Санкт-Петербургское государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Санкт-Петербургское государственное бюджетное
образовательное учреждение среднего профессионального образования
«Промышленно-экономический колледж»
Заочное отделение
Специальность 120714 Земельноимущественные отношения
(номер
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
по дисциплине
Математика
(название)
студента группы
32602
зачетная книжка № 136117
ФИО студента
Белов Дмитрий Юрьевич
Адрес
Спб, Искровский пр.,д.20,кВ.328
E-mail:
[email protected]
телефон:
+7950-020-35-50
2014 год
название)
ВАРИАНТ 7
Задание 1
Вычислить пределы функций:
1. lim
x 5
4x  x 2  5
x4 3 x4
5x 2  2 x  3
x  3  4 x 2  2 x
2. lim
3. lim
x 0
sin 4 x
2 sin 5 x
 3x  2 
4. lim 

x 
 3x 
Решение
4 x  x2  5
умножаем числитель и знаменатель на
x  4 3 x 4
1. lim
x 5


x  4  3 x  4 , числитель разложим на множители
4x  x2  5
( x 2  4 x  5)( x  4  3 x  4)
  lim

x 5 ( x  4  3 x  4)( x  4  3 x  4)
x  4 3 x 4
lim
x 5
( x  5)( x  1)( x  4  3 x  4)
( x  5)( x  1)( x  4  3 x  4)
  lim

x 5
x 5
( x  4  9( x  4))
( x  4  9 x  36)
  lim
( x  5)( x  1)( x  4  3 x  4)
( x  5)( x  1)( x  4  3 x  4)
 lim

x 5
x 5
(40  8 x)
8( x  5)
  lim
 lim
x 5
( x  1)( x  4  3 x  4) 6*(3  3) 6*6 9



8
8
8
2
5x2  2 x  3
x2
2. lim
делим
числитель
и
знаменатель
на
2
x  3  4 x  2 x
5x2  2 x  3
2 3
5  2
2
5x  2 x  3
x
x x 5
lim
 lim
 lim
2
2
x  3  4 x  2 x
x  3  4 x  2 x
x  3
2 4

4

2
x
x
x2
2
3. lim
x 0
sin 4 x
первый замечательный предел
2sin 5 x
sin 4 x
5x
2
2 2
 sin 4 x
 lim 
*
*   1*1* 
x 0 2sin 5 x
x 0
sin 5 x 5 
5 5
 4x
lim
 3x  2 
4. lim

 второй замечательный предел
x 
 3x 
x
x
3 x 2
* *x
3x

 2
x

1 
 3x  2 
lim 

lim
1




x 
 3x  x  3x 
 2 
e
lim
x
2 x
3x
e

2
3
Задание 2
Построить график функции, определив вид точек разрыва:

 ( х  4) 2 при х  3
 x  1
f ( x )  
при  3  х  0
2

2

 1 при х  0

x
Решение
Находим односторонние пределы в точке х=-3
lim f ( x)  lim ( x  4) 2  1;
x 3 0
x 3 0
x 1
3  1

 1;
2
2
f (3)  (3  4) 2  1
lim f ( x)  lim 
x 3 0
x 3 0
Так как односторонние пределы равны, и равны значению функции в точке
х=-3, значит функция в точке х=-3 непрерывна.
Найдем односторонние пределы в точке х=0
x 1
1
 ;
x 0  0
x 0  0
2
2
2 
lim f ( x)  lim   1  ;
x 0  0
x 0  0 x


lim f ( x)  lim 
Так как один из пределов равен бесконечности, то х=0 – точка разрыва
второго рода.
Построим график
у
х
Задание 3
Найти производные функций:
1) f ( x)  6 x 7 
4) f ( x)  5
5 х 1
2х x
 7х
2) f ( x) 
2tg 2 x  1
x
3) f ( x)  3 cos 2 x  1tg
sin x
2
ln x
Решение
 7 5 õ 1
  7 5 1 1  32

5
3 5
1. f '( x)   6 x 
 7 õ    6 x  x  x  7 õ   42 x 6  x 2  x 2  7
2
2
2
4
2õ x


 
1
4sin x
2*
*2*sin x  cos x(2tg 2 x  1)
 cos x(2tg 2 x  1)

2
2
 2tg 2 x  1 
cos
2
x
cos
2
x
2. f '( x)  

 
sin 2 x
sin 2 x
 sin x 
x 
x
3. f '( x)    3cos 2 x  1 tg   6sin 2 xtg   3cos 2 x  1 *

4.

f '( x)  5ln
2
x
  5
ln x
ln 5*
2
1
1
*
 5ln
x 2 x
x
ln 5*
1
2x
1
x  3cos 2 x  1
*  6sin 2 xtg 
x 2
x
2
cos 2
2 cos 2
2
2
1
Задание 4
4 x  3 y  2 z  7
Решить систему уравнений по формулам Крамера  x  4 y  4 z  26
 2 x  5 y  z  8

Решение
Составим из коэффициентов системы определитель
4
2
3
  1 4
2 5
4  16  10  24  16  80  3  101
1
Меняем первый столбец на столбец свободных членов и находим
определитель
7
3
1  26 4
8 5
2
4  28  260  96  64  140  78  202
1
Меняем второй столбец на столбец свободных членов и находим
определитель
4 7 2
 2  1 26
2 8
4  104  16  56  104  128  7  303
1
Меняем третий столбец на столбец свободных членов и находим
определитель
4
3
7
3  1 4 26  128  35  156  56  520  24  303
2 5 8
По формулам Крамера получим:
x

1 202

303
303

 2; y  2 
 3; z  3 
3
 101
 101
 101
Ответ: (2;-3;3).
Задание 5
Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным
и построить график функции f(x)= 0,3х4+0,4x3 – 1,2x2 +0,6.
Решение
1. Область определения: x  (; )
2. Функция не является четная и не является нечетная так как
f ( x)  0,3x 4  0, 4 x3  1, 2 x 2  0, 6 и не выполняются равенства:
f ( x)  f ( x);
f ( x)   f ( x)
3. Найдем точки пересечения с осями.
Если х=0, то у=0,6.
4. Найдем производную
f '( x)  1, 2 x3  1, 2 x 2  2, 4 x
Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение.
Таким образом, находим стационарные точки
f '( x)  1, 2 x3  1, 2 x 2  2, 4 x  0;
1, 2 x( x 2  x  2)  0;
x( x  1)( x  2)  0;
x  0; x  1; x  2
Если x  (; 2) (0;1) , то y '  0 , значит, функция убывает
Если x  (2;0) (1; ) , то y '  0 , значит, функция возрастает.
f min  f (2)  0,3*16  0, 4*8  1, 2*4  0,6  2,6;
f max  f (0)  0, 6
f min  f (1)  0,3  0, 4  1, 2  0,6  0,1
5. Найдем производную второго порядка
f ''( x)  1, 2 x3  1, 2 x 2  2, 4 x   3,6 x 2  2, 4 x  2, 4
Приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение, таким образом,
находим точки перегиба
3, 6 x 2  2, 4 x  2, 4  0;
1, 2(3 x 2  2 x  2)  0;
D  4  24  28;
x1,2 
2  28 1  7

6
3
Если x  (;
1  7
1  7
) (
; ) , то y ''  0 ,значит, функция выпуклая
3
3
вниз
Если x  (
x1,2 
1  7 1  7
;
) , то y ''  0 , значит, функция выпуклая вверх.
3
3
1  7
- точки перегиба.
3
6. Найдем асимптоты.
y  kx  b , где k  lim
x 
y ( x)
; b  lim( y ( x)  kx) . Получим:
x 
x
0,3x 4  0, 4 x3  1, 2 x 2  0, 6
  , значит, асимптот нет.
x 
x
k  lim
7. Построим график.
Найдем пару контрольных точек
f (3)  0,3*81  0, 4* 27  1, 2*9  0, 6  3,3
f (2)  0,3*16  0, 4*8  1, 2* 4  0, 6  3,8
у
х
Задание 6
Найти интегралы:


2  tgx dx ; 3) 1 x dx
4  3х
1)   7 x 3  2
 6 dx; 2) 
0 1  4x 4
3 cos 2 x
x x


2
Решение
1.

3

1
5
3


 3

7 x 4 4 x 2 3x 2
 3 4  3õ

2
2
  7 x  x2 x  6 dx    7 x  4 x  3x  6 dx  4  3  1  6 x  C 


2
2

3
2
1

7 x 8x


 6x 2  6x  C
4
3
4
2.

 2  tgx 
2
3cos 2 x
dx

1
(2  tgx)3
2
(2

tgx
)
d
(2

tgx
)

C
3
9
1
x
1 d (2 x 2 )  1
1
1
arctg 2

3. 
dx  
  arctg 2 x 2   arctg 2  arctg 0 
4
4
1 4x
4 0 1 4x
4
4
4
0 4
0
1
1
Задание 7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=sin0,5x, 3x –π=0, xπ=0, y=0. Сделать чертёж.
Решение
Построим фигуру
у

3
Площадь равна:


1
x


3
S   sin xdx   2cos
 2(cos  cos )  2(0 
)  3 кв. ед.
2
2
2
6
2

3
3

х
Задание 8
Найти сумму, разность, произведение и частное от деления комплексных
чисел Z1 и Z2; изобразить заданные числа на координатной плоскости
Z1=-3+i, Z2= 6-2i
Решение
Сумма чисел: z1  z2  3  i  6  2i  3  i
Разность чисел: z1  z2  3  i  6  2i  9  3i
Произведение чисел: z1 z2  (3  i)(6  2i)  18  6i  6i  2  16  12i
Частное чисел:
z1 3  i (3  i )(6  2i ) 18  6i  6i  2 20
1




 .
z2 6  2i (6  2i )(6  2i)
36  4
40
2
Изобразим заданные числа на плоскости
Im z
z1
Re z
z2
Задание 9
Найти вероятность случайного события в задаче.
Имеются электрические лампочки, среди которых 5 по 60 вт. и 3 по 75
вт. Наугад извлекают 2 лампочки. Найти вероятность того, что среди
извлеченных 1 в 60 вт и одна в 75 вт.
Решение
Всего лампочек – 8. Извлечь из 8 лампочек две можно
C82 
8!
6!*7 *8 7 *8


 28 способами.
2!*6!
2!*6!
2
Извлечь 1 в 60 вт и одна в 75 вт можно 5*3=15 способами.
Значит, вероятность извлечь 1лампочку в 60 вт и одну в 75 вт равна:
Ответ:
15
28
15
.
28
Задание 10
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины,
составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения
и график функции распределения.
xi
-1
3
5
7
yi
0,3
0,4
0,2
0,1
Решение
Воспользуемся формулами математического ожидания и дисперсии
М(Х)=х1р1+х2р2,
M ( X )  0,3  1, 2  1  0, 7  2, 6
D(Х)=М(Х2)-(М(Х))2;
D( X )  0,3*1  0, 4*9  0, 2*25  0,1*49  2,62  13,8  6,76  7,04
Функция распределения:
0, x  1;
0,3, x  3;

F ( x)  0, 7, x  5;
0,9, x  7;

1, x  7