Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» Кафедра «Строительная механика» Ф.И. Кособлик ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СИММЕТРИЧНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Методические указания к выполнению расчетно-графической работы № 1 по курсу «Сопротивление материалов» Хабаровск Издательство ДВГУПС 2012 УДК 620.10+539.3 (075.8) ББК Ж 121я73 К 715 Рецензент – кандидат техничеких наук, доцент кафедры «Строительная механика» ДВГУПС В.Л. Пахомов Кособлик, Ф.И. К 715 Вычисление моментов инерции симметричного поперечного сечения : метод. указания к выполнению расчетно-графической работы № 1 по курсу «Сопротивление материалов» / Ф.И. Кособлик. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2012. – 23 с. : ил. В методических указаниях приведены основные формулы из теории геометрических характеристик плоских сечений, рассмотрен порядок их определения. Приведен пример определения главных геометрических характеристик симметричного сечения, составленного из трех фигур: двух профилей из сортамента по ГОСТ 8510-86 и треугольника. Предназначены студентам 2-го курса дневной формы обучения, изучающим дисциплину «Сопротивление материалов» по программе бакалавр и специалист, выполняющим РГР № 1 «Вычисление моментов инерции симметричного поперечного сечения». УДК 620.10+539.3 (075.8) ББК Ж 121я73 © ДВГУПС, 2012 2 ВВЕДЕНИЕ Расчеты на прочность элементов инженерных сооружений и машин при различных видах деформаций требуют знания геометрических характеристик их поперечных сечений – положения центров тяжести, значения площадей поперечных сечений, главных моментов инерции, полярных моментов инерции и моментов инерции при кручении, радиусов инерции, моментов сопротивления сечений. При осевой деформации основной характеристикой является площадь поперечного сечения. При кручении стержней круглого поперечного сечения – полярный момент инерции и полярный момент сопротивления. При кручении стержней некруглого поперечного сечения – геометрические характеристики, условно называемые моментами инерции и сопротивления при кручении. При поперечном изгибе стержней – осевые моменты инерции и моменты сопротивления. При продольном изгибе для определения гибкости стержня – осевые радиусы инерции сечения. При сложном сопротивлении обычно приходится определять все указанные выше геометрические характеристики поперечных сечений. Рассмотренный в методических указаниях пример позволит студентам научиться определять главные геометрические характеристики симметричного поперечного сечения стержня, выполнить расчетно-графическую работу (РГР) № 1 и подготовиться к тестированию по этой теме, используя рекомендуемую литературу [1–11]. 3 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ Для расчетов на прочность и жесткость строительных и машиностроительных конструкций, в составе которых имеются стержневые элементы: балки, рамы, валы, следует составлять условия прочности, жесткости и устойчивости. В уравнениях условий безопасной работы стержней в знаменатели формул входят геометрические характеристики, которые необходимо научиться определять и вычислять. 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАСЧЕТАХ НА ПРОЧНОСТЬ, ЖЕСТКОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ y При выполнении расчетов на прочность, жесткость, устойчивость и динамику применяют следующие геометрические характеристики поперечных сечений (рис. 2.1). 1. Площадь поперечного сечения стержня (размерность – см2, м2): dA A y yc C x xc Рис. 1. Поперечное сечение стержня A x dA . (1) A 2. Статические моменты площади поперечного сечения (размерность – см3, м3): относительно оси ; (2) относительно оси . (3) 3. Осевые моменты инерций поперечного сечения (размерность – см4, м4): относительно оси ; (4) относительно оси . 4 (5) 4. Центробежный момент инерции поперечного сечения относительно осей и (размерность – см4, м4): (6) 5. Полярный момент инерции поперечного сечения (размерность – см , м4): 4 (7) 6. Моменты сопротивления поперечного сечения (размерность – см3, м3): относительно оси ; (8) относительно оси ; (9) полярный момент сопротивления . (10) Здесь – максимальные расстояния от осей в декартовой и начала координат в полярной системе до самых удаленных точек поперечного сечения. Определение некоторых характеристик для стержня прямоугольного поперечного сечения (рис. 2): ; ; 5 Здесь – площадь элементарной полоски на расстоянии от оси или от оси Зависимость между моментами инерций при параллельном переносе осей (рис. 3) (11) (12) (13) при повороте осей (рис. 3) (14) (15) (16) y y y1 x a x x1 b Рис. 3. Перенос и поворот осей 3. ПОРЯДОК ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЛАВНЫХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНОЙ ФИГУРЫ 1. Разделить сложную фигуру на n простых, провести через центры тяжести каждой фигуры локальные (местные) оси координат (рис. 4). 6 YO y1 yН yC ax y 0m y2 y3 XO x1 a1 1 a2 2 x2 н x1 x a3 x3 ax 0m y3 3 xC с y2 y1 C xН b1 с x2 b2 b3 x3 Рис. 4. Сложная геометрическая фигура 2. Определить положение центра тяжести фигуры в начальных осях ; . : (17) Здесь – координаты центров тяжести отдельной фигуры в начальных осях – площадь -й фигуры поперечного сечения стержня. 2.1. Нанести на чертеже координату точки «С», определить по чертежу координаты (абсциссу и ординату центра тяжести каждой -й фигуры в центральных осях). 7 2.2. Проверить правильность вычисления положения центра тяжести и координат : (18) Cтатический момент площади относительно центральных осей всего сечения должен быть равен нулю. 3. Определить осевые и центробежный моменты инерций в центральных осях: (19) (20) (21) Здесь – момент инерции -й фигуры относительно центральной оси ; – момент инерции -й фигуры относительно своей центральной оси . 4. Определить положение главных центральных осей и моментов инерций относительно их: , (22) . (23) 5. Вычислить радиусы эллипса инерций и моменты сопротивления относительно главных центральных осей: , , (24) . (25) Здесь , – расстояние до наиболее удаленной точки поперечного сечения вдоль соответствующих главных центральных осей, , если и наоборот. 8 4. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РГР № 1. «ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СИММЕТРИЧНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ» 1. Разделим сложную фигуру на простые: треугольник и два неравнополочных уголка. Проведем локальные оси координат через центры тяжести отдельных фигур (рис. 5). Выберем из сортамента (прил. 2) и из таблицы характеристик для простых фигур (прил. 5) геометрические характеристики для всех отдельных фигур. Характеристики отдельных фигур в локальных осях. 1 Уголок 180 110 10: . 2 Уголок 180 110 10: . Так как уголки повернуты относительно сортамента на 90°, осевые моменты инерций для берутся из колонки сортамента (прил. 2) и для – из колонки . 3 Треугольник 36 12: 2. Определим положение центра тяжести всей фигуры в начальных осях 9 y3 13,66 1 4,88 y1 1 18 b1 36 C b2 12,12 12,12 x2 x 0 max 18 2 y2 4,88 1 18 Рис. 5. Симметричное поперечное сечение 12,12 -12,12 x1 3 Yo (max) yc x1 x2 x3 a1 , a 2 a3 y3 1,34 -5,1 xc X o (min) 8 1,44 12,66 1,34 8,56 12 11 10 23 5,1 yc 6,44 y0 max 2.1. Нанесем на чертеже координаты центра тяжести , вычислим по чертежу . Проверим правильность вычисления координат центра тяжести фигуры: Определим относительную погрешность при вычислении координаты центра тяжести по вертикали Допустимая величина невязки . 3. Определим осевые и центробежные моменты инерций в центральных осях 4. Определим положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерций: 11 Так как 5. Вычислим радиусы эллипса инерций и моменты сопротивления относительно главных центральных осей 12 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 УГОЛКИ СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ РАВНОПОЛОЧНЫЕ (сортамент, ГОСТ 8509-86) b t x0 R x o 45 zo обушок y z0 Номер профиля t перо Обозначения: b – длина полок; t – толщина полок; R – радиус закругления обушка; r – радиус закругления пера r Размеры, мм 5 50 5,6 56 6,3 63 7 70 t R 3 4 5,5 5 4 6,0 5 4 5 7 6 4,5 5 6 7 8,0 8 r 1,8 2,0 2,3 2,7 Площадь сечения A, см2 Ix = Iy , см4 2,96 3,89 4,80 4,38 5,41 4,96 6,13 7,28 6,20 6,86 8,15 9,42 10,67 7,11 9,21 11,20 13,10 15,97 18,86 23,10 27,06 29,04 31,94 37,58 42,98 48,16 ix, см Ixо max, см4 ixо max, Iyо min, iyо min, см см4 1,55 1,54 1,53 1,73 1,72 1,95 1,94 1,93 2,16 2,16 2,15 2,14 2,12 11,27 14,33 17,77 20,79 25,36 29,90 36,80 42,91 46,03 50,67 59,64 68,19 76,35 1,95 1,94 1,92 2,18 2,16 2,45 2,44 2,43 2,72 2,72 2,71 2,69 2,68 2,95 3,80 4,63 5,41 6,59 7,81 9,52 11,18 12,04 13,22 15,52 17,77 19,97 y x Примечание: в таблице даны абсолютные величины собственного центробежного момента инерции уголка Ixy. При расчетах знак Ixy принять в зависимости от положения обушка в системе осей XY. b y0 b y x y y x x Масса см |Ixy|, см4 z0, 1 м угол- см ка, кг 1,00 0,99 0,98 1,11 1,10 1,25 1,25 1,24 1,39 1,39 1,38 1,37 1,37 4,16 5,42 6,57 7,69 9,41 11,00 13,70 15,90 17,00 18,70 22,10 25,20 28,20 1,33 1,38 1,42 1,52 1,57 1,69 1,74 1,78 1,88 1,90 1,94 1,99 2,02 2,32 3,05 3,77 3,44 4,25 3,90 4,81 5,72 4,87 5,38 6,39 7,39 8,37 13 13 14 Продолжение прил. 1 Номер профиля 7,5 8 9 10 11 14 Размеры, мм b t 5 6 75 7 8 9 5,5 6 80 7 8 6 7 90 8 9 6,5 7 8 100 10 12 14 16 7 110 8 R r 9,0 3,0 9,0 3,0 10,0 3,3 12,0 4,0 12,0 4,0 Площадь сечения A, см2 Ix = Iy , см4 см Ixо max, см4 7,39 8,78 10,15 11,50 12,83 8,63 9,38 10,85 12,30 10,61 12,28 13,93 15,60 12,82 13,75 15,60 19,24 22,80 26,28 29,68 15,15 17,20 39,53 46,57 53,34 59,84 66,10 52,68 56,97 65,31 73,36 82,10 94,30 106,11 118,00 122,10 130,59 147,19 178,95 208,90 237,15 263,82 175,61 198,17 2,31 2,30 2,29 2,28 2,27 2,47 2,47 2,45 2,44 2,78 2,77 2,76 2,75 3,09 3,08 3,07 3,05 3,03 3,00 2,98 3,40 3,39 62,65 73,87 84,61 94,89 104,72 83,56 90,40 103,60 116,39 130,00 149,67 168,42 186,00 193,46 207,01 233,46 283,83 330,95 374,98 416,04 278,54 314,51 ix, ixо max, Iyо min, iyо min, см см4 см |Ixy|, см4 2,91 2,90 2,89 2,87 2,86 3,11 3,11 3,09 3,08 3,50 3,49 3,48 3,46 3,89 3,88 3,87 3,84 3,81 3,78 3,74 4,29 4,28 16,41 19,28 22,07 24,80 27,48 21,80 23,54 26,97 30,32 33,97 38,94 43,80 48,60 50,73 54,16 60,92 74,08 86,84 99,32 111,61 72,68 81,83 1,49 1,48 1,47 1,47 1,46 1,59 1,58 1,58 1,57 1,79 1,78 1,77 1,77 1,99 1,98 1,98 1,96 1,95 1,94 1,94 2,19 2,18 23,10 27,30 31,20 35,00 38,60 30,90 33,40 38,30 43,00 48,10 55,40 62,30 68,00 71,40 76,40 86,30 110,00 122,00 138,00 152,00 106,00 116,00 Масса z0, 1 м угол- см ка, кг 2,02 2,06 2,10 2,15 2,18 2,17 2,19 2,23 2,27 2,43 2,47 2,51 2,55 2,68 2,71 2,75 2,83 2,91 2,99 3,06 2,96 3,00 5,80 6,89 7,96 9,02 10,07 6,78 7,36 8,51 9,65 8,33 9,64 10,93 12,20 10,06 10,79 12,25 15,10 17,90 20,63 23,30 11,89 13,50 Продолжение прил. 1 Номер профиля Размеры, мм b 12,5 125 14 140 16 160 18 180 20 200 t 8 9 10 12 14 16 9 10 12 10 11 12 14 16 18 20 11 12 12 13 14 16 20 25 30 R r 14,0 4,6 14,0 4,6 16,0 5,3 18,0 6,0 Площадь сечения A, см2 Ix = Iy , 19,69 22,0 24,33 28,89 33,37 37,77 24,72 27,33 32,49 31,43 34,42 37,39 43,57 49,07 54,79 60,40 38,80 42,19 47,10 50,85 54,60 61,98 76,54 94,29 111,54 294,36 327,48 359,82 422,23 418,76 538,56 465,72 512,29 602,49 774,24 844,21 912,89 1046,5 1175,2 1290,2 1418,9 1216,4 1316,6 1822,8 1960,8 2097,0 23,62,6 2871,5 3466,2 4019,6 см 4 ix, см Ixо max, см4 3,87 3,86 3,85 3,82 3,80 3,78 4,34 4,33 4,31 4,96 4,95 4,94 4,92 4,89 4,87 4,85 5,60 5,59 6,22 6,21 6,20 6,17 6,12 6,06 6,00 466,76 520,00 571,04 670,02 763,90 352,84 739,42 813,62 956,98 1229,1 1340,0 1450,0 1662,1 1865,7 2061,0 2248,3 1933,1 2092,8 2896,2 3116,2 3333,0 3755,4 4560,4 5494,0 6351,1 ixо max, Iyо min, iyо min, см см 4 4,87 121,98 4,86 135,88 4,84 148,59 4,82 174,43 4,72 199,62 4,75 224,29 5,47 192,03 5,46 210,96 5,43 248,01 6,25 319,38 6,24 347,77 6,23 375,78 6,20 430,81 6,17 484,64 6,13 537,46 6,10 589,43 7,06 499,78 7,04 540,45 7,84 749,40 7,83 805,35 7,81 861,00 7,78 969,74 7,72 1181,92 7,63 1438,38 7,55 1698,16 z0, 1Масса м угол- см |Ixy|, см4 см ка, кг 2,49 2,48 2,47 2,46 2,45 2,44 2,79 2,78 2,76 3,19 3,18 3,17 3,16 3,14 3,13 3,12 3,59 3,58 3,99 3,98 3,97 3,96 3,93 3,91 3,89 172,00 192,00 211,00 248,00 282,00 315,00 274,00 301,00 354,00 455 496 537 615 690 771 830 716 776 1073 1156 1236 1393 1689 2028 2332 3,36 3,40 3,45 3,53 3,61 3,68 3,78 3,82 3,90 4,30 4,35 4,39 4,47 4,55 4,63 4,70 4,85 4,89 5,37 5,42 5,46 5,54 5,70 5,89 6,07 15,46 17,30 19,10 22,68 26,20 29,65 19,41 21,45 25,50 24,67 27,02 28,35 33,97 38,52 43,01 47,44 30,47 33,12 36,97 39,92 42,80 48,65 60,08 74,02 87,56 15 15 16 Окончание прил. 1 Размеры, мм Номер профиля b 22 220 25 250 16 t R 14 21,0 16 16 18 20 22 24,0 25 28 30 r 7,0 8,0 Площадь сечения A, см2 Ix = Iy , см4 см Ixо max, см4 60,38 68,58 78,40 87,72 96,96 106,12 119,71 133,12 141,96 2814,3 3175,4 4717,1 5247,2 5764,9 6279,3 7006,4 7716,9 8176,5 6,83 6,80 7,76 7,73 7,71 7,09 7,05 7,61 7,59 4470,1 5045,4 7492,1 8336,7 9159,7 9961,6 11125 12244 12965 ix, ixо max, Iyо min, iyо min, см см4 см |Ixy|, см4 8,60 8,58 9,78 9,75 9,72 9,69 9,64 9,59 9,56 1158,56 1305,52 1942,09 2157,78 2370,01 2579,04 2887,86 3189,89 3388,98 4,38 4,36 4,98 4,96 4,94 4,93 4,91 4,90 4,89 1655 1869 2775 3089 3395 3691 4119 4527 4788 z0, 1Масса м угол- см ка, кг 5,91 6,02 6,75 6,83 6,91 7,00 7,11 7,23 7,31 47,40 53,83 61,55 68,86 76,11 83,31 93,97 104,50 111,44 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 УГОЛКИ СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ НЕРАВНОПОЛОЧНЫЕ (СОРТАМЕНТ, ГОСТ 8510-86) перо t Обозначения: B – длина большей полки; b – длина меньшей полки; t – толщина полок; xo, yo – координаты центра тяжести уголка; R – радиус закругления обушка; r – радиус закругления пера; αo – положение главной оси u. обушок R 0 x t y0 B u y r Примечание: в таблице даны абсолютные величины собственного центробежного момента инерции уголка Ixy. При расчетах знак Ixy Принять в зависимости от положения обушка в системе осей х–y. x0 b Размеры, мм Номер уголка B b 5,6/3,6 56 36 6,3/4,0 63 40 7/4,5 70 45 7,5/5 75 50 8/5 80 50 t 4 5 4 5 6 8 5 5 6 8 5 6 R r 6,0 2,0 7,0 2,3 7,5 2,5 8,0 2,7 Площадь сечения A, см2 3,58 4,41 4,04 4,98 5,90 7,68 5,59 6,11 7,25 9,47 6,36 7,55 Ix, ix, Iy, iy, см4 см см4 см 11,4 13,8 16,3 19,9 23,3 29,6 27,8 34,8 40,9 52,4 41,6 48,9 1,78 1,77 2,01 2,00 1,99 1,96 2,23 2,39 2,38 2,35 2,56 2,55 3,70 4,48 5,16 6,26 7,29 9,15 9 12 14,6 18,5 12,7 14,8 1,02 1,01 1,13 1,12 1,11 1,09 1,27 1,43 1,42 1,40 1,41 1,40 Iu min, iu min, см4 см x0, см 2,19 2,65 3,07 3,73 4,36 5,58 5,34 7,2 8,5 10,9 7,6 8,9 0,78 0,78 0,87 0,86 0,86 0,85 0,98 1,09 1,08 1,07 1,00 1,08 0,84 0,88 0,91 0,95 0,99 1,07 1,05 1,17 1,21 1,29 1,13 1,17 y0, см |Ixy |, см4 1,82 1,87 2,03 2,08 2,12 2,20 2,28 2,39 2,44 2,52 2,60 2,65 3,74 4,50 5,25 6,41 7,44 9,27 9,1 12,0 14,1 17,8 13,2 15,5 y y x x y y x x Масса tg α0 угла 1м наклона уголка, оси u кг 0,406 0,404 0,397 0,396 0,393 0,386 0,406 0,436 0,435 0,430 0,387 0,386 2,81 3,46 3,17 3,91 4,63 6,03 4,39 4,79 5,69 7,43 4,49 5,92 17 17 18 Окончание прил. 2 Номер уголка 9/5,6 Размеры, мм B b 90 56 10/6,3 100 63 11/7 110 70 12,5/8 125 80 14/9 140 90 16/10 160 100 18/11 180 110 20/12,5 200 125 18 t 5,5 6 8 6 7 8 10 6,5 8 7 8 10 12 8 10 9 10 12 14 10 12 11 12 14 16 R r 9,0 3,0 10 3,3 11 3,7 12 4,0 13 4,3 14 4,7 Площадь сечения A, см2 7,86 8,54 11,18 9,58 11,09 12,57 15,47 11,45 13,93 14,06 15,98 19,7 23,36 18,00 22,24 22,87 25,28 30,04 34,72 28,33 33,69 34,87 37,89 43,87 49,77 Ix, ix, Iy, см4 см см4 65,3 70,6 90,9 98,3 113 127 154 142 172 227 226 312 365 364 444 606 667 784 897 952 1123 1449 1568 1801 2026 2,88 2,88 2,85 3,20 3,19 3,18 3,15 3,53 3,51 4,01 4,00 3,98 3,95 4,49 4,47 5,15 5,13 5,11 5,08 5,80 5,77 6,45 6,43 6,41 6,38 19,7 21,2 27 31 35 39 47 48 55 74 81 100 117 120 146 186 204 239 272 276 324 446 482 651 617 iy, Iu min, iu min, см x0, см y0, см |Ixy |, см4 1,58 11,8 1,58 12,7 1,56 16,3 1,79 18 1,76 21 1,77 23 1,75 28 2,00 27 1,98 32 2,29 43 2,28 49 2,26 59 2,24 69 2,58 70 2,58 86 2,85 110 2,84 121 2,82 142 2,80 162 3,12 165 3,10 194 3,58 264 3,57 285 3,54 327 3,52 367 1,22 1,22 1,21 1,38 1,37 1,36 1,35 1,53 1,52 1,76 1,75 1,74 1,72 1,58 1,96 2,20 2,19 2,18 2,16 2,42 2,40 2,75 2,74 2,73 2,72 1,26 1,28 1,36 1,42 1,46 1,50 1,58 1,58 1,64 1,80 1,84 1,92 2,00 2,03 2,12 2,24 2,28 2,36 2,43 2,44 2,52 2,79 2,83 2,91 2,99 2,92 2,95 3,04 3,23 3,28 3,32 3,40 3,556 3,61 4,01 4,05 4,14 4,22 4,49 4,58 5,19 5,23 5,32 5,40 5,88 5,97 6,50 6,54 6,62 6,71 20,5 22,2 28,3 31 36 40 49 47 56 75 84 102 118 121 147 194 213 249 282 295 348 465 503 575 643 см см4 tg α0 угла Масса наклона 1 м уголка, кг оси u 0,384 0,384 0,380 0,393 0,392 0,391 0,387 0,402 0,400 0,407 0,406 0,404 0,400 0,411 0,409 0,391 0,390 0,388 0,385 0,376 0,374 0,392 0,392 0,390 0,388 6,17 6,70 8,77 7,53 8,70 9,87 12,14 8,98 10,93 11,04 12,58 15,47 18,34 14,13 17,46 17,96 19,83 23,58 27,20 22,20 26,40 27,37 29,74 34,43 39,07 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ДВУТАВРЫ СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ (сортамент, ГОСТ 8239-89) y t B H x s R Обозначения: H – высота двутавра; B – ширина полки; t – толщина полки; S x – статический момент полусечения; s – толщина стенки; R – радиус сопряжения стенки и полки; r – радиус закругления полки. s 4 12% r B Размер двутавра 19 10 12 14 16 18 20 22 24 27 30 33 36 40 46 50 55 60 Размеры, мм H 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 450 500 550 600 B 55 64 73 81 90 100 110 115 125 135 140 145 155 160 170 180 190 s 4,5 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,4 5,6 6,0 6,5 7,0 7,5 8,3 9 10 11 12 t 7,2 7,3 7,5 7,8 8,1 8,4 8,7 9,5 9,8 10,2 11,2 12,3 13,0 14,2 15,2 16,5 17,8 R 7,0 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 12 13 14 15 16 17 18 20 r 2,5 2,5 3 3,5 3,5 4 4 4 4,5 5 5 6 6 7 7 7 8 Площадь се2 чения A, см Масса 1 м двутавра, кг Ix, см4 Wx, см3 ix, см Sx, см3 Iy, см4 Wy, см3 iy, см 12,0 14,7 17,4 20,2 23,4 26,8 30,6 34,8 40,2 46,5 53,8 61,9 72,6 84,7 100 118 138 9,46 11,5 13,7 15,9 18,4 21 24 27,3 31,5 36,5 42,2 48,6 57 66,5 78,5 92,6 108 198 350 572 873 1290 1840 2550 3460 5010 7080 9840 13380 19062 27696 39727 55962 76806 39,7 58,4 81,7 109 143 184 232 289 371 472 597 743 953 1231 1589 2035 2560 4,06 4,88 5,73 6,57 7,42 8,28 9,13 9,97 11,2 12,3 13,5 14,7 16,2 18,1 19,9 21,8 23,6 23 33,7 46,8 62,3 81,4 104 131 163 210 268 339 423 545 708 919 1181 1491 17,9 27,9 41,9 58,6 82,6 115 157 198 260 337 419 516 667 808 1043 1356 1725 6,49 8,72 11,5 14,5 18,4 23,1 28,6 34,5 41,5 49,9 59,9 71,1 86,1 101 123 151 182 1,22 1,38 1,55 1,70 1,88 2,07 2,27 2,37 2,54 2,69 2,79 2,89 3,03 3,09 3,23 3,39 3,54 19 20 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 ШВЕЛЛЕРЫ СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ С УКЛОНОМ ВНУТРЕННИХ ГРАНЕЙ ПОЛОК (сортамент, ГОСТ 8240-97) t B-s 2 Обозначения: H – высота швеллера; B – ширина полки; t – толщина полок; z – расстояние от оси y до наружной грани стенки; s – толщина стенки; 10 % S x – статический момент полусечения; R – радиус сопряжения H z0 y s R стенки и полки; r – радиус закругления полки. r B Размеры, мм Номер швеллера H B s t R 5У 6,5У 8У 10У 12У 14У 16У 16аУ 18У 18аУ 20У 22У 24У 27У 30У 33У 36У 40У 50 65 80 100 120 140 160 160 180 180 200 220 240 270 300 330 360 400 32 36 40 46 52 58 64 68 70 74 76 82 90 95 100 105 110 115 4,4 4,4 4,5 4,5 4,8 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,2 5,4 5,6 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,1 8,4 9,0 8,7 9,3 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,7 12,6 13,5 6,0 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 8,5 9,0 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 20 r Площадь се2 чения A, см Масса 1 м швеллера, кг Ix, см4 Wx, см3 ix, см Sx, см3 Iy, см4 Wy, см3 iy, см z0, см 2,5 2,5 2,5 3,0 3,0 3,0 3,5 3,5 3,5 3,5 4,0 4,0 4,0 4,5 5,0 5,0 6,0 6,0 6,16 7,51 8,98 10,9 13,3 15,6 18,1 19,5 20,7 22,2 23,4 26,7 30,6 35,2 40,5 46,5 53,4 61,5 4,84 5,90 7,05 8,59 10,4 12,3 14,2 15,3 16,3 17,4 18,4 21,0 24,0 27,7 31,8 36,5 41,9 48,3 22,8 48,6 89,4 174 304 491 747 823 1090 1190 1520 2110 2900 4160 5810 7980 10820 15220 9,1 15,0 22,4 34,8 50,6 70,2 93,4 103 121 132 152 192 242 308 387 484 601 761 1,92 2,54 3,16 3,99 4,78 5,60 6,42 6,49 7,24 7,32 8,07 8,89 9,73 10,90 12,00 13,10 14,20 15,70 5,59 9,0 23,3 20,4 29,6 40,8 54,1 59,4 69,0 76,1 87,8 110 139 178 224 281 350 444 5,61 8,7 12,8 20,4 31,2 45,4 63,3 78,8 86 105 113 151 208 262 327 410 513 642 2,75 3,68 4,75 6,46 8,52 11,0 13,8 16,4 17,0 20,0 20,5 25,1 31,6 37,3 43,6 51,8 61,7 73,4 0,95 1,08 1,19 1,37 1,53 1,70 1,87 2,01 2,04 2,18 2,20 2,37 2,60 2,73 2,84 2,97 3,10 3,23 1,16 1,24 1,31 1,44 1,54 1,67 1,80 2,00 1,94 2,13 2,07 2,21 2,42 2,47 2,52 2,59 2,68 2,75 ПРИЛОЖЕНИЕ 5 ПЛОЩАДИ, КООРДИНАТЫ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ, ОСЕВЫЕ, ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ И ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИЙ НЕКОТОРЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ Форма поперечного сечения Площадь сечения, см2 h/2 1. Прямоугольник y x Ix A bh h/2 с Моменты инерции, см4 b/2 b/2 2. Прямоугольный треугольник y 2h/3 bh3 b 3h ; Iy ; 12 12 I xy 0 x A h/3 с b/3 Ix bh 2 2b/3 bh3 b 3h ; Iy ; 36 36 b 2h 2 I xy 72 2h/3 3. Равнобедренный треугольник y с A h/3 x Ix bh 2 b/2 b/2 4. Круг y r bh3 b 3h ; Iy ; 36 48 I xy 0 A x r с d2 4 r2 Ix Iy I d d4 r4 4 0, 05 d ; 64 4 d4 r4 4 0,1 d ; 32 2 I xy 0 0,424 r 5. Полукруг 4r 3 d/2 y с r r A x x1 d2 8 r2 2 Iy Ix d4 r4 I x1 ; 128 8 0,11 r 4; I xy 0 21 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Александров, А.В. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, В.П. Державин. – 4-е изд. – М. : Высш. шк., 2009 – 560 с. 2. Дарков, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. – М. : Высш. шк., 1989. – 624 с. 3. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М. : Наука,1967. – 552 с. 4. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов : учеб. пособие / Г.М. Ицкович [и др.]. – М. : Высш. шк., 1999. – 592 с. 5. ГОСТ 8240-89. Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент. – М. : Изд-во стандартов, 1990. – 7 с. 6. ГОСТ 8239-89. Двутавры стальные горячекатаные. Сортамент. – М. : Изд-во стандартов, 1990. – 6 с. 7. ГОСТ 85-86. Уголки стальные горячекатаные неравнополочные. Сортамент. – М. : Изд-во стандартов, 1987. – 8 с. 8. ГОСТ 8509-86. Уголки стальные горячекатаные равнополочные. Сортамент. – М. : Изд-во стандартов, 1987. – 10 с. 9. Бушман, Е.Х. Расчеты на прочность и жесткость при простых деформациях : метод. указания / Е.Х. Бушман, Р.В. Киселевич. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2001. – 40 с. 10. Кособлик, Ф.И. Геометрические характеристики плоских сечений : учеб. пособие / Ф.И. Кособлик, О.Л. Рудых – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2011. – 68 с. 11. Бобрин, В.А. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов : учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 2 / В.А. Бобрин, С.А. Бобушев. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2006. – 82 с. : ил. 22 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ............................... 4 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАСЧЕТАХ НА ПРОЧНОСТЬ, ЖЕСТКОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ...................................... 4 3. ПОРЯДОК ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЛАВНЫХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНОЙ ФИГУРЫ........................... 6 4. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РГР № 1. «Вычисление моментов инерции симметричного поперечного сечения» .............................................. 9 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Уголки стальные горячекатаные равнополочные (сортамент, ГОСТ 8509-86) .................................................................................. 13 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Уголки стальные горячекатаные неравнополочные (сортамент, ГОСТ 8510-86) .................................................. 17 ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Двутавры стальные горячекатаные (сортамент, ГОСТ 8239-89) .................................................................................. 19 ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Швеллеры стальные горячекатаные с уклоном внутренних граней полок (сортамент, ГОСТ 8240-97) ..................... 20 ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Площади, координаты центров тяжести, осевые, центробежные и полярный моменты инерций некоторых поперечных сечений стержней ......................................................... 21 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ..................................................................... 22 23 Учебное издание Кособлик Феликс Иосифович ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СИММЕТРИЧНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Методические указания к выполнению расчетно-графической работы № 1 по курсу «Сопротивление материалов» Редактор Н.В. Смышляева Технический редактор Н.В. Ларионова ———————————————————————————— План 2012 г. Поз. 4.17. Подписано в печать 04.05.2012. Гарнитура Arial. Печать RISO. Уч.-изд. л. 1,4. Усл. печ. л. 1,5. Зак. 149. Тираж 75 экз. Цена 96 р. ———————————————————————————— Издательство ДВГУПС 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47. 24 25 Ф.И. Кособлик ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СИММЕТРИЧНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Методические указания к выполнению расчетно-графической работы № 1 по курсу «Сопротивление материалов» 26 27
