Приложение 4 Конспект урока по геометрии «Параллельность прямой и плоскости» 10 класс. Тема урока: Параллельность прямой и плоскости Продолжительность: 45 минут Тип урока: урок изучения нового материала. Цель урока: иследовать взаимное расположение прямой и плоскости, доказать признак параллельности прямой и плоскости, два следствия.Научиться применять их при решении задач. Задачи урока: 1. Образовательные: ● рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве; ● ввести понятие параллельности прямой и плоскости; ● изучить признак параллельности прямой и плоскости; ● формировать умения и навыки читать и строить чертежи пространственных фигур к задачам. 2. Развивающие: ● развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание; ● учить учащихся учиться математике, самостоятельно добывать знания. 3. Воспитательные: ● воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волю; ● формировать эмоциональную культуру и культуру общения. Формы обучения: фронтальная. Оборудование: компьютер; проектор; экран; модель плоскости. План урока: 1. Организационный момент. Актуализация знаний. – 2 мин. 2. Изучение нового материала – 30 мин. 3. Первичное осмысление и закрепление новых знаний – 6 мин. 4. Подведение итогов урока – 5мин. 5. Постановка домашнего задания – 2 мин. Планируемые результаты: Личностные: ясно и чётко излагать свои мысли в устной и письменной речи; осознать значимость полученных знаний. Познавательные: выполнять исследования взаимного положения прямой и плоскости, делать выводы, находить условия для утверждения параллельности прямой и плоскости, доказывать его; решать задачи на применения признака и свойств. Регулятивные: контролировать свои действия в процессе выполнения поставленной задачи, обнаруживать и исправлять ошибки, оценивать свои достижения. Коммуникативные: высказывать свою точку зрения, слушать и вступать в диалог. Ход урока: Этап Деятельность учителя 1.Организационный Приветствие учеников. момент. Ребята, какой раздел геометрии в 10 Актуализация знаний. классе мы начали изучать? Назовите основные фигуры Деятельность ученика Стереометрия Точка, прямая, плоскость стереометрии. Мы изучили с вами систему аксиом стереометрии, следствия из системы аксиом и все возможности расположения прямых в пространстве. Как вы думаете, опираясь на наши Прямой и плоскости знания, взаимное расположение каких основных фигур стереометрии мы можем 2. Изучение нового материала теперь изучить? Верно. Поэтому тема нашего урока: Параллельность прямой и плоскости. Сегодня на уроке мы должны изучить с вами взаимное расположение прямой и плоскости, “открыть” признак параллельности прямой и плоскости и их свойства. Как вы думаете, какие существуют Прямая лежит в плоскости; возможности взаимного расположения прямая пересекает плоскость; прямой и плоскости? прямая не пересекает плоскость и не лежит в ней. Сколько общих точек у прямой и Множество точек; плоскости в каждой из возможностей? одна точка; ни одной точки. На прошлых уроках мы с вами изучили Прямые называются «Взаимное расположение прямых в параллельными, если они лежат пространстве, их параллельность и в одной плоскости и не единственность». Какие прямые пересекаются. называются параллельными? Попробуйте по аналогии Прямая и плоскость сформулировать определение параллельны, если они не параллельности прямой и плоскости. пересекаются. Запишем определение в тетрадь: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Параллельность прямой 𝑎 и плоскости Α обозначается так: 𝑎॥Α. Приведите примеры параллельных Линия пересечения потолка и прямой и плоскости в нашем кабинете. стены параллельна полу. Также будут параллельными линия пересечения пола и стены и потолок. Как вы думаете, будет ли линия Будут, так как обе прямые лежат пересечения пола и стены параллельна в плоскости стены и не линии пересечения стены и потолка? и пересекаются. почему? На основе данного примера попробуйте Если прямая, не лежащая в сформулировать признак параллельности данной плоскости, параллельна прямой и плоскости. какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Верно. Запишем в тетрадь данный признак и докажем его. Что нам дано? Что требуется доказать? Каким способом мы доказывали признак Плоскость 𝛼, 𝑎॥ 𝑏, 𝑏 ⊂ 𝛼, 𝑎 ⊄ 𝛼. 𝑎॥ 𝛼 Методом “от противного” параллельности прямых? Давайте воспользуемся этим методом и Пусть 𝑎 ∩ 𝛼 сейчас. Что нам надо предположить? 𝑎॥ 𝑏 Что нам еще известно про прямую 𝑎? Какой вывод мы можем сделать из этих 𝑏 ∩ 𝛼 (по лемме о пересечении двух утверждений? Почему? плоскости параллельными прямыми) Что мы знаем о прямой 𝑏и плоскости 𝛼? 𝑏 ⊂ 𝛼. Значит утверждение, что 𝑏 ∩ 𝛼 противоречит условию, что 𝑏 ⊂ 𝛼. Что мы предполагали в начале? И какой Мы предполагали, что 𝑎 ∩ 𝛼. вывод теперь можем сделать? Получаем, что 𝑎॥ 𝛼 Верно. Теорема доказана. Как вы думаете, если через прямую Они будут параллельны параллельную плоскости провести плоскость, пересекающую данную плоскость, то как будут располагаться данная прямая и линия пересечения плоскостей? Попробуйте сформулировать данное Если плоскость проходит через утверждение данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Верно запишем данное свойство в тетрадь и попробуем его доказать? Что нам дано? Что требуется доказать? 𝛼, 𝛽, 𝑎 ⊂ 𝛽, 𝑎॥ 𝛼, 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑏. 𝑎॥ 𝑏. Какие прямые называются Прямые, которые лежат в одной параллельными? плоскости не пересекаются. Значит какие два требования нам надо 1)𝑎 и 𝑏 лежат в одной плоскости доказать? 2)𝑎 и 𝑏 не пересекаются Докажем первое требование, что 𝑎 и 𝑏 𝑎⊂𝛽 лежат в одной плоскости. 𝛼 ∩ 𝛽 = 𝑏. Как мы можем найти для этих прямых Из этих двух условий мы можем общую плоскость? сделать вывод, что обе прямые лежат в плоскости 𝛽. Тем самым мы доказали первое требование. Как мы можем доказать, что прямые 𝑎 и Воспользуемся снова методом 𝑏 не пересекаются? «от противного» и предположим, что они пересекаются. Что мы тогда получим? 𝑎 ∩ 𝛼, а это противоречит условию, что 𝑎॥ 𝛼. Следовательно, 𝑎॥ 𝑏. Верно. Теорема доказана. Сейчас мы с вами проводили плоскость Прямая будет или лежать в через прямую параллельную данной плоскости, или будет ей плоскости. параллельна. Рассмотрим другой пример. Пусть теперь нам даны параллельные прямая и плоскость и проведем еще одну прямую параллельную данной прямой. Какие варианты взаимного расположения между данной плоскостью и построенной прямой могут получиться? Попробуйте сформулировать данное Если одна из двух параллельных свойство. прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. Запишем его в тетрадь. И будем доказывать. 𝑎॥ 𝑏, 𝑎॥ 𝛼 Что нам дано? Что требуется доказать? 𝑏॥ 𝛼 или 𝑏 ⊂ 𝛼 Какие прямая и плоскость называются Непересекающиеся параллельными? Значит, что мы можем сказать о прямой 𝑎 Они не пересекаются и плоскости 𝛼? 𝑎॥ 𝑏 Что нам еще дано? Какой вывод мы можем сделать из этих 𝑏 и 𝛼 не пересекаются (по двух условий? лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми) В начале урока мы с вами рассмотрели 𝑏॥ 𝛼 или 𝑏 ⊂ 𝛼 три варианта взаимного расположения прямой и плоскости. И, если мы получили, что 𝑏 и 𝛼 не пересекаются, то какие варианты их взаимного расположения возможны? Правильно. Теорема доказана. 3. Первичное Каким образом через точку вне плоскости В заданной плоскости провести закрепление провести прямую, параллельную этой прямую; через данную точку и плоскости? Сколько решений имеет построенную прямую можно задача? провести плоскость (следствие 1); в полученной плоскости провести прямую, проходящую через данную точку, параллельно построенной прямой, она будет единственная (теорема существования и единственности параллельной прямой); последняя построенная прямая будет искомой прямой. Так как мы изначально прямую в плоскости проводили произвольно, то возможно целое множество решений. Можно ли построить в плоскости Если данная прямая параллельна прямую, параллельную данной прямой, данной плоскости, то можно, проходящей через данную точку вне иначе - нет данной плоскости? Даны параллельные прямая и плоскость. В плоскости берем Сколько можно провести в этой произвольную точку; через плоскости прямых, параллельных данной точку и данную прямую можно прямой? Как расположены между собой провести плоскость; эта эти прямые? плоскость будет пересекать данную плоскость по прямой параллельной данной прямой (свойство 1); так как точку мы взяли произвольную, то таких прямых мы можем построить целое множество и все они будут параллельны между собой, так как все они параллельны данной прямой. Может ли плоскость, проходящая через Нет. Данная плоскость будет середины двух сторон треугольника и не проходить через среднюю совпадающая с его плоскостью, линию треугольника; по пересекать третью сторону? свойству средняя линия параллельна основанию; получаем, что основание будет параллельно данной плоскости (по признаку) и следовательно они не будут пересекаться. 4. Подведение итогов Сегодня мы с вами рассмотрели взаимное - Если прямая, не лежащая урока расположение прямой и плоскости, в данной плоскости, узнали какие прямая и плоскость параллельна какой- называются параллельными, признак нибудь прямой, лежащей параллельности и его свойства. в этой плоскости, то она Сформулируйте, признак параллельности параллельна данной промой и плоскости и его свойства. плоскости (признак) - Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой (свойство) - Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости (свойство) 5. Домашнее задание § 6. ( Знать определение параллельных прямой и плоскости. Уметь доказывать признак параллельности прямой и плоскости и два вспомогательных утверждения) Решить задачи: № 22, 23, 25. Записывают домашнее задание
