Методы оптимизации - Иркутский государственный университет

Правила проведения экзамена.
экзамен письменный; время экзамена у всех групп: 9:00 – 11:00; обязательно
наличие зачетной книжки и допуска к сессии;
за пользование шпаргалками в любой форме (печатной, рукописной, электронной и
др.) студент удаляется из аудитории и направляется на пересдачу в конце сессии;
бумага обеспечивается преподавателем;
оценки выставляются в зачетки в день, следующий за экзаменом, на кафедре
методов оптимизации с 10:00 до 11:00; обязательно собеседование со студентами,
письменные работы которых оценены на "отлично", и студентами, работы которых
вызвали сомнения при проверке;
при наличии технической возможности результаты рассылаются по электронной
почте в день экзамена (около 23:30).
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ "Методы оптимизации",
2009/10 учебный год
1. Максимум и минимум. Супремум и инфимум (определения и связи между этими
понятиями). Простейшие свойства максимума (максимум суммы функций; максимум
функции, умноженной на константу). Буден дан пример на вычисления минимума и
максимума, супремума и инфимума, классификацию точек экстремума.
2. Выпуклые множества. Выпуклые функции, их свойства (связь выпуклости функции и
выпуклости соответствующей функции одной переменной, глобальность точки
минимума выпуклой функции, единственность точки минимума строго выпуклой
функции). Будет дан пример: доказать выпуклость множества.
3. Выпуклые множества. Вогнутые функции, их свойства (связь вогнутости функции и
вогнутости соответствующей функции одной переменной, глобальность точки
максимума вогнутой функции, единственность точки максимума строго вогнутой
функции). Будет дан пример: доказать выпуклость множества.
4. Критерий вогнутости непрерывно дифференцируемой функции. Утверждение о том,
что любая критическая точка вогнутой непрерывно дифференцируемой функции на
выпуклом множестве является точкой глобального максимума.
5. Критерий вогнутости дважды непрерывно дифференцируемой функции. Будет дан
пример: исследовать функцию на выпуклость (вогнутость).
6. Метод ломаных. Схема. Геометрическая интерпретация. Лемма с доказательством.
Теорема о сходимости без доказательства.
7. Теорема о сжатии отрезка локализации при минимизации выпуклых функций и метод
деления отрезка пополам.
8. Теорема о сжатии отрезка локализации при минимизации выпуклых функций и метод
золотого сечения.
9. Теорема о сжатии отрезка локализации при минимизации выпуклых непрерывнодифференцируемых функций и метод деления отрезка пополам.
10. Метод скорейшего спуска. Условия применимости, схема, геометрическая
интерпретация, теорема о сходимости (без доказательства). Буден дан пример на
выполнение одной итерации метода.
11. Необходимое условие минимума дифференцируемой функции на выпуклом
множестве. Достаточность условия для выпуклой функции.
12. Экстремум линейной функции на множествах простейшей структуры (вывод формул
для многомерного параллелепипеда, куба и шара).
13. Проекция точки на множество и ее свойства.
14. Проекция точки на множества простейшей структуры (вывод формул для
многомерного параллелепипеда, шара, гиперплоскости).
15. Метод условного градиента. Условия применимости, схема, геометрическая
интерпретация, теорема о сходимости (без доказательства). Метод проекции градиента.
Схема, геометрическая интерпретация.
16. Отделимость множеств (4 понятия, связь между ними). Геометрическая интерпретация
понятий отделимости. Простейшая теорема о сильной отделимости непустого
замкнутого выпуклого множества и множества, состоящего из одной точки.
17. Правило множителей Лагранжа в задаче с ограничениями типа неравенства (с
доказательством).
18. Достаточность правила множителей в линейно-выпуклой задаче математического
программирования (с доказательством).
19. Простейшая задача вариационного исчисления. Сильный и слабый экстремумы. Лемма
Дюбуа-Реймона. Вывод уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного
исчисления.
20. Простейшие случаи, при которых интегрирование уравнения Эйлера упрощается.
Будет дан пример, на котором следует проиллюстрировать один из частных случаев.
21. Постановка основной задачи оптимального управления. Терминология.
22. Формула приращения целевого функционала для двух произвольных допустимых
процессов в основной задаче оптимального управления.
23. Лемма Гронуолла-Беллмана (с доказательством). Игольчатая вариация допустимого
управления и оценка приращения состояния на игольчатой вариации допустимого
управления.
24. Доказательство принципа максимума Л.С.Понтрягина (формулу приращения для двух
допустимых процессов и оценку приращения состояния на игольчатой вариации
считать известными). Линеаризованный (дифференциальный) принцип максимума (с
доказательством).
25. Достаточность принципа максимума в линейно-выпуклой задаче оптимального
управления (формулу приращения для двух допустимых процессов считать известной).
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Экзаменационный билет утвержден на заседании
учебно-методической комиссии ИМЭИ
"24" ноября 2009 г.
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
(ГОУ ВПО "ИГУ")
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № (образец)
ПО ДИСЦИПЛИНЕ "Методы оптимизации"
1. Простейшая задача вариационного исчисления. Сильный и слабый экстремумы. Лемма
Дюбуа-Реймона. Вывод уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного
исчисления.
(3 балла)
2. а)
Найти проекцию начала координат на множество
X = {x R5: ||x - b||  1}, b = (5,5,5,b4,0), b4 – число букв в Вашем имени,
(норма Евклидова)
(1 балл)
б) Верно ли следующее утверждение (да/нет)? В случае несогласия дайте правильную
формулировку.
Для выпуклости дважды непрерывно дифференцируемой на выпуклом множестве
функции достаточно отрицательной определенности ее матрицы вторых производных на
этом множестве.
(0,5 балла)
в) Перечислите все известные Вам методы, с помощью которых можно найти точное
решение задачи:
x12 - x22 + 4x33  min, x1 - 12x24 =1.
(0,5 балла)
3. Найти оптимальное управление в задаче:
x1(0) = 1,
x1 = x2 ,
3
x 2 = u (t), x2(0) = 1,
u(t)  1, t  [0, 5],
J (u) = x1 (5)  min.
(2,5 балла)
4. а) Построить множество ограничений и линии уровня целевой функции в задаче
f (x) = x12 + x22  extr, x1 - x2 4= 0.
Найти решение графическим методом.
(1,5 балла)
б) Решить эту же задачу методом исключения.
(1 балл)
_____________________________________________________________________________
"отлично" - не менее 9,5 баллов; "хорошо" - 7,5 - 9 баллов; "удовлетворительно" - 5,5 - 7 баллов; "неудовлет." - менее 5,5 баллов.