Часть_2(Изданная) с изменением шрифта

Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и
социологии.
Москва
Издательство МЦНМО
2010
Логвенков С.А. Мышкис П.А. Самовол В.С.
Сборник задач по математическому анализу. Функция одной
переменной. Учебное пособие для факультетов менеджмента,
политологии и социологии. – М.: МЦНМО, 2010. ???? с.
ISBN ????????
Сборник задач составлен в соответствии с программой по
математическому анализу для подготовки студентов, обучающихся по
специальности менеджмент, социология, политология. Содержит
задачи по следующим разделам: предел последовательности, предел
функции, производная функции, формула Тейлора, исследование
функций и построение их графиков, интегрирование, обыкновенные
дифференциальные уравнения.
ISBN ????????
© Коллектив авторов
© Издательство НЦНМО, 2010
2
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
4
1. Предел последовательности
5
2. Предел функции
9
3. Производная функции
15
4. Формула Тейлора
24
5. Исследование функций и построение их графиков
30
6. Интеграл
35
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
46
Ответы
53
3
Предисловие
Настоящий сборник задач посвящен одному из основных
разделов
высшей
математики:
основам
дифференциального
и
интегрального исчисления функций одной переменной. Он составлен
в соответствии с программами курса «Алгебра и анализ», читаемого
на различных факультетах Государственного университета - Высшей
школы экономики (ГУ-ВШЭ). Изложение материала в предлагаемом
сборнике ориентировано на углубленное изучение фундаментальных
математических
идей
и
методов,
широко
применяемых
в
исследовании социально-экономических процессов и явлений.
Для облегчения восприятия и удобства пользования весь
материал
разбит
на
части.
При
этом
основное
внимание
сосредоточено на таких темах, как пределы последовательностей и
функций, производные и их применение, исследование функций и
построение их графиков, неопределенный и определенный интеграл,
методы решения простейших дифференциальных уравнений.
Большая часть задач снабжена ответами.
При подборе примеров и задач привлекались разнообразные
источники и, прежде всего, те книги, которые вошли в приведенный в
конце сборника библиографический список.
4
1. Предел последовательности.
Вычислите пределы
(1  3n)3  27n3
1.1. lim
n  (1  4n) 2  2n 2
(3  2n)2
1.2. lim
n  ( n  3)3  ( n  3)3
 5n 2  3n  1 
1.3. lim  2

n  3n  n  5 


2
 8n5  3n 2  9 
1.4. lim  5

n  2n  2n3  5 


3
8n3  3n 2  5n  1
1.5. lim
n 
n7
3
1.6. lim
n 
1.7. lim
n 
1.8. lim
n 

4n 2  1  n
3

2
n6  3
n 3 3n 2  4 4n8  1
(n  n ) 7  n  n 2
n n  3 27 n 6  n 4
(n  4 n ) 4  n 2
5
5  2n  3  5n 1
1.9. lim
n  100  2n  2  5n
(1)n 6n  5n 1
1.10. lim n
n  5  ( 1) n 1 6n 1
(2n  1)50
1.11. lim
n  (2n  1) 48 ( n  2) 2
(2n  3)98 (2n  1) 2
1.12. lim
n 
(2n  4)100
(n  2)6 (9n  4) 4
1.13. lim
n 
(3n  3)10
3n 2  2 n 1
1.14. lim 2
n2  n  2
n 
sin(3n 2  2n  1)
1.15. lim
n 
n2  3
1  3  5  K  (2n  1)
n 
n2
1.16. lim
1 2  3 K  n
n 
n2  5
1.17. lim
6
1 1
1
 2 K  n
2 2
2
1.18. lim
1 1
1
n 
1  2 K  n
3 3
3
1
1.19. lim n( 5  4n2  2n)
n 
1.20. lim n( 1  n  9n2  2  n  9n2 )
n 
1.21. lim ( 1  5n  n2  3  n  n2 )
n 
1.22. lim ( 2  3n  2n2  7  5n  2n2 )
n 
9n 2  2n  7  n
1.23. lim
n 
4n  3
1.24. lim
n 
4n 2  7 n  3  n
3n  4
 2n  1 
1.25. lim 

n   3n  1 
n
 3n 2  n  1 
1.26. lim  2

n  5n  3n  2 


 n3
1.27. lim 

n   n  2 
n 2 1
n
7
 2n  1 
1.28. lim 

n   2n  3 
n2
1.29. lim (n  2)(ln(2n  4)  ln(2n  3))
n
1.30. lim (n  3)(ln(3n  7)  ln(3n  5))
n
 n2  n  3 
1.31. lim  2

n  n  2n  1 


3n 1
 2n 2  2n  5 
1.32. lim 

n  2n 2  n  1 


n
8
2. Предел функции.
2.1. Вычислите пределы
x2  4
а) lim 2
x 1 x  x  3
3x  2
x 1 x 2  1
б) lim
x2  2 x  1
x 1 2 x 2  x  3
в) lim
x2  2 x  3
x 3 x 3  5 x 2  6 x
г) lim
x3  3 x 2  7 x  5
x 1
x2  x  2
д) lim
x3  x 2  x  1
е) lim
x 1 x 3  3 x  2
9  x2
ж) lim
x 3 3 x  3
з) lim
x 0
1 x  1 x
x
x2  x  4
и) lim
x  3 x 2  2
9
5x2  x  3
к) lim
x 
x3  1
x4  2 x  1
л) lim
x 
x2  3
м) lim
x2  1
x 1
н) lim
x2  1
x 1
x 
x 
о) lim ( x 2  4 x  x)
x 
п) lim ( x 2  4 x  x)
x 
р) lim ( x 2  3x  1  x 2  3x  4)
x 
с) lim ( x2  4  x2  3x  1)
x 
sin(3x)
x 0 19 x
т) lim
sin(5 x 2 )
x 0 7 x 2  x
у) lim
10
sin(2 x)
x 0 sin(3 x)
ф) lim
1  cos(4 x)
x 0 x 2  x3
х) lim
 x3 
ц) lim 

x   2 x  1 
 3x  2 
ч) lim 

x   3 x  1 
x
6 x 5
2.2. Найдите порядок малости функций при x  0
а) f ( x)  x sin(5 x)
б) f ( x)  sin 2 (5 x)ln(1  3 x)
в) f ( x) 

3

4
1  2 x  1 cos( x)
x5
arctg ( x)
г) f ( x) 
1  x7
д) f ( x)  (e x  1)ln(cos x)
е) f ( x)  (3x  1)ln(1  sin(5 x))
2
ж) f ( x)  (e x  1)ln(1  e x )
11
2.3. Вычислите пределы, используя замены функций на
эквивалентные
ln(1  sin(2 x))
x 0
sin(3x)
а) lim
б) lim
1  cos(2 x)
2
x 0
e2 x  1
1  x  x2  1
3x
в) lim
x 0
9 x 3
x 0 3 arctg ( x)
г) lim
sin 2 (3x)
д) lim
x 0
е) lim
x 0
1  3x 2  1
3
cos( x)  1
sin 2 ( x)
ln(cos( x))
x 0 sin 2 (2 x)
ж) lim
з) lim
x 0
x sin(2 x)
cos(5 x)  1
e x 1  e
и) lim
x 0 ln(cos(2 x))
2
12
ln 2 (1  sin(2 x))
к) lim
x 0
1  6 x2  1
л) lim
x 1
e 1
м) lim
ln(3x  8)
x  2 1
5
x 1
x 1
x 3
x3  1
н) lim
x 1 ln( x)
о) lim
x 2
x2  x  1  1
ln( x  1)
x 1
 3x  4  3
п) lim 

x   3 x  2 
 x3
р) lim 

x   x  2 
2 x 1
1
 cos( x)  x 2
с) lim 

x  0  cos(2 x ) 
1
 sin( x)  x 3
т) lim 

x 3  sin(3) 
13
1
у) lim(cos( x)) sin
2
(2 x )
x 0
ф) lim (1  sin 2 ( x))
1
ln( cos ( x ))
x 0
1
x) lim(2  cos( x)) ln(1 2 x
2
)
x 0
ц) lim (1  sin(2 x))
1
1 6 x 1
x 0
 n2  5 
ч) lim  2

n n  7


1
f 
n
1
f 
 x
 4  2x
ш) lim 

x 0 4  x 2


2
, если f ( x ) ~
5
при x  0
x2
, если f ( x ) ~ 4 x 2 при x  
14
3. Производная функции.
3.1. Используя только определение производной, действия с ней и
sin( x  x )  sin x
табличные производные, найдите lim
.
x0
x
3.2. Используя только определение производной, действия с ней и
cos a  cos x
табличные производные, найдите lim
.
xa
xa
3.3. Используя только определение производной, действия с ней и
32x  9
табличные производные, найдите lim
.
x  0
x
3.4. Используя только определение производной, действия с ней и
2x  2
табличные производные, найдите lim
.
x 1 x  1
3.5. Используя только определение производной, действия с ней и
f (tg x )  f (1)
табличные производные, найдите lim
, если f(π/4) =2,
x / 4
x  / 4
f(1) = 3, f (π/4) = 4, f (1) = 5.
3.6. Используя только определение производной, действия с ней и
f ( x ) tg x  f ( / 4)
табличные производные, найдите lim
, если f(π/4)
x / 4
4x  
=2, f(1) = 3, f (π/4) = 4, f (1) = 5.
Найдите производные следующих функций
3.7. y 
2 3
5
4
x  2
3
5 x
2x
3.8. y  2 x3 ln x
15
3.9. y 
ax  b
cx  d
2 x2  5x  6
3.10. y 
3x 4  x  1
3.11. y 
sin x  cos x
sin x  cos x
3.12. y 
x ln x  5cos x  1
2 x3  1
3.13. y  1  x 2
3.14. y  (3  2 x 4  5 x3 ) 4
3.15. y  3 2 x3  x  3
3.16. y  ln( x 2  3x  x )
3.17. y  ln( x  1  x 2 )
3.18. y  sin 2 (3 x)
3.19. y  e x ln(3 x 1)
1  x2
3.20. y 
1  x2
16
3.21. y  ln 2 (1  cos(2 x))
3.22. y  ln( x2  cos x)
3.23. y  cos(4 x 2 ln x)
( x2  x)sin( x)
3.24. y  e
3.25. y  e x
2
x3  4 x 2  7
3.26. y 
3
5(2  sin x)3
3.27. y 
1  cos(4 x)
1  cos(4 x)
3.28. y 
x
x 1
3.29. y 
x arctg ( x )
1  x2
2
3.30. y  ln
x
1 x
e x
3.31. y 
1 x
2
17
e3 x
3.32. y  ln 3 x
e 1
3.33. y  x 2 arcsin 1  x 2
3.34. y  ( x 2  1) x
3.35. y  ( x  1)tg ( x)
3.36. y  (3x2  3x  2)atctg ( x)
2
3.37. y  e x (cos x) x
3.38. y  x2 (tgx)3x 2
3.39. Известно, что g (a )  b , h(a)  c и f ( x)  g (h( x)) . Чему равно
значение f (a ) ?
3.40. Известно, что g (b)  c , h(a)  b и f ( x)  g (h( x)) . Чему равно
значение f (a ) ?
3.41. Известно, что g (a)   , h(a)   и f ( x)  g (h( x)) . Чему равно
значение f (a ) ?
3.42. Известно, что g (b)   , h(a)   , h(a)  b и f ( x)  g (h( x)) . Чему
равно значение f (a ) ?
18
3.43. Найдите g (1) , если g ( x)  f ( f ( f ( x))) , где f ( x)  x6  x  1 .
3.44. Найдите g (1) , если g ( x)  f ( f ( f ( x))) , где f ( x)  x3  1 .
3.45. Вычислите дробь
3.46. Вычислите дробь
h( x)
g (3 )
x
, если h(x) = g(3x).
h( x)
, если g(x) = ln h(x).
g ( x)
3.47. Найдите при x = 2 значение сложной функции f (x) = g(h(x)) и ее
производной, если g(1) =2, h(1) =1, g(x) = πxπ–1 и h(x) = 3x2 .
3.48. Найдите f (1), если f(x)=g(h(x) и h(1)=2, h(2)=3, h(1)=4, g(1)=3,
g(2)=10, g(5)=3, g(3)=4, g(2)=2, h(1)=5, g(5)=4, g(2)=-1.
3.49. Найдите h(7)(x), если h(5)(x) = 4 sin x .
3.50. Зависимость y от x задана параметрически ( x  x(t ) и y  y(t ) ),
причем
d 10 y e t
dx e t
d 11 y


и
.
Найдите
при t  2 .
dx10
t
dt t 3
dx 11
3.51. Зависимость y от x задана параметрически ( x  x(t ) и y  y(t ) ),
причем
dx

d7y
d8y
9
10

sin
t

sin
t
и
.
Найдите
при t  .
7
8
dt
3
dx
dx
Напишите уравнения касательных к графикам следующих
функций, заданных параметрически, в точке, соответствующей t  t0
19
3.52. y  2t 2  3t  1 , x  t 2  2t  4 , t0  2
3.53. y  2t 2  4t  10 , x  4t 2  12t  7 , t0  2
3.54. y  t 2  5t  3 , x  2t 2  3t , t0  1
3.55. y  5t 2  2t  5 , x  t 2  4t  1, t0  1
3.56. Найдите значение производной y функции y  y ( x) , заданной
неявно уравнением e x  x  y  y  1 , в точке М(0; 1).
3.57. Найдите значение производной y функции y  y ( x) , заданной
неявно уравнением ln( x  y 2 )  arctg ( x)  0 , в точке М(0; 1).
3.58. Найдите значение производной y функции y  y ( x) , заданной
неявно уравнением
xy  ln( y)  x5 , в точке М(1; 1).
3.59. Найдите значение производной y функции y  y ( x) , заданной
неявно уравнением e y
2
1
 x 2 ( y  0,5)  7 , в точке М(2; 1).
3.60. Напишите уравнение касательной, проведенной в точке (1;1) к
графику функции y  y ( x) , заданной неявно xy  ln y  1 .
3.61. Напишите уравнение касательной, проведенной в точке (2;1) к
графику функции y  y ( x) , заданной неявно x 2  2 xy  y 2  7 .
3.62. Напишите уравнение касательной, проведенной в точке (1;1) к
графику функции y  y ( x) , заданной неявно x 2  xy  y 2  3 .
20
3.63. Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к
графику функции y  y ( x) , заданной неявно
y 2 x  3xy 2  2 x  12 y  9  0 .
3.64. Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(1;2) к
графику функции y  y ( x) , заданной неявно
x y 1  2 x 2 y 3  3x  20 y  28  0 .
3.65. Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(1;1) к
графику функции y  y ( x) , заданной неявно
x1 ln y  4 x 2 y 3  3x  12 y  20  0 .
3.66. Напишите уравнение нормали, проведенной в точке M(2;1) к
графику функции y  y ( x) , заданной неявно
y x  y  5 xy 3  7 x  21y  24  0 .
3.67. К графику функции y = 0,5 (x – 2)6 в точке M(3; 0,5) проведена
касательная. На касательной взяты точки A и B с разностью проекций
на ось Ox равной 5. Найдите разность их проекций на ось Oy.
3.68. В условиях предыдущей задачи найдите квадрат расстояния
между точками A и B.
3.69. Прямая l получена зеркальным отражением касательной из
предыдущей задачи относительно прямой y = x. Найдите квадрат
расстояния между точками A и B, находящимися на прямой l, если
разность их проекций на ось Ox равна 6.
3.70. Зависимость y  f ( x ) задана неявно уравнением
x  g ( y )  y  h( x )  15  0 . Найдите параметр b в уравнении y  kx  b
касательной к графику y  f ( x ) в точке A(2;3) , если g(3)  3 , g (3)  4 ,
h(2)  7 , h (2)  2 .
21
3.71. Зависимость y  f ( x ) задана неявно уравнением
x  g ( y )  y  h( x )  28  0 . Найдите параметр b в уравнении y  kx  b
касательной к графику y  f ( x ) в точке A(3;2) , если g(2)  6 , g (2)  2 ,
h(3)  5 , h (3)  4 .
 x ( y ) , если y 
3.72. Найдите lim
x 
x5  3
. Напомним, что эластичность
x2  x
dy dx y  x
. Проверьте ответ, найдя эластичность функции
:

y x
y
z  x n , эквивалентной y при x   .
 x ( y) 
x5  3
. Проверьте ответ, найдя
x2  x
эластичность функции z  x n , эквивалентной y при x  0 .
 x ( y ) , если y 
3.73. Найдите lim
x 0
3.74. Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите
приближенно значение x, если g(-5) = -3, g(x) = -2,96 и g′ (-5) = 2.
3.74. Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите
приближенно значение x, если g(5) = 2, g(x) = 2,04 и g′ (5) = -4.
3.76. Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите
приближенно значение x, если g(-5) = 2, g(x) = 2,04 и g′ (-5) = -4.
3.77. Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите
приближенно значение x, если g(-3) = 5, g(x) = 5,04 и g′ (-3) = -2.
Заменяя приращение функции дифференциалом, вычислите
приближенно значение функции y  f ( x) в точке x  a
3.78. f ( x )  x5 , a  2,001
3.79. f ( x)  4 x  3 , a  0,98
22
3.80. f ( x)  x3 , a  1,02
2
3.81. f ( x)  e x  x , a  1,2
Используя понятие дифференциала функции, вычислите
приближенно
3.82. (1,015)5
3.83.
4
80,5
3.84. arctg (1,04)
3.85. На сколько изменится начальный вклад, составляющий 980
рублей, за 3 года, если годовая процентная ставка составляет 0,1 %.
23
4. Формула Тейлора.
1
по целым неотрицательным
x2
степеням двучлена x  1 до члена четвертого порядка (включительно).
4.1. Разложите функцию f ( x) 
4.2. Найдите три члена разложения функции f ( x )  x по целым
неотрицательным степеням разности x  1 .
4.3. Функцию f ( x)  e2 x  x в окрестности точки x  0 приближенно
замените многочленом третьей степени.
2
4.4. Функцию f ( x)  esin( x) в окрестности точки x  0 приближенно
замените многочленом третьей степени.
4.5. Напишите разложение многочлена четвертой степени P( x) по
степеням x 10 , используя формулу Тейлора. Найдите P (10) , если
P(10)  4 , P (10)  1 , P (10)  18 , P ( 4 ) (10)  48 и P(11)  11 .
4.6. Напишите разложение многочлена четвертой степени P( x) по
степеням x 11, используя формулу Тейлора. Найдите P (11) , если
P(11)  5 , P (11)  4 , P (11)  6 , P ( 4 ) (11)  72 и P(10)  5 .
Используя правило Лопиталя, вычислите пределы
ln(cos 2 x)
x 0 sin 2 x
4.7. lim
x  arctg x
x 0
x3
4.8. lim
24
e3 x  1
4.9. lim
x 0 arcsin 2 x
4.10. lim
x 4 3
4.11. lim
x 
x 2
2x  2
tg 3x
2 tg x
4.12. lim
x5
x  e x 100
4.13. lim x ln x
x 0
4.14. lim ln x ln(1  x)
x 1
Используя стандартные разложения элементарных функций по
формуле Маклорена, вычислите пределы
1 
1
4.15. lim  

x 0  x sin x 
e x  e x  2 x
4.16. lim
x 0
x  sin x
2
cos x  e x 2
4.17. lim
x 0
x4
25
1  1  x 2 cos x
4.18. lim
x 0
x4
e x sin x  x(1  x)
4.19. lim
x 0
x3
4.20. Используя разложения по формуле Тейлора для элементарных
функций, найдите приближенное значение f (0,5) , где
f ( x)  3sin( x)  sin(3x) , ограничившись в разложении первым
отличным от нуля членом.
4.21. Используя разложение по формуле Тейлора для элементарных
функций, найдите приближенное значение f (0,3) , где
f ( x)  2cos(2 x)  2cos( x) , ограничившись в разложении первым
отличным от нуля членом.
4.22. Ограничившись тремя отличными от нуля членами табличного
разложения соответствующей элементарной функции по формуле
Маклорена, найдите приближенное значение f (0,5) , где
f ( x)  3cos(2 x)  3  6 x 2 .
4.23. Используя разложение по формуле Тейлора для элементарных
функций, найдите приближенное значение f (0,5) , где
f ( x)  1  2 x 2  x 2  1 , ограничившись в разложении первым
отличным от нуля членом.
4.24. Ограничившись тремя отличными от нуля членами табличного
разложения соответствующей элементарной функции по формуле
Маклорена, найдите приближенное значение f (0,5) , где
f ( x)  2 1  x 2  2  x 2 .
4.25. Используя разложение по формуле Тейлора для элементарных
функций, найдите приближенное значение f (0,2) , где
26
f ( x)  3 1  3 x  1  x , ограничившись в разложении первым отличным
от нуля членом.
4.26. Ограничившись тремя отличными от нуля членами табличного
разложения соответствующей элементарной функции по формуле
Маклорена, найдите приближенное значение f (0,4) , где
f ( x)  e 2 x  1  2 x .
4.27. Ограничившись тремя отличными от нуля членами табличного
разложения соответствующей элементарной функции по формуле
Маклорена, найдите приближенное значение f (0,5) , где
f ( x)  6ln(1  x 2 )  6 x 2  3 x 4 .
4.28. Используя формулу Тейлора найдите f ( IV ) (0) , где
1
f ( x) 
 cos( x 2 ) .
2
1 x  x
4.29. Используя формулу Тейлора найдите f ( IV ) (0) , где
f ( x)  sin 2 x 
x2
.
x2  1
4.30. Используя формулу Тейлора найдите f ( IV ) (0) , где
f ( x)  ln(1  x  x 2 )  x  x 2 2
4.31. Используя формулу Тейлора или правило Лопиталя, найдите
f ( x0  2x)  2 f ( x0 )  f ( x0  5x)
значение lim
, если f ( x)
x 0
3x
дифференцируема в точке x  x0 и f ( x0 )  3 , f '( x0 )  6
4.32. Используя формулу Тейлора или правило Лопиталя, найдите
f ( x0  5x)  2 f ( x0 )  f ( x0  7x)
значение lim
, если f ( x)
x 0
2x
дифференцируема в точке x  x0 и f ( x0 )  4 , f '( x0 )  8
27
4.33. Применяя формулу Тейлора для функции f ( x) в окрестности
точки x0 и, сохраняя члены до второго порядка малости
включительно относительно x , найдите приближенное значение
выражения 2 f ( x0  2x)  3 f ( x0 )  f ( x0  4x) .
4.34. Применяя формулу Тейлора для функции f ( x) в окрестности
точки x0 и, сохраняя члены до второго порядка малости
включительно относительно x , найдите приближенное значение
выражения 2 f ( x0  3x)  5 f ( x0 )  3 f ( x0  2x) .
4.35. Применяя формулу Тейлора для функции f ( x) в окрестности
точки x0 и, сохраняя члены до второго порядка малости
включительно относительно x , найдите приближенное значение
выражения f ( x0  4x)  3 f ( x0 )  2 f ( x0  2x) .
4.36. Применяя формулу Тейлора для функции f ( x) в окрестности
точки x0 и, сохраняя члены до второго порядка малости
включительно относительно x , найдите приближенное значение
выражения 4 f ( x0  3x)  7 f ( x0 )  3 f ( x0  4x) .
4.37. Используя стандартное разложение функции ln(1  t ) по формуле
1
Маклорена по степеням t  , найдите наклонные асимптоты
x
 x+1  2
функции f ( x )  x3ln 
x .
 x 
4.38. Используя стандартное разложение функции, et по формуле
1
Маклорена по степеням t  , найдите наклонные асимптоты
x

функции f ( x)  x 2  e

2x+1
x

 e2  .

28
4.39. Используя стандартное разложение функции (1  t ) по формуле
1
Маклорена по степеням t  , найдите наклонные асимптоты
x
19
10 20
функции f ( x)  x  10x  x 2 .
29
5. Исследование функций и построение их графиков.
5.1. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями
функции f ( x)  x3  12 x  7 на отрезке  0;3 .
5.2. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями
функции f ( x)  3 x 4  16 x3  2 на отрезке  3;1 .
5.3. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями
функции f ( x)  3x5  5 x3  6 на отрезке 0;2 .
5.4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f ( x)  x2  4 x  1  4 на отрезке  1; 2 .
5.5. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f ( x)  x2  6 x  2  12 на отрезке  1; 3 .
5.6. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f ( x)  x2  8 x  3  24 на отрезке  1;4 .
5.7. Найдите точку минимума функции f ( x3  9 x2  24 x  10) , если f ( x) –
монотонно убывающая функция.
5.8. Найдите точку максимума функции f (5  45x  3x2  x3 ) , если f ( x) –
монотонно убывающая функция.
5.9. Функция f (x) определена и имеет непрерывную вторую
производную при всех x  (;) . График функции y  f (x) имеет
асимптоту y  1  x при x   и y  2 x  1 при x   . Кроме того,
30
( x  2)  f ( x)  0 при всех x  2 . Изобразите эскиз графика y  f (x) и
оцените возможные значения f (2) .
5.10. Функция f (x) определена и имеет непрерывную вторую
производную при всех x  (;) . График функции y  f (x) имеет
асимптоту y  x  3 при x   и y  2 x  2 при x   . Кроме того,
( x  1)  f ( x)  0 при всех x  1. Изобразите эскиз графика y  f (x) и
оцените возможные значения f (1) .
5.11. Найдите сумму ординат всех точек пересечения асимптот
графика y 
2 x3  3 x 2
x 2  3x  2
.
5.12. Найдите сумму ординат всех точек пересечения асимптот
графика y 
3 x 2  2 x3
x2  2 x  8
.
Проведя необходимое исследование, постройте графики
следующих функций
x
5.13. y  2
x 1
5.14. y 
5
6
 5
6
x
x
4 x 2  3x
5.15. y 
2x  2
x3  4
5.16. y 
x2
x3
5.17. y  2
x 4
31
x3
5.18. y  2
x 1
x3
5.19. y 
( x  2) 2
27  2 x3
5.20. y 
6 x2
x2
5.21. y 
( x  4) 2
2 x 2  3x  5
5.22. y 
x4
x 2  3x  18
5.23. y 
x9
x4
5.24. y 
( x  1)3
5.25. y 
x3  x 2
( x  1) 2
( x  1)3
5.26. y 
( x  1) 2
32
5.27. y 
x
3
x2  1
5.28. y  e 2x  x
2
5.29. y  x e x
ex
5.30. y 
x 1
5.31. y
1
 ( x  1) e x
5.32. y  ( x
9
 2) e x
5.33. y  x
1
ex
2
5.34. y  x e  x
2
5.35. y  x 2 e  x
2
5.36. y  x ln x
5.37. y  x 2 ln x
5.38. y 
ln x
x
33
5.39. y  ( x  1) 3 x 2
5.40. y  x  arctg ( x)
5.41. y  x  arctg (2x)
34
6. Интеграл.

6.1. Вычислив производную  cos x 5  , найдите

x
6.2. Вычислив производную  ln(1  x )  , найдите
4
4
sin x5 dx .

x3
dx .
1  x4
Найдите следующие неопределенные интегралы
1 

6.3.   x 4  35 x  2 dx
x 

 2
3
6.4.  

2
1 x
4  x2


dx

5 x8  1
dx
6.5. 
x4
3x 4  3x 2  1
dx
6.6. 
x2  1
6.7.
 3 3  7x dx
6.8.

6x  1
dx
1  3x
6.9.
 2 x  1 dx
2x  3
35
6.10.
1  3x
 3  2 x dx
3arctg 2 x
dx
6.11.  2
x 1
3tg 2 x
dx
6.12. 
cos 2 x
6.13.
6.14.
1
 x ln x dx

1  ln x
dx
x
6.15.  x 2
6.16.  x 2
6.17.
3
5
1  x3 dx
x3  8dx
sin x
 cos3 x dx
etgx
dx
6.18. 
cos 2 x
6.19.

3  cos(5 x) sin(5 x) dx
x2  1
6.20.  3
dx
( x  3x  1)4
36
x
dx
x 1
6.21.

6.22.
3 x 1
 2 x x  xdx
6.23.

6.24.

x dx
x2  1
x dx
1  x4
dx
6.25.

6.26.
 2 x2  3
6.27.

7  5x2
x dx
2arcsin x  x
1 x
2
dx
2
6.28.  e( x 1) x dx
6.29.  sin  ln x 
6.30.
dx
x
dx
 x2  4 x  5
37
6.31.
6.32.


dx
3  2 x  x2
dx
x2  2 x  8
6.33.  x sin(3x)dx
6.34.  x 2 sin x dx
6.35.  ( x 2  2 x  3)cos x dx
6.36.  ( x  1)e  x dx
6.37.  ( x  1)cos3 x dx
6.38.  (6 x  3)cos(2 x)dx
6.39.  (2 x  2)e2 x dx
6.40.  x 2e x dx
6.41.  x 2 cos x dx
6.42.  (4 x3  6 x  7)ln x dx
38
6.43.  x ln(3 x  2) dx
6.44.
x dx
 cos 2 x
6.45.  x arctgx dx
6.46.

ln x
dx
x3
1  x2
6.47. Найдите первообразную функции f ( x) 
, проходящую
x4
1
через точку 1 2,  1 . Используйте замену переменной 2  1  t 2 .
x


6.48. Найдите первообразную функции f ( x) 
1
,
x  2 x
проходящую через точку (1, 1). Используйте замену переменной
2
 1  t3 .
3
x
6.49. Найдите первообразную функции f ( x) 
3 3
3
1
,
x  1 x
проходящую через точку (1, 0) . Используйте замену переменной
1
1  t2 .
2
x
6.50. Найдите первообразную функции f ( x) 
2
2
1
,
(4  x )
проходящую через точку (1, 0). Используйте замену переменной
2
4
1 t 3 .
2
x
39
2 3
6.51. Известно, что
6.52. Известно, что
 
 3 / 2 cos x
2
 x 2   2 dx  F ( x)  C и g ( x)  F ( x ) . Найти g   .
5x
 x 2  9 dx  F ( x)  C
6.53. Найдите неопределенный интеграл
f ( x)
 x  a dx  F ( x; a)  C , где
 
и g ( x)  F x 2 . Найти g 2 .
f ( x)
 x 2  x  6 dx , если
F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a,
C=const.
6.54. Найдите неопределенный интеграл
f ( x)
 x  a dx  F ( x; a)  C , где
x  f ( x)
 x2  x  6 dx , если
F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a,
C=const.
6.55. Если f ( x) непрерывна на [0;15] и F '( x)  f ( x) , то чему равен
7
определенный интеграл
 f (2 x  1)dx .
3
6.56. Если f ( x) непрерывна на [0;11] и F '( x)  f ( x) , то чему равен
4
определенный интеграл
 f (3x  2)dx .
2
6.57. Если f ( x) непрерывна на [-1;19] и F '( x)  f ( x) , то чему равен
3
определенный интеграл
 f (4 x  2)dx .
1
6.58. Если f ( x) непрерывна на [-1;19] и F '( x)  f ( x) , то чему равен
5
определенный интеграл
 f (3x  4)dx .
2
40
Вычислите следующие определенные интегралы
3
6.59.  x3dx
1
2
1 

6.60.   x 2  4 dx
x 
1
1
6.61.

1  x dx
0
1
6.62.

0
2
6.63.
dx
4  x2
x dx
 1  x2
1
ln 3
6.64.
e x dx

ex  1
0
4
6.65.

0
dx
2x  1
1
6.66.
x
2
1  x3 dx
2
41
1
6.67.

1
dx
5  4x
5
6.68.  x x 2  16 dx
4
1
6.69.  x(2  x 2 )5 dx
0
4
6.70.
xdx

25  x 2
3
4
6.71.
 (1 
0
7
6.72.
2

1
dx
2 x  1) 2 x  1
x6dx
1  ( x7  1)2
Sn , если
6.73. Найдите nlim

1   5n  1 
 5n  2 
 5n  3 
 6n  
Sn   f  
  f 
  f 
  K  f     , а функция
n  n 
 n 
 n 
 n 
f ( x ) имеет непрерывную первую производную и f ( n)  n! при
n  N .

6
6.74. Известно, что  sin 3x  f (cos3x )dx  1 . Найдите
0
42
1
 f ( x )dx .
0
2
6.75. Известно, что G( x)  x g ( x) . Найдите  x 3 g ( x )dx , если g (0)  1 ,
2
0
G(0)  1 , g (2)  2 , G(2)  2 .

6.76. Известно, что G ( x )  sin x  g ( x ) . Найдите  cos x  g ( x )dx , если
0
G(0)  1, G( )  3.
Вычислите следующие несобственные интегралы или
установите их расходимость.

6.77.
dx
1 x 2

6.78.
dx
1 x


6.79.
1

6.80.
dx
x
dx
x
p
1

6.81.
x
 xe dx
2
0

6.82.
dx
 1  x2


x
6.83.

1
6.84.

0
2
dx
 4x  9
dx
x
43
1
6.85.
dx
x
0

1
6.86.
dx
x
1
1
6.87.
dx
0 x 2
1
6.88.
dx
x
p
0
3
6.89.
dx
 ( x  1)
2
0
1
6.90.
dx

1  x2
0
Исследуйте сходимость следующих несобственных интегралов.
1
6.91.
dx
x  x2

0
1
6.92.
dx

1  x3
0
1
6.93.

0

6.94.
dx
3
1  x2
 x
1
dx
x 1

6.95.
dx
1 x 4  x3  1
44

6.96.
dx
x  x 1
x
1

6.97.
sin xdx
1 x 2  1

6.98.  e x dx
2
0
45
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
7.1. Найдите общие решения следующих дифференциальных
уравнений с разделяющимися переменными
а) xy  y  0 .
б) x 2 y  y  0 .
в) ( x  1) y  xy  0 .
г) (2 x  1) y  2 y
д) yy  x  0
е) xyy  1  x 2 .
ж) yctgx  y  2 .
з) xydy  y 2  1 dx .
и) x 2 y 2 y  1  y .
7.2. Решите задачу Коши
а) y  y , y(2)  4 .
б) xy  2 y  0 , y(2)  12 .
в) y 
y
, y(2)  6 .
x 1
46
г) (1  x 2 ) y  y  0 , y (1)  1 .
7.3. Найдите решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее условию y  0 при x  1 .
yy
 ey  0 ,
x
7.4. Найдите решение дифференциального уравнения y    y 2 ,
удовлетворяющее условию y  0 при x  2 .
7.5. Найдите решение дифференциального уравнения y  y 2e x  0 ,
удовлетворяющее условию y  1 при x  0 .
7.6. Найдите решение дифференциального уравнения 2 y x  y ,
удовлетворяющее условию y  1 при x  4 .
7.7. Найдите решение дифференциального уравнения x 2 y  y 2  0 ,
удовлетворяющее условию y  1 при x  1.
7.8. Решите однородные дифференциальные уравнения
а) xy  x  2 y
б) ( x  y)dy  ( x  y)dx  0
в) x 2dy  ( y 2  2 xy )dx  0
г) ( xy  x 2 ) y  y 2
д) ( x 2  y 2 ) y  2 xy
47
7.9. Решите линейные дифференциальные уравнения
а) y 
3y
x
x
2 y e x
б) y 

x
x
2
в) xy  y  ln x  1
г) xy  2 y  2 x 4
д) x 2 y  xy  1  0
е) ( xy  e x )dx  xdy  0
ж) x ln x dy  (2 y  ln x)dx
7.10. Решите уравнения Бернулли
а) yx  y   xy 2
б) y  2 y  y 2e x
в) y  xy   y 3e  x
2
г) x 2 y  y 2  xy
48
д) y  xy  xy 3
7.11. Решите задачу Коши
а) x 2 y  2 xy  3 , y  1 при x  1
y2 y
б) y  2  , y  1 при x  1
x
x
в) 3 y 2 y  y 3  x  1 y  1 при x  1
Решите следующие системы дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
 x& 2 x  y
7.12. 
 y& 3 x  4 y
 x& x  y
7.13. 
 y& 4 x  y
 x&  x  8 y
7.14. 
 y& x  y
 x& x  y
7.15. 
 y& 2 x  3 y
 x& x  3 y
7.16. 
 y& 3x  y
 x&  x  5 y
7.17. 
 y& x  y
49
 x& x  y  z

7.18.  y& x  y  z (одно из собственных чисел равно 1)
 z& 2 x  y

 x& x  2 y  z

7.19.  y&  x  y  z
 z& x  z

 x& 2 x  y  z

7.20.  y& x  2 y  z (одно из собственных чисел равно 1)
 z& x  y  2 z

 x& 3x  y  z

7.21.  y& x  y  z (одно из собственных чисел равно 1)
 z& 4 x  y  4 z

Решите следующие линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
7.22. y   y   2 y  0
7.23. y   4 y   3 y  0
7.24. y   2 y   0
7.25. 2 y   5 y   2 y  0
7.26. y   4 y   5 y  0
50
7.27. y   2 y   10 y  0
7.28. y   4 y  0
7.29. y   8 y  0
7.30. y IV  y  0
Найдите решения уравнений, удовлетворяющие указанным
условиям.
7.31. y   5 y   4 y  0, y(0)  5, y (0)  8.
7.32. y   3 y   2 y  0, y(0)  1, y (0)  1
7.33. y   4 y  0, y (0)  0, y (0)  2.
7.34. y   2 y   0, y(0)  1, y (0)  0.
51
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1. Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др. Сборник
задач по математике. М.: Наука, 1986.
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу. М.: Наука, 1997.
3. Зимина О.В., и др. Высшая математика. Решебник. М.:
Физико-математическая литература, 2001.
4. Самовол В.С. Основы математического анализа для
политологов.
Ч. I, Ч. II. Учебное пособие. М.: ГУ-ВШЭ, 2001.
5. Сборник задач по математическому анализу. Т.1-3, Под ред.
Л.Д.Кудрявцева, М.:Физматлит, 2003.
6. Сборник задач по высшей математике для экономистов:
учебное пособие. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2005.
7. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным
уравнениям. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2000.
8. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное
пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.
52
Ответы.
1.1. 3/2. 1.2 -2/3. 1.3. 25/9. 1.4. 64. 1.5. 2. 1.6. 9. 1.7.
2.
1.8. -3. 1.9. -15/2. 1.10. 1/6. 1.11. 4. 1.12. 1. 1.13. 1/9. 1.14. 8.
1.15. 0. 1.16. 1. 1.17. 1/2. 1.18. 4/3. 1.19. 5/4. 1.20. -1/6. 1.21. 2.
1.22.  4
2 . 1.23. 1/2. 1.24. 1/3. 1.25. 0. 1.26. 0. 1.27. e5 .
1.28. e 2 . 1.29. 1/2. 1.30. 2/3. 1.31. e 3 . 1.32. e1 2 .
2.1. а)-5. 2.1. б)  . 2.1. в) 0. 2.1. г) 4/3. 2.1. д) -4/3.
2.1. е) 2/3. 2.1. ж) -12. 2.1. з) 1. 2.1. и) 1/3. 2.1. к) 0 2.1. л)  .
2.1. м) 1. 2.1. н) -1. 2.1. о) 2. 2.1. п)  . 2.1. р) 3. 2.1. с) -3/2.
2.1. т) 3/19. 2.1. у) 0. 2.1. ф) 2/3. 2.1. х) 8. 2.1. ц) 0. 2.1. ч) e 2 .
2.2. а) x 2 . 2.2. б) x3 . 2.2. в) x 4 . 2.2. г) x 6 . 2.2. д) x3 . 2.2. е) x 2 .
2.2. ж) x 2 . 2.3. а) 2/3. 2.3. б) 1. 2.3. в) 1/6. 2.3. г) 1/18. 2.3. д) -6.
2.3. е) -1/6. 2.3. ж) -1/8. 2.3. з) -8/25. 2.3. и)  e 2 . 2.3. к) -4/3.
2.3. л) 1/5. 2.3. м) 6. 2.3. н) 3. 2.3. о) 3/2. 2.3. п) e 2 3 . 2.3. р) e10 .
2.3. с) e3 2 . 2.3. т) ectg (3) . 2.3. у) e1 8 . 2.3. ф) e 2 . 2.3. х) e1 4 .
2.3. ц) e  2 3 . 2.3. ч) e 10 . 2.3. ш) e2 .
3.1. cos x . 3.2. sin a . 3.3. 9ln 3 . 3.4. 2ln 2 . 3.5. f (tg π/4)(cos
π/4)-2 = f (1)2 = 10. 3.6. (f (π/4)tg π/4 + f(π/4)(cos π/4)-2)/4 = 2.
3.39. Неизвестно. 3.40. c . 3.41. Неизвестно. 3.42.    . 3.43. 125.
3.44. 8748= (3  92 )  (3  22 )  (3 12 ) . 3.45. 3x ln 3 . 3.46. h(x). 3.47. f (2) = 2 3π
+ 1; f (2) = 3π2 3π–1. Указание. Найдите, сначала, функции g(x) и h(x)
отдельно. 3.48. -6. 3.49. 4 sin x (ln 2 4cos2 x  ln 4sin x ) . 3.50. 2 ( t 2  t
при t  2 ). 3.51. 5 (10cost при t 

53
3
).
3.52. y  2.5 x  13 . 3.53. y  3x  9 . 3.54. y   x  2 .
3.55. y  6 x  22 . 3.56. 3. 3.57. -1. 3.58. 3. 3.59. -1.
1
3
3.60. y   x  . 3.61. y  3x  7 . 3.62. y   x  2 .
2
2
3.63. y  4 x  7 . 3.64. y 
1
13
x  . 3.65. y  2 x  1 .
7
7
3.66. y  5 x  11 . 3.67. yB – yA = k( xB – xA) = 3 5 = 15. 3.68. 250.
3.69. 40. 3.70. -3. 3.71. 8. 3.72. 3. 3.73. -1. 3.74. -4,98. 3.75. 4,99.
3.76. -5,01. 3.77. -3,02. 3.78. 32,08. 3.79. 0,96. 3.80. 1,03. 3.81. 1,2.
3.82. 1,075. 3.83. 2,995. 3.84. 0,805. 3.85. 2,94 руб.
4.1. f ( x)  1  ( x  1)  ( x  1) 2  ( x  1)3  ( x  1) 4  o(( x  1) 4 ) .
1
1
4.2. f ( x)  1  ( x  1)  ( x  1) 2  o(( x  1) 2 ) .
2
8
1
2
4.3. f ( x)  1  2 x  x 2  x3  o( x3 ) . 4.4. f ( x)  1  x  x 2  o( x3 ) .
3
2
4.5. P (10) =2. 4.6. P (11) =12. 4.7. 0. 4.8. 1/3. 4.9. 3/2. 4.10. 3/2.
4.11. 1/3. 4.12. 0. 4.13. 0. 4.14. 0. 4.15. 0. 4.16. 2. 4.17. -1/12.
4.18. 1/3. 4.19. 1/3. 4.20. f ( x)  4 x 3 , 0,5. 4.21. f ( x)  3 x 2 , -0,27.
1
4.22. f ( x)  2 x 4 , 1/8. 4.23. f ( x)   x 4 , -1/32.
2
1
4.24. f ( x)   x 4 , -1/64. 4.25. f ( x)   x 2 , -0,04.
4
4.26. f ( x)  2 x 2 , 0,32. 4.27. f ( x)  2 x 6 , 1/32.
4.28. f ( x)  x  x3  x
4
2
 o( x 4 ) , f ( IV ) (0)  12 .
4.29. f ( x) 
2 4
x  o( x 4 ) , f ( IV ) (0)  16 .
3
4.30. f ( x) 
2 3 1 4
x  x  o( x 4 ) , f ( IV ) (0)  6 . 4.31. -6. 4.32. -8.
3
4
4.33. 12 f ( x0 ) x 2 . 4.34. 15 f ( x0 ) x 2 . 4.35. 12 f ( x0 ) x 2 .
54
2
x 1
4.36. 42 f ( x0 ) x 2 . 4.37. y    . 4.38. y=e2 x  e .
2
2 3
4.39. y  x  4.5 .
5.1. 16. 5.2. 688. 5.3. 58. 5.4. ymin  3 , ymax  5 .
5.5. ymin  8 , ymax  7 .
5.6. ymin  15 , ymax  9 .
5.7. x=2 (x=4
максимум). 5.8. x=-5 (x=3 минимум). 5.9. f (2)  (1; 5) .
5.10. f (1)  (4; 2) . 5.11. 12 (5+7, y=2x+3 , x=2, x=2).
5.12. 18 (15+3, y=-2x+7 , x=-4, x=2). 5.13. y  0 - горизонтальная
1  x2
2 x(3  x 2 )

,
, min : x  1 , max : x  1 ,
y

( x 2  1)2
( x 2  1)3
точки перегиба: x   3, x  0 , 5.14. y  0 - горизонтальная
x 1
асимптота, x  0 - вертикальная асимптота, y   30 7 ,
x
7  6x
7
y   30 8 , min : x  1 , точка перегиба: x  .
6
x
1
4 x2  8 x  3
5.15. y  2 x  - наклонная асимптота, y  
,
2
2( x  1)2
1
3
1
,
,
. 5.16. y  x - наклонная
y  
min
:
x


max
:
x


2
2
( x  1)3
асимптота, y  
x3  8
24
асимптота, x  0 - вертикальная асимптота, y  
, y   4 ,
3
x
x
min : x  2 . 5.17. y  x - наклонная асимптота, x  2 - вертикальные
x 2 ( x 2  12)
8 x( x 2  12)
асимптоты, y  
, y  
, min : x  2 3 ,
( x 2  4)2
( x 2  4)3
max : x  2 3 , x  0 - точка перегиба. 5.18. y  x - наклонная
x 2 ( x 2  3)
2 x(3  x 2 )
асимптота, y  
, y  
, x  0;  3 - точки
( x 2  1)2
( x 2  1)3
перегиба. 5.19. y  x  4 - наклонная асимптота, x  2 - вертикальная
x 2 ( x  6)
24 x
асимптота, y  
, y  
, min : x  6 , x  0 - точка
3
( x  2)
( x  2)4
1
перегиба. 5.20. y   x - наклонная асимптота, x  0 - вертикальная
3
3
 x  27
27

y

асимптота, y  
,
, min : x  3 .
3x3
x4
55
5.21. y  1 - горизонтальная асимптота, x  4 - вертикальная
8x
16(2  x )
асимптота, y  
, y  
, min : x  0 , x  2 - точка
3
( x  4)
( x  4)4
перегиба. 5.22. y  2 x  11 - наклонная асимптота,
2 x 2  16 x  7
78
, y  
,
x  4 - вертикальная асимптота, y  
2
( x  4)
( x  4)3
8  78
8  78
, max : x 
. 5.23. y  x  6 - наклонная
2
2
x 2  18 x  45

асимптота, x  9 - вертикальная асимптота, y 
,
( x  9)2
72
, min : x  15 , max : x  3 . 5.24. y  x  3 - наклонная
y  
( x  9)3
min : x 
x 3 ( x  4)
асимптота, x  1 - вертикальная асимптота, y  
,
( x  1)4
y  
12 x 2
, min : x  0 , max : x  4 . 5.25. y  x  3 - наклонная
( x  1)5
x( x 2  3x  2)
асимптота, x  1 - вертикальная асимптота, y  
,
( x  1)3
3  17
3  17
10 x  2
,
,
, точка
min
:
x

max
:
x

0,
x

2
2
( x  1)4
1
перегиба: x  . 5.26. y  x  5 - наклонная асимптота,
5
( x  1)2 ( x  5)
24( x  1)
, y  
,
x  1 - вертикальная асимптота, y  
3
( x  1)
( x  1)4
min : x  5 , x  1 - точка перегиба. 5.27. x  1 - вертикальные
y  
x2  3
асимптоты, y  
3
( x  1)
2
4
, y  
2 x(9  x 2 )
33
( x  1)
2
7
, min : x  3 ,
max : x   3 , точки перегиба: x  0; 3 . 5.28. y  0 - горизонтальная
асимптота, y   2(1  x )e2 x  x , y   2(2 x 2  4 x  1)e2 x  x , max : x  1 ,
2
2
2 2
. 5.29. y  0 - горизонтальная асимптота
2
при x   , y   1  x  e  x , y  ( x  2)e x , max : x  1 , точка
перегиба: x  2 . 5.30. y  0 - горизонтальная асимптота при x   ,
точки перегиба: x 
56
x ex
( x 2  1)e x

, y 
,
( x  1)2
( x  1)3
min : x  0 . 5.31. y  x  2 - наклонная асимптота,
x  1 - вертикальная асимптота, y  
 x 2  x  1  1x

x  0 - вертикальная асимптота при x  0  0 , y  
e ,
x2


1
1 5
1 5
 3x  1 
y    4  e x , min : x 
, max : x 
, точка перегиба:
2
2
 x 
1
x   . 5.32. y  x  7 - наклонная асимптота, x  0 - вертикальная
3
 x 2  9 x  18  9x
45 x  144  9x

асимптота при x  0  0 , y   
e
 e , y   
4
2
x
x




min : x  6 , max : x  3 , точка перегиба: x  3,2 .
1
x
5.33. x  0 - вертикальная асимптота при x  0  0 , y   (2 x  1)e ,
 2 x 2  2 x  1  1x
1
y   
e , min : x  . 5.34. y  0 - горизонтальная

2
x
2


2
2
1
асимптота, y   (1  2 x 2 )e  x , y   (4 x 3  6 x 2 )e x , min : x  
,
2
1
3
max : x 
, точки перегиба: x  0; 
.
2
2
2
5.35. y  0 - горизонтальная асимптота, y   2( x  x 3 )e x ,
2
y   2(2 x 4  5 x 2  1)e x , min : x  0 , max : x  1 , точки перегиба:
1
1
5  17
. 5.36. y   ln x  1 , y   , min : x  .
4
x
e
x

1
5.37. y   x(2ln x  1) , y   2ln x  3 , min : x  e 2 , точка перегиба:

3
2
x  e . 5.38. y  0 - горизонтальная асимптота при x   ,
1  ln x
, max : x  e ,
x  0 - вертикальная асимптота при x  0  0 , y  
x2
3
5x  2
10 x  2
2
2
точка перегиба: x  e . 5.39. y   3 , y  
, min : x  ,
5
3 x
9 3 x4
1

max : x  0 , точка перегиба: x   . 5.40. y  x  - наклонная
5
4
асимптота при x   , y  x 

- наклонная асимптота при
4
x2  2
2x
x   , y   2
, y    2
, точка перегиба: x  0 .
x 1
( x  1)2
57
5.41. y  x 

4
- наклонная асимптота при x   , y  x 
наклонная асимптота при x   , y  

4
-
4 x2  1
16 x
, y  
,
2
4x 1
(4 x 2  1)2
1
1
, max : x  
, точка перегиба: x  0 .
2
2
1
1
6.1.  cos x5  C . 6.2.  ln |1  x 4 | C .
5
4
min : x 
6.3.
1 5 5 5
1
 x
x  x x   C . 6.4. 2arctg ( x)  3arcsin    C .
5
2
x
2
6.5. x5 
6.8.
1
3
 C . 6.6. x3  arctg ( x )  C . 6.7.  (3  7 x)4 3  C .
3
28
3x
4
2
(1  3x)3 2  (1  3x)1 2  C . 6.9. x  ln 1  2 x  C .
9
3
3
11
6.10.  x  ln 3  2 x  C . 6.11. arctg 3 x  C . 6.12. tg 3 x  C .
2
4
4
2
1
6.13. 2 ln x  C . 6.14. (1  ln x)3 2  C . 6.15. (1  x3 ) 3  C .
3
4
6.16.
1
5 3
 C . 6.18. etgx  C .
( x  8)6 5  C . 6.17.
2
18
2cos x
6.19. 
1
2
(3  cos(5 x))3 2  C . 6.20. 
C.
15
9( x3  3 x  1)3
6.21. x  2 x  ln( x  1)2  C . 6.22. ln(2 x x  x)  C .
6.23.
6.26.
x2  1  C . 6.24.

 5
1
1
arcsin  x
arcsin( x 2 )  C . 6.25.
C.
7
2
5



1
ln 2 x 2  3  C . 6.27. arcsin 2 x  1  x2  C .
4
2
1
6.28.  e( x 1)  C . 6.29.  cos  ln x   C . 6.30. arctg ( x  2)  C .
2


 x 1
2
6.31. arcsin 
  C . 6.32. ln x  1  x  2 x  8  C .
 2 
58
1
1
6.33.  x cos(3x)  sin(3x)  C . 6.34. 2 x sin x  x 2 cos x  2cos x  C .
3
9
6.35.  x  1 sin x  2( x  1)cos x  C . 6.36. ( x  2)e x  C .
2
6.37.
x 1
1
sin 3x  cos3 x  C . 6.38. (3x  1,5)sin(2 x)  1,5cos(2 x)  C .
3
9
6.39. ( x  0,5)e2 x  C . 6.40. ( x 2  2 x  2)e x  C .
6.41. x 2 sin x  2 x cos x  2sin x  C .


6.42. x 4  3x 2  7 x ln x 
x 4 3x 2

 7x  C .
4
2
 x2 2 
x2 x
  C . 6.44. xtgx  ln cos x  C .
6.43.    ln(3x  2) 
2
9
4
3


6.45.
ln x
1
x2  1
x
arctgx   C . 6.46.  2  2  C .
2
2
2x
4x
3
2
1
1 1
1
1 2
2 2
3 5
6.47.  t 3  C    2  1  . 6.48.  t 2  C    3  1  .
3
3 x
3
4
4 x
4


1
1 
1
x
1
1  x2
6.49. t  C  
.
 2 . 6.50. t 3  C  

x
4
4 4  x2 4 5
1
5
6.51.–1. 6.52. 100. 6.53  F ( x; 2)  F ( x; 3)   C .
1
5
6.54.  2 F ( x; 2)  3F ( x; 3)   C . 6.55.
6.56.
1
1
F (15)  F (7) .
2
2
1
1
1
1
1
1
F (10)  F (4) . 6.57. F (14)  F (6) . 6.58. F (11)  F (2) .
3
3
3
3
4
4
6.59. 20. 6.60. 21/8. 6.61.
2
( 8  1) .
3
1 5
ln . 6.64. 4  2 2 . 6.65. 2. 6.66. 6. 6.67. 1.
2 2
2
3
16
4
1 5
63
dt
1 dt
 ln 2 .
6.68. 9. 6.69.  t dt  . 6.70. 
  dz  1. 6.71. 
21
12
1

t
29 t 3
1
6.62.  6 . 6.63.
59
1 dt

6.72. 
. 6.73. 600=6!-5!. 6.74. 3. 6.75. 13. 6.76. -2.

7 0 1  t 2 28
1
6.77. 1. 6.78. Расходится. 6.79. Расходится. 6.80.
1
при p  1 ,
p 1

1
. 6.82.  . 6.83.
. 6.84. 2. 6.85.
2
5
1
Расходится. 6.86. Расходится. 6.87. Расходится. 6.88.
при
1 p
Расходится при p  1 . 6.81.
p  1 , расходится при p  1 . 6.89. Расходится. 6.90.

.
2
6.91. Сходится. 6.92.Сходится. 6.93. Сходится. 6.94. Расходится.
6.95. Сходится. 6.96. Сходится. 6.97. Сходится. 6.98. Сходится.
1
C
7.1. а) y  . 7.1. б) y  Ce x . 7.1. в) y  C ( x  1)e x .
x
7.1. г) y  C (2 x  1) . 7.1. д) x 2  y 2  C . 7.1. е) x 2  y 2  ln(Cx 2 ) .
7.1. ж) y  2  C cos x . 7.1. з) x  0 , ln x  C  y 2  1 . 7.1. и) y  1 ,
y2
1
 y  ln y  1    C . 7.2. а) y  4e x  2 . 7.2. б) y  3 x 2 .
2
x

7.2. в) y  2( x  1) . 7.2. г) y  e 4
 arctg ( x )
7.4. y  0 . 7.5. y  e x . 7.6. y  e
x 2
. 7.3. 2( y  1)e y  x 2  1 .
. 7.7. y   x .
7.8. а) x  y  Cx 2 . 7.8. б) ln( x 2  y 2 )  C  arctg x .
y
7.8. в) x( y  x)  Cy , y  0 . 7.8. г) y
y
x
 Ce .
7.8. д) y 2  x 2  Cy ,
C  e x
C
y

Cx

x
y

y

ln
x

y  0 . 7.9. а)
. 7.9.б)
.
7.9.
в)
.
x
2 x2
2
3
2
7.9. г) y  Cx 2  x 4 . 7.9. д) xy  C  ln x . 7.9. е) y  e x (ln x  C ) .
7.9. ж) y  C ln 2 x  ln x . 7.10. а) y 
y  0 . 7.10. в) y 
2
2
ex
2 x C
1
. 7.10. б) y (e x  Ce 2 x )  1 ,
x ln Cx
. 7.10. г) y 
60
x
.
C  ln x
7.10. д) y 2 
1
1  Ce x
2
. 7.11. а) y  2 x 2 
2x
1
. 7.11. б) y 
.
x
1  3x 2
7.11. в) y 3  x  2e1 x . 7.12. x  c1et  c2e5t , y  c1et  3c2e5t .
7.13. x  c1et  c2 e3t , y  2c1et  2c2e3t . 7.14. x  2c1e3t  4c2 e3t ,
y  c1et  c2 e5t .
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
x  e2t ( c1 cos t  c2 sin t ),
y  e2t (( c1  c2 )cos t  ( c2  c1 )sin t )
x  et ( c1 cos3t  c2 sin 3t ),
y  et ( c1 sin 3t  c2 cos3t )
.
.
x  (2c2  c1 )cos2t  (2c1  c2 )sin 2t ,
y  ( c1 cos2t  c2 sin 2t )
.
x  c1et  c2 e2t  c3et , y  c1et  3c3et ,
z  c1et  c2 e2t  5c3et .
x  c1  3c2 e2t , y  2c2 e2t  c3et ,
z  c1  c2 e2t  2c3et .
x  c2 e2t  c3e3t , y  c1et  c2 e2t ,
z  c1et  c2 e2t  c3e3t .
x  c1et  c2 e2t  c3e5t , y  c1et  2c2 e2t  c3e5t ,
z  c1et  3c2 e2t  3c3e5t .
7.22. y  c1e x  c2 e2 x . 7.23. y  c1e x  c2 e3 x . 7.24. y  c1  c2 e2 x .
x
2
7.25. y  c1e  c2 e . 7.26. y  e2 x (c1 cos x  c2 sin x ).
2x
7.27. y  e x (c1 cos3x  c2 sin 3x ). 7.28. y  c1 cos2 x  c2 sin 2 x.
7.29. y  c1e2 x  e x (c2 cos x 3  c3 sin x 3).
7.30. y  c1e x  c2 e x  c3 cos x  c4 sin x.
7.31. y  4e x  ce4 x . 7.32. y  e x . 7.33. y  sin 2 x. 7.34. y  1.
61
Учебное издание
Логвенков Сергей Алексеевич,
Мышкис Петр Анатольевич,
Самовол Владимир Симхович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии.
Учебное пособие
Редактор
Корректор
Оригинал-макет
Оформление
Лиценция
Подписано в печать
. Формат
Усл. печ. .л . Тираж 500 экз.
62