Математика - Российский государственный

Российский государственный гидрометеорологический университет
Тест по МАТЕМАТИКЕ № 1
для поступающих на дневное обучение
Шифр __________
Инструкция: Тест состоит из 30 заданий. На выполнение теста отводится не более 240 минут. Задания
рекомендуем выполнять по порядку. Если задание не удается выполнить сразу, перейдите к следующему.
Если останется время, вернитесь к пропущенным заданиям. В каждом задании может быть только один
правильный ответ.
Задание
Задание 1.
Вычислите значение дроби
если 2𝑎 − 6𝑏 = 0.
4𝑎 − 5𝑏
,
6𝑎 − 2𝑏
Задание 2.
В 7 бидонов и 3 ведра помещается 73 литра молока, а в 3 бидона и 8 ведер -- 85 литров. Сколько
литров молока поместится в 2 бидона и 5 ведер?
Задание 3.
π
Найдите множество значений функции 𝑦 = 4 − 3cos (𝑥 + 6).
Задание 4.
Найдите наименьшее целое решение неравенства
(𝑥 + 8)(𝑥 2 − 22𝑥 + 40)
≥ 0.
𝑥 4 − 64𝑥 2
Задание 5.
Найдите количество целых решений неравенства
𝑥 2 − 14𝑥 + 49 ≤ 5|𝑥 − 7|.
Задание 6.
Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения √𝑥 4 − 4𝑥 + 2 = 1 − 𝑥 2 .
Задание 7.
π
После параллельного переноса графика функции 2 − 4cos(𝑥) на 3 вправо и 2 единицы вниз
получается график функции …
Задание 8.
Чему равно значение 𝑡𝑔(3α), если 𝑐𝑡𝑔(α) = 3.
Задание 9.
π
Вычислить 𝑐𝑜𝑠 (6 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√3) + 3).
Задание 10.
Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения
1 + log 𝑥/3 (61 − 12𝑥) = log 𝑥/3 (4𝑥 + 7).
Задание 11.
Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения
42 4𝑥+5
4𝑥+5
343(3 − √3)
=(
)
3 + √3
Задание 12.
Найдите множество решений неравенства
log 6 (𝑥 2 − 2𝑥)
log 3 (√7)
≤0
Задание 13.
|𝑥|
Укажите все значения параметра 𝑎, при которых уравнение | 3 − 4| = 𝑎 + 4 имеет ровно 4 корня.
Задание 14.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого
треугольника.
Задание 15.
⃗⃗⃗⃗⃗ с началом в точке 𝐴(3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки 𝐵.
Вектор 𝐴𝐵
Задание 16.
Объем цилиндра равен 1 см3. Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза.
Найдите объем получившегося цилиндра.
Задание 17.
Объем параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды 𝐴𝐷1 𝐵C.
Задание 18.
Прямая 𝑦 = 7𝑥 − 5 параллельна касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥 2 + 6𝑥 − 8 . Найдите
абсциссу точки касания.
Задание 19.
На интервале [−11; −1] найдите точку, в которой функция 𝑦 = 𝑥 3 − 192𝑥 + 14 принимает
наибольшее значение.
Задание 20.
Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) = 6𝑡 2 − 48𝑡 + 17 (где x — расстояние
от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее
скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
Задание 21.
Наибольший общий делитель чисел 𝑎 и 𝑏 равен 6, а их наименьшее общее кратное -- 8256. Чему
равно число 𝑏, если 𝑎 = 48.
Задание 22.
Найдите сумму корней уравнения
2𝑥 − 6
𝑥−1
=
𝑥+1
2𝑥 − 6
Задание 23.
Найдите произведение корней уравнения
𝑥 2 |5𝑥 − 7| = 45𝑥 − 63.
Задание 24.
2
2
Найдите сумму корней уравнения 4𝑥 −2𝑥+1 + 4𝑥 −2𝑥 = 20.
Задание 25.
Найдите сумму всех целых решений неравенства
1
𝑥−4
( 2
+
) √6𝑥 − 𝑥 2 ≤ 0.
𝑥 − 7𝑥 + 12 3 − 𝑥
Задание 26.
В арифметической прогрессии 𝑎10 = 25, 𝑎16 = 43. Найдите количество положительных членов
прогрессии, каждый из которых меньше 100.
Задание 27.
Найдите корни уравнения:
π(𝑥 − 7) 1
= .
3
2
В ответ запишите наибольший отрицательный корень.
𝑐𝑜𝑠
Задание 28.
Найдите значение выражения
log 3 5
+ log 7 0,2
log 3 7
Задание 29.
2
0,13𝑥 +4𝑥 ≤ (13𝑥+4 )𝑥
Найдите число целых решений системы неравенств {𝑥 2 − 3𝑥 − 28 ≤ 0.
Задание 30.
Найдите площадь четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 с вершинами в точках 𝐴(2; 1), 𝐵(4; 4), 𝐶(1; 3), 𝐷(0; 2).
ОТВЕТЫ
Номер задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Вариант № 1
7
16
54
[1,7]
2
11
1
√2
(2 − √2) = 1 −
2
2
−2√3sin(𝑥) − 2cos(𝑥)
13
12
1
= 0,5
2
1
= 0,5
2
1
− = −0,5
2
[1 − √2; 0) ∪ (2; 1 + √2]
(−4; 0)
18
21
3
0,75 =
4
1,5 = 3/2
1
0,5 =
2
−8
60
1032
8
21
= 4,2
5
2
11
34
-4
0
9
5