11 ; б) D ( p ) 9 p 3 11 p 2 5 p 1 ; г) D ( p ) p 3 5 p 2 9 p 11 . 6.11.8. Отметьте правильный ответ Устойчивой САУ 3-го порядка соответствует матрица А. Гурвица: 2 а) 8 0 2 б) 4 0 1 0 1 0 ; 2 1 1 0 2 0 ; 2 1 10 в) 5 0 3 г) 2 0 2 0 3 0 ; 10 2 5 0 1 0 . 3 5 6.11.9. Отметьте правильный ответ Порядок и состояние САУ, для которой на рисунке построен годограф А.В. Михайлова: а) 2-й порядок, устойчивая; б) 2-й порядок, неустойчивая; в) 2-й порядок, на границе устойчивости; г) 3-й порядок, неустойчивая. 6.11.10. Отметьте правильный ответ Для САУ, характеристическое уравнение которой D( p) 0,1 p 3 2 p 2 0, 25 p 4 , значения частот 1 , 2 и 3 в точках пере158 сечения годографа А. В. Михайлова с осями координат (см. рисунок), равны: а) 1 4 с 1 , 2 0, 07 с 1 , 3 0,99 с 1 ; б) 1 0 , 2 2, 00 с 1 , 3 2,50 с 1 ; в) 1 0 , 2 0, 07 с 1 , 3 1, 41 с 1 ; г) 1 0 , 2 1, 41 с 1 , 3 1,58 с 1 . 6.11.11. Отметьте правильный ответ По частотному критерию Г. Найквиста, в случае устойчивой разомкнутой цепи, линейная непрерывная САУ в замкнутом состоянии будет устойчива, если АФЧХ в разомкнутом состоянии не будет охватывать точку с координатами: в) (0; j 1) ; а) (1; j 0) ; б) (1; j 0) ; г) (0; j 0) . 6.11.12. Отметьте правильный ответ Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ системы в разомкнутом состоянии изображены на рисунке. В замкнутом состоянии данная САУ: а) устойчива; б) находится на границе устойчивости; в) нейтрально устойчива; г) неустойчива. Lраз () c 0 раз () 159 lg 6.11.13. Дополните Запас устойчивости по __________________ – величина, на которую должна уменьшиться ФЧХ системы в разомкнутом состоянии на частоте среза c , чтобы САУ в замкнутом состоянии оказалась на границе устойчивости. 6.11.14. Отметьте правильный ответ При увеличении коэффициента передачи разомкнутой цепи САУ kраз , запасы устойчивости по модулю L() и по фазе () линейной непрерывной системы изменятся следующим образом: а) уменьшатся; б) увеличатся; в) L() увеличится, а () уменьшится; г) L() уменьшится, а () увеличится. Ответы: 6.11.1. Устойчивостью; 6.11.2. б); 6.11.3. в); 6.11.4. а); 6.11.5. а); 6.11.6. в); 6.11.7. б); 6.11.8. в); 6.11.9. а); 6.11.10 г); 6.11.11. б); 6.11.12. г); 6.11.13. Фазе; 6.11.14 а). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Что подразумевается под устойчивостью системы? 2. Какими должны быть корни характеристического уравнения устойчивой САУ? 3. Какими должны быть корни характеристического уравнения САУ, находящейся на границе устойчивости? 4. Что такое корневой портрет? В какой области комплексной плоскости располагаются корни неустойчивой системы? 5. Сформулируйте необходимое условие устойчивости линейной непрерывной системы. 6. Сформулируйте алгебраический критерий устойчивости А. Гурвица. 7. В чем суть принципа аргумента? 8. Сформулируйте частотный критерий устойчивости А.В. Михайлова. 9. Сформулируйте частотный критерий устойчивости Г. Найквиста. 10. Как определяется устойчивость САУ в замкнутом состоянии по критерию Г. Найквиста с помощью логарифмических частотных характеристик? 11. Как определяются запасы устойчивости САУ по АФЧХ, а также ЛАЧХ и ЛФЧХ? 160 ГЛАВА 7 СТАТИЧЕСКАЯ ТОЧНОСТЬ И КОСВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 7.1. СТАТИЧЕСКАЯ ТОЧНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ Рассмотрим обобщенную структуру линейной непрерывной системы, изображенную на рис. 7.1, которая включает в себя: устройство управления УУ, объект управления ОУ и канал отрицательной обратной связи ОС. УУ v y () W1 ( p) ОУ u f () W2 ( p) W3 ( p ) ОС W4 ( p) Рис. 7.1. Структурная схема САУ в замкнутом состоянии 161 y В соответствии с рис. 7.1 передаточная функция САУ в замкнутом состоянии по задающему воздействию v находится как v Wзам ( p) W1 ( p )W2 ( p )W3 ( p ) W ( p )W2 ( p )W3 ( p ) , 1 1 W1 ( p )W2 ( p )W3 ( p )W4 ( p ) 1 Wраз ( p ) где Wраз ( p ) W1 ( p)W2 ( p)W3 ( p )W4 ( p) – передаточная функция САУ в разомкнутом состоянии, которая также может быть представлена в виде Wраз ( p) kраз b0 p m b1 p m1 bm1 p 1 p r (a0 p n a1 p n1 an1 p 1) , 4 где kраз ki – коэффициент передачи САУ в разомкнутом состояi 1 нии; r – количество нулевых корней (порядок астатизма), или применительно к ошибке регулирования y y v W4 ( p) y, y W1 ( p)W2 ( p)W3 ( p)y, y v W4 ( p)W1( p)W2 ( p)W3 ( p)y , 1 Wраз ( p) y v , откуда передаточная функция относительно данной координаты 1 Wv ( p ) 1 Wраз ( p ) 1 b p b1 p m1 bm1 p 1 1 kраз r 0 p (a0 p n a1 p n 1 an 1 p 1) m . Далее выполним анализ установившегося процесса при различных видах внешнего воздействия v и показателя степени r (количество интегрирующих звеньев в составе САУ), приняв в качестве выходной координаты y . 162 1. Единичное ступенчатое задающее воздействие v 1(t ) , r 0 Wv ( p ) p 0 1 , 1 kраз откуда требуемое значение коэффициента передачи САУ в разомкнутом состоянии, обеспечивающего допустимую ошибку регулирования yдоп (), kраз 1 yдоп () 1 . 2. Единичное ступенчатое задающее воздействие v 1(t ) , r 1 Wv ( p) p 0 1 0. Из последнего равенства видно, что наличие в Wраз ( p) интегрирующего звена приводит к нулевой ошибке по задающему воздействию в установившемся процессе v (t ) y () 0 , а величина r носит название, как было указано ранее, порядка астатизма САУ. Таким образом, астатическое arctgkвх t регулирование выходной переменной по единичному ступенчатому зада0 ющему воздействию будет иметь место при наличии хотя бы одного Рис. 7.2. Линейно-возрастающее нулевого полюса передаточной входное воздействие функции системы в разомкнутом состоянии. 3. Линейно-возрастающее задающее воздействие v , r 0. Данный тип воздействия (рис. 7.2) получается при подаче на вход интегрирующего звена единичного ступенчатого сигнала 1(t ) k v вх 1(t ) , p 163 здесь kвх – коэффициент, определяющий угол наклона линейновозрастающей характеристики, изображенной на рис. 7.2, в результате чего становится справедливым следующее отношение: y p y 1 , v kвх 1 Wраз ( p ) откуда kвх . p pWраз ( p ) Wv ( p ) В итоге для статического режима работы САУ имеет место предельное равенство Wv ( p) p 0 1 , 0 т. е. y ( ) . 4. Линейно-возрастающее задающее воздействие v , r 1: Wv ( p ) p 0 k вх , kраз откуда требуемый коэффициент передачи САУ в разомкнутом состоянии kраз kвх . yдоп () 5. Линейно-возрастающее задающее воздействие v , r 1. Как нетрудно заметить, при порядке астатизма, большем чем единица, при данном виде входного задающего воздействия будет соблюдаться равенство y () 0 . 164 По аналогии с вышеизложенным проанализируем состояние САУ по каналу приложения сигнального возмущения f при v 0 , которое описывается следующей передаточной функцией в операторной форме записи относительно y : f Wзам ( p) W3 ( p ) W3 ( p ) 1 W1 ( p )W2 ( p )W3 ( p )W4 ( p ) 1 Wраз ( p ) или для отклонения y : y 0 W4 ( p ) y , y f W1 ( p )W2 ( p ) y W3 ( p ), y W3 ( p)W4 ( p) f W4 ( p)W1( p)W2 ( p)W3 ( p)y , откуда передаточная функция относительной ошибки по возмущению Wf ( p ) W3 ( p )W4 ( p ) 1 Wраз ( p ) W3 ( p )W4 ( p ) b0 p m b1 p m1 bm1 p 1 . (7.1) 1 kраз r p (a0 p n a1 p n 1 an 1 p 1) Как видно из формулы (7.1), точность регулирования зависит не только от Wраз ( p) , но и числителя W3 ( p)W4 ( p) , т. е. конкретного вида динамических звеньев, находящихся между местом приложения возмущающего воздействия и ошибкой регулирования. Воспользовавшись формулой (7.1), далее рассмотрим установившийся процесс САУ применительно к входному воздействию f и различных значениях порядка астатизма исходной системы r . 1. r 0 . После окончания процессов в системе, описываемого равенством Wf ( p ) p 0 165 k3k4 , 1 kраз становится справедливым y ( ) k3 k 4 f ( ) , 1 k раз т. е. имеет место конечная статическая ошибка регулирования по сигнальному возмущению. 2. r 1 . При наличии интегрирующих звеньев в передаточной функции САУ в разомкнутом состоянии возможны три ситуации. 2.1. Все типовые звенья с нулевым корнем в составе структурной схемы располагаются между точкой приложения возмущения f и y , т. е. в передаточных функциях W3 ( p) и W4 ( p) , тогда Wf ( p) p 0 . Данная неопределенность раскрывается путем умножения числителя и знаменателя Wf ( p ) на линейный оператор p r : Wf ( p ) W3 ( p )W4 ( p ) p r r p k раз b0 p m b1 p m 1 bm 1 p 1 , ( a0 p n a1 p n 1 an 1 p 1) откуда с учетом Wf ( p ) k k 1 3 4 k раз k1k 2 p 0 окончательно получаем k k 1 f ( ) , y ( ) 3 4 f ( ) k раз k1k 2 т. е. в статике присутствует ошибка, величина которой зависит от численных значений коэффициентов передачи k1 и k2 . 166 2.2. Все интегрирующие звенья входят в передаточные функции W1( p) и W2 ( p) , тогда Wf ( p) k k 3 4, p 0 y () 0 . 2.3. Интегрирующие звенья присутствуют как до, так и после места приложения сигнального возмущения f . В этом случае неопределенность раскрывается путем умножения числителя и знаменателя Wf ( p ) на оператор p z , где z – количество звеньев с нулевым корнем в W3 ( p) и W4 ( p) , в результате чего становится справедливым Wf ( p) k k 3 4, p 0 y () 0 . Таким образом, обеспечения требования астатизма по выходной переменной y можно добиться путем включения интегрирующего звена в прямой канал САУ до места приложения сигнального возмущения f . 7.2. КОРНЕВЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Помимо прямых показателей качества переходных процессов также существуют косвенные оценки динамических свойств САУ, которые подразделяются на три основные группы: – корневые; – частотные; – интегральные. Как известно, свободная составляющая решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, и чем больше по абсолютному значению отрицательная вещественная часть pi* , тем быстрее затухает соответствующая мода. В этой связи отечественным ученым А.А. Фельдбаумом (1913–1969) были введены в анализ ТАУ корневые оценки качества переходных процессов. 1. Степенью устойчивости , являющейся количественной мерой удаления системы от границы устойчивости, называется наименьшее 167 расстояние от мнимой оси до ближайшего «левого» корня, численно равное модулю вещественной части . Если ближайший к началу координат комплексной плоскости корень является чисто вещественным, то время вхождения в -окрестность от установившегося значения определяется из равенства e i tp 1 e i tp 0,05 , i tp ln 1 , 0,05 откуда tp ln 20 3 , i а сам показатель носит название апериодической степени устойчивости. При наличии в D( p) пары комплексно-сопряженных корней с min (колебательная степень устойчивости) «медленная» составляющая переходного процесса описывается гармоническим законом Ae min t sin( t ) (7.2) с периодом, определяемым по формуле (4.6), причем время регулирования tp в первом приближении можно оценить по такой же формуле, что и в предыдущем случае. 2. Колебательностью переходного процесса называется абсолютное значение отношения мнимой составляющей комплексно-сопряженных корней к вещественной части . Далее проанализируем, как изменяется амплитуда гармонического сигнала Ae t вида (7.2) за временной интервал t Tk : 2 t Ae Ae t 2 e 168 Ae t 2 e , откуда Ae t Ae e 2 t e 2 . Из последнего равенства следует, что чем больше значение , тем менее демпфирован переходный процесс, и наоборот. Так, например, если колебательность принять равной / 2 , то становится справедливым Ae t 2 e Ae t 4 e 0,018 Ae t , т. е. за один период Tk амплитуда соответствующей моды уменьшится на 98 % от начального значения. Суммарное требование к показателям качества переходных процессов, заданное в терминах предельнодопустимых значений и , выражается в построении на комплексной плоскости некоторой замкнутой области, соответствующей желаемому расположению корней D( p) , которая может быть представлена в форме трапеции (рис. 7.3), Im arctg Re 0 Рис. 7.3. Область желаемого расположения корней 169 ограниченной вертикальной прямой, сдвинутой относительно начала координат на величину , а также двумя лучами, наклон которых определяется углом arctg . В практических расчетах для качественной оценки быстродействия также используется другой корневой параметр, называемый среднегеометрическим корнем. В соответствии с формулами Франсуа Виета (François Viète, 1540–1603), коэффициенты ai характеристического уравнения (6.3) связаны с корнями на основании следующих зависимостей: a1 pi* p1* p2* p3* pn*1 pn* , a2 pi* pi*1 p1* p2* p1* p3* p2* p3* pn* 1 pn* , a3 pi* pi*1 pi* 2 p1* p2* p3* p1* p2* p4* pn*2 pn*1 pn* , n an (1)n pi* (1)n p1* p2* p3* pn*1 pn* . i 1 При прочих равных условиях, чем больше абсолютное значение свободного члена an , тем выше быстродействие системы. Среднегеометрическим корнем называется скалярная величина, которая характеризует усредненную длительность переходного процесса и определяется по формуле n an n n pi* . i 1 Графически представляет собой точку на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости, являющейся геометрическим центром всех корней D( p) . С учетом данного показателя, связанного со временем регулирования на основании приближенной зависимости tр (1 3) , 170 характеристическое уравнение (6.3) можно представить в следующем виде: p n An 1 p n 1 A1 n 1 p n 0 , где A j , j 1, n 1 – коэффициенты формы, отвечающие за прямые показатели качества переходных процессов. При этом также необходимо отметить, что последнее слагаемое характеристического уравнения, которое является функцией коэффициента передачи САУ в разомкнутом состоянии, при нулевом порядке астатизма находится как an 1 kраз n , а при r 1 an kраз n , т. е. увеличение kраз приводит к росту среднегеометрического корня и, как следствие, повышению быстродействия. Мгновенная форма переходных процессов определяется не только полюсами передаточной функции, но и ее нулями. При наличии некоторого полинома G( p) в числителе W ( p) систему можно представить в виде последовательного соединения звеньев с интегрирующими и форсирующими свойствами, что иллюстрирует рис. 7.4. y v x D 1 ( p) G ( p) Рис. 7.4. Структурная схема САУ с полиномом в числителе передаточной функции В соответствии с последней структурной схемой степень устойчивости и колебательность будут характеризовать только выход первого звена. В свою очередь, управляемая переменная y представляет собой сумму производных соответствующего порядка промежуточной координаты состояния x , вследствие чего при положительности всех коэффициентов G( p) , при которых 171 dix dt i 0 , результирующий переходный процесс по y (t ) будет более быстрым и колебательным по отношению к x(t ) , а при отрицательных значениях, наоборот, – более затянутый и демпфированный. 7.3. ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Частотные критерии оценки качества переходных процессов основываются на представлении единичного ступенчатого воздействия в следующем виде: 1(t ) 1 1 sin t d . 2 0 Правая часть последней формулы при соблюдении условий Дирихле представляет собой сумму постоянной составляющей 0,5 и бесконечно большого числа гармоник в частотном диапазоне от 0 до с амплитудой Aвх () d . Как было рассмотрено ранее, при подаче на вход линейной САУ гармонического воздействия на ее выходе в установившемся процессе также будет присутствовать синусоидальный сигнал, но отличный по амплитуде Aвых () A() Aвх () A() d и сдвинутый по фазе, откуда y (t ) A(0) 1 A() sin t () d , 0 2 где A(), () – соответственно АЧХ и ФЧХ линейной непрерывной САУ; A(0) – начальное значение АЧХ при 0 . 172 После тригонометрических преобразований на основании формулы синуса с аргументом в виде суммы двух углов sin t () sin t cos () cos(t )sin () и разложении АФЧХ на вещественную и мнимую составляющие W ( j ) A()e j ( ) P () jQ () A() cos () jA() sin () выходная переменная y (t ) в функции частоты находится как y (t ) A(0) 1 P () 1 Q () sin td cos td . 0 0 2 (7.3) При единичном входном воздействии, которое описывается неравенствами (3.1), для произвольного момента времени t 0 с учетом промежуточных равенств cos(t ) cos t и sin(t ) sin t можно записать 0 A(0) 1 P () 1 Q () sin td cos td , 0 0 2 (7.4) или окончательно, вычитая (7.3) из (7.4) при t 0, h (t ) 2 P () sin td . 0 (7.5) В наиболее общем виде ВЧХ линейной непрерывной САУ изображена на рис. 7.5, на котором используются следующие обозначения: P (0) – начальное значение ВЧХ при 0 ; Pmin , Pmax – минимальная и максимальная величины частотной характеристики соответственно; сч – граничное значение интервала существенных частот, при котором соблюдается неравенство P () 0,05 P (0) . Воспользовавшись выражением (7.5), можно связать между собой указанные выше параметры P() с прямыми показателями качества переходных процессов 173 и статической точностью регулирования на основании следующих соотношений. P () P(0) Pmax Pmin 0 0,05 P (0) сч Рис. 7.5. Обобщенная ВЧХ линейной непрерывной системы 1. Величина h(t ) в установившемся процессе равна начальному значению ВЧХ: h() lim h(t ) lim P() P(0) . t 0 2. Начальное значение h(t ) равно конечному значению ВЧХ: h(0) lim h(t ) lim P() P() . t 0 3. Интервал частот, в котором P() параллельна оси абсцисс, соответствует воспроизведению входного сигнала без какого-либо искажения. 4. Если на какой-либо частоте имеет место разрыв непрерывности в характеристике P() , при которой ВЧХ обращается в бесконечность, то это свидетельствует о нахождении САУ на границе устойчивости (пара чисто мнимых корней). 5. Если при 0 ВЧХ устремляется в бесконечность, то система имеет один или более нулевых корней и является нейтральноустойчивой. 174 6. Если ВЧХ описывается положительной невозрастающей функцией (рис. 7.6), то перерегулирование ее переходной характеристики не превышает 18 %. 7. Для системы, ВЧХ которой имеет только один максимум, наибольшее значение перерегулирования удовлетворяет неравенству max % 1,18Pmax P(0) . P(0) 8. При наличии двух экстремумов ВЧХ в положительной и отрицательной областях перерегулирование увеличивается до величины max % 1,18 Pmax 0, 277 Pmin P (0) P (0) . 9. Если ВЧХ описывается положительной непрерывной функцией с убывающей по абсолютному значению производной (рис. 7.7): P() 0 , dP () 0, d то переходный процесс будет монотонным. 10. Наличие высокого острого максимума ВЧХ, после которого график пересекает значение P() 0 , свидетельствует о слабом демпфирующем характере протекающего переходного процесса. P() P() P ( 0) 0 0 Рис. 7.7. ВЧХ при монотонном переходном процессе Рис. 7.6. Вид ВЧХ при % 18 % 175 11. Если изображенная на рис. 7.6 ВЧХ может быть аппроксимирована двумя асимптотическими прямыми в диапазоне частот от 0 до сч , то время регулирования находится внутри интервального неравенства 4 tp . сч сч В заключение также необходимо отметить, что динамические свойства системы можно оценить по конкретному виду АЧХ, воспользовавшись параметрами, описанными в главе 3. 7.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ Для анализа динамических режимов работы САУ могут также использоваться интегральные оценки качества, представленные в работах А.А. Фельдбаума, А.А. Красовского, В.С. Кулебякина и других, под которыми понимаются некоторые обобщенные критерии, одновременно характеризующие величину ошибки регулирования, степень затухания и быстродействие переходного процесса. Простейшая интегральная оценка, базирующаяся на величине площади под временной зависимостью отклонения управляемой переменной от желаемого состояния y(t ) , определяется в соответствии с формулой J1 y (t )dt . 0 Как видно из рис. 7.8, при монотонном характере изменения динамической ошибки, чем меньше значение J1 , тем быстрее затухает y(t ) . Однако в случае наличия гармонической составляющей, изображенной на рис. 7.9, нижние площади будут вычитаться из верхних и вследствие этого J1 min будет наблюдаться при незатухающих автоколебаниях, что недопустимо в реальных САУ. По этой причине для анализа такого рода систем применяют квадратичную интегральную оценку J 2 y 2 (t )dt . 0 176 y (t ) y (t ), y 2 (t ) y 2 (t ) y (t ) t 0 0 Рис. 7.8. Монотонный переходной процесс по отклонению t Рис. 7.9. Колебательный переходный процесс по отклонению При соблюдении требования J 2 min изображенный на рис. 7.9 график ошибки будет стремиться к скачку, который сопровождается высоким перерегулированием и малыми значениями запасов устойчивости по модулю и фазе, в связи с чем необходимо дополнительно учитывать влияние производной y (1) (t ) , т. е. 2 J 3 y 2 (t ) T 2 y (1) (t ) dt 0 y (t ) T y 0 (1) 2 (t ) dt 2 T y (1) (t ) y (t ) dt , 0 где T – желаемая постоянная времени. Предварительно обозначив начальное отклонение в момент времени t 0 как y(0) y0 , с учетом y () 0 окончательно получаем J3 y (t ) T y (1) 0 y (t ) T y 2 (t ) dt T y 2 (t ) (1) 0 177 2 (t ) dt T y02 . 0 Как нетрудно заметить, минимально возможное значение интегрального показателя J3 будет иметь место при соблюдении равенства y (t ) T y (1) (t ) 0 , представляющего собой однородное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого находится как t y (t ) y0 e T , в результате чего при J3 min переходный процесс будет приближаться к экспоненциальной зависимости (рис. 7.10). y (t ) y (t ) y0 y0e t T t 0 Рис. 7.10. Переходный процесс по отклонению при J3 min Для более полной оценки динамических характеристик системы можно также воспользоваться интегральными критериями в функции производных более высокого порядка, представленных, например, как 2 2 J n y 2 (t ) T12 y (1) (t ) Tn2 y ( n ) (t ) dt . 0 В заключение необходимо отметить, что существенным недостатком данного подхода к анализу качества линейных САУ является отсутствие наглядной связи между величиной J и показателями во временной области, такими как перерегулирование % , время регулирования tp и т. д. 178 7.5. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ 7.5.1. Дополните Регулирование выходной переменной по управляющему воздействию, которое наблюдается при наличии хотя бы одного нулевого полюса передаточной функции системы в разомкнутом состоянии, называется __________________. 7.5.2. Отметьте правильный ответ При задающем воздействии v(t ) 1(t ) , возмущающем воздействии f (t ) 0 и отсутствии интегрирующих звеньев в составе замкнутой линейной непрерывной САУ статическая ошибка регулирования y ( ) вычисляется по формуле: 1 1 а) ; в) 1 ; k раз k раз 1 б) 1 k раз 1 г) ; 1 k раз . 7.5.3. Отметьте правильный ответ Внешнее воздействие, график которого приведен на рисунке, можно получить: а) при подаче единичного ступенчатого v (t ) воздействия на вход идеального дифференцирующего звена; б) при подаче единичного ступенчатого воздействия на вход интегрирующего звена; в) при подаче импульсного воздействия arctgkвх t на вход интегрирующего звена; г) при подаче импульсного воздействия 0 на вход безынерционного звена. 7.5.4. Отметьте правильный ответ а) При действии на входе САУ, структурная схема которой изображена на рисунке, сигнального возмущения f , нулевом задающем 179 воздействии v(t ) и порядке астатизма r 0 , статическая ошибка регулирования находится как: k k k k а) 3 4 f () ; в) 3 4 f ( ) ; kраз 1 kраз б) нулю; 1 г) f ( ) . kраз 1 УУ v y () W1 ( p) ОУ u f () W2 ( p) W3 ( p) y ОС W4 ( p) 7.5.5. Отметьте правильный ответ Астатическое регулирование по выходной переменной y при действии сигнального возмущения f имеет место при включении интегрирующего звена: а) между ошибкой и местом приложения сигнального возмущения; б) между местом приложения сигнального возмущения и выходом; в) в любой точке прямого канала; г) в цепь канала отрицательной обратной связи. 7.5.6. Отметьте правильный ответ Перерегулирование переходной характеристики не превышает 18 %, если ВЧХ имеет вид: а) положительной невозрастающей функции частоты; б) графика с экстремумом в положительной полуплоскости; в) графика с экстремумом в отрицательной полуплоскости; г) положительной непрерывной функции с убывающей по абсолютному значению производной. 180 7.5.7. Отметьте правильный ответ Наличие разрыва ВЧХ САУ свидетельствует о том, что: а) колебания переходного процесса затухают медленно; б) перерегулирование переходной характеристики более 18 %; в) переходный процесс монотонный; г) система находится на границе устойчивости. 7.5.8. Отметьте правильный ответ Выражением J y (t )dt описывается: 0 а) степень устойчивости; б) интегральная оценка качества; в) корневая оценка качества; г) среднегеометрический корень. 7.5.9. Отметьте правильный ответ Быстрее всего затухают свободные составляющие переходного процесса, которые определяются «левыми» корнями характеристического уравнения, расположенными: а) ближе остальных к мнимой оси; б) дальше остальных от мнимой оси; в) на мнимой оси; г) дальше остальных от вещественной оси. Ответы: 7.5.1. Астатическим; 7.5.2. б); 7.5.3. б); 7.5.4. в); 7.5.5. а); 7.5.6. а); 7.5.7. г); 7.5.8. б); 7.5.9. б). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Как величина порядка астатизма r в САУ влияет на статическую ошибку по задающему воздействию при отсутствии сигнальных возмущений? 2. Как определяется требуемый коэффициент передачи САУ в разомкнутом состоянии при r 1 и входном задающем линейновозрастающем воздействии? 3. В каком случае при приложении на вход САУ сигнального возмущения в установившемся режиме ошибка регулирования будет равна нулю? 181 4. Какие существуют косвенные оценки качества переходных процессов? 5. Охарактеризуйте корневые критерии качества переходных процессов. Как строится желаемая область расположения корней на комплексной плоскости? 6. Как анализируется качество переходного процесса по интегральным оценкам? 182 ГЛАВА 8 СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ САУ 8.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА САУ Один из центральных разделов ТАУ посвящен решению прикладной задачи синтеза, которая заключается в придании САУ требуемых динамических и статических свойств (желаемого состояния). Под последним понимается: – обеспечение устойчивости системы либо ее повышение (запасы устойчивости по модулю и фазе); – улучшение прямых показателей качества переходных процессов, например, времени регулирования (быстродействия); – компенсация и подавление негативного действия сигнальных и параметрических возмущений; – снижение или полное устранение статической ошибки при различных видах внешних воздействий и т. д. При изначально устойчивом объекте управления его выходная переменная после приложения внешнего воздействия установится на некотором значении, т. е. разрабатываемая система принципиально может работать без каких-либо регуляторов. Однако в данном случае прямые показатели качества и установившееся значение выхода могут достигать величин, которые принципиально неприемлемы в процессе эксплуатации. По этой причине при инженерном синтезе САУ стремятся в первую очередь обеспечить требуемую статическую точность и желаемый характер переходных процессов. В настоящее время разработано большое количество методов синтеза линейных непрерывных систем, позволяющих достаточно успешно решать данную прикладную задачу применительно к объектам про183 извольного вида с форсирующими свойствами. При этом необходимо отметить, что при разработке алгоритма управления необходимо обязательно учитывать предельные эксплуатационные характеристики проектируемой технической системы, т. е. имеющие место ограничения по координатам состояния и допустимой области управляющих воздействий. Элементы САУ, без которых принципиально невозможна ее работа, например исполнительное устройство, или датчик, называются функционально необходимыми. В системах стабилизации на первый план выступают задачи поддержания выходной переменной на заданном уровне во всем диапазоне допустимых сигнальных и параметрических возмущений, а в следящих САУ помимо этого требуется обеспечить максимальное быстродействие отработки задающих воздействий в совокупности с минимальной скоростной ошибкой. 8.2. ВИДЫ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ Обеспечения желаемого качества переходных процессов и требуемой статической точности регулирования в синтезируемой САУ можно добиться двумя способами, а именно путем внесения в объект каких-либо конструктивных дополнений либо включением в структуру системы специального корректирующего устройства (КУ), или иначе, регулятора. Первый подход не всегда является приемлемым, так как прямое изменение параметров ОУ сопровождается изменением его энергетических или массогабаритных показателей, а иногда и просто неосуществим. По этой причине на практике улучшение динамических и статических характеристик САУ, как правило реализуемых в соответствии с принципом управления по отклонению, достигается в рамках применения КУ, которые подразделяются на последовательные и параллельные. Первый тип устройств располагается в прямом канале САУ последовательно с ОУ (рис. 8.1), а параллельные КУ осуществляют охват части звеньев объекта с неудовлетворительными показателями местной обратной связью (рис. 8.2). В случае последовательной коррекции (рис. 8.1), передаточная функция САУ в замкнутом состоянии находится как Wзам ( p ) Wку ( p )Wоу ( p ) 1 Wку ( p)Wоу ( p) 184 Wраз ( p) 1 Wраз ( p ) , y v () ОУ КУ u Wку ( p ) y Woу ( p ) Рис. 8.1. Структурная схема САУ с последовательным КУ КУ Wку ( p ) v y () () Woy1 ( p ) y Woу 2 ( p ) ОУ Рис. 8.2. Структурная схема САУ с параллельным КУ а при параллельном КУ (рис. 8.2) Wзам ( p ) Wоу1 ( p )Wоу2 ( p) 1 Wоу2 ( p) Wоу1 ( p ) Wку ( p) . В последнем случае можно использовать гибкую обратную связь, действующую только в динамических режимах работы системы, например, представленную в виде реального дифференцирующего звена Wку ( p) kку p Tку p 1 . Проанализируем частотные свойства скорректированного контура с местной отрицательной обратной связью, имеющего передаточную функцию Wохв ( p ) Wоу2 ( p ) 1 Wоу2 ( p )Wку ( p ) 185 , в области существенных частот с граничным значением сч , для которой справедливо Wоу2 ( j)Wку ( j) 1 . При соблюдении последнего неравенства можно записать: Wохв ( j) Wоу2 ( j) 1 Wоу2 ( j)Wку ( j) 1 , Wку ( j) т. е. участок САУ с параллельным КУ можно с достаточной степенью 1 ( j) . точности описать обратной зависимостью Wку Пример 8.1. Рассмотрим в качестве примера действие безынерционного параллельного КУ с коэффициентом передачи kку на часть объекта управления Wоу2 ( p ) , изображенного на рис. 8.2, динамика которого описывается апериодическим звеном, т. е. Wку ( p ) kку , Wоу2 ( p) kоу2 Tоу2 p 1 , в результате чего получаем Wохв ( p) kоу2 Tоу2 p 1 k ку kоу2 kоу2 (1 k ку kоу2 ) 1 . Tоу2 p 1 1 kку kоу2 Как видно из последнего отношения, охват звена отрицательной обратной связью приводит к снижению постоянной времени объекта, т. е. инерционности контура, однако при этом также уменьшается коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии на величину 1 k ку koy2 , что, в свою очередь, увеличивает отклонение между желаемым и текущим значениями выходной переменной в установившемся процессе y() . Как видно из примера 8.1, при данном типе регулятора возрастает величина y и по этой причине в прямой канал САУ необходимо включать безынерционное звено в целях обеспечения требуемой статической точности регулирования, что является одним из основных недостатков параллельной коррекции. 186 8.3. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ САУ НА ОСНОВАНИИ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА (ЖЕЛАЕМОЙ ЛАЧХ) Данный метод синтеза, применимый к одномерным линейным непрерывным объектам управления с произвольной передаточной функцией, базируется на первоначальном построении желаемой ЛАЧХ САУ в разомкнутом состоянии, которая обеспечивает требуемые статические и динамические показатели проектируемой системы в замкнутом виде. В основу аналитической процедуры определения структуры и параметров КУ положена связь между ВЧХ и качеством переходного процесса (см. раздел 7.3), с помощью которой академиком АН СССР Владимиром Викторовичем Солодовниковым (1910–1991) были разработаны специальные номограммы, ставящие в соответствие максимальному значению ВЧХ Pmax перерегулирование % и время регулирования tp . При этом в качестве исходных требований, предъявляемых к синтезируемой САУ, выступают порядок астатизма r и предельно-допустимое значение ошибки yдоп () . 8.3.1. ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ ЛАЧХ Синтез САУ начинается с построения желаемой ЛАЧХ скорректированной системы, в которой можно выделить три участка, соответствующие низкочастотной (НЧ), среднечастотной (СЧ) и высокочастотной (ВЧ) областям. В зависимости от величины r , НЧ часть изображается в виде асимптотической прямой с соответствующим наклоном 20r дБ/дек, а требуемый коэффициент передачи САУ в разомкнутом состоянии, который отвечает за ординату частотной характеристики, при r 0 находится как kтр 1 yдоп () 1 , а при астатизме первого порядка r 1 k тр 1 yдоп () 187 . СЧ зона желаемой ЛАЧХ, имеющая наклон –20 дБ/дек, проводится через частоту среза c , величина которой находится из специальной номограммы (рис. 8.3, а). В соответствии с исходными данными первоначально по зависимости % f ( Pmax ) находят максимальное значение ВЧХ Pmax , а затем по кривой tp f ( Pmax ) с учетом заданного значения времени регулирования вычисляют искомый параметр по следующей формуле: c a , tp где a 2 4,5 – согласующий коэффициент. Правая и левая границы СЧ области зависят от запаса устойчивости по модулю L() , получаемого из графической зависимости L() f ( Pmax ) , изображенной на рис. 8.3, б. Следующим этапом построения желаемой ЛАЧХ является сопряжение НЧ и СЧ участков прямой под наклоном –40 или –60 дБ/дек, причем с ростом уровня ее наклона возрастает перерегулирование и количество затухающих колебаний на выходе скорректированной САУ. tp 4 c 3 c 2 c c 0 () L() % 60 35 tp 50 30 40 25 % 30 20 15 20 L () 10 10 0 () Pmax 5 0 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Pmax 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 а б Рис. 8.3. Номограммы В.В. Солодовникова для частотного метода синтеза 188 20 L() НЧ СЧ ВЧ 40 20 lg k тр 20 lg c L() 0 L() Рис. 8.4. Желаемая ЛАЧХ скорректированной САУ ВЧ-область желаемой ЛАЧХ мало влияет на качество процессов в динамике, формируя только начальный участок переходной характеристики, в связи с чем в качестве основных требований при ее реализации выступают: – фильтрация высокочастотных помех, т. е. асимптотическая прямая в ВЧ-зоне должна иметь как можно больший наклон, который на практике выбирают равным –40, –60 или –80 дБ/дек; – простота и техническая реализуемость корректирующего устройства, под которыми понимается наименьшее количество изломов в ЛАЧХ КУ с одновременным выполнением неравенства mn, здесь m , n – порядок полиномов соответственно в числителе и знаменателе передаточной функции регулятора, которое достигается, как правило, за счет повторения ВЧ области ЛАЧХ нескорректированной системы, в результате чего желаемая ЛАЧХ окончательно примет вид, изображенный на рис. 8.4. 8.3.2. ВЫБОР ТИПА КУ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕГО ПАРАМЕТРОВ НА ОСНОВАНИИ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА СИНТЕЗА Следующим этапом синтеза является выбор места включения регулятора и определение его структуры. Наиболее предпочтительным вариантом является последовательное КУ, так как при местной обратной 189 связи уменьшается коэффициент передачи САУ в разомкнутом состоянии, сопровождаемый увеличением ошибки регулирования y ( ) в установившемся процессе. В случае последовательной коррекции можно записать следующее равенство для передаточной функции системы в разомкнутом состоянии: Wжел ( p) Wку ( p)Wоу ( p) , или при переходе к частотным характеристикам: 20lg Wжел ( j) 20lg Wку ( j) 20lg Wоу ( j) Lку () Lоу () Lжел () , откуда Lку () Lжел () Lоу () . (8.1) Таким образом, для нахождения ЛАЧХ регулятора, включаемого в прямой канал САУ, необходимо на той же плоскости дополнительно к желаемой ЛАЧХ построить ЛАЧХ исходной нескорректированной САУ. При параллельном КУ передаточная функция синтезируемой САУ в разомкнутом состоянии находится как Wжел ( p ) Wно ( p )Wохв ( p ) , 1 Wку ( p )Wохв ( p ) (8.2) где Wохв ( p), Wно ( p) – передаточные функции объекта управления, соответственно охваченные и неохваченные местной обратной связью с КУ. Как было рассмотрено ранее, в диапазоне средних частот 0сч выполняется неравенство 1 Wку ( j)Wохв ( j) , в результате чего АФЧХ системы в разомкнутом состоянии принимает следующий вид: Wжел ( j) Wно ( j)Wохв ( j) Wно ( j) , Wку ( j)Wохв ( j) Wку ( j) 190 или при переходе к АЧХ в логарифмическом масштабе: 20lg Wжел ( j) 20lg Wно ( j) 20lg Wку ( j) Lно () Lку () Lжел () , в результате чего окончательно получается следующая расчетная формула: Lку () Lнo () Lжел () . (8.3) где Lнo () – ЛАЧХ нескорректированной части исходной системы. Помимо (8.3) можно также воспользоваться другим подходом для получения информации о ЛАЧХ регулятора, который базируется на преобразованной АФЧХ системы в разомкнутом состоянии: Wжел ( j) Wно ( j)Wохв ( j) 1 Wку ( j)Wохв ( j) Wоу ( j) 1 Wку ( j)Wохв ( j) Wоу ( j) Wку ( j)Wохв ( j) , откуда 20lg Wжел ( j) 20lg Wоу ( j) 20lg Wку ( j) 20lg Wохв ( j) , Lжел () Lоу () Lку () Lохв () . На основании последнего равенства ЛАЧХ параллельного КУ находится как Lку () Lоу () Lжел () Lохв () , или иначе Lку () Lжел () Lоу () Lохв () . Как нетрудно заметить, в скобках записано аналитическое выражение ЛАЧХ последовательного КУ и по этой причине последнюю формулу можно применять, если до этого был осуществлен синтез данного типа регулятора. 191 После восстановления передаточной функции параллельного КУ вычисляется коэффициент передачи безынерционного звена, включаемого в прямой канал системы для обеспечения требуемой статической точности регулирования: * kку kтр kраз . Таким образом, как следует из вышеизложенного, основными недостатками параллельной коррекции при частотном методе синтеза являются приближенная графическая зависимость Lку () , основанная на пренебрежении единицей в знаменателе (8.2), а также необходимость приведения реального значения kраз к требуемой величине k тр . Пример 8.2. В качестве примера рассмотрим восстановление передаточной функции КУ из ЛАЧХ, изображенной на рис. 8.5, которой соответствует следующая передаточная функция: Wку ( p) kку (T1 p 1)(T3 p 1) T22 p 2 2T2 p 1 . Lкy () 20 20 0 0 L* 20 lg kкy lg сопр 2 0 сопр1 сопр3 Рис. 8.5. ЛАЧХ корректирующего устройства Параметры типовых динамических звеньев находятся из следующих зависимостей: kку L* 20 10 ; 1 1 1 ; T2 сопр2 ; T3 сопр3 , T1 сопр1 192 причем, для того чтобы не использовать поправочные диаграммы, коэффициент демпфирования звеньев второго порядка принимается равным единице, в результате чего окончательно получаем WКУ L* 20 ( p) 10 1 1 p 1 сопр3 p 1 сопр1 . 2 1 сопр2 p 2 2сопр2 p 1 8.3.3. МЕТОДИКА СИНТЕЗА ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ САУ НА ОСНОВАНИИ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА В соответствии с вышеизложенным можно записать следующий порядок выполнения аналитической процедуры нахождения структуры и параметров последовательного (параллельного) корректирующего устройства при частотном методе синтеза. 1. Расчет требуемого коэффициента передачи САУ в разомкнутом состоянии из условия обеспечения желаемого качества установившегося процесса, заданного в форме требуемой статической точности регулирования yдоп () . 2. Построение желаемой ЛАЧХ скорректированной системы в разомкнутом состоянии Lжел () по приведенной выше методике с помощью номограмм В.В. Солодовникова на основании следующих исходных данных: – порядок астатизма r ; – максимально допустимое время регулирования tp , с; – максимально допустимое перерегулирование max % . При этом синтезированная САУ должна удовлетворять условиям фильтрации высокочастотных помех. 3. В зависимости от собственных свойств объекта управления осуществляется выбор типа коррекции с последующим построением Lоу () либо Lнo () или Lохв () . 4. На основании п. 3 по формулам (8.1) или (8.3) строится ЛАЧХ корректирующего устройства. 5. По виду Lку () и Lжел () восстанавливаются передаточные функции КУ и скорректированной САУ в разомкнутом состоянии с учетом численных значений параметров динамических звеньев. 193 6. С помощью Wжел ( j) определяется запас устойчивости по фазе () и сравнивается с требуемым значением тр () , полученным по номограмме В.В. Солодовникова. При неудовлетворительном результате производится деформация желаемой ЛАЧХ путем расширения среднечастотной зоны или уменьшения наклона асимптотических прямых либо используются другие места включения в структуру САУ корректирующего устройства. 7. При параллельной коррекции дополнительно рассчитывается численное значение коэффициента передачи безынерционного звена, включаемого в прямой канал, в целях обеспечения заданной точности регулирования. 8. Методом цифрового моделирования определяются прямые показатели качества переходных процессов и статическая ошибка регулирования разработанной САУ, которые не должны превышать принятых на начальном этапе синтеза предельно допустимых значений. 8.4. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ 8.4.1. Дополните Тип корректирующего устройства, которое включается последовательно с объектом управления в прямой канал САУ, называется __________________. 8.4.2. Отметьте правильный ответ Основным недостатком параллельной коррекции является: а) увеличение инерционности САУ; б) увеличение статической ошибки регулирования; в) увеличение перерегулирования выходной координаты; г) увеличение количества колебаний переходного процесса. 8.4.3. Отметьте правильный ответ При синтезе САУ методом желаемой ЛАЧХ требуемый коэффициент передачи разомкнутой системы k тр при нулевом порядке астатизма определяется по формуле: 1 1 1 ; а) б) ; yдоп () yдоп () 194 в) 1 yдоп () 1 ; г) 1 1 yдоп () . 8.4.4. Отметьте правильный ответ Степень фильтрации высокочастотных помех по желаемой ЛАЧХ определяется: а) величиной частоты среза; б) наклоном низкочастотного участка; в) шириной среднечастотной области; г) наклоном высокочастотной зоны. 8.4.5. Отметьте правильный ответ При последовательной коррекции ЛАЧХ КУ определяется по формуле: а) Lоу () Lжел () ; б) Lоу () Lжел () Lохв () ; в) Lжел () Lоу () ; г) Lжел () Lоу () . 8.4.6. Отметьте правильный ответ Асимптотическая ЛАЧХ системы с передаточной функцией 10 Wраз ( p) изображена на рисунке: p(0,01 p 1) а б 195 в г 8.4.7. Отметьте правильный ответ Асимптотической ЛАЧХ САУ, изображенной на рисунке, соответствует передаточная функция: 100(0,1 p 1) а) W ( p) ; 10 p 1 100(10 p 1) б) W ( p) ; 0,1 p 1 в) W ( p) 100(0,1 p 1)(10 p 1) ; (0,1 p 1) г) W ( p) . 10 p 1 Ответы: 8.4.1. Последовательным; 8.4.2. б); 8.4.3. а); 8.4.4. г); 8.4.5. г); 8.4.6. в); 8.4.7. а). 196 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Что подразумевается под желаемым состоянием САУ? 2. В чем отличие последовательной коррекции от параллельной? Как определяется передаточная функция системы в замкнутом состоянии для каждого случая? 3. Перечислите основные этапы синтеза САУ на основании частотного метода. 4. Как строится желаемая ЛАЧХ? 5. Как строится ЛАЧХ нескорректированной системы? 6. Как строится ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства? 197 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Востриков А.С. Теория автоматического регулирования: учебник и практикум для академического бакалавриата / А.С. Востриков, Г.А. Французова. – М.: Издательство Юрайт, 2017. – 279 с. 2. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: учебное пособие. – 2-е изд. / А.А. Первозванский. – М.: Изд-во Лань, 2010. – 624 с. 3. Ким Д.П. Теория автоматического управления / Д.П. Ким. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – Т. 1. Линейные системы. – 310 с. 4. Нос О.В. Теория автоматического управления линейными и нелинейными непрерывными системами: программа и методические указания / О.В. Нос. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. – 24 с. 5. Нос О.В., Старостина Л.В., Ванаг Ю.В. Математическое описание и структурные преобразования линейных непрерывных систем: методические указания к практическим и самостоятельным работам по дисциплине «Теория автоматического управления». – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 30 с. 6. Воронов А.А. Теория автоматического управления: учебник для вузов. В 2-х ч / А.А. Воронов, Д.П. Ким, В.М. Лохин и др. – М.: Высш. шк., 1986. – Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления. – 368 с. 7. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – СПб.: Профессия, 2004. – 747 с. 8. Анхимюк В.Л. Теория автоматического управления: учеб. пособие для студентов электротехн. специальностей вузов / В.Л. Анхимюк, О.Ф. Опейко, Н.Н. Михеев. – Минск: Дизайн ПРО, 2002. – 349 c. 198 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ............................................................................................................. 3 Введение ................................................................................................................... 5 Список сокращений и обозначений ...................................................................... 7 Глава 1. Основные понятия и определения теории автоматического управления .............................................................................................................. 9 1.1. Основные положения теории автоматического управления ..................... 9 1.2. Краткий обзор развития теории автоматического управления ............... 11 1.3. Классификация способов управления объектами .................................... 13 1.4. Классификация систем автоматического управления ............................. 19 1.5. Тестовые задания ......................................................................................... 20 Вопросы для самоконтроля ................................................................................... 22 Глава 2. Математическое описание линейных непрерывных систем ...... 23 2.1. Математическое описание САУ в виде дифференциальных уравнений ...................................................................................................... 23 2.2. Линеаризация нелинейных уравнений ....................................................... 28 2.3. Методы построения математических моделей......................................... 32 2.4. Тестовые задания ......................................................................................... 33 Вопросы для самоконтроля ................................................................................... 36 Глава 3. Статические и динамические характеристики линейных непрерывных систем ........................................................................................... 37 3.1. Статические характеристики САУ ............................................................. 37 3.2. Типовые входные воздействия при исследовании динамических характеристик ............................................................................................... 38 3.3. Передаточные функции линейных одномерных САУ............................. 41 3.4. Структурные схемы САУ ............................................................................ 44 3.5. Частотные характеристики линейных одномерных САУ ....................... 45 199 3.6. Точность регулирования и прямые показатели качества переходных процессов................................................................................. 50 3.7. Тестовые задания ......................................................................................... 53 Вопросы для самоконтроля ................................................................................... 58 Глава 4. Типовые звенья линейных непрерывных САУ ............................. 59 4.1. Безынерционное звено................................................................................. 59 4.2. Апериодическое звено ................................................................................. 61 4.3. Интегрирующее звено ................................................................................. 68 4.4. Колебательное звено .................................................................................... 72 4.5. Идеальное дифференцирующее звено ....................................................... 88 4.6. Форсирующие звенья первого и второго порядков ................................. 90 4.7. Звено чистого запаздывания ....................................................................... 95 4.8. Тестовые задания ......................................................................................... 97 Вопросы для самоконтроля ................................................................................. 101 Глава 5. Структурные преобразования линейных САУ ........................... 103 5.1. Общая передаточная функция системы ................................................... 103 5.2. Дополнительные правила структурного преобразования линейных САУ ........................................................................................... 107 5.3. Асимптотическая ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии............... 110 5.4. Тестовые задания ....................................................................................... 113 Вопросы для самоконтроля ................................................................................. 118 Глава 6. Устойчивость линейных непрерывных систем .......................... 119 6.1. Общие сведения об устойчивости ............................................................ 119 6.2. Анализ устойчивости линейных непрерывных систем по корням характеристического уравнения ............................................................... 120 6.3. Необходимое условие устойчивости линейных непрерывных систем.......................................................................................................... 127 6.4. Критерии устойчивости линейных непрерывных систем ..................... 129 6.5. Алгебраический критерий устойчивости А. Гурвица............................ 129 6.6. Принцип аргумента.................................................................................... 135 6.7. Частотный критерий А.В. Михайлова ..................................................... 139 6.8. Частотный критерий Г. Найквиста ........................................................... 144 200 6.9. Частотный критерий Г. Найквиста в логарифмическом масштабе при устойчивости САУ в разомкнутом состоянии ................................ 151 6.10. Запасы устойчивости линейной непрерывной САУ ............................ 153 6.11. Тестовые задания ..................................................................................... 155 Вопросы для самоконтроля ................................................................................. 160 Глава 7. Статическая точность и косвенные показатели качества переходных процессов линейных непрерывных систем ............................ 161 7.1. Статическая точность линейных непрерывных систем.......................... 161 7.2. Корневые оценки качества переходных процессов ............................... 167 7.3. Частотные оценки показателей качества переходных процессов ......... 172 7.4. Интегральные оценки качества переходных процессов ........................ 176 7.5. Тестовые задания ....................................................................................... 179 Вопросы для самоконтроля ................................................................................. 181 Глава 8. Синтез линейных непрерывных САУ ............................................ 183 8.1. Постановка задачи синтеза САУ .............................................................. 183 8.2. Виды корректирующих устройств ........................................................... 184 8.3. Синтез линейной непрерывной САУ на основании частотного метода (желаемой ЛАЧХ) .......................................................................... 187 8.3.1. Построение желаемой ЛАЧХ.............................................................. 187 8.3.2. Выбор типа КУ и определение его параметров на основании частотного метода синтеза ................................................................... 189 8.3.3. Методика синтеза линейной непрерывной САУ на основании частотного метода ................................................................................ 193 8.4. Тестовые задания ....................................................................................... 194 Вопросы для самоконтроля ................................................................................. 197 Библиографический список ................................................................................ 198 201 Нос Олег Викторович Старостина Лилия Валерьевна ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ОДНОКАНАЛЬНЫМИ НЕПРЕРЫВНЫМИ СИСТЕМАМИ Учебное пособие Редактор Л.Н. Ветчакова Выпускающий редактор И.П. Брованова Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка Л.А. Веселовская Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП) Подписано в печать 24.04.2018. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз. Уч.-изд. л. 11,85. Печ. л. 12,75. Изд. № 369/17. Заказ № 674. Цена договорная Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20 202
