Документ 614036

Новокузнецкий филиал-институт
ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»
Кафедра математики и математического моделирования
Факультет информационных технологий
)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
учебной дисциплины
ЕН.В «Вариационное исчисление»
( шифр и наименование дисциплины по рабочему учебному плану ООП)
для специальности _010501_Прикладная математика и информатика
( шифр и название специальности)
для _________дневной ____ формы обучения
Составитель(и) / разработчик(и) программы
Решетникова Е.В.,доцент, к.т.н.
(Ф.И.О., должность и степень)
Новокузнецк
Вариационное исчисление , ЕН, дисциплина по выбору__
название дисциплины, цикл, компонент
Список основной учебной литературы
*Указания о контроле на
момент переутверждения
программы
Дата
Внесение, продление или исключение /
Подпись отв. за
метод работу
1
2
2006Внесение
2008
20072008
Продление
20082009
Продление
Внесение
4
Андреева Е.А.
Цирулева В.М.
5
2006
Соответствие ГОС (для
федеральных дисциплин)
или соответствия требованиям ООП (для региональных и вузовских) указание на недостаточно отраженные в учебнике разделы
6
Соответствует ГОС
Андреева Е.А.
Цирулева В.М.
2006
Соответствует ГОС
25
1. Вариационное исчисление и Андреева Е.А.
методы оптимизации: учебное Цирулева В.М.
пособие, 2006. -584 с. Гриф
Рекомендовано.
2. Обыкновенные дифференФедорюк М.В.
циальные уравнения [Текст]:
учебник.– СПб. :Лань, 2008. 448 с.
2006
Соответствует ГОС
25
2008
Соответствует ГОС
заказан
30
Сведения об учебниках
Наименование, гриф
3
1. Вариационное исчисление и
методы оптимизации: учебное
пособие, 2006. -584 с. Гриф
Рекомендовано.
1. Вариационное исчисление и
методы оптимизации: учебное
пособие, 2006. -584 с. Гриф
Рекомендовано.
Автор
Год издания
Количество экземпляров в
библиотеке на
момент переутверждения
программы
7
25
6
1. Пояснительная записка
1.1 Место курса в профессиональной подготовке выпускника. Цель и задачи изучения дисциплины
Дисциплина «Вариационное исчисление» входит в состав учебного плана для специальности 010501.65 «Прикладная математика и информатика» и является продолжением федеральных дисциплин Государственного Образовательного стандарта Высшего Профессионального Образования (ГОС ВПО): Физика, Дифференциальные уравнения, Уравнения математической физики. Ее место – в ряду общих математических и естественнонаучных дисциплин по выбору.
Изучение дисциплины «Вариационное исчисление» для специальности «Прикладная
математика и информатика» проводится на третьем курсе и нацелено на формирование у
будущих специалистов начальных навыков применения вариационных принципов при постановке и решении различных научно-технических проблем.
Выписка из ГОС ВПО специальности
«Прикладная математика и информатика»
«Математик, системный программист должен обладать знаниями и умениями, позволяющими
применять современные математические методы и программное обеспечение для решения задач
науки, техники, экономики и управления и использования информационных технологий в проектно-конструкторской, управленческой и финансовой деятельности».
Основной целью курса является ознакомить студентов с основами классического вариационного исчисления и применении вариационных принципов при решении известных
уравнений математической физики, что является составной частью общей цели ООП – подготовить высококвалифицированных специалистов – математиков, системных программистов для работы в отраслях народного хозяйства, научных и учебных заведениях соответствующего профиля.
Основными задачами дисциплины являются:
* формирование у студента представления о типах задач, приводящих к вариационным проблемам;
* освоение студентами методов вариационного исчисления для решения вариационных задач;
*
в
ыработка навыков использования средств вариационного исчисления для решения прикладных задач математической физики.
Необходимый объем знаний для изучения данной дисциплины
Для успешного изучения этой дисциплины студентам необходимо знать: курс математического анализа, курс линейной алгебры и аналитической геометрии; курс обыкновенных
дифференциальных уравнений; курс функционального анализа; курс уравнений математической физики.
1.2 Структура курса. Особенности изучения дисциплины
Курс «Вариационное исчисление» для студентов специальности 010501.65 изучается в
течение одного семестра.
Формы обучения включают в себя:
- лекции, на которых закладываются теоретическая база знаний по дисциплине «Вариационное исчисление»;
- практические занятия, где студенты приобретают навыки в решении задач по отдельным разделам дисциплины;
- самостоятельная работа студентов, которая осуществляется в двух формах: индивидуального выполнения заданий по вариантам и индивидуально-аудиторного – с консультацией у преподавателя, а также составлении студентами тестов и задач по блокам тем;
7
разбор сложных задач на плановых консультациях.
По дисциплине осуществляется текущий, промежуточный контроль и итоговый контроль в форме зачета и экзамена.
-
Объем часов по видам учебной работы
семестр
Виды учебных занятий
Аудиторные
Внеаудиторные
Лекции Практика
Ауд. конКурсовая
Самостоятрольная
тельная работа
7
32
32
Всего
32
32
–
–
56
Форма
Контроля
Зачет, экзамен
56
2 Учебно - тематический план учебной дисциплины
№
1
1
2
3
4
5
6
Название и содержание разделов, тем, модулей
Объем часов - 120
Аудиторная работа 64 часа
СамостоятельПрактические
ная работа 56
Лекции 32
занятия 32
часов
часа
часа
4
5
6
Общий –
120 часов
2
3
Метод вариаций в задачах с
22
6
6
неподвижными концами.
Вариационные задачи с по22
6
6
движными границами.
Вариационные задачи на
22
6
6
условный экстремум.
Достаточные условия экс18
4
4
тремума.
Прямые методы в вариаци22
6
6
онных задачах.
Приложения вариационных
14
4
4
методов.
Итого по курсу:
120
32
32
Рекомендации к перезачету и переаттестации
при обучении в сокращенные сроки (дисциплина в целом, разделы и темы)
Применяются общие требования к перезачету и переаттестации
Формы контроля
Аудиторные контрольные работы – 2.
Экзамен.
10
10
10
10
10
6
56
Тематика контрольных работ:
Название работы
Вариационные задачи с фиксированными и подвижными границами.
Достаточные условия экстремума. Прямые методы в вариационных задачах.
Разделы и темы содержания дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Метод вариаций в задачах с неподвижными концами.

Задачи, приводящие к вариационным проблемам.
8
Недели
7
14





Простейшая задача вариационного исчисления. Вариация и ее свойства. Уравнение Эйлера.
Функционалы, зависящие от нескольких функций.
Функционалы, зависящие от производных высшего порядка.
Функционалы, зависящие от функций многих переменных.
Канонический вид уравнения Эйлера.
РАЗДЕЛ 2. Вариационные задачи с подвижными границами.




Задача с подвижными концами.
Простейшая задача с подвижными границами.
Задача с подвижными границами для функционалов, зависящих от двух функций.
Экстремали с угловыми точками.
РАЗДЕЛ 3. Вариационные задачи на условный экстремум.





Основные типы задач на условный экстремум.
Необходимые условия в задаче Лагранжа.
Необходимые условия в изопериметрической задаче.
Принцип взаимности в изопериметрических задачах.
Задача Больцано и задача Майера.
РАЗДЕЛ 4. Достаточные условия экстремума.




Слабый экстремум.
Условие Якоби.
Инвариантный интеграл Гильберта.
Сильный экстремум.
РАЗДЕЛ 5. Прямые методы в вариационных задачах.





Формулировка вариационных задач.
Метод минимизирующих последовательностей.
Методы приближенного решения.
Приближенное решение задачи на собственные значения.
Двойственные вариационные задачи.
РАЗДЕЛ 6. Приложения вариационных методов.
 Принцип Гамильтона.
 Колебания струны. Колебания мембраны.
 Уравнения движения идеальной жидкости.
 Аэродинамическая задача Ньютона.
 Вопросы устойчивости конструкций.
 Вариационные принципы Лагранжа, Рейсснера и Кастильяно.
 Вариационные принципы термоупрогости.
 Двусторонние оценки в теплопроводности.
3 Требования к уровню освоения программы дисциплины и формы
текущего промежуточного и итогового контроля
9
В результате изучения курса студенты должны:
знать:
Основные понятия и определения классического вариационного исчисления. Канонический
вид и вывод уравнения Эйлера. Основные леммы вариационного исчисления. Прямые методы решения вариационных задач. Приложения вариационных методов.
уметь:
Ставить задачи, приводящие к вариационным проблемам. Решать классические вариационные задачи с фиксированными и подвижными границами, задачи на условный экстремум,
применять прямые методы вариационного исчисления.
Виды и формы контроля знаний и умений студентов
Виды контроля
Формы контроля
Текущий
устные и письменные опросы,
2 аудиторные контрольные работы
Аттестация
экзамен
Промежуточный
Итоговый
Знания и умения студентов проверяются при текущем, промежуточном и итоговом
контроле оцениваются на «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно» в соответствии с указаниями ГОС (по всем дисциплинам и практикам, включенным в учебный план высшего учебного заведения, должна выставляться итоговая оценка по шкале - отлично, хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно или зачтено,
не зачтено).
Критерии оценки знаний студентов в целом по дисциплине:
 «отлично» - выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные,
глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на
практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений;
 «хорошо» - выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает в
ответе или в решении задач некоторые неточности;
 «удовлетворительно» - выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, недостаточно правильные формулировки базовых понятий,
нарушения логической последовательности в изложении программного материала, но
при этом он владеет основными разделами учебной программы, необходимыми для
дальнейшего обучения и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации;
 «неудовлетворительно» - выставляется студенту, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубые ошибки в
формулировках основных понятий дисциплины и не умеет использовать полученные
знания при решении типовых практических задач.
4. Материалы, определяющие порядок и содержание проведения
промежуточных и итоговых аттестаций в соответствии
с требованиями ГОС
10
Материалы, определяющие порядок и содержание проведения промежуточных и итоговых аттестаций, соответствуют требованиям ГОС, приказам, распоряжениям и рекомендациям МО РФ, учебно-методического управления КемГУ и учебно-методического отдела
НФИ КемГУ.
Материалы, определяющие порядок и содержание промежуточной и итоговой аттестаций, включают:
1. График самостоятельной работы, определяющий сроки и форму текущих и промежуточных аттестаций.
2. Расписание зачетов и экзаменов, определяющее сроки итоговой аттестации.
3. Материалы, определяющие содержание аттестации, включающие:

Вопросы на зачет и экзамен.

Задания на аудиторные контрольные работы по блокам тем в семестре.

Домашние задания для самостоятельной работы по темам.
4. Материалы для проведения самой аттестации, включающие:

Экзаменационные билеты и задачи на зачет и экзамен.
5. Учебно-методическое обеспечение
Список литературы
1. В.И. Ванько, О.В. Ермошина, Г.Н. Кувыркин Вариационное исчисление и оптимальное управление.
2. Л.Э. Эльсгольц Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
3. В.К. Романко Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления
4. Е.А. Андреева Вариационное исчисление и методы оптимизации: учебное пособие.
5. М.В. Федорюк Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебник.
Вопросы к экзамену.
РАЗДЕЛ 1. Метод вариаций в задачах с неподвижными концами.
1. Задачи, приводящие к вариационным проблемам.
2. Простейшая задача вариационного исчисления. Вариация и ее свойства. Уравнение Эйлера.
3. Функционалы, зависящие от нескольких функций.
4. Функционалы, зависящие от производных высшего порядка.
5. Функционалы, зависящие от функций многих переменных.
6. Канонический вид уравнения Эйлера.
РАЗДЕЛ 2. Вариационные задачи с подвижными границами.
7. Задача с подвижными концами.
8. Простейшая задача с подвижными границами.
9. Задача с подвижными границами для функционалов, зависящих от двух функций.
10. Экстремали с угловыми точками.
РАЗДЕЛ 3. Вариационные задачи на условный экстремум.
11. Основные типы задач на условный экстремум.
12. Необходимые условия в задаче Лагранжа.
13. Необходимые условия в изопериметрической задаче.
11
14. Принцип взаимности в изопериметрических задачах.
15. Задача Больцано и задача Майера.
РАЗДЕЛ 4. Достаточные условия экстремума.
16. Слабый экстремум.
17. Условие Якоби.
18. Инвариантный интеграл Гильберта.
19. Сильный экстремум.
РАЗДЕЛ 5. Прямые методы в вариационных задачах.
20. Формулировка вариационных задач.
21. Метод минимизирующих последовательностей.
22. Методы приближенного решения.
23. Приближенное решение задачи на собственные значения.
24. Двойственные вариационные задачи.
РАЗДЕЛ 6. Приложения вариационных методов.
25. Принцип Гамильтона.
26. Колебания струны. Колебания мембраны.
27. Уравнения движения идеальной жидкости.
28. Аэродинамическая задача Ньютона.
29. Вопросы устойчивости конструкций.
30. Вариационные принципы Лагранжа, Рейсснера и Кастильяно.
31. Вариационные принципы термоупрогости.
32. Двусторонние оценки в теплопроводности.
12
6. Методические указания студентам по выполнению самостоятельной работы
Самостоятельная работа студентов в ходе изучения дисциплины состоит в выполнении самостоятельных задач, задаваемых «на дом» преподавателем, ведущим практические
занятия, подготовки к практическим занятиям, согласно плану и подготовки теоретического
материала к промежуточному опросу, зачету и экзамену, а также к текущему практическому
занятию согласно календарному плану.
Указания по оформлению работ
Порядок оформления самостоятельных работ «на дом»:
- работы по практическим занятиям могут выполняться на отдельных листах либо непосредственно в рабочей тетради;
- зачеркивания и исправления допускаются (в пределах приличий).
Проверка самостоятельных работ по темам, разобранным на практических занятиях,
осуществляется через неделю после задания на текущем практическом занятии, либо в течение недели после этого занятия на консультации;
Для разъяснения непонятных вопросов лектором курса еженедельно проводятся консультации, о времени которых группы извещаются заранее. В последние годы в НФИ КемГУ
нашла распространение практика индивидуально-аудиторных занятий по выполнению самостоятельных работ, при которой студентам назначается аудитория и время, в течение которого они могут выполнять самостоятельные работы в присутствии ассистентов или студентов
старших курсов, дающих им квалифицированные текущие консультации.
13
График организации самостоятельной работы студентов
по дисциплине «Вариационное исчисление»
Общее кол-во часов по учебному плану – 120 час.
56 часа. Самостоятельная
работа
Виды самостоятельной
учебной работы (час.)
64 часа Аудиторная работа
Формы аудиторных учебных занятий (час.)
7 семестр
Тема по УП
Метод вариаций в
задачах с неподвижными концами.
тема лекции
Задачи, приводящие к вариационным проблемам. Простейшая задача вариационного
исчисления. Вариация и ее свойства. Уравнени е Эйлера.
Функционалы, зависящие от нескольких
функций. Функционалы, зависящие от
производных высшего порядка.
Функционалы, зависящие от функций многих переменных. Канонический вид уравнения Эйлера.
Вариационные задачи
с подвижными границами.
Задача с подвижными концами. Простейшая задача с подвижными границами.
Задача с подвижными границами для
функционалов, зависящих от двух функций.
Экстремали с угловыми точками.
Вариационные задачи
на условный экстремум.
Основные типы задач на условный экстремум. Необходимые условия в задаче Лагранжа.
Необходимые условия в изопериметрической задаче. Принцип взаимности в изопериметрических задачах.
32 часа
Лекции
32 часа
Практические занятия
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
30 час.
Изучение теоретического материала
26 час.
Решение практических задач
5
(ответы на 1-6)
6
(№№1-7)
5
(ответы на 7-10)
4
(№№8-11)
5
(ответы на 11-15)
4
(№№12-15)
Задача Больцано и задача Майера.
Достаточные условия
экстремума.
Слабый экстремум. Условие Якоби.
Инвариантный интеграл Гильберта. Сильный экстремум.
Прямые методы в
вариационных задачах.
Приложения вариационных методов.
Формулировка вариационных задач. Метод
минимизирующих последовательностей.
Методы приближенного решения. Приближенное решение задачи на собственные
значения.
Двойственные вариационные задачи.
Принцип Гамильтона. Колебания струны. Колебания мембраны. Уравнения
движения идеальной жидкости. Аэродинамическая задача Ньютона. Вопросы устойчивости конструкций.
Вариационные принципы Лагранжа, Рейсснера и Кастильяно. Вариационные принципы термоупрогости. Двусторонние оценки в теплопроводности.
ИТОГО
2
2
32
32
5
(ответы на 16-19)
5
(ответы на 20-24)
4
(№№16-18)
4
(№№19-21)
9
(ответы на 25-32)
-
30
26
(*) Вопросы для изучения теоретического материала смотреть в списке вопросов к экзамену
(п.5). Теоретический материал можно найти в учебниках, приведенных в списке литературы
(п.5). Задачи для самостоятельной работы рекомендуется брать из следующего списка, либо
из задачников, приведенных в списке литературы (п.5).
14
Задания для самостоятельного решения
1. Найдите расстояние между функциями y1 ( x)  x 2 и y 2 ( x)  x 3 по норме пространства
а) С[0,1]; б) C1[0;1].
2. Найдите первую вариацию функционала, определенного на нормированном пространстве
непрерывно дифференцируемых функций
1

0
0
а) J ( y)   x 2 1  y 2 dx ; б) J ( y )   y  sin ydx .
3. Найдите все экстремали функционала, удовлетворяющие заданным краевым условиям.

 
а) J ( y)   (( y ) 2  y 2 )dx , y (0)  0 , y   1 ;
2
0
2
1
б) J ( y)   (( y ) 2  12 xy)dx , y (0)  0 , y1  1;
0
4. Среди плоских кривых, соединяющих две точки (x1,y1) и (x2,y2), найдите ту, которая при
вращении вокруг оси Ox образует поверхность наименьшей площади.
5. Найдите функции y1 ( x) , y 2 ( x)  C 1[a, b] , на которых может достигаться экстремум заданного функционала при заданных краевых условиях.

2
 
 
а) J ( y1 , y 2 )   ( y1 y 2  y1 y 2 )dx , y1 (0)  0 , y1    1 , y2 (0)  0 , y 2    1 .
2
2
0
3
б) J ( y1 , y 2 )   ( x( y1 ) 2 ( y 2 ) 2  xy1 y 2 )dx , y1 (1)  1 , y1 3  ln 3  1, y 2 (1)  0 , y 2 3  0 .
1
6. Найдите все экстремали заданного функционала, удовлетворяющие заданным краевым
условиям.
1
а) J ( y)   (120 xy  y )dx , y (0)  0 , y1  1, y (0)  0 , y1  6 .
0

б) J ( y)   (( y ) 2  ( y ) 2 )dx , y (0)  y (0)  y (0)  0 , y   y( )  sh , y ( )  ch  1 .
0
 z  2  z  2 
7. Напишите условие Остроградского для функционала J ( z )         dxdy ,
x
y
D 
    
D  R2 .
8. Найдите экстремали в следующих вариационных задачах с правыми подвижными концами
b
а)  ( y ) 2 dx  extr , y (0)  0 , y (b)  b  1  0 ,
0
b
б)

0
1  ( y ) 2
dx  extr , y (0)  0 , y (b)  b  5 ,
y
e
в)  (2 y  x 2 ( y ) 2 )dx  extr , y (1)  e .
1
9. Используя методы вариационного исчисления, найдите расстояние от начала координат до
плоской кривой x 2 y  1 .
10. Используя методы вариационного исчисления, найдите кратчайшее расстояние между
двумя кривыми на плоскости y  x 2 и y  x  5 .
15
b
11. В вариационной задаче J ( y )   y 2 (1  ( y ) 2 )dx , y (1)  0 , y1  1.
a
12. Определите гладкие функции, на которых может достигаться экстремум функционала в
следующих вариационных задачах
1
а) J ( y, z )   (( y ) 2  ( z ) 2  zy )dx , y  z  e x , y0  2 , y (1)  e , z1  0 .
0

2


б) J ( y, z )   (( y) 2  ( z ) 2  2 z cos x  2 y 2 )dx , y  z  2sin x , y  0  1 , y    0 , z    2 .
2
2
0
13.Найдите геодезические линии кругового цилиндра радиуса R.
14.Найдите кратчайшее расстояние между двумя точками А(0,2,4) и В(-1, 3 ,2) на круговом
цилиндре, ось которого совпадает с одной из координатных осей.
15.Найдите экстремали следующих функционалов, определенных на множестве гладких
функций.
1
а) J ( y )   (( y) 2  y )dx  y 2 (1) , y  0  1 .
0
1
б) J ( y )   ( y) 2 dx  y 2 (0)  2 y 2 (1) .
0
16. Для следующих функционалов проверьте, включены ли экстремали, удовлетворяющие
заданным краевым условиям в поле экстремалей
1
а)  (( y) 2  y ( y)3 )dx , y  0  0 , y 1  0 .
0
1
б)  ( y)3 dx , y  0  0 , y  b   c , c  0 .
0
17. Исследуйте на экстремум следующие функционалы, определенные на множестве непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих заданным краевым условиям
a
а)  (( y) 2  2 yy  16 y 2 )dx , y  0  0 , y  a   0 , a  0 .
0
2
б)
 y(1  x
2
y)dx , y 1  3 , y  2  5 .
1
18. Исследуйте на экстремум функционал в зависимости от значения параметра 
1
J ( y )   ( x 2  ( y) 2  y 2 )dx , y  0  0 , y 1  1 .
0
19. Для дифференциального уравнения p( x)u( x)  q( x)u( x)  c( x)u ( x)  f ( x) , x  [a, b] , с
краевыми условиями u (a)  u (b)  0 укажите требования к функциям p( x), q( x), c( x) , выполнение которых позволит построить соответствующий этой краевой задаче строго выпуклый
функционал. На каком множестве функций допустимо рассматривать этот функционал?
d 
du 
20. В задаче на собственные значения   1  x
  u , x  [0,1] , u (0)  u (1)  0 найдите
dx 
dx 
методом Ритца два первых приближения для наименьшего собственного значения 1 . В качестве двух первых функций счетного базиса используйте функции u1 ( x)  (1  x) x и
u2 ( x)  (1  x) x 2 .
21. Выясните, является ли оператор y  y симметрическим при краевых условиях
y (0)  y (l )  0 , и решите задачу на собственные значения.
16