РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных
технологий
Кафедра математического моделирования
САЛОВА Е.В.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010100.62 «Математика»,
профиль подготовки «Дифференциальные уравнения,
динамические системы, оптимальное управление»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Салова Е.В. Вариационное исчисление. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010100.62
«Математика», профиль подготовки «Дифференциальные уравнения,
динамические системы, оптимальное управление», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 19 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями
ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и
профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Вариационное исчисление [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического
моделирования, д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011
© Е.В. Салова, 2011
1.
Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целью курса является усвоение основ вариационного исчисления, необходимых для решения теоретических и практических задач;
привитие навыков самостоятельного изучения специальной литературы; формирование математической культуры студента.
Основной задачей курса является обучение студентов методам
решения вариационных задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Вариационное исчисление» – это дисциплина, которая входит в вариативную часть профессионального цикла.
Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в
результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический
анализ», «Аналитическая геометрия», «Дифференциальные уравнения», «Уравнения в частных производных».
Освоение дисциплины «Вариационное исчисление» необходимо
для написания выпускной квалификационной работы.
1.3.
Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируе-
мые в результате освоения данной ООП ВПО
Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
способностью применять знания на практике (ОК-6);
способностью приобретать новые знания, используя современные
образовательные и информационные технологии (ОК-8);
способностью понимать сущность и значение информации в развитии современного общества, соблюдением основных требований ин-
формационной безопасности, в том числе защиты государственных интересов и приоритетов (ОК-9);
фундаментальной подготовкой по основам профессиональных
знаний и готовностью к использованию их в профессиональной деятельности (ОК-11);
навыками работы с компьютером (ОК-12);
способностью к анализу и синтезу (ОК-14);
способность к письменной и устной коммуникации на русском языке (ОК-15);
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями:
умением формулировать результат (ПК-3);
строго доказать утверждение (ПК-4);
умением грамотно пользоваться языком предметной области
(ПК-7);
умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
знанием корректных постановок классических задач (ПК-9);
пониманием корректности постановок задач (ПК-10);
пониманием того, что фундаментальное знание является основой
компьютерных наук (ПК-12);
выделением главных смысловых аспектов в доказательствах
(ПК-16);
владением методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач (ПК-20);
владением методами математического и алгоритмического моделирования при анализе теоретических проблем и задач (ПК-21);
владением проблемно-задачной формой представления математических знаний (ПК-22);
4
умением самостоятельно математически корректно ставить естественно-научные и инженерно-физические задачи (ПК-25);
возможностью преподавания физико-математических дисциплин и
информатики в средней школе и средних специальных образовательных учреждениях на основе полученного фундаментального образования (ПК-29).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
●
Знать: теоретические основы и практические приложения разде-
лов курса вариационного исчисления: вариационные задачи с неподвижными границами, необходимые и достаточные условия экстремума
функционала, задачи на условный экстремум, вариационные задачи с
подвижными границами и некоторые другие задачи, приближенные методы решения вариационных задач.
●
Уметь: формулировать и доказывать основные результаты
дисциплины, применять методы вариационного исчисления к задачам
техники, экономики и естествознания, использовать пакеты прикладных
программ при решении задач.
●
Владеть методами решения вариационных задач.
2. Структура и трудоемкость дисциплины
Дисциплина «Вариационное исчисление» читается в восьмом семестре. Форма промежуточной аттестации – экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетных единицы (72 часа).
5
3. Тематический план
Виды учебной
Таблица 1.
Из
работы и са-
них в
мостоятельная
ин-
1
2
часов
терак-
количе-
Лекции
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельная работа
№ Тема
Итого
недели семестра
работа, в час.
Итого
3
4
5
6
7
8
9
1
2
2
1
5
1
0-10
2-3
4
4
1
9
2
0-10
4-5
4
4
1
9
2
0-10
10
10
3
23
5
0-30
по
теме
тивной
фор-
ство
баллов
ме
Модуль 1
Основные понятия
вариационного исчис1 ления. Необходимые
условия экстремума
функционала
Простейшая
задача
вариационного исчис2
ления. Уравнение Эйлера.
Обобщения простей-
3 шей задачи вариационного исчисления
Всего
6
Модуль 2
Достаточные условия
4 экстремума функционала
6-7
4
4
1
9
3
0-10
8-10
6
6
2
14
2
0-10
10
10
3
23
5
0-30
11-12
6
6
2
14
2
0-20
13-18
2
2
2
6
2
0-10
2
2
2
6
1
0-10
12
12
6
26
5
0-40
30
30
12
72
7
8
Вариационная задача
5 на условный экстремум
Всего
Модуль 3
Вариационные задачи
6 с подвижными границами
Разрывные задачи.
7 Односторонние вариации.
Приближенные мето8 ды решения вариационных задач
Всего
Итого (часов, баллов):
из них в интерактивной форме
7
0-100
15
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
решение задач
на практическом
занятии
выполнение
домашнего задания
6
7
0-1
0-3
0-3
0-8
0-1
0-3
0-3
0-8
3
0-1
исчисления. 0-1
№ темы
Итого количество
баллов
контрольная
работа
5
2
1
Письменные работы
4
ответ на практическом занятии
собеседование
Устный
опрос
Модуль 1
1. Основные понятия вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума функционала
2. Простейшая задача вариационного
Уравнение Эйлера.
3. Обобщения простейшей
задачи вариационного ис-
0-1
0-1
0-6
0-3
0-3
0-14
0-3
0-3
0-6
0-9
0-9
0-30
0-2
0-2
0-2
0-6
0-3
0-15
0-2
0-1
0-6
0-3
0-3
0-15
числения
Всего
Модуль 2
4. Достаточные условия экстремума функционала
5. Вариационная задача на
условный экстремум
8
Всего
0-4
0-3
0-2
0-3
0-1
0-1
0-1
0-4
0-8
0-9
0-6
0-30
0-10
0-5
0-20
0-3
0-3
0-2
0-10
0-1
0-3
0-3
0-2
0-10
0-5
0-6
0-16
0-9
0-40
0-11
0-20
0-34
0-24
0-100
Модуль 3
6. Вариационные задачи с
подвижными границами
7. Разрывные задачи. Односторонние вариации.
8. Приближенные методы
решения вариационных задач
Всего
0-
Итого
11
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
Не-
Объ
Кол-
обяза-
дополни-
деля
ем
во
тельные
тельные
се-
ча-
бал
мест-
сов
лов
1
1
0-2
2-3
1
0-4
ра
Модуль 1
1. Основные понятия работа
с
вариационного ис- литератучисления. Необхо- рой,
ре-
димые условия экс- шение
тремума
нала
2
функцио- дом.
за-
дания
Простейшая зада- работа
с подготовка
9
ча
вариационного литерату-
исчисления.
Урав- рой,
нение Эйлера.
ре-
шение
дом.
к контрольной
работе
за-
дания
3
Обобщения
стейшей
про- работа
с подготовка
задачи литерату-
вариационного ис- рой,
числения
ре-
шение
дом.
4-5
1
0-4
3
0-10
6-7
1
0-4
8-10
2
0-6
3
0-10
2
0-4
к контрольной
работе
за-
дания
Всего по модулю 1
Модуль 2
4. Достаточные усло- работа
вия
с
экстремума литерату-
функционала
рой,
ре-
шение
дом.
за-
дания
5. Вариационная
за- работа
с подготовка
дача на условный литератуэкстремум
рой,
ре-
шение
дом.
к контрольной
работе
за-
дания
Всего по модулю 2
Модуль 3
6.
Вариационные
за- работа
с подготовка 11-13
10
дачи с подвижными литератуграницами
рой,
к кон-
ре-
трольной
шение
дом.
работе
за-
дания
Разрывные задачи. работа
7.
с подготовка
14
2
0-3
15
2
0-3
Всего по модулю 3
6
0-10
ИТОГО
12
0-30
Односторонние ва- литературиации.
рой,
кон-
ре- трольной
шение
дом.
к
работе
за-
дания
Приближенные ме- работа
8.
с
тоды решения ва- литературиационных задач
рой,
ре-
шение
дом.
за-
дания
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
Наименование обеспечи-
Темы
п/п
ваемых (последующих)
мые для изучения обеспечива-
дисциплин
емых (последующих) дисциплин
1
Выпускная квалификационная работа
5. Содержание курса
11
дисциплины
необходи-
1
2
3
+
+
+
Тема 1. Основные понятия вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума функционала.
Функционал. Близость кривых Непрерывность функционала. Линейные функционалы в линейном нормированном пространстве. Вариация функционала. Постановка задачи вариационного исчисления.
Слабый и сильный экстремум. Необходимые условия экстремума функционала.
Тема 2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
Тема 3. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.
Функционалы, зависящие от производных высшего порядка. Уравнение Эйлера-Пуассона. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Система уравнений Эйлера. Функционалы, зависящие от функций
нескольких
независимых
переменных.
Уравнение
Эйлера-
Остроградского. Вариационная задача в параметрической форме. Вейерштрассова форма уравнения Эйлера.
Тема 4. Достаточные условия экстремума функционала.
Поле экстремалей. Функция Вейерштрасса. Достаточные условия
Вейерштрасса для простейшей задачи вариационного исчисления. Достаточные условия Лежандра. Фигуратриса.
Тема 5. Вариационная задача на условный экстремум.
Постановка задачи на условный экстремум. Необходимые условия
экстремума. Задача Дидоны. Принцип взаимности изопериметрических
задач. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия.
Геодезические линии. Решение вариационных задач на условный экс-
12
тремум с использованием пакетов прикладных программ Maple, MatCad,
Matlab.
Тема 6. Вариационные задачи с подвижными границами.
Постановка задачи с подвижными границами. Нахождение экстремума функционала. Условия трансверсальности. Геодезическое расстояние. Решение вариационных задач.
Тема 7. Разрывные задачи. Односторонние вариации.
Кусочно-гладкие допустимые кривые. Разрывные задачи первого
рода. Условия Вейерштрасса-Эрдмана. Разрывные задачи второго рода. Односторонние вариации.
Тема 8. Приближенные методы решения вариационных задач.
Прямые методы в вариационных задач. Конечно-разностный метод Эйлера.
Планы практических занятий
Тема 1. Основные понятия вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума функционала.
Тема 2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Тема 3. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.
1) Функционалы, зависящие от производных высшего порядка.
Уравнение Эйлера-Пуассона.
2) Функционалы, зависящие от нескольких функций. Система
уравнений Эйлера.
3) Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского.
4) Вариационная задача в параметрической форме. Вейерштрассова форма уравнения Эйлера
13
Тема 4. Достаточные условия экстремума функционала.
Тема 5. Вариационная задача на условный экстремум.
1) Вариационные задачи с конечными уравнениями связи.
2) Вариационные задачи с дифференциальными уравнениями
связи.
3) Изопериметрическая задача
Тема 6. Вариационные задачи с подвижными границами.
Тема 7. Разрывные задачи. Односторонние вариации.
1) Разрывные задачи первого рода. Условия ВейерштрассаЭрдмана.
2) Разрывные задачи второго рода.
3) Односторонние вариации.
Тема 8. Приближенные методы решения вариационных задач.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
6.1.
Примерные задания для контрольной работы
1. Найти экстремали заданных функционалов J[y]
2. Найти семейства экстремалей заданных функционалов J[y,z]
3. Найти экстремум заданного функционал J[y,z] при наличии
конечного уравнения связи f(x,y,z)=0.
4. Решить изопериметрическую задачу.
5. Найти геодезические линии заданной поверхности.
6. Найти условие трансверсальности для заданных функционалов J[y].
7. Найти кратчайшее расстояние от точки М(x0, y0 , z0 ) до заданной поверхности.
14
8. Найти геодезическое расстояние от точки А(x1, y1 ) до точки
В(x2,y2), если это расстояние определяется с помощью функционала.
6.2. Примерные вопросы для подготовки к экзамену
1. Функционал. Близость кривых Непрерывность функционала.
Линейные функционалы в линейном нормированном пространстве.
2. Вариация функционала. Постановка задачи вариационного
исчисления.
3. Слабый и сильный экстремум. Необходимые условия экстремума функционала.
4. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления.
Основная лемма вариационного исчисления.
5. Уравнение Эйлера.
6. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
7. Функционалы, зависящие от производных высшего порядка.
Уравнение Эйлера-Пуассона.
8. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Система
уравнений Эйлера.
9. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского.
10.
Вариационная задача в параметрической форме. Вей-
ерштрассова форма уравнения Эйлера.
11.
Поле экстремалей. Функция Вейерштрасса. Достаточ-
ные условия Вейерштрасса для простейшей задачи вариационного исчисления.
12.
Достаточные условия Лежандра. Фигуратриса.
15
13.
Постановка задачи на условный экстремум. Необходи-
мые условия экстремума. Задача Дидоны.
14.
Принцип взаимности изопериметрических задач.
15.
Необходимые условия высших порядков и достаточные
условия. Геодезические линии.
16.
Постановка задачи с подвижными границами. Нахожде-
ние экстремума функционала.
17.
Условия трансверсальности.
18.
Геодезическое расстояние.
19.
Кусочно-гладкие допустимые кривые. Разрывные зада-
чи первого рода. Условия Вейерштрасса-Эрдмана.
7.
20.
Разрывные задачи второго рода.
21.
Односторонние вариации.
22.
Прямые методы вариационных задач.
23.
Конечно-разностный метод Эйлера.
Образовательные технологии
При изучении дисциплины «Вариационное исчисление» используются следующие образовательные технологии:
– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);
– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных
видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Вариационное
исчисление» предусматривается использование в учебном процессе
следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:
– практические занятия в диалоговом режиме;
– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;
– научные дискуссии;
16
– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических
занятиях.
8.
Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины (модуля)
8.1. Основная литература
1.
Андреева Е. А. Вариационное исчисление и методы оптими-
зации / Е. А. Андреева, В. М. Цирулева. -М: Высш. шк., 2006 -584 с.
2.
Ахиезер H. И. Лекции по вариационному исчислению. -М,
1955 .-248 c..
3.
Буслаев В. С. Вариационное исчисление -Л: Изд-во ЛГУ, 1980
.-287 c.
4.
Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. –
М., Физматгиз, 1961. – 228 с.
5.
Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. – СПб, Лань ,
2009. 320 с
6.
Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное ис-
числение - М: УРСС, 2004 .-160 с.
7.
Коша А. Вариационное исчисление. -М: Высш. шк, 1983 .-279
8.
Краснов М. Л., Макаренко Г. И., Киселёв А. И. Вариационное
c.
исчисление. – М., УРСС, 2003. – 176 с.
9.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариаци-
онное исчисление -М: УРСС, 2002-320 c.
10.
Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные урав-
нения СПб, : Лань, 2005 .-192 с.
8.2. Дополнительная литература
1.
Алексеев В. М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. – М., Физматлит, 2005. – 384 с.
17
2.
Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению-М: Иностр.
лит., 1950 .-347 c..
3.
Будылин А.М. Вариационное исчисление[электронный ре-
сурс] / Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/121
4.
Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчис-
ление. – М., Высш. шк., 2005. – 335 с.
5.
Ванько В. И. Вариационное исчисление и оптимальное
управление / В. И. Ванько, О. В. Ермошина, Г. Н. Кувыркин. --М: Изд-во
МГТУ, 2001 .-488 c.;
6.
Васильев О. В. Методы оптимизации в задачах и упражнени-
ях : учеб. пособие/ О. В. Васильев, А. В. Аргучинцев. -М: Физматлит,
1999 .-208 c.
7.
Галеев Э. М. Оптимизация : теория, примеры, задачи : учеб.
пособие. -М: УРСС, 2002 .-304 с.
8.
Карташев А. П. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния и основы вариационного исчисления : / А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский. --М: Наука, 1986 , 200 с
9.
Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Основы вариационного ис-
числения. М., 1935 http://lib.mexmat.ru/books/1993
10.
Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариа-
ционному исчислению : сборник задач/ В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В.
В. Власов [и др.]; Под ред. В. К. Романко. -Москва: Физматлит, 2002 .256 c.
11.
Янг Л. Ч. Лекции по вариационному исчислению и теории оп-
тимального управления. -М: Мир, 1974 .-488 c. :
18
8.3.
Программное обеспечение и Интернет – ресурсы
Интернет – ресурсы:
1.
Электронная библиотека Попечительского совета механико-
математического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru
2.
eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва)
http://elibrary.ru
Для работы на практических занятиях необходим пакет программ
Maple.
9.
Технические средства и материально-техническое обес-
печение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс для практических занятий.
19