РЕЗОНАНСЫ ФАНО В КВАНТОВОЙ И КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ
ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÁÞÄÆÅÒÍÎÅ
ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ ÂÛÑØÅÃÎ
ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß
"ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ
ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÐÀÄÈÎÒÅÕÍÈÊÈ, ÝËÅÊÒÐÎÍÈÊÈ È
ÀÂÒÎÌÀÒÈÊÈ"
Ì. È. ÒÐÈÁÅËÜÑÊÈÉ
ÐÅÇÎÍÀÍÑÛ ÔÀÍÎ Â ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ È
ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Ìîñêâà 2012
Ìîèì äî÷åðÿì Ãàëèíå è Àëåêñàíäðå
 ïîñîáèè èçëàãàåòñÿ ýëåìåíòàðíîå ââåäåíèå â òåîðèþ ðåçîíàíñîâ Ôàíî. Îáñóæäàþòñÿ îñîáåííîñòè ýòèõ ðåçîíàíñîâ â
êâàíòîâûõ ñèñòåìàõ è âûÿñíÿþòñÿ îáùèå ôèçè÷åñêèå ïðè÷èíû, ïðèâîäÿùèå ê âîçíèêíîâåíèþ òàêèõ ðåçîíàíñîâ. Íà ïðèìåðå êîëåáàíèé äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ ïîäðîáíî ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññè÷åñêàÿ àíàëîãèÿ ýòîãî ÿâëåíèÿ. Èçëîæåíèå
îðèåíòèðîâàíî íà ñòóäåíòîâ ìëàäøèõ êóðñîâ òåõíè÷åñêèõ
ÂÓÇîâ, âëàäåþùèõ îñíîâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è èìåþùèõ õîòÿ áû êà÷åñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ïðèíöèïèàëüíûõ
ïîëîæåíèÿõ êâàíòîâîé ìåõàíèêè, à òàêæå íà øèðîêèé êðóã
÷èòàòåëåé. Ïðåäâàðèòåëüíûõ çíàíèé î ðåçîíàíñàõ Ôàíî ó ÷èòàòåëåé íå ïðåäïîëàãàåòñÿ.
c Ì. È. Òðèáåëüñêèé
Ñîäåðæàíèå
1 Ââåäåíèå
6
2 Êâàíòîâûå ðåçîíàíñû Ôàíî
8
3 Ðåçîíàíñû Ôàíî â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå
3.1
3.2
3.3
3.4
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ îäíîãî ìàÿòíèêà . . . . . .
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ
Îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Âûâîäû
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
18
22
36
4
Óãî Ôàíî (1912 2001).
5
1
Ââåäåíèå
Ô
Ðàáîòà Óãî
àíî (Ugo Fano) [1] îäíà èç ñàìûõ ïîçäíèõ è îäíîâðåìåííî îäíà èç ñàìûõ öèòèðóåìûõ íàó÷íûõ ñòàòåé, ïîñâÿùåííûõ ôóíäàìåíòàëüíûì âîïðîñàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ñòîëü áîëüøîé èíòåðåñ ê ýòîé
ðàáîòå âûçâàí òåì, ÷òî åå çíà÷åíèå âûõîäèò äàëåêî çà ðàìêè êîíêðåòíîé ïðîáëåìû åå èíèöèèðîâàâøåé è ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà òàêèå âàæíûå,
â ïîñëåäíåå âðåìÿ èíòåíñèâíî ðàçâèâàþùèåñÿ íàïðàâëåíèÿ êàê ôèçèêà
êâàíòîâûõ òî÷åê, ôîòîííûå êðèñòàëëû, ïðîáëåìû âûñîêîé ïëîòíîñòè
ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè, íàíîòåõíîëîãèè, à òàêæå íà ìíîãèå ðàçäåëû îïòèêè, ñïåêòðîñêîïèè è ôèçèêè êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ, ñì. [2, 3] è
îáçîð íàèáîëåå ñâåæèõ ðåçóëüòàòîâ â îáëàñòè îïòèêè è ôîòîíèêè â [4].
×åìó æå ïîñâÿùåíà ðàáîòà [1] è ïî÷åìó îíà èìååò ñòîëü áîëüøîå çíà÷åíèå?
Ðàáîòå ïðåäøåñòâîâàëè ýêñïåðèìåíòû Ãàíñà Áîéòëåðà (Hans Beutler)
[5], êîòîðûé ïðè ðàññåÿíèè ñâåòà áëàãîðîäíûìè ãàçàìè íàáëþäàë îñòðûå
ëèíèè ïîãëîùåíèÿ íåîáû÷íîé ôîðìû, ëåæàùèå â îáëàñòÿõ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà.  ñòàòüå [1] Ôàíî äàë èñ÷åðïûâàþùåå îáúÿñíåíèå ýòèì
ýêñïåðèìåíòàì.  óïðîùåííîé ôîðìóëèðîâêå ðåøåííàÿ Ôàíî êâàíòîâîìåõàíè÷åñêàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó.
Ðàññìîòðèì àòîì ãåëèÿ, ïîãëîùàþùèé êâàíò ñâåòà, ýíåðãèÿ êîòîðîãî ~ω áîëüøå ïîòåíöèàëà îäíîêðàòíîé èîíèçàöèè àòîìà I , íî ìåíüøå
ïîòåíöèàëà äâóêðàòíîé èîíèçàöèè. Ïîãëîùåíèå òàêîãî êâàíòà äîëæíî
ïðèâîäèòü ê ôîòîèîíèçàöèè àòîìà, êîòîðàÿ, îäíàêî, ìîæåò èäòè äâóìÿ
ðàçëè÷íûìè ïóòÿìè, ñì. Ðèñ. 1.
 îäíîì ñëó÷àå âñÿ ýíåðãèÿ ïîãëîùåííîãî êâàíòà ïåðåäàåòñÿ îäíîìó
ýëåêòðîíó, êîòîðûé ïðèîáðåòàåò ýíåðãèþ, áîëüøóþ ïîòåíöèàëà èîíèçàöèè è ïîêèäàåò àòîì: He + ~ω → He+ + e. Âî âòîðîì ñëó÷àå ïîãëîùåííûé êâàíò ñâåòà ñíà÷àëà ïåðåâîäèò àòîì â íåêîòîðîå êâàçèñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå, âîçáóæäàÿ îáà ýëåêòðîíà, êàæäûé èç êîòîðûõ ïîëó÷àåò ýíåðãèþ ìåíüøóþ ïîòåíöèàëà èîíèçàöèè.  ýòîì âîçáóæäåííîì
ñîñòîÿíèè àòîì íàõîäèòñÿ äîâîëüíî äîëãîå âðåìÿ, ïîêà çà ñ÷åò ýëåêòðîíýëåêòðîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýíåðãèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè ïåðåðàñïðåäåëÿåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî îäèí èç íèõ ïåðåõîäèò íà ìåíåå âîçáóæäåííûé óðîâåíü. Ïðè ýòîì åãî ýíåðãèÿ ïåðåäàåòñÿ âòîðîìó ýëåêòðîíó,
òàê ÷òî ýíåðãèÿ ïîñëåäíåãî ñòàíîâèòñÿ áîëüøå ïîòåíöèàëà èîíèçàöèè, è
îí ïîêèäàåò àòîì. Òàêîé ïðîöåññ "ñïîíòàííîé" èîíèçàöèè çà ñ÷åò ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ìåæäó âîçáóæäåííûìè ýëåêòðîíàìè íàçûâàåòñÿ
àâòîèîíèçàöèåé. Â öåëîì ñõåìà ýòîãî ïðîöåññà âûãëÿäèò ñëåäóþùèì
îáðàçîì: He + ~ω → He∗ → He+ + e.
6
Автоионизация
Ионизация
ħω
Ðèñ. 1: Äâà âîçìîæíûõ ïóòè ôîòîèîíèçàöèè àòîìà ãåëèÿ íåðåçîíàíñíûé, íåïîñðåäñòâåííî ïðèâîäÿùèé ê èîíèçàöèè, è ðåçîíàíñíûé, ïðèâîäÿùèé ê àâòîèîíèçàöèè ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íîå âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå
(ñõåìàòè÷åñêè).
7
2
Êâàíòîâûå ðåçîíàíñû Ôàíî
Êàê âñåãäà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, êîãäà îäíè è òå æå íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå ñîñòîÿíèÿ ñâÿçàíû ðàçëè÷íûìè ïóòÿìè, âîëíîâûå ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå êàæäîìó èç ýòèõ ïóòåé, èíòåðôåðèðóþò äðóã ñ äðóãîì.
 çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ àìïëèòóä è ôàç ýòèõ âîëíîâûõ ôóíêöèé
èíòåðôåðåíöèÿ ìîæåò ïðèâîäèòü êàê ê óâåëè÷åíèþ âåðîÿòíîñòè ôîòîèîíèçàöèè, òàê è (ïàðàäîêñàëüíûé ðåçóëüòàò) ê ïîëíîìó ïîäàâëåíèþ
ýòîãî ïðîöåññà. Ýòèìè èíòåðôåðåíöèîííûìè ýôôåêòàìè è îáúÿñíÿåòñÿ
ñòðàííàÿ ôîðìà ëèíèé, íàáëþäàâøèõñÿ Ãàíñîì Áîéòëåðîì.
Ïîïðîáóåì òåïåðü ðàçîáðàòüñÿ, ïî÷åìó îïèñàííîå âûøå ðàññåÿíèå
ñâåòà íîñèò ðåçîíàíñíûé õàðàêòåð. ×òî êàñàåòñÿ ïåðâîãî ïóòè, êîãäà
ýëåêòðîí íåïîñðåäñòâåííî âûðûâàåòñÿ èç àòîìà çà ñ÷åò ïîãëîùåíèÿ êâàíòà ñâåòà, òî ýòîò ïðîöåññ íîñèò íåðåçîíàíñíûé õàðàêòåð è åãî âåðîÿòíîñòü ñðàâíèòåëüíî ñëàáî çàâèñèò îò ýíåðãèè êâàíòà ïðè óñëîâèè ~ω > I .
 òåîðèè ðåçîíàíñîâ Ôàíî òàêîé ïóòü íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì èëè íåðåçîíàíñíûì (background partition).
Âåðîÿòíîñòü æå àâòîèîíèçàöèè äîëæíà èñïûòûâàòü ìàêñèìóì ïðè
ýíåðãèè êâàíòà ðàâíîé ñóììàðíîé ýíåðãèè, íåîáõîäèìîé äëÿ âîçáóæäåíèÿ îáîèõ ýëåêòðîíîâ íà ñîîòâåòñòâóþùèå óðîâíè ýíåðãèè, è ðåçêî
óìåíüøàòüñÿ ïðè îòêëîíåíèè ýíåðãèè êâàíòà îò ýòîé âåëè÷èíû. Òàêîå
ïîâåäåíèå òèïè÷íî äëÿ ðåçîíàíñíûõ ïðîöåññîâ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ÷åì òàêîé ïóòü íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñíûì (resonant partition). ßñíî ÷òî èç-çà
ðåçêîãî ïàäåíèÿ âåðîÿòíîñòè ðàññåÿíèÿ ïî ðåçîíàíñíîìó ïóòè ïðè îòêëîíåíèè ýíåðãèè êâàíòà îò òî÷êè ðåçîíàíñà îïèñàííûå âûøå èíòåðôåðåíöèîííûå ÿâëåíèÿ ìîãóò íàáëþäàòüñÿ òîëüêî â îêðåñòíîñòè ðåçîíàíñà.
Âíå ðåçîíàíñà íåðåçîíàíñíûé ïóòü èãðàåò îïðåäåëÿþùóþ ðîëü, à ðåçîíàíñíûì ïóòåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.
Ðàñ÷åòû Ôàíî, ó÷èòûâàþùèå êàê âîçìîæíîñòü ïðÿìîé èîíèçàöèè,
òàê è àâòîèîíèçàöèþ ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íîå âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå, äàþò ñëåäóþùóþ çàâèñèìîñòü ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ôîòîèîíèçàöèè σ (ñå÷åíèÿ ôîòîèîíèçàöèè) â îêðåñòíîñòè ðåçîíàíñà îò ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ
E (ôîðìó ëèíèè):
σ∼
[(qΓ/2) + E − Eres ]2
.
(E − Eres )2 + (Γ/2)2
(1)
Çäåñü çíà÷îê “ ∼ ” îçíà÷àåò "ïðîïîðöèîíàëüíî", Γ øèðèíà ëèíèè ðåçîíàíñà, îïðåäåëÿþùàÿñÿ ñðåäíèì âðåìåíåì æèçíè âîçáóæäåííîãî êâàçèñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ, q ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ïàðàìåòð (ïà8
ðàìåòð àñèììåòðèè ),
îïðåäåëÿþùèé àñèììåòðèþ ïðîôèëÿ (1). Êâàäðàò ïàðàìåòðà àñèììåòðèè èìååò ñìûñë îòíîøåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ðåçîíàíñíîãî ïåðåõîäà â êâàçèñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå (ñ ïîñëåäóþùèì èñïóñêàíèåì ýëåêòðîíà çà ñ÷åò àâòîèîíèçàöèè) è íåðåçîíàíñíîãî ïåðåõîäà ýëåêòðîíà â íåñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì (ïðÿìàÿ
èîíèçàöèÿ), E ýíåðãèÿ âîçáóæäåíèÿ è Eres ðåçîíàíñíîå çíà÷åíèå ýòîé
ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýíåðãèè êâàçèñòàöèîíàðíîãî àâòîèîíèçàöèîííîãî óðîâíÿ.
Ôîðìóëó (1) óäîáíî ïåðåïèñàòü, ââåäÿ áåçðàçìåðíóþ ýíåðãèþ =
2(E − Eres )/Γ.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà ïðèîáðåòàåò ñëåäóþùèé óíèâåðñàëüíûé âèä:
( + q)2
(2)
1 + 2
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (2) èìååò åäèíñòâåííûé ìèíèìóì,
ñîîòâåòñòâóþùèé äåñòðóêòèâíîé èíòåðôåðåíöèè, ïðè = −q , â êîòîðîì
σ îáðàùàåòñÿ â íîëü, è åäèíñòâåííûé ìàêñèìóì ïðè = 1/q (êîíñòðóêòèâíàÿ èíòåðôåðåíöèÿ), â êîòîðîì ïðàâàÿ ÷àñòü (2) ðàâíà 1 + q 2 .
×òîáû ñðàâíèòü ôîðìó ëèíèè ðåçîíàíñîâ Ôàíî ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà àñèììåòðèè q , óäîáíî íîðìèðîâàòü ïðàâóþ ÷àñòü (2) íà
âåëè÷èíó åå ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ 1 + q 2 , ïîñëå ÷åãî îíà ïðèîáðåòàåò
âèä
( + q)2
1
·
(3)
1 + q 2 1 + 2
σ∼
Ïðè q → ∞ âåðîÿòíîñòü íåðåçîíàíñíîãî ïåðåõîäà â íåïðåðûâíûé
ñïåêòð (ïðÿìàÿ èîíèçàöèÿ) ïðåíåáðåæèìî ìàëà. Äåñòðóêòèâíàÿ èíòåðôåðåíöèÿ ïîëíîñòüþ ïîäàâëÿåòñÿ. Èîíèçàöèÿ ïðîèñõîäèò ÷åðåç ðåçîíàíñíîå âîçáóæäåíèå ïðîìåæóòî÷íîãî ñîñòîÿíèÿ ñ ïîñëåäóþùåé àâòîèîíèçàöèåé.  ýòîì ñëó÷àå ëèíèÿ ðåçîíàíñà Ôàíî, îïèñûâàåìàÿ âûðàæåíèåì (3) ïåðåõîäèò â òèïè÷íûé äëÿ ðåçîíàíñíûõ ÿâëåíèé ñèììåòðè÷íûé
ëîðåíöåâñêèé ïðîôèëü:
1
(4)
1 + 2
 êâàíòîâîé òåîðèè ðàññåÿíèÿ òàêîé ïðîôèëü íàçûâàåòñÿ ïðîôèëåì
Áðåéòà-Âèãíåðà (Breit-Wigner).
 îáðàòíîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå q → 0 ïîäàâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíàÿ
èíòåðôåðåíöèÿ. Ôîðìà ëèíèè îïÿòü ïðèîáðåòàåò ñèììåòðè÷íûé âèä
2
,
1 + 2
9
íî ýòà ñèììåòðè÷íàÿ ëèíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëóáîêèé ïðîâàë, â öåíòðå êîòîðîãî ñå÷åíèå èîíèçàöèè îáðàùàåòñÿ â íîëü. Òàêîå ïîâåäåíèå õàðàêòåðíî òîëüêî äëÿ ðåçîíàíñîâ Ôàíî è íå âñòðå÷àåòñÿ â äðóãèõ ðåçîíàíñíûõ ÿâëåíèÿõ.
Íàêîíåö, ïðè q ïîðÿäêà åäèíèöû êàê äåñòðóêòèâíàÿ, òàê è êîíñòðóêòèâíàÿ èíòåðôåðåíöèè âûðàæåíû îäèíàêîâî ñèëüíî, è ëèíèÿ èìååò àñèììåòðè÷íóþ ôîðìó, íàèáîëåå òèïè÷íóþ äëÿ ðåçîíàíñîâ Ôàíî. Ïðîôèëè
ëèíèé ðåçîíàíñà Ôàíî ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà àñèììåòðèè
q ïðåäñòàâëåíû íà Ðèñ. 2.
Ïîäâåäåì íåêîòîðûå ïðîìåæóòî÷íûå èòîãè. Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî êðèòè÷åñêèì ìîìåíòîì äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ðåçîíàíñîâ Ôàíî ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå äâóõ ïóòåé ðàññåÿíèÿ, èç êîòîðûõ îäèí ðåçîíàíñíûé âåðîÿòíîñòü ðàññåÿíèÿ ïî ýòîìó ïóòè èìååò ðåçêèé ìàêñèìóì ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè ýíåðãèè ôîòîíà è áûñòðî ñïàäàåò ïðè îòêëîíåíèè
ýíåðãèè îò ýòîãî çíà÷åíèÿ. Âòîðîé ïóòü ÿâëÿåòñÿ íåðåçîíàíñíûì, è ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåðîÿòíîñòü çàâèñèò îò ýíåðãèè ôîòîíà ñðàâíèòåëüíî ñëàáî. Íåîáû÷íàÿ ôîðìà ëèíèè ðåçîíàíñà Ôàíî ñâÿçàíà ñ èíòåðôåðåíöèåé
âîëí, ðàññåÿííûõ ïî êàæäîìó èç ýòèõ ïóòåé.
Èç ñêàçàííîãî ÿñíî, ÷òî ðàññìîòðåííàÿ Ôàíî çàäà÷à íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøåé êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîé çàäà÷åé ðàññåÿíèÿ, äåìîíñòðèðóþùåé ðåçîíàíñû òàêîãî âèäà. Ìû âïîëíå ìîæåì îòêàçàòüñÿ îò çàäà÷è ôîòîèîíèçàöèè àòîìà ãåëèÿ è ðàññìîòðåòü ñóùåñòâåííî áîëåå ïðîñòóþ çàäà÷ó
î êâàíòîâîì ðàññåÿíèè ÷àñòèöû íà ïîòåíöèàëå, èìåþùèì êâàçèäèñêðåòíûé óðîâåíü, ñì. Ðèñ. 3, ãäå ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåí òèïè÷íûé ïðèìåð
òàêîé ñèòóàöèè.
Íàïîìíèì, ÷òî êâàçèäèñêðåòíûì óðîâíåì íàçûâàåòñÿ óðîâåíü ýíåðãèè â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, îòäåëåííîé îò íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà áàðüåðîì ìàëîé, íî êîíå÷íîé ïðîíèöàåìîñòè. ×àñòèöà, "ñèäÿùàÿ" íà òàêîì
óðîâíå, ñïóñòÿ íåêîòîðîå êîíå÷íîå âðåìÿ (îïðåäåëÿåìîå ïðîíèöàåìîñòüþ
áàðüåðà) òóííåëèðóåò è óéäåò "íà áåñêîíå÷íîñòü". Ïîýòîìó äàííûé óðîâåíü íå íàñòîÿùèé äèñêðåòíûé óðîâåíü ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþùèé
ñâÿçàííîìó ñîñòîÿíèþ ÷àñòèöû, â êîòîðîì îíà ïðåáûâàåò âå÷íî, à êâàçè äèñêðåòíûé ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì æèçíè.
Óìåñòíî îòìåòèòü, ÷òî ïîíÿòèå òóííåëèðîâàíèÿ ñ êâàçèäèñêðåòíîãî
óðîâíÿ áûëî âïåðâûå áëèñòàòåëüíî ïðèìåíåíî âûäàþùèìñÿ ôèçèêîì,
íàøèì ñîîòå÷åñòâåííèêîì Ãåîðãèåì Àíòîíîâè÷åì Ãàìîâûì äëÿ îáúÿñíåíèÿ ÿâëåíèÿ α-ðàñïàäà ÿäåð òÿæåëûõ ýëåìåíòîâ. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ñòàòüÿ [6] âûøëà â 1928 ã., êîãäà Ãàìîâó áûëî 24 ãîäà (!). Ýòî áûëî ïåðâîå ïðèìåíåíèå êâàíòîâîé ìåõàíèêè äëÿ îáúÿñíåíèÿ ÿâëåíèé ÿäåðíîé
ôèçèêè. Çà ïîëó÷åííûå â ðàáîòå [6] ðåçóëüòàòû Ãàìîâ â âîçðàñòå 28 ëåò
áûë èçáðàí ÷ëåíîì-êîððåñïîíäåíòîì Àêàäåìèè íàóê, ñòàâ ñàìûì ìîëî10
Форма линии
1.0
q0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
q1
q 
5
0

5
Ðèñ. 2: Ôîðìà íîðìèðîâàííîé íà 1 + q 2 ëèíèè ðåçîíàíñà Ôàíî ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà àñèììåòðèè q . Ïîäðîáíåå ñì. â òåêñòå.
11
квазидискретный уровень
U
область туннелирования
непрерывный спектр
дискретный уровень
r
Ðèñ. 3: Êâàíòîâîå ðàññåÿíèå ÷àñòèöû íà ïîòåíöèàëå U (r) ñ êâàçèäèñêðåòíûì óðîâíåì. Çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì êâàçèäèñêðåòíûé óðîâåíü ðàçìûò, ò. å. èìååò êîíå÷íóþ øèðèíó ëèíèè, â
îòëè÷èè îò äèñêðåòíîãî óðîâíÿ, èìåþùåãî åäèíñòâåííîå, ñòðîãî îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè. Ïîäðîáíîñòè ñì. â òåêñòå.
12
äûì ÷ëåíîì Àêàäåìèè çà âñþ èñòîðèþ åå ñóùåñòâîâàíèÿ.
Îäíàêî, âåðíåìñÿ ê îáñóæäåíèþ ðåçîíàíñîâ Ôàíî. Åñëè êâàíòîâàÿ
ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç ðàññåèâàåìîé ÷àñòèöû è ðàññåèâàþùåãî öåíòðà,
èìååò êâàçèäèñêðåòíûé óðîâåíü ýíåðãèè, òî äëÿ ÷àñòèöû, ñ ýíåðãèåé
áëèçêîé ê ýíåðãèè óðîâíÿ, îïÿòü èìååòñÿ äâà ïóòè ðàññåÿíèÿ íåðåçîíàíñíûé, êîãäà ÷àñòèöà ïëàâíî îãèáàåò ðàññåèâàþùèé öåíòð è óõîäèò íà
áåñêîíå÷íîñòü, è ðåçîíàíñíûé, êîãäà ÷àñòèöà ñíà÷àëà çàõâàòûâàåòñÿ íà
êâàçèäèñêðåòíûé óðîâåíü, à ñïóñòÿ êàêîå-òî âðåìÿ òóííåëèðóåò ñ ýòîãî
óðîâíÿ è òîæå óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü.
Âñïîìíèì òåïåðü, ÷òî èç êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà ñëåäóåò, ÷òî ðàññåÿíèå ÷àñòèöû ìîæåò áûòü îïèñàíî êàê ðàññåÿíèå âîëíîâîãî
ïàêåòà. Ïðè ýòîì îòìå÷åííîìó âûøå íåðåçîíàíñíîìó ïóòè ñîîòâåòñòâóåò äèôðàêöèîííîå îãèáàíèå âîëíîâûì ïàêåòîì ðàññåèâàþùåãî öåíòðà.
Ðåçîíàíñíîìó æå ïóòè îòâå÷àåò ïîãëîùåíèå âîëíîâîãî ïàêåòà ðàññåèâàþùèì öåòðîì ñ ïîñëåäóþùèì åãî ïåðåèñïóñêàíèåì. Ðàçóìååòñÿ, ýòî
ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ôàçû ïåðåèçëó÷åííîãî ïàêåòà. Êîãäà îáà ïàêåòà
âñòðå÷àþòñÿ â ïðîñòðàíñòâå îíè èíòåðôåðèðóþò äðóã ñ äðóãîì. Ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ àìïëèòóä è ôàç ïàêåòîâ è
ìîæåò áûòü êàê êîíñòðóêòèâíûì, òàê è äåñòðóêòèâíûì.
Êàê âèäíî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè ÿâëåíèÿ òàêàÿ ñèòóàöèÿ ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà îáñóæäàâøåéñÿ âûøå çàäà÷å î ôîòîèîíèçàöèè. Äåéñòâèòåëüíî, ñòðîãîå ðàññìîòðåíèå ýòîé ïðîáëåìû â ðàìêàõ êâàíòîâîé
òåîðèè ðàññåÿíèÿ [7] äàåò ôîðìó ëèíèè òèïè÷íóþ äëÿ ðåçîíàíñîâ Ôàíî.
3
3.1
Ðåçîíàíñû Ôàíî â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Èç ñêàçàííîãî ðàíåå ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ðåçîíàíñû Ôàíî ýòî ñóãóáî êâàíòîâîå ÿâëåíèå, íå èìåþùåå àíàëîãîâ â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå.
Ïîïðîáóåì ðàçîáðàòüñÿ, òàê ëè ýòî. Ñ ýòîé öåëüþ âû÷ëåíèì èç îáñóæäàâøåéñÿ âûøå êàðòèíû ÿâëåíèÿ åå íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå äåòàëè. Ïðåæäå
âñåãî îòìåòèì, ÷òî åñëè ìû èíòåðåñóåìñÿ âåëè÷èíîé ñèãíàëà â äàííîé,
ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, òî ïðîõîæäåíèå ÷åðåç ýòó òî÷êó âîëíîâîãî ïàêåòà ñîîòâåòñòâóåò îñöèëëÿöèÿì ñèãíàëà â ýòîé òî÷êå. Òàêèì
îáðàçîì, óïðîùàÿ çàäà÷ó ìû ìîæåì îòêàçàòüñÿ îò åå ïðîñòðàíñòâåííîé
çàâèñèìîñòè. Èíûìè ñëîâàìè, âìåñòî èíòåðôåðåíöèè äâóõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëîæåíèå äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Ðåà13
ëèçàöèåé òàêîãî ïðîöåññà â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ÿâëÿþòñÿ êîëåáàíèÿ
ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ.
Âàæíóþ ðîëü â îáñóæäàâøèõñÿ âûøå êâàíòîâûõ ðåçîíàíñàõ Ôàíî
èãðàåò áîëüøîå, íî êîíå÷íîå âðåìÿ æèçíè âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé, ò.å.
ìåäëåííîå çàòóõàíèå ñîáñòâåííûõ ìîä.  êëàññè÷åñêîé çàäà÷å ýòîìó
äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêîâ ñ ìàëûì, íî êîíå÷íûì
êîýôôèöèåíòîì çàòóõàíèÿ.
Ïðè ýòîì â çàäà÷å äîëæåí áûòü âàðüèðóåìûé ïàðàìåòð, èãðàþùèé
ðîëü ÷àñòîòû èîíèçèðóþùåãî èçëó÷åíèÿ â ïðîáëåìå ôîòîèîíèçàöèè èëè
ýíåðãèè ÷àñòèöû â ïðîáëåìå ðàññåÿíèÿ íà ïîòåíöèàëå ñ êâàçèäèñêðåòíûì óðîâíåì. Ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè ýòîãî ïàðàìåòðà óðîâåíü âîçáóæäåíèÿ ñèñòåìû ðåçêî âîçðàñòàåò, à ïðè óäàëåíèè îò ýòîãî çíà÷åíèÿ
ñòîëü æå ðåçêî ïàäàåò. Åñëè ìû ðàññìîòðèì âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêîâ ñ ìàëûìè çíà÷åíèÿìè äèññèïàòèâíûõ êîíñòàíò ïîä äåéñòâèåì
ãàðìîíè÷åñêîé âíåøíåé ñèëû, òî ðîëü òàêîãî ïàðàìåòðà ìîæåò èãðàòü
÷àñòîòà ýòîé ñèëû.
Íàêîíåö, â êâàíòîâîé çàäà÷å àìïëèòóäà ñèãíàëà, ïðèõîäÿùåãî ïî ðåçîíàíñíîìó ïóòè, ðåçêî ïàäàåò ïðè îòêëîíåíèè ýíåðãèè ôîòîíà (ðàññåèâàåìîé ÷àñòèöû) îò åå ðåçîíàíñíîãî çíà÷åíèÿ. Ìåæäó òåì, êàê àìïëèòóäà íåðåçîíàíñíîãî ñèãíàëà ìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì ñðàâíèòåëüíî ìàëî.
Ïðîñòåéøèì êëàññè÷åñêèì àíàëîãîì ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè, îòðàæàþùåé âñå ïåðå÷èñëåííûå îñîáåííîñòè êâàíòîâîãî ÿâëåíèÿ, äîëæíû
áûòü êîëåáàíèÿ äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè
ω01 è ω02 , êîãäà íà ïåðâûé ìàÿòíèê äåéñòâóåò ãàðìîíè÷åñêàÿ âûíóæäàþùàÿ ñèëà ïîñòîÿííîé àìïëèòóäû A è ÷àñòîòû ω , à âòîðîìó ìàÿòíèêó
êîëåáàíèÿ ïåðåäàþòñÿ ÷åðåç óïðóãóþ ñâÿçü ñ ïåðâûì. Ïðè ýòîì ñèãíàëîì, ñîîòâåòñòâóþùåì ñå÷åíèþ ðàññåÿíèÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ÿâëÿåòñÿ àìïëèòóäà êîëåáàíèé ïåðâîãî ìàÿòíèêà, íà êîòîðûé äåéñòâóþò äâå
ñèëû: âíåøíÿÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ñèëà ïîñòîÿííîé àìïëèòóäû (íåðåçîíàíñíîå âîçäåéñòâèå) è óïðóãàÿ ñèëà ñî ñòîðîíû âòîðîãî ìàÿòíèêà, ðåçêî
âîçðàñòàþùàÿ ïðè ïðèáëèæåíèè ÷àñòîòû ω ê ω02 (ðåçîíàíñíîå âçàèìîäåéñòâèå).
3.2
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ îäíîãî ìàÿòíèêà
È òàê, ìû ïðèõîäèì ê ïîñòàíîâêå çàäà÷è, ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåííîé
íà Ðèñ. 4. Ñëåäóÿ ðàáîòå [8], èçó÷èì ýòó çàäà÷ó ïîäðîáíåå. Íà÷íåì ñ
14
ω02; c2
cos(ωt)
ω01; c1
ω02; c2
Ðèñ. 4: Êîëåáàíèÿ äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ, ìîäåëèðóþùèõ ðåçîíàíñû
Ôàíî â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Ïîäðîáíåå ñì. â òåêñòå.
15
êîëåáàíèé îäíîãî ìàÿòíèêà. Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå èìååò âèä:
ẍ + γ ẋ + ω02 x = A cos ωt,
(5)
ãäå ω0 ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà, γ êîýôôèöèåíò
çàòóõàíèÿ, A àìïëèòóäà ãàðìîíè÷åñêîé âíåøíåé ñèëû1 , à ω ee ÷àñòîòà. Ïðè ýòîì âñå óêàçàííûå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ ÷èñòî äåéñòâèòåëüíûìè, à íà êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ íàêëàäûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå
γ ≥ 0.
Êàê îáû÷íî [9], óäîáíî ïðåäñòàâèòü x êàê êîìïëåêñíóþ ïåðåìåííóþ,
÷òî ïðèâîäèò óðàâíåíèå (5) ê âèäó
ẍ + γ ẋ + ω02 x = A exp(iωt),
(6)
ãäå ñòàðîå (old) è íîâîå (new) x ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì xold = Re xnew .
Íàñ èíòåðåñóåò óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå ìàÿòíèêà, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäåëó t → ∞.  ýòîì ñëó÷àå x ñëåäóåò èñêàòü â âèäå
x = c(ω) exp(iωt)
(7)
Ïîäñòàâëÿÿ (7) â (5), ëåãêî ïîëó÷àåì
ñ(ω) =
ω02
A
,
− ω 2 + iγω
(8)
Ïðåäñòàâëÿÿ êîìïëåêñíîå c(ω) â âèäå c(ω) = |c(ω)|eφ(ω) , èìååì èç (8)
ñëåäóþùèå èçâåñòíûå âûðàæåíèÿ äëÿ àìïëèòóäû è ôàçû âûíóæäåííûõ
êîëåáàíèé:
ωγ
A
|c(ω)| = p 2
, φ(ω) = arctg
.
(9)
ω 2 − ω02
(ω0 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì äåéñòâèòåëüíûì ïåðåìåííûì, ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî
Re x = |c(ω)| cos[ωt + φ(ω)].
Åñëè òðåíèå ìàëî (γ ω0 ) òî ðàçëè÷èåì ìåæäó ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ìàêñèìóìó |c(ω)|, è ÷àñòîòîé ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ω0 ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òàê ÷òî çàâèñèìîñòè |c(ω)| è |φ(ω)|
èìåþò âèä, èçîáðàæåííûé íà Ðèñ. 5 äëÿ ñëó÷àÿ γ/ω0 = 0.025. Îáðàòèì
âíèìàíèå íà òî, ÷òî ôàçà êîëåáàíèé ìàëî ìåíÿåòñÿ âíå îáëàñòè ðåçîíàíñà è èñïûòûâàåò ðåçêèé ïåðåõîä îò 0 äî π âíóòðè ýòîé îáëàñòè.
Ñòðîãî ãîâîðÿ, àìïëèòóäîé âíåøíåé ñèëû ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà Am ãäå m - ìàññà
ìàÿòíèêà. Ïîñêîëüêó, îäíàêî, â ðàññìàòðèâàåìîì â ýòîé ãëàâå êðóãå çàäà÷, ìàññà
ìàÿòíèêîâ âñåãäà îñòàåòñÿ ôèêñèðîâàííîé, äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé ìû áóäåì
íàçûâàòü àìïëèòóäîé âíåøíåé ñèëû âåëè÷èíó A, ò. ê. òàêîå ïåðåîáîçíà÷åíèå íå ìîæåò
ïðèâåñòè ê íåäîðàçóìåíèÿì.
1
16
»cHwL 2 g2 w0 2 ê A2 , @fHwL+þDêþ
1.0
Фаза
0.8
0.6
0.4
0.2
Амплитуда
0.0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
wêw01
Ðèñ. 5: Çàâèñèìîñòü ôàçû è êâàäðàòà ìîäóëÿ àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ
êîëåáàíèé ìàÿòíèêà â ñîîòâåòñòâóþùèõ áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ ïðè
γ/ω0 = 0.025.
17
3.3
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ
Ïîñëå òîãî, êàê ìû âñïîìíèëè îñíîâíûå ðåçóëüòàòû òåîðèè âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îäíîãî ìàÿòíèêà, ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ îñíîâíîé
çàäà÷è äàííîé ãëàâû êîëåáàíèÿì äâóõ ìàÿòíèêîâ, ñâÿçàííûõ ñëàáîé
ïðóæèíîé. Òàêèå êîëåáàíèÿ îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé
2
x¨1 + γ1 x˙1 + ω01
x1 + v12 x2 = Aeiωt ,
2
x¨2 + γ2 x˙2 + ω02
x2 + v12 x1 = 0,
(10)
(11)
ãäå ìû ñðàçó ïåðåøëè ê êîìïëåêñíûì x1,2 , à íà ÷èñòî äåéñòâèòåëüíóþ
êîíñòàíòó ñâÿçè v12 íàëàãàåòñÿ óñëîâèå v12 ≥ 0. Çíà÷åíèå îñòàëüíûõ êîíñòàíò, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó (10)(11) èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî è â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå.
Ñëàáîñòü ïðóæèíû, ñâÿçûâàþùåé ìàÿòíèêè, îçíà÷àåò ìàëîñòü êîíñòàíòû ñâÿçè v12 . Êîëè÷åñòâåííî ýòî äîëæíî âûðàæàòüñÿ â òîì, ÷òî v12
2
2
. Â äàëüíåéøåì
, òàê è ñ ω02
äîëæíî áûòü ìàëî ïî ñðàâíåíèþ êàê ñ ω01
ìû äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî îáå ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû îäíîãî
ïîðÿäêà âåëè÷èíû, ò. å. ω01 ∼ ω02 . ×òî æå êàñàåòñÿ ñëàáîñòè äèññèïàöèè,
òî, êàê è â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, êîëè÷åñòâåííî ýòî óñëîâèå ñâîäèòñÿ ê
íåðàâåíñòâàì γ1,2 ω01, 02 .
Êàê âñåãäà, åñëè íàñ èíòåðåñóåò óñòàíîâèâøååñÿ ñîñòîÿíèå, êîãäà âñå
ïåðåõîäíûå ïðîöåññû çàâåðøèëèñü, ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (10)(11)
ñîîòâåòñòâóþùåå òàêîìó ñîñòîÿíèþ ñëåäóåò èñêàòü â âèäå
x1,2 = c1,2 exp (iωt)
(12)
Îäíàêî, ïðåæäå, ÷åì ïåðåõîäèòü ê ðåøåíèþ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé, íàéäåì ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ ìîä ýòîé çàäà÷è, ò. å. ÷àñòîòû åå íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé, ñóùåñòâóþùèõ ïðè íóëåâûõ ïðàâûõ ÷àñòÿõ ñîñòàâëÿþùèõ ñèñòåìó óðàâíåíèé. Ïîíÿòèå ñîáñòâåííûõ ìîä èãðàåò
÷ðåçâû÷àéíî áîëüøóþ ðîëü â òåîðèè êîëåáàíèé [10] è íå òîëüêî â íåé.
 ÷àñòíîñòè, èìåííî ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ ìîä îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå
ðåçîíàíñîâ ïðè äåéñòâèè íà ñèñòåìó ïåðèîäè÷åñêîé âíåøíåé ñèëû.
Ïîëàãàÿ â (10) A = 0, è ïðèðàâíèâàÿ íóëþ ñîîòâåòñòâóþùèé äåòåðìèíàíò, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
2
2
2
(ω01
− ω 2 + iγ1 ω)(ω02
− ω 2 + iγ2 ω) − v12
= 0.
(13)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â îòëè÷èè îò (10)(11), ãäå ω ÿâëÿåòñÿ âíåøíèì ïàðàìåòðîì, òåïåðü ω ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, îïðåäåëÿåìûì èç
óñëîâèÿ íàëè÷èÿ â çàäà÷å íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé.
18
Çàìåòèì äàëåå, ÷òî óðàâíåíèå (13) ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà, ïîýòîìó îíî
äîëæíî èìåòü ÷åòûðå êîðíÿ ω1,2,3,4 . Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü òåì, ÷òî ýòî
óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî (îñòàåòñÿ íåèçìåííûì) ïðè îäíîâðåìåííîé çàìåíå ω → −ω , γ1,2 → −γ1,2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ω1,2 (γ1 , γ2 ) äâà
íå ïåðåõîäÿùèõ ïðè òàêîé çàìåíå äðóã â äðóãà êîðíÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ, òî
äâà äðóãèõ ïîëó÷àþòñÿ èç íèõ óêàçàííûì ïðåîáðàçîâàíèåì:
ω3,4 = −ω1,2 (−γ1 , −γ2 ). Îäíàêî, ðåøåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíûì êîýôôèöèåíòîì äèññèïàöèè ôèçè÷åñêè áåññìûñëåííû. Àìïëèòóäà òàêèõ êîëåáàíèé
ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàåò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Ïîýòîìó äâà êîðíÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòóùèì ìîäàì, äîëæíû áûòü îòáðîøåíû2 . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì, ÷òî óðàâíåíèå (13) îïðåäåëÿåò òîëüêî
äâå èìåþùèõ ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñîáñòâåííûõ ÷àñòîòû ω1,2 .
×òîáû íàéòè ýòè ÷àñòîòû ïðè ìàëûõ v12 , γ1,2 óðàâíåíèå (13) óäîáíî ðåøàòü èòåðàöèÿìè.  íóëåâîì ïðèáëèæåíèè, îòáðàñûâàÿ âñå ìàëûå
÷ëåíû, ïîëó÷àåì
2
2
(ω01
− ω 2 )(ω02
− ω 2 ) = 0.
(14)
Ðåøåíèå ðàâíåíèÿ (14) äàåò íàì íåçàòóõàþùèå ñîáñòâåííûå ìîäû ñ ÷à(0)
ñòîòàìè ω1,2 , ñîâïàäàþùèìè ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè êàæäîãî èç ìàÿòíèêîâ ω01, 02 ; êàê è äîëæíî áûòü, åñëè ìû ïðåíåáðåãëè çàòóõàíèåì è
ñâÿçüþ ìàÿòíèêîâ äðóã ñ äðóãîì.
Äàëåå, èùåì ïîïðàâêè ê êàæäîìó èç ýòèõ ðåøåíèé, ïîëàãàÿ
(1)
(1)
ω1,2 = ω01, 02 + δω1,2 , |δω1,2 | ω01, 02 . Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì
(0)
ïîïðàâêè ê ω1 = ω01 . Ïîäñòàâëÿÿ ω = ω01 + δω1 â (13) è ó÷èòûâàÿ
ïåðâûå íåèñ÷åçàþùèå ÷ëåíû, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
2
2
2
(−2ω01 δω1 + iγ1 ω01 )(ω02
− ω01
) − v12
= 0.
(15)
Îòñþäà íåìåäëåííî ïîëó÷àåì, ÷òî
δω1 = −
2
γ1
v12
+i .
2
2
2ω01 (ω02 − ω01 )
2
(16)
 áåçäèññèïàòèâíîì ïðåäåëå γ1 = γ2 = 0 ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòóùèõ ìîä íåò,
è âñå ÷åòûðå ðåøåíèÿ èìåþò ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Îäíàêî, â ýòîì ñëó÷àå èíâàðèàíòíîñòü ω → −ω, γ1,2 → −γ1,2 ñâîäèòñÿ ê èíâàðèàíòíîñòè ω → −ω, ò. å. ÷åòûðå êîðíÿ
ðàçáèâàþòñÿ íà äâå ïàðû, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî çíàêîì (ýòî âèäíî òàêæå èç ÿâíîãî
âèäà ðåøåíèÿ áèêâàäðàòíîãî óðàâíåíèå, â êàêîå ïðåâðàùàåòñÿ (13) ïðè γ1 = γ2 = 0).
Ïîñêîëüêó ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò òîëüêî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (12),
à êîýôôèöèåíòû c1,2 â ýòîì ñëó÷àå ÷èñòî äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíû, ñì. íèæå
âûðàæåíèÿ (18)(19), òî ìîäû, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî çíàêîì ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû,
îêàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, è ìû îïÿòü ïðèõîäèì òîëüêî ê äâóì íåçàâèñèìûì
ñîáñòâåííûì ÷àñòîòàì.
2
19
Âûðàæåíèå (16) äàåò íàì ñäâèã ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ è êîíå÷íîå çàòóõàíèå çà ñ÷åò ñèëû òðåíèÿ. Àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå äëÿ δω2 ïîëó÷àåòñÿ èç (16) âçàèìíîé çàìåíîé èíäåêñîâ 1 → 2, 2 →
1, òàê ÷òî
2
γ2
v12
+i ,
(17)
δω2 = −
2
2
2ω02 (ω01 − ω02 )
2
Âåðíåìñÿ òåïåðü ê âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì, îïèñûâàåìûì óðàâíåíèÿìè (10)(11). Ïîäñòàâëÿÿ (12) â (10)(11), è ðåøàÿ ïîëó÷èâøååñÿ
ëèíåéíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî c1,2 , íàõîäèì
c1 =
2
− ω 2 + iγ2 ω)
(ω02
A,
2
2
2
− ω 2 + iγ2 ω) − v12
− ω 2 + iγ1 ω)(ω02
(ω01
c2 = −
2
(ω01
−
ω2
v12
A.
2
2
− ω 2 + iγ2 ω) − v12
+ iγ1 ω)(ω02
(18)
(19)
Ïðåæäå, ÷åì äâèãàòüñÿ äàëüøå, îòìåòèì íåñêîëüêî âàæíûõ ñâîéñòâ,
ñëåäóþùèõ èç âûðàæåíèé (18)(19). Çàìåòèì, ÷òî îáà âûðàæåíèÿ èìåþò
îäèíàêîâûé çíàìåíàòåëü, êîòîðûé â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ëåâîé ÷àñòüþ
(13). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ω ðàâíîé îäíîé èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò çàäà÷è
c1,2 îáðàùàþòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå ñî çäðàâûì
ñìûñëîì (àìïëèòóäà êîëåáàíèé â äèññèïàòèâíîé ñèñòåìå äîëæíà îñòàâàòüñÿ êîíå÷íîé ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ω ) ëåãêî ðàçðåøàåòñÿ, åñëè ìû
âñïîìíèì, ÷òî ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ ìîä ω1,2 ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè,
ñì. (16)(17), ìåæäó òåì, êàê ω , âõîäÿùåå â óðàâíåíèå (10), ÷èñòî
äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Ïîýòîìó, ñòðîãîãî íóëÿ â çíàìåíàòåëå íå âîçíèêàåò íèêîãäà. Îäíàêî, ïðè ω = Re ω1,2 è ìàëûõ γ1,2 , v12 çíàìåíàòåëü â
(18)(19) ñòàíîâèòñÿ î÷åíü ìàë. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè èçó÷åíèè ðåçîíàíñíûõ ÿâëåíèé îêðåñòíîñòü èìåííî ýòèõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿåò îñîáûé èíòåðåñ. Ê ïîäðîáíîìó èññëåäîâàíèþ (18)(19) â ýòèõ îáëàñòÿõ ìû âåðíåìñÿ
ïîçæå, à ïîêà ïðîäîëæèì èçó÷åíèå îáùèõ ñâîéñòâ ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ.
Îáîçíà÷èì êîìïëåêñíûé çíàìåíàòåëü âûðàæåíèé (18)(19) ÷åðåç
G(ω) = |G(ω)| exp[iφG (ω)], à êîìïëåêñíûé ÷èñëèòåëü (18) ÷åðåç
F (ω) = |F (ω)| exp[iφF (ω)]. Òîãäà
c1 = |F (ω)/G(ω)|ei[φF (ω)−φG (ω)] ,
à
c2 = −(v12 /|G(ω)|)e−iφG (ω) = (v12 /|G(ω)|)e−i[φG (ω)+π] ,
(íàïîìíèì, ÷òî âåëè÷èíà v12 ÷èñòî äåéñòâèòåëüíàÿ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
ìåæäó êîëåáàíèÿìè ïåðâîãî è âòîðîãî ìàÿòíèêà ñóùåñòâóåò ðàçíîñòü
ôàç îïðåäåëÿåìàÿ òîëüêî ôàçîé ÷èñëèòåëÿ c1 :
φ2 − φ1 = φF + π,
20
ãäå
φF = arctg
γ2 ω
2
ω02 − ω 2
.
(20)
Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (20) èìååò ñòðóêòóðó èäåíòè÷íóþ (9).
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî â îêðåñòíîñòè ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé
âòîðîãî ìàÿòíèêà ω02 âåëè÷èíà |c1 |2 èìååò àñèììåòðè÷íóþ ôîðìó ëèíèè,
òèïè÷íóþ äëÿ ðåçîíàíñîâ Ôàíî. ×òîáû óïðîñòèòü âûêëàäêè ïîëîæèì
γ2 = 0. Ïðè ýòîì, ðàçóìååòñÿ, ñèñòåìà âñå ðàâíî îñòàåòñÿ äèññèïàòèâíîé,
ò. ê. êîëåáàíèÿ âòîðîãî ìàÿòíèêà ïåðåäàþòñÿ ïåðâîìó, êîòîðûé èìååò
êîíå÷íûé êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ γ1 .
Èç âûðàæåíèÿ (18) ñëåäóåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
|c1 |2 =
2
− ω 2 )2
(ω02
A2
2
2 2
2
2
− ω 2 ) − v12
] + γ12 ω 2 (ω02
− ω 2 )2
− ω 2 )(ω02
[(ω01
(21)
Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (21) îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè ω = ω02 . Ýòî
óæå ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ôîðìà ëèíèè ðåçîíàíñà â îêðåñòíîñòè
ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû âòîðîãî ìàÿòíèêà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ëîðåíöåâñêîãî ïðîôèëÿ (4).
×òîáû ïîëó÷èòü ôîðìó ëèíèè â ÿâíîì âèäå èññëåäóåì ïîâåäåíèå (21)
ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ ω îò ω02 . Ââåäåì ìàëîå
2
α = ω 2 − ω02
= (ω + ω02 )(ω − ω02 ) ' 2ω02 δω,
(22)
ãäå δω = ω − ω02 (ó÷èòûâàÿ, ÷òî ω áëèçêî ê ω02 , â ñóììå ω + ω02 ìû
çàìåíèëè ω íà ω02 : ω + ω02 = 2ω02 + δω ' 2ω02 ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
2
2
îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Ìàëîñòü æå çàòóõàíèÿ ïîêà íå
è v12
αω01,02
ïðåäïîëàãàåòñÿ. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ òîëüêî ïåðâûå íåèñ÷åçàþùèå ÷ëåíû,
(21) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
|c1 |2 '
α2
A2
2
2
2 2
2 2 2
[(ω01 − ω02 )α + v12 ] + γ1 ω02 α
(23)
Äàëåå, ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì
α = ∆ + β, β = const
(24)
ñäâèãàåì íà÷àëî îòñ÷åòà îòêëîíåíèÿ ÷àñòîòû, è âûáèðàåì β òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óíè÷òîæèòü ëèíåéíûé ïî ∆ ÷ëåí â çíàìåíàòåëå (23). Ñîîòâåòñòâóþùåå β ðàâíî
β=
2
2
2
v12
(ω02
− ω01
)
.
2
2 2
2 2
(ω02 − ω01 ) + γ1 ω02
21
(25)
Ïîñëå ýòîãî âûðàæåíèå (23) ïðåîáðàçóåòñÿ â ãðîìîçäêóþ ôîðìóëó
2
2 −ω 2 )v 2
(ω01
02 12
∆ − (ω2 −ω
2 )2 +γ 2 ω 2
01
02
1 02
A2 ,
(26)
|c1 |2 =
2 v4
γ12 ω02
2 2
2 2
2
12
2
[(ω01 − ω02 ) + γ1 ω02 ]∆ + (ω2 −ω2 )2 +γ 2 ω2
01
02
1
02
êîòîðàÿ, îäíàêî, ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ ïðè ââåäåíèè íîâûõ (åñòåñòâåííûõ) ïåðåìåííûõ
=
2
2 2
2
2
2
[(ω01
− ω02
) + γ12 ω02
]∆
ω02
− ω01
;
q
=
.
2
γ1 ω02 v12
γ1 ω02
(27)
 ýòèõ ïåðåìåííûõ âûðàæåíèå (26) ïðèîáðåòàåò çíàêîìûé âèä ïðîôèëÿ Ôàíî, ñð. (2):
|c1 |2 = |c10 (ω02 )|2
( + q)2
A2
2
;
|c
(ω
)|
=
.
10
02
2
2 2
2
2 + 1
(ω01
− ω02
) + γ12 ω02
(28)
 êà÷åñòâå ïðèìåðà çàâèñèìîñòü |c1 (ω)|2 ïðè íåêîòîðûõ õàðàêòåðíûõ
çíà÷åíèÿõ êîíñòàíò çàäà÷è ïðåäñòàâëåíà íà Ðèñ. 6.
3.4
Îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ
Îáñóäèì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû è âûÿñíèì, êàêèå èç íèõ ÿâëÿþòñÿ
îáùèìè ñâîéñòâàìè ðåçîíàíñîâ Ôàíî, à êàêèå ïðèñóùè òîëüêî äàííîé
êîíêðåòíîé ìîäåëè. Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ôîðìàëüíî-ìàòåìàòè÷åñêèõ
ñâîéñòâ âûðàæåíèé (27), (28). Çàìåòèì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, âåëè÷èíà q çàâèñèò òîëüêî îò ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ω01,02 , êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ γ1 è íå
çàâèñèò îò êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ v12 . Åñëè çàòóõàíèå ìàëî (γ1 1),
à ÷àñòîòû ω01,02 äîñòàòî÷íî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà äëÿ òîãî ÷òîáû
ðàçíîñòü èõ êâàäðàòîâ áûëà íå ìàëà, òî ïàðàìåòð àñèììåòðèè q áóäåò
âåëèê (q 1). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîôèëü (28) èìååò ìàêñèìóì, âûñîòà
êîòîðîãî |c10 (ω02 )|2 (1 + q 2 ) çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ãëóáèíó ìèíèìóìà,3
ðàâíóþ |c10 (ω02 )|2 . Íàïîìíèì, ÷òî ôàíîâñêèé ïðîôèëü (2) èìååò ìàêñèìóì, ðàâíûé (1+q 2 ), äîñòèãàþùèéñÿ ïðè = 1/q , è ìèíèìóì ïðè = −q ,
â êîòîðîì ôóíêöèÿ çàíóëÿåòñÿ.
Äàëåå îòìåòèì, ÷òî ìíîæèòåëü |c10 (ω02 )|2 â âûðàæåíèè (28) åñòü íå
÷òî èíîå, êàê êâàäðàò ìîäóëÿ àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïåðâîãî ìàÿòíèêà íà ÷àñòîòå ω = ω02 ïðè îòñóòñòâèè åãî ñâÿçè ñî âòîðûì,
Íà Ðèñ. 6 ÷àñòîòû ω01,02 , ñïåöèàëüíî âûáðàíû áëèçêî äðóã ê äðóãó äëÿ òîãî
÷òîáû ïðè ìàëîì γ1 âåëè÷èíà q áûëà ïîðÿäêà åäèíèöû, òàê ÷òî âñå ýêñòðåìóìû
îêàçûâàþòñÿ îäíîãî ïîðÿäêà, è èõ ìîæíî èçîáðàçèòü â îäíîì ìàñøòàáå.
3
22
1.0
Èc1 HΩL 2 Γ12 Ω201A2
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.96
0.98
1.00
1.02
1.04
ِΩ01
Ðèñ. 6: Ðåçîíàíñ Ôàíî ïðè âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ äâóõ ñâÿçàííûõ
2
ìàÿòíèêîâ; ω02 = 1.02ω01 , γ1 = 0.05ω01 , v12 = 0.005ω01
. Òîíêîé ãîëóáîé
ëèíèåé ïîêàçàí êâàäðàò ìîäóëÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïåðâîãî ìàÿòíèêà
ïðè îòñóòñòâèè åãî ñâÿçè ñî âòîðûì (v12 = 0). Ïîäðîáíåå, ñì. â òåêñòå.
23
ò. å. ïðè v12 = 0, ñð. (9). Òàêèì îáðàçîì, ôàíîâñêèé ïðîôèëü íàêëàäûâàåòñÿ íà êðèâóþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ îáû÷íûì âûíóæäåííûì êîëåáàíèÿì
ìàÿòíèêà, ñì. Ðèñ. 6.
Âûðàæåíèÿ (27), (28) âûâåäåíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âñå ñîáûòèÿ
ðàçûãðûâàþòñÿ â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé âòîðîãî ìàÿòíèêà ω02 . Ïðîâåðèì, êàê âûïîëíÿåòñÿ ýòî óñëîâèå,
è êàêèå îãðàíè÷åíèÿ îíî íàêëàäûâàåò íà ïàðàìåòðû çàäà÷è. Õàðàêòåðíûìè òî÷êàìè ôàíîâñêîãî ïðîôèëÿ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè îïðåäåëÿåò åãî ìàñøòàá ïî îñè ω , ÿâëÿþòñÿ òî÷êè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà.
Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ω , ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì òî÷êàì. Íà÷íåì ñ ìèíèìóìà. Îí äîñòèãàåòñÿ ïðè ω = ω02 , ñì. (21).
Ìàêñèìóì âûðàæåíèÿ (28) ðåàëèçóåòñÿ ïðè = 1/q . Ïåðåõîäÿ ê ðàçìåðíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷àåì
δωmax =
2
v12
,
2
2
2ω02 (ω02
− ω01
)
(29)
ñì. (22), (24), (25), (27). Ìû âèäèì, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ìèíèìóìîì
è ìàêñèìóìîì ïðîôèëÿ Ôàíî íå çàâèñèò îò äèññèïàòèâíîé êîíñòàíòû.
Ïðè ýòîì íàøå ïðåäïîëîæåíèå |δωmax | ω02 ïðèâîäèò ê óñëîâèþ
2
v12
1,
2
2
2
ω02
(ω02
− ω01
)
(30)
ò. å. ôàêòè÷åñêè ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ ñëàáîñòè âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó
ìàÿòíèêàìè.4 Ïðè ðîñòå v12 ðàññòîÿíèå ìåæäó ìàêñèìóì è ìèíèìóì
óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïðè óìåíüøåíèè óìåíüøàåòñÿ. Ïðè v12 → 0 ìàêñèìóì è ìèíèìóì ñëèâàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì, è ðåçîíàíñ Ôàíî èñ÷åçàåò,
ñì. Ðèñ. 7. Ïîëåçíî òàêæå ïðèâåñòè âûðàæåíèå äëÿ ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé â ïèêå ðåçîíàíñà Ôàíî. Èìååì
|c1 |2max = |c1 (ω02 + δωmax )|2 = |c10 (ω02 )|2 (1 + q 2 ).
Èëè, èñïîëüçóÿ ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ q è |c10 (ω02 )|2 , ñì. (27), (28),
ïðèâîäèì åãî ê âèäó
A2
(31)
|c1 |2max = 2 2
γ1 ω02
Çàìåòèì, ÷òî (31) òàêæå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç (18) è òîãî ôàêòà,
÷òî ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà çàíóëÿåò äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü çíàìåíàòåëÿ
ýòîãî âûðàæåíèÿ, ñì. (15), (16).
Ìû îòáðîñèëè ìíîæèòåëü 2 â çíàìåíàòåëå (30), ïîñêîëüêó îí íå ìåíÿåò ïîðÿäêà
âåëè÷èíû ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà.
4
24
Èc1 HΩL 2 Γ12 Ω201A2
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
v12 = 0.0005 Ω201
v12 = 0.001 Ω201
v12 = 0.005 Ω201
1.0196 1.0198 1.0200 1.0202 1.0204
ِΩ01
Ðèñ. 7: Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ äâóõ ñâÿçàííûõ ìàÿòíèêîâ. Èñ÷åçíîâåíèå ðåçîíàíñà Ôàíî ïðè óìåíüøåíèè êîíñòàíòû ñâÿçè äâóõ ìàÿòíèêîâ
v12 (ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ óêàçàíû íà ãðàôèêå). Çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ êîíñòàíò òå æå, ÷òî è íà Ðèñ. (6).
25
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî íåçàâèñèìîñòü δωmax îò äèññèïàòèâíîé êîíñòàíòû, âîâñå íå ñëåäóåò, ÷òî îò ýòîé êîíñòàíòû íå çàâèñèò òîíêàÿ ñòðóêòóðà ðåçîíàíñíîé ëèíèè, ò. å. ôîðìà ïèêà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàêñèìóìó ïðîôèëÿ, è ïðîâàëà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ìèíèìóìó. Ýâîëþöèÿ òîíêîé ñòðóêòóðû ëèíèè Ôàíî ïðè èçìåíåíèè äèññèïàòèâíîé êîíñòàíòû γ1
ïðåäñòàâëåíà íà Ðèñ. 8, 9. Êàê îáû÷íî, óìåíüøåíèå çàòóõàíèÿ âåäåò ê
îáîñòðåíèþ ðåçîíàíñíîãî ïèêà, (Ðèñ. 8). Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó óìåíüøåíèå γ1 âåäåò ê óâåëè÷åíèþ ïàðàìåòðà àñèììåòðèè q , ñì. (27), òî îäíîâðåìåííî ñ îáîñòðåíèåì ïèêà êîíñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñà ýòîò ðåçîíàíñ
ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå âûðàæåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, êàê ñëåäóåò èç âûðàæåíèé (28), (31), îòíîøåíèå ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ êâàäðàòà ìîäóëÿ
àìïëèòóäû (|c1 |2max ) ê âåëè÷èíå ïëàòî, ñ êîòîðîãî íà÷èíàåòñÿ åå ðåçîíàíñíûé ðîñò (|c10 (ω02 )|2 ) ðàâíî
2
2 2
2
(ω01
− ω02
) + γ12 ω02
|c1 |2max
=
.
2
|c10 (ω02 )|2
γ12 ω02
Ïðè ìàëûõ γ1 ýòî îòíîøåíèå ðàñòåò ñ óìåíüøåíèåì γ1 êàê 1/γ12 .
×òî êàñàåòñÿ äåñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñà, òî åìó ñîîòâåòñòâóåò ïàäåíèå êâàäðàòà ìîäóëÿ àìïëèòóäû îò âåëè÷èíû ðàâíîé |c10 (ω02 )|2 äî íóëÿ.
Èíûìè ñëîâàìè, ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ γ1 ðàçìàõ ýòîãî ðåçîíàíñà ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò èçìåíåíèé ýòîãî ïàðàìåòðà.  ðåçóëüòàòå îòíîñèòåëüíûé ðàçìàõ êîíñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñà ñ óìåíüøåíèåì γ1 âîçðàñòàåò, ñð. Ðèñ. 8 è 9.
Äàëåå, ñîïîñòàâëåíèå Ðèñ. 8 è 9 ïîêàçûâàåò, ÷òî òîíêàÿ ñòðóêòóðà
ëèíèè Ôàíî èìååò ñâîè õàðàêòåðíûå ìàñøòàáû, êîòîðûå ìîãóò áûòü
ðàçëè÷íû äëÿ ëèíèé êîíñòðóêòèâíîãî è äåñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñîâ, è
îáà ýòèõ ìàñøòàáà ìîãóò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò ìàñøòàáà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìèíèìóìîì è ìàêñèìóìîì ëèíèè Ôàíî.  òàêèõ ñëó÷àÿõ
äëÿ áîëåå ïîëíîé õàðàêòåðèñòèêè ðåçîíàíñíîé ëèíèè ïîìèìî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìàêñèìóìîì è ìèíèìóìîì ïðèõîäèòñÿ äîïîëíèòåëüíî ââîäèòü øèðèíû ëèíèé êîíñòðóêòèâíîãî è äåñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñîâ [11].
Îáñóäèì òåïåðü íàèáîëåå êàâåðçíûé âîïðîñ òåîðèè ðåçîíàíñîâ Ôàíî.
Êàê óæå íåîäíîêðàòíî îòìå÷àëîñü âûøå, êëþ÷åâûì ìîìåíòîì â ôèçèêå
ýòèõ ðåçîíàíñîâ ÿâëÿåòñÿ ñëîæåíèå äâóõ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå, â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ êîíòðîëüíîãî ïàðàìåòðà çàäà÷è (ýíåðãèè
ðàññåèâàåìîé ÷àñòèöû, ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû è ò.ï.) ñêëàäûâàþòñÿ ëèáî ñèíôàçíî, ÷òî ïðèâîäèò ê êîíñòðóêòèâíîìó ðåçîíàíñó, ëèáî
â ïðîòèâîôàçå, ÷òî äàåò íàì äåñòðóêòèâíûé ðåçîíàíñ. Òàêèì îáðàçîì,
êîíòðîëüíûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ îäíà ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà. Ñ äðóãîé
26
Èc1 HΩL 2 Γ12 Ω201A2
0.8
0.6
0.4
ý1 = 0.05 Ω01
ý1 = 0.01 Ω01
ý1 = 0.0025 Ω01
0.2
0.0
1.0198
1.0199
1.0200
1.0201
1.0202
1.0203
1.0204
1.0205
ِΩ01
Ðèñ. 8: Çàâèñèìîñòü ôîðìû ëèíèè êîíñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñà Ôàíî îò
2
, çíàâåëè÷èíû äèññèïàòèâíîé êîíñòàíòû γ1 ; ω02 = 1.02ω01 , v12 = 0.05ω01
÷åíèÿ γ1 óêàçàíû íà ðèñóíêå. Òîíêèìè ëèíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ öâåòîâ
îáîçíà÷åíû ðåçîíàíñíûå êðèâûå ïðè îòñóòñòâèè ñâÿçè ïåðâîãî ìàÿòíèêà
ñî âòîðûì (v12 = 0) Èç-çà ðàñòÿíóòîãî ìàñøòàáà íà ðèñóíêå ïîìåùàþòñÿ òîëüêî ìàëûå ó÷àñòêè ýòèõ êðèâûõ, êîòîðûå ñìîòðÿòñÿ êàê ïðÿìûå
ëèíèè.
27
Èc1 HΩL 2 Γ12 Ω201A2
0.8
0.6
ý1 = 0.05 Ω01
0.4
ý1 = 0.01 Ω01
0.2
ý1 = 0.0025 Ω01
0.0
1.006
1.008
1.010
1.012
1.014
1.016
1.018
1.020
ِΩ01
Ðèñ. 9: Òî æå, ÷òî íà Ðèñ. 8 äëÿ äåñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñà. Îáðàòèòå
âíèìàíèå íà íåñîâïàäåíèå òîëñòîé è òîíêîé ñèíèõ ëèíèé (γ1 = 0.01ω01 )
íå òîëüêî â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè ê òî÷êå ω = ω02 , íî è âäàëè îò
íåå. Íåñîâïàäåíèå îáóñëîâëåííîãî ñäâèãîì ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû ïåðâîãî
ìàÿòíèêà çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñî âòîðûì, ñì. (16). Äëÿ γ1 = 0.05ω01
è γ1 = 0.0025ω01 ýòîò ñäâèã ìåíåå âûðàæåí èç-çà ìàëîé êðèâèçíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàôèêîâ. Ïðè ýòîì äëÿ γ1 = 0.0025ω01 â ïðåäåëàõ ðàçðåøèìîñòè ãðàôèêà òîíêàÿ è òîëñòàÿ êðèâûå íåðàçëè÷èìû.
28
ñòîðîíû, äëÿ ïîëíîãî âçàèìíîãî ïîãàøåíèÿ êîëåáàíèé ýòè êîëåáàíèÿ,
ñêëàäûâàÿñü, äîëæíû èìåòü íå òîëüêî ïðîòèâîïîëîæíûå ôàçû, íî è â
òî÷íîñòè ðàâíûå àìïëèòóäû.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå (10) â âèäå
2
x¨1 + γ1 x˙1 + ω01
x1 = Aeiωt − v12 x2 .
(32)
Òîãäà ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü, êàê óðàâíåíèå êîëåáàíèé ìàÿòíèêà, íà êîòîðûé äåéñòâóþò äâå âûíóæäàþùèå ñèëû: âíåøíÿÿ ñèëà
Aeiωt è ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû âòîðîãî ìàÿòíèêà −v12 x2 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè γ2 = 0 è ω = ω02 èç âûðàæåíèÿ (19) ñëåäóåò, ÷òî
v12 x2 = A, ò. å. ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïåðâûé ìàÿòíèê ñî ñòîðîíû âòîðîãî â òî÷íîñòè ðàâíà ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíà ïî çíàêó âûíóæäàþùíé ñèëå, è îíè ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóåò äðóã äðóãà. Ïðè ýòîì ïðàâàÿ
÷àñòü (32) çàíóëÿåòñÿ, è (32) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ñ çàòóõàíèåì. Óñòàíîâèâøååñÿ ñîñòîÿíèå òàêîé ñèñòåìû
åñòü ñîñòîÿíèå ïîêîÿ ñ c1 = 0 â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ ðåçóëüòàòàìè
ïðåäøåñòâóþùåãî àíàëèçà.
Êàêèì æå îáðàçîì, âàðüèðóÿ åäèíñòâåííûé ïàðàìåòð ÷àñòîòó âûíóæäàþùåé ñèëû ω , ìû ñóìåëè óäîâëåòâîðèòü îäíîâðåìåííî äâóì , êàçàëîñü áû íåçàâèñèìûì, óñëîâèÿì (ðàâåíñòâî àìïëèòóä è ïðîòèâîïîëîæíîñòü ôàç)? ßâëÿåòñÿ ëè ýòî ÷àñòíûì ñâîéñòâîì äàííîé, êîíêðåòíîé
çàäà÷è èëè çäåñü èìååòñÿ êàêîé-òî ñêðûòûé ìåõàíèçì, âûíóæäàþùèé
ôàçû äâóõ ñêëàäûâàþùèõñÿ êîëåáàíèé ïðèíÿòü ïðîòèâîïîëîæíûå (ò. å.
îòëè÷àþùèåñÿ íà π ) çíà÷åíèÿ èìåííî òîãäà, êîãäà ýòè êîëåáàíèÿ èìåþò
ðàâíûå àìïëèòóäû?
Äëÿ îòâåòà íà ýòè âîïðîñû, èçó÷èì ïîâåäåíèå c2 ïðè èçìåíåíèè ω
îò íóëÿ äî âåëè÷èíû, çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþùåé ω01,02 . Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ω01 < ω02 , à γ2 , êàê è ïðåæäå, ïîëîæèì
ðàâíûì íóëþ. ×òî æå êàñàåòñÿ γ1 , òî ÷òîáû ñäåëàòü ðåçîíàíñû îñòðûìè
áóäåì ñ÷èòàòü ýòó âåëè÷èíó ìàëîé íå òîëüêî ïî ñðàâíåíèþ ñ ω01,02 , íî
è ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçíîñòüþ ω02 − ω01 . Àíàëîãè÷íûå íåðàâåíñòâà íàëîæèì íà êîíñòàíòó âçàèìîäåéñòâèÿ v12 , êîòîðûå ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî
2
v12 èìååò ðàçìåðíîñòü êâàäðàòà ÷àñòîòû, ïðèîáðåòàþò âèä v12 ω01
,
2
v12 (ω02 − ω01 ) .
Ñíà÷àëà èññëåäóåì ïîâåäåíèå ôàçû âûðàæåíèÿ v12 c2 . Ïîñêîëüêó v12
÷èñòî äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, òî ôàçà ýòîãî âûðàæåíèÿ ñîâïàäàåò ñ
ôàçîé c2 , êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíà ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíà
ïî çíàêó ôàçå çíàìåíàòåëÿ ëåâîé ÷àñòè (19). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
2
γ1 ω(ω02
− ω2)
Arg[v12 c2 ] = φ2 = π − arctg
2
2
2
(ω01
− ω 2 )(ω02
− ω 2 ) − v12
29
Φ2 HΩLþ
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
ِΩ01
Ðèñ. 10: Ôàçà êîëåáàíèé âòîðîãî ìàÿòíèêà, êàê ôóíêöèÿ ÷àñòîòû âû2
íóæäàþùåé ñèëû ω ; ω02 = 1.02ω01 , γ1 = 0.01ω01 , v12 = 0.01ω01
.
30
 îáëàñòè íèçêèõ ÷àñòîò (ω ω01 ) ôàçà φ2 ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò
ñ π . C ðîñòîì ω îíà î÷åíü ìåäëåííî óáûâàåò âïëîòü äî äîñòèæåíèÿ ω
îêðåñòíîñòè ω01 . Çàòåì ïðîèñõîäèò ðåçêîå óìåíüøåíèå ôàçû íà âåëè÷èíó
áëèçêóþ ê π (ò. å. φ2 ñòàíîâèòñÿ áëèçêîé ê íóëþ), ïîñëå ÷åãî φ2 îïÿòü
ìåäëåííî óáûâàåò äî òåõ ïîð, ïîêà ω íå äîñòèãàåò ìàëîé îêðåñòíîñòè
ω02 , ãäå îïÿòü ïðîèñõîäèò ðåçêèé ñêà÷îê, è ôàçà óìåíüøàåòñÿ åùå íà π ,
ñì. Ðèñ. 10. Â öåëîì òàêîå ïîâåäåíèå ïîëíîñòüþ ñîãëàñóåòñÿ ñ òåì, ÷òî,
êàê ìû çíàåì, äîëæíî ïðîèñõîäèòü â ñèñòåìå, èìåþùåé äâå ðåçîíàíñíûõ
÷àñòîòû: ω01 è ω02 , ñì. âûøå, ðàçäåë 3.2.
Ïîñìîòðèì òåïåðü, êàê ìåíÿåòñÿ àìïëèòóäà v12 c1 . ×òîáû èçáåæàòü
ïîÿâëåíèÿ ðàäèêàëîâ, êàê îáû÷íî, íàì óäîáíåå èìåòü äåëî íå ñ ìîäóëåì,
à ñ êâàäðàòîì ìîäóëÿ ýòîãî âûðàæåíèÿ, êîòîðûé, ñîãëàñíî (19), ðàâåí
|v12 c2 |2 =
4
v12
A2
2
2
2 2
2
[(ω01
− ω 2 )(ω02
− ω 2 ) − v12
] + γ12 ω 2 (ω02
− ω 2 )2
(33)
 îáëàñòè íèçêèõ ÷àñòîò ω ω01 ýòî âûðàæåíèå èìååò àñèìïòîòèêó
|v12 c2 (ω)|2 '
4
v12
A2 A2 .
4
4
ω01
ω02
(34)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â äàííîé îáëàñòè ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ïåðâûé ìàÿòíèê ñî ñòîðîíû âòîðîãî, ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåøíåé
âûíóæäàþùåé ñèëîé. Êîëåáàíèÿ âòîðîãî ìàÿòíèêà íå îêàçûâàþò íà ïåðâûé ïðàêòè÷åñêè íèêàêîãî âëèÿíèÿ, è çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïåðâîãî ìàÿòíèêà îò ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû ω ñîîòâåòñòâóåò
îáñóæäàâøåéñÿ â ðàçäåëå 3.2, ñì. Ðèñ. 5, à òàêæå Ðèñ. 6 ïðè ω < ω1 .
Ïðè óâåëè÷åíèè ω îöåíêà (34) ñîõðàíÿòñÿ ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû âïëîòü
äî äîñòèæåíèÿ îêðåñòíîñòè ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû ïåðâîãî ìàÿòíèêà ω01 .
 ýòîé îêðåñòíîñòè çíàìåíàòåëü (33) íà÷èíàåò çàìåòíî óìåíüøàòüñÿ, à
ñàìî âûðàæåíèå óâåëè÷èâàòüñÿ. Ïðè ω = ω01 îíî äîñòèãàåò ìàêñèìóìà,
ðàâíîãî
4
v12
A2 ,
4
2
2 2
v12
+ γ12 ω 2 (ω02
− ω01
)
÷òî âñå åùå ìåíüøå (èëè äàæå ìíîãî ìåíüøå, â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äâóìÿ ÷ëåíàìè â åãî çíàìåíàòåëå), ÷åì A2 .  ýòîé îáëàñòè
âòîðîé ìàÿòíèê óæå ìîæåò îêàçûâàòü âëèÿíèå íà ïåðâûé, íî íå ìîæåò
ïðèâåñòè ê ïîëíîé êîìïåíñàöèè âíåøíåé ñèëû, ñì. Ðèñ. 11.
Ïðè äàëüíåéøåì ðîñòå ω ìû óäàëÿåìñÿ îò ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû ïåðâîãî ìàÿòíèêà, è |v12 c2 |2 ïàäàåò äî òåõ ïîð, ïîêà ìû íå âõîäèì â îêðåñòíîñòü ðåçîíàíñà âòîðîãî ìàÿòíèêà. Çäåñü ñèòóàöèÿ ìåíÿåòñÿ ðàäèêàëüíûì îáðàçîì: |v12 c2 |2 ñòðåìèòåëüíî âçëåòàåò ââåðõ, áóêâàëüíî ïðîøèâàåò
31
10
Èc2 HΩL 2 A2
1
0.1
0.01
0.001
0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
ِΩ01
Ðèñ. 11: Êâàäðàò ìîäóëÿ àìïëèòóäû ñèëû, ñ êîòîðîé âòîðîé ìàÿòíèê
äåéñòâóåò íà ïåðâûé (êðàñíàÿ ëèíèÿ) è êâàäðàò àìïëèòóäû âíåøíåé ñè2
ëû (çåëåíàÿ ëèíèÿ); ω02 = 1.02ω01 , γ1 = 0.01ω01 , v12 = 0.01ω01
32
Èc2 HΩL 2 A2
15
10
5
0
0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
ِΩ01
Ðèñ. 12: Òî æå, ÷òî íà Ðèñ. 11, íî â ëèíåéíîì ìàñøòàáå.
33
1.04
óðîâåíü |v12 c2 |2 = A2 , ïðîäîëæàåò ðåçêî âîçðàñòàòü, äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, êîòîðûé çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò A2 è ïîòîì òàêæå ñòðåìèòåëüíî
îáðóøèâàåòñÿ âíèç äî óðîâíÿ çíà÷èòåëüíî ìåíüøåãî A2 . Ýòî âèäíî óæå
íà Ðèñ. 11, íî îñîáåííî õîðîøî íà Ðèñ. 12.
À ÷òî æå ôàçà êîìïëåêñíîãî v12 c2 ? Êàêîå çíà÷åíèå ïðèíèìàåò îíà â
òåõ òî÷êàõ, ãäå àìïëèòóäà |v12 c2 | ñðàâíèâàåòñÿ ñ A? Äàâàéòå ïîñìîòðèì,
íàëîæèâ ãðàôèê φ2 (ω) íà ãðàôèê |v12 c2 |2 , ñì. Ðèñ 13. ×òî ìû âèäèì? Àìïëèòóäà âîçðàñòàåò íàñòîëüêî áûñòðî, ÷òî |v12 c2 |2 è A2 ñðàâíèâàþòñÿ íà
ñàìîì íà÷àëå ðîñòà àìïëèòóäû, êîãäà ôàçà åùå íå óñïåëà ñêîëüêî-íèáóäü
çíà÷èòåëüíî èçìåíèòüñÿ, ëèáî íàîáîðîò â ñàìîì êîíöå ðåçîíàíñíîãî
ïèêà, êîãäà ôàçà óæå ñîâåðøèëà ðåçîíàíñíûé ñêà÷îê íà π . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèÿ v12 c2 â äâóõ òî÷êàõ, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
|v12 c2 |2 = A2 , ïðàêòè÷åñêè (ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ ïîïðàâîê) îòëè÷àþòñÿ
òîëüêî çíàêîì.
Âñïîìíèì òåïåðü, ÷òî âûíóæäàþùàÿ ñèëà A expiωt èìååò íóëåâóþ
ôàçó, à ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû âòîðîãî ìàÿòíèêà íà ïåðâûé v12 c2 ,
ïðè ïðèáëèæåíèè ω ê ω02 ñëåâà òîæå èìååò ôàçó áëèçêóþ ê íóëþ. Áèíãî!
Ýòî èìåííî òî, ÷òî íàäî äëÿ ïîëíîé êîìïåíñàöèè îäíîé ñèëû äðóãîé,
ò. å. äëÿ çàíóëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (32).
Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî îïèñàííàÿ îñîáåííîñòü ÿâëÿåòñÿ îáùèì ñâîéñòâîì
ðåçîíàíñîâ Ôàíî â íàèáîëåå èíòåðåñíîì ñëó÷àå ñèëüíî àñèììåòðè÷íîé
ëèíèè (|q| 1), âíå çàâèñèìîñòè îò ïðèðîäû âçàèìîäåéñòâóþùèõ êîëåáàíèé (âîëí), ñì. (2). Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ðåçîíàíñíîãî ïîëÿ
åãî àìïëèòóäà ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ àìïëèòóäîé íåðåçîíàíñíîãî âñþäó,
çà èñêëþ÷åíèåì ìàëîé îêðåñòíîñòè ðåçîíàíñà. Ïîýòîìó óðîâåíü ïëàòî,
íà êîòîðîå âûõîäèò ëèíèÿ ðåçîíàíñà Ôàíî ïðè || q , à ýòîò óðîâåíü
â åñòåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ (2) è q ðàâåí åäèíèöå, ñîîòâåòñòâóåò àìïëèòóäå íåðåçîíàíñíîãî ïîëÿ. Ìàêñèìóì æå âûðàæåíèÿ (2) ñâÿçàí, êàê
ðàç, ñ ðîñòîì ðåçîíàíñíîãî ïîëÿ. Ïîñêîëüêó ïðè q 1 ýòîò ìàêñèìóì
çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò åäèíèöó, òî ìû èìååì ñèòóàöèþ, àíàëîãè÷íóþ
îïèñàííîé âûøå. Âñïîìíèì äàëåå, ÷òî äåëåíèå ïîëÿ íà ðåçîíàíñíóþ è
íåðåçîíàíñíóþ ÷àñòè áûëî ñäåëàíî èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ íàøåãî óäîáñòâà.
 äåéñòâèòåëüíîñòè ýòî îäíî è òî æå ïîëå. Èíûìè ñëîâàìè, êàê ðåçîíàíñíîå,òàê è íåðåçîíàíñíîå ïîëÿ èìåþò îäíó è òó æå ïðèðîäó. Ïîýòîìó
âäàëè îò òî÷åê ðåçîíàíñîâ ôàçû ýòèõ ïîëåé ëèáî ðàâíû, ëèáî îòëè÷àþòñÿ íà π . Ñèíôàçíîñòü èëè ïðîòèâîôàçíîñòü ðåçîíàíñíîãî è íåðåçîíàíñíîãî ïîëåé çàâèñÿò îò òîãî, ñêîëüêî òî÷åê ðåçîíàíñà ïðîøëî êàæäîå èç
íèõ äî òîãî ìîìåíòà, êàê êîíòðîëüíûé ïàðàìåòð äîñòèã äàííîé òî÷êè.
Íàïðèìåð, â ðàññìîòðåííîì âûøå ñëó÷àå ðåçîíàíñíîå ïîëå −v12 x2 ïðîòèâîôàçíî ðåçîíàíñíîìó ïðè ω01 ω ω02 è ñèíôàçíî ïðè ω ω02 .
34
ÈF2 HΩL 2 $2 , @Φ2 HΩL+þDþ
1.2
1.0
Ⱥɦɩɥɢɬɭɞɚ
0.8
0.6
0.4
Ɏɚɡɚ
0.2
0.0
1.018 1.019 1.020 1.021 1.022 1.023 1.024
ِΩ01
Ðèñ. 13: Ïîâåäåíèå àìïëèòóäû è ôàçû ñèëû, äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû
âòîðîãî ìàÿòíèêà íà ïåðâûé, â îêðåñòíîñòè òî÷åê ðàâåíñòâà ýòîé àìïëèòóäû àìïëèòóäå âíåøíåé ñèëû A. Çíà÷åíèÿ êîíñòàíò òå æå, ÷òî íà
Ðèñ. 11, 12.
35
Ïîýòîìó âçàèìíàÿ êîìïåíñàöèÿ ïîëåé ïðîèñõîäèò íà ïåðåäíåì ôðîíòå
ðåçîíàíñíîãî ïèêà. Åñëè áû ω01 áûëî áû áîëüøå ω02 , òî ñèòóàöèÿ áûëà áû
îáðàòíàÿ, è âçàèìíàÿ êîìïåíñàöèÿ ïðîèñõîäèëà áû íà çàäíåì ôðîíòå.
Ñäåëàåì îäíî âàæíîå çàìå÷àíèå. Ïðè ëþáîì êîíå÷íîì çíà÷åíèè êîíòðîëüíîãî ïàðàìåòðà ôàçà ðåçîíàíñíîãî (à â îáùåì ñëó÷àå è íåðåçîíàíñíîãî) ïîëÿ íå ðàâíà ñâîåìó àñèìïòîòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ, à îòëè÷àåòñÿ
îò íåãî íå íåêîòîðóþ ìàëóþ âåëè÷èíó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè íà÷èíàþùåìñÿ ðîñòå ðåçîíàíñíîãî ïîëÿ, êîãäà åãî àìïëèòóäà ñðàâíèâàåòñÿ ñ
àìïëèòóäîé íåðåçîíàíñíîãî, ôàçà ðåçîíàíñíîãî ïîëÿ óñïåâàåò íåìíîãî
èçìåíèòüñÿ.  íåêîòîðûõ âûðîæäåííûõ ñëó÷àÿõ ýòè äâå ôàçîâûõ äîáàâêè ñêëàäûâàþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî â òî÷åêå ðàâåíñòâà àìïëèòóä
ðåçîíàíñíîãî è íåðåçîíàíñíîãî ïîëåé ýòè ýòè ïîëÿ îêàçûâàþòñÿ â òî÷íîñòè ïðîòèâîôàçíû è ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Èìåííî òàê
ïðîèñõîäèò â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå êîëåáàíèé äâóõ ñâÿçàííûõ
ìàÿòíèêîâ ïðè γ2 = 0. Àíàëîãè÷íî âûãëÿäèò ñèòóàöèÿ, êîãäà êîìïåíñàöèÿ ïðîèñõîäèò íà çàäíåì ôðîíòå ðåçîíàíñíîãî ïèêà, òîëüêî â ýòîì
ñëó÷àå íàäî ãîâîðèòü íå î ìàëîì èçìåíåíèè ôàçû çà ñ÷åò âõîæäåíèÿ
â ðåçîíàíñíóþ îáëàñòü, à î ìàëîì îòêëîíåíèè ñêà÷êà ôàçû îò π ïðè
âûõîäå èç ýòîé îáëàñòè.
 áîëåå îáùåì ñëó÷àå ïðîòèâîôàçíîñòü äâóõ ïîëåé âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî ïðèáëèçèòåëüíî, è ïîëíîé êîìïåíñàöèè íå ïðîèñõîäèò. Òàê îáñòîèò
äåëî â íàøåì ïðèìåðå, åñëè γ2 6= 0, ñì. (18).
4
Âûâîäû
Ïîäâåäåì èòîãè. È òàê, ìû âûÿñíèëè ñëåäóþùåå:
• Ðåçîíàíñû Ôàíî ìîãóò íàáëþäàòüñÿ êàê â êâàíòîâîé, òàê è â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå.
• Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì äëÿ èõ âîçíèêíîâåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëîæåíèå
äâóõ êîëåáàòåëüíûõ äâèæåíèé (âîëí), èç êîòîðûõ â îêðåñòíîñòè
ðåçîíàíñà îäíî (íåðåçîíàíñíîå) ñëàáî çàâèñèò èëè íå çàâèñèò îò
èçìåíåíèé êîíòðîëüíîãî ïàðàìåòðà (÷àñòîòû), à àìïëèòóäà äðóãîãî (ðåçîíàíñíîãî) ðåçêî âîçðàñòàåò ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå ðåçîíàíñà è ðåçêî óìåíüøàåòñÿ ïðè óäàëåíèè îò íåå.
• Âäàëè îò òî÷êè ðåçîíàíñà àìïëèòóäà ðåçîíàíñíîãî êîëåáàíèÿ îáÿçàòåëüíî äîëæíà áûòü ìåíüøå, à â òî÷êå ðåçîíàíñà áîëüøå, ÷åì
36
àìïëèòóäà íåðåçîíàíñíîãî êîëåáàíèÿ. Ôàçà æå ðåçîíàíñíîãî êîëåáàíèÿ äîëæíà èñïûòûâàòü ñêà÷îê íà π ïðè ïðîõîæäåíèè òî÷êè
ðåçîíàíñà.
• Ïðè áîëüøîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà àñèììåòðèè q ëèíèÿ Ôàíî èìååò
ñèëüíî âûðàæåííûé ìàêñèìóì. Ïðè ýòîì îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå óñëîâèé ðàâåíñòâà àìïëèòóä è ïðîòèâîïîëîæíîñòè ôàç ñêëàäûâàåìûõ êîëåáàíèé â òî÷êå äåñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñà äîñòèãàåòñÿ çà
ñ÷åò òîãî, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ âáëèçè ñàìîé ïîäîøâû
ïèêà ðåçîíàíñíîãî êîëåáàíèÿ, êîãäà ôàçà ýòîãî êîëåáàíèÿ åùå íå
óñïåëà èçìåíèòüñÿ (ïåðâàÿ òî÷êà ðàâåíñòâà) ëèáî óæå ïðèîáðåëà
ðåçîíàíñíûé ñêà÷åê íà π (âòîðàÿ òî÷êà).
• Äëÿ òî÷íîãî îáðàùåíèÿ ïðîôèëÿ Ôàíî â íîëü â òî÷êå äåñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñà òðåáóåòñÿ âûïîëíåíèå ñïåöèàëüíûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé.  ñëó÷àå îáùåãî ïîëîæåíèÿ ïðè q 1 ïðîôèëü Ôàíî â òî÷êå äåñòðóêòèâíîãî ðåçîíàíñà èìååò ãëóáîêèé ìèíèìóì ïî
îòíîøåíèþ ê âåëè÷èíå ïëàòî, íî òî÷íî â íîëü íå îáðàùàåòñÿ.
 çàêëþ÷åíèå íàäî îòìåòèòü, ÷òî íàñòîÿùåå ïîñîáèå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñàìûé ïåðâûé øàã â îïèñàíèè ðåçîíàíñîâ Ôàíî, êàê ââåäåíèå
âî ââåäåíèå. Òåì íå ìåíåå ìû ñóìåëè îáñóäèòü îñíîâíûå âîïðîñû ôèçèêè ýòèõ ðåçîíàíñîâ â êâàíòîâûõ è â êëàññè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, à òàêæå
âûÿñíèòü èõ îáùèå ñâîéñòâà, ñïðàâåäëèâûå êàê â êëàññè÷åñêîì, òàê è â
êâàíòîâîì ñëó÷àÿõ. ß íàäåþñü, ÷òî ïîñîáèå ñóìååò âîçáóäèòü ó ÷èòàòåëÿ
æåëàíèå èçó÷èòü ýòî âàæíîå è èíòåðåñíîå ÿâëåíèå áîëåå ãëóáîêî.
Êàê ãîâàðèâàëè âî âðåìåíà Ìèõàéëû Ëîìîíîñîâà, "íà ñèì, ëþáåçíûé
÷èòàòåëü, ïîçâîëü çàâåðøèòü ìîå ïðàâäèâîå ïîâåñòâîâàíèå".
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] U. Fano, Phys. Rev. 124, 1866 (1961).
[2] A. E. Miroshnichenko, S. Flach, and Y. S. Kivshar, Rev. Mod. Phys. 82,
2257 (2010).
[3] B. S. Luk'yanchuk, N. S. Zheludev, and S. A. Maier et al Nature Materials
9, 707 (2010).
[4] M. Rahmani, B. Lukiyanchuk, M. H. Hong, Laser & Photonics Reviews,
pp. 121 (2012) / DOI 10.1002/lpor.201200021.
37
[5] H. Beutler, Z. Phys. A 93, 177 (1935).
[6] G. Gamow, Z. Phys. 51, 204 (1928).
[7] Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà (íåðåëÿòèâèñòêàÿ òåîðèÿ), Ì.: Íàóêà, 1989. 767 ñ.
[8] Y. S. Joe, A. M. Satanin, and C. S. Kim, Phys. Scr. 74, 259 (2006).
[9] Ë. Ä. Ëàíäàó, Å. Ì. Ëèôøèö Ìåõàíèêà, Ì.: Íàóêà, 1988. 215 ñ.
[10] À. À. Àíäðîíîâ, À. À. Âèòò, Ñ. Ý. Õàéêèí Òåîðèÿ êîëåáàíèé, Ì.:
Íàóêà, 1981, 568 ñ.
[11] M. I. Tribelsky, A. E. Miroshnichenko, and Y. S. Kivshar, EPL 97, 44005
(2012) 6pp.
38