СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

СИСТЕМНЫЙ
АНАЛИЗ
Задания на контрольную работу № 1
для студентов 1 курса
направления/специальности
080101.65 ЭКОНОМИЧЕСКАЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ (специалитет)
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Студент должен выполнить контрольные работы по варианту, номер которого
совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Соответствующие номера задач
приведены в таблице 1.
Таблица 1
Вариант
Контрольная работа № 1
1
1, 11, 21, 31, 41,51,61
2
2, 12, 22, 32, 42,52,62
3
3, 13, 23, 33, 43,53,63
4
4, 14, 24, 34, 44,54,54
5
5, 15, 25, 35, 45,55,65
6
6, 16, 26, 36, 46,56,66
7
7, 17, 27, 37, 47,57,67
8
8, 18, 28, 38, 48,58,68
9
9, 19, 29, 39, 49,59,69
10
10, 20, 30, 40, 50,60,70
Правила выполнения и оформления контрольных работ
1. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку
чернилами синего, черного или фиолетового цвета. Необходимо оставлять поля шириной
4 – 5 см для замечаний рецензента.
2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия
студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название
дисциплины; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы
в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату и расписаться.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании строго по
положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи задания, а также
задачи не своего варианта, не засчитываются.
4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя
номера задач. Оформление решения каждой задачи начинается с новой страницы.
5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том
случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют
общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные
конкретными, взятыми из соответствующего номера.
6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все
действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
7. После получения прорецензированной работы, как зачтенной, так и незачтенной,
студент должен исправить все, отмеченные рецензентом, ошибки и недочеты и выполнить
все рекомендации рецензента.
Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправления или
дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий
срок.
В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент
может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа
должна быть выполнена заново.
При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная
работа и рецензия на нее. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы
оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в
соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после
ее рецензирования запрещается.
Рекомендуемая литература
1. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под редакцией проф. В. И.
Ермакова. — М.: ИНФРА-М,2005.
2. Малугин В.А. Математика для экономистов. Математический анализ. Задачи и
упражнения. — М.: Эксмо, 2006.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах Ч. 1,2. — М: Высшая школа, 1999.
4. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической
статистике, математическому программированию с решениями. — М.: Издательскоторговая корпорация «Дашков и К°», 2006.
5. http://log-in.ru/books/69868/ Вентцель Е.С. Элементы теории игр.
6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. — М.:
Кнорус, 2010.
7. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. — М.: Юрайт. 2010.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАМИРОВАНИЕ. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.
Задачи 1-10. Решить задачи линейного программирования графическим методом.
1. Z ( x)  2x1  x2  min,
 x1  x 2  12,
2 x  x  12,
 1
2

2 x1  x 2  0,
2 x1  x 2  4.
2. Z ( x)  x1  3x2  min,
 x1  x 2  6,
 2 x  x  6,

1
2

 x1  3x 2  3,
 x1  2 x 2  2.
x2  0
3. Z ( x)   x1  4 x2  min,
2 x1  3x 2  24,
 8 x  3x  24,

1
2

2
x

3
x

12,
2
 1
4 x1  3x 2  12.
5. Z ( x)  x1  2x2  max,
 x 2  6,
 3 x  x  12,
1
2

 x1  x 2  0,
 x  x  0,
2
 1
 x1  2 x 2  12.
4. Z ( x)  4 x1  3x2  max,
 x1  x 2  5,
5 x  2 x  20,
 1
2

8
x

3
x
2  0,
 1
5 x1  6 x 2  0.
6. Z ( x)  3x1  x2  max,
2 x1  x 2  4,
 x  x  0,
 1
2

 x1  2 x 2  2,
 x1  x 2  2.
7. Z ( x)  3x1  5x2  min,
 x1  x 2  0,
3x  x  3,
 1
2

5
x

4
x 2  20,
 1
 x1  x 2  0.
9. Z ( x)  x1  3x2  max,
 2 x1  x 2  2,
  x  2 x  7,
 1
2

 x1  3 x 2  18,
4 x1  3 x 2  12.
8. Z ( x)  2x1  5x2  min,
2 x1  x 2  0,
2 x  x  16,
 1
2


2
x

5 x 2  3,
1

 x1  2 x 2  2.
10. Z ( x)  x1  4x2  max,
 4 x1  x 2  4,
 x  x  5,
 1
2

 x1  2 x 2  2,
3 x1  4 x 2  12.
x1  0, x 2  0.
x1  0, x 2  0.
Задачи 11-20. Решить симплексным методом следующие задачи.
1. Z ( x)  x1  2 x2  x3  max, ,
2. Z ( x)  2 x1  3x2  2 x3  max,
 2 x1  x 2  x3  2,

 x1  x2  3x3  3,
 x  3x  x  1,
2
3
 1
x j  0 , j = 1, 2, 3.
 3x1  x 2  x3  1,

 x1  2 x 2  2 x3  7,
 x  3x  x  1,
2
3
 1
x j  0, j = 1, 2, 3.
3. Z ( x)  3x1  2 x2  2 x3  min,
4. Z ( x)   x1  x2  3x3  min,
 x1  x3  4,

2 x1  x 2  2 x3  6,
2 x  x  2 x  2,
2
3
 1
x j  0, j = 1, 2, 3.
 x1  2 x 2  x3  2,

 x1  3x 2  x3  6,
 x  x  x  2,
2
3
 1
x j  0, j = 1, 2, 3.
5. Z ( x)  2 x1  3x2  5 x3  max,
6. Z ( x)  4 x1  2 x2  x3  min,
 x1  2 x2  3x3  3,

 2 x1  3x2  4 x3  4,
3x1  2 x2  4 x3  6,

2 x1  x2  3x3  18,
x j  0, j = 1, 2, 3.
x j  0, j = 1, 2, 3.
7. Z ( x)  3x1  4 x2  x3  max,
8. Z ( x)  2 x1  3x2  x3  max,
 x1  2 x2  x3  10,

2 x1  x2  2 x3  6,
3x  x  2 x  12,
2
3
 1
x j  0, j = 1, 2, 3.
 x1  3x 2  5 x3  15,

 x1  x 2  x3  7,
2 x  x  4 x  12,
2
3
 1
9. Z ( x)  6 x1  12 x2  3x3  max,
10. Z ( x)  x1  x2  x3  max,
 2 x1  3x2  x3  12,

 x1  2 x2  2 x3  15,
2 x  x  3x  10,
2
3
 1
x j  0, j = 1, 2, 3.
 x1  x2  x3  7,

2 x1  x2  3x3  9,
3x  x  4 x  12,
2
3
 1
x j  0, j = 1, 2, 3.
x j  0, j = 1, 2, 3.
Задачи 21-30. Имеются три пункта отправления A1 , A2 , A3 однородного груза и пять
пунктов B1 , B2 , B3 , B4 , B5 его назначения. На пунктах A1 , A2 , A3 груз находится в
количестве a1 , a 2 , a3 тонн соответственно. В пункты B1 , B2 , B3 , B4 , B5 требуется доставить
соответственно b1 , b2 , b3 , b4 , b5 тонн груза. Расстояния в сотнях километров между
пунктами отправления и назначения приведены в матрице D :
Пункты
отправления
A1
B1
d11
B2
d12
A2
A3
d 21
d 31
d 22
d 32
Пункты назначения
B3
d 13
d 23
d 33
B4
d14
d 24
d 34
B5
d 15
d 25
d 35
Найти такой план перевозок, при котором общие затраты на перевозку грузов будут
минимальными.
Указания: 1) считать стоимость перевозок пропорциональной количеству груза и
расстоянию, на которое груз перевозился, т.е. для решения задачи достаточно
минимизировать общий объем плана, выраженный в тонно-километрах; 2) для решения
задачи использовать метод северо-западного угла и потенциалов.
21. a1  50; a2  70; a3  110;
b1  50; b2  50; b3  50; b4  50; b5  30;
 4 1 2 4 5


D   6 4 5 9 5 ;
 3 1 6 5 9


22. a1  90; a2  70; a3  110;
b1  70; b2  20; b3  70; b4  40; b5  70;
 7 4 9 8 2


D   6 8 5 8 5 ;
 9 2 9 7 4


23. a1  60; a2  40; a3  80;
b1  10; b2  50; b3  60; b4  50; b5  10;
1 3 3 1 3


D  3 1 9 8 4 ;
3 6 5 1 9


24. a1  80; a2  60; a3  100;
b1  40; b2  60; b3  40; b4  50; b5  50;
 6 4 3 4 2


D   3 6 4 9 2 ;
 3 1 2 2 6


25. a1  50; a2  30; a3  70;
b1  20; b2  30; b3  50; b4  30; b5  20;
9 5 1 1 9


D   7 1 4 9 4 ;
5 3 4 9 9


26. a1  70; a2  50; a3  10;
b1  60; b2  10; b3  30; b4  70; b5  50;
 3 7 3 8 8


D   2 3 1 8 6 ;
 6 3 8 6 1


27. a1  70; a2  50; a3  90;
b1  10; b2  40; b3  70; b4  20; b5  70;
8 4 5 1 3


D  3 3 8 5 7 ;
8 1 9 3 2


28. a1  90; a2  70; a3  110;
b1  10; b2  60; b3  50; b4  40; b5  70;
29. a1  60; a2  40; a3  80;
 9 1 1 5 6


D   6 4 6 8 5 ;
 2 9 3 5 3


 9 8 3 5 2


D  7 7 8 5 6 ;
4 2 8 8 8


b1  50; b2  20; b3  30; b4  40; b5  40;
30. a1  70; a2  50; a3  90;
7 1 7 4 9


D   4 1 1 1 5 .
 5 6 6 8 2


b1  60; b2  10; b3  10; b4  60; b5  70;
Задачи 31-40. Найти оптимальное решение и цену игры, заданной матрицей А.
 1 2
 .
1. A  
 3 0
  2 6

2. A  
 4 0
 0 2
 .
3. A  
 2 0
  3 3
 .
4. A  
 3 0
 6  2
 .
6. A  
0
4


 3  3
 .
7. A  
0 3 
 1 2
 .
8. A  
 1 2
 3 2
 .
9. A  
2 1
5.
 2  1
 .
A  
0 3 
10.
 1  1
 .
A  
3 2 
Задачи 41-50. АТС имеет k линий связи. Поток вызовов – простейший с интенсивностью
 вызовов в минуту. Среднее время переговоров составляет t минут. Время переговоров
распределено по показательному закону. Найти: 1) абсолютную и относительную
пропускную способность АТС; 2) вероятность того, что все линии связи заняты; 3)
среднее число занятых линий связи; 4) определить, имеет ли АТС число линий связи,
достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала  .
41.
43.
45.
47.
49.
k
k
k
k
k
 5;
 6;
 5;
 6;
 5;
  0,6;
  0,7;
  0,9;
  0,8;
  0,8;
t  3,5;
t  2,7;
t  2,5;
t  2,2;
t  2,6;
  0,06 .
  0,01 .
  0,06 .
  0,01 .
  0,06 .
42.
44.
46.
48.
50.
k
k
k
k
k
 5;
 5;
 4;
 3;
 5;
  0,8;
  0,7;
  0,9;
  0,7;
  0,9;
t  2,9;
t  3,5;
t  2,1;
t  3,1;
t  2,8;
  0,05 .
  0,05 .
  0,01 .
  0,06 .
  0,05 .
Задачи 51-60
51–60. В мастерской по ремонту холодильников работает n мастеров. В среднем
в течение дня поступает в ремонт λ холодильников. Поток заявок пуассоновский.
Время
ремонта
подчиняется
экспоненциальному
закону
распределения
вероятностей, в среднем в течение дня при семичасовом рабочем дне каждый из
мастеров ремонтирует μ холодильников. Требуется определить:
1) вероятность того, что все мастера свободны от ремонта холодильников,
2) вероятность того, что все мастера заняты ремонтом,
3) среднее время ремонта одного холодильника,
4) в среднем время ожидания начала ремонта для каждого холодильника,
5) среднюю длину очереди, которая определяет необходимое место для хранения
холодильника, требующего ремонта,
6) среднее число мастеров, свободных от работы.
51.
n  5,
λ  10,
μ  2,5.
52.
n  5,
λ  12,
μ  2.
53.
n  5,
λ  14,
μ  2.
54.
n  6,
λ  10,
μ  2.
55.
n  6,
λ  12,
μ  1,5.
56.
n  6,
λ  14,
μ  1,5.
57.
n  4,
λ  10,
μ  2,5.
58.
n  4,
λ  12,
μ  2.
59.
n  4,
λ  14,
μ  2.
60.
n  3,
λ  14,
μ  3.
Задачи 61-70
61–70. Швейное предприятие реализует свою продукцию через магазин. Сбыт
зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует a
костюмов и b платьев, а при прохладной погоде – c костюмов и d платьев.
Затраты на изготовление одного костюма равны α 0 рублям, а платья – β 0 рублям,
цена реализации соответственно равна α1 рублей и β1 рублей. Определить
оптимальную стратегию предприятия.
61.
a  600, b  1975, c  1000, d  625, α 0  27, β 0  8, α1  48, β1  16.
62.
a  400, b  1600, c  800, d  600, α 0  30, β 0  10, α1  50, β1  20.
63.
a  200, b  1400, c  600, d  500, α 0  32, β 0  12, α1  55, β1  22.
64.
a  700, b  2000, c  1100, c  1100, α 0  25, β 0  7, α1  46, β1  15.
65.
a  800, b  2100, c  1200, d  675, α 0  23, β 0  6, α1  44, β1  14.
66.
a  900, b  2200, c  1300, d  690, α 0  21, β 0  5, α1  42, β1  12.
67.
a  1000, b  2300, c  1400, d  700, α 0  20, β 0  5, α1  40, β1  12.
68.
a  600, b  1975, c  1000, d  625, α 0  30, β 0  10, α1  50, β1  18.
69.
a  600, b  1975, c  1000, d  625, α 0  32, β 0  12, α1  52, β1  20.
70.
a  600, b  1975, c  1000, α 0  34, β 0  14, α1  54, β1  22.