оптимальное наблюдение в реальном времени линейной

ОПТИМАЛЬНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
ПО МНОГОМЕРНЫМ СИГНАЛАМ
ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА
Во Тхи Тань Ха
Белгосуниверситет, факультет прикладной математики и информатики
Независимости 4, 220030 Минск, Беларусь
[email protected]
1. Оптимальное наблюдение динамических систем [1-3] является частью процесса управления ими в условиях неопределенности, с помощью которого получаются необходимые для процесса управления
оценки неопределенности.
Цель работы – исследовать метод оптимального наблюдения в реальном времени линейных динамических систем по многомерным сигналам измерительного устройства.
2. Пусть T = [t∗ , t∗ ] – промежуток времени; Th = {t∗ , t∗ + h, ..., t∗ },
∗
−t∗
h= tN
(N > 1 – натуральное число; A(t) ∈ Rn×n , t ∈ T , – кусочнонепрерывная функция; x = x(t) = (xj (t), j ∈ J) ∈ Rn – состояние
объекта наблюдения в момент времени t, J = {1, 2, . . . , n}.
Поведение динамического объекта описывается уравнением:
ẋ = A(t)x, t ∈ T,
(1)
Начальное состояние x(t∗ ) = x0 объекта не задано, но известно, что
оно принадлежит множеству X∗ : x0 ∈ X∗ = {x ∈ Rn : d∗ ≤ x ≤ d∗ }.
Множество X∗ называется априорным распределением начального
состояния x0 . Ему соответствует априорное распределение терминального состояния X ∗ = {x ∈ Rn : x = x(t∗ |t∗ , x0 ), x0 ∈ X∗ }, которое
характеризует априорную неопределенность в поведении объекта (1).
В задачах оптимального гарантирующего программного управления
в условиях неопределенности используются линейные оценки вида:
α = α(X ∗ ) = max p′ x, x ∈ X ∗ ,
(2)
где p ∈ Rn (∥p∥ = 1). Вычисление оценки (2) называется задачей
оптимального априорного наблюдения.
Для уменьшения априорной неопределенности используются сигналы импульсного измерительного устройства:
y(θ) = G(θ)x(θ) + ξ(θ), ξ(θ) ∈ Ξ, θ ∈ Th ,
91
где G(t) ∈ Rr×n , t ∈ T , – непрерывная функция; ξ(θ) = (ξi (θ), i ∈
I), θ ∈ Th , – неизвестные погрешности (ошибки) измерений, I =
{1, 2, . . . , r}; Ξ = {ξ ∈ Rr : ξ∗ ≤ ξ ≤ ξ ∗ }; ξ∗ , ξ ∗ ∈ Rr – известные
векторы.
Пусть y(·) = (y(θ), θ ∈ Th ) – совокупность сигналов, записанных в
некотором процессе наблюдения.
Определение 1. Множество X∗ (y(·)) называется апостериорным распределением начального состояния x0 модели (1), соответствующим импульсным сигналам y(·), если оно состоит из тех и
только тех векторов x ∈ X∗ , которые вместе с некоторыми возможными погрешностями измерений ξ(θ) ∈ Ξ, θ ∈ Th , способны
породить y(·).
Множеству X∗ (y(·)) соответствует апостериорное распределение
терминального состояния X ∗ (y(·)) = {x ∈ Rn : x = x(t∗ |t∗ , x0 ), x0 ∈
X∗ (y(·))}, элементы которого x ∈ X ∗ (y(·)) назовем апостериорно возможными терминальными состояниями.
Пусть τ ∈ Th – текущий момент процесса наблюдения; yτ (·) =
(y(θ), θ ∈ Thτ ), Thτ = T τ ∩ Th , T τ = [t∗ , τ ], – записанные к этому
моменту сигналы. Пара (τ, yτ (·)) – текущая позиция процесса наблюдения.
Определение 2. Множество X∗ (τ, yτ (·)) – текущее распределение начального состояния x0 в позиции (τ, yτ (·)), если оно состоит
из таких и только таких x ∈ X∗ , которые способны вместе с некоторыми возможными ξτ (·) получить yτ (·).
Множеству X∗ (τ, yτ (·)) соответствует текущее распределение терминального состояния X ∗ (τ, yτ (·)) = {x ∈ Rn : x = x(t∗ |t∗ , x0 ), x0 ∈
X∗ (τ, yτ (·))}. Его элементы – возможные значения терминального состояния в позиции (τ, yτ (·)).
Для позиционного решения задач оптимального наблюдения достаточно знать линейные оценки множества X ∗ (τ, yτ (·)):
α(τ, yτ (·)) = max p′ x, x ∈ X ∗ (τ, yτ (·)).
(3)
В подробной записи задача (3) имеет вид
q ′ x → max, ξ∗ (θ) ≤ D(θ)x ≤ ξ ∗ (θ), θ ∈ Thτ ; d∗ ≤ x ≤ d∗ ,
x
(4)
где
− y(θ), ξ ∗ (θ) = ξ ∗ − y(θ), D(θ) = −G(θ)F (θ) =
( ξ∗ (θ) = ξ∗ )
dij (θ), j ∈ J
, θ ∈ Th ; q ′ = p′ F (t∗ ).
i∈I
92
Вычисление (3) назовем текущей задачей оптимального наблюдения. Решение задачи (4) называется экстремальным начальным состоянием в позиции (τ, yτ (·)).
Пусть Yτ (·) – множество всех сигналов yτ (·), которые могут быть
записаны к моменту времени τ .
Определение 3. Функцию
α(τ, yτ (·)), yτ (·) ∈ Yτ (·), τ ∈ Th ,
(5)
будем называть позиционным решением задачи оптимального наблюдения (4), а ее построение – синтезом оптимальной системы
наблюдения.
Наблюдение объекта с помощью позиционного решения (5) осуществляется по алгоритму, описанному в [1]-[4]. Для иллюстрации метода рассмотрены динамические системы 4-го и 8-го порядков с двухмерными сигналами измерительного устройства.
Список литературы
1. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Поясок Е.И. Оптимальное наблюдение в реальном времени линейного динамического объекта // Доклады РАН. 2013. Т.
448. № 2. С. 145-148.
2. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Синтез оптимальных управлений для динамических систем при неполной и неточной информации об их
состояниях // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1995. Т. 211. С. 140-152.
3. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Дмитрук Н. М. Оптимизация многомерных
систем управления с параллелепипедными ограничениями // Автоматика и
телемеханика 2002. №3. С. 3-26.
4. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 1. Линейные задачи. Мн.: Университетское, 1984. 214 с.
ОПТИМАЛЬНОЕ НАСЫЩАЕМОЕ УПРАВЛЕНИЕ
НЕУСТОЙЧИВЫМ ОБЪЕКТОМ
В.С. Воронков
ул. Ильинская 65, 603000 Нижний Новгород, Россия
[email protected]
Введение. Разработка методов оптимального управления с целью
стабилизации неустойчивых объектов берет начало с работ Р. Калмана и А.М. Летова [1, 2]. В этих работах используется линейная математическая модель полностью управляемого и наблюдаемого объекта, что позволяет найти оптимальное управление как линейную обратную связь по переменным состояния. Оптимальность управления
93