Загрузил a.any93

анализ учебников геометрия

Реклама
Анализ учебников геометрии 10-11 классов
Исходя из требований программы, различные авторские коллективы
предлагают ряд учебников геометрии 10-11 классов. Рассмотрим некоторые
из них.
Учебник Л. С. Атанасяна является продолжением и развитием
учебника для 7-9 классов того же авторского коллектива. Изложение
теоретического материала более строгое, чем на предыдущей ступени
обучения. Теоретические тексты кратки и доступны. Система упражнений
последовательна, содержит задачи разного уровня сложности, примеры
решения наиболее важных задач, причем данные решения наиболее трудных
задач потребуются ученикам как опорные, при доказательстве теорем,
следствий из теорем и т. д. Имеются дополнительные задания, которые идут
после всей главы. Для решения этих задач необходимо знать не только
материал изученной главы («Объемы тел»), но и применить знания, умения и
навыки, полученные при изучении других тем. В процессе их решения очень
хорошо развивается логика, воображение. Другими словами можно сказать,
что при решении дополнительных задач у учащихся развиваются три
качества: пространственное воображение, практическое понимание и
логическое мышление.
На изучение темы «Объемы тел» отводится 19 ч. Входят такие разделы,
как: объем прямоугольного параллелепипеда, объемы прямой призмы и
цилиндра, объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса, объем шара и
площадь сферы, объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового
сектора.
Оглавление
Введение 3
1. Предмет стереометрии
2. Аксиомы стереометрии
3. Некоторые следствия из аксиом
Вопросы и задачи
Глава I. Параллельность прямых и плоскостей
§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости
4. Параллельные прямые в пространстве
5. Параллельность трех прямых
6. Параллельность прямой и плоскости
Вопросы и задачи
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
7. Скрещивающиеся прямые
8. Углы с сонаправленными сторонами
9. Угол между прямыми
Вопросы и задачи
§ 3. Параллельность плоскостей
10. Параллельные плоскости
11. Свойства параллельных плоскостей
Вопросы и задачи
§ 4. Тетраэдр и параллелепипед
12. Тетраэдр
13. Параллелепипед
14. Задачи на построение сечений
Задачи
Вопросы к главе I
Дополнительные задачи
Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей
§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости
15. Перпендикулярные прямые в пространстве
16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости. Задачи
§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
19. Расстояние от точки до плоскости
20. Теорема о трех перпендикулярах
21. Угол между прямой и плоскостью
Задачи
§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
22. Двугранный угол
23. Признак перпендикулярности двух плоскостей
24. Прямоугольный параллелепипед
25*. Трехгранный угол
26*. Многогранный угол
Задачи
Вопросы к главе II
Дополнительные задачи
Глава III. Многогранники
§ 1. Понятие многогранника. Призма
27. Понятие многогранника
28*. Геометрическое тело
29*. Теорема Эйлера
30. Призма
31*. Пространственная теорема Пифагора
Задачи
§ 2. Пирамида
32. Пирамида
33. Правильная пирамида
34. Усеченная пирамида
Задачи
§ 3. Правильные многогранники
35. Симметрия в пространстве
36. Понятие правильного многогранника
37. Элементы симметрии правильных многогранников
Практические задания
Вопросы и задачи
Вопросы к главе III
Дополнительные задачи
Глава IV. Векторы к пространстве
§ 1. Понятие вектора в пространстве
38. Понятие вектора
39. Равенство векторов
Вопросы и задачи
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число
40. Сложение и вычитание векторов
41. Сумма нескольких векторов
42. Умножение вектора на число
Задачи
§ 3. Компланарные векторы
43. Компланарные векторы
44. Правило параллелепипеда
45. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Вопросы и задачи
Вопросы к главе IV
Дополнительные задачи
Глава V. Метод координат в пространств. Движения
§ 1. Координаты точки и координаты вектора
46. Прямоугольная система координат в пространстве
47. Координаты вектора
48. Связь между координатами векторов и координатами точек
49. Простейшие задачи в координатах
Вопросы и задачи
§ 2. Скалярное произведение векторов
50. Угол между векторами
51. Скалярное произведение векторов
52. Вычисление углов между прямыми и плоскостями
53*. Уравнение плоскости
Задачи
§ 3. Движения
54. Центральная симметрия
55. Осевая симметрия
56. Зеркальная симметрия
57. Параллельный перенос
58*. Преобразование подобия
Задачи
Вопросы к главе V
Дополнительные задачи
Глава VI. Цилиндр, конус, шар
§ 1. Цилиндр
59. Понятие цилиндра
60. Площадь поверхности цилиндра
Задачи
§ 2. Конус
61. Понятие конуса
62. Площадь поверхности конуса
63. Усеченный конус
Задачи
§ 3. Сфера
64. Сфера и шар
65. Уравнение сферы
66. Взаимное расположение сферы и плоскости
67. Касательная плоскость к сфере
68. Площадь сферы
69*. Взаимное расположение сферы и прямой
70*. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность
71*. Сфера, вписанная в коническую поверхность
72*. Сечения цилиндрической поверхности
73*. Сечения конической поверхности
Задачи
Вопросы к главе VI
Дополнительные задачи
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар
Глава VII. Объемы тел
§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда
74. Понятие объема
75. Объем прямоугольного параллелепипеда
Задачи
§ 2. Объемы прямой призмы и цилиндра
76. Объем прямой призмы
77. Объем цилиндра
Вопросы и задачи
§ 3. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса
78. Вычисление объемов тел с помощью интеграла
79. Объем наклонной призмы
80. Объем пирамиды
81. Объем конуса
Задачи
§ 4. Объем шара и площадь сферы
82. Объем шара
83. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора
84*. Плошадь сферы
Вопросы и задачи
Вопросы к главе VII
Дополнительные задачи
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар Задачи для повторения
Задачи повышенной трудности
Глава VIII. Некоторые сведения из планиметрии
§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью
85. Угол между касательной и хордой
86. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью
87. Углы с вершинами внутри и вне круга
88. Вписанный четырехугольник
89. Описанный четырехугольник
Задачи
§ 2. Решение треугольников
90. Теорема о медиане
91. Теорема о биссектрисе треугольника
92. Формулы площади треугольника
93. Формула Герона
94. Задача Эйлера
Задачи
§ 3. Теоремы Менелая и Чевы
95. Теорема Менелая
96. Теорема Чевы
Задачи
§ 4. Эллипс, гипербола и парабола
97. Эллипс
98. Гипербола
99. Парабола
Задачи
Приложения
1. Изображение пространственных фигур
1. Параллельная проекция фигуры
2. Изображение фигуры
3. Изображение плоских фигур
4. Изображение пространственных фигур
2. Об аксиомах геометрии
Ответы и указания
Предметный указатель
Основная
цель – продолжить
систематическое
изучение
многогранников и тел вращения в ходе решения задач на вычисление их
объемов. В курсе стереометрии понятие объема вводится по аналогии с
понятием площади плоской фигуры, и формулируются основные свойства
объемов. Существование и единственность объема тела в школьном курсе
математики приходится принимать без доказательства, так как вопрос об
объемах
принадлежит,
по
существу,
к
трудным
разделам
высшей
математики. Поэтому нужные результаты устанавливаются, руководствуясь
больше наглядными соображениями. Учебный материал главы в основном
должен усваиваться в процессе решения задач.
Основная теория в начале курса стереометрии изучается с опорой на
геометрические тела, что повышает доступность материала, а значит, и
результативность обучения.
Учебник И.
Ф.
Шарыгина
реализует
авторскую
наглядно-
эмпирическую концепцию построения школьного курса геометрии. Его
характеризует отказ от аксиоматического метода и акцент на использование
наглядных методов в процессе построения теории и решения задач. В
учебнике нетрадиционно изложены многие необходимые теоретические
факты. Их доказательства оригинальны и, что немаловажно, красивы.
Учебные тексты написаны хорошим литературным языком.
Теоремы
в учебнике
нацелены
не
столько
на
«прохождение
программы», сколько на создание необходимого запаса сведений для
решения задач. Например, весьма интересно изложен раздел «Объемы», в
котором
имеются
теоремы,
обычно
не
рассматриваемые
в
школе.
Доказательства этих теорем поучительны сами по себе, а владение ими дает
запас фактов и приемов, позволяющих решать довольно трудные задачи.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
10 класс
1. Прямые и плоскости в пространстве
1.1. Основные свойства пространства 8
1.2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве 16
1.3. Угол между скрещивающимися прямыми 23
1.4. Перпендикулярность прямой и плоскости 25
1.5. Теорема о трёх перпендикулярах 31
1.6. Угол между прямой и плоскостью 34
1.7. Двугранный угол между плоскостями 36
2. Многогранники
2.1. Изображение многоугольников и многогранников 44
2.2. Построения на изображениях 50
2.3. Выпуклые многогранники 56
2.4. Многогранные углы 59
2.5. Правильная пирамида 65
2.6. Призма, параллелепипед 73
3. Круглые тела
3.1. Основные понятия 80
3.2. Тела вращения 82
3.3. Касание круглых тел с плоскостью, с прямой и между собой 86
3.4. Вписанные и описанные многогранники 89
4. Задачи и методы стереометрии
4.1. Вспомогательные плоскости, сечения 95
4.2. Проектирование 97
4.3*. Нахождение угла и расстояния между скрещивающимися прямыми 100
4.4*. Развёртки 104
4.5*. Кратчайшие пути по поверхности тела 107
4.6*. Достраивание тетраэдра до параллелепипеда ПО
4.7. Касание круглых тел 112
11 класс
5. Объёмы многогранников
5.1. Что такое объём? 116
5.2. Объём прямоугольного параллелепипеда 118
5.3. Объём призмы 120
5.4. Принцип подобия 125
5.5. Объём пирамиды 126
5.6. Вычисление объёмов многогранников 129
5.7*. Использование свойств объёма при решении задач 134
6. Объёмы и поверхности круглых тел
6.1. Объём цилиндра и конуса 140
6.2. Принцип Кавальери и объём шара 141
6.3. Площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы 146
6.4*. Сапог Шварца, или Что такое площадь поверхности? 148
6.5. Площадь поверхности сферического пояса 151
7. Правильные многогранники
7.1. Определение правильного многогранника 156
7.2*. Ограниченность числа видов правильных многогранников 158
7.3. Тетраэдр, гексаэдр (куб) и октаэдр 161
7.4*. Октаэдр и икосаэдр 164
7.5. Додекаэдр 165
7.6*. Взаимосвязь между всеми правильными многогранниками 166
8. Координаты и векторы в пространстве
8.1. Декартовы координаты в пространстве 169
8.2. Формула расстояния между двумя точками. Уравнение сферы 170
8.3. Уравнение плоскости 172
8.4. Уравнение прямой линии 175
8.5. Векторы в пространстве 177
8.6. Теорема о единственности представления любого вектора в пространстве через три
некомпланарных вектора 178
8.7. Скалярное произведение векторов 181
9*. Движения пространства
9.1. Определение движений 185
9.2. Вращение вокруг оси и винтовое движение 186
9.3. Центральная симметрия и симметрия относительно прямой 188
9.4. Зеркальная симметрия и скользящие симметрии 189
9.5. Разложение движений в композицию зеркальных симметрии 193
9.6. Композиция двух зеркальных симметрии 194
9.7. Композиция двух вращений 197
9.8. Композиция поворотов вокруг скрещивающихся прямых 199
Дополнительные задачи и задачи для повторения 202
Проверьте свои знания 209
Вместо послесловия 217
Ответы и указания 221
Система упражнений в учебнике позволяет реализовать идею уровневой
дифференциации. Здесь есть задачи, отмеченные звездочкой,
предназначенные для углубленной подготовки; специально выделены
полезные, важные и трудные задачи.
Учебник И. М. Смирновой для естественнонаучного профиля является
одним из нескольких учебных пособий, написанных И. М. Смирновой и В. А.
Смирновым. Эти учебники объединяет единая концепция авторского подхода
к геометрии как науке и учебному предмету, а их отличия связаны с
учебными задачами, которые ставятся в том или ином профиле.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
Глава I. НАЧАЛА СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 1. Основные понятия и аксиомы стереометрии 7
§ 2. Следствия из аксиом стереометрии 10
§ 3. Пространственные фигуры 12
§ 4. Моделирование многогранников 15
Глава II. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 5. Параллельность прямых в пространстве 19
§ 6. Скрещивающиеся прямые 22
§ 7. Параллельность прямой и плоскости 24
§ 8. Параллельность двух плоскостей 27
§ 9. Векторы в пространстве 30
§ 10. Коллинеарные и компланарные векторы 33
§ 11. Параллельный перенос 35
§ 12. Параллельное проектирование 37
§ 13. Параллельные проекции плоских фигур 40
§ 14. Изображение пространственных фигур 43
§ 15. Сечения многогранников 47
Глава III. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 16. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых 52
§ 17. Перпендикулярность прямой и плоскости , 55
§ 18. Перпендикуляр и наклонная 59
§ 19. Угол между прямой и плоскостью 61
§ 20. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями 63
§ 21. Двугранный угол 66
§ 22. Перпендикулярность плоскостей 69
§ 23*. Центральное проектирование. Изображение пространственных фигур ь центральной
проекции 71
Глава IV. МНОГОГРАННИКИ
§ 24. Многогранные углы 78
§ 25. Выпуклые многогранники 80
§ 26*. Теорема Эйлера 83
§ 27. Правильные многогранники 87
§ 28*. Полуправильные многогранники 91
§ 29*. Звездчатые многогранники 96
§ 30*. Кристаллы — природные многогранники 99
Глава V. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
§ 31. Сфера и шар. Взаимное расположение сферы и плоскости 102
§ 32. Многогранники, вписанные в сферу 106
§ 33. Многогранники, описанные около сферы 110
§ 34. Цилиндр, Конус 113
§ 35. Поворот. Фигуры вращения 116
§ 36. Вписанные и описанные цилиндры 122
§ 37*. Сечения цилиндра плоскостью. Эллипс 124
§ 38. Вписанные и описанные конусы 128
§ 39*. Конические сечения 131
§ 40. Симметрия пространственных фигур 136
§ 41. Движение 140
§ 42*. Ориентация поверхности. Лист Мёбиуса 142
Глава VI. ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
§ 43. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра 147
§ 44. Принцип Кавальери 152
§ 45. Объем пирамиды 156
§ 46. Объем конуса 160
§ 47. Объем шара и его частей 163
§ 48. Площадь поверхности 166
§ 49. Площадь поверхности шара и его частей 169
Глава VII. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
§ 50. Прямоугольная система координат в пространстве 171
§ 51. Расстояние между точками в пространстве 175
§ 52. Координаты вектора 177
§ 53. Скалярное произведение векторов 179
§ 54. Уравнение плоскости в пространстве 182
§ 55*. Уравнения прямой в пространстве 185
§ 56. Аналитическое задание пространственных фигур 189
§ 57*. Многогранники в задачах оптимизации 192
§ 58*. Полярные координаты на плоскости 197
§ 59*. Сферические координаты в пространстве 201
§ 60*. Использование компьютерной программы «Математика» для изображения
пространственных фигур 208
Глава VIII. ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ*
§ 61. Многоугольники 216
§ 62. Сумма углов многоугольника 222
§ 63. Замечательные точки и линии треугольника 227
§ 64. Теоремы Менелая и Чевы 234
§ 65. Решение треугольников 240
§ 66. Углы и отрезки, связанные с окружностью 244
§ 67. Вписанные и описанные многоугольники 247
§ 68. Парабола 251
§ 69. Эллипс 255
§ 70. Гипербола 260
§ 71. Построение циркулем и линейкой 264
Ответы 270
Предметный указатель 283
Так учебник для естественнонаучного профиля позволяет углубить
знания учащихся по геометрии, в нем расширен материал о многогранниках,
например, имеются теорема Эйлера, учебные пункты, посвященные
правильным,
полуправильным,
звездчатым
многогранникам,
многогранникам, вписанным в сферу, описанным около сферы и т. п. Больше
внимания
в
учебнике
рассматриваются
уделено
аналитические
изучению
способы
кривых
задания
и
поверхностей,
фигур.
Наряду
с
декартовыми координатами в пространстве используются полярные и
сферические координаты.
Учебник А.Д. Александрова написан кратко и просто, в нем реализован
аксиоматический подход к построению курса. В теоретической части
учебника авторы выделяют основные теоремы, из которых остальные
получаются как следствия. Например, в первом параграфе выводится
формула объема прямого цилиндра, а затем представление объема
интегралом. Но после параграфа идут задачи на объем прямой призмы.
Таким образом, ученики сами выводят формулы. В учебнике обращается
внимание на практическое применение геометрии, на ее связь с искусством,
архитектурой. Авторы представляют геометрию как живую развивающуюся
науку, ведущую свою историю от египетских землемеров и геометров
Древней Греции. Изложение теоретического материала строгое. Четкая
структура,
высокая
научность,
доступность
изложения,
простота
и
краткость – отличительные черты этого учебника. Авторы представляют
геометрию, как науку, тесно связанную с окружающим миром. Появлению
абстрактного
понятия
предшествует
реальная
картина,
которая
аргументирует необходимость этой абстракции.
К каждому параграфу дается набор задач. Среди них выделены
основные задачи, то есть обязательные для всех. Именно в задачах заложен
принцип развивающего обучения. Большую помощь учащимся окажут
предметный указатель и ответы.
По учебнику А. Д. Александрова на изучение темы «Объемы тел и
площади их поверхностей» отводится 20 ч. Входят такие параграфы, как:
определение объема, представление объема интегралом, объемы некоторых
тел – цилиндра (в том числе призмы), конуса (в том числе пирамиды), шара;
площадь поверхности, площадь сферы, площадь поверхности цилиндра и
конуса.
Основная
цель – продолжить
ознакомление
учеников
с
геометрическими величинами.
Аппарат для нахождения этих величин взят из курса начал анализа:
интегрирование и вычисление пределов. Тонкие вопросы существования
этих величин требуют некоторого комментария со стороны учителя.
Например, если мы умеем вычислять объем шара, то из каких соображений
находится объем любой его части?
Следует заметить, что только в этом разделе теории в учебнике
встречаются утверждения, не имеющие достаточно полного обоснования,
опирающиеся на наглядно ясные соображения. Например, постулируется, что
любое простое тело имеет объем.
В учебнике И. М. Смирновой и др. реализован курс, несколько меньший
по объему, чем в обычных классах, он рассчитан на 2 часа в неделю в
течение полутора лет. В нем сохранены основные вопросы традиционной
программы по стереометрии. При этом устранены излишняя детализация и
теоремы, играющие вспомогательную роль.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 7
I. О геометрии 7
II. О пространственных фигурах 8
III. О теоретической части курса 9
IV. О задачах 10
V. О рисунках 12
Глава I ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 13
§ 1. Аксиомы стереометрии. 14
1.1. Аксиома плоскости 14
1.2. Аксиома пересечения плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей 15
1.3. Аксиома о прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости 16
1.4. Аксиома расстояния. Равенство фигур 17
1.5. Аксиома разбиения пространства плоскостью 18
1.6. Основные теоремы о треугольниках 18
Вопросы для самоконтроля. 25
Задачи 25
§ 2. Способы задания прямых и плоскостей в пространстве 28
2.1. Задание прямой двумя точками 28
2.2. Задание плоскости тремя точками 29
2.3. Задание плоскости прямой и точкой и двумя прямыми 30
Вопросы для самоконтроля. 31
Задачи 31
§ 3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 32
3.1. Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве 32
3.2. Признаки скрещивающихся прямых 33
3.3. Параллельные прямые 33
Вопросы для самоконтроля. 35
Задачи 35
§ 4. Параллельное и центральное проектирования 36
4.1. Определение и основные свойства параллельного проектирования 36
4.2. Изображение разных фигур в параллельной проекции 38
4.3. Центральное проектирование 40
Задачи 42
§ 5. Существование и единственность. Построения 43
5.1. Существование и единственность 43
5.2. Построения на плоскости. Метод геометрических мест 44
5.3. Методы преобразований 46
5.4. Построения в пространстве 49
5.5. О построении пирамид и призм 50
5.6. О значении геометрии 53
Вопросы для самоконтроля. 53
Задачи 54
Задачи к главе 1 55
Итоги главы I 57
Глава II ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
§ 6. Перпендикулярность прямой и плоскости 59
6.1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости 59
6.2. Перпендикуляр и наклонная 59
6.3. О значении перпендикуляра 60
Вопросы для самоконтроля. 62
Задачи 62
§ 7. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 63
7.1. Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости 63
7.2. Плоскость перпендикуляров 65
7.3. Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей 65
Вопросы для самоконтроля. 66
Задачи 66
§ 8. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью прямой и плоскости
68
8.1. Параллельность прямых, перпендикулярных одной плоскости 68
8.2. Параллель к перпендикуляру 69
Вопросы для самоконтроля. 69
Задачи 69
§ 9. Основные теоремы о взаимно перпендикулярных прямой и плоскости 70
9.1. Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости 70
9.2. Теорема о плоскости, перпендикулярной прямой 71
Вопросы для самоконтроля 72
Задачи 72
§ 10. Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей 73
10.1. Двугранный угол. Угол между плоскостями 73
10.2. Свойства взаимно перпендикулярных плоскостей 75
10.3. Признак перпендикулярности плоскостей 75
Вопросы для самоконтроля 76
Задачи 76
§ 11. Параллельность плоскостей 79
11.1. Параллельность плоскостей, перпендикулярных одной прямой 79
11.2. Прямая, перпендикулярная двум параллельным плоскостям 80
11.3. Основная теорема о параллельных плоскостях 81
Вопросы для самоконтроля . 82
Задачи 82
§ 12. Параллельность прямой и плоскости 84
12.1. Признак параллельности прямой и плоскости 84
12.2. Признак параллельности плоскостей 85
Вопросы для самоконтроля 85
Задачи 86
§ 13. Ортогональное проектирование 87
13.1. Ортогональное проектирование на прямую и на плоскость 87
13.2. Теорема о трёх перпендикулярах 89
13.3. Расстояние от точки до фигуры 90
13.4. Площадь проекции многоугольника 91
Вопросы для самоконтроля 94
Задачи 94
§ 14. Расстояние между фигурами и параллельность 98
14.1. Расстояние между фигурами 98
14.2. Расстояние между прямыми и плоскостями 99
14.3. Расстояние и параллельность 100
Вопросы для самоконтроля 101
Задачи 101
§ 15. Углы 103
15.1. Сонаправленность лучей 103
15.2. Угол между лучами 104
15.3. Угол между прямыми. 105
15.4. Угол между прямой и плоскостью 106
Вопросы для самоконтроля 107
Задачи 107
Задачи к главе II 110
Итоги главы II 114
Глава III ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
§ 16. Сфера и шар 116
16.1. Определения сферы и шара 116
16.2. Взаимное расположение шара и плоскости 117
16.3. Касательная плоскость сферы 119
16.4. Свойства сферы. Изображение сферы 120
Вопросы для самоконтроля 121
Задачи 121
§ 17. Симметрия сферы и шара 123
17.1. Сфера — центрально-симметричная фигура 124
17.2. Сфера — зеркально-симметричная фигура 124
17.3. Сфера — фигура вращения 125 Вопросы для самоконтроля 127
Задачи 127
§ 18. Цилиндр 128
18.1. Определение и общие свойства цилиндра 128
18.2. Замечания об определении цилиндра* 130
18.3. Цилиндр вращения 130
18.4. Цилиндры в практике 131
Вопросы для самоконтроля 132
Задачи 132
§ 19. Конус 133
19.1. Определение и общие свойства конуса 133
19.2. Конус вращения 135
19.3. Усечённый конус 136
19.4. Конические сечения 136
Вопросы для самоконтроля. 139
Задачи 139
§ 20. Геометрия окружности 140
20.1. Окружности и углы 140
20.2. Пропорциональность отрезков хорд и секущих 142
20.3. Вычисление радиусов окружностей, описанной вокруг треугольника и вписанной в
него 144
20.4. Вписанные и описанные четырёхугольники 145
Задачи 147
Задачи к главе III 151
Итоги главы III 152
Глава IV МНОГОГРАННИКИ
§ 21. Призма 153
21.1. Призма — частный случай цилиндра 153
21.2. Параллелепипед 154
Вопросы для самоконтроля. 155
Задачи 155
§ 22. Пирамида 157
22.1. Пирамида — частный случай конуса 157
22.2. Правильная пирамида. 158
Вопросы для самоконтроля 160
Задачи 160
§ 23. Многогранники 162
23.1. Тела и их поверхности 162
23.2. Определение многогранника. Элементы многогранника 163
23.3. Многогранная поверхность и развёртка 165
23.4. Многогранные углы 167
Вопросы для самоконтроля 168
Задачи 169
§ 24. Правильные и полуправильные многогранники. Симметрия фигур 170
24.1. Правильные многогранники 170
24.2. Построение правильных многогранников* 171
24.3. Преобразования симметрии 173
24.4. Поворот 174
24.5. Общее понятие о симметрии 175
24.6. Элементы симметрии 176
24.7. Симметрии правильных многогранников 177
24.8. Золотое сечение 179
24.9. Полуправильные многогранники 180
Вопросы для самоконтроля 182
Задачи 182
Задачи к главе IV 183
Итоги главы IV 184
Глава V ОБЪЁМЫ ТЕЛ И ПЛОЩАДИ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 25. Определение объёма 185
25.1. Простые тела 185
25.2. Определение объёма 186
Вопросы для самоконтроля . 187
§ 26. Зависимость объёма тела от площадей его сечений 187
26.1. Объём прямого цилиндра 187
26.2. Зависимость объёма тела от площадей его сечений 188
Вопросы для самоконтроля 191
Задачи 191
§ 27. Объёмы некоторых тел 193
27.1. Объём цилиндра 193
27.2. Объём конуса 193
27.3. Объём шара 194
27.4. Изменение объёма при подобии 195
Вопросы для самоконтроля 195
Задачи 195
§ 28. Площадь поверхности 199
28.1. О понятии площади поверхности 199
28.2. Площадь сферы 200
28.3. Площади поверхностей цилиндра и конуса 202
Вопросы для самоконтроля 204
Задачи 204
Задачи к главе V 208
Итоги главы V 209
Глава VI КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
§ 29. Метод координат 210
29.1. Прямоугольные координаты 210
29.2. Построение точки с данными координатами 211
29.3. Выражение расстояния между точками 211
29.4. Метод координат 212
29.5. Применение метода координат 213
Вопросы для самоконтроля 215
Задачи 215
§30. Векторы 217
ЗОЛ. Понятие вектора 217
30.2. Сонаправленность и равенство векторов 217
30.3. Сложение векторов 218
30.4. Умножение вектора на число 220
30.5. Разложение вектора по базису 221
30.6. Векторный метод 222
30.7. Параллельный перенос 226
Вопросы для самоконтроля 227
Задачи 227
§ 31. Координаты и векторы 228
31.1. Координаты вектора. 228
31.2. Действия с векторами и действия с координатами 230
31.3. Скалярное умножение векторов 231
31.4. Уравнение плоскости . 233
31.5. Расстояние от точки до плоскости 234
Вопросы для самоконтроля. 235
Задачи 235
Задачи к главе VI 237
Заключение. Современная геометрия.
1. Коренное отличие современной геометрии 238
2. Геометрия на поверхности 239
3. Возможная геометрия реального пространства 240
4. Геометрия Лобачевского 241
5. Многомерное пространство 243
6. Другие геометрии 243
7. Основания геометрии 244
8. Геометрия и действительность 245
Ответы 248
Предметный указатель 252
Список литературы 254
Гуманитарная направленность курса поддерживается за счет вопросов
исторического, философского и мировоззренческого характера, рассмотрения
приложений геометрии. При этом курс логически связан, содержит
необходимые определения, свойства, теоремы и их доказательства. Большую
роль играет наглядность.
После теоретического материала имеются задания для самоконтроля по
теории и различные задачи, среди которых выделены важные задачи,
используемые при решении других задач. Главы заканчиваются списком
задач, с помощью которых можно повторить содержание главы.
Таким образом, в настоящее время действующих учебников по
геометрии для 10-11 классов очень много. Каждый авторский коллектив
вносит в содержание своих учебников что-то новое, отличающее их от
других. Школа и учителя вправе выбирать те из них, которые, по их мнению,
дадут оптимальный уровень знаний по геометрии учащимся того или иного
класса. В общеобразовательных школах, где нет углубленного изучения
отдельных предметов, чаще всего используют учебник Л. С. Атанасяна.
Скачать