Методы оптимизации ПМx

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины «Методы оптимизации»
для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Автор программы:
Шнурков П.В., кандидат физико-математических наук, доцент, [email protected]
Одобрена на заседании кафедры прикладной математики МИЭМ НИУ ВШЭ
«30» июня 2014 г
Зав. кафедрой Карасев М.В. ________________________________________________
Рекомендована секцией УМС «___»____________ 2014 г
Председатель ________________________________________________
Утверждена УС факультета «___»_____________2014 г.
Ученый секретарь ________________________________________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1. Цели и задачи дисциплины.
Целью преподавания данной дисциплины является получение фундаментальных знаний
по основам математической теории оптимизации и теории решения экстремальных задач.
Задача преподавания дисциплины состоит в создании у студентов устойчивого
представления о современных математических методах оптимизации, используемых при
анализе экономических и технических систем.
2. Место дисциплины в структуре ООП.
Дисциплина «Методы оптимизации» относится к базовой части профессионального
цикла (Б.3. Б)
Для изучения данной дисциплины требуются знания, полученные в результате изучения
следующих дисциплин:
1) Математический анализ (1,2 семестры)
2) Дополнительные главы математического анализа (1,2,3 семестры)
3) Дифференциальные уравнения (3 семестр)
4) Функциональный анализ (4 семестр)
Дисциплина «Методы оптимизации» является предшествующей по отношению к
следующим дисциплинам:
1) Теория управления (7 семестр)
2) Исследование операций (6 семестр)
3) Численные методы (6,7 семестры)
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
3.1 Общие требования к результатам освоения основной образовательной
программы определяемые в соответствии и ФГОС ВПО по направлению
«Прикладная математика и информатика (бакалавры)»
Результаты освоения ООП ПВО определяются приобретенными выпускником
компетенциями, т.е. его способностью применять знания, умения и личные качества в
соответствии с задачами профессиональной деятельности.
Общекультурные компетенции (ОК).




способность владеть культурой мышления, умение аргументировано и ясно
строить устную и письменную речь (ОК-1);
способность уважительно и бережно относиться к историческому наследию и
культурным традициям, толерантность в воспитании социальных и культурных
различий (ОК-2);
способность осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать
высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9);
способность у интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и
профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации
и мастерства (ОК-16);
Профессиональные компетенции (ПК).
1) В области научно-исследовательской деятельности:
 способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук,
математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов
теории, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);
 способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя
современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);
 способность понимать и применять в исследовательской и прикладной
деятельности современный математический аппарат (ПК-3);
 способность в составе научно-исследовательского и производственного
коллектива решать задачи профессиональной деятельности (ПК-4);
2) В проектной и производственно-технологической деятельности:
 способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших
научных и технологических достижениях в Интернете и из других источников
(ПК-6);
 способность решать задачи производственной и технологической деятельности на
профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных
решений в области системного и прикладного программирования (ПК-9);
3) В организационно-управленческой деятельности:
 способность составлять и контролировать план выполняемой работы, планировать
необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать результаты собственной
работы (ПК-12);
3.2 Специальные требования к уровню освоения содержания дисциплины
(требования в знаниям, умениям и навыкам, приобретенным в результате
изучения дисциплины)
В результате изучения данной дисциплины студент должен:
Знать:
1) теоретические формулировки необходимых условий экстремума в различных задачах
классического вариационного исчисления (КВИ) и оптимального управления (ОУ),
приведенные в соответствующих разделах учебного курса;
2) теоретические методики составления и исследования систем соотношений,
возникающих в различных задачах КВИ и ОУ, решениями которых являются допустимые
экстремали;
3) особенности структуры различных видов задач КВИ и ОУ;
4) теоретические особенности различных понятий решений задач КВИ и ОУ;
Уметь:
1) проводить аналитические исследования различных видов задач КВИ и ОУ на основе
известных теоретических методик;
2) использовать учебную и учебно-научную литературу для уточнения и осмысления
теоретических результатов, приведенных в настоящем курсе;
3) использовать учебные пособия для дополнительного изучения методики решения
экстремальных задач КВИ и ОУ;
Владеть:
1) навыками самостоятельного решения различных видов экстремальных задач КВИ и
ОУ, приобретаемыми в ходе выполнения контрольных работ и домашних заданий.
4. Объем дисциплины и виды учебной работы.
Вид учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
И (или) другие виды аудиторных занятий
Самостоятельная работа
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Контрольные работы и домашние задания
И (или) другие виды самостоятельной работы
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
Всего часов/
зачет. единиц
144
64
32
Модули
1
2
72
72
32
32
16
16
32
16
16
80
30
50
10
экзамен
(В первой графе таблицы указываются виды аудиторных и самостоятельных занятий
студентов. Во второй графе указывается общая трудоемкость дисциплины в соответствии с
ГОС ВПО, объем аудиторных и самостоятельных занятий – в соответствии с примерным
учебным планом. В третьей графе указываются номера семестров, в которых
предусматривается каждый вид учебной работы и вид итогового контроля по дисциплине.
5. Содержание дисциплины.
5.1. Разделы дисциплины и виды занятий.
1.Общая характеристика экстремальных задач и методов их решения.
Лекции- 6 час., семинарские занятия-0 час.
2.Вспомогательные сведения из теории функций и функционального
анализа.
Лекции-6 час., семинарские занятия-0 час.
3.Виды экстремальных задач и основополагающие теоретические
результаты.
Лекции-12 час., семинарские занятия-0 час.
4.Линейное программирование как специальный метод оптимизации в
конечномерных пространствах.
Лекции-0 час., семинарские занятия-2 часа.
5.Оптимизация в функциональных пространствах. Общая характеристика
задач вариационного исчисления и оптимального управления.
Лекции-0 час., семинарские занятия-6 час.
6.Задачи классического вариационного исчисления.
Лекции-0 час., семинарские занятия-16 час.
7.Теория оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
Лекции-4 часа, семинарские занятия-4 часа.
8.Теория оптимального управления. Принцип оптимальности Беллмана и
метод динамического программирования.
Лекции-4 часа, семинарские занятия-4 часа.
5.2. Разделы дисциплины и междисциплинарные
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
связи
с
№ Наименование
обеспечиваемых NN
разделов
данной
дисциплины,
п/п (последующих) дисциплин
необходимых для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 Теория управления
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Исследование
операций
2
*
*
*
*
*
*
*
3 Численные методы
*
*
*
*
*
5.3. Содержание разделов дисциплины.
Раздел 1. Общая характеристика экстремальных задач и методов их решения.
Общая постановка экстремальной задачи в некотором функциональном пространстве.
Различные виды ограничений. Основные свойства, характеризующие экстремальную задачу
(гладкость и выпуклость). Общее понятие решения экстремальной задачи. Решение задачи
без ограничений, локальный и глобальный безусловные экстремумы. Решение задачи с
ограничениями. Понятия допустимой точки и экстремали. Допустимая экстремаль. Общее
определение локального и глобального (абсолютного) экстремума в задаче с ограничениями.
Связь допустимой экстремали и решения задачи. Общий метод исследования экстремальной
задачи. Первый этап: исследование на основе необходимых условий экстремума. Общий
метод исследования экстремальной задачи. Второй этап: математически корректное
нахождение решения задачи. Возможные способы обоснования получаемого результата.
Раздел 2. Виды экстремальных задач и основополагающие теоретические результаты.
Гладкая задача без ограничений. Теорема о необходимых условиях экстремума
(принцип Ферма) в произвольном банаховом пространстве (без доказательства).
Необходимые условия экстремума в конечномерном пространстве. Алгоритмический смысл
необходимых условий. Гладкая задача с равенствами в произвольном банаховом
пространстве. Понятия функции Лагранжа и множителей Лагранжа. Теорема о необходимых
условиях экстремума в общей гладкой задаче с равенствами (без доказательства). Гладкая
задача с равенствами в произвольном банаховом пространстве. Комментарии к
утверждениям теоремы о необходимых условиях экстремума. Условия стационарности и их
значение для нахождения решения. Условия регулярности и их теоретическое значение.
Особая роль множителя Лагранжа 𝜆0 , соответствующего целевому функционалу. Гладкая
задача с равенствами в конечномерном евклидовом пространстве. Задание множителей
Лагранжа и функции Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума в
конечномерной задаче с равенствами (без доказательства). Гладкая задача с равенствами в
конечномерном евклидовом пространстве. Аналитические выражения условий
стационарности и регулярности. Основная система соотношений для определения
допустимой экстремали. Разрешимость основной системы соотношений (алгоритмический
смысл необходимых условий экстремума). Гладкая задача с равенствами и неравенствами в
произвольном банаховом пространстве. Функция Лагранжа и множители Лагранжа. Теорема
о необходимых условиях экстремума в общей гладкой задаче с равенствами и неравенствами
(без доказательства). Гладкая задача с равенствами и неравенствами в произвольном
банаховом пространстве. Комментарии к утверждению теоремы о необходимых условиях
экстремума. Характеристика условий стационарности функции Лагранжа, дополняющей
нежесткости и неотрицательности. Система соотношений для определения допустимых
экстремалей. Выпуклая задача с неравенствами и нефункциональными ограничениями в
произвольном банаховом пространстве. Теорема Куна-Таккера (без доказательства).
Выпуклая задача с неравенствами и нефункциональными ограничениями в произвольном
банаховом пространстве. Комментарии к утверждениям теоремы Куна-Таккера.
Математическое содержание и значение усиленной формы условия стационарности, условий
дополняющей нежесткости и неотрицательности. Условие Слейтера как условие
регулярности задачи и достаточное условие экстремума.
Раздел 3. Оптимизация в функциональных пространствах. Общая характеристика задач
классического вариационного исчисления (КВИ) и оптимального управления (ОУ).
Описание классов функций, на которых определены экстремальные задачи КВИ и ОУ.
Функциональные пространства 𝐶1𝑛 ([𝑡0 , 𝑡1 ]), 𝐶 𝑛 ([𝑡0 , 𝑡1 ]). Особенности функции состояний и
управлений в задачах оптимального управления. Общая характеристика и структура задач
вариационного исчисления (ВИ) и оптимального управления (ОУ). Целевые функционалы,
ограничения, граничные условия. Общая постановка экстремальной задачи вариационного
исчисления и оптимального управления. Особенности задач ВИ и ОУ.
Раздел 4. Задачи классического вариационного исчисления.
Классическая задача Больца без ограничений. Постановка задачи. Теорема о
необходимых условиях экстремума (без доказательства). Алгоритм исследования
классической задачи Больца (одномерный и многомерный варианты). Простейшая задача
КВИ. Постановка задачи. Теорема о необходимых условиях экстремума (условия первого
порядка) (без доказательства). Условия второго порядка в простейшей задаче КВИ. Условие
Лежандра. Условие Якоби (формулировки для одномерного варианта). Теорема о
необходимых условиях первого и второго порядка в простейшей задаче КВИ (без
доказательства). Теорема о достаточных условиях экстремума в простейшей задаче КВИ (без
доказательства). Общая задача КВИ с граничными условиями. Постановка задачи. Теорема о
необходимых условиях экстремума (без доказательства). Алгоритм исследования общей
задачи КВИ с граничными условиями. О возможности нахождения неизвестных функций и
неизвестных постоянных, входящих в полную систему соотношений, состоящую из
необходимых условий и ограничений исходной задачи. Особенности условий
трансверсальности в общей задаче КВИ с граничными условиями. Общая закономерность,
характерная для условий трансверсальности в задачах КВИ и ОУ. Метод непосредственной
проверки как специальный метод доказательства утверждения о том, что найденная
допустимая экстремаль является решением исследуемой задачи КВИ. Описание и
теоретическое обоснование метода непосредственной проверки в задачах КВИ.
Раздел 5. Теория оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
Классическая (понтрягинская) постановка задачи ОУ: задача с фиксированным
интервалом времени и закрепленным левым концом траектории. Прикладное значение
классической задачи и ее место в общей теории оптимального управления. Теорема о
необходимых условиях экстремума в классической задаче ОУ (принцип максимума в
классической задаче) (без доказательства). Некоторые особенности принципа максимума в
классической задаче ОУ. Общая постановка задачи ОУ с переменным интервалом времени
без фазовых и смешанных ограничений. Основные объекты, определяющие задачу, их
содержание и особенности. Принцип максимума в форме Гамильтона (формулировка
теоремы). Принцип максимума в форме Лагранжа (формулировка теоремы).
Теоретические особенности принципа максимума: взаимосвязь и значение двух форм,
связь принципа максимума и общего принципа Лагранжа для экстремальных задач с
ограничениями. Возможности использования принципа максимума. Условия максимума и
особенности его использования. Общая схема исследования задачи ОУ на основе принципа
максимума.
Раздел 6. Теория оптимального управления. Принцип оптимальности Беллмана и метод
динамического программирования.
Принцип оптимальности Беллмана (авторская формулировка). Интерпретации
принципа Беллмана. Общая схема метода динамического программирования, основанного на
принципе оптимальности Беллмана. Постановка задачи оптимального распределения
ресурсов. Задача оптимального распределения ресурсов как динамическая задача
оптимального управления с дискретным временем. Уравнение Беллмана в задаче
оптимального распределения ресурсов (идейно-теоретическое обоснование уравнения).
Теоретическое значение решения уравнения Беллмана. Дискретизация задачи оптимального
распределения ресурсов. Дискретный аналог уравнения Беллмана. Разработка и обоснование
метода численного решения уравнений Беллмана и нахождения оптимального распределения
ресурсов (оптимального управляемого процесса).
.
5.4. План семинарских занятий.
Раздел 1. Основы теории классического вариационного исчисления.
Занятие 1. Общая характеристика задач КВИ.
Основные особенности экстремальных задач классического вариационного исчисления.
Структура задачи КВИ. Функционалы, ограничения, граничные условия.
n
t0,t1:

C
Основные виды задач КВИ. Задачи с одним параметром x
1
1. Задача Больца без ограничений (постановка задачи)
2. Простейшая (векторная) задача (постановка задачи)
3. Общая задача КВИ с граничными условиями (постановка задачи)
n
r













C
t
,
t
,
u


C
t
,
t
Задачи с двумя параметрами x
:
1
0
1
1
0
1
4. Задача Лагранжа (постановка задачи).
Занятие 2. Понятие решения экстремальной задачи КВИ. Понятие функции, допустимой в
исходной задаче КВИ. Понятие допустимой экстремали.
Определение слабого и сильного локального экстремума в задаче с одним параметром.
Определение слабого и сильного локального экстремума в задаче с двумя параметрами.
Связь понятий слабого и сильного локального экстремума. Соотношение необходимых
условий для слабого и сильного локального экстремума. Соотношение достаточных условий
для слабого и сильного локального экстремума.
Занятие 3. Методы исследования задач КВИ.
Общая схема решения экстремальной задачи КВИ. Два основных этапа исследования:
1) Составление общей системы соотношений, включающей необходимые условия и
ограничения исходной задачи. Исследование полученной системы и нахождение
допустимых экстремалей.
2) Исследование найденных допустимых экстремалей и нахождение решения задачи.
Описание возможных методов исследования на втором этапе решения экстремальной
задачи КВИ.
1) Метод непосредственной проверки определения локального или глобального экстремума
2) Проверка достаточных условий экстремума
3) Использование теорем существования и единственности решения задачи
Подробное описание основного аналитического метода исследования – метода
непосредственной проверки. Теоретическое обоснование данного метода.
Особая проблема: доказательство того факта, что найденная функция (допустимая
экстремаль) не доставляет локального экстремума и, таким образом, не является решением
исходной задачи.
Занятие 4.
Классическое вариационное исчисление. Задача Больца без ограничений.
Теорема о необходимых условиях экстремума в данной задаче. (формулировка)
Анализ системы необходимых условий экстремума в задаче Больца (уравнение Эйлера,
условия трансверсальности).
Алгоритмический смысл необходимых условий экстремума в задаче Больца без
ограничений.
Задача 1. Постановка задачи:
I  x 
 x
T0
2

(t )  xt  dt  x 2 (1)  inf
0
x  C11 0,1
Необходимые условия экстремума в задаче - уравнение Эйлера и условия трансверсальности
(подробный вывод).
Занятие 5. Классическое вариационное исчисление. Задача Больца без ограничений
(завершение анализа).
Исследование необходимых условий экстремума в задаче 1 и нахождение единственной
допустимой экстремали.
1
2
Единственная допустимая экстремаль x*(t) 3t . Доказательство того, что x* (t )
4
представляет собой слабый глобальный (абсолютный ) минимум методом непосредственной
проверки.


Занятие 6.
Классическое вариационное исчисление. Простейшая задача.
Задача 3. Постановка задачи:


1
2(t)dt


Ix
x
t
x

inf(
1
)
0
x
(0
)
0,
x
(1)

0
(2)
1

0
.
x

C
,1
1
Общая система соотношений для определения допустимой экстремали: уравнения Эйлера и
граничные условия (2) исходной задачи.
1
Единственная допустимая экстремаль x* (t )  t  t 2 .
4
Методом непосредственной проверки устанавливается, что для любой допустимой функции
1





x
(

)

x
(

)

h
(

)
,
где
h


C
0
,
1
, h(0)=0, h(1)=0 выполняется соотношение
*
1
I(x())
I(x())
Таким образом, функция x* () доставляет глобальный максимум в задаче (1)-(2).
Построение последовательности допустимых функций xn(t)=nt(t-1), n=1,2,..., для которой
I(
x
(
))


,n


.
n
Следовательно, функционал I ( x()) не ограничен снизу на множестве допустимых функций,
и решения задачи (1)-(2) на минимум не существует.


Занятие 7.
Классическое вариационное исчисление. Общая задача КВИ с граничными условиями.
Теоретические сведения.
Теорема о необходимых условиях экстремума в данной задаче (формулировка).
Система соотношений в общей задаче с граничными условиями состоящая из необходимых
условий и ограничений исходной задачи.
Закономерности, связанные с условиями трансверсальности. Разрешимость общей системы
соотношений и нахождение всех неизвестных параметров.
Занятие 8. Классическое вариационное исчисление. Общая задача КВИ с граничными
условиями.
Задача 4. Постановка задачи:
I x 
Т0
x0  0
 xt   x
2

(t ) dt  extr
(1)
0
(2)
x

C0T
, 0
Для решения используется методика исследования общей задачи с граничными условиями.
Необходимые условия экстремума - уравнение Эйлера и условия трансверсальности.
Подробный анализ условий трансверсальности: условие трансверсальности в точке t 0  0
неинформативно.
1 T

t
 t20t. Методом непосредственной
Единственная допустимая экстремаль x
*
4
2
 x*
 h
 , h0  0
проверки устанавливается, что для любой допустимой функции x
выполняется условие
Ix
 Ix*
 , то есть функция x*  доставляет абсолютный максимум в исходной задаче
(1) – (2).
1
1
Занятие 9. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в
простейшей задаче КВИ. Теоретические сведения.
Вычисление вспомогательных характеристик в простейшей задаче КВИ. Условие
Лежандра (стандартное и усиленное). Уравнение Якоби. Фундаментальное решение
уравнения Якоби и понятие сопряженной точки. Условие Якоби (стандартное и усиленное).
Условие квазирегулярности интегранта в простейшей задаче КВИ.
Теоремы о необходимых условиях слабого минимума и достаточных условиях слабого
минимума в простейшей задаче КВИ
I x 
Т0
x0  0
 xt   x
2

(t ) dt  extr
(1)
0
(2)
x

C0T
, 0
1
1
Раздел 2. Задача классического вариационного исчисления с двумя параметрами
(задача Лагранжа).
Занятие 10. Задача Лагранжа. Теоретические сведения.
Общая постановка задачи Лагранжа. Аналитические свойства функций, определяющих
задачу. Вспомогательные объекты: лагранжиан и функция Лагранжа.
Теорема о необходимых условиях экстремума в задаче Лагранжа. Представление
необходимых условий в форме, удобной для аналитического исследования.
Составление общей системы соотношений для определения неизвестных параметров,
состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи. Методические
рекомендации по исследованию полученной системы и нахождению допустимой экстремали.
Занятие 11.
Задача Лагранжа. Пример исследования.
Задача 7. Постановка задачи:

2
2
(1)
x



I

,u


inf
u(t)dt
0


x
t x
t u
t








x
0
0
;x
0
0
;x

1

2


(2)
(3)
 
1

x

C
, 
2
0

 2
Приведение задачи (1)-(3) к каноническому виду задачи Лагранжа.
Преобразование задачи (1) – (3) при помощи замены: 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥̇ = 𝑥2 . Задача (1) – (3) в
канонической форме принимает вид
𝜋
2
𝐼(𝑥(∙), 𝑢(∙)) = ∫ 𝑢2 (𝑡)𝑑𝑡 → 𝑖𝑛𝑓
𝑥̇ = 𝑥2
{ 1
𝑥̇ 2 = 𝑢 − 𝑥1
(4)
0
(5)
{
𝑥1 (0) = 0,
𝑥2 (0) = 0;
𝜋
𝑥1 ( ) − 1 = 0
2
(6)
Вычисление вспомогательных характеристик и вывод необходимых условий экстремума:
сопряженного уравнения, условий трансверсальности и условий стационарности
лагранжиана по параметру u. Составление общей системы соотношений для определения
неизвестных параметров, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной
задачи.
Завершение анализа задачи Лагранжа, сформулированной на предыдущем занятии (задача 7).
2
t;
Исследование и определение единственной допустимой экстремали x*(t) tsin

4
u*(t) cos
t.

Непосредственная проверка того, что пара функций (x*(t),u*(t))доставляет глобальный
слабый минимум в исходной задаче.
Раздел 3.Теория оптимального управления.
Занятие 12.
Задача оптимального распределения ресурсов (классическая экономическая проблема).
Математическая постановка задачи и её экономическое содержание. Решение задачи на
основе метода динамического программирования.
Определение (формальное) функции Беллмана данной задачи и её особенности.
Уравнение Беллмана как основное теоретическое соотношение. Два способа вывода
уравнение Беллмана: качественный вывод на основе принципа Беллмана и аналитический
вывод на основе свойств экстремумов функций.
Занятие 13.
Алгоритм решения задачи оптимального распределения ресурсов и его численная
реализация.
Система функциональных уравнений Беллмана как теоретическая основа алгоритма
решения задачи. Дискретизация задачи. Дискретный аналог уравнений Беллмана.
Первый этап реализации алгоритма (подготовительный). Создание вспомогательных
массивов данных значений функции Беллмана и значений параметров управления, на
которых достигается равенство в уравнениях Беллмана.
Второй этап реализации алгоритма (завершающий). Определение оптимальных
значений параметров управления – объемов распределяемых ресурсов.
Занятие 14.
Доказательство оптимальности решения задачи оптимального распределения ресурсов,
полученного методом динамического программирования.
Занятие 15.
Задача об оптимальном быстродействии (часть 1).
Описание физической модели системы (движущаяся управляемая материальная точка).
Физические законы описания системы.
Математическая постановка задачи оптимального управления.
T
I ( x(), u ())  T   dt  inf
(1)
0
 x   x 
x   1    2 
 x 2   u 
 x ( 0)   a 
x(0)   1    01   a 0
 x 2 (0)   a 02 
( 2)
(3)
 x (T )   0 
   
x(T )   1
( 4)
 x 2 (T )   0 
u (t )  U  u  R : u  1
(5)
Необходимые условия экстремума: сопряженное уравнение, условие максимума функции
Понтрягина. Общая структура оптимальных уравнений u (t ) . Общий вид фазовых
траекторий при управлении, удовлетворяющих условиям принципа максимума.
Занятие 16.
Задача об оптимальном быстродействии (часть 2).
Аналитическое исследование траекторий управляемого процесса. Определение неизвестных
параметров оптимального процесса в зависимости от начальных условий.
Доказательство оптимальности управляемого процесса x (t ), u (t ); T , удовлетворяющего
условиям принципа максимума в задаче об оптимальном быстродействии. Метод
доказательства: использование вспомогательной функции  (t )   x1 (t )  x2 (t )(t   ) .
Варианты контрольных работ по дисциплине «Методы оптимизации»
Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики
Факультет прикладной математики и кибернетики
Дисциплина "Методы оптимизации"
Контрольная работа
Тема "Классическое вариационное исчисление"
Вариант №1
Задача 1. Решить задачу Больца.
1
𝐼(𝑥(∙)) = ∫[𝑥̇ 2 (𝑡) + 𝑥 2 (𝑡)]𝑑𝑡 −2𝑠ℎ1 𝑥(1) → 𝑖𝑛𝑓
0
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Провести исследование методом непосредственной проверки и доказать, что найденная
экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
Задача 2. Решить простейшую задачу КВИ.
1
𝐼(𝑥(∙)) = ∫[𝑥̇ 2 (𝑡) + 𝑡𝑥(𝑡)]𝑑𝑡 → 𝑖𝑛𝑓, 𝑥(0) = 0, 𝑥(1) = 1
0
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Провести исследование методом непосредственной проверки и доказать, что найденная
экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
3) Применить теорему о достаточных условиях экстремума в простейшей задаче КВИ и на её
основании ещё раз доказать, что найденная экстремаль доставляет решение в исходной
задаче.
Задача 3*. Исследовать задачу Больца.
1
𝐼(𝑥(∙)) = ∫ 𝑥̇ 2 (𝑡) 𝑑𝑡 + 4𝑥 2 (0) −5𝑥 2 (1) → 𝑖𝑛𝑓
0
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Доказать, что данная экстремаль не является решением, т.е. не доставляет локального
экстремума в исходной задаче.
3) Доказать, что решения исходной задачи не существует, и целевой функционал
𝐼(𝑥(∙)) не является ограниченным снизу.
Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики
Факультет прикладной математики и кибернетики
Дисциплина "Методы оптимизации"
Контрольная работа
Тема "Классическое вариационное исчисление"
Вариант №2
Задача 1. Решить задачу Больца.
𝜋
𝐼(𝑥(∙)) = ∫[𝑥̇ 2 (𝑡) + 𝑥 2 (𝑡) − 4 sin 𝑡 𝑥(𝑡)]𝑑𝑡 +2𝑥 2 (0) + 2𝑥(𝜋) − 𝑥 2 (𝜋) → 𝑖𝑛𝑓
0
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Провести исследование методом непосредственной проверки и доказать, что найденная
экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
Задача 2. Решить простейшую задачу КВИ.
1
𝐼(𝑥(∙)) = ∫[𝑡 2 𝑥(𝑡) − 𝑥 2 (𝑡)]𝑑𝑡 → 𝑠𝑢𝑝, 𝑥(0) = 0, 𝑥(1) = 0
0
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Провести исследование методом непосредственной проверки и доказать, что найденная
экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
3) Применить теорему о достаточных условиях экстремума в простейшей задаче КВИ и на её
основании ещё раз доказать, что найденная экстремаль доставляет решение в исходной
задаче.
Задача 3*. Исследовать задачу Больца.
𝜋
2
𝜋
𝜋
𝐼(𝑥(∙)) = ∫[𝑥̇ 2 (𝑡) − 𝑥 2 (𝑡)]𝑑𝑡 + 𝑥 2 (0) − 𝑥 2 ( ) + 4𝑥( ) → 𝑖𝑛𝑓
2
2
0
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Доказать, что данная экстремаль не является решением, т.е. не доставляет локального
экстремума в исходной задаче.
3) Доказать, что решения исходной задачи не существует, и целевой функционал
𝐼(𝑥(∙)) не является ограниченным снизу.
Национальный исследовательский университет
“Высшая школа экономики”
Московский институт электроники и математики
Факультет прикладной математики и кибернетики
Дисциплина “Методы оптимизации”
Учебные группы
1 и 2 модули 2014/2015 учебного года.
Вопросы к экзамену по теоретическому материалу.
Раздел 1. Общая характеристика экстремальных задач и методов их решения.
1.1 Общая постановка экстремальной задачи в некотором функциональном
пространстве. Различные виды ограничений. Основные свойства, характеризующие
экстремальную задачу (гладкость и выпуклость).
1.2 Общее понятие решения экстремальной задачи. Решение задачи без ограничений,
локальный и глобальный безусловные экстремумы. Решение задачи с ограничениями.
Понятия допустимой точки и экстремали. Допустимая экстремаль. Общее определение
локального и глобального (абсолютного) экстремума в задаче с ограничениями. Связь
допустимой экстремали и решения задачи.
1.3 Общий метод исследования экстремальной задачи. Первый этап: исследование на
основе необходимых условий экстремума.
1.4 Общий метод исследования экстремальной задачи. Второй этап: математически
корректное нахождение решения задачи. Возможные способы обоснования получаемого
результата.
Раздел 2. Виды экстремальных задач и основополагающие теоретические
результаты.
2.1 Гладкая задача без ограничений. Теорема о необходимых условиях экстремума
(принцип Ферма) в произвольном банаховом пространстве (без доказательства).
Необходимые условия экстремума в конечномерном пространстве. Алгоритмический смысл
необходимых условий.
2.2 Гладкая задача с равенствами в произвольном банаховом пространстве. Понятия
функции Лагранжа и множителей Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума в
общей гладкой задаче с равенствами (без доказательства).
2.3 Гладкая задача с равенствами в произвольном банаховом пространстве.
Комментарии к утверждениям теоремы о необходимых условиях экстремума. Условия
стационарности и их значение для нахождения решения. Условия регулярности и их
теоретическое значение. Особая роль множителя Лагранжа 𝜆0 , соответствующего целевому
функционалу.
2.4 Гладкая задача с равенствами в конечномерном евклидовом пространстве. Задание
множителей Лагранжа и функции Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума в
конечномерной задаче с равенствами (без доказательства).
2.5 Гладкая задача с равенствами в конечномерном евклидовом пространстве.
Аналитические выражения условий стационарности и регулярности. Основная система
соотношений для определения допустимой экстремали. Разрешимость основной системы
соотношений (алгоритмический смысл необходимых условий экстремума).
2.6 Гладкая задача с равенствами и неравенствами в произвольном банаховом
пространстве. Функция Лагранжа и множители Лагранжа. Теорема о необходимых условиях
экстремума в общей гладкой задаче с равенствами и неравенствами (без доказательства).
2.7 Гладкая задача с равенствами и неравенствами в произвольном банаховом
пространстве. Комментарии к утверждению теоремы о необходимых условиях экстремума.
Характеристика условий стационарности функции Лагранжа, дополняющей нежесткости и
неотрицательности. Система соотношений для определения допустимых экстремалей.
2.8 Выпуклая задача с неравенствами и нефункциональными ограничениями в
произвольном банаховом пространстве. Теорема Куна-Таккера (без доказательства).
2.9 Выпуклая задача с неравенствами и нефункциональными ограничениями в
произвольном банаховом пространстве. Комментарии к утверждениям теоремы КунаТаккера. Математическое содержание и значение усиленной формы условия стационарности,
условий дополняющей нежесткости и неотрицательности. Условие Слейтера как условие
регулярности задачи и достаточное условие экстремума.
Раздел 3. Оптимизация в функциональных пространствах. Общая характеристика
задач классического вариационного исчисления (КВИ) и оптимального управления
(ОУ).
3.1 Описание классов функций, на которых определены экстремальные задачи КВИ и
ОУ. Функциональные пространства 𝐶1𝑛 ([𝑡0 , 𝑡1 ]), 𝐶 𝑛 ([𝑡0 , 𝑡1 ]). Особенности функции состояний
и управлений в задачах оптимального управления.
3.2 Общая характеристика и структура задач вариационного исчисления (ВИ) и
оптимального управления (ОУ). Целевые функционалы, ограничения, граничные условия.
3.3 Общая постановка экстремальной задачи вариационного исчисления и
оптимального управления. Особенности задач ВИ и ОУ.
Раздел 4. Задачи классического вариационного исчисления.
4.1 Классическая задача Больца без ограничений. Постановка задачи. Теорема о
необходимых условиях экстремума (без доказательства).
4.2 Алгоритм исследования классической задачи Больца (одномерный и многомерный
варианты).
4.3 Простейшая задача КВИ. Постановка задачи. Теорема о необходимых условиях
экстремума (условия первого порядка) (без доказательства).
4.4 Условия второго порядка в простейшей задаче КВИ. Условие Лежандра. Условие
Якоби (формулировки для одномерного варианта).
4.5 Теорема о необходимых условиях первого и второго порядка в простейшей задаче
КВИ (без доказательства).
4.6 Теорема о достаточных условиях экстремума в простейшей задаче КВИ (без
доказательства).
4.7 Общая задача КВИ с граничными условиями. Постановка задачи. Теорема о
необходимых условиях экстремума (без доказательства).
4.8 Алгоритм исследования общей задачи КВИ с граничными условиями. О
возможности нахождения неизвестных функций и неизвестных постоянных, входящих в
полную систему соотношений, состоящую из необходимых условий и ограничений исходной
задачи.
4.9 Особенности условий трансверсальности в общей задаче КВИ с граничными
условиями. Общая закономерность, характерная для условий трансверсальности в задачах
КВИ и ОУ.
4.10 Метод непосредственной проверки как специальный метод доказательства
утверждения о том, что найденная допустимая экстремаль является решением исследуемой
задачи КВИ. Описание и теоретическое обоснование метода непосредственной проверки в
задачах КВИ.
Раздел 5. Теория оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
5.1 Классическая (понтрягинская) постановка задачи ОУ: задача с фиксированным
интервалом времени и закрепленным левым концом траектории. Прикладное значение
классической задачи и ее место в общей теории оптимального управления.
5.2 Теорема о необходимых условиях экстремума в классической задаче ОУ (принцип
максимума в классической задаче) (без доказательства). Некоторые особенности принципа
максимума в классической задаче ОУ.
5.3 Общая постановка задачи ОУ с переменным интервалом времени без фазовых и
смешанных ограничений. Основные объекты, определяющие задачу, их содержание и
особенности.
5.4 Принцип максимума в форме Гамильтона (формулировка теоремы).
5.5 Принцип максимума в форме Лагранжа (формулировка теоремы).
5.6 Теоретические особенности принципа максимума: взаимосвязь и значение двух
форм, связь принципа максимума и общего принципа Лагранжа для экстремальных задач с
ограничениями.
5.7 Возможности использования принципа максимума. Условия максимума и
особенности его использования. Общая схема исследования задачи ОУ на основе принципа
максимума.
Раздел 6. Теория оптимального управления. Принцип оптимальности Беллмана и
метод динамического программирования.
6.1 Принцип оптимальности Беллмана (авторская формулировка). Интерпретации
принципа Беллмана.
6.2 Общая схема метода динамического программирования, основанного на принципе
оптимальности Беллмана.
6.3 Постановка задачи оптимального распределения ресурсов.
6.4 Задача оптимального распределения ресурсов как динамическая задача
оптимального управления с дискретным временем.
6.5 Уравнение Беллмана в задаче оптимального распределения ресурсов (идейнотеоретическое обоснование уравнения). Теоретическое значение решения уравнения
Беллмана.
6.6 Дискретизация задачи оптимального распределения ресурсов. Дискретный аналог
уравнения Беллмана.
6.7 Разработка и обоснование метода численного решения уравнений Беллмана и
нахождения оптимального распределения ресурсов (оптимального управляемого процесса).
6. Лабораторный практикум не предусмотрен.
7. Курсовая работа не предусмотрена.
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
8.1. Рекомендуемая литература:
а) основная литература:
1) Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007.
2) Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. – М.: Эдиториал УРСС, 2002.
3) Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974.
4) Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
– 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
б) дополнительная литература:
1) Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005.
2) Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р.. Математическая теория
конструирования систем управления. – М.: Высшая школа, 1998.
3) Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: Издательство иностранной
литературы, 1960.
4) Беллман. Р., Гликберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории
процессов управления. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
5) Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. – М.:
Наука, 1965.
6) Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969.
7) Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное
управление. – М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 1999.
8) Васильев Ф.П. Методы оптимизации. – М.: МЦНМО, 2011.
9) Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.:
Айрис-пресс, 2002.
10) Основы теории оптимального управления. Под редакцией В.Ф. Кротова. – М.:
Высшая школа, 1990.
11) Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. Мищенко Е.Ф. Математическая
теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1976.
8.2. Программное обеспечение.
Пакеты прикладных программ, необходимых для выполнения заданий на тему
«Решение задачи оптимального распределения ресурсов методом динамического
программирования».
Варианты: Exel, Statistica
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Специальное материально-техническое обеспечение не предусматривается.
10. Методика проведения итогового контроля знаний по дисциплине
«Методы оптимизации».
1) Накопленная оценка определяется как оценка выполнения контрольной (домашней)
работы. Варианты контрольной работы включены в рабочую программу.
2) Итоговая оценка определяется как оценка ответов студента на итоговом испытанииэкзамене по теоретическому материалу. Список вопросов по теоретическому
материалу включён в рабочую программу.
3) Результирующая оценка по изучению данной дисциплины определяется как среднее
накопленной и итоговой оценок с весовыми коэффициентами 0.4 и 0.6
соответственно.