ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА: ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Теория оптимального управления. 4 ММЭ 7 семестр
Примерный перечень вопросов к экзамену.
1. История развития теории оптимального управления. Классическая изопериметрическая
задача. Задача Дидоны. Задача Евклида.
2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами.
3.
Принцип
Лагранжа
исследования
задач
с
ограничениями.
Пример:
2 2 2
x
y

s
u
p
,x

yr

0
.
2. Общий случай применения принципа Лагранжа. Примеры:
 

i
n
f
,
f
x
,
x

x

x

0
X


;


3
3
2
f
x
,
x

x

i
n
f
,
f
x
,
x

x

x

0
X





;
2)
0
1
2
1
1
1
2
1
2
1)
2
f
xx
, 2
x


0
1
2x
1
f
x
i
n
f
,F
x
0

,
3
1
1
21
1
2
3)
X Y l2,
где
x
x
x


2x
n
2
n
f
x

x


.
.
.


.
.
.
,
F
x

x
,
,
.
.
.
,
,
.
.
.
,
x

x
,
.
.
.
,
x
,
.
.
.






1
1
1
n


2
n 
2
n

.
5. Основные понятия и теоремы функционального анализа.
6. Основы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах.
Примеры.
7. Гладкие элементарные задачи (постановка гладкой элементарной задачи, правило
решения, теорема Ферма, элементарная задача линейного программирования).
8. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств (постановка задачи,
правило решения, правило множителей Лагранжа). Гладкая задача с равенствами и
неравенствами – общий случай (постановка задачи, правило решения, правило
множителей Лагранжа). Примеры:
2 2
4 4
x

a
x

b
x

c

e
x
t
r
a

0

x

e
x
t
r
,x

x

1




1) f
; 2) x
;
1
2
1
2
2

x

x

i
n
f
,
2
x

x

x

5
,
x

x

x

3
3) x
.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
9. Необходимые условия высших порядков. Достаточные условия. (Одномерный случай в
задаче без ограничений, задача без ограничений (общий случай), гладкая задача с
2
2
2
x
,
x


x

x

x

x

e
x
t
r
ограничениями типа равенств). Пример: f
.




1
2
12
1
2
10. Элементы выпуклого анализа.
11. Выпуклые задачи (постановка задачи, правило решения, теорема Куна – Такера).
Примеры:
44
2

y

y

3
x

y

2

i
n
f

2
m
a
x
x
,y

i
n
f


1) xx
; 2) xy
.
12. Вариация и ее свойства (определения функционала, вариации аргумента,
непрерывности функционала, близости кривых, непрерывности функционала в смысле
близости
k - го порядка, линейного функционала, два определения вариации
функционала).
13. Экстремум функционала. Строгий максимум и минимум. Необходимое условие
экстремума функционала. Сильный и слабый экстремум. Замечания 1-3.
14. Вывод уравнения Эйлера (основная лемма вариационного исчисления без
доказательства).
15. Основная лемма вариационного исчисления (с доказательством). Примеры 1, 2.
16. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера (случаи 1-3, примеры 3-7).
17. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера (случаи 4, 5, примеры 8-10).
2
2
2 2
x
1
18. Функционалы вида
F
x
,y
,y
,
.
.
.
,y
,y
'
,y
'
,
.
.
.
,y
'
d
x


.
1
2
n
12
n

x
0
19. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера
– Пуассона.
20. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных.
Уравнение Остроградского.
21. Вариационные задачи в параметрической форме.
22. Каноническая или гамильтонова форма уравнений Эйлера.
23. Простейшая задача с подвижными границами (вывод условий трансверсальности).
24. Простейшая задача с подвижными границами (формулировка необходимого условия
экстремума и условий трансверсальности, примеры). Задача Больца. Пример.

xy
, 1
,.
.
., y
0

25. Вариационные задачи на условный экстремум. Связи вида 
.
n
26. Вариационные задачи на условный экстремум. Неголономные связи. Задача Лагранжа.
27. Изопериметрические задачи. Примеры.
28. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Пример. Функция
Понтрягина. Простейшая задача о быстродействии.