variacionnoe_ischislenie_i_optimalnoe_upravlenie

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ
Директор БИ СГУ
доцент А.В.Шатилова
___________________________
"__" __________________20__ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Направление подготовки
010400 Прикладная математика и информатика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов,
2013
2
Содержание:
1. Цели освоения дисциплины………………………………………………
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата……………………
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины…………………………………………………………………..
4. Структура и содержание дисциплины…………………………………...
5. Образовательные технологии…………………………………………….
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов…………
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины…
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины ……….………..
3
3
4
5
6
7
9
10
3
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Вариационное исчисление и
оптимальное управление» является: формирование у студента прочных
знаний по основам вариационного исчисления, численным методам
оптимизации; выработка у студента навыков, связанных с практическим
применением методов оптимизации при решении прикладных задач;
воспитание у студента культуры мышления, связанной с рациональным
выбором решений в различных областях человеческой деятельности.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Вариационное исчисление и оптимальное управление»
относится к блоку дисциплин по выбору Профессионального цикла ООП
(Б3.ДВ2), для ее освоения обучающиеся должны обладать знаниями,
умениями и готовностями, полученными из курсов «Математический
анализ», «Алгебра и геометрия», «Дифференциальные уравнения». Он
должен
знать теорию интегралов, зависящих от параметра, теорию неявных
функций и ее приложение к задачам на условный экстремум, основные
теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций одного и
нескольких переменных, базовые понятия и основные технические приёмы
матричной алгебры, понятие дифференциального уравнения, , элементарные
приемы интегрирования, задачу Коши, теоремы существования и
единственности, основные положения теории оптимизации, элементы
выпуклого анализа;
уметь определять возможности применения теоретических положений и
методов математического анализа для постановки и решения конкретных
прикладных задач, решать основные задачи на дифференцирование и
интегрирование, уметь определять тип и находить решение основных типов
дифференциальных уравнений и систем, выбирать адекватный метод
оптимизации;
владеть стандартными методами и моделями математического анализа и
их применением к решению прикладных задач, основными понятиями,
идеями и методами теории функций комплексной переменной и их
применением для решения типовых задач, стандартными методами теории
дифференциальных уравнений и их применением к решению прикладных
задач.
Успешное освоение данной дисциплины является необходимым для
успешного и более системного освоения таких дисциплин, как «Основы
финансовой математики», «Теория игр и исследование операций».
4
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины «Вариационное исчисление и оптимальное
управление»
Общекультурные компетенции:
 способность использовать, обобщать и анализировать информацию,
ставить цели и находить пути их достижения в условиях формирования
и развития информационного общества (ОК-1);
 способностью к интеллектуальному, культурному, нравственному,
физическому и профессиональному саморазвитию, стремление к
повышению своей квалификации и мастерства (ОК -16).
Профессиональные компетенции:
 способность
демонстрации
общенаучных
базовых
знаний
естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой (ПК -1);
 способность приобретать новые научные и профессиональные знания,
используя современные образовательные и информационные
технологии (ПК -2);
 способностью понимать и применять в исследовательской и
прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК 3);
 способность критически переосмысливать накопленный опыт,
изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной
деятельности (ПК -5);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 основные понятия теорий выпуклого анализа, математического
программирования,
вариационного
исчисления,
минимизации
функций;
 постановки
задач
выпуклого,
линейного
и
нелинейного
программирования, вариационного исчисления;
 методы решения типовых задач указанных областей;
 разнообразные постановки конкретных оптимизационных задач.
Уметь:
 решать стандартные задачи математического программирования и
вариационного исчисления;
 применять методы условной и безусловной минимизации функций.
Владеть
 стандартными программными
оптимизационных задач.
средствами
решения
типовых
5
4. Структура и содержание
исчисление и оптимальное управление»
дисциплины
«Вариационное
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108
часов, из них:
- по очной форме обучения 50 часа аудиторной работы (16 часов
лекций и 34 часа практических занятий), 58 часов самостоятельной работы,
дисциплина изучается в 6 семестре, ее освоение заканчивается зачетом.
Самостояте
льная
Лабораторн
ые
Раздел
дисциплины
1
Основы
оптимизации
2
Основы
вариационного
исчисления
3
Оптимальное
управление
Итого по семестру
С
е
м Неде
ес
ля
т семес
р
тра
6
4
Практическ
ие / из них в
интерактив
ной форме
Виды учебной работы,
включая
самостоятельную
работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Лекции
№
п/п
Формы текущего
контроля
успеваемости (по
неделям семестра)
Формы
промежуточной
аттестации (по
семестрам)
10/2
16
Контрольный срез
6
6
12/4
18
Контрольный срез
6
6
12/2
24
Контрольный срез
6
16
34
58
Зачет
Содержание разделов дисциплины
Тема 1. Основы оптимизации
Понятие о задачах оптимизации. Постановка задачи нелинейного
программирования (НЛП). Общая схема решения задач НЛП. Классификация
методов решения задач НЛП. Выпуклые оболочки, выпуклые множества,
выпуклые функции.
Задачи НЛП с ограничениями типа равенств. Правило множителей
Лагранжа.
Условия экстремума. Существование, единственность, устойчивость
точки минимума. Понятие о безусловной минимизации функций многих
переменных. Градиентный метод. Формулировка теорем о сходимости.
Метод скорейшего спуска. Метод градиента. Метод Ньютона.
Минимизация функций на выпуклых множествах. Условия минимума
выпуклой функции на выпуклом множестве, формулируемом с помощью
проекции.
Метод условного градиента. Метод проекции градиента. Условный
метод Ньютона.
6
Тема 2. Основы вариационного исчисления
Задача о Брахистохроне. Постановка простейшей задачи
вариационного исчисления. Типы экстремумов в вариационных задачах.
Понятия дифференцируемости по Гато и Фреше. Вариации интегральных
функционалов. Необходимое условие слабого локального минимума.
Основная лемма вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
Вторая вариация интегрального функционала. Функция Вейерштрасса.
Условие Лежандра. Условие Якоби. Достаточное условие минимума. Задача
со свободными концами. Условия трансверсальности.
Тема 3. Оптимальное управление
Задача о мягкой посадке на Луну. Уравнение эволюции динамической
системы. Критерий качества в задаче оптимального управления. Функция
Гамильтона. Необходимые условия оптимальности в задаче со свободным
правым концом. Условия трансверсальности. Программные управления и
функция Беллмана. Достаточные условия оптимальности в задаче
оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
5. Образовательные технологии
В ходе изучения дисциплины предусмотрено использование следующих
образовательных технологий: лекции, практические занятия, проблемное
обучение, модульная технология, проблемная лекция, подготовка
письменных аналитических работ, самостоятельная работа студентов.
В учебном процессе предусмотрено использование активных и
интерактивных форм занятий и методов обучения (деловых и ролевых игр,
проектных методик, мозгового штурма, разбора конкретных ситуаций,
практико-ориентированных задач, иных форм) в сочетании с внеаудиторной
работой. Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах,
должен составлять не менее 20 % аудиторных занятий.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Оценочные средства составляются преподавателем самостоятельно при
ежегодном обновлении банка средств. Количество вариантов заданий
зависит от числа обучающихся.
Самостоятельная работа студентов организуется по лекционным
материалам и рекомендованной литературе.
Для промежуточной аттестации используются результаты решения
контрольной работы.
Варианты контрольной работы:
Вариант №1
1. Решить задачу нелинейной оптимизации методом Лагранжа.
3
3
2
2
f
3
x
2
x
extr
, x1 x2 4, xi  0 .
1
2
7
2. Найти экстремаль простейшей вариационной задачи






2 2
2


I
(
y
)

y

y
cos
x

sin
x
dx
,y
(
0
)

0
,
y

1
.



4


0
4
С помощью условий Лежандра, Якоби и Вейерштрасса определить,
является найденная экстремаль слабым или сильным минимумом.
3. Решить задачу оптимального управления

x


x

1
2
x
(
0
)

0
,t

[
0
,
4
],
0

u

,

i

x

Cos
(
u
)
2


F

x
(
4
)

2
x
(
4
)

min
1
2
Вариант №2
1. Решить задачу нелинейной оптимизации методом Лагранжа.
3
f x
extr
, 2x1 3x2 7.
1x
2
2. Найти экстремаль простейшей вариационной задачи
3





3
 

2
2
2

I
(
y
)

y

4
y

2
xy

x
dx
,y


y
,
y

y
.



1
2

8
4






4
8
С помощью условий Лежандра, Якоби и Вейерштрасса определить,
является найденная экстремаль слабым или сильным минимумом.
3. Решить задачу оптимального управления

x

x

1
2


0
)

0
,t

[
0
,
2
],
0

u
,

1x
i(

4
x

Cos
(
u
)

2

2

F

x
(
2
)

x
(
2
)

min
1
2
Вариант №3
1. Решить задачу нелинейной оптимизации методом Лагранжа.
3
3
2
2
x
3
x
x
4
f x2

extr
, x
.
1
2
1
2
2. Найти экстремаль простейшей вариационной задачи



 
8

 

2
2

I
(
y
)

y

9
y

4
y
sin
3
x

5
x
dx
,y


y
,
y

y
.




1
2

9
9




8


9
2
9
С помощью условий Лежандра, Якоби и Вейерштрасса определить,
является найденная экстремаль слабым или сильным минимумом.
3. Решить задачу оптимального управления

x
u

1
,x
0
)
1
, t
[
0
,2
],

1

u

1
,

i(

x
x
2
1

12 2
F
 u
dt

min
20
Вопросы к зачету:
8
1. Постановка задачи оптимизации. Задача безусловной оптимизации.
Постановка задачи оптимизации в общем виде. Понятия минимума.
Существование решения задачи оптимизации. Постановка задачи
безусловной оптимизации. Градиент и Гессиан. Необходимые и
достаточные условия в безусловной задаче. Пример.
2. Задача условной оптимизации. Классическая задача на условный
экстремум. Постановка задачи безусловной оптимизации. Линии
уровня. Геометрическая интерпретация условных задач. Классическая
условная задача. Функция Лагранжа. Правило множителей Лагранжа.
Достаточное условие оптимальности в условной задаче
3. Задача о брахистохроне. Значение и постановка. Решение задачи.
4. Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Типы
экстремумов в вариационных задачах Постановка ПЗВИ. Множество
допустимых функций. Пространства непрерывных и непрерывнодифференцируемых функций и их нормы. Слабый и сильный
локальные минимумы.
5. Понятия дифференцируемости. Вариации интегральных функционалов.
Дифференцируемость по Фреше и Гато. Определение первой и второй
вариации интегрального функционала. Вычисление первой вариации.
6. Необходимое условие слабого локального минимума. Основная лемма.
Необходимое условие с использованием первой вариации. Основная
лемма вариационного исчисления. Лемма Дюбуа-Реймона.
7. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Вывод уравнения Эйлера-Лагранжа.
Определение экстремалей. Анализ уравнения Эйлера-Лагранжа в
зависимости от вида подынтегральной функции.
8. Вторая вариация интегрального функционала. Необходимое условие.
Вычисление
второй
вариации
интегрального
функционала.
Формулировка положительной и неотрицательной определенности
функционала. Необходимое условие с использованием второй
вариации.
9. Функция Вейерштрасса. Условие Лежандра. Определение функции
Вейерштрасса. Необходимое условие Вейерштрасса. Условие
Лежандра.
10.Уравнение Якоби. Сопряженные точки. Вывод уравнения Якоби.
Понятие присоединенного уравнения. Понятие сопряженной точки и
способ ее поиска.
11.Условие Якоби. Достаточные условия локального минимума. Понятие
сопряженной точки. Необходимое условие Якоби. Усиленное условие
Якоби. Достаточные условия слабого и сильного локальных
минимумов.
12.Задача вариационного исчисления со свободными концами.
Формулировка задачи со свободными концами. Необходимые условия
локального минимума. Естественные условия на концах.
9
13.Условия трансверсальности в вариационной задаче. Задачи
вариационного исчисления с подвижным концом. Необходимые
условия локального минимума. Условия трансверсальности.
14.Постановка задачи и основные понятия оптимального управления.
Задача о мягкой посадке на Луну. Понятие фазовых координат,
фазового пространства, управления и допустимого управления.
Уравнение динамической системы. Критерии качества. Классификации
задач.
15.Задача без ограничений на управление со свободным правым концом.
Постановка задачи без ограничений на управление со свободным
правым концом. Определение функции Гамильтона. Необходимое
условие оптимальности.
16.Задача без ограничений на управление с подвижным правым концом.
Постановка задачи без ограничений на управление с подвижным
правым концом. Определение функции Гамильтона. Необходимое
условие оптимальности.
17.Функция Беллмана. Достаточные условия оптимальности. Постановка
задачи с ограничением на управление. Определение функции
Беллмана. Достаточные условия оптимальности.
18.Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи с ограничением
на управление. Принцип максимума Понтрягина. Связь теории
оптимального управления и вариационного исчисления
7.
Учебно-методическое
и
информационное
обеспечение
дисциплины (модуля) «Вариационное исчисление и оптимальное
управление»
Доступ к электронно-библиотечной системе СГУ («ИНФРА-М»,
"Лань",
«РУКОНТ», ibooks.ru, Электронная библиотека учебнометодических пособий преподавателей СГУ): http://www.sgu.ru/library
а) основная литература:
1. Пантелеев А. В. Методы оптимизации в примерах и задачах : учеб.
пособие/ А. В. Пантелеев, Т. А. Летова. -3-е изд., стер.. -М.: Высш. шк.,
2008. -544 с.
б) дополнительная литература:
1. Корнеенко, В. П. Методы оптимизации : учебник [Текст] / В. П.
Корнеенко. - М.: Высш. шк., 2007. -664 с.
2. Зеликин, М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление.
Изд. 2-е, испр. [Текст] / М.И. Зеликин. - М.: Едиториал УРСС, 2004. –
160 с.
3. Алексеев, В.М. Оптимальное управление [Электронный ресурс] /
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - М. : ФИЗМАТЛИТ,
2007. - 408 с. Режим доступа: ЭБС «IBOOKS.
10
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Компьютерные классы, оснащенные соответствующим программным
обеспечением, объединенные в локальную сеть с доступом в Интернет,
лекционные занятия ведутся с помощью проекционного оборудования
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению 010400
«Прикладная математика и информатика».
Автор: к.ф.-м. н., доцент кафедры прикладной информатики Сергеева М.Ю.
Программа одобрена на заседании кафедры прикладной информатики
от «_26_»_августа_2013 года, протокол № _7_.
Подписи:
Автор программы
__________________к.ф.-м.н., доцент Сергеева М.Ю.
Зав. кафедрой
прикладной информатики ________________ к.ф.-м.н, доцент Талагаев Ю.В.
Декан факультета математики,
экономики и информатики
____________к.п.н., доцент Кертанова В.В.
(факультет, где разрабатывалась программа)
Декан факультета математики,
экономики и информатики
____________к.п.н., доцент Кертанова В.В.
(факультет, где реализуется программа)