№51893

Оглавление
Задача 1 ....................................................................................................................................3
Задача 2 ....................................................................................................................................7
Задача 1
Предприятие планирует выпуск продукции I и II видов, на производство которых
расходуется три вида сырья А, В и С. Потребность aij i-го вида сырья для производства
каждой единицы j-го вида продукции, запас bi соответствующего вида сырья и прибыль cj от
реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:
Виды сырья
A
B
C
Прибыль
План (ед.)
Виды продукции
I
II
a11 = 2
a12 = 2
a21 = 1
a22 = 1
a31 = 2
a32 = 2
c1 = 3
c2 = 3
x1
x2
Запасы сырья
b1 = 12
b2 = 6
b3 = 12
1. Составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений
по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее 2 единиц обоих
видов продукции. Составить ЭММ задачи.
2. Составить двойственную задачу и решить ее.
3. Решить исходную задачу графоаналитическим методом.
4.Дать экономическую интерпретацию результатов.
Решение
Виды сырья
A
B
C
Прибыль
План (ед.)
Виды продукции
I вид
II вид
2
2
1
1
2
2
3
3
x1
x2
Запасы сырья
12
6
12
1.Составляем математическую модель задачи
Пусть надо изготовить х1 ед. продукции первого вида и х2 продукции второго вида.
Тогда целевая функция максимизации прибыли будет иметь вид: Z  3x1  3x2  max ,
при ограничениях:
2 х1  2 х2  12
х  х  6
 1 2

2 х1  2 х2  12
 х1  х2  2
3
2. Составляем двойственную задачу и решаем ее.
Функция минимизация затрат: F  12 y1  6 y2  12 y3  2 y4  min , при ограничениях:
2 y1  y2  2 y3  y4  3

2 y1  y2  2 y3  y4  3
 y  0; y  0; y  0; y  0
2
3
4
 1
Приводим задачу к каноническому виду:
2 у1  у2  2 у3  у4  у5  3

2 у1  у2  2 у3  у4  у6  3
Так как система содержит единичную матрицу, то в качестве базисных переменных
принимаем у5 и у6 .
Выражаем базисные переменные через остальные:
 у5  2 у1  у2  2 у3  у4  3

 у6  2 у1  у2  2 у3  у4  3
Подставим их в целевую функцию:
F  12 у1  6 у2  12 у3  2 у4
Среди
свободных
членов bi имеются
отрицательные
значения,
следовательно,
полученный базисный план не является опорным.
Вместо переменной y5 следует ввести переменную y4 .
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
B
y4
y1
y2
y3
y4
y5
y6
2
1
2
1
-1
0
y6
F
0
8
0
4
0
8
0
0
-1
2
1
0
b
3
0
-6
Выражаем базисные переменные через остальные:
 y4  2 y1  y2  2 y3  y5  3

 y6  y5
Подставим их в целевую функцию:
F  12 y1  6 y2  12 y3  2  2 y1  y2  2 y3  y5  3
Делаем преобразования и получаем:
F  8 y1  4 y2  8 y3  2 y5  6
4
2 y1  y2  2 y3  y4  y5  3

 y5  y6  0
При вычислениях значение Fc  6 временно не учитываем.
Решаем систему уравнений относительно базисных переменных: y4 , y6 .
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
Y *   0,0,0,3,0,0 
B
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y4
1
2
1
-1
0
3
y6
0
-4
0
-8
0
0
-1
-2
1
0
0
0
F
b
2
0
-8
Из таблицы видно, что индексная строка не содержит положительных элементов,
следовательно, оптимальный план имеет вид:
y1  0 , y2  0 , y3  0 , y4  3 ,
F  12  0  6  0 12  0  2  3  6
3. Решаем исходную задачу графоаналитическим методом.
Z  3x1  3x2  max ,
при ограничениях:
2 х1  2 х2  12
х  х  6
 1 2

2 х1  2 х2  12
 х1  х2  2
Выразим в каждом ограничении х2 через х1, зададим по 2 точки для построения
прямых на координатной плоскости.
Ограничение 1
 х  0 х2  6
х2  6  х1   1
 х1  6 х2  0
Ограничение 2
 х  0 х2  6
х2  6  х1   1
 х1  6 х2  0
Ограничение 3
 х  0 х2  6
х2  6  5 х1   1
 х1  6 х2  0
5
Ограничение 4
 х  0 х2  2
х2  2  х1   1
 х1  2 х2  0
Строим прямые в системе координат х1Ох2. Определяем полуплоскости.
Рассмотрим целевую функцию задачи Z  3x1  3x2  max .
Построим прямую, отвечающую значению функции Z  0 : Z  3x1  3x2  0 . Векторградиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление
максимизации Z Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3; 3). Будем двигать эту
прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому
двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая
обозначена пунктирной линией.
Прямая Z пересекает область в точке, которая получена в результате пересечения
прямых
2 x1  2 x2  12
и x1  0 , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
6
2 x1  2 x2  12

 х1  0
Решив систему уравнений, получим:
x1  0, x2  6, Z max  3  0  3  6  18
4.Экономическая интерпретация результатов.
Для того, чтобы получить максимальную прибыль, надо изготовить 6 ед. продукции
второго вида. Максимальная прибыль при этом будет равна Z max  18
Задача 2
Фирма производит некоторую продукцию и имеет договор с магазином, который
гарантированно закупит всю продукцию.
Перед производством продукции менеджеры фирмы могут принять одно из трёх
решений, различающихся по сумме затрат на ее производство:
А1 – полностью изменить технологию производства;
А2 – частично изменить технологию производства;
А3 – не менять технологию производства.
В зависимости от финансово-экономического состояния фирмы возможны следующие
ситуации:
S1 – условия для изменения технологии неблагоприятные;
S2 – условия для изменения технологии нейтральные;
S3 – условия для изменения технологии благоприятные.
Значения суммы выручки предприятия от продажи продукции при различных
состояниях природы представлены в таблице:
S1
S2
S3
A1
24
18
13
A2
26
19
9
A3
36
16
3
В задаче необходимо определить, какая стратегия фирмы наиболее выгодна в двух
случаях:
1. Если вероятности состояний S1,S2,S3 известны и равны, соответственно,
0,2;0,6;0,2. Определить оптимальные стратегии по критерию Байеса-Лапласа.
7
2. Если вероятности состояний S1,S2,S3неизвестны. Для выбора оптимальной
стратегии использовать критерии Вальда. Сэвиджа, Гурвица.
3. Дать рекомендации для принятия управленческого решения.
Решение
Дополним платежную матрицу строкой вероятностей и состояний Pi .
Р1
Р2
Р3
A1
24
18
13
A2
26
19
9
A3
36
16
3
qi
0,2
0,6
0,2
Критерий Лапласа-Байеса
Вычисляем математические ожидания выигрыша для каждой стратегии А1, А2, А3.
р1   j 1 a1, j q j  24  0, 2  18  0, 6  13  0, 2  18, 2
n
р2   j 1 a2, j q j  26  0, 2  19  0, 6  6  0, 2  17,8
n
р3   j 1 a3, j q j  36  0, 2  16  0, 6  3  0, 2  17, 4
n
Выбираем
согласно
критерию
максимальное
из
полученных
чисел:
v  max vi  18, 2  v1 , что соответствует стратегии А1. Следовательно, при данных
i
значениях вероятностей состояний природы следует выбрать стратегию A1 – полностью
изменить технологию производства.
Критерий Вальда
Согласно критерию Вальда в качестве оптимальной стратегии выбирается та
стратегия игрока Аi, при которой минимальный выигрыш максимален:
W  max min aij
j
i
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния
природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации. Дополняем
матрицу выигрыша столбцом из минимальных элементов каждой строки.
A1
24
18
13
13
A2
26
19
6
6
A3
36
16
3
3
8
Выбираем из (13; 6; 3) максимальный элемент max min aij  13 .
j
i
Вывод: выбираем стратегию A1, т. е. полностью изменить технологию производства.
Критерий Сэвиджа
Критерий
минимального
риска
Севиджа
рекомендует
выбирать
в
качестве
оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в
наихудших условиях, т.е. обеспечивается: S  min max rij .
i
j
Находим матрицу рисков.
Риском является мера несоответствия между разными возможными результатами
принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b j  max aij
характеризует благоприятность состояния природы.
r11  36  24  12; r21  36  26  10; r31  36  36  0;
r12  19  18  1; r22  19  19  0; r32  19  16  3;
r13  13  13  0; r23  13  6  7; r33  13  3  10;
Матрица рисков, которую иногда называют матрицей сожалений об упущенной
выгоде, имеет следующий вид:
12 1 0 


R  10 0 7 
 0 3 10 


Дополняем матрицу рисков столбцом из минимальных элементов каждой строки.
A1
12
1
0
12
A2
10
0
7
10
A3
0
3
10
10
Выбираем из (12; 10; 10) минимальный элемент min max rij  10 .
i
j
Вывод: выбираем стратегию A2 – частично изменить технологию производства.
Критерий Гурвица
Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает
промежуточное положение между крайним пессимизмом и крайним оптимизмом:
G  max
j
  min
i
ai j  1    max aij
i
9

Где  – коэффициент пессимизма. Примем   0,5 .
Дополним платежную матрицу тремя столбцами: столбец  i содержит минимальные
числа в каждой строке, столбец  i – максимальные:
A1
24
18
13
13
24
18,5
A2
26
19
6
6
26
16
A3
36
16
3
3
36
19,5
Столбец hi – средневзвешенные результаты:
h1  0,5 13  1  0,5  24  18,5
h2  0,5  6  1  0,5  26  16
h3  0,5  3  1  0,5  36  19,5
Выбираем из (18,5; 16; 19.5) максимальное число равное 19,5, что соответствует
стратегии А3 – не менять технологию производства.
Учитывая, что при расчете различных критериев, чаще всего рекомендовалась
стратегия А1, можно дать для принятия управленческого решения рекомендацию
полностью изменить технологию производства
10