НЭК ЛР-3 Восстан

Надежность, эргономика и качество АСОИУ, Вотякова ЛР
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3
НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Цель работы: определить количественные характеристики надежности
восстанавливаемых элементов.
Задачи:
1. Изучить показатели надежности восстанавливаемого элемента.
2.
Освоить
методику
расчетов
показателей
надежности
восстанавливаемых элементов.
3. Подготовить отчет о проделанной работе.
Теоретические сведения
Эксплуатация восстанавливаемых объектов может быть описана
следующим образом: в начальный момент времени объект начинает
и продолжает работу до первого отказа, после отказа происходит
восстановление работоспособности, и объект вновь работает до отказа и т. д.
На оси времени моменты отказов образуют поток отказов, а моменты
восстановлений – поток восстановлений (рис. 2.1).
Рис. 2.1. График функционирования восстанавливаемого объекта:
t1 , t2 , ..., tn – интервалы работоспособности;
1 ,  2 , ...,  n – интервалы восстановлений
Модель безотказности восстанавливаемого элемента отличается от
модели безотказности невосстанавливаемого элемента тем, что в данном
случае надо рассматривать не только наработку до первого отказа, но и
наработку между соседними отказами.
При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и
систем наиболее распространены допущения:
– экспоненциальное распределение наработки между отказами;
– экспоненциальное распределение времени восстановления.
Показателями надежности восстанавливаемого элемента являются:
T – наработка на отказ (среднее время между отказами);
(t ) – параметр потока отказов;
TВ – среднее время восстановления объекта;
(t ) – интенсивность восстановления;
K Г (t ) – функция готовности (вероятность того, что объект готов к
работе в произвольный момент времени t);
K Г (коэффициент готовности) – вероятность того, что объект окажется
в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме
планируемых периодов, в течение которых применение объекта по
назначению не предусматривается;
K ОГ (коэффициент оперативной готовности) – вероятность того, что
объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент
времени (кроме планируемых периодов, в течение которых применение
объекта по назначению не предусматривается) и начиная с этого момента
будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.
Средняя наработка на отказ объекта определяется как отношение
суммарной наработки восстанавливаемого объекта к числу отказов,
произошедших за суммарную наработку:
n
T
 ti
i 1
n(t )
,
где ti – наработка между i – 1 и i-м отказами, ч; n(t ) – суммарное число
отказов за время t.
Параметр потока отказов представляет собой плотность вероятности
возникновения отказа восстанавливаемого объекта, его можно найти по
формуле:
(t ) 
n(t2 )  n(t1 )
,
t2  t1
где n(t1 ) и n(t2 ) – количество отказов объекта, зафиксированных,
соответственно, по истечении времени t1 и t2 .
Если используются статистические
данные об отказах по
определенному количеству восстанавливаемых объектов, то для расчета
значения (t ) можно воспользоваться выражением:
(t ) 
n(ti )
,
N 0 ti
где n( ti ) – количество отказов по всем объектам за интервал времени ti ;
N 0 – количество однотипных объектов, участвующих в эксперименте
(отказавший объект восстанавливается, N 0 = соnst).
Наиболее часто при решении задач надежности используют
простейший поток отказов – пуассоновский поток.
Простейший поток отказов удовлетворяет одновременно трем
условиям: стационарности, ординарности, отсутствию последствий отказов.
Случайные события, образующие простейший поток,
распределены
по закону Пуассона, для которого вероятность pn (t ) возникновения в
течение времени t ровно n отказов вычисляется
по формуле:
pn
n
t  t

(t ) 
e ,
n!
где λ – интенсивность отказов.
Если восстанавливаемый объект при отсутствии восстановления имеет
характеристику λ = const, то, придавая объекту восстанавливаемость, мы
обязаны записать ω(t) = const; λ = ω, и между этими показателями
существуют следующие зависимости:
 
1
1 1
, T  .
 
T
Среднее время восстановления – это математическое ожидание
времени восстановления работоспособного состояния объекта после отказа,
определяется по формуле
TВ 
1 n
 i ,
n i 1
где n – число восстановлений, равное числу отказов;  i – время, затраченное
на восстановление (обнаружение, поиск причины и устранение отказа), ч.
Показатель TВ можно определить и на основании статистических
данных, полученных для М однотипных восстанавливаемых объектов:
M
j
TВ 
j 1
M
nj
,
j 1
где М – количество однотипных объектов, для каждого из которых
определено общее время восстановления за заданное время наблюдений;  j
– время восстановления j-го объекта после i-го отказа, вычисляемое по
формуле
nj
 j   ij ;
i1
n j – количество восстановлений j-го объекта за время наблюдений.
Интенсивность восстановления – это отношение условной плотности
вероятности
восстановления
работоспособного
состояния
объекта,
определенной для рассматриваемого момента времени при условии, что до
этого момента восстановление не было завершено, к продолжительности
этого интервала. Статистическая оценка этого показателя находится как
(t ) 
nВ (t )
,
N н. ср t
где nВ (t ) – количество восстановлений однотипных объектов за интервал
t ; N н. ср – среднее количество объектов, находящихся в невосстановленном
состоянии на интервале t .
В частном случае, когда интенсивность восстановления постоянна, т. е.
(t )  const , вероятность восстановления за заданное время t подчиняется
экспоненциальному закону и определяется по выра-жению
GВ (t )  1  e t ,
а взаимосвязь среднего времени восстановления
восстановления определяется соотношениями
TВ 
1
1
,  .

TВ
и
интенсивности
Для постоянных интенсивностей отказа и восстановления
функция готовности и коэффициент готовности определяются как
K Г (t ) 
объекта

  (  )t
T

e
, KГ 
.
 
T  TВ
Из вероятностного определения коэффициента оперативной готовности
следует, что его значение удовлетворяет уравнению
K ОГ (t )  K Г p(t p ) ,
где K Г – коэффициент готовности; p(t p ) – вероятность безотказной работы
объекта в течение времени t p , необходимого для безотказного использования
по назначению.
Контрольные вопросы и задания
1. Изобразите график функционирования восстанавливаемого
элемента.
2.
Перечислите
критерии
надежности
нерезервированных
восстанавливаемых объектов.
3. Запишите формулу для определения средней наработки на отказ по
статистическим данным.
4. Что такое параметр потока отказов? Запишите формулу для
определения параметра потока отказов по статистическим данным.
5. Укажите признаки и свойства простейшего потока отказов.
6. В чем проявляется свойство стационарности потока отказов
восстанавливаемых объектов?
7. Какими соотношениями связаны среднее время восстановления и
интенсивность восстановления восстанавливаемых объектов?
8. Какой объект называется восстанавливаемым?
9. Как определяется среднее время восстановления объекта?
10. Запишите формулу для определения интенсивности восстановления
объекта.
11. С помощью какого показателя вычисляется вероятность того, что
объект неработоспособен в произвольный момент времен?
12. Что такое коэффициент готовности? Запишите формулу
определения коэффициента готовности для одного восстанавливаемого
объекта.
13. Что характеризует коэффициент оперативной готовности объекта?
Задания к лабораторной работе
Распределение задач по вариантам:
Вариант 1
1, 16
Вариант 11
Вариант 2
2, 15
Вариант 12
Вариант 3
3, 14
Вариант 13
Вариант 4
4, 13
Вариант 14
Вариант 5
5, 12
Вариант 15
Вариант 6
6, 11
Вариант 16
Вариант 7
7, 10
Вариант 17
Вариант 8
8, 9
Вариант 18
Вариант 9
9, 7
Вариант 19
Вариант 10
10, 6
Вариант 20
11, 5
12, 4
13, 3
14, 2
15, 1
1, 10
2, 11
3, 12
4, 13
5, 14
1. Проводилось наблюдение за работой трех однотипных серверов. За
период наблюдения было зафиксировано по первому экземпляру 6 отказов,
по второму и третьему – 11 и 8 отказов соответственно. Наработка первого
экземпляра составила 181 ч, второго – 329 ч и третьего – 245 ч. Требуется
определить наработку серверов на отказ.
2. За наблюдаемый период эксплуатации операционной системы,
находившейся на стадии тестирования под нагрузкой, было зафиксировано 8
отказов. Время восстановления составило: t = {t1 = 12, t2 = 23, t3 = 15, t4 = 9, t5
= 17, t6 = 28, t7 = 25, t8 = 31 мин. Требуется определить среднее время
восстановления работоспособности операционной системы.
3. Интенсивность отказов λ одной из подсистем информационной
системы, которая представляет собой сложную восстанавливаемую систему,
есть величина постоянная λ = 0,015 ч–1. Среднее время восстановления равно
100 ч. Необходимо найти вероятность застать систему в исправном
состоянии в момент времени t = 10 ч.
4. Коэффициент готовности одной из подсистем информационной
системы, которая представляет собой сложную восстанавливаемую систему,
равен 0,9. Среднее время восстановления составляет 100 ч. Требуется найти
вероятность застать систему в исправном состоянии в момент времени t = 12
ч.
5. Интенсивность отказа восстанавливаемого элемента равна λ =
0,0009, а интенсивность восстановления µ = 0,4 1/ч. Определить показатели
надежности элемента: наработку на отказ, среднее время восстановления и
коэффициент готовности.
Рассчитайте значения функции готовности элемента от 0 до 40 ч с
шагом 2 ч и представьте результаты в виде графика зависимости функции
готовности от времени.
6. Элемент имеет экспоненциальный закон распределения времени
работы до отказа и времени восстановления с параметрами:  = 0,05 1/ч;  =
4 1/ч.
Определить:
 вероятность безотказной работы для t0 = 2 ч; t1 = 1,5 ч;
 вероятность отказа для t0 = 4 ч; t1 = 3,5 ч;
 среднюю наработку до отказа;
 среднее время восстановления;
 коэффициент готовности.
7. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было
зафиксировано 7 отказов. Время восстановления составило: t1 = 12 мин; t2 =
23 мин; t3 = 15 мин; t4 = 9 мин; t5 = 17 мин; t6 = 28 мин; t7 = 25 мин; t8 = 31
мин.
Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры TВ.
8. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было
зарегистрировано 6 отказов. Время восстановления составило: t1 = 15 мин; t2 =
20 мин; t3 = 10 мин; t4 = 28 мин; t5 = 22 мин; t6 = 30 мин.
Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.
9. Элемент имеет экспоненциальный закон распределения времени
работы до отказа и времени восстановления с параметрами:
 = 0,000 25 1/ч;  = 0,1 1/ч.
Определить:
 вероятность безотказной работы для t = 500…2 500 и вероятность
отказа в этом же интервале;
 вероятность отказа за время 1 500 ч;
 среднее время наработки до отказа;
 среднее время восстановления;
 коэффициент готовности.
10. Элемент имеет экспоненциальный закон распределения времени
работы до отказа и времени восстановления с параметрами:
 = 0,01 1/ч;  = 0,1 1/ч.
Определить:
 вероятность безотказной работы для t = 1 000…2 500 и вероятность
отказа в этом же интервале;
 вероятность отказа за время 1 500 ч;
 среднее время наработки до отказа;
 среднее время восстановления;
 коэффициент готовности.
11. Интенсивность отказа восстанавливаемого элемента равна λ =
0,0002, а интенсивность восстановления µ = 0,2 1/ч. Определить показатели
надежности элемента: наработку на отказ, среднее время восстановления и
коэффициент готовности.
Рассчитайте значения функции готовности элемента от 0 до 40 ч с
шагом 2 ч и представьте результаты в виде графика зависимости функции
готовности от времени.
12. Поток отказов объекта обладает пуассоновским свойствами c
интенсивностью λ = 0,005 1/ч. Время восстановления является случайным и
распределено по экспоненциальному закону; μ = 2,5 1/ч. Известно, что p1(0) =
1. Определить вероятность нахождения объекта в работоспособном
состоянии через 10 ч работы и вероятность неработоспособности объекта
еще через 15 ч работы. Определить коэффициент готовности, среднее время
восстановления и отказа.
14. В результате сбоев ЭВМ (с экспоненциальным распределением
вероятности безотказной работы) отказывает («зависает») в среднем один раз
в 5 дней (120 ч). Среднее время перезагрузки, удаления испорченных файлов
и восстановления информации занимает 10 мин. Через 4 ч планируется
демонстрация программного продукта. Определить вероятность того, что к
этому времени машина будет в работоспособном состоянии и проработает
безотказно еще 2 ч.
15. Восстанавливаемый объект с экспоненциальным законом
распределения времени безотказной работы и времени восстановления имеет
коэффициент готовности 0,95. Вычислить вероятность безотказной работы
объекта в течение 100 ч, если среднее время восстановления 5 ч.
16. Известно, что интенсивность отказов объекта λ = 0,021 1/ч, а
среднее время восстановления составляет 10 ч. Требуется вычислить
коэффициент готовности и функцию готовности объекта в момент времени t
= 700 ч.
Порядок выполнения работы
1.
Изучите
показатели
надежности
нерезервированных
восстанавливаемых элементов и способы их определения.
2. Получите практическое задание у преподавателя.
3. Выполните расчет показателей надежности в соответствии с
заданием.
4. Ответьте на контрольные вопросы.
5. Составьте отчет в электронном варианте, который должен содержать
титульный лист, цель лабораторной работы, формулы, по которым
производились вычисления, полученные результаты и выводы.