тв

В 1-й урне 10 белых и 3 черных шара, а во 2-й - 7 белых и7 черных. Из 1-й
урны во 2-ю наугад переложили 3 шара, затем наугад из 2-й вытянули 1 шар.
Какова вероятность, что этот шар чёрный.
Решение.
Введем обозначения событий: А – шар, извлеченный из второй урны, чёрный.
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие гипотезы:
Н1- из первой урны во вторую переложены 3 белых шара;
Н2- из первой урны во вторую переложены 3 чёрных шара;
Н3- из первой урны во вторую переложены 1 белый и 2 чёрных шара;
Н4- из первой урны во вторую переложены 2 белых и 1 чёрный шара.
Найдём вероятности этих гипотез:
а) Из первой урны во вторую переложены 3 белых шара:
10
Р(Н1)=
13
∗
9
12
∗
8
11
=
10∗3∗2
13∗11
=
60
143
б) Из первой урны во вторую переложены 3 чёрных шара:
Р(Н2)=
3
13
∗
2
12
∗
1
11
=
1
13∗2∗11
=
1
286
В) Из первой урны во вторую переложены 1 белый и 2 чёрных шара:
10
Р(Н3)=
13
∗
3
12
∗
2
11
+
3
13
∗
10
12
∗
2
11
+
3
13
∗
2
12
∗
10
11
=
60+60+60
13∗12∗11
=
15
143
Г) Из первой урны во вторую переложены 2 белых и 1 чёрный шар:
10
Р(Н4)=
13
∗
9
12
∗
3
11
+
10
13
∗
3
12
∗
9
11
+
3
13
∗
10
12
∗
9
11
=
45+45+45
13∗12∗11
=
135
286
Подсчитаем условные вероятности по классической схеме.
Вероятность извлечения чёрного шара, при гипотезе Н1(во второй урне стало 10
белых и 7 чёрных):
7
P (A /H1)=17
Вероятность извлечения чёрного шара, при гипотезе Н2(во второй урне стало 7
белых и 10 чёрных):
10
P (A /H2)=17
Вероятность извлечения чёрного шара, при гипотезе Н3(во второй урне стало 8
белых и 9 чёрных):
9
P (A /H3)=17
Вероятность извлечения чёрного шара, при гипотезе Н4(во второй урне стало 9
белых и 8 чёрных):
8
P (A /H4)=17
Тогда по формуле полной вероятности:
P(A)=P(H1)*P(A/H1)+ P(H2)*P(A/H2)+ P(H3)*P(A/H3)+ P(H4)*P(A/H4)=
1
286
∗
10
17
+
15
143
∗
9
17
+
135
286
∗
8
17
=
60∗7+5+15∗94∗135
143∗17
60
143
∗
7
17
+
≈ 0,4525
,
где вероятности гипотез
классической схеме:
и условные вероятности
вычисляем по
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты:
а) вынули за подряд 2 белых шара
PББ1=
На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули
один шар.
б) вынули один белый и один черный шар
Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный
PБЧ=
Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый
PЧБ=
Итого: PБЧ1=
в) вынули за подряд 2 черных шара
PЧЧ1=
Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров
во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты:
а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар
PБЧ2PББ1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при
условии, что из первой урны за подряд вынули 2 белых шара. Именно поэтому количество
белых шаров в этом случае равно 5 (3+2).
PБЧ2PБЧ1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при
условии, что из первой урны вынули белый и черный шары. Именно поэтому количество
белых шаров в этом случае равно 4 (3+1), а черных шаров равно пяти (4+1).
PБЧ2PЧЧ1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при
условии, что из первой урны вынули за подряд оба черных шара. Именно поэтому количество
черных шаров в этом случае равно 6 (4+2).
Вероятность того, что извлеченные 2 шара окажутся разных цветов, равна:
Ответ: P = 0.54
Пример 7а. Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад п
а) вероятность того, что этот шар белый.
б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой
урны во вторую были переложены 2 белых шара?
¨ а) Введем обозначения событий: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы:
– из первой урны во вторую переложены 2 белых шара,
шара,
– переложены 2 разноцветных
– переложены 2 черных шара. Тогда по формуле (17)
,
где вероятности гипотез
схеме:
и условные вероятности
,
,
,
,
вычисляем по классической
,
.
Делаем расчет:
.
б) Вероятность того, что шар оказался белым, находим по формуле Байеса:
.