Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему. Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах

Лекция 11. Кинематика и динамика упругого столкновения частиц. Переход в Ц-систему.
Импульсные диаграммы. Связь углов рассеяния в Л- и Ц-системах
Столкновение двух частиц называется упругим, если оно не сопровождается изменением
их внутреннего состояния, в том числе не изменяется их внутренняя энергия. Термин "столкновение" предполагает, что взаимодействие между частицами происходит в течение какого-то
ограниченного времени, после чего частицы движутся как свободные.
Процесс упругого столкновения можно проанализировать в рамках законов сохранения
энергии и импульса. Эти результаты получались и подробно исследовались в курсе общей физики. Здесь мы интерпретируем их графически с помощью так называемых импульсных диаграмм. Ограничимся подробным рассмотрением простого, но важного и часто встречающегося
случая, когда вторая частица до столкновения покоилась (в общем случае формулы очень громоздки), т.е.
v2  0 ,
p2  0
(1)
В этом случае импульс системы и относительный импульс определяются импульсом первого
тела
P  p1  p2  p1
и
vî ò í  v1  v2  v1 
p1
m1
(2)
Тогда импульсы те в системе центра инерции до и после столкновения равны:
p1ц 

p1 ,
m1
p2ц  

p1
m1
(3)
p1ц 

p1n0 ,
m1
p1ц  

p1n0
m1
(4)
(  - приведенная масса). Кинетическая энергия в Ц-системе
v12
Tц  T1ц  T2ц 
2
(5)
Тогда формулы для импульсов тел в Л-системе после столкновения можно записать в виде:
p1 



p1n0 
p1  p1ö 
p1
m1
m2
m2
p2  



p1n0 
p1  p2 ö 
p1
m1
m1
m1
1
(6)
(7)
Рассмотрим три случая, которые отличаются друг от друга соотношением масс частиц m 1 и
m2 .
1. Налетающая частица m 1 легче покоящейся частицы m 2 , т.е. m1  m 2
Проведем следующие построения (См. рисунок). Отложим отрезок
C

AO 
p1 .
m2
Из
точки
O отложим
OB 

p1 . Тогда очевидно, что отрезок
m1

p1
отрезок
частицы
до
2
1
A
AB будет представлять собой импульс
налетающей

p 2
B
O
столкновения:
D

AB  p1 . Из точки O проведем окружность радиусом OB . Точка B будет лежать на этой окружности, а точка A будет
находиться
внутри
круга,
т.к.
при
m1  m 2 AO  OB . Заметим, что отре-
Рис. 1 Импульсная диаграмма столкновения
частиц для случая m1  m 2 .
зок OB  p1ц , т.е. одновременно представ-
ляет собой импульс налетающей частицы в Ц - системе.
Рассмотрим на окружности произвольную точку C . Отрезок OC можно рассматривать
 , т.к. OC  OB .
как импульс первой частицы после столкновения в Ц - системе: OC  p1ц
Следовательно, угол  есть угол поворота первой частицы в Ц – системе. Тогда отрезок AC
есть импульс первой частицы после столкновения в Л – системе: AC  OC  AO  p1 .
Одновременно, CB есть импульс второй частицы после столкновения в Л – системе:
CB  OB  OC  p2 . Т.о. на одной векторной диаграмме удается одновременно представить
векторы импульсов частиц до и после столкновений как в Л – системе, так и в Ц – системе.
Именно это обстоятельство делает векторные импульсные диаграммы исключительно наглядными и позволяет установить из них связь между различными величинами в Л – и в Ц – системах. Например, из диаграммы сразу видно, что угол отклонения 1 первой частицы в Л – систе2
ме может изменяться во всем интервале 0  1   , а угол отклонения 2 второй частицы в Л
– системе может изменяться в интервале 0  2   / 2 . Видно, что 2  0 , когда 1   ,
что имеет место при    . При этом частицы разлетаются в разные стороны вдоль одной прямой: p1x  0 , а p 2x  0 . Это соответствует "лобовому" столкновению частиц. При   0 ,
1  0 . При этом p1  p1 , а p2  p2  0 . Это соответствует отсутствию столкновения частиц.
Установим связь между углами отклонения частиц 1 и 2 в Л – системе и углом поворота  в Ц – системе. Углы 1 и 2 представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара, т.е. по отношению к вектору налетающей частицы
p1 , т.е. по отношению к отрезку AB на рисунке.
Сначала установим связь между углами 2 и  . Поскольку треугольник OBC равнобедренный, то 22     . Отсюда сразу получаем, что
2 

2
(8)
Теперь установим связь между углами 1 и  . Из рисунка следуют соотношения:
tg1 
Поскольку OB 
CD
OC sin 
OC  sin 
OB  sin 



AD AO  OD AO  OC  cos  AO  OB  cos 


p1 , а AO 
p1 , то получаем
m1
m2
tg1 
sin 
sin 
.

AO / OB  cos  m1 / m 2  cos 
Эту формулу обычно записывают в виде:
tg1 
Угол
ACB   / 2 ,
т.к.
m 2 sin 
sin 

m1  m 2 cos  k  cos 
точка
A
лежит
внутри
(9)
круга.
Поскольку
1  2  ACB   , то при m1  m 2 угол разлета частиц m 1 и m 2 после столкновения
меньше чем  / 2:
 m1  m2 
1  2   / 2 ,
3
(10)
Рассмотрим случай "лобового" удара. Из диаграммы 1 видно, что в этом случае налетающая частица m 1 полетит в сторону, противоположную её начальному направлению движения:
p1  p1 . Точка C будет находиться на одном диаметре окружности слева от точки B . Т.е.
при "лобовом" столкновении    . Поэтому
p1  AO  OB ,
т.е.
 1
1 
p1  AO  OB   

 p1 ,
m
m
1
 2
т.е.
p1      
m1  m 2
p1
m1  m 2
(11)
v1      
p1
m  m2
 1
v1
m1 m1  m 2
(12)
Следовательно
Для покоящейся частицы при "лобовом" ударе p2  CB  2OB , т.е.
p2       2
m2
p1
m1  m 2
(13)
Следовательно,
v2      
p2
2m1

v1
m2 m1  m 2
(14)
Если частица m 2 до столкновения покоилась, то наибольшую энергию, которую может
потерять налетающая частица, будет равна энергии, приобретенной второй частицей именно после "лобового" столкновения:
 T1 max
  T1  T1max   T2 max  T2     
(15)
Используя формулу (15) легко получаем:
 T1 max
Здесь T1 
  T2 max 
m2
4m1m 2
4k
2
v2      
T

T

1
2
2
2
1  k 
 m1  m 2 
(16)
m1 2
v1 - первоначальная энергия налетающей частицы.
2
Рассмотрим случай, когда налетающая частица m 1 тяжелее покоящейся частицы m 2 ,
т.е. m1  m 2 . В этом случае построение векторной импульсной диаграммы производится ана4
логично тому, как это делалось выше для случая m1  m 2 . Отличие будет состоять только в
том, что теперь точка A будет лежать вне круга радиуса OB 
AO 

p1 , т.к. длина отрезка
m1

p1 будет больше OB , поскольку m 2  m1 (рис.10.6).
m2
E
1max
C

p 2
2

p1
n0
B
O
A
1
D

Рис.2. Импульсная диаграмма столкновения частиц для случая m1  m 2 .
Такое, казалось бы, не столь большое отличие, приводит, однако, к существенному изменению результата взаимодействия частиц, по сравнению с рассмотренным выше случаем
m1  m 2 . В то время, как при m1  m 2 скорость первой частицы после столкновения могла
иметь любое направление 0  1   , теперь угол отклонения налетающей частицы m 1 не
может превышать некоторого максимального значения 1max , так, что при m1  m 2 величина
1 может изменяться в пределах: 0  1  1max . Значение угла 1max может легко определено из векторной диаграммы 2. Максимальному отклонению первой частицы в Л – системе соответствует такое положение точки C , при котором прямая AС касается окружности в точке E.
Поскольку треугольник AEO – прямоугольный, то sin 1max 
5
OE OB

.
AO AO
Поскольку OB 


p1 , а AO 
p1 , то сразу получаем, что
m1
m2
sin 1max 
m2
m1
(17)
Значению угла 1max соответствует угол поворота в Ц – системе    / 2  1max , так, что
cos   
m2
.
m1
Обсудим значение угла разлета. Теперь угол ACB   / 2 , т.к. точка A лежит вне круга. Поскольку 1  2  ACB   , то при m1  m 2 угол разлета частиц m 1 и m 2 после
столкновения больше чем  / 2:
 m1  m2 
1  2   / 2 ,
(18)
Кроме того, как это видно из диаграммы 2, одному и тому же значению угла 1  1max будет
соответствовать два различных значения угла  в Ц – системе, т.к. прямая AC пересекает
окружность в двух точках. Но это означает, что одному и тому же углу отклонения 1 будет соответствовать две различные пары значений
импульсов
 p1 ; p2 1
C
и

p1
 p1 ; p2 2 . Кроме того, одному и тому
n0
же углу отклонения 1 будет соответствовать два различных значения угла

p 2
1
2

A
B
2 .
O
D
Пусть теперь налетающая и покоящаяся частицы имеют одинаковую
массу, т.е. m 1  m 2  m , так, что
  m / 2. В этом случае векторная
диаграмма имеет наиболее простой вид,

p
т.к. отрезки OB 
p1  1
m1
2
Рис. 3. Импульсная диаграмма столкновения частиц для случая m1  m 2 .
и
6
AO 

p
p1  1 оказываются равными. Поэтому точки A и B будут лежать на противоm2
2
положных концах диаметра (рис.3). B этом случае треугольник AOB является равнобедренным. Поэтому 21   . Следовательно, в случае частиц равных масс получаем:
1 

;
2
2 

;
2
 m1  m2 
(19)
Формула (19) для угла 1 получается конечно из общей формулы, если в ней положить
m1  m 2  m :
tg1 
2sin   / 2 cos   / 2
m sin 
sin 


 tg   / 2
m  m cos  1  cos 
2cos2   / 2
Одинаковые частицы всегда разлетаются под прямым углом друг к другу. Это видно как из диаграммы 3, так и непосредственно из формул (19):
1  2 

2
7
(20)