DOC, 560 Кб - Высшая школа экономики

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета "Высшая школа экономики"
Департамент прикладной математики
Рабочая программа дисциплины «Методы оптимизации»
для образовательной программы
«Прикладная математика», направление подготовки 01.03.04
«Прикладная математика» бакалавра
Разработчик программы:
Шнурков П.В., кандидат физико-математических наук, доцент, pshnurkov@hse.ru
Одобрена на заседании департамента
«___»____________ 2015 г.
прикладной
математики
МИЭМ
НИУ
ВШЭ
Руководитель департамента А.В. Белов________________________
Рекомендована Академическим советом образовательной программы «Прикладная математика»
«___»____________ 2015 г., № протокола _______________
Председатель _____________________________________
Утверждена «___»_____________ 2015 г.
Академический руководитель образовательной программы «Прикладная математика»
Л.А. Манита _________________________________________________________________
Москва, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения департамента-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Методы оптимизации».
Программа разработана в соответствии с:
 Федеральным государственным образовательным стандартом (ФГОС) по направлению
01.03.04 «Прикладная математика»;
 Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра, утвержденном в 2015г.
2. Цели освоения дисциплины
Целями преподавания данной дисциплины «Методы оптимизации» являются:
 Получение фундаментальных знаний по основам математической теории оптимизации и
теории решения экстремальных задач;
 Создание у студентов устойчивого представления о современных математических методах
оптимизации, используемых при анализе экономических и технических систем.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать
Общий метод решения (исследования) экстремальной задачи с ограничениями, основные
этапы этого метода, их теоретическое и прикладное значение;
Общую характеристику математических методов и средств, используемых на различных этапах решения экстремальной задачи;
Теоретические результаты из функционального анализа, необходимые для формулировки и
исследования экстремальных задач (основы теории линейных непрерывных отображений,
теории сильного дифференцирования);
Формулировки утверждений о необходимых условиях экстремума для основных видов экстремальных задач (гладкая задача без ограничений, гладкая задача с ограничениями в форме
равенств и неравенств, выпуклая задача с неравенствами и нефункциональными ограничениями);
Основные особенности исследования основных видов экстремальных задач, перечисленных
выше;
Теоретические формулировки необходимых условий экстремума в различных задачах классического вариационного исчисления (КВИ) и оптимального управления (ОУ), приведённые
в соответствующих разделах учебного курса;
Теоретические методики составления и исследования систем соотношений, возникающих в
различных задачах КВИ и ОУ, решениями которых являются допустимые экстремали.
 Уметь
1. Проводить аналитические исследования различных видов задач КВИ и ОУ на основе известных теоретических методик;
2. Использовать учебную и учебно-научную литературу для уточнения и осмысления теоретических результатов, приведенных в настоящем курсе;
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
3. Использовать учебные пособия для дополнительного изучения методики решения экстремальных задач КВИ и ОУ.
 Иметь навыки (приобрести опыт)
1. Самостоятельного решения различных видов экстремальных задач КВИ и ОУ, приобретаемыми на семинарских занятиях, а также в ходе выполнения контрольных работ и домашних
заданий.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по ФГОС/ НИУ
ОК-1
Способность владеть культурой мышления, умение аргументировано и
ясно строить устную и письменную речь
Способность уважительно и бережно относиться к историческому наследию и культурным традициям, толерантность в воспитании социальных и
культурных различий
Способность осознать социальную значимость своей будущей профессии,
обладать высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности
Способность и готовность к письменной и устной коммуникации на родном языке
способностью работать с информацией в глобальных компьютерных сетях
Способность использовать в научной и познавательной деятельности, а
также в социальной сфере профессиональные навыки работы с информационными и компьютерными технологиями
В области научно-исследовательской деятельности:
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных
наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теории, связанных с прикладной математикой и информатикой
В проектной и производственно-технологической деятельности:
Способность применять в профессиональной деятельности современные
языки программирования и языки баз данных, операционные системы,
электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии
В организационно-управленческой деятельности:
Способность приобретать и использовать организационно-управленческие
навыки в профессиональной и социальной деятельности
Способность составлять и контролировать план выполняемой работы,
планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать
результаты собственной работы
В социально-ориентированная деятельности:
Способность реализации решений, направленных на поддержку социально-значимых проектов, на повышение электронной грамотности населения, обеспечения общедоступности информационных услуг
ОК-2
ОК-9
ОК-10
ОК-12
ОК-14
ПК-1
ПК-10
ПК-11
ПК-12
ПК-14
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Методы оптимизации.
Направление 01.03.04 «Прикладная математика». Образовательная программа «Прикладная
математика». Форма обучения: очная. Степень: бакалавр.
Б.2.Б. Математический и естественно-научный цикл. Базовая часть.
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
Зачет. ед. 4, 3 курс, модули 1,2
Всего часов 144, ауд. 60, лекций 30, семин. 30; самост. работа 84, в т.ч. итог и промежуточный контроль 20.
Ауд. часы по модулям: 1 – 32, 2 –28 (8 недель+7 недель).
Формы контроля: контр. работа 1, дом. задание 1.
Итог. контроль – экзамен (2 модуль).





Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
Математический анализ;
Линейная алгебра и геометрия;
Дифференциальные уравнения;
Функциональный анализ;
Дополнительные главы функционального анализа
Для освоения учебной дисциплины «Методы оптимизации» студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями.
В области математического анализа. Знать основы теории дифференциального и интегрального исчисления, уметь уверено производить стандартные аналитические операции, связанные с дифференцированием и интегрированием.
В области линейной алгебры. Знать теорию решения конечных систем линейных уравнений.
В области дифференциальных уравнений. Знать и уметь применять теоремы существования
решений систем дифференциальных уравнений первого порядка. Уметь решать основные
виды дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
В области функционального анализа. Знать основные понятия теории нормированных и банаховых пространств. Знать и уметь использовать основы теории линейных непрерывных
отображений в конечномерных и банаховых пространствах. В частности, знать общую конструкция линейного непрерывного функционала, заданного на конечномерном пространстве,
и линейного непрерывного оператора, действующего в конечномерных пространствах. Знать
общее понятие сопряженного оператора и его задание в конечномерных пространствах.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:
 Исследование операций;
 Теория управления.
5. Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
Название раздела
Общая характеристика экстремальных задач и методов их решения.
Вспомогательные сведения из теории
функций и функционального анализа.
Виды экстремальных задач и основополагающие теоретические результаты.
Всего
часов
10
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
0
6
0
Самостоятельная
работа
4
18
6
0
0
12
30
12
0
0
18
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
4
5
6
7
8
Линейное программирование как специальный метод оптимизации в конечномерных пространствах.
Оптимизация в функциональных пространствах. Общая характеристика задач
вариационного исчисления и оптимального управления.
Задачи классического вариационного исчисления.
Теория оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
Теория оптимального управления. Принцип оптимальности Беллмана и метод динамического программирования.
4
0
2
0
2
10
0
6
0
4
40
0
16
0
24
18
4
4
0
10
14
4
4
0
6
6. Формы контроля знаний студентов
6.1.Общая структура контроля
Тип контроля Форма контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Параметры
1
2
Контрольная работа 6 нед.
Письменная работа 60 минут
Домашнее задание
3 нед. Письменная работа. Решение трёх задач
(две обязательно).
Варианты приведены в п. 9.1
Экзамен
Устный экзамен по теоретическому материалу.
Вопросы к экзамену приведены в п. 9.2
6.2.Критерии оценки знаний, навыков
При выполнении заданий текущего контроля (контрольных работ и домашних заданий) студент должен продемонстрировать следующие знания и умения:
1. Знания теоретических результатов по теории классического вариационного исчисления
(КВИ);
2. Умение применять известные теоретические результаты для анализа конкретных задач КВИ,
т.е. формулировать и интерпретировать необходимые и достаточные условия экстремума в
указанных задачах;
3. Умение корректно и тщательно проводить аналитические действия (решение дифференциальных уравнений, аналитические преобразования), необходимые для исследования задачи;
4. Умение правильно формулировать и включать в текст работы пояснения ко всем проводимым действиям, формулировать их смысл и значение в общей схеме решения задачи;
5. Умения и навыки качественного оформления промежуточных и итоговых результатов исследования, их представления в логически последовательной, подробной и аккуратной форме
При ответах на вопросы итогового контроля (теоретического экзамена) студент должен продемонстрировать следующие знания и умения:
1. Знания теоретических фактов, входящих в программу данной учебной дисциплины (определений, понятий, формулировок теоретических утверждений);
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
2. Знание и осмысление основных связей между введёнными в курсе понятиями и теоретическими утверждениями;
3. Знание и понимание места и значения каждого теоретического утверждения (леммы, теоремы, следствия) в общей системе научных знаний по каждому разделу теории в данной области науки;
4. Знание и понимание методов, используемых при обосновании получаемых теоретических
результатов;
5. Умение применять изученные методы для обоснования производимых в курсе фактов и теоретических утверждений, знание приводимых доказательств утверждений и умение их воспроизвести корректно, подробно и последовательно;
6. Умения и навыки аккуратно и последовательно оформлять ответы на поставленные вопросы.
7. Содержание дисциплины
7.1.Общее описание содержания дисциплины
Раздел 1. Общая характеристика экстремальных задач и методов их решения.
(лекции – 6 часов, семинарские занятия – 0 часов)
1.1. Общая постановка экстремальной задачи в некотором функциональном пространстве. Различные виды ограничений. Основные свойства, характеризующие экстремальную задачу
(гладкость и выпуклость).
1.2. Общее понятие решения экстремальной задачи. Решение задачи без ограничений, локальный и глобальный безусловные экстремумы. Решение задачи с ограничениями. Понятия допустимой точки и экстремали. Допустимая экстремаль. Общее определение локального и
глобального (абсолютного) экстремума в задаче с ограничениями. Связь допустимой экстремали и решения задачи.
1.3. Общий метод исследования экстремальной задачи. Первый этап: исследование на основе
необходимых условий экстремума. Понятие функции Лагранжа и условия стационарности
этой функции. Составление системы соотношений, состоящей из необходимых условий и
ограничений исходной задачи (условный термин: полная система необходимых условий).
Аналитическое исследование полной системы и нахождение допустимых значений. Второй
этап: математически корректное обоснование того, что некоторая допустимая экстремаль
доставляет решение исходной задачи. Три основных метода такого обоснования:
1) Метод, основанный на непосредственной проверке свойств экстремума (в соответствии с определением);
2) Метод, основанный на использовании достаточных условий экстремума;
3) Метод, основанный на использовании теоремы существования решения исходной задачи.
Раздел 2. Вспомогательные сведения из теории функций и функционального анализа.
(лекции – 6 часов, семинарские занятия – 0 часов)
2.1. Линейные непрерывные функционалы и линейные непрерывные операторы в функциональных пространствах.
2.1.1. Линейный непрерывный функционал (определение). Множество линейных непрерывных функционалов, определённых на заданном линейном нормированном пространстве
Х. Задание линейных операций и нормы на множестве линейных непрерывных функционалов. Понятие пространства Х*, сопряженного к пространству Х.
Общая структура линейного непрерывного функционала, заданного на конечномерном
пространстве Х=Rn. Пространство, сопряженное к конечномерному.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
2.1.2. Линейный непрерывный оператор (определение). Множество линейных непрерывных
операторов, отображающих нормированное пространство Х в нормированное пространство Y. Линейные операции и нормы на указанных пространствах.
2.1.3. Линейные операторы в сопряжённых пространствах. Определение сопряжённого оператора.
Общая структура линейного непрерывного оператора, действующего в конечномерных
пространствах. Описание соответствующего сопряжённого оператора.
2.2. Сильная дифференцируемость в банаховых пространствах.
2.2.1. Определение сильной производной отображения F, действующего из банахова пространства Х в банахово пространство Y. Идея, свойства сильной дифференцируемости.
Дополнительные понятия непрерывной сильной дифференцируемости (гладкости) и регулярности отображения F.
2.2.2. Связь общего понятия сильной производной и классических понятий производной в
конечномерных пространствах. Непосредственное задание линейных непрерывных операторов производных в непрерывных пространствах.
2.2.3. Основные свойства сильной производной. Производная отображения – аналог постоянной величины (доказательство). Производная линейного непрерывного оператора
(доказательство). Производная линейной комбинации отображений (доказательство).
Понятие сложной функции (композиции отображений). Теорема о производной сложной функции (без доказательства).
Раздел 3. Виды экстремальных задач и основополагающие теоретические результаты.
(лекции – 6 часов, семинарские занятия – 0 часов)
3.1. Гладкая задача без ограничений. Теорема о необходимых условиях экстремума (принцип
Ферма) в произвольном банаховом пространстве (без доказательства). Необходимые условия экстремума в конечномерном пространстве. Алгоритмический смысл необходимых
условий.
3.2. Гладкая задача с равенствами в произвольном банаховом пространстве. Понятия функции
Лагранжа и множителей Лагранжа.
3.2.1. Теорема о необходимых условиях экстремума в общей гладкой задаче с равенствами
(без доказательства).
3.2.2. Гладкая задача с равенствами в произвольном банаховом пространстве. Комментарии
к утверждениям теоремы о необходимых условиях экстремума. Условия стационарности и их значение для нахождения решения. Условия регулярности и их теоретическое
значение.
3.3. Особая роль множителя Лагранжа λ0, соответствующего целевому функционалу. Система,
состоящая из необходимых условий и ограничений исходной задачи.
3.3.1. Гладкая задача с равенствами в конечномерном евклидовом пространстве. Задание
множителей Лагранжа и функции Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума в конечномерной задаче с равенствами (без доказательства).
3.3.2. Гладкая задача с равенствами в конечномерном евклидовом пространстве. Аналитические выражения условий стационарности и регулярности. Основная система соотношений для определения допустимой экстремали. Разрешимость основной системы соотношений (алгоритмический смысл необходимых условий экстремума).
3.4. Гладкая задача с равенствами и неравенствами в произвольном банаховом пространстве.
3.4.1. Функция Лагранжа и множители Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума в общей гладкой задаче с равенствами и неравенствами (без доказательства).
3.4.2. Гладкая задача с равенствами и неравенствами в произвольном банаховом пространстве. Комментарии к утверждению теоремы о необходимых условиях экстремума. Характеристика условий стационарности функции Лагранжа, дополняющей нежесткости и
неотрицательности. Система соотношений для определения допустимых экстремалей.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
3.5. Выпуклая задача с неравенствами и нефункциональными ограничениями в произвольном
банаховом пространстве. Теорема Куна-Таккера (без доказательства). Комментарии к
утверждениям теоремы Куна-Таккера. Математическое содержание и значение усиленной
формы условия стационарности, условий дополняющей нежесткости и неотрицательности.
Условие Слейтера как условие регулярности задачи. Условие Слейтера и достаточные условия экстремума в исходной выпуклой задаче с неравенствами и нефункциональными ограничениями.
Раздел 4. Линейное программирование как специальный метод оптимизации в конечномерных пространствах.
(лекции – 6 часов, семинарские занятия – 0 часов)
Общая характеристика задачи линейного программирования. Идея метода исследования задачи.
Описание симплекс-метода решения задачи линейного программирования на примере трёхмерной
исходной задачи.
Раздел 5. Оптимизация в функциональных пространствах. Общая характеристика задач вариационного исчисления и оптимального управления.
(лекции – 0 часов, семинарские занятия – 6 часов)
5.1. Описание классов функций, на которых определены экстремальные задачи КВИ и ОУ.
Функциональные пространства
. Особенности функции состояний и
управлений в задачах оптимального управления.
5.2. Общая характеристика и структура задач вариационного исчисления (ВИ) и оптимального
управления (ОУ). Целевые функционалы, ограничения, граничные условия.
5.3. Общая постановка экстремальной задачи вариационного исчисления и оптимального управления. Особенности задач ВИ и ОУ.
Раздел 6. Задачи классического вариационного исчисления.
(лекции – 0 часов, семинарские занятия – 16 часов)
6.1. Задача классического вариационного исчисления как экстремальная задача с ограничениями, заданная на функциональном пространстве
. Описание необходимых условий. Система, состоящая из необходимых условий и ограничений исходной задачи. Допустимая экстремаль х*(·) как элемент пространства
. Возможные методы доказательства того, что допустимая экстремаль х*(·) является решением исходной задачи КВИ.
Описание и теоретическое обоснование метода непосредственной проверки, применяемого
в задачах КВИ.
6.2. Классическая задача Больца без ограничений. Постановка задачи. Теорема о необходимых
условиях экстремума (без доказательства). Алгоритм исследования классической задачи
Больца (одномерный и многомерный варианты).
6.3. Простейшая задача КВИ.
6.3.1. Постановка задачи. Теорема о необходимых условиях экстремума (условия первого
порядка) (без доказательства).
6.3.2. Условия второго порядка в простейшей задаче КВИ. Условие Лежандра. Условие
Якоби (формулировки для одномерного варианта). Теорема о необходимых условиях
первого и второго порядка в простейшей задаче КВИ (без доказательства). Теорема о
достаточных условиях экстремума в простейшей задаче КВИ (без доказательства).
6.4. Общая задача КВИ с граничными условиями.
6.4.1. Постановка задачи. Теорема о необходимых условиях экстремума (без доказательства).
6.4.2. Алгоритм исследования общей задачи КВИ с граничными условиями. О возможности
нахождения неизвестных функций и неизвестных постоянных, входящих в полную си8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
стему соотношений, состоящую из необходимых условий и ограничений исходной задачи.
6.4.3. Особенности условий трансверсальности в общей задаче КВИ с граничными условиями. Общая закономерность, характерная для условий трансверсальности в задачах
КВИ и ОУ.
6.4.4. Метод непосредственной проверки как специальный метод доказательства утверждения о том, что найденная допустимая экстремаль является решением исследуемой задачи КВИ.
Раздел 7. Теория оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
(лекции – 4 часа, семинарские занятия – 4 часа)
7.1. Классическая (понтрягинская) постановка задачи ОУ: задача с фиксированным интервалом
времени и закрепленным левым концом траектории. Прикладное значение классической задачи и ее место в общей теории оптимального управления. Теорема о необходимых условиях экстремума в классической задаче ОУ (принцип максимума в классической задаче) (без
доказательства). Некоторые особенности принципа максимума в классической задаче ОУ.
7.2. Общая постановка задачи ОУ с переменным интервалом времени без фазовых и смешанных
ограничений. Основные объекты, определяющие задачу, их содержание и особенности.
Принцип максимума в форме Гамильтона (формулировка теоремы). Принцип максимума в
форме Лагранжа (формулировка теоремы).
7.3. Теоретические особенности принципа максимума: взаимосвязь и значение двух форм, связь
принципа максимума и общего принципа Лагранжа для экстремальных задач с ограничениями.
7.4. Возможности использования принципа максимума для решения задачи ОУ. Общая схема
исследования задачи ОУ на основе принципа максимума.
Раздел 8. Теория оптимального управления. Принцип оптимальности Беллмана и метод динамического программирования.
(лекции – 4 часа, семинарские занятия – 4 часа)
8.1.Принцип оптимальности Беллмана (авторская формулировка). Интерпретации принципа
Беллмана. Общая схема метода динамического программирования, основанного на принципе
оптимальности Беллмана.
8.2.Анализ метода динамического программирования на примере решения задачи оптимального
распределения ресурсов.
8.2.1.Постановка задачи оптимального распределения ресурсов.
8.2.2.Задача оптимального распределения ресурсов как динамическая задача оптимального
управления с дискретным временем. Уравнение Беллмана в задаче оптимального распределения ресурсов (идейно-теоретическое обоснование уравнения). Теоретическое значение
решения уравнения Беллмана. Дискретизация задачи оптимального распределения ресурсов.
8.2.3.Численное решение задачи оптимального распределения ресурсов на основе метода динамического программирования. Дискретный аналог уравнения Беллмана. Разработка и
обоснование метода численного решения уравнений Беллмана и нахождения оптимального
распределения ресурсов (оптимального управляемого процесса).
8.3.Метод динамического программирования в задачах оптимального управления с дискретным
временем.
8.3.1.Общая постановка задачи ОУ с дискретным временем. Задача с конечным горизонтом и
закреплённым левым концом траектории.
8.3.2.Уравнение Беллмана в задаче ОУ с дискретным временем (доказательство теоремы о
выполнении уравнений Беллмана).
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
8.3.3.Уравнение Беллмана и оптимальный управляемый процесс. Утверждение об оптимальности управляемого процесса, удовлетворяющего уравнению Беллмана и ограничениям исходной задачи.
7.2.Содержание семинарских занятий (дополнения к соответствующим разделам)
Раздел 5. Оптимизация в функциональных пространствах. Общая характеристика задач вариационного исчисления и оптимального управления.
Занятие 5.1. Общая характеристика задач КВИ.
Основные особенности экстремальных задач классического вариационного исчисления. Структура
задачи КВИ. Функционалы, ограничения, граничные условия.
n
t0,t1:

C
Основные виды задач КВИ. Задачи с одним параметром x
1
1. Задача Больца без ограничений (постановка задачи)
2. Простейшая (векторная) задача (постановка задачи)
3. Общая задача КВИ с граничными условиями (постановка задачи)
n
r













C
t
,
t
,
u


C
t
,
t
4. Задачи с двумя параметрами x
:
1
0
1
1
0
1
Задача Лагранжа (постановка задачи).
Занятие 5.2. Понятие решения экстремальной задачи КВИ. Понятие функции, допустимой в исходной задаче КВИ. Понятие допустимой экстремали.
Определение слабого и сильного локального экстремума в задаче с одним параметром.
Определение слабого и сильного локального экстремума в задаче с двумя параметрами.
Связь понятий слабого и сильного локального экстремума. Соотношение необходимых условий для
слабого и сильного локального экстремума. Соотношение достаточных условий для слабого и сильного локального экстремума.
Занятие 5.3. Методы исследования задач КВИ.
Общая схема решения экстремальной задачи КВИ. Два основных этапа исследования:
1) Составление общей системы соотношений, включающей необходимые условия и ограничения
исходной задачи. Исследование полученной системы и нахождение допустимых экстремалей.
2) Исследование найденных допустимых экстремалей и нахождение решения задачи. Описание
возможных методов исследования на втором этапе решения экстремальной задачи КВИ.
1) Метод непосредственной проверки определения локального или глобального экстремума
2) Проверка достаточных условий экстремума
3) Использование теорем существования и единственности решения задачи
Подробное описание основного аналитического метода исследования – метода непосредственной
проверки. Теоретическое обоснование данного метода.
Особая проблема: доказательство того факта, что найденная функция (допустимая экстремаль) не
доставляет локального экстремума и, таким образом, не является решением исходной задачи.
Раздел 6. Задачи классического вариационного исчисления.
Занятие 6.1. Классическое вариационное исчисление. Задача Больца без ограничений.
Теорема о необходимых условиях экстремума в данной задаче (формулировка).
Анализ системы необходимых условий экстремума в задаче Больца (уравнение Эйлера, условия
трансверсальности).
Алгоритмический смысл необходимых условий экстремума в задаче Больца без ограничений.
Задача 1. Постановка задачи:
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
I  x 
 x
T0
2

(t )  xt  dt  x 2 (1)  inf
0
x  C11 0,1
Необходимые условия экстремума в задаче - уравнение Эйлера и условия трансверсальности (подробный вывод на основе утверждения теоремы о необходимых условиях экстремума).
Занятие 6.2. Классическое вариационное исчисление. Задача Больца без ограничений (завершение
анализа).
Исследование необходимых условий экстремума в задаче 1 и нахождение единственной допустимой экстремали.
1
2
Единственная допустимая экстремаль x*(t) 3t . Доказательство того, что x* (t ) представляет
4
собой слабый глобальный (абсолютный ) минимум методом непосредственной проверки.


Занятие 6.3.Классическое вариационное исчисление. Простейшая задача. Теоретический результат.
Теорема о необходимых условиях экстремума в простейшей задаче (условие первого порядка).
Формулировка теоремы. Нахождение допустимой экстремали.
Анализ конкретной задачи.
Задача 2. Постановка задачи:
1


I x   xt   x 2 (t ) dt  extr (1)
0
x(0)  0, x(1)  0
(2)
x  C11 0,1.
Общая система соотношений для определения допустимой экстремали: уравнения Эйлера и граничные условия (2) исходной задачи.
1
Единственная допустимая экстремаль x* (t )  t  t 2 .
4
Методом непосредственной проверки устанавливается, что для любой допустимой функции
1





x
(

)

x
(

)

h
(

)
,
где
h


C
0
,
1
, h(0)=0, h(1)=0 выполняется соотношение
*
1
I(x())
I(x
))
(
Таким образом, функция x* () доставляет глобальный максимум в задаче (1)-(2).
Построение последовательности допустимых функций xn(t)=nt(t-1), n=1,2,..., для которой
I(
x
(
))


,n


n
.
Следовательно, функционал I ( x()) не ограничен снизу на множестве допустимых функций, и решения задачи (1)-(2) на минимум не существует.


Занятие 6.4. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в простейшей задаче КВИ. Теоретические сведения.
Вычисление вспомогательных характеристик в простейшей задаче КВИ (вторые производные интегранта, вычисляемые на заданной функции).
Условие Лежандра (стандартное). Усиленное условие Лежандра.
Уравнение Якоби в общей форме и уравнение Якоби, разрешённое относительно старшей производной. Фундаментальное решение уравнения Якоби (одномерный случай). Понятие сопряжённой
точки. Условие Якоби (стандартное). Усиленное условие Якоби.
11
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
Теорема о необходимых условиях слабого минимума в простейшей задаче для условий первого и
второго порядка (формулировка, без доказательства).
Теорема о достаточных условиях слабого минимума в простейшей задаче (формулировка, без доказательства).
Занятие 6.5. Достаточные условия экстремума в простейшей задаче КВИ.
Анализ конкретной задачи.
Постановка задачи:
1


I x   xt   x 2 (t ) dt  max
(1)
0
x(0)  0, x(1)  0
(2)
x  C11 0,1.
Преобразование задачи (1)-(2) в стандартную задачу на минимум. Вычисление вспомогательных
характеристик: вторых производных интегранта на допустимой экстремали. Проверка усиленного
условия Лежандра. Уравнение Якоби. Фундаментальное решение и его свойства. Проверка выполнения усиленного условия Якоби.
Применение теоремы о достаточных условиях слабого экстремума.
1
Вывод: единственная допустимая экстремаль x* (t )  t  t 2 доставляет слабый локальный макси4
мум в исходной задаче (1)-(2).


Занятие 6.6. Классическое вариационное исчисление. Общая задача КВИ с граничными условиями. Теоретические сведения.
Теорема о необходимых условиях экстремума в данной задаче (формулировка).
Система соотношений в общей задаче с граничными условиями состоящая из необходимых условий
и ограничений исходной задачи.
Закономерности, связанные с условиями трансверсальности. Разрешимость общей системы соотношений и нахождение всех неизвестных параметров.
Занятия 6.7, 6.8. Классическое вариационное исчисление. Общая задача КВИ с граничными условиями.
Задача 3. Постановка задачи:
I x 
Т0
x0  0
 xt   x (t )dt  extr
2
(1)
0
(2)
x

C0T
, 0
Для решения используется методика исследования общей задачи с граничными условиями. Необходимые условия экстремума - уравнение Эйлера и условия трансверсальности. Подробный анализ
условий трансверсальности: условие трансверсальности в точке t 0  0 неинформативно.
1
1
1 T

t
 t20t. Методом непосредственной проверки
Единственная допустимая экстремаль x
*
4
2
 x*
 h
 , h0  0 выполняется услоустанавливается, что для любой допустимой функции x
вие
Ix
 Ix*
 , то есть функция x*  доставляет абсолютный максимум в исходной задаче (1) –
(2).
Раздел 7. Теория оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
Занятие 7.1. Задача об оптимальном быстродействии (часть 1).
Описание физической модели системы (движущаяся управляемая материальная точка). Физические
законы описания системы.
Математическая постановка задачи оптимального управления.
T
I ( x(), u ())  T   dt  inf
(1)
0
 x   x 
x   1    2 
 x 2   u 
 x ( 0)   a 
x(0)   1    01   a 0
 x 2 (0)   a 02 
( 2)
(3)
 x (T )   0 
   
x(T )   1
( 4)
 x 2 (T )   0 
u (t )  U  u  R : u  1
(5)
Необходимые условия экстремума: сопряженное уравнение, условие максимума функции Понтрягина. Общая структура оптимальных уравнений u (t ) . Общий вид фазовых траекторий при управлении, удовлетворяющих условиям принципа максимума.
Занятие 7.2. Задача об оптимальном быстродействии (часть 2).
Аналитическое исследование траекторий управляемого процесса. Определение неизвестных параметров оптимального процесса в зависимости от начальных условий.
Доказательство оптимальности управляемого процесса x (t ), u (t ); T , удовлетворяющего условиям принципа максимума в задаче об оптимальном быстродействии. Метод доказательства: использование вспомогательной функции  (t )   x1 (t )  x2 (t )(t   ) .
Раздел 8. Теория оптимального управления. Принцип оптимальности Беллмана и метод динамического программирования.
Занятие 8.1.
Задача оптимального распределения ресурсов (классическая экономическая проблема). Математическая постановка задачи и её экономическое содержание. Решение задачи на основе метода динамического программирования.
Определение (формальное) функции Беллмана данной задачи и её особенности. Уравнение Беллмана как основное теоретическое соотношение. Два способа вывода уравнение Беллмана: качественный вывод на основе принципа Беллмана и аналитический вывод на основе свойств экстремумов
функций.
Занятие 8.2.
Алгоритм решения задачи оптимального распределения ресурсов и его численная реализация.
Система функциональных уравнений Беллмана как теоретическая основа алгоритма решения задачи. Дискретизация задачи. Дискретный аналог уравнений Беллмана.
Первый этап реализации алгоритма (подготовительный). Создание вспомогательных массивов данных значений функции Беллмана и значений параметров управления, на которых достигается равенство в уравнениях Беллмана.
Второй этап реализации алгоритма (завершающий). Определение оптимальных значений параметров управления – объемов распределяемых ресурсов.
Утверждение об оптимальности решения задачи оптимального распределения ресурсов, полученного методом динамического программирования.
13
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
8. Образовательные технологии
В ходе преподавания данной дисциплины используются следующие образовательные технологии:
1. Чтение лекций, изложение теоретического материала;
2. Проведение семинарских занятий. Изложение дополнительного теоретического материала.
Анализ конкретных задач оптимизации и их решение на основе теоретического материала;
3. Самостоятельная работа студентов. Анализ результатов самостоятельной работы преподавателем в ходе
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1.Тематика заданий текущего контроля
Ниже приводятся два основных варианта домашней работы, выполняемой в письменной
форме. Решение задач 1 и 2 является обязательным. Задача 3 – дополнительная, решение проводится по желанию студента.
14
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики
Факультет прикладной математики и кибернетики
Дисциплина "Методы оптимизации"
Контрольная работа
Тема "Классическое вариационное исчисление"
Вариант №1
Задача 1. Решить задачу Больца.
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Провести исследование методом непосредственной проверки и доказать, что найденная экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
Задача 2. Решить простейшую задачу КВИ.
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Провести исследование методом непосредственной проверки и доказать, что найденная экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
3) Применить теорему о достаточных условиях экстремума в простейшей задаче КВИ и на её основании ещё раз доказать, что найденная экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
Задача 3*. Исследовать задачу Больца.
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Доказать, что данная экстремаль не является решением, т.е. не доставляет локального экстремума
в исходной задаче.
3) Доказать, что решения исходной задачи не существует, и целевой функционал
не является ограниченным снизу.
15
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики
Факультет прикладной математики и кибернетики
Дисциплина "Методы оптимизации"
Контрольная работа
Тема "Классическое вариационное исчисление"
Вариант №2
Задача 1. Решить задачу Больца.
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Провести исследование методом непосредственной проверки и доказать, что найденная экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
Задача 2. Решить простейшую задачу КВИ.
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Провести исследование методом непосредственной проверки и доказать, что найденная экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
3) Применить теорему о достаточных условиях экстремума в простейшей задаче КВИ и на её основании ещё раз доказать, что найденная экстремаль доставляет решение в исходной задаче.
Задача 3*. Исследовать задачу Больца.
1) Найти допустимую экстремаль.
2) Доказать, что данная экстремаль не является решением, т.е. не доставляет локального экстремума
в исходной задаче.
3) Доказать, что решения исходной задачи не существует, и целевой функционал
не является ограниченным снизу.
16
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
9.2.Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
В данном разделе программы приводится основной вариант набора вопросов для теоретического экзамена (итогового контроля по всему курсу). На основе данного вопросника могут составляться наборы вопросов итогового контроля в каждом учебном году.
Далее приводится основной вариант вопросов итогового контроля.
17
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
Дисциплина “Методы оптимизации”
Вопросы к экзамену по теоретическому материалу
(основной вариант вопросов итогового контроля)
Раздел 1. Общая характеристика экстремальных задач и методов их решения.
1.1. Общая постановка экстремальной задачи в некотором функциональном пространстве. Различные виды ограничений. Основные свойства, характеризующие экстремальную задачу
(гладкость и выпуклость).
1.2. Общее понятие решения экстремальной задачи. Решение задачи без ограничений, локальный и глобальный безусловные экстремумы. Решение задачи с ограничениями. Понятия допустимой точки и экстремали. Допустимая экстремаль. Общее определение локального и
глобального (абсолютного) экстремума в задаче с ограничениями. Связь допустимой экстремали и решения задачи.
1.3. Общий метод исследования экстремальной задачи. Первый этап: исследование на основе
необходимых условий экстремума. Содержание первого этапа: аналитическое исследование
системы соотношений, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи.
1.4. Общий метод исследования экстремальной задачи. Второй этап: математически корректное
нахождение решения задачи. Возможные способы обоснования получаемого результата.
Раздел 2. Вспомогательные сведения из теории функций и функционального анализа.
2.1. Сильная производная отображения, заданного из банаховых пространствах. Определение
сильной производной и теоретическое содержание этого понятий. Основная идея свойства
дифференцируемости.
2.2. Определение непрерывной дифференцируемости отображения, заданного в банаховом пространстве.
2.3. Регулярность отображения, заданного в банаховом пространстве.
2.4. Сильная производная в конечномерных пространствах. Формы задания линейного непрерывного оператора производной для отображений в конечномерных пространствах различной размерности. Связь общего понятия производной в банаховых пространствах и классического понятия производной в конечномерных пространствах.
2.5. Свойства сильной производной. Производные постоянной функции и линейного непрерывного оператора (доказательство).
2.6. Свойства сильной производной. Производная линейной комбинации отображений (доказательство).
2.7. Свойства сильной производной. Теорема о производной сложной функции (без доказательства).
Раздел 3. Виды экстремальных задач и основополагающие теоретические результаты.
3.1. Гладкая задача без ограничений. Теорема о необходимых условиях экстремума (принцип
Ферма) в произвольном банаховом пространстве (без доказательства). Необходимые условия экстремума в конечномерном пространстве. Алгоритмический смысл необходимых
условий.
3.2. Гладкая задача с равенствами в произвольном банаховом пространстве. Понятия функции
Лагранжа и множителей Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума в общей
гладкой задаче с равенствами (без доказательства).
3.3. Гладкая задача с равенствами в произвольном банаховом пространстве. Комментарии к
утверждениям теоремы о необходимых условиях экстремума. Условия стационарности и их
значение для нахождения решения. Условия регулярности и их теоретическое значение.
Особая роль множителя Лагранжа , соответствующего целевому функционалу.
18
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
3.4. Гладкая задача с равенствами в конечномерном евклидовом пространстве. Задание множителей Лагранжа и функции Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума в конечномерной задаче с равенствами (без доказательства).
3.5. Гладкая задача с равенствами в конечномерном евклидовом пространстве. Аналитические
выражения условий стационарности и регулярности. Основная система соотношений для
определения допустимой экстремали. Разрешимость основной системы соотношений (алгоритмический смысл необходимых условий экстремума)
3.6. Гладкая задача с равенствами и неравенствами в произвольном банаховом пространстве.
Функция Лагранжа и множители Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума в
общей гладкой задаче с равенствами и неравенствами (без доказательства).
3.7. Гладкая задача с равенствами и неравенствами в произвольном банаховом пространстве.
Комментарии к утверждению теоремы о необходимых условиях экстремума. Характеристика условий стационарности функции Лагранжа, дополняющей нежесткости и неотрицательности. Система соотношений для определения допустимых экстремалей.
3.8. Выпуклая задача с неравенствами и нефункциональными ограничениями в произвольном
банаховом пространстве. Теорема Куна-Таккера (без доказательства).
3.9. Выпуклая задача с неравенствами и нефункциональными ограничениями в произвольном
банаховом пространстве. Комментарии к утверждениям теоремы Куна-Таккера. Математическое содержание и значение усиленной формы условия стационарности, условий дополняющей нежесткости и неотрицательности. Условие Слейтера как условие регулярности задачи. Условие Слейтера как дополнительное, обеспечивающее достаточность необходимых
условий.
Раздел 4. Оптимизация в функциональных пространствах. Общая характеристика задач
классического вариационного исчисления (КВИ) и оптимального управления (ОУ).
4.1. Описание классов функций, на которых определены экстремальные задачи КВИ и ОУ.
Функциональные пространства
. Особенности функции состояний и
управлений в задачах оптимального управления.
4.2. Общая характеристика и структура задач вариационного исчисления (ВИ) и оптимального
управления (ОУ). Целевые функционалы, ограничения, граничные условия.
4.3. Общая постановка экстремальной задачи вариационного исчисления и оптимального управления. Особенности задач ВИ и ОУ.
Раздел 5. Задачи классического вариационного исчисления.
5.1. Общая схема исследования задави классического вариационного исчисления. Составление и
анализ полной системы соотношений, состоящей из необходимых условий и ограничений
исходной задачи.
5.2. Метод непосредственной проверки как специальный метод доказательства утверждения о
том, что найденная допустимая экстремаль является решением исследуемой задачи КВИ.
Описание и теоретическое обоснование метода непосредственной проверки в задачах КВИ.
5.3. Классическая задача Больца без ограничений. Постановка задачи. Теорема о необходимых
условиях экстремума (без доказательства).
5.4. Алгоритм исследования классической задачи Больца (одномерный и многомерный варианты).
5.5. Простейшая задача КВИ. Постановка задачи. Теорема о необходимых условиях экстремума
(условия первого порядка) (без доказательства).
5.6. Условия второго порядка в простейшей задаче КВИ. Условие Лежандра. Условие Якоби
(формулировки для одномерного варианта).
5.7. Теорема о необходимых условиях первого и второго порядка в простейшей задаче КВИ (без
доказательства).
19
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
5.8. Теорема о достаточных условиях экстремума в простейшей задаче КВИ (без доказательства).
5.9. Общая задача КВИ с граничными условиями. Постановка задачи. Теорема о необходимых
условиях экстремума (без доказательства).
5.10.
Алгоритм исследования общей задачи КВИ с граничными условиями. О возможности
нахождения неизвестных функций и неизвестных постоянных, входящих в полную систему
соотношений, состоящую из необходимых условий и ограничений исходной задачи.
5.11.
Особенности условий трансверсальности в общей задаче КВИ с граничными условиями. Общая закономерность, характерная для условий трансверсальности в задачах КВИ и
ОУ.
Раздел 6. Теория оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
7.1. Классическая (понтрягинская) постановка задачи ОУ: задача с фиксированным интервалом
времени и закрепленным левым концом траектории. Прикладное значение классической задачи и ее место в общей теории оптимального управления.
7.2. Теорема о необходимых условиях экстремума в классической задаче ОУ (принцип максимума в классической задаче) (без доказательства). Некоторые особенности принципа максимума в классической задаче ОУ.
7.3. Комментарии к формулировке принципа максимума в классической задаче ОУ. Множители
Лагранжа задачи и соотношения для их определения. Обоснование утверждения о том, что в
классической задаче множитель Лагранжа
не может быть равен нулю.
7.4. Комментарии к формулировке принципа максимума в классической задаче ОУ. Аналитическое содержание необходимых условий экстремума.
7.5. Общая схема исследования классической задачи ОУ на основе принципа максимума Понтрягина.
7.6. Общая постановка задачи ОУ с переменным интервалом времени без фазовых и смешанных
ограничений. Основные объекты, определяющие задачу, их содержание и особенности.
Раздел 7. Теория оптимального управления. Принцип оптимальности Беллмана и метод динамического программирования.
7.1. Принцип оптимальности Беллмана (авторская формулировка). Интерпретации принципа
Беллмана.
7.2. Общая схема метода динамического программирования, основанного на принципе оптимальности Беллмана.
7.3. Постановка задачи оптимального распределения ресурсов. Теоретическое и прикладное
значение рассматриваемой задачи.
7.4. Задача оптимального распределения ресурсов как динамическая задача оптимального
управления с дискретным временем.
7.5. Уравнение Беллмана в задаче оптимального распределения ресурсов (идейно-теоретическое
обоснование уравнения). Теоретическое значение решения уравнения Беллмана.
7.6. Дискретизация задачи оптимального распределения ресурсов. Дискретный аналог уравнения Беллмана.
7.7. Разработка и обоснование метода численного решения уравнений Беллмана и нахождения
оптимального распределения ресурсов (оптимального управляемого процесса).
20
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
10. Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает следующие виды работы студентов:
1. Аудиторную работу студентов на лекциях и семинарских занятиях;
2. Выполнение заданий текущего контроля (контрольных работ и домашнего задания);
3. Результаты итогового контроля (оценка результатов экзамена).
Оценки по всем видам работы выставляются по 10-балльной шкале.
Формирование оценки за аудиторную самостоятельную работу студентов.
Оценка за аудиторную работу студентов формируется по результатам посещаемости аудиторных занятий и личной активности, проявленной в ходе проведения этих занятий.
При общей посещаемости аудиторных занятий не ниже 80% и отсутствии нарушений дисциплины выставляется стандартная минимальная оценка 6 баллов. При более низкой посещаемости
аудиторная оценка может быть снижена и составляет:
 При посещаемости ниже 50% – 0 баллов;
 При посещаемости от 50% до 80% – 4 балла.
Оценка за аудиторную работу может быть увеличена при помощи начисления о 1 до 4 дополнительных баллов студентам, работа которых удовлетворяет требованиям, предъявленным к получению стандартной минимальной оценки 6 баллов. Если требования не выполняются, то дополнительные баллы не начисляются.
Начисление дополнительных баллов за аудиторную работу производится преподавателем и
зависит от следующих факторов:
1. Активности, проявленной в ходе проведения занятий, ответов на дополнительные вопросы,
участия в дискуссиях;
2. Полноты и аккуратности ведения записей содержания аудиторных занятий, конспектов лекционных и семинарских занятий;
3. Выполнение текущих домашних заданий (в данный вид самостоятельной работы не входят
стандартные домашние задания, предусмотренные в РУП и описываемые отдельно в данной
рабочей программе).
Максимальная оценка за аудиторную самостоятельную работу студентов – 10 баллов.
Формирование оценки выполнения заданий текущего контроля.
Оценка за выполнение заданий текущего контроля формируется на основе оценок за предусмотренные в программе контрольные работы и домашние задания.
В данном варианте программы эти формы самостоятельной работы объединены. Варианты
этой работы приведены в настоящей программе (см. п. 9.1). Критерии оценивания результатов выполнения работы описаны в п. 6.1.
В предлагаемых вариантах домашнего контрольного задания входят три задачи. Задачи 1 и 2
являются обязательными, задача 3, отмеченная знаком «*», выполняется по желанию. Максимальная оценка за выполнение задач 1 и 2 может составить 9 баллов.
Накопительная оценка по результатам текущего контроля определяется следующим образом:
Онакопленная= k1* Оауд..+ k2* Отекущ.,
где k1=0,4, k2=0,6.
Округление накопительной оценки производится по следующему правилу: если дробная
часть полученного результата меньше 0,6, то в меньшую сторону, если дробная часть полученного
результата больше или равна 0,6, то в большую сторону.
Формирование итоговой и результирующей оценки по данной дисциплине.
21
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
Итоговая оценка по данной дисциплине представляет собой оценку за ответ на устном экзамене по теоретическому материалу. Стандартный вариант перечня вопросов по теоретическому материалу данной дисциплины (вопросы к экзамену) приведён в программе (п. 9.2).
Критерии оценивания результатов итогового контроля (теоретического экзамена) описаны в
п. 6.2.
Результирующая оценка по данной дисциплине, которая выставляется в диплом, определяется следующим образом:
Онакопленная= k1* Онакопленная.+ k2* Оитог.,
где k1=0,4, k2=0,6.
Округление результирующей оценки производится по следующему правилу: если дробная
часть полученного результата меньше 0,6, то в меньшую сторону, если дробная часть полученного
результата больше или равна 0,6, то в большую сторону.
11.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – М.: Физматлит,
2005.(серия: классический университетский учебник)
2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. В двух томах. – М.: МЦНМО, 2011.
3. Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. – М.: Ленанд, 2015 (URSS).
4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – 7-е
изд. — М.:Физматлит, 2006 (серия: классический университетский учебник).
Дополнительная литература
1. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. Изд.3, испр. – М.:Физматлит, 2008 (серия: классический университетский
учебник).
2. Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: Издательство иностранной литературы,
1960.
3. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. – М.: Наука,
1965.
4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969.
5. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное
управление. – М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 1999.
6. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974.
7. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Айрис-пресс, 2002.
8. Основы теории оптимального управления. Под редакцией В.Ф. Кротова. – М.: Высшая школа, 1990.
9. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. Мищенко Е.Ф. Математическая теория
оптимальных процессов. – М.: Наука, 1976.
10. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Методы оптимизации: учебник и практикум для
бакалавриата и магистратуры. – М.: Издат. Юрайт, 2015.
11. Leonard D., Long N. Optimal control theory and static optimization in economics. Cambrige Univ.
Press, 1992.
22
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Методы оптимизации» для направления 01.03.04 «Прикладная математика»
подготовки бакалавра
12. Sethi S.P., Thompson G.L. Optimal control theory: applications to management science and economics. Second edition, Springer, 2000.
12.Материально-техническое обеспечение дисциплины
Используется проектор для проведения лекций и семинарских занятиях.
23