Инв. № ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ВЫСШЕЕ ОБЩЕВОЙСКОВОЕ КОМАНДНОЕ УЧИЛИЩЕ ИМЕНИ МАРШАЛА СОВЕТСКОГО СОЮЗА К.К. РОКОССОВСКОГО Кафедра (естественно-научных и общетехнических дисциплин) ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Благовещенск Издание училища 2019 2 Учебно-методическое пособие «Варианты заданий и примеры выполнения расчетно-графических работ по дисциплине «Техническая механика» разработано авторским коллективом в составе: кандидата технических наук, доцента Ларченко Н.М., кандидата технических наук, профессора Глабец Т.В., кандидата технических наук, преподавателя Борозда А.В. Рецензенты: доктор технических наук, профессор Евдокимов В.Г. кандидат технических наук, доцент Худовец В.И. «Варианты заданий и примеры выполнения расчетно-графических работ по дисциплине «Техническая механика». Учебно-методическое пособие. – Благовещенск: Издательство «Дальневосточное высшее общевойсковое командное училище имени Маршала Советского Союза К.К. Рокоссовского», 2019 г., 54 с. Настоящее издание составлено в соответствии с учебной программой дисциплины «Техническая механика» для военных учебных заведений Министерства обороны Российской Федерации. Изложены общие положения, основные зависимости и порядок оформления расчетно-графических работ по технической механике. Предназначено для работы курсантов и иностранных военнослушателей в часы самостоятельной работы. . 3 Содержание Введение……………………………………………………………………….. Общие требования к выполнению расчетно-графической работы......... Растяжение и сжатие…………………………………………………… 1. 1.1 Продольная сила.………………………………………………………… 1.2 Напряжение при растяжении и сжатии………………………………… 1.3 Деформации и перемещения……………………………………………. 1.4 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии…………….………... 1.5 Задание на расчетно-графическую работу № 1 «Расчет стержня на прочность при растяжении и сжатии»…………... 1.6 Пример решения расчетно-графической работы № 1…………………. 1.7 Образец оформления расчетно-графической работы № 1…………… Кручение…………………………………………………………………. 2. 2.1 Скручивающие и крутящие моменты…………………………………... 2.2 Напряжение и расчеты на прочность при кручении…………………... 2.3 Задание на расчетно-графическую работу № 2 «Расчет вала на прочность при кручении»……………………………... 2.4 Пример решения расчетно-графической работы № 2.………………… 2.5 Образец оформления расчетно-графической работы № 2…………….. Изгиб……………………………………………………………………... 3. 3.1 Понятие изгиба………………………………………………………....... 3.2 Элементы конструкций, работающие на изгиб………………………... 3.3 Поперечная сила и изгибающий момент………………………………. 3.4 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов………… 3.5 Напряжения и расчеты на прочность при изгибе……………………… 3.6 Задание на расчетно-графическую работу № 3 «Расчет балки на прочность при изгибе................................................... 3.7 Пример решения расчетно-графической работы № 3…………………. 3.8 Образец оформления расчетно-графической работы № 3…………….. Приложение А………………………………………………………………….. Критерии оценки расчетно-графических работ……..................................... Список использованной литературы…………………………………………. . 4 6 8 8 9 9 11 13 18 20 21 21 22 25 30 32 33 33 35 35 37 39 41 46 49 51 52 53 4 ВВЕДЕНИЕ Одна из важных задач сопротивления материалов состоит в том, чтобы создаваемые и проектируемые элементы конструкций боевых машин были прочными. Подобного рода задача достигается за счет разработки практически приемлемых, простых приемов расчета типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. При этом широко используются различные приближенные методы. Одним из первых приемов проектирования в сопротивлении материалов является расчет на прочность и жесткость. В то же время без основ знаний расчетных положений сопротивления материалов невозможно правильно вести эксплуатацию боевой техники. В процессе эксплуатации боевых машин на их узлы и детали действует комплекс нагрузок, обусловленных спецификой работы двигателя, качением колес по опорной поверхности, воздействием водителя, водителя-механика на органы управления, неточностью изготовления деталей и т.п. Под воздействием различных нагрузок детали боевых машин изнашиваются, в них накапливаются усталостные повреждения, которые в отдельных случаях могут привести к поломкам (рисунки 1 и 2). Поломки могут произойти также под действием чрезмерно больших динамических нагрузок. Чем тяжелее дорожные условия и выше скорость движения, тем больше нагрузки, действующие на тот или иной его узел или агрегат. Рисунок 1. Разрушение вала передачи Рисунок 2. Разрушение шатуна двигателя внутреннего сгорания Высокая надежность (в частности, долговечность) должна закладываться при конструировании военной техники, реализоваться при их изготовлении и поддерживаться во время эксплуатации. Виды отказов при эксплуатации военной техники могут быть разделены на две группы: . 5 1) отказы, носящие внезапный характер, например, хрупкое разрушение, когда напряжения превышают предел прочности какой-либо детали конструкции; 2) отказы, возникающие в результате постепенно необратимого накопления, повреждений в конструкции: накопление усталостных повреждений, ведущее к развитию усталостной трещины, и изнашивание в результате механических воздействий. Для повышения надежности военной техники требуется решить комплекс проблем, из которых основными являются следующие: - создание высококачественных исходных материалов, обладающих необходимыми физико-механическими свойствами при высокой их стабильности; - дальнейшее совершенствование методов разработки конструкций автомобилей, определение оптимальных геометрических размеров деталей с заданным сроком службы и с учетом влияния технологии изготовления на их ресурс; - дальнейшее улучшение условий эксплуатации военной техники. Прочность и долговечность деталей военной техники определяют по фактическим нагрузкам, полученным измерениями при испытаниях опытных образцов военной техники, а также по расчетным нагрузкам, устанавливаемым с учетом переменного нагружения механизмов, входящих в их состав. При расчете деталей военной техники на прочность устанавливают типовой нагрузочный режим, который определяют путем обобщения нагрузочных режимов, полученных в различных условиях эксплуатации, характерных для данного автомобиля. Для расчета на статическую прочность необходимо выявить максимальные нагрузки, обусловленные особо тяжелыми условиями эксплуатации (трогание техники с места с использованием кинетической энергии маховика, резкое отпускание педали сцепления, торможение до юза без выключения сцепления, переезд через значительную неровность и т.п.). При этом возникающие максимальные кратковременные напряжения не должны превосходить предела прочности материала, чтобы деталь не разрушалась. Для расчета на усталостную прочность необходимо определить нагрузочный режим при движении в различных, характерных для данного автомобиля условиях эксплуатации с учетом трогания с места, разгона и торможения. При этом подсчитывают эквивалентные напряжения, характеризующие усталость материала детали при определенном характере изменения нагрузок. Поэтому цель настоящего пособия оказать помощь курсанту в освоении теоретических основ и практических методов расчета элементов деталей автомобильной и бронетанковой техники на прочность. ПОМНИТЕ, что незнание основ конструирования и расчетов деталей машин на прочность приводит к неправильной эксплуатации вверенной техники и к последующим её поломкам! . 6 ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ Основная надпись 40 Курсант обязан выполнять работу по своему варианту, который сообщается ему преподавателем. Работа, выполненная не по своему варианту, не засчитывается. Начинать выполнение работы следует с тщательной проработки теоретического материала по соответствующей теме. Вычисления следует производить, пользуясь счетно-решающим устройством. Точность вычисления ограничивать тремя значащими цифрами. Получив окончательные результаты расчета, необходимо сделать вывод по критериям прочности и экономичности рассчитываемого элемента конструкции. Работа представляется преподавателю для проверки в виде расчетнопояснительной записки. Срок исполнения работы 10 дней со дня получения задания. Расчетно-графическая работа выполняется на стандартных листах писчей бумаги формата А4 (210 х 297) с текстом на одной стороне по общепринятой форме (рисунок 3). Рисунок 3. Формат листов чертежей Стандарт (ГОСТ 2.104–68) устанавливает форму, размеры и порядок заполнения основной надписи. В текстовых документах надписи должны соответствовать форме 2 (рисунок 4, а) и 2а (рисунок 4, б). . 7 а) б) надпись на последующем листе: Рисунок 4. Формы основных надписей В графе (1) следует указать наименование работы (например, «Расчет стержня на прочность при растяжении и сжатии»); в графе 2 – обозначение документа: ЕН и ОТД. 004. 002. 001. 0023. номер варианта номер расчетно-графической работы номер взвода номер роты шифр кафедры Текст и расчеты должны быть написаны четко и аккуратно, одноцветными чернилами, пастой (лучше черной), схемы выполняются в карандаше или черной пастой. Решение задач должно сопровождаться кратким пояснительным текстом и связующими словами, поясняющими последовательность решения. Сокращение слов в тексте расчета не допускается, за исключением общепринятых ГОСТ 7.1277. Используемые символы должны соответствовать ГОСТ 2.321-84 (обозначения буквенные). Расчеты следует выполнять, применяя Международную систему (СИ) единиц физических величин согласно ГОСТ 8.417-81. Оформление работы должно соответствовать ГОСТ 6.38-90; 21.1101-92; 2105-95. Схемы и рисунки помещают в тексте в порядке их необходимости. . 8 1. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 1.1 Продольная сила Осевое растяжение и сжатие испытывают болты, шпильки, шатуны, штоки амортизаторов, буксирные тросы, тросы грузоподъемников, приводные тяги и многие другие детали бронетанковой и автомобильной техники. Каждую из этих деталей можно изобразить в виде призматического стержня постоянного сечения. Осевым растяжением или сжатием называется деформация стержня под действием двух равных и прямо противоположных сил, приложенных к концевым сечениям и направленных по его оси. Если эти силы направлены наружу от концевых сечений, то мы имеем растяжение (рисунок 5, а), в противном случае – сжатие (рисунок 5, б): а) б) Рисунок 5. Осевое растяжение и сжатие При работе стержня на растяжение (сжатие) в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N, представляющая собой равнодействующую внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении стержня. Продольная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, т.е. N F . iz ост . части Продольная сила, направленная от сечения, связана с растяжением и считается положительной; сила, направленная к сечению, связана со сжатием и считается отрицательной. Значение и направление продольной силы определяют с помощью метода сечений. Рассекая стержень плоскостью, отбрасывают одну (любую) часть стержня и, заменив действие отброшенной части на оставленную силой N, составляют уравнение равновесия сил для оставленной части: F iz ост . части . N 0. 9 При расчете стержня на прочность необходимо знать значения внутренних силовых факторов во всех его сечениях. Для этого строят график (эпюру), показывающий, как изменяется внутренний силовой фактор по длине бруса (стержня). График, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называется эпюрой продольных сил (эпюрой N). На границах участков нагружения элемента конструкции – в местах приложения внешних сил Fi на эпюре N имеются «скачки» на величину этих сил. Правило «скачков» используют для проверки правильности нахождения значений продольных сил. Иногда, прежде чем определять величины продольных сил, нужно найти реакции связи в заделке. 1.2 Напряжение при растяжении и сжатии При растяжении (сжатии) нормальные напряжения по площади поперечного сечения распределены равномерно (рисунок 6) и вычисляются по формуле N , A где N – продольная сила в рассматриваемом сечении; А – площадь поперечного сечения. Рисунок 6. Нормальное напряжение в сечении стержня Знак напряжения соответствует знаку продольной силы: нормальные напряжения при растяжении считают положительными, при сжатии – отрицательными. Единица измерения напряжения: Па – паскаль, 1 Па = 1 Н/м2, МПа – мега паскаль, 1 МПа = 1 Н/мм2. Если площадь поперечного сечения стержня непостоянна по его длине, то различны и напряжения. В этом случае для определения наиболее напряженного сечения недостаточно иметь эпюру продольных сил, необходимо построить эпюру нормальных напряжений. 1.3 Деформации и перемещения Деформация – изменение формы и размеров тела под действием приложенных сил. Деформация упругая Δℓe – исчезающая после снятия нагрузки (от англ. elastic). . 10 Деформация пластическая Δℓp – остающаяся после снятия нагрузки (от англ. рlastic). Деформация абсолютная (полная) Δℓ = Δℓe + Δℓp (рисунок 7). Рисунок 7. Деформация стержня Деформация относительная – удлинение стержня, приходящееся на единицу его длины. При растяжении и сжатии степень деформируемости детали характеризуется относительным удлинением, а степень напряженности – напряжением. Гук установил взаимосвязь между напряжением и деформацией (закон Гука): нормальное напряжение σ прямо пропорционально относительной линейной деформации ε = Е, где Е – коэффициент пропорциональности или: модуль нормальной упругости, модуль упругости первого рода, модуль Юнга – константа материала. Е = 2·105 МПа – стали; Е = 1,1·105 МПа – титановые сплавы; Е = 1·105 МПа – медные сплавы; Е = 0,7·105 МПа – алюминиевые сплавы. Модуль упругости характеризует сопротивление материала деформированию растяжением (сжатием) в упругой области. Подставив σ = N/A и ε = Δℓ/ℓ в = Е, получим иную форму записи закона Гука: N , EA где произведение ЕА – жесткость сечения. При решении задач вводят понятие жесткости стержня (участка стержня) (Н/м или Н/мм): С EA . Жесткость стержня численно равна силе, вызывающей удлинение (укорочение), равное единицы длины: 1 м или 1 мм. . 11 Если стержень имеет ступенчато-переменное сечение и нагружен сосредоточенными силами, то изменение длины стержня (удлинение или укорочение) равно алгебраической сумме удлинений (укорочений) отдельных участков: i N i EAi i . В результате растяжения (сжатия) сечения стержня перемещаются. Осевое перемещение δ одного сечения относительно другого равно изменению длины участка стержня между этими сечениями. График, показывающий перемещения всех сечений стержня относительно неподвижного (или условно принятого за неподвижное), называют эпюрой перемещений. 1.4 Расчеты на прочность при растяжении и сжатии Основной задачей расчета конструкции на растяжение (сжатие) является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: σр ≤ [σр]; σс ≤ [σс], где σр и σс – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения; [σр] и [σс] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы: пред , n где σпред – предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им могут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, предел ползучести и др.; [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов. Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят: − от класса конструкции (капитальная, временная), − намечаемого срока эксплуатации, − условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), − вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки), − неточности задания величины внешних нагрузок, − неточности расчетных схем и приближенности методов расчета. − и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5. . 12 Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности: n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %; n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %; n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %; n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %. Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало. Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение. При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности при растяжении и сжатии а) проверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Из левой части условия прочности вычисляют σ = N/A и, сравнивают его с допускаемым ≤ []; б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение [σ]. Из правой части условия прочности определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня А N ; в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение []. Из правой части условия прочности вычисляют внутреннее усилие N N А , а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F ≤ [F]. Допускаемое напряжение для стали принимается равным для растяжения и сжатия, 150 МПа. . 13 1.5 Задание на расчетно-графическую работу № 1 «Расчет стержня на прочность при растяжении и сжатии» Цель работы: получить практические навыки решения инженерных задач связанных с определением продольных сил, нормальных напряжений и перемещений и выполнением прочностных расчетов при осевом растяжении и сжатии. Задание: определить величины продольных сил и напряжений на участках нагруженного стержня; построить их эпюры; определить деформации на каждом участке стержня и величину полной деформации; указать опасный участок и проверить стержень на прочность. В результате выполненной работы иностранные военнослушатели должны полностью усвоить материал темы № 5. Уметь отвечать на все поставленные вопросы. Данные взять из таблицы 1, расчетные схемы (согласно вашему номеру в групповом журнале) – из таблицы 2. Таблица 1. Исходные данные Подразделение 1 группа 2 группа 3 группа 4 группа 5 группа 6 группа . Е, МПа 2,2 х 105 2,3 х 105 2,1 х 105 2,4 х 105 2,6 х 105 2,5 х 105 А, мм2 110 100 120 130 150 140 l, мм 100 50 100 50 100 50 , МПа 120 100 150 130 140 150 F, кН 10 15 10 12 10 15 14 Таблица 2. Варианты расчетных схем 1 3А 2А F 3 А 4F l 5 4А l 7 9 2А 3F . 2А l 4F 3l l 10 2,5А 1,5А 2l 2А А F F 3l 2А F l А 2l А А F А F l 2l 2F 3l F 8 l l 2А А F 3А l 2А А l 2l 3А F l 1,5А 2F 6 2l 3,5А 2А 2l F 2F l F 2l А l А 3F l 1,5А l 4 2А 4А 4F l 2l 2,5А 2 l l F 3l 15 11 3А 2А А 12 2F 13 А l l 14 3А 4А А F 4А 2F F 3l 2l l 4А А F l 16 F 2А А 3F l 5А 2А 2А 2l . 18 3F 3А А А 3l 2l 20 2,5А А F 2l 1,5А F l 3А l 3F l 4F l 2F F А 2l l А l F 19 3l 3l l 17 3l 3А А 15 F 3F 3l 5А l 1,5А F l 2l 2А l 1,5А F 2F l 2l l 16 21 2А 1,5А 3l 3l 3,5А 2А F А 24 1,5А 25 А 2А 26 2А l F 2l 2l F 2F l l 29 5А 3А А 30 l 2l 3,5А 1,5А А F 4F 2l F 2l F 3F 5А 1,5А А 2l l А 28 F 3А 1,5А l 4А 3l 2l F l 27 3А F l F l А А l F l l 3l 4F 2l 3F 2А F 3l . F 2l 23 А 2А 2F F l 5А 22 А l l l 17 31 32 2А А 2l 3l 2А 2l 2А А 34 4F 2l 3l 3А F 4F А 6F 5F 5F 33 2А А 2А А 5F 2l 2l F 2l 3А 35 36 2А А 5F F 3l l 2l 37 38 2А А 2А А 2А А 4F 6F 3F 4l 2l 2l 4F 2F l l l l 3l 39 3А 2А 5F l . l l l l 40 l l 3А 2А 3F l 2l 2F 3F l l l 2l 18 1.6. Пример решения расчетно-графической работы № 1 Задание: Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений . Определить полную деформацию стержня ∆l. Проверить прочность стержня (рисунок 8, а). 3А ΙΙΙ Дано: ΙΙ 2А Ι А F = 12 кН, z 5F F А = 130 мм2, а) l = 50 мм, Ι Е = 2,4·105 МПа, ΙΙ ΙΙΙ [σ] = 130 МПа. 3l l 2l Решение N F z б) Рассматриваем стержень со свободного 4F конца, не определяя реакцию в заделке. + Разбиваем стержень на участки нагружения. Границами участков нагружения явN _ ляются места приложения внешних сил и F изменения размеров поперечного сечения. 4F/3А Данный стержень имеет три участка нагружения. + _ σ 1). Определение продольных сил и постро_ F/2А ение их эпюры F/А Для определения продольных сил на участках нагружения применим метод сеРисунок 8. Расчет стержня на растяжение и сжатие чений. Сечение I-I: мысленно рассечем стержень в пределах участка 1, отбросим левую часть и рассмотрим равновесие оставленной (правой) части, предварительно показав произвольное направление N1 (рисунок 8, б): Fiz 0; N1 F 0; N1 F ; направление N1 выбрано верно. 1 ост . части Продольная сила N1 направлена к сечению, является сжимающей и на эпюре продольных сил ее значение откладываем со знаком «–». Выражение для N можно записать сразу (не составляя уравнение равновесия), если придерживаться следующего правила: нормальная сила в сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на оставшуюся часть стержня. При этом внешняя сила условно считается положительной, если растягивает рассматриваемый участок (сила направлена от сечения), и отрицательной, если сжимает (сила направлена к сечению). Определим продольные силы, применив данное правило: сечение I-I: N1 = – F, (сжатие); сечение II-II: N2 = – F, (сжатие); сечение III-III: N3 = – F + 5F = 4F, (растяжение). По полученным значениям строим эпюру продольных сил. При этом, растягивающие продольные силы считаются положительными, сжимающие – отрицательными. . 19 Положительные значения продольных сил откладываем вверх от оси эпюры N, отрицательные – вниз. Проверяем результаты нахождения продольных сил по правилу «скачков». 2). Определение нормальных напряжений и построение их эпюры Определяем величину напряжений на каждом участке по формуле знак напряжения соответствует знаку продольной силы. N ; A N1 F . A A N F Сечение II-II: 2 2 . 2A 2A N 3 4F Сечение III-III: 3 . 3A 3A Сечение I-I: 1 По полученным значениям напряжений строим эпюру. 3). Определение деформаций участков нагружения и полной деформации стержня Определим деформацию на каждом участке стержня по формуле: i Ni i , EAi N 1 1 F 3 3F , (укорочение). EA1 EA EA N F F 2 2 2 , (укорочение). EA2 E2A 2 EA N 4 F 2 8F 3 3 3 , (удлинение). EA3 E 3 A 3EA 1 Полная деформация: 3F F 8F 5F 5 12 103 50 i 1 2 3 0,016 мм. EA 2 EA 3EA 6EA 6 2,4 105 130 4). Проверка прочности стержня По эпюре напряжений определяем опасный участок: max 3 При F = 12 кН, А = 130 мм2 4 12 103 max 123 МПа. 3 130 Проверяем прочность: max 4F . 3A max 123 МПа 130 МПа, условие прочности выполняется. . 20 1.7 Образец оформления расчетно-графической работы № 1 Дано: F = 12 кН, А = 130 мм2, l = 50 мм, Е = 2,4·105 МПа, [σ] = 130 МПа. Требуется: - построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений; - определить полную деформацию; - проверить прочность стержня. Решение: 1. Определяем продольную силу на каждом участке: Сечение I- I: N1 = F, (сжатие). Сечение II- II: N2 = – F, (сжатие). ΙΙΙ 3А Сечение III-III: N3 = – F + 5F = 4F, (растяжение). ΙΙ 2А Строим эпюру продольных сил. Ι А z 2. Определяем напряжение на каждом участке: 5F F N F Сечение I-I: 1 1 . Ι A A ΙΙ ΙΙΙ N F l 3l 2l Сечение II-II: 2 2 . 2A 2A 4F N 3 4F Сечение III-III: 3 . 3 A 3 A + Строим эпюру напряжений. N 3. Определяем деформацию на каждом участке _ N F стержня по формуле: i i i 4F/3А EAi + N 1 1 F 3 3F , (укорочение). _ σ 1 _ EA1 EA EA F/2А N F F F/А 2 2 2 , (укорочение). EA2 E2A 2 EA N 4 F 2 8F 3 3 3 , (удлинение). EA3 E 3 A 3EA Определяем полную деформацию: 3F F 8F 5F 5 12 103 50 i 1 2 3 0,016 мм. EA 2 EA 3EA 6 EA 6 2,4 105 130 4. Проверяем прочность стержня 4F По эпюре напряжений определяем опасный участок: max 3 . 3A 4 12 103 2 123 МПа. При F = 12 кН, А = 130 мм получаем: max 3 130 Проверяем прочность: max ; max 123 ÌÏà < 130 ÌÏà, вывод: условие прочности выполняется, прочность стержня обеспечена. ЕН и ОТД. 00 . 00 . 00 . 00 . Изм. Лист Разработал Проверил руководитель . № документа Подпись Дата РГР № 1 «Расчет стержня на прочность при растяжении и сжатии» Литер. Лист ДВОКУ Листов 21 2. КРУЧЕНИЕ 2.1 Скручивающие и крутящие моменты Кручением называется такой случай деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор крутящий момент Мк. Деформация кручения возникает при нагружении стержня парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси (рисунок 9). Рисунок 9. Возникновение деформации кручение Деформацию кручения испытывают очень многие детали машин: валы редукторов, коробок передач автомобиля, трансмиссионные валы, валки прокатных станков, шпиндели, рычаги, болты, колонки и др. Во всех машинах и механизмах имеются валы с укрепленными на них различными деталями: зубчатыми колеса-ми, шкивами ременных передач, звездочками цепных передач и т. д., передающими вращающие моменты. (рисунок 10). Рисунок 10. Примеры деформации кручение . 22 Принято внешние силовые факторы называть вращающими или скручивающими моментами и обозначать Т; внутренние усилия – крутящим моментом Мк. На рисунке 11 показаны два вида условных изображений пар сил. Т1 Т2 Т3 Т4 1 1 Т1 Т2 Т3 Т4 Рисунок 11. Расчетная схема на кручение Рассматриваемый стержень имеет несколько участков, границами которых являются места приложения скручивающих моментов. Обычно стержень, работающий на кручение, называют валом. Для определения крутящих моментов при кручении используют, как и при любом виде деформации, метод сечений. Так как равномерно вращающийся вал, как и неподвижный брус, находится в равновесии, то очевидно, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении, должны уравновесить внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса. Отсюда следует, что крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения. В расчетах на прочность и жесткость при кручении знак крутящего момента не имеет физического смысла. Но в тех случаях, когда на брус действуют несколько скручивающих моментов, для удобства построения эпюр целесообразно при вычислении крутящих моментов принять такое правило знаков: при рассмотрении любой из оставленных частей бруса со стороны сечения внешние моменты, действующие по ходу часовой стрелки, считать положительными; действующие против хода часовой стрелки – отрицательными. Так, для оставленной левой части (рисунок 11) Мк1 = Т1 – Т2; для оставленной правой части Мк1 = – Т3 – Т4. В общем случае можно записать: Мк = Тлев.; Мк = Тправ.. Для получения наглядной картины изменения крутящих моментов в различных сечениях строят их эпюру по всей длине бруса. Эпюра крутящих моментов – график изменения крутящих моментов по длине бруса. 2.2 Напряжение и расчеты на прочность при кручении Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, естественно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только касательные напряжения , перпендикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения (рисунок 12, а). . 23 Нормальные напряжения в поперечном сечении не возникают, так как нет продольной силы. Рисунок 12. Напряжение при кручении Формула для определения касательного напряжения имеет вид: М к , Jp где Мк – крутящий момент, возникающий в рассматриваемом сечении; его величина берется из эпюры; Jp – полярный момент инерции, вычисляемый по формулам соответствующих форм сечений; ρ – расстояние от центра сечения до произвольной точки, в которой определяют . Величина Jp является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию. Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности (рисунок 12, б). При ρ = r напряжения достигнут максимального значения: max где W p Jp r M кr М к , Jp Wp – момент сопротивления сечения кручению или полярный момент сопротивления. d 4 d 3 Wp . , 16 32 Условие прочности при кручении имеет вид М max к к . Wp По условию прочности при кручении выполняют три вида расчетов. Для круглого сечения: J p . 24 Условие прочности вала M max Wp max Проверочный расчет (проверка прочности) τ ≤ [τ] Определение допускаемой нагрузки Ò Wp Проектный расчет (подбор сечения) d 3 M max 0,2 Момент сопротивления сечению Wp D 3 16 Wp Условие жесткости вала 1 ñ 4 max d 3 M GI p 16 1). Проверочный расчет. Определив максимальный крутящий момент в поперечном сечении бруса и полярный момент сопротивления сечения, находят max М к / W p и сравнивают его с к : max к . 2). Проектировочный расчет. Определив крутящий момент в сечении бруса и приняв max к , находят требуемое значение полярного момента сопротивления: Wp Mк к . Затем из формулы полярного момента сопротивления Wp для данного поперечного сечения, например для круга Wp d 3 / 16 , вычисляют диаметр бруса d 3 16W p . Полученное значение диаметра в миллиметрах следует округлить до ближайшего большего четного числа или числа, оканчивающегося на 5. 3). Расчет допускаемой нагрузки. Определив полярный момент сопротивления сечения бруса и приняв max к , находят допускаемое значение крутящего момента: M к W p к . Затем, исходя из схемы нагружения, находят максимально допускаемую нагрузку. . 25 2.3 Задание на расчетно-графическую работу № 2 «Расчет вала на прочность при кручении» Цель работы: получить практические навыки решения инженерных задач, связанных с определением крутящих моментов и построения их эпюры. Задание: построить эпюру крутящих моментов и указать наиболее опасный участок. Из расчета на прочность при кручении определить необходимый диаметр вала. В результате выполненной работы иностранные военнослушатели должны полностью усвоить материал темы № 7. Уметь отвечать на все поставленные вопросы. Данные взять из таблицы 3, расчетные схемы (согласно вашему номеру в групповом журнале) – из таблицы 4. Таблица 3. Исходные данные № п/п 1 2 3 4 5 . Наименование параметра Вращающий момент Т1, (Нм) Вращающий момент Т2, (Нм) Вращающий момент Т3, (Нм) Вращающий момент Т4, (Нм) Допускаемое напряжение , (МПа) 1 100 210 90 160 30 2 110 220 100 170 35 Группы 3 4 120 130 230 240 110 120 180 190 40 45 5 140 250 130 200 50 6 150 260 140 150 55 26 Таблица 4. Варианты расчетных схем 2 1 Т1 Т Т2 Т3 Т4 7 9 . Т Т3 Т2 Т4 Т3 Т2 4 3 5 Т1 Т3 Т2 Т Т1 Т4 Т1 Т2 Т4 Т Т3 Т2 Т3 Т1 Т4 Т Т4 Т3 Т2 Т4 Т Т1 6 Т1 Т4 Т4 Т2 Т Т3 Т2 8 Т Т1 10 Т Т1 Т1 Т3 Т3 Т2 Т Т4 27 11 12 Т2 Т Т3 Т2 Т1 Т Т4 Т1 13 Т1 Т Т3 Т2 Т Т4 Т3 Т1 Т4 Т2 Т Т1 Т4 14 Т3 Т4 15 16 Т1 Т2 Т3 Т Т1 Т2 Т4 17 Т3 18 Т Т3 Т4 19 Т Т3 Т2 Т4 Т4 Т 20 Т1 . Т2 Т Т1 Т3 Т3 Т2 Т1 Т2 Т4 28 21 22 Т Т1 Т3 Т2 Т4 Т Т3 Т2 Т4 Т3 Т2 Т Т1 Т4 24 23 Т1 Т Т3 Т2 25 Т4 Т3 Т2 26 Т1 Т4 Т Т1 Т2 Т4 27 Т1 Т4 Т3 Т Т2 28 Т4 Т2 Т3 29 Т4 Т2 Т3 Т1 Т 30 Т Т4 Т3 Т3 Т2 Т4 Т2 Т 31 Т3 Т Т1 Т2 Т Т1 32 Т . Т1 Т1 Т4 Т3 Т1 29 33 Т2 Т Т3 Т1 Т4 Т4 Т3 Т2 Т1 Т 36 Т1 Т2 Т3 Т 38 Т Т1 Т2 40 Т1 34 . 35 Т2 Т Т4 Т3 37 Т4 Т2 Т3 Т 39 Т Т4 Т3 Т1 Т1 Т2 Т1 Т Т3 Т4 Т3 Т4 Т2 Т4 30 2. 4 Пример решения расчетно-графической работы № 2 Задание: построить эпюру крутящих моментов и указать наиболее опасный участок. Из расчета на прочность при кручении определить необходимый диаметр вала (рисунок 13). Дано: Т Т2 Т1 Т3 Т4 Т1 = 130 Нм, ᴠΙ ᴠ Ι ΙΙ Ιᴠ ΙΙΙ Т2 = 240 Нм, Т3 = 120 Нм, 6 2 3 4 5 1 Т4 = 190 Нм, ᴠΙ Ιᴠ ᴠ ΙΙΙ Ι ΙΙ [τ] = 45 МПа. Ι-Ι Решение Т 1). Определение момента Т ΙΙ - ΙΙ Определяем неизвестный внешний момент Т. Для этого составим уравнение равновесия вала ∑Тi = 170 0: Т + Т1 – Т3 – Т2 + Т4 = 0; 50 40 + + 0 0 + Mк откуда определим Т = – Т1 + Т3 + Т2 – Т4 = _ = – 130 + 120 + 240 – 190 = 40 Нм. Выполним проверку: 40 + 130 – 120 – 240 + 190 = 0; 0 190 RА = 0. Рисунок 13. Расчет вала на кручение 2). Определение крутящих моментов и построение их эпюры Разбиваем вал на участки нагружения. Границами участков нагружения являются места приложения внешних моментов. Данный вал имеет шесть участков нагружения. Рассматриваем вал, например, слева направо; применяем принятое правило знаков: сечение I-I: Мк1 = 0; сечение II-II: Мк2 = Т = 40 Нм; сечение III-III: Мк3 = Т + Т1 = 40 + 130 = 170 Нм; сечение IV-IV: Мк4 = Т + Т1 – Т3 = 40 + 130 – 120 = 50 Нм; сечение V-V: Мк5 = Т + Т1 – Т3 = 40 + 130 – 120 – 240 = – 190 Нм; сечение VI-IV: Мк6 = Т + Т1 – Т3 + Т4 = 40 + 130 – 120 – 240 + 190 = 0; Строим эпюру крутящих моментов. Проводим параллельно оси вала базовую (нулевую) линию. В определенном масштабе от базовой линии откладываем значения Мк по участкам. В тех сечениях вала, где приложены моменты внешних сил, на эпюре Мк имеет место «скачок» на величину и в направлении действия момента. 3). Определение требуемого диаметра вала Записываем формулу условия прочности: М max к max . (1) Wp . 31 Абсолютная величина Мкmax = Mк5 = 190 Нм = 190·103 Нмм. Из правой части условия прочности (1) выразим полярный момент сопротивления сечения: М 190 103 W p к max 4222,2 мм 3 . (2) 45 Для сплошного круглого сечения d 3 Wp . (3) 16 Выразим из (3) требуемый диаметр вала: d 3 . 16 W p 3,14 3 16 4222,2 27,8 30 мм. 3,14 32 2.5 Образец оформления расчетно-графической работы № 2 Дано: Т1 = 130 Нм, Т2 = 240 Нм, Т3 = 120 Нм, Т4.= 190 Нм, [τ] = 45 МПа. Требуется: 1. Определить скручивающий моТ Т2 мент Т. Т1 Т3 Т4 ᴠΙ ᴠ Ι ΙΙ Ιᴠ ΙΙΙ 2. Построить эпюру крутящих моментов. 3. Определить диаметр стального 6 2 3 4 5 1 вала. ᴠΙ Ιᴠ ᴠ ΙΙΙ Ι ΙΙ Решение: Ι-Ι 1. Определяем результирующую Т Т Т2 Т1 Т3 Т4 скручивающих моментов: ∑Тi = 0; ᴠ Ι ᴠ Ι ΙΙ Ι ᴠ ΙΙΙ Т Т + Т1 – Т3 – Т2 + Т4 = 0; ΙΙ - ΙΙ Т = – Т1 + Т3 + Т2 – Т4 = = – 130 + 120 + 240 – 190 = 40 Нм; 6 2 3 4 5 1 ᴠ Ι Ι ᴠ ᴠ ΙΙΙ Ι ΙΙ Проверка: 40 + 130 – 120 – 240 + 190 = 0; 0 = 0. 170 Ι-Ι 2. Определяем крутящий момент на 50 40 + Т каждом участке: + 0 + Mк Мк1 = 0; ΙΙ - ΙΙ0 Мк2 = Т = 40 Нм; _ Мк3 = Т + Т1 = 40 + 130 = 170 Нм; Мк4 = Т + Т1 – Т3 = 40 + 130 – 120 = 170 50 Нм; 190 50 Мк5 = Т + Т1 –R АТ3 – Т2 = 40 + + 0 0 + Mк = 40 + 130 –120 – 240 = –190 Нм; Мк6 = Т + Т1 – Т3 – Т2 + Т4 = 40 + 130 – 120 – 240 + 190 = 0. _ Строим эпюру крутящих моментов. 3. Определяем диаметр вала из условия прочности при кручении: 190 max M к max ; Wр RА Mк max = Mк5 = 190 Нм = 190·103 Нмм; Wp Wp d 3 16 M к max ; d 3 190 103 4222,2 мм 3 . 45 16 W p 3,14 3 16 4222,2 27,8 30 мм. 3,14 ЕН и ОТД. 00 . 00 . 00 . 00 . Изм. Лист Разработал Проверил руководитель . № документа Подпись Дата РГР № 2 «Расчет вала на прочность при кручении» Литер. Лист ДВОКУ Листов 33 3. ИЗГИБ 3.1 Понятие изгиба Весьма часто стержни подвергаются действию поперечной нагрузки или внешних пар (рисунок 14 а, б). При действии такой нагрузки происходит изменение кривизны оси стержня, ось стержня прямолинейная до деформации получает криволинейное очертание. а) б) Рисунок 14. Деформация изгиба Изгиб – вид деформации, при котором происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого брус. Поперечная нагрузка, прикладываемая к балке при изгибе, лежит в плоскости, проходящей через продольную ось (рисунок 15). В этой же плоскости располагается изогнутая ось стержня – упругая линия. Внешние силы могут лежать в одной или нескольких плоскостях, проходящих через ось бруса. Такие плоскости называются силовыми. Рисунок 15. Деформация изгиба Изгиб плоский (прямой изгиб) – случай изгиба, при котором внешние силы лежат в главной плоскости инерции и являются перпендикулярными к геометрическим осям. Если сечение имеет ось симметрии, то внешние силы располагаются в плоскости симметрии. Главная плоскость инерции – плоскость, проходящая через геометрическую ось бруса и главную ось инерции (рисунок 16). 34 х z Рисунок 16. Силовая и главные плоскости инерции В случае чистого изгиба (рисунок 17) в поперечных сечениях элемента конструкции возникают изгибающие моменты, т.е. внутренние моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стрежня. Изгиб поперечный – случай изгиба, при котором в сечениях бруса наряду с изгибающим моментом М действует и поперечная сила Q. На рисунке 17 приведены примеры чистого и поперечного изгиба. 17. Примеры чистого и поперечного изгиба . 35 3.2 Элементы конструкций, работающие на изгиб Конструктивный элемент с прямолинейной геометрической осью, обычно в виде бруса, работающий главным образом на изгиб называется балкой. Балка простая – однопролётная балка без консолей, лежащая на двух опорах: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной. Расстояние между опорами называют пролётом (рисунок 18, а). Консоль – балка с одним защемлённым концом или часть балки, свешивающаяся за опору (рисунок 18, б). В боевых машинах и военной автомобильной технике к балкам, например, относятся: разнообразные рычаги, оси, рессоры, балансирные брусья, части рам и т.д. (рисунок 18, а, б, в). а) б) в) maх y q Рисунок 18. Элементы конструкций, работающие на изгиб 3.3 Поперечная сила и изгибающий момент При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М (рисунок 19). Рисунок 19. Поперечная сила и изгибающий момент . 36 Поперечной силой Qу называется равнодействующая внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении балки. Поперечная сила направлена вдоль одной из главных центральных осей инерции (на рисунке 20 вдоль оси у). Рисунок 20. Внутренние силовые факторы при изгибе Поперечная сила в произвольном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось Оу всех внешних сил, приложенных к мысленно отсеченной части балки: Q у Fiy . ост.части F Q Q _ + F Рисунок 21. Правило знаков для поперечной силы Изгибающим моментом называется результирующий момент внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении балки, взятый относительно нейтральной линии сечения. Изгибающий момент Мх в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к мысленно отсеченной части балки, относительно той точки на продольной оси балки, через которую проходит рассматриваемое сечение: М х М ( Fi ). ост.части . 37 Для определения знака изгибающего момента надо мысленно защемить оставленную (при помощи метода сечений) часть балки там, где проходит рассматриваемое сечение, и установить, как каждая из сил (моментов), приложенных к оставленной части, ее изгибает. Внешние силы, (моменты), вызывающие изгиб оставленной части выпуклостью вниз, дают положительный изгибающий момент (рисунок 22, а). Это правило знаков называется правилом сжатого волокна (при условии, что положительные ординаты эпюры моментов откладывают вверх от оси балки). В противном случае (рисунок 22, б) изгибающий момент считается отрицательным. Рисунок 22. Правило знаков для изгибающего момента 3.4 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по характерным точкам Между выражениями изгибающего момента Мх, поперечной силы Qу и интенсивностью распределенной нагрузки q существуют следующие дифференциальные зависимости: dQy dМ х Qу , q dz dz и, следовательно, d 2М х q. dz 2 На основе метода сечений и дифференциальных зависимостей можно сделать ряд выводов о характере эпюр Qу и Мх в зависимости от действующих на балку нагрузок. Для эпюры поперечных сил: 1. На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки. . 38 2. На участке, нагруженной распределенной нагрузкой направленной вниз, поперечная сила убывает, направленной вверх – возрастает; 3. На участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки. 4. Под сечением балки, где приложена сосредоточенная сила, в эпюре поперечных сил имеется скачок, равный величине приложенной силы. 5. В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет своего значения. 6. В концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю. Для эпюры изгибающих моментов: 1. На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратной параболой. Выпуклость параболы направлена в сторону, противоположную действию нагрузки (навстречу ей). 2. На участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается прямой линией. 3. Под сечением балки, где приложена сосредоточенная пара сил, в эпюре изгибающих моментов имеется скачок, равный величине момента приложенной пары сил. 4. Изгибающий момент в концевом сечении балки всегда равен нулю, если в нем не приложена активная или реактивная пара сил. Если же в концевом сечении приложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в этом сечении равен по величине моменту приложенной пары. 5. На участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб, и эпюра изгибающих моментов – прямая, параллельная оси балки. 6. На участке, где поперечная сила Q 0, момент возрастает; если Q 0, то момент убывает. 7. Изгибающий момент принимает экстремальное значение в сечении, где поперечная сила равна нулю. Приведенные выводы о взаимосвязи эпюр Qу и Мх между собой и с внешней нагрузкой позволяют обходиться без составления уравнений поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки. Достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями в соответствии с изложенными выше правилами. Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой. Для определения экстремальных значений изгибающих моментов дополнительно определяются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю. Последовательность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по характерным точкам 1. Определить опорные реакции и найденные их значения проверить. . 39 2. Балку разделить на участки, границы которых совпадают с характерными точками, т.е. с точками приложения сил, пар сил или с точками начала и конца распределенной нагрузки. 3. Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки. 4. Вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру. 5. Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки. 6. Вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру. 3.5 Напряжения и расчеты на прочность при изгибе При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения. В подавляющем большинстве случаев касательные напряжения невелики и их вычисление не представляет практического интереса. Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется по формуле: М max х у, Jх где Мх – изгибающий момент, возникающий в рассматриваемом сечении; J х – момент инерции сечения; у – расстояние от нейтральной линии до точки, в которой вычисляется нормальное напряжение. Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольших значений в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Для балки постоянного сечения наибольшие напряжения возникают в поперечном сечении, где изгибающий момент максимален, и определяется по формуле max М х max у max . Jх Для сечений, симметричных относительно нейтральной линии, max М х h max . Jх 2 Jх Отношение называется моментом сопротивления сечения при изгиh/2 бе или осевым моментом сопротивления – Wх. Для круга d 3 Wх 0,1d 3 . 32 Осевой момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности прямого бруса, работающего на изгиб. . 40 Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, следует применять сечения, симметричные относительно нейтральной линии. Из этих сечений наиболее рациональны двутавровое, коробчатое и кольцевое. При сечениях, симметричных относительно нейтральной линии, формула для расчета на прочность имеет вид: max М х max . Wх Исходя из условия прочности при изгибе, выполняют три вида расчетов. Проверочный расчет (проверка прочности ) σ ≤ [σ] Условие прочности балки Проектный расчет (подбор сечения max ) max М х Wх max max М х Wх Определение Допускаемой нагрузки М Wх 1). Проверочный расчет. Определив максимальный изгибающий момент и момент сопротивления сечения, находят max М х / Wх и сравнивают его с : max . 2). Проектировочный расчет. Приняв max , по изгибающему моменту Мх в опасном сечении находят требуемое значение момента сопротивления: Wх Mх . Затем, исходя из принятой для балки формы поперечного сечения, находят его размеры. 3). Расчет допускаемой нагрузки. Определив осевой момент сопротивления бруса и приняв max , находят допускаемое значение изгибающего момента: M х Wх . . 41 Затем, исходя из схемы нагружения балки, находят максимально допускаемую нагрузку. 3.6 Задание на расчетно-графическую работу № 3 «Расчет балки на прочность при изгибе» Цель работы: выработать практические навыки в решении задач на построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, расчета элементов конструкций на прочность при изгибе. Задание: 1. Определить опорные реакции. 2. Определить поперечные силы и построить эпюру поперечных сил. 3. Определить изгибающие моменты и построить эпюру изгибающих моментов. 4. Подобрать двутавровое сечение балки. В результате выполненной работы иностранные военнослушатели должны полностью усвоить материал темы № 8. Уметь отвечать на все поставленные вопросы. Данные взять из таблицы 5, расчетные схемы (согласно вашему номеру в групповом журнале) – из таблицы 6. Таблица 5. Исходные данные Наименование параметра Интенсивность распределенной нагрузки g, (кН/м) Допускаемое напряжение , (МПа) Длина а, (см) . 1 20 2 25 Группы 3 4 30 35 110 130 120 140 115 125 35 20 40 30 20 40 5 40 6 25 42 Таблица 6. Варианты расчетных схем 1 2 F = qa М = 2,5 qa² M = 1,5qa² F = qa q q 1 2a a 2a a a 3 a 4 F = 2qa M = 0,5qa² F = 2qa M = 0,5qa² q q a 2a a 5 a 2a a 6 М = qa² F = 2qa M M = qa² F = 2qa q 2a a a a 7 q a 2a 8 F = qa q M = qa² M = qa² F = 2qa q 7 2a a a a 2a 10 9 M = 2qa² F = 2qa M = 3,5 qa² q a . a 2a a a 2a F = 3qa q a 43 11 12 F = qa F = qa M = 3qa² M = 2qa² q q a a a 2a 13 14 a 2a F = qa M = 2qa² q F = 2,5qa M = 3qa² q a a 15 a 2a M = qa² F = 0,5qa q a 2a 16 M = qa² F = 3qa q a a 2a 2a a 17 18 M = qa² F = 3qa q M = 3,5qa² F = 2qa a q a a a 2a 19 20 F = 2qa M = 1,5qa² F = 1,5qa M = 2qa² q a . a 2a 2a q a a 2a 44 21 22 M = 4qa² F = qa M = 3qa² q F = 2qa q 21 a 2a 23 2a a a a 24 M = 1,5qa² F = qa M = 4qa² q F = 3qa q 2a 2a a a 26 25 M = qa² M = qa² F = 3qa F = 3qa q q 2a a 28 F = qa M = 2qa² a a M = 4qa² 2a a F = qa M = qa² 30 F = 2qa q 2a . a a q 2a 29 2a a a 27 F = 6qa q a 2a a a a a M = 3,5qa² q 2a 45 31 M = qa² F = 2qa 32 F = 3qa q 2a a a 33 2a 35 34 37 M = 4qa² 36 a 39 M = 2qa² M = qa² F = 2qa 2a a a 38 F = qa M = 0,5qa² F = 2qa q 2a a a q q a 2a a a 2a F = 4qa M = qa² q a a q M = qa² F = qa a a a M = qa² q F = 5qa a M = qa² q 3а a 40 F = 4qa q M = qa² F = 3qa q 2a . a a a 2a a 46 3.7 Пример решения расчетно-графической работы № 3 Задание: 1. Определить опорные реакции. 2. Определить поперечные силы и построить эпюру поперечных сил. 3. Определить изгибающие моменты и построить эпюру изгибающих моментов. 4. Подобрать двутавровое сечение балки (рисунок 19). Дано: F = 3qa, RА RВ M M = 2qa2, q F q = 35 кН/м, 3 = 140 МПа, 2 2/ 4/ 4 В A 1 a = 30 см. ΙΙ Ι ΙΙΙ qz Q Решение: z 1). Оформляем расчетную схему: покаa a 2a зываем реакции связей RА и RВ; равно1,5 qa мерно распределенную нагрузку заменяем сосредоточенной силой Q = 2qa. + 2). Определяем опорные реакции, для + Qy чего составляем уравнения равновесия: _ _ 1,5 a ∑МА = 0; 0,5 qa Q 2a RВ 4a М 0; 2 2,625qa 2,5 qa 1,5 qa 2 + + + 2 2qa 2 Mх Рисунок 19. Расчет балки на изгиб Q 2a М 4qa 2 2qa 2 RВ 0,5qa. 4a 4a ∑МВ = 0; F 4a RA 4a Q 2a М 0; F 4a Q 2a М RA 4a 12qa 2 4qa 2 2qa 2 4,5qa. 4a Составляем проверочное уравнение: ∑Fiy = 0; RA Q F RB 4,5qa 2qa 3qa 0,5qa 0; 0 = 0, следовательно, реакции определены верно. 3). Определяем внутренние силовые факторы Балка имеет три участка нагружения I, II и III. Для определения поперечных сил и изгибающих моментов применим метод характерных точек (сечений). Характерными являются сечения 1, 2, 2′, 3, 4 и 4′. На участках I и III поперечная сила постоянна, на участке II поперечная сила изменяется по линейному закону. Для упрощения выражений, определяющих Q и М, участки нагружения рассматриваем сначала с левой стороны балки (сечения 1, 2 и 2′), затем с правой (сечения 3, 4 и 4′). . 47 Определяем ординаты эпюры Qу в характерных сечениях: сечение 1: Qy1 RA F 4,5qa 3qa 1,5qa; сечение 2: Qy 2 RA F Q1 1,5qa; сечение 2′: Qy 2/ Q2 1,5qa; сечение 3: Qу 3 RВ 0,5qa; сечение 4: Qу 4 RВ Q3 0,5qa; сечение 4′: Qу 4/ RВ Q4 0,5qa. Строим эпюру поперечных сил, учитывая правила построения эпюры Q. На участке, нагруженной распределенной нагрузкой, направленной вниз, поперечная сила убывает (участок II). В точках А и В на эпюре поперечных сил имеются «скачки». В точке В «скачок» равен приложенной в этой точке сосредоточенной силе реакции RB, а в точке А – разности сосредоточенных сил RA и F. Определяем изгибающие моменты Мх в характерных сечениях На участках I и III изгибающий момент изменяется по линейному закону, на участке II – по закону квадратной параболы. сечение 1: М х1 0; 2 2 2 сечение 2: М х 2 RA а F a 4,5qa 3qa 1,5qa ; 2 сечение 2′: М х 2/ M х 2 1,5qa ; 2 сечение 3: М х3 M 2qa ; 2 2 2 сечение 4: М х 4 M RB a 2qa 0,5qa 2,5qa ; 2 сечение 4′: М х 4 М х 4 2,5qa . По полученным значениям, учитывая правила построения, строим эпюру изгибающих моментов. Под точкой приложения сосредоточенной пары сил в эпюре моментов имеется «скачок», равный величине этого момента (сечение 3). На участке II поперечная сила переходит через нуль, меняя знак с «плюса» на «минус»; в этом сечении момент имеет экстремальное значение. Для построения параболы на участке II найдем М экс. Для этого определим, на каком расстоянии z поперечная сила будет равна нулю (рисунок 19): Qz RA F qz; qz 4,5qa 3qa 1,5qa; z 1,5a. Выразим М экс в сечении z: z2 M экс RA а z F a z q ; при z = 1,5 a 2 2 q 1,5 1,5 a 2 z M экс 4,5qa 3qa a z q 1,5qa 2,5a 2 2 3,75qa 2 1,125qa 2 2,625qa 2 . 4. Подбираем сечение балки Определяем максимальный изгибающий момент . 48 М x max 2,625qa 2 2,625 35 103 0,3 8,268 103 Нм. Определяем осевой момент сопротивления 2 Wх М х max 8,268 103 103 59057 мм3 59,057 см3. 140 По найденному моменту сопротивления Wх по таблице ГОСТ 8239-89 подходит двутавровый профиль № 12, его осевой момент сопротивления 3 WхГОСТ = 58,4 см . Проверяем прочность балки выбранного профиля: М х max 8,268 103 103 х max ; М ГОСТ 141,6 МПа; Wх Wх 58,4 103 141,6 МПа > 140 МПа; балка перегружена. Определим % перегрузки: 141,6 140 100 % 100% 1,1 %, что меньше 5%. 140 Вывод: подобранный профиль балки – двутавр № 12 удовлетворяет условию прочности. . 49 3.8 Образец оформления расчётно-графической работы № 3 Дано: F = 3qa, M = 2qa2, q = 35 кН/м, = 140 МПа, a = 30 см. RА F A M q 2 1 2/ 4/ 3 4 ΙΙ Ι qz Требуется: 1. Определить опорные реакции. 2. Определить поперечные силы и построить эпюру поперечных сил. 3. Определить изгибающие моменты и построить эпюру изгибающих моментов. 4. Подобрать двутавровое сечение балки. Решение: 1). Оформляем расчетную схему: показываем реакции связей RА и RВ; равномерно распределенную нагрузку заменяем сосредоточенной силой Q = 2qa. 2). Определяем опорные реакции, для чего составляем уравнения равновесия: ∑МА = 0; RВ В ΙΙΙ Q z a a 2a 1,5 qa + + _ Qy _ 1,5 a Q 2a RВ 4a М 0; 0,5 qa 2,625qa 2 2,5 qa 1,5 qa 2 + + + RA Q 2a М 4qa 2 2qa 2 0,5qa. 4a 4a ∑МВ = 0; F 4a RA 4a Q 2a М 0; RВ 2 2qa 2 Mх F 4a Q 2a М 12qa 2 4qa 2 2qa 2 4,5qa. 4a 4a Составляем проверочное уравнение: ∑Fiy = 0; RA Q F RB 4,5qa 2qa 3qa 0,5qa 0; 0 = 0, следовательно, реакции определены верно. 3). Определяем поперечные силы Qу в характерных сечениях сечение 1: Qy1 RA F 4,5qa 3qa 1,5qa; сечение 2: Qy 2 RA F Q1 1,5qa; сечение 2′: Qy 2 Q2 1,5qa; / сечение 3: Qу 3 RВ 0,5qa; сечение 4: Qу 4 RВ Q3 0,5qa; сечение 4′: Qу 4/ RВ Q4 0,5qa. Строим эпюру поперечных сил с учетом рекомендаций; проверяем значения Qу по «скачкам». ТМ. ЕН и ОТД. 00 . 00 . 00 . 00 . Изм. Лист Разработал Проверил руководитель . № документа Подпись Дата РГР № 3 «Расчет балки на прочность при изгибе» Литер. Лист ДВОКУ Листов 50 4). Определяем изгибающие моменты Мх в характерных сечениях сечение 1: М х1 0; сечение 2: М х 2 R A а F a 4,5qa 3qa 1,5qa ; 2 2 2 2 сечение 2′: М х 2/ M х 2 1,5qa ; сечение 3: М х3 M 2qa 2 ; сечение 4: М х 4 M RB a 2qa 2 0,5qa 2 2,5qa 2 ; сечение 4′: М х 4 М х 4 2,5qa 2 . Определяем М экс Для этого определим, на каком расстоянии z поперечная сила будет равна нулю: Qz RA F qz; qz 4,5qa 3qa 1,5qa; z 1,5a. Выразим М экс в сечении z: M экс RA а z F a z q z2 ; при z = 1,5 a 2 q 1,5 1,5 a 2 z2 1,5qa 2,5a 2 2 3,75qa 2 1,125qa 2 2,625qa 2 . M экс 4,5qa 3qa a z q Строим эпюру изгибающих моментов с учетом рекомендаций; проверяем значения Мх по «скачкам». 5). Подбираем сечение балки Определяем максимальный изгибающий момент 2 М x max 2,625qa 2 2,625 35 103 0,3 8,268 103 Нм. Определяем осевой момент сопротивления Wх М х max 8,268 103 103 59057 мм3 59,057 см3. 140 По найденному моменту сопротивления Wх по таблице ГОСТ 8239-89 подходит двутавровый профиль № 12, его осевой момент сопротивления WхГОСТ = 58,4 см3. Проверяем прочность балки выбранного профиля: М 8,268 103 103 х max х max ; М ГОСТ 141,6 МПа; Wх Wх 58,4 103 141,6 МПа > 140 МПа; балка перегружена. Определяем % перегрузки: 141,6 140 100% 100% 1,1 %, что меньше 5%. 140 Вывод: подобранный профиль балки – двутавр № 12 удовлетворяет условию прочности. ТМ. ЕН и ОТД. 00 . 00 . 00 . 00 . Изм. Лист . № докум. Подпись Дата Лист 51 Приложение А у h − высота двутавра; b − ширина полки; s − толщина стенки; t − средняя толщина полки; А − площадь поперечного сечения; J − момент инерции; W − момент сопротивления; S − статистический момент полусечения; i − радиус инерции. x h S t b-s 4 b № 10 12 14 16 18 20 22 24 27 30 33 36 40 45 50 55 60 . Масса 1м кг Таблица 7. Двутавры стальные горячекатаные (ГОСТ 8239-89) 9,46 11,5 13,7 15,6 18,4 21 24 27,3 31,5 36,5 42,2 48,6 57 66,5 78,5 92,6 108 Размеры мм h b s t А см2 Jx см4 Wx см3 ix см Sx см3 Jу см4 Wу см3 iу см 100 120 140 160 180 200 220 240 270 300 330 360 400 430 450 550 600 55 64 73 81 90 100 110 150 125 135 140 145 155 160 170 180 190 4,5 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,4 5,6 6 6,5 7 7,5 8,3 9 10 11 12 7,2 7,3 7,5 7,8 8,1 8,4 8,7 9,5 9,8 10,2 11,2 12,3 13 14,2 15,2 16,5 17,8 12 14,7 17,4 20,2 23,4 26,8 30,6 34,8 40,2 46,5 53,8 61,9 72,6 84,7 100 118 138 198 350 572 873 1290 1840 2550 3460 5010 7080 9840 13380 19062 27696 39727 55962 76806 39,7 58,4 81,7 109 143 184 232 289 371 472 597 743 953 1231 1589 2035 2560 4,06 4,88 5,73 6,7 7,42 8,28 9,13 9,97 11,2 12,3 13,5 14,7 16,2 18,1 19,9 21,8 23,6 23 33,7 46,6 62,3 81,4 104 131 163 210 268 339 423 545 708 919 1181 1491 17,9 27,9 41,9 58,6 82,6 115 157 198 260 337 419 516 667 808 1043 1356 1725 6,49 8,72 11,5 14,5 18,4 23,1 28,6 34,5 41,5 49,9 59,9 71,1 86,1 101 123 151 182 1,22 1,38 1,55 1,7 1,88 2,07 2,27 2,37 2,54 2,69 2,79 2,89 3,03 3,09 3,23 3,39 3,54 52 КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ «Отлично», если в работе нет ошибок. Расчетные схемы и эпюры силовых факторов выполнены аккуратно в масштабе, в соответствии с правилами и снабжены необходимыми надписями. В расчетной части работы указаны правильно размерности определяемых величин. Решение каждой задачи (или раздела) работы заканчивается логическим, полным выводом. Работа выполнена по принятой форме, с полями и сдана в установленный срок. При защите работы курсант дает правильные и полные ответы на поставленные преподавателем вопросы. «Хорошо», если в работе допущено не более двух ошибок, но не влекущих последующего ошибочного решения всей задачи. Расчетные схемы и эпюры силовых факторов выполнены правильно, в масштабе и аккуратно. В работе правильно указаны размерности определяемых величин. Каждая задача заканчивается выводом. Работа выполнена по принятой форме и сдана в установленный срок. При защите работы курсант дает правильные, но неполные ответы. «Удовлетворительно», если в работе допущено не более двух принципиальных ошибок, в том числе и ошибки в расчетных схемах и эпюрах силовых факторов. Кроме того, в работе имеется не более двух арифметических ошибок. Работа выполнена недостаточно аккуратно. Не везде указаны размерности определяемых величин. Выводы по расчету даны правильно, но не полные. Работа сдана после установленного срока. При защите работы курсант показывает слабые знания по данной теме. «Неудовлетворительно», если в работе допущено более двух грубых ошибок, в том числе в расчетных схемах и эпюрах силовых факторов. Много арифметических ошибок. Работа выполнена неряшливо, сдана после установленного срока. . 53 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Схиртладзе А.Г. Сопротивление материалов: учебник / А.Г. Схиртладзе, Б.В. Романовский Б.В. – М.: Изд. центр «Академия», 2012. – 428 с. 2. Сиренко Р.Н. Сопротивление материалов: учебное пособие / Р.Н. Сиренко. – М.: Издательство Инфра-М, 2016. – 160. 3. Асадулина Е.Ю. Техническая механика: Сопротивление материалов: учебник и практикум для академического бакалавриата / Е.Ю. Асадулина. – М.: Издательство Юрайт, 2017. – 290 с. . 54 Ларченко Н.М., Глабец Т.В., Борозда А.В. Варианты заданий и примеры выполнения расчетно-графических работ по дисциплине «Техническая механика» для иностранных военнослужащих СФ. Учебно-методическое пособие Редактор корректор Подготовлено и сдано в печать ______ 2019 года. Формат бумаги А-4, бумага офисная, усл. Печатных листов___ Тираж 60 экз. Заказ №___Бесплатно. Типография ДВОКУ, Благовещенск, ул. Ленина, 158 .
