ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НОУ ВПО «РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА» (институт)

Российская Экономическая Школа
НОУ ВПО «РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА»
(институт)
программа учебной дисциплины
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
по направлению 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
автор программы: И.А. Богаевский, ibogaevsk@gmail.com
Утверждена Cоветом программы
«Бакалавр экономики»
«31» мая 2013 г.
Проректор РЭШ:
К.И. Сонин ____________________
Москва
2012
Российская Экономическая Школа
Цели освоения и краткое описание дисциплины
Каков наиболее быстрый путь из одной заданной точки на плоскости в другую, если
скорость зависит от текущего положения? Если мы можем двигаться в любом
направлении, это – классическая задача вариационного исчисления, и скорейший путь
описывается уравнением Эйлера-Лагранжа. Если же имеются ограничения на
направление движения, то вышеупомянутый вопрос представляет собой более
трудную задачу оптимального управления, ответ на которую даётся принципом
максимума Понтрягина. Эти две задачи, их обобщения и методы решения составляют
содержание дисциплины.
Цель дисциплины состоит в освоении базовой техники составления и решения задач
вариационного исчисления и оптимального управления, которые естественным
образом возникают во многих областях человеческой деятельности. Для понимания
дисциплины необходимо знакомство с теорией обыкновенных дифференциальных
уравнений в объёме курса совместного бакалавриата ВШЭ и РЭШ «Дифференциальные
уравнения».
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-9, ПК-10, ПК-11, ПК-12, ПК-13, ПК-14,
ПК-15
Структура и организация учебной дисциплины
№
Название раздела
1 Классическая задача вариационного
исчисления. Брахистохрона. Уравнение
Эйлера-Лагранжа. Задача со
свободными концами.
2 Приложения: геодезические на
поверхности, принцип Ферма и
миражи, вариационные принципы
механики (принцип стационарного
действия).
3 Канонический формализм.
Преобразование Лежандра и
канонические переменные.
Гамильтонова форма уравнений
Эйлера-Лагранжа. Уравнение
Гамильтона-Якоби. Лагранжевы
многообразия.
Всего
часов
Аудиторные часы
Самостоятель
Лекции Семинары
ная работа
36
4
4
28
36
4
4
28
36
6
6
24
Российская Экономическая Школа
4 Теория второй вариации. Условие
Лежандра. Достаточное условие
локального экстремума.
36
6
6
24
5 Задача оптимального управления.
Принцип максимума Понтрягина.
Задача быстродействия. Оптимальный
синтез.
6 Динамическое программирование.
Уравнение Беллмана.
36
6
6
24
36
6
6
24
216
32
32
152
ИТОГО
Система оценивания и требования к выставлению итоговой оценки
Тип контроля
Домашние задания
Вес в финальной
оценке (%)
30
Промежуточная контрольная
работа
30
Итоговая контрольная работа
40
Домашние задания сдаются в назначенные сроки и пересдаче не подлежат. Студенты,
получившие неудовлетворительную оценку за курс, могут пересдать промежуточную и
итоговую контрольные работы в специально отведённые для пересдач сроки; оценка,
полученная за домашние задания, при пересдаче аннулируется.
Содержание дисциплины
Классическая задача вариационного исчисления. Брахистохрона. Уравнение ЭйлераЛагранжа. Задача со свободными концами.
Приложения: геодезические на поверхности, принцип Ферма и миражи, вариационные
принципы механики (принцип стационарного действия).
Канонический формализм. Преобразование Лежандра и канонические переменные.
Гамильтонова форма уравнений Эйлера-Лагранжа. Уравнение Гамильтона-Якоби.
Лагранжевы многообразия.
Теория второй вариации. Условие Лежандра. Достаточное условие локального
экстремума.
Задача оптимального управления. Принцип
быстродействия. Оптимальный синтез.
максимума
Динамическое программирование. Уравнение Беллмана.
Понтрягина.
Задача
Российская Экономическая Школа
Методы обучения
Предусмотрены теоретические (лекции) и практические (семинары) занятия по
дисциплине. В обучении активно используются интерактивные методы обучения,
такие как проведение ролевых игр, семинаров-обсуждений, решение задач в группах и
т.д. Программа ориентирована не только на усвоение знаний, но и на развитие
личностных и социальных навыков.
Примеры заданий и вопросов для самостоятельной работы и
промежуточного контроля
Вопросы для проверки качества освоения дисциплины
1. Привести примеры экономических систем как объектов оптимального
управления.
2. Перечислить основные методы качественного исследования экономических
процессов.
3. Сформулировать критерий управляемости для линейных систем.
4. Что такое стационарная задача и каковы ее особенности?
5. Привести примеры задач оптимального управления в экономике.
6. Сформулировать вид необходимых условий оптимальности для различных
классов задач.
7. Сформулировать принцип максимума Понтрягина и алгоритм нахождения
оптимального и алгоритм нахождения управления.
8. Какой экономический смысл сопряженных переменных?
9. В чем особенности траектории сбалансированного роста?
10. Сформулировать принцип оптимальности Беллмана и алгоритм решения
задачи.
11. Перечислить свойства решения уравнения Риккати.
12. Сформулировать задачу в модели Мертона и алгоритм ее решения.
Список основной и дополнительной литературы
Основная литература
Галеев Э.М., Зеликин М.И, Конягин С.В. и др., Оптимальное управление / Под ред.
Осмоловского и В.М. Тихомирова, М.: МЦМНО, 2008, ЭБС «Университетская
библиотека онлайн»
Лагоша Б.А., Оптимальное управление в экономике: теория и приложения: учеб.
пособие. – 2-е изд., перераб. и доп., М.: Финансы и статистика, 2008,
ЭБС «Университетская библиотека онлайн»
М.И.Зеликин, Оптимальное управление и вариационное исчисление, М.: УРСС,
2004.
В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин, Оптимальное управление, М.: Наука,
1979.
В.М.Алексеев, Э.М.Галеев, В.М.Тихомиров, Сборник задач по оптимизации, М.:
Наука, 1984.
Российская Экономическая Школа
Дополнительная литература
В.И.Арнольд, Математические методы классической механики, 5-е изд., М.:
Наука, 2003.