ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ) Кафедра: «Железнодорожная автоматика, телемеханика и связь» Авторы: д-р техн.наук, проф. Горелик А.В., канд.техн.наук, доц. Ермакова О.П. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЁЖНОСТИ И ДИАГНОСТИКИ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для студентов-бакалавров 3 курса, сокращённой формы обучения, направления: «Технология транспортных процессов», профиля: «Организация перевозок и управление в единой транспортной системе» Москва 2013 1. НАДЁЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ 1.1. Основные понятия и определения В соответствии с ГОСТ 27.002-89 надёжность - свойство технической системы сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования. Надёжность вычислительной системы определяется, с одной стороны, отсутствием отказов, сбоев и ошибок в ее работе, с другой - возможностью быстрого восстановления аппаратуры и вычислительного процесса. Надёжность - сложное свойство, которое в зависимости от назначения системы и условий ее применения состоит из сочетания свойств: безотказности, долговечности, ремонтопригодности, достоверности функционирования, сохранности, живучести и безопасности. Прежде чем рассматривать эти свойства, определим состояния, в которых может находиться техническая система. С точки зрения надёжности техническая система может находиться в одном из двух состояний – исправном или неисправном. Исправное – это такое состояние, при котором система соответствует всем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской документации. В неисправном состоянии система не соответствует хотя бы одному из этих требований. Неисправная система может находиться в следующих состояниях –работоспособном, неработоспособном и предельном. В работоспособном состоянии значения всех параметров системы, характеризующих ее способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативнотехнической и (или) конструкторской документации. В неработоспособном состоянии системы не в состоянии выполнять хотя бы одну из заданных функций или хотя бы один ее параметр или одна характеристика не удовлетворяет требованиям, указанным в технической документации. Например, электромагнитное реле, у которого поврежден защитный кожух, неисправно, но работоспособно. С другой стороны, реле, у которого произошел обрыв обмотки, не может выполнять свои функции и поэтому неработоспособно. Предельным называется состояние системы, при котором ее дальнейшее применение по назначению недопустимо или нецелесообразно или восстановление исправного или работоспособного состояния системы невозможно или нецелесообразно. Предельное состояние наступает при физическом или моральном старении, резком снижении эффективности эксплуатации при возникновении неустранимых нарушений и других факторов. Рассмотрим, указанные выше, составляющие надёжности. Безотказность - свойство технической системы непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени. Долговечность - это свойство системы сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Ремонтопригодность - это степень приспособленности системы к предупреждению, обнаружению и устранению отказов. Ремонтопригодность системы можно оценить, например, 2 средним значением времени устранения неисправности, другими словами, средним значением (Τ в.о ) времени восстановления работоспособности после отказа . Достоверность функционирования - это свойство системы, безошибочность производимых ею преобразований информации. определяющее Достоверность (Τ ) функционирования оценивается средним временем наработки системы до первого сбоя c . Сохранность – свойство системы сохранять значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопригодности в процессе хранения и после него, а также в процессе транспортирования. Живучесть технической системы – способность противостоять крупномасштабным внешним воздействиям, приводящим к ее разрушению. Воздействия могут быть как естественного характера (стихийные природные бедствия, неблагоприятные погодные условия и т.п.), так и преднамеренные или ошибочные. Понятие надёжности тесно связано с понятием отказа. Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности системы, для устранения которого требуются определенные действия обслуживающего персонала по ремонту, замене, регулировке неисправного узла или устройства. По характеру возникновения выделяют отказы внезапные, постепенные и перемещающиеся (сбои). Внезапные отказы происходят в результате скачкообразного изменения параметров системы. Внезапный отказ это случайное событие. Его трудно предсказать и можно ожидать только с определенной вероятностью. Постепенные отказы происходят в результате постепенного изменения значений параметров системы в результате ее старения. Постепенный отказ можно прогнозировать. Постепенные отказы особенно характерны для механических систем и связаны с процессом изнашивания. Третьим видом отказа является перемещающийся отказ или сбой, - многократно возникающий самоустраняющийся отказ одного и того же характера. Сбои присущи сложным электронным системам. Они связаны с кратковременным действием температурных изменений, внешних электромагнитных влияний, колебаний питающих напряжений и других факторов. Сбои трудно обнаружить из-за кратковременности действия, они вносят искажения в информацию, которая перерабатывается в вычислительной системе. Для восстановления работоспособности системы в этом случае достаточно восстановить достоверность информации, что не требует ремонта аппаратуры. Когда происходит отказ и система теряет свою работоспособность, возможны две ситуации. Первая – система не ремонтируется и больше не используется по назначению. Такая система называется невосстанавливаемой. Она работает только до первого отказа. Такое использование системы применяется, если восстановление ее невозможно или экономически невыгодно. Например, технически невозможно в условиях эксплуатации отремонтировать однокристальную электронную вычислительную машину (ЭВМ). Может оказаться экономически нецелесообразным ремонтировать космический спутник, отказавший на орбите и т.д. Вторая ситуация – выполняется ремонт системы, и затем она снова используется по назначению. Такая система называется восстанавливаемой. ЭВМ общего назначения, как и большинство систем автоматики, телемеханики и связи являются восстанавливаемыми обслуживаемыми системами. 3 Кроме того, системы отличаются по требованиям к надёжности, организации процесса эксплуатации и другим характеристикам. Поэтому применяются различные показатели надёжности, характеризующие комплексное свойство «надёжность» с различных сторон. Поскольку время до отказа, время между двумя отказами, а также время восстановления случайные величины, показатели надёжности являются вероятностными показателями. Рассмотрим важнейшие из них. 1.2. Показатели надёжности невосстанавливаемых систем выражает Вероятность безотказной работы или функция надёжности P(t) вероятность того, что невосстанавливаемый объект не откажет к моменту времени наработки t. Показатель обладает следующими свойствами: 1. P(0) = 1 (предполагается, что до начала работы объект является безусловно работоспособным); lim P(t ) = 0 2. t →∞ (предполагается, работоспособность неограниченно долго); что объект не может сохранять свою dP(t ) ≤0 dt предполагается, что объект не может после отказа спонтанно 3. восстанавливаться (для систем, восстанавливаемых обслуживающим персоналом, этот показатель не используется). ( ) называется Дополнение вероятности безотказной работы до единицы ( ) вероятностью отказа или функцией ненадёжности. Вероятность отказа Q(t) - вероятность того, что случайное время до отказа меньше заданного времени t. Поэтому функция Q(t) совпадает с функцией распределения времени до отказа F(t): Q t = 1− P t t Q(t ) = F (t ) = ∫ f (t )dt 0 , где f(t) - функция плотности распределения времени до отказа. Тогда t ∞ 0 t P(t ) = 1 − Q(t ) = 1 − ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt . В результате испытаний можно определить P(t) лишь приближенно, в виде статистической оценки, обозначаемой тильдой, т.е. N − n(t ) ~ , P (t ) = 0 N0 где n(t) – количество объектов, отказавших к моменту времени t, при их исходном количестве N0. Плотность распределения наработки до отказа называют частотой отказов: 4 α (t ) = − dP (t ) dt . Экспериментально частота отказов определяется как отношение числа отказавших объектов в единицу времени к первоначальному числу объектов при условии, что все вышедшие из строя объекты не восстанавливаются. Согласно этому определению α~ (t ) = n(∆t ) , N 0 ∆t где n(∆t) – число отказавших объектов в интервале времени от t - ∆t/2 до t + ∆t/2. Средняя наработка до отказа до первого отказа: ∞ Т о определяется как математическое ожидание времени ∞ Τ о = М [t ] = ∫ tf (t )dt = ∫ P (t )dt . Средняя наработка до отказа является средним показателем и не отражает характер распределения времени до отказа. По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле 0 0 N0 ∑ ti To = i =1 N0 , где ti – время безотказной работы i- го объекта. Интенсивность отказов λ(t) выражает интенсивность процессов возникновения отказов. В начале периода функционирования системы на этапе обнаружения и исправления ошибок проектирования и производственных дефектов интенсивность отказов уменьшается со временем. Затем в течение большей части срока службы интенсивность потока отказов остается примерно постоянной, т.е. система может выйти из строя только из-за действия внезапных отказов. В конце срока службы она значительно увеличивается вследствие износа аппаратуры (рис. 1.1). λ (t ) t Рисунок 1.1. Зависимость интенсивности отказов от времени 5 Статистическая интенсивность отказов определяется отношением числа отказавших объектов в единицу времени к среднему числу объектов, исправно работающих в данный отрезок времени. ~ λ (t ) = n(∆t ) , N ср ∆t N ср = N i + N i +1 2 - среднее число исправно работающих объектов в интервале ∆t; Ni где – число объектов, исправно работающих в начале интервала ∆t; Ni+1 – число объектов, исправно работающих в конце интервала ∆t. Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения λ (t ) = α (t ) . P (t ) Интенсивность отказов является основной количественной характеристикой надёжности элементов. Если она известна, то можно найти все другие показатели надёжности. В табл. 1.1 показана взаимосвязь между показателями надёжности. Таблица 1.1Взаимосвязь между показателями надёжности Что известно P(t) P(t) - Q(t) 1 − Q (t ) ∞ f(t) ∫ f (t )dt t Q(t) 1 − P (t ) - λ(t) f(t) dP (t ) dt dQ (t ) dt − − 1 dP (t ) ⋅ P (t ) dt 1 dQ(t ) 1 − Q(t ) dt f (t ) t ∫ f (t )dt ∞ - ∫ f (t )dt 0 t t λ(t) − ∫ λ ( t ) dt e 0 t t 1− e − ∫ λ (t ) dt 0 λ (t ) e − ∫ λ ( t ) dt 0 - 1.3. Показатели надёжности восстанавливаемых систем Время эксплуатации восстанавливаемых систем состоит из интервалов времени работы и интервалов времени восстановления, которые следуют друг за другом. Поэтому показатели надёжности восстанавливаемых систем делятся на три группы: показатели безотказности, ремонтопригодности и комплексные. В пределах отдельного интервала работы для восстанавливаемых систем справедливы все показатели безотказности, рассмотренные в предыдущем разделе [P(t), Q(t), α(t), λ(t)], если считать за начальный момент времени t = 0 начало интервала. Чтобы учесть факт отказа и восстановления системы, вводят параметр потока отказов ω(t). Параметром потока отказов 6 называется отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки: M | n(t + ∆t) | -M | n(t) | = M ′ | n(t ) |, ∆t → ∞ ∆t ω (t ) = lim где M |n(t +∆t)|, M |n(t)| - математическое ожидание числа отказов за время t +∆t, t. Статистически параметр потока отказов описывается выражением: ω (t ) = n(t ) nср (∆t ) . = N 0∆t ∆t В этом случае во время испытаний на надёжность отказавшие объекты мгновенно заменяются новыми или восстановленными. Таким образом, в течение всего интервала ∆t испытывается постоянное число объектов N0, а время восстановления не принимается во внимание. T= 1 ω (t ) называется средней наработкой на отказ и характеризует среднее Величина время между соседними отказами восстанавливаемого объекта. Рассмотрим показатели ремонтопригодности. Время от начала ремонта до его окончания называется временем восстановления и является случайной величиной. Функцию распределения этой величины называют вероятностью восстановления S(t). Это вероятность того, что объект будет восстановлен за время t. Экспериментально величина S(t) определяется по формуле S (t ) = Nв , N ов где Nв – число объектов, восстановленных за время t: Nов – число объектов, поставленных на восстановление. Функция S(t) с вероятностной точки зрения идентична функции Q(t) и имеет те же свойства. Аналогично вводятся показатели: частота восстановления αв(t) как плотность распределения времени восстановления и интенсивность восстановления µ(t) как условная плотность распределения времени восстановления при условии, что до момента времени t восстановление объекта не произошло α в (t ) = dS (t ) , dt µ (t ) = α в (t) . 1 - S(t) Их статистические оценки следующие: α в (t ) = nв (∆t) , N ов ∆t µ (t ) = nв (∆t ) , N в.ср ∆t где nв(∆t) – число объектов, восстановленных в интервале времени (t - ∆t/2, t +∆t/2); Nв.ср – среднее число объектов, которые были неработоспособны в интервале (t - ∆t/2, t +∆t/2). 7 T Среднее время восстановления в - математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта ∞ ∞ 0 0 Tв = ∫ tα в (t )dt = ∫ [1 − S (t )]dt . По статистическим данным этот показатель определяется N ов ∑ t iв Tв = i =1 . N ов , где tiв – время восстановления i-го объекта. Коэффициент готовности Кг - вероятность того, работоспособном состоянии в произвольный момент времени t: Кг = что объект окажется в Тo . Тo +Тв По статистическим данным коэффициент готовности определяется отношением времени исправной работы объекта к сумме времен исправной работы и вынужденного простоя: Кг = tр tр + tп , где tр – суммарное время исправной работы объекта; tп – суммарное время вынужденного простоя. Коэффициент вынужденного простоя Кп – отношение времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок. Согласно определению ~ Kп = tп tп + tр или, переходя к средним величинам Kп = Tв To + T в . Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью Kп = 1− Kг . 1.4. Математические модели надёжности 8 Зависимость показателей надёжности от времени описывается с помощью математической модели надёжности (ММН) - математического выражения, позволяющего определить показатели надёжности. Простейшие ММН в виде формул с эмпирическими коэффициентами носят название статических моделей распределения. Наиболее распространенной статической моделью надёжности является экспоненциальная модель распределения времени до отказа, по которой вероятность безотказной работы объекта выражается зависимостью Ρ э (t ) = e − λt , где λ - параметр модели. Функция плотности экспоненциальной модели f э (t ) = вероятностей распределения времени до отказа при − dP(t ) = λe − λt dt . Функция интенсивности отказов при экспоненциальной модели λ э (t ) = f э (t ) = λ = const Pэ (t ) . Наработка до отказа при экспоненциальной модели ∞ 1 Τо = ∫ е − λt dt = λ о . Экспоненциальная модель может быть использована при расчётах надёжности объекта относительно внезапных отказов на участке нормального функционирования (интенсивность отказов постоянная величина). Из нее следует, вероятность безотказной работы объекта со временем уменьшается по экспоненциальному закону. С экспоненциальной моделью тесно связана модель Пуассона, позволяющая выразить вероятность Р(t, n) того, что на заданном интервале времени (0, t) произошло ровно n отказов, если время между отдельными отказами распределено экспоненциально с параметром λ. По модели Пуассона ( λ t ) n − λt Ρ ( t , n) = n! e . При расчёте надёжности объектов относительно постепенных отказов (так называемая параметрическая надёжность) используется модель нормального распределения. Это объясняется тем, что параметры объектов как случайные величины, зависящие от множества внешних факторов, обычно подчиняются нормальному закону, если ни один из внешних факторов не имеет главенствующего значения. Характеристики надёжности в этом случае определяются по формулам: 9 1 e 2πσ α (t ) = − ( t −T ) 2 t 1 ∫e 2 πσ 0 P (t ) = 1 − 2 2σ − , ( t −T ) 2 2σ 2 , где Т и σ - параметры нормального распределения. В начальный период эксплуатации, когда постепенные отказы еще не проявляются и поэтому не оказывают влияния на надёжность, вероятность безотказной работы уменьшается незначительно. В дальнейшем интенсивность отказов быстро возрастает и надёжность резко снижается. Во время интенсивного старения объекта для расчёта надёжности можно использовать модель распределения Рэлея: α (t ) = 1 e σ2 P (t ) = e λ (t ) = − − t2 2σ 2 , t2 2σ 2 , t , σ2 где σ - параметр распределения Рэлея. Из рассмотренной модели надёжности следует, что интенсивность отказов с течением времени линейно растет, и поэтому вероятность безотказной работы уменьшается значительно быстрее, чем при экспоненциальном законе, когда λ =const. Для периода приработки объекта может использоваться модель Вейбулла: k α (t ) = λ 0 kt k −1e − λ 0 t , k P (t ) = e − λ 0 t , λ (t ) = λ 0 kt k −1 , где λ0, k – параметры модели. 1.5. Методы повышения надёжности Все методы повышения надёжности технических средств систем могут быть сведены к следующим: • резервирование; • уменьшение интенсивности отказов технических средств; • сокращение времени непрерывной работы; • уменьшение среднего времени восстановления. 10 Реализация указанных методов может осуществляться либо при проектировании, либо при изготовлении, либо в процессе эксплуатации технических средств. Уменьшить среднее время восстановления можно, повышая надёжность технических средств и тем самым, уменьшая число отказов, или сокращая время, необходимое для отыскания и устранения отказов. Сократить время, необходимое для отыскания и устранения неисправностей, можно, применяя встроенный контроль, автоматизацию проверок, повышение квалификации обслуживающего персонала, сбор и обобщение опыта эксплуатации. Уменьшить время непрерывной работы объектов можно в том случае, если имеется возможность выключать объекты на определенные промежутки времени. Наиболее эффективными и многочисленными методами повышения надёжности, являются методы, которые применяются при проектировании технических средств. К таким методам относятся: • резервирование; • выбор наиболее надёжных элементов; • создание схем с ограниченными последствиями отказов элементов; • облегчение электрических, механических, тепловых и других режимов работы элементов; • стандартизация и унификация элементов и узлов; • встроенный контроль; • автоматизация проверок. Эффективность этих методов состоит в том, что они принципиально позволяют из малонадёжных элементов строить надёжные объекты и системы. Эти методы позволяют уменьшить интенсивность отказов объектов и систем, уменьшить среднее время их восстановления и время непрерывной работы. Повысить надёжность системы в процессе ее эксплуатации чрезвычайно трудно. Это объясняется тем, что надёжность системы в основном закладывается в процессе ее проектирования и изготовления. При эксплуатации системы ее надёжность уменьшается, причем скорость ее снижения зависит от методов эксплуатации, квалификации обслуживающего персонала и условий эксплуатации. При проектировании систем одним из наиболее эффективных и просто реализуемых методов повышения надёжности является резервирование. Применяются структурное, информационное и временное резервирование. Структурным (аппаратным) резервированием называется способ повышения надёжности, заключающийся в использовании дополнительных элементов, которые в случае отказа основных могут выполнять их функции. Основными способами резервирования являются: • постоянное или статическое резервирование; • резервирование замещением или динамическое резервирование; • гибридное резервирование. Постоянным или статическим называется резервирование, при котором резервные блоки постоянно включены и работают с основным блоком в одинаковом режиме. Резервированием замещением или динамическим называется резервирование, при котором резервные блоки выключены и замещают основные блоки только при их отказе. 11 Гибридное резервирование сочетает свойства статического и динамического резервирования. В системах со статическим резервированием восстановление работоспособности после отказа происходит мгновенно, а в системах с динамическим резервированием время восстановления в зависимости от степени автоматизации процедур восстановления изменяется в широких пределах. Различают нагруженный, ненагруженный и облегченный резервы. Нагруженным резервом называется резервный блок, находящийся в том же рабочем режиме, что и основной. Ненагруженным резервом называется резервный блок, практически не несущий нагрузок. Облегченным резервом называется резервный блок, находящийся в менее нагруженном рабочем режиме, чем основной. Основным параметром резервирования является его кратность. Под кратностью резервирования понимается отношение числа резервных элементов к числу резервируемых (основных). В зависимости от кратности резервирование подразделяется на резервирование с целой и дробной кратностью. Резервированием с целой кратностью называется такое резервирование, при котором для нормальной работы резервированного соединения достаточно, чтобы исправным был хотя бы один элемент. При резервировании с дробной кратностью нормальная работа резервированного соединения возможна при условии, если число исправных элементов не менее необходимого для работы. Кратность резервирования определяется из соотношения m= l-h h , где: l – общее число элементов расчёта резервированного соединения, h – число элементов необходимое для нормальной работы, l-h – число резервных элементов. Причем сокращать данную дробь нельзя, за исключением случая, когда h = 1 , т.е. при резервировании с целой кратностью. В зависимости от того, имеется в процессе эксплуатации возможность ремонта отказавших блоков или нет, различают резервирование с восстановлением и без восстановления. Системы, в которых используется резервирование с восстановлением (без восстановления) называются обслуживаемыми (необслуживаемыми) системами. Информационное резервирование предполагает избыточное кодирование информации, которая используется в системе. Временное резервирование возможно тогда, когда в процессе функционирования система имеет ресурс времени, вследствие чего могут осуществляться повторный расчёт данных или другие контрольные процедуры. 12 2. РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ 2.1. Расчёт показателей надёжности невосстанавливаемых нерезервированных систем В качестве объекта, надёжность которого требуется определить, рассмотрим некоторую сложную систему S, состоящую из отдельных элементов (блоков). Задача расчёта надёжности сложной системы состоит в том, чтобы определить ее показатели надёжности, если известны показатели надёжности отдельных элементов и структура системы, т.е. характер связей между элементами с точки зрения надёжности. Наиболее простую структуру имеет нерезервированная система, состоящая из n элементов, у которой отказ одного из элементов приводит к отказу всей системы. В этом случае система S имеет логически последовательное соединение элементов (рис.2.1). S Э1 Э2 ... Эn Рисунок 2.1. Схема логического соединения элементов нерезервированной системы 2.1.1. Методы расчёта В зависимости от полноты учета факторов, влияющих на работу изделия, различают ориентировочный и полный расчёт показателей надёжности. При ориентировочном расчёте показателей надёжности необходимо знать структуру системы, номенклатуру применяемых элементов и их количество. Ориентировочный расчёт учитывает влияние на надёжность только количества и типов, входящих в систему элементов, и основывается на следующих допущениях: λ - все элементы данного типа равнонадёжны, т.е. величины интенсивности отказов ( i ) для этих элементов одинаковы; - все элементы работают в номинальном (нормальном) режиме, предусмотренном техническими условиями; - интенсивности отказов всех элементов не зависят от времени, т.е. в течение срока службы у элементов, входящих в изделие, отсутствует старение и износ, следовательно λi (t ) = const ; - отказы элементов изделия являются событиями случайными и независимыми; - все элементы изделия работают одновременно. Ориентировочный метод расчёта используется на этапе эскизного проектирования после разработки принципиальных электрических схем изделий и позволяет наметить пути повышения надёжности изделия. Пусть отказы элементов есть независимые друг от друга события. Так как система работоспособна, если работоспособны все ее элементы, то согласно теореме об умножении вероятностей вероятность безотказной работы системы Рс (t) равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов: 13 n Ρ c (t ) = p1 (t ) ⋅ p 2 (t ) ⋅ ... ⋅ p n (t ) = ∏ p i (t ) i =1 , где Ρi ( t ) - вероятность безотказной работы i-го элемента. Пусть для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надёжности и известны их интенсивности отказов. Тогда и для системы справедлив экспоненциальный закон распределения надёжности: n n Ρ c (t ) = ∏ e − λit = e −t ∑ λ i i =1 = e − λ ct i =1 , где λ с - интенсивность отказов системы. Интенсивность отказов нерезервированной системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов: n λc = ∑ λi i =1 . Если все элементы данного типа равнонадёжны, то интенсивность отказов системы будет r λ c = ∑ N i λi i =1 где: , N i - число элементов i-го типа; r – число типов элементов. λ Выбор i для каждого типа элементов производится по соответствующим таблицам. Среднее время наработки до отказа и частота отказов системы соответственно равны: Τ о.с = 1 λ c , α c (t ) = λ c e − λ c t . На практике очень часто приходится вычислять вероятность безотказной работы λt высоконадёжных систем. При этом произведение c значительно меньше единицы, а вероятность безотказной работы P(t) близка к единице. В этом случае количественные характеристики надёжности можно с достаточной для практики точностью вычислить по следующим приближенным формулам: r Pc (t ) = 1 − λc t , λc = ∑ N i λi T o.c. = i =1 , 1 λc , ac (t ) = λc (1 − λc t ) . При расчёте надёжности систем часто приходится перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчёта и возводить их в степень. При значениях вероятность P(t), 14 близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнить по следующим приближенным формулам: n n i =1 i =1 Pc (t ) = ∏ pi (t ) ≈ 1 − ∑ qi (t ) , Pc (t ) = pin (t ) = 1 − nqi (t ) , q (t ) - вероятность отказа i-го блока. где i Полный расчёт показателей надёжности изделия выполняется тогда, когда известны реальные режимы работы элементов после испытания в лабораторных условиях макетов изделия. Элементы изделия находятся обычно в различных режимах работы, сильно отличающихся от номинальной величины. Это влияет на надёжность как изделия в целом, так и отдельных его составляющих частей. Выполнение окончательного расчёта параметров надёжности возможно только при наличии данных о коэффициентах нагрузки отдельных элементов и при наличии графиков зависимости интенсивности отказов элементов от их электрической нагрузки, температуры окружающей среды и других факторов, т.е. для окончательного расчёта необходимо знать зависимости λc = f ( K нT ° ,...) . Эти зависимости приводятся в виде графиков либо их можно рассчитать с помощью так k называемых поправочных коэффициентов интенсивности отказов i . При разработке и изготовлении элементов обычно предусматриваются определенные, так называемые «нормальные» условия работы. Интенсивность отказов элементов в «нормальном» режиме эксплуатации называется номинальной интенсивностью отказов Интенсивность отказов элементов при эксплуатации в реальных условиях номинальной интенсивности отказов λнi . λi равна λнi , умноженной на поправочные коэффициенты k i , т.е. n λi = λнi ⋅ k1 ⋅ k 2 ⋅ ... ⋅ k n = λнi ∏ k i i =1 где: , λнi - интенсивность отказов элемента, работающего в нормальных условиях при k , k ,..., k n - поправочные коэффициенты, зависящие от номинальной электрической нагрузке; 1 2 различных воздействующих факторов. Полный расчёт надёжности применяется на этапе технического проектирования изделия. 2.1.2. Типовые примеры Пример 1. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч. равны: р1(100) = 0,95; р2 (100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон распределения надёжности. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы. Решение. Найдем вероятность безотказной работы системы по формуле: 15 Pc (t ) = p1 (t ) ⋅ p 2 (t ) . P (100) = p (100) ⋅ p (100) = 0,95 ⋅ 0,97 = 0,92 1 2 . Отсюда c Найдем интенсивность отказов системы. Для этого воспользуемся формулой: Pc (t ) = e − λct . P (100) = e Тогда c − λc ⋅100 = 0,92 . Из этого выражения найдем λc ⋅ 100 . λc ⋅ 100 = ln 0,92 ≈ 0,083 или λc = 0,83 ⋅ 10 −3 (1/ч). Среднее время наработки до первого отказа T o.c. = 1 λc = 1 0,83 ⋅ 10 −3 = 1200 (ч). Пример 2. В системах могут быть использованы только элементы, интенсивность λ = 10 −5 1/ч. Системы имеют число элементов N1 = 500, N2 = 2500. отказов которых равна i Требуется определить среднюю наработку до первого отказа и вероятность безотказной работы в конце первого часа Pc(t) Решение. Определим интенсивность отказов систем λc1 = N1 ⋅ λi = 500 ⋅ 10 −5 = 0,5 ⋅ 10 −2 (1/ч). λc 2 = N 2 ⋅ λi = 2500 ⋅ 10 −5 = 0,025 (1/ч). Тогда Pc1 = e −λc1⋅t = e −0,5⋅10 −2 ⋅1 = 0,995 , Pc 2 = e −λc 2 ⋅t = e −0.025⋅1 = 0,975 . Среднее время наработки до первого отказа T o.c1 = T o.c 2 = 1 λc1 1 λc 2 = = 1 0,5 ⋅ 10 −2 = 200 (ч). 1 = 40 0,025 (ч). Пример 3. Система состоит из пяти приборов, вероятность исправной работы которых в течение времени t = 100 ч равны: p1 (100) = 0,9996 ; p 2 (100) = 0,9998 ; p3 (100) = 0,9996 ; p 4 (100) = 0,999 ; p5 (100) = 0,9998 . Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 100. 16 Предполагается, что отказы приборов независимы экспоненциальный закон распределения надёжности. Решение. Вероятность безотказной работы системы и для них справедлив 5 Pc (t ) = ∏ pi (t ) i =1 . Так как система является высоконадёжной (вероятности безотказной работы близки к единице), то вероятность безотказной работы системы можно вычислить по формуле 5 Pc (t ) = 1 − ∑ qi (t ) i =1 . Определим вероятность отказа каждого блока: q1 (100) = 1 − p1 (100) = 1 − 0,9996 = 0,0004 , q 2 (100) = 1 − p 2 (100) = 1 − 0,9998 = 0,0002 , q3 (100) = 1 − p3 (100) = 1 − 0,9996 = 0,0004 , q 4 (100) = 1 − p 4 (100) = 1 − 0,999 = 0,001 :, q5 (100) = 1 − p5 (100) = 1 − 0,9998 = 0,0002 :. Тогда Pc (100) = 1 − (0,0004 + 0,0002 + 0,0004 + 0,001 + 0,0002) = 0,9978 . Интенсивность отказов системы найдем из выражения Pc (t ) = 1 − λc t , отсюда λc = 1− Pc (t ) t . Подставляя значения Pc(100) и время t =100 ч, получим λc = 1 − 0,9978 = 2,2 ⋅ 10 −5 100 (1/ч). Частота отказов ac (t ) ≈ λc (1 − λc t ) = 2,2 ⋅ 10 −5 (1 − 2,2 ⋅ 10 −5 ⋅ 100) = 2,195 ⋅ 10 −5 (1/ч). 2.2. Расчёт показателей надёжности невосстанавливаемых резервированных систем В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обязательно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение 17 элементов (рис.5), при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным m-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадёжны. По теореме умножения вероятностей имеют место следующие выражения: Pc (t ) = 1 − Qc (t ) = 1 − q m+1 (t ) = 1 − [1 − p (t )]m+1 , где q(t), p(t) – соответственно вероятности отказа и безотказной работы одного элемента. S 1 .. . .. . 2 к .. . .. . к+1 m Рисунок. 2.2. Схема логического соединения элементов резервированной системы Если для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надёжности, то ( Ρ c (t ) = 1 − 1 − e −λt ) m +1 . Для высоконадёжных систем, у которых λt<0,1 и е − λt = 1 − λ t , имеем Pc (t ) = 1 − (λ t ) m+1 Среднее время наработки до отказа резервированной системы: ∞ Τ c = ∫ 1 − (1 − e 0 − λt m +1 ) m 1 1 1 1 1 dt = 1 + + + ⋅ ⋅ ⋅ + =To ∑ m + 1 λ 2 3 i =0 i + 1 , где T o - среднее время наработки до отказа основной системы или любой из резервных систем. Кроме m-кратного резервирования (m целое число) используют также резервирование с дробной кратностью, которое называют логическим соединением «k из n». Это означает, что система работоспособна, если работоспособны не менее k элементов. На рис.5,б приведена n−k структурная схема «k из n» с кратностью резервирования m = k . Универсальным методом расчёта надёжности любой резервированной системы со сложной логической структурой является метод полной группы событий. В момент времени t [Э (t ), Э ( t),..., Э (t )] 1 2 n состояние системы S может быть задано двоичным вектором A(t) = , где Эi(t)=1, если в момент t i-й элемент работоспособен, и Эi(t)=0, если к этому моменту он уже 18 отказал. Всего существует 2n состояний, которые образуют полную группу событий. Пусть надо рассчитать вероятность безотказной работы P(t) системы «2 из 3». Все возможные состояния этой системы приведены в табл.2.1. Таблица 2.1. Состояния системы «2 из 3» Аi А0 А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 Э1 0 0 0 0 1 1 1 1 Э2 0 0 1 1 0 0 1 1 Э3 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 0 0 1 0 1 1 1 R (1-p1)(1-p2)(1-p3) (1-p1)(1-p2)p3 (1-p1)p2(1-p3) (1-p1)p2p3 p1(1-p2)(1-p3) p1(1-p2)p3 p1p2(1-p3) p 1p 2p 3 B столбце R указаны вероятности событий Аi, причем сумма всех этих вероятностей равна 1. В результате появления событий Аi, система S может оказаться работоспособной в момент времени t (S=1) или неработоспособной (S=0). Таблица задает некоторую функцию алгебры логики S=f(Э1, Э2, Э3). Таким образом, надёжность сложной системы есть функция алгебры логики от надёжности ее элементов. В данном примере эта функция есть известная мажоритарная функция. Очевидно, что вероятность безотказной работы системы будет равна сумме вероятностей тех событий Аi, для которых S=1: P (t ) = ∑ R i (t ) 1 . Для данных таблицы P(t ) = R3 + R5 + R6 + R7 = (1 − p1 ) p 2 p3 + p1 (1 − p 2 ) p3 + + p1 p 2 (1 − p3 ) + p1 p 2 p3 = p1 p 2 + p1 p3 + p 2 p3 − 2 p1 p 2 p3 Если все элементы структуры равнонадёжны (p1 = р2 = p3 = p), то P (t ) = 3 p 2 − 2 p 3 . Метод полной группы событий применим в любом случае, однако для систем с большим числом элементов он становится слишком громоздким из-за большого числа состояний. Задача упрощается для широкого класса систем с последовательно-параллельной структурой. В таких системах элементы соединяются только последовательно или параллельно. В таком случае применяют метод преобразования структурной схемы (метод свертки), объединяя элементы в более крупные блоки и применяя формулы расчёта для элементарных схем надёжности (рис.2.3). 19 а) б) S Э1 Э2 S ... Эn Э1 ... ... Э2 Эm Рисунок 2.3. Преобразование структурной схемы надёжности Для элементарных схем функции надёжности соответственно равны n Pс (t ) = ∏ p i i =1 - для последовательного соединения; m Pc (t ) = 1 − ∏ (1 − p j ) j =1 - для параллельного соединения. Вероятность безотказной работы системы с последовательно-параллельной структурой, изображенной на рис.2.4,а наиболее удобно выразить постепенным упрощением ее схемы. Заменим сначала параллельные подсистемы 2 и 3 новой подсистемой 23 (рис.2.4,б). Тогда вероятность безотказной работы новой подсистемы p 23 = 1 − (1 − p 2 )(1 − p3 ). а) p 1 p2 б) p 1 p23 в) p 123 p4 p5 p45 г) pc = p12345 p3 p4 p5 Рисунок 2.4. Этапы последовательного упрощения последовательно-параллельной структуры Теперь заменим последовательные подсистемы 1 и 23 новой подсистемой 123 (рис.2.4,в). Тогда вероятность безотказной работы этой подсистемы p123 = p1 p 23 . Далее заменим последовательные подсистемы 4 и 5 одной подсистемой 45 с вероятностью безотказной работы p 45 = p 4 p5 . Наконец, заменив параллельные подсистемы 123 и 45 новой подсистемой 12345 (рис.2.4,г) получим вероятность безотказной работы этой подсистемы 20 p12345 = 1 − (1 − p123 )(1 − p 45 ), что соответствует вероятности безотказной работы системы. Часто не требуется знать точное значение вероятности безотказной работы, а достаточно только оценить эту величину снизу и сверху. Тогда можно применить приближенный метод минимальных путей и сечений. Рассмотрим этот метод на примере вычислительной системы (рис.2.5,а). а) в) б) 1 3 6 1 3 1 6 6 1 ... 4 4 M 2 5 N 4 4 ... 5 ... 6 7 2 г) 1 3 6 1 4 6 5 7 2 7 5 ............................................... 1 5 7 Рисунок 2.5. Схема расчёта надёжности вычислительной системы Она состоит из вычислительных блоков 1, 2 (источники информации) 6, 7 (приемники информации) и трех устройств сопряжения 3 – 5. Система работоспособна, если существует путь передачи информации хотя бы от одного источника к одному, по крайней мере, приемнику. Структурная схема расчёта надёжности системы в виде графа представлена на рис.8,б. Вершины графа соответствуют элементам системы, а дуги – связям между ними. Вершины M и N называют полюсами. Отказ элемента соответствует обрыву ребер, которые с ним связаны, а отказ всей системы соответствует нарушению связи между полюсами. Множество элементов системы называется путем А, если при их исправности система работоспособна независимо от состояния других элементов. Им соответствуют все пути между полюсами в графе надёжности. Путь называется минимальным, если никакое его подмножество не является путем. Граф (рис.2.5,б) имеет шесть минимальных путей: 1-3-6, 1-4-6, 1-4-7, 2-4-6, 2-4-7, 2-5-7. Множество элементов системы называется сечением В, если отказ всех этих элементов приводит к отказу системы независимо от состояния других элементов. У минимального сечения никакое его подмножество не является сечением. Рассматриваемый граф имеет девять минимальных сечений: 1-2, 6-7, 1-4-5,1-4-7, 2-3-4, 2-4-6, 3-4-5, 3-4-7, 4-5-6. Нижняя граница надёжности Pн(t) определяется как вероятность безотказной работы гипотетической последовательно-параллельной системы, составленной из последовательно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным сечениям (рис.2.5,в), а верхняя граница Pв(t) – системы из параллельно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным путям (рис.2.5,г). Таким образом, n Pв (t ) = 1 − ∏ [1 − P( Ai )]; i =1 m Pн (t ) = ∏ P ( B j ), j =1 21 где n, m – число путей и сечений системы; P(Ai), P(Bj) – соответственно вероятности событий Ai и Bj. 2.2.1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом и целой кратностью Логическая схема такого вида резервирования показана на рис.2.6,а б) n 1 ... 1 о ... 1 1 ... 2 ... ... ... ... n 2 ... o о в) 1 ... 2 ... а) 1 к m ... m ... m ... ... к+1 n г) е) д) 1 n 2 о ... 1 ... 1 о n 2 ... ... 1 .................................................. ... 1 ... .................................................. m n 2 n+1 n+m ... m Рисунок 2.6. Логические схемы основных видов структурного резервирования При экспоненциальном законе распределения надёжности Pc (t ) = 1 − (1 − e −λot ) m +1 ; 1 Tc = λo λ c (t ) = m 1 ∑ i +1 i =0 ; ( λ o (m + 1)e −λ ot 1 − e −λ ot ( 1 − 1 − e - λ ot ) ) m m +1 , где λо – интенсивность отказов основной системы или любой из резервных систем, n ∑ λi равна i =1 . Вероятность безотказной работы такой системы возрастает с увеличением кратности резервирования m. Этот вид резервирования наиболее целесообразно использовать для резервирования достаточно надёжных систем разового использования с коротким временем непрерывной работы. 2.2.2. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью 22 Логическая схема такого вида резервирования показана на рис.2.6,б. При экспоненциальном законе распределения надёжности, равнонадёжных элементах и одинаковой кратности их резервирования ( Ρ c (t ) = 1 − 1 − e −λt ; (n − 1)! m 1 ∑ λ (m + 1) i =0 vi (vi + 1)...(vi + n − 1) ; ∞ Τc = ∫ Ρc (t )dt = 0 λс (t ) = ) m +1 n ( n(m + 1)λe − λt 1 − e − λt ( 1 − 1 − e − λt ) ) m m +1 , где λ - интенсивность отказа одного элемента системы; vi = i +1 . m +1 При равных условиях раздельное резервирование дает существенное повышение надёжности по сравнению с общим резервированием. Раздельное резервирование может эффективно использоваться для повышения надёжности сложных систем с большим числом элементов и сравнительно длительным временем использования. 2.2.3. Общее резервирование с постоянно включенным резервом и дробной кратностью Логическая схема такого вида резервирования показана на рис.2.6,в. В этом случае система «k из n» работоспособна, если работоспособны не менее k элементов из n. При экспоненциальном законе распределения функции надёжности Ρ c (t ) = ∑ Cni e −λ (n−i )t (1 − e −λt ) n −k i i =0 ; 1 n −k 1 Τc = ∑ λ i =0 k + i . При данном виде резервирования надёжность повышается только тогда, когда вероятность безотказной работы основной системы выше некоторого критического значения. Это резервирование целесообразно использовать для систем с длительным временем непрерывной работы. 2.2.4. Общее резервирование замещением с целой кратностью Логическая схема такого вида резервирования показана на рис.2.6,г. В этом случае работает только одна основная система, остальные системы отключены с помощью специальных переключающих устройств и находятся в «холодном» резерве. При отказе основной системы она отключается, а на ее место подключается одна из резервных систем. 23 Таким образом, система откажет при возникновении (m+1)-го отказа. Предполагается, что системы, находящиеся в резерве, отказывать не могут, и что переключающие устройства абсолютно надёжны. Определим вероятность безотказной работы системы Pс(t), если для нерезервированных систем справедлив экспоненциальный закон распределения надёжности. Система будет работоспособна, если за время t произойдут следующие несовместимые события: А0 - основная система работала безотказно; А1 - основная система отказала, а первая резервная система работала безотказно; ... Am - основная и m-1 резервных систем отказали, а последняя резервная система работала безотказно. Вероятность событий Аi (i=0, 1,..., m) определяется по закону Пуассона: Ρ( Α i ) = ( λt ) i i! e − λt . Тогда вероятность безотказной работы резервированной системы определяется: m Ρс (t ) = ∑ Ρ ( Α i ) = e − λo t i =0 m (λo t ) i i =0 i! ∑ , n ∑ λi λо = i −0 где . Интенсивность отказа резервированной системы определяется по формуле: λо (λо t ) λс ( t ) = m m (λo t ) i i=0 i! m! ∑ . Среднее время наработки на отказ Τc = m +1 λo = (m + 1)Τo . Резервирование замещением является исключительно эффективным средством повышения надёжности даже при достаточно низкой надёжности не резервированной системы. 2.2.5. Раздельное резервирование замещением с целой кратностью Логическая схема такого вида резервирования показана на рис.2.6,д. Вероятность безотказной работы системы n Ρс ( t ) = ∏ Ρi ( t ) i =1 , 24 P (t ) где i - вероятность безотказной работы системы из-за отказов элементов i-го типа, резервированных по способу замещения, которая рассчитывается по формуле Ρi ( t ) = e − λi t (λi t ) i m ∑ i! . i=0 При равной надёжности всех элементов: n m (λt )i − λ ot Ρ c (t ) = e ∑ i =0 i! ; λ c (t ) = λ o (λt )m m (λt )m i =0 i! m! ∑ где , λ - интенсивность отказа одного элемента λo = nλ . Раздельное резервирование с замещением при прочих равных условиях дает наибольший выигрыш надёжности по сравнению с другими видами резервирования. 2.2.6. Раздельное резервирование замещением с дробной кратностью Этот вид резервирования (рис.2.6,е) применяется, если все элементы системы выполняют одинаковые функции. Основная система имеет nэлементов, а m элементов находятся в холодном резерве. При отказе любого работающего элемента на его место подключается любой m из резервных. Кратность резервирования n . Предположим, что все элементы равнонадёжны с λ = const и переключающие устройства абсолютно надёжны. Система будет работоспособна, если за время t произойдут следующие несовместимые события: А0 – система не имеет отказов; А1 – отказал один элемент; Аm – отказали m элементов. Вероятность событий Аi(i = 0, 1, …m) определяется по закону Пуассона, поэтому величина Pc(t) рассчитывается по формуле m Ρс (t ) = ∑ Ρ ( Α i ) = e i =0 − λo t m (λo t ) i i =0 i! ∑ . Это означает, что надёжность данной системы равна надёжности системы с общим резервированием с замещением, но в то же время имеет в n раз меньше резервных элементов. Однако переключающие устройства при этом усложняются. 2.2.7. Типовые примеры Пример 1. Схема расчёта надёжности устройства приведена на рис.:2.7. 25 о λ λ λ λ Рисунок 2.7 . Схема расчёта надёжности Предполагается, что последствие отказов отсутствует и все элементы расчёта −3 равнонадёжны. Интенсивность отказа элементов λ = 1,35 ⋅ 10 1/ч. Требуется определить наработку до первого отказа резервированной системы. Решение. В данном случае имеет место раздельное резервирование равнонадёжных устройств с постоянно включенным резервом. Число элементов нерезервированной системы n=2, кратность резервирования m=1. Для вычисления средней наработки до первого отказа воспользуемся формулой: (n − 1)! m 1 1 1 1 = ∑ ∑ λ (m + 1) i =0 vi (vi + 1)...(vi + n − 1) 2λ i =0ν i (ν i + 1) . Τc = Так как vi = то i +1 i +1 .= m +1 2 , ν0 = 1 2 , ν1 = 1. Тогда Tc = 1 4 1 11 11 + = = = 680 2λ 3 2 12λ 12 ⋅ 1,35 ⋅ 10 −3 (ч) Пример 2. Вероятность безотказной работы преобразователя постоянного тока в переменный в течение t=1000 ч равна 0,95. Для повышения надёжности системы электроснабжения на объекте имеется такой же преобразователь, который включается в работу при отказе первого. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа системы, состоящей из двух преобразователей. Решение. В данном случае имеет место общее резервирование замещением кратности m=1. Для расчёта вероятности безотказной работы воспользуемся формулой: Ρc (t ) = e По −λot m (λo t )i i =0 i! ∑ условию = e −λ0t (1 + λo t ) задачи . вероятность безотказной работы основной системы Po (t ) = e −λot = 0,95 , тогда λo t = ln 0,95 = 0,05 . Подставив эти значения в формулу, получим: Pc (t ) = 0,95(1 + 0,05) = 0,9975 . 26 Среднюю наработку до первого отказа системы рассчитаем по формуле: T c = (m + 1)T o = 2T o . λo = а 0,05 0,05 = = 0,5 ⋅ 10 −4 t 1000 (1/ч), λ t = 0,05 , то Так как в течение времени t=1000 ч o средняя наработка до первого отказа нерезервированного To = 1 λo = 1 преобразователя = 20000 0,5 ⋅ 10 −4 (ч). Тогда средняя наработка до первого отказа резервированной системы T c = 2T o = 40000 (ч). Пример 3. нерезервированная Система имеет кратность общего резервирования m=5. Основная система содержит четыре равнонадёжных элемента с логически последовательным соединением. Интенсивность отказа одного элемента λ = 0,2 ⋅ 10 Определить характеристики надёжности системы за 1000 ч. Решение. Определим интенсивность отказов основной системы по формуле −3 (1/ч). λo = n ⋅ λ = 4λ = 4 ⋅ 0,2 ⋅ 10 −3 = 0,8 ⋅ 10 −3 (1/ч). Вероятность безотказной работы системы определим по формуле Pc (t ) = 1 − (1 − e −λot ) m+1 = 1 − (1 − e −0,6 ) 6 = 0,972 . Среднее время наработки на отказ и интенсивность отказов системы соответственно равны Tc = 1 m 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + = 3062 ∑ λo i =0 i + 1 0,8 ⋅ 10 −3 2 3 4 5 6 λ c (t ) = ( λ o (m + 1)e −λ ot 1 − e −λ ot ( 1− 1− e Пример 4. ) -λ ot m +1 ) m = (ч). 0,8 ⋅ 10 −3 ⋅ 6e −0,8 (1 − e −0,8 ) 5 1 − (1 − e − 0 ,8 6 ) = 0.11 ⋅ 10 −3 Вычислительная система построена из 500 однотипных блоков с −6 интенсивностью отказа λ = 0,3 ⋅ 10 1/ч. В скользящем холодном резерве находятся пять таких же блоков, которые могут заменить любой из отказавших блоков. Определить показатели надёжности системы за 10000 часов. Решение. Определим показатели надёжности системы, используя формулы Ρc (t ) = e −λot m (λo t )i i =0 i! ∑ 27 λо (λо t ) λс ( t ) = m (λo t ) i i=0 i! m! ∑ Τc = m +1 λo = (m + 1)Τo Определим λo t = nλt = 0,3 ⋅ 10 Pc = e m интенсивность −6 отказов основной системы за время t=10000 ч ⋅ 500 ⋅ 10000 = 1,5 . Тогда (1,5) 2 (1,5) 3 (1,5) 4 (1,5) 5 + + + 1 + 1,5 + = 0,2231 ⋅ 4,4617 = 0,9954 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! −1,5 1,5 ⋅ 10 −4 (1,5) 5 λc = = 0,21 ⋅ 10 −6 5!⋅4,4617 (1/ч) 5 +1 Tc = = 40000 −4 1,5 ⋅ 10 (ч). 2.3. Расчёт показателей надёжности восстанавливаемых нерезервированных систем Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится в одном из двух состояний: работоспособном ( 0 ) или неработоспособном Процесс ее функционирования можно отразить графом состояний (рис.2.8): G ( G1 ) . отказ G0 λ µ G1 восстановление Рисунок 2.8. Граф состояний нерезервированной системы G0 в состояние G1 система переходит в результате отказов с G G µ. В интенсивностью λ , а из 1 в 0 - в результате восстановления с интенсивностью Из состояния дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими: λ = const , µ = const . Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон Τв = 1 µ .. ; распределения ( ) Основным показателем надёжности нерезервированной восстанавливаемой системы F t = 1− e − µt К г . Сокращение времени восстановления ведет к является коэффициент готовности увеличению коэффициента готовности и не влияет на безотказность системы. Рассмотрим работу системы на интервале времени ( t , t + ∆t ) . Обозначим через Ρ0 ( t ) , Ρ0 ( t + ∆t ) и Ρ1( t ) , 28 Ρ1 ( t + ∆t ) - вероятности того, что в момент времени t и t + ∆t система находится в состоянии G0 и G1 . Тогда Ρ0 ( t ) + Ρ1 ( t ) = 1 и Κ г = Ρ0 ( t ) . Обозначим также через Ρ01 ( ∆t ) и Ρ10 ( ∆t ) G условную вероятность того, что в момент времени t система находится или в состоянии 0 или G1 , а в момент времени t + ∆t или в состоянии G1 или в состоянии G0 , т.е. за интервал времени ∆t произошел отказ (восстановление) системы. Тогда Ρ 01 (∆t ) = λ∆t ; в состоянии Ρ10 (∆t ) = µ∆t Будем считать, что за время ∆t может произойти только один отказ или только одно восстановление. Тогда А1 ( G0 , G0 ) на интервале ∆t могут произойти четыре несовместимые G0 , в момент A (G , G ) времени t + ∆t она осталась в том же состоянии, т.е. отказа не произошло; 2 0 1 - отказ А3 ( G1 , G0 ) - восстановление произошло; А4 ( G1 , G1 ) - восстановление не произошел; события: - в момент времени t система находилась в состоянии произошло. Тогда Ρ0 ( t + ∆t ) = Ρ ( Α 1 ) + Ρ ( Α 3 ) = Ρ0 ( t )(1 − λ∆t ) + Ρ1 ( t )µ∆t Ρ1 (t + ∆t ) = Ρ ( A2 ) + Ρ ( А4 ) = Ρ0 (t )λ∆t + Ρ1 (t )(1 − µ∆t ) или Ρ0 ( t + ∆t ) − Ρ0 ( t ) ∆t Ρ1 ( t + ∆t ) − Ρ1 ( t ) ∆t = − λΡ0 ( t ) + µΡ1 ( t ) = λΡ0 ( t ) + µΡ1 ( t ) . Положим ∆t → 0 . Тогда получим систему дифференциальных уравнений dΡ0 ( t ) = − λΡ0 ( t ) + µΡ1 ( t ) dt dΡ t 1 ( ) = λΡ0 ( t ) − µΡ1 ( t ) dt , которая дополняется условием Ρ0 ( t ) + Ρ1 ( t ) = 1 . Решение системы при начальных условиях момент времени система работоспособна, имеет вид Ρ0 ( t ) = 1 и Ρ1 ( t ) = 0 , т.е. в начальный 29 µ λ −(λ +µ )t ( ) ( ) Ρ Κ t = t = + e 0 г λ+µ λ+µ λ λ −(λ +µ )t Ρ1 (t ) = λ + µ − λ + µ e . Если в начальный момент времени система неработоспособна, то и решение системы имеет вид Ρ0 ( 0) = 0 , Ρ1 ( 0) = 1 µ µ −(λ +µ )t ( ) ( ) t = t = − e Ρ Κ 0 г λ+µ µ+λ λ µ −(λ +µ )t ( t ) = + e Ρ 1 λ+µ λ+µ . G G При t → ∞ независимо от начального состояния системы ( 0 или 1 ) вероятности P0 (t) = Κ г , Ρ1 ( t ) стремятся к постоянным значениям Κг = µ λ+µ; Ρ1 = λ λ+µ. Это означает, что при экспоненциальных законах распределения времени наработки на отказ и времени восстановления, случайный процесс работы восстанавливаемой системы стабилизируется, и вероятность застать систему работоспособной в произвольный момент времени остается постоянной. Система с указанным свойством называется эргодической, а сам процесс - марковским случайным процессом. Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от ее состояния в настоящем и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние. Учитывая данное свойство, в системе дифференциальных уравнений при t → ∞ можно dP0 (t ) dP1 (t ) = =0 dt dt и получить систему линейных алгебраических уравнений, положить P = K г и P1 : откуда непосредственно находятся 0 0 = λP0 − µP1 0 = −λP0 + µP1 1 = P + P 0 1 При малых значениях величины Κ г (t) = µ λ+µ + λ λ+µ (λ + µ )t , когда e −( λ + µ ) t ≈ 1 − ( λ + µ ) t , получим [1 − (λ + µ )t ] = 1 − λt 30 Ρ1 ( t ) = λ λ+µ − λ λ+µ [1 − (λ + µ )t] = λt . 2.4. Расчёт надёжности восстанавливаемых резервированных систем Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является марковским случайным процессом с дискретными состояниями. Случайный процесс называется дискретным, если его состояние можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком. Резервированная восстанавливаемая система описывается графом состояний (рис.2.9). G0 λ01 λ02 µ20 G1 G2 µ10 λ12 Рисунок 2.9. Граф состояний резервированной системы В отличие от нерезервированной системы резервированная система в общем случае G G G 0 - исправное, 1 - неисправное, 2 но работоспособное, имеет три состояния: неработоспособное. Переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс есть марковский процесс и задается системой дифференциальных уравнений. Система составляется по следующим правилам. Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет знак минус, если стрелка исходит из данного состояния, а знак плюс – если стрелка направлена в данное состояние. Полученная система уравнений называется системой уравнений Колмагорова. Например, для графа состояний, показанного на рис.2.9, получим следующую систему дифференциальных уравнений. dP0 (t ) dt = −λ 01 P0 (t ) − λ 02 P0 (t ) + µ 10 P1 (t ) + µ 20 P2 (t ) dP1 (t ) = λ 01 P0 (t ) − µ 10 P1 (t ) + λ 12 P2 (t ) dt dP2 (t ) dt = λ 02 P0 (t ) + λ 12 P1 (t ) − µ 20 P2 (t ) 31 Система решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При t → ∞ справедлива предельная теорема А.А. Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, а граф состояний таков, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое за конечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. В соответствии с этой теоремой при t →∞ dPi (t ) →0 dt и система дифференциальных уравнений превращается в однородную производная систему линейных алгебраических уравнений − λ 01 P0 (t ) − λ 02 P0 (t ) + µ10 P1 (t ) + µ 20 P2 (t ) = 0 λ 01 P0 (t ) − µ 10 P1 (t ) + λ12 P2 (t ) = 0 λ P (t ) + λ P (t ) − µ P (t ) = 0 12 1 20 2 02 0 Система дополняется нормировочным уравнением Ρ0 + Ρ1 + Ρ2 = 1. В качестве примера рассмотрим граф состояний системы с общим резервированием замещением кратности m и неограниченным восстановлением (рис.2.10). λ λ G0 G2 G1 µ λ µ λ µ λ Gm ... µ G m +1 µ Рисунок 2.10. Граф состояния системы с общим резервированием замещением Состояния системы имеют следующий смысл: G0 - основная и все резервные системы Gi - основная и i-1 резервная система отказали, все остальные резервные G системы работают; m+1 - основная и все резервные системы отказали. Каждой дуге ведущей работоспособны; Gi в состояние Gi +1 приписано значение λ , т.к. одновременно работает только G G i ⋅ µ , т.к. при этом одна резервная система. Дуге ведущей из i в i −1 приписано значение из состояния восстанавливается i резервных систем. Таким образом, для рассматриваемого случая имеем следующую систему линейных уравнений − λ P0 + µP1 = 0 λ P0 − (λ + µ )P1 + 2µP2 = 0 λ P1 − (λ + 2µ ) P2 + 3µP3 = 0 .......................................... λ P − (λ + mµ ) P + (m + 1)µP = 0 m m +1 m−1 λ Pm − (m + 1)µPm+1 = 0 P0 + P1 + ... + Pm+1 = 1 32 отсюда 1 Ρ0 = 1+ λ m+1 λ λ2 λ3 + + + + ... µ 2!µ 2 3!µ 3 (m + 1)!µ m+1 ; λ Ρ0 µ ; Ρ1 = Ρ2 = λ2 2!µ 2 Ρ m+1 = Ρ0 ; λ m+1 (m + 1)!µ m+1 Ρ0 . Коэффициент готовности системы λm λ λ2 1+ + + ... + µ 2!µ 2 m!µ m Κ г = Ρ 0 + Ρ1 + ... + Ρ m = 1+ λm λ m+1 λ λ2 + + + + ... µ 2!µ 2 m!µ m (m + 1)!µ m+1 . Резервирование с восстановлением является эффективным средством повышения надёжности, с помощью которого можно добиться сколь угодно высокой надёжности систем. На практике часто встречается необходимость оценки надёжности достаточно сложных резервированных и восстанавливаемых систем. В этом случае метод марковских цепей приведет к сложным решениям из-за большого числа состояний системы, поэтому для расчёта показателей надёжности используют простой приближенный метод расчёта. Метод основан на следующих допущениях: 1. Время восстановления намного меньше времени безотказной работы. 2. Интенсивности отказов и интенсивности восстановлений – постоянные величины. 3. Отказы и восстановления отдельных подсистем – независимые случайные события. Для последовательного включения подсистем имеются следующие приближенные зависимости: n λ = ∑ λi ; i =1 n K г = 1 - n + ∑ K гi i =1 µ= λ 1- K г Для параллельного включения 33 m µ = ∑ µi ; i =1 m Kг = 1 - ∏ (1 - K гi ); i =1 λ = µ (1 − K г ). В формулах приняты следующие допущения: λ - интенсивность отказов K последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем; г – коэффициент готовности последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем; µ - интенсивности восстановлений последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем. Если в системе применяется скользящее резервирование подсистем, то для расчёта применяется формула: m Kг = ∑ C im K гi .п (1 − K г.п ) m−i , i =r где r –минимально необходимое по требованиям производительности число K г .n. – коэффициент готовности подсистемы (при скользящем работоспособных подсистем; резервировании все подсистемы однотипные). Интенсивность восстановления в случае скользящего резервирования определяется по формуле: µ = (m − r + 1)µ п , где µп – интенсивность восстановления подсистемы. Далее расчёт надёжности системы сводится к составлению структурной схемы расчёта надёжности и ее постепенном упрощении при помощи формул до получения показателей λ, µ и K г для системы. 34
