задачи для контрольных заданий

Министерство образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Методические указания и контрольные задания
к выполнению самостоятельной работы
для студентов направления 521500 «Менеджмент»
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2010
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить
соответствующие разделы курса по пособиям, рекомендуемым в списке
литературы. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых задач. Если
студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре «Высшая
математика и механика» Технологического института СГТУ.
На обложке тетради, в которой выполнена работа, студенту следует
разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины и дату отправки работы в институт.
Если работа выполнена без существенных ошибок, то студент допускается к собеседованию, по результатам которого работа может быть
зачтена, либо не зачтена. При наличии существенных ошибок работа возвращается студенту для исправления.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в
управлении. – М.: Дело, 2000.
2. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. –М.:
Инфра-М, 2001.
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – Т. 1,2. – М.: Высшая школа, 1981.
4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. –
М.: Наука, 1980.
5. Канторович Л.В. Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике.
- М.: Наука, 1980.
6. Ларионов А.И., Юрченко Т.И., Новоселов А.Л., Экономикоматематические методы в планировании. – М.: Высшая школа, 1991.
3
ПОНЯТИЕ ОБ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
В условиях рыночной экономики практически значимыми являются
задачи поиска экстремальных (максимальных и минимальных) значений
экономических функций при наличии ограничений на переменные.
В качестве примера рассмотрим производственную функцию, т.е.
уравнение связывающие ресурсы (факторы производства) и выпуск продукции. В рыночной экономике к ресурсам относятся: земля, капитал (основные фонды), труд и предпринимательская способность, т. е. способность объединить все виды ресурсов в едином процессе производства товаров и услуг. Ограничимся для простоты двумя ресурсами: капиталом K
и трудом T .
Тогда производственная функция может быть записана в виде
Q  f  K ,T  ,
где Q – количество произведенных товаров и услуг.
На приобретение ресурсов фирма планирует конкретную сумму денег, обозначим её S . Если цена единицы капитала (основных фондов) равна Pk , а единицы труда - PT , то должно выполняться условие
Pk  K  PT  T  S .
В процессе деятельности перед фирмой возникает практически важный вопрос: как наиболее эффективно распределить имеющиеся средства?
Другими словами, какую часть общей суммы S следует выделить на закупку оборудования (капитал K ), а какую – на оплату труда персоналу
(труд T ). Математически эта задача формулируется так: найти максимум
целевой функции (в данном случае это производственная функция).
Q  f  K ,T  ,
при условии (ограничения по затратам)
Pk  K  PT  T  S .
Рассмотрим метод подстановки и метод множителей Лагранжа решения задач условной оптимизации.
4
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
В простых случаях для нахождения условного экстремума произвольной целевой функции
z  f x , y
при условии (ограничении)
( x, y )  0
можно применять метод подстановки. Для этого, используя ограничение,
выражают одну переменную через другую, например, y через x :
y  g x  .
Подставляя g  x  в целевую функцию, получают некоторую функцию одной переменной:
z  f  x , g  x   F  x  .
Далее находят экстремальные точки уже этой функции. По конкретным значениям x , используя функцию y  g  x  , вычисляют соответсвующие экстремальные значения переменной y и значение целевой функции.
Применим метод подстановки для решения простой задачи.
Производственная функция фирмы имеет вид:
Q  f K ,T   2 K 2  3 KT .
Определить уровень затрат на капитал и труд, при которых производственная функция Q достигает максимума. Затраты на единицу капитала и
труда составляет 2 и 1 соответственно, а общая сумма затрат  400 .
Математическая формулировка задачи: найти максимум целевой
функции
Q  2 K 2  3 KT
при условии
2 K  T  400 .
Для решения выразим T через K , используя последнее равенство
(ограничение по затратам)
T  400  2 K .
5
Подставляя это выражение в производственную функцию, получаем
Q  2 K 2  3 K 400  2 K   1200 K  4 K 2 ,
т.е. целевую функцию одной переменной K . Далее найдем максимум полученной функции. Для этого вычисляем производную функции Q  K  и
приравниваем её к нулю:
Q  1200  8 K  0
Из полученного равенства определяем стационарную точку
K  150
Находим вторую производную функции Q  K  :
Q  8  0 .
Так как Q  отрицательна, то в стационарной точке имеет место максимум целевой функции
Qmax  1200  150  4  1502  90000
Соответствующие затраты на труд находятся подстановкой оптимальной величины K в ограничение по затратам
T  400  2 K  400  2  150  100
Итак, производственная функция фирмы Q K ,T  достигнет максимума, если затраты на капитал и труд будут 150 и 100 соответственно.
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Метод множителей Лагранжа в задаче отыскания условного экстремума является универсальным, так как позволяет решать задачу и в случае,
когда трудно или невозможно из уравнения условия   x , y   0 явно выразить одну из переменных через другую.
Если требуется найти условный экстремум целевой функции
z  f x , y
6
при наличии условия (ограничения)
 x , y  0 ,
то отыскание условного экстремума сводится к исследованию на обычный
экстремум так называемой функции Лагранжа
u  f  x , y     x , y  ,
где  - неопределенный постоянный множитель.
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

 u f
 x  x    x  0


 u f

0
 

y

y

y

  x , y   0


Уравнения образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными.
Решение этой системы - тройка чисел  x0 , y0 , 0  , первые два из которых, т.е.  x0 , y0  , и дают координаты точки условного экстремума целевой функции z  f  x , y  .
Применим метод множителей Лагранжа для следующей задачи.
Фирма – монополист производит два вида товаров G 1 и G 2 в количестве Q 1 и Q 2 соответственно. Функция затрат имеет вид:
C  3Q1  Q1Q2  5 Q2
Кривые спроса для каждого товара:
P1  20  Q1  2Q2
P2  50  Q1  Q2 ,
где P1 и P2 - цена единицы соответственно товаров G 1 и G 2 .
Фирма связана ограничением на общий объем производства товаров
G 1 и G 2 , ее квота составляет 19 единиц, т.е.
7
Q1  Q 2  19
Требуется найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии.
Для решения задачи построим целевую функцию, в данном случае
функцию прибыли, которая определяется как разница между доходом и затратами:
  RC
Для дохода от продажи товара G 1 имеем:
R1  P1Q1  20  Q1  2Q2 Q1  20Q1  Q12  2Q1Q2 ,
где выражение для P1 берется из кривой спроса товара G 1 .
Аналогично доход от продажи товара G 2 :
R2  P2 Q2  50  Q1  Q2 Q2  50Q2  Q1Q2  Q22 .
Очевидно, что суммарный доход будет
R  R1  R2  20Q1  Q12  3Q1Q2  50Q2  Q22
Поскольку затраты известны из условия задачи, то прибыль (целевая
функция) имеет вид:
 Q1 ,Q2   R  C  20Q1  Q12  3Q1Q2  50Q2  Q22  
 3Q1  Q1Q2  5Q2   17Q1  Q12  2Q1Q2  45Q2  Q22 .
Переписав ограничение в виде
 Q1 ,Q2   19  Q1  Q2  0 ,
получаем задачу условной оптимизации (поиска условного экстремума).
Для ее решения применим метод Лагранжа.
Строим вспомогательную функцию Лагранжа
uQ1 ,Q2 ,   17Q1  Q12  2Q1Q2  45Q2  Q22   19  Q1  Q2  .
Вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю:
8
u
 17  2Q1  2Q2    0
Q1
u
 2Q1  45  2Q2    0 ;
Q2
Q1  Q 2  19
Полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными представим в виде:
  2Q1  2Q2    17

 2Q1  2Q 2    45
 Q  Q  19
 1
2
и решим методом исключения. Для этого складываем первое и второе
уравнения, что дает
 2  62 ,   31 .
Подставляя полученное значение в первое уравнение, получаем
  2Q1  2Q2  14
.

 Q1  Q2  19
Ее решение легко находится: Q1  6 , Q 2  13 .
Это и есть координаты точки условного экстремума, т.е. тот объем
продаж, при котором прибыль максимальна. Соответствующее значение
самой прибыли будет
 6 ,13   17  6  6 2  2  6  13  45  13  13 2  648 .
Метод Лагранжа в том виде, как он был изложен, позволяет находить
условные экстремумы. Вопрос о том, максимум это или минимум, остается
открытым. При решении экономических задач, часто сам характер задачи
подсказывает что ожидать – максимум или минимум.
Кроме того, существует простой способ анализа точки экстремума,
вытекающий из самого определения максимума. Пусть  x0 , y0  – координаты точки экстремума, а f  x 0 , y0  - соответствующее значение целевой
функции.
Берется точка  x , y  , близкая к точке  x0 , y0  , и вычисляется значение целевой функции, т.е. f  x , y  .
Если f  x , y   f  x 0 , y0  , то в точке  x0 , y0  имеет место максимум.
Если f  x , y   f  x 0 , y0  , то в точке  x0 , y0  имеет место минимум.
9
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Задачи составляются по таблицам в соответствии с последней цифрой N номера зачетной книжки.
Задача 1. Производственная функция фирмы имеет вид:
Q  KT   T 2
Определить уровень затрат на капитал K и труд T , при которых
производственная функция Q достигает максимума. Затраты на единицу
капитала и труда составляют  и  соответственно, а общая сумма затрат
- S.
Числовые значения параметров задачи 1 даны в табл.1
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0



1
2
2
3
3
3
3
3
4
4
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
3
1
1
2
1
1

3
3
3
3
3
2
3
4
2
2
Таблица 1
S
400
600
800
700
600
600
700
800
700
900
Задача 2. Фирма – монополист производит два вида товаров
G 1 и G 2 в количестве Q 1 и Q 2 соответственно. Функция затрат имеет вид:
C  F  Q1  L  Q1  Q 2  M  Q 2 ,
а кривые спроса для товаров:
P1  A  f  Q1  gQ 2
P2  B  h  Q1  r  Q2 .
10
Квота фирмы на общий объем производства товаров G 1 и G 2 составляет R
единиц. Найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута
при этом условии.
Числовые значения параметров задачи 2 даны в табл.2
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
F
10
20
15
17
21
19
16
24
22
20
L
2
1
1
1
2
2
3
3
3
4
M
10
16
19
21
17
21
22
18
16
18
A
50
60
40
50
70
80
90
70
60
50
g
f
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
11
B
30
40
60
70
50
50
60
40
30
90
h
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
Таблица 2
r
R
1
16
1
22
1
20
1
24
1
18
1
30
2
26
2
24
2
32
2
28
СОДЕРЖАНИЕ
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ .......... 3
ЛИТЕРАТУРА ..................................................................................................... 3
ПОНЯТИЕ ОБ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ............................................................................................... 4
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ ................................................................................. 5
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА............................................................ 6
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ................................................ 10
УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
Методические указания
и контрольные задания
к выполнению самостоятельной работы
Составил Дайниченко Николай Владимирович
Рецензент: И.В. Соломин
Редактор
12