Методы оптимизации_ПМИ_ММЭ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ДИСЦИПЛИНАМ
ОПД.Ф.08– МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ,
СД.07 - ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальностям
010200 – Прикладная математика и информатика,
061800 – Математические методы в экономике.
1.1. Автор программы: кандидат физ.-мат. наук, доцент Мартынов О.М.,
1.2. Рецензенты: доцент, кандидат физ.-мат. наук Локоть В.В., доцент, кандидат физ.-мат. наук
Беляев В.Я.
1.3. Пояснительная записка:
Цели и задачи: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения
математических методов в экономике, финансах и управлении. Все эти методы должны
базироваться на прочной основе математических дисциплин. Развивать профессиональную
компетентность, определяемую как совокупность теоретических и практических навыков,
способность осуществлять профессиональные функции в рамках одного и более видов
деятельности.
В профессиональной подготовке математика-экономиста и математика, системного
программиста курс занимает особое положение, так как имеет прикладную направленность и
является естественным продолжением курса математического анализа, изучаемого в предыдущих
семестрах.
Главная цель курса – научить студента основам теории оптимального управления,
сформировать практические навыки решения задач, включая решения задач повышенной
сложности.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами математического
анализа, числовых систем, математической логики, геометрии, алгебры, информатики, экономики.
Программа курса составлена на основе Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования по специальностям 061800 Математические методы в
экономике, и на основе Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по специальности 010200 Прикладная математика и
информатика.
В результате изучения курса студенты
должны знать: основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем.
должны уметь: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески
подходить к решению профессиональных задач, строить математические
модели в различных областях естествознания , приводить их к нужному виду,
выбирать и реализовывать наиболее рациональный метод решения
поставленной задачи.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО
1. Специальность 010200 – Прикладная математика и информатика
ОПД.Ф.08
Методы оптимизации:
элементы выпуклого анализа; численные методы математического программирования;
оптимальное управление; вариационное исчисление.
2. Специальность 061800 – Математические методы в экономике
102
СД.07
Теория оптимального управления.
Общая постановка задачи оптимального управления в стиле
Лагранжа-Понтрягина-Беллмана. Теоретические и практические
методы качественного анализа (магистральная теория) и числовой
оптимизации
с
использованием
ЭВМ.
Оптимизация
инвестиционного
процесса
методом
динамического
программирования.
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы
№
п/п
Шифр и
наименование
специальности
061800
«Математические методы в
экономике»
010200
«Прикладная
математика и
информатика»
1.
2.
Курс
Семестр
Виды учебной работы в часах
Трудоем Всего
ЛК ПР/ ЛБ
Сам.
кость
аудит.
СМ
Работа
Вид
итогового
контроля
(форма
отчетности)
4
7
160
80
40
40
–
88
Экзамен
3
5
102
72
36
36
–
30
Экзамен
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
1. Специальность 061800 – Математические методы в экономике
№
п/п
1
2
3
Наименование раздела, темы
Экстремальные задачи. Задачи без
ограничений. Гладкая конечномерная
задача с равенствами. Гладкая задача с
равенствами и неравенствами.
Выпуклые задачи.
Классическое вариационное исчисление
(КВИ).
Задачи оптимального управления.
Принцип максимума Понтрягина
Количество часов
Всего ауд.
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.раб.
28
14
14
–
30
36
18
18
–
38
16
8
8
-
20
2. Специальность 010200 – Прикладная математика и информатика
№
п/п
1
2
Наименование раздела, темы
Экстремальные задачи. Задачи без
ограничений. Гладкая конечномерная
задача с равенствами. Гладкая задача с
равенствами и неравенствами.
Выпуклые задачи.
Классическое вариационное исчисление
(КВИ).
Количество часов
Всего ауд.
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.раб.
28
14
14
–
15
44
22
22
–
15
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Экстремальные задачи. История развития теории оптимального управления.
Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны. Задача Евклида. Основные понятия,
связанные с экстремальными задачами. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями.
Общий случай применения принципа Лагранжа. Основные понятия и теоремы функционального
анализа. Основы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах.
Гладкие элементарные задачи (постановка гладкой элементарной задачи, правило решения,
теорема Ферма, элементарная задача линейного программирования). Гладкая конечномерная
задача с ограничениями типа равенств (постановка задачи, правило решения, правило множителей
Лагранжа). Гладкая задача с равенствами и неравенствами – общий случай (постановка задачи,
правило решения, правило множителей Лагранжа). Необходимые условия высших порядков.
Достаточные условия. (Одномерный случай в задаче без ограничений, задача без ограничений
(общий случай), гладкая задача с ограничениями типа равенств). Элементы выпуклого анализа.
Выпуклые задачи (постановка задачи, правило решения, теорема Куна – Такера).
Классическое вариационное исчисление. Вариация и ее свойства (определения
функционала, вариации аргумента, непрерывности функционала, близости кривых,
непрерывности функционала в смысле близости k - го порядка, линейного функционала, два
определения вариации функционала). Экстремум функционала. Строгий максимум и минимум.
Необходимое условие экстремума функционала. Сильный и слабый экстремум. Вывод уравнения
Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Достаточные условия
'd
F
x
,,
y
y

m
i
n
,
y
x

y
,
y
x

y




.
0
0
1
1
x


x
1
экстремума функционала в задаче:
x
0
',.
' d
F
,y
,.
.
.,yy
,1
.
.,y
. Функционалы, зависящие от
1
n
n
x
x

x
1
Функционалы вида:
x
0
производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера – Пуассона. Функционалы, зависящие от
функций нескольких независимых переменных. Уравнение Остроградского. Вариационные задачи
в параметрической форме. Принцип стационарного действия Остроградского - Гамильтона.
Канонические уравнения. Простейшая задача с подвижными границами. Задача Больца. Задачи на
условный экстремум. Изопериметрические задачи.
Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Основные
понятия и определения. Постановка задачи. Принцип максимума Понтрягина. Примеры.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
2
Наименование раздела
Дисциплины.
Тема.
Экстремальные задачи.
Основные понятия и
теоремы функционального анализа. Основы
дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах.
Классическое
вариационное исчисление.
Вариационные задачи в
параметрической форме.
Принцип стационарного
действия Остроградского
- Гамильтона.
Достаточные
условия
экстремума функционала
Форма
самостоятельной
работы
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Коллоквиум
Количество
Часов
ММЭ/ПМИ
Экзамен
38/15
30/15
3
Задачи
оптимального
управления.
Схема
доказательства
принципа максимума
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Экзамен
20/0
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
Практические занятия по теме «Экстремальные задачи»
Формализация экстремальных задач. Гладкие элементарные задачи. Гладкие
конечномерные задачи с ограничениями типа равенств. Гладкая задача с равенствами и
неравенствами. Выпуклые задачи.
Литература:
1. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М., Физматлит,
2007.
2. Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М., Высшая школа,
2005.
3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Физматлит, 2005.
4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
5. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989.
Практические занятия по теме «Классическое вариационное исчисление»
Нахождение экстремалей функционалов. Задачи с неподвижными границами. Задачи с
подвижными границами. Задача Больца. Задачи на условный экстремум. Изопериметрические
задачи.
Литература:
1. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.,
Физматлит, 2007.
2. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.
3. Вуколов Э. А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С.,
Терещенко А.М. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации.
Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Физматлит,
2005.
5. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ,
1989.
Практические занятия по теме «Задачи оптимального управления»
Решение задач оптимального управления. Простейшая задача о быстродействии.
Литература:
1. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.,
Физматлит, 2007.
2. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ,
1989.
3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Физматлит,
2005.
4. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.
5. Вуколов Э. А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С.,
Терещенко А.М. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации.
Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
6. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М., Высшая
школа, 2003.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
Основная литература.
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Физматлит,
2005.
2. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М., Финансы и статистика, 2003.
3. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.,
Физматлит, 2007.
4. Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.
5. Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. М., Высшая
школа, 2003.
6. Ванько, В. И. Вариационное исчисление и оптимальное управление : учебник для студ.
втузов / В. И. Ванько, О. В. Ермошина, Г. Н. Кувыркин ; под ред. В. С. Зарубина, А. П.
Крищенко. - Изд. 3-е, испр. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. - 488 с
7. Сухарев, А. Г. Курс методов оптимизации : [учеб. пособие] / А. Г. Сухарев, А. В. Тимохов,
В.
В. Федоров ; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 2-е изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ,
2008. - 368 с.
Дополнительная литература
1. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М., 2001.
2. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. СПб, ЛГУ, 1980.
3. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М., 1950.
4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.
5. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М., Наука, 1978.
6. Фролькис В.А. Введение в теорию и методы оптимизации для экономистов. СПб, 2002.
7. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., Наука, 1966.
8. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., Мир,
1974.
9. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М. Высшая математика. Киев, Выща школа,
1989.
10. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория
оптимальных процессов. М., Наука, 1969.
11. Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989.
12. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.,
Наука, 1981.
1.9. Примерные зачетные тестовые задания.
ВАРИАНТ № 1
1. Какой должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы
радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?
y
1

xy

x
t
r
 e
2. x
.
32
2
2
2
x
y
z

y

z

e
x
t
r
,



1
a

b

c

0
3. x
.


2
2
2
a
b
c
2 22
222

2
y

3
ze

x
t
r
,
x

y

z

1
0
0
4. x
.
2
2
2
2
2
x3
y60.
5. На эллипсе x 4y 4найти точку наименее удаленную от прямой 2
ВАРИАНТ № 2
км
. После того, как он отошел от A
ч
км
на 6 км из A следом за ним выехал велосипедист, скорость которого на 9
больше скорости
ч
пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода они повернули назад и возвратились вместе в A
км
со скоростью 4
. При каком значении V время прогулки пешехода окажется наименьшим?
ч
1. Из пункта A на прогулку вышел пешеход со скоростью V

x
y

y

3
xy

2

1

e
x
t
r
2. x
.
2
2
y
z

e
x
t
r
,xyz

3
3. x
.
2 2 2

x

yx

1
2

1
6
y

e
x
t
r
,
x

y

2
5
4. z
.
22
22
2
5. Найти кратчайшее расстояние между параболой y  x и прямой xy20.
ВАРИАНТ № 3
1. Найти все экстремали функционала J  y  , удовлетворяющие указанным граничным условиям:
1
2



y

x
y

y
'd
x
,y
0

y
1





0
а) J
;
2
0
1



y

yy
'd
x
,y

1

y
1




1
б) J
;
22

1
1
1 1
2 4
y

x

1
y
'
'
d
x
,
y
0

1
,
y
'
0


1
,
y
1

,
y
'
1














в) J
.

3
2
0
1
C
, , на которых может достигаться экстремум
x
ab
2. Найти функции y1  x  и y
2
функционала Jy1, y2 при указанных граничных условиях:






2
2
2
J
y
,
y

2
y
y
2
y

y
'

y
'
d
x
,0
y

y
0

0
,
y

1
,





1
2
1
2
1
1
2
1
2
1



2


0
2

y2 1.
2
3. Найти экстремали функционала в следующей задаче с подвижными границами:
x
1
1
2
J
y

1

y
'
d
x
,y
0

0
,y
x







.
1

2
x
1
0

J
y

y
'

y

4
y
s
i
n2
x
d
x

y
0
2
y


y







.



4. Найти экстремали функционала:
2
2
2
2
0
ВАРИАНТ № 4
1. Найти все экстремали функционала J  y  , удовлетворяющие указанным граничным условиям:
1
y

1

x
y
'd
x
,y
0

0
,y
1

1







а) J
;

0
2
1
2 2



y

yy
'4
d
x
,
y

1


1
,
y
1

1






б) J
;


1





 

2
2

 

2
2
2
2
в) J
.
yy

'
'

y

x
d
x
,0
y

1
,
y
'
0
y

0
,
y
'


1










0
1
C
, , на которых может достигаться экстремум
x
ab
2. Найти функции y1  x  и y
2
функционала Jy1, y2 при указанных граничных условиях:
1


2
J
y
,
y

y
'
y
'

6
x
y

1
2
x
y
d
x
,
y
0

y
0

0
,
y
1

y
1

1










.
1
2
1
2
1
2
12
1
2

0
3. Найти экстремали функционала в следующей задаче с подвижными границами:
x
1
2
2
J
y

1

y
'
d
x
,
y
x

x
,
y
x

x

5






0
0
1
1
.

x
0
4. Найти экстремали функционала:
e
2 2
J
y

2
y
'
x
y
'

y
d
x

3
y
1

y
e
4
y
e










.

1
1.10. Примерный перечень вопросов к экзамену.
1. История развития теории оптимального управления. Классическая изопериметрическая задача.
Задача Дидоны. Задача Евклида.
2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами.
3.
Принцип
Лагранжа
исследования
задач
с
ограничениями.
Пример:
2 2 2
x
y

s
u
p
,x

yr

0
.
2. Общий случай применения принципа Лагранжа. Примеры:
1)
 
3
3
2
2
f
x
,
x

x

i
n
f
,
f
x
,
x

x

x

0
X

xx
, 2
x






; 2) f
0
1
2
1
1
1
2
1
2
0
1
2x
1
 
3
2

i
n
f
,
f
x
,
x

x

x

0
X


; 3)
1
1
21
1
f
x
i
n
f
,F
x
0

, где
X Y l2,
x
x
x


2x
n
2
n
f
x

x


.
.
.


.
.
.
,
F
x

x
,
,
.
.
.
,
,
.
.
.
,
x

x
,
.
.
.
,
x
,
.
.
.






.
1
1
1
n


2
n 
2
n

5. Основные понятия и теоремы функционального анализа.
6. Основы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах. Примеры.
7. Гладкие элементарные задачи (постановка гладкой элементарной задачи, правило решения,
теорема Ферма, элементарная задача линейного программирования).
8. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств (постановка задачи, правило
решения, правило множителей Лагранжа). Гладкая задача с равенствами и неравенствами –
общий случай (постановка задачи, правило решения, правило множителей Лагранжа). Примеры:
2 2
4 4
x

a
x

b
x

c

e
x
t
r
a

0

x

e
x
t
r
,x

x

1




1) f
; 2) x
;
1
2
1
2
2

x

x

i
n
f
,
2
x

x

x

5
,
x

x

x

3
3) x
.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
9. Необходимые условия высших порядков. Достаточные условия. (Одномерный случай в задаче
без ограничений, задача без ограничений (общий случай), гладкая задача с ограничениями типа
2
2
2
x
,
x


x

x

x

x

e
x
t
r




равенств). Пример: f
.
1
2
12
1
2
44
2
10. Элементы выпуклого анализа.
11. Выпуклые задачи (постановка задачи, правило решения, теорема Куна – Такера). Примеры:

y

y

3
x

y

2

i
n
f

2
m
a
x
x
,y

i
n
f


1) xx
; 2) xy
.
12. Вариация и ее свойства (определения функционала, вариации аргумента, непрерывности
функционала, близости кривых, непрерывности функционала в смысле близости k - го порядка,
линейного функционала, два определения вариации функционала).
13. Экстремум функционала. Строгий максимум и минимум. Необходимое условие экстремума
функционала. Сильный и слабый экстремум. Замечания 1-3.
14. Вывод уравнения Эйлера (основная лемма вариационного исчисления без доказательства).
15. Основная лемма вариационного исчисления (с доказательством). Примеры 1, 2.
16. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера (случаи 1-3, примеры 3-7).
17. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера (случаи 4, 5, примеры 8-10).
2
2
2 2
x
1
18. Функционалы вида
F
x
,y
,y
,
.
.
.
,y
,y
'
,y
'
,
.
.
.
,y
'
d
x


.
1
2
n
12
n

x
0
19. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера –
Пуассона.
20. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение
Остроградского.
21. Вариационные задачи в параметрической форме.
22. Каноническая или гамильтонова форма уравнений Эйлера.
23. Простейшая задача с подвижными границами (вывод условий трансверсальности).
24. Простейшая задача с подвижными границами (формулировка необходимого условия
экстремума и условий трансверсальности, примеры). Задача Больца. Пример.

xy
, 1
,.
.
., y
0

25. Вариационные задачи на условный экстремум. Связи вида 
.
n
26. Вариационные задачи на условный экстремум. Неголономные связи. Задача Лагранжа.
27. Изопериметрические задачи. Примеры.
28. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Пример. Функция
Понтрягина. Простейшая задача о быстродействии.
2. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция №1. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Основные
понятия и определения.
Лекция №2. Некоторые определения и теоремы из функционального анализа.
Лекция № 3. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями.
Лекция № 4. Основы дифференциального исчисления в нормированных
пространствах.
Лекция № 5. Гладкие задачи без ограничений.
Лекция № 6. Об одном классе экстремальных задач.
Лекция № 7. Элементы выпуклого анализа.
Лекция № 8. Вариационное исчисление. Вариация функционала. Необходимое
условие экстремума функционала. Основная лемма вариационного исчисления.
Лекция № 9. Вывод уравнения Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости
уравнения Эйлера.
',.
' d
F
,y
,.
.
.,yy
,1
.
.,y
1
n
n
.
x
x

x
1
Лекция № 10. Функционалы вида
x
0
Лекция № 11. Функционалы, зависящие от производных более высокого
порядка.
Лекция № 12. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых
переменных.
Лекция № 13. Простейшая задача с подвижными границами.
Лекция № 14. Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные
связи.
Лекция № 15.
Лекция № 16. Изопериметрические задачи.
Лекция №17. Задачи оптимального управления. Постановка задач.
Лекция №18. Принцип максимума. Пример.