В 1-й урне 10 белых и 3 черных шара, а во 2-й - 7 белых и7 черных. Из 1-й урны во 2-ю наугад переложили 3 шара, затем наугад из 2-й вытянули 1 шар. Какова вероятность, что этот шар чёрный. Решение. Введем обозначения событий: А – шар, извлеченный из второй урны, чёрный. При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие гипотезы: Н1- из первой урны во вторую переложены 3 белых шара; Н2- из первой урны во вторую переложены 3 чёрных шара; Н3- из первой урны во вторую переложены 1 белый и 2 чёрных шара; Н4- из первой урны во вторую переложены 2 белых и 1 чёрный шара. Найдём вероятности этих гипотез: а) Из первой урны во вторую переложены 3 белых шара: 10 Р(Н1)= 13 ∗ 9 12 ∗ 8 11 = 10∗3∗2 13∗11 = 60 143 б) Из первой урны во вторую переложены 3 чёрных шара: Р(Н2)= 3 13 ∗ 2 12 ∗ 1 11 = 1 13∗2∗11 = 1 286 В) Из первой урны во вторую переложены 1 белый и 2 чёрных шара: 10 Р(Н3)= 13 ∗ 3 12 ∗ 2 11 + 3 13 ∗ 10 12 ∗ 2 11 + 3 13 ∗ 2 12 ∗ 10 11 = 60+60+60 13∗12∗11 = 15 143 Г) Из первой урны во вторую переложены 2 белых и 1 чёрный шар: 10 Р(Н4)= 13 ∗ 9 12 ∗ 3 11 + 10 13 ∗ 3 12 ∗ 9 11 + 3 13 ∗ 10 12 ∗ 9 11 = 45+45+45 13∗12∗11 = 135 286 Подсчитаем условные вероятности по классической схеме. Вероятность извлечения чёрного шара, при гипотезе Н1(во второй урне стало 10 белых и 7 чёрных): 7 P (A /H1)=17 Вероятность извлечения чёрного шара, при гипотезе Н2(во второй урне стало 7 белых и 10 чёрных): 10 P (A /H2)=17 Вероятность извлечения чёрного шара, при гипотезе Н3(во второй урне стало 8 белых и 9 чёрных): 9 P (A /H3)=17 Вероятность извлечения чёрного шара, при гипотезе Н4(во второй урне стало 9 белых и 8 чёрных): 8 P (A /H4)=17 Тогда по формуле полной вероятности: P(A)=P(H1)*P(A/H1)+ P(H2)*P(A/H2)+ P(H3)*P(A/H3)+ P(H4)*P(A/H4)= 1 286 ∗ 10 17 + 15 143 ∗ 9 17 + 135 286 ∗ 8 17 = 60∗7+5+15∗94∗135 143∗17 60 143 ∗ 7 17 + ≈ 0,4525 , где вероятности гипотез классической схеме: и условные вероятности вычисляем по При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты: а) вынули за подряд 2 белых шара PББ1= На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули один шар. б) вынули один белый и один черный шар Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный PБЧ= Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый PЧБ= Итого: PБЧ1= в) вынули за подряд 2 черных шара PЧЧ1= Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты: а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар PБЧ2PББ1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны за подряд вынули 2 белых шара. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 5 (3+2). PБЧ2PБЧ1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули белый и черный шары. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 4 (3+1), а черных шаров равно пяти (4+1). PБЧ2PЧЧ1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули за подряд оба черных шара. Именно поэтому количество черных шаров в этом случае равно 6 (4+2). Вероятность того, что извлеченные 2 шара окажутся разных цветов, равна: Ответ: P = 0.54 Пример 7а. Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад п а) вероятность того, что этот шар белый. б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара? ¨ а) Введем обозначения событий: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы: – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, шара, – переложены 2 разноцветных – переложены 2 черных шара. Тогда по формуле (17) , где вероятности гипотез схеме: и условные вероятности , , , , вычисляем по классической , . Делаем расчет: . б) Вероятность того, что шар оказался белым, находим по формуле Байеса: .
