Загрузил Максим Бадекин

Линейная Алгебра Белоконь

Реклама
ГО ВПО «Донецкий национальный университет экономики и торговли
имени Михаила Туган-Барановского»
Кафедра высшей и прикладной математики
Т.В. Белоконь
ЛИН ЕЙНАЯ А ЛГ ЕБРА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
для студентов всех форм обучения
Утверждено на заседании кафедры высшей
и прикладной математики
Протокол № 25 от 18.04.2016 г.
Одобрено учебно-методическим
советом ДонНУЭТ
Протокол № от 27.04.2016 г.
Донецк
ГО ВПО «ДонНУЭТ»
2016
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73
Б19
Рецензенты:
Фомина Т.А.
Игнатова Е.А.
канд. физ.-мат. наук, доцент;
канд. физ.-мат. наук, доцент.
Белоконь Т.В.
Б-19
Линейная алгебра: учеб. пособие для студентов всех форм
обучения / Т.В. Белоконь. – Донецк: ДонНУЭТ, 2016. – 96 с.
Учебное
пособие
предназначено
для
организации
самостоятельной работы студентов всех форм обучения по
дисциплине «Линейная алгебра» в соответствии со стандартами
подготовки специалистов направления подготовки «Менеджмент
организации торговли», «Логистика». Учебное пособие может быть
использовано студентами других специальностей.
Пособие содержит теоретические вопросы, примеры решения
типичных задач, задания для контроля усвоения знаний студентов.
УДК 512.64(075.8)
ББК 22.143я73
© Белоконь Т.В, 2016
© ГО ВПО «Донецкий национальный
университет экономики и торговли имени
Михаила Туган-Барановского», 2016
2
СОДЕРЖАНИЕ
Смысловой модуль I. Матрицы и определители. Системы линейных
уравнений
1. Элементы теории множеств
1.1. Основные понятия
1.2. Логические символы
1.3. Действия над множествами
2. Матрицы и определители
2.1. Матрицы. Основные понятия
2.2. Действия над матрицами и их свойства
2.3. Определители. Основные понятия
2.4. Методы вычисления определителя третьего порядка
2.5. Свойства определителей
2.6. Обратная матрица
3. Комплексные числа
3.1. Основные понятия
3.2. Действия с комплексными числами
3.3. Показательная форма комплексного числа
4. Основная теорема алгебры
5. Системы линейных уравнений
5.1. Основные понятия
5.2. Классификация систем линейных уравнений
6. Решение систем линейных уравнений
6.1. Правило Крамера
6.2. Решение систем линейных уравнений методом обратной
матрицы
6.3. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Смысловой модуль ІІ. Векторные пространства и аналитическая
геометрия
7. Векторные пространства.
7.1. Основные понятия
7.2. Размерность и базис векторных пространств
8. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
8.1. Аналитическая геометрия на плоскости
8.2. Аналитическая геометрия в пространстве
9. Кривые второго порядка
9.1. Эллипс
9.2. Гипербола
9.3. Парабола
9.4. Общее уравнение кривой II порядка
10. Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов
11. Рекомендуемая литература
3
5
5
5
6
7
11
11
12
17
17
19
21
24
24
26
27
34
36
36
38
41
41
45
46
47
47
47
53
54
54
58
66
66
70
74
81
89
98
ВВЕДЕНИЕ
Современному экономисту необходима серьезная математическая
подготовка – это положение общепризнанно. К числу наиболее важных для
экономистов областей математики относятся, по-видимому, линейная алгебра
и, в особенности, матричная алгебра. Дело в том, что экономикоматематические модели, которые широко применяются сейчас в
исследовательской и плановой работе, часто предназначены для описания
взаимосвязи экономических структур, их динамики во времени, зависимости от
ряда факторов и т.д. Один из наиболее компактных способов описания таких
структур, зачастую крупных и сложных, заключается, как известно, в
матричном отображении. Применение матриц не только позволяет “экономно”
формализовать поставленную проблему, но и, что существенно важнее,
использовать в экономических расчетах многие достижения матричной
алгебры.
Экономисты, проводящие расчеты по оптимизационным моделям, все
чаще испытывают необходимость в овладении техникой матричной алгебры.
Так, формулировка транспортной задачи или задачи оптимального
распределения
производственных
ресурсов
обычно
сопровождается
построением матриц исходных данных, а алгоритм решения подобных задач
предполагает операции над ними.
Методы матричной алгебры в настоящее время широко применяются не
только в нормативных экономико-математических моделях, но и в
статистических расчетах с обработкой больших массивов информации. В этой
связи можно сослаться, на методы анализа отчетного межотраслевого баланса:
прибегая к операциям с матрицами, экономисты и статистики получают
возможность не только представить все балансовые расчеты в весьма
компактной и наглядной форме, но и использовать более удобные
вычислительные процедуры при расчете тех или иных народнохозяйственных
показателей (например, при определении коэффициентов полных затрат).
Матричное исчисление применяется и во многих разделах математической
статистики; оно широко используются, например, при анализе так называемых
взаимозависимых уравнений регрессии, в факторном и дисперсионном анализе.
Данное методическое пособие нацелено на стимулирование и
самоорганизацию систематической учебной деятельности студента по
соответствующему модулю. Излагаемые понятия, определения, свойства,
теоремы, знакомят с элементами теории, разобранные типовые примеры
иллюстрируют конкретные приложения теоретического материала, а
многочисленные задания с альтернативными ответами предоставляют студенту
широкое поле для самостоятельных упражнений. Задания разделены на три
части. Первая часть посвящена определителям, матрицам и системам линейных
уравнений, вторая – элементам векторной алгебры, третья – прямой линии на
плоскости. Значительная часть заданий представляет собой систему тестов для
проверки полученных знаний, все задания имеют по 4 варианта ответов.
Наличие 30 вариантов, в каждом из которых по 8-9 заданий, обеспечивает
4
организацию индивидуальной и самостоятельной работы студентов и позволяет
глубже оценить знания по рассмотренному модулю. В пособии содержится
материал, составляющий логически завершенную часть курса (модуль), вместе
с тем это всего лишь часть единого целого курса высшей математики, о
котором у студентов должно сложиться цельное впечатление.
Смысловой модуль І
Матрицы и определители. Системы линейных уравнений
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Понятие множества  является одним из тех фундаментальных понятий
математики, которым трудно дать точное определение, используя
элементарные понятия. Поэтому ограничимся описательным объяснением
понятия множества.
Понятие множества является первоначальным понятием теории
множеств, и ему нельзя дать определение. Интуитивно понятие множества в
математике выведено из понятия совокупностей, образуемых из ограниченного
количества предметов, сведенных к единице по тем или иным признакам.
Создатель теории множеств Георг Кантор давал следующее определение
множества  «множество есть многое, мыслимое нами как целое».
1.1. Основные понятия
Отдельные
объекты,
из
которых
состоит
множество,
называются элементами множества.
Множества обозначаются прописными латинскими буквами. При
необходимости используются натуральные индексы: A , B ,…., Z , A1 , B1 ,…., Z1 .
А элементы этих множеств — маленькими буквами латинского алфавита:
a, b,..., z. Множества записывают в фигурных скобках A  a, c, d .
Если элемент m принадлежит множеству M, то используется запись mM,
в противном случае используем запись m  M.
Примеры множеств:
1. Множество студентов одной группы, элементами которого являются
студенты; общий признак – обучение одной специальности.
2. Числовые множества:
N – множество натуральных чисел,
Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел,
5
R – множество действительных чисел,
C – множество комплексных чисел.
3. Множество всех решений уравнения cosx 1. Элементы этого
множества – вещественные числа; общий признак – обращение данного
уравнения в верное равенство.
Способы задания множеств:
1.
Перечисление всех элементов множества.
В этом случае элементы множества перечисляются через запятые и
заключаются в фигурные скобки.
Пример: A 1, 2, 3, 5, 6, 10, 20 – множество чисел, являющихся
делителями числа 30;
В = {Антонова, Беспалов, …} – список учащихся.
2.
Задание множества порождающей процедурой.
Здесь порождающая процедура описывает способ получения элементов
множества из уже полученных элементов этого множества либо из других
объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые могут быть
получены с помощью этой процедуры.
Пример: M=х: х2 3, х R. Справа от вертикальной черты указывают
свойство элементов этого множества. Здесь исходными объектами для
построения множества М являются элементы множества действительных чисел
R, а порождающей процедурой – вычисление, описываемое формулой х2 3.
3.
Задание множества описанием свойств его элементов.
В этом случае описываются характеристические свойства элементов
множества.
Пример: D=х: 2< х <5, х Z.
1.2. Логические символы
a  X – «элемент a принадлежит множеству X»;
a  X – «элемент a не принадлежит множеству X»;
 квантор произвольности, общности, обозначающий «любой», «какой бы не
был», «для всех»;
 – квантор существования: y  B – «существует (найдется) элемент y из
множества B»;
! – квантор существования и единственности: !b  C — «существует
единственный элемент b из множества C»;
: — «такой, что; обладающий свойством»;  — символ следствия,
означает «влечет за собой»;
 — квантор эквивалентности, равносильности — «тогда и только
тогда».
Множество конечно, если состоит из конечного числа элементов, т.е.
если существует натуральное число n, являющееся числом элементов
множества. А={a1, a2,a3, ..., an}.
6
Множество называется бесконечным, если оно содержит бесконечное
число элементов. B={b1,b2,b3, ...}.
Пример. Множество букв русского алфавита — конечное множество.
Множество натуральных чисел — бесконечное множество.
Количество элементов конечного множества A называется мощностью
множества A и обозначается A .
Пример. Если A 1, 2, 4, 5, 10, 20 , то A  6.
Множество мощности 0 (т.е. не содержащее элементов) называется
пустым множеством, обозначается .
Множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов
называется универсальным множеством и обозначается U.
1.3. Действия над множествами
Множество А называется подмножеством множества В, если всякий
элемент множества А является элементом множества В. Обозначается A  B .
При этом говорят, что множество В содержит или покрывает множество А.
Знак  называется знаком (нестрогого) включения. Если A  B , то говорят,
что множества А и В находятся в отношении (нестрогого) включения.
Множество всех подмножеств множества А называется булеаном и
обознается 2A или P(A). Относительно любого булеана справедливо
следующее утверждение. Для любого конечного множества А верно
равенство 2 A  2 A .
Множества А и В называются равными, если их элементы совпадают,
иначе говоря, если А  В и В  А. Равенство множеств обозначается А = В.
Множество А называется строгим (истинным, собственным)
подмножеством множества В, если A  B и A  B . Обозначается A  B . Знак
 называется знаком строгого включения. Если A  B , то говорят, что
множества А и В находятся в отношении строгого включения.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество,
состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из
множеств А или В, обозначается A  B . Формально объединение записывается
следующим образом: A  B = { x: x  A или x  B}. На рис. 1 закрашенная
область иллюстрирует операцию объединения A  B .
Рис. 1 – Геометрическое изображение объединения событий
7
Пересечением(произведением) множеств А и В называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В,
обозначается A  B (рис. 2). Формально пересечение записывается
следующим образом: A  B = { x: x  A и x  B}.
Рис. 2 – Геометрическое изображение пересечения событий
Разностью множеств А и В называется множество тех и только тех
элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, обозначается
A\ B (рис. 3). Формально разность записывается следующим образом: A \ B = {
x: x  A и x  B}.
Рис. 3 – Геометрическое изображение разности событий
Дополнением множеств А (до универсального множества U) называется
множество всех элементов, не принадлежащих множеству А, обозначается
A (рис. 4). Формально дополнение записывается следующим образом: A  U \ A
.
Рис. 4 – Геометрическое изображение дополнения событий
Для любых подмножеств А, В и С универсального множества U
выполняются следующие тождества (основные тождества алгебры множеств):
1. АВ=ВА (коммутативность )
1. АВ=ВА (коммутативность )
2. А(ВС)=(АВ)С(ассоциативность )
2.А(ВС)=(АВ)С (ассоциативность )
3.А(ВС)=(АВ)(АС) (дистрибутивность  относительно )
8
3.А(ВС)=(АВ)(АС) (дистрибутивность  относительно )
4. А=А (свойство нуля)
4. А=
5. А A = U (свойство дополнения)
5. А A = 
6. АА=А
6. АА=А
7. АU=U (свойство единицы)
7. АU=А
8. A  B =АВ (закон де Моргана)
8. A  B =АВ (закон де Моргана)
9. А(АВ)=А (закон поглощения)
9. А(АВ)=А (закон поглощения)
10. A =А (инволюция)
11. А\В=А B
Пример. а)Дано A  0,1, 2,5 , B  3, 2, 4,5 . Найти A  B , A  B
A  B  3,0,1, 2, 4,5 и A  B  2,5 .
б)Дано A  0,1, 2,5 , B  3, 2, 4,5 Найти A \ B, B\ A .
A \ B  A  0,1, 2,5 \ 3, 2, 4,5  0,1 ,
B \ A  3, 2, 4,5 \ 0,1, 2,5  3, 4 .
Пример. Изобразить множества
и B   x x  R, 2  x  6 на числовой прямой.
A   x x  R, 1  x  4
Выполнить операции: A  B , A  B , A \ B , A , A  B . Записать результат каждой
операции с указанием характеристического свойства.
Решение.
-1
2
4
6
x
1)
A   x x  R, 1  x  4  (1; 4] B   x x  R, 2  x  6  [2;6] .
Если изобразить множества A и B на числовой прямой, то объединение
A  B есть часть оси, где имеется хотя бы одна штриховка, т.е.
A  B  [1;6]   x x  R, 1  x  6 .
2)
Пересечение
штриховка, т.е.
множеств A  B есть часть оси, где есть двойная
-1
2
4
6
x
A  B  [2; 4)   x x  R, 2  x  4 .
9
3) Разность A \ B есть часть множества
штриховкой, т.е.
-1
2
4
6
A
, отмеченная лишь
одной
x
A \ B  [1; 2)   x x  R, 1  x  2 .
Точка x  2  B и поэтому 2  A \ B .
4) Найдем A , считая универсальным множество всех действительных
чисел, т.е. A  R \ A .
Дополнение множества A есть часть
-1
4
x
оси, где нет штриховки, т.е.
A  (; 1)  [4; )   x x  R, x  1 или x  4
.
Точка x  1 A , так как x  1 A , точка x  4  A , так как x  4  A .
Пример. Упростить выражение, пользуясь законами алгебры множеств:
A  ( A  B)  (B C)  B .
Решение. Поскольку операция пересечения множеств имеет более
высокий приоритет, чем объединение множеств, то, если нет скобок,
изменяющих приоритет, сначала выполняется пересечение, а затем
объединение. Пользуясь этим правилом и законом ассоциативности определим
порядок действий:
1
3
2
( A ( A  B)) ((B C) B) .
Выполним преобразования, указывая номер закона над знаком равенства:
3
4
4
1)
A  ( A  B) ( A  A)  ( A  B)   ( A  B)  ( A  B) ;
2)
(B C) B (C B)  B C (B B) C B ;
1
2
7
1
2
1
( A  B)  (C  B) ( A  B)  (B C ) (( A  B)  B)  C 
3)
1
9
(B (B A))  C  B  C
Итак,
A  ( A  B)  (B C)  B  B  C
Пример. Даны множества: U={a, b, c, d}, X={a, c}, Y={a, b, d}, Z={b, c}.
Выполнить операцию над множествами: (X  Z)  Y
графически.
Решение:
(X  Z)  ( Y )=({a, c}  {b, c})  ({ a, b, d })={c} U{c}={c}.
U
X
Y
10
Z
и
изобразить
2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2.1. Матрицы. Основные понятия
Матрицей называется множество чисел, записанных в виде
прямоугольной таблицы, имеющей m строк и n столбцов. Числа,
составляющие матрицу, называются ее элементами.
 a11 a12 ... a1n 
a
a22 ... a2 n 
21

Α
..
 ...
... ... ... 


 am1 am 2 ... amn 
Для сокращения записи матрицу можно представить в компактном виде
A  (aij ),(i  1,2,...,m; j  1,2,...,n ) , где индекс i обозначает номер строки,
индекс j – номер столбца матрицы.
Матрицей размера m  n называется матрица, имеющая m строк и n
столбцов.
Матрица называется квадратной, если число строк матрицы равно
числу столбцов (m  n) .
Диагональная матрицы - это квадратная матрица, у которой все
элементы с неравными индексами  i  j  равны нулю:
 a11 0 ... 0 
 0 a

...
0
22
. .
Α
 ... ... ... ... 


0 ... ann 
 0
Элементы a11 , a22 ,…, ann расположены на главной диагонали.
Скалярная матрица - это диагональная матрица, все отличные от нуля
элементы которых равны между собой (a11  a22  ...  ann  a) .
Единичной называется диагональная матрица, у которой a  1 .
Единичную матрицу принято обозначать буквой E :
1 0 0 
E   0 1 0  .
 0 0 1


Нулевая матрица – это матрица, все элементы которой равны нулю.
Нулевую матрицу принято обозначать 0 :
0 0 0
0   0 0 0  .
0 0 0


11
Две матрицы A  (aij ) и B  (bij ) одного и того же размера равны, если
все их соответствующие элементы равны. Т.е. A  B , если aij  bij для всех i и
j.
2.2. Действия над матрицами и их свойства
1)
Суммой двух матриц A и B одного и того же размера m  n
называется матрица C того же размера, элементы которой равны суммам
соответствующих
элементов
данных
матриц,
т.е.
cij  aij  bij
(i  1,2,...,m; j  1,2,...,n ) . Операция вычисления матрицы C называется
сложением матриц A и B .
Свойства операций
1. A  B  B  A .
2.  A  B   C  A   B  C  .
3. A  O  A .
Пример. Найти матрицу C  A  B , если
 3  2 1  3
 2 3 4 0
,
Β
A
.

2
0
4
1

1
2

3
5




Решение.
 2 3 4 0   3  2 1  3
C  A B  
2 0 4 1 

1
2

3
5

 

.
 2  3 3 2 4 1 0  3  5 1 5  3

  1 2 1 6 

1

2
2

0

3

4
5

1

 

2)
Произведением матрицы A на число  называется матрица C ,
элементы которой есть элементы матрицы A , умноженные на  , т.е. cij    aij
(i  1,2,...,m; j  1,2,...,n ) .
 2 4
Пример. Найти C    A , если   5 , A  
.
3
2


Решение.
 2 4   5  2 5  4  10 20 
C   A  5


.
 3 2   5  3 5  2   15 10 
Свойства операций
1. (   )  A   A   A .
2.  ( A  B)   A   B .
12
3.  (   A)      A    A      A .
3)
Разность двух матриц A и B одинаковых размеров определяется
равенством A  B  A   1  B .
Пример. Найти разность матриц:
 2 3 4 0
 3  2 1  3
и
Α
Β


2 0 4 1 .
 1 2  3 5 


Решение.
 2 3 4 0   3  2 1  3  2
A B 
   2 0 4 1    1

1
2

3
5

 
 
 2  3 3  2 4  1 0  3   1 5 3


 1  2 2  0  3  4 5  1   3 2  7
3 4 0   3 2  1 3 


2  3 5   2 0  4  1
.
3
4 
Произведением матрицы A размерности  m  n  на матрицу B
размерности n  k  называется матрица C размерности m  k , каждый
элемент которой равен сумме произведений элементов i -той строки матрицы
A на соответствующие элементы j -того столбца матрицы B .
Замечание: Правило умножения матрицы A на матрицу B применимо
только для случая, когда число столбцов матрицы A равно числу строк
матрицы B .
Поясним правило умножения матриц примерами. Для начала покажем
умножение строки на столбец:
 b1 
 
 b2 
a1 a2 a3 ... am    b3   a1b1  a2 b2  a3b3  ...  am bm ,
 ... 
b 
 m
т.е. их результат есть число. Аналогичным образом находится каждый
элемент матрицы. Например, требуется перемножить матрицы
 a11 a12 ... a1n 
 b11 b12 ... b1k 




a
a
...
a
b
b
...
b

22
2n 
2k 
и B   21 22
.
A   21

...
... ... ...
... ... ... ... 




a
a
...
a
b
b
...
b
m2
mn 
n2
nk 
 m1
 n1
4)
В результате получим матрицу
13
 c11 c12 ... c1k 


 c 21 c 22 ... c 2 k  ,
C 
...
... ... ... 


c
c
...
c
m2
mk 
 m1
каждый элемент которой мы находим по формуле
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ai 3b3 j  ...  ai n bnj ,
то есть для того, чтобы найти, например, элемент c13 мы элементы первой
строки матрицы A умножаем на элементы третьего столбца матрицы B и
складываем между собой.
Пример.
1 3   0 1 1  0  3  1 1  1  3  2   3 7 
     
  
. .
 0 7  1 2   0  0  7  1 0  1  7  2   7 14 
а) A  B  
1 3 
 2 3  2 4 


 5 2 
б)  0 1 3  3  

 3 2 2 0   7  1


2 0 
 2 1  3  5   2  7  4  2 2  3  3  2   2  1  4  0 


  0 1  1 5  3  7   3  2 0  3  1 2  3  1   3  0  


  3 1  2  5  2  7  0  2  3  3  2  2  2  1  0  0 
6  6  2  0  11 14 
 2  15  14  8

  0  5  21  6
0  2  3  0    20  1 
 3  10  14  0  9  4  2  0   21  7 

 

Свойства операций
1. AB  BA .
1 4
 5 1
Проверим это свойство для матриц A  
 и B
.
3 5
 2 3
 1 4   5 1   13 13 
A B  


,
 3 5   2 3   25 18 
 5 1   1 4   8 25 
B A  


.
 2 3   3 5  11 23 
Возможен случай, когда произведение AB существует, а BA не
существует (это связано с тем, что операция умножения матриц A и B
определена только для того случая, когда число столбцов матрицы A равно
числу строк матрицы B ).
1 5 3 
 6 0 2 


Например, матрицу A  
 можно умножить на B   2 4 4  , а
 1 3 2 
7 6 0 


найти произведение BA – невозможно. Однако, в частном случае равенство
14
  3  2
 1  2
 .
 и B  
AB  BA возможно, например, для матриц A  
0
 2  4
2
(Поверьте).
2.    A  B   A  B  A    B .
3.  A  B   C  A  B  C .
4.  A  B   C  A  C  B  C .
5. C   A  B   C  A  C  B .
6. A  E  E  A  A .
5) Если в матрице A поменять местами строки и столбцы, то новая
матрица AT называется транспонированной по отношению к матрице A :
 a11 a12 ... a1n 
 a11 a 21 ... a m1 




a
a
...
a
 a 21 a 22 ... a 2 n  ;

.
12
22
m
2
A
AT  

...
... ... ...
...
... ... ... 




a
a
...
a
a
a
...
a
m2
mn 
2n
mn 
 m1
 1n
 7 2 4 
Пример. Для матрицы A   0 2 3  запишите соответствующую ей
 6 2 7 


транспонированную.
Решение. Поменяем местами строки и столбцы:
 7 0 6


A   2 2 2  .
 4 3 7 


T
Свойства операций
 
T
1. AT  ATT  A , т.е. если над матрицей A дважды произвести
операцию транспонирования, то матрица останется неизменной.
 3 1 4 
Пример. На примере матрицы A   2 1 5  , доказать, что ATT  A .
 4 1 2 


Решение. Найдем матрицу A T , транспонированную по отношению к
матрице A :
 3 2 4 


A   1 1 1 .
4 5 2


T
После транспонирования последней матрицы, получим:
15
TT
A
 3 1 4 


  2 1 5  , а это в точности есть матрица
 4 1 2 


A.
2.  A  B T  AT  B T , т.е. транспонированная матрица суммы двух
матриц равна сумме транспонированных матриц.
Пример.
Проверим
это
свойство
для
матриц
 1 2 5 
A

 2 4 3
и
 6 1 0 
B
.
 4 2 3 
Решение.
Найдем матрицы, транспонированные по отношению к данным
 1 2 
 6 4 
 5 2 

; T 
 и их сумму T


T
A   2 4  B   1 2 
A  B   3 6  .
 5 3
0 3
5 6






T
Для того, чтобы проверить свойство
матриц, а затем транспонируем ее:
2
, вычислим сумму исходных
 5 2 
 5 3 5 


T
A B  
 , ( A  B)   3 6  .
 2 6 6 
5 6


T
Матрицы  A  B  и ( AT  B T ) равны, что и требовалось доказать.
3.  A  B   B T  AT , т.е. транспонированная матрица произведения двух
матриц равна произведению транспонированных матриц, взятых в обратном
порядке.
T
 2 3
 3 1
Пример. Проверим это свойство для матриц A  
 и B
.
 3 4 
2 7
Решение.
Найдем произведение данных матриц:
 2 3   3 1  12 23 
A B  



 3 4   2 7   1 25 
и запишем матрицу, транспонированную по отношению к ней:
 A  B T
 12 1

.
 23 25 
Найдем произведение матриц, транспонированных по отношению к
данным:
3 2
BT  
,
 1 7
 2 3 
AT  
,
 3 4
 12 1
BT  AT  
.
 23 25 
Из полученного видно, что:  A  B   BT  AT .
T
16
2.3. Определители. Основные понятия
Определитель – это число, соответствующее квадратной матрице,
вычисленное определенным образом.
Определителем второго порядка называется число, определяемое
равенством:
a11 a12
 a11  a 22  a12  a 21 .
a 21 a 22
Пример
2
1
3 4
  2   4  1 3  11 .
Определителем третьего порядка называется число, определяемое
квадратной матрицей третьего порядка.
2.4. Методы вычисления определителя третьего порядка
1. Метод треугольников (метод Саррюса)
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23  a11  a22  a33  a12  a23  a31  a13  a 21  a32 
a31 a32 a33  a13  a 22  a31  a23  a32  a11  a33  a12  a21 .
Если элементы определителя третьего порядка записать в таблицу 3 3,
то порядок его вычисления может быть представлен на рисунке 1. Тогда
определитель будет равен алгебраической сумме всех произведений, причем
произведения первой таблицы берут со знаком “+”, а второй – со знаком “–”.
Рис. 1
Это правило называется правилом Саррюса.
2. Метод дописывания двух столбцов.
Этот способ вычисления определителя третьего порядка заключается в
дописывании первых двух столбцов определителя и нахождении суммы
произведений по главной диагонали и параллелях к ней за вычетом суммы
произведений побочной диагонали и параллелях к ней, т.е.
17
a11 a12 a13
a11 a12
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a21 a22  a11  a22  a33  a12  a23  a31  a13  a21  a32 
a31 a32
 a13  a22  a31  a11  a23  a32  a12  a21  a33 .
Пример. Вычислить определитель двумя способами
2
2 3 2
0 1 4
5
2
2
2
0 1  (2)  (1)   1  2   4   (5)  3  0  2   2  0  (1)  (2)   4   2   3  (1)   5  
1 5
2
 2  40  0   0  16  15   37.
2 3
0 1 4  (2)  (1)   1  2   4   (5)  0  2  (3)   (3)  (1)  (5)  (4)  2  (2)  2  0   1  
5
2
1
 2  40  0   15  16  0   37.
3. Третий способ вычисления определителя основан на теореме
разложения.
Минором элемента определителя aij называется определитель,
полученный из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца, на
пересечении которых расположен этот элемент.
Например, минором элемента a 23 определителя
a11 a12 a 13
a 21 a 22 a 23
a31 a32 a 33
является определитель
a11 a12
,
a31 a32
т.е. из исходного определителя были вычеркнуты вторая строка и третий
столбец.
Алгебраическим дополнением Aij элемента a ij называется минор этого
элемента, умноженный на 1 . То есть, если сумма номеров строки и
столбца, на пересечении которых стоит этот элемент является четным числом,
то минор берут со знаком “+”, а если нечетным, то со знаком “–”.
i j
При этом полезно иметь в виду следующую схему:
где знаком плюс отмечены места тех элементов, для
  
   которых алгебраические дополнения равны минорам, взятым с
их собственным знаком; и знаком минус те, для которых
   алгебраические дополнения равны минорам, взятым с
противоположным знаком.
18
Теорема разложения. Определитель равен сумме произведений
элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Пример.
Вычислить определитель путем разложения:
а) по первой строке;
б) по второму столбцу.
а)
4 3
1
4
1
11 0
2
5
3
1 2 1
2
4
3
5
 4  (0  (10))  (3)  (1)   (1)  3  (2)  4   1  (1)  5  0   40  15  5  50.
3

 1   1
0
4   1

 3   1
1 3 1
0 2 

4 5

б)
4 3
1
4
1
1 2 1
2
4
3
1
3 2
1
5
 (3)  (1)  (3  (8))  0   4  3  1  4   5  (1)  4  (2)  1  (1)   15  0  35  50.
3

4 3
 5   1
4
(3)   1

 0   1
2 2 4
0 2 

1 2

Замечание. Если в задании не указано, по какому столбцу (строке)
проводить разложение, то лучше выбирать столбец (строку) с большим числом
нулей.
Определитель n -го порядка задается квадратной таблицей чисел
(элементов определителя), имеющей n строк и n столбцов, обозначается
символом
a11 a12 a13 ... a1n
a 21 a 22 a 23 ... a 2 n
A  A  a31 a32 a33 ... a3n .
... ... ... ... ...
a n1 a n 2 a n3 ... a n n
Вычисление определителей порядка больше 3, рекомендуется проводить
с помощью теоремы разложения.
2.5. Свойства определителей
1. Если в определителе поменять местами строки и столбцы, то его
значение не изменится. То есть значение определителя матрицы A равно
значению определителя матрицы AT , транспонированной по отношению к
матрице A .
1 4 5
1 2 0
Например,  2 3
5 4
3 1.
0 1 7 5
5 7
19
Это свойство устанавливает равноправие строк и столбцов.
2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его
знак изменится на противоположный.
1 3
Например,
4
3
1
4
– здесь поменяли местами
первый и второй столбцы.
2 0 2  0 2 2
1 5
6
5 1
6
3. Если в определителе элементы какой-либо строки (столбца) имеют
общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
5
1
4
5
1
2
– здесь элементы третьего
Например,  4 2  6  2   4 2  3
столбца исходного определителя имеют общий множитель 2.
7 3
8
7 3
4
Замечание. Обратите внимание на то, что если умножаем матрицу на
число, то умножаются все ее элементы на это число, а для того, чтобы
умножить определитель на число – достаточно на это число умножить
элементы какой либо одной строки (столбца).
4. Если в определителе какую-либо строку (столбец) умножить на
некоторое число и сложить с другой строкой (столбцом), то его значение не
изменится.
–
здесь
2 4 4
 2  3  4 4 4 10
4 4
первый
столбец
Например, 1 0 7  1  3  0 0 7  1 0 7
сложили со вторым,
5  1 6 5  3   1  1 6
2 1 6
умножен-ным на 3.
5. Если каждый элемент i -го столбца (строки) определителя представляет
собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде
суммы двух определителей, из которых первый в i -том столбце (строке) имеет
первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на
остальных местах те же, т.е.
  a11
 a12 a 13 a11
 a12 a 13 a11
 a12 a 13
a11
  a 21
 a 22 a 23  a 21
 a22 a 23  a21
 a 22 a 23 .
a 21
  a31
 a32 a 33 a31
 a32 a 33 a31
 a32 a 33
a31
4
1 5
4
1
5
4
1 5
4
1 5
Например,  2  3 7   1  1  1  2 4  3   1  1 4   1  2 3
7
4 2
7
4
2
7
4 2
7
4 2
6. Определитель равен нулю, если:

он имеет два одинаковых столбца (или строки);

все элементы некоторого столбца (или строки) равны нулю;

соответствующие элементы двух его строк (или столбцов)
пропорциональны;
20

одна из его строк (столбцов) есть линейная комбинация двух других
его строк (столбцов).
Таким образом,
5 2 1
1 4 2
4
2 3
4
0 3  0;
0
0 0  0;
1 2 5  0;
1
5 2 1
4 6
5 1
3
8  4
6
2
3 1  0 .
3 5
1
В первом определителе первая и третья строки одинаковые; во втором –
вторая строка состоит из нулей; в третьем – третья строка есть первая,
умноженная на (–2); в четвертом – третий столбец есть первый, умноженный на
2 плюс второй, т.е. третий столбец – это линейная комбинация первых двух.
2.6. Обратная матрица
Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее
определитель не равен нулю A  0 . В противном случае она будет
вырожденной.
Матрица A 1 называется обратной квадратной матрице A , если
A  A1  A1  A  E , где E – единичная матрица.
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Для матрицы
 a11 a12 a13 


A   a21 a22 a 23 
a

 31 a32 a33 
обратная матрица A 1 равна транспонированной матрице алгебраических
дополнений, деленных на определитель матрицы, т.е. имеет вид:
 A11 A21 A31 

1 
1
(1)
A    A12 A22 A32  ,
A 

 A13 A23 A33 
где Aij – алгебраические дополнения к элементам матрицы A , т.е.
A11 
a 22
a 23
a32
a33
A21  
A12  
,
a12
a13
a32
a33
,
A22 
a 21
a 23
a31
a33
a11
a13
a31
a33
21
,
, A13 
a 21
a 22
a31
a32
A23  
,
a11
a12
a31
a32
(2)
,
A31 
a12
a13
a 22
a 23
,
A32  
a11
a13
a 21
a 23
A33 
,
a11
a12
a 21
a 22
.
Чтобы найти обратную матрицу A 1 к матрице A , необходимо:
I способ

вычислить определитель матрицы A (он не должен равняться
нулю);

найти алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A
(по формулам (2);

записать обратную матрицу по формуле (1);

сделать проверку, т.е. перемножить матрицы A и A 1 , в результате
чего должна получиться единичная матрица E .
II способ

при помощи метода элементарных преобразований, который
схематически записывается так (E A)  (A1 E)
Пример. Найти матрицу, обратную данной матрице
 1 0 1


A    1 2 1
  2 1 3


Решение.
Найдем определитель матрицы A :
1
0 1
A  1 2 1  1 2  3  0 1  2   1  1 1  1 2   2   111  0   1  3  8  0, ,
2 1 3
т.е. матрица является невырожденной.
Найдем алгебраические дополнения по формуле (2):
A11   1
11
A12   1
1 2
A13   1
1 3
21
13
A21   1
5
1 1
2 3
1 2
2 1
2 1
0 1
1 3
1
A22   1
3
A23   1
2 2
23
1
1
A31   1
1
5
A32   1
 1
A33   1
2 3
1
0
2 1
31
0 1
2 1
3 2
3 3
1
 2
1
1 1
1
0
1 2
Следовательно, можно сформировать обратную матрицу по формуле (1):
22
 2
2
5 1  2


1
A 1   1 5  2  .
8

3  1 2 
Легко проверить, что A  A1  E
 1 0 1  5 1 2 


1 1 
A  A   1 2 1  1 5 2  
8


 2 1 3  3 1 2 
 5
1
  5
8
 10
8 0
1
 0 8
8
0 0
0
3
1
2 3 1
1 9 2
0 1 0
 
0  0 1
8   0 0
0
1 2 0 2 

10 1 2 4 2  
5 3 4 2 6 
0

0  E .
1 
Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:
1.
A1 
1
;
A
3.
 Am    A1 
1
 A1   A; ;
4.
 AB 1  B1 A1; .
2.
1
m
;;
Пример. Найти обратную матрицу
преобразований, если
 2 2 3


A   1 1 0  .
 1 2 1


Решение. По схеме составим матрицу
A 1
методом
элементарных
 1 0 0 2 2 3


0
1
0
1

1
0

,
 0 0 1 1 2 1


А потом при помощи элементарных преобразований над её строками
проводим правую часть к единичной матрице Е.
После первого шага получим матрицу
23
1
 0

 1 2
 0
1

0 1 1
0 0
4
1 0
1
0

3
1
(поменяли местами первую и вторую строки; третью строку прибавили к
первой; умножили первую строку на (-2) и добавили её ко второй строки).
После второго шага (поменяли местами вторую и третью строчки, до
первой строки добавили второй; с третьего отняли вторую строчку,
умноженный на 4) имеем:
1 1
 0 2

1 1 0
 0
 1 6 4 0

1

1 1
.
0 1
0
Наконец, после третьего шага получаем
 1 4 3 1 0 0 


1

5

3
0
1
0


 1 6 4 0 0 1 


(добавили к первому и второму строк третий, а потом умножили третью
строчку на (-1)).
Итак,
 1 4 3 


A 1   1 5 3  .
 1 6 4 


3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
3.1. Основные понятия
Комплексным числом z называется упорядоченная пара чисел (а,b), над
множеством которых по определенным правилам
можно производить
следующие операции: сложение, умножение, деление, возведение в степень,
результаты которых также являются комплексными числами.
Алгебраической формой комплексного числа z называется выражение
z  a  ib , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая
определяется соотношением:
i 2  1;
i   1.
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z),
а b- мнимой частью (b = Im z).
24
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то
число z будет действительным.
Числа z  a  ib и z  a  ib называются комплексно – сопряженными.
Два комплексных числа z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2 называются равными,
если соответственно равны их действительные и мнимые части:
a1 = a2 ;
b1 = b2 ;
Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю
действительная и мнимая части.
a = b = 0.
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование.
Множество комплексных чисел является расширением множества
действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел.
Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались
ранее.
Так
натуральные,
целые,
рациональные,
иррациональные,
действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями
комплексных чисел.
Если любое действительное число может быть геометрически
представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число
представляется точкой на плоскости (комплексной плоскости z), координатами
которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного
числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой
осью, а вертикальная - мнимой осью.
у
A(a, b)
r
b

0
a
x
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа a, а на
оси ОY – чисто мнимые - b.
С помощью подобного геометрического представления можно
представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма числа.
Из геометрических соображений видно, что a  r cos ; b  r sin  . Тогда
комплексное число можно представить в виде:
z  a  ib  r cos   ir sin   r (cos   i sin )
Такая форма записи называется тригонометрической формой записи
комплексного числа.
25
При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол
наклона  - аргументом комплексного числа.
r  z;
  Arg z .
Из геометрических соображений видно:
b
r  a  ib  a 2  b 2 ;   Arg z  arctg ;
a
Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые
модули и противоположные аргументы.
z  z;
Arg z   Arg z.
3.2. Действия с комплексными числами
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с
многочленами.
1) Сложение и вычитание.
z  z1  z 2  (a1  ib1 )  (a2  ib2 )  (a1  a2 )  i(b1  b2 )
z  (a1  a2 ) 2  (b1  b2 ) 2
2) Умножение.
z  z1 z 2  (a1  ib1 )(a2  ib2 )  a1a2  ia1b2  ib1a2  i 2 b1b2
z  z1 z 2  (a1a2  b1b2 )  i(a1b2  b1a2 )
В тригонометрической форме:
z1  r1 (cos 1  i sin 1 ) , z 2  r2 (cos 2  i sin 2 ).
z  z1 z 2  r1r2 (cos(1  2 )  i sin( 1  2 ))
В случае комплексно – сопряженных чисел:
2
2
zz  (a  ib )( a  ib )  a 2  b 2  z  z .
3) Деление.
z1 a1  ib1

 x  iy
z 2 a2  ib2
(a  ib1 )(a2  ib2 ) (a1a2  b1b2 )  i(a2 b1  a1b2 )
z 1

(a2  ib2 )( a2  ib2 )
a22  b22
z
z
a1a2  b1b2
a b a b
 i 2 21 12 2
2
2
a2  b2
a2  b2
В тригонометрической форме:
26
z
z1 r1
 (cos( 1   2 )  i sin( 1   2 ))
z 2 r2
4) Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
z 2  zz  r 2 (cos 2  i sin 2)
В общем случае получим:
z n  r n (cos n  i sin n) ,
где n – целое положительное число.
Это выражение называется формулой Муавра.
Формулу
Муавра
можно
использовать
для
тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.
5) Извлечение корня из комплексного числа.
n
нахождения
z  n r (cos   i sin )  (cos   i sin )
Возводя в степень, получим:
 n (cos n  i sin n)  r (cos   i sin )
Отсюда:   n r ;
n
n    2k ;
k  Z.
  2k
  2k 

z  n r (cos   i sin )  n r  cos
 i sin

n
n 

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n
различных значений.
3.3. Показательная форма комплексного числа
Рассмотрим показательную функцию w  e z ;
z  x  iy.
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
w  e xiy  e x (cos y  i sin y)
Данное равенство называется уравнением Эйлера.
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
z z
z z
1) e 1 2  e 1 e 2 ;
2) e
z1  z 2
e z1
 z2 ;
e
3) (e )  e ; где m – целое число.
z m
mz
27
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое
число (х=0), то получаем:
e iy  cos y  i sin y
Для комплексно – сопряженного числа получаем:
e iy  cos y  i sin y
Из этих двух уравнений получаем:

e iy  e  iy
cos y 
2

iy
iy
sin y  e  e

2i
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней
тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме:
z  r (cos   i sin )
и воспользуемся формулой Эйлера: e i  cos   i sin 
z  re i
Полученное равенство и есть показательная форма комплексного
числа.
Пример.
1. Найти сумму комплексных чисел z1  2 – i и z2  – 4  3i .
z1  z2  ( 2   –1  i)  (–4  3i) 
2
  –4  
 –1
 3  i  – 2  2i.
2. Найти произведение комплексных чисел z1  2 – 3i и z2  –4  5i.
z1 z2   2 – 3i    –4  5i   2   –4   4    –3i   2  5i – 3i  5i  7  22i
3. Найти частное
(2  3i )
(3  4i )
Для нахождения частного данных комплексных чисел умножим и
разделим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю,
то есть на (3 + 4i):
(2  3i) (2  3i)(3  4i) 18  i 18 1



 i.
(3  4i)
25
25 25
32  42
4. Решить уравнение: 3x  (1  i )( x  yi )  2  3i , x и y  R.
3x  (( x  y )  (  x  y )i )  2  3i
(2 x  y )  ( x  y )i  2  3i.
В силу равенства комплексных чисел имеем:
2 x  y  2,

 x  y  3,
откуда x = –1 , y = 4.
5. Вычислить: i 2 ,i3 ,i4 ,i5 ,i6 ,i 1, i 2.
28
i 2  i  i  1
i 3  i 2  i  i
i 4  i 3  i  i  i  (1)  1
i5  i4  i  i
i 6  i 5  i  i  i  1
1
i
i 1  
 i
i i i
1
i  2  2  1.
i
6. Вычислить z 3 , если z  1  i .
z 3  (1  i ) 3 
1
1
1
 2  2i




3
2
3
 2  2i (2) 2  (2) 2
(1  i )
1  3i  3i  i
 2  2i
 0.25  0.25i .
8
7. Вычислить число z 1 обратное числу z  3  i .
1
1
3i
3i
3i
z 1  

 2 2 
 0.3  0.1i .
z 3  i (3  i )( 3  i ) 3  1
10

Пример.
1. Найти модуль комплексных чисел z1  4 – 3i и z2  – 2 – 2i .
r1  z1  42  (3) 2  25  5 ;
r2  z2  (2) 2  (2) 2  8  2 2 .
Пример. Найти модуль и аргумент чисел: 1) z1  1  3 ; 2) z2  2  2i .
1) z1  1  3 ; à  1 , b  3  r1  12  ( 3)3  4  2 ,
a
 cos 1 
r
b
sin 1 
 sin 1 
r
cos 1 
1 

2 
  φ1   2 ,    .
3
3

2 
2) z2  – 2 – 2i; a  –2, b  2  r2  ( 2) 2  ( 2) 2  2 2 ,
2
2


2 
5
2 2
 2,    .
  2 
4
2
2
sin  2 

2 
2 2
a  r cos , b  r sin 
Используя формулы
cos  2 
можно перейти от
алгебраической формы записи комплексных чисел к тригонометрической
форме (формула Муавра):
z  a  bi  r cos   i sin   r (cos   i sin ) .
Комплексные числа в тригонометрической форме равны тогда и только
тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое число кратное
2.
Пример. Записать числа в тригонометрической форме.
29
1
2
3
1
3
1
3
1
3
i , 2) z 2   
i , 3) z 3   
i , 4) z 4  
i.
2 2
2 2
2 2
2
1) z1  
2
2
 3
1
1
3
1) z1   i , r  z1        1 ,
2 2
2  2 
1

1 
cos 1  2 


1 2 
  1  .
3
3

3
sin 1  2 
1
2 
(За значение угла берем наименьшее неотрицательное из возможных
значений аргумента.)


3
3
Таким образом: z1  cos  i sin .
1
2
3
, r2  1 ,
2
2) z2    i
φ2 
2
2
2
, z 2  cos  i sin .
3
3
3
3
4
4
4
i, r3  1 , φ3 
, z3  cos  i sin .
3
3
2
3
1
2
3) z3   
3
5
5
5
i, r4  1 ,, 4 = φ 4 
, z4  cos  i sin .
3
3
2
3
1
2
4) z4  
Пример.
1)
Выполнить
умножение
z1  2(cos
 
 
7
7
z1  z2  6(cos(  )  i sin(  ))  6(cos
 i sin
).
4 3
4 3
12
12
2) Вычислить: (1  i ) 30 .
1  i  2 (cos
 215 (cos
4
 i sin

4
), (1  i)
30

 

  2 (cos  i sin ) 
4
4 

30

 2
3
3
 i sin
).
2
2
Пример.
z1  2(cos
z





 i sin ), z2  3(cos  i sin )
4
4
3
3


5
5
 i sin ), z2  2(cos
 i sin ) . Найти частное.
4
4
3
3
z1
2
 5
 5
2
7
7

(cos(  )  i sin(  )) 
(cos
 i sin
).
z2
2
4 3
4 3
2
12
12
Пример.
Найти: 1) 4 1 , 2) 3 i , 3) 3 1 .
Решение.
30
30
(cos
30
30
 i sin
)
4
4
1) uk  4 1  4 1(cos 0  i sin 0)  4 1(cos
0  2k
0  2k
 i sin
), k  0, 1, 2, 3 ,
4
4
u0  cos0  isin0  1 ,


u1  cos  i sin  i ,
2
2
u2  cos   i sin   1 ,
3
3
u3  cos
 i sin
 i .
2
2

2) u k  i  1  (cos  i sin
3
3


)  1(cos 2
 2k
3

 i sin 2
 2k
2
2
3
3
  4 k
  4 k
 cos
 i sin
, k  0, 1, 2.
6
6

 1
u 0  cos  i sin  ( 3  i) ,
6
6 2
5
5 1
u1  cos
 i sin
 ( 3  i ) ,
6
6 2
9
9
3
3
u 2  cos
 i sin
 cos
 i sin
 i .
6
6
2
2
2 k
2 k
 i sin
, k  0, 1, 2.
3) uk  3 1  3 1 (cos 0  i sin 0)  cos
3
3
2  0
2  0
u 0  cos
 i sin
 1,
3
3
2  1
2  1
1
3
u1  cos
 i sin
  i
,
3
3
2
2
2  2
2  2
1
3
u 2  cos
 i sin
  i
.
3
3
2
2
)
Пример.
1. Найти показательную форму чисел:
а) z1  1  i ; б) z2   3  i .
Решение.

а) r  z1  2 ,   arg z1  ,
б) r  z 2  2,
4
7
  arg z 2 
,
6
i

z1  1  i  2e 4 .
z 2   3  i  2e
7 i
6
.
2. Найти алгебраическую форму чисел:
i

i
а) z1  2e 3 , б) z 2  3e 6 , в) z3  e 34i .
Решение.
i

3

3
1
3
i )  1  3i ,
2 2
3 i
3 3 3i
 
 
 3(cos    i sin   )  3(
 )
 ,
2 2
2
2
 6
 6
а) z1  2e 3  2(cos  i sin )  2( 
б) z2  3e
 i
6
31
в) z 3  e 3 4i  e 3  e 4i  e 3 (cos 4  i sin 4)  0.05(0.65  0.76i)  0.03  0.038i .
3. Найти z1z2 и
z1
, результат записать в тригонометрической форме:
z2
2i
3
i
6
а) z1  3e , z2  6e ; б) z1  e37i , z2  e 45i .
Решение.
2i
i
5i
5
6
5
6
а) z1 z 2  3e 3  6e 6  18e 6  18(cos  i sin ) ,
2i
3
i
z1 3e
1
1
1
1

 e 2  (cos  i sin ) ,
i
z2
2
2
2
2
6e 6
б) z1 z 2  e 37i  e 45i  e 12i  e 1 (cos( 2)  i sin( 2)),
z1
 e 712i  e 7 (cos 12  i sin 12) .
z2
4. Вычислить: а) z 4 , б) 5 z , где z  2e 3i .
Решение:
а) z 4  (2e 3i ) 4  16e 12i  16(cos12  i sin 12)  16(0.8438  0.5366i) ,
б) 2e
5
3i
u 0  5 2e
u1  2e
5
u 2  5 2e
u 3  5 2e
u 4  5 2e

3i
5
32k
i
2e 5
5
 uk , k  0, 1, 2, 3, 4
3
3
 5 2 (cos  i sin )  0.95  0.65i ,
5
5
3 2
i
5
 0.91  0.70i ,
3 4
i
5
 0.39  1.08i ,
3 6
i
5
 1.15  0.03i ,
38
i
5
 0.33  1.10i.
Пример. Решить уравнение z 3  8i .
i
i
z  z e , ie

2 , z3
 3
z 8



3 
2

2

   3
zm 
3 i 3
z e
3 i 3
. Тогда z e
i
 8e

2..

z 2



 
6

 2

m  6  3 m, m  0,1, 2
 2
i (  m)
2e 6 3 ,
m  0,1, 2;

5
3
0  , 1 
, 2 
;
6
6
2
z0  2e
i

6
 3  i, z1  2e
32
i
5
6
  3  i, z2  2e
i
3
2
 2i
Теория комплексных чисел может быть использована при решении
геометрических задач на плоскости; и обратно, факты геометрического
характера позволяют доказывать некоторые соотношения и тождества для
комплексных чисел.
Пример.
2
2
1. Пусть z1  z2  c . Доказать, что z1  z2  z1  z2  4c 2 .
Поскольку z  z  z , то
2
z1  z2  z1  z2  ( z1  z2 )( z1  z2 )  ( z1  z2 )( z1  z2 ) 
2
2
 ( z1  z2 )( z1  z2 )  ( z1  z2 )( z1  z2 )  z1 z1  z2 z2  ( z1 z2  z2 z1 )  z1 z1  z2 z2 
2
 ( z1 z 2  z 2 z1 )  2 z1  2 z 2
2
 4c 2 .
Геометрически этот факт означает, что сумма квадратов длин диагоналей
ромба равна сумме квадратов длин всех его сторон.
Действительно, точки плоскости, соответствующие комплексным числам
0, z1, z2 и z1  z2 , являются вершинами ромба, для которого z1 и z 2 – длины его
сторон, а z1  z2 и z1  z2 – длины его диагоналей.
2. Пусть z1, z2 , z3 , z4 – различные комплексные числа и z1  z2  z3  z4 .
Доказать, что z1  z3 z2  z4  z1  z2 z3  z4  z1  z4 z2  z3 .
Имеем:
z1  z2 z3  z4  z1  z4 z2  z3  z1  z2 z3  z4   z1  z4 z2  z3  =
= z1  z 2 z3  z 4   z1  z 4 z 2  z3  ,
т. к. число
z1  z2 z3  z4 
вещественно и положительно (докажите это
z1  z4 z2  z3 
самостоятельно). Кроме того,
z1  z2 z3  z4   z1  z4 z2  z3  =
=  z1 z4  z2 z3  z1 z2  z4 z3  z1  z3 z2  z4   z1  z3 z2  z4 .
33
Доказанное равенство известно в планиметрии как теорема Птолемея:
произведение длин диагоналей выпуклого вписанного в окружность
четырехугольника равно сумме парных произведений длин его
противолежащих сторон.
4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
Не только уравнения вида ах2  bх  с  0 или хn  1  0 разрешимы в
поле комплексных чисел, но можно утверждать гораздо больше. Для случая
уравнений 3-й и 4-й степеней эта теорема была установлена в XVI в.
Тартальей, Кардано и другими. Оказалось, что такие уравнения решаются
посредством формул, подобных формуле квадратного уравнения, но
значительно более сложных. В течение почти двух столетий длилось
настойчивое изучение общего уравнения 5-й и более высоких степеней, но все
усилия разрешить их теми же методами оказались напрасными. Когда
молодому Гауссу в его докторской диссертации (1799) удалось впервые
доказать, что решения существуют, то это уже было крупнейшим успехом;
правда, вопрос о возможности обобщить на случай степеней ≥5 классические
формулы, позволяющие находить корни с помощью рациональных операций и
извлечения корней, оставался в то время открытым.
Теорема Гаусса утверждает, что, каково бы ни было алгебраическое
уравнение вида
f  х   хn  аn1х n1  аn2 х n2  .. .  а1х  a0  0
(1), где n - целое
положительное число, а коэффициенты а - действительные или даже
комплексные числа, существует по крайней мере одно такое комплексное число
  с  di , что
f    0 .
Число α называется корнем уравнения (1).
Предположим пока, что теорема доказана, и выведем из нее другую
теорему, известную под названием основной теоремы алгебры (было бы,
впрочем, правильнее назвать ее основной теоремой комплексной числовой
системы):
Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы
один корень, в общем случае комплексный.
Другими словами, всякий алгебраический полином степени n
f  x   x n  an1x n1  ...  a1x  a0
(2)
может быть представлен в виде произведения ровно n множителей:
f  x    x  1  x  2  ...  x  n  ,
(3)
где 1,  2 , ...,  n - комплексные числа, корни уравнения f  õ  0 .
Пример. Полином f
образом: f
 х

х
 x
 х 4  1 разлагается на множители следующим
 1 x  i  х  i  х  1 .
34
Что числа α являются корнями уравнения f  х   0 , это очевидно из
самого разложения (3), так как при х   r один из множителей f  х  , а
следовательно, и сам полином f  х  обращаются в нуль.
В иных случаях не все множители x  1, х   2 , ... полинома f  х 
степени n оказываются различными.
Пример. f  x   х 2  2 х  1   x  1 x  1
мы имеем только один корень х = 1, "считаемый дважды", или "кратности
2". Во всяком случае, полином степени n не может разлагаться в произведение
более чем n различных множителей вида х   , и соответствующее уравнение
не может иметь более n корней.
При доказательстве основной теоремы алгебры мы воспользуемся
алгебраическим тождеством
х k   k   х    ( х k 1   х k 2   2 х k 3  ...   k 2 х   k 1 ) ,
(4)
которое при   1 служило нам для определения суммы геометрической
прогрессии. Предполагая теорему Гаусса доказанной, допустим, что   1
есть корень уравнения (1), так что
х k   k  f (1 )   n1  an11n1  an21n2  ...  a11  а0  0.
Вычитая это выражение из f  х  и перегруппировывая члены, мы
получим тождество
f  x   f  x   f (1 )  ( x n 1n )  an1 ( x n1 1n1 )  ...  a1  x  1  .
(5)
Пользуясь теперь формулой (4), мы можем выделить множитель х - α1 из
каждого члена и затем вынести его за скобку, причем степень многочлена,
остающегося в скобках, станет уже на единицу меньше. Перегруппировывая
снова члены, мы получим тождество:
f  х    х  1  g  х  ,
где g  õ - многочлен степени n-1:
g ( x)  x n 1 bn 2 x n 2  ...  b1x  b0 .
(Вычисление коэффициентов, обозначенных через b, нас здесь не
интересует). Применим дальше то же рассуждение к многочлену g (x). По
теореме Гаусса существует корень α2 уравнения g (х) = 0, так что
g  х    x  2  h  x  ,
где h (х) - новый многочлен степени уже n-2. Повторяя это рассуждение
n-1 раз (подразумевается, конечно, применение принципа математической
индукции), мы, в конце концов, приходим к разложению
f  х    х  1  х  2  х  2 ...  х   n  .
(6)
Из тождества (6) следует не только то, что комплексные числа
1,  2 , ...,  n корни уравнения (1), но и то, что иных корней уравнение (1) не
35
имеет. Действительно, если бы число у было корнем уравнения (1), то из (6)
следовало бы
f  y    y  2  y  2  ...  y  n   0.
Но мы видели, что произведение комплексных чисел равно нулю в том
и только в том случае, если один из множителей равен нулю. Итак, один из
множителей y   r равен 0, т. е. y =  r , что и требовалось установить.
5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
5.1. Основные понятия
Уравнение вида a1 x1  a2 x2  ...  an xn  b1 ,
(1)
где a1 , a2 ,..., an , b1 – действительные числа, x1 , x2 ,..., xn – переменные
(неизвестные), называется линейным уравнением с n неизвестными.
Числа a1 , a2 ,..., an в уравнении (1) называются коэффициентами линейного
уравнения, число b1 в уравнении (1) называется свободным членом линейного
уравнения.
Уравнение вида a1 x1  a2 x2  ...  an xn  0 называется однородным линейным
уравнением с n неизвестными.
Система вида (2) называется системой из m линейных уравнений с n
неизвестными:
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

..............................................
 am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
(2)
Здесь коэффициенты линейных уравнений снабжены нижними двойными
индексами. Они образуют матрицу
 a11 a12 ... a1n 


a21 a22 ... a2 n 

A
(3)
 ...
... ... ...  .


 am1 am 2 ... amn 
Матрица А, элементами которой являются соответствующие
коэффициенты линейных уравнений системы называется матрицей этой
системы.
36
 b1 
 
b2
Столбец B    называется столбцом свободных членов системы (2).
 
 bm 
Матрица
 a11

a
( A | B )   21
 ...

 am1
a12
... a1n
a22
... a2 n
...
...
...
am 2 ... amn
b1 

b2 
... 

bm 
называется расширенной матрицей системы (2) и обозначается ( A | B ) .
 x1 
 
x
Столбец  2  называется столбцом неизвестных системы (2).
 
 
 xn 
Система линейных уравнений называется однородной, если каждое
уравнение системы является однородным.
Другими словами, систему линейных уравнений называют однородной,
если столбец свободных членов системы является нулевым.
Замечание. Уравнение (1) можно рассматривать как частный случай
системы (2) при m  1 и тоже можно называть системой линейных уравнений,
состоящей из одного уравнения и n неизвестных.
Решением системы линейных уравнений с n неизвестными называется
упорядоченный набор из n чисел, которые будучи подставлены в систему,
обращают каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
 c1 
 
c
Обозначение: X  (c1 , c2 ,..., cn ) или X   2  . В первом случае говорят о
 
 
 cn 
строке решений, во втором – о столбце решений.
Способы записи системы линейных уравнений
Про систему вида (2) говорят, что она записана в развернутом виде. Или
говорят, что система записана в скалярной форме.
Если воспользоваться правилом умножения матриц и определением
равенства матриц, то систему линейных уравнений можно записать в
матричной форме:
37
 a11

 a21
 ...

a
 m1
a12
a22
...
am 2
... a1n  x1   b1 
   
... a2 n  x2   b2 

или AX  B .
... ...      
   
... amn  xn   bm 
 a1k 


a2 k 

Обозначим Ak 
–




 amk 
k -й
столбец матрицы А. Тогда систему (2) можно
записать в виде:
A1 x1  A2 x2  ...  An xn  B .
(3)
Форму записи (3) системы линейных уравнений мы будем называть
векторной, т.к. в этом равенстве столбец В представлен в виде линейной
комбинации столбцов матрицы системы. А столбец есть вектор векторного
пространства столбцов соответствующей высоты.
5.2. Классификация систем линейных уравнений
Системы различаются по внешнему виду и в этом случае их называют так
же, какова их матрица коэффициентов: квадратная, треугольная, диагональная,
ступенчатая и т.п.
Системы классифицируют и по множеству их решений.
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет
хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.
Совместные системы также классифицируют по множеству решений.
Совместная система линейных уравнений называется определенной,
если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более
одного решения.
Замечание. Легко видеть, что однородная система линейных уравнений
AX  0 является совместной, т.к. она всегда имеет нулевое решение.
Необходимые и достаточные условия совместности системы
линейных уравнений.
Теорема (Кронекер – Капелли). Система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной
матрицы системы.
Другими словами, если AX  B – система линейных уравнений, то для
того, чтобы данная система имела хотя бы одно решение необходимо и
достаточно, чтобы rang A  rang ( A | B) .
Пространство решений однородной системы линейных уравнений.
Прежде всего заметим, что однородная система линейных уравнений
AX  0 всегда является совместной, т.к. всегда имеется нулевое решение X  0 –
нулевой столбец неизвестных.
38
Теорема. Множество решений однородной системы линейных уравнений
является векторным пространством.
Замечание. В дальнейшем множество решений однородной системы
линейных уравнений AX  0 мы будем называть пространством решений этой
однородной системы линейных уравнений и обозначать Ker A .
Теорема (О размерности пространства решений однородной системы
линейных уравнений.)
Пусть AX  0 – однородная система m линейных уравнений с n
неизвестными и Ker A – пространство ее решений. Тогда dim Ker A  n  rang A .
Иначе, размерность пространства решений однородной системы
линейных уравнений равна числу неизвестных системы минус ранг ее матрицы.
Обозначим для краткости rang A  r . Тогда теорема утверждает, что верно
равенство: dim Ker A  n  r .
Базис {X1 , X 2 , ..., X nr } пространства решений Ker A однородной системы
линейных уравнений AX  0 называется фундаментальной системой ее
решений.
Пример. Решить систему: x1  2 x2  0 .
Здесь дана система из одного уравнения с двумя неизвестными x1 и x2 .
Матрица системы имеет вид A  (1,  2) и ее ранг r  1 .
Тогда размерность пространства решений dim Ker A  n  rang A  2  1  1 .
Следовательно, базис пространства решений данной системы (или иначе,
фундаментальная система решений) состоит из одного ненулевого решения
данной системы:  X 1 .
Заметим, что в любом базисе нет нулевого вектора, так что X 1  0 .
В данном случае одно ненулевое решение легко найти подбором,
 2
например: x1  2, x2  1 , т.е. столбец этого решения: X 1    .
1
 
Следовательно, множество решений данной системы можно записать в
 2
виде линейной оболочки, натянутой на базисный вектор: Ker A     .
1
 
2
 
Общее решение данной системы имеет вид: X  c   , где с – любое
1
действительное число.
Мы предполагали, что полем коэффициентов данной системы является
поле действительных чисел.
x 
 2
Ответ: X   1   c    , c  R .
1
 x2 
Замечание. Легко выполнить проверку. Подставляя в данную систему
x1  2c, x2  c , получаем: 2c  2c  0 , т.е. уравнение превращается в верное
числовое равенство для любого действительного числа с, что и требовалось
доказать.
39
Пусть AX  B – неоднородная система линейных уравнений с матрицей
системы А. Система линейных уравнений AX  0 называется однородной
системой линейных уравнений соответствующей данной неоднородной
системе линейных уравнений.
Произвольное решение неоднородной системы AX  B называют ее
частным решением.
Пример. Найти частное решение системы x1  2 x2  1 .
Решение. Легко видеть, что
 3 
1
 3
X    или X    или X    – частные решения данной системы.
0
 2 
1
1
Ответ: X    .
0
Теорема. (О структуре множества решений неоднородной системы.)
1) Сумма любого частного решения X * неоднородной системы AX  B и
любого решения X соответствующей однородной системы AX  0 является
решением неоднородной системы AX  B .
2) Любое решение X неоднородной системы AX  B можно представить
в виде суммы некоторого частного решения неоднородной системы X * и
некоторого решения соответствующей однородной системы AX  0 .
Теорема. (О структуре множества решений неоднородной системы.)
S  Ker A  X * .
Иначе, множество S решений неоднородной системы AX  B равно сумме
подпространства решений соответствующей однородной системы Ker A и
произвольного частного решения X * исходной неоднородной системы.
Следствие. Любое решение неоднородной системы линейных уравнений
AX  B может быть записано в виде:
X  c1 X1  c2 X 2  ...  cnr X nr  X * ,
где X  c1 X 1  c2 X 2  ...  cnr X nr – общее решение соответствующей однородной
системы AX  0 , а X * – произвольное частное решение неоднородной системы
AX  B .
Решение неоднородной системы линейных уравнений AX = B ,
записанное в виде X  c1 X1  c2 X 2  ...  cnr X nr  X * , где c1 , c2 , ..., cnr – произвольные
постоянные (скаляры из поля K ), {X1 , X 2 , ..., X nr } – фундаментальная система
решений соответствующей однородной системы AX  0 , называется общим
решением неоднородной системы.
Вывод. Решить неоднородную систему линейных уравнений означает
найти множество всех ее решений. А, в свою очередь, множество всех ее
решений имеет вид: S  {c1 X1  c2 X 2  ...  cnr X nr  X *| c1,..., cnr  K} . Следовательно,
в ответе достаточно выписать общее решение: X  c1 X1  c2 X 2  ...  cnr X nr  X * .
Пример. Решить систему: x1  2 x2  1 .
40
Сначала, любым способом находим произвольное ее частное решение,
 3
например: x1  3, x2  1 , так, что X *    . Общее решение соответствующей
1
 
 2
однородной системы x1  2 x2  0 мы уже нашли: X  c   . Тогда общее решение
1
 2   3
данной неоднородной системы имеет вид: X  X  X *  c      .
1
1
   
x 
 2   3
Ответ: X   1   c       , c  R .
 1  1
 x2 
6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
6.1. Правило Крамера
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
a11 x1  a12 x2  b1

a21 x1  a22 x2  b2
Правило Крамера: Решение системы находят путем деления
вспомогательных определителей на главный определитель системы
x1  1 /  , x 2   2 / 
Замечание 1. Использование правила Крамера возможно, если
определитель системы  не равен нулю.
Замечание 2. Формулы Крамера обобщаются и на системы большего
порядка.
3x1  5 x 2  4
Пример. Решить систему: 
.
 x1  x 2  2
Решение.
3 5

 3  5  2 ;
1 1
4 5
1 
 4  10  6 ;
2
1
3 4
2 
 6  4  2;
1 2
6
2
x1   3, x2   1
2
2
41
Проверка:
3  3  5  1  4

3  1  2
Вывод: Система решена верно: x1  3, x2  1 .
Системы трех линейных уравнений
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ;

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 ;
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3.
 31 1
Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы или главным определителем:
a11 a12 a13
  a 21 a 22 a 23 .
a 31 a 32 a 33
Если   0, то система имеет единственное
определяется по формулам Крамера:
x1   1 / ; x 2   2 / ; x 3   3 / ,
где
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
решение,
которое
 1  b2 a 22 a 23 ;  2  a 21 b2 a 23 ;  3  a 21 a 22 b2 ,
a 31 a 32 b3
b3 a 32 a 33
a 31 b3 a 33
где определители  1 ,  2 ,  3 – называются вспомогательными и
получаются из определителя  путем замены его первого, второго или третьего
столбца столбцом свободных членов системы.
3x1  2 x 2  x3  13

Пример. Решить систему 2 x1  x 2  2 x3  7 .
 x  4 x  3x  1
2
3
 1
Сформируем главный и вспомогательные определители:
3 2
1
13 2 1
3 13 1
3 2 13
  2  1 2 1  7  1 2  2  2 7 2  3  2  1 7
1 4 3
1 4 3
1 1 3
1 4 1
И вычислим их разными способами:
3 2 1
3
2
  2  1 2 2  1  3   1 3  2  2  1  1  2  4  1   1  1  3  2  4  2  2   3 
1 4 3 1 4
 9  4  8  1  24  12  10 .
42
13 2
1
1  7  1 2  39  28  4   1  104  42   39  28  4  1  104  42  114  104  10
1
4 3
3 13 1
11 7 2
1 2 2 2
13 2 7
 2  2 7 2  3   1 
 13   1
 1   1

1 3
1 3
1 1
1 1 3
 3 21  2  13   1 6  2  1  2  7   69  104  5  104  74  30
3 2 13
1 7
2 7
2 1
3  2 1 7  3 
 2
 13 
 3 1  28   22  7  
4 1
1 1
1 4
1 4 1
 138  1  87  10  117  127  87  40
Вычислив все определители, по правилу Крамера найдем переменные:
x1 
10
30
40
 1 x2 
 3 x3 
4
10
10
10
Проверка:
3  1  2  3  4  13
2 1  3  2  4  7
1 4 3  3 4 1
Вывод: система решена верно: x1  1; x2  3; x3  4 .
Системы и определители высших порядков
Систему n линейных уравнений с n неизвестными можно записать в
таком виде:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

...............................................
a n1 x1  an 2 x2  ...  a n n xn  bn
Для этого случая также можно составить главный и вспомогательные
определители, а неизвестные определять по правилу Крамера. Проблема
состоит в том, что определители более высокого порядка могут быть
вычислены только путем понижения порядка и сведения их к определителям
третьего порядка. Это может быть осуществлено способом прямого разложения
по элементам строк или столбцов, а также с помощью предварительных
элементарных преобразований и дальнейшего разложения.
Пример. Решить систему:
43
2 x1  3x2  4 x3  2 x4  3
x  2x  2x  x  2
 1
2
3
4

2 x1  3x2  4 3  x 4  1
 x1  4 x2  3x3  2 x4  5
Решение. Составим определитель системы и, применив свойства
определителей, вычислим его:
2 3 4 2 0 0 0 1
1 2 2
1 2 0
1 2 2 1 1 2 2 1
1 2
1 4


  1 2 3 4   2 3 0  
1
2 3 4 1 2 3 4 1
2 3
1 4 3
1 4 1
1 4 3 2 1 4 3 2
(из первой строки вычтем третью, а затем в полученном определителе
третьего порядка из третьего столбца вычитаем первый, умноженный на 2).
Определитель   0 , следовательно, формулы Крамера применимы.
Вычислим остальные определители:
1 
3 3 4 2
1  1 0 2
2 2 2 1
0 0 01
1 3 4 1

3 1 2 1
1  1 0
  1
2 4
3 1 2  3 1  1   1
1 0 1
1 0 1 2
5 4 3 2
1  1  1
31
1  1
1 1
1 0 0
2
Четвертый столбец умножили на 2 и вычли из остальных
2 
2 3 4 2
0 1 0 2
1 2 2 1
0 0 0 1
2 1 4 1

1 1 2 1
0 1 0
  1
2 4
1 2
  1
1 0 1
1 0 1 2
1 5 3 2
1 1 2   1
1 2
1 1
1
Четвертый столбец вычли из первого, а затем, умножив на 2, вычли из
второго и третьего столбцов.
3 
2 3 3 2
0 1 1 2
1 2 2 1
0 0 0 1
0 1 1
  1

2 3 1 1 1 1 3 1
2 4
1 4 5 2
1 1  3  1 1  2   1
1 0 1
1 0 1 2
0 1 1
31
  1
1 0 0
1  1
1 2
 3 .
Здесь выполнили те же преобразования, что и для  4 .
4 
2 3 4 3
2 1 0 1
12 2 2
1 0 0 0
2 3 4 1

2 1 0  5
  1
2 1
1 0 1
 1 0  5   1
3 2
1
1
1  5
 4.
2 1 3
1 2 1 3
При нахождении  4 первый столбец умножили на 2 и вычли из
14 3 5
остальных.
По правилу Крамера имеем:




x1  1  2, x 2  2  1, x3  3  3, x 4  4  4 .




44
После подстановки в уравнения найденных значений убеждаемся в
правильности решения системы.
6.2. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
Метод обратной матрицы – это метод решения квадратных систем
линейных уравнений, в которых определитель системы не равен нулю.
Рассмотрим систему:
a11 x1  a12 x 2  a13 x 3  ...  a1n x n  b1
a x  a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
23 3
2n n
2

.....................................................
a n1 x1  a n 2 x 2  a n3 x 3  ...  a n n x n  bn
Обозначим через A матрицу коэффициентов при неизвестных, через X и
B – матрицы-столбцы переменных и правой части.
 x1 
 b1 


 
a
a
a
...
a
 11
12
13
1n 


 x2 
 b2 
a
a
a
...
a

22
23
2n 
; X   x 3  ; B   b3  ;  A  0 .
A   21

 
 
... ... ... ... ...


 ... 
 ... 
 a n1 a n 2 a n3 ... a nn 
x 
b 
 n
 n
Систему уравнений можно представить в матричной форме, она примет
такой вид:
A X  B.
Умножим это равенство на обратную матрицу
A 1  A  X  A 1  B ,
E  X  A 1  B ,
X  A1  B
Мы получили матричную запись решения системы линейных уравнений,
из которой можно заключить следующее: чтобы квадратную систему линейных
уравнений решить методом обратной матрицы, необходимо найти обратную
матрицу и умножить ее “слева” на матрицу-столбец B .
Пример. Решить систему методом обратной матрицы
1
 3x1  2 x 2  x3  17
3 2



A   2  1 2 .
2 x1  x 2  2 x3  8
 1 4  3
 x  4 x  3x  9
2
3
 1


Ранее мы нашли обратную для матрицы A – в примере 8.
5 
  5 10
17 

 
1
A   8  10  4 
B 8 
10 

9
 9  10  7 
 
5  17 
  5 10
 40   4 
   1   
1
X   8  10  4    8    20    2 
10 
   10  10   1 
 9  10  7   9 
   
1
45
x1  4 , x 2  2 , x 3  1 .
Проверка показывает, что система решена верно.
6.3. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Метод Гаусса является универсальным методом решения систем
линейных уравнений. Он заключается в приведении системы к треугольному
виду путем последовательного исключения неизвестных и реализуется в
несколько этапов:
I этап – выбирается первое ведущее уравнение, содержащее x1 , и с его
помощью из всех остальных уравнений исключается x1 .
II этап – первое ведущее уравнение остается неизменным; выбирается
второе ведущее уравнение из всех оставшихся и с его помощью исключается
неизвестная x 2 ;
III этап – первое и второе ведущие уравнения остаются неизменными.
Выбирается третье ведущее и с его помощью исключается x3 и т.д.
Когда система приведена к треугольному виду, то, двигаясь в обратном
порядке, находят значения неизвестных величин.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
2 x1  4 x 2  3x3  1

 x1  3x 2  2 x3  4
3x  5 x  4 x  1
2
3
 1
В качестве первого ведущего выбираем второе уравнение, т.к. у него
первый коэффициент равен единице.
4
 x1  3x 2  2 x3  4
 x1  3x 2  2 x 3 


І этап
 10 x 2
 x3   7
2 x1  4 x 2  3x3  1

3x  5 x  4 x  1

 14 x 2  2 x 3   11
2
3
 1

 x1  3x 2  2 x 3  4

ІI этап
10 x 2  x 3  7


14 x 2  2 x 3  11

Из третьего уравнения определяем:
1
10 x 2  5 , x 2  ; из первого: x1  4  3x 2
2
3
1
образом, x1   , x2  , x3  2 .
2
2
46
 x1  3x 2  2 x 3  4

10 x 2  x 3  7


 3x3  6

x 3  2 ; из второго: 10 x 2  2  7 ,
1
3
 2 x3  4  3   2  2   . Таким
2
2
Смысловой модуль ІІ
Векторные пространства и аналитическая геометрия
7. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС
ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ.
7.1. Основные понятия
Пусть V - произвольное непустое множество, элементы которого мы
будем называть векторами, K – поле, элементы которого мы будем называть
скалярами. Пусть на множестве V определена внутренняя бинарная
алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком «+» и
называть сложением векторов. Пусть также на множестве V определена
внешняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем называть
умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими
словами определены два отображения:
V V  V ,
x, y V , ( x, y )  x  y V ;
K V  V ,   K , x V ,  , x     x V .
Множество V вместе с этими двумя алгебраическими операциями
называется векторным пространством над полем К, если выполняются
следующие аксиомы:
1. Сложение ассоциативно, т.е.
x, y, z V ,  x  y   z  x   y  z  .
2. Существует нулевой вектор, т.е.
 0 V : x V , x  0  0  x  x .
3. Для любого вектора существует противоположный ему:
x V , y V : x  y  y  x  0 .
Вектор у, противоположный вектору х, обычно обозначается –х, так
что
x V ,   x  V : x    x     x   x  0 .
4. Сложение коммутативно, т.е. x, y V , x  y  y  x .
5. Умножение вектора на скаляр подчиняется закону ассоциативности,
т.е.
 ,   K , x V ,   x     x  ,
где произведение  есть произведение скаляров, определенное в поле К.
6. x V , 1 x  x , где 1 - это единица поля К.
7. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения
векторов:   K , x, y V ,   x  y    x   y .
47
8. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения
скаляров: ,   K , x V ,      x   x   x .
Векторное пространство V над полем вещественных чисел R называется
вещественным векторным пространством.
Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)
1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.
2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный
противоположный ему.
3.   K , x V ,  x  0    0 или x  0 .
4. x V ,  1 x   x .
Примеры векторных пространств.
1) Множество числовых вещественных функций одной переменной,
непрерывных на интервале (0; 1) относительно обычных операций сложения
функций и умножения функции на число.
2) Множество многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K
относительно сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр.
3) Множество комплексных чисел относительно сложения комплексных
чисел и умножения на действительное число.
4) Множество матриц одного и того же размера с элементами из поля К
относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр.
5) Пусть n  N - произвольное натуральное число. Обозначим через K n
множество всех столбцов высоты n, т.е. множество матриц над полем K размера
n1 . Множество K n является векторным пространством над полем К и
называется арифметическим векторным пространством столбцов высоты n над
полем K.
В частности, если вместо произвольного поля К взять поле
действительных чисел R , то векторное пространство Rn называется
вещественным арифметическим векторным пространством столбцов высоты n.
Аналогично, векторным пространством является и множество матриц
над полем K размера 1 n или, иначе, строк длины n. Оно обозначается также
через K n и также называется арифметическим векторным пространством строк
длины n над полем K.
Системой векторов векторного пространства называют любое
конечное непустое множество векторов этого пространства.
Обозначение: {e1 , e2 , ..., en } .
Выражение 1e1   2e2  ...   nen , где 1 , 2 ,..., n  K - скаляры поля К,
e1 , e2 ,..., en V – векторы векторного пространства V, называется линейной
комбинацией системы векторов {e1 , e2 , ..., en } . Скаляры 1 ,  2 ,...,  n называются
коэффициентами этой линейной комбинации.
Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такую
линейную комбинацию называют тривиальной, в противном случае –
нетривиальной.
48
Пример. Пусть {e1 , e2 , e3} система из трех векторов векторного
пространства V. Тогда
0  e1  0  e2  0  e3 – тривиальная линейная комбинация данной системы
векторов; e1  0  e2  0  e3 – нетривиальная линейная комбинация данной системы
векторов, т.к. первый коэффициент этой комбинации 1  1  0 .
Если какой-либо вектор х векторного пространства V может быть
представлен в виде: x  1e1   2e2  ...   nen , то говорят, что вектор х линейно
выражается через векторы системы {e1 , e2 , ..., en } . В этом случае говорят также,
что система {e1 , e2 , ..., en } линейно представляет вектор х.
Замечание. В этом и предыдущем определении слово "линейно" часто
пропускают и говорят, что система представляет вектор или вектор выражается
через векторы системы и т.п.

1
 1 
e1    , e2    
 2 
 3 

Пример. Пусть
– система из двух столбцов
арифметического вещественного векторного пространства столбцов высоты 2.
 5 
Тогда столбец x    линейно выражается через столбцы системы или данная
 13 
система столбцов линейно представляет столбец х. Действительно,
 1   1  2  3   5 
x  2e1  3e2  2    3    

.
 2   3   4  9   13 
Так как произведение нулевого скаляра на любой вектор есть нулевой
вектор и сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, то для любой
системы
векторов
выполняется
равенство
0  e1  0  e2  ...  0  en  0 .
Отсюда следует, что нулевой вектор линейно выражается через векторы любой
системы векторов или, говоря иначе, любая система векторов линейно
представляет нулевой вектор.

0
1
 1 
 , e2     . В этом случае нулевой столбец  0 
 
 2 
 2 
Пример. Пусть e1  

можно линейно выразить через столбцы системы не одним способом:
1
 1  0 
0  e1  0  e2  0     0      
 2 
 2   0
или
 1   1  0 
e1  e2         
 2   2   0 
или   R
1
 1        0 
  e1    e2            
    .
 2 
 2   2   2   0 
49
Если выполняется равенство 1e1   2e2  ...   nen  0 и при этом все
коэффициенты 1   2  ...   n  0 , то говорят, что система {e1 , e2 , ..., en }
представляет нулевой вектор тривиально. Если же в равенстве
1e1   2e2  ...   nen  0 хотя бы один из коэффициентов 1 ,  2 ,...,  n не равен нулю,
тогда говорят, что система векторов {e1 , e2 , ..., en } представляет нулевой вектор
нетривиально.
Из последнего примера мы видим, что существуют системы векторов,
которые могут представлять нулевой вектор нетривиально. Из следующего
примера мы увидим, что существуют системы векторов, которые не могут
представлять нулевой вектор нетривиально.
 1   0  
Пример. Пусть   ,   – система двух столбцов из векторного
 0   1  
пространства R2 . Рассмотрим равенство:
1
0 0
 
   
     ,
0
1
0
где  ,   R неизвестные пока коэффициенты. Используя правила
умножения столбца на скаляр (число) и сложения столбцов, получаем
равенство:
   0
    .
   0
Из определения равенства матриц следует, что   0 и   0 .
Таким образом, данная система не может представлять нулевой столбец
нетривиально.
Из приведенных примеров следует, что существует два вида систем
векторов. Одни системы представляют нулевой вектор нетривиально, а другие
нет. Отметим еще раз, что любая система векторов представляет нулевой
вектор тривиально.
Система векторов векторного пространства, которая представляет
нулевой вектор только тривиально называется линейно независимой.
Система векторов векторного пространства, которая может представить
нулевой вектор нетривиально называется линейно зависимой.
Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости
системы векторов.)
Система векторов векторного пространства является линейно
зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно
выражается через другие вектора этой системы.
Следствие.
50
1. Система векторов векторного пространства является линейно
независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно
не выражается через другие вектора этой системы.
2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора,
является линейно зависимой.
Теорема (О линейной зависимости системы из одного вектора).
Система, состоящая из одного вектора является линейно зависимой тогда
и только тогда, когда этот вектор нулевой.
Следствие. Система, состоящая из одного вектора является линейно
независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.
Теорема. Система ненулевых векторов линейно зависимая тогда и только
тогда, когда найдется вектор системы, который линейно выражается через
предыдущие векторы этой системы.
Любое непустое подмножество системы векторов {e1 , e2 , ..., en } называется
подсистемой данной системы векторов.
Пример. Пусть {e1 , e2 , ..., e10 } – система из 10 векторов. Тогда системы
векторов: {e1 , e10 } ; {e1 , e2 , .e3} , {e4 , e7 , e8 , e9 } – подсистемы данной системы векторов.
Теорема. Если система векторов содержит линейно зависимую
подсистему, то сама система векторов тоже линейно зависима.
Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы векторов
является линейно независимой.
Теорема
1) Система столбцов является линейно зависимой тогда и только тогда,
когда в системе найдется хотя бы один столбец, который линейно выражается
через другие столбцы данной системы.
2) Система столбцов является линейно независимой тогда и только тогда,
когда ни один столбец системы линейно не выражается через другие столбцы
данной системы.
3) Система столбцов, содержащая нулевой столбец является линейно
зависимой.
4) Система столбцов, содержащая два равных столбца является линейно
зависимой.
5) Система столбцов, содержащая два пропорциональных столбца
является линейно зависимой.
6) Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему,
является линейно зависимой.
7) Любая подсистема линейно независимой системы столбцов является
линейно независимой.
51
Два
ненулевых
столбца
 x1 
 y1 
 
 
x   , y    K n
x 
y 
 n
 n
называют
пропорциональными,
если найдется скаляр   K , такой, что x    y или
x1    y1 , x 2    y 2 , …, x n    y n .
Пример. Система
 1    2  3 
     
{  2 ,  4 ,   8 }
 1    2  2 
     
является линейно зависимой, так как ее
первые два столбца пропорциональны.
Замечание Мы уже знаем, что определитель равен нулю, если система
его столбцов (строк) является линейно зависимой. В дальнейшем будет
доказано, что верно и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то
система его столбцов и система его строк являются линейно зависимыми.
Система векторов {e1 , e2 , ..., en } векторного пространства V над полем К
называется порождающей (образующей) системой векторов этого векторного
пространства, если она представляет любой его вектор, т.е. если x V
найдется такой набор скаляров 1 , ...,  n  K , что x  1e1   2e2  ...   nen .
Система векторов векторного пространства называется минимальной
порождающей системой, если при удалении из этой системы любого вектора
она перестает быть порождающей системой.
Замечание. Из определения сразу же следует, что если порождающая
система векторов не является минимальной, то найдется хотя бы один вектор
системы, при удалении которого из системы, оставшаяся система векторов по
прежнему будет порождающей.
Лемма (О линейно зависимой порождающей системе.)
Если в линейно зависимой и порождающей системе векторов один из
векторов линейно выражается через другие, то его можно удалить из системы и
оставшаяся система векторов будет порождающей.
Следствие 1. Линейно зависимая и порождающая система векторов не
является минимальной.
Следствие 2. Минимальная порождающая система векторов является
линейно независимой.
Система векторов векторного пространства называется максимальной
линейно независимой системой, если при добавлении к этой системы любого
вектора она становится линейно зависимой.
Замечание. Из определения сразу же следует, что если система является
линейно независимой, но не максимальной, то найдется вектор, при добавлении
которого к системе, получается линейно независимая система.
52
7.2. Размерность и базис векторных пространств
Базисом векторного пространства V над полем K называется
упорядоченная система его векторов, представляющая любой вектор
векторного пространства единственным способом.
Иначе говоря, система векторов {e1 , e2 , ..., en } векторного пространства V
над полем K называется его базисом, если x V существует единственный
набор скаляров 1 , ...,  n  K , такой, что x  1e1   2e2  ...   nen .
Теорема. (О четырех равносильных определениях базиса.)
Пусть {e1 , e2 , ..., en } – упорядоченная система векторов векторного
пространства. Тогда следующие утверждения равносильны:
1. Система {e1 , e2 , ..., en } является базисом.
2. Система {e1 , e2 , ..., en } является линейно независимой и порождающей
системой векторов.
3. Система {e1 , e2 , ..., en } является максимальной линейно независимой
системой векторов.
4. Система {e1 , e2 , ..., en } является минимальной порождающей системой
векторов.
Теорема. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих
системах векторов.)
Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не
превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же
векторного пространства.
Теорема. (О количестве векторов в базисе.)
В любом базисе векторного пространства содержится одно и тоже число
векторов.
Размерностью векторного пространства V над полем K называется
число векторов в его базисе. Обозначение: dim K V или dimV .
Векторное пространство V называется конечномерным, если оно
обладает конечной порождающей системой векторов.
Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного
пространства.)
Любое конечномерное векторное пространство обладает базисом.
Лемма.
Пусть dimV  n . Тогда:
1. Любая система из n  1 вектора является линейно зависимой.
2. Любая линейно независимая система из n векторов является его
базисом.
Теорема (О дополнении до базиса.)
53
Любая линейно независимая система векторов векторного пространства
может быть дополнена до базиса этого пространства.
Пример.
1. Пусть К - произвольное поле, K n - арифметическое векторное
пространство столбцов высоты n . Тогда dim K n  n .
8. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В
ПРОСТРАНСТВЕ
8.1. Аналитическая геометрия на плоскости
Расстояние между двумя точками
Для любых точек M 1  x1 ; y1  и M 2  x 2 ; y 2  плоскости расстояние d
между ними определяется формулой:
d  M1 M 2 
x2  x1 2   y 2  y1 2 .
(1)
Деление отрезка в данном отношении
Теорема. Пусть даны точки A x1 ; y1  и B x 2 ; y 2  , через которые проходит
некоторая ось. Если точка C  x, y  оси делит отрезок AB в отношении  , то
координаты x и y точки C выражаются формулами:
x  x 2
y  y 2
, y 1
.
(2)
x 1
1 
1 
Полагая в формулах (2)   1 , имеем:
x  x2
y  y2
x 1
, y 1
2
2
т.е. координаты середины отрезка равна полусуммам, одноименных
координат его концов.
Линии первого порядка
Пусть на плоскости заданы: прямоугольная система координат и
некоторая линия L . Рассмотрим соотношение вида:
F  x, y   0 ,
(3)
связывающее переменные величины x и y .
Уравнение (3) называется уравнением линии L (относительно заданной
системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y
любой точки, лежащей на линии L , и не удовлетворяют координаты ни какой
точки, не лежащей на линии L .
54
Поскольку величины x и y рассматриваются как координаты
переменной точки M , их называют текущими координатами.
Понятие уравнения линии дает возможность сводить геометрические
задачи к алгебраическим.
Уравнение прямой линии
Теорема. В прямоугольных координатах всякая прямая определяется
алгебраическим уравнением первой степени и, наоборот, всякое уравнение
(10)
Ax  By  c  0
определяет прямую линию.
Линии, определяемые уравнением первой степени, называются линиями
первого порядка. Уравнение вида Ax  By  C  0 называется общим
уравнением прямой.
В прямоугольных координатах уравнение прямой на плоскости задается в
одном из следующих видов:
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно
заданному вектору,
A x  x1   B y  y1   0 ,
где N  A, B  – вектор, перпендикулярный прямой;  x1 , y1  – заданная
точка.
2. Общее уравнение прямой
Ax  By  C  0 .
3. Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении,
y  y1  k  x  x1  ,
где  x1 , y1  – заданная точка; k – угловой коэффициент прямой, т.е.
тангенс угла, который образует прямая с положительным направлением оси
Ox .
4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ( x1 , y1 ) и
( x2 , y 2 ) ,
y  y1
x  x1
.

y2  y1 x2  x1
5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y  kx  b ,
где k – угловой коэффициент прямой; b – величина отрезка, отсекаемого
прямой на оси ординат.
6. Уравнение прямой в отрезках на осях
x y
  1,
a b
где a и b – величины отрезков, которые прямая отсекает на осях
координат.
55
Зная уравнения прямых или точки на них, можно найти:
Угловой коэффициент прямой
y  y1
A
.
k   или k  2
x2  x1
B
2.
Угол между прямыми
k  k1
A B  A2 B1
или tg  1 2
.
tg  2
1  k1  k 2
A1 A2  B1 B2
3.
Условия параллельности двух прямых
A
B
k1  k 2 или 1  1 .
A2 B2
4.
Условия перпендикулярности прямых
1
k 2   или A1 A2  B1 B2  0 .
k1
5.
Расстояние от точки ( x1 , y1 ) до прямой Ax  By  C  0
Ax1  By1  C
.
d
A2  B 2
Пример.
Составить уравнение прямой, проходящей через точки M 1 3;1 и M 2 5;4  .
Решение:
Подставляя данные координаты в соотношение (3.9.), получаем:
x  3 y 1
или 3x  2 y  7  0 .

5  3 4 1
Пример.
Издержки производства 100 ед. некоторого товара составляют 300 тыс.
руб., а 500 ед. – 600 тыс.р. Определить издержки производства 400 ед. товара
при условии, что функция издержек линейна.
Решение.
Используя уравнение прямой, проходящей через две точки 100; 300  и
500; 600  , получаем:
y  300
x  100
3
или y  x  225 .

600  300 500  100
4
Подставляя x  400 , вычисляем издержки производства 400 единиц
товара:
3
y   400  225  525 (руб.)
4
1.
Пересечение двух прямых
Пусть две прямые заданы общими уравнениями A1 x  B1 y  C1  0 и
A2 x  B 2 y  C 2  0 . Найдем точку пресечения этих прямых. Очевидно, что она
будет принадлежать как первой, так и второй прямой. Следовательно, ее
56
координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Поэтому для отыскания
точки пересечения нужно решить систему уравнений:
 A1 x  B1 y  C1  0
.

A
x

B
y

C

0
 2
2
2
Решение даст точку пересечения этих прямых. Если система не имеет
решения, то прямые не пересекаются, т.е. не имеют общей точки.
Расстояние от точки до прямой
Чтобы найти расстояние от данной точки, до данной прямой, надо
уравнение прямой привести к общему виду, вместо текущих координат
подставить в левую часть уравнения координаты данной точки и взять
абсолютную величину полученного результата.
То есть: если уравнение прямой
L : Ax  By  C  0 ,
точка M 0 имеет координаты  x 0 ; y 0  , то расстояние от прямой L до точки
M 0 можно найти по формуле:
Ax 0  By 0  C
d
.
(11)
2
2
A B
Пример.
Даны прямые y  2 x  3, y  3x  2 . Найти угол между ними.
Решение:
k1  2 , k 2  3 . Тогда по формуле для нахождения угла между прямыми
находим:
32
5
5
tg 

   1.
1   3  2 1  6
5
Таким образом, угол  между прямыми:
  actg1  45  .
Пример.
Через точку пересечения прямых 3 x  2 y  1  0 и x  3 y  7  0 проведена
прямая перпендикулярно первой из данных прямых. Найти расстояние
полученной прямой от начала координат.
Решение:
1. Находим точку A пересечения прямых:
37  3 y   2 y  1

x  7  3 y
y  2
.

x  1
Следовательно A1;2 .
3 x  2 y  1

x  3 y  7
y  2

x  7  6  1
57
21  9 y  2 y  1

x  7  3 y
 11 y  22

x  7  3 y
2. Найдем угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к
3
3
1
прямой 3 x  2 y  1  0 . 2 y  3x  1, y  x  , т.к. k  , то искомый угловой
2
2
2
2
коэффициент k   .
3
3. Запишем уравнение искомой прямой:
2
y  2    x  1 или 3 y  6  2 x  2 ;
3
2x  3y  8  0 .
1. Найдем расстояние полученной прямой от начала координат:
20  30  8
8
8 13
d


.
13
13
2 2  32
Пример.
Перевозка груза от данного в первый пункт, находящийся на расстоянии
100 км, стоит 200 руб., а в другой, находящейся на расстоянии 400 км – стоит
350 руб. Найти стоимость перевозки на единицу расстояния и расходы, не
связанные с расстоянием. Определить также стоимость перевозки груза на
расстояние 875 км.
Решение.
Подставляя данные в уравнение y  kx  b , получим систему уравнений:
200  100k  b

350  400k  b
k  0,5 руб., b  150 руб. – ее решения.
Тогда стоимость перевозки y на расстояние x выражается уравнением:
y  0,5 x  150 .
В частности, стоимость перевозки на расстояние 875 км:
y  0,5  875  150  587,5 (руб.)
8.2. Аналитическая геометрия в пространстве
Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость,
проходящая через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , ее радиус-вектор будет иметь

координаты r0  {x0 , y0 , z0 } . Зададим на этой же плоскости точку M ( x, y, z ) с

 
радиус-вектором r  {x, y, z} . Очевидно, что вектор r  r0 также будет
находиться в заданной плоскости (Рис. 1).
58
 
r  r0

r0

r
0


Рис.1. Вектор r  r0 на плоскости

Проведем перпендикуляр к плоскости N  { A, B, C} . Скалярное
 
произведение вектора r  r0 с эти перпендикуляром будет равно 0:

r  r0 , N   0 , или, в координатах:
(
A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 .
12)
Преобразуем данное уравнение: раскроем скобки и сгруппируем
известные координаты:
обозначив
Ax  By  Cz  ( Ax0  By0  Cz0 )  0 ,
D   Ax0  By 0  Cz 0 , получим уравнение плоскости в общей форме:
Ax  By  Cz  D  0 ,
(13)
где x, y, z – координаты любой точки на плоскости; x0 , y0 , z0 –
координаты фиксированной точки на плоскости; A, B, C – координаты нормали
к плоскости. Если все коэффициенты общего уравнения не равны нулю, то
уравнение
(13) можно привести к виду:
x y z
   0.
(14)
a b c
Уравнение плоскости в данном виде называется уравнением плоскости
в отрезках; в уравнении приняты обозначения: a   D , b   D , c   D ;
B
C
A
отрезки a, b, c отсекаются плоскостью на осях координат.
Итак, плоскость в пространстве, как и прямая на плоскости, задается
уравнением первой степени относительно координат. Поэтому говорят, что
плоскость есть поверхность первого порядка.
Расстояние от точки M 0  x0 , y0 , z0  до поверхности, заданной формулой
(14) определяется по формуле:
d
Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
,
(15)
Двугранный
угол
между
плоскостями
и
A1 x  B1 y  C1 z  0
A2 x  B2 y  C2 z  0 совпадает с углом между их нормалями и вычисляется по
формуле:
 

N1 , N 2 
A1 A2  B1B2  C1C2
,
cos   
 
(16)
N1  N 2
A12  B12  C12  A22  B22  C22
59
  Для ортогональных плоскостей будет справедливо
N1 , N 2  0 или в координатной форме: A1 A2  B1B2  C1C2  0 .


утверждение:
Для параллельных плоскостей выполняется условие пропорциональности
A B C
координат нормалей: 1  1  1 . В частности, если, кроме того, выполняется
A2 B2 C2
A
B C
D
условие 1  1  1  1 , то плоскости совпадают.
A2 B2 C2 D2
Рассмотрим частные случаи расположения плоскости в декартовой
системе координат.
 

1. N i : нормаль к плоскости параллельна оси x . Поскольку i  {1,0,0} для

нормали N имеем B  C  0 и уравнение
(16) принимает вид: Ax  D  0 . В
этом случае плоскость параллельна координатной оси y0 z .
 
2. N j : проводя аналогичные рассуждения, получаем: By  D  0 ,
плоскость параллельная оси x0 z .
 
3. N k : Cz  D  0 , плоскость параллельная оси x0 y .
 
4. N  i : вектор нормали лежит в плоскости y0 z , следовательно,
плоскость
параллельна оси x . В этом случае A  0 , так как
 
N , i   A1  B  0  C  0  A .
5. N  j : B  0 , параллельна оси y .


6. N  k : C  0 , параллельна оси z .

7. N  r0 : это возможно лишь в случае, когда плоскость проходит через
 
начало координат. При этом D   N  r0  0 и плоскость задается уравнением
Ax  By  Cz  0 , которому удовлетворяет точка (0,0,0) .
Пример.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1,2,3)
параллельно плоскости x0 z .
Решение:
1) По условию, плоскость должна быть параллельна плоскости x0 z , а это
значит, ее уравнение принимает вид: By  D  0 , где D   By0 .
 

2) Нормаль этой плоскости должна быть N j , где j  {0,1,0} , откуда
B  1 , следовательно, общее уравнение принимает вид: y  y0  0 , или y  2  0
(по условию y0  2 ).
Пример.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1,2,3)
параллельно плоскости 2 x  y  2 z  8  0 .
Решение:
1) У параллельных плоскостей
– общая нормаль, следовательно, для

искомой плоскости нормаль N  {2,1,2} .
60
2) По формуле (12) получаем: 2x  (1)   (1) y  2  2z  3  0 , или
2x  y  2z  2  0 .
Пример.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (0,1,3)


параллельно векторам l1  {1,4,2} и l2  2,2,1.
Решение:
1) Для решения необходимо знать координаты точки, принадлежащей
искомой плоскости и нормаль к ней. Точка M 0 – известна, осталось найти
нормаль.
2) Так как по условию, искомая плоскость должна быть параллельна
 
 
векторам, то ее нормаль должна быть к ним перпендикулярна: N  l1 и N  l2 .

 
 
 
3) По свойству векторного произведения: если c  [a , b ] , то c  a и c  b ,
значит в нашем случае, нормаль к исходным векторам есть их векторное
  
i
j k
 




произведение:
N  [l1 , l2 ]  1 4 2  8i  3 j  10k , откуда координаты

нормали: N  {8,3,10} .
2 2 1
4) Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной
точки
в
уравнение
(12),
находим
общее
уравнение:
8x  0  3 y  (1)   10z  3  0 . После преобразования получим
Пример.
Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с
координатами M 0 (1,2,3) , M 1 (1,2,2) , M 2 (3,4,5) .
Решение:
 

1) Проведем к точкам соответствующие радиус-векторы: r0 , r1 и r2 .
 
 
2) Очевидно, что вектора r1  r0 и r2  r0 будут лежать в одной плоскости
и задача сводится к задаче, приведенной в предыдущем примере.
3) Координаты векторов:
 
r1  r0  {(1)  1,2  (2),2  3}  {2,4,1}
 
r2  r0  {3  1,4  (2),5  3}  {4,6,8}
Найдем координаты нормали:
  
i
j k




   
N  [r1  r0 , r2  r0 ]   2 4  1  26i  12 j  4k
 4 6 8
4)
Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной
точки M 0 в уравнение (12), находим общее уравнение:
26 x  1  12 y  (2)   4 z  3  0 .
5)
61
Пример.
Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки M 0 (1,2,3) ,
M 1 (4,1,3) перпендикулярно плоскости x  y  z  1  0 .
Решение:
1) Для определенности положим, что M 0 – фиксированная точка, радиус 

вектор которой r0 ; M 1 – точка, с помощью которой строим вектор r1  r0 ,
лежащий
в
искомой
плоскости.
Его
координаты:
 
r1  r0  {4  1,1  2,3  3}  {3,3,6} .


2) Нормаль N1 плоскости x  y  z  1  0 имеет координаты N1  {1,1,1} ,
что следует из вида общего уравнения плоскости
(13).
 
3) Нормаль искомой плоскости перпендикулярна вектору r1  r0 и
нормали плоскости x  y  z  1  0 , то есть является их векторным

  
произведением: N  [r1  r0 , N1 ] . Откуда:

 
i
j
k




  
N  [r1  r0 , N1 ]  3  3  6  3i  9 j  6k , или N  {1, 3, 2} .
1 1
1
4) Подставим в общее уравнение плоскости найденные значения
координат нормали и фиксированной точки: 1 ( x  1)  3  ( y  2)  2  ( z  3)  0 .
Пример.
Записать уравнение плоскости, проходящей через точки M 0 (2,1,0} ,
M 1 (2,2,1) и образующей с плоскостью x  y  2 z  1  0 угол равный  .
3
Решение:
1) Для определенности положим, что M 0 – фиксированная точка, радиус 

вектор которой r0 ; M 1 – точка, с помощью которой строим вектор r1  r0 ,
лежащий
в
искомой
плоскости.
Его
координаты:
 
r1  r0  {2  2,2  1,1  0}  {0,1,1} .

2)
Так
как
нормаль
искомой плоскости перпендикулярна этому вектору
N
 
 
N  r0 r1 , то ( N , r0 r1 )  0 . Скалярное произведение в декартовой системе
координат определяется по формуле: A  0  B 1  C 1 , откуда получаем
уравнение B  C  0

3) Нормаль N1 плоскости x  y  2 z  1  0 имеет координаты N1  {1,1,2} .
Подставим известные значения в формулу для нахождения угла между
плоскостями:
 1
A 1  B 1  C  2
cos  
,
2
2
2
2
2
2
3 2
A  B  C  1 1  2
или 2 A  2 B  4C  6  A2  B 2  C 2 .
62
1.
Итак, имеем систему из двух уравнений относительно трех

неизвестных: 
BC  0
2
2
2
2 A  2 B  4C  6  A  B  C
.
Уменьшим число неизвестных, для чего разделим обе части на C :
B  1

C

2
2
,
 A
B
 A  B 
2

2

4

6



1
   

C
C  C 
 C
3. Подставим выражение из первого уравнения во второе, получим:
2.
2
A
A
 A
2  2  (1)  4  6     (1) 2  1 , откуда  2 .
C
C
C 
4. Получили пропорцию коэффициентов нормали: A : B : C  2 : (1) : 1,

откуда в качестве координат нормали возьмем N  {2,1,1} .
Уравнение плоскости запишется в виде:
2  ( x  2)  (1)  ( y  1)  1  ( z  0)  0 .
5.
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если
их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно
задать системой уравнений:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
– общее уравнение.
(1)

A
x

B
y

C
z

D

0
 2
2
2
2

Если заданы точка на прямой с радиус-вектором r0  {x0 , y0 , z0 } и

направляющий вектор l  {m, n, p} , то для любой точки этой прямой можно
записать параметрическое уравнение:
 x  x0  mt

(2)
 y  y0  nt ,
 z  z  pt
0

или каноническое уравнение:
x  x0 y  y0 z  z0
,


(3)
m
n
p
  


Расстояние d от точки M 1 (r1 ) с радиус-вектором r1 до прямой r  r0  tl
определяется по формуле:
  
[r1  r0 , l ]
,
d

(4)
l


где r0 – радиус-вектор фиксированной точки на прямой, а l - ее направляющий
вектор.
63

   
  
Расстояние между двумя прямыми r  r1  tl1 и r  r2  tl2 ( l1 и l2 – не
параллельны) вычисляется по формуле:
   
r2  r1 , l1 , l2
.
d
 
(5)
[l1 , l2 ]
   
Условие пересечения прямых: r2  r1 , l1 , l2  0 .
Через прямую в пространстве проходит бесконечно много разных
плоскостей, поэтому прямую можно определить системой уравнений
бесконечно многими способами.
Чтобы перейти от общего уравнения к параметрическому или
каноническому, нужно найти фиксированную точку и направляющий вектор.
Так как прямая задана двумя уравнениями с тремя неизвестными, то одну
из координат можно положить равной любому числу (проще всего нулю), затем
решить систему относительно оставшихся двух неизвестных. Может случиться
так, что система окажется несовместной, то есть на прямой нет точки с такой
координатой. В этом случае полагаем другую координату равной нулю (или
некоторому числу), и вновь решаем систему относительно двух оставшихся
неизвестных.

 
Направляющий вектор находится как векторное произведение l  [ N1 , N 2 ] .
Пример.
Написать канонические и параметрические уравнения прямой,
образованной пересечением плоскостей x  y  z  1  0 и 2 x  3 y  2 z  8  0 .
Решение:
1) Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной системы



уравнений
 x  y  z 1  0

2 x  3 y  2 z  8  0

исключим
z.
Положим
z  0,
тогда:
 x  y 1  0
, откуда находим: x  1, y  2 . Таким образом, нашли

2 x  3 y  8  0
координаты фиксированной точки M 0 (1,2,0) .
2) Направляющий вектор определяется как векторное произведение
нормалей двух плоскостей, образующих прямую:

 
i
j
k

 

 
l  [ N1 , N 2 ]  1 1
1 i 4j k .
2 3 2
3)
Запишем
канонические
уравнения:
x 1 y  2 z

 .
1
4
1
x  1 y  (2) z  0
,


1
4
1
или
x 1 y  2 z

  t , получаем параметрические уравнения:
1
4
1
x  t  1 , y  4t  2 , z  t .
4) Обозначив
64
Пример.
Найти уравнение прямой, проходящей через точки A(1,1,1) и B(3,1,5) .
Решение:
1) Возьмем в качестве фиксированной точки точку A , тогда

направляющий вектор определится как l  AB  {2,0,4} .
2)
Тогда
канонические
уравнения
прямой
запишутся
как
x 1 y 1 z 1
.


2
0
4
3) В случае, когда в знаменателе канонических уравнений получается
нуль, полагают равным нулю числитель, то есть одна из плоскостей
определится уравнением: y  1  0 .
Пример.
x  2 y 1 z 1
Вычислить расстояние от точки M (1,2,3) до прямой
.


3
0
4
Решение:
1) Для определения расстояния необходимо знать координаты
фиксированной точки прямой и ее направляющий вектор, что можно

определить сразу из заданного уравнения прямой: M 0 (2,1,1) и l  {3,0,4} , тогда

радиус-вектор фиксированной точки прямой r0  {2,1,1} , а длина

l  32  02  42  5 .

 
2) Радиус-вектор исходной точки r  {1,2,3} , тогда r  r0  {1,3,2} .
3) Найдем векторное произведение:
  
i
j k



  
[r  r0 , l ]   1 3 2  12i  10 j  9k ,
3 0 4
  
откуда r  r0 , l  122  102  (9) 2  5 13 .


3)
Подставляем в формулу определения расстояния найденные
значения:
5 13
d
 13 .
5
Пример.
Найти точку пересечения плоскости x  2 y  3z  8  0 с прямой, заданной
общими уравнениями:
2 x  3 y  z  3  0
.

 x  y  5 z  10  0
65
Решение: решение сводится к решению системы трех уравнений с тремя
 x  2 y  3z  8  0

неизвестными: 2 x  3 y  z  3  0 , откуда находим x  3 , y  2 , z  3 .
 x  y  5 z  10  0

Пример.
Найти точку пересечения плоскости x  y  3z  1  0 с прямой, заданной
x 1 y  2 z
каноническими уравнениями:

 .
1
1
2
Решение: можно было бы перейти от канонических уравнений к общему
виду и свести задачу к рассмотренной в предыдущем примере. Но можно
рассуждать и по-другому. Точка пересечения должна принадлежать и прямой и
плоскости, то есть можно подставить выражения для x, y, z из канонического
уравнения в уравнение плоскости и определить их.
1. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой:
x 1 y  2 z

  t , откуда x  t  1, y  t  2 , z  2t .
1
1
2
2. Подставим найденные выражения в уравнение плоскости:
(t  1)  (t  2)  3  2t  1  0 , откуда t  0 .
3. Подставляем в выражения для x, y, z , находим ответ: x  1 , y  2 ,
z  0.
9. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
9.1. Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для
которых, сумма расстояний до 2-х фиксированных этой же плоскости,
называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (= 2а).
Простейшее (каноническое) уравнение эллипса:
x2
a2

y2
b2
1
66
(1)
M 2 0; b 
M 3  a;0
M 1 a;0 
M 4 0;b 
Точки М1, М2, М3, М4 – вершины эллипса.
M 1 M 3  2a -большая ось (a – большая полуось).
M 2 M 4  2b -малая ось (b – малая полуось).
Так как a  b  0 .
Точка пересечения осей симметрии называется центром эллипса:
т. O0;0 .
с - половина фокусного расстояния.
Имеем: a  b  0 ; a  c ; a 2  c 2  b 2 .
Замечание: при a  b эллипс превращается в окружность радиуса
с центром в начале координат.
Ra
и
a
a
Для характеристики формы эллипса пользуются эксцентриситетом   .
Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины
фокусного расстояния с  к большой полуоси, т.е.

67
c
a
(6)
Т.к. a 2  c 2  b 2 , то

a2  b2

a
a2  b2
b
 1  
2
a
a
2
b
 1   2 , 0    1.
a
и
Чем ближе  к единице, тем меньше, следовательно, отношение
более эллипс вытянут вдоль оси OX.
При   1, c  a , следовательно,
сдвоенную большую ось. Чем больше 
приближается к окружности.
b0 и
 0 , тем
b
,
a
тем
эллипс превращается в
больше форма эллипса
При   0  c  0 , имеем окружность x 2  y 2  a 2 , т.е. для окружности
  0.
Замечание.
x2 y2

 1 , где b  a , т.е. b - большая
a2 b2
c
полуось, a – малая полуось. Для него b 2  c 2  a 2 ,   .
b
Рассмотрим уравнение эллипса
F2 0; c 
b
a
0
F1 0;c 
Пример
Построить кривую по уравнению и вычислить c,  , построить фокусы
9 x 2  25 y 2  225
Решение:
x2 y2

 1 , имеем:
25 9
a 2  25
b 9
2


a  5;
b  3;
ab
68
c  a 2  b 2  25  9  16  4;

c 4
  0,8
a 5
У этого эллипса центр находится в точке O0,0; F1  4,0, F2 4,0
3
1
4
5
1
4
0
F1
5
F2
3
Пример
Написать уравнение эллипса, для которого большая полуось a  3,   13 ,
центр лежит в точке O0,0 и оси координат являются осями симметрии эллипса.
Построить эллипс.
Решение:
1
3
с
a
Если    , то c  1 , следовательно b 2  a 2  c 2  9  1  8;
F1  1,0,
F2 1,0 Получим
уравнение эллипса:
3
2 2
3
1
1
F1 0
3
F2
2 2
3
69
x2 y2

 1.
9
8

b  8  2,8
9.2. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для
которых разность расстояний до двух фиксированных точек этой же плоскости,
называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы
x2
a2

y2
b2
1
2)
Уравнение (2), определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых
прямоугольных координат, есть уравнение 2-ой степени относительно “x” и “y”.
y
b
y x
a
b
x
a
b
F1  c;0 
F2 c;0 
a
M 1 a;0 
M 2  a;0 
Точки M 1 a;0 и M 2  a;0 - называются вершинами гиперболы.
Та ось, с которой у гиперболы есть пересечения и на которой лежат её
вершины, называется действительной осью (в нашем случае ось ОХ). Ось OY –
мнимая ось.
Замечание: для построения гиперболы
x2 y2

 1 необходимо:
a2 b2
1.
От центра симметрии гиперболы (т. О(0;0) ) отложить по оси ОХ
вправо и влево по “a”, а по оси OY вверх и вниз по ”b”, то есть построить
прямоугольник с центром в т. О(0;0) и со сторонами 2a и 2b.
2.
Провести диагонали прямоугольника и продолжить их (получим
асимптоты гиперболы).
3.
Правильно расположить вершины гиперболы. Они всегда лежат на
действительной оси. Это видно из уравнения:
y2
x2 y2
.
Знак
“-”
перед


1
b2
a2 b2
указывает на то, что ось симметрии – ось OY(х=0) – мнимая ось.
70
Знак “+” перед
x2
указывает на то, что ось симметрии - ось ОХ (y=0) –
a2
действительная ось.
Эксцентриситет гиперболы служит для характеристики формы
гиперболы.
Эксцентриситетом гиперболы   называется отношение половины
фокусного расстояния к действительной полуоси,т. е
где c 2  a 2  b 2 ,
b
  2  1 , для
a
гиперболы 
с
a2  b2
b
 
 1  
a
a
a
2
,
 1.
Чем меньше эксцентриситет, то есть чем ближе он к “1”, тем меньше

2
,
1
тем меньше, следовательно, отношение  b  ,значит, более вытянут её
a
прямоугольник в направлении оси, соединяющей вершины гиперболы.
Замечание:
1. если a=b, то имеем гиперболу
x2 y2
 2  1 или x 2  y 2  a 2 , которая
2
a
a
называется равноосной гиперболой.
a
a
Гиперболы
x2 y2

1
a2 b2
и
x2 y2

 1 называются
a2 b2
гиперболами.
Построим сопряжённые гиперболы.
71
сопряжёнными
b
a
Эксцентриситет
x2 y2

1
a2 b2
гиперболы
равен

c
,
b
c2  b2  a2  c  a2  b2
Пример
1) Построить кривую по уравнению и вычислить с,  , указать фокусы:
 x2 y2

1
16 2 9 2
Решение:
действительная
Уданной гиперболы
полуось
и
c  a 2  b 2  16  9  25  5;  
c 5
  1.
b 3
72
мнимая полуось, b=3 –
Таким
образом
c  b  a2 .
a=4
2
-
2
5
F2 0;5
3
4
4
3
5
F1 0;5
Пример
Написать уравнение гиперболы для которой a=3 (действительная
полуось),   2 , центр лежит в О(0;0), построить эту гиперболу с фокусами.
c
a
Решение:
 ;
c 2  a 2  b 2 ; b  c 2  a 2  18  9  9  3 (мнимая
2
полуось).
2
x
y
 2  1  x 2  y 2  9 (равноосная гипербола).
2
9
9
3

F1  3 2 ;0

3
3
0

F2 3 2 ;0
73
c
2  ; c  3 2;
3

9.3. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости
равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой,
называемой директрисой, расположенных на этой плоскости.
Простейшее, т.е. каноническое уравнение параболы имеет вид
y 2  2 px
(3)
Уравнение (3) - уравнение 2-ой степени, относительно “y”, которое
определяет параболу в некоторой системе декартовых координат.
Виды парабол
Уравнение y 2  2 px (p>0) сводится к уравнению y 2  2 px путём замены
“x” на “-x”, т.е. путём преобразования координат, которое соответствует
изменению оси OX на противоположное. Отсюда следует, что уравнение
y 2  2 px также определяет параболу, ось которой совмещена с осью OX, а
вершина – с началом координат, но котонная расположена в левой
полуплоскости ( x  0 ).
x 2  2 py
y
 p
F  0; 
 2
x
0
y
74
p
2
y
y 2  2 px
x
0
 p 
F   ;0 
 2 
x
p
2
y
y
p
2
x
0
 p
F  0; 
 2
x 2  2 py
Замечание:
75
1) Осью симметрии любой параболы является та ось, одноимённая
координата которой входит в 1-ой степени. Или так: если переменная “y” в
уравнении параболы входит в чётной степени, то график симметричен
относительно оси ОХ(y=0).
y 2  2 px , здесь “х” – в 1-ой степени и, следовательно, осью симметрии
является ось ОХ(y=0).
2) Знак “+” в уравнениях y 2  2 px и x 2  2 py , (p>0), перед (2px) и (2py)
указывает на то, что ветви параболы направлены в положительном направлении
оси симметрии.
Знак “-” перед (2px) и (2py) указывает на то что, ветви параболы
направлены в отрицательном направлении оси симметрии.
Это имеет место, так как y 2  2 px  y 2  0; 2 px  0  , следовательно,


x  0;


y 2  2 px  y 2  0; 2 p  0; x  0  , следовательно, x  0 ;




x 2  2 py  y 2  0; 2 p  0; y  0  , следовательно, y  0 ;


Пример.
Построить кривую по уравнению, её директрису, фокус:
y 2  10 x
Решение: Имеем 2 p  10 x; p  102  5; y 2  2  5  x , следовательно, x  0 .
Ось симметрии – ОХ(y=0). Ветви параболы направлены в отрицательном
направлнеии оси ОХ. Т. О(0;0) – вершина параболы. F  52 ;0 -фокус параболы.
y
x
 5 
F   ;0 
 2 
0
x
5
2
Пример
По чертежу запишите уравнение кривых:
76
1)
y
5
x
0
3
x5
Решение:
1. Это парабола.
2. Ось симметрии её x=5(прямая параллельная оси OY), поэтому “y”
входит в уравнение в 1-ой степени.
3. Вершина параболы лежит в точке O 5;3 .
4. Ветви параболы направлены в положительном направлении оси
симметрии.
5. Таким образом имеем уравнение кривой:
 x  x 0 2
 x  5 2
 2 p y  y 0 
 2 p y  3
6. Находим (2p), зная, что точка  0; 13   параболе, следовательно, её

4
координаты удовлетворяют уравнению параболы:
25
2p
 13

 2 p  3 ;  25  2 p  ;  1 
;  2 p  4;
4
4
4

Таким образом: x  52  4 y  3
0  52
2)
77
12
O
9 4
0 1
Решение:
1. Это гипербола.
2. Оси симметрии x=4 и y=7(мнимая).
3. Центр лежит в т. O  4;7  .
4. Полуоси: a=5; b=5
Таким образом имеем уравнение:
 x  x 0 2  y  y 0 2

 1 ;
a2
b2
x  42   y  7 2  1
25
25
3)
3
2
1
4
0
3
Решение:
1. Это эллипс.
2. оси симметрии: y=0; x=1.
3. Центр лежит в т. O 1;0 .
4. Большая полуось a=3, малая b=2
78
2
2


x  x0 
y  y0 
Таким образом имеем уравнение:

2
2
x  12
9
a

y2
1
4
Пример
По уравнениям построить кривые:
2
2
1. x  2   y  1  1
4
1
2
x  1   y  32  1
2.
3.  y  52
 6 x  3
2
4. x  2   y  1  1
2
4
1
Решение:
1.
Это гипербола.
O 2;1; a  2; b  1 (мнимая)
2
4
1
2
2.
Это окружность
O 1;3;
R 1
79
b
 1,
1
2
2
3
O
4
Это парабола.
O 3;5; y  5 -ось симметрии.
3.
y
0
3
x
5
O
9
Чтобы найти точки пересечения параболы с осью надо решить
x0
x0
x0




 2


2
2
 y  5  6x  3.  y  5  60  3  y  10 y  25  18

систему:
x0
x0



 2
 y  10 y  7  0
 y1, 2  5  25  7  5  18  5  4.2;
 5  18  5  4.2  0.8
 5  18  5  4.2  9.2
80
Таким образом


M 0;5  18 ;
M 1 0;5  18 ;
2
Находим точки пересечения с осью OX: 
y0
 y  5  6 x  3
2
y0

y0

 y0



7
1
6 x  7
 x   6  1 6
25  6 x  18
Таким образом M 3   7 ;0 ;
 6 
4.
Это эллипс.
2
4
0
1
O
2
O 2;1;
a  2;
b 1
9.4. Общее уравнение кривой II порядка
Если в уравнениях кривых: эллипса, гиперболы и параболы, с осями
симметрии параллельными осям координат раскрыть скобки, то все они могут
быть приведены к пятичленному уравнению 2-го порядка, которое имеет вид:
(4)
Ax 2  Cy 2  2 Dx  2 Ey  F  0
И называется общим уравнением кривой 2-го порядка.
Проанализировав отличие друг от друга уравнений вида (1) для эллипса,
гиперболы и параболы, можно увидеть, что в случае эллипса - знаки
коэффициентов A и C одинаковы, в случае гиперболы - знаки коэффициентов A
и C различны, и в случае параболы один из квадратов отсутствует, что влечёт за
собой равенство нулю соответствующего коэффициента A или C
(одновременно A и C нулю равны быть не могут, иначе получается уравнение 1го порядка, т.е. уравнение прямой).
Таким образом, произведение AC определяет кривую, уравнение которой
имеет вид (1).
Для эллипса AC>0;
Для гиперболы AC<0;
Для параболы AC=0;
Рассмотрим обратную задачу.
В декартовой прямоугольной системе координат дано уравнение:
81
Ax 2  Cy 2  2 Dx  2 Ey  F  0
(1)
Для построения кривой и полного представления о том, как она
расположена на плоскости, необходимо привести уравнение (1) к
каноническому виду, т.е. выделить полные квадраты в этом уравнении.
Например, приведём уравнение 2 x 2  y 2  20 x  8 y  2  0 к каноническому
виду.
Решение:
2 x 2  y 2  20 x  8 y  2  0

2x
 

2 x 2  10 x  y 2  8 y  2  0
2
 

 2  x  5  25  25  y 2  2  y  4  16  16  2  0
2 x  5   y  4   64
2
2
 x  5 2   y  4 2
32
 x  5 2
 32 
2
1
64
 y  4 2  1

82
В декартовой прямоугольной системе координат уравнение 2-го порядка:
Ax 2  Cy 2  2 Dx  2 Ey  F  0 , может соответствовать следующим семи типам
линий второго порядка : эллипсы, гиперболы, параболы, пары пересекающихся
прямых, точки, пары параллельных прямых, пары совпадающих прямых.
Пример
Какое геометрическое место точек задано уравнением
y
5
9  x2
3
?
Решение:
Так как правая часть уравнения не положительна, то и
следовательно, это уравнение равносильно системе :
y0
 y0



25 2 или  x 2 y 2
- это
или  2
y  25 
x

1


9

 9 25
точек эллипса, у которых y  0 , т.е. нижняя половина эллипса.
y0


 y 2  25 9  x 2

9



82
y  0,
множество
5
3
3
0
5
Пример
По данному уравнению определите тип кривой. Приведите уравнение к
каноническому виду, постройте кривую на плоскости XOY. Найдите
координаты фокусов. Составьте уравнения асимптот для гиперболы:
1)
2 x 2  y 2  8x  4 y  8  0
2) x 2  6 x  16 y  25  0
3)
4 x 2  3 y 2  32 x  12 y  52  0
4)
4 x 2  9 y 2  12 x  6 y  10  0
Решение:
1)
A  2; C  1; AC  2  0
Дано уравнение кривой гиперболического типа.
Приводим уравнение к каноническому виду.

2x
 

2 x 2  4 x  y 2  4 y  8  0,
2
 

 2x  2  4  4  y 2  2 y  2  4  4  8  0
2x  2  8   y  2  4  8  0
2
2
2x  2   y  2  4
2
2
 x  2  y  2

1
2
4
2
2
получили каноническое уравнение гиперболы.
O  2;2 - центр симметрии кривой;
a  2 ; b  2; c  2  4  6
83
F1
4
4
O
0
F2
Уравнения асимптот:
b
x  x0 ;
a
2
x  2,
y2 
2
2
x  2.
y2 
2
y  y0  
A  1; C  0; AC  0
2)
Дано уравнение кривой параболического типа.
Приводим уравнение к каноническому виду.
x
x

2
 6 x  16 y  25  0,
2
 2 x  3  9  9  16 y  25  0,

x  3  9  16 y  25
x  32  16 y  16
x  32  16 y  1
2
получили каноническое уравнение параболы.
O  3;1 - вершина параболы.
2 p  16;
p  8;
p
 4.
2
Найдём точки пересечения параболы с осью OY:
84
тогда
x=0,
9  16 y  16 ;
16y=25
или
y
25
16
т.е.
 25 
M  0; ;
 16 
y
5
F
1
x
3
y  3
Координаты фокуса:
p

F   3;1  
2

или F 3;5
Уравнение директрисы:
y  1
p
2
или y  3
3)
A  4; C  3; AC  12  0
Дано уравнение гиперболического типа. Приводим его к каноническому
виду.

4x
 

 2 x  4  16  16  3 y
4 x 2  8 x  3 y 2  4 y  52  0
2
2

 2 y  2  4  4  52  0
4x  4  3 y  2   0
2
2
Это случай вырождения гиперболы в 2 пересекающиеся прямые:
2 x  4    3  y  2 
y2
2
3
x  4
точка пересечения прямых т. O 4;2
Угловые коэффициенты прямых:
k
b
2

a
3
Имеем эти прямые:
85
x  4  2
2
y
3
и
y
2
x  4  2
3
Y
6
4
X
0
2
O
4
4)
A  4; C  9; AC  36  0
Дано уравнение кривой эллиптического типа.
Приводим к каноническому виду.

4x
 

4 x 2  3x  9 y 2  23 y  10  0
2
 

 2 x  32  94  94  9 y 2  2 y  13  19  19  10  0
4x 
  9  9 y  13 2  1  10  0
2
2
4x  32   9 y  13   0
3 2
2
Это случай вырождения эллипса в точку O x0 ; y 0 
Данному удовлетворяют координаты только одной точки: O  32 ; 13 
Y
1
O

3
2
1
3
X
0
Пример. Построить кривую, заданную уравнением
x  3
5
y 2  14 y  98
7
86
x3 0

или
2
2
49x  3  25 y  14 y  98
x3
2

y  7
, следовательно, в

1
49
Это уравнение равносильно системе: 
x3


2
2
49x  3  25 y  7   25  49


2
 x  3

 25
или


2
2

x  3  y  7 

условии было дано уравнение части гиперболы
25
x  3 ; O 3;7 ; a  5; b  7 c  74 ;  
той
49
 1 , для которой
c
74

a
5
Строим только правую ветвь гиперболы, т.к. именно она располагается в
x  3.
полуплоскости,
где
Уравнение
асимптот
y7  

7
x  3;
5

F1 3  74 ;7 ;

F2 3  74 ;7

Y
14
F2
7
O
X
2
O
8
3
Пример. Построить кривую, заданную уравнением
y  1  13  2 x 2  20 x  32
Решение:
Это уравнение части некоторой кривой, и оно равносильно следующей
системе:
y 1  0


2
2
9 y  1  2 x  10 x  16


y 1

или 
2
2
9 y  1  2x  5  18
Следовательно, в условии дано уравнение той части эллипса
x  52   y  12
9
2
 1 , которая лежит в полуплоскости y  1
O  5;1; a  3; b  2 a  b c  7 ;  
87
c
7

a
3


F1  5  7 ;1 ;


F2  5  7 ;1
y
3
2
y 1
1
8
5
2
x
0
88
10. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Модуль 1
1. Даны множества U  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12,13,14,15 , À и Â (таблица 1).
Найти A  B , A  B , A \ B , B \ A , A  ( A  B)  ( B  A) .
2. Даны матрицы
3.



A, B
(таблица 2). Вычислить 2 À  3 ÀÂ  ÂÒ .
Вычислить определитель матрицы A (таблица 2)
методом треугольников
методом дописывания столбцов
методом разложения по столбцу или строке.
4. Найти матрицу, обратную к матрице
B (таблица
2).
5. По заданным числам z1, z2 (таблица 3) найти z1  z2 , z1 z2 , z1 .
z2
Записать показательную и тригонометрическую формы числа z1 .
1.
À  3, 4, 7,9,13,15
2.
À  2,3,5,9,10,12
5.
  1,5, 7,10,12,14
7.
À  1,5,9,11,12,13
À  1, 4,5,10,11,14
8.
À  1, 2, 4,5,11,14
11.
À  1, 2,3,11,14,15
14.
À  1, 2,5, 7,12,14
17.
À  2, 4,8,12,13,15
20.
À  1, 4, 7,11,13,15
23.
À  2,3, 7,12,14,15
  6,9,11,13,14,15
À  1,3, 7,9,11,14
À  1,3,10,11,12,14
À  4, 6,10,12,15
À  3, 4,5, 6,14,15
26.
À  3, 4, 7,10,13,14
15.
À  3,5, 6,11,12,15
  2, 4,5,11,13,15
89
À  1, 2,3,11,13,15
  1,8,10,11,12,13
18.
À  1, 2, 4, 6, 7,14
  2,3,8,12,13,14
21.
À  1, 4, 6,10,12,15
  1, 2, 4,12,13,15
24.
À  2, 4,5,10,11,13
  1,5,8,13,14,15
27.
À  2, 4, 6,9,14,15
  3,5, 6,9,13,15
  1,3, 6,11,12,15
29.
À  1, 2,3,5,13,14
  1, 2,11,12,13,15
  1,3,5,10,13,15
  1,5, 7,11,13,15
28.
12.
  1,3,5,12,13,15
  1, 2, 6,11,13,14
25.
À  1, 4, 6,9,11,13
À  1, 2,3, 4,12,15
  3, 4,5,9,12,14
  1,3, 7,8,12,14
  2, 7,8,10,12,15
22.
9.
  2, 6,8,10,12,15
  2,3,5,8,12,13
19.
À  2,5, 7,9,10,13
À  2,3,5,9,11,15
  1,3,5,10,11,14
  1, 2,8,11,12,14
  1,3,8,12,13,14
16.
6.
  1, 2,9,12,13,14
  1, 7,8,11,12,13
13.
À  1,3, 4,8,9,10
À  1, 7,8,13,14,15,
  1,5,8,11,12,13
  1, 4,5,10,12,13
  1, 7,8,10,12,14
10.
3.
  2, 4,5,8,10,11
  7,8,10,13,14,15
4.
À  1, 2,3, 7,10,11
Таблица 1
30.
À  3, 6, 7,10,11,15
  5,8,12,13,14,15
Таблица 2
1.
4.
1 2 1


A  1 0 2 ,
 2 1 3


1 2 1


B  1 0 2 .
 2 1 3


 4 1  8


A   1 0  2 ,
 2 1 2 


2.
5.
  3 2  4


B  1 0 2 .
 2 1 3 


7.
10.
13.
16.
 3

A 4
 2

3

B 1
 2

1

 6 7 ,
 5 3 
2
2  4

0 3 .
1 3 
 1 1  3


A    6 3  2 ,
 5 1 0 


  2 1 1 


B   1 5 2 .
 2
1 5 

1 
3 2


A   4  6  2 ,
 2
5
3 

 1 3 1 


B   1 0  2 .
2 1
3 

 1 1  3


A   1 4  2 ,
 3 1 0 


 2 3 1 


B   1 4  2 .
2 1
3 

8.
11.
14.
17.
1  8

0  2 ,
1 2 
 4

A 1
 2

 4

A 1
 2

3.
1  8

0  2
1 2 
 1 1  3


A    2 3  2 ,
 5 1 0 


 2 2 1


B   1 0 2 .
 2 1 5


1  8

0  1 ,
1 2 
 4

A 2
 2

 1

B  3
 2

6.
1 

 6  2 ,
5
3 
3 1 

0  2 .
1
3 
1  3

4  2 ,
1 0 
2
 2 3 1 


B   1 4  2 .
2 1
3 

9.
 2 1

1 2 .
1 3 
1 2 1


A  1 0 2 ,
 2 1 3


1 2 1


B  1 0 2 .
 2 1 3


 4 1  8


A   1 0  2 ,
 2 1 2 


3

A 4
 2

1

B   1
2

 1

A 1
 3

12.
 2 1  8


A   1 1  2 ,
  3 4 1


 2 3 1 


B   1 0  2 .
 4 1
2 

 4

A 1
 2

4

B 1
 2

1  8

0  2 ,
1 2 
1 8 

0 2  .
1 2 
  3 2  4


B 1 0 2 .
 2 1 3 


 1 1  3


A    2 3  2 ,
 5 1 0 


 2 2 1


B   1 0 2 .
 2 1 5


 3

A 4
 2

3

B 1
 2

 4

A 2
 2

 1

B  3
 2

1

 6 7 ,
 5 3 
15.
2
2  4

0 3 .
1 3 
90
18.
1  8

0  1 ,
1 2 
 2 1

1 2 .
1 3 
19.
22.
25.
28.
 2

A 1
3

 2

B   1
 4

1  8

1  2 ,
4  1 
3
0
1
 4

A 1
 2

4 1

B 1 0
 2 1

1
0
1
1 

 2 .
2 
 8

 2 ,
2 
23.
8 

2  .
2 
 1 1  3


A    2 3  2 ,
 5 1 0 


 2 2 1


B   1 0 2 .
 2 1 5


 4

A 2
 2

 1

B  3
 2

20.
1  8

0  1 ,
1 2 
 2 1

1 2 .
1 3 
26.
 1 1  3


A    6 3  2 ,
 5 1 0 


  2 1 1 


B   1 5 2 .
 2
1 5 

1 
3 2


A   4  6  2 ,
 2
5
3 

 1 3 1 


B   1 0  2 .
2 1
3 

 1 1  3


A   1 4  2 ,
 3 1 0 


21.
24.
27.
 2 3 1 


B   1 4  2 .
2 1
3 

29.
 2 1  8


A   1 1  2 ,
  3 4 1


 2 3 1 


B   1 0  2 .
 4 1
2 

91
30.
1

A  1
2

1

B  1
2

2 1

0 2 ,
1 3 
2 1

0 2 .
1 3 
 4 1  8


A   1 0  2 ,
 2 1 2 


  3 2  4


B 1 0 2 .
 2 1 3 


2 1
 3


A   4  6 7 ,
  2  5 3


  3 2  4


B   1 0 3 .
 2 1 3 


 1 1  3


A    6 3  2 ,
 5 1 0 


  2 1 1 


B   1 5 2 .
 2
1 5 

Таблица 3
1.
1
z1   3i
2
2.
1
3
z2   
i
2 2
4.
z1  2 – i
5.
10.
1
i
2
1
2
z2  
i
4
2
z1  5 
z1 
z2  – 1 
13.
16.
19.
z1  1 
28.
17.
23.
3
i
2
3
i
2
3
z2  3 
i
2
z1  2 
z1  2 –
1
i
3
z2  – 3 
9.
3
i
2
z1  4 + i
12.
26.
15.
z2   3  2i
1
 2i
2
1 1
z2   i
3 2
3
z1  3 –
i
5
21.
1
i
2
3
z2    3i
2
27.
z1  
z1  1 
2
i
2
z1  1 
2
i
3
z2   3  2i
24.
z1  2  3i
z2  2 
1
i
2
z1  2  3i
z2   3  2i
5i
1
z2  – 2 – i
3
92
z1  1  3i
z2  4  i
z1  
z1  2 –
z1  1  3i
z2   5  3i
18.
2
i
3
z1  1  3i
z2   3  2i
z2  – 3 – 5i
29.
3i
z1  1 – 3i
z2  5 –
20.
z1  2 – 3i
2
i
2
3
z2  3 
i
5
z1  1 
z1  2 
z1  1  3i
z 2  2  2i
1
z2   i
2
1
 2i
2
z2  – 5 
25.
14.
z1  3  i
6.
z2  – 2 – 3i
2
i
3
1
z2    3i
2
1
z1  2 – i
2
2
z2  – 3 
i
2
z2 
22.
11.
3
i
2
z1  4 – 3i
z1  1  i
z2   3  i
z2  3 – 2i
8.
3
– 3i
2
3.
1
z2  2  i
2
z2  – 4  3i
7.
1
3
z1   
i
2 2
30.
z1  1  3i
z2  2  3i
Модуль 2
1.
Составить многочлен наименьшей степени с действительными
коэффициентами, имеющий корни 1,  2 ,  2 определённой кратности (таблица 4).
2.



Решите систему уравнений (таблица 5)
методом Крамера;
методом Гаусса;
методом обратной матрицы;
Проверьте, образуют ли базис вектора a1  (1, 2, 1) , a2  (2, 3, 1) ,
a3  (3, 5, 0) . Если образуют, найдите координаты вектора x  (2, 4,1) в этом базисе
(таблица 6).
3.
4.
По координатам вершин треугольника ABC (таблица 7) найти:

уравнение линии BC ;

уравнение высоты AK ;

длину высоты AK ;

уравнение прямой l , которая проходит через точку A параллельно
прямой BC ;

уравнение медианы  AM  , проведенной через вершину A ;

угол   , образованный медианой, проведенной из вершины A , и
стороной AB ;

площадь треугольника ABC ;

периметр треугольника ABC .
5.
Привести к каноническому виду уравнения кривых второго порядка
(таблица 8).
Найти:

оси, вершины, фокусы, эксцентриситет для эллипса;

оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты для гиперболы;

фокус, директрису, вершину для параболы.
93
Таблица 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
кратности.
12.
3  5  i .
13.
14.
15.
кратности.
16.
17.
 3  6 .
18.
кратности.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
 3  4i .
30.
1  2 ,  2  3  i второй кратности и  3  i второй кратности.
1  2  i третьей кратности,  2  3 и  3  5 второй кратности.
1  7  2i второй кратности,  2  3i и  3  2 второй кратности.
1  4 второй кратности,  2  2  3i и 3  1 второй кратности.
1  2i третьей кратности,  2  3i и  3  5 второй кратности.
1  4  i второй кратности,  2  3 второй кратности и  3  5 .
1  2  i ,  2  i второй кратности и  3  4 второй кратности.
1  3  i второй кратности,  2  1 второй кратности и  3  6 .
1  7 второй кратности,  2  1  i второй кратности и  3  2i .
1  i  2 ,  2  6 второй кратности и  3  3i второй кратности.
1  i  2
1  i  3
второй
кратности,
 2  2
и
3  5  i
второй
третьей кратности,  2  4 второй кратности и
1  2i  1 третьей кратности,  2  2 и  3  5  i .
1  2i  3 ,  2  8 второй кратности и  3  5  i третьей кратности.
1  i  2 ,
 2  2
второй кратности и
3  5  i
третьей
1  i  1 второй кратности,  2  1 и  3  i второй кратности.
1  2i  1
1  2  3i
второй кратности,  2  2 второй кратности и
второй
кратности,
 2  4
и
 3  4
второй
1  4  i второй кратности,  2  3 и  3  5 третьей кратности.
1  5 ,  2  3  4i второй кратности и  3  5 третьей кратности.
1  2 второй кратности,  2  2  i и  3  7 второй кратности.
1  1 второй кратности,  2  7  3i и  3  7 второй кратности.
1  5 третьей кратности,  2  3  4i второй кратности и  3  2 .
1  3 второй кратности,  2  3  i второй кратности и  3  1 .
1  4 второй кратности,  2  1  7i второй кратности и  3  4 .
1  i второй кратности,  2  4  i второй кратности и 3  1 .
1  8 второй кратности,  2  5  i второй кратности и  3  5 .
1  2 второй кратности,  2  3  i второй кратности и  3  3 .
1  1 второй кратности,  2  2  2i
второй кратности и
1  6  i второй кратности,  2  2i и  3  4 третьей кратности.
94
Таблица 5
1.
 х1  2 х2  х3  1,

 3 х1  3 х2  х3  34,
2 х  5 х  4 х  35.
2
3
 1
2.
 x1  2 x2 - x3  4

 3 x1  2 x3  8
4 x - 2 x  5 x  0
2
3
 1
4.
 2 x1  x2  x3  3

 x1  3x2  2 x3  1
 x x
5
 1 2
5.
2 x1  x 2  x3  5

 x1  2 x 2  3x3  3
7 x  x  x  10
2
3
 1
7.
 ;
 x   x

 x   x   x  ;
 x 
x  .
 
8.
 3x1  x2  x3  13

 2 x1  x2  2 x3  10
 x  3 x  4 x  0
2
3
 1
9.
10.
3 x1  x2  2 x3  5

2 x1  x2  x3  0
3 x  2 x  4 x  16
2
3
 1
 x1  2 x2  3x3  6

2 x1  3x2  4 x3  20
3x  2 x  5 x  6
2
3
 1
12.
13.
 3x1  х2  2 х3  4

 2 x1  3х2  х3  9
5 x  х  3х  4
3
 1 2
16.
19.
22.
25.
28.
11.
3.
6.
14.
2 x1  х2  3х3  4

 x1  3х2  х3  2
 5x  2 х  х  5
2
3
 1
15.
17.
 3х1  2 х2  2 х3  1,

 х1  3х2  х3  4,
2 х  2 х  4 х  2.
2
3
 1
18.
20.
 х1  2 х2  х3  1,

 3х1  х2  х3  3,
2 х  3 х  4 х  2.
2
3
 1
21.
 х1  2 х 2  2 х3  9,
23.

4 х1  5 х 2  2 х3  24,
 8 х  9 х  х  18.
2
3
 1
 х1  3 х 2  4 х3  6,

2 х1  2 х 2  5 х3  4,
 2 х  х  4 х  7.
2
3
 1
24.
 3х1  х 2  2 х3  7,

 х1  2 х 2  х3  1,
2 х  3х  3х  12.
2
3
 1
 3х1  2 х 2  2 х3  2,

  х1  3х 2  4 х3  1,
2 х  3х  3х  15.
2
3
 1
26.
3 x1  4 x2  5 x3  8,

2 x1  x2  x3  0,
2 x  5 x  3x  5;
2
3
 1
27.
29.
 2 x1  x2  3 x3  6,

 4 x1  x2  x3  8,
 x  x  x  2;
 1 2 3
 2 х1  3х2  х3  1,

5 х1  3х2  4 х3  11,
 х  5 х  6 х  8.
2
3
 1
 х1  3х2  х3  10,

3х1  3х2  х3  3,
 х  5 х  х  7.
2
3
 1
95
30.
 2 x1  x2  2 x3  3

 x1  x2  2 x3  4
4 x  x  4 x  3
3
 1 2
 ;
  x  x

  x  x   x  ;
 x   x  x  .


 
 x1  3x2  2 x3  5

2 x1  2 x2  x3  2
3x  x  2 x  1
2
3
 1
 x1  x2  x3  3,

2 x1  3 x2  2 x3  7,
 3 x  x  x  5.
 1 2 3
 2 х1  3х2  х3  1,

5 х1  3х2  4 х3  11,
 х  5 х  6 х  8.
2
3
 1
 3х1  2 х2  2 х3  1,

 х1  3х2  х3  4,
2 х  2 х  4 х  2.
2
3
 1
 х1  2 х2  х3  1,

3 х1  3 х2  2 х3  4,
 х  5 х  4 х  5.
2
3
 1
2 x1  x2  3x3  6,

 x1  x2  2 x3  5,
4 x  4 x  x  11;
2
3
 1
4 х1  х 2  3 х3  19,

 6,
 2 х1  х 2
 х  2 х  х  9.
2
3
 1
 х1  2 х 2  х3  1,

3 х1  3 х 2  х3  34,
 2 х  5 х 4 х  35.
2
3
 1
Таблица 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
a1  (1, 2, 1) , a2  (2, 3, 1) , a3  (3, 5, 0) , x  (2, 4,1)
a1  (2, 2,1) , a2  (3, 4, 2) , a3  (3, 6,1) , x  (1, 2,3)
a1  (2,1, 7) , a2  (5, 4, 2) , a3  (3, 7, 2) , x  (2,3, 1)
a1  (2, 4, 3), a2  (5, 2,1), a3  (1,3,0) , x  (3, 7, 2)
a1  (3, 1, 5), a2  (7, 2, 0), a3  (3, 4, 2) ,
x  (1, 2, 6)
a1  (2, 4,1), a2  (3,5, 1), a3  (3, 5,3) , x  (2,3, 4)
a1  (2, 4,1), a2  (5, 3, 2), a3  (2, 1,3) , x  (3, 2, 4)
a1  (4,1,3), a2  (5, 2, 2), a3  (3, 4, 2) , x  (2,1, 4)
a1  (2, 2,3), a2  ( 1, 4, 6), a3  ( 2,1, 0) , x  (1,3,5)
a1  (2, 3,3), a2  (5, 1, 0), a3  (2, 4, 1) , x  (2, 2, 1)
a1  (3, 2, 1), a2  (6, 3, 4), a3  (2,1,3) , x  (2,1, 3)
a1  (4, 2, 3), a2  (2,5,3), a3  (3, 6, 1) , x  (2, 3,1)
a1  (4, 1, 3), a2  (5, 2,1), a3  (6, 7, 1) , x  (2, 2, 3)
a1  (2, 2,1), a2  (3, 4, 1), a3  (2, 3, 2) , x  (5, 1, 4)
a1  (2, 1, 3), a2  (5, 2,1), a3  (6,1, 3) , x  (8, 1, 4)
a1  (2, 3,7), a2  (4, 1, 2), a3  (1, 2,5) , x  (6,1, 3)
a1  (2, 4,3), a2  (2,1, 7), a3  ( 4,5,3) , x  (5, 1,3)
a1  (2, 4, 3), a2  (1, 8,3), a3  (9, 1, 0) , x  (2,3, 7)
a1  (3, 4, 2), a2  (5, 7,1), a3  (2, 4, 6) ,
x  (3, 1, 2)
a1  (4,1, 2), a2  (5,3,1), a3  (2, 7, 4) , x  (3,1, 2)
a1  (3, 4,1), a2  (6,1, 7), a3  (2, 4,11) , x  (3, 2, 4)
a1  (2, 7, 1), a2  (3, 5, 0), a3  (6,1, 4) , x  (3, 2,5)
a1  (2, 3,1), a2  (5, 4, 2), a3  (3, 2,5) , x  (3,1, 2)
a1  (2, 1, 3), a2  (4, 6,5), a3  ( 2, 4, 4) , x  (3, 7,1)
a1  (3, 2, 3), a2  (4, 8, 0), a3  (1, 7, 2) , x  (4, 2, 3)
a1  (3, 2, 7), a2  (6, 1,3), a3  (2, 4,5) , x  (3,1, 7)
a1  (5, 2, 4), a2  (1, 6, 1), a3  (2,1,3) , x  (2, 2,3)
a1  (3, 3, 4), a2  (2, 5,1), a3  (3,3, 2) , x  (1, 2, 6)
a1  (4, 1, 3), a2  (5, 2,1), a3  (6, 7, 0) , x  (3, 2, 4)
a1  (5, 1, 2), a2  (4, 7, 0), a3  (2, 6,1) , x  (3, 2,1)
96
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
A1,0  , B7,3 , C 4,4 
A 1,1 , B5,2 , C 2,3
A1,1 , B7,2  , C 4,5
A 1,1 , B5,4 , C 2,5
A1,1 , B7,4  , C 4,5
Таблица 7
A1,0  , B 5,1, C  2,2 
A1,1 , B 5,2 , C  2,3
A 1,1 , B 7,4  , C  4,5
A1,1 , B 5,4  , C  2,5
A 1,1 , B  7, 2  , C  4,3
A 2,2  , B4,1, C 1,2 
A3,1 , B5,4  , C  4,5
A 3,1 , B3,4  , C 0,5
A2,1 , B 4,2  , C  1,3
A 1,2  , B5,5 , C 2,6 
A 1,0  , B5,3, C 2,6 
A2,0  , B 4,3 , C  1,4 
A3,2  , B9,1 , C 6,4 
B  5,3 , C 4,5
A  2, 2  ,
A 1,1 , B 3,4  , C 4,2 
Таблица 8
A1,3 , B 2,4 , C 2,5
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
1.
x 2  4x  3 y 2  6 y  9  0
2.
5 x 2  25 x  2 y 2  16 y 
3.
4 x 2  8x  2 y 2  3 y  6  0
4.
3x 2  12 x  4 y 2  3 y 
5.
5 x 2  10 x  8 y 2  4 y  6  0
6.
7.
9.
x 2  2x  3y  6  0
8.
7 x 2  14 x  3 y 2  6 y  5  0
2 x 2  5x  y 2  3 y 
10.
x 2  5 x  y  60  0
11.
4 x 2  16 x  5 y 2  20 y  8  0
12.
2 x 2  5x  4 y 2  5 y 
13.
4x 2  2x  3y 2  6 y 
15
0
4
14.
4 x 2  8x  3 y 2  y 
15.
17.
19.
3x 2  6 x  2 y 2  8 y  5  0
16.
18.
3 x  4 y 2  8 y  30  0
20.
4 x 2  16 x  y  35  0
22.
x 2  4 x  5 y  31  0
24.
3x 2  6 x  6 y 2  5 y 
21.
A 1,1 , B7,2  , C 4,3
A3,1 , B 3,4  , C 0,5
A 2,1, B 3,4  , C 4,5
A 1,3, B5,0  , C 2,3
A 1,1 , B5,2 , C 2,5
A 4,0  , B2,3 , C  1,4 
A0,1, B 6,2  , C  3,3
A3,1 , B 3,2  , C 0,3
A 2,1, B4,2  , C 1,3
5
0
8
2 x 2  8 x  7 y 2  14 y  1  0
1
0
16
53
3x 2  6 x  y 2  7 y 
0
4
x 2  10 x  4 y 2  y 
23.
2 x 2  8 x  5 y 2  20 y  16  0
25.
3x 2  x  6 y 2  y 
27.
29.
x 2  2x  y  4  0
5
0
24
26.
28.
30.
x  3y 2  5y  4  0
97
1
0
4
9
0
16
1
2x 2  6x  y 2  5 y   0
4
3
0
8
1
0
4
3 x 2  5 x  y 2  5 y  16  0
49
0
24
25
4 x 2  8 x  4 y 2  10 y 
0
4
5 x 2  10 x  4 y 2  12 y  8  0
3x 2  6 x  y 2  4 y  5  0
11. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Валеев К.Г. Вища математика: навчальний посібник / К.Г. Валеев. – К.:
КНЕЦ, 2008. – 347 с.
Васильченко І.П. Вища математика для економістів: підручник /
І.П. Васильченко. – К.: Знання-Прес, 2002. – 454 с.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. –
М.: Наука, 2003. – 870 с.
Дубовик В.П. Вища математика: навчальний посібник / В.П. Дубовик,
І.І. Юрик. – К.: Вища школа, 2006. – 487 с.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. 1:
Аналитическая геометрия на плоскости и пространстве: учеб. пособие для
вузов / И.А. Каплан. – 5-е изд., стер. – Х.: Харьк. ун-т, 1973. – 203 с.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. 3:
Интегральное исчисление функции одной независимой переменной.
Интегрирование дифференциальных уравнений / И.А. Каплан. – Х.: Вища
школа, 1974. – 374 с.
Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для студ.
вузов / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – М.:
Наука, 1975. – 624 с.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для
вузов / В.П. Минорский. – 13-е изд. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1987. – 352 с.
Натансон И.П. Краткий курс высшей математики / И.П. Натансон. – 4-е
изд., стер. – СПб: Лань, 2001. – 736 с.
Овчинников П.П. Вища математика. У 2 ч. Ч. 2: підруч. для студ. вищ.
навч. закл. / П.П. Овчинников, В.М. Михайленко; за заг. ред.
П.П. Овчинникова. – 3-тє вид., випр. – К.: Техніка, 2004. – 792 с.
Турчанінова Л.І. Практикум із вищої математики: підруч. для студ. вищ.
навч. закл.: рекомендовано М-вом освіти і науки України /
Л.І. Турчанінова, О.В. Доля; М-во освіти і науки України, Київ. нац. ун-т
будів. і архіт. – К.: Кондор, 2010. – 172 с.
Соколенко О.І. Вища математика: в прикладах і задачах / О.І. Соколенко. –
К.: Либідь, 2001. – 248 с.
Шипачев В.С. Высшая математика: рекоменд. М-вом образования и науки
РФ учебник для студ. высш. учеб. завед. / В.С. Шипачев; М-во образования
и науки РФ. – М.: Высш. шк., 2010. – 479 с.
Шипачев В.С. Высшая математика. – 5-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2001.
– 479 с.
98
Скачать