Загрузил abishx

Batygin Toptygin

Реклама
В. В. БАТЫГИН,
И. Н. ТОПТЫГИН
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ и ДОПОЛНЕННОЕ
Под редакцией
М. М. БРЕДОВА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования
CCCJ>
в качестве учебного пособил
длл студентов высших_ учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ГЛАВНАЯ
«НАУКА»
РЕДАКЦИЯ
ФИЗИIФ·МАТЕМАТИЧЕСКОй ЛИГЕРАТУРЫ
МОСК.БА
1970
530. 1
Ь 2il
:\-'ДК ЕЗ7.1
Сборник задач по электродинамике, Б а т ы г и н В. В.,
Т о n т ы г и н И. Н., изд. 2-е, nерераб., учебное по­
собие.
Главная
редакция
физико-математической
литературы изд-ва «Наука», 1970.
В книге В. В. Батыгина и И. Н. Топтыгина «Сборник задач
по электродинамике» (под редакцией М. М. Бредова), 2-е изда­
ние, собрано около 900 задач, иллюстрирующих различные раз­
де.1ы классической электродинамики и специальной теории отно­
сительности. Задачи разнообразны как по содержанию, так и
по ,рудности. Наряду с задачами, иллюстрирующими основные
понятия
и
законы электродинамики
и
относящимися
к
основ­
ному обязательному курсу электродинамики, в сборник включено
значительное количество более сложных задач, помогающих бо­
лее фундаментальному изучению электродинамики. Второе из­
дание существенно расширено и переработано по сравнению
с
первым
изданием
динамике в
Сборник
составлен
с
с
учетом
результатов,
полученных
в электро­
последние годы.
рассчитан
учетом
в
основном
существующих
на
студентов-физиков,
программ
по
электродина­
мике и может быть использован в качестве учебного пособия для
любых высших учебных заведений, в учебных планах которых
имеется достаточно основательный курс электродинамики или
теории электромагнитного поля. Часть задач, включенных в
сборник, может быть полезной и для лиц, заиимающихся более
углубленным изучением электродинамики.
Табл.
2-3-2
54-70
2.
Рис.
135.
Библ.
120.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора
5
. • • • •
Предисловие ко второму изданию
7
Из предисловия к первому изданию
7
Задачи Ответы
II
ре­
шения
Гл а в а
1.
Векторное
н
тензорное
исчисление
§ 1.
Векторная и тензорная алгебра. Преобразования векторов
§ 2.
II тензоров
Векторный анализ
Гл а в а
11.
Г л а в а
111.
§ 1.
§ 2.
§ 3.
Гл а в а
Г :i а в а
Гл а в а
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
Гл а в а
§ 1.
§ 2.
Гл а в а
§ 1.
Постоянное электрическое поле в вакууме
Электростатика
проводников
и
диэлектриков
Основные понятия и методы электростатики
Потенциальные и емкостные коэффициенты
Специальные методы электростатики
IV.
Постоянный ток
• . .
вещества
Поляризация вешества в постоянном поле
Поляризация вещества в переменном поле
Ферромагнитный резонанс
Сверхпроводимость
Квазистационарное электромагнитное
поле
. . ,
Квазистационарные явления в линейных проводниках
Впхревые токп и скин-эффект . .
VIII.
Распространение
электромагнитных
219
9
14
219
223
23
226
34
34
48
237
237
253
251
55
262
62
73
73
77
82
86
89
89
94
267
282
282
287
293
298
300
300
310
320
45
V. Постоянное магнитное поле .
VI. Э.1ектрические и магнитные свойства
VII.
9
волн
Плоские волны в однородной изотропной среде. Отраже­
99
ние и преломление вo.JJH. Волновые пакеты
. . . .
99
§ 2. Плоские Еолны в анизотропных и гиротропных средах
107
§ 3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскспнческнх
320
333
112
118
127
131
341
354
359
363
телах.
Гл а
1•
Дифракция
§ 4. Когерентность и интерференция
§ 5. Дифракция рентгеновых лучей
в а IX. Электромагнитные колебания
в оrраниченных телах
3
Ответы
Задачи
и
ре-
шенпя
Г л а в а Х. Специальная теория относительности
§ 1. Преобразования Лоренца
. . .
§ 2. Четырехмерные векторы и тензоры
§ 3. Релятивистская электродинамика
141
141
151
154
382
382
393
395
XI. Релятивистская механика
159
§ 1. Энергия II импульс
.
159
§ 2. Движе:ше заряженных частиц в электромагнитном no.1e 171
400
400
417
Гл а в а
Гл а в а
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
Г
.1
а в а
Гл а в а
Из.1учение электромагнитных волн
Вектор Герца II разложение по МУ.льтнполям
• .
Электромагнитное поле точе~;ноrо заряда, движущегося
произвольным образом
. • • • .
Взаимодействие заряженных частиц с излучением
Раз.1ожение ЭJiектромаrнитноrо поля на плоские волны
180
432
432
187
194
198
440
451
458
Излучение при взаимодеиствии заряженных частиц
с веществом
203
466
Физика плазмы
Движение отдельных частиц в nдазме
Коллективные движения в плазме
208
208
214
479
479
485
XII.
XIII.
XIV.
§ 1.
§ 2.
Приложения
.
1. 1'1-функция
2.
3.
180
492
492
494
496
.
Сферические функции Лежандра
Uилиндрические функции
Литература
......... . .. ..
. .
500
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание настоящего задачника встретило положи~
-тельный прием; думается, что это прежде всего свидетельствует
-'О потребности в книге такого профиля не только как в собственно задачнике для учебных целей, но и как в пособии для лиц,
которым по роду работы приходится сталкиваться с электро­
_динамическими расчетами.
Второе издание книги пытается в какой-то мере отзываться
'На изменения, произошедшие за последнее время именно в об­
.ласти приложений электродинамики к некоторым конкретным во­
просам физики и техники сегодняшнего дня. К таким вопросам
,,относятся, в частности, сверхпроводимость, голография, физика
плазмы.
Конечно, заданный объем книги и необходимость достаточ­
но полно охватить основные разделы учебных курсов электро­
динамики
ограничивают
возможность
рассмотрения
многих
но­
.вых задач и заставляют делать между ними выбор, который
в значительной степени определяется вкусами и интересами
авторов.
Тем не менее обновление материалов в этом смысле во вто~
ром издании (помимо очевидных редакционных правок ошибок
первого издания) представляется нам целесообразным.
Было бы крайне желательно узнать мнения читателей по
:этому поводу, и мы будем весьма благодарны за критические
.замечания по этому изданию.
М. Бредов
!1969
г.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Интенсивное внедрение электротехники, радиотехники и элек­
троники в самые различные отрасли народного хозяйства по­
•Ставило перед широким кругом специалистов (радиоинженеры,
,инженеры по ускорительным установкам, по ядерной технике,
5
электронике,
автоматике
и т. д.)
задачу
активного
освоенпя
методов расчетов электродинамических задач. Поэтому в настоя­
щее
время
курсы
электродинамики
читаются
не
только
в
унп­
Еерситетах, но, в той или иной форме, и в ряде высших техниче­
с1шх учебных заведений. Вместе с тем, к сожалению, как в оте­
чественной, так и в иностранной литературе отсутствует соответ­
ствующий курс, написанный на современном уровне и с охватом
дос1аточно большого круга вопросов, который мог бы не только
помочь
студентам
э.1ектродинамике,
освоить
но
и
технику
послужить
практических
руководством
расчетов
для
лиu
по
уже
работающих в промышленности и сталкивающихся по роду своей
деятельности с этими расчетами. Написание такого курса «Прак­
тической электродинамики» является весьма важной и сложной
задачей, которую следовало бы решить в самом
еда;еком бу­
дущем.
Естественно, что предлагаемая книга никак не может пре­
тендовать на восполнение указанного пробела, однако представ­
лялось крайне желательным осуществить шаг в данном направ­
.т1ении и создать сборник задач, который послужил бы не только
чисто академическим пособием для студентов, но оказался бы
полезным
и
для
упомянутого
широкого
круга
спеuиалистов
в
плане демонстрации методов решений интересующих их задач.
В соответствии с поставленной uелью мы стремились прово­
дить хотя бы конспективные обсуждения методов решений задач
и
получаемых
результатов
ний их к другим
с
точки
зрения
смежным проблемам.
возможных
примене­
Кроме того, каждому
параграфу предпосланы краткие теоретические введения, позво­
ляющие вспомнить необходимый материал, не прибегая к лите­
ратуре.
Для возможно более полного охвата всех разделов электро­
дпнамики в сборник включены хорошо и,звестные «классические»
задачи, разобранные и в других руководствах; вместе с тем, где
это было возможно, максимально привлечен современный мате­
рпал.
В пределах, допускаемых объемом книги, уделено внимание
математическому вычислительному аппарату как непосредствен­
но в задачах, так и в специальных приложениях (за исключе­
нием
применений
теории
функций
комплексного
переменного,
поскольку этот метод весьма хорошо освещен в литературе).
Учитывая, что предлагаемый сборник является первым опы­
том создания такого пособия, он, естественно, не свободен от
нt>достатков. Ввиду этого мы будем особенно благодарны чпта­
тt>лям за критические замечания.
1961
г.
М. Бредов
П амятu профессора
Ильи Мироновича
ШМУШКЕВИЧА
посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Общий характер сборника остался таким же, как и при пер­
Еом издании. Во втором издании мы исправили замеченные
()Шибки, опечатки и неточности, а также дополнили книгу новым
1\lатериалом. Введены новые разделы: сверхпроводимость, коге­
рентность и интерференция (включая вопросы голографии), ди­
фракция рентгеновых лучей, элементы физики плазмы. Сущест­
венно дополнены гл. IX- новыми задачами о резонаторах, в
том числе открытых, гл. Х-новыми задачами на преобразова-
1-шя Лоренца, гл. XI - рассмотрением кинематики трехчастичных
распадов и двухчастичных реакций. Кроме того, мы перешли в
этом издании на неэвклидову четырехмерную метрику, получаю~
щую все большее распространение в физической литературе.
Мы благодарны всем товарищам, чья помощь и поддержка
способствовали выходу в свет второго издания книги, чьи заме­
чания помогли улучшить ее содержание. Особенно мы призна­
тельны проф. И. М. Шмушкевичу за ценные советы, касающиеся
содержания гл. Х, XI, и просмотр рукописи этих глав, проф.
Я. А. Смородинскому за поддержку и советы по содержанию
:книги в целом и проф. А. 3. Долгинову за просмотр материалов
гл. XIV.
1969 r.
В. Батыгин, И. Топтыгин
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий сборник задач рассчитан в основном на студен­
тов-физиков и составлен с учетом существующих программ по
электродинамике. Он может быть использован в качестве учеб­
ного пособия на инженерно-физических факультетах втузов, на
физических факультетах университетов и педвузов, п таl{же на
1
р:щиотехнических и других факультетах, на vоторых изучается~
теория
электромагнитного
поля.
Часть задач,
включенных
в сборник, может быть полезной и для лиц, занимающихся более
yr лубленным
изучением вопросов электродинамики.
Кроме задач, иллюстри-рующих основные понятия и законы·
электродинамики,
которые
решаются
простыми
математически­
ми методами, в сборник включено значительное количество бо­
.r1ее сложных задач (эти задачи отмечены звездочкой). Некото­
рые из них требуют трудоемких вычислений, в других рассматри­
ваются вопросы теоретического характера, обычно выпадающие
из
и
лекционного курса
гиротропных
тромагнитном
средах,
поле,
(распространение
движение
волн в анизотропных
заряженных
представление
частиц
электромагнитного
в
элек­
поля
в
виде набора осцилляторов и др.). Наконец, имеются задачи, в
которых разбирается материал, мало отраженный в существую­
щей учебной литературе: взаимодействие заряженных частиц с
веществом (гл. XIII); применение законов сохранения к анализу
процессов столкновений и распада частиц (§ 1 гл. XI), ферро­
магнитный резонанс (§ 3 гл. VI) и др. В разделе «Ответы и ре-­
шения» приведены ответы на большинство задач; многие задачи·
снабжены решениями.
В начале каждого параграфа дается краткое теоретическое
введение и приводятся необходимые формулы. Излагаемые све­
дения не претендуют на полноту; более полное освещение соот­
ветствующих вопросов читатель найдет в литературе, указанной
в конце каждой главы.
В книге всюду использус:тся гауссова абсолютная система·
единиц, так как она наибо.'1ее часто употребляется в физической·
литературе. Обозначения применяются общепринятые. К сожа­
лению, не всегда удавалось избежать применения для разных
величин одинаковых символов, и наоборот. Однако это не может·
привести
к
недоразумениям,
так
как в теоретических
введениях
указываются обозначения, используемые в соответствующих гла-
вах или параграфах.
·
В математических прююжениях к сборнику приведены основ-­
ные данные о дельта-функцпи, цилиндрических и сферических.
функциях, необходимые для решения задач.
При
составлении
сборника
были
исподьзованы
курсы
.ТJ. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, И. Е. Тамма, Я. И. Френкеля,.
Абраrама и Беккера, В. Смайта, Дж. А. Стрэттона и др., а так­
же многие монографии, обзорные и оригинальные статьи. Ряд.
полезных
задач,
содержащихся
в
этих
руководствах,
включен
в сборник.
1961 г.
В. Батыгин, И. Топтыгин:
ЗАДАЧИ
ГЛАВА
I
ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Векторная и тензорная алгебра.
Преобразования векторов и тензоров
§ 1.
Скаляром
(инвариантом)
в трехмерном пространстве назы­
mается величина, которая не изменяет своего значения при пово­
,ротах координатной системы.
Вектором в трехмерном пространстве называется совокуп­
·ность трех величин, преобразующихся при поворотах системы
1юординат по формулам
3
А~= ~ aikAk.
(1. 1)
k=I
Здесь Ан - проекции вектора на оси исходной, а А~ - на оси
повернутой системы координат; а;н - коэффициенты преобразо­
вания, представляющие собою косинусы углов между k-й осью
исходной и i-й осью повернутой системы координат.
В дальнейшем мы воспользуемся следующим правилом сум­
·МИрования, принятым в тензорном анализе: будем опускать знак
,суммы,
подразумевая
суммирование
во
всех
тех
случаях,
когда
.в данном выражении встречаются два одинаковых индекса. В со­
-ответствии с этим правилом, равенства
(1. 1)
запишутся так:
А~ =щkAk.
Тензором II ранга в трехмерном пространстве называется де­
вятикомпонентная величина Т;н (i, k
1, 2, 3), преобразующая­
·~SI при поворотах координатной системы следующим образом:
=
(1. 2)
(сумма по
1,
т). Аналогично тензор
s-ro
ранга в пространстве
·трех измерений определяется законом преобразования:
Т 'ikl ... r
= au,akk'
• . • Urr' Т i'k'l' ... r·.
:В этом равенстве величины Т имеют по
s
(1. 3)
индексов.
9
Величины, преобразующиеся как вектор при поворотах коор­
динатной системы, могут двояко вести себя при инверсии си­
стемы координат (преобразование х'
-х, у'
-у, z'
-z).
=
=
=
Те векторы, компоненты*) которых при инверсии координат ме­
ннют знак,
называются
полярными
векторами,
или
просто
век­
торами. Векторы, компоненты которых не меняют знака при ин­
версии
системы
координат,
называются
псевдовекторами,
илм
аксиальными векторами. Примером аксиа.iiьного вектора может
с.1Jужить векторное произведение двух полярных векторов. Ана­
Jюгично тензор
компоненты
s-ro
ранга называется просто тензором, если его
преобразуются
при
инверсии
как
произведения
s
:координат, т. е. умножаются на (-1) •, и псевдотензором, если
его компоненты умножаются на (-1)•+1•
Таблица коэффициентов преобразования
(1. 4)
называется матрицей преобразования. Определитель, элементы
которого совпадают с элементами некоторой матрицы, называет­
ся определителем этой матрицы:
lal=
ан
а,2
а,з I
а22
а22
а23
аз1
аз2
азз
(1. 5)
•
Суммой двух матриц а+~ называется такая матрица у, эле­
менты которой равны суммам соответствующих элементов мат­
риц
-
слагаемых:
=
Vik
aik
Произведением двух матриц а~
+ ~ik·
(1. 6)
называется такая матрица у.
элементы которой получаются из элементов перемножаемых мат­
риц aik и ~ik по правилу:
(1. 7)
( суммирование
по
вание,
получается
которое
[).
Матрица
при
у описывает такое преобразо­
последовательном
преобразования сначала с матрицей
выполнении
~. а затем с матрицей а.
Единичной матрицей называется матрица вида
1
*)
~(~
! ~).
(1.8)
Мы не делаем различия между ковариантными и контравариантными
компонентами векторов II тензоров
(см., например,
[107)),
щественно для вопросов, рассматриваемых в этой книге.
10
так как оно несу­
Она описывает тождественное преобразование (А:= А;). Эле­
менты единичной матрицы обозначаются символом
={ ~
6;k
6ik:
i=k,
i=/=k.
при
при
(1. 9)
Матрица вида
("'
а~~
о
~)
~
о
(1. 1О)
называется диагональной матрицей.
Если элементы матрицы удовлетворяют условиям
(1. 11)
a;kaa = 6kf,
10 она называется ортогональной.
1, удовлетворяющая условиям
Матрица
u-
аа- 1 = а- 1 а
=
i,
(1. 12)
называется обратной матрице а. Она описывает обратное преоб­
= aikAk,
разование, т.~ е. если л;
то Ak
= а;
1
А;.
~
Матрица а, которая получается из а заменой строк на столб­
цы, называется транспонированной:
а
-
(
а11
~1
аз1)
а12
~2
аз2
й13
й23
й33
1. Два направления
стеме координат углами
(1. 13)
,
n и n' определяются в сферической
tt, а и tt', а'. Найти косинус угла 0
си­
ме­
жду ними.
2.
Доказать тождества:
а) (АХ В)· (С Х D)=(A · С)(В ·
б) (АХ В) Х (С Х D) =[А· (В Х
D)-(A · D)(B · С);
D)] С - [А· (В Х С)] D =
=[А· (С Х
D)]
В
-
[В
·
(С Х
D)] А.
3. Во всех декартовых системах координат задана совокуп­
(i = 1, 2, 3) и известно, что aibi = iпv от­
ность трех величин а;
носительно
поворотов
и
вектор (псевдовектор), то
отражений.
Доказать,
что
если
Ь;
-
ai - также вектор (псевдовектор).
4. Доказать, что если а; = T;kbk в каждой системе координат
и T;k - тензор II ранга, а bk - вектор, то а; - тоже вектор.
да·I
5. Доказать, q,то -д
есть тензор II ранга.
Xk
11
6. Доказать, что если
Ti11 -
тензор
II ранга и
Pi/1 -
псевдо­
"Гензор II ранга, то Ti1,Pi11. - псевдоскаляр.
7. Показать, что симметрия тензора есть свойство, инвариант-­
вое относительно вращений, т. е. тензор, симметричный (анти-­
симметричный) в некоторой системе отсчета, остается симмет­
ричным
( антисимметричным)
и во всех системах, повернутых
относительно исходной.
Показать, что если тензор S;k -
8.
антисимметричный, то A;kSik
Ai/1 -
=
симметричный, а тензор·
О.
Доказать, что сумма диагональных компонент тензора П
9.
ранга является инвариантом.
1О*.
В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых
компонент вектора ах, ау,
az
рассматривать его циклические ком--
поненты, определяемые формулами а± 1 = + ;
12
(ах± iay),a0 = аz·­
Выразить скалярное и векторное произведения двух векторов.
через их циклические компоненты. Выразить также цикличе­
ские компоненты радиуса-вектора через шаровые функции*)
Лежандра.
11*. Найти компоненты тензора eik1, обратного тензору
Bik·
Рассмотреть. в частности, случай, когда Bik является симметрич-­
ным
тензором,
заданным
в
главных
осях.
Пусть во всех координатных системах компоненты век-­
тора а линейно выражаются через компоненты вектора Ь: ai
B;kbk. Доказать, что совокупность величин Bik является тензо­
ром II ранга. (Точнее, ва1 является тензором, если -а и Ь - оба
12.
=
=
полярные
векторы
один из векторов
или
псевдовекторы,
и
полярный; а другой
-
-
псевдотензором,
если
аксиальный.)
13. Показать, что совокупность величин A;klBik, где Aikl 111 ранга, а B;k - тензор II ранга, является вектором.
14. Найти закон преобразования совокупности объемных ин-
тензор
тегралов
Tik
=
f
xixk
жениях (х; и Xk -
dV при пространственных поворотах и отра-­
декартовы координаты).
Составить матрицы преобразования базисных ортов: при·
п€реходе от декартовых координат к сферическим и обратно~
при переходе от декартовых координат к цилиндрическим и об-­
15.
ратно.
16. Записать матрицу преобразования компонент вектора:
при отражении трех координатных осей; при повороте дек.я.рто-­
ьой системы координат вокруг оси
z
на угол а.
Найти матрицу преобразования компонент вектора прw
повороте координатных осей, определяемом углами Эйлера а,,.
17.
е.
а2
*)
12
( рис.
l),
путем
перемножения
матриц,
соответствующих.
Определение шаровых функций приведено в приложении
2.
поворотам вокруг оси z на угол 0:1, вокруг линии узлов
угол е и вокруг оси z' на угол 0:2.
18. Найти матрицу
разуются
при
D(o:180:2),
циклические
повороте
с помощью которой преоб­
вектора (см. задачу 10)
координатной
систе­
z
определяемом углами Эйлера
0:1, е, 0:2 (рис. 1).
19*. Показать, что матрица бес­
ма~ого
на
компоненты
мы,
конечно
ON
поворота
системы
координат о: может быть записана
в виде а
метричная
= i + в, где в- антисим­
матрица
( Bih = -в1<;).
Выяснить геометрический смысл Bih·
20. Доказать, что если а орто­
гональная матрица преобразования,
-
то
при
ее
транспонировании
полу­
.Z''
чается матрица обратного преобра­
зования.
21. Показать, что матрица пре­
Рис. 1.
образования базиса координатной
системы при отражении или повороте и матрица преобразования
компонент
вектора
совпадают.
Доказать, что при поворотах или отражениях четного
числа координатных осей определитель преобразования равен
22*.
+
1, а при отражениях нечетного числа координатных осей этот
определитель равен -1 *).
23. Показать, что если в некоторой системе координат соот­
ветствующие
компоненты
двух
векторов
пропорциональны,
они пропорциональны в любой другой системе координат.
кие векторы называются параллельными.)
24*.
то
(Та­
Во всех декартовых системах_ координат задана сово~
купность величин ещ, обладающих следующими свойствами:
при перестановке любых двух индексов eihl меняет знак;
е12з= 1.
III
зор
Показать, что эта совокупность eikl образует псевдотензор
ранга (совершенно антисимметричный единичный псевдотен­
111
25.
ранга).
Доказать,
что
компоненты
антисимметричного
тензора
II ранга при вращениях преобразуются как компоненты век­
тора.
26.
дения
Записать выражения для компонент векторного произве~
двух
векторов
и
вихря
вектора
с
помощью
единичного
антисимметричного тензора eikl· Указать, как преобразуются эти
величины при вращениях и отражениях.
"') Преобразования, определитель которых равен
ственными; преобразования с определителем
-1 -
+ 1,
называются соб­
несобственными,
13
27.
Доказать равенства:
а) e;h{e/mn
=
6imбhn -
б;r,бhmi
e;h[eh[m = 26im·
б)
28. Записать в инвариантной
а) einleirselmpestpanaгbmct;
векторной форме:
б) е inlekrselmpestpara:ьkь~ctc'm.
29. Показать, что Tihaibh -T;hahbi
произвольный тензор II ранга, а и Ь -
= 2ro • (а Х
векторы,
Ь), где Tih -
вектор, эк­
вивалентный антисимметричной части Tih·
30. Представить произведение [а·(Ь Х с)][а' ·(Ь' Х с')] в виде
ro -
суммы членов, содержащих только скалярные произведения век­
торов.
Указ ан и е. Применить теорему об умножении определите­
.rrей пли воспользоваться псевдотензором 111 ранга еш (см. за­
дачу 24).
31*. Показать, что единственным вектором, компоненты ко­
торого
одинаковы
во
всех
системах
координат,
является
нуле­
вой вектор; что всякий тензор II ранга, компоненты которого
одинаковы во всех системах координат, пропорционален бih;
+
+
тензор 111 ранга - e;h1; тензор IV ранга - ( бihбtm
6im6hl
бuбhт).
32*. Пусть п - единичный вектор, все направления которого
+
в пространстве равновероятны. Найти средние значения его ком1юнент и их произведений: ni, ninh, nin1,n1, n;n11n1nm, пользуясь
1рансфор:\1ационным свойством искомых величин, а не прямым
вычислением
33.
соответствующих
интегралов.
Найти усредненные по всем направлениям значения сле-
дующих выражений:
~.
(а · п) (Ь · п),
(а· n) п,
(а Х n)2,
(а Х п) · (Ь Х n), (а · n) (Ь · n) (с· n) (d · п), если п - единичный
вектор, все направления которого равновероятны, а, Ь, с и d постоянные
векторы.
Указ ан и е. ВоспоJ1ьзоваться результатами предыдущей за­
дачи.
34. Составить все возможные независимые инварианты из
полярных векторов п, п' и псевдовектора 1.
35. Какие независимые псевдоскаляры можно составить из
двух по.1ярных векторов n, п' и одного псевдовектора 1? Из тре~
полярных векторов n1, n2, nз?
§ 2.
В
Векторный анализ
произвольной ортогональной системе координат
квадрат элемента длины выражается формулой
d[2 -- h21 dq21 + h22 dq22 + h2з dq2з•
14
q1, q 2 , q3
(1. 14)
а элемент объема- формулой
(I. 15)
где
"v1( дq1
дх )2 ( ду )2 ( дz )2
+ дq1 + дq1
hi =
-
функции координат
(I.16)
(коэффициенты Ламэ). Различ·;ае днф­
ференuиальные операции записываются так:
дq>
1
(grad
QJ)i
= hi дqi
;
div А = -hlh
[ ад (h2h 3 Ai) + ад (h1h3 A2) + ад (h1h2Aз)];
1
2 lз
1
=
rotA
Q2
Q1
е1
е2
ез
h2hз
h1hз
h1h2
д
д
дq1
Qз
(I. 17)
д
дq2
,·
дqз
h2A2 h3 Аз
Л _ 1 [ д (l12hз i}q>)+ д (h1hз дq>)+ д (h 1 h 2 дq>)]
(J)
h1h2hз дq1 h1 дq1
дq2 112 дq2
дqз llз дqз ·
h1A,
I
J
В формуле для rot А дифференuиальные операторы __!!__
дейст­
дqi
вуют на элементы нижней строки определителя.
В сферической системе координат:
= r sin tt cos а, у= r sin tt sin а, z = r cos tt;
h,= 1, htJ=r, ha=rsintt;
х
дq>
et! дq>
grad (J) = е, аг+--;:- дt!-
е
дq>
+ rsi~ а
да;
1 д ( 2А)
1
д (А . А)
1 дАа.
. А --2-д
dIV
t)SlП u +-.-д • 1
r r r +-.-А
r
.,. -дА
.,.
r sm ...
u·
т
sш
(rot А), = r si~ t!- [
(rot А)
tJ
(rot А)
а
а
д~ (Аа sin tt) -
J
~~i; ] ;
= _1_
дА, _ _!_ д (rAa) •
r sin tt да
r
дr
'
= _!__
ЛqJ =
r
(I. 18)
д (rAi;) - _!__ дА, •
:2 :r
дr
(r
r
2
:; )
дt!-
'
+ r2 s~n tt
:6 (sin
tt
:i) +
+r
I
2
sin 2 {),
д2q>
да 2
•
15
В цилиндрической системе координат:
х
= r cos а,
у
= r sin а, z = z;
hr= 1, ha=r, hz= 1;
д!J)
еа д(JJ
_
д(JJ ,
gra d <р-еr-д
+еz-д ,
r + -r - i J
а.
z
div А= __!__i_ (rA) +__!._ дАа
r
дr
r
(rot А) = __!._ дАz r
r
да.
I
д
дА(' •
дz
(J)
+ дАz ·'
дz
(rot А) = дАr а
'
дz
дАz •
дr
t,
(1. 19)
'
I дАr
(rot A}z = , дг (r AJ л =
да.
r
, да. ;
__!._ ~ (, !!!!.) +-1 д2(JJ +
r дr
дr
,2 да.2
д2q,
дz2 '
При любых А и (J) имеют место тождества:
rot grad <р=О, div rot д-о, div grad <р=Л<р.
(1. 20)
Следующие основные интегральные теоремы позволяют пре­
(Jбразовывать объемные, поверхностные и I<онтурные интегралы
друг в друга.
Теорем а
О строг рад с к ого
-
Га у с с а:
f divAdV=~A·dS,
v
где V - пе1юторый объем,
чивающая этот объем.
Т е о р е м а С то к с а:
~ А · dl =
1- заl\шнутый
контур,
замкнутая поверхность, ограни­
S-
f rot А · dS,
(1. 22)
s
l
где
(1.21)
s
S-
произвольная поверхность, опи­
рающаяся на этот контур.
В формулах (1. 21) и (1.22) веI<Тор А должен быть диффе­
рrнцируемой функцией координат.
Записать циклические компоненты
36.
ческих
*)
градиента в сфери­
координатах.
37. Воспользовавшись декартовыми, сферичес1шми и цил,ш­
дрическими координатами, вычислить div r, rot r, grad (1 · r),
(1 · V) r, rде r - радиус-вектор, 1- постоянный ве1<Тор.
38. Выполняя все вычисления в сферических (или цилиндри­
ческих) координатах, найти rot(ro Х r), где rо-постоянный век­
тор, направленный по оси
*)
16
См. задачу
10.
z.
39.
Доказать тождества:
а)
б)
в)
grad (<p'IJ,) = <р grad 'ljJ + 'ljJ grad <р;
div (<рА) = <р div А+ А· grad<p;
rot(<pA) = <р rot А - А Х grad <р;
г) div(AX B)=B-rotA-A-rotB;
д) rot(A Х В)= А div В - В div А+ (В · V) А - (А· V) В;
е) grad (А· В)= АХ rot В+ В Х rot А+ (В· V) А+ (А· V)
указ а ни е.
Доказательство этих тождеств следует произ-
водить с помощью оператора
ренцирования
екциям
40.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
на
и
оси
В.
V,
перемножения
пользуясь
векторов
и
правилами диффе­
не переходя
к
про­
координат.
Доказать тождества:
С . grad (А· В)= А· (С · V) В + В · (С · V) А;
(С · V)(A Х В)= А Х (С · V) В - В Х (С · V) А;
(V · А) В =(А· V) В+ В div А;
(АХ В)· rot С= В ·(А· V) С -А· (В· V) С;
(А Х V) Х В = (А • V) В + А Х rot В - А div В;
(V Х А) Х В = А div В - (А • V) В - А Х rot В - В Х
rot А.
41. Вычислить grad<p(r); div<p(r)r; rot<p(r)r; (1 ·V)<p(r)r.
42. Найти функцию <р (r), удовлетворяющую условию
div<p(r)r=O.
43. Найти дивергенции и вихри следующих векторов: (а · r) Ь,
(а· r) r, (а Х r), <р (r)(a Х r), r Х (а Х r), где а и Ь - постоянные
векторы.
44. Вычислить grad А (r) • r, grad А (r) • В (r),
rot<p(r)A(r), (1 ·V)<p(r)A(r).
45. Вычислить grad Р /
r
div <р (r) А (r),
и rot Р r~ г (р - постоянный вектор),
воспользовавшись выражениями градиента
и
вихря
в сфериче­
скпх координатах. Найти векторные тшпи дJiя этих векторов
(дать рисунок).
46. Доказать, что
(А·
47.
стемы
при
Записать проекции вектора ЛА на оси сферической си­
У к а з а н и е.
Воспользоваться тождеством ЛА =
49. Интеграл по объему
f (grad <р • rot А) dV преобразовать в
интеграл по поверхности.
В.
·
Вычислить интегралы ~ r (а, n) dS, ~(а· r) n dS, где а­
постоянный ве~пор, п
2
-rot rot А+
Записать проекции вектора ЛА на оси цилиндрической
с11стемы координат.
50.
A2 =const.
координат.
+- grad div А.
48.
V)A=-AXrot А
В. Батыrии, И. Н.
-
орт нормали к поверхности.
Топтыгин
.,
17
f
51. Интегралы по замкнутой поверхности~ n<p dS,
(n ·
Ь) а dS (Ь - постоянный вектор,
зовать
в
no
интегралы
объему,
f (n Х a)dS.
орт нормали) преобра­
n-
заключенному
внутри
поверх­
ности.
Указ ан и е. Решение выполнить по образцу предыдущей за­
дачи.
52. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в пре­
дыдущей задаче, вывести закон Архимеда путем суммирования
сил давления, приложенных к элементам поверхности погружен­
ного в жидкость тела.
53*.
Пусть
f (а, r)
удовлетворяет условию
f (с1а1 + с2а2,
r)
=
c1f (а1,
r) + cJ (а2, r),
где С1 и с2 - произвольные постоянные, и является дифферен­
цируемой функцией r. Доказать, что если V - произвольный
объем, S - ограничивающая его поверхность и n - орт внешней
нормали к этой поверхности, то имеет место обобщенная тео­
рЕма Остроградского - Гаусса:
f
Оператор
и
V
f(n, r)dS=
f f(V,
r)dV.
в подынтегральной функшш
f(V,
г) действует на
r
стоит левее всех переменных.
Указ ан и е. Разложить n по ортам декартовой системы ко­
ординат и воспользоваться теоремой Остроградского - Гаусса:
f :~
dV
=
~ <pnx dS.
54. Решить задачи 50 и 51 с помощью обобщенной теоремы
Остроградского - Гаусса, доиазанной в предыдущей задаче.
Интеграл по замкнутому ионтуру ~ <р dl преобразовать
55.
в интеграл
56.
поверхности, опирающейся на этот контур.
no
f и df, взятый
Интеграл
no
некоторому замкнутому кон­
туру, преобразовать в интеграл no поверхности, опирающейся
на этот контур (и,
скалярные функuии координат).
57. Доказать тождество
·
f-
f (А· rot rot В 58.
div А =
Аn
=
Внутри
В· rotrotA)dV =
О,
а
на
объема
граниuе
О. Доказать, что
вектор
объема
f А dV = О.
v
18
V
f [(В Х rot А)-(А Х rot В)]· dS.
А
удовлетворяет
(поверхность
S)-
условию
условию
59*. Доказать, что
.f
dtv~
А (r) dV
R-rl = О, где A(r)- ве({тор,
1
определенный в предыдущей задаче.
60. Для трехмерного тензора II ранга доказать теорему Ост­
роградского - Гаусса:
f
a;:tk dV =
~ Ttk dSt.
Указ ан и е. Исходить из теоремы Остроградского - Гаус­
са для вектора Ai = Tif,ah, где а - произвольный постоянный
вектор.
61.
Найти общий вид решения уравнения Лапласа для Сl{а­
лярной функции, зависящей только: а) от
r;
б) от
~;
в) от а
:(с-ферические координаты).
62. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для ска­
лярной функции, зависящей только: а) от r; б) от а; в) от z
(цилиндрические координаты).
63. Показать, что если скалярная функция 'ljJ является реше­
нием уравнения Л'ljJ
k 21J, = О и а- некоторый постоянный век­
+
L = grad 'Ф, М = rot(a'lj)), N = rot М
+ k2A = О.
х2
у2
z2
- 2 +-ь
изображает эл2 = l (а> Ь >с)
2
тор, то векторные функции
удовлетворяют уравнению ЛА
64*.
Уравнение
а
+с
липсоид с полуосями а, Ь, с.
Уравнения
х2
а2 + ~
у2
z2
+ ь2 + ~ + с2 + ~ = l,
изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухпо­
лостной гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Че­
рез каждую точку пространства проходит по одной поверхности,
характеризуемой значениями
'1'), ~- Числа
'l'J, ~ называются
эллипсоидальными координатами точки х, у, z. Найти формулы
преобразования от
'1'), ~ к х, у, z. Убедиться в ортогональности
эллипсоидальной системы
координат.
Найти
коэффициенты
s,
s,
s,
.rlамэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных координатах.
65*. При а= Ь
с эллипсоидальная система координат (см.
>
предыдущую задачу) вырождается в так называемую спJ1юсну1·ую сфероидальную систему координат. Координата ~ при этом
переходит в постоянную, равную -а 2 и должна быть заменена
другой координатой:. В качестве последней выбирают азимуталь­
ный угол а в плоскости ху. Координаты
2*
s,
'l'J определяются из
19
уравнений
,2
z2
,2
z2
а 2 + s + с2 + s
а2 + 1J
=
l,
+ с2 + 1J = 1,
r'l.= х2+ у2,
s> -с2, -с2 > Т) > -а2.
где
Поверхности
= const
представляют
собой
сплюснутые
эллипсоиды вращения вокруг оси z, поверхности ri = const -·
софокусные с ними однополостные гиперболоиды вращения
6
(рис. 2).
Найти выражения r, z в сплюснутых сфероидальных коорди­
натах, коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в этих коордп­
натах.
:z:
z
\
/
\
~=СОЛS!
1 71=coлsl
I
\
\
,,
/
\
/
1
1
1
,,
r
1
1
1
I
,,
\
I
/
\
,/
Рис.
-''
,
r
......
(=coлst
\
/
.,-
,,
,,
,
=coлst
''
\
2.
Рис.
3.
66*. Вытянутая сфероидальная система координат получает­
ся из эллипсоидальной (см. задачу 64) при а> Ь =с. Коорди­
~-;ата
ri
менена
при этом вырождается в постоянную и должна быть за­
азимутальным
ОТ ОСИ у.
Координаты
углом
а,
отсчитываемым
в
плоскости
yz
s, ~ определяются из уравнений
,2
а2 + s + ь2 + s = 1,
,2
а2 + ь + ь2 + ь = l,
х2
х2
r2 =
где
6> -Ь 2 ,
-Ь 2
> ~ > -а •
2
s
у2+
z2,
Поверхности постоянных
и ~ представляют собой вытянутые
э.11липсоиды и двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 3).
20
6, t; найти коэффициенты Ламэ
6, t, а.
координаты 6, f}, а связаны с декартовыми
Выразить величины х, r через
и оператор Лапласа в переменных
Бисферические
67.
координатами
соотношениями:
sin 'IJ cos а
ch
cos 'IJ '
а
X=----'---
у=
s-
sin 'IJ sin а
ch -cos 'IJ '
а
s
s
а sh
z=----,--=--~~ch
cos 'IJ '
s-
rде
а
постоянный
-
параметр,
-оо
<
0 <а< 2л.
Показать, что координатные поверхности
ляют собой сферы х2 +
ТJ=Const
оси
z,
-
у2
+ (z -
веретенообразные
уравнение
Q
cth ю 2 =
6<
6=
( s~ S
поверхности
оо,
О<
const
)2,
f} <
Л,-
представ-
поверхности
вращения
вокруг
которых
(V х2 + у2 - а ctg f})2 + z2 = (-.-а-)2'
'IJ
SIЛ
поверхности а
= const -
полуплоскости, расходящиеся от оси
Рис.
z
4.
(рис. 4). Убедиться в том, что эти координатные поверхности ор-­
тогональны между собой. Найти коэффициенты Ламэ и оператор
Лапласа,
21.
68.
Тороидальные
нальную
систему
координаты
и
связаны
с
р,
s,
а
обазуют
декартовыми
ортого­
координатами
соотношениями:
а sh р cos а
Х = ch р - cos
а sh р sin а
У = ch р - cos
asin
z=-,---~=ch p-cos
s'
s'
s
s'
где а-постоянный параметр, -(Х) < р < сю,
-:rt < s-4:rt,
:rt.
а­
азимутальный угол, изменяющийся в пределах от О до
Показать, что р = ln!.!_
Г2
плоскости а =
const,
а
(см. рис. 5, на котором изображены
+ :rt =
const),
р:О
(s>O
s
представляют
z
Рис.
собой угол между r1 и r2
а величины
5.
при
z>O
и ~<О при
вид имеют координатные поверхности р
циенты Ламэ.
и
s?
z<O).
Найти
Ка!{оЙ
коэффи­
ЛИТЕРАТУРА
Смирнов В. И. [94, 95]. Кочин Н. Е. [62], Тамм И. Е. [101], Стрэт­
тон Дж. А. [100], Гельфанд И. М. [30], Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапи­
ро 3. Я. [31], Морс Ф. М., Фешбах Г. [81], Лебедев Н. Н., Скальская И. П .•
Уфлянд Я. С. [69].
ГЛАВА
II
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ
ПОЛЕ В
ВАКУУМЕ
В этой главе содержатся задачи на определение потенциала
(J)(г) и напряженности поля Е(г) по заданному распределению
зарядов, характеризуемому объемной р(г), поверхностной а(г)
или линейной :н(г) плотностью. Распределение точечных зарядов
может быть описано объемной плотностью р (г)
= ~ q/) (r - rд,
i
где Qi - величина i-ro заряда, ri - радиус-вектор i-го заряда,
l, (г- гi)- 6-функция (см. приложение 1). Напряженность элек­
трического поля удовлетворяет уравнениям Максвелла
div Е =
rot Е =
4лр,
О.
(11. 1)
Бывает полезна интегральная форма первого из этих уравнений
(электростатическая теорема Гаусса):
(11. 2)
где S - некоторая замкнутая поверхность, q - полный заряд
внутри этой поверхности. Напряженность и потенциал электри­
ческого поля
связаны
соотношениями:
ro
Е=
-
gradq,,
q,(r)
=
f Е · dr,
q, (r0)
= О.
(11. 3)
r
Потенциал
q, удовлетворяет уравнению Пуассона
Лq,=
-
4лр.
(11.4)
Потенциал непрерывен и конечен во всех точках пространства,
где нет точечных зарядов, в частности, па заряженной поверх­
=
ности, разделяющей области
производные
q,
1 и 2, q, 1 q, 2 (рис. 6). Нормальные
терпят разрыв на заряженной поверхности:
Е2п - Е ln = 4Л(]
ИЛИ
дq,. дп
д(j)2
дп
= 4"'(],
"
(11. 5)
23-
Нормаль n направлена из области 1 в область 2.
На поверхности двойного электрического слоя с мощностью 'f
(см., например, [101])
q:J2 -q:J 1 =4nт
(11. 6)
'(нормаль n имеет направление от отрицательной стороны слоя
к положительной).
Если распределениям зарядов р1
и р2 соответствуют потен­
QJt и QJ 2, то потенциалом распределения заряда р=р1 +р 2
является Q) = QJt
QJ2 (принцип суперпозиции). То же справе.в.­
циалы
+
ливо для электрического поля Е. В частности, принцип суперпо­
зиции
2
ных
позволяет из потенциалов
зарядов
вания
получать
q/r
потенциалы
элементар­
путем суммиро­
сложных
систем
за­
рядов
QJ (r)
!
=
f
р (r') dV'
1r - r' 1
(11. 7)
Рис. 6.
В случае поверхностного или линейного распределения зарядов объемный интеграл в
заменяется соответствующим поверхностным или линей­
(II. 7)
ным
интегралом,
а
в
случае
системы
точечных
зарядов
-
сум­
мой по зарядам. Это замечание отно­
сится
также
ко
всем
нижеследующим
формулам, в которых содержатся объ­
емные интегралы по распределению за­
рядов.
В большинстве случаев прямое вы­
числение интеграла (II. 7) затрудни­
тельно. В связи с этим часто применя­
ется
представление
потенциала в виде
ряда, который получается в результате
разложения
подынтегрального
жения по степеням
или
x/r
x'/r
выра­
и по­
членного интегрирования. Такое разложение можно получить как в декарто-
Рис.
7.
вых, так и в сферических координатах.
Декартовы координаты (рис. 7). При r> а (а-наибольшее
расстояние зарядов системы от полюса О)
q
·QJ(X,
д
у, z)=,:--Радха
I
Qap
д2
·,:-+21 дхадх13
Qapy
- 3!
Мультипольные моменты
.24
·,дз
дхадх13дху
'r '.'
(11. 8)
q, Ра, Qaa ... выражаются объемными
интегралами:
f p(r')dV Ра = f р (r')x~ dV' - компоненты дипольного момента,
Qщ1 f р (r') х~х~ dV' - компоненты квадрупольного
1
q=
полный заряд системы,
(II. 8')
=
момента.
Величины q, Ра, Qar, . . • при повороте системы координат
nреобразуются соответственно как скаляр, вектор, тензор II
ранга и т. д. Второй и третий члены потенциала
(11. 8) могут
быть записаны в форме
m(P)=R....:..!_
ТЗ
't'
где р
<p(Q)
=
=
2
(Рх,
~s
Pv, Pz)-
(11.9}
'
вектор дипольного момента системы;
[(Зх2 - Г2) Qxx + (3у2 - r2) Qyy + (Зz2 - r2) Qzz +
+ 6xyQxy + 6xzQxz + 6yzQyzJ,
(11. 9')
I
1-
Сферические координаты. Используем разложение
г - г 1,
приведенное в пршюжении 2 (П 2.15). Подставляя это разло­
жение в (11. 7), получим при r
r':
>
00
r) = ,...,
<р
~
(
/
,...., --.. /
V
""8,j
l=O m=-l
где Q 1 т -
мулыипольный
Qlm =
Если
> r,
r'
4:rt • Q1тУ1т (,О., а)
21 + 1
rl+l
момент порядка
V 2/: 1f Р
то в (П
2.15) r
и
(r') r'
r'
(r > r'),
l,
(11. 1О)
т;
Y;m (-&', а') dV'.
1
(II. ] l)
меняются местами и
,..., ~ ,,/4п l '
~ V 21 + 1 r Q1тУ1т (-&,
<р (r) = .../
а)
(r< r'),
(11. 12)
l=O m=-l
где
, -- ,,V1 ~ +
Qlm
21 1
f
Р (r') у* (-&' а') dV'.
r'l + 1
lm
,
(11. 13)
Если точка наблюдения r находится внутри распределения
зарядов (см. рис. 7), то нужно разбить область интегрирования
в
(11. 7)
на две части сферой радиуса
r
с центром в полюсе О.
При интегрировании по области внутри сферы нужно пользо­
ваться разложением (П 2.15). при интегрировании по внешней
области - формулой· (П 2.15) с заменой
~
r
r\
25
Реальные системы зарядов всегда ограничены, и их потен­
циал убывает на больших расстояниях не медленнее, чем
1/r.
Но при рассмотрении поля вблизи средней части длинного ци~
линдра или ограниченного плоского тела целесообразно идеали­
зировать задачу, считая тело бесконечным. При этом потен­
циал не убывает на бесконечности, но он правильно описывает
поле на
расстояниях,
Наглядное
малых
по сравнению с размером
представление
о
структуре
поля
дают
тела.
силовые
JIИнии и эквипотенциальные поверхности. Си.'ювые линии опре­
деляются из системы дифференциальных уравнений, которая в
произвольных
ортогональных
координатах
q 1, q2, q 3
имеет
вид
(11. 14)
тде hi - коэффициенты Ламэ; эквипотенциальные поверхности
описываются уравнением cp(r)
coпst.
Точками равновесия поля называются точки, находящиеся
=
ш1 конечном расстоянии от системы зарядов, в которых Е = О.
Энергия электростатического поля может быть вычислена по
.одной из формул:
W = 8~
fЕ
2 dV,
W=
~
f
PIP dV
(11. 15)
(эти
формулы эквивалентны, если заряды сосредоточены в
конечной области пространства, а интегрирование распростра­
няется на все пространство).
Энергия взаимодействия двух систем зарядов I и 2 опреде·
Jiяется
выражениями:
(11. 16)
_ Обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены
дифференцированием И или W по соответствующим обобщенным координатам
ai:
дU
F
-=i
дщ
или
дW
F
-=i
дщ,.
(11. 17)
Обобщенная сила положительна, если она стремится увеличить
<:оответствующую
координату.
69. Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно за­
ряжена по объему с плотностью р. Найти потенциал ip и на 4
пряженность Е электрического поля.
70. Заряд распределен в пространстве по периодическому за­
кш;у р = ро cos ах cos ~у cos yz, образуя бесконечную простран­
ственную периодическую решетку. Найти потенциал ер электри 4
ческого поля.,
26
71. Плоскость z = О заряжена с плотностью, меняющейся по·
периодическому закону а=ао sin ах sin ВУ, где ао, а, ~ - по-·
стоянные. Найти потенциал (J) этой системы зарядов.
72. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса
рав­
номерно заряжен по объему или по поверхности так, что на еди­
ницу его длины приходится заряд х. Найти потенциал (J) и на­
пряженность электрического поля Е.
73. Найти потенциал (J) и напряженность Е электрического
поля равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити.
74. Найти потенциал (J) и напряженность Е электрического
R
поля равномерно заряженного прямолинейного отрезка дли­
ной 2а, занимающего часть оси z от -а до +а; заряд отрезка q.
75.
Найти
форму эквипотенциальных
поверхностей
равно­
мерно заряженного отрезка, рассмотренного в предыдущей за­
даче.
76. Найти потенциал (J) и напряженность Е электрического
поля шара, равномерно заряженного по объему. Радиус шара
R,
заряд
q.
77. Найти потенциал (J) и напряженность Е электрического
поля сферы радиуса R, равномерно заряженной по поверхности.
Заряд сферы
78.
q.
Внутри шара
объему с
R,
радиуса
шютностью
р,
имеется
равномерно
заряженного
незаряженная
по
шарообразная
полость, радиус которой R1, а центр отстоит от центра шара на
расстояние а ( а
R1 R). Найти электрическое поле Е в по­
+
<
лости.
79. Пространство между двумя концентрическими сферами,
радиусы которых R1 и
(R1
R 2 ), заряжено с объемной плот­
ностью р = a/r2 • Найти полный заряд q, потенциал (J) и напря­
женность Е электричес1юго поля. Рассмотреть предельный слу­
чай
-R 1, считая при этом q = const.
80. Найти энергию эле1простатического поля W для рас­
R2
<
R2
пределений зарядов, указанных в задачах
вычисления двумя способами (см. (11. 15) ).
76, 77, 79.
Провести
81. Заряд распределен сферически симметричным образом:
р = р (r). Разбив распределение заряда на сферические слои,
выразить через p(r) потенциал (J) и напряженность Е поля (за­
писать (J) и Е в виде однократного интеграла по
82.
83.
r).
Используя результаты задачи 81, решить задачи 76 и 79.
Заряд электрона распределен в атоме водорода, находя-
щемся в нормальном состоянии, с п.rютностью р (r) = -
еоз Х
na
Х ехр[ - ~]. а = 0,529 • 1o-s см - боровский радиус атома, elJ =
= 4,80 · 10- 1° CGSE - элементарный заряд. Найти потенциал (J)e
и напряженность Eer электрического поля эле1пронного заряда,
а также полные потенциал (J) и напряженность поля Е в атоме,
27
·считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат.
Построить приблизитедьный ход величин QJ и Е.
Указ ан и е. Полезно воспользоваться методом решения за~
дачи 81.
84. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный
шар,
найти
максимальное
значение
напряженности
его
элек­
трического поля Emax· Радиус ядра R. = 1,5 • 10- А ' см, заряд
Ze0 (А - атомный вес, Z - порядковый номер, е0 - элементар~
13
11
ный заряд).
85. Используя результат задачи 81, решить задачу 77.
86. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заря­
женных колец одинакового радиуса R находятся на расстоянии
а друг от друга. Работа, которую надо совершить, чтобы пере­
нести точечный заряд
q
из бесконечности в центр каждого из
колец, равна соответственно А 1 и А 2 • Найти заряды на кольцах
q1
И
q2.
87.
поля
Найти IЮ1"енциал QJ и напряженность
на
оси
равномерно
заряженного
Е электрического
круглого
тонкого
диска
R;
радиуса
заряд диска q. Убедиться в том, что на поверхности
-диска нормальная составляющая
Е испытывает скачок 4ла.
Рассмотреть поле на больших расстояниях от диска.
88. Тонкое круглое кольцо радиуса R состоит из двух рав­
номерно
и
q
Найти потенциал QJ и напряженность Е электрического
и
- q.
противоположно
заряженных
полуколец
с
зарядами
поля на оси кольца и вблизи нее. К:аков характер поля на боль~
ших расстояниях от кольца?
89. Выразить потенциал QJ равномерно заряженного круглого
-~онкого кольца с зарядом q и радиусом R через полный эллип­
тический интеграл первого рода
n/2
K(k)=
f
YI-~~sin 2 ~ .
о
Указ ан и е. При
<:делать замену а'
=
выполнении
л
интегрирования
по
азимуту
- 2(3.
90. Получить из общей формулы, описывающей потенциал
-тонкого круглого кольца (см. задачу 89), потенциал QJ электри­
ческого поля: а) на оси кольца; б) на больших расстояниях от
кольца; в) вблизи нити кольца.
Указ ан и е. Для случая в)
воспользоваться
формулами
(8.113) в справочнике [91].
91. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по
{)' = а0 cos -6-. Найти потенциал QJ электрического поля,
закону
исполь ..
зуя разложение по мультиполям в сферических координатах.
92.
Источники электрического поля расположены аксиально
симметричным образом. Вблизи оси симметрии системы источ~
.28
ню<и
поля
отсутствуют.
Выразить
потенциал
<р
и
напряжен­
ность Е электрического поля вблизи оси симметрии через зна­
чения потенциала <р и его производных на этой оси.
93. Найти потенциал <р электрического поля равномерно за­
ряженного
круглого
тонкого
кольца,
используя
разложение
по
мультиполям в сферических координатах. Заряд кольца q, ра­
диус
94. Найти потенциал <р электрического поля на больших рас­
R.
стояниях от следующих сист'ем зарядов: а) заряды q, -2q, q
расположены по оси z на расстоянии а друг от друга (линей­
ный квадруполь); б) заряды ±q расположены в вершинах квадJ
рата со стороной а так, что соседние заряды имеют разные
знаки, причем в начале координат находится заряд
+q,
а сто­
роны квадрата параллельны осям х и у (плоский квадруполь).
95. Найти потенциал <р электрического поля на больших рас­
стояниях от следующих систем зарядов: а) шшейный октупо.пь
(рис.
8,
а), б) пространственный октуполь (рис.
z
8,
б).
z
+у'
(l
и
+J'y"
{Z
-t; 6---------
а)
tJ;
Рис.
96.
Точечный заряд
q
8.
находится в точке со сферическими ко~
ординатами (ro, -&о, ао). Разложить по мультиполям потенциал <р
этого
заряда.
97.
Эллипсоид с полуосями а, Ь, с равномерно заряжен по
объему;
полный
заряд
q.
эллипсоида
Найти
потенциал
<р
на
больших расстояниях от эллипсоида с точностью до квадруполь­
ного члена. Рассмотреть частные случаи эллипсоида вращения
с полуосями а= Ь и с*) и шара (а
Ь
с).
Указ ан и е. При интегрировании по объему э"1липсоида
=
nоспользоваться
х
= ar sin -& cos а,
98.
лых
обобщенными
=
сферическими
=
=
координатами
у
br sin tJ' sin а, z
cr cos 'lt.
Два коаксиальных равномерно заряженных тонких круг­
кольца
с
радиусами
а
и
Ь
(а>Ь) и зарядами
q
и
-q
*) Атомные ядра, обладающие квадрупольным моментом, можно в неко­
тором приближении рассматривать как эллипсоиды вращения.
29
соответственно, расположены в одной плоскости. Найти потен­
циал <р на большом расстоянии от этой системы зарядов. Срав­
нить его с потенциалом Jшнейного квадруполя
99*.
Показать, что
распределение заряда
(см. задачу
р
=
-(р' ·
94).
V)b(r)
описывает элементарный диполь с моментом р', помещенный в
начало координат. Пояснить результат, воспользовавшись на·
глядным представлением Ь-функции (приложение I).
У к а з а ни е. Исходить
из
разложения
по
мультиполям
в.
декартовых координатах.
100.
Доказать, что распределение зарядов
п
р = q П (ai · \7) Ь (r)
i=I
создает потенциал
п
<p(r)
=
q П (а 1 • V)J....
i=I
101. Используя результаты задачи 94 и учитывая, что квад­
рупольный момент является тензором II ранга, найти потен­
циал <р электрического поля на большом расстоянии от ли­
нейного .квадруполя, направление оси которого определяется
полярными углами
V,
f3.
Каким еще способом
можно решить
задачу?
Пространственный октуполь (рис. 8, 6) повернут вокруг
на угол
Найти поле <р на больших от него расстояниях
путем преобразования ком-
102.
оси
z
f3.
z
понент
мента.
октупольного
методами
103.
..,_=:,1,-::,'~==="?':7'7""-У
мо­
Сравнить с другими
решения.
Найти
потенциал
электрического
поля
больших
расстояниях
плоского
квадруполя,
положенного
в
rp
на
от
рас­
плоскости.
z
проходящей
через
ось
(рис. 9). Компоненты ква-
_9
друпольного
чить
Рис.
9_
также
путем
ского
квадруполя,
тренного
104.
Шар радиуса
R
момента
равномерно
полу-
непосредственно,
в
поворота
задаче
а
пло-
рассмо­
946).
поляризован, дипольный
момент единицы объема Р. Найти потенциал <р электрического
поля.
105.
ностью
30
Двумерное.распределение заряда характеризуется п.rют­
р (r), не 3ависящей от координаты z. Если р (r) =/= О в
()Граниченной области
тенциал
S
плоскости ху, то можно раз.rюжить по­
1Р вне распреде.1ения
зарядов
по
мультиполям
мерные мультнполи). Найти это разложение.
указ ан и е. Использовать результат задачи
цип суперпозиции, а также разложение ln (1
= -2~
co~kff!
+и
2
73
11
(дву­
прин­
- 2и cosQJ)
=
u1Z, lиl<l (см. [91], (1.514)).
k=I
106.
Разложить по
двумерным
мулыиполям
потенuиал
<р
электрическогв поля линейного заряда к Заряженная линия
параллельна оси z и проходит через точку (ro, схо) плоскости ху.
107. Найти потенциал <р электрического поля на большом
расстоянии от двух близ1шх параллельных линейных зарядов х
и -х, расположенных па расстоянии а друг от друга (двумер­
ный диполь).
108. На диске радиуса R имеется двойной электрический
слой мощностью 't = const. Найти потенциал 1Р и напряжен­
ность Е электрического поля на оси симметрии, перпендику­
лярной плоскости диска.
109. Найти напряженность Е электрического поля двойного
эле1прического слоя мощностью т = coпst, занимающего полу­
плоскость у = О, х
О. Сравнить с магнитным полем беско­
нечного прямолинейного тока, текущего вдоль оси z. Решить
задачу двумя способами: а) прямым: суммированием напря­
женностей, создаваемых малыми элементами двойного слоя;
б) определив сначала электростатический потенциал <р.
110. Найти уравнения силовых линий системы двух точеч­
ных зарядов: заряда +q, находящегося в точке z = а, и заряда
>
±q,
находящегося в точке
z
= -
а; начертить силовые линии.
Имеются ли в поле точки равновесия?
Указ а ни е. Вследствие симметрии силовые линии распо­
лагаются в плоскостях а = const, а Ez и Е, не зависят от а (uи­
.лнндрические координаты). Переменные в дифференциальном
уравнении силовых линий (11. 14) разделяются после замены:
z+a
и=--
r
z-a
'
v=--.
r
111. Используя результаты предыдущей задачи, найти урав­
нение силовых линий точечного диполя в начале координат.
112. Найти уравнение силовых линий линейного квадрупо­
.нн (см. задачу 94а) и нарисовать примерную картину силовых
линий.
113. Доказать, что поток напряженности электрического поля
q через поверхность S равен qQ. Здесь Q - те­
-точечного заряда
лесный угол, под которым виден контур поверхности
где находится заряд
q (Q
> О,
S
из точки,
если из этой точки видна отрица­
-rельная сторона поверхности).
31
Заряд Q1 находится на оси симметрии круглого диска
114.
радиуса
а на
q1
чины
заряд
расстоянии а от плоскости диска.
нужно
поместить
в
симметричную
Какой
вели~
относительно
диска точку, чтобы поток электрического поля через диск в сто~
рану заряда
115*.
q1
был равен Ф?
Найти уравнение силовых линий системы п коллинеар·
z
q 1, q.2, • •• , Qп, расположенных в точках z 1, 2 , ••• , Zn
не интегрируя дифференциальных уравнений силовых ли·
ных зарядов
z,
оси
ний. Применить теорему, доказанную в задаче 113 к силовой
трубке, образованной вращением силовой линии вокруг осн
Lимметрии.
Используя результат предыдущей задачи,
116.
найти ура в"
нение силовых линий системы двух точечных зарядов
дачей
11 О) и линейного квадруполя ( ер.
117. Равномерно заряженные нпти,
--х 2
на
единицу длины,
параллельны
(ер. с за·
с задачей 112).
несущие заряды
между
собой
и
-х 1
и
отстоят
друг от друга на расстояние h. Найти, при каком соотношении
между -х 1 и -х 2 в числе поверхностей равного потенциала этой
системы будут круговые uилиндры конечного радиуса. Опреде·
лить радиусы и положение осей цилиндров.
118. Точечные заряды q 1 и -q 2 находятся на расстоянии h
друг от друга. Показать, что в числе поверхностей равного по·
тенциала этой системы имеется сфера конечного радиуса. Оп·
ределнть координаты ее центра и радиус. Найти значение по"
тенциала q:i на поверхности этой сферы, если q:i ( оо} = О.
119. Каким распределением за рядов создается потенциал,
имеющий в сферических координатах вид: q:i (r) = qe-ar /r, где сх,
q-
постоянные?
120.
данный
q:i
с
Каким должно быть распределение зарядов, чтобы соэ·
им потенциал имел в сферических координатах вид
7 + 1),
(r} = : 0 ехр [ - ; ] · ·(
121. Найти энергию
2
ядром
в
атоме
где е 0 , а - постоянные?
взаимодействия U электронного облака
водорода. Заряд электрона распределен в
атоме с объемной плотностью р (r} = е°з ехр [- ~], где е 0 па
а
элементарный заряд (ер. с задачей 83), а- постоян-ная (боров"'
ский радиус атома).
122.
В некотором
приближении
можно
считать, что
элек·
тронные облака обоих электронов в атоме гелия имеют одина·
"
ковыи
вид и характеризуются
о
б ъемнои"
плотностью р
= -
Вео Х
паз
Х ехр [- ~ ] , где а -боровский радиус атома, е0 - элемент ар·
ный заряд. Найти энергию взаимодействия U электронов в
атоме гелия в этом приближении (нулевое приближение теории
возмущений).
32
123.
Центры двух шаров с зарядами
+
q1
и
q2
находятся на
расстоянии а друг от друга (а> R1
R2, где R1, R2- радиусы
шаров). Заряды распределены сферически симметр11чным otipa~
зом. Найти энергию взаимодействия U шаров и действующую
между ними силу F.
124. Мыльный пузырь, висящий на открытой трубке, стяги­
nается под действием поверхностного натяжения (коэффициент
поверхностного натяжения а). Считая, что диэлектрическая
прочность воздуха (напряженность поля, при которой происхо­
дит пробой) равна Е 0 , выяснить, можно ли, сильно заряжая пу­
зырь, предотвратить его сжатие. Каков минимальный равновес­
ный радиус R пузыря?
125*. Два параллельных коаксиальных тонких кольца с ра­
диусами а и Ь несут на себе равномерно распределенные за­
ряды q1 и Ч2- Расстояние между плоскостями колец с. Найти
энергию взаимодействия U колец и действующую между ними
силу F.
126. Найти силу F и вращательный момент N, приложенные
к
электрическому
ряда
диполю
с
моментом
р
в
поле
точечного
за­
q.
127. Диполь с моментом р 1 находится в начале координат.
а другой диполь с моментом Р2 - в точке с радиусом-векrором г.
Найти энергию взаимодействия U этих диполей и дейстйующую
между ними силу F. При кшюй ориентации диполей эт-а сила
максимальна?
128. Система зарядов характеризуется объемной плотностью
р (г) и занимает ограниченную область в окрестности некоторой
1·очки О. Система помещена во внешнее электрическое поле, ко­
торое в окрестности этой точки может быть представлено в виде
(J)1
(г) = ~
l,
т
V
4
2[ : 1
а1тr 1 У1т (tl-, а).
Найти энергию взаимодействия системы
выразив
ее через
(ер. с задачей
щ,.,.
и
мультипольные
166).
U с внешним полем
моменты
(J)i,
Q 1т системы
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [101], Абраrа.м-Беккер [l], Джексон Дж. [54], Френ­
кель Я. И. [111], Стрэттон Дж. А. [ЮО], Смайт В. [93}, Гуревич Л. Э. f49] ..
Пановский В., Филипе М. [86].
ГЛАВА
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 1.
Ш
ПРОВОДНИКОВ
И
ДИЭЛЕКТРИКОВ
Основные понятия и методы электростатики
Электростатическое поле в диэлектрике характеризуется век­
тором напряженности электрического поля
Е и вектором элек­
трической индукции D, ·которые удовлетворяют уравнениям:
rotE=O,
~E 1 dl =0,
}
i
или
(111. l)
D.dS~4nq, /
divD~4np.
где р - плотно:ть свободных зарядов в диэлектрике,
ный свободный заряд, заключенный внутри поверхности
ность
связанных
зарядов
в
диэлектрике
можно
q- пол­
S.
Плот~
выразить
через
вектор поляризации Р (электрический дипольный момент еди­
ницы объема диэлектрика, создаваемый связанными зарядами):
Рев=
- div Р.
(111. 2)
Вектор поляризации Р выражается через Е и
.
D=
Е
D:
+ 4л:Р .
(111. 3)
Для изотропных диэлектриков в достаточно слабых полях
D
= вЕ,
(111. 4)
где в - диэлектрическая проницаемость среды. В анизотропных
диэлектриках в - тензор II ранга, т. е.
(111. 5)
Di = BikEk
(суммирование по
k).
-
скалярной величиной
Для описания поля удобно пользоваться
потенuиалом qJ:
ro
Е = - grad (fl,
где•
34
r-
(fl
(r) =
f Е · dr,
радиус-вектор точки наблюдения, (fl (ro) = О.
(111.6)
Потенuпал удовлетворяет уравнению
div (е grad ip) =
которое
в
тех
областях,
4:пр,
-
где диэлектрик
(III. 7)
однороден,
сводится
к уравнению Пуассона
Л~р=
4лр
-.
е
(111. 8)
На поверхностях раздела сред с разными диэлектрическими
прониuаемостями
должны
выполняться
Е1т; = Е2т;,
граничные
условия
D2n - D1n = 4:nO' *)
(111. 9)
или
е дер~ - ~ дср 2 = 4ЛО'.
I дп
(111. 10)
дп
Орт нормали n проведен из первой среды во вторую; t - орт,
касательный к поверхности, О' поверхностная плотность сво­
бодных зарядов. Поверхностная плотность связанных зарядов
<Jсв на границах раздела определяется формулой
(111. l l)
Основная задача электростатики - нахождение потенuиала ip
электрического поля. Она может быть решена разными мето­
дами. Основным методом является решение дифференuиальных
уравнений (111. 7) или (111. 8) с граничными условиями (111. 9)
или (111. 10). Иногда удается подобрать такую систему фиктив­
ных точечных зарядов, поле которой в рассматриваемой области
как дифференuиальному уравнению, так и гра­
удовлетворяет
ничным условиям (метод изображений). В ряде случаев удается
найти систему изображений простым подбором (см., например,
далее, задачи 142, 146, 153, 155).
Внутри проводников, находящихся в постоянном электриче­
ском поле, Е
О. Поэтому граничные условия на поверхности
=
проводника имеют вид
Ет;=О,
ip=const.
(111. 12)
Ес.11и некоторая область пространства занята диэлектриком
с проницаемостью е, и известно электростатическое поле во всем
пространстве, то при е
-
оо это поле принимает такой же вид,
какой оно имело бы, если бы данная область была занята про­
водником.
Задача об определении электрического поля, создаваемого
заданной ограниченной системой заряженных проводников, на­
ходящихся
известен
в
диэлектрике,
либо
по.11ный
имеет
заряд
единственное
каждого
решение,
проводника,
либо
если
его
"') Граничные условия в форме (111. 9) имеют место как в изотропных.
так и в анизотропных средах.
3*
35
потенциал.
(III. 12)
В
первом
q=
где
q-
из
этих случаев, наряду с условиями
нужно 11спо.'1Ьзовать граничное условие
~ udS =
s
заряд проводника,
а
-
д~р
- 1 ~ в-dS
4л
дп
s
интеграл
(III. 13)
'
берется по поверхности
проводника.
Емкостью С конденсатора называется отношение заряда на
сдной из его обкладок {первой) к разности потенциалов между
Qбкладками
С=
q
{III. 14)
lj)1-lj)2
Емкостью уедJ1Ненного проводника
называется отношение
заряда проводника к его потенциалу (при этом нужно считать,
что потенциал ер
О на бесконечности).
Энергия
электростатического
поля,
локализованная
в
Qбъеме V, выражается интегралом по этому объему:
=
W=
где
w
=
D · E/8n -
f wdV,
{III. 15)
плотность энергии поля.
Если в изотропной диэлектрической среде с проницаемостью
g 1 имелось сначала электрическое поле Е,, в которое затем
было внесено диэлектрическое тело (объем тела V, диэлектри­
ческая проницаемость в 2 ), то энергия электростатического поля
меняется на величину
И=
Е2 -
где
~
8
электрическое
f (в, -в2) Е 2 Е 1 dV,
{III. 16)
•
v
поле
после
внесения
диэлектрического
-гела {источники поля Е 1 при этом поддерживаются неизмен­
ными). Величину И можно рассматривать как энергию взаимо­
действия диэлектрического тела с внешним полем Е 1 (см.
стр.
[100],
108).
Если диэлектрик изотропен и его диэлектрическая проницае~
масть
зависит
только
от
плотности
массы
-..
то
электрическое
поле действует на диэлектрик с силой, объемная плотность ко­
-горой выражается формулой
1
2
f=pE--E
gradв
8л
1
+-grad
8л
( Е2 de- . )
d,:
•
(111. 17)
Объемные силы, действующие на свободные и связанные
заряды в некотором объеме V, могут быть заменены эквива~
лентной системой поверхностных натяжений, приложенны}'о к
~6
тюверхности
S
этого объема:
J fdV=j T
F=
v
где
Т 11 -
поверхностная
сила,
(III. 18)
dS,
приложенная
к
единичной
описываются
тензором
пло~
n.
щадке с внешней нормалью
Поверхностные
11
s
натяжения
натяже­
ннй Tik· Величина Тп в (III. 18) представляет собой проекцию
Tik на направление внешней норма.'lи n к элементу dS:
2(
е
l
де ) б·k·
T-k=-E-Ek--E
в--т
i
4:n: i
8:n:
дт
i
(lll. 19)
Член в (III. 17) и (Ill. 19), содержащий;: т (стрикционный
"I.'leн), вообще говоря не мал. Однако, при вычислении равно­
действующей сил, при.тюженных к диэлектрическому телу, этот
ч.ТJен не дает вклада и может быть отброшен ( см., например,
и задачи 140, 141). В этом случае можно вместо тен­
зора натяжений (Ill. 19) использовать более простой (максвел­
{101], § 34
.'!овский) тензор
(Ill. 20)
К
единице
поверхности
проводника
в
электростатическом
nоле приложена сила
f пов
В диэлектрической
электрическом
ваются
-
в
жидкости
еЕ 2
аЕ
(lll.21)
=n
8:n:- =2-
жидкости, находящейся в равновесии в
поле,
электрические
гидростатичес1шм
давление
-сти т
,
=Т n
-
натяжения
давлением.
оно
уравновеши­
Обозначив
определяется
значением
через
ее
р(т)
плотно­
получим условие равновесия
pn + Т 11
= coпst.
(lll. 22)
В частности, вблизи границы жидкости с атмосферой (в=
давление в жидкости р(т)
на
1)
бo.'IЬllle, чем атмосферное давление,
величину
1:Е2 де
Р (т) - Ратм = Вл:
е
- l (
2
2)
ih - ~ вЕп + Et ,
(Ill.23)
где Е- напряженность электрического поля в жидкости (En нормальная, Et - касательные составляющие Е). Уравнение~~
(III. 23) определяется зависимость плотности 'КИдкости вбли­
зи
ее
поверхности
от
напряженности
электрического
поля.
87
Давление внутри жидкости
(газа)
выражается формулой
р
f
.!!!!_ - _§:___ ~
-r (р) -
(111. 24)
Вл д-r
Ро
(Ро
давление в точке, где Е
-
=
О).
Если жидкость несжимаема, то
-rE2 де
Р - Ро = В1t д-r •
(111.25}
Точечный заряд q расположен на плоской границе раз­
двух однородных бесконечных диэлектриков с проницае­
129.
дела
мостями в 1 и в2. Найти потенциал <р, напряженность Е и ин­
дукцию D электрического поля.
130. От не1{оторой прямой, на которой находится точечный
заряд q, расходятся веерообразно три полуплоскости, образую­
щие три двугранных угла а1, щ, а 3 (а1
а2
а 3 = 2л). Про­
+
странство
внутри
каждого
из
углов
+
заполнено
однородным
диэлектриком с проницаемостью соответственно в1, в 2 , в 3 • Опре­
делить потенциал q>, напряженность Е и индукцию D электри­
ческого поля в трех областях.
131. Центр проводящего шара, заряд которого q, находится
на плоской границе раздела двух бесконечных однородных ди­
электриков с проницаемостями в 1 и в 2 • Найти потенциал <р элек"
трического
132.
сатора
поля,
а
также
распределение заряда
а
на
шаре.
Пространство между обкладками сферического конден­
частично
заполнено
диэлектриком,
расположенным
вну­
три телесного угла Q с вершиной в центре об1<Ладок. Радиусы
обкладок а и Ь, проницаемость диэлектрика в. Найти емкость С
конденсатора.
133. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкла­
док а и Ь диэлектрическая проницаемость меняется по закону
в
(r)- {
-
в1 =
< с,
const
при
а~
r
в2 = const
при
с~
r~b,
где а< с< Ь.
Найти емкость С конденсатора, распределение связанных за­
рядов асв и полный связанный заряд в диэлектрике.
134. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и Ь
заполнен диэлектриком, проницаемость которого зависит от рас­
стояния
r
до центра по закону в(r)
кость
такого
тора,
заполненного
конденсатора
равна
однородным
= в0а
2
/r 2 • Показать, что ем­
емкости
плоского
диэлектриком
с
конденса­
проницаемо­
стью во, у которог9 площадь обкладки 4ла 2 , расстояние между
обкладками Ь - а (краевым эффектом пренебречь).
135.
Плоский
конденсатор
заполнен
диэлектриком,
цаемость которого изменяется по закону в =- ео(х
38
прони­
+ а)/а,
где
а - расстояние между обкладками, ось х направлена перпен­
дикулярно обкладкам, площадь которых S. Пренебрегая крае­
вым эффектом, найти емкость С такого конденсатора и распре­
деление в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена
разность потенциалов V.
136. а) С какой силой
fo
на единицу площади притягиваются
друг к другу в вакууме обкладки плоского конденсатора, если
расстояние между ними а, разность потенциалов V; б) какое
новое значение
примет эта сила, если заряженный конденса­
f
тор отделить от батареи, а потом либо наполнить его жидким
.диэле1приком с проницаемостью в, Jшбо вставить в него плитку
из твердого диэлектрика с тем же в, толщина которой чуть-чуть
меньше а, так что она не касается обкладок; в) какова будет
сила
притяжения обкладок, если сначала залить конденсатор
f
жидким
диэлектриком,
или
вставить
в
него
плитку
из
диэлек­
трика, а потом зарядить?
137. Обкладки плоского конденсатора находятся на рас­
-стоянии h 1 друг от друга и имеют форму прямоугольников со
-сторонами а и Ь. Между пластинами параллельно им помещена
плитка
из
с толщиной
.лена в
диэлектрика
h2
конденсатор
Найти силу
в,
имеющая
форму
параллелепипеда
и основанием а Х Ь. Плитка не полностью встав­
F,
-
внутри
него находится
часть х стороны а.
с которой плитка втягивается в 1<0нденсатор, в
двух случаях: а) на обкладках поддерживается постоянная раз­
ность потенциалов
V;
б) постоянен заряд
q
обкладок. Краевые
эффекты не учитывать.
138*.
Плоский
конденсатор
погружен
в
несжимаемую
жидкость с диэлектрической проницаемостью в и плотностью
-так, что его
между ними
,:
обкладки расположены вертикально. Расстояние
d, разность потенциалов V. Определить высоту h
поднятия жидкости в конденсаторе.
Указание. Применить
формулы
и
(111.23)
(111.25).
139. Как направлено максвелл@во натяжение Т~, действую­
dS, нормаль п к которой составляет угол tt
с направлением поля Е? Какова величина Т~? Как напf,)авлено
щее на площадку
.
стрикционное натяжение
140.
родном
,,
Tn?
Два одинаковых точечных заряда
жидком
диэлектрике
в
на
q
находятся в одно­
расстоянии
а
друг
от
друга.
Вычислить с помощью максвеллова или полного тензора на­
-тяжений силу F, действующую на каждый из зарядt~в. Выяс­
нить, из каких составляющих складывается сила электрического
взаимодействия зарядов q 2 /а 2 в. Для сравнения вычислить силы,
приложенные: а) к плоскости симметрии, перпендикулярной ли­
нии, соединяющей заряды; б) к поверхности малой сферы, в
.центре которой находится один из зарядов.
39
Незаряженная проводящая сфера радиуса
141.
плавает
в
жидкости
с
диэлектрической
R
с массой т
проницаемостью
в
н
плотностью т, погрузившись в нее на четверть своего объема.
До какого потенциала q:, 0 нужно зарядить сферу, чтобы она по­
грузилась наполовину? Решить задачу: а) с использованнем
тензора натяжений Максвелла; б) с использованием полного
тензора
натяжений,- включающего
Точечный заряд
142.
q
стрикционный
член.
находится в точке А на расстоянии а
от плоской границы раздела двух бесконечно протяженных од­
нородных диэлектриков с проницаемостями в I и в 2 (рис. l О).
Найти потенциал q:, электрического.
поля методом изображений.
У к а з а н и е. Решение искать в.
z
виде
(j)1
= _д_
- _!{_ при z ~ О,
Е1Г1
Е1Г2
при
.:с
где
и
- q'
тивные
q" -
заряды,
z<
искомые
О,
эффек­
расположенные
со­
ответственно в точках В и А, r 1 и
r2
Рис.
10.
указаны
143.
занных
на
рисунке.
Найти плотность
поверхностных
Осв
свя-
зарядов, на­
веденных на плоской границе раздела двух однородных диэлек­
триков в1 и в 2 точечным зарядом q (см. задачу 142). Какой ре­
зультат получится при в 2 - оо, каков его физический смысл?·
144. Найти силу F, приложенную к точечному заряду в за­
даче 142 (сила электрического изображения). Решить задачу
несколькими способами, в частности с помощью тензора натя­
жений Максвелла. Если заряд споеобен двигаться через диэлек­
трики,
описать
145*.
Два
качественно
однородных
характер
этого
диэлектрика
с
движения.
проницаемостями
в1
и в2 заполняют все пространство, соприкасаясь вдоль бесконеч-­
ной плоскости. Два заряда
q1
и
q2
находятся на прямой, перпен­
дикулярной к этой плоскости, на равных расстояниях а по раз­
ные стороны от нее. Найти силы F 1 и F 2 , действующие
наждый из зарядов. Чем объясняется неравенство этих сил?
146.
Точечный 3аряд
q
на
находится в однородном диэлектрике­
на расстоянии а от плоской границы бесконечно протяженного
проводника. Найти электрическое поле q:, в диэлектрике, рас­
пределение о индуцированных зарядов на металле и силу F,
действующую на заряд
q.
Двугранный угол между двумя заземленными проводя­
щими плоскостями равен а 0 • Внутри угла находится точечный
147.
40
q.
заряд
Найти
методом
э.1ектрических изображений электри~
ческое поле. Рассмотреть случаи ао
148.
= 90°,
а0
= 60°
и ао
= 45°.
Электрпческий дипо"1ь с моментом р находится в одно­
родном диэле1прпке вблизи плоской границы бесконечно про·
тяженного проводника. Найти потенциальную энергию взаимо"
действия И диполя с индуuированными зарядами, силу F и вра­
щательный момент N, приложенные к диполю.
149*. Однородный шар радиуса а с диэлектрической про"
ницаемостью в 1 погружен в однородный неограниченный ди­
электрик в 2 •
имеется
На
большом
однородное
расстоянии
электрическое
от шара
поле,
в
диэлектрике
напряженность
кото­
рого Е 0 . Найти поле (j) во всем пространстве. Построить I{артину
-силовых линий для двух случаев: в 1
в2 и в 1
в2; найти рас­
>
<
пределение связанных зарядов.
150. Неограниченный диэлектрик был сначала однороден и
равномерно поляризован (вектор поляризации Р = const). За­
тем в нем вырезали сферическую полость. Определить измене­
ние ЛЕ электрического поля в полости в двух случаях: а) если
лри образовании полости поляризация в окружающем диэлек­
трике не изменилась*); б) если вследствие изменения поля по-
Jiяризация изменяется ( Р
=
е4-: 1 Е).
R
151. Незаряженный металлический шар радиуса
вносится
в электрическое поле, которое в отсутствие шара было однород­
ным и равным Е 0 • Диэлектрическая проницаемость окружающей
среды во
const. Определить результирующее поле (j) и плот­
=
ность поверхностных зарядов а на шаре.
152*.
дятся
на
Два
одинаковых
расстоянии
а
точечных
друг
от
заряда
друга
в
q 1 = q2 = q
твердом
нахо­
диэлектрике
,с прониuаемостью в 1 • Заряды распо.r:южены в центрах малых
,сферических полостей радиуса
Найти силы, действующие на
заряды. Сравнить с электрическими натяжениями, приложен­
R.
ными к плоскости симметрии, перпендикулярной линии, соеди­
няющей за ряды.
R
153*. Проводящий шар радиуса
находится в поле точеч­
ного заряда q, отстоящего от центра шара на расстояние а
R.
Система погружена в однородный диэлектрш{ с проницаемо­
стью в. Найти потенциал поля (j) и распределение а индуциро­
ванных зарядов на шаре, если задан а) потенциал шара V (на
бесконечности qJ = О): б) заряд шара Q. Представить потен­
>
циал в виде суммы потенциалов нескольких точечных зарядов
-
изображений.
Указ ан и е. Использовать решение уравнения Лапласа в
виде ряда по шаровым гармоникам (приложение 2) и разло­
жение поля точечного заряда, полученное в задаче 96.
*) Это имеет место, если диэлектрик («электрет») состоит из полярны"
.мо.1екул, ориентация которых фиксирована.
41
154. В проводнике с потенциалом V имеется сферическая по~
лость радиуса R, заполненная диэлектриком с проницаемостью Е.
На расстоянии а от центра полости (а
R) находится точечнык
заряд q. Определить поле в полости. Найти эквивалентную си­
<
стему зарядов
-
изображений.
Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в
форме полусферы радиуса а. Центр сферы лежит на плоскости.
На оси симметрии системы, на расстоянии Ь
а от плоскостИ"
находится точечный заряд q. Используя метод изображений,
найтп
поле
<р, а также заряд Q, индуцированный на вы-­
155.
>
ступе.
156. Проводящий шар радиуса R 1 находится в однородном
диэлектрике с прониuаемостью Е 1 • Внутри шара имеется сфери­
ческая полость радиуса
2 , заполненная однородным диэлек­
триком с проницаемостью Е2 • В полости на расстоянии а от ее
центра (а< R2) расположен точечный заряд q. Найти поле <р
R
во всем пространстве.
157*. Диэлектрический шар радиуса
R
с проницаемостью е 1
находится в однородном диэлектрике с проницаемостью е 2 • На
>R
расстоянии а
от центра шара расположен точечный за­
ряд q. Найти поле (J) во всем пространстве и получить соот­
nетствующпм
предельным
переходом
поле
найти также силу, действующую на заряд
проводящего
q
шара;
вследствие создан­
ной им поляризации шара. Как изменится эта сила, если поме­
стить
симметрично относительно
центра
диэлектрического
шара
другой такой же точечный заряд?
158. Точечный заряд q находится внутри диэлектрического
шара радиуса
с проницаемостью Е 1 на расстоянии а от центра
R
шара. Диэ.11ектрическая проницаемость среды вне шара равна Е 2 •
Найти поле <р во всем пространстве. Рассмотреть, в частности,
случай а= О (заряд в центре шара).
159*. Изолированная металлическая сфера радиуса а нахо­
дится внутри г.олой меташшческой сферы радиуса Ь. Расстоя­
ние между центрами сфер равно с, причем с~ а, с~ Ь. Пол­
ный заряд внутренней сферы равен
q.
Определить распределе­
ние заряда а на внутренней сфере и действующую на нее силу
F
с точностью до членов, линейных по с.
160.
Сферический
конденсатор
образован
двумя
неконцен­
трическими сферами ( см. предыдущую задачу). Вычислить по­
правку к емкости ЛС, вызванную отклонением от концентрич­
ности, в первом неисчезающем приближении.
161.
Найти энергию
И и силу
F
взаимодействия точечного
заряда q с заземленным проводящим шаром радиуса R. Заряд
находится на расстоянии а от центра шара. Система помещена
в однородной диэлектрической среде с проницаемостью Е.
162.
Точечный заряд
q
находится в диэлектрике на расстоя­
нии а от центра проводящей изолированной сферы радиуса
42
R.
Заряд сферы Q. Найти энергию
ряда со сферой.
163.
U
и силу
F
взаимодействия за­
Каким условиям должен удовлетворять пробный заряд
(в смысле его величины и положения в пространстве), чтобы
можно было с его помощью исследовать поле системы зарядов,
находящихся
на
проводящих
и
диэлектрических
телах,
в
част­
ности, поле заряженного шара в однородном диэлектрике?
164*. Электрический диполь р находится в однородном ди­
электрике на
расстоянии
r
от
центра
заземленного
проводящего
шара радиуса R. Найти систему изображений, эквивалентную
лндуцированным зарядам, энергию взаимодействия U диполя
с шаром, силу F и вращательный момент N, приложенные к ди­
>
nолю. Рассмотреть предельный случай r-+ R (r
R).
165. В проводнике вырезана сферическая полость радиуса
R.
В центре полости находится электрический диполь с момен­
том р. Найти распределение а зарядов, индуцированных на по­
верхности полости. Какое поле Е' создается в полости этими
зарядами?
166*. В однородном диэлектрике с проницаемостью в имеется
электрическое
поле,
потенциал
которого
в
ОI<рестности
не,юто­
рой точки О может быть представлен в виде
Пусть затем в окрестности точки О нарушена однородность
и нейтральность диэлектрика (например, туда помещен провод­
ник, вообще говоря, заряженный, или диэлектрик с проницае­
мостью
в,
=!=
в).
Вследствие
этого,
потенциал
электрического
(j)1
поля вне области неоднородности примет теперь вид (j)
~+ (j)2,
=
+
где
- ~
V --.V/
(/)2 -
l,
~
21 + 1
в
-1 -(!+I)Q
r
lm
у lm (,д.v,
)
а
т
- потенциал поля, вызванного свободными и связанными за­
рядами в области неоднородности (множитель в введен для
удобства). Найти потенциальную энергию U взаимодействия
области неоднородности с внешним полем (j)Iy
к аз ан и е. Рассмотреть
<:твующие
на
замкнутую
электрические
поверхность,
натяжения,
охватывающую
дей­
область
неоднородности. Использовать результат задачи 128.
167. Найти энергию взаимодействия со слабо меняющимся
внешним полем U0 малой области неоднородности в диэлек­
трике (см. предыдущую задачу). Вследствие быстрой сходиl\ю­
сти достаточно ограничиться членамп с l
О и 1. Результат
представить в векторной форме. Найти в этом приближении
=
43
силу
и вращательный момент
F
приложенные к области не~
N,
однородности.
168.
с
Показать,
что
проницаемостью
мостью
Е,
Ео,
незаряженное
находящееся
втягивается
в
область
электрического по.11я, если Ео
ласти, если Ео
< Е.
в
с
> Е,
диэле1..трическое
диэлектрике
большей
с
тело
проницае­
напряженностью
и выталкивается из этой об­
Указание. Испо.1ьзовать формулу
(Ill.16).
В общем сл~·чае компоненты дипольного момента р,
приобретенного диэлектрическим телом во внешнем однородном
поле Е, можно представить в виде р; = ~;kEk, где ~ik - сим­
метричный тензор поляризуемости тела. Какую ориентацию
стремится занять это тело во внешнем однородном поле? Те­
169.
ло
незаряжено,
~ikXiXk
> О,
Х;
(i
= 1. 2, 3)- произвольный
вектор.
170.
жен
в
Стержень из диэлектрика с проницаемостью Е1
однородную жидкую диэлектрическую среду
с
погру•
проницае­
мостью 1о 2 • Какую он займет ориентацию, еслп систему поме­
стить в однородное внешнее поле? Какую ориентацию займет
тошшй диск, находящийся в жидком диэлектрике?
171.
Найти силу
F,
действующую на диэлектрический шар
со стороны точечного заряда
q ( см. условие задачи 157}.
Рассмотреть предельный случай проводящего шара. Решить.
задачу двумя способами: методом задачи 166 и с помощью фор­
мулы
(III. 16).
172. Электростатическое
поле
·образовано
двумя
проводя~
щими цилиндрами с параллельными осями, радиусами
зарядами на единицу длины
>
+
±
R1, R2
и
к Расстояние между осями ци­
линдров а
R1
R2. Найти взаимную емкость Свз цилиндров
на единицу длины. ( Свз = 'l!J ('Pi - !р 2 ), где 1Р1 и q:2 - потенциалы
цилиндров).
У к аз а н и е. Воспользоваться результатом задачи 117.
173. Оси двух одинаковых проводящих цилиндров с радиу·
сами R находятся на расстоянии а друг от друга. Цилиндры не~
сут заряды ± -х на единицу длины. Найти распределение заря­
дов и на поверхностях цилиндров.
174.
Конденсатор образован двумя цилшдрпчесюrми прово­
>
дящими поверхностями с радиуса~ .. 1 R 1 и R2
R1. Р;::zстоянпе­
между осями цилиндров а< R'J. -- R 1• Найти емкость С конден­
сатора.
175.
Определить поле 'Р 1очечного заряда в однородной ани~
зотропной
среде,
хара1перизуеыой
тензором
диэле1<Тричес1шй
проницаеыости
176.
E;_i,.
В пустоте находится плоскопараллельная пластинка из
анизотропного
мости
44
Eik·
Вне
однородного
пластишш
диэлектрика
с
тензором
однородное электрическое
проннцае­
поле
Е0 _
Используя
граничные
условия
для
вектора
поля,
определить
поле Е внутри пластинки.
177. Найти емкость С плоского конденсатора с площадью
обкладок S и расстоянием между ними а, если пространство
между
обкладками
заполнено
анизотропным
диэлектриком
с проницаемостью Eik· Краевым эффектом пренебречь.
178. Найти изменение направления линий вектора Е при пе­
реходе из пустоты в анизотропный диэлектрик. Воспользоваться
результатом задачи 176.
§ 2.
Потенциальные и емкостные коэффициенты
Потенциалы
Vi
системы п проводников яв.1яются линейными
однородными функциями зарядов qk на проводниках
п
Vi =
~
sikqk
(i= 1, 2, 3, ... ,
п).
(111. 26)
k=I
Величины
sik
называются
потенциальными
коэффициентами.
Они зависят от взаимного расположения, формы и геометриче­
ских размеров проводников, а также от диэлектрической про­
ницаемости окружающей среды. Матрица
симметрична:
s
(III. 27)
sik = ski·
Величина sik представля-ет собой потенциал, прпобретаемый i-м
проводником, если сообщить k-му проводнику заряд qk = 1,
а остальные проводники оставить незаряженными. Все sik
О.
>
Очевидно, что и заряды проводников являются линейнымн
однородными функциями их потенциалов
п
qi
= ~ cikvk
(i= 1, 2, 3, ...•
п).
(111. 28)
k=l
Величины cik называются емкостными 1юэффициентами. При
этом
>
<
сн
О (собственные емкости); cik
cki
О при i =I= k
(коэффициенты взаимной емкости, или просто взаимные емн:о­
сти).
=
Величина C;k представляет собой заряд, приобретаемый i-м
проводником, когда все проводники кроме k-ro заземлены, а k-й
проводник имеет потенциал Vk
1. Матрицы S;k и c;h являются
=
взаимно обратными.
В случае одиночного проводника имеется единственный ем­
костный
коэффициент с 11 , называемый
при
этом
просто емко·
стью. Емкость конденсатора (111. 14) может быть выражена че­
реа емкостные коэффициенты его обкладок (см. задачу 180).
Энергия системы проводников имеет вид
w= ~ I
i, k
cikviv k
=
~ ~ sikqiqk.
<111. 29>
i, k
45
Обобщенная сила
соответствующая
Fa,
нате а, определяется формулами
1 ~ дs.k
2 ~ а~ QiQk
Fa-
обобщенной
коорди­
-
+
J ~ дс.k
2 ~ а~ ViVk.
i, k
(III.30)
i, k
При решении э.r1ектростатических задач бывает полезна тео­
рема взаимностn Грина: если потенциалы п проводников равны
V,. V2, Vз, ... , V п, когда их заряды
v~. v;. v; . .... v~.
место
q 1, Q2, Qз, ... , Qп,
q~. q;, q~ • ... , q~.
когда их заряды
и равны
то имеет
соотношение
п
п
~ q.V~= ~ q~V ..
i=l
'
i
i=I
i
(III. 31)
i
179. Доказать теорему взаимности Грина (III. 31). Доказать
с помощью теоремы Грина, что sik = Ski·
180. Система состоит из двух проводников, удаленных от
всех других проводников. Проводник I заключен внутри полого
проводника 2. Выразить емкости С и С' конденсатора и уеди­
ненного проводника, образующих эту систему, через ее емкост­
ные коэффициенты. Доказать, что взаимные емкости провод•
ника I и любого проводника, находящегося вне проводника 2,
равны
нулю.
181.
костные
Выразить
c;k
потенциальные
коэффициенты
s;h
через
ем­
в случае системы двух проводников.
182. Емкости двух уединенных проводников равны С, и С2 •
Эти проводники находятся в вакууме на расстоянии r, боль­
шом по сравнению с их собственными размерами. Показать, что
емкостные коэффициенты системы равны
Указ ан и е. Определить
сначала
циенты с точностью до величины
183.
Емкостные
коэффициенты
равны с 11 , С22, С12 = с 2 ,.
Найти
потенциальные
коэффи ...
l/r.
системы
емкость
С
двух
проводников
конденсатора, об­
.кладками которого служат эти два проводника.
184. Четыре 0динаЕовые проводящие сферы расположены по
углам квадрата. Сфера I несет заряд q, остальные незаряжены.
Затем она
соединяется тонкой проволочкой поочередно на
время, достаточное для установления равновесия, со сферами
2, 3, 4 (нумерация проводников циклическая). Найти распреде­
ление
ций.
заряда
между
Потенциальные
проводниками
коэффициенты
по
окончании
системы
всех
опера­
заданы.
185. Три одинаковые проводящие сферы с радиусами а на­
ходятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной
46
Ь
,>> а.
они
по
Вначале все сферы имели одинаковые заряды q. Затем
очереди
заземлялись
на
время,
достаточное
для
уста­
новления равновесия. Какой заряд остается на каждой сфере
по окончании всех операций?
186.
Собственные
емкости
двух
проводников,
находящихся
в однородном диэ.11ектрике с проницаемостью в, равны С 1 и С2,
их потенциалы V1 и V2, расстояние между проводниками r много
больше
их
размеров.
Найти
действующую
между
ними
силу F.
187. Замкнутая проводящая поверхность с потенциалом V,
содержит внутри себя проводник с потенциалом Vo. При этом
потенциал в некоторой точке Р между проводящими поверхно­
стями равен Vр. Пусть теперь проводники заземлены, а в точку Р
помещен заряд q. Какие заряды будут при этом индуцированы
на проводниках?
188.
Показать, что в отсутствие точечного заряда геометри­
ческое место точек, из которых единичный заряд индуцирует на
некотором заземленном проводнике заряд одной и той же ве­
.~ичины,
этого
совпадает
с
эквипотенциальной
поверхностью
поля
проводника.
189. Два проводника с собственными емкостями с11 и с22 и
nзаимной емкостью с12, составляющие часть некоторой системы
изолированных проводников, соединены тонкой проволокой. Ка­
кова собственная емкость объединенного проводника, коэффи­
циенты
взаимной емкости
его
и
остальных
проводников
си­
стемы?
190. Два одинаковых сферических конденсатора с радиусами
внутренних и внешних обкладок, соответственно а и Ь, изоли­
рованы и находятся на большом расстоянии друг от друга. Вну­
тренним сферам сообщены заряды q и q 1, после чего внешние
сферы соединяются проволокой. Найти (приближенно) измене­
ние Л W электрической энергии системы.
191. Заземленная внешняя обкладка сферического конденса­
тора имеет малую толщину. В ней проделано небольшое отвер~
стие, через которое проходит изолированный провод, соединяю­
ший внутреннюю обкладку конденсатора с третьим проводни­
ком,
находящимся
на
большом
расстоянии
от
конденсатора.
Собственная емкость этого проводника С и вместе с внутренней
обкладкой конденсатора он несет заряд q. Радиус внешней об­
кладки конденсатора Ь, радиус внутренней обкладки а. Найти
силу F, действующую на третий проводник.
192*. Проводник заряжается путем последовательных под­
соединений к разрядному шарику электрофора. Шарик электро­
фора после каждого подсоединения вновь заряжается, приобре­
тая при этом заряд Q. При первом подсоединении на проводник
с шарика переходит заряд q. Какой заряд получит проводник
после очень большого числа подсоединений?
47
§ 3.
Специальные методы электростатики
В этом параграфе содержатся задачи, относящиеся I{ раз­
дичным разделам электростатики, более трудные в математиче­
ском отношении. Многочисленные методы решения задач элек­
тростатики изложены в ряде книг ([46, 66, 69, 93, 100]). В на­
стоящем сборнике иллюстрируются лишь некоторые из этих
методов: метод криволинейных координат (для случаев эллип­
тических поверхностей и поверхностей двух сфер), методы изоб­
ражений, интегральных преобразований
приi\tенения
разъясняется
и инверсии.
непосредственно
в
Схема
решениях
их
задач
(более подробно, например, в задачах 193, 195, 205, 209, 211,
Изложим здесь кратко только метод инверсии.
Преобразованием инверсии называется такое преобразование
215).
пространства, при котором каждая точка
его переходит в точку,
сопряженную относительно некоторой, надлежащим образом
выбранной сферы инверсии радиуса R. Если сферическими ко­
ординатами (с началом в центре сферы инверсии) первона­
чальной точки являются r, -&, а, то сферическими кородината­
2 /r, -&, а. В векторной
ми инвертированной точки будут r'
форме
=R
r
,
R2r
=-r2
или
R2r'
(111.32)
r=-2- .
r'
Преобразование инверсии обладает свойством конформности.
При инверсии сфера преобразуется в сферу. Если, в частности,
центр инверсии лежит на преобразуемой сфере, то последняя
преобразуется в плоскость (и наоборот).
Уравнение Лапласа инвариантно относительно преобразова­
ш,я инверсии: если функция {р (r) является решением уравнения
Лапласа в исходном пространстве, то
qJ' (r') =
прс:ктаьллет собой
r
-qJ
R
(r)
2
R ( - R2
= -qJ
r'
r'
r' )
(111. 33)
решение уравнения Лапласа
в инвертиро­
ванноr: пространстве.
Основная задача, решаемая методом инверсии, формули­
руется так. Нужно найти поле системы заземленных проводни­
ков и точечных зарядов qi, находящихся в точках ri. Потенциал
на бесконечности V = const. Для решения задачи произведем
инверсию с таким расчетом, чтобы · поверхности проводников
приобрели более простую форму.
При этом точечные заряды qi заменяются
зарядами
(111. 34)
48
находящимися в точках
r~ =
r; .
R2
ri
Кроме того, в точке
r'
= О появляется точечный заряд
q0 =
-
RV.
(III. 35)
В инвертированной системе решаем электростатическую за­
дачу - находим потенциал qi'(r'). Потенциал qi(r) можно затем
по.rт 1 чить с помощью обратного преобразования. Разумеется,
можно и наоборот - по известному qi находить qi'.
193*. Проводящий эллипсоид с зарядом q и полуосями а, Ь,
с помещен в однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти
потенuиал qi, а также емкость эллипсоида С II поверхностную
плотность заряда а на его поверхности.
У к а з а н II е.
Воспользоваться
эллипсоидальными координа­
тами
( см. задачу 64). Искать потенциал в виде qi (s).
194. Исходя из результатов предыдущей задачи, найти
nо­
тенuиалы и емкости вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вра­
щения. Рассмотреть частные случаи тонкого длинного стержня
и тонкого диска. Емкость С и потенциал qi вытянутого элшш­
соида _вращения найти также, используя результат задачи
75.
Проводящий эллипсоид с зарядом q находится в ny~
{:ТОте в однородном внешнем поле, напряженность Е 0 которого
nарал.'Iельна одной из осей эллипсоида. Найти потенциал qi пол­
195*.
ного электрического nо.11я.
Указ ан и е. Воспользоваться эллнnсоидальными
коорди­
натами задачи 64. Граничные условия на поверхности эллиn­
сопда (s=O) могут выполняться только, если зависимость вы­
званного наведенными зарядами потенциала qi' от 'l'J, ~ будет та­
кая же,
как у
внешнего
поля:
ff!' = ЧJо(6, 'l'J, ~) • F(s).
196. Напряженность поля в плоском конденсаторе равна Е 0 •
На заземленной обк.'Iадке имеется проводящий выступ в форме
nо.'lош1ны
вытянутого
эллпnсонда
вращения,
ось
с11!\п1етрии
ко­
торого перпендикулярна плоскостям обкладок. Расстояние ме·
жду обкладками велико по сравнению с размерами выступа.
Найти электрическое поле qi в конденсаторе. Оnредетпь, во
сколько раз максимальное значение напряженности поля Emax
превосходит Ео *).
197. Проводящий незаряженный эллипсоид находится во
внешнем однородном поле Е 0 , ориентированном произвольно по
отношению к его осям. Найти полный потенциал электриче­
ского
поля qi. Рассмотреть поле на бо.11ьших расстояниях от
*) Результат задачи поясняет принцип работы громоотвода.
4
В.
В. Батыrин, И. Н. Топтыгин
49
элJшпсоида,
п
(Х)
_
выразпв
аЬс
- -2-
J
его
через
ds
(s+a 2 )Rs'
п
коэффициенты деполяризации:
(У)_ аЬс
--2-
о
п
(Z)
=
аЬс
2
J
J
ds
(s+b 2 )Rs'
о
ds
(s+c 2 )Rs
о
198.
Найти выражения
коэффициентов деполяризаuии,
вве­
денных в предыдущей задаче, в случае вытянутого эллипсоида
вращения
( а> Ь =с).
Рассмотреть
частные
случаи
очень
вы­
тянутого эллипсоида (стержня) и эллипсоида, близ1юго к шару.
199. Найти коэффициенты деполяризации для сплюснутого
проводящего эллипсоида (а =
Ь
>
с). Рассмотреть, в частности,
случай диска.
200*.
Диэлеюрический эллипсоид с полуосями а, Ь, с нахо­
дится в однородном
электрическая
внешнем
проницаемость
поле с
напряженностью
эллипсоида
8 1,
а
Е 0 • Ди~
окружающего
его однородного диэлектрика 8 2• Найти потенциал rp результи­
рующего электрического поля (воспользоваться указанием к за­
даче 195). Найти напряженность Е электрического поля внутри
эллипсоида, а также потенциал
от
него
расстояниях,
выразив
rp 2
его
вне эллипсоида на больших
через
составляющие
поляри­
зуемости эллипсоида по главным осям.
201. Эллипсоид вращения с диэлектрической проницае­
мостью 81 находится во внешнем однородном поле Ео в одно~
родной диэлектричес1юй среде 82. Найти энергию U эллипсоида
в этом поле и приложенный к нему вращательный момент N.
Рассмотреть также случай проводящего эллипсоида вращения.
202*. Показать, что при сообщении проводящей жидкой сфе­
рической капле достаточно большого заряда капля теряет устой"
чивость. Найти это критическое значение заряда Qнр- Радиус
1<апли
коэффициент поверхностного натяжения а.
У к аз а н и е. Сравнить энергию сферической капли с энер­
I ией деформированной капли, имеющей форму вытянутого эл­
липсоида вращения. Площадь поверхности такого эллипсоида
R,
S = 2nb 2 +
Ь
2nba2
у
a2-
Ь2
arccos-
.
(а> Ь = с).
G
Однородное электрическое поле E0 //z в полупростран­
ограничено
заземленной
проводящей плоскостью
z О с круговым отверстием радиуса а. Найти поле q.i во всем
пространстве. Рассмотреть, в частности, поле на больших рас~
стояниях за отверстием (в полупространстве z
О).
203*.
стве
=
z<O
>
50
Указ ан и е. Воспользоваться
сплюснутыми
сфероидальными координатами (см. задачу 65) с с= О. Искать решение во
всем пространстве в виде (JJ = - E 0zF (s).
204. Найти распределение зарядов (J на проводящей плоско­
сти, рассмотренной в предыдущей задаче.
205*.
Внутри клиновидной области пространства, ограничен~
ной двумя пересекающимися под углом ~ заземленными прово­
дящими полуплоскостями ОА и ОВ, в точке
чечный заряд
(рис.
q
11).
N (r 0 )
находится то­
Цилиндрические координаты заряда
Рис.
11.
(ro, у, О); ось z направлена вдоль ребра клина, азимутальный
угол а отсчитывается от грани ОА. Доказать, что потенциа.11
{j) (r, а, z) может быть записан в виде
00
(JJ(Г, а, z)=
f IPk(r, a)coskzdk,
о
где
t
r Кпп (kro) I!:!~__(kr) sin п;v sin п;а
Bq
(J)k
(r, а)= Т
j
n=I
13
[ n=I
т
-
13
260.
r>r0 ,
цилиндрические функции.
(ПI.
11)
и прило-
3.
Доказать,
1<линовидной
4*
при
13
т
Указ ан и е. Воспользоваться формулой
жением
r<r0 ,
00
,.,
. nnv . nna
1 .....l l!!:!!.. (kr0 ) Кпп (kr) sш-~-sш-~-
lпп и Кпп
при
13
что
области,
потенциал
найденный
поля
в
точечного
предыдущей
заряда
в
задаче,
51
можно
представить
ЧJ(r, а, z)=
А I,
t'
r
q
2rr0
в
виде
f""[
~
~
sh~
:ТТЬ
ch -
- cos
~
:л; (а
- V)
~----=--'-'--
~
sh~
]
~
dь
:л; (а+ v)
• -=-v-;-:c=h=ь=-==ch=Т\=-~
ль
с h т-соs
~
где
ch '1') =
Указ ан и е.
Г6+г2+z2
ч>О.
,
2ГГо
Воспользоваться формулами:
00
f
fУ
00
Kv (kr)I v (kro) cos kz dk =
о
2
/
2гг 0
~
e-sv dl;
ch /; - ch
Т\
и
1(
00
,~п
~
с
~р
1-р2
)
о snx=2 1 - 2р cos х + р 2 - 1
•
n=I
207.
Найти поле
rp
шей полуплоскости а
заряда
=
q,
О в точке
находящегося вблизи проводя­
с цилиндрическими коорди­
r0
натами (ro, у, z = О).
Указ ан и е. Воспользоваться результатом задачи
вычисления интеграла сделать подстановку
ch
206.
Для
~ = ch ~ ch и,
где О<и<оо.
208. Наiпи распределение а поверхностного заряда вблизи
ребра клина с двугранным углом ~ (угол отсчитывается вне про­
воднш<а). Клпн находится в поле произво.пьным образом рас­
преде:1енного заряда.
Указ ан и е. Сначала рассмотреть случай, когда вблизи кли­
на находится один точечный заряд, воспользовавшись результа­
том задачи 205, раз.10:жениями (П 3.6) и формулой
00
f Kv(kp)kvcoskzdk=2v-iy;г(v+_!_)
2
о
(р 2
P:v+'I ·
+z) •
209*. Точечный заряд q находится на расстоянии а от одно­
родной плоскопараллельной диэлектрической пластинки толщи­
ной с. Найти электрическое поле, воспользовавшись тем, что как
произведение 10 (kri) e±kz (r 1, z- цилиндрические координаты
00
точки, J 0 -функция Бесселя), так и
б2
f A(k)lo(kr )e±kzdk (A(k)1
o
произвольная функuия от
k) удовлетворяют уравнению Лап·
ласа.
Указ ан и е. Применить приведенное в приложении
3 раз-
ложение
f
00
-V
210.
ками
1
=
о
r~+z2
e-klzllo(kr1)dk.
В плоский конденсатор с расстоянием а между обклад­
вставлена
плоскопараллельная
плитка
из
диэлектрика,
толщина которой а/2 и проницаемость в. Плитка касается одной
из обкладок, обкладки заземлены. На поверхность диэлектрика
нанесен заряд q, который можно рассматривать как точечный.
Найти поле ер в конденсаторе. Выяснить, в частности, какой вид
имеет вблизи заряда. Представить это поле в виде супер­
позиции изображений.
211
Радиусы обкладок неконцентрическоrо сферического
oflo
*.
конденсатора равны а 1 и а 2 , расстояние между их центрами рав­
но Ь (а 1 +Ь<а 2 ); внешняя обкладка заземлена, внутренняя
поддерживается при потенциале V. Найти поле ер внутри такого
конденсатора. Определить также его емкость С.
Указ ан и е.
Решать
задачу
в
бнсферических
1юординатах
(см. задачу 67). Сделав подстановку ер= -V2ch~-2cosrpj,, про­
извести в уравнении для "ф разделение переменных и воспользо­
ваться приложением
212.
2, в частности, формулой (П 2.16).
Найти емкость слабо неконцентрическоrо сферичес1юrо
«
конденсатора (Ь
а1, а 2 ) с точностью до Ь 2 , исходя из резуль­
тата предыдущей задачн (ер. с задачей 160).
213.
Расстояние между
центрами двух проводящих сфер с
радиусами а 1 и щ равно Ь (Ь
> а1 + а2).
Найти емкостные коэф­
фициенты- cili системы, используя бисферические координаты.
214. Две проводящие сферы, рассмотренные в предыдущей
задаче, находятся на большом
расстоянпп друг от друга
(Ь
а1, а 2 ). Найти емкостные коэффициенты cui с точностью
ДО
>>
l/b 4 •
215*.
Две проводящие сферы с r..авными радиусами а ка­
саются друг друга. Найти емкость С системы методом инверсии.
Найти также электрическое поле ер системы, когда сферам сооб­
щен
заряд
q.
Указ ан и е. Воспользоваться результатом задачи 210.
216. Решить методом инверсии задачу о поле заземленной
сферы радиуса R, вблизи которой на расстоянии а (а> R) от ее
центра находится точечный заряд q ( см. задачу 153).
Указ ан и е. Считать известным потенциал равномерно за­
ряженной сферы при отсутствии точечного заряда.
217*.
с
Поверхность
радиусами
R1
и
проводника
R2 ,
образована
пересекающимися
двумя
по
сферами
окружности
53
-радиуса а. Н~йти емкость С этого проводника, исходя из ре­
зультата решения задачн 206 о проводящем клине в поле то­
чечного заряда и применяя метод инверсии.
Указ ан и е.
Поверхность
рассматриваемого
проводника
описывается в тороидальных координатах (см. задачу 68) урав­
нениями:
-6 = 61 = const,
6= 62 = const
(siп
61 = ± a/R1, sin 62 = ± a/R2).
Достаточно рассмотреть преобразованпе координат в плоскости,
г.ерпендикулярной ребру клина и проходящей через центр ин­
версии, который должен быть взят на линии пересечения сфер.
Для определения заряда
q
проводника при заданном его потен­
циале удобно воспользоваться тем, что поле на больших рас-
стояниях от проводника имеет вид QJ = !L - V, где -V - потен.
r
циал на бесконечности.
Найти емкости С следующих проводников:
полого сферического сегмента с радиусом R и углом рас­
218.
а)
твора 28;
б) полушара радиуса
219.
Проводник
R.
образован
двумя
сферами
с
одинаковыми
радиусами а, поверхности которых пересекаются под углом :п/3
_друг к другу. Найти емкость С проводника.
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [101], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Стрэттон Дж. А.
[100], Джексон Дж. [52], Смайт В. [93], Френксль Я. И. [111], Гринберг Г. А.
[46], Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уфлянд Я. С. [69], Зоммерфельд А. [54],
Власов А. А. [25], Пановск,111 В., Филипе М. [86].
ГЛАВА
IV
постоянный ток
Распределение постоянных токов в проводящей среде с уде.1JЬ-
1юй проводимостью
j (r),
описывается объемной плотностью тока
x(r)
удовлетворяющей уравнению
= О.
div j
Уравнение
(IV.l)
является
следствием
(IV.l)
закона
сохранения за­
ряда. Плотность тока в среде пропорциональна сумме напря­
женности электрического поля Е и напряженности поля сторон­
них электродвижущих сил (э. д. с.) Ест (закон Ома):
j
+ Ест).
= х(Е
(IV. 2)
Поле сторонних электродвижущих сил Ест учитывает действие
на заряды среды сил неэлектрического происхождения.
Для
описания
эле,прического
поля
Е и распределения
то-
1юв j в проводнике удобно, как и в электростатике, ввестн ска­
J:ярный потенциал «р, связанный с напряженностью поля форму­
лой Е
= -grad «р.
Из этого определения и из
(IV. l), (IV. 2)
сле­
дует основное дифференциальное уравнение для «р:
=
div(x grad «р)
divxEcт-
(IV.3)
На поверхностях разрыва х или jст = хЕст уравнение
меняется
граничными
(IV. 3)
за­
условиями
(IV. 4)
(IV. 5)
=
О) условие
О ИЛИ хЕп
+ iст п = О.
На поверхностях изоляторов (х
(IV. 4)
принимает
вид
iп
=
(IV. 6)
Если среда состоит из ряда однородных областей и не содержит
внутри себя сторонних э. д. с., то внутри каждой такой области
Лq.>11
=
О,
( IV. 7)
55,
а на гранппах i-й и k-й областей
(J)l = QJk,
Из уравнений
д<рi
д<рk
xi дп = xk дп
(IV. 8)
·
видно, что существует тесное
(IV. 3)-(IV. 8)
сr,ответствие между основной токовой задачей, сводящейся к
определению потенциала (JJ, и аналогичной задачей электроста­
тики при наличии сред. Решение токовой задачи может быть
получено из решения задачи электростатики (и наоборот), если
заменить
величины
электростатические
на
токовы~
Х,
-xgradqJ,
1
/
-
l
е
D
4лр
4л0'
Методы
электростатики
(см.
Jст,
(IV. 9)
~iv
.
(Jст ln - /ст 2п), J
гл.
111)
могут быть, следова­
--rельно, применены и для решения основной токовой задачи.
Если в среду с конечной проводимостью x(r) помещены иде8.JJЬНые (х - оо) проводшши - электроды, то на них имеет место
условие
(J)зл
= coпst.
(IV. 10)
Токовая задача в этом случае аналогична электростатиче­
ской задаче о поле системы проводникоп, помещенных в диэлек­
трическую среду. К.ак и в электростатическом случае, могут
встретиться два основных варианта токовой задачи с идеаль­
нымп проводн11ками: а) заданы потенциалы электродов (JJ11.= V11.;
б) заданы исходящие от электродов токи
ff k
= ~ iп dSk =
sk
-
~х
;: dSk.
(IV. 1I)
Из (IV. 11) видно, что ана.rюгичными в смысле (IV. 9) величи­
нами являются заряд k-ro проводника q1, в электростатической
задаче и ток Hk/4:тt от k-ro электрода в токовой задаче.
Потенциалы Vh электродов являются линейными комбина­
циями токов ff1,, стекающих с электродов:
Vi = R11ff1 + R1il2 + ... + R1,/fм.)
V 2 =R21ff, + R22ff2+ ... + R2пffm
................
(IV. l 2)
V п = Rп1fl1 + Rп2fl2 + · · · + Rпп[f п•
Коэффициенты пропорциональности Ra, называются коэффи­
циентами сопротивления. Они не зависят от потенциалов V11. и
токов ff k и определяются исключительно геометрией электродов
и распределением проводимости х.
-56
К.оэффициенты Rih анало-
rичны потенциальным коэффициентам su1 электростатической
задачи (см. задачу 234).
Распределение токов в часто встречающихся на практике си­
стемах квазилинейных проводников определяется с помощью
Ilравил Кирхгофа (см., например,
[101]).
Удобным методом рас­
чета сложных цепей квазилинейных проводников является метод
контурных токов
(см., напрнмер,
[93];
в гл.
VI
этой книги мо­
жно найти большое количество задач на распределение токов).
220. Аккумуляторная батарея с малым внутренним сопро­
тив.11ением и э. д. с ft! нс может обеспечить питания током Н
некоторого прибора в течение длительного времени. Чтобы про­
длить срок службы батареи, включают прибор и батарею в сеть
постоянного
тока
параллельно
друг
другу
R.
через
сопротивление
>
Напрпжение V в сети меняется от V1 до V 2 (Vi
V2> 0).
Сопротивление R подбирают так, чтобы при V
V1 ток батареи
9 1 О. Какой ток 9 1 будет давать батарея при V V2?
=
=
=
Каковы должны быть параметры обмотки гальванометра
с вращающейся катушкой, чтобы при заданных э. д. с. uепи и
внешнем сопротивлении R (соединение последовательное) от­
брос гальванометра был максимальным? Угол отброса стрелки
гальванометра пропорционален числу витков 11 катушки и то­
ку ,'J в цепи. Вследствие ограниченности объема, занимаемого
ка rушкой в 1южухе прибора, произведение nS, где S - сечение
провода катушки, является приблизительно постоянным.
221.
Квадратная сетка из однородной проводоки состоит из
одинаковых нвадратных ячеек. Сопротивление стороны ячейки
равно r. Ток входит в один из углов сетки и выходит из проти­
воположного угла. Найтн сопротивление
всей сетки для слу­
ч?~ев п = 2, 3, 4.
У к а з а н и е. ДJ1я уменьшения числа контурных токов ис­
222.
n2
R
псльзовать
симметрию цепи.
Рис.
11
223*. Телеграфная линия (рис. 12) подвешена на п изолято­
rах в точка:1{ А1, А2, ... , An (роль второго провода играет зе:м­
J1я). Отрезки линии АА 1 , А 1 А?,
сопротивление
R.
... ,
AтiAn+i имеют одно и то же
При сvхой изоляuии сопоотивление изоляторов
57
бесконечно.
изоляторы
При
в
сырой
землю;
изоляции
сопротивленне
возникает
каждого
утечка
через
из изоляторов при
этом становится равным r. Между концом А Jшнии и землей
включена батарея с э. д. с. {ff и внутренним сопротивлением R;.
К.онец Ап+ 1 через нагрузку с сопротивлением
Ra также соединен
с землей. Найти ток на каждом из участков линии, а также ток,
пrотекающий через нагрузку. Во сколько раз э. д. с. батареи
rrpи сырой изоляции должна быть больше э. д. с. при сухой изо­
ляции, чтобы ток через нагрузку был в обоих случаях один и
тот же? Рассмотреть, в частности, случай Ra = О.
Указ ан и е. Рассмотреть контурные токи в цепочке конту­
rов, каждый из которых образован отрезком Ah-JAk линии и
утечками через изоляторы Ak-l и Ah. Решением получившегося
разностного уравнения второго порядка является гиперболиче­
с,шй косинус.
224*.
Подземный кабель имеет постоянное сопротивление р
на единицу длины. Изоляция кабеля несовершенна и через нее
происходит утечка. Проводимость утечки на единицу длины ка­
беля постоянна и равна· 1/р'. Роль обратного провода играет
земля. Найти дифференциальное уравнение, которое описывает
распределение постоянного тока в кабеле. Найти связь между
током в кабеле 8 (х) и разностью потенциалов q> (х) между жи­
лой кабеля и землей.
У к а з а н и е. Исходить из уравнения ( l) в решении зада­
чи
223.
225*.
К. одному из концов подземного кабеля длиной а, с со­
противлением на единицу длины р и проводимостью утечки 1/р'
(на единицу длины) подключена заземленная одним полюсом
батарея с э. д. с. tff и внутренним сопротивлением
Второй
конец кабеля подключен к заземленной нагрузке с сопротивле. ннем Ra- Найти распределение тока 8 (х) по длине кабеля. Рас­
смотреть, в частности, случай
=
= О. Выполнить для про­
верки результата предельный переход к случаю кабеля без утечки.
Указ ан и е. Исходить либо из дифференциального уравне·
ния, полученного в задаче 224, либо из формулы (7) в решении
задачи 223.
226. В пространство между обкладками плоского конденса"
Ri·
Ri
-тора
Ra
вставлены две плоскопараллельные проводящие
пластинки,
плотно прилегающие друг к другу и к обкладкам конденсатора.
Пластинки имеют толщины h,, h2. проводимости х,, х2 и диэлек­
трические проницаемости е 1 , е 2 • На обкладки конденсатора, из­
готовленные из материала с проводимостью, много большей
чем х 1 и х 2 , подана разность потенциалов V. Определить напря­
женность Е электрического поля, электрическую индукцию
плотность тока
j
и связанных Осв зарядов на
58
D
и
в пластинках, а также плотности свободных а
всех трех границах раздела.
Найти закон
227.
преломления
линий тока на гладкой
БРрхности раздела двух сред с проводнмостями х 1
по-­
и х2 •
228*. Постоянный ток [! течет по бесконечно длинному пря­
мому проводу радиуса а с проводимостью х. Провод окружен
толстой коаксиальной с ним проводящей цилиндричес1юй оболоч­
кпй, служащей обратным проводом. Внутренний радиус оболоч­
ки Ь, наружный радиус с - оо. Найти электрическое {jJ и магнит­
ное Н поле во всем пространстве. Определить распределение а
поверхностных зарядов. Диэлектрическая проницаемость среды
между проводниками равна е.
229.
радиуса
Три проводника с круглыми сечениями одного и того же
r соединены последовательно, образуя замкнутое коль­
цо. Длины проводников
объему
проводника
с
10 , 11,
проводимости хо, х1, х2. По
проводимостью х 0 равномерно распреде­
лена сторонняя э. д. с.
электрическое поле Е 1внутри
230.
l2>>r,
/S 0 , не зависящая от времени. Найти
р
преде ение электрических заря ов
кольца.
Найти потоки энергии
через поверхности трех провод­
\'
ников, рассмотренных в задаче
закон Джоvля
-
229.
Получить таким способом
Ленца.
231. Раёпределение тока в трехмерном проводяике с прово­
димостью х обладает такой симметрией, что во всех точках каж­
дой его эквипотенциальной поверхности напряженность электри­
ческого
то
же
поля,
а
значение.
следователъно,
Доказать,
и
что
плотность
в
этом
тока
случае
имеют
одно
и
сопротивление
проводника выражается той же формулой, что и сопротивление
квазилинейного
нием*).
проводника
с
переменным
поперечным сече­
232. Используя результат предыдущей задачи, найти сопро­
тивления R:
а) сферического конденсатора с радиусами обкладок а и Ь,
а
Ь, заполненного однородной средой с проводимостью х;
б) такого же конденсатора, заполненного двумя однород­
ными слоями с проводимостями х 1 и х 2 (слой с х 1 прилегает к
внутренней обкладке), границей раздела между которыми яв­
<
ляется сфера радиуса с;
в) цилиндрического конденсатора с радиусом обкладок а и Ь,
а< Ь и длиной l, заполненного средой с проводимостью х (крае­
вого эффекта не рассматривать).
233. Заземление осуществляется с помощью идеально прово­
дящего шара радиуса а, наполовину утопленного в землю (про­
водимость земли х 1
const). Слой земли радиуса Ь, концентри­
ческий с шаром и прилегающий к нему, имеет искусственно
=
*)
Сформулированные условия совпадают с условиями, при выполнении
1юторых можно пользоваться электростатической теоремой Гаусса в соответ­
ствующей_ электростатической задаче.
5~
повышенную проnодимость х 2
Найти
R
такого
(электродов)
нахо­
сопротивление
заземлителя.
234*,
Система
идеальных
проводников
дится в среде с проводимостью
x(r)
и диэлектрической прони­
=
цаемостью 8(r), обладающей тем свойством, что x(r)/8(r)
= coпst во всех точках пространства*). Найти связь между
потенциальными 1юэффициентами S;1t и коэффициентами сопро­
-тивления R;h этой системы проnодников. Как связаны между
собой заряды Q11 электродов п исходящие от них токи ff k?
235. Конденсатор про11звольной формы заполнен однородным
диэлектриком с проницаемостью 8. Найти емкость С этого кон­
денсатора,
если
известно,
что
при
заполнении
его
однородным
проводником с проводимостью х он оказывает постоянному току
сопротивление R.
236. Система электродов характеризуется коэффициентами
сопротивления Rin· Найти количество тепла Q, выделяемое в еди­
ницу
времени
токами
в
пространстве
между
электродами,
если
известны токи 8 k• исходящие от электродов.
237. Две идеально проводящие сферы с радиусами а и Ь нахо­
дятся в однородной среде с проводимостью х и диэлектрической
проницаемостью 8. Расстояни~ между центрами сфер равно l.
Ток 8 подводится к одной из сфер и отводится от другой сферы.
Найти сопротившние R = (Va - Vь)/8 среды между сферами, где
Va, Vь - потенциалы сфер, 8 - ток, текущий от сферы с радиу­
сом а.
Указ ан и е. Выразить R;п через емкостные коэффициенты cih
шстемы двух сфер (см. задачу
213).
Концы некотороii цепи заземлены с помощью двух иде­
238.
ально проводящих сфер (радиусы их а1 и а2), наполовину утоп~
JJенных в землю, служащую вторым проводом. Расстояние меж­
ду сферами
ление
R
239.
1 >>
а 1 , а2, проводимость земли х. Найти сопротив­
между заземлителями.
Решить предыдущую задачу, если
заземлители
осуще­
ствляются в виде двух одинаковых эллипсоидов врвщения, с объ­
емом V и эксцентриситетом е0 • Оси вращения эллипсоидов
перпендикулярны к поверхности земли, а центры лежат на ней.
Какая форма заземлителей выгоднее ( обеспечивает меньшее
сопротивление)?
240*. Частицы с зарядом е и массой т могут в неограничен­
ном количестве испускаться плоским электродом х = О. Испу­
щенные с нулевой скоростью частицы ускоряются электрическим
полем
"')
в
направлении
к
другому
плоскому
электроду,
па-
Иначе это условие можно сформул1iровать так: вместо среды с про~
воднмостью
х пространство
между
идеальными
проводниками
заполняют ди­
электрической средой. проницаемость в которой пропорциональна х в каждой
точке пространства, так что в/х =
(Ю
const.
раллельному
первому
и
отстоящему
от
него
на
расстояние
а.
Разность потенциалов между электродами <р 0 . Эмиссия из пер­
вого ЭJ1ектрода продоюкается до тех пор, пока ПОJ1е образовав­
шегося между электродами объемного заряда с плотностью р
не скомпенсирует внешнее поле у поверхности первого электрода,
так что напряженность результирующего поля
-
Найти зависимость плотности стационарного тока
j
тродами от
разности
Указ ан и е.
ддlJJ
х
1
х=О
=
О.
между элек­
потенциалов <ро.
Потенциал в пространстве между электродами
-опредеJ1яется уравнением Пуассона Лср
=
-4лр, р
= j/v,
где
v-
-скорость частиц в данной точке пространства.
ЛИТЕРАТУРА
Смайт В. [93], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Зоммерфельд А. [54],
Френкель Я. И. [112], Гринберr Г. А. [46], Тамм И. Е. [101], Лебедев Н. Н.,
Скальская И. П., Уфлянд Я. С. [69].
ГЛАВА
V
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Уравнения Максвелла в случае постоянного магнитного поля
принимают
вид
rot
где
В
-
магнитная
Н=~
J"
div В = О
с
'
'
индукция,
Н
-
напряженность
(V 1)
магнитного
П()ЛЯ, j - плотность объемного тока, с - электродинамическая
постоянная (с= 3 · 10 10 см/сек).
В изотропных диа- и парамагнетиках В и Н связаны соотно­
шением
В=µН,
(V. 2)
где µ - магнитная проницаемость вещества (скаляр); в случае
анизотропных веществ µ является тензором II ранга. Плотность
молекулярных токов jмол в веществе, находящемся в постоянном
магнитном поле, выражается через вектор намагниченности М
(магнитный момент единицы объема) по формуле
jмол = с
rot м.
(V. 3)
Вектор М связан с В и Н соотношением
B=H+4nM.
Основные методы решения задачи об определении
ного поля в неферромагнитной среде:
(V. 4)
магнит­
а) Использование закона Био- Савара. Элемент тока
[fdl
создает в вакууме или в однородной среде магнитное поле
dH
[1
= -
cr 3
(dl
Х
r).
(V. 5)
По принципу суперпознuии полное поле в данной точке можно
получить интегрированием (V. 5) по всем элементам тока (по dl).
б)
Непосредственное интегрирование системы уравнений
(V.1), .(V. 2)
с граничными условиями
n-(8 2 -8 1)=0,
62
nx(H2-Hi>=4; i,
(V.6)
i-
где
плотность поверхностного тока и нормаль
n
направлена
из первой области во вторую. Если распределение токов обла­
дает аксиальной симметрией, бывает полезна интегральная фор­
ма первого из уравнений (V. 1):
!'j' Hi dl =
4п
-с-9.
(V. 7)
Здесь интеграл берется по произвольному замкнутому контуру;
полный ток, протекающий через произвольную поверхность,
9 -
опирающуюся на этот контур.
в) Метод векторного
определяется
потенциала.
Векторный
потенциал
(V.8)
B=rotA
и
А
соотношением
дополните.1ьным
условием
(V. 9)
divA=O.
В тех областях, где магнетик однороден, А удовлетворяет уравнению
ЛА=- 4пµ j.
(V. 10)
с
Граничные условия для векторного потенциала вытекают из гра­
ничных условий
Векторный
(V. 6)
для В и Н,
потенциал,
создаваемый
заданным
распределе­
н11ем токов, может быть записан (в однородной среде с магнит­
ной проницаемостью µ) в виде интеграла по объему, занятому
1"0КОМ:
А (r) = ~
с
f
j
(г') dV'
(V. 11)
I г-г' 1
Соответствующее выражение длR линейного тока получается за­
меной
На больших расстояниях от области, в ко-
jdV' _.[! dl'.
7Орой текут токи,
(V. 11)
переходит в
А= m х г
,з
(V. 12)
.
где
m = 2~
f (r' Х j) dV'
(V. 13)
магнитный дипольный момент (положено µ = 1).
г) Метод скалярного потенциала. В тех областях простран­
ства, где j = О, имеем rot Н = О, поэтому можно положить
-
Н = где
'ljJ-
скалярный
потенциал,
grad 'ljJ,
удовлетворяющий
(V. 14)
при
µ=const
уравнению Лапласа. Однако введенный таким образом скаляр­
ный потенциал в общем случае не будет однозначной функцией
63
точки *). Скалярный потенuиал используется в задачах 254,
255 и др.
Реальные системы токов ограничены в пространстве, плот­
ности
токов,
потенциалы
и
напряженности
rюля
таких
систем
становятся равными нулю на бесконечности. Однако в ряде слу­
чаев бывает удобно рассматривать бесконечные проводники с
током, по.1е которых не исчезает на бесконечности. Получаемые
при этом результаты правильно описывают поле в средней
части
конечного проводника,
на
расстояниях,
малых
по
сравне­
нию с его длиной.
Энергия магнитного поля, локализованная внутри некоторого
объема V, выражается интегралом по этому объему:
W= 8~
f (Н
(V. 15)
· B)dV.
Еслп система токов имеет конечные размеры, ее полная энергия
может быть вычпслена также по формуле
W=
в
которой
интегрирование
;с
f (А
· j) dV,
производится
(V. 16)
по
объему,
занятому
токами.
Магнитная энергия квазилинейного проводника с током
выражается через коэффициент самоиндукции L проводника:
W = Lf/2/2c 2 •
[!
(V. 17)
Индуктивность можно также выразить через двойной интеграл
по объему проводника:
-f f J
L = - 12
8
Энергия
(r). j(r')
1r -r' 1
взаимодействия двух
dV dV'
(V. 18)
'
проводников
с током дается
выражениями
W12 = 4~
f (Н1
·
В2) dV =
:
f
(J1 • А2) dV1
(W12 = W21), (V. 19)
Первый интеграл берется по всему пространству, второй - по
объему одного из проводников. В случае квазилинейных токов
энергия может быть выражена через коэффициент взаимной ин~
дукции
L12:
W12 = L1291ff 2/c2.
Формулу
(V. 20)
(V. 20)
можно представить в виде
W12 = ff 1Ф1ic,
где
Ф 12
-
поток
магнитной
*) Более подробно см. (101].
64
индукции,
(V. 21)
создаваемый
вторым
током, через контур первого тока:
Ф 12 =
f
82 • dS1 =
~ А2 · dl1 = ~
(V. 22)
L12ff2,
Коэффициент взаимной индукции может быть получен из вы­
ражения энергии
(V. 20), потока магнитной индукции (V. 22}
или, в случае линейных токов, вычислен по формуле
_ ~ ~ dl 1 • dl2 •
L 12-µ
Г12
(V.23),
Обобщенные силы Fi, действующие между двумя неподвиж­
ными токами, могут быть получены дифференцированием энер­
гии взаимодействия W 12 (или величины И12 = -W12, которая
называется потенциальной функцией) по соответствующим обоб­
щенным
координатам:
F·= дW12
дqi
t
=-
дU12.
(V.24)
дqi
Для вычисления сил может быть использована также формула
Ампера:
dF =
~ (dl Х В),
(V. 25)
где dl - элемент контура, обтекаемого током fJ, dF - сила, дей­
ствующая на этот элемент со стороны внешнего поля В.
Силы, действующие на токи и магнетики, можно вычислить
с помощью максвеллова тензора натяжений магнитного поля
Tim =
:n (Н1Нт -
~ Н 26 1т)
(V. 26)
так же, как вычислялись силы с помощью тензора натяжений
электрического поля в гл. 111.
В тех областях пространства, которые заняты ферромагне­
тиками, В и Н связаны нелинейной и неоднозначной (гистере­
зис)
зависимость!_(), и решение задач магнитостатики вследствие
этого чрезвычайно усложняется. Однако при рассмотрении по­
стоянных магнитов часто предполагают, что зависимость В от Н
по-прежнему линейна:
В= µН
4nM0 ,
(V. 27)
+
где М 0 -
«постоянная»
(т. е. не зависящая от Н)
намагничен­
ность, которая должна рассматриваться как известная функция
координат.
шение
Ферромагнетики, для
(V.27),
которых справедливо соотно­
называются идеализированныыи (см.
{101], § 73).
241. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки
радиуса Ь находится коаксиальный с ней провод радиуса а. По
этим проводникам текут постоянные токи одина1ювой величины
О
в
б
противоположных
направлениях.
в. в. Батыrин, И. Н. Топтыгин
Определить
магнитное
65
по.r1е Н, создаваемое такой системой во всех точках простран­
ства. Решить задачу двумя способами: интегрированием диф­
ференциальных уравнений Максвелла и с помощью уравнения
Максвелла в интегральной форме (V. 7).
242. Определить напряженность магнитного поля Н и маг­
нитную индукцию В, создаваемые постоянным током
9,
теку­
щим по бесконечному цилиндрическому проводнику кругового
сечения радиуса а. Магнитная проницаемость проводника рав­
на
µо,
окружающего
проводник
вещества
- µ.
Решить задачу
наиболее простым способом - с помощью уравнения Максвелла
в интегральной форме (V. 7), а также путем введения вектор­
но~тенциала А.
i43_ Решить предыдущую зада чу для полого цилиндриче­
ского проводника (внутренний радиус а, наружный Ь).
244. Прямолинейная, бесконечно длинная полоса имеет ши­
рину а. Вдоль полосы течет ток 9, равномерно распределенный
по ее ширине. Найти магнитное поле Н. Проверить результат,
рассмотрев п~дельный случай поля на больших расстояниях.
245. Противоположно направленные токи равной величины 9
тЕ:кут по двум тонким бесконечно длинным параллельным пла­
стинам, совпадающим с двумя гранями бесконечной призмы
прямоугольного сечения. Ширина пластин а, расстояние между
ними Ь. Найти силу взаимодействия на единицу длины
246. Найти векторный потенциал А и магнитное поле Н, со­
здаваемые двумя прямолинейными параллельными токами 9,
текущими в противоположных направлениях. Расстояние между
токами 2а.
247. Определить магнитное поле Н, создаваемое двумя па­
i
1
f.
раллельными
плоскостями,
по
которым
текут
токи
с
одинако­
=
выми поверхностными плотностями i
coпst. Рассмотреть два
случая: а) токи текут в противоположных направлениях; б) токи
направлены
248.
одинаково.
Определить магнитное поле Н в цилиндрической полости,
вырезанной в бесконечно длинном цилиндрическом проводнике.
Радиусы полости и проводника соответственно а и Ь, расстояние
между их параллельными осями
Jlен
d (Ь >а+ d). Ток 9 распреде­
равномерно по сечению.
Указ ан и е. Использовать принцип суперпозиции полей.
249*. Найти векторный потенциал А и магнитное поле Н, соз~
даваемые
в произвольной точке тонким кольцом радиуса а с
током
Окружающая среда однородна, магнитная проницае­
мость µ. Результаты выразить через эллиптические интегралы.
Указ ан и е. Использовать метод решения, примененный в
9.
задаче
89.
250*. Показать, что если магнитное поле обладает аксиальной
симметрией
и описывается
в цилиндрических
координатах
торным потенциалом с компонентами Аа (r, z),
66
Ar = Az =
век­
О, то
уравнение линий магнитной индукции имеет вид
rA,! (r, z)=const.
Указ ан и е, Рассмотреть поток магнитной индукции внутри
трубки, образованной вращением одной из линий индукции во­
круг оси симметрии (ер. с решением задачи 115).
251. Выразить напряженность Н и векторный потенциал А
аксиально
симметрпчного
магнитного
поля
вне его
источников
через напряженность магнитного поля Н (z) на оси симметрии.
252. Определить магнитное поле Н на оси соленоида с густой
намоткой, имеющего форму цилиндра. Высота цилиндра h, ра­
диус а, число витков на единицу длины п, сила тока 8.
253*.
Сфера радиуса а заряжена зарядом е равномерно по
поверхности
и
вращается
вокруг
одного
из
своих
диаметров
с угловой скоростью (!). Найти магнитное поле внутри и вне
сферы. Выразить напряженность поля Н во внешней области
через магнитный момент m сферы.
254. Найти скалярный потенuиал 'Ф магнитного поля, созда­
ваемого бесконечно длинным прямым проводом с током
8.
Вы­
числить компоненты магнитного поля.
255*. Найти скалярный потенциал 'Ф магнитного поля замкну­
того линейного контура с током. Решить задачу: а) путем ин­
тегрирования уравнения Лапласа для потенциала; б) исполь­
зуя
известное
выражение
для магнитного векторного потенциала
А=
8
с
t~.
f r
Указ ан и е. При решении задачи первым способом восполь­
зоваться представлением решения уравнения Лапласа в виде
интеграла по замкнутой поверхности (см. [101], § 12).
256. Найти с~лу F и вращательный момент N, действующие
на замкнутый тонкий проводник с током в однородном магнит­
ном поле Н. Форма контура, образованного проводником, про­
извольна. Решить задачу двумя способами: прямым суммирова­
нием
сил
и
моментов
сил,
приложенных
к
элементам
тока,
и
с помощью потенциальной функuии. Результат выразить через
магнитный момент m.
257. Найти потенциальную функцию И двух малых токов,
магнитные моменты которых m1 и m2. Определить силу взаимо­
действия F этих токов и приложенные к ним вращательные мо­
менты N. Рассмотреть частный случай m 1 1/m 2 •
258. Показать, что силы, действующие между малыми то­
ками, стремятся установить магнитные моменты этих токов па­
раллельно друг другу и линии, соединяющей центры.
259.
Найти потенциальную функцию и 21 (на единиuу длины)
двух параллельных бесконечно длинных прямых токов
силу
5•
f
их взаимодействия на единицу длины.
8 1, 8 2
и
67
260. Квадратная рамка с током 9 2 расположена так, что
две ее стороны
ком
паралJ1-ельны
91 ( рис. 13).
щую на рамку силу
~Oif
длинному прямому проводу с то­
Сторона квадрата а. Определить действую­
п вращательный момент
F
N
относительно
·
261. Рамка с током fJ2 состоит из дуги окружности с углом
2(:n:-<p) и соединяющей ее концы хорды (рис. 14). Радиус
дуги
а.
Нормально
рамки
через
ходит
длинный
током
91.
к
плоскости
центр окружности про­
прямой
Найти
провод
момент сил
с
N,
приложенный к рамке.
262. Внутри тонкой проводящей
цилиндрической оболочки радиуса
Ь находится
коаксиальный
провод
'
Рис.
13.
Рис.
14.
радиуса а, магнитная проницаемость которого µ 0 • Простран­
ство между проводом и оболочкой заполнено веществом с маг­
нитной прониuаемостью µ. Найти коэффициент самоиндукции
9! такой линии на единицу длины.
263. Линия ,состоит из двух коаксиальных тонких цилиндри­
ческих оболочек с радиусами а и Ь (а
ними
заполнено
веществом
с
< Ь),
магнитной
пространство между
проницаемостью
µ.
Найти коэффициент самоиндукции ..? на единицу длины .
./ 264. Длинный прямой провод и кольцо радиуса а лежат в од­
ной плоскости. Расстояние от центра кольца до провода Ь. Найти
коэффициент взаимной индукции L 12 и силу взаимодействия F,
если сила тока в проводе f/ 1, в кольце 9 2•
265*. Два тонких кольца с радиусами а и Ь расположены
так, что их плоскости перпендикулярны отрезку прямой длиной l,
соединяющему центры колец. Найти коэффициент взаимной ин­
дукции L 12 • Результат выразить через эллиптические интегралы.
>>
Рассмотреть,
в
частности,
предельные
случаи
l
а, Ь
и
а~ Ь
l.
266. Найти силу взаимодействия F между двумя кольцевыми
токами, рассмотренными в предыдущей задаче.
»
68
Найти коэффициент самоиндукции
267.
2
на единицу длины
бесконечного цилиндрического соленоида с густой намоткой и
с произвольной (не обязательно круговой) формой сечения.
Площадь сечения S, число витков на единицу длины п.
268. Найти коэффициент самоиндукции L катушки из тонкого
провода с числом витков на единицу длины п. Катушка имеет
круглое сечение радиуса а и конечную длину h (h
а). Вычис­
.ления произвести с точностью до членов порядка a/h.
269. Найти коэффициент самоиндукции L тороидального со­
.леноида. Радиус тора Ь, чисдо витков N, сечение тора - круг
радиуса а. Определить коэффициент самоиндукции на единицу
»
длины соленоида в предельном случае Ь
-
оо
( N/Ь
шить ту же задачу для тороидального соленоида,
=
coпst). Ре­
сечение
кото"
рого - прямоугольник со сторонами а и h. Как изменится само­
индукция, если равномерно распределенный ток будет течь, со­
храняя то же
направление,
не по проводу, намотанному на тор,
а прямо по полой оболочке тора?
Определить
270.
коэффициент
самоиндукции 2
на
единицу
длины двухпроводной линии. Линия состоит из двух параллель­
ных прямых проводов, радиусы которых а и Ь, расстояние между
<Jсевыми линиями h. По проводам текут равные по величине, но
nротивоположно направленные токи f/.
271
Показать, что коэффициент
*.
го замкнутого
проводника
приближенно
формуле
вычислить
L
rде
µ0
мость
длина,
-
=
~
01
с
круговой
самоиндукции
формой
сечения
тонко­
можно
по
+ L' *),
магнитная
проницае­
проводника,
l - его
L' - коэффициент вза-
имной индукции двух линейРис. 15.
ных контуров. Один из контуров совпадает с осевой линией рассматриваемого квазилиней­
ного проводника, другой - с линией, по которой пересекается с
поверхностью
проводника
произвольная
незамкнутая
поверх­
ность
S', опирающаяся на его осевую линию (рис. 15).
272. Определить коэффициент самоиндукции L тонкого
волочного кольца радиуса Ь. Радиус провода а
«
про­
Ь.
Указ ан и е. Использовать формулу, приведенную в условии
предыдущей задачи, и результаты задачи 265.
273.
Определить коэффициент взаимной индукции
раллельных отрезков длиной а, расположенных
L 12 двух па­
на расстоянии l
*) Первый и второй члены в выраженпи L могут быть названы соответ­
~твенно внутренней и внешней самоиндукцией, так как они определяют маг­
liитную энергию,
запасенную
внутри
проводника
и вне его.
69
друг
от
друга
и совпадающих с двумя сторонами прямоуголь­
ника*).
274.
Определить
коэффициент
взаимной
индукции
L 12
двух
одинаковых квадратов со стороной а, находящихся на расстоя­
нии
l друг от друга и совпадающих с двумя противоположны"
ми гранями прямоугольного параллелепипеда.
Найти
взаимодействия F между ними, считая ~t = 1 во всем
силу
про­
странстве.
275. Определить самоиндукuию L проволочного квадрата со
стороной Ь. Радиус провода а
Ь, магнитная проницаемость
окружающего пространства ~t, внутри провода µ 0 = 1.
Указ ан и е. Использовать формулы, полученные в задачах
<<
271, 273.
276. Определить
магнитный момент
m
заряженного
шара,
вращающегося вокруг одного пз своих диаметров. Рассмотреть
с.1уча11 равномерного объемного и равномерного поверхностного
распределений заряда.
277*.
вым
j
Плотность тока, создаваемого в атоме водорода спино­
магнитным
= с
rot[p (r) а],
моментом
где а
-
Э.'Iектрона,
описывается
постоянный вектор, с
функцией
электродинами­
-
ческая постоянная, а р - объемная плотность распределения за­
ряда в атоме; величина р зависит только от абсолютной вели­
чины радиуса-вектора r и обращается в нуль на бесконечности.
Показать, что магнитное поле в начале координат равно
- 8 /злр (О) а.
Указ ан и е. Воспользоваться результатами задачи 32.
278. Свести задачу магнитостатики об определении поля, со­
здава_емого заданными токами в неоднородной неферромагнит~
ной среде, к задаче электростатики. Для этого представить маг­
=
нитное поле в виде суммы двух полей: Н
Но+ Н', где Н 0 «первичное» поле, которое создавалось бы тем же распределе­
нием токов в пустом пространстве, а Н' - поле, обусловленное
наличие~ магнетиков. Ввести для Н' скалярный потенциал 'ljJ.
получить для
'ljJ
уравнение и
граничные условия.
Контур с током лежит в плоскости раздела двух сред
с магнитными проницаемостями ~t1 и µ 2• Определить напряжен­
ность магнитного поля Н во всем пространстве, считая извест­
279.
ным
поле,
280.
создаваемое этим
контуром
в
вакууме.
Бесконечный прямой провод с током
[/
расположен па­
раллельно плоской границе двух сред с магнитными проницае­
мостями µ1 и ~t 2 . Расстояние от провода до граниuы а. Опреде­
лить магнитное поле.
*)
Искомый
коэффициент
взаимной
индукции
здесь
не
имеет
непосред­
ственного физического смысла, так как токи в этих отрезках не могут быть
замкнутыми. Однако с помощью этого коэффициента легко
выразить индук­
тивность замкнутых контуров, имеющих параллельные прямолинейные участ­
ки (см. задачи
70
274, 275).
Указ ан и е. Применить метод изображений, подобно тому
1<al( это
281.
делалось в задачах э.ТJектростатики (гл.
111).
В однородное магнитное поле Но вносится шар радиуса а
-с магнитной проницаемостью µ. Определить результирующее
поле Н, индуцированный магнитный момент m и плотность токов
jмол, эквивалентных приобретаемой шаром намагниченности.
282*. Анизотропный неферромагнитный шар вносится в одно­
родное магнитное поле. Найти результирующее поле Н и момент
сил
N,
действующих на шар.
Бесконечно длинная полая цилиндрическая оболочка
с внутренним радиусом а и внешним радиусом Ь находится во
внешнем однородном магнитном поле Н 0 , перпендикулярном ее
283.
оси. Магнитная проницаемость цилиндра µ1, окружающего про­
странства µ 2 • Найти напряженность поля Н в полости. Рассмот­
>>
реть, в частности, случай µ1
µ2.
284. Полая сфера с внутренним радиусом а и наружным ра­
диусом Ь помещена во внешнее однородное магнитное поле Н 0 •
Магнитная проницаемость сферы µ 1, окружающего пространства
µ 2 • Найти поле Н в полости. Рассмотреть, в частности, случай
J.t1
»
µ2.
285.
нитной
Бесконечный прямолинейный провод радиуса а с маг­
проницаемостью µ 1 находится во внешнем однородном
поперечном поле Н 0 в среде с магнитной проницаемостью µ 2 • По
проводу течет постоянный ток 8. Найти результирующее магнит­
ное поле внутри и вне провода.
286. В некоторой ограниченной области задано распределе­
ние намагниченности М (r). Определить скалярный ,i, и вектор­
ный А потенциалы, создаваемые этим распределением намагни­
ченности. Показать прямым вычислением, что векторы В = rot А
и Н
-grad ,i, связаны соотношением В = Н 4лМ.
287. Тело произвольной формы намагничено однородно. По­
казать, что скалярный потенциал магнитного поля, создаваемого
=
+
этим телом, можно записать в виде
,i,
=
-М
· grad <р,
где М - намагниченность, а <р - электростатический потенциал
равномерно заряженного (с плотностью р
1) тела такой же
формы и размеров.
288. Прямолинейный провод с током 8 расположен парал­
лельно оси бесконечного кругового цилиндра на расстоянии Ь от
нее. Радиус цилиндра а ( а
Ь), магнитная проницаемость µ.
=
<
f
Найти силу взаимодействия
на единицу длины
Указ ан и е. Применить метод изображений.
*).
*) Из результатов задач 280, 288 легко получить решение электростати- ·
ческих
задач об определении
поля,
создаваемого заряженной
нитью.
71
289. Прямолинейный провод с током f/ расположен внутрн
бесконечной цилиндрической полости, вырезанной в однородной
магнитной среде. Провод расположен параллельно оси uилиндра
на расстоянии Ь от нее. Радиус цилиндра а, магнитная прони"
uаемость магнетика
f
µ. Найти силу взаимодействия
на еди­
ницу длины.
290. Ток f/ течет по прямолинейному проводу, совпадаю~
щему с осью z. От оси расходятся веерообразно три полупло~
скости. образующие три двугранных угла: а1, а2, аз (а1
а2
а 3 = 2:rt). Пространство внутри каждого из углов заполнено
+
+
однородным
магнетиком
с
магнитными
проницаемостями
ветственно µ 1, µ 2 , µ 3 • Определить магнитное поле
+
соот­
Hi (i = 1, 2, 3)
в каждом из двугранных углов.
291*.
Найти
поле
равномерно
намагниченного
постоянного
магнита сферической формы. Магнитная проницаемость сферы
µ1, внешней среды µ 2.
292*. Найти поле, создаваемое бесконечным цилиндром ра~
диуса а, намагниченным однородно. Вектор намагниченности MJ
перпендикулярен оси цилиндра. Магнитная проницаемость ци­
линдра µ 1, окружающей среды µ 2 •
293. Равномерно намагниченная сфера (идеализированный
ферромагнетик) вносится во внешнее однородное поле Н 0 . Найти
результирующее поле и момент сил N, действующих на сферу.
Магнитная проницаемость сферы µ, во внешней области µ
l.
294. Небольшой постоянный магнит, момент которого m, на~
ходится в пустоте вблизи плоской границы вещества с магнит­
=
ной проницаемостью
µ. Определить силу F и вращающий мо­
мент N, действующие на постоянный магнит.
Указ ан и е. Применить метод изображений.
295. Эллипсоид из магнитного материала с проницаемостью
µ внесен в однородное магнитное поле Но. Определить внутрен­
нее. поле и магнитный момент эллипсоида.
296*.
Эллипсоид
проницаемостью
µu,
из
анизотропного
внесен
во
материала
внешнее
с
магнитной
однородное
магнитное:
по.11е Н 0 • Определить внутреннее поле Н1 в эллипсоиде.
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [IOI], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65, 66], Френкель Я. И.
(l l l, 112), Абрагам-Беккер [l], Гринберг Г. А. [46), Смайт В. [93], Джексон Дж.
[52), Гуревич Л. Э. [49), Стрэттон Дж. А. [100], Зоммерфельд А. [54), В,1а­
сов А. А. [25], Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. [106) (вып. 5), Лебедев Н. Н.,
Скальская И. П., Уфлянд Я. С. [69], Пановский В., Филипе М. [86], Гольд;,
штейн Л. Д., Зернов Н. В. [42].
ГЛАВА
VI
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 1.
Поляризация вещества в постоянном поле
Вектор поляризации Р (электрический дипольный момент
-единицы объема) в общем случае является нелинейной функ·
цией электрического поля Е. У большинства изотропных ди­
электриков в достаточно слабом поле вектор Р пропорционален
напряженности поля:
Р=аЕ.
(VI. 1)
Коэффициент поляризации или диэлектрическая восприимчи­
вость а определяется свойствами диэлектрика и зависит в об"
щем случае от температуры. Диэлектрическая проницаемость в
выражается через восприимчивость
е=
1 + 4:rta.
(VI. 2)
>
Для всех веществ в постоянном электрическом поле а
О,
е
1. У анизотропных диэлектриков е и а являются тензорами
II ранга.
В случае достаточно разреженного вещества (газ) поляри­
>
зуемость
диэлектрика
нице объема
а
пропорциональна
числу
частиц
в
еди­
N:
a=N~.
е=
1 +4лN~.
(VI.
З)
1-де ~ - средняя поляризуемость одной молекулы. Этот резу.r~ь­
тат получается, если считать, что действующее на молекулу
поле
8
равно среднему полю Е
В случае плотного вещества
нужно учитывать различие этих полей. Для диэлектриков, мо­
лекулы которых неполярны (т. е. не имеют постоянного ди"
польного момента в отсутствие внешнего поля) и либо располо­
жены хаотически, либо образуют кристаллическую решетку
с кубической симметрией, действующее поле выражается в виде
8=Е+ ~п Р.
(VI. 4)
73
Это приводит к тому, что формулы
(VI. 3)
заменяются следую­
щими:
а=
Последнее
N~
1-~N~'
3
соотношение,
(VI. 4')
а также
(VI. 4)
называются форму­
лами Лоренц - Лорентца.
Вектор намагниченности М (магнитный дипольный момент
единицы объема) у многих веществ пропорционален напряжен­
ности магнитного поля:
µ-1
М=хН =~Н.
(VI.5)
Магнитная проницаемость ~t и магнитная восприимчивость х
определяются свойствами вещества и температурой. В отличие
от диэлектрической восприимчивости, магнитная восприимчи­
вость может быть как положительной, так и отрицательной.
Вещества
с х
О называются парамагнетиками,
вещества
с х<О
диамагнетиками. У ферромагнетиков связь между М
-
>
и Н нелинейна и неоднозначна.
При решении некоторых задач
с
уравнениями
механики
и
этого
параграфа,
электродинамики,
наряду
необходимо
ис­
пользовать формулу Больцмана, вывод которой можно найти
в курсах статистической физики. Эта формула описывает рас­
пределение концентрации невзаимодействующих частиц, нахо­
дящихся во внешнем потенциальном поле:
dN (q;) =
С ехр [ -
Uk(i;) ] dV.
(VI. 6)
Здесь U (q;) - потенциальная энергия одной частицы во внеш­
нем поле, q; - обобщенные координаты, характеризующие по~
ложение и ориентацию частицы, dV - элемент объема в про~
странстве соответствующих обобщенных координат, dN ( q;) число частиц в элементе объема dV, k
1,38 · I0- 16 эрг· град- 1 постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, С - нор­
=
мировочная константа, определяемая из условия нормировки
f dN (q;) = No,
(VI. 7)
где N 0 полное число частиц в системе и интегрирование ве­
дется по объему, занимаемому системой.
В том случае, когда в качестве обобщенных координат вы­
браны полярные углы {!-, а, определяющие ориентацию оси мо­
лекулы, элемент объема запишется в виде
dV =
74
siп
tt dtt da.
Плотность электронного облака в атоме водорода опи-
297.
•
функциеи
сывается
(r)
р
2r]
= - -е0-3 ехр [ - - ,
:rtао
заряд, а 0 -
тарный
где
ао
постоянная.
Вычислить
е 0 - элемен-
поляризуемость
~
атома в слабом внешнем поле, пренебрегая деформацией элек­
тронного облака. Как изменится поляризуемость, если считать,
что
электронное
облако
имеет
постоянную
плотность
внутри
сферы ао?
298. Атом со сферически симметричным распределением за~
ряда помещен в однородное магнитное поле Н. Показать, что
добавочное поле около ядра, обусловленное диамагнитным то­
ком,
равно
еН
ЛН=---m(О)
2
3тс
где <р(О)
-
электростатический
't'
потенциал,
ядра атомными электронами, е и т
299*.
Молекула
состоит
из
'
-
двух
создаваемый
около
заряд и масса электрона.
атомов,
находящихся
на
расстоянии а. Атомы сферически симметричны, их поляризуе­
мости равны ~' и ~". Найти тензор поляризуемости :молекулы,
считая радиусы атомов малыми по сравнению с а. Рассмотреть,
в частности, случай
Исходя
300.
тензор
из
~'
= ~".
закона
поляризуемости
сохранения
молекулы
в
энергии,
постоянном
доказать,
поле
что
является
симметричным.
301. Диэлектрик состоит из одинаковых молекул, не имею~
щих дипольных моментов в отсутствие внешнего поля. Тензор
поляризуемости отдельной молекулы ~ik известен. Найти коэф­
фициент поляризации диэлектрика а; рассмотреть два случая:
а) все молекулы ориентированы одинаково; б) молекулы ориен­
тированы беспорядочно *). Учитывать отличие действующего на
молекулу поля от среднего с помощью формулы Лоренц - Ло­
рентца.
302*.
Если поляризуемости молекулы в разных направлениях
различны, то энергия взаимодействия молек')'ЛЫ с внешним по"
лем будет зависеть от ее ориентации. Поэтому наряду с дефор­
мационным механизмом поляризаш1;1 будет действовать ориен­
тационный механизм, хотя молекула и не имеет постоянного
электрического момента. Это вызовет температурную зависи~
масть диэлектрической постоянной вещества, состоящего из бес"
порядочно ориентированных неполярных молекул. Исследовать
данный
эффект
на
примере двухатомного
газа,
находящегося
*) Случай а) может иметь место в твердых телах, 1{ристалличес1шх и
аморфных; случай б)
-
в газах, жид1юстях и твердых телах. Но следует иметь
в виду, что твердое тело в отличие от газа представляет собою едииую си­
стему сильно взаимодействующих частиц. Поэтому представление об отдель­
ных моле1{улах в составе твердого тела
может ОI{азаться лишенным смысла.
75
в слабом постоянном эJiектрическом поле. Вычислить коэффи­
циент поляризации диэлектрика а. Продольная поляризуемость
молекулы газа (3 1, поперечная (3 2 •
303.
Две молекулы в газе имеют дипольные моменты Р1 и р 2
и находятся на расстоянии R друг от друга. Вследствие столк­
новений с другими молекулами их ориентаuии будут меняться~
вероятность данной взаимной ориентаuии определяется форму­
лой Больuмана
в которой И следует считать энергией
(VI. 6),
взаимодействия двух диполей. Предполагая выполненным ус.rю­
вие И<< kT, показать, что величина И, усредненная по распре­
делению Больuмана *), имеет вид
И (R) = -
2РТР~
3kTR 6
•
304. Молекула с электрическим дипольным моментом р взаи­
модействует с неполярной молекулой, поляризуемость которой (3.
Показать, что энергия взаимодействия, усредненная по возмож"
ным ориентациям дипольного момента *), имеет вид
И (R) = где
~р2
Rб ,
R-
расстояние между молекулами.
В диэлектрике, находящемся в постоянном электриче­
ском поле, наряду с дипольным моментом (вектором поляриза­
ции Р) существуют в общем случае также моменты высших по~
рядков. Найти плотности объемных и поверхностных зарядов,
305*.
эквивалентных квадрупольной поляризации
ляющие
квадрупольного
момента
Qik (Qik -
единицы
объема
состав­
диэле1<­
трика).
306. Вычисление диэлектрической проницаемости веществ.
молекулы которых об.падают дипольными моментами и для ко­
торых неприменима формула Лоренц
извести
следующим
приближенным
-
Лорентца, можно про"
методом,
принадлежащпм
Онзагеру.
Рассматривается малая сфера, внутри которой может по­
меститься только одна молекула. Принимается, что вне этой
сферы находится однородный диэлектрик с диэлектрической
проницаемостью
е,
внутри
сферы
вакуум,
и
что
поле
внутри
сферы совпадает с эффективным полем, действующим на моле-.
кулу. Это поле определяется путем решения макроскопических
уравнений электростатики. Найти 1:аким способом связь диэлек"
трической проницаемости вещества е с поляризуемостью его мо­
шкул
(3.
307*.
Рассмотреть систему, состоящую из частиц с зарядом е
и массой т, каждая из которых движется на фиксированном
*)
В задачах
303
и
304
при усреднении по направлениям дипольных мо·
ментов удобно использовать формулы, полученные в задаче
76
32.
расстоянии а от некоторого
(своего)
ходится
состоянии
в
магнитном
поле
в
центра. Эта система на­
статистического
равно­
весия. Показать, что полная магнитная восприимчивость такой
системы равна нулю.
308*. Ионизированный газ состоит из ионов (заряд Ze, сред­
няя концентрация No) и электронов (заряд - е, средняя кон­
центрация п 0 ). Газ в uелом электронейтрален, т. е.
и
находится
в
состоянии
статистического
ZNo =
равновесия
при
п0 •
тем­
пературе Т. Считая, что такой газ описывается классической
статистикой и что энергия взаимодействия частиц друг с дру­
гом невелика по сравнению с тепловой энергией kT, найти рас­
пределение плотности заряда вблизи отдельного иона.
309. Бесконечная проводящая пластинка, ограниченная пло­
скостями х = h и х = - h, находится в постоянном и однород­
ном поперечном электрическом поле Е 0 . Пластинка в целом
электронейтральна, средняя концентрация «свободных
заря­
дов» N 0 , диэлектрическая проницаемость 8. Считая изменение
концентрации
под
действием
приложенного
поля
малой
( 1
N - No 1 « N 0 ),
и
определить
найти распределение поля внутри пластинки
толщину
слоя,
в
котором
концентрируется
«по­
uерхностный» заряд.
310. Слой электролита находится между двумя бесконеч­
ными плоскими электродами, х = h и х = -h, на которые по­
даны потенциалы +<ро и -<ро. Электролит состоит из ионов двух
сортов, их заряды
+е и -е, средняя концентрация при отсут­
ствии внешнего поля N 0 • Диэлектрическая проницаемость элек­
тролита 8. Определить распределение потенциала между элек­
тродами.
У к а з а н и е. Использовать метод решения,
задаче
§ 2.
В
примененный в
308.
случае
Поляризация вещества в переменном поле
переменного
электромагнитного
ская индукuия в момент времени
t
поля
электриче­
будет зависеть от значений
поля во все предыдущие моменты времени:
D (t)
=
Е (t) +
Jf
(t -
и) Е (и) du,
(VI. 8)
-оо
где
f (t -
и)- функция, определяемая свойствами среды. (Ана­
логичная формула справедлива для магнитных величин.)
Пря­
мая пропорциональность между индукциями и напряженностями
полей сохраняется только для компонент Фурье этих векторов
(т. е. для полей, гармонически зависящих от времени):
(VI. 9)
77
Проницаемости е и µ становятся функциями частоты поля.
Для того, чтобы вычислить зависимость этих величин от ча­
стоты, необходимо использовать определенные представления
об электронном строении вещества, прежде всего атомов и мо­
леI<ул.
Строгая,
последовательная
теория
поляризации
веще­
ства может быть развита тольI<о на основе квантовой механиI<и,
таI<
как
классическая
механиI<а
и
элеI<тродинамиI<а
не
в
со­
стоянии объяснить строение вещества. ОднаI<о I<ЛассичесI<ая
теория с помощью осцилляторной модели атома позволяет по­
лучить ряд важных I<ачественных выводов о поведении вещества
в переменном поле. Согласно этой модели, электрон
находится под действием упругой силы
в
атоме
(VI. 1О)
F=-kr,
где r - расстояние до притягивающего центра (ядра), k - по­
стоянная. Для того чтобы учесть диссипацию электромагнит­
ной энергии, нужно ввеЕ;Е" 1
"'
сти также действующую
на
электрон
ния»,
его
«силу
скорости:
Fтр
= - rir. (VI. 11)
Диэлектрическая
ницаемость
w
стоящего
из
атомов,
(!)~
=l+
Р
-ro2 -ivro '
(VI. 12)
16.
(1) = k/m, '\' = ri/m, N - число
0
--=- заряд и масса электрона.
= 4ne2N/m,
объема, е и т
[12]
(j)2
(j)~
где
coрас­
как осцил­
ляторы, имеет вид
е ((i))
про­
вещества,
сматриваемых
Рис.
тре­
пропорциональную
атомов в единице
Характер зависимости вещественной е' и мнимой е" частей е
от
w
показан на рис.
глощение
16.
Мнимая часть е", определяющая по­
электромагнитной
энергии,
заметно
отличается
от
нуля только вблизи собственной частоты wo колебаний осцил­
ляторов среды. В области частот, лежащих вблизи wo, е' убы­
вает с ростом w (аномальная дисперсия). В остальной области
частот е' растет с ростом w (нормальная дисперсия).
78
Квантовомеханическое
рассмотрение
приводит
к
формуле
аналогичного вида
B(ffi)
где ffip,
fi,
ffii,
'\'i -
= 1 + (J)~ ~
;i . .
2
(VI. 13)
i wi~w -1viw
постоянные.
311. Искусственный диэлектрик состоит из одинаковых иде­
ально проводящих металлических сфер радиуса а, хаотически
распределенных в вакууме. Среднее число сфер в единице объ­
ема N. В этой среде распространяется электромагнитная волна.
Пренебрегая отличием поля, действующего на каждую сферу,
от
среднего
поля,
определить
электрическую
в
и
магнитную
µ
проницаемости такого искусственного диэлектрика. При каких
условиях его можно рассматривать как сплошную среду?
Указ ан и е. Электрическая и магнитная поляризуемости
идеально проводящей сферы вычислены в задачах 151, 389.
312*. Определить диэлектрическую проницаемость проводя­
щей среды в поле плоской монохроматической волны, считая
ионы неподвижными и пренебрегая влиянием связанных элек­
тронов. Диссипацию энергии учесть введением «силы тре-
ния» -11r, действующей на электроны, концентрация которых N.
Связать коэффициент
1J с удельной проводимостью.
Газообразный диэлектрик, находящийся в состоянии
статистического равновесия при температуре Т, состоит из мо­
лекул, концентрация которых N, главные значения тензора по­
313*.
ляризуемости ~< 1>= ~ и ~<2>= ~<3>= ~' ( 13 и 13' зависят от ча­
стоты ffi). На него действует постоянное и однородное электри­
ческое поле Ео. Найти тензор диэлектрической проницаемости
диэлектрш<а
для гармонически зависящего от времени
«
ческого поля Е ( t) = Be-iffit, считая ~
Е0 .
314. Газообразный диэлектрик состоит
из
электри­
полярных
моле­
кул, электричес1шй дипольный момент которых при отсутствии
внешнего поля равен Ро· Главные значения тензора поляризуе­
1>=~ и ~(2>=~<ЗJ=~'.
мости молекулы в переменном поле равны
причем ось х1 имеет направление ро. На диэлектрик действует
постоянное электрическое поле Е 0 и переменное поле Е (t)
~<
= 8'e-iffit.
Пренебрегая ориентирующим действием
=
переменного
nоля и ориентационным эффектом, связанным с анизотропной
поляризуемостью молекулы в постоянном поле, найти тензор
диэлектрической проницаемости диэлектрика для переменного
поля, если температура Т, концентрация частиц N.
315*.
Некоторая система зарядов
электромагнитном
поле,
меняющемся
(молекула)
по
находится
гармоническому
в
за­
кону. Показать, что если в системе не происходит диссипации
электромагнитной
энергии,
то
тензор
влетворяет условию эрмитовости
~ik
=
ее
~;i·
поляризуемости
удо-
79
Указ а ни е. Д.rIЯ вычисления элементарной работы исполь·
зовать формулу (VII. 7).
316. Показать, что если тензор ~ih эрмитов, то при соответ~
ствующем выборе координатных осей он может быть записан
в виде ~ih
~(iJб;1,
ie;1,1g1, где e;1,z - единичный антисимме­
тричный тензор 111 ранга (его определение см. в задаче 24),
g - некоторый вещественный вектор (вектор гирации) *).
317. Найти поляризуемость атома ~;1< в поле плоской моно­
хроматической волны при наличии слабого внешнего постоян­
ного магнитного поля Н 0 • Исходить из модели упруго связан­
ного электрона; применить метод последовательных приближе­
ний. Действием магнитного поля плоской волны и потерями
электромагнитной энергии пренебречь. Определить также вектор
+
=
гирации
g.
Используя осцилляторную модель атома, найти тензор
диэлектрической проницаемости е;1, ( ш) диэлектрика, содержа­
шего N атомов в единице объема и находящегося в постоянном
магнитном поле Н 0 произвольной величины. Диссипацией элек­
тромагнитной энергии и действием магнитного поля плоской
волны пренебречь. При каком условии точное решение перейдет
в приближенное решение предыдущей задачи?
Указ ан и е. При интегрировании уравнения движения элек"
318.
трона перейти к пиклическим компонентам
Х± 1 = + ,}2 (х ±
тензор
z.
диэлектрической
проницаемости
плазмы, находящейся во внешнем постоянном
магнитном поле
319*.
Получить
х0 =
iy),
Н 0 • если средняя концентрация электронов
ионы
считать
«силы
непо~вижными,
трения»
потери
Положительные
N.
энергии
учесть
введением
-11r.
Пусть в плазме, описанной в предыдущей задаче, суще­
320.
ствует постоянное электрическое поле Е. Получить в линейном
по Н 0 приближении связь между плотностью тока j и электри­
ческим полем Е. Найти тензор электропроводности.
Указ ан и е. Уравнение движения электрона решать мето­
дом последовательных приближений.
321*. Найти диэлектрическую проницаемость ионизованного
газа, находящегося в постоянном магнитном поле, с учетом двп­
жения
положительных
ионов,
считая
массу
иона
значительно
больше массы электрона. Рассмотреть зависимость диэлектри­
ческой
ионы
проницаемости
считаются
тронов
*)
ы
и
сравнить
ее
со
Концентрация
случаем,
ионов
и
когда
элек­
N.
Среды, в которых вектор гпрации отличен от нуля, называются гиро­
тропными.
Распространение
рассматривается в
80
от
неподвижными.
§ 2
гл.
электромагнитных
VIII.
волн
в
гиротропных
средах
Указ ан и е. Рассмотреть
систему
уравнений
движения
электрона и иона. Принять во внимание, что на электрон дей­
ствует «сила трения» [- ri (г - R) ], на ион - «сила трения»
I- ri (R- r)], где r и R- радиусы-ве1поры электрона и иона.
322. Пусть в безграничной однородной среде имеется только
одно
выделенное
направление
(например,
него поля). Пусть, далее, Tik -
направление
внеш~
какой-нибудь тензорный пара~
метр этой среды, например, электрическая или магнитная про­
ницаемость. Очевидно, что компоненты тензора Tik должны быть
инвариантны относительно любого поворота системы координат
вокруг
торые
выделенного
налагаются
направления.
этим
тензора Tik·
323. В некоторых
связь между
D
и
случаях
Е
Получить
требованием
ограничения,
инвариантности
на
1<0вид
функцию f(t), определяющую
можно представить в виде *)
( см. VI. 8),
f (t) = fo ехр [-f], где fo и
,;- постоянные. Показать, что при
ЭТОМ
в
где во
324*.
e0 - l
.
1-
щп·
,
статическое значение диэлектрической проницаемости.
Исходя из
поляризация
действия
(ro) = 1 +
в
условия
среде
может
электрического
причинности, согласно
возникнуть
поля,
доказать,
только
что
+
J
в (ш)
=
в' ( ro)
и
+
00
в' (ro) = 1 + _!_ _[ е': (ro') dro',
1t
начала
вещественная
мнимая части диэлектрической проницаемости
iе"(ш) связаны между собой формулами:
00
которому
после
в
ro -ro
,, ( )
ro
_[ е' (ro') - 1
= -,п J
ro' _ ro
1
dro'
-оо
(дисперсионные соотношения
лом
Крамерса
-
Кронига)
f обозначено главное значение интеграла.
**).
Симво­
У к а з а н и е. Рассмотреть поляризацию Р ( t), возникающую
в среде под действием поля E(t)
E0 b(t). Воспользоваться
=
формулой (П l.
17).
*) Такая форму,1а соответствует. например, модели вещества, состоя­
щего из твердых диполей. Она не учитывает поляризуемости э,1ектронны,:
оболочек.
**) В с,1учае металлов, у которых
формула принимает вид
1
8 ,, ( ( )J ) = - -
1t
где
cr -
6
f
,
e(ro)
имеет полюс при
е' ( ro') - 1 d (J),
ro' -ro
ro =
О, вторая
+ 41tcr
ro '
--
статическая проводимость метал,1а.
В. В. Батыrии, И. Н. Топтыгин
81
325. С помощью дисперсионных соотношений Крамерса Кронига (см. задачу 324) определить вещественную часть ди­
электрической проницаемости e'(ffi) по известной мнимой части
е" ( ffi):
8
где ео и т
326.
-
"( ) - (e 0 -l)ro't'
(J) 1 + ro2't'2 '
постоянные.
Доказать следующие правила сумм для мнимых частей
диэлектрической проницаемости:
00
00
f[
Im
е (~) ] ffi dffi = -
;
ffi~,
f
о
где
41tN е2 ) 1/2
( -т-
ffip =
[Im е (ffi)] (J)
dffi
= ;
(J)~,
о
плазменная частота.
Указ ан и е. Обратить внимание на то, что Re e(ffi) является
четной, а Im e(ffi)- нечетной функциями от ffi на вещественной
оси, и воспользоваться асимптотическим выражением е (ffi) =
= 1-
ffi;/ffi 2 , справедливым при \ ffi \-+ оо всюду в верхней по­
луплоскости (J).
327.
Показать, что для описания электромагнитного поля в
веществе
достаточно
ввести,
кроме
средних
электрического
и
магнитного полей Е (r, t) и В (r, t), только один вектор индук­
ции D' (r, t) ( а не два, D и Н, как обычно):
t
D' (r, t) =
Е (r, t) + 4n
f j' (r, t') dt',
-00
где j' (r, t') - усредненная плотность тока, наведенного в веще­
стве, удовлетворяющая уравнению непрерывности div j' др'/дt=
=0, р' - средняя плотность заряда вещества. Записать уравне~
ния Максвелла в веществе (относительно Е, В, D'), усредняя
+
вакуумные уравнения.
ков j заданы.
§ 3.
Ферромагнетизм
в
рамках
Плотности
сторонних
зарядов
р
и
то­
Ферромагнитныи резонанс
не может
классических
быть
последовательно
представлений.
Главную
объяснен
роль
в
нем
играют собственные (спиновые) магнитные моменты электронов
и специфические силы взаимодействия между ними, имеющие
квантовое происхождение. Однако некоторые явления, относя­
щиеся к ферромагнетизму, можно достаточно точно рассмотреть
на основе классической (вернее, квазиклассической) теории.
К их числу относится и ферромагнитный резонанс, который со­
стоит в следующем.
82
Постоянное магнитное поле, действующее на магнитный мо­
мент атома или отдельного эле1прона, вызывает ларморову пре­
цессию этого момента вокруг направления поля (см.
[101], § 68,
С течением времени это движение затухает из-за того, что
71).
энергия ларморовой прецессии переходит в тепловую энергию.
Если внешнее поле достаточно велико, то все элементарные маг­
нитные моменты ориентируются вдоль внешнего поля. Такой
ферромагнетик называется насыщенным, а магнитный момент
единицы объема - намагниченностью насыщения. В этом па­
раграфе мы везде будем предполагать, что ферромагнетик на­
магничен до насыщения. Если кроме постоянного поля на фер­
ромагнетик действует также переменное магнитное поле, на"
правленное перпендикулярно постоянному, то оно будет играть
роль вынуждающей силы и будет поддерживать прецессионное
движение. При совпадении частоты внешнего поля с частотой
прецессии наступает ферромагнитный резонанс.
Движение вектора намагниченности в ферромагнетике опи­
сывается уравнением Ландау - Лифшица [67], которое может
быть получено из следующих соображений. На магнитный мо 1
мент
m
дящейся
частицы
в
( атома
магнитном
или
поле
отдельного
НэФФ,
электрона),
действует
момент
нахо­
сил
N=
Х НэФФ· В результате этого, механический момент частицы
(момент количества движения) К будет изменяться по закону
·=
m
dK
dt = N =
1n Х НзФФ·
(Vl. 14)
Магнитный и механический моменты электрона, как следует
из квантовой механики, связаны соотношением
m=-vK,
где е 0 -
элементарный
заряд,
т
-
масса
электрона, с
-
ско­
рость света в вакууме. Пользуясь этим соотношением и усред­
нив обе части равенства (Vl. 1) по физически бесконечно ма­
лому объему, получим уравнение Ландау - Лифшица
dM
Тt
= -v (М
Х НзФФ).
(VI. 15)
Здесь М - вектор намагниченности, НэФФ - среднее магнитное
поле, действующее на отдельный элементарный магнитный мо­
мент. В неограниченной, намагниченной до насыщения изотроп­
ной среде [48],
НзФФ
=
Н -лМ
+ qV2M,
(VI. 16)
где Н - среднее магнитное поле в среде, л, q - постоянные. Вто­
рой член (молекулярное поле Вейсса) не дает вклада в уравне­
ние
б*
(VI. 15),
так как М ХМ= О. Третий член существен при
83
очень быстрых изменениях М в пространстве. Мы не будем рас­
сматривать в этом параграфе тюше изменения М и положим
поэтому НзФФ = Н.
Для того чтобы уравнение (VI. 15) учитывало потери элек­
тромагнитной энергии
в среде, его нужно дополнить диссипа­
тивным членом. Обычно предполагают, что в НзФФ входит не1<0-
торое поле «сил трения» - pdM/dt, пропорциональное с1юрости
изменения намагниченности. Тогда уравнение (VI. 15) примет вид
dM
(
dM ).
dt=-vM Х H-pdt,
(VI. 17)
где р - некоторый параметр (параметр потерь). Если потери
малы, а полное магнитное поле представляет собою сумму по­
+
стоянного поля Но и переменного поля h (t): Н = Н 0
h (t),
причем \ h \ «Но, то уравнение (VI. 17) примет более простой
вид [48]:
dM
(VI. 18)
dt = -v (М Х Н) ffi, (х0 Н - М).
+
Здесь хо= Мо/Но,
Wr
= Pv 2M~!Xo, Мо = \MJ- намагниченность
насыщения. Уравнение Ландау- Лифшица является исходным
nри решении задач о ферромагнитном резонансе.
В последнее время в радиотехнике сверхвысо1шх частот по~
лучили широкое распространение ферромагнетики с очень ма­
лой проводимостью
( ферродиэле1пршш,
нение эJ1ектромагнитных
гл.
VIII
и
волн
ферриты). Распростра~
в ферритах
рассматривается
в
IX.
328. Найти зю<он движения вектора намагниченности М при
отсутствии потерь в безграничной ферритовой среде, намагни­
ченной до насыщения. Магнитное поле Н в среде постоянно и
однородно.
329. Решить предыдущую задачу с учетом потерь. Исходить
из уравнения Ландау - Лифшица в форме (VI. 18). Считать,
что отклонения М от направления Н малы и W1·
wo = vHo.
«
Пусть в неограниченной ферромагнитной среде наряду
с однородным постоянным полем Н 0 действует высОiючастотное
поле he-iwt (h = const). Считая h
Н 0 и пренебрегая потерями,
330*.
«
найти в линейном по h прибю,жении вынужденные 1юлебания
вектора намагниченности М. (Собственные 1юлебания, т. е .•ТJар··
морова прецессия под действием постоянного поля Но, затухнут
из-за потерь, существующих во всех реадьных системах.)
331. Используя результат предыдущей задачи, найти тензоры
магнитной восприимчивости 'Xih и проницаемости µih для высо1ю~
частотного поля. Построить зависимость компонент тензора µi 4
от постоянного магнитного поля Но при Мо
=
=w/2л=9375
резонансный
Мгц
(л=З,2
см).
Просдедить
160 гс и v
рактер изменения этих величин. Определить Норез-
84
=
ха­
В неограниченной намагниченной до насыщения фер­
332*.
=
=
ритовой среде кроме постоянного магнитного поля Н 0
Hz дей­
ствует переменное поле, поляризованное по кругу: Нх
h cos wt,
Н 11 = h sin wt, h = const. Найти точное решение уравнения Лан"'
дау - Лифшица, соответствующее вынужденной прецессии век­
тора М с частотой w внешнего поля. Диссипацию энергии не
рассматривать.
Получить решение задачи
333.
330
о вынужденных 1юлеба­
ниях вектора намагниченности с учетом потерь. Использовать
уравнение Ландау - Лифшица в форме (VI. 18).
Используя результат предыдущей задачи, найти тензор
334.
магнитной проницаемости µik для высокочастотного поля. По·
лучить выражения вещественной и мнимой частей компонент
этих тензоров. Построить зависимость обеих частей компонент
тензора
магнитной
поля для М 0
=·160
проницаемости
гс,
от
постоянного
v = w/2:n = 9375
Мгц, Wr =
магнитного
3 · 109
сек- 1 •
Определить резонансное по.11е Н0 рез (т. е. значение Но, при ко­
тором мнимые части компонент тензора µ имеют максимум).
335. Определить полуширину ЛН O резонансной кривой мни­
мых частей компонент тензора магнитной проницаемости, счи­
тая Wr
(u. Полушириной резонансной кривой называется рас­
стояние между двумя ординатами µ" = µрез и µ" = 1/2 µрез-
«:
336*. Найти, без учета потерь, частоту ларморовой прецес­
сии Юk в ограниченном ферромагнитном образце, имеющем
форму эллипсоида. Образец находится во внешнем однородном
поле Н 0 , приложенном вдоль одной из осей эллипсоида. Считать
отклонение вектора намагниченности М от равновесного поло­
жения
малым.
Указ ан и е. В уравнение Ландау - Лифшица войдет те­
перь внутреннее по.11е Н 1 , которое будет отличаться от внешнего
поля Н 0 вследствие размагничивающего действия формы тела:
Н1 = Но -
Нразм,
Hk разм = 4:nNk1M1,
где Nkl - тензор размагничивающего действия формы
дачу 295).
337. Решить предыдущую задачу с учетом потерь.
вать только члены, линейные относительно
338*.
(см. за­
(Учиты­
w7 .)
Рассмотреть вынужденные колебания при наличии по·
терь в малом образце эллипсоидальной формы. Определить ком­
поненты тензора магнитной восприимчивости Xik для высокоча­
стотного поля, считая амплитуду его h малой по сравнению
с постоянным полем Но.
339. В некоторых ферромагнитных средах (антиферромагне­
тиках) результирующая намагниченность М складывается из
двух частей: М
=
М1
+ М2,
где М 1 и М:2 создаются ионами, на­
ходящимися в разных узлах кристаллической решетки и обра­
зующими две магнитные подрешет1ш. В равновесном состоянии
85
векторы намагниченности М 1 и М 2 ориентированы антипарал­
лельно, так что М = \М, - М 2 1. При прецессии во внешнем маг­
нитном поле антипаралл~льность векторов М 1 и М 2 нарушается.
В результате этого на каждый из векторов начинает действо­
вать молекулярное поле Вейсса ( см. формулу (VI. 16)). Опре·
делить
частоты
собственной
прецессии,
предполагая,
что
лlМ1 -М:21~ Н0 , где Но- внешнее поле, л- постоянная мо­
лекулярного поля Вейсса. Считать отклонения векторов М 1
М 2 от равновесного положения малыми.
§ 4.
и
Сверхпроводимость
Последовательная теория явления сверхпроводимости дол­
жна быть квантовой. Однако феноменологическая электродина­
мика сверхпроводников может быть построена на базе класси­
ческих представлений.
Уравнения Максвелла сохраняют свой вид и при наличии
сверхпроводников. Отличия от нормальных проводников на­
блюдаются только
в
материальных
уравнениях,
связывающих
поля с токами.
При температурах, более низких, чем температура перехода
в сверхпроводящее состояние, но не слишком близких к абсо­
лютному нулю, применима локальная теория, п"редложенная
Ф. и Г. Лондонами [75]. Согласно этой теории полные плотности
заряда и тока в сверхпроводнике состоят из нормальной (рн, jн)
и сверхпроводящей (ре, jc) частей:
Р =Ре+ Рн,
где
нов,
jc = - encvc, пс Vc - их скорость,
J=
Jc + Jн,
концентрация сверхпроводящих электро­
jн
=
аЕ, а
-
электропроводность. Урав­
нения непрерывности выполняются для нормальной и сверхпро­
водящей компоненты по отдельности.
Основным свойством электронов, ответственных за сверхпро"
водимость,
является
то, что они движутся сквозь сверхпроводник,
не
испытывая
(в отличие от нормальных электронов) рас­
сеяния ни на тепловых колебаниях решетки, ни на примесях.:
Движение сверхпроводящих электронов определяется поэтому
только их взаимодействием с электромагнитным
полем и опи­
сывается уравнением
~/ = дд~с + (vс • V) V с = -
: (Е +
f
V
с Х Н).
Всякое изменение магнитного поля приводит из-за электро"
маг:-штной индукции к возникновению поверхностного тока, зна­
чение которого однозначно определяется полем. Этот ток ком­
пенсирует магнитное поле внутри сверхпроводника. Последний
оказывается, таким образом, в магнитном отношении идеальным
.В6
диамагнетиком. Из уравнения движения сверхпроводящих элек­
тронов и уравнений Максвелла выводится материальное урав­
нение Лондонов
с
где Л
= m/nce2 -
Это
rot (ЛЬl + Н
= О,
(Vl. 19)
параметр Лондонов.
уравнение
описывает
электронов. С учетом
(Vl. 19)
диамагнетизм
сверхпроводящих
уравнение движения сверхпрово­
дящих электронов принимает вид
дjс
дt
если отбросить малый
(Vl. 19)
и
Максвелла,
- ....!__
л
член
Е= О
Материальные
Vv~.
рассматриваемые
(Vl. 20),
полностью
(Vl. 20)
'
вместе
с
уравнения
уравнениями
определяют электродинамику
сверхпро­
водников в области низких частот.
В этом параграфе всюду принимается, что в= µ
этого,
часто не
оговаривается
в
условиях
задач,
= 1.
что
Кроме
сверхпро­
водник характеризуется параметром Лондонов Л или заменяю­
щей его глубиной проникновения магнитного поля
Ь = 1/ лс2
4:rt
(Vl. 21)
в сверхпроводник (см. задачи 340-346).
сверхпроводников Ь
1
+ 1о-6 см.
= o-s
340.
нения,
Для
большинства
Записать уравнения Максвелла и материальные урав­
описывающие
статическое
электромагнитное
поле
в
сверхпроводнике. Вывести уравнения, описывающие в этом слу­
чае распределение тока и магнитного поля.
341. Сверхпроводник заполняет полупространство х ~ О,
при х <О-вакуум. В вакууме существует однородное магнит­
ное поле Н 0 11 у. Найти распределение магнитного поля и токов
в сверхпроводнике в статическом случае.
342.
Найти
силу,
действующую
на
единицу
поверхности
сверхпроводника, рассмотренного в предыдущей задаче.
кую сторону направлена эта сила?
В
ка­
343. Сверхпроводящая пленка толщиной 2а, расположенная
симметрично относительно плоскости х = О, находится в одно­
родном магнитном поле Но у. Найти распределение магнит­
ного поля по объему пленки, а также средний магнитный мо­
II
мент единицы объема.
344. Бесконечно длинный круговой сверхпроводящий ци­
JШНдр находится во внешнем однородном магнитном поле Н 0 11 z.
·Ось цилиндра параллельна полю. Найти распределение магнит­
ного поля по объему цилиндра
единицы объема.
и
средний магнитный
момент
37-
345.
Сверхпроводящий шар радиуса а находится во внеш"
нем однородном магнитном поле Н 0 • Найти распределение то­
ков в шаре и магнитное поле во всем пространстве. Рассмотреть
предельные случаи а ~ б и а
«
б.
По бесконечно длинному сверхпроводящему прямому
проводу кругового сечения (радиус а) течет ток 8. Найти рас"
346.
nределение плотности тока
j
по сечению провода и магнитное
поле во всем пространстве.
347. Сверхпроводник имеет форму кольца произвольного се­
чения. В нем течет ток, сосредоточенный в тонком поверхност­
ном слое. Показать, что магнитный поток через поверхность,
опирающуюся
на
контур, проБеденный внутри проводника,
ра~
вен нулю, если плотность тока на контуре равна нулю. Исхо­
дить из материального уравнения (VI. 20) и уравнений Макс­
велла.
348. Сверхпроводящее плоское кольцо с самоиндукцией L,
в котором течет ток 8, вдвигается полностью в однородное
магнитное поле Н 0 • Найти ток 8', который будет после этого про~
текать по кольцу. Площадь осевого сечения кольца S. Нормаль
к плоскости кольца составляет с направлением Но угол tt.
349. Проводящее кольцо с самоиндукцией L находится в
нормальном состоянии во внешнем магнитном поле (магнитный
поток через контур кольца равен Ф 0 ) . Затем температура по­
нижается,
и
кольцо
переводится
в
сверхпроводящее
состояние.
Какой ток будет течь по кольцу, если теперь выключить внеш­
нее магнитное поле?
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е. [101], Френкель Я. И. [111], Беккер Р. [12], Фрелих Г. [110],
I(иттель Ч. [59], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66, 67], Волькенштейн М. В. [26},
Зоммерфельд А. [54], Борн М. [16], Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. [106)
(вып. 5)', Рухадзе А. А., Силин В. П. [90], Гуревич А. Г. [48], Смоленский Г. А.,
Гуревич А. Г.
[96],
Альперт Я. Л., Гинзбург В. Л., Фейнберг Е. Л.
·бург В. Л., Мотулевич Г. П.
[34],
Лондон Ф.
[75],
Пайнс Д.
[85].
[3],
Гинз­
ГЛАВА
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ
§ 1.
VII
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ
ПОЛЕ
Квазистационарные явления в линейных
проводниках
Если период колебаний электромагнитного поля значительно
превышает время
распространения
l
,
Т ';};> с
поля
через
систему:
с
ro ~ Т ,
(VII. 1)
1·де с - скорость света, 1 - линейный размер системы, то можно
пренебречь конечностью скорости распространения электромаг­
нитных возмущений внутри системы. Такое приближение назы­
вается квазистационарным *).
Ток в замкнутой цепи с э. д. с. tff (t), емкостью С, индуктив­
ностью L и сопротивлением R, удовлетворяет в квазистационар·
ном приближении дифференциальным уравнениям
dq:1
1
9 = Тt • 7 L
где
=
q-
d 2q
dt 2
dq
I
+ R Тt + с q = g, (t),
заряд на обкладке конденсатора.
При гармонической зависимости э. д. с. от времени (Ш' (t) =
;ff0 e-irot) и установившемся режиме ток пропорционален
э. д. с.:
9=;, Z=R+i(ro~ -:; ).
(VII. 2)
Величина Z называется комплексным сопротивлением (импе~
дансом) цепи.
Собственная частота ro 0 ко.!]ебаний в контуре, состоящем из
t:мкости С и самоиндукции L, дается формулой Томсона
с
roo = J!LC .
(VII. 3)
*) Иногда квазистационарное приближение даеr хорошие результаты и
l), на-пример, в теории длинных линий. Подроб­
при нарушении условия (VII.
нее об этом см. [101], § 107.
89
Для разветвленной цепи дифференциальные уравнения, оп­
ределяющие токи в отдельных участках, могут быть составлены
на основе законов Кирхгофа.
Если э. д. с. в линейном контуре наводится в результате элек"
тромагнптной индукции, она может быть вычислена с помощью
закона Фарадея:
1 dФ
<f'инд
где Ф
-
(VII. 4)
= - cdt'
поток вектора магнитной индукции через контур. Ве­
личина Ф может изменяться как вследствие изменения магнит"
ного поля, так и в результате движения или деформации кон­
тура. Если имеется нес1<0лько индуктивно связанных контуров,
то полный поток магнитной индукции через i-й контур Фi вы"
ражается формулой
(VII. 5)
Здесь 9 "- - ток в k-м контуре, Lik - при i =/== k - коэффициент
взаимной индукции между i-м и k-м контурами, Lн
Li - ко­
==
эффициент самоиндукции i-ro контура. (Определение коэффи­
циентов индуктивности приведено в начале гл. V.)
Обобщенную силу, действующую на проводник с током в
квазистационарном поле, можно вычислить по формуле
(VII. 6)
13 которой
W обозначает магнитную энергию системы, qi - обоб­
щенную координату, и производная берется при фиксированных
значениях токов в проводниках. Магнитная энергия выражается
через токи и коэффициенты индуктивности по тем же форму­
лам,
что
и
в
статическом
случае ( см. формулы (V. 17),
(V. 20)).
При усреднении по времени
щихся
по
произведений
величин, меняю­
гармоническому закону
а ( t)
= aoe-iwt •
можно пользоваться формулами:
а2 (t) =
1
/2
1а f,
а (t) Ь (t)
=
1
/2
Re (аЬ·).
(VII. 7)
Например, среднее тепловь~деление в контуре можно вычислить
по формулам
(VII. 8)
90
350.
Круглая проволочная петля радиуса а, находящаяся в
постоянном магнитном поле Но, вращается с угловой скоростью
u> вокруг своего диаметра, перпендикулярного Н 0 • Найти силу
тока в петле 8 (t), тормозящий момент N ( t) и среднюю мощ­
ность Р, которая требуется для поддержания вращения.
351. Плоский контур с электрическими параметрами R, L, С
и площадью S вращается с угловой скоростью (i) в постоянном
магнитном поле Н 0 вокруг оси, лежащей в плоскости контура и
перпендикулярной Н 0 • Определить средний тормозящий момент
N, приложенный к контуру.
352.
В одном из двух индуктивно связанных контуров течет
ток
8 (t) = [! 0 e-irot. Индуктивности и сопротивления контуров
заданы. Выразить среднюю обобщенную силу взаимодействия
контуров через производную от коэффиuиента взаимной индук­
ции по обобщенной координате Qi353. В один из двух одинаковых контуров, имеющих сопро­
тивления R и индуктивности L, включена э. д. с. /ff ( t) = /ff 0 e-irot _
Коэффициент
взаимной
индук-
f f}
ции контуров L12. Определить {
среднюю силу Р взаимодействия
контуров.
Результат
выразить
через производную от коэффи-
циента
взаимной
индукции
соответствующей координате.
354.
Определить
(i)J,
частоты
(,> 2
c::::J
е,,
11
lJ
z
с.
L.•
L
,
по
собственные
Рис. 17.
электрических
колебаний в двух контурах (рис. 17), связь между которыми
осуществляется через емкость С (Z
i/(i)C).
=
Указ ан и е. Составить систему уравнений для определения
то.1юв и приравнять нулю определитель системы.
355.
Решить предыдущую .задачу для случая, когда связь ме­
жду контурами осуществляется через индуктивность (см. рис.
17,
Z = -i(i)Lf с2 ) •
356. Найти собственные частоты колебаний (i) 1, 2 в двух ин­
дуктивно связанных контурах с емкостями С 1 , С2 , индуктивно­
стями L1, L 2 и коэффициентом взаимной индукции L 12..
357. Два контура связаны друг с другом через активное со­
противление (см. рис. 17, Z = R). Найти собственные частоты
колебаний, считая связь слабой (R велико).
358.
лением
В контур с индуктивностью
R1
контуром
рого
L2,
включена
индуктивно
С2,
R2;
сторонняя
связан
L 1,
емкостью С 1 и сопротив­
э. д. с.
второй
~(t)
контур,
=/ff 0 e-irм.
С
этим
параметры
кото­
коэффициент взаимной индукции
L 12. Опреде­
лить токи 8 1 и 8 2 в обоих контурах. Рассмотреть, в частности,
случай, когда второй контур содержит только индуктивность
(R2 = О, С2 = оо); · определить частоту w, при которой ток 8 t
максимален,
91.
359. Найти комплексное сопротивление
(двухполюсника), изображенного на рис. 18.
360. Конденсатор заполнен веществом с
проницаемостью е = 1 дачу
что
ro2
rо
Z
участка
диэле"kтрической
(ионизованный
(ro ~.iv )
цепи
газ, см. за-
312). Емкость незаполненного конденсатора С0 • Доказать,
1юмплексное
сопротивление
участка
цепи,
содержащего
та­
кой конденсатор, равно сопротивлению двухполюсника, изобра­
женного на рис. 18, если параметры его подобраны соответствую­
щим образом. Определить R, L, С.
с
Рис.
Рис.
18.
19.
361. Определить средний запас энергии W и тепловые потери
за единицу времени в конденсаторе, описанном в предыдущей
задаче. Выразить эти величины через напряжение на обкладках
конденсатора U
U0e-i 00 t.
Q
=
362.
Конденсатор
проницаемостью
см.
(VI. 12)).
заполнен
е= 1
+
веществом
ro2
Р
.
с
диэлектрической
(диэле1прик с
ro02 - ivro - ro 2
потерями,
Емкость конденсатора при отсутствии диэлектрика
С0 • Какими параметрами С, С1,
L, R
должен обладать двухпо­
люсник, изображенный на рис. 19, чтобы его сопротивление пере­
менному току было таким же, как сопротивление конденсатора?
363. Определить средний запас энергии W и средние тепло­
вые потери Q за единицу времени в конденсаторе, рассмотрен~
ном в задаче 362. Напряжение на обкладках U0 e-iыt.
364. Колебательный контур состоит из емкости С и индук­
тивности L. В некоторый момент времени к обкладкам конден"
сатора
присоединяется
батарея
с
постоянной
э. д. с. Eff и
внутренним сопротивлением
Найти зависимость тока, теку­
щего через индуктивность, от времени. Исследовать зависимость
этого тока от величин R, L, С.
R.
365.
К цепочке, состоящей из последовательно соединенных
сопротивления
R
и емкости С, прикладывается прямоугольный
импульс напряжения: И1 (t)
. t < О, t >
366.
Ио при О~ t ~ Т и
U2 (t)
U1 (t) =
на сопротивлении
О при
R.
К цепочке, состоящей из последовательно соединенных
сопротивления
угольный
92
=
Т. Найти напряжение
R
импульс
и
индуктивности
напряжения:
L,
И1 (t)
прикладывается
= V0
при
О'!{;_
прямо"
t -5,,. т.
и
<
>
U 1 (t) = О при t О, t
Т. Найти напряжение U2 (t) на индук­
тивности L.
367. Цепь состоит из плоского конденсатора с емкостью С
и сопротивления R (рис. 20). Между пластинами конденсатора
(расстояние h) требуется создать поле, которое линейно воз~
растает от О до Е 0 за время Т, а затем за такое же время ли­
нейно уменьшается до нуля. Определить форму
импульса, который нужно при этом подать на
с 11
:
вход цепи.
В
368.
цепь,
состоящую
из
~
последовательно
соединенных сопротивления R II индуктивности
L, включается в момент времени f=O э. д. с.
8(/) =80 cos (ffif+(l)o). Определить силу тока
в цепи [/' (t). При каком значении фазы (j)o переходные явления в цепи
R
Рис. 20.
не возникнут?
369*. Электрическая цепь (искусственная длинная линия)
состоит из N одинаковых звеньев (N
1) и разомкнута на
концах (рис. 21). Найти частоты собственных колебаний этой
:>>
системы.
п-1
I
п
N
n+I
~~--~-г;
1-{J____~п-, Т ~п Т Рп~ I___U
Рис.
21.
370. Считая полное число ~обственных частот в искусствен­
ной длинной линии ( см. задачу 369) большим, найти число Лr
колебаний, приходящихся на интервал частот Лffi.
371*. Искусственная длинная линия, состоящая из 2N чере­
дующихся звеньев с параметрами
Lz
L,
Рис.
концах
(рис.
L,,
С и
Lz
L2,
С, разомкнута на
L,
22.
Исследовать спектр собственных
22).
колебаний
такой системы.
372*.
Искусственная длинная линия
одинаковых звеньев,
содержащих
1
Z, =-i(~L,
--с
(J)C- ) '
2
1
(рис.
23)
состоит из
N
импедансы
1
Z2=-i (~
L 2- -).
с
(J)C2
2
93
К линии приложено напряжение
U1, конец линии разомкнут
1-Iайти напряжение V 2 между точками а, Ь.
Указ ан и е. Искать решение разностного уравнения
тока 9 п в п-м звене цепп в форме [J 11 = const · qn.
о'
4 ) ;;
с,;
z,
z,
tт,
)
.г;
~
z,
для
о
;;
)
3н-r
ь'
ь
Рис.
23.
373. Основываясь на результатах предыдущей задачи и счи­
N >> 1, исследовать зависимость коэффициента передачи
К= U2/V 1 от частоты. Найти интервал частот, для которых К
тая
заметно отличен от нуля.
374. Из рассмотрения искусственной длинной линии с сосре­
доточенными параметрами (задача 369) получить путем пре­
дельного перехода дифференциальное уравнение для тока в
длинной линии с равномерно распределенными параметрами.
375. Идеальная длинная линия с распределенными парамет­
рами длиной l разомкнута на концах. Определить спектр соб­
ственных колебаний такой системы, сравнить его со спектром
цепочки с сосредоточенными параметрами (см. задачу 369).
376*. Э. д. с., включенная в замкнутый контур, вызывает в
нем ток Е! (t) = [J 0e-irot. Найти общее выражение для комплекс­
. 1:ого сопротивления контура, не пренебрегая запаздыванием вну­
три системы.
377.
найти
Для контура, имеющего форму окружности радиуса а.
поправку
к
индуктивности
и
сопротивление
излучения
R,.(ш) в первом неисчезающем приближении (см. предыдущую
задачу). Показать, что Rr (ш) представляет собой коэффициент
пропорциональности между средней величиной энергии, излучае­
мой в единицу времени, и среднеквадратичным значением силы
тока
в контуре.
§ 2.
Вихревые токи и скин-эффект
Если проводник находится во внешнем магнитном поле, удо­
влетворяющем условию квазистационарности (VII. 1), то вблизи
проводника поле удовлетворяет в каждый момент времени урав­
нениям магнитостатики
div
В
=
О,
rot
Н
I
дВ
и уравнению
=
rotE=-cдt'
94
О
(VII. 9)
(VII. 10)
Внутри
проводника
при
>> в',
достаточно
большой
проводимости
cr
где в' - вещественная часть диэлектрической прони­
цаемости) поле описывается уравнениями (VII. 10) и
;(a/ro
div
В= О,
rot Н = ~аЕ.
с
(VII. 11)
Из (VII. 10) и (VII. 11) можно получить уравнения 2-ro порядка
для векторов Е и Н, имеющие в случае однородной среды вид
ЛН - 4nµa_ дН
с2
-
На
дt
ЛЕ - 4nµa ~
'
с2
-
дt
(VII.12)
•
границах раздела двух проводников или проводника и
диэлектрика
векторы
·В1п
=
поля должны удовлетворять условиям
В2п,
Н1т:
=
Н2т;,
Е~т:
=
Е2т:·
(VII. 13)
Величина Ь = c/V2nµaro (толщина скин-слоя) характеризует
глубину проникновения поля в проводник ( ro - частота поля).
При сильном скин-эффекте в некотором приближении можно
считать, что поле проникает в проводник на нулевую глубину;
'I'Щда внутри проводника Н
О, а вне проводника, у его поверх­
=
Р.ости, поле связано с плотностью поверхностного тока
i
соот­
l!ошением
н
4n. Х
=-1
с
·(VII. 14)
п.
Вследствие возникновения вихревых токов проводник, поме­
щенный в магнитное поле, приобретает магнитный момент, даже
если µ = 1. Для характеристики магнитного момента удобно
ввести тензор магнитной поляризуемости тела /3ik по формуле
т;
m-
rде
магнитный
=
/3нНоk,
момент тела,
магнитное поле. Тензор
/3ik
Н0 -
(VII. 15)
периодическое
(/3ik = /3ki),
симметричен
а
внешнее
ero
ком­
поненты в общем случае комплексны и зависят от частоты.
Среднее
(по
времени)
тепловыделение
внутри
проводника
может быть подсчитано по одной из следующих формул:
Q=
f (j · Е) dV = f aE dV
(VII. 16)
Q=
-
~
~ (Е Х Н) · dS ·
4n j'
(VII. 17)
2
или
В первой из этих формул интеграл берется по объему про­
водника, во второй - по его поверхности. Q выражается также
через мнимую часть тензора магнитной поляризуемости тела
(J3;k = 13;k + i/3;;):
Q=
1
/2
rof3;~ Re (HoiH~k).
(VII. 18)
Последняя формула справедлива только при гармонической за­
висимости поля от времени,
95
378. Широкая плита с проводимостью а и магнитной прони·
цаемостью µ, ограниченная плоскостями х = ±h, обмотана про·
водом, по которому протекает ток
витков
на
единицу длины
п,
Провод тонкий, число
8oe-irot.
витки
намотаны
параллельно
друг
другу. Пренебрегая краевым эффектом, определить веществен­
ную амплитуду ~магнитного поля внутри плиты. Исследовать
nредельные случаи слабого (Ь
h) и сильного (Ь ~ h) скин­
»
эффекта.
379*. .Металлический цилиндр бесконечной длины с прово­
димостью а и магнитной проницаемостью µ расположен так, что
его ось совпадает с осью бесконечного соленоида кругового се­
чения, по которому течет переменный ток
пряженность
магнитного
и
8 = 8 0 e-irot.
электрического
поля
во
j
ранстве, а также распределение плотности тока
Найти на­
всем
прост­
в цилиндре;
радиус цилиндра а, радиус соленоида Ь, число витков на еди­
ницу
длины
п.
Проводя ий цилиндр находится в однородном перемен­
ном
магнитном
поле
Н =H 0 e-irot,
параллельном
его
оси.
Используя результаты предыдущей задачи, исследовать распре­
деление плотности тока j внутри цилиндра в предельных слу­
чаях малых и больших частот.
381. Подсчитать количество тепла Q, выделяющегося за еди­
380.
ницу
времени
задаче
379.
на
единице
длины
цилиндра,
рассмотренного
в
Исследовать предельные случаи малых и больших
частот.
382.
Найти магнитную поляризуемость ~ (на единицу длины)
цилиндра,
находящегося
в
переменном
магнитном
поле,
парал­
лельном его оси. Частота поля ro, радиус цилиндра а, проводи­
мость а, магнитная проницаемость µ
1. Рассмотреть предель~
ные случаи больших и малых частот.
383. .Металлический цилиндр находится во внешнем одно­
родном магнитном поле Н = Hoe-irot, перпендикулярном его оси.
=
Радиус цилиндра а, проводимость а,
µ
= 1.
Найти
магнитная
результирующее поле и
проницаемость
плотность тока
j
в
ци­
линдре.
Указ а н и е. Выразить Е и Н через векторный потенциал А
и проинтегрировать дифференциальное уравнение для А.
384. Найти диссипацию энергии на единицу длины бесконеч­
ного
ное
проводящего
относительно
кругового
оси
с частотой ro.
385*. Бесконечный
цилиндра,
цилиндра
круговой
помещенного
магнитное
поле,
в
попереч­
меняющееся
циJiиндр радиуса а с проводимо­
стью а находится в поперечном относительно его оси магнитном
поле,
поляризованном
по
Ho(t)
где Н 01 и
96
Н 02 -
кругу:
=
(Но1
+ iH 02)e-irot,
взаимно перпендикулярные векторы с одинако·
выми длинами: Но1 = Но2 = Но. (Вектор H0 (t) описывает окруж­
ность постоянного радиуса Но в плоскости, перпендикулярной
оси цилиндра.) Найти средний вращательный момент N, прило­
женный к единице длины цилиндра (it = 1).
386. Бесконечный цилиндр, находящийся в постоянном II од­
нородном поперечном магнитном поле Н 0 , вращается вокруг
своей оси с угловой скоростью w. Найтп тормозящий момент N.
приложенный к единице длины цилиндра.
Бесконечный металлический цилиндр радиуса а с про­
387*.
водимостью а и магнитной проницаемостью
стоянном
и
однородном,
продольном
µ
находится в по­
относительно
его
оси.
маг­
нитном поле Н 0 • В некоторый момент времени внешнее поле вы­
ключается и поддерживается затем равным нулю. Найти ход
затухания
со
временем
Металлический
388.
магнитного
шар
поля
радиуса
а
в
цилиндре.
с
проводимостью
а
и
магнитной проницаемостью µ. помещен в однородное перемен­
ное магнитное поле H 0 (t) =H0 e-;rot. Считая частоту малой, найти
в первом неисчезающем приближении распределение вихревых
токов в шаре и среднюю поглощаемую Иl\I мощность Q.
389. Металлический шар помещен в однородное магнитное
поле, меняющееся с частотой w. Найти результирующее поле Н
и среднюю поглощаемую шаром мощность Q при больших ча­
стотах. Радиус шара а, магнитная проницаемость µ, проводи­
мость (J.
Указ ан и е. При определении поля вне шара
внутри шара поле равно нулю
считать, что
(т. е. пренебречь глубиной про­
никновения б по сравнению с радиусом шара а). При определе­
нии поля внутри шара считать его поверхность плоской.
390*. Проводящий эллипсоид находится в однородном пере­
менном магнитном поле. Определить магнитную поляризуемость
эллипсоида при сильном скин-эффекте (т. е. считая, что глубина
проникновения поля в проводник равна нулю). Рассмотреть пре­
дельные
случаи
тонкого
круглого
диска
и
длинного
тонкого
стержня.
391*. Шар радиуса а с проводимостью а находится в одно­
родном магнитном поле Н (t)
H 0 e-irot. Найти результирующее
=
магнитное поле и распределение вихревых токов в шаре для об­
щего случая произвольных частот. Убедиться, что в предельных
случаях слабого и сильного скин-эффекта получаются резуль­
таты, найденные в задачах
µ
=
388
и
389
(считать
для
простоты
1).
392.
шаром
Найти среднюю мощность
в
однородном
переменном
Q,
поглощаемую проводящим
магнитном
поле
при
произ­
вольных частотах.
393. Найти активное сопротивление R тонкого uилиндриче­
проводника
при скин-эффекте. Длина
проводника l.
ского
7
В. В. Батыrин, И. Н. Топтыгин
97
радиус а, проводимость а, магнитная проницаемость
µ = 1.
Ис­
следовать предельные случаи малых и большнх частот.
394.
На поверхность цилиндрического проводника, у которого
радиус а, удельная проводимость а 1 , нанесен слой другого ме­
<<
талла. Толщина слоя h, его проводимость а 2 , причем h
а.
Найти активное сопротивление R такого проводника перемен­
ному току, считая толщину скин-слоя малой по сравнению с а
(µ
=
1).
395.
Бесконечный полый цилиндр, у которого внутренний ра­
«
диус а, толщина стенки h (h
а), находится в однородном про­
дольном магнитном поле H 0 (t) = H 0 e-iwt. Найти амплитуду Н'
магнитного поля в полости. Исследовать ее зависимость от ffi.
У к аз ан и е. В силу условия h
а при определении поля
в толще оболочки можно считать ее плоской.
396. Переменный ток 8 (t) = 8 0e-iwt течет по полому ци­
<<
линдрическому проводнику, у которого средний радиус а, про­
«
водимость
а,
магнитная проницаемость
µ, толщина h
а.
Найти распределение плотности тока j по сечению и активное
сопротивление R на единицу длины. Указать условие, при вы­
полнении которого сопротивление полого проводника будет
мало
отличаться
от
сопротивления
сплошного
проводника
та­
кого же радиуса.
Указ ан и е. Пренебречь кривизной поверхности проводника.
397*. Внутри металлической трубы на расстоянии l от ее осе­
вой линии течет прямолинейный ток 8. Радиус трубы а, толщина
стенки h«a, проводимость стенки а (µ= 1). Как ток 8, так и
расстояние l зависят от времени по произвольному закону, но
так, что во все моменты времени l
а. Считая выполненными
«
f
условия квазистационарности, определить силу
на единицу
длины, действующую на ток 8 со стороны вихревых токов, ин­
дуцируемых в цилиндрической оболочке, при слабом скин-эф~
фекте (h
398*.
эффекта
«
6).
Решить предыдущую задачу для случая сильного скин·
(h»б).
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшнц Е. М. [66], Тамм И. Е. [101], Френкель Я. И. [112],
Власов А. А. [25], Смайт В. [93], Стрэттон Дж. А. [!00], Вайнштейн Л. А. [23],
Бриллюэн Л., Пароди М. [19], Конторовнч М. И. [бl].
ГЛАВ А
VIII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
Плоские волны в однородной изотропной среде.
Отражение и преломление волн. Волновые пакеты
§ 1.
В диэлектрической среде при отсутствии зарядов и токов век­
торы
электромагнитного
поля
rot
удовлетворяют
Е=
-+
уравнениям:
~~,
(VIII. 1)
rotH=..!._дD
(VIII. 2)
divD = О,
div В= О.
(VIII. 3)
(VIII. 4)
с
дt '
В недиспергирующей среде векторы поля связаны соотношениями:
D=вЕ,
В=µН,
(VIII. 5)
где в и µ - электрическая и мг.гнитная проницаемости. Если по­
тери электромагнитной энергии пренебрежимо малы, то в и µ вещественные
величины.
В
случае
однородной
Ср€дЫ
из
(VIII. 1)-(VIII. 5) можно получить уравнение второго порядка
для Е и Н:
2
1
ЛЕ-д Е2 =0
vi
где
vQJ=c/V вµ -
дt
фазовая
лн
'
скорость
2
- -1 д Н
v~
дt2
(VIIl.6)
=0
'
распространения
электро­
магнитных волн.
В общем случае соотношения (VIII. 5) справедливы только
для монохроматических компонент полей, причем проницаемости
в и µ зависят от частоты (дисперсия) и являются комплексными
величинами. Мнимые части в и µ определяют диссипацию элек­
тромагнитной энергии в среде.
В проводящей среде, при достаточно медленном изменении
поля,
когда
связь вида
7*
между
j
=
током
и
электрическим
полем
оЕ со статическим значением
справедлива
проводимости
о,
99
уравнение
(VIII 2)
зю1еняется следующим:
rot Н =~аЕ+_!_ дD
с
<>но
снова
примет
вид
с
если
(VIII. 2),
(VIII. 7)
•
'
дt
ввести
1<0мплексную
диэлектрическую проницаемость, имеющую при малых частотах
ВИД
8 ( ffi ) =8
где е' и а
-
'
• 4:тw
+t~,
статические значения
(VIII. 8)
диэлектрической
проницае­
мости и проводимости. При высоких частотах диэлектрическая
проницаемость проводящей среды - комплексная величина, за­
висящая от частоты.
У хороших проводников (металлов)
<>чень
велик,
поэтому
при
малых
второй член в
(VIII. 8)
частотах
. 4ncr
(VIII. 9)
ero=t--.
( )
(1)
Если частота поля такова, что глубина проникновения поля
в
металл
и длины
много
меньше
радиуса
кривизны
волны в окружающем металл
поверхности
металла
пространстве, то при лю­
бом характере поля вне проводника можно считать, что танген­
циальные компоненты векторов Е и Н вблизи поверхности про­
водника связаны соотношением
(VIII. 10)
Здесь n - орт нормали к поверхности, направленный в глубь
проводника, ~ - поверхностный импеданс металла - величина,
зависящая от частоты поля и определяемая свойствами металла:
(VIII. 11)
Равенство (VIII. 10) справедливо только
1~1
при
1,южно использовать в качестве граничного условия
ленип поля вне проводника
~
l; его
при опреде­
(приближенное граничное условие
Леонтовича).
=
Если среда неоднородна, а µ
щееся во времени электрическое
то гармонически меняю­
поле будет удовлетворять
1,
уравнению
ЛЕ
+ -ero
2
с
2
Е
- grad div Е = О;
Н определяется через Е из уравнения Максвелла
Плоская
монохроматическая
волна,
(VIII. 12)
(VI 11. 1).
распространяющаяся
2n
u направлении волнового вектора k ( k = Т, Л - длина волны),
'
100
описывается функцией
Е
=
Е 0 ехр
+
Амплитуда волны Ео = f,'
it"
.комплексным вектором, причем
В
зависимости
7оров f,'
и
t"
эл.пиптическую
от
величины
волна
(VIII. 13)
[i (k · r - rot)].
и
является в общем случае
Eo_l_ k (поперечность волны).
направления
может
вещественных
иметь линейную,
круговую
век~
или
поляризацию.
Плоские 11юнохроматические волны, обладающие определен­
ной частотой и определенной поляризацией, представляют собой
математическую идеализацию. Те волны, которые мы называем
монохроматическими, в действительности всегда являются ква­
зимонохроматическими. Их можно рассматривать как суперпози­
ции
монохроматических
волн
с
частотами
в
нt::котором
проме­
жутке Л ro. В данной точке пространства такая волна описы­
вается функцией Е 0 ( t) e-iшt, где ro - некоторая средняя частота
в промежутке ..lro, а Е 0 (t)- функция, меняющаяся значительно
медленнее, чем e-iшt. Кроме этого, часто (а в оптическом диапа­
зоне - как прави.10) приходится иметь дело с одновременным
наблюдением из.ТJучения от многих независимых источников, раз­
ности фаз у которых меняются
беспорядочным образом.
Эти
волны будут немонохроматическими и только частично поляри­
зованными.
Можно единым образом рассматривать состояние поляриза­
ции как монохроматических (и полностью поляризованных), так
и немонохроматических (частично поляризованных) волн. Поля­
ризацию
и
интенсивность
этих
волн
можно
характеризовать
-гензором
lik = EoiE~k,
(VIII. 14)
rде усреднение производится по времени наблюдения и по ан­
самблю независимых источников, а i, k = 1,2 характеризуют два
основных направ.ТJения в п.ТJоскости ху (здесь k 11 z). Тензор по-
.ляризации эрмитов:
lik
/
ik
= /~1.
Он может быть представ.ТJен в виде
= / еО>е<2>*
llk
+ /2е<2>е<2>*
lk'
(VIII. 15)
rде / 1, / 2 - положительные величины, е< 1 > и е< 2 >- взаимно ортого­
нальные комплексные векторы, нормированные условием e(i>e<k>*=
= бu, и характеризующие два основных состояния по.ТJяризации
частично поляризованной во.ТJны. Из (VIII. 15) видно, что такую
волну можно рассматривать как некогерентную *) суперпози­
цию двух основных эллиптически по.ТJяризованных волн. Форма
и ориентация эллипсов по.ТJяризации этих во.ТJн описываются век­
-торами е< 1 > и е< 2 >. Эллипсы по.ТJяризации подобны, а их соответ"
*) НекQrерентными называются колебания, разность фаз которых меняет­
(:Я беспорядочным образом,
101
с1вующие оси взаимно перпендикулярны. Величины / 1 и 12
представляют собой интенсивности основных волн. Полная интенсивность волны
l =
Е 0 Е*
= / 1 + / 2 = Sp (lik).
Величины
l;
и
e(i) могут быть определены из системы уравне!'!ий
(VIII. 16)
Отношение
(VIII. 17)
называется
степенью
волны, а р =
/2//1 -
поляризации
степенью ее
стью поляризованной волны Р
ной
и
= 1
волны
тензор
частично
поляризованной
деполяризации.
(р
р
=
=
о
(р
полно­
= 1), /1 = 12 = 1/2,
поляризации
l;k
Для
О), для неполяризован­
1
= /2
принимает
вид
/бik•
При падении плоской волны на пло­
скую границу раздела двух сред углы
81, 82 ,
указывающие
направления
80 •
рас­
пространения соответственно падающей~
отраженной
и
преломленной
волн
(рис. 24), связаны соотношениями:
Рис.
rде
n1
гаем
sin82
sin 80
n1
=---;;,
n;=Vв;, (VIII.18}
показатели преломления первой и второй сред (пола­
2 -
µ1
81=80,
24.
= µ2 = 1).
Амплитуды отраженной (Е1, Н1)
и
преломленной
(Е 2 , Н 2 )
волн выражаются через амплитуды Е 0 , Н 0 падающей волны по,
формулам Френеля:
а) если Е 0 нормальна к плоскости падения, то
Е = sin(8 2 -80 ) Е
1
sin (82 + 80 )
о,
б)
Угол
Е = 2cos8osin82 Е.
2
sin (82 + Во)
о,
(VIII. lg),
если Н 0 нормальна к плоскости падения, то
tg (8 0 - 82) Н
tg (Во+ 82)
о,
Н
sin 280
sin (8 0 + 82) cos (8 0
Н1
=
82
выражается через диэлектрические проницаемости сред.
по формулам
(VIII. 18).
2=
Формулы
-
82)
Но. (VIII. 2 О)
(VIII. 18)-(VIII. 20)
сохра­
няют свой вид и при комплексном в 2 , при этом угол 82 также
станет комплексным и не будет иметь простого геометрического
смысла. Случай комплексного угла 82 рассматривается в за­
даче 420.
Коэффициентом отражения
называется отношение сред­
него (по времени) потока энергии отраженной волны к сред­
R
нему падающему на поверхность потоку энергии.
102
Суперпозиция плоских монохроматических волн
с
разным:и
воановыми векторами и частотами носит название группы волн
или
волнового пакета:
'Y(r, t)=
f 'Ф(k)exp[i(k·r-rot)]dkxdkydkz,
(VIII.21)
1·де 'У (r, t) - любая декартова компонента вектора Е или Н.
Функцию -ф(k), характеризующую долю каждой отдельной пло­
ской волны в общей суперпозиции, будем называть амплитуд1юй функцией. Максимум амплитуды волнового пакета переме­
щается в пространстве с групповой скоростью v 8 =d(j)/dk.
399.
Две плоские монохроматические линейно поляризован­
ные волны одной частоты распространяются вдоль оси
во.1на поляризована по х и имеет амплитуду а,
z.
Первая
вторая поляризо­
вана по у, имеет амплитуду Ь и опережает первую по фазе на Х·
Найти поляризацию результирующей волны.
400. Рассмотреть в предыдущей задаче зависимость поляри­
=
зации от сдвига фаз х для случая а
Ь.
401. Две монохроматические волны одной частоты поляри­
зованы по кругу с противопо.1ожными направлениями вращения,
имеют одинаковые фазы и распространяются в одном направле­
Rии. Амплитуды этих волн а (у правополяризованной волны) и
Ь (у левополяризованной волны). Найти зависимость характера
поляризации от а/Ь
(а и Ь
можно выбрать вещественными).
Выразить степень поляризации Р плоской волны через
составляющие Iik тензора поляризации. Какому условию дол·
жны удовлетворять компоненты Iik, чтобы волна была полностью
поляризованной?
Указ ан и е. Воспользоваться формулой (VIII. 15) и орто 4
нормированностью базисных векторов по.1яризации. ·
403. Убедиться в том, что частично поляризованная электро­
402.
магнитная
волна
всегда
ность непо.1яризованной
может
и
рассматриваться
полностью
Для этого доказать, что тензор поляризации
быть в общем случае записан в форме
ftk
= 1/2 I (l
полностью
совокуп­
(VIII. 15)
волны.
может
- Р) t,ik + 1/2 P1izл,
где тензор а%л имеет нулевой определитель,
описывает
как
поляризованной
поляризованную
и, следовательно,
волну.
Первый
ч.1ен
в этом разложении описывает неполяризованную волну, причем
1
= /1
+ /2 -
полная интенсивность, Р
- степень поляризации.
404. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью /
распространяется вдоль оси
z
и поляризована по эллипсу с по­
луосями а, Ь. Большая полуось а составляет угол
tt
с осью х.
Составить тензор поляризации и рассмотреть возможные часг·
ные случаи.
103
Электромагнитная во.тша
405.
некогерентных
сивности
/
«почти
является
суперпозицией двух
монохроматических»
волн
равной
интен­
с приблизительно одинаковыми частотами и волно­
выми векторами. Обе волны по:1яризованы линейно, направления
поляризации задаются в шюскости, перпендикулярной их волно­
вому вектору, ортами е< 1 > (1,0) и е< 2> (cos'it, sin'it). Построить
тензор поляризации Zik результирующей частично поляризован­
ной волны и определить степень ее поляризации. Выяснить ха­
рактер поляризации этой волны (см. задачу 404).
406. Решить предыдущую задачу для случая, когда интен­
сивности волн различны (/ 1 =I= / 2 ), а направления поляризаций
составляют угол л/4.
407. Тензор поляризации электромагнитной волны, который
является эрмитовым, может быть представлен в виде
/,ik =_J__l
{ьik + {-,
АЧ>) =_!__z(
1 +5з
51-i52) ,
~ ьtr,k
...
2
2
f:
51 + ts2 1 - 5з
ПОJ1Ная интенсивность волны, 5i - вещественные пара2 2 2 2
удовлетворяющие условию 5 = 51 + 52 + 5з~ 1 (параметры
\
где
/ -
метры,
Стокса),
i<lJ -
1=1
матрицы:
A(l)=(o
1)
А(2)=(0
т
10'
't
i
-i)
А<З> = ( О1
О'
't
Выяснить физический смысл параметров
Si,
Для этого выразить
.степень деполяризации р волны через
Si
ции
распадается
двух
основных
;1яризованная
s1 =I= О,
52 = о.
а)
SI
=
волн,
на
которые
о)
-1 .
и определить поляриза­
частично
по­
волна, в следующих трех случаях:
52 =
5з
=
О;
б)
s2 =I= О, 51 =
5з
=
О;
в) sз
=I= О.
408. Пусть в плоской неоднородной *) волне вектор электри­
ческого поля Е поляризован линейно. Определить взаимное рас­
положение векторов Е 0 , ~ 1, ~2. k', k" (~ 1, :JC2- вещественная и
.мнимая части комплексной амплитуды Но; k' и k" - веществен­
ная и мнимая части волнового вектора k). Какую кривую описы­
Еает конец вектора Н в фиксированной точке пространства?
Решить ту же задачу для случая, когда вектор Н поляризо­
ван линейно.
409. Поляризованная по кругу плоская монохроматическая
волна падает наклонно на плоскую границу диэлектрика. Опре­
делить характер поляризации отраженной и преломленной волн.
мая
*) Неоднородной называется волна, у которой вещественная k' и мни­
k"
составляющие комплексного волнового вектора
,направления.
IV4
k имеют различные
410*. Пучок почти монохроматического неполяризованного
света падает на плоскую границу диэлектрика. Найти тензоры
поляризации IШ, !)~> и коэффициенты деполяризации р1, р2 отра­
женного и преломленного света.
411. Неполяризованный почти монохроматический
пучок
света падает на п:юскую границу раздела диэлектриков. Опре­
делить коэффициент отражения R и коэффициенты деполяриза­
ции р 1 ,2 отраженного и преломленного света, если угол падения
равен углу Брюстера.
412. Вывести формулы Френеля для случая, когда электро­
магнитная волна
падает
нз вакуума
на
плоскую границу прово­
дящей среды с малым поверхностным импедансом ~413. Найти коэффициент отражения
от металлической по­
R
верхности с малым поверхностным импедансом ~
каких углах падения
80
= ~'
+ i~"- При
коэффициент отражения минимален?
414. Линейно поляризованная волна падает на плоскую гра­
ницу проводящей среды с малым поверхностным импедансом ~Определить характер поляризации отраженной волны, если угол
скольжения падающей волны равен углу Ф 0 , определенному
n
предыдущей задаче.
415. Линейно поляризованная плоская волна падает под
80 на поверхность металла. Направление ее поляризации
.пом
ставляет с
плоскостью
падения
угол
n/4.
уг­
со­
Эксперимента.т~ьно
определены отношение поперечной и продольной (относительно
п.тюскостп падения) компонент отраженной волныЕ 1 1/Е.L1=tgр
и сдвиг фаз между ними б:
·
1=tgpeiб.
Е .L 1
Выразить через р, 6 и 80 вещественную часть показателя пре­
ломления п' и коэффициент пог.т~ощения п" (п' +in" = 1/~. ~ -
поверхностный импеданс), считая
416.
\n'2 -
Найти коэффициент отражения
проводника
при
норма.т~ьном
лых значений проводимости
падении
в
п" 2 \
R
>>
sin 2 80 •
от плоской границы
предельном
(см. формулу
случае
ма­
(VIII. 8)).
417*. Показать, что после полного отражения от границы ди­
электрика линейно поляризованная волна приобретает в общем
случае эллиптическую поляризацию. При каких условиях по.1я­
ризация будет круговой?
418. Исследовать движение энергии при полном внутреннем
отражении. Найти поток энергии вдоль поверхности раздела и в
перпендикулярном направ.т~ении в среде, от которой происходит
отражение. Опреде.т~ить векторные .т~инии вектора Пойнтинга у.
419. Плоская монохроматическая волна падает на плоскую
границу раздела двух диэлектриков с проницаемостями е 1 и е 2 •
Какой характер примет поле по обе стороны от границы в слу­
чае скользящего падения (угол падения 8 0 -+л./2)?
105
420*. Электромагнитная волна падает наклонно из диэлект-­
рика на плоскую границу проводящей среды. Найти направле·
ния распространения, затухания и фазовую скорость Vq, волны
в проводящей среде.
421 *. Диэлектрический слой с проницаемостью Е2, ограничен­
=
=
ный плоскостяl\ш z
О и z
а, разделяет диэлектрические
среды с проницаемостями е 1 и е 3 (µ1 = µ2 = µ 3 = 1). На этот
слой нормально к его поверхности падает из области z
О
электромагнитная волна. При какой толщине слоя отражение
будет минимальным? При каком соотношении между Е1, Е2, Ез
<
отражения не будет?
422*. Плоская волна падает нормально из вакуума на гра­
ницу диэлектрика. Исследовать влияние размытости границы на
коэффициент отражения. Для этого аппроксимировать ход ди·
электрической проницаемости функцией
е
(z) =
е
- __л_е__
ехр ~
а
где е и Л е
и
-
е=
+1
1+
Ле,
постоянные. Исследовать частные случаи бо.1ьших
малых а.
Указ ан и е.
В дифференциальном уравнен~и
для Е (z)"
(см.
(VIII. 12)) сделать замену независимои переменнои
s= -
ехр [ - : ] и подстановку Е (s) = s-ika'Ф (s), где 'Ф (s) будет
удовлетворять гипергеометрическому
ник [91], формулу (9.151)).
уравнению
(см. справоч­
423*. При отсутствии поглощения диэлектрическая
цаемость плазмы имеет вид (см. задачу 312)
прони­
Е = 1 - 4-ле2N •
тоо 2
Рассмотреть распространение электромагнитной волны в ш1аз!l1е,
концентрация которой меняется линейно: N (z) = N 0 z. Плоская
монохроматическая во.тша падает на неоднородный слой плазмы
нормально. (Такой случай может иметь место при распростра­
нении радиоволн в ионосфере).
Указ ан и е. Уравнение для Е (z) решать путем разложения
искомой функции в интеграл Фурье.
424.
времени
Построить одномерный волновой пакет Ч' для момента
t О, взяв в качестве амплитудной функции кривую
=
Гаусса а (k) = а0 ехр [-( k ;kko )2], где ао, ko, Л k - постоянные.
Найти связь между шириной пакета Л х и интервалом волновых
чисел Л k, вносящих основной вклад в суперпозицию.
425. Волновой пакет Ч'
волн с разными частотами.
образован суперпозицией плоских
Амплитудная функция имеет вид
кривой Гаусса а (ro) = а 0 ехр r-(
106
00
000
;
00
)21,
где ао,
roo,
Лrо - по--
-стоянные.
Найти
=
в точке х
зависимость
амплитуды
пакета
от
времени
О. Получить связь между длительностью волнового
t
импульса Л и интервалом частот Л (t).
426. Некоторый объект, освещаемый
светом
с
длиной
во.rшы 'А, рассматривается в микроскоп. Найти минимальный воз­
можный
размер
объекта
Л Xшin,
допускаемый
условием
Лх·Лk°";?:-
1.
Положение некоторого объекта определяется с помощью
радиолокации. С какой предельной точностью можно провести
зто измерение, если расстояние до объекта l, длина волны 'А?
428. Исследовать форму и движение волнового пакета, полуJ
427.
ченного наложением плоских
волн
с одинаковыми
амплитудами
а 0 и с волновыми векторами, лежащими в области
\ko-kl<q
(ko, q- постоянные).
(t)
заменить
(k)
+
Действительный
закон
дисперсии
приближенным соотношением (t) (k) = (t) (k 0 )
dffi
dk
I
O
•
+'
(k - k 0).
429*. Исследовать «расплывание» одномерного волнового па­
·кета в диспергирующей среде. Для этого выбрать амплитудную
функцию в виде кривой Гаусса a(k) = а 0 exp[-a(k - ko) 2] и
учесть квадратичный член в разложении частоты (t) по k.
430. Найти фазовую v(j) и групповую Vg скорости распростра­
нения
в
среде,
диэлектрическая
проницаемость
которой
_(ер. VI. 12)
в
(ro) = 1 +
(j)2
Р
ffio-ffi 2
2
•
Ограничиться рассмотрением только случаев больших и малых
(по сравнению с (!) 0 ) частот (t) (µ = 1).
431. Определить скорость переноса энергии одномерным вол­
нсвым пакетом, движущимся в диспергирующей среде. Пока­
зать, что эта скорость совпадает с групповой скоростью Vg.
У к а за ни е. Скорость переноса энергии
лошением
v= vw,
w=-1-[d(ffie)
16:rt
dffi
-
усредненная
(см.
[66]),
плотность
v- средняя
§ 2.
v
определяется соот­
где
ЕЕ*+ d(ffiµ) нн·]
энергии
dffi
в
диспергирующей
среде
плотность потока энергии.
Плоские волны в анизотропных
и
гиротропных
средах
Оптически анизотропными называются такие среды, у кото­
рых электрические и магнитные свойства различны по разным
направлениям. Электрическая и магнитная проницаемости таких
сред являются тензорами. Оптическая анизотропия может быть
107
следствием
кристаллической структуры тела, а также вызываться
внешним электрическим полем (см. задачи 313, 314) и.ш внеш­
НИI\IИ механическими воздействиями. При отсутствии внешнего
магнитного поля тензоры ен, (ffi) 11 µн, (ffi) *) симметричны:
(VIII. 22)
В анизотропной среде в данном направ.1енни могут распро­
страняться с разными фазовыми скоростями две плоские моно­
хроматические волны одной частоты, поляризованные линейно
в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Направления,
вдоль которых обе волны имеют одинаковые скоростп распро­
странения, называются оптпческими осями. Направление распро­
странения волны, которое опреде.'Iяется норма.1ью к волновой
поверхности, в общем случае не совпадает с направлением луча
(т. е. с направлением вектора Пойнтинга).
Кристаллы, у которых два г.1авных значения тензора диэлек­
трической проницаемости совпадают
(е< 1 > = е< 2 > = B_l_, е< 3> = е, 1 ).
являются одноосными. Их оптическая ось совпадает с осью
х 3 = z. Волновые векторы двух волн, распространяющихся под
углом 8 к оптической оси, имеют в этом случае величины:
(VIII. 23)
Первая пз этих волн называется обыкновенной, в ней векторы
нндукцпи D и напряженности электрического ПОJIЯ Е направ­
лены одинаково и оба перпендикуJ1ярны волновому вектору k 1 и
плоскости, проходящей через волновой вектор и оптическую ось
(плоскость главного сечения). Вторая волна называется необык­
новенной. Вектор D этой волны лежит в плоскости главного се­
чения и перпендику.rIЯрен ее во.rшовому вектору k2. Вектор Е
также
.11ежит
в
плоскости
главного
сечения
и
не
совпадает
по
направлению с D.
При наличии внешнего постоянного магнптноrо поля тен­
зс,ры e,h и µ,h перестают быть симметричными; но в непоrло­
щающих средах, которые то.1ько и будут рассматриваться в этом
параграфе, они являются эрмитовыми:
(VIII. 24)
В этом случае связь между напряженностями полей
и
индук­
циями можно записать в виде (ер. с задачей 316)
D = е'Е + i(E Х ge),
*J
+ i(H
Х gт),
(VIII. 25)
Мы не рассматриваем эффектов, связанных с пространственной неод­
нородностью
вектора
108
В= µ'Н
k
поля,
(см.
[66],
которые
приводят
а также задачу
к
446}.
зависимости
ен,
и
µн,
от
волнового
где ge и gm - векторы гирации (электрический и магнитный),
е'Е- ве1пор с компонентами в~iEk. Среды, в которых векторы по"
ля связаны уравнениями (VI 11. 25), называются гиротропными.
В гиротропной среде в заданно111 направлении могут распро­
страняться с разными фазовыми скоростями две плоские волны
одной частоты. Эти волны поляризованы эллиптически с проти­
воположными
имеют
направлениями
одинаковое
вращения,
отношение
осей
и
э.~ышпсы
повернуты
поляризации
друг
относп­
тельно друга на л/2.
Граничные условия на поверхности анизотропного или гиро­
тропного тела имеют такой же вид, KaI{ и на границе раздела
изотропных сред (см.
432.
(111. 9)
и
Необьпшовенная волна
(V. 6)).
распространяется
в
одноосном
кристалле под углом е к оптической оси. Определить угол а
между волновым вектором k и вектором Е, а та1{же угол {t между
направлением луча (вектором Пойнтинга) и оптической осью
кристалла.
433.
Плоская волна падает из вакуума на плоскую поверх­
ность одноосного кристалла. Оптическая ось кристалла нор­
мальна к его поверхности. Найти направ.'Iения обыкновенного
и необыкновенного лучей в кристалле, если угол падения 80 .
434. Решить предыдущую задачу для случая, когда оптиче­
ская
ось
кристалла
параллельна
его
поверхности
и
составляет
угол а с ПЛОСIЮСТЬЮ падения.
435. Плоская монохроматическая волна распространяется
в безграничной ферритовой намагниченной до насыщения среде
под углом е к постоянному магнитному полю. Магнитная про­
ницаемость феррита - тензор *)
(см. задачу 331; ось z направлена вдоль постоянного магнит­
ного поля). Диэлектрическую проницаемость феррита в можно
считать СI{аляром **). Найти фазовые с1юрости распростране­
ния
V1,2.
Плос1{ая монохроматическая волна
распространяется
в диэлектрш{е с µ = 1, находящемся в постоянном и однородном
436.
*)
разного
Такой же вид имеет тензор диэдектрической проницаемости газооб­
диэлектрика,
находящегося
во
внешнем
однородном
магнитном
поле
(см. задачу 318).
**) Это объясняется тем, что влияние постоянного магнитного ПОJJЯ на
магнитные свойства феррита значительно сильнее, чем на электрические.
109
магнитном поле. Тензор
задачу 318) имеет вид
диэлектрической
проницаемости
(см.
о
Найти фазовые скорости распространения.
437. Исследовать поляризации волн, которые могут распро­
сrраняться в безграничной ферритовой намагниченной до насы­
щения среде. Рассмотреть два частных случая распространения:
а)
б)
вдоль постоянного магнитного поля;
перпендикулярно постоянному магнитному полю.
438. Диэлектрик находится во внешнем магнитном поле. Пло­
ская
монохроматическая
волна
распространяется
в
направле­
нии магнитного поля (ось z) и имеет в точке z = О линейную
поляризацию. Определить поляризацию волны в точке z =/= О.
Указ ан и е. Использовать тензор диэлектрической прони­
цаемости, полученный в задаче 318.
439. Плоская поляризованная по кругу волна падает из ва­
куума нормально на плоскую границу феррита. Феррит намаг­
ничен в направлении падения волны. Определить характер по­
Jiяризации и амплитуды отраженной и прошедшей волн.
Указ ан и е. Использовать граничные условия для векторов
Е и Н.
440. Решить предыдущую задачу для случая, когда падаю­
щая волна поляризована линейно.
441 Искусственный диэлектрик состоит из тонких идеально
проводящих круглых дисков, ориентированных одинаковым об­
разом и находящихся в вакууме. Перпендикулярно плоскостям
дисков приложено постоянное магнитное поле Н 0 и в том же на­
*.
правлении
Определить
распространяется
фазовые
плоская
скорости
электромагнитная
распространения,
волна.
рассматривая
диэлектрик как сплошную среду.
Указ а ни е. Учесть эффект Холла, который возникнет из-за
наличия
442.
внешнего
магнитного
поля.
Плоская волна падает нормально на плоскую решетку,
образованную
тонкими
параллельными
бесконечно
длинными
пrоводниками. Расстояния между проводниками и их толщина
много меньше длины волны. Какое влияние окажет решетка на
распространение волн с различными поляризациями?
443.
Рассмотреть возможность распространения продольных
колебаний в среде с диэлектрической проницаемостью в (ffi). При
таких колебаниях вектор электрического поля Е параллелен вол­
новому вектору. Указать условие, при которых затухание этих
колебаний является малым. На какой частоте возможны про-
110
дольные коJiебания в плазме (ее диэлектрическая проницаемость
вычислена в задаче 312)?
444. Область х О занята плазмой с диэлектрической прони­
<
цаемостью в(rо)= l-ro;/ro2
(см. задачу 312), при х>О-ва­
куум. Показать, что вдоль границы плазма- вакуум может рас­
пространяться
которой
поверхностная
волна,
затухают экспоненциально
напряженности
при
удалении
от
поля
в
границы.
Найти частоту, при которой возможна такая волна, и ее поля­
=
ризацию. Ограничиться рассмотрением медленной волны v,p
= ro/k
с).
445. Ионизованный газ находится в постоянном магнитном
«
поле. Вдоль направления поля распространяется поперечная
плоская волна. Найти фазовые скорости распространения. Рас­
смотреть, в частности, случай малых частот ( ro-+ О) и исследо­
вать
характер
жительных
электромагнитных
волн
с учетом
движения
поло­
ионов.
Указ ан и е. Использовать выражение для тензора диэлек­
трической
проницаемости
ионизованного газа в постоянном
магнитном поле, полученное в задаче 321.
446. Определить тензор магнитной проницаемости µik ( ro, k)
ферродиэлектрика, не пренебрегая членом q~72 M в выражении
(VI. 16) эффективного магнитного поля. Для этого рассмотреть
движение вектора намагниченности под действием плоской мо­
нохроматической волны. Ферродиэлектрик намагничен до насы­
щения постоянным магнитным полем Н 0 .
Указ ан и е. Ограничиться случаем малых амплитуд, лине­
аризовать уравнение движения вектора намагниченности.
447. Найти с учетом члена qV 2M в выражении (VI. 16) для
НэФФ дисперсионное уравнение электромагнитных волн, распро­
страняющихся в изотропной, намагниченной до насыщения фер­
родиэлектрической среде. Показать, что в такой среде могут
распространяться
три
типа
волн
с разными
законами дисперсии
Определить явный вид зависимости ro (k) для того типа
волн, у которого может выполняться условие rо 2 в/ ( ck) 2
1. Оце­
ro (k).
нить
«
относительную
величину
электрического
и
магнитного
по­
~ей для этой ветви колебаний.
448. Определить поверхностный импеданс ~ ферромагнитного
проводника,
находящегося
в
постоянном
магнитном
поле,
па­
раллельном его поверхности. Тензор магнитной проницаемости
приведен в условии задачи 435, а компоненты тензора электро­
проводности
равны
а11 =а22=а1, азз=аз,
а12=-а21 =-ia2,
а1з
=
аз1
=
а2з
=
У к а з а н и е.
аз2
=
О.
Поверхностный
импеданс в данном случае II ранга и должен быть определен из условия ( ер.
(VIII. 10))
тензор
111
i, k = 1, 2, E't
где
поля
вблизи
и
H't - касате.'Iьные составляющие векторов
проводника, n - орт нормали к по­
поверхности
верхности.
Решить предыдущую задачу для случая, когда постоян­
449.
ное магнитное поле нормально к поверхности ферромагнитного
проводника.
§ 3. Рассеяние электромагнитных волн
на макроскопических телах. Дифракция
Точное решение задачи о дифракuии электромагнитной пол­
ны
на
проводящем
и.rш
диэлектрическом
теле
сводится
к
инте­
грированию уравнений Максвелла при соответствующих гра­
ничных условиях. Оно возможно в немногих случаях (см., на­
пример, задачи 450, 457). В ряде случаев может быть найдено
приближенное решение.
Ест-1 линейные размеры тела малы по сравнению с дтшой
воnны,
то электромагнитное
поде
вблизи тела
можно
считать
однородным. Тело, находящееся в однородном периодическом
поле, приобретет электрический и магнитный моменты, которые
будут зависеть от времени по тому же закону, что и внешнее
поле.
Рассеянная во.rша возникает в результате излучения этими
переменными моментами. Задача о рассеянии электромагнитных
волн
на
теле
малых
размеров
сводится
к
опреде.1Jению диполь­
ных моментов, которые приобретает тело. Поля излучения вы­
ражаются через дипольные моменты по формулам (XII. 17) и
(XIl.20).
Эффfктивным днфференuиальным сечением
лесный угол
dQ
рассеяния в те­
называется отношение
das = dl (!, а)
(VIII. 26)
•
Vo
Здесь dl = ydS = yr 2dQ - средняя (по времени) интенсивность
из.1Jучения в телесный угол dQ; у и
средние плотности по­
тока энергии в рассеянной и падающей волнах. Плотность по­
vo -
тока энергии описывается вектором Пойнтинга
:
4
\' =
Эффективным
сечением
(Е Х Н).
пог.1Jощения
(VIII. 27)
называется
отношение
средней энергии, погJющаемой телом в единиuу времени, к сред­
ней плотности потока энергии в падающей волне
Q
(VIII. 28)
Ua=-=-.
Vo
В противоположном предельном с.1Jучае, когда длина волны
много
112
меньше
размеров
те.1Jа,
применимы
методы
геометриче-
ской оптики. При дифракции электромагнитной волны на отвер­
стии в бесконечном непрозрачном экране амплитуда дифрагиро­
ванного поля в приближении геометрической оптики описывает­
ся формулой
Ир --
_k_
2:лi
f
..!!._
R е ikR
dS п,
(VIII. 29)
которая может быть выведена на основе принципа Гюйгенса.
Здесь Up - поле в точке Р за экраном ( рис. 25), и - поле на
участке ~S поверхности отверстия (это поле предполагается та­
ким
же,
как при отсутствии
т. е.
неискаженным),
ция
элемента
верстия
на
dSn -
экрана,
проек-
поверхности от­
dS
направление
луча,
при­
шедшего
•
р
~
из источника света О в
dS, R - расстояние от dS до точки
Р, k - абсолютная величина волно­
вого вектора световой полны.
1
Источник света О и точка на­
блюдения Р могут находиться как
Рис. 25.
на конечных, так и на бесконечно
больших
расстояниях от экрана. Случай, когда точки О и Р.
или хотя бы одна из них, находятся на конечном расстоянии от
экрана, носит название дифракции Френеля.
Если обе точки О и Р находятся на очень больших расстоя­
ю-1ях от экрана, то лучи света, идущие от источника к отверстию
и от отверстия в точку наблюдения, можно считать параллель­
ными. В этом случае, который носит название дифракции Фраун­
гофера, формула
Up
Здесь
k
и
ного света,
и0
k' -
=
может быть преобразована:
e;:ix:Rol f ехр [i (k -
Uo
k') · r] dSn.
(VIII. 30)
волновые векторы падающего и дифрагирован­
Ro -
амплитуда
-
(VIII. 29)
расстояние от отверстия до точки наблюдения,
поля
Интенсивность
квадрату модуля
на
отверстии.
дифрагированного
iupl 2•
света
пропорциональна
В случае дополнительных*) экранов имеет место принцип
Бабине [55): пусть U1 и и2 - волновые поля в некоторой точке,
соответствующие
двум
дополнительным
экранам,
и
-
неиска­
женное волновое поле в той же точке при отсутствии экранов,
1·огда
{VIII. 31)
*)
Дополнительным называется экран, имеющий отверстия там, где дру­
гой э;,:ран
не прозрачен,
и
не прозрачный там, где другой экран
имеет от­
верстия.
В
В.
В.
Батыгин, И.
Н. Топтыгин
IIЗ
Формулы
(VIII. 29) и ,(VIII. 30} не учитывают поляризации
волн ( амплитуда и предполагается скаляр­
электромагнптых
ной, а не векторной величиной). Дифракционная формула, учи­
тывающая векторный характер электромагнитного поля, может
быть записана в виде
Ер=
-
4~~ f {п0 ХН -п[п · (п0 ХН)] +п Х (п0 Х E)}ikr dS.
(VIII. 32)
В этой формуле Е и Н - значения полей на поверхности от­
верстия, Ер - электрическое поле на большом расстоянии от
экрана (в волновой зоне), п - единичный вектор в направJ1ении
распространения
дифрагированной
волны,
n0 -
орт
нормали
к
поверхности отверстия, направленный в сторону точки наблю~
дения, r - расстояние от dS до точки наблюдения,
расстоя­
ние от начала координат (выбранного на отверстии) до точки
наблюдения.
Магнитное поле в волновой зоне выражается через электри­
чrское по обычной формуле
R-
Нр=П х Ер.
450*.
На бесконечный круговой идеально проводящий цилиндр
радиуса а, находящийся в вакууме, падает плоская монохрома­
тическая волна в направлении, перпендикулярном оси цилиндра.
Вектор Е 0 падающей волны параллелен оси цилиндра. Опреде­
лить
результирующее
поле,
распределение
тока
по
поверхности
цилиндра и полный ток 8, текущий вдоль цилиндра.
451. Найти дифференциальное сечение рассеяния
du 8 элек­
тромагнитной волны
(диаграмму направленности вторичных
волн) цилиндром, рассмотренным в задаче 450. Найти также
полное сечение рассеяния
452*.
•.
и
Плоская монохроматическая волна падает на идеально
проводящий
круговой
цилиндр так,
что ее магнитный
вектор
Н 0 = Но ехр [i (k · r - ffit)] параллелен, а волновой вектор k пер­
пендикулярен оси цилиндра. Цилиндр находится в вакууме. Най­
ти результирующее электромагнитное поле. Рассмотреть, в част­
ности, случай тонкого (ka
1) цилиндра, определить диффе­
«
ренциальное du 8 и полное иs сечения рассеяния для этого случая.
453. Пусть dcr и dcr J. - дифференциальные сечения рассеяния
11
на бесконечном цилиндре плоской волны с вектором Е, направ­
ленным соответственно параллельно и перпендикулярно оси ци­
линдра. Найти дифференциальное сечение dи: рассеяния волны.
у которой вектор Е составляет с осью цилиндра угол <р, а также
дифференциальное
волны.
сечение
dof
рассеяния
неполяризованной
указ ан и е. Использовать принцип суперпозиции полей.
114
Неполяризованная плоская волна рассеивается на иде­
454.
ально проводящем тонком
(ka
<<
цилиндре. Определить сте­
l)
пень деполяризаuии р рассеянных волн
в зависимости от угла
рассеяния.
455*. Решить задачу 452 о дифракции плоской волны на бес­
Rонечном цилиндре, не предполагая uилиндр идеально проводя­
щим, но считая его поверхностный импеданс ~ малым. Восполь­
зоваться
приближенным
граничным
условием
Леонтовича
.(VIII. 10).
456. Определить
среднюю потерю энергии
Q
и сечение погло­
щения а 0 на единицу длины цилиндра, рассмотренного в преды­
дущей задаче. Исследовать, в частности, случай ka ~ 1 и объ­
яснить получающийся результат.
457*.
Рассмотреть
дифракцию
плоской
монохроматической
волны на диэлектрическом uилиндре. Цилиндр радиуса а с ди­
электрической прониuаемостью в и магнитной проницаемостьюµ
находится в вакууме. Волна падает нормально к образующей
цилиндра, вектор Е параллелен его оси. Определить результи­
рующее поле.
458*.
волна
Линейно поляризованная плоская
рассеивается
на
шаре,
радиус
монохроматическая
которого
а
много
меньше
длины волны л. Выразить составляющие электромагнитного поля
рассеянного излучения в волновой зоне через электрическую и
магнитную поляризуемости шара. Определить эффективное диф­
ференциальное сечение рассеяния.
У к а з ан и е.
В
силу условия
а ~ л считать внешнее поле
вблизи шара однородным и рассмотреть излучение индуцирован­
ных электрического р
459.
и
магнитного
m
Вычислить дифференциальное
рассеяния,
а
та~<же
дипольных
das
моментов.
и полное а 8 сечещ1я
степень деполяризации р вторичного излу­
чения при рассеянии неполяризованной волны шаром, радиус
а которого много меньше длины волны л. Результат выразить
через электрическую ~е и магнитную Рт поляризуемости шара.
460. Используя результаты предыдущей задачи, определить
дифференциальное da8 и полное а8 сечения рассеяния неполяри­
зованноrо
света
малым
диэлектрическим
шаром
с
проницае­
мостью в (µ = 1), а также степень деполяризации р рассеянного
света. Построить графики зависимости этих величин от угла
рассеяния 0. Указать условие применимости полученных фор­
мул. Решить ту же зада.чу для идеально проводящего шар::~
= 1.
461. Плоская монохроматическая волна падает под углом
п,/2 - а на идеально проводящий тонкий диск, радиус которого
(' µ
а много меньше длины волны л. Определить дифференциальное
das и по.~шое as сечения рассеяния при различных поляризациях
падающей волны, а также сечение рассеяния неполяuизованной
волны.
8*
115
462. В однородном диэлектрике с проницаемостью е (~t = о·
вырезана
полость,
имеющая
форму
тонкого диска
радиуса
а,
толщиной 2h. Нормально к плоскости полости падает неполяри­
зованный свет с длиной волны л
а. Найти дифференциальное
da. и полное а. сечения рассеяния.
463*. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния
плоской волны длнной л на идеально проводящем цилиндре вы­
сотой 2h и радиуса а
h, h
л. Исследовать различные слу­
»
«
«
чаи поляризации падающей волны. Цилиндр аппроксимировать
вытянутым эллипсоидом вращения с полуосями а и h.
Указ а ни е. Использовать решения задач 197, 198, 390.
464. Решить задачу 463 для диэлектрического цилиндра, вы~
сота которого 2h много меньше длины волны л внутри цилиндра.
465. Плоская монохроматическая волна
рассеивается
на
мость ,юторого
диэ.JJектрическом
(е -
1) /4л:
«
1 ( ~t
шаре
=
1).
So ехр [i (kr- rot) J
радиуса
а,
поляризуе­
Вследствие малой поля­
ризуе]lюсти поляризация шара в первом приближении пропор­
циональна полю падающей волны. Определить дифференциаль­
ное
сечение
рассеяния
и
степень
деполяризации
р
рассеянного
излучения. Какой характер приобретает рассеяние в случае очень
большого шара (ka
1)?
466. Определить полное сечение рассеяния а. диэлектрической
сферой, рассмотренной в предыдущей задаче, в предельном слу­
»
ч2е
ka » 1. Сравнить со случаем ka « 1.
467*. Плоская монохроматическая волна
мой зарядов
рассеивается систе­
(например, макроскопическим телом). Электриче­
ское поле на больших расстояниях от рассеивателя имеет вид
Е = Е0 [ eikz + F (n)
где п =
r/r,
е
=
Ео/Ео,
k
= ro/c,
ei:r],
Ео- амплитуда падающей вол­
ны, f'(n) - амплитуда рассеяния - функция, характеризующая
свойства рассеивателя и зависящая от частоты. Доказать соот­
ношение ( «оптическую теорему»)
at =
~.. Im [е · F (n0 )].
+
=
Здесь а 1
а.
аа - полное сечение взаимодействия волны с си­
стемой зарядов, равное сумме сечений рассеяния а. и поглоще­
ния аа, F' ( п 0 )- амплитуда рассеяния «вперед», т. е. в направле­
нии распространения падающей волны.
468*. Плоская монохроматическая волна падает на макро­
скопическую частицу, размер которой много меньше длины вол­
ны л. Электрическая и магнитная поляризуемости частицы:
= ~; + i~;
и
f3m = f3~ + if3;
f3e =
комплексны, поэтому наряду с рассея­
н нем происходит поглощение электромагнитной энергии. Вычис­
лить сечение поглощения аа.
116
Указ ан и е. Поглощаемая в единицу времени энергия равна
потоку вектора Пойнтинга через поверхность сферы большого
радиуса, окружающей частицу.
469. Вычислить сечение аа поглощения электромагнитной вол-­
=
ны проводящим шаром с малым поверхностным импедансом ~
= ~'
i~". Радиус шара Ь мал по сравнению с длиной волны 'А.
470. Плоская монохроматическая волна падает на макроско­
+
пическое тело. Сечение поглощения аа волны телом и дифферен­
циальное сечение рассеяния das/dQ - известны. Выразить через
них среднюю по времени силу F, действующую на тело со сто­
роны
волны.
471*.
Определить среднюю силу
F,
которая действует на ма­
лый шар радиуса а, находящийся в поле плоской монохромати­
ческой волны. Рассмотреть случаи идеально проводящего шара
и диэлектрического шара с диэлектрической проницаемостью е
(магнитая проницаемость µ
l). Амплитуда падающей вол­
ны Е 0 •
=
472. Точечный иёточник света расположен на оси, проходя-
1цей через центр круглого непрозрачного экрана радиуса а пер­
пендикулярно его плоскости. Считая выполненным условие при­
менимости геометрической оптики ('А<< а), найти интенсивность
света l в симметричной относительно экрана точке Р.
473. В предыдущей задаче рассмотреть дифракцию на до­
полнительном экране (т. е. на круглом отверстии в бесконечном
нЕпрозрачном экране).
474. Параллельный пучок света падает на круглое отверстие
в непрозрачном экране перпендикулярно его плоскости. Найти
распределение интенсивности/ на средней линии за экраном.
475.
Найти угловое распределение интенсивности
света
dl
nри дифракции Фраунгофера на кольцевом отверстии (радиусы
а> Ь) в бесконечном непроницаемом экране. Начальный пучок
света
падает
нормально
к
плоскости
отверстия.
Рассмотреть
частный случай дифракции на круглом отверстии.
476. Найти угловое распредеJ1енпе интенсивности света dl
при наклонном
падении
параллельного
пучка
на
круглое отвер­
стие (дифращия Фраунгофера).
477. Плоская линейно поляризованная волна падает на пря­
моугольное отверстие -а
<. х <. а,
-Ь
<. у <. Ь
в бесконечном
тонком экране нормально к его плоскости. Амплитуды электри­
ческого и магнитного полей имеют составляющие Е 11
Е0 , Н х
-Е0 , Н 11
Ех = О. Определить поле излучения из отверстия,
а также угловое распределение излучения dl.
478. Плоская линейно поляризованная волна Е 0 ехр [i (k. г -
=
=
=
=
-- wt)] падает на круглое отверстие радиуса а в бесконечном
тонком экране нормально к его плоскости. Определить поле из­
лучения
из
излучения
отверстия
и
угловое
распределение
интенсивности
dl.
117
§ 4.
Когерентность и интерференция
Детекторы электромаrнитноrо излучения в оптическом диа­
пазоне реагируют на интенсивность / излучения, которая яв~
ляется усредненной по времени квадратичной функцией компо­
нент
поля
Это усреднение выражает тот факт, что время Т срабатывания
детекторов составляет не менее чем
случаях до
I0- 13 сек),
I0- 15 + I0- 16 сек.
баний
10- 10
сек (в исключительных
а характерный период оптических коле­
В связи с этим наблюдаться может только такая интер­
ференционная картина, которая существует достаточно ста­
бильно в течение промежутка времени, большего чем Т. Это
усложняет наблюдение интерференции волн в оптическом диа­
пазоне.
Тепловые, люминесцентные, тормозные источники света со­
стоят, как правило, из большого количества независимых (неко­
герентных) излучателей, испускающих свет не согласованно по
фазе и поляризации. Почти полное согласование достигается в
квантовых оптических генераторах (лазерах), в которых глав­
ную роль играет вынужденное излучение света. Однако и в этом
случае имеются флуктуации фазы и поляризации из-за спонтан­
ного излучения и рассеяния на различных флуктуирующих не­
однородностях.
Для наблюдения стабильной интерференционной картины
обычно приходится прибегать к расщеплению волнового полfl
1<аждого из независимых излучателей (и источника в целом) на
несколько пучков. Если образовавшиеся после расщепления вол­
новые пакеты снова перекрываются, пройдя разные оптические
пути, то в области их перекрытия может возникнуть интерфе­
рf'нционная
картина,
если
выполняются
определенные
условия
когерентности.
Эти условия сводятся к требованию, чтобы интерференцион­
ные картины от различных независимых источников
вали
друг
не замазы­
друга.
Выделяют два простейших случая когерентности (подробнее
см., например, (18], [84], [27], {120]).
Временная когерентность. Интерференция волновых паке­
l)
тов
может
одного
из
=
-
произойти,
пакетов
только
если
будет меньше,
время
чем
дельного излучателя. По порядку величины Лt
Лw/2п
запаздывания
Лt жизни
от­
,..., 1/Лv, где Лv =
спектральный интервал излучаемых атомами частот
(см. задачи
нв
-r
время
482-484).
Вместо времени Лt когерентности можно
рассматривать продольный
(длина когерентности):
размер
с
111 =
области
111
когерентноспr
').,2
с Лt ,..._, ~ ,..._, лл•
(VIII. 33)
где "л - длина излучаемой квазимонохроматической волны, Л"л разброс длин волн, связанный со спектральной шириной соот­
ношением Л"л = ("л 2 /с) Лv.
2) Пространственная когерентность. Если источник является
протяженным, то интерференционные
картины от независимых
излучателей, находящихся в разных достаточно удаленных друг
от
друга
точках
источника,
могут
взаимно
смазываться,
на­
лагаясь друг на друга. Поле сохраняет когерентность в окре­
стностях
точки
наблюдения
в
области,
поперечные
размеры
которой
'А
l.t ,..._, -Лt!,..._,
R
"л-
(VIII. 34)
L'
где Лit - угловой размер источника, L - поперечный размер ис­
точника, R- расстояние от него до точки наблюдения. Про­
дольный размер
лой
области когерентности определяется форму­
111
(VIII. 33).
Объемом когерентности называется величина
ЛV =
Параметром
число фотонов
рентности
ti
б
lil11 ,..., (
вырождения
1)2 ( ;л) · "л3 •
излучения
называется
среднее
(квантов света), пересекающих площадь коге­
за время когерентности Лt
.L
v- плотность
потока
hro
chro
энергии
1/Лv:
=
6=/2 lЛf= ЛV-v
где
(VIII. 35)
(VIII. 36)
'
излучения,
приходящаяся
=
на
=
интервал частот Лv, hw
2лпv - энергия одного фотона, h
= 1,05. 10-27 эрг· сек - постоянная Планка. Параметр выро­
ждения характеризует важное свойство квантовых излучате­
лей: способность к вынужденному или стимулированному из­
лучению. Это свойство состоит в том, что интенсивность излуче­
ния от излучателей, находящихся в электромагнитном поле, про­
порциональна 1
б и увеличивается с ростом б.
+
Пусть поле u(r, t) в точке наблюдения r в момент t выра­
жается, согласно принципу Гюйгенса, через поля в точках r 1, r 2
в моменты времени
t - f1,
t-
f2:
u(r, t)=A 1u(r1, t-t1)+A2u(r2, t-t2),
Здесь
f1 = s1/c, t2 = s2/c, s1 =
множители,
зависящие
от
\r- r1 \,
s2 =
геометрии
(VIII.37)
\r- r2\,
схемы
и
А1, А 2 раз:viеров
119,
отверстий, расположенных вблизи точек, радиусы-векторы кото­
r1
рых
r2.
и
Тогда наблюдаемую усредненную интенсивность в точке r
в момент t при стаuионарном режиме можно записать в виде
J (г) = и· (r, t) и (r, t) = / 1 (г) + /2 (r) +
+ 2 -V/1 (г) /2 (r) Re V (r1,
В этой формуле т
=
r 2 , т).
(VII 1. 38)
s2 )/c, величины
(s 1 -
11 (г) = 1А1 FI и (r1, t - ti) 12 =1А112 /(r1)
представляют собой интенсивности в точке
r, если открыто толь­
ко одно i-e отверстие. Функция y(r1, r 2 , т) называется ком~
плексной степенью когерентности (или коэффициентом частич­
ной когерентности) и определяется следующим образом:
V ( Гt, Г2,
't' ) =
Г
у
(r1, Г2, -r)
(r) (r) ,
11
(VIII 39)
12
где
(VIH. 40)
f
корреляционная функция полей в точках
+ т.
Случаю
пространственной
r1
и
r2
когерентности
в моменты
т= О.
Понятие корреляционной функuии и определения
'(VIII, 40)
сохраняют
свой
смысл
независимо
tи
соответствует
от
(VIII. 39),
описанного
здесь способа изучения когерентных свойств поля с помощью
двух отверстий. Можно любым способом разделить световой пу­
чок от точечного источника на два пучка с интенсивностями / 1
и / 2 и осуществить задержку одного из них на время т относи­
тельно другого. Если затем соединить опять эти пучки и наблю­
дать в малой области около точки r усредненную по
интенсив­
ность результирующего поля, то эта интенсивность будет опи­
t
сываться формулой вида
(VII 1. 38),
корреляционная функция
-
формулой (VIII. 40), а коэффнниент частичной когерентности формулой (VIIl.39) с r1=r2=r. Функция Г(r, r, т) называется
автокорреляционной функцией поля в точке с радиусом-векто­
ром
r
в моменты
Коэффициент
t
и
t
+ т.
частичной
когерентности
удовлетворяет
нера-
венствам
O~lv(r1, r2, т)l~l.
Нижняя
граница
этих
неравенств
отвечает
полностью
некоrе­
рентному свету. для которого /(r)=f1(r)+/2(r), верхняя же
гrаница - полностью когерентному свету. За меру резкости ин­
терференuионных полос принимается видимость по Май1<ельсону:
в (r) =
120
lmax - /m1n
lmax+lmtn
1 (
= '\' Гt, Г2 '
't'
) 12 2 VJ;J;"
11+!2
(VIII, 41)
Положение максимумов усредненной интенсивности опрРде­
ляется условием
arg v (r 1, r 2, 't) = 2п:л,
п = О, ± 1, ± 2, ...
Если в поле когерентной световой волны находится не1<ото­
рый предмет, рассеивающий эту волну, то в области наложения
рассеянного поля на поле основной («опорной») волны обра­
зуется интерференционная картина, интенсивность которой в
каждой точке этой области зависит как от интенсивностей, так
и от разности фаз рассеянной II опорной волн. Эту кар гину мож­
но отобразить на фотопластинке, а затем использовать эту фо­
топластинку как дифракционную решетку, пропуская через нее
1югерентный свет. Интенсивность /' света, прошедшего через
проявленную фотопластинку в данной ее точке (х, у) при осве­
щении
/
пластинки
светом,
(х, у), пропорциональна
!' (х,
распределенным
с
интенсивностью
/ (х, у):
у)= Т (х, у)/ (х, у)
и зависит от степени почернения фотопластинки, характеризуе­
мой «пропусканием» Т (х, у). Пропускание зависит от интенсив­
ности / 0 (х, у) первичного поля, вызвавшего почернение, и от
контрастности фотоэмульсии, характеризуемой законом
Т (х, у) оо [/о, (х, у)Г"'2,
1·де
v-
коэффициент контрастности фотоэмульсии.
Фотопластинка, на которой изображена картина интерферен­
ции опорной волны с волной, рассеянной от предмета, называется
голограммой.
Оказывается,
что
при
пропускании
через
голо­
грамму когерентного света за нею образуется объемное изобра­
жение первоначального предмета. Процесс такого восстановле­
ния
первичного
волнового
поля
называется
голографией
(см., например, [99], [84]) и иллюстрируется задачами 495-499.
Приведем некоторые астрономические постоянные, исполь­
зуемые в решениях задач:
Среднее расстояние
Солнца
Диаметр Солнца
Световой год
Парсек
от Земли
до
1,50 · 108 км
1,39· 106 км
9,46. 10 12 км
30,8. 101 2 км
479. Вывести оценочное выражение (VIII. 34) для поперечной
длины
ные
11.
когерентности. Исходить из того, что интерференцион­
картины, создаваемые излучателями, находящимися в разных
121
·точках
протяженного
квазимонохроматическоrо
источника
-с поперечником L, не должны замазывать друг друга в преде­
лах области когерентности. Расстояние до источника R, длина
волны 'А.
480.
Вывести
вырождения
оценочную
формулу
(VIII.36)
для
параметра
6.
481. Квазимонохроматический источник имеет поперечный
размер L и испускает свет с длиной волны 'А. Оценить порядок
величины того телесного угла ЛQ, в котором его излучение ко­
герентно.
482.
Каковы поперечная и продольная длина, а также телес­
ный угол и объем когерентности
излучения, испускаемого
ато­
мами натрия, находящимися в атмосфере Солнца. Наблюдается
(на Земле) спектральная линия с длиной волны 'Ао=Б· 10-5 CJtt,
масса атома т
3,7 · 10- 2з. Главный вклад в ширину спектраль­
ной линии дает тепловое движение атомов (температура Т =
= 6000° К).
=
Указ ан и е. Доплеровская ширина спектральной линии
2
kT
'VD --v8л о2
т"'о
где
'
постоянная Больцмана ( см. зада чу 795).
Как изменятся результаты предыдущей задачи, если с
Земди наблюдается звезда типа Солнца, находящаяся на рас­
стоянии 10 световых лет?
484. Определить продольную и поперечную длины, а также
объем когерентности в непосредственной близости от квантового
оптического генератора, работающего на длине волны 'Ао =
=5- I0- 5 CJtt с разбросом частот Лv= 102 гц. Диаметр зеркал
D = 5 CJ,t.
485. Найти параметр вырождения 6 излучения абсолютно
k483.
черного тела, находящегося при температуре Т. Сделать чис­
ленные оценки для 'А= 1 CJtt и 'А=Б· 10-5 см при Т=273° и для
'А=Б-10- 5 c1,t при Т= 10 000°.
У к а з а н и е.
черного
Спектральная
/ =
v
где
плотность
энергии
излучения
тела
4лv 3 hro • - - - - -
2
с
2лhv
ехр~-
1
'
k = 1,38 • 10-16 эрг/град - постоянная Больцмана.
486. Найти параметр вырождения для квантового оптиче­
ского генератора, рассмотренного в задаче 484. Мощность излу­
чения 200 вт. Какой эффективной температуре отвечает это зна­
чение Ы
122
=
487. Связать автокорреляционную функцию Г(r, r, т) =
u(r, t)u*(r,t + т) со спектром мощности /(ffi) излучения. Ин-
тенсивность излучения 1 = и· (t) и (t) =
=
f 1 (ro) dro.
о
488. Найти автокорреляционную функцию излучения, если
линия испускания узкая и имеет прямоугольную форму в интер­
вале шириной Лrо около ro 0 . Интенсивность излучения /.
489. В интерференционном опыте Юнга наблюдается интер­
ференционная картина в области перекрытия пучков, дифраги­
ровавших на двух отверстиях (рис.
26).
О·шерстия расположены
х:у'
х,у
(О.О) z /
R
Рис.
26
на расстоянии D друг от друга в точках с координатами (О, О)
и (х, у). Источник света протяженный, его размер значительно
превышает D и он находится на расстоянии R от отверстий
:(R
D). Свет достаточно монохроматичен, так что для каж­
>>
дого из независимых излучателей выполняется условие времен­
ной когерентности. Выразить коэффициент частичной когерент­
ности через распределение интенсивности /(х,у) излучения по
поперечнику источника света.
490. Звездный интерферометр Майкельсона представляет со­
бой вариант интерференционной схемы Юнга, в которой рас­
стояние между отверстиями может изменяться. Найти зависи­
мость видимости В интерференционных полос в интерферометре
Майкельсона от расстояния D между отверстиями и от длины
во,)]НЬJ 'А для двух случаев.
а)
звезд,
Наблюдается
находящихся
двойная
на
звезда
угловом
-
система
расстоянии
а.
двух
друг
близких
от
друга.
Каждую из звезд можно рассматривать как точечный источник
света. Считать светимости обеих звезд одинаковыми.
123
б) Наблюдается одиночная звезда больших размеров с уrло­
'ВЫМ поперечником а (можно рассматривать эту звезду как рав­
НС'мерно излучающий диск).
В звездный интерферометр Майкельсона, рассмотренный
491.
в предыдущей задаче, поступает свет от двойной звезды или от
одиночной звезды больших размеров. При увеличении расстоя­
ния D между отверстиями видимость интерференционных полос
ослабевает и при некотором значении D = D 0 обращается в нуль.
Определить: а) расстояние р между 1юмпонентами двойной зве­
зды Капелла, находящейся от нас на расстоянии R = 44,6 све­
'l'овых лет, если D 0
70,8 см, а наблюдение ведется на длине
волны л.=5- IО- 5 см; б) диаметр d звезды Бетельгейзе, расстоя­
ние до которой составляет 652 световых года, если Do
720 см,
а л.=6· IО- 5 см.
Указ ан и е. Первы_й ненулевой корень функции Бесселя
11 (х) равен х 1 = 3.8317.
492. В интерферометре Брауна и Твисса (рис. 27) независимо
=
=
детектируются,
--генсивности
а
затем
света,
перемножаются
идущего
от
двух
и
регистрируются
удаленных
ин­
некогерентных
Jluнun
Умножитель
.Jиi!ержни
с
Ннтег{Юmор
Рис.
--гочечных
источников
или
от
27.
различных
точек
одного
протяжен­
ного источника. Волны, идущие от источников, можно считать
плоскими (волновые векторы k 1 и k2), их амплитуды и фазы
флуктуируют случайным образом. По1<азать, что с помощью ин7ерферометра Брауна и Твисса можно путем наблюдения кор­
реляции
между
493.
между
интенсивностями
измерять
угловое
расстояние
источниками.
Плоская волна (длина волны л) падает почти нормально
на боковую поверхность тонкой призмы с углом а<<
l
при вер­
шине и показателем преломления п. Найти зависимость от х
124
f(рис.
28,
а) фазового сдвига, который приобретает волна в пло­
ском слое ABCD, часть которого занята призмой.
494. Плоская волна падает на тонкую собирающую или рас­
сеивающую линзу с радиусами кривизны R1, R2 и показателем
IJ
---,в
б)
а)
Рис.
28.
Рис.
29.
11рело~ления п (рис. 28, 6). Длина во.11ны "л, угол между во.11но­
вым вектором и оптической осью линзы мал. Найти зависимость
O'I х фазового сдвига, приобретаемого волной в плоском слое
ABCD,
495.
часть которого занята линзой.
Монохроматическая п.11оская волна (длина волны л) от
квантового оптического генератора падает на бизеркало Фре­
яеля
(рис.
29)
с
углом
{}~ l
между
плоскостями зеркал.
125
В области перекрытия двух плоских волн, идущих от бпзеркала,
образуется интерференционное волновое поле. На фотопластин­
ке, помещенной в эту область и образующей угол ,О,1
«l
с фрон­
том одной из волн, возникает система прозрачных и темных
интерференционных полос. Какое волновое поле образуется за
этой фотопластинкой, если после проявления пропустить сквозь
нее нормально к поверхности плоскую волну от того же самого
оптического генератора?
496.
Плоская
монохроматическая
волна
проходит одновре­
менно через призму и отверстие в непрозрачном экране, находя­
f
щемся на расстоянии
(рис. 30). Призма тонкая, преломляю­
щий угол а
1, а показатель преломления ее вещества п. На
«
.х
1/lронт
ilt11pfZuгupot!ot!шeti
tJшшы
z
1/lронт олорноtJ
t!олны
Рис.
30.
фотопластинке возникает некоторое
распределение
интенсивно­
сти поля за счет интерференции между «опорной» плоской вол­
ной (часть волны, прошедшая через призму и отклоненная вниз)
и волной, дифрагировавшей на отверстии (угол дифракции счи­
тать малым). Найти это распределение.
497.
Найти
распределение
пропускания Т (х)
сквозь голо­
грамму, полученную в условиях, описанных в предыдущей за­
даче. Считать при этом, что при создании голограммы интенсив­
ность опорной волны была велика по сравнению с интенсив­
ностью волны,
прошедшей сквозь отверстие. Проследить за
процессом
восстановления
первоначальных
волновых
фронтов
при пропускании через эту голограмму нормально падающей пло·
екай монохроматической волны ио = А~ ехр [i (kz - rot)] (дл ша
126
волны та же, что и у первичной волны). В частности, проследить
за возникновением точечного изображения первоначального от­
верстия.
Указ ан и е. Волновое поле за голограммой можно получить
простым умножением падающей на голограмму волны и 0 (х) на
пропускание Т (х). Для интерпретации получившегося выраже­
ния следует обратиться к решениям задач 493, 494.
498. На установке, рассмотренной в задачах 496, 497, полу­
чается голограмма двух отверстий, находящихся на расстоянии
2D друг от друга в плоскости призмы. По этой голограмме вос­
станавлпвается изображение двух отверстий. Найти это изобра­
жение и выяснить, в каком случае оно будет увеличенным.
Указ ан и е. Голограмму можно освещать при восстановле­
нии изображения светом с длиной волны 'А', не совпадающей с
-той 'Л, которая применялась при получении голограммы.
499.
Определить разрешающую способность голограммы, ко­
-торая получена l!a установке типа, рассмотренного в задаче 496.
Голограмма выполнена на фотопластинке с размером зерен
эмульсии
d.
§ 5.
Дифракция рентгеновых лучей
При рассмотрении рассеяния рентгеновых лучей на макро­
скопических телах существенным является то обстоятельство,
что длина волны 'А сравнима с размерами а атомов. В конден­
сированных
средах
тот
же
порядок
величины
имеют
межатом­
ные расстояния, в газах эти расстояния много больше а. Вслед­
ствие этого становится невозможным усреднение по физически
малым элементам объема, содержащим много атомов. Однако
в том случае, когда частота рентгеновых лучей велика по срав­
нению с характерными атомными частотами Ыат ,..., Vат/с, элек1 роны среды можно рассматривать как свободные. Так как для
свободных (к тому же нерелятивистских) электронов уравнения
движения
во
внешнем
электромагнитном
поле
легко
интегри­
руются, то может быть вычислен наведенный полем ток и опре­
делена
нат
диэлектрическая
проницаемость,
зависящая
от
коорди-
r:
8
(r) = 1 - 4:пе2п (г) .
mro 2
Здесь
n(r) -
(VIII. 42)
концентрация электронов в теле, определяемая за­
конами
квантовой
механики, усредненная по равновесному
статистическому распределению состояний теплового движения
атомов.
Уравнения Максвелла имеют свой обычный вид (VIII. 1)(VIII. 4) с диэлектрической проницаемостью (VIII. 42) и магнит­
ной проницаемостью µ = 1, если 4:ле 2 п/ты 2 ~ 1.
127
Пусть на некоторое тело конечной протяженности падает
шюская волна Ео ехр [i (kor - ffii)] рентгеновой частоты ffi
ffiaт·
Для того чтобы падающее излучение можно было рассматри­
>>
вать
как
плоскую
поляризованную
волну,
необходимо,
чтобы
размеры тела бьти малы по сравнению с длиной когерентно­
с1и *). При этом дифференциальное сечение рассеяния линейно
поляризованной волны (определение
этой главы) иl\lеет вид
§ 3
da =
г~ sin2 е
If п
понятия
сечения
(r) ехр [iq · r] dV / dQ,
дано
в
(VI 11. 4З)
2
где ro = е 2 /тс 2 - классическиi, радиус электрона, k - волновой
вектор рассеянной волны, k=ko=ffi/c, е -угол между Е 0 и k,
dQ - элемент те.1есного угла направлений k, q = k0 - k- пере­
данный во.rшовый вектор. Величина q связана с углом it рассея­
ния во.1ны
(угол между
и
k0
ro
формулой
k)
•
4л
t}
•
t}
q = 2 -SIП-=-sшc
2
Л
2 •
(VIII. 44)
Сечение рассеяния неполяризованной рентгеновой волны
da =
~
r6(l
f
+ cos 2 it) / п (г) ехр [iq · r] dV /
2
Условием применимости формул
dQ.
(VIII. 45)
(VIII. 43), (\,'111. 45) является
da было мало по cpaв­
требование, чтобы по.rшое сечение а=
f
(4nJ
нению с площадью поперечного сечения образца в целом.
В случае дифракции рентгеновых лучей на идеальном моно­
кристалле сечения
резких
(VIII. 43)
максимумов,
или
положение
(VIII. 45)
которых
обнаруживают ряд
определяется
уравне­
нием Лауэ
ko-k =2лg,
где
g-
(VIII. 46)
векторы обратной решетки. Если элементарная кристал­
лическая ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда
с ребрами а1, а2, аз, то
где п 1 , п 2 , п 3 -
произвольные целые числа.
Если интеграл того вида, который входит в (VIII. 43) или
(VIII. 45), берется по объему Va одного атома, то он называется
атомным формфактором:
Fa(q)=
f na(r)exp[iq · r]dV.
Уа
"'1
128
Определение длины коrереитности см. в
§4
этой rлавы.
(VIII.47)
Атомный формфактор представляет собой просто 1юмпоненту
Фурье от распределения па (1") электронов в атоме и через него
можно с помощью обратного преобразования Фурье выразить
па (r).
Подробнее вопрос о дифракции рентгеновых лучей рассмот­
рен, например, в
500.
(63], (66].
Выяснить,
при
каких условиях
сечение
рассеяния
рент­
геновых лучей на телах конечной протяженности принимает вид
сечения рассеяния на свободных зарядах (формула Томсона).
Написать соответствующие выражения для сечений. Число ато­
мов в теле N, число электронов в каждом атоме Z.
501. Распределение электронной концентрации в Z-электрон-
ном атоме аппроксимируется выражением па (r) = n0 a ехр [ - : ] ,
где
n0 a = Z/na 3 ,
а=
a0/Z''•, ao=0,529- I0-8
см
-
боровский
диус. Найти дифференциальное сечение рассеяния волны
генового диапазона на одноатомном газе, содержащем
N
ра­
рент­
атомов,
считая распределение атомов совершенно хаотическим.
502. Найти сечение рассеянпя рентгеновых лучей на объеме
газа, содержащем N двухатомных молекул. Атомы в молекуле
одинаковы и находятся
от друга.
Принять,
что
на
в состав молекулы, тот же,
503.
объеме
фиксированном
формфактор
расстоянии
Fa(q)
R
друг
атома, входящего
что и у изолированного атома.
Как изменится сечение рассеяния рентгеновых лучей на
газа
из
двухатомных
молекул,
рассмотренном
в
пре~
дыдущей задаче, если учесть тепловые колебания атомов в мо­
лекуле.
Указ ан и е. Считать, что расстояния R между атомами рас­
пределены около среднего значения Ro» Ь по закону
dW х =
=
..1rЬr п
ратура,
ехр [- ~] dx, где х = R-R0 , Ь =--. /
~
V
µ-
приведенная масса, ffi -
2kT ,
µ~
Т- темпе-
частота собственных коле­
баний атомов в молекуле.
504.
Вульфа
Вывести уравнение Лауэ
(VIII. 46) и ус:ювие Брэгга k sin (tt/2) =n I g 1, где \ g 1- длина вектора обратной ре­
шетки, рассматривая интерференцию волн, рассеянных
дельных центрах идеальной кристаллической решетки.
505.
на от­
Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на идеаль­
ном монокристалле, состоящем из
факторами
N одинаковых атомов с форм­
Fa(q) (считать, что эти формфакторы те же, что и
в случае изолированных атомов). Элементарная ячейка имеет
форму куба с ребром а, кристалл имеет форму прямоугольного
параллелепипеда с ребрами L1, L 2 , L3 , параллельными ребрам
элементарной ячейки. Определить положение главных максиму­
мов, убедиться в выполнении уравнения Лауэ (VIII. 46). Найти
величину сечения в этих максимумах.
9
В. В. Батыгнн, И. Н. Топтыгин
129
506. Кристалл состоит из кубических элементарных ячеек
с ребром а и имеет форму прямой призмы с прямоугольным
равнобедренным треугольником в основании (катеты основания
L, =L 2 , боковое ребро L3 ). Определить положения главных мак­
симумов, найти величину сечения в этих максимумах.
507. Найти распределение интенсивности в дифракционном
пятне вблизи одного из главных максимумов при рассеянии рент­
геновых лучей на монокристалле, рассмотренном в задаче
Волновой
ребру
мума
L3 ,
и
вектор
а
k» 1/а.
полное
падающих
рентгеновых
лучей
505.
пара.11лелен
Определить ширину дифраюшонного макси­
сечение,
отвечающее
рассеянию
п
пределах
од­
ного дифракционного пятна.
508. Вычислить распределение интенсивности в дифракцион­
ном пятне вокруг главного максимума при произвольном направ­
лении падения и произвольном соотношении между k и 1/а.
Рентгеновы лучи рассеиваются на монокристалле, имеющем
форму прямоугольного параллелепипеда с
еб ами L 1, L 2, L 3
(см. задачу 505).
509. Решить предыдущую задачу для случая рассеяния на
монокристаллическом образце шарообразной формы (радиус R).
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65, 66], Борн М. [16]. Бейтмен Г. [Ю],
Тамм И. Е. [Юl], Зоммерфельд А. [55]. Френкель Я. И. [111], Стрэттон Дж. А.
[НЮ], Смайт В. [93], Джексон Дж. [52], Альперт Я. Л., Гинзбург В. Л., Фейн­
берг Е. Л. [3], Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., К:аганов М. И. [5], Власов А. А.
{25], Пановский В., Филипе М. [86], Вайнштейн Л. А. [23], Гуревич А. Г. [48],
Шифрин К:. С. [116], Рухадэе А. А., Силин В. П. [90], Борн М., Вольф Э. [18],
Микаэлян А. Л. [78], Горелик Г. С. [43], Эйхенвальд А. А. [118], Альв~н Х.,
Фельтхаммар К Г. [2], Компанеец А. С. [60], Гинзбург В. Л., Мотулевич Г. П.
[34], Гольдштейн Л. Д., Зернов Н В. [42J, Строук Дж. [99], О'Нейл Э. [84],
Вольф Э., Мандель Л. [27], К:ривоrлаз М. А. [63], Франсон М., Слан­
ский с. [120].
ГЛАВА
IX
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В
ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ
Часть пространства, ограниченная со всех сторон металличе­
сю1ми стенками, называется полым резонатором. В резонаторе
может
существовать
частотами
ro
система
стоячих
волн
с
определенными
(собственными частотами резонатора). Эта система
волн определяется (в случае не заполненного диэ,11ектриком резо­
натора с идеально проводящими стенками) путем решенпя урав­
нений
ro2
ЛЕ+2 Е=О,
с
(IX. 1)
divE =0
с граничным условием
(IX. 2)
Собственные функции резонатора Ev~*), отвечающие различ­
ным собственным частотам rov, взаимно ·ортогональны. Собствен­
ные функции, соответствующие одной и той же частоте (их мо­
жет быть несколько- см. задачи 529, 531), также можно вы­
брать взаимно ортогональными. Условимся нормировать их
на 4л:
J Ev' · EvdV =
4л6vv',
(IX. 3)
где интегра,11 берется по объему резонатора. Этому же условию
удовлетворяют собственные функции Hv, которые выражаются
через Ev с помощью уравнений Максвелла.
Вследствие потерь энергии в стенках или в веществе, запол­
няющем резонатор,
а
также
излучения
энергии
во внешнее
про­
странство, свободные колебания реальных резонаторов являются
затухающими. Потери энергии данного типа колебаний характе­
ризуются добротностью
Q
"
*) Значком
v
Qv,
= rovWv
Pv
обозначена
которая определяется отношением
(IX. 4)
или
совокупность
четырех
величин,
однозначно
определяющих собственный тип колебаний («моду») резонатора.
9*
131
Здесь
Wv
времени)
энергия, запасенная в резонаторе; Р v
-
мощность потерь;
резонансная
&v -
-
средняя (по
частота, которая
может отличаться от резонансной частоты идеального резонато­
ра;
Yv -
декремент затухания.
В отличие от резонатора, волновод представляет собою по­
лость (трубу) неограниченной длины. Вдоль оси волновода
(ось
z)
возможно распространение бегущих волн. в поперечном
направлении
волна
является
стоячей. В
общем
случае
волны
в волноводе не являются поперечными. Волны, у которых
Hz=O, называются во.тшюш электрического
Ez=O - волнами магнитного типа. Только
типа, волны с
Ez+O,
Hz+O,
в волноводах с не­
односвязной формой поперечного сечения возможны чисто попе­
речные электромагнитные волны.
Типы волн, которые могут распространяться в данном волно­
воде,
определяются
путем
решения уравнений Максвелла
при
соответствующих граничных условиях. Волна, бегущая вдоль оси
волновода, описывается функциями:
Е
(r, t) = 8 (х, у) ехр [i (kz - rot)],
Здесь
ro -
частота волны,
k-
Н
(r, t)
=
U (х, у) ехр [i (kz - rot)].
составляющая волнового вектора
в направлении оси волновода. Величину
стоянной распространения.
k
называют также по­
В случае волн электрического типа (Е-волн)
d6'z=O,
а
lffz
удо­
влетворяет уравнению
(IX. 5)
rде
x 2=ro 2Eµ/c 2 - k 2 ,
вектора, Е и
µ-
х
-
поперечная
составляющая
волнового
проницаемости диэлектрика, заполняющего вол­
новод, и граничному условию
Фz= О
(IX.6)
на стенке волновода.
В случае волн магнитного типа
(Н-волн)
lffz=O,
а
ci'6'z
яв­
ляется решением уравнения
(IX. 7)
удовлетворяющим граничному условию
Ш',:=0
или
д<!!еz = О
дп
(IX. 8)
на стенке волновода.
В
уравнениях
(IX. 5)
и
Лапласа. Граничные условия
вы
только
для
волноводов
с
(IX. 7) Л - двумерный оператор
(IX. 6) и (IX. 8) строго справедли­
идеально
Поперечные составляющие векторов
проводящими стенками.
8 и U могут быть вы­
ражены с помощью уравнений Максвелла через продольные со­
ставляющие этих векторов.
132
Е- или Н-волна заданного типа (т. е. с определенным значе­
RИем х) может распространяться в волноведе с односвязной фор­
мой сечения только в том случае, если ее частота больше некото­
рой граничной частоты ffio. Соответствующая «длина волны в ва­
кууме» 'Ao=2nc/ffio - порядка линейного размера сечения волно­
вода. При ffi<ffio постоянная распространения k становится чисто
мнимой, поэтому распространение волны невозможно. Однако и
при ffi>ffi k в общем с.'1учае комп.1ексно.
Это
связано
проводимость,
с
тем,
поэтому
что
в
стенки
них
волновода
имеют
конечную
происходит диссипация
энергии
и
электромагнитная волна затухает по закону e-az. Коэффициент
затухания а (мнимая часть k) равен отношению энергии, дисси­
пируемой в единицу времени в стенках волновода на единице его
длины, к удвоенному потоку энергии вдоль волновода. В случае,
когда поверхностный импеданс
~=~'+i~"
стенок мал, можно по­
.лучить приближенные выражения коэффициента затухания для
Е-волн:
~1vizl 2 dl
ro~'
а=--·
f
2xkc
(IX. 9)
I iz 12 dS
и для Н-волн:
~ [ 1 &{}z 12 + (k2 /x 4) 1 V&{}z 12 )
сх2~,
f
а=--·
2kw
Здесь
fff z
и ;/Gz -
dl
(IX. 10)
2
1 &{}z / dS
компоненты полей, вычисленные при
~=0
{т. е. в предположении идеальной проводимости стенок волно­
вода), dl - элемент контура поперечного
элемент площади этого сечения.
сечения
волновода,
.d.S -
510. Определить типы волн, которые могут распространяться
в
прямоугольном
волноводе
с
идеально
проводящими
стенками
(длины сторон а, Ь). Найтп для них закон дисперсии и конфигу­
рации полей (т. е. зависимость компонент поля от координат).
511. Определить коэффициенты затухания а разных типов
волн в прямоугольном волноводе. Поверхностный импеданс сте­
нок волновода ~ задан.
512. Бесконечно протяженный диэлектрический слой запол­
няет в вакууме область - а-<.х-<.а и имеет проницаемости в и µ.
Показать, что такой слой может действовать как волновод (для
этого нужно, чтобы поле бегущей электромагнитной волны кон­
в основном, внутри слоя). Определить типы
центрировалось,
волн, которые могут распространяться в таком волноводе. Огра­
ничиться
случаем,
когда
векторы
поля
не
зависят
от
коорди­
наты у.
133
Диэлектрический слой с проницаемостями е,
513.
няющий об.1асть О-<х-<а, нанесен
проводника. В области х>а
µ,
запол­
на поверхность идеального
вакуум. Какие типы э.r1ектромаг­
-
нитных во.1н с амплитудой, убывающей при удалении от слоя.
могут распространяться вдоль слоя? Сравнить возможные типы
волн с системой волн, полученной в предыдущей задаче.
Найти возможные типы волн в круглом волноводе ра­
514.
диуса а, считая его стенки идеально проводящими. Определить
граничную частоту
Используя
ffio
для такого волновода.
найти коэф­
фициенты затухания а разных типов волн в круглом волноводе.
515.
резу.1ьтат предыдущей задачи,
Поверхностный импеданс стенок ~ задан.
Определить фазовую Vq, и групповую Vg скорости волн
516.
в прямоугольном и круглом волноводах с идеально проводящш,ш
стенками. Построить их зависимость от 'A=2лc/ffi.
517. Определить фазовую Vq, и групповую Vg скорости волн
в
волноводе
геометрическим
методом.
Для
этого
рассмотреть
простейшую волну типа Н10 в прямоугольном волноводе, разло­
жить
ее
на
плоские волны
и
исследовать
отражение
этих
волн
от стенок волновода.
518.
Исследовать
структуру
поперечной
электромагнитной
волны в идеально проводящей коаксиальной линии
(большой и
малый радиусы соответственно Ь и а). Подсчитать средний по­
ток энергии
вдоль линии. Рассмотреть предельный случай оди­
v
ночного идеально проводящего провода.
519.
нитных
Определить возможные типы непоперечных электромаг­
волн
в
коаксиальной
линии
с
идеально
проводящими
стенками (радиусы а и Ь>а).
520. Определить коэффициент затухания а поперечной элек­
тромагнитной волны в 1юаксиальной линии. Заданы радиусы а,
Ь>а и поверхностный импеданс
y
~=~'+i~"-
к аз ан и е. Использовать приведенное в начале главы опре­
деление коэффициента затухания через потери энергии.
521*.
Рассмотреть распространение аксиально симметричной
волны электрического типа вдоль одиночного бесконечно длинно­
го цилиндрического проводника с конечной проводимостью, на­
ходящегося в вакууме. Определить фазовую скорость волны. По~
казать, что в случае идеально проводящего провода волна перей­
дет в поперечную электромагнитную волну (см. задачу 518).
Использовать приближенное граничное условие Леонтовича ( см.
VIII.10).
522. Аксиально
симметричная Е-волна распространяется в
круглом волноводе радиуса Ь, частично заполненном диэлектри­
ком.
Диэлектрик
имеет
проницаемость в и
занимает область
а-<г-<Ь. Считая а~Ь. определить зависимость фазовой скорости
от частоты и граничную частоту. При каких условиях фазовая
134
·скорость будет меньше с? Рассмотреть nреде.1ьный случай вол­
новода, полностью заполненного диэлектриком.
523. Между двумя идеа.11ьно проводящими плоскостями
х= ±а (рис. 31, а) помещена в плоскости у=О лестничная пере­
городка (рис. 31, 6), состоящая нз тонких метаЛJшческнх поло­
сок, ориентированных вдоль оси х. Расстояния между полосками
и их ширина малы по сравнению с дJiиной волны. Область у>О
над лестничной перегородкой заполнена диэлектриком с прони­
цаемостью 8, в области у<О- воздух. Найти возможные типы
у
'///
///,
V///,
V///,
о
о
//
//,
.х
.//,!&/.
//
:с
///,
///,
а)
ь)
Рис.
z
31.
бегущих волн, которые могут распространяться в такой системе
вдоль оси z. Как связана постоянная распространения этих волн
с частотой?
У к а з а н и е. Лестничную перегородку для достаточно длин­
ных
волн
можно
nлоскость,
рассматривать
проводимость
нечна, а в направлении
524.
и
z
которой
как
в
анизотропно
направлении
проводящую
оси
х беско­
равна нулю.
Прямоугольный волновод с поперечным сечением ахЬ
идеально
проводящими
стенками
заполнен
ферродиэ.1ектри­
ком. Постоянное магнитное поле приложено перпендикулярно
широкой стенке волновода (вдоль оси у). Тензоры электрической
и магнитной проницаемостей ферродиэлектрнка имеют вид
8ik =
с
о
~
8
l8a
о
11
- re.
о
1
8.L /
,
-~·)
с
о
µik =
о
µ11
iµa
О
µ.L
135
·(ер. с результатом задачи
331).
Определить составляющие элек­
тромагнитного поля, постоянную распространения и граничную
частоту волновода для случая, когда
поле не зависит от у.
525. Электрическое и магнитное поля в волноводе с идеально
проводящими
стенками,
не содержащем
диэлектрика,
описы ...
ваются функциями
Е0 =
8 0 (х,
у) ехр
[i (k0z - rot)],
Н 0 = :Ко (х, у) ехр
[i (koZ - rot)].
Если в волновод вставить диэлектрическиi'I сердечник, имеющий
форму цилиндра произвольного сечения с осью, параллельной
оси волновода, то поля в волноводе примут вид
Е
= 8 (х,
у) ехр
[i (kz - rot)],
Н
= :К (х,
у) ехр
[i (kz - rot)].
Диэлектрик в общем случае может характеризоваться тензор­
ными параметрами Eik, µik· Показать с помощью уравнений
Максвелла, что постоянная распространения изменится нr
и­
чину
f (лeik"iki~i+Лµik"QJ'i'kcll'В~;)ds
ko = - - - , - - - - - - - - - - - с f [(8~Х ~)+(8 Х '.К~)]·ezdS
ro
Лk
=k-
ЛS
s
где Ле;k
= E;k -б;k,
Лµik
= µ;k -бik,
интеграл в числителе берется
по площади сечения диэлектрического стержня
в знаменателе - по площади сечения волновода
526.
В
прямоугольный
волновод с
(ЛS), интеграл
(S).
идеально
проводящими
стенками вносится ферродиэлектрическая пластинка толщиной­
d<<а, намагниченная вдоль оси волновода (рис. 32). Пользуясь
Рис.
Рис.
32.
33.
формулой, полученной в предыдущей задаче, определить с точ­
ностью до членов порядка
d изменение Лk постоянной распро­
странения волны типа Н 10 • Диэлектрическая проницаемо,·т•, пла-­
стинки - скалярная величина, тензор ее магнитной щюницае­
мости приведен в условии задачи
136
435.
527.
В
коаксиальный
волновод
(рис.
33)
вставлена
тонкая
ферритовая пластина (d<<a, Ь), намагниченная вдоль оси вол­
новода. Определить измен~ние Лk постоянной распространения
поперечной электромагнитной волны.
Указ ан и е. Амплитуды возмущенных полей определить та­
ким же методом, как и в предыдущей задаче.
528.
Решить предыдущую задачу для случая, когда постоян­
ное подмагничивающее поле Н 0 направлено перпендикулярно
оси волновода. Рассмотреть два направления этого поля: а) Н 0
перпендикулярно широкой грани п.1астинки; б) Н 0 перпендику­
лярно узкой грани пластинки.
529. Определить собственные частоты колебаний и нормиро­
ванные собственные функции полого резонатора с идеально про­
водящими стенками. Резонатор имеет форму прямоугольного
парал.1елепипеда, его размеры а Х Ь Х h. Собственные функции вы­
брать таким образом, чтобы все они бьши взаимно ортогональны.
530. Определить число собственных колебаний ЛN (ro), прихо­
дящихся на интервал частот Лrо в полом резонаторе объема V,
рассмотренном в предыдущей задаче. Считать, что выполняются
неравенства Лrо
« ro и ЛN>> 1.
Резонатор имеет форму прямого кругового цилиндра
высотой li и радиуса а. Считая стенки резонатора идеально про­
водящими, найти частоты собственных колебаний и собственные
функции. Рассмотреть ко.1ебания элек­
531.
трического
532.
и
Две
магнитного
круглые
типов.
металлические
пластинки радиуса R находятся на
малом расстоянии d друг от друга, об­
разуя конденсатор. Обкладки конден­
сатора
замкнуты
проводником
толщи­
ной 2а, имеющим форму кольца ра­
диуса Ь (рис. 34). Найти собственную
частоту колебаний такого «открытого
резонатора»,
предполагая
Рис. 34.
примени-
мым квазистационарное приближение. Все проводники считать
идеально проводящими.
533.
Найти собственную частоту
браженной на рис.
35,
ro 0
предполагая,
колебаний системы, изо­
что
соответствующая ей
длина волны л 0 велика по сравнению с размерами системы. По­
терями энергии и краевыми эффектами пренебречь.
534. Для уменьшения потерь энергии на излучение вместо
{)ТКрытого колебательного контура (см. рис. 34) исподьзуют за­
крытый резонатор, состоящий из соединенных вместе тороидаль­
ной камеры и плоского конденсатора с круглыми пластинами
(его разрез и размеры показаны на рис.
частоту
roo
36). Найти собственную
основного типа колебаний такого резонатора в квази­
стационарном
приближении.
При
каких
условиях
применимо
137
Рис.
Рис.
35.
36.
2о
d
ь
Р11с.
138
37.
--J
Рис. З
"Такое приближение? Стенки резонатора считать идеально про­
водящими.
535. Решить предыдущую задачу для торопдального резона­
'Тора с камерой прямоугольного сечения (рпс. 37).
536. Резонатор представляет собой ци.1индр кругового сече­
ния -(внутренний радиус Ь, высота h), вдоль оси которого встав­
.лен идеально проводящий стержень радиуса а (рис. 38). Стенки
цилиндра также обладают идеальной проводимостью. Между
стержнем и одним из торцов цилиндра оставлен зазор d. Найти
собственные частоты поперечных относительно оси системы элек­
тромагнитных колебаний, считая, что длина волны этих - коле­
баний много больше зазора d (но не высоты li цилиндра). Как
изменится спектр колебаний при d-+ О?
537. Известны собственные частоты колебаний (t)v и собствен­
ные функции Ev, Hv резонатора с идеально проводящими стен­
ками. Вычислить изменение собственных частот, вызванное ко­
нечной проводимостью стено1< резонатора. Поверхностный импе­
данс ~ стенок мал.
Указ а ни е.
Искать решение уравнений .Ма1<свелла в виде
Е (r, t) = ~ q" (t) Ev (r),
Н (r, t) = ~ Pv (t) Hv (r),
"
rде
для
qv и Pv qv и Pv с
"
неизвестные функции времени. Вывести уравнения
точностью до членов, линейных по ~ и исследовать
их решения.
538.
Полый резонатор имеет форму куба со стороной а. Про­
водимость стенок а, магнитная проницае111ость 11 = 1. Вычислпть
добротность резонатора для произвольного типа колебаний. Как
она зависит от частоты? При каких частотах резонансные свой­
ства системы исчезнут?
539. Полый резонатор, стенки которого имеют поверхностный
импеданс ~. возбуждается сторонним током j (r) е-iщ, текущпм
внутри резонатора. Частота тока (•J близка
к одной из собственных частот резонатора.
Найти электромагнитное поле, возбуждае­
мое в
резонаторе,
и
его
зависимость
от
1
ча­
стоты (•J вб.11изи резонанса.
Указ ан и е.
Использовать
шения, развитый в задаче
метод
ре­
537.
540. Открытый резонатор инфракрасно­
го диапазона состоит из двух параллельных
круглых зеркал диаметром D. находящих­
ся
на
расстоянии
L друг против друга
(рис.
39). Пусть собственное колебание та­
!)
Рис.
39.
кой системы реализуется в виде двух волн с 'A<f::.L, D, распро­
страняющихся
перпендикулярно
плоскостям
зеркал
навстречу
друг другу н образующих стоячую электромагнитную волну.
1:19
Оценить по порядку величины дооротность такого резонатора
в приближении геометрической оптики. Учесть потери энергии
при отражениях от зерка.rr (коэффициент отражения R) и излу­
чение через боковую поверхность резонатора за счет дифракции.
Параметры резонатора: D
L = l см; R 0,95; л 3 · tО--4 см.
541. Зеркала открытого резонатора, рассмотренного в преды­
дущей задаче, слегка непараллельны. Угол между их плоско­
стями
1. Оценить дополнительные потери иа излучение и
=
=
=
/3«:
соответствующий вклад в добротность резонатора, обусловлен"
ный непараллельностью зеркал. Какие значения угла
стимы без
/3
допу"
существенного уменьшения полной добротности
ре"
зонатора?
542.
В резонаторе, образованном двумя параллельными зер­
калами (см. рис.
39),
собственные колебания с
'A«:L, D
осуще­
ствляются в виде стоячих волн в пространстве между зеркалами.
Рассмотреть
тот
тип
колебаний,
в
котором
~тоячей волны составляет малый угол
стям
tt
волновой
вектор
с нормалью к плоско­
зеркал.
а) На11ти условие, определяющее возможные ,шачения
заданной л.
tt
при
б) Оценить по порядку ве.1ичины добротность резонатора как
функцию угла ,О,. Рассмотреть различные соотношения между по­
терями в зеркалах и потерями на излучение.
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Вайнштейн Л. А. [23], Гуревич А. Г.
[47, 48], де-Бройль Л. (51), lt~ексон Дж. {52], Гольдштейн'Л. Д., Зернов Н. В.
[42], Пановский В., Фпmшс М. f86], Ахиезер А. И., Файнберr Я. Б. [7], Пе+
труньюш В. Ю. [88], Басов М. Г., К:рохин О. Н., Попов Ю. М. [9].
ГЛАВАХ
СП СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1.
Преобразования Лоренца
К.оорJ.:»ординаты и время в двух инерuиальных системах отсчета
S и S' с·:;;, связаны между собой формулами преобразования Ло­
ренца:
1:
х
x=v(x'+Vt'), у=у', z=z', t=v(t'+
(соотвенmетствующие
оси координат систем
S
и
~~')*)
S'
(Х.1)
параллельны
между се~ собой, относительная скорость направлена вдоль оси Ох
и при l=, l=l'=O начала координат S и S' совпадают). Обратные
преобраз! разования Лоренца получаются как здесь, так и во всех
других с<х случаях (например, в формулах (Х.
нием зна :знака скорости
4),
(Х.
11))
измене­
V:
x'=v(x-Vt), у'=у, z'=z, t'=v(t - ~:).
(Х.
2)
Велич~личины x 0 =cl, х 1 =х, х2 =У, x 3 =z являются координатами
мировой 1аой точки
(Х.
x;=(ct,r).
3)
Венки~ якие четыре величины А 0, А 1 , А 2, Аз, преобразующиеся при
переходе rоде от одной инерциальной системы отсчета к другой как
координаuшаты и время, т. е. по формулам
Ао = V ,= v (А~+ ~А~).
А1 =
v (А; + ~А~).
А 2 = л;,
Аз= А;
(Х. 4)
образу!°1.:уют четырехмерный вектор (4-вектор) Ai, i=O, 1, 2, 3. Трех­
мерныи Б,:,1й вектор А= (А 1 , А 2 , Аз) называют пространственной, а ве­
личину l11y А 0 -
временной составляющими 4-вектора
Ai.
"') В э В этой и следующих главах применяются обозначению
V
1
р = ~ и v= J,r 1 - р2 •
где V - ею._ скорость системы S' относительно системы S,
141
Скалярное произведение двух четырехмерных векторов опре­
деляется следующим образом:
AiB,
= АоВо-А 1 В1-А2В2-АзВз.
Как и раньше (см. гл.
дважды
1),
(Х. 5)
будем подразумевать суммирование по
повторяющемуся
индексу,
который
теперь
принимает
значения О, 1, 2, 3. При этом слагаемое с индексом О берется
со знаком плюс, а слагаемые с индексами 1, 2, 3 - со знаком
минус. Этим правилом знаков при суммировании будем пользо­
ваться и в дальнейшем.
(Х.
Квадраты 4-векторов А~, определенные в соответствии с
5), и их скалярные произведения AiBi имеют одинаковые
значения во всех инерциальных системах отсчета (инвариантны
относительно преобразований Лоренца). 4-вектор А; называется
пространственноподобным,
если А;>О.
если
А~< О,
и
времениподобным,
Инвариантная величина
S12 = [с2 (t J - f2)2 - (r1 - Г2)2 ]
112
(Х. 6)
называется интервалом между двумя событиями с координатами
(r1, f1) и (r2, f2).
Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с дан­
ным объектом, называется собственным вре~1енем этого объекта.
Если объект движется относительно системы S со скоростью V,
то интервал собственного времени dт выражается через проме­
жуток времени dt в системе S по формуле
dт = dt } 1 l - V 2/cZ.
Величина dt
VI - ~
2
(У. 7)
является инвариантом преобразования Ло­
ренца.
Если
некоторый стержень имеет д.JJину
покоя, то при движении со скоростью
v
lo
в своей системе
вдоль своей оси тот же
стержень имеет в неподвижной системе длину
l = 10 ir l Четырехмерной скоростью
(Х. 8)
v2/c 2•
( 4-скоростью)
частицы называется
4-вектор, компоненты которого определяются формулой
ui = : ; = (.11
где
v=dr/dt -
~ v2/c2 '
(Х. 9)
111 :v2/c2 ).
обычная скорость частицы. Из (Х.
9)
очевидно, что
и?= с •
2
4-скорость,
мулам (Х.
142
4),
как и
всякий
'
4-вектор,
(Х.
преобразуется
10)
по фор­
К.омпоненты обычной скорости не являются
ными составляющими какого-либо 4-вектора и
по формулам
пространствен­
преобразуются
(Vllx):
(Х.
Если скорость частицы составляет с осью х углы
стемах
S
и
S'
tg tt =
соответственно, то
v' Y 1 - V 2 /c 2 sin ,fi,'
v' cos ,fi,' + V
Четырехмерным
v' =
ускорением
v
частицы
2
v~
tt
и
+ v~ + v~
2
2
называется
tt'
в си­
(Х.
•
11)
12)
4-вектор
с компонентами
(Х.
13)
Волновой вектор k и частота w плоской электромагнитной
волны являются компонентами волнового 4-вектора .ki:
(Х.
14)
Поэтому фаза плоской волны (f)=-kixi является инвариантом.
Из формул (Х. 4) следуют формулы преобразования угла
tt,
составляемого световым лучом с осью х:
sin ,о.'
(Х. 15)
Задачи на преобразование Лоренца для энергии,
импульса
и силы собраны в
§ l
гл.
или
cos ,В.'+ 13
cos tt = 1 + l3 cos ,В.'
•
tg tt = V (cos v' + l3)
Xl.
543. Пусть система S' движется относительно системы S со
скоростью V вдоль оси х. Часы, покоящиеся в S' в точке
(х~, у~, z~). в момент t~ проходят мимо точки (хо, Уа, zo) в систе­
ме S, где находятся часы, показывающие в этот момент время to.
Написать форму.JJЬ1 преобразования Лоренца для этого случая.
544. Система S' движется относительно системы S со ско­
ростью V. Доказать, что при сравнении хода часов в системах
S и S' всегда будут отставать те часы в одной из этих систем
отсчета, показания которых последовательно сравниваются с по­
казаниями двух часов в другой системе отсчета. Выразить один
промежуток времени через другой. (Показания движущихся ча­
сов сравниваются в
момент,
когда
они
проходят
друг
мимо
друга.)
_545. Длину стержня, движущегося вдоль своей оси в некото­
рои системе отсчета, можно находить таким образом: измерять
промежуток времени, в течение которого стержень проходит
143
мимо
фиксированной точки этой системы,
скорость стержня. Показать, что при
и умножать его на
таком методе измерения
получается обычное .11оренцево сокращение.
Система
546.
S'
движется относительно системы
со ско­
S
ростью V. В момент, когда начала координат совпадали, нахо­
дившиеся там часы обеих систем показывали одно и то же
время t=i'=O. Какие координаты в каждой из этих систем в
дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающая тем свой­
ством, что находящиеся в ней часы систем S и S' показывают
одно и то же время t=t'? Определить закон движения этой
точки.
Пусть для измерения времени используется периодиче­
547.
ский
процесс
отражения
светового
«зайчика»
попеременно
двух зеркал, укрепленных на концах стержня длиной
лериод
-
это время движения «зайчика» от одного зеркала до
другого и обратно. Световые часы неподвижны в системе
ориентированы
зуясь
от
Один
1.
параллельно
постулатом
о
направлению
постоянстве
скорости
движения.
света,
S'
и
Поль­
показать,
что
интервал собственного времени dт выражается через промежу­
ток времени
548.
dt
в системе
S
формулой (Х.
Решить предыдущую
вые часы
ориентированы
7).
задачу для
случая,
перпендикулярно
когда
направлению
свето­
относи­
тельной скорости.
549.
где он
«Поезд» А'В', длина которого
покоится,
идет
со
скоростью
10 =8,64-108 км в системе,
V = 240 ООО ю1/сек мимо
«п.1атформы», имеюшей такую же длину в своей системе покоя.
В голове В' и хвосте А' «поезда» имеются одинаковые часы, син­
хронизованные между собой. Такие же часы установлены в на­
чале А и в конце В «ш:~атформы». В тот момент, когда голова
«поезда» поравнялась
с началом
«платформы»,
совпадающие
часы показывали 12 час 00 мин. Ответить на следующие во­
просы: а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо
системе отсчета все часы также показывают 12 час 00 мин;
б) сколько показывают каждые из часов в момент, когда хвост
«поезда» поравня.1ся с началом «платформы»; в) сколько пока­
зывают
часы
в
момент,
когда
голова
«поезда»
поравнялась
с концом «платформы>>?
550. Какой промежуток времени Лt занял бы по земным ча­
сам полет ракеты до звездной системы Проксима
- Центавра и
*), если бы он осуществлялся с постоянной скорос1ью V= V0,9999 с? Из расчета
обратно (расстояние до нее
4
световых года
какой длительности путешествия следовало бы запасаться про­
довольствием и другим снаряжением? Каков запас кинетической
энергии в такой ракете, если ее масса 1О т?
*)
Световым годом
называется
уме за год (см. введение к
144
§4
гл.
расстояние,
VIII).
проходимое
светом в
ваку­
551.
10 ,
Два масштаба, каждый пз которых имеет длину покоя
равномерно движутся навстречу друг другу параллельно об­
щей оси х. Наблюдатель, связанный с одним из них, заметил, что
между совпадением левых и правых концов масштабов прошло
время Лt. К:акова относительная скорость v масштабов? В каком
порядке совпадают их концы для наблюдателей, связанных с
каждым из масштабов, а также для наблюдателя, относительно
которого оба масштаба движутся с одинаковой скоростью в про­
тивоположные стороны?
552. Вывести формулы лоренцева преобразованпя от систе­
мы S' к системе S для радиуса-вектора r и времени t, не пред­
полагая, что скорость V системы S' относительно S параллельна
оси х. Результат представить в векторной форме.
Указ ан и е. Разложить r на продольную и поперечную от­
носительно V компоненты и воспользоваться преобразованиями
Лоренца (Х. 1).
553. Записать формулы преобразования Лоренца для про­
извольного 4-вектора Ai = (А 0 , А), не предполагая, что ско­
рость V системы S' относительно S параллельна оси х.
554. Вывести формулы сложения скоростей для случая,
когда скорость V системы S' относительно S имеет произволь·
ное направление. Формулы представить в векторном виде.
555. Даны три системы отсчета: S, S', S". S" движется от­
носительно
S'
со скоростью
V',
параллельной оси х'.
S' -
отно­
ппельно S со скоростью V, параллельной оси х. Соответствую­
шие оси всех трех систем параллельны. Записать преобразова­
ния Лоренца от
к
S"
и получить из них формулу сложения
S
параллельных скоростей.
556. Доказать формулу
1/ l _ vс2
2
=
2
Vl-v' /c 2 • V1 - V 2/c 2
l+v'·V/c2
'
где v и v' - скорости частицы в системах
рость S' относительно S.
557. Доказать соотношение
S и S', V - ско~
Jr (v' + V) 2 - (v' Х V) 2 /c 2
1 + v' · V/c 2
V =
где v и v' - скорости частицы
рость S' относительно S.
558.
в системах
S
и
S', V -
с1<0-
Происходит три последовательных преобразования си­
стемы отсчета:
1)
переход от системы
шейся относительно
S к системе S', двигаю­
S со скоростью V, параллельной оси х;
2) переход от системы
тельно S' со скоростью
системы S" к системе
10
'
S' к системе S", двигающейся относи­
v, параллельной оси у'; 3) переход от
S"'. двигающейся относительно S" со
В. В. Батыгии, И. Н. Топтыгии
145
скоростью, равной релятивистской сумме скоростей -v и -V *).
Доказать, что система S"', как и следует ожидать, неподвижна
относительно S и
= t, однако S"' повернута относительно S
на некоторый угол в плоскости ху (томасовская прецессия). Вы­
t'"
числить угол
q>
томасовской прецессии.
~r к аз ан и е. Воспользоваться формулами общего вида для
преобразования Лоренца ( см. задачу 552) и сложения скоро­
стей (см. задачу 554), записав эти формулы в проекциях на де­
картовы
оси.
Два масштаба, каждый из которых имеет в своей си­
сrеме покоя длину /0 , движутся навстречу друг другу с равными
скоростями v относительно некоторой системы отсчета. Какова
559.
длина l каждого из масштабов, измеренная в системе отсчета.
связанной с другим масштабом?
560. Два пучка электронов летят навстречу друг другу со
скоростями v = 0,9 с относительно лабораторной системы коор­
динат. Какова относительная скорость V электронов: а) с точки
зрения наблюдателя в лаборатории; б) с точки зрения наблю­
дателя, движущегося вместе с одним из пучков электронов?
561.
тарных
Эффекты, возникающие при столкновенrш двух элемен­
частиц,
не зависят
стиц как целого;
тельной
можно
эти
с1юростью.
сообщить
от
равномерного
движения
этих
эффекты определяются лишь их
Одну
и
ту
же
сталкивающимся
относительную
частицам
двумя
ча­
относи­
скорость
способами
(предполагается для простоты, что частицы обладают одинако­
вой массой m): а) один ускоритель разгоняет частицы до энер­
гии
0, затем быстрые частицы ударяются о неподвижную
мишень из тех же частиц; б) два одинаковых ускорителя рас­
положены так, чтобы создаваемые ими пучки частиц были на­
правлены навстречу друг другу; каждый из ускорителей при
этом должен разгонять частицы до энергии
Сравнить между собой значения 0
частности, ультрарелятивистский случай.
и
0 0 < 0.
0 0. Рассмотреть,
в
562, Найти формулы преобразования ускорения v для слу­
чая, когда система S' движется относительно системы S с про­
извольно направленной скоростью V. Представить эти формулы
преобразования в векторном виде.
563. Выразить компоненты четырехмерного ускорения wi че.
2
рез обычное ускорение v и скорость v частицы. Найти щ. Про"
странственноnодобно или времениподобно четырехмерное уско­
рение?
564. Выразить ускорение
v'
частицы
в
мгновенно. сопут­
ствующей ей инерциальной системе через ее ускорение
*)
Обратим
внимание
на
то,
что
результирующая
того порядка, в котором производится сложение скоростей.
146
скорость
v
в ла-
зависит
ot
бораторной системе. Рассмотреть случаи, когда скорость
ча~
v
стицы меняется только по величине или только по направлению.
565.
Релятивистская
частица
совершает
==
«равноускоренное»
одномерное движение (ускорение iJ
w постоянно в собствен­
ной системе отсчета). Найти зависимость скорости v (f) п коор­
динаты
счета,
частицы от времени
x(t)
если
начальная
Рассмотреть,
в частности,
в лабораторной системе от­
t
vo,
скорость
а
начальная
нерелятивистский
координата
х0 •
ультрареляти­
и
вистский пределы.
Указ а ни е. Использовать результат предыдущей задачи.
Ракета, рассматривавшаяся в задаче 550, разгоняется
566.
·от состояния покоя до скорости v = ) 1 0,9999 с. Ускорение ра­
кеты составляет I 1 = 20 м/сек2 в системе, мгновенно сопут­
v
ствующей ракете. Сколько времени продлится разгон ракеты по
часам в неподвижной системе отсчета и по часам в ракете?
Указ ан и е. Влияние сил инерции на ход часов в ракете не
учитывать*).
.
Частица движется со скоростью v и ускорением v, так
что за малый промежуток времени Ы ее скорость в лаборатор­
567.
ной системе S меняется на величину 6v
циальная
система,
мгновенно
= vbl.
Пусть S' -
сопутствующая
частице
инер­
в
мо~
+
мент t, а S" - такая же система для момента времени t
61.
Пользуясь преобразованиями Лоренца, показать с точностью до
членов, линейных по 6v, что координаты и время в этих систе­
мах связаны формулами:
r" = r' +
Лер Х
t" = t' _
r' - t' Лv,
r' · Лv
с2
(l)
,
тде
Лv=v[ьv+(v-1)
Лср=(у-
f>v
Х
\~v v],
(2)
v
l)-2-·
v
Какой геометрический смысл имеют преобразования ( l)?
Какой вид приобретают формулы (2) при v
с в первом не­
исчезающем приближении?
Указ ан и е. Удобно рассмотреть
S''-+ S-+ S'
даче 552.
·
«
цепочку
преобразовани{1
с помощью формул, приведенных в ответе к за­
*) Это означает, что предлагается вычР!слить сумму собственных времен
d-r = dt ~ г 1 - v 2 /c 2
в последовательности мгновенно сопутствующих ракете
инерциальных систем отсчета, выражаемую интегралом
этому поводу см.
10*
(107], § 62,
а также
J
d-r.
Подробнее по
(17], (72].
147
568. Относительно системы S движутся система S' со с1ю­
ростью V и два тела со скоростями v 1 и v 2 • Каков угол а ме ...
жду скоростями этих тел при наблюдении в системе S и в си­
стеме S'?
У I< аз а ни е. Воспользоваться результатами задач 554 и 556.
569. Что происходит с углом между скоростями двух тел.
рассмотренных в предыдущей задаче, когда скорость системы S'
относительно S стремится к с?
570. В некоторый момент времени направление луча света
от звезды составляет угол -tt с орбитальной скоростью v Земли
(в системе, связанной с Солнцем). Найти изменение направле­
ния от Земли на звезду за полгода ( аберрация света), не делая
приближений, связанных с малостью
571. Найти форму видимой кривой, описываемой звездой на
v/c.
небосводе вследствие годичной аберрации. Полярные коорди­
наты звезды в системе, связанной с Солнцем, -&, а (полярная
ось проведена перпендикулярно плоскости земной орбиты . О битальная скорость Земли v ~ с.
572. Пучок света в некоторой системе отсчета образует те­
лесный угол
dQ. Kai<
изменится этот угол при переходе к дру­
гой инерциальной системе отсчета?
Если считать, что звезды в ближайшей к нам части га . .
573.
лактшш распределены равномерно, то каково будет их распре­
деление
dN /dQ' для наблюдателя в ракете, летящей со ско"
ростью, близкой к скорости света?
574. Найти фор111улы преобразования
Доплера)
и волнового вектора
k
частоты
плоской
ffi
(эффект
монохроматической
световой волны при переходе от одной инерциальной системы
к другой. Направление относительной скорости V произвольно.
575. Найти частоту ffi световой волны, наблюдаемую при по"
перечном
~ффекте Доплера
(направление
распространения
света
перпендикулярно
стеме,
связанной
с
направлению движения
приемником
света).
источника
Каково
в
си­
направление
распространения рассматриваемой волны в системе, связанной
с источником?
576. Длина водны света, излучаемого некоторым источни•
ком, в той системе, в которой источник покоится, равна ло. Ка­
кую длину волны 'А зарегистрируют: а) наблюдатель, прибли•
жаюшийся со скоростью V к источнику, и б) наблюдатель, уда­
ляющийся с такой же скоростью от источника?
577.
все
Источник, испускающий
стороны
в
своей
системе
свет частоты
отсчета,
ffio
движется
изотропно во
равномерно
и
прямолинейно относительно наблюдателя со скоростью V, про ...
ходя от него в мо111ент наибольшего сближения на прицельном
расстоянии d. Число фотонов, излучаемых в единицу времени
в единицу телесного угла ( интенсивность потока фотонов),
равно JO в системе покоя источника. Найти зависимость ча·
148
w н интенсивности J потока фотонов, регистрируемого
наблюдателем, от угла между направлением луча и скорости V.
стоты
При
каких
углах
0=0о
регистрируемые частота и интенсив­
ность потока фотонQв совпадут с
регистрируется
наблюдателем
wo
в
и /о? Какая доля фотонов
интервалах
О~ е ~ 0о
и
е 0 ~ е ~ л? Начертить графики зависимостей (() (0) и J (0) для
V/c
1/3 и V/c
4/5. Какой характер имеют эти зависимости
=
при
=
V/c-+ l?
578.
Найти угловое распределение
энергия,
излучаемая
в
единицу
силы света
времени
в
/
единицу
(световая
телесного
угла), а также полный световой поток от источника света, рас~
смотренного в предыдущей задаче.
Указ ан и е. Каждый фотон обладает энергией hffi, где h постоянная Планка.
579. Зеркало движется нормально к собственной шюскости
со скоростью V. Найти закон отражения плоской монохромати­
ческой волны от такого зеркала (заменяющий зщшн равенства
углов падения и отражения при V
О), а также закон преоб­
разования частоты при отражении. Рассмотреть, в частности,
случай V--+ с.
=
580. Решить предыдущую задачу для случая, когда зеркало
перемещается поступательно вдоль собственной плоскости.
581. Непрозрачный куб с ребром 10 в своей системе по1шя
движется относительно наблюдателя со скоростью V (рис. 40),
Наблюдатель
фотографи­
рует
его
лучи
света,
в
верхностыо
в
момент,
объектив
под прямым
куба,
приходят
фотоаппарата
углом
влению движения
к
напра-
(в
систе-
ме фотоаппарата).
ден
под
углом,
чи,
кщда
испускаемые по­
малым
в'
J.C'-----yc'
1
Куб ви­
чего
от
точек куба, можно
-
v
1<---'----f:0' :
телесным
вследствие
приходящие
[,.._ - - - -
лу­
разных
считать
t1
параллельными.
Какой вид будет иметь
изображение
на
фотопла­
стинке?
Составить чертеж
изображения,
нанести
на
него
те вершины и ребра
t
1
1
1
1
1
t1
'1
~
Рис.
40.
куба, которые будут сфотографированы. Вычислить их относи­
тельные длины. Изображению какого неподвижного предмета
эквивалентна полученная фотография? Какой вид приняло бы
изображение движущегося
преобразования Галилея?
куба, если
бы
были справедливы
149
u
582. Тонкий стержень М' N' неподвижен в системе S', имеет
ней длину 10 и ориентирован так, как показано на рис. 41.
Система S' движется со скоростью V 11 Ох относительно фотоJ
пластинки АВ, покоящейся в системе S. В момент прохождения
стержня
мимо
фотопластинки
происходит
короткая
световая
!/
!У'
.r'
А
v
l
z
Рис.
41.
вспышка, при которой лучи света падают нормально к nлоскоJ
сти
xz
фотопластинки.
а) Какова длина l изображения на фотопластинке? Может
.ли она стать равной или превысить 10 ?
б) При каком угле наклона а' сфотографируется только то­
рец стержня?
в)
Каков угол наклона а стержня к оси Ох?
Шар, движущийся со скоростью V, фотографируется
583.
неподвижным наблюдателем под ма.r~ым телесным углом. Лучи
света от шара падают параллельным пучком на объектив фото~
прямой угол с направлением скорости V"
Какую форму будет иметь изображение на фотопластинке? Ка­
кая часть поверхности шара будет сфотографирована?
Указ ан и е. Представить шар в виде совокупности тонких
аппарата, составляя
дисков,
движущихся
параллельно
своим
плоскостям,
и
поJ
строить изображение каждого диска.
584. Пусть движущийся непрозрачный куб фотографируется
неподвижным наблюдателем в момент, когда лучи, прйходящие
от куба, составляют произвольный угол а с направлением ско­
рости
1·орым
куба (в системе наблюдателя). Телесный угол, под коJ
виден куб, мал, вследствие чего лучи приходят парал­
V
лельным
пучком и падают на
поверхности (рис.
150
42).
фотопластинку
нормально
к ее
Показать, что фотография должна совпа•
дать с фотографией
неподвижного,
но
повернутого
на
некото­
рый угол куба. Найти угол поворота изображения при разных
значениях V и фиксированном а. При каком значении
сфотографирована одна грань А'В'? одна грань В'С'?
V
будет
585. Ввести волновой 4-вектор, описывающий распростране­
ние плоской монохроматической во.1шы в движущейся со ско­
ростью V среде с показате­
лем преломления п ( фазо­
вая
скорость волны
движной
Найти
среде
в
непо­
v' =с/п).
формулы преобразо­
вания
частоты,
волновым
угла
между
вектором
правлением
скорости
и
на­
дви­
жения среды и фазовой ско­
рости.
586. Плоская волна рас­
пространяется в движущей­
ся со скоростью V среде в
направлении
перемещения
среды. Длина волны в ва­
кууме 'Л. Найти скорость v
волны относительно лабора­
торной системы (опыт Фи­
зо). Показатель
преломле­
ния
ме
п
определяется
S',
в
Рис.
42.
систе-
связанной со средой, и зависит от длины волны 'А' в этой
системе. Вычисления проводить с точностью до первого порядка
по
V/c.
§ 2.
гой
Четырехмерные векторы и тензоры
При переходе от одной инерциальной системы (S') к дру­
(S) компоненты 4-вектора преобразуются по формулам
А1 =
aikA;,
(Х.
16)
(Х.
17)
rде матрица преобразования а имеет вид*)
«-(~~ =r -! J}
*) Не забывать правило знаков nри суммировании, сформулированное·
5): nри суммировании no дважды повторяющимся индек­
после формулы (Х.
сам слагаемое с индексом О берется со знаком
1, 2, 3 - со знаком «-».
«+»,
а слагаемые с индексами
151.
Она соответствует преобразованию (Х. 1), при l{Отором одно·
именные 1юординатные оси систем S и S' параллельны, относи·
тельная
скорость
t = t' =
О совпадали.
направлена
вдоль х
и
начала
координат
при
Матрица преобразования удовлетворяет соотношениям
где gik -
(Х.
18)
(Х.
19)
метрический тензор, имеющий вид
о
о
-1
О
О
-1
о
о
~)-
-1
Знаки на главной диагонали метрического тензора соответ­
ствуют знакам в формуле (Х. 5), определяющей скалярное про•
изведение двух 4-векторов.
Преобразование, обратное (Х. 16), записывается так:
(Х.
=
=
=
20)
=
Координаты мировой точки Хо
ct, Х1
х, Х2
у, Хз
z об·
разуют 4-вектор и преобразуются по формулам Г. 16), (Х. 20).
При последовательном выполнении двух преобразований Ло·
ренца соответствующие матрицы перемножаются по обычному
правилу умножения матриц (см. гл. 1, § 1).
Четырехмерным тензором (4-тензором)
N-го ранга назы­
вается совокупность 4N величин Tik •. . 1, которые при переходе
к другой инерциальной системе отсчета преобразуются как про­
изведения соответствующих компонент 4-вектора
Ai, Ak, ... , А 1 :·
(Х.
I
21)
1,
Определитель Ct.ik
составленный из элементов матрицы а
преобразования Лоренца, может быть равен -1 (собственное
преобразование Лоренца, например, (Х. 1)) или
1 (несоб­
ственное преобразование). Любое собственное преобразование
Лоренца сводится к преобразованию вида (Х. 1) и простран­
ственному повороту; такие преобразования могут рассматри­
+
ваться
как
повороты
в
четырехмерном
пространстве.
Несоб­
ственные преобразования Лоренца включают в себя отражение
одной или трех координат.
Псевдотензором N-го ранга называется сово1{упность 4N ве­
личин Pik ... 1, которые при четырехмерных преобразованиях ко­
ординат преобразуются по формулам
Р ik , , ,/
152
=-
I
C:.tipC:.tkr • • • a1s C:.tmn
,
IРpr, •• в,
(Х.
22)
Примером псевдотензора
является совершенно
антисимметрич ...
ный единичный псевдотензор 4-го ранга (см. ниже задачу 592).
Его компоненты ei111m определяются следующими условиями:
а) eilllm меняют знак при перестановке любой пары значков;
б) е0123 = 1. Отсюда следует, что компоненты ei/1/m равны нулю,
если
среди
равны
± 1,
значков
совпадающие
между
собой,
или
Доказать равенства:
587.
А, =
где
есть
если все значки различны.
gi,. -
gi1iA1i, AiBi = Aigi"B,., gi"gkl = git, gн = 4,
метрический тензор (Х.
19), Ai
векторы. При суммировании по двум
и В,
-
четырехмерные
повторяющимся значкам
используется правило знаков, приведенное после формулы (~.5).
588. Показать, что тензор gi,. (Х. 19) имеет одинаковый вид
во всех инерциальных системах координат.
589. Показать, что компоненты А 1 , А 2 , Аз четырехмерного
вектора Ai = (Ао, А1, А 2 , Аз) при пространственных поворотах
преобразуются как
компоненты трехмерного вектора А
= (А 1 , А 2 , А 3 ), а компонента А 0 является трехмерным скаляром.
=
590. Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется
4-тензор II ранга при пространственных поворотах.
591. Покааать, что компоненты антисимметричного 4-тензора
II ранга преобразуются при пространственных поворотах как
компоненты двух независимых трехмерных векторов.
59?.
Дока:1ать, что величина е 1 " 1т, определенная во введении
J{ данному параграфу, действительно преобразуется как псевдо"
тензор.
=
593. Доказать равенства: а) eiklmelmrs
2 (gi.gkr - g,rgks),
б) eiмme1i1m,,, = 6gi,,,, где величины е,1~1т и gi" определены во вве­
дении к этому параграфу.
594.
Доказать равенство
ei1i1тe1mrsA.1B1iCrDs
595.
(i
= О,
нент
Vi
596.
= 2(AiDi) (В"С,.)- 2(AiC,) (B"D,.).
Составить
4-вектор из частных производных д(р/дхi
где fP - скаляр. Найти выражение для компо~
1, 2, 3),
оператора четырехмерного градиента.
Составить 4-тензор Ti" из частных производных дАi/дх"
О, 1, 2, 3), где Ai - 4-вектор. Показать, что 4-диверген~
ция дА;/дхi является инвариантом.
597. Найти закон преобразования величин:
(i, k =
а) А;; б) T;kAk, если Ai - 4-вектор, Tt1i - 4-тензор.
598.
Два 4-вектора
Ai
и
Bi
называются параллельными, если
А0
А1
А2
Аз
в;=т.=в;=в;·
153
Доказать, что отношение одноименных компонент параллельных
4-векторов инвариантно относительно преобразования Лоренца.
599. Сколько существенно различных компонент имеет 4-тен­
зор 111 ранга, антисимметричный по отношению к перестановке
любой пары значков? Показать, что они преобразуются при по~
воротах
как компоненты
четырехмерного псевдовектора.
Даны три системы отсчета: S, S', S". S" движется от~
носительно S' со скоростью V', параллельной оси х', S' - отно~
сительно S со скоростью V, параллельной оси х. Одноименные
600.
оси всех трех систем параллельны. Путем перемножения соот­
ветствующих матриц получить матрицу преобразования от S"
к S. Получить отсюда формулу сложения (см. Х. 11) одинаково
направленных скоростей.
601. Записать преобразование Лоренца (Х. 1) в переменных
Х1, х2, хз, хо = ct, выразив величину относительной скорости V
через угол а по формуле V/c
th а.
602. Получить матрицу преобразования
от системы S'
к системе S путем перемножения матриц простых преобразова­
ний. S' движется относительно S со скоростью V (V/c=th а)
=
в
направлении,
характеризуемом
Соответствующие оси
§ 3.
g
S
и
S'
сферическими
углами
~.
«р.
параллельны.
Релятивистская электродинамика
Приведем основные формулы релятивистской электродина­
Nшки в вакууме. Плотность трехмерного тока j = pv и плот•
ность заряда р образуют 4-вектор плотности тою~
ii =
(ер,
(Х.
j).
Электрическое и магнитное поля являются компонентами
тисимметричного 4-тензора электромагнитного поля
-Ех
О
-Еу
О
-Ну
к системе S компоненты поля
х и х' параллельны относи­
Ez = V (в:- ~Н~);
Нх=Нх,
Ну= v (н~ - ~в;),
Hz = V (н; + ~Е~).
Н 2 - Е2 =
24)
( оси
Ву= V (Е~ + ~н;),
Величины
(Х.
Нх
Ех=Е:,
,
154
S'
ан-
Fih:
-Hz
Hz
При переходе от системы
преобразуются по формулам
тельной скорости):
23)
inv,
Е
· Н = inv
(Х.
25)
(Х. 26)
являются инвариантами преобразований Лоренца. Векторный А
и скалярный <р потенциалы образуют 4-вектор потенциала
А 1 = (<р, А).
Компоненты тензора энергии
(Х.
импульса
-
27)·
в вакууме опреде­
ляются формулой
Tik
=
4~ ( -
FuF k1 +
1g1knm) ·
(Х. 28)
Девять пространственных компонент тензора
трехмерный тензор натяжений Максвелла
Тщ1 =
~ (4
EaEr,-HaHr,)+
(Е 2 + H 2)c\r,·
~
8
Пространственно-временные компоненты T;h
составляющим плотности потока энергии S
пульса
поля
T;h образуют
(Х.29)
пропорциональны
И
ШIОТНОСТИ
ИМ-·
g:
I
с
S=ТпЕ ХН,
T0a=7Va,
1
(Х.
1
30)
g = - E X Н =-S.
2
4пс
Временная
поля
UJ
компонента
с
связана
T;h
с
плотностью
энергии
соотношением
Т 00 = w =
Дивергенция
сил f 1 = (
тензора
v; f),
f ,
(Х. 3.1)
определяет
T;h
приложенных
f
дТ1k
(Е 2 + Н 2 ).
~
8
r,:
объемную
плотностh
зарядам:
1
.
ах= 1=7Fik/k·
(Х.
32)
k
Перейдем теперь к формулам электродинамики при наличии
сред. В этом случае векторы поля Е,
D,
тисимметричных четырехмерных тензора
F1k=(i:
Ez
и тензор
H1k=
с
Dz
II
ранга: тензор поля
(Х.33)
-1: =;: :~:)
Ву
Вх
-Dx
-Dy
-
индукции
Dx
Dy
В, Н образуют два ан­
о
Hz
-Ну
-Hz
о
Нх
О
-D,)
Ну
-Нх
.
(Х.
34)
о
155
Векторы поляризации и намагниченности Р и М также обра-
-зуют 4-тензор
(
Рх
0
-Рх
О
Mz
-Pz
D= E+4nP
-Му
и
В=
Pz)
-Mz
Му
О -Мх
-Ру
Mik=
Формулы
Ру
Мх
(Х.35)
.
О
H+4nM объединяются в одно
соотношение
Hik
Четырехмерная сила
(Х.
Fik - 4nMai·
=
fi,
36)
приложенная к единице объема со
стороны поля, определяется как
f,=(:
(Х.37)
[Q+f·v], f),
r де f -
пондеромоторная сила, приложенная к единице объема,
джоулево тепло, выделяемое в единицу времени в единице
объема.
Q-
603. Записать формулы преобразования для векторов поля
Е, В, D, Н и поляризаций Р, М при переходе к системе S', дви­
жущейся относительно системы S с произвольно направленной
скоростью V. Представить формулы преобразования в вектор"
ном
виде.
Указ ан и е. Воспользоваться выражением коэффициентов
преобразования, приведенным в задаче 602, и антиснмметрией
тензоров
Fik, H;k, Mik·
В системе отсчета S имеется однородное электромагнит~
ное поле Е, Н. С какой скоростью относительно S должна дви"
604.
гаться
S',
в которой
E'II Н'? Всегда ли задача имеет решение и
единственно ли оно? Чему равны абсолютные значения Е' и Н'?
605. В системе отсчета S электрическое и магнитное поля
взаимно перпендикулярны: Е 1- Н. С какой скоростью относи-.
тельно S должна двигаться система S', в которой имеется
только электрическое или только маrщ~:тное поле? Всегда ли
существует решение и единственно ли оно?
606. Бесконечно длинный круговой цилиндр равномерно за­
ряжен с линейной плотностью х. Вдоль оси цилиндра течет рав"
номер но распределенный ток
цаемости е
существует
= µ = l.
только
fJ.
Во всем пространстве прони­
Найти такую систему отсчета,
электрическое
или
только
в которой
магнитное
Найти величину этих полей.
607. Система дифференциальных уравнений для
силовых линий вида
dr ХН= О
поле.
магнитных
(l)
не является релятивистски инвариантной и при переходе в дру"
rую инерциальную систему не сохраняет своего вида.
156
а)
Показать, что для полей некоторого специального вида
система уравнений
dг Х Н
+ сЕ dt =
О,
Е
·dr
= О
(2)
может рассматриваться как релятивистски инвариантное обоб­
щение системы ( 1).
б) Выяснить структуру полей, для которых такое обобще­
ние возможно, путем рассмотрения условий совместности урав­
нений (2). Сколько независимых уравнений содержится в си­
стеме
(2)?
в) Какой вид имеет условие интегрируемости системы
г)
Убедиться
стемой
(2),
ростью
u
в том,
что
перемещаются
силовые линии,
в
направлении
со ско­
н
= сЕ Х н 2 , т. ·е. являются движущимися даже в слу-
чае статических полей.
608. Показать, что
релятивистски
уравнений для электрических
стеме
поперечном
(2)?
определяемые си­
инва_рпантная
силовых линии,
система
аналогичная
(2) предыдущей задачи, имеет вид eu<1mF1mdxk
си­
= О {1). Ка-
1ше требования налагаются на Е и Н, а также на распределение
зарядов
и токов
условиями
совместности
и
интегрируемости
стемы
( 1)? Как перемещаются силовые линии,
системой ( 1)?
609. Найти величину э. д. с. электромагнитной
си­
опреде.11яемые
индукции, воз­
никающей при движении проводника в магнитном поле В. Вос­
пользоваться либо формулами преобразования напряженностей
поля, либо формулами преобразования потенциалов.
610. Найти поля <р, А, Е, Н точечного заряда е, движуще­
гося равномерно со скоростью V, произведя преобразование Ло­
ренца от системы отсчета, в которой заряд покоится.
611. Показать, что электрическое поле равномерно
щегося
точечного
заряда
«сплющивается»
в
движу­
направлении
дви­
жения. При этом происходит ослабление поля Е на линии дви­
жения
заряда
по сравнению
с
ку,rюновым
полем.
Как
согла-
суется это ослабление с формулой преобразования Е 1 = Е~?
612. Электрический диполь с моментом р 0 в системе покоя
равномерно движется со скоростью V. Найти создаваемое им
электромагнитное поле <р, А, Е, Н.
613. Получить формулы преобразования электрического р и
магнитного tuдипольных
моментов поляризованного
и
намагни­
ченного тела при переходе от инерциальной системы отсчета,
в которой тело покоится, I< другой инерциальной системе.
Указ а ни е. Исходить
из
известных
формул
преобразова­
ния вектора поляризации Р и вектора намагничения М.
614. Незаряженная проволочная петля с током f/', имею­
щая
форму
прямоугольню<а
ахЬ, движется
равномерно со
157
скоростью V параллельно своей стороне а. Провод имеет конеч­
ное сечение. Найти распределение электрических зарядов на
петле, а также ее электрический и магнитный моменты, наблю­
n.аемые в лабораторной системе отсчета.
615. Найти закон релятивистского преобразования джоулева
тепла Q, исходя из определения четырехмерной плотности силы.
616. Найти формулы преобразования компонент тензора
энергии - импульса Tili при преобразовании Лоренца.
617. Найти шпур тензора энергии импульса (Х. 28), т. е. ре­
зультат свертывания его по двум значкам.
618.
Электромагнитное поле отлично от нуля лишь внутри
некоторого конечного пространственного объема
V,
в котором
отсутствуют заряды. До1<азать, что полные энергия и импульс
поля образуют 4-вектор.
619. Полный момент импульса системы, состоящей из элек­
тромагнитного
поля
в
вакууме
и
точечных
зарядов,
можно
оп­
ределить формулой*)
Kik =
-
7f (xдki - xkTa) dSi + ~ (XiPk - хkрд,
t
в
которой
интеграл
распространен
на
всю
гиперповерхность
х 0 = ct = coпst. Суммирование производится по всем частицам;
при этом берутся значения Xi, Pk в точках пересечения мировых
JJИНИЙ соответствующих зарядов с гиперповерхностью Хо = coпst.
Доказать сохранение полного момента импульса К.ik системы,
дTik
1 F .
учитывая, что -д-- = - iklk·
xk
с
620. Система состоит из частиц и электромагнитного поля в
вакууме и занимает конечный объем. Из рассмотрения баланса
полнопJ момента импульса Ка/3 этой системы найти выражение
для плотности пото1<а ffl
момента импульса поля. Воспользо­
ваться выражением для Kik, приведенным в условии предыду~
щей задачи.
ЛИТЕРАТУРА
Фок В. А. [107], Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65, 66], Берrман П Г. [13],
Френкель Я. И. [111, 112], Эйнштейн А. [117], Мандельштам Л. И. [76J, Джек­
сон Дж. [52], Беккер Р. [12], Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. [106], Гуре·
вич Л. Э. [49], Паули В. [87], Гайтлер В. [29], Компанеец А. С. [60], Минков­
ский Г. [79], Борн М. [17], Лефферт К.. Донайе Т. [72], Пановский В., Фи­
липе М. [86], Вайскопф В. [24], Соколовский Ю. И. [97].
*J
Легко убедиться непосредственно, иопольэуя определеиие тензора
что пространственная часть
Kaf\
ричный тензор, эквивалентный вектору К=
l
=- (Е Х
4лс
Н)
-
Til,,
тензора Ка, представляет собой антисиммет-
плотность импульса поля.
•
f
(r
Х g) dV + ~ r Х р, где g =
ГЛАВА
XI
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 1.
Энергия и импульс
Импульс р релятивистской частицы связан с ее скоростью
v
соотношением
mv
(XI. l)
р = У l - v 2 /c 2
где т
-
'
масса частицы. Полная энергия
lt
свободно движу­
щейся частицы может быть выражена через скорость:
2
0
или
=
--;,=т=с==2 2
(XI. 2)
у' l - v /c
импульс
(XI. 3)
Кинетическая энергия Т частицы отличается от полной энер~
rии на величину энергии покоя
lt O =
тс 2 :
T=lt-mc 2•
(XI. 4)
Энергия, импульс и скорость частицы связаны формулой
/tv =
с 2 р.
(XI. 5)
Энергия и импульс частицы являются временной и простран­
ственной составляющими 4-вектора энергии-импульса
(4-иl\,1~
пульса)
(XI. 6)
При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой
энергия и импульс преобразуются по формулам (Х. 4). Квадрат
4-импульса является релятивистским инвариантом
pf = lt 2/c 2 - р2 = т 2с 2•
(XI. 7)
Частица называется нерелятивистской, если ее кинетическая
энергия
энергия
мала,
и
велика
ультрарелятивистской,
по
сравнению
с
если
энергией
ее
кинетическая
покоя.
Скорость
159
ультрарелятивпстской частицы близка
пульс связан с энергией соотношением
к
скорости
света,
~=ер.
им­
(XI. 8)
Частицы с нулевой массой и энергией покоя (фотоны, ней­
трино) всегда являются ультрарелятивистскими, пх скорость
точно равна с.
Энергия и импульс фотона в вакууме связаны с его частотой
формулами:
~ = hro,
где
h = 1,05 · 10-
21
эрг· сек
р = hro/c = hk,
-
(XI. 9)
постоянная Планка.
Полные энергии и импульс замкнутой системы частиц сохра~
няются. Отсюда следует, что если до начала и после окончания
некоторой реаюши (распада или столкновения) частицы не
взаимодействуют между собой, то полный 4-импульс в началь~
ном и конечном состояниях одинаков:
~ Р~] = ~ Ры,
а
где
суммирование
(XI. 10)
Ь
производится
по
всем
частицам,
имеющимся
до и после реакции.
При рассмотрении столкновений удобно пользоваться одной
из двух систем отсчета: лаборато·рной системой S или системой
центра инерции S' (система ц. и.), в которой полный импульс р
равен нулю. Следует обратить внимание на полезный прием, со­
стоящий в использовании инвариантности квадратов 4-импуль­
сов (см. решение задач
651, 657, 675).
Различаются два типа
не
меняются
стиц,
и
внутренние
неупругие,
при
столкновений: упругие, при которых
состояния
которых
и,
следовательно,
меняются
массы
внутренние
ча­
энергии
(массы) сталкивающихся частиц, исчезают старые или рож­
даются новые частицы. При неупругом столкновении двух ча­
стиц
сумма
масс
от суммы масс
Mh
т1
+ т2
сталкивающихся
частиц
отличается
образующихся частиц на величину
ЛМ =m 1
+ т2- Mk,
(Xl. 11)
которая называется дефектом массы. Величина
с 2 ЛМ
Q=
на­
зывается энергетическим выходом реакции.
Реакции, идущие по схеме
a+b-c+d,
т.
е.
гие
такие,
при
частицы,
двухчастичной
которых две
называются
реакции
частицы
(XI.12)
превращаются
двухчастичными
является упругое
рассеяние
стиц). Кинематику двухчастичных реакций удобно
с помощью инвариантных пер('менных s, t, и:
s = (рщ + Ры>2,
t = (Рщ - Pci>2,
в две дру­
(частным
случаем
двух
ча~
описывать
и= (Pat - Рdд 2,
(XI. 13)
rде Pai и т. д. 4-11ыпу.1ьсы частиц, участвующих в реакцпп.
Любую нз величин s,
и можно выразить через две друrпе с по­
t,
мощью соотношения
s + t +и= (т~ + mi + т~ + т~)с
2
(XI. 14)
~').
Наr.1ядное представ:1ение о кинематике двухчастичной реакц1111
дает кинематическая п:юскость, на которой откладLiваются зна­
чения переменных
сохранения
s
и
энергии
и
t
(или
s, t
импульса
и и
см. зад·:чv
-
огранпчшзают
ской п.:1оскост11 область значений
s, t,
673).
1:з
Законы
юшематиче­
и, физпчсскую для да11-
ной реакц1111.
Многие
форму.'lЬI
релятивистской
кинематики
приобретают
бо.1ее простой вид, если пользоваться системой единиц, в 1<0торой скорость света с= 1. При этом масса, энергия и импульс
Jiзмеряются в одинаковых единицах, например в Мэв ( 1 Мэв =
106 эв = 10-з Гэв = 1,602· 10-б эрг). В некоторых задачах
=
этого параграфа используется такая система единиц (что всегда
оговаривается). В ряде случаев массы элементарных частиц из­
меряют в единицах массы электрона те
(т. е. используют си­
=
стему единиц, в которой те
1).
В таблице XI. 1 приведены для справок массы ряда элемен­
тарных частиц. В таблице XI. 2 приведены значения энергий
Т а б
Масса
Частица
Фотон
в е.,11шща,с mel
v
,у,О
в едшшцах mel
в Мэв
К:а-мезоны к±
о
о
1
0,511
Протон р
Нейтрон п
207
273
264
105,7
139,6
135,0
Jiямбда-гипе-
Позитрон е+
Мю-мезоны µ±
Пн-11езоны :rt±
п ц а
XI. 1
1
J\11cca
Частица
о
о
Нейтрино '11
Электрон е-
.rr
ко,
рои
i{o
966
974
1836
1839
2181
в Мэв
493,8
497,8
933,2
939,5
1115,4
.\
1
Та б л и ц а
XI. 2
Изотопы
В, Мэв
и
t.
1 2,23 / 28, 11
f
з8,96
*) В качестве двух независимых величин можно выбрать, например, s
Все другие величины (энергии и углы рассеяния частиц в лабораторной
системе и системе ц. и.)
11
выражаются через них
В. В, Батыrии, И. Н. Топтыгин
-
см. задачи
668-670.
161
связи В неко~зрых ядер. Под энергией связи понимается величина
где lffoн
621.
В= ЛМс 2 = ~ lffoн - lffoя,
покоя нуклона, 8 011 - энергия
(XI. 15)
энергия
покоя ядра.
Выразить импульс р релятивистской частицы через ее
-
кинетическую энергию Т.
622. Выразить скорость
623.
v частицы через ее импульс р.
Частица с массой т обладает энергией 8. Найти ско­
рость v частицы. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и
ультрарелятивистский пределы.
624. Найти приближенные выражения кинетической энер­
гии Т частицы с массой m: а) через ее скорость v и б) через ее
импульс р с точностью до v 4 /c 4 и р 4 /т 1 с 4 соответственно, при
v
~ с.
625. Найти скорость v частицы с массой т и зарядом е, про­
шедшей разность потенциалов V (начальная скорость равна
ну.'1ю). Упростить общую формулу для нерелятивистского и
ультрарелятивистского случаев (учесть по два члена разложе­
ния).
626. Найти скорость v частиц в следующих случаях: а) элек­
троны в электронной лампе ( Ф' = 300 ав) ; б) электроны в синхро­
троне на 300 Мав; в) протоны в синхроцик.1отроне на
r) протоны в синхрофазотроне на 10 Гав.
627.
Ускоритель дает
на
выходе
пучок заряженных
с кинетической энергией Т; сила тока в пучке равна
силу
F
Мав;
680
частиц
8.
Найтн
давления пучка на лог лощающую его мишень и выделяе­
мую в мишени мощность
W.
Масса частицы т, заряд е.
Некоторое тело движется с релнтивпстской скоростью v
через газ, в единице объема которого содержится N медленно
движущихся частиц с массой т. Найти давление р, производи­
мое газом на элемент поверхности тела, норма.'1ьный к его ско­
628.
рости,
если
629.
между
В
частицы
линейном
полыми
упруго
отражаются
ускорителе
цилиндрическими
частипа
от
поверхности
ускоряется
электродами
-
в
тела.
щели
«пролетными
трубками», вдоль общей оси которых проходит траектория ча­
стицы. Ускорение
происходит под действием высокочастотного
электрического поля с частотой v=coпst. Разгоняются те ча­
стицы, которые проходят все промежутки между трубками при
наличии там ускоряющего поля. Каковы должны быть длины
пролетных трубок, чтобы частица с зарядом е и массой т про­
летала
через
ускоряющие
промежутки
в
те
моменты
когда на них имеется максимальное напряжение
также полную длину ускорителя с
630.
162.
времени,
Оцепить
пролетными трубками.
Поток монохроматических µ-мезонов, родившихся в верх­
них слоях атмосферы
*)
N
Ve?
*),
падает вертикально вниз. Найти отно-
Задача формулируется в упрощенном виде.
шение интенсивности потока µ-мезонов на высоте
моря
и на уровне моря
(/h)
li над уровнем
(/о), считая, что в рассматривае­
мом слое воздуха толщиной /i происходит только ослабление
потока за счет естественного распада µ-мезонов. Энергия ~~-мезо­
нов
0 =4,2- IOB
эв, li=З км, среднее время жпзнн покоящегося
µ-мезона т0 =2,2- IО-6 сек.
631. Систе11-1а отсчета
S' движется со скоростью V относи­
тельно системы S. Частица с массой т, обладающая в S' энер­
гией
0'
скоростью
11
v', движется под углом tt' к направле­
V. Найти угол t} между импульсом р частппы и направJiе­
пием V в системе S. Выразить энергию и и11шульс частицы в S
нию
через tt', 0' или
вистский случай
tt', v'.
Рассмотреть, в частности, ультрарелятп­
Показать, что в этом случае
[t',>>_ тс2 , V:::::, с.
в некотором (каком?) интервале углов можно пользоваться при-
ближенной формулой tt' ~ ~
tg : .
632. Система S' движется относительно системы S со ско­
ростыо V. Угловое распределение частиц, имеющих в S' одина­
ковую энергию 0', описывается функцией dW/dQ'=F'(tt', а'),
где величина
dW
в системе
внутри телесного угла
S'
так, что
представляет собой долю частиц, движущихся
Ее обычно нормируют
dQ'.
f d W f F' (fY, а') dQ' = 1.
=
Угол t}' отсчитывается от направления V. Найти угловое распре­
деление таких частиц в системе S. Рассмотреть, в частности,
ультрарелятивистский случай.
633*. Число частиц dN, находящихся в элементе объема dV
и
имеющих
Рх ДО
составляюшие
импу.1ьсы, заключенные в пределах от
Px+dPx, ОТ Pv до Pv+dpy, от Pz до P,+dp,, выражается
в виде
р,
dN=f(r,
где
сов,
i)dV(dp),
(dp) =dpxdPvdPz - элемент объема в
f (r, р, f) - функция распределения
пространстве импуль­
(пли
плотность чис,1а
частиц в фазовом пространстве). Найти закон релятиви~тского
преобразования функции распределения (г, р, t).
634. Частицы сорта 1, обладающие в системе S скоростью v 1,
f
зуется сечение рассеяния
в которой частицы сорта
рассеиваются неподвижными частицами сорта
2. Как преобра­
da 12 при переходе к cиcтel\lle отсчета S',
2 обладают скоростью v~. а частицы
сорта
Рассмотреть, в частности, случай, когда
1-
скорости
скоростью
v~
и
v;
v~?
параллельны.
Указ ан и е. Сечением рассеяния
в
называется отношен:1е
частиц,
угол
dQ одним рассеивающим центром, к плотности потока
11*
рассеиваемых
da 12
единицу
числа
времени
в
телесный
163
рассспваемых частиц l12=n 1v 0, где n 1 - число рассеиваемых ча­
ст,щ в единице объема, v 0 = \v 1 - v2 \- относительная скорость
частиц 1-го и 2-го сорта (ер. с задачей 560).
635.
л 0 -мезон двнжется со скоростью
v и распадается на лету
на два v-кванта. Найти угловое распределение у-квантов распада
dW /dQ в лабораторной системе отсчета, учитывая, что в системе
покоя л 0 -!\1езона оно сферическн симметрично.
636. Выразить энергию л 0 -мезона, рассмотренного в предыду­
щей задаче, через отношение
числа у-квантов распада, испу­
скаемых в переднюю полусферу, к числу у-квантов, испусI<аемых
в заднюю полусферу.
637. л 0 -мезон распадается на лету на два у-кванта. Пока­
f
зать, что 1\ПШИмальный угол t}шrn разлета у-квантов определяется
ус:ювием
cos t!-;rn
=
7v.
в той системе отсчета, в которой
скорость л -мезона равна
638. Найти зависимость энергии у-кванта, возникающего при
распаде л 0 -мезона (ер. с задачей 635), от угла t} между направ­
.1Jениями распространения I<ванта и движения л:-мезона. Опреде­
.'Iить энергетический спектр v-квантов распада в лабораторной
0
системе отсчета.
Указ ан и е. Из законов сохранения энергии и импульса сле­
дует, что в системе покоя л: 0 -мезона энергия у-кванта Ш' =mc2 /2
(т - масса л 0 -мезона).
639. Показать, что какова бы ни была форма энергетического
спектра л 0 -мезонов, энергетический спектр у-квантов распада
в лабораторной системе отсчета будет иметь максимум при
<ff=lff', Ш'=mс 2 /2, где т-масса л 0 -мезона. Пусть Ш 1 и Ш 2 произвольные
ные
по
значения
разные
энергпи
стороны
у-квантов
указанного
распада,
максимума
и
расположен­
отвечающие
одинаковым значениям функции распределения. Выразить мас­
су т л 0 -мезона через Ш, и Ш2.
Указ ан и е.
Воспользоваться
энергетическим
спектром
-у-квантов, найденным в задаче 638.
640. Определить массу т некоторой частицы, зная, что она
распадается на две частицы с массами т1, т2. Из опыта известны
величины импульсов р 1 , Р2 частиц, образовавшихся при распаде,
и угол t} между их направлениями. Вычислить массу заряжен­
ного
л-мезона,
распадающегося
по
схеме
л-+
опыта известно, что п-мезон до распада ПОl{Оился,
лучил после распада импульс Рµ =
приведена в таблице
29,8
1i+v,
если
из
а µ-мезон по­
Мэв/с. Масса µ-мезона
XI. 1.
641. Определить массу т 1 некоторой частицы, зная, что она
представляет собой одну из двух частиц, образовавшихся при
распаде частицы с массой т и импульсом р. Импульс р 2 , мас­
са т 2 и угол t} 2 вылета второй частицы, образовавшейся при
распаде, также известны.
164
642.
Частица с массой тn 1 п скоростью
v
ста.11кивается с по­
коящейся частицей массы m 2 и поглощается ею. Найти массу т
и скорость V образовавшейся частицы.
Покоящееся тело с массой то распадается на две части
643.
с масса11111 т 1 и т 2 • Вычислить кинетические энергии Т1 и Т2 про­
дуктов распада. Найти распределение энергии распада в системе
покоя распадающейся час1ицы между а) а-частицей и дочерним
ядром при а-распаде U 238 ; б) µ-111езоно111 и нейтрино (v) при рас­
паде л-мезона (л-+
µ+v);
в) у-квантом и ядром отдачи при из­
лученип у-кванта.
644. Покоящаяся частица а распадается по схеме а-+ Ь + d.
(c=l) через кине­
тическую энергию Ть одной из частиц распада и массы ть, md.
Выразить энергию распада Qa=ma-mь-md
Вычислить энергию
распада и массу 2:+-частицы, распадаю­
щейся по схеме 2:+ .- п+л+, пользуясь найденным из опыта зна­
чением Тм=91,7 Мэв и массами нейтрона и л+-мезона, приве­
денными в табл. XI. 1. Сделать то же самое для ра · 1ада
+ по
другой схеме 2:+.-р+л 0 , если известна Тр=18,8 Мэв.
645. Покоящееся свободное возбужденное ядро ( энергия воз­
буждения Л~) излучает у-квант. Найти его частоту ffi. Масса
возбужденного ядра т. В чем причина того, что ffi=/=Лtff /li? Как
изменится
результат,
если
ядро
жестко
закреплено
в
кристал­
лической решетке (эффект Мёссбауэра)?
646*.
схеме
Покоящаяся
а- а 1 +а 2 +аз
частица
на
три
а с
массой
частицы
с
т
распадается по
массами
т1,
т2,
тз
и
кинетическими энергиями Т 1 , Т2 , Т 3 • Исследовать кинематику
та~юго распада с помощью диаграммы Далица. Для этого ввести
переменные х= (Т2 -Тз)/V3, у=Т 1
(х, у).
Каждому
конкретному
и рассмотреть плоскость
распаду
отвечает
определенная
точка на этой плоскости.
а) Доказать, что закон сохранения энергии ограничивает на
плоскости (х, у) область, имеющую форму равностороннего тре­
угольника. Убедиться в том, что длины перпендикуляров, опущен­
ных из точки, изображающей данный распад, на стороны тре­
угольника, равны кинетическим энергиям образующихся частиц.
б) Убедиться в том, что двух введенных величин х и у доста­
точно для определения величин импульсов образующихся частиц
и
углов
между
импульсами
в
системе
покоя
распадающейся
частицы.
в) Закон сохранения трехмерного импульса прпводит к то:'11у,
что не все точки внутри треугольника отвечают пстинны!\1
рас­
падам. Найти на плоскости ху область, внутри которой распады
m 2 =m 3 =0, m 1 =/=0.
647. Построить диаграмму Далица (см. условие предыдущей
задачи) для распадов u- и К-мезонов:
кчнематически возможны, для частного случая
а)
µ±.-e±+2v,
б) К±~л 0 +е±+v.
165
В последнем процессе электрон, как правило, рождается ультра­
ре.1Jятивистским, и его массой покоя можно пренебречь. Опре­
делить максимальные энергни частиц
Построить диаграмму Далица (см. задачу
648.
646)
для рас­
пада покоящегося К+-мезона по схеме
к+- л-+л++л+.
Энергия
распада
Q=mк-3mл=75
Мэв<mл
(с=
1),
поэтому
рождаюшиеся л-мезоны можно приближенно считать нереляти­
вистскими. Какова максимальная энергия I<аждой из частнц?
649. Постропть диаграмму Далица (см. условие задачи 646)
для распада w-мезона по схеме
w - л++л-+л 0 •
Считать массы всех трех мезонов одинаковыми, энергия распада
Q=mw-3m,i=360 Мэв>mл, mw=780 Мэв (c=l). акова наи­
большая энергия каждого из мезонов?
650*. В условии задачи 646 изложены правнла построения
диаграммы Далица для распада трех частиц. Вероятность dW
распада имеет вид
dW=pdГ.
Здесь р - величина, зависящая от сил взаимодействия, ответ­
ственных за распад, и от импульсов частиц, а tiГ - элемент фа­
зового объема Г, определяемого интегралом
г=
где
Pi -
f
(dp1) (dp2) (dрз)
)
~ ~ ~ 6 (Pi - Pli - P2i - Рзi ,
4-импульс
распадающейся
частицы
распаде из состояния покоя), Ра~=(Ша,Ра),
(Pi =
(т, О)
cx=l, 2,
при
3-4-им­
пульсы образующихся частиц, (dpa) - элемент объема импульс­
ного пространства а·Й частицы. Четырехмерная б-функция вы­
ражает собой закон сохранения 4-импульса при распаде п пока­
зывает,
что
интегрирование
производится
только
по
тем
значениям импульсов р 1 , р 2 , Рз, которые совместимы с законами
сохранения энергии и импульса.
Выразить dГ через
dx, dy
и показать, что фазовый объем Г
выражается в соответствующем масштабе площадью разрешен­
ной области на диаграмме Далица. Доказательство произвести
для общего случая т1 =1=т2=/=тз=/=О.
651.
Частица с массой т налетает на покоящуюся частицу
с массой т1. Происходит реакция, в которой рождается ряд ча­
стиц с общей массой М. Если
ческих энергиях
запрещена
налетающей
законом
m+m1<M,
частицы
сохранения
то при малых кинети­
реакция не идет
эн~ргии.
Найти
значение кине'Nlческой энергии налетающей частицы
166
-
она
м·инимальное
(энергети-
-ческий порог То реакци~.J..), начиная с которого реакция стано­
вится энергетически возможной.
652. Найти энергетические пороги
Т0 следующих реакций:
а) рождение п-мезона при столкновении двух нуклонов (N +N - N+N+n); б) фоторождение п-мезона на нуклоне (N+y- N +п); в) рождение К-мезона и А-гиперона при столкновении
.п-мезона с нуклоном
тон
-
антипротон
массы
т.
(п+N -л+К);
при столкновении
Рассмотреть,
в
частности,
Оценить порог для рождения
числом А, считая
r) рождение парм про­
массы mp с ядром
протона
столкновение
с
протоном.
антипротона на ядре с массовым
m=mpA.
Найти приближенное выражение энергетического поро­
653.
га То реакций, в которых изменение ЛМ массы сталкиsающихся
частиц составляет малую часть их сбщей массы М ( «реакция
между нерелятивистскими частицами»). Применить полученную
формулу к нахожд~нию энергетического порога То реакций:
а) фоторасщепление дейтерия (реакция y+Hf-p+n); б) реак­
ция Не~ + Не~ - Li~ + р. Сравнить полученные приближенные
значения с точными (см. зада чу 651).
654. Доказать, что рождение пары электрон - позитрон од­
ним
у-квантом
возможно только,
если
в
реакции
участвует
ча­
-стица с массой покоя т 1 =1=0 (внутреннее состояние этой частицы
не
меняется;
ее
роль
состоит
в
том,
что
она
принимает
часть
энергии и импульса, делая возможным выпо.,шение закона сохра­
нения). Найти порог То реакции рождения пары.
655. Доказать, что законом сохранения энергии-импульса за­
nрещена
1\1ая
аннигиляция
испусканием
пары
одного
электрон
у-кванта,
-
но
позитрон,
нет
сопровождае-
запрета
на
реакцию
аннигиляции пары с испусканием двух фотонов.
656.
Частица с энергией
1ff
и массой т1 налетает на покоящую­
ся частицу с массой т 2 • Найти скорость v центра инерции относи­
'Тельно :1абораторной системы отсчета при таком столкновении.
657*. Частица с массой т1 и энергией fff o испытывает упру­
гое соударение с неподвижной частицей, масса которой т 2 • Вы­
разить углы рассеяния -D1, -D2 частиu в лабораторной системе
отсчета через их энергии fff 1, tff 2 после столкновения.
658. Основываясь на решении предыдущей задачи, выразить
энергию частиц, испытавших упругое рассеяние, через углы рас­
сеяния в лабораторной системе отсчета.
659.
У льтрарелятивистская частица с массой т и энергией
Ео упруго рассеивается на неподвижном ядре с массой М>>т.
0:-~ределить зависимость конечной энергии 1ff частицы от угла -D
ее рассеяния.
660. Решить предыдущую задачу для случая неупругого рас­
сеяния частиuы на ядре. Энергия возбуждения ядра ЛЕ в си­
стеме его покоя удовлетворяет неравенству тс24::. ЛЕ 4::. Мс2.
167
661. Частица с массой т испытывает упругое соударение с
неподвижной частицей такой же массы. Выразить кинеrическую
энергию Т1 рассеянной частицы через кинетическую энергию Т0
налетающей частицы и
yroJI
рассеяния
tt1.
ИспОJ1ьзуя резу,1ьтаты задачп 658, найти в нереляти­
вистском с,1учае зависимость кинетических энергий Т 1 и Т2 ча­
662.
стиц, испытавших упругое соударение, от начальной кинетической
энергии Т 0 первой частицы и уr,1ов рассеяния 1't1 и ft2 в ,1аборатор­
ной системе отсчета (вторая частица до сто,1кновения покоилась).
663. Частицы с массами m 1 и т 2 испытывают упругое столк­
новение. Их скорости в снстеме ц. и.
v; и v;,
угол рассеяния
tt',
скорость системы ц. н. относите,1ьно лабораторной системы V.
Опреде,1ить yro,1 х раз.r1ета частиц в лабораторной системе. Рас­
смотреть, в частности, с.11учай т1 = т2.
664. Квант света с частотой ы 0 рассеивается на движущемся
свободном э,1ектроне. Нача,1ьный импу,1ьс р 0 э,1ектрона состав­
,1яет yro,1 tt 0 с направ,1ениеы распространения кванта. Найтп за­
висимость частоты ы рассеянного фотона от направ,1ения его
движения (эффект Комптона). Рассмотреть, в частности, случай,
когда э,1ектрон до сто,1кновения покои,1ся.
Фотон
665.
с
энергией
/J(l)o ра~сеивается на у,1ьтраре,1яти­
>>. hffio. Найти мак­
вистском э,1ектроне с массой т и энергией Шо
симальную энерrшо
hffi
рассеянного фотона.
Найти изменение энергии э,1ектрона при сто,1кновении
его с фотоном. Нача,1ьная энергия э,1ектрона /5 0 , фотона hffio,
yro,1 между их импу,1ьсами tt. Исс,1едовать резу,1ьтат. При каких
ус,1овиях э,1ектроны будут ускоряться под действием фотонных
ударов?
667. Выразить инвариантные переменные s, t, и (Xl. 13) для
666.
с,1учая
упругого
рассеяния
одинаковых
абсо,1ютную величину импу,1ьса
ме
ц.
q
частиц
через
и угол рассеяния
массу
tt
т,
в систе­
и.
668.
Пусть в лабораторной системе частица Ь покоится. Вы­
разить энергию Ша частицы а в .1абораторной системе, а также
энергии ;с~, ;с~ частиц в системе ц. и. через шrвариантную пере­
менную
(см.
s
ве,1ичин
(XI. 13)).
трехмерных
Сдел;нь то же самое д,1я абсототных
11мпу,1ьсов Ра• р' (Р~
=
р~
=
р'). Испо,1ьзо­
вать систему единиц, в котороii: скорость света с= 1.
669. Выразить энергии Шс, Шd частиц, возникающих в резу.1ь­
тате
двухчастичпой
(XI. 13).
реакции,
через
инвариантные
переменные
Энергии Шс, Шd относятся к лабораторной системе от­
счета.
670.
Выразить
yro,1
е между трехмерными импу,1ьсами Ра и Ре
в ,1абораторной системе при двухчастичной реакции через инва­
риантные переменные s, t, и (Xl. 13). Выразить через эти же пе·
ременные
]68
yro,1 0'
между импу,1ьсами р~,
р; в системе ц. и.
Построить область допустимых значений переменных
671.
и t (см. (XI. 13)) для реакции
v+P - n°+p
мезона на протоне). Ка~{ая точка этой области
рогу реакции? Каково пороговое значение То
в лабораторной системе? Какую кинетическую
в лабораторной системе .n°-мезон при пороговой
672.
соответствует по­
энергии v-кванта
энергию Т л имеет
энергии v-кванта?
Два v-кванта превращаются в пару электрон-позитрон.
Энергия одного из них задана и равна
82
s
(фоторождение п 0 -
энергии второго кванта и угла
t't
При каких значениях
00.
между их импульсами воз­
можна эта реакция? Изобразить эти значения на плоскости пе­
реJ\lенных 8 2 , cos tt. Найти также область допустимых значений
переменных s, t (Xl. 13). Энергию записывать в единицах тс2 ,
673.
(XI. 13)
где т
масса электрона.
Построить на кинематической плоскости переменных s, t
физические области, соответствующие следующим трем
процессам:
+ р - п+ + р - упругое рассеяние,
+ fJ- :rC + р -упругое рассеяние античастиц,
п+ + л- - р + р - рождение пары прогон - анпшрото;1.
а) п+
б) п-
в)
Массы всех мезонов и всех нуклонов одинаковы (т и М соответственно).
674. Доказать, что излучение II поглощение света свободным
электроном в вакууме невозможно. Исходить из закона сохра­
ненпя энергии
-
импульса.
Доказать, что прп равномерном движении заряженной
свободной частицы в среде с показателем преломления n(ro)
(масса частнцы т, заряд е, скорость v) может происходить из­
лученнс электромагнитных волн (эффект Вавилова - Черенко­
675.
ва)
*).
Выразить угол О между направлением rаспространения
во.1ны и направ.11ением скорости
v
частицы через
v, u>,
п
(ro) ( ер,
с задачей 827).
У к а з а н и е. В по1юящейся среде с показателем преломле­
ния п ( ш)
фотон
обладает
энергией 0 = hro и импульсом
hы
p=n((J))-c-·
676. Доказать, что свободный электрон, движущийся в среде
со скоростью v, может поглощать электромагюпные волны, ча­
стоты
(u
которых
удовлетворяют
неравенству
- показатель пре:юмлення среды.
677. Частица, имеющая, вообще говоря,
v>cfn(ш),
где
п (ш)
содержащая
двпжется
сложную структуру и
внутри себя электрические заряды (например, атом),
равномерно
со
скоростью
v
в
среде
с
показателем
'") Аныюrичный эффект может иметь место также при прохождении через
вещество нейтральной частицы, обладающей
э.1ектрически,1
или
магннтиым
моментом.
169
преломления
п (ы)
При
переходе
в
и находится в возбужденном состоянии.
нормальное
состояние
частица излучает
квант с частотой ы 0 (в системе покоя). Этот квант наблюдается
в лабораторной системе отсчета под углом t} к направлению дви­
жения частицы. К:акая частота ы наблюдается в лабораторной
системе ( эффект Доплера в преломляющей среде)? Рассмо-·
треть, в частности, случай (uo - О.
У к а з а н и е. Члены второго порядка по 1i не учитывать,
считать, что !i(t) 0 <t;.mc2 , где т - масса частицы.
678. Частица, рассмотренная в задаче 677, движется равно­
мерно
через
среду,
находясь
(остальные условия задачп
в
своем
нормальном
состоянии
677 сохраняются). Доказать, что при
этом может происходить излучение, сопровождаемое возбужде­
нием
частицы.
Выяснить, какие условия необходимы д.r1я воз-­
никновения такого излучения. Найти частоту ы этого из.11уче1111я
( сверхсветовой эффект Доплера).
679.
Из законов сохранения энергии и импульса следует, что
черенковское
излучение
одного
кванта
частоты
ш
невозможно,
если показатель преломления среды п(ы)<I (см. задачу 676).
В частности, невозможно одноквантовое черенковское из"1ученпе­
достаточно
жестких фотонов, так как при больших частотах
11 ( (u)
1. Показать, что при равномерном движении быстрой за­
ряженной частицы с энергией &о через среду может происхо­
<
дить излучение сразу двух фотонов, один из которых (с частотой
ы2) может быть жестким, та к что для него п ( (t) 2) -+ 1. Выяснить,
каким условиям должны удовлетворять частота ы 1 другого фо­
тона
и скорость Vo частицы
(1iы1
<t:.
сро), чтобы
был возможен
такой процесс (жесткое излучение Вавилова - Черенкова). Ка­
кова наибольшая энергия жесткого кванта?
680. Рассмотреть кинематику жесткого излучения Вавило­
ва - Черенкова
( см. предыдущую задачу), считая электрон
ультрарелятиввстским,
кванта
малым.
& 0 >>тс 2 ,
Определить
а
угол
вылета
{}2
максимальное
жесткого
значение энергии
'(1iы2) шах жесткого кванта, которого можно достичь в этом слу­
чае;
рассмотреть
характерные
частные случаи.
К:ристаллическая решетка способна принимать импульс
только дискретными порциями q=2л1ig, где g - вектор обратной
решетки. В случае кристаллической решетки, элементарная ячей­
ка которой имеет форму прямоугольного параллелепипеда с реб-
681.
= (-п, , -n2 , -nз) ,
рам и а1, а 2 , а 3 , вектор
g
целые числа.
что кристалл,
Считая,
а1
а2
аз
где
n1, n2,
nз
имеющий очень
-
б
.11ю 'Ые
большую
массу, не может принимать от частицы энергию, выяснить, какой
характер будет иметь угловое распределение частиц, рассеивае­
мых на монокристалле.
682. Учитывая связь Ро=2л1i/'Ло между импульсом р0 часпшы
и соответствующей длиной волны л 0 , вывести условие Брэгга
·110·
-
Вульфа: 2а sin : = пл.0 , где а - расстояние между кристалли­
{} -
ческими плоскостями,
угол рассеяния частицы.
Выяснить, какой характер будет иметь энергетический
683.
спектр
тормозных
.tl\енных
частиц
квантов,
возникающих
на монокристалле
1,1ежду направленпем
при
рассеянии
(ер. с задачей
Угол
распространения тормозного кванта и пер­
воначальным импульсом частицы фиксирован и мал,
стица ультрарелятивистская, 15 0 »тс 2 •
§ 2.
заря­
681).
{}~ 1.
Движение заряженных частиц в электромагнитном
Ча­
поле
В электромагнитном поле Е, Н на точечную частицу с заря­
.дом е, движущуюся со скоростью v, действует сила .Поренца
F = еЕ
+ !:..v Х
с
Н.
(XI. 16)
За единицу времени кинетическая энергия частицы меняется
на величину
•
d't
F · v = еЕ · v = /5 = -dt
где
(Xl. 17)
'
/5 - энергия частицы (см. § 1).
Магнитное поле не совершает работы над частицей, так как
магнитная сила перпендикулярна скорости. Из величин
F
d't
d
t
и
можно составить 4-вектор (вектор силы Минковского)
F,=(
•
с
VF·v 2
1 - v {c 2
,
J1 1 -
F
v 2 {c 2
(Xl.18)
)·
4-сила выражается через тензор электромагнитного поля
F; =
-
е
с
-
F;kuk, где и,,
Fa,:
4-скорость частицы.
Дифференциальные уравнения движения частицы в четырех­
мерной записи имеют вид:
= eF; или т ~~; = : F;kЩ·
:
(XI. 19)
Проектируя эти уравнения на пространственные и временную
<>си, получим уравнения движения в трехмерной форме и закон
~охранения энергии:
р=еЕ
Здесь
Т =15 -
тс2 -
+:
v ХН,
T=ev · Е.
кинетическая
энергия
(Xl.20)
частицы,
р
-
импульс, точкой обозначено дифференцирование по времени
Формулы
(XI. 20)
ее
t.
применимы при произвольной скорости ча~
<:тицы.
171
Функция Лагранжа заряженной частицы в электро111агнитно,r
поле с потенциалами qJ, А имеет вид:
в
ре.'JЯТИВИСТСКОI\\
случае
1
J
i/
тс 2
= -
v2
и·'
l - -~ -
(Xl. 21)
в нepe.'IЯTIIBИCTCKOI\I случае
2
L= mv -И
2
(XI. 22)
'
где
И=
е
· v + е«р.
-А
-
с
(XI. 23)
Величина И играет роль потенциальной энерпш вза11модей­
ств11я частицы с внешним по.ТJем. Уравнения двнжения частицы
могут быть записаны в лагранжевой форме:
_!!____ _!1_!:_
dt дqi
- __!!.!::__ = О
дqi
(Х 1. 2 4)
'
qi -
qi,
обобщенные координаты и скорости.
Ток, возникающий при вращательном (орбита.ТJыюм) движе­
нии точечной заряженной частицы вокруг некоторого центра, ха­
рактеризуется магнитным моментом*)
где
=xl,
ttt
(XI. 25)
где х=е/2тс - гиромагнитное отношение, т - масса частнцы,
1 =ГXmv - момент импульса. Во внешнем магн11т110111 поле Н
на частицу действует вращательный момент
ствием которого момент импульса
закону
мента
dl
& = N.
111
Согласно
(XI. 25)
N = шх Н, под дей­
изменяется со временем по
зависимость магнитного
1110-
от времени определяется уравнением
dщ
dt =
Кроме
1
111еханического
и
'Xllt х н.
магнитного
(XI. 26)
моментов,
связанных
с
орбитальным движением, микрочастицы обладают также собст­
венным (спиновым) механическим
s
и магнитны1111tto моментами,
направленными параллельно или антипаралле.ТJЬно:
1110
=
'XQS.
(XI. 27)
Для электрона xo=e/mc<O, где е - заряд э,1ектрона, т- его
масса. Изменение со временем момента ш 0 описывается уравне­
нием (XI. 26), в котором х заменяется на 'Хо II m на 111 0•
*) Классическая теория, излагаемая ниже, применима к микрочастицам
лишь с оговорками. Последовательная теория движения э.1е11ентарных маг­
нитных моментов должна быть квантовой.
172
Нейтрон не имеет электрического заряда, но обладает, тем не
:менее, сшшовым ыоментu:11 ш 0 . Этот момент благодаря кванто­
вым
эффектам
поле Н
мол,ет
ориентироваться
во
внешнем
магнитном
двумя способами: по полю или против него, причем
(r)
первоначапьная
ориентация
сохраняется, если
выполнено опре­
деленное условие*). В этом случае движение нейтронов с маг-
1штньш моментом, ориентированным по полю или против него),
можно рассматривать как движение классических частиц в си­
.1овом по.те с потенциальной энергией
И=+ ш 0 Н,
где
Н
=1
(XI. 28)
Н (r) /.
Энергия И обычно очень мала, поэтому магнитное поле оказы­
вает в:шянне практически
ю1шь
на
движение очень
мед.1енных
(«холодных») нейтронов.
684.
Написать релятнвпстское уравнение двнженпя чгстицы
под действием силы
F,
выразнв импульс явным образом через
скорость v частицы. Рассмотреть, в частности, случаи, когда ско­
рость а) меняется только по велпчине; б) меняется только по на­
прав.Тiе1-шю; в) v<<c.
685. Выразить друг через друга вектор силы, действующей
на частицу в лабораторной системе (F) 11 в системе покоя (F').
Скорость частицы v.
686. Какая сила F действует с точки зрения наб.тюдаrе.'Iя в
мгновенно сопутствующей системе на тело массы т, находящееся
в ракете и неподвижное относительно нее, еслп ракета движется
R?
с релятивистской скоростью v по круговой орбите радиуса
687. Два заряда е и е' движутся параллельно оси х с рав­
НЫ!\111 постоянными скоростями v. Используя результаты задачи
610, показать, что эле1промагнитная сила, действующая между
зарядами, может быть получена по фор:,,1у.iе F=-e' grad ф из
так называемого конвекционного потенцнала **) ф= (1- ~2 )
;
,
где
R = У(х1 - х2) 2 + (1 - ~2) [(у1 -у2) 2 + (21 -22)2],
r 1, r2 при
радпусы-векторы зарядов. Что происходит с этой силоi'r
v-.c?
*) Ус.1ювие ад11абатичност11, состоящее в том, что угол П()13Орота по.1я
за единицу времени в той системе, rде нейтрон покоится, мал по сравнен~·ю
•
с частотои прецессии
wL
= - / j0 2ш Н
маrнитноrо момента
111 0
в поле Н.
**) I(онвекцпонным потенциалом движущейся как uелое системы зарядов
называется функция координат, диффереицирова11ие которой дает ко~шо­
ненты лоренuовой силы, действующей в лабораторной снсте\lе на един1;ч!1ыi1
пробный заряд, движущшiся вместе с этой системой заряда;;.
173
688. Найти конвеl{ционный потенциал ,JJ бесконечно дл11нного
прямого равномерно заряженного провода. Линейная плопюсть
заряда равна х в той системе отсчета, где провод по1<0ится. Про­
вод перемещается
v
поступательно со СI{Оростью
под
yr лом
а к
своей дюше (в лабораторной системе отсчета). Рассмотреть, в
частности, случаи а=О, a=:rr,/2.
689. Бесконечно длинная равномерно заряженная прямая с
линейной плотностью заряда х в системе, где прямая покоится,
перемещается
вдоль своей длины
равномерно со скоростью
v.
На расстоянии r от нее находится точечный заряд, движущийся
параллельно прямой с той же скоростью. Найти электромаг­
нитную силу F, действующую на заряд; скорость v про11з­
вш1ьна.
690. Распределенпе электронов в парал.~1ельном пучке обла­
дает аксиальной симметрией и характеризуется объемной плот­
ностью
заряда
р
в
системе
отсчета,
связанной
Э.'Iектроны ускорены разностью потенциалов
V.
с эJiектронами.
Полный ток в
пучке равен f/. Найти величину электромагнитной силы F, при­
ложенной к одному 11з электронов пучка в лабораторной системе
отсчета.
Указ ан и е. Воспользоваться результатом задачи
689.
Найти уширение Ла пучка электронов, рассмотренного
в предыдущей задаче, на пути L вследствие взаимного отталки­
691.
вания э~1ектронов. Сечение пучка
-
круг радиуса а. Считать уши­
рение малым (Ла«L).
692*. Частица с зарядом е и массой т движется с произволь­
ной скоростью в однородном постоянном электрическом поле Е.
В начальный момент времени f=O частица находилась в начале
координат и имела импульс р 0 . Определить трехмерные коорди­
наты II время t частиuы в лабораторной системе, в функции ее
собственного времени т. Исключив т, представить трехмерные ко­
ординаты частицы в зависимости от I
*).
Рассмотреть, в част110-
сп1,
нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.
693. Найти траекторию заряженной частицы с зарядом е и
массой т в однородном постоянном электрическом поле Е, ис­
пользуя результаты задачи 692. Рассмотреть, в частности, нере~
лятивистский случай.
694. Найти пробег l ре.аятивистской заряженной частицы с за­
рядом е, массой т и начальной энергией fff в тормозящем одно­
родном электрическом поле Е, параллельном начальной скорости
частицы.
695*.
Релятивистская частица с зарядом е и массой т дви­
жется в однородноl\1 постоянном магнитном поле Н. В начальный
момент времени
")
Зада•1а
i=O
может
быть
частица находилась в точке с радиусомрешена
таl{же непосредственно
вания уравнений движения частиuы в трехмерной форме.
174
путем
интеrриро•
вектором
r 0,
обладая импульсом Ро- Определить закон движения
частицы.
Нерелятивистская частица с зарядом е и массой т дви­
696*.
жется в скрещенных постоянных однородных электрическом Е=
=
(О, Еу, Е,) и магнитном Н = (О, О, Н) полях. В начальный мо­
мент
рость
t=O частица находи.11ась в начале координат и имела ско­
v= ( Vox, О, v 0,). Определить зависимости х (/), У (t). z (/).
начертить возможные траектории частицы.
У к а з а н и е.
Для
упрощения
=x+iy.
697. Релятивистская
интегрирования
ввести
и=
частица движется в параллельных одно­
родных
постоянных электрическом Е и магнитном Н полях
(E/IHllz). При i=O частица находилась в начале координат, об­
ладая импульсом Ро= (Ро.,,, О, Ро,). Определить зависимость х, у,
z, t
от собственного времени частицы -r.
Определить закон движения частицы во взаимно перш~н­
698.
дикулярных однородных постоянных электрическом Е и магнит­
ном Н полях. Сделать это двумя способами: а) испо.1ьзуя преоб­
разование Лоренца и считая известным двпжение частиuы в чи­
сто электрпческом или чисто магнитном поле (см. задачп 692 и
695) и б) интегрируя уравнения (XI. 19).
699. Найти кинетическую энергию Т частицы в функции соб­
времени -r
692, 697, 698
ственного
задачах
для
случаев
движения,
Частица, начальная скорость
700.
движется
в
скрещенных
постоянны'<
и магнитном полях Е= (О, Еу, Е,), Н
лить закон движения
ренца
и
считая
частнuы,
известным
которой мала
однородных
=
движение
(un~c),
электрическом
преобразования Ло­
частипы
(с111. задачу
нии использовать результаты задачи
чей 696.
в
(О, О, Н), Е ~Н. Опреде­
используя
электрическо111 и магнитном полях
701.
vo
рассмотренных
603.
в
параю1ельных
697).
При реше­
Ответ сравнить с зада­
Определить закон движения частицы с зарядо'\1 е и мас­
сой т в поле плоской электромагнитной волны
Е
t' = t -
где
п·r
-с-, n -
(t'),
Н
(t'),
орт распространення волны. В начальный
момент частица покоилась в начале координат.
У к а з а н и е. Обратить в11ш\1ание на то. что собственное вре­
-r частицы совпадает с аргументом t' п.1оской волны.
702. Нерелятивистская за ряженная частпuа с за о ядом е и
массой т проходит через двумерное электростатическое поле с
потенциалом (f!=k(x 2 -у 2 ), где k=const>O (.1Jинза с сильной фо­
кусировкой). В момент времени t =0 частица находится в точке
с координатами х 0 , у 0 , z 0 ; начальная скорость v 0 пара.1Jлельпа
мя
оси
z.
Определить движение частицы.
175
703.
Найти дифференциальные уравнения двпжею1я реляти·
в11стской •1астицы в элекгро111агнитном поле, нс:одя нз функции
Лагранжа в цилиндрических координатах.
Указ ан и е. При вычнслеюш производной по времени в
уравнениях Лагранжа нужно учитывать, что эта производная
берется вдоль траектории частиц, так что r, о:, z должны рас­
с111атриваться как функции времени.
704*. Между обкладками цилиндрического конденсатора с ра­
д11усами а II Ь (а<Ь) поддерживается разность потенциалов V.
В
пространстве
тричное
между обкладками
111апштное
поле,
имеется
напршкенность
акспа.ттьно_ симме­
которого
параш1ельна
осн конденсатора. Из внутренней обклад1ш, играющей роль ка­
тода, вылетают электроны с ну.ттевой начаjJьной скоростью. Най­
ти критическое значение пото;,а 111апштного поnя Фнр между об­
кладками,
прн
котором
электроны
перестанут
попадать на
анод
вследствие нскривленитт 11х траекторий в 111агн11тном поле.
705. Длинный прямой цилиндричесю1й катод радиуса а, по
которому течет равномерно распределенный ток 8 , испускает
электроны с нулевой начальной скоростью. Эти электроны дви­
жутся под действием ускоряющего потенциала V к длинному
коаксиально111у аноду радиуса Ь. Каково должно быть мини­
мальное значение разности потенциалов V1,p между катодом и
анодом, чтобы электроны достигали анода, несмотря на завора­
чивающее действие магитного поля тока 8?
706. По бесконечно длинному прямому цилиндрическому про­
воду радиуса а течет ток
8.
электрон, начальная скорость
С поверхности провода срывает:::я
v0
которого направлена вдоль про­
вода. Найти на11большее расстояние Ь, на 1юторое электрон мо­
жет удалиться от оси проводника.
707. Решить задачу 705, используя преобразование Лоренца
к с11сте111е
отсчета,
в которой имеется только одно поле ( Е
или Н).
У к а з а н II с. Воспользоваться результатами задач 606 и 706.
708*. Релятивистская частица с зарядом - е и массой т дви­
жется в поле неподвижного точечного заряда Ze. Найти уравне­
ние траекторип част11цы. Исследовать возможные траектории в
случае, когда мо111ент импульса
K>Ze 2/c.
•
У к а з а н и е. Воспользоваться законом сохранен11я энергии и
уравнен11ями, полученными в задаче
709.
Исследовать
возможные
703.
траектори11
частицы,
тренной в предыдущей задаче, в том случае, когда
рассмо­
K-<..Ze2/c.
710*. Релятивистская частица с зарядом е и массой т- дви­
жется в поле тяже.11ого одноименного точечного заряда Ze. Най­
ти траекторию частпцы и псслсдовать решение.
71 t. Показать, что пр11 двнжен1111 часпщы в кулоново~1 поле
притяжения ( см. задачу 708) скорость частицы стремится к с при
г176
О (Ze 2 ~Kc).
712.
Найти
траекторию
относите.1Jыюго
движения
нере.'lяти­
внстских частиц с зарядами е, е', !llассами т,, т2 и энергией [!;.
Исс.!Jедовать решение.
Найти дифференциа.'lьное сечение рассеяння а(0) нере­
713*.
.'lятивистских частиц с зарядом е в поле неподвижного точечного
заряда е'. Скорость частиц вдади от рассенвающего центра рав­
vv.
на
714.
Определить
отк.rюнення ре.rштивнстской заряжен-
yro.'l 0
ной частицы с зарядоl\1 е, энергией [f;>тс 2 и моментом импу.'lьса
K>lee'l/c,
пролетающей в ку.11оново111 по.!Jе тяже.rюго неподвиж­
ного заряда е' (см. задачп
708
и
710).
Ре.'lятивистская частица с зарядом е, l\Jaccoй т и ско­
ростью на бесконечности v0 рассеивается на 111а.тшй угол ку.'lо­
новым по.'lем неподвижного заряда е'. Опрсдетпь дифферен­
715.
циальное сечение рассеяния а ( 0).
716. Э.1Jектрон с зарядо111 е н массой т про.1Jетает в вакууме
над шюской незаряженной· поверхностью диэ.1Jектрика с прони­
цаемостью f.. Вначаде э.1Jектрон дв11га.1Jся пара.rше.1Jьно поверхно­
сти диэ.1Jектр11ка со скоростью
v
и
находи.!Jся
от нее на
расстоя­
нии а. На каком расстоянии х от проекции нача.1Jьного по.1Jоже­
ния э.1Jектрона на поsерхность д11э.1Jектрика Э.!Jектрон врежется
в
диэ.1Jектрик?
717*. В бетатроне во время ускорения э.1Jектрона магнитное
noJie
непрерывно
нарастает,
порождая
разгоняющую
э.1Jектrюп
э. д. с. инду1щ1111, а орбита его остается неизменной. Доказать, что
д.!JЯ ускорения электрона на орбите постоянного радиуса необхо­
ди1110, чтобы по.1Jный магнитный поток Ф, пронизывающий ор­
биту, бы.!J вдвое бо,1ьше потока Ф 0 , которыii получ11.1Jсн бы, ест,
бы поле внутри орбнты бы.1Jо однородно и равно пото на орбите
( бетатронное правп.10 «2 : 1»).
718*. Показать, что с точностью
до ЧJiенов v 2 /c 2 энергия за­
паздывающего взапмодействпя двух заряженных. частиц имеет
вид
U (t) =
е: 2
{
l - 2~2 [v 1 • v2 + (v 1 • n)(v2 • n)]} *),
г ..:i:e R - радиус-вектор относитеJiьного по.1Jожения частиц, п =
= RJR, v,, v2 - скорости частиц. Все вет1чины в правой части
равенства берутся в момент
t.
У к а з а н и е.
Воспо.1ьзоваться раз.1Jожениями потенциалов
Лненара - Внхерта, наiiденными ниже в задаче 757, оставив в
них то.'lько те ч.1Jены, которые не зависят от ускорений и их про­
изводных. Произвестп граднентное преобразо~ание потенциа.1Jов
"') Это Еыражение носит название формулы Брейтз. Аналогичное выра­
жепне ис~ользуется прн приближенном квантово\! опнсании запаздывающего
взаи~ю.1еиств11я.
12
В. В. Батыпш. И. Н. Топтыгин
177
таним образом, чтобы сналярный потенциал принял форму нудо­
нова потенциала.
719.
Найти
приближенное
выражение
фуннции
Лагранжа
двух взаимодействующих частиц с зарядами е1, е2 и массами
m1,
т2, учитывая эффент запаздывания с точностью до поправочных
членов порядна v 2 /c 2 .
720.
Частица с магнитным моментом щ и гиромагнитным от­
ношением
х
находится
во
внешнем
однородном
магнитном
по­
ле Н. Определить харантер движения магнитного момента ча­
стиuы.
721. Частина с зарядом е и массой т, имеющая внутренние­
(спиновые) механичесний s и магнитный
е
Ш=-S
те
МОМ(:'НТЫ,
совершает
нерелятивистсное
движение
элеJ<тростатичесном центрально-симметричном поле
во
внешнем
(J)(r).
Вычис­
лить энергию взаимодействия U спина с внешним полем в первом
неисчезающем приближении по v/c, приняв во внимание тома­
совсную пренессию мгновенно сопутствующей системы с угловой
сноростью
Происхождение пренессии Томаса поясн!Iется в задаче 567.
У 1< аз а ни е. Снорости изменения произвольного веJ<тора А
в неподвижном и вращающейся системах ноординат связаны со­
отношением
_ (dA)
-\- Q Х А
(dA)
dt неподв
dt вращ
-
где Q -
722.
угловая снорость вращения (см.
'
[64]).
Решить предыдущую задачу в предположении, что ча­
стица движется в потенциальном поле
V (r),
но поле не элен­
тричесное. В связи с этим 8 сопутствующей системе отсчета маг­
нитное поле отсутствует.
723. Нейтрон с магнитным моментом Jtt0 и нинетичесной энер­
гией Т влетает из пустоты в магнитное поле с напряженностью
Н = const, имеющее плоскую гранину. При наном условии ней­
трон отражается от поля?
724. Рассмотреть возможные траентории холодного нейтрона
(масса m, магнитный момен'f Ut0 ) в поле бесJ<онечвого прямого­
провода с тоном [!.
725.
мент
Потаи холодных нейтронов (сJ<орость
1tt0 , масса
m)
рассеивается
вого прямого провода с гоJ<ом
178
8.
на
v 0 • магнитный мо­
магнитном поле бес1юнеч~
Определить дифференциальную поперечную длину рассеяния
l (а)= 1:~
где
s·( а) -
1,
прицельное расстояние, при котором нейтрон рассеи~
вается на угол а.
Указ ан и е. Использовать схему решения задачи
713.
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [64, 65], Фок В. А. [107], Фреикель Я. И.
Гурев11ч Л Э. [49], Берrман П. Г. [13], Паули В. [87], Беккер Р. [12],
Спитцер Л. [98], Джексои Дж. [52], Челлеи Г. [114], Окунь Л. Б. [83], Бал­
дин А. М., Гольданский В. И., Розента.пь И. Л. [8], Зоммерфельд А. [56], Ли­
вингстон М. С. [73]. Гринберr А. П. [45], Кельман В. М., Явор С. Я. [581,
Моррисон Ф. [80], Скачков С. В. и др. [92], Тамм И. Е. [102], Франк И. М.
l!08], Гинзбург В. Л., Франк И. М. [37], Компанеец А. С. [60], Ахиезер А. И.,
Еерестецкий В. Б. [6], Голдстейн Г. [1ll].
1111],
ГЛ А В А
ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 1.
лll
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
Вектор Герца и разложение по му.1ыиnолям
Задача нахождення переl\\енного э.1е1промагнитного поля в
вакууме по заданнш.1у распреде.1ению зарядов р (r', t) и токов
j (r', t) может быть решена путеl\1 вычисления запаздывающих
нотенциалов:
<р (r, t) =
А (r,
где
t) =
Jр
ff
(r', tR- R/c) dV',
j (r',
(XII. l)
tR- R/c) dV',
(XII. 2)
=\
R
r - r' \, r - рад11ус-вектор точки наб.1юдешш по.1я.
радиус-вектор 11сточн11ка поля, dV' - элемент объема нс­
точнпка поля. Эти потенциалы удов.1етворяют уравненпям Да­
r' -
лаl\\бера:
Л<р
д2QJ
I
- с2 дt 2 = - 4:i:p,
ЛА--'- а2д = с 2 дt 2
(XII. 3)
4:.i:.
(XIJ. 4)
с J
н связаны между собоi, условием Лоренца
I дQJ
О
. А
d IV
+ст=•
Количество
неизвестных
функций
(XII. 5)
может
быть
уменьшено,
если вместо потенциа.1ов A{r, t) и <p(r, t)связанных между со­
бой уравнение!\\ (XII. 5), ввести одну векторную функцию Z(r, t)
(вектор Герца или по.1яризационный потенциал), через кото­
рую <р и А выражаются форму.'lами:
<р
= - div Z,
(XII. 6)
А =--'-~
с
дt •
Распределение
описывать
180
с
зарядов
помощью
и
токов
одной
(XII. 7)
при
векторной
этом
целесообразно
функции
Р (r',
t),
связанной с р и
j
соотношениями:
р=
- div
(XII. 8)
Р,
•
дР
J=аГ·
(XII. 9)
Такое определение величины Р обеспечивает выполнение урав­
нения непрерывности div j
поляризацией
+~
О. Величина Р называется
=
(не следует смешивать эту велпчину с поляриза­
цией диэлектрика).
Вектор Герца Z удовлетворяет уравнению ..q.аламбера
(XII. 10)
Векторы Е II Н выражаются через
Е
Z
4:п:Р,
= rot rot Z -
н _ _!_
д rot Z
с
-
форму.'lамн:
)
~
дt
(XII. 11}·
J
•
Чтобы найти электромагнитное поле по заданным р и j, ис­
полЕзуя вектор Герца, нужно Сl'Iачала определить с помощью
(:,ормул (XII. 8) и (XII. 9) вектор поляризации Р. Вследствпе
аналогии между уравнениями (XII. 3)-(XII. 4) и (XII. 10) век­
тор Герца выражается затем через Р так же, как запаздываю­
щие потенциа.1ы QJ и А через р и
fР
Z (r, t) =
j:
(r',
~-
R/c)
dV'.
C~II. 12)
Если система зарядов и токов закточена в ограниченной об­
.т1асти, размеры которой имеют порядок а, а порядок величины
длпн
волн,
существенных
в
спектральных
разложениях
потен­
циа.'lов, состав.'lяет Л, то прн
(XII. 13)
можно
произвести
разложение
подынтегральных
функций
по
степеням а/'А и a/r.
Если ограничиться первым членом такого разложения, то
Z (r t) = Р (t')
'
где
t' =i - r/c -
тра
системы.
r
время запаздыванпя
Величина
р (t') =
(XII. 14)
'
(ретардированное)
f r' р (r', t') dV'
цен­
(XII. 15)
181
т~редставляет собой электрический дипольный момент распреде~
ления зарядов (ер. с задачами 741, 742). Соответствующие вы­
ражения для А и <р будут тогда следовать из (XII. 6) и (XII. 7).
Особый интерес представляет рассмотрение поля на таких
больших расстояниях r от системы зарядов, что наряду
с
(XII. 13) выполняется неравенство
(XII. 16)
(волновая зона). В этом случае для нахождения поля можно
воспользоваться
разложением
векторного
потенциала
по
степе­
ням а/'А, котое.?е с точностью до (а/'А.) 2 имеет вид
А (r t) = р (t')
'
Здесь
n = r/r -
магнитных
cr
орт
в
2c 2r
направлении
волн,
;с
1n =
-
+ Q(l') + nt (t') х n
Jr' Х
•
cr
(XII. 17)
распространения электро~
j (r', t') dV'
(XII. 18)
f p(r', t')x~xpdV'
(XII. 19)
магнитный дипольный момент,
Qa
= ~ Qa13np,
Qa~ =
р
-
составляющие квадрупольного момента, точкой обозначается
дифференцирование по t'.
Характерна зависимость векторного потенциала в волновой
зоне от расстояния r до системы. Она обеспечивает (см. ниже)
существование неисчезающего на бесконечности потока энергии
в направлении от системы. Это значит, что таким векторным по­
тенциалом описывается излучение электромагнитной энергии.
Второй
(электрический
квадрупольный)
и третий
(магнит­
ный дипольный) члены в этом выражении по порядку величины
меньше в а/'А раз*) первого (электрического дипольного) члена
и могут быть отброшены, если только нет каких-либо особых
причин, ·сильно уменьшающих первый член.
В волновой зоне поле в достаточно малых областях про­
странства имеет характер бегущей от источника п.1оской волны.
Напряженности этого поля могут быть вычислены по фор­
мулам:
Н =..!.АХ n,
с
Е = Н Х n.
(XII. 20)
Угловое распределение излучения характеризуется количе­
ством энергии, протекающей а единицу времени через единицу
*)
Если излучающей системой является частица, движущаяся в ограни­
ченной области со скоростью
182
v,
то а/'А
"" v/c.
телесного
угла:
(XII. 21}
Полная интенсивность 1 излучения получается интегрирова­
(XII. 21) по всем направлениям.
При использовании разложения (XII. 17), получаем
нием
/=
В
3~3
(р) 2 +
случае
60~s [ 3 ; Q~.3
-(f Qf\YJ +
13
3; 3
(111)
2
•
(XII. 22)
периодичес,юго движения зарядов обычно пред­
средние по времени за период ве-
ставляют основной интерес
dl
JJИЧИНЫ / И dQ •
726. Непосредственной подстанов1юй убедиться в том, что за­
паздывающие потенциалы удовлетворяют уравнению Да.11ам­
бера и условию Лоренца.
727. Используя результаты задачи 32, получить формулу
(XII. 22).
728. Записать
уравнения,
1юторым
удовлетворяют эле1<тро­
маrнитные потенциалы CJ) и А, если вместо условия Лоренца
(XII. 5) наложить на них условие div А = О (та~< называемая
кулонова 1\алибров1<а).
729. По~<азать, что в волновой зоне при выполнении условия
Лоренца с1<алярный потенциал ограниченной излучающей си­
стемы может быть выражен через ве1порный потенциал форму­
лой CJJ = п · А.
730.
Используя результаты задачи
620 ( формулы (2)
и
(3)),
найти выражение для потери момента импульса в единицу вре-
мени - ~~ системой, излучающей ка~< эле1причес1шй диполь.
731. Найти уравнения силовых линий эле1причес1юго и маг­
нитного полей точечного эле1причес1юго дипольного осцилля­
тора с моментом р = Ро cos шf. Проследить за 1<ачественным из­
менением 1<артины поля в зоне, прилегающей 1< осциллятору, и
в волновой зоне.
У
1< аз а
ни е. Если
полярная
ось
направлена
вдоль р 0 ,
то
эле1<тромагнитное поле осциллятора имеет вид
Еr =
2
; 2 cos -tt
Е6 =
:
°
0
[
+
sin -tt [ ( ,12
cos (kr - (i)f) + k sin (kr - (i)f)] ,
-
k 2 ) cos (kr - (i)/) +
: siп (kr -
(i)t)],
Еа= Н, = Но= О,
НO = -
2
p~k sin -tt [ cos (kr
- (i)f) - ;, sin (kr - (i)f)].
183,
732. Найти электромагнитное поле Н, Е заряда е, движуще·
гася равномерно по окружности радиуса а. Движение нереля­
-тивистское, угловая скорость
>> а.
11ия r
dl
и полную интенсивность
его
Расстояние до точки наблюде~
(t).
Найти средние по времени угловое распределенпе
l
излучения, а также исследовать
поляризацию.
Исследовать вдиянпе интерференции на излучение элек­
733.
тромаrнюных
два
волн
одинаковых
системой
зарядов
в
заряда
е
электрических
сдедующем
движутся
примере:
равномерно
с нерелятивистской скоростью и с частотой ffi по круговой ор­
бите радиуса а, оставаясь при этом на противоположных концах
Hаити
v
диаметра.
интенсивность
чения,
если
l
поляризацию,
угловое
Л
распределение
dQ
и
излучения. К.ак изменится интенсивность излу­
убрать
один
из
зарядов
(ер.
с
результатом
за­
дачи
732).
734. Насколько
должно
расположение зарндов в предыдущей задаче
отличаться
от
диаметрального,
чтобы
интенсивности
электрического дипольного и квадрупольного пз.11учений были
равны?
735. Колебания двух эле,прических дипольных осцилляторов
имеют одинаковую частоту ffi, но сдвинуты по фазе на л/2. Ам­
плитуды
дипольных
моментов
равны
по
величине
р0
и
направ­
лены под углом «р друг к другу. Расстонние между осциллято­
рами мало по сравнению с длиной волны. Найти по.1е Н в волv
навои зоне,
l
угловое распределение
dl
dQ
и
по.rшую
интенсивность
излучения
736. Исследовать состояние полярпзации поля излучения си­
стемы осцилляторов, рассмотренных
в предыдущей задаче, ис­
пользуя методику, изложенную в решении задач~
737*.
гии
на
даче
Найти среднюю по времени плотность
больших
732,
момент
скому
N,
расстояниях
от заряда,
l/r3 •
учптывая члены порядка
\'
399.
потока эне;)­
рассмотренного
в
за­
Найти вращате.1ьныii
приложенный к полностью поглощающему сферич~­
экрану
большого
радиуса,
около
центра
которого
двп­
жется этот заряд.
738. Равномерно намагниченный шар радиуса а с намагни­
ченностью М вращается с постоянной частотой (,) вокруг оси,
проходящей через центр шара и составляющей yro.11 «р с напра­
влением М. Найти электромагнитное поле Е, Н и исследовать
л
хара,пер поляризации. Определить угловое распределение
d~l
и полную интенсивность
739.
ет
184
с
Равномерно
неизменной
l
излучения.
заряженная
плотностью.
по
объему
Поверхность
капля
пульсиру~
кашш
при
э1ом
описывается
уравнением
R (tt) = Ro [1 + аР 2 (cos tt) cos rot],
где а<< 1. Заряд капли
q.
полную интенсивность
излучения.
1
dl
Найти угловое распределение
и
dQ
740. Электрический заряд q распределен сферически симме­
тричным образом в ограниченной области и совершает радиаль­
ные пу.JJьсации. Найти электромагнитное по.r1е Е, Н вне распре­
де,1ения
зарядов.
Найти выражения электрических днпольного Zp и ква­
друпольного ZQ, а также магнитного дипольного Z 111 членов раз­
ложения вектора Герца, справедливые при произвольной зави­
симости токов r;1 зарядов от времени, на расстояниях
а,
л>> а (выполнение условия
л не обязательно).
742. Найти в векторной форме выражения для напряжен­
ностей электромагнитных по.JJей электрического р и магнитного
11tдипольных осцилляторов на расстояниях от них, больших по
741.
r?>
,:»
сравнению с их размерами.
Указ ан и е. При
дифференцировании
по
r
учитывать,
что
,юменты р и 11t должны быть взяты JЗ ретардированный момент
t'
=
t - r/c
и, следовательно, зависят от
r.
743. Найти угловое распреде.JJение :~
ность 1 шлучения от открытого
а) в задаче 532; б) в задаче 533.
и полную интенсив­
резонатора,
рассмотренного:
У к аз ан и е. Эти резонаторы можно рассматрпвать как со­
nокупность электрического II магнитного диполей, колеблю­
щпхся с резонансной частотой w 0 •
744. Моменты двух одинаковых электричес1шх диполей на­
правJ1ены по одной прямой и осцил.JJируют в противофазе с ча­
стотой w ( ампщпуда Ро). Расстояние между центрами а, л
а.
Найти
электромагнитное
угловое
распредеJ1ение
ность
поле
на
расстоянилх
dl
излучения
d~~
и
его
r>>a.
полную
·>;>
Найти
интенсив-
J.
745*. В линейной антенне длиной l возбуждена стоячая
волна тока 9 с амплитудой 9 0 , частотой w и узлами на концах
антенны. Число полуво.1н тока, укладывающихся на длине антенны, равно т. Найти угловое распределение излучения
dl .
746 Н •
d!J
..: /ити полное излучение / и сопротив.JJение излучения
R = 21/80 антенны, рассмотр€нной в предыдущей задаче.
Указ а ни е. Результат выражается через интегральный ко-
синус
х
Ci
(х) = С+ ln х +
f
cos :-
1
dt,
о
18~
тде
С= 0,577 -
(8.230)).
747. В
постоянная
Эйлера
линейной антенне длиной
l
(см.
справочник
[91],
распространяется бегущая
8 = 8 0 ехр [i(ks - шt)], где k = ш/с, 6 ната точки на антенне. Найти угловое распределение
волна*) тока
коорди-
:~
и
полную интенсивность l излучения.
748*. В 1<руглой прово.'1очной петле радиуса а возбуждена
стоячая волна тока внда f/ = 8 о sin па' e-ilvt. Найти электромаг­
нитное поле Н, Е в волновой зоне.
749*. Центры двух электрических дипольных осцилляторов
с частотой ш и одинаковой амплитудой р 0 !1х находятся на оси z,
на
равных
расстояниях
от
начала
координат
и
на
расстоянии
.а=л/4 друг от друга. Колебания в осци.мяторах сдвинуты по
-
-фазе на :п:
/2 .
н аити
u
угловое распределение излучения
d/ •
dQ
750. Отражение системы В зарядов p(r, t) и токов j(r, t) в
плоскости z=O состоит в том, что а) каждая точка r(x, у, z) пе­
реходит в r'(x, у, -z); б) плотность заряда меняет знак:
p(r, t) =-p'(r', !), где р' -плотность заряда в отраженной си­
стеме В'. Выяснить, как при отражении преобразуются плот­
ность тока j (r, t), электрические р, Q и магнитный m моменты
системы, а также электромагнитное поле Е, Н.
751. Доказать, что элеI<тромагнитное поле произвольной си­
стемы В зарядов вблизи идеально проводящей плоскости может
быть получено каI< суперпозиция полей системы В и системы В',
отраженной в этой плоскости (см. предыдущую задачу). Рассмо7реть,
в
частности,
излучение
электрического дипольного осцил­
лятора с моментом p(f)=Pof(l)
(IPoi=l, f(t)-произвольная
фунI<ция), находящегося на расстоянии Ь<<л от таI<ой плоскости
и образующего с ней угол
qJo=const
(ограничиться электриче­
ским дипольным приближением).
752.
ЭлектричесI<ий диполь с амплитудой момента
р 0 и ча­
стотой ш находится на расстоянии а/2 от идеально проводящей
плосI<ости ( а<<л, вектор р 0 параллелен плоскости). Найти элек7ромапштное поле Е, Н на расстояниях r>?л и угловое распределение излучения
d/
dQ.
753. а) Показать, что еслп функция и (r. ,&, а) удовлетворяет
уравнению Гельмгольца Ли+k 2 и=О, то потенциал Герца для мо­
нохроматического поля электрического типа (Hr=O) с частотой
{J)=kc
в свободном от источников поля пространстве может быть
I д
представлен в форме: Z=иr+grad Х, Х = k2 а, (ru); б) найти вы-
*)
Нагрузки на концах антенны должны быть подобраны таким образом,
чтобы отраженной волны не возникало.
186
ражения составляющих напряженности электромагнитного поля
н, Е по осям сферической системы координат через u(r, it, а)
( функция и называется потенциалом Дебая).
указ ан и е. Доказывая, что ЛZ+k 2 Z=O, обратить внимание
на то, что существует соотношение лх+k 2 х+2и=О.
754.
Показать, что поле точечного электрического дипольного
осциллятора с моментом Poe-iыt, находящегося в точке ro(rollPo),
может быть описано потенциалом Дебая (см. задачу 753) вида
и=
р
/kR
R = r - Го.
У К а За НИ е. Вектор Герца Z=иr+grad Х, соответствующий
- 0 -R ,
Го
где
потенциалу и, отличается от выражения
~ etkR (см. XII. 14),
но приводит к тем же выражениям Е и Н.
755. Точечный электрический дипольный осциллятор с момен­
том p 0 e-iыt находится на расстоянии Ь от центра идеально про­
водящего шара радиуса а. Момент направлен я1юль линии. со­
единяющей диполь с центром шара. Воспользовавшись потен­
циалом Дебая и (см. задачу 753), найти электромагнитное поле
V
EHH
, . аити
§ 2.
d/
dQ. •
угловое распределение излучения
Электромагнитное поле точечного заряда,
движущегося произвольным образом
Точечный заряд е, движущийся со скорстью v(t') и находя­
щийся в момент времени t' в точке r 0 (t'), возбуждает электро­
магнитное
мени
t
поле,
потенциалы
которого
1,
где
в
QJ(r,t)=R:
•V
1C t '
R=r- ro.
Ретардированное время
A(r,t)=
t'
С
r
точке
определяются формулами Лиенара
-
в
момент
(Re;
/ ) 't' '
•VC
(XII.23)
определяется уравнением
c(t-t')=IRI.
Из потенциалов Лиенара
вре­
Вихерта:
-
(XII.24)
Вихерта можно получить напря­
женности поля:
Е (r t) = е
'
(1 -1} ) (п -v/c)
(1-n·v/c) 3 R 2
2
Н
= n
+ encХ(1-n-v/c)
[(n -v/c) Х ;,J 1
R
2
3
1, '
(XII. 25)
1,, ХЕ,
где
n=R/R,
Первый член
~=v/c.
Е и соответствующий ему член
поле, уб1tшающее с расстоянием по закону
1/R 2
Н описывают
(квазистационар­
ное поле), которое дв1:1жется вместе с зарядом, не отрываясь от
187
него. Второй член в Е п сооrветствующий ему член в Н описы­
вают поле, убывающее с расстоянием по закону 1/R (поле излу­
чения); поток энергии этого поля не зависит от R. Это означает,
что поле излучения отрывается от породившего его заряда. На
большом расстоянии от заряда (в волновой зоне) квазистацио­
нарное поле пренебрежимо мало по сравнению с полем излуче­
ния. Как видно из (XII. 25), условием возникновения поля излу-
чения является наличие ускорения v=f,,O.
Интенсивность излучения в направлении
n=
R/R
выражается
через напряженность электрического по.1я Е в волновоi'r зоне
dln
с
2
-dQ =-E
(t) R2 =
4л
е 2 [2(n-v)(v-v)
= 4лс 3 с (1 -
n • v/c) 5
+ (1 -
v
2
{l-v 2 /c 2 )(n·v) 2
n. v/c) 4
]
(1 - n · v/c) 6
-
•
(XII. 26)
Если скорость v заряда мала по сравнению со скоростью све­
та, то поле излучения может быть разложено по мультиполям, и
для
его
вычисления
можно
воспользоваться
формулами
(XII. 17)-(XII. 22).
В результате излучения ускор€нно движущаяся частица те­
ряет свою энергию /!! и импульс р, передавая их электромагнит­
ному полю. Потерю i-й составляющей 4-вектора энергии - им-
пульса частицы р; = (; , р)
в единицу собственного времени,:
можно выразить через 4-скорость и; 11 4-ускорение
wi
частицы:
(XII. 27)
Потеря энергии частицей в единицу времени в лабораторной си­
стеме отсчета -d/ff /dt' (скорость потери энергии) отличается от
временной составляющей (XII. 27) множителем v = -V
=v
1
,
1 - v 2/c 2
Полная интенсивность излучения, получаемая
A(Ro, ·t)
заряда, совершающего r~ериодическое движе­
так как dt'
d,:.
интегрированием (XII. 26) по углам, не совпадает, в свою оче­
редь, со скоростью потери энергпп (см. задачи 762-768).
Поле
ние по замкнутой орбите
r=ro(i') с периодом 2n/wo, может быть
разложено в ряд Фурье
А (R0 , t) = ~ А 1 ехр [ - ironltJ. Компо-
00
1=-оо
нента Фурье А 1 поля на больших расстояниях от орбиты выра­
жается формулой
А1
188
=е
ikR., !
cR.oT j' ехр [i (lroot' - k • r 0 (t') )] v (t') dt',
(XII. 28)
где
2л:
roo = т'
Jlнтеrрал распространен по всей траектории заряда.
Заряженные частицы
нием
и,
вследствие
при столкновении движутся с ускоре­
этого,
излучают
электромагнитную
энерrпю.
Закон движения сталкивающихся частиц 11, следовательно, излу­
чаемая
ими
при
столкновении
энергия
определяется
имодействия II прицельным расстоянием
s ( если
видом
вза­
потенциальная
энергия взаимодействия сталкивающихся частпц зависит только
от расстояния между ними). Энергию, излучаемую во всех на­
правлениях при рассеянии потока частиц, удобно характеризо­
вать полным эффективным излучением
00
x=2n
JЛW(s)sds,
(XII. 29)
о
rде Л W (s)
энергия, излучаемая при одиночном столкновенпи
-
двух частиц с прицельным расстоянием
s.
Распределение излучения по направлениям характеризуется
дифференциальным эффективным излучением
деляется выражением
f
dxn,
которое опре­
00
dxn _
dQ - 2:п;
d(t.Wn (s)J
dQ
(XII. 30)
s ds.
о
Здесь
d [t.:~ (s)J _
энергия, излучаемая в направлении n в едп­
нпцу телесного угла
s,
расстоянием
при
одиночном
усредненная
по
сто,тткновенпп с прицельным
азимуту
в
плоrкости,
перпенди­
кулярной потоку частиц. Аналогичной формулой определяется
дпфференциальное эффективное излучение на единичный интер-
вал частот
dхu;
dro • Если главную роль при стошшовении играет ди-
польное излучение, то
dxn
dQ
rде
P 2(cos -&)
2), ,О, -
жение
(XII. 30)
I
= 4 :тtсз
принимает вид
[А+ ВР2 (cos -&)],
= 3/2cos 2 ,О, - 1/2 -
(XII. 31)
полином Лежандра
полярный угол между направлением
и направлением
z
(см. прило­
n
излучения
потока падающих частиц,
А=
:
f
В=~
2ns ds
оо
f
о
\
+оо
00
2nsds
f
+оо
f (р2 -
р2 dt,
1
f
3p;)dt.
(XII. 32
J
J
189
Спектральное разложение излучения при столкновенни, про­
должителыюсть которого т, в области малых частот <от~
жет быть найдено по формуле
dЛ\17w
2
['-,
~ = Злсз ....le
,де сумма
берется
(v2-V1)
Получить потенциалы Лиенара
-
мо­
(XII. 33)
по всем сталкивающимся частицам,
скорости частиц до и после столкновения
756*.
]2 '
1
V1, V2 -
(v1, t 12 «:c).
Вихерта (см. (Хil.23))­
нз общих формул для запаздывающих потенциалов.
У к а з а н и е.
Распределение
точечного
заряда
характери­
зуется объемной плотностью p(r', f) =ei) [r' - ro(i)], где Го(/) радиус-вектор частицы в МОl\tент времени t, е - ее заряд. При
вычислении об ьемноrо интеграла по dV' = dx'dy'dz' нужно пе­
рейти к новой переменной R1 = r' - r 0 •
757*. Произведя разложение по степеням R/c в общих фор­
мулах запаздывающих потенциалов
ложение потенциалов Лиенара
-
(XII. 1), (Xll. 2),
найти раз­
Вихерта по степеням
1/с.
Получить потенциалы поля равномерно движущегося то­
чечного заряда из потенциалов Лиенара - Вихерта, выразив в
последних ретардированное время t' через время t набJ1юдения
поля (ер. с задачами 610 и 811).
759. Найти напряженности поля равномерно движущегося то­
чечного заряда, воспользовавшись для этого общими форму­
лами (XII. 25). Выразить поле через время t его наблюденпя.
исключив ретардированное время t' (см. ответ к задаче 610).
758.
760. Заряд е движется с малой скоростью v и ускорением
v
в ограниченной области. Найти приближенные выражения э.ТJек­
тромагнитноrо поля Е, Н частицы в точках, расстояние r до ко­
торых от частицы велико по сравнению с размерами области дви­
жения заряда. Определить положение границы квазистационар­
ной и волновой зон.
761.
Определить угловое распределение
ряда, рассмотренного в предыдущей задаче.
dl
dQ
излучения за-
Найти по.пное из­
лучение/.
762*. Частица теряет в единицу времени за счет излучения
в некотором направлении энергию
( - d:~Q ) ( скорость
потерь
энергии на единицу телесного угла в данном направлении). Вы-
разить эту величину через интенсивность излучения :~ в дан­
ном направлении, определяемую вектором Пойнтинrа. Решить
задачу двумя способами: а) аналитическим - рассмотреть связь
ретардированноrо времени t' с временем наблюдения t;,_б) гео­
метрическим - рассмотреть форму области пространства, в кота.
190
-
рой локализована электромагнитная энергия, излученная части­
цей за время
763.
dt'.
Доказать,
что
если
частица
совершает
периодичес1<0е
движение, то средняя за период скорость потерь энергии совпа­
дает со средней интенсивностью излучения.
764. Доказать формулу (XII. 26).
765. Найти суммарную по всем направлениям скорость поd't:)
.
.
.
-герь энергии (- di' излучающем заряж~ннои частицеи, выразив
ее а) через скорость v ( /') и ускорение v ( /'), б) через скорость
v (t') и напряженности Е, Н внешнего электромагнитного поля,
вызывающего ускоренное движение частицы. Масса частицы т,
заряде.
766.
Выразить скорость потери импульса ( -
заряженной
частицей
через
суммарную
по
d
dir) излучающей
всем
направлениям
скорость потери энергии.
Излучающую
767.
частицу
наблюдают
из
двух
систем
от­
счета, движущихся равномерно друг относительно друга. Срав­
нить суммарные по всем
направлениям
скорости потерн энергии
частицей в этих системах отсчета.
768. Скорость v релятивистской частицы в некоторый
ретардированноrо времени t' параллельна ее ускорению
тн
мгновенное
угловое
распределение
интенсивности
момент
v.
Най­
излучения
~~ , полную мгновенную интенсивность излучения /, а также
суммарную
( - :; ) .
по
всем
направлениям
скорость
потери
энергии
Какой характер имеет угдовое распределение интен­
сивности излученпя в у.т:~ьтрарелятивистском случае?
769. Скорость частицы убывает от v 0 до О в течение проме­
жутка времени т. Найти угловое распределение тормозного излу­
чения,
испущенного за
все время движения
частицы,
считая
ус­
корение постоянным. Какая длительность Лt импульса будет
зарегистрирована покоящи~1ся прибором?
770. Релятивистская частица с зарядом е, массой т и им­
пульсом р движется по круговой орбите в постоянном однород­
ном магнитном поле Н. Радиус орбиты а=ср/еН. Найти суммар­
ную по всем направлениям скорость потери энергии
d't,'
(
частицей
-dt')·
771.
У льтрарелятивистский электрон движется в однородном
магнитном поле с напряженностью
скорость
d'l
- df,
v
составдяет
угол
0
Н по винтовой линиы. Его
с вектором Н. Найти энергию
теряемую электроном в единицу времени. Найти также
поток энергии излучения
/
через неподвижную сферу большого
радиуса, окружающую электрон.
191
Найти 1\Irновенное yr.YJoвoe распреде:1ен11е ннтенсивностп
772.
dl
излучения
•
•
d!
ре.УJятпвпстскон частнцы, скорость 1юторои в ре2
тардированный момент вре:нени перпендпкулярна ее ускорению.
Начертить полярную диаграl\11\!У для случаев v4;:.c и v,..,, с. Опре­
делить
направлениfl,
v
в
которые
не
происходит
пзлучения.
Частица с зарядо!II е п массо11 т движется со скоростью
773.
по окружности в постоянном однородно\! магнитноl\1 поле Н.
.
н аити
угловое
редненное
распределение
dl
dQ
по периоду обращения
пнтенсивностн
частицы
в
излучения,
магнитном
ус-
по.1е.
Какой характер принимает это угловое распреде.ление в улыра­
релятивистском случае
v,..,, с?
Указ а н и е. Использовать результаты предыдущей задачи.
Перейти к сферическим координатаl\1 с поюосом в центре круго­
вой траектории и полярной осью вдоль Н. При вычислении ин­
теграла
по
азимутальному
(3.428) из справочника [91].
774*. Найти компоненты
углу
воспо.УJьзоваться
форму.УJа11ш
Фурье поля излучения А 11 ,
Нп за­
ряда е, движущегося по круговой орбите радиуса а с реляти­
вистской скоростью v. Исследовать характер подяризации компо­
нент Фурье.
Указ ан и е. Использовать формулы (ПЗ.11) и (ПЗ.9).
Объяснить наличие высших гарыонпк в спектре поля за­
775.
ряда, движущегося с постоянной скоростью по круговой орбите
(см. предыдущую задачу). Как будут J11еняться интенсивности
этих гармоник, когда ~=v/c---+ О? Какой вид будет пметь по:1е
излучения в этом случае?
776*. Заряд е движется по окружности радиуса а со с1ю­
ростью v
~с. Найти спектральное раз.УJоженве
пнтенсивностн
=
излучения
777*.
тронов
dl
d~ в данном направлении.
На круговой орбите одновреlllенно налоднтся N э.1ек­
(см. задачу 774). Рассмотреть в.111я11ие ннтерференщш
полей, создаваемых эти!\lи электронами, на интенсивность излу­
чения п-й гар:моникп Фурье. Рассмотреть частные случаи: а) со­
вершенно беспорядочного расположения э.JJектронов; б) прави.r:1ь­
ного расположения электронов на угловом расстоянии 2n/N друг
от друга; в)
расположения электронов в виде сгустка, размеры
которого :малы по сравнению с радиусоJ\1 орбиты (результат в
этом
случае существенно завнспт от отношения
длины
волны
к
размерам сгустка).
778*. Две частицы с заряда:ш, е1, е2 п :массами т1, m 2 (e 1/m 1 =1=
=1=е2 /т 2 ) совершают эллиптичес1юе движенне (см. задачу 712).
Найти по.УJную,
чения
192
l.
усредненную
по
врб1енп,
интенсивность
из.1у.
779.
dK
Найти среднюю за период потерю момеюа импульса Тt
свстемой
двух
частиц,
совершающих
элл,штическое двюкение
(01. предыдущую задачу).
~'казан и е. Общая формула для потери момента импу.1ьса
бы.1а получена в задаче
780*.
при
Найти дифференциальное эффективное излучение
рассеянии
ростью
730.
потока
частиц с зарядаl\\и
е1, массам11
т1
dxn
d~~
11 ско­
v 0 на одноименно заряженной частице с зарядом е2
11
массой т2.
Указ а ни е. При вычислен11и интегралов А II В, входящих
в формулу (XII. 31), перейти от интегрировання по dt к интегрнрованню по
ное
dr, dt =
расстояние, 2а -
dr
Т,
2а
r = r, 0 1 1 - , .
где
/
s2
-;ж
,s -
прицель-
минимальное расстояние, на которое могут
сб.шжаться частицы (оно достигается ПJЛI s=O). Интегрировать
сначала по ds, затем по dr. При вычислении В необходимо ис­
пользовать уравнение
траектории
относптельного движенпя,
торое можно найти в ответе к задаче
ко­
712.
781*. Частица с зарядом е 1 и массой т сталкивается с дру­
гой частицей, масса которой много больше т, а заряд е2; при­
цельное расстояние
s.
Кинетическая энергия налетающей частв­
цы велика по сравнению с потенциальной энергией взаис1юдей­
ствия частиц
e1e2/r.
Вследствие этого скорость
v
налетающей ча­
стицы может считаться постоянной в течение всего стоюшове­
нвя; она не обязательно мала по сравнению со скоростью света.
Найт11 угловое распределение полного из.1учения
треть, в частности, случай
/3 =
dtlW
d!:J" • РасСl\ю-
~ ~ 1.
с
Указ ан и е. Воспользоваться общей формулой для углового
распределения полного излучения
(XII. 26). Ускорение частицы
v выразить через действующую на нее кулонову силу 11 скорость
v частицы с помощью формул v=c2p/f!/ и p=e 1e2 r/r 3•
782. Определить полное излучение энергии Л W II юшудьса
Лр частицей, рассмотренной в предыдущей задаче, за все время
ее движения. Сделать это 1<ак непосредственно - путем интегри­
рования углового распределения, найденного в предыдущей за­
даче, так и с помощью формул, полученных в задачах 765, 766.
783*. Частица с зарядом е1 и массой т сталкивается с тяже­
ло,1 частицей, заряд которой е2 • Прицельное расстоянпе s ве­
лико,
так что кинетическая энергия частицы в течение всего
времени движения велика по сравнению с ее потенциальной
энергией. Скорость частицы
лучеюJЯ
частицы
dЛW
__
ro_
dro
13
В. В. Батыг1111, JJ. Н. Топтыгин
v<<c.
Найти спектр тормозного из-
Указ ан и е. Воспользоваться фор111улоi'I (П3. 15).
i84. Поток частиц с зарядом е и скоростью v~c рассеи­
вается на абсолютно твердой сфере радиуса а. Найти эффекпш­
ное излучение dxw в шпервале частот d(J). Чему равно по.,шое
эффективное излучение х?
785*. Поток частиц с зарядами е 1 и массами m 1 рассеивается
на частице с зарядом е2 и массой т 2 (_ ~ = ~).
Выразигь диф·
1112
т1
ференцпальное эффективное излучение
dxn
dil
через компоненты
Qaf3 квадрупольного момента системы. Результат представить в
форме, аналогичной (XII. 31, XII. 32).
786*. Найти полное эффективное излучение х при
рассея­
ппи потока заряженных частиц (заряд е, масса т, скорость
одинаковой с ними частицей.
§ 3.
v0 )
Взаимодействие заряженных частиц с излучением
Излучающая система частиц, передавая энергию и импульс
полю излучения, испытывает со стороны этого поля обратное
воздействие (реакция излучения). Если излучение имеет элек­
трический дипольный характер, то на каждую частицу с зарядом
е действует сила лучистого торможения (лучистого трения)
f
2е •··
= 3с3 р,
(XII. 34)
где р - электрический дипольный момент всей системы.
В частном случае одного заряда, скорость которого v~c.
(XII. 35)
В ультрарелятивистском случае
v::::::c
сила лучистого трения
может быть представлена в виде
fх =
-
3
(:ie:2) 4
[(Еу -
Hz) 2 + (Ez + fl у)2 ] rf'2 ;
(XII. 36)
ось х выбрана вдоль на.правления скорости частицы, Е, Н поненты
стица,
внешнего
<f = V
mс2
поля,
в
1<отором
движется
liзлучающая
ком­
ча­
-
энергия частицы.
1 - v 2/c 2
Сш~а лучистого трения, определяемая формулами (XII. 34) (XII. 36), не вполне корректным образом учитывает реакцию из­
лучения. Понятием силы лучистого трения можно пользоваться
толь1<0 тогда,
когда
эта
сила
мала
по сравнению с другими си­
ла:,ш, действующими на час7ицу в ее системе по1<оя. Это усло­
вие выполняется при движении частицы с зарядом е и массой т
194
в заданном электромагнитном поле Е, Н, еслп
(XII. 37)
'Л ~ Го,
m 2 c·1
е
е
'о
(XII. 38)
н~-з-=2·
где
л
-
длина
х 10-1з с.м -
(XII. 38)
и
вптся
во.~на,
"
частицеп, г0
излучаемая
е
= mc
2 = 2,8 Х
2
классический радиус электрона. Условия
(XII. 37)
означают, что классическая электродпнамика стано­
внутренне протпворечнвой
на
очень
малых
расстоянпях
(больших частотах) и в слишком сильных по.rшх *).
Электромагнптная волна, падающая на систеi\\у зарядов, вы­
зывает ускоренное их двнжение. Вследствпе этого, система ста­
новится
источником
вторичных
волн
-
рассенвает
падающую
волну. Процесс рассеяния характеризуется дифференцпальным и
полным сечешшми рассеяния, определение ко1орых дано в § 2
Г.'1. VIII.
Электромагнитное поле движущейся заряженной частицы об­
ладает энергией, 11мпульсо111 и, следовательно, мас~ой (электро­
магнитная масса частицы). Вопрос об электромагнитной массе
ЭJJементарных частнц не может быть решен на основе классиче­
ской электродинамики. Однако классическая теорин хорошо по­
ясняет саму идею электромагнитной массы. Задачи 787-790 нл­
люстрнруют основные по.1оження этой
теорнп,
а также возни­
кающие в ней трудности.
787*. Найтп ныпульс электромагнитного по.1ш частицы с за­
рядом е, движущейся равномерно со скоростью v. Частицу рас­
сматривать в ее системе покоя S' как твердый шарик с радпусоl\1
Го (в системе, где скорость частицы равна v, имеет место лорен­
цово сокращение). Внести электромагнитную массу т 0 покоя
частпцы,
по.1я
в
связанную
состоянии
соотношением
покоя.
Какие
Эйнштейна
при
этом
с
энергией
возникают
ее
труд­
ности?
788. Найти энергию \Vm магнитного поля, а также полную
\V частицы, рассl\!отренной в преды­
электромагнитную энергшо
дущей задаче.
789*. Найти силу F, с которой заряженная сферичесю1 сим­
( спла самодействия)
метричная частица действует сама на себя
при
ускоренном
v<<c.
поступательном
движении
с
малой
скоростью
Запаздывание и лоренцово сокращение не учитывать.
*) С.1едует отметить, что благодаря квантовым эффектам классическая
электродинамика становится неприменимой раньше, че1 обнаруживается ее
внутренняя противоречивость.
Это про11сход11т на
расстояниях
поря1ка
h
·
е
m 2c 4
Лс=--=137rо и в ПО,1ЯХ н---=--.
те
13*
Л 0 r0
137е 3
195
У к з з з ни е. Вычислить равнодействующую сил, приложен­
ных к малым элементам
de заряда частицы, воспользовавшись
выражением для напряженности ПОJIЯ точечного заряда (XII.25).
790*.
Найти уточненное выражение для силы
F сзмодействия
заряженной сферически симметр11чной частицы (см. предыдущую
задачу). При решении учитывать эффект конечной скорости рас­
пространения
взаимодействия
по времени t' - t
ментами частицы.
точечной частицы.
высокого порядка
791.
с точностью до
первого порядка
распространения взаимодействия между эле­
Рзссl\lотреть, в частности, предельный случай
Оценнть вклад отбрасываемых членов более
по t' - t в этом предельном случае.
К.зкое время Т прожил бы резерфордовский атом водо­
рода, если бы электрон в атоме двигз.Тiся II излучал как класси­
ческая частица? Считать, что электрон, теряя энергию, движется
к протону по пологой спирали, так что в каждый момент вре­
мени он излучает как заряд нз 1<руговой орб11те (рзднус орбиты
медленно меняется со временем). При каком условии справед­
ливо это предположение? Начальный радиус атома a=0,5· I0- 8 см.
792. Релятивистская чзспщз с зарядом е и массой т дви­
жется по круговой орбите в постоянном однородном магнитном
поле Н, теряя энергию нз излучение. Найти закон пзменения
энергии и радиуса орбиты со временем Е (t) и r (t). В началь­
ный момент времени t=O энергия частицы 0 0 (ер. с зада­
чей 791).
793. Электрон в бетатроне разгоняется нз орбите постоян­
ного радиуса а вихревым эле1прическим полем. Последнее инду­
цируется переменным мзгюпным полем частоты w. Нзйтв кри­
тическое значение энергии электрона 0 1 ,р, при котором потери
на излучение сравняются с энергией, приобретаемой элекгроном
за счет работы вихревого электричес1юго поля.
794*. Частица с зарядом е и массой т притягивается к не1<0торому центру квазиупругой силой - m(J)6r. В некоторый мо­
мент времени t=O в этом гармоническом осцилляторе возникают
свободные колебания. Учитывая реакцию излучения, но считая
ее малой, найти закон затухания этих колебаний. Определить
форму спектра такого осциллятора и ширнну спектральной ли­
нии ( «естественная ширина»). Как связаны между собой не­
определенность энергии 1i<,) излучаемых фотонов и время жизни
осциллятора?
795. Газ состоит из атомов с массой т. Неподвижный атом
этого газа излучает свет с частотой wo (естественной шириной
.лннии испускания пренебрегаем). Из-за теплового движения ато­
мов и эффекта Доплера наблюдатель, неподвижный относитель­
но сосуда с газом, зарегистрирует частоту, отличающуюся от
Найти форму
перзтуры Т.
196
dl{j)/dw
w 0•
спектра излучения газа, нагретого до тем"
У к а з а н п е. Скорости атомов газа распределены по закону
Максвелла
где
dN/N - до.1я молекул, скорость v которых заключена в проdv,..dvydv,, k= 1,38- I0- 16 эрг/град- постоянная Больu­
1\tежутке
I11ана. Так как выполняется условие
v<<c,
можно в формуле, вы­
рю1\ающей доплеровское изменение частоты (см. задачу
отбросить все члены, порядок которых выше v/c.
Излучающий
796.
атом,
описываемый
с:юго осuиллятора, движется
сто.1кновения
с
другими
в
газе;
атома!llи,
при
моделью
это111
скачком
атом
574),
гармониче­
испытывает
меняющие
характер
его колебаний. Вероятность того, что время свободного движе­
ния атома имеет продолжительность от т до т+dт, выражается
формулой
dW (т)
= ~ ехр [ - ~,:] dт (среднее значение промежут­
ка временп между столкновениями i =2/Г). Найти, пренебрегая
естественной шириной линии, форму
спектра излучения такого
dl
OCЦIIЛJlЯTOpa d~д .
797*.
волн,
На трехl\1ерный изотропный осuиллятор падает группа
характеризуемая
ности Sro
II
спектральным
распределением
полной интенсивностью S
=
J Sro dw
интеасив-
(S - количество
о
энергии,
протекающее
через
l
см 2 за
все время прохождения
группы). Шпрпна спектрального распределения
группы велика
по сравнению с естественной шириной спектральной линип осuил­
.1ятора у. Скорость электрона
v~c.
Найти энергию, поглощен­
ную осu11лляторо111 из световой волны, учитывая торможение из­
лучением. Как сказывается на результате характер поляризаuии
II направление распространения волн, входящих в группу?
798.
Найти
полное
количество
энергии
~ W,
одномерным осuиллятором с собственной частотой
волн со спектральным
распределением
Sro,
в
поглощенной
w0
из группы
следующих
трех
случаях: а) линейно поляризованная плоская группа волн, у ко­
торой
направление
колебанпй вектора Е составляет угол tt
с осью осuиллятора; б) неполяризованная плоская группа волн,
распространяющаяся под угло111 f) к осн осuиллятора; в) изо­
тропное поле излучения (на осuиллятор с равной вероятностью
падают плоские волны с
любым
направлением
поляризаuии
и
любым направлением распространения).
799*. Линейно поляризованная волна падает на изотропный
v<<c. Найти
дифференциальное :~ и полное а сечения рассеяния волны
гармонический
осuиллятор.
Скорость
электрона
197
с учетом силы лучистого трения. Рассмотреть, в частности, слу­
чаи сильно связанного и слабо связанного электрона.
800. Плоская электромагнитная волна, по.rшризованная по
кругу, рассеивается свободным зарядом. Определить раq:еян­
ное поле Н, исследовать характер его поляризации. Найти диф-
ф еренциальное
da
dQ
и полное и сечения рассеяния.
Неполяризованная плоская волна рассеивается свобод­
ным зарядом. Найти степень р деполяризацни рассеянной волны
801.
в зависимости от угла
tt
рассеяния.
Линейно поляризованная волна рассеивается свобод­
ным зарядом. Заряд движется с релятивистс1<0й скоростью v
в направлении распространения волны. Найтн дифференциаль­
ное сечение рассеяния. Рассмотреть также случай рассеянпя н~­
802*.
полярпзованной волны.
Указ ан и е.
зить
vчерез Е,
Воспользоваться
формулой
(XII. 26)
и выра­
Н.
803*. Изотропный гармонический осщылятор с частотой ffio,
зарядом е и массой т помещен в слабое однородное постоянное
магнитное поле Н. Определить движение осциллятора. ИссJiедо­
вать характер поляризации излучения осцш:тятора
§ 4.
*).
Разложение электромагнитного по,11я на плоские волны
Электромагнитное поле есть функция незавпсимых перемен­
ных r, t. При рассмотрении многих вопросов удобно пользоваться
разложениями Фурье для поля. Встречаются разложения сле­
дующих типов:
1.
Разложение
на
монохроматические
волны:
00
f (r,
t)
=
f f(,) (r) e-iuJt dro,
(XII. 39)
-со
00
(XII. 3~')
-оо
2.
Разложение
f(r, t)=
f:.. (t) =
*)
Такой
гармонический
на
пл о с кие
в о л н ы:
f fk(t)eik·r(dk),
(2~)3
ff
(XII. 40)
(XII. 40')
(1·, t) e-ik·r (dr).
осциддятор
представ.rrяет
собой
модель
атома
во внешнем магнитном no.rre. В задаче, таким образом, пред.rrаrается развить.
к.rrассическую теорию эффекта Зеемана.
198
Здесь
3.
f-
какая-либо из компонеН1 поля, (dk) =dkxdkydkz.
Р а з л о ж е н и е н а
'В О Л Н Ы:
f(r, t)=
п л о с к и е м о н о х р о м а т и ч е с к и е
f fkwexp[i(k·r-ffit)](dk)dffi,
fkw= (2~) 4
f
(XII. 41)
f(r, t)exp[-i(k·r-ffit)](dr)dt. (XII. 41')
Из уравненпй Максвелла следует, что частота ю является
функцией волнового вектора k. Уравнение, выражающее зави­
си11юсть ю = (J) (k), называется дисперсионным уравнением. Веще­
ственность компонент поля
f (r, t)
приводит к соотношениям:
(XIl .. 42)
Формулами (XII. 40), (XII. 41) описывается поле во в~::ем
бесконечном пространстве. Соответственно этому, интегралы в
этих формулах распространяются на все пространство волновых
векторов и на все координатное пространство. Другая употре­
бительная форма разложения на плоские волны, при которой
рассматривается поле в ограниченном объ1::ме
излагается во
:многих руководствах, например, в [65], стр. 167 или в [29], гл. l.
При использовании разложений Фурье весьма полезны бы­
.вают соотношения (ПI. 15) и (ПI. 14) из теории б-функции.
В частности, с помощью соотношения (ПI. 15) и формул (XII. 42)
могут быть доказаны формулы:
v\
f 1' (!) dt -
w
4n
J
1 /"
1
Fdro,
(XII. 43)
f f (r, t) (dr)
2
=
(2n)
-оо
Разложение
на
плоские
3
fff
2
I fk 1 (dk). \
J
монохроматические
волны играет
большую роль в квантовой электродинамике. Каждой такой вол­
не в квантовой теории сопоставляются фотоны
-
частицы, дви­
жущиеся со скоростью света с. Энергия [ff и импульс р фотонов
-связаны с частотой (J) и волновым вектором k соотношениями:
(5 = hffi,
р
= hk.
(XII. 44)
804. Доказать формулы (XII. 43).
805. Найти связь между компонентами Фурье полей Е, И и
nотенциалов А, 1Р
Фурье).
(рассмотреть все три варианта разложений
806. Записать уравнения Максвелла относительно компонент
Фурье
для трех вариантов разложения Фурье. Пространство
199
заполнено однородной изотропной диспергирующей средой с па­
ра111етрами e(w), ~t(ы), вообще говоря, зависящими от частоты.
807. Записать уравнения Дала111бера II условие Лоренца от­
носительно 1юмпонент Фурье для потенциалов А (r, f) и tp (r, t).
Рассмотреть все трн варианта разложений Фурье. Пространство
заполнено однородной изотропной средой с параметра'\!И Е ((t)) 11
~t(ы).
808*.
Разложить по плоским
волна!\1 потенциал tp
t<улонова
поля неподвижного точечного заряда.
809.
Разложить по плоским во.;ша111
напряженность э.1ектр11-
чес1юго поля Е неподвижного точечного заряда е.
810. Точечный заряд двн:жется
v=const. Разложить no.ie tp, А, Е,
в
вакууме
со
скоростью
Н заряда на плоские r-юно­
хроматические волны.
811*.
Найтн потенциалы
q:,(1·, t), Atr, f) поля равноlllерно двн­
жущегося точечного заряда е (с111. ответ
зуя
разложения
этих
потенциаJюв
по
1<
задаче
шюскиы
610),
волнам,
испо.1ь­
по.1учен­
ные в предыдущей задаче.
Указ ан и е. Для вычнслення шпеграла по
k
:мену переменных
воспользоваться
kx -
г
х
J \ -v2jc2
разложением
(dk)
сде.паrь за­
, ky- ky, kz - kz (ось xllv)
поля
неподвижного точечного
11
за­
ряда на плоские волны (см. задачу 808).
812*. Нейтральная точечн::~я снстема зарядов движется в ва­
кууме равномерно со скоростью v. Наiiтн электромагнитное поле
ер (r, /), А (r, t), воспользовавшись разложеннем Фурье по шю­
ским
монохроматическим
волнам, если электричt:скнй р II маг­
нитный 111 дппольные 111оменты в лабораторной системе отсчета
заданы.
Указ ан и е.
Плотности
электрического заряда II тока си­
стемы выражаются фор:11улаю1.
j =
р
с rot [nt6 tr - vt)] +
= - div
[р6
; [р6 (r -
vt)],
(r - vt)].
813. Получить потенциалы по.r1я равно111ерно движущегося
магнитного диполя (момент ш0 в системе покоя диполя). Ско­
рость дипо.11я v. Ограничиться двумя частными случаями: а) ког­
да 11t 0 llv, б) когда ttto.l v. Воспользоваться формулами преобра­
зования моментов, полученными в задаче 613.
814. Получить поле равномерно движущегося электрического
диполя (момент р 0 в системе покоя) с помощью результатов за­
дачи
812 (см. ответ к задаче 612).
815. Показать, что компоненты
Фурье разложения безвихре­
вого вектора на плоские волны параллельны k
а
компоненты Фурье со.1еноидальноrо вектора
лярны
200
k
(поперечны).
-
(продольны),
перпендику­
816*.
Записать уравнения, которым удовJ~етворяют в вакууме
безвихревая н соленоидальная части векторов электромагнитного
поля Е и Н. Показать,
поля
ново
Е
1 (r, t)
описывает
по:1е, определяемое
что
безвихревая
111гновенное
часть
электрического
(незапаздываюш.ее)
распределением зарядов
в
куло­
тот же
мо-
111ент времени, для которого определяется Е11.
817*. Разложить свободное (р=О, j=O) э.'Iектромагнитное
по,1е А (r, t) в вакууме на плоские волны (в этом случае qJ=O).
Пo.JJe занимает неограниченное пространство. Представить ам-
n.111туды Фурье этих волн в виде АkЛ (t) =
:rt
cr- qk'A (t) ek'A• где ek'A -
J2
орт, характерпзующнй направление по.1яризашш данной попе­
речной волны, так что k-ek'A =() (см. начало ~ 1 гл. VIII). При
этом каждому
поляризаuии
k,
очевндно, соответствуют два независимых орта
(л=
1, 2). Орты ek, и ek 2 взаимно ортоrона.JJЬны:
= е~, · ek 2 = О. Найтп уравненпя, которым в общем слу­
чае удовлетворяют ко;11Плексные «координа rы» qk'A (t). Выразить
напряженности Е, Н, энергию W 11 1111шу.11ьс G по.JJя через q н"
е,., • е~ 2
II Qk'A·
818*.
Используя результаты
предыдущей задачи, ввестн ве­
щественные осц11.1ляторные координаты
Qk'A = аk'Ае_;,м
+ a~'Aei<JJ!
II выразить векторы поля А, Е, Н через эти координаты. Найти
,акже энергию W и импульс G подя в координатах Qk'A·
819*. Электромагнитное поле 11з.11учения описывается осцил­
ляторпымп координатами Qk'A (см. задачу 817). Написать диффе­
репц11а.1ы1ые уравнения,
которыми описывается взаимодействие
поля излучешш в пере111енных Qk'A с заряженной нере.11ятивистской
часпше~"1.
820. Найтн 11зi\lе11ение в единицу временв энергии ~~
пз,1учення
разить
в результате взаимодействия
эту
величину
через
поля
частиuы с полем.
оснилляторные
координаты
Вы­
Qk'A
и
сплы
F н (t) ( см. решение предыдущей задачи).
821*. Часпша с зарядом е совершает простое гармоническое
ко.1ебание
по
заданному
закону
r=r 0 siпш 0 t.
где
Используя метод осцплляторов по.1я
r 0 =coпst.
( с!\!. задачу 819), найти
интенсивность / излучения*).
угловое распределение и по.1ную
822. Заря.:~. е двюкется с постоянной уr.1овой скоростью ш 0 по
окружностп rarщyca ао. Используя 1\Iетод осuил.11яторов по.11я,
11сс.1едовать
")
xapar;т,\J
по.1яр11зации поля излучения заряда, найти
Задача, конечно, может быть решена значительно проще
(см.
§ l
этой
г.1авы). Предлагаемый метод решения интересен своей тесной связью с мето­
до)1 решения аналогичной задачи в квантQвой электродинамике.
201
угловое распределение и полную интенспвность излучения (ер.
с задачей 732).
823*. Линейно полярпзованная волна с частотой (й падает на
гармонический
осциллятор,
собственная
частота
1юторого
(J)o.
Используя метод осцилляторов поля, найти дифференцпальное
da
dQ н полное а сечения рассеяния (лучистое трение не учитывать). Исследовать поляризацию рассеянного излучения.
824. Найти дифференциальное :~ 11 полное а сечения рас­
сеяния линейно поляризованной, поляризованной по кругу и не­
поляризованной монохроматическпх волн на свободно111 заряде,
используя метод осцилляторов поля (ер. с задачами
799
и
800).
На свободном заряде рассеивается: а) неполяризован­
ная волна с частотой (\); б) волна, поляризованная по кругу.
825.
Исследовать характер поляризации поля излучения, используя
метод
с илляторов поля (см. задачи
799
и
800
ЛИТЕРАТУРА
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. !vl. [65], Стрэттон Дж. А. [100], Джексон Дж. [52],
Гуревич Л. Э. [49], Френке.1ь Я. И.
11], Пановскнй В., Филипе М. [86],
Смайт В. [93], Иваненко Д. Д., Соколов А. А. (57], В.'Jасов А. А. (25], Бек­
кер Р. (12], Гринберr Г. А. (46], Вайнштейн Л. А. (23], Компанеец А. С. [60],
Зоммерфельд А. (54], Тихоноn А. Н., Самарский А. А. [104], Будак Б. М., Са­
марский А. А., Тихонов А. Н. (20], Горелик Г. С. [43], Ахиеэер А. И., Бере­
стсш,ий В. Б. [б], Гайтлер В. В. [29], Паули В. [87], Гинзбург В. Л., Сазо­
нов В. Н., Сыроnатский С. И. [35], Гинзбург В. Л., Сыроватский С. И. [36] ..
fi
ГЛ А В А
ИЗЛУЧЕНИЕ
ПРИ
XIII
ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ВЕЩЕСТВОМ
В этой главе методами 1<лассичес1юй ма~<роскопичес1юй элек­
тродинамюш рассматриваются различные процессы потерь энер­
гии быстрых частиц в веществе.
Ма~<роскопическая теория, не учитывающая пространственной
дпсперспи эле1причес1юй и магнитной проницаемостей, приме­
нима, если вещество можно рассматривать как сплошную среду,
т. е. если пролетающая частица взаимодействует одновременно
со многими атомами. Это означает, что с помощью макрос1юпи­
ческих
уравнений можно
даваемую
частицей
правильно определить
толыю
тем
эле1пронам
находятся на достаточно больших расстояниях
рпи,
r>>a,
где а
-
энергию, пере­
вещества,
которые
r от ее траекто­
величина порядка межатомного расстояния;
в конденсированных средах а совпадает с линейным размером
атома (:::::; 10-в см).
Скорость частицы
где Vат -
v
должна удовлетворять условию v>>vaт,
средняя скорость атомных электронов. При меньших
скоростях частица
в основном передает энергию электронам, на­
ходящимся вблизи ее трае1пории, где макрос1юпическое рассмо­
трение неприменимо.
Потери энергии, вызванные ионизацией и возбуждением ато­
мов среды, называются ионизационными потерями. Если частица
движется через плазму, то значительная ча_сть теряемой ею энер­
гии пдет на возбуждение 1юлебаний эле1<тронноrо газа
.поrо (продольные плазменные волны, см. задачу 443).
Вещество
существенно
электромагнитных
движется
в
волн
вдияет и
частицами.
непоrлощающем
на
I<aJ<
це­
излучение поперечных
Если
диэле1прю<е
заряженная
с
частица
постоянной
с1ю­
ростью, превышающей фазовую с1юрость света, то она излучает
пог.еречные электромагнитные волны (излучение Вавилова - Че­
ренкова; теория этого явления была дана И. Е. Таммом и
И. М. Фраю<ом (103]).
Электромагнитное поле, создаваемое в среде движущейся
частицей,
определяется из уравнений Максвелла: плотности
203
заряда
и
тока
в
этих
уравнениях
удобно
записывать
в
виде
p=e6[r-r0 (t)], j=er06[r-ro(t)], где е-заряд частицы, Го(/)­
ее радиус-ве,пор. Интегрирование уравнений Максвелла в об­
щем случае диспергирующей среды производится путем разложе­
ния искомых величин (векторов по.'lя) в интегра.'1 Фурье по 1юор­
динатам и времени. При этом для определения компонент Фурье
получается система алгебраических уравнений
задачу 826).
Чтобы найти энерrшо из.1Jучения . Вавшюва
(см., напрИl\1ер,
Черенкова на
-
единице пути частицы, нужно определить э.'lектромагнптное по.1С',
создаваемое частицей в среде,· и подсчитать поток энерпш через
цилиндрическую поверхность единичной длины II бесконечного
радиуса, окружающую траекторию частицы. Интеграл по вре,1е­
ни от указанного
потока
энергии
и даст по:шую
энергию, из:1у­
чаемую частицей на единице пути в виде электромагнитных во.11-1.
Если радиус цилиндрической поверхности будет конечны:'\!
(а), то интеграл по времени от потока энергии будет вкшочать
не только энергию нз.1учения Вавилова - Черенкова, но II ту
энергию, которая передается электронам среды, находящимся
расстояниях
r>a
на
от траектории частицы.
826*. Частица с зарядом е движется со скоростью v=const
в однородной и изотропной среде. Днэлектрнческая проницае­
мость среды e((t)), магнитная проницаемость ~t= l. Определить
составляющие
электромагнитного
по.'lя,
создаваемого
движу­
щейся частицей.
827*. Частица движется в непоrлощающем днэлеирике с по­
стоянной скоростью v = ~с. Используя результаты предыдущей
задачи, исследовать создаваемое частицей поле на больших рас­
стояш1ях от ее трае,пории.
частица
будет
излучать
(эффект Вавилова
этого
излучения
электромагнитные
во.1ны
Черенкова). Найти условия возникновения
-
и
Показать, что достаточно быстрая
поперечные
полную
ве.'lичину
черенковских
потерь Wв-ч
на единице пути.
828.
Частица с зарядом е движется с постоянной скоростью
через вещество, диэлектрпческую прошщаемость 1шторого мо,кно
приближенно описать формулой
(j)2
e(ro)= l
+ ~ы0-ы
Определить энергию излучения
нице
пути wв-ч,
v2 e0 > с 2 ,
где е 0 -
цаемости.
В
если
скорость
Вавилова
частицы
-
Черенкова на еди­
удовлетворяет
каком
интерва.'lе углов
сконцентрировано
ние? Сделать численную оценку, положив
ш 0 =6·
204
ус.1ов11ю
статическое значение диэлектрической прони­
l0 15
сек- 1 ,
е 0 =2,
V=C.
из.'lуче­
829. Получить условие
ние излучения Вавилова -
cos 8= 1/~п.
определяющее направле­
из рассмотрения интер­
Черенкова,
ференции отдельных волн, испускаемых частицей в разных точ­
ках ее траектории.
830.
Черенковское
излучение
частиuы
можно
рассматривать
как следствие резонанса между собственными колебаниями сре­
ды и вынуждающей силой, связанной с движущейся
частицей.
По.Тiучить условие возникновения эффекта Вавилова - Черен­
кова из сравнения частот собственных колебаний среды и вы­
нуждающей снлы.
831.
Релятивистская
частица,
имеющая
скорость
r•,
прохо­
дит через диэлектричсс1<ую пластинку то.Тiщшюй l перпендику­
лярно ее плоскости. По1<азатель прелом.Тiения пдастннки п, дис­
персию не учитывать. Найт11 длительность т вспышки черенков­
с1юго излучения, которую зарегистрирует неподвижный относи­
тельно пластинки наблюдате,1ь. Определить поток энергии /
черенковского
излучения
через
поверхность пластинки
во время
вспышки. Краевым эффектом пренебречь.
832. Показать, что 1\!ПНИМаJ1ьная скорость дв11жения частицы
Vшiп, при которой возникает излучение Вавилова - Черенкова
в данном направлении, удовлетворяет условию
Vшin COS 8=Vg((J)m),
где Vg групповая скорость электромагнитных волн в днэле1<­
трике, (J)m частота, при которой показатель преломления ш,1еет­
-
максимум, е
угол между направлениями излучен11я и с1юростн
част11цы. Диэлектрик счптается непоглощающим.
833*. Частица движется с постоянной скоростью V= ~с в 11е­
днспергирующей среде с прони~мостями в, µ. Определнть
э.Тiектромагнитные потенциалы ср и А. Рассмотреть два сдучая,
v<v'iJ и v>v(j), где v'iJ - фазовая скорость электромагн11тных
волн в рассматриваемой среде.
834. Прямолинейный провод, пара.пJiелы,ый осн х, пере;\1е­
щается
вдоль
оси
у
со скоростью
среде с проницаемостями
v=
i:;((JJ), µ((!)).
coпst
в
непог лощающей
В .11абораторной системе
отсчета провод электронейтрален, по нему течет ток [! в направ­
.пени11 оси х
Вавилова Wв-ч с
*). Найти условие, при котором возникает юлучен11е
Черенкова. Определить полную энергию излучения
единицы
длины
провода
на
единице
пvти.
Подсчитать
тормозящую силу f, действующую на единицу· длины провода
со стороны созданного им поля.
Указ ан и е. Векторный потенциал имеет одну компоненту
Ах (у, z, t). При выполнении обратного преобразования Фурье
*) Быстро перемещающиеся токонесущие пучки частиц могут с} щество­
вать в ускорителе и при некоторых видах разряда.
20i
исг.о.1ьзовать правило обхода полюсов, сформулированное в за­
даче 833.
835. Два точечных заряда е 1 и е2 движутся с одинаковыми
постоянными скоростями
v
вдоль одной прямой на расстоянии
l
друг от друга в среде с проницаемостями е ( (t)), µ = 1 (l измерено
в лабораторной системе отсчета). Найти энергию излучения Ва ·
- Черенкова Wв-ч Hd едпнице пути. Рассмотреrь два
с.rrучая: а) е 1 =е 2 =е; б) е1 =-е2 =е. Путеl\1 преде.rrьноrо перехода
вшюва
по;1учить черенковс1ше потери
дипо.rrя,
ориентированного
836*.
энергии точечного электрического
вдоль
Два точечных заряда
направ.rrения
движения.
+е и -е движутся с одинако­
v
вымп постоянными скоростями
на расстояюш
l
друг от друга
в среде с проницаемостями е(ш), µ= 1. Линия, соединяющая
заряды, составляет угШL, а с направленпем скорости ([ и а и1мерены в лабораторн<"Jl!r"" системе). Методом, использованным в
предыдущей задаче, найти энергию из.rrучения Вавплова - Че­
ренкова Wв-ч на единице пути, считая l малым.
837*. Мппштный дипо.rrь *) движется с постоянной скоростью
v = ~с
µ ( (j)).
в непо;'.rrощающей среде, проницаемости которой в ( (j)) и
Магнптный момент, измеренный в ,rrабораторной системе,
имеет величину 111 и ориентирован вдоль скорости. Опреде.rrить
потери э1:!ргии на излучение Вави.rrова - Черенкова Wв-ч на
единице ,ути.
Указ ан и е. С помощью преобразованпя Фурье проинтегри­
ровать уравнения для потенциалов. Движущпйся магнитный мо­
мент создает ток j(r, f) =с rot tttб(r -vt).
838*. Быстрая частица с зарядом е движется через непоrло­
щающий диэлектрик с проннцаеыостью
Е (ш) = 1
ro2
+ ro2 - Р ro2 ,
0
где ш 2Р
па
= 4:n:e2N/m.
единицу пути
Опреде.11ить потери энергии
на
расстояниях
от траектории
шающпх межатомные расстояния а
dg)
( - dl
в расчете
часпщы,
превы­
(параметр а должен быть
выбран так, чтобы в области r>a было справедливо макроскопи­
ческое рассмотрение). Выяснить физический смыс.rr отдельных
ч.rrенов в выражен1111 потерь энерпш.
839*. Заряженная частиuа двнжется со скоростью
рез п.rrазму, днэ.1сктрнчсская прошщаемость 1,оторой
дачу
v = ~с
( см.
че­
за­
312)
(1'2
е(ш)=
1--f,
ro
*) Нrйтральная система (сгусток) частиц, имеющая магнитный момент,
излучаЕт как ма111ип1ыii днполь, если д,111на волны в среде много больше
размеров
206
cryc1hi.1.
где
<.u~
= 4п::N
Найти потерн энергии { - ~~) на единице пути
за счет «далеких» столкновений. Под далекими нужно понимать
столкновения с параметром удара
1ютором
становится
r>a,
справедливым
где а
-
расстояние, на
макроскопическое
рассмо­
трение.
840*.
Точечный заряд е движется в вакууме нормально к гра­
нице идеального проводника. Определить спектральное и угловое
распределение излучения, возникающего при переходе заряда нз
вакуума в проводник, пренебрегая ускорением заряда под дей­
ствием силы электрического изображения. Скорость заряда
V=(}C.
Указ ан и е. Поле в вакууме создается зарядqм и его изобра­
жением,
движущимися
навстречу
друг
другу
с
равными
посто­
янны11ш скоростями. Когда частица пересекает границу провод­
ника, ее заряд мгновенно экранируется свободными электрона:11:и
проводника, что эквивалентно внезапной остановке за-ряда и его
изображения в одной и той же точке на границе проводника.
841*. Точечный заряд е имеет скорость V=f3c и движется
в
вакууме
нормально
к
границе
непоглощающего
диэлец:трика
с проницаемостью в(w) (µ=!). При переходе заряда из вакуума
в диэлектрик возникает излучение. Пренебрегая ускорение~ за­
ряда под действием силы электрического изображения, опреде­
лить спектра.1ыюе и угловое распределение излучения
в
вакуум
(т. е. в область z>O, см. рис. 133).
У к аз а ни е. Плотности заряда II тока, создаваемые движу­
щейся частицей, заменить эквивалентны111 набором гармониче­
ских осцилляторов. Для опредеJ!ения ПОJlЯ в волновой зоне
исподьзовать теорему взаимности
= Р л · Ев (А).
Здесь Ев (А) -
(см.
[66], § 69):
Рв·Е.4.(В)=
поле, создаваемое в точке А диполь­
ным гармоническим осцплдятором Рв, находящимся в точке В;
Ел(В) - поле, создаваемое в точке В осци.~1лятором Рл, находя­
щимся в точке А. Так как точка наблюдения А находится на
большом расстоянии от точкп встречи заряда с диэлектрпком (в
ВОJ1новой зоне),
то при
вычислении
Ел (В)
мо:жно воспоJ1ьзо­
ваться формулами Френеля.
ЛИТЕРАТУРА
Тамм И. Е., Фраик И. М. [103], Ферми Э. [105]. Ландау Л. Д., Лиф­
шиц Е .•1\'1. [65]. Болотовскиi% Б. М. [1.4], Гинзбург В. Л. [32], Гинзбург В. Л.,
Фр~нк И. М. (37), Рухадзе А. А., Сиюш В. П. [90). Джс.1т1 Дж. [53), Маркс Г,
Дьердьи Г. [77), Гинзбург В. Л., Сыроватскиii С. И. [Збj.
ГЛ А В А
XIV
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ
§ 1.
Движение отдельных частиц в
плазме·
На движение заряженных частиц в плазме большое влнянпе
оказывают эле~арические и магнитные поля. Они создаются
эдектронами и ~~нами плазмы, а также внешними источниками.
Если столкновения частиц в плазме происходят редко, то в тече­
ние промежутков времени, много меньших времени между столк­
новениями, каждая отдельная частица движется под действием
существующих в плазме макроскопических полей Е и Н, и ее
движение описывается уравнениями механики (XI. 20) и (XI. l).
В случае неоднородных и переменных полей интегрирование точ­
ных уравнений движения явштется, как правило, сложной мате­
матической задачей.
Картина движення частиц существенно упрощается; если маг­
нитное
поле
велико
II
медленно
меняется
в
пространстве
и
во
времени, а электрическое поле мало ( см. неравенства (XIV. 6)( XIV. 6") ). При этом действие электрического поля, а также про­
странственных
и
временных
неоднородностей
магнитного
поля
можно учесть по методу возмущений. Движение частицы про­
исходит следующим образом: в каждый момент времени частпца
быстро вращается вокруг направления магнитных силовых ли­
ний с циклотронной частотой сеН /fff, где е
- заряд частицы, fff -
ее энергия. Центр, вокруг которого вращается частица (ведущий
центр), движется вдоль магнитной силовой линии, а также мед­
.пен но перемещается в поперечном направлении под действием
электрического поля II неоднородностей магнитного поля. Наряду
<: этим происходит медленное изменение по абсолютной величине
поперечного и продольного импульсов частицы.
Приближение, соответствующее такой картине движения ча­
<:тицы, называется приб;шжением ведущего центра или дрейфо­
вым приближением, а движение ведущего центра поперек магнит­
ных силовых линий называется дре11фом. Уравнения движения
в дрейфовом приближении выводятся путем усреднения точных
уравнений движения по быстрому вращению частицы вокруг
208
магнитной
(XIV. 6").
снловой
лш1ш1
с
учетом
неравенств
(XIV. 6)-
Система дреiiфовых уравнений движения имеет вид
r=v h+ ,;
[ЕХ
2
11
Pu
v:]+v R [hX(h·V)h],
HJ+}v1.R1.[hx
11
11
+ { р 1. v 1. div h + е (Е · h),
=
.
2I
Р J. = -
P11v 1.
d",v h.
(XIV. 1)
(XIV. 2)
(лIV.
3)
Здесь р 11 - проекцпя 11!\lпу.'lьса частицы на 11аправлен11е маг­
нитного поля Н, р 1.
абсолютная величина поперечной относи­
-
те.'lьно Н составляющей 11мпу.1Jьса,
h= Н/Н - единичный вектор
в направ"1ен1111 магнитного по.1Jя,
v 1.
т0 и е
-
р
1.
=т
масса
II
'
Р11
v=11
т '
заряд часпшы. Все напряженностн поля в пра­
вых частях уравнений
(Xl\'. 1)-(XI\'. 3)
торой находнтся ведущнй центр, г
берутся в точке, в ко­
скорость ведущего центра.
-
Первый ч.1Jен v 1 h в правой части уравнения (XI\'. 1) описы­
вает движенне ведущего uентра вдоль маrнит:-юй силовой линш,,
второй
член
поперечное
-
движение
под действием
электриче­
ского поля (электр11чесю1й дрейф). Третье и четвертое слагаемые
дают соответственно поперечные дрейфы за счет изменения маг­
нитного по.1Jя по веш1чине и по направлению. Если на частицу,
кроме электрического
магнитная сила
F,
II магнитного полей, действует неэлектро­
то в правую часть уравнения (XIV. 1) следует
с
добавнть слагаемое еН 2 [F Х Н], а в правую часть
ч.1ен
(XI\'. 2) -
(F·h).
Уравнения
и
(XIV. 2)
(XI\'. 3)
позволяют найтн 11зменение
полной энергии частицы во времени:
d
dt (тс2) = е (Е · h) <-';i·
(XIV. 4)
Из них следует также, что
Pl/ Н = const,
т. е.
вел11чш1а
I
=
Pl/ Н
~шляется
(XIV. 5)
интегралом движения. Но
это - не точный, а приближенный 1штеrра.1J движения, обуслов­
ленный мадостью эдектрнческоrо по.1я п медденностью измене­
ния магнитного по.1я. Такие пр11бш1женные интеграды движения
называются адиабат11ческ11.'\ш 11нвар11антам11.
14
В.
В. Батыгин.
11. Н. Топтыгин
209
Уравнения
являются
(XIV. l )-(XIV. 3)
уравненпяып движения
прибю1женныыи
частицы, справедливыыи при медленном
изменении Е и Н в пространстве:
I R11
~;
1
« Н,
1 RJ_
~;
1
« Н,
1 R11
::
1
« Е,
1RJ_
::
1
« Е,
(XIV. 6)
где координата х ыожет отсчитываться вдоль любого направ.'1е­
ния. Кроме того, должно выполняться условие малости электри­
ческого поля
сЕ/Н
и
условие
медленности
изыенения
полей во времени
ro
где (J) -
«
«
(XIV. 6')
v
электрического
и
сеН /'t',
магнитного
(XIV. 6")
характерная частота изыенеюш поля.
842. На нерелятивистскую частицу с зарядом е и массой т
действуют однородное магнитное поле Н и постоянная сила F,
ориенп~ованная производьным образом. Показать, что состав­
ляющая СИJlЫ F, перпендикулярная Н, вызывает равноыерное
движение (дрейф) частицы с постоянной скоростью
Va=
ei
2
[F ХН]
поперек магнитных силовых линий.
Пояснить качественно происхождение дрейфа, рассмотрев
траекторию движения частицы и силы, действующие на нее
в
разных точках
траектории.
Прямым расчетом доказать адиабатическую инвариант­
843.
ность величины
P'i/ Н
для случая однородного II постоянного по
направлению, но медленно ыеняющегося по абсолютной вели­
чине магнитного поля Н (t). Для этого вычислить электрическое
поле и проинтегрировать уравнение, описывающее изменение по­
перечного импульса частицы р J_ во времени, считая, что в течение
одного
циклотронного периода
траекторию
частицы
тать окружностью, совпадающей с силовой линией
можно
счп­
электриче­
ского поля.
844. Систеыа одинаковых невзаиыодеi1ствующих частиц на­
ходится в однороднои магнитном поле Н и имеет изотропное
распределение по
импульсаы.
Все
частицы
имеют одинаковую
энергию 't'fJ. Затем ыагнитное поле адиабатически возрастает до
величины пН. Найти угловое распределенне dw (ft) и среднее
значение квадрата энергии частиц
't'2
в конечном состоянии.
Пусть ыагнитное поле, оставаясь постоянным по на­
правлению~ слабо меняется в пространстве по абсолютной велн-
845*.
210
чине. Показать, что эта неоднородность поля в первом приблн~
женин приводит к дрейфу частицы поперек поля со скоростью
V1_R1_
•
vd=2fj2 [Н Х VH],
где v1_ -составляющая
правлению поля, R1-
с1юрости
частицы, перпендикулярная на­
ср 1-
= еН - ларморов радиус
щей формулой (XIV. 1) ).
846. Исходя нз инвариантности величины l
частицы (ер. с об-
=
р'1_/ Н, показать,
что в дрейфовом прнб.'lиженин сохраняются магнитный поток че­
рез орбиту циклотронного вращения частицы и магнитный мо­
мент нерелятивистской частицы, создаваемый ее циклотронным
вращением. При каких дополнительных условинх сохраняется
ыаrнитный 1\IОl\,\ент релятивистской частицы?
847. Частица двпжется в слабо неоднородном постояш-ю!lt
магнитном поле. Пользуясь инвариантностью величины
l
= р'1_/ Н
и законом сохранения энергип, показать, что в дрейфово,1 при­
ближении на частицу действует сила
F,
направленная вдоль маг­
ш1тной силовой линии, и найти величину этой силы. Выразить
ее через магнитный момент циклотронного вращения частицы.
848. Между областями I и 11, в которых статическое магнит­
ное поле однородно и равно Н, находится область 111, в котороi'1
поле усилено ( «магнитная пробка»). Максимальное значение
поля равно Нт, схематический вид силовых линий показан на
рис. 43. В области I движется частица, импульс р которой в не­
который
момент
времени
соетавляет
угол
с
направлением
//
111
Рис.
tt
43.
силовой линии. Считая изменение поля медленным, найти соот­
ношение между tt, Н и Нт, при котором частица отразится от
области с сильным полем.
849. Структура магнитного поля в адиабатпческой ловушке
с
аксиально-симметричным
И*
полем
имеет
вид, схематически
211
изображенный на рис. 44. В среднюю часть ловушки, где напря­
женность поля равна Н, впрыснута порцня частиц с изотропно
распределенными скоростями. Какая доля частиц R удержится
в ловушке в течение длительного времени?
Н<Нт
Рис.
850.
В
ловушку с
44.
аксиа.1ьно-с11мметричным
полем, изобра­
женную на рис. 44, захвачена порция частнц. Частпны проводят
большую часть времени в средней частп .1овушк11, где поле почтн
однородно. Пусть поле ловушки мед.'1енно нарастает во времени
таким образом, что форма :\1агнитных с11ловых тший не ме­
няется. Найти, как изменяется расстояние ведущего центра каж­
дой 11з частиц до осн .10вушк11.
851.
В однородном магнигноl\1 поле с напряженностью Н на­
q.
ходится неподви:жный точечный заряд
Частица с зарядом е
массой т, и111еющая на бесконечности продольную составляю­
щую скорости v 11 , рассеивается на заряде q. Считая примени111ы,1
II
дрейфовое приближение и пренебрегая нзмененпем продо.1ьной
скорости при рассеяюш. найти, по какой сшювой .тшнии будет
двигаться ведущий центр частицы пос.'1е рассеяния. До рассея­
ния 0:1 двш аJ1ся по снловой .пинии, уравнение которой в цит1н­
дрических координатах с осью г. проходящей через заряд
ориентированной вдо.JJЬ поля, имеет вид г=l, (j)=O.
852. Магнитное поле Земли можно представить
женно
как
µ=8,1 · 1025
поле
точечного
д11по.1я
с
гаусс-с,и 3 . Протон с энергией
111омент вре111ени
находится
в
п.rюскоrти
111аrн11тньш
6°=50
q II
прибли­
мо:11енто~1
Мэв в некоторый
магнитного экватора
на
расстоянии двух земных радиусов от центра Зем.'111 и движется
поперек магнитных си.JJовых .'1иннй. Найтн в дрейфовом прибли­
жении
закон
движения
ведущего
центра
протона.
За
какое
время Т он совершит полный оборот вокруг земного шара? Ка­
ков ларморов радиус R протона? Ра:~.н;с зе-1\lного шара rt.,=
=6380
212
км, его :-,асса М=б-10 27 г.
853*. Протон находится в плоскости геомагнитного экватора
(см. условие предыдущей задачи) на расстоянип r от центра
Земли, его импульс составляет угол а с направлением маrнитноii
силовой линии. а)
Пренебрегая
зать, что
центр
ведущий
гравитационным полем, пока­
протона.
наряду с движением
вдоль
магнитных силовых линий, будет испытывать азимутальный
дрейф, и найти угловую скорость дрейфа u)d, выразив ее через r
и геомагнитную широту 'А. б) Указать значения 'Ат, соответствую­
щие точкаl\1 отражения частиц в земном магнитном поле. в) Найтп
условня, при которых протон может достичь поверхности Землп.
854. На неподвижную частицу с зарядом е' налетает огра­
ниченный стационарный поток одинаковых нерелятивистских ча­
стиц
с
зарядами
скоростями
ция
v
частиц в
е,
(рис.
массамп
т
и
45).
Концентра­
потоке п.
Вычислпть
u
- .-- ---·-t·I
/
силу, действующую на неподвиж­
ную частицу, пренебрегая взаимо­
действием налетающих частиц друг
с другом. Объяснить причину того,
что
при
радиусе
пучка
sm -
оо
е'
-
,
'
\
\
эта
Рис. 45.
сила обращается в бесконечность.
Сохраняется лп для силы бесконеч1юе
значение, если заряд е' является одним из зарядов ней­
траJ1ьной плазмы?
Указ ан II е. Воспользоваться результатом задачи 713.
855. «Пробная» частица с зарядом е и массой т движется
со
скоростью
v
в
газе,
состоящем
из
одинаковых
заряженных
частиц. Ilx массы т', заряды е', концентрация п', распределение
по сhоростям описывается функцией f(v) (Sf(v)(dv)=n'). За-
писать выражение для средней силы F(v), действующей на
«пробную» частицу.
Указ ан и е. Испш~ьзовать результат, полученный при реше­
ню, предыдущей задачи. Зависимостью кулонова лоrарифl\1а от
скорости пренебречь.
856.
Пробная
частица с
зарядом
е и
массой т движется
в среде, состоящей из беспорядочно распределенных неподвиж­
ных бесhонечно тяжелых одинаковых частиц с зарядом е' и кон­
центрацией п. Как меняется во времени энергия и импульс проб­
ной частицы под действием средней сплы со стороны среды?
857. Частицы среды имеют одинаковые по абсолютной вели­
чине скорости Vo, распредеJJенные сферическ~ симметрично, за­
ряды е II массы т. Вычислить среднюю силу
F,
действующую на
пробную частицу с зарядом е' и массой т'. которая движется со
~коростью
858.
v.
Решить предыдущую задачу для случаи, когда частицы
среды движутся с одинаковой по величине и направлению ско­
ростью
v0 •
213
859*.
вое
Электроны в плазме совершают беспорядочное тепло­
движение
и,
щую скорости,
кроме
того,
которая
имеют
возникает
упорядоченную
под действием
составляю­
однородного
электрического поля Е, созданного внешним источником. Про­
извести поряд1<овую оценку зависимости средней силы трения Р
от упорядоченной скорости
u,
считая, что тренпе вызвано столк­
новениями с неподвижными ионами. Показать, что F как функ­
ция u имеет максимум, и оценить величину Fmax· Как будет
nести себя электронный газ под действием электрического поля Е
при Е <Fnшxfe И Е> Fшахfе?
§ 2.
Коллективные движения в плазме
Плазма, т. е. ионизованный газ или проводящая жидкость,
состоит из свободных зарядов. При наложении на такую систему
электрического и магнитного по.11ей
могут возникать макроско­
ппческие движения вещества. В свою очередь макроскопические
движения
приводят
к
возникновению
электромагнитного
поля.
Поэтому плазма, 1<ак правило, представляет собой систему силь­
но взаимодействующих между собой вещества и электромагнит­
ного поля. Анализ поведения такой системы очень сложен, цель­
ная и законченная теория поведения реальной плазмы в настоя­
щее время отсутствует.
Если свободный пробег частиц плазмь1 много меньше харак­
терных размеров области, в которой плазма двюhется, то ее дви­
жение можно описывать с помощью уравнений гпдродинамикп,
в которых учтены электромагнитные силы. Электромагнитное
поле описывается уравнениями Максвелла в пренебрежении то­
ком смещения по сравнению с током проводимости, что справед­
ливо
при
достаточно
медленном
изменении
поля
во
времени.
Та1<ое приб.,шжение называется магнитогидродинамическим. Оно
применимо для достаточно плотной среды, в которой малость
свободного пробега обеспечивается частыми столкновениями ча­
стиц друг с другом. Но гидродинамическое приближение можно
применять и для спасания движения бесстолкновительной (раз­
реженной) плазмы поперек сильного магнитного поля. Роль
длины свободного пробега в этом случае играет радиус цикло­
тронного вращения частиц вокруг магнитных силовых линий.
Уравнения магнитной гидродинами,ки для несжимаемой про­
водящей жидкости можно записать в следующем виде:
~+
(v · V)v =
дt
-
_!_
V (Р + !!:._)+-(Н · V) Н
р
8л:
4л:р
1
дН
дt
= rot [v
Х Н]
+ 4 ~л:а
divv =0,
div
214
Н = О.
ЛН,
+ .."lлv
р
'
(XIV. 7)
(XIV. 8)
(XIV. 0
(XIV. 10)
Здесь
гидродинамическая (усредненная) скорость двп­
v(r, t) -
p=const - его плотность; р - давление; а проводимость; 1J - коэффициент вязкости.
Плотность тока и электрическое поле в движущейся жидкости
жения вещества;
"
могут быть наидены из уравнения
М аксвелла ro t Н =
4
:п:
с
J•
и за-
кона Ома, который в движущейся среде принимает вид
j
=
а (Е +
i v Х Н).
При очень высокой
проводпмостп
(а -
уравнении
играет малую
роль,
(XIV. 8)
дН
дt
(XIV. 11)
оо)
последний
и оно
член в
принимает вид
= rot [v Х Н].
(XIV. 12)
Силовые линии магнитного поля в этом случае «вморожены» в
вещество:
при движении вещества они движутся вместе с нахо­
дящимися на них частицами вещества. ·Поэтому магнитный поток
через
любой
контур,
перемещающийся
вместе
с
жидкостью,
остается постоянным.
v мала, то в
rot[vX Н], и оно
Если проводимость ни.зкая или скорость
нии
вид
(XIV. 8) можно
(VII. 12).
пренебречь членом
уравне­
примет
При больших частотах изменения поля становятся существен­
ными
процессы
разделения
зарядов в
плазме
и токи
смещения.
Диэлектрпческая проницаемость плазмы в пренебрежении поте­
рями электромагнптной энергии имеет вид
е (ro) = 1 - ro~/ ro2 ,
(XIV. 13)
где величина
ffi
(п
-
р
v
= -. /
4:n:ne
т
2
концентрация электронов, е и т
(XIV. 14)
-
их заряд и масса)
на­
зывается ленгмюровской частотой, или частотой плазменных ко­
лебаний. Она характеризует частоту колебаний электронов
относительно ионов. Такие колебанпя возникают при любом
разделении зарядов в плазме ( см. задачу 871). Корректное опи­
сание плазмы в случае быстропеременных полей производится
с помощью уравнений Максвелла и кинетического уравнения
Больцмана, рассмотрение которого, однако, выходит за рамки
этой книги.
860*.
Вязкая несжимаемая проводящан жидкость движется
между двумя неподвижными
правлении оси
z
параллельными плоскостями в на­
под действием постоянного градиента давления
:: = coпst. Проводимость жидкости а, коэффициент вязкости 11,
215-
расстояние между ПJюскостями 2а. Перпенд11ку.1ярно пJюскостям
в направJ1ении оси х приложено постоянное и однородное внеш­
нее магнитное ПOJie Н 0 . Вычислить зависимость скорости ж11д-
1юсти от х и добавочное магнитное поле, возникающее в движу­
щейся жидкости. ПроанаJшзировать резуJ1ьтат дJIЯ боJiьш11х и
ма.т~ых значений Но.
861. Вязкая несжимаемая жид[{ость находится !llежду парал­
деJ1ьными плоскостями х= ±а. ПJюскость х=-а движется со
скоростью
v0 ,
-
а
плоскость х=а
-
со скоростью
v0
в
направ.'Iе­
ни11 оси z. Градиент дав.'Iения отсутствует, электропроводность
жидкостн а и коэффициент вязкости 11 заданы. Перпендикулярно
п.'Iоскостям
при.'Iожено
однородное
маrннтное
по.1е
Н0 .
Вы­
чис.'Iить скорость жидкости и добавочное магнитное по.'Iе в ней.
862. Вдо.'Iь цилиндрического сто.'Iба горячей ПJiазмы, радиус
которого а, течет ток fJ, распреде.'Iенный по сечению с п.'Iот­
ностью j (r). Как завнсит от r дав.'Iение п.1азмы, есш, оно урав­
новешивается
магн1пным
дав.'Iсн11ем,
создаваемым
текvщнм
вдоль сто.'Iба током?
·
Пусть ПJiазма является изотермической II удов.'Iетворяет урав­
нению состояния идеа.Г1ьноrо газа. Выразить cиJiy тока fJ через
температуру Т плазмы и по.1ное число N частиц одного знака,
приходящихся на единицу дл11ны сто.'Iба п.'Iазмы. Вязкостью пре­
небречь, рассмотреть стационарное состояние пюtЗ:\IЫ с v=O.
863. Как до.1жен быть распреде.пен то:-: по сечению п.1а.1мсн­
ного сто.'Iба ( см. ус.'Iовие предыдущей задачи). чтобы дав.1е1111е
п.т~азмы бы.10 постоянным по сечению?
864. П.'Iазма испускается изотропно во все стороны с поверх­
ности
шара
радиуса
а,
вращающегося
вокруг
своего
диаметра
с постоянной уг.rювой скоростью Q. Скорость ПJiазмы v постоянна
по величине н направ.'Iена по радиусу. Вб.11,зи поверхности шара
существует
магнитное
поле,
которое в систене,
вместе с шаром, имеет значение Н (а,
вращающейся
tt, а)= Ho(tt, а), где а от­
считывается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. П.1от­
ность
гии
энергии
плазмы
мапштноrо
плазмы
по.т~я,
вет1ка
так
можно пренебречь.
по сравненпю
что
в.rшяннсм
с
плотностью энер­
пош1
на
движение
Предполагая магнптное поле вмо­
роженны;11 в плазму, найти его зависимость от коордннат 11 вре1\Iени в области r>a в неподвижной системе отсчета *).
865. Найти вид си.'IОВЫ'{ линий межпланетного 1\1агннтноrо
по.1я в модели Паркера, рассмотренной в предыдущей задаче.
Определнть величину магнитного по.'Iя и угол 8 между сшювой
линией п радиаJiьным направлением на орбите Земш1, задавшись
с.1едующю.rи
*)
значениям11
параметров:
Со.1нца
а=
Модель. рассматриваемая в этой задаче. использовалась Паркеро~ .ця
оп11сания межпланетного магнитного
п.1<1змы (солнеч,ным ветром).
216
радиус
поля, создаваемого
потоками солнечной
=0,7 -106 км; среднее магнитное поле на поверхности Со.1нца
Но= 1 э; рад11ус орбиты Земли r 0 = 1,5· 108 км; угловая скорость
вращения Co.'lнua Q = 2, 7 • 1О- 6 рад/сек; скорость солнечного ветра
v=300 км/сек.
866.
На nдазменны1-1 ц11.111шдр действует однородное магнит­
ное поле
Н, наnраВJ1енное вnодь оси
электрическое
рая
связана
с
no.i1e
цилиндра,
и
радиаJ1ьнос
Е. Вычисюпь ту часть энергии систе!'IIЫ, кото­
э.1ектр11ческим
полем,
приняв
во
внимание
элек­
трический дрейф плазмы. С помощью полученного выражения
для
энерг11и
1\ЮСТь Е ..L
оnределвть
поверечную диэлектрическую nрониuае-
n.1азмы, находящейся в магнитном поле.
Квазинейтральная плазма находится между nлоскостям11
Пусть в некоторый момент времени произошло разделе­
зарядов, в
результате
hоторого
все электроны
оказа
!:>
867.
±d.
х=
нне
в n.поскости x=d, а все ноны - в плоскости x=-d. Из-за электµо­
стат11ческих си.1 заряды станут совершать колебания. Пренебре­
гая
столкновениями
ес.111 средняя
частнu,
hOHI1C!IТpa1111я
найти
частоту
(J)
этих
частиu одного знака
колебаний,
равна п.
868. Найти глубину проникновения электромагнитного поля
в плазму при разных частотах. Для этого рассмот19еть норма.1ь­
ное nаденпе э.1ектромагнитной
волны
на
плоскую
грающу
n.1азмы, вычисJшть коэффипиент отражения
II поперечное эде1~­
тр11ческое поде в nдазме E(r, t).
Д11эдектр11ческую проницаемость взять в виде (XIV. 13).
R
Найт11 диэ.1ектрическую nронипаемость
869*.
бесстодкнови­
те.1ыюй плазмы с учетом тешювоrо движения э.JJе~пронов. Для
этого nрошпегрировать уравнение движения эле1<трона во внеш­
нем
поде
Е= Е 0 ехр [i (k · r
создавае11юго одной
чалыю:'\1у
- (J){) ], вычислить плотность
частицей, и произвести усреднение
равновесному
раслредеденню
координат
II
тока,
no
на­
скоростей,
считая его _максвелдовским. Ограничиться линейным прибш1же­
н11е111 по напряженности э.'lектрического подя Е, движения ионов
не учитывать. Заданы средняя концентрация электронов п II тем­
пература ПJ1азмы Т (те:мnература измеряется в энергетических
еднннuах).
870. Двэлектрическая прониuаемость плазмы для nродо.1ь11ого поля прн учете тen.JJoвoro движения частиц имеет вид
где
v~ =
цей.
Т/т, второй член в скобках мад по сравнению с едини­
Вычистпь
фазовую и
групповую
скорости продольных.
плазменных водн.
871. В момент l=O в плазме нарушидась нейтрадьность за­
ряда, в результате чего возник объемный заряд с nдотностью
p(r,O).
217
а) Вычнслнть плотность р (r,
/)
для
t>O,
11ие диэлектрической проницаемостн плазмы
использовав значе-
(XIV. 13).
б) Kai< 11змен11тся качественно результат, если учесть тепло­
вое движение частиц плазмы? Проделать конкретный расчет для
e,r,
приведенной в условии предыдущей задачи. выбрав
р (r, О)= р 0 ~ ехр [ -
(~ )
2
],
где р0 = const, х0 =
const.
ЛИТЕРАТУРА
Джексон Дж. [52], Лонгмайр К. [74], Франк-Каменецкий Д. А. [109], Нор·
Т. [82], Вопросы теории плазмы [28], Рухадзе. А. А., Силин В. П. [90J,
Альвен Г., Фельткаммар К. Г. f2].
"l'pon
ОТВЕТЫ
И
РЕШЕНИ»
ГЛАВА
I
ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Векторная н тензори;,я алrебра.
Прссбразовання векторов н тензоров
1. cos 8 = n · n' = cos-(} cos -(}' + sin-(} sin -(}' cos (а - а').
3. Так как bi (i = 1, 2, 3) - компоненты вектора, то прн повороте системы
координат ь; = aikbk: Подставив ь; в равенство а~Ь~ = inv 11 сравнив.
с akbk = inv, получим ak = aika;, т. е. ak преобразуются при поворотах как
компоненты
вектора.
Поско.1ЬI{У
меняет знака, компоненты
инвариант
(скаляр)
при
отраженнях
ие­
ai и bl либо одновременно должны менят,, знак
(полярные векторы) либо не менять его (псевдовекторы).
10. (aXb) 0 =i(a_ 1b+ 1 -a+ 1b_ 1),
(aXb)± 1 =±i(a0 b± 1 -a± 1bu),
~1=-1
,..,
~1
~ (-1) а_~ 1 Ь~ 1 ,
(а· Ь) =
~1=1
11. Тензор, обратный данному, удовлетворяет соотношениям
-1
...
(1)
= uu·
eikekl
Это - алгебраические уравнения относительно компонент
eik1
обратного тен­
зора. Их решения имеют вид
-1
Лki
eik =т;т,
где Лkl - алгебраическое дополнение элемента
формулы
чтобы
(2)
(2)
eki в определителе
I е 1-
Из
следует, что для существования обратного тензора необходимо.
I е 1=I= О.
Учитывая известное свойство определителя Лkiekl = ба I е
1,
убеждаемся, что обратный тензор удовлетворяет, наряду с(!), также условияы
(3)
Если eik - симметричный тензор, заданный в главных осях: eik = e<i>бi1l
(здесь суммировать по
i
не нужно), то
1 ...
-1
eik =
8
(i) u;k•
21!}
14. Ti~ образуют тен,юр П ранга.
l . При преобраJовании е 1 ~ е; по формулам е~ = a 1kek, коэффициенты
ai!t =
е; · ek имеют смысл проекций новых ортов на старые. Выполняя про­
46, 47), получим следующие матрицы преобразования:
ектирование (рис.
z
z
Рис.
при
переходе
Рис.
46.
от декартовых
а=
а- 1
=
( sin tJ, cos а sin tJ, siп а
cos tJ-_cos а cos tJ, siп а
-sша
cosa
( siп tJ, cos а
siп tJ, sin а
\
при
переходе
а =
rt.
s'
случае
случае
-siпtl-
220
правого
о
cos а
sin а
sin а
cos а
О)
О
О
1,
через
g
cosa
а-
;
о
матрицу,
1
=
( si~ а
и обратно
-sin а о)
cosa () •
О
связывающую
1
компоненты
вектора
и S (А~= gikAk)• имеем:
отражения,
-: ~):
-1.
поворота,
Направление
вилу
соо " ) ;
- ~n tJ,
cos tJ, cos а -sin а)
cos tJ, sin а
cos а ;
cos tJ,
и_-п
в
сферическим и обрапт
от декартовых координат к nилиндрическим
Обо:~начив
в системах
в
(
-
координат к
47.
cos а
siп а
g(a)= ( -si~a
cos а
отсчета
винта.
угла
а
о
и направление оси
z
удовлетворяют пра­
17.
Воспользовавшись результатами предыдущей задачи
nо.1учим
g (а.еа2) = g (а2) g (е) g (а1) =
=
(
cos а 1 cos a 2-cos е s~n а1 sin а2;
s_in а 1 c_os a 2+cos е cos а 1 sin а 2 ; s~n esin а2)
-cos а 1 sin a 2-cos е stn а1 cos а2; - sш а1 stn a2+cos е cos а1 cos а2; sm ecos а2
sin а1 sin е
- sin е cos а1
cos е
18.
1 + cos е
е
i
(а,+а,)
-
2
- isiп е
r-
}' 2
е
Jr2
ia,.
1 - cos е
i siп е
cos е;
'
е
_l_-_c_o_s_e_ ei (а,-а,\
2
i siп е
;
i (а, -а.,)
~
----е
1 + cos е
;
е
- i (а, +а,)
J
2
2
19. Так как
зование) равна
-ia,
Jr2
матрица поворота на нулевой угол (тождественное nрРобра­
1, то при повороте на малый угол I вik 1 ~ 1. Для док111а­
тельства соотношею1я вik = - вki воспользуемся инвариантностью r 2 =
xixk
1\
относительно вращений. Поскольку х;
= a;kx~ =
до малых величин первого порядка имеем
2
r' =
Х; + E;kxk, то с точностью
r 2 + 2f\~xix,,. Из инвариант­
ности r 2 следует. что вikxixk = О при произвольных xi' а это возможно только
np11 вik = - вki Введем вектор lнр с компонента\111 {J!p1 = 1/ 2 eiklek 1. Тогда
r' = r + lнр Х r, откуда видно, что l'!IJJ представляет собой вектор малого
угла поворота, наnрав.1енне которого указыва&т ось вращения, а ве.1ичина угол
поворота
Доказательство одинаково для любого числа измерений. Пусть
матрица коэффициентов преобразования б,, а ее оnреде.r~итель I б, 1- В силу
ортогональности матрицы б, имеют место п 2 равенств а;,,а ~ = бil. Замечая,
22.
что в
левых
частях
этих
равенств
стоят
произведению двух оnредетпе.1ей I б, 1.
I б, 12 = 1. Отсюда следует, что I б, 1 = ± 1.
элементы
nо.~учим
1
определителя, равного
I б, 1· 1б, 1= 111 =
1 нлн
Докажем, что при поворотах I б, 1= + 1. Если поворот производится
на нуJJевой yro.1 (тождественное преобразование), то I б, 1= 111 = 1; поскольку
эл. менты матрицы а являются непрерывными функциями
задающих поворот (например, углов Эй.1ера, см. ответ задачи
nonoooтe на конечный угол I б, 1 = 1,
При отражениях оnреде.1итель I б, 1 имеет вид
Знак
минус
24.
хотя
о
О
...
О
±1
о
...
О
О
±1 ...
имеют те днагона.,ьные элементы определителя, которые соот­
ветствуют отраженным осям.
осей и
±1
параметров,
то и при
17),
5!сно, что I а 1=
-1
при нечетном их числе.
Из
27
бы два
в нуль (eilk
+ 1 при четном числе таких
величин eikl отличны от нуля только шесть. Остальные имеют
одинаковых индекса и в силу антисимметрии
eiik
О). Отличные от нуля компоненты равны
=-
обращаются
=
е12з = ез12 = е2з1 = -
ез21 = - е21з = - е1з2 = 1.
221
Составим
третьего
выражение alia ka eikl" Вспомнив определение детер,шнапта
2
порядка
и
в виде aнa2ka 31 eikl =/а 1=
например, 1 и 2, получи,1
Из
этих равенств
определение
+ 1 = е~ 23•
a2ia\kaз1eikl = -
III
31
исnо:1ьзуя
это
выражение
'
a1ka2iaз1ekil = -
'
е12з = е21з • • •
видно, что eikl преобразуются при поворотах как тензор
ранга. При отражениях величины eikl не меняются,-поэтому совокупность
их образует
ством:
25.
аксиальный
его компоненты
тензор
во всех
III
ранга. Он обладает любопытным свой­
координатных систе~1ах
одинаковы.
Зап11шем тензор Aik в виде таблицы:
.Aik=
12
(-~21 : -;::) ·
Аз1
Обозначим
1
как Ai =
III
заnише:,1
eikl'
Переставив теперь слева два индекса,
2
ранга,
А2 3
=
А1,
А 31
=
А 2•
А 12
-А2з
=
А 3•
О
,
Эти три равенства можно записатЬ-
eiklAkl' где еik 1 -совершенно антисимметричный единичный тензор
введенный
в
предыдущей
задаче.
Но поскольку
eikl является
тензором III ранга, а Akl - тензором II ранга, величины А: (i = 1, 2, З)
образуют вектор. Ai называется вектором, дуальным тензору A;k.
дА1
26. (А Х B)i = eiklAkB l' roti А= eikl
АХ В и rot А можно рассматриk
вать как антисимметричные тензоры II ранга или как дуальные им векторы.
компоненты которых не меняют знака при отражениях (псевдовекторы).
28. а) а 2 (Ь ·с)+ (а· Ь) (а· с); б) [(а Х Ь] Х с]· [(а' Х Ь') Х с'].
7f"x.
30.
+
(а· а') (Ь
· Ь')
(с· с')+ (а· Ь') (Ь
· с')
(с· а')+
(Ь·а') (с·Ь') (а·с')-(а·с') (с·а') (Ь·Ь') -(а·Ь') (Ь·а') (с·с')-(Ь·с') (с·Ь') (а·а')
Проведем доказательства для вектора и тензора II ранга.
а) Так как компоненты вектора по условию должны быть одинаковы
31.
во всех системах отсчета, то при любом повороте Af = Ai• т. е.
(1)
Повернем
систему
координат вокруг оси
z
на угол :тт. Из фор\1ул пре­
образования компонеН'l вектора при вращениях А~= а;т,А;,_, получи~,. что
(2)
Равенства
( 1)
Произведя
поворот
Az =
и
совместимы
(2)
вокруг
оси
только
х
на
в
том
угол
:rt,
случае,
если Ах= Ау = О.
точно так же докажем,
что
О, т. е. вектор А= О, если его компоненты не зависят от выбора системы
отсчета, что и требовалось доказать.
б) Любой тензор II ранга можно представить в впде сучмы си~н1етрпч­
+
ного и антис1н1метричного тензоров: T;k = Sik
А1~- Антисимметричный
тензор эквивалентен некоторо11у псевдовектору (см. задачу 25) и, в СИЛ}'
доказанного выше свойства вектора, его ко1111оненты не зависят от систе}tЫ
отсчета тслько тогда,
метричный тензор S;k.
когда
они
равны
Выберем систему координат, в которой
Если л(i)
выбора
222
нулю.
S;k
Поэто'l!у рассмотрш,1 СН'l.1-
имеет диагональный в!щ л!i> б;~.
не равны друг другу, то компоненты тензора будут зависеть от
осей, т.
е.
от того,
какой цифрой
(1, 2 или 3) обозначена данная
ось. Только при ,-,О>= ,-,12> = ,-,<З> = л компоненты тензора не будут зависеть
от выбора осей. При это\11 тензор будет иметь вид M'J;~. 'ПО и требова.1ось
доказать.
32.
Искомые средние значения
п. =
'
_l_
4л
f п.
dQ,
равны соответствующим
n.nk =
'
'
_41
л
f
интегралам:
(1)
n.nk dQ...
'
Однако вмест~ прямого вычисления интегра.1ов в этой задаче удобнее при­
менить другои метод, основанный на использовании трансформационных
-свойств
рассматриваемых
ве.1ичин. Очевидно, что
величины п;, nink и т. д.
являются тензорами соответственно I, II и т. д. рангов. С другой стороны,
из их определения (\) с.'!едует, что эти величины до.1жны быть одинаковыми
.в тобой системе отсчета. Поэтому они будут выражаться через такие тен­
зоры, компоненты которых не зависят от выбора систе~,ы отсчета.
Рассмотрим с этой точки зрения
вого,
дачу
компоненты
31),
которого
не
n;- Поско.'!Ьку нет вектора, кроме ну.1е­
зависе.'!И
бы
от
системы
отсчета
(cVI.
за­
то ni=O.
Тензор
nink до.1жен
выражаться через симметричный тензор
II
ранга,
компоненты которого одинаковы во всех системах отсчета. Таким тензоро\1
яв.1яется то.1ько б;k, Поэтому можно написать
(2)
значкам: n;n; = п 2
Для опреде.1ения л свернем*) тензор по двум
л
= 1/ 3•
=
1 = 3л.,
Рассуждая ана.1огич11ым образом, найдем
w,=O,
ninknlnm
= '/,s (бikijlm + ijilijkm + ijimбkz)'
(3)
-83. 1 /за 2, 1 /за·Ь, 1 /за, 2/за 2, 2/за-Ь;
1/
15 [(а· Ь) (с· d) +(а· с) (Ь · d) +(а· d) (Ь. c)J;
2
34. n 2, n' , 12, n · n', (n Х n') · 1' (n · 1) 2, (n', 1) 2, (n · l)(n', 1).
35. n · 1, n' · 1, n 1 • (n2
Х nз),
§ 2.
-36. 'v ±1 =
Векторный анализ
+ ,;.,, e±ia(sin -t} __!!__ + cos -t} _!!_ ± __i _ __!!__),
дг
r 2
г
д(}
г siп -t}
д
siп-tt
д
дr
г
дt}
'v 0 =cos-tt------
да
'
37. divr=3, rotr=O, grad (l,r)=I, (l,V)r=I.
38. rot (ro Х r) = 2ro.
41. grad (j) (г) = ~ q.>' **); div (j) (г) r = 3(j) + гq.>';
г
rot (j) (г) r =
О;
(1 , \7)
(j)
(г) r = l(j) + r (1 • r)
q.>'.
г
*) Под операцией свертывания тензора понимается суммирование тен·
зора по двум
одинаковым
значкам.
**) Здесь и да.1ее в этом параграфе штрихом обозначено дифференци­
рование по г.
223
co11st
42. (JJ{r}=-,3 -.
43. div (а· r) Ь =а· Ь, rot (а· r) Ь = а Х Ь, div (а· r) r .J (а· r), rot(a. r) r=
r, div (а Х r) = О, rot (а Х r) = 2а, div (JJ (,) (а Х r) = n, rot (JJ (,) (а л r) =
, а - r (а·
= (2(JJ + r(JJ)
, r) (JJ,, d"1v r Х (а Х r ) = -2 (а· r), rot r Х (а Х r) = 3 ( rXa).
а х
=
44. grad А(,) r =А+..!:.. (r · А'), gгad А (r) · В (r) =..!:....(А'· В+ А· В'),
r
r
'
(JJ
'
div т (r) А (r) = ~ (r ·А)+- (r · А'), rot (JJ (r) А (r) = ~ (r Х А)+~ (r Х А')
.,,
r
r
r
r
'
(1 • f) (JJ (r)
е,,
А (r)
..!..:..!:.. ((JJ'A + (JJA').
=
r
p·r
pXr
45. - grad - 3- = rot-- ; проекции этого вектора
r
r3
ett, е0 равны соответственно
2р cos {}
р sin /t
,з
• о.
,з
Векrорные лини
а=С1,
о5ра~уются пересечение\1 11.вух се"
11а базисные орты
1
тв повср,.;ностей:
r=C2sin 2 -&.
2 А
2
д
А
2
дА;,
47. (ЛА), = ЛА, -7 r - , 2 sin -& a"{i (sin {} tt) - , 2 sin {} да,
48.
Att
дА,
2
2 cos -&
(ЛA)tt = ЛAtt -
,2 sin2 {} + r2 cRt- ,2 siп2 {}
( ЛА) а =
r2
ЛА _
Аа
а
А,
(ЛА),= ЛА,-2 -
r2
да '
2
дА,
2 cos {} дА,,
sin {} да+ r 2 siп 2 {} ~ -
дАа
-д-'
2
2r
r
А
+
siп 2 -&
дАа
а
Аа
2 дА,
( --" )а=~Аа-7+?" да'
(.-'1A)z = ЛАz.
49.
f
50.
Здесь, как и в ряде других случаев,
(grad (JJ · rot А) dV =
~ (А Х
grad q;) dS =
J
(JJ rot
А dS.
удобно расс,1отреть скалярное
произведение интеграла на произвольный постоянный вектор с:
Поскольку с =
f
J
произвольный вектор, то отсюда с.1едует, что f (а· п)
c-~r(a·n)dS=j(c·r)andS=
div[(c-r)a/dV=(a·c)
а V. Таки:м же сnособо11 получи\! ~ (а· r) п dS = а V.
51.
~ П(JJdS =
f (п Х а)
f
grad (JJdV,
dS =
~ (п · Ь) а dS =
~24
f а
f (Ь а
rot
dV.
• V)
dV.
dV=(a-c)V.
r dS =
55.
n-
Используя метод задачи
орт
по.~1учим
50,
f
(j)
dl =
f
(n
Х
grad QJ) dS
нормали к поверхности.
f
56.
(grad
и Х grad f) · п dS.
tt
2;
в
61. а) А+,:-; б) А+В ln tg
в) А+Ва.
62. а) A+Blnr; б) А+Ва; в) A+Bz.
2
64.
х = ± [ <5 ~;2 ~<~21 <::>~:; а >
-
[ (6 +
у- ± -
z
h1
= + [
-
ь2) (11 + ь2) (~ + ь2) ]''• • 1J
(1)
(5 + с2) (11 + с2) (~ + с2) ]''•. J
,
(а2-с2)(Ь2-с2)
11 <11 - ~> <11 - 5)
, h2 =
2R
2R
'
л=
J", 1
(с2 - ь2) (а2 - ь2)
11 <6 -11) <6 - ~>
=
2
J,,. <~ - 5) <~ - 11>
' /zз =
2R
1J
<6 - 11> <6 ~ ~> <11 - ~> [ <11 - ~> R, gs ( R, g6 ) +
+ (~ -
5) R11 :JJ ( R11
дд11 ) + (5 -
ь
д~
11) Ri;
,
( Ri;
д~
)] ,
где Ru = Jr (и+ а 2 )(и + Ь 2 ) (и+ с 2 ). Из формул ( 1) видно, что каждой тройке
6, 11,
значений
~ соответствуют восемь троек х, у, z.
Убедиться в ортогональности эллипсоида.'!ЫJО:1 системы координат можно,
найдя grad
grad grad ~ и составив скалярные произведения grad
grad 1'J
II т. д., которые оказываются равными иулю. grad
grad
grad ~ можно
найти непосредственно из уравиеиай, определяющих
1'), ~. беря градиент
6,
11,
6,
6,
от обеих частей каждого из этих уравнений и используя
- + [ (1;+с2) (11+с2)
с2 - а2
65. z - -
JfI=,j
I
R~
h1= 2
]''•
,
(1).
-[ (5+а2) (11+а2) ]''•.
а2 - с2
r-
Jr[=,i
I
h2= 2
,
6·
11,
R1J
,
'
hз=r,
где R~ = Jf(5 + а 2 ) (5 + с 2 ), R11 = }1 (JJ + а 2 ) (- 11- с 2 );
Л
66
• х
=
=
4
6_ 11
+ [
-
а
а
(
R~ д[ R, д[
(5 + а2) (~ + а2) ]''•
Л = 6~ ~
15
[
а2 - ь2
[ R~
д~
( R~
•
) + R11 a;:iа (R дТ)
а )] + 71
11
r
•
= [ (5 + ь2) (~ + ь2) ]''• •
:s )+
В, В. Батыrии, И. Н. Топтыгин
а2
да 2
ь2 - а2
Ri; :~ ( Ri; :~ ) ]
•
+ :2
а::
.
225
67. h'f, = ''т~ =
д=
s-аcos 1J ' hа = ch аs-sincosfJ f\
(ch s- cos f1}3 [ ~ (
\
~)
а2
д; ch s- cos fJ д; +
+ _l_ _j_ ( sin fJ
_j_) + sin
sin 1J д11 ch s- cos fJ дJJ
68.
cl1
= const -
Поверхности р
s= const -
\
fJ (ch
s- cos 11)
д2]
да2
•
тороиды:
(Jf х 2 + у 2 -а cth
поверхности
2
р) 2 + z2 =
(
shap )\
сферические сегменты:
(z - arctg s} 2 + х 2 + у 2 =
h = h ,,,.
а
6 ch р - cos
Р
s'
ГЛАВА
2
(-.а-)
•
SIП S '
h
а sh р
а "" ch р - cos ;
II
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
69.
1p 1 =-2npz2,
1р 2 =Ось
z
E1=4npzez (1zl< ;),
~npa(4\zl-a),
C2=2npa
; ez {lzl> ;).
1 1
направлена по нормали к поверхности плиты.
(х, у, z) = а 2
70.
(j)
71.
При z > О:
при z < О:
(j)
= 1т;: 0
2
(j) =
Экспоненциальное
4:rtpo
+ fP + '\' 2
2
:ао
cos ах cos f\y cos vz.
e-"J..z
e"J..z
убывание
sin
sin
ах sin fly;
ах sin fly, 'А= Jr а 2 + f\ 2 •
потенциала
вдоль оси
объясняется тем, что
z
плоскость содержит разноименно заряженные участки.
72. Самый простой метод решения - с помощью электростатической тео­
ремы Гаусса. При решении методом интегрирования уравнения Пуассона
необходимо воспользоваться выражением оператора Лапласа в цилиндриче­
ской системе координат и использовать тот факт, что вследствие симметрии
системы (j) зависит только от r.
При объемном распределении заряда:
R
(j)1=
f ~; dr=н(l-
;:).
Е1 =
2
;~
(r<;R);
r
R
(j)2=
f
2н
r
-dr= -
r
R
2н \п-,
Е2
2н
= -r
(r;;.,
R).
r
При поверхностном распределении заряда (!)1
226
= О,
(j)2 = -
2н
r
ln R:
73. q, = -
2х
Е
ln ,,
2х
=-
'
,
где х - заряд на единицу длины.
выfрана так, что <р = О при r = 1.
74. <р (х, у, z) =
-
q
постоянная
в потенцпале
1 z - а+ Y(z - а)2 + х2 + у21 .
z +а+ У (z + а) 2 + х + у2
ln
2а
Произвольная
2
Введем обозначения
75.
= z + а, z2 = z -
z1
а,
f 2 _2
2
С=
r1, 2= "1ух
+у +z 1, 2 ,
Z1
+ Г1
,
z2+r2
Из результата предыдушей задачи следует, что
r1
C+I
1
+ r2 =
2а С_
= coпst
(1)
(нужно учесть, что Z1 - Z2 = 2а).
Равенство (1) показывает, что эквипотенциальные поверхности предста­
вляют собой эллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с концами
отрезка.
76.
<р,(,)=;
(f- 2~ 2 ),
<р2 (r) = ; ,
а
77.<pi(r)=R'
<р2 (r) = _о:_,
'
78.
Е,=О
Е,=
;~
(r~R);
Е2 = ~~
(,> R).
(r<R);
Е2 = ..о:!:_ (, > R).
,з
Электрическое поле в полости однородно:
4
Е =
79. q =
4па
3
л:рr-
4
3 пр
(r-a)
=
4
3
л:ра.
(R2 - R1);
Е 1 =0,
Ri)
r --( l-ln
R2
r
Е
При
з
_ .!!_.
-
r2 ,
(J)з =
= R
о
7
при
при
r
и фиксированном значении
2 ~ R1
сферы, равномерно заряженной по поверхности.
R
80. W = Зq2 •
БR
>R
2•
заряда
q, получаем по.1 е
q2
W=щ•
ственно для распределений
q2
q2R,
R2
W=-R2-R, - (R2-R1)2 lnR~-соответзарядов, указанных в задачах 76, 77 11 79.
R
Из сравнения вкладов в энергию W, выражаемых интегралами
впдно, что большая
заряда
15*
(83%
часть
энергии
поля .,юка:шзована
в случае шара, заряженного по объему).
вне
оо
J J
II
о
R
распределения
227
r
81.
ер
оо
f р (r') r'
4
(r) = ;
2
dr' + 4:rt
О
f р (r') r' dr';
r
r
Е (r) =
f р (r') r' dr'.
4
2
~r
о
83.
Поле электронноrо облака в атоме:
ере (r) = - е:
Eer =
[1 -
ехр { :_ ~ ) ] + е; ехр ( - ~ ) ;
~~ [ 1- {~ + 1) ехр { -
-
2
; )]
+ ~2° ехр { -
2
; ),
Потенциал полноrо электрического поля в атоме
ep(r)=epe(r)+ :
84.
0
Er=
,
~~
2
( ; +
1)ехр[-
2
;
]+ 2:l
ехр[-
2
;].
Напряженность поля максимальна на поверхности ядра
Еmax -_Zeo_64
R2 - , • 101в А,z1, В /см.
85. Воспользоваться тем, что плотность а поверхностно распределенного
заряда может быть записана в виде
р
86.
87.
Q1, 2 =
ер=
(r, -0-, а)= а (-0-, а) б (r - а).
RYR 2 +a 2 , 12 - -2
)
(r R. + а А1, 2 - RA2, 1 •
2
qa
~;
(V R2 + z 2 -
1 z 1);
Ех=Еу=О,
где
Ez
2q(z
z)
=R2
т;т- Jf R2 + z2 '
z-
координата
88.
Если положительно заряженное полукольцо занимает область х
точки наблюдения,
в плоскости ху, то при х, у ~
цию в интеграле
f~
Г12
dl
отсчитываемая
R2+z2
R ,
разлагая
от
плоскости диска.
подынтегральную
>О
функ·
в ряд, получаем
4qRx
ер= :rt (R2
+ z2)з1,'
<Jткуда
4qR
Ex=-----:rt (R2 + z2)'/,'
При
Iz
1~
R
Ez=
:rt
12qRxz
(R2 + z2)'/, •
получается поле электрического диполя, момент которого на·
правлен по оси х и равен
89.
Еу=О,
4qR/:rt.
Вследствие си~1метрии системы потенциал ер не будет зависеть от
азимутального угла а, по:1тому можно без нарушения обшности провести
228
"Плоскость xz через точку наблюдения. Тогда (рис.
48)
2
2
r 12 = Уr + R. - 2rR. sin tt cos а'
п
(J) (r, 6)
f
= 2нR.
о
=
,rде н
q/2nR.
Произведя подстановку а'=
k2 =
n - 2~
и введя обозначение
fУ
П/2
6
(J)(r,
4нR
)
а)
= Yr2 + R.2 + 2rR. sin 6
(J) =
УR.
q
+ z2 ,
2
,
4rR sin 6
r 2 + R. 2 + 2rR. sin 6 '
mолучим
90.
da'
Yr 2 + R. 2 - 2rR. sin 6 cos а'
где
о
расстояние
z-
~
d~
1 - k 2 sin 2 ~
2kн
К (k).
YrR. sin tJ-
от плоск:сти кольца до точки
~наблюдения.
б) (J)=!L.
r
в) Обозначив
-стояние от точки
через
яити кольца, получим при
,2
1 - k2
=
'М
r'
рас­
наблюдения
r'
до
~
R.:
r
4R.2 •
8R.
K(k)=In-
(J) (r) = -
2н Iп
r'
r' + const,
как и должно быть в случае ли­
,нейного заряда.
411,
91. (J)1 = таоr cos 6 (r ~ R.),
(J)2 =
4n
3
Внутри
сферы
-электрическое
·ностью
·ры
-
поле
92.
поле
Е 12 = -
· 4na 0 R. 3 /3.
!/
croR. 3
· ~ cos t}
с
(r ;;.R.).
однородное
наnряжен­
4na 0 /3. Вне сфе­
диполя
с
Рис.
моментом
48.
Вследствие аксиальной симметрии поля уравнение Лапласа, записан­
ное в цилиндрических координатах
·симметрии системы), принимает вид
д2(J)
1
(полярная
д(J)
ось
направлена
вдоль оси
д2(J)
-д
r 2 +--д
r
r +-д
z 2 =0.
(1)
'Будем искать решение уравнения (1) в форме степенного ряда по
r:
00
(J) (r, z)
=
~ ап (z) rn,
а 0 (z)
= (J) (О, z) =
Ф (z),
(2)
n=O
>rде Ф (z)- потенциал на оси симметрии системы.
229
Подставив
в
(2)
перегруппировав члены и приравняв нулю коэффи­
(l),
циенты получившегося ряда, найдем рекуррентные соотношения для опреде­
ления коэффициентов ап
откуда
(z),
00
~(-l)n ()
(r)2n =Ф(z)--Ф"(z)+
r2
2
1p(r z)= ~·--Ф
n (z) '
~ (п!) 2
2
4
n=O
дQJ =~Ф"(z)+
Er=-
дr
Еа=О,
93.
2
Е2 = -
Ф'(z)+
~:- = -
Нужно вычислить мультипольные моменты
Qrт
f
,. /"4i"1 f
V
= ,.V/"431
21 + 1
'
Qrm=
xR1У1•т
21+1
х
(
:п
2 ,
у•
Rl+I
lm
а)
R da,
2' а) R da.
( :n:
Используя формулы (П2. 1), (П2.5), найдем
00
QJ (,,
'ft) =
q ~
7
~
n=O
(- оп
(2n- l)fl ( R )2п
( п)!! · 7
Р 2 п (cos 'it)
2
)()
r
_ q ~
п (2п - 1)!! (
(J)(r, 'it)-R ~(-1)
( п)!!
R )2п P2п(cos'lt)
2
> R.
при
r
при
r<R.
при
r
< r0;
при
r
> r0•
n=O
Обе формулы справедливы также при
94•
а
2
)
(J)
б) (JJ
= qa2 Зz ,s=
Зqа 2
r
2
r = R ('lt =I=
Р (cos 'it)
= 2qa2 2 ,э
;
sin 2 'lt cos а
ГЗ
siп а
3
3
9 cos 'lt
= 6qa P 3r (cos 'ft) = qa3 15 cos 'ftr
(J) = 15qabcxyz
15qabc sin 'lt cos 'lt siп а cos а
95. а)
(J)
б)
4
4
2
r1
96.
97.
:п/2).
".,
r4
4:п
,1
•
(J)
(r, 'lt, а)=~ --1+1 Уrт ('lt0, а0) У1 т ('lt, а)
(J)
,.., 4:п
(r, 'lt, а)= , , - - "1+1 У1 т ('lt0, ао) У1т ('lt, а)
- 21+ 1 r
l, т
21 + 1
l.m
Го
rl •
(J) (х, у,
·
z)
q
= -r + q
а2 (Зх2
_ ,2) + ь2
(Зу2
_ r2) + с2
lOr s
В случае эллипсоида вращения (а= Ь)
(J) ('·
230
-")
q
с 2 -а 2
P 2 (cos'ft)
1Т =,+q-г·
,э
.
(Зz2
_ r2)
•
В случае шара (а= Ь = с)
rp=.!L.
r
В
98.
сферических
системы и полюсом
координатах с полярной осью вдоль оси симметрии
в центре колец
qJ
(r,
{})=- q(a2 -b 2 ) . P 2 (cost})
гз
2
Это - потенциал линейного квадруполя, у которого
.на расстоянии Уа2 - Ь 2/2 от центрального заряда 2q.
99. Вычислим мультипольные моменты:
q=
=О
так как б (г)
Ра =
-
f (р'
-
· V)
J(
1
Ха р • V
Г dV =
) _. ( )
u
= О;
-
заряды
-q
находятся
f, (р'. n) б (г) dS = О,
б (г) dV = -
всюду, кроме г
,
J , дб (г)
ХаРп
дхп
dV
=
I , дха
Pn дхп б (r) dV.
Последнее преобразование состояло в интегрировании по частям. По
11овторяющемуся индексу п подразумевается суммирование. Возникший при
этом поnерхностный интеграл обращается в нуль, так как б (r) = О при r'FO.
По определению б-функции
, дха
,б
,
Ра=Рп дхп =рп an=Pa·
Все мультипольные моменты более высокого порядка пропорциональ·ны
r при r = О и поэтому обращаются в нуль. Рассмотрим, напри­
кш,шонентам
мер,
компоненты
квадрупольного
мо-
z
мента. Действительно,
,
J
J
дб
ХаХr,Рп дхп
Qa;i = -
=
б
(r)
р
I
п
100.
по
dV =
дхахr,
--dV=
дхп
::,
ния
(r)
р~х(', + Р13Ха \r=O = О.
После п-кратного интегрирова­
!/
частям, получим
flJ (r) =
= q (-
l)n
Jб
(r')
П (ai · V') Х
i
Х
I r _ r' I dV' = q П (ai. V)
f.
Рис.
101. Проще всего, воспользовавшись формулой QJ =
ответ
к
задаче
94),
2
QJ = q~
r
выразить в ней
z'
через х, у,
[3 (х sin у cos ~+у siп
-
z
(рис.
49.
qa2 (3z'
2
r5
49).
-
r 2)
(см.
Получим
у sin ~ + z cos у) 2 -r2 J.
231
Тот же результат можно получить, воспользовавшись тем, что совокупность.
компонент квадрупольного момента представляет собой тензор II ранга.
В системе осей х', у', z' компоненты квадрупольного момента
'
2
Qzz=2qa.
Матрица коэффициентов преобразования имеет вид
а=
cos v cos fl
cos
v_ siп fl
(
- sin
cos
о
-sшv
С
помощью
этой
матрицы
fl sin v cos fl)
fl sin vsin fl .
вычисляем
cos
v
компоненты
формулам
Qll/3
в
системе
xyz no,
Qa/:1 = ~ аауа13бQ~б•
V, б
а затем используем формулу
(11. 8).
.
х 2 } sш 2~ + 2ху cos 2~J.
102.
ljJ =
15qabcz
,
2 7
103.
ljJ =
:;з (3 sin 2 tt sin 2а - З cos 2-lt- 1).
104.
По принципу суперпозиции можно написать
[(у 2 -
2
ljJ
Преобразуя
(r}
это
получим, что ljJ
=
· (r - r'} dV'
1r - r' 13
v
fР
=
f
s
а Рп = Р
= - 3 - cos tt
4:лРR 3
где х =
=
fр
fр
(r'}
-
d'
1
dV'.
I r - r' 1
cos
'(t
~ Ап
cos
па+ Вп
2х ln r
+ 2 ,1',;.
91,
найдем.
(r~R),
lj)2 = - - -
3,2
(r) =
ra
Используя результаты задачи
cos 'lt.
4:лРr
ljJ
g
с помощью теоремы Остроградского - Гаусса~
Рп
I r _ r' I dS, где S - внутренняя поверхность nоляри-
lj)1
105.
·
выражение
(r} =
зованного шара,
fр
(r~R}.
п,п
sin па
n=l
(r') dS' -
полный заряд единицы длины распределения, Ап =
,,п cos па' dS' и Вп =
польные моменты
n·ro
fр
(r')
,,п sin па' dS' - двумерные мульти­
порядка.
Из этих формул, в частности, следует, что потенциал диполя в двумер-
ном случае имеет вид
ljJ
2
= ~2• r ,
распределения на единицу длины,
232
f
где р = р (r') r' dS' - дипольный момент­
r-
радиус-вектор в плоскости ху.
00
106. (j) (r,
,--, 1 (
а)= - 2н ln r + ~ п
': )п cos п (а -
а0)
при
r > r0 ,
; )п cos п (а -
а0 )
при
r
n=I
00
«р (r, а) =
,, 1 (
2н ln r + ~ п
-
0
n=I
107.
длины,
«р
(r)
2на
2р · r
= -cos а= - r
r
где
2 -,
р
< r0•
•
- дипольныи момент на единицу
r - радиус-вектор в плоскости ху (r ~ а), ось z направлена вдо.'Iь
()ДНого из линейных зарядов.
108. На оси симметрии диска
.роны диска к положительной)
«r (z) =
-rQ =
(ось
2л:~:
z
направлена от отрицательной сто­
(1 - 1 -R z+2 )-z-;
zI
1 1
2
2
1
Er=Ey=O,
r-
109.
а) В цплпндрических координатах
E,=Ez=O;
б) «р =
1 д«р
2.
Еа=---=-;
r да
r
2-r (л: - а),
E,=Ez=O.
Т:оле Е совпадает с магнитным поле~, прямолинейного тока
110. Уравнение силовых линий
f1 = i:c.
(z+ а) [(z + а) 2 + , 2 г''• ± (z - а) [(z - а) 2 + , 2 1-''2 = с,
IГД~
С
- nостопнная. На рис. 50, а изображена картина силовых линий для
:с
(JJ
а)
Рис.
50.
<Сл~чая разноименных зарядов. В случае одноименных зарядов в поде имеется
меитральная точка r
О, z = О (рис. 50, 6).
=
233
111. Целесообразно перейти к сферическим координатам. Устремляя а
к нулю, разлагая в ряд и отбрасывая члены порядка а 2 и выше, получим
г= С siп 2 6.
Не
112. r =СУ sin 2
следует
61 cos 61,
забывать,
С= coпst.
что в случае квадруполя конечных размеров, пОJ1у­
ченная формула пригодна только для больших расстояний (рис.
114. q2=
115.
ловой
51).
Ф+Jf2(Jr2 -l)~i:q 1
J/2 (J/2 -1):n:
Рассмотрим силовую трубку, полученную врашением некоторой си­
линпи
вокруг
оси
z.
Применив электростатическую теорему Гаусса
к объему, ограниченному боковой поверхно­
стью этой трубки и двумя плоскостями z =
coпst, не содержащему внутри себя зар<1дов, найдем, что поток через любое норма.%­
z
=
ное к оси сечение трубки Ф
(z) = ~ qiQi (z)
i
(см. задачу 113) не зависит от z (при изме­
нении z между Zk и Zk+1). Здесь Qi (z)=
= 2:n: ( ± 1 - cos щ) - те 1есный угол, под 1,ото
рым
видна отрицательная
чения
щ
+2'7_..__+-____...,..__.Z'_
-9
-
из
точки
угол между
сом-вектором
z;,
где
сторона такого се­
находится
направлением оси
точки
контура
чения с координатами
(r, z).
>
заряд
z
q;;
и радпу­
нормального
ce-
«+» нужно
z < Zf. Если
Знак
брать при z
z;, знак «-» при
при изменении z нормальное сеченпе трvбка
перейдет через заряд Qk, то Ф (z) ска;шом
изменятся на ± 4:n:qk, однако при этом не 11.1-
менится ~ Qi cos щ. Выразив cos щ через z,
i
Zi и r, получим искомое уравнение семейства
силовых линий
~
qi(z-zi)
. Vг2+ (z-zi)2
t
Рис.
51.
линдра (рис. 52).
не
117. Выберем цилиндрическую систему ко­
ординат, ось z которой совпадает с осью ци­
Вместо условия IJ) = coпst на поверхности S цилиндра удоб-
е с ользовать вь'текающее из него условие ддаlJ)
и
=С, C=coпst.
п
= О. В результате диф­
ференцирования получим
R2 + х~ - 2Rx 1 cos а
р2 + х~ -2Rx2 cos а'
cos а w
= Х2 эквипотенциальной поверх­
Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с
без него. В результате получим, что при х,
ностью будет любая ци.т.индрическая повер~ность, ось которой параллельна
заряженным нитям и лежит с ними в однои плоскости, а радиус удовлетв<:­
ряет условию
R2 = х 1 х 2 • При х 1 = О существует решение х 2 = О. Этот случа~
соответствует цилиндрическим эквипотенциальным поверхностям в поле одн011
нити.
234
118.
-ее
Воспользуемся
рис.
Радиус
53.
R
искомой
сферы
и
положение
центра определяются уравнениями
Qi
Z1
-=2·
Z2
Q2
Потенциал иа поверхности этой сферы равен нулю.
119. Лrр
e-ar
1
-
= qЛ --=qЛ
'
'
+ qЛ
+
- 1
е-аг
'
7 а,2 (
а2
=-4л:q
e-ar -
r
r
Таки\! образом, имеется точечный заряд
-рически симметрично распределенный объем·
11ый
заряд
с
плотностью
+
1) = - 4л:q {)
(r) +
qa2e-ar
r
в нач<1ле координат и сфе­
z
qa2e-ar
4л:,
Р = -
f pdV=-q.
120.
q
{) (r)
Точечный заряд е 0 в начале коорди-
11ат, окруженный объемным
зарядом с плот-
ностью р (r) = - ~
ехр
:rta 3
а
Такой вид
[- ~].
х,
.z;
Рис.
.:с
52.
Рис.
53.
11меет распределение заряда в атоме водорода (ер. с задачей
121. U =
f ео
-
r
р (r) dV =
е53
- -:rta
s""r ехр [ -
83).
е5
-2r ] . 4л: dr = - а
а
•
о
122. U = 5eg/4а.
123. и= Qiq 2
а
,
F-
Q1Q2
а2
•
124• R.. = 32па
2 •
Ео
235
rде
интегрирование
выполняется по всем элементам обои:х колец dl1 и dl 2"
а 1 и а 2 - углы, указывающие расположение элементов, Интегрируя по
и делая замену а 1
:rt - 2а, получим
=
da11,
где
n/2
f
а К (k}=
о
da
У 1 -k 2 sin 2 а
-
полный эллиптический интеграл первого рода.
При вычислении силы
F
дU = - дU !.!!._ нужно воспользоватьсв
= -
де
дk
де
формулой
2k2
dK (k}
d (k 2 }
i
Е (k} - К (k}
l -k2
П/2
(см. справочник
fУ
где Е (k} =
[91], (8.112)},
1 - k 2 siп 2
а
da -
полный зл­
о
лнптн~;еский интеграл второго рода. Окончательно,
F=
126. F = 127•
U_
-
Зqr (~. r}
r
Р1Р2
sin
,'}1
+
sin
Q1Q2ek
qрз '
'
Е (k}
1 - k2
N = qp Х r
r3
r
'1'} 2
3
4л (аЬ} 312
= 3Р1Р2
siп ,'}1
rз
236
f р (г'} 1р 1
•
r и р 2 , 1р-уrол между плоско­
sin ,'}2 cos 1р - 2 cos ,'} 1 cos ,'} 2
r4
Сила максимальна при '1'} 1 = ,'}2
128. U 21 =
'
cos IJ) - 2 cos '1'} 1 cos ,'} 2
где ,'}1 - угол 111ежду r н р 1 , '1'} 2 -угол между
стями (r, pi} и (r, Р2},
F
'
= 1р = О,
(r'} dV' =
•
т. е. nрн параллельных диполя:х.
ГЛАВА
Ш
ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
§ 1.
Основные понятия и методы электростатики
129. epl = ер2 = 81
ер1
130.
=
ер2
=
ер3
2
q
+ 82 7•
=
2:rt
q
81а1 + 82а2 + 8заз
7•
D· _
81а1
i -
nри
131.
r~
qr
2:rt8i
+ 82а2 + езаз 7·
Граничным условиям (ер= const на поверхности проводника и ер= О
оо) можно удовлетворить потенциалом вида ер= C/r; постоянная С
определяется из условия ~ Dn dS = 4:rtq, С= 2q/(8 1 + 82 ). Отсюда находим
потенциал
s
1
е 1 + е2 r
2q
ер=----
O"i =
2:па 2
и
распределение
Q81
(8 1
поверхностных
зарядов:
+ е2 ) '
q (81 - l)
132.
133.
с-[ (8 - l) Q
+ •]-5:.!!._
Ь- а •
С
_!_)
+ -1
с
8
4:п
-
1
(_!_ -
= [81 а
2
Связанные заряды находятся
на сферах радиусов а, Ь, с:
О"а св=
где
q
81 -1
- 4 :па2 - -- - ,
81
в
(_!_- _!_)]-!
с
Ь
местах
неоднородности диэлектрика, т. е,
82- l
_8_2_,
Q
а ь св= 4:пЬ2
О"ссв=----9.....;(-4:пс
8
1
2
1
- - -),
81
заряд внутренней обкладки конденсатора.
Полный связанный заряд в конденсаторе равен нулю.
135. Емкость конденсатора
q-
С=
8oS
4:па
ln 2
Поверхностная плотность связанных зарядов
О"св =
О" ( l -
-
1
80
)
1
О"св=а(~--)
280
при х = О,
при х=а.
Объемная плотность
аа
Рев= Бо (х+а)2
(а - заряд обкладки при х = О}.
237
Е~
у2
136. а) fо= 8:rt = 8:rtd 2 ;
D2
1
б) f = = -f
O - жидкий диэлектрик,
8:rtE
В
f=
.
f=
в)
fl2
-
fO -
- =
8:rt
вЕ 2
:rt =
8
f = (в;j_
твердый диэлектрик;
вf 0 -жидкий диэлектрик,
2
=
в 2 f0 - твердый диэлектрик.
(в-1) bh 2 V 2
137.a)F=
8:rtвh1
[
h1 -
h 2 (в-l)];
8
б) F-
2nhih 2 (в - 1) q2 [h 1 в -h 2 (в -1))
- b{a[h 1 в-h 2 (в-l)]+h 2 x(в-1)} 2
138.
Сравним давление
в
"
точках А и В жидкости (рис.
54).
В точке В
давление равно атмосферному Ратм· Давление в точке А можно найти двумя
•
Е2 т дв
способами.
( здесь
С
однои
Ратм = р0 , Е =
у поверхности
стороны,
~).
по
формуле
:rt дт
8
С другой стороны, р А отличается от давления
жидкости в конденсаторе,
/;
(III. 25), Р А= Ратм +
определяемого формулой
(III. 23),
?f~
Е
Рис.
на
величину
в-1
гидростатического
- 8n Е + Ратм·
2
Рис.
54.
давления
rgh,
55.
р
Е 2 дв
=rgh+т--A
8:rt дт
Сравнивая, получим
h= в-1 в2.
8:rtgт
139. Тензор максвеллова натяжения Т~ направлен так, что электриче,
/ , /= w =вЕ2
ское поле Е делит пополам угол между n и Т n (рис. 55). Т
n
8:rt
2
при любой ориентации площадки. Стрикционное натяжение т" = Е •" дв
п
имеет
всегда
нор~~алн
238
n
к
характер «отрицательного
площадке.
давления»
-
оно
8:rt
налрввдено
дт
вдоль
140.
На
а) Введем цилиндрические
плос1юсти
ху
2
qr
• •
е (r 2 + а 2 /4) 1,
поле
имеет
координаты,
радиальное
как показано на рис.
напраIJленне,
56, а.
его величина Е =
Для вычисления силы F, действующей на один из зарядов,
:с
о)
а)
Рис.
56.
например, на левый, нужно просуммировать натнжения,
ментам
dS
приложенные
к эле­
этой плоскости со стороны, обращенной к другому заряду:
,2
eq2
е
Tz dS= - ВпЕ2 dS= -
2:n: • (,2 +а2/4)з е2 dS,
если воспользоваться максвелловым тензором натяжений. Отсюда
F =
z
fТ
z
dS = - _l_ е 2
2:n: q
f
,22:n:, dr
е2 (,2 + а2/4)з
= -
_r__
еа2 .
о
Именно такое значение обычно принимаетси для силы, действуюшей между
зарядами в однородном диэлектрике. Однако, ес.'!и провести то же самое
вычисление с полным тензором натяжений, то сила будет равна
ЛFz
=
q2-c
де
~ -д получается
в а
-с
за счет стрикцнонноrо члена.
F2
+ ЛFz,
где
Но в теорпи, учи-
тывающей электрострикuионные натяжения, нужно также учитывать явление
втягивания жидкости
скоrо давления
в
в
поле
жидкости
и
на
связанное с этим
величину Лр =
Результируюшая гидростатическая сила ЛF zг
=-
повышение
Е2-r
B:n:
q2-.
де
~ -д
в а
rидростатиче­
де
д°""i"' согласно
-r
=-
ЛF z·
(111. 25).
Полная
2
снла взаимодействия зарядов Fz + ЛFz + ЛFzг = - ~ совпадает с той rнлой,
еа
которая поJiучается без учета стрнкционных спл н представJiяет собой, таким
образом, результирующую электрических и механических cиJI.
б) Те же резуJiьтаты поJiучаются, ecJiи рассматривать действие натяже­
ний на поверхности маJiой сферы раднуса R с uентрои в той точке, где на­
ходится заряд q, испытывающий действие си.'lы (рис. 56, б). Введем сферические
239
Rоординаты н рассмотрим максве.1rловы натяжения Т~ = 4: ( EEr - ~ E 2cr),
rде Е = Е 1 + Е 2 , Е 1 = ~ 2 er - поле заряда, испытывающе;"О действие снлы,
8
Е2
=
~
8
2
(е-о sin t} - е, cos 6) - поле второго заряда, которое можно pacc\fa·
так как расстояние между зарядами а ~ R. Про·
тривать J<.ак однородное,
суммировав на1яжения, приложенные к поверхности сферы, пслучим
F=
f
T~dS=~ez.
еа
Рассмотрение стрикционных натяжений опять не дас':О бы ннчеrо нового
из-за гидростатической компенсации.
Впщ
-. /
е-1,
141.(j)o=v
где g-ускоренне силы
142.
При
z>O:
при
z<O:
тяжести.
q
(j)=(j) 1 = - Е1Г1
r
электрике Е1
у
(Е1 - Е2)
Е1 (Е1
2
q
Е1 +е2
Г1
+ Е2)
q
·;
Г2
(j)=(j) 2 = - - - , - .
143. Uсв=-1-( д(j)2 4:rt
дz
Пр:1 е 2 ~ оо
+
д(j)1) 1
дz
z=O
=
Е1 -1'2
qa
2;-:т3 . Е1 (Е1
= V х 2 + У2 + а 2 = r1 lz=O =
пслучае~1
r2
+ Е2)
,
где
lz-o·
случай· точечного заряда
q,
находящегося в ди­
rраннr:ы с плоскю1 проводником. При этщ1 Uсв-> - -
qа
- -- .
2лr 3 Е1
Эта предельная г..1отность на само:.., деле представляет собой сумму плот­
ностей связанного заряда на rраннце диэлектрика и свободного заряда на
поверхности
проводника.
144.F=
q22·
4а
>
€1-!'2
€1 (е1
1' 2 )
+
<
При е 1
е 2 заряд оттс>лкивается от границы диэлектриков, при е 1
е2 притяrивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большим е, оттал·
Rнваясь от границы, стремится уйти на бесконечность. Заряд, находившийся
сначала
в
среде
с
меньшим
е,
притягивается
к
границе,
пересекает
ее
и
затем, будучи уже в другой среде, отталкиваясь от границы удаляется на
бесконечность. (Сказанное будет справедливо только в том случае, еслн
пренебречь снлой трення, действующей на заряд со стороны среды.)
Приведенное значение снлы F можно пслучить разными способами:
а) рассматривая взаимодействие двух точечных ~арядов q' н q"; б) вычис:zяя
силу, де_йствующую на точечный заряд со стороны связанных зарядов, на­
ходящихся на границе раздела диэлектриков; в) с по"vrошью тензора натя·
жений Максвелла. В последнем случае удобно рассмстреть натяжения, прп­
ложенные лпбо к плоскости раздела диэлектриков, Jшбо к поверхности маJюй
сферы, OI ру.кающей заряд.
145. F 1 =
240
Е 1 - Е2
Е1 (Е1
+ Е2)
Q~
• -2
4а
+
Q1Q2
2 (Е1
+ Е2) а ,
2
Неравенство сил, действуюшпх па заряды q, и q2 объясняется тем, что
эти заряды сами по себе не образуют за}1кнутую механическую спстему;
имеются еще связанные заряды на границе раздела диэлектриков Векторная
сумма сил, приложенных к этой
границе и к зарядам q1 и q2, равна пулю,
как и должно быть.
146. Еслп положить в мета.ме (J) = О, то в диэлектрике (J) = q/er 1 - q/er 2
(см. рис.
10: заряд q в точке А, заряд-q в точке В; е 1
= е, е 2 = оо).
Член - q/er2 , обусловленный наведенным зарядом проводника и связанными
зарядами диэлектрика, имеет тш,ой вид, как если бы он описывал поле
тсчечного заряда - q/e, находящегося в точке с координатой z = - а. За­
ряд - q/e называется изображением заряда q/e относительно плоскости z = О
(множитель 1/е учптывает в.~ияние диэлектрика).
q2
qa
F - - -24а е '
(]=---
2лг3'
где
r - расстояние от
147. Поле внутrп
браженнымн на рис.
заряда до точки на плоскости z = О.
двугранного угла создается системами зарядов, изо·
57.
+q
-q
+у
ч:;
Рис.
57.
148. Пусть диполь находится в точке {О, О, z). Если проекции дипольного
z
момента р на оси х, у,
равны р sin а, О, р cos а,
жения р' на те же оси будут - р sin а, О, р cos а.
U = (р · р') г 2 - 3 {р · r) (р' · r)
2ег 5
2
то проекции его изобра·
- _Р_
(1
16z3 e
+ cos 2 а)*)
'
2
N __ p sin2a
а16z3 e •
При любой ориентации р диполь притягивается к плоскости. Вращатель­
ный момент N стремится установить диподь вдоль положительного или от·
рицательного напр:шления оси z (а= О, :л:). Момент N
О также и при
а= п/2, но это положение равновесия неустойчиво.
=
*) Множитель
1/
2 в выражении
U
возникает благодаря тому, что поле Е'
дипольного момента р' пропорционально р. При увеличении р на
изменной ориентации) энергия взаимодействия возрастает на dU
dp
=-
(и не­
Е dp,
р
откуда
U
=
f
dU =
- '/2 (Е' • р) (ер. с решением задачи
166).
о
16
В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
241
Введем
149.
li
nолярные
координаты,
выбрав
noJ1юc
в
центре
шара
,r
ось z Е 0 • Потенциал можно искать в виде ряда no nолиномам Лежандра
(ер. с решением задачи 153). Окончательный результат:
!f1 = -
Зе2
Е1
+ 2 Е2
.А
+ 2Е2Е2
t:1 -
= - E 0r cos -., +
(/)2
nри
E 0 r cos t}
Е1
Е
r
оа
< а,
З cos t}
nри
-r-2-
r
> а.
Внутри шара nолучается однородное электрическое nоле, наnряженность
которого
nри
nри
Вне шара на внешнее однородное nоле Е 0 накладывается nоле электрп­
ческоrо диполя,
момент
которого
=Е аэ е1 -е2
р
Это вторичное
о
Е1 +2е2 •
поле вызвано связанными заря амн на nоверхности ди­
электрического шара:
О'св =
Е1
3
-4:П:
Е1
Е2
-
+2
Е2
Е 0 cos
Рев
tt,
= О.
Легко nонять nричину такого распределения зарядов, nредставив себе
каждый малый элемент nоляризованного диэлектрика в виде элементарного
диполя.
150.
дачу
Для диэлектрика с неизменной nоляризацией ЛЕ = -
4
:n:P
з
(см. за­
104).
Для обычного диэлектрика
лЕ =
151.
где р =
(j)=-
12:n:e
(2е + 1) ( е - 1)
-
р
·
p·r
E 0 ·r+-3-(r;;):,R),
r
R 3E 0 , R 3 -
nоляризуемость шара:
Зе 0
cr = 4зt Е0 cos tt.
152.
Силу
F,
напряженность
приложенную
nоля,
к
созданную
заряду
вторым
q,
можно найти, nомножив
зарядом
q2
в
nолости, где
q1
иа
нахо­
дится q 1 • Так как nолость мала nоле в ней будет однородным с наnряжеп­
ностью, равной
ЗеЕ0
Зq
2е + 1 = (2е + 1) а 2
где
Ео
q
= еа 2
-
'
однородное поле в окрестности nолости.
Отсюда
F=
Зq2
(2е
+ 1) а .
2
Эта сила отличается от той, которая действовала бы между такими же
зарядами в однородном жидком диэлектрике с тем же значением е (см. за­
дачу 140). Еслп бы мы аналогично задаче 140 поnробовали найти силу, при­
ложенную к плоскости симметрии, то получили бы nри учете только максН2
13 е.~mовых натяжений значение силы
F1=
:za
отличающееся как от силы F,
2 ,
приложенной к самому заря~у, так и ог пол:юй элею:рической силы нат,:­
жений (не учтен стрпкционныи член,
имеющии сложиыи вид в случае тве.
•
.дого тела). Такая же сила будет действовать на любую область д!iЭлектрика,
охватывающую полость с заключенным в ней зарядом. Часть этой силы
Зq2
(2в - !) с12
приложена к точечному заряду q, другая часть F' = - (
l) 2
2 в+
(2в + 1) а 2
а в
-
к связанным зарядам, наведенным на поверхности полости,
153. Выберем полюс сферической системы координат в центре шара
(рис. 58), полярную ось проведем через точечиый заряд. Будем искать по­
тенциал в форме
<р
(r, tl-,
q
z
а)=
~, (
= ~+ ~
a 1mr
/
+
Ь1т
,1+I
р
)
N
(
.д.) ima
[т cos..,. е
,
/,т
(1)
тде r 1 - расстояние от Q1 до точки набшо­
дения. Ряд, входящий в (!), очевидно, опи­
сывает
поле
зарядов,
индуцированных
на
шаре. Это поле должно исчезать на беско­
нечности, поэтому а т
О. Вследствие сим­
1 =
метрии потенциал не зависит от угла а, по­
-этому члены с т =/= О также отсутствуют.
,Оставшиеся константы Ь1
Ь1 0 определим
из граничных условий.
fl+r;'
=
В случае а) потенциал шара <р (R, tl-)=
Воспользуемся разложением
.для q/r 1 из задачи 96:
= V = coпst.
<р
+-
+
(R, t!-) =
=
~-, ( qR
,,l,,.
1
eal+I
+
Ь1
+ Rl+I
)
Р1 (cos tl-) = V.
/=0
·О тсюда Ь l = -
qR2l+I
ва' + 1
при
t =/=
<р (r, tl-) =д__ +
вr1
О, Ьо =
VR
r
+
Рис.
58.
Rq , так что потенциал вне шара
V R - --;;
_.!J..!i. {, ( R 2 ) 1 Р1 (cos tl-)
ва ~
/=О
а
,н1
,
(2)
Теперь находим плотность зарядов, наведенных на поверхности шара:
в д<р
и(R, tl-)= - - -
I
4n дr r=R.
= вV
- - - q- ~7, (2t+ l )R1-1
- - P1 (costl-).
4nR
4n l=O
а1+ 1
(3)
В случае б) потенциал V неизвестен и должен быть выражен через
заряд
Q
шара. Очевидно,
Q=2n
16*
f
u(R, tl-) R2 sin tl-dt!-=вVR-..2.!i
а
,
243
откуда
V=
Q
q
ER + м·
Используя задачу
q
96,
Q+q'
er
можно записать
(2)
в виде
q'
lj)=--+------,
ЕГ1
(4)
ЕГ2
где
q'=q
Таким
пасти
ных
r>
на
!i..
а
Vr
r2 =
образом, потенциал
а сводится
осн
+ а' 2 -2a'r cos tt,
2
заряда
трех его нзображеннй-зарядов
R2
а
точечного заряда н заряженного шара в об­
к потенциалу
снмметрин:
'
а=-.
Q
четырех точечных зарядов, расположен­
q
на
расстояннн а
от начала
коордннат и
и q' = q !i. в начале коордннат и заряда -q'
а
в гармоническн сопряженной относительно поверхностн шара точке а'=
R2
а
Заряд - q' опнсывает действие зарядов, индуцированных на блнжайшей к q
стороне поверхности шара. Знак этнх зарядов, очевндно, противоположен
знаку q. Заряд
q' опнсывает действие зарядов одного с q знака, индуци­
рованных на удаленной от q частн шара.
+
-17
z
Рис.
Рнс.
59.
60.
Если шар нейтрален, то член с Q отсутствует. Если шар заземлен
то потенциал
q
q'
ЕГJ
ЕГ2
ер (М) = ...!!__
- _!{_ + V (рис.
ЕГJ
ЕГ2
59),
q'=q:.
155.
q
ljJ (М) = - Г1
q'
q'
-+- -q
Г2
Гз
Г4
,
qa
(рис.
q=т·
где
'
R2
а=--.
а
60),
где
•
а2
Ь'=ь·
Заряд на выступе равен
ь2-а2 ]
Q=-q 1•
[
ь-V а 2 +Ь 2
244
О),
(5)
ер=---.
154.
(V =
прнннмает вид
шара, q, == q,3 = _!L_R - в проводнике, ер =
1
е1
ПОЛОСТИ (рис.
где
61 ),
R2
qR2
'
2
а=-.
q'=-a-,
157.
а
00
а)
q, 1 (,,
=
~)
21
q ,..,
IJ)2 =
+1
~
~ le 1 +(l+l)e2 а1
l=O
1
Р, (cos ~) при r ~ R;
где , 1 - расстояние от q до точки наблюдения. Эдесь потенциал не может­
быть представле'н простой системой изображений, в отличие от случая про­
водящего шара. При е 1 -)о оо получим результат задачи 153.
00
21+1
'
l (l + 1)
_R__
•
F -- _ q2 е1 - е 2 "
~
21+3'
е2
le 1 + (1 + 1) е 2 а
l=O
б)
2
F=
q
-2q 2
е 2 (2а)2
00
е
~
2п (2п + 1)
е "'
е2
~
n=O
2пе1
R4n+I
+ (2п + 1) е 2
а4 п+з •
Сила отталкивацня одноименных зарядов ослабляется поляризацией диэлект­
рика
е1
при
е1<е2.
> е2
н
усиливается
при
Е1
158• .,,. =
где
r1 -
расстояние
до заряда
от
точки
при
r~R;
при
,-;;;;: R,
наблюдения
q.
При а=О
Рис.
61.
159. Обозначим поверхности внутренней н внешней сфер соответственно·
S 1 н S 2 и положим потенциал внешней сферы равным нулю. Удобно
через
решать задачу в сферической системе координат с полярной осью, направлен­
ной вдоль линии, соединяющей центры сфер, и с началом координат в центре
внутренней сферы (рис. 62). В этих координатах уравнение поверхности S 1
3апишется в виде r
а. Чтобы получить уравнение поверхности S 2 , заметим.
=
245-
'ЧТО из треугольника
00'А
следует
1
1
(1)
Ь= У R 2 +c2 -2cRcostl- •
Из
(1) с точностью до членов первого ~;~орядка по с находим уравнение
·поверхности
S 2:
R (tl-) = Ь + сР, (cos tl-),
(2)
·где
Р1
(cos б)_ = cos tl-.
Член сР 1 (cos tl-) = с cos б в (2) описывает отклонение от сферической
симметрии, которое обращается в нуль при с~ О. Естественно искать потен­
циал в виде разложения по сферическим гармоникам (см. приложение 2),
-ограничившись первыми двумя членами. При этом второй член, учитывающий
отклонение от сферической сим­
метрии, должен
ционален
быть
пропор­
с.
Итак, положим
q> (r, tl-) = (
А 1 + ~1 ) +
+ с ( A r + ~: ) cos tl-,
(3)
2
где
Ai
и
Bt
определяются из
граничных условий:
q>
ls, = соп~t.
~
: : dS 1 =
q> ls, =
-
О,
4nq.
s,
Окончательно:
q>=q(+- ~)+
Рис.
+ ьз~аз (r - ;: ) cos ~.
62.
-Отсюда плотность заряда на внутренней сфере
Зqс
q
< J = -2- -
4na
4n
(Ьз
-
аз)
costl-;
-сила, действующая на внутреннюю сферу:
F= -
ьз
qc
-а
з.
а2ь2с2
160. ЛС = (Ь- а)2 (Ьз- аз) •
При увеличении заряда q на dq энергия U его взаимодействия
-с шаром возрастет на dU
q>' dq, где 1р' - потенциал индуцированных на шаре
зарядов. Но этот потенциал сам пропорционален q: q{
const • q. Поэтому
161.
=
=
q
И=
f
о
246
сопs1
dU= -2-q2=
1
2
,
q>q.
(1)
Если бы величина qJ' не зависела от
(потенциал внешнего поля), то энергия
q
взаимодействия была бы вдвое больше (И=
задачи
153,
q/q). Используя (1) и результаты
получим
откуда
Qq
а2Rз
162. И=-2ае
2 ( а 2 - R2)
еа
В случае
обратиться
а
-
одноименных
в
нуль,
а
Qq >
зарядов
при
достаточно
О, и сила взаимодействия может
больших
q
или малых расстояниях
даже стать отрицательной (притяжение).
163. Пробный заряд q должен быть мал по сравнению с зарядами, рас­
положенными
на
других
проводниках
и
диэлектриках, и
не должен
нахо­
диться слишком близко к местам неоднородности среды, например, к границам
проводников и диэлектриков, чтобы обратное влияние зарядов, наводимых
пробным телом, было мало. Например, при измерении электрического поля
заряженного проводящего шара нужно, чтобы сила электрического .изображе­
ния была мала по сравнению с измеряемой силой qQ/a 2 (Q- заряд шара,
а - расстояние от пробного заряда до центра шара). Это приводит к условию
(см. ответ предыдущей задачи)
Iq
Q 1
которое
(2а/ R - 1)
(a/R)(a/R-1) 2
z
2
2
~
выполняется только при
'
не
слиш­
a/R
КО\f малых
и не слишком больших q/Q.
164. Изображением электрического ди­
поля р = р (ех siп а+ ez cos а) в заземлен­
ном
шаре
является система,
точечного заряда
р' = р (;. )
3
(-
щихся в точке
r'
=
R2 /r
И= F=-
состоящая
из
р~
cos а и диполя
r
q=
ех sin а+ ez cos а), находя­
А'
(рис.
63)
от центра шара.
на
расстоянии
p 2R (r 2 cos 2 а+ R2)
2е (,2 - R2)з •
p2R,
е (, 2 _ R 2) 4
N=
_
2
[ (2r
+ R 2) cos 2 а+ 3R 2],
p 2Rr 2 siп 2а
2е
(,2 -
В предельном случае
результаты задачи
148
R2)з
Рис.
63.
•
r--+ R, получим, полагая r
=
R + z, R--+ оо, z = coпst,.
(диполь у проводящей плоскости).
165.
3р
cr = - 4:nRЗ cos tt,
rде
'it - угол между р и направлением из центра в точку наблюдения.
Индуцированные
заряды создают в полости однородное поле Е' =
p/R'
247
166.
Силы, действующие на
неоднородность, могут быть получены д11ф•
,ференцированием величины
(1)
nри постоянных Q;m.
Величина U' отличается
от истинной энергии взаимодействия области
неоднородности с внешним полем U, определяемой работой, которую надо
совершить, чтобы при наличии неоднородности создать поле Q) (ер. с (111. 16)).
При нахождении такой энергии нужно учитывать, что моменты Q1т зависят
от внешнего поля. В частности, если область неоднородности представляет
-собой незаряженный проводник или диэлектрик, то истинная энергия взаимо­
действия неоднородности с внешним полем определяется формулой
U=
~ ~ a,mQ;m·
(2)
1,т
Коэффициент 1/2 можно получить так же, как это сделано в решении за­
дачи 161, учитывая, что в этом случае Q1т пропорциональны Ufm. При на­
хождении обобщенных сил с помощью выражения (2) путем дифференциро­
вания по обобщенным координатам как Q1т, так и а1т следует считать
переменными
167.
Ио=
величинами.
QIJ)o -
рЕо,
r • Е 0,
(j)2
при этом
Q)1 = Q)o -
q
p·r
=er+
ег3
F = qE 0 + (р · V) Ео,
•
N
= р Х Ео
(вращательный момент вычисляется относительно начала координат).
169. Тело стремится занять такое положение, при котором его потенциальная энергия
1
2 р · Е минимальна. Удобно направить координатные
оси вдоль главных осей тензора ~ik, тогда U=- ~ (~(t)E; + ~(у)Е~ + ~<z>E;).
U= -
Отсюда видно, что если ~(х) ~~(у)~ ~(z) > О, то минимум U имеет место,
когда Е II х; если же ~(х) ~~(у)~ ~(z) < О, то минимум получается при Ellz.
170. Ось стержня и плоскость диска стремятся установиться при е 1 >е2
параллельно направлению поля, а при е 1
< е2 -
перпендикулярно.
притяжение, при е 2 > е 1 - отталкив:--ние. В случае проводящего шара е 1 ~ оо.
-Суммируя
геометрическую
прогрессию,
найдем
энергию в~аимодействия
q2R
U
= - 2Е2 (R2 - а2)
, откуда
F=
-(ер. с задачей 161 ).
Сделаем некоторые
·(111. 16).
c,ZaR.
замечания к вычислению силы с помощью формулы
Рассмотрим величину
U' =
;л
J(е2
- F1)
Е · Е 1 dV'. Объе,r V' огра­
V'
•ничен сферой S, бесконечно близкой к поверхности диэлектрического шара
и находящейся целиком внутри него. Интегr:ш, входящий в выражение U',
.248
лишь на бесконечно малую веюРшну отличается от потенциальной энергии U
взаимодействия точечного заряда с шаром. Введем вместо иапряженностей
суммарного поля Е и поля точечного заряда Е 1 в однородном диэлектрнке Ez
соответствующие потенциалы и вынесем постоянную величину (е 2 - е 1 ) за
знак интеграла. Тогда
U' =
82
f
~81
Vep • Vep1 dV'.
Применив формулу Грина.
V'
f Vep • Vep1 dV = j ер :~1 dS + f ер Лер1 dV, и воспользовавшись тем, что вну­
s
три шара Лер 1 = О, найдем для
U
следующее выражение:
Оно совпадает с выражением, получающимся из фор'llулы
Отсюда для F получим приведенное выше значение.
172. Свз=
173. О'=±
Начало
х
epl -
ер2
IEI
431 = ±
координат
2RR
1 2
4~х
166•.
,
2
:п [(х2- у2- ь2)2 + 4х2у2] , где Ь
находится
ров и выбранного за
=
,r
2R 4
а r а2
2
-4R 2
.
в центре отрезка, соединяющего оси цилинд­
ось х.
1 [
174. С= 2 arcch
175.
а 2 - Rf- R~ )- i
1 (
=2 а
задачи
(2)
Если оси х, у,
Ri + R~ - а
2R R
1
z
2
]- i
2
параллельны главным осям тензора
Eik,
то
(I)·
При произвольной ориентации координатной системы формула
в
(1)
запишется.
виде
где
I Etk 1- определитель тензора Eik·
176• Е
=
Ео _ (Eik - бik) n;Eok n.
Etтntnm
se<z)
177. С= 4:nd ,
где
z178.
координата,
нормальная
Если выбрать оси х,
z
к пластинам
fg f} = Ех
Ez
где
tg f}o = Eox/Eoz·
n.
конденсатора.
в плоскости .Ео,
=
n, zl/n,
то
Ezz fg f}o ,
1 - Ezx tg ft 0
При этом силовая линия в диэлектрике остается в пло­
скости Е 0 ,
24!,
Потенциальные н емкостные козффнциенты
§ 2.
180. Обозначим через q 1 заряд первого проводника и через q' заряд на
внешней поверхности второго проводника (заряд на внутренней поверхности
второго проводника
- q 1,
(111. 28)
равеи
ремы Гаусса). Система
как это следует из электростатической тео­
принимает вид
Q1 = C11V1
+ q' =
-q1
C12V1
+ C12V2,}
+ C22V2.
(1)
Сложив зти уравнения, получим
(с11
q' =
Заданием
q'
+ С12) V1 + <с12 + С22) V2.
определяется
поле
во
(2)
всем внешнем пространстве, в ча­
стности, потенциал V 2 второго проводника. Равенство (2) должно, таким
образом, иметь место при любых значениях V 1 и фиксированных q', V 2, что
может быть, только если
(3)
При этом первое из уравнений
(1) принимает вид
Q1 = С11 (V1 -
Из
(2), (3)
и
(4)
V2),
(4)
следует, что
С
= С11 = -
С12 = 822 =
С21,
С11
----2-·
812
С11С22-С12
189.
С11С22 -
+ С22 + 2с12-
Взаимная емкость объединенного проводника и
i·ro
Энергия уменьшается на величину
лw
=
(q-q') 2
4
r- Ь
·---,г·
191, С точностью до 1/r,
ьс2q2
F=
250
С12
Собственная емкость объединенного проводника:
Соо = С11
190.
С12
= 821 = - ----==---.
2
- ,з [с+ аЬ (Ь - а)
1] 2 •
проводника системы
192.
Шарик
же потенциал
и
проводник приобретают при соприкосновении один и тот
V1 = qs11 + (Q -
q) s12
= qs12 + (Q- q} s22 = V2,
откуда
S11 -S12
S22 -S12
=_o_- J
q
(1),
'
где S/k - потенциальные коэффициенты (индексы
венно к шарику и к проводнику}.
1
и
2
относятся соответст­
Обозначим через qk заряд проводника после k-го подсоединения. Из
равенства
потенциалов
qksll
Отсюда,
qk-1
И
проводника и шарика при соприкосновении следует
+ (Q + qk-1 -
используя
qk) s12 = qks12 + (Q - qk + qk-1) s22·
получим
(1),
рекуррентное
соотношение, связывающее
qk:
(2)
Последовательное
к пределу
k
применение формулы
q = j~moo qk = q [ I
§ 3.
193.
(2)
с переходом в дальнейшем
~ оо дает окончательно:
6+ ( 6)2 + ( 6)3 + · · ·] =
+
Qq~ q •
Специальные методы электростатики
Уравнение Лапласа принимает вид
d ( Rt-Щ:
dqJ) =0,
df
Это
ер=
уравнение
при
const
должно
!; =
быть
проинтегрировано
с
граничными условиями
О (на поверхности эллипсоида}, qJ -)о О при
!; -)о оо.
Выпол­
няя интегрирование и воспользовавшись для определения постоянной инте-
грирования тем, что при r = Ух2 + у2 + z 2 -)о оо, !; ~ r2, получим
00
00
Плотности
зарядов
на
концах
полуосей
прямо
пропорциональны
длинам
полуосей: аа: rJь : ас= а: Ь : с.
194. При а= Ь
с (сплюснутый эллипсоид)
>
q
qJ =
Е У и2 - с2
arctg
уа2-с2
--!; + с2
2е
v
q
а2
-
Ь2
j/!; + а2
+ уа2 -
ь2
+
уа2
Ь2
- lп --,,==,,......с-'-,~--
у!;
а2
-
-
с
arccos-
a
В частности, при с= О (диск} С= 2a/n.
При а> Ь = с (вытянуты'i э.1Jл11псоид)
qJ =
е J!a2-c2
С=-'---'
Е Уа 2 - Ь 2
•
с=--'-~---
а+ Уа 2 - Ь 2
b
ln--'---'---251
В частности, при Ь ~ а (стержень)
С=_!:!!__,
ln~
ь
195. Будем сначала считать эллипсоид незаряженным:
'l!ее однородное поле Е 0 параллельно оси Ох, то
q = О.
(s +(Ь2-а2)(с2-а2)
а2) (f) + а2)(~ + а2)
- - Е - - Е ... /
(J)oоХ-+ о V
Если внеш­
•
<
>
Знак минус соответствует х
О, знак плюс х
О. Как функция ер 0 , так
11 потенциал q1 поля наведенных на эллипсоиде зарядов удовлетворяют
уравнению Лапласа. Подставляя q1
ep0 F (s) в уравнение Лапласа, получим
уравнение для определения неизвестной функции F (s):
=
d 2F
dF
d
ds + ds ds lп [Ri; (s + а ) ] = о.
2
2
Это уравнение легко
условиям,
имеет
интегрируется.
Решение, удовлетворяюшее граничным
вид
r
ds
Joo
ер lq=O = еро 11 - !; (s + а2) Ri;
/s"°о (s +dsа2) J.}
R6
Если эллипсоид имеет собственный заряд
щее условиям ер lt;=O = coпst н
~
-
q,
то решение, удовлетворяю­
~: dS = 4:n:q
(S-замкнутая поверхность,
s
еодержащая внутри себя эллипсоид), можно
1юз1щии (см. задачу 193)
получить по принципу супер-
00
196. Потенциал имеет тот же вид, что и в предыдущей задаче. Входя­
щие в выражение потенциала интегралы могут быть выражены через элемен­
-тарные
функции
-
это имеет место во всех
случаях, когда эллипсоид обла­
.дает симметрией вращения. В итоге получим
2е
v1+sfa +e
-=,,===:--2
2
lп
(J)= -
Еох
1-
+ s/a - е v 1 + s/a2
~--~--,------~-'--~
уl
lп 1 +е -2е
l-e
где а
-ь2
- большая и Ь - малая полуось, е =}l 1 -а2
соида,
{см.
в
ось х
задачу
вершине
направлена
66).
Ео
252
эксцентриситет эллип-
перпендикулярно плоскости,
Напряженность
эллипсоида
Emax
-
= __1 _
дер
Eoht; дs
I
поля
достигает
!;, о, ь=-Ь 2
2ез
максимального
(1 - е2)-1
l+e
lп---2е
1-е
значения
где п(х) -коэффициент
е
=О
Emax/ Е0 = 3.
и
деполяризации
(см. задачу 198).
В случае сферы
В случае очень вытянутого стержня (громоотвод)
Emax. =~
2
Ео
Ь
(tп 2а -1)-1
Ь
а» Ь,
'
поэтому искровой пробой воздуха значительно более вероятен у конца такого
громоотвода, чем
197.
Поле
иа
на
других
его участках.
произвольных
расстояниях от эллипсоида получается как
суперпозиция трех полей вида, установленного в задаче 195 (поле Е 0 раз­
лагаем на составляющие, параллельные главным осям эллипсоида).
На больших расстояниях от эллипсоида
1Р = IPo
р·
r
+ ---;:з•
Главные значения тензора
поляризуемости
~(у) =
~(х) = аЬс
зп<х).
аЬс
эллипсоида:
~(z)
зп<У) •
198.
п
(х)= 1-е2 (1
2е 2
п<У>=п(z)=
где е =
V 1-
Ь 2/а 2
-
1 +е -2
п 1- е
1-п<х)
аЬс •
зп(z)
)~_!__
е ""' 3 '
•
2
эксцентриситет эллипсоида.
В случае е ~
1
(стержень):
В случае е ~
1
(форма, близкая к шару):
п<х) = О,
п<У)
п<х) = 1 /з - 2/ise 2,
199.
=
+
= n(z) = l/2,
п<У) = п<z)
= 1 /з + 1/1se2•
2
{)
1 е
п z = -е-3- (е - arctg е) ~
п<х) = п<У> =
1/2
(1 - п<z) ),
1/ ,
3
V(а/с)
е=
2-
1,
В частном случае диска
п<z)
200.
(j)
= IPx + IPy + (j)z.
п(х)
= 1,
=
п(у)
=
О.
Внутри эллипсоида
1Рх=1Р1х=
(1+
-Е0 х
81~82
п<х>)
•
Вне эллипсоида
r
IPx = 1Р2х =
где
-
~
Еох ( 1 -
L
п{Х) =
21
аЬс
f (s +ds
о
а2)
R6
253
(f)y
и
определяются
{f)z
менить
аналогичными
соответственно
на
у и
z,
выражениями, в которых х нужно за­
а на Ь и с.
Внутри эллипсоида однород­
ное поле
На больших расстояниях от эллипсоида
.,,
m2= -
где Рх=~(х)Ех,
p·r
Eo·r+-,э
аЬс
~(х)
3 (-Е_2_ + пlх>)
'
и т. д.
Е1 -Е2
Воспользовавшись формулой
201.
(111. 16),
U = аЬс (е2 - е 1 ) ЕН2 [е 2 + (е 1 - е 2 ) п] sin
2
t}
получим
+ [е 1 + е2 + (е2 - е 1 ) n] cos 2 б!
6[e2+e1+n(e2-E1)J[e2+(e1-e 2)n]
,-
дU
аЬс (е2 - е 1 ) 2 Е~ (Зп - 1) sin 2-t}
N = - - - = -~----'--~--~------дб
б[е2+е1+п(е2-Е1)][е2+(е1-Е2)п]'
где б-угол между осью симметрии н полем Е 0 , п - коэффициент деполя­
ризации относительно оси симметрии эллипсоида (см., например, решение­
предыдущей задачи).
Из
последней
формулы
ось симметрии вытянутого (п
ложение,
параллельное и
видно, что впешпее поле стремится повернуть.
1/ ) эллипсоида в по­
и сплюснутого (п
3
< 1/ 3 )
>
перпендикулярное
полю
соответственно.
В случае проводящего эллипсоида, е 1 ~ оо и
аЬс (Зп - 1) Е~ sin 2б
N = -- - - - - - - бп
(1 -
п)
202. Потенциальпую энергию жидкой заряженной капли, имеющей форму
эллипсоида вращения с эксцентриситетом е = Jf 1 - Ь 2 /а 2 и объемом, равным
объему сферы с радиусом R (заряд q), можно выразить формулой
2
е2
2 }7 1 -
1+ е
(
з
--
U(e)= lc+aS=~~ln I-e+2лR 2a }11-е 2 +
a rcsin
е
6
)
(1}
е Jf1 -е 2
(воспользоваться выражением для емкости С вытянутого эллипсоида вра­
щения, приведенным в ответе к задаче 194).
Чтобы ответить на вопрос об устойчивости заряженной сферическоir
капли, надо выяснить характер зависимости энергии (1) от е при малых е.
Разложим U в ряд с точностью до е 4 :
U (е) = 2~ + 4лR 2а+ :; ( 8:n:R 2a- 2
q; )·
Из последней формулы видно, что если заряд капли q < Qкр = У16лR 3 а,
то при малых деформациях капля
стояние - капля устойчива. При q
продолжает увеличиваться
254
-
стремится вернуться в сферическое со­
поскольку возникшая деформация
> Qкр,
капля неустойчива. Процесс кончается расшеп-
.Jiением неустойчивой капли на две или большее колr:чсство
vстойчпвых
iзидно из
ряд
в то
qI<P
капель.
выражения
как
пропорционально корню
заряд
поэтому
при
*) "более мелких
концов получ:~ются устончивые к~пли,
q"p· С уменьшением размеров капли критическии за-
у меиьшается
время
объе:,~у;
То, что в конце
q
капли
квадратному
уменьшается
достаточно
в
средием
из
ее объема,
пропорционально
малых размерах капли условия устойчн•
вости начннают выполняться.
203
(j) =
где
z
J![
< о.
E;z (arctg Jtf
_
нужно
брать со
- ;f )
~о У - 'IJ ( ~
=-
знаком
плюс при
z
> О,2 и
z
> О.
На больших расстояниях за отверстием
при
Такой характер пмеет поле
дает с осью
z,
ходящие через
s ""'r
arctg
Yf - 1)•
со знаком минус прн
и поле приобретает вид
электрического диполя, ось которого совпа­
а момеит р = Е 0 а 3 /Зл. Отсюда вндно, что силовые линии, про­
отверстие, замыкаются на обратной стороне металлического
экрана.
204.
<J = - 4Ео2 (л - arcsin
'Л
::2 ( v,ra_ а2
<J= где r 1 = У6 + а 2
-
..!!:....
'1
+
V а
,r-
а2
arcsin ~)
-
)
при
z= -
О,
при
Z=+о,
расстояние от центра отверстия до точки наблюдения
на плоскости.
205. Нужно решить уравнение Л(j) = - 4лqfJ (r - r 0 ); fJ-функция должна
быть при этом записана в цилиндрических координатах
fJ (r - r 0 )
1
= - fJ (r - ro) fJ (а - v) fJ (z).
Го
Компонента Фурье
+оо
(j)k (r,
а)= ~
f
(j) (r,
а, z) cos kz dz
(1)
-С>О
nотенциала
(j) (r, а, z) удовлетворяет уравнению
I д ( д(j)k)
1 д2(j)k
4q
rдг r дr +7 да2 -k2(j)k= -,:;;-fJ(r-ro)fJ(a-v)
.и граничным условиям (см. рис.
(2)
11)
(j)k (r, О)
= (j)k (r,
(j)k (оо, а)= О.
Р)
= О,
(3)
(4)
*) Легко непосредственно проверить, что, например, при расщеплеини
заряженной капли на две равные сферические капли энергия уменьшается
в 221• раза,
255
Рассмотрим соответствующее
(2)
однородное уравнение.
Частными его реше­
ниями, удовлетворяющими (З), являются произведения Rn (r) sin п;а
2, 3, ... ), где
1 nn (kr),
либо
ния
~ 1,
величина Rn (r) рзвна с то1ностыо до постоянного мно кителя
либо К пn (kr). Будем искать решение неодиор:щного уравне-
Т
(2)
(n
Т
(f
!
в виде суперпозиции таких частных решений:
..;,,,,,J
lj)k
=
nna
Anl~ (kr) sin -~-
< а,
r
(5)
00
~ ВпК ~ (kr) siп п;а при т > а.
1n=I
При написании
при
13
n=l
fl
(5) мы учли, что потенциал
lj)k должен удовлетворять
(4) и
=
быть ограниченным прн r
О (см. приложение 111).
Для определения постоянных Ап и Вп воспользуемся, во-первых, непре·
рывностью потенциала при r = , 0 • Это даст
1пn (kr0 )
_.,..,fl_...,...-,---l!n ~ Кт~ (kro) •
Вп
(6)
в
Во-вторых, потребуем, чтобы потенциал (5) удовлетворял уравнению (2).
Подставив (5) в (2), помножим обе части получившегося равенства на
siп·m;a (т = 1, 2, ••• ) и проинтегрируем по а от О до ~- Учитывая ортого·
• . nna
функции
нальность
sш
-~-
1 d {r dRm
-) - { k 2
r dr
dr
где
в
указанном
2
промежутке,
2
тп )
+-~2r2
получим
Bq
.
mnv
Rт=---б(r-r0 ) sш-­
~
~,0
r Aml~n (kr)
при
r
(7)
'
< а,
Rm (,) = {
( BmK,,~n (kr) при r > а.
Функция
Rm (r)
испытывает
непрерывна
при этом
при
r=
, 0,
но
ее
первая
прои2в щная
по
r
скачок
b=R:n (r 0 + 0)-R:n (ro- О)= kBmK:Т,n (kr0 ) - kAml;zn (kr0 ).
т
lf
Поэтому вторая производная Rm (r) будет равна R::i (r) = М (r - r0 ).
Подставляя это выражение в (7) и отбрасывая члены, ограниченные
при r = r 0 , получим второе уравнение для определения Ап, Вп:
,
,
Вq.nnv
kBпKnn (kro)- kAпlnn (kr0 ) = - -А- stn -А-.
(8)
13
13
.,,о
"
При упрощении выражений для Ап и Вп полезно воспользоваться формулой
Kv (х) 1~ (х) - К~ (х) 1v (х) = 1/х.
256
207.
2q
r1
1
{
(j) (r, а, z> =п1 R
1
'1]
a-v
ch2+cos
2аch ..!!.. - cos __v_
2
2
arctg
O
ch _!]__ + cos а + V J
2
2
~.
cl1 _!]__ - cos а+ V I
2
2
J
1
--arcfg
R~
где
Ro =
V r~ + r
2
+ z 2 - 2rr0 cos (v - а)= V 2rr0 [ch tJ - cos (v - а)],
R~ = Vri + r 2 + z 2 - 2rr0 cos (v +а)= V2rr 0 [ch tJ - cos (v + а)].
208.
G
(::-1)
= const · r 11
,
где r - расстояние до ребра клина. В частном случае клина, находяшеrося:
в поле точечного заряда (см. задачу 205),
п
nv
qynre- siпт
const=
n
г (i+-})
I
г(;+1)
132{ri+ z2)1.1+2
Отсюда видно, что а -
О при r ~ О и /З
< :п:;
а~ оо при r ~ О и /З
В частном случае, когда заряд находится у края плоскости,
а=
> n.
1/Vi.
209. По,tестим заряд q в начале координат, а ось z направим перпен­
дикулярно поверхности пластинки. Тогда уравнения - передней и задней по­
верхностей ее примут вид z = а и z =а+ с соответственно. Будем искать
потенциал
в
виде
00
00
ер,= q J10 (kr 1)
о
e-k lzl dk
+ JА1 (k) / 0 (kr1)
00
lj)2
=
JВ 1 (k) /
ekz dk (-
оо < z < а),
о
00
0
(kr 1) e-kz dk +
о
JВ2 (k) lo (kri) ekz dk (а < z < Ь),
(1)
о
00
(j)з=
JA2(k)l
0
(kr 1 )e-k2 dk (b<z<oo,
где Ь=а+с).
о
Граничные условия на поверхностях пластинки дадут систему четырех алге­
браических уравнений для определения коэффициентов
А 1 , А2 , В 1 , В 2 •
17
В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
257
Решая эту систему, получим
А1 = qf}
(2)
В1=
где
e-2kb _ e-2ka
1 - 1}2e-2kc '
q(I-f})
1 _ 1}2е -2kc '
е-1
f}=--- , Ь=а+с.
е+ 1
Формулы
(2)
совместно с (1) дают решение нашей задачи. На больших
расстояниях за пластинкой (z
О) поле принимает
>
вид
~
lj)
q
(r1, z ) ""'
Vrf+z2
~
:а
:ia
:ia
где
r
%
,,,?'
pz
+
•t
И+z2) •
р=- (е;е 1 >
r1=Vx 2+y 2,
2
cq.
210.
~
00
~
,;;
lj)
{
(М) = ~
е+1
f sh k ch(а ka-1 z 1) /о (kr1) dk,
о
где r 1 = У х 2 + у 2 (рис. 64).
При
Vz 2+ Гi ~ О (вблизи
2q
lj)~
(е+ 1)
(ер. с задачей
'---p=tJ/
Рис.
заряда)
lrri+z2
129).
Потенциал lj) можно представить в виде
"
64.
n=-oo
Соответствующая система изображений приведена на рис. 66, 6.
Можно ввести бисферические координаты так, чтобы поверхности
внутренней и внешней обкладок были координатными поверхностями
и
2 соответственно. Для этого нужно провести ось z через центры об·
кладок так, как это показано на рис. 65. :Координаты центров обкладок
будут при этом равны z 1 а cth
z2
а cth
(а - параметр бисферических
координат). Радиусы обкладок связаны с величинами а,
уравнениями
211.
6 = 61
6= 6
=
а= а 1
=
61,
62
sh 6I, а= а 2 sh 62, Ь = z2 - z1 = а (ctl1
ch
Функция
61
62 - cth 61),
61, 62
откуда
а~ - af- Ь 2
а~+ Ь 2 - af
2а1Ь
' ch 62 =
2а2Ь
(1)
1), в пространстве между обкладками коидеисатора удовлетворяет
уравнению
a2 ,i,2
д6
+
1
а
(.
д'Ф )
sin fJ д1] sш 11 д!]
+
1
siп 2 fJ
a2 ,i,2
да
1
-
4 'Ф = О.
(2)
Производя в уравнении (2) разделение переменных и учитывая, что в нашем
случае 'Ф не зависит от азимутального угла а, найдем частные решения
.258
этого уравнения, ограниченные при '1]
= О,
л::
'Ф1(5, '1])=[A1ch(t+ ~)s+B1sh(t+
где
;)s]P1(cos'I]),
(3)
l=O, 1, 2, 3, ...
Будем искать 'Ф в виде ряда 'Ф (5, '1]) = ~ 'Ф1 (5, '1])· К:оэффициенты Ai
и в 1 определяются из граничных условий 'Ф
l=O
(1; 2, '1])
= О,
1
'Ф (61 ,
'1]) = V
2=
(2 ch 61 - 2 cos '1]) -
V
I
ехр [ - ( l + ; ) 51] Р1 (cos '1]),
l=O
Емкость конденсатора
,t 2,t
1
С =у= 4nV
Q1
J J7zi: д[
д(j) hтiha
1
о
Зиак
«+»
в
последней
о
формуле
d'l]da.
s=~.
объясняется
тем,
что
вдоль
внешней
z
Рис.
65.
нормали к внутренней обкладке координата !; убывает. Подставляя
(4) и используя ортогонаJ1ьность полиномов Лежандра, получим
сюда
00
С= ~1 +a1shs1 Iexp[-(2l+l)blcth
(1+ ;)<si-bl.
l=O
17*
259
213.
i
С11=
00
~ exp[-(t+ ;) s1]cth (t+
+a1sh51
;)(51+S2},
/=О
00
с12=-а1 sl1s1):
1=0
2
Гд?
t=
Ь +а1-а~
2Ьа1
ch s1 =
с:: :1
Ь 2 -а 2 +а 2
=
2Ь~2 2
Поверхности первого II второго проводников описываются уравнениями
- s1 и s = 52 соответственно, причем а 1 sh 51 = а 2 sh 52.
214.
= а1 ( 1 + тп + тп 3 + m2n 2),
с12 = -ain (1 + тп),
С22 = а2 (1 + тп + т 3 п + m2n 2),
с11
где т
= а1/Ь,
п
= а2/Ь.
215. Пусть потенциад сфер равен нудю,
равен - V. Произведем инверсию системы в
-2
-,
2R
R
-q;
+q;
%
потенциал на бесконечности
сфере радиуса R = 2а, центр
,., .....-- ..... ,
г;;
\
'
\
R
2R
-q;
__
.... л''v
,,
2
+qo
2/?
tfJ
aJ
Рис.
"'
66.
жоторой находится в точ1<е касания проводящих сфер (рис. 66, а, сфера ин11ерсии изображена пунктиром). После инверсии система примет вид пло­
,ского конденсатора (рис. 66, 6, сфера инверсии изображена пунктиром)
,с расстоянием 2R между заземленными обкладками. Внутренности сфер соот­
ветствует при этом внешняя область конденсатора. В центр инверсии в кои­
.денсаторе попадает бесконечно удаленная точ1<а первоначальной системы
,с потенциалом V. Этому соответствует точечный заряд q~ = - RV в центре
инверсии. Поле в инвертированной системе может быть, согласно задаче 210
{е = 1), получено как поле следующей бес1юнечной системы изображений:
-гочечные заряды (-l)n q~ находятся в точках z~ = 2Rn оси z', проходящей
'Через центр инверсии перпендю<улярно обкладкам конденсатора. Пос1юльку
,мы
~60
интересуемся
емкостью,
нужно
найти
полный
заряд
первоначальной
системы:
оо,
00
,,
~ q =2
q =2 __.
п
n=l
00
,-, qnR
~
~
' ~ (-l)n
--=q
0
z'
п
n=I
'
- -п = - q0 ln2=RV ln2.
n=I
При выполнении .суммирования мы воспользовались
известным
разложе­
нием в ряд Jn 2 (см. справочник [91), (0.232) ). Отсюда емкость С= q/V=
=2а Jn 2. Для определения потенциала с помощью формул (111. 32), (111. 33)
запишем r и r' в цилиндрических координатах (ось z совпадает с осью
симметрии системы,
начало координат в точке касания сфер). Тогда
2
z' = R,2z
2
Rr2' 1
, .,'1 =
, ,2=
, 21 + z2
и для потенциала получим
2
( )
.!}_ С
=
r
(j)
f°" sh k (Rch_ kRR ,21z 1 )
R2q
Cr
! ( kR2r1 ) dk
O
r2
•
о
Член
q/C
добавлен д,1я того, чтобы (j)
(r)
обращался в нуль при
r~
оо.
у'
'
z
Рис.
217. Угол
f\,
под которым пересекаются сферические поверхности (будем
отсчитывать его вне п11vводника) выражается формулами:
fl -{
-
2n - 162 - 61 1, если
2n -161 + 62 I, если
61 и 62 одного знака,
61 и 62 разных знаков.
Выбрав центр инверсии О на линии пересечения сфер, положив радиус
инверсии равным 2а и производя инверсию, получим клин с двугранным
углом
и ребром (ось z'), перпендикулярным плоскости симметрии (а= О, 11:)
fl
рассматриваемого
проводника.
На рис.
67
изображен случай
61 > О, 1;2 <
О.
261
При инверсии в точке О появится заряд q 0 = - 2aV. Как легко может быть.
показано, угол V =
если отсчитывать v от той грани клина, в которую
переходит сферическая поверхность
= 1• При преобразовании инверсии
поверхности
coпst переходят в полуплоскости а'= coпst, причем
s1,
s
s=
6= {
Расстояния
v-a'
v- а'+ 2:rt
и
r
r'
5
при О:,;;;;; а':,;;;;;
при
:rt + v
:rt + V,
<а'<~ (если ~ > :rt + v).
могут быть выражены через координаты р,
(1)
s точки
наблюдения М (прн эты1 нужно использовать соотношения между декарто­
выми и тороидальными координатами из задачи 68, а также рассмотреть.
подобные треугольники
00'М' и 00'М):
2а ехр ~
r=
Используя
выражение
а также формулы
дующее
, r' = 2ае-Р.
J 2 (ch р- cos s)
для
потенциала
клина,
полученное
(2)
в
задаче
(1) н (2), получим после некоторых преобразований
выражение
для
206,.
еле-
емкости:
С= ...!L = lim r ((J) + V) =
V
V
r~=
(или р~О. !;~О)
f
00
=:
O
(
hd\
s
2
sh~
sh.5.
)
; • __:11_1;_""""'1i'--2:11_v_ - ; • --:rt-:~,....fi--+ _c_h_s~h-~-1- ch-fi- - cos-~ch-~- -1
218.
а) C=L(siп
8+8);
:rt
б) С= 2R (1
1
- - -)
уз
= ..!..!_
R·
13 '
интеграл из решения задачи
217
берется подстановкой ехр [ -
~] =
х.
219.
ГЛАВА
IV
постоянный ток
220.
8
V1-V2
82 = V2-i.
221. Сопротивление
нему сопротивлению
катушки гальванометра должно быть равно внеш­
R.
222.
R=
3
2r
13
R=-r
7
47
R=~r
22
262
при
п=2,
при
п=3,
при
п=4.
Использование
соображений
симметрии позволяет, например, в случае
n = 3 ограничиться всего тремя контурными токами.
223. Введем контурные токи, как показано на рис. 12.
гофа для ячейки BkAkAk+1Bk+1 имеет вид
gk-1
Это
линейное
разностное
+ gk+l =
уравнение
(2
Уравнение Кирх­
+ ; ) gk·
второго
(1)
порядка
имеет два линейно
независимых решения: eka и e-ka, где
sh
~
=
i" -(;
(2)
*).
·Общее решение (1) имеет вид tlk=A'eka+B'e-ka. В данном случае удобно,
перегруппировав члены, записать ( 1) в форме
(3)
где А и f}- произвольные постоянные. Определим их из граничных условий
на концах линии. Рассмотрим последнюю ячейку. Уравнение Кирхгофа для
этой ячейки принимает вид
g
п
(R
+ Ra + r) -
В п-1Г = О.
(4)
Подставив в (4) выражения токов g п и g п-1 из (3), и используя
-чнм после сокращения на А уравнение для определения f}:
th f}a
=
Ra ch па+ YRr°" sh (п + 1/2) а
Rashna+YRr ch(n+ 1/ 2 )a
(2),
полу­
(5)
Значение постоянной А можно получить, составив уравнение Кирхгофа для
начальной ячейки линии:
(6)
Из
(6)
после некоторых преобразований находим, что
Окончательно получаем
для тока на отрезке
AkAk+i
линии следующее вы-
ражение:
Dk=
ich_(f}-k)a
•
Richf}a+VRr sh(f}+ 1/ 2 )a
(7)
Входящие в (7) постоянные а и f} определяются уравнениями (2), (5).
При сухой изоляции r ~ оо, а~ О и (7), как н · следует ожидать, прп:­
вимает
вид
i
Dk= Ri+Ra+(n+l)R.
(8)
"') При выводе этого !f нижеследующих выражений полезно помнить,
что формулы гиперболической тригонометрии получаются из формул обыч­
вой тригонометрии заменами
cos а~ ch а,
sin а~ i sh а.
263
Из
(7)
и
(8)
находим для отношения э. д. с.
и
g0
i,
обеспечивающих один
п тот же ток через нагрузку при сухой и сырой изоляции, выражение
(9)
Ra =
Если сопротивление нагрузки
него в
этом
случае следует,
что
О, то уравнение
ао
( = - р, дх'
q, х)
О(х)=
упрощается и из
/3 = п + 1/2-
(10)
224. Если О(х), q, (х)- ток II потенциал жиды
земли) в сечении с координатой х, то
225.
(5)
дq,
=-
9
а2 0
Рах•
дх2
ichs(x-x0 )
Ri ch sx0 + У рр' sh sx0
кабедя
(относительно
Р
=7 9 .
,
(1)
где s = У р/р', Постоянная х0 определяется из уравнения
.
th s (х0
При
R1= R 0 =0
Если
нет
утечки,
9 (х)
то
RO
а)=
-
r
J,
рр'
(2)
•
= g ch s (х - а).
Ji pp'
р' -i- оо, х 0 -i- а,
(3)
shsa
О п вдоль кабеля ток
s-
принимает
постоянное значение
9
При
использовании
g
о= Ri+pa+Ra'
формулы
(7)
из
решения
задачи
223
нужно по·
ложить
R=pdx ,=_i_,
'
dx
а
k=~
dx'
п
=
dx'
Тогда из уравнения (2) решения задачи 223 следует, что а=- s dx. Вели­
чина /3 в этом решении связана с х 0 соотношением /3
x 0 /dx, так что /3а =
x 0 s. Подстановка этих выражений в уравнения (5) и (7) из решения за·
дачи 223 приnодит к написанным выше формулам (\) и (2).
=
=
226.
H2I/
Е1=---­
н1h2 H2h1 '
+
Е2
Н11,'
= ----'--н 1h2 +н h1'
D _
1
D _
2
.
.
/I
= /2 =
-
2
-
81Н21''
H1h2
+ H2h1'
82Н11''
H1h2+H2h1'
H1H2V
H1h2
H2h1 •
+
На границе раздела между пластинками
О'св =
Е2-Е1
4:n
О'
264
-
О' =
D2 - D 1
4Л:
H2(e1-l)-н1(e2-J)
4л: (н 1h2 H2h i)
+
(е~1 - е1Н2)
V
= 4Л: (H1h2 + H2hi)'
V,
Величина
V
больше нуля, если первая пластинка прилегает к положительно
заряженной обкладке.
У границы обкладки и первой пластинки
Осв=-
у грашщы обкладки и второi1 пластинки
227.
где ~ 1, ~ 2 - углы, образованные лпнией
раздела в первой н второй среде.
228.
тока
с
нормалью
к поверхности
9z
r
9zlпь
ер=
а<,:;;;;;
ла 2х In .!!..
1,.
ь
О,
r
> Ь.
Из этой фор\!улы видно, что электрическое поле в пространстве между
проводниками не направлено по осп z. НаJrичпс отличной от нуля ради­
а 1ыюй составляющей электрического поля Er говорит о том, что на цшrин­
дрических
С
поверхностях
проводников
И\!еются
поверхностные
заряды
П.10ТНОСТЯ\IИ
eEr
а2 = 4л
I -ь =- r
e9z
4
2
ла
2ь I а
х
nb
При z= О плотности cr 1 и cr2 обращаются в нуль. Положение сечения,
на котором cr 1
cr2 О, не является опреде.1епным. Это сечение может быть
с:.1ещеио, если на провод поместить добавочный постоянный заряд. Заряды
q1 = 2лаа 1 и q2 = 2лЬа2 = - q 1, приходящиеся на единицу длины провода и
оболочки (при одном z), связаны с разностью пот_енциалов между ними
=
=
ь
V=-
f
9z
Er dr= - а2х
а
соотношением
ql
V
=-
Ь =- coпst.
21na
Отношение
q 1/V
совпадает в данном случае с емкостью па единицу
длины
цилиндрического конденсатора в э.11ектростатической задаче.
Магнитное поле имеет, очевидно, тот же вид, что II поле бесконечно
длинного прямого провода с током 9. Это объясняется тем, что плотность
тока в бескrнечно толстой об~лочке равна нулю, вследствие чего обратный
-сок не создает магнитного поля,
265
229.
где
k
_ _ _ _х_о_ _ _ __
=
1\' 0 =
lo (XoX1l2
+ XoX2l1 + X1X2lo) '
<
Естlо -э. д. с. источника. Внутри
лено противоположно току (Е0
О).
него электрическое поле направ­
Заряды, создающие это электрическое поле, возникают на границах
раздела проводников с разными проводимостями и могут быть определены:
с помощью граничных условий; например, заряд на границе 01 равен
Qo1
230.
Рассмотрим,
воднш,а,
в
котором
,2
=
например,
4
(Е1
- Ео).
поток энергии через поверхность
O·ro
про­
действует э. д. с. Магнитное поле вблизи поверхности
совпадает с полем бесконечно длинного прямого
провода Н
2fl
= --.
cr
Вектор
Пойнтинrа V = ::л: (Ео Х Н) (Ео - напряженность электрического поля в 0-м
проводнике, направленная противоположно току, см. задачу
229),
как легко
убедиться, направлен
из проводника по нормали к его поверхности.
чина
через
потока
равна 2:л:rl 0 V
энергии
= flV,
где
V
поверхность
= Eolo -
этого
разность
Вели­
проводника, следовательно,
потенциалов на концах провод·
ника. Величина flV представляет собой разность между работой э. д. с. g 0 g
(g 0 Естlо) н джоулевыми потерями в единицу времени в самом источнике.
Энергия fl V вытекает ежесекундно через наружную поверхность источ·
ника, течет в окружающем проводники пространстве (в основном вне про­
==
водников)
и втекает внутрь
1-ro
и
2-ro
проводников через их
поверхности,
превращаясь внутри этих проводников в джоулево теп.~ю. В том, что общее
количес-гво энергии, втекающей в 1-й и 2-й проводники за единицу времени,
равно
как
f!V 1, 8V2, легко убедиться, рассмотрев вектор Пойнтинга так же.
выше.
2
231. R =
f Sx'
dl
где
элемент
dl направлен по нормали к эквипотенци•
площадью
S; цифрами 1 и 2 обозначены граничные
1
альной
поверхности
поверхности
232.
а)
R = _1
(1. - ..!_) .
б)
R = _1_
(l-..!_)
+-1- (1- - ..!_).
а
с
4:тrх2
с
Ь '
в)
1
R=-lп~.
2nlx
а
233.
R = _1_
2:тrх2
235.
С= 4:тrxR"
236.
Q = ~ Rikfltflk.
4:тrх
4:тrх 1
а
Ь
I
(..!_а -1-)
+ -'-·
. J_
ь
2:rtx1
ь •
е
i, k
266
с
проводника.
R = -е- (s11 - 2s12 + S22) = -е-
238.
R = Vi - V 2 = R1 + R2 - _!__l ""R1 + R2,
Ri =
тде
+ 2с12 + с2 2
237.
4:п:х
4:п:х
9
l
---,
2лха 1
с11
-------"'---___::;=-
С~2 - С11С22
лх
R2 =
l
- - - - сопротивления уединенных заземлителеi\ (см.
2лха2
233).
239. Обозначим через е0 = Vl - Ь 2 /а 2 эксцентриситет эллипсоидов вра­
щения (Ь/а - отношение меньшей полуоси к большей). Тогда
задачу
R=
-
в
хl (
4
3
:n:2 V
случае сплюснутого эллипсоида
l
R=-·
x
-
в
2 11
'
-е:о)
)''• (1
случае
arccos
вращения
Vl -
е~
и
1+е0
(1-е~)"'
In-(6:n: V)'1• ео
1 - ео
2
вытянутого эллипсоида
вращения.
Более выгодной (при фиксированном объеме V) является
.нутая или, наоборот, очень сплюснутая форма заземлителей.
240.
сильно
вытя­
Плотность тока в пространстве между электродами
(l)
j= pv
не зависит от х (v (х)"- скорость частиц в данной точке х). Скорость связана
с потенциалом (j) (х) фор}1улоii
v =
{rp =
у
- :rp
О при х = О).
Из
(1)
принимает
и
(2)
следует, что р = j У
2
(2)
- ;rp , так как уравнение Пуассона
2
вид
d 2rp
--= -
dx2
Интегрируя
(3)
.у--т-
--2erp •
4щ
с граничными условиями
(3)
: : / х=·О = О
и
rp lx=a = rp 0,
по-
.лучим
(«закон трех вторых»).
ГЛАВА
V
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
241.
Hr=Hz=O,
н.-/
29r
са 2
29
cr
о
при
r<a,
при
a~r~b,
при
r>
Ь.
267
242. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала. Если
z
направить ось
вдоль оси цилиндра, то прямоугольные компоненты А будут
удовлетворять уравнениям:
ЛАх=О,
>
=
ЛА - z-
ЛАу=О,
=
4л:µо .
с
/z,
причем iz
О при r
а, iz
8 /1ta при r ~ а.
Поскольку в уравнения для Ах и Ау заданный ток
(!)
2
8
не входит, эти
компоненты можно считать равными нулю; Az будет завпсеть только от
расстояния r до оси z. Интегрируя уравнение для Az и используя условия
непрерывности
Az
и На на границе
r=
а и ограниченности Н при
r = О,
по­
лучим:
при
r
<а
Ва = 2µо8 r,
при
r>
l(оистанта С
243. При
С-
в а-
( µо + 2µ ln : ) ,
;
(2}
'
28
cr
2µ8
cr '
На=--,
(2')
произвольна.
-
r<а
8=0;
a~r~b
2
2µ 0 8а
(
r Az = _-,,._,;:..-~,,....
ln -а
2
2
r>
Ь
2
r
_2_а_2
с (Ь - а )
при
са
а
Az =
при
28
Ha=--r·
2
са 2
2µ8
Ь
Az = - - ln с
Остальные
входящие в
компоненты
Az,
r
А
и
В а = -с-(,...,:-=-;-'-°.:-а_..,2, . . ) ( r- а; );
+ С2,
)
В
Ва=2µ8,
cr
+ Сз '
равны
нулю. Две
любые
константы.
можно выразить через третью, использовав условия
рывности векторного потенциала
28 (
а+ 2х
244. Нх = са arctg ~
а -2х)
+ arctg ~
,
Ну= .!!_ ln (х - а?) 2 + У:.,
2
са
(х
+а
2)
непре­
иа границах.
+у
Hz =
О.
Ось у перпендикулярна полосе и проходит через ее середину.
245.
Пластины отталкиваются с силой
2
f = 48
с 2 а2
(
а
а
arctg Ь
- 2l
а
2
+Ь
2
Ь ln --Ь-2 -
)
•
28
r
8
(а+ х) 2 + у 2
246. А = ln 2. = - ln _,__:__.,_,_--=c.,z
с
r1
с
(а - х) 2 + у 2 '
Нх= дАz
= _ 88 аху,
ду
Н = _ дАz
У
с
'i'~
__ 28 ( ~ + а+ х )·
дх
С
2
'1
2
'2
l(оординаты проводников с током в перпендикулярной к ним плоскосп1
равны (а, О) для тока
8 и (- а, О) для тока - 8; r 1 и r 2 - расстояния
от точек (а, О) и ( - а, О) до точки наблюдения.
+
268
247.
а} Между плоскостями Н = 4:n: i, в оста.'Iьном пространстве П = О;
с
,rзе fl ~ ,~-
б} между плоскостямп Н = О, в остальн н• тг
случаях
магнитное
поле
напразлено
r_ерп"
.. ~
о::онх
1д.'Jельно
токонесущим плоскостям.
28d
248. ну= с (Ь2 - а2)
нх = н z
'
= О;
ось у 1rормалы1а к JlЛOCKOCTII, про-
веденной через оси цилиндров.
249.
лярна
В
цилиндрической
п.-юскости ко.11ьца
Аа =
где
2 9
~
(
системе
к<оордииат,
ось
z
кс ·,:.рой перпенд11ку­
и прох_одит через его центр,
~ )' ' [(:
1
К
(k) и Е (k) - поJшые
4ar
(а+ r) 2 + z 2 '
- k)
К (k)- : Е (.1l)],
эллиптическпе
интегралы
Ле)т-:апдра,
k2
=
Компоненты магнитного поля:
н _
г
29
т-
е
Hz= 29
с
r 11
z
[-K(k)+ a2+r2+z2 E(k)],
r} 2 + z 2
(а - r) 2 + z~
(а+
1
У(а--: r) 2 +z 2
На оси витка
(r =
[к(k)+ a2-r2-z2 E(k)]
(a-r) 2 +z2
О} эти выражения переходят в
Н _
2:ra 2 9
z - с (а2 + z2)'/. '
Hr=O,
В
250.
любом
Па=О.
'
сечении
такой трубки поток шщукции будет один и тот
же. Поэтому уравнение позrр·шости трубки
N
fВ
=
· dS = f (r, z) = const,
s
где позерхность интегрирования S предстаз,1яет собою круг радиуса r
в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (центр круга лежит на оси
симметрии). Так как Аа не зависит от а, то с помощью теоремы Стокса
получим
Линии
f В·
пересечения
dS
этих
=
f А·
dl
= 2:n:rAa (r,
позерхностей
с
z) = const.
плоскостями
а=
const
и
дают
пскомые линии магнитной индукции.
251. Компоненты магнитного поля:
00
Н = - ~ = ~ (z
дz
~
n=O
00
Нт=- ~~ = ~
n=I
l)n
(п!) 2
Н(2 п) (z} (.!_) 2п = Н
2
(z) -
!...~ 1Г' (z) + ... ,
4
(~=N!nn! н( n-lJ(z)(;yn-\=-jH (z)+ ... ,
2
1
На=О.
269
Векторный
потенциал
выражается
через
напряженность
поля с помощью теоремы Стокса и соотношения Н =
J
,.,
О
n=O
r
1
Aa(r, z)=r
магнитного
rot А:
оо
(-l)n
Hzrdr= ~п!(п+l)!Н
(2n)
(z)
( r )2n+l
2
r
= 2 H(r)- ..•
2nnfl
Hz= - - (cos 01 + cos 02),
252.
с
где (см. рис.
68):
cos 01
=
h-z
cos 02= у
•
}1 а2 + (h-z) 2
z
.
a2+z2
253. Решим задачу методом векторного потенциала. Плотность поверх­
ностного тока, возникающего при вращении сферы,
•
1=еа
ero
4 'Ла
. ,'J,
sin
(полярная ось выбрана вдоль вектора ro). Векторный потенциал во всех
точках, не лежащих на поверхности сферы, удовлетворяет уравнению Лап­
ласа. Как следует из симметрии си-
стемы, векторный потенциал можно
§
выбрать так, чтобы была отлична от
нуля только компонента Аа, кото­
рая не будет зависеть от угла а.
Поэтому уравнение дл.я
-;.--+=-*=---r.:c-::.
векторного
потенциала запишется:
ЛАа
1
• 2 А
- r2 sm
·u·
Аа
=О
(см. ответ к задаче 47).
Поскольку плотность
висит от угла ,'J, по закону
тественно
ния
(1)
искать
Рис.
(r, ,'J,) = F (r)
будет
уравне·
видно
из
siп ,'J,.
(2)
дальнейшего
можно выбрать так, чтобы удовлетворялись уравнение и граничные
68.
Отметим, что векторный потенциал
(2).
решение
за­
ес­
F (r)
условия,
решения
тока
sin ,'J,,
в внде
Аа
Как
(l)
и
(2)
это
оправдывает
выбор
удовлетворяет условию
divA=O,
выполнение которого необходимо, чтобы имело место (1).
Определяя F (r) с помощью уравнения (l) н граничных условий, получим
Аа и Н =rotA.
Напряженность магнитного поля внутри сферы
Н- 2ero.
-
при
r
>а
Н _ Зr (m • r) _
-
где
270
m=
Зса'
еа 2
3с
ro -
•
магнитныи
,s
...!!!.
,а
момент системы.
•
(r
< а)
254. В точках, где j = О, можно положить Н = - grad ф. Тогда уравне•
ние rot Н = О выполняется при всех 'Ф, а уравнение div Н = О дает
Лф=О.
Последнее уравнение должно
быть решено при дополнительном условии
I
H·dl=
4
11: 9
с
'
l
t-
где
любой контур, охватывающий ток 9. Вводим цилиндрические
z н ищем решение в внде 'Ф = 'Ф (а).
коор­
динаты г, а,
Окончательно
получим
29
- а,
ф=
с
29
На=-,
сг
H,=Hz=O.
255. а) Чтобы скалярный потенциал ф магнитного поля был однознач­
ной функцией, выберем некоторую поверхность S (рис. 69), опнраюшуюся
на контур с током, и будем считать,
что
прн переходе через
эту поверх­
ность 'Ф терпит разрыв:
411:
1),(2)-1),(1)=79.
Точкн
друг
1
и
к
2
(1)
лежат бесконечно близко
другу
по
разные
стороны
поверхности, причем направление нз
J
2
в
тока
составляет
с
правовинтовую
направлением
систему.
Решение
уравнения
Лапласа
можно записать в виде (см. [101]):
'Ф
=
...!_ ~ [_!__ · дф
4:rt ~
дп
r
r
(J..)J dS.
дп r
'Ф J!..
-
о
(2)
В выраженнн (2) интегрирование
нужно проводить по бесконечно уда­
ленной
в
замкнутой
также
по
верхностям
поверхносtи
всем
1:;,
замкнутым
лежащим
на
S',
Рнс.
по­
69.
конеч-
ном расстоянии от начала координат, внутри которых 'Ф нли дф/дп нмеют
разрывы. В рассматриваемом случае интеграл по бесконечно удаленной
поверхности равен нулю, так как источник поля (контур с током) нмеет
ограниченные размеры. Поверхности, на которых нормальная производная
дф/дп
=
~Нп нмеет разрыв,
отсутствуют, так как Нп
- непрерывная вели­
чина. Поэтому в (2) интеграл должен быть взят по одной поверхности ~.
окружающей S.
Будем стягивать ~ до совпадения с S. Вследствие непрерывности вели-
чии
I дп
дф
;-,
д
н дп
1)
( ;-
на поверхности
1
4n
,i, = -
-
f ['Ф
S,
формула
(1) - 1),(2)] _Е_
дп
(2)
примет вид
(J..)
dS
r
'
где интегрирование теперь ведется по незамкнутой поверхности
Используя равенство (1), получим
9
,~,=т
f апд
( 1)
,
ds=
9
-7
f ---;г·
г · dS
(3)
S.
(4)
271
r·dS
f --,
Интеграл
представляет собою телесный
3-
угол Q, под которым ви-
ден контур с током из точки наблюдения, поэтому
писать
в
формулу
(4)
можно за­
виде
'Ф= -
9 Q.
с
Знак Q положителен, если радиус-вектор r, проведенный из точки наблюде­
ния в некоторую точку поверхности
ставляют
и направление
S,
тока
в
контуре со­
правовинтовую систему.
б) Преобразуем интеграл по контуру в интеграл по поверхности,
QШ1рающейея на контур; используя результат задачи 55, получим
JdS Х V (: ) = ~ f Vм ( : ) Х dS,
А= ~
где
Vм означает дифференцирование по координатам точки наблюдения М.
rot А,
Вы числия Н =
па ходпм
f (dS·V.и)Vм(1)=~ vмJ dS·Vм(+)·
Н=~
( При
(5)
преобразовании использовано равенство д (+)=О; предполагается,
что точка r = О не лежит на поверх1юсти интегрирования.} Сравнивая
=-
с фор\1улой Н
'Ф = 256. f
с
=
О,
grad
9
с
N=m
(5)
'Ф, получаем
J" dS . V'и r
( ..!...) = Х Н, где
с
fп
=~
m
.!!_
f
~ Q.
r. 3dS = r
• dS -
с
магнитный момент контура
током.
где r - радиус-вектор, проведеннь11i от первого тока ко второму,
действуюшие на первый и второй токи;
3 (m2 · r) (m 1 Х r)
N _
,s
1-
где
кам
N 1, N2
-
+
m2 Х m1
,з
•
N _ 3 (m1 • r) (m2 Х r)
,s
2-
F 1, F 2
+
-
силы,
m 1 Х m2
,з
•
врашательиые >.1ш1енты, приложенные к первому и второму то­
соответственно. С.'!едует отметить, что
N 1 =/= - N 2 ,
но
N 1 + N2+ (r Х f2) =О.
Если магнитные моменты пара:rле.'!ьны
единнчные векторы), то получим
f2
где
=
Зm 1m 2
(m 1 = m 1n, m 2 = m 2 n, r = rr 0 ,
[2n cos i} - r 0 (5 cos 2 -0- - 1)]
it- угол между п и r 0 •
259. Потенциальная функция
,4
тока
9
28182
и 21 = - -2с
где а
272
-
расстояние
между токами.
2 в поле тока
ln а+ cons,t
1
9
1:
п и
r0 -
Сила, деi!ствуюшая
на
единицу длины
f=- ди21
второго тока:
28182
=-
да
(8 1 и 8
Пр11 параллельных токах
2
с 2а
·
одинакового знака) имеет место прнтя-
».ение.
260. Сила F II вращательный момент N определяются дифференцированием потенциальной функции:
8 18 2 а
4r 2 а 2 4ar cos а
+ +
U (r, а)= - --с2- ln 4r 2 + а2
261.
262.
263.
N=
48 8'а'
с
.
(sщ ip - ip
l
.!? = 2 µо+ 2µ
ь
.!? = 2µ !п - .
-
4ar cos а '
cos q,),
ь
!па·
а
Vb
2
264. L 12 = 4п (Ь -a 2 );
F- 8182 дL21
с2
дЬ
=
4п8 1 8 2
с2
265. В этой задаче удобно использовать формулу
-rerpaл так же, как в задаче 89, получим
L 12 =
4пVаЬ [( %-k) К (k)
где
fV
(V.23).
Вычисляя ин·
-f Е (k)],
П/2
Е (k) =
K(k)=
1 - k 2 sin 2 ,i, d,j,,
4аЬ
k2 -
- (a+b)2+t2 •
о
При
l»a,
Ь, пара:.1етр
k
мал:
4 ~ь.
1
k 2 ,,.,
k,,.,
2~ёiь
~,.
поэтому можно использовать приближенные формулы для Е и !( (с:.1. спра­
вочник [91], 8.113, 8.114):
К (k) =
;
(
1+
+
k
2
+
Оставляя в выражении для
L 12
чим в первом неисчезающем
зультат
легко
6~ k
4
).
Е
(k)
= -п(
12
только члены,
приближении
получить и из равенства
-1 k 2
4
-
-
3 k4 )
64
•
пропорциональные k3, полу2п~а2Ь2
,з
Последний ре-
,
L 12 =
L 12 =
сФ1
~
·
рассматривая кольца
с токо11 как магнитные диполи.
При
а""' Ь
» l,
К
k ,,., 1,
L 1 2=4:rтa(1n
266.
8
r
4
} 1-k2
а
Vt2+ (а-Ь) 2
,
Е
(k) ,,., 1,
-2).
В обозначениях предыдушей задачи
F= 4л:8 1 8 2 •
с2
18
(k) ,,., ln
l
V<а+ь>2+,2
В. В. Баты~ин, И. Н. Топтыгин
2
2
2
[-K(k)+ а +Ь +1 E(k)].
(а+ь>2+12
273
.27
267.
= 4nn 2S. Пля соленоида большой, но конечной длины h, прене·
брегая краевым эффектом, получим коэффициент самоиндукции всего соле·
ноида
L =4nn 2Sh.
268.
Вычисляем магнитную энергию по формуле
W=
f
I
2с 2
i1 ·i2
-Г dS1 dS2•
Здесь dS 1 и dS 2 - элементы поверхности соленоида, R - расстояние между
ними, через i (i 1 = i 2 = i = ntl) обозначена плотность поверхностного тока, ко·
торым заменен ток, текущий в обмотке соленоида.
Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах:
f f f
h
_п_п_2_:2~29_2
W=
о
h
dz1
dz2
о
а da
2
(z 1 - z 2) +
cos
V
4а 2 sin2 ~
2л 2 а 2 п 2 8 2 h
(1 - 8a/3nh)
с2
где отброшены все чл ы порядка
Если пренебречь членом
(1 ) и выше. Отсюда
2
по сравнению с единицей, то получится резуль­
a/h
тат предыдущей задачи:
= 4л2 а 2 п 2 h = 4nn 2Sh.
L
269.
Для кругового сечения
= 4п№ (Ь - V ь2 - а 2 ).
единицу длины .27 = L/2nb для
L
Самоиндукция на
получится, если сделать
предельный
.27 = 4л
2
п 2а 2
(ер. с задачей 267).
Для прямоугольного сечения
L=
Если
ток
уменьшается в
течет
N2
.27
2№h lп
= 4тtn S.
непосредственно
раз
по
бесконечного соленоида
Ь ~ со при заданном числе
= N /21tb:
витков на единицу длины п
При Ь~а опять имеем
переход
= 4nn2S
:: ~: •
2
по ,оболочке
сравнению с
тора,
то самоиндукция
самоиндукцией тора, обмотанного
проводом. В соответствии с этим будем иметь:
L
для
тора
круглого сечения
= 4п (ь - У ь 2 - а 2 )
и
L=2h lп 2 Ь+а
2Ь-а
для тора прямоугольного сечения.
270. Вычислим магнитную энергию единицы длины линии по фор·
(V. 16). Векторный потенциал прямого провода с током был получен
муле
274
в задаче
242. Для провода 1 (рис. 70)
запишем его
9ri
A1z=C---2-
при
ca
С- ~
A 1z =
при
( 1 + 2 ln r~ )
Векторный потенциал, создаваемый проводом
на
9
- 9,
а на Ь и r1 на
в виде
r1 <
а,
l1
}
r1
(1)
> а. J
2, получится при замене в (!)
r2.
Рис.
70.
Находим магнитную энергию:
W=
2!:са2 f (A1z + A2z) dS1 - 2!:сь2 f (A1z + A2z) dS2.
(2)
2
1
Интегралы, входящие в (2), можно вычислить, использовав формулу (3.765)
из справочника (91 ]. У читывая затем связь между коэффициентом само­
индукции и магнитной энергией системы, получим окончательно:
h2
.2' = 1 + 2 lп аЬ"
271. Полная магнитная энергия
складывается из двух частей:
тока,
протеке.ющего
по
проводнику,
W=W 1 +W2 ,
где
W 1 =...!!:.о_
81t
-
энергия,
запасенная
внутри
f
(1)
H 2I dV
проводника
и
интегрирование
ведется
по объему проводника,
-
энергия,
запасенная
Предположим,
что
в остальном
можно
пространстве.
ввести
параметр
длины и удовлетворяющий условию
r0 ,
имеюший размерность
а<~<~
где а
- радиус проводника,
(который в общем случае
ниях,
меньших
r0 ,
R-
радиус
00
кривизны осевой линии проводника
меняется от точки к точке). Тогда на расстоя­
магнитное
поле
можно
считать
совпадающим с
полем
бесконечного прямого провода. В частности, внутри провода
Н _29r
i - са2
18*
275
(см. задачу
Это позволяет найти «внутреннюю~ энергию
242).
W1:
µ018 2
_
W1 - ~ -
(3}
Для определения «внешней» энергии W 2 построи\1 вспомогательную
поверхность S, опирающуюся на произвольный контур, лежащий на поверх­
ности проводника, и введем скалярный потенциал 'lj). Скалярный потенциал
будет испытывать на S скачок
4:rt
'Ф+-'Ф-=78.
Интеграл, через который выражается
\\72 ,
(4)
можно
преобразовать следующим
образом:
f
(B·H)dV=-
f
Bgrad'lj)dV=-
f
div('ljJB)dV=-~'lj)BndS
(здесь опущен индекс 2 и использовано уравнение div В= О). В последнем
внтеграле интегрирование должно проводиться по обеим сторонам вспомо­
гательной поверхности S и по поверхности проводника S' (см. рис. 71, на
котором изображено сечение
проводника некоторой плоскостью). Интеграл
по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль вследствие конеч­
ных размеров проводника с током. Таким образом,
W 2 = _...!_
8:rt
f
-f 'Ф В
1
'lj)B п dS+-8:rt
~
Первый из этих интегралов
вин
(2)
+п
s
обращается
магнитное поле на поверхности
S'
-f 'Ф В
1
dS--8:rt
в
нуль,
n
провода
лов
s
(5)
в сн.1у усло-
и
следо­
касатедьную
Для
других
нужно
венство
имеет,
только
составляющую.
зования
fll+
fll_
так как
вательно,
s'
dS.
совпадает с полем прямолиней­
ного
s'
-п
s
преобра­
двух
интегра­
использовать
и
(4)
условие
рывности компоненты
ра­
непре­
Вп. По­
лучим
Рис.
На больших
от
расстояниях
распределения
W2=
71.
тока
по
:с
f
BndS.
(6)
s
от
провода
сечению
(r
> r0)
проводника,
магнитное
поэтому
<
поле
не зависит
можно считать,
что
ток течет по оси. На малых расстояниях (а~ r
r 0 ) это поле совпадает
с магнитным полем бесконечного круглого цилиндра, и тоже можно считать,
что ток течет по оси. Таким образом, интеграл в формуле (6) представляет
собою поток магнитной индукции, создаваемой током, текущим по оси про­
водника, через поверхность, которая опирается на замкнутый контур. лежа­
щнй на поверхности проводника. Используя выражение потока через коэф­
фициент взаимной индукции (V. 22), получим
92 L'
W 2 = 2с2
•
(7)
С помощью формул (l), (3), (7), используя связь между коэффициентом
самоиндукции и магнитной энергией системы, получим требуемую формулу
276
.для коэффициента самоиндукции:
L
Используя
272.
результаты
=
µol
2
+ L'
(8)
предыдущей
задачи,
а
также
задачи
265
получим
(1n ~ -2),
L'=4nµb
где µ_магнитная
проницаемость
среды,
в
которой
находится проводник-­
Полная самоиндукция
8Ь
L = 4nb ( µ ln а
или, если
- 2µ + 41 µ )
0
µ 0 = µ = 1,
7)
8Ь
L=4nb ( ln а4 .
а+ 11~
273. L12=2l-2Va 2 +l2 +2aln
274.
L 12 = 8
Используя результат задачи
[1-2У а 2 + 12 + 112а 2 + 12 + а ln а+ У~ -а ln а
/
2
F= 89 192 [ а +21
с2
l 11а2 + 12
2
275. L=2µ 0
276.
получим
273,
=
а2
12
lV2a2+12 - IJ.
_
а2
+ 12
b+8µЬ [1n a(I :ь-,12) + У2 -2].
Используя
ношение nink
12a2+12J"
+
при
интегрировании
1/ {)ik (см. задачу
3
32),
по
углам в формуле
(V. 13)
соот·
получим:
в случае равномерного объемного распределения заряда,
еа 2
m=5cro;
в
случае
равномерного
распределения
заряда по
поверхности,
еа 2
m=Зcro.
Если применить
этн
формулы
к шару,
радиус которого равен класси-­
ческому радиусу электрона (2,8. 10- 13 см), а магнитный момент равен
известному из опыта магнитному моменту электрона (0,9 · 10-20 эрг/гс), то
=
окажется, что линейная скорость v = aro
10 13 см/сек на экваторе такого
~электрона» превышает скорость света в вакууме. Это показывает непри­
годность классических представлений для описания спина электрона. По­
дробРее об этом см. (111, 6].
278. Вторичное поле Н' удовлетворяет уравнению rot Н' = О, т. е. является
потенциальным. Введя скалярный потенциал по формуле Н' = - grad ,~,,.
получим
для
него
уравнение,
совпадающее
с уравнением
электростатики
в неоднородной среде:
div (µ grad
'Ф) = -
4nрт,
27Т
где
величина
Рт=
играет
роль
плотности
- -
магнитных
1
Но·
4:rt
grad µ
зарядов.
На границе раздела двух сред должны выполняться условия для каса­
тельных
компонент
поля:
'
'
Н 1 т=Н2 т
и для
нормальных
компонент
д-ф,
д'Ф2
7tr=7Fr
или
поля:
или
Здесь величина
crm =
1
:rt (µ, - µ2) Ноп
4
играет роль плотности поверхностного заряда. Заметим, что это выражение
для crm может быть получено и из формулы для объемной плотности Pm
путем
предельного
перехода:
crm = lim Pmh.
h-+0
Заменим поверхность раздела тонким слоем толщиной h. Тогда grad
направлен по нормали к слою и будет равен (µ 2 - µi)/h, откуда
Н1
279.
µ2 - µ1 н
h
оп,
1
4n
Pm = -
= -2µ2
- - Н 0,
IL1 +µ2
Н2 =
crm =
2µ,
µ1 +µ2
1~ Pmh =
µ
будет
I
4:rt (µ, -µ2) Ноп·
Н 0 , где Н 0 -поле, создаваемое кон·
туро~1 с током в вакууме, Н 1 , Н 2 - поля в средах с проницаемостями µ 1, µ 2 •
280. Магнитное поле в среде I совпадает с полем, создаваемым
в вакууме двумя прямолинейными токами
и 92=µ,(µ 2 -µ,)
91=µJ<fl
9;
µ, +µ2
ток
9
1 течет по тому же проводу,
вдоль провода,
вода
который
относительно
Магнитное
плоскости
поле
в ва;кууме током
является
9
в
1=
что
и
заданный ток
зеркальным
9;
ток
9
2
течет
изображением первого про­
раздела сред.
среде
2 совпадает с
2 1 2
µ µ
9, текущим по
µ1 +µ2
полем,
которое
создается
тому же проводу, что и за­
данный ток 9.
281. Векторы поля удовлетворяют во всем пространстве однородным
уравнениям rot Н = О, div В= О, поэтому можно ввести скалярный потен­
циал 'Ф (Н = - grad 'Ф), который будет удовлетворяп, уравнению Лапласа.
В результате задача магнитостатики сведена к задаче электростатики.
Решение имеет вид (см. задачу 149):
внутри
вне
шара
Н1
=
Н2
=
µ
3
+2
Но;
шара
где Ндип
-
Но+ Нюш,
поле, создаваемое магнитным диполем с моментом
µ-1
'
m= µ+ 2 а"Но,
278
Поскольку
поле
внутри
шара
однородно,
намагниченность постоянна:
M=-m-= З(µ-1) Н
4
/з na 3
4n (µ + 2) 0 "
Плотность эквивалентного объемного тока будет поэтому равна нулю:
Jмол
с
=
rot М =
О.
Плотность поверхностного тока можно определить по формуле
iмол
= с [n Х (М2 - Mi)],
которая получается из (V. 3) путем предельного перехода (ер. с выводом
граничного условня для H-r из уравнения Максвелла). Подставляя М 2 = О
и М1
М, найдем
Зс (µ- 1)
.
iмол=еа 'Л (µ
) Н0 sш tt.
=
4
+2
Интересно отметить, что такой поверхностный ток можно получить, если
заставить вращаться вокруг одного из диаметров сферу, заряженную равно­
мерно по поверхности (см. задачу
253).
Если направить оси координат вдоль главных осей тензора магнит-
282.
ной проницаемости, то внутри шара компоненты поля будут равны
где Но
внешнее поле. Вне шара
-
Н2
где Ндип
-
=
=
Hok,
+2
Но+ Ндип,
поле магнитного диполя с моментом
т
k
-J-
µ
µ<k)_ 1
µ<k> +2
m,
причем
a3Hok•
Момент сил, действующих на шар:
N=mX
Н 0•
"~ н-[, -(~: ~~\t!(f)'] н,.
При
µ1
~
µ2
поле в полости сильно ослабляется
-
происходит магнитная
экранировка.
284
,
При
285.
H=[l-
i-(i)з
(µ1 + 2µ2) (2µ1 + µ2)
2 (µ1 - µ2) 2
( аЬ )З
]нО•
µ 1 ~ µ 2 поле сильно ослабляется (Н ~ Но),
Магннтное поле
Н
=rotA,
где
при
Аz =
Ось
z
µ29
а
- ln 2'Л
r
-
+ ( 1 + µµ 1 -+
1
µ2 а
·µ2 r 2
2
)
B 0r
•
sш а
при
r<
r
а,
> а.
направлена вдоль оси цилиндра; остальные компоненты А равны нулю.
279
288.
289.
f = с2Ь
29 2 а 2
(µ - 1)
(Ь 2 - а 2 ) (µ + 1)
'
29 2 ь (µ- 1)
f = с2 (а2 - Ь2) (µ + 1)
•
290. Ht = _I_.
2л:µ1µ2~tз
Но,
µ! µ.1~1 2аз + µ2~1 за1 + µ1µР2
где Но
- поле, которое создается тем же током в вакууме.
291. Во внешней област11 индукция 8 и маг11итное поле Н связаны
обычным соотношенпем 8 2 = µ 2 Н 2 . Внутри шара, согласно (V. 27), 8 1 =
=µ1Н1+4л:МQ, где М 0 -постоянпая намагниченность. Вводн скалярный
потенцпал, как в задаче 281, получим
Ф1=-
H,•r,
где
Таким образо'\1, поле внутри шара однородио, а вне шара совпадает с полем
магнитного д1шоля
292.
с
m.
моментом
Поле внутри цнлнндра:
Поле в11е цилиндра:
Н
2r(m, r)
r4
2=
где
N!.0
-
293.
постоянная намаrничР.нпость,
Поле внутри
m
-7,
m = ----"-0
4л:а 2 М
µ2 + µ[.
шара;
Н1 = µ
3
+2
Но -
4л:М 0
µ
+2 ,
Поле вне шара:
н 2= н о +
Зr
(m, r)
rs
m
-7,
(1)
где
3
4л:а М 0
it - 1 зн
m= µ+ 2 + µ+ 2 а о·
Так как внешнее поле однородно, то результирующая сила, действующая
на шар, равна пулю. Но есл~1 направле1шя М 0 н Н 0 различны, то на сферу
будет действовать момент сил. Его можно рассчитать с помощью тензора
натяжений магнитного поля. Момент снл, действуюшнх на постояю1ый
маrннт, определяется формулой
Ni
=
~ eiklxkTlm dSm,
(2)
s
где
Т1т - тензор
натяжений
(V. 26), elkl -
ед1шичныii
а11тнс11мметричный
тензор, интегрированне ведется по внешней поверхности магнита. Подста·
вляя (V. 26) в (2) и переходя к векторным обозначен11ям, получим
(3)
280
Так как начало отсчета выбршю в центре шара, то
r
п
dS
имеют оди­
наковые направления, и второй интеграл в (3) обратптся в нуль. Для
вычисления первого интеграла положнм dS = n dS = na 2 dlJ., r = an и под­
ставим Н 2 из
(1 ).
Это даст
N= ~
4
f [а3 (п Х Н 0) + т Х п)
(
Н 0 п + ;з т • п) dQ.
(4)
•
Переходя снова к проекциям, получим
--2
Ni=aзe,,,,нo,Homnknm +2e,,,,нo,msnkns + eiklmkHomnlnm + а3 eiklmkmsn,ns. (5)С
помощью соотношения
nknm =
1
/з
f!km
(см.
задачу
32) найдем, что два
из четырех членов в правой части равенства (5) обратятся в нуль, а осталь·
ные
дадут
N=m
или окончательно, если
Х Н0
выразить т через
4:rta 3
N=-µ+ 2
Как
( :
видно
~~
из
этой
формулы,
(6)
постоянную
намагниченность,
Мо Х Н 0 •
индуцированная
(7)
часть
магнитного момента
а3 Н 0)
.,
F_
,94.
-
не дает вклада в результирующий момент сил.
-1_ µ - 1 т (l + cos 2 0) N = ~ т sin 0 cos 0
16 µ + 2
а4
'
µ +2
ваз
'
2
2
где а
_
рас
_
стояние от магнита до плоскости, 0-угол между т и нормалью к пло­
скости. При µ
1 (мягкое железо в слабом магнитном поле) 11олучю1
>>
такой же результат, как в случае электрического диполя, находящегося
вблизи металлической плоскости (см. задачу 148).
295. Искомые величины можно получить путем замены в ответе к за­
даче 201 электрических величин на соответствуюшие магнитные. В част­
ности, при произвольном выборе координатных осей внутреннее поле Н 1
в
эллнпсонде
запишется
в
виде
Н1~ =
Hok - 4:rtNk1·'v11,
где М - вектор намагниченностп, N 1..1 - коэффициенты размагничивания (ком-­
поненты тензора размагничиваюшего действпя формы). Главные значения
этого тензора обозначены в задаче 197 через n(i), называются они коэффи­
циентами
деполяризапип.
Формула, приведенная в ответе предыдущей задачи, остается спра­
ведливой и в случае анизотропного магнетика. Имеет место еше одно соот­
нощение, связываюшее М и Н 1 :
296.
Hlk + 4:пМ,, = ~tk1HI1.
Из этих двух формул получаем
Hok
= Ь1,тН1т,
rде
Отсюда
н 1" = ь;~1~нr;т,
где ь;~
-
компоненты обратного тензора. Они могут оыть определены с по-­
мощью формул, полученных в задаче
ll.
28L
Рассмотрим один частный случай. Выберем оси координат вдоль главных
-осей эллипсоида. Если тензор µ k имеет в этих осях диагональный вид
1
(
µik=
µ(х)
о
о
µ<У>
о
о
оо
)
'
µ<z)
"То тензор bik будет диагональным, поэтому и обратный тензор Ьlk1 также
-будет диагональным:
f[1 + N(x) (µ<х) ьlkl=I
о
(
1)Г 1
о
[1 + N(y) (µ<У) - 1)Г 1
о
о
ГЛ А БА
VI
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 1
Поляризация вещества в постоянном поле
297. ~= 3/4ag.
Если заряд электрона
распределен равномерно внутри сферы с радиу­
ag
<:ом а 0, то ~ =
*).
299. Из симметрии
молекулы очевидно, что одна из главных осей тен­
зора поляризуемости будет совпадать с осью молекулы, а две другие оси
могут быть выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной оси моле­
кулы. Поэтому из трех главных значений тензора поляризуемости только
два будут различны: ~(1>, ~ 12>=
рассмотреть
следующие
~<3>.
Для их определения нужно отдельно
случаи:
а) Внешнее поле направлено по осн молекулы. Очевидно, что индуциро­
ванный дипольный момент каждого из атомов будет направлен вдоль
внешнего поля. Обозначив эти моменты соответственно через р' и р", получим
для
их
определения
два
уравнения
р' = ~, (Е
+ Е'),
р" = ~,, (Е
+ Е"),
(l)
где Е - внешнее поле, Е' и Е" - дополнительные поля, вызываемые в центре
каждого из атомов присутствием другого атома. Поля Е' и Е" можно
выразить
через
дипольные
моменты
соответствующих
атомов,
воспользо­
вавшись формулой для напряженности поля, создаваемого диполем с момен­
том р и учитывая, что все векторы направлены вдоль оси молекулы. Опре·
деляя затем р' и р" из системы ( 1), с помощью формулы р = р' + р" = ~{1) Е
найдем
~(1)
fY *)
(аз +2~') +
2 (аз+ 2~")
2~')
аз (аз+
Модель., рассмотренная в этой зада'iе, очень груба и позволяет полу­
чи-рь лишь порядковую
для водорода ~
282
2
аз (аз+ 2~")
=
9
/2
ag.
оценку.
Точный квантовомеханический расчет дает
б) Внешнее
поле
перпендикулярно
оси
молекулы. Аналогичным путем
получаем
При ~, = ~" выражения
и
~(!)
~<2> упрощаются:
А(2) = ~
2~'
2~' '
1 -a3-
A(I) =
1'
1'
~' •
l +аз-
Средняя поляризуемость
~=
~
(~(!)+2~(2))=: ~'(
12~' + ~ ) ·
1 -a3-
l +аз
-
301. а) Диэлектрик в целом будет анизотропным.
тензора поляризуемости диэлектрика (ер. (VI. 4') ):
(i)_
а
б)
В
случае
N~(i)
l -
-
беспорядочной
Главные значения
4/
3
nN~(i) '
ориентации
молекул
в
макроскопических
объемах диэлектрика не будет никаких физически выделенных направлений,
кроме направления внешнего поля. Поэтому средний дипольный момент
молекулы р будет пропорционален действующему на молекулу полю
8:
р=~8.
С другой стороны, имеем, очевидно:
pi = ~ikik = ~ikik'
где усреднение производится по макроскопическому
сравнения двух последних формул следует, что
if = ~н =
iI22
= ~зз,
~k
=О
малому
объеыу.
Из
(при i =/= k).
Таким образом,
~
Но
сумма
=
1
/з
(~11
+ ~22 + ~зз)·
диагональных компонент тензора есть инвариант, равный сумме
2
~(!)
> ~(З) (см. задачу 9). Поэтому
главных значений
+ ~< +
~
=
1/з (~(!) + ~(2) + ~(3)).
Коэффициент поляризации диэлектрика а связан с ~ обычной форму­
лой (VI. 4').
302. Если ось молекулы ориентирована под углом 8 к направлению
1шешнего поля Е 0 , то энергия молекулы запишется в виде
W = - 21
р · Е0
.2 0)Е
2•
= - 21с~1 cos2 8 + ~2 sш
0
Число частиц в единице объема, осн которых направлены под углом 8 отно­
сительно Е 0 , дается формулой Больцмана (VI. 6). В условии нормировки (VI.7)
величина N должна иметь смысл числа
поляризации определяется формулой Р =
пределению
Больцмана
дипольный
частиц в единице объема. Вектор
Np,
момент
где р
одной
- усредненный
молекулы.
по рас­
Поскольку
283
.i отсутствие
поля молекулы ориентированы хаотически, р будет иметь на­
правление внешнего
поля.
В соответствии с этим вычисляем величину р по формуле
n
р=
t f Р11
В0
dN =
f ехр
\~ie)) (~ cos
(-
о
1
2
0 + ~2 sin 2 0) sin 0 d0
n
f ехр
1 0
~;
(-
>) sin 0 d0
о
тде через р
лельная
11
обозначена
полю.
компонента диnолыюго
По условию
тывать только члены, линейные по а=
формулы Р
= N р = аЕ0 ,
-
задачи поле
момента
молекулы, парал­
слабое, поэтому достаточно учи-
(~ 1- ~2) вg
2
kT
<<
1.
Использовав далее
получим окончательно:
Как видно из этой формулы, зависимость между Р и В0 получается не­
.линейной, и а не является коэффициентом пропорциональности, не завися­
щим от Е 0 • Оценим величину поправочного члена при обычных температу-
порядка 10-24 см 3, получим kT/(~ 1 << 103 · в/см. Пренебрегая
рах (Т = 300° К). Считая ~1 -
~2
i!ЫМ
прежнее
Таким
образом, этот член мал, если Е 0
членом,
(см. зацачу
305.
получим
для
а
~ 2)
= 106•
nоправоч­
выражение:
301).
Дополнительный
потенциал, обусловленный квадрупольной поляри­
зацией диэлектрика, запишется в виде
(1)
тде R - расстояние от точки наблюдения до элемента объема dV, а интегри­
рование ведется по объему диэлектрика. С другой стороны, потенциал
объемных и поверхностных зарядов в общем случае имеет вид
ер =
где
дов,
р'
"' -
плотность
f ~ dV + f ~ dS + f "' ·V ( ~ ) dS,
объемных
зарядов,
а'
-
мощность двойного слоя. Приведя
,
а=
-
плотность
2
поверхностных заря­
(1) к виду (2), получим
дQ;п
1/
(2)
дх;
(3)
,
Таким образом, квадрупольная поляризация эквивалентна объемным за­
рядам р' внутри диэлектрика, поверхностным зарядам а' и двойному элек­
трическому слою с мощностью -r' на поверхности диэлектрика. Поскольку
плотности объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике связаны с век-
тором
поляризации
формулами р
что квадрупольная поляризация
.284
,= -
. Р',
d1v
эквивалентна
а
' = Рп•'
то
из
(3)
следует,
дополнительной дипольной
nоляризации
' -- - 1;2дQ;k
рk
-дхt
'
и двойному слою с мощностью т:k.
Формулы
7 рика,
(3)
можно
получить _также из рас~мотрения
обусловленнои квадрупольнои
энергии
диэлек-
поляризациеи.
306.
где х = 4:rtNfl. Поляризуемость
дается формулой
где р
fl
для
дипольный момент молекулы,
-
ратура.
При х
<<
1,
полярных
веществ в слабых
k - постоянная Больцмана, Т - темпе­
когда отличие действующего на молекулу
nоля становится очень
полях
поля от среднего
малым,
е
= 1 + х = 1 + 4:rtNf\.
Полная магнитная восприимчивость равна сумме парамагнитной и
диамагнитной восприимчивостей (см. (101]):
307.
Nш 2
Ne 2
-2
'Х = 3kT - 6mc 2 r
(1)
•
Входяший в эту формулу магнитный момент nt одного ротатора может быть
вычислен следующим образом. На основе известной теоремы имеем
nt = _е_ К,
2тс
(2)
.
где К- момент кол11чества движения частицы. В случае ротатора К связан
,с кинетической энергией формулой
к2
Wк = 2та2 •
Поэтому
среднее статистическое
.кинетическую
(3)
значение 1(2
выражается через среднюю
энергию:
(4)
Но средняя кинетическая энергия Wк может быть найдена по теореме
о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Поскольку ра-
7атор имеет две степени свободы, Wк = kT. Подставляя (4) и (2) в (1), на­
ходим 'Х = О. Этот результат находится в соответствии с общей теоремой,
-согласно которой полный магнитный момент тела, подчиняющегося класси­
ческой статистике, равен нулю. Отличный от нуля магнитный момент полу­
чае!СЯ
только
в
том
случае,
когда
делается
предположение
о
существова­
нии дискретных электронных орбит в атомах. Но такое предположение
<Jзначает выход за рамки классической теории *).
308. Концентрации ионов (N) и электронов (п) определяются по фор­
муле Больцмана (VI. 6)
l
N=N 0 exp [ - Ze(J)
~,
*)
Подробнее об этом см., например,
(1)
(70].
285
где
(j) (х, у, z) - электростатический потенциал. Множители перед экспонен4
тамн выбраны так, чтобы при Т ~ оо, когда взаимодействие частиц стано4
вится несущественным, N и п переходили бы в N 0 и п 0 • На основе (1) плот·
ность заряда запишется в виде
р = ZeN - еп = е ( ZN O ехр [ Потенциал (j)
должен
~~(j) ] -
п 0 ехр [
=~ ]).
(2)
быть определен путем решения уравнения Пуас­
сона
Л(j) = -
4np =
-
ехр [ -
4ne ( ZN0
~;(j) ] -
п0 ехр [ :~ ]).
(3)
Чтобы решить это уравнение, используем условие малости энерrин взаимо­
действия по сравнению с тепловой
1 ~~(j) 1
Разлагая
экспоненты
в
энергией:
~ 1'
1 :~ 1
~ 1•
ряд с точностью до членов, линейных по (j), и ис­
ZN0 = п 0 , получим
пользуя условие электронейтральности газа
х2
р= -4n(j)'
2_
4ne 2 (Z 2No + по)
kT
(3)
в виде
х -
Это позволяет записать уравнение
(4)
Л(j)=X 2 (j).
(5)
Потенциал (j) может зависеть только от расстояния r до рассматриваемого
иона. Сферически симметричное решение (5) имеет вид
е-нr
енr
(j)=C1--+C2--·
r
r
Потенциал не может возрастать на бесконечности, поэтому С 2 = О. С 1
деляется из условия, что при
r
опре­
~ 1/х потенциал должен переходить в чисто
кулоновский потенциал рассматриваемого иона:
Ze
(j)
Таким
образом,
плотность
которого
С1
lr ~ J/x = -r- = -r-,
ион
окружен
убывает
по
С 1 = Ze.
«облаком»
электронов
экспоненциальному
и
других
ионов,
закону, а средний
ра­
диус 1/х тем меньше, чем ниже температура.
Рассмотренный в этой задаче метод вычисления потенциала принадле­
жит Дебаю и Хюккелю и применялся ими в теории сильных электролитов.
Константа 1/х называется· радиусом Дебая - Хюккеля.
309. Электрическая индукция внутри пластинки описывается формулой
D (х)
где х
=
V
4ne 2 n
ekT
0
--,
При
xh
»
chxx
= Ео ch xh
'
1 имеем вблизи поверхностей х = ± h
D (х)=Е 0 ехр [- х (h-\
отсюда следует, что D (х) = О при
Iх -
xl )];
h 1 » 1/х, т. е. поле проникает в про­
водник на глубину 1/х. В с.1ое такой же толщины концентрируется заряд
р=
286
~
4
:~ =
±
х4~о ехр
[-
х (h -1 х \ )].
Плотность «поверхностного» заряда, которая
скопической
теории,
На границе х =
li
получается
рассматривается
интегрированием
получим
f [ ']
объемной
в
макро­
плотности
р,
00
а=
f
р
хЕо
- 4n
d х=
ехр
-хх
d х, =4n•
Е0
о
что совпадает с обычным граничным
условием на поверхности
310.
проводника.
_ ... / 8:тte 2 no
ekT '
х-
V
Значение х 2 в данном случае получается вдвое большим, чем в предыдущей
задаче, так как
имеются два
§ 2.
сорта
подвижных ионов.
Поляризация вещества в переменном поле
311. e=(+4:rtNa3, µ=}-2:rtNa 3
<].
Такой диэлектрик является диамагнитным. Проницаемости е и
µ не зависят
от частоты вследствие предположения об идеальной проводимости сфер.
Для того чтобы искусственный диэлектрик можно было рассматривать
как
сплошную среду, должны
выполняться
'А»
l,
условия
'А» а,
где {- среднее расстояние между сферами. Пренебрегать отличием дей­
ствующего поля от среднего можно лишь при малой поляризуемости среды
(т. е. при
312.
4:rtNa 3
«
1).
Уравнение движения электрона запишется в виде
·· 11r=
• еЕ е -irot•
mr+
0
(1)
Его частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид
r
где
= -
eEoe-irot
т (ro 2 + ivro) '
v=11/m.
Дипольный момент единицы объема получим умножением r на заряд
электрона е и на число частиц в единице объема N, после чего определяются
поляризуемость среды а (ro) и диэлектрическая проницаемость е (ro):
(J)2
е (ro)
=
1 + 4:тса (ro)
=
1(J)
2
Р_
+ivro
,
4:rte 2N
2 =---
(J)
р
т
(2)
С помощью уравнения (1) и закона Ома найдем связь между удельным
сопротивлением р и коэффициентом 11:
1
'11
Р""" а= Ne 2
"
(3)
Этот же результат можно получить путем сравнения диэлектрической прони­
цаемости (2) с комплексной диэлектрической проницаемостью (VIII. 8),
выраженной через проводимость:
е (ro) = е' + i
4
:.
(4)
287
Отделяя в формуле
вешественную и мнимую части, находим
(2)
"
(О~
е'= 1Из формул
(5)
нимают свои
Р
а = т (ro2
ro2 + v2 '
+ v2) •
(5)
следует, что е' и а завпсят ст частоты. При
стап1ческие
ro
<< v они
при­
значеипя
(02
е'= 1 _ _!!_
v
<
/N
1,
О'=--.
тv
Как следует нз (4), (5), комплексная диэ.qектрическая проницаемость
проводяшей среды прп малых частотах (ro ~ О) обращается в бесконечность.
При
больших частотах она принимает вид
(02
е (ro) = е' (ro) = 1 - -1!..,
ro2
Такая
зависшrость
е
(ro)
при
больших
диэлектриков.
частотах
справедлива также и для
v
Оценим порядок величины
= rifm для меди (проводимость в статиче­
ском случае а= 5 • 10 17 сек- 1 ). Из формулы (3) следует
v=
Ne 2
N 0 e2 d
ат= атА'
где
N 0 "" 6, 1023 .4юль- 1 - число Авогадро, А"" 63,5 г/моль - атомный вес и
d"" 8,9 г/см 3 -плотность меди. Оценка дает V"" 10+ 14 сек- 1 ; для сравнения
укажем, что видимой части спектра соответствуют частоты
Таким
няет
сек-'.
"" 1015
образом, в этом случае можно считать, что проводимость сохра­
значение, которое
она
имеет
в стационарном
случае, вплоть до частот
лежаших в инфракрасной области спектра. Однако нужно иметь в виду, чт~
при высоких частотах, когда длина свободного пробега электрона становится
сравнимой с глубиной проникновения поля в металл, начинают сказываться
эффекты пространственной неоднородности поля и макроскопическая вели­
чина е (диэлектрическая проипцаемость) теряет смысл. (Подробнее об этом
см. [34, 66], § 67.)
Полученные в этой задаче результаты в ограниченной области частот
nрименимы
к
металлу,
а
также
к полупроводнику
и
к ионизованному газу
(плазме), если движением положительных ионов можно пренебречь. Вычи­
сление диэлектрической проницаемости плазмы с учетом движения положи­
тельных ионов см. ниже в задаче 321.
313. Молекулы диэ.'Iектрика ие обладают сферической симметрией, по­
этому
внешнее
поле
Е0
частично
ориентирует
их,
и
диэлектрик
в цело1\'1
становится анизотропным. При этом ориентирующим действием переменного
поля, в силу условия g ~ Е 0 , можно пренебречь. Поскольку nричииой ани­
зотропии является внешнее электрическое поле Е 0 , одна из главных осей
тензора диэлектрической проницаемости будет совпадать с его направлением,
остальные две главные оси будут перпендикулярны Е 0 •
Обозначим компоненты поляризуемости молекулы в этих осях через fl;k
(значения i, k = 1 соответствуют оси, параллельной Е 0 ). f\;k выразятся через fl(i)
no
обычной формуле
f\;k = ailakmfllm = (f\- fl') ailakl + fl'{)ik•
где
ail- косинусы
осями
288
углов
между
тензора диэлектрической
осями
симметрии
молекулы
и
главными
проницаемости (использовано соотношение
a.lаkl
= б.tk'
вытекающее из с;ртогопальности матрицы а ..
IR
)·
Чтобы подсчитать
т~нзор диэлектрической вослрш1,1чи~ости для едшшцы объема диэлектрика,
нужно
найти с помощью фор11улы f_ольщ1ана статистические средние в1:J111-
чнн ~~k• т. е. усрединть произведение ailakl'
Еслн обозначить полярные
ной системе через
а 11
tt,
у1-лы
оси сюrметр;ш мо.1екулы
в
штрихован­
lj), то величины a1i запишутся так:
а 12
= cos tt,
Проводя усреднение
siп
=
а 13
tt cos lj),
= sin tt sin lj).
с помощью фор,1у.1:,1 Больцмана (как в задаче
.
получи!\! С ТОЧНОСТЬЮ ДО членов, линеиных по а=
ai 1ak 1 = О
при
i
3CJ2),
(~о-~~)Е5.
2
kT
•
=I= k.
(~о и ~~ - статические значения тензора поляризуемости молекулы). Отсюда
Пренебрегая отличием действующего на молекулу поля от среднего, получи~t
главные значения тензора диэлектрической проиицае,юсти:
Е
Этот
(1)
результат
=
-,-
1 +4лN~ 11 ,
пОI<азывает,
поле диэлектрик становится
что
в
сильном постоянном электрическом
анизотропным по отношению к высокочастотным
(например, световым) колебаниям. Возникновение анизотропии под действием
постоянного электрического поля носит название эффекта Керра. Инерцион­
ность этого эффекта очень мала: время установления или исчезновения
анизотропии - порядка 10- 10 сек. (Оно определяется временем установления
статистического
равновесия
в диэлектрике.) Явление Керра широко исполь­
зуется в технике для быстрой модуляции силы света.
рЕп
314. Считая параметр kТ = а малым, получщ1 с точностью до членоа
порядка а 2 :
-,
~22
e(I)
2) ,
,
1(
') (
1
=~33 = 3 ~ - ~
1 - 15 а + ~ ,
= 1 + 4лN~~ 1 ,
е 12> =
ef3>= 1 + 4лN~~2 •
Обозначения те же, что и в предыдущей задаче.
315.
Пусть
амплитуда
поля
f,
увеличится
на
dg (d'<5x, d'<5y, d't,,).
При
этом над l\lолекулой будет совершена работа
(1)
19
В. В. Батыrии, И. Н. Топтыгин
289
= P;kik -
rде р 1
ние
энергии
компонента дипольного момента системы. Поскольку поrлоще_
отсутствует,
эта
работа
целиком идет на увеличение средней
потенциальной энергии молекулы во внешнем поле:
dA=dW.
Поэтому
выражение
должно быть полным дифференциалом некоторой
dA
функции амплитуды поля
-
dW;.;,
энергии системы. Перепишем
±~
dW
в виде
(P1k%' k di; + p;li; d:!' k).
(2)
!, k
Видно, что эта
только в
TQM
величина
будет представлять собою полный дифференциал
случае, если Ptk = PZ 1; тогда
dW=i ~P;k(ikdi~+i; dik)=i ~P 1kd(i;ik)=d(~
!, k
р·8"),
l, k
-
1
W=4P·8".
Точно так же можно доказать эрмитовость тензора магнитной поляризуемости
для системы, внутри которой не происходит диссипации энергии.
317. Уравнение движения атомного электрона, связанного с ядром упру­
гой силой, запишется в виде
r+ro~r=;
[Е 0 е-tы!+(; Х н 0 )],
где ro 0 - частота собственных колебаний. Решая его методом последователь­
ных приближений, получим в линейном по Н0 приближении
еЕ
r=
т
.
( 2
2) - t
ro0 -ro
ero
2 ( 2
2)2
ro0 -ro
т с
(Е Х Но).
Чтобы получить тензор поляризуемости атома, используем запись векторного
произведения
с
помощью
антисимметричного тензора
elkl
(см. задачу
26).
Это даст
В соответствии с общим положением, доказанным в задаче 315, этот
тензор является эрмитовым. Вектор гирации (см. условие задачи 316) в данном
случае
rде
имеет
roL =
318.
еН 0
2тс
вид
-
ларморова частота.
.
..!:....(е+ - е-)
2
l
-(е+
2
+в-)
о
290
где
(j}2
е0 = 1 -
4ne2N
Р
2
(j}p=---.
(j}2-(j}2'
т
о
Век гор гирации равен по величине
g=
и
направлен
по
оси
1/2 (е+ -е-)
:г.
Результат предыдущей задачи получается из найденного точного решения
при выполнении условия 2roL ro << / ro~ - ro2 /.
319. Тензор e1k имеет такой же вид, как
и в предыдущей задаче. Но его
компоненты е± и е 0 определяютси следующими выражениями:
(j}2
f',± =
e,V =
1-
1-
D
ro2 +ro(iV ± 2roL)'
(j}2
-~.,_Р_ _
ro 2 +iroy'
- 7J
v-m·
eHv
2тс
roL = -
> О,
4ле"N
2
rop=-n-1-.
Из-за наличия «трения» (71 =1= О) в электронном газе происходит диссипация
энергии, и тензор e k неэрмитов.
1
320.
j
=
crE
+ (Е Х а),
где
v= __:!]__.
т
Магнитное поле приводит к возникновению тока, перпендикулирного электри­
ческому полю (ток Холла).
Обратная зависимость в том же приближении имеет вид
Е=
где
_!__ j
а
+ R (j Х
Hv),
R = 1/ceN -
постоянная Холла.
Тензор электропроводности
alk = afJik - eiklat.
321. Обозначим массу, скорость и заряд электрона через т, i-, - е, а те же
величины, относищиеся к иону, через М,
+ е. Тогда получим следующую
R,
систему уравнений движения:
•·
т: =
-
i(i)t е ·
eEv~:t ~ с. (r
+-
MR= eEveЗдесь
с
(R
Х
Hv - постоянное и однородное
«трения»;
·
·
Х Hv)- ту. (r ~ R),
1
Jtf
(I)
Hv)-my (R- r).
магнитное
поле, ту - коэффициент
сила трения пропорциональна относительной скорости электронов
-
и ионов, т. е. разностям <г R> и (R - г) для электронов и ионов соответ­
ственно. Электрическое по.пе Е = Eve-l(i)t завивит от времени по гармониче­
скому
19*
закону.
291
Иrrre\l J)<'rrreни<> систе\lы
в виде
(1)
(2)
z
Выберем направление Н 0 за ось
ров r 0 и Ro по формулам:
го± 1 =
Подставим
в
(2)
+
(\)
1
и введем циклические компоненты векто­
-\ (rox ± iroy),
Ro ±
1
= +
ir~ (Rox ± iRoy)·
и сложюf получившиеся уравнения:
- i(u (mro + MRo) =
!...
с
[(Ro - ro) Х Но].
Левую часть последнего равенства можно записать в виде
- i(u [(М + т) Ro + т (ro- Ro)].
Пренебрегая т по сравнению с М, полу•шм
(uRo
± t= (
±
Qн + ro
:
) s± t•
=
Ro - ro.
(3)
где
Q ll
Затем
поделим
первое
из
Ме
.с
(R Х Н 0 )
rон = еН 0 /тс и 11спользуя
-
N-
уравнений
и
(\)
s
на т, второе на М и вычтем их
Пренебрегая членам11 еЕ/М по сравнению с еЕ/т, М
сравнению с vs,
Вектср
М.с
т
дryr из друга.
Из уравнений
еН0
=
(3)
2
(u Sz =
и
(4)
eEoz
.
+ /O}VSz.
находим
поляризации
те
получим
т
Р
по
по сравнению с _е_ (; Х Н 0 ), обозначив
(2),
--
vs
(4)
s.
вычисляется
по формуле Р = Nese-i(i)t, где
число 1:онов (равное числу электронов) в единице объема.
Компоненты тен:,ора диэлектрической проницаемости запишутся в виде
(u"-
(1)2
e(z)=
e± = 1 - ---,------"----;,:---,ro ((u + iv ± (uн- (uн(~н) ,
Компонента
1-
Р
(u {(u+iv) •
имеет такой .же вид, как скалярная диэлектрическая
312; она
неограниченно возрастает при ro--? О. Компоненты е± при учете движения
ионов содержат в знаменате.че лишний член roHQH; нм можно пренебре•rь
при Qн/ro << 1, т. е. при больших частотах ro. Однако при малых частотах
этот член становится существенным; при (u--?0 оп приводит к тому, что ком·
e(z)
проницаемость в отсутствие магнитного поля, полученная в задаче
+
2
(t)p
+ --,..,-.
поненты е± остаются конечными: е- = 1
Благодаря этому в плазме
.
(uн• 0 н
могут существовать волны весьма малой частоты (магнитогидродинамические
292
волны). Распространение электромагнитных воюi в плазме с учетом колеба·
ний положительных 11онов рассматривается ниже в задаче 445.
322. В с11сте\1е координат, ось Хз которой совпадает
правлением, тензор T;k д~лжен (имет; ви:
)
0
с выделенным на-
0
Tik
-Та
=
О
Т
О
О
т
•
11
Это согласуется с результатами, полученными в задачах
318, 319 и др.
Поскольку включение поля происходит в момент t = О, то из прин­
ципа причинности следует, что Р (t) = О при t
О. Обозначив диэлектриче­
<:кую восприимчивость через а= а'+ ia", по.'Iучи111
324.
<
f а (ы') Е (ы')
Р (t) =
f а (ы') e-iы't dы',
00
dы' =
e-i<»'t
:;
(1)
-оо
-оо
где Е (ы') -· компонента Фурье поля Е (t) = Е 06 (t). Умножим (1) на i<»t и
t от - оо до О. В си.,zу ус.'Iовия Р (t) =Опри t < О будем
проинтегрируем по
иметь
о
f dы'а (ы') f
00
2;;i
и отдедяя
(111.17)
dt =
вещественную
00
а"(ы)=- ~
а' (ы) = ..!__ [ а: (ы') dы',
)
(2)
и мнимую части, получим
00
л:
О.
-оо
-оо
Используя
e-i (<»'-<») t
(J)
-
(J)
f
а' (ы') dы'
ы'-w
(3)
-оо
-оо
откуда следуют соотношения Крамерса
325.
Кроиига.
-
,
_
е 0 -1
е (ы) - 1 + 1 + ы2't2 .
I дВ
rotE=-- - -
З27.
с
rot
дt
1
дD'
с
дt
§ 3.
Мх
r де Wo = vH 0 ,
1\,12 = м20, т. е.
=
аА
А siп (ы 0 t
4л.
---+-J
В=
div D'= 4лр,
328.
•
с
div
•
В=О.
Ферромагнитный резонанс
+ а),
Му
=
А
cos
(ы 0 t
+ а),
Mz =
С,
начальная фаза, А и С - коистаиты, связанные условием
с2 = м2о, где М - иамагиичеииость насыщения. Движение
0
2+
вектора иамагиичеииости представляет собою обычную ларморову прецессию.
329.
Ищем решение уравнения
dM
cft =
в виде
мх =
частота; ось
тхе
z
-
vM Х Но+ w, (хоНо - М)
-i<»t, Му= туе -iwt, ,.
• 1z
=
М
0
+ mze -1<»t,
(1)
где
w-
неизвестная
направлена вдоль Н 6 •
293
Проектируя
(1)
на
оси
координат
II
подстав.>Jяя
М, по.>Jучим систему
алгебраических уравнений, ус.>10вие соз~1естности которой имеет вид
(i)~ -
((i)
+
j(i)r)2
О.
=
Частота (i) оказывается комп.'Iексиой: (i) = (i)o - i(i)г; наличие потерь приводит.
ка·к обычно, к затухающему движению. К:омпоиенты tnt· и ту сдвинуты по
фазе на л/2. Вектор М совершает затухающую прецессию вокруг Н 0 •
330. Если выбрать ось z вдоль Н, то по.>Jное магнитное по.!Jе будет иметь.
состав.>Jяющие
Ландау
-
hxe-iм,
Лифшица
hye-iм, Н 0
+ hze-ifiJt.
Ишем
решение уравнения
в виде
(VI. 15)
( 1),
где
М0 -
намагниченность
предположению,
что
насыщения.
.>Jарморова
Эта
прецессия
фор"а
решения соответствует
прекраптась
вс.>Jедствие
затуха­
ния и ко.>Jебания поддерживаются то.>Jько высокочастотным (вынуждающим)
по.>Jем. Поэтому нужно считать величины тх, ту, mz ма.>Jыми, порядка не
ниже h. Подставляя (!) в уравнение Ландау - Лифшица и отбрасывая квад-­
ратичные по h и т ч.>Jены, опреде.-rим компоненты m:
тх = 'Хо
(i)~
2
2
(i)o-(i)
hx - 'Хо
j(i)(i)o
2
hy,
2
(i)o-(i)
ту= 'Хо
т,-о.
(2)
,
К:ак видно из этих формул, характер зависимости тх и ту от (i) прк
фиксированной (i)o = vH O или от Н O при заданной (i) - резонансный: в точке·
(i) = (i)o
компоненты тх и ту неограниченно возрастают, наступает ферро­
магнитный резонанс.
Неограниченное возрастание амп.>Jитуды m связано с приближенным
методом решения уравнения Ландау - Лифшица. Точное решение (см. задачу
332) до.>Jжно обеспечинчь постоянство д.>Jины I М 1, так как из уравнения
Ландау-Лифшица с.>Jеду€Т М 2 = const. При решении задачи методом пос.>Jедо­
вательных
приб.>Jижений с учетом потерь, М также остается ограниченным_
331.
- i'Xa
'X.L
о
О)
•
о
о
где
где
µ .L = l
+ 41t'X.L•
µа= 41tXa,
Как видно из ':!Риведенных форму.'!, 'Xik и
µik -
µ 11 = 1.
эрмитовы тензоры (µik =
µ;;)-
Это означает, что среда яв.>Jяется гиротропной, а потерн отсутствуют.
Графики зависимости компонент µik от постоянного по.>Jя Н приведены
на рис.
72 *).
Н0 рез=
3400
э.
*) Рис. 72 н 73 взяты из книги А. Г. Гуревича [48].
294
0
332.
W1
Mr=-
С
Лw
rде Лw
= w0
Му= :~ Csinwt, Mz=C,
cos wt,
Постоянная
w, w0 = vH0, w1 = vlz.
-
С мо·-кет быть определена
4
2
/LJ.
о
5
4
!
3
/{;, !О .1
/Lo
-2
--4
Рис.
нз условия
мх2 + м2и + м2z =
м2,
0
Лифшица:
где
Q=
В
.примут
72.
которое
следует
из
уравнения
-VЛw2 + Wi.
выражение С входит
модуль
/ Лw /,
так как
Mz
> О.
л андау
-
Компоненты М
вид
Здесь знак
1.1ежду М и
±
h
W1
Мх =
± Q
М0
Му =
± ~·
М0 sin wt = x/zy,
cos wt = X/z.r,
J
м =~М
Q
Jt
Z
(1)
О•
соответствует знаку Лw. Как следует из этих равенств, связь
нелинейна, коэффициент пропорциональности :х: зависит от /1:
:х;=+
-
Угол прецессии
tt
'\'Мо
-Vлw2 +w(
(угол между М и Н 0 ) определяется равенством
.
М.1.
w1
Мо
Q
sш-3'=--=-,
l"де М.1. =
VМ~+м;. При ферромагнитном резонансе Лrо=О, и из (1) получим
Мх =
± М0 cos rot,
Му =
± М0 sin rot,
Mz = О.
295
Вектор М в этом случае
вращается с частотой
в плоскости,
ro
перпеиди·
кулярной Но, его компоненты не обращаются в бесконечность.
333. М = М
me-i(J)t,
определяются формулами:
0+
где М 0 имеет направление Н 0 , а компоненты т
Q2 - iroro,
_
.
roroo
тх - Хо 02 - ro2 - 2iroro, hx - tXo i22 - ro2 - 2iroro, hy,
()2
roro0
--
.
,roro,
-
h
ту= iXo 02 - ro2 - 2iыы, hx + Хо 02 - ro2 - 2iыы, У•
ы,
mz = Хо
Q=
Как
видно
ы,-iы
hz,
V20 ~
ы +rо,,
из
этих форму.'!, наJrичие потерь
m
что при резонансе амплитуда
(ro,'FO)
приводит к тому.
остается конечной.
334.
о) •
µ
о
µа=µ:+ iµ;,
µ11,
'
µ l.
µ:
= 1 + 4 :rтхо
!22 (Q2 - ы2) + 2ы2ы~
(~2
2)2
2 2 •
( .,
Q- -
,
+ 4ы ы,
ьг -ы
ыы, (Q
= 4 :пхо
=µ: +iµf,
2)"
ы
rоыа
2
+ы
-+
(Q2 -
2
)
., ., •
4rо·ы;
ы2)
µа= 4 :пхо (Q2 - ( i )2)2 + 4 ы-w,
" 2
,,
µа=
(!2
2
-
'
ro 2ro 0 ro,
ro 2 ) 2 + 4oiro; '
rд•·
µ,1= 1 + 4:nx 0
ro,
. ,
" ro,-iro
,
Н 0 рез=
3400 э .•
Графики зависимости µ~ и µ: от постоянного поля Н 0 приведены на
рис. 73. Зависимости
Мнимые части
шественные
= (ro ±
части
µ: и µ;
от Н0 имеют аналогичный вид.
" и µ "а имеют м акс1н,умы при нO = н0 рез =
µ ,l.• µа' принимают экстрема,1ьные значения
µ l.
ro,)fv.
Кривые, изображенные на рис. 73, имеют
персионные кривые дJ1я € (ro) (см. рис. 16).
Мнимые
части
компонент тензора
11
=
определяют диссипацию,
электромагнитной энергии. Они обращаются в нуль пр11
296
а ве·
при Н 0
такой же характер, как дне·
,, µа,
,, µ "
µ .i•
rofv,
ro, = О.
335. t-..Ho = ro,fv.
336. Выберем оси координат вдодь гдавных осей 9.'1.'!ИТТсоида, ось
z
на­
прdним вдо.'!Ь подя Но. В этих осях тензор Nkl имеет днагонадьный вид.
Поэтому уравнение Ландау - Лифшица в проекциях на оси коордпнат за­
пишется так:
V [Н0 + 4:rt (N<Y> - N< 21 ) }H,J Afy,
ft,fy = V [Н 0 + 4:rt (N(x) - N121} Mz] }Их,
i1z = - 4:rty (лr<х> - N1Y>) МхМу,
it_, = -
(1)
Таким образо,r, уравнения становятся нединейными. Предпо.'!агая, что от1шонения пектора М от равновсснего по.1ожения (направде1ше оси z) мады,
ишсм
решение
в
впде
(2)
rде
вектор 1\\0
иапраЕден
вдо.1ь ос11
z.
Ес.111
пренебречь ч.1снами с т 2,
it.'u"
/' "J., l.
Рнс.
1<0торые войдут в систе>~1у
73.
(1) пос.1е подстановки (2), то систе\!а (1) д 11 неа­
ризуется. Приравнивая опредстпель спсте\lЫ нул'О, находим
•/ [Н0 + 4:;i: (N(x) - N< 0 >) }H0J[Н0 + 4п (N<Y> - N< 2 >) М0].
. [
Хо (,v<x) + N(Y))]
М0
ffik + lffir 1 +
, Хо =
•
2
Н0 -N< 2 >м0
ro2 = roi =
337. ro =
Значение ffik пр;1веде110 в ответе к предыдущеii задаче.
338. Xik
=(
~;а- о
(ось
z
i:: ~ )
о
о
направлена вдо.r1ь Н 0 ),
Х1 =
1{у2}Но [Но+ (,v<u> -N< >) М0 ]
Х2 = ~ {у2 Мо [Н0 + (,v<x> -
2
N!?I) М0 ]
-
iX 0 ffi(O:,},
-
iх 0 ыы,},
297
где
'Ха=
Поско.'!Ьку в выражения
- -
1
л
vroM0.
компонент тензора 'Xik входят кdэффициенты раз­
магничивания, по.•южение резонанса и ширина резонансной .'!инии будут за­
висеть от формы тела.
339. Система уравнений
н М 2 имеет вид
движения
для
векторов
намагниченности М 1
(!)
Ищем решение в виде M1=M1 0 +m1e-iыt, M 2 =M 20 +m2e-irot(M1 0, М2 0 -
равновесные значения М 1 , М 2 ).
При решении системы (!) удобно перейти к цнкт,ческим
компонентам
(j = 1, 2).
Частоты собственной прецессии:
ffio1 = vHo,
Форму.'!Ьr
roo2 = у'Л I М10 - М20
1.
(2) справед.'!ивы при ус.'!овии 'Л / М1 0 -М 20 1
(2)
»
Но.
Частота ro01
имеет такую же величину, как и в с.'!учае ферромагнетика без подрешеток.
Частота ro02 зависит от молеку.'!ярноrо по.'!я и обычно си.'!ЬНО превышает ro 01 •
§ 4.
340.
jн
Сверхпроводимость
= О, div jc = О,
f
Е=О,
rot Лjс =
-
_.!._
с
Н,
(!)
4 :тt •
ro t Н =cJc,
1
div
Иск.'!ючая из этих уравнений
jc
Н
=0.
и.~ш Н, получим
л·
I .
Jc= б2 Jc,
ЛН=
где
{) =
V ~:
2
в сверхпроводник
(2)
характеризует r.'!убнну проникновения магнитного по.'!я
(и.'!и то.'!щнну с.'!оя, в котором
дящий ток).
341. Hx=Hz=O,
298
1
62 Н,
Ну=Ноехр[-
сосредоточен сверхпрово­
;]. ix=iy=O,
342.
Сила F х стремится вытолкнуть сверхпроводник из поля. В этом прощ1ляется
диамагнетизм сверхпроводника.
ch (х/6)
343. H.r:=Hz=O, Ну=Но cl1 (а/6)'
f
+ -- f
а
_
М
1
У
1
= -2а -2с
а
[r
Х
I
Jc]y dx
8:rca
дНу
х-дх
dx =
-а
-а
f(Ноу-Но)
а
=-
1
-
8:rca
dx= -
!!.!2..
(1 -~а th ~).
4л
б
-а
Му имеет знак, противоположный полю (диамагнетизм). При б ~ а магнит-
-
ный момент Му
,: = - 'f 4:rc
Но
= -
431
.
Это отвечает средней магнитной восприимчивости
= 1 + 4:rcx = О.
и проницаемости µ
344. Hz = Н0
/ 0
10
(r/6)
(а/б) ,
f
а
-
1
Mz- 2:rca2
Н:тt0 [ 1-2 аб /о(а/б)
/ 1 (а/6)]
,
4
(Hг-H0 )rdr--
о
:где
/ 0 , / 1 - модифицированные
345. Вие шара
функции Бесселя.
2111 ) cos~.
Н,= ( Н0 +-;з
где
т
-
постоянная,
имеюшая
H'l'i =
смысл
Н0 + ~ ) siп ~.
(-
магнитного
момента.
Внутри шара
ia = f (r)
Функция
ia (r, ~)
Лiа {см. ответ задачи
siп ~.
удовлетворяет уравнению
-; sin 2 ~ • ia =
r
О
47), откуда
ia (r,
~) = :n~2
(
sh
~
~
-
ch
~ ).
Здесь А - постоянная интегрирования. l(о\fпоиенты Н r и H'l'i
поля внутри шара выражаются через
26 А
Н,=-3
2
r
Но= ь::
магнитного
ia (r, ~):
( sh---chr
r
r) cos~
fJ
fJ
fJ
'
[( + ;
1
)sh
~
-
~
ch ~] sin ~.
299
Постоянные
т
и А определяются из условий
непрерывности Н r и
Htt пpir
г=а:
2
Н 0а ( 1-3-cth
6
а
6 )
m= - -+32
8
а
2
Н0а 3
При 6 ~ а получим т = -
6~ а т=
-
а
6
А=-~ Н 0 а
2 s h -а •
6
'
(ер. с ответом 281 при µ=О), А= О. Пр11
-
2
Hoas
-
3062 •
.
9
/ 0 (r/6)
346, Jr=Ja=O, Jz= 2:паб /1 (а/6), Hr=Hz=O,
.
.
(
11 (r/6)
9
) - - 1 ( /")
2:пса I а u
На = ~
1
L
347.
=
r < а,
при
г
> а.
модифицированные функции Бесселя.
/ 0, / 1 -
Е
9
2тrсг
при
Проинтегрируем уравнение Максвелла
rot Е
=
-
-
I
с
дН
-дt
, в котором
д"
Л }; , по произвольному замкнутому контуру /, проходящему внутри
снерхпроводника
и
охватывающему
отверстие.
Применив теорему Стокса.
получим
где S - поверхность, опирающаяся на контур l. Если контур l целиком
лежит за пределами слоя толщиной - 6, прилегающего к поверхности сверх­
проводника, то на нем jc
О, и мы получим
=
~
348. 9
,
= -
cH0 S cos {JL
f
HndS=O.
+ 9.
а_ сФ 0
349. .., -
L •
ГЛАВА
VII
КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ по~1Е
350.
300
Здесь
L - индуктивпость кольц11 (см. задачу 272), R - его сопротивление,
- амплитуд-а тока в кольце. Начало отсчета вре}1ен11 выбрано так. что
9
пр~ t = О плоскость петли перпендикулярна Н 0 •
(SH0 ) 2
ro
Средняя
352.
координату
где
н
L
R
roL
1 )2
2 с 2 R2+ (--с2
roC
351. N =
qi'
R-
обобщенная
·
сила,
стремящаяся
увелнчиrь
обобщенную
равна
индуктивность и сопротивление второго контура,
L,2 -
коэффи­
циент взаимной индукции контуров.
354.
2
(J)I. 2=
с 2 [(L 1 + L 2) C+L 1C 1 +L 2C 2J ± c 2f[L 1 (С +С,) - L 2 (С+ С 2 )) 2 + 4L 1 /, 2 C2}'/,
2L,L2 (С,С2 +се,+ СС2)
•
При отсутствии связи между контурами, т. е. при С= О,
c/JI L,C I
равными
в
каждом
из
ro 1
н
ro2
становятся
н с/У L 2 C 2 , что соответствует независимым колебания'>f
одиночных
контуров.
При очень сильной связи (C:;;J,>C 1, С 2 ) остается одна частота ro = c/V L'C',
где L' = L 1L 2 /(L 1 + L 2 ), С'= С 1 + С 2 • Это соответствует колебаниям в оди­
ночном контуре, в котором параллельно включены емкости С 1 , С 2 и индук­
тивности L 1, L 2 •
357.
нулю
ние
Составляя
систе"1у
уравнений
определитель системы, получим
четвертого порядка:
4
ro
где ro, =
относительно
токов и nриравниван
после не,,оторых
2 2) +ro ffii!=O,
1
I \
2 2
rol
ro2
+iы3 (-+-J-ro
(ro 1 +ro22)-iы (-•2
+Tr
•1
c/V L,C,,
Т2
ro2 =
вычислений уравне­
c/JI L2c-;,
т, = RC,,
2 2
1
(1}
•2 = RC2.
Коэффициенты этого уравнения комплексны, поэтому частота ro будет
также кшшлексной: ro= ro' + iro". В нулевом приб.1111жении в уравненна (1}
МQжно отбросить члены с т 1 , т 2 • Тогда уравнение (1) примет вид
4
2
ы -ro (roi+roIO+ыiы~=0.
Й
ЗОl
Уравнение (2) имеет следующие решения: ro\O) = ro 1 и ro~0>= ro2• Таким обра •
зом, в этом приближении ro" = О, и не происходит диссипации энергии (так
как мы считали, что R бесконечно велико); колебания в каждом контуре
происходят независимо.
В
следующем
приближении
ищем ro в виде
(О= ro<0>+ Лrо' + iro", где ro", Лrо' порядка 1/т: или выше. В соответствии
с этим, пренебрежем всеми членами более высоких порядков. Подставляя ro
в (1), учитывая (2) и приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую
части, найдем
"
Лrо'=О,
Поправка к
содержащая
ro',
R,
(J)
"
2
=-
1
2т:1
(З)
•
появится только в следующем приближении.
2
9,- ' ;';;'2 81;
9,- ( •ro'L12
' ).
358.
1
2т:2'
= -
(J)J
Zi 1 + c 4 Z1Z2
1 )
roLZ1=R1+1·(- 1- - 2
с
roC1
81max
i
=R
с
при
iroL
R--c-2-
359. Z =
'
----;;----,
где
rо2
ro 1 = c/J!LC -собственная частота коле­
1---iroRC
rот
баний в контуре. При R = О
Это свойство рассмотренного
(запирающие фильтры).
С= С ,
0
360.
-
1
и
ro = ro 1 Z
становится бесконечно большим.
двухполюсника
используется
в радиотехнике
L = L 0,
(J)p2
)
W=4 ( 1 + ro2+v2 Со I Ио 12.
vL
у
R=-=-c2
ro2C •
р
о
364. Обозначим токи, текущие через индуктивность, конденсатор и ба­
тарею, через 8 1, 8 2, 8 3 • На основе законов Кирхгофа получим уравнение
81+82+8з=О,
302
L
q (t)
?°81 =~=i(t)+8зR,
(1)
rде
9
2
q ({)- заряд
=
q,
на
обкладке конденсатора,
а
~
i (t) = {
Из
при
получаем уравнение второго порядка для тока
( 1)
1
х=
В
зависимости
а)
ro0
>
1
2
RC ;
от
ro =
б)
r
де
в)
1/ro~ -
ro0
Q=
1
соотношения
9
1• Соответствующее
9
2
с2
roo= LC.
R, L,
между
[94), § 25),
С возможны три случая:
1 методом вариации произвольных
по.'1учим
t ] ( sin
rot
2RC
2roRC
R
+ cos rot ) },
2;С )2:
< -щс:
~
91 (t) =
- { 4R!C 2
ro0 -
2RC
(t) = g { 1 - ехр [ -
(
)2 -roo,2
1
V
соотношением
2
корни
находя решение для
постоянных Лагранжа (см.
9
-. / (
- 2RC ±
9
t < О,
t > О.
при
характеристическое уравнение имеет
rде
связанный с
-
1
{
-ехр[- 2;С ](
;i:~ +
ch
ш) },
ro~;
2;С , 91 (t)
;
{
1 (1+ 2;С) ехр [ 2 ;С] }.
двух слу•1аях переходный процесс
является
В последних
полностью апериодическим, ко­
лебаний не возникает.
365. U2 (t) =
при
U0
ехр [ -
U0
(
О
при
{
О,
R~]
ехр [ -
t<
u0
t; ; ] )
при
t>
т.
О,
Rc2t]
{
при О< t < Т,
R~ ] - ехр [ -
U 0 ехр [ - --у-
866• U 2 (t) =
867.
t<
О
при
О<
t < Т,
(exp[- R~2t]-exp[- Rс
2
(~-Т)])
при
t>
Т.
На вход четырехполюсника нужно подать импульс
О
II
при
[ О
при
hE0 ( 1 +
и,
(t)
=
hE0 ( 1
t <-Т,
~ + ~ ) при
Т < t < О,
при О < t < Т,
-+)
t>
-
Т.
303
Начало отсчета времени выбрано так, что
t=
~атора достигает макспму~,а при
368. 8 (t) =
io
(
1
R2 + (
:t )
2
поле между пластина\ш конден­
О.
{ cos (rot + (!) 0 -
(!)) -
ехр [
где
Rc2t] cos
- -L-
((!)0
(!))
-
},
tg (j) roL/c R. Переходный процесс отсутствует, если tg (!)0
Rc 2 /roL.
Это условие имеет простой смысл: в момент включения стационарное зна­
=
=-
2
чение тока должно быть равно 11у.1ю.
369. При гармонической зависимости токов от времени уравнение l(ирх­
rофа для п-го контура запишется так:
roL
I
--2-8,,+-С (28п-8п-~-8п+ 1 )=0.
с
Уравнение
(J)
(1)
•
представдяет собою разностное линейное уравнение с це­
(1)
лочисленной независююй переменной п. Оно имеет (ер. с задачей 223) два
линейно независимых решения sin хп
l,J,
cos
и
Ug
ных
хп,
причем
колебаний
частоты
собствен­
выражаются. через
пара~1етр х:
ro
2
= 4ro~ siп 2 2:,
Фо
2
=
с
Y-LC.
Используя граничные условия
= 8 N = О, находим
811 =А siп хп,
-;;
Рис.
в
число
(2),
весь
меняться
одна
быть в системе
О< ro~2ro 0 •
Для
в
пределах
собственная
N
с пете мы будет
О
r
< х ~ л,
частота,
связанных
интерпретацип
.
периодичности
спеhтр частот, достаточно менять
Судет
вать
74.
собственных частот
а
nr/N.
0
=
(3)
Здесь r может пршшмать любые целочисленные значения (r= 1, 2, ... ).
Значение r = О соответствует нуле­
вому току в цепи. Однако вследствие
1L-----------'----.А-
17
х=
8
(2)
контуров.
конечно.
в пределах
1~ r
каждому
всего
частот
Они
sш
х
,
входящего
Чтобы
~
N.
будет
будет
будут
х
2
N,
получить
При этом х
соответство­
как и должно
лежать
ведичины х в11едем координату Уп = ап
в питервале
п-й ячеi\ки
(а - «длина» одной ячеiiк11 цепи). Тогда (3) вместе с временш:,м множителем
можно
где
k
записать
в
виде
=х/а.
(4)
I3ыrажение (4) представляет собою суперпозицию двух волн, бегущих
в прстивоположных направлениях. Величина k играет роль «волнового
вектора» колебаний, распространяющихся по цепочке из отдельных дискрет­
ных звеш,ев. Фаз·.)ВVЮ п групповую скорости этих волн можно вычислить
no
обычным форму.1а~1:
(5)
304
поскольку зависимость ro от k нелинейна, vq,
друга - имеет место днсперсriя. Из (2) находим
2ro 0
•
Vq,= -k-srn
II
vg
от.111чаются
друг
ka
2 ,
от
(6)
Велпчнна 2л/k имеет смысл «длrшы волны» колебан11й в дискретной цепочке;
для длинных волн (л ~ а) имеем ka ~ 1, откуда с.11едует, что фазовая и
групповая скоростri Vq, = Vg = ro 0 a и не зависят от k - ДliСПерсия отсутствует.
Графикr1 зависпмости
ro
и Vg от k прrшедены на рис.
74.
Эдектри•rескriе колебания рассмотренной цепо 11к11 ,шалогичпы меха1111че·
скпч колебаниям тшеiiпой одноатомной цепочк11, которая >,южет служить
одно~1ерной моделью кр11сталда. Индуктивность L аналогична массе атома.
велпчина 1/С
370.
Лr=
-
коэффициенту жесткоспi *).
Лrо
2N
11 4ro5 -
:п
ro2
Оболrачим тоюi в коитурах с самоиидукцией
с са,ю11нду1щиеii L 2 - через 8'.
Уравпеная Кирхгофа будут иметь вид
L,
371.
через
8, в контурах
( 1)
roL 2
,
-с2 811+
1 (
roC
,
)
2811-811- 811+1,
=0.
1::Jведя частоты ro 1 =c/J!L 1C, ro 2 =c/J!L 2C, получ11'11
2
2) и11=(!)1
а
2 ( 811
' + и,,_(.
а' )
(2 ro,-ro
}
(2)
(2ro~- ro~) 8~ = ro~(8 11 + 8 n+i)·
Решение этой системы будем искать в виде
(3)
где А, В, н
-
постоянные. Подставив эти решения в
(2),
получим
И~ равенства нулю определителя этой систе\!ы найде\1 связь между часто·
той
(!)
и н:
(5)
Чтобы 110.'!учrrть весь спектр колебаний, нvжно менять н в прзделах от О
до :п:. Значения н, ка·к и в задаче 369, могут быть найдены из граничных
условий.
*) Подробнее о колебаниях атомных цепочек см., например, М. А. Леон­
тович, Статистическая физика, Гостехиздат, 1944 г.; М. Борн и Хуан l(унь,
Дина,шческая теория кристаллriческих решеток, ИЛ, 1958 г. Аналогrш между
э.1ектрическ11м11
11
механическими
Л. Бриллюэна и М. Народи
20
колебаниями
рассматриваются
в
книге
[19/, гл. 3 и 4.
В. В. Батurин, И. Н. Топтыгин
305
Наиболее
звеньями
существенным
является то,
отличием
что каждому
частоты, как следует из формулы
баний. Обозначим частоты этих
,, +"
и
цепочки
с одинаковыми
соответствуют две
(5).
Поэтому существуют две ветви коле­
колебаний через
и ы_, где индексы
ffi+
соответствуют таким же
,, - "
от случая
значению х теперь
знакам перед корнем в формуле
Зависимость
жена графически на рис.
лебания с частотой Ы-
'"
(5).
частот от х изобра­
Ко­
анало­
75.
гичны колебаниям в цепочке с оди­
наковыми звеньими. В частности.
----...J1'2щ
при малых х (длинные волны)
имеем
т.
е.
дисперсия
Для
получим
о
7l
Рис.
к
ветви
отсутствует.
ы+
выражение
при малых х:
для
закона
дисперсии вида
75.
ы+ =а+ Ьх 2 •
Прn х ~о фазовая скорость
стремится
к бесконечности,
а
групповая ско­
рость обращается в нуль.
Для исследования характера колебаний в обеих ветвях найдем отноше­
для очень длинных (х ~ 1) и са­
ние амплитуд токов в соседних контурах
мых коротких (х близко к п) волн. Из равенств
для
ветви
для
ветви
(4)
имеем при х ~
1:
ы_
(~)- =1,
ы+
Для ветви ы_ колебания токов в соседних контурах происходят с одина­
ковой амплитудой в одной фазе. Для ветви ы+ колебания в соседних кон­
турах противофазны, а амплитуды колебаний обратно пропорциональны ин­
дуктивностям. При х = п
Ы+ =
Переходя в
Таким
формуле
образоlИ,
(4)
в
V2<i>1,
(i)_
= -V2 Ы2·
к пределу х ~ п, получим
предельном
случае
х = п
колебания
с
частотой
с Y-2/L 1C происходят только в контурах с индуктивностями L 1, а ко­
лебания с частотой ы_ = с -V2/L 2 C - в контурах с индуктивностями L2.
W+ =
Рассмотренные в этой задаче колебания с частотами Ы- и ы+ являются
аналогом акустических и оптических колебаний в линейной атомной цепочке,
состоящей из атомов двух сортов с разными массами (см. литературу, ука­
занную на стр. 305).
372.
(1)
306
тде
q1
и
q2 -
корни уравнения
q2-(2+ ~:)
(2)
q+ 1 =0.
Постоянные А, В определяются нз граничных условий 8 N=O; (8 о-8 1 ) Z2= И~.
Второе условие означает, что между точками а'Ь' (см. рис. 23) приложено
напряжение U1• Используя равенство q 1q2 = 1, вытекающее из (2), получим
окончательно:
373.
Коэффициент передачи К определяется из результатов предыдущей
задачи:
В знаменателе этого выражения имеются множители
q 1q 2 = 1,
то
qf
н
q{
Так как
возможны два случая:
а) lq1l=lq2l=I;
В первом случае
б) lq1l>I, lq2l<I.
и
qf
будут
qt
по модулю
равны
будет порядка единицы. Во втором случае, при N
единице, К тоже
1 1qf \ » 1, а I qt 1 « 1,
»
nоэтому·
Интервалы частот, для которых
из уравнения
(2)
задачи
qi,
Если
подкоренное
сопряженных
2
реализуются случаи а) и б), определяются
Из него следует, что
372.
Z1
= 1 + 2Z2 ±
выражение
Z1
1 + 2Z2
V
... / (
отрицательно,
корня, по модулю
равных
)2 -
то
q1
I.
и
единице, т. е.
q2 -
два комплекснс•
осуществляется слу­
чай а). При положительном подкоренном выражении, Q1 и q 2 вещественны
и различны, т. е. имеет место случай о). Приравнивая нулю подкоренное
выражение, найдем область значений Z 1, Z 2 для
<:лучая а):
iJL
~
Z1
,)J.:,c ~ ~с
-4<z;<o.
Это соответствует значениям ro 2, лежащим между
с
2
L1C1
2
и
с (4С1
;;;,_,
+ С2)
+ L1)"
I :; ,
_
С 1 С2 (4L2
0
374. Рассмотрим п-й замкнутый контур нсдлинной линии (рис. 76). Этот кон-
1
\:пн
о
Рис. 76.
кусственной
тур можно рассматривать как
линиl' с распределенными
эквивалентную
параметрами,
схему для отрезка длиной а
причем ЛL будет индуктивностью,
а ЛС- емкостью данного отрезка. В случае произвольной зависимости тока
в линии от времени
уравнение Кирхгофа для этого контура примет вид
_ _ 1_ ЛL д8 п
с2
20*
дt
+
Qп-1, п
ЛС
Qn+i,
лс
п
=О,
(1)
307
где Q11 -1,,. и q,.+1,,. - заряды на верхних обI<ладках левого и правого кон­
денсаторов. Дифференцируя (1) по времени и пользуясь соотношениями
Q,i-1,,.=- 8,.+8,.-1, q,.,,.+ 1=8,.-9,.+ 1, nолучпм
2
а 9"
ih2+
I
7ЛL
1
ЛС (28,.-tт,._ 1 - 8,.+ 1 )=0.
Теперь нужно nере:iти от переменной п к переменной
z-
(2)
I<оординате точки
линии с распределенными параметрами. Для этого положим
8
11
(i)
=8
(z, t),
8
и
ВЫЧIIСЛИМ
11+ 1
=8
8,.- 1 (t)
(i)
=
(z-a, t),
8 (z + а, t)
разности
д8
1 д2 8
=--а----а 2
дz
2 дz2
'
8,.-8,. 1
-
д8
1 а2 9 2
8,.-8,.+ 1 =---а----а
•
дz
2 дz 2
Подставляя эти разности в
тивность
и
емI<ость
на
(2) и замечая, что L = ЛL/а и С= ЛС/а - индук­
едпнпцу
дл11ны,
nолучи,1 уравнение
2
д 8
L
1 д2 8
с2 дi2 = С дz2
Это - уравнение
длинной
тшип без потерь.
(3)
В реальной
длинной линии
всегда имеются потери как за счет сопротивления в проводах, так и за счет
неидеальной изоляции между проводами.
Эквивалентная схема для случая, когда второй фактор не учитывается
(т. е. изоляция nрово.r.:оэ считается идеальной), приведена на рис. 77. Урав­
нение длинной линии (телеграфное уравне­
ние) в этом случае можно получить таким
же способом, как было получено (3):
L
а2 9
с2 дt2
R-
где
единицу
375.
Рис.
в
77.
д8
+ R дt =
1 а2 9
С дz2 ,
аI<тнвное сопротивление
(4)
проводов
на
длины.
Решая
предыдущей
уравнение
задаче,
(3),
полученное
найдем
ro = vk,
где v = с/1 rLC - сI<орость распространения волн в длинной линии, k = -лr/1,
r = 1, 2, 3, ... , L н С- индуктивность и емI<ость на единицу длины. В по­
лученном спектре длинной линии, в отл11чие от cneI<тpa цепочки с сосредо­
точенным и параметрами, число собственных частот бесконечно. Это свясJано
с тем, что длинная .'!1-шня является континуумом с бесконечным чис:юм сте­
пеней свободы, тогда как в цепочI<е число степеней свободы N - конечно.
В случае идеальной дл11нноii линии характерно также отсутствие дисnерсип.
376. Исходим из заI<она Ома в дифференциадьной форме: j = а (Е Ест),
где Ест - напряженность поля сторонних сил. Выразим Е через потенциалы:
+
I
дА
E=-'fqJ-cдt'
Считая проводник тонким,
по контуру,
проинтегрируем обе части последнего равенства
совпадающему с
проводником:
~ Ecт•dl=f ~
308
j
I дА
Ecт=a+V!JJ+cдt'
·dl+~VqJ·dl++~ :: ·dl.
(1)
Интеграл, стояший в левой части равенства
( 1),
представляет собою сторон­
t·
нюю э. д. с. 1ст, включенную в цепь; интеграл ~
dl
потери на джоулево тепло за единицу времени. Интегра.11
Jiоследннй
Jiнтеграл
=
9 R
~V(J) · dl
оnреде.1яет
~ d(J)=O•.
=
преобразуем следующим образом. С учетом
заnазды-
ван и я
:
Подставляя эти выражения в равенство
мую
части,
1!ст (t) =
8
=-i(j)A.
и отделяя вещественную и мни-·
(1)
получим
(t) [ (
R+
; ~
f
sin
~ dl · dl')
сr
.
, - :~
~~
cos ror dl • dl' ]
\
.
Выражение в квадратных скобках представляет комплексное соnротивленне­
цеnи. Активное сопротивление равно
+ Rr ((j)),
R
.
Rr ((j)) =
~ ~
где
(j)Г
SIП-
j--r_c_ dl · dl'.
R
Величниа
связана с потерями на нагревание проводника; величина
характеризует потерн энергии на излучение II называется сопротивле­
Rr ((j))
нием излучения (см. следуюшую задачу).
Реактивное сопротивление равно
iroL ((j))
с2
-
,
где
(j)Г
L (ro)
=
~~
cos-r с dl · dl'
представляет собою индуктивность, зависяшую от частоты.
Рассмотрим случай, когда можно считать c/(j) = л/2n ~ l,
контура.
члеиа в
В области
интегрирования
разложении косинуса,
(j)r/c
«
1,
и,
с учетом
r де 1 -
paзttep
квадратичноrо­
получим
J J:j -dl-·rdl'- -
L ((j))"'" j
1(
2
(jJ
с
)2 ~,С' ljrdl·dl'.
Первый члеи в этом выражении ие зависит от частоты и представляет со­
бою обычную индуктивность *); второй член дает поправку, существенную
·
nри высоких частотах.
В разложении синуса нужно учесть кубический член, так как интеграл
от первого (линейного) члена обращается в нуль. Сопротивление излучения
R r ((j)) =
-
б:: ~ ~ r 2 dl · dl'.
*) Практически для вычисления самоиндукции нужно использовать форJ: ,(: dl . dl'
мулу (V. 18), так как интеграл j j - - r - расходится. Эта расходимость
вызвана теы, что проводник считается бесконечно тонкиы (линейным).
309.
377. L (ro) = L +
является
дается
ф
б~:rt
4
R, (ro)
~:,
_ магнитным диполем.
• 2 m.2
ормулои
с3'
3
где
2
3
Энергия,
(
~а )
4
Кольцо с током
излучаемая
•
m-
2
2
= :
в
единицу
времени,
•
магнитныи
дипольныи момент.
Значение коэффициента пропорциональности между излученной энергиеii.
.и
82
равно 2:rt 2 a 2 ro4/3c 5 и совпадает с
§ 2.
2
( sh
Н(х)-Н 0
378.
Вихревые токн и скин-эффект
~ + cos 1"h )''• ,
h
2
_
2
sh -+cos
{J
При
(ер. с задачей
379.
Так
магнитное
линдре
будут
Эти
система
поле
с
fJ=
8 0 n;
Ji2nµaro •
с
{J
при
(h-~xl>];
fJ-:»h,
Н(х)=Н 0
течь
токи
по
симметрична относительно оси цилиндра, а пер­
Н O однородно,
окружностям
создадут
такое
множеством
отдельных
во
пространстве
внешнем
-
4:rt
Но=--
247).
как
вичное
оси.
2
Н(х)=Н 0 ехр[-
fJ«h,
R, (ro).
же
в
ясно, что вихревые токи в ци­
магнитное
коаксиальных
равно
то
плоскостях, перпендикулярных его
поле, какое создавалось бы
соленоидов.
нулю,
а
внутри
Но
поле
соленоида
соленоида
направлено
вдоль его оси. Таким образом, полное магнитное поле вне цилиндра совпа­
дает с полем Н 0 , а внутри цилиндра определяется первым уравнением
(VII. 12),
которое ввиду осевой симметрии примет вид
где
k2= 1 +i
{J
H=Hz(r),
•
и граничным условием Н (а) = Н 0 •
Решение, конечное при r = О
и удовлетворяющее этому
условию, выразится через функцию Бесселя нулевого порядка:
Н= Н
0
граничному
! 0 (kr)
! о (ka) •
Вне цилиндра имеем
Н
= НO
при
а
:,;;;;;; r :,;;;;;; Ь,
Н=О
при
r
> Ь.
Плотность тока и электрическое поле внутри цилиндра вычисляются по фор·
муле
(VII. 11)
. .
kc 1 1 (kr)
J=Ja=O"Ea= 4:rt lo(ka) Но,
E,=Ez=O.
Для определения электрического поля вне цилиндра воспользуемся уравне·
нием Максвелла для
rot Е,
которое запишем в интегральной форме
~ Е1 dl =
i: f Вп
dS.
Внутри цилиндра имеется только одна компонента электрического поля Еа:
из
.З\О
граничного
условия
на
поверхности
стержня
и
из
симметрии системы
следует, что вне цилиндра поле Е также будет иметь лишь составляю­
щую Еа, зависящую только от r. Если выбрать в качестве контура l окруж­
ность, то контурный интеграл дает 2:тtrE 0 • При вычислении интеграла по
плошади используем формулу (ПЗ.12). Окончательно получим
Е = kcHo 11 (ka) .!!:... + iffiHo (r2 -а2)
4ла
0
JO (ka) r
2cr
если
'
:,;;;::: :,;;;::: Ь
а ._ r ._ '
Е _ kcH 0 l 1 (ka) !:..+ iffiHo (Ь2 -а2) если
0 4:тtа 10 (ka) r
2cr
'
При отсутствии
е. если а= О, поле
цилиндра, т.
Ea=
1
H 0r
2
будет равно
Е 0 = НоЬ2
(r<b),
Ь
> ·
r
(r
2r
> Ь).
Таким образом,
добавочное магнитное поле, связанное с наличием цилиндра,_
равно нулю при
r
> а,
Это связано с тем,
хотя добавочное электрическое поле отлично от нуля.
1 дD
что точное уравнение
rot
Н =с дt' справедливое вне-
=
проводннка, заменяется приближенным уравнением rot Н
О (в квазиста-­
ционарном приближении током смещения пренебрегаем). При точном реше­
нии задачи добавочное магнитное поле вне проводника также будет отлично.
от
нуля
(см.
задачу
в
452,
которой
рассматривается дифракциF
лоской
волны на проводящем цилиндре).
При малых частотах
380.
( 1ka 1 ~ 1
или б ~ а)
. . сН0 r
iaffiH 0
1=14п7Т=~r,
следовательно,
плотность
тока
линейно зависит
от
и
r
пропорциональна
частоте.
При больших частотах
птотическую
формулу
( 1 ka /
для
J. = ("1 - !)
~
1
функции
или б ~ а) нужно использовать асим­
Бесселя, с помощью которой получим
сН 0 уа
ехр
--
4:тtб
r
[
- (!
+ 1.)
a-r]
- •
б
При а - r ~ б плотность тока становится исчезающе малой. Таким образом,.
при больших частотах ток сконцентрирован в основном в тонко\! поверх­
ностном
слое.
2
381. Q =
При
/ ka 1 ~ 1
-
na2n 9~
-(j
Re
(малые частоты):
4лµа(i)
k2 = i -c2- - •
)4 =nэа (a2µnffi9
о )2
с2
м2 si ( а
lJ
Q=~
При
[ kl 1 (ka) ]
(ka) ,
10
/ ka 1 ~ 1
(большие частоты):
Q
=
nn:9~ (:)
=
ап:9~
•
J/2л3:ffi
•
Диссипация энергии при малых частотах пропорциональна
ffi 2, а при боль­
ших -У~.
А=А'+;А"=-.!!::._[\-_!_
1
382
•
"
"
"
4
J1(ka)]
ka 10 (ka) '
k2-i
-
4'ЛG(i)
с2
'
ЗlL
При
I ka 1 ~ 1
(большие частоты):
~(1с
4
а Y2naro
f\'= ~ледовательно,
ввиду
при
вытеснения
При
I ka 1
«
больших
поля
из
)
частотах
4 Y2naro
fl" ~ О,
т. е.
Р."
na 4 aro
1 (малые частоты):
fl ~ О
Таки'>! образом,
383.
магнитная
Поэтому
в
ro ~ О;
момент,
системы
во
при
поляризуемость
Магнитный
симметрии
потери уменьшаются,
проводника.
=
8с 2
t'
тическая
са
f\"=
'
будет
внешней
это связано с тем, что
равна
µ
= 1,
т. е. ста·
нулю.
создаваемый
направлен
области
•
вихревыми
вдоль
токю,,и,
внешнего
вследствие
магнитного
поли.
магнитное поле Н 2 можно записать
полное
виде
Н 2 (r)
=
2m
4r (m · r)
r4
-2-+ Но.
(1)
'
Здесь m - неизвестный магнитный мо~1е11т единицы длины цилиндра, сов·
падающий по направле11ию с Н 0 ; r - рад11ус-nектор в плоскости, перпе11·
дикудярной оси цилиндра. Полю Н 2 соответствует векторный потенциал
2 (m Х ,)
•
А2 =
(Н 0 Х r). которыи в проекциях запишется так:
+
,2
A 2z =
А2 = (
+ Но') sin а,
2
~
Аи= А2а = О
(2)
(угол а отсчитывается от направления Н 0 ).
Таким образом, во внешней области векторный потенциал имеет только
продольную
(относительно ос-11
цилиндра)
составляющую,
пропорцпональ­
ную sin а. Условиям непрерыв1юст~1 составляющих поля па границе можно
1'довлетвор1пь, если некать векторный потенциал во внутренней области
в
аналогичном
виде:
(3)
Электрическое
А и 1р.
поле
Е
выражается в общем случае через оба потенциала:
Наложим, как обычно, на потенциалы дополнительное условие
е д1р
О
d . А +ст=.
•v
-Тогда,
д1р
дt
поскольку
= - iro1p = О,
div Л =
так
что
О,
Е
что следует нз формул
=-
1
дд
с дt
iro
= с А.
(2)
11
(3),
будем иметь
Поэто~1у А будет удов.rrе-
·творять такому же уравнению, как и :>Лектрическое поле (VII. 12). Решением
этого уравнения, оrранпченным при r = О, является функция Бесселя:
F {,) = С/ 1 (kr),
А1
= С! 1 (k,) sin а.
(4)
Постоянные С н т в (4) н (2) определяются из условии равенств внутре11·
него (Н 1 ) н внешнего (Н 2 ) полей на границе цп.r~индра: Н1 = Н2 прн r=a.
Использовав (П3.9), получим
С
.312
2Но
= klo (ka)'
т
=_
2
а Но
2
(i __.!._
11 (ka) ).
ka 1 (ka)
0
(5)
Из
выражения
для т
следует,
uилнндра
f\=-
что поперечная магнитная поляризуемость..
~[I-~
J,(ka)]
2
ka 1 (ka)
(6)
0
Dдвое больше его продольной поляризуемости (см. задачу 382). Компоненты
магнитного поля внутр11 цилиндра определяются нз (4) и (5):
I
дА 1
11 (kr)
Н 1 т=гаа=2Но krlo(ka) cosa,
дА 1
Hia = - дr
2Н 0
=-
(7)
J~ (kr)
10
.
(ka) siп а.
Определим еще плотность тока в цилиндре. По формуле j = : rot Н
4
получим
.
сН 0 11 (kr)
.
Jz=-2It lo(ka) sша,
ia = ir =
О.
(8}
Из формулы (8) видно, что в каждый момент времени в двух половинах
цилиндра О ,s:;;; а ,s:;;; :rt и :rt ,s:;;; а ,s:;;; 2:rt токи текут в противоположных напра­
влениях; полный ток через сечение цилиндра равен нулю. Радиальная зави­
симость
плотности
тока
такая
же,
как
в
случае
в продольном поле, н была исследована в задаче
в
виду,
что
скостях,
в случае продольного
перпендикулярных
оси
поля
цилиндра,
380.
токи текут
находищегосsr
(Однако нужно иметь
по
окружностям
цилиндра, тогда как в
случае
в
пло­
попе речного
поля он11 те1<ут вдоль оси цилиндра.)
384. Среднее тепловыделение на единицу длины цилиндра проще всего
вы•шслить по формуле (VII. 17), рассмотрев поток энергии, втекающий
через боковую поверхность цилиндра. Используя результаты задачи 383~
получим
ас2Н6
_
Q--~Re
Тот же
результат получится
с
( kJ 1 (ka))
10 (ka)
помощью
·
фор\\!улы
причем
(VII. 16),
пр1r
интегрировании произведения функций Бесселя нужно использовать фор­
мулу (П3.13).
385. Для определения вращательного момента нужно знать электрическое
и магнитное поля внутри цилиндра. Их можно найти тем же способом, что
и в эада•1е 383 для линейно поляризова111Iого внешнего поля:
2Н 011
,а
(kr)
.
Нг=- krl 0 (ka) е '
.
ickH 0
11 (kr)
Jz= 2л 10 (ka) е
Сила,
формуле
приложенная
к
J~ (kr)
На= - 2,Но lo (ka) е
ia
ia
}
• •
i
(1)
J
еди1111це
объема
f = ...!._ (j
с
(считаем, что внутри цилиндра µ
цилпндра,
вычнсляется
Х Н)
= 1).
по
(2)
Радиальная ко~шонента этой силы
вызовет радиально направленное давление, азимутальная компонента го •дает
вращательный
момент.
Поскольку
j
и Н -комплексные величины,
среднее
313-
-значение азимутальной составляющей силы выразится так:
(3)
Вращательный момент, действующий на единицу длины цилиндра, полу­
чится путем умножения средней силы (3) на r н интегрирования по сечению
цилиндра. Интеграл вычисляется с помощью формулы {П3.13). В результате
получим
аН~
_
N=-
\k/2 Re
(
1 1 (ka) )
k lo (ka) .
(4)
Этот же результат получается другим путем. Момент
-знть через магнитный момент системы по формуле
сил
можно выра-
N {t) = m {t) Х Н 0 (t).
(5)
= N через комплексные амплитуды Н 0 и m,
перечную магнитную поляризуемость цилиндра {см. задачу
ж формуле (4).
При малых частотах нз (4) получим
Определяя
Nz
а m - через по­
383), приходим
_
l а4 Н~
паrо
2 4
N= 4 ~=4c2H0a,
{6)
н2
2I а ьн2O = V са
8паrо о·
(7)
.а при больших частотах
fi
=
Из этих формул видно, что вращательный момент исчезает в обоих пре·
дельных случаях очень малых и очень больших частот.
Если поле поляризовано линейно, средний вращательный момент равен
нулю {формально это следует из того, что интеграл по а обратится в нуль
при вычислении N; см. задачу 383, в которой найдены j и Н для этого
-случая). Таким образом, вращательный момент создается «вращающимся~
полем.
Явление,
рассмотренное
в
данной задаче,
лежит
в основе устройства
асинхронного электромотора.
386. Наряду с неподвижной системой отсчета, у которой ось z совпа­
дает с осью цилиндра, а ось х - с направлением внешнего поля Н 0 , рас­
-смотрим систему координат
'11, z, вращающуюся вместе с цилиндром.
s,
В этой системе координат внешнее магнитное поле запишется в виде
Но {t) = {Но1 - iН02) e-irot.
Здесь Н 01 и Н 02 -постоянные векторы одинаковой длины Н 01 =Н 02 =Н 0 ,
имеющие направления координатных осей
11. Поле такого вида было рас­
-смотрено в задаче 385. Создаваемый им вращательный момент (который
в данном случае будет тормозяшнм) равен
s,
_
аН~
( 1 1 (ka))
N= - ТkТ2" Re k lo (ka) •
387.
В задаче
379
было показано, что вихревые токи, возникающие в цн·
Jiнндре при изменении внешнего продольного поля, не создают добавочного
магнитного поля вне цилиндра; во
поле продольно и зависит только от
внутренней области создаваемое ими
Это поле будет удовлетворять урав­
,.
нению
(1)
314
Очевидно, что магнитное поле внутри цилиндра будет затухать со временем ..
Поэтому частные решении уравнения (\) будем искать в виде
V 0- постоянная. Для F (r) получаем уравнение Бесселя
>
F" (r)
где
F (r)
+ _!__
F' (r) + k 2F (r) = О,
r
е-
vt
,
где·
(2)
4:nµav
k2 = - - 2 - ·
с
Ограниченное при
r = О решение уравнения (2) имеет вид F (r) = С/ 0 (kr).
Поскольку внешнее поле Н 0
вихревыми
токами,
вне
выключается,
цилиндра
а добавочное поле, создаваемое
равно нулю,
на границе
должно выпол­
няться условие Н lr=a = О, т. е.
10 (ka)
Отсюда нах<'д 11м kma = ~т. т
ными значениями
будут
v
= О.
= 1, 2, ... ,
(3)
где ~т
-
нулн функции
Общее
решение
уравнения
в
( 1),
Возмож­
(4)
Vm = 4:nµaa2 .
задаче, запишется
/ 0•
соответствующее
рассматриваемой краевой
виде
Н (r,
t)
= ~ Cmlo (kтr) е -vтt.
(5}
т
Коэффициенты Ст определятся из начального условия
Н (r, О)=~ Ст/0 (kтr).
(6)
т
Воспользовавшись свойством ортогональности функций Бесселя
1
f xl0 (kтx)l0 (kпx)dx= ~ [!~(kт)J2бтп•
(7)
о
получим
(8)
В начальный
момент
времени
поле Н
(r,
О)
равно внешнему полю Н 0 , так
как постоянное магнитное поле не искажается, если в него поместить бес­
конечный цилиндр, ось которого параллельна полю. Использовав формулы
(ПЗ.12), (ПЗ.9), найдем
(9)
Скорость затухания поля будет определяться наименьшим
т.
е.
Ее можно получить,
было найдено в задаче
подставив
в
из значений Vm.
значение наименьшего корня
функции Бесселя ~. ""2,4. Время затухания поля -r = l/v 1•
388. Магнитное поле внутри шара в нулевом (по частоте) приближении
V•·
(4)
281:
Н=
3
µ+ 2
Но.
(\)
Электрическое поле внутри шара в этом же приближении, как следует из
уравнения
(VII. 11 ), оказывается равным нулю, так как постоянное магнитное
315
тюле
не
поля
в
создает
электрического
следующем
(линейном
поля.
по
Для
определения
w) nриблнжешш
электрического
используем уравнение
(VII. IO) в интегральной форме.
Из
свойстн
симметрии
системы
ясно,
что токи в шаре будут течь по
окружностям в плоскостях, перпендикулярных Н 0 ; так же будет направлено
злектрическое
по.11е.
Выбрав сферическую систему координат с осью
. .А
iwH
z
вдоль Н 0, получим
Е
E=2crsюu,
j=a,
тде Н определено fавеиством (1). Выделяющееся
интегрируя q = 1 /2 а Е \2 по объему шара:
(2)
в шаре тепло
Q найдем,
3na 5aw 2 H0
Q = 5с 2 (µ + 2) 2
389.
(3)
•
Вне шара магнитное поле
Н
~ де m = -
1
=
Н
/2 а 3 Н 0 ; fl = - 1 /2 а 3 -
О
+
3r (m · r)
,-5
m
-,:г,
магнитная поляризуемость шара при сильном
-<:кии-эффекте.
Внутри шара
Ho=-
3
/ 2H 0
Н,=На=О,
exp[-(1-i) ~]sin~.
z
тде
отсчитывается от поверхности по нормали в глубь проводника, поляр·
.11ая ось сферической системы координат направлена вдоль Н 0 ;
3а 2с ,. / µw н2
8 V 2ла о·
Q=
390. В случае сильного екни-эффекта поле внутри эллипсоида равно нулю,
а во внешней области удовлетворяет уравнениям rot Н = О. div Н
О и гра­
ничным условиям
=
Hnls=O, Н\,-..+ 00 -)оНо, где Н 0 -виешнее поле и через S
обозначена поверхность эллипсоида.
Сравним эту задачу с задачей о диэлектрЕ•1еском эллипсоиде с е = О,
находящемся в однородном электрическом поле. Электрическое поле вне
такого эллипсоида будет удовлетворять уравнениям:
rotE=O,
и
граничным
(1)
divE=O
условиям:
Еп ls = еЕп внутр
ls =
О,
Е
1,.-+
00
-)о Ео.
(2)
Условия для касательных компонент Е можно не рассматривать, так как
соотношения (1) и (2) однозначно определяют вектор Е во внешней области.
Мы видим, что рассматриваемая задача о проводящем эллипсоиде при
сильном скин- эффекте формально совпадает с задачей о диэлектрическом
эллипсоиде, у которого е
О. Полагая в формулах, приведенных в ответе
задачи 200, е 1
О, получим магнитные поляризуемости в направлении глав·
11ых осей эллипсоида:
=
=
fl(l) -
-
-
v
4n(J-nIO)'
(3)
где п< 1 > - соответствующий коэффициент деполяризации, V - объем э.чпип­
соида•
.316
Для
сильно
вытянутого
(стержень) И'l!еем (см. задачу
эллипсоида
врашения
с
полуосями
а, Ь
»
а
198)
/3 .L = - 2/за2Ь,
/311 = - l/за2ь.
Для спльно сплюснутого эллипсоида (Ь ~ а, диск)
/3 .L =
391.
Вследствие
внешнего поля,
2а 3
-
1
13 11 =
Зл: ,
аксиальной
распределение
-
3
а 2 Ь -с> О
симметрии
при
Ь ~ О.
системы,
состоящей из шара и
вихревых токов в шаре и электрическое поле
также обладают аксиальной симметрией. На этом основании можно утвер­
ждать, что электричес,юе поле будет иметь то.,ько одну составляющую Еа,
которая не может зависеть от а: Еа =
(r, -&).
Ищем решение уравнения (VII. 12) для полного электрического поля Е
f
в
виде
Ea=F(r)sin-&,
Ег=Е()=О.
Пользуясь выражением для лапласиана вектора в сферических координатах,
полученным в задаче 47, найдем уравнение для F (r), которое подстановкой
F (r) = Х (r)/JГr сводится к уравнению Бесселя. Его решением, ограничеи­
ным при r = О, будет
Х (r) = AJ, (kr).
12
Магнитное поле внутри шара определится из уравнения
(VII. 10).
Магнитное
поле во внешией области будет складываться из внешнего поля Н 0
магнитного диполя m, направление которого совпадает с Н 0 :
и поля
Н2 =Но+ Зr (m. r) - ~ .
rs
rз
Постояиные А и т определяются из граничных условий для Н на по­
верхности шара. Выражая функции Бесселя полуцелого порядка через три­
гонометрические функции, получим
3af.i2нi ( 1 _!!:_ sh 2: +siп
- -
392• Q -
8
6
2:)
2а
2а ·
ch--cos6
t "Vj(J)
2na Re
393. R = са
При
[< 1 + i). 11/ (ka)
(ka)]
,
0
где k
= (1 + i) ,г-/
r 2naro с.
/ ka 1 ~ 1 (малые частоты):
R = Ro [ 1 +
r де R 0 = l/na 2a
При
6
-
-f2 (nac~a2 )2]'
сопротивление постоянному току.
I ka 1 » 1 (большие частоты):
R=
~ 2л:~6 с~ V 2:а
=
'
К.ак следует из последией формулы, эффективная площадь сечения про­
водника при сильном скин-эффекте равна
2nab.
317
394.
(i)~
R=2ac2
где
l>1
= c/Jr 2:rI01(i), l>2 = c/V 2:JI02(i).
395.
2
Н' =
Но
ka sin kh + 2 cos kh
, где k = (1
+ 1")/"u.
При I kh 1 ~ 1 (малые частоты) Н' = Н 0 , т. е. наличие цилиндрическок
оболочки не сказывается на величине поля. При I kh 1 ~ 1 (большие частоты).
имеем
sin kh ""' - i_ cos kh ""'
так как а ~
l>,
Н' =
Сильное
~ ехр [ ( 1 -
~];
i)
то
-
(1
+ i) 2а{) ехр [ -
ослабление поля
Н0 ,
(1 - i) ~]
получается
Но~
за счет того, что
1Н'I.
вихревые
токи, воз­
никающие в оболочке, создают в полости
добавочное поле обратного направления.
!/
. _ 2i8 0 µa(i) cos k (h-x)
396· 1 c2 ka
sin kh
'
отсчитывается
от
поверхности
по
где х
радиусу
в глубь проводника;
2h
R=2:nal>a
Полый и
.
sh {) + S\П
J
(
h
2 sh 2
2 h)
6 + sin 6
сплошной проводники имеют
одинаковое сопротивление при
397.
Рис.
{) ~ h.
Выберем цилиндрическую систему
координат, как показано на
78.
2h
{)
рис.
78.
При
слабом скии-эфqаекте касательная к стенке
трубы
компонента
удовлетворять
магнитного
поля на поверхиос.-й
S
этой стенки должна
условию
4:тt .
н 2,:- н i,:=-c-1,
где
i = ahE =
~Е
(1)
- плотность поверхностного тока, ~ - поверхностная прово­
димость.
Электрическое
поле,
которое
будет
иметь,
очевидно,
только z-компо­
ненту, должно быть непрерывно на той же поверхности S:
(2)
Дальнейшее решение весьма сходно с решением задачи 159 (задача о слабо
неконцентрических сферахJ. С точностью до членов (l/a) уравнение границы
запишется
в
виде
r= а +l со~
318
а.
(З)
векторный
потенциал,
направление
-тока, ищем в виде
2Е!
которого
совпадает
r
с
направлением
I
A1 =---ln-+C1rcosa+C, J
с
а
}
2Е!'
r
В1
А2 = - - - lп - + - - cos а,
с
где
с
и В1
а
(4)
I
r
функции времени, имеющие первый порядок малости относи­
-
-тельно1 (//а), Е!' имеет нулевой порядок относите.льно (//а).
При
слабом
скин-эффекте
(h
«
б) векторныи потенциал удовлетворяет
условию
(5)
r=a+ lcos а.
при
2
Отсюда, отбрасывая члены порядка (//а) , находим
- 2с • +
в i-a
В
граничном условии
2 <EJ, - EJ > t
с
с = о.
,
(о)
можно заменить Нт на Н 0 • Как легко проверить,
(l)
это приведет к ошибке порядка (l/a) 2• Поскольку
дА
На=-т,,
имеем на
~
.
дА
1=~Е=----,
с дt
S:
или, с точностью до (//а),
2(Е/'-Е!)
са
Отсюда
+
4:rt~ [ 2 d(Ell)
dC 1 ]
2 С 1cosa=c2
ca--d-t--adГ
сразу следует Е1 =
cosa.
Е!'; этот результат связан с тем, что скин­
зффект считается слабым. Для С I получается дифференциальное уравнение
dC
dtI + р
С
_
1 -
2 d ( Е1 l)
а 2с
_d_t_•
(7)
Параметр р = c 2 /2na~ совпадает со значением сопротивления единицы
длины трубы, выраженным в электромагнитных единицах.
Решение уравнения (7) легко получить методом вариации произвольных
постоянных. Оно имеет вид
t
2
с.=­
са2
f
eP('t-t)
..!!:.._
dт
[Е/ (т) l (т)] dт
-оо
(считаем, что при t ~ - оо ток отсутствовал).
Сила f, приложенная к единице длины тока Е1, может быть вычислена
по формуле
где н;- магнитное поле на прямой, вдоль которой течет ток 9, созда­
ваемое
током,
текущим
в оболочке. Этому полю соответствует
векторный
nотенциал
А'=
C 1r cos ц =
С 1 у,
319
откуда
'
Н
Окончательно:
f
у
дА'
---=-С1
=
ду
.
1
f r = -2{/2- (t)
2с
Рассмотрим
то
d
-t)J -d [9 (т) l (т)J dт.
ехр [р (т
(l
"
-оо
некоторые
частные
... const),
f
случаи.
Если
ток
постоянный
(9 =
t
fх-
282
с2а2
ехр [р (т - t)]i(т) dт.
-оо
При отклонении тока от оси цилиндра ( i > О) возникнет сила,
ствующая этому откJюнению. При медленном движении ( i" «: р i ),
препят­
интеrри-
руя по частям, найдем
fx =
2
{:
с а
(l.-4 + · · .).
р
р
В частности, при равномерном перемещении
l
= vt
тормозящая сила
29 2 v
fx= с2а2р
•
2
_29 (t)l(t)
fх -
398.
с2а2
ГЛ А В А
•
VIII
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Плоские волны в однородной изотропной среде.
Отражение н преломление во.~н. Волновые пакеты
§ 1.
399.
Амплитуда первой волны Е 1 = аех, амплитуда второй волны Е 2
=
... ьiХеу, а и Ь - вещественны; результирующая амплитуда
Ео = Е1
+ Е2 =
аех + ьiХеу,
Для выяснения характера поляризации удобно так сдвинуть начало
отсчета фазы, чтобы в двух взаимно перпендикулярных направлениях по­
.пучились
колебания,
отличающиеся по фазе на
Введем новую ампли-
n/2.
туду Е~= E0 eia= 8' -i8" и потребуем, чтобы векторы 8' и 8" были ве·
щественнымп, причем
8' · 8" =
О (рпс.
79):
8'=acosa·ex+bcos (а-х) ·еу,
8"=а sin а· ех+ Ь sin (а-х) · еу,
Определим сдвиг фазы а из условия
- а cos а sin а+ Ь sin
2
2
8' · S" =
(а- х)
cos
(а
(!)
О:
-
х)
=
О,
откуда
(2)
320
Оnредет 1 в нз уравнения (2) yгo.JJ а, подставим его значение в (1) 1r
Введя в п.JJоскости ху новые осн х' 118' н у' 11 8", по.JJучи,1
11 айдем 8', 8".
в
этих
осях:
Е xr = f'
Е У' =
'i"
cos (k · r - rot + а),
siтт (k · r - rot
+ а).
2
Е2
Ех,
У' _
Очевндно, что --,- +----;;,-- - 1, т. е. hонец вектора опнсывает э.JJлнпс.
Z'
в
g
общем c.JJyчae ~'.
11",;1=0. К:о.JJебанин по оси х' опережают ко.JJебания
110 осн у' на n/2. Ec.JJи ориентация осей х', у' такая же, как х, у, т. е. х',
у', z образуют nравую систему коордшшт (этот с.JJучай изображен на
рис. 79), то д.JJя иаб.JJюдате.JJя, к ко·
торому движется во.JJна (движение
у
вдо.JJь оси z), вектор Е будет вра щаться nротив часовой стре.JJки. Та­
кая
поляризация
называется
э.JJ.JJиn­
тической с левым направлением вра­
щения. Ec.JJи
.JJевую
оси
систему,
то
х', у',
z
:r/
образуют
направ.JJение
вра­
щения Е будет nротивопо.JJожным, no
часовой стре.JJке, и во.JJиа будет назы ватьси э.JJ.JJиптически nо.JJяризованной
с
правым
При
вая, nри
направ.JJеинем
вращения.
g' = Z" nо.JJяризация круго­
11' = О или Z" = О тто.JJяриза­
ция .JJиие.йная.
400. При Х = О по.JJяризация .JJи­
нейнаи,
п.JJоскость по.1Jяр1~зации
1-'ис.
79.
nро-
ходит через биссектрису угла между ося!\111 х, у. При х = 1t по.JJяризацня тоже
.'lииейная, n.JJоскость по.JJиризации проходит через биссектрису yr.JJa между
ося\111 (х, - у). При х = п/2 nо.JJярнзация круговая правая (рис. 80, а). Пр11
у
у
6z
6}
а)
Рис.
80.
'l. = - :л/2 по.JJяризацня круговая левая (рис. 80, 6). В оста.JJьных с.JJучаях
110,'Iяризация э.JJлиnтическая, причем при О < х < :п она правая
sin :
> О и ориентация осей как на рис.
вая (рис.
21 13.
80,
а), а nри
-
1t
( cos
t > О,
<х<О-
.JJe·
80, 6).
В. Батыrнн,
11.
Н. Топтыгин
321
>
401. При а= Ь поляризация линейная. Пр'i а
Ь поляризация эллипти­
ческая правая. При а< Ь- эллиптическая левая. Круговая поляризация
получается только при Ь = О (правая) или а= О (левая).
402. P=v l-4 [S~~ij~~)] 2
где l/ikl-оnределитель тензора
,
Степень поляризации Р = 1 при I Iik 1= О.
404. Введем прямоугольные оси x'lla и
y'llb.
ltk·
В этих осях комплексная
а~шлитуда поля будет иметь вид
Е0 =
«+»
где знак
aex,±ibey'•
отвечает правой эллиптической поляризации,
+
а
знак
«-» -
левой. Интенсивность / = а 2
Ь 2 • Фаза выбрана равной нулю для х'-компо­
пенты поля. Выражая теперь орты ех'• еу' через ех, еу, получим для компонент
Iik:
/11 = а 2
2
cos 2 -tJ- + Ь 2 sin 2 -tJ-,
sin 2 -tJ- + Ь 2 cos 2 -tJ-,
122
= а
/ 12
= (а 2 - Ь 2 ) sin -tJ- cos -tJ- + 2iab = 1;\.
Верхний знак отвечает правой эллиптической поляризации, нижний
При Ь = О поляризация линейна и тензор / lk имеет вид
i~
Ji //2
поляризация кру1·овая и
I·k=.!__(
1
1
± i
2
405.
левой.
cos 2 -tJsin -tJ- cos -tJ-)
( sin -tJ- C(JS -tJ- sin 2 -tJ•
/·, = /
Пр11 а= Ь =
-
+
l
i)
.
Амплитуда су