L4-4

Аберрация света.

Предположим, что частица двигается в
K
в плоскости
X Y  и вектор его скорости составляет с осью X  угол
vx  v cos , vy  v sin  , vz  0
(4.31)
В этом случае движение частицы в К будет происходить в плоскости XY, однако вектор его скорости составит с осью
X другой угол
:
vx  v cos , vy  v sin  , vz  0
(4.32)
Используя формулу (4.29) и учитывая соотношения (4.31), (4.32), получим:
v cos 
v cos   u
,
1 vu cos  / c 2
v sin   1 u 2 c 2
v sin  
1 vu cos  / c 2
Отсюда получим
sin   1 u 2 c 2
tg 
cos   u / v
v  v
2
2
(4.33)
1 2u cos  / v  u 2 sin 2   / c 2  u 2 / v2
1 uv cos  / c2 
(4.34)
2
K
K
Заметим, что угол, составляемый вектором скорости частицы с осью X, различен в
и
. Причем, это различие
не исчезает в соответствующем классическом случае, когда в формулу (4.33) подставляем c=∞. Это понятно: например,
капли дождя падающие вертикально относительно Земли кажутся косыми для наблюдателя в движущемся транспорте.
Интересно, что различие между углами в К и
когда
K  сохраняется даже в случае распространения узкого пучка света,
v = c. В этом случае из (4.34) получаем v=c, как и следовало ожидать, а из (4.33)
sin   1 u 2 c 2
tg 
cos   u / c
(4.35)
Это явление, которое получило название аберрация света, была обнаружена Брэдли в 1727г. Наблюдая и исследуя
изменения положений звезд на небосводе, Брэдли обнаружил, что, например, чтобы наблюдать звезду γ Дракона в
зените телескоп нужно направлять не вертикально вверх (т.е. к зениту), а нужно направить под углом α = 20´´, 5
угловых секунд. Данное явление Бредли объяснил орбитальным движением Земли вокруг Солнца и получил для этого
угла формулу
tg  v / c ,
(4.36)
которая в точности дает наблюдаемый угол, если учесть скорость орбитального движения Земли
Формула Брэдли (4.36) получается из соотношения (4.35), если принять за систему
v
систему К свяжем с Землей. В этом случае u=  ,
   90
0
v ≈ 30км/с.
K  гелиоцентрическую ИСО, а
, так как звезда находится в направлении,

перпендикулярном скорости орбитального движения Земли, а α = 90 0 , поскольку α – это угол, составленный
световым лучом с вертикалью (а не угол с вектором скорости движения Земли). В результате получим формулу
tg 
u
c 1 u 2 c 2
,
(4.37)
которая в при малых значенияз величины u/c совпадает с (4.36).
Относительная скорость частиц в релятивистской механике.
Пусть в инерциальной системе отсчета имеются две частицы, двигающиеся со скоростями
v1
и
v2
(рис. 4.7а).
Относительная скорость двух частиц – это скорость одной частицы в системе, связанной с другой частицей.
рис. 4.7а
рис. 4.7б
v2 , и со второй частицей свяжем систему
K v1 лежит в плоскости XY: v1 (v1 x , v1 y ,0) . Фактически искомая
Не нарушая общности задачи, направим ось X системы К по направлению
K
(рис.4.7б). Для ясности предположим, что в
относительная скорость – это вектор
v1 (v1x , v1y ,0) ,
составляющие которой можно получить, пользуясь законом
преобразования скоростей (4.30), приняв u=v2:
v1 y 1 v22 c 2
v1x  v2
v1x 
, v1y 
, v1z  0 .
1 v1x v2 / c 2
1 v1 x v2 / c 2
(4.38)
Для модуля этой относительной скорости нетрудно получить следующую формулу
(v1  v2 ) 2   v1 v2  / c 2
2
v12 
1 (v1v2 ) / c 2 
2
,
(4.39)
где мы воспользовались выражениями векторного и скалярного умножения векторов в прямоугольной системе
координат, учитывая, что v2=v2x , v2y=0, v2z=0.
Заметим, что в ньютоновском приближении эта относительная скорость выражается формулой
v1  v1  v2  v12 ,
(4.40)
которая получается также из (4.39), если подставить c=∞.
Из формулы относительной скорости (4.39) в частности следует, что частицы, двигающиеся друг навстречу другу со
скоростями v, приближаются не со скоростью 2v, как получается из формулы (4.40), а со скоростью
2v /(1 v2 / c2 ) .